2026湖南长沙一模数学几何压轴

好，我们今天再来看一道探求三角形面积最大值的问题。在直角三角形 abc 中， ab 的 长度是六， bc 的 长度是八， d 点是 ac 边的终点， e 点是 bc 边的终点。 将三角形 d、 e、 c 绕着地点顺时针旋转，得到三角形 d、 f g， 然后让这个三角形 d、 f、 g 一 直在这么旋转，那么在这个旋转过程中，三角形 b、 f、 g 面积的最大值是多少？ 好，首先根据这两个终点的条件，我们可以知道三角形 d、 f、 g 它是一个固定的三角形 d、 f 的 长度是三， f g 的 长度是四。 然后它不是让我们探求三角形 b f g 的 面积吗？现在我们已经知道了它 f g 这条边长度是固定的，所以我们有很充分的理由来把 f g 这条边当做底来看， 那这样就需要过 b 点向直线 f g 做一个垂线了，这个时候三角形 b、 f、 g 的 面积就等于二分之一的 f g 乘以 b h， 也就等于二倍的 b h， 所以 说接下来我们只需要研究 b h 的 最大值就行了，这个应该没什么问题吧？ 好，现在请大家注意看三角形 b f h， 它是一个直角三角形。相信大家都知道，在直角三角形中，永远都存在着直角边小于等于斜边这么一个关系，也就是 b h 小 于等于 b f。 好，这里我们需要暂时停一下了，因为有一些同学他可能会不太能理解这个不等式的关系，他会觉得 b f 的 长度他不是定值，所以你怎么能够保证 b f 取到最大值的时候， b h 也一定是最大值呢？ 那接下来兔哥就带大家好好分析一下这个问题。首先 f 点的运动情况大家肯定都能看出来，它在一个圆上，而由于角 d f g 始终是九十度的，所以说 f g 是 这个圆的一条切线。 好，现在我要问大家一个问题了，就是 b f 的 最大值你会求吗？这个大家肯定都会求吧，因为如果我们连接 b d 的 话，那 b f 是 小于等于 b d 加 d f 的， 也就等于八了。当前仅当 b f、 d 三点共线的时候才能取到最大值，那现在我们把图形拉到最大值的位置上。 好，刚才已经说了，因为 g f 是 一条切线，那现在共线之后， b f 和 f g 是 垂直的，而又因为 b h 和 f g 也是垂直的，所以说这个时候 h 点和 f 点是重合的状态， 现在你们能看明白了吗？所以当 b f 取到最大值的时候， b h 也能取到最大值，也就是说 b h 的 最大值也应该是八，那这个时候三角形 b f g 的 面积就等于十六，你学会了吗？

再看一道，哎，如果是比例线短的来，人家要两倍的 cd， 那 这次得造什么了？要两倍的 cd， 咱这次是不得造相似了。来，这道题的底层逻辑跟刚才那道题还是一模一样。好了，我们来感受一下。 首先，他要 b e 加两倍的 cd， b e 加两倍的 cd， 那 我是不是得让 b e 和两倍的 cd 首尾顺次相接？所以我得造相似去得一个 二 c、 d 与 b e 首尾相接，没问题吧？这道题肯定就是个目的，我的核心目的就是造一个相似，得一个二倍的 c、 d 与 b、 e 首尾相接。最关键最关键的是，为什么这道题我可以非常确认它一定是造相似呢？因为人家还给了一个，这是 a， 这是二 a， 那么怎么去造这个相似？利用一比二的这个比例关系，人家给了你比例线段，是不是就利用这个比例线段去造相似？那我要造一个三角形，和哪个三角形相似呢？造相似。第一个问题，和谁相似？造三角形与谁相似？ 造哪个三角形的相似？三角形，我一定是造 a、 c、 d 的 三角，因为我要造二倍的 cd 嘛，那就是 cd 放三角形里嘛。 看 cd 放三角形， cd 肯定是结合这个 a， 哎，那我肯定是放进这个三角形，那我就是要造一个三角形，与这个紫色三角形相似，这就是目标。好，那这个造相似其实也很简单了，我给你往出画一下，你会发现这个 cd， 这个 cd 在 一个什么样的三角形内，这是直角， 然后呢？这是 c、 d 啊，这是 a， 这是四。好，现在我又有一个二 a， 我 又有一个二 a， 又有一个二 a。 二 a， 那 我这边肯定得是几得是八吧，对吧？然后呢？这，这，这就是二 c、 d 就 出来了。来，这就是造相似的基础图，只不过我要把这个基础图塞回去啊，这是二 a 啊，不是二啊。二 a， 好，那咱就造就行了吗？来，那我是不是首先得过这个点 c， 来一个直角吧，来一个直角吧。然后呢？我让这条边等于几，我让这条边等于八，是不就出来了， 对不对？看二 a 直角八，二 a， 直角八就出来了，所以我给这来一个八，给这来一个垂直。好了，这个时候我连接 ef， 那 你会发现这两个三角形就相似，相似比就是 a 比二 a 就是 一比二，那么这个是 c、 d， 这就是二 c d e、 f 就是 二 c、 d， 这就这道题最关键一步，这个，这一步完成了就结束了，这是二 c、 d， 这是 b e， 对 不对？好了，那接下来我要找 b e 加二 c、 d 的 最小值，连谁结束？我是不是连个 b、 f 就 结束了吗？我让这两条线段共线，是不是连 b、 f 就 结束了，对吧？所以这个 b、 e 加二 c、 d 的 最小值就是 b、 f， 那 么这道题让我们求这个最小值，求就是求 b、 f， 你可以自己画一下试试。你最终要让蓝线和黄线首尾顺次相接，如果你过这做垂直，你这个黄线跑这了，就跟他没有首尾顺次相接了，明白了吗？你给自己一画就知道了。好了， 那最后一步，那我如果想求这个 b、 f 怎么办呢？我怎么样才能求这个 b、 f 呢？勾股定力。怎么勾股定力？那我是不得想到用到这个二，用到这个八，还得用到这个四，怎么办？我过谁做个谁的垂线就行了，我延长 f c， 我 延长 f c 过 b， 做一个垂线，是不就欧了， 对吧？过臂做一个垂线，那你会发现这个线段是二啊，那因为这都是九十度，这是一个矩形，这是四，这是四，这是二，这是二。好了，你在这个大三角形 b、 h、 f 当中，这是四，这条边是十，你就可以求出来二五根号下二十九，这就是二倍根号下二十九。结束，所以做个答案就等于二倍根号下二十九。 好，那么这道题最关键的想法，我们来复盘一下，还是一样的，我要这个 b e 加二 c、 d， 那 我最终就要 b e 加二 c d， b e 和二 c d 首尾顺次相接，所以我得造相似，得到二 c、 d 与 b e 首尾相接。怎么造相似？利用人家给的这个一比二关系， 利用这个一比二关系，我把这个 c、 d 放进这个三角形，一条边是 a， 一 条边是四直角，那么这是二 a， 这条边是八直角，这就是二 c、 d。 二 c、 d。 一 旦出来，后面就没有难度了。你看，马哥讲了四道完全不一样的题，但是用的底层逻辑，你现在品一品用的底层逻辑 有没有超出一开始给你画的这一啊？你现在在回过头来再看，是不是都没有？所以呢，其实我们就是最用最基本的给你等线，你就想办法造全等 啊，给你比例关系，你需要比例关系，你就造相似，如果单纯给你等角呢？单纯给你等角，你再找等角，把它们结合在一起，放进三角形内，这就是最基础的相似和全等的底层应用思想。 就是你不需要，你比如说像我们刚才讲到倒数第二道题有的地方叫逆等线，倒数第一道题叫做什么？加权逆等线。我嘞个娘呀，你要是那么去学，你不疯掉了？来一个结论，你就得背一个题型，那你得背多少题型？你学数学是靠背题型出来的吗？不是这样的，我们要理解怎么得到的那些做法，而不是去记，去背那些做法， 这就是我们学习数学的追求。好吧，行了，那我们今天就讲到这了。啊，今天我们讲了什么呢？我们讲了如何利用全等相似去处理等量和比例，这是最核心、最核心、最底层、最底层的逻辑，后面所有的全等相似的东西都是由这个东西来的。

我们来看看宜宾二零二四年的这道题，这是宜宾二零二四年的填空的亚洲，填空亚洲。好，来我们来分析下这个题啊，这道题啊，他说什么呢？他说这有两条线段， f d 和 c e 始终相等， 然后呢，这是一个平行四边形，这条边是二，那么这条边也是二，然后呢，这两条边是四，这两个点都在动，动的过程当中保持这两条线段始终相等相等，我就都设为 a。 好， 那么最后呢，当 a e 加 c f， 就是 这个黄线加这个蓝线最小的时候，求 c e， 求这个线段长，求 a 的 长。我们来想一想啊，这道题目前最大的问题，什么？我要求两条线段合最小，一般都得让这两条线段这个蓝的和这个黄的首尾顺次相接，贡献最小，这没问题吧？我要找 a b 两条线段合最小，那我就得让他首尾顺次相接，让他贡献最小。但是呢， 你会发现，目前啊，目前这两条线段是交叉着，这个位置肯定没有用，所以呢，我必须得转化啊，我必须得让蓝的或者黄的其中一条线段换位置，其实你让哪个换位置都行，比如说我们就让这个短的吧，我要让 转化 c f， 我 就让 c f 换个位置，换位置的目的是为了和什么？是为了让这个 c f 和 a e 首尾顺次相接，这是我的目的。那怎么样才能让它换位置呢？ 我现在就是让这个蓝线换位置，那你就得把这个蓝线放进三角形内看嘛，但这个蓝线只能放进哪个三角形，就是放进这个三角形， 那么蓝线放进这个三角形之后，我是不是再造一个三角形跟这个紫色三角形全等，那么这个 c、 f 就 可以换位置 看，这是我的目标线段，我就是要造一个三角形和这个紫色三角形全等，那么这个目标线段就可以换位置。好，那怎么造呢？我造全等得利用等量吧。人家是不是已经给了 a 等于 a， 那 我就利用 a 等于 a， 这组等量 造全等，对不对？我就利用这个 a 等于 a， 这组等量的造全等。那你会发现，我们来观察一下这个三角形，有一条边是 a， 有 一条边是二，有一个角是 r 法， 那我现在这已经有一个是 a 了，那我只需要怎么样？我只需要把这个 bc 延长出来，这个角是不是就是 r 法了？ 那我只需要在这条射线上再截取一条线段等于几？我在这条线段上再截取一条线段等于二，这个时候我把它俩一连来观察， 这个 a 等于这个 a， 这个阿尔法等于这个阿尔法，这个二等于这个二，那么这两个三角形是不是就边角边得到全等了？这是不是就是我们刚开始给大家画的 这幅图，看，这是 a， 这是 r 法，这是 b， 这给你一个 a， 我 来一个 r 法，截一个 b， 这两个三角形就全等，这个 c 是 不是转化到这个 c， 对 吧？是不是就是把这幅图给你扔进了刚才的那道题里？什么叫可负用逻辑，这就是可负用逻辑。 好吧，好，来再看感受一下。因为这个 a 等于这个 a， 同时这个角 r 法等于这个角 r 法，所以这个时候连 eg， 这个 eg 就 等于 c f。 好 了，现在我是不是就让这个 a e 和 c f 首尾顺次相接，是不是达成目的了？ 到这是不是就达成目的了？现在你会发现，因为 e 是 一个动点，那么这个 a e 加 c f 什么时候最小？是不是就让它直接 a e c 三点共线？那么最小的时候，这个一撇，这个点 一撇，是不是 c e 撇就是我们要求的值？那最后我要求这个 c e 撇怎么求呢？你是不是可以用 a 字相似，也可以用八字相似？因为有平行，有平行想相似吗？平行想相似吗？想相似吗？这有什么相似？你比如说这是不是就是一个？来， 我就看这组 a 字吧。啊？这条线和这一条线是平行的，那这里是不是就构成了一个 a 字？这个 a 字的相似比是多少？是二比 六，是不是就是一比三？那么这条线段是二，这条线段就是几三分之二，所以 c 一 撇三分之二。打完收工好了。那么这道题最核心的是怎么想？你看马哥最最给你强调的不是这道题怎么做？不是， 这就是大家平常所说的什么逆等线模型。毛线，有什么模型好去记的？它就是一个最底层的，当我要转化线段，又有等量关系的时候，我就利用等量造一个全等，它和我们前面讲的逻辑其实都是一致的。这些题目看起来长得非常不一样，但是它的底层逻辑都是 给你等线，要转化线段，那我就利用等线去造个全等转化线段。马哥已经给你讲的非常非常仔细了，每一步怎么想的，反复去揣摩，如果说这道题一听懂，你就觉得你以后能够想到，那这道题对你毫无意义， 我们要做的是怎么想到，怎么想到。马哥刚才已经讲的非常清楚了，首先要转化，得换位置。怎么样？换位置给你等线，你得想办法造全等，包括这个图都给你画了， 这是 a， 这是二，这是 r 法，这又给你一个 a。 好， 我要现在转化 c f， 怎么转化？来，我给这来一个 r 法，给这截一个二，那么这就是 c f， 我 就是把这幅图给你扔进了这个梯里。 是不是每一步细节怎么想到的都给你讲的很详细了？所以千万不要再去强调你想不到了。你强调想不到就是强调我不行吗？强调我不行有什么意义？你要想一想怎么才能行？这就是最底层，最底层的逻辑了。好了，来吧，兄弟们，这是我们用等线去构造全等。

大家好，我们一起来看一下二六年师大附实验初三下英模数学的二十七题几何综合的题目啊。那这里面首先我们一边看图一边读题 来清理一下条件。首先是两个直角三角形 a c b 和 a h b， 然后角 a c b 和 a h b 是 九十度，然后这里面设了一个角 c a d 为 r。 嗯，提示我们要用倒角 点 e 为线段 a b 的 中点，那么就有两个，就有一个 c e 等于 a， e 等于 b e 就是 一个直角三角形的斜边中线，那么也会考虑把 h e 连起来，然后应该会有个 c e 等于 e h。 若点 f 为线段 a e 上一点， 将线段 e f 绕点 e 顺时针旋转二 r 发得到线段 e p， 而且这个 e p 还正好会在 a h 上，那么接着再连接 c f 与 a h 交于点 g， 然后把 e g 连起来。 那么首先我们补全图形，然后第二小问是要证明一下角 a p e 等于角 e k h 那 么结合他给的这个角 cad 等于 r 发，会非常明显的感觉到他应该是想让我们导角。 那么这个角 a p e 和角 e k h。 我 们可以先看一下这个角 e k h 这个角 e k h 呢？呃，他在 e k p 这个三角形，或者是这个 a 顶角是这个 a k c 这个 a k c 这个三角形会明显好用一点，就是我们可以用 一百八十度减去角 c a k， 再减去角 a c k， 得到这个角 e k h。 呃，然后这个 a c k 我 们先暂时不去处理。接着要看一下 a p e 这个角， 那么 a p e 这个角，它在 p k e 这个三角形里面，或者是 a p e 这个三角形里面，那么 p e 应该是不太好用的，然后 a e p 里面，它专门给了角 a e p 是 r 发，因为一 k 旋转得到一 p， 所以 一 k 等于一 p， 然后角 f 一 p 是 等于 r r 发的，所以它应该是一百八十减去 r r 发，再减去角 e a p， 那 么第一个等式要想和第二个等式相等，那么关键应该就是在 a c k 和角 e a p 上面了。 我们如果 e a p 能够等于 r 发，加上角 a， c k， 呃，好了，那么角 a c k 它实际上我们就是等于角 c a e 的，是我们这上面应该是 a c k 要等于 e a p 加 r 发就好了， a c k 应该是反而是比较大的。然后这个 a c k 它应该等于角 c a e， 而 c a e 正好就等于 r 发，加上角 e a k 用到一个 c e 等于 a e 得到的一个等腰三角形啊，那么就能够得到这两个角相等，那么得到之后应该能够得到一 p 等于一 k， 然后也等于 e f， 就 这三条边是相等的，那么接着看他的第二位，写出线段 g， e， c d 还有 c b 之间的数量关系，并证明。首先找和 g， e， c d 和 c b 相等的线段，或者是有关联的线段，会发现一个都没有，这三条线段都很难进行一下转移。 c b 比较有关系，就是 c b 和 c d 在 一条直线上， 然后 c b 减去 c d 应该等于 b d， 而 e g 又非常像它的一个中位线，而且 e 点又是一个中点， 那么应该就比较容易猜到，应该是想要证明一下 g 是 a d 的 中点，证明一下 eg 是 abc 的 一个中位线，那么 e 已经是终点的一个情况下，我们实际上最核心要证明就是点 g 是 一个 a、 d 的 中点， 那么它在 a、 b、 d 这个三角形里面应该是比较吃力的，所以我们应该是要看 a、 d、 c 这个直角三角形。 然后我们如果想用背长中线或者说是中位线的思路去处理这个中点呢，会发现都有一点吃力。那么如果要三线合一的，也要 ac 等于 cd， 而这里面其实有一个 acd 是 一个九十度， 如果他要是三线合一的，那这个三角形得是等腰直角三角形有点太特殊了，他的条件看起来不太能够证明出 r 发是一个四十五度的样子，那么就需要考虑的是用直角三角形的斜边中线来证明这是一个终点， 那么如果它是一个斜边中线的一个情况下，那么这个角 a、 c、 g 就 应该是 r 发，这个角 a、 d、 c 和角 a、 c、 d 应该都等于九十减 r 发，而我们又发现这个角 a、 c、 e 是 等于角 c a e 的， 那也就是说，如果我们能够证明这个角 c 这个 e、 a、 e、 c、 f 等于角 e、 a、 k 都等于一个，比如说设它为比特的话呢，那我们就能够证明 这个 g 是 一个中点，那想要证明这两个角相等，应该就不太能够靠倒角得到了，因为我们还有很多的线段相等，比如说 e、 f 等于 e、 k 也等于一 p， 那么这三条线段相等应该是要用来正全等用的。那么还有一个比较明显的一条边是 a e 等于 c e， 那 么加上 a e 等于 c e 和这个 ef 等于一 p 之后，然后这个三角形里面还要带上角 e， a p， e g 和这个角 e， c g 的， 那么一个是三角形 e g 和 e c g 是 比较合适的， 但是呢，有 e f， e k 和 e p， 那 么另外一个三角形，这个角 a， e， k 它就更合适一点。那这 a， e， k 呢？ 呃，包含角 e， ak， 包含 a， e， 包含 e， k， 那 我们另外一个呢？呃，应该是 a， e 是 等于 c e 的 e， k 和这个 c， e 能够接上三角形是 e f， 那么就应该这个 c， e， f。 这个三角形能跟它全等，而且这两个三角形还刚刚好有一个公共角， 这个角 a， e， k 直接可以用 s e s 乘全等，那么就能够得到这两个角相等，那么证明这个角 e， a， k 和这个角 e， c， f 都相等之后，我们就得到。我们最重要想要这个角 c， a， g 等于角 ac g， 那么接着可以用直角三角形用倒角得到角 g， c， d 和角 a d， c 一个是等于九十度减去角 a， c， g 是 九十减二发，一个是九十度减去角 c， a， d 也等于九十减二发。然后能够得到 a， g 等于 c， g 等于 g d， 那 么 g 就是 一个中点， 那么我们最后就可以用中位线能够得到 e， g 是 等于 b d 的 一半，那么最后就得到我们的结论就是二倍的 g， e 等于 c b 减去 c， d。

中考必考模型，手拉手模型好朋友们，那么接下来我们看一道和手拉手模型相关的题目，说如图啊，等边三角形 abc， abc 是 一个正三角形，所以我们知道每个内角应该都是六十度，那么这个角它应该是个六十度，这个角也是一个六十度啊， 咱们上面这个角它依然是一个六十度。接下来它说在 a、 c 上有一点 d， 然后三角形 d、 b、 e 也为等边，所以呢，我们看啊，等边三角形都已经共顶点了，一定要想的就是 手拉手模型了啊，那么它也是一个等边三角形，所以这个角还有这个角它都应该是六十度， 这个角啊，它也是一个六十度。接下来它说若 b、 c 的 长度是二，然后让我去求三角形 a、 d、 e 的 周长，那么我们先去找到这个大手和小手啊，我们管长边叫大手，从一个顶点引出来四条线段，咱们来看，是不是有啊，两两相等， 那么这个和这个等，这个和这个等，所以我们管长边叫做大手，这就是大手。管短边叫小手，这就是小手。所以一个大手牵一个小手，咔嚓一连连接 a、 e， 它已经给你连好了，另外一个大手牵个小手连 c、 d 也已经连上了。所以接下来必然会出现我们手拉手模型的全等，它的本质就是一个旋转全等。所以我们知道三角形 a、 b、 e 这个三角形，它应该和谁全等呢？ a、 b、 e 这个三角形和 c、 b、 d 这个三角形 它应该是一个边角边的全等，为什么呢？这个角六十度，这个角六十度都减掉中间这个叉角，剩下的这两个点角应该是相等的， 所以是一个边角，边的全等，全等永远不是目的，目的是得边等，得角等。所以 a、 e 这条边，它应该和我们 c、 d 这条边是相等的，我可以都设它是 x， 那 么这边长是 x， 这边长是 x， 根据我们的这个 b、 c， 它的边长是二， a、 c 也是二，所以 a、 d 这个长，咱们应该知道它就是二减 x， 所以 这个长就是二减 x。 接下来我们可以把另外一个等边三角形的三边给它设出来，咱们可以设它是 y， 那 么这个边长是 y， 这个边长是 y， 所以呢，我们要求的是这个三角形 a、 d、 e 周长的最小值。三角形 a、 d、 e 的 周长，咱们怎么去表示呢？是不应该是 x 加上一个二减 x， 然后再加上一个 y， 所以 是不应该就是二加 y， 那 么我们现在要想求的是这个周长的一个最小值，是不是就转化成求这个 y 的 一个最小值就可以了？那我们这个 d 点啊，它是一个动点， 那么是不是应该是垂线段最短，所以应该是垂直的时候最小，那么我们现在就可以假设他是垂直的，如果这个角是垂直的话，这是六十，这是九十，所以这个就是三十度。所以你的三边比是不应该是一比上， 根号三比二，大家不要看错边啊，是三十度对的是一份，然后呢我们六十度对的是根号三份，这个九十度对应的是两份， 所以是一比根三比二。因为 bc 就是 二，所以这就是根号三，这就是一。那么接下来我们看啊，咱们的 y 就是 根号三，所以最后呢，我们来代进去就可以了啊，它就应该等于的是二加上根号三， 所以这道题最后的答案它的最小值就是二加根号三。好朋友们，你学会了吗？记得点赞关注哦！

好，我们来看一下雅理一模的二十四题，压轴题的二十四题。好，我们来先读题，如图，他说圆 o 中 a、 b 是 直径，是吧？这个要注意， a、 b 是 直径，圆 a、 b 是 直径，是不是你立马要标上 a、 c、 b 等于九十度，是不是 直径所对应的圆周角等于九十度，这个是很重要的。 ok， 好， c 四 a、 b 分 半上一点，且 c 好 继续过过 a 做切线好，过 过 a 点做切线，做圆 o 的 切线，交 b， c 的 延长线于 d。 好， 那这个地方是意味着这个 d、 a、 d 就是 九十度，好过 c 做 c， e 垂直于 a， d， ok， 垂直于他们已经好了。 ok， 好， 求。正好我们看到这样一个图，是不是你立马要想到什么？想到是不是想到射影图，是不是想到摄影 好？因为他说 d、 a、 c， d， a， c， d， a、 c 相似于 a、 b、 s， 这个没问题。好，摄像头看到摄像头是不是？比如说这个是 alpha， ok， 这个是 alpha， 那 这个就是。如果这个就是北岛，这个就是北岛。好，那这个是不是也是这个角是不是也是 alpha？ 好， 这个角也是北岛，是不是？ 这是微导？好， ok， 那 这样，你看它这里 d， a、 c， d， a， d， a， c 是 反微导，然后 abc 也是反微导，两个角相等，对吧？ ok， 这个就我就不证了。好，第二问。第二问，他说 a、 c、 a、 c、 e 与 abc 的 面积 a、 c、 e， 这个 a、 c、 e 和 abc 的 面积是那个 s 一 s r s 一 s r。 好， 若 s 一 比 s 二等于二分之二十五分之九，二十五分之九，是不是二十五分之九？好，你如果看到面积，我跟你讲，看到面积的题目，我写到这里，如果你看到面积的题，涉及到面积的题目一般怎么样？一般你像他这种，特别是这种笔直的，一般情况来讲，你先想相似，为什么？因为 是不是两个三角形？如果相似，是不是它的面积之比等于它的相似？比的平方，对不对？是不是？这是第一个，第二个？如果相似，两个三角形不相似，那你想什么？想找同高或者同底？同高 或者或者同底，为什么去找同高或者同底？你去看如果一个面积 s 一 是二分之一 a b， 然后 s 二是不是等于二分之一 c d 的 情况下？好，那你如果这样去比一下，或者说 怎么样？是不是它其实是有四个变量，好处理不？好处理，对不对？好，如果你能找到是同高或者同底，那 ok， 那 你是不是可以消掉一个变量？消掉变量之后是不是只剩下两个变量？这样是不是好做很多，对不对？所以说要面积的题目，一般做面积之比的题目，你先去看能不能找相似，这种题目一般情况下你就直接直接做就行了，如果 相似发现做不了，好，那你去找同高或者同底，这样话会减找同高或者同底面积的题型，一般的处理逻辑这么处理。 ok， 好， 我们把它清掉。好，这个题目，其实这个题目其实用相似也能做，用面积能做好，我们把这个该补上的补上，比如说这个是算法，这个是北的，这个也是算法，这个是九十度， ok， 好， 来，那三角形，你看，我们可以看到这里是北的情况下，这个角是不是也是算法？这个角也是算法，是不是？ ok， 这个角也是算法？好，那这样是不是那三角形其实与三角形 a 对 的是谁？ a 对 的是 b b， c， c 对 应谁？ c 对 应的是它们的 c 是 对哪法？ b， a、 c 相似，对吧？ a、 c 相似。好，那你把相似比先比算了。 a， 那 意味着 a， c 比什么？ a， c 比 b， a 就 等于 a， e 比 b， c 又等于谁？又等于 c？ e 比什么？ c， e 比 a c 吧，是不是它等于多少？它等于？因为 相似比等于面积之比的面，面积之比等于相似比的平方，所以它这里应该是等于是五比三的，对不对？好，我们再来看，再来观察， a c 比 b， a， a， c 比 b， a 等于五比三。 ok， 那 这就这就相当简单，那你是不是可以设 设 a， c 等于三 a， 然后 ab 等于五 a 是 不是？好， a， c 等于三 a 出来了， ab 等于五 a 出来之后，那你它要求什么？它要求 c g 比 g a 是 不是 c g c g 是， 这里 c g 比 c g 比 g a 好， 这里因为你这里是垂直，因为什么？因为 是垂直的，所以说 e、 c 是 不是平行于 ab 是 吧？好，然后它是上下之比，那这样的话，你是不是想到八字模型，这就是个八字模型，对吧？八字模型。好，那你看，你看，你的 c g 比上 ga 是 不是应该等于 ec 比上 o a， 是 不是 ec 比 o a？ 好， 我们再来看 好，因为我们已经设了 ac 等于 ac 等于三 a， ab 等于 ab 等于五， ab 等于五 a 之后。好，那你的 ac 等于三 a， 那 么 c e 是 不是就等于五分之 九 a 是 吧？五分之九 a 好， 五分之九 a 好， e， c 等于五分之九，五分之九 a， 然后比上 o a， o， a 是 ab 的 一半，是不是二分之 五 a 是 吧？所以 a 跟 a 约掉是不是就出来了？二十五分之十八，是吧？是不是？这是，这是，你用相似的方法来做，是不是？好？第二个，其实官方答案给的是面积法，面积法其实更简单，面积法更简单。好，你看 s 一 等于谁？ s 一 是不是等于它们？是，你看 a b a e c 和 a b c， 它们是同高的吧？看吧，同高同高， a e 同高，是不是？它是不是等于二分之一倍的？ a e 乘以 e c， 然后 s r 等于谁？ s r 等于二分之一， a e 乘以什么？乘以 ab 吧，是不是 这样子？好，然后我们还是要什么？还是需要的是 c g 比 ga， 它是不是等于 ec 比 oa， 对 吧？是不是好？ s 一， 这里能得出 s 一 比 s 二是不是等于 ec 比 ab？ ec 比 ab， 那 就等于多少？等于等于九分之二十五，是不是？是不是这样子？ ec 比 ab 等于九分之五，那 ec 比 oa 呢？哦，好，那你 oa 是 等于 oa 是 等于二分之一倍的 ab， 是 不是？那你是不是也能得出来二十五分之十八呀？ 是不是？面积法是不是更简单？面积法是不是？这个是相似，这个是面积，是不是更简单？好，前面两问其实还是蛮简单的。好，我们继续。第三，我们先把该标的标上。好，那这个是如果交标成 r 法，这个就是北的好，这个是北的，那这个数字也是 r 法，这个就是北的，这就是。 等一下，这个啊，好没得啊？好没得？好，这个也是没得。好。 ok， 这种像原状元这种题目，你就把这些该表示的线段用，用 x 表示出来，那这种怎么去把它替换掉了？怎么替换掉，其实主要还是用相似，因为你看这里有什么？主要是用相似？其实我们整体观察一下 a、 e， 因为这是个射线图，你看 a、 c， a， c 和 a， c 加 b， c 等于 x 情况下， a、 c 加 b， c 等于 x。 好， 相当于说 a、 c 加 b， c 等于 x， 那 你如果设 a、 c 为 abc 为 b 的 情况下，那么说其实 a、 e 能用 ab 表示出来的吗？ a、 e 能表示出来，因为射线电影有什么？射线电影里面是不是有知二求四？你整体去观察，是不是知二求四能求出来？都能求出来，是不是？ 这两套摄影，你看 a、 a、 b， d， a、 c 垂直，这里是不是一套摄影，对吧？然后 a、 c、 d， c， e 又垂直于 a、 d， 是 不是又是一套摄影？是不是两套摄影？你 a、 c 是 a， b、 c 是 b 的 情况下，那你其他的这些线段都能用 ab 表示出来，对吧？都用 a、 c 和 b、 c 表示出来， ok， 那 a、 e 肯定是表示，然后是 c， d， c， d 比 a， c， c， d， c， d 比 a， c、 d 能表示出来， c、 d 也能表示出来，只是我们等会儿看一下怎么样让它计算量更小一点好看。 g、 o 乘以 c， e， 然后是 eg 乘以 d， a， d， a， d， a 我 们也能表示出来， ce 我 们表示出来，那只不过就是 g o 跟 eg， g， g o 和 eg， g o 和 eg， 我 们知道 g o 比 eg 是 不是等于 a， o 比 c， e 是 不是？那这个题目其实整体来讲，它的难度还是比较小的，还是难度比较小的好，今天我来介绍我利用任意任意三角函数做它，其实相对来讲还是比较好做的好。任意三角函数怎么做？如果我设因为 a， a、 c 加 b， c 等于 x， 那 我是不是直接可以设 设 a， c 等于 a， 然后 b， c 等于 x， 是 不是？那我们其实可以得到什么？得到 a 加 b 等于 x， 然后还有什么？ a 的 平方加 b 的 平方等于四，是不是可以这样子？好，其实你得到这个之后，你其实可以求出一些东西，求出是不是最起码可以把 a 乘 b 求出？我们先不求，因为为什么不求？因为我不知道到底等会要用什么东西，我们要用什么东西，所以说我们就不去求，我们先把 先表出来，之后再看，我们要什么就得什么，因为这个是完全平方公式的能变换，这个是之什么？之二能推二是吧？之二能推二，所以它能得出 a 乘 b， 然后我能抽出 a 减 b， a 平方， a 平方减 b 的 平方，是不是都能得出？ ok， 好， 这个是之二推二能推出来的好来， a e， a e 等于谁？ a e e 其实是不是可以表示 a e 等于扩散？ 我这样写好看，好理解一点， a e 比上 a， e 比上 a c a e， a e 比上 a c， 是 不是等于 cos alpha， 对 吧？是不是？好，那意味着 a e 是 不是就等于 a 乘以 cos alpha？ 大家如果在这种直角三角形里面，直角三角形它都是这样。这种射线图的时候，我建议大家用锐向量函数，这样会简单一些。比是比相似，去，比来比去要相对来讲会简单一点点，也会相对来讲清晰很多。好，我们来看 c d c d b c b c 是 b， c 是 b a c， 这里是 a 的 情况下，我又求 c d 用 a b a b 表示出来，是不是？这样看，你说用射影对吧？那 ok， 那 是不是谁的射影？是不是 a c 的 平方等于谁？等于 b？ c 比 c， d 吧，是不是？那好，那 ok， 那 你的 c、 d 的 长度是不是就等于多少？等于 a 的 平方除以 b？ ok， c， d 出来了，好看。再看 g o 比 e g， 我 们知道，刚刚我们说了 c e， 我 们知道 c， e 能 c， e 好 求能求出来， d， a 也能求出来。我们先去看处理 g o 和 e g， g o， e g， 那 么我们把 g o， e g 换掉 g o 比上 g， 它是不是等于谁？等于 a o， a o 比上 e， g， e， c 是 不是好，那这样你看我的二倍的 g o 乘上 c， e， 就 比上 那个 e， g 乘以 d a， 它是不是好，那这样你看我的二倍的 g o 乘上 c， e 乘以 d a， 它是不是就等于等于 g o 和 e g 把它换成 a， o 比 d， c 再乘一个 d， a 乘以一个 c， e， 那 它是等于谁？它是不是就等于谁？等于 c e， c， e 约掉两倍 o， a， o 是 不是两倍 o， 那 就是二比上 a， d 是 不是这样子？二比上 a， d 好， 那这样我基本上我东西都表能表出来。那好，那我把 y 直接来看好，那我的 y 是 不是等于谁？我的 y 是 不是等于我的 y 是 不是等于 a e， a， e 分 之一，那就是一 a 乘以括号，分之一加上谁加上 c， d， c， d 等于谁？ c， d 等于 ab a 的 平方分之 b 除以谁除以 ac 除以二除以那个 a， 是 不是直接就表示 b 分 之 a 得了？好，再加上二除以 ad， 是 不是二除以 ad 好， 二除以 ad 先放这里先不玩好，我们尽量都用它，都用三对三函数去表示好 ad 好， ad 等于谁？ ad 好， 我们去观察 ad， ad 是 不是 ad 比上 ad， a d 比 ab， 是 不是？其实它等于谁？它等于贪条法是不是等于贪条法？是不是？那等于贪条不就简单了？那我直接把这里改掉，那我是不是直接改成一比上 a 乘以扩散而法加上 a 分 之 b 再加上？好，那它是不是等于 a， d 等于？ 那就是二比上 a d， a d 等于二倍的贪条法，是吧？二倍的贪条法。好，我们再来看 我的 cosine alpha 是 不是可以表示 b 比一比二？我半边是一，是不是等于 b 比二？好，那这样粘起来是不是就等于二比上 a 乘以 b 加上 a 比 b， 再加上？好，我这里约掉。好，贪提阿尔法，贪提阿尔法 贪提阿尔法，贪提阿尔法等于谁？贪提阿尔是不是？ a 比 b 是 不是？ a 比 b 是 不是？好，这里二约掉，是不是它就等于 a 分 之 b 是 不是？好，我们再把它通分一下，通分一下之后，它是不是就等于 a， b 分 之二加上 a， b 分 之 a 的 平方加上 b 的 平方，挺好的，是吧？ a 乘以 b 等于几？ a 乘 b， 我 这里肯定能求出来， a 乘以 b 肯定能求出来。好，那我来求一下。好，那你意味着同的变化里面就是 a 的 平方。好，从这里到这里，我把它放到这里来。 好，那等于谁？先说 a 的 平方加上 b 的 平方加上二， ab 就 等于 x 的 平方。好， a 的 平方加 b 的 平方，是不是等于谁？又等于四？是不是四？四加上二， ab 等于 x 平方。好， a b， 那 ab 是 不是等于 x 平方？减四除以二，对吧？是不是？好，那么把 a 分 之 b， ab 带进来，是不是？这个题目做完了，好好算出来应该等于好。那你应该等于四倍的四比上 x 减四，再加上 a 的 平方加 b 的 平方， a 的 平方加 b 的 平方等于四，是不是？那就是八比上 x 平方减四，是不是好？那它最后结果是不是一十二比上 x 平方减四吧？是不是好？这个题目做完了，难度不大，是不是好？

好，这里我们对负中二十五题几何压轴题的第三问的答案，答案出来官方答案进行解读一下，因为我看发现这官方答案其实也很难，也很难去想， 所以我这里解读一下。我自己做做的这个确实比较复杂，他这个会简变很多，但是也很难想，所以说我这里相对解读一下。好，前面这都没什么问题，这个 ababfabf 和 b、 c、 d 相似，这个也没，这个也没问题，这个是不是也没说，也没问题，对不对？好，这里相似是不是有问题？好，它是，你就得出来这个。到这里我相信大家都到这里，应该相信到大家都没什么问题，都没问题，准确点应该。到到这里是不是大家都没问题，对不对？好，它这里相当于是 af 利用了等级等级代换等 就是相似三角形里面产常用的一种手段，等级代换好，等级代换之后，它就代换到了 b、 d， b、 d 乘以 b， f 等于 a 等于 d， e 乘以 e、 f 这一步， g 他 g 这一步估计很多人看不懂这个地方是什么意思，看他是 b、 d 乘以 b， f， b、 d 乘以 b， f 等于 d， e 乘以 e、 f， 是 不是？好，他们是把 b、 d 拆了， b、 d 拆成什么？ b、 d 拆成，是不是？我们这里就有 b、 d 等于 b、 f 乘以 d， e 乘以 e、 f， 是 吧？是不是？好，他把这个 b、 d 拆了， b、 d 拆成谁呀？ b、 d 拆成了 b， f 乘以 f， d 加上 f， d 加上 d， f 拆成。把 b、 d 拆成，拆成 b、 f 加上 d， f 再乘以的 b、 f 再减去，谁把这个移过来之后，他把 e、 f 也拆了， d、 e 乘以 e、 f， e、 f 拆成什么？ e、 f 拆成了 d， f 拆成了 d f 和 d e 加上 d e， 拆开之后等于零，是不是好？这从这一步，这一步是不是照一路到这一步？可能还是有人看不懂这一步，其实它用的是指数乘法，你把这个 b f 看成， 我们会化简一下，是不是可以化？看成 b f 的 平方加上 d f 乘以 b f 减去 d a， d e 乘以 d f 加上 d e， 括号等于零好来，如果你把这个 b f 看成 x， 是 不是就变成了 x 平方加上？比如 d f， d f 叫参数， d f 叫参数好， d f 被的 x 减去 d e 看成参数，然后 d f 加 d e 等于零，是不是好？用？十字乘法是不是一一 它这里是不是负的？ d f 乘以 d f 加上 d e， 是 不是好？那这样是不是就相当于有 x 就是 b f b f 减去 d e， b f 减去 d e 乘以什么乘以 b f 加上 d e 加 d f， 是 不是这里是用十字相乘法？ ok， 十字相乘来处理的好， ok， 好， 这里用十字相乘完之后，它是不是这里就因为这三个线段相加不可能等于零，所以说它就得到了 b f 等于 d e？ 好， 那这样剩下的就是 s 一 就等于 s 一 等于等一下算了。我放大一点， s 一 是不是等于 a e f a e f 这个没问题。 s 一 等于 a e f， 因为 b f 等于 d e， b f 因为 b f b f， b f 等于 d e， 那 s 一 的 s 一 的面积是不是就等于 a e f 了？是吧？ s 一 的面积本来 s 一 的面积是 abd 升变成 a e f 是 不是好？那个 s 二的面积 s 二的面积是 s r 面积是谁的呢？ s r 的 面积是不是就等于 a b f a b s r 的 面积？是，本来是 a、 d f a， d， f 变成了 a、 b、 f， 是 不是 a、 b、 f？ 好， 我们继续往后看，这个没什么问题。好，他说 s 一， 这个没问题。好，这里这个是什么意思？这个是什么？这个是面积之比，等于相似比的平方面积之比等于相似比的平方 面积之比。因为我们这做了 af 之后，做了 af 之后，其实有什么？有三角形？ a、 f、 e 会相似于三角形，是吗？相似于 a， a 对 应的是。等一下，我看一下。 a 对 应的是 九十度，它这里是角，这是一，这是二，这，这也是一。 ok， 那 这样 af a， f、 e 是 不是等于 a？ 是， 对应的是，这，这就是角二，这个就是角。二。好。 a 对 应的应该是 e e f e， d， e， d， c 是 不是 e， d， c， 所以 说它的面积之比等于它斜面积， a， e 比 a， e 比 a， e 比 c e， 是 不是 a， e 比 c e， a， e 比 c e。 好， 这里相当于是用的面积之比等于三十倍的平。面积之比等于三十倍的平方。好，它又做了什么？它又说 ab 的 平方加 b c 平方等于 ac 平方，因为它是两个都是直角，都是。你看 ac 之后 连接 ac 之后，是不是 ab 的 平方加 ac 平方，等于 ab 的 平方加 c c 的 平方，对不对？好？ ab abf 比 abf 比什么？ abf 是 不是相当于是 s 二比 s 三， s 二比 s 三 s 二 s 二比 s s， r 的 面积是不是等于 s？ 那 是不是这里就有什么？也有 a， e f a， f e， c， d 这里有，本身就有。 ok， 它后面是相当于是面积之比等于面积之比等于相似的平方。好，那这样的话就是 ab 的 平方加 bc 的 平方等于 ac 的 平方，然后等于 a， e 加 e， c 的 平方，那这里是不是就有了什么？这里就有了把它带进来 ab 是 不是等于 ab， 但是把它带，把这个带进来，带到这里来之后全部用好把它带进来，带进来之后是不是就因为 b e 等于两倍， c e 把它带进去，是不是最后面得到的？是只要是这个是指把 c e 全部约掉，最后得到是 m 等于四 n 加三。大概它的官方答案的解读其实主要是思想乘法，这里从这两步怎么来？包括相似比这里解读一下， ok， 好。

长沙一模这个数学真的太难了，当然这个质量也是非常的棒，事实上我昨天做完这个试卷之后，觉得这个十一题出的不是特别好，计算量太大了，回过头来想一下，这个题事实上对于计算的考察是非常少的 啊，我们会发现这个题它事实上是这套试卷上面最亮眼的一题了，那么它亮眼在什么地方呢？我们今天一起来看一下。首先这个题它讲说这个直线与圆是相切的对吧？切于 p 点与抛物线相交于这个 m 点和 n 点， 然后 f 点是咱们这个抛物线的焦点。那么拿到这个题的话，我们可能绝大多数的学生或者老师也会想着去设置直线，然后去进行连续计算， 但是我们可能忽略掉的一些这个性质，在这里面什么性质？就是一些几何的性质，比如说 a 选项，它其实是给了我们比较大的一个暗示了，就这个题 我们只需要要算出这个 mp 的 长度，我们只需要利用这个勾股定律可以去进行计算，对不对？那就说 mp 的 话，它是算要等于根号下 mc 的 平方减去 c p 的 平方，所以我们把这个 m 点做的他已经，但他已经给你设出来，所以可以这么去表示， 那么 mc 的 话就直接可以两点之间距离公式可以表达出来，对不对？然后 c p 的 话等于三， 那么再利用这个 m 点是在这个抛物线上面，可以把这个 m 点的重作表给它消掉，可以得到这个这个 a 选项，它是正确的。这个速度其实处理的还是比较的顺畅，但是我们绝大多数的学生可能 不想这么去操作，为什么？因为会觉得两点之间距离公式这样的一个计算，他会很麻烦是吧？嗯，所以没往这块去尝试。但事实上画出化简出来的这个结果确实很让我们惊喜。那么 b 选项怎么去判断？事实上这个题还有一个非常亮眼的点，就在于 这个语言和咱们这个抛物线是实际上是相切的，这个信息可能很多人也没有发现，我们，呃，没有去考虑到位。 那么当我们把这个圆和抛物线给它连立起来之后，你会发现这个圆和抛物线是相切的，切点的横坐标刚好是等于四，所以你两个切点连线就是 f 等于四， m m 的 最小时能不能等于四呢？其实当我们这个切线无限靠近于这个抛物线和圆相切的点的时候，那么 m m 的 长度是不是无限趋近于零？他们就像就会重合一样，对不对？ 所以 m n 它事实上不存在这个最小值的，但题干中明确的讲呢，是交于 m n 两点，那么这个 m n 的 长度也肯你肯定不会为零嘛，是吧？ 那么对于 c 选项的话，当 p 点如果落在这个 x 等于四的左侧的时候， m n 这两点事实上也会落在这条线的左侧，是不是？也就是说这个它们的横坐标都会小于四，是不是？所以我们结合这个 a 选项 这个结论，我们可以去把三角形的周长给它算出来。当然事实上其中也会用应用到咱们这个抛物线的基本性质，也就是它的一个定义去进行化简。最后你会发现它们的周长事实上是一个定值等于九，那么 c 选项它是正确的。有问题， 那么多选项的话，又怎么去判断呢？当咱们这个 p 点如果落在 x 等于四的右侧的时候，那么这个 m， m 这两个点它应该也会在 x 等于四的右侧，对不对？所以 它们两个横坐标也会大于四，那么它的周长我们也可以同样的去把它化简出来， 那么此时如何去求它的最小值呢？事实上我们发现一个什么点呢？就是当咱们这条直线如果无限靠，就是说它与圆的切点无限靠近于这个圆于抛圈的切点的时候， m， m 的 长度它也会趋近于零，对不对？ 所以这个 m 和 n 的 横坐标它也会无限从右边靠近四，那么它的周长也又会无限靠近九了。 当然我们也可以通过图像可以更直观的去感感受一下它这边靠近的方向，就是像这右边这个图一样，是吧？此时咱们这个 p 点 它是在这个圆与抛物线切点的右侧， m， n 呢，它也会出现在这个圆与抛物线切点的右侧，但是当 p 点无限靠近于咱们这个呃，圆与抛物线切点的时候， m， n 这两点的 距离它会无限趋近于零，所以勾选项它也是错误的，最终的答案也只有 a、 c 才是正确的。那这个题它其实是出的非常的棒的，它对于这个数学思维的考察是非常的好， 确实是非常也是很符合这个小题里面的一种特色，就是重思维轻计算的一个考察。嗯，很好的一个题。

今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似处理、等量和比例。前两讲呢，我们讲的是非常基础，也是非常核心的内容。比如说今天我们会讲全等相似对于等量和比例的处理。全等相似它最核心、最核心的价值 就是给我们提供了当你在几何问题当中遇到了等量关系，遇到了线段的比，应该怎么去处理，对吧？我给大家举个例子啊，大家现在拿出来一个本子或者一张纸，你跟我一起画图来感觉一下，比如说， 哎，这有一个三角形，这有一条线段 a， 这有一条线段 b， 这个加角是 r 法，然后这条线段是 c。 好 了，那现在呢？我给了你一组等量，我这又有一个线段也是 a， 好，这有一个 a， 这有一个 a。 那 么题目当中呢，相当于你就看到了一组等量关系，一组等线，那么这组等线怎么样才能用起来呢？他如果在同一个三角形当中，那等线对等角，你就把它用起来了，对吧？但是他们俩离得这么远，你唯一能够想的是去干什么？兄弟们来想一想，现在 两条等线不挨着，离得这么远，他们不可能放到同一个三角形去处理，那只能放到不同三角形去处理了啊。那么不同三角形哎，离得这么远，你会有什么想法？你只能把它放进全等三角形了。怎么放进全等三角形呢？那我们观察一下，因为这给了一个角度而法， 所以呢，我给这也来一个角而法，并且在这条射线上，我截取一条线段等于多少？ 我再截一个线段等于 b。 好 了，那这个时候你观察一下，这是 a， 这是 a， 这是阿尔法，这是阿尔法，这是 b， 这是 b， 那 么这两个三角形就怎么样了？是不是就全等了？ 全等以后呢？我可以拿来干什么？我就可以同步信息了。你比如说这条线段是 c， 我 就可以得到这条线段也是 c， 同时这个角是 beta 呢，这个角也是 beta， 这个角 c， 它这个角也 c， 它。你会发现，我就由原本的一组等量， 通过构造全等三角形，就得到了一堆的等量关系，我还把这个已知量 c 挪了位置，这就是通过全等去用起来等线，这叫全等对等量的处理， 这是最底层，最底层的我如何用好全等？当你看到了等线怎么办？想办法把它放进三角形，放进全等三角形构造全等。好，这是第一个逻辑，这是处理等量啊，那假设我这有一个 a a， 那 么这有一个线段二 a， 哎，你看，我这有一个 a， 这有一个二 a， 我 给了你一个一比二的比例。线段看给了你比例，那这个比例我又应该怎么样才能把它用起来呢？我刚才说了，有等量我就可以造全等，那如果有比例呢？我就造相似，并且我还知道我造出来的一定是相似比为多少的相似 相似比为一比二的相似，那同样呢，这有一个角 r 发，我给这也来一个角 r 发，那么并且呢，这次我在这条射线上应该截取一个线段等于多少二 b 嘛？对不对？我截一个二 b 出来好了，这下观察， 我把这一条这两个端点一连，你会发现这是 a， 这是二 a， 这是 r 发，这是 b， 这是 b， 两边成比例加角相等，那么这两个三角形它就是什么？它就是相似的关系， 对不对？那么同时呢，我可以得到这个是 c， 这个就是二 c， 哎，我通过造一个相似，我就把这个 c 挪到这，并且还给它乘了二，同时呢，依然可以得到贝塔等于贝塔， c 塔等于 c 塔，得到了等角，得到了乘比例的线段，这就是 通过构造相似去处理什么比例关系，处理线段的比，这就是我全等相似对等量对比例的最基础的使用逻辑，非常非常的底层了。就你其实造所有的相似，比如说未来我们会用模型来造相似，它的逻辑其实是一样的。比如说，哎，我这看到了一个， 这是 a， 这是二 a， 这是 r 发角，这是 r 发角，那这时候怎么办呢？这个 a 和二 a， 我 也得想办法 把它放进一比二的相似里，怎么放？只不过这次这已经有等角了，我只需要再把它捅出来，这是，这是 c， 它，这也是 c， 它，那么这两个三角形就相似，我就可以得到这是 b， 这是二 b， 这是 c， 这是二 c， 这就是八字相似的构造。 哎，虽然他是用模型思想，我去就直接解决了，没有那么多分析了，但是他的底层逻辑还是，当你看到了比例线段，我得想办法把他扔进相似三角形当中，这个逻辑可以解决解释一切的相似构造。什么是底层？就一个逻辑，越底层，他能够帮助你解释的问题就越多， 对吧？像这个你就不能仅仅记一个，我把他捅出去，你更重要的是什么？去理解他为什么能这么干？因为你一旦把他捅出去，等角和比例关系就进到三角形就会有相似，这是我们处理了，这叫什么？等线？ 从他到他叫处理等线，从他到他叫处理比例线段。那么还有一种啊，就是纯粹看到了等量，除了等线还还会有什么？还会有等角吗？比如说，哎，我这有一个 r 发角，并且我知道这是一，这是二，这是根号五。哎，我在这看到了这样的一个三角形，同时呢， 我在这这也有一个 r 发角，那这次呢？怎么利用这组角相等？大家想一想， 处理等角离得这么远的两个等角，我怎么样才能把它用起来？我就做垂线吗？你想，已经有一组等角了，这有一个直角，那我给这也凑一个直角，我给这也凑一个直角，那么这个阿尔法和这个阿尔法，这个九十度和这个九十度，是不是就造成了这两个三角形相似？ 那么这个三角形的比例关系是不是就完全可以复制出来？我就知道这是 x， 这是二 x， 这就是根号五 x， 你会发现这就是对等角的处理。我看到了两个角度相等了，离得这么远，我只能想办法把它干什么？放进带有等另外一组等角的三角形就造成了相似，所以这叫等角造相似。好，你看我们讲了哪些东西？ 等线造全等比例线段造相似，如果只有等角，离得又很远，等角离得很远能干嘛吗？ 放进三角形内造相似吗？哎，怎么放进三角形内？再给他凑一组等角，这就是全等相似。对等量和比例关系等线等角比例线段的处理，最底层，最底层的全等相似的使用逻辑，就是我们平常所说的什么逆等线问题啊，这那那这那些看起来花里胡哨的东西，它的底层逻辑全部都在这里。 你理解了这个底层逻辑，你就不需要去背一个什么题型，背一个什么模型，而是你知道他原理是什么，怎么想到的去那么干。那如果把这些听懂了，哎，那核心就是一个什么 核心，其实标设放列的里面的哪个字在这里特别特别的重要，放我们平常所说的四字习惯里面的放就非常非常的关键了， 你看，你就是要把给你的等线，给你的等角往三角形里放，放进合适的三角形，造全等相造相似。你看你把这个阿尔法放进这个三角形，把这个阿尔法放进一个带有直角的三角形，放 是核心，就是当你看到了一堆等线等角怎么办？怎么组合，把它们往三角形里去放。好，自己一定要动手画啊，自己一定要动手画，自己画好啊，觉得没问题了啊，我们接下来通过四道题目， 咱们来感受一下啊，如何真正的在题目里面如何去构造的，好了，来，我们来看题好了，来吧，我们来看看这道题，感受一下啊。首先它告诉我们 a、 d 是 等于 c、 d 的 这两条绿线相等， 然后呢，角 b 和这个角相等，那我就都设为 r 法，这两个 r 法角相等。最后呢，让我们证明 c、 e 等于 ab， 要正这两个圈线段相等，要正这两个圈线段相等，已经有 r 发角， r 发角相等，绿线和绿线相等， 大家想一想，我最终证明这两个圈线又离得这么远，他不像。如果是在同一个三角形内，我要正两个圈线段相等，我是不是正等角就行了，但是这两个线段又离得这么远，我想要证明这两个线段相等，我就只能去想什么思路，他一定是正全等， 对吧？方向就是这样，它离得这么远，你不正全等，你怎么证明这两条线段相等对不对？而且全等也有了很多等量关系，我已经有 r 法角等于 r 法角，绿线等于绿线好了，正全等。 但是你会发现呢？如果我想直接正全等这两个，哎，你会发现，目前这个圈线段只能放进这个三角形，这个圈线段你只能放进上面或者下面这两个三角形。考虑到 r 法角，你其实只能往这个圈三角形里放， 而这两个三角形显然怎么样？不全等。为什么说显然不全等？一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，这两个三角形肯定不会全等的，所以我们得造全等，而造全等的过程就一定得想着我得利用好什么？利用好 r 发角和 r 发角， 我得把圈 r 发角还有这个绿色线段是不是往一起凑？来，我再说一遍啊，你看这个逻辑，圈 r 发角和绿色线段，我得把这些等量关系往三角形内放，等量放进三角形 对不对？而你会问，这个圈，这个阿尔法，这个绿色线段已经在底下这个三角形了，那这个绿色线段，这个圈，这个阿尔法感觉也在一个三角形，但是这两个不全能，那怎么办呢？我得调整一下位置。怎么调整？哎，我现在阿尔法角肯定得用上，这个圈和阿尔法圈和阿尔法我肯定得用上， 对吧？但是这个绿线呢？好像不太美，目前人家题目直接给的三角形不全能，那怎么办？连接 b， 你 看如果你连接 b e， 如果你连接 b e， 你 是不是把这个等角就拆掉了？ 你肯定不能干这事嘛？你肯定不能把 r 法拆掉嘛，对不对？你 r 法要完整的保留，那怎么办，对吧？连接 b e 肯定不行，我能不能在这上面截取一个啊？比如说 b g 这个叉等于这个叉，然后呢，我再把这条线段连接起来，正这两个三角形全等。 哎，我截取一个叉等于叉，我只要能够证明这两个三角形全等就 ok。 哎，这个思路有点意思，而且我们造出来的三角形是不是看起来它就一定是全等的？ 这个思路有点意思，但是你会发现这个思路有个问题。这个思路有啥问题？它最大的问题是 a d 等于 c d， a d 等于 c d 这个条件 用得上不？兄弟们，你这个条件用不上，有没有发现？这个条件用不上，你会发现，那这两个三角形你要想正全等正不了，为什么你只有个叉等于叉， r 等于 r， 你 缺条件。为啥缺条件？这个条件没用上，这个条件没用上，你就弄不出来。 那怎么办？旋转等线，其实旋转不旋转都无所谓，你既然他和他没有办法构成一个全等三角形，而这他和他又相等，那怎么办呢？我在这直接做一个 a f 等于 ad， 这可以做吧？我肯定可以在这找到一个 a f 等于 ad， 做 a f 等于 ad， 哎，这样的话，绿线和绿线相等了， r 法角和 r 法角相等了，哎，这次等量关系我就用上了，对吧？原本的这个等于这个，现在我造他等于他，所以这三条线呢，都相等，等量关系用上了，现在呢？最终我要证明这个圈等于圈，就是证明这两个三角形要全等。 我现在要证明这两个三角形全等，已经有绿线等于绿线了，阿尔法等于阿尔法了，还缺一组条件，能不能看到补角相等，因为我给这儿造了一个等幺，那你会发现这个 beta 等于这个 beta， 那 就会导致这个 c 塔等于这个 c 塔。好了， c 塔等于 c 塔，阿尔法等于阿尔法， 绿线等于绿线，这两个三角形全等，最终我就可以得到 a， b 等于 c e。 结束好，整个的思路是什么？整个的思路就是当题目给等量，要我们正等量，我就得把这些等量关系放三角形 造全灯，得到这个灯亮，这就是它的底层逻辑。我们刚才的试错，我们刚才的分析，我直接做它等于它的这些，这些尝试都是非常非常有价值的。 最终我们通过探索，我发现我就是要尽可能的利用好题目，给我们的等量关系，把它们扔进同一个三角形，让它们去得到全能。你看原本这条线和这条线没办法扔，怎么办？我把它转过来这条线、这个角，这条线、这个角，最后再结合等腰出一组等角， 等量关系放进三角形造全等，这就是全等对等量的使用。以后什么时候会这么想问题呢？给等量，正等量，那我肯定要把想办法把等量往三角形里放去，造全等，这才是核心啊，这才是核心。 怎么想到的？就是这么想到的。好，来下一个。在讲这个题之前呢，因为这里出现了一个二倍角的处理。二倍角的处理，首先我们要明确啊， 二倍角是没有用的，二倍角和二倍的比例线段还不一样，二倍的比例线段我还可以造相似，二倍角没有用，二倍角在任何地方都没有用。我拿到二倍角唯一的想法就是通过二倍角导出什么东西。等角只有等角才有用。兄弟们，无论是等角在同一个三角形就会出现等腰，还是在不同三角形的等角就可以造相似， 只有等角才有用，二倍角没有用。那如果我在一个角是阿尔法，这个角是二阿尔法， 我怎么样把二倍角转化成等角呢？你可以非常简单粗暴的来，我直接做这个二倍角的。什么？我直接做二倍角的角分线， 一旦做了二倍角的角分线，那么你会发现这两个角都是 r 法，这是不就出现等角了？底下这组等角构成等腰三角形，上面这组等角我还可以去找相似，你看， 等角才有用。二倍角是没有用的，所以第一种方法就是直接造角分线，做二倍角的角分线。哎，这个是最简单粗暴的，这是一种方法，那我还可以怎么做呢？那我还可以直接给这个 r 法给他怎么样？给他对称下来， 那么这个角是不是就是阿尔法了？这个角阿尔法和原本的这个角阿尔法是不是就构成等角了？那么这两个等角我是不是也可以想办法去阿尔法等于我造一个阿尔法等于阿尔法是不是也可以搞事情了？所以第二种情况，我直接 阿尔法去做对称，哎，这都是非常粗暴的方法，哎，我直接阿尔法做个对称，这是两个，要么我凑阿尔法和阿尔法相等，要么凑阿尔法和阿尔法相等。 好了，那么还有一种第三种就是等腰处理二倍角，这是一个相对来说比较巧妙的办法。为什么等腰可以处理二倍角？来，我们来看一下啊。 等腰三角形两个底角是 r 法，那么二倍角会出现在哪里？外角就是二倍角，你随便沿一个顶角的外角出来，这个角是这两个角和，这就是二 r 法。 所以等腰三角形内天然包含着一个二倍角关系，我们就可以利用这个二倍角关系去处理这种二倍角问题。那怎么具体怎么处理呢？你看，我还是给你画一幅这个图，假设他给了你一个 r 法角，给了你一个二 r 法角，那我就造等腰就行了。 看好了，这个等腰怎么造？这个等腰怎么造？这是 a， 这是 b 啊，这是 c， 我 怎么造？ 造个等腰处理二倍角怎么造？第一种想法，我延长 bc， 延长 bc， 我 以 ab 为腰，造一个等腰三角形， 看，这是圈，这是圈，我来一个 b m 等于 b a 这上，这样是不是就造出来一个等腰三角形？一旦造出来等腰三角形之后，那你会发现这两个角都是什么？都是几个 r 法，哎，我就做 b m 等于 b a， 这两个角是不都是一个阿尔法？好了，那你会发现原本阿尔法和阿尔法没有用，但是现在这个阿尔法和这个阿尔法，这俩这俩你就可以看出反应相似了，这个阿尔法和这个阿尔法就构成。哎，这两条线段也等腰了， 神奇不神奇？我拿了一堆等角，你看，原本是一个阿尔法二倍关系，但是由于造等腰，我还是这幅图，咱们来画一下，我还是这幅图， 这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 r 法，这是二 r 法。我刚不是把这个 ab 往外往外挪，挪到外面去，我可以造个等腰，我还可以在里面来一个等腰。看好了，我来一个 ab 片等于 ab， ab 片等于 ab， 这两条线段相等，就是做 ab 片等于 ab。 好，这样的话呢，那你会问，这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法？首先这有一个等腰三角形，同时这个角是阿尔法，看这个三角形，这是阿尔法，那这个角是什么？这个是不是就是阿尔法减阿尔法，那它也是阿尔法， 好嘛，你会发现，我通过做一个 ab 片等于 ab， 这出现一个等腰三角形，出现了一个二 r 法，等于二 r， 同时呢，因为它是这个三角形的外角，二 r 法减 r 法得到它是 r 法，又得到了这两个圈相等，你看，我就得到了两组等角，最终还是把一个二倍角关系转化成了两组等角关系。 哎，也就是说，这个等腰三角形，我可以以 ab 为腰，往内做，都是 ok 的， 都可以利用等腰三角形出现二倍角关系。 那么到这呢，我们就盘点清楚了，其实初中阶段你想要处理二倍角，基本上也就是这三个方法了，要么做角分线，要么做对称，要么通过等腰的二倍角去处理。好吧， 来吧，兄弟们，咱们来看题了，来看看这个题，这下你再看看这个应该怎么去处理。当你看到这个题以后呢？你第一个要处理的条件肯定是什么？二倍角换等角。来，我们来看一下 b， d 比 c， d 是 一比三， b， d 比 c， d 一 比三，那我设这条线段是 a， 这条线段是三 a， 这是基础习惯啊，基础习惯有比例，你就设 d、 f、 b、 ac 一 比六，那我就设 d， f 是 x， ac 就是 六个 x， 这一小节是 x， 这一小节就是六个 x。 好 吧，然后呢？又有一个二倍角，阿尔法等于阿尔法啊，好，又有一个垂直。最后问我们什么的 a、 d 和 d、 f 的 比，也就是说我最终就是要表示线段 a、 d， 用 x 表示一下线段 a、 d 就 结束了。 那你会发现，我们刚才已经说了，比例线段你还有可能直接用，但是背角关系你是没有办法直接用的。由于背角关系没办法直接用，所以我上来第一步一定是先处理这个背角，那么这个背角关系我的处理，我刚才说了，我要么给他做对称， 要么我给他做角分线，要么我利用等腰来处理。大家想一想，我是做对称做角分线，还是利用等腰来处理？好，我们来分析一下啊，这个分析几度重要啊？我们来想第一件事，我做角分线，你看美不美？ 为啥不美？能不能说出来？为啥不美？因为你把这个比例关系三 a 干掉了嘛？干完了以后你还得不到这两边，左右两边到底是几比几，能理解吧？已知条件是不是割了两段肯定不美嘛，对不对？好，来，角分线废掉了，那我做对称，我给这再来一个 r 角，你看美不美？比如说我把这个弄出来， 我给这再来一个阿尔法角，造成这两个阿尔法相等，你看美不美？好像也不美。为啥不美？这边是把条件干废了，你，你往这边做，与人家所有的条件都没有建立起联系，有没有发现你唯一就搞了个阿尔法，我做一条辅助线， 我说要尽可能跟这些已知的已知的关系建立联系，没有用。哎，为什么没有用呢？就是他把我已知条件没有调动起来。好了。来，既然前两个都不美，那我就造等腰，我以谁为要造个等腰就把这个阿尔法处理掉了， 我是不是以这个六 x 为等腰？我给上面我把这条线延长出去，延长出去后，我给这再来一个六 x， 那 么这一下，这是不是就出现了一个等腰三角形，这下美不美？ 这种做法至少相对于前两种做法，我是不是一边处理了？这个角是 r 法，这个角是 r 法，我是不是一边造出了一个 r 法角？同时呢，这个六 x 我 已有的条件也被我盘活了， 他是不是调动了更多的已知条件？所以在这三个方法里面，肯定这个方法相对来说是最美的，这个美了。接下来呢，你看嘛，我，那我造出来等角，我就得有用啊，我这个 r 法角和这个 r 法角相等， 咋个用法？咋用呢？刚才咋说的？等角是不是就只能造全等或者相思嘛？对不对？那你看 这个 r 法角造全等相似的核心是你要把这些 r 法角是不是放进三角形？你看这个 r 法角可以放进哪个三角形最美？放进这，人家这不是还有个直角呢吗？对吧？你让这个 r 法角和这个直角组合一下，它是不是就进入到了一个直角三角形内，对吧？看这是不是就有了一个直角三角形？ 好了？来，这有一个阿尔法，这有一个直角，这有一个阿尔法。我如果想让这两个阿尔法进入到相似三角形，那很简单了，我只需要 b 往这再做一个垂线，我是不是就造成了这个红色三角形和这个大蓝色三角形的相似？ 哎，那这组阿尔法是不是就造成了相似？我通过这个阿尔法等于阿尔法。哎，我造 直角三角形相似好，那么相似以后最好要有什么才能有用？我现在红的、蓝的相似，以后最好要有什么这个相似才能有用相似比。但是目前这两个这个红的和这个蓝的有没有相似比，他是不是既没有自己比，也没有相似比， 对吧？哎，所以我在观察啊，目前没有比的关系，我在观察，你会发现这一个直角，这有一个直角，这底下是不是又出现了一个八字相似， 而这个八字相似，它是不是有相似比的，它相似比是不是一比三？所以同时你不但造了一个直角三角形相似，你还有一个八字相似， 这个相似比是一比三相似比是一比三。来，由于这个相似比一比三，那么 d h 这一段是不是首先可以表示了？ d h 这一段就是三分之 x 相似比一比三吗？看这一比三，这是一比三，这是三分之 x， 同时我通过这组相似还可以得到谁和谁的比， b h 和 c f 的 比， b h 和 c f 的 比是不是也是一比三？这个时候我就可以设它是 b， 那 么它就是三 b， 一 旦它是 b， 它是三 b 什么就出来了。原本的这两个直角三角形的相似比，是不是就是 b 比三 b 这个直角三角形的相似比就是一比三。 那我们利用这个一比三可以拿来干什么呢？你会发现，我最终要 a d 和 d f 的 比，现在是不是就差一个 a h， 而 a h 是 不是既可以放到这个红色三角形，又可以跟这个蓝色三角形建立联系？所以我用这个相似比就已经可以列比例关系了，列哪两条线段的比来一比三，就等于哪两条线段比 a h e f。 看 a h， a h 是 不是就是我们要最终要求的那条线段了？ ef 是 不是这一段里面既包含 a h， 剩下都用 x 表示了？那我就来就等于 a h 比 ef， 而 a h 又等于多少呢？ a h 就是 a h， 对 吧？ ef 是 什么呢？ a h 比 ef， ef 是 六 x， 再加 a h， 再加三分之四 x， 一比三就等于 a h 比上一个，这是六 x， 再加上这三分之二十二 x， 再加 a h， 这 a h 不 就解出来了吗？就是三倍的 a h 就 等于三分之二十二 x， 再加 a h， 那 么两个 a h 就 等于三分之二十二 x， a h 就 等于三分之十一 x， 对吧？好了，这一段是三分之十一 x， 那 到这问题已经结束了，那我最后要的是 df 比 ad， 那 么 df 不 就是 x 吗？它就等于 x 比上一个 a d， a d 是 三分之十一 x， 再加三分之 x。 好 了，那么三分之十一 x， 再加三分之 x 就是 四， x 就是 x 比四 x 就是 一比四。结束 到这整个问题结束，来吧，兄弟们，其实没有那么复杂，每一步都是非常强的逻辑啊，难度不小，但是每一步都是讲道理的，没有任何一步天马行空的，这里面没有神来之笔啊，没有任何一点点的神来之笔。我们重新再盘一遍，这里面最精髓的是什么呢？来重新盘一遍啊！ 最精髓的是来一开始先盘条件，盘条件，他说这个是 a， 这个是三 a， 这个是 x， 这个是六 x， 这是 r 法，这是二 r 法。 让我们求 ad 比 df， 那 就是用 ad， 用 x 表示 ad。 好 吧，那么一开始呢，我们去想了想，就是条件有哪些条件？有两类 条件，第一类条件是比例线段，第二类条件是二倍角。那我们要知道比例线段是可以直接用的，为啥说比例线段是可以直接用的？比例线段可以直接用，因为比例线段放到相似就行了，但是二倍角是必须先处理， 而二倍角在处理的过程当中，我们有什么想法呢？我们选择了一下二倍角的处理，刚才已经讲了，要么做角分线，要么做对称，要么做等腰。我们会发现角分线或者对称没有办法盘活其他的移植条件，所以我就用等腰处理了二倍角。为什么说等腰处理二倍角呢？因为等腰处理二倍角， 处理了二倍角的同时，这个六 x 也被我们换了位置，这是第一步，前面的分析极度重要，就是你看马哥在给你讲什么，马哥在给你讲你拿到这些条件，你的底层思维是什么，对吧？我并不是说给你这讲，这道题有什么大招，有什么秒杀没有的， 讲的是最底层的逻辑，这就是这两年中考最常见的趋势，绝对没有任何飘逸的操作，它都是很常规的操作，但是呢， 你要知道拿到条件应该怎么去想。好了，这是第一等腰处理二倍角，第二等腰处理二倍角，就是为了得到等角，当我得到了，我现在有阿尔法，等于阿尔法，怎么去用造相似？ 造相似的核心是要放进合适的三角形，这个时候我观察一下这个阿尔法和这个九十度，已经可以放进这个大的直角三角形了， 那么这个阿尔法我只需要再做一个垂线，就可以造成这个红色三角形和这个大蓝色三角形的相似，对吧？阿尔法造相似，造了一个直角三角形的相似，这就是等角。怎么用等角造相似？你看这个东西就是我们之前讲的什么东西， 是不是就是我在这给你画的这个图来感受一下，是不是就是这个？看，这有一个阿尔法，这有一个九十度，当这也有一个阿尔法，我再做一个九十度，造成这两个三角形相似，是不是就是这个图给你扔进了那个梯里？我造完这个相似以后，我发现没有相似笔，这相似我就要找相似笔，但是没有相似笔，没有相似笔怎么办？这个时候去观察 你在这做垂线的同时，这底下又有一个新的八字。第三，用八字，这个八字帮我们得到什么呢？首先这个是 x， 那 么这一段就变成了三分之 x， 因为它的相似比已知。 再来这个是 b， 这个是三 b， 这样我就得到了这个三角形，这个三角形直角三角形的相似比，就是红色和蓝色直角三角形相似比，一比三。 而通过这个一比三，我就可以干什么？就可以列比例了吗？我相造出来相似就是为了列比例，这个时候我观察一下，我最终要的就是 a h， 那 么 a h 和谁，和这个 e f 的 比 就等于一比三。好， a h 是 多少？ a h 是 我们要求的，而 e f 就是 a h， 再加六 x， 再加三分之四 x， 就等于一比三。通过这里我就求得了 a h 就 等于三分之十一 x， 你 把这个 a h 求完带进去就可以得到答案，一比四。所以核心点就是三个。第一个一定要想到二倍角，必须先处理二倍角，不先处理你角度没有用。 接下来呢？等角我想办法造相似，没有比例关系，再观察，这还有八字，得到比例关系。最后列比例式，这里面大家想一想，有没有任何一步是神来之笔，天马行空，没有的，非常讲逻辑的， 对吧？这些逻辑都是可以拆解，可以附用到其他题目里面的客复用逻辑，没有任何套路。这道题是特别符合这两年中考的命题方向的，他没有什么模型，没有什么套路，没有说是你背个什么东西，没背个什么大招能解决，考的都是非常底层的操作，看的就是你的几何基本功， 这基本上放一道中考填空压轴没有一点问题啊，或者放一个大题压轴的第二问也没有一点问题啊。好了，来，我们来看看宜宾二零二四年的这道题，这是宜宾二零二四年的填空的压轴，填空压轴。好，来，我们来分析下这个题啊， 这道题啊，他说什么呢？他说这有两条线段， f、 d 和 c e 始终相等，然后呢，这是一个平行四边形，这条边是二，那么这条边也是二，然后呢，这两条边是四，这两个点都在动，动的过程当中保持这两条线段始终相等，相等，我就都设为 a。 好， 那么最后呢，当 a e 加 c f， 就是 这个黄线加这个蓝线最小的时候，求 c e， 求这个线段长，求 a 的 长。我们来想一想啊，这道题目前最大的问题，什么？我要求两条线段合最小，一般都得让这两条线段这个蓝的和这个黄的首尾顺次相接，共线最小， 这没问题吧？我要找 a b 两条线段合最小，那我就得让它首尾顺次相接，让它共线最小。但是呢，你会发现，目前啊， 目前这两条线段是交叉着，这个位置肯定没有用，所以呢，我必须得转化啊，我必须得让蓝的或者黄的其中一条线段换位置，其实你让哪个换位置都行，比如说我们就让这个短的吧，我要让 转化 cf， 我 就让 cf 换个位置，换位置的目的是为了和什么？是为了让这个 cf 和 ae 首尾顺次相接，这是我的目的。那怎么样才能让它换位置呢？ 我现在就是让这个蓝线换位置，那你就得把这个蓝线放进三角形内看嘛，但这个蓝线只能放进哪个三角形，就是放进这个三角形， 那么蓝线放进这个三角形之后，我是不是再造一个三角形跟这个紫色三角形全等，那么这个 c、 f 就 可以换位置 看，这是我的目标线段，我就是要造一个三角形和这个紫色三角形全等，那么这个目标线段就可以换位置。好，那怎么造呢？我造全等，得利用等量吧。人家是不是已经给了 a 等于 a， 那 我就利用 a 等于 a， 这组等量 造全等，对不对？我就利用这个 a 等于 a， 这组等量的造全等。那你会发现，我们来观察一下这个三角形，有一条边是 a， 有 一条边是二，有一个角是 r 法， 那我现在这已经有一个是 a 了，那我只需要怎么样？我只需要把这个 bc 延长出来，这个角是不是就是 r 法了？ 那我只需要在这条射线上再截取一条线段等于几，我在这条线段上再截取一条线段等于二，这个时候我把它俩一连来观察， 这个 a 等于这个 a， 这个阿尔法等于这个阿尔法，这个二等于这个二，那么这两个三角形是不是就边角边得到全等了？这是不是就是我们刚开始给大家画的 这幅图，看，这是 a， 这是 b， 这两个三角形就全等，这个 c 是 不是转化到这个 c， 是吧？是不是就是把这幅图给你扔进了刚才的那道题里？什么叫可负用逻辑？这就是可负用逻辑。 好吧，好，来再感感受一下。因为这个 a 等于这个 a， 所以 要把它延长出来，延长出来这个二等于这个二，同时这个角阿尔法等于这个角阿尔法，所以这个时候连 eg， 这个 eg 就 等于 c f。 好 了，现在我是不是就让这个 a e 和 c f 首尾顺次相接，是不是达成目的了？ 到这是不是就达成目的了？现在你会发现，因为 e 是 一个动点，那么这个 a e 加 c f 什么时候最小？是不是就让它直接 a e c 三点共线？那么最小的时候这个一撇，这个点 一撇，是不是 c 一 撇就是我们要求的值？那最后我要求这个 c 一 撇怎么求呢？你是不是可以用 a 字相似，也可以用八字相似，因为有平行，有平行想相似吗？求 c 一 撇，有平行想相似吗？平行想相似吗？想相似吗？这有什么相似？你比如说 这是不是就是一个来，我就看这组 a 字吧。啊？这条线和这一条线是平行的，那这里是不是就构成了一个 a 字？这个 a 字的相似比是多少？是二比 六，是不是就是一比三？那么这条线段是二，这条线段就是几三分之二，所以 c 一 撇三分之二。打完收工好了，那么这道题最核心的是怎么想？你看马哥最最给你强调的不是这道题怎么做？不是， 这就是大家平常所说的什么逆等线模型。毛线，有什么模型好去记的？它就是一个最底层的，当我要转化线段，又有等量关系的时候，我就利用等量造一个全等，它和我们前面讲的逻辑其实都是一致的。这些题目看起来长得非常不一样，但是它的底层逻辑都是 给你等线，要转化线段，那我就利用等线去造个全等转化线段。马哥已经给你讲的非常非常仔细了，每一步怎么想的，反复去揣摩。如果说这道题一听懂，你就觉得你以后能够想到，那这道题对你毫无意义。 我们要做的是怎么想到，怎么想到。马哥刚才已经讲的非常清楚了，首先要转化，得换位置，怎么样换位置给你等线，你得想办法造全等，包括这个图都给你画了， 这是 a， 这是 r， 这是 r 法，这又给你一个 a。 好， 我要现在转化 c、 f， 怎么转化？来，我给这来一个 r 法，给这截一个 r， 那 么这就是 c f， 我 就是把这幅图给你扔进了这个题里。 是不是每一步细节怎么想到的都给你讲的很详细了？所以千万不要再去强调你想不到了。你强调想不到就是强调我不行吗？强调我不行有什么意义？你要想一想怎么才能行？这就是最底层，最底层的逻辑。好了，来吧，兄弟们， 这是我们用等线去构造全等，这是二零二四年的一遍的题。来，我们再看一道。哎，如果是比例线短的来， 人家要两倍的 cd， 那 这次得造什么了？要两倍的 cd， 咱这次是不得造相似了。来，这道题的底层逻辑跟刚才那道题还是一模一样。好了，我们来感受一下。首先它要 b e 加两倍的 cd， 加两倍的 cd， 那 我是不是得让 b e 和两倍的 cd 首尾顺次相接，所以我得造 相似去得一个二 c、 d 与 b e 首尾相接没问题吧？这道题肯定就是个目的，我的核心目的就是造一个相似，得一个二倍的 c、 d 与 b、 e 首尾相接。最关键最关键的是，为什么这道题我可以非常确认它一定是造相似呢？因为人家还给了一个，这是 a， 这是二 a， 那么怎么去造这个相似？利用一比二的这个比例关系，人家给了你比例线段，是不是就利用这个比例线段去造相似？那我要造一个三角形，和哪个三角形相似呢？造相似。第一个问题，和谁相似？造三角形与谁相似？ 造哪个三角形的相似？三角形，我一定是造 a、 c、 d 的 三角，因为我要造二倍的 c、 d 吗？那就是 cd 放三角形里吗？ 看 cd 放三角形， cd 肯定是结合这个 a， 哎，那我肯定是放进这个三角形，那我就是要造一个三角形，与这个紫色三角形相似，这就是目标。好，那这个造相似其实也很简单了，我给你往出画一下，你会发现这个 cd， 这个 cd 在 一个什么样的三角形内，这是直角， 然后呢，这是 c、 d 啊？这是 a， 这是四。好，现在我又有一个二 a， 我 又有一个二 a， 又有一个二 a， 二 a， 那 我这边肯定得是几得是八吧，对吧？然后呢，这，这，这就是二 c、 d 就 出来了。来，这就是造相似的基础图，只不过我要把这个基础图塞回去啊，这是二 a 啊，不是二啊。二 a， 好，那咱就造就行了吗？来，那我是不是首先得过这个点？ c， 来一个直角吧，来一个直角吧。然后呢，我让这条边等于几，我让这条边等于八，是不是就出来了， 对不对？看二 a 直角八，二 a， 直角八就出来了，所以我给这来一个八，给这来一个垂直。好了，这个时候我连接 ef， 那 你会发现这两个三角形就相似。相似比就是 a 比二 a 就是 一比二，那么这个是 c、 d， 这就是二 c、 d e、 f 就是 二 c、 d， 这就是这道题最关键一步，这个这一步完成了，就结束了，这是二 c、 d， 这是 b e， 对 不对？好了，那接下来我要找 b e 加二 c、 d 的 最小值连谁结束？我是不是连个 b、 f 就 结束了吗？我让这两条线段共线，是不是连 b、 f 就 结束了，对吧？所以这个 b、 e 加二 c、 d 的 最小值就是 b、 f， 那 么这道题让我们求这个最小值，求就是求 b、 f， 你可以自己画一下试试。你最终要让蓝线和黄线首尾顺次相接，如果你过这做垂直，你这个黄线跑这了，就跟他没有首尾顺次相接了，明白了吗？你给自己一画你就知道了。好了， 那最后一步，那我如果想求这个 b、 f 怎么办呢？我怎么样才能求这个 b、 f 呢？勾股定律怎么勾股定律？那我是不得想到用到这个二，用到这个八，还得用到这个四，怎么办？我过谁做个谁的垂线就行了，我延长 f c， 我 延长 f c 过 b 做一个垂线是不就欧了， 对吧？过臂做一个垂线，那你会发现这个线段是二，那因为这都是九十度，这是一个矩形，这是四，这是四，这是二，这是二。好了，你在这个大三角形 b、 h、 f 当中，这是四，这条边是十，你就可以求出来二五根号下二十九，这就是二倍根号下二十九。结束，所以最后答案就等于二倍根号下二十九。 好，那么这道题最关键的想法，我们来复盘一下，还是一样的，我要这个 b e 加二 c、 d， 那 我最终就要 b e 加二 c d， b e 和二 c、 d 首尾数字相接，所以我得照相似得到二 c、 d 与 b e 首尾相接。 怎么造相似？利用人家给的这个一比二关系，利用这个一比二关系，我把这个 c、 d 放进这个三角形，一条边是 a， 一 条边是四直角，那么这是二 a， 这条边是八直角，这就是二 c d。 二 c、 d 一 旦出来，后面就没有难度了。你看，马哥讲了四道完全不一样的题，但是用的底层逻辑，你现在品一品 用的底层逻辑有没有超出一开始给你画的这一啊？你现在再回过头来再看，是不是都没有？ 所以呢，其实我们就是最用最基本的给你等线，你就想办法造全等啊。给你比例关系，你需要比例关系，你就造相似。如果单纯给你等角呢？单纯给你等角，你再找等角，把它们结合在一起，放进三角形内，这就是最基础的相似和全等的底层应用思想。 就是你不需要你。比如说像我们刚才讲到倒数第二道题，有的地方叫逆等线，倒数第一道题叫做什么？加权逆等线。我嘞个娘呀，你要是那么去学，你不疯掉了？来一个结论，你就得背一个题型，那你得背多少题型？你学数学是靠背题型出来的吗？不是这样的，我们要理解怎么得到的那些做法，而不是去记，去背那些做法， 这就是我们学习数学的追求。好吧，行了，那我们今天就讲到这了啊，今天我们讲了什么呢？我们讲了如何利用全等相似去处理等量和比例，这是最核心、最核心、最底层、最底层的逻辑，后面所有的全等相似的东西都是由这个东西来的，好吧？

二零二二年安徽的一个题，这是一个正方形，这是一个正方形，然后呢？这是一个等值，哎，这里面有一个等值， 这是一个等值，然后给这做个垂线，做完垂线把它延长出来，最后求这个角度。那么这道题大家一眼看过去就应该看到什么？这很明显一个大的三垂直吗？而且这个三垂直，人家说什么？ 因为这里面是一个等腰直角三角形，所以这个大的三垂直是一个什么样的三垂直？这个大的三垂直相似比是多少？ 因为这是一个等腰直角三角形，这个大的三垂直相似比是多少？这是个全等，这是个一比一，对吧？好了，最终人家要让我们问这个角度，问这个角度，大家有啥想法？ 你是不是猜都猜他是四十五度啊？所以你其实就是要证什么？就是要证明这两条线段相等，那我们来观察一下我们现在已有的等量，首先这两个三垂直，那你会发现啊，这一段就和这一段相等，同时呢，哎，我假设这条线段是 a， 这条线段也是 a 啊，那么这个是 b， 那 这个也是 b， 哎，到这以后再怎么办？哎，这是三垂直给我们的 a 等于 ab 等于 b， 还有谁是 b？ 你 会发现你要用到正方形的等量关系吗？用正方形的等量关系，那这是 b， 那 这是不是也是 b？ 这是 b， 这一段是 b， 这是 a， 这就是 b 减 a， 这全长是 b， 这是 b 减 a 呢？这就是 a 喽。所以你其实只需要怎么样？只需要把三垂直的等量关系和正方形的等量关系啊放在一块一考虑啊，你会发现这两条线段相等，所以这个角等于四十五度。 所以呢，这里面最重要的是什么？等量的标设，你如果这道题等量不去看，不标不设，那你肯定废了。还有一个就是三垂直的，三垂直的啊，全等的竖立， 三垂直，全等。再来等量，等量你就标设三垂直的全等，这个不正了啊，这自己正吧，三垂直加上这这两个勾边相等，这肯定全等嘛， 自己证吧。那么我们来看第二问，第二问，他告诉我们什么呢？他告诉我们这个角四十五度，我们已经证过了，他告诉我们 e d 是 一，告诉我们这个 dc 是 二倍根号二，最后要求 m n 的 长，要求这条线段长。 我们现在先梳理一下关系嘛，那这个是二倍根号二，那这两条线段都是二，这两条线段都是二，我就可以得到谁啊？就可以得到三，就可以得到大正方形边长是三，那这也是二， 好吧，那这些线段就都出来了。当这些线段都出来了以后，那我如果想求 m n， 你 觉得我就可以先去求谁？那咱是不是就可以先求 dm 呀？ dm， 这是不是有一个很明显的这一个因为平行带来的 a 字相似， 对吧？这个 a 字相似，相似比就是一比三，对吧？相似比是一比三，所以呢，这个 dm 一 口报是多少？一口报就是三分之二，对吧？这就是三分之二。 哎，用这个 a 字，所以第一步，第一步 a 字，我就可以得到 dm 等于三分之二， 那这下我一旦有了 dm 等于三分之二了。来，大家再想一想，我都有了 dm 等于三分之二了。我现在要求 m n， 我 就不妨去想着求一求，求一求谁了？我有了 dm， 等于三分之二，我要求 m n， 我 不妨去求一求谁啊？我是不是求一求 n c 就 可以了？为啥呢？因为你会发现这个 m n 好 像放不到一个合适的三角形， 对不对？但是这个 n c 人家好歹在一个直角三角形里面，是不是好求一点？而且因为他们加起来全长是三嘛，我只要把 n c 求出来就搞定了。哎，我们曲线救国嘛，那如果要求 n c， 大家有啥想法？求 n c， 因为这两条线是不是已经是平行线了？ 这两条线本身就是平行线，那我只需要把它捅出来，哎，把这个延长出来，这底下是不是就出现一个 a 字， 对不对？哎，因为这两个本身已经平行了，对吧？那我只要把它弄出来，是不是就会出现 a 字？ 那我们再看一下，那这个时候呢？我们梳理一下，有什么呢？这是二，那这也是二，对吧？那这个是二，全长是三， f h 就是 一，所以底下这个第二个 a 字的相似比，第二个 a 字的相似比是多少？三比五，非常好。 好相似，比三比五，相似，比三比五，那我就可以列 n c 比上一个一，就等于三比五，所以就得到 n c 是 五分之三。 好，那到这不结束了吗？全长是三，这是三分之二，这是五分之三。减完我就可以得到最终的答案， m n 自己减一下就是十五分之二。十六。 整个问题结束。所以这道题是怎么想的呢？这道题看起来要求 m n， 但是 m n， 你 要注意，它放不进合适三角形，你一定要体会这个字啊，放不进合适三角形，因为 m n， 显然它只能放到这个三角形，但是这个三角形啥也没有，所以呢，我曲线救过 dm 可以 直接放进 a 字， nc 可以 延长出去构造一次，把这两个都搞定了，最后 m n 就 搞定了。所以这道题核心除了相似以外，核心还有一个什么意思呢？就是放的意思，如果人家让你求对这条线段不好放，你看一看边上有没有好放的线段，所以呢，你看， 我们一边一边在讲相似，那么但是讲相似的过程当中，充斥着飙射放烈，充斥着最基本的集合习惯。然后呢，今天我们来复盘一下讲的四道题啊，都有哪些东西，看看一下啊？第一道题呢，重点是这个像，这个反八像，这个 a 字啊，反八反 a 啊， a 字平行线带来的相似，对吧？这是第一道题， 第二道题是是什么？平行线间假比例，八字相似的构造，这是第二道题。来再看第三道题，第三道题就比较多了，有双角分线，有角分线的造权等等样三合一，内三垂直， 平行线带来的 a 字大的外三垂直，对吧？好，还有最后一道题，最后一道题是什么呢？最后一道题是外三垂直，结合什么呢？结合两个 a 字的使用。最后一道题其实核心讲的是什么？放的意识， m n 不 能放这两条线段好，放好了，这就是多模型综合，我们通过这些题啊，带大家感受一下。首先，这些最基本的模型以及构造，你必须得会这，这是必须会的，必须要非常非常熟练的，这是 第二呢，如何利用相似去处理线段长哎，去表示线段，去用自己笔，去用相似笔去把线段表示出来，最后完成计算。好吧，这就是我们讲的，你看我们昨天讲的是最基本的全等相似对等量和比例处理的底层思想。 今天呢，我们帮大家过了一下相似多模型的综合今天，当然了，每个模型我没有办法展开给你细说。这是你要去参加中考非常非常要熟练的东西，今天马哥帮你串一串，有问题下来一定要自己去搞定，今天的内容就到这。

大家好，那今天来看一下二六年东城初三下一模的第二十七题几何综合的题目啊。嗯，那么我们已经补全了图形，一边看一下这个图，然后边读一下这个题目。 如图，在三角形 a、 b、 c 中，这个角 a、 c、 b 是 一个六十度，然后 ab 大 于 ac， 将 ab 绕点 a 逆时针旋转一百二十度，所以这个 b、 a、 d 这个角是个一百二十度，得到线段 a、 d 点 d 做 d， e 平行于 bc， 交 a、 c 的 延长线于点 e、 f 为 c， e 的 中点。那么第一问是补全图形，然后再求证一下，角 b 等于角 d、 a、 e。 那么像这样的平面角度问题，我们一般倒一下角就可以，那我们可以设角 b 为 r 发角，因为角 a、 c、 b 是 一个六十度，所以角 b、 a、 c 应该是个一百二十，减去 r 发，那么角 b、 a、 d 也是个一百二十度， 然后这个角 e、 a、 d 它就也是一个二八角，那么就可以了。二位是判断 af 与 bc 之间的数量关系并证明，那我们可以去量一下 af 的 长和 bc 的 长，会发现 bc 的 长它正好就是 af 的 二倍， 那这个关系应该就是 bc 等于二倍的 af， 那 我们应该去找一下 bc 的 终点，或者是把 af 给他延长一下二倍，那么这两种思路都应该 把 af 延长二倍的要更好做一点，因为 bc 的 终点在这里并没有什么特殊的性质，那么这里面 f 是 终点，我们可能会容易想到终点模型， 比如说我们把 d、 f 连接并延长交 b、 c 上一个点，然后可以得到一个长中线的全等，然后这个新的线段它就应该等于 e， 这个思路的话，应该是做不太出来的，但是可以帮助我们把这个思路它最后的结果给它找到啊。就是如果我们把它连到这边呢，会发现这条线段，比如说 c k 的 长，它应该就等于 d e 的 长， 然后呃，这样的一个情况下，我们可能会呃把这个 a c a f， 然后呃，因为 c f 等于 ef， 如果我们想让这个 a e 这个线段给他延长一下，得到一个二倍的 bc， 我 们这边应该延长的一个长度的应该是和 ac 是 相等的。比如说我们把它叫做 p， 那我们会发现呃，这个时候我们 a c， 它就应该理论上要等于 e p， 然后呢这个角 d e p， 它也是一个六十度角， 那我们就会发现一个点，我们挣出来这个三角形全等之后，那么得到的应该是一个 ak， 等于一个 d p， 如果我们这个 d c， 它等于这个呃 ap 等于 af 的 二倍的，我们应该得到的是这个 ac， 要等于这个 d p， 那也就是说我们这个 d e， 它就呃等于 c k， 然后再加上这样的一个六十度角，然后这个 ak 又等于 ac， 也就是这个 akc， 它必须得是一个等边三角形。 那如果是个等边三角形的话，我们直接构造等边三角形就会比我们这样子发现它需要是个等边三角形，它会更好一点，因为等边三角形的性质要更多一点，有一些性质我们没有办法直接证明出来。 那么另外一个角度呢？如果我们这个 a b c 和这个 a p d 要全等呢？我们这个角 p 的 度数它也必须得是六十度，所以呢，我们是直接去构造这个 d， e、 p 是 一个等边三角形，再去想办法证明这个 a p、 d 和 a、 c、 b 全等，它是要更加靠谱的， 那我们把这个多余的辅助线给它去掉，那我们现在就可以呃呃，因为这个角 b、 c、 a 是 六十度，这个角 b、 c、 e 就是 一百二十度，所以这个角 a、 e、 d 也是一百二十度，这个角 呃 e、 p 就是 六十度。然后可以再去做一个 e p 等于 d e， 然后可以构造一个等边三角形，就三条边都相等 啊，那么接下来呢？呃，而且还可以得到这个角 a、 p、 d， 它是一个六十度角。那么接下来看一下 a、 b、 c 和这个 a p、 d， 就 会发现这个角 b、 c， a 和角 p 都是六十度， ab 和 a p 相等，它是旋转得到的， 然后这个角 a、 b、 c 等于角 p a、 d， 这个角是第一位要证明的这个角，然后我们就可以用两角一边，然后它全等，那么就可以得到 a， p 是 等于呃 c 的， 那么呃 a p 的， 它又等于的是 a e 加上 e p 一 p， 它又等于 a c， 这样的话呢，我们这个 a p， 它就等于二倍的 af。

湖南四大名校之师大附中中考一模压轴难不难呢？我们来看一排， a， b 是 八， a、 d 是 二，这里是二，这里就是六。好的角， a 四十五度，特殊角度四十五度， 然后三角形 c、 d、 b 外接了一个圆，这个圆和 a、 c 相交于 e， 连接 d， e 和 e v， 当 b， e 和 b、 c 相等的时候，哎，这是一个等腰三角形，求这个角的余弦， 这是一个圆周角，如果没有直角的话，那就转出去，是吧？你看它所对的股是 b、 c 股，所以一眼看过去就是这个角，那这个角所在的三角形有没有直角呢？哎，这里有一个等腰，等腰首先想到的就是 三线合一，是不是那么简单的一个辅助线过点 b 做 e、 c 的 垂线， 交 e、 c 于 h， 三线合一，这两段相等，要解决这个角的余弦，那就是 e、 h 比 e、 b 没毛病，是不是？好，我们就是要解决 e、 h 和 e、 b 的 比值， 这个四十五度又用一下，你看这一个边是八，一比一比根号二，这是等腰直角三角形三边之间的关系，所以马上得到。这里是四倍根号二，没毛病。 同样的， a、 h 也是四倍根号二， a、 h 也是四倍根号二。尽管如此，你还是做不出来，那肯定做不出来，为什么？这个二你用上了，没有用上是不是？你看这个三个点 的外接圆交于这条线于 e， 也就说这四点是共圆的，四底共圆，圆的内接四平行。角度之间是不是有关联的？是不是你没用啊？还有这里垂直的话，它和它也是相等的，你没用啊， 所以说有角相等，你要求边长，哎，是不是相似，是不是？你看你最好是找到这一段和这一段 所构成的三角形相似，你才可以。那么你看这一段在这个三角形里面，这一段在这个大的三角形里面，他们俩相不相似啊？ 相似的啊，上次那个长郡集团的压轴考了一个香蕉弦定律啊，你看这里考的是什么一个定律啊，是要拓展的一些知识。 a 在 员外引的两条线，你看割线定律， 这个三角形的这个角圆的内接四边形的外角等于它的内对角这个角，所以又共了一个角 a， 所以 这个三角形和这个三角形是相似的。看到没有？ 三角形 a、 b、 e 相似于三角形 a、 c、 d， 那 么就会有相似比，也就是 a、 e 比的是 a b， 是 不是 a e 比 a b 等于 a， d 比 a、 c 交叉相乘之后，就会得到我们的歌系定律， a e 乘 a c 等于 a， d 乘 a b， a d 是 二， a、 b 是 八，等于十六。看到没有？接下来我只要解决这两个线段就可以了。 a e 和 a c， a e 是 这一段，整个是四倍根号二，所以我不妨设这里为 x， 那 么这一段也是 x， 你 看等腰三角形的三线合一来了， 那么这一段就是四倍根号二减 x， a c 就是 四倍根号二加 x。 哎呀，这是一个平方差， 等于十六平方差，它们俩乘起来就是 a 平方减 b 平方三十二减去 x 平方等于十六，所以 x 平方也是等于十六的，那么 x 就 等于四十分的值， x 等于四， 四比四倍根号一比根号二比根号三的关系，所以这里是四倍根号三根五定。你去玩一下啊， 那么它的余弦值就是它比它等于四比四倍，根号三等于三分之根号三十分的自然啊。这题就拓展了一个割线定律，很好，正的是吧，圆的内接四边形，外角等于它的内对角，一下子就可以相似了。 好，我们来看一下他的最后疑问。好，他的最后疑问是告诉你， b 一 和 cd 垂直交于点 f， 求 a 一 的长，垂直的用法可就多得很呐。为勾股定律三角函数创造先提的条件是不是？然后面积之间的算法是吧？底层高啊，三角形的面积啊， 还有真形啊，对角线乘积的一半，对不对？但是你看了这题的边长始终是在他的底边的位置，这是二，这是六，和上方这些线段联系不起来的， 这是一个。第二个。我们之前的条件是，这四个点始终还是在圆上的，四点共圆，是不是什么圆周角啊，圆的内接四边形之间的对角之间的关系啊，这肯定是要用到的。 还有这个四十五度非常关键，要把它用好，对不对？那么我觉得还是应该是关于角度之间的关系啊，因为边用不上，它在底边的位置，而上方这些三角形没有构成一些边之间的关联啊。 所以说，你看一下这四十五度，要把它联系到这里面来，为什么呢？因为它是这个角，你看这个角和这个角是一个互余啊，对不对？哎， 这个角就可以转到这里来，你看这个角是不是可以表示为，我试这个为 r f， 那 么这个角是不是四十五度加 r f 十分的自然？哦，这个角是 r f， 它对的是 d， d 弧， 这个角对的也是 e， d 弧都是圆周角，所以这个也是 f 呀，所以这个是四十五度加 f， 而他们加起来是九十度。哦哟，原来这个 f 是 固定的，这个角加这个角互余，所以 f 等于多少啊？二十二点五度， 两倍的 f 等于四十五度，二十二点五。固定的，它不是特殊角，它不是特殊角， 但他的哥哥是特殊角， double 乘以二四十五度，是吧？如何让他乘以二呢？构造等腰三角形。外角不就是内角的两倍吗？对不对？那在哪里构造等腰呢？由于这里四十五，再加上我们要求的是 a 一， 所以在这里 以这个为底边的一个顶点构造等腰三角形，也就是说取这里取一个点，使得这个和这个相等 m 吧，取点 m， 使得 m b 等于或者是做 e b 的 垂直平分线交 a b 于 m， 构造完成了，这就四十五度。哎，这个也是四十五度，所以这里是九十度。漂亮， 一比一比更好是不是？你看，这里是 x， 由于它和它相等，所以这里也是 x， 所以 它也是 x。 由于这个是等腰直角三角形，所以 a m 是 根号二 x 一 比一比根号二的关系，那也就是说根号二 x 加 x 等于整个长八十分的自然，那么 x 就 等于八，除以根号二加一，是不是这个合起来是根号二加一倍的 x， 分 母有理化，乘以根号二减一，所以 x 就 等于八倍。括号根号二减一，下方是一啊，分母是一， 十分自然，所以答案是八倍。根号啊，减八，这就是 a 一 的长十分自然。轻松秒杀，牛逼牛逼！