甘肃中考几何压轴题角平分线

各位，我发现啊，角平分线有一个很重要的定律，很多同学不知道啊，什么定律？今天跟大家讲一下。 角平分线，就说随便画一个三角形啊，画一个角平分线，就是说角一等于角二。角平分线有一个什么定律呢？就说这条边啊， 比上这条边，比如说它是 a， 它是 b， a 比上 b 等于 c 比上 d， 就是 这个边比这个边，就等于这个边比这个边，你敢信啊？比如说啊，咱打个比方，比如说这个边比这个边是五比四的关系， 那这个边比这个边也是五比四的关系啊，这么神奇吗？啊？非常好用啊。比如说啊，随便给你出一道题啊，随便给你出一道题，比如说这个长度是八，这个长度是九，这个长度是十啊，随便了，随便画的，然后画一个角平分线，角一等于角二， 那么这条边九比八就等于什么？这条线比这条线，你要计算这个长度，这个长度怎么计算？那就是啊，他比他也是九比八，那就是分成十七份，他占九份，对不对？他占九份，乘上十就完了。 这个长度，你看，这就是这个长度，十七分，他占九分，十七分，他占八分乘上十，这个长度就是这个。这个道理能不明白啊？九比八的关系好，那怎么证明呢？其实很简单啊，为什么这么神奇啊？ 其实非常简单，因为这是角平分线的话，各位，从这个点我做个高，给这个三角形做个高啊，再给这个三角形做个高，你会发现这两个高是相等的， 对不对？这两个高是相等的，因为角平分线定律就是点到两边的距离是相等的，那那么这个三角形的面积和这个三角形的面积之比， 是不是就是这个边比，这个边就是 a 比 b 啊？就这个三角形比这个三角形，它的面积比是 a 比 b 好， 那么面积比是 a 比 b 的 关系对不对？那这个三角形从这个角度看啊，这个从这个地方做高，你看 从这个地方做个高，你会发现这个三角形和这个三角形面积比还是 a 比 b， 那他们的底是不是也是 a 比 b， a 比 b 等于 a 比 b 嘛？啊？高都是一样的，都是这个高 h， 对 不对？证明很简单啊，所以说啊，这个定力啊，必须得学会啊各位。

把角 c、 o、 d 等于二分之一角 b、 o、 d 带入进去，可以得到二分之三的角 b、 o、 d 等于六十度，算出来角 b、 o、 d 就是 四十度。 现在我们要找的角 d、 o、 e 刚好等于角 b、 o、 e。 减去角 b、 o、 d， 用八十度减去四十度，最终算出角 d、 o、 e 的 度数就是四十度。

工欲善其事，必先利其器，我们先把这个角平行线几种做法把它掌握牢，我们在做题的时候一定会示范部分，那我们看一下角平行线模型我们常用的几种做法。第一个，做双垂线，做双垂线之后呢， 这两个角相等，那么这两个三角形我们得到是全等的啊。做双垂线之后，我们可以得到两个全等三角形啊。看这个，如若 a b 等于 a、 c， 这是个直角，那么我可以得到什么呢？ 这个三角形和下面这个三角形相似，那么 b c 就 等于 b f 加上 f c， 那 b f 又等于 ab f c f c 又等于 df 又等于 a d， 那 所以 b c 等于 ab 加 a d。 第二种情况就是做平行得等腰， 那么我在角平分线上面做它的平行线，做它的平行线就可以得到内错角相等，这两角相等，就可以得到 p f 一 等于 o f 一。 那有的时候我们会在他股角这个位置去做一个已知的一点，去做一个平行线，同样可以得到这一个等腰三角线。 咱们看一下，那在这个如果是角 a d， a d 是 角 b a c 的 角平分线，我们就可以得到。第一个就是 a c 等于 c f， 因为因为我们现在做的做的 c f 平行于 ab， 那 所以这个角等于这个角，那可以得到这两个角相等，它是一个等幺三角形，所以可以得到 c， f 等于 ac。 第二个，因为这是一个什么，这个三角形八字形相似，那所以 a b 比上一个 f c 等于一个 b d 对 应边求比例。又因为 f c 等于 ab， f c 等于 ab， 那 f c 等于 a c 啊，那所以说我这个可以换成 a、 c， 那 我们就可以得到下面这个结论， a、 b 比上 a、 c 等于 b， d 比上一个 c、 d。 第三个 取等长或从角平分线上面取角的两个线 o、 f 等于 o e， 那 么这个三角形和这个三角形就有全等。那么看一下，在这个梯形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 平行于 c、 d， 那我们就可以得出什么呢？ bc 等于 ab 加 cd， 这怎么来的呢？我取取 b， f 等于 ab， 那 这两个相等了，我现在只要证明这个等于这个就可以了，那现在是这个角相等 有一个公共边，我只要证明这两个三角形全等就可以了。那我们看一下角 d 加上角 a 等于一百八十度，两个互补，因为四边形的内角和三百六这两个垂直在这里，因为这个 a， 因为 ab 等于 b、 f， 这就是它的角平行线有一个公共边，那么所以这两个三角形全等。全等了以后，可以得到这个角 角一吧，这个角二，那角一应该等于角 a， 那 角二角二加角 a 等于一百八十个，所以角二就应该等于角 b， 那 所以说这个角等于这个角，这个角等于这个角啊，这个角等于这个角，我们就可以根据 角点角边角可以得到这两个 c 型全等，那么就可以得到什么 c、 d 等于 cf， 所以 这个结论就成立， 做垂线的等腰，从角平面上一点，做一个垂线，我们可以得到 o e 等于 o f， 看见这个等腰直角三角形 ab 等于 ac， 那 么我们就可以得到什么呢？ b、 d 等于二倍的 c、 e， 那 我们看一下这个怎么来的，这里是这两个三角形全等，这个三角形和这个三角形。那怎么证明这两个三角形全等呢？首先第一个角，这里是个对角，所以角 e、 d， c 等于角 a、 d、 b， 那 所以呢，角 e、 c、 d， 这个角应该等于这个角 角 a、 b、 d， 为什么它的也相等呢？因为这两个角加起来是九十度，这两个角加起来也是九十度，那这个角和这个角，所以这个角就等于这个角两个角相等了。又因为 a、 d 等于 a、 c 又是直角，那么我们就可以得到这两个三角形全等，全等之后呢，就可以得到什么呢？ b、 d 等于 c、 f， c、 f 就 等于二倍的 c、 e， 那 所以 b、 d 等于二倍的 c、 e 这个结论。这个是角平分线的常用辅助线做法，我进行了汇总啊，供大家学习参考。

我们上一个视频的话已经证明了第一个啊，那我们接下来看第二个，第二个，呃，给了我们两个已知条件， b、 e 啊，等于四，那我们就知道这个 d、 e 啊，它是也是等于四的，因为根据这个啊，可以得出的，然后 e、 c 呢？等于六， 那么根据第一个证明的过程当中，我们知道这个 a、 b、 e 啊和这个 c、 d、 e 它是全等的，所以说，呃，就会知道这个 a、 e 啊，它也是等于六。好，呃，根据我们一眼得出来的这个啊，我们标识出来的一个些条件，隐含条件，那么接下来它需要求这个 a、 c， 嗯， 这个 a、 c 这个边要求出来，那我们肯定是需要在一个三角形里面去考虑它啊，或者说要有一定的联系的一些图形，跟这个 a、 c 有 联系的图形或者边来求它。那 我们先看一下啊，就是跟这个 a、 c 有 关系的三角形有 a、 d、 c 啊，有这个 a、 b、 c， 还有这个 a、 e、 c 啊，这个三角形我们逐个的去看。 呃， a、 d、 c， 这个三角形里面 a、 d 不知道， cd 也不知道，我们只知道这个 a、 b 和 cd 之间的一个等量关系啊，但是不知道具体的值，因为有两条边都是未知啊，甚至于是三条边， a、 c 本身也不知道， 那这个肯定不是我们所要找的一个突破口，那么接下来看这个 a、 b、 c， a、 b、 c 也是同样的问题啊， a b 不知道，嗯， a、 c 也不知道，已经有两条变不知道了，这，这个三角形里面两条变都不知道，那我要求这个 a、 c， 这个很棘手了啊， 那我们来看一下啊，那最后一个啊， a、 e、 c， 哎， a、 e、 c 的 话有两条边，我们都知道啊， a、 e 等于六， ac 等于六啊，它是个等腰三角形啊，等腰三角形哎，感觉怪怪的，什么地方怪？就是在我们第一个结论里面，你看，它告诉了我们这个角， 哎，这两个角相等，哎，这个三角形 d、 e、 b 怎么样，他是怎么样，他这个角对应相等，然后也是个等腰三角形，那我们就很容易知道这个角 b 等于这个角 d， 然后他也肯定是等于这个角和这个角啊，是吧， 那也就意味着这两个三角形怎么样，它是相似的，哎，那我们就写出来三角形 b、 d、 e， 哎，写错了， 相似于什么三角形 a、 c、 e 啊，好，把 b、 e 对 应关系写出来， b、 d 比上这个 a、 c， 它等于啊， b、 e 比上这个 a、 e 啊，后面还有一个，我们不用写了啊，因为它是等边三角形，实际上没有意义了，不，不用写了。 嗯，好，我们就来把这个啊写出来， a、 b、 d 比上 a、 c， a、 c 是 不知道，然后呢，它等于 b、 e， b 是 四，呃， 然后呢？这个 a、 e 呢？ a、 e 是 六啊，消一下就是三分之二啊，就是从这里我们就可以知道这个 b、 d 和 a、 c 之间它有一个比例关系啊，然后呢， 好像对于我们求 ac 也没有什么具体的意义啊，但是我们可以知道的一点就是，呃，如可以把这个问题转化一下，就是求 ac， 我 们只需要把 b、 d 求出来，求把 b、 d 求出来 ac 就 简单了，是吧？那 b、 d 跟 b、 d 有 关系的 b、 d 可不可以求？或者是跟 b、 d 有 关系的一些图形？有没有可能我们探索到一些突破口？ b、 d 我 们可能一眼还不知道它具体值，那我们就需要找一些呃，这种 其他的一些条件，或者说是突破口来看。呃，在这里面的话，我们一些已知条件，比方说像这个啊，我们是还没有用到的， d、 e 平分 b， d， c， d， e 平分 b， d， c 那 是不是就是角平分线定理啊？我们先不管，先把这个角平分线定理写出来啊。 b、 d 比上 b、 e， 它等于什么？ c、 d 比上这个 c、 e 啊 b、 d， b、 e 知不知道？ b、 e 是 四 b、 d 不知道 c、 d 呢？ c、 d 也不知道 c、 e 我 们是知道的啊，又得到了一个比例关系啊，我们的 b、 d 比 c， d 啊， b、 e 是 四，然后呢？ c、 e 是 六啊，又等于三分之二，哎，我们比较这两个式子啊， b、 d， b， d， b， d， b， a， c 那 是不是就可以得出来 a， c 等于这个 c， d 啊 a， c 等于 c d， a， c 等于 c， d 哎，我们又看前面，可以看到 c、 d， 它又等于 ab 啊，那一串起来， a、 c a， b a， c， a， b 哎，又感觉很怪啊，是吧？ a、 c， a、 b 它是不是又是个等腰三角形呢？等腰三角形角 b， 它就肯定是等于这个角，是吧？等于这个角，然后 这个角它又等于这个角，哎，那这个角肯定等于它，那也就是说，呃， b、 d、 e 和这个 b、 c、 a 是 不是也是相似的是吧？好，我们来呃， b， d， e 啊， b， d、 e 相似于三角形 b， c， a 啊，这个顶点我放到最后了啊，好， b、 d 比上 b， c 等于什么？ 呃， b、 e 比上 ab 等于 d， e 比上 a、 c 好， 我们再把值带进去啊 b、 d 我 不知道 bc 呢？ bc 等于十， b 一 呢是四 ab 呢？ ab， ab 好 像也不知道啊。 ab 不知道，我们先把它写出来， ab 啊， d 一 d 一 是四 ac 呢？ a， c， a， c， ab 啊，这个好像没有价值啊，就就可以丢弃掉了，那有价值的就可能就只有这一部分啊。好，我们把它写一下啊，把它在两边同时相乘得出来啊。 b、 d 乘以 这个 a， b 等于四十哎，得到一个乘乘积，然后我们在前面又知道这个 b、 d 呃比 a、 c 等于二比三 a， c 呢，它就等于 ab 的 啊，那也就是意味着这个 b、 d 比上这个 a、 b， 它是也是二比三，是吧？那我们就射 b、 d 等于二 a， 然后那么 a、 b 就 等于多少呢？等于三 a 啊，是吧？好，我们把这个射的假设射子带进去，这里就是多少。二 a 乘以三 a 等于四十，再消一个二十， 那就是 a 的 平方等于三分之二十。那开开方 三分之二十开根号啊，等于三分之六十啊，根号六十，那它等于呃 四乘以十五啊，那就是过来就是呃三分之二倍，根号十五啊。 a 是 这么多，那 ab 呢？ 它就是等于 a c 的 啊，它就等于呃三分之二倍，根号十五乘以三，那就是二倍根号十五啊。

好孩子们，今天利用这个视频来给大家介绍一下四十二个模型中的第十六个叫雨伞模型。 那我们在前面的模型中给大家提到过啊，在角平分线的时候给大家提到过雨伞模型，那么今天咱们把雨伞模型单独的拉拿出来，就代表足以见证它的重要性，对不对？好，什么叫雨伞模型呢？大家来看这个图， 说在角 m、 a、 n 中， a、 p 是 它的角平分线，这是 c 塔，这个也是 c 塔， 那么我们在 am 上随便找一点 b 做角平分线的垂线，那么当我们看到这样一个图之后，你不要关心他后面问我们什么东西，我们的辅助线都是将 b 延长和 a、 n 交于 c 点，那么这个地方我们必将会有圈等以及线段的相等。好，大家来看这个图，因为这个是垂直，那么我们就可以推出来这个角，它也是九十度。好了还可以看这是 c 塔，这个也是 c 塔， 这是九十度，这个也是九十度，然后有一条公共的边，那就代表三角形 a、 b、 o 和三角形 a、 c、 o 是 全等的， 那么我们这个三角形的全等，他们的证明方法就是 a、 s、 a， 我相信大家这个都可以看得出来，那么我们只要有了全等，我们必将会推出来。大家仔细看好了，角 b 是 等于角 c 的， b、 o 是 等于 c o 的， 是不是 ab 是 等于 ac 的， 那么我们推出来这个东西之后，我们进而就可以推出来三角形 a、 b、 c 为等腰三角形，那么只要这个是一个等腰三角形，那我们就可以利用等腰三角形的性质，这个里面就出现了三线合一， 也就是说当我们看到角平分线，并且过脚脚上脚的边上的一个点做角平分线的垂线的时候，我们的辅助线必然是延长这个线段和角的另外一条边交于一点， 就会出现等腰三角形以及三线合一。那么这就是雨伞模型的特点，大家根据我视频后面给大家准备的几道题可以练一下，看看有没有把这个模型掌握，需要录播课的随时可以找我。

各位同学好，我们的中考复习计划又回来了啊，今天我们来讲的是角平分线专题，终于这个五一过过去了啊，角平分线专题呢，我们首先要知道什么是角平分线，那么就是一个角，是吧？一条线把它一蹬，一分为二，那么第一个我们要讲的是我们的角平分线模型啊，那么角平分线模型呢，有两种， 第一个呢，我们把成语叫双锤，那么第二个呢，叫单锤，双锤意思顾名思义嘛，那双锤双锤就是做两次垂直，所以呢，我们先来画一个角， 再来做一个它的角平分线，那么做两次垂直做的是什么东西呢？就往我们的角两边去做两次垂直，那么通过这个点往下做一个垂直， 往脚的这边做个垂直，那这种模型能把成角双垂啊，那利用的是我们的角平分线的性质，那就角平分线的点到角两边的距离会相等， 那么第二个呢，叫我们的单垂，那么单垂呢，它的本质原因是什么呢？单垂经常会给这样的残图啊，所以单垂一定要注意的是，你要识别出来它的残图，那就是给的一部分，那么它的原理其实是我们等腰三角形 的三线合一，那么等腰三角形呢，我们通过它的顶角的顶点往它的底边去做高，那么这条高呢，既是我们的角平分线，也是我们的中线，也是我们的高，对吧？好，所以他经常会给这样的图啊，比如说这个角平分线，然后在这边呢，他做了一次的垂直， 然后那你要识别出来，我们把这条线去延长，那这样的话，我们就可以到这个三角形呢，会是个等腰三角形啊，所以你要知道好了，这是我们的角平面的模型。 那么第二个我们角平分线还经常会讲，这个东西叫什么呢？叫有平分，有平行，必有等腰三角形啊，所以还是刚刚讲的一个等腰三角形，是吧？但他俩不太一样，所以这是个常见的组合。这个组合有什么用呢？我们在其他的那个视频中也经常提到这句话，叫有平分，有平行， 必有我们的等腰三角形好，什么意思呢？比如说啊，这个地方呢，它是一个角， 那么我们做他的一个角平分线，那再做一个我们的平行线，那这样的话，我们很轻松的可以知道角一和角二是我们的角平分定义，所以他们俩会相等，角二和角三呢，是内错角相等，所以我们可以知道角一和角三也会相等，那这个三角形呢，就是等腰三角形。 所以当你读到题目的时候，发现他给了个角平分线，又给了个平行线，那你就要想一想这里面会不会有怎样算线的存在，所以一定要把相同的角度标一标好了，这是我们讲的第二个的组合，那么我们第三个就是三条角平分线的交点， 三条角平分线的交点呢，就是三角形中哈，那么这个交点呢，把称作什么呢？叫我们的内心，因为它是内切圆的圆心 啊，内切圆的圆心。好了，那我们随便画一个三角形，假设呢，这是我们的三角形 abc， 我们来一个他的内切圆，那么所谓内切圆呢，其实就是跟我们三个边呢都相切啊，圆在这是 吧？这样那个内切圆差不太多，那我们假设呢，这个圆心呢？是我们的 o 点，我们就知道内切嘛，所以过点 o 往他做垂直，过点 o 往他做垂直，过点 o 往这个切点做垂直，那这三个都相等，晓得吧？那根据我们的切线长定里，我们就知道，那这两个边的长度呢？会相等， 这两个边的长度会相等，这个这个粗细不对啊。好，这两个边的长度会相等，我们换个颜色，这两个的长度会相等，以及呢，我们的叫做 c， 和这边的长度会相等，我们取个名字叫 df。 那既然是个圆，我们讲圆，最重要的就是它的半径，那这个半径耳该怎么求呢？我们有两种方式去求，第一种利用什么东西呢？啊？那我们在初中范围内呢？第一个是普遍性的结论，就是所有的三角形都可以这样干，所以就是一般三角形或者叫任意三角形， 都可以用我们的等积法来解决，去求它的半径啊。那你看，首先呢，我们三角形 abc， 它的面积呢？我们正常求，是不是套公式叫二分之一底乘高，知道吧？但我们在前面视频里面也讲过，我们讲求面积呢，在高中范围内还经常用另外一个形式叫两边加一角二分之一 a b 三角 c。 好， 那我们的面积还可以怎么写呢？除了这个这个方式以外，还可以这样改，我们把 a o 一 连， b o 一 连和 c o 一 连，它可以拆成我们的三角形，叫做 a b o 一 连和三角形叫做 b c o。 所以 它的三个边分别是这个边是我们的小 a、 小 b 和小 c， 我 们假设半径是我们的 r， r 和 r， 那 这样的话，我们就知道 abo 的 面积应该是二分之一个 a 啊，加上二分之一个 b 啊，再加上二分之一个 c 啊， 那面积呢，我们就把它称为 s， 那 这边呢，把二分之一和 r 提取出来，那这里面就有个 a 加 b 加 c， 那 么 a 加 b 加 c 呢？我们把它称为叫周长啊，那这样的话，我们就知道，原来 r 呢，就应该等于两倍的 s， 比上一个我们的周长啊，周长用大 c 来表示。 好，这是我们的面积的第一种方式，那么面积的第二种求法，我们刚讲的这是任意三角形都适用，那么如果他是一个特殊的直角三角形，他还可以用什么呢？还可以用我们一个非常简单的和差关系来解决，比如说这是一个直角三角形，那我们在里面呢做一个内切圆， 好，大概这样子的，这是我们的圆心，那么往下做垂直，往下做垂直，那这地方有什么特点呢？哦，因为这地方呢，本身这两个圆的半径相等，然后这是直角，这是直角，这也是直角，所以它是个矩形，那矩形邻边相等，所以这地方关键在于它有个正方形的存在，这叫 o 往它做垂直。 好，这边也是我们的 abc， 那 这条边是我们的小 r， 那 这个边就是小 r， 它就是小 r， 这就是小 r， 那 这整个边长呢？是我们的 a， 我 们就知道这条边叫 a 减 r， 那 么呢这条边呢，就应该是我们的小 b， 那 根据我们刚刚讲的全等，所以这两个边会相等，所以这条边叫我们的 a 减 r， 嗯，换个换个字母吧，一般直角都用 c 来表示，是吧？所以就是我们的小 c， 它就是我们的 b。 好， 那这条边呢，就是我们的小 c， 那这是我们的 r， 所以 这整个边是我们的 b， 所以 这条边呢，应该是我们的 b 减 r。 那 同样的道理，我们会得到这两个三角形全等，所以呢，我们这也是切线长定里，这两个边的长度会相等，那这边也是我们的 b 减 r。 哦，那我就可以得到按键的另外一种方式啊，利用我们相当于是全等来得到， 但他必须得是什么呢？他必须得是直角三角形才可以，他不是任意三角形啊，那我们就可以知道啊，那就是 b 减 r 加上一个 a 减 r， 等于我们的 c， 那 简单一个相，我们就知道 r 可以 写成叫做二分之 a 加 b 减 c。 好 了，那其实我们就知道了，你把这两个式子，那啊，不可能有两种啊，知道吧，所以啊，肯定有一只有一种，所以它的面积呢，也可以写成啊，它的半径也可以用这个方式来求，然后最后他俩肯定是相等，相等就知道什么东西呢啊，其实就是我们的勾股定力。 好，这是我们讲的内切圆，那么除了这个心式以外，我们还有一个非常重要的东西，其实我们刚刚讲这个有平分，有平行，必有三角形的组合呀，我们在这里面呢，还有个叫角平分线定底 啊，角平分线定里非常的重要啊，一定要记住这个形式，因为我们在高中范围的工作的频率也会非常的高，那么这是个等啊，不是等幺，随便画个三角形， 那么这边呢，做一条它的角平分线，好，这是我们的 abc， 这是我们的 d， 我 个人习惯，我会怎么去记忆呢？我会这样去记 一个角平分线呢，相当于是一刀把它切掉，切完之后呢，分成了左边和右边，这边也是对应的是左边和右边，所以我的记忆口诀就是左边比右边，等于左边比右边，所以我们就可以得到我们的 ab 比上一个 ac 等于我们的 b， d 比上一个 cd。 那 么选择填空，你可以直接去用啊，它证明方式也非常简单啊，你可以去用等极法来证明，或者是你把这个地方呢， 把这条线跟他做个平行线来，根据我们刚刚讲的，有有平分，有平行，必有等腰三角形，那这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这边是个内错，他也是个阿尔法，所以这个三角形呢，就是我们的等腰三角形，所以我们 a b 就 转到我们这个点，加上是 m 点，转到 b m 来了，再利用我们这个大三角形有个八字形的相似来解决，也可以得到一样的结果。 好，那你看，如果你知道这个角平面定理，想知道苏州一模这道题就可以快速解决了，因为本本身题目给了六八十的互补数，那这边呢， ab 是 我们的六，这个是我们的八，那这是我们的十，那这条线又是角平分线，所以根据我们刚刚讲的，你就假设 a、 d 的 长度是 x， 这条边呢就是我们的六减 x， 那这条线是角平分线，一刀切掉，所以左边比右边的，左边比右边，那就是十比八，等于六减 x 比上 x， x 就 能解出来， x 解出来之后这又是个直角，所以用勾股定律， 然后就可以把我们的 c、 d 给它解出来，再用我们的等级法就可以把我们的 a、 e 给它搞定了。所以这题这样做就非常的快啊，这也是我们的一个单选的一个压轴题的存在了。好了，这就咱们本期视频，感谢大家收看，我们下期再见。

中考几何压轴题，每个字都不是废话，出题人其实在每道题里面都喊了，用什么方法去做，但是你的耳朵，你的眼睛能不能听得懂？看懂，今天给大家翻译几个核心的黑话。 第一种是求线段长度，说了很多遍哈，要么勾股，要么相似，要么三角函数，要么面积法。比如最近考的圆的题，圆里面有直角，这种勾股给你有平行线，八字和 a 字相似就能够相似。 告诉我，三十度，四十五度，六十度就有三角函数，翻来覆去就这几种，要么一种方法，要么两种方法，三种结合总能算出来。第二种，求两条线段的比值。比值是啥？相似啊， 还有什么比相似更能体现比值的呢？就这么明显的告诉你，就是相似，你只要确定它是 a 字八字还是共角，子母手拉手在这些类型里面找就可以了。 第三种，求某个角度圆的。第一位，常考的角度，之前说过各种倒角方法，平行线内错角，同位角去角垂直在直角，三角形的余角去倒，用弦切角，圆周角，圆心角的关系去倒。等腰三角形，两底角相等角，凭借两个角相等去倒，最终 最重要的就是倒角，想尽一切办法去倒角。第四种是求面积。三角形面积会求吧，二分之一乘以底乘以高。四边形面积也要会求，但有时候和二次函数结合求面积，这时候要用到铅垂法，横平竖直做辅助线，本质上还是三角形，求面积就稍微转一个弯。 第五种，求最值，最短路径，最大面积，最大角度看到最短路径，想将军引马面积问题，二次函数最值化为顶点式或者隐形圆点圆最直，线圆最直，就这些。 第六种是否存在问题啊？存在性问题。点屁是什么成立？大多数都是存在的，不然出这个题干嘛呢？存在之后还是用相似的高股三角函数把几何翻译成方程解出来就可以了解出来。存在，不存在就不存在。

木易木易，数学容易，各位同学大家好，我是梅老师，今天给大家带来二零二六定心二木几何压轴题。二十六、三角形 a， b， c 是 等边，然后 e 在 a、 c 边上， d 在 b、 c 边上，又以 d， e 做了等边， 所以我们要把这两个等边三角形呢作为提射条件，在三个图里面都体现出来， a， b， a， c， b， c 等边，然后第二个图里面依然有这样一个红色等边，第三个图我们也把这个红色等边给它去画出来。 接着呢，还有一个这样的，呃， df 蓝色等边我们也画出来，方便大家这个识别。 我们把这个第二个图画了第三个图呢，一样画出来。好， ok， 既然这是提射条件，那么肯定和这两个等边三角形有关系啊。第一个让你正， a， d， e 和 c， d， f 全等， a， d， e 在 这里， c， d、 f 呢？在这这两个呢很简单，因为有两条红色的边 abcb， 还有两条蓝色的边 e， bf， 我们就写下 ab 等于 c b， e， b 等于 f b。 并且这是两个等边的话，就有两个六十度，把中间的公共部分给它减掉，两个边上的角就是相等的角， a， b， e 等于角 c， b， f ok， 我 们看第二问， 第二问，当点 d 运动到如图二的位置时候，猜想 c， e， c， f 和 cd 之间的数量关系。 那我们先把这三条边去找到这三条边呢啊，第一个是 c e 啊， c， e， 我 们就用这个紫色这一铺表示，然后又来一个 c， f， c， f 没有黄色，然后呢，最后还有一个 cd 是 吧？ cd 在 这里， 这三条边看上去离得比较远，而且这有两个等边，我们想到什么？想到用旋转来解决问题啊？因为第一个图已经提示了你，我们可以转了。 那旋转解决问题呢？就要找到共点等线，这里的共点等线很显然是 df 和 d e， 对 吧？所以我们看到 df 应该是向左去逆时针旋转了六十度， 所以我们也应该把这个 dc 旋转六十度。 dc 如果旋转六十度的话，那就变成了这个位置啊，这个位置就是 c 撇 c 撇， 那同样的 f c 就 会跟着它过去，变成了这个 ec 撇，是吧？好了，很显然这里的，呃，这里的这个 c 撇，我们当是 h 吧。 h dc 角 h dc 等于六十度，角 h c d 也等于六十度，所以这个三角形 d h c 是 等边， 也就意味着 d c 等于 d h 还等于这个 h c。 又因为 f c 等于 e h 是 吧？它是转过去的两种黄色， 所以最终你就找到他们的关系啊。这个 e h 加上 h c 应该等于 e c， 也就是我们题里面的，呃，这个 cd 加上 cf 等于 c e 是 吧？好的，题目做完了 第三问，第二问，看到我们第三问和第二问呢，只是这个三角形它到了延长线上了，其他的有区别没？没区别，所以我们仍然去找一下这几条线段。第一条我们就找的是，找的是 ec 是 吧？ c e c e 刚刚用紫色，我们现在也用这个紫色表示一下在这里，然后又整了一个 cfcf， 线就变成这个了。 那最后的 cd 呢？在这里是吧？和左边这个图呢，几乎一样，我们依然需要去通过旋转把这个问题解决掉。现在怎么转呢？刚刚怎么转呢？刚刚我们是围绕着点 d 来转的，对吧？点 d 是 公共点，那么这里就找着点 d 转谁呢啊？我们的 c e d 是 不是可以给它转到 e d， 转到了 f d， 那 我们就可以把它也啊，这个顺时针旋转多少度？六十度是吧？把这个绿色的也转六十度，转六十度之后，绿色就跑哪去了？大概就在这种位置是吧？这种位置 六十度，然后这个点呢，依然当做 h 点吧。好，这个点到 h， 那 这个时候紫色会不会也跟着转过来呢？是吧？紫色呢，也就会转到这个 f h 这里去了。好，现在呢，这两个阴影部分的三角形呢，其实又是旋转前后的东西，它就全等了吧。 既然全懂了，我们就可以写一下啊，同理啊，这里我们就有。其实第三个他没有让你写理，我们先简单写下。同理呢，三角形 c h d 还是一个等边是吧？所以这里 c h 等于 cd， 是 吧？ 所以呢，我们的 c f 就 刚好等于 c h 加上 h f， 那么它们三个的数量关系就是 c f 会等于 c d 加上这里的 c e。 结束，关注我，考试再提十分。

木易木易，数学容易，各位同学大家好，我是木易老师，今天给大家带来二零二六庆阳一模几何压轴题二十六题，如图一，在正方形边 a、 b 上取了一个点， e 作 e， f 垂直于 a、 b， 这个时候呢，我们看到 f 在 b、 d 对 角线上，所以这里会有四十五度，那这个三角形呢，其实就是一个等值三角形，我们需要把它的 e、 b 和 f e 相等，我们标注出来，又告诉你这个既是 f d 的 终点， g 是 中点，然后那 f g 和 d g 就 相等。现在第一个问你什么？问你 eg 和 c g 的 关系连接 eg 和 c g， 它俩的数量关系能怎么样？只能相等了，位置关系呢？猜一猜，可能垂直吧。那怎么证明这里用到中点用法之一的平行线加中点， 平行线加中点呢？有的时候呢，又被叫做什么？被长中线也是一个意思啊，我们只需要把 e g 给被长，或者说我们不需要去被长，我们直接去延长，延长他到底什么地方到与 a、 d 的 延长线 有一个交点的地方，交到哪里交这个点呢？就叫做 h 吧。这个时候呢，因为是平行的，所以呢会有很多的角相等， 再加上一个对顶角，其实三个角形相等了，再加上其中一条边，那就是 f g 等于 d g， 很 容易证明这两个红色的三角形是全等的。我们先写第一问啊，先正 三角形， e， f、 g 全等于三角形 h， d g 正完这个之后，我们看怎么去正 e g 和 c g 的 关系，连接 ec 和这里的 h c。 连接完之后呢，我们就可以从第一问正出的一组全等里面得到一个 d h 是 等于 e f 的， 那 e f 又等于 b e， 对 吧？ 所以呢，这在正方形当中呢，其实再加上一个边长，我们就可以用 h l 去证明这个新的三角形，也就我们把它标成黑色啊，黑色的这个三角形呢，是这两个三角形，全等， 这俩圈能有什么用，我们就能知道。哎，本身这两个黄色线之间是九十度，然后呢，这个黑色的点和这个黑色点是一样的，所以这两个绿色的线其实也是九十度，对吧？我们可以等量代换一下，那我们就写第二步的过程啊，那么在这 三角形 e b c 全等于三角形 h d c 这里用了 h l， 那 么所以 ec 就 垂直于 h c 它俩之间九十度。 然后呢，又因为啊，这个 g 是 终点啊，并且啊，这个 e e c 还是和 h c 相等的啊，等于 h c 又垂直又相等，所以三角形 e c h 就是 一个等值，是吧？等值三角形， 那又告诉你， g 其实是 e h 的 终点，对吧？为什么终点？因为第一步呢？全呢，已经证明了啊，又因为 eg 等于 h g， 那 么所以 啊，这就是一个直角三角形，斜边上的中点就等于斜边的一半，所以这个 c g 就 等于二分之一， e h 就 等于 e g， 那 么同时呢，这里因为等值了，所以呢，这个 c g 还垂直于 e g， 是 吧？第一问结束了， 第二问，其实我们可以先把题干的条件标一下，题干的条件就是这个三角形还没变，他说了旋转，但这个三角形呢，他本身还是一个等腰直角三角形，对吧？所以这个 e f 和 e b 仍然相等。 接下来还有一个终点，条件也是通用的，那就是 g 是 f d 的 终点， f g 等于 d g， 这你怎么办？他还问你的是这个 e g 和 c g 的 数量关系和位置关系，只不过没让你直接写，没让你做，让你写，对吧？ 那看看和左边图有什么区别？没区别，我们仍然是延长 e g， 这次呢，我们就需要延到了 c d 延长线的位置啊，这个位置呢，我们仍然叫做 h。 其实呢，他和第一问的证明方法就一样，先证明这两全等 啊，然后再去证第二组全等。这道题呢，第一问反而比第二问还麻烦，因为第二问发现这里需不需要证全等？不需要啦，只需要证明第一组全等，我们就能证这个。也就是啊，这个 ec 和 hc 这两条边相等，对吧？ 都是加上一个紫色边，都是由我们的正方形边长这个黄色边加上了一段紫色边，这样去正的，那正完了这个全等的，那我们不就说明这个 e g 和 c g 还是垂直的，并且 e g 也等于 c g 了，是吧？所以第二个呢，显得比第一个还要简单一点。 第三问，他又把这个三角形转了一下，我们直接把这个 e b e 和这个 f e 标一下，接下来呢，再把这个 f g 和 d g 也标一下。 ok， 发现啊，我们还是要让你去找 e g 和 c g 的 关系啊， e g 和 c g 的 关系咋办呢？那继续延长呗，延长 e g， 这个时候我们直接交 a d 与 h 就 行，所以我们依然能证明这两个红色三角形全等。 好，第三，我们就不写过程了，然后接着呢，证完红色，我们就证另外一个三角形，另外一个三角形就是以其中的一边， 然后再加上这个 h c 和。呃，这里连的是 h c 和什么？应该和 e c， 对 吧？这两个三角形呢？哎，这两个黑色三角形依然是全等的啊。 全等之后，那我们其实就能写出呃，这个所谓 c g 和 e g 的 关系了，它俩其实 c g 依然是等于一 g， 并且 c g 是 垂直于一 g 的， 对吧？好的， ok， 这就是这道题。关注我，考试再提，十分。

同学们好，我是蔡老师，今天蔡老师要给大家分享我们在考试的时候一个提速技巧，叫做解析的时候直过所应按照题目的信息去推演他的已知内容，然后节约我们的考试时间。在直角三角形 a、 b、 c 中，我们有一个九十度啊，是这个角 c 给它标注上来， d 是 线段 bc 上一个点，随机的一个点，我们给它标注一下，现在将这个线段 d a 绕着这个 d 顺时针旋转九十度到 d e 也就得到这里是个等腰直角三角形。 好，那我们把这个信息标注完之后啊，我们来看一下小的题干告诉了 a， d 是 三角形 abc 的 角平分线，标注一下这个是角平分线是两个 x， 再来这边也是一个 x， 我 们题目要求这个单调角 d， a、 c 的 值，也就是要找具体的线段之间的比例。好，那我们发现题目已知的线段是不是这个 e f 和 d e f 相等，所以我们不妨啊，就是设这个 e f 是 a， 那 d f 就 也是 a， 这个 d a， 它是不是就是二 a 好 适合这个旋转这个星期去触达起来，所以我们发现已知的线段在一个三角形中，是不是结合的是这个三角形 a， f、 d 又因为角等啊，所以我们不是直接求这个贪点值，而是去间接求， 所以转换成单调角 f， a， d 啊，对边比邻边，答案是二分之一。我们再来看第二小问，现在要求证 a， e 和 b， e 是 垂直的，我们知道啊，你在求证一个直角的时候，是不是就是想要去把它放到一个什么里面去呢？第一个啊，就是把它放到一个等腰直角三角形中， 我们发现题目已经有了一个小的等腰直角三角形 e、 a、 d， 所以 我们是不是就有一个思路，之前老师讲过，就是 用大震小啊，是我们之前讲过的一个震四十五度的思路，那现在在这个题目里面，我们要震一个大的三角形，哎，那能不能去 迁移一下，转换成小震大呢？哎，这时候有同学就要想了啊，那既然我想要直接震这个九十度，能不能就基于现在题目的条件去给他操作一番？同学就想了，哎，那这个地方我们能不能就是啊，把这个图形去给他补全， 把这个小的等腰直角 a、 d、 e 给它延长，补全成一个大的等腰直角三角形，转换出一个小增大的思维。那这里我们可以取一个 g 点啊，也就是 看一下这个题目里面能不能把这个 f、 d， g 也是等腰直角正出来，或者正这个大的三角形 a、 e、 g 是 等腰直角，那现在要正它是直角， 是不是我们就可以去利用他的一半是等腰直角，利用一个对称型，那我们如果正一个等腰三角形出来，是不是就可以把这个目标实现好？所以我们连接的这个辅助线啊，大概率是没有什么问题的。现在就是在这里要去想了， 他跟我们其他的条件有什么触发的点，预计如果去延长过来，我们能否就是在考试的时候想到啊， 这个地方 a d 和这个 d g， 如果说啊，按照这样的一个结论来说的话，这个地点是 a g 的 中点，那是不是就是 a d 是 等于 d g， 也就是这里出发的是一个中线 对长的一个思维，我们这个 a、 d 能不能把它去延长，加上这里又是直角，加上还有这个一些角度关系，所以在这个地方啊，我们的辅助线就是 你需要去舍弃一些东西，既要实现这个中线被长，又要实现 a、 d 和这个 b 交于记点，又要实现这个 a、 d 被长，照这个记点。所以我们来想一下，从知识点的角度出发，我们是不是就是以这个中线被长更加有迹可循，我们选择的是这个中线被长？思路，好， 那这个中线被长我们就要找了，他还有别的中线吗？我们就要想了，刚刚有角平分线啊，这里角平分线加垂直，能不能想到？就是啊， 角平分线加垂直是我们讲的角平分线里面的基础模型，也就是如果把这个 f、 d 啊向下去延长，交于这个 h 点，那是不是就可以得到 f、 d 和这个 d、 h 相等，以及倍长 a、 d 之后 a、 d 和这个 d、 g 相等，那我们就可以下一步是连接这个 f、 g 啊， 从而去占一个八字形的全等，也就是三角形 d， a、 h 是 全等于三角形 d、 g， f， 好， 它们俩全等，那我们就可以得到 f g 啊，它是平行于这个 a、 h 介于平行，我们是不是可以得到内错角相等，也就是角 f、 g、 d 啊，是等于角 d、 a、 c 好， 那这里是不是又延伸出了一个什么？是不是又和角平分线加上平行转换出等腰这个知识点结合好，也就得到三角形 f、 a、 g， 它是一个等腰，三角形 三角形 f、 a、 g 是 等腰，所以 fa 等于 f g， 那 是不是就可以转换出这个是一个垂直平分线啊？ ef 垂直平分 a g， 所以 我们可以得到 e a 就 等于 e g， 那 就可以得到，这是一个确定的等腰直角三角形。 所以我们啊，在这个地方很容易，就是有同学在走到一半的时候不敢再向下推了啊，那我们需要干嘛呢？就是从别的信息去联动啊， 去通过目标推导我的目标，既然是这个就坚定这个目标，那再和其他的心去联动起来，所以在这个地方角平分线是一个很突出的点。好，这是一种方法。 还有同学说，老师我考试又想不到这个方法，那怎么办呢？我们还能基于啊，这里 f 点是不是也是一个终点？ 刚刚这个 d 点，这里的中点需要我们利用角平分线加垂直延长啊，是个隐藏的中点，但是这个 f 点，这个中点，它是一个非常清晰的中点，所以我们不妨也可以基于这个是垂直，我们去做一个中线被长啊，把这个 af 去给它被长过来。因为我们的解析策略啊，就是延长这个 af， 然后我们再连接一下这个 e 点，到这个被长之后的点，那我们在这个地方取一个 g 点啊，好，那这个中间被长可以带来一个什么好处？如果设这两个还是 x 的 话，由于中线被长啊，我们得到这里它是一个中点加被长得到垂直啊， 所以这个地方也是一个 x。 好， x 和这个 x， 还有这个 x， 还有这里刚刚的 x 是 不是联动起来？所以我们联动之后啊， 一个角等加上一个公共边，我们就去找边啊，这个 a、 d 中间被长是等于 eg， 然后 eg 呢？他又是和这个地方的 f、 d 是 不是就相等了？因为 a、 d 等于 e d 好， 所以有一组边等，那又因为这一组边是已知的公共边，但是我们要正的是这个角啊，这两个角相等 e d 和 e g 是 不是个小等腰？一个飞标的一个形态，多了两个 x， 可以 用到一组等量减另一组等量，等于新的一组等量，通过等角对等边啊，转换出一组新的边，因为现在已经 b 的 没办法了，我们必须要去证这个 b， d 等于这个 b g 才行啊， 为什么呢？因为给的是这组假角，是知道的啊，已知角，所以我们就可以连接这个 d g 啊，因为 e d 等于 e g， 所以 角 e， d， g 等于角 e g， d， 再因为这两个都是 x， 所以 我们得到这个角 b， d， g 等于这个角 b， g、 d， 从而翻译出 b， d 等于 b g。 好 在这里啊，我们证明就比较快了，去证两个三角形 e、 b、 d 和三角形 e， b、 g 是 全等的，他们俩全等，那我们就可以翻译出什么呢？就可以翻译出这个角 d， e， b 等于角 g e b 啊，好老师，在这个地方啊，讲解的第二种方法肯定是更简单， 但是我想要通过第一种方法教会大家，就是我们在考试的时候，如果说啊，你走到了一个进退两难的地步，那你可以通过我们比较常规的思路啊，角平分线加垂直，我们去给他延长之后， 得到这个地方依旧是一个终点，所以我们再去构造倍长之后啊，然后倍长之后再去连接，同时依旧能正出平行，正出平行之后啊，利用内错角相等，这边是 x 和 x， 那 和这个 x 联动起来， 同样翻译出啊等腰。所以我们发现这道题无论是用方法一还是方法二，他的一个要点是不是都是中线被长，以及等腰里面的等角对等边等边对等角。在我们刷题的过程中，是通过一些卡顿的点去记忆一些几何小组合，比方说这个地方 我们有了一组等腰，在里面又有一个凹进去的飞镖形，两个角又是相等的，那我们不妨就连接一下这个 d、 g 啊，把它通过倒角的方法正出，底下的这个 b、 d 和这个 b、 g 是 相等的。这样的一些小模型可以帮助我们在考试的时候去增长自己的一个解析策略。 好，我们再来看最后一问， a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 中线时设摊平角 d， a、 c 是 t 摊平角 b、 d、 e 是 y， 要求 y 和 t 的 函数关系。那这个第二问就是更加清晰的要用到我们这个直角所应啊。我们通过目标去倒推已知信息，因为目标已经很明确了， 因为这个地方的目标已经很明确了， t 和 y 要求它的函数关系值，所以我们要把这些信息表示出来。 好，那就看题目里面给的要点啊。他说当 a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 中线的时候， a、 d 是 中线，所以我们得到 b、 d 是 等于 c、 d 的。 现在这个摊停角 d， a、 c 等于 t。 好， 那我们就可以直接啊去转换一下信息， 在这个地方给的是一个角 b、 e、 d 的 摊停值，以及还有这个角在这个地方我们要表示的是角 d、 a、 c 和角 b、 e、 d 的 摊平值，那角 d、 a、 c 显然它在一个直角三角形中，我们稍后可以直接表示，可是这个 b、 e、 d 它还没在直角三角形中，那我们就就近原则啊，去给它做一个 垂线啊。好，那我们就可以直接这么去做垂啊，为什么这么去做垂比较好呢？因为我们题目里面这里是不是有一个直角，所以这里做垂起码能转换出一些倒角的思路啊，所以这里取一个 h 点。好，我们这个地方啊，角 b、 e、 d， 它的弹挺值就是等于它的对边这个 b h 比上这里的 e、 h， 而我们这个角 d、 a、 c， 它的弹停值就等于这个 d、 c 比上 a、 c。 好， 那在这里啊，我们就从题目里面去看一下，好像没有什么信息能够被我们使用了，但是在题干的大前提里面是不是有这个旋转呢？ 对不对？好，所以你这个地方给了旋转，以及告诉了这个 a、 d 啊，它是三角形 a、 b、 c 的 中线，所以我们可以得到 b、 d 和 d、 c 是 不是相等的，那在这个地方我们就可以， 那在这个地方，因为题目它给的是一个什么呢？给的是一个 好前面的几何内容，我们把记忆清空一下啊，现在来处理的是一个函数和几何的一个综合问题， 给的是 a、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 中线时，那我们可以翻译出 b、 d 和这个 c、 d 是 相等的，这是题目给的一个等量关系。再来，在这个地方给的是 tan t， 角 d、 a、 c 是 等于 t， 所以 我们相当于这是一个已知的信息啊， 然后摊定角 b， e、 d 也是等于 y， 也是一个已知的信息。那我们从题目里面啊，因为他这个地方给的具体的量，所以我们就可以把它作为一个已知信息去使用。那我们先来把摊定角 d a c 快 速表示一下，它是等于 c d 比 a c。 这里啊，就是给大家讲一个巧妙的设未知数的方法， a c 它是分母，所以我们就直接设 a c 等于一，然后这个 c d 是 不是就直接等于 t 了？ 这样的话啊，我们解题会比较快一点？好，那 a d 的 值是不是就可以写成根号下一加上 t 的 平方 好，也就是 a d 等于根号下一加上这个 t 方好。因为我们是把这个 a d 转到了 e d， 所以 e d 是 不是也可以表示为根号下一加上这个 t 的 平方好，那在这里啊，还有一个信息是这个 b d 它也等于 t， 接下来是不是就到了下一个步骤要处理这个 y 了？ y 它对应的是这个角 b e、 d 啊，它的摊点值，所以在这里基本上还没有直角给它放进去。那我们可以直接啊过这个 b 点，往这个 e f 上做垂取一个 h 点，也就是表示成 b h 比上这里的 e h。 那 我们刚刚前面的这个角平分线里面三个角等啊，哪些信息能继续引用的呢？这个第一个角平分线是不是寄于第一个小问里面给的？但是这个地方啊，九十度的旋转，这个 x 和这个 x 是 不是依旧成立， 对不对？所以我们发现啊，这两个 x 依旧成立的时候，它的三角函数值是不是依旧受用 后面的这个 b h 啊？它是对应的什么？对应的是这个角 x 的 对边，而我们知道的是这个角 x 的 斜边，所以是不是要用到它的什么？是不是对边比斜边就是用到 sine 值啊，也就是这个 sine 值的一个使用， 是我们帮助我们求 b h 们可以预判到一个点，就是在中考中肯定三角函数这个概念是越来越增加它的一个含金量的， 所以那这道题就是很好的一个三角函数的题，我们就来强化一下，怎么样在考试的时候有目的的去寻找用什么三角函数值，知道的是斜边，所以我们用的是这个 b h 比上这里的 b d， 也就是 b h 是 为带球的线段，在这个地方目标要求 b d 是 知道的设了一个 t 啊，所以也就是这个三角形中啊，三角形 a d c 中它是可解的 大于 x， 是 对边比斜边，也是 t 比上根号下一加上 t 方。好，所以这个 b h 啊，我们转换出来，把这个 t 乘过来，那就是 t 方除以根号下一加上 t 方，好，那再来看这个 e h 怎么去表示 一 h， 它是不是和 d e 的 和是等于这个根号下一加梯方，所以啊，这个 d h 也需要表示出来。刚刚的散是 t 比上根号下一加梯方，那这个扩散也就应该是一比上根号下一加梯方，所以啊，这个地方要求 d h， 它就等于根号下一加上梯方，分之 t 啊，好，那现在 d h 也知道了，是不是就只需要把 e h 表示出来， e h 怎么表示呢？它是一 d 减去 d h 啊，也就是根号下一加上梯方减去根号下一加上梯方分之 t， 好，在这个式子里面是不是要实现一个通分？好，那我们分母就是根号下 e 加上 t 方，这里啊，它成了个根号下 e 加 t 方，那就是 e 加上 t 方减 t， 好， e h 变成这个样子，那我们再来把 y 表示出来啊， y 对 应呢，就是 b h 比 e h b h， 它的分子和分母它们分子是不是一样的？把这个啊，取倒数， 这个就可以约分掉啊，所以我们可以得到， y 是 等于梯方除以一加上梯方减去 t， 好， 也就是求 y 与 t 的 函数关系式，是不是就出来了，这个 y 是 等于梯方除以一加上梯方减 t 啊， 这样的话， y 和 t 的 关系我们就写出来了。最后啊，他要求的什么呢？还要去求这个 y， 还要求这个 y 的 最值啊，最大值。那我们来看一下这个式子，它是一个啊， 分子和分母都含有未知数，所以我们不妨啊，就去弄用一个小的操作，把分子分母同时去除一 t 方，好，下面除以 t 方，就变成了这个 t 方分之一加上一，再减去 t 分 之一，好，分子变成了一个常数。一，现在就是分母啊，它是一个关于 t 分 之一的一个二次函数的一个表达式啊。好，所以我们可以直接啊，令这个 a 等于 t 分 之一，那底下这一串啊，令它就是 b 等于这个底下这一串，那就是 a 方减 a 加一，对不对？用一个换元的思路啊， 那当这个 a 取到负的二 a 分 之 b 的 时候，也就是负的二分之负一，也就是二分之一时啊，我们这个 b 它有一个最什么值？因为是开口向上的函数，所以 b 有 一个最小值啊，这个 b 取最小值，那这个 y 是 不是又取最大值？ 我们发现这个 delta 它是不是等于什么？这个 delta 它是等于一减去四是不是小于零？所以函数啊，这个 b 它的取值肯定是恒大于零的，一除一个大于零的数啊，我们这个数越 小，这个 y 的 值就越大啊，所以现在只需要把这个 b 的 最小值求出来。 h 二分之一的时候，这个 b 它有一个最小值啊，这个 b 它是等于 四分之三的。好，我们求出来这个 b 他的最小值是四分之三，所以我们这个 y 的 最大值啊，就是三分之四。好，这就是我们一些稍微复杂的题，他会用到什么思维呢？我们会发现这个函数的处理以及这个最值的处理都非常巧妙，而且他考的难度都比较大啊， 所以如果我们在前面的问里面没有办法速度快一点的话，你到后面的这几问是没有时间去写的。我们通过这个题给大家去预测一下，就是我们在中考中很有可能就是去考三角函数和一些函数值的关系，这样的话就是 更好去筛选能够进入高中的一个学生啊，然后帮助我们去拉开一个解析的一个差距度。好，这就今天给大家分享的题目，你听懂了吗？

木易木易，数学容易沟通。大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六天水一摸几何压轴题，二十六题，正方形边长是二，所以上下左右都是二， e、 f 分 别是动点 c， g、 f 的 周长告诉你四，那这个周长的条件呢，只能理解成 e f 加上 e c 加上 f， c 等于四， 然后呢，即是延长线上的一点， g b 等于 d f。 我 们先找找 g b 在 这， d， f 在 这。 第一问，让你证明 a g 和 af 垂直，我们看在哪里啊？ a g 在 这里， af 在 这里，它两垂直，其实呢，非常好证，因为这是一个正方形，所以呢，这里 a、 d 和 ab 是 相等的，而且啊，还有两直角，所以第一问啊，我们就可以证明 啊，这可我们可以非常容易的证明， a， d、 f 全等于三角形， a b g 什么理由呢？这是 s a s 的 理由对吧？ 证明全等，那么就意味着，哎，这边的 d a f 加上以 b， a f 是 九十，那么全等了之后呢， g a b 也是 d a f， 所以呢，圈叉也互余拉，那这里呢，垂直就证明出来了，是吧？我们这里呢，就不写其他的过程了。第二，问问 e a、 f 的 大小是否定值，我们要看 e f 的 大小，我们就不得不把 a e 连起来看看啊，其实连到这样呢，有细心的小朋友发现，这其实就是半角模型，所以 e f 应该多少度？应该是四十五，对吧， 但我们看怎么正啊？因为第一，我们已经证明了 ag 和 af 相等，所以现在要正 ef 四十五，就是要正 ae 把这个 gaf 平分，也就是说啊，左右两边要全等，那既然要全等，我们就要用到刚才的这个周长条件了， 我们看到啊，这个周长是三条边组成的，所以我们先不妨先推演一下，把 fc 设为 a， 把 e c 设为 b， 那 么 d f 就是 二减 a， g b 也是二减 a， 那 么 b e 是 多少？是二减 b， 对 吧？ 然后最后剩下的 e f 是 多少？就是整个周长减去 a 再减 b， 然后你就发现这里的 g e 其实是二减 a， 加上二减 b， 其实就是四减 a， 四减 b。 所以 啊，这里的 g e 和 a f e 就 因为三边相等而全等。 我们直接写下第二问。第二问，要写这个过程呢，就必须要先说明一下，这两个 e f 和 g 相等。所以我们就可以先设啊，这个 f c 呢，其实就等于二减 d f 也就等于二减去 g b， 然后呢，这里的呃，这个 e、 f 应该刚好等于四减去 e c， 再减去 f c， 那 么四减去 e c 再减去 f c， f c 又是多少呢？二减 g b， 对 吧？所以发现 这里 e f 变成多少了？变成了二减去 e c 负的正，加上 g b 了。 哎，我们看看这里二减去 e c 是 谁？二减去 e c 其实就是 b e 吧，对不对？ b e 再加上 g b 是 多少啊？ b e 加 g b 呢？不就是 g e 吗？对吧？ 那么所以啊，我们可以写出在三角形 a g e 与三角形 a、 f e 中，这三个边都相等啊。首先啊， a g 等于 af， a e 等于 a e， 最后刚刚的 g e 含等于 f e， 所以 说这两个三角形就是全等条件，我这里不写了，既然全等了，那就可以证明角 e a f 就 等于四十五度。 ok， 我 们这里不多写啊。最后就问 问的是 m， 如果是 bc 边的中点， m， 如果是 bc 的 中点，那我们先把前面的条件先拿过来啊，有用的。其中呢，第一个就是边长，这里有用了啊，这里的 ab， ab 和 ad 相等，然后还有这个 a e， 把 g a f 这个九十度给平分掉了，左右两边全等，再加上刚才已经证明的这个 g e 和 e f 是 相等的。其实我们就把左边的最重要的形式都拿过来，拿过来之后发现啊，这里 m 如果是中点的话， m 如果是中点， 那么整个边长是二的正方形， b m 就是 一对吧， b m 就是 一。接着呢，他会问你的是过 a 做了 a h 垂直，做了垂直之后怎么样？ 我们很容易想到，如果这里也垂直的话，哎，那么就有可能会有第二组全等出现， 我们仔细证一下两个直角，然后加一个绿边，好像他没法全等，但是不要忘了，第一个我们已经证明了 a g e 和 a f e 全等， 所以呢，这两边两个大的，也就是说 a g b 和 a f h 全等其实要更容易一些。为什么？因为已经证明了呀，这个角 g 和这个角 f a f e 相等，然后又加上一个直角 啊，再加上这个边 a g 和 af 是 相等的呀，所以呢，这里就能够挣全等。挣完全等有什么用？挣完全等就知道 这里的 a h 和 ab 相等，他都是二，他都是二之后要挣 h m 的 这个最小值。那其实呢，我们只需要把它放进一个三角形里面。放进怎样一个三角形呢？我们把 am 可以 连一下 这个三角形里面，那么两边之和大于第三边，所以 h m 一定会，哎，这个小于等于 a m 和 a n h 的 和，而后会大于等于 a m 和 a h 的 差，这样最小值就求出来了，所以我们这里写一下第三问啊。第三问， 我们首先呢，需呃，需要证一下左右两边全等，是吧，对吧？呃，在三角形 a b g 和三角形 a f h 中， 这里有 a g 等于 af， 而且角 a b g 等于角 a f h， 所以说三角形 a b g 全等于三角形 a h f， 这用的是 a a s 全等之后，那 a h 就 等于 ab 就 等于二，它等于二。那么不难得出啊， b m 等于一 啊，在三角形 a h m 中啊，当然这里可能还需要连接一下 am， 是 吧？在这个三角形里面，我因为我们这会要求最小值。最小值是什么？三点勾线的时候它最小吧，对吧？ 那这个 h m 它一定会大于等于。呃，也就是这个 am 减去 a h， 对 吧？那 am 又咋算呢？ am， 你 看到我们在整个一个 a b m 三角形里面，这里 b m 是 一， ab 是 二，所以 am 就是 根号五，是吧？ 呃，那么就大等于啊，根号五减去几？减去这个 a h 长度二，所以说 h m 的 最小值是 根号五减二。结束，关注我，考试再提十分。

好孩子们，今天我们利用这个视频给大家讲一讲四十二个模型中的第十个模型，角平分线模型。那么角平分线模型对于我们来说它比较重要，因为我们会涉及到四大类模型， 那么大家来仔细看一下我们最原始的角平分线模型，如果说这个是角平分线，那么这个角和这个角必将是相等的， 那我们第一个是要想到的是什么呢？比如说我们在角平分线上随便取一个点，我们如果说往角的两边做垂线，孩子们他俩是不是相同？ 那当我们看到角平分线的时候，我们首先要想到这样一个模型。好了，那咱们来看第二个，如果说我们仍然做了角 m o n 的 角平分线， 这个时候我们在上面随便取一点 p， 然后在 o n 上也随便取一点 a， 连接 a p。 孩子们，如果说这个时候我们要想到辅助线的话是什么呢？那就是对称性的辅助线， 我们做 a 点，关于角平分线的对称点，它就会有一个 a 一， 你连接 p a 一 之后，这个地方必定会出现全等的三角形，而且它们相等， 角相等，角相等，角也相等，边还相等，所以说当我们利用好平角平分线之后，那么这个模型里面就会出现全等。好，这是第二个，那么接下来咱们看第三个， 我们仍然做角 m o n 的 平分线，这个时候我们仍然在角平分线上随便取一点 p， 并且过 p 点做其中一条边的平行线。 那么我们做了平行线之后，假设交于 a 点，孩子们你会发现这个角 r 法，这个角也是 r 法， 因为平行内错角相等，所以这个角还是 r 法，那么这样子的话，我们就得到了 a o 等于 a p， 也就相当于我们做了平行线之后，它必定会出现等腰三角形。 ok， 那 么咱们来看第四个，我们仍然画一个角 m o n， 并且画他的角平分线，这个时候我们反过来做一下，我们过角平分线上一点，做角平分线的垂线和角的一边交于 a 点。 当我们看到这个模型的时候，我们就要想到将 a p 延长和 o m 交于 b 点，大家会发现这个东西特别像一把雨伞，所以说这个我们在数学上也称为雨伞模型。 那么我们做出来这个雨伞模型之后，大家仔细观察一下，是不是就会出现垂直平分线呀？孩子们，角平分线就变成了 a b 的 垂直平分线，那就必将会有三线合一，垂直相等相等，角也相等， 那么我们会利用角平分线的特点，想到这四个辅助线的添加方法，大家可以根据我们视频最后给大家附带的练习，看一看能不能把它给做出来，需要录播课的随时私信找我。

大家好，今天我们来学习初中几何中最重要的模型之一，角平分线模型。角平分线是从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线。射线 o c。 平分角 a、 o b， 使得角 a、 o k 等于角 b o k。 角平分线模型的核心口诀见角平分做垂线，距离相等。自然线角平分线的性质定离角平分线上的点到角两边的距离相等。在角平分线 o c 上取一点 p 过 p， 向角的两边 o a 和 o b 做垂线，垂足分别为 d 和 e， 则 p d 等于 pe。 证明在直角三角形 o p d 和 opp 中，角抛等于角抛。 o p 是 公共边。由 h l 定律两三角形全等，所以 p d 等于 p e 定律也成立。如果 p d 等于 p e 且 p d 垂直 o a， pe 垂直 o b， 那 么点 p 一定在角 a、 o b 的 平分线上。 模型一，角平分线加垂两边，这是最基础最常用的模型口诀见角平分向两边做垂线，过角平分线上的点 p 向角的两边， o a 和 o b 分 别做垂线 p d 和 p e。 由性质定律 p d 等于 p e。 同时构造了两个全等的直角三角形， 这个模型可以用来求距离正线段相等，求面积。模型二，角平分线加垂中间。口诀，角平分线加垂线等。幺三角形 b 线。当角平分线上有一条垂直于角平分线的线段时，延长它与角的两边相交于 a 和 b。 由 a 萨定律，三角形 o p 全等于三角形 o a b 是 等幺三角形。 角平分线中线高三线合一图形。三角平分线加截长补短，构造轴对称全等。在角的一边 o a 上取点 a， 在 另一边 o b 上截取 o c 等于 o a 连接 pa 和 pc。 由 s a s 定律，角 a， o p 等于角 cop， o a 等于 o c， o p 是 公共边，所以三角形 op 全等于三角形 o c p。 口诀，角的两边截等长 s a， s 全等直接上。现在我们学习如何用尺规作图的方法做出一个角的平分线。第一步，以顶点 o 为圆心，适当长度为半径，画弧交角的两边与点 d 和点 e。 第二步，分别以 d 和 e 为圆心，以大于 d e 一 半的长度为半径，在角内画弧，两弧交于点 f。 第三步，做射线 o f。 射线 o f 就是 角 a o b 的 平分线。验证一下，射线 o f 确实把角 a、 o、 b 分 成了两个相等的角。口诀，以顶点为圆心画弧，两焦点为圆心再画弧，焦点连顶点角平分线。就做出 角平分线模型。有哪些常见应用呢？应用一，求点到直线的距离。应用二，证明线段相等。应用三，构造等幺三角形。利用三线合一。应用四，截长补短，正线段合差。应用五，面积问题中高等于距离。 记住三大口诀。总结一下，角平分线的核心性质是到两边距离。记住三大模型，垂两边垂，中间截长补短。 逆定力也成立到两边距离相等的点在角平分线上。记住口诀，见角平分做垂线，距离相等自然线。感谢观看！

今天我们来看一道中考模拟卷的几何压轴题。我们先来看第一本 a、 b 等于 a、 c。 角 b， a、 c 等于六十度。角 a、 e、 b 等于角 a、 f、 c 等于一百二十度。我们要证明这两个三角形全等。 而现在我们已知一组边等一组角等，我们发现这两个角相加是六十度，而这两个角相加也等于这个外角也等于六十度。所以我们能得出角一 a、 c 等于角一 b a， 我 们可以通过两角一边来证明这两个三角形全等。我们再看第二问， a、 b 等于 a、 c， 角 b a、 c 等于一百二十度。 角 a、 b 和角 f 都等于六十度， c、 f 等于二， a、 f 等于五。我们要求线段 b 的 长。题目中给了我们一些角度，所以我们可以先设参考角， 我们设角 c、 a、 f 等于 r 法，所以角 b、 a、 f 等于一百二十。减 r 法，角，呃，这个角等于三十加。 r 法， 所以角 e、 a、 b 就 等于六十加。而法，因为角 f 等于六十度，我们发现这个三角形的外角角 a、 c、 h 也等于六十加。而法，我们现在发现了一边一角，我们可以构造全等三角形， 延长 f、 c 至点 h， 使 c、 h 等于 a、 e， 然后连接 a、 h， 我 们就能证明三角形 a、 c、 h 和三角形 a、 b、 e 是 全等的，这样 b、 e 就 转化到了 a、 h 上面。 角 b、 e、 a 就 等于角 h 等于六十度。而在这个三角形中，角 f 也等于六十度，所以三个角都是六十度。这个三角形是一个等边三角形 af 就 等于 ah 等于五，所以 b、 e 就 等于五。 我们再看第三问， ab 等于二分之一的 ac。 角 b， a、 c 等于一百二十度， 角 a、 e、 b 等于六十度。角 afc 是 七十五度， b、 e 是 一， a， e 是 四圈 e， 我 们要求 af 的 长，我们同样可以设参考角， 我们设角 b、 a、 e 为 r 法，所以角 e、 a、 c 就是 一百二十假，而角 afc 是 七十五度，所以我们能得出角 f、 c 是 四十五度假而法。 这时我们发现角 e、 b、 a 和角 e、 a、 c 都是一百二十角， 而 a、 b 和 a、 c 的 比值也已知是一比二。我们可以构造一边一角的相似，所以我做角 c、 q、 a 为六十度， 这样三角形 b、 a 就 和三角形 a、 c、 q 相似，相似比是一比二， b 是 一， a、 q 就是 二， a、 e 是 四， c、 q 就是 八。 而 r 法角也转化到角 a、 c、 q 上，我们发现角 f、 c、 q 就是 四十五度。 我们要求 a、 f 的 场，就是要解三角形 f、 q、 c， 我 们可以过 f 点作垂，这样三角，呃，这个三角形就是一个等腰值，这个角是四十五度，这个角就是三十度。三边关系是一比，根号三比二。 我们设这条边的长度为 x， 所以 这条边的长度就是根号三。 x 转化到这条边上， 而 c、 q 等于八，所以 x 加根号三， x 等于八，求出 x 等于四倍，根号三减四， f、 q 是 根号三倍的 x， 呃， f、 q 是 二倍的 x， 呃，也就是八倍，根号三减八， 而求 af 就 要减去 a、 q， 所以 af 的 af 的 长度为八倍，根号三减十。我们再看圈二，要求线段 f、 g 的 长， 而求 f、 g 的 长。我们前任已经求出了 af 的 长以及 a、 q 的 长，现在只要知道 g、 q 的 长就可以了。 而我们前一吻做的是这个角是六十度，现在我们可以再补一个等边三角形，所以我们做角 c、 k、 q 为六十度，这个三角形就是等边三角形， c、 k 就 等于八，也就等于 k q， 而我们还知道 a e 是 四，所以 e q 就是 二，这条大变 e k 就 等于十。 我们现在想要求出 j q， 也就是 e、 j 的 长度，我们就要知道 e j 与 j、 k 的 比值， 而我们已经构造出来了相似。我们可以证明三角形 b、 e、 j 和三角形 k， c、 j 是 相似，因为这两个角都是六十度， 所以 b e 比上 c、 k 的 比值就等于 e， j 比上 j， k 的 比值为一比八， 而 e、 k 等于十，所以我们能求出 e， j 是 九分之十，所以 a， j 就 等于四，减九分之十，等于九分之二十六。 f， j 就 等于 fa， 加上 a j 就 等于八倍，根号三减九分之六十四。

像这种题呢，说难也难，因为你不懂模型，说简单呢，也简单，因为你对几何模型很熟悉，所以这道题主要考察几何模型，主要体现在第三问和第四问。我们来看题啊，其实题目的条件很简单的，边长为一的正方形， 同时有一个十五度的角，那么这个 e 点呢？就确定了，因为它在对角线上，然后延长 c e， 找一个 f 点满足 b f 等于 bc， 那 其实 b f 呢，还等于 ab。 好，以下四个选项哪些是正确的？这种类型，首先你要想到给出的条件是有限的，我们要能够推出更多的条件，那就是既要倒角，又要找一些线段的几何关系了。我们来看啊， 这个是十五度，很容易想到的是结合这个四十五度角，得到这里有三十度，然后根据正方形，你看正方形他肯定不是白给我们的吧，我们说过很多次了，那这里是直角，那这就是六十度，然后再根据 正方形的左右对称性，很容易得到，这个是十五度的话，这个也是十五度，这没问题吧，因为这个三角形和这个三角形是全等的，这显而易见的不在对数。好，这里是十五度， 这个角四十五度，那很容易得到，这个角是一百二十度，那也就是说他隔壁的这个相邻的补角啊，这是六十度，那也就说这个角也是六十度，你看这些都是隐含条件吧，继续看啊，根据 b f 等于 bc， 所以 这个绿色的三角形是等腰三角形。继续倒角，这是十五，那么上面这个也是十五。 好在一个底角为十五度，顶角为一百五十度的直角三角形中，我们是不是很容易得到一个三十度六十度的直角三角形啊？哎，这个角就三十度，这个角呢，就是六十度， 这个焦点，我们随便取个名字叫 z， 继续倒角，根据这是直角，那很容易得到这个角就是六十度吧。好，大家看啊，六十度有两个相等的线段，是不是就有等边三角形，就四十五度吧。以上这些倒角关系并不难 好，那也就是说，我们做这些的目的是什么？是为了根据已知的条件推出了更多的隐含条件，条件越多，我们就越容易解决问题。接下来看第一个选项， a e 和 c e 不 解释啦， a e 在 这里， c e 在 这里，这两个蓝色线段是显然相等的，不解释。再来看第二个 b e 加 a， e 等于 e f， 很多同学第二问呢，就有难度了，那我们来看一下，有这么多的角度三角形啊，不就特殊的角度的三角形，能不能根据解直角三角形，再结合等边等腰三角形去把这些线段分别给表示出来呢？当然可以看啊， b e 在 这里。好，那我们就把它相邻的线段 这个焦点呢记作 g 点， e g 的 长令为一倍的 a， 为什么呢？因为这里是三十度六十度的直角三角形，所以 a e 的 长是两倍的 a， 然后 a g 的 长是不是解勾不定你啊？或者是三十度六十度的直角三角形，根号三的 a， 好， 这个正方形，它的边长是不就是根号六的 a 啊？好，那我们就知道根号六的 a 是 等于一的，我们这里的 a 呢，只是一个参数而已，很容易解得 a 等于六分之根号六，我们最终把线段用 a 来表示，就能够得到线段的实际长度吧。好， 再来看，根据对角线的一半是根号三的 a 啊，那么 b e 的 长是不是就能求啦？ 哎，你看，我们要求第一个 b e b e 是 等于根号三减一的 a。 好， 接着我们再来求 a e 的 长， a e 的 长是不是有了二 a 吧， a e 等于两倍的 a。 好， 那最后我们只需要把 e f 给求出来， e f 这条蓝色的线段，这该怎么求？ 同学，在这里呢，就有一点点困难了，其实啊，这样的一个线段，我们可以把它分成两个部分，因为这个线段是在有一个特殊的六十度的三角形中，对不对啊？那我们可以过 b 点做一个垂线过来 垂足，我们记为 n 点就没问题吧。然后右边这个三角形就是一个三十度六十度的直角三角形。右边这个三十度六十度的直角三角形是很容易解的吧。我们先来看啊，要求的是 e f， 它等于 f n 加上 e n， 而这个 e n 是 不是很容易求啊？ e n 是 等于二分之一的 b e， 而 b e， 我 们是求转了，等于根号三减一嘛，就等于二分之一倍的根号三减一的 a。 好， 那接下来我们所有的目标就只要求 f n 了。 f n 就是 这样的一段 f n， 它其实也是一个特殊的三角形，是一个七十五度和十五度的直角三角形，对不对啊？好，那该怎么解呢？这里我们可以利用三角形相似去解，就比较简单。 大家看，这样一个红色三角形和这样一个大的红色三角形是不是相似的关系啊？那也就是说，我直接写相似比了 f z 这个线段，比上 b n 这个线段等于 f c 这个线段，就这个大的斜边比上这个小的红色三角形的斜边 bc 好 了。我们要求的是 fn， 这个 fn 其实就是 f c 的 一半，对不对啊？那也就说，如果能够把 f c 给求出来就可以了。好，那这个关系呢？净要写在下面啊。 f c 就 等于 f z 比上 b n 去乘以 bc 好， 那换句话来讲，要求 f c 只要等号右边的线段都知道就行了。 f z 在 这里，这个三角形好不好求啊？这个 f z 啊， f z 是 很好求的，为什么？因为这是一个三十度六十度的直角三角形，我们知道 b f 是 不是等于根号六倍的 a 啊？就正方形的边长嘛。然后呢， f z 就是 二分之一的根号六倍的 a。 好， 接下来看， b n b n 也很好求吧。 b n 就是 一个蓝色的直角三角形的六十度角所对的直角边嘛。 我们已经求出了 e n 的 长，那 e n 的 长的根号三倍不就可以了？所以 b n 的 长也能求出来，就是 e n 的 根号三倍啊。 e n 在 这里，它的根号三倍就是二分之三，减去二分之根号三倍的 a， 这也没问题， 最后就只剩下 bc 了。 bc 在 哪里？在这里， bc 不 就是根号六倍的 a 啊？好，那等号右边的我们都求出来了，很容易解得。 f c 等于根号三，加上三倍的 a， 这个大家自己算一下就可以了，其实很容易算，你看，我把它算一下，分母是二分之三减二分之根号三 倍的 a， 分 子呢？是二分之根号六倍的 a 乘以根号六倍的 a。 好， 首先呢，这两个 a 就 消掉了，同时分子和分母同时乘以二，这没问题吧？好，那那么就变成这样了，然后在分母有理化，最后呢，就得到这样一个解，很简单啊， 好，接下来呢，一切就迎刃而解了，把 f c 给求出来，你千万别忘了啊，我们要求的这个 f n 是 等于 f c 的 一半吧，所以呢，这个 f n 也就求出来了，二分之根号三加上二分之三倍的 a， 最后呢，就得到 根号三加一倍的 a。 好， 我们再来看左边，左边这 b e 加 a， e b e 加 e， 在 这里它不也是根号三加上一倍的 a 啊，所以左右两边相等啊，这个大家自己算下就好了啊。第二个也正确。接着我们来看第三个， a h 比上 b h， a h 是 这一段绿色的线，比上 b h 是 这段绿色的线。大家看啊， a h 比 b h 是 不是一个角平分线定律啊？因为这条绿色的线是一百二十度的角平分线吧，所以我们根据角平分线定律，可以直接得到 a h 比上 b h 是 等于 e a 比上 e b 的， 而 e a 和 e b 的 长，我们都能够用 a 来表示吧，一个是二， a e b 呢， 裁求出来的根号三减一倍的 a。 好， 相比得到根号三加一，所以 a h 比上 b h 不是 二倍根号三减一，而是等于根号三加一。 哎，这第三问直接用角平分线定理，是不是非常的方便快捷啊，因为这两个六十度的角明显是角平分线嘛。好了，接着我们再来看第四问，在讲第四问的时候呢，我把这些呢都给擦掉， 单独来看第四问，这第四问的描述很长，最后这个结果呢，还是一个比较复杂的根号的数，是不是会很难呢？我们来看题啊。首先它是一个动点问题， m 点在 b c 上运动，大家看， m 是 b c 边上的一个动点哦，那也就说 m 点是在线段上， 无论 m 运动到何处，连接 h m， 把它连起来，同时这个三角形 b h m 沿着 h m 翻折，那就翻折到这里了， b 点翻折的位置呢？是 p 好， 关于翻折问题呢，就是左右两个三角形至少是全等，对不对啊？ 那也就有对应角相等和对应边相等。好，有了 p 之后，再把 b p 给连起来， 交这个折痕， h m 的 点为 q 点，现在要求这个 q 点和 d 点距离的最小值好了，那么最终呢，我们得到了一个动点 q， 对 不对啊？其实要求 d q 的 最小值，就是把 q 点的轨迹给求出来，是不就可以了呀？ 啊，那这个 q 点是怎么产生的呢？它是因为 p 点而产生的吧，而 p 点这个动点，它的轨迹好不好求啊？ p 点这个动点的轨迹是很好求的，为什么呢？根据这个红色三角形和这个红色三角形全等，所以对应边相等， h p 是 等于 h b 的， 而 h b 是 一个常数吧，因为 h 点是一个定点呀，所以这个 h p 也是一个常数。那 p 点是不是就是以 h 点为圆心的一段圆上啊？而这个圆其实轨迹我们都可以画出来了，这里为什么呢？因为 h p 是 等于 h b 的， 所以 b 点呢，也是在圆周上。 好了， p 点的轨迹知道了，我们要求的呢是 q 点的轨迹，这个 q 点和 p 点构成什么关系？构成一个刮度原理，为什么呢？因为 p q 这两个动点，它们到定点 b 的 比值始终都是二比一，这是定比。而 p b q 这个角度 所夹的这个角度，你看两个洞点，一个是 p， 一个 q 这两个洞点所夹的这个定点 b 这个角度是一个定值，是零度，就满足刮肚原理的定笔夹定角了吧。好，这是一个比较复杂一点的，相对于直线刮肚来讲，因为它是一个圆刮肚，但其实原理是一样的，我在原来如此， 刮肚引圆模型中是有完完整整的序数了。那么我们为了求另一个洞点重动点 q 的 轨迹呢？首先它的轨迹是一个圆，那既然是圆，我们就要找圆心和半径。首先 这两个定比是二比一，所以 q 这个点的半径 q 的 半径是二分之一倍的 p 的 半径，而 p 的 半径呢，是不是就是 h b 啊？所以 q 的 半径是二分之一的 h b， 而 q 点运动轨迹的圆心离 b 点的距离和 h 点，也就是 p 点这个动点离定点 b 的 距离也是二比一，而且它们在一条直线上，所以 q 点这个动点轨迹的圆心也确定下来了，就是在 h b 的 中点，我们记作 o 点， 所以 q 的 轨迹是以 b h 为直径， 圆心在 o 点，也就是 h b 的 中点处， 那 q 点的轨迹都知道啦，要求 q d 的 最小值，不就变成了圆外一点到圆上距离的最小值啦？ 所以这个 d q 的 最小值呢，就是 o d 减去二分之一的 b h 了。好了，那接下来我们就又要进行计算了，把 o d 和 b h 给求出来就可以了吧。那首先我们来求 b h， 因为 b h 求出来了， o d 的 长是不是也能求了？因为 ad 的 长是固定的嘛。那么我们 o d 的 求是不是就在这个蓝色的直角三角形中啊？只要把 a o 和 ad 是 已知的，就把 a o 给求出来，那要求 a o 的 话，你都知道了， h b a o 也好求，所以我们的关键就是求 h b h b， 怎么求呢？这里呢，又要回到第三问，大家看，这第三问是不是就有 h b 啊？哎，我们根据 a h 比上 h b 等于根号三加一啊，你千万别用这个啊，这个是错的结论啊。我们算出来是根号三加一，所以很容易得到 a h 呢，是等于根号三加一倍的 h b 的， 而 a h 加上 h b 是 等于根号六倍的 a 吧， a h 加上 h b 等于根号六倍的 a。 好， 你把这个 a h 带下来，就变成了 h b 了，所以你很容易解得 h b 等于 二减根号三啊，因为呢，你还要把 a 用六分之根号六来代替啊。好了，你最后把 h b 给求出来了，一切就迎刃而解了吧。这个 d o 的 长 d o o d 等于根号下 a d 的 平方加上 a o 的 平方，而这个 a o 呢，就是 a b 减去二分之一的 h b 好 了， a d 就是 一，我们就不用 a 来代替了，就是一 a b 呢，也是一， h b 呢，是二减根号三，那就是减去一加二分之根号三好了，这个一减一也消掉了，好它的平方， 最后 o d 的 长就是二分之根号七，你看 o d 求出来了吧，二分之根号七，再减去二分之一的 b h， 那 最后就是最小值啊，在这里二分之根号七，减去二分之一的 b h， b h， 在 这里二减根号三，最后就得到 这个解释。呃，就这个答案，这个这个答案是对的。所以呢，第四个也正确。那这道题呢，难度大不大？其实难度不大，没有太多的辅助线， 我们关键就是要挖掘隐含条件倒角，然后第三问是关键。第三问用角平分线定律是最快捷的。第四问呢，是个刮豆，只要你熟悉刮豆，你很快就能做出来。如果你不熟悉刮豆，那你基本上解不出来第四问。换句话来讲啊，如果你熟悉刮豆，但是你解不出第三问，你不知道角平分线定律，你会花很长的时间啊去， 那你基本上也做不出来啊。所以这种题呢，依然还是考模型。如果你不懂模型的话，在考场上面有限的时间内，确实很难做出来这道题呢。但如果你知道模型，这些模型其实我都讲过很多很多次了。 如果你是我的网课用户啊，你用百题冲刺亚洲通关这些刷题课的话，你很快就能解出来。因为这种类似的题在往年的中考出现过很多次啊，都被收入在四加三培优体系中。这道题呢，就讲到这里，大家好好体会一下 中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得。我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。

木易木易，数学容易！各位同学大家好，我是梅老师，今天给大家带来二零二五九拳按摩几何压轴题二十六题综合实践，在等腰 abc 当中， ab 等于 ac， 所以 我们把这里的 abac， abac， abac 全部画出来，又告诉你 abac 等于 r 法，那这个角就是 r 法，对吧？ r 法， 接下来说 d 是 一个动点，并且让你连接 ad， 我 们这里也把 ad 给它连接起来，绕 a 逆时针旋转，而法到 ap， 那 ad 到 ap 最后呢？只有 ad， 我 们也画出来。问题发现，如图一，若而法等于六十度，而法等于六十，那么角 b 就是 六十角， acb 也是六十，那旋转了六十度之后，哎，其实呢，就相当于把 啊这个三角形啊 a、 b、 d 给它旋转了六十度吧，是吧？旋转六十度了，那么角度是不变的，所以这个 a、 c、 p 其实就是六十度，它等于角 b 线段 a、 c、 c、 d、 c、 p 之间的数量关系，因为已经知道是旋转过来的，哎，所以这里的 c、 p 啊， cp 这条线段其实就是 b、 d 这条线段，然后 ac 这条线段呢，也刚好又是 bc 这条线段，因为它是等边吧啊，所以它们的数量关系就非常简单了， ac 等于 cp， 加上 cd， 是 吧？ 第二问，类比探求，如图二，阿尔法如果等于九十度，阿尔法如果等于九十度的话， 那这个 a、 c、 p 是 多少度呢？我们只需要看到，哎，它仍然是由这个 a、 b、 d 旋转过去的，对吧？那个这个角 b 有 多少角？ b 是 四十五吧，因为这里旋转九十度是等腰直角三角形了，所以这个角呢，还是四十五度。 ok， 所以 这一问呢，第一个 a、 c、 p 的 度数四十五度 线段 a、 d、 b、 d 和 c、 d 之间关系，因为这里 a、 c、 p 四十五度，然后 abc 又是等值，所以 a、 c、 b 也是四十五度，两个四十五度，它就会有直角出现，有了直角，我们在这个三角形 d、 p、 c 里面就会有勾股的关系了，那这里勾股的关系就是 d、 p 的 方等于 d、 c 的 方，加上，呃，这里是 pc 的 方，是吧？又因为 pc 就是 b、 d 啊，我们这里体现一下， b、 d 是 旋转过来倒成 pc 的， 所以我们就可以写成是 d、 p 的 平方等于 d、 c 的， 我们写 c、 d 吧， c、 d 的 方加上 b、 d 的 方，然后看到这个 b、 d 和我们题目里面的 a、 d 啥关系啊？啊，那就是在 啊这样一个等腰直角当中啊，我们 ap 和 a、 d 是 直角边， d、 p 呢？是斜边，所以我们可以把 d、 p 其实写成是根号二倍的 a、 d 平方，之后就是啊，根号二倍的 a、 d 的 平方，那就等于二 a、 d 方了， 所以他们数量关系就是两倍 a、 d 的 方等于 c、 d 的 方加上 b、 d 的 方。 ok， 看这三问 这三问，说一个四边形，然后这里四十五，这里四十五， a、 d、 c 还是四十五，那我们看到前两个都是旋转某一个三角形，对吧？那旋转哪个三角形呢？肯定是这个 a、 c、 d 三角形了， 那我们会把它顺时针旋转九十度旋转回来，那旋转回来到什么位置呢？这个就是到这样一个位置吧，对吧？这里也要九十度， 然后 ad 和这个 ap 它是相等的，那么 ab 和 ac 又是旋转对应线段，所以我们会找到这个 cd 其实和我们现在的这个 bp 就是 对应线段， 这两个三角形是旋转前后得来的，那么它的角度一样， b p a 也是四十五度，和角 d 一 样。 接下来呢，我们就看还有什么条件啊，哎，发现这个 p a、 d 是 九十， a d、 c 是 四十五，所以如果我们延长这里的 dc 啊，一直延长到了 p 点，那么它应该也是一个四十五度，并且这里应该是共线的，为什么共线？因为等值本身就四十五，加上右边四十五，所以说明这个 a p、 d 肯定是个等腰直角三角形， 然后又因为这个 a、 d、 c 和 a p b 都是四十五，所以就得到了这样一个直角三角形。在哪个直角三角形呢？就是在这个 b、 d、 p 这个直角三角形里面，我们看怎么去算后面东西啊？ b、 d 等于三，那么也就意味着这个 b、 d 这里是斜边，是三， c、 d 是 一， 又因为它旋转，所以 b p 就是 一，所以我们就在 r t 三角形 b p、 d 中，然后这个 p、 d 就 等于根号下面 b p 方 啊，应该是 b 地方，是吧？ b 地方减去 b p 方，就等于根号下面三，减一是二倍，根号二。那么又因为在等值 a、 p、 d 中，是吧？这个 a、 d 的 方加上 a、 p 的 方， 就等于 p、 d 的 方，它是等值啊，所以 a p 和 a、 d 是 一样，所以算出 a、 d 就 等于几，其实就等于二，对吧？好的，结束关注我，考试再提十分。

亲爱的同学们，大家晚上好，今天我们所学习的内容是平行四边形的角平分线， 那在今天的课程中，主要涉及到的方法就是，如果题目中出现的有角平分线和平行这两个概念，那我们就能够得到等腰三角形。首先来看一下第一道题，题目中告诉你，在平行四边形 a、 b、 c、 d 中已知 a、 d 等于十四， a、 b 等于六。如果 a、 e 平分，那角平分线，我们是不是可以测到图中角 b、 a、 e 等于角 d、 a、 e 也就是图中角一等于角二，那又因为 a、 d 和 bc 平行，对吧？ a、 d 和 bc 平行，那角二是不等于角三， 那根据等角我们就能得到角一等角三等角对等边，所以 b、 e 等于 a， b 等于六，那 c、 e 的 长就等于十四减六等于八，这就是我们题目中讲到的由角平分线和平行能够得到等腰三角形。 其次我们再来看一下下一道题，在平行四边形中， ab 等于三角， abc 的 平分线，那我们讲到这两个角是相等的，对吧？根据角平分线，我们得到一和二相等角平分线二和三相等，所以 a、 b 等于 a、 e， a、 e 是 不是也是三？ 那同理，我们用的的 b、 c、 d 也是角平分线，所以四和五是不相等，那根据两直线平行内错角相等，所以 四和六又相等，那因此五和六相等，所以 dc 就 等于 d、 e， 因此平行四边形对边平行且相等， ab 等于三， cd 也等于三，所以 d、 e 就是 三，那么就得到了 a、 d 等于 六， a、 d 等于六，所以 b、 d 啊 bc 啊 bc 也等于六。那除此之外，我们根据 嗯，平行四边形的性质中，是不是菱角互补，角 abc 加上角 bcd 是 不等于一百八十度？所以在这里面，角二加角四等于一百八十度的一半等于九十，因此我们可以得到 b ec 这个角是九十度。 那再根据勾股定律对吧？直角三角形中两边直角边的平方和等于斜边的平方，所以 c、 e 的 平方加上 b、 e 的 平方，也就是六的平方三十六还好，是吧？比较简单啊，下一道题目， 在平行四边形 a、 b、 c、 d 两个内角中，我们提到的是角 b、 a、 d 啊，角平分线一和二，那内错角是不是我们是不是就可以得到角一等于角三？ 所以角一等于角三， a、 b 就 等于 b、 e？ 初次，那么同理，有我们的角 a、 d、 c 的 角平分线，你看四和五是不是相等？由内错角我们是不是可以得到四和六相等，因此角五等于角六， 那角五等于角六等角对等边，我们是否可以得到 dc 就 等于我们的 c、 f， 可以 吧。那题目中告诉你， e、 f 等于二， ab 等于五， 那 ab 等于五， b、 e 是 不是就等于五， ab 等于五？平次面形对边平行且相等， c、 d 是 不是也是五？所以 c、 f 是 不是也是五？因此我们可以发现， 我们的 a、 d 等于 bc， 它是不是就等于 b、 e 加上我们的 c、 e？ 而 c、 e 是 不是就可以看作是我们的 c、 f 减去 e、 f， 我 们刚求到的这道 b、 e 等于五， cf 等于五，已知条件中告诉你 e、 f 等于二，所以这道题的答案就是八，还好吧？好，接着 在平行四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 等于十， a、 e 平分，它那相交于点 e 和 f， 然后告诉你 e、 f 等于二，则 a、 b 的 长。这道题需要大家注意的就是因为这里 e、 f 的 长等于二，它有可能是像图中就上一道题，这里是我们点 b、 点 f， 点 e、 点 c， 是 吧？但是 是不也有可能我们的 e 点和 f 点调换位置，所以这道题要分类讨论， a、 b c、 d 能行吧？那这个时候我们可以发现此时这是 e， 那 这是我们的 f， 跟上道题有所不同，对吧？那我们就能够得到。那根据我们讲的角平分线， 这两角是不相等，内错角，这个是不相等，所以我们是不可以得到 a b， 它就等于 b e， 那 同理我们是不可以得到我们的 cd 是 不就等于 c、 f， 对 吧？那又因为 a、 d 等于十，那平行四边形对边平行且相等， bc 是 不等于 b e 加上 ef 加上 cf 是 不等于十， 那我们又发现 b e 和 c f， 它是不都等于我们的 ab， 对 吧？那就是 ab 加二加上 ab 是 不等于十，因此我们可以得到此时 ab， 在 这种情况的时候，它就等于八，除以二，那就是四。 那除了这种情况之外，就是类似于像，嗯，上面这一个，像上面这个图形的时候，大家就会发现此时 ab 的 长， 对吧？此时我们的 bc， 就 上面这个图哈，就这个图哈， bc 它是不等于我们的 be， 加上我们的 cf， 再减去我们的 e f， 对 吧？ bc 等于 ad 等于十，所以十是不等于 be， 大家知道就是我们的 ab， 那 c f 是 不是就 c d， c d 也等于我们的 ab？ 所以 在这种情况下，大家就知道 ab 此时的值应该等于六，所以这道题答案就是四或六。 下一题题目中讲到仍然在平行四边形中角平分线哈，所以这个我们已经用到很多了哈。我们根据角平分线，我们是不可以得到 abc 的。 角平分线 一和二相等，平行四边形二和三相等，所以角一等于角三，角一等于角三。所以 ab 是 不等于我们的 a e， 那 同理，我们是不可以得到，你看我们的角还有一个角平分线 连接它啊。 ab 等于 a e， 又因为 ab 是 不等于 cd， 那 所以 cd 是 不就等于我们的 ae？ 因此 bc 等于我们的 ad 是 不就等于我们的 ae 加上 ed， 而 ae 那 是不就是 cd 加上 ed？ 这道题我们是不就解决了，对吧？ 第二题，那在这里面的时候存在的有垂直啊，垂直，且告诉你 af 的 值是三。你看角平分线垂直，那你一定能够想到过点 f 做 b c 的 垂线垂直微点 h， 根据角平分线的性质，对吧？ 因为 b f 平分角 abc 且垂直，那就是我们的 fa 垂直于我们的 b n f h 垂直于我们的 bc。 角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 f h 是 不是就等于我们的 a f 等于三？那在二 t 三角形 c f h 中，由勾股定律可知，我们的 c h， 那是不是就等于 c h 等于我们根号下 c f 的 平方减去我们 f h 的 平方？ c f 题目中是不是告诉你 a c 等于八，所以 c f 是 不是八减三，也就是五的平方减去三的平方等于四，那 c h 的 值是四？大家又能够知道 这道题是不是让你去求 a e 的 长， a e 是 不是等于 ab， 所以 令 a e 等于 x， 那 是不是就等于 ab？ 是 不是就等于 b h？ 那 在 二 t 三角形 abc 中有勾股定律，可知 ab 的 平方加上 ac 的 平方是不等于 bc 的 平方。 ab 我 们刚刚讲的设为 x a c 题目中告诉你是八，而 bc 是 不是 b h 加 c h b h 那 就是 x， c h 是 四。所以因此是不是得到了一个关于 x 的 方程？解这个方程就能求出 x 的 值。 那我们今天的这一部分的题目就讲完了，主要涉及到的题型就是角平分线加上平行线，而平行线一般都是题目中告诉你它是一个平行四边形。再见 hmm。