高一下数学立体几何证明题

同学们大家好，我是数学老师王老师，我们一起来看一下这个高一期末选出一部分这个经典的这个例题和证明题， 那么每道题呢，都是以平行垂直的方式进行考察，然后并且夹杂这个考线面角二面角的这种，那我们因为现在还没有练习到二面角，给大家选的都是线面角和一面之前所成交的角。这种问题。 第一题如图是直三轮柱，直三轮柱是指侧棱与底面垂直，那得呢是个终点，我们看一下得是在 a b 的终点。第一问，求证， b c 撇 b c 撇呢？就是这条面对角线平行于 a 撇 c 得。在这里边我们给大家简单描一下， 哎，就是这个面，你想正这两个线面垂直，那我们线面平行啊，我们正的是 两种证明思路，一个是正这个线线平行，就是我需要在面内找到一条线跟他平行。还有一种思路呢，是正什么呢？就是正这个面面平行，正 b c 撇所在的面与 a 撇得 c 平行，在这里边我们看有一个终点的信息，这个得 哎，所以考虑到用中位线的思路去正这里边啊，因为 b 是这个 b 和得 a， 他们刚好贡献的与我们要用的直线 bc 撇有个工作就点 b， 所以考虑到连上 ac 撇， 连上 a c 撇之后，你看，由于这个直棱柱每个面都是平，侧面都是平行四边形，所以 a c 撇跟 a 撇 c 的交点应该是个终点，它是终点的话，这样我就相当于在 a 撇得 c 这个面内找到一条线，使它刚好 与 b、 c 撇平行。用的定理呢，就是中意先定理，那这样的话就完成了线线平行的证明。低温我们简单给大家梳理一下，那就也就是说要连接这个 ac 撇，连接 ac 撇与 a 撇 c 交于这个点啊，我们是给他设一个点，假如说是 o 交于 o 点，那么所以这个由这个直棱柱的性质， o 应该是 a、 c 撇的这个终点，所以这样我再联系上这个得 o， 那么也就是说在三角形 a、 b、 c 撇中，由中微线定理，我就是知道这个 d、 o 一定是平行于 b、 c 撇的，对吧？然后呢，按照线面平行的这个判定定理， d、 o 呢？在我们已知的这个平面， a 撇 c 得上，然后呢， b、 c 撇呢？不在 平面， a 撇 c 得上，这样我就可以说明 b、 c 撇是平行平面 a 撇 c 得的。那么第二位我们来看一下，说已知 a、 c 等于 b、 c 看底面， a、 c 等于 b、 c， 说明底面是个等腰三角形， 然后得又是等着三选的终点呢，出现一个三线合一，对不对？然后我们看下面这个说 e 面直线 a、 b 撇，我把第一步的图给大家擦掉，哎，这样清晰一点，这个 a、 b 撇，我们找到它 是 get 面儿对角线，对吧？与 c 得 c 得就是这个底面儿，底面儿是等腰三角形的中线。我们刚才刚才分析出来，三线合一， c 得应该是垂直 a、 b 的，又本身是直棱度，那 c 得就应该是垂直平面 a 撇 a b、 b 撇的，那么 c 得一定垂直 a、 b 撇也就这一面。之前的夹角对于这题来说是比较简单的，这个题的题号我没有改，就是让大家看一下在十九题考的例题和证明，就是这个难度，它是比较简单的一种 方式，那么这里边我们简单写挂过程，就因为 a、 c 等于 b、 c， 那得是终点，对吧？得是 a、 b 终点。哎，所以呢，三项合一， c 得是垂直 a、 b 的本身呢？因为是直冷柱，对吧？因为直冷柱 直棱住 a、 b c a 撇 b 撇 c 撇，那所以相当于我们知，就知道这个 c 得应该是垂直 特棱 b、 b 撇的。那么 a、 b 呢？与 b、 b 撇是不是相交啊？交点是 b， 这样我就能得到结论， c 得一定垂直，有组相交线了，它一定垂直平面 a、 b、 b 撇 a 撇。然后我们要找的一面直线 a、 b 撇是不是在这个平面 a、 b、 b 撇 a 撇上吗？所以 c 得呢，就垂直于这个 a、 b 撇， c 得垂直 a、 b 撇呢？一面直线的夹角自然就是多少度啊，九十度，所以 c 得与 a、 b 撇，夹角为九十度。 下面我们看我们选的第二道题，这第二道题呢，说如图， p 是垂直 圆欧所在的平面的 p a 就会与底面的任何一条线垂直， a、 c 是与底面圆的直径，直径所对准，圆珠角是九十度。那么这里存在第二组垂直，就是 a b 垂直 b c。 那你看 b c g 垂直 a b b c 垂直 a p， 那 b c g 必定垂直平面 p a、 b 对不对？然后 a、 b 等于三， b c 等于四，那么 a、 c 就是五，对吧？ p a 等于三倍的根号二。然后这里边做了个 a， e 是垂直这个 p b 的 证明， aef 这个平面与平面 pbc 是垂直的。那这个题是二十一题，就是期末考试中的二十一题，我们看一下这个题的难度。 第一，问正面面垂直。同学首先要知道面面垂直的判定定理，面面垂直就是在正线面垂直，对吧？我就在一个面中找到一条线垂直另外一个面，而正线面垂直呢， 就是正这条线垂直一个平面对的两条相交线。所以在这图中啊，我先去尝试去找明切的垂直关系，再从这个明确的线线垂直关系上去拓展线面垂直。那在刚才咱们分析过，说 bc 呢， 它是垂直平面 p a b 的，那么 b c 就会垂直 a e 对不对？ b c 与 a e 应该是一组垂直关系，而题中又告诉 a e 垂直 p b 了，那么这个 a e 这条直线说明垂直了一组相交线，也就会垂直相交线所在平面，那么 a e 不就垂直 p b c 吗？ a e 垂直 p b c a e 就在我们已知这个直线上，那这这个题就搞定了， 对吧？那我简单写一下这个过程，就是因为 a c 是圆儿 o 直径由这个直径所对着圆，直角是九十度，所以先得到 b c 垂直 a b， 然后因为这个 p a 呢，垂直平面圆 o， 对吧？所以这个 p a 也会垂直 b c。 那这样 b c 垂垂直于一组相交线了，就是 p a 交 a b 等于 a， 让我们说明 b c 垂直平面 p a b， 那么这里边是为了证明 a e 与 b c 垂直，对吧？ a e 属于平面 p a b， 所以呢， a e 垂直 b c， 然后已知呢？又因为这个 a e 垂直谁啊？ a e 垂直这个 p b 嘛，哎，这俩放在一起， a e 垂直一组相交线，所以 a e 就垂直谁啊？平面 p b c 按照线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理， a e 本 在我们这个平面 a e f 上，那这俩放在一起，我就可以说明平面 a e f 垂直平面 p b c。 然后我们看这个第二问啊，第二问这个题稍微难了一点，就是不是特别好算说这个 f 移动到 c 上的时候，那这个图你要重新去看，这个图要变成这样这个样子了，这 f 在这 求这个平面 a e f 与 p b 所成的角，那我们看啊，这个题要用这个等体结法去求，因为当 f 与 a c 垂直的时候，我们这个是容易找到这个线面角的，容易找到线面角， 但是这个线面角你要找的时候，由线面角的定义，应该是由线上的一点线面角的垂线，对不对？你这个垂足你不知道落在哪，就你随便落个位置，你这一连线面角就找到了。只不过你会发现，求这个正线值的时候，我需要知道这个高和 b 的长对不对，而这个落点不太好知道。 那这时候呢？在三两三棱锥 e a b c 中，我用等体结法只要求出 b 到 a e、 c 的距离不就可以了吗？反正我这正弦值就是用高比上 b e 吗？对吧？那在这里边我们来求下这个长度信息。 既然需要用到 b e， 那我就先求 a e 的长，对吧？想求 a e， 在直角三角形 p a b 中， a e 相当于是他斜边的高，我先把斜边求出来，再用摄影镜里把 a e 求出来，就是 a e， 不就知道 b e 的长？ b e。 解决之后，我再去研究 b 到平面 a f a e c 的这个距离问题。那首先由已知这个 p b o 勾股定理，他应该是 a p 的平方，再加上 a b 的平方，这两个长度在题中高都告诉了，一个是三倍的根号二的平方，再一个是三的平方，两个一加呢？ 十八加九二十七，三米的高号三，对吧？ pb 是三米的高号三，那此时呢？在这个 rt 三角形 p a、 b 中，你有等面积法，就是一个 a e 底乘高， p b 是不是应该等于直角变乘几？ p a 乘以 a b 啊？ 也就能得出这个 a e 的长，他就等于 p b 分之 p a 乘以 a b， p a， 我们已经 p b 解出来了， p a 知道， ab 也知道，这样直接代入数据求值，他就是根号六。那你看，在平面图形 p a、 b 中，你知道斜边的高是根号六了，是不是就可以求 b e 了？直接勾固定理。所以呢， b e 就等于根号下 a b 的平方减去 a， e 的平方 三分之九减六，是不是根号三啊？所以 b e 是根号三。这样我们解决了。这个就是你要求线比较正，线值的中这个比值 csa， 它应该等于一个 h 比上 b e 嘛？把 b e 解决了，还缺一个 h， 正因为我们不知道落点在哪，所以我用等体积法去求。等体积法去求。你看 这里边 e 到底面 a， b， c 的距离，我们应该能算出来，因为 b e 比上 b， e 比上这个 p b 等于几啊？就是根号三比三倍的根号三，是不是一比三呢？所以 e 到底面 a， b， c 到面 a， b， c 的距离 就应该等于三分之一的 p a， 那么也就是根号二嘛。那这个高我知道了。所以 以三棱锥以 e 为顶点，以 a、 b、 c 为底面，这个三角形的面积我就可以写出来。呃，这个三棱锥的体积我就可以写出来，就是三分之一，底面积呢，就是二分之一，乘以三，乘以四嘛，就是 a b 乘以 b， c 再乘以这个高，我们刚刚算出这个根号，是不是？哎，带进来， 那我预约是不是二倍的根号二啊？一会想用等体接法，那你就转换成以 b 为定点就行了。转换成以 b 为定点，现在我需要求一下 aec 这个三角形的这个面积，对吧？由第一问，我们求出这个 a e 是垂直平面 p b c 的，所以 a e 垂直是 e c， 那这样的话， 这个面积也很好求了。就由一，我们知道 a e 应该是垂直 e c 的，而这个 a c 长度不是五吗？ a c 等于五，所以这个 e c 等于多少？ e， c 是不是就等于 a c 的平方减去 a e 的平方， a， e 在上面我们求出是根号六， a， c 是五五二十五减六， 是不是十九啊？那就是根号十九。这样我们把 e c 算出来了，所以这个三角形 a e、 c， 它是个直角三角形，就等于二分之一 a e 乘以 e c， 也就是二分之一 a， e 的长，我们在上面算是根号六， e， c 的长是根号十九， 也就是占我们算出一个二分之根号一百一十四吧，对吧？ 分这样一个值。所以呢，我设哎 b 到平面 a， e， c 的距离 v h， 这就是一个关键信息啊，求知 h 这个正前值就解了。那么由等体结法 我这写一下，就是以 e 为顶点，这个三棱锥的体积应该以等于以 b 为顶点，这个三棱锥的体积 a e c 那代入数值，我们前面这个算出这个 e a b c 的， 他这个体积是二倍根号，对吧？就二倍根号等于三分之一，他的底面积呢，就是三角形 a、 e、 c， 也就是二分之根号一百四十四，再乘以个高，我们要求的代入解除这个 h 呢，就等于十九分之四倍的根号五十七，所以这个我们要求那个 say， 他等于多少啊？哎，就是 这个 h 比上这个 b， 也就是十九分之四倍的根号五十七，比成 beb， 我们在上面求出来是根号三，对吧？也乘以这个根号三分之一 张一月分，也就是十九分之四倍的三根五十七，刚好能约就是一三的三三九二七，根号十九。哎，这就是那个正限值，这题计算量还是有点大的， 然后看下面这个题，给大家选的也是一个二十一题，就在二十一题这个位置，大概率都会出一个立体底格的证明，只不过他的第二问难度稍大一些，你看我们这道题，第二问求的是一个线面角正前值的最大值， 那我们来练习一下看。首先第一问还是考常规的，第一问不是考平行就考垂直的证明。哎，我们看第一问说，先看题干上句型 a、 b、 c、 d， 这是个句型语， 半圆面 cd， 半圆弧 cd 所在平面垂直，这有个面面垂直，那么面面垂直的性质定理就是垂直交线的线垂直另外一个面，那么 a b 等于二句型，一个边长 a 得等于二分之根号，另外一个边长 m 上面任意点 第一位让我们正 am 的垂直 bmc， 那我们把 mc 给他连上啊， 那这里边面面垂直是不是就正线面垂直啊？那我在题中找有没有明显的垂直关系？因为 c 得是半圆半圆弧吗？那 c 得是直径直定存的圆周角是九十度，得 m 是不是就垂直 mc？ 所以首先这个 cm 与得 m 垂直， 再结合我们刚才说的，呃，两面垂直垂直交线的线垂直另外一个面，那我就知道 b c 一定是垂直平面得 m c 的，他也就会垂垂直得 m， 这不就找到一条线与两条线垂直了吗？哎，这样就可以 正了啊，那简单说明一下，连上这个 c m， 因为 c 的是直径，所以的 m 垂直， c m 在结合的面面垂直，因为这个平面 a b c 的垂直，平面 得 c m， 在说明它俩的交线平面 a b c 得交上平面儿得 c m 等于 c 得，那么垂直交线的线垂直另外一个面儿，因为 b c 呢，垂直得 c， 所以 b c 一定垂直，平面儿 得 c m， 这样我们就知道 b c 一定也垂直得 m 了。那你看，得 m 垂直 c m 得 m 垂直 b c， 然后 b c 呢？交上 c m 等于 c， 这样我就可以说明得 m 一定 垂直。哎，这个呃， b c 和 c m 存在的平面儿嘛，也就是平面儿 b m c， 这是线面垂直，正完了，但是证明面面垂直，我只需要说明的 m 在我们的平面 a 的 m 上，这样就正出了面面垂直平面 a 的 m 垂直平面 b m c。 这个是比较简单的，那么我们看下一问，第二问说 b m 啊，与这个 a b c 得所成的角是 c， 它求 sin c 的最大值。其实这题本身想找这个角很好找，我只需要做这个 m n 垂直 c 得就可以了。那么再连上这个 b n， 对吧？因为两个面垂直，垂直于交线的线，垂直另另外一个面嘛，对吧？所以这个 m n 一定是垂直平面 a b c 得的这样，所以角 m b n 极为所求的这个 cta。 那这时候你看啊，想求谁的最赛谁的最大值？在这里边，我们重点是把这个谁的先表达出来，赛谁的表达出来，你再去研究最大值，所以最终一定研究这只变转移成了函数问题。呃，我们看图中这个长度，关一下。 想表达三角形的，我需要把 m n 和 b m 都表达出来，那先求 m n， 那么在三角形的 m c 中，因为它是直角三角形。由摄影定理， 我是不可以得到这个 m n 的平方等于 c n 乘以得 n 呢，而 c n 得 n 的和不就是二吗？所以我直接设这个 c n 等于 x， 那它应该属于这个零的二这个开区间，对吧？那所以呢， d n 就等于二减 x， 所以我这个 m n 的平方不就解出来了吗？就是 x 乘以二减 x， 也就是二 x 减 x 方， 那这里这个 bn 呢？那在三角形 rt， 三角形 bcn 中来个购物定理就可以了。这个 bn 是不就等于 bn 的平方，就等于 cn 是 x， 对吧？ x 方加上 二分之二的平方，就是二分之一，我们要表表达谁的正线值，需要 bm， 所以呢， bm 的平方呢？就等于 bn 的平方加上 mn 的平方，他俩加到一起是二 x 加二分之一 到，这思路都是正常的，所以这个正前指呢？三 nc 的我们就表达出来了，因为我这里都用平方开根，比较麻烦嘛，所以这写成三 nc 的平方，三 nc 的平方是不就是 mn 的平方比上 bm 的平方啊？ 你看前面我们表达出来用 x 表达，二 x 减 x 方除以二 x 加上二分之一，到这就变成函数求值欲的问题了吗？你只要表达出他的最大值呢？最大值就是我们所求 x 呢，是属于零到二的。 这里面啊，在这块的时候是比较麻烦的，那么给大家提供一下这个思路，就是换元法，换元法 求函数这个值域。我令这个二 x 加上二分之一等于一个 t， 那你 x 范围是零到二， x 大于零小于二，二 x 大于零小于四，再加个二分之一呢？我能求出这个 t 的范围是不是就应该是二分之一到二分 之九啊？这个开始减。嗯，那么所以分子分母能直接换成 t 分子呢？二 x 换成 t 减二分之一 x 方呢？这俩 x 是不是就等于 t 减二分之一，再乘个二分之一， x 方也能换了，所以赛元方谁的？你一换的话，分母现在是个 t， 分子呢？是这个 t 减二分之一，再减去 x 方就是四分之一乘以 t 减二分之一的平方，然后把分母除到分子上， 打开整理一下，就是负的十六分之十六， t 分之九减去四分之 t 加上四分之五。这里注意 t 是大于零的，所以我提个负号出来，因为这里出现了积是定值的式子，这个 t 在分母 后面这个题，在分子这俩式子乘在一起，是不是一个定值六十四分之九啊？所以积是定值就可以用基本功能式，他本身应该是大于等于 谁对吧？加个负号就小于等于吗？刚好找到最大值也就小于等于负二倍的根号。九十除以十六， t 乘以四， t 比上四加上四分之五，这个约掉之后，一算值刚好是二分之一，因为用了基本不能试，所以我们当切紧。当 t 等于二分之三，当 t 等于二分之三的时候，我们看 t 不是等于二 x 加二分之一吗？那么同从而解除，即 x 等于几呢？ x 等于二分之一时，去等我们这检验一下，看看 x 在不在我们的范围内哈。所以 sit 它的最大值 要把二分之一开，根号就是这个二分之根号二。 下面这个仍然是一道二十一题，就是立体求证明。第二问是求一个线 线面角的余线值，仍然是以线面角为主。那第一问还是我们说的常规考察，就是考查两个点，一个是平行，一个垂直。我们看，首先这是个直四棱柱，直四棱柱是指侧棱与底面垂直 abc 的呢，是个等腰梯形，其中呢，这个 a 的是垂直， b 得的。这个垂直其实告诉我们， a 得与 b 得是垂直的，那么 b 得就会垂直。 a 得所在的平面 a， a 撇得撇得，因为他是直棱柱吗？你 b 得必定垂直侧棱吗？那不就垂直一个相交线了，对吧？然后让我们正 b 得撇是否垂直？平面 a 得撇得， a 得撇得不就是我们刚才说的那个侧边吗？而 b 得和 b 得撇肯定是平行的，对不对？这个就比较好正了。 第一问，我们简单证明一下，我可以先正必得平垂直哈，再说明必得与必得撇必撇得撇是平行的 就可以了。你看，就是因为呢， b 得垂直， a 得然后直四棱柱，对吧？直四棱柱，因为直四棱柱， a b c 得 a 撇， b 撇， c 撇得撇，这样我就能说明 b 得是直接垂直侧棱得得撇的。那么 a 得与得得撇交于点得，所以说明 b 得就是垂直平面， a a a 撇得撇得，对吧？然后我们再说明， b 得与这个 b 得撇平行。就因为呢， b b 撇平行，且等于这个得得撇，所以四边形 b 得得撇， b 撇是哎，平行四边形，这样我就可以说明，哎， b 得是不是平行， b 撇得撇啊？那么由这个 性质定理我就知道，对应的必得是平行，必必撇得撇了，而必得垂直这个平面吗？所以必撇得撇就是垂直平面。 那 aa 撇得撇得，不就包含着 aa 撇得吗？就是直接垂直， aa 撇得撇就行了。证明完了，然后第二个问，我们来看一下，求这个角哈，求这个 ap 与 bc 所剩的角， bc 在上面呢？ bc 是不平行， bbc 撇，对吧？ 所以我只要找到 a p 于 b c b 撇 c 撇的角下角就行了。然后求出它的这个余弦值。题中给出， a 得等于一， a b 等于二， ab 等于二，侧棱也是二，然后呢，这个 p 是终点，所以这是一。这时候我们看本身这里是不是垂在一个直角啊？哎，就是因为 b 撇得撇，垂直 a 撇得撇，对吧？然后 a 撇得撇等于一， a 撇 b 撇等于二。那在直角三角形中，不三十度角随随便是斜边那一半吗？所以这是三十度，那这就是六十度，而我这直接说明角得撇， a 撇 p 是不是等于六十度啊？它是六十度，那你连上得撇 p， 我是不可以说明，所以这个这里边 a p a 撇 p 是不是等于 a 撇得撇等于一啊？所以三角形 a 撇 p 得撇为等边 等边三角形，它如果是等边三角形，你看这是六十度，这是等腰梯形吗？那这是六十度，所以得撇 p 是不是就平行 b 撇 c 撇，对吧？然后平行 b c， 所以角 a p 得撇即为所求， 那往下求，你一个是把三边求出来，用余弦定理，再有一个就是三余弦定理，两个思路哈，往下两个思路。第一个十字路，你可以用三余弦 三元定理啊。你看，在这里我要求 a p 得撇，这是线线角，那么线面角我们已经知道就是 a p a 撇吗？对吧？这里边 a p 是不是应该等于根号五啊？二的平方加一的平方，这根号五吗？所以由三域线定理，那不就是 cosin 角 a 撇 p a， 它的余弦值乘以这个摄影角，也就是 cosin 角 a 撇 p 得撇。刚才咱们知道它是六十度，就等于我们要求的这个 cosin 角 a p 得撇。 那你看代入一下数值，这个 a 撇 p a 零边比斜边 a 撇 p 等于，呃， a 撇 p 比 a p 就一笔刚好五嘛。这个靠塞六十度不就是二分之一吗？就等于我们要求的这个 a p 得撇，这个余弦值 也就是十分之根号五吧，这就算完了。那么第二个方法呢？就是你应用于前进里算，就是我求出这个 ap 等于根号五 p 得撇呢？刚才等，这三角形是一，那这个 a 得撇呢？由勾定理，是不也是根号五 a 得撇是不也是根号五？所以由这个余弦定理， 这个 cosin 角 a p 得撇，它不就等于啊，零边的平方吗？也就是 a p 的平方加上下边是得撇 p 的平方，再减去 a 得撇的平方， 那除以二倍的 a p 乘以这个得撇 p， 那这个刚好就是十分之高。 sorry i didn't catch your name earlier。

斜修立体几何到底有多强？他能让立体几何的大题瞬间变成小学计算口算题啊？ 那很多同学听完胡老师讲立体几何的垂直，都说以前所有的垂直问题都白学了，那么今天胡老师给大家讲透垂直问题，听完之后我们再也不丢分好不好？好，期不期待？期待所有的垂直问题一共分为几大方向？我们来先来看一下，第一个叫什么？ 让你证明了什么？垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢？线面垂直很好，让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊，还有一个面面叫做面面垂直，咱一个一个来说，我们先来说线线垂直， 只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？常见的第一个叫做三垂线， 也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个，这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个，对，叫巨型模型，还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定律，大家对对于这个定律熟悉吗？熟悉，第一个叫做三垂线定律，这个定律主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它。嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 l 垂直于 m？ 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定的是什么？画个图。首先比如说这是阿尔法面， 然后呢？阿尔法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l。 然后呢，阿尔法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有。 所以三垂线定里说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线。 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是它在面上的投影。对摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于它的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l， l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明。 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大体里面的过程， 你大体要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路来。 m 垂直于 l， 一 撇垂直于它，为什么能够证明垂直于 l 呢？ 线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了，因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面。 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 l， l l 是 你中的线吗？我写的是思路， 对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？因为 pm 垂直面，对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于它，因为 m 小， m 是 你中的线，所以它垂直，对不对？对，因为因为它，所以它又因为你俩推出它 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言。又因为 l 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜臂垂设？比如说 m 垂直于 l， 是 不又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面， p n m 思路是一样的吗？对，嗯，又因为 线在面内，哎， l 一 撇是你面内的线吗？所以 m 垂直于 l 一 撇， 两个理由是一样的。会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考大家题目的？来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题 说下列正方体当中 o 全都是正方形的中点，这 p 都是什么点？ 他的楼上的终点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p， 就是 两个蓝线垂直的，是问哪一个满足是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个，哎呦，是不是翘起来的线啊？对不对？我们锤折，锤射必锤斜，锤斜必锤射，说的是给翘起来的这根线，说找他对应的投 影，摄影，摄影，谁翘起来找谁的摄影，是不是？是。所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？对，相当于在正方体的那个外面的表面上，我肯定不管 m n 吗？ ok， 相当于就是翘起来的线吗？对，是不是找他对应的摄影是不是就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给给谁找摄影？找。看 你是不是要证明的是这两个意面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面对不对？上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来，对，是不是往下面打比较容易啊？垂射臂垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移，来，我们把 m n 往这一移。我都不用找投影的。你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系吗？所以我也能把 a 排除掉，是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 l 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个充当了这根红线来？哪一根线 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了， m n 明明在面内啊。哦， m a 是 不是在面内啊？是，对啊，这个 o p 是 不是穿这个是不是跟侧面是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么？摄影打垂线对不对？对，来，过 o 点给他打投影，打到了怎么打过 o 点，是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足。一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影。是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直，这是终点吧？对，对吧？这是终点吗？ m n 跟谁是垂直的？ m n 跟他是垂直的， 你不是中位线吗？对，你俩是不是平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直。 m n 垂射必垂斜，这就是斜线。 图像相对翻了一下，能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意念吗？一个是 l， 一个是 m， 哪个相当于我这里翘起来的 l 来哪一个？ o p？ o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的，在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不相当于这个吗？ 是不跟这个平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧，给面打垂线是不跟刚才一样的。噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是，是垂直吗？嗯，这个也垂直，为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧，也是终点。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的啊？是的，你是不是对角线相当于一半吗？看到没有对中位线吗？所以他是垂直关系 没问题吧？没有没有问题，来下一个，哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为艾蒙在背面的面上来。对，也可以认为在前面的面上是不都可以。是的，艾蒙也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线，那么你跟我面的交点是屁，是不？就这个点屁，对，对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？把这个关系要捋清楚啊。 过这个点往面上打垂线，过藕点，往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点，给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的啊，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞，相当于这个 p 点相当于这里哪个点， o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉， 这叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六。那么剩余的其他的模型对应的题型你要练习的非常透彻，所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。 那么今天因为时间原因我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来。我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。

大家好，又到了即将要期中考试的时候，所以今天呢，我又准备了一套高一下学期期中考试的数学试卷。这一套数学试卷呢，还是很有代表性的，还是老规矩啊，你只需要关注我的公众号，会放羊的教书匠 在公众号里那个聊天框回复高一下这三个字就可以了啊，只需要在我的公众号回复高一下这三个字，就可以获得这一套非常有代表性的其中试卷了。记住啊，有效期只有三十天， 也就是说在视频发布之后第三十一天，你再关注我的公众号，回复高一下这三个字，可能就得不到这一套资料了，知道就行， 因为这一套试卷啊，他题量非常大，而且难度也是有的，所以咱就选择其中三道题来讲一下。第一道题的话，别看是个小题，你要用传统方法做还是需要花不少时间的，本身这道题呢，就 是从江苏高考一道题衍生出来的，然后 a 等于六十度，这是角 a 啊，然后 a 边呢，等于根号三，让你求这样一个取值范围，传统做法的话，需要做很长很长时间，继续要用到正前定理，比如说 a 比三 a， 这个，因为都知道啊，根号三比上二分之，根号三 等于二，也就是说外捐的直径呢，就是等于二的，然后还得用什么呢？还得利用一下这个余显定理，这是第一种传统的方法啊， 然后余弦定理的话，那就是 a 方等于 b 方，加上 c 方减二 bc， 然后再乘口三角 a， 因为你这个角 a 和 a 的长度都是知道，所以我就直接改了啊，他是等于三，然后口三 a 不就是二分之一吗？ 最终的话我们可以整理一下，也就是说左边这样一个三的话，咱先不要着急变啊， b 方 加上 c 方，然后呢？他问的是再加上 bc， 那你就加上 bc， 对吧？加上 bc， 然后加上 bc 以后的话，你右边是不是还得减掉二 bc 才能配平啊？对不对？然后把这个负二 bc 呢移到右边去，就变成了三，加上什么三，加上这个二倍的 bc 就行了。 也就是说我们只需要求出这个 b 乘 c 的范围，然后这道题就解决了。传统方法的话，你必须用到正弦定理、余弦定理这样结合的内容，也就是说 b 呢，是等于二 r 乘三 mb 的，也就是说他等于二乘三 mb， 然后小 c 的话，它是等于二乘三 c 的，能理解这个意思吧。所以说继续往下做圈一这个式子呢，实际上最终就等于三，加上八倍的三 b， 再乘三 c， 然后角 b 和角 c 的话，两个量，咱们最好转换成一个量，因为三角形他其中一个内角已经是六十度，另外两个内角肯定加起来是一百二十度，我们用一百二十度减去角臂，这样就都化成角臂了。后边这个过程特别特别多的一页纸，可能才刚刚能写下，甚至都写不完。 如果写详细过程的话，最终你会画成这样一个结果，他的话是等于三，再加上什么？三，再加上二，再加上四倍的，实际上最终也就是等于五，再加上四倍的这样一个三 二 b 再减去多少？再减去这个六分之拍的，然后根据这个 b 的范围，因为它是一个锐角三角形，人家说的很清楚啊，不是说任意的三角形，你要是锐角三角形的话，必须保证 b 它是小于九十度的，对不对？二分之拍，然后还得怎么样啊？还得是 大于多少？大于这个六分之拍，影下就不清楚了，你凭什么要大于六分之拍？原因很简单，如果你比六分之拍小的话，那角 c 就比这个二分之拍大了，理解吧，所以你自己求一下就行。 最终的话，这个圈的结果能求出来的啊，他就是在这样一个七到九的左右开右臂区间就行了。其实花了很长很长时间的啊，才能够做完正确答案，选 d 就行了， 其实有另外一种更加简单的方法。什么方法呢？咱们画这个辅助员不就行了吗？刚才由于线内里可以得到，其实这个 b 方加 c 方再加上 bc， 就是让你求这个三，再加上什么， 再加上二 b c， 你只需要求出这个 b c 的反过来就行。那 b c 是什么意思呢？咱们画一个图你就清楚了。好，这个就是 b c 的长度，也就是小 a 加它等于根号三，那你既然它这个角 a 永远等于三分之拍的话，现在我们把它三角形 a b c 的外接元这个圆 o 吧给画出来就行了。 我们只需要保证这个角是一百二十度，那这个点 a 在什么范围内运动呢？点 a 的话，肯定是在这条这个幽弧上运动，永远能够保证这个角 a 是六十度的，能理解这个意思吧，但是说这样就够了吗？其实也不是， 我们还有一个面积公式，这个面积等于二分之一， b c 三 a 角 a。 知道啊，也就是说四分之根号三 b c， 能理解这个意思吧？你本来的目的是求这个 bc 的范围，现在 bc 和这个面积呢？有，所以说我们只需要求面积的范围就行了。你说面积最大是多少啊？很简单的第一种情况，当这个 三角形变成一个正四角形 a b、 c 的时候，这个时候面积肯定是最大的呀，为什么呢？因为你以 b、 c 为底，以这个根号三为底，你这个高变成正四角形以后，也就是说 a 在 a 一这个地方的时候，它这个面积是最大，高是最大的， 能理解吧？正三角形的时候呢，这个面积最大值咱就直接算了啊，这个很好算，他是等于四分之三倍的根号三的。 那什么时候面积最小呢？有同学可能就要说了，老师，这个点 a 啊，跟点 b 就会重合的时候，反正这个面积大于零就行。其实不是的， 锐角三角形啊，你如果说这个点 a 在我画的这样一个位置，他已经变成钝角三角形，所以事实上锐角三角形的极限就是无限接近一个直角三角形吗？懂了吧，在 a 片这样一个位置，理解我的意思吧。所以说六 九十度的直角三角形，所以应该是大于他的面积的啊，这个面积很好算，一比根号三比二，他这个面积应该是大于图中的面积 a 撇 b c， 也就是二分之根号三的，你看他这个面积的范围出来了吧。二分之根号三 到四分之三倍根号三左开右 b 区间，所以说根据第二个式子，那这个小 bc， 也就是说 b 乘 c 的范围呢？也很快能得出来这个 bc 的范围是多少啊？其实算完以后呢，就是等于二到三的左开右 b， 那你再带入第一个式子里头嘛，所以最终的范围是不是就算完了吧，我就标成个圈三吧，所以说圈三也就是最终的范围呢，你带入以后还是七到九？你认为哪种方法简单？肯定是画图更快一些，反正是小题嘛，对不对？我们继续来看 第二个题，这个题的话是填空题的最后一道题，前头的话都是一些废话了，你自己读一下就行，从哪开始呢？其实你就看图二中，他有一个正六边形，边长是四，记住啊，边长是四， 然后内部呢，他有一个圆，这个圆的圆心正好是正六边形的对称中心，这个大家知道就行。那么半径是二行吧，反正你随便算一下肯定能算出来，这个圆肯定是完全被包含在这个正六边形内部的。 那么现在呢？点 p 在什么上面？ m n 是直径啊，点 p 在这样一个正如边形的边上运动，是一个动点问题，让你求 p m p n。 这个题的话方法很多了，我的话有一种非常快的方法。什么方法？对于原来说最重要的点 什么？肯定是圆心这个点？所以你干嘛不连接这个 po 呢？也就是说这个 pm 啊，本身你应该是写成 po 干嘛呀？ po 再加上 om 的，然后这个 pn， 同样的道理，他肯定是等于这个 po 再加上 on 的。我问你一个问题， 你说 om 和 on 是什么相量是方向相反，长度相啊，是两个相反相量。既然是相反相量的话，我这样一个加上 on， 其实相当于减去 om， 这个是没有区别的。 所以说你带入圆式里头 pm 点成 pn， 他就是等于 po 的平方，再减去 om， 他这样一个平方吧。 om 等于多长？ om 不就是这个圆的半径吗？等于二的平方吧，实际上也就是 po 长度的平方， 再减去二的平方，其实就是减去四，你只需要算出 po 的取值范围来就可以了，现在知道了吧？好了， po 范围呢？非常非常好算，你说算出来是多少啊？ 你看点撇到点哦，什么时候？最近肯定是当点撇运动到正六边形某一条边的中心的时候，你根据这个正四角形对吧？算一下正四角形的高就行。这正四角形呢，他这样一个边长是四对吧？那高就是二倍，根号三啊。咱们标上 那最远的话，不就是当点 p 跟端点点 a 或者端点点 f 这种类似怎么样的时候？这个重合的时候对吧？它的长度是等于多少呢？它正好是等于四的。 嗯，好，这就写完了。所以说圈一的范围算出来了吧。所以说圈一最终的范围呢，是等于这个八到十二之间的 横向上填八到十二就行了。这个题呢，你主要是得知道我们必须换成什么，其实相当于一个抵消法，你得意识到这个 om 和 on 是一个相反相量，得意识到点 o 是非常关键的一个点才行。继续来看啊，最后一道题， 有些学校讲的稍微快一些，这个是倒数第三道还是倒数第四道大题？有些学校讲的快，就已经讲到这个立体几何了。咱们也来说一下啊，这个题本身不算很难，在正方体中这个点译呢，是棱上的终点。 然后现在让你求什么呢？让你证明这样一个体对角线 b、 d、 e 平行于这样一个平面， a、 e、 c 呢？咱标一下吧，就这样一个平面能看出来吧。那为什么平行呢？你要证明这样一个线和面平行的话，是需要用什么？需要用线线平行来正的，那线线平行的话，你至少 得怎么样得平移？实际上你假装你有一把尺子吗？你可以拿一把尺子然后推，必须是平移啊， 将这一把尺子这个沿平移到这个平面里头，往下平移，正好会平移的，所以说这就给了你一些灵感了。复制线我就直接做了啊，其实只需要连接这个 b、 d 有一个焦点，对吧？ 比如说这个焦点是 m， 然后呢再连接一下 e m， 我们只需要证明 e、 m 平行于 b、 d， e 就行了。好了，现在我把这个辅助线画出来吧，这个里头呢写的是点 o 啊，知道就行。辅助线的话我说一下吧， 我们需要干嘛呢？第一步需要连接什么？连接 b、 d， 连接 b、 d 之后的话，这个 b、 d 与谁？ b d 与 a、 c 这个对角线呢，是交于点 o 的，并且连接一下这个点 o 与 于点 e， 对吧？连接完了之后的话，由这个立方体的性质肯定呢，它是一个平面啊， a、 b、 c、 d 是平面的话，所以点 o 肯定是终点，也就是说点 o 它是谁啊？它是 b、 d 的终点， 然后再继续啊，还有个终点啊，还有谁还有这个点意呢？他也是对应的这个 d 第一的终点。那既然是终点的话，两个终点是不是就出现了中位线？谁是谁的中位线啊？ 你看好了啊，在这样一个三角形 b、 d、 e、 d 中好两个终点的话，所以我知道了，此时这个 o、 e 啊， 它就是谁的中位线，就是 b、 d、 e 的中位线，这不就完了吗？线和平面内的一条直线平行于平面外的这个 b、 d、 e， 所以就平行，剩下的你写一下就行了。所以说这个 b、 d、 e， 它是平行于 平面， a、 e、 c 的就正完了。继续来看这个第二问啊，第二问的话，可能跟第一问有点关系，咱看一下吧。 这个第二问的话，说的是 f 点是终点，咱就标上了啊。然后呢？求证这个平面谁啊？就是第一问里头这个平面呢，和第二问里头咱画的这样一个 b、 f、 d 一，他是平行的。要想证明两个平面是互相平行的话，需要干嘛呀？ 需要证明两条线线平行才可以，对吧？两条线线平行，关键是怎么去正呢？其实已经有一条线成的了，也就是说，第一问中 咱们是不是已已经有一条线线平行了呀？也就是说这个 o、 e 它肯定是平行于 b、 d、 e 的，那 o、 e 平行于 b、 d、 e 不就相当于这个 o、 e 平行于谁？ o e 平行于平面，咱写上吧啊，平行于这样一个平面， b、 f、 d 一行再继续啊。那其次的话，是不是也很容易得出一个平行四边形 c、 f、 d、 e、 e 来？ 根据这样一个平行四边形的话，你想一想，第二组线线平行就出来了吧，也就是说这个 c、 e 呢，它是平行于 d、 e、 f 的，进而很容易推出来。谁呢？很容易推出来这个 c、 e， 它也是平行于平面 b， f， d， e 的。 根据判定定理吧。根据面面平行的判定定理。一个平面里头，这是不是两条相交直线？是啊，一个平面里头两条相交直线都平行于另外一个平面。所以说面面平行，懂我的意思吧？所以说剩下的你写清楚一些。然后呢？直接写平面是吗？ 平面 a， e， c， 然后平行于平面 b， f， d 一。然后这道题呢就整完了。分享课堂知识，感受数学之美。我是阿范老师，下节课再见。

我们继续来看第二十一题啊，这依然是考察立体几何的一道题，所以大家对立体几何一定要重视啊，把这个题这只吃透，理解透，那立体几何你就可以掌握的又进一步了啊。 ok， 来看这个题，如图，四边形 abcd 是平行，四边形 b 一等于二倍个三， ef 又平行与 ab， ef 和 ab 是平行的啊， ab 等于二， bc 等于 ef 等于一， a 一等于根号六 d 一等于三角， bad 等于六十度，你看给了很多数量关系，还有一个角度点击是 bc 的终点，那么看到终点，你是不是要联想到中一线以及什么 三线合一？平行的话我们就利用中文线垂直的话就想到三线合一啊。 ok， 看第一位，求证， f g 平行以平面 b e d， 你看又是一个线面平行的问题啊， 那么线面平行我们之前说过有两个方向，两个方向啊，那第一个就是从线线出发，这是我们最想用的方法，从线线推出来线面，然后第二个就是从面面来推出来线面啊，所以两个方法我们都来讲一下啊。 第二个就是从面面来推出来线面平行啊。 ok， 那么我们来看第一小位我们写在这了啊。方法一，我们从线线出发，证明 这个题时间可能会久一点啊，来看一下啊， fg， fg， 然后机是 bc 的终点，我们知道底面是一个平行型，对吧？我们要在这个平面 b 一滴这里面找一条直线，和他平行是不是和他平行啊？那么和平行有关系的不要忘了 e f， 你看 是不是平行与 ab 啊，再结合 e f 等于一标一下啊， ab 等于二，也就是说 ef 是平行且等于二分之一 ab 的， 是不是？那么这个时候注意啊，我们取 bd 的终点，取 bd 的终点，或者直接连接 ac 交 bd 与点 o 都是可以的啊，我们直接取 bd 终点就好了啊，所以这个时候注意看取 bd 中点 o， 我们先把辅助线的做法写出来啊，连接欧基，连接欧基，然后欧一，这都是常规操作，和上次那个题是类似的啊，你先了解一下， 这个时候我们是不是得到一个平行自别型，这边是虚线啊， 对吧？你看为什么？因为欧基，我们这边写一下思路啊，欧基是平行且等于二分之一 dc 的，然后 dc 呢？又是平行四边形吗？这边 abcd 是平行四边形，所以他又是平行且等于二分之一 ab， 对吧？那么题目中又给了题目中又给了什么？题目中给了 ef 平行与 ab， 是不是？然后 e f 又等于一 ab 等于二，那么根据这两个条件啊，根据这两个条件我们就可以推出来 ef 平行且等于二分之一 ab， 是不是？那你看 ef 平行且等于二 fgab， 然后你的 og 也是平行且等于二 fgab 的， 所以根据这两条件我们就可以推出来 og 平行且等于 ef， 是不是？那么这个条件我们就可以推出来平行识别型 efgo， 对吧？一 f 九，那么他是平行四边形，我们就可以推出来 f g 是平行域 o 一的，对吧？所以整个思路就出来了啊，我们先证明这是一个平行四边形， 先证明这是一个平行四边形啊，这是我们最常用到的一个解决方法了啊，那么就可以推出来 fg 平行 oe， 是不是？然后你再加上一个 oe 在这个平面内，然后 fg 不在这个平面内，那么就可以正出来线面平行了，对吧？这是第一种方法啊， 不知道我们就先不写了啊，一会把后面把答案复上去，这第一种方法 ok， 那么再看第二种方法，我们可以构造面面平行，面面平行啊， ok， 那你看鸡是 bc 的终点，我们很容易想到取 cd 的终点，是不是取 cd 的终点，你看你一连接 对吧，把他标为批吧，你方法二证明先把辅助线还是写出来啊？那去 cd 终点 p， 然后连接这个标位 p 啊，连接 pg 和 pf， 连接 pgpf， 对吧？你看是一样的道理啊，我们这边稍微换一下， ok， 那搞定了啊，所以我们这边写一下啊，你看 pgpg 是中文线， pg 是不是平行于这个 bd， 对吧？我们只用到 bd 啊，那么 pg 平行 bd 我们就可以推出来 pg， 注意， pg 是平行与平面 b 一的的，对吧？但是严格来说你再加上两个条件啊，我们稍微说一下，写一下，然后披金，注意是不是不包含与平面 b e， d， 然后这个 b d 包含与平面 b， e， d。 就是三个条件啊，这边三个条件我们是可以推出来这边的线面平行，那么同理，注意看页 f 刚才是一样的啊， ef 和 dp 也是平行几下弄的，是不是？所以我们这边直接写了啊， df 平行与 dp， 对吧？因为都和 ab 平行啊，都和 ab 平行，我们写一下，所以这个就可以推出来 pf。 注意啊，这边是平行且相等，注意，平行且相等啊，平行且相等，然后这边是二分之一 ab， 我们要推出来这个 pf， 先推出来 pf， 平行与第一， 然后再推出来 pf， 哦，平行与平面比一比，对吧？你看这一个条件，这一个条件， 然后再加上 pg， 加上 pf 等于 p， 然后 pgpf 都包含与平面 pgf， 你这个时候你会发现这五个条件，对吧？总共就可以推出来平面平行了啊，所以就可以推出来平面 pgf， 平行与平面 第一滴，对吧？然后写在这，再加上一个条件，又因为这个 f g 包含与平面 pgf， 所以最终你 fg 就平行与平面 pet， 对吧？这个时候就是构造一个平面啊，然后再利用面面平行的行驶定理，你看每一个条件你都要写充分一点啊，然后这边稍微再展开，展开一下就行了。 ef 和第一批是平行解线等的，然后我们就可以推出来这边平行了， 对吧？这个要注意啊，这是第一位，我们用两种方法来讲了啊。 ok， 那么接下来看第二小问 第二条，为证明 bd 垂直平面的 ad， 线面垂直啊，那么线面垂直需要这五个条件，一条直线垂直，平面内的两条相交直线啊， 那相对来说还是比较简单的， bd 垂直平面 ad， 那你看 bd 在这，那我们优先选择的是不是肯定是 ad 和 d 一啊？是不是因为他们是共灭的，和 bd 是共灭的啊？如果你要证明 bd 垂直 ad， 那稍微复杂一点了，就因为意面 相对来说没那么好挣的啊，所以我们的思路就是证明就是我们的目标啊，就是证明 bd 垂直也 ad， 然后呢， bd 垂直与第一，你看是不是给了很多数据啊，当你数据多的话，我们肯定要优先想到勾股逆腚里的啊，勾股逆腚里， 对吧？勾股捏定理啊， ok， 那么趁着这个机会我们再补充一下啊，证明线线垂直的，证明线线垂直常用的方法 有七个啊，那么第一个证明线线垂直的方法，第一个最简单的就是三线合一，对吧，也是最常出现的啊，三线合一，然后第二个的话就是勾股逆 定理啊，勾股逆定理就是我们需要由边推出来角的关系。勾股逆定理，然后第三个那就是经常会碰到的一些举行啊，是不是然后正方形啊， 还有菱形啊，对吧？菱形对角线互相垂直吗？对吧？然后这是平面图形，那么接下来再看立体的，就是当你看到直棱柱啊，是不是直棱柱啊，然后正棱柱啊，这些，你看侧棱是不是都是垂直里面的， 然后再加上一个，这边我们可以再说一个正四面体，这个要注意啊，正四面体，那么正四面体他的是对 棱垂直，这个要知道的啊，对棱他是垂直的，对棱垂直， ok， 然后第六个不要忘了啊，就是线面垂直的性质定理， 线面垂直的性质定理，还有面面垂直的性质定理，你看这些我们都是可以推出来线线垂直的。然后第七个就是在圆中啊，在圆中，圆的直径 在圆中啊，圆的直径所对的圆周角是九十度，对吧？圆的直径所对的圆周角 等于九十度，这需要大家认识掌握的啊，这需要这，这掌握的， ok， 那么我们就结合这个勾股捏点 定理啊，你看题目中给的条件，我们要证明 bd 垂直 ad 是不是 bd 垂直 ad 的话标一下啊， ad 等于一，这个 ad 点 bc 吗？ bc 是一，然后 ab 是二，这个角 bad 是六十度，是不是这个六十度？所以我们需要把 bd 求出来，我们用余写公式，你看 bd 的平方， 对吧？ bd 的平方套公式就行了啊，就等于一的平方加上二的平方是四，然后再减去二，乘以一，乘以二，再乘以扣 c。 六十度不就二飞之机吗，对吧？你要整理一下，他就等于塞，那么他等于塞，说明 bd 是不是等于高尔塞， 对吧？你看 bd 等于多少？在此时我们就会发现， ad 的平方加上 bd 平方等于 ab 的平方，是不是？注意看啊，所以 ad 的平方 加上 bd 的平方，他就等于 ab 的平方，那么这个时候我们就可以推出来 bd 是不是垂直于 ad 啊， 对吧？那么这边多少塞，这边已经推出来了啊？ ok， 然后再看第一，你看第一等于三，题目中给了啊，然后第一是二倍多少塞这边也给了，但依然是符合购物你定理的，对吧？你看第一的平方加上第一的平方， 他就等于 b 一的平方，我们就可以退出来 b d 啊，垂直意啊，第一了， 那 bd 是不是垂直两条香蕉直线，对吧？那么再加上三个条件啊，我们就可以推出来 bd 垂直于这个平面 aed 了，对吧？特别需要五个条件的啊 啊，五个条件就是他俩先交 ad， 交第一等于的，然后又包含这平面啊，所以这个要注意，这是第二位。 ok， 那么接着看第三小微啊，第三小微像我们球点 c 到平面的距离，那么球点到面的距离，我们通常用的都是等体一法， 通常用的都是等体积法啊，把它转换一下等体积法，那你可以把它这个三龙锥你看啊，非以四为零点的 b e、 d， 对吧？我们可以转换成以其他为定点的，就是比较容易算的啊。那么观察一下，结合题目中所给条件，当你以细为定点的话，很明显没有点一，注意没有点一来的接待， 是不是因为 b， 我们由第二位知道 bd 垂直 aaed， 那说明这两个平面是不是垂直的，是不是这两个平面垂直的啊，所以我们就可以以点一为顶点，以点一为顶点啊一，然后你这边就是必须滴， 对吧？所以你还有第一有第二位置可以知道啊， bd 垂直于这个平面， 垂直也平面 aed， 我们就可以推出来这两个平面垂直，是不是因为 bd 包含这个平面吗？对吧？所以我们这边求高就可以了啊。 ok， 我们先把上面这个视频展开啊，那么上面的话就是三分之一 s 造型 b e、 d， 我们需要把 b e、 d 的面积修出来， 对吧？ b e 地面取出来，然后这边就是 h， 这个 h 就是我们要找的啊，然后就等于三分之一三角形 bcd， 然后乘以这个一，那么这个就是我们要分析的这个一，我们把这边做垂直啊， 这边做垂直，把它标为 m 吧， em， 所以你需要把辅助线做法写出来啊，过点一做 em 垂直 ad 与 dm， 对吧？所以 em 就是垂直底面的，因为刚才说了啊，你这边是可以推出来面面垂直的，也就是说啊， aed 直接写了啊， aed 垂直与平面 abcd， 是不是？然后这个 em 呢？我们再加上一个， 就因为 em 他是垂直，与 adad 是交线，所以这个时候你用到的就是面面垂直的性质定理啊，面面垂直性质定理，所以我们就可以推出来 em 是垂直于底面的 垂直底面 abcd， 所以 em 就是高，明白吧？那么接下来看，我们需要把这些量都求啥啊？ 然后 b e、 d 没看 b e、 d， 那么 b e、 d 我们刚才已经说了，它是一个直角造型，对吧？你看求 b、 e、 d 的话，把它带度拿出来啊，如果熟练的话，你不拿也是可以的，很容易就算了。你这是 d b， 对吧？ b d 一，然后 b d 我们标一下是个二三，然后第一是三，所以三角形 b 一 d， 它的面积就是二分之一，乘以 三，乘以根号赛，就是二分之三倍格号三，然后接下来求赛选 bcd， 那么赛选 bcd， 因为你是一个拼识别型，对吧？ bcd 的面积就等于 abd 的面积， 那么就等于二分之一，乘以一，乘以二，再乘以个 c 六十度，对吧？二分之二三， 结合题目条件来走啊，所以这边就是二会这块三，那么剩下来就要求 em 了，那么求 em， 我们把这个三行单独拿出来啊，把这个三行单独拿出来，然后 ad 是一，然后 aad 是一啊，然后 a 一呢？ a 一是高二六， 大概这个样子啊，其实这个是个对角啊，大概这个样子随便画吧，这是 a， 这是 d， 然后这是一，然后你这个 d， e 是三，然后你这边是根号六，这边是一，实际上是对角的啊，如果准确来说的话，你的图形应该是这个样子， 准确来说啊，你的图形应该是这个样子的， a d 一，因为你这边是三，这边是个号六，这边是一，对吧，然后 所以实际上我们的图他都是有有有，有点误差的，这个图啊，大家知道就行了，那么可以借助，借助哪个都可以啊，那行，我们先把这个标为 ct 吧， 把这个标为 ct， 那么利用雨写定里请 cct 念 cct 就等于 二 ab， 然后六加一减去九，你会发现就等于负的根号六分之一，对吧，所以你的 c 系统就等于根号六分之根号五， 是不是？那么你的证显有了，那么你的高不就知道了吗？你可以也可以用这个，是吧？都可以啊，所以你的 em 就等于这个根号六，就是 a 一乘以个 cct 啊， a 一乘一个 cct， 那么就等于根号五，对吧，你看你的量是不是都有了， 对吧？所以，所以最终 h 就知道了啊，所以 h 最终往里面带，就等于塞飞这个号五，塞飞这个号五啊。所以这种题啊，用到的方法基本上都是等题法，除非比较容 你求的。你可以直接求啊，可以把这个距离画出来的最终结合与解散。行啊，这些把它摘出来啊，就是一个比比较好的方法，就是你研究哪个面，研究哪个图形的话，就把这个图形给它摘出来。 那么后面的话，这边就是答案不同啊，前面不太清楚的话，可以对比看一下答案啊，你看第一位，他是通过证明面面平行的啊，你看是不是我们第二种方法，然后第二个是一样的，对吧？第二个是一样的，你看这边写的都比较详细啊，我们刚才是把思路说了一下， 对吧？你要条件注意的条件啊？你的五个条件，三五五二。我们之前说的啊，那 b d 垂直第一， bd 垂直 ad， 这是需要五个条件，我们退出来下面垂直的，然后这边还是比较简单的啊，和刚才是一致的。

今天我们要学习内容是高中立体几何这块的洁面问题，那么说到洁面问题，很多小伙伴都会比较头疼，为啥呢？ 因为它确实比较考验我们的空间想象能力。那么举个例子，比如说在这个正方体中，哎，出现了 a、 e、 f 这样一个平面，那么我们来观察一下这个平面它有哪些特征好，那么首先呢，我们看到 a e、 f 这条边，它是怎么样的？它是出现在整个正方体的前面的，对吧？它是在表面上出现的，但是呢， 相反呢， e f 和 a e 这两横边呢，它是深深嵌入到正方体内部的，从中间穿插而过的，所以说遇到这种情况呢，我们是很难对它进行处理的，为啥呢？因为这个平面它首先是一个不完整的平面， 我们说什么能称得上一个完整平面呢？也就是它的每一条边都出现在我的立方体的表面上，哎，这才算完整。但是呢，出现了 e、 f， 出现了 a e 这种从中间穿插而过的， 我们无论是想求面积也好，求体积也好，或者说求动点轨迹问题也好，哎，他都是不好进行操作的，所以说呢，哎，我们先来看一下，先把它扩出去，把它变得完整，会变成什么样子，哎，会变成这个样子，那么我们来观察这个图像 平面呢？还是这个平面，只不过这一次呢，它的面积变大了，哎，变成了这个绿色框框，对吧？所以说这个绿色框框带来的这条边，这条边，这条边，还有这条边，这几条边是不是全都是浮于表面的， 全都出现在了立方体的表面上呀？那么这个平面呢，它就是完整的，那么从这一步到这一步，那我们进行了扩平面的操作，那么扩平面有哪些方法呢？ 这块给大家介绍两个方法，那么第一个方法是可以通过平行来扩平面，第二个方法呢，可以通过相交来扩平面，对吧？我们说根据立体几何的基本事实，一平行可以确定平面，相交呢，也可以确定平面 啊，这就是这两个方法的由来。那么平行扩平面呢，他属于是比较简单，也比较好想，而且呢也足够应付大多数问题了。但是呢香蕉扩平面比较难想，比较抽象，而且呢他的出现场景也会相对来说比较少，但是呢有些问题他确实只能通过 香蕉来解决，所以说两个方法我们都要会。好吧，那么依次来认识一下，首先来看一下平行怎么扩平面，比如说这块出现一个平面 abc， 那 我想把它扩出去，那么我就可以过它的一个端点，比如说这块呢，我过它的端点 c 去做谁呢？去做 a b 的 平行线。好，那么我现在是不是就得到了 c d 和 a d 这样一组平行关系啊？那么根据它俩平行，我是不是就能确定一个平面，那么再去连接 b d， 好， 平面就出现了，这就是怎么通过平行扩平面，非常简单， 那我们往往只需要过它的一个端点做什么？做对边的平行线，哎就可以了。好，那么之后呢，再来看一下相交扩平面还是这个平面，哎，只不过这一次呢，我需要干嘛？我需要延长它的某一条边，比如说我去延长了谁啊？延长了 a b， 把它延伸出去，哎，找到点 d， 找到点 d 之后呢，再去连接 c、 d， 同样的我这个平面也得到了扩张，但是呢，哎，这块比较抽象，就是这个为啥非要去延长 a b 呢？对吧？为啥它的延长中点 d 呢？对吧？很多小伙伴会有这样的疑惑， 所以说我们依次来看一下相交扩平面在实操中应该注意哪些点？那比如说这样一个平面，我们首先要关注的是啥？就关注的它的一条边和一个端点，那么一定是这条边和它所对应的这样一个端点， 那么我分别把这一条线和点呢放到哪里啊？放到两个平面中，把这条线呢放到 alpha 平面中，把这个点呢放到 beta 平面中，好，那么这条线呢，就是我们要做延展的线，对吧？我要把它延伸出去，那么同样的话，我也得过这个点 去让它俩相交，那么我们来想一下它的交点会出现在哪里？是不是它的交点一定会出现在两平面的什么交线处，这个点 p 呢？一定是线通过延伸之后和交线的交点，那找到点 p 之后呢，我再去连接这两个点， 是不是我就成功的进行了扩平面了？那么原本的话，这个平面这条边它是出现在立方体的内部的，那么通过扩平面之后呢，变成了这条边和这条边是不是全都是怎么样 出现在 r 法面和 b 堂面中的？最终完成了我们的诉求。好，那么了解完橡胶扩平面之后呢，我们一起来看一下例题。那么首先告诉个棱长为六的正方点 e 呢？是做了中点 点 f 呢？在这里做了三等分点，分别去连接之后呢，得到这样一个紫色结面，现在问题是这个结面它所结的完整面积是多少？那首先我们来观察 aef， 它是不就是我们所说的不完整的平面，为啥呢？因为首先 a f 出现在正方体的表面上没问题，但是呢， a e 和 e f 它都是内嵌在里面的，都是从中穿插而过的，所以说面对这种图形，我们需要干嘛？ 我们需要扩平面，那么扩平面两个方式既可以通过平行来做，也可以通过相交来做，那么在一般情况下呢，我建议大家能选平行，尽量选择平行，为啥呢？因为它相较来说比较简单，需要考虑的也比较少，对吧？那么这里回顾一下怎么通过平行扩平面，比如说这里给了一个需要扩大的平面。 好，那么第一步呢，我们先去观察一下它的每一条边，哎，它的每一条边有没有出现在所给立方体的表面上，那比如说这条边它出现在立方体的表面上，我就可以过它所对应的端点， 怎么样做平行线让它俩平行之后呢，再去连接，哎，平面就扩出去了。那么回到我们这道题，哎，对于这个 a e f 来说，你会过哪条边做平行呢？是不是肯定是过谁啊？过 af， 而且 af 它所在面呢，正好是正方体的正面，所以说 af 所对应端点呢是点 e， 哎，我就需要把点 e 放到哪里啊？放到正方体的反面，对吧？也就是这个面，哎，正面和反面它俩本身所在面呢，就是平行关系，所以说这次我过点 e 去做 af， 平行线肯定也是能做出来的， 好，那么直接做啊，做出来之后呢，得到这样一个端点，那么别急，哎，我们把这个端点找到之后呢，先去确定他的位置，对吧？那么由于平行的关系，我能得到这个三角形和这个三角形他俩是相似的，那么下面这个三角形呢，长直角边比短直角边呢是六比四， 也就是三比二，那么上面这个三角形呢，同样也是三比二的，由于点一是中点，所以说这块长度呢就是三，哎，这块长度呢就是二， 所以说这个端点的位置呢，我就找到了，那么给它起名叫点 h， 那 么我再去连接 a h， 好， 那么左边这条 a e 是 不是就成功把它括出去了？那么 a e 有 了之后呢，我们还要扩水，还要扩 e f， 那 么一样的道理，我们再来看一下，还有哪组平行可以找呀？ 这一次哎，我可以把 a h 放到侧面中，那么点它所对应的端点点 f 呢，也放到这个侧面中，哎，两面平行，所以说呢，我肯定能过点 f 做它的平行线嘛，所以说这一次呢，我继续来做平行，找到这样一个端点，对吧？那么这个三角形和这个三角形它俩就是相似的关系， 那么下面这个三角形，这块是四啊，这块是六，对吧？同样也是三比二，那么这段呢，长度是二，这段长度呢就是三， 所以说找到点 j 的 位置呢，就位于哎，这条线的中点，好吧，那么找到点 j 之后呢，再去连接 e j， 好， 那么由此呢，我就成功把它的平面补齐了，补齐之后呢，我们之后是要干嘛？是要求得面积，对吧？所以说我们来观察一下，这样一个不规则的多面体，怎么来求面积呢？ 那么我们说这块要使用割补法，把它割补成我们熟悉的三角形啊，或者说梯形啊。那对于这道题来说呢，我就可以连接 h f， 把它分割成下面这个三角形和上面这样一个梯形。它为啥是梯形呢？ 很简单，因为这里都是中点，所以说这条线呢，他和我这个正方形的对角线是平行的，对吧？他俩平行，那么又由于呢，这两个点，对吧？都是位于这里是二，这里也是二，所以说呢，这里和这里是不同样也平行啊，对吧？那他俩平行长度又不相等，所以说上面是个梯形，好吧， 把它分割出来之后呢，先看下面这个比较好求的三角形，那么这里是四，这里是六，所以说它的长度呢，二倍根号是三。那么继续来求一下 h f， 刚刚我们不是说了吗， h f 是 不是和这条对角线长度是相同的呀？对吧？那么对角线长度是六倍根号二，所以说它也是六倍根号二。 好，那么下面这个三角形的面积是不是已经可以求了？我们再来看上面这个梯形，上面梯形的话呢，首先你发现，哎，直接求的话不太好求，那这块呢，我的选择是把它补成什么？ 补成三角形，那首先来算一下 e j， 因为这里是终点，这里是终点啊，他是三，他是三，所以说这块是三倍根号二，那么我同样我就可以把这个三角形补出来，对吧？把它补回三角形。 好，那么由于呢点 e 是 做了它的终点，它为啥是终点？原因很简单，因为这块和这块平行啊，它的长度又是它的一半，所以说 e j 呢，是做了整个三角形的中位线，所以说呢，上面这个小三角形的面积就是整个大三角形面积的多少呀？四分之一，这里是多少三分。 那么这个大三角形面积呢，又和下面这个大三角形啊，他俩是全等的，所以说俩面积呢又相等，我又知道下面三角形面积是 s， 所以 说整个面积呢，是不是就是四分之七倍的 s， 我 只要把 s 算出来 好，那么再乘上系数，整个面积就有了。所以说下面这个三角形呢，单独把它拿出来，腰长是二倍，根号十三啊，底边是六倍，根号二，那么三线合一之后呢，这块是三倍根号二，有底有高，哎，面积就可以直接算了， 那么最后面积算出来呢，就是这个东西。那么这道题呢，我们说除了通过平行来做，也可以通过什么？也可以通过香蕉来做，那么我们一起来感受一下，要通过香蕉来做，我们需要干嘛？我们刚刚已经具体讲了，对吧？它的几步，哎，首先呢，要找一条线和它所对应的端点， 对吧？那么线的话呢，这次又能选择谁啊？是不是只能选择 a f 呀？ a f 所在平面在哪里？是不是在这个正方体的 正面，那么它所对应端点呢？是点 e， 点 e 呢，既可以被视作是在上面，也可以被视作在反面，对吧？那么这次呢，我为了让两个面产生什么交线，只能选择在上面，所以说呢，我把 a f 放进这个面中，哎，把它放到这个黄色面中，把点 e 呢放进蓝色面中， 好，那么选择完两个面之后呢，我去找到他俩的交线，也就是 a 一 b 一 这条线，把它延伸出来，那么之后呢，再去延长谁呢？再去延长 af， 找到他俩之间的交点，那么有了交点之后呢，再去连接点 e 和这个交点，那么点 e 在 这里相交于一点，哎，那么这个点呢，就是点 j， 当然点 j 的 位置在这块，我们还是通过相似的，对吧？那这里是四 啊，这里是二，对吧？所以说是二比一，那他是六，他就是三，那么这个三角形和这个三角形呢， 他俩是不是也是相似的呀？不仅相似，还全等，因为这块也是三啊，这块也是三，所以说呢点 j 呢，就做了这条边的中点，好，那么确定完位置之后呢，我们来看一下这个图像， 是不是已经把右边这块扩出来了，那左边这块还要继续扩，所以说香蕉还能继续发挥它的作用，那么这次呢，我们选择谁呢？我们选择这条 e j， 那 么 e j 所对应的端点呢？是点 a， e j 可以 放到上平面中，那么点 a 的 话呢，既可以放到这个面，也可以放到这个面，也可以放到正面中， 对吧？所以说呢，他的选择有很多，那么我们选择逻辑是啥呢？是不是肯定是要产生交线，所以说我就选择把它放到哪里，把它放到侧面中，把点 a 放到侧面中，好， 那么两个面呢，会产生交线，也就是 a 一 d 一， 把交线延伸出去，再找到它和 e j 的 交点，那么这个交点呢，再去连接点 a， 好， 连接完成之后呢，这块这个交点，再把它连接之后，我这个平面是不是就出来了，对吧？那由此呢，同样也能得到这样一个无边形，那么最后呢，面积的 求解方式呢，都是相同的，对吧？所以我们说呢，在看完香蕉和看完平行之后，哎，你会发现平行来讲，一般都会比较简单，那么我们在方法选择上呢，尽量是能选平行就选平行，那如果实在不行的话呢，再去选择香蕉。继续来看第二题，那么还是给了一个棱长为六的正方体，现在告诉了点 e 是 a， b 中点，点 f 呢是 b， d c 中点分别连接之后呢，又得到一个紫色平面，哎，现在还是求什么？求它的周长，求完整洁面的周长。那么首先给我这个洁面呢，它是不完整的，哎，你发现 d e e 和 d e f， 它又说什么？又是内嵌在里面的，对吧？所以说要把它括出去，两个方法，平行或者相交， 那么秉着平行比较简单的原则，哎，我们先去尝试平行，但是你就发现，哎，如果要使用平行的话，我是不是只能去做 e f 的 平行线，因为只有 e f 在 面内好，那么我要做他的平行线肯定是过第一做， 做完之后呢，我就发现这条平行线跑到哪里去了，是不是跑到我的立方体外面去了，这是不是表示着平行是不能做的呢？ 哎，其实是可以做的，但是呢，过程会比较麻烦，为啥呢？因为我需要把这个立方体给它补出去，对吧？在这块呢，我得再加上一二三三个立方体，把它扩出去，这么一来才能把这条平行线用起来，对吧？所以说你发现平行比较复杂的情况，哎，我们不妨去尝试什么？ 去做香蕉，去做香蕉，那么还是选择谁呢？还是选择这条 e f， 那 么 e f 和它所对应的点，也就是第一，我得分别把这条线和这个点放进什么？放进香蕉的平面中，那么 e f 呢，它所在的肯定是底面，没有问题，那么第一的话呢，可以把它视作是在背面这个面上， 也可以把它视作是在这个面上，也可以是在这个面上，哎，我们就看哪里是相交的，那么在这里选择背面，或者说选择侧面，是不是都会和底面发生交线，对吧，所以说选择他俩都是可以的，那么我们先选择谁呢？先选择背面，那么选择背面之后呢， 我就需要把它们两个的面，对吧这个黄色面和这个蓝色面的交线找出来，也就是 dc， 再把 dc 做个延长，延长之后呢，再去延长谁？延长 e f， 找到它们之间的焦点，那么有了焦点之后，再去连接 d e 和这个焦点，这里这个焦点是不是就是我们要找的 好，那么连接找到点 h 之后呢？把它补出来。注意了，我们每找到这个点啊，一定要先去确定一下它的具体位置，那么在这里呢，确定位置用的最多的就是相似。首先由于点 f 是 中点啊，所以说这个三角形和这个三角形不仅相似，而且还全等，因为这条边和这条边是相等的， 那么这里是三，所以这里也是三。好，那么相同的，我是不是也可以得到这个三角形和下面这个三角形，它俩是相似关系啊，而且呢点 h， 哎，就在上面，对吧，这块是三，所以说这块是六，他俩之间是二比一的相似关系，那么点 h 呢，就出现在哪里啊？是不是出现在三等分点，这段长度是二，这段长度呢 是四，好确定点 h 的 距离之后呢，其实我们这块外扩呢，已经完成了一半了，对吧？相当于把这条边呢给他扩出去了，现在还剩一边左边没有扩，那么怎么做呢？ 是不是还是可以继续从 e f 出发呀？那么刚刚我们说了，做了背面的交线，它的侧面交线还没有做呢，所以说这一次呢，我还是找到 e f 和 d e， 这次把 d e 呢放到旁边这个黄色平面中，找这个平面 和底面的交线，对吧？那么交线是谁呢？交线就是 a d， 那 么继续把 a d 延长出去，继续来做 e f 左边的延长线，好找到它这一次和交线的交点，那么再去连接，哎， d e 和交点， 那么在这里呢，我是不是又找到了第二个点点 j， 那 么再去补其他啊？当然点 j 的 位置呢，也是咱们通过相似获得的，首先呢，我能得到这个三角形和这个三角形，他俩是什么？他俩全等，对吧？所以说这里是三啊，这里同样也是三， 然后呢，我就可以得到这个三角形和这个三角形，哎，他俩也是相似的，所以说点 j 在 这里呢，是不是又是，哎，因为这里是三，这里是六，对吧？二比一的相似关系， 所以说点 j 呢，同样是在三等分点上，好，那么确定点 j 位置之后呢，我是不是就把这个图像补齐了呀，对吧？这个东西呢，就是完整的平面， 那么我们来算一下周长，那之后其实就是通过不断的使用勾股定律就能把它搞出来。那这块呢，因为这里是三，这里是二，所以它的长度呢，三倍根号二啊，那这里的话是四，这里是六，所以说二倍根号是三，所以说你发现哎，这块其实 一步一步算哎，都能把它算出来，最后呢，五条边相加就能得到周长啊，是这个大家做对了吗？好，那么通过这道题呢，我们得到一个启发，就是有的情况下呢，平行也不是说完全不能用，对吧？但是你发现 做的平行线，如果说出现在了什么立方体的外部，那这种情况下呢，为了保证图像还是比较简单的，我们尽可能的还是去选择相交会比较合适一些。那么相交呢，也是大家学习这块的弱项，所以说今天的例题呢，主要都是关于谁啊？ 关于相交会多一点，继续来看练习三，那么首先给了一个正三棱柱，啥是正三棱柱啊？同学们，就是他的上底和下底呢，都是等边三角形，这里又说了，所有棱长呢，均为二， 所以说两个等边三角形呢，都是边长为二，并且三条高的长度呢，也都是二哎，每一条线段你能看到的长度都为二，那么点 e 和点 f 呢，分别是中点。那么首先呢，又给了一个不完整的结面，我们需要干嘛？ 是不还是要把它括出去啊？那么平行和相交两种方式都可以选择，我们能选平行，尽量选择简单的平行。那么所以说呢， 平行我得先找什么？先找在我立方体表面的线，那么 a f 和 a e 好 像都算，那么在这里呢，就可以做两组平行线，我既可以过点 e 去做 a f 平行线，在这里， 我也可以过点 f 呢？做 a e 的 平行线是不在这里，但是你发现线确实能做出来，但是问题也来了，因为我这个立方体它不够大呀，我这个线呢，直接做到立方体的外面去了，那我就需要把立方体扩大，再扩大平行 才能用，所以说你发现使用平行法经常会遇到这个问题，但是相交的话，虽然说过程比较复杂，但是它相对来说是更万能的方法，那么我们还是选择相交。那么这块呢，选择相交，我就得找到一组线和点，那么也是两组选择，我既可以选择 a f 和它对应的点点 e， 这是一组线和 点，我也可以选择，谁呢？选择 a e 和它对应的点点 f， 因为它俩呢，都是在什么在我的立方体表面上嘛？ 好，那么这块呢，我们就以 a f 和点 e 为例，带大家来过一下。那么选择好了线和点之后呢？我是不是需要把线和点放进各自所在平面内呀？对吧？那么先看 a f， a f 的 话，它没得选，它是不是只能放在哪里啊？ 只能放在背面，对吧？只能放在这个黄色平面中，那么点 e 的 话呢，它就会面临选择点 e 的 话，它既可以选择放进这个面里面，是不是也可以选择放进这个面里面，对吧？两个选择都可以，那么咱们的选择标准是啥来着？是不是 选择出来这个面必须和黄色平面产生交线，那你就发现两个面好像都有交线，两个面都可以，所以说在这里呢，我们选择这两个面也都能把它做出来，那么我们就以选择这个面为例，让大家继续来过一下。 好，那么选择完面之后呢，我需要关注什么？是不是需要关注两个面的交线，也就是 c e c 这条线，那么把它延长出去， 延长出去之后呢，再去延长谁啊？ a f， 找到它和延长线的交点，那么有了交点，再去连接交点和点 f， 好， 那么它和立方体呢，在这里产生了交点，那么我就可以把它括出去了，对吧？给 它起名叫点 j， 那 么再去连接 f j， 那 么我这个平面呢，就成功的括出去了，当然这还没算完，为啥呢？因为我们还需要确定点 j 的 具体位置， 那么要求周长，它的每一条边是不是都要算出来，所以说呢，点 j 怎么求具体位置？这块要借助相似了，首先发现这条边 a c 长度是二，这里是一，所以说呢，你发现上面这个小三角形和外围的大三角形，它俩是组成了 a 字相似的，而且相似比呢，就是二比一， 对吧，所以说这段长度是二，这里是中点，这段长度呢，同样也是二，那么一组相似，那么这一块呢，又出现一组八字相似，对吧？你发现 用的最多的往往都是八字相似，所以说一定要关注他，那么他俩的相似比呢是多少？因为点 e 是 中点，所以说这里是一啊，一和二，那么相似比呢，也是一比二的， 那么这段比这段呢，也是一比二，所以说点 j 呢，是做了这条边的什么三等分点，那么 b 一 j 的 长度呢就有了，哎，它的长度就是三分之二，那么点 j 的 位置呢？就能确定了。 好，那么之后我们来算一下周长，首先 a e 和 a f 很好算，那么它们直接用勾股定律，哎，就能推导出来，这里是二，这里是一，所以说它是根号五，这里是二，这里是一，所以它是根号五，那么 e j 的 话呢，也能快速算出来。 刚刚我们说了，这里是三分之二，那么这里就是三分之四，那么它是三分之二，它是一，所以勾股定律算一下， e j 长度呢， 就是三分之，根号十三，还剩谁？还剩 f g， f g 怎么算呢？ f g， 首先我知道这段长度，哎，它的长度是一 没问题吧，因为点 f 是 中点，那么这段长度呢，又是三分之四，那么中间夹角呢？又是六十度，哎，所以说这个三角形，我们知道什么边角边，可以直接通过什么余弦定理对它进行计算， 那么第三条边呢，算出来，哎，它的长度呢就是三分之二十三，那么每一条边相加之后，哎，答案 c 就 等于这个东西，所以说这种方式呢，我们通过相交确实能把这道题做出来。那么刚刚也有小伙伴说，如果我在这里选择了谁呢？选择了 a e 和点 f， 能不能把它做出来呢？也可以。那首先呢，把 a e 放进它所在的平面，那点 f 的 话呢，是不是可以放进上面，对吧？这个面是不是也可以放进背面？咱们选择标准呢，肯定是要让两个面产生交线，那你发现，哎，两个面好像都有交线，所以说 还是两个面都可以选，那么这块我的选择还是把它放进上面，那么找到交线，把交线延长，再去延长谁？延长 a e， 找到焦点， 再去连接点 f， 同样呢也能帮助我们找到点 j， 只不过这种方式的话呢，通过相似再去确定点 j 位置，稍微有点繁琐，但是也能确定，那也能做出来。好， 那么这道题就结束了，继续来看这道练习四，那么告诉一个棱长为二的正方题，又告诉了点一和点 f 呢， 分别是两条轮上的中点，那么分别连接之后，得到这样一个紫色平面，先来问洁面面积是多少，那么我们说方法选择上呢？还是平行和相交两种方法，那么我们首选平行，那么我就发现，哎，我可以过点 b 去做谁啊？做 e f 的 平行线对吧？因为 e f 的 话呢，在这个侧面上， 那么点 b 的 话呢，是不是也在这个侧面上？他们面面肯定是平行的，所以说过点 b 呢，肯定是能做出 e f 的 平行线的，那么由于点 e 和点 f 呢，分别是他们各自所在边上的中点，所以说，哎，做他的平行线是不是也就是这条 b c e 啊，那么这条边和这条边，它俩一定是平行的。好， 那么再去连接谁呢？再去连接 f c 一， 那么我这个平面呢，就成功把它扩出去了。那么现在咱们要求什么？要求它的鞋面面积。那么对于这个梯形来说，因为它的上底和下底是平行，所以它是梯形，把它的每一条边啊，我们都可以通过勾股定底算出来，这里根号二啊，这里根号五，这里根号五，这里二倍根二， 所以说梯形做高，直接就能把面积算出来，非常简单，那么 s 呢，就等于二分之九，那么这道题能不能使用相交方法来做呢？也可以，我选择的是 e b 和点 f 啊，选择它俩，那么把 e b 呢，放进它的面儿中， 点 f 的 话呢，既能放在左边，是不是也能放在背面，对吧？咱们的选择标准一定是它所在面要和现在这个面产生什么交线，对吧？所以说两个面呢，都可以啊，我就把它选择放在背面中，那么找到交线是 c、 d， 把它延长出去，再去延长谁呢？再去延长 e b， 哎，找到焦点 再去连接他们俩好，那么同样呢，也能把这个面补齐，对吧？补齐之后呢，也是这样一个题型，所以说呢，殊途同归，两个方式对于这道题来说都是完全可以的。继续来看这道练习五，那么给了一个棱长为二的正方题，又告诉了点 e， 点 f， 点 j， 分 别是三条边上的中点， 那么三个点就可以确定这样一个紫色平面。现在问题是洁面面积到底是多少？那么我们说这个图像呢，在学习正方题的时候还是经常会出现的，对吧？三个都做了中点，那么我再找到 b， c 的 中点再做，找到 c， d 中点，再找到 d， d， e 的 中点，分别去连接它们，连接完成之后呢，得到一个什么？ 得到一个正六边体，这就是最终的结果。那么这个图像是咋来的呢？还是通过平行或者说相交？那我们说先找平行，平行毕竟比较简单嘛。那要做平行的话呢，我先看到它，我是不是可可以过点 e 呢， 做它的平行线呀，对吧？那么平行做出来了，结果你发现它捅到立方体的外面去了，哎，确实不好用，所以说呢，肯定不选它，那么再换一个思路，如果说我先看到的是它，那么过点 j 呢？做它的平行线是不，同样也是捅到外面去了，所以对于这道题来说呢，平行并不好用，那咋办呢？那么咱们就选择 相交，选择相交的话呢，那么我在这里就锁定这条线和它所对应端点，把它们放进各自所在平面中，那么首先 f g 呢，能把它放进哎，上底面中，那么点 e 的 话呢，它就有两个选择了，既可以放进正面，也可以放进侧面，咱们的选择标准呢，就是和已知面怎么样产生交线，哎，就可以了， 对吧？那么我在这里就选择把它放进正面，其实正面和侧面的都可以，那么两个面呢，产生的交线是不是就在 b e c e 这条线上，把它延长出去，再去延长谁呢？再去延长 g f， 找到焦点，哎，再去连接它俩， 那么找到他和谁啊，他和我立方体的交点，那么就可以找到哎，这样一个点 h 了，那这个点 h 具体在不在终点呢？哎，我们还是要借助全等去证明一下，对吧？首先呢，这个三角形和这个三角形啊，他俩是全等的，那么这里是一，那么这里就是一， 那么这里是终点，所以说呢，第二组全等也出来了，我是不在这里呢，同样也能得到他俩是八字全等，那这里是一啊，那这里也是一，所以说点 h， 终点的位置呢， 就把它做实了。那么做到这步之后呢，我们这个图像是不是已经补齐一半了？那么刚刚我们用相交是不得已而为之，那么现在呢，我们是不是就可以选择用平行了呀？我可以过点 h 呢，做 f g 的 平行线，对吧？那么焦点呢？在这里是点 i， 我 还可以过点 i 呢，再做谁呢？ 做 e f 的 平行线，那么焦点呢？就是点 g， 对 吧？再去连接他俩，好，那么这个正六边形呢，就把它补齐了。那么最终要算面积呢，也非常简单，你可以把它视作梯形，毕竟每一条边都能算出来，那么梯形做个高哎，是不是就 两个梯形，对吧？两个梯形再乘以二就可以了，对吧？那么面积算出来呢？就是三倍根号三。

本视频时长三十四分钟，带你搞定立体几何基础洁面问题，从原理出发，结合题型带你通透底层逻辑，掌握剪题思路，回复立体几何，领取视频讲义。 我们今天要处理的就是去把一个洁面给它扩充补全完整。我们经常会遇到的题，就是比如说像这道题过 a 点、 f 点、 e 点做一个这个正方形的洁面，但你发现这三点连完之后做出来这个洁面没有完全做出来，不通透。 所以在这种情况下，我们就得去扩平面，把它最终这个完整的 a、 f、 g、 e、 h 这个五边形围成的这个结面给它扩出来。所以我们今天要做的事叫做扩平面。那扩平面呢？主要有两个不同的角度，一个是通过平行去扩平面， 这个就跟咱们讲到锐角三角形背景下去求一些最直的时候，你用角的角度去处理，属于你们比较擅长的。 那么接下来还有另外一个就是相交扩平面，这个就是你们好多人相对会比较弱的。所以今天我们在做很多棋的话，咱不追求说你把它光做出来，咱们叫做要追求平衡，平行扩平面，咱要会相交扩平面咱也要熟练，所以今天我们就是以这些棋为载棋，带大家 从原理上去感受一下，为什么平行可以扩平面，为什么香蕉也可以扩平面。然后第二个就是从它具体的操作上一定要非常熟练，因为各自有各自的优势。有些棋它用平行去扩非常简单，用香蕉去扩就有一点麻烦了，但是有些棋它用平行扩不了， 或者说要扩，你得把力立即几何这个图再给他先扩大再去扩，那你如果还要用平行的话，有些时候可能就会出问题，所以那在那种其中啊，很多情况下相交就比较好处理，这是这两个方法各自的优势。 然后接下来我们先说一下原理，功力一和它的三个推论的本质就是在说相交可以确定一个平面，平行可以确定一个平面，所以当我们平常去看到这种结面比较小，那大致看起来就像它用一个三角形来表示了一个平面，那我想把它去扩大， 那我哎过其中一个点做另外对应的这个边的什么一个平行线就行了。比如说我做到点 d 平行定平面，那 a、 b 和 c、 d 肯定还是同一个平面，你再连接一下 b、 d， 你 就会发现啊， 从一个用三角形表示的面，现在变成了用四边形表示的面，所以通过做平行，你会把它扩大，而且它们依然共面。那么接下来到你们比较软肋的，那比如还是这个或怎么用相交去扩呢？ 相交呢？往往也是看作一个点和一个边，你把这个边延长一下，那你延长一下，你想这个肯定还在这个面里边，然后你 把 c 和你延长到这个点，第一点从一个小的三角形面扩大到了一个大的三角形表示面，所以从面积的角度是把它扩大了，所以说 两个都能实现。对原来小小的一个面进行再扩一扩，扩一扩，那变大一点，从我们这个样子上来看，其实说白了就是面积变大了，就算扩大了，虽然说面其实是无限延伸的，对吧？好，那么本质上他用的就是咱们宫里，也就是基本事实中的相交 确定平面和平行确定平面。那么接下来这个这么说，说完之后你说你在其中能不能做出其其实是做不出来的。香蕉扩平面，真正在其中要去做的时候， 其实我们是要经历五步才能够把它扩出来。所以接下来我就把你们软肋的相对薄弱的这个点拿出来，咱们细细的看一下，我们真的用香蕉把它扩大的过程中走哪五步啊？ 接下来把这个理解清楚，掌握扎实。第一个我们说刚才说了，你把这个三角形表示面还是要看作一个点和一个线，那么看作一个点一个线的话，你延长，你延长到哪去呢？你说，哎，有人延长到这，有人延长到这，有人延长，是不是都行呢？ 那放在具体其中肯定就不行了，所以真正在具体题当中呢，找到对应的点和线了，把它俩各自放在一个平面里边。比如说我把这个线放在了阿尔法平面里边，其实在图中往往这个线本身就在一个平面里边，然后我把这个点放在贝塔平面中， 真正在其中去做的时候，就是你要看这个点在哪个面里边，这个线在哪个面里边。好，然后接下来那我说我把他延长一下，再过他做一个，最终这两个要相交， 你要对他们焦点在哪里要有个预判，焦点在哪里，这是这里的精髓和关键啊。我把这个线在这个面里边，要做个线跟他要相交，交点在哪里？这个焦点肯定 在这条线上，交点在这个线上，交点也在这个线上，交点一定在对交线上，对吧？啊？所以说你要 找到真正他们的交点，那个交点不是随便延伸的，这就是为啥你要把一个放在阿尔法，一个放贝塔内，是要找到这个线所在的面和这个点所在面的两个面的交线。 你找到这个交线，你只要把这个线延长到根交线，找到一个点，然后接下来你把这个点和这个交点一连，肯定还是这个平面，而且扩大了，这才是真正我们在棋木中通过相交扩平面的原理和本质方法。好了，总结一下， 所以说刚才说五步，你想第一个就是你记住看到的这个小三角形面呢，看作一个点与一个什么一个线啊，你首先把这个面看作一个点和一个面啊，在真正的棋里边各放一个面， 各放一个面。之后第三步是找什么？找交线，找两个面的交线，你一定要先找到这个交线， 然后第四步你的线延长一下，与什么交线？找焦点，然后最后第五步就会实现啊，扩平面了，你把你原有的点与这个焦点一连就 ok， 所以 你不用说把这个死背下来，你就通过刚才我们思考的原理脑海中过一下，看你 消化了，通过相交扩平面整个这个思路和原理。整明白原理了，咱来看题啊，来看第一道题，第一道题呢，告诉我们一个棱长为六的正方体，然后说点 e 是 c， e， d， e 的 中点 f 点在线段这个霍上， 他说这一段等于四，那这一段等于二，说白了他就是个谁啊，三等分点啊，离 b 一 近，然后说过这三个点截正方起截面的这个面积， 要求这个截面截得正方起这个截面的面积，那说白了你就是要把这个截面给他补完整，找到，看他是个什么图形，求出他的面积。我们说虽然咱们会的比较多啊，又会相交又会平行， 但经验告诉我们，但凡一道题能用平行的时候，往往平行会比用香蕉扩平面简单一点， 那除非他用不了平行，你硬要用的时候，那就难了，对吧？我先说一下，我先选择的方法是平行扩平面，为啥呢？因为只有这一条线在几何棋的表面，其他的都在内部，所以我看表面的这个线，然后再关注这个点，那么我就看过这个点能不能做这个点 线的。什么平行线，能的话不就平行可以扩平面了？那我就关注他俩各自所在的面来，线在的面刚好在正面这个面里边点在的面刚好可以在反面，这个面点和线所在的面是平行的，那就一定可以做出平行 线，对吧？你想嘛，假如一个点在我手上，拿这个讲义上，那要做地面上任何一个线的平行线，他都能做出来，因为两个面是平行的， 所以在这的话呢，我就过这个点 e 做一个跟它平行的线，那么做出来，你看它与这个侧能有一个交点，假设 h 那 a h 再一连的话，那这个线不就是在侧面里边的交线吗？所以这半边我做好了，我发现这个线还在内部，还要扩出来。那接下来的话，我你们看一下，我如果还要做平行过哪个点还可以做平行，就 我继续选择平行，一平行到底啊，这个是棋木告诉的，棋木告诉所有能长都等于六啊，所有能长正方体嘛。然后他又告诉这个 b f 等于四的话，那这是二，这就三等分 点对过 f， 你 发现这个线在这个侧面里边，哎，这个点在这个侧面里边，两个面平行过，它是不是就可以做它的？再做出来，再一点，那整个这个五边形就做出来了， 这个是用啥呀？就是他能用平行，你快速的用平行画起来会非常的快，然后画出来之后这个或就是个五边形， 这就是他整个洁面。来看一下第一个方法用平行扩平面，讲明白了吗？然后接下来老赵也不是那种选择简单方法的人，咱也没苦硬吃，用香蕉的也做一下。好了，那接下来先把这道题做完吧，人家要的是洁面面积， 来一起求一下，因为在做平行的时候还要注意一点，你做了这个平行呢？这个焦点在哪里，对吧？那么这个在处理的时候呢？因为这里往往会有对应相似的三角形啊，这是个直角三角形，他会和他对应面上的这个直角三角形，两个是什么啊？ 相似关系，这是六比四，对吧？六比四，说白三比二，然后这里是中点的话，这是三，这个点就是多少二，所以这个 h 呢，其实也刚好在 d d 一 的三等分点处， 然后接下来你知道这个长度了，那这就是四，这就是六，根据勾股定律，这个测能也就求出来了啊，所以求完之后呢，这个和这个一样的四六对应的这个长度是二倍，根号十三。然后接下来 f 点和 h 点 在同样的位置，所以这条线和对角线一样长，也就是六倍根号二。然后这个呢，我们说这里是二，这里是三，这里是中点嘛，这是三等分点，这就是根号十三，这是根号十三，这是三，这三倍根号二。所以 整个这个结面的所有长度，你要去求就求出来了。但是这道题要的是结面的什么啊？面积，面积的话，出现这种图了，我们一般会用割补。首先我连了 h f 之后，下边就是一个什么啊等腰三角形， 那么这个上边呢，本身是一个梯形，你按梯形做好像也不太好做，所以再延伸一下，也把它延伸成一个三角形， 然后你会发现这两个点，哎，刚好也是这个边的什么啊中点，然后上边延伸出来的这个三角形和下边这个三角形的面积是相等的，我假设下边是 s 撇，那上边这个七行占三份，上边这个小的占一份，根据什么？根据相似， 所以上边这个梯形就是四分之三 s 撇，所以整个大 s 就 等于四分之七 s 撇。然后你只要求出下边这个等腰三角形的什么面积就行了。 简单的这画一下啊，这都变成了初中指示二倍根号十三，然后你在这做个高，他就是三倍根号二，你就能求出这个是根号三十四，所以高和底都知道，底乘高除以二，这个面积也就求出来了，所以这个面积呢，最后不难，二分之二十一倍的根号十七啊。好了， 这是计算的过程，包括确定点位置的方式。接下来我们说同样一个方式，咱不以把它解出来为目的，咱们以总共给了大家两个方向，我一道题能不能通过不同的方向去感受一下， 那么在这道题能不能通过相交扩平面呢？刚才大家给的答案都说自己选择是相交，那我们就一起去感受一下，比如说这次我还是选择把它看作线，把它看作点，那这次 我要把他们分别放在第二步，是不是要分别放在一个面里边？那这个现在的面肯定就在这个面里边， 那么这个点现在你必须把它看作在哪个面里边？如果用香蕉扩平面的话，此时这个点必须看作他在 上下左右前后哪个面里边。对，你要虽然说他这个点既在上边这个面，也在后边这个面里边，但是我们用香蕉扩平面的话， 线所在的面确定之后，这个点必须在跟他相交的面里边，是不是才能继续去相交扩平面？所以你现在只能看作他在上平面里边。 好了。点在上平面线在正面两个面的交线是谁啊？这条线，然后你把线延长一下，跟他交于一点，找到这个交点之后，那这个交点呢？跟点 e 也在一个平面里边，连一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点一下就 ok 了，这样的话你就会找到这个线与他所在面边界的交点， 然后根据相似算出这个在哪里就行了。那这里咋算呢？其实也很简单，因为这里是谁啊？三等分点， 所以这里是两份，这是一比二，直接可以得到，这里是三啊，直接最简单的方式应该在这个相似里边。好，这里三，这里六，这里是多少？一比二，这里得到，这里是三的话，因为这个也是三，所以在这里根据这两相似你看就确定了，你最终要确定的就是 他与这个边界交点的位置啊，所以我们就确定了这个点，这在这里，这里是中点啊。那这样的话，我们就找到了这边上边面里边扩出的这部分，然后这两个一叠，那我们这边你看从刚才的三角形面就扩到了四边形面，但是你这边还没扩出来，对吧？ 这边还没扩出来的话，那比如说我现在把这个看作线，把这个看作点，朝着就往这边去扩，那线所在的面在哪里？在上边， 那这个点呢？它可以在侧面，它也可以在下面，它可以在正面，对吧？它因为是一个端点，它同时在三个面里边，你要跟它相交，扩平面，反正你要看做跟它相交的一个面里边， 比如说我就看作哎，在这个面里边，在这个面两个交线就是这个线，然后我把这个线延伸，先跟他怎么样相交，然后接下来这两个一连接，哎，你会发现你也就找到了在这个里边的什么，这一段交线，你也就把它括出来了。所以当我们找到这一段，这两个再一连 整个就 ok 了。所以说这就是用相交，那你看平行我们做了，相交也做了，在这道能用平行的问题中，你发现用相交的话，你走过的过程， 包括它的细节肯定是要比平行复杂一些。所以说香蕉与平行在能用平行的时候，往往平行会作为我们的优选，因为简单。这也是为啥我说大家在平行这块会更熟一些， 因为它更简单，更容易学会，香蕉这块的话更复杂啊。然后接下来的话，第一个我们说我们用香蕉和用平行都把它处理过了，然后接下来我们看第二个， 接下来这些棋，两个方法具体的其中都展示过了。所以说你以后看到一个平面，它是一个什么 不完整的结面，需要你去把它哎扩充一下。在这个过程中，首先你要想到第一个，我有两种方法，我可以通过平行去扩，我也可以通过香蕉去扩， 那么优先看平行，因为平行确实会更简单一些，但是平行用不了的时候，咱们再去选择香蕉，然后香蕉一定要按照香蕉的流程去做啊。好了，接下来我们看第二题， 还是个正方体，然后这回它告诉我们的是 e 点呢？是 ab 的 中点， f 点呢？是 b、 c 的 中点能长还是六？然后说过三点 d、 e、 f 把这个正方体切成了什么两块，要求这个结面的 周长。来这个你扩一下试试看。首先说一下还是结面问题，一看啊，你看这个 d、 e、 e 还在整个几何体内部， d、 e、 f 也在内部，这种面就是没切透啊，你得把它补出来。那么你脑海中就得想啊，我有两个方法，第一个平行，平行不行了我再用香蕉，那么要平行的话选线，你只能选面上的线，选谁呢？ e、 f 是 这道题里边唯一在面上的线， 那你要就要过点 d 做 e、 f 的 平行线，但是你发现你过点 e 做出来的平行线在不在现有的这个几何体里边？不在，你想用它把它做出来怎么做？你下去可以试一下啊，再把它扩大一下， 现在给你是一个小的正方体，你把这个正方体再给他复制个一二三四，扩成一个大的长方体，然后你再去做，一样可以做出来。只是说在现有的途中你要做个平行，好像画不出来， ok， 不 听明白。用平行其实可以，但是需要把这个几何体再去给他扩大扩大， 但是在这种情况下我们就觉得没必要。那么接下来用相交的话，那我还是把它看作线，我把它看作点，那我们说用相交就是把线所在的面确定出来在底面， 那这个点现在你要让它在哪个面呢？它同时在这个面，在上边面，在后边面，因为它是个顶点，肯定同时在三个面。但不管怎么样，你必须放在和线所在的面的什么 相交平面，你选这个也可以，选后边这个也可以，比如说我就选的是后边这个。那么选好之后，第三步最关键找两个面的交界，就是它延长，然后让 e f 先与它相交好了，交于假设这个点是个点 p， 然后接下来再连接这个点与他，那这样的话，你看这个点所在背面里边，这个平面里边的线就扩出来了，就是绿色的部分，然后你只要找到这个点一连，那这一部分啊，你看从三角形的这里边的一个面，现在我就把它扩成了一个什么四边形的面，那一样。 写到这一步的话，你说你把它完全解出来了吗？没有，那这边还没漏出来，所以呢这个点呢，我也可以把它看到这个面里边， 那这样的话，线所在的面和点所在面的交线是 a d， 那 我再连接 ef 与它交于一个点，然后再连一下它，那它在这个面里边的交线也就找出来了。假设这个点 g 你 一连，这就是我们整个找出来的这个结面， 也就是个五边形，看一下能过了四啊。这就是这道题，用相交就是以这个为点，然后看这个点，在这个面和在这个面两边都去扩一下，最终把整个图扩出来了，它就是个五边形， 那求周长的时候，还是得去看具体的比例。刚才说这里是中点的话，这两个小三角形就是什么关系啊？它就是全等的吗？边长为三，这里也就是三，对吧？ 这里是三的话，那我们这个小三角形和这个大三角形的相似比就是多少。这个相似比的话，你看这里是三，这里是九， 就是一比三吗？那在这个情况下，那我们看这个，或者说看这个小的，每次看这相似的时候，你知道了这里是三之后，也可以看这里这个八字相似，三六一比二， 那这两个也是什么一比二长度就知道了。所以我们在这标一下，这里就是二，这里就是四，从下到底啊，这一模一样，这里是二，这里是四， 所以这里是三，那你求这个长度，这个长度根号十三，然后接下来你求这个长度，这是四六二倍，根号十三，对应的这边是一样的，然后这三，这三，这三倍根号二，你把五个边 加起来就行了啊。所以说这是这种情况下，找出来之后，要确定这个与边界交点的位置，位置的话一般都是靠这八字相似啊，你看上下是一个初中学过的八字相似，把这个比例整出来就行了。好了，那这个咱也就结束了啊。这是这道题， 你会发现如果他给的你这个图形中没有直接的平行，那你没有办法，你要再用平行去做可能要做的事，比这更复杂，那此时相交扩平面的优势就出现了。你看咱们从学这学期学几何以来，平面、向量， 我们学个数量积，给大家讲间隙、基底、投影、极化很等式啊，四种方法你每个都要学会，因为各有各的优势，对吧？然后我们学到解三角形的时候，很多题又给大家，比如说一个比例线出来了， 那他又有哪些方式可以用向量的方式，可以用倍长的方式，可以用找关系的方式。我们学到了解三角形的时候也是一样，不同的题型下，有些可以用角，有些可以用边，所以他各自有各自肯定，更高效、更简洁的题型中有他的体现。所以学的时候一定 不要光注重啊。这类题我会不会做？我这道题有没有做出结果，而是对于这类题，他用不同的角度去思考，他有哪些角度去思考，要整明白。 好了，接下来我们再列第三个啊，这道题再补充一句，刚才我们比如说先相交扩平面，扩到这边之后呢？比如说你扩成这个样子了，也不是说我今天用相交扩平面，我就要相交到底， 因为咱啥都会，你发现你扩了一边之后，哎，你发现可能又可以用平行了，为啥呢？因为这还有个面上的点，哎，过点地可以做他的什么平行线， 所以在有些时候背面有一个线在正面过点 e 也可以做他的平行线，做完之后这两一连啊，整个面也就出现了。所以说在这种情况，你发现第一下你平行做不了，你就相交去扩一部分， 扩出来之后，你当这个面变得大一些的时候，又可以用平行了，所以相交结合平行两个方法一起用，也可以把它解决，也不用一条道走到黑，关键是你把两个方法都学透，学明白了， 好吧，那么因为大家相对擅长的是平行，所以我今天选的前几道棋就是引导着大家朝相交去做，为啥呢？比如说在立方棋或者长方棋里边，有太多的对面都是什么平行的， 所以你做平行也比较好做。但是这种结面问题如果出现在三棱柱呀，甚至有些时候可能出现在三棱锥里边，或者说在一些台棋里边， 你要去扩平面的话，就没有平行就很不好做了。因为没有那么多对应平行的面，所以那大部分题就只能用香蕉，所以咱好好练一下香蕉。那看这道题，这道题告诉我们所有棱长都是二，那就说明上边是一个什么 边长为二的正三角形，下边也是高线，也是二这样的一个棱柱，然后说过这个棱的中点，还有这个棱的中点以及 a 点这三个点结这个三棱柱，那么接下来要求这个结面周长。如果三个点的连线都不在表面上 的本质，你要想清楚，是三个点都在内部，或者说大部分点，好像是所有点都得在内部，大部分点的内部也可以所有线不在啊，就你有一个点，比如说你有一个点在外部，其他点都还在这个几何体的内部，所以你画出的线都不在表面上，那不都都不在表面上， 只要延长，因为这些点都还在内部，比如说在这里，在这里你先要把这两个线延长， 把这两个点也先延长，你延长完之后再去看。所以当这些线没有在表面上的时候更简单。那这道题你会，你会发现你要过平行。做平面，你首先得关注什么在表面上的线， 这个线在表面上，你说你过这个点，要做这个线的平行线，那这个点所在的平面要先和这个线所在的面平行，有吗？没找着对吧？ 行不通。那同样道理，换一个过这个线，那过这个点要做他的，你做出来也不在这个几何体内部，所以在这种情况下，特别是三棱柱的话， 平行你要做又得去把几何体扩大、扩大、再扩大，那没必要。在这种情况下，当我们知道咱们的做法又不是指一个，咱们还会相交，所以接下来这道题我们依然选择相交。扩平面， 香蕉阔平面，你就定一个线，我让他扮演线，我让他扮演点，先点线分离，接下来确定各自所在的面，线所在的面只能在这个面里边，点所在的面只要和线所在的面相交就行了，那你会发在这个面，这个面也行，在这个面也行 啊，随便选一个，我就选这个点在这个面里边。好了，选好之后找两个面的交线，就是他们延长来延长一下，让这个线先和交线交于一点，然后接下来你把这个点在他的面里边连交线就行了， 那你很明显就扩除了这个面里边的这一一连，找到了这个面就是我们通过相交扩出来的。那 这里的话完了之后，你也要去算一下，那这个点的位置在哪里啊？咱们会画了，这个点是终点，这个点是终点，这个点是终点。这道题你扩出来之后要想算值，最关键就是这个点在哪里？来大家看一下这个点在这个线的什么位置， 我们说算这个点的位置主要是根据相似吗？你看这里是中点，所以这里的话这两段是一样的，因为这个你坐上去之后，就相当于这是一比二的两部分，对吧？所以这个长度是二吗？那么这个长度是二了，然后接下来你要算的是 这两个永远关注这个八字相似，在这个点在这延长，这是个八字相，这是二，这个长度是一，一比二，所以这一比二点，这是靠近 b 一 的三等分点， 三等分整个是二的话，那两份三分之四，对吧？一份的三分之二，然后这里是一勾股定律，就可以算出它，然后这里的话勾股定律二，一根号五，这里一二根号五，就剩下这个了。这个长度咋算呢？也非常的简单，这里的话 长度是一，这个长度是三分之四。两个边知道了，要求对边看这个夹角，因为上面是个等边三角形，你用余弦定，你就可以求出 f g 啊， 值稍微冲下一点，三分之根号十三，然后呢都知道了，加起来就是咱们对应的这个结面的周长。刚才有朋友又问他，比如说找的是另外一个的，其实就是你看作一个线， 我刚才说我在看这个点的时候，我把这个点看作在背面这个面，对吧？线一定在这个面，但是这个点的话，他不一定，他还可以在什么上边这个面啊？可以在上边这个面，只要他所在的面和线所在的面是相交的就行了， 所以你发现它上面这个面的话也是相交的，只不过交线是谁啊？ a 一 b 一， 你只要这个线跟它能相交，然后这个点连一下，交点你一样找出来。是，所以刚才有个朋友问，这么做行不行？ 你学明白了就直接画出来，画出来肯定行啊。好，当然到这里的话，我们说为什么要反复练相交？你看在这种三棱柱，包括以后的台体，包括以后的甚至一些锥体当中，你真正去做的时候没有那么多相对平行的面，所以平行就 很难操作，所以相教学扎实之后，相对万能，平行式的能做的时候相对简单，所以你两个方式都要掌握扎实。好了，接下来练一些啊，不一样的来看下边这道题，这道题的话告诉我们的又是正方题了，能长为二，然后点 e、 f 呢？是这两个的什么啊？ 中点，然后过 b、 e、 f 啊？过这三个点，做个结面，结面面积是多少？这道题拿出来，那你还是要选一选， 你看这道题面上的线有他有他，我过这个做这个，这个点所在的面和线所在面都不平行，不好做。然后我接下来以这个线看做一个线，以他看做个点，这个线在的面在这里，这个点在，哎，这个点可以在这个面，两个面平行，肯定可以做平行， 所以一平行来一连一连结束。所以说你看这个用平行它就很简单，所以当咱方法多了，也不要照着一个方法拿起来就用，对吧？可以选择一下，选择那个最优级，这是咱们的追求，对吧？好了， 那你要求洁面面积，这个也就很简单了，首先它整个就是个梯形，上底下底，这腰都知道，你要扩一下去球也没有问题，看做一个三角形，然后接下来梯形占四分之三，也会非常简单啊。好了，当然了，香蕉也给大家说一下啊， 我们要用香蕉去做的话，一样的，你先定一个线，比如说我就定这个线，他在底面里边，那我就要看这个点在哪里，这个点所在的面在这个面也在这个面，不管这两个面哪一个面，反正都跟他是相交的，随便选一个都行。比如说我选背面 点所在的面啊，是这个线所在的面，是下两个交线是什么？两个交线是 c d， 你 把 c d 延长一下，线先跟它交于一点，然后你让你的 f 再跟它一连，刚好是过 c e 啊，所以最后就找到在这个面里边线也是它，你再一连也就 出来了。所以说相交是相对万能的方式，那能用平行的时候，平行会简单很多啊。好了，这个也过了， 接下来的话，我们再看例五这道题的话，他还有点不一样，他说这个点，这个点，这个点啊，这个叫做你熟悉的话一笔就画出来了。那么今天呢，我们就认真的说一下，他为什么是个正六边形啊？你就用咱们今天所讲的相交也好、平行也好合适的方法把它括出来。 这道题就是按理来说学到例题几何，大家在学学校应该都见过，这他就是把对应的这几个棱上的中点点起来，连完之后整个图形刚好截出了一个什么正六边形，这在正面，这个线在底面，这个线在侧面，这个线在背面， 所以他截完之后刚好是这个熟练的话，你就一把画出来了。但是没关系，我们今天把它放在这里，就一起去感受一下，我也要去扩它，我到底用怎样的方法去扩？ 那首先你看表面上的面，我把它看作一个线，那这个点所在的面都不平行，平行不好处理。我把它看作一个线，这个点所在的面跟他也不平行，也不好处理，所以平行不处理，不好处理的时候咱就怎么样，咱就可以用胶线， 我把这个线看做一个线，它所在面是上底面，我肯定要把它看做一个点，这个点所在的面在哪里呢？它可以在正面跟它是相交的，它也可以在侧面跟上面也是相交的，所以随便选一个，比如说我就选到了侧面，那它俩的交线就是 b 一、 c 一 延长一下，首先线交交线与一个 点肯定是确定的。然后接下来把这个定点和这个点再一叠，你整个延伸，因为这里的话这两个是什么全等的，所以这两也是全等的，这是终点嘛， 所以这也就是终点。这样的话，我们把它在这个结面里边的线就找出来了。找完之后呢，你看这一个，这一个从刚才的三边形把它变成了四边形，那你变到这一步的时候，接下来咋做呢？我们说咱们会的方法比较多，刚才是没办法用平行， 那我用香蕉扩了之后，接下来看能不能用平行。你发现过这个点，这回可以做他的平行线了，做一个。过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。 过这个点呢？接下来可以做他的平行线了，做一个。所以说当你两个方法都学熟练的时候呢，你就相交平行结合着用，对吧？因为有些时候他不能用平行，也就把它串起来了， 这样的话用平行效率会更高一些。用香蕉的话，毕竟他还是做，虽然他通用，但是做起来会更慢一些啊。这应该是在正方棋的结面中会经常见到的一个结面啊。 这道棋跟刚才有点不一样了啊，他不再是阔平面了，就是我们说平行啊，香蕉有些时候除了阔平面，就是过点座椅之面的平行平面或者垂直平面。 那这道题告诉我们个什么呢？说一个棱长为三的正方体，当中点 e 为 a、 e、 d， e 上靠近它的三等分别一比二，过点 e 做垂直于这个线的 平面。其实你要去过一个点，记住啊，我们讲了过点做平行平面，你要过点去做垂直平面，其实非常难的，所以过点做垂直平面啊，记住，点做垂直平面 要转化成什么点？做平行平面，那咋转化呢？往往就是基于这个图，你就看一下 b、 e、 d 有 没有和它已知的垂直的面。如果你在题目中能找到和 b、 e、 d 已经是垂直的面，那我只要过点 e 做这个面的什么平行平面？你想你做平行平面，现在对你来说是不是非常的简单？但是做垂直平面不会的时候转成平行平面， 所以这道题主要是要找到一个和其对角线怎么样垂直的，那这个就很简单了，在这个途中，我们说有两个等边三角形和其对角线一定是垂直的，一个是 a e b c， 一个是谁啊？ d e a c 这两个面呢，都和体对角线垂直，而且它两个与体对角线的交点刚好吧，体对角线分成了什么？三等分。那么所以这就是以后你可能还会遇到的一类奇，就是做垂直平面啊，不要吓到， 本质上还是做平行平面，关键是已知的线，先找一个他一定垂直的面。那这道题就随便，我只要过点 e 做这个紫色面的什么平行平面就行了， 所以说垂直的就是转化成平行的，这是这道题唯一一个咱们不会的点啊。你知道了，做这个题就很简单快速过了啊，就是做平行呗，你过点 e 首先能做谁啊？你发现，哎，我能做 a 一 c 一 的平行， 然后做完之后还能做谁的呢？你发现你过这个点呢，你还可以做谁啊？这个因为它的背面你一定可以做这个起对角线的什么平行， 然后你过这个点呢，就一定可以不是起对角线啊，面对角线，你过这个点呢，一定就可以做这个面对角线的平行线随便做。有了这个点又可以做谁啊？ a e b 的 平行线，所以啊，最终连一下， 他画出来之后呢，是个五边形啊。那到这里呢？那咱们今天不管是平行还是相交扩平面是咱们今天要讲的，最重要的 还是基于咱们所讲的公里一二三四的基础下，结面为什么可以通过平行去扩？本质上就是平行定平面，平面为什么可以通过什么相交去扩？一样的本质上还是相交定平面， 对吧？所以接下来最重要的就是在扩的时候他的细节操作是什么？明白了原理，每次能操作清楚就搞定了。第二个就是有以后你除了扩平面还会去做平行平面或者去做垂直平面， 你记住本质上都是做平行平面，垂直的话就是你找到已知的垂直平面，然后做他的平行平面就行了啊。

咱们高一的同学家长们啊，咱们现在学到立体几何了，这里头呢，张老师给你们把咱们立体几何这一块东西，这个章节我们要学会哪些东西，要给大家总结一下的核心要点有哪些啊？这个不光是咱们现在啊，包括高考 咱们之后的这个要考察东西，我们把这个东西掌握了，也都够用了啊。然后呢，有一些乱七八糟的东西，咱们不需要去掌握的，张老师一会也会告诉大家啊， 来咱们听一下啊，主要能有哪些啊？首先咱们立体几何这一块，第一块啊，就是说小计算啥东西，几何体的表面积体积这块东西啊，是吧？ 这块全是一堆公式，是不是啊？追逐台，主要就是追逐台的表面积体积，是不是啊？然后这一块呢，就是一堆公式， 然后咱们学的时候大家就注意点啊，大家学的时候别背公式，因为这些东西我们追溯台，首先表面这个体积，那个公式好推，他也不难推，大家去推一下，就是我首先知道我这个追溯台展开之后，尤其是原锥，原住原台，他展开之后侧面就是什么东西，是不是啊？ 我可以是一个啥呀？我一个是矩形，一个是什么？一个是扇形，一个是扇环，是不是啊？把这些东西搞清楚之后，然后咱们再算那个面积，其实挺好算的，是吧？把这个东西推一遍，这样子的话，你看他跟母线呢，和半径啊，他们是什么关系， 就大家脑子就清楚了，然后再去背公式去知道吧？就是先推一遍，然后再来一个公式，这样子的话，他出题怎么出他都不怕啊，而且这块小计算特别容易出啊。然后第二个呢？这里头有第二个，就这个计算里边的第二个是什么东西呢？ 就是外接内切球这一块，是咱们大家很烦的一个点，就是外接内切球这块，这块张老师给大家说一声啊，就是外接球和内切球这块，我们研究的时候不去研究那些不规则的， 我们去研究这些规则的一些标准的几何体，比如说我正三棱锥、正四棱锥，然后你包括圆锥、圆锥、圆台这些玩意，我们现在去研究这些东西包括什么？我们等腰的底，底面有特殊形状的，比如等腰直角、三角形这种直棱锥，我们去研究这些东西去，因为它们的性质相对， 干啥简单，因为核心是啥？他们的问题是在哪啊？他们处理问题一定要在哪？我们那个大球所在的那个轴界面上是不是我们在那个界面上啊？就是界面上处理问题啊？ 也就是所谓的就是引出了咱们立体几何里边最核心的处理方式。第一个立体几何计算里边最核心的处理方式叫啥？高维化，低维 就啥，我要把空，我把空间处理，一个空间的问题转移到什么呀？就是空间上对应的那些参数是不是什么高了，什么半径，乱七八糟的，我转移到一个平面上去处理 啊？明白了吧？然后这是计算哈，然后第一块计算，然后第二块是哪块？就是咱们所谓的证明了是不是 我线面垂直平行的这些证明题，是不是啊？核心是啥？我线面平行是不是？一是线面平行，第二个是什么？最重要的一个是啥？线面垂直的证明 是吧？因为这块东西线面垂直的证明，我要后边还有什么涉及到什么？我正我找出来线面，找出来垂线之后，我既做线面角，还有一个啥？线面距，点面距离是不是啊？点面距离 是吧？点面距离的计算，当然点面距离计算我们还有一个其他的方法，就是所谓的什么东西？等体积法，但是这个等体积法核心是啥呀？我要把体积找出来，那找体积的时候我们算体积，其实还是得我们要找到好算的。那个线面垂直的就是那个 点面距离，然后再转化是吧？核心其实还是要做这个点线面距离，然后线面距离的这种证明咱们怎么做？我说了这个东西包括什么东西？你面面垂直哈，这都在写上哈，面面垂直 这个东西，我这个证明核心是啥？考逻辑思维哈，几何法，所谓的几何法这块记住了五星重要，这是咱们立即几何的核心的考察的东西 啊。己合法，逻辑思维就纯用我怎么样子去把我，你要让我证明那个东西，你让我证明东西一定是对的，那我把这个东西当成条件和已知条件去结合，我要推出来啥？我要证明我这个结论的这些条件到底有哪些呗？反推吗？对吧？ 我判定定例反着用回去是吧？我用成性质定例是不是？然后我找到我需要的条件再反再用回来是吧？然后我当我一个条件拿不着的时候， 低维条件找不到，比如说我线线吹只有俩，我只找到一个，此时干啥？找条件的时候记着啥低维转高维，干啥上高维上找条件去高维条件更多，然后再画回的， 明白了吧？这是证明题的思路，就是我线，我线线垂直不好正行，那我先正线面垂直，然后线面垂直的性质里边不有线线垂直吗？对不对？ 就是这么个逻辑思维，然后具体的做法的时候，大家去看张老师主页试听课里面讲了，是不是啊？我们立体几何里边我们线面垂直的证明，包括线面角的计算，是吧？都有啊， 然后再弄明白，来找张老师来我们系统的去学习。张老师，我想系统的就把这些东西学一下，可以跟张老师的课走。张老师，咱们高一线高一的课啊，有的，咱们看张老师的课最近都没买，是吧？因为啥？哎？张老师，你这立体几何部分怎么老不给我们更，我这两天就给你们更进去啊，这两天就给你们更进去 啊，然后可以可以下单了哈，大家都可以下单了啊，然后剩下的我说这面面垂直是啥呀？ 面面垂直的判定力实际上核心还是啥呀？我要找线面垂，线面垂直，然后面面这里头我们其实一个核心的是啥？哦？二面，面面关系这块都有一个二面角的平面角是吧？ 平面角这块东西，有人说老师这块东西不都是拿我们，我们大家都听过这个这个东西的话，都是拿什么空间向量做好做是不是？但是这个东西张老师要跟大家说一下啊，现在我们的考察方向， 这个东西需要大家尽量是需要大家去做，因为做这个二面角的平面角需要的逻辑要相对更复杂一些，他的考察的东西更多， 他考察的东西更多，逻辑考的更细，然后考察知识点，考察的更全面，你想想这那这个点知识点他就是好知识点啊，对不对？他能考察出大家的能力的， 对吧？然后二面角，平面角，那就无非就是干啥呀？我要定交线，是不是因为二面角的平面角一定在什么上？我两个面的交线的垂面上，是不是定交线，然后找交线的什么呀？垂面，然后干啥？做，做出 干啥？平面角，是不是，对吧？然后干啥？这就是我做出平面角之后，这不就又变成干啥了这了吗？高维画低维，然后干啥？解三角形计算去，是不是啊？ 然后这块中你看我们求点面距离，求这个二面角的平面角，求线面角，这些是属于计算，是不是啊？然后咱们点面距离的计算，这里头有等体积法，但是等体积法我们可能还是你等体积法，我得先把体积搞定啊。体积搞定就是啥？我用一个面， 我我用好算的一个面和距离，底和高，去把面体积算出来，然后再转化后回去是不是转化？然后你让我求一个特别我做不出来 这个点面距离的，就我找不到他投影在哪，是不是那种，是吧？那怎么办？那我找好做的，然后等体积法转换啊，这是一种什么空间的转换思想啊？ 就这些东西，咱们立体几何，其实你要说东西多吧，其实还好，这看着写的是不少，是吧？其实也还好，没有太多东西。还行，这块不属于咱们高中的一个难点， 但是呢，就是用的东西其实也挺多了，因为你说平面向量的东西，你包括解三角形的东西，那肯定是要熟练应用的，是吧？我，我这里计算的时候，我这里我计算三面角，计算二面角的时候，是吧？我这里头都是需要的， 是吧？我都是包括算什么这个距离的时候，我要算某一个长度的时候，都是需要什么？我们解，对，解三角形，你高为画低为，把那个平面做出来之后都是要啥解三角形去搞定的，是不是啊？对吧，这些基本功一定要扎实哈。 就这些东西啊，把这些东西学明白了立即集合就差不多了。搞不定的来找张老师来啊，跟着课走，我这几天就把课都给你们，更差不多了啊，听明白了吧啊？

如果说在高考数学的阅卷过程当中，批卷人最不喜欢批的一个题，那么一定是立体几何的证明题，因为这个题的特点就是不管你前面写多少过程，最终你都可以把结果拍上去， 那么阅卷人他就会非常仔细的在当中去找正确的证明过程。好，那至于什么是正确的证明过程，这个我们到底知不知道呢？好，那这个视频呢，我们就来梳理一下整个立体几何证明题当中最常用的十个定律啊，基本上它可以覆盖百分之九十以上的题型， 那至于都是什么呢？我们就来去这么分分下类啊，线面平行、面面平行、线面垂直以及面面垂直，那么他们分别有各自的判定定律和性质定律。那其实从这个表面上看，其实他们总共是八个定律，但实际上呢， 如果是面面平行的话，它的判定定力和性质定力应该是分别有两个，那么加起来其实正好十个。好，那首先我们明确一个问题，判定定力和性质定力的区别是什么？就这个问题啊，就我带过很多高三的同学，他有的时候区分不出来啊， 我们可以这么理解，判定定律呢，就是我不知道线面平行，我需要证明它就是我从不知道到知道。而性质定律呢，就是我已知线面平行以后就是线面平行作为条件，那么我还能知道一些别的什么。 那其实从底层逻辑来讲，你可以这么理解所有的这个判定定律啊，其实它相当于都是一个升维的过程，比如说我要证明线面平行，线是一维的，面是二维的，那么我们就需要知道线线平行，然后来证明线面平行， 对吧？这是一个升位的过程，那性质定律呢？其实也就是说我们已知线面平行之后，那么我们就可以知道线线平行，那么把面进行个降维，所以说这个所有的性质定律，它都是一个降维， 就是这么个区别啊。好，那么我们来分别看一下这十个定律。 先看第一个啊，线面平行，那说人话来讲，它的判定定律就是平面 r 发外有一条直线， l 与平面内一条 m 平行，那么我们就说 l 平行于 r 发，那图我们就可以这么画啊， 这里面呢，它是 r 发，然后这里面它是 l， 我 们在这个 r 发当中去找一个线，这是 m， 其实从图来讲就是这样的。好，那这个呢？是我们方便理解啊，去用正常的语言来描述了，如果出现在卷面上的话，哎，让你正线面平行，那么判卷人他找的其实主要是三个东西，第一个就是 l， 他 一定是不在 alpha 内的，第二个就是 m， 他 一定是在 alpha 内的，那么第三个也就是 l 平行 m， 主要就是这三个条件好，由它们三就可以证明出来 l 平行 r， 其实我们去细看这三条的话，它们分别对应了三个过程，第一个这个 l 不 在 r 内，这个东西它一定是一个容易漏掉的一个条件， 那么 m 在 r 法内，也就相当于我在 r 法当中找到一个 m， 那 么这个关键点就是在于你的辅助线怎么做，所以这个对应的是你的辅助线。 一般来讲的话，我们都是构造一个中规线，或者是构造一个平行四边形啊，基本上都是这么操作的。好，那第三个呢？ l 平行 m， 其实这个才是我们证明的核心，最终我们证呢肯定是 l 平行 m， 就 这样。 好，那其实除此之外呢，他还有一种判定方式，那这个我们说到面面平行的性质定律的时候再说啊。好，那这个是最常用的，可以说百分之八十的题吧，都可以用这个方式来整。 那性质定律啊，其实现面平行性质定律这个东西，呃，在我看来它应该是一个隐藏最深的，就是平时用的比较少，但是一旦出题，我们最容易忽略掉的这么一个条件。好，那意思也就是说我们现在有一个平面 r 发， 那 l 呢？就是已经它跟这个 r 平行了。好，那接下来我需要去做一个平面为它， 然后这个比特跟 r 发，它一定会有一条交线。 好，那这样的话我们就可以判定出 l 是 平行 m 了。好，那我们把这个东西用竖线笔来翻译一下啊， 第一个也就是 l 平行 r 法，这个一定是一个已知条件，然后再往后啊， m 一定是在啊 l， 是 在这个比特里边， 也就是说我过这个 l 去做一个平面 beta， 接下来呢， beta 会与 r 发相交，是 m， 那 有这三条我们就会得到 l 平行 m， 所以 说一般来讲碰到这种情况啊，阅卷人他找的其实主要就是这三个条件， 那什么时候比较去适合去使用它呢？就当这个题目当中，如果说交线消失的时候， 这个时候我们就要想到去用这个线面平行的性质定律啊， 也就是说我们在这个题目当中明知道它是有一条交线的，但是你在这个体干当中，就是在图当中是没有体现出来的，这个时候就往这上想一想啊，基本上都跑不掉的。好，这是第一组，再看第二组面面平行的判定定律和性质定律啊。 第一个啊，就是平面 r 发内有两条相交的直线， m 和 n 同时与比特平行，也就是这样的， 这个是 r 发，这是比特， 这是 m， 这是 n， 那 如果说 m 和 n 都与比特平行，这个事就完成了啊，其实呢，如果我们给它再延展一下，那么它如果说分别有两条线 是这个，比如说像这样啊， m 撇 n 撇， 其实这个就是它的第二个这个定律，它俩很像啊，那我们翻译成数学圆来说的话，那么就是这样的， 首先这俩相交，比如给这交点去标记成一个 a 点，好吧？那首先说 m 和 n， 他 都在这个 r 法内，然后 m 和 n 相交等于 a， m 平行被它， n 也平行被它。好，那这样呢，我们就可以直接说明 r 法平行被它，或者说呢， m 和 n 都在 r 法内， m 撇 n 撇都在被它内， m 与 n 相交等于 a， 然后这里边 m 平行， m 撇 n 平行， n 撇一样，我们也可以说明面面平行就这样， ok， 下一个那面面平行的性质定律，其实刚才我就说过，这个有一个性质定律是可以用于判定这个线面平行的。你看咱们说这个降维，我们就可以这么理解，你看面和面都是二维的，那他如果降一个的话，那就是他可以证明线面平行， 那如果两个都降的话，他就可以证线线平行。其实这两个性质定律就这么来的，我们来看一下。 第一个，如果说 r 发和比特，那么 r 发内啊，随贝比特内吧，随便找一个线，比如这是个 l 啊，那它如果说在比特内，那 l 一定和 r 平行，那我们换算成数学原来说的话，就是这样的，那 r 平行比特，然后 l 是 在比特内，那么就可以直接说明 l 平行 r 内，那么就可以直接说明 l 平行而发。 好，那我们翻到前面这个，如果说同样的 l， 它如果是在一个平面 beta 内，然后 beta 还平行 r 法的话，那么也可以直接说明这个事。啊。 啊，可以这么说吧，只要说左边这个方法失效的情况下，那么我们就去找这个面面平行。呃，像二零二五年的新高考二卷，它那个题其实更好用的一个方式应该就是来去证明面面平行啊， 好，这是第一个，那第二个呢？同样的 rfa 和 bta 是 平行的， 这样呢，我去引出第三个平面蛤蟆， 好，就这样穿过去，那么这个蛤蟆它会与这个 r 法和贝特相交 m 和 n， 那 么 m 就 平行 n 换算成数学原来说的话，也就相当于是 r 法平行贝特，蛤蟆是交 r 法，贝特 等于 n， 好， 那直接说明 m 平行完事。好，那这个就是关于平行的这么几个定律。接下来看垂直， 首先第一个就是判点定律啊，这个其实挺常用的，那你看线面垂直，那么我们就可以正线线垂直呗。这里边 如果一个 l 和 r 发是垂直的，那么我们只需要知道它垂直 r 发内的两条相交直线即可。 好，用数学语言来描述的话，就是这样啊， m 和 n 都在 r 发内，然后 m 和 n 它是相交的， l 垂直 m， 那我们就说明 l 垂直二法 下一个性质定律，这个其实是特别常用的 l， 如果说已知 l 是 垂直二法的话， 那么它就垂直这个面当中的任意一条直线，那么 m 如果在 r 阀内啊，那我们就说明 l 垂直 m， 这个就是正线线垂直啊，其实正线线垂直的本质就是在正这个线面垂直，你就可以这么理解啊，或者说正线线垂直还有一种方式，比如说啊，你如你要正， 这也是比较常用的一个思想，要正 l 垂直 m， 那 我只需正这个 l 垂直 m 在 这个面上的投影， 哎，就可以啊 啊，比如说吧，建立一个模型啊， 就像这样，这个是就是实际做题的时候会比较实用的一个方法啊啊，比如说现在这一个平面里边， 然后这个是 m 吧，这条线是 m， 然后这个 l 呢？在底下这个面里边，那比如说我们想要去正这个 l 除以 m 的 话， 为什么我正投影就行呢？我们试想一下，如果说我们把 m 给它投影下来的话，你看一下，那么这个虚线实际上本质上来讲，因为它是投影嘛，它跟底面都是垂直的，那么这个虚线它一定会垂直这个 l， 然后呢， 它在跟这个投影是垂的，那你有没有发现这个 l 它就会垂直 m 所在的平面，对吧？然后进而就用了一下这个线面垂直的性质定律就解决了， 其实其实用了两次，对吧？他投影投下来这个地方就用了一次，然后这边再用一次啊，所以很多时候我们真正实际去用这个定力的时候啊，可以通过这个思想去用，还是挺好用的。确切来讲应该是说 m 在 l 所在平面上的投影啊，这个太多了，我不写了，就是这图，明白这意思就行。 好，最后一个，面面垂直，首先说一下判定定律，其实可我们可以这么理解，面面垂直就是线面垂直的一个续集啊。那如果说我们在像刚才的那个步骤当中，比如说 r r， 然后这是 l， 嗯， l 在 已经垂直 alpha 的 基础上，那么我们再找去一个平面，就是 l 所在的平面， 就这样，这是 b 它的话，那么 b 它就垂直 alpha， 所以 说转化成数学语言来说的话，那就是 l 垂直 alpha， 然后 l 在 b 它里边，你直接就说明 alpha 垂直 b 它， 所以本质上来讲，正面面垂直，你就是在正线面垂直，而线面垂直的本质又是正线线垂直，对吧？其实就是不断的升维和降维的过程啊，来性质定力， ok， 我 们就用上面这个图啊，这是 啊，其实图可能都是通用的哈。啊，这里边啊，我写的是 r 发内如果存在一条 l 与这个交线垂直， 比如我们设这个交线是 m 吧，啊，然后垂直， 那么 l 就 垂直被它，你看就是一个降维的过程， 对吧？由面面垂直，那么我们去反推的话，你肯定会推出线面垂直，你线面垂直，你又可以降维，推出线线垂直， 就这么一个逻辑啊。但是这个我觉得就是所有的条件当中，其实面面垂直这个条件相对来讲是最不好用的，但是我们明确一个核心就可以了，你见到面面垂直，你一定要干嘛去找这个胶线啊？所以 r 发垂直比特，然后 r 发跟比特交于 m， 然后 l 是 在 r 发内， l 又垂直 m， 那么 l 就 垂直被它，哎，就是这这么一套路啊，好，那简单来说呢，就是你看到面面垂直啊，面面垂直 找交线，然后垂直交线的线 啊，那么它垂直另一个面， 好，就是这么一个套路， 好，那以上呢，就是这个基本上就是我们呃所有的立体几何的解答题的第一问，证明题能用到的这十条定律啊， 啊，不说倒背如流吧啊，至少说我们把这些东西能背着就是你合上书之后写出来。那这个部分呢，其实正常我们高一刚学的时候会比较蒙，因为我们学的时候是老师一个一个讲的啊，如果说老师不做一个系统性的梳理的话，这个确实是很难受的啊， 如果是高三的话，我们在复习的过程当中，这些东西如果一旦有遗漏，一定一定要去把它补齐了啊，因为我们正常批卷的话， 一定就是找这么几个关键的信息。还有我们在答题的时候，比如说你像证明线面平，线面平行，是吧？那么你就要有意识的，因为整个一个卷，你要把这三个条件你去，哪怕你字体放大一点也好，总之你写的显眼一点，你让批卷老师一眼就能看出来， 省的他在那找半天，你想批批这个卷人真的是非常闹心的啊，哎，不要，还有不要去玩那些伪证啊，对吧？哎，这些东西， 行吧，那关于这个定力呢？我们就说这些啊，那我们就可以看完视频之后，我们就可以照着这一面，我们去把刚才讲的那些东西，你看看自己能不能给它复述出来啊？如果达到这点就 ok 了。

对于高一的学生来说，下学期最重要的内容之一就是例题几何，今天我们给大家分享一个例题几何解答题。 这个题一共有两问，第一问是证明线与面平行，第二问是求四面起，也就是三能锥的起级。那么首先我们来看第一问，要证明线与面平行，就要证明这条线和这个面上的其中一条线平行，就能得到线与面平行。 但是如何证明两条直线平行，我们得知道最精简的有两个方法，第一个就是三角形中微线平行于底边，第二个就是平行四边形对边平行。那我们先考虑一下中微线的方法， 因为题目说了，这个 n 是 b c 的 中点，然后这个 am 是 等于二倍的 m d， 也就是这一段的二倍，说明这个 m 它是 a d 的 三等分点，而不是一个终点， 那么也就说明 m n 的 连线并不是一个中微线，因为 m 不是 中点，那我们就开始考虑第二个方法，就是平行，四边形对边平行，但是我们得先做出这个平行四边形，如果涉及到中点的题目， 我们要做这个平行四边形，我们可以考虑用中微中微线的方式去做啊，用中微线的方式去做，这也是一个高考热门考点，那么关键是一个中点不行，得再取一个中点连起来才是中微线吧。那么另一个中点在哪里取？ 是在这个平面的三条线上去取，对这个器来说，我们直接在这个 p b 这条线上取一个中点 e， 那 么接下来把这条中微线给它连起来，那么再把最后一条边连起来，我们的目标四边形也就出现了，是 a m n e。 好 了，我们来证明一下这个 p b 的 中点 e 完了之后，我们接下来连接的两条线，首先第一条线就是中微线，那么这个地方是不应该就是一个 n e， 还有一条线就是四边形的最后一条线。 然后接下来我们证明四边形的这个方法是这样的，我们首先根据一组对边平行，再根据平行四边形得到另一组对边平行。 这个思路大家要懂啊，我再给大家说一遍，先根据一组对边平行且相等得到它是一个平行四边形，再得到另一组对边平行。所以我们的思路是这样的，我们先根据这个中微线和它的对边 am 平行且相等得平行四边形。来，我们来正一下，首先从中微线出发，因为这个 e 是 我们取得 p b 中点， 那么接下来这个地方 n 是 其目已知的 p、 c 中点，那么这两个中点的连线就是一条中微线，也就得到了这个 e n 为三角形 p b c 的 中微线。 那么中微线是有两个性质的，第一个性质就是中微线平行于底边，它的底边就是这个 b c。 那 么接下来还有一个性质，中微线等于底边的一半，题目是不是已经已知这个 b c 等于四，所以它的一半就是一个二？好了， 然后我们接下来再看，首先是平行的事， e m 平行于 bc， 而题目又告诉我们，这个 ad 也平行于 bc， 但 ad 是 不就是 am， 它两个是同条线， 所以 am 平行于 bc， 根据平行与同一条直线的两条直线。什么平行？好了，那么既然 n e 和 am 都平行于 bc， 它两个就平行了，那么这个时候对边平行已经证明，再证明对边相等， 那我们现在只需要证明这个 am 是 不是也等于二就行。因为题目是这样说的， am 是 等于二倍的 md， 这是一个三等分点，所以我们就得到了 am 是 不应该就等于三分之二倍的 ad。 那么题目也说了， a d 是 应该是等于三的，所以带进去之后他就等于二，那这样一来，我们是不就得到了这个 am， 他 等于这个 n 一？ 再加上我们刚才又证明了 am 平行于 n， 一 根据一组对边平行线相等得到了它是一个平行四边形，这个地方是 a m n e， 那 么再得到另外一组对边平行，也就是 m n 平行于 a e， 那 么这个 a e 就是 这个平面 p e b 上的一条线。那么根据线与面平行的判定，镜里平面外的一条线和平面上的一条线平行，就能得到线与面平行。 好了，这就是平行四边形对边平行的一个手段。根据一组对边平行且相等得到它是平行四边形，再得到另一组对边平行。当然这个四边形的作图方法，我们是根据构造中微线的方式构造出来的，这也是经典考究。接下来我们看一下第二问， 我们接下来要求的是一个三等锥 n 杠 bcm 的 体积，那么首先我们要算高和底面积，因为我们知道体积是三分之一，底面积乘高， 那么这个 bcm 是 在 a b c d 上的 a b c d， 它确实是一条有一条垂线，但是这条垂线它并不过这个上顶点 n， 那 么要想过上顶点 n， 我 们就得让过 n 点做一条 pa 的 皮筋线，因为这里面有一个原理是这样说的， 说线垂直于面，过这条线的平行线也垂直于这个面啊，就是说线垂直于面，这条线的平行线也能垂直于这个面，那我们就做一个平行线呗。那么假如说这个地方是 f， 好 了，这是第二问，我们现在做一个 n f 平行于 p a， 而且交这个 a c 与 f， 这个没问题吧？那么如果是这个样子的话，然后我们接下来就可以做了。首先 p a 是 垂直于这个面 a b c d 的， 那我们这个 n f 平行于 p a， 那 么线垂直于面，那么过这条线的，也就是这条线的平行线是不是也垂直于这个面？这条线的平行线也能垂直于这个面，这是一个重要性质，那么这个时候我们的高已经出现了，那这个高怎么算？ 这个其实是一个中微线的问题。来，我再把这个说一下，你看为什么他说它是一个中微线的问题，因为题目说了这个 n 是 这个 pc 的 中点， 那么我们又做了一个 n f 平行于 pa， 所以 我们就得到了这个 n f 为这个三角形 p a c 的 中微线。 这个利用的性质其实也很简单，就是在一个三角形中过其中一边的中点， 做另一边的平行线，那么所做的这条线就会是一个中微线。再把这个话说一遍，在一个三角形中，过其中一条边的中点，做另一个边的平行线，所做的这条线就是三角形中微线。那么这个既然是中微线的话，他是不是也就等于底边的一半，也就是二分之一 p a， 那么也就算下来之后， p a 是 四，也就二分之一乘以四等于二，这就是高。那么接下来算一下底面积，底面积，当然要是在底下这个面中去算，来，我把这个面再给大家单独画一下，因为题目说了一些信息， 说 ab 等于 ad 等于 ac 是 不等于三， ab 等于 ac， 说明这个地方首先是一个等腰三角形，我把这个等腰三角形给大家画清楚， 这个地方是 a， 这是 b， 这是 c。 好， 那么这个边是不应该等于三，这个边是不也等于三，这个边是不应该等于四，是不应该是这个样子？那么接下来还有一段是一个 ad， 就 随便画一下吧，这个是一个 ad， 那 么这个地方是一个 m， 那 么接下来我们要的是什么？这个 bcm 这个三角形。 好了，其实你看啊，这里面有一个重要的性质，因为 a d 平行与 b c 两条平行线之间的距离是永远相等， 所以说你现在要求 bcm 的 面积，那么 m 到 bc 的 距离，实际上也就是 a 到 bc 的 距离。 a 到 bc 的 距离，那就简单啊，我们可以做一个三线合一的线，对不对？这个地方假如说是，这也就是说我们现在取一个什么 bc 的 终点，这， 那么接下来就可以连接呗，连接一下这个 ag， 这个 ag 实际上就是两条平行线之间的距离也是 bcm 的 高，那么这个也有好算了，因为它是中点的话，这个占一半。 那么接下来我们先用勾股定律算一下 ag ag 是 不是应该就等于根号下 ab 方减去 b 方， 那也就是一个根号，下三的平方减去二的平方，九减四，是不是等于根号五？好了，那么接下来就可以算这个三角形 bcm 的 面积了，它等于二分之一底乘高， 底 bc 高就是 a j， 也就是二分之一乘以四，再乘以根号五，那么这个算下来之后就是二倍根号五，那么最后我们就可以算起极了 n 杠 bcm 三分之一的体积就是三分之一底面积， b、 c、 m 乘以高，高就是刚才的 n、 f， 也就是三分之一乘以二倍根号五，再乘以二，那就是三分之四倍根号五。好了，这个题整个做完了，你们学会了吗？

好，同学们，立体几何不用愁，解析套路全知透，高中立体几何一大巨头，证明问题的半壁江山就是我们今天要讲的空间中的平行关系。想要立体几何不丢证明分， 空间中的平行关系必须知透，掌握判定定理性制定理规范答题步骤，证明题轻松满分，接下来让我们开始吧。哦，同学们，今天呢，我们来讲一下立体几何当中非常重要的证明模块的 平行的相关证明。那我们这主要分为三大块，主要是线线平行，镜面平行，还有面面平行。那我们首先先从线线平行来说一下， 那线线平行呢？在讲它之前，我们先简单的把线线的这个位置关系我们全部给它罗列一下。我们说对于线和线来讲啊，它的位置关系呢，我们是主要分为，呃，这个两大类啊，一个是共面，一个是异面， 那共面又分为什么呢？共面当中我们又分为平行相交， 其实还有一个，其实还有一个是重合，只不过是这个我们一般来说很少去提啊，然后呢，对应的只要不平行也不相交，当然肯定也不重合，我们称之为就叫一面直线，所以这个是我们说直线啊，在空间当中的一个位置关系。那垂直属于什么呢？垂直比较特别，它有可能是相交的垂直， 也有可能是意面的垂直，所以我们垂直不会单独拎出来，作为一个位置关系来讲，它就是它既有可能是共面，既也有可能是意面啊。 好，这个是我们说线线位置关系，那接下来我们来讲线线平行一般怎么去正，只要我们的线线平行，没有单独的以一个小问的形式去考察的话，我们一般来讲用初中所学的内容用什么呢？比如说非常典型的平行四边形， 也就是我们只需要去证明一组对边平行且相等，那我就可以得到另一组对边一定是平行的，这是一种，或者说我还可以利用相似，那相似当中最为典型的就是中位线， 这个是我们用的非常多的。然后除此之外呢，比如说我还是可以去利用这个传递性啊，我们说 a 平行于 b， 然后 b 平行于 c， 那 这个时候我一定可以得到 a 平行于 c， 对 吧？这个是我们初中所学的一些涉及到的相关证明，那我们在高中当中啊，如果是你其中某一步需要这么去证的话，你完全可以去用。 但是如果我们的线线平行，单独一个小问的形式让你去证，他肯定不是考这些这么简单的，他会考的是我们到时候后面会来讲的性质定理啊。我们来讲一下，我们来啊，其实也就是我们对应线面平行和面面平行的性质定理啊。首先我们先来讲一下线面， 线面平行的话呢，首先还是要我们把这个位置关系罗列一下，我们说线和面空间当中的位置关系，首先还是可以去分为啊，这个平行 给他往这边来，首先呢可以是平行的，平行的时候，这个时候对应的是有零个交点，或者说我的线面相交，相交的话呢，这个时候其实也就相当于是线穿过这个面啊，所以是一个交点， 然后也有可能是线在面上，也就是我这也就以重合写，但其实严谨来写的话，应该线在面上啊，这个时候是无数个交点， 因为整个线都在上面啊，所以相当于线上的任意一点都是他俩的公共点。好，那接下来我们来讲证明对于线面来讲，他有判定定力和性质定力。 判定定力我们是怎么去挣的呢？我们说如果你要去挣线面平行，只需要去找线平行于面内的一条直线即可。所以我们在描述的时候啊，首先 得有一个面，阿法有一条线 l， l 平行于面内的一条线 m， 那 我们符号语言描述的话，就是 l 平行于 m， 同时一定要记得去说明 m 在 面内和 l 不 在面内啊，这一定要去注意。 然后啊，由这三个条件同时满足，我才能得到 l 是 平行于阿法的。所以我们会发现啊，如果我想去证明线面平行，我需要找什么？我需要找的是一组线线平行 啊，这是我们线面平行的判定定里。那接下来他对应的还有一个性质定理，性质定理是什么呢？就是相当于反过来我们刚刚说要正线面平行，对吧？那性质定理是我已知了线面平行，我又可以去推什么？ 那我们说对于已知线面平行，就像 l 平行 alpha 现在是变成已知条件了，那我们说可以借助线面平行去推线线平行怎么去推过这条线？因为我现在已知 l 平行 alpha 过这条线，我做一个平面， 任意一个平面都可以啊，背它，此时这个平面一定会与 alpha 交于一条直线 m， 那 我符号元怎么去描述 l 平行于 alpha， 且 l 在 beta 面内，又已知 l 啊，这个 alpha 交 beta 于 m， 所以 这个时候就可以推出啊， l 一定是平行于 m 的， 所以这个是我们说线面平行的性质定律，它其实是可以推出来什么？它可以推出来一组线线平行的， 那这个就是我刚刚所谓的，如果这个线线平行单独一个小问考察，他肯定不是考我们上面讲初中所学的东西，他一定是在考这个性质定理，也就相当于题目看似让你挣线线，实际上让你找的是线面 啊，好，这个是线面平行，那接下来我们再来看面面平行，面面平行的话啊，首先还是一样他的一个判定定理， 它是有规律的。我们说线面平行要找的什么？是找线线，对吧？那我们说对于面面平行，你要去正它的话，这个时候我们就要找的是线面， 那我们要找几组呢？这个时候我们是要去找两组，而且我们对于这两组线面平行是有特殊要求的，这两组线必须是相交的，比如说这也是阿法，这也是贝塔，我必须是满足阿法内有两条相交的直线，比如说 a 和 b 均平行于另一平面贝塔，我才可以去证。那我们来写一下符号语言的描述，首先 ab 必须都在阿法内， 同时我得表达出来 ab 是 相交的，那你就必须以一个 a 交 b 得有一个点的形式啊去描述出来，或者你用文字语言描述 ab， b 交于一点 p 啊，类似的都可以。 好，然后接下来同时满足 a 平行于贝塔， b 也要平行于贝塔，那这个时候我就可以说明此式阿尔法一定是平行于贝塔的，也就是我要找面内两条相交直线均平行于另一平面。那这个时候我们刚说了，它其实就是找两组线面即可， 一定要记得去强调啊，这两组线必须是平行的。好，那接下来性质定律。 那我们前面讲说线面的性质，可以推线线，那我这里的面面性质肯定是可以推线面的，对不对？那这个时候我们来看啊，只要已知阿法和贝塔平行，因为我们说性质定义就相当于反过来平行变成了已知条件，也就是已知阿法平行于贝塔。 那此时我只要在阿尔法面内任意一条直线，你背他面上也行啊。反就是我只要面内有任意一条直线，此时这条直线就一定会平行于另一平面，所以我就可以得到 l 一定是平行于背他的。 这个是我们说可以去推啊，线面平行，我这就简写了啊，可以推线面。好，那面面平行能不能推线线呢？也是可以的。如果说我们想用面面平行去推线线，这是第一个，然后我们来看第二个， 如果已知了面面平行，我想去推线线平行，那这个时候我们必须要找一个第三个面与两个面同时相交啊，比如说这里有一个面啊，与它交于这条线，然后延长和底下这个面呢？哎，也交于一条线，比如说交于的这个是 m， 这个是 n， 那 我们说只要是同一个面与两个平行面相交的，这个两条交线一定是平行的。这个在我们之后做洁面问题当中经常会用啊，我们现在就相当于先做一个了解那符号原描述的话，比如说这个面是伽马，那这个时候也就是已知阿法平行于贝塔， 写阿法交伽马于 m， 贝塔交伽马于 n， 那 这个时候就可以直接推出 m 一定是平行 n 的， 这个就是我们是一道平行定律当中啊，基本上我们常考的定律就是这些啊。 好，那接下来我们来结合具体的例题来看，这些都是一定要会背的啊。好，然后接下来我们来看例题。首先先来看下第一道题， 如图，在下列四个正方体当中， a b 为正方体两顶点， m n q 为所在棱的中点，能正出 a b 与 m n q 平行的是好，也就相当于让我们去正先面平行，对不对？那我们首先先来看 a 选项， a 选项能不能乘出来线面平行，那我们回忆刚才定例，我们要正线面最主要找什么？找线线对不对？找一组线线就够了。好，那现在我们来看，我既然要证明 ab 是 平行于 p m n q 的， 我只需要去找 ab 能不能在 m n q 这个面内找到与一条与它平行的线。 我们说最简单的办法就是什么？你自己在做图的时候啊，你可以把笔放在这条线的位置，给它做平移， 平移直至有交点，那这个时候你就会发现，很显而易见，我这条线不能在这个面上，对不对？因为这个时候我和这个 q 已经相交了，但是我底下的这条线并没有和 m n 有 交点，所以这个时候 a 选项是正不出来的，它实际上应该是和哪个面平行，它实际上应该是过， 就是它应该是过这个点啊，就假如说我是以 q， 比如说我这里标一下，这是 c 啊，这是 d， 它应该是 ab 与 q c， d 是 平行的，因为我可以正出，比如说这是 o 点，我是可以正出来 ab 平行于 o q 的， 这个怎么去正？ q 是 中点， o 也是中点，所以我可以利用中位线正，所以 a 选项这个地方是错的啊，它不是这个面。 然后接下来 b 选项 ab 平行于 m n q， 那 这个时候还是一样，我们去找平行，那你会发现， ab 是上底面的对角线，它和下底面 m q 均为中点的，这条线显然是平行的，对不对？所以这个时候可以推出啊，它是线面平行，怎么去证呢？借助 ab 是 平行于 m q 的 啊，同，然后接下来再来看 c 选啊，所以 b 选项是对的哈，然后 c 选项 ab 平行于 m n q， 那 首先还是一样，我找这条直线，它是左侧面的对角线，同样的道理，你会发现我平移啊，你可以选择平移啊，或者说你能直接看出来也行。 平移之后你会发现，哎，我正好可以和这里的 m q 是 重合的，所以这个时候我只需要去证 ab 平行于 m q， 我 就可以证出线面平行，所以 c 也是对的。 然后再来看啊，这个 d 选项 d 选项 ab 在 这个位置，那接下来还是一样啊，你可以去平移，或者说你直接观察都是可以的。 那我就发现，哎，我平移的时候，正好能平移到前面面朝我们的这个面上的 n q， 所以 这个时候它证明 ab 平行于 n q， 我 也可以推出线面平行啊。所以这一道题除了 a 不 选啊，其他都是可以选的， b、 c、 d。 然后接下来我们来看第二题，已知四棱锥 p 杠 a、 b、 c、 d。 底面为平行四边形， e 为 ad 的 中点。好，这是中点 f 呢？在 pa 上 ap 等于 number 倍的 a f。 已知 pc 是 平行于面的，则 number 的 值。 好，已知线面平行，那你就要注意了，我们说已知线面可以推什么？已知线面我是可以去推面面平行，对吧？这一方面是证明啊，但当然我们要证明面面平行得有两组，我这也只有一组，那我就只能想，哎，他可以利用性质定力，我们说面面平行的，线面平行的性质是可以去推 线线的，对不对？那我们来看具体怎么去找。首先 pc pc 直线对应的在这个位置， 然后呢，这个时候已知它是平行于 b e f。 好， b e f 在 这个位置。那你就想啊，那我 pc 一定会和这个面里面的哪条线平行呢？我们说最直观的一定是什么？ p e。 比如说，你看我把 pc 平移过来，直至确定过这上面一个点，所以是不是一定会过 f 点啊？但当然这个图画的有点不准啊，所以有点歪啊，它对应的是不是？呃，是，是啊，对，是有点歪啊，它这个地方其实相当于，比如说我把这个点标一下啊，这个是 m 点， 它一定会平行于 fm。 这个怎么去解释？就是利用我们线面平行性质定律就可以。比如说，你像这里，我已知 pc 是 不是平行于 pdf， 同时我又知道 pc 是 不是在面 p a c。 当，呃， p a c 上， 而面 p a c 又和我们的这个 b f 是 相交的，交于哪个线段呢？这个时候我们可以在图上啊，给它找出来 p a c 这个三角形和我们刚才讲的 m e f， 呃，这个 b f e， 首先有一个公共点是 f， 另一个公共点在哪？另一个公共点就是 m， 所以 这个时候我知道它们交于 m f， 交于 m f 的 话，那这个时候结合我们线面平行的定义，我们就知道了，线平行于面，则过该线的任意一个面与这个平面的交线一定和原直线平行，所以这个地方我就可以推出 pc 一定是垂直于 m f 的， 所以这个是我们线面平行的性质，定能得到一个条件，那这个时候我就可以得到 ap 等于纳姆塔 af 我是 可以转换的。 ap 比上 af 等于纳木塔。那我利用相似 ap 比 af， 我 现在就可以转换成 ac 比 am。 这个利用的是什么？利用的是三角形 a f m 相似于三角形 a p c 利用什么来的？利用我平行正出来的，没问题吧？好，那接下来我就只需要去算 ac 比 am 就 可以了。那 ac 比 am 好 不好算呢？也是好算的， 为什么我还是可以用相似，这个时候用的是哪两个三角形相似呢？这个时候我们用的是 a， 这个我看我标一下啊，这个应该是 a e m 和这个 b m c， 啊，和这两个三角形相似，我这里来写一下 三角形 a e m 相似于三角形啊，这个地方应该是 c m b 这个你要正相似的话怎么去正啊？这两个角是相等的，对角也是相等的啊，所以它是对应的，是可以去正相似的。正相似呢，这个时候就可以得到。 我们刚才要算的是 ac 比 am， 对 吧？ ac 比 am 其实就可以转换成 am 加 mc 除以 am， 而我们这两个三角形相似，又可以推出什么？可以推出 am 比上 mc 就 应该可以转换成我这里的 a e 比上 bc， 又因为 e 是 终点，所以它其实就相当于是二分之一。那这个时候我就可以不妨令你，不妨令 a m 就是 等于一， m c 就是 等于二，反正我只是算比例嘛，对不对？所以它这你代减的话，就相当于应该是一分之一加二，所以它的倍数应该是三。所以最终答案就出来了 啊，所以这个地方呢，就是在利用我们的线面平行的性质定律啊，去做一个转换。好，接下来我们来看这个第三题。 如图，正方体棱长为二，则下列四个结论中错误的是。好，我们首先先来看 a 选项， a c 一 与 a d 一 为异面直线。好，回忆一下，我们前面讲异面直线的 概念是什么？定义是什么？我们说只要是既不相交也不平行，当然也不重合啊，但我们说一般直线你判断的话，它不可能是给你重合直线啊，那我们来看 a c 对应的在这个位置啊。这题对角线相当于啊， a c 一 啊，看错了， a c 一， 那应该是上面这条直线啊。然后接下来和这个 a d 一 a d 一 在这个位置 啊。那你就想他们俩可不可能平行，可不可能相交？首先平行肯定不可能，对不对？那有没有交点呢？那你结合你自己比划一下，你也能看出来，它显然是没有交点的。所以 a 选项是正确的， 既不呃，既不平行，也不这个也不相交啊，所以它对应的是一个异面直线。好，然后再来看 b 选项， a、 c 一 平行与 a、 c、 d 一 好。 那这个地方就涉及到我们前面讲了，这也让我们去证的是线面平行。那我们说线面平行要找什么？要找一组线线对不对？那我只需要去找 a、 c 一 平是否平行于这面？那一条直线 a、 c、 d 一 在哪呢？ a、 c、 d 一 对应的是三个面上的对角线 啊，是这个面。那我哎一画图就判断出来了， a、 c、 e 显然是和 a、 c 平行的，对吧？因为它上下底面的对角线啊，所以这个时候它俩平行，我就直接可以称，呃，推出线面平行啊，所以它一定是对的。然后再来看 c 选 项，平面， a、 c、 e b 和 a c、 d e。 好， 我们来找一下啊， a、 c、 e、 b 啊，对应的应该是这个三角形 好，然后 a、 c、 d、 e， 那 就是我们刚才黄色的画的虚线，这个三角形好，现在面面平行。那来回忆一下，我们判定定理，如果要正面面，我们需要知道什么？需要找两组线面，对不对？ 那两组线面，其实我们又讲了，你要正线面，其实也就是正线线，所以它其实也就相当于归根到底找两组线线平行就行了。但是你在证明写解答题的时候必须写的是线面啊，不能直接从线线到面面 好，那下面我能不能找到两组平行呢？那，那可太可以了对不对？它都是这个面上的对角线，所以你会发现啊， a d 一 和 b c 一 是平行的，同时 a、 c 一 和 a c 也是平行的，两组找到了对不对？两组找到你就可以转换成两组线面，两组线面我就挣出来面面平行了啊，所以 c 选项是正确的，这个是这个正方体当中特别喜欢考的两个面啊， 而且这两面还一定是等边三角形啊。然后接下来我们来看 d 选项， d 一 杠 a， d， c 的 体积为三分之八，那这个地方呢，涉及到我们前面讲三棱锥的一个体积公式，三棱锥的体积公式我们说是怎么算的？ v 等于三分之一， 底面积乘以高，对不对？好，那来看啊， d 一 杠 a， d， c， 我 们把这个，我用这个红粉红色的笔啊，把这个三轮锥给它拎出来啊，白色吧，不然看不清了啊。好， d 一 杠 a， d， c， a， d， c 的 话，底面是 a， d， c， 好，我们给它做出来啊，这个是三等锥，那这个时候显然我就发现它底面积是谁？底面积应该是三角形 a， d， c， 对 不对？所以也就是三分之一 s 三角形 a， d， c 高呢？正好就是我的棱长啊，所以是 d， d， e， 那 我们接下来代入就可以了， 三分之一 a， d， c 的 面积应该是二分之一，底乘高正好也就楞长相乘二分之一，乘二，再乘二，这面积再乘上它的高，也是楞长，所以乘二，所以解出来的话呢，最后应该是三分之四，所以 d 选项是错误的啊，所以这个唯一错误的呢，应该是 d 选项。 那我们的平行我们就梳理完了，平行这一块，最主要就是学会怎么去找平行的直线，或者说记住我们对应的定律，学会怎么去找这个条件，这个是最重要的啊，像，呃，比如说像看图啊，或理解啊这种空间当中的思维，那我们只能说慢慢做题，慢慢去积累。

警告高中数学，球与多面体的洁面问题绝对是例题几何里最容易丢分的压轴小题。今天宋老师一条视频把球与多面体的洁面问题一次性讲透，听完这套方法，遇到洁面题直接稳稳拿分！ 数学想提分关注宋老师，高中数学难题我带你们全部攻破！言归正传，我们来看题目 前面的视频都在为新阶段的高一学生在服务，那么高三正在备考同学也对力敌几何部分有这么一丝的疑惑，其中比较经典的一个问题，或者说比较大众的一个问题，就是这个球与多面体的洁面问题。 当然洁面问题其实也是一个大类，它其实也有平面与多面体的洁面问题，但球与多面体的洁面会更挑战我们的这样的一个空间想象能力，所以对于大家来说难度也会更高一点。那么今天宋老师就带大家一起来理解一下球与多面体 会如何去产生洁面以及洁出来的东西，它那个胶线的长度，我们该怎么样去求解。 接着往下来看一看我们今天的正式内容。首先我希望各位能够去回忆一下的，应该是我们在初中就学过的一个定律，叫做垂进定律， 当时我们学习的是一个平面图形圆和一条直线相交，那么它很自然就会产生 ab 两个交点，而 ab 的 一个弦，那这个弦的长度怎么来求？我们当时的做法是把 o 点，也就是我们的圆心去连接到我们的其中一个端点，比如说 b 点， 再去过 o 点做垂直于我们的弦，希望我们这边比如说是 h 点，那实际上我现在阴影部分所描述出来的就是一个非常朴素的直角三角形，而这个直角三角形呢？三边分别是什么？分别应该是我们圆的半径，还有我们圆心到直线的距离，以及我们的弦长的 一半。哦，一定要注意，是一半，所以我现在写出来勾股定的式子是弦长的一半的这个平方啊，应该会等于斜边的平方，再减去我们的距离的平方，也就是我们的耳方，再减去我们的地方。 所以这样我只要知道了半径，再知道了我们的圆心到直线的距离，我就可以求出我们的弦的一半，那乘二就是我们的弦长。所以当时我们在平面图形里面去求解相交弦的弦长，就只需要这样来做就行。 而他到了三维的世界里面，圆变成了球，而我们的直线变成了平面，再去相交，产生的就不再是形，而是相交的一个平面，就是截面。 那一个西瓜拿刀怎么切？切出来，其实它的姐妹都是个圆，对不对？像圆锥，圆锥，我斜着切，横着切，或者说我竖着切，切出来可能是椭圆抛物线，或者说双曲线，可能不一定，但如果是一个完整完美的球体的话，你不管在什么位置，只要你切到了这个球，切出来一定是圆，那么这个圆， 它的半径就是它最重要的特征是多少呢？其实只需要在右侧的图中，我们稍微看一下，球出本来的球心到不再是线了，应该是到这个平面的距离，以及我们球的半径大耳。接下来上面的这个 o a 其实就应该是我们洁面的半径小耳， 而他们之间依然也会满足一个非常完美的勾股定律，就应该是我们的小耳的平方，就是洁面的这个圆的半径的平方，应该就会等于我们的大耳方，再减去小 d 的 平方。 所以说如果这个平面是我们在一个理想的平面，就是一个可以无限延展的平面，那么此时这个平面 与这个球产生的结面必然是一个完整的圆。注意是完整的圆，那这个完整的圆，只要我知道了这个半径，它的周长也好，它的面积也好，它的什么什么无所谓都好，我都能求得出来。 但很多高中的题目，尤其到了高考的时候，他会非常的恶心，他不再是一个平面和球的结，而是拿一个多面体。 什么叫多面体？多面体的每个面其实是很受限的，有没有看见？比如我现在提出了最朴素的两个，一个就是长方或者说正方， 另外一个就是这样的一个，其实是个墙角模型，就是三轮锥，一个简单三轮锥做了一个这样的动图给大家稍微来观看一下，我现在左边这个，左边这个最简单。我现在这个正方体有什么特色？它其实是一个六面体，讲白了，其实它有六个表或者六个这样的 平面，侧面都会和这个球有可能相交。那我现在画这个球呢，微微的小了一点，它只和左侧的阿尔法，后侧的贝塔以及下侧的伽玛是不是产生了 啊？交面，而这个时候阿尔法贝塔伽玛，我们必须要说它不是一个完整的平面，它应该是一个局部的平面，平面的一部分，所以它和这个球截出来的，比如说贝塔和这个球截出来的图形也不再是一个完整的 这样的一个圆了，对不对？你现在过的就是球心，我们假设到过球心只是举个例子，那这个 d 就是 零，那你截出来的截面的半径也就应该是本身这个球的半径就应该是大 r， 但是现在我发现它真正能在上面展示出来的只有九十度的一个圆形角，有四分之一的圆，所以你想让我求，比如说胶带的弧线的这个长度，那也是圆的整个周长的四分之一， 我没说错吧？所以这个环节相对而言就会多那么一步。我们并不是一个完整的平面和一个球的结面了，而是平面 的一个局部和球去产生结面，那会有什么影响？来我们看一下右边，右边这是一个墙角模型，它的平面也是比较局部的，每个平面其实都已经不再是完整平面，而是一个一个小三角形。 那教出来会怎么样？我们一起来动态的感受一下。各位观看一下这个视频，这是我拿鼠标稍微先拖动了一下，立体的感觉，让大家稍微建立一下，这个球的大小会变好。你看它变小的过程里面，它和 a 导 c， a 导 b， 还有我们的下方的 bc 导，其实都是有 交线的，对不对？而这个交线呢？因为我去把球形放的比较简单，就放在了我们这个正中间，就放在了我们这个顶点导上，所以你此时交出来的也就是应该是半径为这个球的半径的 球体，注意啊，就相当于此时这个半径，也就是我们此时这里应该就是什么，是不是就是球的半径？球的半径也就是这个黄色的点点到导点这个位置就应该是球的半径，就应该是不变的，没问题。紧接着如果它再去转动，再去变大，来注意看 它现在怎么样和前面的 a、 b、 c 那 个斜置的平面是不是也产生了相交的地方？一开始我太小了，还没有够到这个 a、 b、 c 是 这个平面， 现在我终于粘到了 a、 b、 c 这个平面了。那么现在怎么样？我就可以把我们的问题变得更加复杂了，让你去求它和 a、 b、 c 交出来的交线的长度，那这个问题就比较难了。首先我们要求出导点是不是到 a、 b、 c 这个平面的距离， 这是刚刚的 d 小 d， 上一页 ppt 里面是不是小 d 求半径我是知道的，那么整个结面就交出来这个平面的半径是可以用勾股定律把它求出来， 当我把勾股定律给它求出来之后，是不是这个完整的圆就是我们的交线的周长呢？或者这个完整圆都在呢？不是。你看此时此刻，其实我这个圆只有三段，就在上面黄色的点点在最前面的时候，黄色的点点是不是有三段在上面？来，我们再放大一点，你看 甚至都会没了，再变小，再变小，小小小小小，它就会浮现在这个位置的时候，差不多这个位置的时候，就是 a、 c、 a、 b 还有 bc 这三条棱上面那个边上的那个黄点点重合的时候，那个时候才是什么？ 才是刚刚刚刚好，是我们的什么？是不是一个完整的圆都在上方？刚刚好好都是一个完整的圆，是不是都在上方？那么这个时候的话呢？这个完整的圆才能够全部算。但如果说我这个球还比较大的时候，比如说像这样的一个状态的时候， 那其实在 a、 b、 c 上的交线其实也只有什么？是不是只有三段弧？乃至现在你比如说你把你的目光盯向 a、 d、 c 这个平面， a、 d、 c 这个平面和这个球体产生的交线，其实也只有两段 圆弧，也只有两个圆弧，并非是完整的一个扇形的弧长， ok 吗？所以它可能会有这样的一些考量，你就需要去考虑我这个圆，这个结的圆到底在这个局部的平面上究竟呈现了几成，或者呈现了几分之几，然后再去求它的面积，再去求它的什么周长，是这样一个做法。 那么相对的，这样向南的题目我们放在群里的配套练习之中，如果各位可以的话，到群里面找我来要电子版就可以了。好，那接下来的话，我们来看一道非常经典的高考题，这道题目是清高考一卷，还有一道高考真题， 它是这样说的，是直四棱柱，直四棱柱， a、 b， c 倒 a 一 b 一 c 倒，一能成均为二。开始画图，这个图其实并不难画，然后呢角 b、 a 倒呢？又是六十度，其实就是一个什么？ 是不就是一个菱形，这里是 b， 这里是 a， 然后这里是 c， 这里是倒嘛？然后直四人柱，所以这样坐下来，坐下来人长均为二。这画的也不要太夸张，应该各个面其实都是 正方形，除了上下底面是菱形以外，侧面呢均为正方形，这样的情况，他说以倒一点来，倒一点，在这个位置以倒一为球心，根号五为半径，然后与谁的交线长是与后面这个平面 b c、 c e、 b e 的 这样一个交线的长度。那么现在我们来思考一个问题， 我要去做这个交线，要把这个结面做出来，刚刚讲的关键量是哪些？还记得吗？第一个应该是球心到平面的距离 来，我们俯视图里面底面是一个菱形哦，相当于是一个呃，六十度，非常标准的二二二二，然后假角是六十度一百二十度是这样的一个菱形，这里是 a 一 点，这是 b 一 点，这是 c 一 点，这是倒一点。倒一点是我们的球心 b 一 c 一， 就是我俯视图里面的 b 一 c 一 c 一 c 这个平面的一个 攀缩后的一条线，对不对？所以我现在倒一点，这个球心到我们 b 一 c 一 的距离应该是根号三， 也就是说刚刚那个公式里面的小 d 应该是等于根号三的球的半径，其实里面直接给了就这里应该是画出来一个球，球的半径应该是根号五。所以把这些标准量、基本量要写出来，那就意味着如果这个平面 b c、 c 一 b 一 是一个完整的平面的话， 它和我们这个球产生的结面的半径一定等于多少呀？是一定等于根号呗。再开个根号，其实就是根号二喽， 所以小耳应该是等于根号二，小耳如果等于根号二的话，按道理说，我现在应该是画一个根号二为半径的圆，然后周长每每一算二 pi 耳不就是二倍根号二 pi 吗？ 就完事了，对不对？但实际上这道题不是的，这里的这个球做出来过以后，在这边的结面的圆心应该在 b、 e、 c 的 中点，也就是我们刚刚做这个垂线，这个 h 点，这个 h 点，这结面也长这样。 紧接着呢，我们画出来的应该是一个半径为根号二的原理，不要忘记 b、 c 一 整个的长度。来，我们把这个面给它拎出来，这是一个，其实是一个正方形，这里是 b 一， 这是 c 一， 然后这里是 b， 这是 c， 中间这个点应该是 h 点，整个 b、 c 的 长度其实只有二哦， 然后你现在却要画一个半径为根号二的圆，那按道理说，你画画画画应该画这么大，但是我现在的洁面只有 b、 e、 c、 e、 c、 b 这么大，所以真正能在这个图上面体现出来的，应该是我绿色的笔记所描出来的这段 圆弧的长度，也就是从这里的 p 点到这个 q 点弧， p q 才是我真正的结果。而 hp 和 h q 就是 我们刚刚求的小耳，就应该是根号二，这边呢，应该是一，因为 h 点是 b、 c 的 中点，所以 h 点的两边应该是一和一， 那这里也是根号二喽，所以这边也是一喽一喽，很基本这样的几何量，那么此时这里就也是四十五度，所以一目了然。中间的 p、 h、 q 这个圆心角就应该是九十度， 所以你现在这个 p、 q 这个弧，就是题目里面要的这个交线的长度。而这个交线的长度呢，其实就应该是一个根号二为半径的圆的周长的四分之一，所以应该等于四分之一再乘上二派小耳， 二派小耳呢，其实就应该是二倍根号二派，再乘上一个四分之一，其应该是二分之根号二派，所以这道题的交线长度就应该是二分之 考二倍牌，所以这道题目非常非常的经典，非常的经典。但距离今年的高考其实也有一定的年头了，在平时的高一下的期末考试，期末考试，我相信如果有高一同学在听的话，也一定会看到过 啊，一定有一部分同学看到过，做到过。这样的题目对于高一的孩子来说，难度还是有一点高的，但对于高三的孩子来说，你们的立体几何空间想象能力已经培养了，少说两年有余了吧， 对吧？所以想这些问题可能会稍微简单一点，但是呢，多想想准没坏处。现在新高考卷对于我们的立体几何的要求也在逐步的提升，只会单纯的间系这种暴算的方法可能不够了， 去年的外接球问题，可能看准经典建系统的方法，你有没有用透啊？可能也没有吧，所以，路漫漫其修远兮。各位，虽然距离高考的时间并不长了，但是能进步一点，总能进步一些， ok 吧？好了，关注宋老师，每个视频，送你一招，解决一个小问题。好，那今天的内容我们就讲到这，拜拜各位！