北京人大附中初三几何证明题

呈现在大家面前的这道代总题，不仅是十一学校四月份的月考题，也是人大附中上周三的大作业题，更是海淀区上周五教研会上 教研员重点分析的案例题。这么一道 buff 点满的代总题，到底有什么样的独到之处呢？让我们一起来探求一下。第一小问，结合题干，我们可以得到顶点式，展开这个顶点式，我们就可以得到 b 和 c， 也有别的方法可以做，但不管你用什么方法，一定一定 要把这个顶点式给他写出来，很基础，但也很重要，是后面的一个重要辅笔。读第二小问的题，读完之后，我们发现题目啊可以理解成三部分。 第一部分是告诉我们沿一条数值的线进行翻折，得到一个新的图形。第二部分呢，给出两个点，这两个点一看就知道他们是水平的，形成一条线段，并且给了一个什么什么，总存在什么什么。第三部分，使得这个线段与新形成的图形记 始终有两个不同的焦点。这三部分读完之后，确实感觉到很抽象，很难理解，但我们可以得到一个重要的信息，就是如果我不画出这个图，我很难去知道什么时候才能保持有两个不同的焦点，所以我接下来就需要去画图。我们现在有什么呢？我们有开口向上这个确定的条件， 我们有顶点，是 h 一 这么一个重要的条件。当我们想把它放在平面直角的左侧还是右侧， 而这个问题呢，会影响到我数值的那条 x 等于二倍的 h 是 在对称轴的左侧，还是在对称轴的右侧，所以当到这个地方的时候，我们就要果断的，果决的 赶紧把它哦。那么接下来我们就要去分类讨论，因为这道题啊，阶阶段的北京中考中啊，基本上是需要进行分类讨论的，所以分类讨论在这个地方不要犹豫太久。经过分类之后，我们就分成了两种情况， 一种就是 h 大 于零，此时二倍的 h 在 对称轴的右侧。还有种情况呢，是 h 小 于零二倍的 h 在 对称轴的左侧。 画完之后，按照题目的要求，该翻折的翻折，图中蓝色的部分就是按题目要求剩下的图形记。此时我们再来去看题目中所描述的那个 p 和 q， p 和 q 啊，它是一个横向长度为八的线段，长度为八， 就这么一条线。这条线题目的描述是总存在 s， 也就说 s 可以 调节，那就说明他可以横向的跑。对于 t 的 每一个指就是取不同的 t， 那 既可以横向着跑，又可以取不同的 t， t 代表这么多边，那就说明他也可以什么凤翔的跑。 所以这条线就变成了在平面直角坐标系中倒数平移，却始终可以找到满足与既有两个不同交点的线。那也就是说这条黑色的线啊，在跑的过程中， 始终要与蓝色啊，始终能够有两个交点。哎，我们一看线段段好像就是，当然题目要求是，那么在 t 大 于一，也就是在顶点之上，线段就是可以的，我们能看到，那为什么他可以呢？哎，好像我的这条线段的宽度比既 最宽的地方还要宽，我就找到了临界条件，什么时候这条线段和既最宽的地方一样宽，就是临界条件，于是我去观察图形既最宽的地方在哪里。如果你 能够看出翻折之后，我们题目中标的这两条线，他俩是什么关系，一种平移关系，在哪只上呢？在这之前，这种是一种平移关系，本题基本上就能突破了。这也是本题最精妙的地方， 要能够结合图像的性质，而这种对称再变成的平行性质确实很基础，但也很容易被同学们在大量的刷题和练习中给忽略掉。所以我一直给大家去强调，在北京的中考中，带动这道题， 一定是竖形结合，结合图形的理解才是这道题的精髓。这也是为什么我们的海淀区调研员把它拿出来作为分享的一个核心关键。 好了，有了这么一个点，我们就可以知道，当我到达这个焦点之上的时候，这些线始终是一样宽的，而底下呢，有一个从顶点不断变宽的过程。所以我们把这些去掉，就会得出现在的这条线，就是我们要找到最宽的地方， 而这个最宽的地方，由这个坐标可知，就是二倍的 h， 二倍的 h 要比这个八，怎么着呀？小于等于八就可以了，那我们当然就可以口算出 h 大 于零，小于等于四， 从里到了负数，我们也可以得出， h 大 于等于负四小于零以上就是我们第二小问的答案。再看第三小问，第三小问说，这么一个点中是带 h 和 m 的 啊，为抛物线上一点。在二的条件下，二的条件是什么？哎，就是这个条件，对吧？就是上面我们讲的这个范围， 若 m 的 最大值小于六，直接写出 a 的 去的范围。当我看到这个题的时候，我就去想，这个 h 二倍的 h 减一，是不是就是这个二倍的 h 再往左平移一个单位长度即可。可是平移一个会平移到哪里呢？我在这个地方发现很复杂， 因为 h 是 从零到四平移至一个可能会平移很少的一段距离，也可能当 h 比较小的时候，它平移的距离是很长的， 可能平移到这个位置，所以在这个地方他完全没有办法找到定性的分析，定量的分析怎么办？此时我们前面说过的那个伏笔就发挥了非常大的作用，我们要能够在这个地方从图形思考的 这种状态下，切换回到代数思考的状态，因为前面有一个顶点式，而这个顶点式中就是一个含有 h 的 式子。 如果我把题目中给的这个点的坐标代入呢？我就会得到 m 等于什么什么什么，这就变成了什么新函数。这个从形转到数的过程其实哎 是本题的一个卡点，如果能突破，你接下来会发现非常简单，就变成了 h 有 范围。 h 是 负四到四，且不等于零那问，而这个式子的这个最大值要小于零那问，而这个式子的这个最大值小于六即可。 那我们就去观察，什么时候取得最大值呢？ h 是 在负四到四之间的，很显然这是一个开口向上的二次函数，离对称轴越远，值是不是就越大？ 所以当 h 等于负四的时候，对称轴为一嘛，此时取得最大值，把负四一代入，就会得到 a 倍的负四减一括号的平方再加上一，它要小于六，解得 二十五倍的 a 小 于五， a 小 于五分之一，千万不要忘了 a 还有一个什么大于零这么一个范围。

ok， 好， 同学们，好哈，然后我们接下来给大家讲一下，呃，咱们刚刚结束的这个人大附初三开学考的这个几何综合这个题目， 呃，这个题目我觉得还是中规中矩的啊，难度适中，没有很难，但是没有很简单出的还是，呃，非常不错的，因为它跟咱们比如说二四年海淀的期末以及二五年中考题，实际上都挺契合的， 难度差不多都。然后我们先看这个题啊，首先说在二的三角形 a b 当中啊，然后角 c 是 阿尔法，点 d 在 射线 c b 上， 呃，将射线 d c 绕点 d 逆时针转一百八十度减二阿尔法，那这个东西一说的话，基本上等腰三角形它不就出来了吗？对不对？然后左侧直线什么什么？然后 f 是 嗯， bc 的 一个 e c 的 一个中点。 第一问，第一问，若 b c 等于 b d， 然后求证 c d 等于二倍的 b f， 哎呀，那 b 是 终点， f 是 终点，这不中微线吗？对不对？平行吗？对不对？然后又因为你的这个角阿尔法，这角阿尔法，那这边就等于这边，他不直接不就出了吗？好吧，第一问直接过啊， 然后第二问的话，老师会大概会给大家提供两三个思路吧，但是其中有两个基本上是差不多的，是一样的，好吧，然后其实我们这个东西 啊， b f 和 d j， 我 们从结论视角出发的话，首先我们呃要去猜一下对不对，然后猜完之后呢，发现我的 b f 和 d j 他 应该大概率是一个二倍关系，对不对？我们用尺子都可以量啊。 然后这是从结论视角出发，然后两边二倍的话，我们考虑的是什么？如果有中点的话， f 点是中点吗？有中点差乎的话，我们考虑的是什么呢？我们考虑的是走中微线逆定理，或者是走倍长八字都是 ok 的。 好吧，那我们先从中微线的视角去看一下这个题， 那中微线的视角的话，我们要知道这个东西它是一个等腰三角形对不对？而且 f 点是中点啊，然后我要正这个边和这边是一个二倍关系，那我就要去找一下我 bf 的 二倍，就 bf 的 二倍到底是怎么出来的？ 好吧，一种是什么呢？我们可以考虑倍长，另外一种可以考虑中微线，中微线的话，我就得让 bf 成为一条中微线，对不对？ 然后各位啊，到这有个非常重要的点跟大家说啊啊，你们如果能听明白的话，你们在未来遇到各种构造中卫线的东西，你们基本上都是能理解的，都是能做出来的好吧，什么呢？中卫线，他构造中卫，在一个复杂的几宗里面，中卫线他构造的一个底层逻辑是什么？ 来看，这是两个共端点的线段的终点的连线 啊，什么意思呢？ f 点是这个 e c 的 一个中点，然后我得让 b f 成为中微线，那我得让 b 成为一条 一个线段的中点，对不对？然后 b 成为的这个线段的中点，这个线段他有什么条件？他必须得是和 e c 这个线段共端点的，所以我只能想到从 c 出发，对不对？所以从 c 出发的话，那就是 b c， 然后背长一下这个 b k， 会得到这个 e k， 对吧？连接 e k， 连接 e k， e k 的 话，此时和 b f 之间就是一个二倍关系，那我只需要证明我的 e、 k 这个边等于 d 这个边， 那两边相等，咱们也是有思路的，对不对？你比如说第一个，第一个思路在一个三角形等下，不在一个三角形全等，对不对？那这个很显然它不在一个三角形，所以我通过全等的方式，那全等的话，我要在图里边去找到两个直观看起来比较像的全等三角形，对不对？很显然也能看到啊， 对，这两个三角形，那老师呢？这个三角形你为啥要连这个线啊？对不对？对吧？老师，你为啥要连这个线啊？你连完之后你会发现啊， 因为你的 a、 d、 j 它是一个等腰三角形，对不对？然后，呃，你的这个，我们从模型视角出发的话啊，我们从模型视角出发的话，我们就会考虑手拉手，手拉手的话就要共顶点，共 a 这个顶点， 对不对？因为 a、 d、 j 它的顶点是 a， 对 吧？然后这个角是阿尔法，那你的这个角是九十度减阿尔法，那这个角也是九十度减阿尔法，那这个 大角 c、 a、 k 就是 一百八十度减阿尔法，他跟这个角就相等，那这样的话我自然会得到手拉手这个三角形和这个三角形全等，对不对？那他俩如果全等不要紧啊，他俩如果全等的话，首先来这边就等于这边了， 对不对？其次这边还等于这边两边。知道我们找加角呢，就是找这个角和这个角相等，不相等呢，也相等呀， 对吧？也相等的呀，这个角一百八十度减二阿尔法呀，对不对？然后这个角和这角相等啊，这角是阿尔法，那这个角也是一百八十度减阿尔法，对吧？那这个角一百八十减阿尔法，再减去这个阿尔法，那这个角不就一百八十度减去二阿尔法吗？ 所以 s a s 这样才等于全等。全等之后我的 e k 就 等于 d j， 然后又因为我的 e k 是 等于二倍的 b f 的， 所以 d j 等于二倍的 b f， 对 不对？ 这是我们的第一类思路，然后我们的第二类思路的话，我们走背长中线实际上是一样的，完全一样的。啊啊，差不多， 我如果走背长中线的话，我这辅助线怎么做呢？首先我从模型视角出发的话，肯定还是要做这个手拉手，对不对？然后我去背长 b f， 对 不对？我去，因为 f 点是中点，所以我背长 b f 之后直接连接，所以这个三角形和这个三角形就是一对平行八字全等，所以他跟他就是一个平行关系，对不对？然后我又得到了这个 e， 这个 b h 这个边是 b f 一个二倍，那我主要证明 b f 这个边和 d j 相等， ok， 那 b f 这个边和 d j 相等，这个我怎么去证呢？首先我们有这个不在一个，在一个三角形是等，要不在一个三角形是这个 全等，如果全等也出不来的话，我们会考虑什么？我会考虑去找中介。什么叫找中介？边？就找一个跟这个 bh 这个边或者和 dj 这个边相等的其他边。如果图里边没有的话，我就要自己主动的去构造， 对不对？那很显然图里边没有第三条边跟 bh 或者和 dj 相等，对不对？所以这个时候我们去构造一个和 bh 相等的边，那怎么去构造， 对不对？你知道你的 e h 是 平行且等于 bc 的， 而且你的 bc 是 等于 bk 的， 你的 bc 和 bk 又在同一条线上，所以你就会知道 e h 是 平行且等于 bk 的， 那这样的话我只需要去连接这个 e、 k， 对 吧？我只需要去连接 啊， e、 k， 我 在倍长 bc 的 让 b k 等于 b c 这个基础之上去连接 e、 k， 这样的话我就会得到这个四边形 e、 k、 b、 h， 他 是一个平行四边形，对不对？那他如果是一个平行四边形的话，那我的这个边就等于这个边了， 对不对？这个边等于这个边，那我又继续再去挣这个泰式和这个泰式全等呗，对不对？能理解这个意思不？好吧？那这个东西他不就出来了吗？ 这是走非常柱线这个路，那我走相似这个路行不行呢？走相似这个路，好吧，那相似这个路咱看一下啊，那这个三角形，它是一个顶角，是一百八十度减二阿尔法的一个等腰三角形， 就是说它的两个幺之比是这个一比一，对不对？然后 f 是 中点，中点的话我连接 d f， 对 不对啊？然后这块是一个垂直的，然后这块也是垂直的，那我就会得到我的这个 d、 b、 a、 f 这四点是一个共圆的，对不对？那这四个点共圆不要紧啊，这个四点如果共圆的话，那我只要去 找一下，然后我去连接。比如说这个点是 p 啊，找一下 a、 d 的 一个中心啊，因为 a、 d 就是 咱们那个四点共圆的那个圆的直径，然后 p 是 a、 d 的 一个中点，也就是我们四点共圆的圆心，对吧？连接 p f 和 p b， 那 这样的话，我会发现 p f 和 p b 也是相等的 哦，所以我现在只需要证明这个底角是阿尔法，或者这个大角是一百八十减二阿尔法就 ok 了，好吧，然后这个角是阿尔法，那我说这个角是贝塔，那这个角作为一个外角来说的话，就是阿尔法加贝塔，那这个角是阿尔法加贝塔的话，那因为这个边等于这个边，所以这个角也是这个 阿尔法加阿尔法加贝塔，对不对？这个角也是阿尔法加贝塔，然后这个角是等于这个角的，因为在这个圆当中，这个角和这个角它是同一条弧弧。 a b 所对的圆周角，所以它是相等的，然后这个角等于这个角都是等于贝塔的，那这个角就是阿尔法。那这样的话，这个三角形 啊，这个三角形和这个和这个大的三角形它就是相似的，而且相似比是什么呢？相似比你看一下啊， 我拿出小三角形，我拿出 p f 这条腰，然后大三角形，我拿出 a d 这条腰，那 a d 比上 p f 就是 我的相似比，正好 a d 和 p f 是 一个二倍关系，那这样的话，我的 d j 跟 b f 也就是一个二倍关系。 好吧，同志们，那这个题的话，老师就给大家说到这啊，一共老师是说了三种方法，但是咱们的第一种和第二种这个中点的处理方式，基本上都是得到了 我短边的一个二倍，然后正去正这个短边的二倍，跟这个长边是一个相等关系。好吧，那这个题的话啊，人大副二六年，人大副初三开学考的这个几何综合，老师就给大家说到这里，好吧？ ok， 好， 拜拜。

很快就要中考了，每天都筛选出一些值得大家学习的题目，帮大家巩固一下知识点。本题是典型的将军引马问题，变了个型，你还会做吗？点赞收藏，稍后评论区揭晓答案！

本视频耗时九年半，制作共计一千九百分钟，带你一口气学完初中数学。由于时长太长，点赞关注加收藏， 以防找不到！本视频先带你学习几何压轴题，来看这道几何难题，已知这个角是二十二点五度，这个角是四十五度， b、 c 长度是六，求三角形 a、 b、 c 的 面积。这道题突破口啊，是特殊角，四十五度遇到四十五度，要构造 等腰直角三角形，这里面我选择在这个位置去做一个垂直，为什么这么去做呢？因为你做完垂直之后，通过内角和可以得到这个角也是四十五度，再通过外角，这是二十二点五， 四十五度减二十二点五度，这个小角是不是也二十二点五度，咱们得到了一个小的等腰三角形。 遇到等腰三角形，还知道底下这条边是六，我们可以利用三线合一定力过点地向 b、 c 边做一个垂，做完垂直之后，底边的高也是底边的中线，所以这两段长度都是三，那么 这一个垂直，这一个垂直，你想到了什么？遇见等腰直，构造三垂直，所以我们可以通过构造三垂直全等 快速把这道题秒掉。延长 b、 c 过 a 向 b、 c 的 延长线作垂交于点 e， 这样的话咱们就可以得到这个三角形 和这个三角形是三垂直全等。首先都有九十度角，还有 c、 d 和 a、 c 这组边相等，再通过互余倒角点加弧九十度，这个点加弧也九十度，两个点角相等，所以两个三角形是全等的， 那全等之后，这条边是三，这条边也是三，所以要求 a、 b、 c 的 面积。 底边 b、 c 长度是六，高是三，面积是六乘以三乘以二分之一，也就是 九。总结一下这道题用到的几何大招，遇到四十五度角构造等腰直，遇见等腰直构造三垂直，遇到等腰三角形，利用三线合一，你听明白了吗？

我们一起来看一下这样一道人大附中的自主招生题，一道解方程的问题， x 的 四次方加 x， 三次方减去三倍的 x 方减四， x 等于四。我为初中的孩子们准备了近二十年来中考常考的四十三个知识点，让孩子能够快速掌握教材知识，轻松应对各阶段考试，想要的家长可以说一个一二三。 那么读完题之后，我们看看这是一道有关于 x 的 四次方程，像解这类高次方程，通用的办法是换元法， 通过换元将个高次方程转换成二次方程来解。但是这道题当中我们看看次数太多， x 的 四次、三次、二次、一次项都有没有办法换元，那么怎么办？我们除了换元法解这类高次方程，还有一个方法叫因式分解， 也可以解这一类。那我们看看元方程，首先给他一项 x 的 四次方加上 x 的 三次方减去三倍的 x 平方减四， x 减四 等于零。那么现在看看方程的左边一项，两项、三项、四项、五项，总共有五项，那么我们如何去进行英式分解？我们在做英式分解的时候，有一个学过的一个方法叫分组分解法，也就是分组英式分解。像这类 方程是五项的话，我们有一个方法叫笑脸法进行英式分解，也就是把第一项、第三项、第五项放在一起，第二项、第四项放在一起， 这样看起来就像一个笑脸，也就是一三五项放在一起，二四项放在一起，这个时候一定是要求这个方程是由高次到低次这样的排列的。那我们看看重新整理一下， x 的 四次方减去三倍的 x 方减四， 加上 x 的 三次方减去四， x 等于零。将圆方程这样改写，重新整理之后，那么前面的三项可以因式分解，后面的也可以提取公因式。前面的三项，我们将 x 的 平方看做一个整体，那么它就是 x 的 平方加一， 这是一个 x 的 平方减四，就这样一项，那么再加上这个两项，我们也提取一个公因式 x， 那 么剩下的是 x 平方减四。 这样处理之后，这两个因式当中就有了公因式了，就 x 平方减四，提取公因式，剩下的是 x 平方，加上 x 加一等于零，那么这个式子可以继续因式分解， x 减二， x 加二，它刚好是一个平方差。后面是 x 方加 x 加一等于零，那么我们将这个圆方程的这个五 项进行音式分解成分解成了三个音式，那么现在求这个方程的解，就是分别令的每个音式为零，令的第一个为零的话，也就是 x 减二等于零，那么 x 一 等于二，第二 x 加二等于零， 那么解的 x 二等于负二，那么再看看第三个音是为零，这个音是 x 平方加 x 加一，令它为零的话，那么在实数范围内，我们看它的判别式，得它 b 的 平方一方减四， a c 减四，它是小于零的 实数范围内无解。所以原方程有两个解，一个是 x 一 等于二，一个是 x 二， x 一 等于二， x 二等于负二， 从而求得圆方程的两个根。那么这就是我们说的，如果这方程当中出现的是这样的五项，我们就一三五项放在一起，二四项放在一起，这样的进行因式分解，也叫笑脸法，因为它像一个笑脸，很多同学拿到类似的题无从下手。我们说的像这类的因式分解当中的分组分解法应用到这里来，有兴趣的家长可以关注一下。

今天给大家分享的是人大附中的初三模拟考试中几何综合这道题，这个题的难度并不大，也是考察了常规的两线关系，很适合呢，我们在临近考试的时候用来热身，用来练手。这道题一样老规矩，先自己读题思考，然后看我接下来的思路讲解。第一小问呢，我们补全图。进入第二小问之后啊，我们很快会发现， 这个图其实是是一个动图，但不管图怎么动，这个角度的大小既然让我们求，就说明它固定，一猜就是六十度，那一个动图中这个角始终是六十度，我们去看是由于不管怎么动，其他的角也固定呢？还是其他的角是可变的。我们就可以盯一下这个角一和角二，我们会发现它们的大小是跟着图形的变化而变化的，所以这个题 就变成了角一和角二加起来必然是一百二十度。我们有一句话叫必然的巧合，这个角一和角二之间有的内在的关系，怎么给他体现出来，他俩加起来必然是一百二呢？最常用的方法就是假设其中一个角是阿法，那么另外一个角 最后应该算出来的是一百二十度减阿法。当然这是我们的猜想，我们不能在这写一百二十度减阿法。 那怎么利用图中的已知条件呢？其实这个题目中就是两个等腰，一个等腰是三角形 c m n， 一个等腰是三角形 c e n。 为了大家能够看清楚接下来这个导角的过程，我们把图呢放大一些，假设这个角是二，利用等腰，我们可以知道底下这个角 也是算法，利用垂直得到这个位置是九十度减算法，这个位置也是九十度减算法。这个地方有一个六十度，减去那个九十度减算法，就会得到这个地方是六十度。我们利用这个六十度和底下的九十度减算法加在一起，可以得到这个大角角 e、 c、 n， 等于一百五十度减算法，那么上面这个大角 角 c、 e、 n 也等于一百五十度减法。这两个大角都知道了，那我求它的这个 顶角，就是拿一百八十度减去这两个角，计算完应该是二倍的阿尔法减去一百二十度，也就是角 e、 n、 c， 最后拿我们最开始的一个阿尔法减去这个角 e、 n、 c， 所以 得出角 m、 n、 e， 刚好等于一百二十度减法。哎，你看和我们的猜想是不是 是一致，一个是阿法，一个是一百二十度减法，那么他俩加起来是一百二，所以这个角是六十度，就正反了，这就是我们刚刚所讲的必然的巧合，怎么去 论中他，然后在这地方呢？我讲一个小技巧，在这个题目啊，因为比较简洁，所以啊，这个技巧呢，有所体现，但不明显，有些题他体验会更明显。什么技巧呢？找到一个更好去串联起来，计算起来更明显。什么技巧呢？找到一个更好去串联起来更方便的角，比如说这道题啊， 我大概看到这些两个等腰三角形之后，我知道我怎么能够更快速的表达呢？哎，还有一种方法是假设这个角是阿法，它串起来会快，思路完全一样，只是计算啊，那么这个角是六十度，所以就是六十度加阿法，那这个角也就是六十度加阿法， 那这个顶角就更好算了。这个顶角好算了，我这个角这个角你算起来发现都会更容易去计算，数值没有这么大。好吧，具体的我就不算了，同学们可以自己去 自己去试一下，感受一下。好，那我们再进入到第三小问啊，第三小问说，呃，用等式表示 b m 与 a e 的 数量关系，一个是这个啊，一个是这个，这两条线呢？取个中点，这个应该是二倍关系，我们也不太有可能 是其他的什么二点一倍，二点三倍，对吧？那我们只能猜它是二倍关系，又回到了两线，如果你猜想它是二倍关系，该怎么去证明的问题有两种思考方式。第一种思考方式啊，就是补短，我们可以考虑把 mb 往下面 补一节，补完之后证明这条线和这条线相等。怎么证明两线相等？很显然是勾到全等三角形，但是当我们补完之后，我们发现底下这个地方如果是 q m q 和 a e， 很 难出现全等形状的三角形，当然我们还需要去联系辅助线去感受，发现不是一眼看起来就很靠谱的吧。沿着补短的方向思路啊，再往这边补，保持它俩相等， 那这个时候我们就会变成证明 b q 和 a e 它俩看起来有没有可能构造出长得比较像的全等呢？其实我们通过连线会发现这个位置出现了这个三角形，好像和这个位置出现的这个三角形，它俩是全等的， 然后我们努力去证明他们俩全能，是不是看着很靠谱吧，但是有一个点就是我这个东西最好和题目上一小问正出来，这个六十度 能够高度关联，六十度是不是在这里？是不是这个地方有个六十度？如果能和这个六十度关联起来，这个问题呢，就会 更好证明一些。那目前来看啊，这两个三角形的全等，乍一看和我们这个六十度的不是很好关联，那我们还可以再试试其他的，但这看起来是一个很靠谱的思路，那我我的建议是，那我们能不能再试试有没有看起来更靠谱的？ 是不是？如果没有，我们就回到这个思路上继续去深挖，如果有看起来更靠谱的，那我就先选更靠谱的，是吧？补短有用，完了，那我们再截长，截长是什么呢？在这个长子上截取一个 bm 这么长的线段，截完了之后，我证明剩下的这个部分和 bm 也相等，那不就可以了吗？这个怎么办？这个时候 就需要前面有一个基础的地方，你是否能掌握，叫做连接 b n。 其实这个题啊，我自己在做的时候，我一上来就把 b n 连起来了，为什么？因为对称，就这个对称，就是你不连 b n 你 都觉得心里难受， 你就看起来这图，你不连 b n 能不连吗？得连，这个对称感太强烈吧。所以如果你是把 b n 连起来之后，截完了之后，很容易就能够想到连这条线， 为什么？因为平行且相等，这个能快速的感受到平行相等也很好证明你截取的这一小段和 bm 是 相等的。底下这一小段呢，和 bm 是 对称，而这条线呢，很明显是平行的，那这样一来，我就可以把这个平行四边形给它用起来了。这个用起来之后，哎， 我是不是再去证明这个小三角形和这个小三角形全等就可以了？这个全等我一看呢，就和我们之前 找的这个角度高度关联，为什么？因为这两个全等中间会用到一些条件，比如角等，而其中的一个角，这个角和这个角正相等，其中这个角一就恰好是等于这个六十度，加上这个角贝塔，那看起来不就靠谱很多吗？那么接下来呢， 整个题的这个思路呢，也基本上就出来了，快速的把它写一下啊，表示这个点是 q， 就是 截 a q 等于 b m， 然后提得平行四边形 a b n q， 得到这个平行四边形之后，再去证明三角形 n、 e、 q 全等于三角形 c m 即可。在这里面，这两个，呃，这个三角形中间都会出现六十度的角，我们可以看一看，这个角是六十度，这个角是六十度啊，都会出现正方形的边，这条线等于这条线，也就等于这条线。唯独差的一组条件呢，是要证明这个角一 等于这个角二，其中角一呢，刚好等于这个六十度加上这个角贝塔。角二呢，从外角的角度看，刚好是等于这个六十度加上角贝塔，所以角一等于角二，因此这个三角形它的全能也就正满了。好，本期结束，除了刚刚我讲的这一系列的内容之外，额外再补充一个小技巧。 什么小技巧呢？很多同学在最后思考第三小问的时候，关注到了这个点，他说，老师，你说连对称，你连了这个位置，那你为什么不连这个位置呢？我觉得这个位置也得连啊。哎，这个地方是个技巧。什么技巧呢？题目中有给这个点找名字吗？ 他有说这个点叫 t 或这个点叫 q 吗？他连这个点都没告诉你，说明什么？这个点他用不上，如果用得上，他会怎么说？交与点 p， 他会告诉你那个点是屁。这样一来，你在写答案的时候，你会写什么？ e p、 c 怎么怎么样？ m p、 n 怎么怎么样？这样才怎么着？答案是比较标准的，阅卷老师是比较清晰的，不是你自己随便取了一个点是不是好？明明这个点已经存在了，他却没有给名字。 基本上这个点用不上我，所以不会优先考虑一下这个小技巧。 ok， 分享这道理。

来，人大附中的自找题也不都是难题，这道题目给了我们 x， 求的是 x 加二的八次方。这道题目的关键在于，你要看的出来六开十六次根号的平方就是六开八次根号， 而六开八次根号的平方就是六开四次根号，六开四次根号的平方就是根号六。看到这种形态，平方平方，平方的形态想到的是什么？一定是平方差。我给分子和分母同时乘上一个六开十六次根号减一， 那么分母上六开十六次的根号减一，把它俩一乘，得到的就应该是六开个八次根号减一， 我再把这俩再一乘，得到的就是六开四次根号减一，这俩再乘得到的是根号六减一，而根号六加一乘上根号六减一，分母就变成五了。 所以呢， x 就 应该等于五分之十，那就是两倍的六开十六次根号再减二，所以 x 加二就是两倍的六，再开个十六次根号。我们要求的是这个东东的八次密， 那么最终的结果，二的八次方二五六再乘上根号六。这题咱就搞定了，小哥。

关于完全平方公式的应用，你掌握好了吗？我们一起来看一下。已知 m 加 n 等于十， m 乘 n 等于五，想让我们求 m 方加 n 的 值到底是多少？ 那么对于这种问题啊，同学们一定要知道，我们如果想要通过 m 加 n 啊，想要出现 m 方加 n 方，那么我们就要把前面的 m 加 n 做怎样的处理， 我们要去给他平方，所以我把左边的 m 加 n 整体平方，那右边的十也平方，左边按照完全平方展开，就出现了 m 方加上 n 方，再加上二倍的 m， n 等于一百。哎，最后我们要求谁呢？我们要求的呀是 m 方加 n 方，那么会发现题目当中给出了 m 乘 n 的 值，所以我把它带进去，那么这里其实就变成了 m 方加 n 方，加上二倍的 m， 其实就是二乘五等于一百。最后我们要求的是 m 方加 n 方，我们只需要把二乘五移到右边去，对不对？所以就变成了一百减十，所以 m 方加 n 方 等于九十，这个问题我们就算出来了，结果应该等于九十，听明白了吗？结束我们下课跟着拍拍思路打开。

今天我们讲一道北京人大附中其中的一道压轴题啊，我们先来看， 他说已知 a、 b、 c、 d、 e 均为定点，直线 a b 平行 cd。 当我们看到平行，我们第一反应就想到这道题会用到平线的什么呀？性质得内错角相等，同一角相等，或者是同旁内角互补。 点 p 为射线 e a 上的一个动点，并且点 p 不 与点 a 重合，连接 pc， 如图一，点 p 在 线段 a e 上，若角 a 等于三十度， 角 c 等于七十度，直接写出角 a、 p、 c 的 度数。 那其实这道题考察什么呀？考察就是我们平线中的拐点模型，这个是非常典型的一个拐点模型，就是因为平行 ab 平行 cd 得同一角相等，所以这个角和这个角 c 是 同一角，都等于七十度。 然后再利用三角形的什么呀？外角，三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角和，所以角 a、 p、 c 的 度数就等于七十度减三十度等于四十度。那么第一问直接就出来了， 那么这道题的难点就在于第二问，我们来看第二问， d m 为直线 cd 下方的一个动点，连接 c m， 若 c m 平分角 d c p， 说明这两个角什么关系啊？相等。 然后他又说说第一问，如图二，当点 p 在 线段 a、 e 上时，连接 am， 若 am 平分角 b a、 e， 那 说明这两个角也是相等的， 用等式表示角 m 与角 a、 p、 c 之间的数量关系，并证明 那第二问的圈一。他简单的地方就在于他和第一问整体上模型是一样的，就是如果我们不去看这个 am 和 cm， 那 这两个图是不是一样的，对吧？那所以说第一问的结论，在第二问中他也成立了。第一问什么结论？我们会发现 这个三十度，也就这个题里面的角 a 加上角 a、 p、 c 是 不是等于这个角 c？ 那 因为这里面有线了，我们就不能让角 a 了，就是角 b a、 e 加上角 a p、 c 等于角 d、 c p 啊，就第一问里面，我们利用的这个得到了这样一个关系，他其实利用的就是平线和外角，对吧？那这时候我们再来看啊，他说的是平分， 对吧？然后他让你来表示角 m 与角 a、 p、 c 之间的数量关系。好，那我们来看一下，这里面呢，他就有一个八字模型啊，我们用一个笔来给大家描一下，就看这个图形， 那在这个三角形里面有个八字模型什么意思呢？就是这三个角的和是一百八十度，这三个角和也八八度，而这两个对角相等，所以在这个八字模型里面，我们又该得到的是角 m a、 p 加上角 a、 p、 c 就等于角 m 加上角 pcm 啊，就是这两个角的和相加，等于这两角相加，那这时候这个角 m ap， 他 是不是因为这角平分线，他就可以等于二分之一的角什么呀？ b a、 e， 然后再加上角 a、 p、 c 等于角 m 加这个角 p c m 是 不是就是二分之一的角 d c p 二分之一角 d、 c、 p。 好，那我们来看，在这个结论里面啊，我们 b a、 e 也好， d、 c、 p 也好，是不是都是前面系数是不是一？那所以说这个是二分之一，我们就想到干什么呀？把这个式子同时乘以二，那就是角 b a、 e 加二倍的角 a， p c 等于二倍的角 m 加角 d， c p， 然后这个角 d， c， p 我 们是不是得到又等于它俩的和呢？我们把 d， c， p 换掉角 b， a， e 加二倍的角 a， p， c 等于二倍的角 m 加，把它换成这个加角 b， a， e 加角 a， p c 好，那你看左右两边都有角 b， a， e 是 不可以抵消掉，然后这个是二倍的角 abc， 这边是角 abc， 那 我们移项之后就变成什么呀？ 角 abc 等于二倍的角 m， 那 题上问的就是角 abc 和角 m 之间的数量关系，那是不是我们这个第二问的第一个是不就也解决了？好，那我们再来看第二问的第二个， 如图三，当点 p 在 直线 c， d 下方运动时，点 p 在 射线 e a 上，和刚才前面这两个不一样地方是，它不再是在线段 a， e 上了，是在射线什么呀？ e a 上，那是不是应该往上画？我们把图大致画出来， 那假如说 p 在 这个地方，它说射线 p n 平分角 a， p c。 好， 那我们先把角 a， p， c 连起来，平分角 a， p c 好， 我们同样啊，就是画一个大致的， 他说什么呀？ p n 平分角 a， p c 好， 说明这两个角相等，然后说当这个点 k 在 直线 cd 的 什么呀？下方，且满足 c， k 平行 b， n， 好， 这是这是 p n c， k 要平行， p n 平行啊，他俩平行，那等会肯定可以得同位角相等，内错角相等，然后且满足角 b， a， e 是 三十四度，这个角三十四度， 让你直接写出角 m， c， k 的 度数，那这个题里面我们来看啊，他说让你求 m， c， k 的 度数，那我们来看 m m 是 怎么的呢？ mcm 平分角 dcp 好， 这个是角 dcp， 对 吧？然后 cm 平分角 dcp， 好， 我们把 cm 直接写出角 m c， k 的 度数。啊，求这个角度数好，我们来看一下这个怎么去写好，那我们来看一下它让求的是角 m c， k 的 度数。 角 m c， k 的 度数是不是很明显等于角 m c d 减去这个角 d， c， k 好，那我们再来看角 mcd， 因为 c m 是 平分角 dcp 的， 所以说角 mcd 它是不是二分之一的角 dcp， 然后减去这个角 dck， 那 我们再来看因为 ab 和 cd 平行，所以角 dck 和这个角，如果我们把它叫做角 k 的 话，它俩是不是内错角相等， 而又因为 c k 和 p n 是 平行的，所以说这个角 k 又和这个角是相等，他俩是对顶角，进而我们可以转化出来角 d c， k 和角一是相等的，所以我们把角 d c k 换成角一 好，然后我们再来看这个角一，这个角 a pb 加角一是不是三十度四度三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和啊，就是这个角 a pb 加角一是三十四度，所以我们要想表示角一角一是不是就等于三十四度减去角 a pb 好，那我们再来看这里面这个角 a p b 又因为这个 p n 是 平分角什么呀？角这个 a p c 的， 所以角 a p b 是 不等于二分之一的角 a p c 好， 那我们把它化减去括号二分之一角 d c p。 那所以这道题我们要想求 mck 的 度数，只需要知道这两个的和就行了啊，那我们把二分之一提出来，等于二分之一的括号角 dcp 加上角 apc， 然后再减去三十四度就行了，而求它怎么办？这里面也是我们常见的平行线里面的拐点模型啊，把这个模型给你给他凸显出来，我们一块来看一下， 看这个模型就是大致就是这样，我们可以往这做一个平行，做完平行之后，你看他们两个平行，这个三十四度和这个三十四度是不同位角，是不是相等，对吧？ 而这个角加这个角，利用两线平行同胞内角互补，他俩是不是就是一百八十度？所以说这个角加上这个角就是一百八十度加三十四度，那很明显就说明角 dcp 加上角 a、 p、 c， 是 不是就是三十四度加一百八十度，对吧？角 dcp 加角 a、 p、 c， 他 就等于 三十四度加一百八十度， 三十四度加一百八十度是二百一十四度， 二百一十四度乘以二分之一等于多少？一百零七度，一百零七度减去三十四度等于七十三度。 但是我们再来看啊，刚才人家说的什么呀？在射线上，那在射线上就要分两种情况，一种是在线段 a e 上，一种是在 e a 的 延长线上，我们考虑的是比较难的那一种就是在 e a 的 延长线上，那如果他在线段 e a 上，那是不是就又转化成了这种问题？是不就比较简单了，对吧？那我们就给他画成这样一个图来看第二种情况啊， 那这种情况我们就还沿用什么呀？还沿用我们第二问第一个的结论，我们把这个结论可以记一下啊，就是角 b a e 加角 a p c 等于角 d c p， 而这个角 b a e 是 不是就是三十四度，也就是三十四度加角 a p c 等于角 d c p 好， 那我们要求的是这个角来看这个角怎么去求？ 好，那我们再来看啊，这里面我们让求的是这个角 mck 的 度数，就打问号的这个角它是不是等于角 pcm？ 减去角 pck， 也就是这个角 pcm 减角 pck 就 让求的这个角，好，那我们再来看这个角 pcm。 因为 cm 是 角 dcp 的 角平分线，所以角 pcm 就是 二分之一的角 dcp。 好，那我们再来看角 p c k 怎么来表示。然后我们刚才说了说这个 p n 是 不是和 c k 题上说是平行的？平行是不可以得内错角相等，所以说角 p c k 是 不等于这个角，如果我们用这个角 e 来表示的话，是不是等于角一，而角一，因为这个偏是角平分线，所以说这个角一它又等于二分之一的角 a p c 好， 那我们就可以得到这个。然后我们再来看这个和这个什么关系？我们要想求角 m c 可以 来看它，它是不是就可以变成二分之一的括号角 d c p 减角 a p c， 对 吧？ 而通过这个第一问的结论，我们可以得到角 d c p 减角 a p c 是 不是等于三十四度，对吧？那我们带进去二分之一乘三十四度就等于十七度， 因为这道题说的是点 p 是 在射线 a e 上，那我们就只考虑一种在线段上，一种在这边，如果它在直线上，那还有可能在下方啊。这就是我们今天讲的这一道数学题，你学会了吗？

来，信不信我用一分钟把这道人大负的自找题给你讲的明明白白的，告诉我们， x 方减 s 减一等于零，求的是这个式子的值。注意，问题中是两个分式，这是八次，这是四次，那么已知条件一定要向分式来转化， x 一定不为零，那我给等式两边同时除掉 x 一 项之后， x 减去 x 分 之一就是等于一的。我现在要解决到八次密的问题，那么已知条件就得先生密， 两边同时平方， x 减 x 分 之一的平方一定还是一，那么也就是说 x 方加上 x 方分之一 是等于三的，我们这边要八次，这还是不够啊，接着往上升两边再平方，那这边三的平方，这就等于九了。 我们就能够知道， x 的 四次加上 x 的 四次方分之一是等于七的。给这个等式两边同时乘以 x 的 四次方，就会出现 x 的 八次方， 乘完之后呢，就是 x 的 八次方等于七，乘上 x 的 四次方再减一，我把这个东东给它反带回去。大家发现最终我们要求的就是根号下 七乘上 x 的 四次加上 x 的 四次分之七再减一，而 x 的 四次加上 x 的 四次方分之一是等于七的 七七四十九减一四十八，最终结果四倍根号三，大家听懂了吧，帅哥。

各位家长，各位同学，我们来看人大附初三的这道测试题，这是一道三角函数的题，我们来看，哎，要证明这个算式成立，我们尝试从左往右正 证明。左边左边我们看看。一加乘以二发，分之乘以二发，减去一加乘以二发，分之乘以二发。没办法，只能通分，你懂吗？ 一加 c 而发乘以一加 cosine 而发 分之什么？ a cosine 而发加 cosine 而发的平方。这前面是减号减去 sin r 法，再减去 sin r 法的平方，哎，这个时候我们尝试把分子把它分组，我们 发现 cosine alpha 减 cosine alpha c， 我 们把 cosine alpha 的 平方减去 cosine alpha 的 平方，好把它分组。 ok， 然后再提取公式，我们看看 分母呢？我们还是把它展开，这里变成了一加 cosine alpha， 再加上 cosine alpha 再加 cosine alpha cosine 而发的极上面我们就把它变成了 cosine 而发减去 sine 而发的差乘以 好， cosine 而发加 sine 而发再加一的和。 我们来看看现在左边和右边比较，哎，这里有 cosine 减 cosine 法，这里也有 cosine 减 cosine 法，但是这里有一个二。再来看分子一， 这里是一加 c r 法加 cosine 法，这是一加 c r 法加 cosine 法，但这里多出了 c r 法 cosine 法。你要尝试把 cosine 法加 cosine 法加一等于二，那太难了，那这个时候怎么办？ 哎，我们尝试就直接分子分母跟它同时乘以二，哎，我们看看又有什么结果？好，那这里就是二倍 cos 二发减去 cos 二发乘以 cos 二发加 cos 二发再加一的和 这里我们乘以二之后，一变成了二二倍 cos 二发，再加二倍 cos 二发，再加二倍 cos 二发 cos 二发。哎，这个时候怎么办？我们把这个二把它拆成两个一， 拿出其中一个一，因为这里有二倍的 c 而法， cosine 而法，哎，我们拿出一个一，把这个一变成 c 而法的平方加 cosine 而法的平方。 哎，奇迹出现，这时我们就会发现，发现它什么对，它就变成了 c 而发加 cos 而发的和。 ok， 它就变成了一个一，就是 c 而发加 cosine 而化的平方，再加上二倍 sin 而化，加 cosine 而化， 把另外一个一哎看成是一的平方。好，现在分子我们先照抄二倍 cosine r 法啊，这里开始减，减去 c r 法，这是减乘以 cosine r 加上 s 二发再加一。哎，我们看看下边还是完全平方和对它刚好是是什么？二倍 cos 二发减 s 二发乘以 cosine 阿尔法加 c 阿尔法加一的和吹吹萨，对，这里恰好是 c 阿尔法 加 cosine 阿尔法再加一，这个整体的平方，这个是奇极出现，这部分和这部分恰好可以约掉。 ok， 所以我们看看这个式子就刚好等于二倍，对，这部分和这部分恰可以调 ok， 二倍 cos in r 减 c in r， 下边儿就是 得啊，一加 c 而发，再加 cos 而发好，那么说明左边儿等于右边儿原式成立好的。

拿到了人大附中分校最新的周练习卷，这张卷子呢，一共是二十二道题，整体难度呢很大，尤其是几个关键的几何题啊，个个都很经典。今天我们重点给大家分享的是选择压轴题，大家可以一起跟着我来去读题啊，在这个过程中，我也会分享一些 比较实用的解析技巧。题目呢，一共给了三个核心的条件，正方形上面有一个动点，之后呢有一个 a、 h 垂直于 d、 p， 如图所示的这两条红线，它是垂直的，然后 c、 f 垂直于 h， 这个地方也是垂直的。给出下面三个结论。大家可以看到，我在读题的过程中， 我并没有去重点关注这些什么什么线和什么什么线交于某个点啊，为什么？因为这些信息在图中是一目了然的，它也不是本题的解析条件， 他只是一个额外的附带信息，我们不需要对着题干和图具体的去看，那会比较浪费时间好，读完整个这个题之后，其实脑袋中呈现的不应该是这个图，你应该呈现的是什么呢？你应该呈现的是 如图，我们下面这个蓝色的图，首先是一个正方形，然后内部有两条垂直的线，这个时候你就要想起第一个关键结论，在正方形中， 垂直即相等，也就是这条线 a 和这条线 b， 它俩是相等的，它的背后是什么？背后其实是全等，这个三角形和这个三角形它俩是全等的。在这个地方我就不详细证明了，因为难度并不大。继续往下你应该想到是什么？哎，你应该呈现的就是会出来这么一个图，延长之后，这个地方出现了一个垂直， 又出现了一个垂直，大家会想到什么呢？哎，很多朋友会想到说，你看这个地方有个垂直，这个地方又有个垂直，那不就是平行线了吗？不应该想到这个，你应该首先想到的是我们的一个基础型叫八字型，这个八字型能够看到，在这个八字型中，我们就会得到角是相等的，这个叫 arfa， 和这个叫贝塔 相等的。有了这些之后啊，我们再往后去做下面的选项才是有可能的。他说 pc 加 ad 等于 ah， 在 这个图中， pc 加 ad 和这个 ah 是 不是相等的？根据我们刚刚讲的这个全等，我们可以知道 pc 呢，就可以转移到这个位置，小 a， ad 呢就是小 b， h 呢就是小 c， 很 显然，它们三个所处的是一个直角三角形，就会形成大于 h， 所以 这个 e 呢，肯定是错误的选项啊。 第一个圈一非常的简单，好，我们进入圈 d f d 小 于根号二倍的 p c。 其实如果纯粹从这个 结论出发思考点是不太好思考的，因为在我们初中啊，很少会出现说两条线段比大小关系，一般都是相等关系、二倍关系、等量关系。而这一块是什么？大与小之间的这种关系。但是呢，这个结论呢，除了告诉我们我们最终的是比大小，还出现了一个关键的数字叫根二，它的歧视性其实很强， 根二意味着什么？根二往往意味着在我们的几何体中去构造等腰直角三角形，那么 自然而然就会想到什么呢？哎，这个 pc 我 能不能去构造根号二倍的 pc， 比如说我又截取了一小段，等于 pc， 这个时候是不是我们新画的那一条红色的线就是根号二倍？但是你这么去构造，你无法和 df 相联系，相结合， 对不对？那我怎么才能够和 d f 相结合呢？哎，其实就是这两条线之间怎么去涉及到跟二倍的关系，比较初步的一种想法，哎，比如说 d h， 哎，我在这儿做一条线，让它和这个 d f 去比较大小，这是不是一种想法？ pc 不好比较，那我我能不能这样去比较？ 但是你如果做题经验比较丰富啊，在我们整个初二到初三，在我们的几个综合题中，最喜欢考的肯定是全懂。 而在整个北京的中考中，什么样的方式去构造全等式最多呢？但是手拉手，所以在这道题中啊，你要能够快速的想到这样一种构造手拉手的方式，这个是对基本功的一种比较高的要求了。你这么构造啊， 你是可以把这个题目中的多个关键性信息看中了。首先啊，这个根二被设置到构造，不一定非得要沿着 pc 构造，沿着 df 构造也可以啊，我就会得到，哎，这是小 a， 那 这一段长就会变成 根二倍的 a， 我 这么构造有什么好处呢？这么构造，我其实会得到一个等腰直角三角形。这个等腰直角三角形和原题中本身就存在的等腰直角三角形谁呢？正方形，其实它切一半不就是等腰直角三角形吗？它 就构成一个手拉手，这两个手拉手就构成了什么呢？构成了全等，这个红色的和这个蓝色的，它俩是全等，比较容易去构造吧。 构造完了之后，我们得出什么结论？我们会得出这个 d g 是 等于二分之一 f q， f q 又是什么呀？ f q 和 d f 是 不是之间有一个关系对不对？所以呢，我们就可以得出这个 d g 等于二分之根号二倍的 f d， 进一步的得出 f d 等于根号二倍的 d g。 而题目让我们去判断是什么呢？是 f d 小 于根号二倍的 pc。 好， 也就是说下面的这个画框的这个式子一定是对的啊。让我们去判断上面的画框的这个式子是不是对的。那其实判断的不就是 pc 和 d g 之间的数量关系了吗？ 那 pc 和 d g 是 在图中的这个紫色的三角形里，哎，确实，因为这个 pc 不 就是 b h 吗？哎，确实存在着 pc 比上 d g 要大的这样一个关系，所以上述这个式是成立的，因此 是对的啊。这就是我们讲的第二个小问，到第三小问呢？它要证明的是根三倍的 fa 减去 f d。 这样我们要讲一个小的技巧，当我们看到这个关系式比较复杂的时候，我们可以用小写字母来表示， 然后把这个小写字母给它标注在图中。要养成这样一个良好的习惯，我们要找的是图中这三条 a b c 之间的关系，而这个关系中又出现了什么？一个线加上一个系数，根三倍减去 b 大 于 c， 是 不是出现这个关系？这道题啊， 其实难点之一就是这个根三，当我们看到根三的时候，我们会怎么去思考？遇到根三最常想的是什么？是出现了三十度、六十度这些特殊的度数 才容易构造出根三，所以这是本题的一个巨大的一个误导。为什么说它是一个误导呢？因为在这个题目中，我们要理解啊，它的主体的框架是一个正方形，在正方形里面，这个点屁是一个动点， 所以它是不可能出现固定的三十度和六十度的。那除非我们自己主动去构造等边三角形。可是你构造等边三角形是和原题目中 所给的已知条件是没有办法有效的结合的。那为什么会出现这么奇怪的现象呢？就是因为这个题他是一种选择题，他不是一个证明题，他不是让去证明等量关系，这里面有可能会有一种缩放的概念。你看，这是第二小文就给了我们这种缩放的概念，感受到了吗？ 我们最后挣出来的等量关系被缩小或放大了，这也是我们需要积累经验，最后得出挣完之后你再回头去看这个跟三，你就能理解了。那么接下来这道题的突破口不是跟三 实际上是什么，实际上是题目中 abc 的 这三个线目前所处的这种特殊的位置关系。在这地方我稍微啰嗦再解释一下啊， 也就是说，我们有时候做几宗为什么很难呢？因为它不是一个百分之百确定的一个非常严谨的逻辑推理。当我给到一个这样的式子的时候，它有可能意味着多种不同的思路，有可能多种不同的思路都是正确的，有可能这多种不同的思路虽然看起来都合理，但是这样有些是 解不出来这道题了，这也是几道非常难的一点，你要做到什么？你要做到对他们都很熟悉，能够快速在考场上去尝试这些不同的思路，找到哪条看起来最靠谱，然后从那条再深入的去研究从根三。我们简单思考之后，确实发现啊，不太靠谱。之后我们要去找这个 a、 b、 c， 为什么从他出发呢？哎，以后我们可以多总结很常见的这种三者，从一个点出发，我们要想办法证明他之间的关系，把它放到一起去处理。而本题很典型的一种旋转感是不是很多？我们在前面是不是夹手拉手，是不是也都是旋转感？我怎么去旋转呢？ 其实有两个思路，第一个思路就是把 a 和 b 所组成的三角形给它转一转来说，老师这怎么转，对吧？你要去尝试 啊，比如说我们前面刚刚已经讲到了上面这个手拉手了，如果我给他往上去转一转，对不对？转成这样，这样一来，我是不是就将这个 a 和 b 所组成的三角形进行了一定的旋转了 啊？小 b 就 跑到这了，小 a 就 跑到这，靠谱吗？不靠谱。为什么？因为你这个 a、 b 转完之后和 c 还是没关系，我们旋转的目的是为了让他们产生关系，对不对？所以这样类似的旋转我还可以干嘛？可以考虑 a， 它如果整体往这个三角形转到这，它和 c 能够放在一起吗？也不能， 所以这些就是基本步骤，你要是不一眼感受到，看出来，看完之后你还可以在干嘛？你可以尝试转这个三角形，我把它转上来感受一下啊，把它往上转这么一转，小 a 跑到这来了啊，小 c 跑到这来了，就是，你觉得这样靠不靠谱了？很靠谱呀，对吧？这个 a、 b、 c 一下就怎么着跑到一起去了 是不是？哎，你这么一转过来之后呢？很显然这个地方是贡献的，但这个所谓的显然我现在只是画图。我们这是一道什么题？这是一道选择压轴题，如果你平时做题经验比较丰富，到这个地方其实就结束了，你一眼就可以看出来这个什么是根二倍的 a 等于 b 加 c， 所以 一项可得是根二的 a 减 b 等于 c， 所以 这个式子是正确的。这个式子正确，那上面这个式子正确吗？一定正确，因为他把根二放大到了根三，所以我说他这个根三误导性非常强，时期就结束了。当然，如果这是一道证明题，你也得去证明。 哎，为什么这个地方共切是不是？当然，一般来说，我们还有一种做法，我们并不是说整体真的把这个三角形给它转上去，如果你去看标答，标答一定是这么写的，就是做一条垂线交 这个小 b 的 延长线于一点啊。比如说 q， 它并不是旋转三角形，它是做一条垂线，交小 b 的 延长线于 q， 然后证明这个三角形和这个三角形全等，不就相当于是转上去了吗？就不用去证明。共线只是我们初中并不常用的一种证明方法，这就是本题它中间会出现的一些坑底和一些做题技巧，以及整体的分析思路。

中国顶级高中人大附中自招题到底有多凶残？就这道题，硬算等于自虐！仔细观察，其实命题人不仅考察了书本的基本功，还藏着生密将密整体构造的数学思想。 今天老师就带你利用生密将密凑中间结构的核心技巧，教你彻底看透高次代数式的底层逻辑来看题。 若 x 平方加 x 平方分之一等于根号二，则 x 的 两千零二十二次方加 x 的 两千零二十二次方分之一等于多少？首先呢，已知条件 x 平方加 x 平方分之一值给到我们要求的是形式类似但是更高次的一个代数式的值，从二次式到这里的两千零二十二次式。显然我从已知条件到要求的式子需要进行一个 生密操作，对吧？指数要变大非常非常多倍。当然，我从要求结论往回看，那就是进行一个降密操作，那这就是啊，从已知条件到要求结论之间的联系，需要我们去 构造这个桥梁。那具体怎么来完成这样的生密或降密的一个桥梁链接呢？我们一起来分析一下。首先啊， 看已知的这个条件的式子，其实呢，是相对比较简单的，等号右边带有根号，而左边呢，有 x 平方向，还有 x 平方分之一项。显然第一步我能够想到把它进行两边同时平方， 第一个可以去根号，第二个左边的完全平方式是我们在学习完全平方公式的时候非常经典的结构，首平方尾平方二倍乘积放中央，这个二倍乘积项刚好等于数字二， x 不 见了，那么有已知条件，我就得到 x 的 四次方 加上 x 的 四次方分之一，首平方尾平方二倍乘积项刚好是二，两边减二直接等于零了。 那由此我已经进行了一步的生密操作了啊，从二次式变成了个四次的代数式。那接着我继续不就想分析这个吗？往后一步该干嘛了呀？去了根号，我该去分母，所以等号两边我同时乘上 x 的 四次方，第一项乘完之后是 x 的 八次方，第二项是加一啊，最后等于零是吧？换句话说，我算出来了 x 的 八次方是等于负一的。 当然，写到这有同学肯定有疑问啊，说老师，在初中阶段咱不是一直强调吗，偶次幂，最后结果都是非负的大于等零。那这 x 的 八次方为什么能等于负一呢？注意啊， 初中阶段我们是实数范围内来讨论的，但是上了高中我们还会学习虚数，所以这个式子是可以成立的。具体 x 等于几呢？限阶段你可能不会算，咱也没必要把它算出来。总之，我整理之后，得到的是 x 的 八次方等于负一，我两次生密从二次式变成了八次式。 生密完成，我再来观察一下要求的这个代数式是否能进行一些个降密。 如果我能降到把两千零二十二降到跟八次方有一些直接联系，是不是这道题就迎刃而解了？现在我掌握的是八次密的具体值，而且这个值很开心，是负一负一的 很大的次方，我能算出来 g 次方是负一，偶次方是正一啊。那顺着这样一个思路，我们来分析一下要求代数式二零二二怎么跟八的倍数联系起来，这个大家就可以来试一下了啊。首先啊，我们知道两千应该等于什么呢？ 一千是等于一百二十五乘以八，所以两千呢，应该是两百五十乘以八，他是八的整倍数。两千的基础上，现在咱增加了二十二，哎，他肯定不是八的整倍数，对不对？那跟二十二比较接近的八的倍数是谁？是不是二十四呀？二十四是三，乘上八三八二十四， 听懂了吗？同学们？所以二零二二，我要把它变成谁呢？变成八的倍数，也就是二零二四，怎么来变？利用我们密运算的法则， x 的 二零二二次方，我可以把它写成 x 的 二零二四次方，再除以 x 的 平方。 m 的 除法底数不变，指数相减，逆用同样的，后边的这一项，我可以把它写成 x 的 二零二四次方，分之 x 的 平方。 那接着啊， x 的 二零二四次方呢，我就可以把它写成 x 的 八次方的多少次啊？ 二百五加三，也就是二百五十三次，这是我们逆用 m 的 乘方分母 x 的 平方不变。 后面一个同样的方式，分母上的 x 的 二零二四次方，写成 x 的 八次方，得二百五十三次方，分子保持不变。那么代入我们来计算一下，这是 x 平方，分之啥呀？ 负一的二百五十三次方，负一的几次方还是负一？后边一项分母还是负一的几次方，负一分之 x 平方， 这是啥呢？这其实就是负的 x 平方分之一，减去 x 的 平方，把负号提取出来，括号里头 x 平方分之一 加上 x 平方，这会不会啊，这不就是已知条件给咱的根号二吗？所以最后答案负的根号二咱们就完成了。所以这道小题呢？已知条件低次米要求的代数式是高次米， 所以从已知条件我进行生密操作，往高次密走，对吧？走到哪？走到一个我比较喜欢的数字，再从要求的结论进行降密操作，进行一些密运算公式的正用和逆用降密和我求得的这样一个条件建立联系，带入求值，你学会了吗？

大家好，这是任大富的一道题，我们用两种方法解决它，看看牛不牛。首先如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长是四点， e、 f 分 别是它上面的一点 e 和 f， 而且 a， e 等于 d， f 等于几都等于一， 它们都等于 b， e 与 a、 f 交于点 h， b， e 与它交于点 h， 一 看这个，这就叫十字模型啊，一看这就十字模型，因为 a、 e 等于 d、 f， 这就是十字模型。 m 呢是 b、 h 的 中点，它呢是 b、 h 的 中点点， n 是 四等分点，四等分点，那么如果是分成哎，再分成一半，那是不是它就二等分点了，所以这个四等分就这样用，则 m、 n 等于多少？ 我们看啊，我们用两种方法，一种方法是平移 a、 f， 把 a、 f 平移到上面来，这是一种方法。另外一种方法是 遇到直角三角形啊，十字模型，我们知道这就是什么角，直角直角三角形，我们就连接斜边上的中线，我们看看哪一种方法好？来看一下第一种， 鞋边上的中线，来，我们看，因为我们一看它是就是什么东西呢？十字模型呢？十字模型就轻松证明。来，我们看一下， a， e 等于 f， d， a， e 等于 f， d， n， e 等于 b、 f， 然后两个都是直角角， b， a， e 等于 f， d， a 都是九十度，然后 a、 b 等于 a， d 是 边和边相等，所以这是两个三角。全等，全等以后，全等以后看啊，全等以后，我们就会出现 这个小脚，我们起它的圈，这个小脚圈哎，这个小脚也是什么圈，圈和圈相等，然后我们看这个圈加上这 是不是等于九十度，哎，加上这个叉是九十度，加上 b、 e， a 是 九十度，所以它加它 b a 也等于度，也就是我们写一下啊，九 f a d 加 h e， a f a， d 加 h e， a 也等于多少度？九十度，所以这儿就是什么关系？垂直的，这我们就证明了它两个是垂直的， a f 垂直， b e 垂直 b e 以后这是一个直角三角形，所以我们就连接什么，哎，连接， 连接这个 h g， 哎，取 b f 中点 g 连接 h g 连接了 h g， 这就是斜边上的中线，你看斜边上的中线出现了，是不是一 h g 就是 斜边的一半呢？ h g 就 等于斜边的一半， 就等于什么 b f 的 一半，那么 h g 的 一 b f 的 一半 m n 呢？一会我们再说啊， 那么 b f 咋算呢？你看总共边上是四，这是一，所以这条边就是几三，这是三，这是四，所以三四五模型啊，三四五，这个是五， 所以 b f 就 等于五， b f 等于五，所以我们这个谁呢？ h j h j 是 不是就等于二点五的，就二分之五呢？然后 m 是 b h 的 终点， 哎，这个是终点 n 呢？是四分之一，是 b f 四分之一，所以它现在是不是也终点，所以 m n， 哎，所以这我们就知道 m n 是 平行于 g e 的， 而且等于啊， m n， 它等于二分之一的 g e， 所以 它就等于多少了，它是二分之五，是不等于四分之五了，哎，这不就求出来了吗？ 这种方法来看， r 取 b f 中点 j 连接 e j 等于二点五，所以它最后就等于 m n 等于一点二五，就是四分之五，这是第一种方法来看。第二种来，我再看第二种方法， 遇到十字模型，遇到十字模型我们就做什么？做平移， 看啊，十字模型我们刚才已经证明了这是什么关系？垂直关系，我们遇到这个以后平移，把 a f 平移上去，那么怎么做呢？就是过 m 点做 mo 平行于 a f， mo 平行于 a f， 一 做平行， m 是 什么点？中点，它又平行的，所以 o 也是什么点， o 也是中点， 看好 m o 就是 一条什么中位线， o 是 中点了。方法就是这样的，过，做完以后， o 是 中点，那 b o b o 就 等于二分之一的 b f， 而 n 是 四等分点， n 是 四等分， n 是 四等方，所以 n 是 b o 中点，它是 b o 中点，那么这儿是垂直，这儿也是什么？垂直的，所以 m n， 所以 这个 m n 就 等于二分之一 o b 啊 b o， 那么刚才按我们的求法还是这样的，总共是四，这就是几三，这是四，所以我们 b f 等于几五？ b f 等于五，那么这就等于二分之五， 所以这就等于多少？四分之五。好，两种方法，第一种，第一种遇直角 连什么连中线，这是第一个要注意。第二个呢， 遇十字模型，十字这种的，很重要的就是十字做平移，好，你们学会了没有？