八年级下册数学第23章函数创优试卷

我们今天来看一道中考题考到的关于函数图像的分析的，这函数呢，也很有特征， y 等于 x， 平方减二倍的绝对是 s， 那 这个时候我们可以看到它写到了自变量 x 取的范围是全体实数，对应一些值，让咱们求 m 的 值，这个时候同学们不要担心，那你直接代入就可以了，负二代入是四，减去这个代入它也是四等于零，所以 m 就 等于零就可以了。 第二个根据数据呢，我们可以把这个平面坐标坐标中的点描出来，并画出函数图像的一部分， 这就涉及到朋友们需要知道描点啊，列表描点连线了，我们看到的啊，描点这一步，并画出图像的一部分。那么看到这个这些图像呢，它其实在这里已经描的点差不多了，是吧，那我们就把它给连起来就行了 啊，他已经画出一部分了，然后另一部分我们把它给从 x 轴的小的竖到大的过程把它描出来。注意是沿着横坐标的从大到小的顺序把它给描出来啊，他用平滑曲线连接，会发现他就跟这个他的 左边是对称的啊。第二步就结束了，观察图像写出两条函数性质，注意两条我们可以从它的对称性来回答，可以说这个函数是关于外轴对称。 然后另一个我们可以从增减性来回答，增减性呢，我们发现它增减性比较多，是吧，分好几段写成其中一段就可以了， x 大 于一是 y 随 x 增大而增大。 好注意，按理说这个 x 小 于负一时，小于负一时，外在增大减小大于负一小于零和大于零小于一啊，分别都有增减性，但是答题时呢，要写两条的时候，不能全部打增减性啊，我们要打出增减性和增减性之外的一条性质。像这个性质呢，我们还可以答函数的最小值为负一，也可以也是性质。 那与 x 中呢？发现有三个交点啊，分别在这个 x 等于负二、零和二，那这个方程呢？有三个实数根， 那等二的时候，等二的时候，我们可以把这个等二的线给画出来看一下啊。外等二，那有两交点，所以有两个实数根，那如果他问有四个实数根，那就是有一条外，所外等一个数值的时候， 他与这个图像有四个交点，那我们发现他是 a 的 取值范围是在大于负一小于零之间的这段区域，所以这一条取值范围我们看出完成就可以了。

好，再来看依次函数的数学活动，活动一，水龙头的滴水量，水龙头关闭不严的话，就会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可以进行下面的实验与探讨。 第一步，在滴水的水龙头下面放置一个能够显示水量的容器，并且每五分钟就记录一次，这个容器当中的水量填写在下边。好，一开始的时候，对吧？ 是零分钟，然后五分钟，十分钟，确实是每五分钟记录一次，而下面的水量呢，是要我们自己去做实验啊，得到的结果，那么这里呢，我就自己编一个数据出来，方便我们计算就可以了。好吧， 那么一开始肯定没有水，对不对？水是零毫升，过五分钟变成十毫升了，再过五分钟变成二十，再过五分钟变成三十，再过五分钟变成四十，五十六十，我就这样去设计它的。第二步， 要求我们建立平面直角坐标系，并且以横轴表示为时间 t， 重轴表示为水量微。好，我们自己大概画一下，啊， 这个横轴为时间 t， 纵轴为水量 v。 啊，这个是零，对吧？在最开始的时候，零零 零零，说明过的是零零这个点，然后五十或是五斗十，然后十分钟二十毫升就是十，二十，十五分钟三十毫升就是十五，三十二十分钟就是二十，四十， 二十五分钟五十毫升就是二十五，五十，三十分钟六十毫升，所以是三十六十。好，把这些点全部标上去，这里我就标上 五十、十五，二十，二十五、三十，然后上面呢就标这里就标六十， 三十，五十，四十，这就是二十，这就是十，然后把这些点全部点上去，在这里，对吧？先把它连起来，大概就长这样啊？在这里 在这里在这里在这里，这里。我画的稍等一下啊，这里画的稍微歪了一点啊，稍微歪了一点， 对齐之后你再连起来，它大概率是一条直线上的， 实际上它就是一条直线上的，只是我这里画歪了，你们用尺子画的话，可能会画的标准一点。好吧，我这里瞄一下，点这个点 就长这个样子，就是把这些点全部挂在直角坐标系当中，然后把它连起来就可以了，你会发现它是一条直线的，知道吧？所以他说， 呃，描述上面实验所得的数据为坐标的各点，并且观察它们的分布规律，它们的分布规律呢？就是在一条经过原点的直线上，对吧？好，我们这里写一下， 在一条经过原点的直线上， 然后呢，你会发现它这个是不是一个正比例函数啊？并且是正比例关系吧，对不对？所以我们就说水量 v 与时间 t 成正比例关系， 我们要说出它的这个图形的规律以及它的这个数量关系就可以了。好吧，啊，写的字里行间可能写的有点不是很好看啊，然后再看。第三步，尝试写出 v 关于 t 的 函数解析式，并且 并据此估计这种漏水状态下一天的漏水量。好，那么这里的话呢，我们就可以通过它是正比例关系，把它设为正比例函数，对不对？好，我们这里设 这个写，这里先写，因为因为它们是正比例关系，再写啊，因为 v 和 t 成正比例关系， 所以我们这里就设 v 等于 k 乘以 t 啊，然后呢，我们可以把这几这几个点带进去算啊，带入随便带两个点， 比如说带入这个五十这个点就可以了，因为我们随便带一个点就够了，因为它是正比例函数，我们这里唯一不知道的就是这个 k 值对不对？好，那么带入这个五十的话，那么你就把这个十换成 v 啊，这个五换成 t 就 可以了 啊，就把 v 换成十， t 换成五，那么这个 k 就 会等于二， 反过来写五 k 就 等于十， k 就 等于二，所以这个解析式呢，就是 v 等于二 t， 同时你要把它的这个 t 的 曲子范围写上去，因为它是一个实际问题，时间不可能倒流，所以这个时间必须是正数 或者是零，对吧？然后呢，他问的是一天的漏水量，那么一天等于多少分钟呢？因为我们这里的 t 单位是分钟嘛，对不对？我们就看一天有多少时间， 一天是多少分钟呢？我们写一下，那就是二十四小时乘上六十等于一千四百四十分钟， 他一天有这么多分钟，我们把这个带进去，把 t 等于一千四百四十分钟，带入 v 等于二 t， 那 么这个 v v 就 等于二，乘一千四百四十就等于 两千八百八十毫升，所以我们就答一下，所以一天的漏水量，这一天的漏水量 为两千八百八十毫升就可以了啊，这个就是活动一，这里的数据需要自己去举例的啊，方便自己算就可以了。好吧， 大家看活动二纸杯的高度图一是一个纸杯和六个叠放在一起的纸杯的示意图，这是一个纸杯，这是六个纸杯叠放在一起， 请你自行定义变量和常量，来建立一个函数模型，探究叠放在一起的杯子的总高度与杯子数量之间的关系。当一定数量的纸杯叠放在一起的时候，你能根据探究得到的数量关系预估纸杯的高度吗？ 这里就需要我们自己去设计这个函数了。那么首先杯子的高度你不知道对不对？然后呢，每增加一个杯子会加多少厘米，咱们也不知道对不对？所以呢这些都需要我们自己去设，那我们设一下，假设一个杯子的总高度，咱们把它设为 a， 增加一个杯子之后，它这个高度会增加 b， 好 吧，那所以呢，我们就这样去设一下，我们先把这个长量设一下啊，咱们设单个纸杯 的高度为 a 厘米，这个 a 呢就是我们的长量，它是不变的，对不对？一个杯子的高度它是不变的，然后每增加一个叠放的纸杯， 这里要说清楚啊，你不要说增加一个纸杯，那增加纸杯的话，那在旁边增加可不可以呢？对不对啊？所以呢，我们一定要说清楚，是叠放的啊，每增加一个叠放的，每增加一个叠放的纸杯， 它的总高度 就会增加 b 厘米， 这个呢也是常量。 好，那么这个是常量，我们如果说你根据这个具体的数字去算，你肯定会好算一点，但是我们这里设计出来的都是字母，对不对？你一个杯子，那我们这里再把杯子数量设为 x， 杯子的数量 为 x 个，并且这个 x 呢是大于一个的，你不能一个都没有，对不对啊？ 然后我们把杯子的话是数量设为 x 个，那我们就可以去算它的总高度了，对不对？好，一个杯子那有多高呢？一个杯子 高为 a， 所以 对应的点就是 e a， 它对应的点就是 e a， 然后两个杯子呢？两个杯子它高就是 a 加 b， 单位是厘米。那你看，如果两个杯子的话，下面是 a， 那 两个杯子的高度就是 a， 加上这个 b， 对 不对？好，那我们对应的点呢？就是二 a 加 b。 其实我们可以写出第三个，如果三个杯子的高度，如果是三个杯子的话，它的高度就是什么？首先有一个 a， 加了一个 b， 是 不是？再加一个 b， 对 不对？所以它的高度 就为 a 加二 b， 单位是厘米，对应的点呢？坐标是三 a 加二 b， 那 你会发现它是一个依次函数模型，对不对？它是匀速增长的，对吧？啊？增加一个，加一个 b， 加一个，再加一个 b， 对 不对？匀速增长，所以我们可以把它设计为依次函数的，这个模型，我们就设， 所以就可以设为 总高度 为 y 厘米，而这个 y 呢？等于 k x 加 b。 哎，等会儿这里有 b， 而这里也有 b， 那 么我们就把它设为 k x 加 m 吧，这样的话就不冲突了啊， 好，这里的 k 呢？不能等于零，对吧？带入，随便带入两个点，这三个点你随便带两个，你甚至可以写出第四个点，第五个点，对不对？好，你随便带两个，我们将 e a 与二 a 加 b， 带入 到 y 等于 k x 加 m 当中。啊，那么这个式子呢，就可以写成，因为这里的是一，这里是 a， 你 把这个 y 换成 a， 把这个 x 呢换成一，那就变成了 a 等于 k 乘一加上 m 啊，那一乘 k 的 话就是 k， 所以 我们直接写成 k， 然后再把这个带进去， y 换成 a 加 b， 然后这个 x 换成二，二乘 k 等于二， k 加上 m， 这是一式和二式，我们把两式一减，拿二式减一式，左边减左边 a 和 a 减掉了，还剩一个 b， 右边减右边 m 减 m， 没了二， k 减 k， 还剩一个 k， 所以 k 就 等于 b， 所以 k 是 等于 b 的。 注意啊，这里我是把 a 和 b 设为常数啊， 再把这个 k 减 b 带入到一式当中，那么这个式子就变成了 a 等于 b 加 m， 那 么这个 m 呢？把这个 b 移过来， a 减 b 就 会等于 m， m 就 会等于 a 减 b， 所以 这个解析式， y 就 会等于 b 乘上 x 加上 a 减 b， 然后你会发现都有 b， 对 不对？你甚至可以把这两个 b 提出来啊，把它合并同类项，对吧？ y 可以 写成 b， x 减 b 再加 a， 你 把这个 b 提出来，就变成了 这个 b 乘上 x 减一，再加 a， 那 你也可以写成这个样子。 好了，那么这个数学模型当中的函数啊，我们就把它给算出来了，对不对？好，他说，当一定数量的纸杯叠放在一起的时候，你能根据探求出来的数量关系预估这个杯子的高度吗？那我们这里呢，就怎么样呢？ 就把这个杯子的个数设为 n 个，所以我们这里就写当啊一定数量，那么就当做是 n 个纸杯了。当 x 等于 n 的 时候， 这个 y 就 会等于 b 乘上 n 减一加上 a， 那 么它这个杯子的高度 就是这样的，就是 b 乘上 n 减一加上 a， 当然你也可以写成 y 等于 a 加上 b 乘 n 减一，这样也是一样的，知道吗？所以我们就说当 n 个杯子 叠放在一起时，叠放 在一起的时候，杯子的个数，杯子的这个总高度，总高度就为 a 加 b 乘 n， 减一 厘米就可以了。好吧，这个呢，就是我们通过具体的 生活实力抽象出来的数学函数模型啊，然后通过函数模型的代数形式表示出来。那么如果你知道了这个一个杯子，它本身，比如说高十厘米，你叠放之后增加两厘米，就是你知道了具体的 a 等于十， b 等于二之后，那么这个解析式它就会变成什么呢？ 他就可以写成这个样子，那么就是什么 y 等于二， x 加上十减二，这里 a 减 b 就是 十，减二就是加八，那么你就可以直接写出具体的形式来了啊。这个时候，假如说你又知道这个杯子的具体个数，比如说有九个杯子对不对？那你就把 x 换成九， 那么 y 就 等于二乘九加八，二乘九就是十八，十八加八等于二十六，那你知道这个总高度是二十六厘米就可以了，知道吗？那么这里呢，就是没有具体的数字，所以呢，你算起来会有点难受， 那我这里也可以把这个刚才举的例子写出来，假如说这个就对应的是十厘米 等于十厘米，然后这个 b 呢等于两厘米，那么这个解析式，当 a 等于十厘米的时候， b 等于两厘米的时候，那么这个解析式 y 就 等于什么？ y 就 等于二， x 加上十减二， y 就 等于二， x 加上八，对吧？好，那么这就是个具体的一次函数，然后当有九个啊，九个杯子， 那么它的高度就是 y 等于二乘九加八，二九十八加八等于二十六厘米，这个就是我们举的具体的例子 啊，而这个呢，就是我们抽抽象出来的这个函数模型，知道吗？啊？再整体看一下。

好，再来看依次函数与方程组和不等式的复习巩固。先看第一个利用函数的图像去解方程，二分之三， x 减六等于零，对吧？那么这里既然要求了让我们用函数图像，那我们就先把图像画出来，好吧， 来看一下，那么我们想要画出来的话呢，就先把它写成函数形式，令 y 等于二分之三， x 减六，对吧？那么你现在当 x 等于零的时候，求出 y 值， 当 x 等于零， y 就 等于二分之三，乘上零减六， y 就 等于负六，所以它就会过零负六这个点，对吧？那么这个点在哪里呢？就在 y 轴上，然后你想求在 x 轴上的点，就当 y 等于零， 那么零就等于二分之三， x 减六，移项六就等于二分之三 x， 那 么这个六除以 二分之三等于 x， 六就乘上三分之二等于 x， 所以 四等于 x， x 等于四，所以它就会过四零这个点，那么咱们再把图像画出来， x， y 与这里的交点是四，零与 y 轴负半轴的交点是零负六，把这两个点画出来 连起来就是依次函数的图像，这个就是 y 等于二分之三， x 减六啊，那我们要通过这个图像看出它的减，就是让 y 等于零的时候，那么 y 等于零的时候，那就是这个点 啊，就是这个点啊，就这个点，所以 x 就 等于四，对吧？所以我们就可以通过图像看出来， 在这个点的时候，它的 y 值等于零，它的 x 值等于四，正好对应了这个 y 换成零，那么这个 x 对 应的呢？就是四，所以我们由图 由这个点四零得出 啊。二分之三， x 减六等于零的减 为 x 减四啊， x 减四，那么有些人可能会说，我在这里都已经算出 x 等于四了，我为什么还要通过画图呢？对不对啊？是不是多此一举啊？那么这个题目它其实是为了让你更好地去理解这个图的意思， 然后这个图像呢，他也可能觉得你自己手里有这个画函数的这个软件，你直接可以通过软件去画，因为前面他也讲了如何用碗软件画图像，对吧？啊？像我们自己这样直接手搓一个图像出来，那肯定是要算出这个 x 等于四的，对不对？好， 再看第二个，利用函数图像解不等式，五 x 减十大于零和负二， x 减四小于零，那么咱们这里呢，也要把它当做函数的形式，那我们就令 y 一 等于五， x 减十， y 二就等于负二 x 减四，那我们要画图吗？画图的话，你就令 x 和 y 等于零，对吧？当 x 等于零的时候，这个 y 一 就等于五乘零减去十等于负十，说明它过零负十这个点。好，这个呢，我们等会再算，不然弄混了。然后当 y 一 等于零的时候， 就零等于五， x 减十啊，把五 x 移过来，负五 x 等于负十， x 就 等于负十，除以负五， x 就 等于二，所以它就会过二零这个点。好，再算这个，再算 y 二， 这里也写个零，好算。当 x 等于零的时候， y 二等于负二乘上零减四，负二乘零就是零，零减四等于负四，所以就是负四，那么就过零负四这个点。然后当 y 二等于零的时候， 这个零就等于这个负二 x 减四，把负二 x 移过来，二 x 等于负四， x 就 等于负二，对吧？所以它就会过这个负二零这个点。好，我们在图像上把它画出来，先画这个图，先画这上面的图， 一个过零复十，一个过二零二零的话大概就在这个位置，零复十，我们就画在这个位置，两个点一连 就是函数解析式，就是函数解析式的图像了，这个直线就是 y 一 等于五 x 减十，好了，他说要这个五 x 减十大于零，对不对？大于零在哪里啊？ 大于零在上方看到没有？大于零，零在这个位置，零在这个点上，那比零大，那么就在他的上方，所以上面这段图像就是 五 x 减十大于零的地方，对吧？啊？五 x 减十大于零，那么又意味着 y 一 大于零，而 y 一 大于零就是在 x 轴上方的图像，而这个图像上对应的所有的横坐标都比这个点的横坐标要大吧，对不对？它继续往后延， 它这里的横坐标往下一一对应，都是比二大的啊，所以这个 x 怎么样就大于二，当然了，你说，哎，我不能直接算吗？我直接算就可以了，对吧？ 好， x 大 于二就可以了，那这里呢？是为了让你理解这个不等式和图像的关系，知道吧？咱们再画第二个图， 一个是零负四，一个是负二零零负四，我们就画在这个位置， 负二零，咱们画这个位置连一下。 好，这条直线的话，就是 y 二等于负二 x 减四，知道吧？那么你看一下它要它小于零，对不对？小于零， 那么零就是在这个位置，这个点的纵坐标就是零，对吧？比零要小，那就在它的下方， 那么就在它的下方，在下方上面的点对应的横坐标是不是都比这个负二要大呀？所以 x 就 大于负二，知道吧？好，所以我们写一下，因为 负二 x 减四要小于零，那意味着 y 二小于零，而 y 二小于零的话，就是对应的是这一段图像，这段图像对应的所有横坐标都是比负二大的，所以 x 大 于负二，就是这个不等式的。解了。 再看第三题，也是叫我们利用函数的图像去解这个方程组，那这里有两个方程对不对？都是带 y 的， 所以我们要先把这两个转换成什么？转换成函数形式。怎么转换呢？第一个是三， x 加上二， y 等于五， 那么角先把 x 移过去，二， y 就 等于负三， x 加五，然后两边同时除以二， y 就 等于负二分之三， x 加上二分之五，这是第一个。 那么第二个函数呢？就是二 x 减 y 等于八，移过去啊，就把二 x 移过去，负 y 就 等于负二， x 加八，两边同时除以一个负一，那么 y 就 等于二 x 减八，对吧？那么现在呢，我们就要画图了， 我们画图的话，一般都是令 x 等于零和 y 等于零嘛，对不对？这是 y 一， 这是 y 二，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之三，乘上零加上二分之五等于二分之五，所以它就会过零二分之五这个点。然后当 y 一 等于零的时候， 那么零就等于负二分之三， x 加上二分之五。好，移项二分之三， x 等于二分之五，同时乘上二三， x 等于五， x 就 等于五，除以三等于三分之五。啊，是三分之五了。好，那么我们就可以通过 这个 x 等于三分之五，判断出它过三分之五零这个点，这个时候 y 是 等于零的，所以重坐标是零，对吧？好，这里也是一样的，当 x 等于零的时候， y 二等于二乘零减八，就等于负八，所以它就会过零负八这个点。然后当 y 二等于零的时候， 就变成了零等于二， x 减八，移向负二， x 等于负八， x 就 等于负八，除以负二，它就等于这个四，所以它就会过四零这个点。 好，再把这两个点画在图像当中，我们来画一下， 这个是零二分之五，那我们在这里就画二分之五零二分之五，然后呢这个点呢？是三分之五零，那我们就画这个位置，三分之五，大概在这个位置， 这条直线的话呢，连起来这条直线就是 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，有点写不下了。 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，就是 y 一 这条直线。 y 二这条直线的话呢，四零，然后另外一个零负八，那么零负八的话，我们就画下面一点， 这可能就比较远了，假设这个点就是零负八吧，这个是零负八，然后这个点的话，就当做是四零，然后把这两个点连起来 延长过来，好，这条直线就是 y 二等于二， x 减八。 好，图像画好了，那么你会发现，你把这两个当做方程组的时候，它的解就是它的焦点， 而这个焦点呢？说实话啊，我没画出来，对不对？我们不知道它的焦点是多少，所以呢，我们要试一下，对吧？因为你不能去算，你不能把它当做去算，所以你要去试一下，你看这个是几啊？这个是 这个三分之五，这个是四，那么比三分之五大一点是几啊？就是二，三对不对？二肯定对不上，二肯定对不上，那么你就找三，所以我们就分别试一下，当他们俩都等于三的时候好不好？好，当这个等于三的时候，当这 y 一， 当 x 等于三的时候，这个 y 一 就会等于负二分之三乘上三加上二分之五，它就等于负二分之九 加上二分之五等于负的二分之四等于负二，所以它就会过三负二这个点。 然后呢，你在当 x 等于三的时候，你再算这个 y 二 y 二就等于二乘三减八等于六减八也等于负二，它也过三负二这个点，发现没有，它们经过同一个点，所以 三负二就是它们的焦点啊。所以我们就看得出来， y 一 与 y 二的焦点 为三负二，所以 x 等于三， y 等于负二，就是这个方程的解，为这个方程 三 x 加二， y 等于五和二， x 减 y 等于八的解就可以了。 如果呢，有些题目呢，他直接画了图，并且告诉我们焦点，那我们这些画图的过程就都可以省略。 再看综合运用第四题，甲乙两个工程队分别同时开挖两段合渠，所挖合渠的长度为 y 单位是米与挖掘的时间， x 单位是小时之间的关系。如图所示，那 红色这一段是假的，然后绿色这一段是乙的，叫我们分别求出假。对在零到六，就是 x 大 于等于六大于等于零小于等于六的时间之内和乙对在 x 大 于等于二小于等于六的这个时间内， y 关于 x 的 函数解析式，那么求解析式的话呢？你可以看得出来，假的话经过哪两个点？ 第一个是圆点，对不对？第二个就是六六十，经过这两个点，我们就可以带入一次函数当中，对吧？好，那么乙呢？他只教我们求二到六这段时间之内，那么你看二到六这段时间，他也经过两个点，一个点是二三十， 另外一个是六五十，对不对？好，我们就把这两对点带入一次函数当中，我们这里就写一下，好吧，先求 设假对，在 x 大 于等于小于等于六大于等于零的时段内，解析式，函数解析式 为 y 假，对吧？等于 k 一， x 加上 b 一， 为什么要这样去写呢？因为你乙对也要去设呀，对不对？它们俩的 k 值和 b 值不一定相等啊， 对吧？所以我们就复制一个出来，改一下数据设，再设一下乙，对，不过可以等会来算，我们把里面改一下，甲对换掉， 然后时间段换掉解析式，这个换掉。好，那我们就写设乙对，在 x 小 于等于六大于等于零的时间内，函数解析式为 y 甲 y 乙 等于 k 二， x 加上 b 二，对吧？好，设一下。那么现在呢，我们就知道甲经过零零，甲经过的点是零零这个点以及六六十这个点。好，我们就将 零零这个点与六六十带入到 y 角当中，那么你就可以得到方程组，对吧？这个方程组呢？等一下啊， 这个方程组呢，就是把这个解析式里面的零和 y 都换成零，那么就是零等于 k 一 乘上零，再加上 b 一。 然后第二个呢，就是六十等于 k 一 乘上六，再加上 b， 那 么这里的话，我们化简一下，就可以得到 b 一 是等于零的，对吧？这个是零，这里也是零， b 一 就等于零，然后你再把零带进去， 对吧？好，那么就是六十等于六， k 一 加上零啊，因为 b 一 等于零，写一下吧，还是写 b 一 吧。好，这两个式子，这是一式，这是二式，你将第一个式子带入到第二个式当中，将 b 一 等于零 带入到二式当中，那么零六十就等于六 k 一， k 一 就等于十，那么我们就可以得到 k 一 等于十， b 一 等于零，所以这个假的解析式就等于十 x 啊，就等于十 x， 同时你再把它的取值范围写上 x 小 于等于六，大于等于零的时候，是这样的。 好，再来求第二个一样的操作啊，也是将这两个点，这两个点我们直接在图上写出来，一个是二三十，一个是六五十，对吧？我们将这两个点带进去， 将二三十与六五十带入到 y e 当中，好，那么我们算一下， 把三十带进去，二三十带进去，是三十等于 k 二乘上二，加上 b 二，把六五十带进去，就是五十等于 k 二乘上六，加上 b 二。两个式子，你拿两个式子一减啊，拿二四减一四，那这里五十减三十等于二十， 这里是六 k 减二， k 减掉了啊，所以我们这里就是负四， k 二 等于负二十， k 二就等于负二十除以负四，那么 k 二它就等于五，然后你再把五带入到其中一个解析式当中，将 k 二等于五 带入到一式当中，那么就三十等于 k 二， k 二已经知道了，就是五乘二，再加上 b 二，那么三十就等于十加 b 二，那 b 二呢？就等于 三十减十， b 二就等于二十，那我们就可以得到这里的 k 二等于五， b 二等于二十这个解析式， 你就会等于五 x 加二十，并且取之范围是 x 大 于等于二，小于等于六，对不对？好，那么这个就算完了。再来看， 那这里说当 x 为和值的时候，甲乙两个对在施工过程当中所挖合取的长度是相等的，那么你就看它们的焦点，这里是有一个焦点的对不对？那这个焦点是多少呢？哎，我们不知道，我们就可以把这两个 函数当做一个方程组啊，去算 x 等于几就可以了，知道吧，因为它们在这里有焦点的时候，意味着在同一时间内，它们挖的长度也相等，所以就是找焦点。 第二问就是找焦点，所以我们列方程组， y 等于十， x 和 y 等于五 x 加二十那两个式子， 那么呢，我们就把一次当中的 y 等于十 x 带入到第二个式子当中去，那你就可以得到十 x 等于五 x 加二十一项，十 x 减五 x 等于二十， 五 x 就 等于二十， x 就 等于二十，除以五 x 就 等于四，所以那么当 x 等于四的时候，他们所挖的渠道是相同的，知道吗？好，那么这里我们同时也把 y 算出来， 那么 y 就 等于十，除乘上四， y 就 等于四十，所以这里算出来的是 x 等于四， y 等于四十，对吧？好，我们最后再答一下啊，当 x 等于四的时候，加以两对。 施工 的时候，施工过程中，施工中挖的和渠长度 相等都为四十，单位是米就可以了。 再来看拓广探索第五题，在同一平面直角坐标系当中，画出函数 y 一 等于负二分之一， x 加上二与 y 二等于三， x 加九的图像，并且结合图像比较这两个函数值大小的关系。 那咱们就先画图，先看 y 一， 这个 y 一 呢，等于负二分之一， x 加二还是一样的令， x 等于零和 y 等于零，对吧？好，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之一乘上零加二就等于二，所以我们就知道它会过零二这个点，对吧？你其实算多了，你就知道，当 x 等于零的时候，它就一定会等于二，对吧？等于它这个 b 值。然后当 y 等于零的时候， 那么零就会等于负二分之一， x 加上二一项二分之一， x 加上等于二， 那么 x 呢，就等于四，所以它就会过四零这个点。好。再看 y 二， y 二等于三， x 加九一样的，当 x 等于零的时候， 这个 y 就 等于三，乘零加九就等于九，所以它就会过零九这个点。然后再当 y 等于零的时候， 那么这就会得到零等于三， x 加九，一下负三， x 等于九， x 就 等于九，除以负三， x 就 等于负三，所以它就会过负三零这个点。好，咱们再把这两个图像画到什么？画到同一个坐标系当中， 我们这里就画大概啊，就不画那么精确了，因为画太精确了，我会画 y。 然后呢，找到，先画这个 y 一， 找到零二和四零，那零二 大概在这个位置零二四零呢？咱们就画这个位置四零两个点一连 这条直线呢，就是 y 一， 再画这个，这个是零九和负三零，那负三零的话，大概就画这个位置负三零，然后呢？还有一个画九零九的话，九应该很高了吧， 对吧？往上挪一点， 我就在这里画九零九，那实际上可能不止这么高啊，我们这里画个大概 好，这条直线就是 y 二，对不对？好了，那么现在你会发现它会有焦点吗？而这个焦点是多少呢？我们不知道，那我们就把它列成一个方程组，把它的焦点算出来， 因为你要比较大小嘛，对不对？你看在这个焦点的左边是不是 y 一 大， y 二小，而在这个焦点的右边，是不是 y 二大， y 一 小啊？对不对？好，所以呢，我们就把它列成一个方程组， y 一 等于负二分之一， x 加上二， y 二等于三， x 加上九，列一个方程组，那么因为他们的 y 都是相等的，所以就是得到三， x 加九等于负二， x 加二移项，三 x 加上二分之一， x 等于二减九，那么这里算出来的话， 就可以得到是二分之七， x 等于负七， x 就 等于负七。除以二分之七就等于七。乘上七分之二， x 就 等于负二，所以它的横坐标是负二，再把这个负二带进去， y 就 等于三乘负二再加九， y 就 等于负六加九，所以 y 就 等于三。所以他们的这个解就是， x 等于负二， y 等于三，所以我们就可以知道他们的焦点是负二三。好，这个焦点是负二三， 我们写上来负二三，这里对照的横坐标就是负二，这里对照的重坐标就是三。好了，图像画完了，那怎么去做比较呢？其实这个图的话，它画标准了，反而不好比较，我们这里画一个缩略图，好比较一点，那这里 我画一个缩略图，那就简单画一下，看到没有？就这样简单画一下。 好，这个是 y 一， 然后这里有一个焦点是二，它的横坐标是不是二，看到没有？好，我们就以二为分界点，在这个二的左边，你看这个二的左边，负二的左边，是不是？ y 一 在上面， y 二在下面，对不对？好，在它的左边， y 一 在上面， y 二在下面，所以左边对应的就是什么？ y 一 大于 y 二， 而这个左边对应的是 y 一 大于 y 二的时候，你看它们的横坐标对应的是不是都比负二小，对不对？好，所以就可以得到，当 y 一 大于 y 二的时候，它的 x 是 小于负二的，这是第一种情况，看到了吗？好，现在我们再看，在它的右边的时候，你把它延伸过去，这个 y 一 延伸过来，哎，反过来了，现在 y 一 在下面， y 二延伸过去，反而变成了 y 二在上面，这个对应的是它的右边，它的右边对应的是 y 二在上面， y 一 在下面。这个表示的就是当 y 第二种情况，就是当 y 一 小于 y 二的时候，看到没有？ y 一 在 y 二的下面，表示 y 一 小于 y 二，而这个时候，你看这个图像所对的横坐标是不是都比负二大，对不对？它都比负二大，所以这个时候 x 就 大于负二，看到了吗？这是第二种情况，那什么时候呢？它们会相等呢？就是在焦点的时候，所以这个时候我们就写第三种情况， 当它们相等的时候，当 y 一 等于 y 二的时候，这个 x 就 等于负二，那么它们的大小关系三种情况都写出来了。 他们的大小关系一个是大于他，一个是 y 一， 大于 y 二，一个是 y 一， 小于小于 y 二，一个是 y 一 等于 y 二。这三种情况的结果我们都写出来了，都是通过图像去看的，知道吧？这个图像是标准图像啊，标准一点啊，因为我画的也不是特别标准，这个是他的缩略图， 我们通过缩略图就好比较，因为这样的话，这个这个 y 一 在上面， y 二在下面，这个是不对，看过去不是很好比较，这里是 y 二在上面， y 一 在下面啊，其实是一样的，只是这样看的话会比较好看一点，那么我们就是分左右就可以了。

周末的清晨，朵朵和浩浩相约一起去郊外的青山露营。他们坐上了开往露营地的旅游大巴，全程一共三百六十公里。 浩浩，你看我们已经开了整整两个小时了。哇，这么快，我记得出发前司机叔叔说前半段高速路开的会比较快，大巴车在高速公路上保持着匀速行驶，两个小时的时间，他们已经走过了很长一段路程。 司机叔叔，现在车速好像变慢了好多呀，我们还有多久才能到露营地啊？小姑娘观察的真仔细，高速上我们开的快，普通公路限速低，速度就慢下来了。那我们总共要坐多久的车呀？我都迫不及待想去搭帐篷了。 不同的路段有不同的行驶速度，这给计算总时间带来了难题。怎样才能准确算出他们到达露营地的时间呢？ 行驶速度发生变化，路程与时间的关系就不再是一条完整直线，而是分段变化的函数图像。要想准确算出到达时间，就必须求出每一段对应的函数关系式。今天我们就一起来学习用待定系数法求一次函数的解析式。

好，再来看实际问题与一次函数，生活当中也是有很多一次函数类型的问题，那么我们做题应该按照什么顺序呢？你要先将实际问题抽象为一次函数的问题，再把这个一次函数的解析式求出来， 结合图像就可以分析并且解决问题了。来看到这个例题，它的某玉米种子的价格为每千克的种子，那么它的价格是不变的， 如果你一次性购买超过两千克的种子，那么超过的部分他的价格就给你打六折。 他的问题是这样的，写出付款金额，关于购买量的函数解析式，并且画出函数图像，这个呢，书上有答案，我们就直接来看，对吧？因为他是超过两千克价格，就会有另外一种算法，所以呢， 你看他的图像在二之前和二之后是不是长得不一样啊？对不对？好，那么怎么去画这个图像，怎么去算这个解析式呢？那么这个直接从实际问题出发， 前面的两千克对不对？每千克四十元，你现在把这个数量，咱们把它当做 x， 把它的价格当做 y， 对 吧？那么总价格就等于数量乘以单价就是四十乘上 x， 所以 在两千克之前就是 y 等于四十 x， 那写出来了，对吧？注意他的 x 取值范围必须是零到二之间，那么如果说超过两千克呢？怎么算呢？哎，前两千克你超过了两千克，那么前面的两千克你还是按四十块钱每千克去算的， 那超过的部分呢？我们把这个数量当做 x， 超过两千克的部分，你就用这个数量减去两千克，那么 x 减二就是超过两千克的部分，然后超过两千克的部分干嘛呢？单价打六折，四十块钱打六折多少钱呢？ 是不是二十四块钱，所以超过的部分按二十四块钱去算，那么他这个式子就可以写成， y 等于四十乘二，加上二十四乘上 x 减二，对不对？这个二十四怎么来的呢？我们这里写一下，二十四就是四十块钱打六折 等于二十四元，这个二十四元是这么算出来的，对吧？然后你再把这个解析式化简一下， y 等于四十乘上二，加上二十四，乘上 x 减二，那么 y 就 等于八十加上二十四， x 减去四十八，那么这个 y 就 等于二十四， x 加上八十减四十八等于三十二，跟我们书上写的是一样的， 那么你可以分类讨论，那么书上的话，他这里是分类讨论的，去写这两个解析式，那么我们也可以写成分段函数的形式。那么像这里你把这两个结果写在一块，这个就叫分段函数。 分哪两段呢？是 x 在 零到二之间和 x 大 于二的时候，分这两段去写，知道吗？可以写成这种形式，但是注意一定要把它的什么取值范围写清楚，然后第二问他说，如果一次性购买四千克的玉米种子需要付多少钱？ 那么四千克有没有超过两千克呀？超过了，超过了两千克呢？我们就选择第二种方案，那么第二种方案的话，你就把这个 y 带进去， 那么 x 换成四，那么就是等于二十四乘上四，加上三十二，等于一百二十八元，所以一次性买四千克种子就需要付一百二十八元，就是这个意思。 好了，那么他这里呢，其实还叫我们画图像呢，图像我们没算，对不对？他是直接给我们画出来了，那我们怎么办呢？我们就画这个图像的话，你就 把它当做 x 等于零的时候啊，和 x 怎么样？等于二的时候，这里正好是它的两个端点嘛，对不对？好，我们算一下，这里也写一下，好吧，我们把它计算写出来，好，这里我把它擦掉啊， 这个 y 等于四十 x， x 小 于等于二大于等于零的，对不对？我们这里当 x 等于零，那么这个 y 也等于零，所以就会过零零这个点，然后当这个 x 等于二的时候， y 就 等于四乘二等于八十，所以它就会过 这个二八十这个点。那你看一下，他这里画出来两个点，是不是？第一个点就是零零，第二个点就是二八十啊，对不对？好，那么在第二段的话，你要去画，那么就要画大于二的部分，那大于二的部分的话，那你就让 x 等于二和 x 等于啊， x 等于三和四， 那么就写这个等于二十四， x 加上三十二，那么当这个 x 等于三的时候，那么这个 y 呢？就等于二十四乘上三，就加上三十二，二十四乘三等于七十二，再多写一步啊， 就等于七十二，加上三十二，它就等于一百零四，所以它就会过三一百零四这个点，然后当这个 x 等于四的时候， 他这里给我们算了，对不对？当 x 等于四的时候，这个 y 是 等于一百二十八的，所以他就会过四一百二十八这个点，那么这里呢，他是没有给我们把点画出来的，我们可以自己写一下，比如说这个三往上，对对齐之后 画一下虚线啊， 好，那么我们画出来的这个点，它就是三，一百零四啊，一百零四，然后的话还有四，假如说这里有个四，咱们也是往它往上对， 它的焦点呢？是超过了书上画的这个图的，那么这个点的坐标就是四，一百二十八，对吧？你把这两个点连接起来， 和这个点正好有交点，那么就把图像画出来了，当然你也可以把它的临界点算出来，虽然它这里说 x 要大于二，但是你可以把 x 等于二的时候带进去算一下，知道吧？ 画图的话呢，书上就是没有给这个过程，我就把这个过程补了一下，好吧，其他的都是 ok 的 啊，大家可以自己整体看一下， 再来看练习。第一个，一个实验室在零点到两点之间要保持二十摄氏度的恒温， 在两点到四点要匀速升温，并且是每小时升高五摄氏度， 写出实验室温度 t 关于时间小 t 的 函数解析式，并且画出函数图像，那么根据实际情况来算一下它的解析式。 首先第一个是零点到两点之间温度要保持在二十摄氏度，它是不变的，知道吗？所以我们这里有题可知， 这个 x 小 于等于二大于等于零的时候，对不对？ 这里用 t 啊，这里用 t， 时间是小 t 啊，这个 t 在 大于等于零和小于等于二的时候，那么他要保持二十摄氏度的恒温，那么这个温度 t 温度大， t 就 要等于 二十不变，知道吗？啊？这里我们写当 t 大 于等于零，小于等于二的时候，这个 t 等于二十是不变的，那么下面一个时间段就是两小时到四小时之间，那么当 时间大于等于二，小于等于四的时候，因为前面我们取了等号，我们后面这个二我们就不取等号了， 前面这个二我们取了等号，后面这个二我们就不取等号了。好吧，那么原本就是二十摄氏度的恒温，然后每小时上升五摄氏度，时间是 t 对 不对？好，那我们就用这个时间 t， 它就是本来有二十摄氏度的，然后 每小时上升五摄氏度，但是你不要直接乘 t， 为什么呢？因为前两个小时它是不升温的，所以你要乘上 t 减二，然后再化减，这个 t 就 等于二十，加上五， t 减去十， 那么 t 就 会等于五， t 加上十。好了，那我们就可以把这个写成分段函数的形式， t 就 等于二十，这个 t 是 在 二到零之间的时候，然后呢，第二段是五， t 加上十，这个时候 t 是 小于等于四，大于二的就 ok 了。好，这就是写成分段函数的形式，然后并且画出图像吗？他叫我们画出图像，对不对？那我们就算一下， 当 t 等于几的时候，算一下，当一等于零的时候，这大 t 等于二十，在这里算吧。 当 t 等于零的时候，这个大 t 等于二十，然后当 t 等于二的时候，大 t 也等于二十，当这个 t 等于三的时候， 这个 t 就 用第二段了，就是五乘三加十等于二十五，然后当这个 t 等于四的时候，大 t 就 等于五乘四加十，就等于三十摄氏度，那么这里对应的就是过 零二十这个点，二二十这个点，然后三二十五这个点，四三十这个点。现在来画图像， x， 哦，不是 x， 哦，是小题，大题，小题单位是时间大题的问，这个单位是奢侈度啊，这里是零，我们就写四个小时， 一二三四，然后这里呢是二十摄氏度，这里是十摄氏度，二十摄氏度， 这里还有一个三十摄氏度，中间卡一个二十五就可以了。好了，我们瞄点，首先是零二十这个点就是零二十，再看二二十，那么二二十就在这个位置，然后三二十五， 四三十 四个点描起来了，再把它连起来， 到这儿往上走。好，完事了。那前面这一段就是 t 等于二十的时候，后面这一段就是 t 等于五， t 加十的时候，那图像就给我们画出来了，那么这道题就搞定了。 再看第二个，某市出租车的收费方式是路程不超过三千米的，收费九元，超过三千米的部分呢，它就每千米收两元，即乘客乘坐出租车的路程为 x， 这个 x 呢会大于三千米， 并且乘车费用设为 y 元，叫我们求 y。 关于 x 的 函数解析式，我们先看第一个，这里也是一个分段函数，对不对？分 x 在 三之前，一个是 x 在 三之后，对吧？我们就写，当 x 小 于等于三，大于等于零的时候，就是不超过三千米的时候，对吧？那么这个固定收九块钱， y 就 等于五九。然后第二个，当 x 大 于三的时候，它的收费 前九块钱是不变的，这个九块钱是稳收的。然后超过三千米的部分呢，怎么表示呢？超过三千米的部分，你就用 x 减去三千米，这个时候每千米收两块钱， 乘上二，咱们化解一下， y 就 等于九加二， x 减六， y 就 等于二 x 加三，所以我们再把它写成分段函数的形式， y 就 等于 九，然后二 x 加三。第一段取的范围是 x 小 于等于三，大于等于零。第二段 是 x 大 于三的时候。好了，分段函数解析式咱们就写出来了。第二个，他说若有一位乘客付了二十三块钱的乘车费，那么他的乘车路程是多少？那就反过来去求了，对不对？就是当这个费用是二十三元的时候， 这个解析是用哪个呀？那肯定用这一个，因为二十三块钱是不是大于九块钱的，对不对？好，因为 二十三块钱大于九块钱，所以采取第二段，就是 y 等于二 x 加三的这个式子，把这个 y 替换掉，替换成二十三等于二十三。负二 x 等于负二十 x 就 等于负二十，除以负二 x 就 等于十，所以它的乘车路程为十千米 就 ok 了。

好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。

好，再来看依次函数的复习题，先看它的复习巩固。第一个，王芳现有存款一千五百元，他计划今后三年每个月都存五十元，他的存款总金额是 y 元， 随着时间 x 的 变化而变化，这个 x 呢，单位是 y 啊，写出 y 关于 x 的 函数解析式， 那么他已经有一千五百元了，然后每个月都往这个存款当中再存五十元，对不对？你一个月存五十元，那么加进去两个月，那就一共存了一百元，再加进去，就这个意思，知道吧？那你想一下， 它这里是三年，一年是十二个月，三年就是三十六个月，所以呢，它这个时间也就是 x 月份，它的取值范围一定是零到三十六，知道吗？好，这里我们简单写一下，它的总存款 会等于现存款， 加上每月存款 乘上月份，对吧？每月存五十元，一个月就乘一，两个月就乘二，对吧？好，然后呢，他说这里是三年，对不对？三年等于三十六个月， 等于啊，这是等于不是二三年等于三十六个月，所以呢，这个 x 的 取值范围小于等于三十六，大于等于零，然后我们再根据它的关系式写出来， 总存款是 y 元，对应写 y， 现存款是一千五百元，我们对应写一千五百， 然后每个月的存款呢，是五十元，对应五十乘上月份，他的月份呢，用时间 x 来表示，所以就乘 x， 所以 这个解析是 y 就 等于 五十， x 加上一千五。那么这样写的话呢，就是方便我们对应依次函数的，一般是 y 等于 k， x 加 b， 知道吧？然后呢，你再把它的取值范围写过来，就是 x 小 于等于三十六，大于等于零，那么 关 y 关于 x 的 函数解析式咱们就写出来了，因为这是一个实际问题，所以你一定要把它 x 的 取值范围写出来，知道吗？实际问题一般都是有取值范围的啊，千万不要忘记了。 再看第二题，判断下列各点是否在直线， y 等于二 x 加六上，并且求出这条直线与坐标轴的交点。那么首先判断下列各点是否在直线上，那么你就把它的横坐标当做 x 带进去， 看它算出来的 y 是 否等于它的重坐标就可以了。我这里写一下它的判定标准， 判断点是否在直线 y 等于二 x 加六上面我们就将这个点的横坐标当做 x 带入解析式当中进行计算，算出来的 y 值，看看这个算出来的 y 值是否等于这个点的纵坐标， 如果相等的话，那么这个点就在直线上，如果不相等的话，这个点就不在直线上， 当然你反过来也是可以的。什么叫反过来？就是你把它的重坐标替换掉 y 值，看看它的 x 是 否等于它的横坐标，如果等于也是在这个点上的，就是你无论把 x 带进去还是把这个 y 带进去，都可以，知道吗？啊， 只要你不要带错了就行了，记住，重坐标替换 y， 横坐标替换的是 x 啊。如果你带入的是重坐标，替换掉 y 之后，你就看 x 是 否等于负五。如果你带入的是横坐标，就替换掉 x， 看它的 y 值是否等于负四就可以了。我们来把这四个都算一下就可以了。好吧，来 先看这个点点负五负四啊，带入这个 x 等于负五，咱们得到 这个 y 就 等于二乘负五再加六，二乘负五加六等于几啊？等于负四，你看和它的重坐标是不是相等啊？那既然和它的重坐标相等，是不是说明这个点在直线上啊？对不对啊？我们就写它的判定与重坐标 相等，所以是在直线上。 好，再看第二个，第二个点是负七二十，那我们就代入谁啊？代入 x 等于负七，对不对？就可以得到 y 等于二乘负七再加六，它等于几啊？等于负八，对不对？这里是负十四加六等于负八，而你看负八和这个二十相等吗？它并不等于它的重坐标并不等于二十，所以我们就说不在直线上， 可以了。再看第三个点，第三个点呢，是负二分之七一。 好，咱们就代入 x 等于负二分之七，就可以得到这个 y 等于二乘负二分之七，再加上六，那这个一层的话，它约掉等于负七，负七加六等于负一， 那你看一下负一会等于一吗？负一和一并不相等，对不对啊？所以呢，不在子线上。 好，再看最后一个点，这个点是三分之二，七又三分之一，那么你就代入 x 等于三分之二，你就可以得到 y 等于二乘三分之二再加六， 那这里一层的话，等于三分之四加六，三分之四加六，而这个六呢，等于三分之十八，对不对？三分之十八加上四等于三分之二十二， 然后写成带分数，写成带分数就是七又三分之一，没有问题，对吧？啊？就是拿二十二除以三，二十二除以三等于七于一，那么就是七又三分之一，好，那么是和它的重坐标相等的，所以呢，这个点它在直线上 就 ok 了。那这四个点呢，咱们就判断完了，它还有一个要求，叫我们求出这条直线与坐标轴的交点， 对不对？焦点坐标，那么你看一下坐标轴有几条啊？有 x 轴对不对？还有 y 轴， 那么在 x 轴上，什么坐标为零呢？它的纵坐标为零，如果在 y 轴上呢？在 y 轴上的话，就是横坐标为零，对不对？你要搞清楚。那么这里呢，我们要求这个 y 轴的话， 求与 y 轴的交点，那我们就当 x 等于零的时候，那么这个 y 就 等于二乘零加六等于六，所以 与 y 轴交点 为零六，对吧？你想要求与 x 的 交点，那么与 x 轴交点，它是纵坐标为零，所以你就当 y 等于零的时候， y 等于零，就零等于二， x 加六，一项一项，那么这个二 x 就 等于负六啊，然后这个 x 就 等于负三，所以呢，与 x 轴交点 为负三零，好，那么它这里的两个要求咱们就都算完了，对吧？判断这四个点是否在直线上，再求出这条直线与坐标轴的两个交点，因为有两个轴啊， x 轴和 y 轴，那么你就要求这两个点就 ok 了。 第三题考察的是依次函数的图像性质，也就是看 k 值和 b 值，那么 k 值大于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，对不对？ b 大 于零呢？那就交于 y 轴的正半轴，如果 b 小 于零的话，就交于 y 轴的负半轴就可以了。好，那我们根据这四个性质 去判断直线经过哪些象限对不对？好，先看第一个， 第一个 y 等于三分之二， x 加上二分之一，那我们要知道，一般式是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那对应的这个 k 值是不是就是负三分之二啊？对不对？所以这里我们写，因为这个 k 等于负三分之二，是正数还是负数？ 它是负数，是小于零的，所以 y 随 x 增大而减小，对不对？所以 y 随 x 增大而减小。 然后呢，再看它的 b 值， b 值是等于正的二分之一啊，因为 b 值等于二分之一，而这个二分之一是正数，是大于零的。所以呢，怎么样与 y 轴交于正半轴，与 y 轴交于正半轴。 好，那我们可以先把它的大致图像画出来，这里你不要先画 y 随 x 增大而减小，不要直接先这样画，你先看它与 y 轴的交点是正半轴，先把这个点 好大致画一下，然后你再经过这个点， y 随 x 增大而减小，那么它经过的象限就是一、二四象限，这是第三象限嘛，对不对？所以它经过的是什么？一二四象限？ 好，那么 y 随 x 的 增大而减小就可以了啊。再看第二个 直线， y 等于三， x 减二， y 等于三， x 减二，当中它的 k 值是什么？它的 k 值对应的是几啊？ k 值对应的是三嘛，对不对？好，它的 k 值对应的是三，因为 k 等于三，是正数还是负数？是正数大于零，对吧？所以我们就说 y 随 x 的 增大 而增大 啊。再看，那因为它的 b 值是等于负二的，而负二呢？是小于零的，所以我们知道 与 y 轴的交点在负半轴。交于负半轴， 那我们也可以把它的大致图像画出来，先画直角坐标系 与 y 轴交于负半轴，就在这个位置，对不对？然后 y 随 x 的 增大而增大，斜着向上画好了，那么它经过的是一三四象限， 所以我们这里就写一三四象限， y 随 x 的 增大而增大 就可以了。再看第四题，根据下列条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。 第一个， y 与 x 成正比例，当 x 等于五的时候， y 等于六，那我们就要知道正比例函数的一般式是什么，对不对？好，我们这里就写，因为 y 与 x 成正比例， 所以呢，我们设比例系数为 k， 并且 k 不 等于零，所以 y 比上 x 就 等于 k， 你 就可以得到 y 等于 k， 乘 x 比号其实就相当于是除法的计算，对不对？你除以 x， 那 移过去就变成了乘 x， 这也是为什么正比的函数可以写成这个样子的原因。好，那么他说，当 x 等于五， y 等于六，因为当 x 等于五的时候， y 等于六，所以我们可以得到啊，你把这个 y 换成六，把这个 x 换成五，所以六等于 k 乘五， 那么这个 k 那 就五， k 就 等于六， k 就 等于六除以五，六除以五，就直接写成六分之五啊，五分之六就可以了，所以 y 等于六，五分之六， x 就 完事了啊。再看第二个直线， y 等于 k， x 加 b， 经过点三六与二负二分之一，那么这个就是一个非常标准的经过两个点，确定直线解析式对不对？好，那么这里直接用待定系数法啊，将 三六与二分之一、负二分之一带入解析式， y 等于 k， x 加 b 当中，我们就可以得到啊， 一个二元一次方程组，注意你不要带错了啊。这个 x 是 可以用横坐标替换的，这个 y 呢，是用重坐标替换的，所以我们把这个六和三替换进去，就变成了这个样子，所以是六等于 三 k 加 b， 那 这里把二分之一和负二分之带进去的话，那 y 就 等于负二分之一， x 就 等于二分之一，所以是负二分之一等于二分之一 k 加 b， 两式一减，你就可以求出来了，一式减二式， 六减负二分之一就等于加二分之一等于六，又二分之一三 k 减二分之一等于二分之五，所以是二分之五 k， 那这个 b 值减 b 值就抵消掉了，就不用写出来了。然后这里通分一下，二分之二六十二加一等于十三等于二分之五 k， 所以 二分之五 k 就 等于二分之十三，除以二分之五，除以二分之五呢？怎么样呢？ 等于乘以五分之十三 k 算出来了，等于五分之十三。你再带入任意一个式子，就可以把 b 算出来了。将 a 等于五分之十三带入到一式当中，那么六就等于三乘五分之十三，加上 b， 那 么六就会等于五，这里三三得九，一三得三，三十九加上 b， 那 么这个 b 就 等于六，减去五分之三十九。通分，这个是 六的话，是五分之三十，五分之三十减去五分之三十九，三十减三十九就等于负九，所以 b 就 等于负的五分之九，那么这个 k b 值我们就求出来了。 k 等于五分之十三， b 等于负五分之九，所以这个解析式就是， y 等于五分之三，五分之十三， x 减去五分之九就 ok 了，那么这个两个解析式我们就都求出来了。 再看第五题，根据函数 y 等于三 x 减十五的性质，或者是图像确定 x 取和值的时候， y 会大于零，和值的时候 y 会小于零，那么这种题目如果是填空题的话， 你如果实在不会看，你就直接算对不对？因为这里的 y 呢，是等于三 x 减十五的啊，这里呢，我先把这种方法给大家讲一下，如果他已经告诉你解析式了，那么叫你求 y 大 于零的时候， x 的 取值范围， 那么这里因为 y 等于三 x 减十五，对不对？所以 y 大 于零就可以变成什么，就可以变成三 x 减十五大于零，那么三 x 就 大于十五， x 就 大于五，那么这个就第一位 啊，那第二个的话呢？一样的啊，因为这个 y 是 等于三 x 减十五的，所以 y 小 于零，你就可以得到是三 x 减十五小于零，那么三 x 就 小于十五， x 就 小于五，那么 x 小 于五啊，就求完了啊，这两个就是它的答案 啊，这个是纯计算，但是有些题目他不会告诉你解析式的，他只会画个图像，而且这个图像呢，一般不会告诉你两个点啊，他就只告诉你一个点，那这样的话，你就求不出来解析式了，对不对？那这个时候怎么办呢？这个时候才是用图像的时候，不过这道题主要是考察我们对图像的理解，那么我们呢， 就先把这个图像画出来，好吧，这种呢是选择填空题的做法，那如果这是解答题的话，你还是老老实实的画图对不对？好，那么这里我们要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零。如果要求与 y 轴的交点，就让 x 等于零，那我们先求 x 的 交点， 先求与 x 轴的交点，当这个 y 等于零的时候，这个零就会等于三 x 减十五，一项算一下，你就会得到三 x 等于十五，就会得到 x 等于五，所以与 x 轴的交点 就是五零，所以它会过五零这个点。如果你要求与 y 轴的交点，那么就是当 x 等于零，那么这个 y 就 等于三乘零减十五，那么 y 就 等于负十五， 所以它就会过零负十五这个点。好，现在我们把图像大致画一下， 这里是 x 轴，这里是 y 轴，这是圆点，零啊，然后过我们这里画小一点，这里是五零这个点，然后还有一个是零负十五，我们放在这个位置，然后把这两个点连起来， 好，把这个点连起来，他说要 y 大 于零，那 y 大 于零在哪个上面呢？那 y 大 于零，好，这里我写一下啊。 y 大 于零，那么翻译成这个什么？翻译成图形语言的话，就是必须在 x 轴上，因为在 x 轴上， x 轴上方的这个图像的所有点的 重坐标是不是都大于零？好，我这里写一下。 y 大 于零，其实对应的就是点的重坐标 大于零，那么这个点的这个图像上的点，它的重坐标要大于零，就在 x 轴的上方，则在 x 轴上方。 在 x 轴上方的话，你再看这个在 x 轴上方的这些点的横坐标是不是都比五大呀？你看这个点的横坐标是不是比这个五要大， 这个点的横坐标是不是也要比五啊？对不对？所以它的结果从从图像上去看的话，就是 x 大 于五，就是跟我们计算的结果是一样的，知道吧？好， 这些在 x 轴上方的点，这些点则在 x 轴上方的点，横坐标 都大于五，所以 x 大 于五。当然你自己写的时候是不需要把这里写出来的，你只需要写因为 x 大 于零，然后由图可知，所以 x 大 于五就可以了，你可以直接这么写，知道吧？ 好，那么第二个通过图像来看，它是要 y 小 于零， y 小 于零对应的就是点的纵坐标小于零， 那么如果一个点的纵坐标小于零，并且在这条直线上，那么只能是在 x 轴下方的部分，在 x 轴下方的这个图像上的所有的点对应横坐标是不是都比这个五要小啊，对不对？这个点的横坐标是不是都比五小，对不对？这些点，所以 则在 x 轴下方的点，横坐标 小于五，所以 x 小 于五啊。然后呢，像这种话啊，如果你看答案，他也是不会告诉你的啊，他也不会写出来，他一般都是 因为 y 大 于零，由图可知，所以 x 大 于五就可以了，他一般都这么写的，所以我们自己写的时候呢，这些你如果描述不清楚，干脆不要写，你把图画出来，你会。

来，我们先看下这个题啊，他说在直角三角形 a、 b、 c 中，然后角 a、 c、 b 是 九十度啊， a、 c、 b 这角九十度， c、 d 垂直于 ab 啊，这个角也是九十度 啊，垂直为 d， a、 c 根号边读边标，他是根号 b， c 是 二。哎，直角三角形勾勾股定律是能求出 ab 吧？ ab 等于几啊？五五二十，这是五，五加四等于九，根号九的话就是三呗。 ab 是 三 啊，任求 sin 角 a、 c、 d 啊，我写下来 sin 角 a、 c、 d。 好， 在图中找一找这个角是不是这个角，这个角的话就是 a、 d 这个边比上 a、 c 吧。哎，它是不是就等于 a、 d 比上个 a、 c， a、 d 知道吗？不知道啊，是不是 a、 c 知道？那你 a、 d 不知道怎么办呢？看前面告诉你，都这么多直角干嘛用的？哎，你找相同的角，记住啊，如果两个角的度数一样，那说明他的三 a 值是不一样，也正弦值是一样吧。你看这个圆角加这个差角多少度，是不是九十度？那差角加这个角 b 多少度？ 哎，是不是也是九十度？所以说这个角 a、 c、 d 是 不是也是一样？相等，所以说，所以等于角 b 了吧。 那么撒艾角 b 的 话就是谁啊？艾之对边比上斜边吗？也就是等于 a、 c 比上 ab 了吧，这样不简单吗？ a、 c 减 a、 c 是 五，根号五， ab 呢？是三，三分之根号五 行没有。所以这个题关键什么？如果你在题目中找不到已知的边，你就找有没有相同的角，相同角说明他的撒艾之也一样。 ok， 这个题就学 a 学会了，没有。

好，再来看依次函数的综合运用。第六题，某快递公司省内寄件的收费标准呢？是不超过一千克的物品就需要付十三块钱， 如果超过一千克呢？那么超过的部分每增加一千克，那不足一千克的就按一千克来算，就需要增加快递费两块钱， 设记出 x 千克， x 为大于一的整数，这里不考虑小数的情况啊，他的物品的快递费用为 y 元，写出 y 关于 x 的 函数解析式，这个呢是一个实际问题，那么我们就对 x 的 这个取值范围一定要写出来，知道吧？好， 那么它的收费标准分为两部分，哪两部分呢？一个是不超过一千克的时候，费用是十三元，然后第二个是超出的费用，对不对？好，分两个部分，第一个部分 我们这里就写，当这个 x 怎么样，小于等于一大于等于零的时候 啊，小于等于一大于等于零零的时候，这个 y 就 等于十三，对吧？他说只要不超过一千克，就只需要付十三块钱，你哪怕是半千克也是十三块钱， ok 吧？好，所以这个十三是一个固定的值，然后当 这个重量超过了一千克，也就是 x 大 于一的时候，那么这个收费就分两段了， 第一段，前面的一千克十三块钱是固定要收的，对不对？然后呢，超出的部分怎么去理解呢？ 那么假如说我们这里有三千克，那超出了几千克，超出了两千克怎么算呢？三减一，对不对，他就说明他超出了两千克，那如果这里是 x 千克呢？那超出的部分就是 x 减一就可以了，知道吧？所以这里用 x 减去一，表示超出的重量， 然后这个超出的重量呢？要乘什么呢？要乘上这个二，因为每增加一千克，也就是每超出一千克，它就会增加两块钱的快递费，所以再乘上一个二， 你就可以化简了。那么这个 y 就 等于十三，加上二， x 减二， y 就 等于二， x 加上十三减二，十三减二等于十一，那么这里我们就可以把它写成一个分段函数，知道吗？分段函数，所以呢，这个 y 就 等于十三，等于十三的时候是这个 x 必须小于等于一，大于等于零。第二段是 y 等于二 x 加上十一， 这个时候呢， x 取值范围是大于一的就可以了，这就是一个分段函数的形式啊，咱们把它写出来就 ok 了，记得实际问题一般都要考虑什么，都要考虑这个 x 的 取值范围，你不写出来的话，是会扣分的啊。 再看第七题，甲骑自行车与骑摩托车沿着相同的路线，由 a d 到 b d， 行驶路程 y 千米与行驶的时间七小时之间的关系，如图所示， 叫我们根据下面的图像回答下列问题，这里总共有五个问题。第一个问题，它是说 a、 b 两地的路程是多少千米？那我们先看一下这个图像，对吧？这是假的，这是乙的假呢，它对应的时间是从 t 等于零 开始的啊，然后呢？乙呢？对呢，是 t 等于三开始的，什么意思呢？就是说甲先出发啊，他是以甲出发的时间为准的啊，甲出发的时候就开始算时间了，然后你看甲出发了三个小时之后，乙是不是在发生 这个移动，对不对？所以是甲先出发，然后过了三个小时之后，乙再出发，不过因为这个乙呢骑的是摩托车，所以他骑的非常的快，对不对？你看 他从五小时这个三小时到这个五小时，你看他就行驶到了八十千米的地方，而甲呢，是从零小时到八小时 骑行了八十千米，对不对？所以呢，就可以看得出来，他们都是到达了八十千米就停止了，说明 ab 两地的路程就是这个八十千米啊，八十千米。 再看第二个出发较早的是谁？你看甲这条线对不对？从零就开始了，所以出发的早出发的就是这个甲，然后早了几小时呢？甲的话他是比乙早了三个小时的，从图上就可以看出来了，对吧？ 那么到达比较早的是谁啊？谁先到？你看甲是不是过了八小时才到八十千米的地方，而这个乙呢，到在五小时的这个地方就到了八十千米的地方，那是谁先到啊？是不是乙先到啊，对不对？好，这是乙先到， 那么他找到了多少时间呢？你看这个八减去五就是比他找到的时间，八减五等于几啊？我们这里写一下，八减五是等于三的，所以是找了三个小时啊，而上面的这个找三个小时呢，是用谁减谁啊？ 就用以后出发的三个小时减去它零开始的时间，所以是三减零等于三小时，对吧？自己写的时候只需要写三都可以了啊，写三就可以了，我这样写出来的目的是让你区分这个三，它的意义是不一样的啊，不是同一个意思。 然后甲的速度是多少？你看甲对应的是什么？八个小时骑行了八十千米，所以它的速度我们这里写一下啊。甲呢，是什么？八小时骑行了 八十千米，所以甲的这个速度就是八十除以八等于十千米每小时，所以它的速度是十千米 每小时。那乙的速度呢？乙的速度就是，你看他的时间和路程，他用了多久？他是五三小时到五小时，是不是用了两小时？两小时骑行了八十千米，对不对？好，这里写一下。乙对应的是什么？五减三等于两小时 骑行了 二，所以这个乙的速度呢，就是八十除以二， 所以是四十千米每小时啊，果然这个骑摩托车是要快一点，对不对？好， 再看第五个，你在距离 a、 d 多少千米的地方追上甲，此时甲行驶了多少个小时，对吧？那这个呢，就要用函数去算了，我们只需要求出它的焦点， 这两条直线的焦点，就可以知道它们在什么时候行驶了相同的路程，对不对？那么怎么求呢？好，我们这里呢， 同样呢，把这两条直线都设，为什么？都设为 y 等于 k x 加 b， 我 们这里设这个 y 夹， 它等于 k 一， x 加上 b 一， 然后这里设呢，这个 y 以等 k 二， x 加 b 二。好， 那么这样的话呢？甲，我们就带入这两个点，其中一个点是原点零零，他过零零，这个点呢是八八十，我们将这两个点带进去，将零零以及八十啊八八十带入 y， 甲， 你可以得到一个方程组，那第一个就是零等于 k 一 乘零加上 b， 那 么零乘任何数都得零，所以你可以得到的就是 b 等于零，因为它是正比例函数，所以它的 b 肯定是零的，对吧？ 然后另外一个就是八十等于 k 一 乘上八加上 b， 那 么 b 是 零，你把它带进去算，那么八十就等于八倍的 k 一 加上零，那么 八倍的 k 一 就等于八十， k 一 就等于八十，除以八 k 一 就等于十，你看这个 k 一 和它的速度是不是相等的呀？对不对？其实就它的增长速度，我们就可以得到 这个 k 一 等于十， b 一 等于零，所以 y 假的解析式就是十， x 就 完事了。而另外一个呢，这个呢，你就把这个点带进去，这个点是三零， 这个点呢是五八十。我们将这两个点带进去，将三零和五八十 带入 y， 以这条直线，那么可以得到一个方程组，就是零等于三 k 二加上 b 二，这里是八十等于五 k 二加上 b 二，两式一减，用二式减一式， 二式减一式，八十减零剩八十，五 k 减三 k， 还剩二 k， b 减 b 没了，所以这个二 k 二就等于八十， k 二就等于八十，除以二 就等于四十。然后你再把这个四十带进去，零等于三乘四十加上 b 二，所以零等于一百二十加 b 二， b 二呢，就等于负一百二，所以这里算出来的 这个 k 二就等于四十， b 二就等于负一百二，所以这个 y 以的解析式就等于四十， x 减去一百二啊。当然了，我们要把它的曲值范围写上啊， 由于这里的时间呢，它是用小 t 来表示的，所以我们刚才这里所有的 x 全部换成 t， 全部把它换成 t， 这是题目要求的啊，所以我们就全部把它换成 t 就 可以了。好，再把它的 t 的 曲子范围假，这一段是零到八，所以 t 的 曲子范围 t 小 于等于八，大于等于零。 然后乙呢，是三到五，所以它的取值范围呢，就是这个 t 小 于等于五，大于等于三啊，一定要写清楚，好吧，然后呢，我们把这两条直线的解析式都求出来了，那求焦点，就把这两个解析式连立成一个方程组计算啊， 我这里写一下啊，连立方程组求 y 夹与 y 一 的交点， 那么 y 就 等于十 t， 另外一个就是四十 t 减一百二，然后这两个式子它里面的 t 和 y 都是相等的，那么就可以直接让右边的相等，因为左边的 y 是 一样的，那右边的式子肯定也相等，你就可以得到 四十 t 减一百二，那么三十 t 就等于二，一百二 t 就 等于一百二，除以三十 t 就 等于四，所以这个相遇的时间就是甲骑行了四个小时的时候，就被乙追上了，对吧？好，我们这里写一下， 然后这个 t 呢，也带进去算啊， y 角就等于十乘四等于四十，那么这个交点呢，就是四四十， 对吧？啊，他问我们这个乙在距离 a d 多少千米的地方， 对吧？追上甲，那 a d 出发点 b d 在 这里对不对？所以是距离四十千米的时候，此时甲行驶了多少个小时？那么甲就行驶了四个小时嘛，对不对？好，我们就说 你在距 a d 四十千米处追上甲， 此时假行驶了四小时 就可以了。再看第八题，这里有一个容器，这个容器当中呢，有进水管和出水管，前四分钟只进水不出水，随后的八分钟之内 既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是一个常数，也就是固定的 容器内的水量。 y 单位是升与时间， x 单位是分钟之间的关系，如图所示，前四分钟灌了多少水？灌了二十升，对不对？后面呢？八分钟增加了十升水，到了三十升，对吧？好。第一个，当 x， 也就是时间 在零到四分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么由于它这个这条线段，它是不过了原点了，对不对？好，我们就把它设为正比例函数，知道吧？好，我们这里就直接写了啊，先一个一个求下去， 当这个 x 小 于等于四大于等于零的时候，对吧？函数为什么为正比例函数？ 因为它过圆点了，对不对啊？所以我们这里设 y 等于 k 一 x k 一 不等于零， 那为什么要设成这个样子呢？为什么设 k 一 呢？因为后面还一段呢，对吧？后面这条直线解集式的 k 值就是 k 二了，你都可你直接设了 k， 那 后面怎么表示呢？对不对？所以我们就设为 k 一， 然后你现在把这个点带进去就可以了，从这里你就可以看出来，这里有一个点是四二十吧，对不对？好，我们将 四二十这个点带入，那么二十就等于 k 一 乘上四，所以 k 一 就等于五了，就可以得到 y 等于五 x， x 的 取值范围小于等于四大于等于零就 ok 了。好，这个是第一问啊，第一问。 第二个，当这个时间来到四分钟到十二分钟的时候，求 y 关于 x 的 函数解析式，那么这个点呢？你也可以看得出来，它是十二三十，你把这两个点带入解析式当中，对吧？好，第二问， 当这个 x 取值范围在四到十二的时候，对吧？啊？函数为依次函数 设为什么呢？设解析式 为， y 等于 k 二 x 加上 b， k 二不能等于零，对吧？好，将 四二十这个点与十二三十这个点代入，那么你就会得到两个式子，一个是二十等于四， k 二加 b， 另外一个是三十等于十二 k 二加 b， 两个式子咱们进行相减， 你二四减一，四一四减二四都可以看你喜欢三十减二十还剩十，十，二减四还剩八，所以八 k 二等于十，对不对？好，那我们这里除一下 k 二就等于十，除以八， k 二就等于四分之五，然后再把四分之五带入一式当中，哎，你就可以得到，二十等于四乘四分之五加上 b， 所以 二十就等于二十减五， b 就 等于 十五，对不对？好，所以这个解析式 y 就 等于四分之五 x 加上十五 x 取之范围小，小于等于十二大于四。 好，那么这个第二问也搞定了。第三问，每分钟进水和出水各多少深？ 那前面一段是比较好求的，对不对啊？怎么求呢？你看，这就写第三问了啊，他前四分钟是不是只有进水口，对吧？前四分钟只有进水口，四分钟进了 二十升，所以每分钟就是五升吧，其实跟这个系数五有关，对不对？好，所以我们这里写一下元音啊，前四分钟 只进水啊，水量从零到二十升，水量从零升增加到 二十升，所以每分钟进水 就是二十，除就是二十除以四等于五升，这是每分钟进的，知道吧？好， 那出水呢？出水绝对不是这个四分之五升啊，绝对不要这样去写，为什么呢？它是进水和出水是同时进行的，你看后面的这个八分钟是进水和出水同时进行的。那假设啊，你可以这样去想一下， 他如果在后面还是继续只开进水口，不开出水口，那么他到了十二分钟的时候， 他会有多少水？前四分钟每分钟是五升水，对不对？如果继续往后加，是不继续往后加，那么你看我们这里直接拿五升乘上十二，是不是？正常来讲，如果你不开出水口，是不是得到六十升？但现在实际上有只有多少升？ 现在实际上只有三十升，那么你想一下，相比于不开出水口是不是少了三十升？ 那少了三十针是什么原因呢？是不是因为他打开了出水口啊？他打开出水口把这个三十针给流走了吧？是不是给流出去了吧？那么你看他花了多少时间？他是不是后面的八分钟才打开的？ 所以八分钟你可以理解为 low， 出去了三十升水，你就拿三十除以八就可以得到，对吧？三十点七五升，所以它每分钟这个出水口每分钟可以出三点七五升水啊， 这个是根据实际情况去考虑，那如果你要列式去计算的话，我觉得可以用什么呢？可以用方程去做，我们这里设一下啊，设一下，设 浮水口，每分钟 浮水 m 毫 m 升，对吧？好，那么根据这个时间是不是十二分钟，对不对？十二分钟，那就是十二乘上五， 就是如果你打开进水口十二分钟，正常来讲是十二乘五，就是六十升，对吧？然后减去出水的量，出水是不是只有后面的八分钟才打开的出水口，所以减去八乘 m 等于剩三十升，剩下呢？就只剩三十升了， o 不 ok？ 好， 那么这里再讲一下啊，前面的这个 每分钟进水是五升，这个情况下是只有只打开进水的，只打开进水口，不打开出水口，那如果全程不打开的话， 不打开这个出水口，他会进水十二乘五，就会有这么多水，对不对？好，但是他打开了出水口，我们这里设每分钟出水 m 升，对吧？他打开出水口打开了八分钟，所以每分钟就是 m 升，那八分钟就是八 m， 要减去 这个流出去的水，剩下多少呢？还剩三十升，对应还剩三十升，所以我们这里把这个方程解出来就可以了，对吧？那就六十减八 m 等于三十，负八 m 就 等于三十减六十，负八 m 就 等于负三十 m 就 等于负三十，除以负八， 所以这个 m 呢，就等于三点七五啊， m 就 等于三点七五，所以我们就可以得到啊。这个进水口是每分钟进五升水，出水口是每分钟流出三点七五升水。好吧，我们答一下， 中上 每分钟 进水五升， 每分钟出水三点七五升就 ok 了。好，再整体看一下吧。 再看第九题。甲乙两家体育用品的商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍 和乒乓球，乒乓球拍每副定价是三十元，乒乓球每盒定价是五元。现在两家商店展开促销活动，在假店每购买一副球拍就赠送一盒乒乓球。 在已店购买一副球拍或者是一盒乒乓球，他都按定价的九折进行优惠，某班需要购买球拍四幅乒乓球若干盒， 就是不，但是不能少于四盒，什么意思呢？乒乓球买几盒咱们是不知道的啊，但是他一定会大于四盒，这样的话呢，他就可以满足假店买一副球拍赠一盒乒乓球的这个情况啊。 第一问，这里设这个班购买兵乓球 x 和在甲店付款的金额为 y 甲，在乙店付款的金额为 y 乙，分别写出在这两家店付款金额 y 甲和 y 乙与兵乓球这个 和数 x 之间的函数解析式，那这里也是分类讨论的，对不对？好，注意啊，这里的球拍四幅是固定的，他不会增加，也不会减少，知道吧？好，那么这里呢，我们先说假电， 假电是买一副球拍就送一盒乒乓球，那么也就是说他买了四副球拍就会送四盒乒乓球， 那么如果他就正好买四盒乒乓球，那么乒乓球就不用给钱了，知道吧？好，那超出的呢？比如说他，他要买八盒，那么他就只需要付四盒钱，对不对？好，我们先说假电 y 夹怎么表示呢？前面四盒它是不打折的，你看就是它只是送兵乓球这个球拍呢，它不打折对不对？三十块钱一副，它要买四副，那就是三乘就三十乘上四，加上 送的送的咱们就不用算了，知道吧？四盒乒乓球送的咱们就不用算了，但是超出的部分啊，这里我们四盒写上这个是赠送的，不用给钱，然后超出四盒的部分呢？假如说他买八盒，他超出了四盒对不对？他买十盒是不是超出了六盒，超出的部分还是要按原价给的， 乘上这个五，所以 y 假的解析式就是一百二十加上零，再加上五 x 减去二十，那么这个 y 假的解析式就是五 x 加一百啊。当然了，你这个 x 怎么样？必须大于等于四，同时呢， x 为整数， x 为整数。好，这是 y 假，那 y e 呢？哦，对了，这里要打上括号啊， 那 y e 呢？那不管你买的是兵乓球还是这个球拍，它都会给你打九折，对不对？那打九折的话，那我们就怎么样乘上零点九就可以了， 球拍三十块钱一幅，它有买四幅，四乘三十打九折乘零点九，对不对？然后呢， 这个兵乓球的和数是 x， 兵乓球的和数是 x， 然后每和呢是五块钱，然后他也打九折，那就是五 x 乘上零点九，那么 y 也就等于这里一乘就等于一百零八 加上四点五 x， 所以 y e 的 解析式，四点五 x 加上一百零八，当然这个 x 也是必须大于等于四，并且 x 为整数啊。好了，那么第一问就搞定了。 再看第二个，购买几盒兵乓球的时候，在假两家商店付款的金额是一样的，那么这个对应呢？就是 y 假要等于 y， 一 对不对？金额一样，那就是 y 相等嘛，对不对？ y 相等的话，把这两个式子拎出来单独算，那就是五 x 加上一百等于四点五， x 加上一百零八，一下五 x 减四点五 x 等于一百零八减一百，所以零点五 x 就 等于八， x 就 等于八，除以零点五， 那除以零点五就是除以二分之一，除以二分之一就乘以二，所以 x 等于十六，对不对？好？因此呢，我们就写，购买十六和 乒乓球十在两家 商店付款金额一样。 好，这是第二问，再看第三问， 如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买呢？那就看谁更便宜对不对？好，第一种是假更便宜，那么就是分情况讨论。第一种， y 假小于 y， 那 么其实计算呢，跟这里的计算是几乎一样的啊。第一种情况 就在这里，就是五 x 加上十一百小于四点五 x 加一百零八，对吧？这里算出来的是什么呢？这里算出来的是 x 小 于十六， x 小 于十六。所以我们这里就写，当兵乓球 和数 不少于四盒且少于十六盒的时候， 假商店更便宜， 假店更划算。 第二个就是这个假店的费用大于乙店的费用的时候， 那这个时候你代入就是五 x 加上一百大于四点五 x 加上一百零八，这里算出来的是 x 大 于十六啊，所以呢，我们这里就写，当 乒乓球 核数 多于十六核的时候， 以电更划算。 好。第三个，那就是两个店的价格收费一样的时候， 那就是五 x 加上一百等于四点，五 x 加上一百零八， x 等于十六啊，所以呢，我们就说啊，两家一样啊，当兵乓球 和数 为十六和十两加一样， 划算就可以了。 再来看拓广探索第十题， a 层有肥料两百吨， b 层有肥料三百吨，现在要把这些肥料全部运往 c、 d 两个箱，从 a 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用是二十元每吨和二十五元每吨。那我们这里写一下， a 往 c 运是二十元每吨， a 往低运是二十五元每吨， 从 b 层往 c、 d 两个箱运送肥料的费用分别是十五元每吨和二十四元每吨。好， b 往 c 运怎么样？是十五元每吨，写上十五元每吨， e 往 d 运是二十四元每吨， 你会发现这里所有的肥料加起来是五百吨，而这里需要的肥料加起来也正好是五百吨，所以我们这要全部都运出去，对不对？那怎样调配呢？我们就可以设一下，咱们这里呢，就设 a 往 c 运 x 吨，然后总费用 为 y 圆，那就可以了，我们可以通过这个 a 往 c 运 x 蹲，把其他的三种全部表示出来，对不对？好，这里我们写一下。那你看， 如果我这里 a 层运这个 x 蹲到这个 c 箱去，那这里运 x 蹲，换一个笔，这里运 x 蹲， 那么剩下的往哪里运呢？剩下的只能往低这里运，对不对？假如说它从这里运了七十吨过去，那么剩下的一百三十吨就要往低运就可以了，因为 这里有的肥料和需要的肥料是一样的，所以这里两百吨和三百吨都要全部运出去，所以他这个 c， 这个 a 往 d 就 要运两百减 x 吨，剩下的就全部给 d 了，对不对？好，再来看。 那么你这里想一下， c 箱需要两百四十吨，它这里已经有 x 吨了，那还需要多少吨呢？对不对？我们就用两百四减去 x。 假设，举个例子啊，假设它从这里运来了一百吨，运来了一百吨， 这里需要两百四十吨，那还需要多少吨？是不还需要一百四十吨？这一百四十吨是不是从 b 层运，对不对？这里我举个例子啊， 不是实际的，那么这样的话呢，我们就需要拿这里已经有的而需要的吨数减去已经运来的吨数，那么剩下的就是还需要的吨数，所以我们就拿两百四 减去 x 吨，这里就需要两百四减去 x 吨。好，那最后一个就是这一个，那 b 层要往低相运多少呢？那你看一下，我们前面已经推算出 b 层往 c 箱需要运二百四十减 x 吨，对吧？那么三百吨已经运走了这么多，那剩下的就要全部给 d 箱，那剩下的怎么表示呢？这个也是最难表示的一个，我们就需要拿已经有的 减去运往 c 箱的，那剩下的就要运往 d 箱，对吧？所以这里就拿三百 减去二百四十减 x， 这里需要化解一下，就等于三百减去二百四十加 x， 所以 这里就可以表示为是 x 加六十，三百减二十等于六十，那么这样的话呢，这几个数据我们就全部表示出来了，对不对？一一对应，在同一条线上， 就表示他需要的吨数，运的吨数和每吨的价格，对吧？这样的话我们就可以串起来了，那么这个总费用呢？咱们就可以直接算了，对不对？总费用 y， 先看 a 往 c 运，运了 x 吨，每吨运费是二十元，所以这里表示的就是二十 x， 再看这个 a 箱， a 层往低箱运，运了两百减 x 吨，然后呢是每吨二十五元，所以我们这里就写二十五乘上两百减 x， 再看 b 往 c 箱运，那么运了两百四减 x 吨，每吨是十五元，那就是十五乘 上二百四十减 x， 最后再加上 b 层往低箱运的 b 乘往低相运了， x 加六十吨，每吨是二十四元，所以我们这里就写出来是二十四乘上 x 加六十，那么所有的运费就是这么多了，对吧？好，我们这里再把它化简出来， 这里乘等于五千减去二十五 x 加上十五，乘以三千减十五， x 加上二十四， x 加上二十四乘六十，等于一千四百四十。好，然后最后我们再把 x 全部合并一下，二十 x 减二十五， x 再减十五， x 再加二十四 x， 那 就等于四 x， 然后这个五千加上加上三千六，再加上一千四百四十，它就等于一万零四十。这里注意啊，这个注意 x 怎么样？ 必须大于等于零，小于等于两百，因为它这个总共 才两百吨，对吧？那你运出去了肯定不能超过两百吨噻，是不是？好，所以就要小于等于两百，但是也不能说他运的是负数，那不可能是负数，所以呢，就大于等于零就 ok 了。好，那么这个函数解析式表示出来了，你再看，这是一个一次函数， 它的 k 值是等于四的， k 值是等于四是大于零的，那么说明这个一次函数是 y 随 x 增大而增大，也就是说 x 越大， y 越大。翻译成这里就是 a 层往 c 层运的越多，这个钱总费用就越高， 所以我们要让这个 a 层往 c 相运的尽可能的少， 那最少是多少呢？它这个 x 取的范围最小，是不是零呢？所以 a 层的肥料，那就不要往 c 箱运，就是一吨都不运，全部往哪里？全部往低箱运 啊，那你说，哎，不是从这里运过去更贵吗？对不对？但是你会发现，如果你把 b 层的这个三百吨肥料 拿两百吨移到运到 c 箱，那你看它的费用十五元每吨，是不是更少啊，对不对？好，所以呢，我们就让 a x 最小就可以了。 当啊，这里先写一下，这里对应的是 y 等于 k， x 加 b 啊，对应的是 y 等于 k， x 加 b， 依次函数 k 不 等于零，而这里的 k 呢？对应是等于四的四是大于零的，对不对？所以 y 随 x 增大而增大， y 随 x 增大 而增大， 所以我们要 x 越小，知道吗？所以 y 值 y 的 y 取最小值时，最小值时 取 x 取最小值， 那么因为 x 的 最小值 为零，所以 y 的 最小值 就等于就为多少，就为 带进去算，把零带进去算零，待到这里面去算，就等于四乘零加上一万零四十，所以 y 的 最小值 就等于四乘零，加上一万零四十，就等于一万零四十，所以他的费用最少是一万零四十就可以了，知道吗？好，这里我们把这个答也答好一点，那你知道了， 他往这个 x 为最小值的时候，就是 a 往 c 相运的是零吨，对不对？所以我们这里答的话，就答完整一点，就写， 当 a 乘往 c 箱运零吨， a 乘往 d 箱运两百减零就两百吨， b 乘往 c 箱运两百四减零，那就两百四， 然后 b 乘往 d 箱运，这里是 x 加六十，那么就是零加六十，就是六十吨， 这个时候，对吧？总费用最少， 最少总费用 为一万零四十元就 ok 了。那所以答的时候你要答这个方案是怎么运的，你不能光说 x 等于零的时候，知道吧？啊，你要说清楚是怎么调运的才行。

今天和大家分享繁体的函数小节与复习学习目标目注啊，思维导图啊，定义表达式，图像 性质，对称性， k 的 几何意义，实际应用啊！首先我们去复习定义，一般形容 y 的 x 分 之 k 的 k 为常数， k 不 为零的函数，乘以零的函数写成 s。 字母 y 是 函数 k 加 k 的 系数。三种表达形式， y 等于 x， 分 之 k 小 于 x， 负一次方 x， y 等于 k。 注意，都是 k 不 为零 啊。用待定系数法求函数的函数解析式。一般步骤，设设 y 点 x 分 之 k， k 不 为零。待把一组条件往里带入得到 k 的 原函数方程。解 解方程，求出 k 值定，将 k 带回解析式。确定函数解析式啊，画函数图像啊， 一般步骤，列列表，在取值范围内列表。瞄点连线啊，这函数图像都是这样啊，当开大一零，图像为一三项线，在每一项内外测增大而减小。当开小一零，图像为二四项线，在每个项内外测增大而增大。 既是轴对称图形，又是中心对称图形。对正轴是两条，一个是 y 直线 y 的 x， 一个直线 y 的 x 对 称中心是圆点啊。图像都无限的无限去进行坐标轴，但与坐标轴永远不相交啊， 永远不相交。这个，这个字啊，改错了啊，永远不相交。在这等号开的绝对越大，图像离最边处越远啊。 下面，下面是字，哪个是反比例函数？哎，二是，这没说开不为零，所以他不是，他是的，这也不是的，所以是的。这有两个 反比例函数，过这一点可得负十五 x， y 乘一，这两个带进去， ab 等于三三减四等于负一，这个是反比例函数，指数为负一， m 加一不为零。 第一个。第二个是反比例函数， a 加一不为零，二减 a 的 绝对值等于一。不同形式得到不同的 环比函数三种形式，解出此题，先确定是哪一种形式，再特别注意开头为零就可以了。下面下列函数 y 是 x 的 环比函数，刻度来，这一次环比零啊， 这是反比，这个 y 不是 x 的 反比例，但是 y 是 s 加一的反比例。这不是啊，这是 y 是 s 平方的反比例，这也没说它为零，所以还只有两个。 下面这是乘积为负十二，那你哪两个乘积为负十二，只有 d 啊。坐标横纵坐标乘积为负十二。下面再知道，这上 a b 就 等于一， ab 等于一，是吧，这是负一的。 这个乘乘负 a b， 括号二零二三，负一的除以负一，再乘一 b， 所以 是负 b， 是 吧？这个，这是负二，这是负六啊，这是二得四。负二 在同一个半径的图像上，则 m 的 值，这是二，括号 m 加五等于 m 乘以一啊。解出 m 值 下面，哎， x y 乘反比例啊，那 y 等于 x 分 之十二，那三，那 y 等于三。 第一个，先舍它，再舍它。注意，开一开二都不为零，不能用开啊，要开一开二，开一不会零，开二不会零，解除开。然后把两组条件带入含开一开二的二元次方程，求出开一开二，得出减去式，再把 s 等于负三往内带入，求出 y 点。 第八题啊，方便的函数啊，这是开升 s 负一次方，它可以带出负一，它不为零 啊。第一个问，是吧，什么时候是这么一个函数，那它就是一，它不为零 啊。指数 y 等于正负幺幺六。第二个呢？指数为负一，它不为零。指数 y 等于负二啊， y 等于负 x 分 之四，再把 y 等于八代入 x 等于 不二分之一啊。第九题，反比点中点 a， 在 反比点中点 a。 关于外主的对称点在另外一个反比点中啊，对称，所以， 所以看一，看一看二，一正一负。那从这里边只能是看一为正，看二是负啊，所以，原来这是在第一项线 啊，所以一个正三，一个负三，所以看一是正三，看二是负的啊。对称点，坐标往里带入得到解析式啊。 设解析式，这是最常见的方法。下面负的二四象限可以选择 a 这个图像，这肯定对位于二四象限在每一象限内 啊，这也对，所以只有 c 是 错了。 a 三二次象限， k 加 e 小 于零。这个在 看一看，画个图像啊，这个 s 二负的， s 一 正的啊，且 s 二大啊， y 二大， y 一 小，所以在二四象限啊， k 加三小于零。已知反比的函数 y 等于 a 啊，反比的函数在负一和负六之间时，由最大值和负六最大值之。 a 啊，这是负六 啊， s 是 负六，这是负一， a 等于负一。完美的函数 y 等于，这个 在负二和一之间时，最大值也就是负一，二比十二啊，然后二到负一所得二分之一。下面这三个在同一个标系内啊，这个， 这是正的， k 三是大于零的，这两个是负的啊， k 的 绝对值越大越远，所以我们找到啊， k 三是正的，是吧 啊， k 的 绝对值越大，离坐标轴越远。下面 六重起来是六，哎，结束了。下一个，这个，这是九，这是四大于四小于九，所以是五。 下一个每一项内外测值增大而增大，所以二四弦线二 k 加八小于零。第二，这个 都在双曲线上，且 y 一， 这是负一，这边是二好，所以三加 m 小 于零 啊。第三，位于第一象限 k 的 曲值范围，二， k 减一大一点。第二，当你看 y 等于 x 分 之二， 当 y 大 于负一时，这就是负一，负一，这点是 大于负一， 给点数负二是吧，大于负一时，就是小于负二和大于零过啊。第七题得 k 等于四 啊，开了一次二次相切啊，负三到负一，负三啊，负三再继续直接负啊，三分之四， 这是共四啊。去除范围下面第八，在这反比的还从左向上二四相形啊。 a 是 大于零， a 在 这边， 那 y 最小，可后的，然后 b c 啊， b c， b 是 y 二， y 二最大， y 三最小啊， y 二最大 啊，这是 y 二 y 三 y 一 最小。嗯， 负二分之六啊，看看 a 小 于我，整个画反了，我说怎么回事， a 是 负的， a 是 负的是吧， a 是 负的，所以 y 最大，然后啊， b c 就是 y 二 y 三 y 三在中间啊。第九，如果一万二装成五十四根，再反面弹出。这个题还没学过， 无时不入根，就是把它配方 s 加一，括号平方加 k 减一等于零，这个 k 减一是正的大于零，所以 k 大 一，它是正的，一三线线它就无减 啊。考点三开的几何意义啊？这面积不变啊，这个我们都才复习过啊。下一题， a 一 啊， y 等于 a， s 加于 ab， 两点 ab 为 五，这都是二点五， a c 为一点五，二分之三，二分之五，那这就是二是吧，然后就六，嗯 嗯啊，三呢，这，这是一点五，这面积一点五乘以二十三，没说错啊，下面一个矩形面积四啊， 下一个反面的函数移过去六一半，六啊，阴面积是二，这是六，六，这是四，这是四，加起来八 啊。下面，哎，等边三角形啊，一做垂线，这两个全等啊，这等边三角形的面积就是开值， 然后这个 平行四边面积是四，这就是二分之三，所以看是负二分之三。 这一题，这个做垂线，这是三，这是一。三角形面积等于梯形面积， 梯形，这是二，梯形，上底一下底二，高是三。最后面积啊，这结束 下一个开对几和一啊，就都等于二分之开，开一绝对值加开二绝对啊，这个等于它一半，绝对值，值和一半，这个是值差 啊，这是质差的一半啊。我们来看看这个题，这就是三，这是六，加起来九，这个这边是三，这边是一，加起来是四。 这个平行四边形面积两 k 值和是五，这是二，下边是三，所以 k 是 三。下一个 啊，就是说这是平行边形面积，则 a、 b、 c、 d 的 面积是多少？我们来看一看，把它做垂线啊，这是四，这是六，这是二啊，所以面积是二。 下一个。第八题，这个 y、 x 分 之 k 过 a 点做垂线做平行线，这是 y， 等于负 s 分 之二，加一点 d 啊，连起来， 这是二分之 k， 这是一。过 d 点再做平行线。若三角形， a、 c、 d 面积 o、 c、 e 面积二分之一啊， a、 c、 d 面积是二分之九，这是二分之一， 这就是二分之八，这就是四，这也是一啊，这是二，不就这就出来了吗？这是二，那么这 k、 k 就是 四，对吧？列方程解出来了。第九题， 这个点， a 这边是二，这边是一，嗯， b 和 c 关于圆点中心对称，那这就是三。问 abc 面积六。 下一题， y 等于 s 分 之十六点， b 在 外主上， a、 b 平行，平行啊， d 是 o， a 中点 啊。如果三角形 a、 b、 d 面积是二分之五，这是二分之五啊。 再开直，再开直，这是二分之五，这也二分之五终点吧。然后这个面积是八，这是五，这是三，所以开是六。 下一题，十一题啊，这是四，这是二，这是二，这是一，所以面积三。 下面这个做垂线，做垂线啊。嗯，平行四边形，面积十六，那这一边是八，那这是五，这就是三。三，那就是负六。 下一题， p 点坐标负二 m 啊，负 x 分 之四，那这就是二， m 是 二，而 p a 垂直垂直，这直接出二，这边是二啊啊。 c、 d 若 c 为 a， p 中点，经过连起来，证明这也是中点 啊。求 o、 c， p、 d 面积就是面积的二分之一，二得四，然后等于二啊， 这开的几何一又一个变形啊，把它记啊。 六啊。 y 等于负 s 和 y 等于。 求三角形面积，这点是二分之一，这个中心对称，这也二分之一，所以加起来一 下一题就连起来， a、 b 这个面积二十，那这是五。开始十，下一个负， 函数与函数图像， 直线 y 等于负 s， 直线 y 等于负 s 和负 s 分 之四，交于 a、 b 两点重新对乘 啊，那这是二，那就是八啊。平分。 下一题，这是 h 等于肉分之二十啊，然后大于一十 h 小， 所以第一个错了，肉等于二十，它等于十，等于它也错了。肉在零到 二点二十五， h 零到二十五啊，零点八，哎，对对对，下一个 肉在零到一之间时， h 啊， 肉到零点一 啊，这个刚才是零到二十，零到 h， 零到二十五，肉应该是小于零点吧。这也错了啊，这也错了，只有最后一个对，所以这一题，哎， 不对，哪点我弄错了啊，用 c 的 h 在 零到 零到二十五，零到二十五 啊，大于零零啊。对的，这也错了，肉在零到一，肉在零到一 h 呢， 是大于等于二十也错了，大于等于二十好，可以选择 c 啊。好，看图像下一题， 我们这为 x 垂直平面，这就为 x， 这是 y 啊，这是 y 减 s， 两次共固定 就是 s 平方减 y 减 s 平方等于四平方减 y 平方好得到 y 等于 s 分 之八啊。然后由于这个 x 啊，它取之外为是从二到， 从二到根号二到啊，从 x 从二开始啊，到二倍，根号二到二倍根号二，二也不能等于，所以只有选择这个啊， 求取这范围。下一题啊，三角形面积二分之一，底乘高等于十啊，从而 y 等于 x 分 之二十， x 大 于零，这一题，二十五乘以九点八等于三十五乘以 x， 就 算出来 七点。下一题啊， 电流与电流成反比，这将是右啊，用物理的变量右求出带进去。表达式啊，我们设开首先要用物理知识，就用右啊，然后再带入，第二，再把 i e 带入 就整出来了。第三啊，台灯的最小电流零点一，零点一 啊，最大电流零点六， 分别求出电流在这，电流在这，放一点进去。机器狗啊，六六三百六，这第一个是对的，五载重最快速度 为九，则记忆狗的质量九四十，这也是对的。机器狗质量越大，起鱼速度越小，不低于五， 不大于七十二，所以 c 选错了。下一题啊， 就是动力乘以动力 b 等于阻力乘以阻力 b 啊，你看它们乘积 是固定的啊，所以都等于三倍，所以拿 三倍除以二十四加零。下一个都是物理阻力乘以阻力倍等于动力乘以动力倍啊。列方程 接出来啊。第四啊，带入第三种情况，这种情况简单，根据物流的测量密度 与长度与起沫在一体中的长度有关。从反比例带入求出解析式，再带入求出长度 第六梯组啊，发现它们的神经是常数，所以是反比例函数啊，神经是相等，所以是乘以设 y 等于 s， 幂幂开，把一组条件带入其余检验就可以了 啊。原来焦距零点四，做 u 带时候又去配镜，焦距变成零点二五为步速上升还下降。我们带进去零点四，零点二五啊，速度上升了， 下面滑梯啊，后尾就是 b 六， a， b 十二十二， y 等于 s 分 之十二啊，这是第一。第二， c 到触角处， c 距离水平距离 一点五，则 b c 之间的长度啊。 c 啊， m 一 点五，一点五带进去， m 是 八 啊。然后啊，水平距离之间的差就两个一水平距离横坐标之差减一下是六，这点是二。水平距离， 这是二，一减等于六啊。下一个要是滑梯 bc 这样的 q 点除以设置一个安全警报牌，要求安全警报牌啊。距离 b e 距离不超过二， 求 q 点水平 q 点到水面的距离至少多少，那就是给这张二，这就是这点是二，这就是四啊，带进去 啊，不超过二，一减不超过六。不等式组啊，至少三米啊，至少三米，你要把这带带进去呢，这就是三，那这也是这样一样两种方法啊。第八， 这个喝酒酒精浓度，第一段依次函数，第二段半径的函数。 国家规定车辆驾驶人员大于过等于二十时，属于酒后驾驶，不能驾驶。就是把这两个函数解析式求出来，把二十求出来，才得过多长这两个时间之差啊。先求出表达式啊，先设直线解析式，把四分之一二十带进去啊，再接着 带进去以后，再把 s 等于二十三带进去，再求出 a 点坐标， a 点坐标以后再来求环比的函数解析式就出来了。然后二十点喝酒，喝完一杯毫升，该品牌第二天早晨六点是否能上班？那我们这二十点， 这是八点是吧？四分之一，第二天早晨六点能不能上班，我们暂时不知道，先说理由啊， y 等于二十，带进去就 s 等于九啊， 从二十点到第二天九点为十一小时，这是九点啊，所以可以正常上班啊。 把 b 的 函数 y 次函数同一轴向啊，我们就要讨论， k 为正， k 大 于零，这是二四象限，这是 k 为正，所以这是对，这是 k 大 于零， k 小 于零呢？ k 下小于零啊， k 下小于零啊，错了，这加一，这个错了，这也错了啊， 哎，看，小于零加一这样，这就是正，所以 b 点啊，刚才这也错了，这点是固定，这是零负一啊，你看清楚啊， 分类讨论就行了，正面两个反面呢？都过正，那么这两个正的另一个焦点 啊，关于中心对称，圆点中心对称，用不着求了啊，直接中心对称就可以了，加点，关于中中心对称，下一个啊，依次按住一环，命令按住，这是四 t 四 t 这个垂直垂直 b o c 面积是四，那这边也是四，那这就是八，那就是二 t 求二啊， 是吧？ g 点二啊，点八啊，所以开二等于八是吧，这在求出减一，直线减一次， y 等于二 v s 啊。 第三啊，第二个介克图像什么时候却是 y 二 啊，这是 y 一 哦，一三是 y 一， 这是 y 二，什么时候 y 二 大于 y 一。 这段从焦点的，从这一段 y 二往这一段，所以两段把焦点这边找到啊，所以小于负四，这边是负四，这边正四在零到四之间啊， 下一个啊， k 一 是负的， k 一 负的二四项形，那 c 一 三一定错了， k 二是正的， 就到负一零， g 是 零，所以 c 是 零。下一个我们看下一个证明的函数， 用反比根函数交于点 a， b 两点中心对称，把这一方代入，这是五， 所以另外一个焦点中心对称二负啊。 第三点，两个直线直线与它有且只有一个公共点，则开平啊， y 等于 s 分 之二与 y， 尤其只有一个公共量啊，还有这种题目啊，去把它 啊，怎么去做？就是 y 等于 k， s 加四和 y 等于 s 分 之二，组成方程组。 k s 平方加四， s 减二等于零，有唯一公共点啊，这个有点超标了。这一题啊，以后再说，它的 b 平方 减四， k c 小 于零啊，有一等于零就是完全平方，实际换句话说，它就是完全平方，你看它配方两面同出一个切一个完全平方就可以了啊。 s 分 之二 啊，再加二等于零，这以后我们这题有点过了啊，下面这题， y 一 等于三分之二， s 加与 y 一 等于 x 分 之开， 再点按交于点 a， 如果 b， c 等于三， a， c 则开值啊。 是横坐标为 a， 纵坐标就是三分之二， a 加二，然后乘积为 k 啊，这点是二啊，这点要用到 相似啊。 g， t 也超钢了，暂时也不好做啊。三次暂时不做，这以后用相似啊，相似 求求入求出，这是占三分，这是占四分啊。除以三乘以四，三分之八，那这个中坐标相等也可以求出来啊。 下面一次函数与环比函数推向交于，把这两点坐标求出来 啊，这个开是三，那一三三一一三啊。确定环面带入求出之间结一式和环面的二次结一式， 直接写出 a、 o， b 面积就等于梯形面积啊，直接做最后一减，等于梯形面积也可以啊。下面直线大于半径的就在这两个交点之间 啊。在这两个交点之间， 仅用无刻度的指示，在 s 轴上找一点，使 p a， s 轴上找一点 p， a 加 p b， z 段，那就是找对称点， a， p 二，那连起来就行了，这就是 p 点啊，无刻度指示啊。 求坐标，那就求先求直线解析式，或者对正点先求解析式， a， d 解析式，再求 y 为零，求出焦点坐标。第六题， y 等于三， s 以 y 等于 s 分 之 k， e， m， e 三，那就是三，是吧。 a， c 为五啊，这节是三，那这是四，那这节就是五啊。 一三， y 等于 s 分 之三，这环比的函数就出来了啊。第二啊， y 一 小于环比的函数， 直线小于环比的函数，就是零到一之间啊，这个 后移小于后移，直接写出，这个无需解答啊，小于后移零到一之间，下面过 b 点做垂线 a、 c、 d 的 面积， a、 c、 d 的 面积 啊，我们先做这个面积啊， a、 c、 d 的 面啊，那么做垂线啊，求出 f 点坐标， 直线求出 e 点坐标，这，这是 e 点坐标。做直线 f 点坐标啊， 求出来以后是吧。最后 a、 c、 d 的 面积等于两个三角形面积相加两个高底乘高就出来了。第七题，正比列函数 b 点坐标负三二，那这点就是三负二， k 就是 负六啊。中心对称，将正比例函数图像向上平移 m 个单位后， 若直线 l 分 别交它于 i、 o 分 别交完美连图像，外主与 c、 d 两点， d 与图像交于 c， i、 n 四与外主交于点 d， 求三角形后 c、 d 的 面积。那首先把图画出来啊，把图画出来，这是第一步 啊，它因为正四，所以不能在这边，在这边啊，然后要求 o， c、 d 的 命令啊，那就有坐标了啊， 证明函数是吧，向上平移啊，解的开篇。 然后将正弦向上平移， 把 i、 n 四带入， i n 四带入，再将负二分之三四带入至减减一式， 这只是反这一点，在反面点上求出 m， i， m 值都求出来 啊。然后新的直线解一式有了，令 s 为零，求出地点之间 o， d 就 有了， o， d 有 以后再来求面积。三角形面积啊，这就是我们今天学习那个。

八下数学最难的函数，十五道压轴题全部吃透，稳进班级前三发现没？八下数学依次函数压轴题专列无非这十五大题型专题一，竖形结合面积问题，平行转换等线段问题， 全等与依次函数，依次函数与全等相结合，依次函数与等线段问题，平分面积问题，依次函数与垂线结合依次函数与平行线段。以上完整区间码。

依次函数的应用题，是我们八下期末必考的应用题啊，今天我们来讲利润最大问题，哎，这一道题也是之前的一个期末考试真题，你看，他也是结合了当年的一个热点啊，冰墩墩，雪融融。哎，上一个我们讲的是 另外一个热点啊，荔枝，那今年大家也要关注一下，今年我们有没有后续有没有一些热点的新闻啊，也有可能结合来考，然后看一下啊，这道题， 他说啊，在三月呢，购进一批冰墩墩，雪绒绒，已知呢，一个冰墩墩啊，进价比一个雪绒绒要多七十块钱啊，这是一个关系。然后购买八个冰墩墩和十五个雪绒绒，金额一样啊，这是一个等量关系。那下面看第一问啊，第一问， 选啊，第一问，他说求冰墩墩和雪融融两种玩具的进价分别是多少？按道理来讲呢，我们可以算 x， y 也是可以的，但这个地方呢，我们实际上用一元方程会更简单，因为他题目当中明确了这个啊，冰墩墩、雪融融之间是有关系的。而且呢，你看啊，这里 说冰墩墩进价比这个什么样啊？雪绒绒多七十块钱，那我们可以选择设其中一个为未知数，而且通常我们设的是后面那个量为 x， 比如这里面我们设的是雪绒绒为 x， 那 这时候我们的冰墩墩呢，就是 x 加上七十。 好，这里是未知数啊，接下来我们就列方程啊，未知数呢，只有一个，我们只需要一个方程就可以解决了，所以这里有一个关系式可以列方程啊，八个冰墩墩，八个冰墩墩，就是八乘以多少呢？ x 加上七十等于十五个，雪绒绒就十五 x， 那这个呢，很好解决啊， x 就 等于八十啊，这是我们的雪绒绒的啊，八十，那所以呢，这个八十加上七十呢，等于一百五啊，这是我们什么样呢？这是我们冰墩墩的钱，对吧？一百五十 啊，答，我们要答啊，冰墩墩一百五十块啊，雪绒绒八十块啊。第二问，我们的最大利润啊，来了， 那依然是啊，我们第一步设未知数，列关系式啊，列不等式，求范围，我们现在设未知数，他说两者完全共四十只，哎，这比上一个题呢，哎，就上上题要简单一些啊，我们就可以设其中一个啊，我们可以设冰墩墩 m o， 许蓉蓉呢，四十减去 m o， 依然要设未知数啊 啊，四十减 m 个，然后还要还要特别要设一个。什么样呢？设它的利润啊，利润，设它的利润为 w 元啊，设利润为 w 元。好，接下来我们就先列这个关系式， 这个总的利润应该等于怎么样呢？两个部分啊，冰墩墩的钱，雪绒绒的钱。冰墩墩，他的进价是多少呢？哎，是一百五，卖多少钱呢？卖两百块，所以他一个的利润就是两百元，一百五就是五十块钱，有 m 个五十 m， 再加上呢雪绒绒，哎，卖呢一百块，进呢八十块，每一个就是二十块钱的利润，四十减去 m， 最终化简一下啊，化简一下应该是三十 m 加上八百，哎，不等这个关系式呢，我们就列出来了啊，接下来我们去找不等式，求 啊，范围不等式哪里呢？你看这里有不超过这个字样？没有哎，不超过就是小于等于的意思，但是够进这个，那就是进价喽啊，总共不能超过三千五， 那么看啊，冰墩墩进价是一百五，那是一百五十， m 加上，哎，雪绒八十块钱的进价有四十，减去 m 个，最终要小于等于三千五，那最终 m 算出来应该是怎么样子的呢？ 小于等于七分之三十，好，有了关系式，有了范围，接下来我们就要通过函数的性质求对值，那么因为 m 什么样呢？ 呃，这个地方啊，因为我们的三十是怎么样呢？大于零的，而且 m 为什么啊？为整数啊，为整数。 那所以呢，我这个当怎么样呢？当 m 等于多少的时候啊，我这个 w 会有最大值啊，它有最大利润嘛，对吧？那么要知道，当这个前面这个系数啊，我们 y 等于 x 加 b 里面啊， 我这个系数大于零的时候， y 随 x 增大而增大吗？那在这个题里面，就是 w 会随会随着 m 的 增大而增大，所以 m 越大，我的利润越大，那所以在这个范围内，我要取到的 m 应该是这个范围内的最大值， 那么呢，先估一下，七分之三十应该是多少呢？应该是四点几，对吧？四点几的话，在这个范围内的最大值应该是谁呢？是四啊，所以当 m 等于四的时候呢，我这个 w 就 什么样呢？有最大值啦 啊，有最大值，那最大值的话，他并没有让我们求这个最大率是多少，所以在这里就可以结束了啊，所以打打这时候我们的 m 是 谁呢？ m 是 冰墩墩啊，等于四个，那雪绒绒呢，一减就到了三十六个的时候 啊，那我们的这个利润就会最大，哎，所以依然是这个格式啊，就先列关系式啊，求范围，然后通过函数的性质来探讨最值。

好，来看依次函数的图像与性质，研究依次函数，哎，你就不免研究它的特殊情况，正比例函数，正比例函数呢，就是特殊的依次函数，形容 y 等于 k x k 不 等于零，那么这个就是正比例函数的一般式，对不对？好，那么既然要研究图像和性质，那你就要先画图吧，对不对？那这里的例题一呢，他就给了两对正比例函数让我们画 啊。第一对呢，是 y 等于二 x 和 y 等于三分之一 x 啊，它这里呢列了个表格，这个表格呢，仅仅只是写 y 等于二 x 的， 那这个是 y 等于二 x 的， 那么我们还要把 y 等于三分之一 x 算出来，不过我们先观察一下它这个表格里面给出来的数据，能得到哪些点，对不对？好， y 等于二 x， 当 x 等于负二的时候，那么用二乘负二等于负四， 当 x 等于负一的时候，二乘负一等于负二，对不对啊？然后零乘二得零，一乘二得二，二乘二得四，好，把它的函数全部写出来，哎，你就可以知道这个 y 等于二 x 一定会过哪几个点呢？ 第一个点是负二、负四，负一、负二、零零一二二四，他会过这五个点，书上已经给我们画好了，他把这五个点呢，都画在图像上，已经标好了，看到没有？ 负二负四就是这个点，负一负二就是这个点，零零在这里，一二在这里，二四在这里啊，他已经给我们画好了，并且连接起来这条直线，另外这条蓝色的线就是 y 等于三分之一 x 了， 那么这里没有告诉我们点呢，所以我们自己补充一下，好吧，那我们在下面一行就写 y 等于三分之一 x， 当这个 x 等于负二的时候，你把负二乘上三分之一，就等于负三分之二，你拿负一乘三分之一等于负三分之一，你拿零乘三分之一得零，你拿一乘三分之一得三分之 二就可以了。哎， 那么我们就会发现， y 等于三分之一 x 一定会过什么负二负三分之二这个点，也会过负一负三分之一这个点， 过零零这个点，过一三分之一这个点，然后过二三分之二这个点，所以它会过这五个点，那么你把这五个点描上去也是一样的，对吧？所以它会过 负二负三分之二就这个点，负一负三分之一在这里，零零在这里，一三分之一在这里， 二三分之二在这里。好了，这五个点连起来也是一条直线啊，是同他们在同一条直线上，这条直线就是 y 等于三分之一 x， 好 吧，好，你会发现这两个图像它都经过一三象限 回原点，对不对？这个是第一对正比例函数，再看第二对，那它也画了啊，它在画下面也画了个表格 来，这里写的是 y 等于负一点五， x 的， 你拿负二乘负一点五就会等于三， 拿负一乘负一点五就会等于一点五，拿零去乘负一点五就会等于零啊，也，后面也是一样的，可以得到这五个点，所以我们就可以得到 y 等于负一点五 x 会经过哪五个点呢？会经过负二三 负一一点五零零一，负一点五 二负三啊。这个 x 呢，对应呢就是横坐标， y 呢，对应呢就是它的重坐标啊，会过这五个点，那书上呢？已经给我们画好了，这个在这，这个在这，这个在这，这个在这，还有这个啊， 连起来是一条直线，然后呢，这个 y 等于负四 x， 它这里没写，我们同样补充一下啊，同样补充一下， y 等于负四 x 负二乘负四等于八负二，而这个负一乘负四等于四零乘负四得零，一乘负四得负四，二乘负四得负八。好，所以我们就会知道 y 等于负四 x 会经过 负二八这个点，会经过负一四这个点，零零这个点，一负四这个点，以及二负八这个点，它会经过这五个点，然后呢，我们把这五个点描出来啊， y 等于负四 x 会过负二八在哪里呢？ 负二八的话就估计在这里了，我们就要把这条线延长出来了。延长一下，好吧， 它这个负二八的话，估计标的比较远，估计得跑这来。这是负二八，然后负一四在这个位置啊，零零在这个位置， 一负四大概在这里，然后下面的话，二负八其实还要往下延啊，还要往下延长啊，这里我就不延长了，大概在这个位置。好吧， 好，也是。这五个点把它连起来是一条直线，它是经过什么呢？这两个直线都只经过二四象限和圆点，对不对？好，你看一下它是怎么总结的？ 再回顾一下，当这个 k 值都是正数的时候，它经过一三象限，对不对？ 当这个 k 值都是负数的时候，发现了吗？它都经过二四相减，看到没有？以上四个函数图像都经过圆点，其中 y 等于二， x 和 y 等于三分之一。 x 的 图像它是经过第三和第一相减的，从左向右上升，看到没有啊？ 斜上方，它是斜上画的，从左到右是上升的， 你再看 y 等于负一点五 x 和 y 等于负四 x， 它都是斜向下， 看到没有？它都是经过第一项线和第四项线的，并且从左到右，向下，向下。 那么这个画法呢，有很多种说法，有从左向右上升，我们书上管它叫什么呢？我们书上管它叫 y 随 x 增大而增大。斜向上，斜向上，我们把它称之为 y 随 x 增大而增大，斜向下，我们称之为 y 随 x 增大而减小。 那么有些呢，有些老师也会直接说，哎，向上画或向下画啊，但是他会理解为这样向上，这样向下啊，那是不对的，知道吧？斜向上，斜向下，那么到了高中的话，我们叫单调递增和单调递减啊，单调递增，单调递减， 所以叫法有很多，知道吧？啊，反正书上的说法就是 y 随 x 增大而增大，这是 k 大 于零的时候，它就是斜向上画的， 然后呢， y 这个 k 小 于零的时候，那么它就会从左向右下角书上是叫 y 随 x 的 增大而减小。你们答题的时候最好按照这个标准来，不要想着啊，我写这个，你写这个的话就很容易错了，知道吧啊，因为它不够严谨。 记住，斜向上化叫 y 随 x 增大而增大，斜向下化叫 y 随 x 增大而减小，对不对？那么我们总结出来就是什么呢？总结出来就是 k 大 于零啊，向上化，斜上化， 斜向上啊， k 小 于零，斜向下，然后这个呢，是经过什么呢？ k 经过第一项线和第三项线，这个呢，是经过第二项线和第四项线啊， 然后你再看我们刚才画图的时候，立体里面是不是都给了五个点啊？对不对？但是你会发现正比例函数图像画出来是不是都是一条直线？ 哎，你发现这个问题了，那书本上也发现这个问题，他说由于正比例的正比例函数的图像他都是一条直线，那么你想一下，一条直线是不是有两个点就可以确定下来，为什么呢？因为两点确定一条直线呢？ 两个点就可以确定一条直线了，对不对？所以我们只需要画两个点就够了。而正比例函数 y 等于 k， x k 不 等于零，它的图像又是经过原点的直线，所以我们只需要再知道一个点就可以了。因为正比例函数怎么样一定会经过原点， 正比例函数一定会经过原点，所以你只需要再加上另外一个点就可以了。 所以只需要在确定正比例函数图像上的另一个点，就可以画出正比例函数的图像。一般的我们可以取 e k 这个特殊值，因为 y 是 等于 k， x 的， 当这个 x 等于一 y， 一定会等于 k， 因为 k 乘一得 k 嘛，对不对啊？所以你可以取圆点和一 k， 取点一 k 以及圆点，再单独写一下，加圆点，这两个点都是特殊点， 那么你在脑子里就可以把这个图像画出来了。来看到练习，第一个用你认为最简单的画法 画出下列函数图像，那么最简单的刚刚前面已经提过了，对不对？第一个正比例函数怎么样？过圆点零零，然后呢？他一定会过一 k 这个点，对吧？两点确定一条直线，你就可以直接把这两个正比例函数画出来了。 所以第一个是零零肯定会过的，第二个就是一 k， 这是它的特殊点，所以我们把这两个函数画成一个表格啊，所以我们画三格就可以了。 第一行写 x， 我 们就写零和一，第二行写 y 啊， y 等于二分之三 x， 这里写 y 等于负六 x， 你 把零带进去，一定等于零，对吧？零乘任何数都得零，然后你再把一带进去，一乘任何数都得任何数等于二分之三以及负六。所以它这个函数图像，它会经过零零这个点， 它会过零零这个点，也会过一二分之三这个点，然后这个呢，会过零零这个点，也会过一负六这个点。 ok 了，好，咱们现在画一下图像， 原点肯定是要有的，对不对？ x， 然后这两个点，另外两个点呢？它在第一象限和第四象限， 这里是零啊，然后这里写这个，写，这就写一吧，等一下写这里吧，这里写一。然后呢，这个上下要取到六，这里是六，这是三 五四二一，这里取到负六负三啊，其实可以了，够了，一个是零零，一个是一二分之三，在这个位置， 这里对到二分之三两点，确定一条直线，连一下这两个点，这条直线就是 y， 等于二分之三 x。 再看这个，这里经过零零，不用多说。然后一负六，找到一负六，一负六就在这里， 这就是一负六，这是圆点。好，把这两个点连起来。 好，这条直线呢，就是 y 等于负六 x， 好 了，咱们这个图像就画完了。 再看第二题，若点二 m 和点负三 n 都在函数图像上，这个函数是 y 等于 k x， 并且 k 小 于零，对吧？叫我们尝试比较 m 和 n 的 大小，那么这个就要借助图像了，你说，哎，这个 k 没告诉我们呢， 我怎么借助图像呢？它告诉我们 k 小 于零，对不对？好，我们这里可以写，因为 y 等于 k x， 并且 k 小 于零，说明什么？所以这个图像就是 y 随 x 的 增大而减小 啊。 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小， k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大，我们把它写出来， y 随 x 的 增大 而减小啊，所以这个图像过这个二四象限，过二四象限和圆点。 如果你还是不太理解，你还是可以跟刚才一样画表格，对不对？画哪两个点呢？一零啊， 零零和一 k。 假如说这个是 x， 这个是 y 等于 k x， 那 么你把零带进去就是零零，你把一带进去就是一 k， 所以 你会过零零这个点和一 k 这个点，而 k 怎么样？它是小于零的，你在图像上画出来， 那原点肯定是会过的，对不对？还有一个是一，而 k 呢，是一个负数， k 是 小于零的，它是一个负数，所以在第四项线，那么假如说这个点就是 k， 这个 k 不 一定就在这里啊，它 k 也有可能在这里，对吧？它也有可能在更下面，都可以啊，连接这两个它就怎么样，它就是它的函数图像。好，那么一个是二，一个是负三，二在哪里啊？呐？假设这里就是二， 它对应的这个点的这个位置对应的就是 m 啊，这 y 轴上的点就是 m， 然后你再把这个点，这个线延长一点出来，那再找到负三， 假如说负三在这啊，这个 x 轴咱们也要稍微画长一点，不然对不上 好对齐，这个点就是 n， 因为这个点呢，在图像上就是负三 n， 它既然说这两个点一定会在函数图像上，所以它只能这么画，知道吧？这个就是 r m， 那 你觉得 这个 m 大 还是 n 大 呀？你就在 y 轴上去找 y 轴上 n， 在 这个 m 的 上面，是不是说明这个 n 比 m 大， 所以我们这里就可以直接由图可知，对不对啊？由图 可知，这个 n 是 小于啊，不对， n 是 大于 m 的， 或者是你这里写 m 小 于 n 也是可以的，对吧？但是呢，像这种方法啊，比较麻烦， 那么我们更多的呢，是用什么呢？用它的性质，它 y 随 x 增大而减小嘛，什么意思呢？这句话就是 x 越大 啊，它的 y 就 越小，明白吗？所以我们就直接接着这个下面去写，因为这个二是大于负三的，所以我们就可以得到这个 m 就 小于 n 就 可以了。 以后的话，这个题目是不需要画图的，你只需要通过它 k 值是正数还是负数去判断它是 y 随 x 增大而减小，还是 y 随 x 增大而增大，就可以了。所以 k 大 于零，单调递增， k 小 于零，单调递减 啊，这个一定要记住，我们都是通过这个性质去判断的，不会再画图了，知道吗？只有刚开始的时候，我们研究的时候才会去画图，以后就不会画了。 那么这里呢，我们再说一下，就是它的横坐标 x 越大，在这里，因为它是 k 小 于零嘛，所以是 y 随 x 增大而减小，所以这里 x 越大，说明它的纵坐标就越小，知道吧？好，所以二大于负三的情况下，那么这个 m 就 会小于 n， 那 如果这里 k 大 于零，那就反过来了，那就反过来。如果这里是 k 大 于零的话，那么 x 越大，它的 y 就 越大，就这个意思。

八级下册数学一次函数单元，反反复复就考这六大板块的培优的压轴题型，基础扎实，想要攻克压轴题，粉丝重点掌握，那我把这些压轴题型都整理到了这份一次函数的压轴题里面，可以用做这个配合练习巩固。 第一是一次函数与线段关系。第二，一次函数与将军印码模型结合。第三，一次函数和铅垂高法求三角形面积。 第四，一次函数和等腰三角形、直角三角形、等腰直角、三角形、全等三角形结合的七大类题型。 第五，一次函数和平形、四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形结合的存在性问题。常考期末考的压轴题。第六是一次函数动态问题。 以上内容我都整理到了我的八项系统拓展视频里面都有立体跟练习的配套巩固，帮助同学们解决压轴题不会写的问题。

好，我们再来看依次函数概念的复习巩固。先看第一题，问我们下列函数当中，哪些是依次函数，哪些又是正比例函数？ 那这里你要知道，正比例函数是形容 y 等于 k， x 的 k 不 等于零，对不对？依次函数呢，是 y 等于 k， x 加 b 的 k 也不等于零，对吧？好，那么这个时候就看下面这几个式子当中， 他们 x 的 指数是否都是一，并且是否都满足胚不等于零就可以了，对吧？这里呢，正比例函数是特殊的一次函数，所以是正比例函数的话，他一定也是一次函数。我们先来判断第一个， 第一个是 y 等于负的零点二， x 对 不对？这里对应的是什么呢？这里对应的就是它的 k 是 等于负零点二的，它没有等于零吧，对不对？并且呢，它有没有这个 b 值啊？没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以我们就说是 正比例函数， 那同时呢，它也是一次函数，因为正比的函数就是特殊的一次函数，对吧？好，再看第二个，第二个我们要怎么样？先进行化简， 把它化简，负三去乘这个框就等于负三， x 减三，那么这里对应的呢，就是前面这个 y 等于 k， x 加 b 对 应的也是负三，这里对应的就是 k 等于负三，它这里的 b 也等于负三，是不是符合第一种形式啊？所以呢，它是不是正比例函数呢？它不是，它有 b 值，对不对？所以它不是 这个正比例函数，但是呢，它是什么？它是依次函数就 ok 了。再看第三个，第三个是 s 等于 pi r 平方，这个是面积，对不对？ 这里其实不容易看出来，因为你不知道哪个是 s 啊，但是呢，你分析一下你就知道了，这个半径呢，是会发生变化的啊，而这个派呢，是一个定值，所以呢，这个派就是 k 值，所以 k 就 等于派啊。而这里的 r 的 平方，它对应的是什么呢？如果我们把它写成 y 和 x 的 形式，你可以理解为 y 等于太 x 的 平方，这个 x 它是一次吗？它是不是一次，对不对？这里的自变量 r 为二次，这里写一下自变量 r 的 平方是二次的，它不是一次的，对不对？所以它就不是一次函数，那也不是正比例函数，所以我们就说 它这个不是正比例函数，怎么样也不是一次函数。再看这个，把它化简一下，可以把它写成二分之一 x， 好了，那这里呢，这个 k 就 对应的呢，是二分之一了，对不对？好，这个 k 对 应的就是二分之一，好，那么这个呢？没有尾巴，没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以它既是正比例函数，也是依次函数，所以它这里 是正比例函数，也是依次函数，就 ok 了。再看第二题， 用函数解析式表示下列问题当中的 y 与 x 的 关系。先看第一个，一个长方体的长为两厘米，宽为一点五厘米， 高为 x 厘米，它的体积是 y 立方厘米，那么这里就要让我们找到这个 y， 也就是体积和高的关系。那我们知道长方体的体积公式是什么？是长层宽层高，对不对？长方体的体积 等于长乘宽乘高，对吧？那么对应呢，这个体积 y 就 等于它的长二乘上的宽一点五，再乘上它的高 x， 对 吧？好，那么 y 就 等于三 x 就 算出来了啊，当然了，这个高必须要怎么样？大于零，这个 x 必须要大于零， 为什么呀？你如果高小于零或者是负数是负数，那肯定是不可能的，对不对？那如果说是零的话，那么会怎么样？他就没有长体积了，对不对？所以呢，他就不满足长方体这个要求，所以如果是长方体，他的高一定必须是正数，对吧？好， 再看第二个，某水箱里面有水，十升，以零点五升每分钟的速度往外开始放水， 放水的时间为 x 分 钟，问我们剩余水量 y 是 多少升，对吧？好，那么这里呢，它的关系也比较好找，就是水箱里面剩余的水量等于原有的水量减去放出去的水，对吧？好，我们这里写一下剩余 水量，它是等于原有水量 减去放出的水量。 好，这个剩余水量呢，就是 y， 原油水量呢？是十升，那这里写了原油水量十升，对吧？好，你零点五升每分钟，那么你放水的时间是 x 分 钟，那么每分钟零点五升，那么放出去的水就是零点五， x 同时写上它的自变量取值范围，那么十升水最多能放多少分钟呢？你就用十怎么样去除以零点五十，除以零点五，等于二十分钟，对吧？ 好，我们这里写一下，十升水需要多少时间呢？需要二十分钟，怎么样？可以放完， 那么放完就没有水了，对吧？那这个计算呢，就不用写了。所以呢，我们这里 x 的 取值范围必须要怎么样呢？必须控制在二十分钟以内，要小于等于二十，同时大于等于零就 ok 了，对吧？好，当然我们这里重新再写一下， 我们把它写成 y 等于负零点五 x 加上十 x 的 取值范围小于等于二十大于等于零。 好，再看第三题，若 y 与 x 成正比例关系，并且 x 等于二的时候， y 等于八， 写出 y 关于 x 的 函数解析式，并且求出 x 为和值的时候， y 会等于负四。好，你看这里是正比例关系，对不对？ 正比例关系的话，那么我们把这个 k 当做正比例系数，那么 y 比上 x 等于 k， 那 么我们就可以把它写成 y 等于 k， x 啊，这里再写一步，因为这个比号的计算就相当于是除号的计算，我们把除以 x 移过去，就变成了乘以 x， 对 不对？好，那么这个就是正比例函数的一般式吧，对吧？好，那我们把它写出来之后，把它带进去算就可以了。 因为当 x 等于二的时候， y 等于八，所以我们这个 y 等于 k， x 就 可以写成八等于 k 乘上二，那么八就等于二 k， 那 么 k 二 k 就 等于八， k 就 等于四，对不对？好， k 等于四，所以这个函数解析式就是 y 等于四 x， 好 了，这个算出来了，我们再把这个往里面带，对吧？好，当这个 y 等于负四的时候， 这个 y 等于四， x 就 可以写成负四等于四 x， 那 么四 x 等于负四， x 等于负四，除以四， x 就 等于负负一，所以呢，当 x 等于负一的时候， y 它就等于负四了，对吧？好，那这样的话呢，咱们就回答完了再看综合运用第四题。某银行一年期的存款利率为百分之一点五，即存入的本金为 x 元， 一年到期的时候，那这个本息和为 y 元。那么首先你要知道什么叫本息和。本息和呢？就是连同本金在内，加上利息一共多少钱，就叫本息和，知道吧。啊？而利息的计算呢， 它等于本金乘上年利率，再乘以七数，乘上年利率， 再乘上七数。 好，那么我们知道了这个之后再去写，你先把利息算明白啊，它的利息等于什么呢？本金设为 x， 年利率是零啊，百分之一点五，对不对？然后再乘期数，它这几年一年是不就可以了，对吧？所以呢， 这个本息和 y 就 等于本金，本金是 x， 加上利息，这个利息呢，等于本金，也就是 x 乘上什么呢？乘上年利率百分之一点五， 再乘上什么？再乘上期数。一。好，这个是 x 啊，不要把 x 和乘号弄混了，就把 x 写大一点 乘好，那么这个 y 就 等于 x， 加上零点零一五 x， 那 么 y 就 等于一点零一五 x， 好， 这个就是它的函数解析式。 然后呢，它自变量值的范围呢？必须大于零，对吧？你存的钱不可能等于零吧，对不对？那零元还叫存钱吗？是不是？或者是你是负数的话，那就不叫存钱了，那叫借钱了，对不对？ 再看第二个，他说存入多少钱？存入一万元的时候，一年到期之后，本息和是多少？我们这里就写，当 x 等于一万的时候， 那么这个 y 等于一点零一五 x， 咱们就可以把它写成一点零一五，乘上一万，那么这个 y 就 等于一万零一百五十啊，所以他的本息和是多少钱呢？ 本息和就是一万零一百五十元就可以了。 再看拓展探索第五题，学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包六十元，张华有零花钱四百八十元， 即他用零花钱捐献的书包个数为 x 个，剩余的钱为 y 元。那么第一个叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式， 以及自变量 x 的 取值范围。好，那么这里呢，我们可以先把它的关系写出来，对不对？好，这个剩余的钱等于什么？剩余的钱等他已经有的钱减去买书包花的钱就可以了，对吧？好，我们先写一下 剩余的钱 等于什么？等于总共有的零花钱 减去买书包的钱。 买书包六十元，怎么样？一个，那么这里有 x 个，那就是减六十 x， 剩余的钱呢？是 y， 对 吧？总零花钱呢是四百八，减去买书包的钱减去六十 x。 所以 这个解析式咱们就可以写成 y 等于负六十 x 加上四百八。然后他教我们求自变量值范围，首先要大于等于零嘛，对不对啊？ 那还有什么呢？还有你看他这么多钱最多能买几个，我们算一下他最多 能买多少个呢？你就拿他的总共的钱去除以他的单价，你会发现最多能买八个， 最多就能买八个。所以这个解析式，他这个 x 呢，就是小于等于八的，对吧？不能超过八，所以 y 等于负六十 x 加上四十八啊，四百八会得到 x 取的范围是 x 大 于等于零， 小于等于八啊，第一位就搞定了，对吧？好，第二个，若他至少留下一百八十元购买课外书，那么他最多能捐献多少个书包呢？ 那这里的是，这里的意思呢，就是让剩下的钱一定要大于等于一百八，对不对？至少要留下嘛，对不对？所以剩下的钱余下的钱要 大于等于一百八，也就是 y 要大于等于一百八，而这个 y 呢，是等于负啊，这里是负六十， x 就是负六十， x 加上四百八要大于等于一百八，然后呢，咱们把这个移过去一百八减去四百八，就会等于负三百， 然后两边同时除以负一百六啊，除以负六十就要编号 大于等于就要变成小于等于，所以呢， x 就 小于等于几个呀？五个，所以它最多能捐献五个书包，所以我们这里写 它最多能捐献 五个书包就可以了。

好，再来看依次函数当中实际问题的拓广探索。第八题，图中折线表示刘伟骑车离家的距离 y 与时间 x 的 关系。他是九点离开家的， 十五点三十分回到家，请你根据这个折线图回答回答下列的问题。好，我们先看它这个折线图是怎么画的。 那九点他开始骑车出门了，对不对？在九点之前，他离家里的距离是零，对不对？ 在九点之前，离家的距离是零，说明什么？说明他就在家里啊，他呆在家里，那么他和家里的距离之间不就是零吗？对不对？说明他和家是重合的。然后呢， 他开始骑车，从九点骑到十点三十分，是不是骑了一个半小时，对不对？迟了，骑了一个半小时，那么骑到了哪里呢？骑到离家三十公里的地方， 一个半小时骑了三十公里，对不对？然后到十一点的时候，哎，还是距离家是三十公里，说明什么？说明这段时间他没动，对吧？或者你你可以理解为他下车哎，做一个深蹲，对吧？做个运动，对吧？啊？反正就是他在原地没走，然后 再从十一点到十二点三十分，对吧？好，他从三十离开家三十千米的地方，到了四十五千米的地方，说明是不是又骑了十五公里啊，对不对？又骑了十五千米，然后这个时候他十二点三十分到十三点三十分，这个时间， 这段时间内，他离家的距离一直保持在四十五千米的地方，说明什么？说明他也停下来了，哎，这个时候停下来有可能在干嘛，哎，有可能去吃饭了，对不对？到中午了嘛。然后呢？下午十三点三十分的时候，他又开始骑了，不过这个时候 他离家的距离慢慢的下降，降到了十八千米。 你本来一开始假如说这个是加，这个一开始离加四十五千米，然后过了一段时间，现在离加变成了十八千米了，说明他往回走了吧，对不对？他往回走了， 然后骑到十四点三十分的时候，哎，他回来的这个速度是不是变缓了？你看他这两条折线都是不一样的，一个下降的比较快，一个这里比较稍微慢一点，所以他骑慢一点 啊。骑慢了之后呢，就是到十五点三十分的时候， a 这个时候和家的距离也是零，说明他到家了啊。就是这样的一个过程。我们来看他的问题， 他说何时刘伟离家最远？是不是这个时候？十二点三十分的时候是不是离家最远呢？对不对？十二点三十分到一点三十分的时候，离家是最远的， 有四十五千米，对吧？好。所以他问我们刘伟什么时候离家最远？我们先回答他。第一个问题是十二点三十分到十三点三十分之间，离家最远， 那么这个时候刘伟离家有多远呢？他对应的是什么？四十五千米，所以离家有四十五千米就可以了。好吧，再看第二问， 何时刘伟开始第一次休息，那么什么时候开始第一次不动，就是这个十点半到十一点之间，这个时候他是没动的，对不对啊？我们这里写过来，他是十点半到十一点之间。哎，他是第一次休息， 休息了多长时间？那我们就拿十一点减去十点半，等于三十分钟，所以第一次呢？他休息了三十分钟啊。这个时候刘伟离家有多远？ 这个时候离家对应的距离是三十千米，所以回直接回答，三十千米就可以了啊。再看第三问，他说十一点到十二点半的时候，刘伟骑了多少千米？ 十一点到十二点半这一段，他是不是从距离三十千米的地方骑到了距离三四十五千米的地方？是不是增加了十五千米？所以他就骑了十五千米，所以这个对应的就是什么呢？就是四十五千米减去三十千米，说明他骑了 十五千米就 ok 了啊。再看第四问，刘伟在九点到十点三十分 和十点三十分到十二点三十分这两个时间段，他们的平均速度各是多少？那么平均速度等于什么？平均速度等于总路程除以总时间啊。我们这里写一下， 平均速度等于总路程 除以总时间。 所以它这个九点到十点半是骑了多久？是不是骑了一个半小时，对不对？是不是骑了一点五小时？所以我们这里就写 十点三十分减去九点等于一点五小时，等于一个小时，三十分就等于一点五小时， 那等于一点五小时，那总路程呢？总路程是不是骑了三十千米，对不对？所以是三十除以一点五，所以对应的所以它的速度等于三十除以一点五，那说明什么？说明每小时就骑二十千米，所以是二十千米每小时，这个对应的是九点到十点半。 然后再来看，从十点半到十二点三十分，那么他的总时间是过了两个小时啊，然后齐了十五千米，那在这里已经写了，对不对？好，我们这里就回答， 这个就往这里回答，先算时间，十二点三十减去十点三十等于两个小时。 然后呢，我们再拿他的路程，这个平均速度是路程是十五，这个十五的话，我们就拿四十五减三十， 那从这里骑到这里嘛，对不对啊？四十五减三十，骑了十五千米，再除以两小时，说明这个时候平均速度是七点 五千米每小时。好，这个就是第四问的两个平均速度。再看第五问，刘伟返家的时候平均速度是什么？他返回家是不是从这个时候开始？然后再到这里是不就停了，对不对？所以我们先把他的时间算出来， 他返家的时间是十五点三十，减去十三点三十，用了几个小时啊？啊？是不是用了两个小时啊？ 然后呢？骑完了，从四十五千米的地方骑到家，是不是走完了这四十五千米啊？对不对？所以就是四十五除以二等于二十二点五千米每小时，所以他回家的 这个平均速度是二十二点五千米每小时。好了，现在再来看最后一问，十四点三十分的时候，刘伟离家有多远？那十四点三十分，这个时候比较好回答，对应的就是十八，这个时候他离家的距离家还有十八千米， 那么在回家的路上什么时候？注意是回家的路上啊？刘，何时？刘伟距离家六千米，你找到这个六千米， 找到这个六千米，六千米大概在这个位置，那么这个时候他问的就是等于六千米的时候，他这个时间点是几点呢？是几点，就叫我们求这个点，那么这里的话呢，我们可以通过我们以前的这个速度问题去算， 但是呢啊，我们现在也可以用什么呢？也可以用函数去做，用函数做怎么做呢？啊？这是一，从这个点到这个点，我们从这两个点， 这两个点，这个点的坐标，我们十五点十五点三十分，就把它写成 十五点五逗零，好吧，这个点的坐标是十四点五逗十八。好，我们知道这两个点，你把这两个点 带入直线解析式啊，带入一次函数解析式啊，把这个解析式求出来，然后让它的 y 值等于六，就可以求出它的横坐标，也就是时间了，知道吧？好，我们这里设啊，这里有 x 有 y， 那 就不用设了，对不对？好，我们就将 这个十四点五十八和十五点五零带入到 y 等于 k， x 加 b 当中， k 不 等于零。好，带您算一下，那么零等于十五点五， k 加上 b， 然后这里是十八等于十四点五， k 加上 b， 一式和二式，两式一减，那变成负十八等于 k， k 就 等于负十八，对吧？好，然后呢再算， b 把这个 k 带进去，那么零就等于十五点五，这是一式当中乘上负十八，再加上 b 等于负的二百七十九加 b， 所以 b 就 等于负的二百七十九，所以这个解析式 y 就 等于负十八， x 减去， 不对，是正的二百七十九，正的二百七十九啊，移过去等于正的二百七十九，所以是加上 二百七十九。好，这是这一段的解析式，注意它的 x 取的范围是小于等于十五点五，大于等于十四点五的， 只有这一个范围啊。然后呢，我们这个时候，当它的 y 值等于六的时候，那么六就等于负十八， x 加上二十七点九以下十八， x 就 等于二百七十三， x 就 等于十八分之二百七十三，所以 x 约分就等上下约掉三等于六分之九十一，所以 x 就 等于化成代分数就等于十五又六分之一。 那么十五我们知道是多少？十五就是十五点啊，六分之一呢，你把它化成分钟，对吧？那我们就接着算一下，六分之一乘上六十等于十分钟，所以十五又六分之一 十，它就等于十五点，这个十分啊，十五点十分，所以它什么时候离家的距离是六千米呢？就是十五点十分的时候，所以我们就写 啊，啊，这个直接把它转成十五十十分， 回家的路上，居家，回家时居家 六千米就可以了啊，这个是用函数的性质去做的，用函数的方法去做，那么如果说你说，哎，我不想用函数方法，我就想用常规方法，那我这里也写一下，好不好？方便大家理解。十八公里 是不是从十四点三十分到十五点三十分，是不是就跑完了，对吧？好，那说明什么？那我们就拿这个它的十八千米每小时，把它速度算出来， 它的速度这就等于十八除以十五点三十，减去十四点三十，中间隔了一个小时，所以它的速度呢，就等于十八除以一，就等于十八千米每小时， 对不对？那么他想要距离家里是六千米，对不对？那要跑多少？那往回跑十二千米，对吧？所以是十就是十八，减去六等于十二千米，十二千米他需要跑多久呢？就拿路程除以速度 就等于三分之二小时， 还有三分之二小时呢，就等于四十分钟， 那么你看他从十八千米的地方跑到六千米的地方需要跑四十分钟，那么你再拿 十四点三十加上四十分钟，他不就等于十五点一十了吗？对应的就是十五十十分吗？对不对？好答案是不是一样的，对吧？啊？这两种方法大家都可以理解一下。 再看第九题。快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣两种型号的机器人的工作效率和价格如下表所示。假型机器人每小时 每个小时分拣快递量是一千件，但是呢，它贵一点，每台机器人的价格是五万元。而以机器人 他每小时分拣快递量是八百件，但是他稍微便宜一点是三万块钱一个，对吧？那这个公司计划购买两种型号的机器人，一共十台， 并且使十台机器人每小时分拣快递量总和不小于。什么叫不小于？不小于就是要大于等于吧，对不对？反正不能小于，那就只剩大于和等于了，所以是要大于等于 八千五百件。第一问，设购买甲型甲种型号的机器人 x 台，那么甲是 x 台，那么购买乙台乙的呢？因为机器人一共是十台，那么甲是 x 台的话，那乙就是十减 x 台 啊。购买这十台机器人所花的费用总费用为 y 万元，叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式，看价格就看这个对不对。 假是 x 台，那么一台五万，那么就是五 x， 乙呢是十减 x 台，它一台三万，所以就是三乘十减 x， 那 把它价格加起来就可以了。所以第一个是很好表示的，总费用 y 就 等于这个五 x， 这里写一下， 总费用 等于假价格 加上乙的价格，总费用对应的是 y， 甲的价格是五 x， 而乙的价格呢，是三乘十减 x。 咱们再化简出来，五 x 加上三十减三 x 就 等于二 x 加三十，所以这个 y 呢，就等于二 x 加三十。注意 这里的 x 不 能是负数吧，对不对？所以这个 x 取的范围要大于等于零，同时呢还要小于等于十，因为它是机器人，一共就十台，所以你不能超过十，知道吗？好，并且 x 还必须是整数， 这里写一下， x 为整数， 你不能买回来的机器是半台吧，对不对？零点五台行吗？肯定不行，零点二台也不行啊。 再看第二个，在购买十台机器人当中，购买几台假型号的机器人，可以使得所花的费用最少，最少的费用又是多少呢？好，那么这个时候你就要去看第二个条件了， 它挑拣快递量总和不小于八千五百件，那么你就要看这个了，你要跟它 x 曲子，根据 x 的 曲子范围去看了，对不对？好，那么这里呢，我们就看件数，这第一问，件数怎么写呢？件数怎么表示呢？件数 要大于等于八千五百，那假台机器，这个假机器 x 台，那么每台每小时可以分多少？可以分一千件，它的每小时总和要大于等于八千五嘛，所以件总件数，每小时的总件数，它就等于假的， 假的呢，就是一千 x 加上乙的呢，乙的是每小时八百件，所以就是八百乘上它的数量十减， x 大 约等于八千五。好，接下来我们就算一下， 一千 x 加上八千，再减去八百， x 大 于等于八千五百一项，这里这两个一减等于两百， x 大 于等于五百，那 x 就 大于等于五百，除以两百，对不对？那么 x 的 取值范围 就大于等于二点五，那么 x 大 于等于二点五，那么至少因为要它要取整数嘛，所以最小只能取三嘛，对不对？好，然后我们还要让费用最少，费用是什么？它的费用可以用函数表示来，费用 是 y 等于二， x 加上三，对吧？ x 小 于等于十，大于等于零，并且 x 为整数， 是这样去表示的。那么你再看它，这个是一次函数吧，一次函数 k 值是不大于零， 我们想要判断什么时候取得这个钱越少，你就看它的 k 值对不对？ k 值是一个正数，所以 y 属于 x 增大而增大，你想要让费用最小，你就要让 x 最小，因为好，我这里写一下啊，因为 k 等于二， k 大 于零， k 是 等于二的，所以 k 大 于零， k 大 于零， y 随 x 的 增大而增大， 但是我们要让 y 最小，因为要使 y 最小，所以 x 要取最小值。 那 x 的 最小值是多少呢？因为这个 x 是 大于等于二点五的，所以 x 的 最小值为三。 为什么只能取三，不能取二点五啊？因为 x 必须是整数，在这个范围之内能取到的最小整数就是三，知道吧？所以呢，当 x 等于三的时候， 费用 y 费用有最小值 带进去， y 就 等于二乘三加三十，二乘三等于六，六加三十等于三十六万，知道吧？所以我们就说购买 三台甲型机号，甲总型号机器人 为三十六万元就可以了啊，再整体看一下。

今天和大家分享反比利函数当中的实际问题与反比利函数啊，以目标 录入导入啊，这是机器人啊，这些开场费啊，机器狗是模拟的，以这一款总质量和最快速度成反比 啊。我们乘法 m 就 设范围的函数往里带入 k 九等于四倍 载重量， m 等于四十，把它往里带入，速度啊，当速度就出来了，当其最快速度为二尺时，求其载重质量二尺往里带入载重质量二尺间隔啊， a， 这个见一个容积为十的四次方立方米的圆柱形土气储藏室， 储藏室的底面积是 s， 深度是 d， 又怎样看出关系式底面积升高等于十的四次方， s 等于 d 的 十次方。若把底面积设为五倍带进去， s 等于五倍带入底面积二尺二尺底面 啊，深度是二十米啊！施工计划缩到地下十五米时，公式立即改变，把深度改成十五，相应的房子底面积应改为多少？ 带进去实物带进去会等于六百六十六点六七平方米。嗯啊， 好，今天我们利用环比函数解决实际问题。首先要抓住实际问题，做等量关系，把实际问题转化为数的问题，经常遇到是 知自变量取值求对应函数值，或者是知函数值求自变量取值啊。第二，码头工人每天往一艘船装运三十吨货，装完 装载完毕后，恰好用八天轮船到达目的地，我开始卸货，平均卸货速度为 v， 但每天与卸货天数之间有何关系？那我们设货物总量为 k， 一 开始 k 就是 三十乘以八， 然后现在二为四， k 就是 二为四 v， 九乘以 t 分 之二为四，然后啊，是吧。 然后要求双方不，不超过五天，那等于五往里代入四，四百八，不超过五天，那就要至少要卸载四十八的每天啊，至少超过不多于。我们既可以利用不等式，也可以利用环比函数增减性解决问题啊。 这个已知阻力臂，阻力阻力和阻力臂啊。动力乘以动力臂，等于阻力乘阻力臂，所以函数关系写成乘积式，最后变成半径的函数。这物理题啊，动力臂为 啊， l 为一点五，代入至少四倍有了。第二， 若使动力臂不超过体重所用力的一半，那它的一半，四倍，一倍，二倍。把 f 等于二倍带入， f 就 等于三倍三点一点五，则要增加一点五米 小微。若想使用动力不超过三倍，牛，动力臂最大为一点五点，能或切不动，那把三倍带入 啊，它是把一点八带入 啊，一点八带入， l 为一点八带入，求出 f 啊，大于等于三百三十三 u 三分之一，它不超过三百，所以不能撬动， 你也可以把三倍带入，这是二，得需要二，他才一点八，所以这个的把三倍带入可能更好做一些啊。第二题，调节电阻 一百一到二百二十五，电压两百二十五，用这用电机功率与电阻有怎样的函数关系式？这要用到物理知识。 p 等于二十分之六平方，又带进去 u 等于二百二十， p 等于。这个电功率范围是多少？那由于我们条件最 r 最小一百一， 代入功率是四倍四，二百二，代入功率二百二，所以功率在二百二到四倍四范围， 要用脑物理知识才可以求啊。方法，点标解决此类问题。根据自变量取值为求函数取值范围，先根据锂电点求临间点自变量取值，求其函数取值，再根据函数增减性求其函数范围，范围越 大。下面流行学啊，当空气中降到零点 四五，好像以以下式学生混合进教室，那就把零点四五带进去，两个时间差啊，你看，设反比例函数 十二九带进去，正比例函数直线解析式都有了好，然后零点四五把零点四五带进去，带入反比例零点四五 带进去是吧，四小时二百四十分，二百四十分啊，四 啊，这个零点四五带进去啊，也带到直线进去时啊，带到六十分之十二。 这是打过药的啊，就是这两个一节要三点八分交钱啊，打过药以后他就去。问题是打过药以后是吧，不需要这边零点四五带入了啊，下面 在市场发现，我们大家都会发现，这省记是定值啊，它是反比点函数，因为咱们省记是定，所以是反比点函数啊，这个总利因为 w w 等于啊，利润省记键往里带入 啊，因为 s 小 于等于十，所以大 s 等于十是 w 最大啊，这就根据这个函数找解析式，如图所示啊，这个 小孔到拉住的距离啊，这和半径函数解析式 啊，把它往里带入啊。二六一十二三四一十二，完美的函数，汽车功力一定是汽车行驶速度与阻力之间成反比啊，是完美的函数，这是 测出五分密的函数是吧， f 等于尾分之一八零零零啊。然后啊，要求汽车阻力低于 低于六倍，低于六倍，六倍低于六倍，把六倍带进去。这边是三十啊，不大于 低于啊。当汽车阻力低于六倍时， 汽车会有安全权，所以必须高于六倍，确保安全。那就要高于六倍，高于六倍就不大于三十啊，这个大家注意，关键词要注意啊， 运输量成绩是定值，所以是反比的函数。一辆拖十二，五辆一天拖六十 啊，带进去六十二十天。第三，运了八天，剩下不超过六天。运了八天，已经运了这么多，剩下任务不超过六天。 那七十二，七百二十除以六，一天要一百二，一百二除以十二十呀啊，才能完成。下面电压一啊二一等于二十分之六，把它往里带入，求出减一至 啊，大儿在二到两倍把它往里带入。二一在零点七二到七十二根线。 第五啊，汽车速度六小时到达，求路程升起来就等于路程，路程不变位就等于 t 分 之三倍啊。 某种原理，这辆车需在五小时内到达加力，则汽车速度至少多少五小时？ t 等于五，怠速至少六十，已知汽车平均速度最大可达八十八十，怠速三点五小时啊， 下一个加一量内限速为七十五。如果一辆汽车早上八点开始出发，什么时候回到，加低说明该车有超速行为，对吧？把七十五 啊，速度七十五带进去。 x 大 于等于四大于等于四啊， 八点 从家里出发，又回到八点的两个四等于十六十六点前回来，说明他有超速行为 啊啊。这节课我们学习了实际问题与环境的函数，用带的句话就解释是根据图像解决是问题啊。希望你今天学习内容。

来咱们说一下一次函数啊，一次函数的话本身是不难的，本身的话就那些基础概念的话，只要掌握了就很轻松就能拿分。然后难的是一次函数的不等式和一次函数。咱们的二十五题压轴题，也就是期末考试的压轴题，这个咱们需要训练。好，咱们来看一下题， 来，咱们看一下五一期间这个函数啊，一飞冲天的函数。函数这一章它分了两大章，一个是一次函数，一个是函数， 然后函数这张考察的是这个基本定义问题，然后我看了一下大家问题应该都不大，这个都是基本定义，然后 该讲的题都讲过，然后咱们主攻的是依次函数，依次函数的话，我看了一下大家的这个错题，错题的话前面应该是都对了，都是上课练习过的题。然后我们现在说一下这个十六、十七、十八题吧， 把这三道说一下，十六题，十六题的话，这道题也是我们上课说的一些普通题型吧，但这个题的话难度呢？稍微有一些，为什么说有一点呢？就一开始咱们做一次函数，不太熟的话，这个题可能做不出来。那咱们来简单说一下，十六题的话， y 等于负二 x， 所以 这个咱们肯定要画一个一次函数的图像，然后呢负二 k， 那 肯定是过什么过二四象限，那过二四象限的话，这个 k 是 正的，是负的，我也不太确定，所以说咱们就大概先画成一个这个样子， 然后那肯定的话，这个地方我不知道他是正的，是负的，所以他大概率就上下各有一个这个能理解的意思吧，所以说我就拿以上面这个为主，然后他呢与两个坐标轴所围成的三角形面积是九，那说白了就是这个三角形面积是九，好，那么现在让你求 k 值， 那这种题呢？是一个非常典型的题啊，你看三角形的面积，那这个其实就是三角形二分之一底乘以高等于九，就这么简单的一个公式，那么这个公式该如何去用？看这个题目，这个地方， 这个长度，这个长度是这个 k， 能理解的意思吗？为什么把这个 x， 把 x 等于零带进去，那等于零带进去之后，这块是不是就 y 等于零啊？ y 等于 k 啊？把 x 等于零带去， y 等于 k， 那 y 等于 k， 不 就 y 等于 k， 所以 这块长度是 k， 所以 咱们可以理解为就是二分之一乘以一个 k， 那 再乘以谁啊？ 还是看这个函数。那么咱们把这个 y 等于零带进去，这个点点，是不是 y 等于零啊？所以就是零等于负二， k 负二，然后 x 加 k， 然后这个地方是负 k 了，对不对？负 k 等于负二 x， x 等于二分之 k， 那 x 等于二分之 k， 是 不是就这一段等于二分之 k 啊？所以这个式子是不是再乘以一个二分之 k， 然后最后等于多少等于的是九，然后再一看，这个是四九三十六，所以 k 方等于三十六， k 等于正负六， 肯定是正负的啊，因为他没有规定我们这个一次函数在那个那个象限中，所以咱们这个肯定是两个答案，一个是上面这一块，有可能是下面这一块，看明白了吗？ 好，那咱们再来说十七题，十七题基本就是上课讲的原题了，咱们来说一下，他交于的是这个点，这两个一次函数交于这个点，那咱们以这个分界线为邻界点，然后看 x 加 b 是 谁， x 加 b 是 这个， 也就是 y 一， 我们这个地方就说 y 一， 把这块标 y 一， 但这个就是 y 一， 然后 k x 加， 就这个地方我写 y 二，所以说 y 一 大于 y 二，什么情况下 y 大 于 y 二，咱们看看图，是不是只有在这个点的右边，再都大于 y 二，所以 x 大 于等于不能是等于啊， x 大 于三，这个题应该也没什么难度吧？十六题，十七题， 我去对一下答案，然后十六题是正负六，十七题 x 大 于三，应该没什么问题，然后再往下十八题，十八题的话，这个题我们来仔细读题， 在平面直角坐标系中， a 点三到零， b 点零到三，那这个也得重新画图，那咱们来画一下， 就在这画了啊，按照这个三到零和零到三，咱们应该是在这个第一项线，所以呢， a 点咱们大概是在这个地方是三到零，然后 b 点大概是在这零到三，那么这一看就是一个等腰直角三角形，对吧？然后咱们再往下读 直线这个，然后这里面给你标注的是 k 大 于零，所以这个图像他肯定是要这么画，那具体画到哪呢？经过 c 点， c 点的话是负一一到零，这个是在这， 因为这个 a 点是三到零，所以按三等分的话，这个点是 c 点，那么想过这个点，而且还是 k 大 于零的话，那他必然是这样的一条线能理解的意思吧。好，那么咱们再来往下看， 把三角形 a o b， 就是 这个直线，把三角形 a o b a o b， 那 咱们还得把这个地方连一下，然后哪个是 a o b 呢？就是这个三角形是 a o b， 就 上面这个三角形 a o b， 这个三角形是固定的面积，对吧？这个二分之一三乘以三， 然后把这个三角形面积分成了两部分，其中靠近原点部分，这句话一定了解靠近原点的部分，那说白了就是这个四边形就画我现在画的这个四边形面积是四分之十五，整个这个四边形面积啊，好，那咱们这个四边形面积该怎么求？这是一个非常重要的关键点。 咱们来看一下这道题的话，其实上课咱们讲那个最难的难题的时候也说过这个点咱们就写成地点吧， 那么这个他告诉你的是这个面积是四分之十五，这是一个不规则图形，如果我们想要看这个四分之十五要用上的话，那我们是不是可以用三角形 aob 这个面积减去三角形 aoc 面积就等于四分之十五， aob 面积是固定的，然后这个 这个面积的话，咱们只需要求出地点的这个重的这个坐标，对吧？把这个地方写出来就行了。那么咱们来看一下这个该如何去求 d 点坐标，这个地方很简单，因为这个点过了这两个这个函数，所以我们只要把这个函数交点算出来就行了。那么 a b 这条线是什么？ y 等于 负 x 加三，这是 ab 这根线，对吧？ ab 这根线，然后第二根线是这个这根线，这根线的话我们是过一斗零的，所以我们把这个点带进去，那这个地方是 k 加 b， 所以 得出了什么 b 等于负 k， 所以 这个地方应该可以写成什么 k， x 加上一个，这个是负 k， 负 k 的 话这么写，所以这两个式子，这个是叫 cd 吧， cd 这条线，然后这两个线呢？构这构建出一个二元一次方程组，然后我们解出这个地点的坐标就行，解 d 的 横坐标不用解，对吧？求这个坐标，这个长度我们不要，我们只要这个长度， 这个长度我们有完之后就二分之一底乘以高就行了嘛，所以我们只需要求这个长度，那么按照这个图来说的话，感觉的话就是把这个 x 要换成这个，那么咱们看上面这个是不是可以改成 x 等于一个三减 y， 所以 把这个代入到下面，所以就 y 等于 k， 括号三减 y 减去一个 k， 然后 y 等于三 k 减去一个 k， y 再减去一个 k， 然后咱们把 y 和 y 的 都合并在一起，这两个 y 是 很明显可以合并的，所以这个地方我们把 y 合并在一起，是 y， 然后等于什么？一加 k， 看明白了吗？这俩合并在一起，然后右边还剩什么等于的，这个是 k， 三 k 减 k 吧，然后等于 y 等于一加 k， 分 值上面是三 k 减 k， 得的是这个，这个数没有什么太大问题吧？然后我们把这个数字再往后算， 三 k 减 k， 我 可以写成二 k， 不 用写，那么麻烦，这个地方写二 k， 然后再往下该怎么办呢？ 这个四分之十五，那咱们就可以写了。三角形 a、 o、 b 的 面积是多少？刚才我们说了一下，三乘三再除以二，对吧？所以是二分之九，所以这个地方我们就把三角形 a、 o、 b 的 面积是二分之九写这儿，然后呢再往下写哪个写这个这个面积，这个面积应该等于多少？ 减去一个二分之一，这个这个边长是多少？是二乘以一个二，再乘以一个，这个一加 k， 然后上面分之二 k， 然后等于谁？等于这个面积？这个面积多少是四分之十五， 然后我们求这个 k 就 行了，这样的话就明白了。然后 k 解完之后，应该最后答案是五分之三。 好，所以这道题的关键节点是我们要知道两条这个一次函数的焦点，这个是其实就是我们把这两个结合在一起， 组成一个二元一次方程组，然后解这个式子就行了。然后按照这道题来说的话，我们只需要知道 y 就 行，然后 y 的 话是可以用 k 来表示的，所以整个最后边这个式子里面，它就变成一个只含 k 的 式子，所以这个式子就算搞定了。 然后再往下说的话是第二页，第二页，第二页的话是这个二十三题和二十四题，也就是最后两道大题。

好，我们再来看一下如何用待定系数法去算依次函数的解析式。那么什么叫待定系数法呢？我们来看一下这个例题四，你就知道了，它这里告诉我们已知一个依次函数的图像，它经过点二负四和点负三十一， 那因为这个依次函数的图像怎么样啊？它是一条直线， 而两点就可以确定一条直线，所以他告诉你两个点了，那你就可以把一次函数的图像画出来， 那如果说他叫你求解析式呢？那么你就把这两个点怎么样带入一次函数的一般式里面， 一次函数的一般式就是 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？它既然在这个函数图像上，那么把这两个点带入解析式，是一定可以满足等式的关系的，对不对啊？你把它带进去，比如说二负四， 你带入带入到哪里呢？带入到 y 等于 k， x 加 b 当中，那么你就会得到把这里的负四换成 y， 把这个二换成 x， 那 么你就会得到负四等于二 k 加 b， 因为 k x 就是 k 乘二， k 乘二等于二 k， 对 不对？然后你再把另外一个点负三十一 带入到 y 等于 k， x 加 b 当中，你就会得到用十一换掉 y， 用负三换掉这个 x， 那 么就是十一等于负三 k 加 b， 对 吧？好，那么你看一下 这两个方程当中是不是有两个未知数，因为这里的 k b 是 相等的，所以你可以把它连立在一起，那么它就是一个二元一次方程组， 二元一次方程组的话，是可以求出两个未知数的，对不对？所以我们现在只需要把这两个怎么样算一下就可以了，看到没有？ 那刚才我们把这两个点带进去了，整理出来之后发现是这两个方程，把这两个方程重新写一遍，把这二 k 加 b 写左边，复式写右边， 负三 k 加 b 写左边，十一写右边啊，连立方成组，然后把 k b 算出来。那么这里呢？我们把它当做一式和二式，书上没有写步骤，没有写计算过程，我把这个过程补一下，你拿这两个四字相减一，四减二四，对不对？左边减左边，二 k 加 b 减去负三 k 加 b 等于负四减十一，对吧？左边减左边，右边减右边，那么就会得到二 k 加 b 减负三等于加三啊，然后减 b 减四，这个负四减十一等于负十五，然后把它加起来，五 k 加 b 减 b 抵消掉了，所以五 k 等于负十五， k 就 等于负十五，怎么样？除以五 k 就 等于负三，然后你再把这个 k 等于负三带回到其中一个式子里面， k 等于负三，带入到一式当中，那么这个二乘负三 加上 b 就 等于负四，所以就是负六加 b 等于负四， b 就 等于负四加六， b 就 等于二，那么你就会算出 k 等于负三， b 等于二，然后把它写在这个位置就可以了。好了，那么这个 k b 都算出来了，你再把 k 和 b 还原到它的一般式里面，还原到 y 等于 k， x 加 b 当中，你把这个 k 换成负三，把 b 换成二，你就会得到它的解析式。 y 等于负三， x 加 b， 这个方法就叫做待定系数。法 面意识上理解，就是把这个 k 值和 b 值把它当做不知道的数值，就是待定嘛，对不对？好，这就是待定系数法， 那么由于这个一次函数 y 等于 k， x 加 b， 当中 k 和 b 两个待定系数，所以用待定系数法的时候，一定要根据两个条件列出二元一次方程组。如果你只能带入一个点的话，那么这个是算不出来 k 和 b 的， 知道吗？必须要有两个点才可以啊。然后把这个 方程解出来，就可以求出一次函数的解析式了。而前面的例题三和例题四，那说明两个方面。 首先如果你知道解析式了，那么你就可以通过解析式去取点，得到两个点之后，你把这个两个点连起来， 你是不是就可以画出依次函数的图像，这条直线对不对？那如果呢？你只知道图像怎么办呢？你如果只知道图像，那么你就在图像上选两个点出来，然后通过这两个点带入到 依次函数的解析式当中，列一个二元式方程组，就可以把 k 值和 b 值算出来，那么就可以反过来求出依次函数的解析式，所以它们两个是可以相互的，知道吗？知道解析式可以画出图像，也可以知道图像画出算出解析式啊，这个是互通的。 再看立体五，一位记者乘坐汽车负三百六十千米外的乡村去采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路，那么在高速路上肯定跑得快一点，对不对？ 普通公路就会慢一点。汽车在高速公路上和普通公路上分别以某一速度匀速行驶， 汽车行驶的路程 y 与时间 x 之间的关系如图所示，那么你看他两小时之前是不是比较抖，对不对？说明跑的比较快，两小时之后是不是比较缓，这条直线是不是比较平，对吧？好，所以他就比较跑，跑的就比较慢。 第一问，这里叫我们求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的 函数解析式，那么这里你要分两段去求，你光是一段的话是不行的，知道吧？啊？ 第一段呢，就让它怎么样？大于等于零，小于等于二，第二段的话，咱们就让它大于二就可以了，分两段去打。 好，那么你第一段就是求 o a 这条函数解析式，对吧？那么你就可以通过这个图形怎么样看出 a b 两点的坐标。首先 o 点的坐标不用多说，对吧？啊，咱们这里可以由图可以看出， 这个 o 点的坐标是零零啊， a 点的坐标呢，是二一百八， b 点的坐标是三点五二百七。好，那我们要求 o a 这条直线的解析式，那你就把 o 和 a 带入这个 一般式 y 等于 k， x 加 b 当中，对吧？好，那么将 o 点 将这个 o 点零零与 a 点二一百八，带入到解析式这一段，我们就求 o a 等于 k， x 加 b 当中。那有些同学说，哎，这不是正比例函数吗？是的，是正比例函数，但是有些同学看不出来的话，你就直接用一般式去证，最后算出来正比例函数 b 就 会等于零，知道吧？好，那我们就带入正常带入就可以了，你就会得到两个， 你把零带进去，零带进去， k 乘零，加上 b 会等于零，那么就是 k 乘上零再加 b 会等于 y， 就 等于零。 再把这个二和一百八带进去， y 换成一百八，二换成 x， 所以 就是 k 乘上二加上 b 会等于一百八。好，化简一下，你就会得到 b 乘零得零，对不对？好， k 乘二就是二， k 加 b 等于一百八，那么由于这个 b 是 等于零的，所以这个式子可以接着算一下，它就算成了二， k 加零等于一百八就等于一百八，所以这个 k 就 等于九十。所以第一段 o a 这条线段，它的解析式就是，哎，九十啊，不是九十度 就等于九十 x， 并且 x 取值范围小于等于二大于等于零，对吧？这第一段再求 ab 这条直线，那 ab 这条直线，那么你就要把 ab 这两个点带进去了，对吧？好，将 a 点二一百八和 b 点三点五二百七 带入到 a b 这条解析式当中，那就是 k x 加 b 当中啊。这里的话，我们可以因为一个题目里面它不能有两种啊，不能用这个 k 同一个字母表示两个不同的未知数，所以我们就把它设为一一，这里都写上一， 好吧。那么下面呢，我们这里的 k 呢，就把它全部换成 k 二和 b 二， 这样表示这两个 k b 值是不相等的，好吧？然后带进去，那么你把这个 a 点带入这里面，那么你就会得到是 k 二乘上二， 再加上 b 值会等于 y 值一百八。第二个你是这里是 b 二啊，再把三点五换掉这个 x， 把这二百七换掉 y 加上 b 二等于二百七。好，咱们再化简一步，就会得到二 k 二加上 b 二等于一百八，然后这个是三点五， k 二 加上 b 二等于二百七，这是第一个式子，这第二个式子，我们拿第二个式子减去第一个式子，那么你就会得到啊，这里我就不写的那么详细了啊，直接就去减了 b 二减 b 二抵消掉了三点五， k 二减二， k 减二， k 二还剩一点五 k 二， 然后这个二百七减去一百八等于九十，所以这个 k 二就等于九十啊。写九十总是习惯性的写上度， k 二就等于九十除以一点五，那么九十除以一点五的话，这个 k 二就等于六十，然后你再把 k 二等于六十带入到一式当中，将啊，这个 k 二等于六十带入到一式当中，将啊，这个 k 二等于六十带入到一式当中。将 带入一式当中，那么就会得到二乘六十，加上 b 二等于一百八，所以这个 b 二就等于一百八。减去一百二，所以这个 b 二就等于六十。那我们算出来的结果就是 k 二等于六十，缩小一点啊， c 二等于六十， b 二也等于六十，所以它的这个第二段 a b 的 解析式，它就是什么呢？它就是六十 x 加上六十，它的取值范围是 x 大 于二的。好了，那么这两段咱们就都求出来了， 再看他的第二问，记者出发之后多长时间可以到达这个采访地，那么他要到多少多远呢？ 三百六十千米外，对不对？所以他也等于三百六十千米，那你就让第二段你看，从从图像上来看，你就看出他这个三百六一定是在第二段的，所以我们就带入这个设置里面去，对不对？好，当 y 等于三百六的时候，那么这个 a b 等于六十， y 等于 ab， y ab 等于六十， x 加上六十，就可以写成三百六十等于 六十 x 加六十，移项负六十 x 等于六十减三百六，所以负六十 x 就 等于负三百 x 就 等于负三百，除以负六十 x， 它就等于五， 所以过多少时间呢？过五个小时就可以到了，对吧？所以我们就说啊，出发五小时后 到达 采访地就 ok 了。当然了，这道题的话，下面它也是有答案的，书上也写了完整的过程啊，只是它把计算过程省略掉了。我在上面呢，就是把计算过程给大家补齐了，好吧，大家可以自己看一下。 再来看到练习第一个一个依次函数，当自变量 x 等于一的时候，函数值 y 等于五， 当 x 等于负一的时候，函数值 y 等于一。叫我们求这个一次函数的解析式。首先我们把一次函数的一般式写出来， y 等于 k， x 加 b， 然后一对应往里面去套，知道吧？他说当 x 等于一的时候， y 等于五，那我们就可以推出这个式子里面的 x 和 y 分 别换成一和五，那么就是五等于 k 加 b 啊。然后第二个条件，当 x 等于负一的时候， 它的 y 等于一，我们就可以得到这个 x 换成负一，这个 y 呢？换成一，那么就是一等于负， k 加 b。 好， 我们整理一下这两个式子， k 加 b 等于五， 负 k 加 b 等于一，一式和二式，你拿两个式子，一加一式加二式，你可以把这个 k 抵消掉，对不对？你就会得到二 b 等于六，因为五加一，它就等于六，对吧？好，所以这个二 b 呢，就等于六， b 就 会等于六，除以二， b 就 等于三。好， b 就 算出来了。那如何求 k 呢？那你就两个式子相减，对吧？一式减二式。好，因为这里的计算不是很多，我这里写完整一点一式，左边减，左边 k 加 b 减去负 k 加 b， 右边减，右边 就是五减一，那么 k 加 b， 加上减负 k 就是 加 k， 再减 b 等于四， b 就 被抵消掉了。二 k 就 等于四，那么 k 就 等于二，所以最后算出来是 k 等于二， b 等于三，所以这个解析式 y 就 等于二， x 加三就可以了。啊，这个就是它的解析式。 再看第二题，一个一次函数的图像经过点九零和二十四，二十叫我们求这个一次函数的解析式。咱们要求一次函数的解析式，可以用待定系数法把这两个点带入一般式当中，对吧？好，一次函数的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 我 们就将这两个点带进去，将九零和二四二十 带入到 y 等于 k， x 加 b 当中。好，那么这样的话呢，咱们就可以得到两个式子，你把九换成 x， 零换掉 y， 那 么就得到了零等于 k 乘九， 再加 b， 然后把这个带进去，那么 y 换成二十，那么就会得到二十等于 k 乘二十四加 b。 好， 整理一下就会得到九， k 加 b 等于零，二十四 k 加 b 等于二十。 好，我们拿这两个式子一减，你就会得到 b 被抵消掉了，对不对？二四减一四二十四 k 加上 b 减去九， k 加 b 等于二十减零。好，拆开括号， 加 b 减 b 就 抵消掉了。那么二十四 k 减九， k 等于十五 k， 十五 k 等于二十 k 就 等于二十。除以十五，这个 k 就 等于三分之四， 咱们再把这个 k 等于三分之四，三分之四带入到一式当中，那么这个九乘三分之四加上 b 等于零，就会得到九和三，约掉还剩三三四十二，十二加 b 等于零， b 就 等于负十二， 那么咱们就可以得到 k 等于三分之四， b 等于负十二，那么这个解析式就是 y 等于三分之四， x 减十二啊，加上负十二就减十二嘛。这个这样的话，咱们就把它的解析式求出来了。 第三题，一位旅客乘坐某航空公司飞机的时候，购买了经济舱的机票， 他所托运的行李费用为 y 元，与行李的质量 x 的 关系如图所示，那么这位旅客可以免费托运的行李最大的质量是多少千克？你看如果是二十五千克的话，那他就要花九十块钱， 如果是三十千克的话，他就要花一百八十元，你看这里有一段红色的线，看到没有？也就是说他到这里的时候，哎，他所有的钱都是零元，是不要钱的，知道吗？好，所以他问我们的其实就是问这个点是多少， 你把这个点求出来，那么他的这个质量就在这个点之前就是免费的，知道吧？好，那我们这里写一下。首先我们从这里可以看出有两个点，一个点是二十九、二十五、九十， 然后这个呢是三十、一百八十，那么你会发现它是一条直线吗？所以我们严格来讲，我们就设一下，设这个函数 的解析式为一次函数， 那就是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，对吧？好，现在我们把这两个点带进去，将 二十五、九十和三十一百八这两个点带入，你就会得到 它的横坐标 x 可以 换掉 x， 它的重坐标九十就可以换掉 y， 所以呢，我们就可以把它写成九十等于 k 乘二十五再加 b， 然后第二个你把这个带进去， x 换成三十， y 换成几一百八，所以它就是一百八十等于 k 乘三十，再加 b。 再整理一下，把它的 k 和 b 都写左边，那就是二十五 k 加 b 等于九十三十， k 加 b 等于一百八，那么这两个式子里面都有一个 b， 两式一减，就可以把 b 抵消掉，二式减一式，那么就是三十 k 加上 b 减去二十五， k 加上 b 等于一百八十减九十三十 k 加 b 减去二十五， k 减 b 等于九十，加 b 减 b 抵消掉三十， k 减二十五， k 等于五 k， 五 k 就 等于九十， k 就 等于九十除以五，九十除以五等于十八，所以 k 就 等于十八，对不对？咱们再将 k 等于十八带入到其中一个式子， k 等于十八 带入到一式当中，那就是二十五乘十八加上 b 等于九十，对吧？ 算出来等于四百五十，加上 b 等于九十， b 就 等于九十，减去四百五，那么 b 就 等于负三百六啊，那么 k b 就 都算出来了， k 等于十八， b 等于负三百六，就 ok 了。那么这个解析式呢，就是 y 等于十八， x 减三百六，那么我们要求这个点对不对？与 x 轴的交点，那么你就令 这个 y 等于零，因为在 x 轴上的点，所有的点，它的纵坐标都是零，所以你就让 y 等于零，则零等于十八， x 减三百六，咱们把十八移过来，负十八， x 等于负三百六，所以 x 等于负三百六除以负十八，那然后呢？这个算出来就是 x 就 等于二十，所以这个与 x 轴的交点 就是二十零，那么也就是说在二十之前它都是不用给钱的，对不对？所以它这里可以免费托运的行李最大的质量就是二十千克啊，二十千克，所以我们就写 可以免费托运的行李最大的质量为二十千克就可以了。