七下数学北师大版怎么画对称图形

今天我们来学习第五章第二节第三课时简单的轴对称角，请同学们来先看一下我们本节课的学习目标。好，那么哪吒最近在生活当中遇到了一个问题，需要大家帮忙解决，那么来看一下哪吒具体遇到了什么问题呢？虽然有点出问题，但也掩不住我迷人的帅气。 在遥远的昆仑山下流淌着两条河流，探秘者告诉了扎多留附近藏有宝法宝位置就在两河相交的一米八百米处，而且到两河的距离相当，只有智慧能解开谜底。哪吒带着地图乘风破浪 来到了河流附近，他望着两条河流开始思考着问题，女神们帮找到法宝吗？好，哪吒的问题是要帮助他找到法宝，法宝在什么地方呢？我们来看一下法宝聚于两河 交汇八百米处，并且到两横的距离。那么要解决哪吒的问题，就要用到我们本节课所学习的知识。好，首先来看一下，那我们都知道角是我们生活当中常见的图形，那么谁能辨别一下我们在生活的哪些场景中能见到的谁呢？ 大家谁知道小脚男生三角形还有没有？男生脚是地板专用角？还有没有 上方那个空的那个女生黑板的角？黑板的角还有没有那男生门框上的角？门框上的角非常好，我们中央的时针和分针是不是也是会形成夹角啊？来看就看，大家都能用数学的眼光来观察现实世界。来看一下，老师这里 例举了两个例子，一个是什么角，一个是它们的都形成了一个什么角，那我们都知道角的两边是两条射线，是可以无限延伸的，那么请问角是轴对称图形吗？来请大家拿出手里的 教学工具来折叠一下，找到一个角，任意找到一个角，进行对折，看看角是不是轴对称的图形，不是啊， 是不是轴对称图形？是任意找到一个角，就可以任意找到一个角，只说角，因为我们说了角的两边是可以无限延伸的，我们不说这个图形，我们只说这个角好吗？ 脚是不是轴对称弧形？手里的折完这个角之后会出现一条折痕，对不对？那么这条折痕是这个角的，这个折痕是这个角的对角平分线。那么如何去描述？既然角是轴对称弧形，如何去描述它的对称轴？如何去描述它的对称轴？这个你来说 这个角角平分线所在的平行非常好，是角平分线所在的直线。因为我们之前学习过对称轴，它是一条 直线，而角平分线是一条射线，所以我们不能描述说角平分线就是它的对称轴，而是应该描述为角平分线所在的直线，是它的对称轴。我们一起来总结一下， 请同学们提读一遍。开始角是对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。好，请大家记笔记好，这样子做起来， 我们继续再来看。学完了第一个，我们认识了角是轴对称轴心之后，我们来学习一下角平分线的性质。那么如图， o p 是 角 a o b 的 角平分线， 点 c 是 o p 上的任意一点，在角 a o b 中画出以 o p 所在直线为对称轴的一组对应点，点 d 和点 d 一 撇，那么连接 c d 和 c d 一 撇。首先 大家拿出刚才继续折的那个角，那么大家思考这么一个问题，我们现在已经有一个角是不是有一个折痕了？现在要在角的两边是不是找到一组对应点？ 请问如何快速的在你们这个手里的这个角找到一组对应点，在他的边上如何快速的找到一组对应点？这个男生你来说可以记住圆规，怎么记住这个角为圆心，以这个角的顶点为圆心，以任意长为画弧，画弧，这将脚的两边有两个什么 笔，是不是非常好？还有没有别的办法？这个同学的方法非常好，还有没有大家想一下平常最简单的方法，我们能不能拿一个笔 在这个边上把它折好，折好以后我在这个边上任意点一个点，打开之后那两个点是不是有一个就会在脚的两边是不是有两个明显的地方，那么这两个点就差了什么对应，还有一个方法我们还可以讲怎么办？ 对了，我们可以把它怎么样对折，对折以后展开之后，那么请问这两个点是对点？好，我们选起一个你喜欢的方法来找到一组对点 好，找到之后将这两个点用笔标记为点 d 和点 d 一 撇，再在我们的角平分线上任意找到一点 c， 再在角平分线上任意找到一点 c， 连接 c d 和 c d 一 撇。有些同学习惯非常好，用尺尺子来比好，那么做好以后就像老师的是这个样子的，那么接下来请大家再将这个角进行对折， 那你会发现 c d 和 c d 一 平了，重合了，所以这会来回答老师的第一个问题，你认为线段 c d 和 c d 一 撇之间在什么样的关系，存在什么样的关系当中？那个男生也来说对应的线段，对应的线段，也就是 c d 和 c d 一 撇是什么呀？相等的理由是它叫对应边相等， 这是刚才我们说完这个角是一个什么角，是一个什么轴对称图形，所以它的性质是轴对称图形呢？对应线段相等，很好，请坐。没关系。好，来，大家一起再来说一遍， cd 和 cd 也存在什么样的关系？ 相，相等理由是对应线段相等的非常好。来，接下来讲大家将数翻到一百三十一页，好，来看一下一百三十一页，来看一下我们的尝试思考的第二个问题，特别的当 c d 垂直 o a 如图所示， c d 撇和 o b 具有怎样的位置关系？ 为什么 c c b 一 撇和 o b 具有怎样的关系？ c b 一 撇，好，有结论了，只有一位同学，三位同学，三位同学非常好，你看这组同学非常积极。好，这个女生你来说是垂直，为什么？对应角，也就是说这个角 a、 o b 是 轴对称 图形，它的对应角是相等的，那我问一下，哪一个角和哪一个角是对应角？角角角 o d c 和 角 o d 撇和角 o d 撇 c 是 一组对应角，这里是垂直的话，所以这个角多少度九十度，那么根据对应角相等，所以角 c d 撇 o 也是多少度九十度。那么既然是九十度，所以 c、 d 和 o v 是 垂直的。好，请坐。 那么如果，那么我请问一下，此时的 c d 和 c d 撇还相等吗？相等吗？相等理由仍然是 对车平行到对应线段相等非常好。那么大家再想一下，如果我改变点 c 的 位置，此时的 cd 和 cd 撇是否相等？那么如果我将点 c 移动到这个位置， 我记为 c 撇，那么此时过 c 撇继续做垂线， c 一 撇和 c e c 撇 e 和 c 撇 f 此时相不相等，相等则仍然是一组对应的线段，所以无论它怎么变，只要这个点在哪里， 在断线上，他向两边做什么线垂线，那么此时这两条线段就是怎么样相等的。那我们知道点到直线的距离是 我们之前说过点到直线的距离是垂线段的长度，所以现在此时 c d 和 c d 一 撇表示的含义就是，那这个男生你来尝试说一下点 c 到线段 a d 的 距离，线段 a o 的 距离， 线段 a o。 再整理一下射射线到射线 a o 的 d， 也就是他刚才所说的射线 o a 和 射线 o b。 大家想一下，既然无论点 c， 只要他在角平分线上运动，无论他运动到哪个点，最后只要是他向角两边做垂线，最终这两条垂线段都是怎么样相交的？那么如何取得这个结论呢？ 那么如此你可以得到一个什么样的结论呢？下面呢，那个男生，你来说脚平分线上一点到脚两边的距离相当好，那么这个就是我们本节课所学习的重点内容。脚平分线平分线上的点到这个角的两边的距离相等好，就不用记不记好抬头。 那么既然学了这个性质，我们肯定要利用这个性质去解我们的数学题，那么来看一下在解题过程当中，这个证明过程我们应该怎么写？也就是他的几何语言。那么在数学几何语言之前，我们需要分析这句话他的条件和结论各是什么？ 好，首先我们来分析一下，条件是小数分线上的一点，所以首先第一个条件应该是什么？ 它应该有一条角平分线，那么在这个图中如何描述角平分线？因为 o c 平分角 a o b 就是 角平分线好，第二个点到角两边的距离相等，相等应该是它的什么 相等应该是他的什么条件还是结论？结论最后说的是什么条件？那么如何描述点到这个角两边的距离？在这个图中描述谁？ c d 这个女生来说，这是结论，这个条件如何描述到他的距离？ c d 垂直还有对了，所以最后的结论，所以 c d 等于 c e d， 这是我们的几何语言。好，来，在刚才我们的这个角平分线的性质旁边，将几何语言写到旁边。好，那么这里的 e g 就 应该填非常好，写完了没有？写完了好，写完了抬头。那我们一起来分析一下，再做一下强调。 在这个几何语言过程当中，注意我们用的条件是一平分，两垂直。在书写过程当中，三个条件缺一不可， 不能只写第一个，也不能只写后两个，是三个条件必须同时都要写。最后得到的结论是， cd 和 cd 可以 怎么样相等？好，那么它的作用是什么？角膜腺性子最大的作用是，大家还想想一下，我们之前在证明两条线段相等的时候，我们常用的方法是什么？ 什么全等，那么正全等这个过程相对来说是比较复杂对不对？你现在如果是在角平分线里面，我们不用正全等，是不是可以直接得到 c d 和 c d 也相当，这个过程会相对来说更简易一些。好，那么学习了角平分线性质，我们来检验一下大家的掌握情况。这个女生来说，你的答案是 选 c， 你 们的答案呢？选 c。 好， 非常好，老师和哪吒都为你点赞。接下来学习第三个知识点，我们来学习角平分线的做法。那么已知角 a o b 如何去做出一个角的角平分线呢？那么 在做之前，我们来看一下，如果说假设角 aob 的 角平分线已经做出来了，那么这条射线它应该具有怎样的特征呢？假设我已经把这条射线看出来了，这个男生也说平分角 aob， 那 也就是说哪两个角相 等的角 kob， 对 不对？好，我们今天想一下，既然他说我们要做出这条射线，我们最终是得到这两个角，想一想，我需要确定几个点， 我要做出这条射线。 o p， 大家我们都知道两点确定一条直线，那我现在要确定这条射线，大家想我需要确定几个点？几个？一个，为什么只确定一个点就可以了？ 那这个男生你来说一下 n 射箭从 o 点，也就是说有一个点已经怎么样？知道了，我们再去一个点就可以了，对不对？对，非常好。那么来看一下老师手里的这个工具。好，老师现在手里有一个两脚七，三角尺。好，来大家看一下， 我现在手里有一个两脚七和一个三角尺。如果说要借助老师手里的任意一个工具，你会借助哪一个工具去做出一个角的角的角线， 用哪个更能方便的做出一个角的角平分线？两角器，两角器的用法在小学已经学过了，所以我们今天就不再多赘述，我们这节课主要来学习如何用尺规来确定一个角的角平分线。 刚才大家已经回答过老师一个问题，要确定这条射线 o p， 我 们只需要确定几个点一个，那么回到我们刚才的探求过程当中去来看一下这个图， 那么现在要确定这条射线 o p， 实际上我确定哪个点就可以了， c c 确定哪个点 c 非常好，那么要确定点 c， 点 c 又怎么确定呢？好在刚才的探索过程当中，我们知道点 d 和点 d 一 撇是一组对应点，根据脚又是什么？ 角又是什么，我们得到第一个角是什么？轴对称对称图形，根据轴对称图形的性质对应线段是相等的，所以我们可以知道 cd 和 cd 一 撇是怎么样相等的，那点 d 和点 d 一 撇又是一组对应点，那么请问 o d 和 o d 一 撇 也是相等的，所以现在回答我们刚才说要确定 o p 这条射线，就是需要去确定点 c， 那 么在确定点 c 之前，我们应该先确定谁 点点点地和点地。其实刚才在一开始老师在问说如何在这个脚的两边如何快速的去做出一组对应点点地和点梯，其实刚才已经有一个男生已经给了我们一个非常好的答案，还记不记得 大家现在会不会确定点 d 和点 d 一 撇？来一起说一下怎么确定呢？你以点 o 为圆心，任意长度为半径画五弧，那么弧会交 o a 和 o b， 有 一个什么交点交，一个点标记为点 d， 另外一个点标记为点一撇。 好，那么现在确定南 d 和 d 一 撇之后，如何去确定点 c 呢？确定的关键在于 c、 d 和 c d 是 怎么样相等的？那如何用圆规再去用相同的线段去刻画点 c？ 点 c？ 好， 来，这个 把这个问题教给大家，来，大家动手操作一下，快点可以同桌之间互相交流一下。如何去确定点 c 的 位置？好，现在有没有画出点 c？ 好， 来，先跟老师一起再来确定一下点 d 和 d 的 位置。以点 o 为圆心， 任意长度为半径画弧，那么画完弧之后，将 o a 和 o b 分 别为点 d 和点 d， 接下来点 c 的 位置交给大家。好，我把哪位同学做出来了？ 做出点 c 的 点 c， 同学举手。好，这个女生你来上来画一下，你的做法是什么？好，现在他已经确定了点 c， 他 怎么做的？看见了没有？一点 d， 点 d 和点 d 为圆形，任意长度为惯性。那这个任意长度 是任意吗？小一点行不行啊？小一点行不行啊？那么这个长度最好是什么？大于大于多少？大于二分之一，大于二分之一，你们这二分之一的地底撇是怎么确定出来的？ 那如果小于会怎么样？对，如果说比这个地底撇的一半还要小，你想一下我们弧最后会形成一个什么圆？大家想一下，如果比他的一半还要小，两个圆最后有没有交点？ 没有，要确定一个点是不是要让两个弧有个交点？所以说这个长度不能比二分之一 d d 撇要怎么样小，比它怎么样 大，比它大。好。以点 d 和点 d 撇分别为圆心，以大于二分之一 d， d 撇长度为半径画弧，最后两弧相交于点 c， 好。 那么最终确定了点 c 之后，我们只需要将 o 哪哪两个点连起来 o c， 然后 o c 连起来好。那么此时做出来的这条射线就是角 a o b 的 角。角线我们要书写结论。结论怎么写？ o c 角 a o b 的 角射线好。

在九百六十万平方公里的土地上，你都见过怎样的中国？ 园与园之中，呈丰收图景，藏着质朴的喜悦。晒秋图，景美如画，五谷丰登庆丰收。 茶干湖冬季冰雪捕鱼，以圆为盘，盛满秋实，丰收入画圆满人间三角以三角之姿屹立，千百年不变，与生俱来的磅礴沉稳。 昆仑山玉珠风云雾缭绕，黄山巍峨险峻，肩顶凌云，三角定山，三角叠砌，山河锦绣环，以圆形之势闪耀文化之美， 以独特魅力惊艳岁月。福建土楼与自然完美融合。花瑶大剧场造型别具一格，贵州苗族歌舞多彩活泼，轮花表演流光溢彩。 万星象园，共绘家国，善面归心，圆融天下，方于一方天地，开拓拼搏， 展大国风采与力量。以方为基，铸造家国。方田成格，会就丰饶方格所杀，绿护家园方气聚力国之重器。方碑利剑，守护山河， 步伐铿锵，方阵如山，一方安宁。巍巍中华，山河，锦绣 几何，中国，生生不息。

所以，勤奋、重复大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。

走对称必考模型，将军印马坠子问题，一分钟带你轻松秒杀！另外关于走对称十大经典题型汇总全部给大家整理好了，电子版取件码一二三直接找我领。 我们来看一个经典的轴对称求最小值的问题，可以说这个题呢，难倒了百分之九十的同学，那在直角三角形 a、 b、 c 中角 a、 c， b 是 等于九十度， a， c 是 等于六， bc 是 等于八。如果 d 点和 e 点是 bc 和 ab 上的动点， 求 a， d 加上 d， e 的 最小值为多少，那咱们会发现这个 a， d 加上 d、 e 这两段的最小值哈。实际上这一类问题解析的核心在于两个折线的问题，求最小值往往会用到通过轴对称来实现化折为值求最短的思路。 那这个题如何利用到轴对称进行求解，实际上在于如何通过轴对称来实现等量边的转化。那咱们来看这个题呢，给了我们一个角， c 是 一个直角， 等于九十度，那实际上我们会发现点 a 关于 bc 的 对称点应该在它的左侧，我们可以延长 a c， 使得 c， h 是 等于 c a， 那 么也就是 a 点。关于 bc 的 对称点呢，我们记为 h 点， 那我们来连接 d h， 实际上我们会发现，根据轴对称 a、 d 的 长度就可以用 h、 d 的 长度来进行转化。 所以我们原题中要求的 a， d 加上 d， e 的 最小值呢，就可以转化成 d h 加上 d、 e 的 最小值，而 d、 h 再加上 d、 e 的 最小值呢，我们就可以利用两点之间线段最短来进行画折为值。那么最短距离呢？应该是 h e 的 长度，我直接把 h 点和 e 点来进行连接，那 a 点是一个定点，它的对称点， h 点呢，也是一个定点，但是这个体感中， e 点是一个动点， h 点到 e 点的一个距离，我们会发现它有若干条， 那怎么样求出来？ h 点到 e 的 距离最短，实际上就是直线外的一个点，到直线的距离应该是垂线呢，最短，也就是 h e 垂直于 a、 b 的 时候，我们能够求出来 h e 的 最小值， 那这个过程中呢？既然 h e 是 要垂直于 ab 的， 实际上我们就可以把 h e 理解为 ab 边上的高，那我就可以想到等面积法，也就是我把这个题当 b s 来给它进行连接。 那么根据三角形 a、 b、 h 的 面积，我们可以写成二分之一，那么底边 a c 是 等于六，那左边的 c h 也等于六，也就二分之一乘以个八，那么它就应该等于二分之一 ab 的 长度再乘以 h 一， 那在直角三角形中， a c 是 等于六， b c 是 等于八。根据勾股定律，六的平方加八的平方等于 ab 的 平方，那么 ab 呢？应该我们能算出来，它是等于十的，也就是常见的勾股数六八十。那么 ab 的 长度呢？是等于十，我们 写成二分之一乘以十，再乘以 h 一， 我们来去求解等量关系，实际上会发现 h 一 呢，应该是等于九点六，那所以这个题我们要求的 a d 加上 d， e 的 最小值呢，就应该为九点六，你学会了吗？

轴对称必考模型，将军印马坠子问题，一分钟带你轻松秒杀！另外，轴对称十大经典题型汇总，全部给大家整理好了，电子版取件码九八五找我领。我们来看一个经典的轴对称期末考试的压轴题型。 在四边形 abcd 中，角 b 和角 d 是 等于九十度，角 a 是 等于四十度， m 和 a 呢，分别是两个洞点， 当三角形 m， c， n 周长最小时，求角 m， c， n 的 度数为多少？好，那么看到这一类题目，它的解析核心在于三角形的三个边是随着 m 和 n 在 变化的，它是属于我们讲将军密码过程中典型的 两个动点，一个定点求最值的问题。那两个动点，一个定点往往会涉及到做两次对称的思路来实现画折为值来去求最短，那所谓的画折为值求最短，就要利用到轴对称来实现等量变的转化。 那题目中我们来看啊， c 点，它是一个定点，我们做对称往往做的是定点。关于动点所在直线的对称点，大家一定要记住这句话，这是我们这一类题目解析的普遍规律。做定点，关于动点 m 所在这条直线，也就是过点 c 做关于 ab 的 对称点。哈，那假设它的对称点呢？为 p， 我 们来连接 pm， 那 实际上根据走对称，我们知道 cm 实际上是等于 pm 的。 那同样的解题思路，我过点 c 做关于 n 点所在直线的对称点，也就是过点 c 做 a， d 的 对称点，那我们可以记为叫 k， 我 们来连接 n k， 那这个时候我们会发现，原来我们要求的 c， m 加上 m a 再加上 c， n 的 长度呢？实际上我们可以转化成原来的 c， m， 转化成 pm， 再加上 m、 a， 那 原来的 c、 n 呢？我们就可以转化成 k、 o， a， 那 我们来看 原来三角形的三个边，我们最终转化成了 pm， 加上 m， a， 再加上 n， q 的 长度，求它的最小值。实际上我们可以把 p、 q 来直接 连接起来，利用两点之间线的最短，那就实现了画则为只求最小的思路。所以这个题呢，最短距离应该就是 p、 k 的 长度。 那么我接下来把这个图呢做一下简化。那我们来看，当 p、 k、 o 来进行连接的过程中，它与 a、 d 的 交点为 n 与 ab 的 交点呢？为 m。 要想求 m、 c、 n 的 度数，实际上我们要找的是三角形里面的角度之间的关系， 那根据手对称，首先我们知道角 q， 假设我们既为角 x， 那 n、 c， q 也既为角 x， 那 下面的角 p 呢？我们既为角 y， 角 p 既为 y， 那 么角 m、 c， p 也既为 y， 那 根据三角形 c、 p、 q 的 内角和是一百八十度，我们可以知道 x 加上 y， 再加上角 b、 c、 q 是 等一个 一百八十度的。当然我们会发现，这个题干中呢，在原来的四边形 a、 b、 c、 d 中，我们实际上是可以求出来 b、 c、 q 的 度数，因为角 b、 角 d 是 等于九十度，角 a 呢，是等于四十度，四边形的内角和 是三百六十度，我们可以求出来角 b、 c、 d 呢，应该是一百四十度，也就是 b、 c、 q 是 一百四十度，那么 x 加 y 这个整体呢，就应该是等于四十度。 那这个时候我们要求的角 m、 c、 n 的 度数，其实应该是角 b、 c、 d 的 度数减去 x 和 y 的 和，也就是 b、 c、 d 一 百四十度，再减去四十度，最终呢，应该是等于一百度。那所以这个题最终答案呢？ m、 c、 n 的 大小呢？为一百度，你学会了吗？

分享一个由 ai 生成的对称轴互动教学工具，点击绘制线段按钮，在对称轴上点击起始点，开始绘制线段，可以创建任意线段， 再次点击对称轴，结束绘制一个完整轴对称图形就绘制好，可以继续设置其他角度的对称轴角度继续绘制。 接下来点击编辑顶点按钮，在绘制区点击任意顶点，设置顶点名称。点击确认后，对称的两个顶点会会制一条辅助虚线，并与对称轴垂直相交，同时显示对称点到对称轴的距离。 观察规律，如刚才绘制的同一个正方形可以得到结果。如果一个图形沿一条直线对折后，直线两边的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 同时验证一个轴对称图形可以存在多条对称轴以及图形上所有对称顶点到对称的距离都相等，且连线与对称轴垂直相交。点击测验模式，系统随机出现对称轴图形的一半，根据掌握的知识点，补全对称图形 会有成功和失败的提示。加强巩固轴对称图形的知识点。今天的分享就到这里，喜欢记得留言点赞关注哦！

初中必考三大变分，平移、旋转、轴对称，而其中最常考的就是轴对称问题。黑板上这道题是我们期末必考题型，也是考试中的一道填空压轴题，我们来看一下， 如图，在三角形 a b c 中角 a c b 等于九十度。好，这个角是九十度， bc 等于六， ac 等于八， a b 等于十。动点 p 在 a b 上运动，不与 ab 重合。关于 p 点啊，这个 p 点啊，关于这个 bc 的 对称点是记作 p 二的 p 点，关于 ac 的 对称点，记作 p 一。 让我们求的是线段 p 一 和 p 二长的最小值。好，既然 p 点关于 bc 的 对称点是 p 二，那我们同学来看一下啊，也就意味着这而垂直的关系，对吧？也就这一段 和这段应该是等长的，也就是 bc 是 p p 二这条线段的垂直平分线，对吧？我们有一句话叫做见中垂连两端 啊，垂直平分线也叫中垂线，叫见中垂连两端， 对吧？ p 和 p 一 是关于 a c 对 称的，所以啊， a c 是 p 和 p 一 这条线段呢？垂直平分线好见中垂，这是中垂线好，也就是 c p 一 应该是等于 c p 的 啊。键中垂连两端，这是线段的两端好， c 点连接 p 一， 再连接 p 好。 同理， c 点连接 p 二，再连接什么 p， 所以 啊，哎，同学们来注意， c p 一 就等于什么 cp， 这条线段和这条线段是相等的。同理， c p 二是等于 cp 的 好，也就是 cp 一 等于 cp 等于 cp 二。 是不是好？比如说老师，那很好求啊，那 p 一 p 二不就是求二倍的 cp 吗？对吧？因为 cp 一 和它相等， cp 二也和它相等，那 p 一 p 二就是求二倍的 cp。 那 在这儿我们就出现一些小的问题，什么呢？ 我们要去证明 p 一 p 二这条线段是经过点 c 的， 也就是 p 一 c p 二三点什么共线？如何证三点共线呢？ 我们去证这个角是一百八十度即可，是吧，因为一百八十度也就证明它是一个什么平角好，我们来看一下根据反折呀，反折对称它的一些基本性质。这个角如果是阿尔法， 它对称过来的话，就相当于把它把这个三角形沿着 a c 是 不是翻折过来，所以这个角是阿尔法，那这个角也是什么阿尔法好。同理，那这个角如果是贝塔， 翻折过来之后，对称过来之后，这个角也是什么贝塔好。又因为角 a c b 啊，等于九十度，也就是阿尔法加上贝塔 等于九十度，所以二倍的 alpha 加上二倍的 beta， 就 应该等于一百八十度，也就这个角是一个平角。所以啊， p 一 c p 二三点 贡献啊，这个非常非常的重要啊，非常的重要，尤其是证明题，一定要去证明三点贡献。你不能说 p 一 p 二的长度就是三二倍的 cp， 是 不是好？因为 p 一 p 二是一条线段，我们要去证明它是经过点 c 的。 好了，那问题就转化了。所以啊，求 p 一 p 二，它的最小值， 就是求二倍的 cp 的 长度，也就求二倍 cp 的 长度，也就是求 cp 的 什么最小值。那 cp 的 最小值怎么求呢？ p 点又是一个什么点？动点啊？ p 是 一个动点， p 在 ab 上运动，求点到这条直线的最短路径，那就是点到线的垂线段最短，好当点 p， 当 p 点运动到这儿， 也就是 c p 和 ab 垂直时， c p 取得最小值。好，那这个最小值该怎么去求呢？我们用什么等级法啊？也就是二分之一，这个三角形的面积也就是二分之一， ac 乘以 bc 是 三角形，面积应该等于二分之一，乘以 ab 的 长 好，而 a c b c， a b 都是知道的，所以我们可以快速求解，两边二分之一都去掉。 a c 乘以 b c， a c 是 八， b c 是 六六八四十八，那么就等于 a b， a b 是 十十倍的什么？ c p 这样解得， c p 就 等于四十八，除以十等于四点八， 而 p 一 p 二的长度是二倍的 c p， c p 是 四点八，二倍的 c p 就 等于九点六，这就是 p 一 p 二长的最小值。你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路！

好，今天来说怎么样画轴对称图形？可以准备一把直尺和圆规。这里为了方便展示，我就准备一把直角三角尺。首先先过点 b 画对称轴的垂线， 用圆规画出点 b 的 对称点，重复上面的步骤，分别画出点 a 和点 c 的 对称点。 最后连接三个对称点，就是我们要画的轴对称图形了。 you are the best。

未来先托管徐老师来看题。如图，在长方形指代 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行 bc， 角 a 等于角， b 等于角， c 等于角， d 等于九十度。 将长方形 a、 b、 c、 d 沿 e、 f 折叠， c、 d 两点的对应点分别为 g、 h。 若角一等于二倍的角二，则 角 a、 e、 f 等于多少度？那么我们看它是折叠体折叠，沿 e、 f 折叠，那么它就是沿 e、 f 为对称轴的两个对称图形，那么对称图形角三 就等于角四，那么这个角为直角，那么角 h 也为直角。然后我们再来往下看条件， 若角一等于二倍的角二，角一和角二为两个假角，那我们怎么办？我们可以过 h 做一条平行线， h m 让 h m 平行了 a、 d 因为 a、 d 平行 bc， 那 么 h m 平行 a、 d 平行 bc。 然后我们再来看两直线平行内错角相等，那么角二就等于角五，角一就等于角六，那么我们来看看我们的条件， 我们来看看我们的条件。角五加上角六就等于九十度， 那么角一等于角六，角二就等于角五，那么我们来看啊，是不是就变成了角一加上角二等于九十度， 然后我们看，因为角一等于二倍的角二，那么也就是二倍的角二加上角二就等于九十度，那么角二是不是 等于三十度，那么这等于三十度，那么角三加上角四是不是就等于一百五十度？ 因为它是沿 e、 f 折叠，角三等于角四，那么角三是不是就等于角四就等于七十五度？ 然后角 a e f a e f a e f 是 不是就等于角二加上角三，角二等于三十度， 角三等于七十五度，所以角 a、 e、 f 就 等于一百零五度， 那么角 a、 e、 f 就 等于一百零五度。

五张折对称将军一马两动一定模型。今天我们来看一下这道题，已知在三角形 a、 b、 c 中， b、 d 平分角 abc 好， 那这三角形 a、 b、 c 里面 b、 d 平分角 abc， 那 这个角 abd 和这个角 cbd 什么关系？是不是相等？好，那这里的话呢， m、 n 分 别为边 a、 b， b、 d 上的动点，可以吧？那 m 在 a、 b 上， n 在 b、 d 上，那 bc 呢？是等于十二的，那 bc 下面这段长 好， bc 长是十二，那这里的话呢，三角形 a、 b、 c， 它的面积是六十，也就是说这一整个三角形 a、 b、 c 面积为六十，可以吧，那这里求 m n 加 an 的 最小值，那这里我们先找到这两条嘛， m n 是 这条嘛？那这里的 a， n 这条 a， n 是 这条啊，是这两条 这样一条，它加起来的长度至少值好，那这里该怎么做呢？那你看这里是不是个两动一定纹理， m、 n 都是动点， n 是 一个定点，可以这样好，那这个话呢，我们也是要做一下镜像，那这里要怎么做呢？那首先你看，我们过 定，我们做定点的对称点，对吧？就做镜像。好，那这里， 那这里的话，你看我们做了对称点，嗯，差不多是跟 b、 c 交于 b c， 那 这里的话呢，我们取一下，这就是 g， 可以 吧？啊？点 g， 比如说做点 a 的 对称，点 g， 那 a g 关于 b、 d 对 称，那这里这个角就是九十度，那这里有一个焦点，我们也给他顺手拎个名吧，就是 g 二，可以吧？ g 二，那完了后呢？再看，那这里的我们再连接一下 n g， 你看，那这里这个三角形 a， n， g 二和这个三角形 g n g 二，这两个三角形是不是全等？因为我们做对称嘛。那这里的 a n 是 不是等于 g n， 对 吧？就这两条是相等的， 那也就你可以理解为我们把这条 a n 给他转换到 g n 这里，那也可以理解为有一位将军从点距啊，他要走到点 m， 先走从点距到点 n， 从点 n 到点 m， 问这里的路程是哪一个最短？就是它这个长度嘛？这两段长度，这个最小值是多少？好，这里你看 他说 mn 都是动点，是不是？那所以说你看什么情况下是这样值？是做垂直的时候就是垂线段最短嘛，对不对？好，那垂线段最短，我们只要过点距，呃， 作距，作距距三，这里是垂直于 a、 b 的， 可以吧？百分之九十度， 那这里再看。那完了后呢？我们这里又该怎么做？那你看我们这里是不是就可以得到我们通过转化，那这里这两段我们就转化为求 g、 g 三，对吧？就这段最小值 可以约好最小值，那求这段最小值该怎么做？那 a 这三角形 a、 b、 c 的 面积是不是六十？知道 bc 这个底边是十二，但它这个高，我们能不能给它求一下，对不对？那这个高的话呢？这里我们 你来做一下这里距四吧。好，距四，也就是说这里的 a 距四是等于多少？就它一整个面，它一整个面积是六十嘛？六十乘以二，再除以一个底是 b c 十二 九六乘二，一百二十除以十二等于十，可以吧？好，那知道这个 a g 四是十的话，再看，那这里我们又要又要三角形全等，那是哪两个三角形全等呢？ 好，那这里我们分一下，如果说我们可以证到这里的 g g 三和这个 a g 四是相等，那这里 g g 三，也就是说 m n 加 a 的 至少读就是十，那这里的话我们该怎么证？那首先你看 这里其实就有个三角形锯锯三 b 和这个三角形 a 锯四， b 共有这个角，对吧？ a b c 共有这个角 a b c。 而再看这里是不是三角形 a b 锯二和锯 b 锯二， 这里我们是不是做了对称，那这两个大三角形是全等，那这个 b 锯和这个 a b 也是相等，那所以说我们这里的话呢， 又可以得到，我们又可以得到，他这里有一组边，他这里是相等的，可以把 b 句和这个 ab 是 相等，可以吧？好，那我们得到一组角是相等，边相等，那你看我们这里是不是做垂直啊？这里九十度，对吧？这里我们也是做垂直，这个九十度， 九度，所以说这里我们用的是什么？这里你看角，这里是这个角，对吧？角，这里共有， 这里是边，所以这里我们用到 a s， 是 不是？好？ a s 判定有三个全的，所以说这里 g g 三，就它这个角角值，其实就是 a g 四，它这个值，那这里 答案我们就顾之一说了，好吧，好，那这里我们分析到这里，我们写下过程， 那这里的话，我们第一步还是做下镜像， 嗯，关于 b d 对 称， a g 交 b c 于点 g 四，是可以吧？好，呃，哎，不对，是点 g， 是 点 g， 不是 g 四啊，点 g 好， 完了再连接一下 g n， 连接 g n 完了后呢，你看我们就转化了一下。然后这里的话呢，我们可以这里做过点 g 做 g 锯三垂直于 a b， 因为这两个点都是在动的，那这里需要根据垂线上最短可以得到路程，也就是说这个长度最短。 垂直于 a b， 好， 那这里这个就九十度，那完后呢再看，那这里我们做下垂直，这里我们再做一下 a g 四，这里 这里 a g 四，哇，其实这段 a g 四垂直于 b c， 好， 垂直于 b c， 那 以上这里的话呢，就是我们做辅助线的一个过程。 ok， 这里我们开始看一下边角有什么关系？那首先你看我们这里 是不是我们这里有很多都是做垂直的，那所以你看这里这个 a g 二 d， a g 二 d， 对 吧？等于，这里这个角是 a g 四 c， 等于，这里这个角是 a g 三 g 都等于九十度，好，那完了后呢再看，那这里的话呢，我们可以得到什么？那首先这里我们是做对称的点， b g 等于 ab， 对 不对？ 好， b 句等于 a b， 那 这里的话呢我们就可以得到什么？缩一缩，对吧？在三角形，这里是去去三 b 与三角形，这里是 a 距四 b， 对 吧？中，好，那这里是有 a s 就 共有 a b c， 好， 就共有这个九十度的角，对不对？就是 a 距三距， 这里是等于这个角 a g 四行，那这里的话我们要重新给它转换一下，也就是说 这里里面这边就是这个角有九十度，这个角有九十度，就角 g g 三 b， 好， 等于这个角是 a g 四 b， 好， 完了呢，这里就是什么 b g 等于 a d， 好，那这一步都能听懂，可以吧？那所以说这里就可以得到 g g 三 b， 就 三角形全等于三角形 a g 四 b a a s， 那 这里我们就到两个三角形全等，所以你看这就是 g g 三 等于 a g 四，那这里的 g g 三为 m n 加上 a n 的 最小值。 好啊，好，那这里的话呢，又因为说三角形 a b c 面积是六十，这里的 b c 呢 等于十二，所以说这里的 a g 四是等于六十，乘以二除以一个十二，这个底就这里的十，所以说我们可以当什么？是不是这里的这什么，那这里的 g g 三 就等于十，所以说这里的 m n 加 a n 的 最小值 为十，这里最后答案就是十。好，那这道题我们就做到这里，那我们来总结一下这道题，那这道题呢，我们的做法，其实第一步的话，我们也是先审题，然后我们也是要做一下对称， 做对称对不对？然后呢就可以再连接，对吧？做对称往后连接，然后再求一下，根据已知条件， 就根据条件求隐藏条件。 什么意思？像，像这道这道题里面就是他自己这个高，我们要给他求出来，对不对？然后呢，如果有三角形全等，这是如果哈，不一定所有题都是有三角形全等，那如果有三角形全等，就正 三角形全等，可以吧？好像这种题我们想知道什么就可以证到三角形全等，那这里的第四步就是可以解出这里的 答案。好，那这里的话这道题就这样，这四步可以到做答案， m n 加 a 的 最小值为十。好，这道题我们就做到这里。

如图， o 为 a 三角形， a、 b、 c 内部的一点 o， b 等于三点五， p、 p、 r 分 别为点 o。 关于直线 a、 b 与 bc 的 对称点，请指出当 a、 b、 c 的 度数是多少时， pr 的 长度等于七分之一。 这个啊，咱们先连一个对称点， p 和 r， 不是 这个点 o 的 对称点，因为是关于这个 a、 b 和 b、 c 的 对称点， 所以，所以说这个 b p 就 等于 o b， 然后这个 o、 b 就 等于这个 b、 r， 所以 他俩就是三点五，然后他们当恰好就可以发现这个三点五，这样个这个三点五，这样个三点五，而是个七。 然后 pr 是 在这个这儿，那他们可以发现当这个 pr 三点共线时，是他们是不是 pr 长度就可以达到是个七的目的。 然后咱们如果，那如果他是个七团的，这是不是就是个平角啊？平角的话，然后因为这不是一个，呃，他不是，这是一个中垂，他能够到全等，所以说就是这样的角就相等，然后这两个角这这这这角也相等， 加减乘它加减是个就是圈圈叉叉啊，然后二圈加二叉，就等于二圈加二叉就等于一百八十度，所以圈加叉是个九十度。 ok， 咱们现在就可以发现这个圈加叉正好是个角 abc 啊，所以角 a、 b、 c 的 度数就是个九十，一定很简单，这个主要就是看你能不能想开这个 b p、 p、 r 和 b r 它们在同一条直线的时候了。 下面就很简单了，它不是说一定不等于九十的吗？啊，对吧？那咱们依旧勾到咱们之前的三角形 b p， 发现啊，这个 p r， 这个 b、 p、 r 构成一个三角形，此时因为两边之和大于三边，所以 b p 加上 b r 就 等于就大于呃 p r， 所以 说这时的 p r 应该是小于，应该是小于七的。

来，一口气讲透坐标系当中的对称问题，而且这里呢有口诀，我们来看啊，这里告诉我，有一个点 a 叫 x 三，点 b 叫二 y， 关于 x 轴对称，如果大家没有口诀的话，你是怎么做题的呀？哎，是不是你就乖乖的在上面画了一个坐标系， 对吧？ x 三呢？只知道纵坐标是三，横坐标在哪啊？不知道啊，对吧？你纵坐标是三，你可能在这有个 a， 不知道，然后点 b 呢？是什么呀？是横坐标是二，纵坐标是个 y， 横字标是个二啊，来，我们来这里来一个二，纵字标是 y， 对 吧？纵字标它是在二上面，还二下边，你不知道它这两个点怎么了？这两个点关于我们的 x 轴对称， x 轴对称啊，你想象一下，你在这两个里面找一个 a， 在 这两个里面找一个点 b， 那 么关于 x 轴对称的是不是只有可能 a 在 这， b 在 这了会？关于 x 轴对称， 对吧？你还得画图，你还得分析啊，那么画完图之后呢，其实也能做出来，他只不过比较慢啊，一会我再教你口诀哈，咱先解决这道题呗，那么这道题呢，就会得到了什么呀？他的横坐标呀，就是二，对吧？横坐标不就这里是二吗？ 然后纵坐标呢？纵坐标这个是三的话，关于 s 轴对称，这就是负三好不好？所以 x 等于二， y 等于负三啊，二负三，所以选我们的四 d 选项，有没有发现这个一般方法还是比较慢的呀，对吧？你还得分析，分析着分析着你头可能就蒙了，就晕了。 那我前面再讲知识点，教大家口诀，超好用，叫什么？记住啊，叫做关谁谁不变，什么意思？关于谁做对称，谁就不变，现在是我们关于 x 对 称，说明什么？横坐标就不会变，他的横坐标是二，那么他的横坐标也就是二，秒了吧。 x 等于二， 然后另一个呢？这里有一个浅台词，就是你那个不变了，剩下一个就得变啊，变成相反数，所以这个 y 呢？跟这个啊三就变成相反数，变成负三啊，所以很快就秒了。选我们 d 选项， 好吧，记住口诀哈，观谁谁不变，另一个呢？变成相反数。那还有一种情况呢，是关于原点做对称，那么原点呢？ 如果关于圆点做对称，圆点全都变。关于圆点做对称的话，举一个例子，比如说我们这里有个点 c， 你 如果关于圆点 o 做对称，那么你过来应该在这儿 d， 对 吧？所以横纵坐标，有没有发现全部都变成相反数了？好吧，用口诀做题，咱们再练一个呗。来看题啊，这个是点 a 的 坐标呢？是 a 三点 b 的 坐标是四 b， 如果 ab 啊，关于啊圆点 o 对 称， 刚刚讲过吧，太爽了，圆点全都变啊，说明我们的红坐标这个是四，那我就要变成负四，哎，你这个数字标是三，那我就变成负三， 对吧，很快得到， a 等于负四， b 等于负三，所以 a 乘 b， 负四乘以负三啊，负负得正就是正的十二，超级给力，你学会了吗？

将军一马一定是七项数学的重点考察内容，今天微微老师带领一道题，彻底掌握将军一马的底层逻辑。我们先来看题，在平面直角坐标系中，直线 m 表示一片草地，直线 n 表示一条河流， m 与 n 的 夹角为三十度， a 点四斗零表示将军的营地。一位将军从 a 点出发，先到草地上的 b 处去木马，再到河边的 c 处去饮马，最后回到 a 点， 问我们 b c 在 什么地方，将军所走的路程最短，并且求出最短路程。魏魏老师结合往年征题，近年中考征题，整理出了出一下将军饮马必考题型， 配套十二种模型立体解析以及专项练习。评论区回复九九九，我发您一份。这道题的核心考点就是将军仪码模型和平面直角坐标系的综合运用，而题目中要我们去求的将军所走路程的最短值，其实就是这个三角形 abc 周长的最小值。 而这个三角形 abc 中， a 点是一个定点， bc 呢是两个洞点，这就是将军仪码模型中的一定两洞模型。 它的核心解析思路就是过定点向定直线做对称点。而我们的定点有 a 点，定直线有两条 m 和 n， 所以 我们需要去做两次轴对称，我们可以先过 a 点去做关于直线 m 的 对称点， 我们把这一个对称点呢记为 p 点，连接 b p， 这样我们就把线段 a b 转移到了线段 p b。 接下来我们再过 a 点去做直线 n 的 对称点，我们把这一个对称点记为 q 点，连接 c q， 这样我们就把线段 a c 转移到了线段扣 c。 我 们原本是要求 a b， b c， c a 这三条线段之和的最小值， 转移了过后，就变成了去求 p b， bc， c 扣这三条首尾相连的线段之和的最小值。那什么时候这三条线段之和最小呢？很明显，那就是当 c、 b、 c 扣四点共线的时候，这三条线段之和最小。那怎么样才能够让这四点共线呢？根据两点之间线段最短，我们可以直接去连接 p q 两个定点， 这个时候 p 扣就会和直线 m n 产生两个交点，这两个交点呢，就是动点 b 点和 c 点真正的位置，我们把它记为 b 一 撇和 c 一 撇，那现在 p b， c 扣四点也就共线了。所以呢，我们的将军 它是从 a 点出发，先到 b 一 撇处去木马，再从 b 一 撇到 c 一 撇处去引马，最后从 c 一 撇回到 a 点。因此呢， 将军所走的这个路程的最小值就是这个三角形 a， b 一 撇， c 一 撇到周长的最小值，也就是线段 p q 的 长度。所以 最后的问题就是去求线段 p q 的 长度，那我们就要把这个线段 p q 去利用它构造特殊的三角形。因为 p 点和 q 点都是 a 点的对称点，并且呢，对称轴 m 和 n 相交于圆点 o 点，所以我们连接 o p o q， 这样就形成了一个新的三角形 o p q。 因为 a 点和 p 点是关于直线 m 对 称的，所以 o a 就 应该和 o p 相等， o a 的 长度为四，那么 o p 的 长度也应该为四， o p 等于 o a， 哎，同样的道理， a 点和扣点关于直线 n 对 称，那么 o a 的 长度呢，也应该和 o 扣的长度相等，因此 o 扣也等于四，所以这三条线段的长度都相等。因此呢，这个三角形 o p 扣，它现在是一个等腰三角形，来， 这三条线段的长度都等于四。接下来我们再来看角度，因为 m 与 n 的 夹角为三十度，也就是这一个角呢，为三十度。 而这一个角呢，被我们的 x 轴给分成了两部分，我们就把它记为阿尔法和贝塔，所以阿尔法加贝塔等于三十度。 因为 a 点和 p 点是关于直线 m 对 称的，所以这两个打勾的小角应该相等，它们都等于阿尔法。 同样的道理， a 点和 q 点关于直线 n 对 称，所以这两个打叉的小角也应该相等，它们都等于 b， 它那么这个角 p o， q 也就等于两倍的 r 法加上两倍的 b， 它所以叫 p o 扣，等于二倍。阿尔法加贝塔的和阿尔法加贝塔等于三十度。所以我们的角 p o 扣呢，自然也就等于六十度。那对于一个等腰三角形来说，它有一个夹角为六十度，所以这个三角形 o p 扣，它是一个 正三角形，那正三角形它的三条边的边长都应该相等，因此 p q 的 长度就应该和 o p o q， o a 相等， p q 的 长度就应该等于四。因此，这道题的最终答案呢，也就应该为四。同学们，你们学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！

第六个知识点，今天我们给大家讲的呢是我们直角坐标吸引知识点的第六个知识点，那么这个第六个知识点呢，和我们上一个知识点呢有联系，也有区别。那么上一个知识点我们讲的是关于 x 轴， y 轴和圆点对称，那我们今天要讲的是稍微进阶，或者说稍微难一点那种 知识点就是它一般直线，那么一般直线呢，就是可以随便一条，它不一定是 x 轴和 y 轴，那么就说 y 等于 b， 对 吧？然后呢和 x 等于 a， 然后呢也是普通点，就是不同于圆点，因为圆点它比较特殊，我直接把横轴坐标都变为相反数就可以了，但是呢，我们这里是个普通点，那就说我们在直角坐标系里面一个点，关于一个普通直线和普通点，它的对称点的坐标该怎么去求的一个问题， 我们来看一下，一样的给了一个 a， 它的坐标是 x 到 y， 那 么我们看一下它关于 y 等于 b， 这个 b 是 一个常数啊，因为我们 b 可以 变化， 那么关于 y 等于 b， 它的对称点的坐标该怎么去求？好，我们来看一下， a 点在这里， x 都 y 在 这，那么它 y 等于 b 呢？是这一条，那么它就不是 x 轴，如何去做？其实一样的，你看它我们做对称肯定会做啊，就说 把它做垂直，然后粘力，然后呢延长这段，这两段相等就可以了，那我们会发现 y 等于 b， 平行 x 轴，它肯定和 x 轴垂直，那说明它的横坐标不变，也就说我的 a 一， 它的横坐标呢，其实也是固定的，它就是 x 啊，这个应该大家能理解，那么我们来想一下 他的纵坐标该如何去表示的问题，你看，我们来看一下他这里是 y， 对 吧？那我这里是多少呢？是 b， 对 吧？这个点的纵坐标是 b， 然后呢，我的这里假设他的是 y 一， 我们看一下 y 一 如何去表示的问题， 那么我们可以会发现对称对称，那么我的这里肯定就是它的中点，也就是说它纵坐标它两个 a 和 a 一 的纵坐标的中点应该是等于多少？等于 b， 我 假设 a 一 点，它的坐标是 y 一， 那么我们用中点坐标公式就可以得到， y 加上它的 y 一， 也就是 a 点的纵坐标加上 a 一 点的纵坐标 除以二，应该等于它的的 y 等于 b， 也就是等于 b， 那 我就可以表示出来。你看，那我就是 y 加 y 一 等于二 b， 那 我们要去用这个已知的 a 点的坐标去表示这个 y 一， 所以 y 一 是不是就应该等于二 b 减 y， 所以 我们这里刻出来它的二 b 减 y 啊？所以呢，我们关于 y 等于 b， 它对称的点， a 一 应该就是我的 x 逗号二 d 减 y， 那 其实就一样的是横不变，纵坐标变成对称点就行了。好，我们来看一下第二个关于 x 等于 a 对 称的点，我们来看下 x 等于是这条， 那跟刚才的一样的，我们 a 二点的什么坐标是不变的，所以 a 二点的纵坐标一定是 y， 对 不对？那它的横坐标呢？ 一样的道理，我假设 a 二点的横坐标是 x 二，那么我 a 点和 a 二点的中点坐标，它的横坐标应该是多少？等于 a， 所以 我的 x 二加上我的 a 点的横坐标 x 除以二应该就等于 a， 所以 x 二，加上 x 就应该等于二 a， 那 我是不是要用 a 点的横坐标来表示出它对称点 a 二的横坐标，所以我要用 x 来表示 x 二，所以 x 二应该等于二 a 减 x， 所以 它的横坐标就应该是二 a 减 x 啊，所以它关于 x 等于 a 对 称的 a 二点坐标应该是二 a 减 x 到 y。 其实这里大家一定要用到我们的终点坐标公式更好理解，因为对称的那条直线其实就是它的终点啊。那么来看一下，关于这个点， m 就是 a 逗 b 啊， a 逗 b 在 这，那它关于这个点对称的点是不是跑到这里来了？我们会发现 a 三和 a 一， 它的什么坐标是相等的？是不是纵坐标是相等的？然后呢， a 三和 a 二的横坐标是相等的，所以我的 a 三就直接可以写出来了，这二 a 减 x， 它俩的纵坐标相同，是二 b 减 y， 是 不是？所以我们这里就可以知道它的 a 三关于这个点对称的坐标应该是 二 a 减 x， 等号二 b 减 y， 这个就应该是我们的关于普通点对称的，这个呢，其实是横坐标不变，纵坐标变为对称， 这个呢是纵坐标不变，横坐标变为对称。然后关于点对称呢，是横坐标都要变对称，就是这个意思，所以这个知识点呢，一定要结合图形去理解，然后呢，具体的题目具体去分析，那么这就是我们的。

如图所示，在正方形网格上有一个三角形 abc， 然后第一小题让我们画出三角形 abc， 关于直线 m、 n 的 对称图形 a 一、 b 一 和 c 一， 那我们就来画一下轴对称， a 点的对称点 a 一 点， b 点的对称点 b 一 点和 c 点的对称点 c 一 点。我们找到之后把三角形连接起来，那此时三角形 a 一， b 一 c 即为所求。作图，我们最后再去下一个结论，所以 啊，如图所示，三角形 a 一， b 一， c 一， 即为所求作图。第二小题画出三角形 a、 b、 c 关于点 o 的 对称图形，三角形 a 二， b 二、 c 二，那么你来画一下 a、 b、 c 关于 o 点成中心对称的图形，那我们就是连接 co， 并且去背叛它，也就说让 o 点成为 c 点和它的对应点的中点， 相当于也可以认为是把三角形绕到 c 点转一百八十度得到这个点，就是我们的 c 二点，那同理， a 点就是两格三格对角线，所以说我们还是一样的画出这个辅助线， 找到两格三格对角线，然后我们可以找到 a 点的对应点 a 二点，那这边这个辅助线我们都是用虚线去画，只是说我这边画虚线不是那么好画， 我就先暂时用直线画一下。同理，你可以看到 b 点也是一样的，一格三个对角线，我们找到 b 点对应点之后呢，这个点就是我们的 b 二点，那同样道理，也是把这个辅助线稍微画出来，那此时呢，我们把三角形连接起来 好，因此呢，我们同样的下一个结论，三角形 a 二 b 二， c 二，即为所求。作图。第三小题，若网格上的最小正方形边长为一，要去求三角形 a、 b、 c 的 面积。看一下 a、 b、 c 这个三角形，我们要去求它的面积，它的三角形很明显不规则，所以我们可以用割补的方式， 也就是用这个矩形减去三个三角形的面积，刚好就得到了 a、 b、 c 的 面积。这个矩形是二乘三，然后三个小三角形我们分别去算一下，面积就可以求出来了。所以第三小题 s， 三角形 a、 b、 c， 它应该等于二乘三，去减去 这个三角形一乘二，对吧？这个三角形也是一二，这个三角形呢，是一、三，所以就是二分之一乘上一乘上二，减去二分之一乘上一，乘上二，再减二分之一乘上一，乘上三，我们分别算一下，最终算下来等于二分之五。 第四小题，三角形 a 二、 b 二、 c 二，能否由三角形 a 一、 b 一、 c 一 平移得到？很明显，这个三角形和这个三角形不能够通过平移得到。那能否由三角形 a 一、 c 一、 b 一 又旋转去得到呢？ 那也是一样，你可以看到通过旋转的方式的话，我们转过来应该是这样子的感觉，而不是向右侧的感觉，对不对？所以说很明显不是旋转。那么这两个三角形应该有什么变换得到？那我们观察他应该是关于这条直线呈现一个轴对称的，对吧？也就说他可以通过对称去得到。 那我们这边稍微就写一下，三角形 a 二、 b 二、 c 二，它是不能由三角形 a 一、 b 一、 c 一 平移或旋转得到的。三角形 a 二、 b 二、 c 二 可以由三角形 a 一、 b 一、 c 一 对称得到。

同学们好，今天我们来学习一种对称，这个对称叫做中心对称，那中心对称说的是一件什么事呢？我们来一起看一下。 请同学们观察图三杠十八，图一经过怎样的运动变化就可以与图二重合。 我们说运动变化可以有平移和旋转，那在这里，图一经过平移能得到图二吗？是的，不能得到，那么只能是通过旋转， 旋转的话呢，要有旋转中心。好，那我现在给出一个旋转中心。那请同学们再次观察图一 是经过怎样的旋转可以得到图二，我们可以看到图一 是绕着点 o 旋转一百八十度就可以得到图二。那同样的，在图三杠十九当中，图一也可以绕着旋转中心点 o 转一百八十度与图二重合。 那这样一个图形绕着某一个点旋转一百八十度，与另外一个图形重合，那么这两个图形呢？叫做城中心对称。 那我们现在来看一下中心对称，它的概念是什么？如果一个图形绕着某一点旋转一百八十度，它能与另外一个图形重合，那么就说这两个图形是关于这个点对称或者是中心对称， 那这个点呢，就叫做它们的对称中心。比如图三杠十二，三角形 abc 绕着点 o 旋转一百八十度，就可以与三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇重合。那么我们就说三角形 a、 b、 c 与三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇成中心对称 点 o 呢，就是它们的对称中心，这就是中心对称的概念。那我们可以看到中心对称，它是由旋转得到的， 所以中心对称呢？它是一种特殊的旋转，它的特殊之处就在于旋转角是一百八十度。 下面请同学们自己画一个图形，选择一个旋转点， 把所画的图形绕着这个旋转点旋转一百八十度，连接旋转前后一组对应点，多连接几组，那你能发现什么？好的，那 我们可以有第一个发现，第一个发现就是对称点的连线，它是过对称中心的， 比如 a a 撇和 b b 撇， c c 撇，也就是说 a a 撇， b b 撇， c c 撇 o 过对称中心 o。 那第二个发现呢，就是 o a 是 等于 o a 撇的， o b 等于 o b 撇， o c 等于 o c 撇。那这个说的是一个什么字呢？说的就是对称中心平分，对称点所连的线段。 我们的这两个发现呢，就是中心对称的性质，中心对称的性质说的是这样的一件事情，从中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 被对称中心平分的意思就指， o a 等于 o a 撇， o b 等于 o b 撇， oc 等于 oc 撇。 那由这个结论我们可以知道，每一组的对应点都是关于点 o 对 称的。下面我们来看一道例题， 这道例题呢，是让你画出四边形 a、 b、 c、 d， 关于点 o 成中心对称的图形， a 撇、 b 撇、 c 撇一撇。 好，那有的同学可能会讲，可以把四边形 a、 b、 c、 d 绕着点 o 旋转一百八十度，就可以得到 a 撇， b 撇， c 撇， d 撇。那这个呢是根据 中心对称的概念，也就是定义来作图的。那还有没有其他的方法对，我们还可以利用中心对称的性质， 其实画出图形 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇，主要是找到 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇这四个点就可以了。 怎样去找 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇呢？我们知道 a 和 a 撇，它是关于点 o 对 称的，所以我们找 a 撇的时候呢， 只要做出点 a 关于 o 的 对称点即可，那同理，其他的三个点也是一样的。那具体是怎么做的呢？ 我先去找 a 撇， a 撇呢，就是 a 点关于 o 的 对称点， 我先连接 a o 延长 a o 至 a 撇，使得 o a 等于 o a 一 撇。 同理，找 b 撇，连接 b， o 延长至 b 撇，使得 o b 等于 o b 撇，再连接 c， o 延长至 c 撇，使得 o c 等于 o 一 撇 c 撇， 最后连接 d， o 延长至 d 撇，使得 o d 等于 o d 撇，那么这四个点就已经找到了。我在顺次的连接着四个点，这个四边形 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇 就找到了。这是做一个图形关于某一个点呈中心对称的图形的一个做法。好，那同学们想一想，我们好让同学们想一想。 说起对称，我们除了学了中心对称之外，之前还学过什么？对，之前还学过轴对称，那中心对称和轴对称有什么样的区别呢？ 轴对称说的是两个图形关于一条直线对称，这条直线呢，就叫做对称轴。而中心对称呢，说的是关于两个图形关于一个点对称，这个点叫做对称中心。 轴对称呢，说的是两个图形沿着轴对折或者是翻转一百八十度就可以重合了。而中心对称说的是什么呢？一个图形绕着中心旋转一百八十度，和另外一个图形重合， 这种叫做中心对称。好，这是轴对称和中心对称的区别，下面我们再来观察一个问题， 将下面的图形绕点 o 旋转，你有什么发现？第一个先是线段 ab， 我 选线段 ab 的 中点以点 o， 我 让这个线段绕着点 o 旋转一百八十度。 哎，你可以发现旋转之后还是和自身重合了。好，第二个，我选平行四边形的对角线的连线为点 o， 使这个平行四边形绕着点 o 旋转一百八十度 a， 我 们也可以发现他与自身重合， 所以这两个都有一个共同点，就是都绕着一个点旋转了一百八十度，而且结果都是与圆图形完全重合，那我们把这样的图形叫做中心对称图形。 好看下中心对称图形的概念，把一个图形绕着某个点旋转一百八十度， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点呢，就叫做它的对称中心，这是中心对称图形的概念。 我们来看一道例题，判断下列图形是否为中心对称图形。第一个我们可以怎么去判断呢？ 这个图形旋转一百八十度，是不是和圆图形重合？我们可以把这个图形给分割一下，一旋转一百八十度，会与二重合，而二旋转一百八十度呢，也会与一重合。 三旋转一百八十度，会与四重合，而四旋转一百八十度与三重合。那这样整个图形旋转一百八十度都可以和自身重合，所以一是中心对称图形。第二个运用同样的方法， 五旋转一百八十度，可以与与五重合， 六旋转一百八十度可以与八重合，而八旋转一百八十度也可以与六重合，中间的这个正方形旋转一百八十度也是和自身重合的，所以整个图形就是中心对称图形，那么三 会比较好看一些。三旋转一百八十度还是和自身重合，因为上面的图形和下面的图形旋转一百八十度之后都是重合的，所以三也是中心对称图形。 那四呢？四的话，我们也可以把这个图形分割开。九旋转一百八十度，哎，他应该在十这个位置上，但是十这里没有和九重合的图形，所以四不是中心对称图形。 好，那你会判断中心对称图形了吗？那接下来我们想一个问题， 五边形 a、 b、 c、 d、 e 与五边形 a、 d、 撇 c、 撇 b、 撇 e 成中心对称吗？ 那么六边形 b、 d、 撇 c、 撇 b、 撇 d、 c， 也就是整个的一个图形是中心对称图形吗？ 那如果你回答完这两个问题，你能说一说中心对称与中心对称图形的区别和联系吗？ 好，那在这里呢？五边形 a、 b、 c、 d 和五边形 a、 d 撇 c、 撇 b、 撇 e 撇是呈中心对称图形的。六边形 b、 d 撇 c 撇 b、 c， 也就是整个大的六边形，它是中心对称图形。 好，那呈中心对称和中心对称图形有什么样的区别和联系呢？它们的区别是 能中心对称是对两个图形来说的，它表示的是两个图形之间的对称关系，而中心对称图形呢，是对一个图形来说的， 但是呢，他们之间又有联系。如果把呈中心对称的两个图形看成是一个图形，那么这个图形就是中心对称图形，比如上面的两个五边形，我可以合到一起看成一个大的六边形，那么这个六边形就是 中心对称图形。如果用一条过中心对称的直线，将一个中心对称图形分成两个图形，那么这两个图形就是成中心对称的。比如我可以把这个大的六边形 沿着 a、 e 去给它分割开，分成两个小的五边形，那这两个小的五边形呢？成中心对称的， 这就是中心对称与中心对称图形的区别和联系。好下面的时间呢，我们对我们这一节课所学的知识做一个巩固。 第一题，下面的四组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的是， 那我们可以根据之前讲过的判断中心对称的方法来判断一下，一是二是三是四不是，所以一共有三组。 第二个，下列图形中是中心对称图形，而不是轴对称图形的 平行四边形，我们可以知道，它绕着对角线相交的那个点旋转一百八十度，是与自身重合的，但是呢，它不是轴对称图形，它不关于某一条直线对称。 第二个矩形矩形，我们也可以知道，它绕着对角线的交点旋转一百八十度，可以与自身重合， 它也是一个轴对称图形。它的对称轴呢，可以是长中点的连线或者是宽中点的连线。 菱形，菱形呢，也是绕着对角线相交的那个点，为旋转中心旋转一百八十度之后，可以与自身重合， 它也是一个轴对称图形。对称轴呢，是对角线所在的直线，或者是这条对角线所在的直线。正方形呢， 它也是中心对称图形，也是轴对称图形对称轴呢，可以是边长中间的连线，还可以是对角线所在的直线， 所以这个题选择的是 a。 好， 我们来看第三题，已知三角形 abc 与三角形 a 撇 b 撇 c 撇成中心对称，找出它们的对称中心 o， 怎么样去找对称中心？那我们要用到的就是中心对称的性质。 中心对称的性质，第一条说的就是两个图形呈中心对称，他们对应点所连成的线段都经过对称中心，所以我们可以连接两组对应点的线段。 哎，这两条线段相交于一点，也就是说这两条线段都经过这个焦点，那么这个焦点呢？就是对称中心。 好，那我们用性质的第一条来把这个对称中心找到了，那还有另外一种做法，另外一种做法就是利用性质的第二条 性质的第二条说的是对应点所连的线段被对称中心平分，那我们可以连接一组对应点， 那么这个线段呢，是被对称中心平分，所以我们可以找到这个线段的中点，那这个找法呢，我们就要用直尺度量 好，那这就是找对称中心的两种方法，那对比两种方法，我们可以发现，其实解法一还是比较方便，因为解法二需要度量 好。我们来看第四题，三角形 a、 o、 b 与三角形 d、 o、 c 成中心对称， a、 o、 b 的 面积是十二， a、 b 等于三，求三角形 d、 o、 c 中 c、 d 边上的高是多少。 那我们可以知道，中心对称，它是一种特殊的旋转，而旋转前后的两个图形的形状和大小是不会发生改变的，所以旋转前后的两个图形是等。 在这里我们就可以知道三角形 c、 o、 d 全等于三角形 a、 o、 b， 那 当然三角形 c、 o、 d 的 面积就等于三角形 a、 o、 b 的 面积等于十二， 而 c、 d 的 对应边又指 ab、 ab 等于三。所以在三角形 c、 o、 d 中，我们知道了三角形的底，那么底边上的高 用三角形的面积公式可以求出来是八，所以我们这个题的答案是八。 好，下面我们对本节课所学的内容做一个总结。我们本节课主要学习了中心对称和中心对称图形， 那在中心对称这里面呢？我们学习了中心对称的概念，中心对称它是一种特殊的旋转，旋转角值一百八十度， 它的性质呢是一共有两条，第一条呢是对应点的连线，经过对称中心。第二条呢就是对应点的连线被对称中心平分， 那么我们可以利用性质去作图， 其中利用性质作图，我们可以找出中心对称图形。其次呢就是可以找出对称中心。 好，接下来就是中心对称图形。中心对称图形，我们首先学了中心对称图形的定义， 第一是绕着某一个点旋转一百八十度，这个图形能与自身重合，那么他就是中心对称图形。接下来我们又总结了中心对称与中心对称图形的区别和联系， 他们两个的主要区别就是中心对称是两个图形，中心对称图形是一个图形， 联系呢，如果把呈中心对称的两个图形合成一个图形，那就是中心对称图形。 那如果把中心对称图形沿着某一条直线给它切割开，那么形成的两个图形就是呈中心对称的，但是一定要注意，这条直线一定是过对称中心的一条直线。 好，以上就是本节课的全部内容，我们今天的作业是课本一题、二题、三题。 感谢同学们的聆听，我们下次再见！