八年级下册数学一次函数六个图形

万众期待的巅峰对决即将开始，接下来让我们把目光投向赛道。随着尼克举起发令枪，清脆的比赛枪声突然响起。 然而刚起步，蓝色赛车却突然熄火。不久后，另一辆车紧急换车上场，结果又出了幺蛾子。当尼克看到赛车经过逆行警告标，立刻察觉到不对劲。 朱迪，你有没有发现两位选手好像行驶反方向啊？糟糕，真的跑错路线了！我们赶紧坐上警车，追上去拦住他们。他们车速不快，我们追赶也来不及。我们可以先计算出两车行驶距离，调度空中直升机前去提醒通知。 两辆赛车行驶速度相同，平均每分钟行驶三千米。红色赛车逆向行驶对应的函数解析式和绿色赛车对应的解析式我们已经知道了， 只要我们画出这两个关系是对应的函数图像，直升机就能精准对应时间，快速定位两位选手的位置。可是一次函数的图像究竟该如何绘制呢？ oh！ no！ oh！ no！ bingo！ oh！ no！ 刚才我们成功拦截了逆向赛车，赛场还有四辆备用车正在热身，他们的行驶轨迹对应着四个函数，请大家画出他们的轨迹，判断哪些正向行驶，哪些逆向行驶，找出决定方向的关键因素。 准备好了吗？开始挖掘知识宝藏吧！太棒了！

在我们日常生活中，处处都存在着数量变化的规律，一总量发生改变，另一总量也会随之有序变化。放学啦，我们去前面奶茶店买饮品喝吧。这家奶茶店的奶茶单价固定不变， 买的数量不同，最后花费的总钱数也就不同。同学您好，本店奶茶价格一致，请问你们需要购买几杯？ 那我们先买一杯尝尝吧。单价保持不变，购买数量增加，总消费金额便会均匀增加，变化规律清晰明确，味道很不错，我们再买一杯吧。好嘞，请稍等。这种一个量不变，另一个量随之均匀变化的数量关系，就是我们今天要学习的一次函数。 同学们，视频中奶茶的单价是固定不变的，购买的杯数越多，总共花的钱也就越多，而且变化十分有规律，我们用字母表示出数量与总价，就能列出对应的关系式。接下来就让我们一起探求一次函数的相关知识。

带一个绝对值的一次函数图像的画法被我们轻松拿捏，含有两个绝对值的一次函数怎么画呢？通过这个视频轻松搞定。上一个视频呢，我们讲解了含有一个绝对值的一次函数的图像的画法，画出来的形状呢，是一个 v 字形，这个顶点的位置呢，其实就是分界点。 今天呢，我们还类比这个思路来讲解含有两个绝对值的一次函数的图像该如何画。这里给出的函数啊，是 y 等于绝对值的 x 减二加上 x 减三。对啊，那首先呢，我们还是要考虑去绝对值，去绝对值时，我们就要考虑啊， x 减二，还有 x 减三，究竟是正还是负，所以这里呢，我们还是要先求零点， 然后呢划分区间来去绝对值，我们令绝对值中的式子呢，等于零。好，好，这样呢，我们就得到了， x 等于二， x 等于三。好，我们把它画在数轴上呢，就可以看到啊，现在数轴对应着三段，二左边的呢，我们记为 x 小 于二，二和三之间的啊，记为 x 大 于 二，小于三。注意这里啊，我们把这个等号呢，都加在这个范围上面，也就是你这个等号如果是在 x 小 于等于二身上的话，那你下面不写，反正只能出现在一处。好，那第三段呢，就是三右侧的，那我们写成 x 大 于三，接下来呢，该干什么了？对啊，该去绝对值得到分段函数。 好，我们逐段来考虑，首先当 x 小 于二时，那我们看这时候 y 等于什么？ x 小 于二，那这一项就是负的，那负的话，去绝对值要写成相反，写相反的时候啊，减少错误，我们只变符号，不变顺序，所以负 x 加二，然后加上 x 减三呢，也是个负的， 所以这时候呢，就是负 x 加三好，整理一下，就是负 x 加上五好。第二段， 当 x 大 于等于二，小于等于三十， y 等于好，我们再重新判正负 x 大 于等于二，好，这一项呢，大于等于零，所以呢，拒绝对值，就是本身 x 减二，加上 x 小 于等于三十呢，这一项小于等于零，所以呢，那拒绝对值变相反，还是负 x 加三好，整理一下啊，结果就是一 好看。第三段，当 x 大 于三十，那可以看到啊，前后两个绝对值现在都是大于零的， 那我们呢，直接按本身来写就可以了。 y 等于 x 减二，加上 x 减三等于二， x 减五，这样呢，我们就把分段的结果写出来， y 等于好。第一段，负二 x 加五，对应的范围呢， x 小 于二。第二段，直接 y 就 等于一了，范围呢，是 x 大 于等于二，小于等于三。 第三段呢，就是二 x 减五，范围是 x 大 于三，这样呢，我们就把含有绝对值的一次函数拆分成成了分段函数，那很明显可以看到啊，这仍然是一次函数的形式，所以我们在画图的时候，依旧是两点确定一条直线，结合着上一个视频，我们说了啊，在选点的时候，那个分界点，我们把它选上，这样画出来的图呢，就会更加准确。 好，我们先来画 y 等于负二， x 加五的图像。好，这里呢，我们选的点啊，选一个二临界点，还有，那这时候对应的 y 就是 一，然后我们在啊，在小于二这个范围中再取一个，那这时候我们就取取零， x 等于零的时候， y 呢就等于五，好，我们先来找一下点，二，一 零五，好，这个点啊，好，注意，画图的时候啊，我们只取 x 小 于二的这一部分，我觉得可能有疑惑，这个 x 小 于二，这不是没有取等号吗？这个位置不应该画空心吗？有这个意识啊，非常好，那我们在这里呢，我们就先把它标成空心，等一会画完图的时候，我们会发现啊，其实这一点对这个画图来说影响不大， 那接下来我们就来画 y 等于一，不 x 取几，它的外值都是一。那就是啊，画出来之后是一条平行于 x 轴的一部分，所以呢，对应的图像就是这个。 那在这里呢，我们可以看到，当 x 等于二十，它的外值呢就是一。所以呢，原本这里啊，在画这个 x 小 于二的时候，这个空心的位置呢，就可以，这个空心呢，我们就可以擦掉了， 这个当 x 等于二的时候，它确实等于一，好，所以可以擦掉。那接下来呢，我们再来画啊， x 大 于三，这一段， y 等于二， x 减五，好，先选分界点，三对应的外值呢就是一。之后呢，我们在 x 大 于三里头选一个值啊，嗯，也不需要很大，选 x 等于四吧， s 等于四的话， y 的 值呢就是三。所以呢，我们把这两个点瞄一下来，三，一在这里四，三，这个点好。之后呢，我们把这两点连起来，它本身是一条直线，但是还是啊，直线上我们只要 x 大 于三的那一部分，所以我们只画啊三右侧的这一部分。 那我们就得到了含有两个绝对值的这个函数的图像一下啊，我们可以进行一个总结，就是含有一个绝对值的一次函数，它画出来这个图呢，你也可以把它看成一个 v 字，只不过呢是一个平底 v 形， 它呢是三段连续的折线，有的时候呢开口朝上，有的题呢画出来是口朝下，那最后呢，我们来进行一个简短的总结，不管是我们画含有一个绝对值，还是含有两个绝对值，首先确定零点一定要准确，否则那个范围就会分错。然后就是去绝对值的时候，要判断清楚得到的是本身还是相反数，对式子进行一个整理计算 好。最后呢就是啊瞄点画图，就画图的时候啊，一定要看清楚，就是我们要保留哪一部分的图像好，这个视频呢，我们就讲解到这里好。

好，亲爱的同学们，每天我们不辞辛苦来学校读书学习，我们每个人都树立了远大的目标和理想，来，一起喊出我们的理想， 为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。 好，非常好，亲爱的同学们，我们一定要努力学习，为中华民族伟大复兴贡献自己微薄的力量。好，请坐好，快速的浏览本节课的教学目标，重，难点。 好，进入今天的第一环节，室友之间交流合作，将这道题的答案写在练习本上， 五 y 等于负六 x 加五， y 等于负，六 x 加五，对不对？对，好，非常好，请坐 在黑板上呢，有四道题，大家看一下这个变量之间是否是函数关系，如果是函数关系，写出它们的解析式，并观察解析式之间有什么共同特征。好，开始。 嗯， t， t 要大于等于二十，小于等于二十五度。 哦，你的意思是学友做错了是吧？啊，因为答案应该是 c 等于七， t 减三十度，这个 t 有 没有取值范围啊？有，他是不是前面说在二十摄氏度到二十五摄氏度之间，对不对？所以说 t 应该有个取值范围， 大于等于二十小于等于二十五。好，非常好，请坐，来第二题，来，这一次对， j 等于 h 减一百零五， j 等于 h 减去一百零五，对不对？对，非常好，请坐啊，好，来看一下第三第四，来快速的得出结论。 嗯， 第三题， y 等于零点一， x 加二十二，然后 x 应该大于等于零， x 大 于等于零， y 等于零点一 x 零点一， x 加上二十二， x 有 取式范围，对不对？对，是不是？对不对？对，对，非常好，请坐啊，来，第四题，第四题，哎，你们这个 y 等于负 x 加五十五 x 小 于零小于零 x， y 等于多少？再说一遍，等于。

八年级家长看过来，孩子数学一次函数和特殊四边形总卡壳，上课听懂，下课就忘，做题没思路，丢分多。这套人教同步资料就急了， 五十八页全是核心考点加详细解析，一次函数图像应用特殊四边形性质判定全覆盖，有电子版，随时看不懂问客服，打印版直接邮寄到家，不用自己排版。左下方小黄车下单，部分地区不包邮。赶紧给孩子备上，搞定难点题分快。

好，再来看依次函数与方程组和不等式的复习巩固。先看第一个利用函数的图像去解方程，二分之三， x 减六等于零，对吧？那么这里既然要求了让我们用函数图像，那我们就先把图像画出来，好吧， 来看一下，那么我们想要画出来的话呢，就先把它写成函数形式，令 y 等于二分之三， x 减六，对吧？那么你现在当 x 等于零的时候，求出 y 值， 当 x 等于零， y 就 等于二分之三，乘上零减六， y 就 等于负六，所以它就会过零负六这个点，对吧？那么这个点在哪里呢？就在 y 轴上，然后你想求在 x 轴上的点，就当 y 等于零， 那么零就等于二分之三， x 减六，移项六就等于二分之三 x， 那 么这个六除以 二分之三等于 x， 六就乘上三分之二等于 x， 所以 四等于 x， x 等于四，所以它就会过四零这个点，那么咱们再把图像画出来， x， y 与这里的交点是四，零与 y 轴负半轴的交点是零负六，把这两个点画出来 连起来就是依次函数的图像，这个就是 y 等于二分之三， x 减六啊，那我们要通过这个图像看出它的减，就是让 y 等于零的时候，那么 y 等于零的时候，那就是这个点 啊，就是这个点啊，就这个点，所以 x 就 等于四，对吧？所以我们就可以通过图像看出来， 在这个点的时候，它的 y 值等于零，它的 x 值等于四，正好对应了这个 y 换成零，那么这个 x 对 应的呢？就是四，所以我们由图 由这个点四零得出 啊。二分之三， x 减六等于零的减 为 x 减四啊， x 减四，那么有些人可能会说，我在这里都已经算出 x 等于四了，我为什么还要通过画图呢？对不对啊？是不是多此一举啊？那么这个题目它其实是为了让你更好地去理解这个图的意思， 然后这个图像呢，他也可能觉得你自己手里有这个画函数的这个软件，你直接可以通过软件去画，因为前面他也讲了如何用碗软件画图像，对吧？啊？像我们自己这样直接手搓一个图像出来，那肯定是要算出这个 x 等于四的，对不对？好， 再看第二个，利用函数图像解不等式，五 x 减十大于零和负二， x 减四小于零，那么咱们这里呢，也要把它当做函数的形式，那我们就令 y 一 等于五， x 减十， y 二就等于负二 x 减四，那我们要画图吗？画图的话，你就令 x 和 y 等于零，对吧？当 x 等于零的时候，这个 y 一 就等于五乘零减去十等于负十，说明它过零负十这个点。好，这个呢，我们等会再算，不然弄混了。然后当 y 一 等于零的时候， 就零等于五， x 减十啊，把五 x 移过来，负五 x 等于负十， x 就 等于负十，除以负五， x 就 等于二，所以它就会过二零这个点。好，再算这个，再算 y 二， 这里也写个零，好算。当 x 等于零的时候， y 二等于负二乘上零减四，负二乘零就是零，零减四等于负四，所以就是负四，那么就过零负四这个点。然后当 y 二等于零的时候， 这个零就等于这个负二 x 减四，把负二 x 移过来，二 x 等于负四， x 就 等于负二，对吧？所以它就会过这个负二零这个点。好，我们在图像上把它画出来，先画这个图，先画这上面的图， 一个过零复十，一个过二零二零的话大概就在这个位置，零复十，我们就画在这个位置，两个点一连 就是函数解析式，就是函数解析式的图像了，这个直线就是 y 一 等于五 x 减十，好了，他说要这个五 x 减十大于零，对不对？大于零在哪里啊？ 大于零在上方看到没有？大于零，零在这个位置，零在这个点上，那比零大，那么就在他的上方，所以上面这段图像就是 五 x 减十大于零的地方，对吧？啊？五 x 减十大于零，那么又意味着 y 一 大于零，而 y 一 大于零就是在 x 轴上方的图像，而这个图像上对应的所有的横坐标都比这个点的横坐标要大吧，对不对？它继续往后延， 它这里的横坐标往下一一对应，都是比二大的啊，所以这个 x 怎么样就大于二，当然了，你说，哎，我不能直接算吗？我直接算就可以了，对吧？ 好， x 大 于二就可以了，那这里呢？是为了让你理解这个不等式和图像的关系，知道吧？咱们再画第二个图， 一个是零负四，一个是负二零零负四，我们就画在这个位置， 负二零，咱们画这个位置连一下。 好，这条直线的话，就是 y 二等于负二 x 减四，知道吧？那么你看一下它要它小于零，对不对？小于零， 那么零就是在这个位置，这个点的纵坐标就是零，对吧？比零要小，那就在它的下方， 那么就在它的下方，在下方上面的点对应的横坐标是不是都比这个负二要大呀？所以 x 就 大于负二，知道吧？好，所以我们写一下，因为 负二 x 减四要小于零，那意味着 y 二小于零，而 y 二小于零的话，就是对应的是这一段图像，这段图像对应的所有横坐标都是比负二大的，所以 x 大 于负二，就是这个不等式的。解了。 再看第三题，也是叫我们利用函数的图像去解这个方程组，那这里有两个方程对不对？都是带 y 的， 所以我们要先把这两个转换成什么？转换成函数形式。怎么转换呢？第一个是三， x 加上二， y 等于五， 那么角先把 x 移过去，二， y 就 等于负三， x 加五，然后两边同时除以二， y 就 等于负二分之三， x 加上二分之五，这是第一个。 那么第二个函数呢？就是二 x 减 y 等于八，移过去啊，就把二 x 移过去，负 y 就 等于负二， x 加八，两边同时除以一个负一，那么 y 就 等于二 x 减八，对吧？那么现在呢，我们就要画图了， 我们画图的话，一般都是令 x 等于零和 y 等于零嘛，对不对？这是 y 一， 这是 y 二，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之三，乘上零加上二分之五等于二分之五，所以它就会过零二分之五这个点。然后当 y 一 等于零的时候， 那么零就等于负二分之三， x 加上二分之五。好，移项二分之三， x 等于二分之五，同时乘上二三， x 等于五， x 就 等于五，除以三等于三分之五。啊，是三分之五了。好，那么我们就可以通过 这个 x 等于三分之五，判断出它过三分之五零这个点，这个时候 y 是 等于零的，所以重坐标是零，对吧？好，这里也是一样的，当 x 等于零的时候， y 二等于二乘零减八，就等于负八，所以它就会过零负八这个点。然后当 y 二等于零的时候， 就变成了零等于二， x 减八，移向负二， x 等于负八， x 就 等于负八，除以负二，它就等于这个四，所以它就会过四零这个点。 好，再把这两个点画在图像当中，我们来画一下， 这个是零二分之五，那我们在这里就画二分之五零二分之五，然后呢这个点呢？是三分之五零，那我们就画这个位置，三分之五，大概在这个位置， 这条直线的话呢，连起来这条直线就是 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，有点写不下了。 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，就是 y 一 这条直线。 y 二这条直线的话呢，四零，然后另外一个零负八，那么零负八的话，我们就画下面一点， 这可能就比较远了，假设这个点就是零负八吧，这个是零负八，然后这个点的话，就当做是四零，然后把这两个点连起来 延长过来，好，这条直线就是 y 二等于二， x 减八。 好，图像画好了，那么你会发现，你把这两个当做方程组的时候，它的解就是它的焦点， 而这个焦点呢？说实话啊，我没画出来，对不对？我们不知道它的焦点是多少，所以呢，我们要试一下，对吧？因为你不能去算，你不能把它当做去算，所以你要去试一下，你看这个是几啊？这个是 这个三分之五，这个是四，那么比三分之五大一点是几啊？就是二，三对不对？二肯定对不上，二肯定对不上，那么你就找三，所以我们就分别试一下，当他们俩都等于三的时候好不好？好，当这个等于三的时候，当这 y 一， 当 x 等于三的时候，这个 y 一 就会等于负二分之三乘上三加上二分之五，它就等于负二分之九 加上二分之五等于负的二分之四等于负二，所以它就会过三负二这个点。 然后呢，你在当 x 等于三的时候，你再算这个 y 二 y 二就等于二乘三减八等于六减八也等于负二，它也过三负二这个点，发现没有，它们经过同一个点，所以 三负二就是它们的焦点啊。所以我们就看得出来， y 一 与 y 二的焦点 为三负二，所以 x 等于三， y 等于负二，就是这个方程的解，为这个方程 三 x 加二， y 等于五和二， x 减 y 等于八的解就可以了。 如果呢，有些题目呢，他直接画了图，并且告诉我们焦点，那我们这些画图的过程就都可以省略。 再看综合运用第四题，甲乙两个工程队分别同时开挖两段合渠，所挖合渠的长度为 y 单位是米与挖掘的时间， x 单位是小时之间的关系。如图所示，那 红色这一段是假的，然后绿色这一段是乙的，叫我们分别求出假。对在零到六，就是 x 大 于等于六大于等于零小于等于六的时间之内和乙对在 x 大 于等于二小于等于六的这个时间内， y 关于 x 的 函数解析式，那么求解析式的话呢？你可以看得出来，假的话经过哪两个点？ 第一个是圆点，对不对？第二个就是六六十，经过这两个点，我们就可以带入一次函数当中，对吧？好，那么乙呢？他只教我们求二到六这段时间之内，那么你看二到六这段时间，他也经过两个点，一个点是二三十， 另外一个是六五十，对不对？好，我们就把这两对点带入一次函数当中，我们这里就写一下，好吧，先求 设假对，在 x 大 于等于小于等于六大于等于零的时段内，解析式，函数解析式 为 y 假，对吧？等于 k 一， x 加上 b 一， 为什么要这样去写呢？因为你乙对也要去设呀，对不对？它们俩的 k 值和 b 值不一定相等啊， 对吧？所以我们就复制一个出来，改一下数据设，再设一下乙，对，不过可以等会来算，我们把里面改一下，甲对换掉， 然后时间段换掉解析式，这个换掉。好，那我们就写设乙对，在 x 小 于等于六大于等于零的时间内，函数解析式为 y 甲 y 乙 等于 k 二， x 加上 b 二，对吧？好，设一下。那么现在呢，我们就知道甲经过零零，甲经过的点是零零这个点以及六六十这个点。好，我们就将 零零这个点与六六十带入到 y 角当中，那么你就可以得到方程组，对吧？这个方程组呢？等一下啊， 这个方程组呢，就是把这个解析式里面的零和 y 都换成零，那么就是零等于 k 一 乘上零，再加上 b 一。 然后第二个呢，就是六十等于 k 一 乘上六，再加上 b， 那 么这里的话，我们化简一下，就可以得到 b 一 是等于零的，对吧？这个是零，这里也是零， b 一 就等于零，然后你再把零带进去， 对吧？好，那么就是六十等于六， k 一 加上零啊，因为 b 一 等于零，写一下吧，还是写 b 一 吧。好，这两个式子，这是一式，这是二式，你将第一个式子带入到第二个式当中，将 b 一 等于零 带入到二式当中，那么零六十就等于六 k 一， k 一 就等于十，那么我们就可以得到 k 一 等于十， b 一 等于零，所以这个假的解析式就等于十 x 啊，就等于十 x， 同时你再把它的取值范围写上 x 小 于等于六，大于等于零的时候，是这样的。 好，再来求第二个一样的操作啊，也是将这两个点，这两个点我们直接在图上写出来，一个是二三十，一个是六五十，对吧？我们将这两个点带进去， 将二三十与六五十带入到 y e 当中，好，那么我们算一下， 把三十带进去，二三十带进去，是三十等于 k 二乘上二，加上 b 二，把六五十带进去，就是五十等于 k 二乘上六，加上 b 二。两个式子，你拿两个式子一减啊，拿二四减一四，那这里五十减三十等于二十， 这里是六 k 减二， k 减掉了啊，所以我们这里就是负四， k 二 等于负二十， k 二就等于负二十除以负四，那么 k 二它就等于五，然后你再把五带入到其中一个解析式当中，将 k 二等于五 带入到一式当中，那么就三十等于 k 二， k 二已经知道了，就是五乘二，再加上 b 二，那么三十就等于十加 b 二，那 b 二呢？就等于 三十减十， b 二就等于二十，那我们就可以得到这里的 k 二等于五， b 二等于二十这个解析式， 你就会等于五 x 加二十，并且取之范围是 x 大 于等于二，小于等于六，对不对？好，那么这个就算完了。再来看， 那这里说当 x 为和值的时候，甲乙两个对在施工过程当中所挖合取的长度是相等的，那么你就看它们的焦点，这里是有一个焦点的对不对？那这个焦点是多少呢？哎，我们不知道，我们就可以把这两个 函数当做一个方程组啊，去算 x 等于几就可以了，知道吧，因为它们在这里有焦点的时候，意味着在同一时间内，它们挖的长度也相等，所以就是找焦点。 第二问就是找焦点，所以我们列方程组， y 等于十， x 和 y 等于五 x 加二十那两个式子， 那么呢，我们就把一次当中的 y 等于十 x 带入到第二个式子当中去，那你就可以得到十 x 等于五 x 加二十一项，十 x 减五 x 等于二十， 五 x 就 等于二十， x 就 等于二十，除以五 x 就 等于四，所以那么当 x 等于四的时候，他们所挖的渠道是相同的，知道吗？好，那么这里我们同时也把 y 算出来， 那么 y 就 等于十，除乘上四， y 就 等于四十，所以这里算出来的是 x 等于四， y 等于四十，对吧？好，我们最后再答一下啊，当 x 等于四的时候，加以两对。 施工 的时候，施工过程中，施工中挖的和渠长度 相等都为四十，单位是米就可以了。 再来看拓广探索第五题，在同一平面直角坐标系当中，画出函数 y 一 等于负二分之一， x 加上二与 y 二等于三， x 加九的图像，并且结合图像比较这两个函数值大小的关系。 那咱们就先画图，先看 y 一， 这个 y 一 呢，等于负二分之一， x 加二还是一样的令， x 等于零和 y 等于零，对吧？好，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之一乘上零加二就等于二，所以我们就知道它会过零二这个点，对吧？你其实算多了，你就知道，当 x 等于零的时候，它就一定会等于二，对吧？等于它这个 b 值。然后当 y 等于零的时候， 那么零就会等于负二分之一， x 加上二一项二分之一， x 加上等于二， 那么 x 呢，就等于四，所以它就会过四零这个点。好。再看 y 二， y 二等于三， x 加九一样的，当 x 等于零的时候， 这个 y 就 等于三，乘零加九就等于九，所以它就会过零九这个点。然后再当 y 等于零的时候， 那么这就会得到零等于三， x 加九，一下负三， x 等于九， x 就 等于九，除以负三， x 就 等于负三，所以它就会过负三零这个点。好，咱们再把这两个图像画到什么？画到同一个坐标系当中， 我们这里就画大概啊，就不画那么精确了，因为画太精确了，我会画 y。 然后呢，找到，先画这个 y 一， 找到零二和四零，那零二 大概在这个位置零二四零呢？咱们就画这个位置四零两个点一连 这条直线呢，就是 y 一， 再画这个，这个是零九和负三零，那负三零的话，大概就画这个位置负三零，然后呢？还有一个画九零九的话，九应该很高了吧， 对吧？往上挪一点， 我就在这里画九零九，那实际上可能不止这么高啊，我们这里画个大概 好，这条直线就是 y 二，对不对？好了，那么现在你会发现它会有焦点吗？而这个焦点是多少呢？我们不知道，那我们就把它列成一个方程组，把它的焦点算出来， 因为你要比较大小嘛，对不对？你看在这个焦点的左边是不是 y 一 大， y 二小，而在这个焦点的右边，是不是 y 二大， y 一 小啊？对不对？好，所以呢，我们就把它列成一个方程组， y 一 等于负二分之一， x 加上二， y 二等于三， x 加上九，列一个方程组，那么因为他们的 y 都是相等的，所以就是得到三， x 加九等于负二， x 加二移项，三 x 加上二分之一， x 等于二减九，那么这里算出来的话， 就可以得到是二分之七， x 等于负七， x 就 等于负七。除以二分之七就等于七。乘上七分之二， x 就 等于负二，所以它的横坐标是负二，再把这个负二带进去， y 就 等于三乘负二再加九， y 就 等于负六加九，所以 y 就 等于三。所以他们的这个解就是， x 等于负二， y 等于三，所以我们就可以知道他们的焦点是负二三。好，这个焦点是负二三， 我们写上来负二三，这里对照的横坐标就是负二，这里对照的重坐标就是三。好了，图像画完了，那怎么去做比较呢？其实这个图的话，它画标准了，反而不好比较，我们这里画一个缩略图，好比较一点，那这里 我画一个缩略图，那就简单画一下，看到没有？就这样简单画一下。 好，这个是 y 一， 然后这里有一个焦点是二，它的横坐标是不是二，看到没有？好，我们就以二为分界点，在这个二的左边，你看这个二的左边，负二的左边，是不是？ y 一 在上面， y 二在下面，对不对？好，在它的左边， y 一 在上面， y 二在下面，所以左边对应的就是什么？ y 一 大于 y 二， 而这个左边对应的是 y 一 大于 y 二的时候，你看它们的横坐标对应的是不是都比负二小，对不对？好，所以就可以得到，当 y 一 大于 y 二的时候，它的 x 是 小于负二的，这是第一种情况，看到了吗？好，现在我们再看，在它的右边的时候，你把它延伸过去，这个 y 一 延伸过来，哎，反过来了，现在 y 一 在下面， y 二延伸过去，反而变成了 y 二在上面，这个对应的是它的右边，它的右边对应的是 y 二在上面， y 一 在下面。这个表示的就是当 y 第二种情况，就是当 y 一 小于 y 二的时候，看到没有？ y 一 在 y 二的下面，表示 y 一 小于 y 二，而这个时候，你看这个图像所对的横坐标是不是都比负二大，对不对？它都比负二大，所以这个时候 x 就 大于负二，看到了吗？这是第二种情况，那什么时候呢？它们会相等呢？就是在焦点的时候，所以这个时候我们就写第三种情况， 当它们相等的时候，当 y 一 等于 y 二的时候，这个 x 就 等于负二，那么它们的大小关系三种情况都写出来了。 他们的大小关系一个是大于他，一个是 y 一， 大于 y 二，一个是 y 一， 小于小于 y 二，一个是 y 一 等于 y 二。这三种情况的结果我们都写出来了，都是通过图像去看的，知道吧？这个图像是标准图像啊，标准一点啊，因为我画的也不是特别标准，这个是他的缩略图， 我们通过缩略图就好比较，因为这样的话，这个这个 y 一 在上面， y 二在下面，这个是不对，看过去不是很好比较，这里是 y 二在上面， y 一 在下面啊，其实是一样的，只是这样看的话会比较好看一点，那么我们就是分左右就可以了。

函数这个章节太重要了，因为依次函数光图像性质，这里我们就有十大类题型可以变形去考大家，所以要求我们的孩子对函数图像性质这里相当大的熟练度了。 那有关于函数这里面的十大题型，老师也给大家做了一个系统的总结，基础知识不过关的家长们打印出来分类去带孩子进行练习。下面借着这道题呢，我再带着大家复习一下我们函数图像性质这里的一个易错点， 这里说一次函数，它的函数值 y 随 x 的 增大而增大，哎，说明这里面什么？对了， k 值啊，也就是一减二 k， 它是大于零的。这是我们根据题目得到的第一个信息， 第二个信息说他不经过第二象限。好了，能不能告诉我，不经过第二象限的图怎么画呀？哎，他是不是，哎，可以这样去画呀！有同学觉得哦，画出来之后，看他的 b 值 b 是 小于零的，所以在这里 b 的 部分复 k 小 于零，完事了， 结果这道题就选错了。为啥呢？为什么这道题有这么多同学算错呢？因为他们都忽略了一个关键点，他不经过第二项线。还有一种情况，那就是这个函数图像经过原点的情况，这个时候 k 怎么样？ 哎，这个时候 b 怎么样？ b 等于零啊，所以对应这个复 k， 除了小于零，他还可以等于零，漏了情况，这不就选错了吗？ 所以，综上啊，我们在这可以求出第一个 k 是 小于二分之一的。第二个负 k 小 于等于零， k 是 大于等于零的，所以综上，我们的 k 是 大于等于零，小于二分之一的我们正确答案就选出来了。正确答案选择的是 c 选项。

起立同学好，起立同学们请坐，谢谢老师 同学们！半节课我们将达成以下学习目标，期待同学们的精彩表现。 依据本单元七十课得到了函数研究路径，本节课我们应着手研究哪类函数，请大家跟老师一起来回顾。 我们从实际问题出发，通过概括归纳，得到了函数的概念，得到了函数的概念。 我们接着又得到了函数的一般研究后解决，分别是先研究它的 k 点，然后研究它的 not。 我 们就先研究，最后去解决实际问题。我们知道函数有很多种类，我们决定从最简单的 前面我们已经研究了正比例的函数，我们也了解到了一次函数的概念。接下来我们该研究什么呢？ 一次函数的图像与性质。这就是本节课我们要学的内容，一次函数的图像与性质。现在请同学们 来思考以下三个问题，请在小嘴闭好的交流开始。 i don't know if it's not a good choice。 哪个小组代表来汇报一下？来你们小组 我们做的观点是，形如 y 等于 k， x， k 不 等于零的函数叫做正比函数。形如 y 等于 k， x 加 b， k 时长 n k d 时长所切分的为零的函数等于 a。 还有你说吗？ 我来补充一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 特点。解析式中，自变量的 x 的 次数是一次比例系数， k 不 等于零，常数向 b 通常不为零，但也可以等于零。 当 b 等于零时， y 等于 k， x 加 b， 就 变成了 y 等于 k， x。 所以 说正比例函数就是特出的一次函数。嗯，补充的非常好， 我来说正比例函数 y 等于 k， x， k 不 等于零的图像，是一条经过圆点的直线。 当等于 k s， k 大 于零时，它经过一、三象限。当 k 小 于零时，它经过二、四象限。分解性从左向右。 k 大 于零时，自左向右呈上升趋势， y， c， x 增大而增大。 呃，当 k 小 于零时，直线从左往右呈下降趋势， y， c， x 增大而减小。 刚才小组总结全面，知识掌握得非常牢固，请坐， 咱是怎样获得这些性质的呢？来你来说哦，通过画图解释图像观察变量的意义哦，你说它叫做画图观察图像，解释 变量的意义？意义？ 大家赞同他的观点吗？ 赞同。好，你们小组配合的非常默契，对应的知识点掌握的非常牢固。请。

好，再来看实际问题与一次函数，生活当中也是有很多一次函数类型的问题，那么我们做题应该按照什么顺序呢？你要先将实际问题抽象为一次函数的问题，再把这个一次函数的解析式求出来， 结合图像就可以分析并且解决问题了。来看到这个例题，它的某玉米种子的价格为每千克的种子，那么它的价格是不变的， 如果你一次性购买超过两千克的种子，那么超过的部分他的价格就给你打六折。 他的问题是这样的，写出付款金额，关于购买量的函数解析式，并且画出函数图像，这个呢，书上有答案，我们就直接来看，对吧？因为他是超过两千克价格，就会有另外一种算法，所以呢， 你看他的图像在二之前和二之后是不是长得不一样啊？对不对？好，那么怎么去画这个图像，怎么去算这个解析式呢？那么这个直接从实际问题出发， 前面的两千克对不对？每千克四十元，你现在把这个数量，咱们把它当做 x， 把它的价格当做 y， 对 吧？那么总价格就等于数量乘以单价就是四十乘上 x， 所以 在两千克之前就是 y 等于四十 x， 那写出来了，对吧？注意他的 x 取值范围必须是零到二之间，那么如果说超过两千克呢？怎么算呢？哎，前两千克你超过了两千克，那么前面的两千克你还是按四十块钱每千克去算的， 那超过的部分呢？我们把这个数量当做 x， 超过两千克的部分，你就用这个数量减去两千克，那么 x 减二就是超过两千克的部分，然后超过两千克的部分干嘛呢？单价打六折，四十块钱打六折多少钱呢？ 是不是二十四块钱，所以超过的部分按二十四块钱去算，那么他这个式子就可以写成， y 等于四十乘二，加上二十四乘上 x 减二，对不对？这个二十四怎么来的呢？我们这里写一下，二十四就是四十块钱打六折 等于二十四元，这个二十四元是这么算出来的，对吧？然后你再把这个解析式化简一下， y 等于四十乘上二，加上二十四，乘上 x 减二，那么 y 就 等于八十加上二十四， x 减去四十八，那么这个 y 就 等于二十四， x 加上八十减四十八等于三十二，跟我们书上写的是一样的， 那么你可以分类讨论，那么书上的话，他这里是分类讨论的，去写这两个解析式，那么我们也可以写成分段函数的形式。那么像这里你把这两个结果写在一块，这个就叫分段函数。 分哪两段呢？是 x 在 零到二之间和 x 大 于二的时候，分这两段去写，知道吗？可以写成这种形式，但是注意一定要把它的什么取值范围写清楚，然后第二问他说，如果一次性购买四千克的玉米种子需要付多少钱？ 那么四千克有没有超过两千克呀？超过了，超过了两千克呢？我们就选择第二种方案，那么第二种方案的话，你就把这个 y 带进去， 那么 x 换成四，那么就是等于二十四乘上四，加上三十二，等于一百二十八元，所以一次性买四千克种子就需要付一百二十八元，就是这个意思。 好了，那么他这里呢，其实还叫我们画图像呢，图像我们没算，对不对？他是直接给我们画出来了，那我们怎么办呢？我们就画这个图像的话，你就 把它当做 x 等于零的时候啊，和 x 怎么样？等于二的时候，这里正好是它的两个端点嘛，对不对？好，我们算一下，这里也写一下，好吧，我们把它计算写出来，好，这里我把它擦掉啊， 这个 y 等于四十 x， x 小 于等于二大于等于零的，对不对？我们这里当 x 等于零，那么这个 y 也等于零，所以就会过零零这个点，然后当这个 x 等于二的时候， y 就 等于四乘二等于八十，所以它就会过 这个二八十这个点。那你看一下，他这里画出来两个点，是不是？第一个点就是零零，第二个点就是二八十啊，对不对？好，那么在第二段的话，你要去画，那么就要画大于二的部分，那大于二的部分的话，那你就让 x 等于二和 x 等于啊， x 等于三和四， 那么就写这个等于二十四， x 加上三十二，那么当这个 x 等于三的时候，那么这个 y 呢？就等于二十四乘上三，就加上三十二，二十四乘三等于七十二，再多写一步啊， 就等于七十二，加上三十二，它就等于一百零四，所以它就会过三一百零四这个点，然后当这个 x 等于四的时候， 他这里给我们算了，对不对？当 x 等于四的时候，这个 y 是 等于一百二十八的，所以他就会过四一百二十八这个点，那么这里呢，他是没有给我们把点画出来的，我们可以自己写一下，比如说这个三往上，对对齐之后 画一下虚线啊， 好，那么我们画出来的这个点，它就是三，一百零四啊，一百零四，然后的话还有四，假如说这里有个四，咱们也是往它往上对， 它的焦点呢？是超过了书上画的这个图的，那么这个点的坐标就是四，一百二十八，对吧？你把这两个点连接起来， 和这个点正好有交点，那么就把图像画出来了，当然你也可以把它的临界点算出来，虽然它这里说 x 要大于二，但是你可以把 x 等于二的时候带进去算一下，知道吧？ 画图的话呢，书上就是没有给这个过程，我就把这个过程补了一下，好吧，其他的都是 ok 的 啊，大家可以自己整体看一下， 再来看练习。第一个，一个实验室在零点到两点之间要保持二十摄氏度的恒温， 在两点到四点要匀速升温，并且是每小时升高五摄氏度， 写出实验室温度 t 关于时间小 t 的 函数解析式，并且画出函数图像，那么根据实际情况来算一下它的解析式。 首先第一个是零点到两点之间温度要保持在二十摄氏度，它是不变的，知道吗？所以我们这里有题可知， 这个 x 小 于等于二大于等于零的时候，对不对？ 这里用 t 啊，这里用 t， 时间是小 t 啊，这个 t 在 大于等于零和小于等于二的时候，那么他要保持二十摄氏度的恒温，那么这个温度 t 温度大， t 就 要等于 二十不变，知道吗？啊？这里我们写当 t 大 于等于零，小于等于二的时候，这个 t 等于二十是不变的，那么下面一个时间段就是两小时到四小时之间，那么当 时间大于等于二，小于等于四的时候，因为前面我们取了等号，我们后面这个二我们就不取等号了， 前面这个二我们取了等号，后面这个二我们就不取等号了。好吧，那么原本就是二十摄氏度的恒温，然后每小时上升五摄氏度，时间是 t 对 不对？好，那我们就用这个时间 t， 它就是本来有二十摄氏度的，然后 每小时上升五摄氏度，但是你不要直接乘 t， 为什么呢？因为前两个小时它是不升温的，所以你要乘上 t 减二，然后再化减，这个 t 就 等于二十，加上五， t 减去十， 那么 t 就 会等于五， t 加上十。好了，那我们就可以把这个写成分段函数的形式， t 就 等于二十，这个 t 是 在 二到零之间的时候，然后呢，第二段是五， t 加上十，这个时候 t 是 小于等于四，大于二的就 ok 了。好，这就是写成分段函数的形式，然后并且画出图像吗？他叫我们画出图像，对不对？那我们就算一下， 当 t 等于几的时候，算一下，当一等于零的时候，这大 t 等于二十，在这里算吧。 当 t 等于零的时候，这个大 t 等于二十，然后当 t 等于二的时候，大 t 也等于二十，当这个 t 等于三的时候， 这个 t 就 用第二段了，就是五乘三加十等于二十五，然后当这个 t 等于四的时候，大 t 就 等于五乘四加十，就等于三十摄氏度，那么这里对应的就是过 零二十这个点，二二十这个点，然后三二十五这个点，四三十这个点。现在来画图像， x， 哦，不是 x， 哦，是小题，大题，小题单位是时间大题的问，这个单位是奢侈度啊，这里是零，我们就写四个小时， 一二三四，然后这里呢是二十摄氏度，这里是十摄氏度，二十摄氏度， 这里还有一个三十摄氏度，中间卡一个二十五就可以了。好了，我们瞄点，首先是零二十这个点就是零二十，再看二二十，那么二二十就在这个位置，然后三二十五， 四三十 四个点描起来了，再把它连起来， 到这儿往上走。好，完事了。那前面这一段就是 t 等于二十的时候，后面这一段就是 t 等于五， t 加十的时候，那图像就给我们画出来了，那么这道题就搞定了。 再看第二个，某市出租车的收费方式是路程不超过三千米的，收费九元，超过三千米的部分呢，它就每千米收两元，即乘客乘坐出租车的路程为 x， 这个 x 呢会大于三千米， 并且乘车费用设为 y 元，叫我们求 y。 关于 x 的 函数解析式，我们先看第一个，这里也是一个分段函数，对不对？分 x 在 三之前，一个是 x 在 三之后，对吧？我们就写，当 x 小 于等于三，大于等于零的时候，就是不超过三千米的时候，对吧？那么这个固定收九块钱， y 就 等于五九。然后第二个，当 x 大 于三的时候，它的收费 前九块钱是不变的，这个九块钱是稳收的。然后超过三千米的部分呢，怎么表示呢？超过三千米的部分，你就用 x 减去三千米，这个时候每千米收两块钱， 乘上二，咱们化解一下， y 就 等于九加二， x 减六， y 就 等于二 x 加三，所以我们再把它写成分段函数的形式， y 就 等于 九，然后二 x 加三。第一段取的范围是 x 小 于等于三，大于等于零。第二段 是 x 大 于三的时候。好了，分段函数解析式咱们就写出来了。第二个，他说若有一位乘客付了二十三块钱的乘车费，那么他的乘车路程是多少？那就反过来去求了，对不对？就是当这个费用是二十三元的时候， 这个解析是用哪个呀？那肯定用这一个，因为二十三块钱是不是大于九块钱的，对不对？好，因为 二十三块钱大于九块钱，所以采取第二段，就是 y 等于二 x 加三的这个式子，把这个 y 替换掉，替换成二十三等于二十三。负二 x 等于负二十 x 就 等于负二十，除以负二 x 就 等于十，所以它的乘车路程为十千米 就 ok 了。

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这种意思，函数与等腰三角形存在性结合的问题，一定会在我们期末当中出一道压轴大题，那其实这种存在性问题咱们解析是有技巧的，今天依依老师教大家三步轻松搞定。 那有关于我们一次函数这里常考的题型，老师给大家做了一个系统的总结，一共有十大类，如果咱们孩子对于这种复杂的函数压轴题还经常没有思路，不知道该从何入手的话，家长们一定要先带着孩子学方法，然后同源精练 学透一类题，就相当于让我们的孩子少刷一千题啊。下面咱们就来一起看一看这道题目。 在平面直角坐标系当中， ab 的 解析式告诉你了，与 x 轴交于点 b。 好 了，现在啊，第一个让你求 ab 的 表达式和 a 点与 y 轴交点的坐标白给你分了，因为点有了坐标，这个解析式有了，直接代入就可以求出解析式了， 所以这里 ab 的 解析式我们直接就可以求了，直接咱们对答案是负的三分之一， x 再加一， 那直接令我们对应的啊， x 等于零，就可以求出它与 y 轴的交点了，哎，与 y 轴的交点不就是哎对应零逗号一吗？对不对？ 那 a 点和 b 点对应的坐标咱们都已知了，咱们主要看第二个问，当 a p b 为等腰直角三角形的时候，哎，直接写出点 p 的 坐标，那他是等腰值，他说没说，谁是那个直角， 他没说。所以你必须讨论当 a 为直角， b 为直角， p 为直角的三种情况，那根据我们讨论出的三种情况，可以分别画图，哎，这个是 p 为直角， a 为直角，同样在这里 b 为直角的情况，如果是 a 为直角，因为它是等腰值，等腰值一定出什么一线三垂直啊，对不对？所以有了对应的等腰值在这咱们就可以找到左右两侧的三垂直全等， 对不对？ a 点是零逗号一，这是一，这是三，所以这就是三，这是一，这个屁点的坐标画出图直接就可以求答案，是多少啊？ 一四，对不对？同样这里也比较容易，因为这还是一个三垂直模型，这是一，那这就是一，这是三，这就是三，那屁点的坐标不就是四逗号三了吗？ 主要是第一种情况，这个时候他是怎么来的啊？咱们这两种情况都可以根据两垂直来去 去做那个直角的顶点，但这种情况直角怎么来的？他其实是应用了我们圆的性质，叫做直径所对的角为直角啊，直径所对角为直角， 所以在这里面，咱们把 p 点画出来之后，求 p 点的坐标就容易了。还是一样，我们可以构造三垂直，向 p 点左右两边 x 轴、 y 轴做垂线。由于我们在这个图当中啊，三垂直在哪呢？ 是不在底下呀，对不对？所以我完全啊就可以把这一段的长度给设出来，假设它是 a， 可不可以？那由于这一段的长度是三，所以这一小段的长度咱们就可以做出来啊，是多少呢？是三减 a， 看没看见 好了，那这是 a， 这是三减 a， 这是三垂直，对应边相等，这两边相等，这是不是就是 a 呀，对不对？所以你会发现，哎，这段的长度咱们就可以表示出来了，因为这是三减 a， 这也是三减 a， 这是一呀。 所以你会发现这道题的等量关系就出来了，我们想要求 a 的 值，是不是可以利用？嗯，对应这两边相等去求啊。左边这一边它的长度就是三减 a， 再加一嘛， 对吧？右边这一边的长度不就是 a 嘛，所以求 a 的 值就行了。二， a 等于四， a 的 值不就等于二了嘛。 a 等于二，那屁点的坐标就有了，不就是二了嘛。 所以像这种题目咱们一定要注意啊，分情况讨论之后，遇到我们对应的等腰值出三，垂直构造全等，利用边角关系相等，就可以快速的求出答案。

同学们，上课起立，老师好，同学们请坐！ 最近咱们班级迎来了大丰收，请你从生活和学习的两个角度来谈一谈最近咱们有哪些收获 来。运动员，在学习中，我们之前学习了一次函数的概念 以及他图像的性质，这节课我们将继续用依次函数来解决实际问题。依次函数已经到了最后解决实际问题的阶段了，对不对啊？那还有哪些呢？王坤，你来说一说。 我们在一个开心农场种植的蔬菜和水果就快要成盒了，我们下午就要去进行采摘。好，咱们一起通过几个图片来走进开心农场，看一看咱们都收获了哪些蔬菜水果。 那个王中坤，第一幅图是后面，第二幅图是 菜花，第三个不是白鸭，第四个是陈菜。嗯，咱们的收获是不是非常的丰富啊，既有蔬菜又有水果，那么今天的硕果累累离不开同学们的辛苦耕耘。同学们， 为了得到，为了在秋天得到更多的收获，学校决定对农场内一块长为啊七米，宽为三米的基增地进行扩充。 在扩充的过程当中，按照学校的要求，要使得扩充后的长是宽的两倍。请朋友们先帮助学校求出扩充后功率的长与宽，我们在下面完成。 啊啊啊 啊啊 啊啊啊啊啊 爱你爱你爱你爱你爱 你爱你。 来，下面给大家讲一下一次怎么解决的。嗯，就是先设增加的长度为 s 米，然后呃补齐， 呃，宽是长是宽的两倍，然后就用 x 加三，四百乘二等于下 x 解得 x 等于一，然后就是增加了一个米。 好，非常好。兄弟，他是用什么解决一个时间问题？好，小朋友们在解决问题啊。 哦，你结合的答案给王敏敏讲一下哦。 先设增加 x 米，然后此时长是七加 x 米，宽是三加 x 米，因为长最多是宽的两倍，所以七加 x 等于二倍的三加。