数学八下怎么画旋转角

武汉初二数学想拿满分三角形做图的技巧你一定要掌握！三角形呢，主要是图形的对称分为点对称、线段对称和线段相等。 那么点对称我们常用的方法就是，一做等腰或者直角三角形，利用三线合一的性质。二做全等三角形，利用对应边和角度。三利用角平边，线上的点到角两边的距离相等。 四做垂直平分线。线段对称呢？我们常用的方法就是，一做等腰或者直角三角形，利用三线合一的性质。 二、三角形的角平分线，中位线和高的性质。三、平行线，分线段成比例定理，线段相等呢？我们常用的方法就是，一做全等三角形。二平行线，分线段成比例定理。 三做等腰三角形。那么以上关于三角形作图的方法和技巧和专利训练我都放在群里了，有需要的家长打八八八我发给你。

美丽的图案由你来画， 八年级熟悉下册课本的第一百页纸上呢？我们看到这里的第十二题，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 是 等腰三角形， 请您用两个三角形 a、 b、 c 相等的三角形拼成一个四边形，那说明你拼成的图形中，其中一个三角形经过怎样的运动变化可以得到另一个三角形？好，这里是已知三角形 a、 b、 c。 呃，我们说用两个啊，他这有两个 a、 b、 c 相等的三角形，我们把它当做第一个三角形，我们再来弄一个三角形，那么这个书上呢？放在这里书有点不怎么平，好，我们就重新画一个图形，我们看到这里啊，如果说我们这是一个三角形 a、 b、 c， a、 b、 c 一， 我们这我们再来画一个三角形 a、 b、 c 一， 那我们画一个跟它相等的三角形，对吧？有时它是等幺三角形，等幺三角底变得高也是底变得中线，也是顶角的平分线，对吧？那我们在这里来看一下，如果说我们来画一个跟它一样的， 好，那么这样我们得到的这个三角形呢？跟原来的三角形是相等的。嗯，那么这个三角形我们可以理解是圆，我们理解是什么呢？这个三角形 abc 绕着 bc 的 中点顺时针旋转一百八十度，或者逆时针旋转一百八十度所得到的下面的三角形，比如说 bdc， 那 么这两个三角形共同组成的，它是一个菱形，我们可以说是旋转形成的，我们也可以说是轴对称的 啊，我们也可以说叫做三角形 b、 a、 c。 关于 b、 c 的 乘折对称的三角形 b、 d、 c。 当然我们也可以有其他的方法，比如说我们把三角 a， b， c， 呃，由这个绕着 a、 c 的 中点我们旋转 啊，有 a、 c 的 中点，我们先转 a 弦的 c， 这个 c 弦的 a， 那 b 先转到哪里来了呢？ b， 我 们来找它的中点，对吧？找它的中点啊，这里的， 我们说中点呢，它是在一条弦上，在这儿，好，这里的。 哎，比如说我们这里数是 e 三角形呃， a， c， e 这个三角形我们可以理解是三角形，这个 b， a， c 绕着 a、 c 的 中点，当然我们也可以绕着 a、 b 的 中点旋转。好，有时间我都不画那么许多了啊，就是大家可以通过多种方法去得到，好吧，就还可以有很多呃，种画法。 我们看到这个第十三题说在图中的空白的正方形里画一个图案，使得设计的图案与正方形构成的整体图案是一个既是中心对称图形，又是轴对称图形的，并说明你所设计图案的含义。 但呢，这种画法是非常之多的，比如说这里我这是个正方形啊。嗯，那我们在画图的过程中，我们可以比如说我把这个对角线画出来啊，嗯，那我们在画图的过程中，我们可以比如说我来找他们个别的中点， 对吧？当然我们画这条线画的是比较多的，有的人画了一个最简单的就是这个图形，但是表达的含义我们好像不方便去说他，那这就是一个既是轴又是中心这种图形呢？我们呢还是拿的再多加点，比如说我们以这个， 哎呦，画的有时也不是含标着啊，比如说我们以这两边为直径啊，我们做这一个图形啊，比如说我们做的这个图形， 看到啊，比如说我们现在形成的这个， 比如像这种图形比刚才的图形就要好多了啊，这个比如说我们可以说设计一个阴影部分的呢，我们在正方形的一个地方的阴影部分的种花， 呃，或者说这四个阴影部分我们种什么花，然后或者是这空格的地方我们种什么花，那么这个我们可以作为一个花坛的图案，当然呢，大家可以设计很多很多，有时间呢，我就不多说了啊，我们看到第十四题啊，看到题目 说，请将图中的一个空白的小方格啊涂成了阴影，使它如现有的三个带阴影的小方格一起组成中心对准图形，留进了图法。 哎，中心对准图形就是让图案的某一个点先来一百八十度，之后与整个图形出合，你看你要是这里是我们看到这一点，这个，这，这，这没办法，如果你把它涂黑怎么弄呢？这个涂黑怎么弄呢？这个涂黑，这个涂黑。 呦，这个图形可以立的是轴对称图形哈，整个图形，这个图形，这个图形是可以的，这个图形可以立的是轴对称图形，也可以立的是中心对称图形，对吧？这是一种很简单的图法啊，这个这也是轴对称图形啊，这不知道什么这不知道什么图形啊？ 因为他说叫我们就是涂一个，哎，我们看到这个要如果是把这个给涂黑的话，那你看呢？哎，就是一种，呃，叫 z 字型的，如果把这种涂黑的话， 你看就是一种类似于 n 型的，嗯，这个都可以，这个这是轴对称的把，这个这个也是轴对称的，这个也是轴对称的，这不知道什么对称啊， 对不对？好，那么今天题目叫我们图中心对称呢？我们说这三个格子，所以我们说有三种图法，对吧？具体的我就没有去图了。我们看到第十五题，将三点 a、 b、 c 绕着 a、 c 的 中点 e 旋转一百八十度，画出斜的后的图形，设计对应的点， b 的 对应点是 d， 写着至少两条关于四边形的 呃，边或者角的性质。那么这样呢？由于这个 e 呢是 a、 c 的 中点，对吧？所以 a 绕 e， 先一百八十度 c， c 绕 e， 先一百八十度 e， 那 我们再把 b 先一百八十度的给它找出来就可以了。哎呀，我们可以在这里，我先把这个，我们这个在旋转里面呢，咱们 我们说最好我们就要把这个行政中心是对，是对应的连线的终点啊，不管你这个一百八十的顺时针线段还是逆时针的线段，都无所谓，对吧？我们三点共线的终点吗？终点就是线段的终点，对吧？所以你看到这里，好，这一点就是点 b 了， 对吧？好，我们把这个 c、 d 连起来，把这个 a、 d 连起来，这个书放的不平啊。 好，那么整个四边形 a、 b、 c、 d， 那 就是一个中心对称图形，你看他们的 b， a 有 a、 b 平行且等于 c， d 有 a、 d 平行且等于 b、 c， 对 吧？有那个角 a、 b、 c 等于角 a、 d、 c 有 角 b、 a、 d 等于角 b、 c、 d。 嗯，有这个角等于这个角，有这个角等于这个角。哎呦，这个角就比较多了，有这个角等于。当然这个 b、 d 题目上没说， 对吧？呃，这里特特殊多的也就是平行四边形的对角线互相平分，比如说 e b 等于 e d， e a 等于 e c 对 边平行且相等，对角相等。哎呀，大家自己多去总结一些，记得点赞关注哦！

今天带来一道八下七中必考的填空压轴题，这道题结合了整边三角形和图形的旋转两个知识点，比较灵活，我们来看一下，如图，在三角形 abc 当中呢， ab 等于十七， bc 等于五，然后呢角 b 呢，给了你是六十度， 现在在它的外侧啊，做了一个等边三角形的 a d c， 并且呢还做了一个垂直，就是五，这个呢是十七。最终让我们去求一下 a e 它的一个长度，我们一拿到这样的一个图形，它做了一个等边三角形， 而等边三角形三个角是六十度，并且呢它三条边都相等，这些都是非常基础常规的知识了，并且它还有一个常用的知识就是旋转的知识，在等边三角形当中哈，它是非常喜欢靠旋转的类型的， 那为什么他喜欢考旋转类型呢？比如说哈，我这个 a c， 如果我绕着 c 点，给它顺时针旋转六十度上去，它是不刚好就等于 d c 了呀，对不对？所以说当我们需要解析的时候呢，可以用上旋转的这个小技巧，那我要求 a e 哈，肯定有同学 就想说，我利用勾股定律，哎，我连接这个 b d， 然后呢用勾股定律来算，结果呢，你会发现它做不了的，那这时候的话呢，我们可以把它旋转一下，我把三角形 a， b， c 啊，我绕着点 c， 我 旋转六十度给它旋转上去，那旋转六十度的话呢，那这个时候这个 a c 就 跑到了 d c 上面了， 而这个 b c 的 话呢，它旋转六十度之后的话呢，就跑到了 a b 的 上面，假如这个点是 f 点，我们连接一下 d f， 那 这个三角形就是我旋转之后的一个图形了， 并且旋转完之后呢，我们也知道了，你既然说这个角是六十度，那这个是等边三角形嘛，所以这个角呢，也是等于六十度的，而角 b 也是旋转过来六十度， 所以立刻可以得到旁边这个角呢，它也是六十度的。那这时候呢，我们把边也带上去看一下 a、 b 旋转完上去之后呢，就变成了 d、 f， 所以 这个 d、 f 呢，它也是等于十七的。 bc 旋转过去之后呢，所以 bc 跟 c f 以及 f b 呢，它都是等于五的。 那既然我们看啊， d、 f、 e， 它是等于六十度，并且这里是不是有个垂直，所以对上去这个角，它不就等于 三十度了吗？那三十度，而 d、 f 呢，是等于十七的哦，所以在三角形 d、 e、 f 当中，这是一个含有三十度的直角三角形，那它的结论就是三十度角所对的边等于斜边的一半，所以这个 e、 f， 它是等于二分之十七， e f 出来了， f b 也出来了，就这样，那最终我要求 a、 e， 那 我直接拿着 a、 b 减去 e f， 再减去 f b， 那 也就是十七减去二分之十七，再减去五，那最终可以算出来，它是等于二分 之七的。所以说我们当遇到等边三角形的时候呢，就可以去考虑用旋转的这个小技巧去把它做出来，那其他的这些角度啊，边长啊，就顺势而然就给它解答出来了。

o 旋转角是角 a o a 撇和角 b o b 撇，点 a 的 对应点是点 a 撇，旋转方向是顺时针，点 b 的 对应点是点 b 撇，旋转方向是顺时针。 嗯，回答的很完整，请坐啊，看来你对旋转的知识掌握的很扎实，那同学们，旋转在我们看来可能仅仅是课本上的概念，但是在工程师手中，他就是改造世界的伟大力量。 还记得我们课前需要利用旋转来对接的大桥吗？同学们，我是本次桥梁旋转工程的总指挥，你能结合旋转的知识，帮助我下达清晰的指令，指挥现场工程师完成桥梁对接吗？ 现在大桥呀，在绿色的位置，能通过你的指令完成对接吗？谁来试一试？ 好，那你来说。嗯，这个女同学将矩形 a， b， c， d 绕点 a 顺时针旋转三十五度，我们来试一下 大桥成功对接，你的指令非常明确，通过这两个问题，学生初步具备了在具体实力中明确旋转三要素以及对应点的能力。 接着设计了本节课第二个学生活动，让学生类比平移和轴对称性质的探求过程，在动手操作和小组合作当中探求并归纳旋转的性质。 旋转为什么会在建筑当中，物理学当中有如此多的应用呢？是因为它具备怎样的特点呢？那这就需要我们了解旋转的性质， 请同学们拿出手中的学具啊。在活动清单当中，按照活动二的要求完成操作。 老师看到同学们都已经画完了，那么哪位同学愿意到前面来展示一下你的成果，谁来试一试？嗯，好，那你来吧， 这个便是我的成果展示图。我是将三角形 a、 b、 c 绕平面内一点 o， 沿顺时针的方向旋转了一定的角度，得到了三角形 a、 e、 b、 e、 c、 e。 哼，掌声鼓励一下， 特别好，表述的很清晰，图形化的也很规范。谁还想再来展示一下你的作图？ 好，那你来吧！我是把三角形 a、 b、 c 以 a 为旋转中心，顺时针旋转了三十度，得到三角形 a、 e、 b、 e 和 c e。 嗯，非常好啊，请坐。 那还有其他的展示吗？哪位同学再来试一试？好，那你也来试一下。 呃，我是将三角形 a、 b、 c 绕点 a。 呃，逆逆时针方向旋转七十八度，得到三角形 a、 e、 b、 e、 c。 那 我们来对比一下三位同学的作图。我们看到 三位同学所画的旋转以后，图形的位置各不相同，这是为什么呢？ 嗯，旋转中心不一样，还有吗？还有，所以我们再一次感受到了旋转三要素对于旋转的重要作用。 做完了旋转以后的图形，你能否类比着平移和轴对称性质的研究途径和思维方式对旋转的性质进行探讨吗？我们先来看一下平移的性质啊，它的研究途径是怎样的呢？谁来试一试？ 好，那你来说，平移前后的两个图形全等对应点所连线段平行或在同一条直线上且相等。嗯，非常好，请坐啊，你掌握的很清晰。实际上啊，第二条性质 就是交代了对应点与平移方向和平移距离之间的关系。那轴对称呢？谁来分析一下？ 好，那你来吧，孩，轴对称的性质有全等对应点连线被对称轴垂直平分。嗯，很好，请坐。那其实啊，第二条性质就探究的是对应点与对称轴之间的关系。好，那同学们思考，那旋转呢？ 请同学们先独立思考。

小青啊，这幅九天朝原图是仙人的心血，如今地动山摇，必画错位，若不能在日落前将其复原，这千年的神韵就要归于黄沙了。 师傅，这些线条全都乱了，原来的位置早已模糊不清，我该如何下笔，才能分毫不差的画出他们原本的模样？ 万物有法，行止有度，图形的流转在于定其心， 明其相，度其脚。孩子，用你手中的尺规去找回那些失落的轨迹吧！修复师们，时间紧迫，请随我一起用精确的线条重绘这盛世的飞天。 师傅，这琵琶的姿态不对，他应当是顺着神女的手腕向右侧倾斜，才能弹出绝世妙音。 琵琶之颈犹如一条线段，欲将其复位。你去定下旋转中心，看准方向，但最关键的是，那琴头究竟要转过多少度才能精准归位？ 师傅，这莲花座是个巨大的三角形，他现在的三个角全错位了，若是我只修补一个角，其他的角是不是也就跟着歪了？ 千一发而动，全身整体的旋转实则是顶点的流转。若已知中心与角度，你该如何运比？让这三角形的三个顶点同时落入正轨？ 这里还有一个损坏的五边形阵法，快帮我把它顺时针转九十度补齐，千万别把顶点连错顺序哦！ 这条飘带最难，它不仅离神女那么远，连朝向都是反的，这绝对不是转一下就能解决的呀！ 有些修复不能一蹴而就，仔细看清他究竟是先经历了怎样的平移，又进行了何种旋转，方能让其完美衔接。 这飘带太远了，而且朝向是倒着的，这绝对不是原地转一下就能解决的他到底经历了什么？ 修复壁画不仅要绘画，还要会找，你能一眼看穿哪个点是他们旋转的中心枢纽吗？ 千年的尘封终于在这一笔中精准找回了原本的轨迹，这便是法则的奇迹，每一次分毫不差的流转，都在唤醒沉睡的神明。 原来数学的线条真的能丈量出盛世的容颜。匠心不灭，一眼千年。今日，我们重回了敦煌， 这节课你有什么收获？

好，欢迎回到李老师课堂，上节课的时候呢，跟大家简单的介绍了一下啊，旋转半角，旋转半角在正方形当中的应用啊，我们来复述一下啊，这是一个正方形， 这里边我抠出来了一个四十五度角， 然后我把 e f 连起来啊，旋转慢角的结论 啊，现在就出现了，第一个啊， e f 等于 b e 加上 d f 啊。第二个，如果我过 a 做 e f 的 垂线的话， 它会出现 a j 这个高啊，它一定等于正方形的边长。第三个，在我们证明全等的过程当中，我们还发现了，这个 一定是角平分线，而且它们两个也相等啊，也就是说 a e 平分角， b e j 啊，同时 a f 平分角， d f g 好。旋转半角呢，在正方形当中的结论呢，就是这些。我们来看一下旋转半角在等腰三角形，等腰直角三角形当中的应用啊，因为我们知道啊，就是重要的场合点呢，就两个啊， 一个就是九十度的，一个就是一百二十度的啊，重点考场的半角呢，是四十五度和六十度。好， 其实研究这种半角半角模型啊，它走的这个思路啊，基本上是一样的，因为它就划归到了这种模型体系里边。看这个题，这个题呢，给的是等腰直角三角形， a b c 点， e f 呢，在 ab 边上，并且 e c f 等于四十五度啊， 八角模型就出现了啊，大角两边是相等的，中间扣掉了一个小角，而且这个小角呢，它是这个大角的一半小角，大角的共顶点啊，好， 按照我们这个旋转半角它的样子，我现在开始转啊，我可以把这个往那边转，也可以把这个呢往这边转，比方说我转这个大的啊，转多少呢？我还是转九十度，转九十度以后， b、 c 这条边就被转到了 c a 上啊， 把三角形 c、 f、 b， 这叫顺时针啊。 转过来以后，比方说现在这个 b 啊，已经到这个位置了，这地方就是一个 b 的 位置啊， c、 b 已经变成了 c a， 这个转到了这儿，这个点 f 啊，我把它转成一个 f， 一， 比方说我放在这个位置，长度还是一样， 然后把它连起来， 那现在有一个问题出现了，我这样画对还是不对？ 我是不是缺点什么？或者说我少点什么东西啊？那细心的同学可能看出来，老师你缺一个垂直符号，是，我就是缺了个垂直符号，那么这个垂直符号是在什么位置呢？为什么有一个垂直？ 因为我们知道在旋转过程当中，边长还有角度他都是不变的啊。我这个角 b 这个点啊，转到这个位置，其实这个角他转的是不是就是 fbc？ 像这个角是不是和这个角是一样的，对吧？然后呢，这个角本来直角三角形，等于要直角三角形，他是一个四十五度， 所以说你转这个角是不是也是个四十五度？而我们知道这个 c、 a、 b 是 不是也是一个四十五度？所以四十五加四十五，是不是形成这个直角？所以这个画法呢，就不是说非常非常标准啊，把它画标准一点， 这个差不多啊， 这个才是 f 一 的位置啊，然后我们再把这个 c、 f 一 连起来四十五度啊，所以这个位置呢？垂直了， 垂直了。以后，这个题就有意思了，因为我们要正的这个东西，你看它长得像什么？ a 方等于 b 方加 c 方，长得像什么？是不是像勾股定律啊？对，勾股定律是不是必须得在直角三角形中才有啊？所以现在我是不是出现了一个九十度啊？那么现在我剩下的东西需要干什么？是不是要这个直角三角形它要出现，对吧？好， 那么我就需要把这个 f 变成了 a f 一 平方，加上 a e， 不 用管啊，还是 a e 方。 哦，那现在他要证这个的平方等于他的方加他的方，而我们知道 a e 方加 e f 方等于 e f e 的 平方， 所以这个题呢，最终变成了让你证明什么， 是不是正 e f 等于 e f 一 啊？是吧？ ok， 那 好， 我们来看，怎么正这个 e f 等于这个 e f 一 啊？正，这两个线段相等，那很明显，是不是我们需要借助全等三角形，对吧？好，我们来正啊。我们现在看到的是这样的， 如果这个角它是个角一，这个角它是个角二的话，在旋转之后，这个角二是变成了这个样子，对吧？ 等腰三角形，直角三角形 a c b 里边有一个九十度，扣了一个四十五度，说明角一加角二是不等于四十五度，所以 f 一 f f 一 c e 是 不等于四十五度，对吧？啊，好，那我们开始写啊，角 f 一 c e 等于四十五度，它等于啊 e c f， 哎， 然后 c e 是 不是这两个三角形的一个公边，对吧？那我们还能知道一个什么？ 你这个 c f 和这个 c f 一， 是不是这个也是挪过来，是不是他俩是相等的啊？所以他就出现了这个边，公共边哎，这个边和这个边相等，他们加的角是不是也是一样的？是不是就形成 s a s， 对 吧？好，所以啊，在 三角形 e c f 一 和三角形 e c f 中啊，开始写条件， c f 一 等于 c f 角 e c f 一 等于角， e c f 都等于四十五度啊，再加上公共边 c e 等于 c e， 所以我们就说三角形 e c f 一 要全等于三角形 e c f 全等了以后，那么 e f 和 e f 一 作为对应边是不是就相当了啊，所以 e f 就 等于一 f 一 啊，而刚才的时候呢，我们通过旋转啊，又讲到了通过购物定里去得到的这个和这个的转换啊，现在这和这个已经转换完了，所以这个结论就出现了啊， 这个结论出现了以后，如果出现在大题里边，你就按照这个格式进行证明就可以了。如果出现在选择填空题里啊，你就直接使用这个结论就行啊。 这个，这个结论的大方向还是像 e f， 在 这个图里边，明显是三条线段里边，是不是最长的一个，对吧？最长的一个等于这两个啊，短边他们会形成一个勾股样子的一个东西啊，到时候你注意这个，注意这个，这个这个结论，但是在用这个结论之前，还是条件更重要， 为什么必须是等腰直角三角形当中的一个半角模型？那么当你知道了这个结论以后，你看，我再随便给你出一个题啊，这种题就太容易了啊，比方说这样画一个， 这样给你一个直角三角形，那你比方说 a c b d e， 比方说这个是 a d， 它是四十五度啊，等腰直角三角形啊，在这个过程当中， a、 d 标是等于三， a、 e 等于 七吧？啊，它是求那 b、 e 等于多少啊？如果你不知道这个模型的话，那现在这个问题你一定会考虑一个问题，我这个 a、 b、 c， 这个等于这两三边长到底是几 啊？特别费劲。但是一旦你知道了以后，那这个题你就直接套用就行了，这个是三，这个是七的话，那么这个就是四，而我们又知道它的平方等于它的平方加它的平方啊，所以说这个 d e 方，它等于 a， d 方加上 e、 b 方的话，那也就是说十六就等于九，加上 e、 b 方，那你直接就得到答案，这个 e、 b 它就能更好记，是不是这个操作就会简单很多？ ok， 这课结束啊。

小青啊，这幅九天朝原图是先人的心血，如今地动山摇，必画错位，若不能在日落前将其复原，这千年的神韵就要归于黄沙了。 师傅，这些线条全都乱了，原来的位置早已模糊不清，我该如何下笔，才能分毫不差的画出他们原本的模样？ 万物有法，行止有度，图形的流转在于定其心， 明其相，度其脚。孩子，用你手中的尺规去找回那些失落的轨迹吧！修复师们，时间紧迫，请随我一起用精确的线条重绘这盛世的飞天！ 师傅，这琵琶的姿态不对，它应当是顺着神女的手腕向右侧倾斜，才能弹出绝世妙音。 琵琶之颈犹如一条线段，欲将其复位，你需定下旋转中心，看准方向，但最关键的是，那琴头究竟要转过多少度才能精准归位？ 师傅，这莲花座是个巨大的三角形，他现在的三个角全错位了，若是我只修补一个角，其他的角是不是也就跟着歪了？ 千一发而动，全身整体的旋转实则是顶点的流转。若已知中心与角度，你该如何运比？让这三角形的三个顶点同时落入正轨？ 这里还有一个损坏的五边形阵法，快帮我把它顺时针转九十度补齐，千万别把顶点连错顺序哦！ 这条飘带最难，它不仅离神女那么远，连朝向都是反的，这绝对不是转一下就能解决的呀！ 有些修复不能一蹴而就，仔细看清它究竟是先经历了怎样的平移，又进行了何种旋转，方能让其完美衔接。 这飘带太远了，而且朝向是倒着的，这绝对不是原地转一下就能解决的，它到底经历了什么？ 修复壁画不仅要绘画，还要会找！你能一眼看穿哪个点是它们旋转的中心枢纽吗？ 千年的尘封终于在这一笔中精准找回了原本的轨迹，这便是法则的奇迹，每一次分毫不差的流转，都在唤醒沉睡的神明。 原来数学的线条真的能丈量出盛世的容颜。匠心不灭，一眼千年。今日，我们重回了敦煌， 这节课你有什么收获？

小青啊，这幅九天朝原图是仙人的心血，如今地动山摇，必画错位，若不能在日落前将其复原，这千年的神韵就要归于黄沙了。 师傅，这些线条全都乱了，原来的位置早已模糊不清，我该如何下笔，才能分毫不差的画出他们原本的模样？ 万物有法，行止有度，图形的流转在于定其心，明其向，度其脚。孩子，用你手中的尺规去找回那些失落的轨迹吧！修复师们，时间紧迫， 请随我一起用精确的线条重绘这盛世的飞天！ 师傅，这琵琶的姿态不对，它应当是顺着神女的手腕向右侧倾斜，才能弹出绝世妙音。 琵琶之颈游入一条线端，欲将其复位，你需定下旋转中心，看准方向，但最关键的是，那琴头究竟要转过多少度才能精准归位？ 师傅，这莲花座是个巨大的三角形，他现在的三个角全错位了，若是我只修补一个角，其他的角是不是也就跟着歪了？ 千一发而动，全身整体的旋转实则是顶点的流转。若已知中心与角度，你该如何运比？让这三角形的三个顶点同时落入正轨？ 这里还有一个损坏的五边形阵法，快帮我把它顺时针转九十度补齐，千万别把顶点连错顺序哦！ 这条飘带最难，它不仅离神女那么远，连朝向都是反的，这绝对不是转一下就能解决的呀！ 有些修复不能一蹴而就，仔细看清他究竟是先经历了怎样的平移，又进行了何种旋转，方能让其完美衔接。 这飘带太远了，而且朝向是倒着的，这绝对不是原地转一下就能解决的，他到底经历了什么？ 修复壁画不仅要绘画，还要会找！你能一眼看穿哪个点是它们旋转的中心枢纽吗？ 千年的尘封终于在这一笔中精准找回了原本的轨迹，这便是法则的奇迹，每一次分毫不差的流转，都在唤醒沉睡的神明。 原来数学的线条真的能丈量出盛世的容颜。匠心不灭，一眼千年。今日，我们重回了敦煌， 这节课你有什么收获？

同学们好，今天给大家讲一下第四张图形旋转一的创新 思维的第九道题目。在数学课上，老师提出了这样子个问题，如图一， p 是 四边形 a、 b、 c 到内的一点， a b 等于 b c， 角 abc 等于九十度， p a 等于一， p b 等于二， p c 等于三，你能求出角 a、 p、 b 的 度数吗？它应该是这个角的度数。 那小明有这样子一个思路，他说将三角形 p、 b、 c 绕着点 b 逆时针旋转九十度，得到了 p 一 撇 b a， 那 这样子逆时针旋转 九十度，说把 b、 p 绕着点 b， 逆时针旋转九十度，那我们把它画出来。 逆时针旋转九十度，那这个角应该是九十的。这九十，那我们把它连起来撇一撇，那这一条就是。这点是撇一撇 就可以求出角 a、 p、 b 的 度数，那这样子就能求出 a、 p、 b 的 度数。那怎么去求呢？那我们这样子旋转过来的时候，我们知道这个角，这个是角一，这个当它角二，那角二，它是等于四十五度，这两角相等，它的等腰直角是按弦， 那角一等于多少呢？那 b p、 b p 等于 b， p 一 撇，它都等于二， 所以说这个 p p 一 撇，就等于二根号二，它这个角 p 一 撇 p b 是 等于是十五度的，它是个等腰直角三角形。那我们看一下， 接下去把 b、 c 也会绕着点 b 旋转九十度，得到 b a， 那 我们把这个连起来， 这条连起来，那我们知道这个 p 一 撇 a， 它就会等于这个 p c， p 一 撇 a 会等于 p c， 它就等于三。 这条是等于二根号二，那这个三角形 a p p 一 撇当中， 那么 a p 的 撇的平方，它应该等于三的平方等于九。 p p 一 撇的平方加上 a p 的 平方， 它也会等于二。根号二括号的平方加上一的平方也会等于九。所以说这个 a p 撇平方，它会等于 p p 一 撇平方加上 a p 的 平方，所以这个角 a p p 一 撇就是一个九十度的角，所以说角 a p b， 它应该等于角。 哎，九十度加上四十五度就等于一百三十五度。

初中几何要想学的好，八下图形旋转你必会！哈喽，大家好，我是博教教育数学张老师。今天我们来看两道有关图形变换当中的旋转，我们来看这已知条件，直角三角形 abc， 角 b 为九十度， 将直角三角形 abc 绕着点 c 逆时针方向旋转，且点的是点 b 的 对应点恰好落在了 a、 c 上。 当我连接 a、 e 以后，并 c、 f 垂直 a、 e， 这时候如果给了 b、 c 长度是六， ab 的 长度是八以后我们要去求的是三角形 a、 c、 e 的 高 c、 f 这一道典型例题，它是一种直角三角形在旋转，那么我们在讲旋转的时候，一定要充分利用它的什么性质，对应边相等对应角，那么在边方面 我们会有比较特殊的在哪？这是一个典型的六八十，我们先写出来 c b 六 a b 得八，这时候我们通过勾股定律是能够得到 a， c 是 等于十，典型的六八十。那么这个 a、 c 转哪去了呢？转到了 c、 e， 这个 c b 六转到了 c、 d， 哎，这个时候我会发现还有一个八，我也可以先写出来，对应的是 一对，当我如果对转到了 a、 c 上的时候， a、 c 总长是十， a 对 长度我们就能求了啊。这时候由于 c 对 等于 c， b 等于六，我们就会有 a 对 等于的是 a， c 减去 c 对 等于的是十，减六等于四。我们继续写出来，这是四， 还有角呢？角怎么办？这时候有一个非常特殊的直角角 b， 他 是能够对应的角 c 的 e 为多少？九十度，那我可以继续在这边两侧画上垂直符号， 我下一步可以怎样？我发现了直角三角形 a 对 e， 我 可以继续怎念 r t 三角形 a 对 e 中我们可以勾股定律去求 a e， a e 等于根号下 a 对 方和 e 对 方 a 对 刚刚得到的是四， e 对 是对应的 ab 八。这样算完勾股定律，我们得到的 a， e 长度是四倍根号五。 那么这道题在 a c， e 三角形当中出现了两条高，我们会想到面积，那此时此刻求 cf 高，我们可以用等面积法，所以这道题我们可以继续写。等级 三角形 a， c， e 的 面积可以是由 c f 和 a e 乘积的二分之一，也可以是一对 a， c 乘积的二分 之一，这叫等面积法。我们是不是可以直接代数了呢？ c， f 是 我们要求的，那这里边 c f 乘以 a e， a， e 是 刚刚得到的四倍根号五，除以二分之一可以约没了。这是我们写上四倍根号五的 c， f 等于这里边一对和 a c 一个八，一个十，八乘十，所以 c f 等于的是四倍根号五分之十也等于四倍根号五。

嗯，再录一道这个八年级会考到的我们的中考题啊，八年级就会考到了。然后我们来看看题目，首先他说这个三角形 a、 b、 c 为我们的枕边三角形，边长为四，好把标上边长为四。 嗯，然后 h 点为 ab 边的中点。所以在这个地方，这儿出现了一个东西，就是三线合一啊，三线合一， 然后说 m 为 c， h 上的一个动点啊， m 为动点，这儿 m 它是可以动的啊，它是可以动的， m 为动点， 然后连接 b m， 并将其以点 b 为旋转中心，逆时针旋转了六十度，得到 b n。 啊，逆转六十度得到 b n， 那 这一句话 很明显，你以点 b 为旋转中心，逆时针得到了 b n， 这个时候我们可以很明显得到，首先它是等边三角形，这边又旋转了六十度，所以这是一个很标准的一个手拉手的模型啊，标准手拉手的模型。然后这里面对应的角 啊，这里面对应的角，我们可以把它写一写啊，对应角可以写一写，它应该出来的是，我们的， 就是角一 和我们的角二应该始终是相等的啊，角一跟我们的角二应该始终是相等的。 然后现在让你求的是绿颜色的线段啊，这应该是 h n 的 最小值，这写错字了，这 h n 的 最小值， 求绿色线段 i n 的 最小值。嗯，在讲这道题之前，我先说几个比较重要的点啊。首先第一就是我们这个旋转 就是我们的旋转，旋转除了说我们为什么说旋转大概率会出手拉手的这个模型的原因，是因为你们要始终清楚一个点，就是旋转这件事情，它是从不孤单的， 他是从不孤单。什么叫从不孤单？他会只转一个点吗？不会。他会只转一条线吗？他也不会，他永远在转的时候都是带着一个面去转， 所以它很容易出我们的全等，所以很容易出我们的手拉手。这就是这道题目的逻辑啊，一定要搞清楚，旋转对应的是我们的面在旋转。那我们现在来看我们这道题， 当你的 m 点在动的时候， m 点在动的时候伴随的是我们的边。首先 我们的边里面应该是我们的这条边， b m 跟 b n 始终伴随相等啊， b m 跟 b n 始终伴随相等，并且角一跟角二也始终相等。 那现在我们既然要找到那个面，那面在哪里？ b n 这条边跟角一， 它夹的另外一条边是我们的 b h。 为什么找另外一条边的原因是因为我们手拉手昨天也讲过，手拉手的全等一定是 s a s 的 全等， 所以我们手拉手的第一个三角形已经找到了在哪里？就在这个地方， 就这个三角形。那另外一个三角形在哪里？我们不就需要找到一条边跟谁相等呢？找到一条边跟我们的 b h 要相等。 然后我们看题目，因为它是等边三角形， b h 是 边的一半，所以我们应该在这条边上找什么东西呢？找到一个我们的终点啊，找到一个我们的终点，我们比如说这一点，我们给它标成 f 点， f 点， 然后我们的这个手拉手的图形就已经找到了啊，就已经找到了，它就是 b m f 这个三角形啊， b m f 这个三角形。 所以在 m 运动的过程中，这个三角形，这两个三角形始终保持的是全等，始终保持的全等。然后这道题就已经解决了， 我们要求 h n 的 最小值，实际上就在求我们 m f 的 最小值啊，实际上在求我们 m f 的 最小值，这样三道边儿，哎， 那现在既然我们把 h n 换了个地方，放到 m f 以后，我们就会发现，第一我们的 f 点，这个点我们昨天讲过，这个点我们把它称之为定点 m 点，它是一个动点， 又因为 m 的 轨迹是在 c h 上啊， m 的 轨迹是在我们的 c h 上，所以这道题就转化为点到直线的最短距离。点到直线什么时候最短？点到直线垂直的时候最短， 哪儿垂直？我们的 c m f 的 这个点这儿垂直， 然后这道题就结束了啊，因为边长为四，这儿 f 点又是中点，所以这儿是二。又因为三线合一，所以这个角是，所以这个角是三十度，三十度所对的边等于斜边的一半，所以 m f 的 最短长度为 一啊，所以 h n 对 应的最小值也是一。

今天讲全等三角形六大基本模型中的对称和旋转，也就是翻折和旋转，那为什么把它两个放在一起来讲呢？因为翻折旋转是初中填空选择题中的一个压轴题， 只是他的难度从初一、初二、初三，他是循序渐进的，但是每年都会考的，其中最难的就是他的画法。到了初三之后啊，很多学生直接就控这个题，甚至连画他都画不明白。那我们现在初一刚学的时候，一定要打好基础啊，看一下对称型，你看一下这几种图形啊， 明显的看出来它是对称的。那什么叫对称呢？就是说沿着某一条线，它翻折以后，它可以和另外一半的图形完全重合。比如说第一个图形，它是沿着中间这条线 l 啊，上下，哎，一翻它就完全重合了。这个呢，是沿着中间这一条线 翻过来之后，左右重合，那重合这两部分，这个两个三角形就是全等的，那这个呢，也是沿着这个中间这条线啊，他翻折以后呢，左右重合的，明显的看出来啊，小三角形跟小三角形是全等的，那左边这个大的呢？跟这个大的也是全等的，反正就到处都是全等的， 包括这种的这种题目，它比较难的是什么呢？就是说如果说它没有给你这种肉眼可见的图形，让你自己去沿着某一条线去翻折，比如说有一个直角三角形，它是三四五、 三四五、 a、 b、 c， 然后让你沿着什么呢？ a、 b 中点是找个点叫 d、 dc 去翻折。很多学生他不知道怎么画这个图形啊，我们是有标准步骤的啊，不能靠自己的想象这个图形翻到哪里去了，就在哪个位置啊，这样的话很容易画错的。那我们怎么办呢？这是先找到它对称轴是 c、 d 这条线， 然后呢，我们去翻点，看点沿着对称轴翻到哪里去了？找对称的点啊，比如 b 点跟他对面，这个点就在这个位置吗？那怎么找的呢？比如过 b 点向这条线做垂线， 做完垂线之后再往这边再延长一样的长度，哎，这就是 b 撇二，这个长度呢，等于它因为翻过去的嘛，然后再再连什么呢？ b、 d、 b 撇 d， 这就相当于是 b、 d 翻到了 b 撇 d 这个位置上，在因为 c 就 在这个对称轴上，它不用翻，直接连上就可以了。 那这样的话， b、 c、 d 就 翻到了 b 撇 c 撇 d 撇上，这就是翻折。你首先得会画图啊，这就成功了一大部分了。那翻折以后啊，我们会用到哪些性质呢？ 主要有三条性质，第一条就是对应边相等，第二对应角相等，第三对应点的连线被对称轴垂直且平分。 什么意思呢？就是说你看这啊， b 和 b 撇属于是对应点啊，那它被这个对称轴 l 是 垂直的，这是垂直的且平分的，就这个长度是等于这个长度的， 这是隐含的条件啊。另外就是刚才不是说了吗，对应边相等，那就是 c、 b 等于 c， b 撇 b， d 等于 b 撇 d， 对 应角相等呢，这个角 等于这个角，然后这个也是翻过的角吗？也等于这个角，包括这边的，你只要用上就能相等的啊，以后再碰到翻身旋转啊，这就隐含条件啊，他不会告诉你，但你自己也会用的啊，这就是平常我们大家说的课上一粒沙考试，撒哈拉 讲的很少，考的很多啊，来类型三，旋转型比较简单的考法，就是说这个图形题中直接给你画出来了，那三角形 a、 b、 c 旋转了一百八十度呢，到了 c、 d、 e， 包括这种，你看一下啊，这个三角形和这个三角形是不是旋转过来的？题中会告诉你的，那旋转以后呢，它最重要的就是说，嗯，每一条边它的旋转角都是一样的，比如说这里的 a、 b、 c， 那它旋转到了这个 a、 d、 e 的 话，我们再去旋转的时候，要按照一条边一条边的旋转，不是整个图形就是一下子过去了啊。我们拆分成边， a、 b 呢，是旋转到 a、 d 的， 那这个角度呢，就是它的一个旋转角度，比如说阿尔法。好了， 那既然 ab 旋转了， ar 度到了 ad 了，那么 a、 c 是 不是也得旋转 ar 度啊？所以这边呢，也是 ar， 再通过它们有一个公共边嘛，中间还有一个，哎，公共边，这样的话就可以得到什么 b、 a、 c 是 等于角， d、 a、 e 的， 就是这个大角，哎，等于这边这个角度嘛，再通过你是，既然是旋转过去的，那你 a、 b 等于 a、 d， a、 c 等于 a、 e， 那 很容易得到三角形 a、 b、 c 是 全等三角形 a、 d、 e 的， 包括后面这种图形谁跟谁圈的啊， 这个和这个全等，和这种全等啊。然后这里呢，也有一个难点，对他来说，他也是很多学生不会画图啊，画图是大家的一个统一，觉得很难的一个东西啊。同样再来个直角三角形好了， 比如说我这题，我让让你画一个绕着 c 点顺时针旋转四十五度，这个图形到哪里了？怎么画？ 我们再去画旋转的时候，按照什么按照一条边一条边的啊？比如说既然他绕着旋转，绕着 c 点，我们 a、 c 先旋转四十五度到哪里了？差不多这个长度在这个位置嘛，对不对？因为你旋转的时候要注意啊，角度是四十五度， 然后边长对应边相等，翻折对应边相等，旋转对应边也是要相等的， a 到了哪里了？ a 撇到这里来了， 然后再去旋转 c、 b， 就是 说和这个顶点 c 有 公共点的这一条边 c、 b 也旋转四十五度，那我往右也划顺时针往四十五度，应该到哪里了？到这个位置对不对？长度呢？和 c、 b 是 一样的啊，那就是 b 撇， 接下来呢，和顶点没有关系的，这两个顶点呢，连起来就好了， a 撇和 b 连起来，哎，你会发现它是不是我手画的嘛？它肯定一些误差的啊，那尺子画好多了啊， 这个是不是就是九十度了？所以以后再碰到这种旋转问题，要按照步骤一点点去画啊，不要想象，比如说有的学生你让他画一个这样的一个，哎，一个正方形，这是，呃，三十度好了， a、 b， c、 d， 你 让它把这个三角形 a、 b， a、 b， e 逆时针旋转六十度以后到哪里了？它有的可能，有的学生就这么画了啊，比如这是六十度嘛，算出来旋转六十度到哪里呢？逆时针是这样画的吗？ 画出来了就长这样子，看着好像好像也有，好像也没什么太大的问题一样。那事实上根本就不是这样子的嘛，它只是说有点像啊， 你想想，你这个直角逆时针旋转来之后，一定是在下面这个角度是直角呀，不可能是这个角度是直角嘛，对不对？所以啊，要按照边一条一条去旋转啊。来，我们看两个例题。