九年级数学圆压轴题第一小文怎么写

九年级的小伙伴朱老师又来了，这道题可以说是难度的天花板，可以说百分之九十九的孩子几乎是做不上，那我们看一下这道题啥意思 啊？这里 ab 是 圆 o 的 直径，点， c 在 圆上，哎，然后 cd 是 垂直， ab 的 cd 垂直， ab 垂直于直径，那是不是正常？你在圆里就有垂直定律？我要一延长的话，看， 哎，一延长它与圆，加上这个焦点 m 的 话，这里是不是有垂镜，镜里 dm 和 cd 的 呢？是不是就相等？然后这里告诉你， a d 是 二，那我就标上这是二，对吧？ e 是 圆 o 上的一个动点， e 在 圆 o 上动， 然后这里 f 为 c 的 中点，你看他就起很关键的作用了。 f 想到中点，看这中点会想到啥？哎，其实常见的辅助线就是背长，中线呢？中位线呢？如果等腰有中点，三线合一啊，直角有中点，会想到啥？想到斜中， 那我们想一下，你看在圆里，它是终点，哎，刚才说了，你这垂直，我一延长，垂径定里，它是不是也是终点？那这个正常要连接谁呀？ m e 的 话，这个 d f 是 不是就变成谁了？是不是就变成这个谁呀？三角形 e c m 的 一个啥中位线对不对？ 你看他这里，他说若在谁呢？点 e， 在 运动过程中， df 的 最大值是四，让你求 cd 的 乘， df 的 最大值是四，让你求 cd 的 乘，那我们是不是就得找到 df 什么时候最大， 啥时候最大？哎，来我们看一下，你 df 最大值是四，那 df 的 最大值是不相当于求谁？求这个 c e 的 最大值，然后我们除以二， 那它最大值是？是四的话， c e 的 最大值是几啊？ m e 最大值是几？是不就是八？ m e 的 最大值是八，那在圆里，你看弦长啥时候最大，是不是？哎？直径的时候最大，这个时候最大， 哎，那也就说我们的直径是几？哎，直径是八，那半径一半是四，一半是四，那我们要求求啥呢？求 cd 的 长，求 cd 的 长，半径已经是四了，哎，那这个 ad 长是二，那咋地？哎，那我就连接谁呢？连接我这个 c o 连接 c o， c o 长是不是也是四啊？那这是二，对不对？哎，那咋的，那这个 c o d 长是不是也是二？哎？ o d 长是二，那我在这个直角三角形当中， 哎，你 c d 长是几啊？是不是四方减二方啊？哎，这块是不是二倍跟三呢？听明白了吗？我们 总结一下这道题啊，最开始的话，你看，哎，垂直于直径，那是不是延长之后是不是就有垂直定力？哎，这是一个关键，垂直定力就得到 d 是 谁？ c m 的 终点， 然后这里又一个关键信息， m 是 谁？ m 是 c 终点，那这样的话，这个 d f 就是 这个三角形的啥中位线，它最大的时候是不相当于谁？ m e 最大？ m e 在 圆里最大，是不就是直径的时候？那也就说我能把直径和半径求出来，直径和半径分别是四，直径和半径是四。给你，这是二，你要想求 c d， c d 只能放在这个直角三角形里吧。哎，放在直角三角形里，那也就说这是四，这是二，那 c d 咋呢？我们就求出来。 ok。

中考最后三道压轴题分别是圆二函数体和综合大压轴，如何快速拿下这些题型，稳稳拿到满分？今天我给大家整理了攻克这三道压轴题的使用口诀。首先来讲圆的题型，第一，见到圆，牢记三线一补，看到直径，立刻想到九十度的圆周角， 看到切线，马上连接半径，得到垂直关系。看到弦，第一时间运用垂径定理解题。第二，题目要求求解角度时，优先寻找四点共圆，利用四点共圆对角互补的关系，快速推导角度关系。这是今年的一道北京的一模题，已知 a、 b 是 圆的直径，哎，我们知道直径所对的圆周角是个九十度， c 为半圆，上一点连接 a、 c。 好 了，注意， a、 c 做的是圆的啊！弦看，接下来又说了，过点 o 做 o、 d 垂直于 a、 c， 那 么 o、 d 过圆心了，这不就是径吗？ 又有径又有弦，这就是垂径定理呀！所以我知道了，这儿垂径，那么 a、 d 等于 dc， 这儿是个中点，所以这个三角形它就是一个等腰三角形。继续来看下一个条件，过点 a 做半圆 o 的 切线，只要碰到切连半径得垂直。好，注意这里啊！ 接下来交代位置关系，求证 e、 c 为圆 o 的 什么切线？老师说了，只要碰到切，我们就是连接半径，要得垂直。所以我们是不是就要去证明角 e、 c、 o 是 九十，怎么去正呢？那肯定就是根据题目当中给我们的这三个关系去正了。先来看第一个， a、 b 是 圆 o 直径好得到角， a、 c、 b 是 九十。 第二个，这里有一个垂径，得到了三角形， e、 a、 c 是 一个等腰三角形，所以我们就得了等腰三角形。角一和角二是相等的呀，原半径和原半径相等，所以角三和角四相等。 已知这里有一个切得角 e， a b 是 九十，所以一加三九十等量代换二加四也是九十。好了，这边垂直，所以第一问切线我们就成功搞定了。继续来看一下第二问啊，连接 b d 并延长交于 b f， 若半圆 o 的 直径为十， tangent 角 c， a b 等于零点七五，求 a、 f 的 长。这里老师给大家说一下，一般情况下我们去求长度都可以用什么方法求长度呢？给你三秒钟的时间 求长度，我们用的最多的其实就是勾股定律，还可以用相似，还可以用三角函数。在这里涉及到三角函数了，肯定是要用三角函数的， 是用其中一个方法，还是需要把这三个方法我们都需要用到呢？这是求长度经常常用的方法啊，缺乏解题思路的同学可以自己记一下笔记来看。让我们去求 a f， 已知这里是九十，所以 a f 它在这个大三角形当中， 可是题里头给我们的这个三角函数值给的是什么角 c a b 啊？这个角角它的对边比上邻边，对应的是三分，比四分，所以我知道了，给我估一下， a b 对 应的是五分，已知 a b 等于十，所以这个三条边的长度我们就可以求出来，这条边是六，这条边是十，这条边是八， 那么垂径定律 a d 的 长哎，一半呗， a d 等于 d， c 就 等于四。当你在解决几何问题时，没有思路了，我们一定要记住，在我们中考压轴题的时候，凡是考几何，那么就是考两个知识点， 一个知识点就是相似，哎，这里有了一个知识点是相似，另一个知识点就是三角函数。因为这一道题没有涉及到旋转、平移等，所以我们想办法来凑一下能不能找到一个三角形 a、 b、 f 相似，哎，我们就可以发现这个三角形 b、 h、 b 和 原来的这个三角形 f、 a、 b， 它们不就是相似吗？已知这个角角的 tan 等于三比四，所以我们就可以得到这条边三分，这条边四分，这条边五分，对应的我们就可以求出来 a、 h 的 长度， d、 h 的 长度。好了，整边长 a、 b 等于十，所以 h、 b 的 长度我们也知道了，那么就是十，减去五分之十六等于五分之三十四，从而我们就可以直接得了三角形和三角形相似，那么就可以直接来出了。 af 比上 d、 h 等于 a， b 比 h， b， a、 f 比上五分之十二等于十比上五分之三十四。通过计算 a、 f 等于十七分之六十。接下来是二次函数压轴题。解析核心，记住，一找二表三转化， 一找找准定点、对称轴，还有函数与坐标轴的交点，这些隐藏条件既能够用来求解函数解析式，也可以用来判断函数增减性。求解最值的关键依据。 第二表，把题目当中的关键长度、图形面积全部用坐标差值表示，计算过程记得用绝对值来表示，记得答案为正数。转化，遇到平行四边形等腰三角形，直角三角形，这样存在性，题型全部进行题型转化。巧用终点公式，两点距离公式 突破定律，列出方程，解方程，得出答案。那么一起来看这道题。这是二零二五年四川的一道中考真题，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴分别交于点 a 和点 b 两点与 y 轴交于点 c， 且抛物线的顶点为一等负四。第一问，让我们去求解析式。 这个题很轻松的，我们就是直接根据顶点坐标，所以我们来设顶点式， y 等于 a 倍的 x 减一，方减四。接下来看一下它的第二问， p 是 抛物线上的一点， 点 d 的 坐标是零到一，已知点 d 坐标连接 bc。 ok， 好 了， b 一 问，求完解析式 b 坐标知道， c 坐标知道，只有 p 的 坐标不知道。若三角形 c、 d、 e 与三角形 b、 p、 e 的 面积相等，求 p 的 坐标，那么我们碰到这样子的题就要明白，让我们去求坐标的时候，我们就可以设未知数呗。设未知数其实就是代入系数， 那么我们就可以上来先去设设点 p 的 横坐标为 m， 纵坐标是不是就是我们刚才求的解析式往里面一带？好，那么接下来呢，让我们去研究的是面积问题，我们要进行怎样的转化？哎，你可以发现这两个三角形的面积，哎，你去求左边三角形， 无论你是套面积公式，还是用割补法，还是用牵扯法，都没有办法表示出来呗。同样的右边三角形我也求不出来，那怎么办呢？我们就要去找找这两个三角形面积之间有怎样的关系。哎，我发现了， 将这两个三角形啊，都给它加上我现在蓝笔画的这一块，那么是不是就组成了这样子，左边的这个大三角形和老师右边来画的这个四边形， 左边画的蓝色三角形和这个四边形的面积，它们是相等的，接下来我们只要表达出三角形， o、 b、 c 的 面积可以求出来。还有右边的这个四边形好过屁向 x 轴做上一条垂线 来割成了两个三角形，也可以用含 m 的 式子表达。接下来列等式这道题就解决遇到这样子的存在性问题，我们要做的就是要把问题进行转化，把这两个图形之间的等量关系，你要找到最后一道就是几何综合 e a 轴题， 杨老师提醒大家，几何综合压轴题常考旋转相似以及最值问题，做题一定要熟记基础几何模型，摸清动点运动轨迹，这是答题关键。遇见旋转题型联想全等相似三角形，同步寻找等腰边角关系。遇见相似关系，看到乘积式直接转化为比例式。 遇到最值问题，牢记对应答题方法，将军引马问题，利用轴对称造桥选址问题，借助平移思路进行解答。 员外定点求最值，运用三点共线一箭穿心模型，遇到诡计类最值问题，活用刮豆原理，理清主动点和从动点之间的位置与运动关系。吃透这三类压轴大题，摸清出题人的思路，轻松冲刺，压轴满分，同学们加油备考！

中考数学压轴题，你可以闭眼写答案得到消息了！最后三道压轴题，元二次函数几何综合大题，范老师给你三个口诀，直接让你拿满分！第一个考你元口诀来了，见等闲坐垂镜 见弦中点连半径见直径连直角见呼中点连圆心见切线连切点定点定长画个圆。第二，二次函数求解析式已知三点设一般已知顶点设顶点，已知交点设交点。让你比较函数值 离对称轴越近，函数值越小，离轴越近值越大。让你求不等式解集，图像在上取中间，图像在下取两边。 第三个，遇见几何综合大题，一般会涉及到三角形上，口诀，见十五，做中垂见三十做垂线见四五沿两线，幺二零补直角见等腰连中点见中垂，连两端。记住这三个口诀，压轴题满分到手！

嗨，大家好，我是初中数学老师包包老师。嗯，同学们在遇到中考的三道压轴题的时候，想不想快速的 get 一下满分技巧呀？今天我就给大家来 翻译一下出题人他的潜台词，并且给大家提供一个超级实用的口诀。第一部分，圆的压轴题 首先圆的压轴体一定要记住三线一补加四点共圆，看到直径马上能想九十度的圆周角，看到切线立刻想着连半径做垂直，保证有垂直这个关系， 看到弦赶紧用垂径定律，在求角度的时候优先去看四点共圆，对角互补，去轻松的去导一下角之间的关系。 第二部分，二次函数的压轴体口诀，一找二表三转化一找，找定点，找对称轴，找与坐标轴的一个焦点，这些在求表达式或者判断正点性和最值的时候是一个非常关键的点。二，表 现段的长和面积一定要想着用坐标的差去表示，但是一定要注意绝对值哦。第三 转化，把平行四边形、等腰三角形，直角三角形这只存在性的问题，转化成钟点公式，距离公式，或者是我们学过的勾股定律，用它去解方程解决这个问题。 第三部分就是几何的综合题了，我们在遇到这种旋转，一定要想全等或者相似，顺便再找一下等腰，遇到了相似乘积的式子，一定要转化成比例的式子，遇到最值将军一马问题一定要想对称 造桥选址的问题一定要想着平移员外的点，一定要想三点共线，一箭穿心。还有一个就是瓜豆原理， 理清楚主动点和从动点他们之间的关系，掌握了这三大压轴题的口诀，中考数学满分不是梦哦！同学们加油关注我，我是初中数学老师宝宝，老师跟着我一起探索数学的奥秘！

哎，我，我想问一下，就是这种题，比方说十分，第一问呢，我们四分，第二问六分，你，你们先给自己打个分吧。 好，那么接下来我们一起来看看该怎么处理啊？这个题好，首先圆 o 是 三角形的外接圆， a 点， b 点、 c 点，它们都在圆上，对吧？ a、 b 是 圆的直径。哎，我们能看出来，所以我们知道这个角一定是直角，对吧？过 b， c 上一点， d 做 d 垂直。 a、 b 啊，过 b， c 上一点，过 d 点往下做垂线，垂足是乙，那你在这里也看得出来好，过 c 点呢？做圆的切线，教你这个 e、 d 的 反向延长线与 f。 好， 那我们知道 你是切线吗？有切点必连圆心，连完之后，我们能够推出来这个角百分百是个直角，一定是九十度，对吧？好，那接下来你会发现，那我们知道这个角九十度，现在让我们求成 d、 c、 f 哪个角？ d、 c、 f 也就是这个角嘛，等于什么呢？等于 c， d、 f 等于这个角， 说白了就让我们求证他是个等腰三角形的吧。你一个内角等于另外一个内角，这个咋整呢？非常非常简单，比方说我们就用最笨的方法，其实在这里面你可以倒角倒来倒去，但是我引入未知数让大家看的更快。比方我令这个角是 alpha， 这个角是不一定也是 alpha 对 顶角相等，那么至此你会发现，那咱们是个直角三角形，你有个锐角是 alpha， 所以 我们知道另外这个锐角多少度呢？一定是九十度，减 alpha 没问题吧？ 好，当你知道这个角是九十度减二法，同学们不要忘了，这是一个等腰三角形，你是一个等腰三角形，你这个角是九十度减二法，所以这个角也是九十度减二法。明白了不？好，那我想问一下你刚才说的啥呀？你不是切线吗？这不是九十度吗？ 九十度里面拿走九十度减压法。那请问剩下的这个角出来了没有？你这个角不就是阿尔法吗？对吧？你是阿尔法，我是阿尔法。嗯，搞定，当然他在我们店有没有用的不知道，你要知道世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白的第一小朋，对吧？但是凡事总有例外。 好，现在我告诉你同学们， d 是 bc 终点就整个 d 呢？是 bc 的 终点，这两个红边相等，我把它框起来，就这个边等于这个边，对吧？你是个终点对不对？圆的直径是十，也就怎么样呢？你这个边数五， 你这个边数对吧？好，又来一个三以 cdf。 cdf 是 哪个角？这个角它的正弦值等于五分之四。 那其实说白了，那我这个角的正弦值它不也等于五分之四吗？我要标一个 alpha 好 不好？也就是相对。告诉你，三以 alpha 是 等于五分之四的。好，那问题来了，三以 alpha 等于五分之四意味着什么？意味着我吃了个橘子，并且呢，这四 x， 这五 x 对 吧？对边比斜边，这个是不是三 x 呀？也就是我们知道 这个角如果是 beta， 请问你会发现三一 beta 等于多少？哎，其实你说白了吗？ beta 所在的这个三角形是三比四比五的直角三角形有没有问题？ 贝塔所对的边呢？是最短的直角边，三比四比五。而我们知道你不管用相似还是用三角函数，我们都可以得到什么呢？直径所的圆周角九十度，所以你有发现贝塔除了在这个直角三角形中，还在这个直角三角形中，对吧？也就我的三边，这里是三比四比五的理解，没有 三四五，你会发现我们整个直径是几，咱们整个直径是十吗？这是十呀，三四五， 我现在是十，你这个边一定是六，整个边一定是八，对吧？而现在我们把这个八怎么样平均的分成两份，因为这条线段等于这条线段，题目说了 d 是 终点，所以因此我们可以得到两个四，哎，你这个是四，以及你这个五 x 呢？也等于四，那请问每一条线路啊， 出来了不？五 x 等于四，所以 x 等于五分之四吗？那么也就是我们可以求出来很多很多线段，对吧？ x 五分之四，所以你这个边多少呢？四 x， 五分之四乘以四嘛，所以它不就五分之十六嘛，对不对？五分之十六三， x 呢？你的三倍五分之十二嘛， 你这个边呢？五 x 等于四。好，剩下问题了，他让我们求线段 c 的 长，我们吭哧吭哧算半天，我们都不知道求什么好。 c， 你 说咋求呀？这是一条斜线段啊，在整个圆中求斜线段，最常见的方法就把它放在一个横平竖直的直角三角形，过 c 点直接往下做垂线。 其实这个题接下来你可以用勾股定律，你可以用相似，你可以用三角函数，你还可以用等面积法，这题我们最起码可以讲五种不同的方法，对吧？好在这里两个放个屁啊，看到没有？放了个黑色的屁，臭死。那听半天不关注我的各位同学们好，做完垂线之后，那我们可以得到什么呢？ 两个东西，第一个，你地是终点吧，对不对？你地是终点，你往下做垂线吧，所以你不管用平行线分线段成比例定律吗？ 能理解不？你 d 是 中点，所以我们知道你这个 e 是 不是也是中点？你这个边是五分之十六，所以我们知道这个蓝边他也等于五分之十六。你这个边五分之十二呢？根据中位线或者根据相似，我呢一定是你的二倍五分之二十四，对吧？ 所以最终你有办法在整个大的直角三角形中，你够不定你，我们可不可以求出来百分百 k 啊？所以我们求出来整个 c e 程度呢？也就是五分之八倍的根号十三。搞定，跟着亮亮无脑学习。

填空压轴题圆的计算技巧？大家好，从今天这个视频开始，我们将聚焦填空的倒数第二个压轴题，有关圆的计算技巧，我们今天要来分享的是今年一中初三下学期的期中考试题，我们看一下 矩形 abcd 内接于圆 o 对 角线 a、 c 长为十三，那实际上就告诉了你，这个圆的半径是 二分之十三。对于圆的计算来说，我们往往需要求圆的半径啊，我把需要注意的点写在右边，我们要关注什么呢？圆的半径， 如果条件没有告诉你，那往往需要把半径求出来，这里他告诉了你半径，所以呢，这一步可以省略点， f 为圆， o 上的一点弧， b f 等于 bc， 这两段弧是一样的，那这个条件怎么用呢 啊？如果题目当中告诉了你等弧或者说等弦的话，实际上就在告诉你， 它们对应的圆周角和圆心角是一样的。换句话说，等弧或者等弦这个条件，它的用法就是一定要去关注圆心角和圆周角，这是圆的倒角当中非常有特色的一个地方，就是圆心角 与圆周角倒角的时候啊，要经常用啊，所以你要经常关注。 好，那咱们就看一下这个 b f 弧等于这个弧， bc， 我 们把这个弦连起来，那就意味着 b、 f 这个弦等于 bc 这个弦，然后呢，我们关注它们的这个对应的圆心角和圆周角，那么很明显， 这两个是它们对应的圆周角，那应该都等于阿尔法啊，我们把它们的圆心角啊，你也可以连连看啊，比如说我把这个 o b 连起来， 这个角一定是两倍 r 法，这个角呢，也是两倍 r 法，对吧？我们暂时只能呃得到这些信息。 好，我们继续来看。他说延长 a、 f， f， o， b， c 相交于 e 和 g， 告诉我们探监特 b a， e 等于三分之二，也就是说阿尔法的正切是 三分之二，阿尔法的正切是三分之二的。三角形来说，我们画在这边， 这是阿尔法，那就意味着这条边是两分，这条边是三分，斜边是根号十三分，这个可以通过勾股定律，很简单的就能把它算出来。好让我们去求这个 c g 的 长度啊，求 c g 的 长度。 那么在圆的计算当中，求线段的长度，一般来说我们可以从哪些方面去考虑呢？我们来做一个总结， 对于线段长度，我们一般可以通过以下几个方面去考虑。一个呢是构造相似 啊，构造相似，这个相似它可以是呃金字塔的这种相似，也可以是这种八字形的相似，当然还有其他的相似也是可以的啊， 因为相似呢，它就有限端的比例了嘛，就可以求线段。第二个思考的路径呢，那就是从解三角形去考虑，解三角形， 从解三角形去考虑的话，呃，它就要用到三角函数，可能会用到一些超纲理解知识点，比如说正弦定律， 余弦定律， 像这些超纲的知识，我会在遇到相应问题的时候啊，再去给大家补充。那还有一个思路呢，就是用圆密定律，因为圆密定律它也涉及到线段的关系， 比如说，呃，切割线定律啊，香蕉弦定律，割线定律这些，这些都属于圆密定律，我们可以从这几个方面去考虑。 好，我们来看这个题，我们要去求这个 c g 的 长度，那我们从哪个方面去考虑呢？ 其实在这里呢，我们可以从相似去考虑啊，从金字塔相似去考虑会比较简单一些，金字塔相似的话，相当于就是这个模型，你需要找到两条平行线，对吧？两条平行线在这里呢，我们发现，如果说你把这个 c m 连起来， 这是 m， 然后这个 m c 和 o b 看起来大约是平行的，对吧？大约是平行的，平不平行呢？实际上，我们可以来那个推一下，如果它平行的话，我是不是就要去证明 这个角度也是二 r 法，对吧？而很明显，三角形 o a f 和 o c m， 它们是全等的，它们是全等的，而这个角 o a f 是 两 r 法，所以这个角 o c m 也是两 r 法， 那也是两而法。所以呢，咱们就证明到了，就证明到了这个 o b 啊，它是平行于 mc 的， 所以我们要求的这个 c g 啊，我们可以这么来。哎，那么 c g 比上 b g 是不是就应该都等于 mc 比上 o b， 在 这个里面呢？嗯， c g 是 未知的， mc 也不知道， bc 还不知道。所以呢，我们要把 mc bc 给它确定出来，才能够求 c g 啊，才能求 c g。 接下来我们就来确定 bc 和 mc。 好，根据前面的条件啊，我们知道 a c 是 等于十三的，而这个 a b c 啊，它恰好是一个直角三角形，因为 a c 是 直径嘛，这个阿尔法呢，它是，呃，正切是二分之三，所以 ab， bc 和 ac 三条边的比例就是看右边，这个是二比三，比根号十三。所以呢，通过它，我们可以马上就能求出这个 bc 啊，这个 bc 应该是两倍，根号 十三，这个 ab 呢，是三倍，根号十三。看到吧，而我们注意到 b a e 和这个 b a c 这里的这两个角，你看都是阿尔法，所以呢，左右两个三角形是，它是全等的， a b e 和 a b c 全等，所以我们也可以得到这个 b e 等于两倍，根号十三。我们把能得到的都先把它标上 啊，那么像这个 a e 的 话就等于 ac， 所以 这个 a e， 它其实是一个直径的长度，它是十三啊，它是十三。接着我们来解决，我们怎么去求 mc 啊？求 mc， mc， 实际上它就等于 af 嘛，就等于 af， 所以呢，我们就看到 af 这一边， a f 可以 怎么求啊？在这里是不是可以用割线定律，用割线定律，用割线定律，割线定律。怎么说的呢？它是不就是 b e 乘上 e， c 等于 e， f 乘上 a e， 对 吧？ b e 呢？是二倍根号十三，二倍根号十三， e c 呢？是不是四倍根号十三啊？好，它就等于 e f， 我 们不知道啊，但是它可以表示成十三，减去 a f， 对吧？好， a e 呢，就是十三。所以我们你看就能把这个 a f 算出来了， a f 算出来呢，它就等于五，这个方程很好解，所以它就等于 mc 啊，就等于 mc。 好， 再结合前面的这个平行，对吧？我们就能得到 mc 除以 o b 等于 c g 比上 b g， 然后把这些已知的长度都带进去。 m c 是 五，比上 o b 呢，它是半径是 二分之十三，应该就等于 c g 比上 b g， b g 是 不是可以写作 c g 加上这个 b c b c 是 两倍，根号十三，好，这就是一个比较简单的一元一次方程了，立马我们就可以推出 c g 等于 三分之二十倍，根号是三，这就是最后的答案，那这个问题我们看到啊，我们都用了哪些相关的知识呢？ 一个呢就是等弦或者等弧的时候，我们要去关心圆心角与圆周角啊，我们要去倒圆周角，圆心角啊去倒角。第二个呢 就是求线段的长度，是让我们可以从这三个方面来考虑，一个是相似去构造金字塔的一个模型，或者这种 漏斗的模型或者八字形。第二个呢也可以从三角形去考虑，这个是就会用到正弦定力和余弦定力，我们以后遇到了再说。第三个呢，就是要熟悉各种圆明定力， 比如说在这里的这一个，他是割线定律，那还有切割线定律，还有香蕉弦，你对吧？哎， ok， 这就是这道题他的这个计算技巧。好了，这就是今天的分享，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

填空压轴题，圆的计算技巧大家好，今天这个视频是这个系列的第四个视频，我们要分享的是今年八月初三下学期的月考题，我们一起看一下，他说 a b c， d 是 平行四边形， 连接 a o 并延长和 b c 相交于点， m m 呢，是 b c 的 终点，这终点，所以 o m 和这个 b c 是。 那读题读到这个地方的话，实际上我们就得到 a m 呢，实际上是 bc 的 中垂线，那这里是不是肯定就存在等腰三角形呀？哎，如果我们把 ac 连起来的话， abc 实际上是等腰三角形啊，好，他又告诉我们， n 呢，是弧， ac 上的点，满足这个角度条件啊， b a m 等于二分之一 m a n。 如果我们设 b a m 是 阿尔法的话， 哎，那左边这个是不是也是阿尔法？ m a n 是 两阿尔法，所以最左边这个角也是阿尔法，对吧？哎， 好。而这个 n a c， 他 所对的弧是 n c， 我 们接下来是不是找角的话，就要去找一下这段弧，他有没有其他的圆周角或者说圆心角呢？那很容易我们就发现，哎，他有这一个圆周角，这是他的一个圆心角，所以他也是阿尔法。 然后 b h 比上 ab 是 等于三分之一的 o h 等于三，我们要求 m h 和 b m 的 比值。我们来看一下， 实际上我们很容易就可以在三角形 abm 当中去发现有一对儿相似，这实际上是一对儿母子形相似， 这是一个比较重要的相似模型，大家可以记一下啊，就是我们有直角，我们有一个三角形 abc， 在 这个 abc 里面呢，啊，又有夹了一个小的三角形 a d， a， b c 和 a d e 是 有公共的角角 a 的， 如果说这个角和这个角 也相等的话，那么很明显三角形 abc 相似于三角形 a d， 这就是拇指形相似，就是一个大的三角形夹了一个小的三角形好。那么在三角形 a b m 当中，是不是夹了一个小三角形 b h m， 并且 m b h 和 b a m 都等于 r 法，所以呢，就有拇指形相似， 三角形 a b m 相似于三角形 b h m 好， 我们就得到对应的边是成比例的，对吧？ m h 比上 mb， 这就是我们要求的第一个空好，它实际上就等于 mb 比上 ma 好，也等于 b h 比上 ab， 而这个 b h 比上 ab， 你 看现在就等于三分之一好，所以第一个空是三分之一，第二个空求 e f 的 长啊。 我们在第一个视频当中讲过，求线段的长度，可以有三种思考的方向，第一呢，就是利用平行线啊，分线段成比例去找这样金字塔这种相似，或者去找这种漏斗型的相似。 第二个思考的方向呢，就是从解三角形出发，利用正余弦定律去直接计算啊，正余弦定律。 第三个思考的方向呢，就是用圆密定律进行计算， 像橡胶弦定律、切割线定律、割线定律都是属于圆密。那么在这里呢，我们看一下 cd 和 ab 是 平行的，所以这里天然就会有一个 金字塔形的相似啊， n e f 和 n a b 是 相似的，所以 e f 比上 ab， 它就等于 n f 比上 n b， 如果我们能够把 ab n f n b 求出来的话， e f 就 可以算了。 好，那接下来我们就按照这个思路去进行求解，那首先我们从哪里开始呢？我们应该从半径开始。 对于圆的这类计算题啊，我们首先应该关注的就是它的半径，如果告诉了你半径，你就可以跳过这一步，没有告诉你半径，那你首先要把半径求出来。一般来说，求半径我们都是 去做一条弦的中垂线，不知道只要三角形，像这样啊，这是一条弦，这是圆心，做一个垂线，然后这样连起来， 这就是一个直角三角形，我们用勾股定力去进行计算，那么在这里的话， o m 已经是垂直于 b c 了，所以呢，我们只需要把 o b 连起来， o b m 就是 个直角三角形，我们看能不能把它的三条边都表示出来，然后用勾股定力去求。 好。根据前面的相似啊，我们如果设 m h 是 x， b m 呢，就是三 x 了，那 a m 呢，就是三 x 的 三倍九 x， 所以 这个 o a 啊，它就是九 x 减三减 x， 那 就是八 x 减三啊，所以半径它就是八 x 减三，这个 o b 也是八 x 减三，我们就把 obm 三条边都表示出来了。接着用勾股定律，三加 x 的 平方， 加上三 x 的 平方，是不应该就等于八 x 减三的平方呀？好，通过计算，这个计算实际上不复杂，可以得到 x 是 等于一的好，所以我们就可以算出这个半径应该是八 x 减三，是等于五的 好，那所以呢，在这我把这些未知数啊，都改一改，改成具体的数，这是三，那这是一， 这个 b m 是 三，所以 c m 也是三。好，这个半径呢，是五，好吧，这个半径是五， ok， ab 我 们现在就可以求了呦，啊，我们就可以求 ab 了， ab 呢，在三角形 abm 当中用勾股定律， ab 就 等于横号 am， am 呢，是五加三加一十九平方，再加上 bm 是 三的平方， 等于三倍根号十。好，咱们现在把这个 a b 解决了，那接下来解决 n f 和 n b 的 问题，那就要聚焦到 n b 这条线段上面， 对吧？哎，我们怎么去求这条线段呢？哎，我们可以注意到这个阿尔法，实际上它是一个确定的角，它是三角形，我们画一下这个阿尔法的辅助角，辅助三角形，这是阿尔法，这是一，这是三，这是 根号十。好，所以我是不是可以去求 b h 啊，对不对？它应该就等于 b m 除以括号二法，那你把它带进来， b m 是 三，括号二法也可以通过这个辅助的直角三角形去算得到根号十，所以这个 b h 是 根号十就算好了， 那接下来我们是不是要去看一看 n h 怎么算？ n h 算出来以后， n b 就 算出来了，对吧？好，如果说我们设这个焦点，它是 g 的 话，哎，我们的目光就集中到 g 这个点附近。 好，我们其实还是比较容易能够发现。哎，这个 a g h 这样是一个直角的啊，前提是你对有一个模型要数，就是倒角当中的模型叫做八字形的模型，或者叫蝴蝶模型。 倒角会用的倒啊，就是这样的一个八字形，或者叫蝴蝶。如果说这两个角是相等的，那么左边两个角 肯定也相等嘛，这个就是很简单的一个模型，对吧？那么在这里它也有类似的这么一个八字形啊，就是 a h g 和 b h m 不 就是这样的八字形吗？它们有一对相等的角，就是 m b h 是 r 法，这个 h a g 也是 r 法，对不对？那么很自然的第三个角， a m b 和 a g h， 它也就相等了，所以 这是垂直的，对吧？这是垂直的，那么 bc g 不 就是一个直角三角形的吗？我们可以求谁啊？我们可以求 b g， 看到没有，我们可以求 b g。 来，我们写一下 b g， 它是不应该就等于 bc， 这是一条斜边乘上扩展，而法 bc 呢，是等于六的，是已知的，所以这个算出来是根号十分之十八，我们在这里 不需要着急忙慌的把这个分母的根号使化简啊，不需要，不需要化到分子上，这是中间计算过程啊，你就这样摆着就可以了啊。好吧，不需要化简，这样，不然的话，你还哎还更加的费事。好，那毕竟有了，如果你要求 a b 的 话，是不是要想办法求一下 ng 啊？哎，实际上在这里其实它已经很明显了，因为这个 a g 是 n h 是 垂直的， a g 垂直 n h， 而你看这两个角， n a g 和 h a g 是， 都是两个角，都是阿尔法， 所以实际上这个 a n h 是 一个等腰三角形，对吧？ ag 是 它的三线合一的那条线，所以 ng 是 等于 g h 的， 对不啊？好，这个 g h 呢？因为我们已经算出 g b 了嘛，是不就用 b g 减去这个 b h， ok， 所以 这个减呢，就等于根号十分之八，这是 g h， ok， 所以 这个减呢，就等于根号十分之八，这是 g h， 它现在就等于 n g。 好，所以到这里 n b 我 们终于就算出来了，哎，它就是 n g 加上 b g， n g 是 根号十分之八， b g 呢，是根号十分之十八，也就是根号十分之 二十六。好，我们把 n b 也解决了，接下来我们解决 n f 我 们求的问题啊，我们看一下 n f， 那 么求同样的就聚焦到 n f 附近，聚焦到 n f 附近，我们知道了 ng， 对 吧？是根号十分之八，那如果我能求出 ng， 它们一减，不就可以得到 n f 了吗？啊，而这个角是 九十度啊，那很自然的，我们想到在直角三角形当中，我们用三角函数去求它的边， 对吧？去求它的边。好，那就要解决两个问题，第一，你必须知道其中一条边。第二呢，你你必须得知道角度的三角函数， 而在这里 c g 是 很容易求的，对吧？ c g 是 很容易求的，因为在直角三角形 b c g 当中，你这个 c g 不 就应该等于 b g 乘上探间的阿尔法，探间的阿尔法是三分之一嘛。啊，所以这个 c g 就是 b g 的 三分之一，现在就是根号十分之六。 哎，好，我怎么由 c g 去求这个 f g 呢？我们是不是得知道 c f g 这个直角三角形当中的其中一个锐角，我们来看看啊，导一导，它的角啊，是什么？ 很容易发现，实际上这个角我们是可以把它得到的，因为 d c 是 平行于 a b 的 呀。啊，内错角相等，这个 d c a 实际上就等于 b a c 了，它就等于两倍二法。那接下来是不是确定一下两倍二法的任何一个三角函数啊？根据我们前面讲的正确公式，我们可以直接去算 弹性的尔法是多少，那它是不是两倍的弹性的尔法应该是三分之二除以一减弹性的尔法的平方三分之一乘 三分之一，好，这个呢，我们可以立马就算出来，它是四分之三，所以这个 c f g 啊，它其实是一个勾三股四弦五的这么一个直角三角形，那么这个 f g 不就有了吗？它应该是 c g 乘上减，减它两 r， 好， 所以呢，这个就是两倍根号十分之九。 f g 有 了以后，那是不是 n f 就 等于 n g 减 f g， n g， 我 们在前面算出来了，是根号十分之八，减去两倍根号十分之九，这个就等于两倍根号十分之七。 ok， n f 也有了， a f， 这是 n f 也有了。我们最后一步是不是马上就大功告成了？ e f 比上 ab 对 不对？ ab， 我 们算出来是三倍根号十， 好，就等于 n f 这里的两倍根号十分之七以上。 n b n b 是 根号十分之 二十六，好，然后这个根号十，这样就约掉了。哎，最后一个项 e f 就 等于 五十二分之二十一倍根号十，那么这道题就算出来了。好，我们来做一个总结。这道题的话，我们用到了拇指形相似，用到了像这样平行线分线段成比例， 用到了三角函数，用到了正确的公式等等。而标准答案是怎么做的呢？标准答案他去找了 b f c 和 a b h 相似啊，我为什么没有讲这种方法呢？因为这个相似很难找，比较难找。 我在这里讲的是常规这种思路，用三角函数啊，用相思，用那个比较好找的母子型相思啊，用周瑜弦丁力啊等等去算，这个是比较常规的，是每个人都能够掌握的， 而这种去找一对很巧妙的相思，这个呃是不太容易找的，不适合所有的人。好，这就是今天的分享，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

原题里面线段给的少，说明一点，说明隐含条件和辅助券超多， 你说说对不对？对，除此之外再没有更好的事让你去做了。现在咱们俩去思考，这个图是画完了吗？说，角 abc 等于二倍的啥？ abc？ 角 c， 二倍的角 c， abc 是 等于二倍的角 c， 嗯？ a b 啊，对不对？那这是 r 法对吧？ a d 是 圆 o 的 啥？是不是切线？哦，正出来。 不知道我这个方法好不好？好不好，也就那样吧，反正切线正出来了，对不对？对，咱们俩现在的唯一的问题就是唠嗑呗。 哼，是吧，有问题吗？没有。角 a b c 等于二倍是啥？是不是角 a 对， 角 c， 二倍是角 c， 对 不对？ a， b 等于得 b， 所以 角得和角得 a b， 也就是 a b 等于啥？ 等 b， d 等于 ab， 对 不对？那说这个角和这个角啥关系？是不是相等关系？嗯， 哎呀，相等关系，咱们能做的事，我倒觉得能做的就这样子。你第一个是要正面而法吗？是不是？ 嗯，这，这啥正切线吗？是不是正切线啊？那正切线这个而法是移到这来啊。走，你觉得我说错了吗？没有， 这多少度？哦，那是 r， 是 不是九十度？朋友，这是阿尔法，那这是阿尔法， 你直径等于圆珠角九十度啊，是因为这个是不是这个？天天问问我，鸡蛋不长毛的话吗？问啥吗？嗯，这是 beta 对 不对？ r 加 beta 多少度？ 是九十度啊，这能看懂吧？啊，能，这要是那也是 r 法。 b， a 等于 r， 为何？那 b abc 是 二 r 法，然后 abc， abc 是 啥？ abc 等于二角 c， 二倍的角 c 啊，也就是二倍二 a b c 等于二倍的角 c， 角 c 对， 那这个二倍角 c 呢？这个一定是 r 法，这一定是 r 法，对吧？就出来了，所以这个 r v 它是不是出来了？ 第一个切线是不就解决了吗？是不是你能做的也就这么多吗？你还能做多少？切线无非正法，就这样正的。你至于说你写的证明切线的证明方法，我不看哈，因为它真正考法考点就这个考点， 能明白吗？嗯，那咱们俩再再想想，好吧，再想想，阿尔法加贝塔多少度？九十？阿尔法加贝塔是九十度，那意思就是说两阿尔法两贝塔是一百八 啊，那这个角一定就是贝塔，对不对？对，那这个角就是 r 法，也就目前排也就只能这样排了，是不是啊？那现在咱们俩看数学题， a b 等于几？ a c 等于几八？ a b 等于五， a， c 等于八，是不是啊？嗯，求 b c 的 场。就说如何把这个计算打开嘛？ 是如何把记过 a 往 b， c 做垂线过 a 往啥？ b c 做垂线？坐着垂线又能如何？ 那我问你第二问，角的等不等于角的嘛？等不等于角的 a b 等于谁？ 是等于角 c， 所以 两三个形相似。母子形，看到了吧？所谓母子形就是阿尔法，阿尔法的一个一个 b， 知道吧？角的 a b 相似，三个相似啊，能明白吗？哦，看到了吗？对，叫得 a b 看得 b， 我是， 是不是写扁得 c a 明白，或者说 c d a 都可以明白。嗯，那这样的话，咱们看 我们是不是就能得到相似比？题目中第一个让我们求的是啥？你，你着急作甚？这，这里面 alpha 值的边是 ab， ab 比谁啊？这里面 alpha 值的边是 ab？ 那 大三角 alpha 值边是 a， c 等于谁？比谁啊？是比 c 的， 这个是不可以，对不对？我问，因为角的等于啥？角的是等于角 c， 所以 a， a 等于啥？ a c 等于八 是八。那这个时候咱们设一个啥，设上一个参数，把它里面的量是不是求出来？ 不用啊，你先把 c 得算出来。第一个是让我们求 b c 嘛？啊？得 b， 你 把 c， 你 把 c 得算出来，这个得 b 就 成了，是不就完事了？那这个时候咱设 b 得是多长？ 如果说设 b 得 b 得已经 b 得是几五 是五，那咱们设个除，设 b、 c 为 x 吧，对不对？ b、 c 是 等于 x 是 不是？那那 b、 c 是 x 的 话，那么则怎么样？对，则这样的话就是 b、 b、 c、 d 等于多少？是不是 x 加五， 所以如何？ ab 是 几五对不对？ ac 是 几八等于 a， d 是 多少？ a、 d 是 八对不对？比上个 x 加起是不是加五？是不是要得 x 得 x 等于几八？ x 是 不是可以算出来？看一下？算五 x 加二十五等于多少？十点六十四是不是四减五等于九？ 嗯，三十九， x 等于五分之三十九，是五分之三十九， 所以如何？所以 b、 c 长处求出来， b、 c 就 等于 x 加五，对不对？五分之三十九加几是不是？加五二十五？五加九是不是十四 进一是五分六十四是五分六十四？ bc 求出来没有？那现在吧，过 a 二得 c 做垂时就有用。对，这个时候剩下的事该该你了，你能不能扛住？能不能扛住？能 怎么扛？说，我给你机会吧，我也不问你咋扛的，你给我算吧，用标准答案给我算出来就行。好吧，那这个时候肯定过这个点是做垂直做个 h 对 不对？现在？那剩下的你给我去去去。算这个啥？算半径吧？我不说了，因为 bc 咱们是不是算出来了？ 自己算。拉木子心向死推， bc 是 五分之三十九啊。 嗯。

哈喽，九年级的小伙伴朱老师又来了，来，今天带来一道填空题的压轴题，是引元加中位线。解决这个问题，来看一下啥意思。他说点 ab 的 坐标分别，为啥呢？ a 的是四豆零，四豆零，这 o a 长就是四， b 点坐标是零豆四，那这个 ob 长度也是四 点， c 为坐标平面内的一点，要求 bc 等于二。哎，我们想一下， b 是 一个定点， c 是 一个动点，要求 bc 等于二，那 c 的 轨迹是不是以 b 为圆心，以 bc 长为半径这么一个圆上在运动，对不对？这是 c 的 轨迹 定点定长，大家得引圆， m 为线段， ac 的 终点， m 为这个 ac 的 终点，你这个 c 无论咋动，这个 m 都是 ac 的 终点，然后连接 o m， 让我们求 o m 的 最大值，求 o m 的 最大值， 对吧？正常，如果你用滑度原理的话，就把这个 m 的 轨迹，其实它也是一个圆，能求出来，但是不太好想，对吧？ 我们想一下，那跟终点有关，我们想到啥？哎，这个终点有关，我要想求他的最值，我可不可以咋的？哎，做这个 a 点的对称点，看假设是 a 撇的话，是不是求谁呢？ a 撇 c 的 最大值，然后咋的除以二， 哎，为啥呢？因为你做他对称点，你这个 o 是 不相当于 a， a 撇的中点， m 是 ac 的 中点，也就说我的 o m 就是 三角形 a， a 撇 c 的 中位线，等于二分之一倍的 a 撇 c， 对 吧？要是等于二分之一倍的 a 撇 c， 那 啥时候啥呀？ a 撇 c 最大呀？哎，是不是连圆心加半径的时候最大？哎，连圆心加半径，那也就说我连圆心加半径，半径是几了？ 哎，半径刚才说是二，对吧？那我现在就求求谁呢？求 a 撇 b 就 完事了吧。 a 撇 b， 你 的 啥呢？哎，他是不是谁呀？ o a 撇是几啊？是四吧，然后再加上谁？ o b 是 不是也是四啊？在这十三角形当中，四四。那其实你 a 撇 b 很 抠 口，算就很快就算出来了，他是多少啊？是不是四倍根号二啊？那他如果四倍根号二，这又是二，所以你整个谁呀？ a 撇 c 的 最大值是不是四倍根号二加几啊？加二。那我们 o m 的 最大值是不是等于他的一半？二倍根号二加一，听明白了吗？

后台有个粉丝说，贝老师，哎，你这个圆的题能不能多给我们讲几个？那么贝老师呢，把二五年已经出来的各地的一模题哎，都给大家研究了一遍， 那么选了一个吉林的这样的一模题，这道题啊，可以说是非常之经典，如果这道题你能做对呢，说明中考中的圆啊，百分之八十的题你都能解决掉啊，那一起来看吧！ 说三角形 a， c， d 呢，是内接于圆 o 的 直径 a、 b， 哎，见着条件我们得圈上，对吗？那么毕老师先问大家，第一个条件反射，在中考中，我们要有这样的一个水平哈，那么关于直径，我们应该有哪些想法呢？ 哎，第一个想法，也就是直径等于半径的两倍，我可以做计算，对吧？第二个想法，哎，那我可以有一个定理，叫做垂径定理，这是圆中非常重要的东西。 好，第三个，那就是直径所对圆周角等于多少啊？是不是等于九十度啊？所以你是直径哎，我直接就标上这边得九十对吧？啊，一会咱们求边先求角啊，好，接下来过点地做射线，然后使这两个角相等，这不是硬给吗？这个角二法等于我这边这个角二法。 各位，那遇见这种角相等，我们又该怎么想呢？其实啊，与圆有关的角一共有六个，只不过你的教科书上只有俩，一个叫圆心角，一个叫圆周角，对吗？你只有把六个全掌握的时候，那么这种题就可以了解了， 六个是什么呢？毕老师在这给大家稍微复习一下啊，对，这段干货啊，这段干货顶一节课啊，大家好好听，与圆有关的角 一共有六种，第一种，哎，两个半径围成的这个角，他就是圆心角，圆心角度数刚好等于他所对弧的度数， 这是第一个。第二个，那就是两个具有公共端点两弦的假角，这叫做圆周角。那么圆周角如果是二法，哎，圆心角就是他的二倍，那我这个弧呢？也就是两倍的二法， 这就是咱们第二个教科书里面学的，我都讲完了哈。好，紧接着第三个。第三个就是咱们这题考的叫做弦切角，什么意思？ 说我这个是个切线，而我这是个弦，那他们在圆上就有一个点了，那么这个二法就一定等于这个弦在这边对的。任意的圆周角， 怎么证明呢？非常简单。我不是切线吗？切线，那我当然连半径了，对吧？连上，这不就垂直吗？所以我再把这连上的时候，大家来看，啊啊，说你是九十度，这是阿尔法，那这个角九十度减阿尔法呗，你是九十度减阿尔法，我直径那这边又是九十度，对吧？啊，所以我这个角又等于阿尔法呀， 没问题吧？啊？你得二法，你对的这个弧，这个弧对的，这边圆周角都得二法呀，所以你也就是二法。倒回来，当已知他俩相等的时候，这条线必然是切线，因为你就是弦切角。所以大家咱们这道题第一问给了个啥？是不是已知这个弦所对的圆周角是二法，然后弦往这边又做了一个二法，那你这条线就是什么线？ 切线吗？想证明非常简单，连结 d o 并延长，把这边一连直径所对圆周角得九十度，对吧？那我这个角是阿尔法，我这个角是不是就是阿尔法呀？ 啊，你是阿尔法，你是九十，你就是九十减阿尔法，你是九十减阿尔法，你又是阿尔法，那么拼在一起，咱们刚好九十吗？我这条线已经过圆上一点了，并且跟半径还垂直，所以切线直接正 b， 这就是一个口算题。 ok， 好， 接下来继续把与圆有关的角给大家说清楚。嗯，那么除了这个以外，各位，第四个，我们还有一个圆周角的啊， 补角，哎，就在这说，我这个角跟我这边圆周角是互补的，那你跟他互补，圆内接四边形，对角还互补啊？阿尔法又跟这个角互补，所以这两个角就相等。 ok， 好， 那接下来与圆有关的第五个角，也就是当我们在圆内 遇见一组交叉线的时候，这个角又该怎么办？非常简单，这就叫做圆内的角，圆内的角跟它的对角是相等的，是等于这两弧度数加和的平均数。怎么证明呢？ 连接这条线，由于三角形外角等于不相邻的两个内角，所以阿尔法就等于角一加角二。角一是圆周角等于这个弧的一半，角二是圆周角又等于这个弧的一半，所以 角度直接上弧是最快的了。那么接下来第六个，哎，就是圆外的角。那显然，如果有圆外有一个阿尔法的时候，又该如何研究呢？非常简单，直接把它连上，它就等于角二减角一，而角二是圆周角，角一还是圆周角。 所以当我们遇见其他的角的时候，我想办法往圆心角和圆周角上去推倒，这就是与圆有关的所有的角。 ok， 好， 掌握了这个，你在上考场的时候，你就会发现倒脚对我们来说特别轻松。好，那接下来毕老师再帮大家欺负一下第二个小问啊，第一个小问，咱整完了啊。 第二小问啊，说，我这个 c d 等于三分之八倍的 c g， 嗯，这是三份啊，整个是八份，那底下就是五份呗，对吧？好，再继续说， b e 这个小边长啊，啊，等于三倍的 c e 等于三啊， b e 等于三，三倍的 c e 得三，那一倍的 c e 就 得一。哦， 这没问题吧？ ok， 那 紧接着说，让我们求 d e 的 长啊，并且求半径。各位啊，在这老师稍微给大家点一下，其实中考的出题老师不一定是大家的敌人。 中考出题老师，有些时候他很可爱，他会巧妙的告诉你这道题的解法在哪， 比如说我这道题第一种出题方法，我可以先求第一，然后再让你求半径。我也可以倒过来，我先让你求半径，再让你求第一。大家明白我的意思吗？同样两小问，难度瞬间不一样了，为什么呀？因为显然哪个会好求一些， 哎，先出的这个好求线。所以大家啊，这就是咱们这道题的一个小突兀口，我要是想办法在不知道半径的前提下，我就能把第一求出来，那就说明这道题跟半径怎么样啊， 没关系，既然跟半径没关系，那就得跟我这个什么呀，已知的这两个边长有关，对吗？那已知这个边长要想求的话，我们怎么办？要求边长先求。角度来了啊，第一个， 最开始的直径，我这有个九十度，没问题吧？紧接着你是切线，这又来个九十度，多个垂直到同于，哎，或者说要求边长，先求角度，大家来看， 我这个小角是贝塔，那么隔壁这个角是不是九十减贝塔啊？又因为他是九十，所以这个角就是贝塔了，实际上这个本质不还是第一个小问，咱用的吗？切线弦弦切角等于这个弦，说对圆周角吗？是这个道理吧。那接下来 我这个贝塔在这个一三这样的三角形里，你那个贝塔在直角三角形里，那有时候老师那我放在这里，这里你倒一倒，你也倒不出来，这两个角相等， 所以这个背他没啥用，对吗？那他没啥用。圆中啊，大家角度是最好换位置的了，对吧？你给我换一个位置啊，然后那个位置最好跟谁还有点关系呢？第一有点关系，对吧？所以第一在这，那我索性 把它连上呗，这样的话，同弧走对，同侧圆轴角相等，你就是贝塔哦，各位，大家来看啊，说我这个家伙，这个贝塔跟你这个贝塔是一样的， 咱们这个公共角还是一样的。圆中经常考的一个知识点叫什么？相似，这就是相似中的 母子形相似，是不是这个道理哈，所以大家如果计算能达到 b 家军这个水平的，我们就直接口算了啊。显然啊，根据相似对应边乘比例，我们就能得到这个边长平方等于这两段乘积，也就是三个平方等于一乘以第一，所以第一得九，直接口算。当然你来不了这么快的，大家老老实实倒相似， 对吧？红色三角形中最短的边比上最长的边是一比三，蓝色三角形中最短的边是三，最长的边是要求，也就是三比第一等于一比三，于是乎第一就等于九。 ok， 第一个问解决，那第一个问解决，第二个问怎么办呢？大家来看我还有哪个条件没用上？ 在整个倒前面的过程中，这玩意我用了吗？没有吧，那么他就一定是下一个问的突破口。所以从头到尾怎么想，大家学会了吗？ 那既然你 c g 是 三份，整个是八份，大家来算数啊，我这一共得九，上边小不点得一底下，这是不是就得八啊？八份是八啊，一份就是一呗，所以三份就是二三呗。于是乎 这个边长得三，我知道了，这个边长得五，我也知道了，对吗？好，再来。我这还有直角三角形啊， 你要求半径啊，那你这半径就是我直径的一半啊，我能把直径求出来不也可以吗？对吧？好，继续哦。说，你这整个这个边长得四，这得三勾股定律，他得根号七，没毛病吧？ ok， 好， 那这得根号七，我只要把这一段求出来就行了。各位同学，这是个什么东西啊？ 在圆中我们有一组交叉线的时候，那么这个反八字是一定相似的 啊，画家说，因为同弧所对同侧圆周角相等，这个小角等于它对顶角还相等啊，所以这个八字形就相似了。那我这个根号七 比上你这个五，就等于三比上你这个要求，要求我设为 x， 可以 吧？哦，最后交叉相乘七相等，你会得到一个结论， x 乘以刚好七等于三乘五，也就是七分之十五倍刚好七， 那么 x 是 七分之十五倍根号七。这边呢？这边还是一个根号七，所以整个直径加在一起七分之十五倍，根号七，再加上一倍的根号七，通分上去一倍就是七分之七吧。七加十五是不是等于二十二哦，直径就是七分之二十二倍，根号七，直径是这么多要求的半径呢？ 七分之十一位更好奇，最终我们就算完了。当然，在这个八字形倒比例的时候，如果你学过圆密定律中的相交弦定律还能更快，那就是相交的两弦，这个成绩等于这个成绩， 那个时候还可以变得更厉害一点。当然解答题大家要会学会写完美的过程啊。到此毕老师帮大家总结一下，像这种级别难度的语文综合题，在中考中我们是要必拿分的。 ok， 如果你想解决第一个小问，大家会一个知识，就是 与元有关的所有的角，那这个小问一般都是已知切线导角度或者已知角度关系导切线你就能轻松拿下来了。那么后两个小问里面我们要用到哪些知识点，大家可以记一记，第一个叫做勾股定律，第二个叫做三角函数，这两个叫做几何计算。 另外我们还有全等、相似等幺以及我们的四边形，这些知识如果你都能掌握的话，那么元中这道题就轻松拿下了。 那有家长就要问了，毕老师，如果你说的这些知识点我们家孩子不知道或者有不熟悉的，有漏洞，该怎么办呢？老规矩，下方评论区或者私信留言联系老毕，毕老师趁你中考之前给你一些秘籍。

中考数学，他的几何压轴题其实是送分题，出题人早早的就把那些解题的方法隐藏在题目里了，关键就是看大家能不能看懂，能不能听懂这六句黑话啊！大家好，我是孙老师，专注中高考题分训练， 家里有中考生的赶紧给我收藏并转发给孩子看！首先第一句，题目让你求线段的长度。这类题型，它的解法是非常固定的，无外乎就三种，勾股定律，相似三角形、三角函数这三大金刚，尤其是圆的大题考的最多，你看到有直角立马上勾股定律，你看到有平行线、 a 字、八字结构，立马往相似三角形上面去想。 如果题目给了三十度、四十度、六十度这种特殊角，那百分之百是三角函数，那么这几种解法呢？要么单独用一种，要么是两种，三种搭配着用，肯定能算出来。第二句，两条线段的比值你不用纠结，说白了就是考相似，没有比相似更适合算比例的了。 你只要能认出来是 a 字相似，八字相似、共角相似，还是手拉手模型的相似，咱对上模型这道题，基本上就八九不离十，稳拿下了。还有第三个求角度圆的大题的第一问，基本上全是倒角，你要记住一些常用的招数，用平行线去倒它的内错角、同位角， 靠直角去找互余角，用圆心角、圆周角、斜切角进行互相的转换。还有就是等幺三角形，底角、相等角、平分线平分两角，来来回回就是不停的去倒角，你把那些角度的关系给他理顺就完事了。 第四个求图形的面积，简单的题目，你直接套公式就行了。那如果碰上跟二次函数相结合的面积的大题，你就用千锤高法 横着竖着做辅助线，拆分它的图形，其实本质还是算三角形的面积，你只是稍微绕了个弯。还有第五句求最值的问题，像最短路径、最大面积、最大角度，通通都属于这一类。那么求最短的路径往哪想呢？ 往将军一马模型上去套啊，对吧？你面积最值用什么呀？那就是二次函数化成顶点式，还有引元的最直线元的最值，全都是固定的套路，咱只要技术，就一定能直接套用 啊。第六句就是问是否存在某一点满足题目的条件，那这类题目不用多想，绝大多数都是存在的，你只要确定存在了，以后呢？ 还是老三样勾股相似三角函数，你把这些几何的关系转化成方程给他罗列出来，那你解出来合理的答案，他就是存在，他的逻辑就这么简单。 所以说呢，其实几何压轴题一点都不选选，你把这几个套路给他记牢，咱一定能轻松拿高分。那如果你是初二初三的学生，数学还找不到方法的后台，赶紧联系孙老师，带你轻松上分。

大家好，我们一起看一下这样一道非常经典的中考真题，若 a、 b 等于 a， c， a、 d 等于二， b， d 乘以 c， d 就是 b， d 乘以 c， d 等于两倍，根号三求 a， b 等于多少。 很多同学经常会有卡点，最根本的原因就是知识点学成了碎片，没有办法系统的运用所学的知识，为此我把初中数学三年所有的知识点系统的给大家梳理成了四十八页知识系统思维导图， 有兴趣的家长可以六六六。那么给定的这是一个等腰三角形 a、 b 等于 a， c， a， d， 这是等于二，那么 b、 d 这一段乘以 d， c 等于两倍，根号三让求 a、 b 是 等于多少？ 那么这道题其实命题人考察的是我们初三学到的圆的当中一个非常重要的概念，叫相交弦的概念，给大家一起回顾一下。那么这道题其实考察的是我们圆当中的一个非常重要的概念，叫相交弦的概念。那么我们说这圆里头的两条相交的弦，看看它有什么样的性质。 我们把这个 a、 b、 c、 d， 我 们连接这个 a、 c， 再连接 d、 b， 把这个作为 e 的 话，那我们看看，根据圆的性质，同弧所对的这个圆周角应该相等，也就说这个角角 a 是 等于角 d 的 这两个角是属于对顶角相等，那么这两个三角形，那么就有三角形 a、 e、 c 相似于三角形，我们的 d、 e、 b 这两个三角形 a、 e、 c 和三角形 d、 e、 b 就 相似，那么根据三角形相似它对应的边，我们说 a、 e 比上 d， e 就 等于 c， e 比上 e、 b 直接乘出来，所以就有什么 a， e 乘以 e， b 是 等于 d， e 乘以这个 c、 e 的， 这就是相交旋定律。那么根据这样一个概念，我们其实就可以构造一个辅助圆，将这个条件给它转化， 将这个条件和我们要求的 ab 联系起来。由于题目给的条件 ab 等于 ac， 我 们就可以以 a 为圆心， ab 为半径，构造一个辅助圆。那么借助于相交旋定律，将题目给定的条件和我们要求的目标 ab 之间建立联系， 那我们做这个辅助圆的话，我们把这个 d， a 给它延长，和这个圆相交，这个点为 e 点，这个为 f 点。那我们看看，根据相交弦定律，那么是不是就有 b， d 乘以 d、 c， 它是等于 e， d 乘以这个 d， f， b， d 和 d， c 是 已知的 b， d 和这个 c， d 已知等于两倍根号三， 那么再看 e、 d 等于多少？ e、 d 是 不是这个半径就是 a， e 加上 a、 d， 那 如果我们要求的这个 a、 b 我 们设为 x， 那 么 e、 d 是 不是就是 x 加二，那么 d， f 是 多少？是不是就这个 a、 f 减去 a、 d， 也就是 x 减， 所以右边是一个平方，它公式就是 x 平方减四，等于两倍根号三，那我们要求的 x 的 平方是不是就等于四加二倍根号， 那么要求的 x 由于是半径，它就等于根号四加二倍根号三，它有个负的根，直接舍掉，因为半径不可能为负，那么这个 x 就是 我们要求的 ab， 那 么剩下的其实就是一个双重二次根式化简的问题了。将里面配成一个完全平方式，根号三加一，括号的平方再开放， 所以我们要求的目标式的值记为号三加一，那么这个题其实解析完它的模型就是考察我们的相交弦定律，知道这个定律，这个题可以快速的求解。只在这个三角形当中，如果去构造相似三角形来做会非常复杂， 同学们可以试着去做一下，也是可以的。如果去构造两个三角形相似，来将 a b 这个目标值和已知条件 a d 和 b d， c d 联系起来也是可以做的。好，这个题给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

填空压轴题，圆的计算技巧，大家好，这是这个系列的第二个视频，今天我们要来分享的是今年初三下学期八中的一模考试题， 他说在圆 o 当中， abcd 是 直径啊，那直径这个条件我们在圆当中一般怎么用？一般来说用的最多的就是它的圆周角是九十度， 而九十度它可以构成直角三角形，所以对于直径来说，我们用的最多的就是去构造直角三角形，比如说像这样，这是直径，然后我们 像这样子啊，就可以构造出一个直角三角形，这是垂直的啊，这是直径用的比较多的啊，一种用法好，弧 bc 等于弧 b、 e 好。 在第一个视频当中啊，我们讲到对于这种等弧，我们的用法就是要去看它的圆周角，圆心角，去角角，那我们来看一下 d e 是 等于 bc 的 好， bc 所对应的圆周角或者圆心角就是这个是一个圆心角，对吧？ d e 呢？它对了一个圆周角，我们假设设这个圆周角是阿尔法， 那根据圆心角是圆周角的两倍，我们就可以得到这个 c、 o b， 这个角度一定是 两倍二法，对吧？那这两条弧所对的圆心角或者圆周角还有吗？实际上还有一个角啊，我们仔细一看就能看出来，就是这两段弧合起来弧 abc 啊，弧 abc， 它对了，有一个圆周角，这就是圆周角啊， 因为一段弧的圆周角已经受了二法，所以这个圆周角它是两段弧所对的就是 两倍耳法。然后我们就发现什么呢？我们就发现，哎，这个是两倍耳法，这个也是两倍耳法，所以我们就得到 d e 和 a b 实际上是平行的， 实际上是平行的啊。而在圆的计算当中，如果你发现了平行线，那往往就意味着有那个相似，可以用这种金字塔型的相似，或者这种 lod 型的相似。 好，接着我们继续读题，他说 dm 是 切线啊，切线的话就意味着这是九十度啊，这是九十度。大家注意，如果说有切线的话，一定有九十度，一定有， 嗯，一定有直角三角形啊，我画在这儿，比如说这是圆过这个点，做了一个切线，对吧？这个是九十度，那直角三角形在哪里呢？ 就是把圆心和这个 o 点相连，这个 o、 a、 b 一定是个直角三角形。在直角三角形当中，可以用 o 定义，你也可以用三角函数去求边，对不？这是遇到切线，当然遇到切线呢，还有一个思路怎么想的，那就是切割线定义，那就是切割线定义啊。 好，他说圆 o 的 半径是六，那么他已经告诉你半径了，那这个题是不需要你求半径的。一般来说，对于圆的计算，他没有告诉你半径的话，是优先要把半径求出来，因为圆的计算当中，半径是非常重要的。 o f 他 说等于十一分之三十， o f 等于十一分之三十，求这个 d e 来求 d e。 刚才咱们已经知道 d e 和 ab 是 平行的，那我们是不是可以去找一下相似啊？实际上相似有的就是这个三角形 和这个三角形相似啊，看到吧， d e、 f 和 o a、 f 是 相似的，这个就是这种相似，是一个八字形的相似，或者漏斗型的相似。那么我们是不是就可以得到边的比例关系，对吧？ d e 比上 o a 就 等于 d f 比上 o f， 我 们把数据带进去， d e 是 我们要求的啊，我把它写到右边， 可以得到 d e 比上 o a 呢是半径是六，就等于 d f， d f 呢，是指六减去十一分之三十，好，再比上十一分之三十。这个是很简单的一个方程，一个项，我们就可以得到这个 d e， 立马可以算出来是五分之 三十六，所以第一个空我们就解决了。现在我们再来看他让我们去求一 g， 求一 g 这条线段。好，那求线段我们怎么去求呢？ 啊？求线段，我们在前面第一个视频讲过，它实际上可以有三个思路去想，一个呢，是从这种相似啊，像这种八字形呢，形字塔形的这种相似，按照线段比例去求线段的长度。第二个呢，是从纯解解三角形的角度 去利用正弦定力与弦定力去求。还有一个呢，就是利用圆密定力，什么切割线定力啊，香蕉弦定力啊，对吧？割线定力等等。 好，你看这我怎么去求这个 e g， 我 们是不是可以这么去想，它刚好 dm 是 一条切线，所以根据切克线定律，我们就有 dm 方， 等于 mg 乘上 m e， 如果说我能求出 m e， 我 就能知道 mg， 而有了 mg， 是不是再结合 m e， m e 减 m g 就 得到？一定好，这就是我们这个题它的基本思路。所以接下来我们去求什么呀？我们就去求 d m， 求这条切线，然后求 m e 的 长度。 切线怎么求呢？还记得刚才啊强哥在这里讲过，切线的话是不是会遇到这么一个直咬三角形，那在这里呢，就是直咬三角形 o d m， 我 们在这个当中去求这个切线 d m 的 长度，去求它的这个 d m 的 长度， 我们可以采用勾股定律，也可以采用三角函数，在这里呢，采用三角函数会比较好一些。呃，因为我们已经把阿尔法标出来了，你看到没有？很多角度关系。呃， o d m 这个这样三角形当中这个角度看到没有？ 它是两倍耳法啊，利用平行线内错角相等，这个 d o m 就 等于 o d e， 所以 它也是两倍耳法，所以接下来我们只需要去确定这个两倍耳法它的三角函数，任何一个三角函数你就可以求得 d m 这条边，那我们怎么去确定这个两倍耳法它的任何一个三角函数呢？ 其实到目前为止啊，我们直径看到没有？刚才一开始就说的直径这个条件好像还没有很好的用起来。直径的话，一般来说只要去构造这样的一个直角三角形，对不对？那我们就来看一下，我们有两个直径 bc 和 ab， 我 们怎么去连一连构造直角三角形来得到跟阿尔法啊，跟两边阿尔法有关的三角函数呢？ 来，哎，我们发现这是两倍二法，对不对？跟这个呃直径 o c 有 关。如果说我们把 c e 连起来， 是吧？我们发现这肯定是九十度，而刚才咱们已经求出了 d e， 我 把它标在这是五分之三十六， d c 这个直径呢？就是呃半径的两倍，也知道那是不是很明显我们就得到 cosine 两倍二法了， 它直接就是 d 除以 d c 啊，这个一除，你发现它就是 五分之三，所以两倍尔法啊，它对应的这个直角三角形，它就是三四五，勾三股四弦五这种形式啊，这种形式好来，那很明显在 odm 这个直角三角形当中啊，我们在这个直角三角形当中去看 d m 就 出来了，它就是 o d 乘上什么呢？ find 两倍阿尔法啊，科三引两倍阿尔法是五分之三，对吧？我们把这个图画在这， 哎，这是两倍阿尔法，这是三分，这是四分，那 find 两倍阿尔法是不是三分之三，所以 o d 是 六六，乘上 三分之四，我们得到，这是八，所以 d m 等于八，我们就得到了。那接下来我想要用这个切割线里里是不是就剩下 me 啊？这一条线段的长度啊？我们看看怎么去求啊？怎么去求这个 me 呢？我们要把前面的所有条件都用起来，一个呢，是 d e 五分之三十六，我们已经得到了。然后这个两 r 法，它是一个特殊的角度，它是勾三股四弦五，我们也有了，对不 好？所以求这个 dm 的 话，我们可以去构造直角三角形，用勾股定律去求啊。像这样我延长出去，如果我过 m 这一条垂线啊， 这个交点是 n， 那 么很明显这个角度是两倍 r 法，所以这个角度是两倍 r 法。那么直角三角形 dm n 当中，它三条边也是 勾三股四弦五，现在我们已经知道了 d m， 那 是不是可以得到 d n， 它应该是 d m 乘上 三亿两百二法，而三亿两百二法。看上面这一个直角三角形的这一个图啊，它是五分之四，那所以是八，乘上五分之四等于五分之三十二啊，而这个 m n 呢，它等于 d m 乘上 cosine 两边儿法。好，它是应该等于八，乘上五分之三等于五分之二十四，我们把它标在图上，这个呢，是五分之二十四，这段呢，是五分之三十二。 好，所以这个 e m 呢，它就在只要三角形 e m n 当中去求了，我们就可以。呃，得到这个 e m， 对 吧？它应该开放用勾股定律，等于 e n， e n 呢，是五分之三十六，加上五分之三十二的平方，再加上 n m 方 n m 呢，是五分之二十四的 平方。好，这个去算一下啊，开方很容易就把它算出来了，这个不难，四分之根号十三。 ok， 好， 接着再结合前面一开始说的切割线定义，这个 t m 方条切线的平方就等于割线 m g 乘上另一条割线 m e 啊， dm 前面求出来是八，那就是八的平方等于 mg， 乘上四倍，根号十三，所以呢，我们就得到 mg， 哎，很明显就是 十三分之十六倍，根号十三。好，所以 e g 呢？是不是应该就得到这个 e m m 是 四倍，根号十三，减去 m g， 呃，十三分之十六倍， 根号十三，所以答案就是十三分之三十六倍，根号十三，我们就算出来了。好，那咱们来总结一下这一道题呢， 你看直径这个条件，直径这个条件怎么用呢？一般来说，像这样构造一个 直角三角形，像这样在这里呢，我们就勾到了直角三角形 e e c， 帮助我们计算二二法的三角函数。好，然后切线啊，切线， d m 是 切线，切线在这怎么用呢？啊？一定要知道，它一定能够是这么一个直角三角形，可以用勾股定律，也可以去算三角函数。然后呢 啊，有了切线还会有切割线定律，在这里我们最后算出这个 e g 的 话，用的就是切割线定律啊。 好，然后就是这个弧 bc 和 b e 相等，怎么用呢？就是要去导他的圆心角和圆周角，我们通过导圆心角、圆周角证明了 d e 和 ab 是 平行的， 这就是这个题他的一些技巧。好了，这就是今天的分享，欢迎关注，强哥带你搞定四大金刚初中数学压轴题！

为什么有的九年级的同学做圆的题目可以快速出答案，甚至可以口算，而有的同学却一点思路都没有，特别是做合肥市月考卷，模考卷的题目难度变大了，有的同学反而做的更快。今天教你个小技巧，那就把圆中常用的结论给背掉，并且课下能反复推倒他。 比如说你看才考过的合肥市包河区的一模卷，这个圆的题目，利用这些结论就可以快速出答，直接口算。那这些结论是什么呢？第一个叫先切胶定力，第二个叫切割线定力，第三个叫做墙胶线定力，第四个叫做割线定力， 这几个都是高频考的，你要背掉，过后课下要反复推导他。那么还有一个我没讲，也是超高频用的，评论区有没有知道的？

这道初三一模到圆综合真题，百分之九十五的同学拿不到满分，好同学们，我们来看题啊，他说如图所示啊，这个 ab 是 圆 o 的 直径，那么当我们遇到直径这个条件，我们应该能够想到直径所对的圆周角是九十度，并且直径自带中点。 接下来他说点 c、 d 在 这个圆 o 上告诉我一个二倍角的关系，角 a、 b、 c 等于两倍的角 b、 a、 d。 如果我们设这个角 b、 a、 d 是 阿尔法的话，那么角 a、 b、 c 就 应该是两个阿尔法，所以我们把它标在这个图上。角 b、 a、 d， 咱们可以设它是阿尔法， 那么我们的这个角 a、 b、 c 就是 这个角度，它应该是两个阿尔法。再来啊，过点 d 做 d， e 平行 a、 c 这个是一有一组平行线啊，朋友们。 然后呢，交 a、 b 的 延长线与点 e。 第一小问，让我去正 d， e 是 圆 o 的 切线，那么如果要正切线的话，我们见到这个切点，可以把它和半径给连上 线切点连半径正垂直就可以了。如果我能够正出这个角，它是九十度，那么咱们就做完了。所以第一问的话，我们可以通过这个标图传染啊，通过这个角度的关系，那么因为 o、 d 它作为这个圆的半径， o、 a 也是这个圆的半径，所以三角形 o、 d a 是 一个等腰三角形， 那么这个角它也应该是阿尔法，那么这个外角它就是两个阿尔法。好，那么我们发现除了这个之外，还有一组平行线，所以呢，因为你这是阿尔法，这是阿尔法，它俩应该是一个内错角，内错角相等，两直线平行，所以 c、 b 和 o、 d 应该是一组平行线的关系， 那么由于这个直径所对的圆周角是九十度，所以这个角就是九十，那么这个角度我们也可以标一下，就是九十度减去两个阿尔法。 然后因为 a、 c 和你的这个 d、 e 是 平行线，所以我能够知道角 b、 e、 d 这个角，它也是 九十度，减去两个 r 法。那么在这个三角形 o、 d、 e 当中，我们根据三角形的内角和，所以呢用一百八十度把这两个角剪掉，我一定能够求出这个角，它就是九十度， 那么因为 o、 d 又是这个圆的半径，那么所以呢，它就和圆相切。第一问啊，咱们就做完了，主要是通过这个角之间的传染，然后去把它做出来的。接下来第二问啊，连接 c d 交这个 ab 与点 f， 这个点是 f， 然后告诉我一个这样的一个比例关系，什么样的一个比例关系呢？说 o f 比上 f b 等于五比六， 当我们遇到这样的比例关系的时候，我们要想到遇比设 k， 就是 遇到这种比例关系，我们可以设这样的一个参数，所以如果你说 o f 是 五 k 的 话，那么你的 f b 就 应该是六 k， 这就是五 k， 那 f b 呢？就应该是六 k。 好，他又告诉我一个长度，说 b e 的 长度是一个四，让我去求这个 af 的 长度，那么 af 的 长度我们看一下啊，根据我们刚刚有平行朋友们，因为我们要去求这个线段长，那我们肯定首选的是要么是相似，要么是勾股定律，要么是三角函数。 所以在这个图形当中，我们观察一下有没有相似三角形，根据这个 o、 d 和 c、 b 是 平行的，我们可以根据平行线分线段成比例，我立马能够得出一个比例关系，其实这个小三角形和这个大三角形他应该也是相似的，就是三角形这个三角形朋友们，他和这个三角形肯定是相似的， 那么根据平行线分线段成比例，我们可以来写一下它的比例关系。第二小问啊，老师简单写一下过程，就是因为什么呢？ 因为 o、 d 是 平行 c、 b 的， 那所以呢，我们有一个比例关系，就是 o、 d 这个线段比上咱们 c、 b 这个线段应该等于 o、 f 这个线段比上我们 f、 b 这个线段，所以它应该等于的是五比六。 ok， 那 现在我得到这样的一个比例关系， 接下来我们再来看在这个图形当中还有没有相似三角形，你看一下，这个角是九十度减去两个阿尔法，这个角是两个阿尔法，那么在这个三角形当中，哎，你一个九十度九十度减去两个阿尔法，阿尔法， 所以我们又会得出一组相似三角形，所以同学们，我们来看一下是不应该是你的三角形 a、 c、 b 这个三角形，它应该相似于谁呢？ 注意啊，你是从九十度减去 r、 r 发写的，所以你接下来也要从这个点去写，一定要对应顶点，想要对应位置上，所以相似于咱们这个三角形 e、 d、 o， ok， 好 朋友们，这两个三角形就是相似啊，一定要注意啊，你是从这写的朋友们，然后再写这个九十度 e、 d、 o 这个三角形 和我们上边这个三角形 a、 c、 b 这个三角形相似，那么相似三角形对应边乘比例，所以我们来看一下，是不应该是 a c 这个边比上 e、 d 这个边，它应该等于什么呢？ a c 比上 e、 d， 朋友们，是不应该等于你的 a、 b 这个边比上 e、 o 这个边，然后还应该等于的是 c、 b 这个边比上 d、 o 这个边。 ok， 那他应该等于几比几呢？同学们，我们看一下啊，在上边啊，我们知道 o d 比上 c b 是 五比六，那么现在反过来是 c b 比上 d o， 那 就应该是一个六比五的关系。 ok， 同学们，我得到这样的一个比例关系式，接下来他让我求的是这个 a f 的 长度， 我们来看一下，咱们应该怎么用呢？也就说这个 ab 它是什么？它是不是应该是直径？如果我们说半径是 r 的 话，咱们可以设这个 ob 等于 r， 设 ob 等于 r， 如果你设半径是 r 的 话，那么 ab 呢？它是不应该等于的是两个 r， 所以 这时候朋友们，咱们来看一下 ab 是 两个 r， 那 这个 e、 o 呢？这个 e o 是 这条线啊，我们来表示一下，看一下能不能去把这个半径给求出来。 所以根据这个比例关系式，我们知道这个 a b 应该是二 r， 然后比上，咱们看一下底下这个 e o a b 比上 e o， 那 么 e o 的 话，是不应该是四加上 o b o b 是 不是半径？所以是不应该是 r 加上一个四，然后应该等于一个六比五， 所以我们算出来这个 r 应该等于个六，所以这个 k 呢？它就应该等于的是十一分之六。 那么下面呢，我们要求的是这个 a f 的 长度，那 a f 等于什么呢？在这个图形当中应该是 a o 加 o f， 那 么我们的这个 a o 的 话，它应该就是一个半径，所以应该是十一分之六， 再加上 o f 正好是五 k， 所以 是五乘上十一分之六，所以最后它应该等于的是十一分之九十六。好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

历年的中考数学压轴题考的都是圆，今年估计也不例外，很多孩子呢，都是因为解析思路不清晰，拿不到分。那今天这个视频呢，讲四个思路方向，帮助孩子轻松拿下十二分，家有中考生的家长可以点个小红心转发给孩子。第一个，题目当中出现直径这两个字，马上延伸出来的思路， 直径对应的圆周角是九十度。第二，出现两个圆的对应角是相等的，那么大概率这两个圆是相似的。第三，题目中出现弦长这两个字对应的思路就是垂直于这条弦的直径或者半径会平分这条线。 第四，如果在同圆或者等圆中相等的圆心角所对应的弧相等，那么所对应的弦的弦心距也是相等的。

这道题是今年西城一模的原综合真题，百分之九十五的孩子啊，拿不到满分。好同学们，我们来看题啊，他说如图啊， a、 b、 c、 d 均为圆 o 的 直径，也就说 a、 b 是 一个直径，然后 c、 d 是 一个直径， 然后做这个 a、 e 和 c、 d 是 互相垂直的，也就说这个 a、 e 和 c d 垂直。这有个角是直角与点 f， 然后连接 ac， 他 把 ac 给连上了，然后过点 b 做圆 o 的 切线。比如说这个角度啊，他应该是一个直角， 因为 c、 b 是 圆 o 的 切线啊，然后交 a、 e 的 延长线与点 j。 第一小问让我求证的是角 c a e 这个角， c a e 这个角，那就我们给它标一下啊，应该是这个角就是这个点角，它等于的是二分之一倍的角 a o c 啊，等于这个弧角， 那我们应该怎么正呢？朋友们，因为我发现啊，朋友们，这个点它是一个 o 点，这是垂直，所以根据垂径定律，这个条线段的长度和这个线段长度相等，所以我立刻想着去把 c e 连上， 因为等弧它可以对这个等弦，所以因为这个弧 c、 e 和我们的这个弧 a、 c 相等，所以这两段它应该是一个相等的关系。那这个是点角，那这个角它就应该是一个点角， 所以我们再来看一下，因为弧 a、 c 是 我们在圆当中的一条公共的弧，所以一条弧所对的圆周角和圆心角之间是应该是一个一半的关系。第一问就正完了啊，然后第二问，让我们去连接第 e， 咱们把第 e 这个线给它连上， ok， 那 当我们连完这个 d e 之后呢？因为 c d 啊，他是这个远 o 的 直径，所以直径所对的圆周角应该是九十度，我们能够得到的应该是这个角度，他应该是一个直角啊。 呃，然后他告诉我 d e 是 四倍根号六，这个 d e 的 长度是一个四倍根号六， 然后扣散引角 c a e c a e 正好是这个点角，它的这个余弦值是根号六比三，然后让我们去求的是这个 e j 的 长度，这个 e j 啊，求这一小段啊， 那我们应该怎么做呢？朋友们，当我们知道直角的时候，就可以用这个点差去标下图，所以呢，我们的突破点在哪里？还是在这朋友们，这个图当中，所有跟这个角跟角 c a e 相等的这个角，它的余弦值应该是一样的， 那么我们可以说这个角是一个叉角，朋友们，根据这个角是一个直角，所以这个角它就应该是一个点角，这个角是一个直角，所以这个角呢就是一个叉角，这是直角这点角，所以这个角它应该是一个叉角。 下面我们就可以在这个 r t 三角形当中，我们看一下咱们给的这个边啊，是这个 e d， 所以 先要在这个直角三角形当中去求一下，我们能够求出什么呢？朋友们啊，咱们来求一求啊。也就说第二小问，咱们在这个 r t 三角形 e f d 当中 应该是 cosine， 咱们这个角就是 f d e f d e 这个角它应该等于的是邻边比上斜边，所以等于 d f 比上它的斜边就是四倍根号六， 然后它应该等于我们这个 cosine 角 c a e， 然后应该等于一个根号六比三。 好，那我们就可以利用这两个式子，同学们，我们看能求出什么呢？咱们是不是可以去求一下这个 df 的 长，所以是不是应该就是三个 df 是 四倍，刚好六乘上一个刚好六，所以是四乘六，等于二十四，所以我们能够求出 这个 df 的 长度啊，它应该是一个八，然后这个 d 的 长是四倍，刚好六，我们就可以知道这个 e f 的 长是一个四倍，刚好二， 然后接下来这个 e f 的 长，它是一个四倍根号。那么在这个 r t 三角形 c f e 当中，我们还可以去用这个相等的两个角的三角函数值相等， 所以呢应该是 cosine 角 c e、 f， 它等于 cosine 角 c a， e 这两个角相等啊，它的三角函数值相等，那我们 cosine 值应该是邻边比，斜边是四倍。根号二比上 c e， 所以 它应该等于的是根号六比三， 所以我们立刻可以去求出咱们这个 c e 的 长度，所以 c e 呢，就等于四倍根三。 ok， 朋友们，这个 c e 的 长度啊，它就是一个四倍根号三。 然后我们可以再利用勾股镜里去求一下咱们这个 c f 的 长度，所以 c f 的 长度就等于四，好，这个 c f 的 长就是四，那么我们就发现这个直径就出来了，所以咱们这个 c d 和这个 ab 相等，然后它应该都等于的是十二， ok， 等于十二，那么他是十二。之后 a o 和 ob 相等，就应该等于六， a o 等于 ob， 然后他应该等于六。朋友们，那么下面我们要求的是这个 e j 的 长度，这里边有一个反 a 字形相似，我们下面把这个相似三角形这个列一下，应该就出来了啊，咱们写一下这个相似的过程， 我们找到这个反 a 字形相似，所以应该是三角形 a f o， 它应该就是 a f o 这个三角形，这个 a 角是公共角，这是一个直角，所以这两个三角形相似，那么 a f o 这个三角形和我们的这个大三角形 a b g 这个三角形相似， 那我们现在要求的是谁呀？要求的是这个 e j 这个边，那相似三角形对应边是成比例的，所以我们来比一下，应该是 a o 比上 aj， 然后呢？对应边成比例啊， a o 比上 aj， 那 应该等于的是 f o 比上一个 b j， 等于 f o 比上 b j， 然后还应该等于的是 a f 比上一个 ab， 那 相似三角形对应边乘比例。咱们写完之后看一下，我们要求的是要求 e j， 要想求 e j 的 话，我可以想办法去求出来这个 a e 的 长度，因为 a f 的 长度也是一个四倍根号二，所以它加一块应该就是一个八倍根号二， 只要我能够求出这个，咱们先要求 aj， 只要求出 aj 的 长度就可以了。那关键是这个 aj 的 长，咱们怎么求呢？咱们看这个里边可不可以求 ao 的 长度是一个六六比上一个 aj， 然后等于我们还知道谁呀？ f o 的 长度好像不知道，然后这个 b j 的 长度呢？ af 的 长咱们知不知道啊？ af 的 长我们可以看一下啊， af 的 长是四倍根二，所以这个是知道的。四倍根二比上 ab 的 长度，咱们也是知道的，应该是一个十二， 对吧？正好是我们的直径，所以从这个里边我们能够去算一下这个 aj， 这个 aj 一 算的话，它应该是一个九倍根号二， aj 是 一个九倍杠二，那我们要求的这个 e j e j 的 长度，它应该等于的是 aj 的 长度减去 a e， 所以 aj 呢是九倍根号二，减去 a e 的 话，它是一个八倍根号二， 所以最后呢，它就等于根号二，所以这道题最后 aj 的 长度，它应该等于的就是根号二。好朋友们看一下啊。就是我们还是利用相等的角的三角函数值相等，然后持续的去 传染边，然后把它求出来，然后再利用这个相似三角形对应边乘比例，我们可以去求一个线段的长度。好，同学们，你学会了吗？记得点赞关注哦！