盐城初一下数学旋转类几何题

托勒密不会无所谓，旋转全等不会，初中几何可是要吃大亏。大家好，我是最会教孩子思考的命地老师。来看一看这道小题。 ab 等于 ac， 角 bac 等于角， bdc 等于九十度。 bd 的 长是根号二， dc 的 长是二倍根号二。让我们去求 a、 d 的 长。让很多孩子都困惑的一个点是，我学了这么多构造旋转全等呢？你不用记那么多复杂的东西， 只要你看到有一组共顶点的等线段，你就可以考虑旋转。 以我们这个题为例，我们是不是看到了 ab 等于 ac， 你 就可以考虑旋转了？第二个小难点，选三角形， 你就优先去选等线段所在的三角形。你想想，你要构造旋转全等，那全等必有一个边儿等啊。看这里的 a、 b、 a、 c 就是 非常重要的条件。除了等线段还有吗？还有我们的目标线段或角， 这指的是什么呢？你看这题，这两条线段都给了，能不用吗？这都是目标线段要求的 a、 d， 这不是目标线段吗？都是。那这时候你就发现它围成了这样的两个三角形，一个是 a、 b、 d， 一个是 a、 c、 d， 选谁呢？你选条件多的，如果条件一样，那你就随便选你喜欢的。看，这里有一条等等线段，那我也有， 你这里有个已知数量呃，这个长度的线段，哎，我这也有啊，你要求的这个目标圈的 a、 d 也都有，所以它俩地位就是一样的，比较推荐大家去选那种特征比较鲜明的就是这 a、 b、 d， 你 看你就立刻能看出 a、 d 就是 它的最长的线段，然后 b、 d 就是 它最短的， 这样你在构造全等的过程中，你比较好找对应关系。那第三个小难点就是我们要确定旋转中心， 也就是我到底要绕谁转呢？你就去绕这个等线段的焦点转就行了。对于本题来说，也就是点 a， 那 转多少度？ a， b 转到 a、 c 是 不是逆时针转了九十度？那我也把 a、 d 朝着这个方向转九十度。 这里大家注意一个点啊，很多同学就说我直接把它转九十度了，但如果你是直接选择转九十度去进行描述的话，那你就得去正这个 c、 e 和 b、 c 共线，为了避免去正共线，我们怎么去描述？我们直接说做垂 做 a， e 垂直于 a， d 交这个延长线于点 e， 那 这样去做，还有这个全等吗？捋一下条件， a、 b 等于 a、 c 做了垂之后，这里等角的与角相等， 然后不要忘了我们还有一条线没有用，角 d 是 九十度，那原来的角 a 是 九十度，四边形内角和是三百六，所以我们角 b 加上原来的这个 c， 是 不就是一百八？那你交它的延长线了，那这是它的邻补角啊， 同一个角的补角相等了，它和它相等，相当于是角边角两个三角形就旋转全等了。 全等，我们就把根号二导到了 c、 e 这里，这也是根号二。同时这两条线段还相等， 那这个大的又出现了一个什么？等腰直角三角形，我们斜边长 d， e 是 三倍根号二，那你看看 a、 d 轻松出来了，就是三，想学透初中几何，轻松上分来找我。

来，这个题没什么难度，但是我要讲一下，图上标记很关键。好吧，我们要把这很多已知信息同步到 图上面去，如果有的条件比较复杂，我标不上去，那么我需要把这个条件圈出来，好吧，能标上去的标不上去的圈出来。好，就这么干 交 m a 是 一个三十度，按在这里啊， m a 三十，他折过来，那这里是不是也是一个三十，所以这里是不就一个六十， 对不对？我知道这个三十，我要求这个 f d n 前不着村后不着店，来同归角，同归到这里来，他等于他，这个是最简单的方法，所以是一个六十度 继续进行第二次折叠， ok， 第一次沿着 n m， 第二次沿着 pm 还原信息，该相等的还相等啊，朋友们， 第一问，知道角 cp， m 是 一个七十二度，求角一和角二一个 y， 角一 x， 那 么立马这里同内错角 x。 好吧，因为折过来，所以这里也是 x 啊。我在这里跟大家讲过啊，折叠加平行是能出等腰三角形的，你看 p n m 是 不是一个等腰三角形？ 没有问题吧？这个你要敏感，当然你自己推是吧。我这里是 x， 我 先内拖过来，然后这里再折叠也可以，但是我希望你能瞬间得出一折叠一平行平行一折叠就能出等腰，但是在这里我们是要研究它的角关系啊。好吧，好， 那看了没有，该标的都已经标好了哈，这里是一个七十二呢，七十二他是一个外角啊，你 x x 当然是三十六加三十六了，三十六乘以二了，这是外角对不对？好，所以这里三十六三十六 好吗？这里就是一个七十二，但你别忘了，这边是一个一百零八，或者说你这里是七十二，这里是七十二，这里是一百零八。也可以，一百零八是折叠前，折叠之后， pmg 就是 一百零八 二， x 是 个七十二，那么这个 y 肯定就是个三十六喽。怎么这么快呢？最后一问，仍然说角二等于 n 倍的角一。我上面已经有 x y 了，我下面写个 r r 吧。好吧，当然也可以用 x 来表示， 但这个要呃，应该没什么问题。好吧，比如我这里啊，我让他是个阿尔法。 ok， 阿尔法是吧？直接写出角 cpm 的 度数，我先把椅子条件同步上去。 角一阿尔法，这里阿尔法，这里阿尔法，这里就是 n 倍的阿尔法。因为折叠嘛，这个 pmg 是 n 加二倍的阿尔法，所以这里就是 n 加二倍的阿尔法。因为这是一个外角，这里肯定就是一个二阿尔法。好，一百八十度来，一百八十度来 二阿尔法，加 n 加二阿尔法等于一百八十度。我求出了，阿尔法是它，角 cpm。 可是二阿尔法呀，角 cpm 是 二阿尔法啊，那就是它结束了。嗯，真的结束了啊。

大家好，今天给大家讲的数学几何模型是绊脚模型，它它是七年级下册第四张全等三角形当中的重难点模型。接下来让我们看这道题， 已知等腰三角形 a、 b、 c 当中 b a、 c 等于一百二十度，就是它 它它等于一百二十度。然后我们又知道 a b 等于 a、 c， 用这个两个横线来表示它俩相等，然后大 e 为 b、 c 上的两点，且角 大 a、 e 等于六十度，就是这个角等于六十度。然后现在让我们来证明一下吧。 首先我们先来分析一下这道题绊脚模型，它是通过全等来表现 做这道题目的，然后我们先可以看到这个六十度夹在六十度中间的角，然后呢这一个大角是一百二十度，那是不是这个六十度是刚好它的一半啊？所以说这道这个模型我们就称它为绊脚模型。接下来让我们来看一下。 首先先写姐字，你要想这个半角模型是通过旋转来表示的，然后这里又刚好是六十度，又是这个一百二十度的一半，我们是不是可以把这个角旋转 到这个地方，然后呢跟它凑成一块啊？现在让我们来画一下。 好，我们将这个三角形 b、 a 大 旋转到了这个位置，然后呢我们设这个点为 f， 然后我们再连接 e、 f 这个角，是不是就跟这个角全等了？ 让我们来写一下格式吧，把三角形 b、 a 大 让点 a 逆时针旋转一百二十度， 就可以得到一个新的三角形 a、 c、 f 就是 相当于这个地方旋转到这个地方，然后因为它这个一共是一百二十度，所以说相当于它逆时针旋转了一百二十度， 然后呢由于这有公共边这两角相等，然后呢这旁边还有两个角，所以说我们就可以得出三角形 a、 b 大， 然后就全等于三角形 a、 c、 f 是 因为他是旋转到这个地方的，相当于他一切都没有变动，所以说他们俩是全等的。然后我们接下来再看这个条件， 我们这两这个条件用了，我们再可以已经构造了一个全等，我们连接了这个就可以占这两个全等，让我们来写下格式吧。 然后由这两个圈等，所以说我们可以得出 a 大 等于 a f， 然后 b 大 等于 c f， 角 b a 大 等于角 c a、 f， 然后呢还有一个就是因为是半角，然后呢这两个各占了一半，所以说我们还可以得到一个角 a、 c、 f 就等于角 b 等于角 a、 c、 b 等于三十度， 所以呢我们由这个半角就可以得到一个角 e、 c、 f 等于角 a、 c、 f 加角 a、 c、 f 等于六十度，然后我们再看条件， 它这个地方的条件我们还要还需要用，就可以再写一下过程。因为角大 a、 e 等于六十度， 并且角 b、 a、 c 等于一百二十度，我们是不是就可以得得出这个角 b、 a 大 加上角 e a、 c 等于六十度， 并且我们同理 也可以得出角 c、 a、 f 加上角 e、 a、 c 也等于六十度啊， 所以说因为他们这个里面同时出现了这两个角，这两个角相等，然后这个角和这个角分别加它都等于六十度，那我们就可以得出角 b a 大 也等于角 c、 a、 f， 然后没有结合条件，因为这个 a e 和 a e 它俩是公共边，所以说这个它俩有一个公共边，所以说我们还可以再写一个，因为 a e 等于 a e， 所以 说我们就可以认出这个三角形 a 大 e 全等于三角形 a e a f e 运用 s a s， 也就是边角边正出来的。大家这道题听懂了吗？记得点关注哦！

好，我们来看第九题，来自于无锡市滨湖区的这道选择压轴啊，那毕竟是选择题，那还是有一些选择题的特殊性的啊。 来，我们来看一看这个题目还是我们常见的这种三角板旋转，对吧？然后有一边平行啊，那这个三角形 a、 b、 c 恰有一边与 d、 e 平行， 那首先大概率应该是三种答案吧，因为 a、 b、 c 有 三个边呢，在它旋转一百八十度的情况下，那每个边至少都有一次机会与第一平行，对不对？好，那时间是多少呢？我们要去算一算。 那我们现在想一想啊， abc 在 旋转的时候，我觉得第一次的平行，是不是这个 ac 会和它平行啊？就是 ac 这个边很快转着转着转着 是不是迎来了第一次平行？ 好，那这个时候怎么算？抓住啊，这个和这个平行，这个角度是六十度，那么这个角度就六十度，这个是六十，这个原来是四十五，那么这个角是不是是七十五， 那么这个角是为值七十五，而我们关心的是不是这个角，这个角就是我们的旋转角吧，那原来这个角多少度？原来这里是六十，这个同方内角互补是一百二，所以一百二减去这个七十五，得到这个角应该是四十五度。 好，四十五度除以它的十五度，速度应该是三秒，所以这个题必定有一个答案是三秒。 好了，那我觉得这个题型结束了，因为 c 和 d 之间一个是一，一个是十一， 我们刚刚能看到的最就是最快的平行，应该是这个三秒吧。如果你不相信，你可以把一秒单独就画个图，你去，只要判断一下这个事情，这题就做完了， 对吧？这个九和十一都不用算了啊。所以最后你发现一秒是不行的，往后还有两个答案，那一定是比它大那三秒，九秒、十一秒， ok， 所以 这个题选 d， 那毕竟它不是解答题啊，那出题人的意图可能也是希望你能够通过这样的判断的，对吧？你考试的时候也没必要非把每个时间算得很清楚。想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦。

好，我们来看第九题，来自于无锡市滨湖区的这道选择压轴啊，那毕竟是选择题，那还是有一些选择题的特殊性的啊。 来，我们来看一看这个题目还是我们常见的这种三角板旋转，对吧？然后有一边平行啊，那这个三角形 a、 b、 c 恰有一边与 d、 e 平行， 那首先大概率应该是三种答案吧，因为 a、 b、 c 有 三个边呢，在它旋转一百八十度的情况下，那每个边至少都有一次机会与第一平行，对不对？好，那时间是多少呢？我们要去算一算。 那我们现在想一想啊， abc 在 旋转的时候，我觉得第一次的平行，是不是这个 ac 会和它平行啊？就是 ac 这个边很快转着转着转着 是不是迎来了第一次平行？ 好，那这个时候怎么算？抓住啊，这个和这个平行，这个角度是六十度，那么这个角度就六十度，这个是六十，这个原来是四十五，那么这个角是不是是七十五， 那么这个角是未知七十五，而我们关心的是不是这个角，这个角就是我们的旋转角吧，那原来这个角多少度？原来这里是六十，这个同方内角互补是一百二，所以一百二减去这个七十五，得到这个角应该是四十五度。 好，四十五度除以他的十五度，速度应该是三秒，所以这个题必定有一个答案是三秒。 好了，那我觉得这个题型结束了，因为 c 和 d 之间一个是一，一个是十一， 我们刚刚能看到的最就是最快的平行，应该是这个三秒吧。如果你不相信，你可以把一秒单独就画个图，你去，只要判断一下这个事情，这题就做完了， 对吧？这个九和十一都不用算了啊。所以最后你发现一秒是不行的，往后还有两个答案，那一定是比它大那三秒，九秒、十一秒， ok， 所以 这个题选 d， 那毕竟它不是解答题啊，那出题人的意图可能也是希望你能够通过这样的判断的，对吧？你考试的时候也没必要非把每个时间算得很清楚。想参加我们 t u 训练营的家长可以在评论区留言哦。

题目呢，考察的是一个我们非常熟悉的一个模型，绊脚模型好看一下图一题目中说的是啊，正方形 a、 b、 c、 d， 然后角 e、 a、 f， 这是一个四十五度角， 然后将三角形 a、 d、 f 绕着点 a 顺时针卷九十度，得到了三角形 a、 b、 j 好 说 e 正三角形 a、 e、 f 全等于三角形 a、 e、 j 好， 这个地方需要注意啊，途中使用的是旋转的做法对不对？ 那旋转的话，我们需要证明 b 点、 e 点和 g 点是共线的，怎么证呢？ 角 d 是 九十度，那角 d 转过去得到了呃，这个角 ab， 这也是一个九十度，对吧？ abc 也是九十度，所以说这个地方是不是形成了一个一百八十度角，所以证明出了共线 好，如果说用旋转的做法的话，需要证明一下贡献哈，所以课上的时候推荐同学们我们尽量用延长，这样的话就不需要挣贡献了，对吧？那么证明完贡献之后，我们来看一下如何挣三角形 a、 e、 f 和三角形 a、 e、 j 全等呢？ 来，首先三角形 a、 d、 f 转到 ab j， 所以 说旋转前后角相等，角一等于角二，对吧？这里我们标一个角三的话，那本身的话，角一加上角三是不是应该等于四十五度？ 等量代换一下，我们是不是就可以推出了角二加上角三等于四十五度， 是不是就是图中的角 e， a、 j 是 四十五度，对吧？看四十五度和四十五度相等，我们已经有了一组角相等，然后 a、 e 是 公共边。还有呢，我们三角形旋转的话，除了旋转前后对应的角度相等，那对应的边是不是也相等？ a、 j 和 a e 是 不是也相等呢？所以说这一组三角形，我们通过 s a s 证明全等，对吧？然后其实这个模型啊，是属于一个非常常见的斑点模型，我们其实已经知道结论了，是 b e 加上 d f 等于 ef 了，对吧？然后看一下问题是什么啊？第一个问的是角 e、 a、 g 是 多少度？好，四十五度，刚才我们已经推出来了，然后 b e、 e、 f、 d、 f 之间满足的关系，其实我们已经写出来了啊，就是 b e 加上 d f 等于 ef， 看一下如何去推的呢？还是利用这一组全等？哈，利用这一组全等，我们可以推出 ef 是 等于 e g 的， 而 e g。 从图中来看啊，看图，它是由 b e 加上 b g 组成， 而 b g 是 由 df 转过去转出来的，对应边，所以我们就可以推出 e f、 b e、 df 之间的关系哈， 好，接下来看第二个图。第二个图，这就不是我们非常常见的半角模型了，还是正方形 a b c d， 然后 e 点好，它是在 c b 延长线上， f 点在 d c 的 延长线上，角 e、 a、 f 是 四十五度。 这个半角模型跟我们其他的就有些区别了，其他的呢？其实叫角含半角，什么意思？九十度里面包含了一个四十五度，对不对？但这个特殊就特殊在 它并不是完全包裹在九十度里面的。好，角 e、 a、 f 分 成了两部分，我们给它标一个角一和角二，角一是在正方形外部的，对吧？那这个我们该如何去考虑呢？ 前面，嗯，我们是不是相当于是在短边 e b 上给它补了一块，相当于是补短，对吧？那此时我们可以考虑一下啊，在最长边 d f 上去截一块啊，相当于截长，怎么截长呢？我们在 d f 上 取一个点 j， 好 使得 d j 与 b e 相等，对不对？那么是不是 d f 里面我们给它分成了两部分，一个是 d j， 一个是 f j， 那 d j 呢？它是等于 b e 的， 所以我们接下来是不是要观察 f g 和嗯 e f 有 什么样的关系，对吧？那我们来看一下 f g 和 e f 关系的话，是不是还是优先考虑全等？那么把刚才我们做的这个点 g 和 a 点去给它连接一下， 连接一下之后，我们看一下怎么正全等，或者说怎么推 e f 与 f g 之间的关系呢？那肯定还是需要倒角的，对不对？我们做了 d j 等于 b e 的 话，那我们是不是可以证明三角形 a d j 全等于三角形 a b e， 所以 说我们可以推出角相等，我们把这个角 d a j 标一个角三的话，是不是可以推出角一等于角三？而本身角一加角二是不是个四十五度？ 那我们把角一换成角三的话，是不是可以推出角二加角三等于四十五度了？角二加角三是四十五度，它是包含在角 b a d 内部的，所以我们是不是可以推出了角 f a g 等于四十五度？好，这是一个四十五度角，而这里也是一个四十五度角。好，四十五度，四十五度相等， a f 是 三角形 a f e 和和 a f g 的 公共边， 那是不是还缺一个条件？看一下刚才这个全等，全等，除了角相等，我们还可以推边相等吧，我们还可以推出的是 a j 与 a e 是 相等的。好，我们给它描一下 a j 和 a e 相等好。现在的情况是不是两个红色的边相等，四十五度，四十五度相等，然后 af 是 公共边。所以我们是不是推出三角形 a f e 全等于三角形 a f g， 所以 那此时 e f 和 f g 的 关系是不是就出来了， 对吧？那回到我们最开始推理的这个地方， d f 是 分成了 d g 加上 f g 两部分，而 d g 呢，我们截的是和 b e 一 样的长， fg 呢？通过证明与 d e、 f 相等，所以说线段关系出来了吧。 d f 等于 b e 加上 e f 两个短边之合等于最长边好。接下来最后一问，如图三，已知正方形 a、 b、 c、 d 的 边长是三倍，根号二 好。 ef 分 别在 bc 和 cd 上角， e， a、 f 等于四十五度， 说连接 b d 好。 这个地方，我们是不是可以先求 b、 d 的 长， b d 呢？相当于是等腰直角三角形 a、 b d 它的斜边，所以等于根号二倍的 a b 等于六。 好，然后说 m 点是 b、 d 的 三等分点。注意啊，三等分点其实是有两个的哈，但是题目中给我们补了一句是 b m 小 于 dm， 所以说我们就知道了， b m 的 话是等于三分之一， b d 等于二，那么另外的 d m 是 不是就等于四了？题目中要求线段 m n 的 长，那其实如果说咱对于半角模型的结论记得非常熟悉的话， 就能够想到我们课上是有总结过的，它们之间的关系是由 b m 平方加上 d n 平方等于 m n 平方的。 那这是一个解答题，我们不能直接用结论，该如何去推理一下呢？好，我们把三角形 a d n 去给它转出来，转到这里，转到 a b g 的 位置，好， 角 a d n 是 一个四十五度，所以它转过来的对应角角 a b g 也是四十五度，对吧？而角 a、 b d 本身也是四十五度哈，所以说这里形成了一个直角， 直角的话，我们把 m g 给它连起来，那是不是三角形 b m g 这里格五定里，对吧？嗯， m g 平方等于 b m 平方，加上 b g 平方， 而 b g 是 由 d n 转过来的，所以目前来说，我们推出了 b m 平方加上 d n 平方等于 m g 平方了。那接下来是不是要找到 m g 与 m n 之间的关系了，对吧？我们来看一下啊。怎么样去推呢？其实和前面图一的这个类似了啊，边上角一转过来得到了角二， 所以角二加角三啊，这是一个四十五度角，并且 a n 转过来得到了 a j。 好， 所以是不是又 s a s。 我 们推出啊，三角形 amg 全等于三角形 amn， 所以推出了 m g 等于 m n， 那 这里的 m g 是 不是就可以换成 m n 了？所以我们刚才写出的这个结论是不是就出现了，对吧？然后把长度代入就可以啊，求线段 m n 的 长， 那么我们看一下 b m， 我 们我们已经求出来了，是二二的平方加上 d n， d n， 它是不是就四减 m n 等于 m n 平方。好，把 m n 解出来就可以了啊？四加上十六，减去八倍的 m n 加上 m n 平方等于 m n 平方，那平平方平方消掉了，也就是八倍的 m n 等于二十，约分一下约个四，所以等于二分之五， 所以我们线段 m n 的 长就计算出来了。好，所以说这道题目呢，我们从上到下会发现我们一个是用了啊图一这个我们非常熟悉的绊脚模型中 b e， d f， e f 之间关系这个结论。另一个就是图三中我们用到了 b m 平方加 d n 平方等于 m n 平方，对吧？这是一个比较大的一个 综合题，那所以说我们上课所总结的结论，如果说咱们都能熟练的记住的话，对于做这种题目是非常有帮助的，所以前面啊，所有的模型一定要定期的回去复习一下。

如图所示，在正方形网格上有一个三角形 abc， 然后第一小题让我们画出三角形 abc， 关于直线 m、 n 的 对称图形 a 一、 b 一 和 c 一， 那我们就来画一下轴对称， a 点的对称点 a 一 点， b 点的对称点 b 一 点和 c 点的对称点 c 一 点。我们找到之后把三角形连接起来，那此时三角形 a 一， b 一 c 即为所求。作图，我们最后再去下一个结论，所以 啊，如图所示，三角形 a 一， b 一， c 一， 即为所求作图。第二小题画出三角形 a、 b、 c 关于点 o 的 对称图形，三角形 a 二， b 二、 c 二，那么你来画一下 a、 b、 c 关于 o 点成中心对称的图形，那我们就是连接 co， 并且去背叛它，也就说让 o 点成为 c 点和它的对应点的中点， 相当于也可以认为是把三角形绕到 c 点转一百八十度得到这个点，就是我们的 c 二点，那同理， a 点就是两格三格对角线，所以说我们还是一样的画出这个辅助线， 找到两格三格对角线，然后我们可以找到 a 点的对应点 a 二点，那这边这个辅助线我们都是用虚线去画，只是说我这边画虚线不是那么好画， 我就先暂时用直线画一下。同理，你可以看到 b 点也是一样的，一格三个对角线，我们找到 b 点对应点之后呢，这个点就是我们的 b 二点，那同样道理，也是把这个辅助线稍微画出来，那此时呢，我们把三角形连接起来 好，因此呢，我们同样的下一个结论，三角形 a 二 b 二， c 二，即为所求。作图。第三小题，若网格上的最小正方形边长为一，要去求三角形 a、 b、 c 的 面积。看一下 a、 b、 c 这个三角形，我们要去求它的面积，它的三角形很明显不规则，所以我们可以用割补的方式， 也就是用这个矩形减去三个三角形的面积，刚好就得到了 a、 b、 c 的 面积。这个矩形是二乘三，然后三个小三角形我们分别去算一下，面积就可以求出来了。所以第三小题 s， 三角形 a、 b、 c， 它应该等于二乘三，去减去 这个三角形一乘二，对吧？这个三角形也是一二，这个三角形呢，是一、三，所以就是二分之一乘上一乘上二，减去二分之一乘上一，乘上二，再减二分之一乘上一，乘上三，我们分别算一下，最终算下来等于二分之五。 第四小题，三角形 a 二、 b 二、 c 二，能否由三角形 a 一、 b 一、 c 一 平移得到？很明显，这个三角形和这个三角形不能够通过平移得到。那能否由三角形 a 一、 c 一、 b 一 又旋转去得到呢？ 那也是一样，你可以看到通过旋转的方式的话，我们转过来应该是这样子的感觉，而不是向右侧的感觉，对不对？所以说很明显不是旋转。那么这两个三角形应该有什么变换得到？那我们观察他应该是关于这条直线呈现一个轴对称的，对吧？也就说他可以通过对称去得到。 那我们这边稍微就写一下，三角形 a 二、 b 二、 c 二，它是不能由三角形 a 一、 b 一、 c 一 平移或旋转得到的。三角形 a 二、 b 二、 c 二 可以由三角形 a 一、 b 一、 c 一 对称得到。

大家好，这个视频和大家分享这样一个题，如图，三角形 abc 中角 b、 a、 c 等于六十度。 先将三角形 abc 绕着点 a 顺时针旋转， 这样往上转，转至三角形 a、 d、 e 处，其中 b、 c 的 对应点分别为 d、 e， 点 b 转到了 d 处，点 c 转到了 e 处， 点 d 还在三角形 a、 b、 c 的 内部过，点 e 做了 e、 f 垂直 a、 c 与点 f。 若角 c， a、 d 等于十五度，这个度数是十五度， e、 f 等于根号，二则线段 a、 c 的 长为多少？题中告诉了角 b、 a、 c 等于六十度，这个地方是六十度，这个三角形它转过来了，那其实角 d、 a、 e 这个角度就是六十度，它告诉的是 b、 a、 c 其实就能知道了 d、 a、 e， 它也是六十度，这是六十度，这个地方是十五度，我们就能知道 角 f、 a、 e， 这里是六十度。减去啊，十五度是四十五度， 这是一个四十五度，还有一个直角，所以这个三角形 a、 f、 e 这个三角形，它就是一个等腰直角三角形。因为有个直角，还有个四十五度了，这里这个角度也肯定是四十五度， 这是一个等腰直角三角形，所以 a、 f， 它就等于 e、 f 等于根号，二则线段 a、 c 的 长为多少？ a、 c， 它又等于 a、 e， 因为 a、 e 就是 a、 c 转过去的。那我们在这个等腰直角三角形里面，很容易把 a、 e 给它算出来。利用高股定律， a、 e， 它是等于 a、 f 的 平方加上一个 e、 f 的 平方开根号，这样我们就能得到 a、 e 的 长度。 a、 c 是 等于 a、 e 的， a、 c 是 等于 a、 e 的， 这两个都是根号二，那就是根号二的平方加上一个根号二的平方开根号 根号二的平方是二，二加二等于四，开根号等于二，所以 a、 e 长度就是二，那 a、 c 的 长度也就是二，所以这个题选择 c 选项。

大家好，这个视频和大家分享这样一个题，如图，三角形 abc 中角 b、 a、 c 等于五十五度，上面这个 五十五度，若将三角形 a、 b、 c 逆时针旋转 r 法度，呃，往这个方向旋转，这是逆时针旋转，旋转了一个 r 法度，得到三角形 a、 d、 e。 这个三角形 a、 d、 e， 它是由三角形 a、 b、 c 逆时针旋转了得到的。 d、 e 和这个 a、 c 交于一点 f， 这里是 f 旋转的这个 r 法等于四十度的时候， d 点恰好落在了 bc 上。 这个信息就很关键，问这个角度是多少度？这个 a、 d 是 哪来的？它是 ab 转过来的，所以这个三角形 a、 b、 d 三角形，它是一个等腰三角形， 旋转的角度是四十度，那说明这里是四十度，那我们就能知道两个底角都是七十度，算这一个该怎么算呢？ 它旋转了四十度，那我们算这个是不是可以从这个三角形 a、 f、 e 这个三角形里面来看？ a、 f、 e， 这里这个角度，它是 a、 c 转到 a、 e 形成的。三角形旋转的过程中，整体转了四十度，那 a、 c 这条边转到 a、 e， 它也是转了四十度，四十度， 这里是四十度，那我们如果能知道这个角 e 的 度数， 那就通过三角形内角合，就能把这个角 a、 f、 e 给它算出来。可角 e 等于什么呢？角 e 怎么来的？它和这个角 c 是 相等的，因为 它是由角 c 旋转过去的。那角 c 呢？我们就在这个三角形 a、 b、 c 这个三角形里面看这个三角形里面，上面这个角 b、 a、 c， 它是啊，五十五度，在这里有 b、 a、 c 是 五十五度，底下角 b 是 七十度，那我们算角 c， 它角 c 就 等于一百八十度，减去一个五十五度，加上一个七十度。角 c， 它也是五十五度。 角 c 要是五十五度，那角 e， 它是等于角 c 的， 所以角 e 也是啊，五十五度，这个角 f、 a、 e， 它是四十度，那角 a、 f、 e， 那就等于一百八十度，减去五十五度，加上一个四十度，这是八十五度。 所以这个题我们选择 b 选项，这个题我们也可以这样去啊，考虑 算角 a、 f、 e， 那 就是算这个角的度数。我们知道总共这里是五十五度，而旋转转了是四十度，那这个小的这里就是十五度， 这个是十五度。根据等腰三角形，上面是四十度，那底下这里是七十度，这个七十度他转转到这里来，这个就是七十度。那所瞧的这一个就是这个小三角形 a、 d、 f 的 一个外角，那三角形的一个外角等于与它不相邻，两内角和十五度，加上七十度就等于八十五度，这样也可以得出来选择 b 选项。

掌握基础，理解并理解优秀七下的压轴题，通过旋转达到平行的状态，求角度。这个题呢，有五个答案， 如果对于条件没有限制，它的答案还会翻一倍。这样的题目难度在于它的探讨的情况非常多啊，同时呢， e、 b 和 a、 d 的 平行不好探讨，今天我们通过两步轻松解决，直接看到我们的最后一问。 首先我们来读一下题目啊，就说我们的 a、 c、 d 这个三角形啊，它是固定不变的， e、 c、 b 呢，绕着点 c 在 这个平面内转动 啊，转动的过程当中啊，我们 a、 c、 d 里面有三条边， e、 c、 b 里面也有三条边，那能否找到一组啊，一组边是平行的，如果有平行的话，求出此时 a、 c、 e 的 角度，而且它有个前提条件就是这个点 e 啊，必须在 a、 c 这条直线的上方。 那么拿到这种题目呢，我们首先第一步该干什么样呢？就是画预设的平行线哎，就是我们可以用铅笔来做图啊，因为这样的图会画很多啊，用铅笔呢比较方便。 那我们也要按顺序来进行探讨啊，比如说，我们通常是呃，从最下边的 a、 c， 然后顺时针去探讨，比如说我假设他先探讨 a、 c 和我们的这个三角形 e、 c、 b 里面哪一些是平行的呢？其实我们可以初步判断啊，因为 e、 c 和 bc 都是和 a、 c 相交的，所以他们永远不会平行，只有 e、 b 呢，会和 a、 c 有 平行的情况啊，所以第一种呢，我们就 a、 c 和它平行啊， a、 c 只能和 b 平行啊， 那么这时候平行的情况，我们通过转动大概就可以知道啊，你看在转动的过程当中，我的 e、 b 要和 a c 平行的话，有可能在上方，有可能在下方，但是我们有要求啊， e 点在上方，所以只有一种情况，在上方的情况， 我们就大概画一条平行线啊，大概画就可以了，不用那么标准，然后连接一下，这是我们的一啊，这是我们的 b 点。 好，那这是 a， 这是我们的 c， 那 这时候呢，因为平行啊，我们要找到内错角的关系或者同位角，那这个角度呢？是四十五度，我们是已知的啊，因为是三角板嘛。好，那这里呢，平行的话，我们这里就有一个，多少度呢？四十五度啊， ac 一 啊，这是第一种情况，是四十五度的情况。 好， a、 c 已经探讨完成了，之后呢，按照顺时针的方向，我们来探讨 a、 d， 那 么 a、 d 呢？和这个 e、 c、 b c、 e b 啊，都没有直接的相交，所以它们都是有可能平行的。那我们先从什么地方开始呢？就从 e c 和 b c 啊，这个有固定点的 啊，开始探讨是最简单的，因为 e c 和 b c 呢，都经过 c 点，要想和 a、 d 平行，必须是在 a 经过 c 点的一条平线上啊，所以我们自己可以画一条经过 c 点的平线，大概是这样， 那这是我们的 a， 这是我们的 c， 那 先我们来探讨啊，就是第一种，就是我们的 a、 d 和我们的 e、 c 平行的情况啊， 那 e、 c 在 转动过程当中呢，我必须要来到这条线上，它才能和 a、 d 平行，那所以我们的这个 c e 啊，也有两种情况， c e 有 可能转到这里，哎，有可能转到下方啊，但是又有个要求啊， e 点在上方，所以下方的排除只有在上方。哎， e 点在这里， 那一点这里的话，我们直接可以得到啊。哎，那你说 b 点在哪里呢？按照我们旋转的顺序啊。呃，这个一点是在后面的啊，顺时针旋转过程当中， b 点在前面，那所以这个时候呢，我们的 b 点应该在哪个位置呢？应该在这个位置啊，这是垂直的嘛。 那所以这个时候我们的 a、 c、 e 啊，就是这个大角前面呢是九十度，这里是三十度，他就是一百二十度，这种情况是一百二十度。 好，然后还有一种情况是怎么样呢？我们的 a、 d 和 e、 c 平行呢，还有一个 a、 d 和 b、 c 平行， a、 d 和 b、 c 平行的话，依然是怎么样呢？要来到这条线上 啊，来到这条线上，那也就是说我的 c、 b 要旋转到这条线上，已有两种情况，一种呢是在这里，一种是在下方，到底哪一种符合要求呢？我们先假设啊， b 点跑到了这里来，那我们要找一找， e 在 哪个位置啊？ e 呢，我们要记住刚刚的方向啊， b 是 在前方的， e 是 在后面的，而且垂直啊，经过 c 点啊，所以他 e 点的话，肯定是在这个方向上啊，这个方向上， 所以很明显啊，这个方向的话是在 a、 c 的 上方，符合要求啊，所以此时我们就可以算角度了啊，这里呢是六十度，这里内错角是六十度啊，六十度，因为这里垂直嘛，啊，九十度，所以隔壁他也是九十度啊，所以我们小小的这个 a、 c、 e 的 话，此时就是三十度啊，三十度。 好，那我如果说是我的 b 点跑到下方来了之后， e 点还在不在上方呢，那肯定就不在了啊，那就说我们此时啊，我的 b 点跑到这里来了，我的 e 点要跟在后面，而且是通过 c 啊，是垂直的，所以我此时 e 点应该大概在这个位置，所以它在下方这种情况下呢，就不符合要求。 好，那所以第二种呢，我们的 a d 啊，在这个地方啊，平行于我们的 b、 c 就 一种情况，就是多少度呢？就是三十度。 好，那这时候 a d 也怎么样呢？把这两条直角边探讨完了，还有条 e b 啊，斜边斜边呢，就相对有点抽象啊，有点抽象，那么怎么来探讨呢？其实，呃，依然是 先画一条预设的平行线啊，我们想象一下啊，这个 e b 在 移动的时候啊，转动的时候，他会有几种状态呢？应该是有两种，一种呢是在左边平行的啊，我们先大概画一条啊，如果在左边平行的话，是这样子的。 好，这是 c， 这是我们的 a。 哎，那你就会有疑问了啊，我一 b 必须要在这条线上啊，你不用管他说啊，这个距离多远，没关系啊， 最主要说我们要找到一点在哪个位置，那此时呢，我们可以怎么来判断呢？你看啊，这里是六十度，因为这是两条平线吗？我们可以延长他，哎，找到平线这样的关系，这个角度呢，就是六十度。那你想啊，我的 e 点和 b 点正常来讲的话，你看啊， 哎，这样子的一种情况呢，就怎么样呢？你看啊，这个角度哎，肯定要比六十度小一点，他等于四十五度呢，是可能的，所以我一点应该在下方是正常的，那一点有没有可能跑到上方 b 点在上面一点呢？这个时候是不可能的，为什么呢？你看啊，这个角度 啊，很明显要比这个六十度要大了啊，所以它只能在下方，所以左边这种情况呢，也是要排除掉的啊。排除掉的，那它在右边的话，我们来看一下，如果它在右边啊，右边就是这样， 大概和它平行，我们画一条，画一条之后，你不用管它距离啊，依然是这是 a d a d， 这 c 平行了之后呢，依然我们要怎么样呢？画一条，哎，延长过去啊，建立关系， 这里是呢六十度，这里呢也是六十度，那我的 e、 b 必须跑在这上面，而且按照我们旋转的顺序的话， b 点要在下方， e 点在后面啊，所以大概我们先这样子啊， b 点， 然后我们连接一下这个 c b e 啊，来判断一下这种这种状态是不是对的。因为这是六十度啊，我上面这个角度应该小一点，它必须是四十五度嘛，啊，很明显啊，是符合要求的，你看我这个角度夹角嘛，往上的话，这个夹角会越来越小，这种情况是肯定是存在的啊， 所以这种情况下呢，我们就可以算出 a c 一 啊，这里是六十度，这里呢就是一百二十度，这里呢是十五度，那么的 a c 一 呢，就是这个大角啊，就是一百八，减去十五度就是一百六十五度。哎，所以这种情况下呢，就是我们的 a d 啊，平行于我们的 b、 e， 哎，它等于一百六十五度，这个是可以的。好，那么的 a、 d 和这个 abc 都已经探讨完了，接下来还剩一个什么东西呢？还剩我们的 c d c d 的 话，因为它和 e c 和 bc 都是相交的，不可能平行，只能和 e b 平行啊，那和 e b 平行的话，也有两种情况，你想象一下啊。 哎，我在转动的过程当中呢， e b 可能是在左边啊，和它平行，也有可能是在右边平行，那如果是它它在左边的话，我们画一条线和它平行的啊，大概在这里，那我们的 e 点必须在后面啊， b 点在前面，我们连接一下啊，判断一下， 判断一下，那这个时候呢，这个必须要下一点啊，要下一点。 好，这个是九十度啊，那下面我的这个点一，我们往上面滑一点啊，点一，我们连接一下啊，连接一下，这里是九十度啊，这是九十度，因为他这里是九十度啊，两条线平行。 好，那这个时候呢，我再点一角，一在这个地方啊，啊，他是比这个九十度要小的，是有可能存在四十五度的啊，这种情况，那有没有可能，哎，在上方呢，比如说我的一点跑到这里来， 哎，我这个 c e c e b 等于四十五度，那这是不可能的啊，因为这个很明显是一个钝角的啊，所以如果是在左边平行的话，是不符合条件的，一点必须要在上方啊，所以第一个排除掉。还有一个呢，是在哪里呢？是在右边啊，这样平行的。 好，这是我们的 a， 这是我们的 c 啊，这是我们的 d， 我 们依然是延长它和它勾的关系啊，那我们的这个此时 e 要在上方， b 呢，要在下方啊，下方依然连接起来啊，这样子的。九十度，那这里是九十度啊， 我们来看一下此时的我的这个角一啊，就是我们的 c、 e、 b 啊，四十五度，符不符合要求啊？很明显啊，这个角度要小一点啊，这是九十度，小一点是可能得到四十五度的啊，上面是符合要求的， 那符合要求的话，那这种情况就存在，存在的话我们来找找角度啊，因为这四十五度，这是垂直的，这里呢也是四十五度，那么剩余的这个 a、 c、 e 呢，就是一百八减四十五度，就等于一百三十五度， 那至此呢，我们通过这个顺序啊，就是啊，全部探讨完了，所有的结果呢，就是点一在上方的啊，就有，哎，四十五度，一百二十度，三十度，一百六十五度，一百三十五度啊，这五个答案， 但如果说对点一没有限制啊，我们这个答案会变成十个哎，但而且另外五个的也非常好算啊， 他一定是互补的，就他如果四十五度，他转到另外一面形成的假角就是一百三十五度，其他的就是同底可得，因为他是直接写出答案嘛，所以这个就很快就可以解答出来。

这种题咱们讲过 n 多个了，出道就是压轴，那么今天咱们再来讲一个啊，就是旋转之后平行，或者旋转之后垂直，这里是不是旋转之后平行了，而且是谁呢？三角形 abc， 绕着自己的顶点 a 去转，然后说平行，那正常来讲，我们就看一下啊， 原来人家三角形 abc 好 好的，有三条边， abacbc， 现在呢，他旋转了之后，那个情况是不是 a 还是 a？ 但是呢，有 ab 撇，有 a c 撇，还有 b 撇 c 撇啊， 那他们最开始的状态我给他画一下啊， abc， 那 么最开始他们没动的时候， b 撇是不是就是 b 啊？ c 撇是不是就是 c 啊？一个意思，那么旋转后三角形的一边呢，是不是就三种情况， ab 撇， a c 撇， b 撇 c 撇。我讨论一下子， 还是那还是那样写啊？ ab 撇啊，这样的啊，我还要写个他们初学的夹角， 还有这个最终的夹角，然后呢，就是一个旋转角了， a b 撇，有没有可能平行于 a b？ 你 这都共零减 a 了，你有没有可能 a c a b 也不可能平行于 b c？ 好， 我们再来一局，那 a c 撇呢？ a c 撇，不可能平行 a b， 不 可能，也不可能平行 a c， 只可能也平行于 b c。 哎，也是啊，那么 b 撇 c 撇呢？ b 撇 c， 它可不可能平行于 a b？ 当然有可能了，是不是他说绕着点 a 动啊？有没有可能平行于 a c？ 有 可能平行 a c 也可能啊，是不是，对吧？所以我们来看一下啊， b 撇 c 撇，是平行于 a b 撇， b 撇 c 撇平行于 a c 撇，那么 b 撇 c 撇，有没有可能平行平行于呃 b c 呢？ 哎，不是，哎呀， ab 啊， sorry sorry 啊，这脑子不好使了，大晚上的就是下面是这些，这些是动，动的啊，动了，动的，上面，上面是定的， 下面是动的。好吧，然后的话，我们看一下 b 撇 c 撇有没有可能平行于 b c， b 撇 c 撇和 b c 最开始的时候夹角是零度，对不对？他要再旋转一百八才有可能平行的，是吧？所以，嗯，旋转角小于一百八啊，所以只有这三种情况啊。 好，我们看，一个一个来吧，速战速决啊。 ab 撇平行 bc， ab 撇最开始的时候平行 bc， 我 们看他们的夹角， 最开始的夹角，比如我认为这个是夹角吧。啊，那个断角也行啊，都一样啊。嗯，这个是六十度，对吧？你要知道，这个 ab 是 不动的，谁在动呢？就这个 b 撇 c 撇在动，他是逆时针在动，是吧？初十六十， 最终一百八的时候就会出现平行，因为我在这里换弦的中心了。这个题的和弦思路就是随便换弦的中心，好吧，但是你要知道，他们的假角是一百八的时候就平行， 对吧？因为加一是一百八，其实是共线，但是你换到旋转中线 a， 那 它就会平行，证明我们讲过理论很多遍了啊，所以呢，这种一百八，那这个 r 法就一百二， ok， 这就六十一百八，那 r 法就是一百二十度。好，同样道理，我们看 a c 撇，它平行于 bc， 你要知道谁不动， bc 不 动，开始夹角七十度啊，然后谁在动呢？ a c 撇在动， a c 要换换旋转东西啊，换到，换到这个 c c， 换到这个 c 这个地方来。好吧，随便换旋转东西，这才是这个题目的核心，最有营养的地方。 好，那怎么动？他是逆时针，动逆时针，然后转到，转到多少度？是不是转到一百八他就贡献？也就意味着旋转中心是 a 的 时候，他就平行，好吧，所以这里是七十，然后呢？一百八，然后一百一。好好写一下。 好， b 撇 c 撇平行于 ab， 我 们看啊， b 撇 c 撇在这呢， ab 在 这呢啊，这个是不动的啊，然后加角是六十度，谁在动呢？是不是他在动？ 好，他动一个不动，你会发现这个夹角在减小，六十减小到零啊，变化就是一个六十度，好吧，六十零六十啊， 嗯， b 撇 c 平行于 a， c， c 撇 c 平行于 a， c， a， c 不 动啊， b 撇 c 撇在动，而且逆时针啊，这里是不是七十， 对吧？假角就是最开始初十是七十啊，最终是零的时候，就意味着旋转中心为 a 的 时候平行，那么就变化了，一个七十，七十零，七十。好，嗯，所以这个结果就这四个啊， 一百二，一百一，六十，七十啊，这个度加上去啊，不对不对不对，这个题讲错了啊，重新来顺逆时针。我需要来强调一下，旋转中心是可以随便换的啊，就一开始呢，是三角形 abc， 他 只要转起来啊，就会形成一个三角形，什么 a b 撇 c 撇，大家懂我意思吧？好，但 a、 b、 c 是 不动的，谁在动呢？是不是 a、 b 撇 c 撇，对吧？因为照着点 a 吗？所以你要知道谁动谁不动啊。那第一种情况我搞错了，应该是什么， 你想 ab 撇 bc 好， bc 不 动， ab 撇的起始是不在这啊，我可以随意换选的东西啊，这个是定的，谁在动呢？是不是 b 啊？ ab 撇啊， bc， bc 不 动， 对吧？ ab 撇在动，那我们看动的话也可以标记一下起始夹角呢，它们的夹角是一个六十度，对吧？ 然后呢？逆时针，逆时针啊， ab 撇啊，就在这里转转转转转，是不是转到零度的时候意味着他们会平行啊？所以我出水是六十，我到零的时候他会平行啊，这个我为什么搞错了呢？就因为他这个答案 跟答案一律是对的，哎呀嘿，所以没有验啊，所以这个这个是转了六十度，是不是一百二？那我们看这个啊， b 撇、 c 撇和 ab， ab 是 不动的， 然后 b 撇 c 撇，再转完 b 撇 c 撇，呃，原来是六十， b 撇 c 撇，逆时针是不是要转个一百二十度？这个时候它们形成一百八十度，意味着它们会平行啊，所以这里是六十，我要最终呢形成了一个 e b 八 啊，然后我旋转了呢，一百二。好吧，这个是需要定一下的啊，但是。

第十题，在几何软件当中，三角形 a、 b、 c， 嗯，和三角形 d、 e、 f 这两个三角板按照图这样的放置，而且下面这个三角形是三十、六十、九十的一个三角形，上面这个三角形是等腰直，就是我们那个常见的一副三角板，还告诉我们这个 b、 e 啊，一定比 d 要小，也就是 d 要比这个小，哦，这个是小的，这个是大的，对吧？好，那么将三角形，哎，上面这个三角形旋转，绕着点 f 旋转，旋转到是顺时针旋转，是吧？就是按这个方向旋转，那么旋转到某个程度之后呢？使得我们的 b、 c 和 d、 e 是 平行的。哎，这个题就是送分题啊， 我们说过了，就是任何一个图形，他旋转之后，在我们之前的一个压轴题的那个课里面讲过一个原理，还记得吗？就是任何一个图形，他无论绕哪个点旋转，旋转之后啊，他跟某条直线的夹角的关系，跟旋转点没有关系。就好比这个直线 d、 e 和我们 bc 要平行， 和这个 b、 c 要平行，对不对？如果 d、 e 和 b、 c 平行，那也就是说他俩要如果要平行的话，他跟这个绕哪个点旋转有没有关系？没有关系能听得懂吗？哦，你是顺时针旋，我就一样顺时针，无论绕哪个点，我随便找一个点旋转，比如说我绕这个点旋和绕这个点旋，随便点一点就是旋转点， 就是旋转任何一条直线，绕某个点旋转之后和另外一条直线的夹角的大小，注意，我说的是夹角的大小啊，永远跟旋转点是没有关系的，那这个时候你看，如果要他跟他平行对不对？那你就看他是不是绕这个 e 角往上再旋转一个多少度啊？你看他现在是， 你看现在这个是三十，这个是四十五，总共是七十五。那如果要跟他平行，是不是要保证这个是个直角，因为这是个三十，这是个六十吗？所以这地方已经是什么呀？已经是垂直题目给的一个垂直，对不对？ 好了，那么这个地方呢？我们很快就能够得到，如果需要他们俩平行的话，是不是只要怎么样，只要这个垂直就行了？这个垂直呢？只要是在往上面绕多少度？哎，顺时针旋转十五度，所以这个角 d f a， d f a， 就是 这个。问这个旋转角吗？旋转角是十五度，因为他无论到哪个点，他的旋转角肯定也是一样的，所以是十五度。这个题目结束啊，就是如果这个听不懂的话，就听我们前面几次讲的那个，因为当时讲的很详细啊，这个就不去重复讲了。 当然你也可以什么，你就按照这个题目，你画图，把图画出来呗，是不是你把图画出来也是可以搞定的啊？你看比如说这个旋转过后是什么样的一个图呢？大概你画一下，我用红笔画啊。 旋转之后是不是相当于这样一个等腰值啊？也就是要保证他们是平行的，但这个图可能画的不太准确，这样，哎，就是比如说此时地到这了，是吧？哎，要求的就是这个角，那你看如果这个跟这个平行的话，这两条线平行，要求这个角，哎，这个咋求啊？你看这个角， 这个角怎么求呢？你看这个中间就是个直角，这两个角一定是互余的，对不对？整个这是个平角，中间是个直角，左右两边是什么？ 是互余。当然你用这个方法就很普通了，就就是可能稍微麻烦，你画个图就出来了。那么你看这个角怎么求啊？这个角太好求了呀，是不是因为我们说了 e 点是在 b 点的正上方，这题目给的呀？是正上方，所以这是个直角， 对吧？这是个直角，这是三十度，所以自然这个就是六十度，这个是六十度。那么看这个跟这个是什么平行的，这也是个直角，这是个直角，这四十五度，所以这个角也四十五，所以这个角四十五，这是十五。结束 也可以求出来，但有点麻烦。你只要记住我们之前讲过的一个原理，就是任何一条线段他绕哪个点旋转，无论，无论他绕那个所绕的那个点啊，随便是哪个点不重要。那么旋转后与某一条直线的夹角的大小永远和那个旋转中心没有关系， 听得懂吗？他没有关系，无论他绕哪个点旋转。好。第二小问，将图一中的三角形 d e、 f， 这个 d， e、 f 怎么样呢？绕着这个 e， 注意他现在绕这个 e 怎么样？逆时针旋转，刚才这个是往这个方向，两个方向不一样，就是这个是逆时针，往这个方向，这个是往这个方向的， 对吧？好，逆时针旋转一定角度之后，使得点 d 呢？是落在这个边 bc 上啊，那你看 d 在 这的，现在要旋转到这，旋转完之后三角形就长这样子，你先根据他的题目条件把图画出来，这题就是很形象嘛，做起来也很简单。 好哦，那这个时候当我们的 d 呢，落在这个 bc 边上，此时的等腰值是变成这个，好过点 e 做一条平行线哦，平行于 bc 啊，这是个平行线，那么现在做角，平分线，直线 dm， 直线 dm dm 在 这平分角，这个很小的角啊，平分这个角什么呢？我把它放大一点，平分这个角 bdf， e， d， f 是 吧？那么注意这两个，既然角平行，我就设两个 y y， 这两个相等角设为 y y， 可以 吧？好，直线直线什么 e， n， 平分角什么？它是平分角 g， e， d 的 哦， g， e， d， 哦，所以这两个角相等，我设为 x x， 没毛病吧？ 这两个角设出 x x， 在 图二中按上述补全图形，不需要用指位做，就不用指位做，随便做，你只要把它图画出来，画出来的目的就是为了更形象。下面直接写出这个角的度数，让你直接写，你就不用写过程吗？那不更好吗？ e n e n 啊，这个 e， n d， e n d 在 哪里？ e n d， 哦，就是这个角， 那这个角 n 怎么求呢？哎，这个角 n 怎么求呢？哎，简单的哇，你看根据这个题目能不能看得出来，这个三角形的一个外角是不是等于两个内角合，所以我们要求这个角 n 啊，其实就是这个角，这个角是谁？四十五加 y 吧，是不是四十五加 y， 再减去这个角，这个角是 x 哦，所以咱们要求的就四十五加 y x 是吧？咱就求四十五加 y x， 那 么我们把这个 y x 把它放在一起，就是四十五减去括号 x 减 y 吧，能看懂吗？哦，原来就是四十五减去 x， 所以 这个题目的目标就是求 x y 的 差，那 x y 的 差，这个太简单了，你看这个是个两直线平行 内错角相等，所以两个 x 它其实是等于什么？等于四十五加两个 y 的。 哦，两个 x 等于四十五加两个 y， 所以 两个 x 减减两个 y 就是 四十五，所以 x 减 y 就是 二十二点五。哦，这个 x 减 y 是 二十二点五，所以我们要求这个角出来结束二十二点五，好简单吗？对不对？哎，这个很简单。第三题的这个第一小问，我们来看一下 他说张图一中的三角形，哎，此时此刻，你看这个三角形不转了，我现在转的是下面这个小三角形。三角形 a、 b、 c 绕 b 旋转。哦，他，你注意，不管他绕哪个点旋转，那此时的原本的 d、 f、 b 三点贡献，他依然是贡献的，对吧？啊，那这个三点依然是贡献的，这个是不变的事实啊。 既然依然是贡献，那这个时候呢？这个下面小三角绕 b 旋转，旋转到什么呢？旋转到使得我们的 b、 c 和我们的 d、 e 平行，这两条平行。根据你要知道， d、 f、 b 三点本来就是共线的，无论你怎么旋转， 我这个三个点贡献，因为 b 没有动，对不对？所以你这个角跟这个角相等，是不是四十五度啊？这个角始终是三十度，三角形的这个角永远是三十度，所以此时此刻这个角十五度。 哎，所以他题目要求什么？求角 d f a d f a 这个角减去角 f b a f a b 减这个角， 那根据三角形的一个外角等于与它不相邻，两个内角和，所以你看一个外角减其中一个内角不就等于另外一个内角吗？所以他求的就是这个角，这个角是十五度 啊。那你如果你这个题目写十五，那不好意思，这题你一定会扣分。为什么？因为它是个动态问题，所以动态问题你要考虑到一个什么问题呢？就是你保证这个 b c 和 d e 是 平行的，那你再想，如果这个三角形多旋转一百八十度，比如说我这个 b c 旋转到他的对面多旋转一百八十度，他是不是依然会跟他是平行的呀？能看得懂吗？当然这个图画的不准确啊， 所以我只要多旋转一百八十度，是不是也是 ok 的？ 那多旋转一百八十度的图你也画？如果你其实无所谓了，你要知道 现在旋转的角是十五度，如果多旋转一百八十多旋转一百八十度，是不是到他对面了？那么到他对面之后，相当于我旋转角变成了多少？一百九十五度吧。那么一百九十五度的时候，那你看相当于这个角，你看原本是 原本是 b a 在 这，是吧？ b a 到这，所以这个相当于是一百九十五。那咱们要求的这边的这个角是多少度呢？你要记住他求的是哪个角？虽然我们旋转角是一百九十五，那我们要求的是 d f a， 你 看 d f a 这个角 减去角 f a b f a b 减去这个角。哦，根据三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和。所以用这个角减这个角，是不是还就用这个角减去这个角，这个角不就等于这个角吗？啊？你看这个角是一九五，所以我们要求这个角不就一六五吗？哎，结束 这个好简单吧？好，最后一小问。最后一小问其实也不难，就是关键你要把图画出来，那么这个，因为这边图我都用了啊。来看一下，下面我们重新看这个，最下面这个，他说若 e 角 e， 哎角 e 于什么于角？ a b c a b c 的 角平分线所在直线所在直线交于一点 q， 注意，这是个动态问题，它的焦点有可能是在这个下方，那有没有可能这个焦点它旋转到某个角度的时候，使这焦点跑到上方去？肯定有可能，所以你要考虑两种情况啊。那我们看第一种情况，如果焦点在下方，注意它是角平分线所在直线的焦点， 所以你一定要考虑到哎角面，既然角面所在直线，如果他在旋转他的对面的时候，旋转到他对面，就是相互反向延长过去，他的角面是不是还是这条线，他的焦点是不是依然是他啊？但这个时候我们所求这个角度是会发生变化的。好，那我们一个看啊， 先把这两个角的边线画出来，这是很简单了，根据题目画图，画完图之后告诉我们这个角是二十七，然后题目要求的是什么呢？ dba， 找找看， dba 在 哪里？ dba， 哦，就是我图中标的这个 r 法。那 r 法这个角咋求呢？你看这个角是四十五，所以 x x 都是二十二点五，这个角是三十，所以 y y 都是十五。 他又告诉我们这个角，那不就送分了吗？要求 r 简不简单呢？你看这个三角形当中，这是二十二点五，所以这个就六十七点五吧。那我们看咱们所要求的 r 是 个什么东西啊？是不是三角形的一个外角？六十七点五等于二十七度，加上这个 r 加 y， y 是 十五吗？所以对于我们来说， r 很 快算出来是等于二十五点五，很好算吗？用六十七点五减去二十七就等于四十点五，四十点五再减十五，那不就是二十五点五吗？对吧？啊？这个是二十二点二十五点五，这个题目第一个， 那么你看啊，因为我们知道他说角平面所在直线，那我们只要把这个三角形啊，把它怎么样反向延长过去，就这个延长到这个位置来，相当于他旋转到这个位置的时候，你看此时的角平面，是不是依然是这个角平面啊？只不过球的角发生了变化，你看 dba 在 哪里？ dba 变成这个角了。哦，你看这个角和阿发啥关系啊？ 很明显他俩是互补的关系，所以我们要求这个角直接用一百八减去二十五点五，所以等于一百五十四点五，这个要不你都不需要再去画角平面线再去，怎么？反正这两个角一定是互补吗？所以这个题目就结束了， 那么我们再看，对于这个题目，刚刚我们说焦点是在下方的，那这个 q 的 角平面焦点有没有可能在上方呢？也有可能啊，那我们可以画一下在上方的图，你自己看一下。哎，首先这个三角形不变，这个三角形呢，你把它旋转到这个位置，此时这个角平面所在直线和这个角平面所在直线的焦点是不是跑到上方去了？这个角依然是二十七，那么求题目要求的是 dba 这个角， dba 这个角，那这个角咋求嘞？ 咋求啊？一样的呀， x、 x 相等都是二十二点五，所以这个角是不是六十七点五啊？这个角又是二十七，所以瞬间我们知道这个角是不是用一百八减去六十七点五，再减去二十七啊？看得懂吗？那么我们要求的 d、 b、 a 是 不是就用哎？一百八减去这两个角，再加上这个 y 加上十五啊？所以一百八减去这两个角，加十五等于一百点五，哎，所以这个角是一百点五，很快就能算出来。 好，那另外一种，你把它反向过去，就是到这个角是这个角。哦，这个角跟这个角啥关系啊？ 互补吗？所以用一百八减去一百点五，所以答案就是九十七点五结束。最后综上一下，我们所要求让你直接写答案吗？直接写答案的四个减噔噔，是不是四个啊？二 十二点五，一百五，十四点五，一百点五或者九十七点五就可以了啊。这个一二三三小问，这个三小问看似好像题目挺长，好像很难，其实这个题目它的难度并不是很大，它你看都没有让你写过程，直接写答案，你只要把图画出来，答案不就出来了吗？很简单啊。

利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置测量的数据。如图，则桌子的高度是多少厘米？这里边呢？未知数。对于这个木块来讲， 它这一面的长和宽是多少我其实都不知道，桌子的高度是多少也不知道，所以其实是有三个未知数的。不着急，我们可以先去设一下， 这个长是 x， 然后这个宽呢是 y， 桌子的高度是 h， 我 们看看能得到什么样的等量关系。 那对于图一而言，这个八十是由一个 x 和一个，这是多少？这是 h 减掉一个 y， 所以 x 加上 h 减 y 就 会等于八十。 那右边七十，它应该是有一个 y， 然后再加上这段，这段是 h 减 x， 所以 就是 y 加上 h 减 x， 也就等于七十。哎，大家有没有发现，左边的这个等式当中正 x 负 y， 右边这个等式当中负 x 正 y， 那说明我们把一式和二式给它一加， x 和 y 是 不都消掉了，就可以得到二， h 就 等于一百五，所以 h 就是 七十五。 这道题出来了，如图，由五个相同的正方形组成的十字形纸片，沿直线 ab 和 e、 f 剪开后重组，可以得到我们的长方形 abcd。 那 么 二可以看作由一通过一次什么得到的啊？那在这里很明显，我们应该是 a 作为我们的旋转中心，然后由一给他进行顺时针旋转了九十度啊，然后就得到了我们的二，所以说这里应该是通过一次旋转得到的。 接着继续往下走呀，走呀走呀，我看有有有，有这么一个结果吗？比如说这个例题三，我们是选它一个得啊？例题二给了例题四，给了例题五，没有。

旋转呢，是我们在做辅助线里边的一种高端方法啊，他往往会出现在一些相对比较难的题目当中来，比如说我们这道题啊，如图，已知点 p 为 等边三角形 a、 b、 c 内一点，若 p a 等于一个三厘米，我们可以标在这啊，这是个三，然后 p b 等于一个四厘米，以及我们的 p、 c 等于一个五厘米啊。其实看到这三个数据的时候，我估计大家的第一反应是不是勾三股四弦五是吧？ 它是我们满足我们勾股定律的逆定律的，但是很遗憾，目前这个三四、五是不是不在同一个三角形当中，对吧？题目最后呢，要求图中 p、 b、 c 的 面积，也就是我们这个阴影部分的面积了， 那现在怎么来处理呢？其实在这是不是有一个鸡爪模型，对吧？我们在这其实有三组鸡爪， a 点这有一组鸡爪，是吧？ 所谓鸡爪模型呢，就是从同一个点啊，引出了一些不同的线段啊，比如说我们 a 点是不是引出了三条线段，那么往往在这三条线段里边，有两条是相等的，有一条呢，跟它们不一样长，就形成了一个类似于鸡爪这样的形状 啊。在 b 这是不是也有鸡爪，对吧？在 c 这也有鸡爪啊，没有三组鸡爪。那现在呢，出现了鸡爪模型，我们就应该要旋转，那怎么转呢？其实随便怎么转都可以啊，因为这道题的做法不为一啊，起码有六种转法。 那如果是不用费脑子的话，题目求什么东西，我们一般就转什么东西啊。你比如说我们现在要求的这个 pbc 这个三角形转出去， 它怎么转呢？它既可以绕着 b 点啊，然后逆时针方向旋转六十度，也可以绕着 c 点顺时针方向旋转，一个六十度都能把它做出来啊，就是要绕着那个鸡爪的顶点来进行旋转，那我们在这呢，我就绕着 b 点吧。好吧， 呃，其实是构造了一个等边三角形， 然后再连接一下啊。这个点呢，我们假设它叫做屁撇，我相当于是把我们的三角形 b p、 c 绕着点 b 啊，然后逆时针方向旋转了个六十度，变成了我们的 b p 撇 a 了啊，因为我们转的是一个六十度，是吧？ 所以导致我们这个角它就应该是个六十，而我们的 b p 是 等于 b p 撇的，所以这个边是不是应该等于四？在这个图中是不是就出现了一个等边三角形， 对吧？我们的屁撇 b p 就是 等边三角形了啊，等腰外加一个六十度，那意味着这个边它是不是也等于四，而我们的这个五啊，也就是我们的 pc 是 不是转到屁撇 a 那 去了，所以五就跑到这来了。我们的三四五是不是终于在同一个三角形了？ 那得到我们上方这应该是个直角三角形，下方呢？这是一个等边三角形。好，得到这些结论有什么用呢？ 我们的目标是不是要求这个阴影部分的面积，它已经跑到我们的这个 b p 撇 a 那 去了。好，那我们的思路是这样啊， s 三角形 b p、 c 的 面积应该等于 s 三角形 b p 撇 a 的 面积啊， b p 撇 a 的 面积，那这个的面积，我们可以用四边形 a p b p 撇啊，可以用这个四边形啊，它是等于 s 四边形 a p b p 撇的面积减去一个 a p b 的 面积是不是就可以了，对吧？ 减去一个 s 三角形 a p b， 好， 那这个四边形的面积怎么求呢？ 是不是已经拆分成上方的一个直角三角形与下方的一个等边三角形啊？这里面的数据我们都知道，所以整个这个四边形的面积，它应该等于。首先我们上方那个直角三角形是不是三乘四除以二， 对吧？底乘高除以二。下边这个等边三角形呢？我们可以用等边三角形的面积公式啊，也就是我们的四分之三啊，加上一个四分之根号三 a 的 平方啊， 等边三角形面积公式叫做四分之根号三，乘上 a 的 平方，其中 a 呢，是这个等边三角形的边长，那是不是乘上了一个四的平方？这样我们四边形的面积是不是就已经把它表示出来了？那下面我们要求什么呢？我要求这个三角形 a p、 b 的 面积， 怎么求 a p、 b 的 面积呢？其实我们也知道了，这个边等于三，这个地方有个九十度，这个地方有个六十度啊，那在这是不是总共有个一百五十度？我们的 a p b 一 百五十度，那一百五十度往往考察什么呢？ 是不是考察三十度是它的外角，所以我在这如果把我们的 a p 当做底， 我在这过点 b 去做一个垂线，这个垂足假设它为 h 的 话，那么 b h 是 不就是 a p 这个边上的高了，对吧？ 呃，那现在怎么来求这个高呢？我们刚刚说了，这个角是不是等于一个三十度的，那三十度所对的直角边，它应该等于斜边的一半，而我们的斜边是不是等于四的？所以这个高它就等于一个二了。那问题又结束了，那再减去一个什么？应该是三重上二再除以二，对吧？ 减去一个三乘二，再除以，剩下的就是一个化简的过程了。这个二和四约一下，剩个二，二三得六，加上一个四可以约掉一个，那是不是四倍根号三 是吧？然后再减去二和二约掉，是不是减个三，那六减三等于三，所以我们这个东西最后算完呢，是我们的三加四倍根号三啊。 这道题需要总结的地方，第一个啊，我们如果出现了这种鸡爪模型，从同一个点引出了一些不同的线段，当然其中必有两条是相等的啊。这个就是我们鸡爪模型的时候呢， 我们需要用旋转来做辅助线啊，你可以把这里边的转出去。我说了，往往会有六种转法，对于等边三角形而言，会有六种转法都能做出来。 呃，比较简单的转法往往是题目求什么，你转什么啊？求什么转什么。另外一个呢，就是我们在这些求面积的时候啊，注意他用到了很多的技巧，比如说我们的等边三角形的面积公式等等等等。好吧，那这道题我们就讲到这里。

大家看这一道最新的考题啊，就是一个三角板绕着另外一个三角板他转，然后后面呢？平行了，垂直了，求旋转的时间。 每年都有很多家长问我， ok， 所以呢，我把这个底层逻辑啊，用十来分钟的时间给大家讲清楚，讲明白以后你再遇到这样的题，你说两分钟我还拿不下，我是不相信的。来也是重点，这学期他也是重点， 如果你上学期欠了这个账啊，这学期咱们给你补上啊，你一定得认真听。呃，我们先把这个基本的知识给大家记一下，就记在那个练习三的最下边啊，就旋转它旋转后 几开始记啊，平行或者是垂直， 我们遵循一点啊，哪一点呢？就是线段绕着哪个点转不影响他的位置关系， 大家记一下线段绕着哪个点，一会我来解释哪个点转不影响 位置关系。 所以我来转的时候我可以换旋转中心，我可以换旋转中心啊， 所以旋转时，所以旋转前可以换旋转中心。 好吧，好，第二种思路啊，第二个就是思路二了，思路二那可能就更快了啊，可能就可能就直接你理解了思路一之后，然后就会有思路二啊，理解了思路一之后会有思路二。就是啊， 呃，一条边旋转，他跟另一条边是有一个夹角啊，到最后的时候我研究啊，就反正起始的时候有一个夹角，后来呢 平行了或者垂直了，他一定是转了某种度数才达到这样的一个效果，才达到平行或垂直的效果，对吧？好，那我们就关注什么呢？我就关注哎，他们最开始的时候他们的夹角起始夹角是多大？ 然后我再看这个假酒的变化趋势，它是变大，你要么你要么变大，你要么减小嘛，对不对？然后我再看什么呢？然后我，然后我再去算 它旋转了多少度啊？旋转度数。 好，我们先解释第一点，就线段要是某个点转啊，不影响它在平面上的位置关系 啊，或或者是直线吧，直线绕着点转，其实一个意思， ok， 那 我们就来解释一下， 比如说有一条直线，他的名字叫 l 啊，他直线本来就无限长，对吧？然后呢，我们让他，让他绕着，比如说吧，我们让他绕着 a 点来转，呃，绕，绕着 a 点转 啊，绕 a 点转多少度呢？嗯，绕 a 点，我们来个逆，呃，逆转，不是不是逆转啊，顺转的啊，咱们等等，咱们喜欢顺，是吧？顺转六十度吧，六十度。 好，那我们可以怎么转呢？那我是不是用两在直线上取两个点代表这个直线 l？ 这，这可以吧，我就就直接呢，我就选两个点给它代表了啊，就 m n， 然后 n 代表这个直线 l 了，然后呢，我就让 a n， 我 就让 a n， 是吧？顺时针转个六十度，这没有问题了，我就让 ai 顺时针转六十度。那转到哪去了？就转到这里来，转到这里来，可以吧？转到，哎，等会给他加长，加长好，那么 n 呢？他就到达了 n 撇的位置， 而，呸， m 到达了 m 撇的位置啊，我的嘴呀。嗯，然后我们再绕这个点 n， 绕着点 a， 顺时针转个六十度，没有问题啦。好，那我就让点 n， 再绕着点 a， 顺时针转个六十度转，转，转到这，嗯， 你看它得是六十啊，你得画的上一点。好，那 m n 是 不是就在直线上的两点就代表了这个直线了？ 没有问题吧？那我接下来，我我我就我，我就连接 m n 就 行了呀， 对吧？连接 m n 了，连接 m n， 哎，还稍微有点。连接 m n， 请问这是不是直线 l 绕着点 a 瞬时间旋转六十度，那这里面 阿拉法就等于六十度啊。阿拉法，你记一下，阿拉法就是六十度，阿拉法等于六十度， ok， 阿拉法在哪呢？那很明显这是阿拉法，这没有问题吧？这这这这，这就是阿拉法， ok 吧？ l 绕着这个点 a 转到六十度，是不是其中的加角就是阿拉法吗？当然，还有一个角是一百八减。阿拉法。我们说了啊，我们就看这个阿拉法就行了，因为我写的是六十度嘛，对不对？你就不用看那个。好， 那我在那，如果说我这个 l 啊，我也还是旋转，但是我把旋转中心给换了，我把这个换了。我，我们把这个啊，我把旋转中心给换了，比如说我给它换成，换成了 n， 然后咱们看 l 绕着 n 旋转，它在平面上会达到一个什么样的效果？可以吧？那我仍然在这个 l 上面找两个点，比如说 p q 吧，可以吧？我要找一个 p， 我 要找一个 q， 呃，我们远一点，哎，要不然我待会还要一个点，呃，不，呸，在这吧，好，我们找一个 p， 呃，找一个 q， 可以 吧？好，我让 n p 绕着点 n 顺时针转个六度转到这，嗯，好，我们转到这啊，我故意转到这，哎，我就让他转到这， 嗯，行行行，好，然后我再让安丘我顺时针转个六十度，我要给他转到这，这一点问题都没有吧？可以吧。然后我再连接 p 丘是不是画条直线连接一下 连接一下。哎哎这有点问题啊有点问题有点问题。等一下啊等一下。 怎么这画的不准怎么得怎么画一个很准的才行啊要不然的话会容易出问题的。 貔貅好，在这儿貔貅 好，你来看啊。呃 p 到达了这个 p 撇的位置吧哎 p 撇的位置 一撇然后丘呢到达了这个丘撇的位置好，你看啊 l 绕着。呃 哪个点？我这里起了 n 点。妈我我我绕我我再起个名字换个名字啊。这个这个这个名字怎么跟前面重复了。我们绕着这个绕着 a 撇点我就随便起了个名字就 a 撇 ok？ 哎你发现没有这这这两个什么关系？什么关系？因为我这个是不是转了六十度所以所以这个旋转角是不是六十度啊？是不是也是阿勒法？请问我 l 绕着点 a 转了个六十度到这 l 的 点 a 撇转了就到这 这是 l 一 这是 l 二吧。 l 一 l 二什么关系 啊？哎等等会大家大家可以分一下平行啊平行一下有肯定能看出来。是不是因为我阿尔法都是六十度吗？对不对？然后大家接着继续看。我如果说我这个 l 绕着 我就直接在在他上面点一个点转个六十度呢？我直接在他上面点一个点转个六十度我绕着 a 两撇转个六十度 可以吧。我我我这个脚六十度你发现什么关系？当我旋转中心 啊我直线 l 我 我这个旋转中心我是三个的时候我无论是绕着 a 转还是 a 撇转还是 a 两 a a 两撇转， 这个 l 在 平面上跟其他边的位置关系没有变化，为什么？因为你形成的 l 一 也好， l 二也好， l 三也好，它们是平行的。就你换了旋转中心之后，你发现 啊，你随便换旋转中心，但你旋转角度一样，你会发现它形成的啊，它就它旋转之后的样子 是平行的，对吧？绕到 a 平顺六十度到这，绕到 a， a 两撇平顺六十度到这，绕到 a 撇，哎，绕到这个这个 a 撇平顺六十度到这。这三条线平行， 不改变位置关系啊，不影响位置关系就不影响什么呢？不影响。比如说我，比如说，比如说我原来，比如我举个例子，比如说我，比如说我这里有有一条直线，我有，我有一条叫 ab， 是 不是？那么你 l 绕着这个 啊？不是，我我我我，我们叫叫叫叫叫叫 c、 b 吧。比如说你 l 绕着这个 a 旋转六十度，跟 b、 c 的 夹角是不是这个度？是不是这么？是不是？是不是这么大？那么你绕着 a 两撇旋转，那么你跟这个 b、 c 的 夹角是不是还是这么大？ 是不是还是这么大？没有问题吧？所以我为什么可以换旋转中心？原因就在这里。不影响。怎么计算？不影响他旋转之后跟其他边的位置关系的。 好，这个我们已经讲结束了，如果你不懂的话呢？我们这样的啊，把这个题算完，咱们休息好吧？把这个题算完，咱们休息。 这个题算完休息，可以吧？这个题算完怎么休息好吗？这个题算完怎么休？现在不休，不着急 不着急。呃。嗯，你，你算一下啊，这是上学期的压轴题以及本学期的上学期的高难度，本学期的中高难度。好吧， 不是咱们，我说咱把这个例题十算完，咱休息一下啊，不是你这这几分钟都坚持不下来吗？各位亲爱的朋友们不至于吧。 好，算完之后你私聊我一下。哎，等一下啊，我简言允许私聊啊，因为这个是每个同学都要会的啊。 郝晴同学，苏雨桐同学在的话打个打个一私聊我打个一。 好，这个你如果算完了啊，我估计你如果真正的理解了他们说的话，哎， 就我希望你以后在遇到相同题型的时候就这种题啊，就那么几种情况，你算每种情况基本上二十秒钟，每种情况最多不超过五十秒钟啊，就就就两三分钟一道题就搞完了。就就是我说这种难度的 四或八， 我的错， 我们说等会说一个快的方法，等会啊，其其实就算完了之后其实就就是殊途同归了啊。二四十差点意思。 小王啊，你你你不要把一串代码打出来啊，你打出来是一串代码，我不知道你，你是不是应该发一个图片啊。好的啊，雨宁雨宁，呃，你先别休息啊，因为一会你还得听我讲一讲 宇宁同学的是没有问题的。我来说你听，因为这种题都练过好多遍了好吗。 呃，角 e 等于角 abc 等于三十度啊，这就你知道这两个三角形它们它们三个角度数是一模一样就行了啊。就是你看它这是有点像，就是双胞胎吧，长得还是像龙凤胎，长得有点不太一样，是不是其实它们是一模一样的。好吧，一模一样的， 人家说了两个完全相同的啊，先将图中的 a、 b、 c 绕着点 f， 每秒我去转它一个十五度，我还逆时针啊，每秒十五度，逆时针，这个怎么画一下？逆， 呃，旋转一百八十度，在旋转的过程中，三角形 a、 b、 c 恰有一边与 d e 平行，与 d e 平行的时间为多少秒？ 那么不出意外的话，首先我觉得你最起码你得知道它有三种情况，怎么可能是两个呢？是不是，对吧？因为 a、 b、 d 有 三个点啊，所以有可能是 ab 平行于第一，也有可能是 bc 平行于第一啊，当然有可能有一种情况不行，是吧？还有可能是 a。 嗯， a、 c 平行于第一，这个没有问题吧？ 是不是三种情况？你发现没有，这三种情况都 ok， 其实都 ok。 为什么？因为他转一百八十度，而且呢，那个旋转中线你别忘了啊，旋转中线是点 f， 你 别以为他绕，他绕点 b 转，他是点 f 呀， 对不对？他绕着点 f 转，有的同学以为他绕着点，哎，我不是绕着点 b 转吗？我绕着点 b 转，这个 ab 跟 b、 e 他 不可能平行，为什么？因为他们公，因为他们有有有交点，是不是？ 他不是绕着点 b 转好吗？好，那接接下来看咱们的表演。好的，明哥瑞奇啊，只唱少了点意思，来第一个吧， ab 平行于 d、 e。 那 你看吧， ab 和 d e。 你 听我讲啊，我们换旋转中心啊。旋转中心确实是 f， 但是我现在 我们说过，你换旋转中心不影响位置关系，那我就把旋转中心我换成 b， 可以 吧？我换成 b， 你 来看啊，我给他们两个画出来 就是你一开始吧，你的假角多少度？一开始他们的假角，你一算他就是一个三十度，因为这里是六十，这里是三十，所以这个角三十度。好，三十度。我，逆时针，转转转转啊，你来看， 我念时间，转转转，从从三十度开始转啊，我念转转转转转转转转转到这里的时候会发生什么？会发生，比如说我们起个名字叫 a 撇吧， a 撇 b 跟 b， e 重合了， 但这是旋转中先是点 b 的 时候，这也就意味着当我的旋转中先是点 f 的 时候， a、 b 跟 d， e 就是 平行的。再来说一遍啊，我改变旋转中心，我把旋转中心原来是 f 改成 b 啊，然后，然后呢？起始的夹角是一个三十度啊，逆时针，我转转转转转，再转一百五十度，然后呢？我发现 a 撇 b 竟然跟 b、 e 重合了。 好，那我把权重中心我再还原回去，我我，我再啊，回到 f 这里的话，那么就意味着，那么那个 ab 跟 b， e 跟 d， e 是 平行的。因为什么？因为， 因为 a 撇 b， 他 根本不在这个地方，我换了旋转中线之后， a 撇 b 在 这个地方，我，我没有换呢，是不是？ a 撇 b 是 不是有可能在这里？是不是有可能在这里？是不是有可能在这里？对不对？但是， any way， 无论如何，你在哪吧？ 你在这里的时候确实是重合，但你在其他位置的时候你就换了旋转中心的时候，你是不是就比如这个，这个，这是 l 三 l 四 l 五，是不就意味着跟 d 平行了？好，我就说到这啊，所以第一个就是一百赚了，一百五除以十五等于十。 好，那接下来其他的就简单了，那我接下来看这个 bc 吧。 bc， 哦，原来的夹角呢，是一个六十度，然后呢，我就转转转，再转一百二十度，这个 bc 啊，就跟 d 逆重合了，当选择路线为 b 的 时候， 我从起始开始转一百二十度就同合，那么就意味着我旋转中心是 f 的 时候，我转一百二十度就一定跟第一页平行，好不嘞？所以呢，那这里就转了一百二十度，一百二十除以十五，对吧？好，第三种情况， a c 平行于 d e， a c 在 这， d e 在 这。哎呀，那我你可以延长啊，你可以延长，拿他们的角度是不是？这这这，我延长，我快延长啊，我就给大家延长一下，因为，因为确实有很多同学延长，那我们就对不对？入乡随土，我们也延长 延长一下，哎 哎，那这个多少度？不用说了吧，那肯定是三十度嘛，对不对？这三十度太好算了呀。啊，因为一个九十，一个六十嘛，好，你是三十度，对吧？ 然后呢，你 a c 是 逆逆时针，对吧，对不对？你 a c， 呃，那这个时候我这个旋转中心，我就直接改成，我，我随便换旋转中心嘛，是不是？我就给它这改成 o， 绕着点 o 来，这个 d e 不 动，这个他这个 a c 来动，然后呢，转着转，转个逆时针，转三十度， a c 就 跟 d e 重合了，那么就意味着旋转中心是 f 的 时候， a c 就 跟 d e 平行了。好了，所以其实就转了个三十度，三十除以十五等于一个二结束。 好，就讲这么多，休息到三点，嗯呸，两点五十， 嗯，三点零一，怎么样？咱们休息个六分钟，这个六是个很绝对的数字啊，三点零一，咱们这回有没有什么问题？有问题的同学你问好不嘞？ 因为原理理论八也是吉利数字呀。在这里讲了。呃，这不是问题啊。你你你还是说送点其他的，上次说的不是八吗？

正方形中 e、 f 的 分别是 b、 c 和 c d 上的两点， e、 f 多少度？四十五度，对吧？这就咱们常说的半角模型嘛。然后他说 b e 加 d f 等于谁？ e、 f， 你 看啊， b e 在 这呢， d f 在 这了， e、 f 在 这了，对吧？三条线段根本不在一条线上，是不是？所以说你需要什么来等它替换是不是？那怎么做？我可以怎么办呢？我可以延长谁，延长 c b 到点 m， 哎，使 am， 使这个 b m 等于谁？ df， 也就说用 bm 把 df 来代替了。所以呢，这个时候啊， b e 加上个 df， 是 不是？是不是就等同于 b e 加上个 b m 了？那等于谁？是等于个 e m 了是不是？那么这道题就变为啥了？变为证明谁了？对，证明 e m 等于谁 e f 了， 对，对不对？那么如何证明他俩相等呢？其实就证明谁了，证明三角形 a m， e 全等于三角形 a、 f、 e， 对， 对吧？那如何测它俩全等呀？你首先这个边是过过边，其他的发现什么都不知道， 对吧？那咋办呢？好说，你可以先证明谁，可以先证明一下。二题，三角形 a， d、 f 全等于二 t 三角形 abm， 哎，那它俩如何挣全呢？很好，好挣。首先 abad 和 ab 啥关系？相等，对吧？然后九十度，九十度， 哎，是不是？ 然后 d f 和 b d 啥关系？全的了？一全的以后呢，就会得到两个条件， d 是 a f 等于谁了。对了， am 第二呢，角一等于谁？角二 是不是？那你想啊，这个角一等于谁？角二是不是？那你想啊，这个角一加这个角三多少度？ 四十五度，那说明角二加角三呢？对了，也是四十五度，说明这角多少度了？哎，四十五度，这是不是就典型的边角边呀？哎，就可以证明是了 a m e 和 a f e 全大了，对吧？那么一全等的话是不是就得到了 b 加 b m 等于 m 也就等于是了 e f 了？ ok， 就 这道题啊，也是特别特别经典的题型。

我们继续旋转三角形的九大经典模型，今天我们看的是旋转模型，好，我们看旋转模型， ok， 好， 旋转模型，将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，这样的两个三角形分成为旋转型三角形。好，它有几个 几个情况啊？绕着这个点旋转，然后得到的这个旋转型的模型。好，我们看一道题，如图，等边三角形， a、 b、 c 角， a、 o、 b 等于一百一十五度 角， b、 o、 c 等于一百二十五度。然后现在我以 o、 a、 o、 b、 o、 c 为边构成的三角形的各角的度数分别是多少？好，这样一道题 啊，这样一道题，好像我们就无从下手，因为我要以 o、 a、 o、 b、 o、 c 为边形成的三角形，但是 o、 a、 o、 b、 o、 c， 它并不在一个三角形里啊， 所以这时候我们就想一想，我能不能通过旋转的方式把这三条不在一起的边给它变成一起？这就是我们旋转模型的一个非常有用的用处啊， o、 a、 o、 b、 o、 c， 本来它不在任何一个三角形里，但是我能不能把它变在一个三角形里呢？这是我们要想的。 好，那我们这个怎么旋转呢？我可以把这个三角形 b、 o、 a 绕着 b 点给它旋转一下，转到这个位置， ok， 转到这个位置，那这个旋转其实它有一个前提啊，我为什么能转到这呢？我为什么能转到这个？我能把这个 a、 b、 o 给它转到 啊，这点我叫做 d 点吧，怎么能把它转到 boa， 怎么能转到 bdc 呢？啊？那么这里边还有一个前提，就是它是一个等边三角形，等边三角形怎么样？这个 ba 等于 bc 啊， 所以这样的话，你把 ba 转到 bc 这条边是没有问题的，因为他俩是可以重合的，对吧？所以这样的话，重合了， ba 和 bc 重合了，就变到这了。好，那么这样一转的话，我们看看啊， 那这样一转有什么好处呢？我们看看，它本来是一个绿角加上一个黄角，它俩的和是六十度，那我这个旋转之后呢，这个绿角跑到了啊，这个位置。好，那这样的话怎么样？ 这样的话我再做一个连接啊，再做一个连接啊，这个时候这个旋转的话，我们知道它俩是全等的， b o a 和 b d、 c 是 全等的，那么这样的话， b o、 b o 和 b d 是 相等的，对吧？ b o 和 b d 相等啊，我们知道 b o 等于 b d， b o 等于 b d， 然后这个旋转我们知道一个绿角加一个黄角等于六十度，那我这个转完之后，这边还是绿角，所以这个角 o、 b d 也是六十度啊，这样的话，这个三角形啊， b o、 d， 它就是一个等边三角形，它是一个等边三角形 啊，所以这样的话啊，我们这么转完之后，这个 o b 其实它就等于谁了呢？ o b 其实就等于了 o d， o b 等于 o d， 然后呢？ o c 是 不变的， o c 还是 oc？ 然后这时候 o a 转到了 c d 的 位置， 转到 c d 位，所以这个时候本来没有联系到 o a， o b o c， 现在我通过旋转之后，我就得到了 o c 是 不变的， cd 就是 o a 转过来的，然后 o d 呢？还等于 o b， 所以 我现在要求这个组成的三角形的角度，其实我就是求什么呢？就是求三角形 o、 c、 d 吧， 他的三个角度各是多少就 ok 了，对吧？他的角度是多少就 ok 了啊，所以我们就求这个就可以了。好，那我就可以算一算，他等于多少啊？他的算法是什么呢？这个角是一百二十五度，而这个是六十度，所以这个角 d、 o、 c 就 等于一百二十五度， 减去六十度等于六十五度， d、 o、 c 等于六十五度。好，那我再看看这个角啊，我们再看哪个角呢？再看这两个角，这两个角的和我能不能算呢？这两个角的和啊，它应该等于角 a、 o、 c， 角 a、 o、 c 减去角 abc， 就 等于这两个粉色的角的和，对吧？这是一个模型啊，所谓的飞镖模型。角 a、 o、 c 等于角 a、 b、 c， 加上这两个分角的和，那么角 a、 o、 c 等于多少度呢？角 a、 o、 c， 这是一百一十五，这是一百二十五，它俩的和是，呃，一百四，那么角 a、 o、 c 等于一百二十度，一百二十度减去 a、 b、 c 是 六十度，所以这样的话，我应该得到这两个分角的和也是六十度啊，而这个分角转到这来了，所以这个角也是六十度 啊，所以这样的话，这是六十度，也就是角 o、 c、 d 等于六十度。好，那这样的话，我就知道了，角 o、 d、 c 了， 对吧？角 o、 d、 c 应该等于一百八十度，减六十五度，减六十度就应该等于五十五度，所以这样的话，这个三个角就成立了。这三个角分别是多少呢？五十五、六十和六十五，就是这道题答案，五十五度，六十度，六十五度就是这题的结果就 ok， 对 吧？所以这题我怎么办？ 我本来是 o、 a、 o、 b、 o、 c 没有联系，我怎么把它建立联系？通过旋转的方式，我把 a、 o、 b 给它做一个旋转，转到了 b、 c、 d 的 位置，对吧？这个时候没有联系的三条变给它变成有联系，所以这个旋转模型是我们一定要掌握的模型，旋转是我们初中的一个非常重要的一个知识点。好，这道题我们讲到这。