西工大13模数学立体几何

携修立体几何第一天两分钟时间带你速通高考立体几何常见大题题型高考数学立体几何常见大题题型首先我们先来看 线与线的关系。线线关系无非只有三种，第一种是垂直，第二种是平行，第三种是求夹角。一般这种夹角大小计算出来的结果是三十度、六十度、四十五度居多。来，我们先来看垂直关系里， a 向量乘 b 向量等于零，这个我不多说。第二点，平行里 a 向量等于 n 大 倍的 b 向量，当 n 大 大于零时，两个向量的方向是相同的。当 n 大 小于零时，两条向量的方向是相反的。 ok， 接下来我们再来看假角。假角公式是我们在向量里最常用的一条公式，也就是 a 向量乘以 b 向量除以 a 向量的模乘以 b 向量的模为 cosine theta。 切记，这里的角度是两条向量的 尾部所形成的夹角，而不是头部所形成的夹角。 ok， 来，我们接着来看线与面的关系。线面关系先来看线面垂直，当一条线段垂直于该平面上的两条相交线时，切记，两条线段要 相交。如果说不相交的两条线，平行的两条线是不能成立的。 ok， 来，线面平行这里我们第一步先做平面的法向量，当线面平行时，法向量此时应该是这样竖直往上的。 ok， 然后 我们如果能够正到该线段与法向量这里是垂直的，而法向量与本身的平面是垂直，两个垂直，咱们是不是直接能够得到线面的一个平行关系？ ok， 最后再来看线面夹角。线面夹角这里我们需要着重画图 来，此时线面夹角的夹角是不是这个角度，而我们第一步先做平面的发线量，那此时这个线段 与平面的发线量所形成的夹角是不是我们可以用这个 cosine 叠塔公式所求到那角一的角度大小我们就很容易求到了。而这里我们因为提前做了一个发线量，所以这就构成了一个直角三角形中角一与角二的 和为九十度，那么塞引角一就等于 cosine 角二， cosine 角二就等于 cosine 角一。能明白， ok， 这节课我们先讲了线与线的关系和线与面的关系，那么面面的关系以及存在性问题。

hello， 同学们，大家好，我是阿荣老师，今天我们一起来学习的是小学数学当中 几何模块当中的燕尾模型，看看叮当老师今天带着你怎么去解这一类的题目，那么关于几何模块这个知识点，其他的模型还有很多，如果有想一起学习的，欢迎给老师留言。 哈喽，大家好，我是月色叮当老师，我们又见面了，那么今天呢，带给大家的是公大附小六年级爱课后作业的一道专题，是关于一道几何体的几何模型。好，那我们一起来看一下吧！ 偷偷告诉大家，据说这道题啊，难倒了中大百分之八十的同学哎，所以屏幕前的你一定要抓紧时间学起来哦！好，那我们来看一下题目，他说，如图， ab 等于二十厘米。好，那图中 ab 等于二十厘米。 继续， bc 等于十二， bc 等于十二。好， e 是 ab 的 中点哦，点 e 平分了线段 ab。 哎，那紧接着我就知，结合前面的条件我是不就知道了， a， e 等于十， b， e 也等于十，对不对？ 好，继续， f 是 bc 的 中间， f 是 bc 的 中间。哦，那这一段是十二，那 b， f 就是 六， c， f 呢？也是六。好，那又告诉我了，说角 b 等于九十度哦，这是个直角。 好，那我阴影部分的面积是多少？好，那很多同学看到这道题目，你看到阴影面积是一个不规则的四边形，他肯定想，老师，那就用割补法，那你想一想，你把这个四边形能够分割成一个什么样的图形呢？ 啊？你分割完以后，你是否能顺利的求出这两个的面积呢？好，那如果用补呢？那你看看怎么补？哎，好像都没有办法，对不对啊？那你来看一下，你看看这两个三角形，你有没有想到我们学习过的某一个几何模型？ 好，现在大脑开始想啊，我学过，都学过哪些模型？想一想。好，那如果还不清楚的话，我再给大家提示一下，你是否能从这道题目当中看到我们学习过的燕尾模型呢？ 哎，有些同学已经想到了，得增加辅助线，哎，那有些同学还是没有思路。好，那我们跟着老师一起来看一下吧。 那首先我想运用到燕尾模型，我必须把这些放在一个三角形里面，对不对？好，那想要把它构造成一个三角形，我只能是连接 a c。 好，连接 a c， 把它放到了一个三角形里面。好，那你现在看这个页尾模型，好像还缺一个辅助线啊。哎，有同学已经想到了，说，老师连接 d b， 哎，连接 d b， 哎，那你来看我，这样连完以后，你有没有发现燕尾模型啊？好，那有些同学他可能忘记了什么是燕尾模型，我给大家分析一下，燕尾模型是不是指的是在一个三角形里面？哎， 这样画下来，好，这是 s 一， 这是 s 二。好，那这两个有什么面积有什么关系呢？是不是 s 一 的面积比上 s 二的面积就等于， 哎，标一个数字就等于什么？ a a b 比 b c， 哎，这就是我们的验尾模型吧。好，这个公式，这个结论，请大家记住啊， 如果这个结论你想要推导，哎，那你不知道如何推导的，那你可以私信问老师啊。好，剩下同学把这个结论记住。好，那我们带着这个页尾模型回到这道题里面，我们来看一下，哎，长得有点像吧。好，那你现在看，这样看下来， 好，那我可以，是不是可以看作三角形 c a 的 是不是 s 一， 对不对？ 三角形 c 的 b， 这是不是 s 二，对不对？哎，那么 s 一 比 s 二就等于 a e 比 e b， 哎，也就是十比十，一比一，那也就是它们两个面积是相等的，对不对？ 好，哎，那也就说 s 三角形 c a d 应该等于三角形 c a d， 对 不对？ 好，那老他那同学不可能说，那老师就算得出来相等又能怎么样呢？哎，那你想想嘛，你再看这边 s 二那个三角形，它是不是被分成了上面的一个空白的和下面一个阴影的？ 好，那你想想这两个三角形有什么样的关系啊？哎，他们俩是不是分别有一条底是 c f 和 b f， 况且这两个底还相等。哎，那是不是等底同高？哎， 哎，这是他们的高，是不是？是不是本底同高？哎，那么证明这两个三角形的面积应该是相同的，对不对？好，那我现在，我现在能不能把它们这个面积，虽然具体的 面积我不知道。哎，那我能不能把它的面积设为一个分数呢？好，我设为一个分数。 好，我把这个面积设为一份。那下面灰色的这个小三角形的面积是不是也是一份？那它们俩加起来是不是两份？哎，那刚刚利用燕尾模型，我是不是说三角形 c a d 它的面积跟旁边这两个一样？哎，那它就应该就是两份，对不对？好，那继续来看。好，那才涉及到下面两个。哎，你能不能再看一下还有没有燕尾模型呢？ 哎，已经有眼尖的同学们看到了啊，说，哎，老师，你把它调过来，哎，你让 a 朝上这样去看， 哎，那你看这里是不是三角形 a 的 b 和三角形 a 的 c 这两个三角形是不是也符合燕尾模型啊？哎，所以，三角形 a 的 b 和三角形 a 的 c， 它们俩的面积是不应该也是一样的？ 哦，那 a 得 c 是 两份，下面也得是两份，哎，那眼睛的同学又发现了，说，老师，这两下面这个空白和阴影不也是一个等底同高的三角形吗？哎，他俩的面积是不是也相同？ 那他俩加起来是两份，他俩是不是应该各自就是一份，对不对？哎，那你现在看一下，我把这个这个 扩大了，三角形 a、 b、 c， 我 是不是已经把它的每一部分的分数都标出来了？好，哎，又加上角 b 是 一个直角，那我是不是可以用底乘高算出它的面积？ 它的面积是这么多份，求出一份的量，哎，阴影部分是不是就求出来了？哎，能不能理解？好，那我们继续算完吧。好，那三角形 a、 b、 c 的 面积怎么求啊？ 底乘高底是二十，乘上我的高是十二，哎，等于二百四十，没问题吧？好，这一共是几分？哎，一共是 六份，哎，六份二百四十，那一份是不是二百四十除以六等于四十？哎，也就说一份的面积就代表的是四十平方厘米，哎，单位加上， 好，那现在让我求阴影部分，阴影部分是不是刚好是两份？那是不是就用二乘四十就等于八十？哎， 平方厘米，哎，是不就做出来了？哎，所以，同学们，你们看，这道题主要是不是就考了一个我们的验美模型啊，哎，所以，哎，之前老师在朋友圈里发到过，哎，小学奥数里面的几大这个 立体几何的这个几何模型，大家一定要把它记忆下来啊，如果还有哪种模型你想要推倒你不太理解的，那你都可以来私信问老师。哎，老师在之后的题目当中呢，也会间接的穿插着一些咱们这种模型题目好不好？ 哎，知道这个结论，那这道题是不是就是小 case 对 不对？哎，直接把分拿上。 ok， 好 的，那屏幕前的你学会了吗？如果你已经学会了，那你可就是在这道题目上打败了公大百分之八十的小学生哦。 ok， 好 的，那我们下期继续来看公大附小六年级的正题吧，我们下期再见。拜拜。

公大十三模英语考完了，很多孩子说难哭了，但梅老师告诉你，这套卷子难度适中，考点全面，是高考前最好的一次练兵。 为什么这么说？听力考的是日常交际，不是偏题怪题。阅读考的是科技类文章，这正是高考的热门方向。完形填空考的是词汇辨析，不是死记硬背 读后续写，考的是伏笔呼应，这才是真正的写作能力。最后这几十天怎么用好这套卷子？第一，听力，每天精听十五分钟，重点练多任务场景对话，建立速记体系。 第二，阅读，科技类文章，先读题目，定位关键词，精读相关信息，每篇限时八分钟。第三，完形积累高频词汇辨析，重点掌握动词短语，先通读全文，再出题作答。 第四，写作，读够去写，要呼应前文伏笔练习情绪描写词汇库。需要这份试卷练习的家长暗号十三，我发给你。

共大气摩小鸭肉，很明显的一个四点共圆的一个转化问题，我们来看题，告诉句型当中，这里是六，这里是八，同时 b d 马上就出来了六八十，告诉我们 p 点是对角线 b d 上的动点，同时 q 点也是 a d 上的动点，俩都在动， 但是动的过程当中呢，有要求想要让 p q b 这个角加 b c， p 加这个角是等于一百八十度的，哎，眼尖的同学们马上发现了什么，这四个很明显处在同一个四边形当中， 这叫对角互补模型，说明这个条件想要告诉我们 q p c b 四点共圆，那我们马上要去想四点共圆对角互补， a b c 是 九十度，那它的对角 q p c 哎，一定也是九十度，而它们所公共对的 q c 这条弦就一定是直径。 看问题，想要让我们去求 p q 两动点连线的最小值，那我肯定得需要去转化一下呀。而在四点共圆里边，最经常用到的就是同弧所对圆周角相等， 而我们肯定希望在动的里边去找定的，你去找找在这个圆里面哪里是定的，很明显，这里这两个角的三角函数值为定值，都是三四五的关系，那说明这两个角为定角，而同弧所对圆中角相等，你看把这个叉角是不是就转化到这里了？ 那这刚刚好还能放到 c p q 这个直角三角形当中，那不也就是三四五的关系吗？好，那顺理成章的，我们是不是该设 三 x、 四 x、 五 x， 而我要去求三 x 最小值，那不就求五 x 或者四 x 的 最小值，也就是求 q c 或者 pc 的 最小值吗？而 q 点在这上边去跑，你 c q 什么时候最小？那必然是和 b 重合的时候最小，那也就是说 q c 最小值等于 b c， 哎，等于六 五 x 是 六，那么 e x 就是 五分之六，而我们要求的是三倍的，那不就是五分之十八吗？好了，一个四点共圆，主要是同学们能看得到这个同角三角函数的一个转化。

教大家五模小压轴一个很经典的定角定基的转化问题。那在这之前，我们先来复习一下模型，什么叫定角定基？线生圆的一个模型告诉我们， p 点在 l 这条线上跑， 而 a 点是个定点，连接 ap 之后，平面上连接 a q， 使得 q ap 这个加角是个定角。哎，会出现这么一个定角，同时还得保证 a q 乘以 ap 长度之积为定值。这种情况下，哎，我们把它叫现生元，或者叫定角定积的一个转化。 那这种问题怎么去处理呢？有的同学说好像有点像刮豆原理，那我们不妨以刮豆原理那个方法去推它。那我得找到 p 点运动到 l 上什么特殊的位置，然后同时得保证这两个要求的前提条件下，找到 q 点的位置，进而找到 q 点轨迹。你看看 p 点什么位置特殊，当然是当 a p 一 垂直于 l 的 时候特殊。我得让他俩的家长又是一个 r 法， 同时保证 a q 一 乘以 a p 一 乘积也是等于这个 k 的。 如果说咱们连接 q q 一， 连接 pp 一， 你看本身这两个乘积是定值，那么它两个乘积相等，而乘积相等，我又可以把它转化为比例的形式， 因为你会看一下， a p 比 a q 一 等于 a p 一 比 a q。 哎，那是不是就意味着这么有一个手拉手的相似？ 好，既然有相似，那么对应角应该相等。 p 的 对应角在 q， 说明 q 点不管怎么跑，这一定是九十度。那有九十度你想到了啥呀？ a p 一 是固定的，那 a q 一 肯定也长度固定，定长 定角。哎，它 q 点的轨迹是不是这么一个以 a q e 为直径的一个圆，那模型搞清楚之后，我们再来看一下这次这个考试题，说 c 点在射线 b、 e 上跑，那 c 是 个动点，同时 ab 垂直 bc， ac 还垂直 a d， a、 b 等于四，哎，告诉这里有一个这个条件， a、 c、 d 的 面积，这个三角形、直角三角形的面积是等于四，那不就意味着 a、 c 乘以 a、 d 是 等于八的吗？你看这是不是就符合定角定积的这么一个要求？咱把结论往上套就可以了。那既然 c 点在这跑，什么时候特殊呢？当然是让 c 跑到了 b 的 这个位置的时候最特殊了。 而我这个时候要找对应的地点，应该怎么找呢？你得保证他们有这个要求，首先加角是直角，其次它乘积得需要是八，那你做出来的 a、 d 一 一定是垂直于 a、 b 的， 并且 a、 d 的 长度还等于二的。 然后再接着下来下一个什么东西叫手拉手的相似，我们连接第一 d， 哎，你会发现 a、 d、 d 一 和这里的 abc 一定是相似的，那么相似的话，这里是直角，那说明这里也应该是直角，你看出来了没？ a、 d 一 等于二，而这里是直角， 说明地点是不是一定在以 a、 d 一 为直径的这么一个圆上面跑？而我们目标是要去求 b、 d 的 最大值，那必然是什么呀？肯定是穿心线连接 b、 o 并延长的时候，那这个位置应该是我们要求的第二的位置， 这应该是最大值。而长度怎么求呢？我们说永远不去管上边这个长度，因为这个永远都是半径等于一，我们只去管这个点到圆心的距离就可以了，你看这不是勾股定力吗？那这是半径，这是一 一四，根号十七，这里再加上一，所以这个答案应该是根号十七加一。

双动点最值问题一直是初中几何线段最直理、难度最大、失分率最高的一类题型， 很多同学一碰到两个点都在动，立刻就没思路，算半天也找不到突破口。但你有没有发现，只要其中一个动点是某条线段的终点，整道题的解析逻辑瞬间就有固定规律，难度直接降一半！ 今天我就用西工大附中八年级期中填空压轴题，带你一套通用解法，彻底搞定双动点加中点最值问题，以后遇到同类题，一眼就能找到解析方向。 正方形 a b c， d 中 ab 等于六点， e 是 线段 ab 上一点，且角 a， d e 等于二十二点五度。点 f 是 线段 a d 上的动点，点 m 是 d e 上的动点，且 f m 垂直， d e 连接 c f。 点 n 为 c f 的 中点，连接 m n， 求 m n 的 最小值。通过题目条件我们能知道，正方形 abcd 和点 e 都是固定的线段， f m 在 垂直 d e 的 方向上运动， 点 n 是 c f 的 中点，随着点 f 的 运动而运动。问题中的点 m 和点 n 都是动点。这类题目的解析思路也很固定。第一步，构造以 m n 为中位线的三角形， 也就是延长 f m 到点 g， 使得 f m 等于 g， m 连接 c g 则在三角形 c f g 中， m n 是 中位线，长度等于二分之一 c g 问题可转化成求 c g 的 最小值。点 c 固定。我们只需要结合题目条件求点 g 的 运动轨迹即可。结合 f m 垂直 d e， f m 等于 g， m 得 d， e 是 f g 的 垂直平分线，则有角 a， d e 等于角 g， d e 等于二十二点五度，则角 a， d g 就 等于四十五度 得到点 g 的 运动轨迹，是正方形对角线 b d 上的一段 c g 最值就是点线最值。当 c g 垂直 d g 时取得最小值。 在三角形 c d g 中可求得 c g 最小值为三倍，根号二，所以 m n 的 最小值为二分之三倍，根号二。

西公大五魔小鸭种，好题请看！哈喽啊，咱们给大家分享一下二六年西公大五魔的小鸭种， 看看填空的三分好难不？题目呢，还行，看一下。上来给了，这是直角，这是直角，那马上这叫什么？对角互补，对角互补则说明四点共圆。也就是说我们可以证明这个 abcd 是 在同一个圆上的， 而且由于角 b 和角 d 呢是九十度，说明什么呢？说明我们的 a、 c 就是 直径，所以找到 a、 c， 取它的中点为 o 的 话，则 o 就是 圆心。 然后题目还给了个，这是四十五度，这是四十五度，有什么用呢？你一旦把圆画出来的话，那它其实我们可以说是圆周角，是四十五度。圆周角四十五度，是不是很容易证明？我连接 d、 o， 连接 b、 o， 则这是九十度的圆心角， 对吧？那比如说，假设半径是 r， 这个就是 r， 这四个都是 r， 他 要问的是谁？ b、 d、 b、 d 是 谁？因为你有九十度的圆心角，它其实是一比一，比根号二，所以 b、 d 呢是根号二，对的啊， 如此，他说当这个 c、 m、 s 的 面积最大值是十六倍根号二的时候，请问这个 b、 d 的 长是多少，也就是 r 是 多少， 则 b、 d 就 成了。可以这么说吧，可以这么理解吧，对吧？好，那么面积怎么才能求最大呢？一个不规则的四边形，请问怎么求面积？也没有什么好方法，就是割补法， 对吧？那因为我们连接了 a、 c， 所以 我们不如呢，把它割成 a、 c、 b 和 a、 c、 d 这样的两个三角形，可以吧？我在下面重新画个图啊，也就是说我们以 a、 c 为边，把它割成上下的两个三角形，则 上面这是高，这个极为 h 一，下面这个三角形是不是要在这做个高，这个极为 h 二， 对吧？所以我们说 s 四边形的面积就应该等于二分之一的 a c 乘以 h 一， 再加上二分之一的 a c 乘以 h 二，大家都有个二分之一的 a c 给它提出来，也就是 h 一 加 h 二， 对吧？那么问什么数字呢？ 这个 h 它其实与我们的这个 b d 呢？是有关系的，比如说 h 一， 我可以说它是上面这个 size 当中这个角的假设，这个角是 set 了这个角的对边 这个交点，比如说基元是 e 点的话，我是不是可以再次去转化一下 h 一， 我是不是可以转化？为什么呢？ t e 乘以 sign set， 然后呢？ h 二是不是同理？那它的对顶角也是 c， 它 h 二是不是可以表示为 b e 乘以三以 c， 对 吧？哎，这一来大家又都有个三以 c， 把三以 c 提出去，所以 这个式子是不是变成二分之一的 a c 乘以 sin sin theta， 再乘以 d， e 加 b， 而 d e 加 b， 谁不就是 b d 吗？不就是 b d 吗？对吧？哎，好，再来， a c 是 我们的直径，直径是二 r， b g 是 我们刚推出的根号二 r， 那 是不是整个式子抵消完就是根号二倍的 r 方乘以三，以及它 可以这么说吗？好，好，那么现在想要整个式子有最值，有最大值的话，其实是什么时候呢？是三以 c 取到最大的时候， 而这个 c 叉角，你说什么数最大，也就是这个高是不是最大？当高和斜边相等的时候最大， 能理解吗？对吧？你这个高肯定是大于等于呃， b、 d 的， 或者说这个三个 c 叉的话，可能还还涉及到要给你讲个三个 c 的 范围这个问题，我们干脆再简化一些我干脆再简化一些。我从这儿开始说， 我是不是可以说 h 一 就是我们的高，它是小于等于，我在中间加一步啊？我怕讲 c， 它的话很多底子弱的同学们听不懂。我再讲再加一步。因为 h 一 是不是小于等于 d e h 二是不是小于等于 b e， 所以 h 加 h 二是不是小于等于它的相加，也就是 b d， 所以我们上面的式子是不是小于等于 a c 乘以 b d。 那 这样的话是不是更好理解，对吧？ 那老李代进去了， a c 是 谁？是我们的直径？直径是二 r， 然后呢？乘以 b、 d， 谁是我们的根号二 r， 所以呢，它就是根号二倍的 r 方，因为它是小于等于就表示有最大值，最大值是这个东西，而题干上告诉我们最大值是十六倍根号二。 所以我是不是可以说它应该等于十六倍根号二。说明什么？说明 r 应该等于四。此时面积大时， r 应该等于四，那 r 是 四，你说 b t 是 多少？不是根号二乘以四吗？也就是四倍根号二。 好吧，还可以啊。好吧，搞定。如果说你做亚洲题没有思路的话，可以去看一下老师的橱窗，我们专门有一本给学霸总结的填空亚洲题和大亚洲题的，这样一本省书，一百一十分以下的不要去啊，没有意义。好的，拜拜。

啊，胸大腹中七下，其中大家揉手拉手搓啊，我们在这个题目里面也不要就题论题吧，把能够拆解出来的所有的信息，嗯，全部分享给诸位。首先呢，标注和错题四个字最重要啊，一定要标好，把一个条件拎出来，那第一个条件， a b c 六十， 第二一个条件， d， e， f 等边， 第三个引号线 b e 加 b， d 是 二十一，找一下位置啊， b d 和 b e 合， 然后就结束了。最终呢，我们要求的是三个线段之合的最小值， b d 加 b， e 加 b f， 再定一下， b d 加 b， e 加 b f， 而 b e 加 b d 呢，已经知道了，所以换句话说，这道题目我只需要把 b f 给它算出来就可以，所以 b f 自然要连 b f 连的过程中呢，你要注意啊， 你像这里面打杠的两条线 d、 e 呢，我就可以先给它擦掉，不要影响视觉啊，那这道题目最终是让我们求解 b f 的 值啊，这个不是最值啊，是一个定值。 好，现在咱们看一下，能够从这个图里边拆解出来啥，首先定动分清楚啊，这个 c 点在这个题里面是一个打酱油的，它没啥用，我们主要要的是 ab 和 bc 的 这个夹角六十度， 所以呢，我可以认为 a 点 b 点是定点， c 点呢，忽略掉，不要了。 d， e， f 呢是三个动点，其中 d 点呢，是在 b c 的 c b 的 这条延长线上运动，那么在洞里面要找确定的东西，唯一个确定的就是这个玩意的等边。 那么我们现在要求 b f 这个 b f 所在，这个俩三角形就是我们的突破点。这俩三角形有啥特点？首先呢，邻边相等啊，这个 d f 和 f e， 咱把它称为等线共点，两个相等的线段有个公共顶点 b f， 在 这里 要求 b f， 你 只有这么几种策略，要么呢，把 b f 放到一个特殊的三角形里边，各边长度是可算的。要么呢，你通过全等的方式把 b f 给换到另外一个位置。 当然了，这学期因为正在学全能，所以很多小朋友可能第一反应呢，就是这个题目要构造全能三角形，那这构造是怎么构造的呢？本身就是手拉手构造，也就是等线共点的旋转构造， 这里边等千公里，咱们刚说了啊，这和这，当然了，也有 d e， 但是正常情况下，我如果要让 b f 换一个位置的话，我必然要把 fe 给它旋转到 f dot 位置， fe boy 整个就会旋转到 f d， 然后到左侧这个点的位置。 那为什么这样啊，是可以实现的呢？是因为圆四边形 f d b e 是 对角互补的。对角互补的这个玩意我之前给大家说过很多次啊，就是你要注意，在半角模型里面也是对角互补， 就是这个角是六十吗？这个角是一百二十吗？那么就预示着另外的两个对角呢，也是互补的，也就是 fdb 和 feb 也是互补的，这样的互补关系就可以保证一个最终一个贡献的效果。你看单弧线被旋转到这里了， 对不对？单弧线加这个双弧线是互补的吗？一百八哎，旋转过来之后呢，和这个双弧线合在一起也是一百八，那不就说明这个线是个平角，这这个角是个平角，也就共线状态，我们就能挣出来 啊。与此同时呢，你这种题目也可以用截长补短的思路来做，也就是我把 b d 给他延长到 d 撇，使得 d d 撇等于 b e， 这样的话呢，我就不用再正勾线，但是反过来呢，你需要证明这俩算式全等啊，类似这个做法，咱们在半角以及旋转辅助线的啊，题目里面已经给大家介绍很清楚了啊。 好，这个题目做到这一步的话，答案就已经出来了，因为转过来之后，我们可以轻松的得到一组手拉手的全等，就是 f d 撇 d 全等于三角形 f b e 他的全等条件。注意着啊，是这角等于这角，这俩角相当怎么来 的？是我旋转得到的这个角转到这来了，这三角形整体都转过来了。好，所以顶角肯定等于这个顶角。再一个呢， f d 等于 f e。 还有第三个条件非常容易弄错啊，第三个条件不是这等于这啊，我们不知道呢，我们知道的是刚才那个补角的问题，单弧单弧线等于单弧线，一定是这两个对应角的问题。 所以呢，我们就可以证明出来啊，这一组手拉手的全等，它是 a s 证全。等完之后呢，我们就得到了一个非常有用的信息，叫做 f b， 我 们要算 f b 嘛，所以 f b 呢，就会直接等于 b d 撇，也就直接会等于 f d 撇， 同时，因为 b 加 b d 是 一个定值， b 加 b。 呃， b d 不 就转成这个玩意了吗？ b d 一 撇吗？那 b d 一 撇我就知道了， b d 一 撇就是二十一，那 b d 一 撇是二十一，预示着刚才等边数，现在边长全是二十一， 这个题目基本上就解决掉了啊，也就是这三个线段之合就是两个二十一、四十二。 好，讲完之后呢，咱们再拆解一下这个题的其他好玩的地方啊，就咱们刚说动点是 f、 d 点、 e 点，但是，哎，你会发现，不管这三个点怎么动，你都可以扭转成这样的一个等边三角形， 而等边三角形的内角是六十度，说明 f 点他的运动状态怎么回事？ f 点的运动状态就是这条线 他不能偏， f 不 能偏到这， f 偏到这的话，哎，这个角不是六十，也不能偏到这，偏到这的话， f 点呢，这个角度也不是六十。 所以呢，我们在证明啊，手拉手过程中，我们既然能够神奇的发现， bf 必然是位于这条线上，这条线呢，其实也是这个一百二十度的角平分线，所以他的运动状态是确定的。 还有呢，这个题目也有可能常考什么样的辅助线，就是 f 点向两边引垂的问题，你看这等于这不一定非要像刚才一样构造手拉手的这个权能，你也可以呢，从 f 点直接做垂， f 点直接做垂，你这样做垂完之后呢，你同样可以证明权能，也就是这两个窄窄的三角形权能 这条怎么来的？同样的用的是对角互补的问题，因为我们知道了角 a、 b、 d 加上角 d、 f、 e 是 一百八，这是对角互补的，当我做两个垂之后呢，一样的这个四边形呢，也是一个对角互补的， 所以呢，就会导致一个结果，就是我创造出来的这个角度，就是两个垂线之间的这个夹角也是六十。那么六十六十有重合部分，是不是可以说明这个小角等于这个小角 再结合呢？ f 大 和 f e 是 相等等边，然后直角等于直角，这辆红色的三角形你可以非常轻松证明全等 全等完之后，我们同样的可以呢证明出来 b f 的 位置啊。当你把 b f 一 连的时候，你会发现，哎，这两个三角形 也可以证明全等，这是交分线，交平分线就出来了。所以这么一个简简单单的滑动的等变函数，我们从里面可以拆解到非常多的东西啊，除了计算出来这个题目要求的结果之外，我们还能找到 f 的 轨迹 以及辅助线的更多形式的探求啊。好。

把西工大的期中考试讲完，今天是七年级的填空压轴题，对于初一的孩子来说，近期数学会学习非常多的几何模型问题，比如说备上中线、一线三等奖，还有像手拉手模型， 所以这次星空大的初一填空小压轴考的就是一道半角模型的问题，我们来一起看一下这道题说如图，在锐角三角形 abc 中， bac 等于四十五度， bc 等于五，三角形 abc 的 面积为八， 而点 p 为 bc 上一个动点。现在将三角形 a、 b、 p 和三角形 a、 c、 p 分 别沿着 ab 和 ac 向外翻折了，意思就是说这个三角形现在翻折到这里，这个三角形现在翻折到这里， 然后得到了两个三角形 abd 和 a、 c、 e 连接 d、 e。 问，三角形 a、 d、 e 面积的 最小值为多少？这道题也是一道最值问题，那么我们要求一个三角形 a、 d、 e 的 面积最小值，而首先 要理解一个三角形的面积是等于二分之一底乘以高的，所以我要求一个三角形面积的最小值，无非就是把这个底和这个高让他都是最小，那么面积的最小值也就求出来了。 所以我们先看一下这个三角形 a、 d、 e 的 底和高是谁。从题目中给的条件里面，我们能得到有一个角回四十五度，看到这个角是四十五度，要想到什么呢？ 半角模型，因为四十五度乘以二是等于九十度的，所以四十五度就是九十度的一半，我们称之为半角模型。那么这个地方怎么用呢？因为折叠问题，所以我能得到我的角一是等于角二的， 而角三是等于角四的，因为角一加角三是等于四十五度，所以角二加角四也会是四十五度，那么我就得到了一个大角，这个角就是 d， a、 e 是 等于九十度的，这就是我们的半角模型。看到三十度、四十五度、二十二点五度，要去想是否可以变为双倍的角， 就可以得到直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形等等。好得到这个角为九十度之后，那么我们会发现他的底和高无非就是 a 一 和 a d， 而 a 一 和 a d 又是什么关系呢？他们都是由 ap 这条线段 折叠过去的，所以 ap 是 等于 a d 也等于 a e 的， 所以这个三角形 a d、 e 其实是一个等腰直角三角形，既然它是一个等腰直角三角形了，所以它的底和高其实是相等的，那么我只要使它的底 a d 最小就可以， 而 a d 和 a p 又是相等的。所以这道题其实最后求的就是 ap 的 最小值， 而 p 是 一个动点，它是在 bc 上运动，所以 a p 的 最小值就是当 a p 怎么样垂直于 bc 时， a p 就 有最小值，所以 a p 的 最小值也非常好求。因为说了 bc 等于五，这个三角形的面积是等于八的， 那么 ap 如果垂直于 bc 时， ap 就是 高，所以 ap 就 等于面积乘以二再除以底，所以最终 a、 d、 e 这个三角形的面积的最小值 就等于二分之一乘以 ap， 再乘以 ap 即可。好，这道西宫大除一的填充小压轴也就做完了。对于面积的最值问题一定要清楚，三角形面积等于 底层高，而面积有最小值，那么底或者高就会有最小值，明白这个道理之后，那么此类问题也就比较简单了。当然初一还有像包括手拉手模型、倍长中线模型以及一线三垂这模型都是我们要去认真学习的模型， 对于现阶段初一的孩子来说压力会比较大，因为几何模型非常之多，所以对于初一的孩子来说一定要非常的认真对待。好，今天的讲解就先到此结束，希望各位能够继续多多点赞，多多支持，把这些有用的知识分享给身边的每一个人。

来看江西省的模考题，涉及到力其几何，如图已知。在三棱锥 p a、 b、 c 中， p a、 p b、 p c。 两两垂直， 三棱锥的三条侧棱两两垂直，这就是经典的墙角模型，同学们可以想象教室里面的墙角。 三角形 p a、 b。 三角形 p b、 c。 三角形 p c， a 的 外接圆的面积分别为 s 一、 s 二、 s 三洛点 p a、 b、 c。 都在求 o 的 表面上， 那么这个求 o， 它就是三棱锥的外接球，并且求 o 的 表面积为 s， 则 s 一 加 s 二加 s 三，比上 s 的 值等于多少？首先要把这四个面积表示出来， s 一、 s 二、 s 三 分别是三角形 p a、 b。 三角形 p b、 c。 三角形 p a、 c。 外接圆的面积。而这三个三角形都是直角三角形，直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半。 不妨设这个三棱锥的三条侧棱，分别为，小 a、 小 b、 小 c、 小 a、 小 b、 小 c。 则在三角形 p、 a、 b 当中，它的外接圆的半径二一，就等于二分之根号下 a 方加 b 方。 同理，在直角三角形 p、 b、 c 当中，它的外接圆的半径二、二就等于二分之 b 方加 c 方。 在直角三角形 p a、 c 当中，它的外接圆的半径二、三就等于二分之 a 方加 c 方。三角形 p a、 b， 它的外接圆的面积 s 一， 就等于 pi 二平方，也就是二分之根号下 a 方加 b 方的平方，再乘以 pi， 也就是四分之 a 方加 b 方乘以 pi。 同理，三角形 pbc， 它的外接圆的面积 s 二就等于四分之 b 方加 c 方乘以 pi。 三角形 pac， 它的外接圆的面积 s 三等于 四分之 a 方加 c 方乘以 pi， 所以 s 一 加 s， 二加 s， 三， 把这三个面积相加，它就等于四分之二倍的 a 方加 b 方加 c 方乘以 pi。 化简，它就等于二分之 a 方加 b 方加 c 方乘以 pi。 接下来我们求 s s， 它是三棱锥外接球的表面积，球的表面积 s 等于四 pi 二平方，所以我们要求出三棱锥外接球的球半径。 在三棱锥当中不易求解它的外接球球半径，但是这个三棱锥非常特殊，它的三条侧棱两两垂直，这就是经典的墙角模型。 看到墙角模型，马上就会想到长方体，所以我们把三棱锥放到长方体当中，或者说把这个三棱锥补全成长方体， 请看下图。长方体的外接球，他就是该三棱锥的外接球，而长方体的外接球球半径是很容易求出来的，他的外接球球半径就等于二分之体对角线， 而长方体的体对角线等于根号下 a 方加 b 方加 c 方，所以外接球的球半径二，他就等于二分之。 根号下 a 方加 b 方加 c 方，那么求的面积 s， 它就等于四 pi 二平方，也就是四乘以四分之 a 方加 b 方加 c 方，再乘以 pi。 化简之后，它就等于 a 方加 b 方加 c 方 乘以 pi。 我 们要求的是 s 一 加 s， 二加 s， 三比上 s， 所以 就等于二分之 a 方加 b 方加 c 方乘以 pi。 比上 a 方加 b 方加 c 方乘以 pi， 比值就是二分之一。选择 a 选项这道题，它涉及到墙角模型，看到墙角模型，立马想到长方体， 把这个三棱锥补全成长方形，长方形非常特殊。长方形的外接球球半径是很容易求解的，它的外接球球半径就等于二分之体对角线。

今天把西工大初三六模语言的综合这个知识点讲一下，离中考还有不到四十天的时间，大家会发现就是越到中考，模考题其实出的是越简单，包括这道语言的综合也不例外，我们来一起看一看。我是在西安高新讲解数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。 今天的这道星空大六模的题目难度就和咱们中考真题的题目难度差不多的，所以大家一定要听到。最后把圆的综合的细节拿到位 好说。如图， ab 是 圆 o 的 直径， cd 为弦， ab 是 垂直于 cd 的。 那么通过直径弦以及直径垂直于弦，我们就要想到垂径定力、垂径定力 垂直于弦的直径平分这条弦，所以我们就可以得到 c、 e 其实是等于 d、 e 的， 而这个角 a、 e、 d 是 等于九十度， 其实就可以证明两个三角形全等得到 bc 也是等于 b、 d 的， 这是比较简单的两个信息。好继续点 f 为圆外一点，然后连接这些线段说，角 d、 b、 f、 d、 b、 f 等于角 c。 第一问，求证 b、 f 为圆 o 的 切线。切线的正法我已经讲了很多次，在这个题里面，点 b 是 在圆上，所以我们要正的是九十度，角 a、 b、 f 等于九十度，那怎么去正呢？我们已知条件中已经得到了角 d、 b、 f 是 等于角 c 的， 而我的 bc 等于 b、 d、 c 也是等于角 c 的， 所以最终角 b、 d、 c 是 等于角 b、 b、 f 的。 那么就是这两个角一和角二相等， 内错角相等，两直线平行，所以我可以得到 c、 d 平行于 b、 f， 而平行之后同为角是相等的，所以角 a、 e、 d 是 等于角 abf 都等于九十度的，所以最终 b、 f 就是 这个圆 o 的 切线。第一问也就比较简单，一定要记住在圆上的点正九十度，不在圆上的点，证明它是半径垂直好。第二问已知 c、 d 等于 b、 f， 又因为咱们第一问已经得到了 c、 d 是 平行于 b、 f 的， 所以一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，所以 c、 b、 f、 d 这个四边形是平行四边形，而平行四边形对边相等， 对角也相等，所以 d、 f 是 等于 c， b 等于五，所以都是等于五的，而角 f 是 等于角 c 的， 因为是对角， 所以 c 影 f 也等于 c， 影 c 好， 都等于五分之三， c 影 c 是 等于谁？ e b 比上 c、 b 的， 而 c、 b 等于五， 所以 e、 b 其实就等于三， e b 知道等于三， c、 b 知道等于五，所以我的 c、 e 就 能算出来等于四、三、四五个五数。最终我要求的是 a、 e 的 长度， a、 e 是 由一个半径加一个 o e 得到的，那么 o、 e 怎么算呢？ 其实根据垂径定律，我们就知道一定要连接的是 co， 因为 co 的 平方是等于 o， e 的 平方， 加上 c、 e 的 平方的 c、 o 是 我们这个圆的半径，所以是 r 的 平方就等于 o， e 是 半径减 b， e 也就是 r 减三，加上 c e 也就是四的方，最终我们的半径就能算出来等于六分之二十五。 那么最后 a、 e 的 长度就是 ab 减去 b e， ab 是 我们的直径，所以是六分之二十五乘以二， 再减去 b， e 等于三，所以最后的答案等于三分之十六。这就是我们这道兴隆大六模的圆的综合的题， 其实题目的难度并不大，就像咱们陕西中考一样，每年的题目难度其实都比较简单，更多的是对于每一个知识点的灵活运用。好今天的知识点就讲到这里，希望大家能够继续多多关注，多多点赞，把有用的知识分享给身边的每一个人。

七公大七魔小压轴，好题快看！哈喽啊，欢迎各位，我们第一时间呢给大家分享一下二六年公大负的七魔小压轴，也就是填空的最后一到十四题，看看这个三分好拿不？ 题目告诉我们，这是个六乘八的这样的一个长方形，那就对角线是十呗，有八十，然后 p 是 动点， q 是 最小值，如果想试图直接求 q 的 最小值，有点麻烦，因为两个动点之间已求对准， 哎，那么至少得把它转化成一定一动，这种形式怎么转化呢？给了其中唯一一个重要的条件，这两个角相加是一百八，也就是它加它是一百八，这叫什么？这是很经典的对角 对角互补，则我们可以说四点共圆，也就是说 p c， b q， 我 们可以说呢，它是在同一个圆上的， ok 啊，因为它对角互补嘛。而我们本身知道，作为一个矩形，也就是一个长方形，它的角 b， 角 a a， b， c 本身就是九十度，那说没说，说明 q p c 也是九十度，而且 q c 应该是对应的直径， 对吧，对吧？我们可以把它圆化出来，当然因为 p 和 q 的 位置在变，这个圆的大小也是发生变化的。哎，那圆化出来能干嘛呢？ 圆画出来就可以用圆的一些定力，比如说圆周角定圆心角定力，对吧？啊，切线等等的各种性质，我们去转化关系，而这个当中最经典的就是，你与 p q 有 关的是谁？就是啊，弧 p q， 弧 q 现在所对的是这两个角，它会产生两个角， 对吧？这是角一，这是角二，我们说因为弧 p q 等于弧 p q， 所以呢，角一等于角二，哎，有什么用呢？非常有用。因为角一咱是知道的，角一所对的三角形，它是一个六八十的三角形，也就是三比四比五， 所以角二所在的三角形，它也是个直角三角形，所以它也是三比四比五。所以假设这是三 x， 这是四 x， 这是五 x， 哎，那么这个题基本就解决了。你现在想求 p q 的 最值最小值， p q 是 不是等于三 x， 那 我是只需要去求 x 的 最小值就行。哎， x 肯定是与这个 c p 和 c q 有 关的， 所以我们只要能求出 c p 或者 c q 的 最小值，那这个题就解决了，都很好。求你 c p 的 话， p 的 值向上运动就垂直向上最短呗。 c q 的 话更简单，就是 cb 呗， 对吧？因为这个 c q 它是等于五 x 的， 而 c q 呢，它是大于等于 cb 的， 也就说五 x 大 于等于 cb 是 六，所以 x 呢？大于等于五分之六， x 大 于等于五分之六，所以这个式子就大于等于，是不是就可以给答案了？大于等于三乘五分之六，也就少五分之十八，所以它们最想值多少？回答五分之十八就行， ok， 搞定。如果说你做中考压轴题，尤其是咱陕西中考的填空句号和大压轴题没有思路的话，可以去看一下老师的橱窗，我们有一本专门给学霸准备的成书，一百一十分以下的，不要去啊，没有意义。好吧，拜拜。