2026数学初三几何题电子版

同学们好，我是江涛，我们对二零二六山西中考百校联考二一声一策集合压轴进行视频分享。考点涉及到通过旋转，利用三比四比五的直角三角形来确定线段长。那么一起看一下本份试卷二十三题集合证明本题十三分综合与探讨 问题情境，数学活动课上，老师给了两个全等的三角形纸片 r、 t。 三角形 a、 b、 c 全等于 r、 t 三角形 df， 其中角 a、 b、 c 等于角 df 等于九十度三角形 a、 b、 c 与 d、 e、 f 按如图一的方式放置点 d 是 a、 c 的 中点， 将三角形 d、 f 绕点 d 顺时针旋转猜想证明。第一问如图二，当点 b 在 线段 d、 f 上时，连接 b、 e、 c、 e， 试判断四边形 d、 b、 e、 c 的 形状，并说明理由。 那么目测图二当中 d、 b、 e、 c 为菱形，我们来开始证明，由于两个三角形都是直角三角形， 分别是对应全等的，而且点 d 是 直角三角形 a、 b、 c 斜边 a、 c 的 中点联想到直角三角形斜边中线 b、 d 等于斜边 a、 c 的 一半，所以等于 a、 d 等于 c、 d。 由于第一问也是有难度的，我，所以我们在旁边做一下记录， b、 d 等于二分之一 a、 c 从而等于 c、 d。 那 么会发现，由于两个直角三角形全等 a、 c 是 等于 d、 f 的， 那么自然因为 b、 d 是 a、 c 的 一半，那所以 b、 d 也是谁的一半呢？ b、 d 也是我们的 d、 f 的 一半。所以同学们，当我们得知这个结论的时候， b、 d 是 d、 f 的 一半，也就意味着点 b 是 d、 f 的 中点，所以得出 b、 d 等于 b、 f。 那这个时候我们再用一次直角三角形 d， e、 f 当中斜边上的中线 e， b 等于斜边的一半 b d 啊，斜边就等于 b e， 所以 大家会发现此时 b、 e 等于 b d， c、 d 等于 b d， 所以 b、 e 和 c、 d 现在已经相等了 o 啊，所以是 c、 d 等于 b e。 那么由于现在这个四边形已经具备了邻边 d， b 等于 d， c 或者 b， d 等于 b e， 所以 只需要证它是个平四就好了。那怎么办呢？我们选择证明 c、 d 和 b e 平行， 那我与其证 c、 d 和 b e 平行，我可以证 b， e 和 c、 d 所在直线 a、 d 平行。那如何证呢？我们会发现这个四边形是非常好证，它是平行的。为什么？由于此时 b、 e 等于 b， d 等于 a、 d， 而本身两个直角三角形全等 a、 b 和 d， e 是 相等的。在四边形 a、 b、 e、 d 当中，两组对边对应相等得平四，所以 a、 d 平行于 b e， 所以 a、 d 所在直线 c、 d 和 b、 e 是 平行的哎 c、 d 平行 b、 e。 所以 现在 b、 d、 c、 e 具备了一组对边 c、 d 和 b e 平行，且等得平四，加一组邻边相等得菱形。这是我们的第一问，我们来看独立思考第二问，如图三， 当 d、 f 垂直于 a、 c 时，过点 c 作 c g 垂直 d， e 与点 g 是 判断 c、 g 和 d e 的 数量关系，并说明理由。那么在图三当中，我们目测 c、 g 和 d e 不是 相等的，那一定是乘比例的，乘比例自然需要正相似。而 d g。 同学们， c、 g 在 哪个直角三角形呢？在直角三角形 c、 d、 g 当中，而我们的要找的 c、 g 的 和 d、 e 成比例关系。那么 d、 e 在 哪个三角形当中呢？ d、 e 在 我们的直角三角形 d、 f 当中， 所以正相似已经具备了两个三角形都是直角三角形这样的条件，那么还缺条件在哪里呢？条件就是由于题上告诉我们 d、 f 和 a、 c 是 垂直的， 并且最大三角形 df 和 abc 是 全等的，我们看是否能通过分析找到红蓝相似的第二对角对应相等得相似呢？我们来观察 蓝色三角形当中的这个角 d， 我 们标为角啊，就角 d 啊这个角吧，和角 a 是 相等的，那么由于垂直，我们会发现这个角 d 加上这个角 e 是 九十度。 而在直角三角形 a、 b、 c 当中，角 a 和下面的角二哎，相对是九度。我们可以在旁边写一下啊，角 e、 d、 f 这个角 角 e、 d、 f 这个角加上角一是九十度，然后我们的角 a 加上角二是九十度，而本身 e、 d、 f 和角 a 是 全等的对应角，所以角一等于角二， 可是角一应该对应哪个这个三角形当中的另一个角呀？那我们就得找到那个角三，它是否等于角二，从而等于角一呢？ 角二是 a、 c、 b， 那 它对应的应该是 f 这个角三。我们写，因为角二本身和角三是相等，所以现在角一就等于了角三，那两个三角形自然就具备了两对角对应相等，所以得相似。那么写出来三角形 d、 j、 c 一定要对应上对应的是三角形，谁呢？哎，是 f、 e、 d 好， 现在要找的比例关系是 c、 j 对 应的是谁呢？ d、 e 同学们， c、 j 比上我们的 d、 e 就 等于谁呢？等于对应边 d c 比上 df。 同学们， d c 比上 df 好， 我们来观察 dc 比上 df， 那 么同学们，因为 df 本身和 ac 是 相等的，那 dc 比 df 不 就是 dc 比 ac 吗？那不就是一比二吗？所以成功了， dc 比 df 就是 dc 比 ac 等于一比二，所以我们最终挣出来 c j 和 d e 的 关系是一比二，从而长的线段 d e 是 二倍的 c g， 这是我们的第二问好。那么对于第三问，我们来看一下说拓展延伸，在三角形 d f 绕点 d 顺时针旋转的过程中，由于没有限制旋转角的范围，所以可以整个一圈三百六十度，要注意分类讨论， 当直线 df 垂直于 a、 b 时， ef 所在直线与 bc 所在直线交于 d h 连接 d h， 若 a、 b 是 三， bc 是 四，直接写出现段 d h 的 长。 那么说对于旋转一直是山西中考压轴题的高频考点，那对于这个内容是我们二零二六年山西中考几何专项冲刺五一假期专题学习第十几啊，五月一号， 五月二号第十一讲线上直播，十点到十二点，分别是旋转、折叠出等腰旋转、折叠三、四、五型，全部都是二零二六年全新的压轴体，多方向新维度， 欢迎大家加入到我们的冲刺学习中来。同时四月三十号晚上七点到九点进行中点中线用法一二的学习。同学们可以通过搜索微信公众号、微信视频号、抖音或小红书、江涛数学，通过主页添加江涛微信，也可以添加江涛个人微信。江涛幺三九零三四 加入到我们的五一假期专题学习中来。那么回到这个题目当中，需要画图说三角形 d f 要绕着这个中点 d 旋转到 d f 垂直 a b， 所以 这个图是非常好画的，我们让这个图继续转，绕着点 d， 我 们来开始转啊，图形会有一些误差，我们大致就可以了，经过点 d d f， 并且要垂直于 ab， 要注意往上转的时候，角 f 是 锐角啊，应该在左侧 e 是 一个垂足。 好，我们假设就是这个样子，这个垂足是点 b， 好，垂足 d e f 当中垂足是点 e， 绕着这个点 d 顺时针旋转的话，那么同学们啊，那我们知道了，这个点就是一个 d， 然后呢，要注意，这个三角形应该是这样转 好，我们把图给它补完整，这个点才是 f， 这个点是 e， 那这个时候题上说 ef 所在直线和 bc 所在直线交于点什么呢？交于点 h， 让我们去求什么呢？让我们去求线段 d h 的 长， 那么同学们来分析哈，由于点 d 是 中点，那么也目测会发现此时四边形 c d f h 特别像一个平四，这是为什么呢？由于 d f 和 ab 是 垂直的，我们讲这个点是 o 吧， 然后本身 bc 和我们的 ab 也是垂直的，那意味着现在 c h 所在直线和 d f 就是 平行的，我们可以写到旁边，现在 c h 是 平行于 d f 的， 而本身我们怎么占它是平四呢？大家不要忘了啊，两个直角三角形始终是全等的角 f 这个锐角，角一和角 c 永远都是对应角， 而我们刚证了 c h 和 d f 所在直线是平行的同位角，所以这个角三等于这个角二三等于二， 一等于二，所以一三相等，内错角相等得 f h 平行于 c， d 好， f h 也平行于 c、 d 了，两组对边分别平行，所以四边形 c、 d、 f、 h 为平四 好。那么得出一些边等两个直角三角形 d、 e、 f 和 a、 b、 c 三边都是三比四比五的。直角三角形 d、 f 长度为五，所以它的对应边 c、 h 长度为五。那由于点 d 是 中点呀，所以 a、 c 斜边是五次， c、 d 是 二分之五，求 d、 h， 而且这个角二所在直角三角形三边是三、四、五，所以做一条辅助线，满足两个条件，既把 d、 h 放直角三角形中，还利用上了三、四、五。大家看多简单啊，我们说由于做完垂线啊， h 这个点呢，就是 d 的 中点。 九字真言， bh 比 c h 等于 a， d 比 c， d 等于一，所以 h 是 bc 的 中点，而 bc 长度是四，所以 c、 h 长度就是它的一半二。那么既然 d、 h 是 中点了，两个是中位线， ab 是 三，所以 d、 h 是 二分之三， 哎，下面的 c 就是 五减这个二，剩下的这个 h h， 我 们把它标为 k 吧哈， h k 它就等于五减二十三，直接在 h d、 k 当中一比二比根号五得斜边 d h 等于二分之三倍的根号五 好，这一类是比较容易的。好，我们继续旋转，让 d、 f 所在直线和 a、 b 垂直，继续绕着点 d 往上转，哎，转成 d、 f 跑到这个方向的时候，哎，它就是延长线交 a、 b 与点 o 垂直的状态了。我们把这个图画出来， 首先可以把先把这条线给它画出来，继续往上转的话，那么 f、 d 是 在同一条直线上，那 e 应该跑到上方了， e 这个地方是垂足 好图形，会有一定的误差，所以我们大致就可以了， 哎，就这样，垂足是 e， 然后这个点是 d， 这个点是 f， 现在 d、 f 所在直线跟 ab 是 垂直，假设垂足为 o， 然后题上还说 ef 所在直线和 bc 所在直线交于点 h， 然后让同学们去求解线段 d h 的 长，这个点是 h， d h 在 这里。 那么目测发现四边形 c、 d、 f、 h 像一个平四，我们来证明一下它到底是不是由于 f、 d 和 ab 垂直， bc 所在直线和 ab 垂直平行，所以得出线在 d、 f 和我们的 c、 h 是 平行的， 而本身不要忘了，两个直角三角形 df 和 abc 始终是全等的，三边都是三四五，那全等我们知道哎，这个角一等于角二， 而我们刚刚正了这条线， df 和 bc 平行，所以倒一个同位角，角二等于角三，那么同学们 一和二是相等的，三和二是相等，所以得一三相等。同位角得两直线 d、 c 和 f h 平行，所以两组对边平行，得四边形 d， f、 h， c 为平四平四具有对边相等，所以 c、 h 长度为 五。好，这个时候我们开始求解 d、 h。 大家观察，由于角一这个角所在直角三角形三边比 a， b、 c 是 三四五，不要忘了。 然后呢，我们还要求 d、 h， 我 们做一条辅助线，直接过点 d 向 b、 c 做垂线，假设垂足是 k， 跟上一种方法一样， d、 k 是 中位线，平行线，分线呢，乘以 b， k 比 k， c 等于 a， d 比 c， d 一 比一，所以点 k 是 b， c 的 中点，所以 c、 k 长度为四的一半二， d k 是 中位线，是三的一半，所以它是二分之三。那我们会发现直接勾股就好了，哎，此时 c h 是 五，这么一加，哎，这么一加，这个长直角边是个七，可以看成二分之十四，那我们直接巧算斜边 d h 也一定是二分之多，少 三的平方是九，然后十四的平方是幺九六幺九六加九十五零二零五，所以是根号下二百零五 不能化解，所以这道题的答案就是二分之根号二百零五和二分之三倍的根号五量答案。这套题出的难度来说都是非常不错的啊，属于中等难度，也非常适用于我们的山西中考生，非常值得推荐。我们分析到这里。

胡不归问题堪称初中几何的终极压轴王，就像这道题啊，不仅求最值，而且还带系数，就是非常考验孩子们对模型的理解能力。与此同时呢，还有系数的处理能力，还有辅助线的构造添加能力，很多同学算到崩溃，第一步都不知道怎么写。 别慌，老师，今天啊，一条视频带你彻底学透胡不归。好，我们来看题啊，这类型的题啊，基本上老师已经讲的非常的熟练了啊，大家一搜就能搜到，但我今天再给大家梳理一遍。首先呢，我们要看一下，拿到题目先看问题 哦，线段和的最小值，你脑子里面想到了什么？模型两个，第一个胡不归，第二个阿是圆，很多孩子临到中考一模前了还分不清，不可以啊，胡不归呢，一定要注意，它的动点在直线上， 像这个题， p 点是线段上，那不就直线的一部分吗？是不是阿是圆的动点呢？在圆上， 这是它们最本质的区别。好，它们的相似点我们也能总结，就是系数 小与一，就这里这个五分之三的系数小与一。好吧，其中呢，我们阿式圆，大家可以关注一下我们以往作品或者以后会发啊，阿式圆的系数呢，是相似比好吧，然后呢，弧不规的系数是三角函数， 他的转化思路是完全不一样的，能明白， ok？ 当然，今天呢，我们不展开去讲阿是圆，大家可以关注老师的作品，我们以后去讲啊，今天重点去讲胡不归。好，那我们接下来继续看，既然你都知道是胡不归了，对不对？那关键就是怎么处理。首先呢，常考的系数有这么几个， 二分之一、二分之根号二以及二分之根号三。初三的娃一定知道二分之一代表什么？代表的是三十度。 二分之根号二呢？ sin 四十五度，二分之根号三呢？ sin 六十度， ok， 这是常见的三角函数，对不对？就比如说啊，我现在给你翻译三十度，请问大家这里是三十度，这里是直角，请问你现在告诉我，现在这个 pa 比上，我们的 pb 等于多少？是 pa 比上 pb 就 等于 sin 多少？三十度等于二分之一嘛， 能理解。好，这就是二分之一的来源啊。好，那问题来了，那请问题干中可不是这么给的呀，题干中是二，五分之三，那又是什么呢？好跟大家说啊。还有一些不太常考的点，就是一些非二分之一、二分之二、二分之三这种东西，比如说这里的五分之三， 他是一些普通角度，但这个角度呢？大家别担心，老师我可没背过塞应谁等于五分之三？记住不要怕，一定是先去找直角三角形就可以了。你比如说我问大家，他告诉你这里是三，这里是四，你告诉我那个五分之三怎么找？ 很简单呀，连接对角线是不是？这里就是勾股定律，是不是五？它是五，你告诉我，这个角的阿尔法就出来了，是不就是我们的三比五就是五分之三， 所以这个角的正弦值就是五分之三。那么因为你是矩形平行的，所以这个角是不是也是五分之三？能理解我的意思吗？好，然后你再去转化哦，五分之三乘以 p d 啊，它怎么转化？是 p d 在 这个地方 对不对？五分之三乘以 p d， 那 这个角不是五分之三吗？对不对？那我向下作垂喽，可不可以？可以，但你会发现，比如说啊，这是 pm 啊，你看各位， pm 比上我的 p d 是 不是等于 sine？ 这个阿尔法是不是就是五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d。 那 这个题又变成什么了？它就变成了 p b 加上什么？你看 p b 加上 pm 能理解吗？那 p b 加 pm 这个点也不固定呀，所以说这种折线的问题， p b 加 pm， 你 想到了什么？这不就是咱们最基础的将军印码吗？所以这个题你就是把它给它翻折上去就可以了，对吧？顺带你把这个 r 法也给它翻折上去，这里就是 r 法， 能理解吗？然后把它延长上去，给它构造一个直角造型来，大家现在请看，我把这个笔记擦掉啊，你可以回去截图，大家现在请看，我现在重新的去给他做一遍，就是连接它， 这里是阿尔法，这里也是阿尔法，对不对？然后呢？现在我这里做一个角，也是阿尔法，把它又延长，找一个直角造型， 对不对？好，那大家现在想想，是不是继续那一个什么？对，反正一个 sine alpha， sine alpha 是 不就是我们的三比五，对吧？就这里的是不是三四，这里是五，所以这个 sine alpha 它和它是相等的呀，是不是也是啊？这个五分之三， ok， 它是五分之三，那么 p d 乘以它是不是就这里作高， 对吧？就是我们的 p 什么 pm 吧，是不是？好，那现在这个问题是不是就很清晰了？你看 p b 加上这里是垂直， pm 什么时候最短？因为 p 点是上面随便走的呀，你想想， p 点跑在这是 p m， 如果啊，是粉色，这里是不是也是一样的 p b 加上 pm， 对 吧？如果 p 点跑在这里， pm 是 这样子的，是不也就是 p b 加上 pm？ 好， 请问什么时候最短？这是垂线哦，什么？很显然，答案就是 点到这条直线的所有距离当中，这条线是最短的，那这个才是我们真正的 p 点，你求的是 pb 加 pm 是 不就可以了，对不对？好，我们来写一下过程啊，最后再教大家怎么去求，求的反而是简单的好不好？来过程怎么办呢？就是首先连接我们的啊， bd 好， 然后呢，因为角啊，这个 dcb 等于九十度，对吧？然后呢， cd 等于三， cd 等于四 啊，勾股定律，所以说 b d 等于根号下三的平方加四的平方，也就是五，我要出现这个五分之三嘛，对不对啊？所以说我们的角啊， d， b， c 等于角， a， d， b 等于阿尔法，那么 sine， 阿尔法 就等于我们的 c， d 比上我们的 b， d， 也就是三比五不就出来了吗？好，那我们要保证这两个角相等可以干嘛？是不是相对？我把这个象形给它翻上去，对不对？那就是延长 b a 至 n， 使得什么呀？使得我们的 a， n 等于 ab 连接我们的 n d 好， 然后呢， e 正，这个比较简单啊， e 正，三角形 a， d， n 全等于三角形 a， d， n 和 a d， b 是 全等的，所以说角 a， d， n 也等于 r 法，对吧？然后呢，紧接着我们就是把那个辅助线做出来，对吧？过 p 做啊，我们的 pm 绿色这根啊，垂直于我们的 d n 交 a d 于 p 点。 ok， 你 要懂这原理，你才能懂我这个过程在干嘛，对不对？因为这个角现在不是阿尔法吗？对不对？好，你就说，所以在这啊，所以我们可以得到我们的。呃，这个 find 阿尔法 等于五分之三，又等于谁呢？我不是说这里做了条垂线吗？就是 pm 比上 pd， 那 所以说 pm 就 等于五分之三倍的 pd， 所以我们的 p b 加上我们的五分之三倍的 p d 就 等于 p b 加上我们的 pm， 这不是 pm 吗？对不对？好，当 p b m 共线的时候，其实就是这种情况下，对吧？此时 有最小值。好，最后一步是最简单的，就是求，怎么去求？来，我给大家把这个擦掉。啊，怎么去求它？我把它延长，这里是我们的 n， 然后连接，然后这里做一条高，对吧？这是我们的 m， 这是我们真正的 p， 对 吧？怎么去求？这个 pb 加 pm？ 大家去想， 你刚才是不是正过全等了，是不是？这是阿尔法，这是也是阿尔法，然后这里是垂直，垂直求一条高用什么？对，求高用面积，所以说你会发现，因为你全等，刚才不是说这里一正，他们是全等的吗？对不对？全等以后你是几？五，那我这里是不是也是五， 对不对？然后这里是几呢？你这里是三，我这里是三，对不对？这里是几呢？这里是几？是不是四，对不对？所以说你会发现三角形的面积怎么求？三角形？我们的 b、 n、 d 二分之一，我们的 b n 乘以，我们的 a、 d 就是二分之一，乘以 b， n 是 六，乘以 a， d 是 四，也等于二分之一的谁是不是他乘以他，对不对？好，就是二分之一，我们的 d n 乘以我们的 b m， 对 吧？ d， n 是 几呢？所以说 b m 就 出来了呗。 b m 就是 二十四，除以 d， n 是 五，对吧？勾股定力五， 你最后答案就是它，所以最小值为五分之二十四，求这条高就行了。好吧，就是这条，你现在看到这条高， ok， 就是 整个题啊，我从逻辑练出发，告诉你最小值两种思考，紧接着就是五分之三，怎么去构造，对吧？靠我们的什么？靠我们的直角三角形，哎，三四五去构造，这里是阿尔法，这里是阿尔法，然后你再去构造一个阿尔法， 对吧？想方设法把五分之几三倍的 p d 构造出来，一开始是往下构造嘛，对不对？但是他加他，你想这没法做呀，一定要把他在像将军一样翻上去，对吧？求他加他的最小值，然后最后求值的时候用面积问题把它求出来。各位你听懂了吗？赶紧点赞收藏！

中考数学最难的压轴题有哪些啊？我要不要告诉他？中考最难的压轴题就这七个？一、动点分类讨论存在性问题二，含餐区间最值问题三，旋转相似几何综合题四、二次函数定结论问题 五，几何翻折最值问题六，平面直角坐标系新定义题目七，高密集动点最值问题其实中考最大的黑马就是中等生，狠下心让孩子做好一件事，六月份的考试就可以轻松甩开其他人，那就是每天练二十分钟数学压轴题！ 我可以很明确告诉你，中考数学，不管哪个地区，不管谁出题，就这十道压轴题，吃透了考试就是扣分的！考前不知道如何准备的，可以直接给孩子准备这套新华书店出的中考数学压轴题，它包含中考会考到的所有压轴题型。科学规划了三十天的练习计划， 每天就练四道题，选择题、填空题、解答题和新题型，循序渐进题目精选全国各地中考真题，答案解析非常详细， 直接，把答题方法、答题步骤以及设计考点标注的清清楚楚，一步一步教孩子踩准得分点。就连新情境新考法也整理好了，你像数学、传统文化题、化学和综合题等等，中考怎么学就怎么练，每天二十分钟，把这些压轴题练透了，不会的扫码看老师视频讲解中考数学就不用担心了！

我们来看一下百校三 b 卷几何亚洲二十三题。 如图一，在正方形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 交于点 o， 以 b、 o 为边作等腰三角形，等腰直角三角形 b、 o、 e， b o 等于一个 b e， 角 o b e 等一个九十度。看问题一，判断四边形 a、 o、 e、 b 的 形状，并说明理由。显然 a、 o、 e、 b 是 一个平行四边形， 怎么证明呢？首先三角形 o、 b、 e 是 一个等腰直角三角形 o、 b 等一个 o e， 角 obe 等一个九十度。再结合正方形的性质，正方形对角线互相垂直平分且相等，我们就能得出角 aob 就 等于个九十度，同时这个 oa 也等一个 ob， 这样的话，根据内错角相等 两只线，内垂角相等两只线平行，就可以得出来 o a 平行于 b e， o a 平行于 b e， 同时 o a 又等一个 b e， 所以 四边形 a、 o、 e、 b 就是 平行四边形。我们来看问题二， 将等腰直角三角形 b、 o、 e 绕点 b 逆时针旋转，点 o 的 对应点为点 f， 连接 c e、 a f， 然后让判断 c e 和 a f 的 位置关系， 我们把 c e， 我 们把 c e 延长，我们把 c e 延长， 设这个点是个 m， 然后交 a、 b 于点 n。 很 明显这个 c、 e 和 a、 f 是 垂直的。 如何证明呢？如何证明呢？只需要证明角 c m f， 角 c m、 f 等一个九十度就行了。角 c、 m、 f 等一个九十度就行了。 我们看这个，这个旋转，这个里面出现了旋转， 其实它本质上这里面是一个手拉手的旋转，然后我们我们把这个，因为它是两个等腰直角三角形的旋转，可以看住，因为 b e、 b、 e 是 等一个 b、 f， 这相当于这个小的等腰直角三角形的两只手，这个 bc 又等于一个 ab， 所以 它里面必然出现，必然出现手拉手，全等。我把这个画出来哈， 红色的这两个三角形，红色的这，这两个是两个三角形，它就是手拉手选的，但是这个我们需要证明哈，我把这两个三角形写出来， 三角形 c、 b、 e 和三角形 a、 b、 f。 横面它已经有这两个三角形，已经有连组对边相相等了，就是 c、 b 等于一个 ab， b、 e 等于一个 b、 f， 只要我能再找它的夹夹角相等，这两个三角形就全等了，它的夹角就是这个角和这个角啊。 很明显，这两个角都和都跟角 a、 b、 e 相关，就是这两个角都是角 a、 b、 e 的 余角，都是角 a、 b、 e 的 余角，哈，也就是角 a、 b、 e。 加个角 c、 b、 e， 它是等一个九十度的，同样角 abf， 加个角 abe 也等于九十度， 这样的话就能推出来，角 abf， 角 cbe 等于角 abf， 这样的话，这两个三角形就全等了。这两这样的话，这两个三角形就全等了哈，然后全等我们是要得出对应角相等哈，我把这个对应角写出来，全等，就能得出，角 bce。 等一个角 bef， 同样角 bc 等于一个角， 一个角 b f a， 这样的话，我们带球的这个现，现在我们要乘这个角等于个九十度，所以个角 c、 m、 f， 它是这个三角形 a、 m、 n 的 外角哈，它就等于一个角 b a、 f。 加个角，加个角 a n m。 角 b a f， 我 们角 b、 f 等于一个角 b c、 e。 一个角 b c e， 角 a、 n、 m， 它跟角 b、 n、 c 是 对顶角啊，等于角 b、 n、 c 是 对顶角。大家看一下角 b、 c， 角 b、 c、 e 和角 b， 角 b、 n、 c， 很 明显它是在这个，因为这个角是直角，它在直角三角形 b、 n、 c 里面，它明显，它就等于一个 九十度，所以说这个角就能证明了角 c、 m、 f 是 一个一个九十度。或者是利用，我们利用利用对角互补的这个思路， 比如说这个角是个角一，这个角是个角二，很明显角一 加一个角 m、 e、 b 是， 它俩是互补的， m、 e、 b 等于一个一百八十度，而且角一， 根据这个角一，根据这个角一，就是角 b、 e、 c。 哈，根据这个条件，我们你就能得出来这个角一等于角二，那样的话，角二，角二加角 m、 e、 b 就等于一个一百八十度。这样的话，在四边形、 四边形 m、 e、 b、 f 中， m、 e、 b、 f 中， 它四边的一共等于四边内角和三百六，减去这个两个两个对角一百八，再减去这个直角 e、 b、 f， 这个直角九、九十度，就能算出来，角 e、 m、 f 就 等一个，等一个九十度，嗯，这个是，这个是第二，第二问哈，这个是第二个问题，呃，咱们再来看， 咱们再来看第三个问题，在旋转过程中，在旋转过程中连接 c、 f， 若 ab 等于二，当 a、 f、 e 三点共线时，请直接写出 c、 b、 f 三角形 c、 b、 f 的 面积哈， 嗯，我们来看一下，我们来看一下。第第三，我们把这个图形放大哈， 它说是 a、 f、 e 三点共线， a、 f、 e 三点共线，我把这个图图形画出来哈， a、 f、 e 三点共线， 然后当这个 f、 e 在 ab 的 上方时，大概大概有一个位置哈，我把它，我把它画出来， f 点大概在这个位置， 然后 e 点，这是 f 点， e 点大概在这个位置 是 e， 然后求的是 bcf 的 面积啊。 第一、第一种情况的图形大概就是这样哈， 第一种情况的图形大概就是这样。然后其中根据第二问的这个结论，这个角是个，是个直角啊， af 垂直于 c e 嘛，这个角是一个， 这个角是一个直角，同样这个角是一个直角，然后它求 s 三角形，求的是 s 三角形。嗯， c b f 求这个三角形的面积。两个思路哈，一个是，呃，直接用底层高来求，第二个就是用，用分分割法来求吧。嗯，我先看， 我先把先用先直接法来求我做这个高， 比如说这个是 q s 三角， c b f 就 等于一个 bc 乘以一个 f q， 再除以个二，现在只要把 f q 的 f q 的 面求出来就就 ok 了哈。呃，我们看这个题目，这里面出现了等腰直角三角形，而且 e f 是 等于二的， 这个正方形的边长都是二，这个 e f 的 长也是二， ab 的 长也是二。哈，如果现在做这个等，要是这样三角形啊，我肯定要把它的高做出来， 这个点是个 m， 做出高来以后我就能发现什么了，发现这个 f m 等于一个 e m， 还等一个 b m， 它就都等一个一。 这样的话，在 r t 三角形 abm 中， abm 中 bm 等于一， ab 等于二，我可以求出角 baf 等于一个三十度， 就是说根据三角函数吧，可以求出它三十度，这样的话，这个角就是个三十度，然后这个角也是个三十度， 同样这个角也是个三十度啊， 这是一，这是一。嗯，然后这个 am 就 可以求出来。 am 就 等于一个一比二，一比根号三比二， am 就 等于一个根号三，然后 af 就 等一个 a f 就 等于一个根号三减一啊。然后同样这个设，这个点是个 p 吧，这有个交点哈，同样 p m 就 能得出来，它是一个根号三分之一的 b m 根号三分之一，就是个三分之根号三。 pm 就是 个三分之根号三。 pm 等于个三分之根号三。那么我为了求 f q 的 长，我要先把 f p 的 长求出来，所以说 f p 就 等于一个一加个三分之根号三， 就是一加个三分之根号三。 f p 一 加个三分之根号三。那现在求 f q 的 长， f q 就 等一个 f q 就 等一个二分之根号三倍的 f p 乘一下哈，嗯，就是二分之根号三加二分之一，就等一个二分之根号三， 二分之根号三加一个二分之一，就是个二分之根号三加加一。然后所以说 f f q 的 长就求出来了。 bc 的 长等于二，所以说这个时候它就等于一个， 我直接在上面算吧。 b c 等一个二，再乘以一个二分之根号三加一，就等于一个根号三加一，再除以二，所以这第一种情况，它的面积就是二分之根号三加一。当然， 当然我们还我们还能用用，用胳膊法来求吧，就是我先求出来 s s 四边形 s 四四边形 c， f、 b、 e 的 面积。用四边形 c， f、 b、 e 的 面积减去一个 s 三角形 c， b、 e 的 面积就是这个 c f、 b 的 面积，而这个 s 三角四边形 c、 f、 b、 e 的 面积，等一个 c i， c， f、 e 的 面积，加，加上个 b， f、 e 的 面积， c、 f、 e 的 面积，这个 f、 e 知道是一个二 c、 e 的 长，根据，呃，手拉手 全等，它等于 a、 f 的 长，所以说这个上这个 c、 f、 e 的 面积就等于一个根号三减一，再乘二，再除二，然后这个 b、 f、 e 的 面积是二乘个一，再除以二，就等于个一，再减去一个 c、 b、 e 的 面积， c， b、 e 的 面积，其实它跟 abf 的 面积相等，再减去一个 s， 多写一步啊。 s 三角形 a， b、 f 就 等于一个根号三，再减去个 a、 b、 f 的 面积等于一个 a、 f 乘以一个 b m， 再除二，就等于一个根号三减一，再乘一，再除二， 就等于一个根号三减二，分之，根号三减一，最后算出来也是一个二分之根号三加一哈。所以说这就是第一种情况，提供了，提供了两个方法，直接求，间接求。 我们再来看一下第二种情况哈。 嗯，第二种情况，第二种情况，它大概的图形我也画一下啊，它就跑到跑到下方来了， 然后点 f 的 位置， 点 f 的 位置，大概点 e 的 位置在这，因为点 i， 点 f 在 后面，点 e 在 前面，点 e 的 位置大概在这， 然后点 f 的 位置大概在这， 这是 e， 这是 f。 这个时候求的是 c、 b、 f 的 面积，我把它连接起来， 然后我，我同样把 c、 e 连接起来， 这个里面同样有一个有一些垂直关系哈， a、 f 垂直于 c、 e， 然后这是一个等腰直角，这也是垂直的，然后现在就是求这个斜的这个三角形的面积， c、 b、 f， 然后同样是，嗯，也是两个方法哈，直接求，间接求哈。我这个题目里面， 呃，我用用分割法吧。 s 三角形情况二，这是情况二啊。 s 三角形 c b f 就 等于一个。我在这个大的直角三角形里面， c e f 减去个 s 三角形 c b e 再减去一个 s 三角形 b e f， 然后我还是先把，呃， 因为这出现了，等腰直角了，我还是先把这个高做出来。这是 m， 这样的话， b m 等于一， e m 和 f m 都等于一哈。 e f 等于二吗？这样的话，同样这个，呃，正方形的边上为二， 这个 a a b 也是二哈，这样的话，我，我同样，我能得出这个角是个三十度，这样的话，这个这个 b m， 这样的话 b m 嗯，不是 b m， 这样的话， am 就 等于根号三哈。 am 等于一个根号三，那么 af 就 等于根号三加一哈。 af 等于一个，等于一个根号三加一。所以这个里面这个这个 c e 是 c e c e 旋转以后就到了 af 的 位置哈，所以说 c e 就 等一个 af 哈，也就是 c e 也等一个根号上加 e， 所以 说这个三角形 cf 的 面积就等于一个 c e 乘一个 e f 再除二，再减去一个 c b e 的 面积 c b e 的 面积。根据手拉手拳的 c b e 的 旋转过去以后是 abf 就是 还是三角形 abf， 这个 b e f 的 面积非常好求哈一乘二，再除以二，就等于一个一哈。 c e c e 乘 e f c e c e 是 af， af 是 等于一个 af， 等于一个根号上加一 加一，再乘一个 e f e f 是 个二，再除以二，正好没有了哈。减去一个 a b f a b f 的 面积等于一个根号上加一， 再乘以一个一，再除以个二，就等于个二分之根号上加一，再减去个一， 最后就等一个根号三加一，再减去个一，就等于一个二分之根号三减一。 嗯，当然这个第二种情况通过直接找 c b 边上的高，这个也也也可以求哈，也可以求大概的辅助线就是这样， 比如说设这个是一个 m q 吧，设这个是一个 p， 思路就是先把 mp 的 长求出来，进而再把 f p 的 长求出来，因为这个角也是个三十度， f b 求出来，直接就能求 q q f 的 长哈，所以说这个这个题目的答案有两个哈，一个就是二分之根号三加一， 还有个答案是二分之根号三减一啊，这个题目就咱们就讲到。

费马点模型呢，是近年来中考正确率非常低的题，很多孩子呀，在平时的考试中苦不堪言，其实呢，费马点问题啊，他解决的核心问题就是任意三角形里面的有个动点，屁， 然后呢，求三个线段和的最小值的这一类题，就是费马点。那今天呢，贾老师带着大家把费马点的题目，斗争方法，思路、口诀和计算的坑点，难点一次性给大家讲透。好，接下来我们来看题，费马点 这个题呢，他考试给到你的是一个任意三角形，他是五，他是三，这里是三十度，对吧？然后呢，求一个三角形内有一个动点，对吧，可以在任何位置啊，求他加他加他什么时候有最小值，当然他也可以在这个位置，对吧，求他加他加他， 对吧？总之，这个 p 点只要在里面就行，问什么时候 p 点在哪，最小值是多少？一般啊，答案都是问最小值是多少的问题。 好，今天我们来分析一下啊，首先我们来整理一下结构啊，梳理一个知识点，费马点问题的题目特征是什么？它的题目特征啊，就是一个动点，三个定点的 pa 加 pb 加 pc 的 最小值问题， 能理解啊，求三个线的最小值，就是非马点。好，这第一个特征好，第二个，咱们要从本质上来去回顾一下啊，我的最小值问题的本质是什么？ 在初衷啊，就是两句话，第一句话就是两点之间线段最短，第二句话是垂线断最短。那这个题他用的是哪个呢？他用的是第一句话， 两点之间线段最短，注意是哪两个点呢？哎，这是最飞马点，最有价值去研究的问题。好，那因为要画图，我们可以教给大家做飞马点的方法是什么？就是通过旋转 把你本来听好了啊，你本来我随便点个屁好不好？你本来比如屁在这是不？这三个线段，这怎么保证两点之间线段最短呢？需要大家干嘛把这三个线段给他，通过一些旋转的方式给他拼在一起， 怎么拼？来，听好了，是我们这节课非常重要的核心啊。旋转那么费麻点问题，就这种普通系数为一的费麻点呢？它的特征比较特殊啊，它一定是旋转几度，记好笔记，旋转六十度去构造等边三角形，一定是这样的。 好吧，好，那我看之前的评论区有人问啊，老师到底是绕哪个点转呢？你就看条件在哪，你就绕哪个点转，基本上很多题目都是这么操作的，那这个题绕 c 转，好吧，好，我们来看下具体步骤啊，假设呢？屁点在这个位置对不对？我现在呢， p a p b pc 求最小值，我们说了旋转等边，对不对？所以说呢，我们挑哪挑特殊角度对吧？特殊角在哪，你就绕着谁转。好吧，这个提头角是不是三十度绕着三十度转啊，这里是三十呢，所以说我就把你看啊，我现在把这条边 给它绕着它转下来，好，转成这样子，把它连起来，这里是 p 一 撇。好，这我们的第一步构造，等边三角形， p c p e 撇。我来说下为什么等边啊？因为这条边和这条边是旋转关系相等，然后你这里又转了个几度，各位，你这里是不是又转了一个六十度？所以说他这个什么等边造型，那你的这条粉边呢，就转移到了这个位置， 有点感觉没，你看，原本你是这样的，没法，两点之间线最短，现在是变成这样子的了，好吧，紧跟着的另外一个绿边是不是也得给他想办法转下来？那怎么转呢？你想粉的绿的是这样一个三角形，是不是靠这条边去维系？他 靠这条边去给他连起来，对不对？这个三角形嘛，又包含粉边，又包含绿边，我想把绿边转下来，对不对？所以说把蓝边呢，也跟着转，也跟着转， 对吧？就是这个 c b 就是 c b 一 撇，好吧，那你会发现 c p b 和 c p b 一 撇一拉， 是不是这两三角形全等的？第二个就是三角形 c p b 全等于三角形， c p b 一 撇能跟上，所以说，哎，那么这条绿边呢，就顺势转了下来， 你想我原来求的是啥？我原来求的是黄的加粉的，加绿的是不是最小，对不对？那现在我求什么呢？还是不变呀？还是黄的加粉的加绿的的最什么值？最小值， 对不对？而且还有个非常大的好处，是你这个点是定点，对不对？那这个点是不是也是固定的呀？是不是也是定点？那你定点转一个，这个角是六十度，请问这个点是也是什么？是不是也是定点， 对吧？这个点是不是也是定点？大家现在想啊，跟着我想啊，有这么三根线是咔咔咔 把它连在一起，你是一个，比如说建筑工人，我告诉你，这两个点之间，你给我修三个桥，就三根木头，对吧？给他拼在一起，什么时候木头最短，大家告诉怎么办？什么时候？很显然就是当这四个点共线的时候， 就可以得到我们的 a p 加上 pp 一 撇，再加上 p 一 撇， b 一 撇，是最小值，对不对？好，来练一下啊，就这根线是最小的， 能理解吗？好，这根线是最小的，然后紧接着你再去找真正的 p 点，应该在这条线上，对吧？然后再找到这个 p 点连起来，然后它转六十度，连起来就真正的那个 p 点应该是在这个位置， 能保证，你看这个时候的 pa， 对 吧？加上 pc 就 转到这里了，对不对？然后呢？ pb 是 转到了这里，对吧？保证他家他家他是最小的就可以了，对吧？考试啊，它往往就是不需要你找，你只要给我把这个最小值求出来就可以。好，那接下来是我们的最后一个步骤，就是怎么算的问题， 算这条线用什么方法呢？听好了啊，用勾股定律啊，一定用勾股定律。而且有人家长问老师，绕着 b 点 a 点行不行？不行？在这个题，为什么？因为只有 c 点这里提供了一个三十度的信息，因为这个角是三十，你看到了吗？它是三十，你这里一转，是不是？这里是六十， 对吧？所以说 a c b 一 撇角， a c b 一 撇等于九十度，那就用勾股呀，对不对？勾股的话，你想现在告诉我这里是几？ a c 是 五，对吧？ bc 是 六， bc 转下来这里是不是六五六，那么这个长度是不是就出来了？ 所以说 a b 一 撇等于根号下五的 二十五加三十六，答案是六十一。好，这就是我们的最小值，至于说什么时候最小，对吧？最小点是怎么找的呢？啊？我看了这么多年试卷啊，他很少去考到他，对吧？那接下来我们最后总结一下口诀，怎么去找到费马点的最小值的那个点， 对吧？你找到你才能画出来，对不对？听好了，我们的方法就是先做等边造型，先向外做一个等边造型做完以后呢，找到两个定点，直接一连好，这个线段就是我们的最后的最小值 就可以了。好吧，以上就是关于不加权的最经典的费马点的问题，该如何的找特征，抓本质，看方法，找计算，各位你学会了吗？

ok， 好， 同学们，好啊，那咱们二零二六年北京海淀初三一模刚刚结束啊，数学刚刚结束啊，老师给大家讲一下咱们的几中，单数综合以及圆中这样的三中，好吧，那先给大家讲几何综合，那几何综合这个题呢？它还是一个手拉手，就是跟考前强调的一点问题一点出入没有啊，基本上就是手拉手加中位线，然后再加一个勾股。 首先三角形 abc 中，然后角 abc 是 一个角阿二法， 然后这有一个线段的一个旋转线段旋转的话肯定会出等号，所以它是个等号，对不对？然后第一问是阿尔法等于三十度，那这个角三十度的话，那这个角也是三十度，那这个角是六度，对不对？这个角是九十度，这样的话 a e c 是 个三六九，然后 e c 跟 a c 之间是一个二倍关系，然后又问 a c 等于 cd， 所以 我的 e c 跟 cd 之间也是一个二倍关系， 然后第二本，第二本，那就奔着耍手的方向去走了，对不对？然后这个角是一百八十度减二二二法。所以我从模型尺角出发的话，我应该以 a 为顶点去构造另外一个等腰三角形，然后这个等腰三角形应该是以 a 为顶点，然后顶角也是一百八十度，减去二二二法，这个角对不对？然后我们发现我们在 在这个做的时候会发现我的这个角是二法的，那这个角如果是二法的话，那我把它背出来之后，背长 b， c 背长 c， b 背出来之后，这个角也是 r 法，对不对？那这个角是二 r 法，然后我直接延出去这个一百八十减去二 r 法就出来了，对不对？所以我只需要去背长 c b 至点 h， 然后这个再连接 a h， 对 不对？然后延长这个 h a， 然后使 a k 等于 c ac， 这样的话我的 ack 也是一个顶角，是一百八十度减阿尔法的点到三角函数形，这样的话就可以得到这个函数形和这个函数形是全等的，全等之后我的 ec 就 能到 dk 这里来了，对不对？然后除此之外的话，我连接 cddk， 然后连接 ck 之后，我会发现我的 a 是 hk 的 一个终点，因为我的 h a h a 是 等于 a k 的 倍长除以的，对不对？ 然后我的 b 点是 h c 的 一个中点，所以 ab 是 呃这个 h k c 的 一个中垂线，所以 ab 是 平行于 c k 啊，这块垂直，这块垂直，然后 ab 和 c k 之间是一个二倍关系，对不对？那这样的话，我的 c k 的 平方加上 c d 的 平方就等于 d k 的 平方， 然后 d k 的 话用 c e 进行替换，然后 c k 的 话用二倍的 a b 进行替换，然后 c d 不 不动，这样的话就出来了我们这个题，好吧，所以海建，呃，海建这个几何纵的话，基本上来说的话还是一个呃手拉手加呃终点的一个问题，好吧，那这个题老师就给大家讲到这，好吧，拜拜。

o 是 中点对吧？ m 也是中点， o p 等于二分之一的叉是 a b， 那 这三条边相不相等？ 相不相等是不是相等？你看边相等，把角也带上啊， 这样子 ok 吧？这是纯天然的垂直 对吧？ b p 啊，垂直？擦，嗯， 能听懂吧？那 b p 这条线和 am 这条线一定怎么样？是不垂直 是不垂直？听众说点 p 在 啥？在 am 上不也一重合？其实我在这里给各位同学想表达一个观点， 点 p 是 一个定点，而非纵点，大家知道为何吗？因为你过点 b 去做一条直线，有且只有一条直线与之直线垂直，大家说对不对？过直线外点，有且只有一条直线与之直线垂直，所以这个 p 点表面是个动点，其实它是个定点， 大家说对吧？然后接着你又再往后看，题目中给你第一个问题，说 a p 等于啥？ pm， 你 说 a p 等于 pm， 这不瞎扯吗？那看都看出来对不对？所以第一个是啥？说错了能明白吧，都不用怀疑。第二个问题， m a b m a b m a b 等于 r 法 r 加 b， 它多少度？九十度，这个角是不是 r 法 p b c 啊？ 有没有问题？嗯，来，我看你话多的很，给你一次重新做人的机会吧。说第三个咋做？ 我只想告诉你一句话，智商是怎么练成的？两个阿尔法，两个贝塔，三角形对角和一百八，还要不要我跟你讲？ 长眼睛出出气了，现在会了没有？还有没有问题？来说说第三个咋做？ 第三个咋做呢？你能做对我会很开心的，能不能做出来？快算了，我讲吧。 哎，所以你说为啥有的人他学数学他学不出来，原因是啥？不是因为笨啊，跟笨没关系，是习惯所致，你比如说人家题目中告诉你， 这三条边是不是相等，你在考试的时候，公立学校老师咋教学生就这样，呵呵，对吧？ 你把那点标上，你不标不标脚，那你这几何自费知道吧？所以就学费了啊，习惯所致嘛，来看题吧，给你们开发智力来。嗯， b c 等于几？四， 那这里面是有一个 o 点，是不是这里面有一个什么点？是 n 点，对吧？那到这里面把 a， 这里面也有一个 m 点，把 am 连接起来， 看懂了吗？然后说 a n 是 一，这段是二。嗯，现在我们再看这个题目中说， 嗯啊， b c 等于四， b c 等于几四，没说是吧？有我的问题了，我把这 b c 等于四，那就，那就这样吧， 那这段长就是三嘛，大家说对不对？然后我们我们再看一下，题目中给我们说 o p 等于二分之一的 a b， 所以 这里面确实有个垂直， 这是图画出来啊，画出来之后 p， 我 们看一下啊，连接 cp 并延长，交 a 得与 n 把 cp 延长，这个时候他说这交这这三个点是， 我知道 c e n 可连不上，哎，是屁点，只能是画在这了，是只能画在这了， 只能画到这了。 c p n 三点式空线，那这个 p 点是不是在这？ 按键这图咱们咱们好好画一下，画完之后我们看啊，把这连接起来，看黑板， 把这段连接起来，然后中点加平线， 我们全等三行，我们借辅助线去推它。 嗯，来，这就是意思，就是让你重新画一幅图，就这个点是 q 吧， 那这是一，这是三，咱们看中点加平行线。第三个，首先我们能得到三角形，谁啊？ a d m 全等于三角形。叉 a d m q c m 是 q c m， 对 吧？ 这九十度，这九十度啊，这两扇形怎么样？全等全等的话还能得到啥？ a 得等于 c q 等于 bc 都等于四啊。有的学学生说，老师，咱们还能得到啥？我们能不能得到相似三角形？相似三角形。 a n t 相似于三角形。嗯，是 q c p 是 不是刚推出 p n 比谁啊？ p n 比谁？快说。 p n 比 pc 等于 a n 比啥？ 是一比四？一比四，所以 pc 等于啥？是四倍的 p n 是 等于四倍的 p n， 我 没说错吧啊？嗯，没说错。这个时候 咱们去思考一个问题， a n 等于 a n p a n 等于 n p 嗯，等不等于嘛？思考嘛，就说这段长和这段长啥关系？是不是相等关系？是不是相等关系？ 咱能不能正？这两三角形全等， a n 等于让 a n 等于 p n， 这里面有一个直角吧？直角三角形，斜边的中线等于斜边的啥？是一半？哪一个垂哪一个直角？这里面有一个直角，是不是在这 儿？直角是不是在这儿？是不是？那么在这里面？ p c 等于啥？ p c 等于啥？是不是 c q 等于是 bc？ 是 等于 bc， 对 不对？对，直角三角形斜边中线等于斜边一半二分之一的 b q 有 问题吗？嗯，没问题吧？哎。哦哦哦，这是阿尔法，这是阿尔法，这是阿尔法，这是阿尔法，对吧？那这是一定是啥？ 这是不是 r 法？那对零角相呢？这是不是也是 r 法？大家说对不对？是不是？那 a n 等于啥？ 等于几？是不是一，所以 p c 等于几？等于四？ p c 等于四，所以 p n 等于五。 好了，我就做完了，看到了四加一，不就是五，有问题吗？ 会了，没有，这就是常考的中点加平行线等于全等。三角形还有相似，有没有问题？直角三角形吗？三角形 b p q， 嗯？什么？ n c n c 等于 p， n 等于 p n。 呃，你是说这这个 n c 是 吧？ n c 等于不对， 这写错了啊，还有问题吗？来，给自己写，写完这字不，不写，咱把这把这还没推出来呢，还有最后一问，对吧？是不？还有最后一问，来，最后一问，大家看一下。来，咱们用摄影镜里去推， 能不能用摄影定力去推？同学们看，帮忙看啊，帮我看清楚。现在老眼昏花，来，看这看，把这连接起来。嗯，连接起来。这里面这两三 a n 是 等于 p n， a n 等于 p n 的 话， 这两角是不是相等？然后呢，我们再看 这两个边，这段长是几？这段长和这段长相等，这个这两三角形全等。这是贝塔，这是，这是贝塔， 对不对？那么这里面角看，同学们看。呃，角， n o c 等于多少度？是不是九十度？是不是九十度？这九十度。这里面有个射影定律。为啥有个射影定律？因为 o p 平行。啥？ o p 垂直， o p 垂直 垂直， c n 是 垂直 c n， o p 和这个 c n 是 是什么关系？是不垂直的。 o p 和 c n 垂不垂直吗？是不垂直，没有任何问题啊， 因为你前面刚才说这两个角是不是相等？是不相等？ o p 和谁垂直？ o p 和这个直角三系和这个 c n 是 垂直的。垂不垂直？垂直是不是垂直啊？现在我问一个同学，为什么垂直啊？刚才我们说 说这条线啊，说说这条线是 b p， 这条线是垂直的，有两 r 法，两贝塔，对不对？这个大家能听懂吧？咱们这个不要写贝塔，写贝塔好多人又看不懂了。 原图里面这是 c 塔，这个角，这是 c 塔啊，但这个是九十度，没有任何问题。九十度没有任何问题，我们现在唯一的问题就是要倒这个角， 嗯，这个角是九十度，这个角是不是九十度？是不是？能不能倒出来？能，大家说怎么倒？ 这个 o a n 等于 n p o n， p o， 就 这两个角是不是相等？ 这个角和这个角是不是相等，大家说对不对？那这个角和这个角相等，那这个角和这个角相等，那加角刚好是不是九十度？是不是？所以在这里面把这九十度推出来，那么这样的数就存在了一个摄影定力，摄影定的内容就是 o p 的 长， o p 的 平方，对不对？是有个 o p 的 平方， o p 的 平方等于 a n 乘以啥？ a n 乘以 p n， p c p c， a p 乘以等等， p n 乘以 p c， 对 不对？ p n 乘 p c。 对 对对对对，是 p n 乘 p c 是 p， n 乘 p c。 我 问答，因为 o p 等于啥？ 是二分之一 ab， 那 所以我们是就能得到二分之一 ab。 平方 等于 p n 乘 pc 等不等于倒数，等不等于等式。两边同时乘个四，把 ab 的 平方写在这，是等于四倍的 p n 乘 pc， 有 没有问题？ 有没有问题？这第四个怎么样？正确？好了，我讲完了给自己写，还有问题吗？这就过了。

呃，同学们，这个视频我们来讲解一下朝阳一门的几何综合题，那么这道几何的话，它难度不大，对吧？难度不大，但是呢，它把手拉手全等和那些我们的就构造全等考得非常的好， 所以说现在，呃，有很多同学们括号二也没有做出来，那么李老师想说，一模之后一定要去建立自己的几何体系，对吧？如果是以前，比如说老师我学了很长这些几何，但是如果说你自己没有去总结过他常用的七五点常考的模型是什么，然后这个时候根据一模的就能就开始去总结了啊。 所以第一个 a， b 等于 a c 角 b， a， c 等于是 r 法，对吧？所以说这个地方这儿标注一下 r 法，这两条边相等，所以说每一个底角等于是九十度，去减去二分之一 r 法，然后这个地方是等于九十度，去减去二分之一 r 法，一个条件一个结论去标， 然后 a、 c， d 等于是九十度，所以这等于九十度，将 a、 d 绕点 a 顺时针旋转在这个地方，是不是得的是 a e， 所以 说那么它旋转的 r 法这个时候一定要去注意什么，是不就是一个手拉手的一个全等。但是同学们你们自己再去做的时候啊，一定要去用 远这两角齐，先把 b、 a、 c 去量出来，然后再去再去搞一个这个 d， a， e 是 等于的是 r 法，对吧？这么去做，那么李老师目前来说我只能目测了啊，所以你们自己的话去做的话一定要去量一下，所以是这样子， 刚好是在这个点，没问题啊。然后的话我们去得到线段 a e， 然后 d， e 交 b， c 与 f， 这个地方是 e， 这个地方是 e， 哎，等等啊， 这个地方是 e， 连接 d， e， 所以 说在这个地方的话，我可以去连接一下 d， e 是 不是交，这个地方是不是与 f， 对吧？连接 d， e 交 b， c 与 f， 所以 这个就属于的是第三个条件，这属于第四个条件，所以第一问 b a， e， b， a， e 等于角 c， e， d， 所以 说刚刚这个地方旋转了一个 r 法， 对吧？共顶点的两段等线段顶角相等，所以手拉手全等， ab 等于 ac， a， e 等于 a， d， 然后是不是然后再像这两个角相等， 两个相等的角减去公共的角，所以像两个角相等， s， a， s 两个三角形全等，所以说第一个就是手拉手全等，那么手拉手全等一定要去注意下，有很多同学老师我不会去拉，那你怎么着呢？你可以把一段等边这去标志成了一二， 对吧？它是逆时针去标的，另外一个也是逆时针去标的，所以就是一拉一，二拉二，可以去得到全等，明白吗？所以说在这个地方的话，你直接可以去证明出来三角形 b， a， e 全等于三角形 c， a， d， 所以这个属于的是 s， a， s 两个三角形的，它比较简单，它比较的简单，所以说你们在这个时候你们可以去看一下 s， a， s 比较简单，这样就不写过程了啊。但是呢，我们一定要去注意下，这个地方证明了了手拉手全等，这个是不可以直接得出这个角等，对吧？我们一定要注意，手拉手全等了之后，一定要去看的是什么？ 它的它的对应角等和我们的对应边等是一定要去看的，是什么它的它的对应边等，所以这就是二分之一 r 吧， 你不管他后面有没有用，你先给他去写上，先把你能行的去想出来，能行的给他去想出来。然后包括有些我们第一稳的时候会用到背长全等会比较多，实际上背长全等和手拉手全等他是呃，在全等里边他用的会比较多的，一定要注意。手拉手全全等的话我们一定要注意对应角相等和对应边相等， 那么 b 长取短之后证明完了，取短之后你一定要去注意的是什么？第三边平行和第三边相等，这个是特别特别重要的啊。好，第一问结束之后我们看第二问，过 d 去做一下 b、 c 的 垂线，过 d 去做 b、 c 的 垂线，所以这个地方它需要给它去延长一下啊， 所以这个地方需要给它延长，然后去做垂， 对吧？过 d 去做 b、 c 的 垂线，这个地方是不是等于的是 g， 对吧？用等式去表示 b、 c 和 f g 的 关系，因为两条线段的关系，它无非就是什么你的二倍，是不是根号三， 还有什么是不是根号二，这是我们最常见的三种，你根号三的话约等于一点七三二，你根号三的话，在这个地方它会出现三十度，因为含有三十度的直角三角形，一比二比根号三，或者是还有一百二十度等于幺一比一比根号三都可以出现根号三，是不是？你根号二的话是不是就是四十五度，一点四三啊？不，一点四一四 是不是？那么什么时候出现根号？如果这个题里边有四十五度的话，它会去出现根号，所以你一定要去先猜。而这道题呢，你可以去量一下 f g 和 b c， 所以 这个地方我一要去先猜的是什么？你 b c 是 不等于二倍的 f g 啊， 对吧？这道题他是二位的关系，你很好去猜，所以这道题你起码这道题是一道七分，对不对？那么你后面这个分值你是不就能够去拿到了？起码我觉得这道题你能拿到两到三分是没有任何问题的，所以不要去，所以说控制好时间，后面的二十七、二十八的第一问，乃至于第二问的部分，你们是可以去做出来的啊。 好，然后你看这个地方他是不是新给的话，一定要从这个新给的条件去入手过 d 去做 bc 的 垂线， 对不对？那么你看看啊，这个垂线我们怎么去切入？切入一定是从这儿和上一问去思考，你上一问这个地方是不是，你看你上一问我们在这个地方是不是得的是什么？你的 dc， 你 看挨着你的 dc， 这是个 dc， 这是不是就是一个 b e 啊？ 你这是不是相等的呀，对不对？我让 bc 是 不是等于的是二倍的 f g， 对不对？所以我得让它这个地方和 b c 区有关系，所以说你这个边相等 r 减，你再去看一下这九十度这角，这是二分之一 r 呀，所以说老师 你怎么去想到往这去想呢？你一定要去看，这是垂直啊，而且你要和上一位的全能有关系啊，所以说你一定要去看上一位挨着它的这条边啊，和这条边啊，这是二分之一 r， 这是二分之一 r r， 这不就巧了吗？所以干什么呀？这个时候往上面去做垂啊， 对不对？所以说这个地方它是一个直直角，没有问题吧？ h 往这儿去作垂，那么角角边你两个三角形是不是就会有一个全等的关系？是不是？所以说这两个三角形是不是全等？我们，我们先捋思路后，后来再去写过程啊？是不是就全等没有问题吧？ 好，然后接着的话，我们再来看一下 bc 等于 f g， 我 要去证明 bc 等于 f g， 你 想啊， 你的 b h 是 不是等于 c g 了？所以说那这样子的话， f g 等于的是 bc 等于二倍的 f g， 也就意味着什么？你的这个 b h 加上 c f， 它是不应该等于二分之一倍的 bc， 因为 bc 等于二倍的 f g， 你 把 c g 挪到这了， 是不是？你把 c g 去弄到这了，所以 f 没有问题吧？所以说我们这个地方我只需要去证明出来什么，就是你的 c f 去加上你的 b h， 是 不是等于 bc 的 一半不就行了吗？对不对？ 是不是？所以说等于 b 次的一半，那么这个时候我再去怎么去，怎么去搞呢？所以我只需要把 h f 在 这个地方去分成了什么？分成了一段是 b h， 一 段是 c f， 可不可以？所以这个时候怎么做呢？来，你去再咱们再去联想一下七乘一模和海淀一模的几种， c 乘一摩和海蒂的几何的几何，如果是让李老师讲的话，它就是一个核心的切入点，核心的切入点是什么？就是当你遇到这种情况的时候，比如说这是一个三角形，不管这个三角形是什么，你当你这儿有一个直角的时候， 他有可能有角的关系，有可能没有角的关系，你一定要去做这个点的对称点，或者是你给他就是核心是对称，但是说你可以去截取出一下，这样这一段等于这一段，明白吗？ 所以这个是一个很重要的一个切入点，是在对称那个地方，所以说你可以去截，因为对称过来之后，无非两个三人全等嘛，所以这两段是相等的，所以你可以去截取出一下，比如说这个地方， 我这有 h 了，是不是没有 m 呀？这写个 m 吧， 那么我可以截取说 h m 是 不等于 h b， 所以 说那么在这个地方呢？我会有这两个三角，三角形是不全，那就这个三角形， 这个这个三角形是不和这个三角全的 s a s 呀？全等之后， 那么说明的是什么？ bc， 是 不是这个是 b h 等于 h m， 所以 我只要证明 m f 等于的是 c f 不 就行了吗？它等于它，它等于它，所以这样的话 h f 才会等于二分之一 bc 啊。所以我们建的任务就是要去什么证明出这两个三角形它是全等的关系 就可以了，找条件呗，这个时候找条件呗，所以这个时候条件怎么去找？ 呃， m f 等于 f c， 它这个是我们需要去去证明的，所以它肯定不能去用，是不是？有，是不是在这个地方是不是有一个对顶角？第一件事情吧。第二个，你全等是干嘛？全等不是白的吧？不，不是白证明的吧？二分之一 f， 这是一百八十多减二分之一 f， 这是二分之一 f， 一 百八十多减二分之一 f 吧， 有没有问题？所以是两个角相等了，是不是？那么边这个边等于这个边，是不是就会然后这个边又等于这个边？所以这两条边是不是相等？所以它是不是小角边，两个三角全等，这不就得出来了吗？ m f 等于 f c， 然后 b h 等于 h m， 所以 说那么你的 bc 等于二倍的 h f， 对不对？那么等于 h f 的 话，呃，或者是呃，或者是 b c 等于二倍的 b h 去加 f c b h 是 不等于 c g， 所以 f c 加 c g 是 等于 f g 是 不等于二倍，那么这个思路是不就出来了， 没有问题吧？好，来，没有问题的话，这个地方我们来稍微括号二，去写一下过程啊。 那么第一个写过程的话，是不是往这去做垂？做垂，我们先得用到我们的那个手拉手的全等，手拉手的全等，这是不是九十度得需要去用到？然后这个的边是不得需要去用到，所以说直接写，因为三角形 b a e 全等于三角形，是不是 c a d， 所以 说角 a b e 在 这个地方是不是等于是角 a c d？ 我们在这个地方它是不是会等于的是九十度，而且是 b e 在 这个地方它会去等于的是 c d？ 好， 然后接着怎么去写？你后面知道是不是要用到二分之一 r 法，所以你就在这个位置，你把二分之一 r 去写出来，然后因为的话就是 ab 等于的是 ac， 然后角 b a c 在 这个地方等于的是 r 法，那所以说角 abc 等于的是角 abc 在 这个地方等于的是什么？ 九十度去减去二分之一 r 法吧，那所以说我们在这个地方角 e、 b、 c 是 不是等于是九十度去减去角 abc， 所以 说这个地方等于是二分之一 r 法，然后你的角 d、 c、 g 是等于一百八十度去减去角 a、 c、 b， 去减去角 a、 c、 d， 所以 说这个结果等于的是一百八十度减去括号九十度去减去二分之一 r 法， 是不是去减去九十度，对吧？所以这个结果等于二分之一 r 法，所以在这个地方就会有角 e、 b、 c 稍等于是角 d、 c、 g， 对不对？因为因为他这个是和群的这连的，所以就一起，一起就给他写下来了，因为这就是刘老师说的，你为什么要去先写思路，再去有过程，然后再去写过 e 去做 e、 h， 是 不是垂直 bc， 在 这个地方是 h， 对吧？那所以说这样的话，角 e、 h、 b 是 不就会等于的是角 d、 g、 c， 在 这个地方是不等于的是九十度，九十度二分之一，然后边，然后所以说这样的话三角形是不就有 b h、 e、 h、 b， 所以这个三角形有 e、 h、 b 全等于三角形是不是 d、 g、 c， 所以 它属于的是什么角？角边两个三角形全等，所以说这个地方属于的是角，角边两个三角形是不全等， 全等之后，所以说我的 b、 h 是 不是等于 c、 g？ 好， 然后第二件事情，我们是不是就证明这两条边相等，然后你就直接是在 h、 c 上截取， 截取 h、 m 是 不是等于的是 b a、 h b， 那 要是这换个颜色吧，换个颜色我们稍微区分一下，这是第二大块，对不对？然后就是因为角 b h e， 那 么等于是角 m h e 是 不等于九十度， 对吧？然后 h e 等于的是 h e， 所以 说这样的话三角形 b h e 全等于三角形 b h e m h e， 所以 说这个结果就属于的是 s a s 两个三角形是不是全等？那全等之后我们后面会去用到的是什么？你的 b e 是 不是等于就是 m e， 然后的话角 e m h 等于的是角 e b h， 所以 说这个地方它是等于的是二分之一 f 的， 对不对？ 对吧？那么我们接着我们是不是要去证明出这两个三角形的它等于二分之一 f 之后，所以说我们后边的话 角，你看这个地方，这个边是不是有了？我们可以你看这两条边相当是不是有了？那么所以说这个地方我得先去写一下啊。因为你的 b e 是 不是等于的是 c d， 然后你的这个这个 b e 是 不是又等于 em。 所以 说这个地方你就会有一个什么？你的 m e， 在 这个地方我是不是就 m e， 在 这个地方我们是不是就会等于的是 c d？ 所以说，所以说在这个地方直接写，是不是？所以说在这个地方我们就会有 m e， 是 不是就会等于的是 c d？ 因为这两条边相等，他和他前面相等，所以说这两条边是相等的，对不对？那么还有一个是角 m e m f， 然后这个地方是角 e m f， 它在这个地方是不就会等的是一百八十度去减去角 e m h 等于的是一百八十度，在这个地方是不是减去的是二分之一 r 法，对不对？那么因为角 f c d， 所以说，然后因为，呃，你看这个地方我写的是 emf， 所以 说这个地方我就给它写的是角 dcf， 所以 这个地方等于九十度去加上九十度减去二分之一 r 法，所以等于是一百八十度去减去二分之一 r 法， 是不是？所以说角 emf 是 不等于角 dcf？ 是不是有角相等，有边相等了？又因为角 m f e 是 等于是角这个 c f d， 所以 说三角形 m f e 是 不是全等于？三角形的是什么？ c f d， 对 吧？它在这个地方属于的是什么？ 呃，角角边对不对？角角边两个三角形全等，那么全等之后我们是不是可以得到？所以说你的 m f 是 不是等于是 f c， 对 不对？那么所以说，那这样的话，最后一步 bc 是 不是就会等于的是 b m 去加上 m c， 而我们 b m 是 等于的是什么？二倍的 b h mc 是 不等于二倍的 cf， 那 你二倍的 bh 是 不是就会等于二倍的 cg 去加上二倍的 cg， 就 等于二倍的 cg 去加上 cf， 对 不对？所以就等于是二倍的 fg， 所以 bc 就 等于二倍的 fg， 所以 这道题是不是就证明出来了？所以整体来说这个难度不是那么太大，明白吗？好。

济南初三的家长同学们注意了，历下区二模数学卷呢？刚考完，如果想要电子版抓紧关注私信我，今天我用一分钟的时间带你扒透这套试卷！整张卷子，没有一道废题，前面一到八题看着全是基础，其实全是坑。像第五题平移，第七题反比例，孩子稍微粗心分可能就没了。 第九题第十题直接开始分层，等腰直角作图，加上二次函数整数解一半，孩子呢，直接卡壳，连思路都摸不到。 后面的解答题呢？更绝！第十九题实际应用，二十一题统计，二十二题方程方案是中考高频题型，尤其是二十三题函数综合，第二十五题旋转几何，完全对标济南中考压轴难度，根本不是在考刷题，是在考孩子的综合思维！ 说白了，这套卷就是在预警今年的中考数学光刷题没有用了！必须抓思维抓细节！关注我，济南中考不迷路！

二零二六年襄阳中考数学四月模拟第二十三题第二问先求出 b 长，由轴对称做延长线，可得八字相似。 第三问第一题由平行线构造三角形相似， 利用特殊角勾股定理求出右长，然后通过相似笔求出 b。 第二问由切意可得三个三角形相似，其中有子母相似，先求出 e g 和 d g， 再求出 go 和 b g， 最后再由相似笔求出 f g。

o 是 中点对吧？ m 也是中点， o p 等于二分之一的叉是 a b， 那 这三条边相不相等？ 相不相等是不是相等？你看边相等，把角也带上啊， 这样子 ok 吧？这是纯天然的垂直 对吧？ b p 啊，垂直？擦，嗯， 能听懂吧？那 b p 这条线和 am 这条线一定怎么样？是不垂直 是不垂直？听众说点 p 在 啥？在 am 上不也一重合？其实我在这里给各位同学想表达一个观点， 点 p 是 一个定点，而非纵点，大家知道为何吗？因为你过点 b 去做一条直线，有且只有一条直线与之直线垂直，大家说对不对？过直线外点，有且只有一条直线与之直线垂直，所以这个 p 点表面是个动点，其实它是个定点， 大家说对吧？然后接着你又再往后看，题目中给你第一个问题，说 a p 等于啥？ pm， 你 说 a p 等于 pm， 这不瞎扯吗？那看都看出来对不对？所以第一个是啥？说错了能明白吧，都不用怀疑。第二个问题， m a b m a b m a b 等于 r 法 r 加 b， 它多少度？九十度，这个角是不是 r 法 p b c 啊？ 有没有问题？嗯，来，我看你话多的很，给你一次重新做人的机会吧。说第三个咋做？ 我只想告诉你一句话，智商是怎么练成的？两个阿尔法，两个贝塔，三角形对角和一百八，还要不要我跟你讲？ 长眼睛出出气了，现在会了没有？还有没有问题？来说说第三个咋做？ 第三个咋做呢？你能做对我会很开心的，能不能做出来？快算了，我讲吧。 哎，所以你说为啥有的人他学数学他学不出来，原因是啥？不是因为笨啊，跟笨没关系，是习惯所致，你比如说人家题目中告诉你， 这三条边是不是相等，你在考试的时候，公立学校老师咋教学生就这样，呵呵，对吧？ 你把那点标上，你不标不标脚，那你这几何自费知道吧？所以就学费了啊，习惯所致嘛，来看题吧，给你们开发智力来。嗯， b c 等于几？四， 那这里面是有一个 o 点，是不是这里面有一个什么点？是 n 点，对吧？那到这里面把 a， 这里面也有一个 m 点，把 am 连接起来， 看懂了吗？然后说 a n 是 一，这段是二。嗯，现在我们再看这个题目中说， 嗯啊， b c 等于四， b c 等于几四，没说是吧？嗯，有我的问题了，我把这 b c 等于四，那就，那就这样吧， 那这段长就是三嘛，大家说对不对？然后我们我们再看一下，题目中给我们说 o p 等于二分之一的 a b， 所以 这里面确实有个垂直， 这是图画出来啊，画出来之后 p， 我 们看一下啊，连接 cp 并延长，交 a 得与 n 把 cp 延长，这个时候他说这交这这三个点是， 我知道 c、 e、 n 可连不上，哎，是屁点，只能是画在这了，是只能画在这了， 只能画到这了。 c p n 三点式空线，那这个 p 点是不是在这？ 按键这图咱们咱们好好画一下，画完之后我们看啊，把这连接起来，看黑板， 把这段连接起来，然后中点加平线， 我们全等三行，我们借辅助线去推它。 嗯，来，这就是意思，就是让你重新画一幅图，就这个点是 q 吧， 那这是一，这是三，咱们看中点加平行线。第三个，首先我们能得到三角形，谁啊？ a d m 全等于三角形。叉 a d m q c m 是 q c m， 对 吧？ 这九十度，这九十度啊，这两扇形怎么样？全等全等的话还能得到啥？ a 得等于 c， q 等于 bc 都等于四啊。有的学学生说，老师，咱们还能得到啥？我们能不能得到相似三角形？相似三角形。 a n t 相似于三角形。嗯，是 q c p 是 不是刚推出 p n 比谁啊？ p n 比谁？快说。 p n 比 pc 等于 a， n 比啥？ 是一比四？一比四。所以 p c 等于啥？是四倍的 p n 是 等于四倍的 p n， 我 没说错吧啊？嗯，没说错。这个时候 咱们去思考一个问题， a n 等于 a n， p a n 等于 n p， 嗯，等不等于嘛？思考嘛，就说这段长和这段长啥关系？是不是相等关系？是不是相等关系？ 咱能不能正？这两三角形全等， a n 等于让 a n 等于 p n， 这里面有一个直角吧？直角三角形斜边的中线等于斜边的啥？是一半？哪一个垂哪一个直角？这里面有一个直角，是不是在这 儿？直角是不是在这儿？是不是？那么在这里面？ p c 等于啥？ p c 等于啥？是不是 c q 等于是 bc？ 是 等于 bc， 对 不对？对，直角三角形斜边中线等于斜边一半二分之一的 b q 有 问题吗？嗯，没问题吧？哎。哦哦哦，这是阿尔法，这是阿尔法，这是阿尔法，这是阿尔法，对吧？那这是一定是啥？ 这是不是 r 法？那对零角相呢？这是不是也是 r 法？大家说对不对？是不是？那 a n 等于啥？ 等于几？是不是一，所以 p c 等于几？等于四？ p c 等于四，所以 p n 等于五。 好了，我就做完了，看到了四加一，不就是五，有问题吗？ 会了，没有，这就是常考的中点加平行线等于全等。三角形还有相似，有没有问题？直角三角形吗？三角形 b p q。 嗯？什么？ n c n c 等于 p， n 等于 p n。 呃，你是说这这个 n c 是 吧？ n c 等于不对， 这写错了啊，还有问题吗？来，给自己写，写完这字不，不写，咱把这把这还没推出来呢，还有最后一问，对吧？是不？还有最后一问，来，最后一问，大家看一下。来，咱们用摄影镜里去推， 能不能用摄影定力去推？同学们，看，帮忙看啊，帮我看清楚。现在老眼昏花，来，看这看，把这连接起来。嗯，连接起来。这里面这两三 a n 是 等于 p n， a n 等于 p n 的 话， 这两角是不是相等？然后呢，我们再看 这两个边，这段长是几？这段长和这段长相等，这个这两三角形全等。这是贝塔，这是，这是贝塔， 对不对？那么这里面角看，同学们看。呃，角， n o c 等于多少度？是不是九十度？是不是九十度？这九十度这里面有个射影定律。为啥有个射影定律？因为 o p 平行。啥？ o p 垂直， o p 垂直 垂直， c n 是 垂直 c n， o p 和这个 c n 是 是什么关系？是不垂直的。 o p 和 c n 垂不垂直吗？是不垂直，没有任何问题啊， 因为你前面刚才说这两个角是不是相等？是不相等？ o p 和谁垂直？ o p 和这个直角三系和这个 c n 是 垂直的。垂不垂直？垂直是不是垂直啊？现在我问一个同学，为什么垂直啊？刚才我们说 说这条线啊，说说这条线是 b p， 这条线是垂直的，有两 r 法，两贝塔，对不对？这个大家能听懂吧？咱们这个不要写贝塔，写贝塔好多人又看不懂了。 原图里面这是 c 塔，这个角，这是 c 塔啊，但这个是九十度，没有任何问题。九十度没有任何问题，我们现在唯一的问题就是要倒这个角， 嗯，这个角是九十度，这个角是不是九十度？是不是？能不能倒出来？能，大家说怎么倒？ 这个 o a n 等于 n， p o n， p o， 就 这两个角是不是相等？ 这个角和这个角是不是相等，大家说对不对？那这个角和这个角相等，那这个角和这个角相等，那加角刚好是不是九十度？是不是？所以在这里面把这九十度推出来，那么这样的数就存在了一个摄影定力，摄影定的内容就是 o p 的 长， o p 的 平方，对不对？是有个 o p 的 平方， o p 的 平方等于 a， n 乘以啥？ a n 乘以 p n， p c， p c， a p 乘以等等， p n 乘以 p c， 对 不对？ p n 乘 p c。 对 对对对对，是 p n 乘 p c， 是 p， n 乘 p c。 我 问答，因为 o p 等于啥？ 十二分之一 ab， 那 所以我们是就能得到二分之一 ab。 平方 等于 p n 乘 pc 等不等于倒数，等不等于等式。两边同时乘个四，把 ab 的 平方写在这，是等于四倍的 p n 乘 pc， 有 没有问题？ 有没有问题？这第四个怎么样？正确？好了，我讲完了给自己写，还有问题吗？这就过了。

中考倒计时，分秒必争这套数学压轴题是拉开差距的关键，他以基础知识为导向，逐步提升难度到中考真题。适合不同基础的学生，尤其是针对基础薄弱的孩子，特别友好。那 全书呢，按照专题考点分类，方便快速定位到自己的薄弱区，进行专项突破。以向量知识为例，先由基础公式定义为导向， 随后呢，带入到多个典型的例题多样，不仅帮助掌握各种题型的解析技巧， 还能够提前洞察中考的命题规律。最后呢，再结合多个辨识题去巩固答题能力。通过以上讲历练三步必还法，帮助不同基础的学生提升数学成绩。答案测呢，单独装订，无论是填空题还是解答题，都有完整且详细的解析步骤。中考倒计时，分秒必争 这套数学压轴题是拉开差距的关键，它以基础知识为导向，逐步提升难度到中考真题。

木易木易，数学容易，各位同学大家好，我是木易老师，今天给大家带来二零二六庆阳一模几何压轴题二十六题，如图一，在正方形边 a、 b 上取了一个点， e 作 e， f 垂直于 a、 b， 这个时候呢，我们看到 f 在 b、 d 对 角线上，所以这里会有四十五度，那这个三角形呢，其实就是一个等值三角形，我们需要把它的 e、 b 和 f e 相等，我们标注出来，又告诉你这个既是 f d 的 终点， g 是 中点，然后那 f g 和 d g 就 相等。现在第一个问你什么？问你 eg 和 c g 的 关系连接 eg 和 c g， 它俩的数量关系能怎么样？只能相等了，位置关系呢？猜一猜，可能垂直吧。那怎么证明这里用到中点用法之一的平行线加中点， 平行线加中点呢？有的时候呢，又被叫做什么？被长中线也是一个意思啊，我们只需要把 e g 给被长，或者说我们不需要去被长，我们直接去延长，延长他到底什么地方到与 a、 d 的 延长线 有一个交点的地方，交到哪里交这个点呢？就叫做 h 吧。这个时候呢，因为是平行的，所以呢会有很多的角相等， 再加上一个对顶角，其实三个角形相等了，再加上其中一条边，那就是 f g 等于 d g， 很 容易证明这两个红色的三角形是全等的。我们先写第一问啊，先正 三角形， e， f、 g 全等于三角形 h， d g 正完这个之后，我们看怎么去正 e g 和 c g 的 关系，连接 ec 和这里的 h c。 连接完之后呢，我们就可以从第一问正出的一组全等里面得到一个 d h 是 等于 e f 的， 那 e f 又等于 b e， 对 吧？ 所以呢，这在正方形当中呢，其实再加上一个边长，我们就可以用 h l 去证明这个新的三角形，也就我们把它标成黑色啊，黑色的这个三角形呢，是这两个三角形，全等， 这俩圈能有什么用，我们就能知道。哎，本身这两个黄色线之间是九十度，然后呢，这个黑色的点和这个黑色点是一样的，所以这两个绿色的线其实也是九十度，对吧？我们可以等量代换一下，那我们就写第二步的过程啊，那么在这 三角形 e b c 全等于三角形 h d c 这里用了 h l， 那 么所以 ec 就 垂直于 h c 它俩之间九十度。 然后呢，又因为啊，这个 g 是 终点啊，并且啊，这个 e e c 还是和 h c 相等的啊，等于 h c 又垂直又相等，所以三角形 e c h 就是 一个等值，是吧？等值三角形， 那又告诉你， g 其实是 e h 的 终点，对吧？为什么终点？因为第一步呢？全呢，已经证明了啊，又因为 eg 等于 h g， 那 么所以 啊，这就是一个直角三角形，斜边上的中点就等于斜边的一半，所以这个 c g 就 等于二分之一， e h 就 等于 e g， 那 么同时呢，这里因为等值了，所以呢，这个 c g 还垂直于 e g， 是 吧？第一问结束了， 第二问，其实我们可以先把题干的条件标一下，题干的条件就是这个三角形还没变，他说了旋转，但这个三角形呢，他本身还是一个等腰直角三角形，对吧？所以这个 e f 和 e b 仍然相等。 接下来还有一个终点，条件也是通用的，那就是 g 是 f d 的 终点， f g 等于 d g， 这你怎么办？他还问你的是这个 e g 和 c g 的 数量关系和位置关系，只不过没让你直接写，没让你做，让你写，对吧？ 那看看和左边图有什么区别？没区别，我们仍然是延长 e g， 这次呢，我们就需要延到了 c d 延长线的位置啊，这个位置呢，我们仍然叫做 h。 其实呢，他和第一问的证明方法就一样，先证明这两全等 啊，然后再去证第二组全等。这道题呢，第一问反而比第二问还麻烦，因为第二问发现这里需不需要证全等？不需要啦，只需要证明第一组全等，我们就能证这个。也就是啊，这个 ec 和 hc 这两条边相等，对吧？ 都是加上一个紫色边，都是由我们的正方形边长这个黄色边加上了一段紫色边，这样去正的，那正完了这个全等的，那我们不就说明这个 e g 和 c g 还是垂直的，并且 e g 也等于 c g 了，是吧？所以第二个呢，显得比第一个还要简单一点。 第三问，他又把这个三角形转了一下，我们直接把这个 e b e 和这个 f e 标一下，接下来呢，再把这个 f g 和 d g 也标一下。 ok， 发现啊，我们还是要让你去找 e g 和 c g 的 关系啊， e g 和 c g 的 关系咋办呢？那继续延长呗，延长 e g， 这个时候我们直接交 a d 与 h 就 行，所以我们依然能证明这两个红色三角形全等。 好，第三，我们就不写过程了，然后接着呢，证完红色，我们就证另外一个三角形，另外一个三角形就是以其中的一边， 然后再加上这个 h c 和。呃，这里连的是 h c 和什么？应该和 e c， 对 吧？这两个三角形呢？哎，这两个黑色三角形依然是全等的啊。 全等之后，那我们其实就能写出呃，这个所谓 c g 和 e g 的 关系了，它俩其实 c g 依然是等于一 g， 并且 c g 是 垂直于一 g 的， 对吧？好的， ok， 这就是这道题。关注我，考试再提，十分。

这是一道去年中考的填空压轴题，全班几乎全军覆没，其实如果我们用鸡爪模型的话，可以立马瞄见好同学们，我们来看题啊。那么有同学说，老师这个鸡爪模型是什么意思呢？就是我们在一个图形当中，如果能够看到这样的一个图形朋友们，他就是我们的鸡爪模型， 其实他的本质是什么呢？就是我们的手拉手，他会告诉你有两条线段相等，那么你需要去构造出另外一条线段，因为在这个正方形当中，我们知道共端点等线段旋转全等看一看，所以一定会有旋转全等，那么其实手拉手模型的本质也是旋转全等， 那如果我们看一下这样的一个鸡爪模型，让你去构造出一个手拉手的话，我们是不是在做一个相等的线段，就转一个相等的线段吗？所以这个和这个是相等的，如果我们管他叫大手，这个边大手大手拉，小手一连， 所以这个三角形和这个三角形是不应该是全等的，我们一定会有这个夹角相等啊，那剪掉之后呢？所以你这两个角它不就是相等了吗？是不是？所以我们鸡爪模型它的本质就是一个手拉手模型，是一个旋转全等啊？好，那同学们，我们来看， 如果我们在这个图形当中，咱们看到有一点发三线，你发现了吗？ a 点啊，它发出来三条线段，并且有两条线段是相等的，谁呢？就是 ab 这个线段和 ad 这个线段相等， 然后这有一个 pa。 那 么接下来如果我们按照手拉手模型去构造的话，从一个顶点出发，要引出四条线段，两两相等，但是这是三条线段，有两条相等的线段，所以这条线段我们看 ab 这个线段它怎么形成的？是不是应该是这样逆时针转了一个九十度，所以接下来我也可以把 pa 这个线段给它逆时针去旋转九十度。 ok， 那 我们来做一下啊，咱们现在把这个 pa 这个线段给它逆时针转九十度。好，那么这个点啊，咱们就教他于一个屁撇点， 做完之后呢，我发现这个角它就应该是个九十度，这个边长告诉我是一个根号二，那这个边它也是一个根号二，我们把这个 pp 撇给它连上，它就应该是一个等腰直角三角形，所以呢，我们再把这个 p 撇 d 给它连上。 那么连完之后啊，我们能够发现这里边会有一组全等三角形，也就是说三角形 a p b 这个三角形它应该全等于三角形 a p 撇 啊，这是一个边角边的一个全等啊，因为这个角它也是一个直角嘛。然后呢，我们把这个中间这个角减去，剩下这两个点角，如果标点的话，它应该是相等的关系啊。 然后我们看一下吧，现在我们要求这个 p d 的 一个最大值，所以我能够知道的是 p d 它应该小于等于这个 p p 撇二，然后加上我一个 p b 的 长度是一个四，它和 p 撇 d 是 对应边，所以这个边也是四。 所以呢，咱们的这个 p d 它应该小于等于这个 p p 撇，它应该是一比一比二，所以它就是二，所以小于等于二加上一个四，然后就是六。那么什么时候咱们这个 p d 的 值达到一个最大呢？应该是你的 p p 撇，然后 d 这三点共线的时候， 它会达到一个最大值，所以 p d 的 一个最大值它就应该是一个六，所以这个值它应该是六。好，那我们看一下这个题其实本质上就是一道旋转全等的题目，就非常的简单。 那么如果以后在题目当中遇到一点发三线，我们要想到去构造一个手拉手模型，构造一个旋转圈等，好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

这是一道今年海淀一模刚刚考过的几宗真题，百分之九十五的孩子啊，都做不上，好同学们，我们来看题啊啊，说，在这个三角形 a、 b、 c 当中，角 a， b， c 是 一个九十度，然后角 b， a， c 等于一个阿尔法，然后 d 为 bc， 延长线上的一点，接下来连接 ad， 将 a、 d 这个绕这个点 a 进行顺时针旋转一百八减二二八，然后得到这个线段 a， e， 然后连接这个 c， e。 第一小问啊，咱就不说了，比较简单，我们直接来看第二小问，如图二，用等式表示 a， b， c， d， c， e 的 数量关系啊，那么根据我们刚刚题干中给的条件，咱们来标一下， 现在我们能够知道的是角 b， a， c 这个角，哎，它是一个 r 法，然后呢， a， d 绕 a 就是 顺时针旋转一百八减二 r 法，所以呢，这个角度啊，它应该是一个一百八十度减去两个 r 法角， 呃，下面他让我求的是表示这个线段 a， b， a， b 在 这，然后以及 cd， 我 们可以把这个 cd 给它描一下啊， 就是 cd 这个线段还有谁呀？还有 c， e， c， e 这个线段， 他让我求的是这个，同们让我求的是 c， e， c， d， 还有一个是 ab 啊，求这三条线段之间数量关系。那么我拿尺子简单量一下，好像也不是谁加谁等于谁，那么三条线的之间数量关系，我们可以想办法给它转化成共线或者共形。我们要格外注意的是什么呢？就是这里边有一个直角三角形，朋友们，你想想， 这是一个直角三角形，我们遇到这个直角三角形的时候，其实我可以想到把它就是翻折过去，然后呢我们可以把这个延长出去啊，咱们可以延延长这个 c b 啊，比如说咱们做一个跟这个 c b 相等的线段， 就相当于是把这个直角三角形给它翻折过去，比如说交于一点 h， 然后下面呢我们把这个 a h 给它连上， 连接这个 a h。 好， 那么连完这个 a h 之后呢，我能够发现一些相等的角，你比如说这个角是 alpha， 这个角是九十度，那么我能够表示出来的是这个角，这个角它应该是一个九十度，减去 alpha， 那么这边这个角啊，就角 a 是 这个角，它也是一个九十度，减去一个 r 法， ok， 那 么我们再来看一下，就是当你遇到这个一百八减二 r 法的时候，我们能想到什么呢？其实我们能够想到的是等腰三角形， ok， 在 这个等腰三角形，比如说是 abc 当中， 那这时候如果我说这个角是 r 法，朋友们这个角是 r 法，然后它的这个顶角是不就是一百八减去两个 r 法， 然后如果把它延长出去的话，那这个角就是 r r 法，所以下面我们看一下，咱们发现啊，因为你是旋转过来的，所以 a d 这个线段它应该和它相等，所以呢这里边有一个 a b， 还有一个 a c 这种线 a c 和这个 a h 相等，就这和这个相等， 那我们发现有共端点有等线段，那是不是手拉手模型呢？我发现这个角不相等，所以接下来你需要再去构造出一个，就是他们的夹角，需要让他们相等，我们怎么去构造呢？ 我们可以选择就是把它延延长上去。朋友们，因为仿照这个模型嘛，等腰三角形，那我们可以去找它的补角，所以把 a h 给它延长，延长这个 a h， 然后我们去做一个让它跟这个 a h 相等，也就说做一个跟 a c 相等的线段，比如说咱们现在让它交一点 q， 然后呢做完之后呢，我发现这个 a q 等于 a c， 做 a q 等于 a c， 然后这个 bc 等于 b h。 好，这是相当于是咱们的一个辅助线。那当我做完之后，朋友们你看一下啊，我能够知道咱们能够去找一个角度之间的关系啊，就是你这个角是一百八减二法，这个角是二法。朋友们，这个是九十度减二法，这是九十度减二法。所以呢，我们看一下咱们上边这个角，就是你这个角度 他应该是多少呢？这是九十减二法，这是九十减二法，然后那就是一百八减去一个， 这个角是一个九十度，然后这两个边应该是一样的，就一百八减去二倍的九十减 r 法，所以他应该是一百八减去一百八十度，然后加上一个二 r 法，所以这个角他应该是两个 r 法，所以这个大角，朋友们他就是一百八十度减去二 r 法。 ok， 那么我们这个夹角出来了，你看啊，从一个顶点出发，接下来啊共端点等线段，从这个顶点出发引出有没有四条线段两角相等，其实是有的，这个和这个等这个圈和这个圈等这个也是相等的， 所以呢，我们这是一百八减二发，这是一百八减二二发。然后呢我们先把那个手拉手模型给他连出来，其实共端点等线段，其实就有个旋转的手拉手，共端点等线段旋转，全等看一看，所以这个边和这个边等。然后我们应该能够知道管长边叫做大手，长边叫大手，管这个短边叫小手，那这是小手， 然后这个也是咱们的小手，所以一个大手牵个小手连 q、 d， ok， 然后接下来这边呢，这边是大手牵小手连 e、 c 已经连上了，所以一定会有三角形全等我们，所以下面呢，就是这个三角形，它应该和 这个三角形他应该是全等的，一个边角边的全等啊，我们可以写一下，这里面会有一对全等三角形，那么全等不是目的，目的是我可以用全等去得到这个边等。所以同学们 q d， 他 是不是就应该等于这个 e、 c 啊？ 好， q、 d 就 和 ec 相等，那现在我们要求的是 c、 d， 你 看 c、 d 在 这，那这个线段它就应该等于的是 ec， ec 在 这， ab 在 这。同学们，接下来呢，我们想想，你看我是不是可以过这个 q 点向底边去做一个垂线，因为我要把它们转化到一个三角形当中，所以过 q 做一个垂直， ok， 那 么做完垂直之后呢？我们看它跟 a、 b 之间的关系，你这个角是直角，这个角也是直角，所以它和 a、 b 之间的关系是不是一一目了然啊？朋友们，那这个 c、 q 的 话， 它应该就是两个 a、 b， 对 不对啊？ c、 q 应该是两个 a、 b， 因为我们刚就是延长出来的吗？这个点是中点，这个点延长出去的，它也是中点，中点中微线，所以它应该是和第三边平行，且等于第三边一半， 所以它应该是这个两个 ab 是 一个 c q 的 长度。 ok， 那 下面在这个直角三角形当中，我能够列一个式子，就应该是 c q 的 平方加上一个。谁呢？两直角边平方和等于斜边平方加上一个 c d 的 平方，然后等于这个 q d 的 平方，然后 c q 的 话，它应该是两个 ab， 所以 这边就二 ab 块二平方，所以就是四 ab 的 平方， 然后加上一个 c d 的 平方，那 c d 也是我们要求的。然后接下来这个 q d， 这个 q d 的 话，它其实就是谁呀？它其实就是咱们的 ec， 所以 加等于一个 ec 的 平方。 好朋友们，那么这道题啊，从整体的难度上来讲的话，还是有一定难度的哈，就你看你会不会够到手拉手？好朋友们，你学会了吗？记得点赞关注哦！