北京数学二模几何汇编

ok， 好， 同学们，好啊，那接下来给大家讲一下咱们刚刚结束的啊，今天刚结束的这个西城的初三二模这个几何综合，好吧，然后这个题他还是一个手拉手加一个斜面中线啊，整体上来说，整体来说的话，老师认为难度 上壳啊，没有那么难哈。呃，首先这个 abc 是 一个等腰三角形，然后角 b 是 一个阿尔法，对不对？然后你就记住啊，这阿尔法和二阿尔法这种东西的话，一般出现如一般如果同时出现的话，基本上就跟手拉手是挂钩的 对不对？要不然的话，他就需要咱们直接去构造一个以二阿尔法为顶角的两个等腰三角形去构造手拉手，要不然的话，那咱们就得去考虑对不对，比如说这个半角模型，通过半角模型，然后再去推这个手拉手，这样， 好吧，然后第一问咱直接过来啊，然后第二问说这个呃 c d 旋转了， c d 旋转二阿尔法到这对不对？说明这个角是一个二阿尔法，然后这个角也是一个二阿尔法，对不对？那这个这当大家看到这个角是二阿尔法，这个角是二阿尔法的时候，应该能够遇上一个事，就是这四个点是一个共圆的， 对不对？因为这个角加这个角是等于一百八十度的，对吧？所以这个圆内接四边形才对角互补嘛，所以这四个点是共圆的，你别管它用的上用不上，但是咱得意识到有这个事，好吧，然后继续呃，说是表示这个 a c 跟 呃 b d 和 e f 的 一个关系，同志们啊，就是这个第一个图啊，咱们之前应该很强调一句话，叫什么呢？叫我卡住的时候一定要去看已知和前面提车，那这个已知包括什么呢？已知和前面提车包括什么呢？第一个包含文字性的信息，第二个包含图像性的信息， 所以第一个图如果这么画，而且这块你知道的是一个直角的话，第二个，第二个，第二个第二题的时候，老师上来啥都没干，直接把这个直角给他做出来了 啊，直接延长之后变成了一个直角，对不对？那我我也不知道这块是不是直角，我就根据我的 d 问的图，第二个我就想这么去干，对不对？这是咱们一个需要干的一个事啊，然后我们接着往下看啊？ 呃，然后我们知道，然后 d 问当中我们可以得到 b、 d 和 a、 c 是 一个二倍关系，对不对？那 a、 c 和 b、 k 我 们看着也像一个二倍关系，对不对？然后 b、 d 是 这个，然后 d、 k 和 e、 e、 f 看着还像相等，那基本上这个结论也就出来了， 对不对？那就是 b、 d 加上个 d、 k 等于二倍的这个 a、 c， 那 也就是这个 b、 d 加上个 e、 f 等于二倍的 a、 c， 对 不对？那基本就这样了。所以到这儿的话，你只要去证明 e、 f 等于 d、 k， 那 e、 f 等于 d、 k 的 话，两边不在一个参数型，那肯定优先去通过全等，全等的话，那我肯定要把 c、 f 连上，对不对？因为这俩参数型看着很，看着很像嘛，对不对？然后连上之后我去正 啊，我去正，这个时候我们还有几种里面有一句话叫什么呢？叫我要改变我的辅助线去输方式，然后让我的辅助线 啊，因为辅助线是给我提供引条件的，然后让辅助线给我提供的这个引条件是我需要的这个条件，那我需要正这个特写，你和这个特写你是全等，对不对？那我直接就去目前我的条件有哪些？有这个边等于这个边， 对不对？其次有这个角等于这个角，为什么呢？因为这个角加这等于一百八，所以这角加这角等于一百八，因为这角加这角一百八，所以这个角等于这个角，对不对？ 然后其次的话，我啊，没有了，那就知道这个角一个边，对不对？那我直接干嘛？我直接延长，延长这个 b d， 对 不对？延长 b d， 然后使 d k 等于 e f， 这样的话，我一个边加一个角，再加一个边 s a s， 这样三角形是不是就全等了， 对不对？然后圈等之后逐过我去再正。这个是直角嘛？这个是直角，然后这仨边相等嘛，对不对？然后很好正啊，很好正啊。这个角是阿尔法，我们是知道的，然后我知道这个三角形和这个三角形是全等的，那这个角 对不对？这个角和这个角应该就是这个，呃，相等的，这个角是二阿尔法，那这个角也是一个二阿尔法，对不对？然后这个边等于这个边，所以这个角是九十度减阿尔法，那这个角是阿尔法，那这个角自动就是九十度了， 对不对？那这个角是九十度减阿尔法，这是二阿尔法，那这个也是九十度减阿尔法，那 a c 就 等于 a k 了，所以我的这个 a 点就是我的阿尔特尔去前面中线了，前面中点了，对不对？那我要正的这个答案它不就出来了吗？ 好吧，这个就是咱们西城啊，西城处在二摩的这个几宗。好吧，整体来说的话也是够到一个手拉手加一个前面中线，他还是非常气，跟咱们中考的这个趋势还是非常像啊，还是非常趋近的啊。

几何快代数，稳心定力，还能提智商。哈喽，大家好，我是彩虹老师，咱们这个视频呢，来讲一下二零二六海淀二模的几何压轴题。那这个几何压轴题啊，如果你在考场上卡住了啊，或者说你在自己做的时候卡住了，你看你是不是卡在这几点呀？ 比如说有同学呢，第一问啊，有点太着急了，或者给自己压力太大了，就导致，哎呀，第一问就卡，或者第一问做了很长时间 啊。有同学呢，可能会觉得，哎呀，这个调问这个图啊，没见过啊，他怎么这给了一个直角，然后这个给了一个共端等长呀，这没见过，这还是个终点，哎呀，这没见过啊，没见过就有点慌，有点慌，哎，智商就没了，就做不出来了。 那如果说咱们有这样的困境的话，怎么解决呢？很简单啊，就找老乡，只要慌，咱就挖熟悉。 那我们双体的同学啊，其实应该是，哎，很有熟悉的感觉的，因为你要但凡，你去挖一下条件，对吧？你但凡去稍微读一下条件，你看你读到这九十度，你就立马想到，哎， 咱们的老题，复盘课上，彩虹老师是不是给大家说了，看到九十度对称出等腰，而且我们说如果是两个直角三角形都共顶点，那我就把两个直角三角形都对称出等腰。好，那这样的话，这个题其实他的第二问就方法就来了。 好，那我们呢，哎，给大家呢，示范一下，这个第一问和第二问都在考场上，怎么快速解决哈。首先来示范一下我们的第一问，那无论做哪一题，首先先标图啊，工具。哎，第一个呢，我们，哎，用 r 法是四十五度，我们可以标出来这是一个等腰值， 然后呢，一百八十度减二， r 法也是九十度，所以这也是一个垂直。 好在这种情况下，他让我们去证明这是垂直，那我们知道正垂直或者给垂直，我们先默认这是垂直的话，哎，先默认这是垂直，对吧？正垂直就默认他是垂直，那我们发现一个垂直，俩垂直，这是一个什么？ 这是一个一线三垂直的信号，对不对？所以这道题我们可以做一线三垂直啊，也就是说咱们呢，如果以后你看到这种哎，有一个 y 的 直角就斜直角，你就要想一线三垂直，那如果人家还让你正着直角，那肯定是一线三垂直， 那你都想到一二三垂直了，怎么做呀？从点 a 往下做垂，那么根据咱们的等腰直角三角形的性质，我们就可以得到 b h 等于 h， c 等于 a h， 那因为 e 是 c d 的 终点哎，所以 c e 呢？等于 e d。 又因为这一问，特意给了一个条件说 c d 等于 bc， 所以 我们知道 c d 的 一半 c h， 那 也，哎，不是 c d 的 一半 c e 也等于 bc 的 一半 c h， 所以 这仨边都相等。 好，那我们发现啊，现在 a h 等于 c e， 对 吧？哎，然后呢， a e 等于 e、 f， 并且这是直角， 哎，这个是要正的，那我们就再来个角吧，来，这是叉，这是点点加叉，九十度哦，你看中间叉角等于叉角，对吧？边角边这个三角形， a、 h、 e 就 全等三角形，这个 c 啊， e、 c、 f 全等之后，咱们就可以倒角，倒边那角啊， e、 c、 f 是 不是就等于角？ a、 h、 e 就是 九十度呀， 对吧？那这是，那我们就可以得到 f c 确实垂直 bc 的 啊。行，这是第一问， 那第一问呢？哎，它就提醒我们，你呢要去标图啊，你要去找熟悉的工具。那第二问呢？也是啊，我们来看第二问呢是说，哎，这个图它现在长这样子，这是九十度，这是 r 法， 然后 a e 转到 e、 f， 然后转的是一百八减二 r 法啊，那我们呢，从工具里边我们知道哎，对称出等腰，然后共端等长，有旋转， 终点有八中斜三，但是我现在不知道做哪一个能让我去弄这个正这个角，怎么办呢？来咱们，哎，不知道的时候，你呢就去开发你熟悉的条件或者是结论，并且呢，哎，去 想到我们之前给大家整理的一些条件反射啊，尤其是，哎，像这种条件，像这种结论，正九十度，对吧？直接写出 b、 f、 d 的 大小，我们一看就知道它肯定是九十度啊， 那我们要正九十度，那我们就默认它是九十度，我们就想工具啊，九十度背后的工具有勾股哎，斜边中线三线合一，对吧？哎，那我们现在要正这个九十度，而条件给的有 两个条件，又给了一个直角啊，所以我就想到，那正直角的话， 我就想到，哎，我可以做斜边中线或者三线合一，那条件里边这个直角三角形，它本身也在提醒我可以对称出等腰，所以我想到，那我要两个都对称出等腰，是不是就会出现一个旋转圈等，因为两个等腰共顶点就有旋转圈等，对不对？ 好，我们来看一下第二问。第二问呢是说，哎，连接 b f 和 d f， 直接写 b f 的 大小，那我们知道求这个角的大小，大小，它肯定是个特殊角，所以我们量哎，很容易发现它是九十度， 那正九十度我们想到啥呢？哎，我们就想到正九十度，就想到斜边中线呀，三线合一呀， 对吧？哎，这是我们常常用的倒角的工具。那在这道题目中，因为本来我们看到这个直角对直角非常敏感，我就想到对称出等腰了， 那么，哎，我在这里面我要正这直角的话，我也想到，哎，我要但凡对称出等腰，咱们只要能证明这是等腰，是不是就用三线合一就能正垂直了， 对吧？哎，那我们就开始盖啊。首先第一个，哎，九十度直角，我们就想到对称出等腰，我们先画出来。对称出等腰， 我们就是被长 c a 到点 h， 让 a h 等于 ac， 只要连接 b h， b h 就 等于 bc， 然后这个角是 r 法，这个角也标 r 法，对吧？好，这个角呢是九十减 r 法，这个角呢也标九十减 r 法。 好，接着呢是下一个。哎，我们呢条件给的是这个旋转到这共端等长，提醒旋转全能提醒自己啊。然后这个角是一百八减二 r 法 啊，这个角是一百八减二而法。那现在呢？共端等堂有旋转全等，但是我又不知道转谁，所以先放这，哎，就是永远从熟悉的下手啊，我熟悉的是什么呢？你让我正直角，哎，我想到三线合一，三线合一我熟悉，我会画呀，对吧？那我们就画 哎，我倍长 d f， 哎，这样的话就可以构造一个等腰三角形，注意，咱只是构造出来了，咱还没有证明了啊，来，我们，对，就是延长 d f 到点 m， 使 m f 等于 d f， 然后呢再连接 b m， 此时我们呢只需要证明 b d 等于 b m， 就 可以利用中线高线角，平分线三线重合得到这垂直。好，所以接下来的问题就是我们要证明这等腰了， 那么正等腰或者给等腰，咱们通通都要想到旋转圈等，所以呢，我们现在去找旋转圈等， 哎，那就我们已经发现旋转全等了，不对吧，这个等腰粉色的和这个等腰绿色的是不是正好共顶点呀？两个等腰共顶点，是不是铁定就有旋转全等， 所以咱们只需要哎连接这个 h d， 再连接这个 c m， 就 会出现旋转全等，哎，所以咱们接下来只要能证明三角形 h b d， 对 吧？ h b d 和 c b m 就 可以出旋转全等了。 好，那有的人说，老师，这个旋转圈的我发现不了，哎，我教你们啊，你就拿，你就拿这个，哎，腰短腰啊，就是短手，小手拉着个大手， 对吧？这个小手拉大手啊，就是这个当成手，当成一个小手，绿色当成大手，你拿这个小手拉着大手，小手拉着大手，所以说很容易能够找到这个粉色的旋转圈的， 那找到旋转圈等了就开正啊，对吧，我们看看条件够不够啊。首先是 b h 等于 bc， 这是我们自己已经做完的，然后，然后剩下的条件，哎，就没了，没了，赶紧看是不是有条件没用上呀， 来，哎，这个九十度我们对称出等要用上了，这个 alpha 现在标在这，哎，用上了，然后，哎，这个旋转线段没用上，对吧？这两个边相等没用上，那我得用啊，那我看这是一个中点， 哎，现在这个 a 也是 h c 的 中点，多个中点想到什么？ 哎，多个中点是不是提醒中位线呀？所以我们发现 a e 就是 h d b 的 中位线，所以呢，这个是不是就是两个 a e 啊？ 然后同理你看 e 是 终点， f 呢是 dm 的 终点，所以 ef 是 不是也是 cmd 的 中位线？那这就是二倍的 e f， 对 不对？好，那我们知道黄边等于黄边，所以二倍的 a e 是 不是等于二倍 e f， 哎，所以我们发现 hd 是 等于这个 c m 的 好，两个边了，就差一个角， 对吧？那我们就开始倒角了，就是应该是再正一个这个粉边和这个 h b 的 加角，就正这个角等于这个角，是吧？哎，那我们发现这两个角等啊，正不出来 啊，为啥呢？没信息啊？这，你看这个三角形整体都没信息，所以赶紧去找，怎么办呢？哎，这里面倒角工具是什么呢？ 哎，有中微线就有平行，对不对？我们倒角用上平行线啊，以及呢，陈老师之前给大家总结一个啊，就是无论是你正旋转圈等，还是给旋转圈等，如果你的倒角卡了，一定要关注第三边的夹角，什么叫第三边呢？哎，就这个 h d 和 mc， 它就是第三边，你呢，就关注这个第三边的下角，也就是延长 mc， 哎，交 h d 于点 n。 哦，那你就要关注这个角 啊，那我们根据平行，我们知道它是等于这个角的，是不是这两个同一线，哎，然后根据这个和这个平行也能发现等于这个啊，所以呢，我们可以发现这个角，哎， c n h 它其实是一百八十度减两个 r 法。 好，那我们关注这个角之后能干嘛呢？哎，那当然要看看它给我们提醒啥了。朋友们，你们不觉得这个条件挺别扭的吗？ 但凡遇到别扭的条件，他肯定在提醒我们啊，而且越是别扭的条件啊，越是别扭的条件，越是面条老师煞费苦心的提醒，当我们看到一百八减二十二发，我们就要想到他和二十二发是互补的， 互补角就在提醒你，延长会出角，等内角和，哎，内角和一百八也会出，可以倒角，对不对 啊？还有平行同胞内角都可以倒啊，所以我们现在观察一下啊，这是一百八减二 r 法，而这个地方刚出来一个二 r 法，哎，这就这两个是在一个四边形里，所以应该是想让我们用内角和倒角的，是不是来给大家画一下啊，在这个四边形 h、 b、 c、 n 中，哎，这两个角是互补的对不对？那四边形内角和三百六啊，这俩角互补，说明这个角标个角一啊，和这个角是什么关系？是不是也互补啊？ 哎，那又因为这个 b、 c、 n 和这个角三是不是也互补，所以角一就等于角三了，哎，角一就等于角三。好，那我们就发现，你看边角边，咱们就可以得到这个旋转全等了， 嗯，所以你看，哎，我们呢，本来是想要正这个垂直，哎，正垂直不知道怎么正的，我就知道这是直角三角形对称出等腰， 然后我要正垂直时，我就正着等腰，那正等腰或者给等腰，我们都要想到旋转全等，所以我想到要正这个粉色的三角形全等，哎，那正全等的时候呢，我们去利用上每个条件，就能得到边角边都对应相等的信息， 好，得到信息了，我们就可以轻松证出来他俩全等了，是不是？那全等式工具，工具立马到角到边，通过这个全等立马就可以得到咱们的 bm， 就 等于 b d 了，是不是？哎，那三角形 b m、 d 就是 个大等腰，等腰三角形三线合一，而 b f 现在是人家的中线，所以就是人家的高线，所以角 b f、 d 它就是九十度了。 好，那我们总结一下啊，这个题还是非常的有难度的，是吧？哎，其实在我们双题眼里，他就是看到直角三角形就对称出，等腰，等腰三角形出，旋转旋转，全等倒角，找第三遍就够了。 但是可能在一些哎，靠经验做题的学生啊，或者说靠灵感做题的学生来讲，你会发现他非常的难，因为他画的浮线特别多 啊。那如果说你想让自己能够哎，对辅助线不触哎，多复杂的辅助线都能想到的话，那么你可以去积累这些条件，反射就是去积累，看到每个条件应该怎么做。 咱们呢，在按摩后会开一个几何压轴的专题课啊，在课堂上像这个我第一节课就会给大家讲，这个呢，在几何压轴的第二节课也会给大家讲 啊，每一个条件，那我都会给大家示范咱们应该怎么想到，以及想到了之后该怎么做。大家呢？如果说想要在二模之后再冲刺一下几何压轴的话，可以来双体找彩虹老师。

今天下午刚考完的西城二摩的这道几宗题，依然保持着超高的水准，他的第二小问难度比较大，两步走，第一步是我们一直在讲的旋转口诀，第二步是几宗中的难点倒角。接下来我们详细解读一下这道题。第一小问中啊， 他需要用到的是证明角度相等，因为我们很容易可以看到题目中已给了等腰，又让我们证明点 a 是 中点，那自然只要证明 a、 d 等于 a、 c 即可，所以我们的目标就会聚焦到证明三角形 a、 d、 c 是 个等腰三角形，在这个位置，他已经在向我们暗示第二小问了。 我们经常会讲一句话，没有无缘无故的低小问，在己东这道题中，这句话是非常重要的，那我们不去详细解读低小问的具体过程，我们只在讲，当你做完题之后，你要把这道题目中用到的核心给他提炼出来，一、找 a、 c 等于 a、 d， 找等腰。二、倒角 后面我们在做第二小问的时候，会用到它进入第二小问。第二小问呢，读完题之后，我们知道它给了一个 a、 c 和 c、 e 之间旋转了二阿法这么一个旋转关系，这两个线段不仅是旋转，而且旋转的是一个不确定的角度， 非常符合我们经常讲讲的旋转口诀，也就是旋转线段带全等。什么意思？就是我不仅要让这两个线转，我还要让这两个线带着三角形转，比如，比如啊，我找到了 a、 c 这条线带着的一个三角形 a、 c、 d， 我 让他转过来，转过来之后他就会转成这样， 那这就是其中给我们的一种尝试性的辅助线思路，他靠谱吗？看完之后他并不太靠谱。为什么？因为在旋转线段带全等这个思路下，不止一种可能性， 现在我转的是其中一种可能性，我还可能转别的三角形。那我尝试了某一个旋转，我怎么知道它靠谱还是不靠谱呢？要和题目中的已知和所求相结合。比如这道题明确求的是小 a、 小 b 和小 c 这三条线段的关系。 那你看，我们转完之后，小 a 跑在这个位置，小 b 跑在这个位置，小 c 跑在这个位置。这三条线啊，完全没有关联上，和我们的所求没有任何关联， 而和我们的已知关联度只和旋转有关系。那他不是我们的 u 型选项。那怎么办？我刚刚提示了，不止旋转一个三角形啊，我们再去看还有没有可能带其他的三角形旋转呢？哎，连接 c f， 那 c、 e、 f 不 就变成了一个可以跟着 c e 旋转的三角形吗？我们给它延长， 大家转到这个位置来。当我这么一转的时候，我观察一下我们要找的那三条线产生了什么样的变化。 第一个小 a 所在的位置在这个位置，第二个小 b， 第三个小 c， 很 明显他回到了什么状态呢？我们的第一条纹的状态就是小 a 中已经有一部分是等于小 c 的 了，我们只需证明这是一个等腰三角形即可。 好，思路一下就通了。那么接下来我们要做的是什么呢？先不要着急，要把这个旋转线段带全等这个思路转换成比较标准的写法，就是旋转三角形在我们的这个解题中是不能够直接这么表述的，我们往往采用的是延长啊正全等的方式， 所以本题的表达应该是延长 a d g 使得 d g 等于 e、 f。 接下来我们就要去证明这两个三角形全等。 观察可得，已经有两组条件是明确的，一个是 c d 等于 c e， 一个是我们延长的 d、 g 等于 e、 f。 这两条线相等，中间唯独缺一个东西，就是他们的夹角相等，也就是角 f、 e、 c 等于角 gdc。 我 们还缺这个。分析到这个位置，就进入了本题的第一个难点，导角。本题有两个难的导角，这只是其中之一，我们来看看是怎么推导的。我想证明这两个角相等，会发现其中一个角是四边形的内角，而另外一个角是四边形的外角。角 gdc 加上角 fdc 是 等于一百八十度，我只需要证明角 fdc 加上角 f、 d、 c 也等于一百八十度即可。 f、 e、 c 和 f d、 c 同时转换到了四边形内部这两个角，发现不太容易证明它俩相等，那我就会切换到另外一个视角，看另外一组对角是不是相加等于一百八十度呢？观察可得， 角 d、 f、 e 加上角 d、 c、 e 是 等于一百八十度 a， 为什么这两个相加是一百八十度？因为角 d、 f、 e 加上它的补角是 bfe， 而这个 bfe 呢，是本题所给的一个关键条件。二、阿法这个条件我们不用上，肯定是证明不出来本题的，所以这样一来，我们就推导出了 如何去证明这两个角相等。观察和推理的思路是这样一步一步逆着来的，所以写的时候是从下往上写的，本题的第一个难点突破了之后，全等就得以证明，所以三角形 cdf 那第二个点就到哪了呢？就到了，我们如何去证明这个位置是一个大等腰？回顾本题，我们已经得出，哎，这一部分和 这一部分相等了，只要再证明这一部分和这一部分相等，就可以得出 a 加 b 等于二 c 了。所以到这个角 到这个三角形就变成了一个关键了。那我们接下来先看在这个三角形中有什么已知条件呢？哎，看旁边的这个图可以看到这个位置啊，是有一个二倍的阿尔法的，千万不要忽略了它，因为最开始就告诉了我们底边是一个等腰三角形，所以第一步 角 d、 a、 c 等于二倍的 r 法。如果它是个等号三角形，我只要能够证明这两个底角中任何一个等于九十度减 r 法，那另外一个也一定等于九十度减 r 法。所以我要去观察找哪个角去证明它是九十度减 r 法。刚刚的全等就可以帮我们发挥作用， 因为这个全等是一个旋转全等旋转全等意味着什么呢？意味着手拉手模型的出现。 所以本题是两个等腰三角形的旋转啊。一个等腰三角形是这个小的，它的顶角是二倍的阿法。另一个等腰三角形是这个大的，它的顶角也一定是二倍的阿法。所以由此我们可以得出这个角是二倍的阿法。 那这样一来，我就可以得出上面的这个底角是九十度减法。所以他还充分利用了手拉手模型的逆向使用这个关键结论，所以角 f c g 等于二倍打法，角 c g， a 等于九十度减法，把一和二他俩一结合，可以得出 a c 等于 a g， 所以 综上所述，我们就可以得出小 a 加小 b 等于二倍的小 c， 也就是本题的结论就出来了，也就是 b d 加 e f 等于二倍的 a c。 非常好的一道题，值得大家把它认真的记在笔记本上。

hello， hello， 大家好呀，我是小卫。那今天咱还是用最通俗易懂的方法解决刚刚出炉的瞬移二模的几何综合。那我们来看这道题啊，他说 a c b 是 九十度， c， a b 是 阿尔法。咱快速的标一下图， 然后呢，将线段 b p 绕点 b 顺时针旋转，一百八十度减去阿尔法。也就是说这两条边是相等的，并且它们的夹角是一百八十度，减去两个阿尔法。 好，那么过点 q 作 q， m 平行于 a b 啊，那条件就是这么多。那第一问，让咱证 b a c 和 b a q 的 数量关系。 好，那咱们来看啊，这个角是阿尔法，这是九十度，所以上边这个 a b p， 它就一定是九十度减去阿尔法，那整个的大角是一百八十度，减去两个阿尔法。所以说这两个角是不是现在就都应该是九十度减去阿尔法了？ 那这两个角相等 b q 还等于这个 bc， 然后 ab 还是公共边，所以这两个三角形一定全等， 那全等之后，对应角相等，是不是 b a c 就 等于这个 b a q 这两个角就相等了啊？第一问，非常轻松，咱就解决了。好，那咱看一下第二问啊，他说 m 在 c 的 延长线上， ok， 那 还是满足题目当中大条件嘛。那咱先把图标一标 c， a， b 是 阿尔法，然后呢， b p 等于 b q 加角是一百八十度，减去两个阿尔法， 然后 pm， 呃， m q 是 平行于 ab 的。 好，那么这个就是条件就结束了。那他说用等式表示 pm 和 ac 的 数量关系，那 pm 是 这个长度， ac 是 这个长度。 那咱在考场上第一步还是要先拿尺子去量一量他们具体是什么数量关系，那哪怕咱们最后没证出来，那咱们还能蒙个数量关系吗？啊，这个是没有问题的。 好，那再结合这道题啊，咱会发现这个角是阿尔法哎，这个角是九十度，减去阿尔法是这整个的一百八十度减去阿尔法的一半， 并且呢，它也符合半角模型的这个 b q 等于 b p 的 这么一个信息啊，它也有这组边是相等的， 所以我可以先从这个半角模型引出的旋转开始作为我思考的起点。 那在这道题当中呢，我是不是可以去旋转这个 b a q， 把这个 b a q 旋转过来，旋转到这个位置，这是一种想法。那第二种想法呢，就是我去旋转这个 b c p， 把这个 b c p 咱给它转上去， 呃，变成一个类似于这样的这两个三角形是全等的。好，那么结合这两个想法来看呢，我会选择第一种，因为第一种啊，我这样构造完之后，我能最大限度的去利用这个垂直， 因为如果一旦全等了之后，哎，这边等于这边，是不是咱就直接能出来一个三线合一，对于我证这个 pm 等于 a c 这个边的数量关系，是不是非常有用啊？那 ok， 那 我去旋转这个 q a b， 那 咱看一下啊，它就旋转到了大概这么一个位置啊，大家在考试当中做图一定要标准啊，那这个点我叫做 n 点。 好，那图画完了，咱看一下这个辅助线咋书写，我就能挣出来这俩三角形全等了呢？ 那如果是我的话，我会直接去用一个倍长的思路啊，就是说我去延长这个 a c 啊，使得这个 c n 等于 a c。 那 我这样想的原因呢，就是，首先啊，我肯定是做完这道题了，那其次呢，就是我在思考这个问题的时候，我会借助于去年中考 和之前一些一模题的一些经验，因为去年中考其实就是类似于这样的一个垂直，然后呢，我却背长了啊，就使得 a c 等于 c n， 构造了一个这样的等腰三角形。 那一模当中呢，像西城和朝阳也出现了这样类似的做法，所以说我肯定在这道题当中，因为我之前做过了这些啊，所以在这我用到了一些经验。 好，那我直接去背成之后， a c 等于 c n， 那 么这个三角形 a b n 就 一定是一个等腰三角形了啊，因为这块它就出现了一个垂直平分线了嘛，啊，所以 a b 肯定就等于 b n， 那这个角如果是阿尔法的话，那它是等腰三角形了，所以我这个角 n 肯定也是阿尔法。哎，那这两个阿尔法之后，我会发现，这个角 a b n 也是一百八十度减去阿尔法，那它就形成了一个标准的手拉手，全等， 这个边等于边，边等于边。然后这个角是一百八十度减去两个 r 法，这个角也是一百八十度减去两个 r 法，所以等量减等量啊，咱就能出现这两个小角是相等的，那第一个咱就能出现一个三角形， 这个 b a q， 它就全等于三角形 b p n 啊，这个用到的就是 s。 好，那么全等之后呢，咱接着往下看啊，因为全等并不是我做题的目的啊，它能得到的边角关系才是更重要的，那么这个两个三角形全等，那首先我就能知道是不是这个 q a b 就 等于这个角 n， 它也是阿尔法。 好，那他是阿尔法可就不得了了，因为这组平行线是不是内错角相等，这也是阿尔法。同位角相等，这也是阿尔法。哎，于是咱就会发现啊，那这道题就太棒了，那棒在哪呢？就是 am 这条边是不是就等于 a q 了？ 那 a q 呢？因为全等，它又等于 p n， 所以 其实这道题咱基本上就已经做完了， 为什么呢？因为 a c 是 等于 c n 的 呀。那 c n 现在等于 c p 加上 p， n 是 不是就等于 c p 加上 am， 那 也就是这两段相加就等于 c n， 那 也等于 ac， 那 这道题咱们就得正了。 ok， 那 如果说大家听懂了的话，那感谢大家可以点赞支持，我们下期视频再见！拜拜！

我们北京初三的家长们，昨天呢说朝阳二模呢，考完了这份题目相对于朝阳一模来说，难度有所提升，整体难度呢，还是重规重矩，可作性非常强，灵活度适中， 非常适合在中考前演练一下。一定要让孩子吃透这套试卷，张老师今天带着大家主题拆解下这套题目。 首先选择题还是基础稳拿分，压轴题更注重几何的推理，前七个依旧是常规的基础考点，三式图数轴与实数范围、多边形内角和平行线角度计算、概率统计、科学技术法 尺规作图与几何计算知识点整体平和，认真审题呢，基本不会丢分。压轴题第八题明显更灵活，以正方形旋转为背景线段，考线段相等角度关系、三角形三边关系的判断。重点呢，考察几何的直观等量转化， 严谨结论来进行判断，也是张老师课上反复强调的，先抓对称再倒角，最后验证结论不平。感觉呢？ 不填控题基础为主，卡轴题考察积分最优逻辑匹配前面几道题同样是以基础为主，包括了分式有意义、因式分解、一元二次方程、判别式、反比类函数对称性、方差比较圆、内接四边形、矩形翻折的面积都是必拿分的题目。 压轴题第十六题延续了朝阳的特色，选手与环节的积分匹配，总分最大化，阅读量整体适中， 情境呢，相对比较清晰。但是呢，需要孩子认真耐心审题，有序匹配，优先选高分，不重复、不不遗漏的 考逻辑梳理和最优方案，心细有机会冲击满分解答题前五道基础盘必须拿到满分，整体变化不大，题型呢，依旧是非常稳定，我们一分也不能丢。十七题，实数的混合运算，根数负指数，零指数。 十八题，解一元一次的不等式组。十九题，整式的化简，求值条件的整体代入。二十题，四边形综合解直角三角形，没有复杂的辅助线，整体平稳。 这二十一题依次函数综合依旧是直线的旋转，数形结合平稳过渡。这部分是我们分数托底的，要保护好我们的基础分高冲高分才有底气。中间三道中档的解答题呢，总体来说需要我们更加细心一些。 首先分式方程的应用题等等量关系清晰，注意分式方程检验的步骤不能少。 统计综合依旧是中位数与平均数为主导，频数表中位数样本估计百分比的推断，信息提取要准，结论必须结合图表来进行描述。 圆综合切线的性质，指直角三角形与等腰三角形的三线合一是这块的重点，重点呢还是解直角三角形加上倒角的转化难度不大，但整体来说更加灵活。步骤一定要写全， 做好圆综合才能够为后边的题目做好承上启下。图探究在最后一问设置了一些小阻碍，不过大家需要做好准备以及更加专注。 最后三道压轴题是冲高分的关键，带中的难度稍大，己中与新定义整体在压轴题中难度适中。 首先代数综合这个题目的区分度比较高，题目描述的很抽象，需要具象化的图，但是整体来说是新函数求最值问题，但加入了比大小抛物线与直线数线的长度区间最直。临界分析， 紧贴中考的风格，数形结合分段讨论临界值，注意取等号是否可取。这个也是我们反复练的重点， 几何综合旋转加倍长、中线构造八字全等模型非常清晰，旋转加倍长、构造八字全等的联名，这也是咱们课上重点强调的思路，顺了速，能拿到高分。 最后就是我们压轴的新定义，依旧是多动态的轨迹问题，关关联图形最小，覆盖员坐标平移的规则。动态轨迹最值问题 阅读量大，尤其是在第二问、第三问，需要结合存在性轨迹最值问题。这个题的设计还是非常巧妙的，能够做到这的同学可以好好体会一下。这个最后的一问，整体来说呢，是朝阳二模考点全，比难度 比朝阳一模的难度要大，整体的难度呢，不规中矩阶段，适合孩子练手感检验状态的一套卷子，同时让孩子对照自查 基础题是否稳定不丢分，中档题的思路是否顺畅，步骤是否规范，压轴题呢，能拿到第几问？卡壳点在哪里，把漏洞找出来，针对性的进行补强。 需要这份朝阳二模的试卷的家长，敲朝阳二模我发给你，一步一个脚印，把错题吃透，中考稳稳发挥，各位加油！

昌平二模的几宗也在考察边与角构造全等，大家在做题的时候不知道是否有导出我们的核心角度。各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年昌平二模的几何综合题目里告诉我们这个边旋转 r 法度得到这个边，然后让我们去求这个角，这是一个老生常谈的问题了， 旋转三等幺，我们会发现呢，在这道题当中，它是一个等腰三角形，这个呢是一个等腰三角形，这个呢也是一个等腰三角形，尤其是后面这两个等腰三角形有一套壳的形式，我们用这个大的等腰三角形的底角，减去小的等腰三角形的底角，就能求出咱们的已知角。所以说第一题相对来说呢是比较简单的，我们快速的说一下这个结论。好在等腰三角形 a、 d、 b 中，我们可以求出角 a、 d、 b， 它应该是等于呃六十度，减去二分之二法。第二，在等腰 三角形 a、 d、 c 中，我们可以发现角 a、 d、 c 等于九十度，减去二分之二法，所以角 c、 d、 b， 它应该就等于三十度。 好了各位，我们算出来这个角是三十度，这个时候我们心里就应该要想到这个三十度，它很特殊呀，它对于我们来说应该是比较重要的，在我们做的第二题当中，应该要用得上这道题的思路，有点类似于咱们东城一模的思路，我们来看一下第二本，第二本呢告诉我们就是 a、 e、 c 和 d、 b 三边的关系。 我们首先呢可以去猜测下这个结论，发现呢不是很简单的那种 a 加 b 等于 c 的 模式，那接下来我们要去思考这三个边到底怎么才能把它给联系起来，然后呢还能配上这个角度， 当然我们在这个地方呢，还有一个等号三角形，它就到了这个三线合一，对吧？这个时候你会发现 e c， 它应该就等于 d 的， 那对于很多学生而言，我们在这种情况下可能就会想到，你要往通过点 c 往这边做了一个垂直，这样的话呢，你会发现这条边和这条边它的关系就建立起来了，那我们只要再去证明这一边和这边的关系，我们这个思路 也相对来说比较清晰啊，这是我们所说的叫做 plus 版的截长补短模型。好，那我们如果要是从另另外的个角度来看啊，这里边大家要注意，你现在会发现你拿到这个信息啊，其实可以把它更加的全面一点，尤其是角度信息， 在圆综和几何当中隐藏的会比较多。我们会发现这个角它是六十度减去二分之 r 法，那这个角它也是六十度减去一个二分之 r 法，这个角就应该是二倍的 r 法。好，那这样的话呢，我们再来看一下啊，题目中还有哪些角是我们所说的二倍的 r 法呢？它连了一个，它做了一个 a e， 你会发现旋转的原本是阿尔法，你又是一个等腰有一个三线合一，所以这个角也是二分之阿尔法。好了，各位，这个边和这个边是相等的，这个角和这个角是相等的，你在这里做了一个垂直，那很明显我能快速的想到什么，我也去做一个垂直，对吧？找葫芦画瓢，我们在这个 c 处做一个垂直， 这个时候你会发现两者的思路就完全联系起来了，此时你就能得到什么呢？我们就能得到三角形 c h b， 它就一定是全等于三角形 呃， d a e 的 啊，进而我们能得到这样的两个信息啊，第一个是 c h， 应该等于 d e， 等于这个 e c 的 好。第二个呢，我们还能得到这个 a e， 应该是等于 h b 的 好，这是在这个图形当中。然后呢，我们在 r t 三角形 c， d h 中啊， c d h 中，我们又会发现角 c， d h 又等于三十度，所以这条边它应该就等于这边的根三倍，对吧？那这样的话呢，我们就能得到什么叫做 d h， 它应该等于根三倍的 c h， 那 就等于根三倍的 c e， 把这里面的这个东西呢还给往这个边条啊。这个时候呢，我们就能得到这样的一个信息了，用蓝色的笔让大家看的更清楚一点，把它给放过来，对吧？然后呢，我们又知道的是 a e 啊，他又等于这个 h b， 所以 这道题的最终的结果就是 d b， 他 就等于一个 h b， 加上一个 d h， 就 等于 a e， 再加上一个根三倍的 e c， 那 这样的话呢，咱们这道题就做出来了，总体上来说呢，思路还是比较清晰的，根据边与角去构造全等。 但是在考试的过程当中有两个问题，第一个问题，大家可能依旧是模型思想，导致自己思路受阻卡住。第二个 他在这里边，在第一问当中，虽然说给了三十度我们能想到要用，但是呢，第一个问题当中能给我们带来的角度信息并不多，可能很多学生没有进一步的去导出一些隐藏的角度，导致自己的思路受阻。 大家以后要注意了，在做几宗问题的时候一定要注意角度它的重要性啊。如果说你的思路受阻了，你可以去尝试着倒角，看看有没有等量关系辅助我们解决问题。

来啦来啦来啦！海淀二模几何综合几何来咱们一块看。在三角形 a、 b、 c 中角 b， a， c 等于九十度角 b， a， c 等于九十度 角 a， b、 c 等于阿尔法。嗯，角 a， b、 c 这个角等于阿尔法，对吧？点 d 在 b、 c 的 延长线上，点 d 在 b、 c 的 延长线上， e 是 cd 的 终点， e 是 cd 的 终点。非常好的一个点， 有终点。我们要想到什么呀？什么斜边中线了，什么背长中线了，还什么中位线了，脑海里面都过一遍好吗？接着往后看，连接 e a 啊，它给我们连好了。连接 e， a， 将线段 e， a 绕点 e， 将线段 e， a 绕点 e 绕点 e 逆时针旋转一百八十度减，阿尔法一百八十度减，阿尔法 得到线段 e、 f 嗯，它旋转的是线段，所以它们俩就是相等的。如图一， alpha 等于四十五度， alpha 等于四十五度，那这个角就是四十五度喽？ c， d 等于 b c， c d， c， d 这个边啊，还等于我们的一个 b c 啊。然后点 c 就是 重点喽。连接 c f 连接 c， f。 求证 c， f 垂直于 bc， 求证 c f 垂直 bc 怎么正？同学们怎么正？首先，我们从头看 这个题的辅助线都有哪些，你觉得我们应该怎么做？辅助线做几宗？一般情况下，他会让我们去正全等，对吧？画这么一个辅助线，然后证明出来他是全等三角形，通过这个全等，然后最后去解题，对吧？嗯， 那这个全都怎么找？全等怎么找就找等边。哪些等边呀？ ab 等于 ac 啊， ac a e， 然后还等于 ef， 对 吗？主要就是 a e 等于一个 ef， 我 们是不是可以看到 abc 是 一个等腰值？那我过点 a 做一个垂线， 常规的辅助线，哈，常规的辅助线，如果没有思路，那就做等腰三角形的，什么等腰三角形的三线合一，就这么个垂线把它给做出来，做出来之后，肉眼可见的 三角形 a、 k、 e 是 不是跟三角形 f、 c、 e 应该是全等的吧？那我们就正一下喽，对吗？怎么正啊？那这个角加这个角是不是等于九十啊， 对吧？啊，然后这个角，然后他加他啊，是不是也也等于？就是，那我们是不是出来，哎，这个角是不是等于这个角了？哎，两个角相等了，是不是还有一条边，哎，这个边是不是也相等一条边一个角了？一条边一个角，要么找 a k， 然后等于一个 c、 e， 哎，咱们看一下， ak 好 像还真就等于 c e， 为什么呀？因为 ak 等于 kc， 对 吗？然后 cd 等于谁啊？ cd 等于 bc， 那所以 k、 c， 那 不就等于 c、 e 了吗？然后它就等于 ak 喽。那第一问，三角形 a、 k、 e 全等于三角形 e、 c、 f， 那 所以，所以 c、 f 就 垂直于 bc 喽，对吧？那这就做完喽，这就做完喽。第一问，然后第二问， 如图二，连接 b， f， d， f 连接 b， f， d， f 已经给我们连好了，直接写出角 b、 f、 d 的 大小，同学们， 直接写出角 b、 f 的 大小数分体，对吧？多少度啊？九十度，对吧？九十度非常好，九十度看着像就写， 然后他让我们去证明，难的呀，就是这个证明，让我们证明啊，我们从头读一遍题，好吧，角 b， a、 c 等于九十度。角 b， a、 c 这个角等于九十度。 角 abc 等于阿尔法角 abc， 这个角等于阿尔法。点 d 在 bc 的 延长线上，点 d 在 bc 的 延长线上， e 是 c d 的 终点， e 是 c d 中间这个边，然后等于这个边 连接 e a， 将线段 e a， 将线段 e a 绕点 e， 逆时针旋转，一百八十度减二、阿尔法。同学们，这个是非常重要的一个东西啊，把它给标出来， 一百八十度减去个阿尔法，一百八十度减阿尔法，他减的是阿尔法。那这个角是不是这个角是不是等于阿尔法呀？对吗？如果有两个这个角，我是不是把它减去，就是这个角呀？倒角会用它脑子里面过一遍， 然后得到了线段 e f， 哎，好像没有了，他现在让我们正的是谁？让我们正的就是他的这个角等于九十度。角等于九十度，那我们这个辅助线应该怎么做呢？同学们，正九十度，咱们一般怎么去正啊？ 什么斜边中线，勾股定里，对吗？还有一个非常常用的是什么？就是给咱给他背长，然后做一个等腰三角形，看他如果是等腰三角形，那么他是不是就是我们要求的这个直角啊？三角合一，对吧？好，怎么做？ 怎么做？ 将我们的 d f 倍长，嗯，好了，倍长之后，我们是不是再连接上？连接上这个，连接上这个边，嗯， 假如这个角是 k， 嗯，好了，延长 d f 到点 k 是 f k， 然后等于 d f， 对 吧？现在我只需要证明 b k 等于 b d 就 可以喽。嗯， b k 等于 b d 就 可以。那我们怎么去证呢？ 怎么去证？咱们这个题里面是不是还有一个条件是 角 b、 a、 c 也等于九十度，对吗？那咱们要不不妨给角 b、 a、 c 也给他做一个等腰，可以吗？那如果给他做一个等腰，是不是就出现那个传说中的手拉手了，是吧？哎，手拉手，那就好说了。来，我们做完之后，这个角是点 q， 这个角是点 q， 然后三角形，现在三角形扣 bc， 是 一个等腰三角形，对吧？然后这个角是 r 法，还有那这个角是不是也是一个 r 法？那这个角也是一个 r 法？ 然后是不是如果，假如角，假如三角形 k b 还有 d 是 一个等腰三角形的话， 那么他俩就是一个手拉手喽。那手拉手我们是不是可以反着去证一下？如果全等，那他就是等腰三角形，对吗？那谁跟谁拉手啊？ 谁跟谁拉手？是不是我得连接 kc 呀？ 还得连接谁啊？还得连接 d q， 对 吧？嗯，还得连接 d q。 现在我们需要去证谁？现在我们需要去证明三角形 bkc， bkc 全等于三角形 b d q。 那如果他俩全等，如果他俩全等，然后 b k 就 等于 b d 喽，这个题就做完喽，对吗？那咱们怎么正呢？咱们怎么正？咱们正全等，先看有没有相等的边相等的角，哪些边相等呢？ 现在只有一个 bc 等于 b q， 对 吧？ bc 等于个 b q。 嗯，好了，咱们接着看其他的，先不要钻进角尖，咱们先看一下我们这个辅助线做出来有什么用哈。哎，刚才我做了个辅助线，呃，怎么做的来着？ 是不是这个边等于这个边？那所以 ef 是 不是等于 ef 等于谁啊？ e f 就 等于二分之一的谁，二分之一的 k c 喽。嗯， e f 等于二分之一的 k c。 哎，那 e a 呢？这是不是也是这个是不是也是终点？这个也是终点，那所以呢？所以 e a 等于二分之一的 d q， 哎，等于二分之一的 d q， 那 现在是不是 k c 就 等于个 d q 了啊？又有一个边了，是吧？哪个边？这个边跟我们的这个大边相等了， 对吧？这两个边相等，这两个边，呃，相等。这两个边相等。还有就是哪两条边相等，是不是 b c， 呃，跟我们的一个 b 口相等啊？好了，两条边相等。现在我要证的是谁？现在我要证的是。 现在我要证的是 b d 等于 b k， 所以 说边边边是不能用的，边边边是不能用的。那现在只有倒角的一个问题，对吧？倒角的一个问题，我要倒哪个角等于哪个角啊？我现在是不是就需要去证明这个角，然后等于我们的这个角？ 好了？倒角问题，倒角问题。刚才我们是不是挣了一个 c f 平行于 c k， 对 吧？他们是平行的，那平行的话，我先这个角是等于这个角是不是等于一百八十度减二法呀？那我可以假设这个角是背他喽。 是吗？那如果他是贝塔的话，那这个角等于多少度啊？一百八十度减二 f， 然后再减去一个贝塔，对吧？嗯，然后我还能知道哪些角的度数啊？这个角是不是二？ f， 这个角是二。我现在只需要证明这个角等于一百八十度， 一百八十度减二法减倍它就可以喽，对吧？那这个角是，这个角是贝塔，这个角是贝塔， 然后这个角是不是也是贝塔？为啥？因为 a e 跟这个边是平行的，两直线平行同位角相等，对吗？那所以这个角不就等于一百八十度减去一个阿尔法减倍它吗？ 那这个题不就做完了吗？所以哪两个角相等？所以角 b q d 然后就等于角 b c k b c k 那 所以三角形 b k c 全等于三角形 b d q 啊，那所以，所以哪两条边线呢？然后，所以 b d 就 等于一个 b k 那 所以 b f 就 垂直于 k d 喽。好了，非常非常完美。 做完了，手拉手反着推了一下，对吧？做了两条中位线，然后用利用三角形的内角和倒了这么一个角好了。

好，我们来看海淀二模的集中在三角形 a b c 中角 b， a， c 等于九十度角 a， b， c 等于 r 发， 点 d 在 b c 的 延长线上，而且点 e 是 c d 的 终点，哎，这里是一个终点， 那么连接 e a， 将线段 e a 绕点 e 逆时针旋转一百八十度，得到线段 e f， 啊，那好了，那旋转前后线段的长度不变， 也就是在告诉我们 a e 是 等于 ef 的， 对吧？而且 a e 和 ef 之间的夹角是一百八十度减二 r 发。我们来看第一问，当 r 发等于四十五度的时候，好，那么我需要把题中所有含 r 发的这个度数都变成四十五度，是吧？ 那么这里也就是四十五度，哎，那我就得到这个角也是四十五度，无形之中我就得到了一个等腰值，哎， ab 就 等于 ac 了，是吧？好，那么现在这个角一百八十度减二 r 发，也就是得出这个角是一个直角 吧。哎，那我们继续往下看， c d 等于 bc， 哎， c d 等于 bc 啊，来，再看一下， c， d 是 等于 bc 的， 那么连接 c f， 求证 c f 垂直于 bc。 好， 那么想证明 c f 垂直于 bc， 其实就是要去证明我这个角是直角，对不对？哎，好， 那么我们的入手点应该是哪里？来，大家关注一下题中特意给的我们这个旋转的条件啊。那么在这一问中呢，由于 a e 等于 e f， 并且夹角是九十度，那么这个直角的两条直角边 a 是 相等的，你能想起什么？ 是不是斜着的直角，并且直角边相等，你可以想到一线三垂直啊，对不对？哎，这里是一个垂直， 让我们去证明这个角是直角，好，那么我们是不是再找一个垂直的话，我们就能得到一线三垂直啊，对不对？哎，那也就是说我现在要去做另外一个垂直了， 也就是从点 a 向 bc 去做一条垂线啊，交 bc 于 h， 好， 那我这里就是直角了，对不对？就是垂直的，好， 我们看，如果现在咱们要是证明这两个三角形 a、 h， e 和我们的 f、 e、 c 是 相是全等的，那么因为全等之后角相等嘛，它是直角，我们就能求证出来 c f 垂直于 bc 了，对不对？就是要构造全等了， 那么现在我们先看看全等，我们能不能找出全等的条件啊？首先 a e 和 e f， 哎， a e 等于 ef 了， 好，接下来我们再看这道题，还特意给了我们一个 c d 等于 bc， 这是题干里没有的，所以我要特别的去关注一下啊， c d 等于 bc， 因为点 e 是 c d 的 终点，所以 c e 等于 ed， 这没问题吧？ 我们再来看看这啊，这个 bc 这条线段，因为刚才我们做了一个，呃，这个垂直，并且这个三角形啊， abc 这个三角形是一个等腰值， 那么现在三线合一，也就能得出我的点 h 其实是 bc 的 中点，对不对？那我就能得到四条相等的线段，也就是 bh 等于 c， h 等于 c， e 等于 d， e， 是不是？哎，而且我们再来看一下啊，由于在这个两这个小的等腰值啊，是不是？这是四十五度，这也是四十五度啊，那说明咱的 c h 是 不是还等于 a h 啊，也就是咱的五条边都相等啊？ 哎，那好了，那我们来看看，因为我要去正全等吗？我看看这五条边相等之中能不能找到这两个三角形能够相等的边？哎，我发现了， a h 是 不是就等于 c e 了，对不对？哎，那么两组边都相等了，对不对？老师把这两组边啊，给它画出来，也就是 a， 哎呀，把这变得漂亮一点啊， a h 等于 c e， 好， 那现在两组边相等，我就差一个角，对不对？哎，那，那我就去倒角呗。 我们来看啊，因为这个角是九十度，如果我令它是点角，那么它就是叉角，对不对？哎，因为 a h 垂直于 bc， 所以 这个角是九十度，那么因为这个是点角，所以整个的这个角 h a e 是 不是就是叉角？ 是不是我又得到了两个叉角是相等的呀？角叉等于角叉，所以我们的这两个三角形，哎，就全等了，全等之后，对应的角是相等的，也就是我的这个直角，哎，是等于这个角的，那么我就得出最后的 c f 是 垂直于 b c 的 啊。第一问就结束了，好，我们来看括号二啊，括号二还是有一定的难度的，连接 b f d f， 直接写出角 b f d 大小，并证明好角 b f d 在 这里。哎，那么我们不难发现，角 b f d， 哎，应该看着就像直角，那么此时呢，你可以用你的量角器或者三角板上的直角我们去比一下，发现，哎，这确实是九十度啊， 那我们怎么去证明他是九十度呢？好，我们再观察一下题中啊。首先题中给了我们一个直角三角形，并且要证明这个三角形也是直角三角形， 那么我们对于普通直角三角形的一个处理的方法有什么呢？第一个就是做对称， 第二个就是考虑斜边中线，因为这道题并没有给出我们任何关于斜边中线的信息啊，所以我们考虑的就是做对称，那 我们对于这个已知的这个三直角三角形应该怎么去做做对称呢？其实有两种方法，要么，哎，我背长 b a， 然后这样去做一个对称。 要么呢，我可以背长我的 c a， 这样去做一个对称。那么到底哪种对称是有效的，你可以先去试一下啊，假设我刚才是背长了 b a a 至一个点，然后连接这个点啊，做完对称之后， 我发现确实我的这个角呢，一百八十度减去二 r 发确实是得到了，但是接下来，哎，我的这两个一百八十度减二 r 发，这个角的两个顶点是分开的， 所以我们对接下来的全等是毫无帮助的，对吧？那么我们接下来要怎么去做对称呢？就要用另外一种方法了，我可以去背长 c a 啊， c a 在 这里呢，我背长它哎至一个点 m， 好，然后我连接 b m， 好， 那么此时我是不是就把这个直角三角形做了一个对称呢？对不对？那么对称之后还可以给到我们的一个信息，就是 a 点 a 是 终点， 哎，说到终点这，我突然想到，我刚才提干中好像还给了我一个中点点 e 是 终点，对不对？哎呀，我赶紧写这，然后我突然间又发现给了我两个终点，此时我是不是要考虑中卫线呢？哎，那我赶紧就把咱们的 md 就 连上吧，哎呦， 赶紧重新画一下啊，把咱的 md 一 连，我的中卫线就构造出来了，哎，好， 那么此时我们可以得到一个数量关系，还有一个平行的关系，对吧？也就是 a e 平行且等于二分之一的 m d， 好， 我把这个平行标在这里，一会我倒角需要用好，那么上面这个虽然不他还没告诉我们是直角三角形的，但是 我想确定它是直角三角形，所以我也按照上面的方法啊，去做对称的方法去处理一下就可以了。所以我现在我要背长的是哎 d f d f 在 这里，我把它哎背长之后到这里，我让这个点呢是点 n 吧，然后我们连接一下 b n， 好，那么我那个已经做完对称之后，我怎么能让它等于九十度啊？我们去想，如果我们能证明啊，咱的这个 b n 是 等于 咱的 b n 是 等于 b d 的 话啊，来，老师再画一下， b n 要是等于 b d 的 话， 而且咱们倍长之后点 f 是 中点，对不对？那么根据三线合一，这里就是直角了，对不对？好，那也就是我接下来，哎，我要去证明线段相等了，要证明谁 要证明 b n 等于 b d， 我 最后的结论就能求出来了，对不对？好，那么我们看看我们应该怎么去证明两条线段是相等的呢？ 我们想证明线段相等，就把这两条线段放到全等三角形中，对吧？哎，去证明两个三角形是全等的，好，那么我们此时看一下， 哎，在这个大的三角形中， b n d 中，哎，我的 f 是 终点，我的 e 也是终点，这不又出了一个中位线吗？对不对？所以此时，哎，我的想法就是，咱赶紧去连接一下 nc 吧，对不对？那么此时我又能得到一个数量关系啊，和一个平行的关系，就是 e f 平行且等于二分之一的 c n， 哎，也就是这两条线段，哎，平行。好，接下来我就要回到我我要求的 b n 等于 b d 中了，我们来看看 b n 是 在哪个三角形中啊？ b n 是 不是在三角形 bnc 中啊，对不对？哎，那咱的 b d 是 在哪个三角形中？ b d 是 不是在三角形 m b d 中啊，对不对？也就是说明我现在要去证明这两个三角形是全等的， 好吧。嗯，好，那么现在我要去找一下全等的一去啊，首先，在这两个三角形中，有两条黄色的边是相等的，也就是 m b 是 等于 c b 的， 好，那么有没有线是相等的呀？孩子，那么刚才呀，因为我看看这里， 我刚才得到了两组我们的中位线，对不对？好，而且我们去观察一下，题中是不是告诉我们了， a e 其实是等于， 呃， e f 的， 对吧？哎，它是旋转前后这个线段的长度相等，那么由此我可以知道，咱们的 m d 也是等于 c n 呢，对吧？ m d 还等于 c n， 好， 我把这两条线画成同样的颜色啊， m d 等于 c， 好， c n， 哎，好，那么现在已经有两组边是相等了，接下来我再去找一组边是找不到的，因为那组边是我想去证明的，所以找不到，那我去找一个角吧，也就是要找我这两条边的一个夹角，对不对？哎，也就是在这里呢， 黄色线和这个绿色线，蓝绿色线的一个假角，去找他们两个相等啊，好，那么我们来看，这个角已经给了我们是一个一百八十度减去二分之二法，对不对？好， 来，我把这先擦一下啊，假设我令这里是一个点角的话，那么这个角是不是一百八十度减二 r 法再减去一个点角，对吧？哎，因为刚才我的这个， 呃，中位线出平行，所以我们的这个角也是一百八十度减去二 r 发，再减去一个点点，好，那么因为这里是点点，那么又又因为中位线出平行，所以， 所以这里也是一个点点，对吧？哎，好，那么题中给了我们这个角是直角，这个角是 r 发，那说明我的这个角是九十度减去 r 发，对吧？而且这个九十度减 r 发，又是这个角和这个角的一个外角， 那么我这个小角它就等于多少？我给换一个颜色啊，换一个颜色去写，是不是九十度减去 r 发，再减去点角啊？对不对？那么这个角啊，我就写在这里，九十度减去 r 发，再减去一个点角， 因为 a e 是 平行于 md 的， 所以我们的这个角也是九十度减去 r 发，再减去一个点角， 好，那么因为这个角啊，哎，在我们三角形 a b m 中，这里由于对称嘛，这里也是 r 发角，这里是直角，那么我们的这个角就是九十度减去 r 发， 所以我把这两个小角给它加到一起，就等于整个的我的这个 bmd， 对 吧？那么我们加一下啊，九十度减 r 发，再加上一个九十度减 r 发，再减去点点，我发现整个的这个角也是一百八十度 再减去二 r 发，再减去点，哎，那么我的这两个三角形是不是就全等了，对吧？是边角边啊，所以我们的这个九十这个角找完了，我把我们的这个全等的三角形给它画出来啊，也就是 我们的这个三角形 和我们的这个三角形啊，这两个三角形是全等的。 好，全等完之后我们可以得到边相等，也就是能得出来刚才我们想要的 b n 等于 b d， 是 不是？那我们的三角形 b n、 d 就是 等腰三角形啊？ 就是一个等腰三角形， f 是 等腰三角形的中点，那么根据三线合一的性质我们就可以得出。哎，这里面是垂直的，所以我们就得出了角 b f、 d 是 等于九十度的啊。

刚考完的昌平二模几重题确实比较简单。第一，小问有两种方法，方法一，就是结合题目中所给的条件，看到我们要所求的角其实是两个等腰三角形底角做叉可的一个等腰三角形在这个位置，一个等腰三角形在这个位置。这两个等腰三角形的底角 如图所示，只要求出它们俩相减即可得。它们俩又和题目中给的 alpha 六十度高度相关，也就是顶角可值。所以在等腰三角形 d、 a、 c 中，我们可以求出第一个角 a、 d、 c， 它的大小用 alpha 表示。在等腰三角形 d、 a、 b 中，我们可以求出第二个角， 用 r 法表示，由此相减可得，我们所求的角是一个确定的不变的度数。三十方法二，由于题目中明确说到等边三角形和旋转，因此这三条线相等。由此我们可以得出点， a 为圆心， a、 d 为半径的圆，同时过 c 点和 b 点， 这么一来，四点共圆，那么这么一来，三点共圆。三点共圆，我们就可以得出我们所求的角其实是个圆周角，它等于圆形角的一半即可求得。这就是第一小问。再看第二小问，第二小问呢？题目让我们去求三条线的关系，这是 a， 这是 b， 还有这条线 c。 这三条线先要看到的其实应该是 c， 因为 c 作为等腰三角形的底边的一半，我们马上想到求出整个这一段 与 b 与 a 的 关系一样是可以的。只要看到这种情况，我们就能想出它和第一小问的三十度高度关联了。为什么？因为这条线和底下的这个 a 只要做一条垂线段，就可以把二倍的 c 给它转移到我们所找的 b d 上面去啊。那这样一来，得出 这是根号三倍的小 c， 剩下的就是找什么小 b 和这个假设这点是 h， 那 小 b 和 b h 之间是什么关系呢？看起来他俩就像是差不多相等，然后他俩又在同样是直角三角形中，根据我们题目前面的条件，就想着如果能再导出一组角， 就可以得出它们全等吗？倒一下角，我们在第一种求角的方法中可以得到这个位置的这个角其实是六十度减二分之阿法，那整个大角减去底下的小角 即可得出上面这个角是二分之阿法，刚好和这个位置二分之阿法，它俩是相等的。由此可以得出这个三角形和这个三角形它们俩全等，进而得出 a e 等于 b h。 所以本题 b d 的 长等于根号三倍的 c e 加上 a e 即可。

朝阳的二模几何考的依旧是手拉手的问题，各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年朝阳二模的几何综合这道题呢。第一问相对来说呢，是比较简单的，因为它告诉我们这个角 b 这里边呢是一个 r 法， 然后呢这个角就知道了是九十度减去一个 r 法，它又告诉我们这个 a e 和 a d 之间呢，是一百八十度减去二倍的 r 法。所以第一问呢，我们就可以直接得到角，这个 d a e， 它应该是等于二倍的角 b a c。 这个对于我们 提示啊，还是非常明显的，哪怕他没有给我们这个角度提示。按照我们的常规思路，大家也能想到，在第二遍的时候，你可以把这条边给他给背长出去 啊，就我们什么都不用去思考，这个时候呢，你就能想到背长出去，你背长出去之后呢，此时我们就能得到这样的一个状态，就是手拉手全等，这样的话我们就能得到这样一个状态。好，我们来看一下这个第二题。第二题他说，呃，点 d， 在 外侧把这个 e c 呢给他加倍延长啊，延到我们所谓的 f 处， 连到 f 处之后，连接这个是 c f 等于这个 e c， 然后连接 b f 和 b d。 好， 这个 b d 呢？其实我们在自己脑子里用手拉手的逻辑啊，已经能把它给联系起来了，我们假设这个是 m， 所以 这个三角形和这个三角形呢，它直接就通过手拉手能得到，它俩是全等的， 所以这个思路对于我们来说呢，还是蛮清晰的。这个角是阿尔法啊，这个角是九十度减去一个阿尔法，他问的是什么？问的是 d a e， d a e 在 哪呢？我们把它给标一下啊， d a e 这个角在这呢， d a e。 然后第二个问我们的是谁呢？叫做 db f， db f 在 哪呢？ db f 在 这呢？咱们要去猜的话啊，大家现在应该也能猜到两个角相加的和应该等于一百八十度。那我们在证明的时候呀，你通过手拉手的这个全等，我就可以假设这个角是 贝塔，那么这个角也是贝塔，这个大的角大家应该知道是多少度，应该知道是阿尔法，所以我只需要证明这个角等于这个角，那这个角是不是也就是阿尔法减贝塔了呀？那 这样的话是不是阿尔法阿尔法了，对吧？那我们这个该怎么正呢？哎，你会发现这个题目设置的比较简单的点就在这了，这个呢是边等于这一边的，这一边等于这一边的，这有一个对顶角，所以我们可以快速的得到这一个三角形， 和这个三角形是全等的。那你这个角呢，是不就是阿尔法减贝塔？那我这个角呢，是不是也是阿尔法减贝塔？所以角 d b f 就是 等于二倍的阿尔法， 角 d a e 就是 等于一百八十度减去二倍的阿尔法，所以他们这段关系就是角 d b f 加上角 d a e 就 等于一百八十度。长的。这道题呢，总体来说还是比较简单的，希望这个视频呢可以帮助到大家。

你今天来看这道朝阳区的二模，呃，首先第一位还是求这个椭圆的方程，给了一个长轴长，短轴长的距离之和，然后又给了一个焦距二倍根号三。 ok， 这样的话呢，我们直接可以由题一得二， a 加二， b 等于六，然后二倍的 c 是 等于二倍根号三的啊，然后我们直接瞪眼睛就能看出来它这个 b 是 等于二的， b 是 等于一的，所以这个椭圆的方程可以直接写出 x 方比上四加上 y 方 等于一啊。然后第一问非常简单，第二问里边，呃，给了一个点 a 一 a 二，然后分别为椭圆第一象限，第二象限的就是它们的 y 值一定都是正的，有一个点的坐标是 x 也是正的，呃，且这个 x 一 等于二倍 y 二啊，满足 点点 m， 满足 o m 等于这个东西的时候，求证 m 在 椭圆 e 上啊。证明的方法其实也非常非常简单啊，这是一个纯纯的数学问题，就是没有几何的事，所以我们在证明的过程中可以直接怎么着了，把这个 o a 的 坐标给写出来，所以向量 o m， 我 们就直接算一下 o m 等于二分之一， o a 是 多少，那就是 x 一 到 y 一 呗， 加上二分之根号三倍的，呃， o b 是 多少？ s 二 y 二， 这样的话呢， o m 就 等于二分之一 x 一， 加上二分之根号三 x 二，然后再加上这个二分之一 y 一 的，加上二分之根号三 y 二。所以其实 m 点的坐标就是这个东西啊，那我们采用直接把这个 m 点 m 点坐标给它写成这个样子， 嗯，好，然后 m 点坐标，如果是这个样子的话，那么他让朕这个 m 在 椭圆上面，怎么？朕就是把他带入到这个椭圆方程是吧？带入， 带入椭圆方程能得到这个，呃， x 方加上四 y 方等于四。带入之后呢，咱们能得到这个四分之一 x 一 方加上四分之三 x 二方，再加上个二分之根号三 x 一 x 二，然后再加上这个四位的括号四分之一 y 一 方加上四分之三 y 二方，再 加上个二分之根号三 y 一 y 二或起来是等于四的，只要证明这个等式成立就可以啊。然后可以大家把括号给去一下啊。合并完了之后得到结果是，四分之一 x 一 方加上这个四分之 四分之三 x 二方，再加上个二分之根号三 x 一 x 二，再加上个 y 一 方，再加上三倍的 y 二方， 再加上这个二倍根号三的 y 一 y 二是等于四啊。这个时候我们需要用到题里边给到这个条件啊， x 一 等于二倍的 y 一， 那 x 一 的平方加上四倍的 y 一 的平方等于四，这个问题也没有啊。 x 二的平方加上四倍的 y 二的平方是等于四，这也没有什么问题，因为 ab 都在椭圆上，是吧？ ok， 这个时候 x 一 的平方就能等于四倍的 y 二的平方，提着条件告诉我们了。 呃，我们把这个带入进去就是四倍的 y 二的平方加上四倍的 y 一 的平方是等于四的。所以大家得到一个比较重要的结论，结论一是什么东西？就是 y 一 方加上 y 一 方加上 y 二方 等于一啊，这是第一个比较重要的结论，然后第二个呢？呃，我这里边需要知道的就是，这个 x 一 是等于四倍的 y 二方，在这写了，是吧？这是第二个，然后我们把它带入进来之后，呃，我们直接让它等于 四倍的四分之一 x 一 就等于多少呀？四分之一乘以四倍的这个 y 二的平方就直接等于 y 二方，加上四分之三倍的这个 x 二的平方。我们也需要知道一下，四分之三倍的 x 二的平方它等于多少呀？嗯， x 二的平方等于四，减去四倍的 y 二的平方。 ok， 那 给它乘以四分之三倍的 x 二的平方就等于三减去三倍的 y 二的平方，没啥问题啊，加上三减去三倍的 y 二方。 呃，这个别动，这也别动，然后把它们加起来，加上 y 一 方，加上三倍的 y 二方， 然后再加上二分之根号三倍的 x 一 x 二，再加上二倍根号三的 y 一 y 二等于四，证明这个成立就可以啊。然后这里边你看，呃，这些啊，就是越调了， y 一 方加上 y 二方，根据题里边知道炸知道他是等于一的，所以最后得到的就是什么东西， 得到就是四，加上二倍。摁，二分之根号三 x 一 x 二，再加上二倍根号三 y 一 y 二，过起来怎么着了？ 等于四说明这一坨等于零呗。二分之根号三 x 一 x 二，加上二倍根号三 y 一 y 二等于零，乘以几个？ 然后两个人同时除以根号三乘以二的话，就得到 x 一 x 二加上四倍的 y 一 y 二等于零。怎么去用这个东西呢？哦，因为上面咱们都是跟平方相关的，所以咱们直接 x 一 x 二等于四倍的负四倍的 y 一 y 二， 然后左右两边同时平方 x 一 方 x 二方等于十六倍的 y 一 方 y 二方啊， 然后继续代入这个 x 一 方不是等于四倍的？呃， y 二方？四倍的 y 二方乘以 x 二方 等于十六倍的 y 一 方 y 二方，然后约掉那 x 二方， x 二方等于四倍的 y 一 方 x 二等于什么东西呢？呃， x 二和 x 一 x 二就等于四，减去四倍的 y 二方，那 y 一 呢？ y 一 不是也是一样吗？四倍的时候一减去 y 二的平方不假， a 这个是相等的。所以所证成立啊。 成立，所以 re m 在 椭圆上。

好，我们来看顺义二模的这到几宗啊，出的非常的常规，我觉得拿满分应该是不难，我们一起来看一下。 在三角形 a b c 中，角 a c b 是 等于九十度的，然后角 c a b 是 等于 r 法， 点 p 在 射线 a c 上，那么第一个图是点 c 和点 p 重合了，好，连接 b p， 将线段 b p 绕点 b 顺时针旋转一百八十度减二 r 发，得到线段 b q， 那 么也就是旋转前后线段的长度是相等的，也就是咱的 b c 啊， b p 也行，是等于 b q 的， 呃，然后，并且呢，旋转的角度是一百八十度减二 r 发，好过点 q 做 q m 平行于 a b， 看到平行其实就是为了让我们去倒角，对吗？ 交直线 c a 于点 m， 如图一，当点 p 与点 c 重合的时候，求角 b a c b a c 在 这呢，哎，题中已经给了我们，它是 r 法，是吧？等于角 b a q， 哎， b a q 等于这， 哎，我看了一下，我这不是这两个三角形好像是全等吗？对不对？那我们试着来看一下，是否是全等的，如果这两个三角形全等，那么这两个角这不一下就出来全等了吗？对不对？好，那我们来看一下啊， 因为呢，首先这两个三角形啊，有两有一组相等的边了， bc 等于 b q， 并且我们看这里给了咱一个 r 法，这里是九十度， 那说明我的这一个角是不是九十度减去 r 发呀，对吧？一共是一百八十度减二 r 发，那剩余的这个角是不是也是九十度减 r 发呀，对吧？哎，一组角又相等了，并且这两个三角形还有一个公共边是 ab， 那 么这两个三角形，这不就是全等了吗？对吧？全等之后角等，所以第一问，哎，我们就是非常简单的就做出来了，好，我们在 好，我们来看第二问啊，点 m 在 c a 的 延长线上用等式表示 pm 与 ac 的 数量关系，并证明啊， 那么其实这道题我们很容易看出， pm 就是 等于二倍的 ac， 咱们可以拿尺子啊，去测量一下，它们应该是一个二倍的关系， 但凡写出来我们这个结论，我们的一分就到手了啊。好，那么接下来我们再去分析一下题中所给我们的条件， 题中呢，给了我们一个 r 发角，还给了一组平行线，好，那么因为这里是 r 发，这里是九十度，所以这里就是九十度减去 r 发，对不对？好，那么题中还给了我们一个旋转的这个大角度，是一百八十度减去 r r 发， 那我发现了， a 一 百八十度减去二 r 发，不就是九十度减 r 发的二倍吗？那么这不就是一个绊脚模型吗？ 其实绊脚模型在提示我们什么？在提示我们咱去做一个旋转全等啊， 因为咱的 b q 是 等于 b p 的， 所以我就把这个三角形，哎，这么去旋转，让咱的 b q 和 b p 重合了之后，你看是不是就得到了一个全等的三角形啊，对不对？哎， 那么这个思路是我是知道的，哎，让我们去构造一个旋转全等，那么我们应该怎么去做呢？怎么去描述呢？我们看啊，旋转全等了之后，导师再把刚才的那个画出来啊， 就是我把这个三角形，哎，旋转到这了之后，那么我的这一条边是不是和这一条边就相等了， 那也就是说明，哎，我旋转之后的这个大的，整个大的三角形是一个等腰三角形，对不对？哎，那么我们看这个三角形是一个直角三角形，他想变成一个等腰三角形，其实不就是在做一个对称吗？ 是不是就是这里？哎，有一个垂直，然后但凡我再做一条线，是和 a c 是 一样的，让 c 成为这条线段的终点，那么左右这两个三角形是不是就是对称？ 哎，那我就想出来了，我应该怎么样去描述我的辅助线啊？那好，那么老师把这里擦了啊，接下来我们开始去做这道题，好，这里是 r 符号先标上， 咱们刚才已经说了要做 c， 什么？这，这这一条边啊，这一条边等于 a c， 对 不对？那我的描述就是过延长我们的 c p 啊，至 k， 好， 让我们的这个 c k 呢是等于 a c 的， 然后我连接 b k， 我 们看看是不是我们就做完对称了， 我们的 a c b 和我们的 k c b 这两个三角形是全等的，对吗？而且出等腰，对吧？哎，好，也就是我的这个角也是 r 法角，对不对？好，那我们看刚才我们 想法，不是说利用旋转去做我们的这个全等吗？对吧？做旋转全等，好，那我们看看现在这两个三角形能不能全等啊？我们来看一下。首先呢，在这两个三角形中有一组相等的边，就是 q b 等于 p b， 好， 因为我们做完对称了之后，我们的 ab 还等于我们的 kb， 对 吧？ ab 还等于 kb， 然后现在我们就差一个角了，如果我们能求证这两个角是相等的，那么这两个三角形是不是就全等了？那我们看一看啊。首先呢，这个三角形这一个大角是一百八十度减去阿尔法，对吧？好，然后 我们的这一个小角，哎，这一个小角是不是九十度减去 r 发呀？因为这里是 r 发，这里是九十度嘛，所以蓝色的这个角是九十度减 r 发。 因为我把这个三角形做对称了，所以这一个角也是九十度减 r 发，他们两个放在一起仍然是一百八十度减去 r r 发， 对吧？哎，那么两个大角都是一百八十度减去二 r 法中间有一个，哎，相等的角，所以剩余的这两个小角是不是就相等了，对吧？也就是角 q b a 等于角 k b p， 哎，那所以我们这两个三角形全等就得正了，对不对？哎，那好，全等之后，我们能得出角是相等的， 咱们这个角是 r 发，那么说明我的这个角也是 r 发，对不对？哎，那还有相等的边，也就是咱的这个 p k 是 等于咱们的 a q 的， 没问题吧？好，那么题中还给了我们一个平行呢， 因为我们的 m q 和我们的 ab 是 平行的，所以你这里是 r 发，我这里也是 r 发，对吧？那你这里是 r 发。内错角又相等，哎，那我这里也是 r 发，那说明咱们的 am 是 不是就等于 a q 了？ 因为全等，我们可以得出来 p k 是 等于 q a 的， 对吧？因为这两个 r 法角相等，我们又能得出 m a 是 等于 q a 的， 所以呢，咱们就可以得到 p k 是 等于 m a 的， 没问题吧？也就是说明这两条边是相等的，对吧？那我把所有的准备工作都做完了，我现在就可以导边的数量关系了。那老师说当边的数量关系你觉得有点复杂的时候没问题，那我们就去标字母呗，设餐，对吧？ 假设我设 p， k 是 a， 那 么这里也是 a， 我 设 c， p 是 b 的 话，因为 a a c 是 等于 c k 的， 那说明 a c 就是 a 加 b， 对 吧？好，那么我们把所有的字母该结合的结合一下啊。咱们的 pm 是 不是等于 m， a 加 a， c 加上 c， p 就等于 a 加上 a 加 b， 再加上 b 就 等于二 a 加上二 b 啊，对不对？咱们的 a c 是 等于 a 加 b 的， 所以一下就得出来 pm 等于二倍的 a c 啊，就是这么简单。

这是一道旋转模型边的题，那这组边一定是全等的对应边，那我们找到四点共圆，外角等于内对角，那我们就找到了对应角，加出弧线， 那有一组边有一个角，那再把第三边连上，那自然而然这就是那全等三角形。 好，在辅助线迅速的时候，我们可以根据条件来选择，这个我们可以找 边角边。

都怪我五月十二号发的视频，虽然把双中点放在最前面讲了，但是没有单独拿出来，同学们可能没注意到， 这不，本周的海淀二模几宗就考了双中点，再加上今年西城一模、石景山一模都考了双中点，妥妥的二零二六年北京几宗最大黑马，不能不会今天单独做期视频，以海淀二模为例，讲清楚 西城石景山的讲解，请打开合集看终点大招全集。我们先来看线段和的形式，也就是说， c 在 a b 之间， p e 是 a c 的 终点， a p 一 等于 p e， c 等于二分之一 a c p 二是 b c 的 中点 c p 二等于 p 二 b 等于二分之一 bc。 所以 p 一 p 二等于二分之一 a c 加二分之一 bc 等于二分之一 ab。 反过来，如果已知 p 一 p 二等于二分之一 ab， 且 p 一 是 a c 的 中点，那么可以得出 p 二是 c b 的 中点。再来看线段差的形式，当 c 在 a b 的 延长线上，这个结论也是成立的。 p 一 是 a c 的 中点， a p 一 等于 p e， c 等于二分之一 a c p 二是 b c 的 中点 bp 二等于 p 二， c 等于二分之一 bc， 所以 p 一 p 二是线段差，等于 p 一 c 减 c， p 二等于二分之一 ab。 反过来，如果已知 p 一 p 二等于二分之一 ab， 且 p 一 是 a c 的 中点， 那么可以得出 p 二是 bc 的 中点。来看这道海淀二膜其实就是双中点加上斜边中线的问题。 如果要我压二零二六年北京几宗，那么双中点、中位线和一线三垂，我觉得是最大概率考的。在直角三角形， a b c 中角 b a c 等于九十度角 a、 b、 c 等于 r。 二法点 d 在 b、 c 的 延长线上， e 是 c、 d 的 中点， 连接 e a。 把线段 e、 a 绕点 e 逆时针旋转一百八十度减二。阿尔法得到 e、 f 连接 b、 f 和 d、 f。 题目要直接写出角 b、 f、 d 的 大小并证明，不难猜出角 b、 f、 d 是 九十度。 证明方法有多种，核心是在中点 e 的 处理。很多同学会背长中线或者构造中位线，但标准答案其实考察的是双中点模型。 要证明角 b、 f、 d 等于九十度，可以利用斜边中线，我们取 b、 d 的 中点 m 连接 f、 m， 只需要证明 f、 m 等于二分之一 b、 d。 根据双中点模型， d 在 b、 c 的 延长线上 m、 e 分 别是 b、 d、 c、 d 的 中点，所以 m、 e 等于二分之一 b、 c。 那 怎么找二分之一 b、 d 呢？看 b、 c、 d 三点右侧 c、 d 的 中点 e 已经有了， 再取左侧 bc 的 中点 n 就 有 n， e 等于 b、 d 的 一半。所以问题就转换成了证明 f、 m 等于 n、 e。 我 们又知道 a、 e 等于 e、 f， 所以 就是要证明三角形 a、 n、 e 和三角形 e、 m、 f 全等 s、 a、 s 就 只差一个夹角相等了。 也就是我们要通过倒角证明角 n， a、 e 等于角 m、 e、 f。 下面我们来快速证明下直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以 a、 n 等于 b， n 等于二分之一 bc， 所以 角 a、 n、 b 等于角 a、 b、 c 也就是阿尔法。那么就由角 a、 n、 b 等于一百八十度减二。阿尔法射角 a、 e、 n 等于贝塔 a、 n、 b 是 外角角 n， a、 e 等于一百八十度减二，阿尔法减贝塔 角 a、 e、 f 等于一百八十度减二阿尔法。所以角 m e f 等于一百八十度减二阿尔法减贝塔等于角 n a e。 这样 s a s 三要素齐倍就可以证明三角形 a n e 全等于三角形 e m f 了。

我们来看一下 c 乘二模的几宗啊，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 a、 c 两条红色的线段是相等的 角， b 等于 r 发，马上标一下角度，哎，等边对等角，那我也是 r 发，顺带我要把哎能标的角我尽量的都标出来啊， 那么这一个角是不就是一百八十度减二 r 发呀，那这个外角哎，就等于二 r 发？好，我把第一个三角形都已经处理完了，我继续往下看， d 呢，为 bc 延长线上 b， a 延长线上的一点连接 cd， 并且将线段 cd 绕点 c 旋转，二 r 发，得到 cd。 好， 那么我们得到了一个旋转的角度， 就是二 r 发，并且还能得到两条相等的线段，就是 c、 d 等于 c、 e。 我 们来看括号一，如图一， 当点 e 在 线在 a、 b 上时，求证点 a 是 b、 d 的 终点，哎，想求点 a 是 b、 d 的 终点， 说白了，我就是要求证 ab 等于 ad， 对 不对？好，那么接下来我们来观察一下点 a 啊，因为点 a 是 主角嘛，对吧，我先看一下它，哎，点和点 a 相关的有两条线段，一条是 ab， 一 条是 ac， 它们两个已经是相等的了。那好，如果我要是证明这个 a、 c 呢，还等于 a、 d 的 话，那我的点 a 是 不是就是 b、 d 的 中点，对吧？ 想要求证 a、 c 等于 a、 d， 说白了，我就是要去证明三角形 a、 c、 d 是 一个等腰三角形，对不对？哎，或者有的同学说，老师，我看这里很像九十度啊，那能不能去用斜边中线呢？ 无论你用什么，说白了，第一问，是不是都是倒角啊，对不对？哎，那么我们就去倒一下角呗，好不好？ 好，我们来看一下啊，因为啊，咱们的，呃，这里是二 r 发，对吧？ 呃，然后呢，我们的旋转角度是二 r 发好，那么说明我的这两个底角是相等的，因为 c d 等于 c e 嘛，所以每一个底角的度数都是九十度减 r 发， 这里也是九十度减 r 法啊。接下来我们来关注三角形 a c、 d， 因为这里是 r 法，这里是九十度减 r 法，所以我想求得这个角的角度的时候，我就用一百八十度减 去它，再减去它，那么我也得出来这个角的度数是九十度减二而发等角对等边，所以 a d 就 等于 a c 了，对吧？哎，你的 a d 等于 a c， 你 的 b a b 也等于 a c， 所以 我的 a b 就 等于 a d 了。那第一问，点 a 是 b d 的 终点，我们就非常 easy 的 就求出 好，我们来看第二个问，如图二，当点 e 在 b d 的 下方的时候，点 f 在 ab 上，若角 b f e 等于二 r 发。好，这里是二 r 发，用等式去表示 a， c， b， d 还有 e、 f 之间的数量关系，并证明。那么我们这三条线段的数量关系啊，通常是两短等于一长，对吧？ 那么这道题我用肉眼也知道啊，我肯定是两条短的，是要大于一条长的，对不对？哎，那到底它们之间有什么样的数量关系呢？我现在有点猜不出来，猜不出来的时候，请你再整理一下题干的信息， 把该标的去标出来啊，看看题干能给我什么。首先， ab 等于 ac 角 b 是 等于 r 发的，那说明我这个角也是等于 r 发的。 然后 c d 又等于 c e 两条蓝色的边相等，并且 c d 和 c e 之间的角度是二 r 发，哎，坐到这的时候，请你停一下吧， 关注一下，中间的这个小角是 r 发哎，外面的整个的大角是二 r 发，你会发现，哎，这不是一半的关系吗？也就是我们所谓的绊脚模型，对不对？哎，遇到绊脚模型的时候，那我应该怎么去做辅助线呢？ 因为我们北京的中考是必须要求这个三角形的全等的，对不对？那给了一个绊脚模型，我们应该怎么去做全等三角形呢？来，老师把这个绊脚模型拆到这里啊，来，大家一起看看， 我两条红色线段之间的夹角是 r 发，两条蓝色线段中间的夹角是二 r 发， 你会发现，哎，这是我们的 r 发，等于二 r 发的一半，所以叫做半角模型，并且这个二 r 发被拆开了，中间占了一个 r 发，剩余的 r 发被拆成了两个部分，对不对？ 好，那么我们令其中的一个小角为点角，另一个小角为叉角，那么我们应该怎么去构造全等呢？孩子们， 半角模型其实就是在提醒我们去做旋转呢，什么意思哎，我这里有一个完整的 r 发，如果我把这个点角和这个叉角，他俩也等于 r 发，把他们两个合到一起， 我是不是我这两个角就相等了，对不对？哎，那我应该怎么去合呢？孩子们，也就是我要把上面的这个三角形哎旋转到下方来，对不对？这样我就能构成全等三角形了。那我们来看一下怎么去旋转。 首先这有一条蓝边哎，那么我让这条蓝边这样逆时针的旋转，和这一条蓝边重合，嗯，然后呢，我让 这个三角形啊里的这条红边呢，也这样逆时针的旋转啊，然后来到了这里， 大家看一下啊，我让他，哎来到了这里，好，然后我再去连接这两条线段的端点， 我们来看看这两个三角形是不是就是完全全等的了，而且这里，哎，这里的叉角现在已经转化到这里了， 那么点角加叉角是不是等于 r 发呀？对吧？那么我的这个 r 发角就做出来了，并且 我我第一个啊，是让点角和叉角合成了一个整个 r 发，而且我做出了两个全等的三角形，这就是我绊脚模型的一个做法啊，那好，回到这个题，我也是这样啊，假设这里就是一个 点角，好吧，那我用别的颜色去画啊，这里是一个点角，这里是一个叉角， 整个为二 r 发，中间为 r 发，那说明，哎，我的点和叉加起来等于 r 发，对不对？好，那么我现在遇到绊脚模型，我的想法就是让我的点角和我的叉角 是要组合在一起的，形成另外一个 r 发酵，对吗？那我应该怎么去做辅助线呢？因为我要旋转呢，我要使得这两个三角形是全等的呀，对不对？哎，那么所以我做辅助线，我可以延长 f e 之 k， 使我的 e k 是 等于 a d 的， 对不对？好，那么我的这一条蓝边 c d 是 不是已经旋转到 c e 的 这个位置了？ 好，那么现在在这两个三角形中，有两条边是相等的，一组蓝边，一组 a a d 和 e k， 现在还缺一个角，所以接下来我就是要进行倒角了，对不对？好，那么我把能标的角我现在都标出来，好不好， 我们来看一下啊，因为它等于 r 发，它也等于 r 发，所以作为外角的这个角，它是等于二 r 发的，对不对？好，那你这个角呢？是 r 发，这个角是二 r 发，那么我们的这个角第三个角 是不是就等于一百八十度减三 r 发，对吧？对，顶过来这个角也是一百八十度减三 r 发。好，那么这一个角我应该怎么去求呢？这一个角是不是整体为 二 r 发呀？对吧？哎，你要减去中间的这个 r 发，还要减去点角，那也就变成了 r 发减去一个点角。 好，那我们来看一下啊，这一个角，哎，这一个角是不是一，他是他等于一百八十度减三 r 发，再减去啊，再加上 r 发减点角，对不对？ 所以他得出来的是一百八十度减去二 r 发，再减去一个点角， 好，我把这写在外面吧。啊，这个角度等于一百八十度减去二二发减去点角，那么我们这个角呢？大家看看，你这里呢？是二二发，对不对？这里是点角，所以这个角也等于一百八十度减二二二发，再减去一个点角， 所以，哎，我们的这两个角也相等了，那两组边相等，两组角相等，所以 a s， a s 这两个三角形全等了，对不对？好，那么这两个三角形全等了之后，我把没必要的辅助线给它擦一下， 这两个三角形全等了之后，咱们就能得，哎，这个点角是不是等于这个点角，对不对？哎，那刚才这里是叉角吧，对不对？你的叉加点是不是 r 发呀？ 然后这里是提利给我的 r 发，所以我整个的这个大角就是 r r 发啊，整个的大角就是二 r 发， 我再重新画一遍，啊，整个大角是二 r 发。好了，那么因为刚才全等，说明我的这个角和我的这个角也是相等的，对吗？你刚才的这个角，它不是等于 r 发加上 r 发吗？对不对？它等于二 r 发，那么这个角也是二 r 发。好，现在同学们关注一下啊， 你等于二二发，我也等于二二发。并且孩子们，刚才啊，这里是二二发，这里也是二发，二二发。所以我们出来了两条线段是平行的， 对不对？哎，两条线段平行，并且我们这个角也是二二发，哎，两个底角还相等，这是不是出现了一个等腰梯形啊，对不对？哎，等腰梯形的底角相等，并且两条腰是相等的，那也就是说明我的 f k， 我把它重新描一下啊，我的 f k 就是 等于 ac 的 啊，我的 f k 是 等于 ac 的。 那有的同学说，老师啊， 我这这老师能用吗？我也没学过这等腰梯形，这这两条边相等，我不知道能不能用。那如果你觉得不能的话，咱保险一点啊，咱可以这样去做， 我做两条垂线啊，也就是从点 f 出发，哎，向这里向 c k 做一条垂线，从点 a 出发，哎，向我的 c k 去做一条垂线， 那么我们来看，这里是垂直，这里是垂直，并且呢，我的 b d 还平行于 k c， 说明上面的角也是相等的，对不对？ 那也就得出了中间的这个四边形是一个矩形，对吗？矩形我们可以得到的就是边是相等的，对不对？哎，矩形的对边是相等的。好，我把这里面给他标上字母， 也就是能得出我的 f m 是 等于 a n 的 啊， f m 是 等于 a n 的， 并且我这里有一个二 r 发，这里也有一个二 r 发，还有直角，那么我的这两个三角形也就是全等了啊，也就是咱的 f k m， 哎，也就全等于 n c a n c 了啊，这两个三角形全等，那你看是不是就解决了刚才咱们的疑问，就是 f k 和 ac， 如果我不能用等腰梯形去说明他俩是相等的，那么我是不是可以用全等三角形就能得出来这两条边是相等的了，也就是 f k a 就 等于 ac， 那所有该证的我都证完了，接下来我就可以干什么了，开始去导边了呗，对不对？我们来看，因为结论边里有 b d， 那 么我们先来看一下 b d 等于什么？ b d 是 不是等于 ab 加上 ab 啊，对不对？哎，好， ab 又等于谁呢？往结论边上去看啊，结论边里有 ac， 所以我赶紧把 a b 给它换成 a c， 对 不对？那么此时我的 b d 是 不是就等于 a c 再加上 a d 了，对吧？但是我的结论边里并没有 a d 是 有 ef 的， 那所以我需要把 ad 换成和 ef 有 关的，对不对？好，因为刚才三角形全等，我们能得出来 ad 是 等于 e k 的， 没问题吧？所以第一步我先把 ad 换成 e k， 那 么 e k 又等于谁呢？ e k 是 不是等于 f k 再减去 ef 啊，对不对？哎，也就是这里是 f k 啊， f k 减去 ef， 嗯，好，那么 f k 又和谁相等呢？我们第二次全等，是不是证明了 f k 是 等于 a c 的 呀？ a c 正好是结论边需要的哎，所以我把 f k 又换成了 a c， 那 么此时我的 e k 就 变成了 a c 减去 e f， 对 吧？那么接下来我就把所有的最后的导边的结果写出来， b d 也就等于 a c 再加上 a c 再减去 ef， 那 最后的结论是不是 b d 就 等于二倍的 a c 减去减去 ef？ 那 么这道题我们就做。

思路一模一样，二零二六年海定二模的几何综合与二零二五年海定二模的几何综合是一个思路。各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二六年海定二模的几何综合。 第一问呢，相对来说呢就比较简单，他在这里告诉我们 a e 旋转九十度得到这个 e f， 所以呢我们在这里就可以，呃，假设这个角是阿尔法，那这样的话这个角呢咱们就能得到了，然后呢告诉我们这个点 e 是 中点，所以这个边，这个边，这个边，这个边，甚至这个边这五个边呢都可以标成阿尔法。 好，那这样的话呢，我们就可以通过这个三垂啊，三垂这个全等，然后呢得到这个 c f 是 垂直于 bc 的 第一个呢，咱们就直接快速的跳过，我们来看一下这个第二个， 这个第二个呢让我们去正这个角 b f d 的 一个大小，这个 b f d 的 大小，如果让我们去猜的话，应该是九十度。好，这里边呢大家看一下啊，你这个三角形是一个直角三角形， 这个三角形是一个直角三角形，这个三角形呢是一个要正的直角三角形，他们有一个公共的锐角点 b， 那 我们就可以用我们所说的思路了，就是直接倍长得到 双等腰，然后利用这个双等腰出手拉手来解决这样的一个问题。好，我们来看一下，按照这样的一个逻辑，我们可以把这个 c a 啊给它给加倍延长啊，变到这个位置，假设这个点呢是 m， 这个时候第一个等腰就出来了， 然后呢我们把这个 d f 呢也加倍延长，然后此时就能得到第二个等腰了，假设这个点呢是 n， 这两个等腰画在这，大家也能感受到，他应该是要着手拉手的，所以我们要把这个拉手线给他给画出来。第一个啊，等腰的左手点在这，他的左手点呢在这，所以呢我们就去连立 n c， 这样的话呢，得到的这一个三角形 和第二个等腰三角形的顶角点在这，以及这个顶角点在这，得到的第二个等腰三角形的手拉手，也就是说我们只要证明这两个三角形全等，那咱们这道题就做出来了。好，大家现在来看一下啊，我们在构造出这样的一个情况的时候，你会发现这个点 e， 它呢？这个终点也都被我们中位线给用上了，大家现在可以去复习一下，二零二五年海淀二模的来到几宗，你会发现一模一样，那在这个时候我们的条件用哪些呢？用黑色加粗的笔给大家标一下啊。首先呢是这个， 这个 b m 和这个 bc 啊，它是一个明确的等腰三角形，这是我们拿到的第一个条件。第二个条件是什么呢？我们会发现这个 md 它和这个 a、 e 是 中位线的关系。然后呢，这个 c n 它和这个 e f 也是中位线的关系，所以我就能拿到 md 等于 c n 了，两个边咱们都知道了，那我们接下来就要把所有的精力放在这个角度上了，这个角度好不好正呢啊？其实 通过大家对于咱们这个几何的了解，我们会发现核心就在于倒角了，题目里告诉我们这个角是阿尔法，这个角呢，它也是阿尔法，那我们现在呢，能想到，呃，怎么把这个角度给它给传递过去？这个对于我们来说是很很重要的，这是第一个关键的信息。 第二个呢，他又告诉我们这个地方旋转的是一百八十度减去二倍的阿尔法啊，这里一百八十度减去二倍的阿尔法，好，这个地方我们干嘛呢？我们现在呢，在这里假设这个角是 c 塔角， 那如果这个角是 c， 它角的话，大家看一下，那么这个角就是一百八十度减去二倍的阿尔法，再减 c， 它因为你有中位线，所以这个角它也就是一百八十度减去二倍的阿尔法，减 c， 它 好，第一个角咱们能表示出来，那你这个第二个角讲道理和它应该是一模一样的，对吧？那我们现在能知道是这边这个小角在直角三角形中，所以它应该也是一个九十度减去一个阿尔法，因为你这里边呢是 c， 它角，所以这个角 它是不是应该就是九十度减去阿尔法，再减 c 塔，再配合着咱们的中位线的这样一个逻辑，所以我们就能得到这个角它也是九十度减去阿尔法，再减去一个 c 塔。那你现在把这两个角合在一块，我们就能得到这个大角是一百八十度减去二倍的阿尔法减 c 塔和它相等。至此我们就得到了三角形 m、 b、 d， 他 就全等于三角形 c、 b、 n， 那 他俩全等之后，我们就能进一步的得到，所以 b、 d 就 等于 b、 n。 这样的话呢，我们再根据三线合一的这样的一个性质可以得到 啊， b f 是 垂直于 f d 的， 进而可以推出角 b f d 就 等于九十度。呃，这个题目的思路呢，在我们 二三年中考之后一直在考察啊，在这两年呢，考的也比较多，也是我们所说的三线合一或垂直倍长。海淀二零二五年的二模考的也是这个思路啊，希望这个视频呢可以帮助到大家。

好，我们接着来讲海淀初三二波的这个几种题啊，这个几种题的话出的非常好，对吧？猛一看他有点像二三年的北京中考题的一个改编，但这个题的话给大家提供三个方法啊，可能待会会录三个视频， 呃，就看大家考场上能不能反应过来，如果这个题能反应过来被藏的话，其实只要抓一个方向，对吧？这个题就可以迎刃而解啊。好，我们来看一下题目当中说的，他说的是角 b， a， c 是 九十度，我们直接看第二个啊， abc 呢，是等于一个 r， 点 d 呢？在它弦上，然后点 e 是 一个中点，连接 e， a， 把 e a 绕着点 e 转了个一百八减二， f， 就 这个角是一百八减二， f 得到一个线段， e f 连接 b， f 还有 d， f 直接写出它这个大小，它肯定是个九十度，对吧？而且这张是有一个相等的边，我们第一个方法的话就可以想被藏去构造中微线 法一，通过背长去构造一个中卫线，其实这个知识点的话，应该是八年级下册，对吧？你们的几中需要强化一下啊，就是现在学校进度都比较快，都忙不到，就是在讲那个初三的东西，其实中卫线和斜中线这两中应该强化一下啊。 好，我们应该怎么构造呢？就是把它给延长，把它也给延长这个地方， 然后呢？把它给连接起来，把它给连接起来。你这样子的话，好像是有一个手拉手， 对吧？有一个手拉手啊，我把它写成一个 q， 把它写成一个 h， 因为这个边 是等于这个边，对吧？他们两个相等，然后还有一个什么呢？我只需要证明这两个边相等，这个里是不是就迎刃而解了， 对吧？他俩就迎刃而解了啊？那所以我们再来看这个地方是有一个中点吗？对吧？我们背插完了之后，我们刚说要出中微线，所以还需要连接它， 然后呢？还需要连接它，你这样的话是不相当于就构造出来一个中微线，对吗？因为什么呢？因为这个边等于这个边，所以我们是可以得出 h、 c 呢？是等一个 q、 d， 对 吧？把它们连接起来，那这个地方就明显的是有一个，什么有一个手拉手的啊？ 那么手拉手的话，我们要抓什么？要抓夹角，因为这个地方是有一个九十度减二法，这个地方是有一个 b， 它 我们利用外角，对吧？它是一个掰它，我们为什么要用外角啊？因为我们要要去正，这个夹角是和这个夹角相等，而这个夹角等于谁？又等于个它， 那么利用外角的话，这是九十度减 f， 这是掰它，所以说这个角的话应该是九十度减 f 减 b， 它它们俩之间是有一个平行，所以说这个角 也是一个九十度减二法减摆它，因为这张是有一个中微线，然后这个大角总共是一百八减二法再减去它，所以说这个角应该是九十度减二法加摆它和这个角完美的相倒，所以我们再去勾手拉手， 因为这个手拉手的话怎么去正啊？因为这个边等于这个边，这个边等于这个边，它俩平行，所以说这个地方九十度减二法加摆它， 所以我们用这个 s、 a、 s 可以 去证明三角形 q、 b、 d 全等于三角形 c， b、 h， 所以 是不可以得出 h， b 等于个 b、 d 三线合一 叫 b， f、 d 等于九十度，对吧？这题就搞定了啊，这是我们的第一个方法。

完美加重吸虫二模的结合综合。在本周六咱们在讲解几宗的时候呢，和学生讲了一个共顶点同线段对角互补有旋转的这样的一个例题。 在题目当中呢，我们知道这个角是九十度，这个角呢是九十度，这条边等于这条边，那么我们就可以把这个三角形啊旋转到这样的一个位置。这是我们周六讲的一个例题， 没想到在这一次西城的二模他也考到了这样的一个内容，这一条边等于这一条边，这个角是二倍的阿尔法，这个角呢是一百八十度减去二倍的阿尔法，那我们就可以把这一个三角形给他给旋转到此处，然后来解决此题， 真的是非常开心啊！好，各位同学家长大家好，我们一起来看一下二零二零年西一城二模的几何综合这道题呢，从我们的角度上来看，第一问可能也会让很多学生，嗯出现一些卡顿的现象啊， 我们根据条件标下角这个地方是阿尔法，这个地方是阿尔法，所以这里呢是二倍的阿尔法。题目里又告诉我们这个地方呢，旋转的是二倍的阿尔法，那我们该怎么入手呢？先找等腰啊，那这个时候我们会知道 dc 是 等于 ec 的， 那你会发现这个角 d 就是 九十度减去一个阿尔法。 好了，大家要注意啊，如果说这个角是九十度减阿尔法，这个角是阿尔法，那此时这个三角形应该就是直角三角形，这个点呢，大家一定要注意。 然后呢，这个思路为什么这么设置，对于第二个有什么样的一个提示和引导，也是咱们需要注意的好，除此之外，我们会发现你这个角是 r 法，这二倍的 r 法，这个角是九十度减 r 法，那么你这个角它也是九十度减去一个 r 法， 至此我们会发现这个三角形，它也是一个等腰三角形，所以 a、 d 等于 ac 等于 ab， 这是我们所说的第一问，第一问理解了清楚之后，那第二问呢？我们就直接用模型就可以把它给秒掉了。为什么叫做共顶点等线段对角互补 有旋转呢？我们会发现你这个角是二倍的阿尔法，那隔壁的角应该是一百八十度减去二倍的阿尔法，此时这个在这个四边形当中啊，就出现了两边相等对角互补的状态，这个对角互补呢，能给我们免费的提供一个角度信息，比如说这个是一 贝塔，这个角就是一百八十度减贝塔，那么我们把 b、 d 这条线给它给延长，隔壁的这个角也就它零补角一定是贝塔。好了，我们此时呢，把这个 c、 f 连接起来之后，大家会发现 在此时这个角是贝塔，这一条边等于这一条边，我们干嘛？我们只要把这个 e、 f 这条边，在这个 b、 d 的 延长线上把它给截取出来，那么这道题咱们就解决了。假设这个点是 k 好， 你就可以直接得到啊，三角形 k、 d、 c 全等于三角形 f b、 c 啊， k d， c 全等于三角形 f、 e、 c 共顶点等线段对角互补有旋转，那么这两个相同了之后，我们怎么进一步的去解决问题？这里边呢？大家要稍微注意一下啊，我们在这里边考察的依旧是角度的信息，哎，你会发现呢，这个时候这个角应该是等于这个角的， 然后呢，这条边应该又等于这条边，我们在里边呢，用绿色的荧光笔给大家呈现一下，那此时这个角应该也是个点角，我们就把这个所有的点角都设为 c， 它这个小黑角是 c， 它这个小黑角也是 c， 它这个小黑角也是 c， 它。 好，你在这个角的附近呀，你能得到什么？二倍的阿尔法，加上二倍的 c， 它等于一百八十度。题目里呢，告诉我们，这个角 b 是 阿尔法呀， 所以你会发现这个角是 cta， 这个角是阿尔法，所以 cta 加阿尔法应该是等于九十度，那么这个三角形 kbc 就是 我们所谓的直角三角形，对吧？所以我们就能得到，根据这个推出来角 kcb 就 等于九十度。好，至此，这道题呢，咱们就可以把它给全部种出来了， 它如果是等于九十度的话，我们又知道什么？我们又知道这个边 a c 这条边它是等于这的这两个边相等， 这个角呢，它应该也等于 c， 它就等于它，对吧？所以我们会发现，就是二倍的 a c 呀，它就会等于我们所谓的 b k， 那 么 b k 呢，是等于这个 b d 加上这个 d k 的 啊，我们 b d 和 啊，我们的 a c 都是需要的，那我们这个 d k 直接替换成 e f 就 行了，它就等于 b d 加上一个 e f， 至此我们就能得到二倍的 a c 等于 b d 加上 e f。 这道题就中出来了啊，非常的开心啊，在考试之前呢，正好讲到了这样的一个思路，也希望能帮助到咱们班的学生啊，能快速解决到这道题。