要文老师讲初中几何思维

今天我们就来聊一聊这个几何问题，该如何突破瓶颈。你像很多孩子，这个几何学着学着会发现越来越难了，对吧？跟不上了，为什么呢？因为你是把自己卡在了第一个境界，咱们把几何学习可以分成三大境界，第一个境界就是你会背各种公式，各种什么周长面积、体积公式，滚瓜烂熟， 但是没有用啊，你这是在最底层，那么在公式上面呢，还有着六大方法，这个方法你一旦学会之后，你就基本上是几何里面的高手了，当然想要成为顶尖高手，上面还有八大模型。那今天呢，我们就先来给大家讲一讲，如何从第一层往第二层去突破。咱们来讲讲几何当中的六大方法。 第一个方法叫什么呢？叫做割补法，割补法你从他这个名字上你就能感受出来啊，他要么分割，要么补充，我们各拿一个例子来给大家展示一下啊，比如说我们来看一个题目啊，这里呢给大家画一个正方形， 边长就随便来一个十吧，现在我们以这个正方形呢作为一个模板，然后在里面画两个半圆。现在我就问你，请问这两个半圆里面这两块阴影部分的面积，你能快速的口算出来吗？如果是会分割的话呢？这个题做起来就会非常的简单， 因为图形画的很标准嘛，这两个半圆大家看它的交接点就是这个正方形的正中心，那我们把它给分割一下，大家有没有发现，分割完之后，这个正方形的正中心，他刚好也是在圆的这个半圆的这个正中间这个位置， 所以分割完之后，我们通过观察你会发现，就左边这一块啊，它其实是跟右边这个空白大小有什么关系啊？是相等的吧， 因为你想吧，如果把这个正方形给它对角线也一连的话，那是不是刚好是分成了四部分，完全对称的对不对？所以这一块跟这一块它其实是左右完全对称的，是相等的。所以我干脆就把这一块面积我就不算了，我给你挪到这，同样的，那这一块的面积呢？我也不要了，给你直接挪到这。哎， 挪完之后，大家有没有发现，就是我们想求的阴影部分，本来是不规则的，现在就合到一块了，变成一个什么东西啊？是不是变成一个直角三角形了，对不对？那你这个面积就很好求了呀，就直接底乘高除以二呗，直接就来个十乘十除以二等于五十。 所以分割法它的一个目的是为了什么呢？就是为了把一些不规则的图形，通过一些简单的分割，再重新 拼盘拼成规则的，这样子就相当于是把复杂问题简单化了。那补充呢？补充的经典题型，给大家举个例子，比如说咱们画一个三角形，现在我告诉你啊，这个是直角，然后这边呢也来一个直角。好，请注意，有两个关键条件啊，这四十五度，这也是直角。现在我给你两个数据啊，比如说我告诉你，这个是十， 这个是四，请问这个图形的面积怎么求？一般人可能看完第一想法就什么呢？那我给他分割成两个三角形去求行不行呢？呃，这个想法本身没问题啊，但是你会发现分割完也求不了， 因为你这两个三角形求面积有底没有高，有高没有底，数据是不够的。那说明什么呢？说明你这个思考方向是错的，既然分割不行，我们还有一种办法就是补充。为什么要补充呢？你看，其实这道题里面给了咱们几个关键条件啊，有直角有四十五度，你能想到什么呀？ 当直角和四十五度碰撞在一起的时候，我们的大脑里面应该想到一个非常经典的图形，等腰直角三角形。所以其实这个题我们是可以把 这个图形给他补充完整的。补充完之后，因为这是四十五，这是九十，所以上面这个是不是也是四十五度啊？这很好算。那你看，补完之后，你发现没，我们想求的这个阴影部分，其实它是可以通过做差来算出来的，它可以拿一个大的直角三角形减去这个小的 角三角形，因为你想嘛，这是九十度，这是四十五度，那这也是四十五度了，对不对？说明上面也是个等腰直角三角形，整个大的也是个等腰直角三角形。好，那我们来算一下啊，大的等腰直角三角形，四十五度，四十五度，那这条边是十，说明这个边也是十。 等腰直角三角形嘛，所以它的面积是十乘十除以二，减什么呢？减这个小的，你看这个小的，他给了一条边是四，那因为是等腰直角嘛，所以这条边也是四，所以它的面积就底乘高除以二，减去四乘四除以二。那这个就简单了啊，这个是一百除以二，也就是五十，这个呢是十六除以二，也就是八，所以答案就等于 四十二，这就是补充这个方法啊，割补法作为几何方法中的第一种啊，是使用频率非常高的啊，那么除了割补法之外，还有很多，咱们比如说再来看第二个叫做平移， 平移也是一种非常非常经典的方法，举个例子给大家啊，非常经典的例子，比如说我现在告诉你，有一个花园吧，啊，有个草地，草坪上面全是种的是草啊。但是现在在草坪上面呢，修了两条路，一条横着的路，一条竖着的路。 现在我给你几个条件啊？比如说我现在告诉你啊，这个宽呢，是等于十米，长呢？是等于十五米，然后这个路的宽度不是修了两条路吗？这个路的宽度都是一米。那么问题来了，请把这四块草地的面积给他 算一下，那么一般人拿到这个题就会很头痛啊。就是，哎，这个路你到底修在哪个位置？我也不知道对不对？所以这四块草地我如果直接算是算不了的，你看直接算没有任何数据吗？对不对？那我们这个时候其实要用到我们的思维了，什么思维呢？就是整体思维，既然分开算算不了，那咱们要不把它合在一块算？ 怎么合到一块呢？其实我们就可以用平移的方法，你比如说这个路，反正你是横着修，竖着修，对吧？那我干脆把你竖着的这条路呢，我给你推到边上，比如说咱们再来画个图啊，就是这个草地我现在直接把路竖着，这条路我给你直接推到左边，然后横着这个路呢，咱们直接给他推到上面去，那么你看中间重叠的部分还是重叠的，对吧？推完之后， 四块草坪是不是就轻轻松松的隔四围一了，对吧？变成一块了，那这一块的草坪是个标准的长方形，我们来看看数据啊，刚刚长是十五，对吧？除去这个一米宽的路之后，那剩下的长应该还有十四米， 对不对？那刚刚的宽是十米，那除掉这个宽一米的小路之外，那剩下的这一块的宽度应该还有多少啊？十减一，还有九米，那你看整个四块草坪的面积，咱们就可以轻松求出来了啊，也就是十四，再乘个九一百二十六平方米，这就是经典的平移方。 那除了歌谱平移，咱们再来看第三种方法，第三种方法叫做旋转法，这个方法也非常经典啊，它其实跟平移法有点相似，这两个方法用到的思维都是把一些本来分开算不好算的东西给它合并到一块了，其实用到的是数学中的整体思维。 比如咱们拿一道非常经典的旋转的题给大家看一下啊，比如现在我告诉你有一个直角三角形，然后给你两个数据啊，这个的长度是四，这个的长度是六，没了就让我们求这两块阴影部分的面积， 请注意这是个正方形，那你会发现就是这两块三角形的面积呢，直接求都不好求，对吧？虽然它是一个直角三角形，但是数据给的不太够啊，有底没有高，有底没有高，那咋办呢？既然分开算不好算，我们就可以尝试把它合并起来， 那这个怎么合并呢？因为你看啊，它因为这里是个正方形嘛，正方形角首先是直角，边也是相等的，所以我们就可以尝试，比如说把右边这个三角形，我们给它选 旋转，用旋转的方式把它转过来，那转过来之后我们来看怎么画啊？你看比如说这条边，他转过来之后就跟这个贴在一块了吗？旋转九十度，然后这条水平的边呢？如果也旋转九十度的话，就把它立起来了，从水平方向把它立起来， 那立起来，我画一下，也就是竖直方向，长度是几呢？你旋转的过程中，长度是不会变的吧，所以长度还是四。哎，那你看一旋转完之后就很神奇，这个三角形跑这了，那因为我们刚刚旋转的是九十度， 所以组成了一个新的什么三角形啊？是个直角三角形对不对？那你看这两个三角形是不是拼到一块面积就特别简单了？拼成一个直角三角形了，底是六，高是四，所以它的面积就可以轻轻松松口算了。 s 就是 面积啊，底乘高除以二，也就是六乘四除以二，那么答案就等于多少呢？等于 十二，如果有单位的话，把这个单位写上去。所以平移旋转它其实是同一种思路，就是把一些本来分开算不好算的东西合到一块了。那么除了平移旋转之外啊，还有一种方法也非常经典，第四种叫做对称法， 这个对称法是非常经典的啊，就比如说我们来看一道题啊，这个题目呢，长得样子跟这个很像，比如说还是这样的一个直角三角形 里面呢，我现在随便给你画一个长方形，现在呢，我告诉你两个数据，比如说一个数据还是四，另外一个数据呢？比如说这个长度是十吧，问题是什么呢？这回我让你求这个阴影部分的面积， 这两题是不是有点像啊？给的条件有点像啊，但是求的不一样。那这个怎么求呢？你看啊，如果你想直接求这个东西，他还是很难求的，求不了，对吧？你想你求一个长方形面，你咋求啊？对吧？你不得知道长跟宽吗？但是这个题有长跟宽吗？好像也没有。那怎么办呢？他就要用到我们的对称法了。 这个对称法呢，其实也是一种整体思维啊，就是我们从整体角度来看，他其实是把一个长方形给我们切成一半了，就是我们利用对称的方法，把这个直角三 三角形给它补充成一个完整的长方形。那补充完之后我们来看一下啊，既然是个长方形，我现在就把这些线呢都给它补充完整，补充完之后来看会发生什么事情啊？首先 我们观察一下啊，这里有一个小的长方形，对不对？这个小长方形你发现没？就是它相当于是用对角线把它分开了，那这两个的大小是什么关系？很显然应该是一样的吧？好，同样的，这里也是一个长方形， 长方形的对角线很显然把这个长方形分成了两部分，这两部分大小也是一样的，大家可以拿一张 a 四纸去试一下啊，一张草稿纸沿着对角线一分，肯定是相等的。那我们再从一个整体的视角去看，这是个大长方形，对角线一分分出来的 这个和这个大小是什么关系？也是一样的，那我们记着啊，就是这俩一样，这俩也一样，这两个还一样。那我现在从整个的这两个里面把这个给剪掉，把这个给剪掉，请问剩下的这两部分相不相等？思考一下， 相不相等，这两个相等都剪掉，它都剪掉，它同时剪掉一块，剩下的部分是不是都相等，对吧？所以你想求的这个阴影部分，它跟上面这个是一样的，而上面这个好不好求呢？很好求，你看给的数据啊，这个是四，那说明这个长度也是四，这个是十，那上面这个也是十， 最上面这个的面积和这个面积是相等的，所以我们想求的阴影部分呢，它的面积就出来了，就是四乘十，答案等于四十。 这是一种非常经典的方法，叫做对称法。这个对称其实用到的是正方形啊，它的面积就出来了，都是中 中心对称图形啊，中心对称图形旋转一下。那除了对称法之外，我们再来看第五种方法。第五种方法的名字叫做叉不变，他在咱们几何当中考试的频率也非常 高啊。我举一个经典的例子，比如说，呃，我现在给你画两个三角形，都是直角三角形，给大家随便几个数据，比如说这个长度是八，这个长度是六，然后我再告诉你一个长度啊，告诉你这个长度是等于十吧， 也就是说从上到下是十。那么现在的问题是什么呢？请问这个小的三角形和这个大的三角形，它的面积之差是多少？ 求面积之差。有的人可能第一想法就是说，哎呀，我想求它的面积之差，我得把这两个三角形的面积都算一下，对吧？但是你会发现直接算不太好算。为什么呢？因为这个大三角形它的高， 知道，对吧？小三角形它的高呢？也不知道。当然你可能到了初中啊，你学过这个相似三角形之后，你可以用这个相似笔去求。但是我们这种题，在小学阶段你没有学过相似三角形， 你也没有学过那个什么沙漏模型，那在这种情况下，既没学过模型，也没学过相相似三角形，我们该怎么做呢？其实用几何方法也能把它搞定，就是用叉不变。什么叫叉不变呢？比如说两个人，两个人比身高，我比你高了一头，那你想如果我们两个都站在一个桌子上去比身高的话，我们的身高叉会不会变？ 显然不会，对吧？因为都长高了嘛，就差不会变，这叫同增同减，差不变。所以你看现在我想求这个大的三角形比小的三角形多了多少，我们就可以用这个思路，就是我要不给你同时增加一块，增加哪块呢？比如说我就增加右边或者左边。随便啊，比如说我们就连一下这个吧，咱们都给它加上一块， 加上这一块，那你看，如果我给这两个三角形都加上一个黄颜色之后，大的三角形变成什么了？变成一个大的直角三角形了。 这个大直角三角形是多少面积？很好求，它加上一个黄色，它也加上一个黄色，就相当于是把这两个三角形都占到了桌子上去。比这个身高，那 它的叉首先是不会变的，对吧？你同时增加了一块嘛，你加个黄颜色，它也加个黄颜色，这一块面积差不会变，那加完之后这个面积就很好算了。你看啊，大的这个三角形，它的底是八高，刚刚不是给了这个数据吗？从这到这高度是十，所以它的面积就是底乘高除以二，八乘十除以二。 这个小的呢，你看它增加完黄颜色这一块之后，它相当于是一个钝角三角形，那钝角三角形它的底是六高呢，过顶点 往底边的延长线上面画一条垂线，这个高是不是还是这条竖线还是十，所以它的底是六，高是十，那么面积就是六乘十除以二。 ok， 这样子的话，两个三角形的面积都可以算出来了啊，这个是四十，这个呢是三十，所以它们的差就等于十， 是非常经典的啊，就叉不变，我们有很多时候啊，用叉不变的题，他会有一个特点，就是让你求他们的叉，或者说给出这两个三角形的叉，大家只要看到有这种字眼的时候，就要往那个叉不变的思路上面去想了。 那除了叉不变之外，咱们数学中还有一个最最经典的方法，第六种方法啊，叫做容斥原理。容斥原理这个方法呢是比较高级的，咱们来看一道题， 举个例子，比如说现在给大家画一个长方形，然后呢，我在这里面给大家画两个三角形，随便画啊，这里画一个三角形，然后这里再画一个三角形。画完以后我告诉你有三块的面积，这一块是一，这一块是十，这一块是八，那么画完之后 请求阴影部分的面积，这种题是很多同学最害怕的啊，因为你看这个阴影部分，他也不规则，对吧？然后给的数据又是这三块毫不相干的面积，那很多同学就开始纠结了，这怎么做呀？对不对？这种题就要用到咱们的容室原理。什么是容室原理呢？给大家举个简单例子啊，就是比如说我现在呢，也给大家画一张小桌子啊， 比如就是我吃饭的桌子，那吃饭之前呢，我要在这桌子上放两张纸，把它盖上去，比如说左边放上一张纸，哎，刚好是把这个桌子的一半给它 盖住了，然后右边我再放一张纸，把这个桌子的另一半也给他盖住。那么大家想一下啊，一半加一半，应该是刚好可以把整个桌子的全部给他盖住的，对不对？好，那现在比如说突然来了一阵风，把右边这张纸呢，给他往左边吹动了一点点，吹到哪去了呢？给大家画一下啊，比如说右边这张纸 往左边稍微吹动了那么一丢丢，挪到这了。挪到这之后，大家有没有发现，就这两张白纸，他们就会有重叠的部分了，因为你往这边一吹吗？那个纸不就重叠在一起了吗？然后你发现没，这个桌子这一块他就漏出来了， 你往纸往左边一吹，那右边不就漏出来了吗？对不对？那大家看重叠的部分和漏出来的部分是什么关系啊？你仔细观察对吧？你，你往左边 挪多少，右边就漏出来多少，所以重叠的部分是和漏出来的是相等的，我们这个叫什么呢？叫做重叠，等于未覆盖，就重叠多少就漏出来多少。当然它的前提是什么？前提就是你本来这两张纸是刚好 能够把桌子的全部给盖的严严实实的。明白这个道理之后，我们来看这个题啊，其实这个题是非常简单的，你比如说咱们先看其中第一个三角形，这个三角形如果你仔细观察一下，你会发现这个三角形 它其实是占了整个长方形面积的一半的，这个大家能看出来吗？为什么是一半呢？我只要稍微给你一分割，切开左边跟左边相等， 右边和右边相等，那不就明显是一半吗？再来看这个斜着的三角形，它其实也是长方形的一半，这个为啥是一半呢？啊？我们还是可以用分割的方法啊，就是把它切开，对吧？你看上面和上面相等，下面和下面也相等，那这个阴影部分不就是占了另一半吗？ 那你看，我们就可以假设现在就是吃饭的一张桌子啊，我们拿了两张餐巾纸往上一盖，对吧？一个三角形先盖住桌子的一半，然后又拿一个三角形又盖住桌子的一半，那一半跟一半理论上是可以把整个桌子的全部盖住的，对不对？但实际上你发现没，这两个三角形有没有真的把桌子盖住呢？并没有，他们有一大 块是重叠的，就这个，然后这个桌子就漏出来了很多，你看这一块漏出来了，这漏出来了，这也漏出来了。所以根据我们刚刚讲的，重叠等于未覆盖，你只要有重叠的，那漏出来的和重叠的是相等的。所以我们想求的这个阴影部分的面积其实非常简单，它就是等于漏出来的这三块的面积之合，也就是一加十，在 加八，答案就等于十九就搞定了。所以以上就是我们几何解析当中最最常用的六大方法，如果你把这六大方法给掌握的话，那么你就能从第一境界成功的突破瓶颈到第二种境界了，这样子你的解析的时候就会游刃有余了 啊，因为有很多题目你光去套公式你是解决不了的，你看我们给大家举的这么多的例子，没有一道题是直接套公式，能做的都需要方法，那方法之上是什么呢？方法之上是八大模型，这个我们会在下次视频讲解，大家如果感兴趣的话可以点个关注，我们下期视频给大家讲八大模型。

这道题竟然是胡不规模型的代数伪装数！在中考考场里啊，无数同学对这种材料阅读的式子猛算，却不知啊，早就把几何的方法暗藏在代数题目当中了。 这道题，只要你能一眼识破胡不归模型，就直接能用树形结合加勾股定律，直接秒杀。而今天啊，一道视频带你彻底学透胡不归的代数考法。来看题，这种题呢，我只是节选了材料阅读中的一小问哈，给大家展示一下。真正数学考察的是树形结合， 它前面肯定有些影子。那怎么去树形结合呢？首先第一个知识点，看到了根号里面有平方，我们能想到什么？对，就是勾股 a b， 那 这条斜边就是根号下 a 方加 b 方，所以这是一个知识点。 那么基本功扎实的小朋友，这个题一眼就能看到，什么呀，哎，就是根号下 x 方减六， x 加九再加一，也就是根号下 x 减三的平方，再加一的平方，你看是平方加平方就出来了，这是第一步 好吧，好，这是第一个，第二个就是你怎么处理这个他。那么第二个知识点就又来了，就是我们的胡不归系数。 关于胡不归系数考试，最常考的啊，就是 sign 三十度等于二分之一， sign 四十五度 等于二分之根号二，而 sign 六十度等于二分之根号三这几个系数。所以看到二分之根号二，我就想到了什么呢？对，就是我们的四十五度给它构造出来。 好，当你把知识点梳理完，接下来就是我们具体操作这道题目该怎么破解好？首先呢，这个题我们的第一步还是先化解它，好吧，但是这里面要注意个细节啊， x 是 有范围的。 好，那我们来化解一下。首先怎么化解？我们联想到它是可以通过构造直角三角形，对不对？刚才咱们看到了啊，如果构造成 x 减三的平方，再加一，什么问题？是不是你这里所构造的这个边是不是 x 减三？ 但是大家都应该清楚，直角三角形的边有没有可能是负的呢？是不可能，对吧？因为这里 x 范围是零到三呀， 所以这里面需要大家做一个小小的操作，那就是把它转变成三减 x 的 平方，再加一的平方，因为平方里面互为相反数，是不影响这个式子本身的结果的，对吗？ ok， 所以 说呢，这个题的一个困难的点就是要把它化简成三减 x 的 平方。 ok， 那 所以说我们原式 就等于二分之根号二倍的 x， 加上根号下三减 x 的 平方，再加一的平方。好，现在我们通过图形打草稿的方式来把它进行一个几何化的操作。 怎么操作呢？我们来看啊，现在你知道直角三角形的这个边是几？是三减 x， 这个边是一，这里是直角。那所以说现在这条边就是我们的这个根号的这个式子，对不对？好，写一下啊， a， b 和 c， 那 么这条边就是我们根号下。哎，三减 x 的 平方，再加一的平方。好，紧接着我们怎么表示它是一个难点？ 刚才说了胡不归，胡不归的系数，所以说我们可以联想到这边补一段，对吧？不确定是 x， 但是有二分之根号二，就是我们的四十五度的正弦值，所以这里呢构造一个几度？四十五度， 那么大家去注意 x 乘以三，以四十五就是这条边，对吗？这里做个垂， m， 是不是这个黄色的线段，是不是二分之根号二倍的 x？ 那 大家现在去思考一下这么一个代数几何化后的问题，对吧？你看啊，已知 c 点呢，是这条 x 加三减 x 上的一个不确定的点， 是不是它是个动点，然后现在这里是一个固定的长，就是 a 到 c 上面找一个点，然后在这里做垂。请问求的是 a c 加 c m 的 最小值， 大家回忆一下关于最小值的问题，初中就两种考法，两点之间线段最短，因为这里是垂直的，关系有二分之二，所以他必须垂直，是不是？那怎么办呢？很显然，是不是直接过 a 向下做垂，真正的 m 在 这里，真正的 c 在 这个地方。 大家现在想，此时的 ac 加 cm 是 不是最小的，对吧？总好过你 ac 加 cm。 那 这个怎么去求呢？我们来看一下，因为这里是四十五度，所以说呢，这是一个等腰直角三角形，这里是四十五度对顶角，这里是四十五度，那这里是一，这里是一，就出来了， 紧接着整个是三，所以这里是二，它是二。四十五度，这里是几？是不就根号二，对吧？那因此就是根号二，是它， 对吧？然后这里是根号二， ok， 因为是一比一比根号二，因此 ac 加 cm 的 最小值就是此时 am 的 长，也就是根号二加根号二，是二倍根号二。 那检查一下，现在的 x 等于几呢？各位，总共是三，这里是一，那 x 是 不是等于二？此时 存在最小值为二倍根号二，而你的二是满足零到三之间的一个范围的， ok， 所以 最小值呢，就是二倍根号二了。各位数形结合来妙解这道题，关于胡不归的代数化应用，你学会了吗？评论区告诉我。

几何要想学的好呢，你得做到三个境界才能成为几何高手。第一个境界呢，是你在学校里面就可以完成的，叫做公式啊。那么这个公式呢，我们可以把它分为简单的，比如说周长啊， 还有面积，还有体积，你比如像什么正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形、圆扇形 这些面积公式，这些都是学校老师会要求你去记的啊，孩子一一般来说也都能掌握。那么体积公式呢，像什么圆柱、 圆锥这些体积的公式难度都不高，那么这些内容掌握之后，只能说你的几何达到了一个入门。这个入门呢，就是说 很多考试题，你会发现你会背公式，但是你题目是做不出来的，因为你缺乏了第二个境界就是几何的方法，那么这个方法呢，我们可以给大家归为这几大类，我一个一个来展开说。第一个呢，最经典的 平移，有很多场景下，你会发现一道题目，你公式背的再熟，但是你做不出来。我举个简单例子，比如一个草坪里面啊，我现在告诉你， 它的长是二十，宽是十五，然后现在呢，我在里面修了两条路，一条竖着的路，一条横着的路， 这个路的宽度假设是两米吧，那么修完以后呢，发现整个草坪被分割出了四块，那么这四块的面积是多少？你能给我求出来吗？ 你会发现你不知道每一块的具体的长与宽，也就说你长方形的面积公式背的再熟，你在这个场景下，你是没有任何的用武之地的，所以这个时候你会发现我们就得学平移了，我们可以把这两条路呢给他都往边上去推，因为你在推的过程中，路推过去了，那草就移过来了，所以我们直接把这个路啊 给他一个推到左边，一个推到上面。那你看刚刚有重叠的这一小块，他这里还是重叠的，也就是说完全不影响任何的情况下，整个四个草地变成了一块，对吧？那这一块的长宽我们是可以快速的算出来的， 原来的长是二十，路的宽度是二，那这一段就剩了十八，原来的宽是十五，路的宽度是二，那这一段就剩了十三啊，所以面积就是十八乘十三了，这就是平移法的一个作用。还有很多方法，比如说再举一个例子，叫做旋转法。 旋转法也非常的经典啊，就是说你如果会背公式，但是你不会这种方法的话，题目也是做不出来的。我们可以举一个例子， 比如现在给大家画一个三角形，这是一个直角三角形，然后现在我告诉你呢，这里面有一个正方形，这是一个正方形。然后我给大家两个条件，这个长度告诉你是十，这个长度告诉你是 七，请求阴影部分的面积，那么你会发现这两个阴影部分呢都是三角形，你公式背的很熟，面积公式 底乘高除以二，但是你会发现考试考这个题你又做不出来了，为什么呢？因为这个三角形它没有高，这个三角形呢也没有把高告诉我们。这就是为什么很多孩子几何平时只会背公式，但是考试拿不到分，因为你没有学这个旋转的方法， 为什么要旋转呢？你会发现，对吧？这就牵扯到我之前说的数学思维了，这两个三角形既然分开算，求面积也算不了，那么我们数学中有一个非常重要的思维，叫做整体思维，就你分开算，算不了的图形呢，咱们可以尝试把它合起来， 分分合合嘛，数学思维就是为了帮助我们把这个难题简化，你既然分开算，算不了，合并一下，怎么合并呢？因为里面有个正方形，我们可以把左边这个三角形呢，绕着这个点给它旋转啊，像钟表的时针一样，给它旋转九十度嘛，旋转之后呢，你会发现它就立起来了啊，这个边跑到这，然后这条边竖起来了，能不能看出来 它就旋转过来了，那么旋转过来之后，你会发现，刚刚这个七跑到这了，它刚好是一个直角三角形的高，因为我们里面是个正方形，九十度嘛， 旋转了九十度，所以这就是通过旋转法，把两个缺条件的三角形刚好拼在一起，一个条件成为了底，一个条件成为了高，那面积就求出来了，这就是旋转法。那么平移旋转还有差不变以及容斥原理， 这几个都是几何里面的一些常用的方法，叉不变呢？我也给大家举一个简单的例子啊，这个也非常的经典，因为考试考的特别多，比如说我画一个直角梯形，然后呢，我现在把这个直角梯形往下面平移一下，平移出，平移到这个位置。 好，现在给大家几个数据，第一个数据，比如我告诉你这个是二十，这个是五，这个是八，求阴影部分的面积，那么你会发现孩子就崩溃了，因为他课本里面没有学过长得这么丑的图形的面积怎么求啊，对吧？然后给的条件呢？又很奇怪，给的都是下面的这个数据，所以你会发现背公式又不行了， 那这个时候其实就要学叉不变的这个方法。什么是叉不变呢？举个简单例子，比如说两个硬币大小一样，我都给他挖个洞，一个洞挖在左边，一个洞挖在右边啊，这个放在咱们的古代就是铜钱，对吧？两个这个制造的有点失败的铜钱挖歪了，对吧？但是洞的大小是一样的， 硬币的大小也一样，那么请问挖完以后剩下的部分的面积是什么关系呢？很明显应该是相等的吧，对吧？因为相同的东西又挖掉相同的，那剩的也一样。这个就是数学中的一个经典的差不变原理，你原来两个东西差是零，就没有差别，你同时去掉一块，或者说同时增加一块， 它也是不变的。那回到这个，你看啊，两个梯形，因为梯形是平移过去的，也就说两个梯形本来是一样的，那么你会发现上面这个梯形啊，好像被人从下面这个地方挖掉了一块， 下面这个梯形呢，好像被人从上面挖掉了一块，那两个一样的东西挖掉了一样的一块，只是说挖的位置不一样，你说挖完之后剩的部分什么关系呢？它是不是相等啊？所以这个很丑的这个面积，其实就跟下面这个面积是一样的， 这就是利用了叉不变的方法把它给推理出来的。那这个推理完之后，你只要求下面这个就好了，下面这个好求啊，你看下底是二十，上底是几呢？这个很好推嘛，因为相同的梯形，你的下底是二十，他的下底也是二十， 然后这个是五，那这一段就是十五了，刚好这个是八，等于是梯形的上底下底高都有了，这个时候你再去套公式，套面积，公式就很 ok 了，很简单了 啊，所以你看没有学这个方法，那你这种题你觉得能做出来吗？不可能的啊，这就是背公式，只是最基础的啊，方法很重要。那么容斥原理这个也非常重要，这也是在数学中考的比较多的一个，我举一个简单的例子吧。好，容斥原理的话呢，我们也举一个例子啊，这个非常的经典，比如说一个长方形里面 先画出一个三角形，再画出一个三角形，然后呢，我现在告诉你几个条件吧，这个是面积是三，这个面积是五，这个面积是八，请求这一块的面积，你会发现这个题就很离谱啊，给了三块的面积，让我们求一个 长得非常不规则的图形的面积啊。问的是面积，但是你在整个小学的所有的年级里面，你从来没有背过这种图形的面积，对吧？而且数据跟这个也毫无关系，所以这个时候呢，你又得学咱们的几何方法里面的容斥原理了。 那么容吃原理，我用一个非常简单的话来给大家形容啊，比如说我现在有一个桌子，在桌子上面吃饭，然后呢，吃饭的时候，我要垫上两张纸，左边垫一张盖住一半，右边也垫一张，也盖住一半，两张纸就把整个桌子给盖住了 啊，现在呢？假如这个风一吹啊，把其中的一张纸给吹到了左边这个位置，吹到这，那么你会发现这两张纸就有重叠的部分了，旁边这里就漏出来了，能想象这个画面吗？就本来我拿了两张 a 四纸，现在两张纸盖着一张桌子，对吧？那风一吹，把其中一张纸往左边一吹， 然后呢两张纸重叠了，那你原来这个桌子这个地方就漏出来了，你会发现重叠的部分跟漏出来的部分是什么关系啊？是相等的吧。那么像这个题，它其实就是要用到这种 容吃原理啊，我们总结就是重叠的部分和漏出来的部分是相等的，前提条件是这两张纸刚好是可以把刚刚那个桌子给盖住的。那么在这个长方形里面，你会发现第一个三角形，它其实是占了长方形面积的一半的，这个能看出来吗？切开左边等于左边， 右边等于右边啊。当然这个涉及到方法里面的另一个叫做割补法，你把它一分割就能看出来了。然后同样的这个三角形它也占了整个长方形面积的一半，这个通过分割也能看出来啊，因为一切开， 上面跟上面相等，下面跟下面相等，那么这两个一半，按道理来说，两个一半应该是可以把整个长方形，但是你看它现在两个两张纸 是不是有重叠的部分，重叠了这么多，对吧？你看这个三角形跟这个三角形是不是重叠的，对吧？那根据我们刚刚讲的容斥原理，重叠的部分和漏出来的部分是什么关系呢？是相等的， 刚好漏出了这一块，两块、三块，所以一下子这个题就一目了然了啊，这个阴影部分就是这三个面积相加，所以你会发现就是几何里面有很多的题目，它不是用最基础的公式啊，去套的 是你必须得掌握这些方法的原理，然后再去做那歌谱法。这个我就不再解释，因为歌谱法是学校里面讲的，老师讲的比较多的，就把一个不规则的图形给它分割一下，分割出规则的。所以几何方法你掌握的话， 那么你的几何能力相当于是从入门到及格吧。啊，到这才及格了啊，因为几何如果你想学的更 达到顶尖的水平，那么就是要学几何里面的模型了。这个模型我不展开讲了，我就说一下有哪些模型吧。这个模型里面总共是有六个模型，分别是 等高模型、蝴蝶模型、鸟巢模型、燕尾模型、沙漏模型、金字塔模型、一半模型，就这些模型也全部掌握。那么整个一套的几何的所有的内容，三个境界全都掌握熟练的话，那你的几何能力就在整个，不管是小学的期末，或者说小学的一些竞赛， 这些都没问题。这些方法模型也能够帮助我们应对初中的一些几何，因为初中里面有很多像什么画辅助线呢， 证明全等啊，其实无形当中都是我们这些方法旋转过去了，然后正一下全等，平移过去啊，正一下全等都是用这种基础，所以基本上小学能把这些内容学完的话，初中几何这些也都很轻松了，这是几何的这个体系。

好家伙，你早说数学要这样学啊，初中三年都做不出来的题，一个视频给我干明白了，我当年怎么没遇到这样的老师啊？经常呢，有家长问我啊，就是这个数学思维到底几年级开始去训练比较好？那我今天想告诉大家，数学思维这个东西，它实际上是不分年级 的，它是小数高通用的。哎，就说你一个思维，你可以一劳永逸的，从小学到初中，再到高中，甚至到你日后生活工作当中都可以用的。我今天给大家举个例子，大家就知道了啊， 咱们以数学中的十六大思维中的一个很经典的思维，叫做逆向思维为例啊，那么什么是逆向思维呢？你看这个名字你就应该有感觉，对吧？逆向，逆向就不是正着的，是倒着的，也就说我们一个东西正着做不好做，那就反着做，那他的一个最基本的解释就是什么呢？ 就是正难则反，就是正着难办，咱们就反着办这个思维。在我们小初高阶段，他分别有这种题了，你比如说题目告诉你有一个数，然后呢，这个数 先加三，然后再乘二，然后再减四，最终结果呢，等于十。那有的妈妈给孩子去讲这种题的时候，就非常的头痛啊，就是你看吧，在我们成年人眼里有一个数，然后你想求这个数等于几，那第一想法就是，哎，这个数设成 x 对 吧？然后给孩子啊加个三，然后呢再乘个二，好两倍的，然后再减个四，等于几等于十。哇，一个方程就列出来了， 直接把孩子给干蒙了，你想吧，一个二年级的小朋友怎么可能学过方程呢？对不对？方程是五年级以上才学的，所以你要如果是用这种方法给孩子讲，你这就属于是我们叫做干讲啊，就讲的干巴巴的，孩子不理解。但是如果我们换一种方式给孩子讲，你比如说 我们给孩子讲思维，从思维层面教孩子怎么分析，他以后再遇到这种题，他不仅能够自己做出来啊，他甚至还能给你讲出来怎么做呢？你看有一个数，对吧？你不知道这个数是几，那我先给他画个圈，可不可以 先加三，我就给他加个三，我把这个过程给他列出来，然后呢？再乘二，是吧？我给他再乘个二，等于几？不知道再继续，然后再减四，那我再给他减个四。哎，现在知道等于几了，等于十。 ok， 我 们把这个题目把 文字翻译成图像，这个很重要啊，那么接下来我们就可以引导孩子去思考。你看啊，这个题如果上来，我就问你，这个数是几？你肯定不知道是几， 因为你正着想，你没有任何的依据，没有任何的可以分析的手段，这就是我们到了刚刚说的那一步了，就是正着分析的时候，已经非常有难度了，那这个时候该怎么办呢？那我们就要引导孩子了，你既然正着算不好算，那是不是可以反着算呢？对不对？ 你反着算吧，你看谁减四等于十，我倒过来。那倒过来不就加四吗？所以十加四口算等于几等于十四。那你再问孩子， 那谁乘二等于十四呢？那我倒回去。倒回去是多少？那我就数个二呗，对不对？十四除以二等于几等于七来，那再来，那谁加三等于七啊？倒过去算呗，对不对？倒过去算，那不就减三吗？那你看七减三等于几等于四，那这题是不是求出来了？ 当然，其实我跟大家说啊，这种讲法呢，是适合在二年级阶段教孩子的，但实际上解方程我们到了五六年级阶段教孩子的，但实际上解方程我们到了五六年级学解方程它的本质上 也是一种逆向思维，你像很多人觉得方程很难，其实方程一点都不难，对吧？你比如说我现在就给你解这个方程，咱们来看一下啊，解这个方程跟刚刚算这个算式，它的本质上是没有一点区别的。你比如说我会问你，谁减四等于十，那反过来十加四呗。所以这一团二 x 加三，它就等于 十加四，也就是十四，对吧？那我再给你盖着二乘谁等于十四，那是不是七啊？所以你看这一团 x 加三，是不是就等于七？有没有一点感觉了？ 是倒着来的，对不对？那比如说我再问你，谁加三等于七，是不是倒过去七减三，那 x 就 求出来是不是等于四了？所以其实解方程它也是一种逆向思维， 只是说我们在二年级阶段呢，你不能给孩子去列这么复杂的算式，你会直接把它搞崩溃的，你可以把它拆解成一步一步，但是它本质上的思维是不是相通的？那这个是我们在小学阶段的一个应用啊，其实到了初中呢，逆向思维用的更多了。你比如说我们在初中阶段，我们学到这个平 平方差公式的时候啊，你像平方差公式是 a 的 平方减 b 的 平方等于 a 加 b 的 和再乘 a 减 b 的 差， 那么这个公式很多孩子背的滚瓜烂熟啊，但是一遇到题目就发现不会做了，比如说我给你出一个特别简单的计算题啊，一百零二乘九十八，你能口算吗？啊？那有人就傻了，对吧？老师，我这不列数字，我咋口算呢？ 其实他就可以用平方差公式的逆向思维去运用啊，怎么运用？你看啊，这个一百零二和九十八呢？你看这两个数是不是很接近？跟谁比较接近？一百零二九十八徘徊在一个数的两边，那就是一百嘛，对不对？所以我们可以把这个一百零二呢给他想象成就是一个百 加二，然后九十八呢，它其实就是一百减二，哎，那大家观察一下，跟上面这个公式，你感受一下，有没有什么感觉？就是 a 加 b， 一 百加二， a 减 b， 一 百减二，哎，这不就是个平方差公式的结果吗？对不对？那你说我们怎么去算这个数啊？你能不能把这个公式给它倒着用一下？ 因为我们说逆向思维，就是有时候你会正着思考，也要学会倒着思考啊。你把这个公式倒回去用它，其实就是一种逆向思维了， a 加 b 乘 a 减 b， 等于 a 方减 b 方，那我一百加二乘一百减二，我倒回去等于什么呢？ 可不能说等于一百零二乘九十八又回去了啊，那就等于一百的平方，干嘛？减二的平方，对吧？那你看平方是不好算一点，一百的平方一百乘一百嘛，是不是等于一万，然后呢？二的平方二乘二，二得四，那一万减个四，哎，这不又口算出来了吗？等于多少？九九九六，这是不是也是一种逆向思维的应用？ 其实包括像这种平方差公式也好，还有包括我们在初中学的什么勾股定律啊，他也有一些逆应用啊，这些其实都是在锻炼我们的逆向思维，甚至这个思维我说了不分年级、小数、高通用，你甚至到了高中阶段，你还要用你像我们高中学的最经典的像什么概率统计，我给大家举个非常简单的例子吧。啊， 其实高中的题会比这个举的例子要难很多啊。我给大家举个简单的，你比如现在有三枚硬币，那我们抛一个硬币，他有可能正面朝上，也有可能反面朝上，对不对？那现在我就出一道题啊，咱们高中经常会遇到这种题，你比如说三枚硬币抛出去之后， 三枚里面至少有一枚硬币正面朝上的概率是多少？很多孩子看到这种题就很投 哇，这至少有一枚，那，那我得分类讨论呢，对不对啊？有一枚啊，有两枚，还有三枚，你这样做就完蛋了，等你做完别人就交卷了，我们应该怎么做呢？你看啊，就是你正着算，其实他的情况特别复杂嘛，有三种吧，对吧？你得考虑一枚的、 两枚的、三枚的，而且一枚的呢，到底是哪一枚呢？你这这不好分析啊，那我们可以倒着去思考，你正着算不好算，咱们可以倒着分析。倒着分析是什么？大家想至少有一枚硬币正面朝上，那倒着想的话，他是不是全部都朝下，就一枚都没有，对吧？就是零枚呗， 看对不对？所以也就说硬币都朝下，那你想我随便抛一个硬币，那朝下的概率呢？那都是三个都是二分之一，那独立事件你一成呗，对不对？相互一成，那不就是 三枚都朝下的概率八分之一吗？这是他的反面情况，那你反面算完了，那你想求的这个至少有一枚呢？是不是拿个一去减就完事了呀？对吧？你看这一减，这 不轻轻松松算出来等于八分之七吗？这其实就是咱们内向思维的应用。当然我们真正到了高中阶段，我们学概率统计的时候，那个题目会比这个复杂的多，但是他的思想是不会变的， 思想是不会变的。当然讲到这里呢，大家不要觉得说老师，那我学了这个逆向思维，我是不是就天下无敌了？不是的，咱们在数学当中啊，其实很多题目它是综合考验我们的各种综合的思维能力的，有的题不是说一个思维能搞定的，我给大家举个例子，大家就知道了啊。比如咱们以小学和 初中、高中经常遇到的一种数列求和问题，给大家举个例子，你像二分之一，加四分之一，加八分之一，加十六分之一，加三十二分之一，再加六十四分之一。 像这种题呢，在小学里面就是分数的求和，在高中咱们就叫等比数列求和啊，那这种题有没有什么最快的办法呢？它是有的啊，你除了套公式之外，你高中我们学了等比数列求和公式，你可以套公式，在小学阶段咱们就会教孩子用数形结合的方式去做， 当然这个数形结合里面它不仅只用到了数形结合思维，它还能用到咱们的逆向思维。咱们听一下啊，到底是怎么样去做的啊？就首先你看啊，这个数如果你直接去通分，那 肯定计算量很大嘛，那傻子才去通分呢，对不对？那我们怎么办呢？首先第一件事情，我们可以思考分数这个东西怎么来的？分数由单位一分出来的， 所以我就画一个大正方形，表示整个分数的单位一啊，就是一嘛，对不对？那你看二分之一是多少？是不是相对这个正方形的一半，对吧？这就是竖形结合的思维啊，这个思维的名字叫竖形结合，那二分之一显然就是占了正方形的一半，我给它切开 同样的那四分之一呢？那是不是可以把旁边这一半给他再切一半，对吧？我一半的一半就是四分之一啊？那再来八分之一呢？再切一半， 十六分之一呢？再切一半，三十二分之一，再切六十四分之一，再切，切到最后你发现没，他还剩下一丢丢，剩多少呢？那上面是多少就剩多少，对吧？剩了六十四分之一， ok， 重点来了，我们刚说了，这个题你可不要去通分，因为通分的话计算量很大，那你想，既然从左往右咱们通分，正着算他不好算，那正着算不好算怎么办？ 刚刚说了对吧？那不就又要用到逆向思维了吗？对不对？你看，这就接上了哈，又要用到逆向思维了，你正着算不好算的时候，你就要学会干嘛呀？去倒着算，也就说我，我怎么倒着算呢？我从整个单位一里面， 这个大正方形里面，我把剩的这个给它干嘛？给它一减是不就行了？所以其实这里就用到了逆向思维，一减六十四分之一等于多少？等于六十四分之六十三。那我们综合的来看，其实你看这道题，他其实用的不止一个思维吧，对吧？你如果不会树形结合的思维，你不会画图的话，你，你怎么倒着算？ 你画完图之后呢？你如果没有逆向思维，那你画完图之后，你还在那傻傻的加，你也加不完呢，对不对？也不能巧算呢？所以这一道题它是综合运用了两 个思维，既要用竖行结合，又要会逆向思维，就把这道题给他完美的做出来了。包括像这种例子有很多啊，你像我们刚给大家讲的这个平方差公式，你刚刚我们用的很爽，但是很多孩子他不知道这个公式怎么来的呀？平方差公式他其实也是要用这个竖行结合思维去推导出 来的。怎么推导？你看啊，比如说 a 的 平方，那就是 a 乘 a， b 的 平方呢？那就是 b 乘 b， 哎，那你想 a 乘 ab 乘 b， 你 能想到个什么图形呢？那 a 乘 a， 边长乘边长，是不是相当于一个边长为 a 的 大正方形，求面积，边长为 a 的 大正方形求面积。那 b 乘 b 呢？ 那就是一个边长为 b 的 小正方形，求面积。那我就剪掉呗，对吧？从这里面剪掉一个边长为 b 的 小正方形，求面积。那么 a 乘 a 减 b 乘 b， a 方减 b 方，剩下的这一块是不是就是我们想求的啦？那我们就可以通过这种数形结合的思维方式，把 数字给它变成图形，我们只要把这一块阴影面积一求这个公式好不好推啊？其实特别简单，你只要把它一分割，你看分割完之后，这是个什么形状？这是不是个 直角梯形，上底是 b， 下底是 a， 然后这个高呢？这个长度你感受一下啊，这个长的是 a， 短的是 b， 也就是 a 减 b 嘛，对不对？那我们梯形的面积公式不小学就学了吗？上底加下底的和乘高除以二，上底是 b， 下底是 a， 那 合起来就是 b 加 a， 也就是 a 加 b， 对 吧？也就是 a 加 b 的 和再乘高 是 a 减 b 的 叉，上底加下底的和乘高啊，然后再除以二，对吧？这就求出一个梯形的面积了，那两个一毛一样的，对吧？两个一模一样的梯形，那你怎么办呢？你再乘个二呗，对不对？那你看 除以二，再乘二，这个就抵消掉了，就只剩下一个 a 加 b， 再乘 a 减 b 了，那公式是不是也出来了？所以你看这个东西，它其实又用到了数形结合思维。咱们数学呢，你在学的任何过程中，你不管是做题也好，公式的推导也好， 他其实方方面面都用到了咱们的数学思维。经过我今天这个视频讲解，我希望大家以后呢能够重视起咱们的数学思维来。那么数学思维其实在我们小数高的这个学科阶段呢，他不多啊，一共就十六种， 如果大家感兴趣的话呢，你可以收藏一下咱们这个视频，并且关注咱们这个账号，我以后呢会给大家一个个的录视频，把每一个思维在各个不同阶段的应用，以及和别的思维该怎么样组合去应用？我们争取用一个一个的视频给大家都讲清楚。

今天呢，我给大家讲明白，小学阶段最最重要的八大几何模型，以及它们之间该如何相互推导。同时呢，我们把它们的一个重要系数呢，从夯到拉，给大家再排一个顺序。那么首先呢，第一个啊，叫做等高模型，这个模型它的难度系数呢，只有一颗星，但是它的重要程度，大家看它的地位啊，它是可以几乎把 所有模型给推导出来的，所以我们把它的重要程度排在第一个，叫做夯等高模型是什么呢？给大家画一个三角形，然后呢在这个三角形里面，我们在底边随便给他点一个点，然后把它切成两个不同的三角形。现在我告诉你啊，这两个三角形，它的底边长度分别是 a 和 b， 那 么这两个三角形的面积 之比是几比几呢？等高模型的结论非常简单，就是 s 一 比上 s 二，就等于它的底边之比，也就是 a 比 b。 那 这个怎么证明呢？其实非常简单啊，你看这两个三角形呢，他们有一个相同的 顶点，那么从顶点往下面画一个垂线，就相当于是他们的高了。那么大家有没有发现，这两个三角形的高其实是一样的，一个是锐角三角形 的高，就是这一条，对吧？另外一个是个钝角三角形，那钝角三角形的高呢，就是过底边往这边画个延长线，然后再从顶点往下面画个垂线，也是这条高，对吧？好，那么等高模型的结论是什么呢？就是两个三角形，如果是等 高的话啊，那么它的面积之比就等于底之比，这个其实非常好推导啊，你看第一个三角形，是一个锐角三角形，对吧？它的高就是这个 h 三角形呢，这个是一个钝角三角形，那它的高呢？是过顶点往底边的延长线上面画一条垂线还是 h？ 那 你看第一个三角形，它的面积我们可以怎么写呢？底乘高除以二，也就是 a 乘 h 除以二。第二个三角形，它的底是这个长度是 b， 那 它的面积呢？就是底乘高除以二，也就是 b 乘 h 除以二。那两个三角形的面积之比，咱们来比一下，你看面积之比是不是 a 比 b 啊？这就是我们得出的结论啊，只要是两个三角形是等高的，那么它的面积之比就跟它的底之间的比例有关，面积之比就等于底之比，非常简单，对不对？所以难度系数亦可行啊。当有了这样的一个基础知识储备之后，咱们再来看这道题啊， 他说整个大三角形的面积， a、 b、 c 的 面积啊，是五十四平方厘米，然后呢，各边均取三等分点， 也就是什么意思呢？就这里面的所有的点呢，都是每个边的三等分点。接下来让我们求阴影部分的面积，其实这个题咱们一个算式就能把它算出来。首先第一步，你看啊，整个大三角形，你把它看成是一条鱼，那这里呢，尾巴是有三份，那我们现在呀，先这样一刀下去， 这一块就不要了，那只留下多少呢？两个尾巴对吧？占了整个鱼的几分之几啊？占了整条鱼的三分之二嘛，对不对？所以先来个五十四乘三分之二，表示求的是右边这一部分 啊，左边这三分之一就不要了，然后再来啊，我们想要求这个，该怎么求呢？那接下来第二刀很关键啊，咱们第二刀怎么切呢？我们可以把这一块 给它切掉，这一块不要了啊，你看咱们把它看成是一条鱼，它的鱼尾分成了三部分，我们去掉了其中的一块，还留下了其中的两块，所以去掉了三分之一。留下了多少？留下了三分之二，所以我在这里呢直接再给它成个 三分之二，表示的就是这一部分的面积了。最后一步也非常简单啊，咱们就把里面这个也看成是一条鱼，鱼头在这呢，鱼尾在这，你看鱼尾有几几部分呢？几个尾巴呢？三个尾巴，那我们想要的是中间这两个尾巴，这个就不要了啊。那也就说第三刀咱们就直接从这开始切， 切掉了三分之一，留下了三分之二，所以我在这个基础上再给他乘一个三分之二，这就是我们想要的阴影部分的面积了。那我们来算一下啊，三三三，这个相乘二十七，二十七跟五十四一约分 剩了一个二四个二，相乘刚好是等于十六，所以这道题的答案就是十六平方厘米，你学会了吗？好，关注我，每天学习一个实用的数学小技巧。

小学、初中、高中数学啊，这三个阶段他的数学思维有什么样的区别啊？咱们今天用一个视频来给大家讲明白，看黑板上这个题啊，其实黑板上这个题呢，咱们小学生也能勉强做一做啊，初中生是考的最多的，高中也考啊。那首先我们先来给大家讲讲，如果在小学阶段，我们将会用什么样的方式去做这个题。 x 平方加 y 的 平方等于十八，求 x 加 y 的 最大值。那有人会说，老师小的时候没学过这个平方啊，对不对？其实你知道平方是什么含义就可以了。那平方啥意思啊？ x 的 平方是 x 乘 x 对 吧？ y 的 平方就 y 乘 y 呗。那我们在小学阶段，当你看到两个相同的数相乘的时候，我们第一时间数形结合，你能想到什么？图形？ 正方形，对吧？说明他现在是两个未知的正方形。这两个未知的正方形呢？就面积加在一块啊，比如说有个大有个小的吧，对吧？有个边长是 x 的， 有个边长是 y 的 正方形，这两个加在一块，他的什么之合是十八 面积之合，然后问这个 x 加 y 的 最大值，那在小阶段里面呢，我们做这个题就可以用数学中的一个极限思维。什么叫极限思维呢？你可以先想其中有一个 x 或者有一个 y 特别小，我们把其中的一个正方形给它画到无限小，小到只剩一个点，那么另外一个正方形的面积就非常大了，是多少啊？十八，对吧？那也说，呃，一个正方形的面积是十八，那边长是多少呢？大致算一下啊，小学的时候我们算不了很精准，但是你可以估算大约是在几到几之间， 四四十六、五五二十五，也就是它大概是个四点几的一个数，对不对？也就说 x 是 零，边长是零，然后 y 呢？是四点几，这个和是不是最大的呢？ 显然不一定啊，因为我们极端思想就要考虑两种极端，一种极端就是一个特别小，一个特别大，另外一个极端是什么呢？想一想另外一个极端，有的人说，老师，那就另外一个特别大，这个特别小，对吧？另外一种极端就是这两个图形的面积趋于一样，对吧？就一样大，比如说 两个一模一样的正方形，哎，你看啊，两个大小一样的正方形，面积是十八的话，那每个面积是几九 九，那面积是九的话，边长是几三三得九嘛，对不对？你看啊，也就说这两个正方形的边长都是三，那这个时候 x 加 y 是 多少？三加三等于几六六啊，那比这个四点几是不是要怎么着啊？要大，所以我们在小阶段里面，你用这种极限思维啊，你是可以把它给大致的，把这个答案给猜出来的，应该是几， 应该是六，所以咱们就求说这个最大值啊，就是六。好，那如果到了初中啊，初中数学就相对来说比较严谨一点了啊，咱们就可以用一些我们所学的什么平方公式啊，给它来推导一下。首先我们在初中里面有一个这样的公式，就是 x 减 y 的 平方，它应该是大于等于几的任何数的平方， x 减 y 的 平方，一个数的平方一定是大于等于零的吧，这比零大的吧，对不对？所以我们可以得出什么呢？你看啊，就因为它要求的是 x 加 y 的 这个最大值，你想求它的最大值呢？你得先研究加 y 的 平方的最大值啊，因为这里给的是这个平方嘛，你肯定第一时间要想到这个完全平方公式。那这个完全平方公式里面它有个什么东西呢？它有一个 x 方加 y 方， 再加二 x y， 把它拆开，对不对？你看这个数，我们是已知的是多少？十八，也就是说你相当于是要研究这个的最大值， 二 x y 的 最大值。那二 x y 的 最大值，这个怎么研究呢？你就用这个公式就好了啊，因为 x 减 y 的 平方大于等于零，因为任何数的平方不都大于等于零吗？对不对？那把它拆分一下，也就是 x 方加 y 方 减什么？减二 x y 大 于等于零，那我们能得出什么结论呢？就是二 x y 是 小于等于 x 方加 y 方的啊，当然，这个地方我给你稍微移移了个方向，能不能跟得上？你可以把这个减二 x y 移到这边嘛，对吧？ 也就是 x 方加 y 方是大于等于二 x y， 那 反过来，就这个不是小于等于它嘛。好，那我们把它替换一下，也就是二 x y 小 于等于几呢？这题目已知的信息啊，十八，所以你看这个数，它是小于等于十八的， 那说明什么呢？说明 x 加 y 的 平方，它等于 x 方加 y 方，再加二 x y 这个数，它小于等于十八，这个是等于几等于十八，这个小于等于十八，所以它们合在一起就是小于等于 十八加八是几？三十六，哎，就说明这个的平方小于等于三十六，那你说它最大是几，它是不是小于等于几啊？ 小于等于六是不是证明出来了，所以他最大值就是六啊？当然这个还没做完啊，就我们在初中阶段，你要你要验证这个情况，他是否成立啊？他成立的条件是这两个数的乘积的两倍，是等于十八的时候，他在成立，对吧？也就是两个数乘积等于十八，那也就说 x y 是 等于几啊？二、 x y 等于十八， x y 等于几？ 九九，然后我们又得出这个 x y 的 最大值是六，来看看成不成立，成立吗？口算一下， x y 等于几，相乘等于九，相加等于六。三 不小学生都会的吗？不两个都是三嘛，对吧？三加三嘛，对吧？三乘三嘛。所以你看，这就跟我们前面的对应上了啊，小学的时候，其实我们通过这种极限思想，也能把这个东西大致的给它编出来啊。当然这种题到了高中啊，咱们做起来就更加的严谨了啊，你甚至都中间不需要去验证， 就我们可以直接把这个答案给它算出来。为什么呢？因为我们到了高中阶段，我们会学到一个方程，就这个 x 方加 y 方等于十八，它其实是一个几何图形的一个方程。是什么方程呢？是圆的方程 啊，就我们学到圆锥曲线的时候，我们会学到椭圆呐，还有圆呐，像这个它 x 方加 y 方等于十八，它其实是一个圆的一个方程。 为什么这么说呢？比如说我在这个平面直角坐标器里面随便点一个点啊，随便点一个点，然后你看啊，把这个点的坐标设成 x y， 哎，那你发现啊，这个 x 的 平方，它的横坐标是不是 x， 然后它的纵坐标是不是相当于就是 y， 哎，那 x 的 平方加 y 的 平方等于 斜边的平方，这斜边的平方是个是十八这个斜边的平方。假如我，我把这个斜边的平方写成一个 r 的 平方吧，这个 r 的 平方等于十八，来，你告诉我 r 等于几？开个平方吧，三倍根号二嘛，对不对？也就说你会发现这个坐标它 代表什么意思呢？就说它始终是一个斜边，长是一个固定的值，就是三倍根号二，对吧？你发现没？也就也就说这个坐标它到原点的距离 始终是一个定值，三倍根号二。所以你现在能理解这个方程，它其实是一个什么方程啊？圆的方程吧，对吧？你看 x 的 平方加 y 的 平方等于十八，就意味着它的斜边的平方是十八， 那斜边不就是三倍根号二吗？说明它到这个圆点的距离始终都是三倍根号二，对吧？所以它其实可以表示一个直角坐标系里面一个圆的一个运动轨迹的。好，那既然我们 把它当做一个圆来看的话啊，那接下来我们想研究它的最大值，那你想啊，研究最大值的话，那这两个数肯定都是正数吧，不然的话，你有负数的话，那 值就不是最大的了啊，我们就可以把它放在第一象限里面去研究。假如把这个角呢，给它设成一个 c 叉角，那你看这个 x 呢？它其实它的大小呢？咱们就可以把它表示成这个半径，半径是多少？三倍根号二，再乘什么呢？这个角是 c 叉角，也就是说 相当于是三倍根号二，乘上一个 cosine theta 吧。那这个长度呢？这个 y， 这个长度啊，它其实就相当于是这个半径，再乘上这个什么呢？这个角对应的应该是正弦值，也就是 sin theta。 那 现在我们想求它的最大值，你就直接算就行了啊，相当于是 x 加 y 呢，就是三倍根号二的这两个相加 sin theta 加上 cosine theta， 对 吧？当然我们可以再用这个三角恒等变换，把这两个给它求个和好。那这两个呢？这两个数相加，我们就可以用三角恒等变换来来把它给合起来啊，怎么合呢？这个在我们高中里面就会给大家讲一个公式，非常简单啊，就是它直接就可以转化成是根号二倍的 sin theta 加四分之 pi 啊，这些是属于三角函数里面的和差公式啊，非常基础。那么这两个合在一起，你看啊，三倍根号二乘根号二等于几呢？等于六，对吧？然后这里是 sin theta 加四分之 pi。 那 问题来了，你想求它的最大值，是不是求这个最大值就行了？那我们三角函数里面的正弦值最大是几啊？这个到高中就学了啊，初中其实我们也接触过，是最大是一，那所以整个就是六乘一，答案就是六了，最大是六。所以你看我们通过 小学、初中、高中的三种不同的证明方式，大家能不能感受到，其实数学这个学科是很有意思的啊，就你的思维，只要是好的话，其实有的题你小学的思维也能把它做出来，只是说做的没有那么严谨而已，对不对？到了初中呢，我们是开始给大家去证明了，但证明过程中呢，我们还要反过来去验证 啊。你不是说证完了就答案就做完了，对不对？你还要验证你这个情况是否成立，那说明什么？说明你这个证的过程还不算特别严谨， 如果非常严谨的话，你需不需要再去反过来验证它是否成立啊？就不需要了。但但是到了高中，你会发现一条道走到黑，直接把答案就怎么着啊？ 完完整整的算出来了，需不需要再反过来说我验证这个是否成立呢？不需要验证了，对吧？这就是数学会变得越来越严谨啊。当然这中间的这个过程如果你能感受到的话，这就是数学这个学科的美了。听明白了没？好，那我们记一下笔记。

好了，我们今天要挑战的是什么呢？挑战是让，让学生，让小学生能听懂怎么平行线的这些角度关系啊，初中生的话，我们对于平行线的知识点做一个延伸，我们来看一下什么是平行线，我们之前这个就是，我们就不讲了，就是两条永不平行，永不不平行去了永不相交的一个线啊，就是没有焦点，无限延长之后没有焦点的一个两条线的平行线啊。 那么看一下，首先我们要给小朋友讲的话，用小朋友的抽象能力比较弱吗？我们要结合到实物来讲解，那我们来这里我们选择的是什么呢？看， 因为我看到有很多高中生呢，然后还有大学生收藏我小学的视频，可能是要给家里面的小神兽讲，我们来看怎么给他讲才能才能讲的更清楚啊？其实核心就是要结合实物啊，你不能直接给他讲题啊。那我们看这是一个小小一个玻璃杯吗？这是一个小木棒 啊，小木棒这玻璃杯呢？这里面是掺着水啊。那现在看这，首先这个小木棒现在他左边这个角是不是和和这个水平面的一个夹角，我们标为角一吧 脚，然后，然后这个脚呢是表示的是这个木棍的一个倾斜情况，就是个木棍，你看这样子往左边往这样子倾斜了多少度，对不对？这样子倾斜了度，度数对不对？那现在呢？现在现在这里这个角度也是啊，那我们看我给里面倒水啊，倒水啊，就掺水嘛 啊，掺水啊，就水肯定是平行的嘛，是不是水平面是平行的？平行线怎么画的？这个就用这个是，主要是用这个课来讲解一下，怎么样？呃，怎么样讲解啊？看一下。 好，这就是角二，对吧？就是现在水平面上升了，我就该加加水了，哎，那角二这个时候是不是也是这个小木棍和这个倾斜角度啊？对不对？因为我们这个木棍他是怎么样没有动过的吧？没有动过这个小木棍就加了水，所以说你看他同样的角一和角二都表示这个小木棍的一个倾斜角度，这是左边这样一个倾斜角度，那他是不是应该是一样的呢？同理哈，那你看，那我们这里的一个角 三和角四呢？你看角三角四是表示右边这样一个角度，一个表示的是这样，看 这样一个角度，看没有，对不对？所以说你看角一角二是左边这个角，它是不是该相等的呀？角三角四它表示的右边这个角是不是也应该相等的呀？为什么呀？因为我们这从头到尾都没有移动过这个小木棍，那它小木棍和水平面的一个夹角是不是就不会改变了？因为它表示的是它这个小木棍的倾斜角度，这个小木棍倾斜角度并没有发生改变。那我们看抽象这个词语 本身就很抽象，那么抽象到底是什么意思呢？我们来看一下，我们就把这两条水平面简化成了一条直线，我们就不是水平面，它就是一条直线。那我们看这小木棍呢？我们把简化成一条斜轴线，这就是抽象，就当我们这一个它的厚度不管用的时候，这里不影响我们来思考问题的时候，我们就把抽象成一条线来方便我们思考，这就叫抽象能力。就是， 嗯，这个就不解释。语文哈，我们看一下，嗯，这里，嗯同规律的，这里的角二、角二、角二和刚刚这个角一相等的。我们之前是学过一个什么呀？ 角对，顶角相等，对不对？那既然对顶角相等，那其实角二、角一、角三、角四这些全部都相等，二三一四，对不对？那我们只是说我们在初中之后给他们取了一个名字，叫什么呀？叫同位角。那我们现在来记住一下同位角， 那么结合到我们刚刚的这一个知识点，我们看一下，它其实就是指的是刚刚我们说左边的这个，右边那个，对不对？你看同位角，同位角，他同的是什么？同的是方位，对不对？你看我们这一个小木棍和这个水平面交了两个，交了两个交点，对不对？那他这两个交点的同一个方向，你看同一个方向都是相偏向左上角的一个方向，他的两个角就叫同位角， 但他们就是相同的，对不对？为什么？因为他表示的同样一段倾斜角度，那角一和角二是不是应该是相等的呀？而且是同位角，看一下， 哎，都是这个方位的哟，所以说角一和角二是同位角啊，角三和角四，你看他是不是有右下角这个方位的？也是同位角，理解了吧。那那还有什么角呢？其实啊，这些内错角，内错角，我们来看一下啊， 小朋友其实不用记这个名字啊，但是初中生我们就要记下名字了，那你看角三和角一，哎，就叫内错角。那为什么呀？我们看内错，内错，他是不是在平行线以内哦，但是他又怎么样？他又不在同一边，你看他不像这这个就在这条线的同一边，他在两边，又在内，又在两边。内错角错开的，他不在同一边，也不在同一条直线上，就不太同同一边就分开的两个就可以了， 因为它不挨着，也不在同一侧，就叫内错。就是内部且错开的这样一个角啊，也当然就是所谓的内内子型模型嘛，当然可以不用去记那么多啊，就是内侧内部的两个不在同一边的两个角，就叫内错角。当然其实我们不知道不只是内错角什么，其实这个内错角，这个角二角、三角一角是它们四个角都相等，这样子去记可能更好一点哦，那我们来继续看一下。还有一个叫什么同旁内角， 这一个也比较容易理解啊，他都说了是同旁内角。首先内角内角还是是指在这两个平行线以内嘛？那同行就在同一边的喽，你看在两个平行线以内，就在中间这四个喽，又在同一边了。你看，你看， 这个角一和角五是不是在同一边？那角三和这个角六是不是也在同一边嘛？所以说角一和角五是一组，同旁内角，角三和角六是一组同旁内角。那你看同旁内角有什么性质呢？ 好，你看他说角三加角六等于一百八十度，哎，看起来是不是挺难的呀？不知道为什么加起来等于一百八十度，实际上呢？那我们看看是不是角三和角一本来就是相等的喽，你看角三角一本来相等的，那你看角一加角六，它本来就是一个什么呀？ 直线嘛，他就是一个加，相加的一百八十度，那只是把这个角移换到这去了，因为我们知道这是相等的了，对不对啊？所以说这里其实同旁内角相加和等一百八十度啊，都是可以从这个同位角推倒而来，当然这其中每一个都可以推倒出去另外几个，所以说他其实只有一个，没有那么多，就是我们理解之后就比较简单了。那我们来看一下，那同样来，来思考一下，那角五的同位角是哪里？你看同位角，同位角它的方位项目，你看这里， 哎，都在这个左下角这个方向吗？那这个点我们也画这个方向。哦，那角五的同位角就是这里的角七，对不对？所以说我觉得同位角内错角，同旁内角，他到底是怎么？他具体的一个理论是什么？他这个名字啊，该怎么记，就差不多这样子，其实中文嘛，比较简单，结合着这个名字就能记住了哈， 好，那我们来借鉴一下。这些，就剩下的初中的小朋友在听了，小学的小朋友就不用听啊，我们来看一下，我们来学一个二指结论，所谓的那就是平行线，分线段成比例啊，什么意思呢？不要着急，我们看一下啊。嗯，这里我们把它理解成一面墙嘛，啊？一面墙啊，那这里就是一个地面啊，这就是我们的一个楼梯，马上 有楼梯，我们来给他，给他画一下，他这每这有七厘米，正好每隔一厘米画一个梯子。好，那这里就其实比较好理解喽，看七格，好像不太七格，就七格。那你看， 那我们这里是爬了七步哎，爬了七步就爬到顶上去了。标一下，那我们每爬一步，上升的距离是不是该一样的喽？你看，是该一样的喽，你看，就这个意思， 哎，你看，那这里我们爬了多少呢？是爬了这个梯子的七分之一嘛？那你看，既然爬了这个梯子七分之一，那我们是不是也爬了这个高度的七分之一啊？嘿，你看，那如果两个是平行线的话，那就是水平面，那你看分下来乘比例，什么意思？也就是说这一个三角形里面，这个 b、 c 平行于 d、 e 的 话，那么怎么样，这个这个 b、 b 这个边的比例和这个 a、 d 这个比例，是不是听起来特别拗口，实际上表示意思就是什么呀？我这儿有一段，那这儿也是一样的一段，这儿剩下了六段，就是 他们的比例是一样的。为什么呀？因为我这梯子爬了一步，这边身高也同样的升高了一步，我这爬了七分之一，这爬七分之一，那剩下就是七分之六，这里剩下的也是七分之六。就说道理就这么个道理，就是平行线分线的成比例。那当然了，有的同学要说，哎，你这是直角三角形的，那不是直角三角形肯定也行啊。那我们等一下来看一下另外一个所谓的中位线，中位线，其实这个道理就一样，他就是平行线分线的成比例啊， 他正好他现在叫中位线，中位线正好是在终点，哎，这个道理也是一样的，只是我是爬了三点五步的一个梯子啊，你看右边，我是爬了三点五步的一个梯子啊， 虽然没有跑过，假设就爬到这个中间去了，那你看我身高是不是也应该升高了一半呢？你看我右边，我一共七步，我爬了三点五步，哎，就是这边这一段的比例和这一段是一样的，那我这身高是不是也升高了一半呢？那这一段看爬上升的高度和这一段的比例是一样的呢？这就是平行线分线的成比例。那其实还有什么呢？其实我们其实道理都一样。看这， 哎，我们这是不是想整个爬楼梯的过程是在向左走吗？相当于是从这个 c 这一条线走到这一条线上面去了，那你看最后我们还是爬了七步梯子，就走到这个 b a 上面了，那既然如此，那也是一样的道理。我们往上爬一步，是不是这里我们就往前一步，爬两步，前进两步，爬三步，前进三步。也就是说你看我爬了一步之后，这里的比 这一个边的比例，嗯，就等于怎么样也是一比六，你看你这个边和这个边是一比六，那这个边和这个边是不是也该是一比六啊？为什么呀？你爬了一步梯子，你是不是就你既上升了一步，也向左走了一步，对不对？ 其实道理就这么个道理，它的比例是相同的吗？和刚刚往上爬是相同的，到理解，大概自己暂停一下，思考一下就可以了，其实和刚刚上升是一样的，就是这样倒过来的吗？那我们看，哎，他其实不同，就是不是直角三角形，能不能呢？其实道理是一样的，为什么呀？我们就相当于是他有两个楼梯在爬，所以说就直接这样的话，就把这个结论给记住，现在是一个二级结论，二级结论，我们记二级结论的目的就是为了增加做题的速度。 你看这里的 a、 n、 b、 c， 看我们中间画个高不就行了吗？你看，那就相当于是左边右边有两个梯子吗？那我们看我左边这个梯子如果爬一步啊，右边这个梯子爬一步，哎，那这个时候就怎么样？ 他们上升的高度是不是该一样的？因为我们，哦，这个，我们左边这个梯子爬这个六分之一啊，这个是比例，我说错了，右边这个梯子也爬六分之一啊，那我们上升的高度是不是也是这个高度的六分之一啊？既然高都上升到六分之一， 那说明这个面是不是和这个是平行的吗？因为它表示的是高度，所以说你看平行线，分线段成比例，那倒过来就是什么呀？你分线段成比例的线，哎，就可以得到这一个平行。你看， 如果说你能知道这个 a、 d 是 这个 a、 c 的 六分之一，那说明这个地点怎么样，就上升了怎么样？呃，这个总高度的六分之一，这里也是一样的，这个一点我们爬了这个 bc 的 六分之一，那既然这两个高度也上升了这个总高度的六分之一，那是不是这中间就是个矩形的吗？那是个矩形的话， 那是不是第一就平行 a、 b 了吗？对不对？道理就是这么个道理，就是只是他们高度差的一个问题啊，就是上升了几步，他就具体都是一样的，所以说他不管是什么三角形都是一样的，我们只需要把其中一个边当成一个底边来看待就可以了，就是有些图像反过来，我们就不一定一 开始做卷子的时候可以把它倒过来，后面熟练了我们就斜着也能看就可以了。这就是我们今天讲解了两个知识点，一个平行线的一个基础知识，还有一个平行线的一个二级结论。好了。

今天呢，我们用一个视频来给大家讲明白等高模型以及它的使用场景。什么是等高模型呢？比如我们先来给大家画一个三角形，这里呢是一个三角形，然后现在呢我把它的这个底边呢给它平均分成三份，一份， 两份，三份，那么我给它中间连一条线。那么接下来问题来了，请问这两个三角形它的大小关系是什么呢？对吧？然后这两个三角形的高又是相等的， 所以这两个三角形的面积之比啊，就是跟这个底有关，对吧？你的底是一比二的关系，所以面积也是一比二，这个很好理解，因为高是一样的，对吧？我们知道三角形的面积公式是底乘高除以二，那你的高都一样，那你的底是它的两倍，那面积自然也是它的两倍， 所以呢我们可以把这个等高模型呢给它看成是一个切鱼肉。比如我们就把这个三角形呢给它想象成是一条鱼，那现在这个鱼呢，它的尾巴被分成了三份啊，所以我们给他切开的时候，你只要看它的尾巴就好了， 它的尾巴占了一份，所以它就是总面积的三分之一，这个尾巴占了两份，就是总面积的三分之二。那有了这样的一个基础知识储备之后，咱们再来看这道题啊， 他说整个大三角形的面积， abc 的 面积啊，是五十四平方厘米，然后呢各边均取三等分点，也就是什么意思呢？就这里面的所有的点呢，都是每个边的三等分点。接下来让我们求阴影部分的面积。 其实这个题咱们就可以用刚刚讲的这个切鱼肉的这个思想去做了阴影部分的面积，咱们一步就把它阴影部分的面积，咱们一个算式就能把它算出来。 首先第一步，你看啊，整个大三角形，你把它看成是一条鱼，对吧？那这里呢？尾巴是有三份，那我们现在呀，先这样一刀下去，这一块就不要了，那只留下多少呢？两个尾巴， 对吧？占了整个鱼的几分之几啊？占了整条鱼的三分之二嘛，对不对？所以先来个五十四乘三分之二，表示求的是右边这一部分 啊，左边这三分之一就不要了啊，就送给你了，你去拿去，去炖鱼肉就好了。然后再来啊，我们想要求这个，该怎么求呢？那接下来第二刀很关键啊，咱们第二刀怎么切呢？我们可以把这一块给它 切掉，这块不要了，你看咱们把它看成是一条鱼，对吧？它的鱼尾分成了三部分，我们去掉了其中的一块，还留下了其中的 两块，所以去掉了三分之一。留下了多少？留下了三分之二，所以我在这里呢，直接再给它乘个三分之二啊，表示的就是这一部分的面积了。 好，最后一步也非常简单，咱们就把里面这个也看成是一条鱼，对吧？鱼头在这呢啊，鱼尾在这，你看鱼尾有几部分呢？几个尾巴呢？三个尾巴，对吧？那我们想要的是中间这两个尾巴，这个就不要了啊。那也就说第三刀咱们就直接从这开始切， 切掉了三分之一，留下了三分之二，对不对？所以我在这个基础上再给他乘一个三分之二，这就是我们想要的 阴影部分的面积了，那我们来算一下啊，三三三，这个相乘二十七，二十七跟五十四一约分剩了一个二四个二，相乘刚好是等于十六，所以这道题的答案就是十六平方厘米，你学会了吗？好，关注我，每天学习一个实用的数学小技巧。

几何这一块该怎么学啊？其实几何要想学的好呢，你得做到三个境界才能成为几何高手。第一个境界呢，是你在学校里面就可以完成的，叫做公式啊。那么这个公式呢，我们可以把它分为简单的，比如说周长啊，面积、体积。 那么这些内容掌握之后，只能说你的几何达到了一个入门啊。这个入门呢，就是说很多考试题你会背公式，但是你题目是做不出来的，因为你缺乏了第二个境界就是几何的 方法。那么这个方法呢，我们可以给大家归为这几大类，我一个一个来展开说。第一个呢，最经典的平移，举个简单例子，比如一个草坪，我现在告诉你它的长是二十，宽是十五。然后现在呢，我在里面修了两条路，一条竖着的路，一条横着的路， 这个路的宽度假设是两米吧，那么修完以后呢，发现整个草坪被分割出了四块，那么这四块的面积是多少？你能给我求出来吗？ 你会发现你不知道每一块的具体的长与宽，所以这个时候你会发现我们就得学平移了。那么我们可以把这两条路呢，给他都往边上去推，直接把这个路啊给他一个推到左边，一个推到上面。那你看刚刚有重叠的这一小块， 这里还是重叠的，也就说完全不影响任何的情况下，整个四个草地变成了一块，对吧？那这一块的长是二十，路的宽度是二，那这一段就剩了 十八。原来的宽是十五，路的宽度是二，那这一段就剩了十三啊，所以面积就是十八乘十三了，这就是平移法的一个作用，那么还有很多方法，比如说再举一个例子叫做旋转法， 旋转法也非常的经典啊，就是说你如果会背公式，但是你不会这种方法的话，题目也是做不出来的。我们可以举一个例子， 比如现在给大家画一个三角形啊，这是一个直角三角形，然后现在我告诉你呢，这里面有一个正方形，这是一个正方形，然后我给大家两个条件，这个长度告诉你是十，这个长度告诉你是七， 请求阴影部分的面积，那么你会发现这两个阴影部分呢，都是三角形，你又做不出来了，为什么呢？因为这个三角形它没有高， 这个三角形呢，也没有把高告诉我们，对吧？这就是为什么很多孩子几何平时只会背公式，但是考试拿不到分，因为你没有学这个旋转的方法啊，为什么要旋转呢？这就牵扯到我之前说的数学思维了，这两个三角形既然分开算， 求面积也算不了，那么我们数学中有一个非常重要的思维叫做整体思维啊，就你分开算算不了的图形呢，咱们可以尝试把它合起来， 数学思维就是为了帮助我们把这个难题简化，你既然分开算，算不了，合并一下，怎么合并呢？因为里面有个正方形，我们可以把左边这个三角形呢，绕着这个点给他旋转九十度嘛，旋转之后呢，你会发现他就立起来了啊，这个边跑到这，然后这条边竖起来了 来，能不能看出来？那么旋转过来之后，你会发现刚刚这个七跑到这了，他刚好是一个直角三角形的高，因为我们里面是个正方形，九十度嘛，旋转了九十度， 所以这就是通过旋转法，把两个缺条件的三角形刚好拼在一起，一个条件成为了底，一个条件成为了高，那面积就求出来了，这就是旋转法。那么平移、旋转还有 叉不变以及容斥原理，这几个都是几何里面的一些常用的方法。叉不变呢？我也可以给大家举一个简单的例子啊，这个也非常的经典，因为考试考的特别多，比如说我画一个直角梯形， 然后呢，我现在把这个直角梯形往下面平移一下，平移到这个位置。好，现在给大家几个数据。第一个数据，比如我告诉你这个是二十， 这个是五，这个是八，求阴影部分的面积，那么你会发现孩子就崩溃了，因为他课本里面没有学过长得这么丑的图形的面积，怎么求啊？然后给的条件呢？又很奇怪，给的都是下面的这个数据， 所以你会发现背公式又不行了，那这个时候其实就要学叉不变的这个方法。什么是叉不变呢？举个简单例子，比如说两个硬币大小一样，我都给他挖个洞，一个洞挖在左边， 一个洞挖在右边，但是洞的大小是一样的，硬币的大小也一样。那么请问挖完以后剩下的部分的面积是什么关系呢？ 明显应该是相等的吧，对吧？因为相同的东西又挖掉相同的，那剩的也一样。这个就是数学中的一个经典的差不变原理，你原来两个东西差是零，就没有差别，你同时去掉一块，或者说同时增加一块，差也是不变的。那回到这个，你看啊， 两个梯形，因为梯形是平移过去的，也就说两个梯形本来是一样的，那么你会发现上面这个梯形啊，好像被人从下面这个地方挖掉了一块， 下面这个梯形呢，好像被人从上面挖掉了一块，那两个一样的东西挖掉了一样的一块，只是说挖的位置不一样，你说挖完之后剩的部分什么关系呢？那是不是相等啊？ 这个很丑的，这个面积其实就跟下面这个面积是一样的啊，这就是利用了叉不变的方法把它给推理出来的。那这个推理完之后，你只要求下面这个就好了，下面这个好求啊，你看下底是二十，上底是几呢？这个很好推嘛，因为相同的梯形，你的下底是二十，他的下底也是二十，然后这个是五，那这一段就是 十五了，刚好这个是八，等于是梯形的上底下底高都有了，这个时候你再去套公式就很 ok 了，很简单了啊，所以你看没有学这个方法，那你这种题你觉得能做出来吗？不可能的啊，这就是背公式，只是最基础的啊，方法很重要，那么容斥原理，这个也非常重要，这也是在 数学中考的比较多的一个。我举一个简单的例子吧，这个非常的经典，比如说一个长方形里面，我先画出一个三角形，再画出一个三角形，然后呢，我现在告诉你几个条件吧，这个是面积是三，这个面积是五，这个面积是八，请求这一块的面积， 你会发现这个题就很离谱啊，给了三块的面积，让我们求一个长得非常不规则的图形的面积啊，问的是面积，但是你在整个小学的所有的年级里面，你从来没有背过这种图形的面积，对吧？而且数据跟这个也毫无关系，所以这个时候呢， 你又得学咱们的几何方法里面的容吃原理了。那么容吃原理我用一个非常简单的话来给大家形容，比如说我现在有一个桌子在桌子上面吃饭，然后呢，这个吃饭的时候，我要垫上两张纸， 左边垫一张盖住一半，右边也垫一张也盖住一半，两张纸就把整个桌子给盖住了。现在呢，假如这个风一吹啊，把其中的一张纸给吹到了左边这个位置，吹到这， 那么你会发现这两张纸就有重叠的部分了，对吧？然后旁边这里就漏出来了，能想象这个画面吗？就本来我拿了两张 a 四纸，现在两张纸盖着一张桌子，对吧？那风一吹，把其中一张纸往左边一吹，然后呢两张纸重叠了，那你原来这个桌子这个地方就漏出来了，你会发现重叠的部分 跟漏出来的部分是什么关系啊？是相等的吧，对吧？好，那么像这个题，它其实就是要用到这种容斥原理啊，我们总结就是重叠的部分和漏出来的部分是相等的， 前提条件是这两张纸刚好是可以把刚刚那个桌子给盖住的。那么在这个长方形里面，你会发现第一个三角形，它其实是占了长方形面积的一半的， 切开左边等于左边，右边等于右边啊。当然这个涉及到方法里面的另一个叫做割补法，你把它一分割就能看出来了，然后同样的这个三角形， 它也占了整个长方形面积的一半，这个通过分割也能看出来啊，因为一切开，上面跟上面相等，下面跟下面相等，那么这两个一半， 按道理来说，两个一半应该是可以把整个长方形给它盖住的，因为每个都占一半吗？两个一半加起来是等于整个长方形，但是你看他现在两个两张纸是不是有重叠的部分，重叠了这么多，对吧？你看这个三角形跟这个三角形是不是重叠的？ 那根据我们刚刚讲的容斥原理，重叠的部分和漏出来的部分是什么关系呢？是相等的，刚好漏出了这一块，两块、 三块，所以一下子这个题就一目了然了啊，这个阴影部分就是这三个面积相加，所以你会发现就是几何里面有很多的题目，他不是用最基础的 公式啊去套的，而是你必须得掌握这些方法的原理，然后再去做。那割补法。这个我就不再解释，因为割补法是学校里面老师讲的比较多的，就把一个不规则的图形给他分割一下，分割出规则的。所以几何方法你掌握的话，那么你的几何能力相当于是 从入门到及格吧。啊，到这才及格了啊，因为几何如果你想学的更达到顶尖的水平，那么就是要学 几何里面的模型了。这个模型我不展开讲了，我就说一下有哪些模型吧。这个模型里面总共是有六个模型，分别是等高模型、蝴蝶模型、鸟巢模型、燕尾模型、沙漏模型、金字塔模型、一半模型，就这些模型也全部掌握，那么整个一套的几何的所有的内容， 三个境界全都掌握熟练的话，那你的几何能力就不管是小学的期末，或者说小学的一些竞赛这些都没问题。 然后这些方法模型也能够帮助我们应对初中的一些几何，因为初中里面有很多像什么画辅助线呢？证明全等啊，其实无形当中都是我们这些方法 旋转过去了，然后正一下全等啊，正一下全等，都是用这种基础，所以基本上小学能把这些内容学完的话，初中几何这些也都很轻松了。

好，今天呢，我们来用一个视频给大家讲明白，就小学数学和初中的数学，他在思维上没有什么区别，咱们来看一下啊，这个题其实是一道小学一年级的题，就是往里面填这个数字，使最终的结果成立。那这里的箭头意思就是说相加的意思，那你看 三加四呢，是等于七，然后呢？六加二呢是等于八，然后这两个数相等于这个，这两个数相等等于三十七，那么这个数该怎么填呢？这些数其实最关键的是在于哪个数啊？应该是中间这个数， 那我们作为一年级的小朋友，你不可能说一个个去试这个数，那你得试半天了，那怎么做呢？得先去思考啊，就这个数他是怎么来的？他很显然是由七加这个方块得来的，对不对？七加这个方块，那这个数是怎么来的呢？是由八加这个方块得来的， 那也就意味着什么呢？七加方块，再加八加方块，最终等于三十七。来，我们把这个算式给他列出来啊，七加方块，再加八加方块等于三十七。 口算一下，七加八等于几十五，十五加多少等于三十七呢？反过来减一下嘛，对吧？三十七减十五，一算是二十二，那说明这两个方块加起来是二十二，那注意了啊，这两个方块是不是 同一个方块，对吧？相同的，那所以两个相同的方块是二十二，那一个方块是几呢？十一，所以我们可以填进去来试一下啊。你看，七加十一等于 十八，十一加八呢？十九，十八加十九等于三十七，这就是我们在小学一年级该做的事情啊，咱们得把 题目中的这个问题转化成这个已知条件，把它列出来，对吧？这叫数形结合的方式啊，把文字转化出来，那么我们到了初中阶段呢，做这个题就更直接了啊，就更简单粗暴了，就刚刚我们说卡点就卡在这个数，对吧？那这个数你不知道的话，就把它设成一个， 那就说七加 x， 就 这个数，那这个数我就把它写成什么呢？写成七加 x， 这个呢？八加 x， 那 这个数就写成八加 x， 那 整个算式我们就把它列出什么啊？列成一个七加 x， 再加一个八加 x 等于多少？三十七，那也就说十五加上两个 x 等于三十七，那口算两个 x 等于几呢？三十七减十五， 二十二，一个 x 等于几十一，所以我们对比一下，你看一下啊，其实整个在小学一年级学的这种，这个可以叫做横式填空了，和初中的这个方程本质上有没有区别啊？是没有区别的啊，所以我们说小初高的数学思维，他本身就是一体化的，你如果在小学阶段把这种思维题给他练好了， 你到了初中再做这种题的时候，你会第一时间就想到，哎，这个东西不就是当年的那个筐吗？当年的这个小方块，现在只是改了个名字，变成啥了？变成了 x 了，对吧？当然如果你想换一个字母也可以，比如换成 y， 换成 a、 b、 c、 d， 二十六个字母，你随便都可以的啊，这其实就是一种等量代换的思维，明白了没？好整理一下笔记。

为什么很多孩子啊，一到高年级这个成绩会大幅下滑，其实罪魁祸首呢，是因为你没有去训练数学思维。很多人不理解，什么是数学思维啊？我举个例子测一下啊，一般人看到三乘五，他只会去算结果，三五十五，对吧？ 但是如果你要是有数形结合思维的话，你是可以把这个三乘五呢给他往一个长方形上面去思考的，比如说长是五，宽是三，那么三乘五相当于求它的面积， 当然有的人可能不理解，对吧？那我为什么要往图形上去思考啊？你比如咱们很多孩子一到初中，很多公式看不懂了，你比如像什么 a 加 b 的 平方啊， a 加 b 加 c 的 平方啊， a 方减 b 方啊，各种公式他看不懂， 看不懂怎么办呢？那只能去死记硬背了。所以现在我们有很多那些老师是很不负责任的啊，就是给孩子去编什么口诀让你去背啊，比如说什么首平方，尾平方，首尾两倍放中间， 完了很多孩子傻傻的就去背啊，就觉得，哎呀，这个东西记住就行了，数学不是靠记的，你靠记你是不理解的，你得自己去推导你这个公式记住了，我下回考你 a 加 b 加 c 的 平方，你不就完蛋了吗？哈，对不对？所以你得学会推导，那这个推导的过程其实就是思维的一个应用， 你看我们刚刚讲的这个三乘五往图形上发散，这个在数学当中它有个名字的啊，叫做数形结合思维。其实像我们数学当中，几乎所有的公式都可以用数形结合思维去推导， 你比如说 a 加 b 的 平方，咱们现场就给大家推一下啊，平方是啥意思啊？你比如说三的平方三乘三，四的平方四乘四，对吧？那 a 加 b 的 平方就是 a 加 b 乘 a 加 b， 一个东西乘一个东西，你能想到啥呀？有没有点感觉边长乘边长，这是个什么东西啊？这好像是个正方形吧，对不对？所以说我们可以画一个正方形啊，告诉孩子，这个正方形的边长就是 a 加 b， a 加 b， 哎，就是你把它的边给它分成两部分，一段是 a， 一 段是 b。 比如说我把 a 画长一点， b 画短一点，那你把它的面积一求，这个公式你不就出来了吗？这个面积好不好求，其实很好求的，你看啊，你把它分割一下嘛，对吧？ a 是 a， b 是 b， 你 分开求呗。大正方形怎么求面积？边长乘边长， a 乘 a， a 的 平方上面是 a， 下面也是 a 啊，这是 b， 下面也是 b， 对 吧？左边是 b， 这边也是 b 啊，这 a 啊，我们都标上去啊，这个小正方形，边长乘边长， b 乘 b， b 的 平方，对吧？然后长方形呢？长乘宽， a 乘 b， ab， 这个也是长乘宽， a 乘 b、 ab， 那 你看，求完之后，是不是这个公式里面的东西都出来了，里面有个 a 方， 对吧？就这个啊，有个 b 方，对吧？还还有两个 a、 b， 那 你这两个 a、 b 你 合在一块，那不就是二 a b 吗？你看你这样子去讲的话，你会发现，孩子一下就把这个公式它彻底弄懂了，它不是死记硬背的， 对吧？因为它这个东西一当懂了之后，你下回问它这个，甚至你再问它更离谱的，什么 a 加 b 加 c 加 d 的 平方，它都可以给你推倒的， 那无非不就是画个更大的正方形吗？比如说，呃，这个 a 加 b 加 c 的 平方，那你就可以把它理解成是一个更大的正方形啊，一条边上有三个字母 abc 啊，就比如说大的中不溜的，小的啊，这个也是 abc， 而且这个时候你甚至都不用带着它去推了，它们自己可以推的，这就是一种可以复制的能力啊。 思维你一旦打通之后呢，相当于是把孩子的这个任督二脉就给它打通了，它可以给你沿用在很多的这个场景下，比如说咱们可以快速推一下啊，这其实很好玩的， a 乘 a， a 方， b 乘 b， b 方啊，但是我这个图画的比较随意啊， c 乘 c、 c 方，然后还有很多长方形， b 乘 a、 a、 b， b 乘 a、 a、 b， 这都对称的， a 乘 c、 a、 c， c 乘 a、 a、 c、 b 乘 c， 对 吧？ b、 c、 c 乘 b、 bc 啊，你当然可以把这些都标上去啊， a、 b、 c、 a、 b、 c。 求完之后，快速地统计一下，里面有个 a 方， b 方、 c 方，对吧？也就是 a 方加 b 方，再加 c 方，两个 a， b 两个 a， c， 两个 b c， 所以 再加二 a， b， 再加二 b、 c， 再加二 a、 c， 你 看这公式是不是就轻松出来了？ 所以很多思维好的孩子，他学数学其实是很轻松的啊，没有大家想的那么复杂的。你比如说咱们再多给大家举几个例子啊，你像我们初中很多很多的数学公式都是可以用这种数形结合的思维去推导的。 咱们再来一个经典的 a 减 b 的 差的平方，这个很多孩子他也记不住啊，对吧？他经常会跟上面这个搞混的啊，其实我们可以怎么推呢？你看我们把它写成一个 a 减 b 乘 a 减 b 啊，那你能想到啥东西呢？是不是也是能想到一个边长乘边长，对吧？他是不是也是一个图形的面积，对吧？那我就画一个大正方形 啊，我现在告诉你，这个大正方形啊，他的边长是 a 减 b， 你 比如说我把这个长度叫做 a 啊，最长的这个叫做 a， 然后呢，稍微短一点的叫做 b， 那 a 减 b 是 哪一块？大家想想啊，整个长度是 a， 这里是 b， 那 a 减 b 是 不是就是这一块这一块啊？所以这一块的面积就是我们想要求的 a 减 b， 那很显然就是这个的面积嘛，也就是中间这个小正方形的面积，其实很好求大家看啊，我们把它分割一下，首先我们看整个大正方形的边长是 a， 面积呢？我可以写成 a 的 平方，然后你想求这个小的，那我可以先怎么着呢？我可以先把这个长方形的面积给它剪掉， 你看这个长方形怎么求面积啊？宽是 b， 长是 a 嘛？所以这个的面积应该是减一个 ab 啊，就是我把这个长方形的面积给它剪掉，那我还可以怎么着呢？我还可以把另外这个长方形的面积也给它剪掉。你看这个长方形啊，就是宽还是 b， 长呢？还是 a， 就 我再剪个 ab。 哎，但是你有没有发现，我把横着的剪掉，又把竖着的剪掉，我好像把右下角这一小块剪了两次，那多剪了一次怎么着呢？我再把它加回来呗，对吧？这不就有点像咱们小学学的那个容式原理吗？那补回来这个东西是啥呢？你看 这是 b， 这也是 b， 刚好是个小正方形啊，那再加回来呗。所以你看 a 方减 ab 减 ab， 再加 b 方，那不就等于 a 方减二， ab 再加 b 方吗？你看这公式是不是又推出来了，都是可以竖形结合的，甚至你看啊，我们初中还有一个经典的公式叫平方差， 这个公式啊，很多小学生跟着我们在练思维的过程当中，都能把它推出来啊。怎么推呢？ a 方思考一下， a 乘 a， 对吧？ b 方呢？ b 乘 b 能想到什么？竖形结合对不对？是不能想到图形啊？ a 乘 a 是 个 a， 是 个边长为 a 的 正方形， b 乘 b 呢，是一个边长为 b 的 正方形。那我们再来画个图，画个大正方形 啊，就告诉你啊，现在这个大正方形，它的边长就是 a 了啊。 a 乘 a， 就 它的面积嘛。那 b 乘 b 呢？那就是一个边长为 b 的 小正方形，画一个小一点的正方形，边长就 b， 那 大正方形的面积减去小正方形的面积，剩的是不是就旁边这一块 这一块的面积？那这块好不好求呢？特别好求啊，你分割一下呗。你一分割，你有没有发现，它其实是一个直角梯形，这个长度我们标一下，整个长度是 a， 这个小的长度是 b， 所以 这一段应该是 a 减 b， 然后这个长度也是 a， 对 吧？因为正方形的边长是 a， 那 你看这个直角梯形，它的所有的数据都有了，上底是 b， 下底是 a， 高是 a 减 b 梯形面积。大家背一下不小学的公式嘛，对吧？就是上底加下底的和乘上高再除以二，这就把这个梯形的面积给它求出来了。 那你求完一个，你发现没，这还有一个两个一模一样的，对吧？对称的嘛，所以我再乘个二，我就把整个的这个面积给它求出来了， 除二乘二，一抵消 a 加 b， 乘 a 减 b。 哎，所以这个公式你发现没？它又推出来了啊，就是平方差公式，它就是 a 加 b 的 和再乘 a 减 b 的 差。 给大家把初中的公式推了一下啊，其实高中的很多公式也能推的，我给大家举个例子，比如说咱们高中，我们很多孩子最头痛的一个公式是什么呢？等差数列求和公式 啊，那个公式很复杂啊，就是求和呢，是等于首项加末项乘什么项数，再除以二一堆的公式。其实你要是有这种思维的话，你做这种题公式，你可以随时推的三五七九十一，我就随便写这几个数啊。来，我们就看看能不能用这几个数把这个公式给它推出来。 怎么推呢？小学的逻辑就可以把它推出来。你比如说三，我就给你画成三个小点五的话呢，给你画五个点，一二三四五七的话，画七个点，一二三四五六七九的话，画九个点，一二三四五六七八九 十一。再画十一个点，一二三四五六七八九十十一。画到这之后，大家有没有感觉这好像是个我们很熟悉的图形啊？这什么图形啊？这是不是梯形啊？我这个梯形 我想要数里里面有多少个点，那不就相当于求个面积吗？上底是几？上底是不是三三个点， 下底是几？下底是十一个点嘛？几层楼高几层，你看几个数啊？五个数嘛，上底加下底的合成高，然后再除以二，这相当于是求了一个梯形的面积，高中的等差数列求和公式。跟小学的梯形的面积公式，它有区别吗？ 没有区别的，它其实就是这个东西推出来的呀。只要你把这种思维掌握之后，那首先就给你解决了一个非常大的问题，所有数学中公式帮你解决了，因为很多孩子学不好数学，就是因为 公式不理解，然后尝试着去死记硬背，对吧？结果发现行不通，因为你越往高年级，你会发现这些公式越来越多了，你是记不了那么多的，但是你能像我们这种 把思维练好了，思维开窍了，公式你理解了，也会推倒了，你会发现你的数学就打开了一个新的大门，你会发现数学的语言其实很简单，对吧？数字图像是密不可分的，所以成绩下滑的罪魁祸首。我们再来总结一下，就是孩子的数学思维没开窍。

这个题啊，今天来给大家讲一个最快的解决办法啊，告诉你对角线的长度，求正方形的面积，最快的办法呢，就是把另一条对角线也给他连出来。我们知道啊，正方形的对角线呢，是互相垂直且平分的，对不对？所以你看对角线长度是六，那说明每个小线段都是几 三，而且我们分完之后，你发现没，分出了四个直角三角形，看其中的一个，那么这个直角三角形，你看三三是它的两个什么呀？直角边对吧？那直角边都有了，求面积怎么求？ d 乘高除以二，对吧？那就求出了其中一个的面积，那四个怎么办呢？再乘个几？乘个四。 好，那除以二，乘个四相当于乘个二二九十八。所以这个题答案就出来了，你学会了吗？

几何题啊，有时候也是要用列方程的方法去做的啊，我们来看一下这个题，最小的正方形面积为四，然后求六个正方形组成的整个大的长方形的面积。那首先你看啊，最小正方形的面积为四，说明它的边长是几， 边长是二，对吧？那我就标到里面了啊，他这个边长是二，那么这道题其实我跟大家说，非常的巧啊，就他这个正方形啊，一定是很特殊的，你不能随便画几个正方形，就刚好围出一个长方形。所以现在我们来看，怎么样去把这个长方形面积求出来呢？就是长根宽一点去求，对吧？现在我就找到这两个相同的正方形，我把它的边长给它设成 都是 x， 那 你看，那这个大一点的正方形，它的边长是多少呢？这里多了二， x 加二，对吧？我们这里面标的都是边长啊，那也就是这个的边长应该是 x 加二。好，上面这个呢，更大一点， x 加四，加几加四，对吧？你看这是 x 加二，然后再加个二，那就是 x 加二，再加也就加四。好，同样的，这个正方形边长多少？ x 加六，对吧？因为比它又多了二嘛，这个数据标的是边长啊，所以 x 加六。全标完之后，重点来了啊，方程的核心是要找等量关系，对不对？我们看看怎么找等量关系呢？你比如说从上面来看，它的长是多少？ x 加四， x 加六，合起来 二 x 加十。从下面来看，它的长是多少呢？ x x x 加二，合在一起，三 x 加二，三 x 加二，那你说长跟长相不相等， 相等， ok， 那 列个方程呗，二 x 加十，等于三 x 加二，这种方程应该是能口算的吧，对吧？一项编号三 x 减二， x， 这个是十，移过去减二，那所以一个 x 等于几？ 八八，所以 x 求完了，我们来看。接下来求面积啊，那面积就是长乘宽呗，对吧？长乘宽，来看看等于多少啊？这个长是二， x 加十，你带进去吧。 x 等于八二八十六，加个十二 十六，二十六，二十六。好，宽呢？我们随便找一个吧。你比如说就找这边，这里是 x 加四， x 加二，也就是两个 x 加六，对吧？那 x 是 等于八二 x 呢？二八十六，十六加六 二十二。好，那这个就算一下呗，二十六乘二十二，这可以口算了吧，对吧？列个数式就是五二五二，也就是五百七十二，这个题就搞定了啊。这个题算是咱们整个几何里面非常特殊的一种题了啊，大部分几何题是不需要列方程的，但这个题例外。好吧，再整理下笔记。