菏泽初中26年一模函数题

好，我们来学习一下二六年西城一模的小函数。综合我们来看题，他说是经过负一逗号三和一个二，逗号零，那求 k 跟 b， 那 肯定就连立方程组 k 负一， b 等于二， 这个很简单，只要咱们计算没有问题，就可以看第二个 x 大 于负一的时候。所以咱们首先是要做直角坐标系，把它的连接值那个坐标先画出来， 画上这根线以后，因为它是大于负一，咱们就画了一个向右的箭头，既大于 y 等于 k 加 b， 是 负 x 加二。这个咱们画的时候精细一点，你比如说 x 等 y 等于零的时候， x 等于什么呀？等于 二对不对？ x 等于零的时候， y 是 不是等于二啊？那当 y， 当这个 y 等于零的时候， x 呢？ x 的 时候应该是取二，所以这个时候咱们就能把 y 等于负， x 加二这个 数，它一是一样的， x 等于零的时候， y 是 等于二，所以零的和二。 另外一个，那咱们肯定哪个方面计算哪个？那 x 等于四的时候，应该 y 等于一，应该经过四等号一这个点，所以咱们确定了 y 等于负四分之一， x 加二的函数值，函数图像， 而且你要把它都标上，因为题目，到时候你考试的时候，你的草稿在哪？你的草稿在草稿纸上或者试卷的旁边，你不可能再去一直对应的题目，所以为什么让你画箭头？ ok， 他 说了 m， x 加四， m 在 哪？同学们， m 是 不是在 k 的 值上面？那 k 的 值上面第一个是考什么？ 考平行，第一个是考香蕉。那我们来看一下，首先咱们肯定是要根据四十五度初值值来计算，因为它加四 b 等于四，所以它横过了一个四的这个点，横过一个四到二的点。 要想比他俩高，比他俩大，是不是外值肯定是大呀？所以因为他们俩的外值都是小的，所以怎么只能一直转？首先第一步可以转哪？ 是不是转到这了？转到这时候什么情况？这个时候这个 k 是 不是跟这个负的四分之一 x 加二平行？平行的时候你看 满足不满足提议是不是？满足啊？因为这个值，他的外值是不是比这两个焦点的值都要怎么样？大，对不对？而且他平行，我是横比你大，是不是横比他大？所以他是满足提议的。那满足提议以后，咱们来判断一下还能不能再往下了，也就是说 这条线还能再往下转？不可以。为什么？因为再往下转，他两个就可能会相交，相交的话他就会比他小。 mx 加四就会比咱们说的负四分之一 x 加二会小，只要相交就会小，所以他这个时候这是最小值， 咱们写上最小值就是负的四分之一。那继续吧。那就看看能不能往上转吧，还是这根线。 那我转转转，我在最多转到哪？同学们，是不是转到与他交点？因为他横过零到二四，是不是最多就转到这了？ 因为你再往上转怎么样？我觉得怎么样？是比这个负 x 加二小了，所以再转，再转最大，最大，我就只能转到与负 x 加二的交点，而且这个时候这就是最大值，这就是最大值。因为你再往上转怎么样？ 是不是不行了就会漏出来？漏出来以后我就比他小，那怎么算小点？那横坐标负一，纵坐标带入进去，咱们可以算出来纵坐标是三，这个时候咱们带进去以后，带入到圆式里边， y 等于 m 加四，算出来 m 是 一，所以他的最大值就是 一。这个时候咱们确定一下，那取一等，因为他条件里边不带等号，结果是带等号，为什么？因为咱们算的是以负一为零点，那其实最后 取的时候是什么呀？不包含负一负一的右边，所以说肯定是比负一大的，这个时候咱们是带等于号，所以 m 是 大于等于负的四分之一，小于等于一。嗯，老师还要提提示一点，就是这个 k 他是怎么样不等于零的？ k 不 等于零，那你只要这个 k 里边他把这个零包含掉了，所以你一定写什么呀？写 m 不 等于零，那这道题才拿满分。好吧，那咱们把这个步骤再回顾一遍。一， 咱们建立平面直角坐标系以后，同一大，还是用尺子零点五厘米画出临界值，方向箭头。第三， 你要用铅笔把这个图像画准，才能去直观一点，因为有些行图像他挨的很近，你不好判断，咱们画准以后他自己转吗？第四，一定是出，是指你比如说你说求的 k， 咱们就是四十五度，你比如说求的 b， 那 咱们就说零 开始，明白了吗？同学们？第五，转化不等式一定要合理。三点，当你觉得你合适了以后，首先你要确认第一点，你是否有个提议，是否满足人家说的是大还是小。 第二，你看还能不能再往上或者再往下确定临界值。第三就是找到是否渠道怎么选，就是看他大于还是小于， 带不带等号，基本上他不带等号，咱们就带等号，他要带等号，那咱就不能带等号。为什么？因为他能取到那个值，咱要是带等号，那这个值就会相等，就不满足大于或者小于这个条件了。 第六也是一件强调一点 k 的 取值范围，如果它包含零的话，一定要注明起 m 不 等于零。最后一个就是第一个， 咱们要计算的准确一些，因为第二问都是以第一问的结论来开始画图的。好，那这道题很简单，就给大家分享到这。

同学们大家下午好，我们现在来看一下这个函数以几何综合的一个题型。如图，矩形 o、 a、 b， c 的 边 o a， o a 是 在 y 轴，然后 o， c 是 在 x 轴。反比例函数 y 等于 x 分 子 k 的 图像经过矩形 o、 a、 b、 c 的 对角线的交点 d， 也就是说点 d 是 在， 也就说点 d 是 在反比的上的，然后前与边 a、 b， 然后 b、 c 分 别交于点 e、 f， 然后 e 跟 f 也是在反比的上的， 然后直线 e、 f 是 交 x 轴于点 g， 所以 e、 f 这根直线，它是 g 点，也在 e、 f 这根直线上。好，那我们来分析一下题。第一问是让我们去求 f 的 坐标，第一问让我们求 f 的 坐标， 第二问是让我们去求去证明 a、 g、 c 是 一个平行四边形。好，我们来看一下，目前我们是不是只知道这个低点坐标是四二，然后又在反比例上，我们用代定系数法把它带进去反比例的函数解析式里面，可以求出这个反比例函数，对吧？然后 一根 f 在 好，然后这又是一个矩形，我们又想到矩形的性质有什么？这是连好的对角线，我们去想矩形有关的对角线的性质是 对角线，互相平分且相等。所以点 d 是 不是 o b 的 中点 已经知道了 d 点的坐标，那我们根据中点公式可不可以求出 b 点的坐标来？好，那我们 b 点坐标求出来了之后，既然这是一个矩形，所以 b a 是 垂直 y 轴， bc 是 垂直 x 轴，我们可以求出 a 点跟 c 点的坐标。 这是我们的一个思路啊， a 点 c 点作坐标，知道了之后，呃， b、 c 是 垂直歪着的，那也就是说 f 的 横坐标跟 c 点的横坐标 是一样的，对吧？好，然后 f 又在反比例上，所以我们可不可以把这个 f 点的坐标求出来呀？那同理，其实 e 点也是一样的求法，所以目前很多点都是可以求的， a、 b， c， d， e、 f 这些点目前都是可以求出来的。那我们来写一下求的过程。 因为四边形 o， a， b， c 是 矩形，所以 o、 b 会等于 a、 c， 然后 o， d 等于 b， d 等于 a， d 等于 c， d 好， d 点坐标是四二， 根据中点公式可求出 d 点坐标是八四。好， 又因为它是矩形，所以其实我们嗯 角 o， c， b 是 等于角 o， a、 b 等于九十度的，所以我们可以知道 c 点的坐标是八到零，因为 c 在 f 轴，然后 a 点坐标是零四。好，我们也可以写一下。 好，刚刚说了， d 在 反比 d 上，我们把一四二带入 y 等于 x， 分 之 k， 求出 k 等于八，对吧？所以反比 d 的 函数解析式是 y 等于 x， 分 之八。 我们可以假设 f 点坐标是它的横坐标，跟 c 点的横坐标是一样的，我们可以假设它点的坐标是八到 m 加 f 八， m 带入 y 等于 x 分 之八， 求出 m 等于一，所以 f 是 等于八到一的。好，那其实同理，我们知道一点坐标是可以假设它是 n 四，对吧？因为一点的纵坐标跟 a 点的纵坐标是一样的，然后也可以求出一点坐标是二四。等下可以求啊，因为第二问总会用上，对吧？好，然后目前我们 目前我们知道哪些点知道 a、 b， c， d， e、 f 都知道，对吧？那还差这个距点，距点是在哪里啊？距点是不是相当于是 e f 与这个直线？ e f 这个直线它与 x 轴的一个交点，所以我们求 x 轴交点，就我们可以先写下，是吧？如果我们要求几点，就相当于是呃 y e f 与 x 轴交点，然后我们要令 y 等于零，对吧？这是我们等下的一个思路啊。第二问，第二问是要证明它是一个平行四边形，那这里考的也就是平行四边形的判定。首先我们可以梳理一下平行四边形的判定，它有五个判定啊， 看左边这笔梳理一下，首先第一个是两组对边分别相等，第二个是两组对边分别平行， 第三个是一组对边平行线相等，第四个是两组对角分别相等。 好，第五个是对角线互相 平分。好，那我们先把第一问的过程先清屏清一下，先，等下我们已经把一些点的坐标都已经写出来了，然后这个函数解析式等下我们也可以记一下，因为第二问也会用上。好，我们可以先来看一下，我们要证明 a e g c a e g c， 它是一个平行四边形，我们目前是已经知道了 a o b c 四边形， a o b c 是 一个矩形，对吧？那所以我们是可以矩形的对边会平行，所以目前是可以知道 a b 是 平行 oc， 也就是说 a e 是 平行 c g 的， 对吧？这是目前已知 a e 是 平行 c g 的。 好，那我们来看一下这五个判定里面跟平行 c g 的。 好，那我们来看一下这五个判定里面跟平行，所以我们现在已经有一组平行了，我们就要去正， 我们要正另外一组平行，也就是 a c 会平行 e g。 好， 这个时候一组对边平行且相等了，所以我们这里是已经有一组平行了，对吧？那我再证明他相等，所以这里是要正 a e 会等于 c g。 嗯，目前这里没有太多的去提到角对角啊，很难去正对角相等。这两个对角相等，所以我们第四个我们不去考虑。第五个是这个题目都没有去连对角线，所以对角线互相平分这个证明方法在这个题上我们也不用去考虑。 ok， 然后对边两组对边分别相等，我们要去求出边相等的话，计算来讲会有点复杂，所以说我们这里也不考虑。好，那我们就从第二个、第三个去入手，也就说现在先考虑两种方法，所以这个题是不是涉及到一个一题多解 好。呃，我们现在目前要证另外一组平行，那我们要证明平行是要什么？内错角相等，然后呢？同位角相等，同旁内角互补，对吧？ 内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，但是这个是属于几何的内容，目前我们角度的信息是比较少的，然后也不好去证明，所以我们再去想在函数里面涉及到平行的，有一个内容是，我们知道如果说把一个函数什么往上平移，或者说左右平移， 他是不是都是平行的，平行平移完了之后，他的 k 也会相等，所以我们知道一个支点叫做两直线平行 k 相等， 在函数里面哈，两直线平行 k 相等，所以我们可不可以去 去求出直线 a c 来解析式，然后求出直线 e f， 也就是 e g 的 解析式，看一下它们的 k 会不会相等，如果 k 相相等的话，所以就挣出了平行。好，那这个方法我们可行啊。然后第三个是，我们要证明 a 一 是等于 c g 的， 目前 a 一， a 点坐标是零四，一点坐标是二四，所以 a 的 长度是二，对吧？ 那 a 的 长度是二的话， c 点坐标。我们知道，我们现在是不是要求 g 点坐标，刚刚也说了，求 g 点坐标是 y， e， f 就是 直线 e， f 与 x 轴的交点，我们要令 y 等于零，所以 g 点坐标也是可以求的。求出来了之后，如果我们得出 c， g 也等于 a 一 等于二，那我们这个判定我们也是可以可以用的。那既然思路知道的话，我们先把第一种写了先啊， 我们先写第一种来写下证明过程。上面这个说已知，虽然说我们目前知道它是已知啊，但是我们是不是也要写一下是怎么证出来的呀？好，因为 四边形 oabc 是 矩形，所以 ab 平行 oc， 那 也就是 a 一 会平行 c g。 好， 我们假设直线 a c， 解析式为 y， a， c 等于 k， e， x 加 b， e， 把两个点代入，把 a 点零四，还有 c 点是八零代入。那这个证明过程我们先简单的写，我们就直接求出 y， a， c 等于负二分之一， x 加四 e， f， 我 们是不是要求啊？我们假设 y， e， f 等于 k 二， x 加 b 二，然后把一点一点是二四， f 点是八一带入，求出 y， e， f 等于负二分之一， x 加上五， 所以目前我们是不知道 k， a， c 等于 k， e， f 等于负二分之一，所以 a， c 是 平行 e， g 的， 对吧？ 然后再结合，且 a、 e 是 平行 c、 g 的， 所以什么所以 四边形 a， e、 g、 c 是 平行四边形。这第一种方法，第二种方法我们要去证明 a、 e 是 等于 c、 g， 所以 我们要求出 g 点坐标。那刚刚我们是第二种方法，我们也是简单的去写一下啊，我们是不是已经求出了 y、 e、 f 等于负二分之一， x 加上五啊？我们求点 g 要令 y、 e、 f 等于负二分之一， x 加五等于零，所以 x 求出来等于十，所以 g 点坐标是十到零，对吧？那此时 c、 g 是 不是等于二啊？然后是不是也是等于 a 一 的呀？那我们现在一组对边平行且向的人，我们且 c、 g 是 不是等于 a 是 平行 a 一 啊？ 所以我们也可以证出来它是一个平行四边形。那有没有其他的方法呢？做其他的方法的话，我们 其他的方法我们想要去证明平行，还有个思路哈，我们可以用相似的方法去证。首先 a 一 是知道的，那一 b 的 长度是几啊？一 b 的 长度是六， b、 f 的 长度是三，因为这是一嘛，所以 bef 跟 bac 这两个三角形会相似，因为 两边对应成比例，加上他们的夹角都是九十度，所以正出来了，他俩相似，那相似，所以这个角跟这个角是相等的，这里是属于同位角，同位角相等，两直线平行，所以第三种相似的方法我们就不展开来写哈，那么这个题先讲到这里，谢谢大家。

二模和一模相比啊，哪个更难呀？啊，是这样的啊，其实这个试卷呢，我们无论是中考题还是模拟题，基础题部分，他都有一个很大的重复率。大家可能关注的这个压轴题部分啊， 我们啊，面积在一模的时候，他其实是有一个对标的，对标的呢，就是上一年的一个中考题，我们通过分析今年二六年各个区，北京各个区的一模的数学试卷，我们就可以发现 啊，这个抛物线的这二字函数的综合题，在往年啊，二五年以前大部分考的这个 y 一 y 二 y 三啊，这种数的一个对比，但是我二五年中考考了一个抛物线和直线啊，他们之间距离的一个关系，今年马上就体现到我们一模试卷当中啊，很多区都是这么考的。 同样呢，二二十七题的这个几何题目，二五年真题考了一个二旋转二 r r 的 这样的一个手拉手模型， 我们可以发现啊，今年也是各个区啊，考了一个有旋转二阿尔法的，有旋转一百八十度减二阿尔法的， 可以看出这就是一个啊，一个参对标啊，这样的一个考试，等到我二模的时候呢，这命题组啊，他就有了一个更大的发挥空间，我不可能再啊，还模仿，还延续这个上一年的一个中考， 那我可能在这个结合综合题当中，我就需要啊，考察上次没有考的以外的，比如说背长中线了，接长补短了啊， 这还是比较常规的。那有的呢，像比如去年海淀啊，在这个二十七题的时候呢，就考到了一个引援，很多人都会说啊，我这些模型我都很懂啊，老师接长补短我也会啊啊，背长中线也会旋转也会手拉手这种，但是我不会用 这类问题，其实考察的我们的灵活性，这就要求我们呢在做题目之后啊， 多思多想想一想啊，哪些条件让我们来应用这个定力这个知识，这样的话呢，我们会啊，有更充分的把握去迎接我们的考试。

评论区有同学让我讲一下今年朝阳一模的代数压轴，那这道题我会用两种方法去解答，如果你也有问题，那就一起来听听吧。 他说 m n 在 抛物线上，那抵稳，求抛物线的对称轴，那轻松加一块，咱直接带入对称轴的公式， x 等于负的二， a 分 之 b， 在 这道题当中， b 是 不是就是负的 a 一 方啊？所以咱直接带进去，直接秒杀 x 等于二分之 a。 好，那重点我们来看第二问啊，他说若对于 x 一 加 x 二等于零，巴拉巴拉，那这种题呢，和今年一模其他区的题不太一样，因为其他区啊，基本上反着去年的中考，他都是跟距离相关的这种问题，那 这道题呢，有点像啊，前几年的中考和一二模的题，所以大家看上去可能有些陌生，那就通过这道题，咱们来讲的细一点，讲的慢一点，告诉大家这种题应该怎么做啊。 那首先我们先来看前半句，他说 x 一 加 x 二等于零， x 二是大于二小于三的，那通过这两个信息，我们应该能推出来 x 一 的范围，对吧？因为前面这个条件， x 一 它就等于负的 x 二了 嘛？那 x 二是大于二小于三的，那 x 一 就应该是大于负三小于负二的啊，就是 x 一 的范围，咱就能确定了。 然后他说总有 y 一 y 二同号，且 y 一 大于二，那他其实这个这个问呢，我们就能从图像当中去处理了嘛。那这道题我说两种方法吧。第一种方法，我们就用传统的这个图像法去解决 好。那用图像法解决的时候，我们是不是首先要讨论一下这个图像的开口，因为人家说了这个 a 不 等于零，是吧？所以我们要按照 a 大 于零和 a 小 于零两种情况去讨论。 ok， 那 咱们先来看第一种情况啊，当 a 如果大于零的时候， 那 a 大 于零，这个抛物线它的开口向上，那咱们简单的画一下这个抛物线，那对称轴是直线， x 等于二分之 a， ok， 咱们标记一下。 好，那我们注意到啊，这个抛物线它具有什么样的特征呢？首先这个抛物线它是没有长竖向的，没有长竖向说明它过圆点，对吧？ 那因为它的对称轴是 x 等于二分之 a， 那 我们根据二倍中间减一端就能求出来另外一个与 x 轴的交点，是不是应该是 a 勾零， 那零斗零和 a 斗零在这个图像的哪呢？因为对称轴啊， x 等于二分之 a， 他 是不一定是在外轴右侧的，因为 a 是 大于零的， 所以二分之 a 大 于零，那我们就能确定了，与 x 轴的这两个交点，他就一定是零和 a 啊，零在 a 的 左边，他应该大概是这么一个位置。好，那我们来看题啊，他说总有 y 一 和 y 二同号， 那 y 一 y 二同号，是不是就两种情况？第一种情况就是 y 一 和 y 二，它都是大于零的。好，那我们先来分析一下这种情况啊，那先来看 y 二大于零，那 y 二大于零的话， 各位注意，因为这个 x 二它是大于二小于三的，所以说 x 二的这个范围呢，它一定得是在原点的右边，那原点的右边这块还要满足纵坐标大于零，是不是它就只能是在 a 的 右边了？关于这个 x 二的范围， 所以咱们要讨论之前，先要对它进行一个限定。那我如何去保证这一段范围都在 a 的 右边呢？是不是只需要保证这个 x 二的左边界，它一定要比 a 大 就 ok 了？所以也就是说 a 一定是小于二的。 好，那写完了， a 小 于二，大家注意，当我们在代数压轴当中写出来不等式，我们就要考虑一下能不能去等。 好，那怎么判断？假设可以取，等我们带进去检验一下，那如果 a 等于二，也就是如果 a 就是 二的话， 那是不是也能够保证 x 二的这个范围？ y 二是大于零的，因为只有二的时候等于零嘛，那 x 二这个范围当中，它是取不到二的，它都是在二的右边的，所以也能够保证 y 二是大于零的，所以咱会发现这个 a 等于二没有问题啊。 那所以呢，那咱们接着来看，我要保证这个 y 一， 接下来我要保证 y 一 也大于零，但是后半句啊，咱看到且 y 一 大于 y 二， 所以如果 y 一 大于 y 二的话，是不是 y 一 肯定就大于零了？那么咱只需要满足这个条件，是不是就不用考虑 y 一 大于零的这个限制了？因为 y 二都大于零了，那 y 一 大于 y 二， y 一 当然要大于零了， 所以那咱们看一下图中的位置啊，我们现在随便点一下，比如说这个 x 二到 y 二，它就是在这。 好，那要满足 y 一 大于 y 二的话，那这个 x 一 到 y 一， 它应该是在这么一个位置的，因为 x 一 它是大于负三，小于负二的，就肯定是在零的左边啊，还要满足 y 一 大于二，所以说这个图像它的相对着相对应的关系就应该是在图中的样子。 好，那我们怎么样去求去列式呢？大家注意啊，在之前应该学校老师也讲过，我们在对这个抛物线上 比较两个点纵坐标的大小关系，我们就可以转化成比较这两个点到对轴距离。那对于开口向上的抛物线来说，这个点到对称轴的距离越远，是不是这个点的纵坐标就会越大？ 所以 y 一 大于 y 二，是不是就意味着这个 y 一 这个点到对称距离要比 y 二到对称距离要更远一些？好，那具体转化成算式呢？那 x 一 到对称轴距离，就应该是这个对称轴二分之 a 减去 x 一， 那 y 二到对称距离是不是就应该是这个 x 二减去二分之 a， 那 么它们之间的关系是大于号，对吧？ 好，那咱们化简一下，是不是就 a 就 大于 x 一 加上 x 二，那因为题干当中说 x 一 加 x 二等于零嘛，所以我们就能推出来 a 是 大于零的，哎，正好满足咱的大前提。所以那第一个范围是不是就有了啊？结合前边咱们刚才的这个限定，所以 a 大 于零小于等于二，这个范围是没有问题的。好，那咱接着来看啊，那刚讨论了 y 一 y 二都大于零的情况，那第二种呢？就是当 y 一 和 y 二它们都是小于零的情况。 好，那如果说 y 二它要是小于零的，那此时这个 x 二它是不是只能是在这段范围？ 哎，这段范围之间，对吧？因为这个 x 二它是这个大于二小于三的嘛，所以它还要版读小于零，所以它只能在这块的范围。 那，呃，咱们首先就能先做一个限定了，那我怎么样能保证它是在这段范围呢？是不是咱得保证这个二到三的这个右边界？三，它得要是在 a 的 左边的， 所以咱们列式的话，是不是就 a 一定是大于三，咱就能限定这个 y 二它小，它就是小于零的了。 那 a 大 于三能不能取等？还是假设可以取，那如果 a 就是 三，是不是也能保证二到三的这个范围？它 y 二都是小于零的，所以取等也是没有问题的。那所以当第二个情况我们就讨论，当 a 大 于等于三的时候。 好，那因为 y 一 和 y 二同号嘛，这个 y 一 也得小于零了，那我们会发现它就完蛋了。啊，为啥？因为我这个 x 一 啊，它一定得在零的左边， 所以它不可能小于零，对吧？各位，所以那这种情况我们就没有必要去讨论了，它不可能是在零的右边的 x 一 的这个范围，所以那这种情况它就一定不成立，咱就给它辅掉了。 好，那所以 a 大 于零的时候，它就只有这个范围是可以取的。好，那接下来我们要讨论就是当 a 小 于零的时候， 那 a 小 于零的时候，这个图像它的开口向下啊，大家注意，它的对称轴依然是直线 x 等于二分之 a， 咱们标记一下。 好，那么因为现在啊，这个 a 小 于零了，那对称轴的这个二分之 a 当然也小于零了，那二分之 a 小 于零，说明这个对称轴就会在外轴的左侧，那与 x 轴两个交点依然不变，是零斗零和 a 斗零，但是他们两个现在的位置是不是就要换一下了？ 因为这个 a 是 小于零的了，所以这个 a 一定得是在这个零的左边了，所以咱们大概标记一下这个位置。 好，那我们来分析一下啊。他说当 x 二大于二小于三的时候，哎，我们会发现这个 x 二它就不可能大于零了， 因为零在这个位置，对吧？那大于二小于三，是不是就一定是在这个范围当中？所以通过这一问，我们就能推出来这个 x 二所对应的这个 y 二一定小于零。 所以那这一个当 a 小 于零的时候，它其实就有一种情况了，那此时这个 x 一 也得小于零嘛，对吧？ 那 x 一 小于零，因为 x 一 它是大于负三，小于负二的这个范围，它还要满足小于零，是不是这个 x 一 y 一 它就只能在这个范围当中？所以咱转化成图像当中的点，大概表示一下这个位置啊。 那此时这个 x 一 到 y 一， 咱们比如说把它标记在这儿，然后呢， x 二到 y 二，它就应该是在这儿。 好，那我接着咱们转化成距离去表示这个 y 一 大于 y 二，是不是就 ok 了呀？啊？对吧？直接去表示它就 ok 了。 那此时我们需要满足的是什么呢？是不是这个 x 一 到 y 一 到对称轴的距离要比 x 二到 y 二到对称轴距离要？首先它要小，因为这个点到对称轴距离越小，是不是这个点的纵坐标就越大？因为它的开口是向下的。 那并且咱还需要保证什么呢？咱还需要保证我这个 x 一 都外一这个点啊，这个外一它确实得小于零，那怎么样保证这个外一确实小于零，那咱就得让 x 一 所在的这个范围，是不是它要跟 a 去进行一个比较，对吧？ 所以，呃， x 一 是负三到负二的，我就需要保证它的右边界，这个负二它都得是小于这个 a 的，是不就 ok 了？就它得是一个这样的情况， 负三到负二，我要满足这个负二要小于 a， 是 不是咱就能保证这个 y 小 于零了？好，那也就是说这个 a 得是大于负二的，然后那接着我还是要判断它能不能取等，那假设 a 能等于负二， 那假设 a 等于负二，是不是 a， 这就是负二，那是不是也能保证负三到负二的这个所有的范围，它的纵坐标都是小于零的，也是没问题。 所以，那咱们这个位置是可以取等的。好，那再转化成这个距离啊，那此时这个 x 一 到对角距离二分之 a 减去 x 一， 它就要小于 x 二到对角距离 x 二减去二分之 a 啊？ 那咱们来化解一下，是不是 a 就 小于 x 一， 加上 x 二是等于零的，所以 a 小 于零，是吧？ a 小 于零也是满足咱们的大前提的。那所以这个范围咱们整理一下，是不是就应该是 a 大 于等于负二小于零？ 那在结合前边的啊，咱们这个 a 大 于零的这个范围，咱们会发现，是不是这两个范围能连上，只需要把零咱给它挖掉就行了。所以最后综上所述， 这个 a 的 取值是大于等于负二，小于等于二，且 a 不 等于零，就搞定了。 好，那接下来咱们讲一下这道题还可以用代数法去解决，那代数法怎么做？那第一步我们还是要先把它回代入这个抛物线当中，那此时 y 一 就等于 ax 一 方减去 a 方 x 一， 那 y 二呢？就等于 ax 二方减去 a 方 x 二。好，那么咱们注意到，因为 x 一 加 x 二是等于零的， 所以 x 一 是能用负的 x 二去表示的，所以那上边这个式子，它是不是就能表示成 ax 二的平方，然后加上一个 a 方 x 二？大家注意，因为我用这个 x 一， 它等于负的 x 二去替换了嘛。 那所以在这个 x 一， 我用负的 x 二，那前面这个减号就要变成加号啊，然后这个 x 一 方和 x 二方应该是一样的。 好，那他说 y 一 和 y 二同号。各位，那是不是就说明这两个纵坐标它的乘积一定是正的？因为同号就要么同正，要么同负呗。那同正和同负，它们乘起来是不是都是正的？ 所以这个条件我们就可以转化为，是不是 y 一 乘上 y 二是大于零，是不是就是 a x 二的平方加上 a 方 x 二， 再乘上 a x 二的平方，减去 a 方 x 二，它是大于零的。好，那大家会发现，它其实就是一个平方差公式嘛，对吧？所以 a 方 x 二的四次方，再减去 a 的 四次方， x 二的平方应该是大于零的。 好，那我会发现，在这两个式子当中，是不是都会有 a 方 x 二的平方？那又因为这个 a 方 x 二的平方是不是一定是正的？因为 a 方肯定是正的 x 二呢？因为它是大于二，小于三也一定是正的， 所以说这两个平方的乘积一定是正的，那两边我是可以同时除掉这个式子啊，然后不等号方向仍然不改变的。那所以两边同时除完之后，是不就 x 二的平方减去 a 方，它一定是 大于零的？因为我们要求 a 的 取值范围嘛，所以说我把这个 a 单独放在一边，就是 a 方，它应该小于 x 二的平方， 那 a 方小于 x 二的平方，大家可以怎么去理解呢？其实就是 a 的 绝对值要小于 x 二的绝对值，它们两个是等价的。 好，那咱们思考， a 既然要 a 的 绝对值要小于 x 二的绝对值，是不是就意味着这个 a 的 绝对值要小于 x 二的最小值？ 因为它应该是一个横乘立嘛，对吧？就像比如说，我比你们班的所有人都矮，是不是我就比你们班最矮的那个人矮就可以了。 所以那 a 就 应该小于 x 二的最小值嘛？那 x 二的最小值应该取谁？是不是应该取二啊？所以咱就能写出来 a 的 绝对值应该小于二。 好，那注意到，因为 x 二他是取不到二的，所以咱们转化成这个式子，要考虑能不能取这个等号怎么样判断？还是假设可以取，我们检验一下，那如果 a 的 绝对值就是二， 那 x 二的绝对值大不大于二呢？那当然大于了，因为 x 二就是大于二的嘛，所以说这个式子也是能够成立的，那么这个位置他就是能取等的。 那 a 的 绝对值小于等于二，咱就能判断 a 是 不就大于等于负二，小于等于二。好，那因为题干当中说了啊，这个 a 是 不能为零的，所以且 a 不 等于零，那前边这个条件咱就给他转化完了， 那接下来是不是还需要满足这个 y 大 于 y 二，对吧？那 y 大 于 y 大 于 y 二，实际上就是什么呢？咱们还是转化这个音式，是不是它就要大于它？ 好，那咱们看 a x 二方加上 a 方 x 二就要大于 a x 二方，减去 a 方 x 二。 好，那这两项就约掉了，然后咱们把右边的这个式子给它转移过来，是不是就是二倍的 a 方 x 二要大于零啊？ 好，那大家看一下这个式子， a 方一定是正的，二是正的， x 二是正的，所以说这个式子是大于零，它是横成立的，咱们是取不了什么范围的，因为对于任何的 a 是 不是都满足，所以我们最后的结果只取这个范围就 ok 了。 好，那么以上呢，就是分别用代数法和几何法，然后咱们去解决的这个问题。那如果说对大家感觉有一些帮助的话，那么麻烦大家在评论区可以留言，然后给视频点赞。好，那我们下期视频再见，拜拜。

大家好，那今天来看一下二六年师大附实验初三一模的代数综合的题目啊。嗯，那这里面给的函数是， y 等于 x 方减去二 m x 加一。 第一问，要写出顶点的坐标，求下它的对称轴 x 等于 m， 然后给它代入，就可以得到它的顶点坐标是 m， 纵坐标是负的， m 方加一，看一下它的第二本 已知点， p x 一 y 一 和 q x 二。 y 二为抛物线的两点， x 一 是等于 m， 加一就是对称轴，向右一个单位， x 二等于二减 m， 那 么就不太确定它在对称轴的左侧还是右侧。 嗯，都有 y 一 小于一，小于 y 二，而且既它在 p q 之间组成的图形为 g， 如果图形 g 上存在两个点， a 和 b， a 在 b 的 左侧点 t t 豆 s 沿图形 g 从 a 运动到 b 的 过程中， s 随 t 的 增大而减小，求出 m 的 曲值范围。 那么后面的描述整个看起来的话是比较不太容易理解的，那我们需要把它分成两个部分，一个部分是都有 y 一 小于一，小于 y 二这个一。实际上我们去看这个抛物线的式子的时候，会发现它实际上是对应着两个点的， 这个抛物线它会过零豆一，还有一个关于它对称轴对称之后应该会过一个二 m 豆一这两个点， 那么这个 y 一 和 y 二应该就和零逗一还有二 m 逗一它是有关系的，但我们现在确定不了，因为我们不确定 m 到底大于零，小于零还是等于零。那么 x 一 和 x 二到底在这两个点的左侧还是右侧？ 那么接着呢？呃，这个第二个部分，图形 g 上存在两个点， a 到 b， 呃，点 g 从 a 运到 b 的 过程中， s 随 t 的 增大而减小，那么也就是说，其实是图形 g 上面存在着一个 y 随 x 增大而减小的区间， 也就是说，因为它是 x 方减去二 m， x 加一，当 x 小 于 m 的 时候，图形 g 上面是有这个 x x 增大而减小区间的，也就是说是它在 x 小 于等小于 m 的 范围内，有 a 和 b 之间会包含这样一个区域就可以。接着我们先对 m 进行一下分类讨论，按照我们习惯性呢，先从等于零、大于零和小于零三个情况进行分类。 首先等于零它肯定是不成立的，因为这个时候 x 等于一就是最小，那个 y 等于一就是最小值啊，不存在 y 小 于一啊。那我们首先画出 m 大 于零的时候它的一个草图，然后可以找到它一些关键的控制点。 首先是我们重要的这个零一和二 m 都一，另外一个是它的顶点，就是 m 负 m 方加一，那么 y 一 如果要小于一，而且又要在 r 的 右侧呢，就只能是在 r 和 n 之间，因为在 n 的 右侧呢？呃，这个时候 y 一 就大于一了。 呃，所以呢，我们可以得到一个横坐标的关键式是 m 加一是大于 m 大 于二 m 的， 那么接着我们看一下 x 二， 那么 x 二是二减 m， 他的范围应该是小于二，那么我们正常来说的话呢，我们不太确定他会不会是在点 p 的 右侧，就是在 n 的 上面。 但是呢，我们如果要是结合第一问 m 大 于一来说的话呢， m 大 于一的时候， m 加一就是点 r， 他 是在点，是点 p， 是 在点 q 的 右侧的， 那么这个点 q 它就不可能在 n 的 右侧，因为点 p 是 在 n 的 左侧，那么点 q 就 只能是在 m 的 左侧， 那么这个时候它的图形从 q 到 p， 那 么就包含着一个减区间，这个时候是成立的。那么 m 小 于零的时候，我们和刚才一样啊，它的几个控制点 m、 n、 r 都给他找到，然后再去判断一下 p 和 q 它的位置， 那么 p 它还是 m 加一，它还是必须是在 r 和 m 之间，这样这个时候 y 一 才会小于一， 那么这个时候的 q 呢？它是二减 m， 二减 m， 它的特点是大于二，因为 m 这时候小于零，也就是说 q 它一定是在 m 的 右侧 啊，这个时候 p q， 它就不存在 y 随 x 增大而减小的区间，它就是不成立的。那么最后的取值范围就是我们在 m 大 于零的时候取到的 m 大 于二。记得点赞关注哦！

昨天，昨天我们运城考到这个试卷上，我就把它做完了，我主要做了个这几个比较难度大的题，嗯，填空题，最后一个填的题，最后一个填空题啊，还有后面的从元到二次函数， 还有最后一个题，我已经做完了，为大家去分析一下这次的这个情况啊。我们先看其他的简答题，我们就不再说了，我们看一下这个，呃，选择题，最后一题，这个这上上次考的，上次考的这一个比我们这次考的要难 啊，这个你只要把它说顺序结合去分析一下，分析一下就可以了啊。上次第十题难，这次第十题简单，呃，还有这个十五题，这个十五题的呢，考了一个最值问题，可能有同学遇到最值问题直接就 跳，跳过了啊，觉得自己做做不出来。其实这两道题，嗯，然后这次考的题呢？嗯，他 主要是一个反反比例函数，然后这个这个点问题，大家只要你勇敢的去设设点，只要你能设出来点，基本能做完。但是这个题他比原来都设什么设反比例函数的点，这次呢，我们需要设 b 点 啊。这个这次这个题的这个地方也比较新颖，这两个难度应该也是也是差不多的。我们再看后面的那个圆的题 啊，上次的这个圆比这次圆难度要大啊，这次的圆一个三角形相似，我们就直接做完了， 知道这两个面，然后这个这个 b 呢是公共边，你直接脸上就做完了啊，上次这个圆难度比这个要大。我们再看一下这个 二十二题，二十二题，二十二题来说，这两个二十二题学生他们这个题型他都没见过啊，说实话这这个也是我第一次做啊，但是我为什么能我能做出来？因为我知道方法。 还有这个啊，这两个难，刚才说的那个二二两个二，十二题，这两个难度是差不多的啊，我们再来看一下最后一道啊，最后一道，这样这样看吧， 最后一道题的话都是考的几何的压轴题啊，这两道题的话一般都是三角形全等，看到没有？都出来了，三角形全等啊，这个也是全等三角形 啊，一二问还是还是来说都比较简单？一二问都比较简单，上次这个第二问比这个地方要难，难的稍微难一些啊。第三问的话他们也是难度差不多的。差不多的啊， 主要是吗？这个得需要构造法，他上面都给你，他给我们，他跟我们已经已经都说了，看到没有通过勾到三角形全等或者是相似，前两个都已经是全等了，最后一个肯定是勾到三角形。所有的问所有的答案都在这个上面 啊，主要什么你勾搭不出来，有些他主要是勾搭，勾搭不出来，他没有思路啊。这两难度啊，还是差不多的，所以这次的数学考试和上次难度，嗯，差不多是相等的，难度是常常相等的啊。

有道是数学找小伟考试拨毁。哈喽，大家好，我是你的赛博数学老师小伟。那今天呢，咱们来小虐一道西城一模的这道代数压轴，这也是前段时间有很多同学问我的一道题，那废话不多说，我们直接开始啊， 他说已知二次函数 y 等于 a， x 方减去 b x。 啊，那通过这个条件，我们能得到两个信息，第一个，这个二次函数它的开口是向上的，因为 a 大 于零。 那第二个信息呢？因为这个二次函数它是没有长数项的，所以说 c 是 零， c 是 零，就说明这个图像它必过原点。那不管有没有用，我们就先给它标记上这个图像它必过原点。 好，那么下边第一问，他说当 x 小 于等于二的时候， y x 增大而减小。 x 大 于等于二的时候， y x 大 于 x 增大而增大。好，那他叭叭了这么多，实际上就在说明一件事，就是 x 等于二这么一条直线。所以那咱给他标记一下，他是 x 等于二， 然后他说用等式表示 a 与 b 的 关系。好，那我们直接套那个对称轴的公式就行了，非常的简单啊。但是 这个很容易错，为什么？因为咱们在背这个对称轴公式的时候啊，就背的是负的二 a 分 之 b。 所以 你说老师，我这个直接就是负的二 a 分 之 b 等于二，不就完了吗？大错特错。因为这里边啊，负的二 a 分 之 b 里边那个 a 指的是二次项系数 这个分子，那个 b 呢，指的是一次项系数，但这道题当中，他的二次项系数没问题，他就是 a， 所以 说负的二 a 是 没有问题的，但是 这个一次项系数他可不是 b 了呀，各位，因为他这个整体负 b 是 一次项的系数，所以特别注意他的分子应该是负 b， 这个数等于二，好，那么轻松加一块，咱们化解一下， b 就 等于四 a。 第一问轻松解决。 好，那我们来看第二问啊，他说当 a 等于一， b 等于二的时候， a 二次函数这个图像即为 c 一。 哎，出敌人还挺善良，他告诉了大家 a 和 b， 那 也就说这个二次函数他就完全的给到你了啊。那咱们来标记一下啊，这个 c 一， 它就是 y 等于 x 方减去二 x， 好， 那我们接着看，他说一次，还是 y 等于 k x 图像截为 c 二，好，那咱们也给他写在边上， c 二，它就是 y 等于 k x， 好， 那人家说了， k 是 大于零的，所以说它是一个过一三项线的这么一个正比例。 好，那他说过点屁， t 到零做 x 时候，垂线分别交 c 一， c 二于 m n， 好， 那后边 t 大 于负一小于三的时候，还是 m n 的 距离。有关系的这么一个东西啊，那其实换汤不换药嘛，还是按照去年中考改编的好，那我们还是老三样。第一步，先表示点啊， 先表示点，也就说我们要把这个 m 点和 n 点的坐标用这个 t 给它表示一下，那 m 点呢？因为它是过这个 t 六零的垂线，对吧？所以说它的横坐标肯定是 t， 那 纵坐标呢？我们带到二次函数当中，它就是 t 方减去二 t， 好，那同样的道理，我们再表示这个 n 点的坐标，就是 t 到 k， t， 好， 第一步，轻松加愉快啊，那第二步，我们就要表示这个 m n 的 距离了啊，那 m n 的 距离咋表示？是不是就是把这个 m 点和 n 点的纵坐标作差，加绝对值就 ok 了？ 好，那就应该是 t 方减去二 t 再减去 k t 的 绝对值。好，那咱们给它音式分解一下，它就是 t 乘上 t 减二，再减 k。 好， 那第三步我们就要去画这个关于 m n 和 t 的 这么一个图像了啊，就说它是一个横坐标，应该是 t 的 这么一个 二三数，那它的纵坐标表示的是 m n 之间的距离。好，那这个图像应该怎么画？各位注意这个解析式的特征，我们把它看成是一个关于 t 的 二三数了，那它是不是变成因式分解的形式？它应该就有两个根， 要么 t 等于零是吧？要么 t 减二减 k 等于零。所以我们能够找到它与这个横轴的两个焦点，是不是一个是圆点？零？逗，零，这个就是当前边这个为零的时候，还有一个呢，让后边这个为零， t 此时就应该等于 k 加二。那因为人家题干当中说了， k 是 大于零的呀， 所以说 t 等于的那个 k 加二就一定比零大，也就是说原点一定是左边的那个焦点，就这应该是那个原点，那那个 k 加二呢？ 它就一定是在零的右边，所以咱们可以画一个简单的草图，开口向上，是吧？开口向上这样的一个草图，稍微调整一下，它应该过这两个焦点。 ok， 然后需要注意的是啊，因为咱们画的是一个绝对值图像，绝对值它是一定不可能会存在这个动作标是负的呀，所以我们需要把这个 x 轴，或者说叫做此时的 t 轴下方的这一段图像，我们给它翻折上去就 ok 了。好，那咱们就区别一下，我就用这个红色的表示了这个翻折之后的情况。 那所以我们现在 m n 关于 t 的 图像，我们重点看什么呢？重点看这一段就是类似于一个这么一个小 w 的 这么一个图像。好，那接下来咱们就要分析这道题最麻烦的地方了啊， 就是当这个 t 大 于负一小于三的时候。 ok， 那 这个负一我是能够轻松找到的，这个负一它就一定是在这个零的左边，咱随便先标记一下，比如说这个位置，这个位置它是一个负一。 好，那三呢？因为三啊，他是不是在零的右边？但是他跟这个 k 加二什么关系我是不清楚的，对吧？他有可能是在 k 加二的左侧，有可能是在 k 加二的右侧，对吧？ 但是我们看右边的这一段啊，就是零右边这段图像，其实我们可以大致的分为三段，是不是一个是这么一段升上去的这一段，然后又升上去的这一段？ 所以这道题基本上啊，如果说咱们可以拆分为这三段图像的话，那我们就可以分为三种情况去讨论这个三的位置了。好，那我们来看第一种情况啊，就是当这个三是在上升的这一段。 好，那咱们首先先求一下这个对称轴，对称轴咱画一下，他是不是就应该是，呃，这两个端点他的横坐标相加除以二，也就是说二分之 k 加二， 这是二分之 k 加二。所以那么第一种情况啊，就来了，就是三，在这一段的时候呢，咱们需要先对它做一个小小的限定，就是二分之这个 k 加二，它是不是大于三的时候 啊？那咱们化简一下啊，那也就是说即 k 大 于四的时候， 好，那么三此时是在这一段。好，那接下来啊，我们就来分析，他说 m 点和 n 点的距离存在最大值，你说老师这什么叫存在最大值呢？ 大家注意啊，当三在这一段的时候，我们假设这个位置就是三，好，那负一到三这一段图像是不是就应该是这样的？ 那我们观察一下图像啊，我们就应该能看出来，这段我红色荧光笔画出来的这段图像，他是一段先减再增的图像， 那对于先减再增这种图像，我们看图就能知道，他如果说这个距离的最大值，也就是我们看纵坐标啊，他在哪可能会觉得大是不，要么是负一这个位置，要么是三这个位置， 但是恰巧的是这个人家 t 的 范围负一和三都没有取等，也就是这两个边界我们取不到， 所以那我只可能在负一和三这两处取得最大值，但是这个最大值我还取不到，那这个叫 m 点和 n 点的距离有最大值吗？是不是他就没有了啊？所以那么这种情况他其实是不存在的。 ok， 这是我们正确的去翻译这个题干。好，那第二种情况我们再来看啊，它是在下降的这一部分，还是我们在给它分类讨论的时候，一定首先 去讨论这个参数的范围啊？我们看需要对参数做一个限定，也就是当这个二分之 k 加二，它小于三，小于 k 加二。 好，那么我们还是化简一下，那那半部分，哎，他上边这个大于三十大于四，那小于三肯定就小于四了，那咱们来看这三小于 k 加二，那咱们快速的快看一下，就应该 k 大 于一啊，所以 这个范围，也就是说 k 大 于一小于四的时候。好，那咱们看啊，那这个时候对应的我红色荧光笔的图像就应该是嘚嘚嘚啊，就应该是这样的一个图像。 好，那我们观察一下这段图像的话，我们会看到在这个负一到三这一段图像当中，最大值可能在哪个位置取到？是不是有可能在负一处？ 还有可能呢？是在顶点处，是不是也只有这两个位置？但是根据刚才我这个第一种讨论的情况啊，这个负一，这他即使取到了，这即使有这个最大值，咱也取不到啊，所以我们呢，就在这种情况下，如果存在最大值，他就一定在顶点处取到的， 那么在顶点处取到，他需要做一个什么限定呢？就是我这个顶点处的最大值，是不是一定得比我这个负一的时候这个纵坐标要大， 否则的话这个顶点也不叫最大值。所以那咱们拆解两步啊，就第一步，我们先把这个顶点的纵坐标以及 x 等于这个 t 等于负一的时候，这个点的纵坐标我们给他写出来，然后我们再让顶点的纵坐标要大于 x， 这个 t 等于负一的时候这个纵坐标， 好，那咱们慢慢算啊，别着急，有点耐心。这个当 t 等于二分之 k 加二的时候， 那这个 m 和 n 的 距离，咱们直接给他带进来，是不是就应该是一个？嗯，我带到前面这个式子，可能相对来说会好算一点啊，他就应该是，嗯，二分之 k 加二的平方。 慢慢写，别着急，它的平方减去二，乘上二分之 k 加二，然后再减去 k， 乘上二分之 k 加二。 好，那咱给他化减化减，前面这个呢，就应该是四分之 k 加二的平方， k 加二的平方，就 k 方加四， k 再加四，然后减去一个 k 再减二，然后再减去一个二分之 k 方，再减去一个 k。 好，那我就稍微跳一点步骤啊，咱们看啊，我先把这个 k 方合并， k 方哪一项里边有 k 方，四分之 k 方，负的二分之 k 方，所以说这两项咱们化简之后就是负的四分之 k 方。 好，然后接着咱们看 k 啊，这有一个四分之四 k 就是 k， 然后减 k 再减 k， 那 它就剩一个负 k 了， 然后呢，再化减乘除项，这是一个四分之四，就是一一减二，那它就是负一。 好，那咱们接着来想啊，因为在这道题里边， k 是 正的，对吧？ k 是 大于零的，那这个负的四分之 k 方是不就一定是负数，对吧？然后这个负 k 是 一定是一个负数， 然后负一是一个负数，所以说三个负数相加，哎，它就一定是一个负数了，那么它的绝对值就一定是这个式子的相反数。所以说咱们在这样是可以去这个绝对值号的，它就等于四分之 k 方，再加 k， 再加一啊，那么顶点的纵坐标咱就表示完了。 好，那接下来啊，我们再来去表示这个 x 等于负一的时候啊， t 等于负一的时候，这个纵坐标，那 t 等于负一的时候呢？咱们还是代入到前边的这个算式当中，那此时它就应该是负一的平方就是一， 然后负二乘负一再加二，然后呢再加上一个 k， 所以 它就应该是 k 加三的绝对值。好，那因为 k 是 正的，所以 k 加三也一定是正的，那正数的绝对值显然它就还是 k 加三 好。那么我们呢，需要让顶点的纵坐标是不是要比这个 t 等于负一的时候，这个纵坐标大呀？那四分之 k 方加 k 再加一，它就要大于 k 加三。 但是各位注意啊，根据之前我就跟大家说了，当我们写出来了一个不等式的时候，我们就要考虑这个等号他能不能成立，养成这样的一个好习惯，那怎么样去检验呢？我们就假设他可以成立。 我们看啊，如果说这个顶点的纵坐标他就是 x 等于负一的时候，这个纵坐标他们两个一样，那是不是也能说在顶点处他取到最大值，因为他俩一样嘛，然后但是我这个顶点能取到负一的这个位置，取不到，所以也没问题，对吧？我顶点处也叫最大值，所以那我们这是可以取等的。 好，那咱们解一下这个式子啊，我就写在了右边吧，写右边那 k 和 k 约了，然后呢，我们把这个一挪到右边去，是不就是四分之 k 方，他是大于等于二的， 也就是 k 方大于等于八。好，那这个式子怎么解呢？是 k 方大于等于八，那 k 就 要么两边同时开根号大于等于二倍根号二， 或者是 k 小 于等于负的二倍根号。好，这个大家一定要会解好，那解出来这个之后大家注意啊，因为我是在这个大前提 k 大 于一小于四的这个范围当中去讨论的， 那这两个范围， ok， 很 抱歉，他就没有了，因为他不在我这个范围当中。好，那这两个范围咱们取公共部分，那此时就能得到第一个结果了，就是 k 是 大于等于二倍根号，二小于四的，这个是没有问题的。 好，那只剩最后一种情况了啊，咱们耐心一点，慢慢听完。那第三种情况咱们来看，也就是说这个三是在这一段，三，在这一段也就是三要大于这个 k 加二， 那三大于 k 加二的时候呢？ k 此时就应该是小于一的啊，即 k 小 于一时。好，那咱们来看啊， k 小 于一的时候，那咱们其实简单的想一下就行了啊，因为，呃，我现在啊， 他现在的图像就应该是一个这样的图像，那大家注意，我这个这个图像当中的最大值是不是要么在负一处取到，要么是在顶点处取到，要么是在这个三的位置取到，对吧？ 那因为负一和三咱都是取不到的，对吧？因为两边他没有取等，所以说，那这个时候的重任是不是还是压在了这个顶点处，对吧？也就是顶点处的值啊，我既要比这个 x 等于负一的时候，它也要比 x 等于三的时候它， 但是在圈二当中，当这个顶点要是大于负一的时候，咱得到的是这样的一个范围。 哎，那咱们想一下啊，首先 k 它是一个正数，所以说这个就一定不可能了，对吧？那其次，在我现在的讨论当中， k 小 于一，那它这个 k 大 于等于二倍根号也不在这个范围里边了， 所以你这个顶点啊，在 k 小 于一的时候，它都不可能比 x 等于负一的时候这个纵坐标大，那咱们还用算三吗？是不是就没有必要了？也就是说这个顶点它就不可能是这个最大值了， 所以那这道题到这咱们就做完了啊，最后也只有红色的这个范围，也就是 k 大 于等于二倍根号二小于四。 那如果说大家觉得听得不错的话，那感谢大家可以点个小赞啊。那如果有其他的问题，我们可以在评论区给我留言，那我们下期视频再见。拜拜。

函数这道题，哎呀，这道题呢，不得不说，这个计算量还是有点大啊，但是呢，前一两问呢，应该是没有太大的问题啊。呃，那么首先在这个地方呢，他说，呃，有这么一条直线， 这个 y 等于三分之一 x， 然后呢，告诉你说， o a 等于 ab， 哎， o a 等于 ab， 给定什么特征呢？就是 a 点是 ob 的 一个中点，对吧？然后您既然我能知道 a 点的横坐标，我就能求出 b 点的横坐标啊。 那么他说，抛物线 y 等于负 x 方加 b， x 加 c， a 有 两个参数不知道，所以如果说我要去求这个抛物线的解析式，那我至少需要知道两个点，是吧？嗯，好，他说，顶点为 m。 第一个，若 a 点的横坐标是三，那么请写出 ab 的 一个坐标。首先呢，这个 ab 我 可以认为是这个 l 与抛物线的交点， 呃，在这个地方，谁已知咱们就带到谁里头去啊。所以你看一下，对于咱们这个 a 点坐标，它可以带回到咱们的这个直线里头去。这个 x 等于三和坐标是三，坐标是几？一，这是 a 点坐标，那 b 点坐标因为 o v 等于 ab， 那 么咱们知道这个地方，其实 a 点它就是 o b 的 中点，那么 a 点的和坐标是几是三，那 b 的 和坐标为几为六，对吧？那所以 b 的 和坐标是六到二啊， b 的 坐标是六到二， ok， 好，呃，那么这是这么个情况，呃，接下来的话，咱们来看一下，就是第二小问。第二小问呢，他说，呃，让咱们去求一下这个 l 的 表达式及 m 点的坐标呢，非常简单，咱就将 ab 的 坐标往回带就行了。将 a 点的坐标三斗一，那么 b 点的坐标六斗二， 带入到咱们这个抛物线 l， 对 吧？那么带进来的即是等于的是一，等于的是三三的九负九，再加上这个地方是三 b， 再加二 c， 然后第二个是二，等于的是六六三十六，负三十六，再加上六 b， 再加二 c， ok， 那 么这块的话，咱们就连立方乘去把这个 b c 解出来就可以了，对吧？这个，其实这个地方就是什么呢？三 b 再加上 c 呢？等于的是一下三等于十，那这个地方是， 呃，这个地方什么呢？是六 b 再加 c 呢？等于的一下降三十六，加二是三十八， ok， 呃，这块两式相减，两式相减呢，这个地方就等于三 b， 然后等于右侧是三十八，减去十，不对，二十八吗？ 所以 b 等于的是三分之二十八，这个没有任何的问题啊，三分之二十八，那么同样的，我把这个 b 的 三分之二十八带过的这个方程呢，即能解出来 c， 呃，那么 c 等于负十八，我就不说了啊， ok， 所以 你看，如果说我们要求他的一个解析式啊，那就是 y 等于的是负 x 的 平方，再加上三分之二十八， x 再减十八，说要求 m 的 坐标 m 的是顶点，那所以 m 的 坐标呢？我们就在代公式就行了，对吧？当， 呃，这个 x 等于负的二 a 分 之 b， 那 么即使等于的是负的二，乘上负一分之 b， b 是 三分之二十八，所以他的横坐标是三分之十四， 对吧？那么重坐标的话，咱们就把这个 x 等于三分之十四带往回带， y 等于几呢？呃， y 等于的是九分之三十四， ok， 所以 这个地方 m 点的坐标是三分之十四到九分之三十四，呃，我觉得像这个地方就第一问啊， 第一问呢，我们在处理的过程中呢，除了计算量就是略大一点，其他呢，其实也就 还好啊。而且，其实像这个题呢，可能对于咱们而言，在这套卷子里头在压住的部分呢，还是挺友好的，对吧？也就是这几分呢，咱们还是得拿到手，然后接下来呢，其实这道题从呃第二题哎，就开始有一点计算难度了啊， 好，呃，那么这个地方，他说设 a 的 横坐标是 t， 那 你要注意啊， a b 呢？它在什么上呢？它在这个 l 上，也在这个呃，二次函数的这个图像上， 对吧？所以，嗯，反正谁已知咱们就带到谁啊。他说起含有 t 的 式子来表示 b c， b， c 是 二次函数上的一个参数，那我要用含有 t 的 式子来表示 b c， 我 就得把 ab 的 坐标往回带，对吧？那 a 点我怎么用 t 来表示呢？ a 点它在 l 上，小 l 上，对吧？这个直线上，也在抛物线上， 那小 r 的 解析是已知，那所以这个地方就 a 点的坐标就是 t， 逗号三分之 t， 这是 a 点的坐标， ok， 那 么同时这个地方 b 点的坐标就是什么呢？ b 点的横坐标，它就是二 t， 纵坐标是三分之二 t， ok， 好 吧，呃，那么这个地方呢，是咱们的 a b 的 一个点的坐标，咱们就代入到二次函数啊， y 等于负 x 的 平方，再加上 b， x 再加 c， 这个地方确实得阴算，就思路呢，就是这个思路，但是可能计算量稍微大一点啊， 那这个地方是三分之 t， 呃，等于的是负 t 方，再加上 b t 再加 c， 那 下面是三分之二 t， 呃，等于的是二得四减四 t 方，再加上二 b t 再加 c， 那连立这两个式子就一式和二式，咱怎么说呢？两式相减，谁减谁，其实无所谓啊，就是二式减一式，那可以得到左边三分之二减三分之一，三分之一 t， 那 右边负四减负一，那就是负三 t 方，再加上的是 b t， 对吧？呃，因为这个地方呢，它说 t 大 于零， t 不 为零，我两边同时可以约去一个 t 的， 即。呃，三分之一等于的是负三 t 再加上 b， 那 么 b 呢，它就等于的是这个。呃，三 t 加三分之一吧，对吧？解得 b 呢，就等于的是三 t 加上三分之一， ok， 这是 b， 那 么同样我可以把 p b 等于三 t 加三分之一往回代，那这个地方 c 是 不是就出来了，对吧？ c 呢，等于的是负二 t 方， ok， 哎，那么所以我们就用含有那个 t 的 代代数式来表示了一下 b c， 那么他说，当 t 为和值的时候， m 点到 x 轴的距离和到 y 的 距离相等。你要注意，其实在这个地方，我要求 m 点到 x 的 距离，就是等于 m 点的纵坐标，因为 t 大 于零嘛，对吧？哎，所以咱们能看到这个 m 点，它是在第一象限。呃，那么 m 点的纵坐标， 它到外角的距离是不是 m 的 横坐标，让它相等就行了。但这个里头呢，我需要去表示一下这个顶点，你看啊，这个时候，咱们这个抛物线，即 y 等于负 x 的 平方，再加上 三 t， 再加三分之一倍的 x， 减去的是二平方，是这样吧，那就这个式子，我能不能把这个 m 点的坐标求出来？可以。呃， m 点的横坐标 g 等于负的二 a 分 之 b， 那 么 g 是 等于的是负的二 a 分 之 b， 那 就是二分之。呃，三 t 再加上三分之一，那么 g 是 等于的是六分之。 好，九 t 再加一，这是它的一个横坐标，那么 m 的 纵坐标是不是就等于四 a 分 之 a c 减 b 的 一个 平方，那么即是四 a 四 a 就是 负四分之四 a c 四 a c 负负得， 呃，正，那就是八 t 方，呃，就是减去的是 b 的 平方，减去三 t 再加上三分之一整体的平方， ok， 好， 呃，那么在这个地方的话，就是，就是，这是他俩的一个。呃，就是横坐标和纵坐标，那根据题目的意思，他到 x 轴和到 y 轴的距离相等，那么我们就可以去列出来一个等式， 也就是说它到这个 y 轴的距离啊，到 y 轴的距离六分之。呃，九 t 再加一，它等于等于什么？这个点到 x 的 距离，也就是说等于的是，呃，负四分之，这个地方九分子上反正能去就去。 嗯，这个地方分子上就可以做一个进步的化简吧，那就是等于的是负四分之。打个草稿啊，就是，呃，八 t 方减去的是三三的九九 t 方，然后再减去的是二 t， 对 吧？二倍的收尾乘积，然后再减去的是九分之一，那么即使分子上就等于负 t 方减二 t 再减去 九分之一，对吧？呃，那么这个分子分母同时除以一个负负负一，那么所以它其实应该是等于的是四分之一，这个 t 方再加上二 t 再加上九分之一的， 对吧？嗯，其实这块化解的这个位置就差不多了，反正最终是要去求解这个方程的嘛。呃，它就等于的是四分之， 嗯， t 方再加上二， t 再加上九分之一，呃，两边同乘十二，那这个地方是两边同乘十二，这是二倍的一个九， t 再加一，那么右边是等于三倍的一个 t 方再加上二 t， 再加上九分之一， ok， 呃，去括号化简一下，那么极是可以得到，就是 去括号化点一下啊，就是二九十八， t 再加上二，等于的是，呃，三， t 方再加上二三，二三得六，再加上三分之一，那么移下相就等于三 t 的 平方十八就六减十八，应该是负十二， t 移过来是， 呃，等于的是三，二减三分之一，那么就是三分之五， ok， 好， 呃，那么这块的话，我解这个方程两边同时除以三，也就是等于 t 方减去的是四， t 等于的是九分之五， ok， 呃，这块咱们肯定是优先采用配方嘛， 对吧？这个是 t 方减去的是四， t 等于的是九分之五， ok， 那 么咱们接下来解这个一元二次方程肯定优先选配方，因为二次项系数为一，一次项系数为偶，对吧？那即是等于 t 减二的整体的平方等于右侧 左边加四，右边得加四，四的话是四九三十六，九分之三十六，九分之三十六，加九分之五呢，九分之四十一， ok， 所以 这个地方 t 减二呢，等于正负三分之根，号下四十一，但是根据题目的意思，因为 t 要大于零，对吧？呃，所以 t 呢，只能取谁呢？所以 t 它只能等于的是二，呃，再加上三分之根号下四十一， ok， 嗯，那么答案他写的什么呢？写成的是三分之六，再加上根号四十一，这个这两个答案没什么区别啊，因为 没有太大的形式的一个变化哈，这就是咱们的那个，你看最后一道题的，就是第一小问，其实到目前为止，嗯，咱们这个思路，从思路层面上来说，这个题难吗？并不对吧。但是这道题它确实是存在一定的计算量的， 就是你再去用 t 把 bc 表示出来的过程中，呃，这个计算量本来就不小，然后表示出来了这个 bc 的 过程中，你再返回去表示顶点的过程也并不小，对吧？算出来顶点这三距离呢，就是每一步环环相扣，但凡一步错，可能步步错。好吧， ok， 这是咱们第一小问，那么接下来咱们来看一下第二小问啊，也就是 这个二十三题，哈哈。呃，最难的一个小点哈，二十三题呢，就是最后一，最后一小问，这个题还是值得好好读的，他说将这个 l 向左平移之后， 向左平移之后得到 l 一 撇，那我想请问啊，他向左平移什么？不会变？开口方向不会变，开口大小不会变，所以他的一个 a 还是负一不会变，对吧？那么恰好经过点 a， 嗯，也就是说，你看这个地方，他原来呦，他原来有这么一条这个抛物线，对不对？然后现在他把这个抛物线呢？向左移动呦， 你看它向左移动，移动，移动，移动到什么时候呢？移动到，哎，过点 a， 对 吧？交于点 a。 那 么在这个地方，其实，其实这块你能不能看出来就是这个 l 啊？和这个平之后 l 一 撇什么关系？它的 a 的 大小 方向都没有改，都没有改变，对吧？哎，开口方向也没变，那其实是这两个函数， l 一 l 和 l 一 撇，它是关于 a 点所在的，这条垂就过过 a 点，且垂直 x， 这条直线呈现一个对称的一个趋势， ok？ 不， 这是平移好吗？那如果说你能了解这个的话，后续就好办了啊。他说呢，请直接写出这个 l 一 撇与小 l 小 h y 等于三分之一 x 的 一个。另一个焦点求焦点，咱们要干什么？连立方程求己。那这个小 l 的 解析式咱们知道，我得把大 l 一 撇的解析式求出来，对不对？那么大 l 一 撇解析式怎么求？ 首先，嗯，你看在这个地方呢，刚才啊，我们去求解出来了这个 m 点的坐标啊， m 点的这个我看一下啊， m 点的这个横坐标，横坐标呢，是六分之这个九 t 加一， 对吧？那纵坐标是等于的是，呃，四分之 t 方再加上二 t 再加上九分之一，就是咱们在上一问的时候求出来的，对吧？那么接下来咱们说呢，根据它平移这个特性， 平移之后既然过 a， 那 我可以认为 l 和 l 一 撇关于，关于这条直线，这条直线是什么呢？是 x 等于 t 是 对称的， ok？ 不？ 那么其实你看这两个顶点，比如说 m 一 撇， m 一 撇和 m 是 不是也是关于这个点对称，我只要把 m 一 撇这个顶点表示出来，是不是就可以了？怎么表示呢？首先，呃，这个点它的一个 就是横坐标，这个是六分之九 t 再加一，那么我要求 m 一 撇的横坐标呢？非常好办吧啊？呃，在这个里头就是我们可以得到这个 l 一 撇与 l 关于 i 克次等于 t 对 称， ok 啊，那么所以我们能求到就是这个，呃， m 与它的一个顶点 m 一 撇关于也关于 x 等于 t 是 对称的，所以这个 m 一 撇的纵轴包是知道的，只要把横轴包求出来就可以了，对吧？那么也就说，这个 m 一 撇的横坐标再加上 m 点的横坐标六分之 九， t 再加一，它就等于就 x 一 加就对称嘛，对吧？ x 一 加 x 二除以二，那么即是等于这个 t 的 一个就是横坐标，那么我就可以认为 m 点的横坐标加上 m 一 撇的横坐标除以二，就等于 a 点的横坐标就等于 t， 那 么就这个不就是二 t 吗？ ok， 所以 我可以把这个 m 一 撇的横坐标算出来。呃，算出来呢？这个地方它应该是，嗯，就是等于二 t 减去的是六分之九， t 再加上一呃这一块算出来的， 算出来的一个结果呢？一下像二 t 是 六分之十二，六分之十二减六分之九，就是六分之 三， t 减一， ok， 这是 m 点的一个横坐标，对吧？那么，呃， m 一 撇的这个横坐标，那 m 一 撇的这个纵坐标呢？咱们是知道的，呃，它是等于的，是四分之 呃， t 方加二 t 加，哈哈，九分之一啊，就是 m 一 撇，它的纵坐标就等于六分之三 t 减一。逗号， 四分之 t 方再加上二 t 再加上九分之一的， ok， 那 么所以你看，我知道顶点坐标，我也知道它的 a， 那 么这个 l 一 撇的表达式即为， y 等于负的 括号， x 减去六分之三， t 减一的平方再加上四分之 t 方再加上二 t 再加上九分之一，哎，我是不是求出来了，对吧？那求出来了之后接下来我稍稍做一个化解， 呃，就等于负 x 的 一个平方再加上三分之三 t， 减一倍的一个 x， 二倍的是位乘积嘛，对不对？然后再减去的是这个的方是它的平方。六六三十六三十六分之三 t 减一的 平方，再加上呢是四分之 t 方，再加上二 t， 再加九分之一， ok， 好， 呃，那么这是咱们这个 l 一 撇啊。 ok， 那 接下来我们要求什么？我们要求这个 l 一 撇与 y 等于三分之 x 的 另外一个交点，所以我们就连立， 连立 l 一 撇和小 l， 那 么在这个地方就是连立它的就是。呃，我就直接做一个化解了吧，它就等于负 x 的 平方再加上三分之 三分之三 t 减一倍的一个 x， 然后呃，减去的是三十六分之三 t， 三 t 减一的平方，然后再加上四分叉就等于的是三分之一 x， 就是， 我最主要是想得到什么呢？就是最主要是想得到它移项之后的那个结果。 减一的平方再加上四分之呃。 t 方，再加上二 t， 再加上九分之一等于的是什么？等于三分之一 t， 哎，在这个地方就是，你看啊，我要去求焦点，有人可能拿到这个式子就没法处理了。不要担心，我先把它连立之后再说。你看连立之后我化简一下把这个含有，呃，就是不是三分之 t 啊，是三分之 x， 化简之后呢，给他移一下将就等于负 x 的 平方再加上，你看这个三分之一过来是不是减三分之一，它其实就等于三分之三 t 减二倍的一个 x， 然后呢？减去的是三十六分之三 t， 减一的平方，再加上的是四分之 t 方，再加上二 t， 再加上九分之一啊，等于零。可能有同学看到这个式觉得有点麻烦，老师你为什么不化解？因为我不想化解，因为就化解之后更麻烦，对吧？我只要把这个 x 求出来是不就可以了？但是各位， 其实目前题目中问的是 l 一 撇和小 l 的 另外一个焦点，什么叫另外一个焦点？是不是它本身？咱们是通过题目能看出来有一个焦点，那个焦点是点 a， 是不是那个焦点是点 a， 对 吧？那么也就是意味着 a 点 a 点，它是这两个函数的一个焦点，也就意味着 a 点的横坐标就是这个方程的其中一个，解 明白不？ ok？ 那 如果说你要是把 a 点的横坐标 a 点的坐标带进来，它大概的是一个横等式，那怎么办呢？我既然要求另外一个焦点 啊，这个地方我们的处理就非常的精彩了，他就相当于咱们去年去那个，嗯，中考的那最后一道题的处理一样。 在这个里面，比如说我设他的另外一个焦点，这是 a 撇，对吧？那么我连立这个方程，我求出来这个方程的解，他的 x 一定是 a 和 a 撇的横坐标，这个没有问题吧？ ok， 那 么在这个地方有没有必要去解这个方程呢？没必要，因为 a 和 a 撇的横坐标是这个方程的两根，而这个 a 的 横坐标是知道的，我只要去把这个 a 撇的横坐标求出来是不就可以了？ ok， 一 元二次方程两根和这个方程的系数什么关系？还记得吗？伟大定律，这个就是接下来这个这道题最精彩的一个计算部分，就是利用伟大定律来求出另外一个点的一个焦点坐标， 你看啊，呃，咱们比如说假设另一个焦点为 a 撇，对吧？哎，那么比如说，我设它的坐标是那个横坐标是 x a， ok， 那 么也就是说这个 a 撇的横坐标 x a 和这个 a 点的横坐标 t 就是 x 等于 x， a 和 x 等于 t 为方程的两个根，这个没有问题。 那么既然是方程的两个根，我们就可以用上韦达定力了。当然，用韦达定力之前，你得验算第二特的是否是否是那个大于等于零的，对吧？那么由韦达定力得 有伟大定律的我可以得到这个 x a， 再加上七 x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， 对 吧？那么也就是等于负的 a， 此时 a 是 不等于负一，对吧？呃，然后呢？ a 分 之 b， 那 其实就是等于三分之 三 t 减二。哦，那么这个 a 就是 a 的 一个横坐标，就是 a 撇的横坐标啊， a 撇的横坐标呢？一下下其实就是等于负的三分之二。 嗯， a 撇，它不仅是在这个 l 就 大 l 一 撇上，它还在这个小 l 上，那么所以此时 a 的 一个 a 撇的纵坐标，那就是把 x 等于负的三分之二往回带，那么就是 y 等于负的九分之二， 所以另外一个焦点的坐标是负的三分之二。逗号，负九分之二，这是他另外一个焦点。在这个地方再说一遍啊，就是这一块， 我们要求焦点是要连利方程，求解，这个是没有任何问题的。然后在求解的方程中，我不一定说非要把这个方程解出来，因为这个方程与咱们而言它就是不可解的复杂方程，对吧？ 所以这个时候我们去想到什么呢？就是这个方程的解就是这两个函数焦点的横坐标，那么在这个地方，我既然知道其中一个点的横坐标是 这个 t， 也就说我知道这个方程里有一个解是 t， 我 还知道它的系数的一个关系，咱们就可以利用上伟大定律，在去年，也就是二五年河北省中考的最后一道题函数题中间就用了这个伟大定律去求解了。这个题 我就最后一问啊，这个计算量还是很大的，尤其是尤其是对于这个方程的处理这块。所以刚才你看我在化解这个方程的时候，有没有发现就是我后面没有没有动，后面为什么不动呢？ 因为跟它没有关系，就不用再花力气去化解了，我只要知道就是它，是的，就是 x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， 对 吧？我既然知道其中一个一个解，那我就能通过系数和其中一个解把另外一个解表示出来，我给大家定义了一个应用，嗯。

哈喽，欢迎来到刘老师的数学小课堂，今天呢，我们一起来看一看海淀珠三一模函数探索的这道题目。这道题目呢，一看到同学们的头肯定就大了，怎么他的题干背景研究的内容会这么的多呢？那么就需要踏实下来，精读题目信息，看一看题目之间的联系是什么，研究的变量和音变量是什么？首先呢，他的题干背景在研究两种编法，什么编法呢？平边和角边。 然后呢，他把它编辑回到计算机的程序，一件产品只采用一种编织技法，这个机器人呢，完成一件之后，便从头开始重新编入程序，开始确认下一件产品，直至任务完成。然后他说呢，平边或者角边的编织时间为 t， 平边的编织面积为 s 一， 角边为 s 二，给到了 s 一 和 s 二的面积。首先当 t 零点五的时候，也就是说如果编织半分钟，那么 s 一 能编织一点二，平方分米， s 二能编织零点八，时间为一分钟的时候， s 一 能编织二点四， s 二能编织二点零，然后来确认这个数据。我发现 s 一 呢，它能够刻画成一个一次函数， 一点二，二点四到四点八，六点零，七点二，它的变量每次都是一点二，所以能直接观察确认 m 应该等于三点六，所以第一个值就是三点六，这个保留一位小数是没有区间确认的，一定是非常准确的三点六。然后继续往下看， s 二呢，它变化有没有非常明确的一次或者二次函数的规律呢？ 我们发现呢，他说我们只强调了 s 一， 它和时间是近似于正比的函数关系，所以呢，我们在确认的过程当中，只能确认 s 一 的函数变化，然后我们来确认 s 一 和 s 二关于 t 的 函数图像。 好老师刚才把图像确认了一下，然后来看一下最后一个问题，他说他研究什么呢？两台机器人分别用平和角编制一个面积为九的产品，那我们先来看一看九，他对应的位置应该在哪呢？在这个黑色线的位置，我们来看一看，当面积为九的时候，对于 s 二来说，我会发现他所对应的时间是一个非常准确的二点五，从表格当中我们能看到，这样的话呢，我们就能确认 t 二来说呢，它等于二点五，然后再看 s 一， s 一 在 s 等于九的时候呢，很明显它满足的在表格当中的数据是没有办法直接找到的，所以呢，我们就可以通过已知函数的图像来进行确认，因为已知函数图像一旦确认它的解析式，我们就能够确定下来，它的解析式就应该是二点四 t， 当面积等于九的时候，也就是九等于二点四， t 能够求出 t 值等于三点七五，这样的话呢，咱们就非常准确的确认，一个时间是三点七五，一个时间是二点五，所以差的时间应该是一点二五，这个也是非常确定的一个数值不需要保留小数，不需要估计。然后来看序号二， 序号二他说什么呢？序号二他给到了一个提单背景，超级无敌场，我们来看一看，他说接到一批补购订单，需要平编二百件，脚编一百件，并且每件产品的面积都是十二，那我们来看一看面积，如果是十二的话，我会发现对于 s 二来说，我们刚才能够确定它的时间是三分钟，对不对？ 也就是说他三分钟就能确认 s 二的面积是呃，十二平方分米。那如果对于 y 一 来说呢，它的面积如果是十二的话，那么的时间就应该是五分钟，也就是当 y 一 等于十二的时候，就是二点四乘以 t 求出来 t 应该等于五，也就是说对于 y 一 来说，时间为五的时候，对应的面积正好是十二， 对于 s 二来说，时间为三的时候，对应的面积正好是十二。他说先使这个 a 编织平边， b 编织角边工作一段时间之后呢？ b 发生故障无法运作， a 完成所有的平边之后右脚边，也就是说我们先看一看平边和脚边所涉及到的面积。他说呢，当 a 完成所有的产品之后，他的总面积是三零五二，那我们现在确定他是不是完成了所有的 a 和一部分的 b 啊？那我能知道，因为每一个面积都是十二，平边是二百件，所以我们能知道， 既然 a 在 完成平边产品的时候，就已经完成了二百乘以十二二四零零平方分米，角边一百件，一个面积是十二， 它的面积都是一二零零平方分米，也就是说我的平边和角边一共是三六零零，而我们的机器人它的编织总量是三零五二，那我就看一下三六零零和三零五二的差距，三六零零和三零五二的差距五四八， 就应该是谁的面积呢？就应该是机器人 b 之前出现故障之前所完成的面积对不对？因为除了机器人 b 所完成的工作都应该是 a 所完成的平边和部分角边， 也就是说我现在已经确认了机器人 b 他 所完成的脚边面积应该是五四八，那五四八的面积对应着工作了几分钟呢？那就看一下脚边，脚边就得看第二个数据。 s 二，我们来发现一下，刚才确认面积十二的时候，是不是确认了一个三分钟，也就是说你完成十二平方米就需要三分钟，那我看一下五四八当中有几个十二，就是几个三分钟呗，所以就用五四八除以十二， 他就等于四十五余八余八这个八是什么呢？余的是剩下的面积。四十五个十二，那说白了就是四十五个三分钟，所以就用四十五乘以三，再加上八平方米所需要的时间。八平方米所需要的时间。我们现在从 s 二的图像当中来确认一下， 八平方米就是这条位置，那我们来确定他所在的位置是更靠近二点五一些，所以我们就可以写二点三，所以呢，我们就可以确认他的数据应该是加上二点三，这样的话呢，他对应的时间就是四十五乘以三，再加二点三等于一三七点三。 这个结果。保留一本小说，按理来说应该写一三七点三，看看我们的标答当中有没有一个波动范围，如果你写一三七点一，一三七点二是不是都可以？ 这道题咱们来确认一下，虽然他的题干背景非常的浓杂，但是呢，他并不是说比原宗要难，他甚至比有的时候的原宗要更加简单一些。那简单在哪呢？就是他实际上跟数学到没有什么特别大的关系，主要就是考察你考场上的心态，一个状态，我能否比较认真的精读，确认题干当中的一个图像也好，是题目当中所研究的一个变化关系。也好， 所以这道题的难点呢，并不是说他本身的知识有多么难，所以同学们可以再确认一下，看看你这道题目能够拿到多少分呢？好，如果你觉得这道题目对你有帮助，你可以帮老师点赞、收藏加关注呦，同学们，拜拜！

一模数学难炸了！从昨天到今天，好多同学都在说数学太难了，这不，一模下马威就来了，很多学生对完答案说，只能在及格线附近，咱家孩子能考多少呢？试卷和答案我都整理好，直接进我粉丝群，抓紧看看成绩。

今年要参加山东省中考统考的同学们，我强烈建议大家好好的刷一下潍坊一模的这套数学卷子。这套题他跟山东其他地势的模拟卷有一个很大的不同点，就是他的这个基础题，门槛明显更高了，难度也明显的要比其他地区大。 反而呢，是后半部分的这个压轴题，不管是几何综合还是二次函数的大题，他考的呢，都是一些很常规很经典的中考题型，没有偏难怪啊， 但是很多同学呢，其实他吃亏就吃在这，就是前面的基础题又绕又有坑，然后你的做题耗时长，你的心态呢，就不稳，然后你就根本没有时间好好做后面的压轴题。那也正是因为这个原因，很多同学这次一模的分数啊，可能比较偏低。好，那我们一起来看一下这套卷子啊。 嗯，选择题的第一道题，开篇就有同学选错概念不清楚啊，然后这个第四题也是有的同学算出来啊，这条边是五之后，立马就选上了这个 a， 没有注意到啊，我们应该标注这个虚线，从第五题开始，这个难度啊，明显就上来了。 就拿这道题来说，你如果用排除法来做，你的速度会非常快，那这也给我们提了一个醒啊，就是你中考做题，千万不要只用一种固定的方法，比如说选择题，你完全可以采用这个排除法，或者是特殊值代入法，哪一个思路简单，哪一个方法快，你就用哪一个，灵活一点啊。 然后这个第七题，我觉得这个图啊，给了很多同学一个很大的迷惑性，再一个就是联系生活实际同学们根本想不出来啊，这个水池底到底是什么样的？ 嗯，第九题呢，你可以像我这样进行一个分类讨论，也可以把它转化成一个易函数，两种方法都可以。第十题，它是一道古典概型啊，需要你把所有的情况都列出来，然后找一找哪种情况是最多的，这个仔细一点就没没问题啊。 选择题的第十三题，一般来说，我们在科学技术法这里啊，从以往的考试情况来看，他不会给你设坑的，就是给你一个数，比如说三八七零零，你直接写成三点八乘十的五次方，这样就 ok。 但这道题它不仅涉及到计算 啊，你把这个三分之一乘十的负十四方算出来之后，你还要再把三分之一化成零点三三，化成零点三三还不够啊，你的这个零点三三还得化成三点三，因为我们必须要保证前面的这个 a 要大于等于一小于十，所以这个题啊，很多同学就在这这个栽了跟头。 第十四题，他考了一个图形的展开与这个最短路径，这种题有很多同学练的比较少，不熟悉。第十五题呢，你需要耐心一点，把题读完，然后读明白之后呢，你就能算出来。那很多同学可能他前面耽误的时间也比较久啊， 到这做题的时候没有耐心，题目也是没做出来。然后十六、十七、十八这三道题呢，他都比较常规啊。第十九题，这里有一些同学，这个第二问求平均数，不会求这个时候，其实我们只需要采取这个阻中值这个方法就可以啊。 嗯，二十题不难，第一问就是找一个相似，第二问就是正切线嘛，正切线这里无非就是正一个九十度，那只需要倒角就可以了啊。 然后二十一题，这个题啊，就有点像我们现在中考物理的那个最后一道题，就是那种综合应用题。首先呢，你得静下心来把它搞清楚啊，它到底是一个什么样的情景。 然后读完之后，你再顺着题目给的这个数量、关系、条件、逻辑，一步一步的往下列式子解析就可以。这个题其实也给我们释放了一个非常关键的中考信号啊，就是在这个中考的命题里，变化永远是常态。现在呢，就是考察大家的这个能力， 谁能从这些句子里抓取到关键信息，理清楚关键信息之间的逻辑，然后你再通过你所学的知识，把这些逻辑变成你的这个数学语言去解析， 而不是考大家会刷多少题啊，会背多少套路。这个就是锻炼你这个透过现象看本质，在千变万化的这个考题里，抓住你永远不变的那个核心。二题呢，其实考察大家的核心思想就一个啊，就是从特殊到一般， 你只需要把这个前两问给整明白，然后你后面的第三问，第四问，你顺着这个逻辑就可以解决。然后二十三题呢，也是一个比较常规的题型，这里考了一个二次函数的平移， 然后完全平方公式的一个变形，这个变形其实和我们二四年同考的最后一题的最后一问是同样的逻辑，大家可以去看一下。 然后第三问呢，就是一个两点坐标公式去求两条线段的长度，也是比较常规的。 总的来说，这套卷子其实就是基础题会难一点，但是压轴题啊，它并不难。然后整套卷子的这个风格我觉得也给我们释放了另外一个信号，就是我们在备考的时候，你千万不能只盯着固定的题型猛练，一定要把视野放的更宽广，提前做好题型变换、命题风格调整的准备。

同学们好，今天我们来讲解一道关于二次函数的焦点问题。首先我们先来读一下题，已知点 b 负二负三 点 c 号线表达式 y 等于 x， 方减二， x 减三加 n 于线段 bc， 尤其只有一个公共点，则整数 n 的 个数是多少。 这种类型的题在二次函数的图像的题当中是属于难度大一点的题型。二次函数的焦点问题，我们首先要先去看一下他给的表达式是什么样子的，是一般式还是顶点式？ 对于这个问题， y 等于 x， 方减二， x 减三加 n， 这个抛线的表达式给的是一般式， 当这个一般式当中的 a 和 b 都知道的时候，那么我们就可以知道它的开口方向和它的对称轴， 所以这个二次函数的对称轴我们可以用 x 等于负二， a 分 之 b 去把它求出来，所以这个抛线的对称轴就是 x 等于一，并且开口方向向上。 对于 c 负三加 n， 它是含有未知数 n 的， 所以 c 我 们是不知道的，所以这个题我们就可以把它当成是一个二次函数图像平移的问题， 咱们可以先大致的去把这个抛物线的图像给它画出来，去进行向上向下的平移，找到临界情况，我们来把它平移一下。 比如说在这个抛物线进行向上平移过程当中，首先和这个线段 b， c 中的点 b 有 交点， 那么在在它继续向上平移的过程当中，这种都是符合条件的，直到这个二次函数的图像经过了点 c， 因为经过点 c 的 时候，这个抛物线会和线段 bc 有 两个交点，是不符合题意的，所以说 b 和 c 都是一种临界情况，但是 包括经过点 b 的 时候，不包括经过点 c 的 时候，所以我们找到临界情况之后，我们就可以把对应的临界情况的点的坐标给它带入进去，比如说将 b 点的坐标负二负三 带入，我们就能够得到 n 是 等于负二的，那么我们首先来分一下 整个负三，加上 n 的 值，表示的是二次函数图像当中 c 的 作用。 c 是 与外轴的交点坐标，所以它可以相当于是在经过点 b 的 时候， 此时 n 是 等于负二的，如果要是向上平移， n 的 值就得比负二大，所以直到经过点 c， 根据前面我们的分析，它是可以等于经过点 b 时的 n 的 值，所以 n 是 大于等于负二， 那么当它经过点 c 的 时候是不符合条件的，所以要小于六，不能等于六。那么在这个取值范围里边有八个整点负二到一，总共八个整点，那么对于二次函数图像，我们要继续对它去进行平移，看看还会不会有其他的情况。 继续向上平移的过程当中，我们会发现还有一种临界情况，就是当这个二次函数图像的顶点在线段 b c 上时，所以这道题容易出错的地方就是容易忽略到这种情况，就是当顶点在 b c 上时，如果当顶点在线段 b c 上的时候，那么我们就可以知道这个二次函数图像顶点的坐标应该就是一到三，所以同样我们要把一到三给它代入，就能得到 n 的 值是等于七， 所以综上所述，总共会有九个整数 n 的 值，所以这道题选择二 b 选项。

大家好，那今天来看一下二六年西城一模的第二十六题，它的呃数综合题目啊。这个题目呢，首先给了一个 y 等于 a， x 方减 b x， 然后 a 大 于零 呃，那么第一问是，小于等于二的时候， y 随 x 增大而减小，大于等于二的时候， y 随 x 增大而增大，那么上面是个二次函数还过零零， 所以呢，这个 x 等于二就是它的对称轴，然后也就是二， a 分 之负的负， b 就是 二， a 分 之， b 应该等于二，然后 呃 b 应该是要等于 c， 看它的第二个呢，当 a 等于一， b 等于二的时候，将二次函数 y 等于 ax 方减 b， x 的 图像记为 c 一， 一次函数 y 等于 k， x 的 图像记为 c 二， 然后过点 p， t 到零，然后做 x 轴的垂线分别交 c 一 就是抛物线于 m， 然后 c 二就是这条直线。 y 等于 k， x 于点 n， 那 么当 t 大 于负一小于三的时候， m 点与 n 点的距离存在最大值，就 k 的 取值范围。那么前面都很好理解，甚至二次函数的话，我们就直接是 y 等于 x 方减去二 x， 它和 x 轴的两个交点应该也是零逗零和二逗零，然后依次函数也好理解，交点也可以理解。那么最重要的就是最后这一个问题，就是当 t 大 于负一小于三的时候， m 点与 n 点的距离。 那我们经过去年的中考，还有最近的二次函数的题目会发现，当这个提到 m 点与 n 点的距离的时候，应该是要用 m 点的坐标减去 n 点的坐标，构造一个新的函数， 这里呢，要取一个绝对值，那么这个存在最大值是什么意思呢？因为他这个是大于负一小于三，所以呢如果他的最大值在负一或者三取到的时候，他就没有最大值，也就是说他这个存在最大值的意思是最大值的点 呃要除了负一和三以外的其他点也能够取到，那接着我们先去呃，把 m 点和 n 点的坐标给它先求出来，那我们求完之后会发现构造的这个新函数是 t 方减去 k 加二倍呃 t 的 绝对值， 那么这个函数如果不看绝对值的情况下，它就是一个纯粹的二次函数。如果要是看绝对值的，我们就需要把它小于零的部分翻转出来，那么对于带绝对值的函数的，我们最好的办法还是给他做一下分类讨论。 那么 t 的 范围是 t 大 于负一小于三，所以我们主要在 t 大 于负一小于三的这个范围内进行一下分类。 那首先是他的两个零点，一个是零，一个是 k 加二，所以我们首先呢看一下 k 加二他有没有包含这个三的部分。因为 k 加二是大于零的，所以我们可以把 k 加二 小于三，先做一个 k 加二先大于三，先做一个分类。这样的话呢，他在他就只有两个部分，就是当 k 大 于一的时候， 那么首先来分析一下，就是当这个 t 大 于等于 呃一的时候，然后可以写出这个 m n 的 个解析式，就是当 k 大 于等于一的时候，这个时候 k 加二，它是大于等于三的， 然后我们这个 k 加二乘以 t 减去 t 方，我们可以确保它不存在。另外一段就是 t 方减去 k 加二倍的 t 要大于零的这一段， 那么当 k 大 于等于零的时候，我们一共有两段，一段是呃，他在 t 在 负一到零的一个区间，我们可以画一下他的函数啊，就是如果我们把这个 m n 作为一个函数，画出他大概的图像呢？大概是左边这个样子， 然后我们负一到零的位置，他可以确定就应该是 t 方减去 k 加二倍的 t， 然后在零到 k 加二的部分，要看这个 k 加二他会不会越过三，如果不会越过三呢？就都是 k 加二倍的梯减去梯方，那么当这个 k 加二，如果会越过三呢？还会有一小段， 这他要变成 t 方减去 k 加二倍的 t， 那 我先讨论一下，当 k 大 于等于一的时候，我们只有两段的一个情况，那么我们分别把两段的最大值给他取到，那么在左边这一段的最大值就是 k 等，就是 t 等于负一的时候取到的这 k 加三， 然后右边这一段的最大值呢？因为我们现在呃这个 k 加二，他应该是要小于三， 然后我们如果要让这个二分之 k 加二，他就在我们这个零到三的范围内的时候，他应该要 k 要大于负二小于四，这个时候我们可以确定确保这个中间这个顶点他一定是在 这个抛物线的里面的，因为如果要是呃这个顶点，他在抛物线的外面的时候，这个时候他取到的最大值就是在 t 等于三的时候取到的，这个时候也是无法取得的，然后我们去把让这个顶点的位置让他大于 t， 等 t 等于负一的时候这个最大值，那我们就可以求出 m n 的 最，就是我们就可以确保 m n 是 有最大值 的，这个时候 k 是 大于等于二倍根号二小于四的，那么大于等于二倍根号。二是要求我们在这个小于零往上翻的那个顶点的位置，他要比这个 t 等于负一的时候，它这个值要大，那么小于四，要确保我们这个顶点它是在 零到三之间的。那接着呢，我们去看一下 t 大 于零小于一的一个情况啊， k 大 于零小于一的一个情况，那么我们最后一个阶段呢，是它分成三段的时候，当然分成三段，但其实我们主要要讨论的是它们的最大值，就把三段的最大值分别求出来就行。 那三段的这个时候他的最大值都是确定的。当 t 大 于负一小于零的时候，就是在负一的时候取到一个最大值 k 加三，然后中间的。呃，这个 阶段呢，他应该是在最顶点的二分之 k 加二的时候取到一个最大值，然后在最右边阶段呢，是在 t 等于三的时候取得最大值， 而且会发现呢，这个当 k 大 于零小于一的时候，这个三减三 k 他 肯定是小于 k 加三的，或者说当 k 大 于零的时候，这个三减三 k 他 都是小于 k 加三的。 那么回到我们之前的那个阶段，就是说如果他只有两段的时候，他的最大值就只会在 t 等于负一或 t 等于三的时候，两个 两个阶段能够取到。就是当他那当中间这个先增后减的这个区区间，如果变成一个纯粹的增区间呢，他就会只在这个 t 等于负一或者 t 等于三的时候取到一个最大值，所以 最后的取值范围呢？ k 应该要大于等于二倍根号二，然后等于四。

各位出单的家长注意了，咱们 c 二零今天考了一张数学卷子。模考卷啊，也算是正式的一模。呃，皖北跟皖南的部分学校参考了，然后我觉得这张数学卷子值得推销的是这个倒数第三题啊，跟咱们去年中考啊，这个有的一比啊， 号称文英文式的阅读，这种探索题字特别多啊，占了一页纸啊，很多孩子遇到这种题目啊，头皮发麻，读不下去，对吧？但是咱们现在中考啊，就是这个趋势。然后最后两题呢，就是比较中规中矩的这个几何和二次函数。 嗯，需要这张卷子的可以写一写，我觉得比较和去年的中考非常的相似，一种新方向吧。嗯，加油。

hello， 大家好啊，今天玩一道非常经典的二零二六年一元一模的这个选择。押注 啊，是一个新定义的题型，那这个题的底层逻辑怎么走呢？其实怎么定义也离不开我们的底层逻辑，来一起来感受一下。首先题目告诉一个定义，说，如果把平面直角坐标系横坐标 与纵坐标互为相反的点，成为方形点，比如一负一，二分之一，负二分之一，如果横为 a， 纵就为负 a， 那 再次拓展一点啊，如果横纵坐标是互为相反数，那么这个点一定在二四象限的角分线上， y 等于负 x。 好，明白这两个基础知识。好，下面看第一个火机怎么分析说这个直线存在方形点，因为说把 x 是 a， 哎，把 y 是 负 a 带进去，那我们求一下。好，等于三， a 等于三， a 等于一，所以应该是一对负一。好，验证一下啊，把一带进去，负四加三等于负一，没问题，所以一号选手复合题 来，二号选手说这个抛物线上的两个方形之间的距离是四根二，那很明显，同样把 x 是 a， 哎，把 y 是 负 a 带进去，哎， a 方，然后减去四， a 再加三等于零，是吧？ a 减一， a 减三等于零， a 一 等于一， a 二等于三，所以两个方形点应该是，嗯， a 取一的时候啊， a 取一的时候，我们来求一下， 当 h 一 的时候，好了， ok， 我 们发现，嗯，为一对儿负一，那么 h 三的时候就为三对儿负三，对吧。然后采用两点距离的导公式，根号下 一减三的平方加上负一减负三加三的平方等于二的平方，四，二的平方四八二被根号二，所以二号选手错了，应该是二根二， 好，继续走。我们看一下这个第三问，说这个抛物线上有且只有一个方形点，这个点是二负二， 那么有且只有一个点。又说抛物线 y 等于 a x 方加三， x 加 c 与 y 等于负 x 连立方程，那么有且只有一个交点，则得它等于几零？蛋蛋，好了，第一步， 我们先把这个二负二带进去啊，等于 a x 方加三啊，来， 先把啊这个二和负二代去，应该是四 a， 是 不是啊，加上六加上 c 等于负二， c 等于这个负四， a 减八。然后第二步，齐啊，然后再 邻域方程 a x 方加三 x 啊，减去四 a 减八等于负 x， 好，等于 a x 方啊，加上四 x 减四， a 减八等于零。德尔特等于 b 方减 c， c 等于十六，减去四 a 负四， a 减八 好，等于十六加上十六， a 方加三十二 a， 好， 继续走啊，类似于十六 a 方加三十二， a 加十六等于零，好，嗯， 把 a 把十六提回来啊，加上二 a 加一等于零，最终 a 等于几？负一，哎，好。第三步， a 好， 我们把 a 单引去啊，最终我们发现 y 就 等于啊， a 单引去就是负 x 平方加三 x 啊， a 换掉就是四，减八等于负四啊，减四，哎，抛物线闪亮登场， 那么抛物线完整已知 x 大 于等于负一小于 m， 这个抛物线最小值负八，最大值负四分之七，求 m 的 范围，这是典型的二次函数的曲率范围的这种经典题型啊。那么第一步怎么办？我们先求出这个抛物线的这个顶点坐标啊，记对折问题， 好，把这个负号提出来， x 方减三， x 加上一半平方二分之三，四分之九， 减四分之九啊，减去四等于负的 x 减二分之三的平方加四分之九啊，再减四等于啊，减去四分之七。好了，那很明显，开口向下 啊，对称轴呢，为直线 x 等于二分之三。好，我们发现这个负一大于等于负一小于等于 m 啊，对应的最大值正好是负四分之七，换句话说，这个范围里面一定包含 x 等于二分之三啊，也就是说， 这个火机应该在负一和 m。 哎，负一和 m， 它一定包含二分之三，这样只有开口向下才会有最高点啊，对应的最大值正好是负四分之七，所以 m 的 范围应该是要大于等于二分之三了。 好，下面继续走。那么最小值多少呢？是负八啊，所以你可以把 y 等于负八代入抛物线，就是负 x 方加三， x 减四等于负八，则啊， x 方减三 x 四。 嗯，这是应该是 x 方减三个四，这是四减，减四等于零，所以 x 加上一， x 减去四等于零，但 x 一 等于负一， x 二等于四，对吧？所以啊，这个点 是四，这个点是负一啊，你也可以啊，通过抛物线的对称性啊，两倍对称轴减去负一等于四，那对应的这个最小值啊，是负八，也可以去验证。最终啊，它的范围应该是啊，大于等于二分之三，小于等于四。此题打完，收工。

各位同学，我是大刘老师，今天给大家讲解一下二六年海口市一模数学倒数第二个二次函数压轴大题。我们先来审一下题， 如图十三点， a 是 抛物线， y 等于四分之三 x 平方上的任意一点过点 a 作 a， b。 垂直 y 轴于点 b， 过点 b 作 c， d。 平行 o， a 交抛物线于点 c， d。 点 c 在 点 d 的 左侧。第一个题，弱点 a 是 弱点 a。 横坐标是一。第一个小问，求直线 c、 d 的 解析式。第一个小问比较简单，我们就不过多赘数了， c、 d 的 解析式是 y 等于四分之三， x 加四分之三。 第二个小问，求 o、 a 比上 b、 d 的 值。此题我们有两种解析思路，第一种是直接根据两点之间的距离公式去求出 o、 a 的 长度和 b、 d 的 长度。我们先来做第一种方法，根据两点之间的距离公式， o 点的坐标是零斗零， a 点的坐标是一斗四分之三，那么 o、 a 的 长度就应该是根号下一 减零的平方加四分之三减零的平方。所以我们两点之间的距离公式其实本质上就是一个勾股定律， 等于四分之五，那么 b 点的坐标是零度四分之三 d 点的坐标，我们把它假设为 x d y d。 但是呢，我们的 y、 d 在 直线 c、 d 上，呃，我们的 d 点在直线 c、 d 上，所以我们的 y、 d 可以 写成四分之三 x， d 加四分之三。 所以 b、 d 的 长度就应该是根号下 x d 减零的平方加四分之三， x， d 加四分之三。减四分之三 的平方化减一下，那就是四分之五 x d。 所以 我们所求的 o a 比上 b、 d 就是 四分之五， x， d 分 之四分之五。所以其实我们求出 x、 d 就 可以知道我们的答案了。因为化简之后发现 b、 d 分 之 o， a 是 x， d 分 之一，那么 如果我们要求出 d 的 横坐标和纵坐标，需要连立二次函数和一次函数，我们把它连立一下， y 等于四分之三， x 的 平方， y 等于四分之三， x 加四分之三连立，发现 x d， x 是 二分之一，加减根号五。因为 d 是 在右侧， c 是 在左侧，所以我们的 x、 d 应该是二分之一，加根号五。 所以我们要求的 x 底分之一就应该是二分之一，加根号五分之一。分母由里化之后，我们会发现答案是二分之根号五减一。 这个是第一个方法，第二个方法我们是可以通过三角形相似转化，我们做 d， e 垂直 y 轴与点 e， 他要我们求 o， a 比上 b、 d， 证明这两个三角形相似， o， a 比上 b， d 就 会是 ab 比上 d、 e， 我 们来写一下三角形 b， d、 e 相似于三角形 o、 a、 b， 那 么 o， a 比上 b、 d， 就 会是 a， b 比上 d e， 也就是 a 的 横坐标比上 d 的 横坐标 好。那么这么的我们也能知道，应该是等于 a 的 横坐标是一， d 的 横坐标是二分之一，加根号五，所以我们的答案还是一样。 这个是第一个题的第二题，设点 a 的 横坐标为 m， 是 说明 b、 d 分 之 o a 与 o a 分 之 b， c 的 值均等于同一个定值 k， 并求出该定值 k， b、 d 分 之 o， a。 还是可以根据刚刚的三角形相似转化一下。所以我们要做 d、 e 垂直 y 轴与点 e， 现在呢，又牵扯出一个 o a 比 b c， 所以 我们这边也应该有一组三角形相似，所以要做 c f 垂直 y 轴与点 f， 刚刚我们是需要连立一次函数和二次函数的，现在也一样，但是现在呢， a 点的坐标变成了 m， 那 么 c、 d 的 解析式我们就需要重新求，一定会是一个带 m 的 解析式。 首先 a 点的坐标横坐标是 m， 中坐标就应该是四分之三 m 的 平方，因为它在二次函数上，那么 o a 的 解析式就应该是 y 等于四分之三 m x， 那么 b d 的 话，它和 o a 是 平行的，所以 b d 的 k 会和 m， b， d 的 k 会和 o a 的 k 会是一样的，所以 b、 d 的 k 应该是四分之三 m， 那 b、 d 就应该是 y 等于四分之三 mx 后面再有一个 b， 那 么这个 b 呢，是和 y 轴的交点，和 y 轴的交点是 b 点，所以 b 点的重坐标就是我们的这里的 b， 那 b 点的重坐标和 a 点的重坐标是一样的，因为 ab 是 垂直于 y 轴的，所以 b 的 坐标应该是零到四分之三 m 的 平方， 所以 b、 d 的 解析式就是四分之三 mx 加四分之三 m 的 平方， 那我们把 y 等于四分之三 x 的 平方， y 等于四分之三 m， x 加上四分之三 m 的 平方，连立一下，会发现 x 会等于 二分之 m 加减根号五 m。 但是第二个题的话，我们的 a 点有可能是在二次函数的右侧，也有可能是在二次函数的左侧。当 a 点在 y 轴的左侧的时候，应该是下面的这个图我们还是一样做， d e 垂直 y 轴于点 e c f 垂直 y 轴于点 f， 那 么 此时我们要分类讨论，当 m 大 于零的时候， x d 应该是二分之 m， 加根号五 m， x c 应该是二分之 m， 减根号五 m， 那么此时 o a 比上 b， d 应该是 a， b 比上 e、 d， 此时它们两个都是在右边，所以等于 x a 比 x d 代入，也就是二分之 m， 加根号五 m 分 之 m 化简和分母由理化之后发现是二分之根号五减一。接下来我们要求 o a 分 之 bc， 也就是 bc 比 o a， bc 比 o a， 应该是这两个三角形相似，我们就可以把 bc 比 o a， 把它转成 c f 比 ab c f b a b， 也就是 x c 的 绝对值比上 x a 的 绝对值。 在上面的这个图当中， c 的 横坐标是负的，所以此时应该是负的 x， c 比上 x a， 也就是二分之 二分之根号五 m 减 m 比上 m， 所以 会是二分之根号五 减一。所以当 m 大 于零的时候，也就是点 a 在 y 轴的右边的时候，此时我们的这个 k 应该是二分之根号五减一。 那如果 a 点在 y 轴的左侧的时候，此时 x d 应该是二分之 m， 减根号五 m， x c 是 二分之 m， 加根号五 m， 那 么 o a 比上 b d 会等于 a， b 比上 e d， 也就是 x a 比上 x d 的 绝对值。 此时呢，我们的 a 点是在 y 轴的左侧， d 是 在 y 轴的右侧，所以会等于负的 x， a 比上 x d。 刚刚老师没有加绝对值的原因是因为 a 和 d 都是在右侧， 所以等于负。 m 比上二分之 m， 减根号五 m 等于二分之根号五加一。那 b c 比上 o a 会等于 c， f 比上 ab， 也就是 x c 的 绝对值，比 x， a 的 绝对值等于 m 分 之 m 加根号五 m， 二分之 m 加上根号五 m， 所以 化简一下是二分之根号五加一。综上所述， 我们的 k 应该是二分之根号五加减一。 此题的第三问出的有误，需要根据第一个题的题干才可求出，否则不可求出，它的参考答案也是根据第一个问的题干去求的。好，我们来说一下如果在第一个题的题干下，怎么去求 t 的 取值范围。 首先我们要明白， y 等于四分之三 x 减 t， 括号的平方是根据 y 等于四分之三 x 的 平方平移过来的，而且是左右平移，并且平移的距离就是 t。 我们先找到 c 和 d 分 别关于 y 轴对称的。在二次函数另一只的对称点，我们会发现，如果向左平移的情况下，我们的这个平移距离的 t 应该是在 c、 c、 e 的 长度 和。如果向右平移的话，我们平移的距离应该是在 d、 d、 e 的 长度两个长度之间。 这个是刚刚好和原线段 cd 恰好存在尾一交点的情况，如果再向左平移就脱离交点了， 如果再向右平移就脱离交点了，因为他说的是线段 cd。 刚刚我们在第一个小问当中已经求出了 x， c 是 二分之一减根号五， x， d 是 二分之一加根号五，所以我们的 t 的 取值范围应该是在一减根号五到一加根号五之间，且 t 是 不能为零的。如果觉得老师讲的清楚的话，可以点个关注。

这节课呢，咱们对函数的性质一，有界性相关知识点呢去做一个相应的总结。那么在课程之前呢，还是有一个友情提醒，就是请同学们完成本周的学习规划， 在看完相应知识点的基础视频和教辅资料之后，再进行本视频的一个观看的学习。好，咱们开始讲解，也就是从本次开始呢，我们就进行第二次线下领学的一个知识点的讲解。那么今天呢，咱们来看的是函数的性质相关的一些知识点。 那么在专升本的考试当中，我们要求大家呢，要掌握函数的四个大的性质，第一个呢是有界性， 第二个呢是单调性，第三个呢是基有性，第四个呢是周期性，这四个性质呢是我们在专升本期间需要掌握的函数的四大性质。 今天呢，咱们就先来说第一个有界性，关于有界性的一个定义，我相信同学们呢已经跟着咱们的主讲老师进行基础课的一个系统的学习。今天呢，咱们就通俗的去说一下什么是有界性，那么对于有界性呢，我们通俗一点可以这样去理解，比如说给你一个函数 f x， 那么在一个区间里面，给你一个区间，再开区间 a 到 b 上，如果这个函数 f x， 它的图形是这样的，哎，这是 f x， 这个是 x， 这是零，这里呢是 a， 这里是 b， 就 如果他在这个区间里面，他的图形往上走，他有一个最大的值，也就是不超过这个数，因为 b 是 取不到的，对吧？ b 取不到，我是一个空心的，这是往上去跑，如果往上去跑 不超过某一个限定的值，比如说这个值呢，我假设它是个二，就是我往上跑呢，它不超过二，那么往下跑也就是这样，往下跑呢，它不超过另一个值，比如说它又是 a 的 地方呢？咱还是开区间是空心的， 比如说它往下跑，它不超过，往下面又有一个值，比如说这个值呢，是负一。你看对于这个函数，在这个开区间 a b 里面，它往上跑，也就是往上跑 期间最大的值，它不超过二，往下跑期间最小的值，它不超过负一。也就是对于在开区间 a 到 b 上，函数上的任何一个函数值都被这两条水平线夹在中间。 如果是符合这种情况，我们则称 f x 在 开区间 a b 上有界，也就是可以通俗点去理解成这个函数，在这个区间里面，它所有的函数值都被两条水平线夹在中间了。 如果符合这种情况，那么我们则称这个函数在这个区间里面呢，是有界的，这就是咱有界性的一个通俗的理解。那么如果出现这种现象，比如说第一种现象就是我往上跑 是没有限制的，可以一直往上跑，但是往下有一个最小值，比如说这样的一个图形吧，咱看这样的图形 f x， 这里呢是一个 x， 这里是零。就如果我在这个区间里面，还是比如说是 a 到 b 吧，这是一个 a， 这里呢是一个 b， 那 么在 b， 那 么在区间 a 到 b 上，如果我的函数值哎是这样的， 也就是往上它是一直去跑的，一直往正无穷上去跑，因为 b 是 取不到的，所以说它是无限靠近于 b， 然后它的函数值呢，是往上一直跑的，那么对于往下跑呢？往下跑它反而有一个不超过的值，比如说这里呢，是一个负二吧，负二 负二，你会发现，对于这个图形呢，咱们这个在开之间， a 到 b 上，我所有的函数值，它有一个 最小的值，它不超过负二。但是对于增长的一个趋势，它一直往上跑，它是没有最大值的，也就是它只有最小的一个，只有一条线拦着了，但是往上没有。那么如果是这种现象，我们则称为下有界。你看往下呢，它是有界的，但是上面呢是无界的，就是上无界的一种情况， 就是这种情况。那么如果再出现第二种情况呢，一个是它往下一直跑，往上反而有界了呢？比如说这个图形， 咱们再画一个，换了一个图形，哎，这是 x， 这是 f x， 这里是零， 这里比如说这里是 a， 这里是 b， 你 看对于这个函数，它如果往上跑的时候，往上跑，哎，刚好有一个不超过的值，比如说这里呢，这里咱假设一个值是一， 这里是一，因为咱以开区间 a 到 b 去举例的，所以说你看它往上跑的时候，它有一个不超过的值是一。 但是他如果往下跑，他是这样的一种情况呢，就是 a， 他 一直往下跑，就是他是自变量，是一直靠近于 a 的， 但是他取不到 a 相对应的函数值呢，他反而是一直往下跑，跑到无穷上。那么如果是这种现象的话，他的图形所对应的，你看往上有一个不超过的值，往下反而会一直跑，没有挡着他的一条横线。 对于这种现象呢，我们则称为什么？则称为是上，它是有界的，上有界， 但是呢，它是下无界的，也是往下是一直往上往下跑的。所以说对于往下呢，是无界的这个现象呢，我们称为是第二种现象。那么还有一种现象呢，也就是往上是无界的，往下也是无界的一种现象。比如说咱们的第三种图形是这样的一个图形，第三种图形，这里呢是 f， x， 这里是 x， 这里是零。这个地方呢，我取的是 a， 这个地方呢，我取的是 b， 就是 它这个所对应的函数图形在开区间 ab 上，它是往上是一种一直跑的一个状态，当它的自变量无限靠近于 b 的 时候， 你看他所对应的函数值是一直往上跑的，一直跑到正无穷那个趋势。那么对于他往下呢，也是一个一直跑的状态，比如说他往 a 上去跑的时候，当自变量无限靠近 a 的 时候， 因为取不到吗？是开区间，对吧？他呢，也是一直往下跑的，往这负无穷上去跑，也就是不管上面还是下面，都没有一条横线把它拦截住。这种现象呢，我们则称为他是上也无界， 下也是无界的，这个呢，就是关于有界和无界的一种通俗的理解。那么什么是有界？有界的重要条件是既有上界 又有下界，也就是有上界，它还得有下界，这种现象我们才称为是有界的。也就是在这个区间里面，我函数所对应的所有的函数值都能被两条水平线夹在中间， 这种图像的呈现就称为函数。在这个区间里面是有界的一种现象。有界线的重要条件是既有上界也有下界，且上界与下界的绝对值不一定相同，因为可能相同，可能不相同。就像咱刚才画的这个图， 对于上界来说，他的绝对值是二，因为他一直往二这个数上进行去靠近的，而对于下界来说，他的绝对值是一，因为他是永远不超过负一的。 所以呢，上界和下界的绝对值可能是同一个数，也可能不是同一个数。这咱的第一个注，也就是有界性的重要条件呢，是既有上界也有下界，且上界与下界的绝对值不一定相同。第二个呢，你要记住哈，有界与无界的所有的讨论是要 指明区间的，为什么要指明区间？咱举一个例子，咱就以同一个函数 f x 等于 x 分 之一来举例子， 你看这是同一个函数，那么对于这同一个函数，咱分别去看一下，不同的区间里面，它呈现的效果是什么样子的。首先第一个呢，咱去看它在 开区间一到正无穷上，它是什么样的一个图形的呈现。再看第二个，是开区间零到一上，又是一个什么样的图形的呈现。首先咱画第一个， 对于第一个，比如说这是 f x， 这里呢是 x， 这个地方是一， 这个地方呢也是一。那么对于 f x 等于 x 分 之一，画出它在开区间一到正无穷上，它的一个图形是这样的，就是在一的地方，它是取不到的，所以说呢，它是一个空心的， 那么空心的因为随着 x 的 的增加，我 f x 的 值反而减小，所以它所对应的图形是这样 的，是这么样的，一直靠近 x 轴的，但是它永远与 x 轴不相交，那么来去分析这个图形，大家可以明显的看出来，也就是对于这个图形来说，它明显有一个不超过的值，是几啊？是一， 就是 y 等于零的时候，这个是 y 等于零，这个是 y 等于一。你会发现 在开区间一到正无穷上， f x 等于 x 分 之一的图形，它是被夹在 y 等于一和 y 等于零这两条水平线中间的。所以呢，对于 f x 等于 x 分 之一，在 开区间一到正无穷上，他呢是有界的，对吧？他有界，因为他被两条水平线夹在中间了。那么这个时候呢，咱们再来看第二个区间里面他的一个图形的呈现，第二个同样画一个，这是 f x， 这里呢是 x， 这里是零。我要画的是同一个函数， f x 等于 x 分 之一在开区间零到一上的一个图形，那么比如说这里是零，这里呢是一， 这里是一，这里呢也是一。那么对于 f x 等于 x 分 之一，它在这个区间里面，它所呈现的图形是什么样子呢？比如说在一的时候，它是开区间，一是取不到的，所以说一呢仍然是一个 空心的，但是对于 x 的 值越小，它的整体反而越大，也就是我到 x 无限靠近零的时候，它反而它的倒数越来越大。所以它的图形是这样的，一直往上跑的，一直往上跑， 一直往上走，他的趋势呢是跑到正无穷的，他一直往上跑的。你看，对于这个图形来说，他显然有最小的一个值，是什么呢？是他不超过 y 等于一，但是对于上界来说，他是一直在往上跑的，他是没有上界的，也就是无上界， 虽然他有下界，但是他无上界，这种呢，我们也称为 f x 等于 x 分 之一，在开去减零到一上是无界的， 是无界的。所以你会发现，虽然是同一个函数都是 f x 等于 s 分 之一，但是在不同的区间里面，它有界或者无界是不一定的。所以这就要求我们在讨论函数有界还是无界之前，是一定要指明相应的区间的， 这个呢是第二个。注，第三个呢，就是大家需要记忆的就是正弦函数，余弦，反正弦，反余弦等等， 这几类呢，是咱们在后期专升本学习当中最常见的有界的函数。因为后期我们在学习极限的时候，有一个无穷小性质的运算，也就是 无穷小，乘以有界，它仍然是无穷小。所以大家呢，对于常见的有界函数呢，也作为一个记忆，那么它的考察形式呢？比如说咱的例题一，大多数考察的形式呢，都是像咱们例题一一样，或者改变一下问法，这个例题一是什么呢？是给你一个区间，让你去选有界的函数。 那么还有一种题型呢，是给你指明一个函数，让你去选它的有界区间，参考的呢就是这两类。那么对于这个题型来说，咱们怎么去做呢？首先咱们可以进行去利用作图法进行去解弦的题目， 那么很显然有界函数，也就是它在这个区间里面，它所有的函数值要被两条水平线夹在中间，如果不被两条水平线夹在中间，很显然在这个区间里面，它就是无界的，所以说呢，相应的图形画出来就可以了。首先对于 a 选项来说， a 选项是 y 的 一个 e 的 x 的 方，那么它在零到正无穷上，它的图形是这样子的，比如说这是 f x， 这个呢是 x， 这个地方是零， y 等于 e 的 x 的 方。首先取零的时候，它是等于一的，这个地方是一，但是是空心的，是往上跑 的，是这样的一种趋势，一直往上去跑的。所以很显然，对于 a 选项来说，它的结论就是，虽然有下界，但是无上界总体是什么呢？是无界，它不能被两条水平线夹在中间。那么对于 b 选项来说， b 选项的图形，也就是 sin 二 x 的 图形，这一个 f x， 这里是 x， 这里是零。那么对于 sin 来说，也就是正弦函数，它所呈现的函数呢，它的走向基本上就是这样的， 最上面这个值呢，就是几啊一，最下面这个值呢，是负一，所以它在这个区间里面，所有的图形都会被 y 等于一个一和 y 等于一个负一加在中间。 所以你看它会被两条水平线夹在中间，所以整体这个函数呢，它在这个区间里面呢，是有界的。那么对于 c 选项来说， c 选项呢，是个对数函数，它的图形一个走向是这样的， f x， 这个地方是零，它的图形呢，是这样的，也就是这个地方是一 这样的。对于多复函数来说，你看它既无上界，因为它一直往上跑，也无下界，所以整体它就是一个无界的无界。而对于 d 选项来说，它是一个 take 号的形式，对吧？它的图形呢，是这样的一个图形， f x， 这个呢是 x， 比如说这里是零，这里是一，因为 领取不到，所以呢这个地方呢，是个空心的，但是它的趋向是一直往上增加的。对于这个图形来说，虽然它有最小的一个值不超过一，但是它往上是一直往上增加的，它的趋势呢是跑到正位轴上的，所以它整体呢，也是一个 无界。通过这个作图，我们就可以明显的得到答案，正确的是选择 b， 只有 b 这个函数在相应的区间里面，它所有的函数值是被两条水平线夹在中间的，剩下的那三个图形呢，都不会被两条水平线夹在中间，所以 只有 b 是 有界的。以上这些点呢，就是咱们对函数的性质一有界性的一个简单的总结解说，大家呢去完成相应的练习就可以了。

我们一起来看一下二六年东城区一模这道原综合，那今年各个城区对于原综合这道题的考点，基本上都在平行线分线段成比例所形成的 a 字形或者是八字形的相似里面去展开的。当然东城区这道题也是围绕这个考点。 那我们先来看一下体盖进行标图。如图，点 c 是 以 a、 b 为直径的圆上，且弧 a、 c 等于的是弧 bc， 我 们连接 o、 c 之后，它们所对的圆心角就应该相等，那这样角 a、 o、 c 和角 b、 o、 c 等于都是九十度 点 d 呢，为弧 a、 b 上的一个点，过点 c 做圆 o 的 切线，既然是切线，那证明 e、 f 和 o、 c 也是互相垂直的， 交 d、 o 的 延长线于点 e， 交 d a 的 延长线于点 f， 那 整个题干所描述的就如图所示。第一个，让你求证一下 ab 是 平行于 e、 f 的， 那如果你要把题干的内容给它捋清楚了，第一问的话迎刃而解。因为 o、 c 既垂直于 ab， 也垂直于 e、 f， 垂直于同一条直线的两直线是互相平行的，那这样 ab 是 平行于 e、 f。 第二个连接 bc， 交 d 于点 g。 若 e、 f 等于的是八，再 e 等于的是五分之三，那我们知道看到三角函数值，我们就要进行设边，我们就可以设 o、 c 等于的是三 k， 则 o、 e 等于的就应该是五 k， 那 此时 c、 e 应该等于的就是四 k。 如果 o、 c 是 三 k， 它作为半径，那这里面的 o、 b 也是三 k， o、 a 的 话也应该是三 k， o、 d 仍然是三 k。 好，让我们求一下线段 c、 g 的 长，你会发现第一问里面他已经给了你一个结论的提示，说 ab 是 平行于 e、 f 的， 那只要平行，这里面就有三角形 obg 是 相似于三角形 ecg 的， 对吗？让你求 c g， 你 会发现 c g 的 话就是 bc 的 一部分，也就是说我们知道 ob 比上 c e 等于的是三比四，三 k 比四 k， 那 意味着 b g 比上一个 c g 应该等于的也是三比四。 那在线段 bc 上，我们就知道 bc， 它应该占整个 bc 的 七分之四份，对吧？它乘以 bc， 只需要现在把 bc 给求出来到底是多少就行了。好，那现在我们去求 bc， 那 我们想求一个具体的线段的长度，这里面给的已知的只有一个 e、 f 等于的是八。 我们说需要把这个唯一的已知线段要不然放在相似三角形当中，要不然放到直角三角形当中，用勾股定律，那很显然 e、 f 目前没有在哪个直角三角形当中，所以我就把它放到相似三角形当中。 因为第一问里面的 ab 是 平行于 e、 f 的， 所以 a 字型的相似就会得到三角形 d， a、 o 是 相似于三角形 d、 f、 e 的， 这样的话，这个 f、 e 的 八我就用到了。通过相似对应线段成比例， o， a 比上 e、 f 应该等于的是 d， o 比上 d e， d、 o 是 三 k， 那 d e 的 话应该是三 k 加五 k 等于的是八 k。 并且我还知道 e、 f 它等于的就是三， 那三 k 等于的是三，所以 k 应该等于的就是一，如果 k 等于一，那这样 b、 c 的 话，我们就知道了，它应该是三倍根号二。因为三角形 o、 b、 c 是 一个等腰直角三角形， 所以最后要求的 c、 g 呢，就应该是七分之四，再乘以个三倍根号二，等于是七分之十二倍的根号二，那这个就是我们最终的一个答案了。

这个视频呢，是对二五级山东专升本领学高数的第二个考点，也就是相同函数的判定的一个总结，咱的课程进度呢，是参照的合格一专部分二五级线下学员领学的一个进度。 好，首先呢，我们在学习相同函数的判定的时候呢，在此之前呢，我们去介绍了一个特殊的函数呢，就是分段函数， 那么大家呢，要对分段函数呢进行一个详细的学习，为什么呢？因为等后期分段函数可能会结合连续性、 可导性以及定积分等相关的知识点呢进行去结合。那么我们学习分段函数需要掌握哪些点呢？第一个也就是对分段函数的掌握要求。首先大家必须要会认识分段函数，也就是知道什么是分段函数，分段函数就是什么呢， 在自变量不同的边防范围内，用不同的式子去表达同一个函数，这个呢就是分段函数。第二个呢，也就是会找各类表达形式的分段函数的一个分段点。第二个呢，也就是要记着 常见的一些类型的分段函数，例如第一个是带绝对值形式的函数呢，它通俗点来说呢，是一个分段函数， 它的一个表达形式，例如大 f x 等于一个绝对值小 f x， 如果当里面的整体小 f x 小 于零或者小于等于零的时候，那么去除绝对值符号之后呢，是要取它的相反数的。 但是如果里面整体小 f x 它大于零或者大于等于零的时候，去除绝对值符号的时候呢，是它的本身，也就是小 f x， 当然这个等于零也可以单独去写出来，那么对于这个带绝对值形式的函数，怎么去找他的一个间断点呢？也就是令绝对值里面整体 等于零，这个时候它 x 对 应的值就是分段点，也就是 x 对 应的值就是它的一个分段点。那么第二类呢，是开偶数字根号的形式的一个函数，它的本质呢也就是一个带绝对值的符号的一个函数，那么也可以写成分段函数的形式。 那么第三个呢，也就是符号函数是一种特殊的函数，也就是当 x 大 于零的时候，我的 y 是 永远等于一，当 x 等于零的时候，我的 y 是 等于零的， 但是当 x 取小于零的任何一个数的时候呢，我的 y 永远是等于负一的。那么第四个呢，就是取整函数，这个呢是不超过里面 x 的 最大整数，所以说呢，这四类是 其他常见类型的一个分段函数，目前呢要重点记着带绝对值形式的一个函数，还要多注意开偶数字根号形式的一个函数，常见的就是根号下， 那么第二个板块呢，也就是相同函数判定的一个解析的原理，因为我们在学习函数的概念的时候，是学了五个名词， 一个名词呢叫做自变量，那么自变量的取值范围我们又定义了一个叫定义域，那么第三个是叫做音变量，那么音变量的取值范围呢，我们称之为是时域， 最后一个呢是相应的一个对应法则，也就是这五个名词。其中咱们在学习的时候就详细的给大家介绍了，最重要的是 定义域和对应法则，那么对于相同函数的判定呢，就用到了这两个名词，也就是构成函数的两个基本要素。第一个呢是定义域，第二个呢是对应法则。也就是如果两个函数它的定义域相同，并且对应法则也相同， 那么这两个函数呢，就是相同的函数。如果定义域或者对应法则，只要有任意一项不同，或者两项都不同，那么这两个函数就不是相同的函数。 这个呢，是我们去解相应题目的一个依据。但是需要注意的一个点是带绝对值形式和开偶数字方形式的函数，它的本质是分段函数。 这两个呢是需要注意一点的，这个呢是第二个，也就是做相同函数判定的解析的一个原理。那么咱们来看第三个。第三个呢，就是去做这类题的一个解析步骤。首先第一步我要去求相应的定义域， 在求定义域的时候，你一定要注意，也就是题干中给你的是什么形式，你就按什么形式去求，不能化简之后再求，这是第一个。第二个呢，就去判断两个函数的对应法则是否相同。那么在真正的解体当中是这么做的，比如说给你两个函数，这是 a 函数， 这是 b 函数。去判断对应法则是否相同，那么你只需要将一个函数，比如说 a， 我 不做任何变化，就是不动，将其中的函数 b 进行去通分、 通分或者进行去化简。如果 b 通分或者化简的形式或结果和 a 是 一样的，那么这两个函数的对应法则就是相同的。那如果你通分或者化简的 b 的 结果 或者形式和 a 不 相同，那这两个函数的对应法则呢，就不相同，这个呢是我们去解析真正去实施的一个过程， 所以说呢，只有当一，也就是定义域，二也就是对应法则，只有当定义域和对应法则都相同的时候，这两个函数才是相同的。但是如果定义域 或者对应法则只要有任意一项不同，或者两者都不同，那这两个函数呢，就不是相同的函数。但是呢，我们还有一个方法是用于排除相同函数的方法，那这个方法呢就是什么呢？代值 带值是什么呢？就是带入相同的自变量的值，也就是 x 或取相同的值，把这个值分别带入 a 函数和 b 函数。 如果 a 函数你得到的 y 的 值和 b 函数得到的 y 的 值不同，那么这两个对应法则就不同，就直接把它给 pass 掉，它肯定不是相同的函数，但是这里需要注意的一个点是什么呢？也就是要多带几个，以免发生 巧合。这个呢就是相同函数判定的一个解析步骤，还是首先推荐按部就班，也就是 求它的定域判断它的对应法则。那么如果这两者在实施的过程当中比较麻烦的话，可以参考这个方法，也就是去排除相同函数的方法，也就是带入相同的字面上的值， 如果出来的一面上的值不同，那么至此呢，咱们合一部分二五级 四月初开始备考专升本的同学，咱们的第一周高速线下领学课程呢，就全部更新完毕了。那么对于第一周领学这些所有的知识点，涉及到了专升本的考点呢，有两个，也就是第一个呢是求定义域， 求定义域两种题型，第一种是具体型函数求定义域，第二种是抽象型函数求定义域。那么第二个考点呢，就是刚才说的相同函数的判定，这个呢是咱第一周进行线下领学学的两个知识点， 那么下一周开始咱们的高速线下领学呢，我们要开启第二板块知识点的一个内容的学习，也就是 函数的性质相关知识点的一个学习。那么就请同学们根据自己本身的实际情况， 结合你们主讲老师的高数课，按照我给大家制定的每人专属的学习计划，进行相关的知识点学习。在这个任务完成之后，咱们就开启线下领学进行一个总结。