函数图像公切线问题

hello， everybody 我是 神奇小猪今天我们讲一个导出热门问题，切线。接下来我们来看今天的第三种，也是最后一种，也是最难的类型题，叫公切线， 公切线。公切线，顾名思义，就是两个不同函数有一个公共相同的切线呗。啊，比如说啊，前面这函数我设为 f x， 后面这函数我随便设一个，设为 g x。 那 很显然，宝贝们自己想， 我只要 f x 确定了，而且 g x 也跟着确定了两条固定的曲线，它的公切线是不是一定是可以确定的呀？对不对？ 所以题目不会给你附加任何其他条件的啊，他只会把俩函数的解析式直接告诉我，他会把切点告诉咱，不，绝对不会切点告诉我，那就太简单了对不对？所以这个公切线问题相当于什么呢？相当于是有两个切点，而且俩切点还都不知道的问题。那我怎么办？ 不知道切点我，我射第一个切点我得射出来啊，我喜欢 m， 那 叫 m f m 第二个切点我也射 m 用过了，再用一个 n n， 那 记住纵坐标还是 fn 不？ 不是喽，是 g n 了，这是另外一个函数了。 然后呢？咋求这切线呀？小笨蛋，切点都有了对不对？那我姥姥也会求了，注意变魔术啊！右边这函数我不看了，我光让大家看左边这函数大家告诉我已知解，就是切点，还让你设出来切线，能不能求？这不纯纯第一类类型题最简单的嘛，咱直接点斜式是吧， y 减 y 一 等于 k 倍的哎，斜率？斜率是谁呢？斜率就是 m 处的导函数值 x 减 x e， 但是没完呢，左边函数研究完了，别把右边忘了呀。右边人家也是有一个切点有一个切线的呀。所以公切线问题相当于是做两次已知切点的梯形 e， 咱再列一个切线是吧？ y 减 g， n 等于 k 位的，现在是 k 是 n， 点出 g 的 导函数值 x 减 n。 那然后嘞，咱刚才求一回切线，现在又求一回切线，这两个切线在怎么了？什么叫公切线？两条切线是同一条切线对不对？相当于上下这两方程长的得是，那叫一模一样。 那咋叫一模一样啊？就是我化简完就一模一样呗。废话一句啊啊，比如说，你看啊，第一条直线我用绿色来画，我给它化简一下，呃，把它移到这边去，相当于 y 等于 f m 一 撇 x 啊，它俩乘一下减 m， f m 撇，再加上刚才移过来的这个 f m， 我 化简完了 啊。第二个方程我也可以化解哎，跟刚才一样的， y 等于 g， n 一 撇减 n 乘以 f， n 一 撇再加之一。哦，我都化解完了，怎么样才要一模一样？ y 等于 k， x 再加 b， 我 让它俩斜率跟斜率一样。截距跟截距一样不就得了吗？ 所以前面俩斜率一样，后面俩这一大坨截距和截距也一样哈，那我仔细问一下，前面是一个有关 m 和 n 的 它俩一样的方程，后面也是一个有关上下一样的 m 和 n 的 方程，俩位置数俩方程，咱最后一定能把两个变量 m 和 n 解出来。 m 是 啥？ m 不 就是切点吗？俩切点都有了，那我在任何一个切点上做这切线的，公切线是不是就有了呀？这就是公切线的核心，还是一样的，不知道切点没事，我设切点俩 n， 无非我就设俩切点呗，俩切点俩方程，让这俩方程一模一样就可以了。举几个例子啊，第一题， 他给个函数，然后又给函数问公切线。你甭管这俩函数长啥样啊，反正都跟 log x 挺相似的，是吧？画一个再画一个， 问公切线好。哎，我觉得完全难不倒我。那只要找到俩切点是不就可以了啊？那我前面这个，呃，如果是 line x 的 话，上面这个我设就是 line x 减一再加二，所以切点开始了。第一个切点我设为 m， 它在蓝色直线上就是 m line m。 第二个切点，我设为 n， 然后带入到上面这个方程里面，来往 n 减一加二啊，然后怎么办？大家可千万别把它看成一道难题，大家别让这俩曲线发生关系啊。先求一次下边这个切点的切线，再求一次上面这切点切线，把它看成两道简单题就可以了。 你先看下面这个啊，下面这个跟上面不发生关系。切点有了，只需要求斜率是吧？这斜率是 line x 处的导函数。我们知道 line x 如果求导的话，应该是 x 分 之一，把这么的 x 代成我要的 m 就 行，就是 m 分 之一， 然后切点有了斜率，也有了点斜式，直接列 y 减 y 一， 等于 k 倍的 x 减 x 一 做完了，然后再来看上面的时候，就跟下面那函数没关系啦。 点斜式，它的斜率，我只要对这新函数求一个导，这新函数求导应该是 x 减一分之一，后面加二求导没有了啊，这就是它的导函数。我把这面的 x 带成我想要的 n 就 可以了，那就是 n 减一分之一， 最后点斜式 y 减 y 一 等于 k 倍的 k， 我 带成 n 减一分之一， x 减 x 一， 大功告成 哦。我求了两次线，但是如果人家他想是公切线的话，这俩方程得是同一个方程，对不对？所以接下来问题就不再是一个特别难的问题了，我只需要把它化简就可以了，对不对？再化简一下啊。上面化简， y 等于 m 分 之一， x 加 line m， m 分 之一乘以 m 就是 一，前面有个符号，再减 一下面，这我也化简，那下面这化简可能稍微长得就有点那么一点恶心了啊，咱慢慢做 line， n 减一加二减 n 比上 n 减一， 接下来就差最后一点点了。两方程想一模一样，怎么一样啊？ k 和 k 一 样，拮据和拮据一样呗。所以前面他俩一样，我能列出来一个方程，紧接着后面这一坨跟下面这一坨也一模一样，哎，我还能列一个方程， 俩位置俩方程，按理来说，哎，我就能解了对不对？但是同学们，你看看这方程恶不恶心，太长太大太闹心了，对不对？真的看上去好像的确是挺不好解，但你想，人家既然出生一道题，他问我了，说明什么？说明大概率这里面应该是可以解的吧， 大家只要做到观察，大胆变形就好了。你看啊，这个方程里面哪个部分最恶心？我相信大家应该能看出来，左边有 line， 右边也有 line， 一个是 line m， 一个是 line n 减一，对不对？要是咱能有个方法，把这最复杂的部分给它搞掉代换掉就好了。怎么搞嘞？ m n 减一，哎，上面怎么也有 m 和 n 减一啊，我好像有点想法了啊。哎，你上面不是说明 m 不 就等于 n 减一吗？ 左边跟右边相等，那分母不就得一样吗？所以 m 等于 n 减一，我两边取个对数的话，那么 line m 是 不是就等于 line n 减一啊？俩相等的数我都取， line 肯定也相等啊，因为 line 本身就是一个单调递增函数嘛。 所以哦，你看着挺复杂。 line m 等于 line n 减一，这俩直接就约掉了吧，多快乐呀。负一等于二，减去 n 减一分之 n， 第二个方程直接变成一个 n 的 一元依次方程了， n 一下就解出来，了 解一下试一下啊。 n 比 n 减一等于三三， n 减三等于 n， n 等于二分之三，那 m 就 如探囊取物，二分之三减一就是二分之一。所以第一开始虽然我不知道切点我射出来，但是现在我知道了， m 取的就是二分之一， 它是二分之一， line 二分之一，我取就是负 line 二了，这 k 我 也有了。呃， k 就 取二了，所以答案就是 y 减负， line 二等于 k 倍的 x 减二分之一，所以答案就是 y 等于二， x 减 line 二再减一 啊，学会了吧。所以这里面公切线问题，列方程是难点，不列方程不是难点呐，它不管给我 f， x 还是 g， x 是 什么，咱都按照这模式列出来俩方程，让这俩方程对应相相等，都能找到有关 m 和 n 的 两方程。这种模式化的东西并不是难点。难点是什么？ 是你列出来俩方程之后，怎么把它化简，怎么最终把 m 和 n 尽量求出来才是难点？那每道题它的这个函数长的不一样，那最后咱化简完这方程长的那就不一样。最后咱化简的难度当然就不一样喽。 所以今天咱尽量多给大家建几道题，多让大家尝试尝试变形，别人家考试换一道题你就不会了啊。这是大家的今天的练习题，大家先暂停，自己来做，然后我再讲啊，给大家五秒钟时间，加油！ 要讲喽，他说有一个直线，这直线给跟没给一样， m n 都不知道是不是，他说既是这个的切线，又是这个切线，问我 m 加是几，其实我把 m 求出来不就得了吗？ 所以整个这道题咱就当没给我切线啊！这就是一个非常普通的公切线问题，一个是 line x， 一个是 e 的 x 减二次 me 公切线第一步干嘛？大家把那三个字打在屏幕上， 咱只需要设切点就行了。切点切点设完之后，分别列点斜式、点斜式，让这两条直线重合是一条直线就行了 啊，这模式化的东西我都不想做了啊，讲好几遍了，两函数分别求个导切点设出来，切线方程求出来，然后化简一下啊。关键我往后开始给大家讲， 第一条直线 y 等于它 x 一 分之一， x 加 line， x 一 减一， 第二条直线，呃，在这里我也给大家找一下，哎，说实话，这看着 x x 二，我看着是真烦啊，这 x x 二长得本身就挺像，跟 x 也挺像，我我我我，我受不了了，对不起大家，我要把它换成 m 了，换完我看着舒服，呃，下面那个 x 二我也不写了，我写 n 啊，舒服最重要啊。 然后怎么的？公切线，公切线，两条直线长得一样的，相等啊，长竖向后面这截距也得相等，那我就又能列俩式子了， 最后这一点点才是关键。 m 分 之一等于 e 的 n 减二次幂 line m 减一等于这一大图。那看见这个式子，咱得思考一下，得去观察一下怎么化减呀。这哪个地方我挺烦的呢？ e 的 多少多少我烦。 line m， 我 烦。 e 的 多少多少我烦。上下俩式子我都挺烦的，对不对 啊？没法，就是说直接就化简它的啊，即便是有的同学异想天开，说怎么办嘞啊，哎，我把这个 e 的 n 减二啊，替换成 m 分 之一带进来，哎，把它换成 m 分 之一是不是能做了？好像到这也没结束，为啥呢？因为这里面有 m， 还有一个变量 n 呢，俩变量一个方程解不了的，可能还得继续，后续有一些其他操作才行。 所以这里面我教大家另外一个思路，你看啊，咱们从两个变量它的复杂度来分析。什么叫复杂度呢？你看，上面式子，有一个 m， 有一个 n， 下面是字，有一个 m， 但是 n 出现几次？ n 出现两回，而且 n 出现的形式，一个是在指数上，一个是在密函数里面，哪个更复杂？显然 n 的 出现次数多，而且它的形式更复杂，对不对？它不好消。 m 呢，上面有一个，下面有一个，它比较好笑。那怎么笑？其实和刚才道理是一样的，下面是 line m， 咱想出现 line 的 话，只能对第一个式子两边取 line， 因为公切线里面总是出现什么什么 line x， 求公切线，所以在我们化简过程当中，两边取 line 这个操作是比较常见的。 注意哦，左边取 line line e 的 n 减二次 me。 大家来看， line m 分 之一其实就是 line m 的 负一次幂。负一次幂我是不是能提到前面去当细数啊？呵，所谓的 line m 分 之一就是负 line m， 那 右边就更妙了， line e 的 谁谁谁？咱想象一下啊，高一的时候学的 line e 的 多少次幂就是 x， 右边就是 n 减二了。 那接下来打错我不讲，大家也会了，我把 long m 带到下面来是不是行了呀？注意别带错了啊，两边你得取个符号， long m 是 二减 n， 二减 n 减一，二减一减一。那不就一减 n 嘛，一减 n 等于一减 n 乘以一得 n 加二次幂。 有同学特激动啊，两边都一减 n， 是 不是直接就约掉了呀？哎，注意一减 n 是 不是零，咱是不是还没讨论呢啊？所以这里不要约，而应该合并同类项，把一减 n 提出来，剩的是一的 n 减二再减一，这玩意等于零啊，这是怎么来的？其实就是把左边移到右边去得到的。 两式相乘等于零，要么前面等于零， n 取一嘛，或者右边等于零啊。这次式子假如零的话，那 e 的 n 减二就等于一， e 的 谁是一呀？ e 的 零次密才是一，对不对，所以意味着 n 减二就是零， n 取二也是可以的。咱就有俩答案了 啊， n 都有了，那这条直线我任意带进去是不就可以了呀？ n 带成一得到一个答案， n 带二得到另外一个答案。直接写答案了啊， n 带一的时候是 y 等于 e 的 负一 x n 带成二的时候是 e 的 x 再减一。 好，最后问我 m 加 n， 其实我其实就是把它写成这个形式， m n 算一下，带完得到答案应该选 d， 大家做对了吗？ 以上就是我们讲的这三类不同的问题，咱从一些比较简单的已知切点直接求切线的题目，讲到了不知道切点先设切点的题目，又讲到了前后左右两个函数求攻切线的题目，希望大家有所收获，晚节散了。

大家好，今天呢，咱们来讲一讲考试时候经常遇到的公切线问题。当你学完导函数之后，有一类比较难的问题是公切线。什么叫公切线呢？就是它既是第一个函数的切线，然后也是第二个函数的切线，那么这条线就称为公切线了。 然后有了这个公切线之后呢，还让你求这个参数 a 的 最大值，怎么求？来吧，一旦涉及到切线问题，那你就用待定切点法，就是先把这两个切点假设出来， 比如第一个切点跟第一个函数 y 等于 e 的 x 方，他的切点横坐标咱们假设为 x 一， 那纵坐标就是 e 的 x 一 次方了。因为解析式是有的， 跟第二个函数外，等于 a 加上 e x， 它的切点横坐标咱们就假设为 x 二，然后啊，哦，然后呢？重坐标也有啊， a 加 e x 二嘛。 有了切点之后的话，接下来看好了，用待定切点法，其实这个直线就可以完全表示出来了，你不表示直线也行，咱们单独把这个斜率和截距拎出来。 首先斜率，这个公切线的斜率 k， 你 可以用 e 的 x c 次方来表示吧。对啊，这就是这样一个切线和导函数的关系嘛。然后呢，也可以表示为 x 二分之一，其实这俩是相等的， e 的 x c 次方其实就等于 x 二分之一。 那拮据呢？拮据的话你代入呗，比如说这个地方，我的建议呢，你写成 e 的 x 一 次方，然后这个地方 k 呢，你就写成 x 二分之一呗，然后稍微变形一下，然后把这个 b 也拎出来。所以现在你看到了 什么？这公切线啊，它的斜率有两种表达方式啊，一种是 e 的 x 一， 另外一个是 x 二分之一， 然后他的截距也有表达方式，用谁？他的纵截距用 x 一 来表示长这个样子，用 x 二来表示长这个样子。因为是公切线吗？公切线就意味着，其实这两条切线他的斜率是等于斜率的，他的截距是等于截距的， 那么解一下这个方程组就行了。但是我问一个问题，这个方程组里头有几个量？有三个量，有一个 x 一， 有一个 x 二，还有一个 a， 请告诉我，两个方程能把这三个量都解出来吗？我明确告诉你是不可能的，你想解三个量，你至少需要三个方程才能够解出来。那怎么办？ 其实有个办法，嘿嘿，要么你表示成哎， a 和 x 一 的形式，对吧？当然这个函数可能不同啊，要么你表示成 a 和 x 二的方式，根据 x 二的范围呢？通过求导啊，通过解析这样一个大 f 函数最终就可以了。原来是这个目的，所以我们接下来要消元 看削 x 一 容易还是削 x 二更容易看了啊？我认为削 x 一 更容易。首先这个位置是不是你可以把它写成 x 二分之一？对啊，然后 x 一 呢？左边取个，你看啊， 左边取个什么？左边取个 lo n 呗。 lo n， e 的 x 次方其实就是 x 一， 右边也取一个 lo n， 然后就是 x 二分之一。所以说我们不仅 e 的 x 一 次方可以变，其实 x 一 也可以变成什么？哎，对呀，你这个 x 一 变成都可以用 x 二表示出来。所以后边这个计算过程应该不用我多说了吧，还是挺简单的， 也就是说你这样消去 x 一 以后，咱们把 a 单独拎到一边， x 二拎到另外一边，这就餐面分离吗？参数 a 在 左边呢，右边只有 x 二吧。那请你告诉我 x 二的范围是什么？ x 二的范围不就是 第二个曲线的定义域吗？所以 x 的 范围这个地方，其实你可以写一下，是大于零的，它让你求 a 的 最大值，其实相当于求你新构造的这个函数，你看 x 分 之 a 乘 long x 减去 e 乘 long x， 再加上 e， 相当于求 h x 的 什么值啊？ h x 的 这样一个最大值，清楚了吧？那剩下的问题就全部变成了如何去解决 h x 它的最大值问题上了。那你要解决的话，先求导 对吧？这个不太容易得，主要是哪部分呢？你 x 方和 e 是 正数，这个不用管它，咱们 h 撇的正负完全取决于括号里头一减 x 再减零 x， 所以 再单独拎出来一个函数，拎出来 f 呗。好， f 求到得负，一减去 x 分 之一， 因为我们 x 的 范围已经说过了，是大于零的，所以这是负数，再来个负数小于零啊。所以对于负 x 这个函数来说，它在整个零到正无穷上，它都是什么？它都是单调递减的一个函数。 我们把 f 它的草图画出来，单调递减跟 x 轴有交点吗？有特殊值嘛？ f 一 是等于一减一，再减零是等于零的。原来这么回事啊，所以说嘛，清楚了吗？在零到一之间，我们 f x 是 正的， 在一到正无穷之间，我们 f x 是 负的， f x 的 正负啊，对不对？所以呢，我们就得出来，在零到一这个范围内， h x 单调递增，在 e 到中无穷这个范围内， h x 单调递减，所以 h x 最大值不就是把 e 带入吗？这个很好写啊，你把 e 带入算一下， 一分之零减去零，再加上 e， 所以 h x 的 最大值就是自然常数 e， 其实 a 的 最大值不就是自然常数 e 吗？然后这道题呢，咱们就解完了， 那么另外一类啊，还有另外一种解法，咱们来看第二题啊，更有意思，学军中学，很牛的一所中学啊。高三模拟题，这个题呢，看好了，他说二次函数跟这个曲线有公共的切线哦，公切线问题， 那么怎么办呢？咱们还是老规矩，第一步，先假设切点嘛，跟 f x， 它的切点就是 x 一， 逗号 x 的 平方加一跟 g x， 它的切点呢？代替切点法，咱们假设为 x 二，逗号 a e x 二加上一，因为解析式都是有的，那么 怎么办？其实不需要把那个斜率和极距写出来。这道题咱们变一下，什么意思？ 二 x 一 是什么？你求导吗？你看我们，他求导的话就是二 x 没问题，那 g x 求导得什么？得的就是 a 乘一的 x， 所以 对于斜率来说，哦，原来公切线的斜率， 你可以写成 f 撇 x 一 啊，这不就是二乘 x 一 吗？然后公切线的斜率，你把 x 二代入，那不就是 a 乘一的 x 二次方吗？对喽，所以这是公切线的斜率吧， 这也是公休线的斜率吧。那么有同学就要问了，老师，这东西怎么来的？这个问号，这部分我实在看不懂是怎么来的了，我告诉你，我清楚的告诉你怎么来的，两点之间的斜率公式你还记得吗？什么意思啊？请你看，这是一个点，比如说这个点写成点 a， 这是另外一个点，这个点是点 b， 你 公切线肯定既过点 a 又过点 b 啊。所以斜率事实上就是 ab 两点之间的斜率公式吧。纵坐标，哎，然后呢？再减去纵坐标， 横坐标 x 二，再减去。哦，横坐标。那经过化简以后原来得这个样子。所以说你说这是难题吗？并不是难题，咱们稍作化简啊。那你来看，这三者相等相当于这个方程里头我问你一个问题啊， 这个方程有几个方程？三个，这是一个吧，圈一一个方程，圈二一个方程还有什么？哎呀，你这俩相等 有三个方程，三个方程。把 ax 一 和 x 二解出来合理吗？非常合理，所以也是消元也是化简的这样一个方法。所以这道题不太一样，他没有拮据的事，他直接全都是斜率的事。清楚了， 那么现在看好了啊，看好了，然后呢？他来了一个，嗯，化简。有很多同学他不知道为什么化简到了这一步。其实很简单嘛， 方框部分是谁？方框部分人家告诉你了呀，他就是二倍的 x。 哎，对，所以就化简了。这是斜率吧？是，这个也是公切线的斜率吧。是啊，你这样一带就行了。这么化简以后的话， 咱们稍作整理。这个计算过程我就先不落下啊。二 x 一， x 二，减去二 x 一 的平方等于二 x 一， 再减去 x 一 的平方。那接下来做一下整理吧。呃，那就变成了一项了。呃， x 一 的平方 再加上二倍的 x 一， 再减去二倍的 x 一， 嗯， x 二，那我们把 x 一 提出来， x 一 再加上二，再减去二倍的 x 二等于零。所以会出现两个结果，其中一个结果是什么？就是 x 一 算出来是等于零的啊，这是一个结果，另外一个结果就是 x 一 加二减去二倍的 x 二等于零，这是第二个结果。咱们一项之后变成等于这个也行。 那关键是一和二都需要讨论吗？其实有一种情况我告诉你是不成立的啊，来，也就是说咱们经过计算之后，得出来个这么个玩意来。 看好了，什么东西啊？你 a 是 个什么数字？正数啊，这题目中告诉你的 e 的 任何次方，这也是个正数，两个正数相乘，你 x 一 的范围应该是个正数吧？ 对呀，所以 x x 一 取零，那不就舍掉了吗？人家是个正数，所以只需要讨论什么？所以你只需要讨论第二种情况了，也就是二倍的 x 二等于 x 一 加上二这种情况了。 因为刚刚我们已经求出来了， x 一 的范围是大于零的，所以二 x 二的范围那就大于零。加二大于二吗？ 这个玩意大于二，那 x 二的范围就大于一。所以接下来我觉得有同学肯定也猜到我的想法了，我肯定是通过消元消去 x 一 的方式得到 a 和 x 二的函数关系啊，然后通过求导的方式， 对吧？最终就可以得出来 a 的 曲值范围了，其实也就是得这个大 f 的 函数的值域怎么得？来吧， 看好了啊，这个地方咱们可以把参，咱们可以参面分离，但是有一个不太美妙的地方，就是它既有 x 二又有 x 一 啊，多元函数咱们没有学过呀，哎，能不能转化一下？能， 你看好了， x 一 等于什么？ x 一 等于二， x 二减去二啊， 对不对？那二倍的 x 一 不就等于四倍的 x 一 减去一吗？然后我们代入就行了，把。二 x 一， 所以是可以消掉的，你看现在这个形式是不是出现了？出现了呀， 行了，不用多说了，构造一个函数吧，写的 h 啊，这个 x 二的范围，因为我们已经求出来是大于一的，所以此处 x 的 范围也是大于一的，求导吧， 显然，当 x 比二小的时候是个增函数，当 x 比二大的时候，是个减函数，那最大值 h 二就求出来了呀，其实也就是 a 的 最大值，那就是一方分之四，有没有最小值呢？我们观察一下， 毕竟这是个正数吧，毕竟 x 比一大，这也是个正数吧，所以 h x 肯定是正数。但是呢，当 x 怎么样的时候？ 当 x 趋近于正无穷的时候，咱们是知道的，一次函数的增长速度是远远慢于指数函数的，所以分子比上分母。哎，此时 h x 不 也趋近于零吗？好，所以最终 a 的 范围，也就是 h x 的 范围。 什么？它是比零大的，它只能无限接近零，但是它是小于等于一方分之四的，那横线上 a 的 范围是多少？那就是零到一方分之四的左开 u b 区间就够了，清楚了吧，最终的范围咱们就求完了。 那么最终啊，咱们总结一下，其实公切线问题主要是两种，当然这两种都离不开待定切点法了。首先你先假设出两个切点来好， f x， 它的切点横坐标是 x 一， 然后对于 g x 来说，它的切点横坐标是 x 二，这是代练切点法，我们分别用 a 点和 b 点把这个切线表示出来，比如说写成斜切式的形式，让斜率等于斜率， 让纵截距等于纵截距，这样的话解方程组来求解就可以了。另外一种方法是什么呢？就像咱们讲的第二道题一样， 你用两个切点的横坐标分别表示公切线的斜率，也就是说它是等于 f 撇 x 一 的， 也等于这片 x 二。比如说下下边这个图还等于什么？哎，还等于 a b 两点之间的，也就是谁 f x 一 减去 g x 二，再比上 x 一 减去 x 二，对吧？然后呢，再结合两点之间斜率公式，就是结合它来求解就够了。那么你应该学会了公切线问题了吧， 尤其是最难的公切线求参数的问题啊。分享课堂知识，感受数学之美！我是安凡老师，下节课再见！

大家好，今天我来讲一下导函数中求切线的问题。导函数，求函数图像在某点处的切线方程和求函数图像过某点的切线方程，他肯定是不一样的，就差一个字，他内涵就完全不一样了， 当然最难的还是两个函数的公切线问题，咱们都会讲到，先来看第一部分内容，就是求函数图像在某点处的切线， 那么在某点处的切线指的是什么呢？在某点处的切线，他指的这个点啊，就是什么点，其实就是切点肯定是唯一的，求出来这个切线方程， 那么解题步骤的话也说的很清楚了，首先你可以假设这个缺点是什么，缺点就是 x 零， fx 零啊，如果解析式是已知的，那么假设这个点他就只跟 x 零有关了，是吧？那么接下来 干嘛呀？接下来还得求导啊，求导的话，这个 f 撇 x 零是什么？不就是斜率吗？因为导数的它的几何含义就指的是那个点处切线的斜率啊，你看我换一种写法吧， y 减去 f， x 零 减去点了吧，点肯定是过这个切点，另外斜率应该写 k 的 x 减 x 零，但是呢，这个 k 是谁？ k 就是 x 零处倒数的值，所以就写成这样一个结果了，他俩内涵是等价的，应该理解我的意思，就这两步，分成这两步就可以。那么练习一道比较简单的题啊。 第一题的话特别简单，首先这个解题式是确定的，其次这个点也是完全确定的，在这个点，这个点肯定是在这个图像上的啊，这个不用多说，那这样 吧，我们第一步干嘛？第一步，呃，先这样吧。嗯，先写成 fx 的形式，这样更容易表述一些啊。 x 分之一减去根号 x， 但是为了方便求导的话，其实这个 x 分之一是 x 的负一次方，然后根号 x 是 x 的二分之一次方。都是密函数减密函数嘛。 那接下来求导求导的话，得出来就是负 x 的负二次方减去多少呢？减去二分之一的 x， 二分之一减一，那就是负二分之一次方。我们改成这种形式，负 x 平方分之一，再减去 二倍的根号下 x 分之一，其实这个根号下 x 就是 x 正二分之一次方啊。那么写成这个结果之后的话，首先缺点有了吧，我们只需要得到 斜率就可以。嗯，斜率怎么求呢？求导求导已经写出来了，所以实际上斜率是等于导数在 x 等于四处的这样一个。 嗯，导函数的值的代入，代入以后的话很容易。负四的平方分之，那就是十六分之一，再减去二倍根号四，那就是二乘二四分之一，最终是求出来一个负的十六分之五，你看，斜率有了 点有了，斜率有了点有了，那此时切线方程不就是很容易吗？我们就直接写了，根据点斜式 y 减去负的四分之七等于斜率位的斜率，实际上就是负的 十六分之五乘 x 减去四。当然需要整理一下啊。最后的切线方程，我们就整理成方程的一般式了，这个一般式整理一下得的就是 y， x 加上十六， y 加八等于零，这个非常简单吧。来看了啊，在某点处的切线，在某点处的切线就指的这个点是什么点？就是切点，所以最后求出来的切线方程肯定是唯一的。再来看一个稍微难一点的题啊， 来假设曲线长这个样子，也就是说，首先有个函数了，它的解析式是 x 的 n 加一次方，这个 n 呢，是正整数啊，那么我们先求导吧， 求导的话呢，就是 n 加一倍的再乘 x 的 n 次方。嗯，那么求完导以后的话，咱们继续往后读啊。 首先有个 x n， 这个 x n 是什么呢？是这样一个函数， f x 的什么是这个函数在一逗号一处的一逗号一肯定在这个函数图像上，在这个一逗号一处的 切线与 x 轴的焦点的横坐标。首先我们只需要求出这个切线来吧，再过这个点，这个点就是切点，行吧，首先点有了斜率，怎么求啊？斜率实际上就是 f 撇一啊，我们带入实际上就是 n 加一倍的一的 n 次方，那实际上其实就是 n 加一啊。求完这个斜率之后的话，你看点有了，斜率是 n 加一，所以根据点斜式这个切线方程我们可以直接写了吧， y 减一等于斜率倍的，那就是 n 加一倍的 x 减一就是他。那么接下来 我们要让这个 y 等于零了，因为求的是跟 x 轴的焦点，那此时得出来 x 等于多少啊？ x 就这样一个方程里头啊，让 y 等于零，求出来这个 x， 最终它是等于这样一个 数字的，等于 n 加一分之 n 啊，实际上 x n 就是它哦，求出来 x n 的表达式了，所以此时 a n 就非常简单了，它等于 low on x n 吧，实际上就是 low in n 除 n 加一。写成这个结构之后的话，我建议呢，对于数据算法则还记得吧，对数里头帧数的除法可以转换成对数的减法，也就可以转换成 lown n 减去 lower n 加一这样一个形式。 那么接下来他是需要把 a 一和 a 九行，那咱都写一下啊，看规律就行了。 a 一他是等于浪，一 减乱按二， a 二乱按二减去乱按三， a 三乱按三减去乱按四，然后 a 四，是吧？还有 a 四，那就是乱按四减 去 low 就是这些。那现在呢，一共需要相加吧。那省略完以后的话，最后我想问的一个问题是， a 九十九等于多少？ a 九十九当然等于老按九十九减去老按一百。所以啊，相加一共多少个呀？算上省略号里头九十九行，九十九行相加左边的话，相加起来，那实际上就是 a 一 a 二 a 三一直连续加到 a 九十九，就是问题中啊，这个值他等于多少？等于右边。你看， 负的劳恩二，正的劳恩二，负的劳恩三，正的劳恩三，反正斜着的都消掉了，只剩下这个劳恩一减去劳恩一百。其实劳恩一就是零嘛，零咱就不写了，你说 food l n 一百，它不就相当于负的 l n 十的平方吗？根据对数形的法则，这个二是可以提到前头作为系数的负二 二倍的烙印时，所以横线上直接填负二倍的烙印时就行了。所以第一部分内容是最简单的，在某个点处的切线方程求出来是唯一的，但是现在改一个字，求函数图像，过某个点的 切线，过某个点的切线的话，我想说这个切线方程未必就是唯一的了。为什么呢？比如说我随便画一个函数图像啊，这个函数呢，它是 y， 同样 fx 函数图像。比如说啊，先让你求什么呢啊？让你求 这样一个吧。嗯，过点 a 好。过点 a 的切线有几条啊？我用蓝笔来表示出来。过点 a 的切线，首先如果点 a 是切点的话，这个 l 一肯定是吧？没有问题啊，过点 a， 那么切线过点 a 的话，它没有说点 a 是再点一处的切线，他说的是过点 a 的切线，另外一条好像这个 l 二也可以啊，只不过此时的切点是点 b 而已，但是这个 l 二这条切线他也是过点 a， 所以说过某个点，他的切线未必就是唯一的了。可能有好几条，可能是不止一条的啊。那么这种情况下， 步骤的话也写出来了，最核心的就是带定切点法这五个字，就这样一个方法。带定切点法就是先假设这个切点的坐标，然后根据切点呢，把这条切线求出来，最后再带入你需要过的这个点的坐标就行。那这三步你可以详细品鉴一下，详细思考一下 来，还是先练一道简单的题，这个力三的话，看求抛物线过某个点，这个点你其实都不用验证，是否在这个函数方向下，你要 验证的话，你看二分之五的平方，他其实是不等于六的，也就是说这个点怎么样？这个点他其实是不在抛物线上，他不在抛物线上的话，那怎么办？究竟有几条切线来？现在看好了啊，咱们用带点切点法 减。假设带定切点法，那假设切点呗。假设这个切线啊，它的切点坐标是多少啊？假设切点坐标，那就是比如说是 p 点吧， x 零， x 零的平方，为什么是 x 零的平方？因为解决式已经给你了，对吧？好，前脸有了，那么前脸有的话，看啊，既然 f x 等于 x 王，那求导的话，它就等于二 x， 也就是说如果它是切点，那过这个切点，在这个切点点批出的斜率肯定就是这个导航 对应的值了，是二倍的 x 零，你看斜率有了吧，然后点有了吧，点有了，斜率都有了，都是用 x 零表示出来的。所以说这个切线方程我们是不是就可以用点斜式写出来了？ y 减去 x 零的平方等于 k 倍的 x 减去 x 零，是这样吧，这个切线必须过哪个点？过二分之五都好六。所以呢， 在圈一这样一个式子里头，我们要干嘛呀？其实在刚刚的这样一个划横线的式子里头，我们需要带入横坐标是二分之五，纵坐标带入六，对吧？ 也就是说这个位置 x 要变成二分之五了，这个位置要变成六了。那带入之后的话，我们整理一下写成，就是你比较熟悉的形式，你看，六减去 x 零的平方等于二倍的 x 零，二分之五 五加 x 零，我们稍微化减之后的话，可以得到这样一个结果， x 零的平方减五， x 零加六等于零。因数分解很容易吧， x 零的平方可以拆成 x 零乘 x 零， 然后这个正六的话，可以拆成负二乘负三，这样交叉相乘负二倍的 x 零，再来一个负三倍的 x 零，加起来正好是负五倍的 x 零。也就是说这样一个画圈部分的式子音是分解之后的话，它相当于 x 零减二 乘 x 零减三等于零，所以是不是求出来两个值啊？这个 x 零有可能等于二， 也有可能等于三，就这两种情况，既然是这两种情况的话，看吧，当 x 等于二的时候，我们最终求的是切线方程啊。有两个答案吧，有两 正结果吧，带入这样一个画圈部分的结果里头就可以了。最终整理一下，是四 x 减外减四等于零。第二种情况，当 x 零等于三的时候呢？这个直线方程也是带入画圈里头啊， x 零变成了三，那最终化减之后就是六 x 减外减九等于零 就可以了，现在应该没问题了吧。所以在某个点处的切线指的是那个点，他就是切点，切线方程是唯一的， 但是函数图像过某个点，过某个点，这个点未必在函数图像上，可以在函数图像上，也可以不在函数图像上。关键是最终求出来的千元方程往往都不是唯一的，应该清楚这个区别 来看，这个类似。类似的话稍微有点难度了，因为解析式比刚才要复杂一些。首先呢，你看二十多和二吧，它指的是什么？ 过点屁，那过点屁的话怎么来着？待定切点法吧。首先，假设切点坐标，他已经写屁了，那咱就换一个字母啊， x 零 x 零的三次方减 x 零。这个求导的话非常简单，三 x 平方减一，所以说这个斜率实际上就是 三 x 零平方减一。好，那么你看，斜律有了，缺点的坐标有了，都是用含有 x 零的式子表示出来的， 所以切线方程咱们是不是可以用点斜式表示出来了？你看 y 减去 x 零的三次方减 x 零等于 k 倍的，那就是三。 x 零平方减一倍的 x 减 x 零。那求完这个切线方程之后的话，这个切线要干嘛？要过二的话，二 吧，那我们就要代入这个二的和二了，也就是说这个 y 就变成了二减去 x 零的三次方 减 x 零，然后那这个 x 变成了什么？ x 就变成了二减 x 零。当然需要整理一下形式哈，这道题整理之后的话会麻烦一些，整理出来什么结果呢？整理出来这个？是啊，多少我看一下啊。整理出来一个 x 零的 三次方减去三， x 零的平方加二等于零。好了，那整理出这个结果之后的话，其实有其中一个根是特别容易带来的，谁呢？ 一元三次方程求根公式你不知道吧？大部分东西不知道，但是我们可以用试根法。首先当 x 零等于一的时候，一减三再加二，也就是说 x 等于 x 零等于一，肯定是可以 试出来的啊。 x 零等于一是这样一个方程，这个方程我标一个星号啊，是这个方程的其中一个根，那既然是其中一个根的话，其实就相当于 x 零减一这个整体， 它是 x 零的三次方减三倍， x 零平方加二，这个整体的什么？整体的这样一个音式，就是说可以整除，是音式的话，接下来我们就要用长除法了，长除法如果初中生不知道，还可以原谅，高中生不知道，这是不可原谅的啊。 好，那接下来长除法咱们算一下啊，跟除法没有太大的区别， x 零的三次方减三， x 零平方，再加上零倍的 x 啊，就跟你写这个，嗯，一千三百零二一样，你 这个零虽然是零，但是不能不写，要补齐这个位的啊，然后再加上二，除谁呢？除这样一个整式呗。除这个 x 零减一，可以这么除的哈。好，首先凑最高次 x 零的平方， 然后减 x 零的平方，这个好说，负三 x 零加上零，然后呢再凑，那就是负三 x 零。我看一下啊，负他减，他应该是负二这个位置。负三减负一等于负二嘛，那这里就是负二了。好，负二 x 零，然后加上，呃，负二 x 零的平方啊，加上二 x 零， 好了，整理一下零减去，它就是负二吧。负二 x 零加二，后边就不说不多说了啊，后边再乘一个负二就行了。好，下边肯定是可以消掉，是可以整除的，因为再往 下边写的话，就是负二 x 零加二，后边也是一个，你看，负二乘 x 零减一，那就是负二 x 零加二，就会完全整除了啊。完全整除的话，其实代表着什么？代表着他这个方程完全可以写成什么结果呢？花钱部分的方程可以写成 x 零减一，再乘 x 零，平方减二， x 零减二等于零这样一个结果，他其中一个根一看就看出来是 x 零等于一，另外一个的话，这部分也有可能等于零吧。 也就是说，画横线等于零的这个方程，它是关于 x 零的一元二次方程。一元二次方程的话，咱们用判别式算一下就行了啊。这个判别式的话，是 b 方减 c c， 那就是负二的平方四。嗯，再减去四乘法，那就是加八等于十二。哦，也就是说这个方程等于零，有两个不 相等的实数根啊，这两个实数根其实还是挺好求的， x 零等于二分之负比二加减根号加十二二倍，根号三吧，其实就是一加减根号三。原来这个方程两个不相等的实数根，就是一加减根号三。 也就是说再往下写的话，可以写成什么？结果可以写成 x 零减一，再乘 x 零减一，减根号三， 再乘 x 零减一，加根号三等于零。这样的话你看，也就是说，原来这样一个带星号的关于 x 零的一元三次方程，有三个不相等的实数根吧， 有三个不相同的实数根，这个 x 零我们还其实都已经求出来了。三个 x 零就代表着切向方程是有三种不同的表达式的，那我们分别带一下就行了。首先看一下啊， x 零刚才已经求出来了，其中一个是一，另外一个是一加根号三，另外一个呢？最后一个啊，一减根号三。再说了，一开始的切线方程咱们写的明明白白的，虽然刚擦掉，我再重新写一遍。 y 减 x 零的三次方减 x 零吧，等于斜率倍，也就是三 x 零平方减一， x 减 x 零，是这样吧。那行啊， 先来第一种情况，当 x 零等于一的时候，这个切线方程特别容易，咱们把 x 零等于一带入这样一个方程里头，切线求出来是多少啊？其实就是 y 等于二， x 减二。好， 当这个 x 零等于一加根号三的时候，你说这个切线求出来是多少？只是说基层上麻烦，一加也是这样带入里边硬算的，那也是这样硬算的，那么最终算完以后的话，是 y 等于 十一加上六倍根号三 x， 然后再减二十加十二根号三就是他。那么最后第三个三种情况呀，原来有三条呢啊，很多时候他答案是不唯一的。这道题更特殊，有三条切相方程， y 等于 十一减六倍根号三， x 减去二十减十二倍的根号三，然后呢，就求完了，这三种情况，少一种都不可以。然而过某个点的前线方程还不是最难的。 在切线里头，在切线问题中啊，两个函数的公切线问题才是最特殊的。什么叫两个函数的公切线问题呢？咱们画一个特殊的例子，比如说左边这个图是 f x 的某一段图像，右边是另外一个函数 j x 的图像。什么叫公切线？就是存 在某一条直线，它既跟 f 相切，又跟这个 g 相切，那此时 l 就成为 f 这个函数，还有 g 这个函数的公切线，这个就叫公切线。公切线问题啊，一般都比较复杂，但是也不是说就做不出来，你仔细来看啊，这道题过程特别多，估计得一页纸才能写完了。 首先看了左边这个函数，三次函数吧，这个函数还是比较熟悉的，而且他没有参数 a。 咱们先研究左边这个 y 等于 x 的三次方啊，为了区分的话，咱们左边这个函数写成 f， 然后右边这个含有参数的函数呢，写成 g， 这样就区分开来了。首先我们研究 f x 这样一个函数，对这个函数来说，他求导得什么？得的是三 x 方吧。好，那现在要用带定切点 法了啊，带定切点法，假设切点坐标是谁啊？假设这个切点坐标就是 x 零 x 零的三次方，这个没问题，那此时斜率的话，不就是这个地方换成 x 零就行了，就是三倍的 x 零的平方了。行，那切线 切相方程就有了吧， y 减去 x 零的三次方等于 k 倍的，实际上也就是三 x 零平方，再乘 x 减 x 零好了， 那么这个切线方程就写出来了，注意这个切线是谁的切线？是 fx 的切线，而且他规定了这个切线必须过哪个点，必须过一，都好零。 所以在这样一个切线方程中，我们是要带入一逗号零的。行，带入，带入一逗号零。看了啊，带入一逗号零之后的话，这 这个方程经过整理，就这个方程啊，把 y 等于零写成带入了啊，零减去一，然后这个 x 要变成什么呀？ 这个 x 当然就要变成一了，一减 x 零，那稍微处理一下，就变成了二 x 零的三次方，减去三 x 零的平方等于，那你再提出一个 x 零的平方来呗，二 x 零减去三。一看这个方程有几个解，两个解，对吧？两个解的话，首先第一种情况， x 零可以等于谁啊？可以等于零吧。第二种情况，这个 x 零还有可能算出来二分之三吧，所以是两种情况啊。我们先来看第一种情况啊，当 x 零等于零的时候，嗯，等于零的时候的话，这个切线很好说，切线方程带入了 x 零等于零，所， 所以这个 y 就等于零。原来切线就是 x 轴啊，切线是 x 轴的话，请你看 j x 啊， j x 的话， y 等于零， 于 j x 这样一个函数，你说 j x 是个什么函数啊？你想一下，哎，有没有可能是零？不可能，如果 a 是零的话， j x 就是直线了。直线肯定是跟 x 轴不可能相切的，是相交，所以它是抛物线。抛物线跟 x 轴 相切，那不就是说抛物线的顶点在 x 轴上，抛物线跟 x 轴只有一个焦点，只有一个焦点，实际上就是判别是 等于零的意思啊。那不就是说四分之十五的平方，十六分之二百二十五，减去多少判别是吧？比方减 c c， 然后再加上三十六 a 等于 一零啊。这个 a 很好算，算出来以后是负的六十四分之二十五，你看其中一个 a， 我们就求出来了。其实另外一种情况求法一样，但是算起来更加难一些，步骤更加繁重一些。那看好了，看第二种情况啊。 第二种情况就是刚刚我们算出来的 x 零等于二分之三的时候，带入刚刚那样一个切线方程里头。看好了啊，带入切线方程里头的话，此时这个切线 我们是可以算出来的，它是 y 等于四分之二十七， x 再减去四分之二十七，就这样一个切减方程， 那么某一条直线，这个切线它既得是前头这个 f x， 它这样的切线，又得是后边这样一个 g x， g x 其实是个抛物线，又得是这个抛物线的切线。那怎么办啊？直线跟抛物线 只有一个焦点就行了吧。那不就是连例吗？ y 等于 a， x 方加四分之十五， x 减九。实际上就是这样一个方正组里头，我们把谁消掉，把 y 消掉，把 y 消掉之后的话，稍微整理一下就可以得 ax 方 加上四分之十五 x， 然后，呃，减九等于多少？等于四分之二十七 x 减四分之二十七，再整理一下，整理之后的话看好了啊，稍微整理一下， ax 方 减三 x 减去四分之九 x 零，也就是说只有一个 x 切点，切点就是这个方程组只有一个解的意思，只有一个解，那么就是判别是只有等于零了吧，这个判别是等于零，实际上相当于负三的平方减去四，也 就是说再加上九 a 等于零，也就是算出来 a 等于负一两个值吧。所以这道题你说有几个解？其实是有两个解的，一个是刚刚算出来的负一，还有一个就是第一种情况下，我们算出来的多少，算出来的负的 六十四分之二十五，两个情况一个都不能少。那么这节课应该学会公切线问题了吧。分享课堂知识，感受书写之美。我是杨帆老师，下节课再见！

哈喽，同学们好，这条视频我们补充一下关于导数切线问题当中的公切线问题。那么什么是公切线呢？指的是你现在有两个曲线，那么直线 l 作为这两个曲线公共的切线，我们就管它叫做公切线。那么有关于公切线的类型题，我们通常使用什么办法来做呢？ 两个函数他在切点处的斜率是相等的，斜率代表的是这条切线的斜率吗？对吧？他们俩是同样的切线，意味着他们俩有共同的斜率，所以我们把两个导数求出来，把切点的横坐标带入进去，他们的值应该是相等的，然后切点他既在切线上，又在曲线上，那么证明切点这个坐标他可以带入直线方程，也可以带入曲线方程， 那么此时我们就可以列出有关于这个切点横坐标的方差组，然后进一步的去求解。 ok， 我 们来看这道题啊，已知这个直线 y 的 k s 加 b， 它是曲线 f x 的 切线，也是曲线 g x 的 切线， 那我们根据公切线的特性知道它切点处的导数值应该是相等的，所以这道题它需要我们去设切点，也需要我们自己去求导。那么我先设曲线 f x， 它的切点是 x 一， 它的横坐标是 x 一， 那么切点它也会在曲线上，所以这个纵坐标我就直接把它带进去了，小于 x 一 加二， 然后就要求出 f x 的 导数 f x 分 之一，然后二的导数是零，我们就不做了。接下来 那么这条切线它的斜率说它是 k 一 吧， k 一 它应该等于 x 一 分之一，也就是说同样的把切点横坐标带到这个导数当中，得到的应该是这条直线的斜率。接下来我们再设 g x， 啊，这是切点啊，不是切线。切点，它的横坐标是 x 二零 x 二加一，先求出 g x 的 导数，它的导数应该是 x 加一分之一。接下来我们需要把这个 切点的横坐标带入导数之中，求出它的切线斜率，它应该等于 x 二加一分之一，那我们知道他们是有公共的切线，所以这两个斜率应该是相等的，也就是 k 一 要等于 k 二， x 一 分之一应该等于 x 二加一。我们能推出 x 一 等于 x 二加一。然后接下来，因为这个切点和这个切点它都在这个直线方程当中，那我们就列得了这个方程组。 log x 一 加二等于 k， x 一 加 b， log x 二加一，它等于 k 倍的 x 二再加 b。 刚刚我们推出了 x 一， 它等于 x 二加一，那么这里就有 log x 二加一等于 k 倍的 x 二加一加 b， 这里 log x 二加一等于 k 倍的 x 二加 b， 这是一式，这是二式。我可以将这两个式子作叉，用一式减二式，左边就等于二，右边是 k x 二减 k， x 二没了，那上面是剩了一个 k， b 减 b 也没了，所以我们求得 k 的 二，那么这里 k 的 二的时候，我们知道 k 它是等于 x 一 分之一的，它等于二，所以这里 x 一， 它就等于二分之一了， 那么它这个点的动作标也是 long 二分之一再加二，它应该是等于负的 long 二加二，也等于二减 long 二。那么这里面如果想求 b 的 话， b， 它是等于 y 减 k x 的， 所以这里的 y 是 二减绕二减去二乘以二分之一，所以它就等于一减绕二，这个 b 值就求出来了。 接着我们来看第二道题啊，上一道题是让我们求这个截距 b， 这道题是让我们求这个直线的斜率。那么直线 l 与这两条曲线，一个是 y 的 e 的 x 加一和 y 的 x 加一次啊，这两条曲线的公切线的斜率，那步骤都是一样的。我们设这一条曲线的切点为 a 啊，它的横坐标是 x 一， 纵坐标就是 e 的 x 一 次，再加一，求它的导数 y 一 撇等于 e 的 x 次，那么此时斜率 k 一， 那就等于 e 的 x 一 次。 接着再设第二条曲线的切点， b 是 x 二，那么纵坐标就是 e 的 x 二加一次。 求它的导数 y 一 撇等于 e 的 x 加一次，那么 k 二它就等于 e 的 x 二加一。 我们知道这个公切线的斜率是相等的， k 一 等于 k 二，所以就有 e 的 x 一 次，等于 e 的 x 二加一次。那我们依然可以推出 x 一 和 x 二的关系，就是 x 一 等于 x 二加一。 然后接下来也是同样的办法，这两个切点都可以带到直线 y 的 k x 加 b 当中。根据 s 一 和 x 二这样的关系，我们列出方程组了，把这两个切点都带入 y 的 k x 加 b 当中。 因为 x 一 它等于 x 二加一，所以我就可以把这里的 x 一 换成 x 二加一。那么下面这式子， e 的 x 二加一次，等于 k 位的 x 二加 b。 同样的，将两式作差用一减二，左边减左边就剩一了，右边这个 k s 二减 k， s 二没了，也是只剩下了一个 k， 那 么斜率就等一了。这道题比刚才要简单一些，因为我们直接求出斜率，上道题是要求它的解距， ok。 那 关于公切线的问题呢？在高考当中，它的频率没有直接求切线高，所以说这里我们就只讲这些，大家听懂了吗？拜拜。

十分钟速通公切线。对于这种高考真题，能够用简单的方法就不要用太复杂的方法去做，这道题完全是可以通过画图做出来的。我们画出 y 等于 e x 的 图像，可以做到两个切线嘛？那你自己随便去找一个点，然后就是说看上去能做到两个切线就行。 我在这里呢，这向这边去做个切线，向这去做个切线。 x 等于 a 的 时候， y 是 等于 e 的 a 次方， 这个点横坐标，如果它是横坐标为 a， 那 它的纵坐标就是 e 的 a 次方，那我们会发现这个点 e 的 a 次方是位于 b 的 上方的，所以 e 的 a 次方大于 b， 而 b 又位于 x 轴上方，所以选 d 直接就可以看出来了。既然斜率是纵差除横差，那么直线 o a 的 斜率我还可以用 y 一 减零除以 x 一 减零。 好，这个逻辑答，如果是觉得能懂的话，那我们先对它进行求导。 f x 等于这个 x 一 次方乘以 x 一 加上 a 加上一，而它呢，是等于 x 一 加上 a 去乘以一的 x 一 除以 x 一。 好，另一个式子无非就是同样的，只不过是把 x 一 变成了 x 二，那我们可以把它理解成 就是一个新的方程， e 的 x 次方，乘以 x 加上 a 加上一，等于 x， 分 之 x 加 a 乘以 e 的 x 次方。这个方程有两个解，也就是刚好是 x 一 和我们刚来 x 二， 对吧？一个方程有两个解的问题，我们将这个我们先化解一下哈，其实呢，这里的这个 e x 方和 e x 方可以同时消掉，好，把 x 乘过来，就是 x 的 平方加上 a， x 加上 x 等于 x 加 a， 这个方程有两个解，在一个象变成 x 平方， x 和 x 消了，就是 x 平方，加上 a， x 减 a 等于零。 哎，方程有两个解，说明什么？这是一个本身一个非常标准的一元二次方程， 那它要有两个解，说明它的得，它必须是大于零。化解一下，得到 a 的 平方加上四， a 大 于零，当成 a 乘以 a 加上四大于零，有两个解，一个是零，一个是负四，所以 a 最后大于零或 a 小 于负四， 用集合方式去表示，就是负无穷大到负四和零到正无穷大。接下来是一个公切线问题，先画两个曲线，有一条公切线，这条线经过 a 点，同时又经过 b 点， a 点坐标设成 x 一 y 一， b 坐标设成 x 二 y 二。所以呢，直线的斜率可以等于 f p x 一 和 g p x 二， 他给了你再给零一处的切线，所以 a 的 坐标就是零 一，直线的斜率等于直接带 f 撇 x 一， f 撇 x， 求导之后是一的 x 加一次方，所以呢，我们直接把 x 换回零，就是一的零。次方加一等于二， 斜率等于二，那就意味着 g 撇 x 二， g 撇 x 二，因为带的是这个啊，带的是这个式子， g 撇 x 二，得导数是等于 x 二分之一，它等于二，那么我们这就可以求出 x 二是等于， 所以 b 点的坐标为负二分之一。 纵坐标可以利用直线方程，直线方程是 y 等于二， x 加一，这是因为我们刚求出了 k 十二，它又经过了这个点零一啊，负二分之一带过去就是负二分之一乘二，负一加一等于零。 现在我们把这个点 b 点可以代入到曲线 y 等于 n 的 x 加一，加上 a 里面， 好，所以就是零等于论的负二分之一加一是多少？就是论二分之一加上 a， 所以 a 等于负论的二分之一，或者你把它写成，把二分之一提成，提个符号出来，写成论二都行。 这个题先画上图，把基本的标注好，现在开始解题。它的斜率可以等于过 a 点的导数，就是 f 撇 x 一， 过 b 点的 g 撇 x 二， 那 x 一 是不是就是等于 x 二减二，这点非常的关键， 加上呢？ ab 两点之间的斜率，一的 x 二减二，减去一的 x 一 减一，除以 x 二减 x 一， 就是等于刚刚的这两个部分， 可以等于它，可以等于它，它因为是等于一的 x 一， 或者等于一百 x 二减二都行啊。 一是等于一的 x 一 减一次方，一的 x 一 次方，刚算出来是二分之一，二分之一减一就等于负二分之一哦，所以 求出来它的纵坐标是负二分之一横坐标，因为这里 n 二分之一等于 x 一， 而斜率 k 是 等于一的 x 一 次方，一的 x 一 次方就是二分之一，是不是求出来了， 好思路都有了。那么这条直线就是 y 等于二分之一， x 加上 b， 又由于经过这个点，把 a 点带进去，就是负二分之一等于 二分之一，乘论二分之一加 b， 因此 b 就 等于负二分之一，减去二分之一，论二分之一。哪个选项负二分之一，把这里变成加上二分之一的论二，所以选 c 这道题目的计算量比较大。首先对它们各自求导，应用我们刚刚讲过的方法，一个设成 x 一 y 一， 一个设成 x 二和 y 二， 这个式子等于这个式子等于这个式子。我想把这里能保留 x 二 x 二就是等于论的负 x 一 的平方分之 k。 好， 现在带上去之后，一的 x 二次方就是等于负 x 一 平方分之 k， 再减 x 一 分之 k， 去除逆论的负 x 一 的平方分之 k 减掉 x 一， 把两侧同时消掉一个 k， k， k 消了，那么剩下的这里就是一除以负 x 一 的平方。这边呢，就是负 x 一 平方分之一减去 x 一 分之一除以论。括号里面，负 x 一 平方分之 k 减 x 一， 它乘它就等于这一长串乘这一长串。所以论的负 x 一 的平方分之 k 减去 x 一， 等于这个跟这个相乘。负 x 一 的平方乘以 x 一 平方根之负一减 x 一， 把这个跟这个消了，还是一个符号，那就是一加 x， 一 加一项负 x 移过去是正 x 一， 所以是两个 x。 一 加一，它有三条空切线，那么就意味着这个地方有三个解。我们写成论的负 k 减去论的 x 一 的平方等于二。 x 加一， 要求 k 的 取出范围，只有这个地方有 k， 那 么把它单独保留在一边。 l 负 k 放在这，把负号移过去，就变成了 l x 一 的平方，再加上二 x 加上一， 现在要求 k 的 取值范围，我可以先求它的取值范围。所以呢，我们把右侧的这个十字设成一个新的函数，想办法画出它的图像，求它的最值。设一个 h x， 等于 对它进行求导，这个导等于里面 x 平方分之一，再去乘以 x 平方，自己单独的导加后面的二。在图中，在题目中的 x 都没有限制定律， x 是 属于实数范围内的，所以呢，这些我们都要考虑到，那这个点就是负一啊，因为它只有这里，以它为界，这里是正的，到这呢是负的，到这边呢，又变成正的了，由正负，我们可以去预测出 h x 的 一个 原函数的图像。 h 这里呢，如果你带负一进去啊， h 负一就是等于洛一 加上二乘以负一，加一等于零，减二加一等于负一。哦， h 负一这个点还是负数， 那我这边既然是增的这个图像，我肯定是这样子增，这里减的话就是这样减，对不对？好，然后在大于零的时候，它又是增的，所以这里面你又可以去找一个特殊值，你随便取个吧，取个 h 一 带进去，其实相当于是正数， 这里一直都是在增的，那我们就这样去增好这边有没有零点，所以你又要去搞一个近似的思想，就是 x 取一个非常非常零点几，零点零零几，这又是之前老师说的什么？是一个负数吗？对吧？是一个负数，所以呢， x 非常非常小，接近零的时候，它的 h x 是 负数，所以这个图像是这样的， 这是一个这样画出来这种图像。那么大家想一下，这里呢，他是说有三条公切线，所以呢，这条直线必须是在这个下方，这样才会有三条公切线。哦，那也就是说我我这个直线最大 y 要小于这个点，这个点做出来要带进去多少？刚才带进去吗？ h 负一是负一吗？要小于负一吗？对不对？哦，所以就是说论负 k 要小于负一，负一带负一是等于论的一分之一吧， 论负 k 小 于论一分之一，负 k 就 小于一分之一， k 就 大于负一分之一。然后之前还说了 k 的 值范围要小于零啊。所以呢？是大于负一分之一小于零。没错啊，选 a 啊， 用我这个方法大家自己做一遍来。

不到八分钟，彻底搞懂公牵线压轴难题。上节课我们讲了系统的求公牵线的方法，今天通过这一个大题， 讲讲如何去解大题求公切线问题。已知函数 f x 等于零， x x 是 零到正无穷大， g x 等于 x 平方减 x 加一， x 属于二。我们直接做第二问曲线， f x 和 g x 有 几条公切线，并给予证明。我们先把 公切线画出来，假设它有一个公切线，那么 跟 f x 切于 a 点，跟 g x 切于 b 点。当然了，这里是几条公切线我们是不确定的，只是我们通过这个图方便列出式子，把 a 的 坐标设成 x 一， y 一， b 的 坐标设成 x 二和 y 二。那我们知道，由于 公切线，它的斜率是等于经过这个切点的导数的，也就是等于 c 撇 x 二，同时也可以等于经过这个点的斜率等于 f 撇 x 一。 而斜率我们还可以表示，乘差除以横差，就是 y 一 减去 y 二，除以 x 一， 减去 x 二。 或者你把写成 y 二减去 y 一， 除以 x 二减 x 一， 这两个都行。先对各自进行求导，第一个求导了之后，是等于 x 分 之一，所以 f 撇 x 一， 就是等于 x 一 分之一。第二个求导是等于二 x 减一，所以这个求导就是二 x 二减一， 它等于它同时把 y 一 和 y 二用这两个带进去，就是等于 x 二的平方减 x 二加一减六， x 一 除以 x 二减 x 一。 现在这个式子我们列出来，里面有两个未知数， x 一 和 x 二，我们只要消掉一个，然后解出 x 有 几个几，就有几条公切线。如果我把 x 一 消掉，就是 x 一， 写成一个含有 x 二的式子会简单一点，因为如果这里你要把 x 二写成一个含有 x 一 的式子，这有个平方，又有一个一次方，所以就很麻烦，所以我们选择上面这种， 将式子全部都换成含有 x 二的式子，那么我们就从这里出发，把两边同时倒一下，得到 x 一， 就是等于 二 x 二减一分之一。现在将这个式子带回到原式中去， 那么三个我就把中间的这个给消掉，只保留左边跟右边的这个就是等于二倍的 x 二减一分之，这里的 x 二继续保留 x 二平方减 x 加一加一，保留啊。然后诺 x 一 就写成诺，把 x 一 注意变个身，变成二倍的 x 二减一分之一，好， 分母为 x 二减 x 一， x 一 继续换成二倍的 x 二减一分成一。先把这个跟这个乘过来，就是二倍 x 二减一去乘以 x 二减去 二， x 二减一分之一，等于右侧分母的位置 x 二平方减 x 二加一减去。论括号里面二 x 二减一分之一，好，这个乘出来，先用 x 二跟这个相乘，就等于二 x 二的平方减 x 二， 好，再减去这个跟它相乘，因为他们两个是相同分子，分母相同，这有点挡住了啊，分母是二， x 二减一分，这个跟这个相乘是可以消掉的，所以就是减一等于右侧的。 你化解的时候可以先把 x 二平方消掉一个，这里就剩一个减 x 二可以同时消掉。好，那么左侧就剩一个 x 二平方减一，右侧就剩下的是还有个正移，正移过来就变减二嘛。再把这里的负论的二 x 二减一分之一保留下来五， 这里这个地方倒一下会简单一点啊，把这个写成论的二 x 二减一的负一次方，把负一放外面，那就等于负负的正论的二 x 二减一，左边还是 x 二的平方减二。 题目中，因为 x 二是在 g x 图像上，它的这里的定义是 x 属于 r， 那 么现在呢， 我们 x 定义就是 r， 因为这里有个论二 x 减一啊，所以呢，首先我们先定二 x 二减一，它的定义是大于零的，那么 x 定义是大于二分之一， 因为这是计算题，你要有步骤，这个式子里面呢很麻烦，计算量也比较大，所以呢，我们用一个画圆的方法画一下圆 换元法，在我之前的视频里面有讲过一些系统系统的换元方法啊，大家可以回过头去看换元把二 x。 现在我们这个式子呢，就不要写 x 二了，直接写成 x 平方减二，等于辘辘括号二 x 减一。 那我就是解这个方程，有几个解的问题，有几个解就是有几个公切线嘛。好，把换元的话就是二 x 减一换成 t， 这样这个式子里面 x 就是 t 加一去除二，因为我们在对数里面就出现一个论 t， 对 吧？而左边 x 平方里，最多就是把 x 写成二分之 t 加一，括号的平方减二，它再怎么样的计算也会比论二 x 减一要好计算一些。现在因为 这个是换成 t， 所以呢，你的定义域 t 就是 要大于零的。好，我们把它简单的计算一下， 将它转换成一个新的函数 g t 等于零，减去二分之 t 加一，括号的平方加二的零点问题，要求这个有几个零点，我们需要对它进行求导， 因为是一个复合函数啊，所以这个整体你还要再导一下，就是二分之 t 加一逗导，后面就没有了，把化简一下，等于 t 分 之一减去二和二消了，那这里就是 t 加一，后面这个导数之后是二分之一， 所以等于 t 分 之一。分子分母同乘个二减去这个分子分母，同乘个 t 就是 二 t 分 之 t 加一乘以 t， 因为我要把它换成同分母嘛，所以最后等于二 t 分 之， 用二减去 t 的 平方减去 t， 我 要现在研究它的正负分母，因为是恒为正， t 大 于零嘛， 那我只需要看二减 t， 两减 t 的 正负，就可以去看它的单调性了。右设是这个函数 g t 的 图像在小于一零到一的时候是增的，后面是减的，因为你的 g t 是 这个， 它有一个极限思想，就是在我们的 t 非常非常接近于零的时候，你想一下，如果一个零点几几几是不是一个 非常非常负的数，所以他在趋近零的时候， g t 应该是趋近于负无穷大。那我们在这里呢，因为前面是增，你再带一个 g e 进去， g e 带进去之后是洛一减去二分之一加一，那就是一减一，加二是一啊，这个很好口算出来， 所以他先增再减，这我们是不是就能够得到？ gt。 在 提取零到正无穷大的时候，有两个零点，一个零点，你可以写个 x， 一 x 二，一个零点 x 一 是属于零到一之间的，一个呢，是属于一到正无穷大之间的。 好，大家把这个意思写清楚了之后，那么我们就推出他是有两个公切线，今天内容就到这里，我们下期再见。

同学们准备上课了，起立报，同学们好！老师好！洪小胖学生身体有点不舒服，想跟你请个病假，老师本来还想带你去老师的私人课堂跟你单独补补课呢。 如果您哪天下课早了不忙的话，让洪小胖同学单独去您的私人教室，您给辅导辅导，省地这么多。小智老师，洪小胖到了，小胖进来吧！好的，记得关门哦！小胖收到， 阿志老师，洪小胖准时准点向老师报道，小胖真棒，小胖这么棒，老师是不是应该给学生一点奖励？老师奖励你们一节数学课。大家好，我是数学徐老师。这一课我们继续讲曲线切线的专题。一条直线与两个曲线相切，我们又该如何解决呢？嗯， 那这个问题的关键点呢？仍然是相切的位置，也就是切点的横坐标。那这题的话呢，直到这个直线跟这两个曲线都相切，我们把这个相切的位置，也就是切点的横坐标， 把它设为 x 一。 这个相切位置，切点的横坐标设为 x 二。那用之前讲的方法，切点是公共点，所以把 x 一 往直线里带入它， y 的 值呢？跟往曲线里带入 y 的 值是相同的，这是第一个方程。 第二方程呢，我们对它求导，它导数呢，是 x 分 之一，然后把这个七点的横坐标 x 一 带入它等于这个直线的斜率 k。 这边同样道理，把 x 二往直线里带入得出 y 的 值，跟往曲线里带入得出 y 的 值是相等的，然后对它求导，导出 x 加一分之一，然后把 x 二往导数里带入完，它等于直线的斜率 k。 那接下来这个方程组该如何进行处理？那这里 kb 也有，这里 kb 呢也有，所以 x 一 x 二呢，是它俩各自独有的，所以第一个方程组，我们要消去 x 一， 那 k x 一 呢，它就变成了一，然后 x 一 呢，是 k 分 之一，所以这个变成 long k 分 之一，再加上二，这是第一个方程。然后第二方程组呢，我们消去 x 二， 那这里呢，会得到 k， x 二等于呢，是一减去 k， 再加上 b， x 二加一分之一呢，它对应的是 long k 分 之一。那我们得到关于 kb 的 一个方程组，我们把它整理一下啊，第一个方程呢， 把移到左边来啊，变成 b 减去 long k 分 之一等于一。然后这个方程也给它整理一下啊，把这移到左边来，变成 b 减去 long k 分 之一， 这边等于是 k 减一，那左边相同，那我会得到 k 减一等于一，所以得到 k 等于二，然后把 k 等于二呢给代入，所以 b 呢，等于一加上 long k 分 之一， 也就是一加上浪二分之一等于一减去浪二，所以答案呢，就是一减去浪二。

好，按照我们的规划呢，我们先进入到函数的专题导数，那么在学导数之前，我们先搞清楚两点，第一个是导数函数，他在高考中的一个占比，第二个就是在学习导数之前呢，我们需要先掌握哪些内容？ 好，我们先来看第一个，在这边我给大家给一组数据，这个数据上面显示的是新高考之后函数导数的一个分数占比，基本上来讲他要占到百分之二十五到三十 啊，所以他的重要性我就不过多强调了，以前的旧高考中，这个导数题他只作为最后的压轴，如果你想拿到一个高分是非常不容易的，但是新高考导数的大题他是往前出了，有可能就在第二道大题或第三道大题，那你想拿到一个高分或满分 啊，其实还是相对比较轻松的好，那么继续我们来看，在学习导数前，你需要掌握哪些基础的内容呢？啊？我觉得第一个就是基础函数的图像性质计算，你是必须要到位的。 那么在这里，比如说啊，初中和高中学的一些基础函数，一次函数、二次函数、反比例对勾、飘带 对数、指数、密函数、三角函数，那么这些函数它的图像性质还有它的一些运算法则，对吧？尤其是这个对数和指数三角函数的这个计算，你必须要掌握熟练，还有你要会求导的四则运算，对吧？ 嗯，最基础的加减乘除以及复合函数的求导法则，那当这些你全部都掌握了，那么我们就可以开始来学习导数了。好，接下来呢，我们就看一下在导数中我们具体要学什么内容？ 我把目录呢分为三大类，由易到难。第一类呢，就是学校考察我们一些内容，比如说导数的定义，计算，复合，求导，切线问题，以及比较简单的函数讨论它的单调性， 即值值域、零点，还有相对比较简单的含参函数的分类讨论，这就是第一类。但是你掌握这一类去做高考题远远不够，所以我们就迎来了最重要的第二大类。 那么在第二大类主要是要给大家去讲一些思路方法和模板，他具体就有参变分离 啊，切线放松，引零点问题，端点效应问题，极致点偏移，双变量直对处理，主元变换，还有这个同构以及函数的构造。那么这一类如果你全部都掌握了， 你就可以去挑战一下高考大题了。好，那第三类呢，我就不会过多的去介绍，嗯，因为他属于比较进阶的内容，难度系数也相对比较大， 比如说大家听到过的一些极限，呃，这都是大学数学里面的对吧？什么洛必达法则呀，泰勒展开式呀，好，这些如果有机会的话，我可以稍微给大家科普一下。好，这就是我们所学的导数目录， 大家可以整理一下，我们开始学习。好，首先我们先来看第一个内容，切线。那么切线呢，分为三大类，单切线，公切线，还有多切线的范围问题。我们首先先来看单切线问题， 那么在看单切线问题之前呢，我们先来看什么是切线以及什么是切线方程。好，在这边我给个图。好，这个图 它是 f x 函数，我现在想要去求这个函数在 m 点处的切线方成 l， 我 想去求这个 l， 那 我们得知道什么信息呢？ 我得知道 m 点的坐标以及这条直线的斜率，对吧？好， m 点的坐标我们设出来，设它的横坐标为 x 零，所以 m 点的坐标呢，就是 x 零的 f x 零。 好，我还得知道它的斜率，那么通过导数的意义，我们就知道 m 这点的切线斜率就是这个函数在 m 处的导函数值，所以呢，我们对原函数 f x 求导， 哎，我们就能求出来 f 导 x 它的导函数，然后这条直线 k 就是 这一处的导函数值， 所以 k 就 等于 f 到 x 零，对吧？那这样的话呢，我们利用呃点斜式就可以把 l 这条直线表示出来，那么点斜式是什么？ y 减 y 等于 k 的 x 减 x 零。好，就可以写出 y 减去 y 零，这的 y 零就是 f x 零等于 k， k 就是 f 到 x 零，被的 x 减 x 零。 好，那么这个蓝色的这个式子就是我们的通式，就是你任何一道切线题，基本上你都要写出它的通式。好，我们再来复盘一遍，你需要干什么？你需要知道切点，你需要对函数进行求导，然后算出它的导函数值，导函数的值代表的是斜率，然后利用 这个点斜式把它这条直线 l 表示出来。好，这就是最基础的，我们继续往下看，我们搞清楚什么是切线，以及如何去求切线，我们就来看单切线问题，那么单切线呢，就两个点，一个是在这一处的切线， 另外一个是过这一处的切线。我们继续给一个函数，啊，这个函数呢，我们上面随便给一个点 m 点。首先我们先来看在这一处的切线，那么在这一处的切线，我们就把这点给 m 点，那么就是在 m 处的切线，在 m 处的切线是不是就只有这一条， 对不对？我们给 l 一， l 一 就代表的是在 m 这一处的切线，那过 m 点的切线 怎么去画？那有同学就说，那 l 一 这条线也是过 m 点的切线，对，没错，但是呢，它有可能还有别的，对吧？比如我可以再画一条 这条 l 二，那么 l 二是不也是过 m 点的切线，只不过它的切点不是 m 点，对不对？好，那我们想想 l 一 怎么去求，那就是用我们给大家讲的通式去求就可以了。如果你知道 m 点的坐标 x 零，你就可以对函数求导，用同时去求，那么 l 二的切线，我怎么去求？那么 l 二的切线的话，我要想写出它的同时，我必须要先知道它的切点 x 一， 那如果没有的话怎么办？我们只能去给它设出来切点。好，这就是它的通用方法 啊。再说一遍，在这一处的切线是唯一的， 对吧？它是 l 一 和 l 二，那当然，随着曲线，它如果还有别的样子，那它就更多了，是吧？往这边也可以切，还可以 l 三啊。好，那我们来看例题。我们先来看第一道例题， f x 在 一六零的切线。好，那这个我们就直接 写，同时就可以了，我们对它进行求导， f 到 x 等于 x， 方分之绕 x， 找出 x 分 之一乘 x 是 一，一减去绕 x， 好， 那么 k 就 等于 f 到一， f 到一呢，就等于一， 那么我们用点斜式 y 减去 y 零，等于 k 倍的 x 减去 x 零，好，那么它的直线方程就是 y 等于 x 减一。 好，这就结束，那这就是在这一处的曲线。好，我们继续来看第二题，这个曲线，我们要去求过这一处的切线方程， 那怎么办？首先我们可以观察这个屁点呢？它就在这个函数上，对吧？你把二度四带进去，你发现它是满足的， 那当然，有时候呢，这个屁可能它不在这个曲线上，那没关系，那如果说它不在，我们怎么办？ 我们就只能设切点呀，对不对？因为你不知道切点在哪里，你只能设切点。好，我们就设切点，设切点为 x 零， y 这个 y 零就是 x 零的三次方减 x 零减二。 好，我们写出它的通式，先对它进行求导， f 到 x 等于三， x 方减一，我们同时就是 y 减去 x 零的三次方，加 x 零加二，等于 k 倍的 x 减去 x 零。 好，然后现在这个方程它是经过 p 点的，对不对？ p 点是在这里头的， 我们带进去，我们就得到了四，减去 x 零的三次方，加 x 零，再加二等于三， x 零方减一倍的二，减 x 零。好，那这个方程观察一下，就一个未知数，对吧？ 也就是说我只要把这个方程解出来，我就知道切点了，我只要知道切点，我再带回到这个直线的通式里，那切线方程就出来了，对吧？ 那这个 x 零它解出来有几个切点？那是不就意味着这样的直线它就有几条？比如说你 x 零有三个，那你就分别带进去，那这条直线它就会有三条。好，然后我们就现在开始解这个方程，我们把它化简一下， 负 x 零的三次方加 x 零，加上六等于六， x 零方减去三， x 零的三次方减二，再加上 x 零，两边 x 零消掉三次方挪到左边。二， x 零的三次方 减去六， x 零方，再加上八等于零， x 零的三次方减去三， x 零方加上四等于零。好，这是一个三次方程。那么我们一般选择的解法就是因式分解，我们首先要观察根， 我们观察根发现 x 零等于负一是它的一个解，所以它就有一个因式，是 x 零加一，对吧？ 好，那么剩下的话你就要去给他猜，或者你就用大除法。好，当然不知道大除法的同学，你就可以直接给他猜，这个猜也比较好猜，你比如说他一定他的最高次项要 要是 x 零的二次方，对吧？因为这两个一成才呢，是 x 零三次方，然后呢，他必须要有一个常数是几，必须有个常数是四， 所以说对你来讲，你只需给他猜中间的这个一次项就可以了，对吧？那么一次项，哎，首先肯定得是个负数，因为你要是正数就全都是正数了。好，那么一次项我们可以这样给他算出来，他应该是等于减去一个四 x 零， 对吧？我们可以检验一下啊，这样的话啊，是没有没有问题的，是吧？好，那这就是它的因式分解，我们再给它化简一下，就是 x 零加一乘上一个，这个正好是个完全平方公式， x 零减二的一个平方等于零。 好，然后我们就得到了 x 零等于负一， x 零等于二。 然后呢，我们把两个切点代入到他的通式里，我们就求得了他的切线方程，在这边我就不细算了，我们直接给大家给答案，第一个是 y 等于二 x， 第二个是 y 等于十一， x 减十八，这就是他的两条切线。这道题就结束了，我们再来总结一下 啊，过某一点切线方程步骤是什么？第一步，先设出他的切点，第二步，求导写 k， 第三步， 我们写出它的通式，对吧？好，第四步呢，步骤比较长，就是你把这个切，把这个过的这一点，再带入到它这个通式里面，求得这个切点坐标。 第五步就是你把这个切点算出来之后，再次带入到通式里，写出它的直线方程。好，这种类型的题就结束了，我们继续来给大家讲公切线问题。那什么是公切线呢？我们继续给大家给个图， 好，这个图像里面有两个函数，那么左边这个我给 f x， 右边这个我给 g x， 什么是公切线？ 好，这个线就是公切线，它和左边的函数呢？切于 m 点和右边的函数呢？切于 q 点，这是公切线问题。那么公切线问题，嗯，我们其实还是要用通式， 我们要用通式去表示 m 处的切线，我们再用一个通式去表示 q 处的切线，然后让这两个通式一样就可以。那什么叫让这两个通式一样？因为我们写出来之后呢，它的形式上是 y 减 y 等于 k x k 倍的 x 减 x 零，对吧？两条直线都是这个样子，然后呢，我既然它是公切线，那就意味着它是同一条直线，那同一条直线的话，我们就可以给它写成斜斜式的样子，斜斜式是 y 等于 k x 加 b， 对 吧？那两个如果都写成 y 等于斜斜式的样子， 那是不就是说明它俩的斜距是比较相等，就为我们提供了一个方程组， 那么这个方程组就可以用来解方程或者是找关系，这个大家能明白吗？ 好，我们可以来看一下这个第三题，说这条直线是这两个曲线的公切线，好，那我不知道切点在哪里，所以我就一个一个来设，对它来讲，切点就是 x 一 逗 e 的 x 一 次方减一。 好，对它来讲，切点就是 x 二逗 e 的 x 二次方。 好，我们写出它们俩的通式，我就直接写 y 减去 e 的 x 一 次方，加一等于 k 倍的 x 减 x 一。 另外一个切线呢，是 y 减去 e 的 x 二减一次方， 等于 e 的 x 二减一倍的 x 减去 x 二。好，然后我们将它整理成，既然是公切线，我们将它整理成斜接式的样子。 y 等于 e 的 x 一， x 减去 e 的 x 一 x 一， 再加上 e 的 x 一 减一。那么下面呢，是 y 等于 e 的 x 二减一倍的 x， 然后呢，再减去 e 的 x 二减一倍的 x 二，再加上 e 的 x 二减一。 好， 我们就得到了两个斜截式，那么斜率和斜率相等，截距和截距相等，我们就又得到了 e 的 x 一 次方，就等于 e 的 x 二减一次方。 截距等于截距 e 的 x 一 x 一， 加上 e 的 x 一 减一。等于负的 e 的 x 二减一次方。 好，从形式上来说的话，它是一个方程组，然后有两个元，对吧？两个未知数，然后我们应该是能去解出来它，对吧？ 那么当然有的题它是解不出来的，对吧？它，它并不是我们普通的这个二元依次方程组，因为它这个涉及到对数，甚至有的是有指数， 所以并不是每一道题在这都能解出来，这个大家要搞清楚。那么当然我们观察他们发现这个一式呢，就可以推出来 x 一 是不是等于 x 二减一， 那我是不是就可以往下面来带？那是不是有可能就解出来？所以我们试着去解一下它，你这个式子里面，我可以把所有的 x 一 都给它消掉，是吧？所以就是 e 的 e， x 二减一乘 x 二减一， 加上 e， x 二减一，减一，等于负的 e 的 x 二减一乘 x 二加 e 的 x 二减一。 好，这俩是一样的消掉。然后呢？这个拆开之后是负的 e 的 x 二减一，乘 x 二，加上 e 的 x 二减一， 再减一，等于负的一的 x 二减一，乘 x 二。好，然后这个和这个又是一样的消掉，然后我们就得到一的 x 二减一就等于一， 我们就得到了 x 二减一就等于零， x 二就等于一。好，那么顺势 x 一 也能解出来， x 一 就等于零， 好，这样的话，切点我们就求出来了，那这个题在问啥？这个题在问这个 b 的 值，对吧？那 b 是 什么意思？ b 是 切线的拮据，切线的拮据在哪里？在这和这啊，所以我就把 x 带到它里面，我就能求出来拮据，或者是你把 x 带到这个式子里面，我就能求出拮据，那么 b 等于什么？就很简单了， 好，这就是个公切线问题，他的模板是这样子的，我们再捋一遍，就是公切线，你必须要先设切点，继续写出他的通式，然后把通式转换成斜切式，让斜率等于斜率，截距等于截距。值得注意的就是，在这一块 他并不一定能解出来 x 一 和 x 二准确的值，大家要明白啊，这其实还是取决于人家问什么了，如果他就是想问一个参数，一般来讲他就是能解出来，但如果说他这个问的不是参数 啊，那他有可能这个方程组是让我们去求关系的，明白吗？而不是让你去解方程。 好，我们继续来看下面的例题。这道题说将一个曲线绕坐标原点，顺时针旋转 c 塔后，与 x 轴第一次相切，求这个 tan 的 c 塔。 那么这个题我们为什么要给大家来放到这呢？就是最基础的切线，单切线也好，这个公切线也好， 其实在考试中呢，他不太可能一直考这种常规的模板，所以他要对原有的母题进行一定的变形和应用，那么这个题就是考察大家的一个应用能力。首先我们先画一个图像， e 的 二 x 方。好，我们想一想这个题在考察什么？它肯定是在考察切线，对吧？但是怎么个相切呢？图像绕圆点旋转，这是 o 点，然后绕圆点旋转之后第一次与 x 轴相切， 那我是不是要找出这个切点在哪里？那有的同学可能就不太会去找，那我们举个简单的例子，比如说这个 q 点在这， 那么图像绕圆点旋转，与 x 轴相切，其实就是图像上的每一个点都绕圆点旋转，对吧？好，那么 q 点绕 o 点旋转，它的这个对应点就是 q 撇点，那么很显然它的旋转角就是这个 c 叉角， 这就是它的旋转角，但是我们知道这个肯定不是第一次与 x 轴相切的角，对吧？好，那么我们利用这种渐进的思想，我们想想，当 q 点往上再走的时候， 它会不会使得这个角度会更小呢？使得它与 x 轴第一次相切有可能，对吧？那其实应该在哪？是不是应该在这个切线这，这个切点， q 点跑到这，然后呢？它对应的点切起来，这是 q 撇点，这个 c 塔呢？就是我们的最小值，对吧？ 那如果你 q 再往上呢？我们用渐进的想再往上 q 再往上走呢？那你这个角度就又会更大了，对吧？你旋转下来，它就不是第一次与 x 相切的，所以说这种题就比较考察大家的理解能力。 好，那现在我们已经知道了，这个题其实就是在去求啊，这个 q 点过圆点的一条切线，对吧？过圆点的一条切线与 e 的 二 x 方向切，那么正切值 tan 等于什么？等于 k 嘛？所以我们其实就是在去求 啊，这条切线的斜率写一下，你不知道切点依旧是我们设 x 一， 好，那我们现在就写出它的这个通式， y 减去 e 的 二 x 一 等于 k 倍，这是一个复合求道。二倍的 e 的 二 x 一 倍的 x 减去 x 一， 然后它是过零到零，我们把零到零带进去，就是负的 e 的 二 x 一 次方，等于二倍的 e 的 二 x 一 次方。 符号提到前头乘上 x 一， 两边同时除以 e 的 二 x 一 次方，我们就得到 x 一， 就等于二分之一。好，然后我们现在这个题去求它的斜率，对吧？带到这个里面就可以了， 那么 k 就 等于贪婪的 c 塔就等于二，乘上 e 的 一次方就是二 e， 对 吧？ 好，那么这个题就结束了，我们再来看第五题，曲线在 p 处的切线与另外一个曲线相切于 q 点，求这个代数式的值， 那么这很明显是一个公切线问题，对吧？我们就先写出这两条线的通式，然后继续转换成斜切式，让他们的斜率和极距相等。好在这边我就快速的写一下啊， y 减去 log 二 x 一 等于 x 一 分之一倍的 x 减去 x 一 y 减去 e 的 二 x 二等于二倍的 e 的 二 x 二倍的 x 减去 x 二， 转换成斜结式 y 等于 x 一 分之一倍的 x 减一，再加上一个 log 二 x 一 y 等于二倍的 e 的 二 x 二倍的 x 再减去二倍的 e 的 二 x 二 x 再加上一个 e 的 二 x 二。 好，然后斜率等于斜率，截距等于截距 x 一 分之一就等于二倍的 e 的 二 x 二 负一加上一个 lo 二 x 一 就等于负二 e 的 二 x 二次方倍的 x 二加上一个 e 的 二 x 二次方。 好在这我们就可以停下来了，前面这些就是模板，对吧？这就是我们讲切弦的，其实有模板的，但是这个题呢，要分析，不像之前那道公切线，它是去求 x 一 和 x 二的值，然后带进去去求它的解距。那么这个题你看观察，它是想让我们去求这个代数式的值， 那这个代数式他都给你了。暗示这个题肯定不是我要去求 x 一 和 x r 的 值，因为如果他要想让你去求 x x r 的 值，他干脆他就会直接问你 x 一 等于多少，或者他就直接问你斜率或截距是多少。所以说想让我们求这个东西，应该是想让我们去找出 x 一 跟 x r 的 这个关系， 那么有同学说那 x c 和 x 的 关系，那一是也是关系，二是也是关系。但是我们观察这个式子，我们发现它里面没有对数，也没有指数，那么这两个式子我应该是想去找出 x 一 跟 x r 的 这个关系，但是这个关系里面不可以含有对数和指数，最好只能给它消掉。 这个地方的一个变形就比较重要啊，我们尝试把一式和二式进行下一步的化简，使得这两个式子里面他没有对数和指数好。那么一式我们可以看出来他是 x 跟这个 x 二的一个指数形式，对吧？ 嗯，我觉得我们可以在二十里面代替把 x 给它消掉。那么对于二十来讲，这个等式右边呢，就可以全部写成 x 一， 这样的话，指数是不就没了？好，那就可以写成负的 x 一 分之 x 二，对吧？然后再加上一个二 x 一 分之一，好，这样二十里面这个等式的右边就没有指数了。我们再来看左边，左边有个对数， 这个对数怎么处理呢？我们肯定依旧是一式要进行变形嘛？好，那么 x 一 的负一次方就等于二倍的 e 的 二 x 二 两边同时取对数，我们就得到了绕文 x 一 的负一次方就是负的绕 x 一 就等于绕文二 e 的 二 x 二继续化解，它就是绕二，加上一个绕 e 的 二 x 二次方就是二倍的 x 二， 好，我们就得到负的绕 x 一， 等于这颗柿子带入到这个二式的左边，对不对？好，带入到二式的左边，我们就得到了负一，加上绕二 x 一， 绕二 x 一 呢， 它等于浪二，加上一个浪 x 一， 往下代替，就得到了负一加上一个浪二，把这个式子给他带到它里头，它浪 x 一 就等于负的浪二，然后减去一个二 x 二。好，我们把这个式子给他带到这个里头，就得到减去一个浪二，然后再减去一个二 x 二， 就等于负的 x 一 分之 x 二加上一个二 x 一 分之一。消掉，消掉，我们就得到一个负一减去一个二 x 二，等于右边给它通个分吧，二倍的 x 一 分之负二 x 二加一。好，我们就得到这样一个式子，观察一下， 那么这个等式是不就是像我们一开始说的，我找到了一个 x 一 跟 x 二的关系，但是不含对数和指数，那么这一步在后续的导出大题里面，这个思路也是非常重要的啊，这都是属于低操。 好，然后我们继续呃往下化解，二 x 一 就等于负一，减去二 x 二分之负二 x 二加一，我们去构造一下这个东西，得到一个二 x 一 减一，他就可以写成负一减去二 x 二， 呃，分之负二 x 二加一，再减去一的话，通分就是加一加上二 x 二。 好，化简，就得到了负一减二 x 二分之，然后它消掉二。好，然后这样的话我们两边同时取倒数就推出来了，这个是二分之 负一减去二 x 二，最后的这个等式我们就可以写出来了，他减加上一个 x 二，就等于负的二分之一，减去一个 x 二，再加上一个 x 二，小点之后，最后的常数就是负二分之一。 好，这就是这道题，我们复盘一下，那么这个题首先它也是属于这个公切线的应用问题，在整个 这一坨就是属于通式，属于模板，对吧？那么对大家来讲，你要有的一个想法，就像我刚才说的，并不是到这我们都要去求 x e 和 x r 的 值， 主要还是取决于人家的问题。那么这个题呢，我们就是去找 x 跟 x 的 关系，具体是什么样的关系，我们观察发现它里面没有对数和指数，对吧？所以我就想的是优先通过我们的一式和二式找到 x 跟 x 不 含对数和指数的形式，也就是这个式子， 那么我们将这个式子进一步的化简，就得到了一个 x 一 跟 x r 的 一个明确关系。其实从这边开始到下头啊，你想怎么做都可以，因为你只要往这里面带，绝对都是会消掉的，那所以这一边的话啊，就是属于一些初中的计算了， 那么核心依旧是这一块，那么大家要搞清楚这种题考察的是什么。好，这个题就这样结束。好，刚才呢，我们已经给大家讲了单切线、公切线的问题， 接下来我们来看多切线问题，多切线它一般伴随的是范围问题，所以它的难度也相对会比较大一些，那么我们随便先给大家给个图， 所谓的多切线就是就一个点可以做一条，可以做两条， 那么这个如果说再往上走的话，它就可以做三条，是吧？这就是多切线问题。好，那我们来看一下对于多切线问题，它的步骤都需要哪些？前三步依旧是跟单切线和公切线一样，我们先设出切点，它有几个切点，我们就设几个切点， 第二步呢，再进行求导斜 k， 第三步呢，写出它的通式。好，从第四步开始，它的步骤就不一样了， 我们要把所过的这一点带入到通式里面，但并不是去求出这个切点，而是我们要整理这个式子。第五步呢，我们要构造函数，然后第六步是构造出来这个函数，进行参变分离，我们求出参数的趋值范围。 好，那我们一块来看一下下一道题，那么依旧是前面我们把通式写出来，然后后面再根据人家题的问题，我们具体分析怎么去做好。我们现在写一下他的通式，他说过这个点呢，可以做两条切线，那么就有两个切点， x 一 和 x 二。 我们先对函数进行求导，它的导函数 e 的 x 倍的 x 加二。好，我们写出它的通式， y 减去 x 一， 加一倍的 e 的 x 一 次方，等于它的导数 倍的 x 减 x 一。 那么另外一个呢，也是一样，我们只不过是将 x 一 转换成了 x 二， 其他的不发生任何变化。说这两条切线过 m 点，那我们继续把 m 带进去，那就是 t 减去 x 一 加一倍的 e 的 x 一 次方等于 e 的 x 一 倍的 x 一 加二，乘上 x 啊，乘上一，减去 x 一， 那么下面的继续将 x 一 全部转换成 x 二。 ok， 那 么我们观察一下，这两个式子的结构是一样的，那么它里面的 x 一 和 x 二是不是就是某个方程的两个解，因为它的形式是完全一样， 那么它是哪一个方程的两个解呢？是不就是将 x x 全部写成 x， 就是 t 减去 x， 加一倍的 e 的 x 方等于 e 的 x 方倍的 x 加二，乘上一减 x， 对 吧？我们把这个给成一个蓝色， x 一 和 x 二，就是这个方程的两个解，这个大家能理解吧？好，那么写到这就是整个这一块，同时就结束了，我们接下来分析看原题，他说 过这个点仅可做两条切线。什么意思？两条切线是不就只有两个切点？只有两个切点是不就意味着这个方程只有两个解， x 一 和 x 二。 那么现在的问题就转变成了，我们去求 t 的 范围，在这呢我们就选择参变分离，我们把 t 给它提出来。 好，我们继续往下写。那么 t 就 等于 e 的 x 方倍的 x 加二，乘上一减 x， 再加上 x 加一倍的 e 的 x 方。我们整理一下 t 等于 e 的 x 方倍的 x 减 x 方加二， 减二， x 再加 x 再加一，再次化解 t 等于 e 的 x 方倍的负 x 方 加三。好，写到这，我们开始来分析一下。现在的要求是说让这个方程只有两个解，那是不就可以相当于说让左边的函数和右边的函数在图像上只有两个焦点？左边的图像是什么？ t 呀？ y 等于 t， y 等于 t 就是 一条水平线，它可以上下移动，而右边呢，很明显是个曲线，那右边有可能长这个样子。如果说他只有两个解，我们转换成两个交点，是否就是直线和曲线只有两个交点？ 比如说这样子的话，他就只有两个角点，但是这样的话呢，一二三四就不符合了，这样的话也不符合，所以目前对我们来讲就比较清晰了，我们需要画出右边的图像，然后根据右边的图像去求出左边的范围。 那我们就先另一个函数 g x， 那 么 g x 呢？就等于 e 的 x 方倍的负， x 方加三， 那么这道 x 呢？就等于 e 的 x 方负 x 方加三，再加上负二 x 倍的 e 的 x 方，就等于 e 的 x 方倍的负 x 方减二， x 加三。 好，我们求导，主要是看导函数的正负这个二次函数来决定它的正负，是吧？所以我们就画出它的图像就可以了。我们进行因式分解，发现这个二次函数的一个根是一，对吧？一个根是负三。好，我们画一下这个二次函数， 这是负三，这是一好图像。这个函数 啊，在负无穷到负三是单调递减，然后负三到一是单调递增，一到正无穷又是单调递减， 它是一个减增减。好，我们的目的是为了画图像，那么画图像这边 啊，这个大家就要开始学了，你如何精准的画出一个图像啊？相对精准的画出一个图像，你首先得知道单调性我们已经有了，然后你还得知道定义域，那么整个这个题呢，定义域是 x 属于 r， 对 吧？好，我们也知道了。紧接着就是比较重要的一个环节，你必须要知道一些 极限，那么所谓的极限就是你的左端点和右端点趋向于多少，比如说你这个题是从负无穷开始的，然后一直到正无穷，那么你的负无穷是接近多少？你的正无穷接近于多少 啊？很简单，我们只需要把负无穷带到 g x 里面，把正无穷带到 g x 里面就可以了。我们可以算一下，当 x 趋向于负无穷的时候，那么 e 的 x 方是接近于零，对不对？那么接近于零，那零乘任何数都是零，那所以说，那么 g x 呢？也趋向于零， 但是这个零也分情况，就是正零和负零。我们知道这个零它并不指的它就是零，比如说它可以是零点零零零一，或者负的零点零零一。我们把负无穷带进去发现， 嗯，你这个数接近于一个正零，而这个数里头呢，是个负数，对吧？所以说，嗯， x 趋向于负无穷的时候，你的这个外值，首先它绝对是个负数，也就是它是负的零零一，好，那我们就给个符号，它就是一个负的零， 那么 x 趋向于正无穷的时候呢？我们带进去发现，啊，这个 e 的 x 方呢？啊，它是正无穷，对吧？那么里面这个二次函数呢？是负无穷，那负无穷乘正无穷，它肯定还是趋向于负无穷，所以 g x 呢，它就趋向于负无穷。 好，这样的话，我们就可以大致画出它的这个图像了，图像就是它从负无穷到负无穷。好，这样的话开始减， 那么负无穷的时候，它的外值接近于负的零，那么负的零就是从这开始走，走走，走到负三，那么负三的值我们带进去算一下。负三的值带进去算的话，是一的负三次方乘以负六，是吧？ 这一处的这个外值呢，就是负六倍的 e 的 负三次方，然后开始增，增到哪里？增到一这个点，那么一的值我们也往进带，一的值，往进带的话，它是 e 乘二，就是二 e， 对 吧？好，就开始往这走，二 e， 这个值是二 e， 然后 再开始往下减，减到哪里？减到当 x 趋向于正无穷的时候，它的外值趋向于负无穷，那么就是往下减， 好，这样我们就相对精准的画出了 g x 图像。好，现在我们让左边和右边有两个焦点，那你就直接看图像就可以回答出来了，你这样肯定不行，这是三个焦点了，这也是三个焦点，这是一个焦点，这是两个焦点，这也是两个焦点， 对吧？所以符合图像的只有这一段和这一种相切的情况，所以我们的 t 它的取值它可以是 t 等于负六倍的负三次方啊。还有种情况就是 t 怎么了？介于这一段区间之间啊。那么另外一种情况， t 的 取值范围就是 t 要大于零，小于二。一。 好，这个题就结束了，我们复盘一下，前半部分依旧是通式，对吧？写到这都是通式。 然后从蓝色的这块区域开始呢，他就转变成了含参的函数，去去求参数的去质范围，我们选择了分离参数分到两边， 然后他有两个解，我们就转换成了两个焦点，那么你转换成焦点，你就必须要画图，你的图像怎么画？你又要对他进行求导，对不对？然后画图的时候注意我刚说的 单调性要有，然后第一域 x 属于 r 要有，以及你的极限，你的左端点和右端点的极限，这样的话我们就可以大致画出它的图就结束了。那么这大家容易做错的是什么？就是初一画图的时候，有的同学会这样画，先减再增再减，你这种情况你看，那 你什么时候会有两个焦点呢？你告诉我，你的图要画的精准一些，就必须要从这个地方开始画 好，结束就到这，我们继续来看下一道已知过 a 到 b 可以 做三条切线，那么问 a 跟 b 又是关系，对吧？关系 好，前面我们依旧快速写出他的这个通式，那么这样的因为上一道题我们已经写过通式啊，那么所以在这边我该省略的，我就直接给大家省略掉，那么我们就设一个起点就可以了。好，我们先对函数进行求导，那么导函数就是三 x 二次方减去一。 好，那么它的通式就是 y 减去 x 的 x 一 的三次方加 x 一 等于三， x 一 的平方减一倍的 x 减去 x 一， 好，这是它的通式。下面肯定是把 x 一 换成 x 二嘛，对不对？然后呢，他又说过 a 到 b， 那 么我们就把 a 到 b 带进去，我们就得到 b 减去 x e 的 三次方加上 x e 等于三， x e 方减一倍的 a 减 x。 好， 依旧是下面把 x 一 换成 x 二和 x 三，因为你有三条界线，那么这个题问你， a 跟 b 的 关系满足什么样子？写到这呢，我们就发现 x 一 x 二 x 三是 b 减 x 的 三次方加 x 等于三， x 方减一倍的 a 减 x 这个方程的解。 再说一遍， x 一 x 二 x 三，就是这个方程的解，那么换句话来讲，这个方程呢，它只能有三个解，这三个解就是 x 一 x x， 所以 做法跟上道题基本上一样。好，我们继续选择分离参数，那么就是 b 等于三 x 方减一倍的 a 减 x 加上 x 三次方减 x。 我 们化解一下，就是三， a x 方减去三 x 三次方减 a 加 x 加 x 三次方减 x， 那 么 b 就 等于负二 x 三次方，然后加上三 a x 方减 a。 好，那是不就是说，嗯，这个方程有三个解，等价于左边的图像和右边的图像有三个交点， 那所以我们又要画它的图像，是吧？好，所以我们继续领函数，那么 g x 函数 g x 函数就等于负二 x 三次方加三 a x 方减 a， 然后呢，我们继续对它进行求导，这导就等于负六 x 方，加上六 a x， 我 们因式分解六 x 被的负 x 加 a。 好，我们主要是看这个导数的正负，这个导函数是一个二次的形式，对吧？那么它的根呢？一个根是 x 一 等于零，一个根是 x， 二等于 a， 好， 那这个题呢，我已经知道 a 的 正负了，对吧？ a 是 大于零的，所以 x 二要比 x 一 大。我们依旧画一个图像 好，一个根是零，另外一根是 a， 然后呢，开口是向下的好，所以 g x 的 单调性 我就能推出来。单调性就是从负无穷到零是单调递减，零到 a 是 单调递增，然后 a 到正无穷是单调递减。好，然后我就可以画出它的图像啊，画出它的图像， 嗯，负无穷的时候呢，我们带进去，对吧？我们把负无穷带进去，因为它是个三次函数啊，三次函数啊，负无穷带进去， 主要就是看这一项就可以了，是吧？负负得正嘛，所以它肯定是正无穷，也就是 x 趋向于负无穷的时候，它的 y 趋向于正无穷，那么到零的时候，我们把零再给他带进去，零带进去是负 a， 那 负 a 就 在这 好，所以说它就是从正无穷减到负 a 好， 然后呢？再从负 a 上升，上升到哪呢？那么横坐标 a 是 它的一个极大支点， 我们再给他带进去，我们写下二 a 的 三次方加上三 a 的 三次方再减 a， 它是等于 a 的 三次方减 a。 好， 那么 a 的 三次方减 a 就 在这， a 的 三次方减 a 好， 然后呢？再开始下降，那下降到哪里？ x 再带正无穷， x 在 正无穷的话，我发现它是 y 趋向于负无穷，是吧？那就是这个样子的。 好，那么这样的话，我们就画出了他的图像啊，那么现在要求 b 与他有三个焦点，对吧？因为你有三个解，那么三个焦点就这样子呗，这样子呗， 对吧？也就是说从这个拨鼓到这个拨分就是三个焦点，好，那我们就知道 b 的 范围要大于负 a， 小 于 a 的 三次方减 a 就 结束了。 整个这类题其实都差不多，其实你做的只要是熟练了，他就不算难题。 好，那么这个题就结束了。目前单切线、公切线以及多切线的范围问题我们就给大家讲完了，那么这些还是希望大家自己动手去写，你的熟练度越高，你写的就越快，好多东西都是通式，它是通用的模板，也不需要你思考。那么多。 好，求参数的范围呢？一般我们就可以进行分力变量。好，我们再来看一下最后一道题，说这个函数它是一个分段函数，它在不同的两点切线重合， 那它其实是一个公切线的问题，对吧？然后公切线的问题我们要去求这个参数范围。好，我们先大致的来去画下它的图像吧。反比例函数 x 大 于零的时候是反比例函数，然后另外一个是二函数，那么在这我们就要给大家去讲，后面肯定遇到很多二函数， 那么你要绘画函数图像，那么我们指的绘画函数图像主要是具体要看什么？比如说它的这个，呃，开口，对吧？对称轴、拮据 的，它这些都是精确画出一个二次函数图像的步骤，就这四个步骤，你只要确定了，那这个二次函数你就大概能画出来。那我们来看这个题，你像开口是知道的，对称轴你也知道 啊？那这个拮据和单调不知道，对吧？我们现在随便先给个二函数，比如说这个二函数长这个样子，好，我们看看可行不可行？他现在要求是什么？你在图像上要有不同的两个点，然后有一条公切线要经过这两个点。那你说对于二次函数来讲，切点能在这吗？这是 a 点， 他肯定不可以，因为你切点在这，你这条线只能是往下走的趋势，而你必然会和这边会相交，对不对？好，那切点在这行吗？也不可以，因为切点在这的话，他必然是上升的趋势，他肯定和他也不相交，也不相切，那所以这种情况就是不可以的。 所以你就要开始去分析，那这个二次函数长什么样？可以我们随便再给大家画一下，比如说这个二次函数它长这个样子好像就可以，对吧？我就可以找一条切线， 对不对？这条切线是不是就可以？哎？这个切点是不是 a 点？这个切点呢？是不是 b 点？所以我就搞清楚了一个问题，是什么由谁来控制这个二次函数的上下？就是它的拮据二 a 对 不对？ 那么二 a 不 可以无限往上走，但是二 a 可以 往下走，所以这个题假如它是一道选择题，你高考拿到这样的题，那那肯定是不能选带有正无穷的那一项，对不对？好，所以我们现在就明白啊，首先， a 不 可以正无穷吗？其次呢，你要相切的话呢， 你这个 a 点，它必须在对称轴的右侧，那所以我们就搞清楚了，这个 a 呢啊，我们 a 点就给 x 点嘛， b 点呢，我们就给 x 二， 你这个 x 一 呢，你必须要大于负二分之一，是不是？那还不能等，它也不能在左侧。好，我们就找到了一个 x 一 的范围，我们先写到，这肯定是有用的。 好，我们开始来把这个题的通式写下。好，我们先来看 a 处的切线通式求导，求导之后， y 减去 x 一 方减 x 一 减二， a 等于 k 二， x 一 加一倍的 x 减去 x 一。 好，那么第二个的同时呢， y 加上 x 二分之一等于 x 二的平方分之一倍的 x 减去 x 二。 好，然后我们继续整理成斜截式， y 等于二， x 一 加一倍的 x， 然后减去一个二 x 一 方减去一个 x 一， 加上 x 一 加二 a。 另外一个呢，是 y 等于 x 二的平方分之一倍的 x 减去一个 x 二分之一，再减去一个 x 二分之一。直接写的话就是二， x 一 加一就等于 x 二的平方分之一， 截距等于截距呢，这个截距，我们上面的截距我们整理一下，就是负 x 一 的平方加二， a 等于负 x 二分之二。好，这就是斜率等于斜率，截距等于截距，那这依旧是通式，对吧？我们现在来看看 这个题要去求 a 的 垂直范围，那你这的思路应该是怎样？我们搞清楚， 我们做了三道题，第一道题写到这，我们是把 x 一 和 x 二给它求出来了，对不对？第二道题做到这的时候，我们找出 x 一 跟 x 的 关系，对不对？第三道题做这的时候，你肯定是不能求出来 x 一 和 x 二，你也不能找出 x 一 和 x 的 关系，为什么？因为首先这个方程组，我们依旧给一十和二十 这个方程组呢？它有三个未知数，这三个未知数呢，是 x， e， x， r 还有 a 三元方程，但是你只有两个方程组，三个变量，两个方程组，你肯定不能求出来 x， e， x， r 还有 a 的 具体的值， 那么我们只能去找出关系，对吧？这是一个最基础的思路啊，就比如说你 abc 啊，你是个三元，你有一个方程，然后呢，你三 a 三 a 减减 b， 加上二 c 又等于零，这又是一个方程，这又是一个三元方程，但是这是三个未知数，但是只有两个方程，那我这样的话，我们可以求出 a 跟 b 的 关系，或者是你可以求出 a 跟 c 的 关系，或者你可以求出 b 跟 c 的 关系，对吧？这是个基础思路。所以在这呢，这道题我们就是求关系的题， 那么到底我要去求谁跟谁的关系，很简单吧？我这个题我要问的是啥？我问的就是 a 的 垂直范围，对吧？所以我肯定找的时候，我也是找 a 跟 x 一 的关系，或者是 a 跟 x r 的 关系，这个大家能理解吧？ 因为你肯定要让 a， 为什么因变量 x 一 或 x 二为自变量。那么我们首先可以将二式先继续往下写，二 a 等于负的 x 二分之二，然后再加上一个 x 一 方， 那么对一式来讲呢？我肯定就要消 x 一 或者消 x 二，那我们就观察嘛，你哪一个好消，你就去消哪一个 x 一 好消，对吧？ 而 x 二不好讲，因为 x 二对一式来讲的话，这个地方有个平方，你要说硬往这个里面带的话，就要开根，好像就比较麻烦，那么我把一式的这个 x 一， 那我给它提出来，好，那么对一式来讲的话，二 x 一 等于 x 二的平方分之一减一。 好，然后 x 一 就等于二分之一倍的 x 二的平方分之一减一。 好，我就可以往这个式子里面带，我右边的式子就可以写成啥了，我的二 a 就 等于负的 x 二分之二，加上一个四分之一的 x 二的四次方分之一，加上一个一，再减去一个 x 二的平方分之二， 完全平方公式，对吧？好，这样的话我就得到这个式子了，就没化简的这个式子，就是 a 被 x 二表示出来了，对吧？好，我来开始化简它。 a 就 等于两边同时除以二负的 x 二分之一，加上一个 八分之一的四次方分之一，再加上一个八分之一，再减去一个 四分之一的 x 的 平方分之一。好，然后 a 就 等于八分之一的 x 的 四次方分之一，减去四分之一的 x 的 平方分之一，再减去一个 x 二分之一，再加上八分之一。 好，然后我们现在要干嘛？去求 a 的 取值范围，对不对？那求 a 的 取值范围不就是求这个函数的取值范围吗？ 你这个函数不太好看，我们肯定要换元，对不对？所以我们让 x 二分之一呢，就等于 t， 右边这个函数呢就变成了八分之一， t 的 四次方 减去四分之一， t 方减去 t 分 之一，再加上八分之一，那么 a 就 等于它了。我们先说下思路，思路就是你要把这个函数的值域求出来，对不对？那你求它的值域，你必要对它进行求导，通过单调性再画出它的图像，看哪低哪高，然后它的值域出来， a 的 值域就出来。 但是我们在做这件事之前，我们要先干一个事，什么事？大家想一想，你换元了呀，对不对？你是必须要先求出新元的范围对不对？那么新元就指的是 t， 那么 t 的 范围怎么求？ t 又等于 x 二分之一，那 x 二的范围又怎么求？我们看一下这个图， x 二在这呢，就是 x 二，那么 x 二它的范围是什么？大于零对不对？但这个范围它不是 x 的 精确范围， 这只是一个大范围，就是说它必须要切于反比函数，那么它的切点肯定是正的。但是我们通过一式我们观察，一式强调的是 x 一 和 x 的 关系，而你 x 一 是有范围的呀，也就是说你 x 一 的范围，你带入到一式里面，你肯定会影响 x r 的 范围， 所以 x r 的 范围我们要进一步的确定。这其实这个思想呢，在很多的这个函数的这个选填压轴里，都会有这样的一个因子在里头，就是你要去去求某一个变量的取值范围， 你都要去联立这个方程，对吧？通过方程去解得这变量的范围，并不是说我们肉眼观察出来哦， x 大 于零，然后我我就写 x 大 于零，这是错的，是吧？因为你一端有变量，你另外一端也会发生的改变，你 x 有 范围， x 肯定也有范围。 好，它俩是互相绑在一块束缚的。好，那我们现在来求一下这个 x 的 范围，那么 x 一 是大于负，二分之一小于零，我们再写下 x 一 大于负，二分之一小于零， 那么代入到一式里面，二 x 一 加一呢，就大于零小于一。好，那么 x 二的平方分之一呢，就是大于零小于一，所以 x 二分之一呢，它就是负一到一，但是 x 二又是正数，对吧？所以 x 二分之一呢，它就大于零，小于一，只能取这个正的， 然后 x 二分之一，它又等于 t， 所以 t 就是 大于零小于一。好，我们搞清楚，再回到这个题，这你整个这个题 t 的 范围，我们只讨论零到一的这一部分，别的不讨论， 减少了我们的。呃，讨论的点嘛。因为如果说你不去求 t 的 范围，那你可能讨论就会比较复杂了，那你的 t 的 范围一缩小，你整个这个 t 可能就步骤也会少很多。现在我们好另一个函数为 g t 函数 好，那么我们对它进行求导，那么 g t 呢？等于二分之一的 t 的 三次方减去二分之一的 t 再减一， 我们给它提个二分之一吧，二分之一的 t 的 三次方减， t 再减二。我们的目的是画导函数的图像，对吧？我要判断它的正负，我们就看它是个三次函数，这个三次函数优先考虑它能不能进行因式分解，观察一下它有没有什么定根好算的根， 好像它没有什么根，是不是？所以我们在判断这个三次函数的正负，因为它没有根，它不能因式分解，只能二解导，对不对？就是我们再对这个三次函数进行一次求导，去画出它的图像，好，我们就再另一个函数，这 h t 吧， h t 就 等于 t 的 三次方减， t 减二。 好，我们对 h 进行求导， h 导 t 就 等于三 t 方减一。好，那么 h 导 t 的 三 t 方减一，它的图像好坏 长这个样子。一个根呢？是负的，三分之根号三，一个根是正的，三分之根号三。 因为我的讨论只是零到一，所以我只看零到一就可以了，从这到这是负的，从这到一是正的，所以 h t 的 图像我就可以画出来，那么 h t 的 图像呢？我也在这画出来。 h 一 的图像就是先减再增。好，那么 t 的 范围是零到一，那我们把左端点带进去，算出来是负二，是吧？好，负二开始减，减到哪减到哪？我不知道，我先不算完后，我再算一下右端点，右端点是 一减一，减二，又是负二，对吧？也就是右端点也跑到负二了，就是一，就是零。好，这是，这是 h 的 图像，这是 h 导 t 的 图像。 好，所以我就知道了， h t， 它的图像在零到一是横负的，那我就知道 g t 的 图像的单调性，对吧？零到一上永远都是单调递减的， 那我再可以画出 g t 函数，零到一，单调递减，我带零进去，带零进去是正的八分之一，八分之一在这。好，然后呢？再带一进去是负一，对吧？负一在这， 负一在这。好，所以说就是这样子，这就是 g t 图形，那么 g t 的 值域就是这个的值域，那这个的值域就是 a 的 范围， 对吧？好，这样的话，我们就求出 a 的 范围， a 就 得大于负一小于八分之一。 好，就结束。那我们分析一下这道题，这道题可能对一部分的同学来说还是稍微有一点难度的，因为他设计的东西比较多。首先就是咱们写通式是吧？从这到这 是不是最基础的？从这开始之后，我们要有一个想法，对吧？你如何面对这个方程组呢？ 你到底是要去求 x e、 x r 还是找关系？那么这个题，因为我们求 a 的 范围，我们可以找关系，我们选择了用 x 二来表示 a， 让 x r 作为自变量，让 a 作为 e 变量。好，你要搞清楚为什么我要选 x r， 不 选 x e。 好， 这是第一个问题。好，紧接着呢，我们换圆了，对不对？换圆之后首先要处理的一件事是什么？圆的范围对不对？你要写到这一步，那么你要求出 x r 的 范围， 难点就在于 x r 的 范围。怎么求 x 一 的范围？我们在一开始就说了， x r 的 范围在这，那么 x r 的 范围呢？ 它不仅仅是大于零，对吧？ x r 的 范围它是被 x 一 所影响的。那我们求出 x r 的 范围之后， t 的 范围就出来了。 t 的 范围求出来之后呢？从这边开始呢，它是一个比较基础的求导， 但是我们求着求着发现，哎，这边是个三次函数，又没有因式分解，所以咱们也没办法画出他的图，那没办法画出他的图呢？我们继续进行求导，当然其实熟练度高的同学，你在这里其实直接可以看出来，是吧？啊， 好，我们就说常规方法啊。好，那我们继续求导之后，那么这是二阶导的图像。好，这就是 h t 的 图像，然后推出来就有这一题的图像。好，那这样的话这个题就结束了。 好，这样我们就把所有的切线问题给大家讲了，当然这也仅仅只是一部分，因为时间有限，我还是希望大家多做题，同类型的题你可以多做，自己可以去把这几道题写一遍。好，有问题我们随时交流，下期见。

少爷，我求求你别倒了，让我来帮你倒一倒吧，你就剩一个月高考了，还在踩工薪线探路的坑啊，就让我这个竞赛生教你点数学一百四的分诀。今天聊一聊必要性探路后处理。 先讲工薪线探路的弊端，再通过一道模拟题和一道高考题进行实践巩固。祝各位倒的轻松，倒的愉快！我已加入抖音，抖音精选，接更更多学长学姐的高考过来人一百， 欢迎大家来收看新一期的竞赛视角系列。今天接上一期攻切线探路的视频，我们来进一步聊一聊必要线探路的弊端和后处理问题。 上一期视频我指出，在攻切线探路中呢，我们可能存在多解性、急止点难解以及高阶倒下的探路崩坏等等各种问题。 那么我在这就随机找了两道题，给大家来看一看具体的 bug 在 哪里出现的。这两道题呢，其实都非常的简单，如果说给那些熟练做题的大佬一看，第一道题就是一个铜构题换一个圆就结束了， 而右边的这个题目很明显是我们的前几期中非常经典的极限估计，再加上我们的端点效应的问题，那么在这里如果我们选用必要线探路来去做它，那么又会出现什么样的 bug 呢？ 我们首先来对这一个式子移一下，向既 f x 等于 x 龙 x 加上 x， 减去 x 的 平方，再加上一个 a 的 ex 次方。我们对它稍微求一个倒，那么 就由 f 撇 x， 它是等于零 x 加上二减去二 x， 再加上一个 a 倍的 e 的 x 次方。 如果说我在这里全部连立，我让他的导数等于零和圆函数等于零的话，那么这一个式子是不是就是我们非常经典的公切线探路的式子？ 那么把这个东西，我们把 a 倍的 e x 次方，就是直接将角消掉，我们就可以得到 x 减一弄 x， 再加上一个三， x 减去二，再减去一个 x 的 平方等于零。 在这个时候大家看到这一个式子，可能就有人说，哎，这个式子不是很简单吗？直接把 x 等于一带进去，这个显然等于零成立，那么的话你就把这个 x 等于一带入，然后你带入之后，你就会解出来一个一 大于等于一减去一个 a 倍的一次方，然后得到一个 a 大 于零的一个结果。也就是说我在这里只需要 a 大 于零，他是不是就能横成地呢？但是这一道题目他显然没有那么简单， 就是你这里大于等于零，他显然不是我们的答案。于是我们就知道公切线探，公切线探路在这里就出现了第一个 bug， 就是你在这里遇到了又含有 non x， 又含有 ex 这种消不掉的情况，你就很容易去想着说，我这里只有一个很简单的解，但是如果说这个解恰恰是在以零点处取到， 那么它就会变得非常的麻烦。像这里如果说你专注于把这个东西做一个因子分解，它是等于 负的 x 平方减三， x 加上一个二，等于负的 x 减一， x 减二的话， 那么你把这个东西整理一下，你就可以得到 x 减一，然后再加上一个零， x 减去一个 x， 再减去一个二，它是等于再加上一个二，它是等于零的。 我们得到这么一个式子，然后你这里也很明显，你如果说想让我们探路成立第一个就是 x 等于一，这个是第一个探路值，但是你注意到这有一个以零点取值情况，就是 n x 减去 x 加二，它有没有零点呢？你还需要重新的去求一下导，你会发现 n x 减 x 加二，它大概的图像是这个样子，它在一处取得最大值一，然后在这里显然它有一个零点 x 一， 有一个零点 x 二，也就是说它这里存在两个引零点， 你需要把这一个情况给考虑进去，那么此时 x 一 加上被减去 棱 x 一 等于这个二， x 二减棱 x 二等于二，你还需要把这个东西里面的 x 一 x 二带到我们要探路这个地方去，然后把它消掉，消掉之后再来去求 a 的 范围， 那么这个东西显然是不是他就变得异常的复杂，你在这里又是明明是一道很简单的题目，你甚至明明分餐，你就可以做出来了， 然后你在这里先是探了路，然后又用了隐名点，然后还在这里，可能你只探到了 x 等于一，还可能出 bug， 然后等等等等各种的复杂的问题是不是就都出现了？所以说这一道题它就是一个非常好的一个例子，就告诉我们其实任何一种策略，或者说任何一种大招，它都有自己的适用范围， 如果说大家只知道有这么一种方法，这个显然是没有办法应付考试的，我们还需要知道他究竟适用范围在哪里。遇到这个题各种的不同的方法，我们究竟该如何的选择？ 这种是比较经典的，就是我稍微同构一下，他就很容易出现探路的多解性问题，而如果说我们是在高阶倒下的探路的话，他甚至可能存在直接解不出来的 bug 情况。就比如说这一道题，这一道题的话， 如果说跟着我一起学习的同学很容易知道这一道题目，他其实就是一个基于我们的极限估计，然后再加上一个麦克劳林展开来得到的 a 是 在零处来进行判断的。之所以不讨论二分之一处，在前面我在做极限估计的那一个 视频里面也讲了，因为你这里的 a， 也就是他的对应的系数 x 平方， 其实是在两端都趋近于正无穷的，但是你 e 的 x 次方，虽然说在 e 端趋向于无穷，但是在 x 趋向于负无穷的时候，它趋向于零的，所以说呢，两端的主导效应是不一样的，你就需要来额外的进行考虑， 这个就是它里面的一个特点。因此你在这里 a， 你 需要是小于等于零，这个大于等于零才成立。 但是如果说你选择用公切线探路呢？我们就直接令这边是 f x 等于 e 的 x 次方减 ax 平方减 x 减一，然后我再求一阶导有 f p x 等于 e 的 x 次方减去二， ax 减一， 这两个我令它都等于零，你是不是就可以得到 e 的 x 次方减一，它是等于多少呢？它是等于 ax 平方，再加上一个 x 等于二 ax， 那 你把它连立一下， 在这里稍微连立一下，你就能够解得我有这个 ax， 解得一个 x 乘以 a， x 减去一个二， a 减一等于零，那么这个时候你就出现两个解，第一个解 x， 它是等于零的，第二个解 x 是 等于 a 分 之二 a 减一的， 那么你在这里你就需要进一步来讨论，然后后面这个解按照我们大家的喜好，我估计绝大多数人不会讨论， 但是前面如果说你把这个 x 等于零这个解往里面一带，你就会发现我 f 零它是等于零，是很成立的， f 撇零它等于零，它还是很成立的， 那么在这个时候它是不是就出现了 bug， 你 不管 a 取什么值，你在这里 f 零和 f 撇零它全都成立，我要求的是 a 的 取值范围啊，兄弟们，你最后是求出一个 a 的 取值范围，在哪都行， a 属于 r， 你 不觉得会异常的奇怪吗？ 所以说 bug 就 在这里就出现了，也就是在高阶导下，我这里可能存在探路的崩坏， 为了满足我们的这一种情况，我们可能需要一阶导等于零，二阶导等于零，三阶导等于零，甚至四阶导等于零，不断的重复下去，一直重复到有一个，终于在这一点处不再是任意为零了。 但是如果说按照这种方法来做，兄弟们，你们有没有想到这个计算量得多大？这道题我在之前就用了两行，就是我在前一期的极限估计视频中我就用了两行，一个取点，然后再加上一步放松，他就写完了。但是你在这里，你却为了 验证你自己探路的有效期，你在这里写了好久好久，然后求了好多好多次的，你觉得这显然是一件非常不值得的事情，对吧？ 所以说呢，我建议大家在这里需要好好的去思考一下，我究竟在什么时候要用公切线探路单车。其实除了公切线探路，我们还有另外一种探路方法叫做必要线探路。 必要线探路就是根据我们姐的一种特性拿去求看一看他在这里究竟有什么比较好的特征。 就比如说我这里有弄 x， 那 么他大概率是在 x 等于一时求到，要不然的话你在就 x 等于一处取到，要不然你在这里所有东西都叠在一起，你比如说取二， 你要是取二的话，你这里是不是就多了一个弄二，他就很难去解？如果说你取 e， 那 你右边那个多项式又多了一个什么 e 的 平方，再减 e， 再加一等等等等各种，那是不是他又会变得非常的复杂？ 这个时候我们是不是就只能够取一或者一些特殊数值啊？然后再比如说，如果说我在这里讨论一个式子，它什么时候等于零，我的这有一个 e 的 x 四方，那我是不是优先考虑 x 等于零的情况， 然后 x 等于零的情况，如果再不行，我再去考虑 x 等于一的， x 等于二的等等等等，依次类推下去。 但如果说看到这种是哎弄 x， x e 的 x 次方 x 都有的，那么可能需要同构换元，然后再重新的让我们来另一个，就是像什么 x 加上一个弄 x， 它等于零，或者说 x 减去弄 x 等于这个二等等等等， 那是不是就是这里面后面的题目？也就是说我们在这里所谓的探路并不仅仅是公切线探路的一种，尤其是你不要认为公切线探路它一定就可以解决所有的问题， 所以还是需要大家来在考场上谨慎的斟酌和考量，免得到时候为了求一个答案浪费了二十分钟，什么都还没算出来，讨论的一塌糊涂，那你还不如回头去看一看前面的题目呢。 在前面我刚讲完了公切线探路的种种弊端，那么后面呢，我们就可以试着用必要线探路直接来解决它。公切线探路你还需要把 x 零和 a 解出来， 而我们对应的必要线探路，其实你只需要根据你自己的思考带入一些特殊的值进行求解就可以了，那么这个东西它就非常简单，你只需要满足带入数值。就比如说这里有一个婉玉联盟的第十七题，今年刚考的题目， 它难度不大，也非常的松，所以说才放在倒数第三题。但是如果说你没有对结构 有一个合理的估计，直接选择必要线探路，不直接选择公切线探路的话，那么你很有可能就直接的崩溃掉了。因为你可以看一下，这里我们有这个 cos， x， 你 求完导是 cos， 然后你这里有 non x 加 a， 你 求完导是 x 加 a 分 之一， 然后你需要让这一坨式子等于零，然后你求完倒周又有三， x， 又有 x 加 a 等于零，那你整体加起来，你这个弄 x 消不掉，然后你这里三和 cos 还难以转化，你这边还有一个 a 倍的 x 平方，那你显然你连立这个式子，你求倒将非常的复杂，甚至它将直接的无解， 所以说这道题他很明显，他就压根不是让你这么做的，因此我们直接选择用必要性探路，但是在必要性探路之前，你首先需要了解一下他定域情况。 我们先来看一下这个题目里面有一个动 x 加 a， 那 么你想让这个定域存在，是不是需要 x 加 a 大 于零，也就是说我要满足 x 大 于负 a， 而你在这里呢，我们有一个 x 的 取值范围，他说所有的 x 属于零到正无穷，那首先你在零到正无穷要有一个定义域， 因此在这里他有一个设坑，他需要有这个负 a， 他 是要小于等于零。也就是说我的 a 有 一个大前提，他是要大于等于零的。 那么在这个情况下我们再进行讨论，第一个 a 等于零的时候，我们来讨论一下第二个 a 不 等于零，那么你是不是 a 大 于零的情况下，我们就可以把 f 零带进去进行探路了。我们记 f x， 它等于这个 cosine x， 加上 non 的 x 加 a， 减去一个一，再减去 a x 平方，再减一个 x， 我们记这一个它为 f x。 那 么你在这个情况下，我们首先是不是得有这个 f 零，它是要小于等于零，那你这里 f 零往里面一带，它是等于多少呢？它是等于用 a 要小于等于零，那么你这里是不是解出来了 a 属于这个 零到一，因此你把这两个东西合并一下，我们最终就是相当于是要证明所有的 a 属于零到一，然后呢，且 x 属于零到正无穷，有这个 f x， 它是要小于等于零的。 那么最终我是不是就变转换成了一个双变量的横成立问题，把一个原本的要求取值的问题，现在带入特值之后，我们反过来来去证明剩下这一部分是成立，那就可以了。 而这个就是我们今天真正要聊的部分，也就是当你得到了这个值之后，我们该如何的去选择它的后处理部分。 那么这一道题大家就可以稍微来看一下了，你的这个 g x 我 们该怎么对它做出来一个合理的分配， 哦不对 f x 怎么对它做一个合理的分配？那你在这里有两个影响，一个影响是加 a， 一个影响是减 a 的 这个 x 平方， 你究竟该怎么算？我肯定很明显要把它放到最大化，那这里可能就有人跟你讲说，你这个时候需要以 a 为主元，然后在这个基础上我们进行一个销元，来看看 a 在 哪里取到最大值。但这个时候你就可以去试一下，如果我记这个 f x 等于 g a 的 话，我对 a 求到，那有 g p a， 它等于多少呢？有 x 加 a， 然后分之一再减去一个二 a x， 它在这个时候你可以看到它不是一个单调的， 它在这里呢有一个单调递增，然后再单调递减的过程，那你可以对应解出来一个它等于零的时候，你能对应解出来一个 a， 等于我把这个东西往这边乘一下， 反正就是能够解出来一个很复杂的一个式子，那么你再把这个式子带进去，我想他就有点小题大做了，完全就不符合我们原本设想的就是一个第十七题难度。 所以说呢，在这里我给大家一个新的路子，叫做两端放左， 这种东西适用于你放松比较松的情况，就比如你这里，你这里有两个东西，一个东西是 non x 加 a， 这个东西很明显它是单调递增的，然后这儿还有一个负的 a x 平方，这个很明显它关于 a 是 单调递减的， 那么你直接我要把它放到最大值，那我可以不用考虑它非得在取等条件处满足我们直接它放到最大值，那你是不是就是把这个 non x 加 a， 把它变成 non x 加一，因此呢，我就有 non x 加 a 小 于等于 non x 加一，然后又有多少呢？有负的 x ax 平方，它显然是小于等于零的， 那么我直接把它 a 等于零带进去，放松为零。所以说就由 f x， 它小于等于 cosine x 加上零 x 加一，再减一减 x， 那 么这里你是不是就可以分一下组，有 cosine x 减一，它是再加上一个零 x 加一减 x， 你这里这边弄 cos 减一小于零，这边这个弄 x 加一减 x， 它也显然小于零，我们是不是就可以直接证明成立了？ 这里就是我们要说的一件事情。如果说当你选择了这个 a， 然后你发现 a 拆不掉，它的单调性又非常的复杂，中间又是一个凹函数，或者半凹半凸的各种奇奇怪怪的函数的话， 那么你在这里求职，你直接带进去固然可以精度更高，但是你需要对你的题目的难度做考量。如果说你发现这里有一个单调递增的量，有一个单调递减的量，那你不妨把它两个分开来放松，然后来牺牲一些精度，换取我们的可操作性。 上一道婉玉联盟的题目给了我们非常宝贵的思路，告诉我们关于 a 和 x 混合的极其复杂的恒成立问题，如果说它表示成 a 为主元的时候它不单调， 那么我们其实可以考虑通过一些放缩手段，把一个不单调的函数变成一个关于 a 单调的函数。 受此启发呢，我们在这个基础上再引入待定系数，就可以得到一个非常巧妙的结法体系了。这或许就是当年杀穿了几乎所有浙江考生的二零一九年浙江卷压轴的由来。 首先这套题他是非常的经典哈，就第一作为高考真题，第二作为现在有史以来最难最复杂的，在高考卷上出现过的横成例问题。如果说大家想去解决今年的高考第十九题，这道题大家必须要研究透了， 那么首先来看一下这道题。这道题第一问太弱智，没什么好说的，就是把它带进去求一个导，然后就是稍微的因式分解一下，可能复杂一点，但是单调区间还是很好求的。 接下来直接来看第二问。第二问，我们注意到它这里引入了一个二 a 分 之一，又有根号 x， 又有 a， 又有二 a 分 之一， 你就可以来想一件事情，你如果在这个时候选择公切线探路，那么你是不是直接就爆炸了？我想你这个端点刚给我探出来，这个考试他已经交卷了。 所以说呢，在这里我给大家推荐的一个方法就是你直接选择必要线探路带进去就行了。像这里你如果说我直接引一个 a， 就是 如果说你这里弄 a， 他 不等于零， 我直接把这个 a 引进去，你就会得到一个关于 a 的 一元二次方程，并且这个一元二次方程由于有根号的存在，所以说他常常会套出一个根号，下套根号的形式，他就会非常的丑，非常的复杂。 所以说这一道题目，如果说你想让 a 的 解稍微的优雅一些，那么它大概率是把 x 等于一给给带进去的，这个也是我们最开始讲的这个必要性探路的一个源头就是解怎么简单怎么来， 那么在这里我们就把这个 a 就是 f x， x 等于一带进去，那就有 f 一 它是等于根号，二是要小于等于你把一带进去，那就是二 a 分 之一，由此你就可以解出 a 可以 属于零到四分之根号二， 左开右闭区间，这个东西还是非常的简单的，我想绝大多数浙江卷考生在做到这里的时候，就是基本都能得出来这个答案，而你认为得到这个答案就结束了， 那么你就大错特错了，好戏才刚刚开始，最难的是这个带了两个根号，还有弄 x 的 非常复杂的后处理。 首先我们来分情况讨论一下，你在这里我把它移过去，有弄 x， a 倍的弄 x， 再减去一个二倍二 a 分 之根号 x， 然后再加上一个根号下的 x 加一。我首先我来看一看它关于 a 的 单调性究竟是怎么样的，我把它记为一个 g a， 那这个时候你就会发现我这里弄 x， 它如果说 x 大 于一，那么的话你的 a 倍的弄 x， 它是关于 a 是 单调递增的。 x 小 于一，那你的 a 倍的弄 x， 关于 a 是 单调递减的， 而你此时在这一个地方呢，又有一个固定的二 a 分 之根号 x 这个东西，它始终是单调递增的，那么这个时候你是不是就发现了，如果说 a 大 于 e 的 时候， 你这里两个都是单调递增，那我显然我就可以直接放缩令这个 a 等于四分之一来去证明它是成立的。但是如果说 a 小 于一， a 小 于一的时候，一个单调递减，一个单调递增，并且你的 x 趋于零的时候，你这个零 x 跑负无穷去了， 那你显然在这里它是有一个极大之点，或者说极小之点存在的，那么它将会非常非常的复杂。 所以说我们在这里首先要做一件事就是分情况讨论，先把简单的讨论了。第一种情况就是 a 属于一到正无穷的时候， 我们来去讨论它，当然你这里可以直接带一个就是做，就是把一给带进去，因为一带进去你虽然说这也是平的，但是你的这个负的二 a 分 之根号 x 单调递增，你依然可以满足整体上单调递增属性。 那么在这个时候我是不是就有了 g a， 它应该是小于等于 g 的 四分之根号二 代入就有四分之根号二，用 x 加上根号下一加 x， 再减去一个根号下二 x， 就是首先我把它给带进去，但是带进去之后，这个柿子你真的想求导吗？我想绝大多数人都不想求导它，非常的恶心。 你这里既然带了根号，那么我们也尝试着把这个零 x 放缩成根号的柿子，并且由于我不知道这里的精度，所以说我们选择的这个放缩精度越高越好， 因此在这里我给大家一个选择，就是直接放缩成一个根号下的这个 就是他的怕的必竟的形式，就小于等于根号 x， 再减去一个根号 x 分 之一， 而这个放缩式我在前面的这个帕德逼近，哦不是前面，好像是我在后面要讲的帕德逼近中会提供它。在这里是一个式子，源自于 x 大 于一时的零， x 小 于等于 对大于等于一舍小于等于二分之一的 x， 再减去一个 x 分 之一，这个是我们所熟知的一个飘带函数，当时我们的对数均值不等式就是从这里出来的，可见它的精度还是可以的。 而如果说你把它的根号 x 换掉，我们就有，就是把 x 换成根号 x， 那 么就有弄根号 x 小 于等于二分之一的 x， 根号 x 减去根号 x 分 之一， 那么这个东西就等价于零。 x 小 于等于根号 x 减根号 x 分 之一，这个式子是一个精度相当高的关于我们的把零 x 放松成根号 x 的 式子， 那么我接下来就是要证明它加上根号 x， 再减去一个二分之 x， 我 要证明它小于等于零。那你把这个东西稍微整理一下，你会发现你把它一项平方之后，你可以配出来一个平方，它等价于证明 x 平方大于等于 x 平， x 减一的平方大于等于零。 这个就是大家把它把这个 x 和这个根号 x 和根号一加 x， 把它放两边去，然后整理一下，你就可以整理出来这个，这个的话整理就是一个比较简单的步骤， 那么我们是不是就成功证明出来了？一到这个正无穷的时候，我们有确实有这个 f， x 是 小于二， a 分 之根号 x 是 成立的， ok， 这一个东西属于是我们过了第一关，但是不要怕兄弟们，真正难的第二关还在等着我们。我们在这里该如何去考虑在 a 属于， 呃，不是在 x 属于一方分之一到一时它的情况呢？ 这里我们给的一个操作就是常规的操作，大家可以在网上几乎都能查得到，那就是基本上做一个主元法，强行把 a 用 x 表示出来之后， 然后反带进去来求，但是那个求道非常的复杂，非常的恶心，我想绝大多数人其实都是算不下去的，因此在这里我们选择做了一个带定系数法。我们来看一下，你在这里有 a x 就是 有 a 的 这个单调性，有这个 a 分 之一单调性，那你这两个它都已经含有 a 了， 他已经参与到了 a 的 决策里面了，他这个函数关于 a 的 函数，他单先单调递增，再单调递减，有个最大值已经是没有办法改变事实了。所以如果说我们想改变他 a 的 单调性，我们就必须要干一件事，就是我把这里的这个 绝对根号下的 x 加一，把它变成一个，把它放缩成一个与 a 有 关的式子，然后我们来进行证明。所以说在这里我们为了调节单调性，给出了一个比较逆天的操作， 我们把它进行一个反向的基本不等式放缩，我们有根号 x 加一，它是小于等于 四，那么它 a 分 之， x 加一，再加上一个，那么它 a 的。 在这里我们人为的引入了一个那么它 a 的 这个系数， 然后为什么我在这里为了在这下面是引入了 a， 而不是在这上面引入 a 呢？是为了正好和这里的这个二 a 分 之根号 x 的 这下面的 a 正好来配一个齐平，然后从而把这个 a 乘上去给消掉。 而之所以我在这里配，就是配的是关于含 a 的 式子，原因是因为我在这里需要对 a 做一个单调性影响，但我不清楚我配的这个系数究竟多好多少，它是最好的，所以说我引入了一个人为的参数，它是那么它然后来去求解一下。 当然其实在这里如果说大家真的把 a 等于四分之根号二给代进去，然后呢？你其实可以求出来，你想要这个不等式在 x 等于一处成立，那么你应该需要那么它等于二，这个就是通过取等条件进行反推的系数待定。 那么我们把它引进去之后，是不是就有了二倍，它这个式子就有 f f x， 它等于 a 倍的零 x 加上一个根号下 x 加一，它就应该是小于等于 a 倍的 零 x 加上纳曼塔，然后再加上一个四纳曼塔。 a x 加一，我要证明它 这个式子是要小于等于二 a 分 之根号 x 的， 那么你把这个东西稍微整理一下，它就等价于，证明什么呢？等价于证明四，那么它 a 的 平方 on x 加纳曼塔，再加上一个一，再再加一个 x 加一小于等于二纳曼塔更好。 x， 那 么我在这里需要一个代定系数。注意了，在这里我们为了让这个式子正好在一为邻界处，它能成立， 所以说我们需要把这个系数就是带入 x 等于一，然后 a 等于四分之根号二进行配平，那么你就能够配出来一个二分之纳姆塔的平方加上一个二，然后它小于等于 我要的这个二纳米，那它等价于什么？等价于纳米减二的平方小于等于零，这个时候你就会发现非常非常的精确，非常非常巧妙。 我如果说想去配它满足这个式子正好成立，那么你正好有且仅有，那么它等于二这一个情况，它是满足的，而那么它等于二这个情况你把它带进去，我正好在这个 e 的 平方 分之一处，我我这这里正好有这个 non x 加上二，它是等于零的， 也就是说正好在这个地方我能够满足动 x 加二，它是正数，因此我可以把这一个 a 的 平方给放成这个四分之根号二的平方，你就会发现这一切真的是巧合吗？ 这个感觉应该是命题人，他真的想去考察我们地方，就通过代数变形来如何处理我们的这个就是带有极值的不单调的 a 的 式子。 那么当你把这个东西想明白了，这里所有所有的东西，它就非常非常简单了，我们就自然代入之后就有 f x 小 于等于多少，你把拉姆塔代入，那你就是小于等于 a 倍的零 x 加二，再加上一个 八 a 分 之 x 加一，我们要证明它小于等于二 a 分 之 x， 那 你在这里是不是等价于去证明 这个八 a 的 平方 零 x 加二，要再加上一个 x 加一，小于等于 我把二带进去小于等于四倍根号 x， 那 么你这个时候我是不是单调性就是正好单调了，我就可以把这个 a 放缩成这个四分之根号二，那这个时候等价于证明什么呢？四分之根号二，把它一往里面带入，等价于去证明 零。 x 小 于等于四倍，根号 x 再减 x 再减三，这个式子在 x 属于一方分之一到一手成立， 那么这个东西我们得到了，把它往里面进一步去整一下，我记它为 m x 减去四倍，根号 x 减，加上 x 加上一个三， 然后把它求一个导缪撇 x 等于根号 x 分 之一减一的平方，它是大于等于零，也就是缪 x 是 单调递增的，所以我就有缪 x， 它是小于等于缪一 等于零。因此呢，我们这里就可以知道， m x 在 一方分之一到一的这一段，它是小于零的，而你这一段它正好它小于零，就等价于 f x 小 于零。 我们成功就把这个 a 的 单调性，利用我们的这个系数调整法把它放到一边去了， 从而达到了一种消除了 a 的 这个就是他的一个单调性的一个变化导致的影响，极大的化解了他的计算。这个或许就是命题人真正想考察我们的地方。 所以说网上其实我们可以看到现在有很多非常奇奇怪怪的那些核弹力问题，有的非常的复杂，有的细数讨论非常的繁琐， 如果说他出现在高考上，那这个高考考场我估计得炸锅了，大概率他不是真正的高考出题人，他命题的想法， 或许每一个高考题都可以有这样优雅的解法，等待着大家的探索，所以今天大家学会了吗？

如果这道题出现在今年的高考数学，你会用什么方法来解？我是杨老师，点赞收藏加关注，数学不迷路！这是二零二四年新高考一卷的第十三题，一道经典的公切线填空题。 想在导数部分稳拿高分，这种题咱们必须在一分半钟之内拿下。这题最容易让人犯迷糊的地方就是一上来就去设两个切点，然后搞复杂的连力。其实你只要看懂了题目的不对称性，这题就是个纯纯的单向带入。 咱们先来看看题目，已知曲线 y 等于 e 的 x 次方加 x， 在 点零一处的切线也是曲线 y 等于以 e 为底， x 加一的对数，再加 a 的 切线，求参数 a 的 值。 大家注意，这里第一条曲线连切点都直接给你了，说明这条切线是绝对定死的。既然切线已知，咱们的大方向就是直接求出切线方程，再去反推第二条曲线的切点，最后用切点把参数 a 给调出来， 先来搞定第一条曲线的切线。题目给的曲线是 y 等于 e 的 x 次方加 x。 咱们要求切线斜率，第一步肯定是对它求导， y 的 导数等于什么呢？ e 的 x 次方求导还是 e 的 x 次方？ x 求导是一，所以导函数就是 e 的 x 次方加一。 接下来题目说了切点是零一，所以我们把横坐标 x 等于零带入导函数， e 的 零次方是一，一加一等于二，这就得到了切线的斜率是二。 现在斜率是二，又经过点零一，咱们用点斜式写出切线方程， y 减一等于二倍的 x 减零。把减一移到等号右边，整理一下切线方程就是 y 等于二， x 加一。好，切线彻底定死了。接下来咱们看第二条曲线， y 等于以 e 为底， x 加一的对数，再加 a。 很多同学在这里会犯错，非要设切点坐标为 x 零，然后写一长串式子去连立，千万别那么干。你想啊，既然这两条曲线共用同一条切线，那第二条曲线在它自己切点位置的导数值，是不是也必须等于刚才算出来的斜率二？所以咱们直接对第二条曲线求导， 以 e 为底， x 加一的对数求导。根据复合函数求导法则，结果就是分子是一，除以分母 x 加一， 后面的常数 a 求倒就变成零了。这步很关键，我们让这个倒数直接等于切线斜率二。咱们来解一下这个方程，分子是一，除以分母 x 加一等于二，两边取倒数 x 加一就等于二分之一， 再把一移到等号右边，二分之一减一口算，就能得出第二条曲线的切点横坐标。 x 等于负的二分之一，找到了切点的横坐标，那纵坐标怎么求呢？注意这里，这个切点不仅在第二条曲线上，它也一定在那条公切线上。为了避开未知数 a， 咱们把 x 等于负的二分之一代入刚才求出来的切线方程，也就是 y 等于二， x 加一，里头 二乘以负的二分之一等于负一，负一加一正好等于零。你看，数字一出来，思路就全通了，我们得到了第二条曲线的切点坐标，就是负的二分之一和零。那最后一步，咱们把这个完整的切点坐标带回到第二条曲线的方程里去求 a， 把 y 等于零， x 等于负的二分之一，带进去等号左边是零等号，右边是以 e 为底括号里负的二分之一加一的对数，再加上 a， 括号里算一下，负二分之一加一就是二分之一，所以零等于以 e 为底二分之一的对数。加 a， 把对数向移到等号左边， a 就 等于负的以 e 为底二分之一的对数。根据对数的运算法则，负号可以放进真数里，变成倒数二分之一的负一次方就是二，所以化简结果就是以 e 为底二的对数。 所以这道题最终的答案就是以一为底二的对数。咱们来总结一下，以后遇到这种一条曲线的切线，也是另一条曲线切线的问题，只要有一边是全知的，千万别去盲目连立，记住这个判断标准，正向三连击，斜率定 x， 直线定 y， 曲线定 a。 拿已知切线斜率去调出另一个切点的横坐标，拿切线方程调出纵坐标，最后带入含餐曲线，答案一秒就出来。这道题就讲到这里，同学们好好消化一下。

在高考数学中，导数是重点也是难点，但导数中有三部分内容其实还是需要每个同学去掌握的，一个是导数分析单调性导数跟切线相关的问题，还有就是导数中极值点的问题，那么今天我们来讲一下导数中的公切线问题，那我们来看这道例题， 那么现在是要求至少存在一条直线与两条曲线 f x 和 g x 均相切，那么现在是要求至少存在一条直线 f x 里边还有参数 t， 让我们去求一下这个 t 的 取值范围， 那么切线没有给我们求出来，那我们就直接设切点求切线，那么我们这个题怎么去做呢？两个曲线我们分别来设出来两个切点，那么通过切点来求出来切线方程，因为是同一条切线吗？ 所以说我们可以通过两条切线的直线方程里面，比方说我们可以用斜截式来表示，那么它的斜率相等，截距也相等。当然了，你想一想，我们所列出来这两个关系里面肯定是含有两个切点， x 一 x 二以及这个参数 t 的。 但是我们可不可以用两个方程去进行消元，把三元消成二元，得到一个 t 关于其中一个切点的这样一个函数关系，然后再通过这个存在性，然后通过函数关系去求 t 的 一个取值范围呢？ 首先第一步的话，我们就先去分别求出来的，然后曲线的切线方程，因为没有给切点我们，所以说先设切点，我们去设 x 一 y 一 是 f x 的 切点，那么它的切线斜率的话，我们对 f x 应求导是四 x， 那 这样的话，点斜式的话，我们去斜一下它方程， y 减去 y 一， 那么 y 一， 我们用这个 原式做一下替换，是二 x 一 方加上三，然后等于 k 倍的，也就是四 x 一 倍的 x 减去 x 一， 那么我们把这个切线棒成简单做一下整理，去整理成一个斜截式，那么同样的话，对于 g x， 我 们也去设切点是 x 二 y 二，那么它的切线斜率的话，我们的加求导，求导的话是负的 x 分 之 t， 那 么啊，写一下它的切线方程 y 减去 y 减去这个 y 二等于，然后 k k 的 话，也就是负的 x 二分之 t， x 减去 x 二，那么我一样整理成一个斜截式。当我们求完这两条切线之后，因为 比如说那么它是两个曲线的公共的切线，对不对？那么既然是公共的切线，有两条直线是同一条直线，那么第二步的话，我们就可以去建立它们的关系了，就是它们的斜率是相等的，比如四 x 一 是等于 负的 x 二分之 t， 那 么它们的截距应该也是相等的，那么这个方程组的话，我们一看，那么它就还有三个变量， x 一， x 二以及 t 嘛，那么这个题我们是要求 t 的 范围， 那么既然变量我们设了两个 x 一 x 二，所以说这里的话，我们就可以直接去消去其中一个变量，比方说我们一是可以变形成什么 x 一 是不等于负的四 x 二分之 t， 然后我们把这个变形之后的这个 x 一 去代入到第二个式子中， 我们是不是就可以整理出一个关系来了？那么这里的话，我们代入之后，会得到题目里面给了我们 t 不 等于零了，所以说我们左右的话，可以把 t 都约取一个这 t 方，这个 t 和这个 t t 约成一， 然后呢，我们在两边同乘上这个，因为 x 二是第二条曲线的切线， x 二是大于零的，最后两边同乘上这个八 x 二方，我们是不是就可以得到了这个 t 的 一个式子，整理完之后可以得到 t 等于八倍的 x 二方程里边零 x 二去减去一， 那么现在是不就可以去构造函数了？因为 x 二是 g x 上的一个切点，那么 x 二是大于零的， 那这样的话，我们是不是可以把 t 看作是关于 x 二的这样一个变量的一个函数了，那么这个函数的话，我们比如说把它设成这个 h x 吧，那么 h x 我 们把这个 x 二用 x 来代替，就是八 x 方去乘上 lo x 再减去一，那我们就去求一下这个 h x 它的值域，那么它的值域应该就是 t 的 取值范围的，对不对？那么这个函数想要求值域的话，我们还是要对它进行一下求导，那么它的导函数的话，我们整理一下，可以得到是八 x 乘上二倍的 lo x 减去一，减去一的话，那么呃，分析一下，因为 x 是 怎么样的？这里的 x 是 大于零的，那么呃，只要这个括号里面大于零，是不是 h x 就是 单调递增的，那么我们分析 x 括号里面 x 大 于零，我们可以得到，当这个呃 x 大 于根号 e 时，然后这个 h x 它的导函数大于零的，那么 h x 就是 单调递增的，当 x 小 于根号 e 大 于零的时候，那么 h x 的 导函数小于零， 那么 h x 就是 单调递减的，所以 h x 是 一个呃先减后增的，它在这个 根号 e 处是不是取到一个极小值啊？所以 h x 它的一个最小值的话，那么就是在 h 根号 e 处取得，那么把根号 e 代入的话，那么可以求得它的这个最小值是等于负的， 负的四 e 的。 那我们再看一下，当 x 趋于零的时候，也就是说比零大一点，无限接近零的时候，这个 h x 它的一个极限是什么样子的？那么呃， 八 x 方是一个正的，然后零 x 是 一个负无穷，正的乘负无穷，那么整体来说是一个负值，对不对？那么其实我们可以快速的去画下图啊，它在这个根号 e 的 位置，它在根号为 e 的 位置，取的是负四 负四 e， 那 么它是从零到从零到，这个根号 e 是 单调递减的，又只能是一直都是负值，所以说它没法突破 x 轴，也就说它实际上是这样减下来的， 然后在零处这个地方是取不到的。那么我们再看一下这个，呃，也就是说 h x 是 趋于什么？ s x 是 趋于零的，当然是一个负零，那么当 x 趋于正无穷的时候，当 x 趋于正无穷的话，那么我们来看这个 h x 就是 一个无穷乘上无穷， 那么无穷乘上无穷， h x 也是趋于正无穷，它后面这边是可以无限往上走的， 那么这里我们就会看到了，那么 h x 它的取值范围是不也就是啊负四 e， 然后到正无穷，然后因为呃， h x 其实就是 t 嘛，所以说这里 t 的 范围我们也就确定了，但题目里给了 t 不 等于零了，所以说我们要把这个范围的零给去掉，也就是 d 选项。 好的，这就是这条导数中的公切线的这样一道题目，那么同学们点击关注，那么老师会持续输出，高三必耍好题，我们下期见！

好，各位同学，大家好，我是高中数学赵老师，我们今天讲一个题啊，求两条曲线的公切线啊， 好看题。首先有这样一个直线，它说啊，是其中的一条曲线的曲线，也是另外一条曲线的曲线，就相当于是两条曲线的公切线。那么我们不妨接下来给自己画一个示意图啊，简单的画一下，那所谓的公切线就是能够和两条曲线同时 相切的，哎，就是这样的情况，那怎么去做呢？我们可以这样去做，对于第一条曲线的话，我们正常求导啊，正常求导。求导之后呢，我们先设它的点，其中是横坐标是 x 一， 纵坐标是 l 啊， s 一 加二啊，正常求导完了，我们用点斜式就求出它的直线方程，这直线方程最终把它写成 k x 加 b 的 形式。同理，另外一条曲线，我们设成是 s 二，横坐标，纵坐标是 long， 括号 s 二加一。 那么在这里我们也采用同样方式，也是求导求导，因为导出的几何 e 是 斜率，可以用点斜式把它直线表出来，最终呢再把它写成 y 的 k 加 b。 这样的话，其实你会发现，这两条曲线的既然是公接线，他们的是同一条，那相当于是两条 切线的话，他们的 k k 相等和 b b 相等，所以这样的话，你就最终啊可以列出这样个关系，就是 y 一 等于 k 一 x k x 一 和 y 二等于 k s 二，这两条线啊，就是一定是 k， k 是 同一个 k b b 呢，是同一个 k， 这样建立起它们的关系就可以了啊，所以说呢，我们就可以列出它们的 关系，在列关系过程中啊，我们进行预算，预算就可以把其中的 b 算出来，所以说这题呢，就做完了。总结一下啊，这样的话，其实现在是把同一个题啊，做了两次，就是正常求某一条曲线的切线啊，正常设点 完了，这样的话用点斜式，最后再把它变成 k， 还加 b， 就是 斜斜式啊，另外一条线呢，也是一样的，最终呢，保证两者之间 k k 相等， b b 相等，建立起一个关于式，关于式建完之后呢，这里面的待定系数啊， b 呢，就可求了，所以说这题讲了。

hello， 同学们，大家好，今天将给大家讲解导数中的切线问题，那导数的切线问题是高考中的必考题，所以今天我将通过七个题型给大家进行一一解锁。 好， let's go！ 那 第一个题型呢？就是求再点的切线方程及参数问题，这也是最简单的一类，我们看题已知曲线这些在 x 等于一处的切线与直线，它垂直， 那也就是说翻译过来的语言就是， y 的 导数等于 x 分 之一，加上 e 的 x 的 方，那在一处的斜率 与这个函数成相成的负一，好，那所以在一处的导数等于一加上 e， 这就是 k， 对吧？好，那 x 减 a， y 等于零，它的斜率 k 等于负， b 分 之， a 等于 a 分 之一，对吧？所以那 k 一 就等于 f， 那 有负， a 等于一加一，所以 a 等于负，一减一选 c。 好，这是最简单的题，通过导数在一处的切线，也就是斜率，那我们看题型二，求过点的切线方程和函数问题， 那也就是说这个点不一定在曲线上，那么这个难度就稍微的加大了。那么看这个题，过点一、四切与曲线它相切的直线方程是？ 那通常的解法是，第一步，设切点， 设切点，那设切点 p 可以 是 x 零， y 零，对不对？所以有 y 零是不等于 x 零的立方加 x 零加二，对不对？ 那又由于 f x 的 导数等于 k 等于三， x 方加一，所以 f 零 x 零的导数是不等于三， x 零的平方加一，这也就是 k， 对吧？所以切线我们就可以写出来， y 减 y 零等于 k 倍的 x 减 x 零， x 减 x 零，对吧？所以 y 减去 x 零的立方，加上 x 零 加二， y 减 y 零等于 k， 也就是三 x 零的平方加一乘以 x 减 x 零， 对吧？往右，因为是不过一四点，对不对？所以往这个里一带由，是不是四减去 x 零的那一方加 x 零，加二 等于三 x 零的平方加一乘以一减 x 零，那这里头就值含 x 零的 三次函数，我们需要减 x 零，对吧？好，我们看，我们化减一下，那么这侧啊，大家看这侧，这侧 把它打开，对吧？它是不是就等于三 x 零的平方减三 x 零的三次方加一减 x 零， 对不对？哎，所以把挪一下，挪一下，那么，呃，四和一这样变成了 三，是不是？三减 x 零的立方减 x 零，加二是不等于三 x 零的平方减三 x 零的立方减 x 零，对不对？ 好，我们继续看这个式子啊，这个是减，对不对啊？这是减，嗯，好，那三减二就变成了一减 x 零的立方，减 x 零 是不等于三 x 零的平方，减三 x 零的立方减 x 零，对不对？所以大家看，那么这里 x 零就没了， 对吧？那都移到左侧来，我们可以看变成了二 x 零的立方，对不对？哎，这是负三 x 零减四零，二 x 的 立方 是不是减三 x 零的平方加一等于零，对不对？那求这个如何求，对吧？那转化成求这个里的 x 零等于什么？好，我把这面擦掉， 我们继续看。那么咱次函数求根的一个比较常见的解法啊，第一步啊，需要设根， 那我们可以通过观察，是不？ x 零等于一的时候，合适是可以的，那一减三加一是得零的，所以可以变行为， x 减一 乘以一个式子，它等于二 x 零的立方减三 x 零的平方加一。 可以这么理解，所以这一堆我们就需要用到消除啊，不知道各位同学们会不会？这是必须要会的。好，我们用红笔写，是不是？二 x 零的立方减三， x 零的平方加一 是不除以 x 零减一，对不对？好，我们我们看，那么怎么除呢？跟正常除法是一样的，那这块是不是需要上一个二 x 零的平方，那么相乘是不？二 x 零的立方 减二， x 零的平方，那上下减是不变成了呃， 负 x 零的平方加一，对不对？我们继续加，加，加上一个是不得？呃，乘以一个负的负 x 零，所以变成减 x 零，那么继续乘，那变成了谁呢？说变成了 负 x 零的平方加 x 零，对不对？哎，我们再继续减，变成了一减 x 零，对不对？那再上个几，是不是上个负一就可以了？是不是除开了， 所以这一堆的这个，所以这个式子变成了 x 零减一乘以二， x 零的平方减 x 零减一等于零，对不对？那么这个用十字相乘啊，这个用十字相乘是不二 x 零 乘以 x 零，这边是一和负一，所以我们可以直接写，是不是 x 零减一乘以二， x 零加一乘以 x 零减一等于零，所以啊，这是平方，是不是？所以 x 零等于一或 x 零等于三分之一， 对不对？哎，所以是两个减，一个是 x 零的一，一个还是 x 零负二分之一，所以得出 k 等于 f x 零的导数是不等于三 x 零的平方加一 啊，所以 k 一 是不等于 x 零的一的时候是不得四 k 二等于 x 零的负二分之一的时候，是不是？那就是 三乘以四分之一加一等于四分之三，加四等于四分之七，是不是？所以一个的四，一个的四分之七一定是两条曲线，那我们看 k 是不等于负 b 分 之 a， 是 不是？所以一个是四， x 减 y 等于零是可以的，同时负 b 分 之 a 等于四分之七，需要是七 x 减四， y 加九等于零，对不对？所以这题选 c 项好，我们继续 来利用切线求距离的最值问题，我们看函数 y 等于 log x 图像上的点到它距离的最小值，那肯定还是切线问题，对不对？ 那我们知道 line x 的 图像肯定是这样的，对不对？ y 等于 x 是 这样的，那最最小值肯定是与它进行平行，并且与它相切，对不对？那我们需要求这个切点，那切点怎么求呢？ 我们知道 k 是 不等于 x 分 之一，对吧？它需要等于一，所以 x 等于 一，是不是？所以这个焦点的横坐标是一，那纵坐标呢？那就是 lo 一 等于零，所以焦点 p 是 一零啊，就是这个点对不对？所以这个点一零到 y 等于 x， 距离是多少呢？按照距离公式，是不是他可以写成 x 减 y 等于零，所以 d 是 不等于根号下一加一分之一绝对值是不等于二分之二。来选 a。 好，我们继续求一个切点的公切线及参数问题，那也就意味着若这个函数与这个函数存在，在公共点处存在公共的切线， a 等于多少？那么用图来表示，其实就是我们画这样一个函数，画这样一个函数，那肯定在这个这块存在一个公共的切线，对吧？那么设这个切点为 p x 零 y 零， 那有如下三个恒等式成立，那么第一个式子呢？是这个 p 点既在 y 零等于 ax 零方上，是不是也在 y 零等于零 x 零加一上？ 同时是不是切点的斜率相等？也就是说 a 二 ax 零是不应该等于 x 零的 分之一，对不对？那这个就是 a x 方的导数，这个就是绕 x 加一的导数，对吧？那由这三个式子大家看，自变变量有 ax 零 y， 那 么就可以求 a 了。 那么求一下，那由三式我们可以得出是不二？ ax 零的平方等于一，是不是？ 那由一式和二式我们可以得出是不是 a x 零的平方是不等于零 x 零加一，对不对？那因为二 a x 零等于一，是不是 a x 零的平方是不等于二分之一， 对不对？所以往这里一带就变成了二分之一等于零 x 零加一，所以零 x 零是不等于负二分之一 x 零 零是不等于 e 的 负二分之一次方，对吧？ 所以 a 等于。根据这个式子， a 等于二 x 零方分之一，是不是？是不等于二？乘以 e 的 负一次方分之一， 是吧？等于二分之一，对不对？哎，二分之一，好，这是这个题， 那么继续加大难度，有两个切点的公切线及参数问题。若直线他是曲线，他和他的公切线，也就意味着如果用函数图像来表示的话，一个图像这样，一个图像是或这样， 那这个切线是这样，所以有两个节点，那这个切线 y 等于 k x 加一，对不对？这个曲线可以认为是 y 等于 line x 加一，这个曲线可以认为是 y 等于 a e 的 x 加一。 那大家看，先看，你看这里， k 是 未知数， a 是 未知数，让你求 a， 那 通过这个直线与曲线它进行求解，我们可以得出 k， 对 吧？那通过这个直线与这个曲线 先连立，我们就可以求出 a， 所以 第一步我目标是求 k， 对 吧？那么求 k， 我 们认为直线他与是曲线他的切线，对不对？所以我们设切点 p x 零 y 零，所以有，是不是 y 零等于零， x 零加一。同时 k 是 不等于 x 零分之一，所以曲线是 y 减 y 零等于 k 倍的 x 减 x 零，对不对？我们继续向下写，是不是 y 减去零， x 零加一，括号 等于 k， x 零倍的 x 减 x 零，对不对？我们继续进行推导，是不是 y 等于 x 零分之 x 减一，加上 log x 零 加一，那是不等于 x 零分之 x 加 line x 零，对吧？你看这个是不？我们求出式的是个这个，这个切线是不同样，也和 y 等于 k， x 加一是一样的， 对不对？所以有，是不是 x 零分之一等于 k 有零， x 零是不等于一，对不对？所以有 k 等于一分之一，对吧？那么 k 就 求出来了，那么 k 求出来了，所以 y 等于一分之一， x 加一。 哎，这个是重点，这个求出来了，对不对？那么接下来这个是不是也是 y 等于 a 的 e 的 x 的 方加一的切线，所以它与它进行连立，我们就可以 求 a 了，对不对？好，就是这个思路，我们继续，我们把这擦掉， 好，我们在这写，也就是说 y 等于 e 的 二分之一， x 加一，是不是 y 等于 a， e 的 x 方加一的切线呢？对不对？ 好，我们继续设切点， q 是 不可以设为 x 零 y 零，那么有 y 零是不是等于 a e 的 x 零次方加一，同时 k 是 不等于 它的导数，对不对？就是 a e 的 x 零次方，所以直接写切线 y 减 y 零， a e 的 x 零次方加一等于 k 被的 a 乘以 e 的 x 零次方， x 是 不是减 x 零， 对不对？那我们继续整理，是不？它等价于 y 等于是不？ a e 的 x 零次方乘以 x， 明白吧？是不是减去 a x a x 零乘以 e 的 x 零次方，是不是加上 a e x 零加一，对不对？那他和谁应该相等？哎，是不是和这里应该相等， 对吧？他俩是等价的，所以有啊，所以有，你看后边这是不是？这是 a e x 零是不应该等于一分之一，对不对？这第一个式子对吧？同时这一堆 是不应该等于一，对不对？所以有 a e 的 x 零减去 a e 的 x 零 乘以 x 零是不等于零，对不对？提出来， a e 的 x 零乘以一减 x 零是不等于零，所以 x 零得几等于一，是不是，对吧？往这里带， 所以 a e 等于一分之一， a 是 不等于一方分之一？选 b 项对不对？好，这个题我们解完了， 继续看题六、切线的条数问题。那切线的条数问题的本质就是让你求切点的 x 里有几个的问题， 对不对啊？看，我们看已知 f x 对， 对 j x 对， 对的，它的公切线有几条，对不对？就是求那个切点 x 零有几个吧，对不对？几个？ 哎，等价于这个，那我们继续求，那我们看已知他和他，那我们可以 随便画一个，对不对？他他公切线有几条，我们随便先设一个，那么设这点 p m n 对 不对？这点 q 可以 设为 ab， 对 不对？所以由这个 m， n 和 ab， 我 们就可以列出如下的式子。 好，首先，是不是假设这条线是 f x 等于 e 的 x 减一，这个线呢？是 g x 等于零， x 加一，所以由这组 我们可以得出结论，是不是 n 等于 e 的 m 次方减一，对不对？这个切点 在这个切线上对不对？这是一个。同时呢，是不是也可以得出这条切线，也就是 k 是 不等于 e 的 m 次方，对吧？所以 y 减 e 的 m 次方减一，这是 y 减 y 零，是不是等于 k 倍的是 x 减 m， 对不对？这是第一条切线，我们整理一下啊，是不 y 等于 e 的 m 次方， x 是 不减去 m， e 的 m 次方 加上 e 的 m 次方减一，对不对？我们得出这条切线了，同样，对于下边这组，我们也可以继续求啊。好，是不是 b 等于零， a 加一，是不是同时 k 多少？ 哎，差多了，好，继续。同时 k 是 不等于 x 分 之一， x 的 a 就是 a 分 之一，对不对？所以写是不是 y 减 y 零 y 零，是不是零 a 加一等于 k 倍的 x 减 x 零 a， 所以 整理得，是不是 y 等于 a 分 之一， x 加上零， a 加一再减一，是不等于 a 分 之一， x 加上零 a， 对 不对？所以这个是第一个，这个是第二个， 那这两个切线是不应该相同，对吧？这两个切线应该相同，所以有以下结论，是不是 k 相同， b 也相同，对不对？所以 e 的 m 次方是不等于 a 分 之一啊？就这块是不等于这块， 对不对？哎，同时 b 也相同，是不是负 m， e 的 m 次方加上 e 的 m 次方减一，对不对？它是不是等于绕 a 对不对？它是不是能得出结论？ a 等于 e 的 负 m 次方。往这里一带，你看负 m 乘以 e 的 m 次方，加上 e 的 m 次方减一， 是不是等于负 m， 对 不对？所以这边提出来， e 的 m 次方一减 m 是 不等于一减 m， 对 不对？我们再往下求，把一减 m 提出来，是不是 e 的 m 次方减一等于零，所以 m 一 等于一， m 二等于零， 对吧？两条对答案是 c， 找出两个 m 就是 这这个切点是有两条的，是有两个的，这一个切点，这一个切点在这一条线，一条线，一条线在这， 对不对？哎，这就是切线条数问题转化为求切点个数问题。 我们继续来切线中的新定义问题。 让我们看这个题。已知 f x 是 定义在 r 上的函数，它的图像上任意点处的切线方程为。这一堆看似挺复杂，看见了吧？ 来。那么函数 y 等于 f x 单调减区间，我们把它翻译成 f x 的 导是不是小于零的解集？ 那 f x 的 导是谁呢？能告诉你图像上任意点 p 出的切线是它切线的斜率是不是？ k？ 是 不是？它等于 f x 的 导数？好，需要转变过来，也就意味着 x 零的平方减， x 零减二需要小于零， 对不对？求它的解集，求 x 零的范围对不对？那这就非常好求了，那我们依依旧实相乘是 x 零， x 零是不是？哎？ 负二和一就行，所以 x 零减二乘以 x 零加一，是不是？所以一个 x 零是二点， x 零是负一开口向上对不对？所以 单调减去减式负一的二对不对？所以选 b 项？好，本节课就讲到这了，我们下节课见。