初三抛物线公式大全总结

好，这就是一道中考的常课啊，选填的一下做题， ab 两点都是在这个函数上啊， y 一 小于 y 二，教我们求什么 m 的 取值范围。 那首先我们要知道一个公式叫顶点是 y 等于 a 啊， x 减 h 的 平方加 k， 它这个顶点坐标就是什么 h 跟 k 啊。 那首先我们要注意到这个地方，它是一个负号啊，如果是正的，那就是你这边要加个负 h 啊，那 h 跟 k， 那 这个就说明它的 坐标轴就是什么 x 的 坐标对准轴啊，对准轴等于一， 那 a 点跟 b 点它的 s 啊， s a 和 s b 的 关系， 因为 a 是 m 减一， b 是 m 啊，所以说呢， b 点是在 a 点的右侧，那我们把大概的图像画出来 啊，这个 x 等于一啊，是它的对准左啊，随便画一下。 那么呢，分类讨论啊，一种情况是什么 a 点跟 b 点都在对准左的什么右侧的时候啊？打个比方说，这是那 b 点是在右边， a 点在这里的时候，只要是这种情况 啊， y 一 是什么？肯定大于 y 一 啊， y 二是肯定 b 点，这个 y 二是肯定大于 y 一 的，那一直到 a 运动到这里的时候啊， a 如果一直可以到这里， b 到 b 到这前面啊， 所以说当第一种情况， 当然这个因为 a 点是 m 减一， m 减一，是啊，大于等于一十，那就是 m 大 于等于二十， 那 y 二呢？ y 一 是永远是小于 y 二的，只要是 m 取这个值的时候都可以。那另外一种情况， a b 都在什么对称轴的右方啊？左方这里是 a， 这里是 b， 那 这个就是 m 减一，这就是 m 啊，那这个时候呢， y 二永远是小于的，所以不成立，一直点到什么到一代对称轴啊？ m 就是小于小于等于一十啊，那这个是 y 一 是带 y 的 啊，那这个范围就舍掉， 那这两个范围小于一，小于零一大于零二都都考虑到了，那我们还要再考虑什么？ m 大 于一，小于二，这个范围再考虑一下啊，整个的范围就全部考虑到了。 那 m 一个二，那就是什么一种情况，就是 b 在 右边， a 就 在左边，那这个时候是什么什么情况下 y 一 会大于 y 二呢？ 我们切一个，一个点，平行线一条过去，那只要什么 b 点呢？到 x 轴的，而到 x 等于一的距离要大于什么？大于 a 点到六的距离就可以了。那我们知道 b 是 m， a 是 m 减一， 那就是 m 减一，这个距离 m 减一，要这个距离要大于什么？一减去 m 减一。我们整理一下， m 减一大于一，减 m 减 m 加一，就是二减 m 啊，把 m 移过去二， m 就 大于三啊。二 m 大 于三， m 就 乘同乘以二分之一，就大于二分之三 啊，那综合一下，综合一下， m 大 于二分之三，跟大于等于二十，整个 m 取的范围就是 m 大 于二分之三。

我们来一个抛物线的送分题，已知抛物线 y 等于 x， 方加 b， x 加 c， 经过两个点，让你求 b， c 的 值，两个未知数，两个点，这不代定系数法，直接代入求得。当 x 等于零的时候， y 等于三零零，那 c 等于三，当 x 等于六的时候，来六六三十六加上六， b 加上 c 等于三。对好， c 等于三，带进来，这边三和这边三抵消六， b 就 等于负三十六，那么 b 就 等于负六， 好，这是由它退出来的，那 b 和 c 是 不都有了，那么我这个抛物线的解析式就有了， x 平方减六， x 加三， 好，然后看第二问，当 x 大 于等于零，小于等于四时，求外的最大值与最小值之差。嗯，我们要不要先来把这个图像画一下， 哎，好，然后，哎，你看啊，抛物线它经过零三六三，那我先把这两个点画出来啊，一二三四五六零， 重作标，重作标，三一二三，哦，经过零三，还经过谁？六三，这是六三，那就是经过零三六三，哎，这两个点， 这两个点，那这重作标都是三，那我这个 对称轴不就求出来了吗？对不对？对称轴不就是这两个点的终点吗？你这个 是啊，横坐标，这是零三，这是六三，那我就是横坐标的中点，零加六除以二二， x 等于三，就是对称轴了。好，对称轴求出来了，然后呢？ 过点零三，哦，那我还差一个顶点，我这个抛物线就画出来了。顶点， 那不就是当 x 等于三的时候吗？ x 等于三十， y 等于几呢啊？三三得九，减去三六十八，加上三，不是十二减十八负六， 也就是说三负六，一二三四五六负六，这一点。好，这是三负六点，顶点有了，那么我这个抛物线不就画出来了？ 好，这个时候你呀，来看一下它在，你求啥？当 x 大 于等于零，小于等于四， 大等于零，小于等于四。哦，也就是说 x 在 这个范围之内时，求 y 的 最大值与最小值之差。 看一下，当 x 在 这个范围的时候， y， y 的 值是不是就是在这个范围？ 哎，夸的不对，到这四是不是到这个范围？那你看它的最大值，不就是当 x 等于零的时候三吗？最小值。哎， 这不是最小值啊，这是最小值顶点，那不就是负六吗？那你要求最大值与最小值的差减去负六喽，等于三加六等于九。搞定，你学会了吗？关注我吧。

各位家长大家好，我是惠中王老师，今天这个视频我跟大家说一说抛物线中的一个常见的二级解论，大家看一下。比如说我在抛物线上有一组平行线接抛物线，然后形成了四个交点，分别是 a 点、 b 点， c 点、 d 点。 咱们这个结论直接给 ab 这两个点的终点与 c、 d 这两个点的终点的横坐标是相同的，简单理解是啥？比如说是终点这个位置是终点，那么我纵向量这两个终点形成的这条线，比如说这条线叫 m n， 那他所在的直线应该是和 y 轴是平行的这样的一个关系，或者换句话来讲，和 x 轴呢，是垂直的关系。那这个问题我们应该怎么来理解？我今天给大家推一下这个事。 比如说我设抛物线的解析式是这个 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 这两条直线的解析式呢，分别是 y 等于 k， x 加 m 和 y 等于 k， x 加 n， 那么 ab 两个点是抛物线和上面这条直线形成的交点，对吧？所以这样的话呢，我们也很容易的能得到什么呢？ 是不是连利他量就是 a x 方加上 b， x 加 c 应该等于什么？ k x 加 m， 对 不对？我们把它整理成关于 x 的 一二方程的一般式，那应该是加上什么？ b 减 k 倍的 x 加上 c 减 m， 然后应该等于零。 我们学过伟大定律，也就是根据系数的关系，这里面 x 一 加上 x 二，这里来需要说一下， x 一 和 x 二就是 ab 两个点的横坐标，那么它俩的和应该等于什么呢？是不是应该等于负的 a 分 之 b， 负的 a 分 之它，那就是 a 分 之什么呢？是不是应该是 k 减 b， ok 吗？相信聪明的你一定会发现，这里面呢 a、 b、 k 都是什么？都是确定的量， a 是 什么？抛物线的这个二相系数， b 是 什么？抛物线的一相系数， k 呢？是两条平行直线的倾斜程度，也就是我们说的这个斜率， 那么他三都是确定的，那么 x 一 加 x 二是不是就应该是确定的呢？对不对？那如果是这样，那你说我这个 m 点的横坐标是不是就应该是二分之一倍的 x 一 加 x 二，对不对？那我可以简单这么写，在这写 x m， 他的横坐标应该是什么？ x 一 加上 x 二和的一半， 那对于他来讲的话，是不是就是他的一半？他的一半不就他乘二分之一吗？ 那同理，大家思考，我让抛物线和下面这条直线的解式进行连立的话，我们会能得到什么？是不是连立了之后，应该是 a x 方加上 b， x 加 c， 应该等于 k， x 加 n， a x 方加上什么？括号 b 减 k 倍的 x 加上 c 减 n， 然后应该等于零，是这样的，哎，然后呢，这个里面，比如说他两个横标分别是什么呢？分别是 s 三和 s 四吧，行不？那是不是应该也是等于负的 a 分 之 b， 那 是不是同底？应该是 a 分 之 k 减 b， 那所以在这里我们是不是能知道这个 n 点的横坐标是不应该是 x 三加上 x 四，它俩合的一半，对不对？然后我们来看 x 三和 x 四它俩合是谁？是不是 a 分 之 k 减 b， 那 它合的一半是不应该是 k 减 b 除以什么二 a？ 来我们观察一下， m 点的横坐标是不应该是 k 减 b 除以二， a n 点的横坐标呢？是不是也是 k 减 b 除以二？所以这样我们是不是就可以说明这个 ab 两个点的终点 m 和 cd 两个点的终点 n， 他的横坐标应该是相同的。 那这个时候其实我们可以再思考一个什么问题，我们把这条线继续平移，平移到什么程度呢？平移到他和这个抛线相切的这样一个程度，比如说在这个位置有一个切点是 p， 那这样我们之前一定会想过一个什么问题，就要讲一个模型叫公形三角形，比如说我把这个 b p 连上，我把这个 a p 也连上，求这个三角形 p a b 它面积的最大值。 大家想一想，我这个三角形 p a、 b 面积的最大值，是不是一定是当我这条线平移平移到和抛物线相切的时候，那么三角形 p a、 b 的 面积才会最大呢？这个肯定没问题吧？因为此时 ab 所在的直线和这个 p 点所在的直线平行，然后它俩的间距达到了一个最大值，对不对？ 好，那这个时候 p 点的横坐标是谁呢？是不是很显然它也得是和 ab 的 中点还有 c 对 的中点的横坐标应该是相同的。所以呢，此时 p 点在哪呢？是不是如图所示，就是在 m n 的 什么延长线上， m n 的 延长线和什么抛线的一个交点。所以呢，这样的话呢，也就是说和我们之前讲的公赢三角形的一个结论呢？就产生了一个互联， ok 吗？如果公式三角形大家不是很清楚的话，可以向前去翻看老师的视频，那你看他产生了一个互联是什么？就是说当 p 是 抛物线上的一个点， ab 是 抛物线上另外两个点， p a、 b 三角形面积什么时候会达到最大呢？ 那是不是一定是当 p 点的横坐标是 ab， 两个点的横坐标的和的一半的时候， g 和 ab 的 中点的横坐标相同的时候这样的一个结论。 当然这里面我们再修复一个 bug， 就是 说如图上这么画的话，这个 p 点应该是在直线 a b 下方的抛物线上。好了， ok， 这个视频就说这么多，再见。

好，我们今天讲一道关于二次函数和一个代数思想来解决啊，来解决我们二次函数的对值问题，我们通过这个题目来分析啊，它涉及到二次函数的性质及其不等式，相结合的题目来说，用代数思想来解决二次函数的对值。 好，我们来看这道题目，他说在平面几何作图中， x o、 y 好 在点二三，在这个二次函数上啊，在这个二次函数啊，抛物线上，对正数为 x 等于 t， 第一位叫我们求 t 的 值啊，这题应该很简单，我们通过题目来第一位，我们通过点赞啊，点在抛物线上，那我们解析思路，第一个就是把点带进去啊，找出这个 a 和 b 之间的关系，我们知道对称轴是 x， 就 等于负的二 a 分 之 b 的， 然后我们把点二和三带进去，就可以找出 a 和 b、 c 的 关系，那么对乘除就求出来了。好，我们来分析一下啊，我们来解一个。好，那把二加进去就变成了多少啊，就变成了四 a 啊，变成了四 a 加二 b 加三啊，等于三的，那所以就有啊，二 b 等于负四 a 啊， b 就 等于负 二 a， 所以 啊，对乘除 x 就 等于负的二 a 分 之负 二 a 的， 那所以啊，就等于一，所以 t 就 等于一。好，第一位解决了啊，很简单。好，我们看下第二位。好，第二位，他说当 x 是 大于等于负一，小于等于二十， y 的 最大值为九，就我们求抛物线的对应函数啊，表达式。好，我们看一下，那我们知道 抛物线 a 是 大于零的，抛物线是开口向上的，应该有啊，最小值，最小值，它让我们求最大值，那所以 x 要么就是 x 等于负一，或者 x 等于二，是我们取得最大值， 那我们是取 x 等于一呢？还是最大值，还是 x 等于二是最大值？我们看，我们知道抛物线开口向上，我们首先看，当 x 轴负一和 x 轴负二到对等轴的之间的距离 越大，抛物线的函数值就越大，对不对？到点到对正轴之间的距离越小，那么函数值就越小。我们看一下负一，我们知道，刚刚通过第一位已经求出来了啊，已经求出来啊，对正轴 t 是 等于一的，那负一， 当 x 等于负一到对数的距离是加是是二啊，是二，那 t 等于二十到 x 啊，到 x， x 等于二十到对数啊，距离到对数距离是加是二，减去一是等于啊，等于一的 啊，这是 t 得一啊， t 得一， a 等于二是得一的，所以当 x 等于啊，当 x 等于负一时，所以啊，函数值最大值是加是九，好，那我们把它带进去就可以了。当 x 等于负一时，那就是 a 减去 b 加三等于九的，那所以 a 减 d 就 等于六。注意了，我们函数 a 和 b 之间的关系，我们通过第一位已经求出来了， b 是 等于负二 a 的 啊，负二 a 的， 所以 那么 a 减是应该是加上二， a 等于六，所以三， a 就 等于六， a 就 等于二的， a 求出来了，那 b 也就求出来， b 是 等于负四的，二乘以二就等于负四，所以函数解一式也就求出来了， y 就 等于好， a 就 等于二， x 的 平方减四， x 加三啊，函数解一式啊，已经求出来，就是我们通过啊 第一位求出 a 和 b 之间的关系，我们要通过分析，因为函数抛物线是开口向上，那么我们只有知道抛物线呢有最小值，那求最大值，那么要么就是 x 等于负一， x 要么就等于二，那我们通过 点到对称轴近的距离大于小来求求它的吧，来求它吗？根据有最大值啊，是求最小值，所以这个问题就迎刃而解。

啊，抛物线 y 等于负三分之四， x 平方加三分之八， x 加四。啊，图是这样子的，经过什么？跟 s 轴交 a， b 跟 y 轴交于 c， 好告诉我们抛物线的解析师，那我们把抛物线啊，因为跟 s 轴就等于零解得啊，要先解到两个 a 点跟 b 点， a 是 互一，两个根，一个是三，那 c 轴的啊， y 轴的交点就是什么？就是它的 c 等于四。 那现在在 p 点，在抛物线的下线上有个动点啊，做这个过 p 点呢？做垂线啊，交 b， c 与 f， 交 x 作为 e 点， 那当 o e 这条长度等于三倍的 p f 的 时候，求 p 点的坐标， 那么思路在哪里呢？思路就在这里啊， e， e o 等于三倍的 p f， 我 们分别求出 e o 跟 p f 啊，列一个方程就可以解了， 那这里呢，存在一个射叉啊， o e 我 们就射什么，因为这个 p f e 三点，它的 x 轴是一样的，就是它横坐标是一样的。我设点 e 为 a 零啊，那 f f 点呢？就是什么 a 啊， p 点呢？我们就知道 a， 然后带到它的凹陷，它 y 轴带进去就是三分之四， a 平方加三分之八， a 加四。啊， 那 o a o e 呢，就是什么？ a 减零就出来了， p f 呢，就是 p 点的正坐标，减去 f 点的正坐标，那 f 点 我们要知道，只知道它什么横坐标，我们需要正目标的，需要知道它的解。 b， c 的 解移式。 b， c 过了吗？过两点， c 点跟 b 点都求出来了，我们就可以求出它的解移式。 y 等于负三分之四， x 加四， 那它的重度标就出来了。负的三分之四， a 加四，把 a 带进去，那 p f 的 长度呢？ p f 的 长度就是 y 轴的重度标，这个减去啊， f 点的重度标， p 点重度标跟 f 点重度标相减，就是 p f 的 长度。整理要点呢，负三分之四 a 平方加三分之十二 a， 那这个根据这个方程啊， o e， o e 是 等于 a 啊， a 就 等于三倍的 p f 啊， 我们整理下就得到什么两个跟 a 一 等于零， a 二等于四分之一。那因为 p 点是在第一象限上面的动点，所以说等于零的时候呢，是在 y 轴上，所以说等于零。舍掉啊，那就剩下一个什么 a 二等于四分之一，四分之一 x 等于四分之十一。带到带到抛物线的方程里面。好求得 y 等于四分之五，那 p 点的坐标啊， p 点的等坐标就出来了。

同学们好！二零二六年保山二模的第二十四题，抛物线加矩形支架，它是中考压轴题的常客，很多同学一看到框洞结面就发慌，其实只要抓住顶点式，三步就能秒解。 今天我带你拆解这道题的核心套路，看完你再也不怕抛物线的应用题了。 我们先来看第一小题，要我们求顶点坐标 e， 以及这个抛物线 a 的 函数表达式。 根据图像，因为 b、 c 的 意思，所以点 e 的 横坐标是二，又因为 e 点到达 b、 c 的 距离是三，所以 e 点的重坐标就是三点 a 在 y 轴上，所以它的坐标是零。一。 我们用顶点式把抛物线设出来，把 a 点坐标带入，得到一个式子，解得 a 等于负的二分之一，这样抛物线的解析式就写出来了。第二小题，用我们求支撑架 f， g， m， n 是 正方形的时候，求这个骨架 m n 的 长，因为它是正方形，我就把这个正方形的边长设为两 m。 那 么点 m 的 坐标呢？就是二加 m， 因为一点的横坐标是二，再加一个 a， 它的重坐标是两 n。 我 们把 m 点的坐标带入抛物线的解析式，得到了一个含有 n 的 方程。整理一下解这个方程， n 等于根号十减二，这个根号十加二为什么要舍去呢？同学，看一下它是不是大于四， 所以我们就得到了 m n。 它多长啊？二根十减四好，它也不难，我们利用正方形的性质就可以把它做出来。 第三小问，为满足宽二点四米，高一点九米的矿车能够在支架内通行，要我们求 b、 f 的 取值范围， 思考一下这个 b f 它要满足什么呢？它的高是一点九米，安全距离零点一米，所以它的高应该是两米，所以我们要计算一个零界点的位置。 y 等于二的时候， b f 它的值是多少？ y 等于二的时候，你只要带入抛物线的解析式，是不是就可以算出来？所以我们来解方程， 当 y 等于二的时候，我们把这个 x 解出来，解得 x 等于二减根号二，或者是二加根号二，所以这个 b f 就 出来了，它就是二减根号二。 b 极呢，就是二加根号二。第二步，我们要求 b f 的 最大值， 他因为 b c 等于四，所以 f 级他要想取得最小的值，因为车宽二点四，再加上支架两边分别预留零点一米的安全距离，所以再加上个零点二， 就得到了二点六。一点的横坐标是二，二减一点三，是不是 b f 取得的最大值是零点七？ 这样我们就把 b f 的 曲值范围计算出来了，所以 b f 它要大于等于二减根号二，小于等于零点七。 这道题完整的解题过程我已经整理好了，想看详细步骤的同学记得点赞加关注，在评论区扣一， 我把完整版的解析发给你，也可以关注我的微信公众号，挑战压轴题轻松入门篇，更多的压轴题视频教你冲刺拿满分！

我们看一下这道题，一道新定义啊，如果两个三角形不全等，但是面积相等，我们就叫这两个三角形，叫做积等三角形。看一下第一个问，如图一啊，在三角形 a、 b、 c 当中， p 是 b、 c 边上的一个点，如果它俩是积等三角形的话，让我求的求证，这个 a、 p 为三角形 a、 b、 c 的 中线， 中线是啥知道吧？中线就是，哎，这个顶点和对应边中点的连线就叫做中线啊。那么如果想要正 a、 p 是 三角形 a、 b、 c 的 中线，我们只需要正 p 点是 b、 c 的 中点就可以了，那这个非常好，正是不？已经告诉我是基等三角形了，就说明它的面积已经相等了。 我们过程可以怎么去写呢？我们可以过点 a 做一个垂直，这个是高，对吧？哎，三角形 a、 b、 p， 左边这个三角形的面积应该是 b p 乘上 a h 除以二， 然后右边这个三角形 a、 p、 c 的 面积应该是 p c 乘上 a、 h， 然后再除以二，对吧？那么让它俩相等，积等三角形吗？它俩相等，发现都有除以二，都有 a、 h， 我 们就可以证出来 b p 等于 p c 是 不？哎，然后，所以 p 点是 b、 c 的 中点呗。然后，所以 a、 p 就是 三角形 a、 b、 c 的 中线呗，是吧？第一个问非常简单啊，我们看第二个问， 第二个问，三角形 a、 b 对 和 a、 c 对， 它俩是直角，三角形面积相等，这两个三角形的高是相等的，面积相等，那么底边的长度就相等呗。也就是说我们能得到 b 对 和 c 对 相等，或者说 a 对 是中线，对不对？好，然后题干上告诉我，这个 a、 b 的 长度为二， a、 c 的 长度为四， 然后让我求 a、 d 的 长，告诉我 a、 d 的 长度是正整数。那这是我们一个比较基本的模型啊，就是看到中点，我们被长中线，想八字形全等是吧？哎， b、 d 和 c、 d 相等，这是通过基等三角形得到的，我们可以被长中线啊，过程怎么写呢？ 叫做延长 a d 至点 h， 使 a d 等于 d h， 然后连两边都行，那么我们连接 b h。 好， 咱们画一下 延长 a d 至点 h， 这个是 h， 使 a d 等于 a h， 然后连接 b h 或者是 c h 都可以啊，那么就构造了一个八字形是吧？我们就能证这两个三角形全等了，得到三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 h 判定方式呢？ s a s 好 证明。这个全等之后的目的是什么呀？得到对应边相等呗。 所以我们能得到 a、 c 和 b h 就是 相等的，是不都得四啊。那么我们最终呢？他为啥要特意告诉你一下这个 a、 d 是 正整数啊？因为我们得满足它围成三角形的条件，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。我们首先能得到的是 a h， 应该是大于 两边之差 b h 减 ab， 小 于两边之和 b h 加上 ab 的， 对吧？哎，那这个 a h 它应该是大于四减二，小于四加二的， 然后因为 a、 d 是 a h 的 一半，它不是全等了吗？对吧？所以这个 a、 d 应该是大于一小于三的，再加上 a、 d 是 正整数。所以最终答案 a、 d 在 一到三之间的整数为二。 我们看一下第三个问啊，在 r t 三角形 a、 b、 c 当中啊，角九十度给我画好了 a b 的 a c， 哎，是等腰值啊，然后还有一个垂直是不？给你画好了 m n 垂直 a c 啊，还有等腰值 a d， e。 让你去判断一下这个三角形 b， a e 和 a c d 它俩是否为积等三角形。那么我想问一下同学们啊，有的同学就是指证它俩面积不等，然后就积等三角形了，对吗？ 不对，让你去判断积等三角形，你必须要说第一个它俩不全等，第二个它俩面积相等，你才能叫做积等三角形，对吧？很多同学在书写过程的时候都忽略了，去证明它俩不全等了，明白吧？哎，必须得说一嘴啊，它俩不全等，并且它俩面积也相等，所以才能叫做积等三角形。 那么现在一看就不全等，为什么？一个对角三角形，一个直角三角形，对吧？那么现在我们要去证一下它俩的面积相等。那此时我们先看三角形 a c 对 吧？这个三角形 a c 对， 我们可以让 a c 为底， c 对 就是高呗，除以二，是不？这个太浅显了啊。然后再接下来我们再看另外一个三角形， 三角形 a、 b、 e 的 面积呢？它是不应该是让 a b 作为底啊？为什么找 a b 啊？因为 a b 和 a c 相等， 高的话，它是一个钝角三角形，高是在它的外部的，所以这个高我们需要自己画一个。那么我们做高呗啊，过点 e 做个垂直就可以了，做个垂直，那垂足是 h 可以 吧？ 那么现在我们应该是 ab 乘上 e h， 然后再除以二，对吧？好，然后我们这两个三角形要正，它俩是相等的，面积是相等的， 这个 a c 和 ab 本身已经相等了，题干上告诉我的除以二也是一样的，我们的最终目标就是正 c、 d 等于 e h， 对 吧？那 c、 d 和 e h 怎么相等的呀？哎呀，这一眼就瞅出来了，我们要正一次全等就行了，是不是应该是正这个三角形和这个三角形它俩全等了， 那应该是正三角形 a、 e、 h 全等于三角形 a、 c、 d 是 不？哎，这个也非常简单，首先我们角一加角二， 角一加角二是九十度，角二加角三也等于九十度，我们能得到的第一个条件是角一等于角三，对吧？然后第二个条件呢？还有是 直角等于直角啊，就是你不是啊，这个 h 这个位置和这个 c 这个位置都是垂直的吗？对不对？哎，所以我不写正常的了啊，应该写角的，是不是第二个是直角啊？你应该写角 a、 h e 等于角 a、 c、 d 是 吧？然后再有一个边的话，边是哪个边对应相等，是不是 a、 d 等于 a e？ 这个是题干上告诉我的。那这三个条件一列出来之后，我们就能得到这两个三角形全等了，判定方式是 a a s 啊，正常的过程同学们会不会写啊？你应该写在啊啊，三角形谁和 三角形谁当中大括号写三个条件，所以三角形全等于三角形，然后括号 a、 a、 s 之类的是不好，那么如果正完它俩全等，那这道题就结束了啊，我们就能得到这个 c h 和 e h 相等了， 我们就能得到这个 c、 d 和 e h 是 相等的了，就是这个和这个相等，是吧？然后它俩的面积就相等了，加上它俩不全等，所以是直角三角形。 然后这个辅助线是怎么说的呢？过点 e。 老师写一下辅助线啊，过点 e 做 e h 垂直 b a 交 b a 的 延长线于点 h 啊，就可以了。好，同学们可以自己整理一下。

同学们好啊，我们看一下这道题，一道抛物线的压轴，是吧？首先他说已知二次函数 y 等于 a 倍的 x 方减二， a， x 减三 a， 它的图像与 x 轴相交于 a b 两点，那么我们这个式子其实也就能看得出来，它只有一个未知数 a， 我 其实是可以把这个 a 提出来的，对吧？ 提出来的话是 x 方减去二， x 再减去三，那么这个很明显应该是可以十字相乘的，它就应该等于 a 倍的 x 加上一，乘上 x 减去三，那么我们这个就变成了焦点式，也可以叫做两根式，对吧？我们能看得出来，不管 a 取多少，那么这个 x 等于负一的时候和 x 等于三的时候，这个 y 都是零，对吧？两根式的特点就是我们能直接看出来抛物线与 x 轴的交点坐标，那么 a 点固定就是负一到零，然后这个 x 等于三啊， b 点固定是三到零， 这个是我们根据他给我的式子我就能想到的东西。这个图像与 x 轴交于 a b 两点，并且点 a 在 点 b 的 左侧，与 y 轴相交于点 c 顶点坐标是 d， p 和 q 也告诉我了，并且他告诉我，是啊，图像上的两个动点。第一个问，点 c 的 坐标是零？逗三 啊，那么我们现在只有一个位置数，我再带入一个点，就可以求出 a 的 值了，对吧？直接把零头三带进去啊，三等于啊， a 倍的零减零，零再减去三，是吧？哎，就能直接求出 a 的 值，我们这个直接告诉你了啊，它的答案应该是 y 等于负， x 方加二， x 加上三， 我们求完的这个 a 应该是负一啊，这个第一个圈一是白给的，然后再看第二个，如图一啊，点 p 在 直线 bc 的 上方，并且满足 n 减 m 等于二， 这个 m 是 p 的 横坐标， n 是 q 的 横坐标，那么过点 p， 我 们做垂直，然后交 x 轴与点 e 交线段， bc 与点 f 啊，连接连接，让我去求证这个面积是二倍的关系， 那么让我去证明这个关系的话，我们就分别表示一下就行了，是吧？那我们简单书写一下它的大概的过程， 比如说第一个，我们现在想要先表示一下 p f q 啊， p f q 的 面积应该是在这呢，是吧？然后等于二倍的三角形， c f e c f e 不是 在这呢吗？我们找好它的底儿和高就行了。我们先表示一下 f 吧， 这个 f 点呢，它和 p 的 横坐标是一样的，都是小 m， 纵坐标应该是它所在直线的解离式， c 点是零斗三，然后 b 点是三斗零，这很明显 b o c 是 一个等腰值，那么它的解离式就是 y 等于负 x 加三，对吧？哎，那么 f 点在这条线上，它的纵坐标就可以设为负 m 加三， 然后 e f 的 长度，我们把它当做底儿，是不是就是 f 的 纵坐标呀？哎， e f 就是 负 m 加三，然后我们再看这个三角形，它的面积怎么表示啊？哎，表示 f e c cfe 的 面积，是不应该是用这个 e f 的 长度作为底儿，然后 f 的 横坐标 作为高，再除以二就行了，那么它代入的话，就应该是负 m 加三，然后乘上 f f 的 红坐标，红坐标是 m， 然后再除以二，对吧？好，表示完这个第一个之后，我们再表示第二个啊， p f q 的 面积， 我们在表示 p f q 的 面积的时候呢？还是啊，以水平的或者是数值的线儿作为底儿来算更简单一些，那么我们看一下，哎， p 点啊， p 的 横坐标是 m， 因为它在抛物线上，所以纵坐标设它抛物线的解析啊，负 m 方加上二， m 加上三， 然后我们再看一下这个 p f 的 长度， p f 就 应该是用 p 的 纵坐标减去 f 的 纵坐标，那么应该是负 m 方加上二 m 加三，减去 f 纵坐标，这个整体啊，减去 负 m 加三，对吧？哎，这个打开整理完是负 m 方加上三 m， 好， 那么现在我们可以去表示一下面积了，这个三角形，哎， p f q 的 面积就应该等于底儿是 p f 吧，对吧？这个高呢？应该是谁啊？这个高，应该是。 哎，这段的长度是不应该是 q 的 横坐标减去 p 的 横坐标啊，水平之间右减左来表示距离 啊，减去这个啊，再除以二就可以了，对吧？好，我们代入一下啊，那么 p f 的 长度刚表示完，是负 m 方加上三 m， 对 吧？ x q 减 x f 就是 q 的 横坐标减去 f 的 横坐标，或者说 p 的 横坐标是不都可以啊？ 哎，我发现就是这个 n 减 m 等于二，对不？哎，就是就是，红坐标减去 p 的 红坐标啊，那就是乘以二啊，那乘以二再除以二，那你看它是不就是负 m 方加上三 m 呀， 对吧？哎，然后你就会发现了，上边这个式子，它其实是二分之负 m 方加上三 m， 那 么这个数和我们下边表示的这个数，它俩就满足二倍关系啊，我们这个圈就挣出来了。 我们再看一下括号二啊，当四边形 a、 b、 c、 d 的 面积为二分之九的时候，然后并且 m 加减等于二十，它过点 d 做了一个垂直于 x 轴的垂线，交点是 h， 这个 d 是 什么呢？是这个抛物线的顶点是 d， 对 吧？ 哎，然后连接啊，让这个角九十度，让我求 m 的 值是多少？你看这个题干上已经告诉我 a 是 小于零的了，看到了吗？哎，也就是说抛物线开口是一定向下的，然后 因为他给我的这个是 a 倍的 x 加一乘上 x 减三啊，是这个式子啊，两根式，或者说它是焦点式，那么 a 点和 b 点坐标就是固定的， 哎，那么这个图像大概长什么样？就已经完全固定了，对吧？我们先求一下那个小 a 的 值是多少，因为我们不能用刚才这个 c 点坐标带进去的值了，因为这是括号一自己的条件，对吧？哎，把它当做不存在啊。然后我们直接看括号二，对吧？ 那么，哎， a、 b、 d、 c 的 面积是二分之九，我们简单框选一下啊， a、 b、 d， c， a 到 b， 然后 b 到 d， d 是 抛物线顶点， a， b， d， c 是 不是老师给你框起来的这个部分，它的面积等于二分之九啊？ 那么这个时候我们就可以给它进行切割，对不对？你看一下，你想切割成几个三角形啊？比如说有的同学可以过点的往下做个垂直，过点 c 再往下做个垂直，然后让它变成三角形，加梯形加三角形，没有问题啊，你觉得它砍的多了，我们也可以给它分成两个，就比如说我直接连接 a 的， 可不可以啊？ 哎，用这个啊， a、 c 对 的面积加上 a、 b 对 的面积啊，最终的结果也是一样的。哎，那这个我们哪个方法都是可以的啊？那比如说老师用这个啊，分成两个三角形的方法，我们先表示一下啊。首先呢，哎，这个三角形， 这个三角形 a、 b、 d 的 面积，它是不应该等于 a、 b 乘上 d 的 纵坐标，然后再除以二啊？我们知道 a 点是负一， b 点是三，对吧？哎，那么它俩之间的距离是不是四啊？四乘上 d 的 纵坐标，这个 d 的 纵坐标是不是可以表示的呀？ 因为我们 d 的 横坐标是固定的，这个 d 点的横坐标应该就是一。为什么？因为我们不管这个抛物线，它到底是再往上一点啊，它永远都过这个 a 和 b 这两个点， 那么我们对儿点的横坐标永远都是 a、 b 的 中点所在的这条线上，对不对？所以对儿的横坐标永远是一。我们可以把这个一代入到抛物线的解析式当中来表示一下它的纵坐标，代住之后发现应该是负四 a。 啊， 那么对儿点的纵坐标负四 a， 我 们就可以乘一下负四 a， 对 吧？然后再除以二，也就是说 a、 b、 d 的 面积，如果用 a 来表示的话，应该等于负八 a， 我们再去表示一下另外一个 a、 c、 d 的 面积，这个 a、 c、 d 的 面积呢？可以用我们的二分之一水平成铅垂来表示，对不对？哎，那你也可以给它分成两个三角形啊，它其实原理就是两个三角形，老师，我不知道什么水平铅垂的，没有关系啊，我们就把哎，老师画绿色的这条线，比如说这个点是 h 的 话 啊，以 c h 为底，给它分成两个三角形，对吧？然后我们分别乘一下也是没有问题的啊，但是现在同学马上都是二模了，对不对？马上就要中考了，所以说这个你一定是会的啊， 三角形的面积啊，二分之一水平成千锤，那么 c h 的 长度是多少呢？那我们需要先求一下，这个 h 点的位置在哪呢？ a 点的坐标是多少呢？ 哎， a 点坐标同学们知道应该是负一到零，然后 d 点坐标是这个，是吧？哎，我们就可以去求一下 a d 的 解析式是什么？ a d 的 解析式，我们先求 y 等于，对吧？先求 k， 这个 k 同学们肯定都会，是不是可以套公式也可以直接往 y 的 k i 加 b 里带啊，那么我们就直接写出来了，这个 a d 的 解析式呢，应该是 k 等于负二 a 啊，负二 a x 啊，然后再减二 a， 这个是我们 a d 的 解析式， 那么我们 h 点的位置就知道了，对不对？ h 点就应该是零到负二 a 啊，好，那么 h 点知道，那 c h 的 长度就知道是吧？哎， c h 就 应该是用 c o 减 h o 呗，哎，那么 c o 的 长度应该是多少呢？ c o 长度是不应该是负三 a 啊，对吧？ 为什么 c 点的坐标是负三 a 呢？因为我们原来仅仅是那个小 c， 是 不就是它呀，负三 a 啊，所以说这个 c 点坐标就是零度负三 a， 对 吧？那么 c h 的 长度就出来了啊，应该是用负三 a 减去负二 a， 那 就等于负 a 呗，是吧，我们直接代入一下啊， 那么 a c d 的 面积就应该是用 c h 乘上，哎，水平距离，那水平距离就应该是 d 的 横坐标减去 a 的 横坐标，然后再除以二，是吧？哎，你只要能表示出来就行啊。那么应该是负 a 乘上 d 的 横坐标是一，然后 a 的 横坐标是负一减负一，对吧？那就是加一呗， 然后再除以二，发现等于负 a。 好， 那么它俩加一起是不等于二分之九啊？也就是说负八 a 啊，加上这个负 a 合到一起应该等于二分之九。哎，负九 a 等于二分之九，我们能得到 a 的 值等于负二分之一，这个是我们括号二的第一步，看有没有问题。 我们去表示这个三角形面积的时候，方法不是唯一的啊，你可以给它切割成三个三角形啊，或者是更多，只要你能表示出来，能求出来小 a 的 值就可以。好，这是我们的第一步啊，小 a 等于负二分之一。然后接下来我们继续看 小 a， 它是等于负二分之一的，那么小 a 求出来之后，它的解意式就已经知道了，应该是 y 等于负二分之一倍的 x 加一，乘上 x 减三，是吧？好，那么我们再继续往下看啊，他说 m 加 n 等于二 啊， m 加 n 等于二，告诉我，这个 m 和 n 分 别是 p 和 q 的 横坐标，并且它不只是在那个直线 bc 的 上方了，它可以再运动了。 我们先把这个抛物线的大概图像画一下啊，它不管怎么变，大概图像肯定是长这样的，对吧？这个 a 点是负一，然后这个 b 点的位置是三 啊，然后呢，过点对我们做了一个垂直啊，对点是它的顶点坐标，对吧？哎，过点对它做了一个 x 轴的垂线，然后垂足是 h， 是 这样的吧，那么连接啊， hp 和 h q， 我们如果 p h q 等于九十度的话，那么很明显啊，这个 p 点和 q 点它都是在抛物线上的，你只需要让这个位置是九十度就可以了，对吧？ 一个 p 一个 q， 让这个是垂直的呗，是不？哎， h 点的坐标是固定的，一到零啊，然后 p 点的红坐标是 m， q 点的红坐标是 n， m 加 n 等于二，让我求此时小 m 的 值是多少啊？就是这样的。然后呢，这道题可能会多解，是为什么呢？哎，还有可能它 会在下边，是吧，只要是直角就行，把两条线都延长啊，然后他也是垂直的这个位置，对吧？当然了，我们在列式的时候呢，其实只需要列一个式子，然后去求两个结果，那我们看看应该怎么办？ 首先你都看得出来，我们这个图像当中有这么多的直角，那我们就想到什么呀，三垂直呗，对不对啊？一线三垂直，所以呢，我们的做法是，哎，可以过点 p， 哎，我们往下做一个垂线 啊，构造三垂直，过点 q， 我 们往下也做一个垂线，可以吧？好，那么我们标一下啊，比如说这个是 m， 这个是 n， 那 你很轻松的就能看得出来，哎，我们的这个三角形和这个三角形，它俩应该是相似的，对不对？哎，先写一下啊，是三角形 p， m h 和三角形啊， h q n 它俩是相似的， 因为全是直角嘛，所以点加叉，叉加点九十度啊，点等于点叉对叉，随便正啊，非常好正。然后我们知道相似了，我们可以写一下对应边乘比例，对不对？在写对应边乘比例之前呢，啊，我先把这个已知的长度啊什么的我们都表示一下啊，啊，我们可能会用的到的， 首先它的解式啊， y 等于负二分之一倍的 x 加上一乘上 x 减去三，那么如果把它打开的话，是 y 等于负二分之一 x 方加上 x 加上二分之三。 好，我们先设一下 p 点的坐标， p 点呢？横坐标是 m， 那 纵坐标就是它所在抛物线的解式呗，负二分之一 m 方加 m 加上二分之三。我们再看一下 q 点啊， q 点呢？横坐标是 n， 哎，那么纵坐标呢，就是负二分之一 n 方加 n 加二分之三呗，是吧？好，那么 p 和 q 的 长度表示完之后，我们写一下对应边乘比例啊，我们可以标注一下这个点和叉啊，就比如说我们可以把这个标的点角，那这就是点角呗，这个是叉角，那这个就是叉角呗。哎，那么 我们写一下对应边乘比例啊，应该是谁比谁得谁谁啊，应该是 p m， 我 们比上 h n 等于 m， h 比上 q n， 对 吧？好，我们代数啊，算一下，首先 pm 应该是 p 的 纵坐标，负二分之一 m 方加上 m 加上二分之三。然后 h， n 应该是 q 的 横坐标减去 d 的 横坐标，那应该是 n 减一等于来 m， h 应该是 h 的 横坐标减去 m 的 横坐标一减 m， 然后比上 q n， q， n 就是 q 的 纵坐标，负二分之一 n 方加 n 加上二分之三。有的同学写到这就已经崩溃了，是不是？其实不要怕啊，有的时候确实这个式子看起来就很复杂，但是我们都是能算出来的啊，交叉相乘，我们试一下 啊，负二分之一 m 方加上 m 加上二分之三，然后乘上负二分之一 n 方加 n 加上二分之三， 等于 n 减一，乘上一减 m。 有 同学手痒啊，上来咔咔一顿乘，一顿乘，全都给我乘开了，之后你就没法算了，太乱套了， m 方 n 方的 m， n 的 乱八七糟的，而且最后拆不开，肯定不是那么算的，对吧？ 因为呢，这道题当中是不是给了我这个 m 加 n 等于二啊，给我 m 和 n 之间的关系了，所以说我们肯定是可以替换的啊，你不用害怕， 就比如说我们现在写成这种形式，有的同学直接乘开肯定是不行的，那么我们怎么办？我们可以给他还原一下啊，因为他最开始的时候是不就是两根式啊？其实我们最开始写两根式就可以了，第一个式子他是不就相当于负二分之一倍的 m 加一乘上 m 减三， 对吧？哎，我们还原成原来的两根式啊，这个呢，还原一下的话，应该是乘上负二分之一倍的 n 加一，乘上 n 减三，对吧？后边照写， 等于 n 减一，乘上一减 m， 看看这有没有问题，就是一般式和两根式给它转化一下啊，为什么要转化成它呢？因为题干上告诉我 m 和 n 的 关系了， 我们最终是不要求 m 的 值啊，那就把 n 替换掉，这个 n 应该等于二减 m， 对 吧？那么我们把所有的 n 全部都替换成二减 m， 给它代入好。那么我们把所有的 n 全部都替换成二减 m， 给它代入好。它俩如果先合到一起的话，就是四分之一呗。 所以说前边 m 加一和 m 减三，我们是不动的，然后接下来这个 n 加一呢，变成二减 m， 再加一，那就应该是三减 m， 后边这个 n 减三就是二减 m 再减三，那是不就应该是负一减 m， 看看这有没有问题，跟上没？然后等于 n 减一啊，这个 n 减一也要给它替换掉啊。 n 减一，那就应该是 什么呀？二减 m 再减一，那就应该是一减 m 啊，然后再乘上一减 m。 好， 那么接下来我们两边如果要是有能约掉的啊，可以约掉，约不掉的话，我们给它合并到一起啊。 哎，我发现，哎呀，这个是 m 减三，这个是三减 m， 它俩应该是互为相反数的，这个 m 加一和这个负一减 m， 它俩是也互为相反数的，它俩是不是也可以提出来一个负一啊？所以说想要合并到一起的话，就是四分之一，它俩 都变成 m 减三，然后符号提出来一个，它俩都变成 m 加一，符号提出来一个，这俩符号就抵消掉了，所以应该是 m 加一的平方乘上 m 减三的平方， 那它是不应该等于一减 m 的 平方，那这个时候有同学就可以看出来了，全部都带平方，我可不可以让这个式子的两边，哎，同时开根号呢？ 哎，这是成立的，对不对？好，那么开根号的话可能会有两种情况，哪两种情况呢？哎，就是你得去看一下这个 m 它在哪个范围内啊？如果正数的绝对值应该等于它本身负数的绝对值就应该是相反数了，对不对？那你看一下我们现在这个情况，如果我们 p 点是在 a 和 d 中间的话， 那也就是说 p 点的横坐标是小 m， 它应该在负一和一之间，对吧？然后你开根号的话，你看我们要不要编号啊？那么第一种情况，哎，我们去判断一下来，四分之一开根号是不是应该等于二分之一啊？ 写一下啊，二分之一，然后 m 加一的平方，因为 m 是 负一到一之间的一个数，所以 m 加一是正数，那么开完根号之后它还是 m 加一，然后 m 减三，那 它肯定是小于零的，那么开完根号之后，它就应该是变成相反数的，那么就应该是三减 m， 对 吧？然后这头呢，一减 m， 不 管这个 m 是 呃什么数啊，只要在负一到一之间的，那它都是一个正数，开完之后还等于它本身一减 m， 好， 那么这个时候我们就把它还原成一个什么呀，一元二次方程，对吧？哎，那这个时候它直接求解就行了，而且我求出来的这个解呢，要满足 在负一到一之间啊，那这个式子我们直接告诉你答案了啊，这个我们用配方法、公式法都是可以的。这个 m 算完了之后啊，应该等于的是正负根号五加二，但是我要负一到一之间的数啊，所以说我们只要负根号五加二， 正根号五加二，舍掉了。好，这是我们的第一种情况，那么下面这个情况我们不用再去再画垂直再相似的比例了，我们直接给他改一下位置就行了，就是 p 点在这，也就是说 m 是 它的横坐标，小于负一就行了。我们再算一遍刚才刚才的这个啊，然后它啊，二分之一是照写的，因为现在的 p 是 小于负一的，所以说我们这个 m 加一应该全部都编号，那应该是负 m 减一， m 减三是负的，所以给它变成三减 m， 然后右边的这个呢？一减去一个负数还是正的，等于它本身一减 m， 那 么这个我们算完，只要它满足小于负一就行。这个是 m 方等于五， m 等于正负根号五，但是我们只要小于负一的，所以说我们要负根号五 啊。那么这道题最终综合起来了啊，答案是这两个负根号五或负根号五加二啊，感谢聆听！

大家好，我是曾老师，那么接下来我给大家讲解一个两点之间距离公式啊，在客户线当中的运用，那么我们正好初三阶段刚刚进行到二次函数的一部分，是吧？ 我们首先来回顾一下两点之间的距离公式，那么它指的是在平面直角坐标系内有两个点， a 和 b 啊，坐标上面的 x 一， y 一 和 x 二 y 二，那么这两个点的距离呢？就可以用括号下 f 一 减 x 二，括号 x 零方，加上 y 一 减 y 二，括号零方啊，我们看具体问题， 我们说在抛物线 y 点 x 方向减去了加三个图像上啊，它的对称轴，我们很容易借助对称轴公式， x 等于负二分之 b， 是 吧？求出了是 x 点三， 在这个对称轴我们上面找一个点 a 啊， a 点坐标是已知的啊，它的三度和二，那我现在求一下 a 点到抛物线的最短距离是多少？ 那么首先啊，咱要求 a 到抛物线的距离，我是不是要在抛物线随便找一个点啊？我先找一个点，这个点 p， 它的坐标可以设为 x 的 逗号 y， 那 么要求对等距离，我先得把这个 a p 这个距离给我表示出来啊。那么大家知道两点之间的距离公式，刚刚已经回顾过了，是吧？它就等于减法向 x 减三扩大的平方，加上这个 y 减二扩大的平方。那我们把这个式子来展开，把根号下部分展开， 等于根号下 x 减三的平方，就是 x 方减六， x 加九，加上 y 方减四， y 怎么加四啊？然后来我们观察这个式子， 我们发现这里边有两个比值数，两个比值数我们很难这个求出的对角值啊，所以说我可以观察观察， x 方减六， x 在 这个式当中有哎，抛物线的减一次当中正好也有的 x 方减六 x， 那 么这样的话，我是不是可以把上面这个干号上这个代数式中的 x， 把它用 y 替换了 啊？所以说它就等于谁呢？我们看一下啊， y 等于 x 方减六加三，那么 x 方减六， x 是 不是正好等于 y？ 简单那回这个式子我们就可以画两，从根号下垂， y 减三加九，加 y 方减四， y 是 不是加四， 然后我们一反，细心点啊，那就等于根号下 y 方键，哎，加一个减四个减三个， y 加九加四减三，首先加十， 然后啊，看这个时候咱之前学会的熟悉的形式了，我们可以用 p 方法数来求它的最小值，嗯，等于根号下 啊，比方哈， y 减二分之三，扩十的平方了，那么这个十字打开之后是 y 方减三， y 加四分之九啊，那咱要加的时候后边是加十是吧，那十就是四分之四十吗？那所以说少加了一个啊，四分之三十一 我们改到后边啊，加上就行了。那大家看这个式的最小值是不很容易求啊，最小值就是谁啊，是不就是四分之三十一啊？哎，也就是说四十 a p 啊，它的最小值就等于根号下 四分之三十一啊，我没忘了化简化简加等式，那就等于二分之根号下三十一 是吧。然后大家可以看一下啊，这个题就巧妙运用了两点一点的比例公式来求对值，那么大家有一万可以在里面取一点。

二次函数压轴题，遇到已知抛物线上三个点，求第四个点组成平行四边形，你是不是还在坐标系里疯狂连线画平行线画半天，不仅草稿纸乱成一团，还经常少算一种情况， 今天费老师教你一个绝对公式法，压根不需要画图，直接套公式，三分钟的压轴题，三秒钟算完！记住平行四边形最底层的坐标规律，因为平行四边形的对角线互相平分，所以相对的两个顶点的横坐标加起来，等于另外两个顶点的横坐标之和。纵坐标也是一模一样。 说大白话就是已知 abc 三个点，求 d 点。规律就是任意两个点相加，减去第三个点就是第四个点。规律弄清楚了，我们直接拿真题来秒杀！题目说，已知抛物线上有三个点， a 点坐标是一二， b 点坐标是三五， c 点坐标是四一。现在要找一个地点，让这四个点能组成平行四边形，求 d 点坐标，千万别去画图分情况了，第四个点 d 只可能有三种情况， 我们直接拿公式算。情况一，把 a 和 b 当做对角的顶点， d 的 坐标就是 a 加 b 减 c， 横坐标一加三减四等于零，纵坐标二加五减一等 于六。第一个地点算出来了，就是零六。情况二，把 a 和 c 当做对角的顶点， d 的 坐标就是 a 加 c 减 b， 横坐标一加四减三等于二，纵坐标二加一减五等于负二。第二个地点也出来了，就是二负二。 情况三，把 b 和 c 当做对角的零点， d 的 坐标就是 b 加 c 减 a， 横坐标三加四减一等于六，纵坐标五加一减二等于四，第三个地点就是六四算完了根本不需要画一条平行线，也不用担心漏减，三个答案清清楚楚， 这就叫真正的代数降维打击，把这个两点相加减第三点的公式，点赞收藏，下次遇到平行四边形存在性问题，直接拿满分！关注费老师每天带你拆解一个思维广去！

大家好，距离湖北中考还有三十天呢，不知道大家焦虑没有，如其焦虑不如来押题，万一押中了呢？我们来先看这道题， 若抛物线 y 等于负 x， 原加二， x 加 c， a 小 零与 x 轴有一个交点， x 一 零 x 一 的范围是负一到零之间，选出正确的。在 a、 b、 c、 d 四个选项中选出正确了，我们会首先看到作为选项 a， a 来说，他直接要求算出对称轴，因此我们直接代入对称轴的公式， x 等于负二， a 分 之 b， x 等于负二 a， 它这里是负 a 才是 a， 所以 我们这里是负二 a， b 是 二 a 最后月份等于一，那么 a 选项应该是错的，因为对称轴应该是 x 等于一。再看 b 选项，他说当 x 大 于零时， y 随 x 增大而增大， b 明显要求我们大概的能画出这个抛物线的图像，而要画出图像，最关键的是 找出开口方向，这里很明显 a 是 小于零，他的开口方向应该是负 a 决定，所以在这里他的负 a 应该是大于零。这个时候我们就能够画出这个抛线的大概的图像，应该是开口方向向上。 对称轴在这里 x 等于一好，这是对称轴，是 x 等于，要求的是，他说 x 大， 一定是 y 随 x 增大而增大，明显在这里应该是 x 大 于一，就可以满足 y 随 x 增大而增大， 所以选项 c， 而选项 b 也是错的。我们再看选项 c， 他 说三 a 大 于 c， 我 们很明显的看，看到在题目当中是没有三 a 的， 这个时候怎么办？这是要敏感的感觉到这里有个负一，负一大概在哪个位置。我们能够先画出 x 轴的前提下，如果这是 x 一， 那么他应该在负一 和零之间。为什么这么画？就是因为对称轴是 x 等于一，而不是这里是 x 等于 x 一。 因为只有在这个范围，它必须在对称轴的左边才满足这个条件。当我们有了这个之后，瞬间能得到什么？当 x 等于负一的时候， 它的值应该是大于零。这里一个很重要的条件，也就是说这里有一个特殊值的考点，那我们直接将负一带进去，会得到 y 应该等于负 a 减二， a 加 c， 也就是负三 a 加 c， 它对应的值刚才已经说过的是大于零。 我们看这个不等式换边之后，直接能得到 c 大 于三 a， c 大 于三 a， 而选项 c 是 三 a 的 大于 c， 所以 是错的。坐在这里， a、 b、 c 都错了。我们实际上这道题已经做出来了， 直接选四 d 选项好。为了验证是不是四 d 选项，我们再来看四 d 选项，他说若 x 一 x 二为这个方程的两个根，则 x 一 乘以 x 二，那不用说了，有 x 一 乘以 x， 一定有维达定律。 x 一 乘以 x 等于 a 分 之 c， 好， 这时候我们还要敏感的感觉一样东西。刚才已经说过列 x 一 乘以 x 等于 a 分 之 c， 好， 这时候我们还要敏感的感觉一样东西。那 x 二是不是应该在这里啊？ 那这里是 x 二，会看到这里是 x 等于一，它的对称轴的右边意味着 x 二一定是大于零的，而你 x 一 是在负一和零之间，那么意味着一个是正数，一个是负数，它两个乘积一定小于零。哎，这时候我们就会发现， 四 d 选项当中的右半部分已经找出来了，那么负三在哪里？回到前面来去看，我们这里就有一个三，如果我们把 a 除过去，是不是会得到一个很神奇的东西？因为你刚才已经说过了， x 一 乘以 x 二应该等于 a 分 之 c， 而这里的 a 是 负 a， c 还是 c？ 哎，当我们把 a 除过去，我们会神奇的得到 a 分 之 c， 因为 a 是 什么？ 小于零，除过去的编号是小于三，但这里有个符号，我们再添一个符号，负 a c， 那 么它大于负三。这是很神奇的发现，你的 x x 二是负 a 分 之正好是大于负三，而前面已经得到它小于零，所以能验证出最后四 d 选项一定是正确的。好，这道题就到这里。

我教你怎么抄二次函数压轴题的答案。初三的是不是一看到抛物线就跑，还在那列一堆方程算 x y？ 这么干的孩子，最后十分的大题只能拿个二三分辛苦分。我带过的毕业班里很多中等生就吃这个亏， 他们吭哧吭哧算半天时间全耗光，答案还经常算错，卷面一塌糊涂。给你个野路子，下次直接抄他的图像。拿到题先别算，干两件事，第一，把抛物线在草稿纸上大概描出来，标出他和 x 轴、 y 轴在哪碰面。 第二，死死盯住顶点，看他是最高点还是最低点。百分之九十五的压轴题，答案的关键都藏在这个顶点附近，要么是求他的坐标，要么是围绕他来设问你信吗？ 你把这幅图抄明白了，他问你面积最大，距离最短，答案往往就在顶点坐标里， 这比死算要快三分钟，还能帮你避开计算陷阱。这相当于把一道复杂的代数题 变成看一眼图就能猜个七八分的。看图说话，如果你是初三生，正在为这类压轴题头疼，想看看这个画图法怎么用在你最近错的题上，我可以帮你具体分析一下突破口在哪。

接下来就是平抛或者斜抛，平抛，斜抛的话，那么把速度先把它分解到水平数值，比如说平抛水平扔出去，然后扔的就斜过来了，那么这个斜的轨迹就是由 v x v y 分 别去呃单独计算，然后再合成的。比如说平抛，在水平方向上做的是匀速， 在数值方向上做的是一个自由落体 v y 啊 v y 就 等于 a drop object， 如果你是斜抛，那你斜抛的话，先把这个斜抛的这个速度分解到水平数值，这个就跟力的分解一样的，把速度把它分解到水平和数值， 然后呢扔出去啊，在水平方向上做匀速，数值方向上做的就是数值上抛。所以在平抛斜抛的时候，公式全加上下标，比如说水平方向上都是 v x 啊，全都是下标 x， 如果你列的是 y 方案上的公式的话，就要全部加上下标 y 的 这个下标，然后算完之后，如果你要算空中的任何一个质的速度，那个速度没有说是 x component 还是 y component， 那 它指的就是总的速度，就需要把 v x v y 把它合成 好，这个呢就叫做速度的叠加啊，两个速度叠加，按照矢量规则把它一合成，那么速度呢，除了叠加也可以相减。相减的话，两种情况，第一种 相减，在这我们知道 a 呢，等于它 v 比上它 t， 嗯，那么这个 v 减 v 零， v 减 v 零等于 a t， 其中这个 v 减 v 零就是相减，那么如果是同向，那就直接是相减，反向的话就是统一正方向再向前，如果方向不一样呢，一个向右，一个向下呢？那么 v a 减 v b 多少呢？ v a 减 v b 就 改成 v a 加上负 v b， 把 v b 掉个头就变成负 v b， 然后呢 a 加上负 v b， 然后就像力的合成一样的把速度合成起来，这就是 a 啊， a v a 减为 b， 那 么在这边呢叫 v a b 是 什么意思呢？还有个场景也需要用到速度的相减，这个叫相对速度， 那么比如说我们在一个运动的火车上去看另外一个运动的这个物体，那么呃，平时我们说的速度都是以地面作为参考系，嗯，地面是不动的，那么 我所有物体的速度都相对地面而动，那如果两个物体都在动，在我看来你的速度是多少？这就是你 a， 在 a 看来 b 的 速度是多少，这个就是 b 相对于 a 的 速度，那么相对于谁就要减一下谁啊，在这里是 a 减 b， 那 么也就是说这里是 b 来看， b 来看，或者是问的是 a 相对于 b 的 速度。第二种说法呢，就是 b 来看， 那么 a 的 速度相对于它是多少啊？所以相对于谁就减谁，谁看就减谁，然后减完之后就是它们的相对速度。 好，这是第一张运动学公式，匀变速自由落体啊，其中包括这个，我出速释放数值上抛、平抛，还有斜抛啊，还有相对速度。

好，抛物线 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加 c。 好， 上面的一点互二个四， 叫我们判断什么它跟 x 的 对称点啊，对称轴的对称点， 它还告诉我们两个方程， a 减 b 加 c 等于零，九、 a 加三， b 加 c 等于零，那我们就要判断它的什么对准住。一种情况是因为它 告诉我们这个点对准点，它说明它过这个点，那我们把把这个负二带进去，得到另外一个方程啊。等式 四， a 好 二，负二平方，四 a 减二， b 加 c 等于四，说明一二三三个方程连立啊。解出 a、 b、 c， 这是一种情况，解出 a 等于多少， b 等于多少， c 等于多少啊，就这种劳模的解法，那另外一种解面方法呢？我们知道对正轴 x 是 等于负的二， a 分 之 b 的， 那我们其实跟 c 没有关系，我们把 a 跟 b 的 关系求出来，这两个等于相减一下啊。九、 a 减 a 等于什么？八 a 三 b 减 b 就 加上四 b， 那 c 减 c 等于零，零减零等于零就减掉了，它就是什么 二， a 加 b 等于零。提出一个式，那这 b 就 等于负二， a 好， b 等于负二， a 带进去， 负的负二， a 比七，二 a 好 就等于一，那它的对准轴就是什么？我们就可以画出来，等于一好 等于一，那它有一点是负二跟四，一二负二跟四啊，随便画一下负二跟四，就这一点把它另一个点，对吧？那关于 x 等于一的对称，我们就对称过来啊，那它的 y 轴肯定就是四，那 x 轴呢？这边是负二，负二到一的距离是三，那我们这边的距离也是三，一来说加三就等于四啊，说明，说明它的对称点，万一 对称轴对称呢？就是什么四跟四。

各位同学好，我们来看一下二零二六年蜀山区二模卷的第二十三题啊，抛物线二十三题。呃，首先这个抛物线含餐对吧？带了一个 m， 第一小题会比较简单啊，求顶点坐标，你可以把 m 提出来，然后给他配方，你也可以说就是利用那个 顶点坐标公式，顺便复习一下顶点坐标公式啊，负的 a 分 之 b 是 对称轴，你把对称轴往里面带不也行吗？那顶点的纵坐标是四， a 分 之 c， a c 减 b 方啊。 好，来第二小题，那第二小题说抛物线向左移三个单位，或者是向右移两个单位都经过平面内一个同一个点，坐标 a， 轴号三，求 a 的 值。那第二小题不就典型的考到了平移吗？ 我们说在抛物线的平移里面啊，它是两步走 好。抛物线里面第一步呢，我们一般来说习惯性的给它化成顶点式，因为化成顶点式方便你的 x 那 个变化啊， 因为画整顶点式的话，你看你是不是矮个子，只会含有一个，就你的计算量不会那么复杂。第二步呢，那平移的这个口诀叫做左加右减次变量，上加右减次变量，上加下减常数项啊。 好， 那我们再来看啊，那现在呢，你的顶点是把 m 提出来的话啊，里面不就是，呃，一逗号负四，那就是顶点是 m 倍的括号加 x 减一的平方减四吗？ 左加右减自变量，那所以向左平移三个单位长度就是在 x 的 基础上加了一个三，那我加三，还有个减一，是不是整体应该是加二呀？ 好，然后 m x 加二的平方减四，经过 a 三，那你就把这个点坐标往里带呗，三等于 m 倍的括号加 a， 把 x 换成 a， a 加二的平方减四， 一样的道理啊，那我向右平移两个单位长度呢？左加右减字变量吗？那所以这个 x 基础上减了一个二，然后再减一，不就是 m 倍 x 减三的平方减四吗？把 a 到三往里面带，那我可以得到一个新的式子， 我都是等于三的，那就说明我这两个式子应该是相等的呗。好，所以我给他们另等另等。得到了我下面这个式子啊。好，首先负四负四，我们是不是可以消掉呀？这就没了。然后，因为呢，这里面 m 是 不是告诉你， 大于零的就是我的 m 是 不可能等于零的，所以你 m 和 m 是 不是也可以直销啊？ 那现在就变成了 a 加二方等于 a 减三方，就这样的式子。那你直接完全平方公式呗，那就是 a 方首平方尾平方两倍乘积放中央啊。好，那你会发现 a 方 a 方又消了，那实际上十 a 等于五呗，那 a 就 等于二分之一啊。 好，那接下来我们再来看一下最后一道题啊，那最后一道题呢？就，嗯二十三的这个抛物线的小压轴啊， 那他说抛物线和 x 轴交点之间的距离为二倍，根号二。我们在之前的小题里面，各位同学给大家回忆一下，如果说告诉你了， y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， 我们说与 x 轴两个焦点之间之间的距离。我之前用伟大定律给大家推过， x 一 和 x 二指的是距离，指的是差，那么它可以套一个公式，叫 a 的 绝对值，分子根号的它。 那我都跟你讲了，伟大定律推的，那所以在大题里面我们要用伟大定律去写啊。好，这个式子是 y 等于 m x 的 平方再减去一个二倍的 m x 再加 m 减四啊， 不要忘了，第一步你要用尾答定理之前你是不是又是一元二次方程呀？所以当 y 等于零的时候，必须要写这一步，包括你看到那种大题让你证明与 x 轴什么，呃，一定有两个焦点对吧？这种都要先令它为零啊。 啊，那根据尾答定理，我们说两根之和是不是 a 分 之 c 啊？ 好，那所以我们，呃，再往下来看一下你的这个式子啊，那么我们 x 一 减 x 二应该是等于 x 一 加 x 二。 好， x 一 乘 x 二应该是等于 a 分 之 c 啊啊，那么我们要的距离啊， x 一 减 x 二，这个距离你注意。呃，我们平方在内是绝对值，它是由根号而来的， 那它应该怎么算？它是不是应该是 x 一 减加上一个 x 二的平方，然后再减四倍的 x x 二？这是之前我们用伟大定律那一块写的啊？啊，在这里来我们推一下啊， x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， 所以 你可以算出来应该是刚刚好等于二，而 x 一 乘 x 二呢？那我可以得到是不是 m 分 之 m 减四啊？ 那么 x 一 减 x 二的绝对值对吧？哦，它不是等于题目告诉你是二根二吗？ 那我们可以用平方啊，导致 x 一 减 x 二，整体的平方是不是等于八呀？而它又等于什么呀？它是不是说完全平方公式等于 x 一 加 x 二的平方减去一个四倍的 x 一 x 二。 其实你用伟大定律推出来这个东西，你用那个，呃，就是两根之合二分之负 b 正负根奥德尔塔。其实你最后可以推出这个式子，这是这是小题里面 非常快速算与 x 中交点的距离啊，但是大题你得写过程啊，那么在这里面再往下算啊，八等于两根之合的平方，那不是四吗？然后再减去四倍的 x 一 x 二，那是不是 m 分 之四 m 减十六这个意思， 所以你是可以把 m 给它算出来的啊，这里可以交叉相乘。嗯，左边这里是八减四，是不是得四啊？ 四等于。好，我把这个负的放到上面去啊， m 分 之十六减四 m 就是 把这个负的拎到上面去，这个变成一个整体，那这里十六减四， m 不是 等于四 m 吗？那么你一个项 m 就 出来了， m 等于二。 好， m 一 旦等于二的话，其实你的抛物线这个解析式就已经出来了，这个抛物线你直接可以写成是 y 等于。 我们来套一下啊， m x 的 平方不就二 x 的 平方吗？减去四 x 再加上二减四，是不是减去一个二呀？我们说这种抛物线的题是按点踩分，包括你中考也是一样的，一定要写过程，按点踩分啊。好，那现在说，呃，那我们 它现在呢？再往下走啊，这个抛物线出来了，呃，过点 p t 零做 x 轴的垂线啊，交了两个点， 那我这个抛物线好开口向上啊，经过了一个零分啊，对称轴是什么？对称轴是直线， x 等于 负的四分之负四，对不对？应该直接 x 等于一，所以大致是这样的啊，好，那么这个东西和什么呢？和 y 等于 x 减 x 加一，有两个交点，对吧？那么交抛物线于点 m， 交叉于点 n。 好，那就相当于就是我们现在还要画一个 y 等于，这个是 far y 等于 x 加一的一个图，那不应该是向上吗？ 好，这大致啊。 啊，那他现在说呢？说什么啊？我们现在说，呃，过这个，过这个 p 点来做了一条垂线。哎，这个问题就来了啊，这个垂线你知不知道是在哪？ 目前是不知道的，对不对？他说，呃，与上面交了一个，与抛物线交 m 点，然后呢？和 e 函数交于 n 点， p 点在 x 轴运动的过程， m n 的 长随着 t 的 增大而增大啊。问你，我们的这个 t 的 曲值范围，其实这不就典型的上点下问题吗？ 那么这个上减下的问题，我们呃得来看一下到底是怎么个分类法？这条线我给你画长一点啊， 可以这样画好。怎么个分类法？那各位是不是首先我们的上减下是要分类讨论的，比如说你在这样的一个地方， 你在这样的一个地方啊，哎，你会发现上减下是抛物线减去一次函数，在这是一次函数减抛物线，在这中间是一次函数不减抛物线。所以由谁去决的？是不是由这两个焦点去决的？所以你得先把这两个焦点的横坐标算出来。那我们说焦点及连立方程组吗？ 那么在这一题当中又涉及到了这种，呃，第二个大的啊，第一个大点先求出 m 等于二，那么用到了这个 x 轴的距离。第二个交焦点及连理方程组，那么你得先把这个焦点求出来，那他肯定是占分了。好，那这个抛物线呢？是 y 等于 二， x 的 平方减去一个四， x 减二，好，以此类数呢？是 y 等于 x 加一，那我们是可以解除它的横坐标，横坐标 x 应该刚刚好是。对，其实我们只要横坐标就可以了啊， 那我的纵坐标 y 就 不要了。那所以在这里面我们就直接列一个。呃，等式，就不要列方程组了， 一等式我们直接把这个横坐标解出来就可以了啊。啊，那根据这个式子呢，我们可以解的 x 有 两个值，呃， x 一 呢，是负二分之一， x 二等于三，各位同学要自己算一下啊。 那就说明什么？那就说明与这个焦点一个横坐标是不是负的二分之一啊？而这个的横坐标是不是应该是三？ 那到这步你就可以分类讨论了。呃，那我们的这个 t 是 不是 p 点的 t？ 我 有三种情况，那我给你分三种颜色来分别给你算啊。好，来，第一种情况，我们如果说这个 t 呢，是在负二分之一到 三的时候，就在中间啊，我们先把最简单的这种情况给你写了，那就在中间的情况，那我用蓝色笔给你直接画啊。啊， p 点是这样的，上面交了，与抛物线交于 m 点，与你的这个一次函数交于 n 点。好，第一种情况，用蓝色笔哦，当我们的 t p 点不是在这吗？这个是 t 逗号零啊，它是不是相当于是在我们的中间，在这转悠呢？就是在这这，这 x 轴这个中间啊，在这转悠那。所以呢，当这个 t 是 大于负二分之一小于三的时候， 那我们是不是典型的设点法呀？好，那我此时我们来把 m 点和 n 点坐标， 因为 m 点始终和抛物线的交点， n 点始终和一次函数的交点在一开始就可以设了。 m 点的横坐标和 p 点横坐标一样，然后纵坐标是二 t 的 平方减去一个四， t 再减二，而这个 n 点的横坐标不也是小 t 吗？那纵坐标是不是一次函数的 t 加一啊？ 好，那所以这种情况下， m n 是 不是上减下？那上减下应该是等于 n 点的纵坐标减去 m 点的纵坐标。 好，那就应该是 t 加一，减去一个二 t 的 平方减去一个四， t 再减二啊，那这个式子你可以算出来，应该是负的二 t 的 平方，然后再加上一个五 t 再加三 哦，因为 p 点它是在 x 轴上运动，而且此时这种情况，它说了要求我们的 m n 的 长，就这个整体的式子随着 t 的 增大而增大。哎呀，那不就是画图的问题了吗？我这个抛物线是不是开口向下呀？ 我的对称轴为直线， t 等于负的 a 分 之 b， 也就是四分之五啊。那这种情况下，什么叫 t 随着它增大而增大啊？就说明我 t 在 对称轴左侧的时候，我始终是呃整体随着它增大而增大呗。 所以当 t 小 于等于这个四分之五的时候啊， 那此时我们说 m a 随着 t 的 增大而增大， m a 就是 y 吗？那么它会随着 t 的 增大而增大。我在这里就给你简写了，打箭头了啊，你们要写中文 好，但是没有结束，这个范围是要和一开始的范围，就他的范围和这个一开始范围。你要限定一下，这里是不是叫从小取小，所以第一个范围就出来了， t 呢，大于负二分之一的同时我还要小于等于四分之五。 好，另外一种情况我来给你换颜色啊，我给你换成紫色的啊。另外一种情况就是这样的，当你的这个 t 在 二的左，负二的左侧啊，和在我们三的右侧，哎，你会发现上减下都是同样的，谁减谁啊？ 抛物线减去一个一次函数对不对？所以第二种情况一样的啊，那我们的范围是当 t 小 于负二或者是负二分之一啊，这个横坐标是负二分之一，或者是当 t 大 于三的时候 等号没有取等号，等号可以在这可以一块取啊，就是你可以在上面取，也可以在下面取啊。 啊那哦你要注意这里不能取得啊，是因为这里大家画一下这里是不是有个 m 点和 n 点不能重合， 所以 m 点和 n 点是不能重合的话，说明你的负二分之一这个端点和三这个端点是取不到的。那么所以为什么这一题的范围负二分之一和三都没有取，就是因为它说不能重合？ 好，那这种情况下我们来看一下 m n 等于什么？ m n 等于上减下的话是不是拿 m 减去一个 n 点啊？ m 的 纵坐标是二 t 的 平方再减去一个四， t 减二好减去一个以此来数的是不是 t 加一啊？ 那这个式子呢，你可以得到应该是等于呃，二 t 的 平方减去一个五， t 减三。好，一样的道理啊。哎，我开口向上， 然后呢我的对称轴是不是可以算出来负的二 a 分 之 b 哦，你可以得到还是四分之五？那当什么叫增大而增大呀，是不是这样子的递增啊？所以当 t 呢，是大于等于四分之五的时候， 大于等于四分之五的时候啊。好，那此时呢，我们的 m、 n 呢，会随着这个 t 的 增大而增大， 但是没有结束。我们说了，你是不是要看一下原始的这个心灵条件，你 t 要小于负二分之一，小于负二分之一是不可能大于等于四分之五的，所以它大于三的时候要大于等于四分之五。哦，这两个合并一下。各位， 这两个合并一下是不同大取大，所以这种情况下，我们可以得到 t 呢，应该是大于三。好，综上所述，这一题答案有几个范围啊？两个范围， t 大 于负二分之一，小于等于四分之五，或者是 t 大 于三，中间用或连接啊， 因为你是分类讨论，我给你下个结论啊。综上，那么这个负二分之一是小于 t 小 于等于四分之五，或者是 t 大 于三啊。好，那这个是我们包河区啊，这个是蜀山区二模的最后一道二十三的抛物线啊。

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