2026南京三模数学解析几何大题

这是南京三模的这个第十一题，也是全卷中选填最难的一道题目，那么这个题目其实呢，并不需要大家有特别强的这个空间想象力， 只要你能够去把几何的条件翻译成代数的条件，那么这道题还是可以去做的。第一问比较简单，我们就不做了，我们直接从 b 选项开始，它说 c p 方加 c， a 方加 c， b 方是等于三分之十六的，那么也就是说 c p 在 这里啊，就是 h 的 平方， c a 就是 b 平方， c b 就是 a 平方，我们要看它是否是一个定值，那么我们把所有的条件全部写下来，由于 pc 是 垂直于底面的，所以我们可以得到三角形 p c， a， 三角形 p c， b， 它全都是直角三角形，所以我们可以先写两个勾股定律的式子， h 的 平方加上一个 b 方，就等于 m 的 平方， 我们还有 h 的 平方再加上一个 a 方，是等于 n 方，然后我们有两个六十度，所以我们可以写余弦定的式子，所以我们可以得到 ab 就 等于 a 方加 b 方减四， m 零就等于 m 的 平方加上零的平方减四。好，那么这时候我们要去求证它是一个定值，那么我们就需要去找到这三者之间的一个关系， 那么三者之间的关系我们会发现一个问题啊，你看这两个式子，虽然它里面有 h 方，有 a 方，有 b 方，但是它里面是不是还混合了 m 方和盈方，所以我们就要去尽可能的去把它消掉，所以我们可以把这两个式子先加起来，我们就可以得到二 h 的 平方，再加上一个 a 方，再加上一个 b 方，就等于 m 方加上盈方， 而 m 方加上零方，是不是就可以写成 m 零再加上一个四，然后我们再把 m 和 n 替换掉，这边我们先移向移过来就得到二 h 的 平方加上一个 a 方，加上一个 b 方，再减去一个四，等于 m m， 我 们可以写出来它是根号加 h 方加上一个 b 方。 m 的 话是根号加 h 方加上一个 a 方， 那么此时我们已经得到了一个纯 a b h 的 一个式子。但是如果接下来直接平方，是不是还是挺麻烦的一件事情？因为你毕竟左边这里是四项的一个结构，所以我会选择啊，你看这里是不是就会出现一个这样的一个结构，我们可以把它替换成 a 乘 b， 所以 它就变成二 h 方加上一个 ab， 等于根号下 h 方加 b 方， 乘一个根号加 h 方加 a 方，那么这样平方是不是就会简单很多啊？所以我们就可以得到四 h 的 一个四次方加上一个 a 方， b 方加上一个四 h 的 平方 ab 就 等于 h 的 四次方加上一个 a 方 h 方加上一个 b 方 h 方，再加上一个 a 方 b 方， 我们可以把它约一约，所以我们就发现他每一项剩下的每一项是不是都有 h 方，我们可以约掉一个 h 方，然后再把它全部移向，移到左边来，我们就可以得到三 h 的 一个平方加上一个四 a b， 再减去一个 a 方，减去一个 b 方是等于零的， 而这边四 a b， 我 们是不是还可以把它替换成 a 方加 b 方减四，所以我们就可以得到三 h 的 平方加上一个四 a 方加上一个四， b 方减去一个十六，再减去一个 a 方，减去一个 b 方等于零。所以我们是不是就可以得到 a 方加 a 方加 b 方就等于三分之一十六， 那么我们会发现整个过程中是不是就是纯代数的一个计算，并没有任何的一个几何的一个啊使用，那么你几何是不是只给我们提供代数关系？所以这道题目他其实考的都有点像圆锥曲线的意思，那因为我们只要去翻译几何条件，然后转成代数关系去计算就可以了。那么我们接着来看 c 选项，他说当 h 等于一的时候，那么此时他的一个体积取到最大，那么我们看一下他的体积 v v 是 不是应该是等于三分之一乘以个 h 三角形 abc， 而 s 三角形 a， b c， 我 们肯定是用二分之一 a b sine c， 所以 像这个 a， 呃， sine 啊，我们都都可以不用管了，三分之一 sine 啊，都，这都不用管了。实际上就是要求当 h 等于多少的时候， h 乘以 a 乘以 b 这个东西，它获取了一个最大值，那么这个尺子我们肯定要尽可能的去进行削圆啊， 我们求最值，是不是肯定要变成单一元的一个最值？那么这里的 a 乘 b， 我 们是不是可以借助这个式子去替换，那么它就变成 h 乘以一个 a 方加 b 方减四，为什么要换呢？因为我们是知道 a 方加 b 方和 h 的 关系的，所以换完我们就可以彻底进行消元了。这边我们可以带进去就三分之一十六减去一个 h 的 平方，再减去一个四， 所以我们最后要求的实际上是负 h 的 平，负 h 的 三次方，然后再加上一个三分之四个 h， 要看它的一个最大值，那剩下的就是一个求导了，我们求导会发现，当 h 等于三分之二的时候，它取到最大，所以 c 选项就错了。好，然后我们再接着看最后一个， 最后一个 d 选项其实也不难啊，我们怎么去求他的一个外接球的一个半径呢？我们知道三人追的外接球，我们会先把它补成人柱，人柱我们再补成圆柱，所以我们可以得到啊，就是他的一个外接球半径，而实际上是取决于你底面的一个 外接原半径以及你的高的，所以它写下来应该是二 r 是 等于四 r 底下的半径，我们用小 r 表示四 r 方加上一个 h 的 平方再开根，这是一个最基本的模型啊，就是把三棱锥补成三棱柱，把三棱柱补成圆柱，当你把它一旦补成圆柱之后， 大家来看我们的这个圆柱的外接球直径是不是就这条线，而我们怎么去求这个二 r 是 不是取决于底下的这个两倍的小 r 和这个 h 啊？它是不会形成这样一个固定的关系啊。如果你不知道这个的话，那就说明你高一的时候学外接球的整个体系是不完整的，这是一个很基础的一个问题。 那么这接下来我们就只剩去进行一个运算了，我们只要算出它的一个这个 r 的 一个取值范围就可以了。所以我们本职场是在算四 r 平方加上一个 h 平方的一个取值范围，而 r 底面这个是一个定角对定弦引圆，它的外接圆半径实际上我们是知道的，我们第一问已经算过了，所以我们可以得到这个小 r 实际上是等于三分之二，根号三， 那么我们把它带进去，它平方再乘以四就应该是三分之十六，再加上一个 h 的 平方，所以在这里我们只剩下去求 h 的 一个取值范围了，那么我们怎么去求 h 的 一个取值范围？我们知道 h 的 平方是等于三分之十六，去减去一个 a 方加 b 方的， 那么我们就要知道 a 方加 b 方的取值范围，那么这里是不是就直接让我们使用基本不等式就可以了？所以根据基本不等式，我们可以得到 a 方加 b 方大于等于两倍的一个 a b， 在这里我们可以把这里的二 a b 去替换掉，利用这个式子我们可以得到一个纯 a 方加 b 方的一个取值范围，所以我们就可以得到 a 方加 b 方就大于等于两倍的 a 方加两倍的一个 b 方减去一个八，所以我们就可以得到 a 方加 b 方 小于等于八，而因为你自己作为 ab， 对 吧？你作为 ab， 他 是不是要一个正数啊？所以在这里的话，我们是不是可以看得出来，你 a 方加 b 方是必须要大于四的，所以我们 h 的 平方的范围就出来了， h 方应该是大于零，小于三分之四， 那么我们又有了 h 方的一个取值范围，所以我们这个整体的一个取值范围，根号下的这个取值范围就出来了，所以他应该是大于三分之十六小于三分之二十，然后我们再对他进行一个开根，所以我们就可以得到 r 的 取值范围，应该是大于三分之四根号三，小于三分之 二根号十五的，那么我们要求 r 的 范围，那么整个问题就结束了，也就是大家会发现整个这道题目里面，我们是不是根本就没有跟几何的内容沾了太多的边，全都是代数的一个运算。所以我建议大家遇到这种题型的时候，你可以考虑 把未知数设出来，把所有的关系式能列的就列出来，那么你就会头脑非常清醒，这样你就可以剥离掉你的立体几何的图形，然后进入一个纯代数的一个计算。

刚考完和平三模，整体感觉还可以，主要就是查缺补漏，对比前几年的和平三模真题，这次确实简单不少，估计是为了给我们这些备考的孩子多攒点信心吧，毕竟离高考越来越近，需要增加学生备考信心。 其实现在反而觉得这种友好的模考挺好的，既能检验近期的复习效果，又不会打击湿气。接下来的日子就继续把错题啃透，把基础再夯实点，争取高考的时候能发挥出最好的状态。你们最近模考感觉怎么样？一起加油呀！

如图，已知圆台的轴结面为四边形， e f、 g h， f g 呢，等于四啊， e h 等于二啊， e h 等于二， e f 呢，等于三，嗯，这某线等于三。沿着该圆台表面，从 e 点到 g 点，它的路径长为 a， 在 圆台内呢，有一个棱长为 b 的 正方体， 该正方体在圆台内啊，可以任意转动，则 a 选项圆台的高为根号七。把这个 a 选项求一下它的圆台的高。我们可以由 e 点 h 点，然后向 f g 做垂线 啊，这是 a 点，这是 b 点，那它的高呢？就是这个，嗯， i e。 先算一下这个 i f， i f 等于，嗯， i f 等于 b， g 等于二分之一，这个 f g 呢，减去这个 e h 啊，等于二分之一，乘以括号里边四减二等于一啊， f 等于一， e f 呢，又等于三，所以 e a 呢？推出 e a， 也就是这个 h 等根号下三平方减一啊，九减一等于二百零二啊。所以说 a 显然错。 b 选项原材的体积，我们根据原材体积公式来算一下，三分之一乘以它的高就二百零二，然后再乘以上 上上面面积，上底面的面积，派二方就是派下底面的面积，派二方就是四派， 然后他俩成绩在开，平方就是二派啊，这个加在一块是七二七十四啊。所以说 b 选项是对的。再看一下 c 选项， a 的 最小值为三倍，杠三 算 a 的 最小值。必须我们把这个侧面呢，给它展开，两点之间线段最短，然后去求出最小值。好，我们先把它补全成一个锥体啊，那么一个锥体展开以后呢，它的侧面是一个扇形。 好，这是一个扇形啊。嗯， f 点到 g 点，这它扇形面积的一半正好占一半，是从中间这个 e、 h、 f、 g 沿着这个面给它切开，各占一半啊，给它乘面积。因此我们在这个呢中线给它划出来， 那这个位置是 f 点，那这个位置就是这个 g 点。好，还有一个观察到了 e h 是 二， f g 呢？是，呃，四， 所以说这个 e 点，嗯，这个补全。这个 p 点啊，就是 f e 和 g h 延长以后交一点 p 好， 这个 e 点呢，就是 f p 的 这个中点， 那这不是中微线吗？二比四等于一比二，所以这个 e 点就是对应的 p f 的 中点。好， f e 呢等于三，那么 e p 呢？也是三。 好，然后呢，我们再算一下它对应的这个角度啊，对应的角度，其实我们就是连接一下 e g， 先连接一下 e g， 其实就求这个 e g 的 长。好，我们现在求一下这个角啊，就展开的这个侧面展开的这个图，它是个扇形，扇形的顶角呢，它等于底面圆的，它弧长了，然后再除以它的半径， 就是它对应的扇形的圆形角。好，它这底面圆的周长呢，就是根据圆长的公式，圆的周长公式。二派 r 啊，二派 r 啊，这个 r 呢，是二，等于四派，哎， r 是 二，然后呢四派呢？再除以这个六， 嗯，这个 c 圆角等于四倍弧长，除以半径六，等于三分之二派啊，也就是这个一百二十度了啊，一百二十度，所以说它一半呢，就是六十啊，这是六十度，这是六十度。 好， p g 呢，是三加三等于六， 这个夹角是六十度，然后这个是三，这个是六啊。如果说我们对特殊的直角三角形比较熟悉的话，立马就要联想到这直角，这是个直角 啊，三十，这是三十度，三十度角所对直角边是斜边的一半啊。你即使根据余弦定律，你把这条边算出来以后，也能证明两直角边的平方和等于这个斜边的平方，第三边的平方也能证明这是个直角。 好，所以说这个 p e 是 三，那 e g 呢？就是三百零二三了，这就是那个最小值啊，那么因此 c 也是对的 啊。这一题呢，主要就是这个置点上死的，我们要记住弧长哎，除以它的半径就是它这个扇形的圆形角，就这么一个置点啊， 好， d 旋钮说 b 的 最大值为三分之二的杠二六啊。这个，呃，圆台内呢，有一个棱长为 b 的 正方体，而且这个正方体可以在圆台内它任意转动， 那说明这个这个正方体哈，他就内切于就这个圆台，他的内切球，这个圆台这个正方体他就在这个圆台的内切球内部啊，当然他八个顶点都是在这个内切球上 啊。那么因此当这个圆台他的内切球呃，他的半径最大的时候， 那么对应的呢，它的内接的这个一个正方体呢，它的冷场也最大啊。那么现在我们来求一下这个圆台它的内切球这个它的半径的最大值， 那想一下，极短指它的最大，无非就是它充满这个圆台吧，就是说这个球呢，它和上底面，下底面和这个它的侧面都是相切的啊，都是相切的，那么因此我们画一下它的碎图， 那么由前面呢，我们知道这个它的高是二倍，根号二，那如果说和上下底面都相切的话，那么它的半径呢？就是根号二，哎，我估起来就是根号二，看它可成立啊，然后连接一下这，哎，这是我们记的 o 点吧，连接一下 o h 以及这个 o g。 好， 根据勾股定律呢，我们把可以把 o h 和 o g 算出来，好，这个是 o e， 嗯，这个是 o 二，就上下底面的这个圆的圆心， 那么 o e h 就是 一，那根据勾股定律，我们可以算出 o h 是 根号三，好，这个 o 二 g 呢，就是二。根据勾股定律可可以算出 o g 等于根号六， 而 h g 呢，是三哦，三的平方等于根号三的平方加根号六的平方，因此这是个直角，那这是个直角，我们可以算一下这个 o 点到 h g 的 距离， o 点到 h g 的 距离 啊，其实我们先先算给它算出来啊，就根号六乘以根号三等于根号三乘以这个 o 点到 h g 的 距离，根号三乘以根号六等于三倍的根号二。哎，这个 g h 正好是三，那么因此 o 点到 g h 的 距离距离呢，就是根号二。 好， o h 撇呢，就是根号二，它正好等于我们猜想的这个内切圆的，嗯，它的半径， 所以说他也能保证在和上底下底相切的同时呢，和侧面也相切。那因此这个球呢，以根号二为半径的球，的确啊，的确是这个圆台他的内切球， 而且此时它的半径最大是根号二，球的半径是根号二，那么球二 r 呢，就是二倍的根号二，那这个二倍的根号二，其实就是它这个球体，它的内接正方体的体对角线，体对角线啊， 那这个应该可以想象出来，那么体对角线，你比如说它棱长是 b， 那 它的体俊对角线就是跟上三 b 啊，这怎么算呢？就 b 方加 b 方，再加 b 方，哎，等于跟上三 b 啊。 所以说这个 b 的 最大值呢？ b 的 最大值就是二倍的根号二啊，比上根号三 等于三分之二倍的根号六啊啊，那么因此 d 选项也是对的啊。此题选 b、 c、 d， 记得点赞关注哦！

今天继续分享小题大招里面第九个啊，这种立体几何的证明的。这种小题咱讲一个定律，遇强则强啊，很简单，然后咱们知道立体几何的证明定律一共有六条，根据线和面的关系，是不是分别分为线线平行、线面平行、面面平行， 然后还有线线垂直，线面垂直和面面垂直，对吧？一共是这六种，这六种里面有三种比试比较强的定律，如果是平行的话，你看我用红的写，线线平行，面面平行， 还有线面垂直，这三个是比较强的定律。用红色的来写啊，然后另外三个是比较弱的定律啊，用 这个这个蓝色的来写，线面平行，线线垂直，然后和面面垂直是比较弱的定律啊，你记住这个原则，这三个打叉是比较弱的定律。然后咱们的口诀就是 题目上这个遇强则强，如果一个强加一个弱的话啊，他可能是弱， 就是一个强加一个强，他肯定还是强，不可能等于弱。然后如果前面是两个弱，弱的加个弱的，然后啥也不等，就是不等于号啊，就是右边这个红色部分，然后咱们来两个题来看一下啊，先把它区分开，然后一个二二年奖券，一个二四年天津卷啊，然后看一下 奖券的这个 a 选项，他说你看属于属于在里面，不管啊， m 平行 n 是 不是得到一个强的 啊？现在这里面这一个是强的，然后最后结果他是弱的，所以强得的弱不行，强加强只能得到强啊。然后第二个就是这包含包含不看啊，然后这个地方是一个弱的，然后得到一个弱的，弱的啥也得不到啊。所以不管第三个是一个弱的，然后得到一个强的肯定就更不行了。 这这哪线面平行，这不是弱的吗？然后得到的是个强的，不可能啊。然后最后一个一个强，一个强，一个强，遇强则强，没有任何问题。所以应该选四 d 啊，这是第一个。 然后第二个啊，二四年天津卷的，一个一个一个看啊。第一个线和面平行，然后我查一下这个表，是弱线和线平行，我一查是强弱强强不对啊。 然后第二个线和面垂直是强，线和线垂直弱。哎，强弱得到强不对，强弱只能得到弱，或者是。嗯，什么都没有啊，因为这个地方咱写的是约等于的符号啊，约等于。然后第三个线和面平行是弱， 线和面垂直是强弱强弱。哎，有可能啊，这个存疑啊，有可能对，也有可能不对。然后 d 选项 强和 m 垂直于阿法。线和面垂直是强啊，线和面垂直是强，然后得到一个弱肯定不对，所以选 c 啊，就做完了。你可以自己再找几道这个题试一下啊。

高考一百二十加系列的收官之作，咱们来讲一讲中档题最爱考的立体几何，毕竟教育局都已经明牌了，今年立体几何难度大概率会上升。所以呢，本期视频还是基于图形确定性的分析方法，教你怎样白得十五分。 ok， 那 这期视频呢，咱们来分享这三道题目。那首先呢，再次强调一下啊，所有的立体几何体，不管放在什么地方，首先呢，都得做一波分析，而分析的核心就是这个图形的确定性， 就是你得看一下图形当中哪些点是定点，哪些点是动点，如果是定点，它是由哪些条件确定下来的，如果是动点，它是怎样运动，受到哪些限制，运动的轨迹是一个什么图形？把这些分析清楚，思路大概率就有了。 ok， 那 咱们就带着这样的分析方法，先来看第一题啊，这道题目呢，来自于二六年的宁波二摩，首先呢，给了一个三角形 abc 给出了很多条件，那这里呢，咱们自然得关注一下，这些条件之下，这一个三角形是否是完全确定的 啊？知道呢，角 c 是 六十度，知道呢， a c 是 等于四的，然后呢， bc 等于二， 各位同学，三角形两边夹角一致，这个三角形是完全确定的，对吧？同时呢，不难发现，这应该是一个直角三角形， b c 和 a c 一 比二，加角六十度，肯定是三十，六十、九十的直角三角形有没有问题？ 好，如果你要严格证明的话，那就拿余弦定力把 ab 边给它求出来，然后呢，用三边长度验证一下勾股定力就可以了。这里呢，我就不算了啊， ab 边应该是二倍根三，这个角九十度 好，然后呢，知道点 m 是 a c 的 中点，所以 amcm 全都等于二，点 m 也是一个定点。 那么同时呢，分析到这里，大家呢，不难发现，三角形 m b c 两边相等，加角六十度，这是一个等边三角形 b m 也等于二 啊。继续啊，说呢，沿着 b m 将三角形 c， m b 翻折到三角形 d m b 看一下，这个三角形做了一个翻折，那么 d m b 呢，也应该是一个等边三角形 啊。那么接下来的问题就是，这个点定是一个定点吗？哎，如果只看翻折这个条件，不一定点定呢，可以绕着 b m 做旋转，对吧？但是呢，后面给出了这么一个条件，叫做 d a 等于根号十， 那这个长度就把点 d 的 位置给它定死了，所以呢，这是一个完全确定的图形，全是定点，发现了吧， 好，但是呢，根号式这个条件不是一个特别好的条件，他没办法直接告诉咱们点 d 在 什么地方， 就是这个条件确实能确定下点 d 的 位置，但是点 d 具体在哪暂时说不清楚，所以将来呢，肯定得把这个根号式的条件转化成更容易让咱们说清楚点 d 位置的这样一个条件。 那这个呢，其实就是第一问，他让咱们证明平面 dmb 垂直平面 abm 就是 这个等边三角形和底面是垂直的，所以呢，点 d 就是 旋转到 bm 的 正上方，能理解吗？啊，那咱们来考虑一下这个面面垂直如何证明？ 那我讲两种得到思路的方法，就是后续的证明过程都是一致的，但是思考路径不太一样。 第一种方法呢，就是从面面垂直出发，想证明面面垂直，那就是要在一个平面内找到另外一个平面的垂线，咱们都很清楚，优先去找交线的垂线，对吧？那你看一下 d m b 和底面，它俩的交线就是 b m 啊，所以呢，咱们可以考虑在其中一个平面做交线 b m 的 垂线，那这个非常简单， d m b 是 一个等边三角形，那就取 b m 的 中点 o 啊，这个是中点，然后呢，把这个 d o 给它连起来， 那么 d o 呢？和 b m 肯定是垂直的，那么接下来只要证明 d o 垂直底面就可以了。好，这是第一种思路分析的方法，那么第二种分析方法呢，就是从点 d 的 确定方式出发，你看点 d 呢，是从点 c 旋转过来的，对吧？绕着谁做旋转呢？ 就是这个三角形是绕着 b m 做旋转的，但是如果你只看点 d 的 话， 那么应该是从点 d 向 b m 做垂线，这个垂足就是刚才的中点 o， 点 d 是 绕着点 o 做旋转的，应该从 c o 转到 d o， 那 你想吗？ 所以这个地方呢，肯定得把 d o 给它做出来，那么所谓的确定点 d 的 位置，其实就是确定 d o 到底旋转了多少，那你想吗？ ok， 那 么两种思路分析呢，都给大家说完了，咱们呢接着往下走啊，其实到这里就已经非常简单了，你想证明 d o 垂直底面，那就是证明 d o 和底面上的两条相交直线互相垂直，第一条呢就是 b m， 那 么第二条找谁呢？ 来，为了利用上 a d 这个条件，得把 a o 给它连起来，那么第二条呢，肯定是证明 d o 垂直， a o 用一下勾股定律，所以呢，咱们把这个三角形定 a o 给它画出来。 好，这条边呢，已知是根号十， d o 呢，是等边三角形定 b m 的 高，边长为二，这个高根号三。 然后呢，这个 a o 来，咱们呢，把底面三角形 abc 单独画出来三十度的直角三角形斜边中点为 m， 点 o 呢是 b m 的 中点，把这个 a o 连起来。那这里呢，咱们可以看一下三角形 a m o， 你看 a m 呢，应该是 a c 的 一半等于二，然后这个 m o 是 b m 的 一半等于一，那么这个角应该是一百八十度，减去角 b m c， 这是一个等边 b m c 六十度，那这个角一百二十度，所以 y 斜定律 a o 肯定能取出来，这个我就不算了，应该是根号七。 好了，验证一下，三边的平方三加七确实等于是满足勾股定律，所以呢，这个 d o 和 a o 也是垂直的，这样以来 d o 垂直底面，那么这两个平面自然就垂直了。好了，那这个第一个我说清楚了吧， 那咱们继续来看第二段。说到线段 a b 上是否存在点 p 好， a b 上有一个点 p， 使得呢点 p 在 平面 d a m 内的射影恰好落在直线 dm 上。 来理解一下这个问题什么意思啊啊？在这个平面内的射影，就是从点 p 向 a d m 这个平面做垂线，然后呢，这个垂足要刚好落在直线 dm 上，对吧？好，咱们来假设这个垂足是点 q。 哎，所以这同学，其实呢，这个条件可以换一种理解方式，咱们就从 p q 两点的确定性上出发去理解，就是点 p 是 线段 ab 上的一个动点， 然后呢，这个点 q 它得在直线 dm 上，对不对？最后呢，还得要求这个 p q 和平面 d， a m 是 垂直的。 哎，这两个点是根据这些条件确定下来的，能理解吗？啊，那么这个呢，我觉得怎么呢？就间隔器就可以了，因为确定 p q 的 这些条件在坐标系当中都非常容易表示出来， 那么考虑到这里这个角 abc 是 一个直角，所以呢，咱们可以以 b a 为 x 轴， bc 为 y 轴啊，这种呢就不给大家画了。 ok， 好， 那么接下来呢，先把 p q 两点坐标给它表示出来啊，点 p 呢，在 x 轴上作为一个动点， 咱们呢可以设点 p 的 坐标，设一个 p 零零好，点 q 呢，在这个直线 dm 上，那么想表示点 q， 得先有 dm 两点坐标，点 a 的 坐标 ab 是 二倍根三，二根三 零零啊，点 c 呢，在外轴上 b c 等于二点 c 的 坐标零二零，那么 m 作为 a c 的 中点 m 点的坐标根三一零。好，然后呢，这个点定 啊，上一个呢，咱们证明过了，定 o 和这个底面是垂直的，那么点 o 呢，是 b， m 的 中点，点 b 呢是圆点，点 o 的 坐标二分之根三，二分之一零。 所以呢，点 d 的 坐标 d， o 呢，是根号三就是二分之根三，二分之一根三。好了， d 和 m 的 坐标都有了，那咱们来表示一下点 q 的 坐标 啊，可以用下这个定比分点的公式啊啊，点 q 的 坐标呢，就可以表示成 t 倍的点 d 坐标，再加上 e 减 t 倍的 m 坐标 t 乘上这坨二分之根三 t 二分之一 t 根三 t， 再加上这坨乘一减 t， 根三减根三 t， 一 减 t 零。好了，这两个加起来那么点 q 的 坐标 根三对不起，减去二分之根三 t， 然后呢是一个一减去二分之一 t， 最后根三 t， 那 到此为止呢，这两个限值条件已经用完了。最后一个限值条件 p q 垂直，这个平面如何理解？其实呢，就是 p q 向量是这个平面的一个法向量，这里呢，有两种处理方式啊，咱们呢，先把这个 p q 向量给它取出来 啊，就是根三减二分之根三 t， 再减 p 一 减二分之一 t 根三 t 啊。第一种处理方式就是 p q 向量和这个平面上两个不共线的向量分别点乘等于零。那么第二种处理方式就是你先把这个平面的以个法向量给它求出来，这样 d a， m 三点坐标都有了，以个法向量大家肯定都会求 啊，这个呢，我就不算了啊啊，算出来呢，应该是一根三一啊，那么这个 p q 向量和这个反向量应该是平行的，对吧？ 那么两个向量平行，就是所有的坐标对应成比例 来，第一个坐标根三减二分之根三 t 减 p， 它呢除以这个地方的一，然后呢就等于 一减二分之一 t 除以这个地方的根号三，同时呢，就等于根三 t 除以最后一个坐标除以一啊，这个一呢，就不写了， ok， 那 么这样一来呢，就得到了一个关于 t 和 p 的 方程组，这个方程组相当好解，后面两个方程可以算出 t 啊，一减二分之一 t 等于三 t 一 等于二分之七 t， 所以 t 就 等于七分之二。然后呢，随便带回到哪个方程，把这个 p 给它求出来， 算出来应该是七分之四倍根三，那么 t 和 p 全都有了。最后呢，这道题让你求 a p 的 长度，来，各位同学看一下 啊， a p 的 长度，其实呢，就是 ab 减去 b p， 然后呢， ab 是 二倍根三， b p 呢，就是这个地方的 p 七分之四倍根三，所以算出来七分之十倍根三，那这道题就做完了。 好，所以大家呢，会发现，其实呢，这个分析的思路就是看一下每个点是如何被确定下来的，每个点受到哪些条件的限制，然后把这些条件合理的表达出来，就可以了，理解了吗？好了，那这道题就说到这里， 那咱们再来看这道来自于甘肃二摩的题目，图形呢，乍一看好像有点小复杂，但其实这道题啊，分析起来还是很舒服的 来，他呢，给了一个多面体，知道呢，底面 a、 b、 c、 d 是 一个矩形啊，那么看到矩形，咱们自然要关心它的长和宽是否是确定的，对吧？来到后面找一下啊，这里呢，知道 a、 d 等于二以及 a、 b 等于三啊，这边三，这边二，所以底面完全确定 啊。接下来呢，知道这个 a、 e、 c、 f、 d， 七分别和平面是垂直的，看一下 a， e、 c、 f、 d， 七，所以呢，这三条线的方向是确定的。然后呢，又给出了 a， e 等于二， c， f 等于三，这段等于二，这段等于三。 好，那么这样一来的话，点 e 点 f 这两个点也是定点，对吧？现在呢，就只剩点进是一个动点了。最后呢，知道 m、 n 分 别是 b、 d 和 e、 f 的 中点，看一下两个大中点 m n 也是定点， 所以呢，看来看去，这道题的动点只有点进这一个动点， 但是呢，这个动点的运动方式相当简单，就是在定界上上下移动，只要定界的场动确定了，那整个图形就完全确定了，发现了吧？ ok， 那 带着对图形的理解，咱们先来看第一问，让你证明 m n 平行平面 d， c f 七 m n 呢？在这个地方， d， c， f 七是后面这个平面 啊，我个人觉得这个思路还是挺容易看出来的，因为这个图形给的实在是太规整了，很明显就是证明 m n 和 c f 平行就可以了，这两条线看上去就像是平行的，对吧，那具体怎么证明呢 啊？考虑到这里，点 m 是 b、 d 的 终点，咱们可以把这个 a、 c 给它连起来，那么底面呢，是一个矩形，所以 m 同时也是 a、 c 的 终点。 好，然后呢，咱们看到这个平面 a、 e、 f、 c。 注意啊， a e 和 c f 都跟底面垂直， a， e、 c、 f 是 平行的，这四点确实在同一个平面上。 好，它俩平行，所以呢，这是一个梯形，那么 m 是 a c 的 中点点， n 是 e、 f 的 中点，所以呢，这个 m n 就是 梯形的中位线，那么梯形中位线的性质和上下底边都是平行的，那不就正出来了吗？ 所以 m n 和这个 a， e 以及 c f 都是平行的。 好了，所以 m n 呢，和这个平面 d， c， f， g 也是平行的。 ok， 第一问呢，就要结束了， 来第二问啊，说呢，点进点 e 点 b 点 f， 四点共面，求这两个平面所成角的余弦值。看一下这四点共面 啊，一开始呢，咱们分析过啊，点记呢，应该是一个动点，但是加上四点共面的条件，点记的位置就被定死了， 对不对？所以这道题呢，其实就是根据四点共面，先把定记的长度给它求出来，那只要这个长度有了接下来间隙，算坐标都是相当简单的。这道题有大量的垂直，比如说呢，这个是 x 轴，这个是 y 轴 啊，只要根据四点共面取出 d、 g 的 长度，所有点的坐标都能取出来，发现了吧？好，所以咱们来考虑一下这个四点共面如何使用呢？ 来这里呢，给大家讲三种不同的方法啊。第一种方法呢，就是非常常规的坐标的方法，这个就给大家说一下思路啊，就是你先把其他点的坐标都给它写出来，那么点 g 的 坐标呢？比如说可以设成是零零 p， 可以 吧？ 好，那么所谓的四点共面，用坐标是这么去表示的，先找到平面 b、 e、 f 的 法向量 啊，反正呢，这三点坐标能求出来，这个法向量的坐标也能求出来。然后接下来因为四点共面点进也在平面 b、 e、 f 上，所以 b、 g 向量和这个法向量 n 向量一定是垂直的，各位同学想一下有没有问题？ 好，那根据这个垂直就能把 p 给它取出来了，那理解吧。 ok， 这是第一种方法好，然后呢，第二种方法处理四点共面，咱们还可以用向量的方法 啊，具体来讲呢，就是这样的，你在这个平面之外任选一点，比如说选这个圆点 d， 然后呢，从点 d 到这四个点会形成四个向量，把其中一个向量，比如说 d、 g 向量， 用另外三个向量给它表示出来，也就是呢，表示成 a 倍的 d， b 向量，加上 b 倍的 d， e 向量， 再加上 c 倍的 d， f 向量。那么一旦表示完成之后，根据四点共面， a 加 b 加 c 系数和必须等于一，根据这个东西就能把这里的 p 给它取出来了啊，这种方法呢，给大家具体的演示一下。 ok， 那 咱们从递进向量出发，目标呢，是把它转化成这三个向量啊。首先呢，可以看到 m n 这个向量，因为 m n 分 别是 b， d， e， f 的 中点， m n 将来可以转化成这四个点。 那么上面呢，咱们证明过啊， m n 和 c f 是 平行的，所以 m n 和 d g 也是平行的，因此呢， d g 向量一定可以表示成 t 倍的 m n 向量，哎，将来只要把 t 给它求出来， d g 的 长度自然就有了。 好。然后呢，继续对 m n 向量做转化这一道呢，这些向量都是从点 d 出发的，所以把 m n 向量转化成 m d， 加上 d n。 ok， 那 么这里的 m d 注意到 m 是 b d 的 终点， m d 就是 负二分之一 db 向量，再乘 t 负二分之 t 乘 db 向量好， db 呢就有了。 然后直接说，这里的 d n 点， n 呢是 e， f 的 中点，所以 d n 向量就是二分之一，定义向量加二分之一， d， f 向量，再乘上 t 二分之 t， d， e 向量加上二分之 t， d， f 向量。 好了，各位同学，那咱们的这个目标就完成了。那么最后呢，根据系数和等于 e 这三个系数相加 啊，正好呢，就是二分之 t， 它等于一，所以呢， t 就 等于二。哎，这样以来， d g 的 长度应该是二倍 m n 的 长度， 那这个 m n 的 长度又是多少呢？那非常简单，上一个呢，咱们说过啊， m n 应该是梯形 e， a， c， f 的 中位线，那么中位线的性质应该等于上下底边和的一半， 所以呢， m n 的 长度就是二分之一 a e 加上 c f。 好 了，这个 a e 等于二， c， f 等于三， d， g 等于五 行了，那有了 d g 的 长度，接下来间隙算坐标这些东西都不困难吧？ ok， 那 接下来呢，咱们再来说一下四点共面的第三种处理方法。 那最后一种方法呢？是一种纯几何方法，咱们呢，还是看到这个点 n 就是 点， n 是 ef 的 中点，所以点 n 肯定在平面 g e， b， f 上，对吧？咱们把这个平面呢设成是平面二法好，所以这样以来， g、 n、 b 三点都属于平面二法 啊。同时呢，咱们刚刚说过了， m n 和 g d 会确定一个平面， 咱们呢，假设它俩确定的平面是平面贝塔，那么这样以来， dm 两点都在平面贝塔上，那么点 b 是 直线， dm 上一点点 b 也在这个平面上，所以 gnb 三点同时也属于平面贝塔。 好了，各位同学，那么这三点同时在这两个平面上，而咱们都知道两个平面相交得到的是一条直线，所以这就能说明 g、 n b 三点共线。 好了，那看回到这个平面， g、 d， b， 你看这个 m 呢是 b d 的 中点，然后 g n、 b 三点共线， m n 和 g d 又是平行的，所以很明显点 n 只能是 b， g 的 中点， m n 就是 中位线，所以 g d 等于二倍 m n 和刚才推出的结果完全一样， 看懂了吗？好了，那这个 d g 的 长度有了，剩下的就不给大家仔细说了，说一下最终的答案，大家呢自己算一下好吧， 啊，就是接下来呢，可以算出这个平面的法向量，咱们用 m 向量来表示，是一个九十六，然后呢，这个平面其实就是 y o z 平面，法向量幺零零。那么最后呢，假设两个平面所成角是 c t， 可以 算出 cosine c t 是一个二百一十七分之九倍的根号，二幺七是一个还比较复杂的数，但是呢，这个没有什么太大的关系，因为这道题的核心就是四点共面，如何处理？这盘我说清楚了吗？ ok， 那 第二题就分享到这里， 那来看最后一道来自于深圳中学的题目，依然是基于图形的确定性去做分析 啊，这个图呢，给的不像是一个很规则的图形，咱们先看一下条件哈。啊，知道呢， p a， p d， a， d， c， d 都是二，看一下， p a 等于二， ad 等于二， pd 等于二。好，那么三角形 p a d 是 一个等边三角形，所以这个三角形完全确定。 然后呢，知道 ab 是 等于一的， ab 平行， cd， ab 垂直， ab 这个地方是垂直的， ab 和 cd 是 平行的，那咱们把底面这个四边形单独画一下。 好，这里是 abcd， 这里呢是垂直的，那么这个地方也是垂直的，知道 ab 等于一， cd 等于二， a d 呢也等于二，那很明显，这个梯形也是完全确定的，对吧？所以呢，这个多面体当中有两个面都是确定的，那整个这个多面体是确定的吗？ 哎，这个呢，还不一定，为啥呢？因为你可以把这个 a， b， c， d 给它固定下来，然后让 p a， d 绕着 a d 做旋转，相当于这两个面形成的二面角的大小还不确定，对吧？所以接下来呢，在看问题的时候，要关注一下这两个平面的夹角是否确定 好，咱们先来看第一问啊，知道呢，平面 p a、 d 垂直平面 a， b， c， d 啊，这个条件呢，给的非常好，就是刚刚提到过的这两个平面互相垂直，面板垂直加角九十度，那整个图形就完全确定了，对吧？然后呢，让你证明平面 pbc 和平面 pcd， 看一下这个平面，这个平面是垂直的， ok， 这两个平面所在的位置呢，不是那种特别好看的位置，所以我个人觉得考场上直接选择间隙就可以了，因为第一的话，有已知的面面垂直，这个坐标器会比较好见。第二，因为整个图形完全确定，所以每个点的坐标一定都能写出来，能理解吗？ 啊，那么这里间隙的思路呢啊，我个人觉得就以点 a 为圆点，这里呢是 x 轴，这里是 y 轴，可以吧？ 啊，那么点 a 坐标零零零，点 d， 坐标零二零，点 b， 坐标幺零零，最后呢，点 c 坐标应该是一个二二零好，然后呢，还差一个点 p， 你看 p a、 d 呢，是一个等边三角形，面面垂直，如果你从点 p 向底边做垂线，这个垂足应该是 a、 d 的 中点，对吧？然后呢，这个高是根号三，所以呢，点 p 的 坐标零一根三。 好了，现在呢，所有点的坐标都有了，那么这两个平面的法向量应该非常容易算出来，就不给大家仔细算了，说一下最终的结果啊， p b c 的 这个法向量， 它呢是一个二负一跟三，然后 p c、 d 的 反向量零跟三一，那么这两个向量点成显然等于零，那面面垂直就正出来了，有没有问题？ ok， 咱们呢，再来看第二问。 好，第二问呢，说 b c 垂直 p b， 看一下刚才的面面垂直就没有了，知道的是这个 b c 和这个 p b 它俩是垂直的， 然后让你求两个平面夹角的余弦值，那么这面的光线呢，还是要想清楚啊，就是因为底面的这个条件是不变的，所以 a b、 c、 d 四点一定是定点，那么此时点 p 是 不是定点？ 这它也是定点，一开始说过了，相当于啊，三角形 p a d 绕着 a d 做旋转，然后旋转到 b c 和 p b 垂直的这样一个位置，那么点 p 的 位置一定是被定死的，对吧？ 所以呢，这面的关键就是根据这个垂直条件，把点 p 的 坐标给它求出来，然后这两个平面的夹角一定就能求了，那这个坐标要怎么求呢？哎，因为点 p 是 一个定点，所以你得去找点 p 是 被哪些条件限制出来的 好，首先第一个现实条件呢，就是之前提到过的 p a d 绕着 a d 做旋转，那么如果说到点 p 的 话，就是从点 p 向 a d 做垂线垂足呢，即为 h， 那 么这个 h 的 坐标应该是 a d 的 中点，也就是零一零。 好，就相当于啊，点 p 绕着点 h 做旋转， 那么在这个旋转的过程当中，你会发现 p h 和 ad 始终是垂直的，这是第一个限制，同时 p h 始终应该等于根号三，这是第二个限制。 最后呢，再加上 b c 垂直 pb 第三个限制，三个限制就足以把点 p 的 坐标取出来了，对不对？ ok， 所以 这里呢，咱们先把点 p 的 坐标给它设出来 好，这道 p h 和 a d 是 垂直的，所以点 p 的 第二个坐标一定等于一，那就把坐标设成是 x 一 z， 这样以来呢，第一个限制就用完了。然后呢，第二个限制， p h 等于根三 来点 p 坐标点 h 坐标 p h 的 长度应该是根号下 x 方加 z 方，它等于根三，所以 x 方加 z 方等于三。好，最后呢，就是这个 bc 垂直 p b 来吧， bc 向量点 c 减点 b 一 二零。然后呢，这个 b p 向量 点 p 减点 b， x 减一，一 z 两个向量点成 x 减一加二，也就是 x 加一等于零。 行了，这样一来呢，点 p 的 坐标就有了，第一个坐标负一，第二个坐标一把 x 等于负一，代入这个方程， z 方等于二啊， z 呢，就取正的这个就可以了，根号二有没有问题？ ok， 那 点屁的坐标有了，这道题呢，其实就已经做完了，剩下的就是一些纯粹的计算环节了，所以到这里咱们再次总结一下这个思路， 其实呢，关键就是从几何的角度去分析这个点到底是不是定点，然后如果他是定点，这个点是由哪些条件的限制确定下来的，再把这些限制条件转化成方程，求出点屁的坐标就完事了，理解了吗？ 好，然后呢，最后呢，再给大家说一下这两个平面的法向量， p b c 的 法向量用 n 三来表示 啊，应该是一个二根二，负根二五。然后呢， p c d 的 法向量用 n 四来表示，应该是零 根二一。那么最后呢，这个加角的余弦值答案呢？可以告诉大家，三十五分之根号一百零五。好了，各位同学，那这三道题目我都说清楚了吗？ ok， 这期视频就分享到这里。

立体几何，动点轨迹总踩坑，别盲目刷题，三大出题逻辑加六类核心题型，带你稳稳拿分。好，接下来我们来看一下点零三这道题目主要是给的一个条件是距离，就像是某一段长度或者某一个长度在某个范围内，它就相当是距离的一个条件。 然后让你求的是我们的最值问题就是 c、 d 选项分别是有解问题，就是 c、 d 选项，它给的是外接球的表面积， 是我们的三十六派，相当于是这个正三棱锥的外接圈表面积。那我们是通过它的表面积是不是公式直接反推出我们的半径四派 r 方是不是等于我们的三十六派，是不是反算出我们的 r 是 等于我们的三呢？ 好吧，这就是我们的题目条件给的大家看 a 选项， a 选项让我们算的是外接球的体积啊啊，不一样，看两个答案是一样，但是他不一样，他问的是体积是吧？那是不是带公式，他的体积是不是直接吗？半径是告诉那直接就外接球体积是不是应该是？呃，三十三分之四 pi 立方，也就是我们的三的三次方。最后整理化简算以后，这个答案是我们的这个三十六 pi， 因为这刚好约掉一个是四九三十六嘛，对吧？说明人家对了 a 选项正确，是吧？好，那接下来看一下我们的 b 选项，它给的是 ab， 是 等于三倍根三的时候， 就相当它的底面的边长啊，等边三角形的边长是三倍跟三，然后 p 点到，让你求 p 点到 abc 的 距离是二，那我们算一下啊，这个底面是个等边三角形嘛，你这是 ab 是 三倍跟三的话，是不是大家能把 b、 d 算出来？ 因为这是外心嘛，外心到上顶点距离应该是三分之根三 a a 就是 它的等边三边长嘛，那这段长度是不是反算出来是三？ 你可以很快算一下它是三，它是三的话呀，很奇怪啊，外心啊，这个，这个是本来是这个三角形 a、 b、 c 的 外心，它是三，我们的 我们的这个外接球的半径是不是也是三，说明啥？你这个这个地点到我们的 b 点距离是三，那我们的我们的半，我们的球心到 b 点距离也是三， 是不是到同理那个 d， c 距离也是三， d a 距离也是三，就说明这种情况下，我们的 d 点就是球心 o 啊，就是球心 o， 所以 那你到 p 点距离是不是也就是半径是三了啊？这题目简单判断一下，这个 b 就是 错了， 这个答案就是我们的 b 错了， b 错了不选。那我们先来看 c、 d 选项， c、 d 选项给出的是我们的 ab 的 距离， ab 的 范围是零到三倍跟三啊。这道题就相当于是把这个题目上升了啊。这个 b 选项 算的是刚才特最特殊的一种情况，而 c 选项就向你求的是动态问题了，那我们的 ab 长度是一个零到三倍 k 三，大家其实想想啊，这道题其实我们不用动笔算 c 选项还不用算了， d 选项倒是要算 c 选项。请你想一下啊，我们的这个 啊，当 ab 的 长度是我们的三倍跟三的时候，相当于我们的这个地点坐标，也就底面圆的圆圆心，外界圆圆心，其实就是我们的外界球，球心嘛，所以这个 abc 的 外界圆就刚好是它这个最大圆， 就如果我的 ab 长度是跟啊，三倍跟三嘛，它刚好是在这个最大圆的外径圆啊，最大圆的圆面上，对吧？那如果它的 ab 长度是零到三倍跟三，那是不是相当于我们的这个边长就少了？边长小，是不是它这个外径圆就小了？那是不是上升到它的那个？ 你的这个外界圆小，那就是不是肯定你得距离球心得往上走，是吧？那比如说你，你到达某一个位置，比如 ab 长度是二倍跟三，是不，二倍跟三，他肯定在上面某一个位置 的一个外界圆嘛？是这样的个三角形，那是不是下面是不是也对应了一个有同等大小的一个二倍跟二倍跟三的那个啊？三角形，那这两个的这个条件是一模一样的， 他们的，他们的到，呃，外界圆，圆心到我们的球心的距离是一模一样的，是吧？因为我们的半径是不变的，球的半径不变了， 就这段长度永远是三嘛？是不是你 ab 长度变小了？ ab 长度变小，是不是这段 d b 就 小了？ d b 小 的是不是相当于是 o o a 是 不是又相当于变大了？那是不是对应了 o a 的 距离？距距离球心嘛，对吧？比如说这是球心 o， 你 的 o e， 在 这 o e 到我们的 o 点距离是一个定值。如果是在零到三倍根三的时候，它对应的刚好是两个圆，上面一个 圆，下面一个圆，它们到达这个距离刚好是对称的，所以是有两个的。既然你连出来这个三棱锥是刚好也就两个， 所以这是没问题的， c 选项就是可以的。像这种有解问题的话，你一定要考虑到对称问题，对称性还要通过一些相关计算把它算出来，行了，好吧，当然你也可以老老实实算，就是把它这个，把这个边长设成 a， 把它高度表示出来，用 a 表示出来， 得到一个关于我们这样的一个方程去连力求解行也是可以的。我们 c 选项其实可以思考一下就可以，对吧？多想少算，这是我们的新高考的理念。好吧，那接下来看一下 d 选项， d 选项就是没有办法避免了，为什么呢？啊？大家想想，他让你求的是 p 杠 abc 的 体积最大， 那这个时候大家注意啊，它实际上 ab 长度在变的时候，它这个外接圆的外接圆大小也在变嘛，也就是它的这个正三弦的边长也就在变，也在变的话，是不是高度也在变？就是你假设你就把 p 点就放到最上顶点处， 那你这个三轮锥是不是相当于你可以一直在上面下面都能动，但是你要要求体积最大的时候，体积最大的时候，是不是你底面就要满足，既尽可能尽可能大，然后体高眼满足尽可能大，是不是相当于上下 就是这个最大圆面的上面跟下面他们的底面是一样的，对应的是一样的，对吧？所以这种情况下，他肯定是在圆下发生的， 就是这个最大圆的下面发生的，因为这样来说他的嗯高才能比上面的高，都能大吗？底面积你都是有对称的，对吧？你上面有个，比如有一个二 b 跟三的边长，下面也有个二 b 跟三嘛，所以肯定是我要满足高最大嘛？ 高尽可能大吗？对吧？是不是现在肯定在下面找的这个体积最大肯定在下面呢？那我们现在要求他的这个体积最大咋算啊？这个题目啊，主要难点就在于你的这个边长不知道呀，这个三角形的边长不知道，还有这个高度也不知道吗？是不是他的高 大的时候，他的这个底面的边长反而是小的？所以他是个矛盾的，你消彼长，此消此消彼长的一个过程，所以这个题你要兼顾不一定没有什么说中间的，最中间的，他的底面确实最大，但高并不是最大的，所以这个时候我们就要考虑我把这个边长设出来， 就我们把这个 ab 的 边长设出来，是吧？然后我现在就要把这个体高通过我们的小 a 给它表示出来就行了。如果你把它这个这个 a 设出来了，边长设成 a 了，那不球心肯定是在这个 p d， 因为我们刚才说了，它这个球心肯定是在我们的这个 这个三三点下方的啊。球心在这个位置的时候，我们这段长度是三，这是半径吗？这段长度也是三，也是固定的，这段长度是不是就是我们的三分之根号三 a， 而这段长度是不是我们的提高啊？减去我们的三， 减去我们三，好，我们现在是不是要算的就是你要求的这个体积最大吗？这块三角三角锥的体积最大吗？是不是 v 就 应该等于我们的三分之一 s 乘以 h， s 是 不是就相当于是我们的四分之根三 a 方吗？它是等变三型再乘 h， 是 不是相当搞的就是这个 ah 的 一个关系吗？它是个二元对不对了？那我们就要消元得到等量关系，等量关系就在这呢，就在这个外接球这块了，是不是相当于通过我们的勾股定律？是不是 h 减三的平方 加上我们的三分之根三？ a 的 平方是不是等于我们的九 列出来一个 h 和 a 的 一个等量关系？你等会把其中的一个消掉，是不是得到一个单变量？问题是不是我们的体积就通过我们的函数问题就能解决了？那我们通过变换以后，是不是咱能通过整理以后得到一个 h 方减去六 h， 再加上我们的三分之一 a 方， 是不是等于我们的零？那是不是整理化简以后，咱就能直接把这个 a 方给它表出来？ a 方是不是就直接可以表成我们的三倍的 六 h 减去 h 的 平方，是不是现在 a 方就表出来了？ a 方表出来是不是换？直接换嘛？是吧？直接就转化成了 h 的 单变量问题了。 三分之一乘以四分之根三，再乘以三，再乘以我们的六 h 减去 h 方，再乘以我们的 h， 是 吧？整理化简再消掉，消掉，是不是得到我们的四分之根三倍的六，相当于是六倍的 h 方减去我们的 h 三次方， 是不是要求这个函数的一个最大值呢？相当于关于 h 的 一个函数 h 的 范围，我们稍微注意一下， h 范围肯定是要呃，大于我们的零， 对吧？那你肯定你你这个，你这个圆心啊，肯定必须 p 点到这 h 就是 我们的 p 点到 o 撇的距离吗？ o e 的 距离吗？那肯定是大于零的啊，要小于段呢？六最大， 它的球的半径不是三吗？最大就是直径，六是在这个范围里的啊。让你求这个函数的最大值，是不相当于关于 v 的 一个函数吗？ 那我们要求最值问题，大家想想，这是个高次函数，没有什么更好的方法，直接求导就行了，而且它求导很好算，它又没有指数，也没有对数，是吧？求导就是非常爽的一个函数，因为如果最值问题，无非是导成一个基本不等式或者是导函数吗？直接用导数分析不出来的，你直接求它导 是关于 h 的 一个导，求完导函数是不是得到一个我们的四分之根，三倍的负三 x 的 平方， 加上把这个乘负三 x 平方，对吧？然后再加上我们的十二倍的 x， 十二倍的 h 是 把 h 提出来以后，能令导函数为零的话，你求出来导函数是有两个解， h 有 两个点，应该 h 应该等于我们的四， 另外一个是 h 等于零的零，肯定射掉了，不在这个范围内的，所以这是一个二，这个导函数是一个二函数， 是开口向下二函数，它的两个 h， 一个是四，一个是零嘛？那那我们就直接判断人家定义是在零到六吗？是不是只判断零到六里面的单调性去了？零到六，零到四是导函数是负值，所以它应该是在零到四 先增，在 h 再到四到六，值是单减的，说明 h 在 四处取得它的一个最大值，所以 v max 也是最大值，就相当于是 h 等于四的时候，把它四代入， 是吧？把它四代入相当于是我们的八倍的根三，把四代入一算就八倍根三，所以这个 d 选项完全正确，所以最后答案选择 a、 c、 d。 好， 这道题啊，就是我们的最值问题啊，最值问题其实主要考虑的就是 到底导向是基本不等式还是我们导向函数了，好吧，这种题目一般是要设点或者是设未知数，就得到一个关于函数关系就行了。而我们的存在性问题也就有解问题啊，这种大家一定要考虑我们的一个对称对称，因为大家图形去做的话，它肯定有对称关系， 或者是有我们的解的个数。直接拿方程，就是你可以把这个刚才类似一样，就是它得到这样的 a 和 h 的 关系吗？你这当你的这个在这个范围内的时候，你算一下， 相当于是我们的 ab 在 我们的零到三分之三里面，你可以算一下这个 h 的 h 的 h 的 解的个数，是吧？如果我们的第二塔就像是关于第二塔是有两解的，第二塔大于零的话，那说明 h 就 两解嘛，对吧？这也是可以拿方程解的。当然我们刚才是拿图像去分析了。好，这个例八，我例第三，第三道题我们就说到这。

小题大招第九招，立体几何，遇强则强。这种立体几何证明选择题不要一上来影响空间图。先把六类平行垂直关系分成强弱选项，会自己露线。强的有三个，线线平行，面面平行，线面垂直。 弱的也有三个，线面平行，线线垂直，面面垂直。口诀就一句，遇强则强，弱关系想推出强结论，优先打叉，先把这张强弱表力住。金色是强，蓝色是弱。强关系能锁方向或者锁法向，所以信息量更硬。弱关系只给局部限制，不能随便升为推出强结论， 所以筛选时指看三件事，条件强弱，结论强弱还有有没有缺关键线。强加弱往往只能得到弱两个弱，更别急地推出强两个强如果指向同一个对象，结论通常还不落在强关系上。第一题 m 是 两条直线，阿尔法贝塔是两个平面。 a 选项 m 在 阿尔法内， n 在 贝塔内， m 平行。 a 能不能推出阿尔法平行？贝塔这里只知道一条线平行，锁不住整个平面，所以 a 打叉。 b 选项 m 内莱尔法内， m 在 贝塔内， m 平行，贝塔想推出阿尔法平行，贝塔线面平行本身示弱关系，直接推出面，面平行太猛，所以 b 打叉。 c 选项 m 平行，阿尔法应在阿尔法内。想推出 m 平行，应应 一个平面里有无数方向， n 不 一定刚好选择 m 的 方向，所以 c 打叉。 d、 d 选项明，垂直阿尔法也垂直，阿尔法是同垂直一个平面，同垂直一个平面的两个直线一定平行，所以 d 对 一体。答案选 d。 d， m 为两条直线，阿尔法是一个平面。 a 选项 m 平行，阿尔法 m 垂直，想推出 n 垂直阿尔法，若加若推出线面垂直，这条结论不稳，所 a 打叉 b 选项 m 垂直阿尔法， m 又垂直阴影，想推出阿尔法。一条线垂直 m 不 代表它也垂直整个平面， 所以 b 打叉 c 选项为 m 平行阿尔法令垂直阿尔法问，嗯，能不能推出 m 垂直音 n 垂直一个平面就垂直着平面内所有方向，而 m 平行阿尔法说明 m 的 方向能搬进阿尔法内，所以 m 垂直 a c 对 d 选项明垂直阿尔法令垂直阿尔法，却说明垂直的音同垂直一个平面应该平行，不是垂直，所以 d 打叉。 第二题答案选 c。 这类题不要死画图，先给每个关系贴强弱标签，再看结论有没有从弱跳到强，或者强，强却落到弱。 最后只补一句空间理由就能把选项秒掉。那么讲到这里，很多家长和同学都在问我为什么连续四年压中考真题，其中更是二五年新二卷考前几天的题，原押题压中原锥曲线三角形面积，一道大题十几分， 考前六月四号的作品，这都是翻我作品可以看到的，还预测新一卷压轴单选 b 选项，并且在最后阶段还给大家准备了二百个高中数学斜修题分技巧，想要领取后台发送年级加学科即可。

这套哈，三中的三模考了有一段时间了，但这套试卷我觉得是出的非常的。我觉得是有点恶心的啊。难度比较低啊，但是有点恶心。 嗯，小题没什么好说的啊，这边他们说是马尔科夫恋这个，但是我没看出来我的第一反应应该是什么求和的内容。并不是这个马尔科夫恋啊 啊，还没有去研究管他呢啊。主要是这个十六题啊，考场上他们说啊排排这个全错牌给自己排蒙了。然而我老早就已经做了排列组合的合集全错牌问题在高中他最多考了五缺，果不其然，这个题只考到了四个元素的全错牌，所以我这边是拿到就直接就轻松搞定了啊。对， 忘记说了啊，这边我觉得这个多选题好像有点耗时间。当时啊，最后这两个题把时间给拉回来了，也就是给我后面十八十九， 正常情况下我需要留一一整整一个小时各半个小时去搞定十八十九的。最后呢，就是因为这个，这个题我比较熟练，所以加上这个题十七题非对称为，它定义又比较常规，我也非常的熟练，而且我的过程是非常的优美啊，得夸自己啊。这个我我的过程绝对是最简的啊。已经最简了。 嗯，常规方法最简单。也许你有邪修。我不知道啊，反正在考场拿满分是没有任何问题的。就说这个排列组合我已老早就已经做过视频， 然而就前面很多次考试其实都不是考全错牌，我都误以为是全错牌，我硬着头皮是套不知道抽了多少多少次题目啊，多少次大题我都是硬套全错牌，结果发现最终并不是。 哦，然后呢，这里终于考到了，我终于就有发发发挥的地方了，然后完整发挥出来了，嗯，然后最后考了这个新定义对不对？ cover x y 啊，这叫什么来着？ 我也不记得了啊，反正呢，这个的话就是也是有思维难度理解提议。这里当时有同学问我就直接写了个通向在这里啊，大概就这个意思。然后第十八题的话，第三问我是纯粹没看前两问，真的是纯送分呢对吧。哎， 两六十度， c 叉九六十度，那还有什么难点呢？没有什么难点啊，但是我还是扣分了啊，就第三问只有七分呢，这里我忘了，是面面角，我们要绝对值的，所以最后呢也是扣掉一分。 是的，这边的话我是差一点就拿满分了啊，当时大家都很惊讶，感觉我这个题要拿满分的。最后呢是在这里抽了一下对吧。这个 g x 取倒 三求三四应该是十二，我写了一个八，哈哈，导致后面答案呢偏差了一丢丢，并没有得到最终的那个什么五，我得出个四， 所以这里没有办法。第一轮总共六分吧，我们就扣掉四分算了，就只拿前面两分，然后第三题的我差点就搞定了。我已经解到，可惜我方字没写这啊， 没写这 h x h x 就是 这个啊。对，他有个重根 x， 他 有两个 x 减一。好吧，他有两个 x 加一啊， 我死活想不到他还有第二个。我想着我已经带过负一了，我就不要再带负一了，多带个三次方程，差一点呢就给他解出来了 啊，最后也是。嗯，考完演示了一遍，确实很容易解的哈。忘记重更这个梗啊，我这个可能前面把脑子用光了吧。是的，所以这个试卷我觉得是有机会拿到很高的一个分数的。所以这里最终的是一百三十分，确实也已经算是比较高了。 对，也基本上只有这五分，加上这边七分，就这个题，这套直线的话我可以不扣这七分的，也就幺三七 对幺三七左右。所以这个试卷呢，我觉得是，就是说看平时积累吧，刚好我运气比较好，我都积累到了，所以，呃，很多题能搞定，但十九的话是一个难度非常偏低的压轴题，因为压轴题比他恶心的多的多的多。

好，同学们，大家好啊，今天我们来进行这三道题的讲解啊，这三道题是一个一位粉丝投稿，这位粉丝说他们老师让他们吃透这三道题， 然后高考的原生曲线就应该就可以拿到很大部分分。然后我也去网上查了，他说今年的新高考一卷的命题组有有南京的命题组， 所以说我觉得大家可以把这三道题吃透，然后大家可以看一下这三道题，第一道题考椭圆，第二道题考抛物线，第三道题考双曲线，而且他们的就是他们考点，它包含了很就是这个大部分这个圆曲线的考点。 首先你看求斜率，四边形面积最大值我都能想到，是不是应该就是这个，他肯定需要用弦长公式，然后第二，然后这个斜率为定值，定值问题也考察到了，是不是？ 然后这个是定值问题，然后平行四边形以及圆定，然后在定圆上，大家能想到该怎么翻译吗？如果在定圆上，好了，现在我们开始进行讲解啊， 好同学们来看南京易蒙的这道题啊，这道题是不是考察了椭圆啊？那第一问，这五分咱应该必须拿到吧？离心率为二分之二三，也就是什么 e 等于 a 分 之 c 等于根号下 e 减去 a 方分之 b 方等于二分之二三，对吧？它到底用 a 和 c 的 关系呢？还是用 a 和 b 的 关系呢？咱们看后面他说的一句话，是不是过根号三和二过这个点，那是不是把这个点给它带进去啊？就是三比 a 方 加上一比四立方等于一，是不是？显然是用 a 和 b 的 关系，是不是？所以这个是不是咱们就给他，给他平方就好了？用他和他给他平方，也就是一减去， a 方分之 b 方等于四分之三，所以 a 方分之 b 方等于四分之一， 所以 a 方等于四， b 方，对吧？ a 方等于四， b 方，显然 a 方等于四， b 方给给它代入，是不是就变成了四， b 方分之三加一等于四啊？等于一，是不是？所以 b 方等于一， a 方等于四啊。所以椭圆方程是不是就写出来了， 就是 s 方比四加上 y 方等于一。然后我们来看第二问啊！第二问，咱们。首先啊， 我们来看第二问啊，第二，第一问，咱们来求出来了，就是 x 方比四加上 y 方等于一啊。第二问，咱们首先先画一个特别标准的图，对吧？我是喜欢用把这个图画的更标准一些啊， 它的 a 等于一， b 等于零啊。不， a 等于四， b 等于一，对吧？有点不标准，哈哈，你这样看吧，啊，相当于是这里，嗯，这是 a 是 吧？然后这是 b， 然后 m n 为椭圆一上的上面两点，然后均在 s 轴的上方， 所以说，然后它说 a n 得在左边， m 得在右边，是吧？ m 的 右边。然后他现在说已知直线 a n 的 斜率为三分之二，让你求 m n 的 斜率，那这道题就非常的基础了，为什么非常基础呢？我现在问你，你把这后面删掉， 它就一个椭圆，椭圆方程告诉你了， a 点告诉你了，他说 a n 的 斜率为三分之二，那我们现在问你， a n 点能不能求出来？ 是不是一定能求出来？那 m 点呢？是不是也一定能求出来？求出两点，然后做学历就好了，相当于如果第一问是五分，第二问他可能是六分，相当于十一分，你是白得的是不是？十一分是非常简单就能拿的，对，我我我说白得这个词可能有点那个 啊，有点牵强，但是呢，我，但是你要说很容易拿，是不是就比较那啥了？比较那啥，所以说如果遇到高考题，你也不要害怕啊，这种三问的题，他前面两问，他一定能好拿分的，对吧？嗯， 所以说我们来做啊，也就相当于是 a n 的 斜率为三分之二，也就这条线，是吗？咱们先把这 a n n 点左边给它求出来，也就是 k 等于三分之二。过什么？过？这个负二分之三，逗号零，对吧？也就是 y 减零，等于三分之二倍的 x 加上二分之三， 也就是 y 等于三分之二倍的 x 加一，是吧，对不对？所以说我们要连累了呗，也就是 x 方比四加上 y 方，也就是加上九分之四， x 方加上三分之四倍的 x 加一等于一， 那显然就是四分之 x 方加九分之四， x 方，也就是九分。呃，三十六分之九加三十六分之十六，也就三十六分之二十五， x 方加上三分之四， x 等于零。前头有两个解，前头有两个解，是不是？那这两个解分别是什么呢？ 分别是一个是 x 一 等于零 x 二，咱们算一下啊，也就是三十六分之二十五， x 等于负的三分之四，是不是就等于负的二十五分之三十六啊？是不就等于负的二十五分之四十八，对吧？ x 二等于负的二十五分之四十八，对吧？显然咱们看一下，一个点是零，那现在咱们这个图画的就有点不标准了， 显然那个一个点是零，那显然就交到这里了，是吧？另一个点就到这里。那我现在问你， n n 点应该是谁？ n 点是不是应该是这个点啊？对吧？显然 n 点它是零。逗号一，是不是？那你现在就能猜出来 m 点是谁吗？对不对？那所以说这块你看，因为它左右边是对称的，那你大致能画出来与这个 a n 平行，那应该是这这条线， 对吧？ m 点应该这个，那 m 点对应的横坐标不就是这点它对应的这个横坐标的这个相反数吗？是不是？能猜出来，对吧？能，能，能不能猜出来，对吧？能猜出来，但是你不能直接写，你还要去连力，但是你最后你相当于少写一步就可以了。然后， 然后你再去连立第二条线，第二条线，第二条线是不是就是 y 等于三分之二倍的 x 减去二分之三啊？对吧？也就是 y 等于三分之二倍的 x 减一，是吧？与这个 s 方比，四加 y 方连立 等于一。咱们把这个式子给它直接写出来，就是四分之 x 方加上九分之四倍的 x 方，减去三分之四倍的 x 加一等于一，是不是？你做到这步，你都不需要往继续往下去算了，因为你能猜出来这两个点是谁，一个点是 x 等于零，一个点是 x 等于这个值， 是不是？那这个值不就是咱们刚才算出的这个值的相反数吗？对吧？所以说 x 一 等于零， x 二等于什么？二十五，也就这个，是的，是负二负负二十五分之四十八，那显然它的相反数就是二十五分之四十八， 对吧？显然 m 点是谁啊？ m 点是不就是二十五分之四十八呀？因为它不可能取零啊。 m 点它有可能是这个点吗？没有可能吧，只能是这个点。 二十五分之四八，四十八，那他的纵坐标呢？纵坐标是不是就把二十五分之四十八给他带到这个式子里？也就是三分之二乘以二十五分之四十八， 对吧？也就是三十六，对吧？啊？也就是二十五分之三十二，减去一，也就是二十五分之七， 对吧？二十五分之七，咱们验验证一下啊，看对不对？三分之二乘以二十五分之三，二十五分之三十二，减去二十五分之二十五，二十五分之七，没问题。现在 m 点坐标和 n 点坐标是不是都出来了， 对吧？ n 点是零，逗号一， m 点是，嗯， m 点是四，二十五分之四十八，逗号二十五分之七。 显然， k、 m、 n 是 不是就求出来是一减一就二十五分之十八，对吧？比上负的二十五分之四十八， 对吧？然后就等于负的四十八分之十八，然后出一个六，也就是负啊。出一个，看好像是是除以六，除以六，也就是这分子是三分母，是负八，等于负的八分之三啊， 所以第二问的结果是负的八分之三。好，同学，我们来看第三问，也就是第二问的第二问啊，咱们刚才做完第二问的第一问，咱有没有发现就是咱，呃，他让你求 a、 b、 m、 n， 咱们简单画一下啊， 你有没有发现，刚才咱们求求完 a 点的坐标的时候，咱们求 b 点的这个坐标， 求 b 点的这个坐标，有没有发现一些巧妙的点，是不是这个 b 点的这个坐标就是等于这个点坐标的相反数？相对于这两个点它是什么的？它是对称的，它是不是， 对吧？这个两这两个点它是对称的，对不对？有没有发现啊？那这刚才所以说这个点它和这道题有关。首先它让你求这个 abm n abm n 是 个什么形状呢？是个什么形状？ ok， 有 的人说它是矩形，它是矩形吗？不是矩形，是不是？它是什么情况？它是个梯形，是不是梯形？ 我先问你梯形的面积怎么求，对吧？他说上底加下底乘以二，而有同学说 m n 加 ab 乘以二，哈哈，对吧？是这么求吗？对吧？上底加下底， 它是那种平行的梯形的面积才能用这个上底加下底，是不是两条？上底和下底它是平行的，才能用上底加下底，然后乘以高除以二，是不是？那所以现在它题目中给你平行的关系了吗？是不是给了呀？你说 am 它平行于 b a n 平行于 b m， 是 吧？这是 m， 这是 m， 有 a n 平均 b m， 对 吧？那也就是 a m， 也就是 a n 和 b m 相加，乘以咱们高。然后有些有些人说高就是 m n， 对 吗？不对吧？谁说这垂直了？是不是？你要做一条高就相当于是你要过 b 点做 a n 的 高，是不是， 对吧？咱们记为 h， 对 吧？那现在咱们试一试啊，那 s 三角形啊，梯形 s， 咱们就记 s a b m n 是 不是就等于二分之一乘以 h 乘以 b m 乘以加上 a n 啊？ 上李家，下李成刚出元。咱们看 b m 和 a n 有 什么关系？有什么关系？是不是？刚才咱们说了啊， n 和这个点是中心对称的， 那 b 和 a 是 不是也是中庭对称的？所以说能不能看出来 b n 这段长度，它是等于这段长度，能不能看出来，对吧？所以说 b m 加 a n， 它是不是就等于咱们这给这设为 n 撇，是不是就等于二分之一 h 啊？ m 撇吧， n m 撇，因为中音率是减，也就是二分之 h 乘以 n m 撇，那这个不就转化成 n m 撇是啥？这个不就是弦长吗？弦长，咱们记住弦长公式是啥？是不是就是根号下一加 k 方 乘以 x 二减 x 一 的绝对值啊？对不对？ x 二减 x 一 的绝对值，然后呢？ h 是 啥？ h 是 不是就是 b 点到这条线的距离啊？是不是 b 点到这条线的距离？那这条线咱们刚才设了设一个直线方程，是不是可以把这个距离表示出来，对吧？ 所以说第二问的第二问就是第三问，咱们管它叫第三问，是不是就需要设直线啊？设哪条线啊？是不是设 m n 这条线啊？所以说遇到高考题，我们遇到设直线的时候，咱们就应该想到要讨论什么特殊情况，是不是？所以说你这条直线是不是可以设 y 等于 y 等于 k 倍的 x 加上三分之二，咱们就设横。重点是就好了啊， y 等于 k 倍的加 x 加三分之二，对吧？这是负三分之二啊，负二分之三加二分之三， 对不对？所以说你要设这条直线，然后设，嗯， n 是 x 一 y 一 m 是 x 二 y， 你 要干什么？你要讨论特殊情况是什么？特殊情况？第一种情况什么？ k 不 存在时， k 不 存在时，此时此时这个 n m 撇是是什么？是不是就是这段距离， 对不对？是不是这段距离？那这段距离咱们是不是要把这个求出来？就是咱们要把这个负二分之三给它带进去，是不是？把 x 等于负二分之三带进去，就是九比上四，然后再比四，九比十六，加上外方等于一， y 方等于十六分之七， y 等于四倍啊？四分之二七。所以说此时 m n 片是不是就等于两倍的，它也等于二分之二七， 二分之二，然后 h 等于什么？ h 是 不是就这段距离啊？这段距离是不是？是不是就等于二乘二乘二分之三，也就是等于三，是不是？此时 s 是 不是等于二分之一乘三乘二分之二七等于什么？四分之三倍刚好七， 对吧？咱们验算一下啊？咱们验算一下，就把这个二分之三给它带进去，是不是？也就是九比四再比四？九比十六等于加 y 方等于一，就 y 方等于十六分七， y 等于四分之二七，没问题啊？所以此时这个 s 是 四分之三分之二七，这就是两分 两分。如果这一问是五分，第二问是六分、十一分了，你再把这两分得上，是不是十三分？你再来把伟大定律列出来，是不是十五十六分就拿到了？即使没时间也能拿到十四十五分，是不是？对吧？所以说我们现在就开始连累了呗。也就第二种情况，就是 k 存在时， k 存在时要连利，是吧？然后咱们先给它通分，通分就是 x 方加四， y 方减四等于零，是不是？于是 x 方加上四 k 方倍的 x 方加三， x 加四分之九减四等于零，是不是 也就是一加四 k 方倍的 x 方加上什么十二 k 方， x 加上 九 k 方减四等于零，是不是？所以第一步然后得它大于零，得它大于零吗？咱们看它是不是过于椭圆那一点啊？是不是得它大于零显然是成立的，所以咱们就不用去管了啊。 x 一 加 x 二是不是等于 负的十二 k 方比上一加四 k 方， x 一 x 二就等于 九 k 方减四比上一加四 k 方，对吧？每大定律一列出来，至少又给你两分吧，或者又给你一分吧。咱们刚才算五分加六分加两分，这是十三分，再给你两分，十五分啊，有可能不给你两分，给你一分十四分了， 十四分了。现在是不是咱们就要把这个它这个梯形面积给给它表示出来？咱们刚才已经表示了，是不是二分之 h 乘 n m 呀？对不对？ h， 咱们这个 n m 的 长度也就 n m 片的长度，咱们刚才就是用这个弦长公式给它表示出来了， 是不是还差 h h 你 是不是相当于是什么二分之三？逗号零，也就是 b 这点到这条线的距离是不是到这个 y 等于嗯？ k 倍的 x 加二分之三的距离，是不是也就什么 k x 减 y 加二分之三 k 减 y 加二分之三 k 等于零，是吧？这条线的距离咱们算一下啊，所以它的距离 h 是 不是就等于二分之三 k 加零加二分之三 k， 也就是三 k 的 绝对值 b 上是吗？根号加 k 方加一， 对吧。所以说 s 是 不是就等于二分之一乘 h 乘以 m n m 撇是不是？哎？是咱们算出来的 n m 撇在这里是不是刚好让一加 k 方消掉了？是不是就等于二分之三倍的 k 的 绝对值？把这个三给它提出来，乘以什么 x 二减 x 一 的绝对值， 对吧？然后给它写成伟大定律的形式， k 的 这个值乘以根号下 x 一 加 x 二的平方，减去四四倍的 x 一 乘 x 二，又给你一分，又给你一分，哈哈，怎么算着算着怎么感觉都剩十七分了，所以说咱们写的越多得分越高啊， 对吧？所以说咱们就开始把这个带进去呗，也就是二分之三 k 倍的绝对值，乘以什么 x 一 加 x 二的平方，也就是这。嗯，十二 k 方就一百四十四 k 的 四次方 比上一加四 k 方的平方，然后减去四倍的 x 一 x 二，然后减去一加四 k 方 倍的 x e x 就是 三十六 k 方减十六，是不是？所以我要给它通分，对吧？二分之三 k 的 绝对值，根号下一 加四 k 方的平方，一百四十四 k 的 四次方，减去三十六 k 方，减十六，乘以一加四 k 方，对吧？ 然后算算啊，一定要算下去二分之三 k 的 绝对值乘，然后乘比上根号下一加四 k 方的平方， 然后一百四十四 k 的 四次方减去三十六 k 的 四次方，然后加十六，然后加六十四 k 方， 对吧？验算一下，减去三十六 k 方减去一百四十四 k 的 四次方，加十六，加上四十加六十四 k， 没问题。 最后就等于二分之三 k 的 绝对值，根号下一加四 k 方的平方，一百四十四 k 的 四方减去一百四十四 k 方，消掉了，对吧？然后六十四 k 方加三十六 k 方是多少？二十八 k 方 减什么？然后加十六，二十八 k 方加十六，验算一下没问题。这边 k 的 值外面有 k 的 值，是吧？然后给它乘进来啊，给它乘进来 就等于二分之三倍的根号下 k 方给它乘进来，也就是二十八 k 的 四次方加十六 k 方，比上一加四 k 方的平方，对吧？ 一加四 k 的 平方，你要求他的什么值？要求他的最大值，是不是面积最大值？所以说我们就要求根号里面这个最大值，遇到这种情况，也就根号里面是谁，是不是二十八 k 的 四次方加十六 k 方，比上一加四 k 方， k 方遇到这块该怎么求？是不是给他分子分母设为一个整体啊？对吧？你就什么令？ t 等于一加四 k 方， 此时 t 什么 t 是 大于等于一的，是不是，对吧？然后 k 方等于什么？ k 方等于四分之 t 减一，是不是？所以说现在就可以把这个给它带进去了，对吧？就最后就等于什么 分母，就是 t 方，然后 k 方等于四分之 t 减一，也就是二十八乘以乘以它的平方，对吧？就二十八十六，然后 t 方减二， t 加一，对吧？然后加十六 k 方，也就加上什么它的十六倍，也就是四 t 减四，是吧？ 十六分之二十八，没问题啊，然后咱们就一点一点约就好了。十六分之二十八 t 方，比上 t 方就是十分，可以直接开出来，也就十六分之二十八， 然后减去八分之二十八 t 加四 t， 减八分之二十八 t 加四 t， 也就是减去八分之二十八 t， 加上八分之三十二 t， 对 吧？也就是八分之四 t， 也就是减去加上二分之一 t， 对 不对？ 然后这相当于加上二分之一 t， 咱们先算一下啊，减去八分之二十八， t 加上八分之三十二，也就将加上八分之四 t， 就 加上二分之一 t 没问题，然后再加上十六分之二十八，减去四， 也就什么八分之十除以四啊，也就是四分之七啊，减四也就四分之七，减去四分之六等于四分之九，是吧？减去四分之九， 验算一下，四分之七减四减四十六，减四十九没问题，然后比上 t 方，对不对？就等于十六分之二十八加上一比二， t 减去四分之九比 t 方。那该怎么做呢？是不是令 t 分 之一再等于等于 m， 是 不是 m 因为 t 是 大于等于一的，所以 m 小 于等于一大于零，是不是？所以就变成了什么二十八分之十六加上 二分之一 m 减去四分之九 m 方，对吧？当 m 等于什么的时候这个最大呀？当 m 等于对称轴的时候，是不是等于负二？ a 分 之 b 就 负二，乘以负四分之九分之二分之一，对吧？最大，也就是什么二分之一比上 二分之九等于九分之一的时候最大，对不对？那 m 等于九分之一的时候，也就是 t 等于九的时候最大，对吧？ t 等于九的时候最大， t 等于九的时候最大，也就相当于 t 等于。咱们设等一加四 k 方，也就是 k 方等于二的时候最大， k 方等于二的时候最大，是不是 k 方等于二的时候最大？然后把这个 k 方给它带进去，等于二分之三比上根号下一加 k 方等于二，也就是九的平方，比上 k 方等于二，也就是二十八乘四，是不是？ 二十八乘四，二十八乘四多少？四八三十二，二四得八，一百一十二，对吧？一百一十二，加上什么？ k 方等于二，加上三十二， 是不是？一百四十四？分子是一百四十四，然后分母是九，平方你就是二十分之三，分母是九，开出来就是九，然后上面十二三消掉，然后这是三，对吧？啊？然后这一，这是六，它等于二 三消掉三二等于二，最后面积就等就等于二， 显然这样，咱们是不是这样的？球的面积是最大值是二，是不是？刚才？刚才咱们是不是想还有一个特殊值，就是四分之三倍高二七，那这个和二到底谁大呢？咱们是不是要比较一下？咱们都给平方，好吧？也就十六分之九乘七和十二平方就是四，也就十六分之六十四， 也就是十六分之六十三和十六分之四六十四，那显然是二大，是不是？所以面积大值就是二。

预测二零二六新高考数学之解析几何中的几何转化我已加入抖音，抖音精选高考应援联盟，欢迎大家上抖音精选 搜索高考应援联盟，追根我的高考百日百合。大家知道解析几何里边，我们其实有两个要素， 所谓的一个是解析方法，第二个是几何问题。大部分同学在这都会更侧重于解析方法，往往会忽视背后的几何问题。但是在高考当中，大部分解析几何问题，它都是来自于一个明确的几何问题，而几何问题如果能看出在这个地方的几何本质的话， 解决的方法会比纯粹的通过一些代数运算要简单多。那我们知道解析几何里常见的几何对象包括直线与圆， 椭圆和抛物线，还有双曲线，这几个东西都会有他自身的定义以及一些性质。我相信同学们不是说不熟悉性质，而是在复杂问题当中，我们可能见到这些性质的时候，有可能会熟知无睹。 所以我想我们一起来看一下过去几年高考题当中，这三个圆锥曲线各自给大家去选择了一道题，这道题是去年全国一卷的第十题，大家看他给了一个已知的抛物线， 并且这是 l， 也就是转线 x 等于负二分之三，那这个是 f， 是 二分之三和零。好了，大家来看一下人家问的问题，他要你做的事是过 f 做一条直线与这个抛物线交于 a 四和 b 这两点， 那这个问题不是可以连立，因为到这它是一个确定的问题，对不对？我们只需要把斜对 k 射出来，或者说他单独考虑这个斜对不存在的情况，那想连立是完全没问题的。 但是接下来咱们来仔细考察一下各个选项。第一个小问，让你去判断 a d 是 否等于 a f， 这根本没什么好去算的，因为这就是抛物线定义而已，对吧？到准线的距离和到焦点的距离相等。那第二小问，题目要求说 a e 等于 ab， 那 e 是 怎么一回事呢？是这做一条垂线， ok， 这个是点 e， 大家看一下， a e 等于 ab， 这能成立的了吗？这一般来说不可能。为什么我不用去算出 ab 的 长度？大家来想一想，既然题目要求把 a e 连接起来，那么我们知道这个等于这个，这条线又是共用 的，这是垂直，当然这也垂直，所以两个蓝色的三角形是全等，那同理，如果我也在这做个垂线， 并且如果我也把这连起来，就是把 e b 也连起来，那么这两个三角形也应当是全等。 所以这个角和这个角相等，而这个角和这个角相等，那导致咱们的 a e b 必然是直角，那如果是直角的话，那 a e 作为直角边，它必然是小于斜边的，所以这是这个 b 选项错误的理由。 那 ab 大 于等于六，这个是一个交点弦的问题，是一个常见的问题，所以我们可以直接得到这个 c 选项。当然熟悉的同学可以直接用这个结论，不熟悉的话，你也可以尝试推导那 d 选项 a e 和 b e 的 乘积。 同学们想，如果你再把这俩距离写出来，那这个问题又做复杂了。大家考虑，这是直角三角形，那 a e 和 b e 又是垂直的， 是不是？它其实就等于 ab 乘以 e f？ 为什么？我只是对二倍的面积进行了一次转化而已，我们 ab 和 e、 f 同样是 d 和高， 对不对？但是如果你已经说清楚了， ab 大 于等于六，是在 c 选项当中， e f 当然大于等于三，因为这是个定义式， 所以这两个乘积当然大于等于十八结束。所以大家请看。在一道多选题当中，按照命题组的设定，其实完全不需要大家进行任何的连理计算。 这是我们对于抛物线的几何转化一个具体的例子。但是抛物线在其中扮演了什么角色呢？其实抛物线所贡献的唯一信息就是咱们这个 a d 等于 af。 好 了，那二卷第十一题考察了一道双曲线的问题， 那这道题说了个什么事？我在底下截了一幅简图，说 a 一 a 二是左右顶点， f 一 f 二是左右焦点。那这块有两条间接线，我们当然不妨可以设这条间接线，使得 m 交于第二项线，那所以是 y 等于负的 a 分 之 c， x。 好 了，这是这条间接线。 那首先，根据双曲线的性质，我们这个四边形肯定得是个平行四边形，为什么？他的对角线肯定是互相平分的关系，但是在这个特定的斜对之下，这一段我们知道他的长度一定是 a。 如果还知道什么信息，我们题目说了以 f 一 f 二为直径的圆， 所以还有第二个信息，就是 o m， 因为 m 在 圆上，所以 o m 等于圆的半径，也就是小 c。 当然刚刚说过 o a 一 正好是相 a， 那 结合这条线的斜率是负的 a 分 之 c， 我 们用勾股定律、逆定律或者用余弦定律推导，那是不是应该得到 m a 一 是垂直于 a 一 a 二的 对不对？所以这个是个正好的垂直关系，那一旦有了垂直关系之后，这四个选项近乎显然，但是如果你没注意到这个垂直关系，那么后边的路将会非常的难走。 所以大家请注意，其实像这样的问题就属于各个选项的突破口，难度是差不多的，但是都会有一个前置性的大前提，就是希望你要注意到咱们这块有一个特殊位置，而且整题关注的其实也就是这么一个特殊的位置。 好了，我还给大家选一道二二年的填空压轴题，那这个其实希望你在做什么？相当于我们去对于椭圆的一些性质进行几何上的转化。这道题告诉一个椭圆离心率也知道了，所以椭圆的形状是已知的，只差一个大小，这是 f 一 f 二， 但关键人家说的是 f 一， 且垂直于 a f 二先画出来，这是 a 这条直线与椭圆交于 d e 这两点，且 d e 长度是六。 我想说的是，今天这道题，你不要把 a 坐标写出来， f 二坐标写出来，把这条线的斜率算出来，且直线和它去连力。这题大概不是希望大家如此去求解，为什么？请大家看今天这个离心率正好是二分之一。 离心率是别的什么题，今天这题道理上都能做，但唯独二分之一它是个好数。为什么这个二分之一使得三角形 a f 一 f 二是一个等边三角形， 只有这个离心率才能实现这一点，那就使得什么咱们的 d e 正好是 a f 二的中垂线，这里有一个中垂线的性质。 ok， 那 题目说了 d e 长度是六，所以这个长度我倒是可以通过任何具体计算，包括连利或者加倍公式，总归能把团大小能够定下来。 但是他问到 a d e 的 周长的时候，希望大家注意，你不要真去求 a d a e 的 长度，那你应该意识到，这个周长是不是其实就是这个三角形的周长等于 d e 加 e f 二加 d f 二， 可是 d 过 f 一， 所以是不是应该写成 e f 一 加 e f 二，然后加上 d f 一 加 d f 二，那这个东西是什么？是四 a， 而 a 咱们应该很早就求过呢，对不对？所以大家想，其实这道题以及全国这多年在选填小题当中涉及到的解几何问题，大多数都有几何转化的门道，而代数计算在其中只是一个次要的问题。 那我想说，大家见到像这样的问题的时候，你可以先暂停一下，在脑海中先去想想有什么地方可以进行几何上的优化，那么下次再见到同类题的时候就不用再慌了。 其实几何转化这个问题呢，并不是盲目的刷题，而是希望你先去建立咱们几何与代数关系体系，再去认题型，然后最后再练步骤，那么这样的话你的提升会快的很多。 你在哪个部分还有进一步比较薄弱的地方，容易丢分的地方可以打在评论区，我们后面针对性给大家多讲，把思路捋顺，这对题慢慢就会成为你的稳定得分点。

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似多模型综合。今天我们讲的是全等相似多模型综合，那么我们今天讲到的模型呢，都是大家如果你要去参加中考，就是必须必须要特别特别熟悉的模型了，然后呢，我不会对这些模型做过多的解释了，应该 属于就是要去参加中考前的这些基本功了，我只是给大家再过一下，让大家知道是有哪些以及相关的构造有哪些好吧。首先由平行线带来的第一组由平行线带来的，基本上你看到了平行线就一定要想相似了，那么这里有的相似就是 a 字 八字， a 字八字，那么以及你要会构造做平行线构造相似啊，同时呢，你还会做平行线造相似，做平行造相似，哎，比如说这个造相似怎么造呢？ 呃，我在一个三角形当中，比如说这，给你个比例翻点，这是 a， 这是 a， 你 造相似的方法一般来说就是两个，你要么过这个点做个平行，这就是造 a 字，要么你连这两个点把它捅出去，这就是造八字。 哎，这就是造八字，要么过，要么捅啊，你就记住这两个词，要么过这个点做平行，要么把它捅出去，这就是 a 字与八字的构造。那么比较特别的，你当你看到了平行线间夹着比例关系，这是 a， 这是三 a， 那 没毛病，那你肯定是要把它捅出去了，只要是平行线夹着 捅出去，就是，这是已有平行，你就捅就行了。来明确一下 a 字八字最基本的相似模型，以及最基本的 a 字八字构造啊，这都是你要参加中考，这都是要非常非常熟的东西，这可以说几乎是必然会遇见的必考内容啊。自己画啊，你千万不要光听啊， 就是随着马哥你一起画。那么与 a 八相对的还有一组就是第二类，就是反 a， 反八，反 a 八，反 a 八什么意思？你看 a 字八字，这是这是阿尔法，这是阿尔法，就叫正 a， 那 么如果是反过来，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这就是反 a， 那 么反 a。 还有一种常见的情形，长这样，就是这个角和这个角相等，这是阿尔法，这是阿尔法，这也是反 a， 那 么反八长什么样呢？就是这样， 这两个角相等，这是反八。反 a 八，这是第二组啊，除了正 a， 由平线带来的正 a 八，那么最常见的就是反 a 八，正 a 八，反 a 八。那么第三组呢？就是一线三等角、三垂直以及一线三等角，特殊的情况就是三垂直。 好，我们来看一下什么是一线三等角，一根线上戳三个一样的角，这个阿尔法，这个阿尔法，这个阿尔法。 如果这三个角相等，那么这两个三角形相似。不解释啊，今天没有时间去解释这些，你要参加中考，这是你必会的，好吧，一线三等角，这两个三角形相似，那么对于一线三等角来说，比较常见的情景就是这三个角都是多少度？九十度，那么当这些 r 发角是九十度的时候，就会出现三垂直， 三垂直，那么三垂直的本质其实就是三个角就可以导互于正相似，三个直角就可以导互于正相似。阿尔法。贝塔互于，贝塔和他互于，他也是阿尔法，阿尔法和他互于，他也是贝塔，那么这阿尔法、阿尔法、贝塔、贝塔相等就相似。 好吧，那么这是我们说这是 y 三垂直啊， y 三垂直是在外面的，还可以在里面，你看，如果 啊，如果这有一个直角，哎，这里面来根线，那么这来一个垂直，这来一个垂直，这也会有相似。本质原理还是一样的，就是有直角就可以导弧于正向四， 这叫 y 三，为什么叫 y 三呢？因为这个三垂直是在这个直角的外面，这叫内三啊，因为这组相似是在里面， 外三与内三。总的来说，你学了三垂直，你应该记住的就是但凡出现多个直角，就应该倒库于正等角，有了等角很有可能就会有相似 来。那么还有常见构造，你比如说，哎，当我看到了这，你就看到孤单直角，就应该想三垂直，对吧？或者呢？哎，你看到这样的孤单直角，你应该想着构造三垂直，或者呢，你看到了一个直角， 里面来了一根线，已经有一个直角了，那我还是应该想三垂直，你看三垂直的构造啊，接下来我们说构造三垂直的构造， 看这些线，哎，你看孤单直角三垂直，这也是孤零零一个直角三垂直，哎，那么这一个直角，这已经有了，那我这再来一个，这都是三垂直的构造，就会会造成这些三角形都是三垂直的相似。 那我们今天要练习的是什么呢？我们今天要练习的就是把这些模型综合起来，放到题目当中，哎，咱们去玩一玩，用它们来帮助我们解决 线段比例啊，线段表示啊，因为相似最核心的就是能够帮我们处理线段比例，线段的表示。那我再给大家多说两句啊，就是有了相似可以干什么？两种用比例的方法。再多强调一句啊，两种用比例的方法，第一种就是， 这是 a， 这是二 a， 那 么这是三，这是几？这两个三角形相似啊，这两个三角形相似六，这是利用什么？这是利用相似笔好，那么还有一种，还有一种看好了， 这是 a， 这是二 a， 这是根号五。 a， 这个是 r 法，而这一边呢， 这是根号五来，这是几，这个也是二法。教这两个三角形相似，你会发现这次我们用的是什么呢？这次用的第二种叫做自己比， 什么叫自己比？你这个三角形。既然一号三角形和二号三角形相似，那么一号三角形的三边比就是二号三角形的三边比，他是一比二比根号五，他也是一比二比根号五， 对吧？所以它乘以二得它，它乘以根号五得它，这叫利用自己比。你有了相似以后，你怎么用相似？你要么就是利用相似比对应边值比，要么就是它的三边比就等于它的三边比， 这就是用相似的两种方法，而只是随便画两个相似三角形啊。我们讲了如何找模型，如何用相似，好了，来看题吧，他说当这条线等分了这个绿色四边形面积的时候，哎，我们要求什么呢？要求 a d 的 上。在我们讲今天的题目的过程当中啊，大家就是把握住两点， 第一去感受模型的发现，第二去感受模型是如何帮助我们处理线段长的，好吧，就是这两点，好，来我们来读题啊，他告诉我们什么呢？告诉我们这个 a d 转到了 a 撇 d， 那 么这两条蓝色线段相等，又做了一个垂线 啊，又做了一个垂线之后呢？再来就是这是垂直，这也是垂直啊。然后告诉我们这个角，这个角 r 法的正切值是一比二，告诉我们这条边是八啊。还有说这条黄线等分了这个四边形面积。 最后让我们求 a d 的 场，就是求这条蓝线的场。首先这道题直角就特别多，有没有发现这道题直角特别多，在直角特别多的情况下，我们是不是就可以看鱼角？直角特别多，我就可以看鱼角，你会发现这个是阿尔法，那这个是贝塔 啊，这个也贝塔。好啊，这九十度，这九十度，那你会发现，首先这个三角形和大三角形它肯定没啥，说这 a 字相似，对吧？再来这个贝塔，这个也贝塔， 对吧？这九十度，那这个也是阿尔法，那么这个三角形和这个三角形它就是一个反八相似，同时呢，这个大三角形和它也相似。 所以这里你首先观察一下这里面所有的三角形，因为直角很多，所以这些锐角都是互余的，都是相等的，所以呢，导致这里面所有的三角形都相似啊。比如说这两条平行线带来 a 字相似， 这有反八相似。这个小三角形和大三角形其实又是个反 a 相似。 a 字八字反 a， 反正它全相似。你如果一倒角发现它全相似，这里面所有的直角三角形全相似，全是直角，三角形全相似。好了，最关键的一个条件就是这条黄线等分这个绿色四边形的面积， 黄线等分绿色四边形的面积。来，我们来想一想啊，这个等分面积这个条件怎么用的？其实我就是要利用这个等分面积这个条件，写出来一个等式嘛， 斜出来一个等式，哎，那么等式最后呢？我如果表示了这些面积后，就可以得方程了。你比如说等分面积，我翻译一下，等分面积它的本质就是 s 一 等于 s， 二等于二分之一， s， e、 d， b、 c。 好，那么接下来我如果能够把这些面积表示出来，我就会得到什么？得到等式，等式最后就可以解方程，那么表示面积最关键的是要干什么？等分面积就 s 一 等于 s， 二等于四边形面积的一半，那么接下来我就要去表示，那么这三个面积到底表示谁呢？你待会把线段长表示出来以后，那么这些面积哪个好？表示，表示哪个 好？那么表示面积的核心，其实你会发现，就是表示什么？表示边，表示线段，所以呢，我们就得感受一下这些线段，哎，到底该怎么表示？来，这个角的正切值是二，那我们就知道这条线段是八，它的正切值这条线段四，这是已知的， 对不对？好，再来这个角的正切值是二，那我就可以看，在这个小三角形当中，我可以设这条线段是 a， 这条线段二 a 啊，这条线段 a， 这条线段二 a 一 比二嘛，然后再来 a， d 和 a 撇 d 又相等，所以 a 撇 d 也是二 a， 那 么这也是 a。 好，这是最基础的，我用了一个正切值，把小三角形和大三角形，哎，小三角形设大三角形四，算出来。好，再来，那么这是 a， 这是二 a， 我 就可以算上是根号为，好，再下来我就可以表示哪个三角形里面的东西了， 哎，你看这个角度是阿尔法，那么这是二 a， 他 两个的比，哎，是不是因为应该和他完全，这都是全等，这都不只是相似的，这是二 a 呢？这也是 a。 好，那么这条线段是 a 的 话，那么这条线段就是，这是二 a， 这是 a， 这是八减三 a， 好， 还有这一段我也可以表出来，这是八减二 a， 对 吧？好，再来，那还有什么可以表示呢？我为了表示这个 s 一 或者 s 二的面积，那我肯定还需要这些线段，那这个三角形和它又相似，这是一个一比二比根号的三角形，所以这一条线段它其实就是 a 除以多少 e， f 是 a 除以多少。这个三角形短直角边、长直角边，斜边的比是一比二比根号五，这斜边是 a， 短直角边应该是多少，短直角边就是根号五。 好，那么这两条线段比又是一比二，那这就是根号五分之二 a， 这些线段我们利用什么？利用这两个三角形相似，一比二比根号五，哎，那我就由它是 a， 它除以根号五，再乘以二，这三条线段就都有了，这就是我们利用相似，我们把这里面所有的线段都表示了。好，那接下来我们说表示线段是为了表示面积，来观察一下 s 一 和 s 二， 现在你感受一下 s 一 和 s 二，哪一个更容易表示？ s 一 显然更容易表示。这个 s 一， 我要怎么表示呢？我肯定不会表示它了，大的三角形和小的三角形，我做个叉是不是就是 s 一， 所以这个 s 一 就可以表示成什么呢？ s 一 就可以用 s 三角形 a 撇 d， c 减 s 三角形 a 撇 e， f， 这就是 s 一， 对吧？我用大的把小的减掉，大的很好，算二分之一，二分之一乘以底乘以高，乘以 a 乘以二 a， 那 么减小三角形 二分之一乘以根号五分之 a， 再乘以根号五分之二 a， 好， 这就是 s 一， 那么这是 s 一。 我们把 s 一 表示出来以后，那么 s 二和这两个我选一个，那你会发现这个大的梯形的面积太容易表示了， 梯形的面积就是二分之一至二分之一梯形的面积啊，梯形面积是二分之一，上底加下底乘以高，上底加下底乘以高，就是 a 加四， a 加四乘以高乘以八减二 a。 好 了，那么这样的话，你会发现这就是四边形面积的一半。好了，那么 s 一 等于四边形面积的一半，我们就得到了一个关于 a 的 方程。解这个方程整个问题就结束了， 那么把这个方程解出来以后，你就会得到 a， 得到 a 以后，最后再乘以二就会得到 a d。 解方程我就不讲了啊，就非常简单的一个方程，那么最后的答案就是十三分之八倍，根号下六十五啊。解方程我就不讲了啊， a 撇 d g 啊，这写错了， a 撇 d g 啊， a 撇 d g。 那 么这道题我们来讲一讲它的这个几个关键点啊。 第一个关键点就是对于等分面积的处理，这道题的第一个关键点是等分面积，如何处理等分面积？它其实就是给了你一个面积关系，你把这几个相关的面积关系摆到这，你看哪个面积好表示，你把它表示出来，它最终是帮助我们得方程的， 这就是等分面积的处理。以后看到不是这道题所有的等分面积都一样，他无非就是告诉你有两部分面积相等，等于二分之一的 s 总面积， 你就把这两个相等的面积以及总面积摆到这，你看哪个面积好，表示就表示哪个，你表示完了以后就会得到方程，这是第一。那么第二呢， 就是注意用相似去表示线段长啊，相似表示线段长，处理线段长，这里面要核心的就是这个三角形，这个三角形，这个三角形，它们都相似，所以呢，它们的比例关系我们都是已知的。这道题用的是相似比还是自己比？ 这道题我们核心用的是自己笔，这个三角形的自己笔转到这个三角形，自己笔转到这个三角形，自己笔就结束了。一个是等分面积的处理， 一个是利用相似表示线段啊，核心用的是自己笔，所以通过学习这道题一以后要会处理等分面积，对吧？等分面积无非就是给你一个面积关系，用线段长把面积关系表示出来，就会得方程，这是第一，第二呢啊，注意 就是用相似表示线段的方法好来看第二题，第二题能不能看出来它考的是个什么？相似？八字相似，哎，捅八字捅哪个点？统一点，非常好。这里面的关键词是哪个？关键词是这个？ a d 平行于 bc， 兄弟们， a d 平行于 bc， 你 有平行 是不是就应该想 a 字八字，这没问题吧？有评价，你是不是应该想 a 八，然后他告诉我们这条线段是六，这条线段是八，那相当于我知道 ab 就是 十吗？这是直角吗？这 ab 就是 十吗？十减六呢？这条线段是四吗？ 对不对？好，我拿到了这条线段是四以后，我拿到这条线段是四以后，最后人家要求这个点 df 这段距离， d f 这段距离，我现在要直接求，显然没法求。那怎么办呢？你还要看到平行线间夹了一个比例关系，四比六，这是不是平行夹比例？这我给你画到这，你这么看，你就更能看得清楚一些。平行线，然后呢？这是一个 四比六啊，然后呢？这你看这四比六怎么用？你是不是显然就把这个捅出来？把这个捅出来是不是造成一个二比三的相似？这就是平行加比例造相似，平行加比例造八字， 对吧？好了，那我就把一点捅出去，一点捅出去，哎，那你会发现这两个三角形就构成一组八字相似， 相似比是多少呢？啊？你可以看自己比，他的自己比是六和六，他的自己比就是四和四，所以这条线段就是四。那么接下来这是第一步，第一步，我造个相似，造个八字相似，得到了 a g 的 长来。第二步，我要求 d f， 我 要求 d f。 你 观察一下，我们刚才造完以后，除了得到这组相似以外， 是不是还得到了一个以 f 为交叉点的八字，就是这个八字，而这个八字现在 什么知道？我们知道相似比是二比一，你会发现这是六，这是十二，那么相似比是不是就二比一？所以第二，我们再用一个以 f 为交叉点， f 为焦点的八字 相似比是多少？相似比就是一比二嘛，相似比是一比二，那你会发现，那我设这段线段是 x， 这 d f 就是 二 x， 那 么 x 加二 x 三 x 就 等于六，所以二 x 就 等于四，所以就等于 df， 所以做个答案， d f 就是 四结束。哎，这就是干什么？就是首先你有平行，你得想 a 八，然后呢，你再观察一下平行线间假比例关系，你把它捅出去就造八字。注意， 捅出去以后，一般来说你造的可能都不止一个，为什么都不止一个呢？平行线间有几个交叉点，就最少有两个八字，你现在有两个交叉点，平行线间有两个交叉点，最少有两个八字，这个八字有相似比，先用，用完以后再用个 f 结束， 这就是平行加比例造八字，这就是感受一下平行线带来的八字构造。好再来好来看看这个题，这个题他说什么？说这两个都是角分线，然后呢，这九十度，这九十度，这是一个梯形啊，把这条线段转过来啊。最后呢，让我们求什么？就是告诉我们这条线段是二 啊，他俩的比是根号五，最后要求 a d 的 长。首先当你看到双角分线的时候，两个角分线为什么要给你双角分线？一般来说，双角分线意味着这里看和差，和差定值，那么双角分线一半啊，两个一半也是定值，你看一下这两个角的和差是不是定值， 一定要去这么想，为什么是这么说呢？因为当出现双角分线的时候，如果原本和差是定值，那么双角分线一半和差也是定值，他就是这么编的。题，当出现了双角分线，那意味着什么？ 意味着可能如果原本的和差是个定的，那么双角分线之后一半的和差也是定的。和差吗？就是加起来吗？来，那么这两个角的和是定的还是差是定的吗？因为这两个同旁内角互补，他俩加起来是一百八， 他俩加起来，也就是说两个阿尔法加两个贝塔等于一百八十度，那么阿尔法加贝塔是不是就等于九十， 对吧？因为同旁内角互补，两个阿尔法加两个贝塔一百八，一个阿尔法加一个贝塔九十，那么这就是九十度。因为这个角加这个角互余，那么这就是九十度，这就是你看到双角分线以后该有的意识。而这个角分线呢？还有第二个玩法，你看啊， 当你看这个角分线上的点，因为我们角分线，你看角分线还有第二个角分线，如果你看到了一边造垂直， 那你是不是一定要去看一看另外一边再造垂直，就会得到权能，对不对？来，你看这条角分线上的点，已经向他的角的一边做了垂直， 那我是不是就应该顺手再由意向谁去做垂线？我是不是应该再由意向 c、 d 去做垂线？ 一旦做完垂线，那你会发现这两条垂线段是不一定是相等的，这两个三角形也一定是全等的。那么同样的道理，这个 e h 不 光等于 e a， 这个 e h 不 光等于 e a， 还等于谁？ e h 等于 e b， 因为这条线也是角平分线，他往这边做了垂直，还往这边做了垂直，这两个垂线段长肯定也相等，还等于 e b， 好， 那么这样的话，我其实得到了 e a 等于 e b 这个点， e 它是一个终点， 这就是角分线做垂直造全等，哎，我就得到了这个等于这个等于这个，这都相等，还等于这个。好，那这个时候既然我们知道这些线段都相等了，我就应该干什么了，哎，我就应该射了吗？那我肯定把它射出来，我就射，这是 a， 那么这也是 a 啊，那这是 a 啊，这还是 a， 对 吧？ a a a a， 然后呢，人家要告诉我们， ab 等于根号五倍的 bf， ab 是 多少？ ab 是 二 a 等于根号五倍的 bf， 所以 这就是二 a， 再除以根号五嘛， 对吧？你看它是它的根号五倍，这是二 a， 这是二 a， 除以根号五，那么 bf 也就表示出来了。 这是一开始我们对条件的解读啊，包括双角分线，包括向两边做垂线，包括呢？这些相等的线段，我把它设出来。好，那么最终这道题要求的是 a d， 要求 a d， 要求 a d， 这显然是放一个三垂直里面去求，没问题吧？ 当你得到这个是九十度的时候，你要求 a d， 显然是放到这个三垂直里去求，这个三垂直太明显了，对吧？为什么一定是放到这个三垂直呢？因为你会发现，你要放上面这个直角三角形，啥条件也没有，所有的条件几乎都集中在下面来，那么这一下呢？我们从哪入手去求呢？大家觉得这里面目前 最关键的三角形是哪个三角形？这个三角形是已知条件目前最多的三角形，那我肯定从这入手了， 锁定这个三角形，那这个三角形是一个等腰三角形，你要想用这个已知条件，你怎么办？三线合一，第三步就是等腰三角形，三线合一，等腰三合一。注意，为什么在这个想到要在这个等腰上去做三合一呢？因为这个这个等腰三角形条件太多了，我一旦做完三合一，哎，那你会发现，这就是根号五分之 a， 这也是根号五分之 a。 好 了，那这个直角三角形，它的三边比就是一比二，比根号五。看斜边和短直角边的比是根号五比一嘛？根号比一，我给你画一下，它其实就是 一比二，比根号五的三角形，它是它的根号五倍，它是它的根号五倍，那这就是根号五分之二 a。 来，再来，我现在知道了这个三角形的三边笔了，然后呢，我就想办法要找跟他相似的三角形，这是九十度，这是九十度。来，看好了，这一个九十，这两个九十，大家能想到啥？再往下，我得到了这个三角形三边笔，我肯定要想办法用它，一个九十，两个九十，大家想到啥？内三垂直，为什么说内三垂直？来，我给你在这画一下，看，这是九十度， 拉了一个条线，这是九十度，哎，那自然，我在这再来个九十度，这是不是就是内三垂直？所以呢，我一定是过哪个点向下做个垂线，过 f， 我 再向下做个垂线，一旦做完垂线，哎，那你会发现这两个绿色的三角形就构成了内三垂直。内三垂直意味着这个三角形的三边比也是一比二，比根号五， 所以他是二， a 除以五，然后他是他的二倍，这就是五分之 四。 a 看，一比二比更好。五，因为这两个三角形相似，用一次自己比，所以第四步是内三垂直，对吧？内三垂直就是这两个绿色三角形相似，他是一比二比更好，五，他也是一比二比更好。五。 好了，到这呢，我们都表示出来这么多线段了，来，能不能带上这个二，来把这个 a 算一算。你这次应该观察了，这么多线段都有了，看一下 能不能列出相似。这又有一个 a 字了，看，这两条线又是平行线，哎，那么这一个平行线就会出现一个 a 字，就是 f h 平行于 e， b 会有一个 a 字。第五步， f h 平行于 e， b 就 会有一个 a 字， 对不对啊？就是这个 a 字，这个 a 字我用 fh 比 e， b 就是 五分之二， a 比 a 就 等于二，比 a 加二，这个 a 字就有二，比 a 加二就等于五分之二。 a 比 a， 来看一下这个比例关系很好算，我可以算出来， a 等于三， a 等于三呢？整个问题都结束了，来，我们来观察一下，最后 a 等于三的话，那这就是二，这就是五分之六。 五分之六，这是二，就是五分之六，可以算出来这条线段是五分之八，这条线段是五分之十二，那么 a 等于三的话，二， a 就 等于六，这都是三，这也是三 好。那么最后再 y 三垂直，这个 y 三垂直，你在那这条边我就可以算出来是四好。最后第六步，第六步就是 y 三垂直，大的三垂直大三垂直就是 a， d 比三就等于三，比四， a d 就 等于四分之九。结束，所以这道题总共有六步，把这道题搞定。来吧，兄弟们，你看我们用了哪六步呢？第一步，我们想到了双角分线，这得九十度，就得大三垂直。这是第一步，双角分线和差定值得九十度。第二步， 看到了角分线，向一边做垂线，我再向另外一边做垂线，那么你会发现这些都是全等的啊，这两个全等，这两个全等导致他和他相等，他和他相等，导致这两条线段的相等得到，这是终点，这是第二步。 第三步，在这个三角形内等腰三合一，这是第三步。好，第四步，内三垂直，内三垂直得线段长。然后呢？第五步， a 字。第六步，大三垂直。来，我来说一下，五分之二是怎么来的？看他是他的根号五倍，你用他除以根号五，就得到他 内三垂直。一般怎么想到？来，我再给你画一下内三垂直。一般怎么想到，当你看到了这有一个直角，这里面拉了一根线，那么这有垂直，那么你可以。你看啊，你这种时候造内三，你可以这么造，这是内三垂直。 你还可以怎么造啊？你还可以这么造，这也是内三垂直。总的来说，你只要有三个直角，可以倒覆于正相似就行。好吧，这就是内三垂直。怎么想的？来，我来说一下啊，就是这道题啊，其实你单看任何一步都不难，都非常简单，但是你把它揉在一起，就需要你对这些东西特别特别的怎么样？ 就像你对，哎，比如说双脚分线啊，脚分线造拳等呀，等腰三线合一啊，内三垂直啊，还有这个平线带来的 a 字啊，还有最后的大三垂直，如果你把它揉在一起，你就需要你对这些东西特别特别的熟，所以这就是基本功的熟练度， 这就是这两年中考的考核方向，他不会考核你什么天马行空，然后特别特别复杂的什么模型，不会的，这两年中考很少考到那些东西。 这两年中考这就是最常见的题型，就是他很复杂，他揉了很多东西，单看任何一个都不难揉在一块考你基本功，我跟你说，你不需要做太多的题，你把这道题给我做十遍，你去感受一下， 把它做十遍，就是你要把题目真的做透，让这些本事长在你的脑子里，而不是你贪刷很多，这不需要刷很多题，真的，我们整个孩子们，你说缺不缺练题？他们题量都太多了，他们是做题太多了。来，我们再来今天最后一道题，二零二二年安徽的一个题，这是一个正方形，这是一个正方形， 然后呢？这是一个等值，哎，这里面有一个等值，这是一个等值，然后给这做个垂线，做完垂线把它延长出来，最后求这个角度， 那么这道题大家一眼看过去就应该看到什么，这很明显一个大的三垂直吗？而且这个三垂直人家说什么？ 因为这里面是一个等腰直角三角形，所以这个大的三垂直是一个什么样的三垂直？这个大的三垂直相似比是多少？ 因为这是一个等腰直角三角形，这个大的三垂直相似比是多少？这是个全等，这是个一比一，对吧？好了，最终人家要让我们问这个角度，问这个角度，大家有啥想法？ 你是不是猜都猜他是四十五度啊？所以你其实就是要证什么？就是要证明这两条线段相等，那我们来观察一下我们现在已有的等量。首先这两个三垂直，那你会发现啊，这一段就和这一段相等，同时呢，哎，我假设这条线段是 a， 这条线段也是 a 啊，那么这个是 b， 那 这个也是 b， 哎，到这以后再怎么办？哎，这是三垂直给我们的 a 等于 ab 等于 b， 还有谁是 b？ 你 会发现你要用到正方形的等量关系吗？用正方形的等量关系，那这是 b， 那 这是不是也是 b？ 这是 b， 这一段是 b， 这是 a， 这就是 b。 减 a， 这全长是 b， 这是 b 减 a 呢？这就是 a 喽。所以你其实只需要怎么样？只需要把三垂直的等量关系和正方形的等量关系放在一块。一考虑啊，你会发现这两条线段相等，所以这个角等于四十五度。 所以呢，这里面最重要的是什么？等量的标设，你如果这道题等量不去看，不标不设，那你肯定废了。还有一个就是三垂直的，三垂直的啊，全等的竖立 三垂直，全等，再来等量，等量，你就表示三垂直的全等，这个不正了啊，这自己正吧，三垂直加上这这两个勾边相等，这肯定全等嘛， 自己正吧。那么我们来看第二问，第二问，他告诉我们什么呢？他告诉我们这个角四十五度，我们已经正过了，他告诉我们 e、 d 是 一，告诉我们这个 dc 是 二倍根号二，最后要求 m、 n 的 长，要求这条线段长。 我们现在先梳理一下关系嘛，那这个是二倍根号二，那这两条线段都是二，这两条线段都是二，我就可以得到谁啊？就可以得到三，就可以得到大正方形的边长，你会发现，那么 e g 就是 三， e g 是 三，那这也是三。大正方形边长是三，那这也是二， 好吧，那这些线段就都出来了。当这些线段都出来了以后，那我如果想求 m n， 你 觉得我就可以先去求谁，那咱是不是就可以先求 dm 呀？ dm， 这是不是有一个很明显的这个，因为平行带来的 a 字相似， 对吧？这个 a 字相似，相似比就是一比三，对吧？相似比是一比三，所以呢，这个 dm 一 口报是多少？一口报就是三分之二，对吧？这就是三分之二。 哎，用这个 a 字，所以第一步，第一步 a 字我就可以得到 dm 等于三分之二， 那这下我一旦有了 dm， 等于三分之二了。来，大家再想一想，我都有了 dm， 等于三分之二了，我现在要求 m n， 我 就不妨去想着求一求，求一求谁了？我有了 dm 等于三分之二，我要求 m n， 我 不妨去求一求谁啊？我是不是求一求 n c 就 可以了？为啥呢？因为你会发现这个 m n 好 像放不到一个合适的三角形， 对不对？但是这个 n c 人家好歹在一个直角三角形里面，是不是好求一点？而且因为他们加起来全长是三嘛，我只要把 n c 求出来就搞定了。哎，我们曲线求国嘛，那如果要求 n c， 大家有啥想法？求 n c， 因为这两条线是不是已经是平行线了？ 这两条线本身就是平行线，那我只需要把它捅出来，哎，把这个延长出来，这底下是不是就出现一个 a 字， 对不对？哎，因为这两个本身已经平行了，对吧？那我只要把它弄出来，是不是就会出现 a 字？ 那我们再看一下，那这个时候呢，我们梳理一下，有什么呢？这是二，那这也是二，对吧？那这个是二，全长是三， f h 就是 一，所以底下这个第二个 a 字的相似比，第二个 a 字的相似比是多少？三比五，非常好。 好相似，比三比五，相似，比三比五，那我就可以列 n c 比上一个一就等于三比五，所以就得到 n c 是 五分之三。 好，那到这不结束了吗？全长是三，这是三分之二，这是五分之三。减完我就可以得到最终的答案， m n 自己减一下就是十五分之二，十六， 整个问题结束。所以这道题是怎么想的呢？这道题看起来要求 m n， 但是 m n 你 要注意它放不进合适三角形，你一定要体会这个字啊，放不进合适三角形，因为 m n 想让它只能放到这个三角形，但这个三角形啥也没有，所以呢，我取线就过 dm 可以 直接放进 a 字， nc 可以 延长出去构造 a 字，把这两个都搞定了，最后 m n 就 搞定了。所以这道题核心除了相似以外，核心还有一个什么意思呢？就是放的意思，如果人家让你求对这条线段不好放，你看一看边上有没有好放的线段。所以呢，你看， 我们一边一边在讲相似，那么但是讲相似的过程当中充斥着飙射、放烈，充斥着最基本的集合习惯。然后呢，今天我们来复盘一下讲的四道题啊，都有哪些东西？看看一下啊？第一道题呢，重点是这个像，这个反八，像，这个 a 字啊，反八反 a 啊， a 字平行线带来的相似，对吧？这是第一道题， 第二道题是是什么？平行线间假比例，八字相似的构造，这是第二道题。来再看第三道题，第三道题就比较多了，有双角分线，有角分线的造权等等样，三合一，内三垂直， 平行线带来的 a 字大的外三垂直，对吧？好，还有最后一道题，最后一道题是什么呢？最后一道题是外三垂直，结合什么呢？结合两个 a 字的使用。最后一道题其实核心讲的是什么？放的意识， m n 不 能放这两条线段好，放好了，这就是多模型综合。我们通过这些题啊，带大家感受一下。首先这些最基本的模型以及构造你必须得会，这，这是必须会的，必须要非常非常熟练的，这是 第二呢，如何利用相似去处理线段长哎，去表示线段，去用自己笔，去用相似笔去把线段表示出来，最后完成计算。好吧，这就是我们讲的，你看，我们昨天讲的是最基本的全等相似，对等量和比例处理的底层思想。 今天呢，我们帮大家过了一下相似多模型的综合今天，当然了，每个模型我没有办法展开给你细说，这是你要去参加中考非常非常要熟练的东西，今天马哥帮你串一串，有问题下来一定要自己去搞定，今天的内容就到这。

屏幕前的各位同学，你们好，本次小视频我们重点讲二零二六自主去三模解答题十九题，那么这是一道关于导数的一道压轴大题， 好，那么本次小视频我们从切线方程到横成立，再到竖列不等式，每一步都给大家讲透它的这个逻辑，以及讲清它的这个易错点。好，我们先看一下题，已知 f x 等于二， a x 加 a x， cosine x 减二倍的 sine x。 第一问题，当 a 等于一的时候，函数 f x 切线方程。第二问题， x 大 于等于零， f x 大 于等于零，横乘以啊，求 a 的 取值范围问题。 第二个呢，啊，这个不等式成立。好，那么这道题的第一问题就是切线方程问题。第二个呢，横乘以求参数问题。第三个呢？竖列不等式。好，我们先讲一下第一小问 啊，那么在这呢，他说当 a 等于一的时候，当 a 等于一的时候，那我代入到这个 f x 当中嘛，那它是二 x 加 x， cosine x 减二倍的 sine x。 好，这个函数过派 f 派点，那么 x 等于派的时候， f 派等于多少？哎，带进来发现它是等于派，所以我们确定了这一个函数的切点啊，也就是派都派，那接下来要该怎么办呢？ 啊，要给这个函数求导，那么通过四次运算法则啊，我们给这个函数求导，也就是二减 cosine x 减 x 倍的 sine x。 好， 我们把 pi 这个点给他带进来，那么 f 撇 pi 也就是等于三，也就是确定了这个函数的斜率，它是等于三。 好，那么切线方程的公式你还记得吗？很好，也就是 y 减 y 零等于 f 撇 x 零乘上 x 减 x 零。好，那么题目当中讲了 x 零是多少 pi， 好，我们算出来 f 派是多少啊，也就是派 f 撇派是多少？三，好，我们把这些值给他带进来，确定这个函数的切切方程，也就是三 x 减 y 减二派等于零。好，那么这道题他就是考察的是函数的切切方程问题，同学们听懂了吗？ 好，我们再看一下第二问题，那么第二问题是横乘以求参数范围问题。好，我们先审一下题啊，那么他说，对于任意的 x 大 于等于零，有 f x 是 大于等于零横乘以。 f x 大 于等于零横乘以嘛，那它是大于等于零。好，我把这个负的二倍的 sine x 移到不等式的右边， 那它是二 a x 加 a x， cosine x 大 于等于二倍的 sine x。 诶，在这我发现有公音是 a x a x 可以 把它提出来嘛，所以它是 a x 倍的二加 cosine x 大 于等于二倍的 sine x。 好， 在这个不等式的两边，我同时除以二加 cosine x， 因为这个二加 cosine x 一定大于零。为什么呢？ cosine x 的 范围是负一到一中间嘛，那么给它加上二，那它肯定大于零。不等式两边同时除以大于零的式子，那么这个不等号的方向不变，所以 a x 大 于等于二加 cosine x 分 之二倍的 sine x。 好，然后呢，我把这个二 sine x 比上二加 cosine x 移到这个不等式的左边，那它是 a x 减二倍的 sine x 比上二加 cosine x 大 于等于零，那么我接下来呢？构造函数，也就是 j x 等于它。 好，那么现在呢？我把这个核心问题转化，为什么在区间 x 大 于零上啊，使 j x 大 于零横成立，那么求 a 的 曲折范围问题。 好，那接下来我该怎么办呢？给这个 g x 求导，那么通过这个商的运算法子， g p r x 求导之后，它是等于 a 减二加 cosine x 的 平方分之二倍的 二， cosine x 加一。好，我用换元方法令 t 等于二加 cosine x， 那 么 t 的 范围是一到三，那么给这个十字带起来呢？它是等于六倍的 t 分 之一减三分之一的平方加三分之二，那么也就是分析这个 g x 导数的符号，然后确定这个 g x 的 一个单调性。 好，接下来呢，我们分析这个情况讨论啊，分情况讨论，锁定这个 a 的 一个单调性。好，接下来呢，我们分析这个 a 小 于等于零的时候， 取 x 等于二分之 pi， 则 j 二分之 pi 啊，我们发现它是小于零的，那么它是不满足恒成立，所以我们把它排除。 那么当 a 大 于等于三分之二的时候，哎，我们发现这个 g x 就是 大于零，能满足它是单调递增啊，所以 h 大 于等于三分之二。好，当 a 大 于大于等于零小于三分之二的时候，那我令这个 h x 等于 sin x 减二分之三 x， 然后给它求导， 那么二分之三是在零到一中间， x 零是在零到二分之派，所以这个 g 撇 h 撇 x， 它是， 呃，在零到 x 零上是大大于零，也就是单调递增。那么 h x 大 于 h 零呢？也就是零嘛，那三 x 大 于二分之三 x， 那 我发现这个 g x 它是小于零，那它是不满足的。那么总上我们能判断出这个 a 是 大于等于三分之二。 好，那么也就是第二题的第一问，我们是怎么做的呢？那么第一个呢？我们啊先去构造了这个 g x 啊，然后把它转化成了 x 大 于等于零上 g x 大 于等于零横成立的 a 的 取值范围问题，然后我们给这个 g x 去求导分析 g p， r x 的 符号，确定 g x 单调性，然后呢，分组讨论啊，就是锁定 a 的 范围，那么 a 是 大于等于三分之二，好，那么这道题同学们听懂了吗？ 好，我们再看一下第三小问，那么第三小问呢？他说对于任意的正整数 n 啊，那么三分之二加括号以内 k 分 之一， k 等于一到 n 的 合适，它是大于 n 加三 n 分 之一减三分之二， 那么这道题就是竖列不等式，那么我们要降为打击啊，要用一的结论构造它的基基础不等式，那么要用哪一个结论呢？第一，第二题的第一文，我们是不是算出了 a 是 大于等于三分之二， 那我们现在呢，取这个 a 等于三分之二，那么对于任意满足的 x 大 于零的时数，可以推导等 g x 是 大于等于零， 那么刚才我们是构造过这个 g x， 这一个是第二题的疑问，我们构造出来的，对吧？那么我们把这个负的二倍的 sine x 比上二加 cosine x 移到不等式的右边， 那它是三分之二 x 大 于等于二倍的 sine x 比上，而加 cosine x， 现在的 a， 我 们就是带的是三分之二啊，好，然后在这个式的两面，我先同时乘二倍的 cosine x， 然后两面同时除以二 x， 那 能得到这一个不等式， 那我用这个换元方法代入 x 等于 k 分 之一，那么现在的这个 cosine x 就 变成了 cosine k 分 之一嘛？ 好，然后呢？三分之这个二加括号三 k 分 之一大于等于这个 x 分 之一，也就是变成 k 了，然后乘幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺 幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺 啊，就是现在呢，就是左边，就是我们要求和的这个项，然后右边是一个关于 sign k 分 之一的一个式子，那么接下来我们只要把这个右边呢给它放缩成一个好求的和的一个形式就可以了。 那么对于 sign x 做太了的一个放缩啊，那么把它变成多项式好， 那么为什么要处理这个 sine k 分 之一呢？因为它是三角函数，直接这个没法求和，我们把它变成多相似，比如 k 分 之一， k 方分之一这种，那么它才能逆向求和。 那么怎么放松？那么我们用一个非常好的结论，也就是 x 大 于零，小于等于一的时候， sine x， 它是呃大于 x 减三分之一 x 的 三次方， 那么我这个我们尽量把它弄成一个简单的式子，所以我们令这个斐 x 等于 sine x 减 x 加三分之一 x 三次方，那么我们看它在这个零到一上时的一个单调性是什么样子的 好，那么斐 x 设完之后，先给他求一阶导，然后再给他求二阶导，然后再给他求三阶导 a， 三阶导刚好是怎么样？大于零？ 好，那么三阶导大于零，为什么呢？因为这个 cosine x 在 负一和一中间，那么二减去它，那它肯定是大于零啊，所以在这的这个，它的这个二阶导是在零到一上是单调低增， 那它单调低增的话，二阶导是是大于零的，那么它的这个一阶导的话是零到一上是单调低增， 那么它的这个一阶导大于 f 撇零， f 撇等于零嘛，那么 f x 零到一上式单调递增，那么 f x 大 于 f 零，也就是等于零，那我们能算出这个 sine x 是 大于 x 减三分之一 x 的 三次方。 好，那么现在呢？把这个 x 等于 k 分 之一代入到这个不等式，所以它现在变成了什么 a 乘三 k 分 之一大于一减三 k 的 平方分之一，因此这一个不等式它是成立的啊。那么现在在它的这个左边的每一项，我们都放缩成了一个一减三 k 的 平方分之一。接下来我们求和就更加简单了， 那么接下来的第三步骤呢？我们就列向求和，列向求和，那么当这个 k 等于一的时候，那它是三分之二，加括号一嘛，它是大于三分之二，所以它是成立的。那么 k 大 于等于二的时候 啊， k 大 于等于二的时候，那么在这儿呢， k 方分之一，它是小于 k 乘 k 减一分之一，它等于 k 减一分之一，减 k 分 之一。 那么在这啊，很多同学想，这为什么呀？这个其实我们在数列当中这列项销这一块当中其实是学过啊，也可以给大家稍微简单的说一下啊，因为这的这个 k 方它是大于什么 k 方啊？这个减 k 嘛， 我把这边的这个 k 可以 给他提出来嘛，那他是 k 倍的这个 k 减一嘛，所以我们的这个 k 方分之一啊，他肯定是小于这个呃， k 倍的，什么？ k 减一，你看这不是乘以吗？ 啊，好，那么这样子的话，那我们能得到什么？三分之二加果三， k 分 之一大于一，减 k 减一分之一，减 k 分 之一。 好，那么这一个弄完之后，那对于 k 等于一的时候，我们给他求和，那求和的话呢？ k 等于一到 n， 那 三分之二加果三， k 分 之一，它是大于三分之二加果三，一加 k 等于二到 n 的 和，是一减三分之一倍的 k 减一分之，这个减 k 分 之一。 好，那么把它的这个右边我们再去给它展开，那它是刚好是等于 n 加三分之三， n 分 之一减三分之二。 好，那么这个正好是就是题目当中要正的这个不等式的右边，所以这个不等式他是成立的。好，那么在这呢，就是他的这个核心逻辑的话呢，就是先这个不等式构造与放松，然后列向效这个求和，然后通过这个结论验证他的这个确认。 好，那么这道题啊，同学们明白了吗？好，那么这个第十九道题，压轴题，他第一问题考察的是切线方程，第二个是横乘以求参数问题，第三个呢是熟练不等式。 好，那么同学们啊，要关注我啊，带你把数学难点都变成一些送分的题，喜欢老老师的课可以点关注点赞哦！