怎么用尺规作图画等腰三角形上的中线

连接 好，那么 a 这个加点 d， 那么 a、 d 这条线段呢，就是这一个三角形的其中的一条高了， 画其他边上的高底，用同样的方法，那么如果是一个钝角三角形，我们要来画他的其中短边，一条短边的高，怎么办呢？其实我们都知道啊，短边的高，你看， 哎，这条高是在三角形的外面，对不对？三角形的外面，所以呢，我们要做他的高的时候呢，首先要先反向延长， b、 c 做延长线， 做延长线，接着再来画它的膏，那么为了准确，我们用圆规来画它的膏， 同样的，以 b 为圆心， b、 a 为半径，画一小段弧，以 c 为圆心 c、 a 为半径，画一小段弧， 这两个弧有一个焦点，你把连接起来 好，这个焦点 d， 这个 a、 d 就是这个三角形 a、 b、 c 的其中一条高了。 接着我们来看一下中线应该怎么画。像这个三角形，如果我要画 b、 c 边上的中线，当然就是找到 b、 c 的终点了，那么 b、 c 的终点我们要怎么找呢？用圆规， 以 b 和以 b 和 c 分别为圆心，半径到底是多少呢？我们估计大概比 b、 c 的一半还要大， 大概是他的三分之二就可以了。好了，大概在中间画一个小圆弧，这边画一个小圆弧， 分别画，然后半径不变啊，一定要记得半径不变，以 b 为圆心，分别再画好。现在呢，这里呢，就分别有两个焦点，把这两个焦点 两个交点连接起来，用虚线，因为这条不是我们要求的线。好，这条虚，这条线跟 b、 c 有个交点，这个交点的点 d， 我们现在连接 a、 d 好了， a、 d 即为这个三角形的中线，其中一条中线画所有的中线都是这样子的，那么如果我们要画角平分线怎么办？ 怎么办？看这个三角形，假设我们要画角 a 的角平分线，那怎么办呢？用圆规，圆规半径自己选择啊。一般都是比 a b 和 a 小小的，以 a 为圆形， 在这 a， b 和 a c 上分别取出这个半径来，接着 找一个大概比这个的一半，比这一段的一半还要长一点的半径，以这两个交点为圆心，请这边为圆心，大概在中间画一小电弧。

中考不想失去指挥作图的三到五分，一分钟帮你搞定全部指挥作图！我们第一类是做一条线段等于已知线段。第一步，我们是做一条直线，在上面取一个点 a， 以点 a 为圆心， a 为半径，画圆交于一个点 b， 那 么 ab 就是 我们的所做的等线段。 第二类，做已知角的角平分线。我们第一步是以顶点 a 为圆心，任意长为半径，画圆交角的两边与 p、 q 两点。第二步，我们分别以 p、 q 为圆心，大于二分之一， p、 q 长为半径，做圆交于点 m。 那 么第三步，我们连起来， an 就是 射线， an 就是 我们的角 b、 a、 c 的 角平分线。第三类，我们是做已知线段的垂直平分线。 第一步，分别以 a、 b 为圆心，大于二分之一的 a、 b 长为半径，作圆交于 p、 q 两点。第二步，我们连接 p q， 那 么 p q 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。第四类，我们是做一个角等于已知角。 第一步，我们是做一条直线，在线上取一个点 o 撇。第二步，分别以已知角的顶点和 o 撇为圆心相同的半径，画一个圆，以已知角交于 n、 n 两点，以直线交于 n 撇点。 第三步，我们就以 n 撇点为圆心， n、 n 的 长为半径，画圆交于 n 撇，连接 o 撇， n 撇构成的角就是我们的已知角相等的角。 第五类，过直线外一点，做已知直线的垂线。我们第一步以点 c 为圆心做弧交， a、 b 于点 e、 f。 第二步，分别以 e、 f 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，做弧交于点 g。 第三步，连接 c、 g， 那 么就是 ab 的 垂线。 第六类，已知三边做三角形。我们第一步做一条直线，在上面取一个点 a 撇，以它为圆心， a 的 长度为半径，做弧交直线于点 c 撇。 第二步分别以点 a 撇和 c 撇为圆心，剩下的 b 和 c 的 长为半径，做弧交于点 b 撇。第三步连接这三个点，那么就是我们所要求做的三角形。

如何找到三角形的内心呢？首先画任意一个三角形 abc， 分 别做角 b、 角 c 的 角平分线相交于 o， 经过 o 做 b、 c 的 垂线，交 b、 c 于 d。 然后以 o 为圆心，以 o、 d 的 长为半径画圆，该圆即为三角形的内切圆， o 为内心。

只规做图，但凡做错了的孩子啊，其实连题都没读懂，不信你看。第一题和第二、第四题我要一起讲你，你观察一下这两个题有没有内核相似之处啊？第一题，角 c、 d、 b 等于二倍的角 a， 角 c、 d、 b 等于二倍的角 a， 是 不是其实是让你做一个等腰三角形 a、 c、 d， 然后这个时候角 a 等于角 a、 c、 d， 然后这个 c、 d、 b 刚好是它的外角，所以它等于二倍的角 a。 那 要怎么做？实际情况下怎么做？其实情况下，它可以用两种方法，要么做在 c 处 做角 a 的 等角，要么在 a、 c 上做垂直平分线，对吧？第四题 他要去满足的是 a、 d 等于 c、 d， 请问 a、 d 等于 c、 d 跟第一个有没有共性？ 是不是可以在 a、 c 上做他的垂直平分线，在 b、 c 上找到这个 d 处，对吧？ 因为他就是做等腰三角形吗？是不是也可以做等角？做角 c 的 等角，看你方便，看你自己对哪种熟悉。然后第二题跟第三题一起讲。第二题需要做的是线段和的关系， a、 e 加 e， p 等于 ac， 那 请问一下， a、 e 本来加上什么等于 ac？ 本来是不是加上的是 ec？ 但是现在要求 ec 等于 ec， 那 是做啥？垂直平分线？ 做谁的垂直平分线？做 p、 c 的 垂直平分线，连接 pc 做垂直平分线与 ac 的 交点， 对吧？那这三个题是不是已经都用到垂直平分线，但是呢，是以不同的形式让你用的，所以五种之基本尺规作图是一个工具，读懂题才是关键。 第三题我们继续，要是 ec 加 e、 p 等于 ac， 刚跟刚才分析一样，那你按道理来说是 ec 加上什么？ a e 等于 e p， 那 你现在要让 a e 等于 e p 咋做？ a e 等于 e p 是 不是又出现了等腰三角形？

来，同学们，我们继续看今天的各点作图。好，呃，今天的这道题有四问啊，其实前面两问还是送分题啊，重点还是在三四问上。呃，这个是广雅啊，他们上周的一套这个饲料模拟卷子，我们来一起看一下啊。 好，首先第一问，让你直接写出三角形 abc 的 形状，那其实在格点作图中，我们会，呃，对这种根号二的这个长度应该是比较敏感的，对不对？所以 bc 的 长度是三倍根号二，然后 ab 的 长度是四倍根号二， ac 的 长度大家可以看一下，这是横一竖七啊，是吧，所以是五倍根号二。所以第一问就是送分题 啊，是一个直角三角形三四五嘛，对不对啊？第二问啊，在图一中让你画出三角形 a、 b、 c 的 中线 a、 d。 好， 这里注意啊，呃，要画中线 a、 d 的 话，这个 d 一定是在 b、 c 上啊，那你想一想， b、 c 的 这个中点是不是也很好取啊？来，我换一个颜色啊。 好，我们想要找到这个 b、 c 的 中点的话，直接找一个对角线即可。 ok， 然后再把它俩连接即可。 好，这是我们第二问 a、 d。 好， 来看第三问，画出三角形 a、 b、 c 的 角平分线 c、 e。 来，同学们啊，给到角平分线，这个应该是我们之前前三天练过的一一道了，是不是？我们想一想，对于一个不规则的一个角，也就是角， 呃，这个他说换角平分线 c、 e， 是 吧，所以应该是从 c 点出发，那么你这个角你是没有办法去确定它度数的，所以我们想找角平分线，关键要从什么上去构造，哎，从这个边上去构造，对不对？哎，从 bc 上 你的这个长度去构造，构造一个等腰三角形出来，是不是就会简单很多？那我们知道 bc 长度为三倍根号二，那有的同学你可能会想，我从 a c 上去截一个三倍根号二，是吧？这个思路其实是比较简单的，但是你截完之后，你会发现这个等腰三角形你还是不知道怎么做 啊，因为，因为你截完之后，你等上三角形，你要去找终点嘛，对吧？那我们看看怎么去构造，如果截不行，那就是补，哎，我们这个长度是五倍根号二，我把这个三倍根号二给他补成五倍根号二，这个都没有问题吧？好，来，补完了之后，各位你看一下，这个地方 是不是就刚好是终点啊？哎，这就很简单就出来了。所以有的时候啊，大家作个点作图，你多尝试尝试啊，你一个思路不行，你换一个思路啊，这个东西是不唯一的，明白吗？他不是说我定死了一定得是什么什么样子啊？我们来看第三问啊， 啊，来看最后一问，在 a c 上去画一个点 f， 嗯， a c 上点 f， 连接 b f， 使 b f 等于 b c。 来，同学们，你们要想啊，我先画个草图啊， b f 啊，是这个样子的，他想让我这两个边相等， 我们这相当于是去做一个等腰三角形，对吧？在这个格点做图中，你去做等腰三角形的方法，我们没有说是从隔空这么去做的，对不对？我可能会在 a c 上这样去截，就像刚刚我讲的第二问的，那当你遇到这种情况的时候，能涉及到等腰三角形的还有什么？ 哎，就是我们的斜边中线定律，如果我们能够利用上斜边中线定律去找一个九十度的啊，直角三角形，对吧？那这个 b、 f 和 bc 它刚好，它就一定是什么了相等的了。哎，我让 f 点这个位置，它出现一个九十度角，能明白吗？好，那我来具体操作一下。 好，那么要想斜边中线定律，首先是不得有中线，那么 b c 它就可以作为一个什么存在，作为一半去存在，所以我们优先去背长 好，这一步大家都是没有问题的。接下来我已经找到啊，一个 b 点为终点了，那我继续做一个垂直是不就好了？我刚刚说了，这里是横一竖七，那我一二三四五六七，横七竖一。 ok， 我 直接做一个横七竖一，这个地方是不是绝对是九十度？ 来，各位能不能明白？好，那你说现在直角三角形也有了，终点也有了，那再连接不就是我的 bf 了吗？ 对吧？很巧妙啊，尤其是放在最后两问的时候，你多去考虑考虑好吗？哎，这个题大家看看今天有没有拿到满分啊，各点作图，什么时候你能稳扎稳打啊，在考试五分钟的时间内，你能把它做出来，你这个就算是真正过关了啊。

初中数学尺规做图，很多时候做不出来，这道题是读不出来出题人的意思，读出来之后呢，又不知道怎么做，今天我教你一个方法，百试百灵。 初中数学尺规做图，很多学生读了题之后觉得，哎，这个到底是做垂直平分线，还是做角平分线，还是做等线段，还是做角这个直线外一点过做他的垂线？他把五种尺规做图已经搞明白了，但是他还是不会拿几个题给你举个例子啊。 比如说第一个题，他要在这个 aob 中找一点屁，他说这个屁是到 oa 和 ob 的 距离相等，请问我告诉我这个是做什么？ 是不是做角平分线？他是不是不直接告诉你是做角平分线，而是告诉你说到 o a、 o b 的 距离相等，利用角平分线的性质让你去解题，对不对？然后第二个题，他要让你在这个 dc 上找一点 p， dc 上找一点 p， 使得这个 p、 b、 c 的 面积等于矩形的四分之一的面积。那这个时候是不是要利用三角形的面积公式进行推导，发现其实他是让你找这个 c、 d 边的终点，那 c、 d 边的终点用什么方式呢？ 做垂直平分线是吧？你看这题他是不是都不直接告诉你是用什么方法，而是只是提醒你，提醒你的话，你是不是就要用 角平分线的性质，是不是就要用矩形的面积公式和三角形的面积公式去解题？是不是？这道题本质上是对于几何性质的考察， 五种基本尺规做图只是他的工具而已。还有再看这道题，咱们二十年考过的一道题，让你在直线外一点 一点，这一点比如说是 p 做一个等腰直角三角形， p， c d， 这个 c， d 都在这上面。好，这个题我给大给大家教一个方法啊，你先画出来等腰直角三角形， 这个左右边也可以，左边可不可以？然后左右两边都加上的话，也是一个大等腰直角三行都可以，你画出来之后你再看你推倒你要怎么去做图？ 这块是不是有个垂直？有垂直的时候你要做啥？直线外一点，做一只直线的垂线用上了没？然后这块等腰直角三角形的，等腰的腰都出来了，那你这个点怎么确认？是不是做一条线段等于一直线段？就这个题失分率很高， 所以总结一下，第一个他告诉你什么的时候要用性质，要用面积公式，要用等腰这样三角形的性质，还有最起码的五种基本尺规做图，做做题。 所以尺规做图题我觉得是一个照妖镜，能照出来学生对于基本性质的掌握程度。这道题做错了，根本不是五种尺规做图的问题。

你还真别看不起初中的耻归做图题，耻归做图题，如果真想难为你的话，你中考这五分真别想要。为啥呢？耻归做图题，记住，这句话是对初中几何的性质的极致考验。 首先，他的五种基本耻归做图里面对角平分线性质，对中中垂线的性质，对吧？ 起码是这两点，你得明白啊。做角平分线的时候，做垂直平分线的时候，你得明白吧？对，做等角等线段啊，这基本上都是属于全等三角形的判定，你得明白吧？好，接下来他能怎么出题？ 让你做菱形，你要不要明白？菱形的性质？让你做平行四边形，矩形、正方形，他们的性质一样吗？不一样吧，做等腰直角三角形，等腰三角形，等边三角形， 你是不是得会吧？做三线合一，你是不得清楚吧？做隐形员，隐形隐形员的特点是什么，你是不是得清晰吧？然后让你去平分四边形的就是特殊四边形的面积，那你知道是不是要经过对角线的焦点 o 是不是他可以任何形式出现，让你去做一个啊？里面有一个点啊？做等面，用等面积法去做这个，也做，找到那个点，你是不是笑？要知道这个时候是要让你做平行线了， 对吧？很多学生不知道的，知道吧，他里面甚至可以把压轴题的思想融入进去，明白吧？或者是让你去做一个三十度， 三十度怎么去做啊？不只是做角平分线哦，你是不是得利用塞引三十度等于二分之一去截 垂直截等二分之一的线段，二二倍的线段，因为你要做一个有三十度的直角三角形出来，如果要让你做一个根号二倍的线段长，你是不是要去做等腰直角三角形？他可以以任何形式、任何方式去考你，所以不要小看他。