人教版初中数学锐角三角函数板书

啊啊。

数十，那么请大家正在观察这个表格，这个表格里面还蕴藏着哪些特殊的规律呢？ 番容， 三，三十度等于三、三点六十度，三点三十度等于三点六十度，三，三十度等于 cosine 六十度，大家观察到了吗？还有吗？ cosine 三十度等于 cosine 六十度， 横上以三十度啊，等于八点六十度，那老师就会发现这两个角的关系，什么关系？互余，还有吗？ 天角三十度。有心语，天角三十度和天角六十度互为倒数，相乘的互为倒数， 那就是 ten 点三十度，我们用四十来表示的话，就是 ten 点三十多乘以 ten 点六十度等于一，大家同意吗？同意。然后你发现了一些特殊的相等的关系，还有没有别的呢？ 王雨泽啊，一个二角，三角函数的上移值随着度数的增大而 正弦，我们起来看横着的三十度，四十五度、六十度，是不是随着角的度数的增大而增大？那就是说一个锐角的正弦是随着角的度数的增大而增大。什么呀？正弦呢？余弦呢？ 一个随正弦随着度数的增大而递减，是递减吗？是在的，在减小。 正确呢，正确，也是随着度数的增大而递增。什么递增？三角三角函数和我们学没学的函数一样，它都具有真谛性。好，这是我们觉得第二个指数。我们来看看我们三个小题， 大家描述一下它的解答过程。往下减，嗯，这道题先利用题目给出的已知条件，利用三角形的内角和求出角 b 的 度数等于一百八十度，减九十度，减三十度等于六十度。 因为有一个直角三角形，它有一个直角，那两个角的关系还用一百八来减吗？不用，用也用什么就可以减九十度，那就是角 b 等于九十度，减角 a 等于六十度。 嗯，题目中给了一个条件是 ab 等于八，然后利用特殊的三角形的函数值的。嗯，那个角角 a 等于三十度，求求那个。

角之间除了直角之外还有两个锐角，两个锐角是什么关系？那么剩下的边与角的关系就是我们这一节研究的这一章节研究的内容。 那么边与角的关系我们给他新的定义就是锐角三角函数，然后用锐角三角函数去解直角三角形和生活中的实际问题。 那么在这个过程中间我们需要用到建模的思想，就是你像刚才比赛斜塔，我们需要抽出一个直角三角形出来，就是建立我们数学中间模型，然后用用到数形结合的思想，有时候还需要用到分类讨论的思想，那么在这个过程中间， 我们要我们培养大家的数学抽象建模以及直观想象和逻辑推理的数学核心素养。那么接下来我们就开始新的一章的学习 对角三角函数，请大家拉出导学案，给大家四分钟时间，第一大点小组探讨，先做好可以讨论，也可以直接派一个代表填写，我们以小组为单位做的，给大家四分钟派一个代表写就行，小组探讨一直到思考六 都是你的讨论范围，好，给大家延时一分钟，好，都停下来，我穿了五一零的， 我们一起来看一下我们的第一位，先看思考一，首先从数学的角度来看，它是一个直角三角形，对，没意见吗？对， 把它把这个图形画出来，实际上的话，这就是一个进步的过程。我把那一个抽出直角三角形之后，把题目中间的水管的高度，他就是这一个三十度的角所对的边边三十五米有三十直角三角形，有三十度的角 有直角边三十厘米，要求的就是斜边的长。好，注意细节啊，我们的答案是七十米，这里写了七十米，这里其实带单位， 理由就是直角三角形中三十度的角所对的直角边等于斜边的一半，如果把这里改成五十，那么水管长就应该是一百米。好，那么对比思考二和思考三变化的量就是出水口的高度不变， 就是这一个三十三十度的角，但是出水口的高度不变，那变化的量就是这个高度。没错，不变的量就是这一个锐角的度数吧。 那么接下来他发现了，在直角三角形中，如果一个锐角等于三十度，那么无论边上的大小如何，这个理由就还是要填一遍。直角三角形中三十度角等于三十度的角，所对的直角边等于斜边的一半。 如果把角度变成四十五度，那么变成四十五度的时候，我们由直角三角形内角和可以得出他是一个等腰直角三角形， 假设这一个腰为一的话，那么我们可以求出斜边长为根号二，所以我们可以求出 b、 c 比 ab 等于一比根号二。注意化解，等于二分之根号二。 好，这里后面还有一个，我们刚才填到了这一个地方，就是二分之根号二。还有一个思考六，思考六呢，我们自己组个语言讲话的，有没有谁愿意说一下？ 刚才拍了我语音的其他同学给你们机会，有没有谁愿意说一下？可以啊，如果是一个任意角的话，你猜什么结果？就是当这个角相等，也就是当这个角固定为一定个数的时候， 它的边乘比例是吧？那边的话说清楚是什么边，不要边和斜边，这个边有两条跟它是什么关系？什么边？鲁文说补充的是对边， 好，请坐下啊。那我们发现这里四十五度 bc 是 四十五度角的对边， ab 是 斜边是吧？那么所以从刚才这一系列的问题我们就猜想， 直角三角形中，当锐角的度数固定的时候，那么它的对边与斜边它可能是一个固定值。那么由刚才三十度和四十五度我们发现的问题，第一个直角三角形中， 当角 a 等于三十度固定的时候，那么它的对边与斜边的比一定都是一比二。这一个我们可以用哪一个定义来解释？直角三角形中三十度的角，所谓的直角边等于斜边的一半， 好，它是一个，它的对边与斜边的比是一个定值，那么当这个角改成四十五度的时候的话，它同样的当这个角改成四十五度的时候， 那么这一个对边与斜边的比，因为我们刚才求的时候的话很有代表性，我们是假设它为单位一，如果你用它为 a 的 话，你一样的可以求出 a， a 根号二 a， 它的比还是一比根号二吧，所以我们就可以知道它也是一个固定值。那么由这里的话我们就猜，当这一个锐角 a 的 度数一定的时候， 跟边长的大小没关系了，那么他的对边与斜边的比一定会是一个固定的值。 但是当三十度变到四十五度的时候，二分之一也变成了二分之二，所以什么变化，不要是什么变化导致了后面的比值发生的变化，角度变化，所以我们的猜想二的话，就是当这个角度变化的时候， 当角度变化的时候，对边与斜边的比，他就也会跟着变。我们说数学主要就是先猜想，最后我要用来证明 这个过程中间，如果有方法能够帮助我们来验证，或许我们在验证的过程中间就能够找到灵感来证明。 好，我们先看啊，先用刚才的三十度，三十度大家可以发现好，我们三十度的话，因为我们已经证明过了，我们先改变这一个先，我们先改变这一个对边的长度，大家看一下观察哪些变了，哪些没变 可以直接跑，哪些变了，长度变了什么长度？对边和斜边就是锐角的，对边和斜边的长度都变了，但是什么没变？角度但是笔直没变，是吧？好，我接下来我改变这一个角度看一下啊， 角度变的时候什么变了？角度变的话，这个长度肯定变，是吧？角度变的过程中间就还会导致什么变，笔直变了是吧？对，好，由这里我们就可以 就可以验证刚才的猜想。第一个就是当直角三角形中，当这一个锐角固定的时候，它的对边与斜边的比是一个定值， 如果当这个角度发生变化的时候，角度发生变化的时候的话，锐角的度数变了，那么它的对边与斜边的比也跟着变 好，那么我们刚才这一个过程中间，在这一个移动过程中间截取其中一个图，大家看一下啊，我们说我们需要证明，我截取 b 运动的两个位置， 假如 b 运动到得，那么我最后我要需要证明的就是这一个 bc， 需要证明的就是这一个 bc 与 ab 的 比和的一与 a 的 比值是相等的吧。 那再想一下，在这个图中间的话，你是不是有有那么一点灵感能够证明出他们的笔是相等的？在这个图中间，你发现这里，这里我要正比值相等的话，我会想什么？相似，想相似中间的对应线段的笔，是吧？那么你有办法正这两个三角形相似吗？ 嗯，两个角有没有角？看到了两组角相等是吧？好，我们把这一个三角形把它拉出来， 把这三角形把它拉出来，那么就变成了把三角形 a、 b、 c 拉出来，把三角形 a 得一半到小三角形，半到大三角形中间抽出来，就是这样的了。那么把刚才的用已知和求证写出来，就是已知两个直角三角形， 这两个是九十度 a 是 相等的，因为它们是重合的，是吧？角度是不变的。要求这角 a 的 对边与斜边的比相等，会说过程吗？ 会不会？会好？会的话我找一个同学来说，换成等于角四 a， 因为角 a 等于角四 a 啊，这两个条件反上来，所以三角形 a、 b、 c 和三角形一起， 所以这两个三角形相似。理由是两角对应相等，两三角形相似，两三角形相似，就可以得出对应边乘比例。好，请坐下。这一个过程的话， 因为它简单，所以就没给大家多长时间，直接由两角对应相等，我们可以得出两三角形相似，相似的话就可以得出对应边的笔相等，对应边的笔相等的话，那么像这里 bc 对 次 b 次 c， a， b 对 c， a 次 b。 接下来我将这两个两内向之极等于两外向之极，内向和外向它们是同一家人，可以交换位置的吧，把它换一个位置就是我们要证明的吧。所以那么通过借助相似三角啊，相似三角形， 那么相似三角形的性质，我们就可以得出，在直角三角形中，它的锐角， 他的角 a 的 对边与斜边的比会是一个定值，那么这就是我们今天学的内容，正弦 啊，正弦的概念在直角三角形中，角 c 等于九十度，我们把锐角 a 的 对边与斜边的比叫做角 a 的 正弦。大家把这一个概念 仔细的读几遍，想一想你用这些来做的时候，他的前提条件是什么？你要注意些什么问题？ 好，我们说任何一个概念他都会有他的关键词吧，或者是他运用的前提条件。 那么在这一个挣钱的概念中间，你认为你在做题目的时候的话，你要先提醒自己什么不会不错啊，首先你要知道这一个是你运用的前提条件吗？他只有在直角三角形中间才能够用吗？ 好，小西施九十度。接下来的话，这一个，你把这一个概念再仔细看看，他是哪两条边的笔，对边笔，对，他必须是对边与斜边的，这一个是什么笔？他是一个笔的话，大家想一下 笔会不会在单位，不在单位，所以我们把概念仔细读几遍，我们就能够知道我要做题目中间能够要注意什么。好，这是对于概念的解读，那么怎么表示表示方法？他可以，如果是单独一个角的时候。 好，这里还说明清楚，对边的，对面的边，斜边的一个都知道， 那么表示的时候，我们就把它记为三，一个字母的时候就直接是三 a， 如果是三个必须要用三个字母表示的话，那么我们必须加上角的符号，角 b、 a、 c， 它等于角 a 的 对边。看清楚啊，这里是三 a， 就 必须是角 a， 角 a 的 对边，斜边，然后对照这一个图，中间我们说大写字母，它的对面可以用相应的小写字母表示，它等于 a、 b、 c， 这是表示方法。那么像刚才的 sin a， 三角 a 等于三十度的时候，我们就可以写成。还有一种就是直接用度数 sin 三十度，它就等于三分之一，等于二分之一。 说错了，三 a， 当角 a 等于三十度的时候，三 a， 它等于三十度，等于二分之一。然后当角 a 等于四十五度时， a 等于三四十五度，它等于多少？ 刚才我们求过的，他等于二分之好，这是等于概念。那么对于概念的话，我们还强调的一个就是角度固定，就笔直固定了，那么角度变化就笔直变化的话，那你要这一个，你会想到什么？角度定 笔直就定，角度变，导致了笔直发生变化，你会想到什么概念？函数不错，函数 就是自变量变化导致函数值对应变化了，所以那里锐角三角函数的概念大家就清楚了，在直角三角形研究锐角，他们之间对应的变化关系。好， 那么用干净赶快看看，我找同学来表达表达。这是第一个对的，第一个，因为他给了我们图是吧？给了我们图，直角三角形你就不用看了吧，对边比斜边，第一个是对的，第二个是错的，第二个错的怎么改？ a 是 a， 他 应该等于对，他这里要么是改，这是 a， 如果你要保留这一个的话，你就应该怎么办？三米 a 是 bc 比 ab， 这如 b， 如果要说错了啊，如果你要保留三米 b 的 话，他应该等于什么？等于 a 七， a 七等于 ac 比 ab。 不 错啊，学到家了。好，请坐下。好，陈雨欣。第三个 a 等于零点六米， 对不对？他说对，有一定不能有错，理由，只能有单位，不能有单位。我们刚才在这里说了比值他是没单位的，是吧？那 b， 那 么 这里的话我们注意就是正弦是一个比值，正弦是一个比值，他没有单位，所以第三个是错的。好，第四个，三 b 等于零点八，邓子涵对不对？ 所以，所以怎么来的？等式和股定律得， a， c 等于八， a， c 等于八，然后 c 等于八。八米八， a， c 等于八， 然后 c 等于 a 等于 a b， 三 b 的 话，它就等于 a c b a b， 所以 就等于 a 点八。 好，错二，对还是错？八戒沟，错，错，为什么不是直角三角形？他没说是直角三角形，这不是一个直角三角形，你没前提条件你就不能用了。好，请问一下啊，你上课认真了啊？那么这后面我们就还要添一句， 正弦它是一个笔直，它没有顺序，但它没有单位，但是它有顺序，也就是说你这一个分子是角 a 的 对边，分母是角 a 的 斜边对边，你就不能换成这里的零边，就说然后分子和分母它也不能够交换位置。 那么接下来的话，我们来看这样一个立体，首先我们分析要求三 a， 你 必须知道什么？知道角 a 的 对边和 斜边，斜边是吧？所以这里第一个图中间，你就必须要要先求斜边，是吧？好，那这一个是已经有的，这个是要求的，要求斜边你用什么都不定，所以我们首先对到第一个图啊，所以第一个图的话，那么 在直角三角形 a、 b、 c 中， a b c 等于三， a c 等于四，所以我们可以得出 ab， 它就等于五，由勾股定力， 由勾股定力得出五之后的话，接下来他要求 sin a， 那 么我们直接根据定义就可以得出来， sin a 等于 bc， 除以 a 边 斜边，然后把他们的长度带进来，就五分之三。好，那么三 b 就 等于三， b 等于 a c b a b， 它等于四比五，好。

跟我学数学不难，这是一个三十度角，咱以它为内角做一个直角。三角形就是一块你已经很熟悉的三角板，其中这条边叫做三十度角的对边，这条边叫做三十度角的斜边，这条边叫做三十度角的零边。 根据之前所学的知识，如果我告诉你对边的长是一，那你一定知道斜边的长是三，那你也一定能推出斜边的长就是六。 换句话讲，不管三十度角的对边与斜边具体长度是几，只要三十度角这个角的大小不变，那对边与斜边的比始终都等于一比二。这说明对边与斜边的比值其实是由三十度角所决定的，与三角形大小无关。 以及类似的还有对边与菱边的比，以及菱边与斜边的比，它们都与三角形大小无关。比上三十度角的菱边，比上三十度角的斜边就等于根号三比二，而三十度角的对边比上三十度角的菱边就等于一比根号三。 这一系列比值都只与三十度角有关，而与三角形的具体大小无关。所以数学家给他们起了一个统一的名字，叫做三十度角的三角函数。 为了把这些三角函数互相之间区分开来，他们又起了三个不同的名字。把对边与斜边的比叫做三十度角的正弦记作三人三十度。 把邻边与斜边的比叫做三十度角的余弦，记作 cosine 三十度。把对边与邻边的比叫做三十度角的正切记作勘探三十度。根据刚才的结论，三人三十度就等于二分之一， cosine 三十度就等于二分之根号三。 摊上三十度，就等于根号三分之一，即三分之根。号三三十度角的正弦、余弦和正线，你已经明白怎么回事了，那别的角的这三个三角函数你会求吗？ 比如，咱来算算四十五度的三角函数值，你同样以四十五度为内角做一个直角三角形，显然三边的比为一比一比根号二。根据定义，正弦是对边比斜边，那他就等于一比根号二。化简后就是二分之根号二， 而余弦是零边比斜边，这两边的比显然也等于一比根号二。化解号就是二分之根号二。这一正确，它是对边与零边的比，结果就等于一比一得一。 其实，对于任意一个锐角，你都可以像刚才这样，借助直角三角形来计算它的三角函数。比如这个角 a， 要求它的三角做一个直角三角形，把对边比斜边的比值记作三 a， 零边比斜边的比值记作 cosa， 对 边比零边的比值记作 tan 二。进一步的，如果我告诉你这个直角三角形恰好就是三四，那三 a 就是 三比五得五分之三， cosa 就是 四比五得五分之四， tan 的 a 就是 三比四得四分之三。 以上就是三个常用三角函数的定义。关键就一点，牢记这三个三角函数的算法。对于任意一个锐角 a 而言，以它为内角做一个直角三角形，角 a 的 正弦算 a 就是 对边比斜边 角 a 的 余弦扣三 a 就是 零边比斜边角 a 的 正切偏正的 a 就是 对边比零边。怎么样，记住了吗？如果记住，就快快去刷题试试吧！ 这个视频咱就来讲讲几个特殊角的三角函数，那是哪些特殊角呢？实际上就是这俩三角板上的角， 这个是三十度和六十度，这个是四十五度。先看这个三角板，他的三边之比是一比，刚好三比二。 上个视频我就说过，他的正弦三十三十度就等于对边比斜边，也就是二分之一。余弦 cosine 三十度等于零边比斜边，也就是二分之根二三正切 tenon， 三十度等于对边比零边，也就是根号三分之一。化简得三分之根号三。 同样，这个六十度角的三角函数值也可以快速算出来。正弦散六十度等于对边比斜边，也就是二分之根号三。余弦扣散六十度等于零边比斜边，也就是二分之一。正切摊垫六十度等于对边比零边，也就是根号三。 再来看这个三角吧，它的三边之比是一比一，比根号二。所以正弦散四十五度等于对边比斜边，也就是根号二。所以正弦散四十五度等于对边比斜边，也就是根号二。 皮弦扣三四十五度等于零边比斜边也是根号二分之一，得二分之根号二。正切探探四十五度等于对边比零边，也就是一。 知道了这些特殊角的三角函数值，咱就来做道题。探探三十度，减扣三六十度，乘天探四十五度，加扇三十度。看探探的三十度就等于三分之根号三。扣三六十度等于二分之一。探探四十五度等于一 三三十度等于二分之一。算一算，最后的结果就是三分之根号三。看来，只要记牢这些特殊角的三角函数值，那做起题来就很快了。但问题来了，咋记呢？ 你可千万别只盯着九个式子傻愣愣的死记硬背啊，得结合图来记。比如看见三十度，那只要记牢这个三角板就行。它的三边之比是一比根号三比二，所以三三十度就等于二分之一。 cosine 三十度就等于二分之根号三。 tan tan 三十度则等于根号三分之一，也就是三分之根号三。同样，这个三角板还有六十度，通过它，你还能记住 sine 六十度、 cosine 六十度，以及贪电六十度。 至于四十五度角的三角函数，你只要牢记这个三边之笔为一比一比根号二的三角形即可。总之，只要你记牢俩三角板的三边关系，就能搞定所有这些特殊角的三角函数值。怎么样？记牢了没？如果记牢了，就赶紧去刷题试试吧。 前面的视频你已经认识了三角函数，并且牢记了三十度、四十五度、六十度的各个三角函数值。这个视频我要讲讲他们有什么用？来看个题。 角 c 等于九十度，那它就是直角角 a 是 六十度，这个角就是六十度， bc 是 十五，这条边就是十五。解这个直角三角形，就是把剩下的角和边都求出来。先来看角， 它是六十度，那它就是三十度。再来看边，它是三十度，那这条边比这条边就是探尖的三十度。探尖三十度是三分之根号三，即 a c 比十五就等于三分之根号三， a c 就 等于五倍根号三，他就是五倍根号三，还是因为他是三十度，所以他是二倍的，他即十倍根号三。到此，所有的角和边都求出来了。 看来，在直角三角形中，只要知道了直角外的一个角和一条边，就可以把剩下的角和边都求出来。 可如果除了直角外，其他角都不告诉你呢？来看这个题，没有图，你得先画图。直角三角形 abc 角 c 是 九十度，这个角就是直角。 a 是 根号，三，他就是根号三， b 是 三，他就是三。解这个直角三角形，就是要把这俩角和这条边都求出来。 先来看角角， a 的 对边是根号，三比三角 a 就是 三十度，这个角就是三十度， 这个角就是六十度。再来看边，他是三十度，那这条边就是两倍的这条边及二倍根号三。到此，所有的角和边全都求出来了。看来，即使只给出了直角三角形的两条边，你还是可以把剩下的角和边都求出来。 以上就是解直角三角形的主要内容，总结起来就一点，在直角三角形中，不管他是给了你直角外的一角一边，还是只给了你两条边，你都可以利用三角函数把剩下的角和边全求出来。好了，就说这么多，速速刷题去吧。 上个视频我讲了三角函数可以用来解直角三角形，这个视频我要讲讲解直角三角形在实际问题中的应用来看这个题。 在测量时，向上的视线与水平线的夹角就叫做仰角，向下的视线与水平线的夹角就叫做俯角。仰角是三十三度，那这个角就是三十三度。 ab 是 一点四米，那他就是一点四米。 b、 d 是 十米，他就是十米。问 c、 d 的 高度，即问这条边的长度，他是一点四米，那他就是一点四米。接下来只要求出这段的长度，他是一点四米，接下来只要求出这段的长度，就能知道 c、 d 是 多长了。 这条边是十米，那这条边也是十米。这个角是三十三度，那这条边比这条边就是贪婪三十三度，即 c、 e 比十等于贪婪的三十三度。 已经给出贪婪三十三度约为零点六五，那 c、 e 比十就约等于零点六五， c、 e 就 约等于六点五米，它就是约六点五米，那旗杆 c、 d 的 高度就约是六点五。加一点四，即七点九米。搞定。 看来，对于给出仰角、俯角求高度的实际问题，只要先把它转化成单纯的数学问题，接着解直角三角形就行。那其他类型的实际问题是不是也可以这样呢？ 来看这个题，一高 b、 c 等于五米，那它就是五米顶水坡 a、 b 的 坡比是一比根号三。 坡比又叫坡度，指的是斜坡的铅直高度与水平宽度的比。斜坡 a、 b 的 坡比为一比根号三，即 b、 c 比 a、 c 就是 一比根号三。 b、 c 是 五，那 a、 c 就是 五倍根号三。搞定。 看来，遇到跟颇比有关的实际问题时，还是可以先把它转化成单纯的数学问题，再接着解直角三角形。以上就是解直角三角形的应用的主要内容，总结起来旧一点，遇到跟直角三角形有关的实际问题时，你先把它转化成单纯的数学问题，再接着解直角三角形就行。 好了，就说这么多，赶紧刷题去吧。前面的视频我讲的都是解一个直角三角形的情况。这个视频我要讲讲两个直角三角形组合在一起的情况， 比如这有两个直角三角形，告诉你边 a、 b 是 十二角， b 是 三十度角， d 是 阿尔法，而泰纳阿尔法是四分之三。让你求 c、 d 的 长度给出的边在这个直角三角形， 让求的边却在这个直角三角形，而这俩直角三角形之间唯一的联系就是这条公共边。所以首先咱得想法把这条公共边求出来。 先来看这个直角三角形，这个角是三十度，那这条边就是这条边的一半，这条边是十二，这条边就是十二的一半。其六 现在公共边已经求出来了，接着利用它解这个直角三角形就行。这个角是阿尔法，那这一条边比这一条边就是贪婪的阿尔法，即六比 c、 d 是 贪婪的阿尔法， 已经知道贪婪的阿尔法是四分之三，那六比 c、 d 就是 四分之三， c、 d 就是 六乘四除以三，即二十四除以三得八，搞定。 看来对于有公共边的两个直角三角形，只要通过解一个直角三角形，先把公共边求出来，接着就可以利用这条公共边把另一个直角三角形也解出来。 以上就是双直角三角形及其应用的主要内容，总结起来就一点，只要看到两个直角三角形有公共边，你就想法先把这条公共边求出来。 好了，就说这么多，速速刷题去吧。前面的视频我讲的都是直接求直角三角形的情况，这个视频我要讲讲如何利用设未知数的方法来求解直角三角形。 比如这有两个直角三角形，这个角是阿尔法，这个角是贝塔。告诉你天等的阿尔法是四分之三，天等的贝塔是二分之一，还告诉你边 bc 的 长是二十，让你求 a d 的 长度。 先来看这个三角形，一条边都没给。再来看这个三角形，也是一条边都没给，那直接球就肯定没戏了，咱只好用射未知数的方法来解决。先来看这个直角三角形，探探的阿尔法是四分之三，那这条边比这条边就是三比四，如果射这条边是三 x， 那这条边自然就是四 x。 左边直角三角形的已知条件用过了。接着再看看右边，这个直角三角形探探的边的是二分之一，这条边比这条边就是一比二，这条边是三 x， 这条边就是二倍的三 x 及六 x。 现在两个直角三角形的已知条件都用过了，再看看还有哪个条件没用。对了，就是 bc 边等于二十， 所以四 x 加六 x 就是 二十，即十 x 等于二十， x 就 等于二十，除以十得二，解除了 x 等于二，那相应的长度就都好求了。题目让求 a d 的 长，它是三 s， 那 答案就是三乘二得六。搞定 以后，在解直角三角形时，如果遇到这种不能直接求解的情况，就可以通过设未知数的方法，把每个直角三角形的边都用 x 表示出来，然后利用图中的等量关系点方程求解。怎么样，听明白了吗？听明白了就速速刷题去吧！ 前面的视频我讲过，只要知道了直角三角形的两条边，就可以把这个直角三角形解出来。可如果给出的不是个直角三角形呢？比如这有个三角形告诉你， ab 是 五， ac 是 十角， a 的 正弦是五分之三，让你求 bc 的 长度。 题目出现了三角函数，可没有直角三角形，那就自己构造出来。从 b 做垂线，交 a、 c 于 d， 就 出现了两个直角三角形，这下三角函数就能派上用场了。先看这个直角三角形算， a 是 五分之三，即 b、 d 比五是五分之三， 显然 b、 d 是 三，那 a、 d 就是 四了。又知道整条边 a、 c 是 十，那这条边就是六，于是咱又可以利用六来继续求解右边这个直角三角形， 它是三，它是六，那它就是根号，下三方加六方化解一下就是三倍根号五搞定。看来给出的如果不是直角三角形，你只要像刚才那样做条高线，构造出直角三角形就行。 以上就是利用已知角构造直角三角形的主要内容，其实就一点，如果条件给了某个角的三角函数，你只要想法做出高线，构造一个直角三角形，让他恰好包含这个角就行。好了，就讲到这里，赶紧刷题去吧。 前面的几个视频我讲的都是如何解三角形，这个视频我要讲讲如何解梯形。比如这有个梯形告诉你，他的上底是六，下底是八角， a 是 四十五度角， c 的 正切添加的阿尔法是二分之一，让你求这个梯形的高。 题目中虽然给出了两个角，可是却没有直角三角形跟解三角形是一，你得自己构造出来。从 a 点做垂线，将 a、 b 延长线于 f， 根据梯形两底平行，这个角就等于这个角是四十五度，这个角就等于这个角是阿尔法。这样咱就构造出了两个直角三角形，这个直角三角形恰好包含了一个四十五度角，这个直角三角形恰好包含了角阿尔法， 这样两个直角三角形就把条件给出的角都包含在内了。与此同时，咱还把梯形补成了一个更为规则的矩形，这样的一幅图就可以用来求解梯形。接下来咱就一起来把这个梯形求解一下，问的是高求啥设啥，咱就把这条高设成 x， 那 这条高就也是 x。 先来看这个直角三角形，这个角是四十五度，那这个角也是四十五度，这两边就相等，这条边是 x， 这条边就也是 x。 这个直角三角形的已知条件用过了。接着来看看这个直角三角形，看见的阿尔法是二分之一，那这条边比这条边就是一比二， 这条边是 x， 那 这条边就是二 x。 现在两个直角三角形的已知条件都用过了，看看还有啥条件没用呢？对了，别忘了，这可是个矩形，矩形的对边可都是相等的，那六加二 x 就 等于 x 加八。 解这个方程，把 x 移到左边，数移到右边，就得到了 x 等于二，也就是梯形的高是二。搞定 以后，遇到这种给了两个角的梯形，你就通过做高的方法构造出两个直角三角形，把给出的这俩角都包含进去，同时让这俩直角三角形和原来的梯形组成一个矩形，只要让梯形变成了这个样子，那他就非常好解了。怎么样，听明白了吗？明白了就速速刷题去吧。 上个视频我讲了如何解梯形，这个视频我要讲讲如何解四边形，比如这有个四边形告诉你，角 c 是 六十度，角 b 和角 d 都是九十度，还告诉你 c、 d 是 三 ad 等于二倍的 ab， 让你求 ab 的 长度。不难发现，这里有个六十度角， 肯定得利用它构造特殊三角形。怎么构造呢？估计你的第一反应是从 d 点向 bc 做垂线，构造出一个三六九的直角三角形。但这样一来，你不仅把原来完整的四边形给破坏了，而且这俩直角也都没派上用场。 看来用切割的光线来构造直角三角形并不好，咱得换个法子，用补的方式来做，我这就补给你看。 同时延长 d、 a 和 c、 b， 使它俩相交于点 e， 这不就补出了一个大的直角三角形吗？角度正好就是三六九。而且除了这个大的直角三角形外，这里还出现了一个小的直角三角形，角度恰好也是三六九。 这太好了，不仅没有破坏原来的四边形，还让两个直角都派上了用场。那接下来咱只要求解这俩直角三角形就行。先来看这个大的直角三角形，这个角是三十度，这三条边的比就是一比个号三比二， 这条边是三，那这条边就是三倍。根号三，这条边就是六大直角三角形。咱分析完了，接着该轮到小直角三角形了。在这个小直角三角形里，三条边都没告诉你，那就只能设未知数了。 题目要求的是 ab， 那 就把它设成 x。 由于这是一个三六九的特殊直角三角形，这条边就是根号三倍的 x， 这条边就是二倍的 x。 现在小三角形也已经分析完毕，那还有哪个条件没用？对了，就是 a、 d 等于二倍的 ab， ab 是 x， 那 ab 就是 二倍的 x。 已经知道这一条边是三倍根号三，那二 x 加二 x 就是 三倍根号三，即四 x 是 三倍根号三， x 就是 四分之三倍根号三，所以 ab 就是 四分之三倍根号三。搞定 以后，在解四边形的时候，只要图中出现了特殊角，你就可以通过延长边的方式把它补成特殊的三角形。 这个四边形里的特殊角是六十和九十，延长边后补成的三角形就是三十、六十、九十。如果条件变一下，把这个角变成四十五度，你还是可以通过延长边的方式把这个四边形补成特殊的三角形， 只不过这次补成的三角形变成了四十五、四十五、九十而已。如果条件再变一变，把这个角变成六十度，这个角也变成六十度，你还是可以通过延长边的方式把这个四边形补成特殊的三角形，只不过这次补成的三角形变成了六十、六十、六十的等边三角形而已。 以上就是解四边形的主要内容，总结起来就一点，看到四边形里有特殊角，你就通过延长边的方式把它补成特殊的三角形。这种特殊三角形无非三种情况，要么是三六九的直角三角形，要么是等腰直角三角形，要么是等边三角形。 好，这个视频就讲到这，速速刷题去吧！这个视频我要讲讲做垂线解三角形式的多解问题。来看个题，在三角形 abc 中， ab 的 长是四， bc 的 长是三角， a 是 三十度。让你求 ac 的 长 没有图，咱得先画图。角 a 是 三十度， ab 是 四， bc 是 三。哎，那 bc 是 在这边呢？还是在这一边呢？都有可能，所以这一题得分类讨论。先来看在这边的情况，过点 b 做垂线，交 a、 c 延长线于地，这就出现了两个直角三角形。 先来看这个大的直角三角形，这个角是三十度，那这条边就是这条边的一半，这条边是四，这条边就是二，这条边就是二倍根号三。大的直角三角形看完了，接着来看小的直角三角形， 这条直角边是二，这条斜边是三，那这条直角边就是根号下三方减二方化简一下就是根号五。现在两个直角三角形就都看完了，那就再看看题目问的啥让求的是 a c 的 长度，它不就是这条边减这条边吗？ 这条边是二倍根号三，这条边是根号五，那 a、 c 自然就是二倍根号三，减根号五了。 b、 c 在 这边的情况讨论完了，接着对分析 b、 c 在 这边的情况了。 同样的还是过 b 点做垂线将 a、 c 一定，这就又出现了两个直角三角形。用同样的方法可以求出，这条边是二，这条边是二倍根号三，这条边是根号五，但这一次的 a、 c 长是这条边跟这条边的和，所以是二倍根号三加根号五。 现在两种情况都讨论完了，所以 a、 c 的 长有可能是二倍根号三加根号五。搞定。 以上就是这个视频的主要内容，一起来总结一下。当题目给了你三角形的两边一角，且这个角并不是两边夹角时，你一定要注意分类讨论，因为这两边有可能在垂线的同一侧，也可能在垂线的不同侧。怎么样，听明白了吗？明白了就速速刷题去吧！

椅子的是什么东西？谢谢谢谢，谢谢，谢谢。斜边，然后还有椅子的什么？一条直，一个锐角所对的直角边，然后要求什么？ 求这个锐角度数，那么我们前面呢讲讲过直角三角形的一些性质，我们先来回顾一下直角，就可以知道我们原先讲的结论，在直角三角形中，如果有一个锐角，这个角是三十度，那么他所对的这条直角边 都是斜边的一半，也就是不管我的这三角形大小如何，他的对边与斜边的比都等于多少？二分之一。那么今天我们就来研究这个对边与斜边的比。 那我们来看一下，如果现在我把这个角度改为四十五度，那么请问对边 bc 比斜边 ab 的 比为多少？ 好，这个时候 改成四十度，请看这个时候 bc 比 ab 是 多少？零点六十，好，把这个三角形变大， 椅子变了没？再变大好，三角形变小也没有，对吧？所以就说只要这个角为四十度，那么对边与斜边的比就大概是多少？零点六四，好，再看一下，如果这个角度再变一变， 看看这个时候对边与斜边比多少？零点六四，好，三角形变小变大 也没有变，对吧？所以我们就可以达到一个猜想，只要这个内角的度数是固定的，那么它的对边与斜边的比也怎样？固定也是一个固定值。那请问同学们，你能够证明这一个猜想吗？ 能不能证明这个猜想，当内角角 a 的 度数固定的时候，无论三角形的大小如何，对边与斜边的比都是一个固定值。 没空笑，今天动手来证明这个才小，就是因为两个，因为都是两个角的关系，所以它们的那个， 呃，有一个角相等，所以这两个可以证明这两个三角形相似啊。就是我如果画两个三角形，只要使了这两个角相等，对吧？那么因为角 c 和角 c 次是九十度，所以这两个三角形就会相似音次， 所以就是 b c 比 a， b 等于 b 四 c 四 b 等于四 b 啊，先是对应边乘比例，然后把这个比值转一下，转成什么样子啊？ 呃，就画一下边，就是 b c 比 a， b 等于 b c 四 b 四 b 四 b。 好， 用我们前面的相似转化成我们已经学过的东西来证明。 好，那我们现在就得到结论，在直角三角形中，当内角 a 的 度数一定的时候，不管三角形的大小如何，角 a 的 对边与斜边的比都是一个什么值？固定值。好，刚刚这个证明，听懂了的举下手。 好，放下啊，那我们这个固定值在我们数学上我们就给他一个名称，因为是这个角正对的边与什么的比，斜边，那斜边我们标称为弦，所以我们把这个比值把它叫做正弦。 那我们现在把正弦下面定义什么叫做正弦， 什么叫做正弦，把前提在什么中直角三角形中，然后角 a 的 对边与斜边的比值叫做这个角的正弦。 好，那么正弦值我们记作三引 a， 也就是三引 a 等于角 a 的 对边比上斜边。如图，角 a 的 对边既为 a， 斜边既为 c， 就 等于 a 比 c。 好， 请同学们把这个概念读两遍，如图，其 如图，在 r t 三角形 a b c 中，角 c 等于九十度，我们把对角 a 的 对边与斜边的比叫做角 a 的 对称记作 side a， 即 side a 等于角， a 的 对边比斜边等于 a、 b、 c 好。第二遍，如图起如图，在 r 极三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。我们把对角 c 的 对边平行于角 c 的 角 c 的 正弦记作三 a， 即三 a 等于角， c 的 对边平行于 a、 b、 c 好。 我们这一个正弦的定义，它有一个前提是在哪里定义的是直角三角形中，所以是直角三角形中 一个角的什么边对边与什么边的比，斜边叫做这个角的正弦，所以就是三 a 等于 a、 b、 c。 那么今天我们刚刚讲的，请朋友们来回顾一下。回顾一下我们三以三十度应该等于多少？ 二分之一，二分之一，对吧？对，因为三以三三十度，角所对的那个直角边是斜边的一半，所以三以三十度是二分之一。好，三以四十五度啊，二分的变化啊，三以六十度。好！ 选的们一起把这三个特殊角把它记一遍。三以三十度等于三，以四十五度等于三以六十度。来记一下现金里 a 得等于什么？ a 得的 平方等于谁的平方？ a， c 的 平方等于 a 得乘以 ab。 是 不是也可以把这个 a 得求出来 转化才给他相等的角？所以这个地方注意啊，就说除了用正弦值，还可以用用定义法直接求之外，还可以转化为和他相等的角的正弦值。 好，下面反过来，如果知道正弦值能不能求边长 有没有看到一题，三，好，我请一个同学来黑板上来做，其他同学底线完成， 可以用我们前面讲过的比例就是这条为七 s， 这条为二十五 s， 然后知道这一条边，所以用什么定力？勾股定力，而且 s 等于一，他写的很清楚，把什么舍掉，步数舍掉啊， 快一点点啊，耽误你一刻。好，那我们来看一下这一个 七。好，这个是刘薄熙的。哎，刘薄熙，你来讲一下你的想法是什么？因为三 a 是 等于 b c 和 a d 的 奇数，所以我们我们也可以设 a b 的 二十五 x， b c 的 七 x， 然后用勾股定底，就可以把 a c 表示出来，就是等于四 x。 那 我想问一下，为什么快速得到 a c 是 二十四 s， 因为勾股定底二十五 x 啊，对，你对勾股数要很熟悉，勾股数七，二十四就是二十五，所以有一条边为七，斜边为二十五，那么另外一条直角边就应该是多少二十四，所以这一条边为二十四 s， 然后就知道 a c 的 长度是等于 a b 乘以这里就是 x 等于一。 那这个提醒同学们啊，因为我刚刚看到有同学算了好久的啊，你常见的几组勾股数要把它怎么样牢记啊？常见的勾股数要把它牢记， 那我们来看一下，如果说是像我们刚刚这样子的，如果是已知三角函数求边长，一般情况下我们可能需要结合什么去求 勾股定力，还要可能要结合什么方程，像这样子是不是设一个未知数结合方程去求？好， 那下面我们来检查一下同学们选的怎么样？同学们拿出全部这个第七题呢？因为可能是你们输入的问题啊，第七题是五比十三，这个是十二比十三，然后都做对了，举手。 好，坐下啊，来，现在用一分钟时间，前后左右四个同学把刚刚有些题目做错了的讨论一下， 就这个， 我们来总结一下，我们这节课学了一些什么东西，用了一些什么方法？ 因为你，你学了哪些知识？正弦的第一，正弦的求法，以及反过来用正弦求编长。好，那么你用到了哪些数学思想？转化，转化转化转化转化成与它相等的角？ 还有设未知数也就是什么方程。 还有吗？勾股地理转化成以前用的勾股地理。

各位同学大家好，我是大刘老师，我们继续我们最后三十天数学中考的冲刺计划。今天呢，咱们来说我们山西中考的一种必考题型，锐角三角函数的实际应用题，他一般出在我们大题的第二十题的位置或二十一题的位置， 不管出在哪个位置啊，咱们同学们只要搞清楚他的核心的底层逻辑，一定可以从这里拿到分数。关注大嘴老师带你从容中考中字。咱们山西中考呢，一般呢，在这一块他有考两种类型，一种是需要设的，一种是不需要设的。 学生很纳闷，我没听过我们老师这么给我们说过啊，什么需要设？什么不需要设的？咱们今天呢，先说一种类型， 嗯，就是不需要设的这种类型，然后呢，需要设的咱们放到下一期视频来说。那到底什么是不需要设的呢？我给同学简单说一下啊，就是你题目中，咱们题目中都会给咱们一些长度的数据，总知道吧， 如果这个数据呢，他刚好是你所构建直角三角形中的边长。那么咱们想一下啊，咱们在一个直角三角形里面，如果他给了 r 法角的度数， 还给了这其中，比如说这个边长是 a， 你 是不是可以通过三 e r 法考三 e r 法探整的 r 法去求出这两条边呢？ 是不是就可以直接去算了？这个时候你还需要设某一条边是 x 吗？不需要吧，这就是我给他划分的第一种类型，不需要设的，就你发现 a 题目中给的长度数据，刚好是我这个直角三角形中的某一条边长， 这个时候呢，我们就可以带着我们的锐角三角函数直接去计算，不需要设，那这个时候呢，肯定呢，初一老师，哎，可以直接算，是不是感觉简单一些，初一老师就会给你挖坑了，那他给你挖坑的点在哪呢？ 直角三角形的构造，就说既然边长我给的你简单了，那么这个直角三角形的构造上就不会能让不会让你那么轻易的找到直角三角形。再有就是一个题目的长度上， 题目长度给你设置的长一点，让你不那么轻松的能够找到题中的条件，让你一读就蒙。 所以说呢，咱们今天来看一下他挖坑的这两个点。咱们分别找了一道题，咱们先看第一道题，第一道题呢，咱们可以看先看下长度啊，我两样 才能把这个题将将的放下，这个长度是不是非常长，所以说呢，就需要我们去好好的去读题，然后呢去筛选出题中的有用的条件，他说这是一个 遮阳伞，然后给了我们说什么 ap 垂直于地面，要搞清楚， ap 垂直于地面相当于我们的立柱， 然后呢又给了 a b d q d j， c f 是 悬托之杆，这个时候没有给它们的边长，所以说先不要在图上把它们描出来， c 点呢是一个可旋转散体的接头，然后呢示意图，散体的界面，示意图是一个三角形 c e f， 呃，还算重要，三角形 c e f， c e 四 f 是 散体的支架，且关键条件来了，是不是 c e 等于四 f， 然后 c e 等于二米，那意意味着 c f 也是二米，然后角 c e f 等于十五米，十五度， 这个地方是不是出现了个度数？咱们锐角三角函数里面度数的角度的条件特别重要，找 c e f 十五度，咱们 c e f 跟它算等腰三角形，说明这半也是十五度， 是吧？那咱们继续往后读这个呢，给了一个时刻表和对应的太阳光和地面的夹角，九十啦，八十五、七十这些都给了。这个时候咱们来看下参考数据。我头先说一下啊， 参考数据这非常重要，因为你就想参考数据，咱们如果特殊角三十四十五六十，不会给你三 e 考三 e 摊正的值，但凡给到你，比如说三 e 十五，这里的三 e 七十考三 e 十五，七十摊正，十五七十，就说明你可能会用到。那就说明题里 怎么你的直角三角形里得有这两个角度，所以说呢，你构造直角三角形里得有这两个角度。所以说呢，你构造直角三角形里得有十五度，得有七十度。 那这个时候呢，咱们十五，想一下，十五度，哎，前面这个三角形里面 cf 里有，说明后面可能会用到，是不是七十度呢？ 是不是这个位置两点对应七十度，哎，说明你其他十二点、十三点、十五点、十六点、十七点可能就考不到了。那咱们来看一下项目结果，中午十二点 太阳光与地面垂直时，他说了使 e f 平行于 ab 是 吧？然后点 e 刚好落在 ap 上，点 e 落在 ap 上， 这样效果最佳。这个时候呢，咱们来看下午十十四点，是不是就是七十度的时候，然后还有个下午十七点，他省略了，说明这个时候不需要咱们去 做了。那这个时候咱们来看看一下问题，如图一，当中午十二点太阳光与地面垂直时，让咱们求影子 ab 的 长约多少？ 然后这个时候呢，咱们因为题目长呢，咱们就哎把咱们的条件都放到一面上，咱们前面关键条件 c e 等于 c f， c e 等于两米还是角？ c e f 是 十五度题图一中 ef 和 ab 平行且点 e 在 a p 上很关键的条件。第一个题呢，就让咱们在图意中求十二点时 a 太阳光与地面垂直，是地面引自 ab 的 长。那咱们题里说了， ef 和 ab 是 平行的，而且呢， e 在 咱们的 ap 上，那是不是就说明咱们的 ef 等于 ab 啊？为什么？因为你这个地方是九十度，咱们这因为光线这也是九十度，两个九十度了吧。然后你这个地方 他们是平行，这是不是也就九十度啊？所以说你的 e f b a 就是 矩形，是矩形的话， e f 就 等于 ab， 那 咱们让咱们求 ab， 因为你 ab 又不在 三角形里，也跟咱们的度数十五度、七十度构建不了联系。那这个时候如果求 ab， 咱们转换成求 ef， ef 刚好能跟咱们十五度构建联系。咱们 c ef 是 等腰三角形，你是不可以做一个 垂线，做 c m 垂直于 e f， 那 这个时候 c m 是 不是咱们 等腰三角形的高中线角平分线都可以三角合一性质是吧？那这个时候让求 e f 的 话，是不是求出 e m 就 可以了？求出 e m， 你 会发现，哎， 这有十五度的角，然后呢，求 em 的 话， t e c 给了二，这个时候你会发现三角形，这三角形 c e m 里面有一条边是二，斜边是二，然后呢？有一个角是十五度，我求出 em em 和咱们的斜边二是这个角的什么？这个角十五度的什么？ em 是 这个角十五度，什么边？零边，是不是用考塞你就可以求出来？ 是不很简单，不需要设，直接就能算，是不是求出 em 以后， ab 等于 ef， 它们是 em 的 二倍乘以二就完事了，是不是？哎，很简单，它步骤没有任何说 com 的 点，它 com 的 点是不是就是题目的长度上，同学们有没有发现？ 然后咱们再来看第二问，如图二，下午四点十四点时，他说求散体在地面上留下的影子， bk 的 长度， b k 就是 这个位置，而且七十度公分标上了，这个时候咱们求 b k， 你， 你来看 b k 在 直角三角形中吗？不在。七十度，在吗？也不在。那这个时候你自己去构造一下，相信同学们很多同学 都会构造，我要把七十度往直角三角形里放吧，而是要把 b k 往直角三角形里放，直接这样做个垂线不就完事了吗？是不是做个垂线，咱们设这个点为 n， 那 这样的话，咱们的 e k n f， 这就是个矩形，是不是咱们的 e f 就 等于咱们的 k n 啦？咱们第一位算了， e f 是 多少？三点八八，那你的 k n 是 不是三点八八？那就你发现。哎，我要求 k b， 那 k n 三点八八，有了，这个地方是七十度，是不是 k n 是 七十度的什么对边？然后呢？ k k b 是 斜边，七十度的对比，斜用三 e 不 就出来了吗？直接算就行了呀，发现没有任何个坑，两道题都是值， 给出你一条完整的边长，直接算就出来了，没有任何的弯弯绕绕，最后算出来，他这个说仅仅找四点一米，最后算的时候同学们注意，算到小数点后两位最后约等于四点一，注意一下答要有答占一分。 有没有发现这个过程非常之简单，而且这个构造直角三角形也不难吧？咱们的构造的目标就是把这些十五度、七十度往直角三角形里放就行了，发现只要构造出来，这个题就出来了， 而且这个直角三角形中有边长，直接算，单看过程他根本不配放在二十一题的位置，太简单了。 那他能放在二十一题，为什么？就是因为咱们前面这题怎么太长了？他是因为长度 导致会让很多同学觉得难，刷掉很多同学，他们理解了吧。所以说是不是还记得咱们以前一直强调的，咱们山西中考有一个特点吗？题目越长 越简单，把这个刻到你的脑子里。那咱们再来看第二道题，第二道题题目长度好像没那么难了，这个题呢，它是放在了二十题的一个位置，咱们来看下，它说是一个手机支架，手支架如图一。 然后呢，他的结构说是，哎，立杆 ab 垂直于地面，高度是一一五，给了我们一百一十五厘米。 bc 是 一个可旋转的枝杆，可以旋转，然后呢，长度固定是三十， bc 三十给了 bc 三十可以写出来。 然后呢， cd 是 一个可滑动的旋杆，可滑动旋杆说明 cd 可滑动，说明它可以伸长，包括能理解啊，不能理解，你可以先不着急去考虑它，然后参考数据给了个五十三度， 这个时候你发现题里现在还没有说度数，是吧？然后呢？说调节，如图二，调节质感 bc 选杆 cd， 使得选杆 cd 给了四十厘米，然后角 abc 是 一百四十三角， bcd 是 二十三，这个时候你会发现题里压根没给这个五十三度， 那这个时候你就想，你要构造直角三角形吧，是不是啊？构造直角三角形，你要找五十三度角，题里五十三度在哪呢？没有。 这个时候你要考虑哪个角能跟五十三度去构建联系？这个地方二十三跟五十三 好像联系不起来，是不是？他们差个三十度，是吧？哦，好像是个特殊角，一百四十三和五十三差多少？是不是差多少度啊？他俩之间差多少？九十度啊？好像这一百四十三，这样可以，哎， 可以去做一些，做一些东西了吧。然后咱们看问题，求地到地面的高度，地到地面的高度咱们可以简单先先做出来看一下，哎，实际上是求这个，这个虚线的这个高度，是吧？这个时候 你做文章的位位，地方在哪？你就应该先盯着一百四十三看，为什么？因为你要尝试构建五十三度的角呀，你的眼睛就应该盯着一百四十三，那一百四十三这个位置你怎么能划分出五十三呢？咱们刚才说九十、九十的话， 我这样画一下，这是九十，那这个这个位置不就是五十三度了吗？是吧？那五十三度的话，怎么把这五十三度放到咱们顺势做个垂直， 做个垂直，哎，这不就是咱们的，这不就是咱们的五十四 m， 这不就是咱们，哎，五十三度角啦，这个位置咱们做一个标，一个点 n， 标个点 n， 标个点 n， 咱们发现，哎，这个直角三角形 c b n 里面角 c b n 就是 五十三度，是不是？而且这个时候 c b 的 长度也给了，给出长度我就给他标上，我换换一个颜色笔吧， 给出长度我就给他标成红的。那你看，在 c b n 中，五十三度有 c b 有， 你能求出 c n， 能求出 b n， 是 不是？那这个时候咱们有没有发现有二十三度角还没有用？有的同学，那我构建二十三度的角，他也没给我三印，二十三考三印，二十三摊成二十三啊，对，你的方向是对的， 他没给你二十三度的锐角三角函数，你就不要尝试把二十三度往直角三角形里放了，这个时候你就要考虑这个二十三度怎么用， 这个时候你要想，他没给你，而且你现在只有五十三度能用，你就二十三度这个条件还没有用，你就这个时候来看，这是二十三度， 这个地方是多少度？同学们，想一下，你这是五十三，这个位置是多少？哎，一减三十七，那三十七加二十三，哦呦， 六十，哎妈，一个特殊角出来了，特殊角，这也是为什么题里参考数据没有，参考数据里没有给你，三以六十考三以六十摊成六十，因为特殊角的锐角三角函数是我们要求背的东西，是不是？哎，那这个地方，而且这个角 是六十度，他跟给的 c d 是 四十厘米，是不是能放到一个三角形里？怎么放？我从 d 做垂线，做了一个 d， d， e 垂直于 c m， 那 这个时候我有两个直角三角形 r t 三角形 c d e， 我 可能画的比较乱啊， r t 三角形 c b n， 其中 c d e 是 三十度六十度的特殊角，直角三角形 c b n 是 我们五十三度的，这个时候呢？你说那跟我要求的东西有什么联系？这个时候咱们来看，咱们要求的是这个位置， 咱们现在要求的是黄线的这个位置，是不是啊？那这个时候他和咱们的 em 是 不是相等？ 相等吗？相等吧，所以说你要能求出 em， 咱们问题不就求出来了吗？那 em 等于什么呢？ em 是 不是等于 c m 减去 c e？ 那 你说那 c e 能求吗？ c e 不是 你直角三角形里 c d e 里的吗？ c d e 里面 c d 是 多少？四十 c e， 这是六十度角，这个地方不是三十度，三十度所对边斜边的一半是不是直接就能得 c 一 是二十，那这个地方求出 c m 不 就行了吗？对呀，求出 c m 不 就行了，那 c m 等于什么？ c m 是 不等于 c n 加 n m， 那 c n 怎么求？ c n 在 三角形 c b n 中，那 n m 了吗？ n m 等于 ab 啊， ab 是 多少呀？幺幺五是不是就都出来了？ c n 可以 通过 c b 和五十三度来求。哎，这下所有的思路就都打通了，是不？我们发现我们这个时候，我们直角三角形里面都是有完整的边长的，一个是咱们的完整边长是咱们的 c b， 一个是咱们的 c d。 那咱们来看一下过程，咱们做三条辅助线，过 c 做 c m 垂直于地面，交地面于点 m， 然后过 b 做 b n 垂直于四 m， 然后过 d 做 d e 垂直于四 m， 然后呢？垂完做完以后，则 e、 m 就 和我们就是我们点 d 到地面的高度，它们是相等的。然后呢，我们根据题的条件把角度算了一下，是不是可以得到 c、 b、 n 是 五十三度一个关键条件，然后呢，我们还推出了我们的 d、 c、 e 是六十度，现在这两个直角三角形，我们在 c、 b、 n 中我们求出 c、 n 是 二十四厘米，在 c、 d、 e 中我们求出我们的 c、 e 是 二十厘米，然后呢，最后通过我们 a、 e 加得到了我们的 e、 m 是 一百一十九厘米，所以说地到点，地到地面的高度也就是一百一十九厘米。他们做的时候会感觉这个这个过程，哎，感觉没那么复杂，思路是我给你讲的时候感觉很齐，但是实际上这个题卡你的位置就是这个 这两条幅，这两个三角形 c， d， e 和 c b a 你 能不能做出来？很多同学就在这第一步就把你卡住了，都不要想后面再去做什么了。这道题卡点就是在于直角三角形，很难构造， 不是我们平时做那些射的，哎，延长一下，呃，把那个位置稍微延长一下，水平的稍微延长一下，或数值的稍微延长一下就可以得到的。这个地方需要你做辅助线，需要做好几条， 很多同学容易卡在这个位置，但是他也是有一个方向的，就是找题目中给的这些这些角度的，给锐角，三角函数这些角，他就看你给的角度，怎么能和这个角构建联系啊？ 是不是还有一定要把这些角度合理利用，还有给的这些完整边长，你想这些完整边长都是要放到直角三角形中，就围绕着它，围绕着它去构造，你不要乱写，就围绕着这些边长， c、 d、 b、 c 去构造就可以了。简，可以说一个简单的思路，就给的这些斜的，斜的边长啊，我直的边长我不管，如果是完整边长， 你的构造思路就是从这个边长两个点，一个点做数值，一个点做水平，这样做数值垂线，一个点做水平的平行线，就可以构造出直角三角形，这样方向做，或者说或者说朝朝右做也可以。 这个点做水平，这个点做数值，都可以看你的一个习惯，这是这个地方，你实在不会做。以后碰到这个类型，这个点做数值，都可以看你的一个习惯，这是这个地方，你实在是给出 长度了。像 c、 d、 b、 c， 你 就从这线段的两个端点，一个端点做水平的平行线，一个端点做数值的垂线，然后呢它们交于 一个点，就构造出你的直角三角形了，你到时候去解，尝试根据题的平行的关系了，或角度的给出的角度，去找到这锐角的锐角的度数，然后去算。这就是我们做这种题的一个思路， 这就就是我们今天要给同学们说的第一类型，不需要设的，如果考出来就这两道题，这两种模式，同学们一定要把它学会，对你的中考会有非常大的帮助。 咱们下一个视频呢，给同学们说一下需要设的他的套路模式是什么样子的，帮助同学们把这一块的分给你，完完整整的拿下来。好，我是大队老师，关注我，带你从容应对中考，我们下期见。

社会上的热点话题和买房需要考虑的因素有很多，今天我们就其中的一个因素，采光来进行探索。 陈老师也想买套房子，下面两个房间，哪个房间大家更加愿意居住呢？一个一个，因为它不仅美观，而且采光效果更好。好了，陈老师也想买一个采光效果好的房子，看中了， 选中了中间楼层，发现夏天正午有太阳光照。到了秋，到了秋天 发现也有太阳光照，但是到了冬天这一天，特别是冬至的正午，有没有太阳光照呢？没有光照了。所以说啊，我们确定是冬至这一天，看房选楼层，考虑考虑采光。 那么冬至确定了具体楼层是多少层呢？接下来还需要经过精确的计算。我们将所得到的数据通过数学建模，将生活问题转化为平面几何问题。 长沙市冬至正太阳高度角约为三十八度， 好照射的这个点做一条地平面的平行线，交线段于一个点，此时为了方便表示，我们对应的点标上字母， 这个角等于九十度，锐角等于约等于三十八度。 结合楼盘的数据，因为有三十三层，层高三米，所以楼高是南北楼间距为 好，说明 a、 c 的 长度是。现在我们已知了在直角三角形 a、 b、 c 中， 锐角 a 的 大小和零边长度。下面要求的是哪一段线段的长度呢？ b、 c 对 b、 c 的 长度，因为 b、 c 的 长度等于有太阳光照的长度。那如何求 b、 c 的 长度呢？ 我们学过正弦和余弦的概念，我们知道正弦指的是对边与斜边的比值，是一个定值，余弦是零边与斜边的比值是一个定值，类比正弦和余弦。 我们对于这个问题可以提出怎样的猜想呢？请同学们说一说。好，你说。 嗯，我们可以在三角形，在直角 a、 b、 c 中呃，当对角 a 的 度数大小确定时，我们可以猜想为，呃，角 a 的 对边就是 b、 c 和角 a 的 邻边 c， 它们之间的比值是定值。好，猜想是一个定值。同不同意？哎，讲得很好，请坐。 那么接下来我们通过几何画板直观地验证我们的猜想。 在直角三角形 a、 b、 c 中，首先度量出对边 b、 c 和邻边 a、 c 的 长度。改变长度， 我们发现数据会有所变化。接下来度量出它们的比值，再次改变长度， 我们会发现随着长度的改变，比值却没有发生变化。也就是说，当角 a 确定的时候，它的对边与邻边的比值是一个 b 值。 我们度量出角 a 的 大小，在角 a 约为三十八度的时候，比值约等于零点七八。改变角 a 的 大小， 我们发现比值会随之变化。也就定的时候，在直角三角形中，它的对边与邻边的比值是一个定角值，也就证明了我们的猜想。我们把这个定值叫做正切， 这就是正切的定义。正切可以用符号 tangent 来进行表示，角 a 的 正切值用 tangent a 来进行表示。 如果说对边用小写字母 a， 零边用小写字母啊 b 来进行表示的话，那么对边与零边的比值也可以写成 b 分 值，正好 b 分 值。 我们学习了正切的概念，到目前为止，我们学习了正弦、余弦和正切的概念， 这三者都随角 a 的 变化而变化。当角 a 为一确定的时候，这三者的值也是为一确定的，所以我们可以把这三者看成是关于角 a 的 函数，称为锐角三角函数。 那么内角三角函数和这三者之间的关系老是通过一个思维导图来进行呈现， 这就是它们之间的关系。好了，我们学习了知识，我们还需要利用知识去解决实际的问题。接下来通过三个大小的已知 对边和正切值求零边。第三小题，已知零边和正切值求对零。 从这三个题目中间，你有什么发现？找到了什么规律？请一位同学说一说来。罗成新，呃，从这三个小题中我可以得出一个结论就是，呃，知道两个样可以求出另外一个样，好吃到 表达式中间的两个量可以求出另外一个量可以简称为只二求一，只二求一请做。讲得很好， 完成了第一小题，接下来我们一起再看一个小题，同学们动笔做答， 他的高也是他的中线，所以 b 的 长度是 bc 长度的一半，那已知 bc 的 长度为四， ab 长度为十，可以根据勾股定你求出 a 的 长度， 再利用角 b 和对边比上邻边来求出他的正切值。这位同学写的好不好，好好，那么从这个题目我们可以看出来， 当图中间没有给出直角三角形，要要你求它的正切值的时候，我们可以采取什么方式呢？采取做高的方式或者做垂线的方式来构建直角三角形。 好了， 最后我们学习了知识，并且通过练习题积累了经验。接下来我们还要解决这一道问题， 那这道问题又该如何解决呢？请同学们结合今天所学的知识来动手计算吧！ 其实正确的知识啊，不仅在买楼房、选采光的问题上有所应用，还在 中国古代的土规和日规中有所体现。古希腊天文学家测量太阳、地球、月亮之间距离的比值，包括现在的遮阳棚和太阳能热水器的安装和设计达到最大的效果中也有所禁用。 正确的知识运用如此之广泛。所以呀，我们要学好数学知识。好，今天我们学习了知识之后，请同学们做课堂小结，你有怎样的收获呢？ 请为同学说一说，做几样，他说的好不好？好， 包括我们在证明过程中啊，也用到了类比的思想，类比了正弦与弦的证明过程。 好，那除了这一些，我们还经历了整个提出问题和解决问题的过程。从生活热点出发到地理知识，再通过数学建模把生活问题转化为数学问题， 通过探索发现新知，然后获得新的知识。最终我们还通过应用积累了经验。

大家好，我是夏梦老师，今天我们继续来学习锐角三角函数。第三课时， 还记得我们推导正弦关系时候所得到的结论吗？即三元三十度等于二分之一，三元四十五度等于二分之根号二。你还能推导出三元六十度的值及三十度、四十五度、六十度的其它三角函数值吗？ 我们这节课的学习目标，一、理解特殊角的三角、三角函数值的由来。二、运用三角函数的知识，自主探索，推导出三十度、四十五度、六十度的角的三角函数值。 三、熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用，根据一个特殊角的三角函数值说出这个角 知识点。一、特殊角三十度、四十五度、六十度的三角函数。两块三角尺中有几个不同的锐角，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值。 六十度、三十度、四十五度、四十五度。设三十度所对的直角边长为 r 为 a， 那 么斜边长就是二 a， 另一条直角边长就是根号下二 a 的 平方减 a 的 平方根号三 a。 所以 三角三十度等于二， a 分 之 a 等于二分之一。而扩散于三十度是二， a 分 之根号三， a 等于二分之根号三。探听以三十度是根号三， a 分 之 a 等于三分之根号三。 同理三 a 六十度等于二， a 分 之根号三 a 等于二分之根号三三 a 四十度等于根号二 a 分 之 a 等于二分之根号二。扩散 a 六十度是二 a 分 之 a 等于二分之一。 tan 零六十度是 a， 分 之根号三 a 等于根号三。 设两条直角边长为 a， 则斜边长是根号下 a 的 平方加 a 的 平方等于根号 a。 刚刚我们也说了，三一，四十五度呢，是根号二， a 分 之 a 等于二分之根号二。这里的动画有点问题啊，顺序有问题。 扩散四十五度等于根号二， a 分 之 a 等于二分之根号二。其实这一些大家在初期不熟练的时候，尽量在草稿本上面自己把这个特殊的三角形给画出来，然后可以把它边的笔标在旁边，这样子话我们就可以很快的写出，三一四，六十度啊。扩散六十度是多少？那在熟悉了之后， 我们可以把它给背下来。三，一，三十度是二分之根号三，扩散于六十度。三、三一，六十度是二分之根号三，扩散于六十度也是是二分之一。探听六十度是根号三，如果背下来的话呢，会更快。探听四十五度就是一， 我们可以把三十度、四十五度、六十度的正弦值、余弦值和正切值整理余下表，而这也是我们几个比较常用的。三一，三十度二，二分之一。 cotrien 三十度二分之根号三。 tanning 三十度是三分之根号三， tanning 四十五度是二分之根号二。 cotrien 四十五度是二分之根号二，因为 cotrien 和 cotrien 四十五度是等于 cotrien 四十五度的。 tanning 四十五度是一， 三零六十度是二分之根号三。扩散力六十度是二分之一，贪提力六十度是根号三。你观察这张表，你会会发现有什么规律呢？其实我们会发现三零六十度和扩散力 三零三十度和扩散力六十度的数值是一样的，然后比较特殊的贪提力，四十五度是一， 然后然后再就是相同的角的度数的散影和扩散影的平方之和相加得一。以及我们还会发现 tan t 零三十度和 tan t 零六十度这两个数互为倒数。 好考点一，特殊角的三角函数值的一个运用一，求下列各式的值，然后提示，就这个表示的是三一六十度的平方。好，第一个很简单啊，第一个就是一， 我们刚刚说呢，第二个，我们可以把这些 cosine 啊， cosine 呢都给写出来，或者呢，我们可以想的是 cosine 四十五度，它是 明边比斜边， cosine 四十五度是对边比斜边，那相当于，其实我们斜边的话呢，是不是就已经给消掉了？那就相当于是一个 零边比斜边啊，零边比斜边就是一，那探听的四十五度也是一，所以第二小题得的是零 点拨含特殊角三角函数数值的计算注意事项一、手记特殊角的锐角三角函数值是关键。二、注意运算顺序和法则。三、注意特殊角三角函数值的准确代入。 计算好，这个大家自己可以去算一下。考点二，利用三角函数值求特殊角。一、如图，在知道三角形 a、 b， c 中角 c 等于九十度， a， b 等于根号六， b， c 等于根号三，求角 a 的 度数。那我们在这题中已知 角 a 的 对边和斜边，那么我们就可以利用三 a 的 正弦值来求 a 角 a 的 度数。 三， a 等于 b， c 比 ab 等于根号三，比根号六等于根号二，比二也是二分之根号二，所以呢，我们就可以知道角 a 就是 四十五度。好，这个题目类似的就不讲了。 考点三，特殊角的三角函数值得应用。已知，三角形 a、 b、 c 中角 a 与角 b 满足一，减 tan 等于 a 的 差的平方加 三以内减二分之根号三的绝对值等于零。判断三角形 a、 b、 c 的 形状，那我们由题密题目可以知道，贪心的 a 就 等于一，三以内就是二分之根号二，那么贪心的 a 等于一时，说明角 a 就是 四十五度。 而三硬币三硬币等于二分之根号二，那我们也可以求出角 b 就是 六十度， 所以三角形 a、 b、 c 就是 锐角三角形。 好，这个类似的也不讲了，大家其他的题目大家自己可以截图了之后，然后对着自己做做看一下。最后我们再来总结一下这节课我们主要讲的就是锐角三角函数， 特殊角的三角函数值三十度，四十五度，六十度的三角函数值求角度。

二、十八点一、锐角三角函数同学们好，欢迎来到未来数学号太空站。老师好，这里看地球好壮观啊！ 不过这和今天的数学课有什么关系呢？问的好看，那边太阳能板的角度需要精确调整，才能最大化接收阳光，这就要用到我们今天要学习的锐角三角函数。 直角三角形 a、 b、 c 角 c 等于九十度，角 a 等于三十度。在直角三角形中，对于锐角 a， 你 能指出它的对边、邻边和斜边吗？嗯，角 a 的 对边是 bc， 邻边是 a、 c， 斜边是 ab， 非常好。现在我们定义锐角 a 的 三个三角函数，正弦角 a 的 对边与斜边的比值。 鱼弦角 a 的 临边与斜边的比值。 正切角 a 的 对边与临边的比值。 实力一、太空站太阳能板角度调整已知太阳能板支架高度二点五米，阴影长度四点三米，求太阳光线与地面的夹角。 fit 正切 theta 等于对边，比零边等于二点五比四点三约等于零点五八一四， theta 约等于三十点一度。 所以当 tan theta 等于零点五八一四时， theta 约等于三十点一度。这个角度能最大化接收太阳能。 实力二、儿童滑梯的安全角度公园滑梯高三米，底边距离五米，求滑梯与地面的夹角 alpha 正切 alpha 等于对边比零边等于三比五等于零点六， alpha 约等于三十点九六度。 原来设计滑梯也要用三角函数啊，太有趣了！ 已知，等腰三角形 a、 b、 c 三个内角分别为，三十度、三十度、一百二十度 a、 b 等于 a， c 等于二， b、 c 等于两根号三、如何计算？ 故 a 做 a， d 垂直于 b、 c。 因为是等腰三角形， 所以 a、 d 是 角， a 的 角。平分线 角 c、 a、 d 等于二分之一的角 a 等于六十度。 注意观察，当角度增大时，正弦值增大，余弦值减小，正切值增大。当 sin 的 平方 c t 加 cos 的 平方 c t 等于一，永远成立 三角函数是直角。三角形的边长比值值与角度大小有关。正弦等于对边比斜边与弦等于零边比斜边，正切等于对边比零边。 特殊角度值要牢记，三十度、四十五度、 六十度。 好了，本节内容就到这里，我们下节见。

大家好，这里是大头老师今天给大家分享一个初三的同学很受用的方法，也就是求半角三角函数。 比如说在题目里头，我们已经求出了 tangent 角 a 的 值，但是呢，我们最后题目要我们去求的却是 tangent 二分之一角 a， 它等于多少？或者说在求解我们的题目中，我们要求到天卷二分之角 a 的 值才能够更好的往下去解析的话，那这个时候它可能就会成为你们的一个障碍了。那现在我们来看看，在还没学到高中的叫做绊脚公式的前提下， 我们怎么去使用构造图的方法啊，用我们初中的方法去把这个半角的天卷值给它求出来。举个例子，比如在这个三角形里头，它的三边长分别是三、四、五，现在天卷 a 的 话，我们已经知道了它等于对边比零边，也就是等于三分之四。 现在我们要把天卷二分之角 a 求出来的话，那我们需要用上的是外角加等腰这个构图方法，那现在我们把这两个角里头更加大的角 a 当做是外角 啊，也就是这边角 a 是 外角，然后构造一个等幺三角形，使得它的每个底角为二分之几角 a， 那 我们的作图方法也比较简单，也就是延长这条直角边 b a 延长到某一个点 dog， 使得我们的 a d 等于 ac 等于五， 这时我们就可以把 cd 给它连起来了，连起来之后之后我们就可以得到一个等幺三角形 a d c。 在 a d c 里头，由于它是等腰，且外角是我们的角 b a c， 所以 我们就可以知道这个角一和角 d 它是相等的，所以我们就可以推出 tangent 二分之一的角 a， 那 实际上呢，也就是我们的 t 卷角 d， 那 毫无疑问，我们就要在直角三角形 b d c 中去把这个 t 卷角 d 给它算出来，那么也就是我们需要用到的就是直角边 bc 以及直角边 b d 啦。 那么此时我们就可以发现，因为我们构造这个等幺三角形，所以的话这两条边相等，也就是 a d 等于五，则我们 b d 这条边它的长度自然就是五加三等于八了，所以我们的摊卷角 d 它就会等于 bc 比上 bd 等于四比五加三，也就是二分之一。所以同学们你学会了吗？通过这个作图的方法，我们就可以很快的去求出一个角他的一半的填卷值了，这个在我们题目里头是非常的好用的， 那么同学们可以随意的去画一个直角三角形，求它里头任意一个锐角的一半的三角函数，就是用这个方法即可。所以最后送给同学们，还是那句话，纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行，你们一定行的。

大家好，我是夏梦老师，今天我们来学习锐角三角函数。第二课时，如图，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，当角 a 确定时， 角 a 的 对边与斜边的比就确定，此时其他边之间的比是否也也确定呢？我们可以猜一下。是的，那本节课的目标呢？首先，一、通过内比正弦函数理解域弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念。 二、能灵活运用锐角三角函数进行相关计算。三、通过锐角三角函数的学习，培养学生内比学习的能力。 知识点一、与弦的定义如图，三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 e、 f 都是直角三角形，其中角 a 等于角 d， 角 c 等于角 f 等于九十度，那么有两角相等，我们可以判断这两个三角形是相似的，则 a、 c 比 ab， ac 比 ab 等于 d、 f 比 d、 e 吗？成立吗？为什么？成立？原因很简单，因为这两个三角形是相似的，那么它们的对应边一定是乘以 d 的 比例，我们交换前项和后项就能够得到。 来证明一下， 角 a 等于角 d， 角 c 等于角 f 等于九十度，所以角 b 等于角一，从而三元 b 等于三元一，因此 a、 c 比 ab 等于 d、 f 比 d 一。 那这种方法的话呢？我们就是用 前面学的正弦三角函数来证明的，也可以归纳在有一个锐角相等的直角三角形，是一个长竖，与直角三角形的大小无关， 如下图所示。在这三角形中，我们把锐角 a 的 菱边与斜边叫做角 a 的 余弦记作扩散， a 记扩散， a 等于角 a 的 菱边比，斜边等于 b 比 c。 总结，从上述探求和证明过程可以得到或与两角的三角函数之间的关系。对于任意锐角阿尔法，由 cosine 阿尔法等于 sine 九十度减阿尔法，或者 sine 阿尔法等于 cosine 九十度减阿尔法。 如图，在这道三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，那扩散于 a 等于角 a 的 邻边比斜边等于 b、 b、 c。 而正弦三元 a 等于角 a 的 对边比斜边等于 a、 b、 c。 注意一、三， a 和扩散 a 是 在这的三角形中定义的角 a 是 锐角，注意竖形结合构造这的三角形二、三 a。 扩散 a 是 一个比值数值三、三 a 和扩散 a 的 大小只与角 a 的 大小无关，而与三角形的边长无关。 练习我们我们来看到第一题，在这条三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，如果 a、 b 等于二， b、 c 等于一，那么扩散于 b 的 值。我们在刚做接接触这种类型的题目的时候，一定要纯结合，先把这个图给它画出来，然后呃角 c 是 九十度，然后 a、 b 等于二， b、 c 等于 b， c 等于一， b， c 是 一， a、 b 是 二，那么扩散一 b 的 值。扩散一 b 的 值，我们刚刚才学的，它就是明边比斜边就是一，比二 就是二分之一。在直角三角第二小题，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，还是一样啊，角 c 等于九十度， a、 c 等于四， b、 c 等于三， a、 c 四 b、 c 三则扩散于 b 的 值， 扩散于 b 的 值就是邻边比斜边三比三比五。 这点 r 正切的定义如图，知道三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 e、 f 都是知道三角形，其中角 a 等于角 d， 角 c 等于角 f 等于九十度，则 bc 比 bc， bc 比 ac 等于 e， f 比 df 吗？为什么？这个银行证啊，我们也可以用我们刚学习的证明，因为角 c 等于角 f 等于九十度，角 a 等于角 d， 所以 我们可以知道，这三角形 abc 相似于三角形，相似于这三角形 d、 e、 f， 所以 bc 比 bc 比 ef 就 等于 ac 比 dc。 当直角三角形的一个锐角大小确定时，其对应边与邻边的比值也是唯一确定的吗？当然是的， 在直角三角形中，当锐角 a 的 度数一定是，不管三角形大小如何，角 a 的 对边与邻边的比是一个固定值。如图，在 r， 在 直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。我们把锐角 a 的 对边与邻边的比叫做角 a 的 正切记作 tanning， tanning a， tanning a 等于角 a 的 对边比，角 a 的 邻边等于 a 比 b。 探求心知想一想，如果两个角互余，那这两个角的正切值与正切值有什么关系？我们可以来举一个例子，比方说，六十度和三十度的正切值有什么关系？我们可以来举一个例子，比方说，六十度和三十度的正切值有什么关系？我们可以来举一个例子，比方说，六十度和三十度的正切值有什么关系？我们可以来举一个例子，比方说，六十度和三十度。 六十度等于多少呢？ twenty nine 六十度是等于根号三，而 twenty nine 三十度呢？ twenty nine 三十度是等于一比根号三，也就是三分之根号三。 那我们会发现， twenty nine 三十度和 twenty nine 六十度， 他们的值相乘乘积为一，所以说明这两个数互为导数，所以我们可以得到最终的结论就是互余的两个角的正切值互为导数。第二位， 锐角 a 的 正确值可以等于一吗？我们可以想什么？我们可以想那个等腰直角三角形，它的它是四十五度，四十五度，九十度，那么它的正确值就是对边比斜边就刚好是一，那可以大于一吗？大于一的情况我们刚刚才说了， 比方说贪停点六十度，根号三，一点七几，它就是大于一的。好巩固练习，这个就不讲了，这一点。三，对角三角函数的定义 在做这种类型的题目的时候，在初期我们一定要做到脑中有图，心中有势。散元 a 是 角 a 的 邻边比斜边贪停点 a 是 对边比邻边 锐角 a 的 正弦与弦和正切统称角 a 的 锐角三角函数。 考点一，已知直角三角形已知直角三角形两边求锐角三角函数的值。如图，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度， a， b 等于十， bc 等于六，我们可以很快的想到的就是六八十，也就是三、四五， 那这里就是八，那这个三幺 a 扩散 a， 它的 a 就 很好求了。三幺 a 是 什么？是对边比斜边扩散 a 是 邻边比斜边餐厅的 a 是 对边比邻边。 方法，点拨已知已知的三角形中两条边求锐角三角函数的值的一般思路，当所涉及的边是已知时，利用直接利用定义求锐角三角函数的值。当所涉及的边是未知时，可以考虑用勾股定律的知识求的边的长度，然后根据定义求锐角三角函数的值。 好，这个巩固练习也不讲了，比较简单，大家自己做了之后可以对一下。 这是点二考考点二，已知一边及锐角三，三角函数求函数值。这个也比较简单啊，就是一个灵活的应用。 这个动画有点问题，如图，在知道三角形 a、 b、 c 中角 c 等于九十度， a， c 等于八。 tanning tanning a 等于三比四，求三元 a 和扩散 b 的 值， 那我们就可以利用贪婪的 a 来求出呃， bc 的 值。像，比方像像老师可能做这方面题目比较多，所以我一点能看出来 bc 就是 六，那六、八十，那我三 a 和三 a 都能求出来呢？ 好，这个题目也比较简单，就不讲了，我们来讲一下这个题目。如图， a、 b、 c 是 小正方形的顶点，且每个小正方形的边长是一则它的角 b、 a、 c 的 值，它的角 b、 a、 c。 好 像这个题目的话呢，首先我们要确定什么？我们要确定，呃，这个角 c、 b、 a 是 一个直角三角形，那我们怎么确定呢？我们可以利用 勾股定律把这三边的长度分别求出来，那如果他们满足斜边的平方等于两条这边的平方和，那么我们就可以证得。然后，呃，这个角 c、 b、 a 是 直角。 好，如果正在这里是直角的之后我们再看，那判定你角 b、 a、 c 是 等于什么？是等于 bc 比 ab。 其实我们会发现这就是一个等腰直角三角形，所以是一 好，这也是一个非常基础的知识。 我们来看一道能力提升题。如图，在这道三角形 a、 b、 c、 d。 中角 a、 c、 b 等于九十度， c、 d 垂直于 a， b， c、 d 等于六， c， d 等于八好六八十。求 tan t 立 b， tan t 立 b 的 值，求 tan t 立 b 的 值。那很明显这里就是 c、 d。 我 们要求的就是 c d 比 b、 d 或者呢 a c 比 b、 c， 而三角形 b、 d、 c 和三角形 b、 c、 a 很 明显是相似的。好，那我们来看怎么求这道题目？ 呃， cd， 如果我们考虑第一个思路， cd 比 b、 d 的 话，那 b、 d 的 长我是不知道的， 那如果用 a、 c 比 b、 c 的 话，那我 b、 c 的 长我也是不知道的。但是呢，我们现在知道的是刚刚我们说呢， b、 c、 d 和三角形 b、 c 哦 b、 d、 c 和三角形 b、 c、 a 是 相似的，并且我们还会发现三角形 a、 d、 c 和刚刚那两个三角形也是相似的。那么也就是说这三个三角形的边长之比都是三四五好，那如果都是三四五的话，那就非常好做了，那角 b 他 替你角 b， 那 就等于三比四 好。这个题目也不讲了，大家自己可以去就是看一下。最后我们来总结一下这节课学习了什么。 我们学习的就是一个余弦函数和正切函数，余弦就是扩散 a 等于角 a 的 邻边比，斜边正切就是角 a 的 对边比，角 a 的 邻边 性质，角 a 的 大小确定的情况下，扩散 a 和探听 a 为定值，与三角形的大小无关。