贵州人教版初二下册数学函数练习题

来继续做转向题有十九里的第四题，他说如图，这个图是一种轨道的示意图，其中这个弧 a、 d c 和弧 a、 b、 c 均为半圆， 说的啥弧 a b c 和 a d c， 它俩长度是相等的，而且都是半圆，那你是不是应该是 a、 c？ 是 这样都是一半的圆，而且 a、 c 会经过圆心 点 m， a， c， n 在 同一直线上，它们的连线过这个圆的圆心， 且 am 这块等于 c n。 现有两个机器人看成两个点，分别从 m 和 n 同时出发， 沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，相同的点，相同的速度开始移动，就说这个意思，其中路线分别为 m， a， d， c， n。 从 n 出发的这个应该是 n c， b， a m， 也就是说这个有个点，从这沿这条弧运动再出去，这面是从 n 间有个点，这么走完之后再出去。 然后他提问说，若移动时间为 x， 两个机器人之间的距离为 y， 则 y 与 x 关系图像大致时，你先分析一下子，这有一个点，这有一点开始出发，是不是 mn 的 距离比较大， 然后他俩相同的速度是不是同时到达这个圆圆上一个到圆的 a 点，一个到圆的 c 点，那他俩是不是 a c 就是 直径了？ 然后他俩相同的速度，一个往这面走，一个往这面走，他俩是不是他俩的位置始终过圆过圆心，应该始终他俩距离都是这个圆的直径， 然后他在他两个同时，这个这面的点 n 点移动到 a， m， 这个点移动到 c， 依然还是这个圆的直径，然后再各自离去，这个点到 m， 这个点到 n， 那 就是最远的时候最远下降，然后都是半径，然后再升高， 那就是这个图了，对吧？就选 d。

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水库的水位随着时间的推移不断上升，这是一个动态变化的过程。如果我们想把这种变化记录下来，或者更清晰地表达出来，你能想到哪些方法 非常好？无论是用表格记录、图画展示还是解析式，都是描述变化的有效方式。今天我们就一同学习这些函数的表示方法。用专业的数学方式精准捕捉和呈现这类动态变化现象。 表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法。有时为了全面的认识问题，需要同时使用几种方法。

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在我们日常生活中，处处都存在着数量变化的规律，一总量发生改变，另一总量也会随之有序变化。放学啦，我们去前面奶茶店买饮品喝吧。这家奶茶店的奶茶单价固定不变， 买的数量不同，最后花费的总钱数也就不同。同学您好，本店奶茶价格一致，请问你们需要购买几杯？ 那我们先买一杯尝尝吧。单价保持不变，购买数量增加，总消费金额便会均匀增加，变化规律清晰明确，味道很不错，我们再买一杯吧。好嘞，请稍等。这种一个量不变，另一个量随之均匀变化的数量关系，就是我们今天要学习的一次函数。 同学们，视频中奶茶的单价是固定不变的，购买的杯数越多，总共花的钱也就越多，而且变化十分有规律，我们用字母表示出数量与总价，就能列出对应的关系式。接下来就让我们一起探求一次函数的相关知识。

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一次函数是八项数学的重中之重，而其中三角形的面积问题是必考题型，百分之九十的孩子都会在这里丢分，原因是他们找不到做辅助线的方法，结果硬算白白丢分。 那今天呢，林老师就教大家这一道题目，如何用一道关键的辅助线化腐朽为神奇，然后轻松破解出来。 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高训练，拿去给孩子巩固练习一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，如图，已知点 a 三斗零啊，点 a 在 这里，点 b， 零斗二在这里， 点 p 呢，是 m 到一在这里，然后呢，面积 s 三角形 a， b， p 啊，中间这个红色的三角形面积是四，要我们求 m 的 值，就是求这个 p 的 坐标，那这道题的核心呢，肯定就是把这个 s a、 b p 等于四给它用起来，然后去解方程嘛，对吧？ 所以呢，我们要把这个三角形想办法表示出来。最常用的两个主流方法呢，第一个就是我们去构造一个大型的割补法，对吧？我们来一个这样子啊，这个一割三啊，就是一个大的矩形， 减掉三个直角三角形，这是第一种方法。第二种方法呢，我们也可以用牵垂法的面积公式，就是水平宽乘以牵垂高除以二也可以。但这两个方法呢，都有个弊端，那就是计算量非常的大，而且费时间，又容易算错，所以它不是最优解。 那这道题呢，究竟什么是最优解呢？我告诉你，只需要一条关键辅助线，那就是连接 p o， 你 看整个 s 三角形 a b p， 它是不是整个大的四边形去减去底下的 a p o 呢？对不对？等于 s 四边形 a o p b， 减去 s 三角形，底下的 a o p， 对 不对？好，然后呢，这个大的 四边形呢？你观察一下，它是不是又可以分成左边的这个三角形，加上右边的这个三角形呢？对不对啊？所以它又可以变成 s 三角形 bpo 加上 s 三角形 abo， 再来减去 s 三角形 aop。 那当你能想到这一步了，那这道题其实就离做出来不远了，我们只需要把数值带进去就拿下了。好，我们一个个来。 v p o 是 这边的这个三角形，那它的底呢？是这一段，对吧？ v o 啊，那就是乘以二， 高呢？是这一段啊，也就是 m 的 相反数啊，乘以负 m， 好， a b o 是 谁？ a b o 是 右边这个直角三角形，那 底高我们都有啊，就是加上二分之一乘以二，乘以三，好，减个 a o p， 那 a o p 是 谁？ a o p 是 底下这个三角形，对吧？底下这个蓝色的三角形，所以它等于二分之一，底是 a o 啊，那就是二分之一乘以三， 高呢？是这个 p， 这里可以做个虚线下来，得到这一段高，也就是一好。那么这是一个关于 m 的 表达式，我们整理一下，等于负 m 加上二分之三，然后呢，根据已知条件，它等于四。好，这里等于四， 所以轻松解得，我们的 m 就 等于负的二分之五。好，最后答案，负的二分之五。所以呢，有没有发现，只要做对辅助线，这种题目我们能轻松解决，你学会了吗？

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各位同学晚上好，我是张老师，今天每日练的题目还是一道这个函数的概念问题啊，咱们一块来看一下，他说下列图形可能表示 y 是 s 的 函数的式 啊，给了我们四张图是吧？啊，这类问题是比较常见的，那我们说还是一样是吧？ y 是 x 的 函数， 也就是说这个一个 x， 它对应的一定是只有一个 y 值啊，不能对应两个是吧？是不行的，那我们看第一个 a 啊， a 咱一看是不是就啊，不可以吧，是错的 啊。原因是啊，你比如说这是 x 的 话啊，对应的外值是不是这一个，这一个，这还一个啊，这就不行。我们来看 b 选项啊，那对应的还是一个 s 的 话，那这有一个 y， 这又对应两个 y 了，所以还是不行。 我们看 c 选项啊，如果这是 x 的 话，那对应的是不是上面这有一个 y， 这有一个 y 啊，这又对应两个了，所以不行。哎，所以我们看四 d 是 吧？啊，对应的任意一个 x 在 这的话，都只有一个 y 值与它一对应啊，所以四 d 问题啊，所以这道题应该选第四个， ok， 这道题咱做完了吧。啊，所以我们说这个他考你的，主要还是这个函数的一个概念问题啊。 啊，只不过在这个题目当中，他换了一种考法啊，拿这个图形去让你去看是吧？啊，只要你理解这个函数的一个概念啊，这种问题应该是不会出错的， ok 吧？

八项数学一、自然数求表达式最核心的方法就是待定系数法，但是很多的孩子呢，在一开始学待定系数法的时候，没有掌握它的标准步骤和方法，导致常常丢分，还影响了后续小题的得分，非常可惜。 那今天呢，林老师就会给大家展示待定系数法的标准三个步骤，只要把林老师给大家整理的 依次函数十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题， 已知 y 是 关于 x 的 依次函数，且点 a， b 的 坐标都给你了，它都在函数图像上，求这个依次函数的表达式，这种已知两个点要你求表达式，就是最经典的待定系数法的题目。那么它一共分为三个步骤啊，请大家记住， 第一个步骤呢，叫做设框架，第二个步骤带两点，第三个步骤解方程，那我来操作一遍给你看。首先第一步设框架，我们知道一自然数的框架呢，就是 y 等于 k， x 加 b， 这个是它的标准式。然后呢，我们把这两个点分别带进去，就可以得到两个方程， 分别是来把这个零带入 x， 四带入 y， 我 们就可以得到四等于零乘以 k 加 b， 然后呢，再把这个负二和零带进去，那么就是零等于负二， k 加 b。 好， 接下来第三步 解方程，我们把这个方程解一下，就可以得到，这个是零， k 加 b， 所以 b 就 等于四啊， b 等于四， 然后呢，负二 k 移过去变成正二 k， 正二 k 等于四，那 k 就是 二，所以呢，你看 k 和 b 我 们都有了，然后再带回这里面，它的表达式就出来了，我们写一下啊， y 是 等于二， x 加四。好，那这就是第一个小问，我们轻松拿下第二小题， 当 y 大 于等于负一时，求 x 的 取值范围。那么这道题我们需要用画图的方法来辅助解决。咱们先画出一个平面直角坐标系来 好，然后根据第一个问的表达是 y 等于二， x 加四，我们可以画出它的草图来，你看 k 是 大于零的，所以它的图像是往上走的， 然后这个 b 呢，是截距是四，所以它 b 过这个点，四在这里，然后呢，斜率是往上走，所以它大致是长这样子的一个图出来。然后呢，当 y 大 于等于负一在哪里呢？我们不妨假设这个 y， 这个负一它就在这里， 那么此时我们只要把这个负一带进这个表达式，是不是就能求出它对应的 x 在 哪里啊？哎，我们这里先画一个草图来找一下，你看我们这边做个辅助线过来， 对应的这个 x 是 不是在这个位置，这个我们是可以求出来的吗？对吧？把这个 y 等于负一带进去，就可以求出这个 x 出来了，我们求一下啊，我们令 y 等于负一啊，就是这个带进去就可以得到负一，是等于二， x 加四的，所以呢，此时解一下，得到 x 是 等于负的二分之五，把这个四移过去除以二嘛，所以呢，这个地方呢，它其实就是二分之五啊，负的。 好，那接下来我们通过画图就能解决了，你看 y 要大于等于负一，说明 y 要取上面的这个部分，那么对应的这个函数是不是要取这一个线段呢？ 这边这一段对不对？那么你这段过去呢？ y 就 能取到上面了是不是？那么与此同时 x 在 哪里呢？ x 是 不是相当于这个负的二分之五的右边都是符合这个直线的？ 所以呢，我们就由图可知，直接得到 x 呢，就是大于等于负的二分之五，轻松搞定，你学会了吗？

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八下数学一共就有两大亚洲难点，一个是平行四边形，另外一个大难点就是一次函数了，而且函数这块一定会在我们中考最后一道亚洲大题当中出现，二次，一次和几何结合在一起就有点难度了。 今天这个视频呢，老师带领大家把一次函数指向性质的基础复习清楚，把平移、旋转相应的性质搞透。 那有关于一次函数，这里啊，老师也给大家总结了每年必考的易错真题三十题。如果咱们孩子现在做一次函数的时候，这些图像性质的题目还经常出错，家长们一定要打印出来，帮助孩子逐个题型的落实和掌握。 下面呢，咱们就来一起看一下这道题啊。说一次函数 y n k x 加 b 的 图像向左平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度 所得的图像对应的解析式仍然是 y 的 k s 加 b， 让你求 k 的 值。那这种题目咱们解析其实就是两句口诀儿，叫做上加下减哎，左加右减 哎，上加下减，其实针对谁？针对的是那个长竖向 b， 左加右减针对的是谁？是那个自变量 s。 所以 你在左加右减的时候，必须把 x 关上进 b 去加减哎，比如说加减 m 的 单位长度，平移 m 的 单位长度，看见了吗？下面呢，咱们就按照这个准则去来平移一下这个图像。原来呢，是 y 等于 k， x 再加 b 向左平移两个单位长度，看 哎，把 x 关上，关起，进 b， 左加右减，加上多少？两个单位长度对不对？向上平三个单位长度是不是在 b 的 基础上往上啊，加上三个单位长度，这就是我们对应平移之后的函数解析式了。 把它展开，那不就是 k x 再加二， k 再加 b 加上三个吗？对不对？这是平移之后的新的解析式，它和平移后的这个 y 等于 k， x 加 b， 解析式 仍然是一致的，这是不是平移之后的解析式？所以两个解析式咱们放在一起对应相等就可以了。你看这都是 k、 s， 那 对照相等不就说明这两部分相等吗？这两部分相等，他们就成一条线了吗？解析式不就是一样的吗？ 所以我们就有二 k 加上 b 加上三等于 b， 消灭 b 之后，我们就有二 k 加三等于零， k 的 值直接可以求出来是负的二分之三了。那所以以后遇到这种题，咱们通过两句口诀，上加下减长，竖向左加右减次变量就可以轻松搞定了。

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看黑板，第一个攻下正比的函数，我们解，由其易得，比如说你想一次一步到位对不对？ 你可以写 m 加一怎么样？ m 加一怎么样？是不等于零系数是不等于零次数 m 减一的绝对值等于几数一，然后 y， c， r 值增大减小， m 加一怎么样？数小一点得 m 等于几？ m 等于负二，所以正比例函数解析式为 负二等于负 x， 有 问题吗？负二加一是负 x。 来，我问你一个问题，我看你天天抱着手机玩，那请问你一个问题，说一下正比例函数的解析式，或者说一次函数解析式，它的作用是什么？ 就是找到那个函数的图像，嗯，可以吗？然后表示 y 和 x 的 关系，嗯，接着说， 嗯，然后表示这个图像与树轴的关系。还有吗？ 我就知道你，我只能告诉你，很抱歉，点子都没打上，我错了， 我在这里给各位同学说一下，函数是什么？函数是一一对应的关系，知道 x 求外是求 x， 或者是知道 x 的 取值范围是求外的取值范围。 那么一次函数解析式的作用是啥？第一个，通过知道 x 求 y 或者 y 求 x， 将函数图像与 x 外锥的焦点坐标是不是求出来，或者函数图像上的点是不是求出来， 这是其一，大家听懂了。第二个作用，只要知道函数解析式，我们可以通过函数解析式来设啥？设坐标，能听懂吗？你比如说 正比的函数解析式， y 等于负 x， 那 横坐标是 m， 纵坐标一定是负 m， 大家说对不对？比如说正比，比如说已知函数 y 等于二， x 加一，那横坐标是 m， 纵坐标一定是二 m 加一，大家明白吗？学了函数之后一定要明白函数图像它的作用， 它是可以解，就是它的作用是可以用来解释未知数的，能听懂吧？用来把计算打开的，不是让你天天去求那个解去式啊。现在咱们看一个问题， q 为直线 l 上一点什么意思？ 它的意思就是说点 q， 对 应的意思就是说直线就点 q， 它就是直线。问，当 p q 长度怎么样？最小时，那就是说当点 p 的 位置到 f 的 距离是最短时， p q 是 是最小，大家说对不对？那这个时候咱们一步就把它设为起数啊。看黑板， 我有很多种方法把这道题做对啊，你比如说让我们求点 q 的 坐标，是求点 q 的 坐标，你要让我说的话很简单，我们过点 p 做啥？是做垂线？ 还有一个问题啊， l 一 是垂直 l 二是垂垂直 l 二我们是不是可以推出？下期给大家预科的时候是可以推出 k 一 乘 k 二等于几？ 是负一是负一。这个假期一课的时候我讲过吧？嗯，讲过吧，当怎么样 l 一 垂直 l 二时，这个，呃， k 一 乘 k 等于负一，就协力相乘等于几等于负一啊。这个属于课外的知识。那么如我们现在呢，有两种可能性，就是 第一个用纯几何法去做，第二个拿课外的知识体系一把把这数学题做出来。有人说怎样去做很简单， 如果用这个方法去做的话就太 easy 了。过点 p 做 p q 垂直撒，垂直撒是垂直， l 是 垂直， l 与点 q 则直线 p q。 解析式为， 那直线 y 等于 k s 是 不是加 b？ b 是 啥？ b 是 直线与外轴的交点，大家说对不对？我没说错吧？嗯，在这里面大家看一下 p 点坐标是多少？ 零度几，是不是零度二？那么这个时候说明直线 p q 的 解析式就是 y 等于多少，它的 k 是 几， 这个解析式 y 等于多少是负 x， 那 就说明这个解析式的 k 等于几是正一，正一乘负一是等于负一，对不对？所以直线 p q 的 解析式就是 y 等于 x 加几 是吧？ x 加二，然后把求焦点左边两个一连立，由 y 等于多少， x 加二和 y 等于多少，负 x 得 x 等于负一， y 等于一，所以就能得到点 q 的 坐标，就是负一负一，这一把就把做把题就做出来了，也不需要去设参数，一步一步去推。还有一种方法就是我刚才给大家讲的 y 等于 x， 或者 y 等于负 x 是 啥？是不是等于幺，啥 是直角三角形啊？然后我们用这个去推看黑板，我接着把它讲一遍来，你们先不要给我超超过程啊，还没到这个地步呢。我说了今天我讲数学，我就放开了讲，有什么学不明白的啊， 让你感受一下数学的博大精深啊啊， 几何如此，函数如此，代数更不用说我让你亲眼看，感受到在初中阶段提起函数几何啊，代数我原强都不差，都是强项， 不像你们学个这学个那，这个单元我学得好，那个单元我就没学好，让人吃素的嘛。来看黑板， 这是一条直线，啥？是吧？ l， 这是 p 点， p 点坐标多少？零度二，这个时候和刚才一样，我们过点 p 做啥？是做垂线啊？还是 p q？ 看黑板 做 p q 是 p q 垂直，垂直 l 则角 p q o 等于多少度？是不是九十度？是不是九十度？那袁老师在这里问一下各位同学，来看一下这个外轴， 看到外主了吧？那么这里面的角一和这里面角二相不相同？相不相同，因为角一等于啥？等于多少度？是不是四十五度？是不是四十五度？所以我们就能够得到一个问题，然后 o p 等于几？ o p 等于二啊，我们能得到啥？我们能够得到 p q 等于 o q， 给我用心听啊，等于二分之根二，被得啥？ o p 等于根二， 大家看懂了吧？那只要把 o q 求出来是根二，看黑板，把 o q 求出来，是根二画出来。那你这个时候设点 q 坐标不就完了吗？就是老师刚才给你们讲的了 q 坐标，比如说 q h 啊， 设点 q 坐标为多少？横坐标是 m， 纵坐标一定是多少，是负 m 是 负 m， 过点 q 作 q h， 垂直 x 处与点 h 则 叫 q h o 等于多少度？等于九十度，然后通过坐标的求法， o h 等于 q h 等于负 m， 看到了吧？是等于负 m， 因为 m 是 是负的，那负 m 一定是啥？是不是正的，对吧？那么我们直接写，所以看 o q 的 平方，这个 o q 的 平方是等于 q h 的 平方，是不是加上这个啥是 o h 的 平方，所以我们就能得到负 m 方 加负 m 的 平方等于根二的平方，得 m 等于正负一， m 二等于几？等于负一，那等于正一，可以肯定，看啥， 肯定是不是舍去，是不是舍去那，所以我们就能得到点 q 的 坐标。看黑板点 q， 横坐标是 m， 那 就是负一，纵坐标是负 m， 那 就是正一。讲完了， 大家现在看懂了吧？问你们话看懂了没有？无论是用函数去解还是纯几何方法去解，我们是都可以算出来，关键的任务在于你能弄弄清楚 q 点坐标，几何法做勾股定律，函数法做两个直线的交点数据，它的坐标，它的坐标，能明白吧？

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