天津初中数学一模12题咋写

哈喽，各位家长同学们。嗯，这个虹桥市区的试卷也下来了，在这里石老师给大家分析一下这个试卷的一些值得大家去做的题。首先前选择题的前九前十题都算是比较常规。 然后这个第十一题，这道题呢，考察的是一个绊脚，你也可以说是一线三垂，也可以用这个一二三四五去解决。当然了，用一二三四五模型呢，其实能够很快的把这道题解决出来，大概也就一两分钟的样子，很快。然后另外第十二题，他考察的是一个二三数的实际应用里面的 这个球的轨迹问题，当然这个题呢有点小坑，就看孩子们在平时做题的时候有没有对接细节的把控。嗯，另外就是填空题里面值得说到的就是第十七题，具体这道题呢，对大家来说方法比较多，哎，也依旧是一个特殊角，咱们石老师之前也说过啊，这个特殊角今年肯定会非常疯狂去考。 然后这个主要考的就是一个六十度和三十度的倒角问题。另外就是原这道题比较常规，他跟咱们去年的一次模拟考试题比较像，另外二二三这些题都还可以。然后二四级这道题就比较简单了，因为这道题相对来说是翻折里面非常非常简单的一类题。 嗯，第二十五题呢，他考的是这个第二问，哎，发发现啊，这个第二问又考了二倍角，这已经数不清是这个各区模拟题里面第几次考这个二倍角了。然后这个最后一问就是第三问，第三问这道题里面呢，算是一个嗯， 定线段的一个含餐的讨论吧，主要还是一个参数的含餐的讨论。嗯，对大家来说就考验对大家对这个参数的处理能力如何。就平时练的如果足够多，这种题还算是比较简单的啊。这道 题 ok， 整套试卷呢，对于大家来说值得做的就是十一十二十七，还有二四二五这些题都可以拿去 练一练。原这道题一定要注意过程，就很有可能你是有有 level 摆正，或者是一些这个其他的细节方面没有把握到位去扣分，这个特别注意一下就可以了。

昨天，昨天和平一门考完了，很多这网友也好，粉丝也好，说这个卷子太简单。我倒觉得不是这样， 不是说你浏览一遍，你一看哪道题都挺正常，这个卷子就叫简单，你得从第一题做到第二十五题做完，你用了多长时间，是否得了一百二？ 我感觉这样的才能客观的去评价这一套题到底是难有多难，简单有多简单。我觉得这个和平的一摸出的挺正常的，中规中矩的一个模拟卷。先看看这个十二题，这个十二题呢，出的很细节， 觉得模仿中中考十二题的这个契合度就是百分之百的非常。其实每一年的中考十二题，这个契合度就是百分之百的非常的有 大智慧。这里边有很多细节，咱们现在从头捋一捋。如果说把那做这道题的人分成那么几个层次，那第一个层次的考生呢？就是蒙 c 档 是吧？不管三七二十一，我就选 c。 行了啊，他节省了很多时间啊，凭借这个运气你就对了， 是吧？那大部分人，咱看他的这个思路可能会是怎样？第二个层次的人可能会是怎样呢？先读题，他说这个边长是四， b e 得一，正切是二分之一，所以 b f 得二， c f 得二， 然后点 p 是 动点，出现一个矩形，第一问，当 c m 等于二分之一时，如何如何？后来还说这个矩形的面积 圈三，还说举行的面积啊。无论你是什么层次的考生，我觉得你应该先浏览全区，做每一道题都这样，你得先有统计的这种观念，然后再深入到某一个题去计算，你不要鼠目寸光，逮过来就赶紧算圈一， 这是一二三都和面积有关。圈一其实对你做了一个提醒，你可以设 c m 是 x 啊，我并不先把 x 等于二分之一带进去，我要 即使 c m 是 x， 我 也能表示 m p， 那 如果 c m 是 x， 那 我画的这个小竖线也得 x， 由于是一比二，所以这个小横线是二 x， 这样的话， m p 就 等于上面这个小矩形上面的这个宽长。所以 m p 呢，应该永远等于二 x 加二。 当然你稍带角就把这个圈一正出来了。 x 如果等于二分之一，你带进去，这个式子得三。圈一肯定是对的，只要是能除了蒙着做的人，圈一肯定是能判断 我这个竖着的这条线就明显是四减 x， 所以 矩形的面积就是二， x 加二乘以四减 x， 这个 s 就 永远等于。咱们整理一下，就是负二倍的 x 加一乘以 x 减二。 刚才这写错了，这是 x 减四，我还写了个 x 减二啊，这，这是 x 减四。然后咱们算一下这个对称轴口，算一下，应该是，当 x 等于 负一加四等于三，二分之三，当 x 等于二分之三的时候，这个二次函数应该取最值。此时呢，你算完这个最大值，你可以带进去，你把二分之三带进去，咱们算一下，二分之五乘以负的二分之五，四分之二十五乘二，应该得二分之二十五。 我现在的操作是错的，但是很多人在考场上会犯这样的错误，这是第二个层次的人，他认为啊，圈二他不对，人最大值不十二点五吗？你怎么说是十二呢？然后他在做圈三的时候，他感觉二分之二十五呀，是最大值， 圈三的时候不是说面积是十的时候有两个值吗？那肯定的呀，他一想，我这抛物线开口向下，最大值是十二点五，那只要比十二点五小，那不肯定有两个值吗？哎，所以他认为这个对了， 这就说第二个层次的人他错了两下，他连续两次错误也选 c， 所以 我说这个出卷的人他有大智慧，什么样人这道题他能选错呢？就是第三个层次的人，他学习， 但他不太灵活。哎，我也是错到这个程度了。我认为最大值是十二点五，然后比第二个层次的人水平高那么一点，他一说面积得十，那我就真让这个式子得十， 算一下，你看有什么效果？也就是 x 方减三， x 减四等于负五，所以 x 方减三， x 加一等于零，是吧？你如果不解，肯定是俩，跟你刚才拿眼瞅是一样的，那都我都归为第二个层次的考生。那在咱这个 x， 如果你用公式法算一下， x 应该等于二， a 分 之负 b 加减根号下 b 方减 c， c， 这个时候 可能算完这个数以后，对于学习的人呢，突然就唤醒了他脑子里沉睡的东西。 怎么唤醒的呢？我一看 x 如果等于二分之三减根号五，没毛病啊，二分之一还小了，关键到另一个数二分之三加根号五的时候，他突然就明白了， 这个数三加二，五点多除以二二点多来上这个图，上一比，划坏了去啊，就得舍去啊。突然就明白了这点事他就不管，刚才他现在突然明白，圈三错了， 不能有俩，因为二分之三加括号五，那 x 就 太大，就过点 e 了，他过不了，到不了这。所以此时这个人呢，可能会选 b， 这时候这个考生他有可能就选 b 了，应该说这样的人是最冤的。 当然，如果你是第四个层次的人，当你做到圈三，你真去算了以后，你知道舍去以后，你应该特别明白，这道题自变量的取值范围就是他哪个错的根。 然后从一开始你就应该知道啊，这个 x 他 得是小于等于一的， 当你考虑到 x 的 范围的时候，你发现 x 二分之三呢，这个根本就取不到我们得取范围里和对称轴最接近的那个值。也就是当 x 等于一的时候，无论你是把 x 等于一带进去，还是把 x 等于一的图画出来， 你把一带你，他真得十二。最后一中第四个层次的人，他非常的明白，二，一二是对的，三是错的，所以这个题也选 c， 然后讲这四个层次，我不知道你能否理解，但是无论你是哪一个层次的人，作为我来讲，我永远都建议你 像我之前给你讲那故事跟狗追兔子一样是吧？什么叫狗追兔子，就是那个小细狗跑的很快，把那个兔子 追了，最后把兔子气死，你得像狗追兔子一样，真正的把三个圈算的特别明白，我保证哪个圈是正确的，哪个圈是不正确的。 所以说，无论你在任何一场考试中，你可能第一遍做的时候，弄个大概题，在题号上先画个圈，等你第一遍做完这个试卷回来，你要充分思考这三个圈到底对没对。那么在 思考这三个圈之前，你第一件大事先把 x 的 范围给他办了，在永远是在 x 允许的条件下，这仨圈他对不对？ 你如果真能够做，而且还有一个小细节，刚才，其实刚才我说的这四个层次里，已经体现了所有的细节，咱们现在就是总结一下，你别说，看你十二小啊，肯定实力有俩。你别这么想， 你永远真的把这个数带进去， x 真有两个都符合是吧？包括人，有的时候情境还会变化了。这个题比较善良，屁只在 e f 上动没拐弯，动弯可能还拐弯了。 所以说呢，对于十二题，在没有了选择三 a 三 d、 三 a 三 d 规律的情况下，还是真心的建议你在这道题上，哪怕耽误五分钟，一定要保证这道题你选对了。

二零二六南开区一模的十二题，这个题我觉得出的很好，他说四边形 a、 b、 c、 g 呢？他俩是平行的角， b 是 九十度。呃，然后又讲这个 ab 是 等于四的， ab 是 等于五的， bc 是 等于八的。 就当你读题读到这的时候呢，因为这玩意垂直又平行，所以就是一个直角梯形，这是四，这是五，这个地方是八，然后如果我在这咔嚓剁一刀，那这块就是五，这块就是三，这块是三，这块是四，那么这条边就是等于五的， 是我初步的一个想法。然后接下来接下来说什么呢？他说动点 m， 从 c 出发，速度是一厘米每秒啊，这是一个涉及到动点的问题，然后经过这个 m 呢，做一个垂直， m 也在动， n 也在动，所以说这块的这个 m 和 n 呢？ n 是 随着 m 的 移动而移动的。 呃，这个地方还有一个动点动点，这个点 p 呢，是从 b 出发，也就这一段而言，它应该是一个三 t， 当然这段刚刚忘说了是一个 t。 呃，然后接着再往下走。呃，说什么呢？规定点 n 与点 p 相遇的时候，这个运动停止，所以你需要感受一下什么时候会停。 呃，当点 n 往上逐渐走啊，点 n 往上逐渐走，其实你就看 m 就 行。比如 m 是 从右往左来移动，这个点 p 呢，是从 b 到 a， 再从 a 到 d， 然后还拐不拐弯，是这个意思啊。 呃，那你来感受这个点 p， 从这到这，从这到这，一共是九，三， t 等于九，这个 t 就 等于三，哎，正好是不是正好是等于三的？你说他们两个应该是在 d 的 这个位置相遇的。好了，大致的这个图形的分析呢，就讲到这，这个题我相信大家都有啊，我直接拿这个图像来给大家看一看 他的整个的运动轨迹，就是啊，我这个 t 等于零的时候，这个地方刚刚开始，这个单已经逐渐成立啊，逐渐走，逐渐走，逐渐走，也就说当这个 p 到了点 a 的 这一瞬间的这一下，这是一段， 什么时候到这一段呢？因为我们刚刚在推断的时候呢，得到了这段是等于四，然后这一段是等于五，斜着的这一段也是等于五，然后横着这一段，如果我从这做一个垂直，那这个位置是等于三的。下边这块呢？是等于八的， 因为点屁吗？他是三 t， 所以 当他到达 a 的 那个位置，你说分两段走，第一段，这个 t 应该是大于零，小于三， t 等于四， t 就 等于三分之四，这是第一段。第二段呢，这个 t 得是大于三分之四，然后小于 三啊，小于等于三吧，这个地方可以等于这个地方，也可以等于这个等号，其实上下都是 ok 的。 嗯，基本的图形我们的分析也就到了这个地步，然后继续往右走走走，大约是这个样子，到点 d 的 这个位置呢，二者进行了一个重合，我们 一个选项一个选项来，他说第一个 t 等于一的时候，当 t 等于一的这个瞬间， t 如果是等于一的，那你观察这个图像，问我这个 mc 和 ap， 呃， mc， 那 这块就是一呗，因为这块就是速度乘以时间就是一，那这块不是三吗？ 他的速度是等于三的，时间是等于一的，这块等于三，这块是等于啊一的。这个圈一太简单了啊，没有问题。第二个，当 t 等于二的时候，我把这些都去掉啊，你们先知道有这个东西， 当 t 等于二的时候，逐渐往右再进行推进，大约到了现在的这个位置啊，它的图像就长成这个样子。其实你就想嘛，这块是等于四二， t 的 话有二乘以三，拐个弯，那么这块的长度就等于二。他问我三角形 p m、 n 的 面积， 现在的这个面积，那么这块是等于二的。呃，其实你还可以这样来想，就是对于这个角而言，它的勘探值你是知道的。经过点地向下做一个垂直，这个地方如果写一个 h 的 话，这个角是个阿尔法，它的比值就是四比三，勘探的比值就是四比三，所以这块比上这块也是四比三，也就是 n m 比上二就等于四比三，那么这个 n m 就 等于八比三。好了，这个底儿就解决掉了啊，这个地方是八比上三，那这个高的话，其实也也容易去求啊，就是通过点 p 向这个地方做一个垂直，你，你完全可以 从这个地方往这边一延伸，这边一延长好了，因为这块是等于二的，然后这块是等于二的，整个的大的不是等于八吗？所以这个高应该就等于四。那么这个三角形的面积呢？就是二分之一乘以三分之八，再乘以一个四，这个 二和八去掉一个二，它就是三分之十六。哎，圈二也是对的。然后看圈三， 他说当 t 大 于一小于二的时候，大于一，小于二，大于一，小于二。我刚刚给的那两个范围当中，大于一小于二。第一种情况的话，这个 t 得是大于一，小于三分之四。第二种情况的话呢，得是大于三分之四，然后来小于二。当然随便一个等号 就都可以啊。他说在这个范围里头， p m n 的 最大面积是多少？哎，有点像是二十四体的那个味道。你要分情况来聊啊，但凡是遇到这种一个点运动，但是他处在不同的边上来运动的时候，你肯定是要去考虑这个问题的。比如我这个三角形吧， 它的面积应该是怎么求呢？看这啊，这个地方的速度是一，所以这个地方是 t。 刚刚又聊到了，这个角的是阿尔法，它的值是四比三，所以这条边你是可以用 t 来表示的，它就是啊，三分之四倍的 t。 那 如果像现在这种情况，我从点 p 往这边做垂直，长度也就是 b m 的 这个长度好了， b m 就是 八 减 t， 所以 对于圈一的这个情况而言，他的 s 就 等于二分之一，乘以三分之四 t， 然后再乘以括号里头的八减 t。 好 了，这是第一种情况，我就写 s 一 吧。 到了第二种情况，也就是当 t 大 于三分之四啊，大家知道，当 t 大 于三分之四，小于等于二的时候，他的图像会长成这个样子，这个高 还是三分之四 t， 这个没得说是吧？这个高还是三分之四 t 来啊，圈二对于这个 s 二而言的话呢，就是二分之一乘以三分之四 t 再乘以 这个，哦，不，说错了，刚才是底啊，这个底还是三分之四 t， 这个高就会变了，变成多少呢？你得从这个点 p 向这边做垂直，你除了要去掉这个位置的 t 啊，这个地方 m c 不是 t 吗？除了去掉这一块之外，是不是还得去掉这个 a p 这一块？那么从点 b 一 直运动到这个位置是三 t 减去四，所以这段的话呢，就是三 t 啊， 三 t， 然后减啊四，呃，所以对于圈二它的高而言，应该是等于八减去 t， 然后再减去三 t 加上一个四，这是两个指数，然后你分别从这两个二次函数它给的这个范围当中来求出它们所对应的 最大值就足够了。这个圈三啊，最后算出来是错的，具体的计算你们来进行啊，我主要给大家看这个思路。

同学们大家好，今天咱们把那个滨海一模的试卷给大家讲评一下啊，姗姗来迟的滨海新区的这套试卷啊，推迟了好几次，但是呢，真出现的时候呢，还是有所失望， 难度比较低。关键他来说，他的难题对于学生的考察的点就是没有什么特别突出的地方，都是平胡之区，而且题型呢，基本之前都是见过的，所以锻炼价值就有点不像别的区这么有针对性。 嗯，咱先说一下吧，就前面选择题啊，这都是没什么。第四题，问法稍微变动一些啊，注意审题轴对称跟中心对称都涉及了。然后他的第五题啊，也是让学生们点数一下的，不是谁拿眼看的。 其他的题目问题都不大啊，像那个第九题啊，砍的烂大街了，出现好多次了。 然后第十题跟第十一题稍微有一点点亮点啊，不过第十题主打的还是角平衡线，最后呢，用一个 a， d， i 的 三角形内角和就可以解决问题。 十一题这道题呢，最好有点技巧，就咱们讲这种十一题旋转题，最好具备共圆的思想，四点共圆， 你无论是用同弧所对圆周角还是圆那些四边形对角互补，只要找到这圆之后啊，很多角度的关系，利用弧的条件就可以迎刃而解 啊。所以这道题如果你把 a、 b， d， f 这块这个四边形画出来，后面就好处理了。注意啊， a， b， e 可不是共线，有的孩子选错就错在这了。 十二题这个题啊，出的也是可以的，就是要明白这个题他的地位，或者说他的咖位，不要在他身上浪费太多的精力，所以这个计算就应该点到为止。他这块出的也还是不错的啊， 注意第二问的范围啊，最大值可取不到哪块，其实这东西都很常见。然后呢，第三问特别友好，把时间都告诉大家，让带着时间去验算就可以，而不是纯粹解方程。所以这个题计算量就特别友好。 然后填空题里边啊，这个十七题建议大家瞪眼啊，一瞪眼就能瞪出来，因为这块 cf 什么那块特别容易猜，也是三和六的关系对吧。 要正的话其实还是有点麻烦的，设他那正方形的边长，我设那一段为 x， 然后边长就 x 加六，然后倒来倒去呢，四 f 就 求出来了，不过瞪眼特别快， 因为这些条件已经很单纯了，你不可能再加新的信息，最后数值也不会有什么偏差。 十八题这个水墨斗图啊，它的核心就是垂线定律，平分弧，进而呢得到角的一半，然后呢，圆心找到，再去找 ab 的 中点，借助 ab 在 格线上的关系就可以找到啊，难度很低。 嗯，这几个解答题难度也不大啊，不等式统计都还可以。圆啊，这个圆还行吧，就是中规中这个圆的难度其实跟这几年中考那种难度 基本持平，就是思考的没这么麻烦，不像之前河东一模，北辰一模有那么复杂。然后他也借助了一点特殊角，特殊图形还可以吧，这道题出的， 然后二十二题呢，就是仿二十三年的中考题的类型，然后未知数他没给你写，让你自己去设啊。设清楚之后，这道题还是比较好算，最后计算量也还可以，就是步骤要繁琐一些，借助矩形，其他的还好。 二十三题这个应用啊，也是按照二五年中考题的那个框架去出的题，计算量有点恶心这个题啊，但是最后那个解是没用上 后边来说问的关系啊，还是路程差的范围也是比较好算的。嗯，出发点中中找点都是容易求出来的。 它的压轴题这次难度比较低啊，像二十四题，这就平移，这个太容易了。它的情形虽然很多啊，但是你能用到的话就是三个，一头一尾，还有中间镶嵌， 中间镶嵌肯定最大值一头一尾，你要看四和九谁啊，在里边伸进去的多。 这个应该是四更多一点啊，四更少一点，然后他是最小值，就他第三万的计算量太小了啊，这个题中考不可能是出成那么容易的。这个编的真的挺差的。然后二十五题啊， 看着煞有介事的，但最后一看就都是非常非常常见的类型题。 像那个最后一问那块地的条件，一九年种养地的题型，然后最短路径这块， 借助平移的关系，因对称轴距离恒定的啊，这题都练过，像咱们现在春季课程里边的对吧，讲平移形的时候，你看就基本做图是方向，方法是一致的啊，都没什么难度这块， 所以他这压缩题对学生的挑战性很低，让这个试卷看起来就是没那么经典啊。其实前两年滨海新区的卷子出的还是挺经典的，这次就有点 有有所差距吧，而且推后这么多，白期待。行，咱们现在整体的那个一模，这轮试卷都做完了啊，大家呢，尽量每道题都去碰触一下， 我也给他的难度做一些排序啊，后会给大家做一个一期视频啊，就说一下每套卷子的亮点在哪啊？对，咱大家的锻炼肩价值在哪？行，今天咱们就讲到这。

考过的这个一模二，整体来说呢，难度不算是太大，考试考的挺常规，然后基本上咱们都做过类似的或者是一样的题，最后一道题就考了一个胡不归，或者你用你的那个飞马点就是可以。然后到了第二题考了一个平行充电面积，那其他的都基本上都见过类似的题， 所以咱们做的时候仔细一点，保证计算不出错，技术不丢分，然后你的十七十八，二十二十五多拿几分，那分就低不了了，行吗？那咱们可以看看这套卷，那首先第十二题考虑一个动点面积，动点面积的话，你看情况怎么走的？标标数据的话，这几个数非常好求， ab 是 三倍根二， 对吧？这有四十五度，所以你做个垂的话， h b h 就是 三，这就是三，对吧？然后 a c 是 五的话，那这不就是四了吗？所以 b c 是 七，第一个没错，那第二个三到七的时候，也就是说他经过了 h 的 这个 p， 对 了吗？那他速度是几？听我说速度是一吧，然后走到这大概 对吧？然后咱们做一个垂往上，所以那重叠部分的面积是不是用整体减去右下角这一块就可以了，懂了吗？那整体是几？这是这是几？这是一个 p， 那 这不就是一个七减 t 吗？注意啊，这竖着的是三比四的关系，所以再乘个四分之三十才是高， 对了吗？所以七减 t， 乘四分之三倍的七减 t 再除二，所以整体是三乘七，再除二，所以减两个一作差，正好是它没错吧？第三个的话，与对称中心 a 重合的时候，也就是说 这是 a 得是终点的时候吧，你这六倍根二，那就是六，那这还剩一个几，还剩个一，对了吗？那所以相当于你不用我这个去做，就把它带到这里面数就可以了， 对吧？ t 十几呢？ c t 十六相当于 t 十六带进去二分之二，十一减去一个八分之三，对吧？不是十可以吧？所以这题选 c 两个是对的啊。好，第十七题，那这道题考一个三分之计算， 那三分之计算的话，正方形还有一个等腰直角三角形的 a， b， a， c 是 等腰值变成是根号五的话，那所以题目说的是怎么去做？你看的话， f 到它的距离， f 往上做垂直吧，做垂直正好和它是全等的，那全等的话，你想要求的是距离的话，那它是 x， 那 这不就是 x 了吗？ 这是四十五度，对吗？这是垂直，这也是四十五度，所以他不也是 x 的 吗？这小丢丢就是五减二 s， 那 他就是五减二 s 呢？根据勾股定律， 所以根号五，那 s 算下来等于二，所以第一个二可以吧？那第二个的话，那你想一想，我想让 bf 的 长度，那整体五的话， a b s a 是 五，那不是五倍根二吗？ 对吧？而这占了几百根二，二百根二，那还剩一个三百根直接就出来了吧。那第十八题就是咱们讲过像是河西期末考的是吧？河西他上学期期末考的这个题就是盲化垂直，第一个步骤是根号六，那第二个的话 怎么做？也就是说先画圆心，起码把这一分拿到手了。那你自己看看， ab 是 一条直径了已经，那我再过 c 的 话，数值一个水平一个，那这两个点，两个一连，那 o 点找到了吧？所以圆心先找到。所以我想过 c 做 o c 的 垂线是不就行了？ o c 的 迁移程度你看就是横一竖几，不知道，所以咱们还是再给大家说一遍，怎么去做？那太小了，我在这大的给你打电话就和现在一模一样，就盲划垂直，那现在已经是，我现在相当于这是横一竖的，是 d， 这到 d 这对了吗？所以那我想是不是横着几个？竖着一，那大概找一个长，这个长度是不得和它相等对了吗？那相等怎么找呢？很套路，就是过 d 先找一个最近的点做这个，也就是说根据全等， 你看这个小长度是不和这个小长度相等的。比如这是一个 f， 也就是说你的上面这一丢丢和这个相等吧，所以他数值的长度是不就和这个相等了，没问题吧？那咱们的目的是什么呀？你看这个丢丢和这个丢丢是不是相等的， 对吧？所以我要把这个丢丢放到水平上来，怎么放？所以直接你看连对角线会有交点吗？肯定有对称性，把它一连， 那所以这个点点就是我要找到，你看和他是不是对称的，所以他的这个长度就和这个长度相等了吧，所以把它一点垂直不就找到了？所以把它延长出去，那和 p a 交，和那个 b a 交的就是你的 p， 就 这个套毛化垂直吧。 怎么去做呀？横几竖几？那你就横一竖这个东西，横几竖一，这个几横几怎么找呢？看懂了吧？过 d 点上之后，那怎么去做？给大家说清楚了吧？这个核心呢？一模一样啊。 那第二十四题，一个平移空间面积，那分类的话，大家来看分几种非常套路吧。最开始零至少到二分之一的时候，对的吧？ 这是一个几？三角形吧？然后走走走，走到过 c 的 时候，走到几，走到过 c 的 话，相当于走了二分之三，所以二分之一到二分之三，对吧？这是一个四边形吧？二分之三包含等，再往右是不是五边形了？一直走到这， 对吧？那走到这的话是不是相当于五边形？再往里走是不是变小了？开始，所以他这先增后减，走到这一看就是最大的，对吧？再往后是越来越小， 所以也就是说先增后减，在这取最大那二的话，咱们非常好算。一块二的时候取最大这个二，对吗？二，取最大的话，用五边形去减这一个，减这个就行了吧。五边形的面积是几？ 不对，三角上的面积是几？二乘二除二就是二吧。那这样，这个长度是几？这个你想想啊，水平长度他不知道， 数值长度，你想想数值和水平知道之后，那面积是不就有了，可以吧，那数值是几啊？数值是不是二分之一？这就丢没问题吧？那水平长度是他的一半，四分之一，所以二分之一乘四分之一再除二，这是它的面积。右下角这个呢？那你往前走了二，对了吧？ 他走了二的时候，那这还剩几？这是不是占了二分之一？这还剩二分之三，那高就是四分之三，所以二分之一乘二分之四分之三，所以是百分之十一吧，是最大的百分之十一，那一共最后一个他算出来了吧？那第二位是不是白给的？ 第二问一不多说，那二也不说了啊，范围这也给你写上了，咱们第三问呢，最小的话时候就看这俩谁个小就行了。那咱们分别算一算，那 t 是 四分之五的时候，那是不是相当于是一个四边形？四边形的话四分之五，那走到这的话，走的是 二分之三，那没有到它是不是差一点？所以是不是我只需要用一个三角形，那怎么办？四分之五的时候是不是减去就行了？减去一个小三角就可以了吧？那所以呢，咱们去求的话， 那相当于底是减四分之五，高是四分之五，再除二是它的面积，那减去一个几啊？四分之五，对吧？相当于减一个二分之一，这不是还剩一个四分之三吗？四分之三的话，那高不就八分之三吗？二分之一乘四分之三乘八分之三，那做差六十四分之四十一， 对吧？然后看四分之九乘四分之九的话，相当于是不是五边形的时候了，对吧？这是走了二，对吧？那四分之九的话，比二大，是不是相当于往右又走了一个四分之一，没错吧？那所以那整体用二去减，谁 二去减？你走了几相当于往右走了？题目说的是四分之九呢？四分之九减二分之七，八分之七这一块，那这上面这一块呢？ 是不是这小六六是一个四分之一，那这个不就是二分之一吗？所以四分之一乘二分之一，再除二，发现是他，他比六十四分之四要更大，所以他翻了这个翻就有了。行吧，那最后一个题一不多说，那二的话， p n p c。 那 所以先怎么办？先代入它，这里面只用 a 表示，可以统一字母没问题吧？那统一字母之后两点间距离公式就行了吧。那 p 好 说，零点的纵坐标是 e， 代进去是负四 a 纵坐标吧，一对负四 a， n 是 一对零与对称轴与 x 交点，然后 c 的 话坐标是比较好说， 对吧？这些有了之后两点间的距离公式，然后题目说 p n 和 pc 相等两点间距离公式吧，算出 a 又比零小 a 了。 最后一个就是一个胡不归，更简单，当然你用飞马点去做旋面也可以，就麻烦一点点。那 am 加 mb， 加上 mp， 那 三段合得最小，那 am 加 mb 的 话，大家可以想一想，这两个和是对称的，是不是就两倍的 am， 对 吧？变成两倍的 am 加 mp， 所以 只有 m 在 动， a 和 p 不 动，对吧？所以系数的问题，对吧？咱们说体系数。二， 你的胡不归吧，那里面变成了一个 am， 加二分之一倍的 mp， 所以 我把 p 的 二分之一表示出来，那找三十度数就行了。现在这样一个竖直线 找，又做了一个三十度的角，那做三十度，它本身就有一个十五度，对吗？十五加三十四十五相当于我做这样一个，然后过 a 直接往它这个线上做垂，焦点是 a， 这的话直接做垂就可以了吧。为什么？因为你想想 三十所对的直角边是斜边的一半，所以 pm 的 一半，我用 mh 表示吧。那 a m 加 mh 什么时候最小啊？共线垂直的时候是最小的，所以说转化成了 a h 的 长度，所以也就说 a h 的 长度是这一块的最小。那再乘个二就行了吧，两倍的 a h 没问题吧？就是你的四倍根三加四，对吧？那 a h 是 四倍根三加四了，那这又是一个 a p h 这个等腰值，那 a p 就是 几， a p 是 不就能算出来？那所以我把 a p 算出来是二倍根二加 二倍根六，那所以算 a p 的 话，好处是你想想 a p 有 了没有问题吧？所以你后面去怎么做就行了。现在 如果你背的话特别简单，这上面有个三十度，背结论的话，很简单，不背背出来结论，你就他去套也不难。现在我把它拿出来，有一个屁，有一个 a， 有 一个 b， 看这做了一个 这的话，这是十五度，这是十五度。那现在咱们知道的话， ap 长度是不是二倍根二加二倍根六，这不是十五度三边比吗？一比二加根三比根六加根二，那算上这是二，这是二，对吧？这是四加二倍根三。 如果你背下来的话，秒了就，但是背不下来的话，这个题也好推，因为有三十度，那你就直接过一座垂不就行了吗？ 过一座垂，比如 m 二倍根二加二倍根六，这他他就有了吧？这是四十五度，这是不是一个三十五度没有问题吧？那所以这是不是非常好求了？ 可以吧，那把它求完之后，然后再去算就可以了。那你看看这个题怎么去做，简单自己求求吧。那它除一个几就行了，就是你的 a m， 它相当于除一个根号二吧。来除一个啊，不是除一个，这是一个三十度，对吧？我标错了是吧？抱歉， 我标错数了，是吧？应该是，刚才咱们说的是啥呀？你要做的是谁和谁？是 m， 对 吧？ m 这个应该是 a h， 我 画的是个哪个图啊？画的是图，不太对，咱们稍微改一点点啊， 也就是说我现在知道 a p 了，对吧？那现在是不是我这个 a h 也知道了，并且上面这个角是多少度？是四十五度，这个角四十五度，所以这个角底下是三十度啊， 没问题吧？那所以三十度的话，那现在咱们是不是已经知道了 a h 的 长度，知道 p h 的 长度，知道 a p 的 长度了，对了吗？那所以现在这个 p a j 这样一个十五度的三角形，对吧？那咱们的话怎么处理它？是不是非常好处理？ 所以，而且你这个几啊？这个是横坐标，是一的这个横坐标，对吗？所以这个整体长度的话，怎么去求？ 大家求一求啊，也就是说这是二倍根二加二倍根六，这有一个十五度，对吧？那十五度的话，那咱们怎么去求？那上面是不是分一个等 十五，那这分一个三十度取就可以了吧？没问题了吧？所以，那你自己看一看，那比例的话，就是一比根三，那比二，那这不也是二，二加根三，那斜边算是根六加根二，那是二倍的，所以这是二，这是四二倍根三，行了吗？ ok， 这是二的话，那这不就是负一，那这不就是几了，这不就是三到零了吗？所以负一到零，三到零，对吗？ p 的 坐标又是一到四加二倍根三， 可以吧？那所以，那这有了之后，屁的动作边是几啊？负 a 加 c 吧，所以负 a 加 c 是 四加二倍根三，他又给我负一到零，那带进去，所以就能把 a 解出来， 这样一个简单小题， m 怎么去解呢？那这个长度已经是二了，这有三十度，对吧？那所以二除以根三是三分之二倍根三，所以是一到三倍倍根三可以了吗？所以这样一个解三角形的题，你要知道这是考的不不规，后面去解就可以了，行了吗？记住它啊。

各位同学大家好，今天我们来讲解二零二六年部分区一模的二十五题。首先我们先来审题，这个题目中的第一个条件是 a 小 于零， a 小 于零的翻译呢？还是我们常用的翻译叫确定位置，排除答案。第二个条件呢，给的是二 a 加 b 等于零，我们可以把它翻译成对称轴的信息， 我们能得到的是对称轴等于一，而且此时呢，我们可以列出来一个方程， 但是题目中一共给了三个参数，我们至少得有两个方程，或者说顶多能剩下一个参数的时候，我们才考虑消元。我们继续往后读， 题目中呢，给了顶点的 p， a 点， b 点以及 c 点，还有与对称轴的交点，这几个点坐标呢，暂时不可求，我们继续往后读。最后一大问中的条件， 我们读第三大问，第三大问中呢，给出了大 m 点的坐标，而大 m 点呢，它的定语说的是在对称轴上，我们比较容易求出来，其中 m 呢，其实就等于一， 而纵坐标呢，给了一个范围是大于零小于负 a 加 c。 那 么这个条件呢，我们暂时还无法翻译，我们只能知道的是负 a 呢，它是一个大于零的数，而 c 呢，暂时无法确定。 我们下面来看一下。第四个条件，给了一个叫做角 a， b， p 等于七十五度，此时呢，我们要考虑画图， 我们要注意到他的对准轴呢，等于的是一，所以我们考虑将 y 轴靠左来画，此时我们将对准轴画出来标。上一，题目中给了大 n 点，这个 n 点坐标，此时我们已经可以求出来，他就是一斗零。 我们现在来确定一下其他点的大概位置，我们根据 a 小 于零可以知道大概图像是开口朝下的， a 点在左， b 点在右， 但是如果细想的话， a 点与外周的关系呢，并不能确定。所以这个小题我们只能先估摸着画出来一个大概位置，然后我们再通过后边的数量关系去推出来。 我们先看一下其中的大概 a 点的位置以及 b 点的位置，他说到了一个顶点 p， 我 们把 p 点标出来， 现在我们连接出来 a b p 这个角，由于它是对称的，所以两个角均是七十五度，我们进行简单的倒角比较容易得到，顶角呢，应该是三十度， 我们把大 m 点标在对称轴上，由于 n 大 于零，所以应该在 x 轴以上的一个大概位置。 紧接着呢，我们来读一下最后一句话，他希望我们求的是 am 加上 mb 加上 mp。 这个小题呢，第一层迷惑的条件就是看问题有点像费马点问题， 但是我们仔细观察可以发现， m 和 a 以及 m 和 b 呢，他们俩有联动关系，并不是我们常说的三角形中任意一点与三顶点连线的对质问题，所以这个小题并非费马点问题。 那么我们又注意到 am 和 mb 相等，所以我们可以将问题改写为二倍的 am 加上 mp。 由此可知，这个小题很类似于我们的胡不归问题。 那么胡不归问题呢，我们需要复习一下它的条件和方法。胡不归的主要条件呢，就是公共点 m 它的位置， 公共点必须要在直线上运动，而且公共点必须为动点。我们仔细找到 m 点呢，他在对称轴上确实是在直线上运动，而且是一个不确定的点，所以我们大概可以判断此题为胡不归问题。 现在我们按照胡乌龟的步骤呢进行翻译。首先第一小步，我们应该将问题转化成 pa 加上 k 倍的 p b 的 形式，其中的 k 要求大于零小于一， 而现在呢，我们出现了一个系数二，所以我们将它转化一下，我们可以把其中较大的系数二提出来，就可以将后边的改成二分之一倍的 mp， 此时二分之一是符合零到一之间的， 我们下边来看第二步。第二步呢，我们要将带系数的，也就是二分之一这个 mp 转化为系数为一的线段，最终变成我们经典的将军一马问题，所以我们现在啊要关注一下 mp。 第二步呢，我们要将系数二分之一转化为正弦值，我们背过三三十度，正好为二分之一，所以我们就可以知道三十度是我们后期要用的角。 那么现在我们来看一下如何将带二分之一系数的线段转变为系数为一的线段，此题就能变成将军一马问题。 我们今天不再讲解我们方法的原理，只讲解方法的应用，所以我们下边来说一下我们的标准步骤。我们要找到带 k 的 线段 mp， mp 身上有两个点，其中大 m 点的身份叫公共点， p 的 身份叫非公共点，在使用的时候尤其注意，非公共点呢，应该优先使用， 那么他用的时候要注意一个口诀，他是在不带 k 的 线段的 e 测来做我们的角三十度，也就是在 am 的 e 测做我们的三十度角， 这里边有一个词要解释一下 e 测，这个 e 测呀是在将军印码中对称轴与两条线段关系的一种描述， 也就是说现在的公共点大 m， 其实就是将来将军一马的公共点，那么它所在的直线呢？为我们的对称轴，我们可以知道 am 这条线呢应该在左侧， 所以将来我们要在 p 这里往右侧位置做出一个三十度来，这是我们的异侧的解释。那我们下边来看一下这个辅助线。我们先连接一下其中的 am， 并且在 p 这里画一个三十度的角，这个角的大小要注意，它是与对称轴的夹角，为三十。我们来看一下下一个点是公共点大 m， 它的作用是向阿尔法角边，也就是我们三十度角边做垂直用的。所以我们现在呢要过这个大 m 点，往我们这条三十度角的边上做一条垂线。 我们不妨把垂足设为 h， m h 呢？它的长度正好等于二分之一倍的 mp， 所以 此时变成了急求二倍的 am， 加上 m h 的 最小值，那么此时就变成了我们的经典的将军密码问题 要特别注意，这里有一个二倍，我们将军一马只能研究小括号中的最值，无法解决二倍问题，所以我们当我们求的时候，要把这个二倍要特别注意一下。 现在我们来看一下如何求最小值。题目中很明显 a m 和 m h 当三点共线时取最值。为了更好的研究题目，我们现在将无关的线擦去，只留下最终最小值的情况。 我们可以发现此时的最小值就是我们这里边的 a h 的 长度，所以我们可以求得二倍的 a h 应该正好等于题目中所给的四倍根号三加四，所以 a h 求出来为二倍根号三加二。 现在我们要注意到题目中有特殊角，我们来进行一个倒角，这里边呢，三十度角可以被分成两个相等的角十五度， 所以我们现在可以发现这个角 a、 p、 h 这个角应该正好等于四十五度，此时出现一个等腰直角三角形。 那我们下边呢，还要特别注意到，七十五度，除了四十五度以外，还剩一个三十度，所以这个小题简单说起来应该是由两个特殊三角形组成，一个等腰值，一个含有三十度六十度角的直角三角形组成。 我们现在来进行一个导边。首先这个小题中让我们求的是大 m 的 坐标和小 a 的 值，题目中只有一个方程对称轴，所以这个小题严格来说还缺两个点坐标才能够完全解出来所有的参数。 我们注意到 a 点和 b 点两个点坐标。即使都求出来，这个小题也无法将解式完全确定，因为 a 和 b 啊，关于对称轴是对称关系， 所以这个小题最重要的还是要将顶点或者是 ab 中的任意一个点求出来，这个小题才能最终解出来。所以我们下边的求解目标是求出来 a 或 b 坐标以及顶点 p 的 坐标。 好，我们来开始看题目中的 a h 就是 我们的二倍根号三加二，那么这个小题的二倍根号三加二，其实可以把我们的另外一个直角边以及斜边，以及我们这条边和我们底下这条边都能求出来， 为了方便理解呢，我们将右下角的这个点可以取一个名字叫四 d。 这个小题呢，如果有的同学能够掌握住十五度角的正切值， 那么此时求出来屁的纵坐标将会非常的快捷。但第三小问并没有让我们直接写答案，所以这种特殊结论只能够暂时放一放，我们要用常规的办法来解析。 这里边我们注意到这里边有一个三等角的关系，尤其是我们刚做的三十度，他把这两个角呢都可以计算出来为十五度， 所以我们考虑角分线的常规联想，就是向两边做垂线，我们准备过 b 点往我们这个 p h 上做一条垂线，我们把垂足暂时叫做 e 点，那么要注意到其中 b、 e 的 长度， b， n 的 长度，它们两个是相等的。此时我们可以设一些未知数，我们可以设这里边的 a， n 等于 n b， 那 么也等于我们的 b e， 我 们可以把它设为小 t。 那 么紧接着呢，我们注意到这是一个特殊三角形，所以 d、 e 的 长度就可以求出来，等于的是根号三分之 t， 那 么 b、 d 呢？就等于根号 三分之二 t， 我 们现在可以拿 a、 d 的 总长度来列方程。 a、 d 呢，它首先在大三角形中是可以求出来一个真正的长度的， 那么它也能用 t 表示，所以用它来列方程。 a， h 呢，我们刚说的是二倍根号三加二， 我们只需要再乘以根号三分之二就可以求得 a、 d 的 长度。而 a、 d 呢，它由两个小 t 组成，再加上一个根号三分之二 t， 所以 我们现在就可以对这个式子进行求解， 这个式子呢，在求的时候，左边可以进行个简单的化解，四加上根号三分之四，右边呢，我们可以将 t 提出来叫二加上根号三分之二，那么此时我们很容易得到 t 的 值呢，应该等于的是二。 那么现在我们就可以求出来 a 点的坐标就是我们对称轴向左移动两个单位，也就是负一斗零， b 的 坐标就是向右移动两个单位，角三斗零。 我们还差一个顶点 p， 需要求我们现在来求一下顶点 p 的 坐标。首先呢，我们要借助的不是含有十五度的这个三角形，而是含有三十度的三角形， 那么我们只要求出来 n d 的 长度，求出来 p， n 的 长度就不在话下，所以我们现在先来解决 n d 的 长度。 n d 呢，应该是我们刚刚的 t 加上我们的根号三分之二 t， t 的 长度等于二，所以应该把它写为二加根号三分之四， 进而我们就可以求得我们的 p， n 的 长度，应该再给它们乘一个根号三，叫二倍。根号三加上四，所以 p 的 坐标就可以求得为一到二倍，根号三加上四， 当然了，我们大 m 坐标啊，也可以现在求出来了，我们只需要借助 a， m， n 这个特殊三角形即可求解。我们知道 a， n 的 长度等于 t， t 已经等于二，所以我们就可以求出来 m 的 纵坐标， m 的 纵坐标呢，应该是一逗号三分之二倍根号三，现在我们只差一个小 a， 需要求，现在呢，我们不妨将整个解式写成两根式，或者叫交点式， a 倍的 x 加一，乘以 x 减三。 我们只需要代入一下我们的 p 点，就可以把 a 求出来，我们把 p 点的横坐标带进去，可以求得负四。 a 等于二倍，根号三加四，最终求得 a 的 值等于负的二分之，根号三加二。 我们可以审视一下，我们的 a 是 小于零，和我们求的值也是负数是对应关系，所以这个小题的 a 的 值就求出来了。

各位同学大家好，今天我们来讲解二零二六年部分区一模的十八题，这个小题呢，可以说是我们今年一模题中最难的一道十八题， 我们来给大家分享一下。题目中的第一个关键条件是 c 点为格点。第二个条件 a、 b 为直径。 靠这个条件呢，我们可以首先得到 a、 c， b 应该等于九十度。另外呢，我们还可以靠这个条件找到圆心，还给了两个长度， ab 等于五， bc 等于根号十九。 由此我们能根据勾股定律求出来 a、 c 的 长度应该等于根号六。我们主要看一下第二小问，第二小问中要求的是过 c 点， 也就是我们这个格点做圆 o 的 一条切线，而且将来与 b、 a 的 延长线交于一点 p。 我 们首先呢，先来解决第一个问题，找圆心。我们现在已经有 ab 这一条直径，我们现在需要靠 c 这个格点再找出一条直径。 比较容易的找法就是从格点 c 横平竖直找与圆的交点。这两个点不妨取名叫 d 点和 e 点， 然后连接 d、 e， 此时组成了另外一条直径，我们会和 ab 产生一个交点，这个交点就是我们的 o 点。下边呢，我们来看第二步， 我们需要先画出来切线的草图。首先呢，我们观察现在我们要干的事情是做一条垂线，我们这条垂线将来的屁点与 b、 a 和这条切线有关系。 如果想要找到 p 点，就需要 b、 a 以及切线。现在 b、 a 已经解决了，那就看这条切线有几个方面可能构造出来。这个题的第一条思考路径就是观察一下我们这个切线 与 b a 延长线所形成的直角三角形有什么特殊的关系？首先呢，我们观察一下这里面会不会出来，比如说等边三角形这样的特殊的关系，毕竟题目中给了两边的长度， 我们算了一下，半径呢，应该等于二分之五，而我们的 o c 和 a c 呢，这两个长度一个等二分之五， 一个等根号六，很明显他并不是我们的等边三角形，所以这条路呢，可能就不好弄了，因为带着五理数找比例关系也比较困难， 所以我们来看第二条路。第二条路呢，我们可以考虑这里边有一个放歪的直角，我们可以考虑一下一线三垂直相似， 或者是找更大的直角三角形。但是主体思路呢，我们看看这条路能不能行得通。现在有一个困难，就是 o 点到达 c 这条边，它的长度不可求，但半径性的是有的， 所以呢，这条路的正切值不方便求解，这条路也行不通。刚刚两条思路呢，都没有解出来，所以这个小题呢，用常规办法确实很难解出来， 所以我们今天给大家分享答案中所给的这套利用一线三垂直全等的思路。 首先呢，我们看到题目中 oc 呢与隔线有一个焦点，这个焦点呢和将来我们做完的垂线这个焦点会形成一个一线三垂直的全等模型。 那么这个题的主体思路呢，就是将这个全等三角形构造出来，但是构造的技巧非常的巧妙，我们今天给大家分享一下。 我们现在先将题目中无关的线先去掉，我们现在把需要证明的东西给画出来。首先我们把这个点暂时取名叫 f 点， 我们现在把将来要构造的垂线这个点取名叫这点。我们的办法呢是将其中这条长度 通过我们的背长中线转移到另外一侧去。借助题目中所给格点，很容易能看出来这里会产生一对全档，那么我们现在已经将这条边 x 转移到这个位置来。 如果我们能证明这个长度也是 x 的 话，那么我们就可以认定这是一个一线三垂直全等，进而就能得到它确实是垂直关系。 那么我们如何证明这个边也是 x 呢？我们先把这个 x 去掉，我们用到的是正方形中非常基础的对角线全等模型， 我们联记一下，这个正方形中的对角线此时与这条边产生一个焦点， 我们只需要通过我们的对称圈等，这个线如果和这条边相连，那么这两个边就相等了。同理， 如果这个边和这边相连，也会产生一个全等，所以我们的办法是考虑构造这么一个对称全等，就能将 x 移到它相邻的位置来。 所以我们准备连接我们左上的顶点与焦点并连线，此时呢会得到这个三角形与这个三角形的全等， 也就完成了我们转移 x 的 这个目的。最终就可以得到这个小短边和这个小短边是等长的，自然就能挣出来两个三角形全等， 此时我们就可以得到他们是互相垂直的，甚至我们可以推而广之，任何一个已知格点出发的线都能做出他的垂线来。 这是一个拓宽我们思路的好题型，我们刚刚的圆心把它复原一下，然后呢，我们现在要连接一下半径，并取与第一个隔线的焦点，我们取名叫 f， 现在呢，我们将延长 f 和这个焦点，这个焦点叫这点连接 f， j 并延长，此时就能出现我们所谓的倍长中线。 那么这条线呢，我们需要把另外一个对角线先连上，这条线就是正方形对角线全等模型的那条线，此时产生一个焦点，这个焦点我们取名叫做 h 点， 然后再连接我们的左上角点和 h 点，并延长，与隔线产生焦点，我们暂时取名 i 点和这点。 最后呢，我们连接一下 c 点和这点并延长，此时就是与半径互相垂直的线，然后我们再把 b a 延长，产生一个焦点，这个焦点即为 p 点。好，我们现在将具体过程描述一下， 这个点呢，我们取名叫做 k 点。第二步，画出切线，这个切线呢，我们用了一个倍长中线，加上一个正方形的对角线全等模型，这个题呢，也可以用相似来证明，但是不如我们这个全等的思路好听懂， 所以在这呢，我就不给大家展示如何用相似来证明这个结论了。好了，我们现在来把简单的描述说一下。这题的第一步呢，应该是取圆与隔线焦点地点和 e 点， 然后连接我们的 d 交 ab 于 o 点。这句话呢，得到我们原心。第二句话，我们来取我们的 f 点，连接 c、 o 与隔线交于 f。 然后呢，我们再取隔点大 j 和 i 点， d 点， k 点这几个隔点，然后我们现在开始连，首先是连接 f， j 并延长交 d、 k 于 h 点，再连接我们的 i、 h， 并延长交隔线于这点。最后呢，我们需要连接 c、 g， 并延长交 b、 a 延长线于 p 点，即为所求。好，这就是我们这个十八题的过程。

hello， 同学们，大家好，今天我们来讲一下刚考的这个南开一模呃，重难点的题目，我们基本的题目像十十一以及二一二二三，我们会放到下一个视频里， 好吧，这个这这个视频我们讲一下十二十七，二四二五。确实这套卷子比较难，大家应该也有感受啊。一个是延续了我们往年的 来看一模这个计算量比较大，他这个特点，那另一个呢？就是也是贯彻这个教育改革的思想吗？就是我们去看二十五题的时候，他已经清模型，对吧？他更多的其实是我们的转化思想以及构造能力，对吧？那我们现在来看一下这几道题。 先看一下十二题，十二题他说四边形 a、 b， c， d 中 a、 d 平行 bc， 角， b 是 九十度，那么他这就是一个直角梯形， a， b 是 四， a， d 是 五， bc 是 啊八，那我们此时也能算出 dc 是 五， 这其实往下做条高就可以出现了，好吧，他说 m 从 c 出发，然后以一厘米每秒的速度沿 c、 b 运动，过 m 做 b， c 的 垂线，交四边形于 n， 然后同时 p 从 b 点出发，以三厘米呃每秒的速度沿 b， a、 a、 d 边运动，规定 n、 p 相遇时停止运动， 然后设运动时间为 t， 然后 t 的 一表示，如图所示。所以我们由图可以得到这个 m， n， m 永远是垂直于 c 的， 对吧？所以我们 c m 是 t， 那 么 n m 就是 三分之四 t， 如果非要说 c n， 它其实是三分之五 t 啊，但是其实这没啥用，因为它不用表示。 ok， 那 我另一个点是 p， 点是 bp 是 三 t， 他 们说他俩相距是平行运动，我们是不是要算一下他们什么时候运动，什么时候停止？结果我们算出来其实是在 d 的 时候，三秒的 t 等于三秒的时候，他们就停止了。 那我们现在来看一下这个题。说 t 等一表示 m c 等于 ap， 这个算出来 t 等于的时候， c， m 等于 ap 都等于一，这个没问题。第二是 t 等于二的时候，呃， pm， 此时它的图像其实是如这个图所示， 对吧？所以它等于二，然后 n m 是 三分之八，我是不是让 p 到 n m 的 距离，所以这是不是四，这是二，所以这是三。我们再往这如果做垂直的话，高应该是一个四，因为这是一嘛， 所以我算出来它的面积是三分之八乘四乘二除以等于三分之十六，这个也没问题。然后最后一个，当 t 大 于一小于二等于三分之十六，这个也没问题。然后最后一个，当 t 大 于一小于二，最大面积，此时我们就要用它的二函数的 面积求最值。我们表述起来，呃，一开始不用表述，一开始因为它呃 p 到 m n 的， 呃距离在变小，呃 m n 在 变大。其实一开始也可以说，呃，我们此时 p m n， 嗯， t 到一的时候，我们只需要关注呃，从 p 从一到 a 的 时候，也就是三分之四的时候，我们来画出来他的图像，其实就可以，此时图像是逐渐上升的， 对吧？那我们来看一下他的第二段，也就是 p 从 a 到 d 的 时候，我们需要判断一下他此时的最大面积是多少，那我们我把这个图变在这，这是 p， 那 此时 a p 是 不是变成了三 d 加四，这 t 是 大于三分之四的啊。 好吧，这是三 t 加四，那我 c m 是 t， 那 我的 b m 是 不是八减 t 啊？那我们算出来。呃， p 到 m n 的 距离其实是这段我们标一个 h 吧，也就 m h， 其实是八减 t 减去三， t 减四，我直接去括号了，得到十二减四 t， 所以 我们此时直接算，它最大面积就是三分之四， t 乘十二减四， t 乘二分之一，我们把它变成焦点式，是负的三分之八， t 乘 t 减三，所以当 直接取他们的中间 t 的 二分之三时候，最大值算出来是六，所以不是五。你说老师我还用考虑第一段吗？你此时在这段中他最大，都能到六了，他还用考虑最大值是五的事吗？所以直接打叉就行了。所以这个题应该选 c， 我 们现在现在来看下一题。 ok， 我 们现在来看一下十七题，十七题，这个题。嗯，其实是考察了我们的直角三角形，斜边上中线等于斜边一半，我们来看正方形，边上为六， o a 对 角线 a， c 的 中点 e 为 c， d 上，然后过 c 做 a， e 的 垂线于 h， 呃，然后连接 o h， 此时 o h， 因为它是个直角三角形，所以斜边上的中线。直角三角形，斜边上的中线等于斜边一半，所以这三个边相等，所以 o h 是 三倍根二。好吧， a c 等于六倍根二嘛。 然后第二个它说 f 为 h， c 的 延长线上一点，且 c， f 等于 a e， 它俩相等， 然后此时连接 a， f 交 b， c 于 g 点，然后连接 o g 连接 h， g 说 d 等于二，所以很多边我们就可以出了，所以它是二根十，所以它是二根十。那我们此时来看啊， g o h o h 我 已经知道了 关键点，你说 g o 上 g o 怎么求 o 点坐标？我是 a c 的 终点，可是我是不是碰到一个终点，我是不是中位线，它就等于二分之 c f， 所以我是不是可以构造一下试试？所以我做 f m 垂直于 c g 于这，那我们来看 它倒角的情况下，这是不是 r， 这是不是 r， 它也九十，它是九十度减 r， 别忘了这是个九十度，所以它也是 r， 所以 这两个三角形啊， a s 全等， 对吧？所以我们可以得到它俩是全等的，那此时它俩全等，此时我们是得到了 f m 等于 d a， 那 同样是不是等于 ab？ ok， 那 是不是这两个三角形也全等？它全等完之后，这些边一出结果，我发现这四个三角形都是全等的。就我们要求的是什么 a b， g 啊， f m， g 啊， f m， c 啊， d e a 啊，其实都是全等的，都是二比六比刚好十， 那我们此时就比较简单了，所以我的 c f 二被根号时，所以我的啊 o g 等于根号时， 然后 o h 等于三根二。那我的 f 呃， g h 等 g h 不 也是直角三角形，斜边上的中线能斜圆一半吗？ 所以啊， h g 是 不是也等于二分之一的 a f 也等于二倍根号十，所以算出来应该是三倍根号十加三倍根二。好吧， ok， 那 我们就这个题就到这里。 ok， 我 们现在来看二十四题。通过平面直角坐标系中 o 为圆点等边三角形 a b c， 然后 ab 的 长度是四倍根号三，所以这是一个边长为四倍根号三的等边三角形 c 在 第一象限 bc 的 边与 x 轴交于地点， p 为 x 轴上正反轴一度点，将 o p 绕着 p 旋转。六十度和一百二十度，所以都是六十度了。这些我们就画出来的这两个都是六十度。然后那么 p m、 n 就是 一个等边，此时得到 mp 和 np， 对吧？连接得到 p m n 这一个等边第一个 c 点的坐标，这个不用说啊， e b 根号三比二，所以恰好一半，所以它是六六度，根号三 c d 的 长度，呃，这是二根三，这是二根三。 好吧，这些都没问题。然后第二个，这个其实是由旋转所得到的重叠面积啊啊，此时他说重叠面积为 s。 第二个说，当它们交于 e、 f， 然后交于 s g， 然后重叠为五边形。问，它求的是，求的是 c g 的 长度， 并且写 t 的 曲值范围。这个第二个相对来说，它变成边之后还简单了一点啊，没有那么麻烦。所以我们先来看，这是二倍根三， o d 是 不是三啊？所以 o p 是 t， pm 也是 t， 所以 它其实是 t 减三。我们通过导角度，这是不是三十度？然后这是不是一百二十度， 所以这是不是也是三十度？所以我得到了一个 p g， 其实也是 t 减三，所以我的 d g 呢？ d g 其实是根号三倍的 t 减三。好吧，由此我们就可以得到 c g 其实是等于写在这吧， 等于四倍，根号三减二，根三减去根号三倍的 t 减三，等于五倍，根号三减根号三 t。 但是这有一个一分挺不好得的，就是这个取值范围 说什么时候会出现，我们因为在画图嘛，他此时我们的前一个点由这个图往前，其实是大概是 p d 重合的时候，对吧？ p d 重合此时是不是还是四边形？我往外一出一变大， 是不是就变成我们图中要求的这五边形？所以此时我们要求 d 点坐标 o d 是 不是就等于三？所以 t 是 大于三的，那么 t 的 终点在哪？这关键点在于我不断地放大，其实 pm 是， 我们理解是 pm 这条直线是往右移的， 能理解吗？ pm 这条直线是往右移的，那么现在说，那我是不是要考虑 m 是 先到 a c 上， 还是 p n 过 c 点？所以这个就要求一下，我们要算一下这两个到底谁先到？所以我们现在来看，假如 m 已经到，这个 我们不用用第一个图，第一个图还好画一点， m 如果交呃到 a c 上的时候， 是不是出这样，它是不是 t？ 这是不是六十度？所以我往下做垂直，这是不是二分之 t， 所以 这是不是二分之 t？ ok， 那 此时我假如往这个点做切减，这是不是也是三十度？六十度，所以二分之 t 除以根号三，所以是六分之根号三 t， 这呢是二分之根号三 t， 所以我们出来一个六分之根号三 t 加二分之根号三 t 等于三倍根号三吧，所以算出来此时 t 等于二分之九，那我们此时要算一下它什么时候过 c 呢？ 是不是这样子，对吧？此时 p 十在这，那它是不是还是 t 减三？它是不是还是 t 减三？ 那它是不是还是根号三倍的 t 减三？所以此时出来一个根号三倍的 t 减三等于二，根三，算出来 t 等于五，所以二分之九先出现，所以 t 就 小于二分之九即可，都取不到，等，好吧？ ok， 这个 t 等于五，其实在我们的第三个还有用。 然后现在来看，呃，第二个，第二个说，一到五的时候，它这个本身还是我们的 s t 图，它是一个上升和无限下降，对吧？那一和五的时候我们直接画出来就行了。嗯，标准作图。 所以当一的时候， t 等于一时， s 等于四分之一的平方，等于四分之一，那他五的时候是不是刚才恰好是这样， 对吧？如如，如果你画图画的比较准，你一眼就能看出来，肯定是第一个比较小，如果你说老师我实在是看不出来，你就算呗，你算出来他不恰好是一半吗？这不就此时五减三，这不是二，这不是一，所以根号三，所以这根号三。所以我们 t 等于五十， s 不 就等于二分之根号三乘以根号三的平方嘛，等于二分之三倍根号三。好吧，这个你一比较，其实它是更小的，所以最小值 应该等于四分之根号三，好吧，现在关键是在于最大值。怎么求最大值？我们是不是如我们这个图 所是，你说老师他是不是有可能在下一个？但是我们要先算出我们此时的这个面积，他的最大值是否在我们要求的这个三到二分之九的范围之内，如果在的话，最大值就是他，如果不在，他就要考虑下下一步，也就是 m 与 ac 重合之后所出现的四边形了。 好吧，那此时我们来算一下，嗯，他的面积不就是四分之二三立方大三角形，减掉这两个小三角形吗？ 这一个是八分之二三 t 减三的平方，这是小圆。这个 p h g， 那 上面我们是通过算出来，算出来了这个 m f， m f 等于二分之三， t 减二分之九， 它算也是通过我们，嗯，这个边算出 c、 c g 之后再算出 f g， 再算出 n、 f， 好吧，他这个也是来回算，这个计算量确实稍微有一点点大。 ok， 那 此时算出来他之后，我们是不是用我们平常的去乘除项法，可以直接取出他 t 等于负，二分之 b 等于四分之十五的时候，那四分之十五是不是恰好是我要求的这个范围 啊？就是大于三小于二分之九，对吧？大，这是四点五，这是三点，这是三点多三点七五吧。 ok， 此时我们直接代入算入十六分之四十五倍根号三，这就是最大值。所以 s 范围是大于四分之五根号三，小于等于十六分之四十五倍根号三， 这是我们的二十四题，计算量稍微有一点点大。 ok， 我 们来看最后一道题，这二十五题稍微有一点点难，很多同学我估计第二本都没做下来。这个题其实我 个人认为啊，就是说稍微难度可能稍微有一点点高，但是我认为他是比较符合我们整个中考未来的出题方向的， 就是他弱，弱化了我们经常所说的什么胡不龟模型啊，弱化了，弱化了我们平常所说的你说将军一马啊，这个题，其实你说老师他是一个胡不龟，其实我们用的是胡不龟的一个思想，叫转化思想嘛，构造 会不会是构造，而我们这进行的是构造加转化两种方式。第一个不用多说，直接写出这个。你有没有发现，这个题除了第二分的求抛物线集式，其他全部都是直接写出，也就是说这个题的计算量一定非常大， 老师已经考虑到你几乎是没有时间在写过程了，只能硬算。你只要在你的草纸上算下来这个结果，把答案写出来就给分，写对了就给分，好吧？ ok， 那 此时我们来看呃，第二本。第二本是说了一个点的坐标，他第一题干中除了给了我们一个对应轴是呃一，其他什么都没给。 他说，若 m 点坐标 m 到一和 n 均在抛物线上， m 大 于二， n 在 第四象限 m d n 九十度， d m 等于 d n， 所以 这是一个等式，这样三项形。哇，你说终于找到一个比较熟的点，结果他后面说了， e g 分 别是动点 f 为线段 d n 的 中点，且 d e 等于根号二倍的 d g， 你 说老师它忽然出了这个，这种只能进行构造， 明白吗？通过构造把它转化为我们的等边，那此时我们来看，说 m n 等于根号十，因为它说它是根号十，等下绕行 d， m 等于根号五，对吧？ 又因为 m 的 坐标是 m 斗一，所以这是一，所以算出来二，所以 m 的 坐标三斗一， n 点坐标二斗负二，所以这个很容易算啊。解疑是， 特别是我们通过这个问可以观察到，其实我要求的 n 点和我们与抛物线相交的这个 c 点，它其实它们的坐标是一样的，因为一是对称的，对吧？ ok， 把握好这个点就可以。那我们现在来看 eg 加 f g 到底怎么进行转换。 首先我们把这个等式加减乘零给我放正了，放正了之后，我们发现这个 n g d e 等于根号二倍的 n g， 我 是不是可以把根号二转化成一比一比根号二，所以我在左边 做了一条直线，构造了一个直角，所以很多老师在描述这儿说，其实这是胡不归，也没有毛病。只不过我们这个题其实是在 构造一个直角三角形，进行一个等量的转化，因为我要出现有一段和 n g 相等了，所以我这样一垂直，得到了 d g 永远等于 n g， 对 吧？ 这构造一个四十五度的等量直角三角形，所以一比一比根号二，所以 d g 是 d g 撇，是等于二分之根号二倍的啊， d e 的， 那么 n g 是 不也是二分之根号二倍的 d e 吗？所以我们得到了 d g 撇， 平行且等于 n g， 所以 我们此时连一下 g g 撇，我们会发现一个很重要的这个 g 撇。 e g d 其实是我们平常所说的那个正形，但是这跟正形关系不大，就是 g g 撇，其实是把 d e 垂直平分了， 所以我们取一下 d e 的 中点，标一个 m 怎么样啊？不能标 m， 标一个 h 吧，标个 h， 所以我发现 g g 平。把 d e 垂直平分之后，他要求的这个 e g 加 f g， 我 就能进行转化了。 e g 是 不是转化成了 d g？ 他 要求的这个直接写出的这个东西，我们是不是成功转化为了 d g 加 f g， 这个你大家就会了呀，这个不是很眼熟吗？所以我是不是翻折然后连接，所以我把 f 翻折过去，形成 在这取出一个 f 撇，然后连接 d f 撇，所以我发现因为 f 撇其实是取得我们如果这有一个 k 的 话，其实连接上这个 m， d， n， k 其实是一个正和形， f 撇其实是 n k 的 中点，所以 df 撇 n 其实是一比二比根号五的一个直角，三角三角形，所以我连接 df 撇，然后我刚才不是算出 d， d， m， d， n 不是 根号五吗？所以那我的 f 撇 n 不 就二分之根号五，那我的 df 撇就是二分之五，这就是我们的最小值， 好吧，同样把这个东西导出来之后，我们来看第三个，相对来说就会简单一点，因为我的 d， f 撇 n， 它是一个一比二比根号五， d， f 撇是最小值，所以它是二分之五倍根号十的时候，我们算出来了 d， n 是， 呃，五倍根号二， 好吧， d， n 一 旦出五倍根号二，我们是不是就能把 m n 的 点子坐标求出来？然后我们还是这样切割，发现 dm， d， n 都是五倍根号二情况下， m 点坐标是八到一， n 点坐标是二到负七，所以此时我的解密式很容易算出来， 因为算出 c 等于负七嘛， a 就 等于六分之一，所以是六分之一， x 方减三分之一， x 减七，然后到这我们是他又给了一个让你算此时点记的坐标。大家如果算到这时候，如果你心态还没有崩， 那你就根本就不会去想，老师我这是不是有一个特殊的位置，我们有没有可能用一个相应的比例？我们所想到的其实就是用我们最普通的 mn 的 解析式出来， d， f b 的 解析式出来，然后求焦点记点， 好吧，如果我们确实，你说老师有没有简单方法，他可能通过这个一线三垂直其实是能做出来的， 但是现在我们没有去，正因为我在做这个题的时候，我也是，哎，根本就不会再想了，因为我们现在只能算了，对吧？硬着头皮算下来，所以 y m， n 的 直接解式我们算出来是三分之四， x 减三分之九，那 f 撇的坐标呢？所以你可以取这，然后让他这样除， 你也可以这个 k 的 坐标标出来。因为因为我们刚才说了这是个正方形嘛，所以 dm 的 横轴坐标差就等于 n， k 的 横轴坐标差，所以 k 的 坐标一出出， f 撇的坐标， f 撇的坐标一出， d， f 撇截式一出，算上几点的坐标？四等负的三分之十三。 好吧，所以这个题相对来说更多的是数学思想的考察。你说老师刚考了几年模型，怎么又开始数学思想？ 其实模型生化下去就是我们的数学思想，特别是在二十五题中，他就很喜欢考这个叫做转化的数学思想。好吧，那这就是我们难开一磨的这个重难点的题型，拜拜。

hello， 同学们，大家好，我是数理化白老师，今天继续和大家分享天津中考数学十七题，那么接下来我们看刚刚考完的二零二六年部分区一模十七题。那么题中给出的是三角形 a， b、 c 是 等腰直角，三角形 角 b， a、 c 等于九十， ab 等于 ac 等于五，边长是五的正方形 d、 e、 f、 m 的 顶点 d、 e、 f 分 别在三角形 abc 的 边 ab 和 ac 和 bc 上。 第一问，让我们求一下 f 到 a、 c 的 距离。第二问， b、 f 的 长是多少？那我们先把那个条件标一下啊，题中给出的是等腰直角，三角形 ab 等于 ac 等于五，这两个是五，然后这角呢？四十五度， 四十五度。那我们其实可以呃，推出 bc 是 多少呢？把 b 要推出的也写出来， bc 应该是五倍，根号二，对吧？然后题中说边长是根号五，等于说这个是根号五， 这个是根号五啊，这四条边是相等的啊，它是一个正方形。然后第一问，让我们求一下 f 到 a、 c 的 距离，所以我这个应该过点 f 啊，做一个 f， h 垂直于 a、 c 啊。也说第一问，我们要求这个 f、 h 是 多少？嗯，那么我看一下，这个题中画完之后，出现了一个非常经典的一个模型 啊，就是一线三垂直模型，也就是说我们现在可以很容易的。第一问啊，就是正出三角形 a、 d、 e 全等于三角形 h， e、 f 啊，就是一线三垂直模型，现在给出的是啊，然后我们用的是让给大家去标一下啊，就是 a、 a、 s 啊，一对直角啊，加这是点， 嗯，这是三角，那这就是点，对吧？哎，点加三角等于九十啊，这个去推的话，嗯，第一，这个全等是比较好挣的啊，那么挣完全等以后，那我们接下来需要，嗯，求的就是 fh， 那 我们可以射，射谁呢？ 设 f h 等于 x， 那 么题中都谁是 x 呢？嗯， f h c 啊，这也是等腰直角三角形啊，那也就是说等于 c h， 对 吧？那么全等的话，我们 f h 是 不是应该等于的是 a e 啊？所以我们 这个图中有三段是 x 的 一个线产生了，所以我们可以得出 e h 就是 五减去二 x 啊， 这段时，哎，那这样的话，我们其实可以勾五定里了，那我们可以写出一个 e h 的 平方，加上 f h 的 平方等于 e f 的 平方啊，那就是 五减去二 x 的 平方，加上 x 方等于根号五的平方啊，然后我们可以 把这个 x 解出来啊，这个解出来啊， x 等于二啊，也就说第一位我们应该是一个二这个长度，那接下来我们看 b f， 嗯，要想求 b f 的 话，我们现在可以求 f c 了， f c 它应该是二倍根号二啊，因为 f c h 也是等腰直角三角形， 所以我们要求的 b f 应该等于 bc， 减去 f c 等于五倍根号二，减去二倍根号二，那他就是三倍根号二，所以第二个 b f 的 长就是三倍根号二。 好，那这个是我们刚刚考完的不稳取一模的十七题，那主要考察的就是，呃，一线 三垂直模型，嗯，还有就是勾股定型， 求线断长度，嗯，好，那么今天就先给大家分享这么多啊，点赞加关注，解题有思路。

好，同学们，我们来看一下十八题啊，呃，这个十八题啊，第一问呢，这个刚好六啊，咱们就不用细说了啊啊。 然后我们来看这个第二题啊，这个第二问呢，他说呢，在如图所示的网格当中，让我们过 c 划一切线，对吧？ 然后呢，还与 b a 的 这个延长线相交于呢？这个点 p， 然后呢，还让我们说明 p 的 位置如何找到了，那个，如果你要是能做出来这个切线的话，那你延长这个 p 的 位置就找到了，对吧？这个不困难啊，也就是说呢，假设你有一个哎，这个圆心了，然后呢， 你连完之后这 co， 对 吧？哎，那么你过这个点 c 呢？你只要做完一切线，这点 p 的 这一直就有了，这个不困不困难，那么关键就是说什么你这个垂线它怎么做？哎，下面呢，我把这个图给放大一下啊，这里边有这样的一个技巧，这个题我觉得出的还是挺好的啊， 哎，这个你这样啊，呃，做这个直径找这个圆心呢，这个题我觉得出的还是挺好的啊，哎，这个你这样啊，呃，做这个直径找这个圆心呢，这比较容易啊， 就是有圆上的一个格点，一定能够找出直径来，对吧？哎，或者说呢，他即使没有原来的这个直径，你也能够做出两条直径来找到这圆心，对吧？那么在这个地方是这个圆心， 好，那下头我们看呢，呃，找着这个圆心之后呢，有了这个半径，我们主要就是做这垂直，对吧？ 哎，做一条跟它垂直的线。下面呢，我们来这样看啊，你要做一条跟它垂直的线，那我们在脑子里过一下，以往有很多的方法，做什么平行啊，用平行来代替垂直啊，做中位线呢，等等等等，对吧？那么这里头啊，我们用这样的一个办法啊， 因为这里边已经有垂直了，我们用原来的垂直呢给去替代，哎，他要做的这个垂直，你比如说啊，我们看 a、 c、 b 这个角儿， 它是一个直角，对吧？哎，然后呢，你做圆心的这个地方也是一个直角，就是说呢，这个地方是一个直角啊，那这个地方也是一个直角，你要做的是一个相当于心直角，对吧？ 这个直角顶点也是在点 c， 这你要往这边做，那你就利用原来这两个直角当中的一个就可以了，对吧？你做一个鱼角就行啊？什么叫做一个鱼角就行呢？你比如说啊，我们看啊，因为在这里头这个角 它和这个角这互余的，因为它不有现成的直角吗？对不对？那你现在要想做这个，哎，和 co 垂直另外一线呢？比如说你在这做，哎，你做一个相当于这边这个角跟它相等，这不就互余了吗？对吧？哎，那这样的话，那我们看啊，那你这样的话，你怎么办呢？哎，你可以这样， 你要做角相等的话，我们从尺规做图的角度来说，你做角相等也是通过线段的长短，也就是通过构造全等的三角形来做，对吧？你回忆一下，我们在学习尺规做图的时候，你没法直接做一个相等的角，你只能通过两个三角形全等来构造，对吧？ 那么这样的话呢，呃，我可以选什么呢？我可以选这里边县城有的三角形，你比如说我们看啊，这个三角形，哎，看到了吧？要是这个三角形的话呢？哎，你看，我要在这构造一下，哎， 哎，看明白了吧？哎，我如果在这构造两个这样的全等三角形就可以了，那这样的全等三角形，你这，哎，这玩意它怎么构造呢？哎，不好构造，对吧？不好构造 关键在于什么呢？实际你可能想，老师我只要让这段线段和这段线段相等就行，确实如此，对吧？你让这段和这段相等就可以了，但是呢，这个不好找，不好找怎么办呢？哎，你换一下啊，你让他和他相等， 你说是不是？哎，你只要构造出它等于它就可以了，对吧？哎，那也就相当于找到了这个点嘛。那如果要想它构造它等于它，这怎么办呢？哎，你啊，哎，可以先这样想，现在这个点是确定的，对吧？这个点是确定的，你呢？把它给连起来 往这坐，看到了吧？哎，往这走啊，这样的话呢，他跟他是什么关系啊？是相等的，对吧？那相当于你构造了一个八字的嘛，对吧？哎，我简单些， 对吧？哎，这里八字的，那么现在这个八字的是这样啊，这个三角形在这里有一这个，对吧？现在你想让这段等于这段，对吧？那你就在这个小的方格里构造不就完了吗？ 你把这做一对角线，对吧？哎，你利用对称来做，对吧？哎，那这个点就是这个，这条线与这个小正方形对角线对称轴的交点，你从这再来一个这个， 那么这条线和这个肯定是相等，也就和它相等，对吧？那么你就找到了这条线，如果和这条线相等的话，那么这个和这个也就相等，对吧？那么你把这个点这，哎一连， 于是你就找到了这两个角是互余的，能明白这意思吧？哎，也就是说呢，在这个里边我把这个清除一下，你再看一下啊，如果说我有这样的一个三角形 在这摆着了啊，我还有他的这个对称轴，那么你在这做一个线的话啊，你在这做一个线的话，那么你就会发现什么呢？哎，这两个肯定是全等的，对吧？这个和这个 就这两个，对吧？这个三角形和这个三角形肯定是全等的啊，关键就在于找到这个点，找到这个点之后呢，这段啊和你刚才要找的这段，这个和这个就相等了，对吧？好，那么下面我把它给做一下啊，我把它做一下啊，那么你一上来呢，你肯定是连这个直径， 好，找到圆心，然后把这个半径给连起来啊，于是出现了这个点，对吧？哎，那么出现了这个点之后呢？哎，我们把这给连起来， 对吧？哎，把这连起来之后呢？哎，我们把它给连上，哎，连完了之后呢？从这个点这来坐这， 哎，做完这个之后，我再给你说一下，我用我换一个颜色，换成绿色啊，哎，你，你脑子别乱啊，也就是说我把相等的线段用绿色的来表示一下啊， 这段等于这段，因为这八字全等嘛，对不对？然后呢，你利用这个对称 找到这两个，这不相等吗？对吧？注意，绿色的线是我为了讲解造成的啊，不是那个你，你需要在这里边画出来线，所以这样的话，这俩蓝的啊相等，对吧？于是找到这个点，然后呢，你把该画的这个线给他画上就行了， 红的线是你应该画的啊，把这个点这就行了，对吧？哎，把这个点找到之后呢，你就给他一直画下去，这就肯定是垂直的啊，这就肯定是垂直的啊， 然后你这边呢？你就就就就延长就可以了啊。那么你画完了之后，最后的，呃，就是这个点 p 啊？点 p， 呃，是不是在这个什么这个格点或者格线上，这个不重要，对吧？哎，他他可以在也可以不在啊。那么你可能画有一点误差啊，跟 它大概率通常是不会跑出这个边界范围里边去的，那么这样的话，最终的这个点就是 p 点啊。哎，弄明白，你说你有点误差，左边点右边点，这个无所谓，不重要，听明白了吗？同学们？

各位同学大家好，今天我们来讲解二零二六年虹桥一模的十八题。首先我们先来审题，这里面第一个条件给出了 a b 两个点均为格点， c 点呢？在圆上我们来看一下。第二大文中给出了 l 为过 a 点，而且与圆相切的一条线，所以我们如果找到圆心，连接 a 点会出垂直。 再来一个条件是 q c 等于 q a， q 点的位置呢？要求必须要在直线 l 上。 我们现在对这个小题进行分析，我们可以假定 q 的 其中一个位置，然后去看一看假如 q a 等于 q c， 会有上面的结什么样的结论， 我们现在可以明显的发现这是一个等腰三角形，那么我们就想到去连接 a c 这条弦，利用我们三线合一或者叫垂径定里这个小题，我们只要找到圆心和我们这个弦的终点，应该就能找出来我们的 q 点， 所以现在我们大概思路已经具备了，先看一看圆心找到以后能不能顺利找到 a c 的 中点。 所以第一步我们先来找圆心，题目中呢没有给出任何直径，我们要靠 a 点这一个格点来找出来两条直径，焦点即为圆心。常规的找法，先来一个横平竖直， 我们按照顺序给他取名叫 d 点和 e 点，然后连接第一，这是我们第一个直径， 第二个直径在找的时候方法比较多，我们只需要在 a 格点处构造一个直角就行，我们可以利用简单的一线三垂直，我们寻找的是一个一乘三的格线，我们取名叫 f 点， 同理我们在这边也找一个一乘三的格点叫这点我们只需要延长我们的 af， 他会与圆产生一个交点叫 h， 这个 a j 呢，与圆会产生一个 i 点 连接 hi 与我们的 d， e 的 交点就是我们的圆心。好，我们现在找这个圆心，以后呢，我们来考虑一下如何找到我们的 a c 这条弦的中点。 现在呢，为了避免大家看错，我们将原心留下，其他的暂时插曲，我们现在将 a c 啊先给他连上。题目中有两个条件我们还没有使用，其中一个呢，就是 b 这个格点， 另外一个呢，就是我们这个切线。由于我们现在想找的是 a c 的 中点，所以我们不妨先看一看 ab， 它的中点我们是能够找到的， 我们暂时给它取名叫 m 点。然后呢，我们可以将 bc 对 它进行封口，如果我们能够做出来过 m 点与 bc 的 平行线，这个中点可以找到 或者找到 bc 的 终点，然后利用重心的性质，我们也可以将来找到他的终点， 这是两个比较常用的思路。现在我们来看题目中给出了一个相切的关系， 如果我们不用这个相切去硬做它与过 m 点与 bc 的 平行线，我们看看能否实现。现在我们注意到 bc 呢，它与 m 要想做平行，我们可以考虑使用常用的倍长中线法。 那我们先找到 bm 自己的中点，应该在他的隔线的焦点处，我们暂时取名叫 n 点。然后呢，我们现在在 n 点的右侧的一个隔线处和左侧的隔线处，将来构造一个八字形全 等。那么我们找到 bc 与隔线的一个焦点，我们暂时叫 r 点， 让他联记一下 r 点和 n 点，并延长他与左侧的隔线，会产生一个交点，比如说叫 s 点，那么现在我们连接 s 和 m， 我 们会得到一个倍长中线的全档，自然能推出来，他们俩互相平行，此时我们就能知道他的这个中点叫做 t 点， 最终我们连接一下 o 点和 t 点，并延长与我们的切线，产生一个焦点就是我们的 q 点。 那么这个小题呢，我们最终发现它的相切的这个条件并没有真正的用上，也能把这个题顺利解出来，所以难度不算很大。 那我们下边简单的把做题流程再梳理一下。这题的第二步，构造完圆心以后呢，我们就去找他的中位线了，所以找到他的终点很重要。 现在 ab 的 终点找到以后，我们通过的是八字形的全等构造的平行。 那么这个小题呢，我们来一起梳理过程。第一步，先把确定元心的过程写上，我们现在将确定元心的过程还原出来了，那么整体看着是比较混乱的，所以我们下边呢分两步来说。第一步，先说确定元心的部分， 这个主要呢是过 a 点做横平竖直的线，我们直接说他为取源于隔性的焦点，叫做 d 点和 e 点连接。第一，此时找到了第一条直径， 第二个直径呢，我们用的是一线三，垂直用的是横一竖三的这个隔线，那么现在我们来取两个隔点叫 f 和 j， 那 么其中 f 点呢，我们需要连接 a f 并延长交源于 h， 连接 a j 交圆与 i 点，然后再连接 i， 此时即是另外一条直径，与我们刚刚的 d e 交于圆心。好，圆心确定完以后，我们下边来说一下如何确定的平行线，也就是我们的中一线。 第一步呢，我们先找到 ab 的 中点，取 ab 与隔线交点为 m。 然后呢，我们现在就开始构造了八字形全档。 我们找到的是 bc 与隔线的交点，叫 r， 连接 bc 交隔线于 r。 此时呢，我们再找一个点，是 n 点，这个 n 点呢，也是 b m， 它与隔线的交点，取 b m 与隔线交于 n 点，然后再连接 r n 并延长。 这个只要保证三个之间的距离两两相等，就能出现倍长中线的全等，所以交在左侧隔线于 s 点。最终呢，我们连接 s m 并延长交我们的 a c 于 t 点。 最终我们需要连接 o t 并延长交 l 于 q 点，这个 q 点就是我们要求的。

大家好，我是老古，再一题多解深挖一下这个西青区初三数学一模的第十七题，因为试卷比较基础，重点还是梳理一些重点相关的辅助线的思路，给大家进行一个参考。 首先再数下题干，为这些之前没有听前面的进行一个基础信息的梳理。 ab 是 四，这个 bc 长是八 a， e 是 中点，所以说这是四，这 abc 这个角是六十度，这是等边，那这个长就是四。好， a， e 是 中线， a e 还是 bc 的 一半，所以说这个角也能推出来，它一定是九十度角。 好， f 又是中点，所以说 o 又是对角线的中点，那这时候会有 o f， af 是 整个 a c 的 四分之一。好，接下来呢？让我们求的是 ef 的 长度， ef 的 长是几？我们就要梳理一下了。 来，还是说的终点比较多，我就想利用好是终点。来，我们看一下上一个视频，我们是延长的，就让这个 e 不 f 不 动，让 e 作为新鲜的的终点，我们在构造的来换一个思路，那方法比较多了。 好， e 是 谁的终点？他是 c， b 的 终点。好， f 他 是这个的终点。好，我就让 c 当顶点，我去解决。是不是就让 f 作为一个以 c 为端点的线段的终点？那我们只需要 倍长， c f 是 不是就可以了？倍长的时候你注意一些细节，因为 cf 要等于 fm， 这里面 o f 又等于 af， 所以 说其实你在被长，只要在 fa 这延长，让这个线段 a m 等于 o c 即可，对不对？所以说这个线段长，我们做的时候就可以灵活地说明 好，延长 fa 至点 m， 让此时这个 a m 的 长度等于的 o a， 也可以说等的是 o c， 那 此时你 f 不 就一定是 c m 的 终点了，对不对？ 好， e 是 谁的终点？ c b 的 终点，那此时要求 e f 的 长度，你再连接谁就交代表了，连接 b m 即可。好，连接 b m， 那 此时我们就构造了 e f 为 c bm 的 中位线。好，那我们把这些线段长求解计算即可。好， ab 是 四，要求 am， 刚才说了嘛，你这个 f m 等于 f c 这个长，这个长都有的，那你 am 就是 对角线的一半， 对角线 o a 是 四倍的根号三，它的一半这个长就是几了二倍的根号三。前面说过了，你找比例也行，或者你直接我直接勾股定律，那就是十六加上几十二， 这不就是二倍的根号七了吗？所以说他的一半根号七。好，你这样做中位线他也没毛病。好，这是一个做中位线的方法，仅供参考，感谢大家。再补充几个讲解方法，大家不要烦。好。

我是老古书，接上文一题多解还看西青区初三数学一模十七题。 这个题我们继续用中点相关的处理思想，还是给之前前面没听的快速普及下基本的信息。 首先这是平行四边形， a， b 是 四， bc 长等于八，因为已知的这个 e 是 中点，所以说 b， e 是 四， ec 也是四 角， a， b， c 是 六十度，那这个是一个等边， a b e， 所以 说 a， e 的 长就等于的是四。 好，接下来我们 f 是 o， a 的 中点，这时候让我们去求线段 e， f 的 长是几好？首先呢，还是说一下这个 a， e 是 中线， a， e 又等于 bc 的 一半，这里面还有角， b， a， c 是 九十度。老虎。再把这些基础的信息给大家快速的梳理一下。 好，接下来呢，我们就是重点后续的视频讲这个中卫线的构造和解决的思路了。好，怎么去解决构造？我们来发现一下， e， 你 是 bc 的 终点，那他所在的两个端点，一个是 b， 一个是 c， 你 f 呢？它是 a 和 o 的 中点，那这个所在的两个线段并没有共端点，你想用中位线，那你就要让这两个线段有一个共端点，那我们就构造，那构造的方式会非常的多。 那第一个你比如说我就让 f 这个钟点不动了， f 是 a， o 的 钟点，那我就让 e 是 a， 谁的钟点，对不对？好结合呢？ e 本身它就是 bc 的 钟点，那我们再去做的时候，是不是还结合平行加钟点相关的？所以说你可以这么做，辅助线 延长 a， e 好 延长 d， c， 让它俩去交好，这个交点我们记为的是点 m 好， m 构造之后，构造好之后我们就会发现这个三角形 a， b， e 和三角形 c， m， e 这两个是八四形全等。理由， ab 平行， c， m， e 是 bc 的 终点，平行加终点，所以你 e 就 一定是 am 的 终点了。 所以说我们 f 是 o a 的 终点，那要求的是 ef， 那 你们说连谁，那思路不就确定了吗？ 一定连的是 o m 的 长度，所以说此时在三角形 a， m， o 中， e， f 就是 它的中位线， 所以说 e f 只要把 o m 求出来除以二即可。好，那我们再看一下，因为这个角是九十度，它俩平行，所以说这个角谁 o， c， m 也是九十度，那 平行加中点的八四形全等， ab 是 四，那 c， m 的 长一定是几？是四， oc 是 整个对角线的一半，这是四，这是四倍的根号三，对角线的一半是二倍的根号三， 所以说我们要求的就是 o m 的 长，是不是在这里面利用勾股定律即可。好，这个呢？是什么样的一个比例？都除以二的话，它是根号三，这个是二， 所以说这个长的是根号七，但是你别忘了扩二倍，他是二倍的根号七，再除以二，那他的一半不就有了吗？根号七，所以说这也可以进行纠解的，这是构造中位线的一个处理思路。 好，这道题大家仅供参考，我们再更新几种方法，大家不要烦，给大家这种基本的题的一个思路的借鉴和参考，感谢大家。

大家好，我是老谷，我们点到为止，最后一个分享，习青区初三数学一模十七题， 也就是最近考察的这个 s 十七题。前面分享的套路太多了，大家估计也就烦了。最后一个视频来快速再熟悉下题干信息。这是平行四边形， a， b 长是四， bc 长是八，因为 e 是 中点， b， e， e， c 都是四角， a， b e 等于的是六十度，所以说这是等腰加一个角，六十度等边， a， e 是 四， a， e 是 四了， a e 本来 e 是 中点，它是中线， a， e 还等于它的一半，所以说反推出角， bc 是 九十度。这些条件 好。 f 是 o， a 的 终点， e 是 b， c 的 终点，要求这个的长度好，要求这个长度怎么进行解决好，还可以一个处理的思路，就是我们所说的取点 对不对？我再取点，也结合各种的中点，所以说我们再取一个点，这个点呢，是取 ob 的 中点好， ob 的 中点既为点 m， 我 们就做辅助线，第一个连接 f， m， 第二个连接 e， m 好， 这两条辅助线我们做上，看看是不是就可以解决了。 f 是 o a， m 是 o b， 所以 说 f m 平行且等于二分之一 ab， 那 这个长度就等于的是二。好，下一个我们就要求这个 m e 的 长度， m 是 b， o， e 是 b c， 那 m e 等于二分之一 o c 整个长是四倍的根号三， oc 是 他的一半，二倍的根号三，那这个长就是根号三了。接下来你把它放三角形，它是不是特殊的？没问题， m f 平行 ab， m e 平行 o c 平行 o a 的 好，这两个垂直，那这两个也一定是垂直的，所以说这个角还是九十度好，那又是一个勾股定律， 根号下他方加他方再求解根号七即可，处理好，点到为止。以上方法比较简单，题也比较简单， 给大家生长信息提供一个基于终点相关的求解思路。好，感谢大家再更新其他的实体，谢谢。

哈喽，同学们好，我是周老师，跟着我每天一道题，今天我们来看东立一模的第十题，跟着我一起来读题。如图， b、 d 是 三角形 abc 的 角平分线，那也就说这两个 角是相等的。按照以下步骤做图，以点 a 为圆心，适当长为半径来画弧，与 a、 b 边交于 f， 那这时候我们得到的是 a、 e 等于 af。 紧接着以点 c 为圆心， a、 e 长为半径画弧，与边 a、 c 相交于点 h， 你 就得到 c、 h 等于 a、 e。 以 h 为圆心， e、 f 的 长为半径， 与第二部中所画的弧相交于点 g， 那 么也就是说，我这个 c g 也等于 c h 也等于 a、 e 等于 af。 所以 写一下， a、 e 等于 af 等于 c h 等于 c g。 另外， ef 长为半径画弧，那么也就得到我的 g h 就应该等于 e、 f。 所以 立马得到两个三角形是全等的，那也就是角 a 等于角 h、 c、 g。 我 们换一个颜色标一下，也就是蓝色的叉叉等于这个蓝色的叉叉。继续来读题说第四步 做射线 c、 g 与 b、 d 相交于点 m。 下列结论一定正确的。是 啊，这道模考题跟我们以前二三二四年做过的一道题很接近。我们继续来读题， a 选项角 a、 b、 d 等于角 a、 c、 m。 我 们看一下 a、 b、 d 等于角 a、 c、 m。 没有这个说法，我们角 a、 b、 d 可以 写的是等于角 c、 b、 d， 对 不对？ 没有它。第二个说， c、 n 垂直于 a b， c、 n 是 否垂直于 a、 b 呢？如果这块是垂直的话，那么叉叉加上问号，应该是九十度，也就是角 a、 c、 b 得是九十度。并没有吧，题目并没有说这个三角形 a、 b、 c 是 一个直角，三角形角 c 是 直角， 所以没有这个条件。第三个， c m 等于 c d， c m 是 否等于 c d 呢？我们发现 c d 和 c m 在 三角形 c d m 这个三角形里面，如果 下面这两个底角相等，那么不就可以得到 c、 d 等于 c m 了吗？底角是否等呢？这个底角利用 y 角的知识是不等于蓝叉叉加红叉叉呀， 这个角呢里同样利用外角的知识等于红叉叉加蓝叉叉，说明啊，这两个角是相等的，那么这两条边也相等，所以 c 选项正确。四、 d， a d 等于 c d d 点是不是中点？题目没有说， 如果说是中点的话，我得满足 ab 等于 bc 吧，这样子角平分线，中线和高才能做到三线合一， 但是屏幕中并没有这个条件，所以我们这道题的答案选择 c 选项。好的，这道题的思路大家掌握了吗？欢迎大家在评论区进打卡，中考加油！

各区一模数学值得看的有哪些题？和平区第十七题，它是特别典型的代数与几何综合，第二十题的话没按常规出，所以我觉得不用去看。南开区第十七题跟和平区一样，值得大家一练。 河西区二十三题看起来跨学科考察，确实迎合我们新中考风向，但它本质并不难。 第二十四题计算看起来比较麻烦，但你要知道勾股数直接秒出答案。如果你想练习十八题，那我建议大家可以从河北区的这道入手。河东区整体中规中矩，二十五题它对应的计算量比较大，大家可以去练一下。

后天一模就是考数学，我特别担心大家出现这种匪夷所思的错误，所以考前给大家叮嘱五点，这五点都很重要，希望能帮到大家多得个八分，好吧。第一点，审题，注意，审题不是看， 是观察，是翻译，特别是这种解决实际生活的问题，这种问题中考特别喜欢考一模一和，也会有好几道这种题，所以这种题的关键就是你要把这个条件人家的问题翻译为数学语言。 数学语言什么就是长度，就是坐标，就是加减乘除，就是方程，不等式就是函数焦点，对吧？所以审题我们不断的在做翻译。 第二就是取舍，其实现在已经决定了你后天能拿多少分，因为你不可能在考场上解决你现在都不会的题，对吧？所以考场上就是把自己会的百分之一百给他干，对，对吧，这就是超水平发挥的， 所以遇到一点思路都没有的题，那你果断跳过呗，别傻傻的跟他死磕好吧。第三点就是大题不要留白，特别第二问不会做，别留白好吧，你只要说根据已知条件 正推，得到一些合理的结论出来，那老师就给你分了。第四点比较杂，但是百分之八十同学都要注意，特别是计算容易出错的，注意这几点， 分数小数咱列式计算，别口算了好吧，方程解析式咱解出来带入检验一下，这就花个三五秒时间， 分式要检验。填空题，如果当单位记着加单位分几何测量问题注意精确位数。选择题你可以巧用特值或者测量做排除选择题接近答案就行。概率注意人家是放回还是不放回，还要注意关于 s 的 方程， 那还有函数，注意是不是要分类一元二次方程，还一元一次方程，函数，一次函数还是函数，人家有没有明确第五点？最重要的是我送给你们的祝福，祝大家考出好成绩，为最后的一个月冲刺咱们打下基础。