鲁教版九上反比例函数电子课本

上课，同学们好！老师好，请坐！ 同学们，我们在初二学习函数的时候，从实性问题出发，抽象出函数模型。现在让我们一起来回顾一下函数的相关概念。首先，我们学习了函数的定义。谁还记得函数的定义是什么？ 好，请念！函数的定义是在某个变化的过程中，有两个变量， x 和 y。 对 于变量 x 的 每一个值， 变量 y 都有唯一的值与它对应。嗯，且非常牢固。嗯，接着说，那我知道 y 是 x 的 函数，其中 x 是 四变量， y 是 因变量。嗯，这回请做。那这里要注意，对于 x 的 每一个值， y 都有唯一的值和它相对应。接着，我们学习了函数的表示方法有哪些？ what？ 你 先说有关键式法，图像法的列表非常清楚，请做有关系式法、列表法以及图像法。通过这三把钥匙解锁了函数的奥秘。 接着，我们学习了什么函数？一一一次函数后，我们理解了一次函数。那同学们，你还记得我们在学习一次函数的时候又是按照什么路径进行研究的呢？ 好坐好，学习了一次函数的定义，然后学习了一次函数的图像性质，学习了一次函数的应用。对，请坐，同学们，我们从实际问题出发，抽象出一次函数模型，将实际情境转化成数学语言。 接着呢，我们遵循由数到形的这一认知规律。我们系统的来探讨了依次函数的图像与性质。将抽象的依次函数概念在依次函数的图像当中进行化， 由此我们将数与形紧密相连。在此基础上，我们拓展了依次函数的应用边界，以依次函数的图像与性质为核心工具， 我们深度探讨了一元一次方程的解、一元一次不等式的解集以及二元一次方程组的解和图像之间的内在联系， 深度剖析了这几者在数学本质上的内在联系，以及他们的通信和转化关系。最后，我们回归实际问题，将学过的一次函数知识来解决生活当中的实际问题， 完成了我们从问题抽象到知识建构到实际应用的完整闭关。希望同学们能类比依次函数的学习路径，更好地掌握本节课的知识。 同学们，二零二五年九月三日是中国人民抗日战争暨世界反法希斯战争胜利八十周年，这天在天安门广场举行了盛大的阅兵仪式。现在让我们跟随士兵一起重温精彩瞬间， 向前向前向前！ 听党指挥，敢打全胜，作风优良，团结必胜！团结必胜！团结必胜！ 同学们，看完视频你有什么感想？高田毅，你来说看完这个九三大阅兵呢，我就觉得这个很激动，而且这个现场的画面也非常的震撼。 呃，里面有整齐的步伐，也有先进的装备，然后这，这就体现了我们祖国今天的和平与强盛，然后这份和平与强盛也是来之不易的，所以我们要牢记历史，珍惜现在。呃，我们也要好好学习，为祖国的未来贡献出自己的一份力量。嗯，好，请坐！ 是啊，这一天是一个特殊的日子，历史不能被遗忘，我们现在的美好生活都是我们革命先辈们用热血以及他们的生命为我们拼搏而来的。少年强则中国强，希望同学们从现在开始学好本领，将来为我们祖国贡献出自己的一份力量。 其实在阅兵现场也隐藏着许多的数学知识，现在让我们切换成数学视角来看阅兵，看看数学和家国情怀又能触碰出怎样的火花呢？ 现在呀，让我们来玩一个小游戏，问题驱动呢，会出现五个问题，每个音频结束之后呢？同学们想好就站起来直接回答，回答出来，美人加两颗星，准备好了吗？准备好了。问题 第一，迎面走来的是徒步方队，徒步方队的行进速度为八十四米每分钟，受方队行进的时间为 x 分 钟路程为 y 米。你能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ y 等于 x， x 特别好听，做 y 等于八十四 x。 问题二，已知空中梯队起飞地点距离天安门城楼距离十五千米。如果军机的速度为 x k f h， 到天安门城楼所需的飞行时间为 y h， 你 能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ 返回 x 十五，好，请坐。那刘瑞祥，你是怎么想的？呃，因，因为他的时间时间等于路程除以速度，所以说 y 等于路程是十五千米，然后除以速度是 x， 所以 y 就 等于 x。 乘十五列了一个括号算式好，请坐。 三问题三，装备方队距离天安门城楼的距离为一点六千米，已知中甲车的速度为十千米每小时，设中甲车行驶之间为 x h， 中甲车距离天安门城楼的距离为 y k m。 你 能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ y 等于 x 等于 x 减十 x， 嗯，有两个声音好，请坐。有的人说一点六减十 x， 或者说是负十 x 加一点六都是正确的。好，问题四， 问题四，摄影师要给天安门广场阅兵观礼台观众拍照。已知观礼台每各方块区域可容纳七百人，每排人数相同，设每排人数为 x， 人排数为 y 排。你能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ y 的 y 才是七百，声音很统一，请坐 y 的是好。最后一个 问题五，察机沿线有一个周长为五十米的长方形花坛，设宽为 x 米，花坛面积为 y 平方米。你能用含有 x 的 代数式表示 y 吗？ 头有两个声音好，请坐好。其实这题呢，我们可以首先列出 x 乘二十五减 x， 最后把它展开， y 等于负 x， 方加二十五 x。 同学们的反应都很迅速，那现在呢？请同学们结合刚才我们得到的这五个式子思考下面这两个问题，完成在你的答卷上， 很多同学也已经会讲完了。好，第一个同学，第一个来思考一下，结合函数定义思考 y 是 x 的 函数吗？为什么 有人讲 y， y 是 x 的 函数？因为在这个式，在这个等式中有 x， y 两个变，两个位置，两个变量，然后 对于 x， y 都有唯一的值与它对应。嗯，紧扣 x 定义，对于 x 的 每一个值， y 都有唯一的值和它相对应。好，请坐。那第二个，你能利用所学知识对上述关系进行分类吗？ 好几页，我觉得可以把第一个和第三个分为一类，然后把第二个和第四个分为一类，第五个单独一类，你是怎么想的？第一个和第三个，第一个是正比例函数，第三个是。呃，依次函数，他们两个都属于依次函数。 嗯，二，第二个和第四个都是呃。字面 x 在 分母上是一个除法算式就是分式。然后第五个是 x 的， x 的 最高次项为二，次项是一个二次。嗯，它是通过字面 x 的 指数来进行区分的。能不能尝试给圈五进行命名？ 我觉得圈五应该命名为二次函数啊。请做根据指数也可以给它命名一个二次函数。那对于刚才出现的二次这种形。

我们来看一下这七个式子到底哪些是反比例函数。首先第一个 y 等于四， x， 它们之间是乘法， y 等于四，乘 x， 这个是正比例函数。 第二个 y 比上 x 等于三，这个可能看着会有一些误解，但是我们给它变一下形， y 等于三 x， 所以它也是一个正比例函数。好。第三个 y 等于负， x 分 之二，那么 y 就 等于 x 分 之负二，所以这里的 k 就是 等于负二，它就是反比例函数。第四个 y 等于六， x 加一，它符合一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 表达式。第五个 y 等于 x 平方减一， x 的 最高次项是二次，所以它是一个二次函数。第六个 y 等于 x 平方分之一，它的分母是 x 平方 x 的 二次项，所以它也不是反比例函数。 第七个 x 乘 y 等于一百二十三，那么它是什么函数呢？我们也给它变一下形，把 x 除过来，那么 y 就 等于 x 分之一百二十三，他也是一个反比例函数，所以这七个式子中，反比例函数只有第七道和第三道。

读完题，我们知道这个 a、 c 是 三边的 dc 三角形 a、 e、 b 是 一个直角三角形，那么还有这个 a、 b 两点是关于原点是对称的， 那我们连接这个 o、 e 的 话，那么 o、 e 成了直角三角形斜边上的中线，那么自然这两个角是相等的， 而 a 一 又是这个角平分线，所以那么这角这三个角都是相等的，那这么一来，内错角相等，两直线平行， 那么 o 一 就平行于 a、 d， 而三角形 a、 d 一 的面积是等于八，那么我们不妨连接这个 o、 d， 我 们发现 这个三角形 a、 o、 d 与三角形 a、 e、 d 是 一个等底等高的三角形，所以它们的面积也是八 s， 三角形 a、 o、 d 是 等于八，那么三角形 a、 o、 d 的 面积我们怎么求呢？ 那么这个与我们这个需要大家积累一个知识点啊，我们这边连接这个哦，做垂，做垂直啊，连接我们这里做垂直， 这个 m、 n， 这个 m、 n 呐，我们这样一垂直的话，就会发现这个做这两个垂直，就会发现三角形 a、 o、 m 的 面积与三角形 o、 d 的 面积是相等的， 那么这么一来，那么这么一来，这个三角形 a、 o、 d 的 面积应该就是等于 这个直角梯形 a、 m、 n、 d 的 面积。为什么呢？因为三角形 a、 o、 m 面积与三角形 d、 o、 n 的 面积，它都是等于这个，呃， 这个比例系数 k 的 一半啊，比例系数 k 的 值的一半，所以说这个三角形梯形 a、 m、 n、 d 的 面积应该是等于八 a、 m、 n、 d， 所以这个梯形 s、 t 形，这个是等于八，那么它等于上底 d， n 加下底 am， 哎，乘以这个高 m， n 除以二，那么这样的话，我们不妨设这个，我们不妨设 d 点的坐标，哎，我们设 d 点的坐标是 k 除以 a， 哎，那么这个 d 的 纵坐标就是 a 了啊， 根据这个 a， c 是 dc 的 这个三倍，那么自然这个 am 也是 d n 的 三倍，所以 a 点的这个坐标是它的 纵度标是，是它的三倍是三 a， 那 么横度标是 k 除以，哎，是它的三分之一 k 除以三 a， 这是 a， 而 m n 的 长度表示起来就非常方便了，所以这个，所以这个面积就是二分之一。我们的上底是我们上底加下底， 哎，我们上底是 a， 下底是三 a， 我 们的高是我们的高是 k 除以 a， 是 这个长度啊，是 o n 长度减去 o m 长度就是 k 除以三 a， 这么等于八，这么算的话 k 等于六，大家明白了吗？

今天我们一起来学习中考一对一的一个专项培优的一个题目，是关于反比例函数的一道中考真题。呃，如图，我们的点 a 是 在反比例函数 y 等于 x 分 之四的图像上， b 在 另一个反比例函数图像上是 y 等于负的 x 分 之二。 呃，剩下的就是连接，这有个条件，若 o a 和我们的 b o 是 垂直的， 我们认真的把每个条件分析一下，因为中考它是相对比较综合一点。呃，第一个就是反比例函数啊，我们遇到反比例函数，呃，一个就是它的一些图像性质，我们要知道还有一个就是我们的什么反比例函数配的绝对值的几何意义？ k 的 绝对值的几和 e， 它是不是代表的是我们反面函数的上的点分别做 x 轴， y 轴的垂线得到的这个矩形的面积，对不对？当然了，我们也要知道，二分之 k 的 绝对值代表的是，比如说过点 b 做 y 轴的垂线，然后呢，怎么样 再连接我们的 o b 得到的这个是小三角形的面积，对不对？好，呃，这是我们要注意的，一个是小三角形的面积是二分之 k 的 绝对值， 这是一个。呃，第二个就是我们这出现了一个什么呢？很特殊的角，是直角啊，我们做题做多了，一定要有这样一个意识，出现直角， 然后我们这个题目又是在一个直角坐标系里头，所以这个辅助线到底出现点 a， 点 b 辅助线到底应该怎么做呢？优先要想到有可能会用到我们的什么呢？ 一线三直角，很明显它这条线上中间出现了一个直角，对不对？那我们就要优先想辅助线有可能要过点 b 做 y 轴的垂线，过点 a 做 y 轴的垂线， 呃，交于一点，这交于一点 c， 这交于一点 d 做垂线。呃，那它的依据有两个，一个就是我们的一线三直角，另外一个就是我们刚刚说的，它不是刚刚好会得到一个 obd 这个三角形的面积吗？对不对？以及什么呢？ aoc， 这个三角形的面积一定是可以知道的，我们稍微写一下， 其实就是三角形 b o d 的 面积，它是不是就是二分之一的什么呢？呃，负二的绝对值得到的就是一。那另外一个三角形 a o c， 它是不是就是二分之一四的绝对值得到的就是二？好，这两个部分面积是知道的。 呃，那根据一线三直角的话，我们是不是也能得到这两个三角形什么呢？我们的 d o b 一定相似于三角形什么呢？ c o a 啊，这是比较容易得到的。但是怎么来证明呢？比如说我们这有一个角，我们标一下， 这有一个角一，好，这有一个角二，然后这边有一个角三，那我们很明显知道就是角一加角二等于九十度，角二加角三又等于九十度，那么必然就能得到一个结论，是不是 角一等于角三，所以它们相似，对吧？好，呃，那看一下问题啊，问题他说现在要求 tan 这个角什么呢？ b a o， 那 他的正切值 b a o 这个角的正切值不就是我们的对边比零边，也就是 o b 比 o a 吗？对不对？呃，通过我们刚才分析了一通， 这里要求的这个正切值不刚刚好就是我们这两个相似三角形的一个对应边的比吗？对不对？呃，当然 o、 b 和 o a 的 比值 结合我们这个题里头是不是出现两个什么三角形的面积？当然我们这里还需要知道的就是我们的两个相似三角形，它们的面积比应该等于相似比的平方，这个千万不能错。好，大概我们就可以有一个思路，现在就是怎么样能把这个过程来写一下， 正着写一遍其实就可以了。首先我们需要做的辅助线就是过点 a， 做我们的 a、 c 垂直 y 轴，简单的写一下，然后，嗯，过点 b， 嗯，做我们的什么 b、 d 垂直 y 轴。好，呃，那接下来我们是不是，嗯，可以得到我们的这个？呃，两个角就等于九十度 角，嗯， d、 d、 o 是 不是等于角 a、 c、 o。 当然同时角 a、 o、 b 是 不是都等于九十度，对不对？所以能得到角一 加角二是不是等于角二加角三，所以角一就等于角三结合九十度，所以这两个三角形 d、 b、 o 就 相似于三角形 c、 o、 a 用的是两角对应相等，两个三角形相似，那当然我们说了，呃，想要它们的对应边的笔是不是由它们的 面积来得到的，对不对？所以我们先把它的面积来单独写出来。又因为我们的三角形 b、 o、 d， 它是不是等于什么呢？二分之一 k 的 绝对值九十一，然后三角形 a、 o、 c， 它的面积等于二分之四的绝对值九十二， 那我们是不是就能得到这两个三角形相似，所以就能得到什么呢？它的对应边的比一， 嗯，的平方就等于相似比一，所以三角形 d o d b o b o b 一个意思，比上三角形 a、 o c， 它就应该等于我们的什么 o b， 比上 o a 的 平方，那得到的不就是我们的 o b b o a 刚刚好就是等于什么 根号下我们的一比二，对不对？稍微化解一下就是我们的什么二分之根号二，那自然我们的什么要问的 ten 角 b a o 不 就刚刚好是我们的二分之根号二吗？ 呃，相对来说这个题还是比较综合一点啊，所以我们在中考一定要具备的就是一个，呃，综合应用的一个能力。那后续如果我们有需要一对一的可以私信了解，主要涉及到三个部分，就是一个基础的查漏补缺。第二就是类似的一些综合题的一个专项的培优。 嗯，把一些元二次函数啊，特殊的平行四边形相似分板块来练习。第三，我们随时在晚上十二点以前，呃，有什么问题的话可以随时进行一个答疑。那有需要我们可以私信了解。

朋友们大家好，今天呢，我们来看一下一次函数和反比例函数综合题，也是我们上周末考的题。这个题呢，第二部分稍微有一点点难度，我们先来看一下题目。如图，一次函数 y 等于二， x 加 b 的 图像与 x 轴外轴分别交于 a， 负二分之三零 b 两点 与反比例函数 y 等于 x 分 之 k 的 图像交于点 c， 过点 c 作 y 轴的平行线，与 x 轴交于点 d 与点 b， 关于直线 c d 对 称的点 e。 在 反比例函数 y 的 分之 k 的 图像上。第一问让我们求点 b 的 坐标，那第一问的这个过程我们就不写了啊，很多同学都会做 点 b 坐标，怎么求呢？首先我们要先把一次函数解式给它求出来，也就是把点 a 的 坐标负二分之三零带入进去，我们就可以得到零等于二，乘以负二分之三，再加上 b。 这里呢，我们解一下这个一元次方程，就可以得到 b 的 结果是等于三的， 那 b 等于三。一次函数解一式就是 y 等于二， x 加三，所以我们求点 b 坐标的话，就只需要让它的横坐标 x 等于零就可以了，这里我们就可以求得它的 y 值等于三，也就是点 b 的 坐标就是零，到三就是 d 分。 第二问，他让我们求 k 的 值，求 k 的 值，因为点 c 点 e 它都是在反面逆函数图像上的，但是又没有点 c 和点 e 的 确切的值，求不出来它两点的坐标，那我们就想办法去表示这两点的坐标， 因为这个 k 等于什么呢？ k 就 等于横纵坐标之积啊。那我们首先先表示一下点 c 的 坐标怎么表示的？ 首先点 c 它是在反比例函数图像上，但是它也在一次函数图像上，所以我们设点 c 的 横坐标为 a， 那 这个时候纵坐标怎么表示呢？纵坐标带入一次函数解析式去给它算出来，纵坐标是二 a 加三。 好，那我们再来看一下点 e 的 坐标怎么表示。点 e 和点 b 是 关于直线 c d 对 称的，所以这里点 e 的 横坐标就是二 a， 它的纵坐标和点 b 的 纵坐标是不是一致的呀？都是三。那么来看一下啊，这个时候点 c， 它是不是在反比例函数图像上？点 c， 既然在反比例函数图像上，我们是不是就可以得到二 a 加三等于 a 分 之 k， 然后点 e， 它也在反面内函数图像上，我们就可以得到三等于二 a 分 之 k， 对 不对？我们给它连立就可以了啊，连立这里我们就可以解得， a 的 值是多少， k 的 值是多少，都可以给它解出来。首先我们在算的时候，这对于这种啊，我们连立的这个方程怎么算？ 首先去分，把第一个式子给它整理一下，可以得到 a 倍的二 a 加三， 第二个式子可以得到六 a 等于 k， 你 看都和 k 相等，所以呢，我们就可以得到它和它是相等的， 也就是二 a 方加上三 a 是 等于六 a 的。 那这里同学们在沿草纸上计算一下 a 的 结果就可以了啊，那第一个结果啊， a 一 是等于二分之三的 a， 二是等于零的，但是这个零我们要给它舍去啊，这个零我们要给它舍去，为什么呢？因为点 b 它是关于 c d 对 称的点 e， 那 所以说 那点 c 它不能和点 b 重合啊。你如果说点 c 的 横坐标为零了，那它的坐标是不是变成零三了？是不是和点 b 重合了？那很明显不能和点 b 重合啊。所以这里我们要把这个零给它排除掉， 排除掉之后我们得到了这个 a， 一 是等于二分之三的，我们给它代入到这个式子里，这个六 a 等于 k， 这个数字里就可以求得 k 的 值。 k 就 等于六，乘以二分之三就等于九，这是第二分的做法， 一定要想办法去表示出 c 和 e 两点的坐标，给它连立方程解出未知数的值就可以了。

宝子们，王者荣耀刷野怪效率怎么最高？用反比例函数一画，立刻知道什么时候换野区最划算！今天主播带你啃下反比例函数全考点，所有题型一网打尽！哈喽，各位兄弟姐妹， 昨天晚上我在睡觉的时候，太太给我托梦了，她要求我给大家讲一下繁体函数的有关知识，并且提出要求，听完这节课之后，保证各位小宝能够把繁体函数的表达式、图像以及性质以及与一函数综合全部讲完，全部通略， 哪怕你是零基础的小白，也能够让你通过这节课彻底学会。熟悉的兄弟姐妹们都知道，我肯定是非常听坦白话的，所以本节课主要分成三个大模块，第一个模块，表达式 表达式我主要是分成了，补充了一下 excel 的 必备知识，主要是考虑到有些同学学崩了 excel 没学好 好补充完一次函数 b b 知识点之后，然后我开始给大家会讲解反比例函数表达式和一次函数表达式的各种考法汇总。第二个模块主要是图像以及性质，在图像及性质里面讲解反比例函数的图像以及反比例函数 k 的 几何 e 巴拉巴拉。 在第三个模块里面，我们主要讲解的是反比例函数与一次函数的综合问题。主要分成五个小专题，第一个专题是两个函数的图像判断，第二个小专题是两个函数的焦点问题。 第三个小问小专题主要讲的是两个函数的面积综合问题。第四个小专题主要讲解的是两个函数的实际应用问题。第五个小专题主要讲解的是探讨函数性质的综合大题，好保证兄弟们量大管饱行吧。 好，我们先来看第一个小专题，第一个模块表达式表达式的补充，一次函数问题，在之前的视频中，如我已经把这个一次函数的各种考法，以及一次函数的知识点，非常重要的函数思想都在这个视频里面已经讲过了， 如果说你没有看过的话，推荐大家看一下啊，当然啊，就算是你之前没看过，也不影响你这个视频，就本视频的讲解，我会给大家补充一下核心的知识啊。如果说你想要非常系统的去学习函数的话，最好是把之前的这个一次函数中档必备题型大盘点再给看一遍啊。 好，我们先来看核心的一次函数表达式。一次函数的表达式，它主要是你要注意点就是表达式，解析式，关系式，其实它都是一样的，不同的老师，不同的问法，不同的说法，其实都是一个意思啊。那么我们在整个初中阶段，我们学习表达式，主要是 重要的方法是待定系数法，就是不管是什么函数，初中阶段不管是什么函数，我们的解决方法都是待定系数法。待定系数法总结出来就四个字，设，但求喜好，就这四个字，好，那么我们通过上面这道题，我们就让大家把这个待定系数法再复习一下啊， 如果说这些知识你都会的话，你可以直接跳过啊，兄弟们，直接跳过。好，我们来看 解题通法设主要是先设出来， y 等于 k， x 加 b， k 等于零。第二步，带把 a 点坐标巴拉巴拉， b 点坐标巴拉巴拉，带入上式，就带入上面这个 y 等于 k， x 加 b 里面，你可以得到两个式子，一个一式，一个二式。 第三步，你让一式减二式，就可以把 k 求出来了，求出 k 之后，再把 k 带入一式中，或者你带入二式中也行。不过我们一般都是带一式啊，就是把 k 带入一式中，我们就可以把 b 求出来了， 当你把 k 和 b 都给求出来之后，然后第四步写，写成 y 等于什么， x 加什么的形式就行了，把你的 k 和 b 写到各自的位置，那么这个以函数的表达式就搞定 来，我们看题，已知 a 点坐标是负二度三， b 点坐标是二度负一，在一次函数 y 等于 k， x 加 b 上求解析式 好，首先第一步设 y 等于 k， x 加 b， 然后第二步，把 a 点坐标负二度三， b 点坐标二度负一带入。上市 带的时候，大家要注意，横坐标要往 x 里面带入，重坐标要往 y 里面带入，小心一点啊，写一下呢，就是三等于二， k 负二， k 加 b， 然后 b 点坐标也是一样道理啊，这个横坐标要往 x 里面带入，这个纵坐标要往 y 里面带入，你就可以得到负一等于二， k 加 b， 得到一式和二式之后，然后接下来你就是一式减二式， 那就是三减负一等于四负负得正啊，三加一等于四负二， k 减二， k 等于负四 k， b 减 b 没了， 然后四等于负四 k 这玩意我太太会，所以你解一下，那么 y 这个 k 等于负一，当你解出 k 等于负一之后，然后兄弟们，你再把这个 k 等于负一，你再带进去，带到一式里面就写，把 k 等于负一带入圈一中， 那么这个圈一中的这个 k， 你 就把它换成负一就行了，你就可以得到三等于负二乘以负一加 b 等于二，三等于二加 b， b 等于一，这个时候 b 也出来了， 然后第四步写，所以 y 等于这个负一， x 加一，而这个负一的话，我们省略，所以就是负 x 加一就出来了。 而如果你在写大题的时候，对吧，你的你的过程，你怎么写呢？你要注意一下啊，就是你在写大题的时候，嗯，我给你写一下这个过程啊，你就写设 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，然后就是把 a 点坐标负二度三，就前面都是一样的啊， b 点坐标二度负一，代入上式， 然后这个时候你得到两个式子，三等于负二， k 加 b， 负一等于二， k 加 b。 好， 得到之后，然后你直接写解得计算过程，不用写到卷子上，直接可以写解得 k 等于负一， b 等于一，然后就写，所以 y 等于负 x 加一，明白吧？就是我们在写解答题的时候，我们的计算过程是不用展现在卷子的答题卡上的 啊，那么你在正常写的话，你就可以按照左侧这样写就可以了啊，好，这是一次函数的表达式，那么接下来我们看下一个就是一次函数的图像，以及 以及他的图像的性质。好，注意一点啊，就是我们不管是看什么图像，我们都是从左往右看啊，我们初中的一次函数呀，正比例函数呀，反比例函数呀，以及二函数， 包括我们高中的纸堆面呀，三角啊，巴拉巴拉的，就是任何一个函数，我们去看的时候，看他图像的时候，我们都要从左往右去看啊，从左往右去看，好，我们来看一次函数是 y 等于 k， x 加 b， 那 么这个 k 它控制的是这个一次函数的倾斜方向， k 的 正负控制倾斜方向，控制倾斜方向。如果 k 大 于零，这个图像是斜上倾斜，外随 x 的 增大而增大。如果 k 小 于零，这个图像是斜下倾斜，使外随 x 的 增大而减小。 那么我们来看黑板，我们来看，对于这个红色的之前来讲，我们从左往右看，对不对？你看他是斜上的，对不对？他是斜上的。从左往右看啊，一定要记住，从左往右看，他是斜上，说明他的 k 是 大于零的。那我们来看这个黑色的， 这个黑色的从左往右看，他是斜下，对吧？他越来越小，他是斜下的，所以他是 y 随 x 的 增大而减小。 k 小 于零， 那么看下面这个黑色的，它是斜上，说明 k 大 于零啊，好，这是 k。 我 们再来看一次函数的 b， b 的 正负控制直线与外轴的交点坐标，如果 b 大 于零，这个直线与外轴交于正半轴。如果 b 等于零，这个直线过圆点。如果 b 小 于零，这个直线与外轴交于负半轴。什么意思嘞？我们来还拿这个红色的线与外轴交于负半轴，什么意思嘞？我们来看，目前来讲，这个红色的线与外轴，它现在是不是交于正半轴， 那么就代表他的 b 已经大于零。如果我现在让这个红色的线动起来，好，我现在让这个红色线过圆点，对吧？这个时候他已经经过圆点了，那就代表着这个 红色的线，他的 b 是 等于零的。如果我再往他往下走，此时的话，非常明显可以发现他是交于外轴的负半轴，说明他的 它的 b 是 小于零。然后这是你要注意一下啊，就我们来看，比如说这个黑色的线，对吧？现在来讲，这个黑色的线，它是交于外轴的正半轴，说明它的 b 是 大于零的， b 是 大于零的，那么如果我让它动起来，它过圆点，就代表 b 等于零，然后往再往下走， 它现在交于外轴的负半轴啊，是看外轴啊，现在交于外轴的负半轴，说明它的 b 是 小于零的，明白了吧？ 好，这是 b 的 控制啊，这是 b 的 控制。另外还有一点你要注意一下，你看我在这个地方是不是给你写的有点坐标，对不对？在这地方给你写有点坐标，那么你要注意。 我们来看，如果说这个意思函数它现在经过零度负五，这个点，就是我们现在知道它有外周焦点是零度负五，那么你不但能知道 b 就 等于五，你还能知道 b 就 等于五， 明白吧？就是这个正。这个一次函数，它的 b 其实就是与外轴的交点的那个纵坐标，它就是 b。 你 再比如说这个黑色的，如果我们知道这个黑色的这个一次函数，它与外轴交于零度一，就代表着它的 b 就 等于一，就不用算，可以直接看出来，对不对？ ok， 兄弟们，那如果我们再来看这个，如果他与这个外轴交于零度负三，那么其实你就一眼看出来 b 就 等于负三， 你就一眼可以看出来 b 就 等于负三，明白吧？这是一个小技巧，你要知道啊，你要知道。好，这是一次函数的表达式，设代求写，对吧？设，设出 y 等于 k， s 加 b， 但把 a 点坐标巴拉巴拉， b 点坐标巴拉巴拉 带入上式，得到两个式子，然后一式减二式就一定可以，可以把 b， k 给求出来，再把 k 带入一中，就一定可以把 b 给求出来。第四步，写成 y 等于什么， x 加什么的形式就可以了。 然后还有刚刚讲了一次函数的图像啊， k 控制 k 的 正负，控制倾斜方向， k 大 为零，斜上外随 x 的 增大而增大， k 小 为零，斜下外随 x 的 增大而减小。 b 的 正负控制直线与外轴的焦点坐标 b 大， 零直线与外轴交于正半轴， b 等于零，直线过原点， b 小 零直线与外轴交于负半轴。好，这是这个，给你再说一下啊，你再复习一下，好吧， 行，我们现在往下走。我们来看表达式，指反比例函数表达式怎么搞，而反比例函数表达式比一次函数表达式要简单的多，明白吧。 我们来看形容 y 等于 x， 分 之 k， k， k 不 等于零的函数，我们把它叫做反比例函数，包括前面讲的这个一次函数， y 等于 k， x 加 b， 它的 k 也不等于零，明白吧？也不能等于零，这个要注意一下啊。反比例函数的 k 和一次函数的 k， 他 们的要求都是一样的啊， k 不 等于零， 而这个反比例函数我们可以给它变形，你看，如果把 x 给它移到等号左边，我们是可以得到 x 乘以 y 等于 k， 那 么这个形式也是反比例函数啊，然后我还可以把这个 y 等于 x 分 之 k， 把它进行再次变形，因为 我们这个 y 等于 x 分 之 k， 我 可以把它理解成 y 乘以 x 分 之一，你看 x 分 之一，我们是可以把它写成这个， 这个 x 分 之一，我们是可以把它写成 x 的 负一次方的，所以说我们就可以写成 y 等于 k 乘以 x 的 负一次方。那么这这三种其实都是反比例函数的表达式，不过剩下两种我们考的非常少，几乎不考，主要你就背这个 y 等于 x 分 之 k 就 行了啊， 为什么刚刚我说反比例函数的解析式非常好求呢？我们来看，若点二逗二六零，在 y 等于 x 分 之 k 的 图像上求解析式等于几。那么我们在求反比例的时候， 你记住啊，就是你记住它的 k 就是 反比例 k 就 等于这个点的横纵相乘， 用他这个点的横坐标乘以这个点的纵坐标，你就可以直接求出这个反比例函数的 k 了。我们来看这道题，他现在这个是二度二六零，那么他的 k 就 等于二，乘以二六零，就等于五二零，对不对？我们就可以非常迅速的求出来这个反比例，它的 k 等于五二零 啊，隐含的表达了爱意，对不对？兄弟们，好。然后这个时候你就可以立马求出来这个 y 等于 x 分 之五二零，非常迅速，对吧？不用什么时代求写，当然如果你真的时代求写也行。这个时候开始有同学们开始说了啊， 老师，这这考试的时候这样写过程能给分吗？ ok 啊，各位兄弟们，那么考试的时候怎么写过程呢？你这样写啊，考试的过程你就这样写，你就写，因为点 二豆二六零在外，等于 x 分 之 k 上， 所以 k 等于二乘二六零等于五二零， 所以 y 等于 x 分 之五二零，这样就可以了，明白吧？考试的时候按照我这样写就可以了，不用非得严格的按照设代求写。老师们，因为这个老师们都知道这个反比例的 k 非常好求，是这个意思啊，那么你比如说 兄弟们，如果说我告诉你这个是一个点坐标是负三度四，那么他的 k 等于几呢？打在公屏上啊，各位兄弟们， 好，它的 k 等于负十二，那么如果告诉你这个一个反比例函数，这个点坐标是负一到十，那么它的 k 等于几呢？打在公屏上， 好，它的 k 等于负十，明白了吧？所以非常好求反比例函数的解析式，我们口算都出来了， 好，那么兄弟们，各位臭宝，如果你听完了反比例函数的表达式，你再听完这个一次函数表达式，你会非常明显的发现，反比例 q 简单，对吧？但是一次函数是不是比较麻烦一点？ ok， 那 么如果你在写一道解答题的时候，各位臭宝，如果我们在写一道解答题的时候，一道题里面它既有反比例函数，又有一次函数，你更想先求谁？兄弟们，你更想先求谁？ 对，是不是更想先求反比例函数，因为谁简单，我们先求谁，对不对？我们挑着软柿子去捏，明白了吧？这个思想一定要记住啊，这个思想一定要记住，挑软柿子捏，我们更想先求反比例，因为反比例简单， 他只需要一个点坐标，直接这个点坐标到横纵相成即可，对不对？而我们的一次函数很多情况下是不是需要两个点坐标？所以他麻烦一点，明白了吧？各位兄弟们 好，那么接下来必须给大家补充一个函数的连利思想，必须还要补充函数的连利思想，这个在我们写两个函数的解析式的时候，包括是我们再去求函数的面积问题的时候，肯定要出，肯定要用啊。 那么什么是连利呢？你比如说我现在先给你一个两个一次函数的连利，我现在告诉你，上面这个是 y 等于 x 加一，下面这个的话是 y 等于负二 x 加二， 而这个 a 点坐标现在是不知道，这个 a 点坐标是不知道。我让你求这个焦点，明白了吧？你看，连力就是求焦点的，明白没？以后如果有谁问你什么是连力 以及连力是干嘛的？你要记住啊，连力的目的是求焦点的，连力的目的是求电的，那么怎么连力呢？怎么连力？你就记住你让两个函数相等，它就是连力。 你看我们让这个上面这个 y 等于 x 加一的这个函数，让 x 加一和下面这个负二 x 加二，让他俩函数等号的右边相等，这就是连利。 所以现在你要搞清楚一连利的目的是什么？他是用来求焦点的二，你要搞清楚怎样连利，就让两个函数相等就可以连利了。 好，那么兄弟，如果说你解出来这个，你解出来这个 y x 加一等于负二 x 加二，那么你把接下来把它解一解，对不对？这个玩意我们小学五年级都学了，我们慢慢解 好这个负的，移过来 x 加二， x 把这个一移过去，得到一个二减一，然后得到三， x 等于一，解出来 x 等于三分之一，对不对？兄弟们，那么如果你解出来这个 x 等于三分之一之后，你要记住这个 x 是 谁呢？你解出来这个 x 其实就是焦点的横坐标， 就是点 a 的 横坐标，你解出来这个 x 就是 焦点的横坐标，然后你再把这个 x 等于三分之一代入 y 等于 x 加一中啊，你把这个 x 等于三分之一代入 y 等于 x 加一中，好，那么你可以得到 y 等于三分之一加一等于三分之四，这个时候这个 y 就是 焦点的纵坐标，此时这个焦点坐标，所以 a 点坐标等于三分之一，都是三分之四，我们就非常迅速解决了。 还有一点兄弟们，大家要记住你，当你求出这个 x 等于三分之一之后，你，你因为这个焦点坐标，它既满足这个 y 等于 x 加一，也满足这个 y 等于负二， x 加二，为什么 我把它带入，把这个 y， 把这个 x 等于三分之一带入 y 等于 x 加一中，而不带 y 等于负二， x 加二，你要明白啊， 相信你肯定明白，对吧？因为这个 y 等于 x 加一，它更简单，这个负二 x 加二，是不看起来还稍微麻烦一点，对吧？肯定，我们是往简单的函数里面带，算的更快一点啊。 所以通过这个一次函数的连力，你要明白一个问题，就是就是连力的目的是什么，以及怎样连力号，怎样连力呢？对吧？我们就让两个函数的解析是相等，它就是连力。好，这是一次函数的连力， 那么如果我现在把一次函数和二次函数给它放到同一个平面直角坐标系中，它俩怎么连的呢？我们来看题， 我们来看题啊，现在我给了你一个一次函数解析式， y 等于二分之一， x 加五，我又给了你一个反比例的解析式， y 等于负的 x 分 之八。好，那么现在这个 a 点坐标和 b 点坐标我都不知道它是两个交点，对吧？我现在让你求这两个函数的交点坐标， 怎么办呢？好，第一问题让我求焦点，那么就先想连利，怎么连利呢？我就让函数的这个等号右边相等就行了，对不对？也就是二分之一 x 加五等于负， x 分 之八， 好，二分之一 x 加五等于负的 x 分 之八。接下来我们算的时候要慢一点啊，因为这个看起来还是稍微复杂一点，对不对？我们先让等号的左右两边同时乘以 x， 慢慢解啊兄弟， 二分之一 x 乘以 x 等于二分之一 x 方五乘以 x 等于五， x 负 x 分 之八乘以 x 等于负八。然后我们再把这个负八移到等号的左边，然后从而得到二分之一 x 方加五， x 加八等于零。 然后我们再可以让它再进一步化简，让它所有的都乘以二。二分之一 x 方乘以二等于 x 方五， x 乘以 x 五， x 乘以二等于十， x 八乘以二等于十六，然后右边还是零，这个时候你得到一个 x 方加十， x 加六。我给啊 兄弟们，你看到这个 x 方加十， x 加十六，那么你是发现它是一元二次方程了，而解一元二次方程公式法配方法，十字交叉相乘分解法，怎么样都行，是不是 q 简单了？所以现在那，那我就用这个十字交叉分解啊。 x 乘以 x 等于 x， 方二乘六等于十六，二乘八等于十六，然后再交叉相乘，再相加。 好，这个时候你看我们非常迅速可以得到这个。呃，八， x 加二 x 等于十 x， 对 不对？这个十 x 刚好符合这个中间这一项，然后写的时候配对成功，写的时候横着写，我们可以得到这个 x 加二乘以 x 加八等于零， 然后 x 加二等于零，解出来 x 一 等于负二， x 加八等于零，解出来 x 二等于负八。啊，我们非常迅速可以解出来两个 x， 而各种考法的话，我之前已经在讲过了，就不再过多说了啊。好，那么如果我们现在解出来两个 x 之后，你要注意 一个问题，就是老师，为什么刚刚这个 y 等于这个两个 a， 点坐标，我们解出来一个 x， 那么为什么异函数和这个反比例函数连累我们可以解出来两个 s 呢？那么就是因为它有两个点坐标，对不对？有两个函数，你要记住，兄弟们，函数有几个点，坐标有几个焦点，懂吗？两个函数它有几个焦点，它就能够解出来，就能够解出来 几个 x， 几个根。你看我现在给你画的现在明显他是不是有三个焦点，那么这两个函数他解了，他如果连累解下的话，他一定能够解出来三个 x， 对 不对？他一定会解出来三个 x， x 一， x 二和 x 三。所以在你小小的脑子里面你要明白这个道理啊。 好，那么当你解出来两个 x 之后，你还要明白这个道理啊。好，那么当你解出来两个 x 是 谁，对吧？ 啊？谁是 a 点的横坐标，谁是 b 点的横坐标？这个时候你要看一下啊，你看我们的 b 点坐标，呃，肯定是在 a 点坐标左侧，所以说他对应的横坐标肯定是更小啊，他对应的横坐标肯定是更小啊。所以，嗯，你把这个 x 等于负二，代入 y 等于 x 一带入这个 y 等于二分之一， x 加五中，然后你可以求一下，对吧？那就是二分之一乘以负二，再加五等于四，所以说 a 点坐标就是负二度四啊，因为 a 点坐标横坐标是负二， b 点坐标的横坐标是负八，我已经讲过了啊， 就是 b 点在 a 点的左侧，所以说 b 点的横坐标一定一定更小啊。然后接下来再把 y 等于，把这个 x 等于负八带入 y 等于 x 一 带入 y 等于二分之一， x 加五中，然后你求一下，那就是二分之一乘以负八加五等于负四，加五等于一，然后所以说 b 点坐标就是负八到一就出来了。 好，这是我们刚刚给你补充的函数的连力思想，你只有把这些知识都搞定了，对吧？前期的准备工作完成了，你再去听我们接下来给你讲的三遍函数，你就会非常透彻啊。好，你要注意啊，刚刚讲过了，第一问题啊，连力， 什么时候连力，对吧？求焦点的时候，我们就连力啊，就是问何时去连力，然后怎样连力呢？好，怎样连力呢？我们就让两个函数的解释是相等，我们就这样连力的啊，好，这是连力的思想。 好，接下来我们来看一次函数和反比函数表达式的各种考法。怎么考？它的各种考法怎么考呢？好，我们先来看题，正比例函数 y， y 一 等于二分之一 x 与反比例函数 y 二等于 x 分 之 k 的 图像交于 a 点坐标 m 度二，我们标一下啊，这个 y 的 话，二分之一 x 已经给你标过了。 好，第一问，他让我们求这个反比例函数的表达式。好，这个时候你要注意啊，他既然题干中已经告诉你一个 正比例函数 y 一 等于二分之一 x， 而这个 a 点坐标 m 度二，这个 a 点坐标给它，不完全，对不对？所以我们先把这个 a 点坐标给它搞完全，怎么搞呢？我们就把这个负二， 我们把这个纵轴标二带入这个正比例函数里面就就行了。因为正比例函数已经给你了了 y 一 等于二分之一 x， 所以 你就写把 y 等于二带入 y 一 等于二分之一 x 中，你得到二等于二分之一乘以 x 二分之一 x， 然后得到 x 等于四。好，你求出来这个 x， 这个 x， 它其实就是 m， 对 吧？所以 a 点坐标是四逗二就解决了 啊。这个时候你要注意，你要有这种思想啊，你要有这种思想，就是 a 点坐标，它是 m 逗二，它给你的不完全，对吧？你把横坐标你，你把纵坐标带入 对应的解析中，你求出来的就是横坐标。同理，如果说我给你一个点坐标 a 撇，他是三斗 m， 那 么现在这个 a 撇坐标也不完全，对，不对？同样道理，你怎么求这个 a 撇里边的 m 呢？你就把这个横坐标三带入这个 y 一 等于二分之 x 里面，你是可以求出来一个 y， 你 求出来 y 就 这个纵坐标 m， 所以这是境界之路，你要知道啊，就是之前在一次函数视频里面已经讲过了，我就不再过多说了啊。好，那么这样的话， a 点坐标知道之后，让你再写， 你直接写，所以这个 k 等于八，直接写就行了，不用过多解释啊。所以 k 等于八，所以 y 等于 x 分 之八就行了， 是不会扣分的，明白吧？所以这是第一种比较简单。好，我们来看第二种。第二题， 如图，直线 y 一 等于 ax 加 b 与反比例函数 y 二等于 x， 分 之 k 交于 ab， 两点直线 y 与 x 轴，直线与 x 轴交点 c， 点 a 的 纵坐标是六啊，我们标一下啊，点 a 的 横着不知道纵坐标是六 点 b 的 坐标是负三等于负二，标一下，负三等于负二，连接 a o b o。 第一问，求反比例函数和直线的表达式，两个函数都让你搞啊，那一点点来，你看，当一道题里面让你既求反比例函数的表达式，又让你求直线的表达式，那么你要记住，我们要 挑软柿子捏，对不对？刚刚已经给大家说过了，我们要挑软柿子捏，所以我们先用这个 b 点坐标，先用 b 点坐标，我们先求反比例啊，求完反比例之后，我再把这个 这个 a 点的中坐标带入反比例里头，我就可以求出 a 点的横坐标了，此时的话， a 点坐标也完全有了， b 点坐标也完全有了，然后再去求一次，明白了吧。好，挑软式子念啊，一定要记住这种思想啊，所以你就写， 嗯，你就写，因为点 a， 因为点 b 负三等于负二在 y 等于 x 分 之 k 上，所以 k 等于负三乘负二等于六， 所以反比例是 y 等于 x 分 之六，好，这是前两分，先拿着压压惊，然后接下来 我们再把这个 a 点的纵坐标带进去，求出横坐标啊，这就是境界之路。就是，你要记住啊，就是有纵坐标，你带进去就可以求出横坐标，有横坐标你带进去就可以求出纵坐标，记住这种思想啊， 好，然后你再写，把 y 等于六带入 y 等于 x 分 之六中， 你就可以求一下，这个六等于 x 分 之六，这个解出来 x 等一比较快啊，所以 a 点坐标就是一对六，非常迅速出来了。此时你知道了 a 点坐标和 b 点坐标都知道了，那么你就可以再去求这个 啊，一次函数行了，因为这个一次函数它已经给你设好了 y 一 等于 ax 加 b， 你 就直接写就行了，就是把 a 点坐标一逗六， b 点坐标负三逗负二 带入 y 一 等于 ax 加 b 中，然后这样的话你可以求一下， 带的时候要注意啊，这个横坐标要往 x 里面带，这个纵坐标要往 y 里面带。刚已经解解释过了啊，所以得到六等于 a 乘一，那就是 a 加 b， 好，这是一式，对吧？然后接下来把 b 点左边也带一下啊，负三要往 x 里面带，负二要往 y 里面带啊，负二等于负三， a 加 b， 然后这是二式，对吧？然后你接下来直接写解得就行了， 直接写解得就行了。考试的时候这样写啊，解出来 k 等于几， b 等于几， 解一下，解的时候要小心一点啊，解的时候小一点，我们在颜料纸上解一下，那么就是一十减二，是六减负二等于六加二，那就是八，然后这个 a 减去这个负三， a 负负得正，那就是四 a 四 a b 减 b 没了，然后这样的话，我们可以非常迅速的解出来 a 等于二啊，不好意思啊，不，不能说 k 啊，应该说 a， 对 吧？ a 等于几， b 等于几，解出来 a 等于二，然后解出来 a 等于二之后，然后再把这个 a 等于二代入一中，对吧？六等于二加 b， 那 么 b 等于四，也非常快。 好，所以说，所以这个直线表达式是 y 等于二， x 加四，这样的话，这道题的前四分你就搞定了，明白了吧， 对不对？现在你是不是感觉到这个表达式没什么难度？好，我们来看第三题，第三题如图，在平面直角坐标系 x o y 中， 直线 ab 是 y 一 等于 x 加三。哎，你看这个是不是完全给你了？我们标一下啊， y 一 等于 x 减啊， x 减三。不好意思啊， x 减三已经完全给你了，与反比例函数 y 等于 x 分 之， k 交于 ab 两点，这个反比例函数没给你啊。 然后他又说与这个 x 轴交汇点 c 已知 b 点坐标是 m， 都是负五啊，我们标一下 b 点坐标是 m， 都是负五， 好，同样道理，看到没有？你看是不是这个 b 点坐标是给你纵，没给你横，那么我们是用近年之路，我们把这个纵带入我们已知的这个里头，我们就可以求出横了啊，所以我们就写啊，就把 y 等于负五带入 y 一 等于 x 减三，中好，带进去得到负五等于 x 减三，解出来 x 等于负二，解出来 x 等于负二， 所以这个 b 点坐标他就是负二，都是负五就搞定了。 b 点坐标有了之后，然后这个反比例是不是可简单了？口算是不是都知道了，兄弟们，对吧？ k 等于十对的写，所以 k 等于 k 等于十，所以 y 等于 x 分 之十， 冰勾是不是出来了，兄弟们，有感觉了吧？还有同学说啊，老师，这么简单吗？来感觉来感觉了，对啊，这个表达式它其实就不是特别难，只要你认真听，你绝对是能听懂的，对不对？ 好的，各位小宝，我们继续往下啊，第四题如图所示，直线 y 等于 x， 好， 已经给你了，对不对？解析式已经给你了啊，这个 y 等于 x， 好，给你标出来了了，也给你标出来了了。与反比例函数 y 的 x 是 分式， k 这个没给交于 a 点坐标二度 a 啊，你看现在会了吧， 对不对？你看是不是？我用进件之路，用进件之路，我们现在他给了这个 a 点的横，我们带进去，我们是不是可以求出纵了，对不对？所以 a 点就有了啊，然后他说点 b 是 反比例函数，一个点， 反面上一个点，那一会的话，我们也可以把 b 点这个里面 m 给求出来，对吧？然后第一问的话，他让他让求反比例函数的解析式，以及这个 ab 的 解析式，那我们先挑软式的来，对不对？好啊，我们就先把这个 a 先往这里面带啊，先把这个 a 啊看，我们先带一下，因为这个 a 点不完全，我们就先用进阶之路求一下，就是把 x 等于二带入 y 等于 x 中， 求一下这个 y 等于二，哇，非常快对不对？ a 点坐标是二度二， a 点的坐标是二度二的话，那么哎，有一个点我们是可以求反比例了，对吧对吧？四， 所以 k 等于四，横纵相乘啊，所以这个反比例是 y 等于 x 分 之四，这样的话我们可以先得先得一分， 这应该两分，先得两分，压压惊，然后接下来这个 b 点坐标是四 m， 然后接下来我们是不是接下来去求这个 m 了？因为这个 b 点坐标是在这个反比例函数上面的，对不对？所以我们把这个点也往里面带啊，所以就把 b 点坐标四 m 对 m 带入 y 等于 x 分 之四中算一下也是一样的啊，就是横坐标要往 x 里面带，纵坐标要往 y 里面带，记住啊，然后得到 m 等于四， m 分 之四， 好，那这个也很好解啊，兄弟，对吧？然后这个四四消掉了，然后你是不是得到这个 m 等于 m 分 之一，然后把这个分母的 m 给它移到左边，然后你是不是得到 m 方等于一， m 方等于一这玩意我太太都会，对不对？解出来 m 等于正负一，然后题里面你看他说了，是不是专门说了 m 大 于零，你就写因为 m 大 于零， 所以 m 等于正一，所以说这个 b 点坐标就出来了，对吧？四逗一， b 点坐标出来之后， a 点坐标是不是二逗二，有 a 点有 b 点，那这剩下都简单了，对不对？然后你就开始写把 啊，它这个直线 ab 的 话，嗯，我们是一函数，我们还需要设一下，因为它没给我们设出来，那你就可以写设 这个 ab， 它是 y 等于已经有 k 了，我们就，我们就设成 ax 加 b， 好 吧，我们就设成 ax 啊，有 a 了，就尽量跟题干上的字母都不一样啊。那我们就设成 m， n， 我，我靠， m 也有了，我靠，那，那就设成这个 k 一 x 加 b 一， 就这样设一下，就尽量你设的这个字母不要跟题干中的字母一样啊。 我靠，这里面常见的几个都有了，好，那你就设。设完之后，然后接下来就把 a 点坐标二对二， b 点坐标四对一代入上市， 然后你可以得到一个，嗯，这个二等于二， k 加 b， 然后一等于四， k 加 b， 好， 然后剩下解一下，对吧？巴拉巴拉巴拉，你自己解，我就不解了，比较简单啊，剩下解的话就慢慢解就行了。 所以兄弟们，你看，现在你听了四道题，你应该有感觉的，你会发现这种题不难，你记住啊，就是 题里面就是先挑软式的捏，对吧？如果一个点坐标给了你一半，对吧？横或者纵，他给你一半，那么你就先把另一半给求出来，求出来之后，然后就挑软式的捏，先捏反比例，捏完反比例再去捏一次，对不对？好，我们来看第五题。 呃，如图，直线 y 等于 a， x 加 b 与反比例 y 等于 x 分 之 k 啊，这两个都没给你啊，交于 a 点坐标负一对五。我靠，那他直接先捏，先捏这个反比例了，对吧？负一对五已经有一个完整点了嘛，所以反比例 k 非常简单，负五口算就有了。 继续往下读，与 x 轴、 y 轴分别交于 bc 两点啊，连接 o， a 已知 a， c 比上 cb 等于一比四啊。给了一个比例 a， c 比上 bc 等于一比四，那说明这个比例是一比四，比例是一比四，有相似在里面了啊， 相似在里边了。第一问，让我们求 k 和求 b， k 简单，对吧？刚刚说过， k 等于负口算都有，然后这个求这个 b 的 话，那我们求这个。呃，这个一次函数嘛，说白，求一次函数，求一次函数的话，需要两个点坐标，现在只有 a 点坐标，那么你需要用比例啊，你需要用比例怎么办呢？也很很简单啊，你看， 呃，因为你这个 a 点，你看 a 点，它的它这个距离等于一， 因为这上下两个三角形是相似的，对不对？既然它的斜边长是一比四，那么说明它的这个短边 对应的是不是也是一比四？你既然 a 的是一，那说明这个 o b 肯定是四，对不对？这个 o b 肯定是四，因此你可以非常迅速，可以找到 b 点坐标四度零，那么这个时候你有 a 点坐标和 b 点坐标，那么你的这个一次函数是不是随之而出，对吧？非常简单啊，所以我们写一下啊，写一下过程，因为 a 点坐标是负一对五，在这个反比例， y 等于 x 分 之 k 上，所以 k 等于负五， 好，对吧？ k 等于负五，然后你再写，然后接下来我们的目的要求 b 点坐标了，让你再写啊，过点 a， 嗯，向 x 轴向 y 轴做， a 的 垂直于 y 轴， 好，做一下，则 a 的 等于一，直接解释， a 的 等于一，然后你再写，因为 a c 比上 c， b 等于一比四，直接写，所以 o b 等于四，直接写，不用解释过多啊，所以 b 点坐标是四度零，好，此时 a 点坐标也有， b 点坐标也有，那剩下你们都会了啊，然后就开始把 a 点坐标负一对五， b 点坐标四对零，代入 y 等于 a， x 加 b 中。 好，剩下我都不说了，好吧，你们都会了，巴拉巴拉就往下写就行了啊，兄弟们，不难吧，对不对？ 所以说你看就是没没没有没有关系啊，就是哪怕你底子不好，你也保证你能够把这种题给听懂，保证你能把这种题听会啊。好，我们来看最后一道好不好啊？看这个表达式，看这种啊，如图，在平面直角坐标系中 平行四边形啊，你看他专门给你个平行四边形啊，平行四边形的边 a， b 在 一次函数 y 等于二分之一 x 加 b 的 图形上啊，这个给我们记一下啊， y 等于二分之一 x 加 b 的 图形上， b 点坐标是三度一，哎，你看 b 点坐标三度一是吧，立马线条软式的捏，反比例有了，对不对啊？反比例有了 k， 这个 k 等于三了，然后他又说了一个 a 的 它是平行于这个 x 轴的点的的坐标是八度二。 第一问，他说的是让我们解这个一次函数和反比例函数，大家来看这个一次函数的话，它是不是只有一个 b？ 这个不知道了， k 已经给你了，那所以说你把这个三到一，你带到一次里面，你是不是可以把 b 求出来了，对吧？你这个这个反比例更简单，对吧？反比例 k 直接就是三了， 所以说这个 b 点坐标的话，我们用两次可以把第一问全部搞定啊，你就写把 啊，这个三度一直接直接这样先写反比例啊，我们还是先还还是遵循着先挑软式的捏，好吧，就是因为 b 点坐标三度一 在 y 等于 x 分 之 k 上，所以 k 等于三，所以 y 等于 x 分 之三。好，这样的话我们的反比例搞定，然后接继续写一次，把 b 点坐标三度一 代入 y 等于二分之一， x 加 b 中得到一等于二分之一乘以三加 b。 啊，就一等于二分之三 b， 我 们这样的话可以减出来我们的 b 等于这个三分之二， 然后所以我们的已知数也搞定了。 y 等于二分之一， x 加上三分之二。啊，不好意思啊，这个是加 b， 我 想想成了 这是加 b， 然后就是一负负二分之一对负二分之一，所以我们的 b 等于负二分之一就搞定了。好，这是我们的反比例函数和我们的 e 函数的。呃，各种的表达式的考法对吧？几乎是含给了所有的。

今天要分享的是学霸笔记初中数学乳教版五四至九年级上册教学课间。 这是一套精心设计的教学课间，覆盖九年级上册全部内容，包含反比例函数、直角、三角形的边角关系、二次函数投影与仕图等章节，每课时都有详细课间，适合教师备课使用， 学生也能轻松掌握重点。现在看到的这份资料是初中数学主教版课间，内容聚焦二次函数，详细解析图像与性质，适合九年级上册使用，资源丰富且实用，教学辅助效果显著。

我们看下这个题啊，如图，在平面直角坐标系矩形 a， b， c， d 啊，顶点 a， b 在 s 轴的正半轴，点 d 在 y 等于二分之三。哎，这个是一个正比例函数，对不对？在第一象限的图像上， 反面来说， y 等于 x 分 之 k， 图像经 x 大 于零，经过点 d 交于 bc， 点 e， a， b 是 四，求点 e 的 坐标啊，求点 e 的 坐标 啊。 bc 等于六，那么 ad 的 话， ad 是 不是就等于这个 bc 也等于六啊？ ad 等于六的话，是不是可以带到这个表达式里面去？可以把 d 的 坐标取出来，对不对？好，我们写一下。呃， 这个 bc 等于六，那么这个 a， d 就 等于 bc 等于六吧。 a d 是 六时候是 y， 六等于说当 y 等于六的时候，这个函数表达式 y 等于二分之三， x 就 等于六，所以说解的 x 等于角等于四。 所以说点 d 的 坐标出来吗？哎，点 d 坐标就是四，逗号六，知道四逗号六了，我们可以带到反比例，把这个反比例的表达式求出来以后，是不是就可以求出这个 e 的 这个 坐标了？点 d 带入哪里去？带入这个 y 等于 x 分 之 k 里边去吧，是吧？啊，得 k 就 等于四，乘上六等于二十四，所以说这个反比例函数表达式就等于 y 等于 x 分 之二十四吧。这个 e， e 什么 e 的 坐标， e 的是求 e 的 坐标， e 的 横坐标我们知道吧，因为这边是四， e 的 横坐标是不是 o b 啊？ o b， 你 看 o b 是 不等于 o a 加上 ab 啊？ o a 我 们知道是 a 的 横坐标， a 的 横坐标是四，在这呢，所以说就是四，再加 a b， a， b 也是四，就等于八吧，所以说这个把 x 等于八，代入 y 等于 x， 位置二十四边去啊，二十四除以八等于三，所以说点 e 的 坐标等于把逗号三划不开。第二位连接 d， e 连接 d， e， 当地 e 垂直于这个 o， d 的 时候，求点 d， e 的 坐标垂直，然后标上这个符号 有垂直，求点 d 的 坐标。点 d 在 这个反比例函数上是 e， 也在反比例函数，它俩什么相等？哎，是不是 k 值相等，往往在这个反比例函数里边是，我们是不是要考虑到这一点？ 求坐标，求坐标，那求点 d 坐标，那我们就先设点 d 坐标吧。那设点 d 标怎么去设呢？为了保留我们的 这个后面计算，方便计算，我们尽量不带有分数的形式。是不是 y 点二分之三 x， 所以 说点击坐标我们可以设为二 a， 逗号三 a， 是 不是？ 你看第一遍话，这边四，这是六，然后这是二分之三 a， 这样的话我们后面计算就没有分数，容易方便计算那点 e 的 坐标，哎，点 d 啊，会说啊，因为点在 y 等于 x 分 之 k 上，是不是？所以说 k 就 等于二 a 乘上个三 a 吧，等于六 a， 方啊，我写一下 啊，点 e 是 不是也是这个 k 啊？那点 e 怎么表示呢？点 e 的 横坐标就是二 a 加上四吧。纵坐标怎么表示？我们是不是要把这个 c， e 要求一下， 哎，你用 ab 的 话，是不是这个三 a 减去这个 c， e 是 不是它的纵坐标了？ c， e 怎么表示？看 c， e 是 不是在这个 d， d， c， e 的 三角形里边，哎，为什么告诉我们垂直，哎，是不是让我们去找相似呀？好，我们看一下，告诉我们它垂直，也就说明这个 o、 d、 e 是 垂直角吧，这个角一加上这个角二是不是就是啊？ 啊，直角，那么这个角二加这个角呢？是不是也是直角？因为是矩形吧。啊，我简单写一下啊，因为 d e 垂直于 o d， 所以 角一加角二是不是九十度啊？这个因为角 a， d、 c 是 不是九十度 啊？所以角二加角三也是九十度，所以角一是不是等于角三角一等于角三。这边矩形，这是直角，这个也是直角啊，所以这两个三角形干嘛？哎，相似吧，相似谁啊？ d a、 o 是 不是？你看 d a、 o 这个三角形 和 d c、 e 是 吧？ d c、 e 相似于三角形， d c、 e 相似就有相似比了吧。啊，就现在吧，就用相似吧。好，就是 d a 比上 d c 就 等于 o a 比上 c、 e 吧。 好，写一下，往上写， o d a， d a， d a 是 几？ d a 是 三 a 比上 dc， dc 的 话，是不是就是等于 ab 等于四啊？ 好， o a， o a 是 几？ o a 是 二 a， c e 写下，那么 c， e 是 几？ c e 是 不就是？这是八 a 交叉相乘吧，八 a 除以三就是三分之八，对吧？ c， e 是 三分之八，所以这个 b e 怎么表示？ b e 是 不是就等于 bc 减去 c e 啊？ bc 是 几呢？ bc 是 不等于 a d， 那 么就等于三 a 三 a 减去三分之八吧。好，那这个时候呢？这个点 e 的 坐标是不是出来了？点 e 坐标等于几？他的横坐标是，我们说的是二 a 加上四，坐标是三 a 减去三分之八，看着挺奇怪，没事哈，我们说因为什么呀？ k 值相等是吧？ k 相等的话，所以说就是点 e 的 坐标的横纵坐标相乘的 g 吧。 好，所以说就是二 a 加上四裹起来乘上个三 a 减去三分之八就等于二 a 乘上三 a 吧。啊，这里就一个位数 a， 所以 说把 a 就 能求出来。 a 等于五分之八，那点一，那点这个 d 的 坐标就出来吧带进去。所以说点 d 的 坐标 就等于五分之十六。逗号五分之二十四。 ok， 这个题你学会了没有？

欢迎来到中考数学路路通，今天我们来搞定反比例函数图像。 反比例函数 y 等于 k 除以 x 的 图像是双曲线画图，用描点法先列表 x 取值要对称，比如取负三，负二，负一一二三。 x 不 能等于零，正负两边都要取，连线要用光滑曲线。当 k 大 于零时，双曲线两只分别在一、三象限。一象限那只从左上方无限接近 y 轴，向右下方无限接近 x 轴。 三象限那只也是同样的趋势。当 k 小 于零时，双曲线两支分别在二、四象限。关于圆点对称是双曲线的重要特征点， a 到 b 的 开区间在双曲线上，点负 a， 负 b 也一定在双曲线上。 双曲线还关于直线， y 等于 x 和 y 等于负 x 对 称， k 的 绝对值越大，双曲线离圆点越远。 比如 y 等于十二除以 x 就 比 y 等于三除以 x 离原点更远。考试中常考双曲线与一次函数直线的焦点问题，连立两个解析式解方程就能找到焦点坐标。 焦点个数取决于方程解的个数可能有两个，一个或没有焦点。掌握这些图像特征，解析就快多了，中考必考，给我背下来！

大家好啊，我是清北 ai 智能文化自习室的侯老师，如果是说家里有不爱学习的，不爱学数学的，或者说今天学明天忘的 公式不怎么会用的，写作业慢的、难题，不会的、粗心的、厌学的，都会为孩子提供这个一定的帮助啊，孩子这个数学成绩会得到快速的提升。那么下面咱看的这个这个题啊，是初三的 二零，就是今年的石家庄市的一模题，嗯，最后一道选择题，咱看一下他这是怎么做的啊？ 在 r t 三角形也是直角三角形 o a b 当中，角 b o b a 等于九十度，也就是 o b 等于一个 b， a 握点 a 和 b， 点 a 和点 b 都在反比例函数上， y 的 x 分 之 k， x 大 于零，它在 x 的 正半轴上， 那么握点 a 作 a， m 垂直于这个 x 轴交点以 m， 握点 b 作 y 轴的交点以 n 叫求。是啥？ a m 垂直于 a， m 比了 o n 的 值，有人说是 a m 比了 o n 的 值。 那么首先咱观察它啊，直角三角形一个条件，也就是它等于它，咱这是啥？做 n b 的 延长线和 m a 的 延长线交一点 e， 那 么设 b 点坐标为 b a， b 点坐标为 b a， 那 么咱看一下啊，在三角形，这个三角形 o， n， b 和三角形 b， e， a 这个三角形当中，这个三角形当中，咱看一下啊，它这个一个直角边它相等，这个边和直角边相等啊，因为这个直角，这是一个 一条直线，是吧？平角就是他加他等于九十度，他加他等于九十度，所以说这个角是等于这个角，所以说这俩三角形是啥？全等三角形，所以三角形角 角谁呀？ n o b 等于一个角 a， b e， 那 么 o b 等于一个，是等于一个谁呀？ b a， 那 么同理，角，角谁呀？ 角，这是直角，所以说，嗯，这个 b， n b， a 等一个角 b a e， 这根据的是什么角？边角定律，所以说这俩三角形全等，所以 r t 三角形 o， b， n 全等于 r t 三角形 b e a， 这俩三角形全，这下三角形全等了。那么也就是说， 也就是说设的这个等于 b， 这个等于 a， 那 么一点坐标就是这个等于 a， 这个等于 b， 对 吧？这等于 b， 那 么 a 点坐标也就出来了啊， a 点坐标也就出来了。 a 点坐标整什么呀？整个的这是 a， a 点坐标这个，这是 a， 那 么这是。 那么 y 轴也就等于一个啥？ a 减 b， 那 么 x 轴 o m 的 长等于什么呀？也就等于一个啥？ a 加 b， a 加 b， 没有这个啊，有这个 a， 也就是 a 加 b， 画了 a 减 b， 这是点 a 的 坐标， 点 a 的 坐标，求出来了，有点 b 的 坐标。根据三比例函数的这个性质定理，它都在函数图像上，也就是说 y， y 的 一个 x 分 之 k， 那 么 b 的 坐标是 是 a 和 b， 也就是说， a 等于个啥？ b 分 之 x， b 分 之 k， k 等于个啥？ ab， 那 么 a 的 坐标也就等于个什么呀？ a 加 b 等于一个 a 减 b 的 k， 那 么 k 也就等于个啥？ a 加 b 乘一个 a 减 b， 那 么 k 是 相等的，对不对？那么也就是说是 a 加 b， 你这个 a 减 b， 等一个 ab， 等它长出来了，我们得化减一下啊。化减 a 的 平方，减 b 的 平方，等一个 ab， 都除以个 a 方吧。以一等一个 a， b， b 的 平方等于个啥？ a b b， 对 吧？化解成这了， 画线成这了，那么首先咱到这了啊，首先咱看这个叫球的这个值， a m 比这个 o n， 它等于个啥？等一个 o a m 也就等于个谁啊？ 它长等于一个 a 减 b， o n 等于 a， 又等于一个啥？ e 减 a 分 之 b， 那 么这有 a 减 a 分 之 b， 只有 a 分 之 b， 再把 a 分 之 b 求出来都可以了啊。首先咱看一下 a 分 之 b 怎么求？ 结？结，那说舍 a 分 之 b 等于一个 t t， 那 么一减 t 方等于一个 t， 那么化解啊，化解，也就是说 t 方加 t 减一等于一个零，是吧？这都用到了，是啥？根求根公式，因为你看你这求不出来，对吧？求根公式是什么？ t 等于啥？ 这公式负 b 加上正负，根号 b 方减四 a c 除以一个什么二 a 对 不对？二 a 是 这个吧，那么化解一下啊，这意思，负 b 也就是负一 加上正负，根号一的平方减去个四乘一乘一个负一除以一个二， 那么等于什么呀？负一加上个正，负根号五除以个二， 对吧？也就等于一个这个，那么这个 t a 比 b 它是大于零的吧？负的舍去，也就是说 t 等于一个啥？负一加上根号五除以二就出来了，那么也就是也就是等于一个啥？ a 分 之 b， a 分 之 b 出来了吧，代入到这个里头，代入到这个里头，那么 a m 比这个 o n 等于一个一减去个 负一加上加上负一，加上个根号五除以二 来重分一下分一个二减去个负一加上根号五除以个二， 那么的一个三减根号五除以二，那么这个选项啊，选项有没有？也就是选个 d， 也就是选个 d。 那 么这个题看涉及到哪些知识点啊？涉及到哪些知识点？ 如果在做题过程中，他这个有一定的繁琐性啊，有一定难度，也就是说最后一个选择题有一定的难度。那么第一个涉及到知识点是啥？直角三角形 判断他全等的条件。直角三角形判断他全等的条件。另一个是啥？ 反比例函数的性质，反比例函数的性质，他在一条都在，这两个点都在反比例函数图像上， 然后要涉及到的是什么？跟以系数的关系。 求根公式都收到了，求根公式，嗯，那 x 等于负 b 加上正负，加上根号里头的 b 方减四 a c 啊，用到这个公式， 然后还用的这个化简比例的公式啊。化简比例公式，这个有一定的繁琐性。如果做题多了， 咱一眼就能看出来。这个答案是啥啊？答案是啥？所以说咱得经过计算。嗯，经过计算，我们这个题到现在都讲完了，到现在就讲完了。 那么如果是说啊，嗯，家里有这个数学，不爱学数学的，或者今天学明天忘的，公式不会用的，写作业慢的、难题不会做的，粗心的，厌学的孩子啊，咱都会可以提供这个好的帮助。 数学因为数学到初中的难度都逐渐上升了，很多家长也不知道如何给孩子做一个这个学习上的安排。嗯，所以说都可以。嗯，咨询啊，都可以咨询。

下角 b 是 直线与 y 作交点的总 数，经过 a 点二四和 b 点，负四 负二看图像，蓝色直线在绿色双曲线上方的曲线是负四小于 x， 负二加六等于四， 所以 k 等于 x， 从 y 三 x 加三得到 y 等 于。紧接着求三角形 o， b， c 是 二分之一乘一乘三。 你看图像，满足条件的区间是 x 小 于负二或者零小于 x。 字体面积反推参数，再求交点 坐标 a 点同时在 y 等于十二除以和， y 等 于 x 等于三，是 y 等于四，所以 当弦。所以 a 点有 两二等于负三， a 加 b， 两是相减 的二，所以三角形 a、 o， d 的 面积是二分之一乘一乘二等于一。最后看取值范围，题目问 k 除以 i 一 次函数和反比 例面积，就把一从弦着地 反一乘图像写在上面。尤其要记住，只要有反比例函数 x 能做到这些，一次函数和反比例函数综合题基本就稳了。

接下来老师给大家讲一下关于我们反比例函数平行和定心的证明，大家可以看一下。第一个基本知识就是反比例函数上任意一个点，我们现在向 x 轴，向 y 轴做垂线以后，形成了一个矩形， a， b， o， c， a， b， o， c 的 面积等于 x 的 绝对值，成了一个 y 的 绝对值，也就是等于 x y 相乘的绝对值。 那么 x y 相乘等多少呢？等于 k， 那 么它的结果是不是就直接等于 k 的 绝对值？也就是说，在反比例函数上，任意一个点，它向 x， y 轴做垂线以后，形成的矩形面积都等于 k 的 绝对值。 我们可以马上反应出来，三角形 a、 o， b 就 等于三角形，那个 a、 o， c 是 不是等于二分之 k 的 绝对值了？ 好，这就是我们接下来要用的这个知识。现在又往下走来看这道题当中，他说这个时候，如果一条直线 y 等于 k， x 加上了 b， 那 么 k 不 为零的情况下， 任何一条直线与反比两数相交于 a 点和 b 点，我将 a 点和 b 点向 y 轴和 x 轴做垂线以后，那么形成的一个三角形 a， c， m 和 b n 大， 我们连接 m、 n 线阶段，我的目的是证明 a， c 和 b 大， 它们到底相不相等， 如果相等，我们就可以解决很多类问题了。好，那么第一步动作怎么去做？老师教你们的一个方法，可以发现三角形 a， m， n 的 面积是不是等于三角形 a， o， m 的 面积？ 因为他们这个时候 a， m 和 o， n 是 不是就是平行关系？而高是，两条平行之间距离是相等的，那么他们的面积等于二分之 k 的 绝对值， 那么继续往下来，三角形 b， m， n 的 面积等于三角形 b， o， n 的 面积也等于二分之 k 的 绝对值， 对吧？由此可以得到，三角形 a， m， n 的 面积就等于三角形 b， m， n 的 面积。 m， n 为共边，它们相等，它们的高是相等的 高。一旦是相等的情况下，我们具体去把它画出来去分析。过 a 点做条垂线，过 a 点做条垂线以后，那么再交于我们的一个 t 点，过 b 点做垂线，那么交于我们的一个 k 点， 可以反映出来高相等。也就是说 a， t 和我们 b， k 是 相等的，他们正好是不是就应该是两个点到同一条线的距离相等 ab， 这条线一定平行于 m， n 的。 有了平行线以后，那么有自身的一些平行关系，你会发现这个手 a， m， 它平行 n 搭 ab 又平行于 m， n， 我 们马上就得到了一个平行四边形 a， m， n。 同理可得 c， m 平行于 b， n， 又因为这个是 a， m， a， b 平行于我们的一个 m， n， 这个时候又可以得到平行四边形 c， m， n b 了。 有了平行关系以后，可以发现 a， m 这条边和 n 搭是相等的，而 c， m 和 b， n 也是相等的，结合在一起马上反应出来三角形 c， m， a 全等于三角形 b， n 的 用的方法 s， a， s， 那 么证明它们一旦全等以后，就可以得到 a， c 和 b 答，相等的关系。

前段时间，淄博烧烤首次火遍了大江南北，那接下来我们就来看一下他这座城市的走心瞬间。 第一次来到中国，感受到了中国人民的热忱，中国人民就像放着哨一样，奋不顾身的拍照更好看。不知所及，皆是志愿者，还有穿着制服的工作人 员， 对各位有强烈的欢迎，来直播里给主播点赞， 这是各行各业的淄博市民为一座城所付出的努力。老师，希望咱大家能够团结友爱，积极向上，为创建更加优秀的班集体而努力。 那伴随着淄博烧烤的三件套老师呢？送出上课的三件宝，动手、动脑、动口，希望这节课大家积极回答问题。好，看，我们本节课的内容，反比例函数。好，本节课的学习任务来，班长来读一下， 哎，那个女生是吧？学习目标，一、能能说出简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量变量的意义。 二、类比一次函数的概念，能够得到反比例函数的概念和三种表示方法。三、类比一次函数表达式的确定方法，会用待定系数法确定反比例函数表达式。四、能用反比例函数解决简单的实际问题，感受模型思想。哎，很好，请坐，声音非常洪亮啊， 好，然后呢，大家来看一下，老师给修理了两个等式，这是什么？后边这个呢？ 它是我们特殊的一次函数中的哈，好，那么伴随着两个关系式，大家呢，在你的导案上填一下这两个概念，这是我们前面学过去的， 好听，抬头我们找朋友来说一下，给他说一下你的答案， 来，大家积极一下，写完了不是？嗯，来数学课代表， 嗯，一般情况下，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y， 并且对于变量啊， x 的 每一个值，变量 y 都有一个唯一的值与它对应， 那么我们乘 y 是 x 的 函数，其中 x 是 次变量， y 是 一变量。哎，非常好，请坐，大家核对一下，看你填对了没有。这里呢，大家重点注意一下，这个变量 y 呢，是对于 x 的 每一个指数有。

肥城八年级同学注意了啊，期中数学刚刚考完，是不是一出考场就蒙圈，不上不下的错题一堆，也不知道错在哪里。呃，期末该往哪里试？就今天我们结合这一套我们期中考试题，揪出丢分大坑，直接明确期末的考试核心方向，全是干货，期末少走弯路。 这套试卷呢，完全是结合班下册我们的节奏哈，基础题，中档题，还有压轴题啊，分析清晰一半以上是基础送分题啊，考概念和计算三层是几何与袋鼠啊，综合题最后几道的大题是和选择填空的，压轴题是尖子生的拉分的关键 啊。本次期中这个三次核心的考点，丢分重灾区，一元四方程核心袋鼠啊，全程是必考的，一般化为这个 一般形式跟着判别式解方程啊。呃，实际应用率对不对？还有面积问题，含餐的方程一定要注意，这个二次项的系数不能为零。一错点就是什么？就是说忽略判别式和根系系数，配方法和公式法不是很熟悉， 应用题不会劣势啊。计算粗心必考题，你看这一次考的很简单，一个就是叫做增长率问题，是不是还有那个纸和有盖的是实数根 二是什么呢？二次根是计算必考题，送分也，但是，呃，容易丢分哈，因为这次计算量还是比较大的，一说的是化解不彻底，符号呢，出错，错题不规范，然后呢，计算题直接对半扣分。提醒一下，这种部分呢哈，没有什么难题，纯是考细心和技术啊，完全都能拿满分啊。 第三就说就是肥城的，哎，同学们就是感觉，嗯，我们这学期好像几乎都没有去学这个菱形，矩形正方形是我们班上的学的对不对，但是这一次呢，就考这个了，而是重点对不对，难度系数赞比也比较高啊，也是最难的 对不对，难点就是正方形的，你看求最值问题啊，矩形对角线，菱形证明，几何模型运用压轴题里边你看四边形的综合加证明加向量求解是拉开分的。这个核心的 这个基础是吧，第四呢，就是考什么呢？这个卫四和相似的基础啊，期末核心的这个必须要铺垫哈， 就是考这个平面制药坐标系中的卫四啊，啊，坐标计算啊，相似三亚型的判定和性质是不是啊？卫四入门期末相似三亚型是绝对王炸的核心考点啊。期末复习好，我们说一下三个考试方向，第一呢，稳基础，每天你要练习下二次根式的计算， 一元二次方程的解法，平行四边形的判定啊，菱形，矩形正方形啊，是不是保证技术题零失误啊，保底拿满分，然后呢，抓几何吃透我们菱形，矩形，正方形，平行线啊，直角平行角都是构造这种相似的，关键是不是 然后这个 a 字形啊，八字形划平行做辅助线构造 a 八啊，还有 x 型好。第三就是我们攻相似吗？期末的， 呃，重中之重，就像我们说的这个 a 字型， s 型是不是一线三等角啊，这个母子相似模型啊，这个牢记，对应边乘比例，面积比是相似比的平方是不是 啊，其中只是检测，期末才是重东西，现在把计算漏洞，几何识图审题，马虎问题补齐，抓住期末的方向啊，期末数学才能稳稳地提分。 嗯，还有肥城的八级时候。我们八下时候不光是学八下的课本，我们还学九上。是不是还有什么反比例函数重要来了吧。还有这个三角函数应用题啊，中考里边常考两种大型的题。这个题想知道学习的来。

大家好啊，今天呢，咱们继续来讲中考数学最后十讲这个系列课程的第八讲函数问题汇总。那么这一节课主要讲的内容呢，就是一次函数，反比例函数，还有二次函数，都是有公益的资料的， 然后我的建议是，你拿到电子版的公益资料之后呢？然后你要加入咱们的学习群吗？加入学习群之后呢，领取这样的公益免费的资料之后，然后再来进行学习，这是效率最高的，听懂吧，一定要私信，然后呢，找我加学习群，然后要资料，懂了吧。 那么好了，咱们接下来就先讲依次函数。这个依次函数的话，首先来看辽宁这道中考题，它这么说的，首先 y 等于负 x 加四，就它它跟 x 轴交于 b 点，跟 y 轴交于 a 点， 那么 a 点坐标很容易求啊，那就是零的号四倍 b 点坐标。在解析式里头，你让 y 等于零，那就是四的号零，所以 o a o b， 它长度分别是四，它其实就是一个边长为四的等腰直角三角形 a o b， 那于是你说为什么等于四十五度，那当然等于四十五了，因为是什么？因为是等腰直角三角形，所以第一问我就不详细说了，咱们主要是说一说这个第二问来怎么做。他第二问这么说的，他说点 c 在 线段 o a 上 过，点 a 做 o a， 这条线段的垂线跟直线 ab 相交于点 d， 然后呢，他这个 a 点和 e 点正好是关于直线 c d 对 称的。然后如果你假设点 c 的 坐标是零多少 m， 然后并且 m 的 范围是在零到二之间的啊，那其实也好说，只要他这个范围在零到二之间，哎，就这个点 c 的 正坐标啊，那么你对称完了之后的话，这部分是不是大于二啊？对，那 a c 大 于二， 那接下来 c e 不 也大于二吗？因为对称前后都是一样的，那既然大于二的话，那就大于 m， 哎，也就是说点义词是，肯定是在呃 x 轴下方的，在外轴的负半轴上，这个你放心。那么 接下来他让你求四边形 c o f d 面积的最大值。怎么求呢？其实相当容易了，首先咱们 o c 的 长度你就用 m 来表示呗。然后 a c 的 长度呢？哎，你用正坐标四减去下边这个 m， 人家就是四减 m 了。好， 根据对称性的话，你不仅 a c 等于四减 m， 实际上 c e 它也是等于 c 减 m 的， 所以没问题。那接下来 o e 呢？请告诉我，好说， 这是四减 m 吧。然后这个地方是 m 吧？对，那它就是四减 m， 再减 m， 人家是四减二 m， 这个是 o e 的 长度。 那么有了这些之后，接下来我就想问了，你说这个 o f 等于多少？因为咱们这个梯形挺特殊的，这个四边形 c o f d， 它是一个直角梯形，所以咱们需要把上底下底都算出来。 那么根据对称前后所对应的角相等，你这个角 oef 和这个角谁？ oef 和这个角 oab 都是等于四十五度的，因为这俩角本身都是对称前后的，它这两个角肯定是 都一样大吗？等于四十五度，那四十五度有这个四十五度的话，那就好说了。所以再加上角 o e f 等于角 o f e 吗？根据内角和一百八十度求出来的 等角对等边，你这个 o e 和 o f 其实都是四减二 m， 行了，不用多说了，原来这是四减二 m， 那于是呢，再根据等腰直角三角形 a、 c、 d， 因为上方显然是一个等腰直角三角形，因为有四十五度嘛，一条边是四减 m， 另一条边也是四减 m 吧。 对，也就是说这个 c d， 它是等于四减 m 的。 我们这个直角梯形所有的数据都已经出来了， 那上底下底分别是四减二 m 和四减 m， 高就是 m。 那 么根据梯形的面积公式，你说面积等于什么？哎，二分之一，上底加下底乘高除二吧。对对对，就是二分之一，上底加下底乘高，那就是四减 m， 四减二 m， 然后再乘 m， 没问题，稍作处理，那就是负的二分之三 m 方加四 m。 这个时候，其实你配方也行，你不配方也行的啊，咱们是一个 s， 关于 m 是 一个开口向下的抛物线，它的对称轴是 m 等于负 b 除以 a， 那 这道题不就是负四除负三，原来是等于三分之四啊。 那么根据抛物线的性质，当 m 等于三分之四的时候，咱们得到了面积的最大值等于多少呢？你把 m 等于三分之四代入， 最终应该可以算出来，最大值是等于三分之八的，那并且三分之四符合我们零到二的这样一个范围的要求，所以最终咱们就可以写了，当 m 等于三分之四的时候，面积得到最大值是三分之八。好，第一问就解决了。那么这道题还好， 接下来继续看。天津这道题。去年的啊，这是一次函数和实际应用的问题。这个小华同学啊，他是说已知小华同学他的家呀，书店呀，公园啊，依次在同一条直线上， 书店离家零点六公里。对，这个小华同学先到了书店看了会书，然后呢， 继续又匀速步行了啊，到了书店停留了十二分钟之后，匀速步行了十二分钟，又到达公园。好，这个地方就是公园，然后公园停留了二十五分钟以后呢，然后呢又花了十五分钟匀速跑回了家，就这么回事。 那么整个纵坐标，请你告诉我代表什么含义？代表他整个过程中他距离家的这样一个路程呗。 那现在当你看完了这个图之后，回答以下这些问题。首先看图，那么请告诉我一分钟的时候他离家的距离 是多少啊？请告诉我好说，因为他在最初的六分钟内，他的这样一个速度是多少？他的速度是零点六除以零点一，他这个单位就是每分钟零点一公里啊。 那接下来我们写什么？哎，那接下来的话，当 x 等于一的时候，你就写零点一，不就完了吗？一乘零点一。对，那继续看十八分钟，十八分钟的时候，图中标着呢，你直接写零点六就行了。 那五十分钟的时候呢？五十分钟在中间呢？他跟加的距离正好是一点八就够了，所以填这样一个表格还是非常简单的。那么来看第二个 小花从公园返回家的速度是多多少？那很好说，我们只需要除什么，我们应该是用总的路程除总的时间，总的路程呢是一点八公里，总的时间呢是七十减五十五，也就是十五分钟， 所以一点八除以十五是等于零点一二的，咱们写零点一二公里每分钟就行了。 那么继续来看圈三，请直接写出小华离家的关于我。哎呦，这好说吧，其实他每一个点都是知道的。那既然每一个点都知道，那我们应该写成分段函数的形式来看了。 呃，零到三十分钟，那就是把三十分钟左边这个都写完啊。这三段分成三段嘛。首先，第一段它的速度是零点一，零点一乘时间 x， 这不就够了吗？好，这是它的写成对应的范围啊。那中间这一段六到十八分钟。好说，你就零点六是个常数函数，不变了。 行了，又写完了，那接下来呢？接下来这条直线应当不用我求吧。这条直线你利用带电系数法假设为 y 等于 k， x 加 b， 我 们分别代入 谁？分别代入十八逗号零点六和多少呢？和三十逗号一点八这两个点把 k 和 b 解出来就够了，那最终会算出来是零点一 x， 再减去一点二的，然后是十八小于 x， 小 于等于三十。好，又结束了。 那么稍微麻烦的，其实还不是括号一，就就不是第一问，是第二问啊，是小何的妈妈去找他了。 看了啊，若小华的妈妈与小华同时从家出发。小华的妈妈没有去看书， 直接以这样一个军宿吧，散步到公园。从家到公园的过程中，对于同一个那行，因为整个过程没有停止。那我就想问，从家里 到公园，小华的妈妈花了多长时间？那不就是总的路程，一点八从。呃，然后除以这个速度，零点零五吗？这是小华的妈妈花的总的时间， 这个应当说是相当好算的。这个算出来不就是，呃，一点八乘二十，那不就是三十六吗？三十六分钟的时候。行了， 看吧，我画的图应当说是相当精确了，三十六哦，红色的部分就是小华妈妈这样一个呃，图像了。那写完这些之后， 这么说，他说小华跟家的距离是外一，小华的妈妈跟家的距离是外二，外二大于外一。不就是红色图像在黑色图像以上的部分吗？那我们详细标一标 哪一部分？这一部分明显是可以的吧，也就只有这一部分。什么从点 a 到点 b， 我 们看的就是 a 和 b， 它的横坐标嘛。哎呀，那就知道了，当然要挖空心啊，要挖空心，因为它这没有焊等于号嘛，所以 a 和 b 的是空心。 那么请你告诉我， a 点的坐标怎么来？求请你告诉我，那 a 点的坐标的话，你得写上对应的呀。对应的 y 一 y 一 此时是等于几的？等于零点六的， 那么 y 二呢？ y 二 y 二，它就是等于零点零五乘 x， 是不是？这是 y 二？那根据这个不等式的话，我们就可以写出来 x 是 多少大于十二的。行了，这是十二。 那么继续吧，还有一段，这一段的解析式咱们是也求出来了吗？刚才求出来是多少？零点一 x 减一点二吧。行了，呃， y 一 等于零点一 x 减去多少呢？零点一 x 减去一点二， 那么，嗯，它是小于 y 二，零点零五 x。 然后 你解这个不等式，解完以后的话，这个 x 请告诉我算出来是多少？他算出来是小于二十四的，所以最后的结果就是十二到二十四之间，不要再等于号啊， 好了，又解决完了，所以解决这个括号二就是第二问的核心，就是你用不同颜色的笔把小花妈妈这样一个运动情况呢，标到同一个平面直角坐标系中，然后就可以很快得出来答案了，数形结合的这样一个想法， 接下来就是反比例函数。关于反比例函数的话，大家一定要知道，比如说他的解析式是 y 等于 x 分 之 k， 如果我问你这个矩形的面积，你直接写什么？直接写 k 的 绝对值就行了。 那如果我问你这个矩形的一半，比如说图中 aob 这个直角三角形，它的面积是二分之 k 的 绝对值，它的面积也是二分之 k 的 绝对值，这个你得知道。那现在我们开始做这道题吧， 只需要干嘛？其实就是一个割补法，并且它是给了什么东西的，它是给了。哦，原来，原来这个 cd 和 ob 它的长度之比是一比三，既然有这样一个长度之比的话，咱们就假设 cd 的 长度，也就是点 c 的 纵坐标，咱们就写为小 a 了，然后 ob 的 长度呢？或者说点 b 的 纵坐标，咱们就写为三 a， 当你写完这些之后，我们 a 点，哎，比如说 a 点坐标怎么写啊？或者 c 点坐标，这是不是都出来了呀？嗯，那么 a 点坐标的话，就是 k 除以 a 是 吧？啊？ k 除以 k 除以三 a 啊， 然后呢，它的纵坐标就是三 a， 那 c 点坐标呢？纵坐标是 a， k 除以 a， 这不就行了？当你写完这些之后，你要注意啊，它们的横坐标都是负数，所以你一定要区分它们的横坐标，还有线段长度，这些是不一样的， 那么于是呢，咱们根据几何意义？此时三角形 ocd， 这不用我多求吧？还有包括三角形 oab， 它的面积都是等于二分之绝对值 k， 刚才说过， 实际上咱们写成负的二分之 k 就 行，面积是正的， k 是 负的嘛，所以这样来写，那接下来的话，咱们补全这样一个矩形之后， 还差谁啊？就差这一部分了吧。那么我想说的是，这一部分，请你告诉我怎么去表示啊？ b e 好 说， b e 好 说，实际上就是点 c 的 横坐标的相反数就是负的 k 比上 a。 因为咱现在标的是长度啊，现在我标的是长度， 那继续吧，那还有谁呢？还有这个，嗯， d e 吧， d e 的 话就没问题了。三 a 本来就是正数吗？行，那矩形的面积不就是三 a 再乘负的 a 分 之 k， 那 还有吗？还有的，我想问你，这个 a e 的 长度怎么去表示？它是等于 b e 减去 ab 的 b 的 长度是负的 a 分 之 k， 然后呢，还有谁？还有这个 a b 的 长度是等于谁负的？三 a 分 之 k， 负，负得正啊，这是减去负的。 那于是呢，咱们就可以得到正确结果了，负的三分之二 a 分 之 k 啊，就就是这样一个数字，那么 c e 的 话也一样， c e 的 话，那就等于三 a 减去 a 呗，它是等于二 a 的。 那于是啊，就很好办了。 所以你这样一个割补法，那不就是用总的矩形的面积减去外围的三个小的直角三角形的面积吗？对不对？ 矩形的面积减去三角形 a e c 啊，减去三角形 a b d， 那 a b o 吧，对，那等于几？等于四是吧？其实也就是谁等于四呢？ 矩形的面积应当不用我多讲了吧，因为它俩一个长乘一个宽，不正好是等于负三 k 吗？其实也就是负三 k 减去负的二分之，我看一下啊，负的三分之二 k， 对的三分之二 k 好。 呃，因为是二分之一，它乘它嘛，你看二分之一，它乘它，这不就是 a、 e、 c 的 这样一个面积嘛。然后再减去另外的负的， 减去负的二分之 k， 减去 a、 o、 b 的 面积，再减去 o、 c、 d 的 面积，是吧？它等于四，那于是得出来 k 等于负三啊，这不就结束了嘛。所以选择四 d 并不是特别麻烦的题。但是什么地方容易错呢？容易把横坐标还有向量长度混淆了，他俩实际上是横坐标和向量长度是互为相满数的。 那继续来看，新疆这道题也是考的反比例函数，那么这个题的话，首先 a 点不用多说了， a 点一的话四，那 k 不 就等于一乘四吗？所以这是 k 二啊，反比例系数，它是等于四的，那 b 点坐标 怎么办？负四，逗号 n， 那 意思就是说负四乘 n 等于 k， 二等于四，所以 n 是 等于负一的 b 点坐标，我们也可以很快算出来负四，逗号负一。那么对于这道题的话，我来说一下， 它让你求三角形 a、 b、 c 的 面积。咱们假设啊，假设什么呢？咱们假设点， c 的 横坐标是零， c 都好零可以吧。 那么在直角三角形，你想算它的面积，实际是非常容易，主要是把这个 c 你 得求出来是多少，具体怎么求我呢？有两种方法，第一种方法是用斜率乘积，因为你垂直嘛，所以此时 ab 的 斜率和 a、 c 的 斜率乘积是等于负一的， 那 ab 的 斜率两点之间斜率公式四减去负一等于一减去负四，再乘 a， c 的 斜率等于负一。 a 点其实已经知道了，我还是根据斜率公式，四减零，一减 c 等于负一，所以 c 很 快可以算出来，它是等于正五的， c 都算出来是五了，那剩下其实就好说了。为什么？因为点 c 坐标是确定的呀，这是一种，主要是把点 c 坐标求出来。另外一种的话，有些地方呢， 尤其是大题，他不让用斜率乘积等于负一，当两条直线呃，互相垂直的时候，斜率乘积等于负一。大题里头不能用，那，那其实也没关系，你用勾股定律的话，完全可以去解决它的。比如说 ab 的 平方 啊，加上 a， c 的 平方等于 bc， 长度平方，两点之间的距离公式，任何一个初中生都是可以用的。 那么最后的话，咱们就可以用什么，比如说一加四的平方啊，这个不用多说了，它是等于五十，那么 a c 的 平方的话， c 减一的平方加 十六， b c 的 平方呢？ c 加四的平方加一，那最终还是可以求出来， c 是 等于五的，只要你求出来这个 c 等于五，也就是点 c 的 坐标是五到零，那剩下的一切都好说了。于是它的面积不就是二分之一 ab 的 长度乘 a c 的 长度吗？是吧，那就是二分之一乘五倍根号二，再乘四倍根号二，两点之间距离公式吗？等于二十，所以这道题答案就是二十了，行了吧。 那么继续来看跨学科的问题，这道题的话，我想明确跟你说的是什么呢？那你不用管它这个是什么名字，你只要读懂它，实际上考察的是物理中的力矩就行了。动力乘动力臂，等于阻力乘阻力臂， 你看这有一块大石头，然后呢，这个大石头距离支点点 o 啊，反正是一个确定的距离，石头呢，也是确定的重量， 然后人在这边施加一个力在点 a 处，然后，哎，理解了吧，实际上就是一个力矩的问题，而且给的这些数字也是 点 a 与点 o 的 距离拉力大小，一乘三百一，点五乘二百，二乘一百五，他乘他，所以三乘 a 不 就还是三百吗？所以 a 是 等于一百的，那第一问就解决了， 那么来看第二问，第二问的话，用函数来刻画 fl 之间的关系，不用说了， fl 等于三百嘛，就是它，那么你要用平面直角坐标系画出来的话，把刚刚表格里头那几个点都标上，五个点都标上啊，比如说一逗号三百啊， 还有这个一点五逗号二百啊等等，你都标上吧，然后三逗号一百， 好，都标上了，那么标完之后，咱们用平滑的曲线把它连起来，这不就够了吗？ 主要是来看第三问，第三问的话让你说明一下，当这个 o a 长度增加的时候，拉力是增大还是减小？其实做过跷跷板的同学都知道，你离跷跷板的支点越远， 那么你施加的影响越大，越有可能把对方给翘起来，那所以怎么回事？不就是刚刚说的它等于三百，实际上就是 f 等于三百 l， 它是有实际含义，所以 f l 都是正数，你说呢？ 哎，于是在第一象限内，因为你这个 l 是 大于零的。在第一象限内， f 随着 l 的 增大， f 是 要减小的，分母越大，整个分数反而越小嘛。所以你最后写答话就可以了， 应该学会了这个一次函数和反比函数的知识了啊。至于接下来这个二次函数，我们之前在 专题课的第五讲二次函数宇宙这一讲专门系统的讲过，大家还是私信我。然后呢，进学习群领取咱们的这样一个公益的资料来学习啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！

你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习第三章函数课题十四反比例函数综合题。 我们来看二零二一年甘肃定西市的中考题二十五题，如图。 图一，小刚家学校图书馆在同一直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆， 到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中， 上下车的时间忽略不计。小刚离家的距离 y 与他所用的时间 x 的 函数关系如图二所示。第一问，小刚家与学校距离多少米？ 小刚骑自行车的速度为多少米每分钟？那我们分析计算条件。 计算条件当中我们给出来，小刚呢，他首先骑自行车匀速从学校到达图书馆， 到达图书馆还完书后， 再以相同的速度原路返回家中。那么从图二我们观察， 刚开始小刚呢，他是在学校， 他在学校去了图书馆花费的时间，从学校去图书馆花费的时间是十分钟， 所对应的图像刚好是这段。他是从学校去图书馆花费了十分钟， 那么我们发现就是学校到图书馆的距离就是五千减三千，刚好是两千米。 但他问的是小刚家与学校的距离。然后他又从图书馆返回家的过程中，他是从图书馆到达学校，再到他们家中。所以说 小刚家离学校的距离应该是五千减三千。 我们从这个图像当中发现，他还书花费的时间是 十分钟，对应的图像是这段。然后从图书馆到家的过程中，对应的图像是这段。那么 学校到图书馆的距离是两千，那么他从图书馆到家总共是三千啊，总共是五千， 那么这样我们发现就是小刚与学校的距离是三千，小刚与学校的距离是三千米，小刚骑自行车的速度， 他说他从学校到图书馆的速度相同， 那么这时候我们从图像当中发现，就是小刚从学校到图书馆所走的路程为五千， 减去三千刚好是两千米， 那么他花费的时间是十分钟，那么路程除以时间刚好就是速度，所以说就是 两千米，除以十分钟，刚好是二百米每分钟，小刚用的速度是二百米每分钟。 第一问，接下来我们看第二问，求小刚从图书馆返回家中的过程中，小刚 我们看小刚他从图书馆 返回家的过程中， y 和 x 之间的函数关系应该是小刚从图书馆返回家的过程中对应的图像应该是这一段， 对于这一段图像，我们发现它刚好是直线的一部分，也就是我们学过的依次函数， 所以说对于一函数的一般式，我们把它可以设出来，它应该是形容 y 等于 k， x 加 b 的 形式， k b 是 常数， k 不 等于零。 然后只要我们确定里边的 k 和 b， 那 么对于 k 其实刚好就是速度， 而我发现这个直线它是向下的，所以说这块 k 是 小于零的，而速度是二百，所以说 这个函数关系式，我们把它可以设成是 y 等于负二百， x 加 b。 现在只要我们确定里边的 b， 那么对于这个壁纸，我们可以把这个点带入，或者是把这个点带入这个点的坐标，只要我们把 小刚他从图书馆到家花费的时间算出来，那么他花费的时间应该是路程除以速度，刚好是时间，而他的路程是五百 啊，五千五千米，路程是五千米，路程除以速度，速度是二百米每分钟，所以说我们把它算出来，五百除以二百，算一下， 五百啊，五千除以二百月方二 二二的四二十五，我发现是二十五，他花费的时间是二十五分钟， 二十五分钟，所以说这个点的坐标刚好就是四十五，因为这块是二十，这段是二十五，刚好是四十五，四十五零， 那我们把四十五零带入，也就是当 x 等于四十五的时候， y 等于零， 那我们把它带入就是零，就等于负二百 乘以四十五加 b， 那 么 b 就 等于二百一项移过来乘以四十五，二百乘 以四十五乘以二百二五的一十二二四八九九千， b 是 九千，所以说 y 与 x 之间的函数关系是刚好是 y 等于负二百， x 加九千。 这就是第二问。第三问，小刚出发三十五分钟时，他离家多远？ 小刚出发三十五分钟，我们从图像观察三十五分钟，他应该是在二十到四十五分钟之间，所以说他对应的图像应该是这段， 这段对应的函数解析是，刚才我们求出来是 y 等于负二百 x 加九千，那也就是第三问。直接把 x 当 x 等于三十五的时候 代入，我们求出来 y 等于负二百 x， x 刚好是三十五加九千， 算出来算一下就是三十五乘以二百二五等于十二三六七 七千，负七千加九千就是两千。 所以说当小刚出发三十五分钟的时候，他离家是两千米，第三万，具体的我们看一下计算过程， 减第二万五百除以二百就是二十五分钟， 所以 y 就 等于负二百， x 加九千。第三问，当 x 等于三十五的时候， y 等于负二百，乘以三十五加九千，就等于负的七千，加九千等于两千。谢谢。