天津初二下数学一次函数不等式

好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。

体育老师高老师给了我一个问题，他说他不知道怎么利用数学思想和方法让那个问题更好的得以解决。我们一起来看一下他的问题是什么？他想选择身高和体重更标准的运动员去参加世运动会， 请你们思考一下，你怎么帮他更快速的确定合适的人选？有没有同学有思路的？好，来请尤敏来讲一下。觉得首先因为他要选择更标准的运动员。首先我们要确定那个标准是什么？ 同学们觉得他讲的有没有道理？有，我需要找一个标准来说明身高和体重更符合要求吧。那这个标准怎么确定？ 因为我们是要通过数学思想和解决实际问题，所以我觉得要用一定的数学知识。好，其实啊，在我国，我们的身高与标准体重他们中间是有确定的数量关系的， 这个数量关系，我们徐子豪利用这个数量关系编写了一个程序代码，我们一起请他来展示一下。那我就请一个组吧，请第二组，从左边开始，先报自己的身高。好吧， 六六六，你可以得到他的正常体重应该是到正常的标准体重应该是五十九点四千克，正常的范围范围应该是五十三点四六到六十五点三四， 体重都可以自己看。哎，所以请问肖子荣，你的现在的体重是多少？九十九十四，四十六。那你先来看一下你属于哪个范围 是不偏瘦的范围。好，如果是我们高老师要选择运动员，那肖子荣就被淘汰掉了啊，与他的标准体重相比，那他属于偏瘦的体型。好，再来 请他后面一位同学，好，一米六，我这里他的标准体重是五十四千克，正常和偏重和肥胖的范围都在这里，不好，我换一组好不好？请第三列最后一组的李宇翔同学来报一下自己的身高。 一米七三，这里的正常体重应该是显示为六十五点七千克。李宇翔同学，你的体重是多少？ 你的体重是多少？一百三十七，一百三十七刚好处于这个正常到这个正常的范围内，所以你想代表我们学校可以去参加运动会，恭喜你啊， 好，来，辛苦你，感谢你。我们看到啊，徐子豪编写的这个程序能够输入你的身高，从而得到你的标准体重，并且计算出正常偏胖偏瘦范围内的体重， 所以这就很好的帮助体育老师解决了问题吧。那现在我们用数学的眼光来看一下这个问题，我们来看一下徐子豪这个编程的背后他应用的是什么数学的数量关系。 首先请你们回答我，身高与标准体重是不是函数关系，是哪一类函数？他想是一次函数是吧？对，好，下来我们将他得到的这些数据 放到平面直角坐标系中，来观察一下这些点的变化趋势。是不是一次函数啊？我们把刚刚徐子豪编程的数据，我们现在来把它放到平面直角坐标系中，观察一下这几个散点的变化趋势。是一次函数吗？ 是，好，我们现在来用光滑的曲线把它连起来，是一条直线，所以他是一次函数。那请问你能够求出这个一次函数的解析式吗？ 可以用什么方法？待定系数法，那同学动笔用待定系数法求出这个一次函数的解。 好来，请所有同学看黑板，我们看一下全形全写的，看一下，用代定系数把将两个点代入求出来，最后是 y 等于零点九， x 减九十，是不是？这个答案是，我们现在来揭开现象，看本质， 看一下徐子豪同学代码中的解析式，是不是他在这里是不是总能算出来的解析式，对，很好，那现在有了一次函数的解析式，我们要再来解决问题就很简单了， 来，我们将这个一次函数解析式的图像把它画出来，那就是这一条直线。 但是在实际问题中，我们是不是要考虑自变量的实际范围？对，在实际问题中，体重能够为负数吗？不能，所以 x 轴以下的图像我们要舍掉， 最终的图像如图。那现在我要帮体育老师寻找标准体重为四十五千克的同学， 请你求一下他对应的身高， y 等于零点九 x， y 等于四十五，所以零点九 x 减九十等于四十五干什么呢？解方程来，快速解出来 x 等于多少？ 一百五十，一百五解出来 x 等于一百五十， 那这是我们利用解方程从数的角度来解决问题，请你们进一步思考一下，既然函数的图像在这里，我能不能够从图像中间直接找到它对应的身高，可以，打算怎么做？ 看现在看 y， 来，刘文忠，你说一下，我们可以先在 y 的 上面找到四十五升体重为四十五 的那个点，在对应到图像上面，再在 x 轴上面找到相应的身高。 对，思路很清晰，讲的非常好，坐下来，好，来，我们来把它的思路梳理一下。首先解方程里面的 y 等于四十五，在图像中间我要体现是不是就是 y 等于四十五这条直线？对，好，那这条直线上面的所有的点 都满足 y 等于四十五，但是能够满足零点九 x 减九十等于四十五的点是哪个点？对，那就是直线 y 等于四十五与依次函数的交点，我们找到它的交点， 现在来交点找到了，那最后解方程解出来的这个 x 等于一百五，在图像中间是怎么体现呢？看这个点的 x 就是 这个交点的横坐标。好，你们对应来看一下这个交点的横坐标是不刚好是一百五。 好，所以对于刚刚的题目，我们可以从竖的角度解方程，也可以结合图形从形的角度直接观察得到答案吧。对，那现在来， 我还想继续寻找一位体重为六十三千克的同学，请你们从形的角度直观的找到他对应的身高，一起来回答我。怎么做？先找直线 y 等于六十三，那我需要的是哪个点呢？ 与一个函数的交点，这个交点是不是就满足零点九 x 减九十等于六十三，那所以对应的身高即是谁 这个点的横坐标，这个点对应的横坐标，我们一起来看一下他的横坐标是多少，看到了吗？一百七，是不是一百七？所以来从今天开始，我们寻找到了一种新的解方程的思路， 也就是我要寻找四十五或者六十三千克的标准体重，那我们就是在图像中找到直线 y 等于四十五， 需要的是这条直线与这条依次函数图像交点的很重要，非常好。那现在老师有一个难题要教给你们了，我要寻找的是标准体重为 c 一 千克的同学， 请你们竖形结合思考一下他对应的身高是多少？来学案上面尝试一下，好来做的差不多啊，请陈玉文同学来讲一下，你竖形结合是怎么做的？因为他告诉我们标准体重为 a 一 千克， 他们要给我们 c 在 哪里，所以我们把这个设为 c， 然后他对应到函数解析式上，就与函数解析式有个交点，我们要求的身高呢，就是这个交点的横坐标及点 o 到 h 的 距离，所以最后的身高是 h。 很好， 他讲的非常的清晰啊，表达的很顺畅。那我们需要找的是不是直线 y 等于 c 后，要的是哪个点？第一次函数的交点， 那最后要解方程求得的身高即是交点的很重要。所以来我们总结一下， 对于一元一次方程 a x 加 b 等于 c 的 解，我联系它对应的一次函数 从数的角度而言代表了什么呢？那就是一次函数里面的 y 等于零，是不是解方程对好，从形的角度而言呢， 就是直线 y 等于一次函数焦点的坐标。那现在我们帮体育老师解决了部分的人选的确定， 但是他还是有一个问题没有解决，由于每个体育项目需要的身高和体重不同，所以他又犯难了，我该怎么快速的确定符合某一范围要求内的运动员？比如我们的铅球运动员， 他需要的标准体重要超过六十三千克。那请你想办法解决一下他身高范围应该是多少？来跟我一起分享一下，你打算如何解决？标准体重要超过六十三， 在数学里面用数学符号语言怎么表示小于六十三？那即使这个解析是零点九 x 减九十大于六十三， 我们在干什么？解不等式？解不等式。好，来快速解一下解出来是多少？ x 大 于一百七十， x 等于一百七十，我们这是不是从数的角度来解决不等式？那类比刚刚函数与方程的数形结合， 这个不等式的解集能不能够也竖形结合解决它？那怎么竖形结合？ 我们尝试先取几个点啊？先取几个符合要求的点，比如 y 等于七十的时候， 所对应的这个 x 一 是不是就是符合要求的身高？对，那我们再往下取一点点， y 等于六十四的时候，所对应的 x 也是符合要求的吧？对，那请问 y 最小能够取到多少？ 六十三？而满足零点九 x 减九十等于六十三的是不就是这个焦点？对，由于题目要求的是 y 大 于六十三，所以这个点我们取空心圈，那这个点所对应的横坐标是一百七。 最终题目所需要的 y 大 于六十三的点在哪里？直线 y 等于六十三的上方。非常好，那就是上方图像上的所有点 都满足零点九 x 减九十大于六十三。那最后我们要求的的剪辑在图像中间怎么体现？那就是这一段图像呢？ 上上方的点的横坐标是不就是他的横坐标？对，所以找到这一段点所对应的横坐标的范围。所以最终的答案， 那你们来看一下不等式，我要求他的解析是不也能从函数的角度来解决？对，好，现在第二个队伍是我们的花样跳绳队， 他所需要的标准体重在四十五到六十三千克之间。请你在选项上自己尝试，动笔选择你所喜欢的方法，来帮体育老师解决这个问题。 我们一起来看一下。这是杨紫曦同学的答案，他是从哪个角度来解决这个问题的？数的角度，那 y 的 范围是四十五到六十三，所以那是不是解两个不等式？ 对，这个不等式组的解集就是 x 大 于一百五，小于一百七。好，这是一个方法， 我是不是还可以从形的角度来解决问题？对，好，刚刚看到刘国周同学从形的角度已经出来了，我们请他上来讲解一下。首先看到这个标准体重是要在四十五到三六十三之间，我们可以在 y 轴上面找到这两个点， 如果大家不确定的话，可以先在 y 轴上面取在这个之间中的一个点， 然后再把它对应到这个图像上面来与它的焦点的横坐标，我们可以看到这个 x 一 点，它是在这个范围之内的，然后看到四十五、四十五，他说 体重在四十五到六十三之间，我们取一个最小的值，体重的值就是四十五，放到图像上来，对应下来就是一百五、 六十三，再看六十三，他与图像的交点，在这个交点的横坐标就是一百七，所以在这个六十三与四十五之间，他的图像范围就是这这一部分，再对应到很很 x 轴上面就是 x 小 于一百七，大于一百五， 讲的对不对？对，我来再一次梳理一下啊，在这个范围里面，我的 y 最小能取多少？ 但是这个与一次还说焦点能取吗？不能，不能取，因为是 y 大 于四十五，那最大取多少？六十六十三， 同时这个焦点也不能取吧？那现在哪一段图像是符合零点九 x 减九十大于四十五小于六十三的呢？哪一段图像是这两条直线中间的图像？ 他上面的点都符合这个不等式吧。所以最终不等式组的解集就是谁 x， 也就是这一段图像上点所对应的 x 的 范围吧。对，好，非常好啊，那看来同学们掌握的不错。 所以最后我要给你们一个问题，如果标准体重小于 c， 千克身高范围是多少？这里 y 要小于 c， 那 我是不是先取到直线 y 等于 c？ 对， 好，请你们来告诉我， 满足 y 小 于 c 的 图像在哪里？在哪里？谁的下方？ c？ c， c 吗？讲 c 吗？ x， y 等于下方的图像 是一直想下来吗？不是，到哪里要到直线 y 等于零，因为要符合实际意义， 所以符合范围要求的图像是不就是这两条直线中间的？对，好，中间的图像上的点满足我们的不等式，所以来直接看图告诉我答案， x 的 范围大于一百小于零。 那现在我们可以总结函数与不等式的关系了吗？对于一个一元一次不等式 x 加 b 小 于 c 的 剪辑，来我们联系他对应的一次函数，请问从数的角度而言代表了什么东西？ 当 y， 当 y 小 于 c 时，那是不是就解不等式了？对，所以我们的不等式也可以转变为函数二。

这个视频是讲给盛太城八年级数学成绩在八十到九十左右，想冲刺一百甚至一百以上的同学们，这是一次函数与不等式，在这个平面直角坐标系中有两条直线，白色的这条直线咱们记为 y 一 等于 k 一， x 加 b。 红色的这条线咱们可以记为 y 二， y 二等于 k 二， x 加 c， 那 咱们求这个关于 x 的 不等式的解集，那也就是求 x 的 取值范围。方法是，第一步，找焦点， 两条直线交点是一等弧二。第二步，画竖线，在交点的地方画一条竖线，我就直接画成实线了。第三步，比大小，那怎么比大小呢？ k 一 x 加 d， 那 就是 y 一， k 二 x 加 c， 那 就是 y 二，其实就是让咱们看 y 一 小于 y 二的时候， x 的 曲值范围。那我们找一下我画的这条直线， 哪边是外二，在上的时候，也就是红色这条线在上边的。很明显这一部分红色的直线在这个白色的指线上边，在黄色这条线的左边，那也就是他所有的 x 取值都应该比一小， 那所以这个解集就为 x 小 于一。听不懂，跟不上，作业不会做，评论区留言，我带大家一起学数学。

一个视频搞定一次函数，整个初中数学所考察的所有考点都在这里，我们今天一次性通关，听完这期一次函数，彻底搞懂，准备好了吗？七个考点，我们现在开讲。 好，那么首先来看一下第一个，也就是图像与系数啊，就是我们给出一个一次函数，那他的图像如图所示。什么叫图像与系数呢？就是你要知道，给出一个一次函数，对吧？他的 k b 啊，对于函数图像有什么影响？嗯，好，现在问题来了，你可以推出 k b 的 正负， 请问另外一个意思是， y 等于 k， x 减 k， 它的图像大致是以下中的哪一个？那首先我们知道，因为图像从左往右是下降的，所以我们知道这个 k 呢，它一定是个负数， 你与 y 轴交于正半轴，因此我们知道呢？哎，你这个 b 一定是正的，但这个题呢？因为你这个 b， 他 根本就不考，他只有什么？只有 k， 对 吧？ k 是 一个负数，所以我们知道你前面这个系数呢，一定是负的， 对吧？那你这个 b 是 负 k， 你 不要觉得是 k 啊，这个负 k， 我 们知道啊， k 是 负的嘛，所以这个负 k 呢，它就是正的 o， 也就是你所谓的依次向的系数负的，所以你整个图像，也就是你如果画出来草图，应该长长什么样子？ 负的，所以从左往右是下降的，对吧？但你与外周交于正半周，与外周交于正半周，从左往右是下降的，所以你会发现选哪一个？ b 不 对吧？ c 不 对吧？ d， 你 从头往右下降，但是你交于怎么样呢？交于负半轴了，对吧？所以都不对。因此这里面你发现符合选项的只有 a 选项，但这个题你会发现，我个人觉得啊， 他对我们的口点挖掘的并不充分。喏，你比方，如果是我的话，我可能会画一个这个，再画一个什么的， 画一个像这种，对吧？嗯，这个是一，这个呢？哎，这是一，这是二，对吧？你觉得哪个对？好像你用这个正负极判断，好像每个都可以，对吧？但你要知道，其实我们这个一函数，你仔细观察一下，如果你令 y 等于零，也是求它与 x 轴的交点，有办法你移过去呢， 我们可以求出来，对吧？你这个移过来，负 k， x 等于负 k x 等于 x 等于，就这个一次函数，它与 x 轴，对吧？交点的横坐标百分百是一，那这里面标出来了，所以这里我们选的是 a 选项。搞定 好，接下来我们再看第二个啊，就是用待定系数法求我们的一次函数。好，那么首先我们给出一个一次函数，嗯， 当 x 在 一到三之间的时候呢？我们的 y 是 二到六之间，那么请问 m 的 值等于多少？我告诉你，这个题呢，分两类同学。一类同学说，亮亮，你看一到三的时候，我的值是二到六，所以也就是当 x 等于一的时候，对吧？ y 一定等于二， 以及当你 x 等于三的时候， y 一定等于六。把这两个点带进去，不就结束了吗？嗯，为什么呢？不能这么想，为什么？因为这里面 m 是 正的，而负的，你知不知道？你不知道，所以它的图像有可能像这个样子，有可能像这个样子，对吧？所以它有两种情况啊。亮亮，我早就知道有两种情况， 两种情况对应着两个一函数，所以你答案就有两个，对吧？所以这个题肯定选 c。 如果你这么想，哎，也是错的，那我们怎么去处理呢？首先分类是对的，因为你这里面不知道 m， 对 吧？我的图像是往上而往下的，所以我们考虑第一种情况，当我们图像呢？嗯， m 大 于零， 你整个图像也就是像这样，对吧？上升的。好，那我们知道你一到三的时候，对应的是二到六，所以我们知道啊，也就是像这个样子，那你这个是一，对吧？ 那你这个是三，现在你对应的是二到六，就是一所对应的外值是二三所对应的外值呢？是六。我画了一个草图啊，所以你会发现这个点的坐标呢，也就是一二吧， 这个点的坐标呢，也就是三六，对不对？好，但你会发现，我们整个一函数里面，它只有一个未知的参数 m， 所以 你只需要一个点坐标就可以把 m 求出来。比方说我们把一二带进去， 你把一二带进去，横坐标一，也是 m 减四， m 等于几呢？等于纵坐标二，对吧？等于纵坐标二，所以你求出来 m 等于几，也就是这边呢，是负三 m 负三， m 等于二，所以求出来 m 等于几呢？你这个求出来， m 等于负的三分之二，对吧？ 好，接下来你把这个点带进去，按理说你 m 应该也等于负三分之二，对吧？好，接下来你把三带进去， 三 m 减四， m 等于几？等于纵坐标等于六，也就是负 m， 对 吧？等于六，所以我们觉得 m 等于几？ o m 等于负六，那就说明什么？说明也就是把这个点带进去呢？ m 等于这么多，把这个点带进去呢？ m 等于负六，那你说你这个一乘以一 y 等于二，当 x 三 y 等于六，你觉得可能吗？ 绝对不可能，对吧？所以第一种情况他是不符合提议的，产生矛盾了，所以接下来我们考虑第二种情况也就怎么样呢？ m， 小 林，我们这个图像呢？哎，从左往右下降的好，在一到三的时候，你看看一到三，那很明显，一所对应的就更大了，对吧？你这个三所对应的反而更小一些。 一所对应，你看看，在整个方位里面，我是二到六的，你说明这个点，他的纵坐标是二，以及你这个点的纵坐标呢，是六，对吧？ 嗯，所以也就是你发这个点呢，他是一六，而且你这个点呢，是三二，是不是？那么接下来你会发现，喏，把这个点带进去，也就是 m 呢，减去四 m 等于几？等于六，对吧？ 你这个等于负三 m 负三 m 等于六，所以我们知道，你求出来， m 等于几？ m 等于负二， 那如果你还经过这个点，这个点带进去，你除了 m， 应该也等于负二，对吧？好，你把三二带进去试一下， 三二带进去，也就是三 m 减去了四 m 等于二，你这个求出来，负 m， 负 m 等于二，所以你算出来怎么样？ m 也等于负二，对吧？行不行？行，因此我们知道，也就是 m 呢，它只有一个值，也就是负二。所以这个题我们选择 b 选项搞定，要分类，但是我们要排除掉其中的一种。 那么有些同学呢，一直傻傻分不清楚，函数到底该怎么拼啊？其实所有的函数呢，大家只需要记住八个字，叫做左加右减，对吧？以及呢？我们上加下减，但你要注意啊，就是你这个左右加减， 它是在 x 上完成的，而我们这个上加下减呢，它是在我们表达式 上面完成的。好，那么接下来买什么意思呢？举个例子，比方说，我们有一个函数，也就是 y 等于二 x， 你 干嘛？你往右移动两个单位，对吧？我们说左加右减，所以你往右移动，你就应该怎么样呢？减二，我在哪减二呢？ 在 x 上面减二，你 x 减二，你这个 x 减二之后， x 就 会变成什么？变成 x 减二， 理解了没有哦，所以整个函数平移之后，它就会变成 y 等于二倍的 x 变成 x 减二了。好，接下来往上移动四个单位，我们说上加下减吧，你往上，所以我们就加，对吧？加式在哪加呢？在表达式上面 往上移动四个单位，所以在表达式上直接加四搞定。那最终你化简可得， y 等于二， x 减四再加四，所以等于几呢？等于二 x， y 等于二 x， 选哪一个啊？因此你会发现，选 a 搞定。 这个题考的就是函数与不等式，它没有任何的计算量，但是你需要去理解，你不理解，你可能都不知道答案怎么来的。好，给出一个一次函数，给出一个一次函数两个。哎，我就把它标一下，好不好？比方说这个一次函数呢，我就把它标成红色的 y 等于 k， x 加 b， 而剩下这一条呢，我就把它标成蓝色的，也就是 y 等于 mx 加上 n， 就 像这种形式。好，就像这样好，其实你会发现，在图形里面，我们可以看出来，二者会有个焦点，而且这个焦点的横坐标呢？是负三。好，请问 那么这个不等式它的解集是什么？那有没有同学说，亮亮，我要把这个，对吧？把这个直线表达式求出来，把这个直线表达式求出来，带进去。哎，我们就构造一个不等式，把这个不等式解出来就可以，如果你这么做就太麻烦，而且很多题目你是求不出表达式了，那该怎么办呢？ 其实你有办法， k x 加 b， 不 就我的外值吗，对吧？而我们右边这个 mx 加 n 呢， 它不就是这个蓝色一次函数它的表达式吗？哦，也就是这两个函数，对吧？红色函数小于蓝色函数。大家记住啊，像这种题，你只要记住一句话，叫做焦点左右望，谁大谁在上，你会发现这两个一次函数它会产生一个焦点吧？ 哦，焦点的左右就是大家大小的分界点。好，那你会发现红色小于蓝色， 所以红色应该在下面，蓝色图像应该在上方，就在焦点的哪一边，我们整个蓝色在红色图像的上方呢？ 哦，你会发现在焦点的左边，你这个蓝色在红色的下方，那不行，在焦点的右边呢。哦，你会发现， 喏，我的蓝色是不是在上，红色是不是在下，蓝色在红色的上方，所以这一边可以，对吧？所以焦点左右望，哪边满足？右边满足，焦点的右边满足。所以呢，我们的取值范围也就是怎么样？ x 大 于等于注呀，这里有等于号，对吧？就两个一次函数，它们可以怎么样呢？相等，所以你这个焦点满足的大于等于负三。搞定 好，接下来我们处理一次函数里面的最值问题，那首先给出一个坐标系，有一个菱形， a、 b、 c、 d 菱形，我们知道四边相等，对边平行。好，现在 a、 b 两点呢？它都在 x 轴上面， d 点在外轴上面啊， d 点在这， 嗯，点 c 呢？在第一项键，我们看得出来。好，现在我告诉你 a、 d 的 表达式等于这么多，那想想 一条直线的表达式告诉我们之后，我们可以求什么呢？首先可以求它以 y 轴的焦点，不就是你后面这个东西吗？对吧？所以 d 点坐标我们知道是零四的，那怎么求 a 点坐标呢？其实很简单，你令整个函数，对吧？ y 等于零， 解这个方程就可以了，所以我们知道也就是三分之四， x 加上四等于负四，所以我们求着 x 等于几等于负三， 也就是我们知道 a 点坐标呢，一定多少？一定是负三零，对吧？我写这里啊，负三零，其实也就是我们知道你这个边是三了，以及我们知道这个边等于几呢，这个边等于四，对吧？就 d 的 总坐标， 所以通过勾股定律，你可以求出来整个边是不是五呀？哎，我们就写在旁边好不好？哎，我们知道零时的边上这个边是五，可不可以？好，那么接下来我们继续往后了。好， 现在 p 是 b 边上一个洞点， p 点在整个对角线上动来动去的。哎，菱形有什么特点啊？好，现在那么 ap 加 o p， 它的最小值 啊，就是 p 点是个洞点，连接 o 点，连接 a 点，对吧？求这两条线段制合的最小值。好，比方说我把这一条边呢，把它标做红边。好，剩下这个 p o 呢，我就把它标做一条蓝边，比方说你是个蓝边， 也是，接下来我们要干嘛？要使得红边加蓝边，两边之隔最小，那很明显它就是一个将军一马问题嘛，我们要么做 a 关于 b、 d 对 称点，要么做 o 关于 b、 d 对 称点，都可以，但是哪个更简单呢？我们知道 菱形，它是个轴对称图形，对吧？ a 关于 b、 d 的 对称点就是 c 点哎，所以你会发现，喏，你是对称的，那么根据对称性，我们知道连接 p、 c， 那 么这两条线段一定相等， 所以也就是我只要舍得这一条红边，加上这个蓝边，两边这个最小就可以。那如何最小呢？其实你要知道，屁是一个动点嘛，他就相对从 c 点出发，走走走走，走到 b 地边上再走走走走走，回到 o 点，对吧？ 从 c 点出发到达 o 点，但是你要经过 b、 d， 两点之间线段最短，所以你直接连接 o、 c 是 不就可以了，对吧？你要经过 b、 d 边上的 p 点，那不就顺手的事吗？所以你会发现，最短路径呢，就是线段 o、 c 的 长度。那问题呢， o、 c 怎么求呢？ 非常简单，你要注意啊，因为你这个角是直角吗？坐标系哎，你外轴垂直于 ab， 你 这个外轴一定就垂直 dc 了，所以也就是这个角一定是直角啊。那最终你会发现，喏，在 c、 d、 o 这个大大大大的直角三角形中，一个直角边五， 剩下一个直角边呢？这个边其实我们刚才标出来了，它是 d 的 中坐标，也就是四，对吧。所以你会发现，通过勾股定律，你的平方 加上怎么样呢？我的平方在开方吧，所以我们求出来就是我们整个 o、 c 的 长度，对吧？选哪一个？根号四十一所，我们选 a 搞定。 其实我们整个一次函数里面的应用题非常多，但是我拿出非常具有代表性的一个调用问题。好， 现在我们将甲、乙两厂的生产设备运往 ab 两地啊，把甲厂乙厂有些设备呢运到这里，这里，对吧？哎，搞事，现在甲厂有六十台设备，乙厂有四十台。好，写出来。就甲厂呢，总共有六十台，你这个乙厂呢？总共有四十台，对吧？加起来一百台。 那 a、 b 需要多少呢？你会发现我们这个 a、 d 需要七十台。哎呦，我需要七十台哎，你都得给我对吧？好， b、 d 需要三十台。那你想想， a、 d 和 b、 d 总共加在一起，我需要一百台吗？ 我们总共有一百台，而你刚好需要的也是一百台，也就意味着假场和遗场所有的设备要一台不剩的全部运出去，对吧？好，现在每台设备的运输费用呢？如表所示，什么意思呢？就是甲运到 a， 每台呢，要七单位，是什么？七百元？甲运到 b 呢啊，每台需要十个单位。乙运到 a 呢，需要十个百元，对吧？ 以运一台设备去 b、 d 呢，要十五个百元啊，就这个意思。好，现在是从假场运往 a、 d 的 设备有 x 台， x 为整数，你不说我也知道，对吧？好，就是假运往 a、 d， 你 运了怎么样？运了 x 台对吧？好，那我想问一下，请问其他的我们能表示吗？百分百可以表示出来，你是 x 台吗？我们刚才说了， 我们所有的设备你要一台不留的全部运出去，对吧？我总共六十台，我往 a、 d 用了 x 台，剩下是不是都得用往 b、 d 去啊？用六十减 x 吧，所以你用往 b、 d 的， 甲用往 b 的 一定是六十减 x， 有 这么多台，对吧？所以你会发现哦，甲用往 b、 d 不 就出来吗？ 六十减 x 台，好问题呢，你用 a、 d 的 呢？其实这里面我们都会表示，为什么呢？因为 a、 d 需要七十台嘛，你给我送来了 x 台，所以剩下你需要给我补齐多少台？ 七十减 x， 嗯，就是这个意思啊，它要七十减 x， 需要这么多台，明白了吧？好，接下来 那么这块怎么表示呢？你有两种方法，第一个 b、 d 总共需要三十，你这个乙需要送多少呢？你用三十减去它，哎，你会把三十减去六十减 x， 我 们求出来等于多少？ 等于 x 减三十，这是第一种方法。第二种方法干嘛呢？我乙总共有四十台，我往 a、 d 已经用了这么多，所以我剩下是不都得用往 b、 d 啊？一台不留嘛，所以你用它减去它，你可以试一下。哎，你用四十减去你，对吧？ 七十减 x， 你 求出来也是 x 减三十 o， 不 管用哪一种方法，你需要的是怎么样？以往 b 运这么多台，所以你想想，以往 a、 d 运的呢？以往 a、 d 运的也就是七十减 x， 以往 b 运的呢？ 以往币运的怎么样？也就是 x 减三十。好，表示完毕之后呢？接下来让我们设计一种调运的运输方案，要使得总运费最低，并求出最低费用是多少。行，我们就利用这个费用呢，我们另他是 y 好 不好？那这个费用怎么表示？ 你假用往 a、 d 总共用了 x 台，每台是七个单位，对吧？哎，你就说七个，你说真讨厌。七百元也是怎么样呢？七 x 加上你用往 b d 呢？哎，每台多少？十个百元，总有这么多台，所以用十乘以它，说白了就是加了十倍的 六十减 x， 加十倍的六十减 x， 让我们再加上什么呢？一样的喏， e 往 a 运了这么多台，每台需要这么多钱，我们乘一下就是整个代数式吧，加上十倍的七十减去 x， 那 最后呢？ 以往币呢？运了这么多台，每台需要这么多钱，所以乘一下就是这个代数式，所以我们加上什么呢？加上十五倍的呢？也就是 x 减三十。好，所以最终我们需要做的干嘛？就是把整个式子，把它给求出来，我们来试一下啊， 等于七 x 加上六百，减去十倍的 x 加上七百，然后减去十 x， 然后怎么样呢？加上十五 x 再减去四百五，等于这么多。 好，所以最终我们求出来等于多少呢？来，我们算一下啊，七 x 减十 x 负三 x 再减十 x 负十三 x 加十五 x 呢？ o 总算是正的二 x， 对 吧？好，接下来 六百加七百，一千三，一千三减去，你呢算你最终求出来等于多少？八百五，对吧？哎，最终答案呢，比较简洁，也就是我们最终的费用是二 x 加上八百五。好，那问题来了， 你要去求它的最大最小值，你是不是得知道 x 取的范围才可以啊，对吧？你不然怎么求费用呢？ x 等于一百一万，一千负一负一百你都不知道，对吧？那范围怎么求呢？其实这种钓鱼问题，范围非常好求干嘛？你只要使的夹往 a、 d、 b、 d， 以往 a、 d、 b d 你 调用的这所有的台数的数量大于等于零就可以了，对吧？比方说 x 大 于等于零，哎，你要舍得这个东西， x 大 于等于零， 其次呢，你要保证这个东西大于等于零，对吧？也就是六十减 x 大 于等于零，我们就说 x 呢，小等于六十，其次，你这个东西你调用的不能是负数吧， 你最起码得大于等于零，对不对？你大于等于零，七十减 x 大 于等于零，所以 x 怎么样呢？ x 小 等于七十，还有什么你，对吧啊？ x 减三十，你得大于等于零， x 呢？得大于等于三十，所以也就是你会发现 no 同大取大，所以取值范围多少？也就是三十。小等于 x 同小取小，所以呢，小于等于六十。好，这个就是我们 x 的 取值范围。那你要知道我们整个 e 函数 k 是 大于零的嘛，所以 y 随着 x 的 增大而增大， 我要费用最低送你 x 越小越好。 x 小 到什么程度呢？嗯，最小三十嘛，对吧？所以也就是当 x 等于三十的时候，对不对？当 x 等于三十也就怎么样呢？他让我们设计方案 这个班我们直接说啊，就夹往 a 里，对吧？你这个是三十 x 三十嘛？你这是三十 x 三十，你这是四十， x 等于三十，你这是零，明白没有？这么去调运，哎，一定是最省钱的。呃，最少的费用多少？把三十带进去， 二乘以三十呢？六十加上八百五，我们求出来等于九百一十，单位怎么样？百元，你是百元，我也答百元啊，好吧。哎，开个玩笑了，就是我们平常这个答题的时候你要写啊，没有这种对吧？哎，九万一千元搞定。 其实像这种题，我个人觉得比较简单，无非就是把我们熟悉的东西呢放在里面。我们首先来看一下前面小问好，我们给出一个一次函数，它的图像呢，分别交 x 轴、 y 轴于 ab 两点啊，交 a 点、 b 点。其实通过这个一次函数，我们可以求出来，就像上一题一样吧， 我们知道 b 点坐标呢，是零三，以及呢？另外等于我们求出 a 点坐标呢，也就是负四零，我们把它标注出来。好，问题来了， 点 c 是 a 点，关于 y 轴的对称点，所以我们知道这个点的坐标呢，也就是四零，好 过 c 点做 y 轴的平行线啊，其实说白就是做 x 轴的垂线，对吧？嗯，交于 d 点，所以我们知道 d 点横坐标也是四，而 d 点在整个直线就是在它上面横坐标四，把四带进去， 你是三再加三的，所以我们知道 d 点坐标是四六的， p 是 整个射线 c d 上一个动点。注意啊， 射线 c d 就 意味着我可以在线段 c d 上，我可以跑到线段 c、 d 的 外面去，对吧？但不能在这啊，在这呢就叫直线 c d 了。好，第一个求地点坐标，我们已经搞定了。 好，接下来我们看第二问啊，就是把整个三角形 a、 d， c 呢？沿着我们 a p 翻一下，对吧？啊？把它翻过去干嘛？使得 c 点 的对应点 c 撇啊？你这个对应点 c 恰好落在直线 a、 b 上，让我们求这个点 p 的 坐标。其实这个题呢，你用等面积法可以，你用勾股定点呢，也可以，比方说，通过我们前面这个图，我们知道整个底边是几， 整个底边是八，对吧？哎，整个底边的长度一定是八，而且我们知道，那通过地点坐标，咱们知道这个边的长度是不一定是六，没问题吧？所以我们知道整个斜边一定是十八六，八十吗？你是把这个三角形，对吧？ 哎，你把这个三角形，你把它翻过去，你这个边是八，所以我们知道这个边长度一定也是八，并且你这个角九十度，所以这个角也是直角，说白了他也是个直角三角形。 与此同时，我们知道你整个斜边是十，拿走八个单位，所以这个边是二。好，你让我求 p 点坐标，其实说白了， 它的横坐标几？ c 的 横坐标是四嘛？所以整条直线横坐标都是四，所以我们知道 p 的 横坐标一定是四，我只要求纵坐标 c p 就 可以了，对吧？好，那么此时我们大胆引入未知数，比方说另这个边是 x， 你把它翻过去了，你这个边 x， 所以 我这个边也是 x， 你 整条线段长度是六，所以我们知道这个边六减 x。 最终你会发现，在这个直角三角形中，用勾股定律，你的平方， 也就是 x 平方加上你的平方，对吧？一定等于什么？等于它的平方，也就是六减 x 括起来的平方。那最终呢，我们可以求出 x 方加上四等于三十，六减十二， x 加上 x 方，对吧？ 好，左右两边我们哐当，哐当也就是十二， x 呢，等于三十二，所以我们求了 x 等于几。除以十二， 也就是除以四，三分之八，哦，也就是 c p 的 长度呢？三分之八，所以我的纵坐标呢，也就是三分之八。 p 点坐标搞定。 好，我们看第三个，如果直线 o p 啊，就是连接 o 点跟 p 点，那 p 点在上面动来动去，比如 p 点，你就在这吧，可不可以？好，你连接一下 o p， 哎，延长，对吧？哎，你会发现二指头会产生一个焦点。好，焦点是我们的 q 点在哪？不知道。 好，当然它呢，不能跟 d 点重合好，是否存在 p 点，它有什么要求呢？你这个 p 点使得 c p q， 哪个 c p q？ 哦，干嘛也是我连一下对吧？我把这个擦掉，哎，我连一下 是吧？ c p q， 这个三角形面积等于二倍的 d p q 等于这个三角形面积的二倍。有没有这样的 p 呢？如果有，求 q 点坐标，如果没有，请说明理由。好，你其实你想想啊，就是你有发现这个三角形跟这个三角形 它有什么联系呢？它的高是公共的，你过 q 点往这边做垂线好不好？比方这个是 h， 哎，把这个 b 擦掉啊，哎，这个 p 在 这里，明白没有？哎， p 点在这呢，连接 o p， 焦点 q 点。好，你会发现我们这个三角形能看到吗？它的底边是 dp， 它的高是什么呢？ h， 而我们这个钝角三角形，一样的底边呢，是 c p， 高呢？是 h， 所以 你有发现这两个三角形它的高是公共的，相等的，重复的，对吧？所以面积比呢，一定等于底边之比，底边之比，我的面积是你的二倍，说白了，也就是我们知道底边一定是你的二倍， 对吧？就是 c p 等于二倍的 d p， 而大家不要忘了啊，所以你发现面积关系，其实我们可以怎么样呢？把它变成我们的， 哎，线段的比例关系，对吧？哎，你刚才屁点在这，大家不要忘了 d 点坐标，它是四六的，四六就意味着整条线段是六，你把它分成二比一的两部分，所以我们知道整个长度一定是四，明白了没有？ 哎，也就是你这个屁点坐标呢？横坐标是四，对吧？纵坐标呢？还是四？好，那接下来你让我求 q 点坐标， q 点咋求？所以你看把图形，把图形补全，对吧？ q 点差不多在这， 那经过 o 点，经过 p 点，所以它是个正比的函数，对吧？那我想问一下，整个正比的函数大家可以求出来吗？ 那四四，所以我们知道它是 y 等于 x， 没问题吧？求正比的函数，你只需要一个点，四四代均没有问题。好，而我们知道这条直线的表达是多少呢？ 那 y 等于四分之三， x 加上三，所以我们知道知道 p 点坐标， 求出正比的函数，那求二者的焦点。剩下我觉得简单了吧，就是 x 呢，等于四分之三， x 加上三移过去四分之一， x 呢，等于三，所以 x 等于几？ x 等于十二，就是 q 点这个焦点，对吧？ 哎， q 点焦点的横坐标是十二，纵坐标呢？你可以把十二带到这里面去，你可以把十二呢带到这里面去。哎，带这个更快，对吧？所以我们求出 q 点坐标呢，十二，十二。好，那接下来问题来了，你要知道 q 点怎么样？ 它在整个射线 c、 d 上运动，它除了在这条线段上呢，它可以跑到外面去，对吧？那比方说呢？哎，差不多就长这个样子吧，可不可以好？连接 o p， 对 吧？连接 o p 怎么样？它这个与直线 a、 b 的 交点呢？这是我们的 q 点， q 点在这 好干嘛呢？哎，我们连接一下， c p q 是 哪个？ c p q 不 就是这个三角形吗？它的面积等于什么？等于 d p q， d p q 啊，就这个三角形吧，就是我这个大三角形，是你这个小三角形面积的二倍，一样道理呢？你会发现，你过 q 点做垂线，对吧？ 你会发现这个三角形，你把它当做底，它的高是不是这条垂线段一样的？你这个三角形呢？你把 d p 当做底，我的高是不是也是这个垂线段？所以整个大三角形的高是这么多， 你这个钝角三角形，这个小三角形高也这么多。两个三角形高是重复的，相等的，完全一样的，所以它们的面积比其实就等于什么呢？就等于它的底边这里，所以就是整个大三角形，它的底边 c p 是你这个小三角形，对吧？哎，它的底边 d p 的 二倍，也就是我是你的二倍。说白了， d 点就是整个 p c 的 中点， d 点坐标，大家不要忘了啊，是四六的好不好？所以你要知道整个是六嘛，所以这个也是六，也就是它的坐标是四十二，那一样道理。 它是一个正比的函数，经过圆点，经过 p 点，所以我们可以非常快速求出来，它是 y 等于三 x， 对 吧？横坐标四带进去，纵坐标是不是十二？ 好，接下来呢？和这条直线产生交点，对吧？这个直线我们说的是 y 等于四分之三 x 加上三的，所以接下来 求这个正比的函数和这个一次函数二者的交点。所以构造方程也就三 x 呢，等于四分之三 x 再加上三，所以把这个移过去，嗯，四分之九倍的 x 呢？等于三，所以我们可以求出 x 等于几， x 等于 三分之四。 o， 也就是干嘛？也就是你这个焦点 q 点，对吧？我们求出来焦点，哎，就是我们第二个 q， 它的横坐标呢？是三分之四的，那纵坐标呢？你可以把三分之四带到这里面去，你可以把三分之四带到这里面去，你会发现我们的纵坐标等于四。 搞定，也就是最终我们满足条件的 q 点呢，就这两个。好了，一次函数的核心考点就这些，哪块不熟，倒回去再看一遍。亮亮也给大家准备好了一次函数的练习题，赶紧去领取练习起来吧，跟着亮亮无脑学习。

来咱们说一下一次函数啊，一次函数的话本身是不难的，本身的话就那些基础概念的话，只要掌握了就很轻松就能拿分。然后难的是一次函数的不等式和一次函数。咱们的二十五题压轴题，也就是期末考试的压轴题，这个咱们需要训练。好，咱们来看一下题， 来，咱们看一下五一期间这个函数啊，一飞冲天的函数。函数这一章它分了两大章，一个是一次函数，一个是函数， 然后函数这张考察的是这个基本定义问题，然后我看了一下大家问题应该都不大，这个都是基本定义，然后 该讲的题都讲过，然后咱们主攻的是依次函数，依次函数的话，我看了一下大家的这个错题，错题的话前面应该是都对了，都是上课练习过的题。然后我们现在说一下这个十六、十七、十八题吧， 把这三道说一下，十六题，十六题的话，这道题也是我们上课说的一些普通题型吧，但这个题的话难度呢？稍微有一些，为什么说有一点呢？就一开始咱们做一次函数，不太熟的话，这个题可能做不出来。那咱们来简单说一下，十六题的话， y 等于负二 x， 所以 这个咱们肯定要画一个一次函数的图像，然后呢负二 k， 那 肯定是过什么过二四象限，那过二四象限的话，这个 k 是 正的，是负的，我也不太确定，所以说咱们就大概先画成一个这个样子， 然后那肯定的话，这个地方我不知道他是正的，是负的，所以他大概率就上下各有一个这个能理解的意思吧，所以说我就拿以上面这个为主，然后他呢与两个坐标轴所围成的三角形面积是九，那说白了就是这个三角形面积是九，好，那么现在让你求 k 值， 那这种题呢？是一个非常典型的题啊，你看三角形的面积，那这个其实就是三角形二分之一底乘以高等于九，就这么简单的一个公式，那么这个公式该如何去用？看这个题目，这个地方， 这个长度，这个长度是这个 k， 能理解的意思吗？为什么把这个 x， 把 x 等于零带进去，那等于零带进去之后，这块是不是就 y 等于零啊？ y 等于 k 啊？把 x 等于零带去， y 等于 k， 那 y 等于 k， 不 就 y 等于 k， 所以 这块长度是 k， 所以 咱们可以理解为就是二分之一乘以一个 k， 那 再乘以谁啊？ 还是看这个函数。那么咱们把这个 y 等于零带进去，这个点点，是不是 y 等于零啊？所以就是零等于负二， k 负二，然后 x 加 k， 然后这个地方是负 k 了，对不对？负 k 等于负二 x， x 等于二分之 k， 那 x 等于二分之 k， 是 不是就这一段等于二分之 k 啊？所以这个式子是不是再乘以一个二分之 k， 然后最后等于多少等于的是九，然后再一看，这个是四九三十六，所以 k 方等于三十六， k 等于正负六， 肯定是正负的啊，因为他没有规定我们这个一次函数在那个那个象限中，所以咱们这个肯定是两个答案，一个是上面这一块，有可能是下面这一块，看明白了吗？ 好，那咱们再来说十七题，十七题基本就是上课讲的原题了，咱们来说一下，他交于的是这个点，这两个一次函数交于这个点，那咱们以这个分界线为邻界点，然后看 x 加 b 是 谁， x 加 b 是 这个， 也就是 y 一， 我们这个地方就说 y 一， 把这块标 y 一， 但这个就是 y 一， 然后 k x 加， 就这个地方我写 y 二，所以说 y 一 大于 y 二，什么情况下 y 大 于 y 二，咱们看看图，是不是只有在这个点的右边，再都大于 y 二，所以 x 大 于等于不能是等于啊， x 大 于三，这个题应该也没什么难度吧？十六题，十七题， 我去对一下答案，然后十六题是正负六，十七题 x 大 于三，应该没什么问题，然后再往下十八题，十八题的话，这个题我们来仔细读题， 在平面直角坐标系中， a 点三到零， b 点零到三，那这个也得重新画图，那咱们来画一下， 就在这画了啊，按照这个三到零和零到三，咱们应该是在这个第一项线，所以呢， a 点咱们大概是在这个地方是三到零，然后 b 点大概是在这零到三，那么这一看就是一个等腰直角三角形，对吧？然后咱们再往下读 直线这个，然后这里面给你标注的是 k 大 于零，所以这个图像他肯定是要这么画，那具体画到哪呢？经过 c 点， c 点的话是负一一到零，这个是在这， 因为这个 a 点是三到零，所以按三等分的话，这个点是 c 点，那么想过这个点，而且还是 k 大 于零的话，那他必然是这样的一条线能理解的意思吧。好，那么咱们再来往下看， 把三角形 a o b， 就是 这个直线，把三角形 a o b a o b， 那 咱们还得把这个地方连一下，然后哪个是 a o b 呢？就是这个三角形是 a o b， 就 上面这个三角形 a o b， 这个三角形是固定的面积，对吧？这个二分之一三乘以三， 然后把这个三角形面积分成了两部分，其中靠近原点部分，这句话一定了解靠近原点的部分，那说白了就是这个四边形就画我现在画的这个四边形面积是四分之十五，整个这个四边形面积啊，好，那咱们这个四边形面积该怎么求？这是一个非常重要的关键点。 咱们来看一下这道题的话，其实上课咱们讲那个最难的难题的时候也说过这个点咱们就写成地点吧， 那么这个他告诉你的是这个面积是四分之十五，这是一个不规则图形，如果我们想要看这个四分之十五要用上的话，那我们是不是可以用三角形 aob 这个面积减去三角形 aoc 面积就等于四分之十五， aob 面积是固定的，然后这个 这个面积的话，咱们只需要求出地点的这个重的这个坐标，对吧？把这个地方写出来就行了。那么咱们来看一下这个该如何去求 d 点坐标，这个地方很简单，因为这个点过了这两个这个函数，所以我们只要把这个函数交点算出来就行了。那么 a b 这条线是什么？ y 等于 负 x 加三，这是 ab 这根线，对吧？ ab 这根线，然后第二根线是这个这根线，这根线的话我们是过一斗零的，所以我们把这个点带进去，那这个地方是 k 加 b， 所以 得出了什么 b 等于负 k， 所以 这个地方应该可以写成什么 k， x 加上一个，这个是负 k， 负 k 的 话这么写，所以这两个式子，这个是叫 cd 吧， cd 这条线，然后这两个线呢？构这构建出一个二元一次方程组，然后我们解出这个地点的坐标就行，解 d 的 横坐标不用解，对吧？求这个坐标，这个长度我们不要，我们只要这个长度， 这个长度我们有完之后就二分之一底乘以高就行了嘛，所以我们只需要求这个长度，那么按照这个图来说的话，感觉的话就是把这个 x 要换成这个，那么咱们看上面这个是不是可以改成 x 等于一个三减 y， 所以 把这个代入到下面，所以就 y 等于 k， 括号三减 y 减去一个 k， 然后 y 等于三 k 减去一个 k， y 再减去一个 k， 然后咱们把 y 和 y 的 都合并在一起，这两个 y 是 很明显可以合并的，所以这个地方我们把 y 合并在一起，是 y， 然后等于什么？一加 k， 看明白了吗？这俩合并在一起，然后右边还剩什么等于的，这个是 k， 三 k 减 k 吧，然后等于 y 等于一加 k， 分 值上面是三 k 减 k， 得的是这个，这个数没有什么太大问题吧？然后我们把这个数字再往后算， 三 k 减 k， 我 可以写成二 k， 不 用写，那么麻烦，这个地方写二 k， 然后再往下该怎么办呢？ 这个四分之十五，那咱们就可以写了。三角形 a、 o、 b 的 面积是多少？刚才我们说了一下，三乘三再除以二，对吧？所以是二分之九，所以这个地方我们就把三角形 a、 o、 b 的 面积是二分之九写这儿，然后呢再往下写哪个写这个这个面积，这个面积应该等于多少？ 减去一个二分之一，这个这个边长是多少？是二乘以一个二，再乘以一个，这个一加 k， 然后上面分之二 k， 然后等于谁？等于这个面积？这个面积多少是四分之十五， 然后我们求这个 k 就 行了，这样的话就明白了。然后 k 解完之后，应该最后答案是五分之三。 好，所以这道题的关键节点是我们要知道两条这个一次函数的焦点，这个是其实就是我们把这两个结合在一起， 组成一个二元一次方程组，然后解这个式子就行了。然后按照这道题来说的话，我们只需要知道 y 就 行，然后 y 的 话是可以用 k 来表示的，所以整个最后边这个式子里面，它就变成一个只含 k 的 式子，所以这个式子就算搞定了。 然后再往下说的话是第二页，第二页，第二页的话是这个二十三题和二十四题，也就是最后两道大题。

八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？

同学们好，今天我们来介绍一道七年级下学期关于不等式的亚洲填空题， 我们先来看看题吧，若不等式二分之 x 加二小于 x 减去三分之 x 减五的解，都能使不等式 m 减三， x 小 于 m 加二横乘，以求实数 m 的 取值范围。 我们说在初中的时候啊，我们大部分的未知数的系数啊，要不就是题目里边给限定条件了啊，要不就是在题目的题干里面就会标明啊，这个到底是一个什么样的，比如说函数啊，还是方程啊，还是不等式啊？ 但是在高中的时候呢，我们这个时候一般就把它作为一个隐藏条件了，如果说同学们不注意的话，经常会出现漏解的这种情况啊，那我举个例子啊，比如说像我们常见的啊，比如说我们知道的这个 a x 平方加 b x 加 c 啊， 这个等于零啊，那么我们说这实际上当 a 不 等于零的时候，这是一个一元二次方程啊，通常来说 a 不 等于零这个东西啊，它是给作为一个条件给你的，也就是说我限定了这是个 一元二次方程，或者是另外一种写法，是什么呢？这个，呃，二次方程方程 ax 平方加上 b x 加 c 等于零。好，那么这个时候即使他不写这个 a 不 等于零，那么这个也 a 是 不是就不能等于零啊，因为他等于零的话，他就没有二次项了。 我们说这是第二种写法啊，好了，到了高中的会出现什么情况呢？到了高中他会写方程 ax 平方加上 b x 加 c 等于零。好，我们说这个时候啊， 实际上这个条件就发生了变化，也就是说当 a 不 等于零的时候，这是一个二次方程，当 a 等于零的时候，这个就变成什么，是不就变成了个一次方程？ 这个地方是同学们经常会忽略的，也就说在做这种类型的时候，我们在读题的时候啊，就需要先确认啊，我到底是什么样的， 到底是有多种情况，还是说只有一种情况，也就是说在图题的时候，你需要把这个东西给圈出来啊？好，回头我们再来看看看这个东西去怎么去解决啊？ 如果说在刚才我说的这个内容你非常清晰的话，那这个题就相对来说比较简单一点。首先说这个不等式的解，那我们就先把它求出来呗，对不对？再利用竖轴去看判断这些东西怎么去处理啊？好，那么我们说这个解 啊，二分之 x 加二小于 x 减去三分之 x 减五。好，那么这个虽然带了个分母，但是它还不是分式，方程还是一次的哈，那么我们就两边通分了，公分母是六啊，好，那这边是不是都是 三 x 加六啊？这个乘六就六 x 这个顶上全乘二，我就要减二 x 加上十啊，好，那么我们说这边的大 把三挪过来，那就变成 x 十挪过去是负十啊，那个就是负四啊，那么我们说实际上这个不等式的解是不就 x 大 于负四就行啊？好了，我们再再看这个啊，我们说要想让这个式子横成立啊， 那么我们说第一个是不是就要先去判断这个系数为不为零啊？因为什么？这个系数如果说为零的话，那是不是和未知数完全没关系，那么是不是所有的这个解都符合条件啊？所以 我们说就分情况了哈。第一种情况啊，当 m 等于三的时候啊，我们说这个不等式，是不是 m 等于三的时候，这个左边就等于零了啊？那零啊，那右边这个呢？三加二 五大于零，这个是横成立的啊，那是不是说当 m 等于三的时候，所有的未知数的这个解都是成立的，那就是， 呃，横成立？好，我们看，那我们说要想把 x 的 解集解出来和这个去做匹配，那我是不是要考虑当 m 不 等于三的时候，是不是就得除过来， 对不对？但是这个地方我们是不是根据不等式的这个性质，我是不是得先判断一下这里的正负关系对不对啊？我，如果这个是个正的，那我除过去不等号就不变啊。如果说这是个小于零的，是个负的，那么我除过去这个不等号是不是就得变了？好，那么我们看第二种啊， 那么当 m 大 于三的时候，也就是说这个是正数啊，那么我们除去除过去呢？这个写到这边来啊，那么 x 就 小于 m 减三分之 m 加二。好，那么我们看，呃，原来的这个不等式的解集是大于的啊，那么这个变成小于的，那么我们说是不是就没法满足恒成立的条件了啊？你这个可以画一个竖轴去帮助自己理解一下啊。 我们说这个是 x 是 大于负四的，它是小于一个值，不管它在哪啊，如果在这一侧的话，如果，如果是在这一侧的，那是不是就没有 没有公共解，对不对？好，如果说在这个样子呢，那是不是只有一部分能满足条件啊？所以我们说当 m 大 于三的时候，这个实际上是不能保证恒成立的啊？所以那这个时候是不是 m 就 无解了？好，我们再分析第三种情况，第三种情况，第三种情况， 当它小于零的时候，也就是这个 m 小 于三的时候，我们把它除过来啊，这个是个负的了，对不对啊？那么我们是不是变成 x 大 于 m 减三分之 m 加二啊？ 好，这个时候我们说这个地方同学们可以先不着急处理，因为什么？我可以把这个东西看成一个数，对不对？我去和 另外一个不等式的剪辑去做匹配啊？好，那这个地方我们就画一个竖轴啊，这个复式在这个地方啊，好，我们看，那什么时候这个能让这个式子横成立啊？ 我们说是不是我只要这这个数字比负四小，那么我们说这个解集是不是就横成立了？为什么？因为我们说当他在这个里边的时候， 我们说 x 等于负四，这个部分是不是全都包含在里面？但是这种同学们一定要注意哈，我最后一定要去验一下，我取他临界点的时候 可不可以啊？因为这个要取决于这个不等号到底是大于，还是说大于，大于等于，对吧？好，我们看那在这里取负四的时候行不行？如果这个是负四的话， 如果这个值等于负四的话，是不是这个第二个不等式的解就 x 大 于负四，那是不是和这个完全是匹配的？也就是说这个也是可以横成列啊？那么我们说那这样是不是就需要解一个不等式了啊？ 那我们就需要解一个什么东西啊？是不是就是 m 减三分之 m 加二，我只要小于等于负四是不是就可以了啊？好，那么这个不等式呢？你注意一下哈，那么我们知道在这个条件里面 m 是 小于三的， 这个 m m 又，那这样的话 m 减三就小于零啊，那我是不是两边同时乘就可以了 啊？那注意这个不等号的方向是不得得变啊，那我们就得到 m 加二大于等于负四倍的 m 减三啊，好，我们再把它整理一下啊，那这个是负四 m 过来，这个就是五 m 对 不对？ 这个是大于等于二，这个负四减三乘以负三，这个是正的十二，再去掉这个二是不是就十啊？那是不是 m 大 于等于二就好，我们解到这步的时候，别忘了前面还有个先决条件啊，是 m 小 于三的时候，所以这里的解集最后应该是什么呀？是不是应该 二小于等于 m 小 于三啊？那这个地方我们就解完了，最后呢，我们是不是应该把所有的公共解集给合并一下啊？那么我们说 这个解出来的是无解啊，这个是 m 大 于等于二小于三，这个是 m 等于三啊，那所所以最后公共所以 m 的 解集啊， 解集为二， m 小 于等于三，那么我们说实际上这道题里面比较容易漏掉的这个解就是 m 等于三的时候啊，这就是我们今天说的关于这个含有 未知数系数的情况，我们怎么去解决啊？那同学们注意一下，那么难一点的题，或者是高中的题和初中这个是完全不一样好，不知道同学们学会了没有。那我们今天的内容就说到这里了。

一次函数的话本身是不难的，本身的话就那些基础概念的话，只要掌握了就很轻松就能拿分。然后难的是一次函数的不等式和一次函数。咱们的二十五题压轴题，也就是期末考试的压轴题，这个咱们需要训练好，咱们来看一下题， 二三二四题是有难度的啊，咱们来看一下，在平面直角坐标系中，已知直线 y 等于 k， x 加三与 x 轴交于 a 点，那 a 点的话是二到零，然后与 y 轴相交于 b 点， 求 k 的 值与这个，那这个第一问是纯送分的，然后就是说白了把它带到上面这个式子就是零等于一个二， k 加上一个三，然后 k 就 等于 负的二分之三，然后再看三角形 a、 o、 b 面积其实也是一致的，这个长度是二，这个长度是三，这个长度为什么是三？大家知道吧？就是把这个 x 等于零带进去，这个不就是它的这个 b 吗？所以这个的话就是二分之一这个，所以这个 s 的 面积都等于三。这个是第一问， 第二问的话点 c， 然后在 x 轴上点 c， 在 x 轴上三角形 a、 b， c 的是以 ab 为幺的等腰三角形。这个题的话我们在上学期还有上上学期都遇到过，看到等腰三角形的话，我们无非就要考虑有三个答案，对吧？ 就是它分别与不同边那三个答案的话，第一个答案是最简单，在这就是是这个边等于这个边，这个是不是最最简单？那么咱们这可以写成圈的。第一个第一小问的话，这个点是二斗零，所以第二个点这个地方一下就写出来了，是负二斗零，就是它的对称点吗？ 然后这个边和这个边写完了，那么还有没有别的可能？有啊？这个地方往这边画是不是也等腰？就这个边就等于这个边了，看明白了没有？那这俩边相等完之后，这个就要涉及到什么？涉及到勾股定律，根号 a b， 根号 a b 啊？不是直接写 a b 吧？ a b 等于多少？ ab 等于这个，这个底下这个边是多少？底下这个边是一二 o a 等于二，然后上面这个边是三，所以是根号十三，能看明白吧？就勾股定律一下四加九，然后开根号，然后这个是根号十三的话，那是不是这一段长度就是根号十三？ 所以第二个答案是不一下就有了，等于根号十三，然后加上一个二，等于零， 能理解吧？就根号是三，加上一个二都零，你看这块是不是二，然后加上这段根号是三，那么写完两个之后我就图了啊，然后还有一个，还有一个在哪？是不是还有可能在这边？就是他往这边画，往这边画完之后，然后让 ab 等于谁？让 ab 等于这一段， 让 ab 这个等于这段，这个不也是等幺吗？以它为幺，以它为幺，所以这个 ab， 那 这个这个相当于下面这个长度是根号十三，能看明白吧？那下面这个长度是根号十三的话，那所以这个答案就来了，等于一个二减根号十三， 二减去根号十三逗零。好，那这个二减根号十三逗零是怎么来的？你们要是不太会的话，可以这么写， 因为 o a 这个长度是二，那么根号十三减去二，是不是就等于这段长度了？我说的是长度啊，然后我们把长度换成坐标系的话，是不是要把这个东西加一个符号，那加完符号的话，这个结论就变成了二减根号十三了吗？ 所以这段长度看明白了吗？第二题不难，难的是我们的这个几何思想，能不能有这个分类讨论，就多个答案的思想，然后能不能想全。如果要是上学期都是已经练过这种题型的话，那这学期就咱们说说这道题的话，应该不会有问题，就第二问， 然后咱们再来说第三问，第三问涉及到动点问题了，这个题就稍微难一些了，那么动点问题的话，无非就要看 你想的话是分类讨论对不对？咱们如何去分？那咱们来看， m 点是固定点，那 a 点是二斗零的话，那 m 应该差不多很离它很近，对不对？然后这个地方是三斗零的一个值，然后点 p 是 在 a b 上这条线遇上运动 p b m， 那 咱们先把 b m 这根线先连上 b m， 因为它是这样的。然后 p b m 和三角形 a o b 的 面积， a o b 的 面积，咱们在这个第一问求出来了，也就是说这个地方我们直接可以改成三，说白了就是这个面积等于三，那这个面积怎么等于三呢？咱们把这个图画一下， 嗯，有没有可能在上面一个，就在上面很远，一个就这个地方有一个屁，然后在下面这个地方还有一个屁，那么我们就可以理解为上面是屁一，下面是屁。二，这个大家会不会画？如果不会画的话，你们这个分类讨论就有些问题就不能想出多个答案， 那这个情况一般情况下都能写出来啊，那咱们来看屁，一 b m 是 上面这个三角形，这个三角形三条边都是斜线， 三条边都是斜线的话，对于我们来说是没法求的，对不对？然后这个时候我们就要想到什么用一个拼凑法嘛，或者是用这个大的三角形去剪这个三角形，所以我们这个三角形 p b m， 我 就不写 p e 了啊，就大家知道我现在说的是第一个情况， p b m， 然后它应该等于谁？等于三角形 a m p 减去一个哪个？就这个 bmp 能明白吧？我没写三角形啊，大家注意一下，就我写的不是太规范，然后这样的话是不是就写完了，然后 pbm 等于谁？这个地方不是说了吗？与它的面积相等，所以这边的话我纯天然就可以写成三。 然后三角形 a b p 是 不是等于二分之一的乘以底底，这个长度是多少是一啊？再乘以高，高是什么？高是这个，看我给你们画一下这个虚线是不是这段，这段长度也就说白了就是 y y p 一， 能理解这意思吧。然后高再减去一个谁，这个这个长度是固定的，这个是多少？二分之一乘以一个 一是这个底边啊，高是多少？高是 o b， 所以 再乘以一个三，所以最后答案是这样的，然后我们把这个二分之三挪过来，就是三，加上一个二分之三，那就是二分之六加二分之三是二分之九，等于一个二分之 h h 等于九。 好，那么现在我们得出了 h 九零九，然后在上面的话，我们只能取正的，对不对？因为我们这个是第二项线，所以我们这个 p 点的坐标是求的是 p 点坐标，那我们把这个 y 等于九，还要带到这个式子当中，这个式子刚才我们算完了， 是 y 等于 k x， 那 个 k 我 们刚才也算了，是负的二分之三 x 加二分之三， x 加三，然后把这个这个是 y 等于九带进去，负的二分之三 x 加三， 六六减去六，然后十二十二等于负三， x x 等于负四，然后这个坐标就出来了，这个坐标是负四。都，就能理解这个过程吧。那么咱们同理算，下面下面这块是不是也等于什么？ 下面这个 p b m p b m 等于下面这段加上边这段这两个相加的关系，这是相加关系，能看明白吧？这两个相加，那我就不写这么写了啊，所以这个下面我就可以写成什么三等于上面这一块刚才他们算完了，是二分之三的， 对吧？这一块的面积是二分之三，然后再加上底下的这一块多少？二分之三，二分之一乘以，乘以一个一，一是这个底边，然后这个高是多少？就是 y p 二乘以一个 h 就是 这个，这个这个高相对应对应的就是它的 y p 二，能理解的意思吧？这个就是 y p 二， 那这个 y p r 怎么求？就这么求，求完之后二分之三，然后二分之三等于一个二分之 h， h 就 等于三。好，那再把 h 等于三，然后我们要带到哪个地方？ h 等于三带进去吗？肯定不是啊，因为这个是在第四象限，所以我们求出这个 h 之后，然后它要画到坐标系当中，它肯定是要带负三，带负三进去的话，那就是 y 等于， 咱们直接就写吧，负三等于一个负的二分之三 x， 然后再加上一个三，然后负六等于负的二分之三 x， 然后 x 就 算出来了，这个是二六十二三四，所以 x 等于这个 四，然后这个坐标就是四都负三，看明白了吧？所以最终答案是两个，第一个答案在这，然后第二个答案是这个写的很不规范啊，因为这个是难题的话，我就没有按规范的讲，然后把思路整体的要明白一下，其他的就没有了。 再来说一下第二十四题，第二十四题也是一个比较有难度的题啊，然后咱们的期末考试一般不会考这么难，然后一般会考的比较简单一些，咱们来看一下这道题， 这道题前面都是废话，然后到 ab 这个扶贫计划，这个地方是一个节点，然后咱们看这个地方说什么一共有一百五十二项余，然后分这个共十五辆，恰好能运完。 已知两种大小货车载客，这个十二辆，八辆，然后求这十五辆车，这个大小货车各都舍量，那咱们先说大货车咱们就是 x 量， 小货车咱们就舍 y 量，那这个好列式子吗？这个我觉得是非常传统的，这个式子我觉得大家都能列啊。第一问我觉得没什么难度， x 加 y， 那 肯定总量数不是这写的十五辆嘛，所以是十五辆。 然后第二个他用这个恰好运完，恰好运完一百五十二箱，那咱们用箱数来顶一下，那这一包二十五箱是大货车运了多少箱大货车，这不十二箱吗？也就十二 x， 再加上一个小货车是八箱，所以一共一百二五十二箱，所以 x 就 解得八，然后 y 就 解得了七，这个能明白吧？这第二问，先安排其中十辆货车前往 a 存，十辆货车前往 a 存， 然后其余货车前往 b 村。设前往 a 村的大货车为 x 辆，前往 a b 两村总费用 它直接给你设好了，大货车是 x 辆，然后这里面有十辆货车是前往 a 村的。 看明白十辆货车前往 a 村，然后那该该怎么去列式子呢？这个是稍微有一点点复杂，咱们来观察一下，那前往 a 村的总的这个费用应该是多少呢？ a 村总前数，那我们直接写吧， y a 总前数，那肯定这个十十里面的话，咱们不知道咱们可以先写什么八百， 这不前数吗？前数的话，这一辆是八百，然后这有一共几辆车？ x 辆，所以是八百 x， 这个大家问题是不是没有？ 然后咱们再来看那十辆里面剩余的是不是就是那个小货车的？小货车的话，那是不是咱们这个地方应该写成什么？是不是四百乘以一个十减 x， 因为一共有十辆车吗？那这个减去 x 不 就小货车的吗？所以这是前往 a 村的费用，那前往 b 村的费用该怎么算呢？咱们来看一下前往 b 村的费用，这个是 第二个是大货车，是九百，那九百的话应该乘以谁？咱们一共有几辆大货车？是不是非常清晰？在这个第一问求出来了，是八辆，所以这个剩余的那辆数是不是往这走 剩余的量数，然后最绕的是后面这个加上六百乘以多少？这个是比较绕，这个咱们来仔细研究一下啊， 咱们小货车一共有多少辆啊？小货车总共有七辆，那么咱们前往 a 村的这个小货车是多少辆啊？在这呢？在这第一问，这写完了，所以这个地方应该减去什么？十减 x， 然后这个就是我们的这个前往 b 村的， 然后咱们不是说总费用吗？总费用那肯定是 y a 加 y b， 所以 就是 y， 就 等于这个把这个式两个式的就写一块就行了，等于一个八百 x 加上一个四百，然后十减 x， 然后再加上一个九百 八减 x 很 大啊，这个数字是不是很大啊？再加上一个六百，然后括号七减去一个十减 x， 这个就是我们的总量，然后我们我就不解了啊，这个太麻烦了，我就直接给你们写这吧。最后答案是一百 x 加上一个九千四百块钱， 这是一个这样的数字，然后咱们再来下这个取值范围，然后是也是一个非常不好估的一个数，能理解为什么吗？取值范围也是一个非常不好估的数，那么取值范围的话， 讲道理来说，一共十辆车的话，我们可以是不是可以直接写成这个样子，但其实是不是的，为什么我们要结合整个题目啊？ 这个咱们这个大货车是不总共只有八辆啊，所以这个能取到十吗？不可能啊，所以这个地方上线是八，那么下线是零吗？那你们看小货车最多只有七辆啊，那只有七辆的话，那这个下线是不是只有三呢？十点七得三，能理解这个意思吧？ 我们不可能派出十辆小货车，那么富裕的三辆只能是用大货车，所以这个取值范围是三到八，不是零到十，这个取值范围是稍微有一点绕的，然后注意一下啊，这个地方，然后不能这么写完，要写什么？ x 还为整数， 要写 x 为整数，因为货车不可能是小数点的，然后这样的话是一个取值范围。然后再来说一下。第三问，在二的条件下，咱们现在这个总费用的这个函数已经出来了啊， 运往 a 村的鱼苗不少于一百箱，请你写出总费用最少。好，最少，那肯定要配不少于一百箱。那咱们来说运往 a 村不少于一百箱，那是不是应该是有这么一串数字？应该是大于等于一百， 所以咱们这个底写完了，对吧？是大于等于一百箱。那么 a 村咱们总共运了多少箱啊？看一下咱们一共有多少辆车， 多少辆车，是不是非常清晰明朗？一共是有 x 辆的大货车，那 x 大 货车一，那个能运几箱？一共一车能运十二箱，所以咱们这个地方要写十二 x， 这个很好理解吧？十二 x， 然后咱们再说第二个， 这个小货车是不是能运八箱？那八箱咱们一共有几辆小货车？是不是十减去 x， 所以这个就是我们的这个相数关系，相数关系解完之后，然后应该是这个十二 x 减去八， x 等于四 x， 然后四 x 等于这个二十 x 就 大于等于五。好， x 大 于等于五，这个就是我们的这个 不小于多少项。然后呢？这个大于等于五解完之后完了吗？我们要看这个，他不说的是求出这个总费用吗？就是我们如何能把这个费用最小，那我们在第二问已经串出了这个 ab 两寸的总费用了，那这个总费用是一个限性的依次函数，依次函数是限性的， 然后如果我们画线的话，肯定是这么画，对吧？大概是这么画的一个式子。那这么画的话，我们想想一次函数如果是过一三项线， y 随 x 的 增大而增大，能理解这意思吗？ 听懂了吧？ y 随 x 的 增大而增大，所以最小值的话肯定是五啊。因为 y 随 x 的 增大而增大，所以把 x 等于五带到上面这个式子一解就行了。所以 y 等于五百，加上一个九四零零，最后等于多少？等于九九零零。对， 能看明白这个意思了吗？然后咱们这个费用求完之后就完了， 其他的话就没有什么。这个题的话也就第三问，然后用了一下一次函数，你不用的话，你们那个靠那个理解也能理解，对不对？然后整体来说的话，它其实 整体只有这个。第三问是考的一次函数，前面这些都是考的我们这个上一学期学的知识，甚至是七年级下册我们的应用题。好，今天回到这。

外加啊，反正你这个 校长单独算呗， s 个学生，对吗？那半价看见了吗？半价优惠二百四的一半吧，对吗？外乙呢？ 啊，就是学生二百四啊，学生 x 人啊， 对吧？学生 x 人，总人数呢？ x 加一吧，然后这个二百四的六折，对吧？当然你不能写这个，你得写这最终的结果， 这个应该是幺四四 x 加幺四四好算，对吧？幺四四 外以第一问这种题往往是两问或三问啊，如果是三问的话，头两问相对简单，如果是两问的话，第一问简单，对吧？ 你看下面这个学生人数为多少时，收费一样，那不就是相当于外甲等于外乙吗？建立一个等式吗？对吧？哎， 当外甲等于外乙时，对吧？那就是啊，你方程嘛，函数方程思想嘛，这个函数跟不等式有关系，又跟方程也有关系，解对方程吧，对吧 对吧？这 s 等于四，好吧，这第二问啊，第一问，然后他说，第三问，他说什么呢？就 x 的 人数来讨论 这个讨论哪家旅行社更优惠，是吧？ 那就是说白了吧，你不等于四时俩人一样优惠吗？那大于四一加，小于四一加吧，对吧？ 但是这个题啊，要书写的时候呢？现在我跟你讲，你可以这么写，第一种书写方式，当 s 大 于四时，你把这四带到这里来， 哪个哪个少，哪个优惠， 当 x 小 于四时，你也带一下，是不是？哎，哪个少，哪个优惠也往里带， 这是一种最后少的那个怎么讨论？但是咱们现在呢，现在是这样，等到你到上了这个到初三，他不要，他不不让你那么写，他让你做叉， 这么写，明白吗？就是这个啊，另外一等于 二百四十加一百二十 x， y 二等于一百四十四， x 加幺四四，明白吗？然后另外或者是他换一个字母，另 m 等于 y 一 减 y 二， 看啊，我就告诉你怎么写，然后你是不是就这个减这个，上面这减下面这个，对吧？那就是写出一个过程来，负的二十二 x 加上九六， 他让你这么写，对吧？啊？然后因为看啊，我告诉你怎么写啊，就这做差的方式，因为 k 等于负二十二，所以 y 随着 x 的 增大而减小，明白吗？哎， s 等于四是正好是零吧，所以当 s 大 于四时， s 越大， x 越大， m 是 不是越小， m 就 小于零吧，即，对吗？大于四是小于零吧，即谁啊？ y m 小 于零，就是 y 一 减 y 二小于零，就 y 一 小于 y 二，所以用 y 一 y 一 合适，他让你用这个， 明白吗？就是说白了吧，就是小于四十啊，小于四十， y 一 合适 啊，不是那个那个大于四式外一合适。就是，所以说你要是这是初三的要求的写法，用让你用作差的方式写，那就说大于四，是啊，这个乙外一，不是，呃，不是那个，呃，甲，甲不是那个 外一吗？就用甲旅行社，明白吗？所以外一也就是甲合适，他让你写这个 啊，然后当 x 小 于四时，对吧？那就是 y 二大于 y 一 了， x 越小 y 越大呀，就是增大减小嘛，所以就 y 二合适 啊，就 y 一 y 二小于 y 一 了，是吧？那就 y 二合适， 他让你这么写，到初三让你做差，这是初中标准的写法，现在咱们可能有点是不要求，明白吗？所以我跟你说一下，你掌握一下就行了，因为他这一次函数的应用，他就要求你这种书写格式，明白吗？了解一下啊？ 好，咱看第二题， 第一个是你看准了这样的这这种题，这 y 是 利润，而不是总的钱数， 所以这这里面就有一个利润的一个基本的一个公式啊，不光是这个卖的钱减买的钱是利润，它还有个公式是什么呢？就是最基本的，咱们现在做这种题叫总利，明白吗？总利等于单利乘数量 啊，咱们初二初三利润方案的题往往是围着这个去做啊，这叫建立数学模型建模的思想，然后往里对号入座，你的 y 不 就总例吗？ 对吧？你的 y 就是 总例啊，然后你找单例再乘以数量啊，这是一个基本的一个公式吧。 甲，这个甲一件不赚四十五吗？一件一套啊，单利是不是四十五？ 甲干了多少件？ s 套射不是。甲，就这个，这个。呃， l 型的不是 x 套吗？那就是四十五。 x 一 套不赚四十五吗？ x 套，这不数量吗？这不单利吗？ 就是甲的这个总利，对吧？然后呢，自然乙的总利 就是乙的单利一套三十乘以乙的数量，乙的数量多少呢？甲是 x， 人家人告诉你甲，那个，不好意思，这老说甲 l 型啊， l 型是 x 套，那 m 型是吧？那一共反正我得干五十套， 五十减 x 就是 m 型的数量乘以它的单利就是 m 型的总利，这是 l 型的总利，加在一起就是它的总利 啊，这个就可以解啊，解完之后呢，咱可以算啊，这应该是十五等于十五， x 加一千五， 对吧？他让你写出自变量的取式范围，各位，是这样，即便这题不说，让你求自变量的 x 的 取式范围，你也得求出来，为什么呢？因为如果你不求， 你不写取值范围的解析式，就是默认 x 可以 取全体实数。显然咱们实际应用题中的呢，这个 x 数量不可以取全体实数，数量怎么取负数，利润怎么取负数 啊？利润不提就数量不能取负数吧，是吧？所以他不说后半句，你也得把后半句给他找出来，那 x 的 范围，明白了吗？啊，那这里面 你就要你说那我怎么什么范围吗？大于零吗？不是那么简单。大于零小于五十吗？不是那么简单。为什么呢？ 假是赚的多，不是，就是这个 l 型的赚的多，但是呢，他有个限定的条件，就是我就三十八米，你是二十六米，你不能说 l 型赚的多，我就都都都干 l 型，可能没那么多布，明白吗？还有一个布料的一个问题， 所以你这个假布料最多就三十八，所以你想想吧，干一个 l 型需要假布料，零点五米。 写这了啊，干一个 l 型需要零点五米假布料，你干了 x l 型假布料的用的米数，自然啊，这个干一个 m 型需要零点九 啊，那干了五十减 x m 型，这是干 m 型的，这个童装需要的假布料盖 l 型的假布料， m 型的假布料加在一起，反正你你想那问题吧，你不能超过三十八，我就三十八小于等于三十八，这就限定条件， 自然这是假布料，自然还有个乙布料，乙布料呢，对吧？呃，它是 乙布料，就小于等于二十六呗，干甲的一米是吧？哎， x 个甲一乘 x 一， 不写也可以干这个 m 型的乙布料是零点二是吧？再加上零点二五十减 x， 看了吗？写这个 就是你，你要不看这啊，你单看这里的 x 取值范围， x 大 于五大于零，不能等于零吧？小于等于五十，显然不能写这个，你得跟这个去交集，知道吗？ 明白吗？哎，所以你解这个，解这不等式 解一下， 解完了，这 x 应该是大于等于十七点五，小于等于二十， 这是一个范围啊，然后因为 x 得去整数吧，多少？ tom， 对吧？递去整数，所以呢？这个，呃，那就是最终的范围应该是 x， 就是 这 大于等于十八，小于等于二十，明白吗？得写这个， 这是它的范围，磁频量取之范围不是大于零，小于五十。好，咱看第二问， 那么他说 l 型的童装杯多少套是利润最大？最大利润是几？你刚才这个就这个，是不是外观和 x 的 一个关系？ l 型的，你看这 l 型的童装套数为 x 吧，你第一问不得到这吗？所以你想想，这第二问就相当于 y 等于十五， x 加上一千五 l 行为 x 套，这它的利润就这么一个关系，这个是个一次函数直线，对吗？并且这个是怎么样？有范围的吧？因为，对吧，这 k 首先是等于十五，对吗？ 大于零吧，所以 y 这叫随着 x 的 增大， k 大 于零 而增大，你看，这就叫应用，明白了吗？哎，用到一次函数性质去解决实际问题， k 大 于零， y 最大而增大，所以 s 最大时， y 最大呀， s 怎么叫最大？哎，是因为你把这句话就这个蹬到这来，因为什么？哎， 在这范围内谁取得吧？所以当 s 等于二十时， y 最大，对吧？然后 y 就 等极带进去， y 就 等于十五乘二十十五 x 吗？再加上一千五，明白吗？ 一千八，所以最大利润一千八多少套？二十套是二十套，是 看见了吗？尤其这书写格式啊。你可能会尤其这书写格式。看看得这么写。

今天教大家一个求一战术解析式的斜修大法，尖子生都在用，不需要待定系数法，只要瞪眼法，三秒钟出答案，有手就行，马上开始给你一个图像如何快速的求出他的解析式。分三步骤，第一步，确定 k 的 符号， k 往上走为正，往上走为正，往下走为负。第二步，求 k 的 数值，只要用纵截距的绝对值除以横截距的绝对值就搞定了。这里纵截距是四，横截距是二，所以呢，四除以二， 绝对值为二，横截距为二，绝对值为二，二除以二等于一，所以 k 等于一。最后一个纵截距为四，横截距为二，所以呢， k 的 大小为二。 第三步，确定 b， b 的 话看重叠句，重叠句是四，所以这里是加四，这里是负二，所以这里是减二，这里是正四，所以是加四。搞定，你学会了吗？

好，再来看到实际问题当中依次函数与不等式的结合。 guess 二当中是这样说的，某学校计划在总费用不超过两千三百元的情况下，租用客车送两百三十四名学生和六名教师集体外出活动， 每辆客车上至少要有一名教师。现在有甲乙两种大客车，他们的载客量和租金如表所示。下面有个表啊，写了，甲客车 载客量是四十五人，租金是四百元。乙客车载客量是三十人，租金是两百八十元。 他第一问问我们共需要多少辆客车，第二问让我们给出最节省费用的租车方案，那么说明这里不止一种方案吗？对不对？好，我们先来看一下一共有多少人？ 学生两百三十四名，教师有六人，对吧？所以一共呢，就有两百三十四，加上六等于两百四十名， 对不对？所以有两百四十个人，那么他说问我们需要租多少辆客车，那我们分析一下，如果说全部做已车，那么是不是用两百四除以三十等于八辆， 但能不能租八辆呢？肯定不行，为什么呢？因为老师只有六个，他这里要求一辆客车上至少要有一名老师，对不对？那么如果说你租八辆的话， 那么六辆有六辆车是有老师的，那剩下的两辆车是不是就没老师？那么就不能满足题名要求吧，所以肯定不能是八辆， 对不对？那可不可以是六辆呢？那六辆是可以的，那六辆的话，你就不能租用乙车了，你就要租用甲车，你看一下两百四十人除以这个四十五，对吧？他的结果是不超过六的，对不对？那当然也不小于五啊，我们可以算一下， 这个两百四除以四十五人，他是约等于五点三三的啊，五点三三的，所以他如果全部租假车的话，需要六辆，那这可不可以满足题目要求呢？可以，因为正好是六辆车， 每辆车一名教师，对不对？那是可以满足题目要求的。这里我写了一下分析，因为这个假车比乙车的载容量是要多的啊，这个是多字啊， 多。那么全部租假车的话，可以使这个租车数量尽可能的少。 两百四除以四十五是约等于五点三三辆的。那，那由于五辆车最多也就可以坐四十五乘上五等于二百二十五人，对不对？够不够两百四？不够两百四对不对？小于总人数两百四，所以 他的这个客车总数是不能小于六辆的，所以不能小于六辆，知道吧？然后呢，因为总共就只有六个老师，所以你的这个车的数量也不能超过六，所以我们通过这两两个分析就可以知道一共需要六辆车。 这个是第一问， 路上呢，他也给了一个分析过程，对不对？你看，一要保证两百四十名师生乘车都有位置，所以根据第一个条件，我们可以知道客车总数是不能小于六辆的，对吧？不能小于六辆。 然后再根据这个第二个条件，就是要使每辆客车上都至少有一名教师，而总共就只有六名教师，对吧？所以客车总数是不能大于六辆的， 又不能小于六辆，又不能大于六辆，那么综合起来来看，那就只能为六辆，对吧？好，那第一问咱们这个就答完了， 第二问，这里叫我们给出最节省费用的租车方案，那么我们要先看一下假租几辆对不对？那我们就设一下。好，这个是第一问， 现在来写第二问，那我们就要设一下这个费用，租车费用是 y 元，设租车费用 为 y 元，然后呢这个假车就是 x 量， 那乙车呢？乙车就是六减 x 量， 看到没有？因为我们前面已经分析出来了，一共六辆客车对不对？那假车有 x 辆，那乙车就是六减 x 辆就可以了。那么除了这个费用之外，还涉及到一个问题，就是位置，我们这里假设这个位置，座位啊，车的座位，这个座位， 咱们就写 w 个，好吧，有 w 个位置，我们要让这个位置大于等于两百四，而且要让这个费用 y 呢， 不超过两千三就小于等于三，知道吧？好，那么根据这个表格我们就可以开始算了，来看一下 啊，来看一下，那么首先是这个费用表示，费用表示的话，假车是四百元，乙车是两百八十元，所以我们列出来的就是 y 等于这个四百 x 加上二百八十乘上六减 x， 那用他的这个数量乘上他的单价，数量乘单价加起来就是这个租车的费用，然后你再看这个座位， w 个座位呢，就等于 x 辆假车，这个一辆假车四十五个座位，所以就是四十五 x， 然后呢乙车呢？一辆车是三十个座位，就用三十乘上六减 x， 好， 那我们根据这两个条件，他说的是什么？ 他说的是费用不超过两千三，人数要大于等于，也就是座位要大于等于两百四，所以我们就可以通过题目条件得到什么呢？得到这个 y 要小于等于两千三， 而这个座位 w 呢？要大于等于两百四，然后我们再根据这两个式子去化解。好，这里写上一二，这是一四，这是二四，那么一四算一下， 让这个要小于等于两千三，对吧？那就是四百 x 加上两百八十乘上六减 x 要小于等于两千三，把这个不等式算出来好，那么就是四百 x 加上六乘两百八 是一千六百八十，再减去两百八十 x 小 于等于两千三，然后再移项就变成了四百 x 减去两百八十 x 小 于等于两千三，减去一千六百八十。 那么这里的话呢，就减完之后就还剩六百二十，前面减完是一百二十 x， 然后再把一百二十 x 移过去除，所以 x 小 于等于六百二十，除以一百二十。那么往旁边写一点啊，这里挡住了， 那么这个 x 呢，就小于等于一百二十分之六百二十，所以 x 咱们再化减一下，就变小于等于五又六分之一就可以了。好， 再来看第二个不等式，第二个不等式是四十五 x 加上三十乘上六减 x 要大于等于两百四 四十五 x 加上这个三六十八，就是一百八减去三十 x 大 于等于两百四四十五 x 减三十 x 等于十五 x， 两百四减一百八， 那么十五 x 就 大于等于六十 x 就 大于等于六十除以十五 x 就 大于等于四。所以我们中上来看，这里算出来的结果就是 x 小 于等于五又六分之一，大于等于四就可以了。那么这种情况下我们可以得到的是什么？我们可以得到这个 x 的 整数解，因为车它肯定是整数，对不对啊？因为 这个 x 都是大于等于零的啊， x 是 大于等于零的，并且呢， x 为正整数， x 为整数啊，所以呢，这个 x 可以 等于四 或者是五，在这个范围之内， x 可以 等于四，然后不超过五有六分之一，那就可以等于五吧，对不对？所以有两种方案，第一种方案就是假车四辆，第二种方案就是假车五辆， 对吧？一个是假车四辆，一个是假车五辆，然后我们再分情况去算它的什么，它的费用，那我们再去算它的费用来看方案一，方案一，第一种方案就是假车有四辆， 乙车呢，就是六减二啊，六减四等于两辆， 那么它的费用呢？就是四乘四百，加上二乘二百八，对不对？好，我们这种情况下算出来的。好，这个写 y 啊，应该这样写， 应该，第一种情况就是 x 等于四， 这里我们把实际情况也写一下，第一种情况就是就是 x 等于四的时候，那 y 就 等于 四百乘上四，加上两百八乘上二，算出来的结果就是两千一百六十元。好，再看第二种情况，第二种情况其实就是假车五辆， 乙车呢？一辆，这个时候是 x 等于五的时候，这个费用 y， 它就会等于这个 四百乘上五，加上二百八十乘上一， 等于两千两百八十元。然后最后总结一下，因为这个两千一百六十小于两千两百八十，所以呢，是什么时候最省费？正水最省钱呢？就是甲适量 以两辆 最省钱， 可以了啊，就可以了，那么这个就是这道题的过程啊，大家可以暂停看一下，然后下面呢，它有填空让你填，对吧？好，我们把这个算一下，这里呢，它是用这个 a 去表示了我们一开始确定的六辆车，所以这个 a 是 等于六的， 然后呢，它这个费用呢，这个 y 费用就是用这个式子去表示，它就等于四百 x 加上两百八乘上六减 x 啊，不过呢，它这里可以化简出来，化简出来的话呢，就可以得到是 一百二十 x 加上一千六百八十，然后通过我们这里不等式的这两组不等式的计算，哎，你会发现这个 x 呢，它是不能小于 适量的，然后为了使注册费用也不超过两千三，那么这个 x 呢，就不能超过六，所以综合起来， x 的 取值就是四 或者是五，当然你这里写具体的五又六分之一也是可以的，知道吗？这里我们算出来的不超过这个费用不超过两千三的，这个费用是小于五又六分六分之一的，所以他这里就不能超过六， ok 吧。好， 那么在考虑上述问题的基础之上，你还能得到几种不同的注册方案，为了节省应用，选择哪种方案说明理由，那么我们在这里的计算就是说明了方案的费用，并且这个费用少的就是最省钱的，对不对？好，我们这里已经说清楚了，好吧， 再来看到这个归纳，解决含有多个变量问题的时候，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个，选取一个取值能够影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数， 以此作为解决问题的数学模型。那么在这道题当中呢，我们这个假车的数量是可以影响这个座位的，也是可以影响费用的，所以我们就把假车的数量设为 x 了，就是这个意思 啊。然后呢，像这种用函数去表示，用函数去表示的，我们也可以通过图像，只不过这里位置太小了，我就没画图像。那大家想要看这个用函数图像怎么做这道题，你可以翻一下之前的视频去看一下，好吧，好，再来整体看一下就 ok 了， 再看练习。某文具店购进 a、 b 两种型号的计算器进行销售， 其进价与售价如下表所示， a 型号的计算器进价二十二元，售价三十二元，那么说明他卖一台 a 型计算器是不是可以赚十块钱，对不对？我们顺便把它的利润也给它，算出来 的利润就是三十二，减去二十二等于十元，他卖一台赚十元。然后 b 型计算器呢，是进价十九元，售价二十五元，对吧？那我们就用二十五 减十九，所以他卖一台卖一台这个 b 型计算器可以赚六块钱。 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过两千元的资金采购这两种计算器，一共一百台，那采购的话，你就按进价算知道吧， 若采购的计算器能够全部售出，那售出之后给出利润最大的进货方案，那么我们想要算利润，那么你就要用这个去算知道吧， 并求出最大利润是多少。好，那么这里已经告诉我们一共是一百台了，对不对？那我们就设这个 a 型 a 型号 x 台， b 型号不要设 y 台啊，因为它们是一共一百台，你把它设为一百减 x 台， 然后利润呢？这个利润我们设为 w， 写总利润 为 w 元啊，然后呢进价，总进价 为 y 元就可以了。好吧，因为这里要和这个 采购资金作比较的，可以把总进价和总利润都表示出来，总进价就是 y， 对 吧？好， y 等于什么呢？这个 a 型的是 x 代， b 型的是一百减 x 代，如果你算进价的话，你就用进价乘上它们的数量，再加起来，它就等于二十二 x 加上十九，乘上一百减 x， 对 吧？好，并且这个 x 肯定要大于等于零， 小于等于一百，并且还是整数，对不对？好，我们算一下，把它化解一下， y 就 等于二十二 x 加上一千九百减去十九 x， 这个 y 就 等于二十二 x 减十九 x， 三 x 加一九零零。好，这个是什么？ 这个是总进价，我们要让这个总进价怎么样？不超过两千元，所以这个总进价就是三 x 加上一千九，要小于等于两千啊，所以三 x 就 小于等于两千减一千九就小于一百，所以 x 就 小于等于一百除以三， 那 x 就 小于等于三十三又三分之一，就可以了啊。然后再来看第二个就是利润，利润呢？要最大，对不对？ 那我们就把它表示为 w， 利润呢？按十和六去算， x 抬 a， 那 么就是十 x， 它的利润就是十 x 加上六乘一百减 x， 那 么这个利润就等于一百。这个十 x 加上六百减六 x， 那 么 w 就 等于什么？就等于十 x 减去六 x 等于四， x 加上六百。 好，你看一下这个是什么函数？这个是依次函数，对不对？好，这里的 x 取的范围也是要小于的，一百大于等于零，并且是整数的啊， 它是一次函数，而这里呢，它只给了一个 x 要小于等于三十三又三分之一的一个范围，其他的范围没有，对吧？那我们总不可能把从一从零到三十三全写出来吧？那肯定写不下，所以我们就分析一下，这个一次函数，它是一次函数，它的这个四也就对应的这个 k 值， k 值是不是正数，对不对？好，我们这里写一下，因为这里的 k 是 等于四的， 所以 k 大 于零。在依次函数当中，如果它的 k 值是大于零的，说明这个函数是不是随着 x 的 增大而增大呀？对不对？它的 k 是 大于零的，所以这个 w 总利润就随 x 的 增大而增大。 所以你想要利润最大，那么你就要让这个 x 最大，所以 x 当取 x 的 最大值的时候，最大值 即可得到 利润 w 的 最大值， 而这个 x 的 最大值在这个取值范围之内，是不是只能是最多就是十三十三，对不对？所以因为 x 的 最大值等于三十三啊，这里应该写一下， 因为这个 x 要小于等于三十三又三分之一，所以 x 的 最大值等于三十三，所以这个利润的最大值，它就等于四乘三十三加上六百，所以这个利润的最大值把它算出来， 就等于七百三十二元。好，所以最大利润是七百三十二元，那这个时候 x 是 等于三十三，说明 a 型机器这个计算器就是三十三台， 那么它的这个方案是多少呢？那方案最佳方案，我们就说这个，当 a 型 三十三台， b 型就是一百减三十三，一百减三十三的话写出来吧，就等于六十七台， b 型六十七台的时候有 最大利润 为七百三十二元就可以了。啊，这样的话呢，我们就既回答了他的进货方案对不对？也回答了最大利润就可以了，好吧，再整体看一下。

我们今天来学一下一次函数。一次函数我们上个视频讲过两个了，一个 y 等于负， x 加七，一个 y 等于 x 加三，从这两个函数里我们就能够看出来， x 的 最高次数是一，所以我们把这种函数叫做一次函数。 那通过我们上节课的讲解，我们知道一次函数的图像都是一条直线，但是这两个解析式的图像是不一样的啊，负 x 加七的图像是这个样子的， x 加三的图像大约是这个样子的啊，那是虽然都是两条直线，因为解析式的不同造成了直线的不同。来我们看一下这两个解析式是因为什么不同造成的呢？ 首先 y 和 y 是 一样的， x 和 x 是 不是一样的？那这两条直线之所以不同，是因为 x 的 系数和这个常数项不同造成的啊。 所以我们直线的解析式一般都写成 y 等于 k， x 加 b， 而 k 呢，不等于零， kb 呢？都是常数啊，都是常数。那这个呢，就是我们一次函数的 一般形式，其中这个 k 和 b 啊，在每一条直线里是不一样的，所以它的图像也不一样。你比如说我们看第一个解析式 k 就 等于负，一 b 就 等于七，第二个解析式 k 就 等于一， b 就 等于三 啊，就是因为每个图像的 k 和 b 的 不同，造成了这个解析式的图像这条直线的不同。那既然这个 kb 能够引起这条直线的不同，那这个 k 和 b 具体能起到什么作用呢？这就是这个视频的重点 啊，你这个视频听清楚了，那一次函数图像你就能够快速画出来了。那我们现在开始讲一下这个 k， 我 们以后给他起的名字呢，叫做斜率。 斜率哈。啊，他为什么叫斜率呢？因为他只负责这条直线的倾斜，他只负责这条直线的倾斜，所以他的名字叫斜率啊。这条直线怎么斜都是 k 说了算 啊。你比如说我们这条直线，这个 k 是 负一，哎，这条直线往下写，这个是一，这条直线往上写啊。 所以说这条直线怎么斜，斜的程度怎么样，全是有 k 说了算，那 k 是 怎么影响这条直线的呢？ k 大 于零，这条直线就会，哎，从左往右看，它是一个上升的，我们叫做外随 x 的 增大而增大， 外随 x 增大而增大，你看也就 x 越大， y 就 越大，那也可以叫做呢，外随 x 减小而减小啊，也就是 x 越小，那 y 也就跟着越小了 啊。所以 k 大 于零，就是 y 随 x 增大而增大， y 随 x 减小而减小。如果我们从左往右看的话，那这个是一个上升的直线， 那 k 小 于零呢？就正好反过来啊，从左往右看呢，它是一条下降的直线，那这个呢，我们叫做 y 随 x 的 增大而减小，也就 x 越大，它反而越小。 x 越大， y 正好越小， 它也可以叫做呢 y 随 x 减小而增大啊，也就说 x 越小， y 正好反而越大，这就是 k 小 于零的图像啊。所以 k 呢，它主要就是 管这条直线如何倾斜的。 k 大 于零，那么它就是一个，从左往右看，它就是一个上升的直线。 k 小 于零，从左往右看，它就是一个下降的直线。那如果 k 都大于零，以直线也有很多种，你比如说 y 等于二， x 加三和 y 等于五， x 加三，这个时候二和五都是大于零的，那么这两条直线都是上升的，那就还有那两条直线就一样吗？也不一样哈，也不一样，你可以带一个主持带你去试一下啊， x 等于零，他们都等于三啊， x 等于一的话，那前面这个图像那两条直线，我们先把这条直线画出来啊，这就它的图像， 后面这个呢， x 等于零的话， y 还是三，那 x 等于一的话，那就是 y 就 等于八了，那这条直线就是这样的 啊，你看这两条直线，从左往右看，都是一个上升的曲线啊，都是个上坡的直线，但是因为二和五的大小不一样，那这两个坡度也是不一样的。所以我们 k 不 光管他的上坡还是下坡，他还管着坡度的大小，我们的 k 的 绝对值越大 越大，那这个坡度啊，坡度就越陡，哎，坡度就越陡啊， 哎，你看看这个五，绝对值大，所以这个坡度就更陡一些啊，更陡一些。所以说 k 只管怎么倾斜啊，只管怎么倾斜，他别的怎么都不管啊。所以我们对这个 k 再总结一下啊， k 大 于零，从左往右看，它是一个上坡。 k 小 于零，从左往右看，它是一个下坡啊， k 的 绝对值越大，这个坡度就越陡。那如果两个 k 相等呢？你比如说一条直线 y 等于 x 加一，另一条直线呢？ y 等于 x 加五，那这两个 k 是 完全一样的，那既然 k 是 完全一样的，它俩的坡度就是完全一样的 啊，你是上坡，我也是个上坡，你坡度多大，我也坡度多大，那这两条直线是什么关系呢？那这两条直线就是平行关系啊，就是平行关系，因为他俩的倾斜程度完全相同啊，你可以画一下，看一下啊， x 等于零， y 等于一， x 等于二 啊，那这条这就是 y 等于 x 加一的图像，那这个 x 等于零， y 等于五， x 等于二， y 等于六 啊，这就是 x， y 等于 x 加五的图形。因为这两个斜率完全一样，所以这两个的坡坡度和形式也是完全一样，所以，那么这条直线就是平行关系啊，就是平行关系，所以说我们这个 k， 他 只管这条直线怎么倾斜，所以我们给他起的名字叫斜率啊，叫斜率。 好嘞，这样的话，我们第一个参数就讲完了 k， 那 么这个 b 你 只记住一句话就行了，叫做与外轴的交点， 和外周交在哪里， b 就 在哪里。为什么呢？因为我们上节课讲过啊，解析式的一组解，就是图像上的一组一个点，我让 x 等于零，那么 y 就 等于 b， 说明零逗号 b 就是 图像上的一个点，那么零逗号 b， 因为横坐标是零，所以这个点就在外轴上了啊，所以零， b 就是 直线和外轴的交点， 那这样的话，这个 b 永远都是和外周的焦点，你比如说这个，我们这里是七， b 是 七，那么这个和外周的焦点，这里就是七，你比如说这里是三，那么和外周的焦点这个数就是三啊，也就说只要这个 b 是 几，那么和外周的焦点就是几。你只记住这一句话， b， 你 就学会了啊，你比如说 这样啊，那么 b 就 在这了，因为这个 b 在 外周的正半轴上，所以 b 就 大于零啊， b 就 大于零， 哎，所以 b 大 于零还是等于零还是小于零，就是看看它在外轴上的焦点在正半轴上了，还是在负半轴上了。好，这就是 b 啊，相对来 k 来说， b 更简单一些啊，那知道 k 和 b 了，我，那我们的直线呢，一共就六种图形啊，我把这六种都画一下啊，一共就六种图形啊， 一共就六种图形，哎，那这一种呢，它的 k 和 b 是 正的还是负的呢？我们可以看一下啊，可以看一下， 你看，首先这个直线是从左往右看，是个上坡啊，也就 y 虽然是增大而增大，那么这个 k 就是 大于零的，因为 k 是 管怎么斜的。然后 b 的 符号就是看它和外轴的交点，哎，和外轴交在了正半轴上，所以 b 也大于零，那么这个图像就是 k 大 于零， b 大 于零的图像。 那同样道理，这个呢，往上写可以大于零，交点在零上了。 b 等于零，这个呢，往上写可以大于零，交点在负半轴上了。 b 小 于零，这个呢，往下写可以小于零，交点在正半轴上了。 b 大 于零，这个呢，往下写可以小于零，交点在零上了。 b 等于零， 这个可以往下写可以小于零，交点在负半轴上了，那么 b 等于零啊，那这样的话，六个图像的 kb 符号就都确定住了， 其中这两个我们可以特殊的关照一下啊，这两个因为 b 等于零，那么它的解析式就变成 y 等于 k x 了啊，因为加零，我们可以不写啊，不写，那这个呢，就是我们和一次函数要一块学的，叫做正比例函数， 所以正比例函数实际上是我们依次函数的一种特殊形式啊，实际上是依次函数的一种特殊形式，所以我们课本上才说正比例函数是一条过圆点的直线，它为什么过圆点？就是因为 b 等于零造成的啊？就是因为 b 等于零造成的。好嘞，这就是我们依次函数的解析式和图像之间关系，同学们听明白了吗？

一次函数的坐标轴焦点问题是八下数学的必考题型，也是一次函数里面的经典考法，很多孩子呢，一做就错，那是因为他们不懂得利用解析式去求拮据。那今天呢，林老师就用最简单的办法，教你两步解决这类题， 学完之后，再把林老师给你整理了一次函数八大题型，拿去整理巩固一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分！好，我们来看题，如图， 直线 y 等于 k， x 减二， k 加三， k 小 于零与 x y 轴分别交于 ab 两点哈，分别交于 ab 两点，然后让你求 o a 分 之二加上 o b 分 之三的值。 那这道题的特点就是，它给的一次函数呢，是含参数的，然后最后要你求的是跟截距有关的一个表达式，所以这道题呢，我们要优先把截距给它求出来。那么你想想看，要求这个 o a 和 o b 呢，是不是相当要求 a 的 这个坐标呀？ 对不对啊？它的横坐标就是 o a 的 长度，然后呢， b 的 这个重坐标就是 o b 的 长度，所以这道题就变成了，我们需要去想办法求坐标啊。那么我们观察一下这个 a 点， 它是位于 x 轴上，那么如何求直线和 x 轴的交点呢？非常简单，我们只要令 y 等于零就行了，因为这个点呢，它的纵坐标是零，所以我们令 y 等于零，然后把这个零呢带进去，你就可以得到 零等于 k， x 减去二 k 加三。所以呢，我们一个项就可以得到 x， 是 等于这个二 k 加三移过去变成二 k 减三啊，然后再除以 k， 然后这个 x 呢，其实也就是 o a 的 长度， 对吧？好，同样道理，我们要求这个 b 点啊，这个 o b 的 长度就是去求这个 b 点的纵坐标，那么我们只需要令，因为在 b 点是 x 轴为零，那就是令 x 等于零，我们就可以得到。 此时的这个 y 等于什么呢？把零带进去，那就等于负二 k 加三，然后这个负二 k 加三呢？它其实也就是 o b。 好， 那我们有了 o a 跟 o b 的 表达式之后呢？再带到这里来，你看，我们就可以求了， 所以 o a 分 之二，加上 o b 分 之三，它会等于什么呢？你看 o a 在 这里是这个数，那我们就把它带进去，变成二 k 减三分之二 k， 然后呢，加上 o b 分 之三，那 o b 是 这个 负的二 k 加三分之三。好，那接下来我们只要化简这个式子就是答案了。好，我们来化简一下， 二 k 减三分之二 k， 然后呢，这里是负二 k 加三，我们只要把这个符号提取出来，变成减去 二 k 减三分之三。好，那这个时候分母已经一样了，我们就可以把它进行这个合并，二 k 减三，分子分母一样，所以最后答案是，一搞定，你学会了吗？

hello hello hello， 今天的这个视频呢，我们将跟大家分享的是一道一词函数压轴题， 一看到寒餐，一看到两点间的这个线段，也就是距离问题。一看到解不等式，很多同学就会自由地放弃，哎，我干脆不看。 那么莫老师今天想解决一个什么问题呢？想带领大家把这个寒餐 以及距离问题加上解不等式数形结合的问题啊，用一个典型的案例讲清楚啊，好的，求图一中直线 o a 的 解析式超级简单，点 a 的 坐标是二，纵坐标是 三，然后呢，直线 o a 是 一个正比例函数，所以我们可以设成 y 等于 k 倍的 x， 然后呢，将这个点 a 代入，可得这个两倍的 k 等于三， 这样得出直线 o a， a 就是 二分之 三倍的 x 啊，好，这是我们的第一问。哎，这个图呢，我们暂时把它去掉了啊，暂时把它去掉了。然后呢，紧接着我们来看第二问，第二问啊， 这是我们的直线 o a 那 么一个颜色啊，这是我们直线 o a 的 解析式， y 等于二分之三倍 x， 它说如图二，点 p， 点 p， 横坐标是 m， 重坐标是三， 那么重坐标是三的意思是，勾找一条线段，显示一个颜色为 玫红色，重坐标是三的意思是我们这个玫红色的这一部分长度 a 是 三啊，那 a 的 坐标呢？横坐标是二，重坐标也是极啊三，所以我们的 p a 啊，很明显，它就是直接是与 l 轴平行的啊。 他说现在过点 p 轴，这个 l 轴的垂线交直线 o a 于点 c， 直线 o a 于点 c 啊，交直线 o a 于点 c。 诶，这个垂线标错了位置啊，应该是这一段 好的直线 o a 与点 c 啊，交这个直线 y 等于负 x， 减去一于点 d。 哎，交这条直线，把它弄个颜色看得清楚一些啊。于点 d， 于点 d 啊。 他问，当 m 在 零到二之间，点 p 的 横坐标是零的时候，很显然是与 y 轴重合， 然后点 p 的 横坐标是二的时候，很显然就与我们的点 a 重合，那么它在零到二之间，所以呢，反映的就是我们现在的这样一个状态。他说是用含有 m 的 式子表示 p c 的 长， 那 p c 的 长度不就是用什么呀？构造一条线段，弄一个颜色，弄一个什么颜色呢？嗯，橘黄色啊。 哎， p c 的 长度我们知道，就应该是等于什么呀？等于点 p 的 重坐标。点 p 的 重坐标是几啊？是三，减去谁减去点 c 的 重坐标，减 c 在 谁上？点 c 在 直线这个 o a 上，而我们的 o a 算出来是 y， 等于二分之三倍的 x a， 点 p 的 横坐标是 m， 那 意味着我们点 c 的 横坐标呢？也是 m。 重坐标是什么？ a 将 x 等于 m 带进去，重坐标是二分之三倍的 m， 所以 p c 的 长超级简单。就是纵向而言，上减下就是点 m 的 重坐标，是三 点 c 的 总坐标呢，是二分之三 m， 所以 这就是我们的 p c。 简不简单，超级简单。横向而言，哎，右减左，纵向而言，上减下。由于这里是有前提的啊， m 呢，是在大于零，小于这个二的范围之内，所以此时我们点 p 始终是在谁， 始终是在点 c 的 上方， ok， 上减下啊。好，现在第二个用含有这个 m 的 式子表示线段 c d 的 长，同理，线段 c d 的 长怎么表示啊？哎， c、 d 的 距离构造一条线段， 弄一个不同的颜色，弄一个什么颜色？紫色啊？ 好，那个指示。那现在 c、 d 的 长同样啊，就应该是用点 c 的 重坐标二分之三倍的 m 减去，谁减去点 d 的 重坐标。点 d 在 哪里？点 d 在 直线， y 等于负 x 减一上，它的横坐标是谁？横坐标就是 p， c、 d 在 同一条直线上， 所以点 d 的 横坐标依旧是 m。 重坐标呢，就是带进去负的 m 减去一。在这里我们用整体的数学思想，负的 m 减去一，然后负负得正二分之五倍的 m 加上一，是不是超级简单？是不是超级简单，你看一下啊，由于点 p 在 零到二的这个范围之内，所以我们的点 c 始终是在我们点 d 的 哪里，点 d 的 上方。 好，第二文说，在 e 的 条件下， e 什么条件呢？ m 大 于零小于二的时候，若 p c p c 就是 三减去二分之三倍的 m 大于等于 c， d 大 于等于 c d， 即我们可以列一个这个方程，就是三减去二分之 三倍的这样一个 m 是 大于等于 c， d 大 于等于二分之五倍的 m， 加上一的 r。 好， 我们可以将这个解出来，弄一个不同的颜色。 哎，我们可以将这个解出来啊，将这个解出来的话，就是可以将这个移在方程的右边，就变成了正的二分之三倍的 m， 加上二分之五倍的 m， 就 应该是四倍的 m 移到右边以后去，这个是小于等于啊，就是变成小于等于。为什么呀？尖尖是在 m 的 位置，然后呢，将这个一移过去，就变成二，所以这样解的 m 的 曲子范围是小于等于二分之一的， 而我们是在一的条件下， m 的 取值范围又是什么呢？又因为 m 是 大于零而小于二的，所以结合这两者 从小取小可以得出， m 的 取值范围呢，是在大于零小于等于二分之一的 范围之内啊。好，这就是我们的第二问的第二小问。好的，今天的这个讲解呢，就到此结束。那韩餐加上距离问题，加上这个 横坐标的曲子范围，哎，然后呢，加上不等式啊，综合起来的的确确是有点复杂，但是呢，它是可以解决的啊，它是可以解决的。好的，今天的这个讲解呢就到此结束，感谢大家的这个收听，谢谢大家。

hello， hello， hello， 今天的这个视频呢，我们跟大家讲两个问题啊，第一个呢，是一次函数与方程不等式之间的这个关系啊。第二个呢是一次函数与二元一次方程组之间的关系。 首先呢，我们来看第一个，它有我们画 y 等于二 x 减一的图像，直接用几个画板画啊，两倍的 x 减一，确定 弄成出现，哎，当 y 等于零时，哎，我们知道看得非常清楚啊，此时这个函数与我们这个 l 轴的交点就是 y 等于零，所以 我们有两个办法，第一个，我们是可以直接度量出这个点的坐标， 哎，我们发现啊，点的坐标为零点五，零到零，也就是二分之一，二分之一啊，也就是通过函数图像，我们可以知道，当 x 等于二分之一的时候， 欸， y 是 等于零的，欸，看得非常非常清楚啊，这是通过用函数图像的办法得出， y 等于零，那 y 大 于零呢？欸，有些式看得更清楚了啊，我们可以知道 构造一条射线，哎，就弄成这个颜色啊，我们可以知道啊，这个点 c 是 y 等于零的情况，那么在这个 等于零的右方所有的点，哎， 上方啊， y 大 于零时，这对于 x 的 曲值啊，这个 y 始终是大于零的，怎么弄呢？也是可以弄成塑形结合的数学思想啊，我们可以在这个 l 轴上构造一点， 哎，我们可以在这个 x 轴上呢，找到一点啊，过这个点来做，这个 x 轴的垂线与我们的这个 直线啊，会有交点，那么这个交点我们可以度量一下它的坐标，此时是 e， e 的 坐标呢，是零点七四的零点四八，我们把它往左移啊， 当 c 和 e 完全重合的时候，我们发现这个 y 值等于零，当这个 往右移的时候，我们发现这个始终是 y 大 于零的啊，看下这个始终是 y 大 于零的情况，于是呢，我们可以得出，当 x 是 在大于 二分之一的时候呢， a y 就 大于零了啊，这个是数形结合的数学思想，同样的道理啊，我们把它往下移，哎，就发现啊， 度量出这个坐标啊，哎， f 的 坐标， f 的 坐标啊，这个时候我们发现，当这个 x 在 二分之一的左侧的时候啊，哎，对，对于 x 的 这样一个曲值，我们的 y 值啊，始终是小于零的啊，我们的 y 值始终是小于零的。所以 通过数形结合的数学实验可以看出，当然是小于二分之一的时候呢，哎， y 就 始终是小于零的啊，那这就是我们的依次函数与这个依次函数啊，与这个 方程和不等式之间的这样一个关系啊，之间的关系好，紧。接着呢，我们来看一看 这个一次函数与二元一次方程组之间的关系，他说要我们从函数的角度对这个方程组了进行解释，那如何来解释呢？呃，如果按照我们以往的办法，我们将会标上一和二，呃，用这个 加减消元法或者代入消元法，求这个方程的解，那现在从函数的角度怎么办呢？哎，所以我们的第一步应该该怎么办？我们的第一步应该是要变形，怎么变形呢？将这个 二 x 减一，等于 y 变成 y 等于多少？哎，移过来啊， y 等于二， x 减去一，你看这样是不是由 这个方程哎，变成了我们函数的形式，那这个 y 怎么变呢？哎，太简单了啊，就是将这个 y 放在我们方程的左边， 等于等于什么呢？我们知道这个是五 y 啊，所以呢，将这个三 x 移向过来就是八，减去三 x 除以五，那就应该是五分之 三倍的 x， 对 了，哎，五分之三倍的 x 怎么样？八了。哎，负五分之三倍的 x 啊，负的五分之三倍的 x， 然后是除以五，就加上这个五分之八， 哎，加上五分之八啊，这样呢，这个方程也变成了函数的这样一个形式啊。 哎，如果不放心的话，我们可以两边同时乘以五，得五倍的 y 等于负三倍的 x 加八，移向过来就是三 x 加五 y 等于八，是对的啊， 好，紧接着我们要干什么呢？紧接着啊，我们就是要画函数，第一个是两倍的 x 减去一确定，哎，这个就是我们的两倍的 x 减去一的函数。图像 弄成出现啊，大家看得清楚一些。 哎，这是两倍的 x 减去一的图像啊，另外一个图像叫什么呢？叫做 y 等于负的括号，负的三除以五扩回乘以 x 加上五分之八，五分之八就是八，除以五 确定 a， 这个就是我们的第二个函数的图像。我们发现啊，这两者呢，交于一点，我们度量一下这个点的坐标 a， 我 们发现这个点的坐标呢，就是 太简单了啊，就是一逗一。也就是说，从函数的角度对这个方程组进行解释，就是这两个函数公共的焦点 是什么呢？哎，交于点 a， a 的 坐标是一逗一，等价于什么呢？等价于我们这个方程组二 x 减 y 等于一，以及三 x 加五 y 等于八的解，为什么呢？哎的解就为大括号啊。 x 等于几 横？坐标是一的时候，重坐标 y 也是一，大家可以带去检验一下啊。二等于一的时候，二减一减一，二减一等于一是对的，但当 x 等于 y 等于一的时候， 三加五等于八也是对的。所以我们就从函数的角度对这个方程组进行了解释，这也是我们非常非常 这个经典啊，叫做塑形结合的数学思想。好的，今天的这个讲解呢就到此结束，感谢大家的这个收听，谢谢大家。

依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。

好，再来看依次函数与方程组和不等式的复习巩固。先看第一个利用函数的图像去解方程，二分之三， x 减六等于零，对吧？那么这里既然要求了让我们用函数图像，那我们就先把图像画出来，好吧， 来看一下，那么我们想要画出来的话呢，就先把它写成函数形式，令 y 等于二分之三， x 减六，对吧？那么你现在当 x 等于零的时候，求出 y 值， 当 x 等于零， y 就 等于二分之三，乘上零减六， y 就 等于负六，所以它就会过零负六这个点，对吧？那么这个点在哪里呢？就在 y 轴上，然后你想求在 x 轴上的点，就当 y 等于零， 那么零就等于二分之三， x 减六，移项六就等于二分之三 x， 那 么这个六除以 二分之三等于 x， 六就乘上三分之二等于 x， 所以 四等于 x， x 等于四，所以它就会过四零这个点，那么咱们再把图像画出来， x， y 与这里的交点是四，零与 y 轴负半轴的交点是零负六，把这两个点画出来 连起来就是依次函数的图像，这个就是 y 等于二分之三， x 减六啊，那我们要通过这个图像看出它的减，就是让 y 等于零的时候，那么 y 等于零的时候，那就是这个点 啊，就是这个点啊，就这个点，所以 x 就 等于四，对吧？所以我们就可以通过图像看出来， 在这个点的时候，它的 y 值等于零，它的 x 值等于四，正好对应了这个 y 换成零，那么这个 x 对 应的呢？就是四，所以我们由图 由这个点四零得出 啊。二分之三， x 减六等于零的减 为 x 减四啊， x 减四，那么有些人可能会说，我在这里都已经算出 x 等于四了，我为什么还要通过画图呢？对不对啊？是不是多此一举啊？那么这个题目它其实是为了让你更好地去理解这个图的意思， 然后这个图像呢，他也可能觉得你自己手里有这个画函数的这个软件，你直接可以通过软件去画，因为前面他也讲了如何用碗软件画图像，对吧？啊？像我们自己这样直接手搓一个图像出来，那肯定是要算出这个 x 等于四的，对不对？好， 再看第二个，利用函数图像解不等式，五 x 减十大于零和负二， x 减四小于零，那么咱们这里呢，也要把它当做函数的形式，那我们就令 y 一 等于五， x 减十， y 二就等于负二 x 减四，那我们要画图吗？画图的话，你就令 x 和 y 等于零，对吧？当 x 等于零的时候，这个 y 一 就等于五乘零减去十等于负十，说明它过零负十这个点。好，这个呢，我们等会再算，不然弄混了。然后当 y 一 等于零的时候， 就零等于五， x 减十啊，把五 x 移过来，负五 x 等于负十， x 就 等于负十，除以负五， x 就 等于二，所以它就会过二零这个点。好，再算这个，再算 y 二， 这里也写个零，好算。当 x 等于零的时候， y 二等于负二乘上零减四，负二乘零就是零，零减四等于负四，所以就是负四，那么就过零负四这个点。然后当 y 二等于零的时候， 这个零就等于这个负二 x 减四，把负二 x 移过来，二 x 等于负四， x 就 等于负二，对吧？所以它就会过这个负二零这个点。好，我们在图像上把它画出来，先画这个图，先画这上面的图， 一个过零复十，一个过二零二零的话大概就在这个位置，零复十，我们就画在这个位置，两个点一连 就是函数解析式，就是函数解析式的图像了，这个直线就是 y 一 等于五 x 减十，好了，他说要这个五 x 减十大于零，对不对？大于零在哪里啊？ 大于零在上方看到没有？大于零，零在这个位置，零在这个点上，那比零大，那么就在他的上方，所以上面这段图像就是 五 x 减十大于零的地方，对吧？啊？五 x 减十大于零，那么又意味着 y 一 大于零，而 y 一 大于零就是在 x 轴上方的图像，而这个图像上对应的所有的横坐标都比这个点的横坐标要大吧，对不对？它继续往后延， 它这里的横坐标往下一一对应，都是比二大的啊，所以这个 x 怎么样就大于二，当然了，你说，哎，我不能直接算吗？我直接算就可以了，对吧？ 好， x 大 于二就可以了，那这里呢？是为了让你理解这个不等式和图像的关系，知道吧？咱们再画第二个图， 一个是零负四，一个是负二零零负四，我们就画在这个位置， 负二零，咱们画这个位置连一下。 好，这条直线的话，就是 y 二等于负二 x 减四，知道吧？那么你看一下它要它小于零，对不对？小于零， 那么零就是在这个位置，这个点的纵坐标就是零，对吧？比零要小，那就在它的下方， 那么就在它的下方，在下方上面的点对应的横坐标是不是都比这个负二要大呀？所以 x 就 大于负二，知道吧？好，所以我们写一下，因为 负二 x 减四要小于零，那意味着 y 二小于零，而 y 二小于零的话，就是对应的是这一段图像，这段图像对应的所有横坐标都是比负二大的，所以 x 大 于负二，就是这个不等式的。解了。 再看第三题，也是叫我们利用函数的图像去解这个方程组，那这里有两个方程对不对？都是带 y 的， 所以我们要先把这两个转换成什么？转换成函数形式。怎么转换呢？第一个是三， x 加上二， y 等于五， 那么角先把 x 移过去，二， y 就 等于负三， x 加五，然后两边同时除以二， y 就 等于负二分之三， x 加上二分之五，这是第一个。 那么第二个函数呢？就是二 x 减 y 等于八，移过去啊，就把二 x 移过去，负 y 就 等于负二， x 加八，两边同时除以一个负一，那么 y 就 等于二 x 减八，对吧？那么现在呢，我们就要画图了， 我们画图的话，一般都是令 x 等于零和 y 等于零嘛，对不对？这是 y 一， 这是 y 二，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之三，乘上零加上二分之五等于二分之五，所以它就会过零二分之五这个点。然后当 y 一 等于零的时候， 那么零就等于负二分之三， x 加上二分之五。好，移项二分之三， x 等于二分之五，同时乘上二三， x 等于五， x 就 等于五，除以三等于三分之五。啊，是三分之五了。好，那么我们就可以通过 这个 x 等于三分之五，判断出它过三分之五零这个点，这个时候 y 是 等于零的，所以重坐标是零，对吧？好，这里也是一样的，当 x 等于零的时候， y 二等于二乘零减八，就等于负八，所以它就会过零负八这个点。然后当 y 二等于零的时候， 就变成了零等于二， x 减八，移向负二， x 等于负八， x 就 等于负八，除以负二，它就等于这个四，所以它就会过四零这个点。 好，再把这两个点画在图像当中，我们来画一下， 这个是零二分之五，那我们在这里就画二分之五零二分之五，然后呢这个点呢？是三分之五零，那我们就画这个位置，三分之五，大概在这个位置， 这条直线的话呢，连起来这条直线就是 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，有点写不下了。 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，就是 y 一 这条直线。 y 二这条直线的话呢，四零，然后另外一个零负八，那么零负八的话，我们就画下面一点， 这可能就比较远了，假设这个点就是零负八吧，这个是零负八，然后这个点的话，就当做是四零，然后把这两个点连起来 延长过来，好，这条直线就是 y 二等于二， x 减八。 好，图像画好了，那么你会发现，你把这两个当做方程组的时候，它的解就是它的焦点， 而这个焦点呢？说实话啊，我没画出来，对不对？我们不知道它的焦点是多少，所以呢，我们要试一下，对吧？因为你不能去算，你不能把它当做去算，所以你要去试一下，你看这个是几啊？这个是 这个三分之五，这个是四，那么比三分之五大一点是几啊？就是二，三对不对？二肯定对不上，二肯定对不上，那么你就找三，所以我们就分别试一下，当他们俩都等于三的时候好不好？好，当这个等于三的时候，当这 y 一， 当 x 等于三的时候，这个 y 一 就会等于负二分之三乘上三加上二分之五，它就等于负二分之九 加上二分之五等于负的二分之四等于负二，所以它就会过三负二这个点。 然后呢，你在当 x 等于三的时候，你再算这个 y 二 y 二就等于二乘三减八等于六减八也等于负二，它也过三负二这个点，发现没有，它们经过同一个点，所以 三负二就是它们的焦点啊。所以我们就看得出来， y 一 与 y 二的焦点 为三负二，所以 x 等于三， y 等于负二，就是这个方程的解，为这个方程 三 x 加二， y 等于五和二， x 减 y 等于八的解就可以了。 如果呢，有些题目呢，他直接画了图，并且告诉我们焦点，那我们这些画图的过程就都可以省略。 再看综合运用第四题，甲乙两个工程队分别同时开挖两段合渠，所挖合渠的长度为 y 单位是米与挖掘的时间， x 单位是小时之间的关系。如图所示，那 红色这一段是假的，然后绿色这一段是乙的，叫我们分别求出假。对在零到六，就是 x 大 于等于六大于等于零小于等于六的时间之内和乙对在 x 大 于等于二小于等于六的这个时间内， y 关于 x 的 函数解析式，那么求解析式的话呢？你可以看得出来，假的话经过哪两个点？ 第一个是圆点，对不对？第二个就是六六十，经过这两个点，我们就可以带入一次函数当中，对吧？好，那么乙呢？他只教我们求二到六这段时间之内，那么你看二到六这段时间，他也经过两个点，一个点是二三十， 另外一个是六五十，对不对？好，我们就把这两对点带入一次函数当中，我们这里就写一下，好吧，先求 设假对，在 x 大 于等于小于等于六大于等于零的时段内，解析式，函数解析式 为 y 假，对吧？等于 k 一， x 加上 b 一， 为什么要这样去写呢？因为你乙对也要去设呀，对不对？它们俩的 k 值和 b 值不一定相等啊， 对吧？所以我们就复制一个出来，改一下数据设，再设一下乙，对，不过可以等会来算，我们把里面改一下，甲对换掉， 然后时间段换掉解析式，这个换掉。好，那我们就写设乙对，在 x 小 于等于六大于等于零的时间内，函数解析式为 y 甲 y 乙 等于 k 二， x 加上 b 二，对吧？好，设一下。那么现在呢，我们就知道甲经过零零，甲经过的点是零零这个点以及六六十这个点。好，我们就将 零零这个点与六六十带入到 y 角当中，那么你就可以得到方程组，对吧？这个方程组呢？等一下啊， 这个方程组呢，就是把这个解析式里面的零和 y 都换成零，那么就是零等于 k 一 乘上零，再加上 b 一。 然后第二个呢，就是六十等于 k 一 乘上六，再加上 b， 那 么这里的话，我们化简一下，就可以得到 b 一 是等于零的，对吧？这个是零，这里也是零， b 一 就等于零，然后你再把零带进去， 对吧？好，那么就是六十等于六， k 一 加上零啊，因为 b 一 等于零，写一下吧，还是写 b 一 吧。好，这两个式子，这是一式，这是二式，你将第一个式子带入到第二个式当中，将 b 一 等于零 带入到二式当中，那么零六十就等于六 k 一， k 一 就等于十，那么我们就可以得到 k 一 等于十， b 一 等于零，所以这个假的解析式就等于十 x 啊，就等于十 x， 同时你再把它的取值范围写上 x 小 于等于六，大于等于零的时候，是这样的。 好，再来求第二个一样的操作啊，也是将这两个点，这两个点我们直接在图上写出来，一个是二三十，一个是六五十，对吧？我们将这两个点带进去， 将二三十与六五十带入到 y e 当中，好，那么我们算一下， 把三十带进去，二三十带进去，是三十等于 k 二乘上二，加上 b 二，把六五十带进去，就是五十等于 k 二乘上六，加上 b 二。两个式子，你拿两个式子一减啊，拿二四减一四，那这里五十减三十等于二十， 这里是六 k 减二， k 减掉了啊，所以我们这里就是负四， k 二 等于负二十， k 二就等于负二十除以负四，那么 k 二它就等于五，然后你再把五带入到其中一个解析式当中，将 k 二等于五 带入到一式当中，那么就三十等于 k 二， k 二已经知道了，就是五乘二，再加上 b 二，那么三十就等于十加 b 二，那 b 二呢？就等于 三十减十， b 二就等于二十，那我们就可以得到这里的 k 二等于五， b 二等于二十这个解析式， 你就会等于五 x 加二十，并且取之范围是 x 大 于等于二，小于等于六，对不对？好，那么这个就算完了。再来看， 那这里说当 x 为和值的时候，甲乙两个对在施工过程当中所挖合取的长度是相等的，那么你就看它们的焦点，这里是有一个焦点的对不对？那这个焦点是多少呢？哎，我们不知道，我们就可以把这两个 函数当做一个方程组啊，去算 x 等于几就可以了，知道吧，因为它们在这里有焦点的时候，意味着在同一时间内，它们挖的长度也相等，所以就是找焦点。 第二问就是找焦点，所以我们列方程组， y 等于十， x 和 y 等于五 x 加二十那两个式子， 那么呢，我们就把一次当中的 y 等于十 x 带入到第二个式子当中去，那你就可以得到十 x 等于五 x 加二十一项，十 x 减五 x 等于二十， 五 x 就 等于二十， x 就 等于二十，除以五 x 就 等于四，所以那么当 x 等于四的时候，他们所挖的渠道是相同的，知道吗？好，那么这里我们同时也把 y 算出来， 那么 y 就 等于十，除乘上四， y 就 等于四十，所以这里算出来的是 x 等于四， y 等于四十，对吧？好，我们最后再答一下啊，当 x 等于四的时候，加以两对。 施工 的时候，施工过程中，施工中挖的和渠长度 相等都为四十，单位是米就可以了。 再来看拓广探索第五题，在同一平面直角坐标系当中，画出函数 y 一 等于负二分之一， x 加上二与 y 二等于三， x 加九的图像，并且结合图像比较这两个函数值大小的关系。 那咱们就先画图，先看 y 一， 这个 y 一 呢，等于负二分之一， x 加二还是一样的令， x 等于零和 y 等于零，对吧？好，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之一乘上零加二就等于二，所以我们就知道它会过零二这个点，对吧？你其实算多了，你就知道，当 x 等于零的时候，它就一定会等于二，对吧？等于它这个 b 值。然后当 y 等于零的时候， 那么零就会等于负二分之一， x 加上二一项二分之一， x 加上等于二， 那么 x 呢，就等于四，所以它就会过四零这个点。好。再看 y 二， y 二等于三， x 加九一样的，当 x 等于零的时候， 这个 y 就 等于三，乘零加九就等于九，所以它就会过零九这个点。然后再当 y 等于零的时候， 那么这就会得到零等于三， x 加九，一下负三， x 等于九， x 就 等于九，除以负三， x 就 等于负三，所以它就会过负三零这个点。好，咱们再把这两个图像画到什么？画到同一个坐标系当中， 我们这里就画大概啊，就不画那么精确了，因为画太精确了，我会画 y。 然后呢，找到，先画这个 y 一， 找到零二和四零，那零二 大概在这个位置零二四零呢？咱们就画这个位置四零两个点一连 这条直线呢，就是 y 一， 再画这个，这个是零九和负三零，那负三零的话，大概就画这个位置负三零，然后呢？还有一个画九零九的话，九应该很高了吧， 对吧？往上挪一点， 我就在这里画九零九，那实际上可能不止这么高啊，我们这里画个大概 好，这条直线就是 y 二，对不对？好了，那么现在你会发现它会有焦点吗？而这个焦点是多少呢？我们不知道，那我们就把它列成一个方程组，把它的焦点算出来， 因为你要比较大小嘛，对不对？你看在这个焦点的左边是不是 y 一 大， y 二小，而在这个焦点的右边，是不是 y 二大， y 一 小啊？对不对？好，所以呢，我们就把它列成一个方程组， y 一 等于负二分之一， x 加上二， y 二等于三， x 加上九，列一个方程组，那么因为他们的 y 都是相等的，所以就是得到三， x 加九等于负二， x 加二移项，三 x 加上二分之一， x 等于二减九，那么这里算出来的话， 就可以得到是二分之七， x 等于负七， x 就 等于负七。除以二分之七就等于七。乘上七分之二， x 就 等于负二，所以它的横坐标是负二，再把这个负二带进去， y 就 等于三乘负二再加九， y 就 等于负六加九，所以 y 就 等于三。所以他们的这个解就是， x 等于负二， y 等于三，所以我们就可以知道他们的焦点是负二三。好，这个焦点是负二三， 我们写上来负二三，这里对照的横坐标就是负二，这里对照的重坐标就是三。好了，图像画完了，那怎么去做比较呢？其实这个图的话，它画标准了，反而不好比较，我们这里画一个缩略图，好比较一点，那这里 我画一个缩略图，那就简单画一下，看到没有？就这样简单画一下。 好，这个是 y 一， 然后这里有一个焦点是二，它的横坐标是不是二，看到没有？好，我们就以二为分界点，在这个二的左边，你看这个二的左边，负二的左边，是不是？ y 一 在上面， y 二在下面，对不对？好，在它的左边， y 一 在上面， y 二在下面，所以左边对应的就是什么？ y 一 大于 y 二， 而这个左边对应的是 y 一 大于 y 二的时候，你看它们的横坐标对应的是不是都比负二小，对不对？好，所以就可以得到，当 y 一 大于 y 二的时候，它的 x 是 小于负二的，这是第一种情况，看到了吗？好，现在我们再看，在它的右边的时候，你把它延伸过去，这个 y 一 延伸过来，哎，反过来了，现在 y 一 在下面， y 二延伸过去，反而变成了 y 二在上面，这个对应的是它的右边，它的右边对应的是 y 二在上面， y 一 在下面。这个表示的就是当 y 第二种情况，就是当 y 一 小于 y 二的时候，看到没有？ y 一 在 y 二的下面，表示 y 一 小于 y 二，而这个时候，你看这个图像所对的横坐标是不是都比负二大，对不对？它都比负二大，所以这个时候 x 就 大于负二，看到了吗？这是第二种情况，那什么时候呢？它们会相等呢？就是在焦点的时候，所以这个时候我们就写第三种情况， 当它们相等的时候，当 y 一 等于 y 二的时候，这个 x 就 等于负二，那么它们的大小关系三种情况都写出来了。 他们的大小关系一个是大于他，一个是 y 一， 大于 y 二，一个是 y 一， 小于小于 y 二，一个是 y 一 等于 y 二。这三种情况的结果我们都写出来了，都是通过图像去看的，知道吧？这个图像是标准图像啊，标准一点啊，因为我画的也不是特别标准，这个是他的缩略图， 我们通过缩略图就好比较，因为这样的话，这个这个 y 一 在上面， y 二在下面，这个是不对，看过去不是很好比较，这里是 y 二在上面， y 一 在下面啊，其实是一样的，只是这样看的话会比较好看一点，那么我们就是分左右就可以了。