一至六年级所有图形与几何

小学几何想要不掉队，给他准备这套小学几何训练营。他把小学常考的八大几何模型、等机变形、一半模型等高模型，风筝 模型、鸟头模型、变尾模型、金字塔与沙漏模型都进行了整理规范讲解。每个模型都有详细推导过程和结论，每道题都有详细推导过程和结论，每道题都有详细推导过程和结论，每道题都有一步步画图讲， 孩子跟着学，思路会清晰搭配的练习册，及时练，学完马上巩固，查漏补缺。一本书学方法，一本书做对应的练习，每天二十分钟，提升孩子的几何思维能力。

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师，今天我们来复习立体图形。首先是长方体和正方，先来回顾一下他们的相同点、不同点以及之间的联系。先看相同点， 他们都有六个面，十二条棱和八个顶点。长方体的六个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形。比如这个长方体左右两个面是正方形，周围四个面是长方形，而且这四个长方形是完全一样的。 正方体的六个面都是正方形，所以长方体相对的面面积相等，上下一样，前后一样，左右一样。而正方体六个面面积都相等，因为它是六个完全一样的正方形。再看他们的棱长，长方体是长宽高各四条， 所以棱长总和是长加宽加高的。和再乘四，长有四条，高有四条， 合起来就是他的棱长总和。正方体十二条棱长度都相等，所以棱长总和等于棱长乘十二，他们之间的联系是，正方体，是特殊的长方体。正方体可以理解为他的长宽高都相等， 所以它是特殊的长方体。再看圆柱和圆锥，圆柱是由三个面组成的，两个底面和一个侧面。圆锥是由两个面组成的，一个底面和一个侧面，所以圆柱的底面是相等的。两个圆圆锥的底面只有一个圆， 他们的侧面都是曲面。圆柱的侧面沿高展开是长方形或正方形。什么情况下是正方形呢？当圆柱的底面周长与高相等时， 侧面沿高展开是正方形。圆柱的高是两个底面之间的距离，所以圆柱的高有无数条， 而圆锥的高是顶点到底面圆心的距离，所以圆锥的高只有着一条。然后是面动成体旋转的问题。以长方形或正方形的一边为轴，旋转一周可以形成圆柱。 例如这个图形，这是以长方形的长为轴，旋转一周可以形成圆柱。以谁为轴，谁就是高。另一边是底面半径，这里是以长方形的长为轴，那长就是圆柱的高，宽就是圆柱的底面半径。 如果以直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周可以形成圆锥。例如这个图形，以谁为轴，谁就是高。另一边是底面半径。那从不同方向看到的形状是什么呢？圆柱，如果从上面或下面看，看到的都是圆。 如果从侧面看，看到的是一个长方形或正方形，那什么情况下是正方形？当圆柱的直径与高相等时，我们从侧面看，看到的是一个正方形。再看圆锥，如果从上面看， 看到的是一个带圆心的圆，也就是一个圆中间有一个点，这是圆锥。从上面看到的图形，如果从下面看，看到的是一个圆，从侧面看是等腰三角形，这是他的两条腰。 底是圆锥的直径，高是圆锥的高，他们之间的关系就是等底等高的情况下，圆柱体积是圆锥体积的三倍。注意这个前提条件。再来回顾一下他们表面积和体积的一个推导过程。先看长方体的表面积， 我们是把一个长方形、长方体相对的面面积相等，把这六个面标上序号， 一和三是对面，二和四是对面，五和六是对面。如果五和六是前后，一和三是左右，二和四是上下， 那这一段是长方体的长，这一段是长方体的高，这一段是长方体的宽。前后两个面是长成高成二，上下两个面是长成宽成二， 这六个面加起来就是长方体的表面积。利用乘法分配率把二提出来，就等于长乘宽、加长乘高、加宽乘高的和再乘二。因为正方体是特殊的长方体，它的六个面是完全一样的正方形， 所以正方体沿棱剪开，得到六个完全相同的正方形，那正方体的表面积就等于一个面的面积乘六，一个面的面积用棱长乘棱长，所以正方体的表面积就是棱长乘棱长再乘六。 圆柱是由三个面组成的，两个底面和一个侧面，所以圆柱的表面积等于两个底面积加一个侧面积。如何求侧面积呢？ 我们将圆柱沿着高和底面周长剪开，侧面是一个长方形，这个长方形的面积等于底面周长乘高。 再看他们的体积，在推倒长方形的体积时，我们是用棱长为一厘米的小正方体摆成了不同的长方形。发现了一个规律，长方体的体积是一立方厘米， 这里有十二个小正方体，将它摆成一排，拼成一个长方体，那这个时候长方体的体积就是十二立方厘米。如果这样摆摆成两排，那这个长方体的体积还是十二立方厘米。如果摆成两层，每层是六个小正方体， 那这个长方体的体积还是十二立方厘米。所以无论怎么摆，长方体的体积都和小正方的数量相等，所以推出了长方体的体积等于长乘宽乘高， 而正方体是长宽高都相等的特殊长方，所以正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长，把这里的长宽高都换成棱长。 再看圆柱体积的推导，我们把圆柱底面分成若干等份，拼成一个近似的长方体，它们的底面积相等，高也相等。圆柱的体积就等于长方体的体积等于底面积乘高。得到了圆柱的体积公式， 就等于底面积乘高。那根据这个推导图，我们也要清楚它里面包含的其他信息。比如长方体的宽等于圆柱的底面半径， 长方体的长等于圆柱底面周长的一半。 pi、 r， 它们的体积相等，但是表面积不同，长方体表面积比圆柱的表面积多 多了左右这两个面用半径乘高再乘二，这是多的表面积。还有一个是长方体的前面等于圆柱侧面积的一半，也就是长方体前后这两个面刚好等于圆柱的侧面积。最后是圆锥的提推导， 我们把圆锥形容器里的水倒入与他等底等高的圆柱形内， 三次才能倒满，得到了圆柱与圆柱体之间的关系，圆锥的体积等于与圆锥等底等高圆柱体积的三分之一。最后通过这个表格来总结一下他们表面积和体积的计算公式， 都用字母来表示，长方体的长宽、高分别是 a、 b、 h， 所以 长方体的表面积等于长乘宽加长乘高、加宽乘高的和乘二。正方体的棱长都用 a 来表示，所以正方体的表面积等于六 a 的 平方， 一个面的面积再乘六，圆柱的表面半径为 r， 高为 h。 圆柱的表面积是底面周长乘高， 所以是二。 pi r 乘 h， 底面积是 pi r 的 平方，再乘二是两个底面。圆锥底面半径为 r， 高为 h， 圆锥的表面积等于一个侧面加一个底面，底面是一个圆， pi r 的 平方，侧面展开后是一个扇形，所以是一个扇形的面积加一个圆，是圆锥的表面积。长方体的体积等于长乘宽乘高。 正方体的体积等于三个 a 相乘，也就是 a 的 三次方。圆柱的体积等于底面积乘高，也就是 pi r 的 平方 h， 圆锥的体积等于三分之一，底面积乘高，所以前面添上一个三分之一。 那长方体、正方和圆柱，它们有一个统一的体积公式，它们的体积都可以用底面积乘高来计算。求圆锥的体积不要忘了前面的三分之一。 最后再来总结一下立体图形的切割问题。先看切一刀的情况，长方体如果这样切一刀，它的表面积跟原来相比增加了两个长方形，这一段是长方体的宽，这一段是长方体的高， 所以增加的面积用宽乘高再乘二。如果是一个圆柱，沿着横截面切一刀表面，你跟原来相比增加了两个圆， 所以增加的面积用 pi r 的 平方乘二。如果是沿着直径和高垂直切一刀，增加两个长方形，这个时候增加的面积我们用直径乘高再乘二。 最后是圆锥，如果沿着圆锥的顶点和直径垂直切开，增加两个等腰。三角形的底是圆锥的高，所以增加的面积 用三角形的面积再乘二。三角形的面积是底乘高。除以二，那增加的面积再乘二也可以化解一下，等于直径乘高，这是增加的两个等腰三角形的面积。另一种是变长或变短的问题，如果将长方体变长， 那它的表面积跟原来相比发生了什么变化？表面也增加了周围这四个面，也就是红色部分，上面、下面、前面和后面。如果将长方体变短，那它的表面积会减少， 减少的也是周围这四个面，上面、下面、前面和后面左右面是不变的，圆柱也是一样。如果将圆柱变长， 表面你增加的是这里的侧面，因为它上下两个底面没有变，发生变化的是侧面积，而侧面积刚好多了这一部分，所以增加的面积就是上面的侧面积。如果将圆柱变短，表面积会减少， 减少的也是上面这个圆柱的侧面积，因为它上下两个底面没有变，发生变化的就是侧面积，那减少的部分就是这个圆柱的侧面积。所以无论是变长还是变短，变化的是侧面积。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

这套小学几何专项训练营适配一至六年级全阶段，内容编排细致全面，讲解直白通俗 好理解。上手拿第二十二讲平易法举例，专门攻克长正方形面积题型，全部采用经典五题精讲模式，首先明确核心考点，其次通过画图直观拆解思路，最后给出标准解析步骤，题型丰富全面 搭配资深教师精讲视频，一道题目对应一个专属讲解二维码，足足六零八节视频解析课还附赠配套几何专项练习册，讲练同步巩固，帮孩子牢牢吃透几何知识点。

在组合图形中，求不规则图形的面积也是一个典型考题，我们一起来看。求下图中图色部分的面积单位是厘米， 那么我们会发现图色部分是一个不规则图形，可以用我们之前学到过的总面积减去空白部分的面积。通过观察我们会发现， 第一个空白部分是一个四分之一的圆，那么半径是三的时候，这边也是三，而下面这个梯形的下底是五，这是一个直角，我们也能发现 空白部分。第二部分刚好有直角四十五度，那么这个角也是四十五度，刚好是一个等腰直角三角形。一条边是五的时候，那么这条边也是五，所以总的面积是一个梯形， 这个是四分之一的圆，这个是三角形。我们可以利用总面积减去第一个面积，再减去第二部分的面积，就等于阴影部分的面积。好了，我们先来求一下总面积， 总面积是一个梯形，刚好是上比三，下比五乘以高三加五的和除以二，所以就等于 八乘八除以二，也就是三十二平方厘米。好，我们再求 s 一 部分的面积，它是一个四分之一圆，所以就等于 pi r 的 平方，再乘以四分之一。好，通过计算我们就知道它得到的是七点零六五 平方厘米。那么这个时候呢，我们要求出第二部分的面积，也就是等腰直角三角形啊， 两条直角边的乘积除以二，那么等于十二点五平方厘米，对吧？那么阴影部分的面积就可以求出来了，它就等于谁啊？总面积三十二，减去第一部分的面积 七点零六五，再减去第二部分的面积十二点五，那么他的答案就是十二点四三五平方厘米。总结一下不规则物体的面积，我们可以用总面积减去空白部分的面积。

看图，正方形的面积是四十八， e、 f 是 三等分点，三角形 a、 d、 e 的 面积就等于四十八，除以三除以二等于六。通例，三角形 b、 f、 c 的 面积也等于六。正方形的上下边是平行的，这就构成了一个沙漏模型。 由于 e、 f 是 三等分点，这就得出相似比是三比一，三角形 a、 o、 b 的 面积就等于九倍的 e、 o、 f 的 面积。根据一半模型原理，三角形 a、 o、 b 的 面积加三角形 b、 o、 f 的 面积等于正方形面积的一半， 另一半就是八加八加三角形 e、 o、 f 的 面积加三角形 a、 o、 e 的 面积。根据蝴蝶原理， 三角形 b、 o、 f。 的 面积等于三角形 a、 o、 e 的 面积等于九倍的三角形 e、 o、 f 的 面积。代入一下，三角形 e、 o、 f 的 面积乘以九，等于八加八加三角形 e、 o、 f 的 面积。计算一下，三角形 e、 o、 f 的 面积等于二。 三角形 a、 o、 b 的 面积等于二乘九，等于十八。所以红色部分的面积就是四十八减八减八减二减十八等于十八，所以红色部分的面积就是四十八。减八减二减十八等于十二。

妈妈给你打个预防针啊，从四年级开始，你们就要接触几何题了，你像三角形、四边形、圆立体图形，到了五年级，几何题就是你们数学的必考题，往往还是压轴题。 关键想要学好几何题还并不简单。首先呢，你要有足够的空间想象能力，核对图形的结构能力，其次 还要有一定的逻辑推理分析能力。这些呀，都是需要刻意去练习的，到了初高中，数学学起来才不会很吃力。那我该怎么练呢？妈妈给你准备了这本小学几何训练营，你看他把小学必须要掌握的八种几何模型都整理在这一本里了，比如等高模型、分针模型、一半模型、蝴蝶模型、 沙漏模型，还有难倒五六年级的，求阴影部分面积。几何图形一旦开窍啊，考试简单的就像翻书抄答案。你看书里面每个模型啊，都有图解、推导、公式、定律、辅助线、 大法证明，过程非常直观生动，孩子一看就能懂。而且它的一大亮点就是，每一个模型直接扫码就能变成动图，就像看动画片一样，寓教于乐。学会一个模型就能解一例题，在不知不觉中啊，就把模型特征都刻在脑子里了。小学打好基础，为初中的学习做好衔接。快帮孩子带回家，孩子省力，家长省心！

认识立体几何图形丰富的形状，便于低年级认知。创意造型搭建，开发孩子想象力。边搭边学，寓教娱乐，趣味学习！圆柱，长方体、圆锥，正方体、圆形、长方体、三角形，正四面体、半圆柱。六棱柱，长方形、 梯形，平行四边形。圆柱。帮助孩子认知形状，看颜色。几何形状是孩子小学全年级的课程。认识立体几何图形丰富的形状，便于低年级认知。创意造型搭建开发孩子想象力。边搭边学，寓教娱乐，趣味学习。 圆柱，长方体、圆锥，正方体、圆形、长方形、正四面体、半圆柱。六棱柱，长方形。 一行平行四边形圆柱。帮助孩子认知形状，看颜色。几何形状是孩子小学全年级的课程。认识立体几何图形，丰富的形状，便于低年级认知。创意造型搭建开发孩子想象力。边搭边学，寓教娱乐，趣味学习！ 圆柱，长方体、圆锥，正方体、圆形，长方形，三角形，正四面体、半圆柱。

不要低估孩子的想象力学不好立体几何不是他笨，只是他没有亲眼见过从平面到立体的变化过程。圆锥体展开是一个扇形和一个圆形， 圆柱体是由两个圆形和一个长方形组成的。这么玩一玩，瞬间就开窍了！这本立体几何机关书，把小学要学的知识做成了能弄能玩的小机关。当知识不再抽象难懂，变得简单又直观，孩子不用再去死记硬背，数学启蒙就是这么轻松！ 不要低估孩子的想象力学不好立体几何不是他笨，只是他没有亲眼见过 从平面到立体的变化过程。圆锥梯展开是一个扇形和一个圆形。圆柱体是由两个圆形和一个长方形组成的。 不要低估孩子的想象力学不好，立体几何不是他笨，只是他没有亲眼见过从平面到立体的变化过程。圆锥梯展开是一个扇形和一个圆形， 圆柱体是由两个圆形和一个长方形组成的。这么玩一玩，瞬间就开窍了！这本立体几何机关书，把小学要学的知识做成了能弄能玩的小机关。当知识不再抽象难懂，变得简单又直观，孩子不用再去死记硬背，数学启蒙就是这么轻松！ 不要低估孩子的想象力学不好，立体几何不是他笨，只是他没有亲眼见过 从平面到立体的变化过程。圆锥体展开是一个扇形和一个圆形，圆柱体是由两个圆形和一个长方形组成的。这么玩一玩，瞬间就开窍了！这本立体几何机关书，把小学要学的知识做成了能弄能玩的小机关。当知识不再抽象难懂，变得简单又直观，孩子不用再去死记硬背，数学启蒙就是这么轻松。 不要低估孩子的想象力学不好立体几何不是他笨，只是他没有亲眼见过从平面到立体的变化过程。圆锥体展开是一个扇形和一个圆形，圆柱体是由两个圆形和一个长方形组成的。这么玩一玩，瞬间就开窍了。 这本立体几何机关书，把小学要学的知识做成了能弄能玩的小机关。当知识不再抽象难懂，变得。

小学学几何题，能不能一上来就背公式？套公式？不行，一定要先掌握模型和方法？对，因为小学阶段呢，他考来考去就考你们九十六个几何模型题， 只要把这些掌握了，不管体型怎么变化，都能轻松应对。真的吗？那我拿什么练呢？当然了，咱们就用这本小学几何训练营，他把小学一到六年级常考的所有几何图形和八大模型都总结好了， 不管是补砖问题，长方形和正方形的面积、三角形的内角和曲线图形面积，还有常考的八大模型等极变型、一半模型等高模型、风筝模型、蝴蝶模型等等，每种体型都有详细的推导过程。右边就是举一反三的练习，让孩子学会一道题，就能吃透这一类体型， 不会的还可以看视频讲解，再搭配一本同步练习册，及时巩固培养孩子几何空间思维和推理思维。把这两本书吃透了，那小学几何题就再也不用担心了。

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连接 e、 b、 f、 b， 将长方形分成四部分，整个长方形我们看成整体 e， 已知 e、 f 均为各边中点。可知，第一三角形占八分之一， 第二三角形占四分之一，第三三角形也占四分之一。那三角形 b、 e、 f 就 占长方形的一角， 八分之一，减四分之一，减四分之一，也就是八分之三。根据三角形面积公式，三角形 b、 e、 f 的 面积就等于四乘六，除以二等于十二，它占整体的八分之三，那整个长方形的面积就等于十二，除以八分之三，结果就是三十二。

今天呢，我们来做一道北京六年级总复习当中的题目，一起来看题，计算下图阴影部分的周长和面积啊，两个都要求。 首先呢我们来看周长，那周长的话，大家可以看到，在这里呢是一二三三个扇形，阴影是由三个扇形组成的，我们要来计算一下这个扇形的周长， 那扇形的周长，那这条弧怎么来进行计算呢？来看一下这个 l 呢，它等于二二是整个圆的周长的一个部分是多少呢？答，它出三百六，因为我们知道一个圆啊，圆周角是三百六十度。 然后呢，我们再来看看这个扇形所对应的这个角 n 是 多少度，乘以 n， 那 就是它对应的这个弧的长度了。 好，那我们知道了这个弧的啊，弧长的这样的一个公式之后，那接下来我们来看一看，那要想知道这段弧的长度，我们就得知道这个角度 n， 我 们把它叫做 n e， 这个角度叫 n 二，这个角度叫 n 三，这三个我们都不知道，但是我们知道什么呢？可以知道他们三个加起来对不对？他们三个加起来的和应该是一百八，因为是三角形的内角，和是一百八十度。 好了，那我们来看看，那此时呢，这个 l 一 我们可以写成啥？二派 r， r 是 一啊，半径是一乘以一，除三百六乘以 n 一。 好，同样的道理， l 二呢，也是二派，半径都是一除三百六乘以 n 二， l 三也是二派乘以一，除三百六乘以 n 三。 好了，那把 l e l 二 l 三加起来也就是这三段弧的长度了。 好，那咱们接下来继续来看，也就是我把二派 a 除三百六提出来，后面呢就是 n e 加 n， 二加 n 三是一百八，所以就是三百六，哎， 分之二派乘以一百八，约分一下，我们就知道了，最后的结果是派，那到这是不是阴影部分的周长就已经计算完毕了呢？ 没有，大家一定要注意，在计算扇形的周长的时候，一定要注意还有半径，哎，这个也是它的周长，对不对？所以在这里一二三四五六，还有六个半径， 在 pi 的 基础上要加上六个半径，半径是一，也就是 pi 加上六乘以一。好，那在这里 pi 如果取三点一四的话，我们加上六就是九点一四，那单位我们可以看到了，是厘米。 好，那到此的话，我们关于周长就计算结束了，那接下来我们再来看一看面积， 面积的话呢，也是来求他们三个的面积，那三个扇形的面积，一个扇形的面积怎么来求呢？我们可以看到就是用 i r 方除三百六乘以，对吧？这是一个扇形的， 所以三个扇形的呢，我们就把三个角度加在一起就行了，因为这里的半径 r 是 相同的，就不写了，直接写最后的总的这样的一个式子了。 好，那就是 pi r 方 r 是 一，也就是一的平方，三百六乘以三个相加 n， 一 加 n， 二加 n 三，它们三个的度数相加，我们知道它们三个相加是一百八， 带进去 a pi 乘以一百八，好，约分一下，那咱们就知道它最终的结果是二分之 pi。 好，那派取三点一四的话，那最后的结果就是一点五七，单位是什么？平方厘米，因为是面积，大家注意要写到面积的单位平方厘米。 好了，我们来一起回顾一下这道题目的要点，那第一个要点就是我们要知道一个隐藏的条件，就是三个角的 角度和是一百八十度，不管对于我们求周长还是求面积都有着非常重要的作用。 第二个呢就是在这里大家要注意在求扇形的周长的时候，一定不要忘了加上半径，这是这道题目的两个关键点，你学会了吗？

如图，一个正方体的纸盒中，恰好能装入一个体积为十二点五六立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大？派取三点一四有体可知，正方体和圆柱体的关系是，正方体的棱长，也就是 a 等于圆柱的底面直径等于圆柱的高。 我们要求纸盒的容积，也就是求正方体的容积，那么用棱长乘棱长，再乘棱长，那也就是说，我们只需要知道直径是多少，或者是高是多少，那么棱长我们就可以确定了。 怎么来求呢？只给了一个条件，圆柱的体积是十二点五六，所以通过它能不能求出底面直径或者是高？ 我们知道圆柱的体积呢，是底面积乘高，也就是 pi r 方底面积乘 h 等于十二点五六，所以呢，我们用十二点五六 除以三点一四等于四，这个四呢就是半径的平方乘 h 得到的结果，我们可以把它写成半径乘半径 乘 h 等于四。接下来我们再来考虑半径，不知道我们要求 h 呢，是没法求的， 那怎么办呢？我们可以将半径用直径来表示， 半径等于直径的一半在同一个圆当中，所以二分之一 d 乘二分之一 d 乘 h 等于四，也就是四分之一 乘 d 乘 d 乘 h 等于四，那么也就是说直径乘直径乘高就等于四，除以四分之一，也就是等于十六。 我们刚才说了，正方体的棱长就是圆柱的底面直径和高，那么现在直径乘直径乘高等于十六， 有的同学可能会想说，我怎么来求这个直径或者是高呢？三个相同的数相乘等于十六，那这个数是多少呢？目前我们是不会求的，但是大家再仔细想一想， d 就是 棱长，也就是 a， h 也是棱长是 a， 那 也就说明 d 乘 d 乘 h 等于十六，说明 a 乘 a 乘 a， 也就是等于十六。 那也就是说正方体的体积就是 a 乘 a 乘 a 等于十六。所以纸盒的容积多大呢？就是十六。最后呢，我们直接写答就可以了， 纸盒的容积是十六立方厘米，很巧妙的就求出来了。当然，解决这道题关键呢是要知道圆柱和正方体的关系， 正方体的棱长等于圆柱的底面，直径等于圆柱的高，然后通过公式我们就可以推理出来了，你明白了吗？

六年级的数学求阴影部分的面积是重点，更是难点，题型特别多，很容易出错啊，我们老师也说过，但是我总没思路，怎么办？别着急呀，妈妈都给你准备好了，就用这本小学几何训练营，你看，光是求曲线图形阴影部分的面积，他就给你整理了五大方法， 切拼法、平移旋转法、加减法、容式法，还有整体带入法，每种方法都有这个详细的解题过程，后面紧跟了这个练习题和辨析题，循序渐进，逐步去拓展，让孩子吃透一个题，就掌握了一类题， 关键每道题他都有视频讲解，不明白的地方扫码就能看。培养孩子的几何思维。一到六年级常考必考的九十六个模型都给你整理好了，一套就可以用六年。附赠了一本练习册，学练相结合，加深巩固，手把手教孩子去吃透这些模型，数学越来越轻松。