南通七年级数学几何模型汇总

你永远干不过一个从七年级开始就每天坚持学习掌握一个几何模型的孩子，因为初中几何再难，也就这六十个几何模型把他们吃透了，初中三年的数学也就不用愁了，就是这套初中几何模型图描解一本讲解一本练习，囊括了初中三年六十个几何模型。 这些模型老师在课堂上不会系统讲解，但考试却一定会考到。像七年级常考的猪蹄模型、锯齿模型、风筝模型、八年级常考的将军印马模型、胡不归模型、九年级常考的四边形相关的五大模型 以及原相关的十三大模型等。每个模型都做了图形拆解，辅助线怎么画，结论是什么，怎么推导出来的，都讲的明明白白，看不懂的还能扫码看视频讲解。最关键的是，他还用典型例题做了详细的剖析，教孩子识别模型，套用模型， 助孩子更好的理解掌握。每学完一个模型，就用配套的练习册去巩固一遍，学会举一反三。精选的都是各地考试真题，每天学练一个模型，把这套书吃透了，初中三年所有几何题，孩子都不怕了！

初中几何把这六十八个模型搞定，孩子的初中数学一点也不难，可以给孩子准备这本学而思的三分钟描写几何模型。你看这个是靴子模型，遇到这种形状的图形就加这个辅助线，用这个解题大招。 而且每个模型都配有几道例题，教孩子怎么样定模型，套模型可用结论学会后再做一做。同类型题学练相结合。每道例题都配有视频讲解，不用担心孩子看不懂。 像初中经常考到的背角模型、瓜豆模型、费马点模型，这里面都有。把这些典型的模型搞懂后，同一类型的题型就都会做了。初中三年几何方面一共就这些模型把这本书搞定，数学真的会突飞猛进！

初中几何考来考去，无非就这六十个模型把他们都吃透，数学也就稳了。他把初一的八个模型、初二三十三个模型、初三的十九个模型都整理在这本初中几何模型图描写里了。让孩子从现在开始，每天掌握一个几何模型， 等到考试小题套结论，大题套模型，别提多轻松了。比如风筝模型、手拉手全等模型、 将军一马模型、胡不归模型、点线圆最直模型等每一个模型的已知条件、辅助线画法、结论是什么，怎么证明的，都给孩子梳理的明明白白。搭配对应的典型题型，从找模型到套用模型，让孩子可以快速吃透每个考点。 有了这本书，以后做几何题就像查字典一样简单，关键扫码，还有免费的视频讲解，不怕孩子学不会。学完再用这本配套的练习册对应的真题巩固提升，这样无论考试题型怎么变，都能从容应对，快速解题，初一、初二、初三都能用！家有初中生，快给孩子准备起来！

同学们好，今天咱们来讲解一下三角形的十二个模型， 在这十二个模型中呢，有几个常考大体，而有一些呢，常考选择和填空，咱们挨个来看一下，咱们先看第一个飞镖模型，这个飞镖模型也叫燕尾模型，它里边包括了一个基本模型和两个扩展模型， 通常这个基本模型是第一位，然后第一个扩展模型是第二位，第三个扩展模型是第三位。所以说这个飞镖模型呢，常考大体它比较重要啊。咱们先看一下它的基本模型， 它基本模型的形状，哎像一个飞镖，哎是一个凹的四边形。 题目当中会给你条件如图，哎，一个凹四边形 a、 b、 c、 d。 它有两个结论，第一个结论是角 b、 c、 d 等于角 a 加角 b 加角 d。 第二个结论是 ab 加 ad 大 于 bc 加 cd。 如果说出现选择填空题的话，这两个结论咱们直接套就可以了，就是说这个角等于这个角加这个角加这个角。 那第二个结论就是说这个边加这个变，大于这个变加这个变。那如果说出大题呢？出大题的话，咱们就得把过程摆上了。那如何去证明圈一和圈二呢？ 咱们就要用构造三角形的方法，因为在这个四边形中呢，没有三角形，所以咱们要构造一个三角形，才能利用三角形的内角、外角以及边的关系去求证。 那咱们来复习一下，三角形的内角和是一百八十度，三角形的外角和呢是三百六十度，并且呢三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和 边的不等关系呢，三角形的两边之和大于第三边，而三角形的两边之差小于第三边。好，那咱们利用这几个知识点来证明一下。圈一， 咱们要勾到三角形的话，你看在这个四边形中，我可以连接 a、 c 并延长至点 p， 那 此时 a、 p 这条线就把这个四边形分成了两个三角形了。 那么在这两个三角形中，我就可以利用内角和或者外角或者三角形的不等关系去求证了。咱们先看最左边的这个三角形 a、 b、 c 吧。但你看，在三角形 a、 b、 c 中， 咱们要求证角 b、 c、 d 与角 a、 角 b、 角 d 的 关系，咱们应该怎么找呢？那你看一下 a、 p 把角 b、 c、 d 分 成了两个小角吧。哎，咱们可以挨个看这个小角，但你看这个小角正好是这个三角形 a、 b、 c 的 外角吧。咱们知道三角形的外角等于它不相邻的两个内角的和。 但所以我就能得出结论，角 b、 c、 p， 它就等于角 b、 a、 c 加上角 b。 那咱们紧接着看右边这个三角形 a、 c、 d。 那 在右边这个三角形中， 这个角 d、 c、 p 这个小角它等于什么呀？它是不是等于这个角加这个角啊？那所以说我能得出结论，角 d、 c、 p， 它应该等于角 d、 a、 c 加角 d 吧。 咱们最后要求角 b、 c、 d 与角 a、 角 b、 角 d 的 关系，那你看一下它俩相加刚好是角 b、 c、 d 呀，那这个时候我让它俩相加就可以了。角 b、 c、 p 加上角 d、 c、 p 加上角 d a、 c 加角 d 吧。 那这个时候我看一下这个角 b、 a、 c 和这个角 d、 a、 c 刚好得角 a 一 吧。这俩角相加刚好得角 a， 所以 说圈一我证明出来了，角 b、 c、 d 等于角 a 加角 b 加角 d 了，是吧？ 大家看一下啊，整整理一下思路， 圈一咱就证明完了，对吧？但是这个圈一还有别的证明方法，之前也考过，这是第一种证明方法，咱们叫法一。 好，咱们继续看一下证明圈一的第二个方法。法二， 这个时候咱们就不要这个 a、 p 了，咱们离延长 bc 交 a、 d， 余点 q， 哎，图我已经画好了， 那么在这个图中的 b、 q 把这个四边形分成了这两个三角形了，一个是三角形 a、 b、 q、 d。 咱们先看一下三角形 a、 p、 q。 在 这个三角形 a、 p、 q 中，咱们发现了这个 c、 q、 d 好 像是三角形 ab、 q 的 外角吧， 那此时我就可以写成角 c、 q、 d。 等于角 b， 加上角 b、 a、 q。 紧接着咱们看右边这个角，右边这个三角形 c、 q、 d。 在 这个三角形中，咱会发现角 b、 c、 d 是 一个外角吧，它等于谁加谁呀？它等于角 d， 加上角 c、 q、 d。 那此时这个角 b、 c、 d 我 就可以表示了，可以写成角 d 加上。咱们可以把这个 c、 q、 d 换成角 b， 加上角 b、 q 吧。 哎，那此时角 b、 c、 d 与角 a、 角 b、 角 d 的 关系咱们就证明出来了啊，这两种方法啊， 紧接着咱们看一下证明圈二，那如何证明圈二呢？圈二是边的关系，那边的关系咱们也得勾造在三角形，咱们就紧接着 按照这个法二来。这个法二呢，这个 bc， 这个 b、 q， 将这个三角，将这个四边形分成了两个三角形了，咱们还是先看左边这个三角形，在三角形 a、 b、 q 中， 三角形两边之长大于第三边吧。那我是在这个三角形中，我就可以说 a b 加上 a q 肯定大于这个 b q 吧。哎，所以我这么写，我写 a b 加上 a q， 它大于。你看这个 b q 是 由 bc 加 c q 组组成的。哎，那我就这么写。 紧接着咱们看右边这个三二三二形 c d q， 那 它的任意两边之长也应该大于第三边，所以我可以写 c q 加 q d 一定是大于 c d 的。 这个时候咱们将这两个式子相加，即 左边进加左边 a b 加 a q 加 c q 加 q d 应该是大于 bc 加 c q 加 cd 的。 那么此时我把这个式子我稍微化简一下， 这个 c q 和这个 c q 一 项就消没了。 并且你看这个 a q 加上这个 q d， 它不刚好是 a d 嘛。 所以说现在 ab 落下来， a q 加 q d 就是 a d 了，大于号落下来是不大于 bc 加 cd 啊。那所以说这个圈二咱也证明出来了啊。 所以说证明圈一有这两个方法可以选择，然后呢，证明圈二呢？咱们就按照这个方法，按照圈二的，按照法二的这个方法去做就可以了啊。

为什么在四十五度角的正方形几何体里总挨考？答案就是今天要讲的半角模型。正方形内给你两条边，让他的夹角固定为四十五度，然后连接 e、 f， 此时四十五度，这个固定的角就是这个九十度角的一半，所以我们把它叫做半角模型。这个模型结论非常之多，今天我们主要讲最常用的两类结论。首先来看 b、 e、 e、 f、 f、 d 这三条线段之间存在什么样的关系。看见半角我们就知道了，中间这个角是四十五度，那么它两边这个角相加也等于四十五度，但它们隔得太远用不上。那怎么才能让它们挨在一起？平移 不行，方向不对，对称也不行，旋转可以吗？哎，这个对了，旋转可以同时保持长度和角度，把一个小角整个搬过去，这就是半角模型中一个核心思路。我们把上方或者下方任意一个三角形进行旋转，那我们这里就把上方三角形顺时针旋转九十度， 让它两个角挨在一起，形成四十五度。因为 a、 d 是 等于 a、 b 的 角， b、 a、 d 等于九十度，所以说旋转后 a、 d 就 和 a、 b 重合，然后这两个角又都是直角，那么角 g、 b、 e 就是 一百八十度。 所以这三点共线当然也可以不用旋转，用构造全等的方法延长 c、 b 至点 g， 使 b、 g 等于 d、 f， 再连接 a、 g， 利用边角边就能证出这两个三角形全等效果，等同于将图形旋转下来， 还省去了三点共线的证明过程，这样就能把分散的角度整合利用起来。两个小角拼接过后，刚好组成四十五度，因为这两个小三角形全等 可得 a、 g 等于 af， 角 g， a、 e 等于角 e， af 等于四十五度，又存在公共边 a、 e， 就 能证明这两个三角形边角、边全等。由此推出 g、 e 等于 ef， 结合 b、 g 等于 d、 f， 便能得出核心线段关系 b、 e 加 d f 等于 e、 f。 这就是四十五度半角模型最关键的结论。我们还能由三角形全等得到这两个对应角相等，说明 a、 e 是 角 g、 e、 f 的 角平分线在 e、 f 上做垂线 a、 h。 根据角平分线性质 a、 h 长度与 a、 h 长度，而 a、 b 等于 a、 h 也等于 a、 d， 再根据角平分线判定，定里又能判定 a、 f 平分角 d、 f、 h。 相关衍生结论太多了，感兴趣的同学可以接着往下推导就行。一般考题不会直接考察你这三条线段的数量关系， 他会换个花样问你，比如说告诉你正方形边长为四，问你三角形 e、 c、 f 的 周长是多少。你看，通过第一个结论我们就知道 e、 f 是 等于 b e 加 d f 的。 所以三角形 e、 c、 f 的 周长就可以转化为 b、 c 和 c、 d 这两条边。那三角形 e、 c、 f 的 周长就等于正方形两条边长之合，也就是正方形周长的一半，算下来周长就是八。这类题型就能快速求解。 这个结论很多同学都会，但考试里真正能拉开差距的是接下来要讲的第二类结论，就是四十五度半角模型里特有的构造相似三角形。先看三角形 a、 b、 e， 在 a、 b 边上取一点 n， 使 b n 等于 b、 e， 这样就能构造出等腰直角三角形。用同样的方式在三角形 a、 d、 f 里也构造等腰直角三角形。 在 a、 d 边上取点 m， 使得 d、 m 等于 d、 f。 此时角 d、 m、 f 是 三角形 a、 m、 f 的 外角， 而且等于四十五度，因此角 d、 a、 f 加角 m、 f 等于四十五度，原本角 d、 a、 f 加角 b、 a、 e 也等于四十五度。 等量代换就能推出角 b、 a、 e 等于角 a、 f、 m， 又能算出角 a、 n、 e 等于一百八十度减四十五度。角 a、 m、 f 同样等于一百八十度减四十五度。两直角分别对应相等，即可判定两个三角形相似。 相似过后，对应边乘比例就能借此列式计算，求出某条线段的长度。考试里大多还会把正方形变成为长方形，或者割成正方形， 特别麻烦，这时候就可以用我们刚才证出的相似三角形来解决。比如告诉你长方形中 a、 b 等于五， a、 d 等于八，已知 b、 e 等于二。求解 d、 f 的 长度。我们把那两个等腰直角三角形先构造出来，通过之前就证出的这两组对应角相等， 得到这两个三角形相似，已知 b、 e 等于 b， n 等于二，进而得到 a、 n 就 等于三。 an、 e 的 长度也能借助勾股定律算出等于二倍。根号二，我们设要求的 d、 f 长度为 x， 那 md 也等于 x， m、 f 的 长度就等于根号二 x， a、 m 就 等于八减 x。 在 这两个相似三角形当中，就有 an 比 m、 f 等于 n， e 比 am。 代入数据得到三比，根号二 x 等于二倍，根号二比八减 x。 化简计算解得 x 等于七分之二十四。这道题的解法有很多种，选择最适合你的方法。

将军驿马一定是我们初一下册考生最高但得分极低的一类几何动点压轴题，他的难点之处就在于模型种类多，很多同学看到这例题完全无从下手来。同学们，今天徐老师带你用一个视频，彻底通透我们初中阶段常考的将军驿马六大模型， 学完这个视频，将军一马所有辨识题轻松拿下。徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典专题， 优中选优，讲练结合整理成了将军一马专题电子版，需要的家长我发领一份，好来，同学们，我们先来看将军一马里面最简单的一个模型，叫做两定一动模型， 这个模型呢，是这样去描述的哈， a 点和 b 点呢，是两个定点， p 点是定直线 l 上的一个 动点，对吧？所以是两定一动。好题目，求什么呢？问的这个 p 点动点在什么地方？我的 a p 加 b p 这两个动线段之和呢？正好有最小值。来，我们先来观察一下哈，这两条线段有什么样的位置关系。 那么首先这个是定直线 l， 那 我们的 a p 和 b p 呢，正好在定直线的上方，对吧？在同一个方向。所以呢，我们说这两条线段呢，叫同侧 线段之和，求最小来什么？只要初中阶段我们遇到求同侧线段之和最小，方法呢？特别简单哈，通过做轴对称，把我们的同侧线段呢转化为我们的 预测线段。那么怎么做呢？哎，过定点向定直线做对称点来定点呢，一个是 a 点，一个是我们的 b 点，那我们都可以哈，随便选一个，那么我们就先选择 b 点做吧，那选 a 这个定点，向定直线 l 做对称点来，这个点呢，就是我们的 s 点，你看 a 和 s 是 关于直线 l 是 对称的，对吧？那么这个时候呢，我的 ap 边就可以什么把它等量的转移到了我的 c s， 那 么这两个边是相等的，没问题吧，因为 a 和 s 对 称的好。你看，这个时候呢，我们就把同侧两个线段转化为了一个上方一个下方 a， 不 就是什么首尾相连的异侧 折线段值和最小吗？那么对啊，我们要求折线段值和最小。方法呢，也只有一个，把折线转化为直线，当 s 点， p 点以及我们的 b 点，三点共线呢，正好有我们的最小值，对吧？来，所以最后一步，两点之间线段 最短，我连接 b s， 那 么这个交点就是我们的 p e 点，那么 p e 点呢，就是我们的最小值点，所以呢，我们最短路径就出来了哈，哎，从 a 点先到我们的 p e 点，好，再从我们的，哎，再从我们的这个 p e 点呢，哎，回到我们的 b 点来，这个 黄色的，哎，实线就是我们的最短路径啊，就是我们的第一个最简单的两定一动，好吧，好，我们再看我们的第二个哈，来，第二个呢，他是一定两动啊，由一个动点呢变成了两个动点，我们先去看图哈， 席木告诉 m 点和 n 点呢，分别是这两条直线上的两个动点，那么 a 点呢，是一个定点，对吧？两动一定好，这个时候呢，他求什么呢？求 amn 和 n 这三个边所围成的三角形周长 最小，那就是这三个边之和最小。我们的 m 点和 n 点应该在什么地方呢？来，一样的哈，先去观察下线段有什么特点，我们的 a， m 和 n 都在这个定直线的下方， 是不同侧。好，同样 m， n 和 a n 呢，也在这个定直线的上方，也是同侧。我们说只要遇到求同侧线段之和最小，来，立马是过定点向定直线做对称点。来这里，定点是 a 点 定直线，一个是上方的 l 一， 一个是下方的 l 二，对吧？那我到底应该关于谁做对称点呢？哎，我们的口诀就是定点连接谁，我们就应该关于谁做对称点。看，首先我的 a 点连接 m 点， 对吧？那么 m 点在 l 一 上，所以呢，如果我要转移 am， 我 就应该过定点 a 向定直线 l 一 做对称点，没问题吧？好，来，下面呢，我先去转移 am， 那 我就应该过 a 点向 l 一 做对称。好，这个点是我们的 系列，那么这个时候呢，我的 am 就 转化为了我们的 m p， 看到没有，把 am 转化为 m p。 好， 记住哈， 定点连接谁，就关于谁做对称点。好，第二个，再去转移 a n， n 点在我们的 l 二上，所以呢，我这个时候应该过 a 点向 l 二， 再做一次对称点，这是我们的 q 点，那么同样，那我的 a n 呢？就转化为了 n q， 对 吧？看好，把中间这三条线段转移成了这样的，首尾顺次连接的折线段是和。注意下， 那什么是最小呢？那要把折线转化为直线，那就是 p、 m、 n 和 q 四点共线，应该有我们的 最小值，对吧？那所以最后一步，连接我们的 p q 两点之间线段最短，好交点，这就是我们的 m 一 点，这个点呢，就是我们的 n 一 点到我们的最短路径就出来了哈，从 a 点先到 n 一 点，再从 n 一 点 啊，从 a 点到 m 一 点，再从 m 一 点到 n 一 点，对吧？好，再从 n 一 点呢，回到 a 点，看，这个时候呢，这个三角形它的周长就应该是最小的。 ok， 好， 这是我们的第二个模型。再来看第三个模型 来，第三个模型呢，跟第二个模型呢有一点像哈，它是一定两动，但是什么是做垂线？我们先看一下哈，它是这样说的， a 点呢？ 来，他是一个定点， m 点是直线上的动点， n 点呢，也是直线上的动点，对吧？都是两个动点，一个定点。但是第二个模型是什么？还要从 n 点到 a 点组成这个三角形周长最小。但第三个模型呢，他没有从 n 到 a 啊，只求 am 在 到 n 点， a m 再加上 mn， 这两个边之合最小。求 m 点和 n 点这两个动点在什么地方？来一样的，先观察啊，这两条线段都在这个定直线的下方， 我们说是什么同侧线段，只要遇到同侧线段来，立马做轴对称，把它转化为异侧。那这里有两个线段哈，一个是 a m， 一个是 mn 啊，我们到底应该转移谁呢？大家思考一下 哎，来，首先呢，我们说是什么过定点向定直线做对称点，所以呢，我们优先去什么选择定点所在直线定点是 a 点， a 点在 am 上，所以呢，我先去什么转移 am， 那 么过定点向定直线，这个是定直线，看到没有？好，所以呢，我应该过 a 点，哎，向这个定直线 做对称啊， a m 呢，给它进行一个转移。好，这是我们的 p 点，转移之后再来下面第二步，哎，我们就可以转一边了，哎，连接 m p， 哎，你看， a m 等于 m p。 好， 现在呢，就变成了我们的异侧的首尾相连的两条折线段之和，最小，对吧？一样的，要让 p 点来， m 点， n 点三点共线， 我们应该有最小值，什么时候能够共线呢？大家思考一下哈。我说，那么说两点之间线段最短吗？我直接来连接 p n， 对 不对呢？大家思考一下来，这个模型最难的地方哈，就是最后一步，到底是不是连接呢？肯定不是哈，为什么呢？因为它是个动点，对吗？ n 点是不确定的，它可以在这， 他也可以在这，如果是两点之间线段最短，那我可以连他呀，也可以连他呀，对吧？我就有无数个点可以连接，那到底谁最短呢？ 你确定不了？所以呢，最后一步哈，这个模型肯定不是连接，应该什么，应该是做垂线，怎么去做呢？大家看一下哈。首先你看，哎，最后这个模型就转换成了一个定点到一条定直线上动吗？ 一个点到一个直线最短，很简单，垂线段最短，对吧？好，来，所以呢，最后一步应该是过定点 p 向这个定直线做 垂线啊，把这个叉留好啊，对称以后，我们就直接可以什么做垂线了，连接过 p 点向它做垂线， 垂足点就是我们的 n 点。好，这个焦点呢，就是我们的 m 一 点，看到没有，那我们最大路径也就出来了哈，从 a 点来，从 a 点到我们的 m 一 点啊，再从 m 一 点到我们的 n 一 点，哎，这两条实线就是我们的最短路径，听懂了吗？啊，这个模型，哈，最后一步一定要搞懂。好，好，下面我们来看下一个模型，哎，下个模型呢，是我们的两定两动啊。第四个模型，哎，它是这样说的，首先 a 点是定点， b 点也是定点。好，我们的 m 点呢和 n 点呢，分别是这两个直线上的两个洞点，对吧？两定两洞好，求的就是什么这个四边形， 它的周长最小应该为多少？那么换句话就说，这四条边里面有谁是定值？什么叫定值呢？就这个线段不会有任何变化的， 很明显应该是 ab 这条线段，因为 ab 这两个点呢是定点，所以呢，这条线段肯定不会变化，所以呢，我要求四条线段之和最小，我只要让这三条线段之和有最小就可以了，对吧，这个呢，我就不用管了，好，怎么求呢？一样的，你看，我要把这三条线段 通过轴对称啊进行转移，转移成这样的，叫做首尾顺次连接的折线段啊，这是异侧的，这个是同侧的，来看哈，我们来怎么转移，哎，一样的，过定点向定直线做对称点，这是我们的核心思想。 那么这里面有两个定点，两条定直线，到底谁关于谁做呢？还记得我们口诀吗？定点连接谁，就关于谁做对称点来定点 a 连接 m 点， m 点正好在这条直线上， 所以呢，哎，我要转移 am， 我 就应该过 a 点来向这条直线做对称，好吧，好，这是我们的 p 点，那么你看我的 am， 哎，就转移成了 m， p 是 不是出来了，好，再去转移 b n， 那 么 n 点在这条直线上，那么所以呢，我应该过 b 点向这条直线作对称。 好，这个是我们的 s 点，看到没有 n b 就 转移成了 n s。 好， 你看这个不用管吧。好，我要求 这三条线段之和转移之后呢，变成了这样，首尾顺次连接的折线段之和最小。好，当什么 p m， n s 四点共线，正好有最小值，那么最后一步就出来哈，两点之间线段 最短，直接连接 ps 啊，来，直接连接 ps， 连接之后呢，来，这个点就是我们的 m 一 点，这个点呢就是我们的 n 一 点， 那最短路径就出来了，我们去连一下哈。哎，把几个点连起来，第一个，先从 a 点到 m 一 点啊，再从 m 一 点到我们的 n 一 点。 好，再从 n 一 点呢，到我们的 b 点啊，再从 b 点回到 a 点。哎，这个四边形，它的周长就应该是最小的。 好吧，这是我们的两并两动，其实很简单哈。好，再来下一个模型，下个模型呢，叫做将军架桥模型，大家看一下，它是这样去说的，首先 ab 两个点呢，是两个定点来，它是定点，它呢也是定点。好， m 点和 n 点呢，分别是两条直线上的 动点，这个也是动点，但是呢，这两个动点，什么叫做联动点，什么叫做联动点呢？就说这两个点，虽然动，它是一起动的啊，一起动，它们俩什么一定是垂直于 这两条直线的，它们俩是平行的嘛，所以一起动，一起往右，一起往左，它们始终是垂直的，对吧？来，所以呢，哎，这里面问哈，这两个联动点， m 点和 n 点在什么地方？ 这三条线段之河正好有最小值，来，让他先去观察一下这三条线段里面有没有定长线段， 一定是有的，正好是这个什么，这个联动点的距离正好等于这两个平行线的距离，对吧？好，所以呢，这个既然是个定值，那我就不用看了，我只用去求这两条线段，因为它是动的嘛，求这两条线段之河最小，再加上这个定值，三条之河也是最小的。 好，那么我们再来看哈，这个时候我们的 am 和我们的 n b 这两条线段，你会发现哈，他们俩要求最小，那么这两条线段它是分开的，哎，我们之前求的这种将军一马的这个 最基本的模型，看到没有？这两条线段是什么共顶点的啊？共顶点的，哎，他们俩是什么 连在一起的？但是呢，这两条线段他是分开的，对吧？那怎么办呢？那我首先第一步要把这两个分开的线段通过转移，让他共顶点连接在一起，对吧？怎么去连接呢？大家看一下哈。首先这两个动点， m 点和 n 点，他们的距离是一个定值， 对吧？有定值要让它共顶点，想要什么呢？平移，来，我把 n 点往上平移 m n 个单位，这个时候 n 点和 m 点不就可以重合吗？对吧？同样，我不能指 n 点移吧，我 b 点呢，也要 往上平移 m n 个单位，哎，一起移啊。好，你看这个时候呢，这个点就是我们的 s 点， n 点和 m 点重合，往上平移 m 跟大位， b 点往上平移 m 跟大位到 s 点，所以这两个线段平行且相等，对吧？好，来，那我再连接 ms， 来连接 ms， 哎，你就会发现什么这两条线段 也是平行且相等，因为呢，它是一个平行四边形，对吧？所以呢，我就把这个线段整体平移到了 m s， 求它们两个最小就变成。求 am 再加 ms， 这两个共顶点的 线段是和最小就达到我们的目的了，对吧？好，什么是最小呢？当 ams 三点共线，那最后一步，两点之间线段最短，连接 a s， 好， 这个点就是我们的 m e 点，对吧？三点共线，那 m 点出来了， n 点呢？也出来了，再过 m 点向下做垂线，这个焦点就是我们的 n e 点。那我们来画下最短路型哈，先从 a 点到 m 点，好，再从 m 点到 n 点，再从 n 点呢到我们的 b 点来，这个 实线的路径就是我们的最短值，听懂了吗？好，这个模型呢，我们总结一下哈，当我们什么遇到这种什么不共端点的线段之和要求最小，而且这两个动点之间呢，又是定长的时候来，我们选择平移，让它共端点， 听懂了吗？好，来最后一个模型哈，叫做将军六马模型。来， a 点和 b 点是两个定点， 这两个是定点好， m 点和 n 点呢？是两个动点，一样的哈，这两个动点是什么？叫做连动点，它们俩一起在这个线段上运动，所以呢，我要保证什么？保证 m n， 它应该是一个 定值啊，定长，对吧？求什么呢？求的是 am， 再加 m n， 再加 b n， 这三条线段之和的最小值应该得多少？来一样的，首先 我们看哈，这个是一个定长线段，不会有任何变化，所以呢，我只要让 a m 和 b n 这两段之合最小就可以了，对吧？啊，又回到刚才一个问题了，那大家看一下 a m 和 b n 它们俩有没有共端点？ 没有哎，因为它们俩是分开的，是不是分开的，但是呢，这两个动点之间的长度呢？又是定长， 怎么办呢呀？平移，对吧？来，我们前面这个模型是上下平移。好，这个呢，就应该是左右平移，让它共断点好来，所以呢，我可以把 a m 往右移，我也可以把 b n 呢往左移啊，只要让这两个点共端点就可以了。好吧，随便你选择。好，那我就选择把 a m 往右移，那么所以 m 点往右移动 m n 的 单位，使 m 点和 n 点重合，那同样我的 a 点来，也要往右拼一 m n 的 单位来，这是我们的 s 点，对吧？好，在连接我们的 s n， 大家看一下，又出来了吗？啊，你看这个边整体移到这来了，哎，就变成了求他加他的最小值， 就变成我们将军印码的第一个模型了，对吧？好，那过定点向定直线做对称点。哎，因为这两条线段是什么？同侧要转化为异侧，所以呢，我可以选择 s 点做，也可以选择过 b 点做，都可以哈。哎，我选择过 s 做 啊，过 s 座啊，过 s 座之后呢？哎，这是我们的 p 列 p 和 s 关于定直线对称，那么这个时候呢，来就把我们的 n s 转换到了我们的 n p， 哎，就变成它 加它最小了，对吧？又是两条首尾相连的折线段之合最小，那么当 p n b 三点共线应该有最小值，所以最后一步，两点之间线段最短，来连接这个连接我们的 b p， 这个交点就是我们的 n e 点， 那么 n 一 点出来了， m 点又出来了呀， n 点再往左平移 m n 的 单位来，这个点就是我们的 m 一 点，对吧？好，来，那么我们的这段路径最后来画一下，从 a 点到 m 一， 好，再从 m 一 到我们的 n 一， 再从 n 一 回到 b 点，这个实线的 路径就是我们的最小值。来，这是我们将军一马常考的六个模型的作图方法，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路。

来，今天来给大家总结一下七下常见的几何模型。首先是这个 a 字模型，什么叫 a 字模型，其实顾名思义就是这个字面意思，像这个字母 a 的 这样的一个图形，那么它有什么结论呢？我们是可以用上的呢？ 假设这个图形，它的结论是这里的两个外角，这两个外角等于假设是角一角二吧，角一加角二，它就等于一百八十度，再加这个顶角 一百八加角 a， 这就是它的结论。那么怎么证明的？其实就是一个外角定律，连续使用两次外角定律，你看角一 是三角形 aef 的 外角好，角二同样也是三角形 aef 的 外角好。很多版本旗下没讲到外角这个概念啊，但是一定要去 提前去学一下，这个外角非常有用，求角度。我们一般是优先考虑外角的 啊，那么外角三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，所以这个角一，它要等于角 a， 与它不，这个是相邻的，与它不相邻，就要这个加这个角 a， 加上角 a f e， 那 么同样的角二，它也要等于角 a， 加上角 a e f， 好，那么角一加角啊，它是不是要等于角 a 加上角 a f 一 加上角 aef， 再加一个角 a 啊？好，这三个是不是正好这是这个三角形 aef 的 内角和啊，内角和是不是就一百八， 所以他是一百八，再加一个顶角好，这个结论在选择填空题的时候我们可以直接使用，但是在解答题的时候不能用，一定要写证明过程。 所以什么叫学霸，学霸就是总结了很多的这样的一个规律，选择填空题，他直接使用，速度就非常快，又快又准。然后解答题，该写证明过程的时候，他写的非常严谨，一步不落。然后我们来看一下这个例题， 如图，在三角形 abc 中， ef 是 abac 上的点，那么角一加角二等于两百一十四度。好，刚才 a 字模型也分析过了，那么角一角二是什么角一角二是三角形 aef 的 外角，对不对？求角 a 的 度数。角 a 是 什么？角 a 是 不是顶角啊？ 在 a 字模型里，角 a 就 可以视作三角形 aef 的 顶角了。好，要你求度数，能看出是 a 字模型的同学，瞬间是不是就跟这个对上号了？ 看不出来的，其实你分析一下也 ok。 求角度是我们四大基础题型，一、求角度，求正角相等这样的一个题型，那么求角度，求正角相等两种方法全等等量代换，等量代换底下又有五个定律好。求角度是优先考虑外角定律和内角和定律。 所以题我们不是做出来的，我们是分析出来的，就是解这道题的所有要用到的所有的知识点以及方法，全都已经提前在我们的知识库里面了，你只要给你的知识库去分分类，搭建成体系，做题的时候就会非常通畅。 好，外角定律，你看角一角二是三角形 a、 e、 f 的 外角，所以连续分两次去写一下就 ok 了。你看角一等于角 a 加上角 a f e， 角二等于角 a 加上角 aef， 所以 角一加角二应该等于角 a 加角 aef， 加角 a f、 e， 再加一个角 a， 也就是一百八十度加角 a， 那 么一百八加角 a 等于两百一十四度，角 a 是 不是口算都能口算出来啊？三十四度。好，我们来书写一下过程。 书写过程之前，我们同样先来分一分模块，这个地方分模块其实很简单了，就是你看一个连续两次外角和定力 带进去求一下就行了。好，求，那我们写解好，连出两个外角的理，角一、角二，我们分开写一下，因为角一是三角形 a、 e、 f 的 外角，你看如图，图上看出来的， 所以角一等于角 a 加上角 a、 f、 e， 这是外角定律。好，下面两个是不是跟上面一样的？同理好，两组等量关系有了，直接加起来是不是就角一角二了？ 你看这个食指跟这个食指相加，得到了它等量代换。那么看一下这个是什么？这个是不是就三角形 aef 的 内角和，所以它应该等于一百八十度，对不对？好，到这里为止，你看简单五个步骤， 这个一外角定，你是不是结束了？好，接下来模块二内角和定力来看，这里 这三个角之和是不是就三角形 a、 e、 f 的 内角和，所以它是不是等于一百八十度？那因为这三角之和等于一百八。如图，你要写内角和定义也可以 啊，所以角一加角二等于一百八十度，加角 a 等量代换，把一百八十度替换掉这三个角之和。好，接下来把角一加角二等于两百一十四度带进去是不就可以了？好，因为角一加角二等于两百一十四度。你看这里已知条件给的 好，所以一百八十度加角 a 等于两百一十四，等量代换两百一十四，替换了角一加角二。好，然后计算一下就行了。一百八加角 a 等于两百一十四，那么角 a 就 等于两百一十四，减一百八三十四度 设计计算等量代换。好简单，五个步骤，第二个模块也结束了，你看到这里为止，整个题目就出来了，因为所以上下对对齐，你看这样是不是非常清晰？好， a 字模型利用外角定力以及内角和定力的证明，搞明白了吧？

初中数学最容易拉开差距的就是几何综合大题，题型一遍就理不清思路，单纯靠刷题很难掌握技巧，就给他准备这本初中几何模型图，描解几何再难，无非就考这六十个模型，初一八个模型，初二三十三个模型， 初三十九个模型，把它们提前吃透，初中三年的数学都不用愁了，像猪蹄模型、锯齿模型、八字模型、风筝模型、手拉手拳等模型，将军银马模型、 图不规模型等等，每个模型都有已知条件，辅助线怎么画、结论是什么，以及模型怎么证明的，都给你讲解的清清楚楚， 看不懂的还能扫码看视频讲解。最关键的是，他还用典型例题做了详细的剖析，辅助孩子更好的理解掌握模型。最后再搭配一本练习册，里面精选了各地考试真题，帮孩子巩固所学知识，学练结合，把这套书都吃透了，初中三年所有几何题，孩子就都不怕了！

今天我来讲解初中数学常见的几种模型。一、飞镖模型，顾名思义，长相酷，像飞镖，我们可以连接 ac 并延长。由三角形外角等于两内角合，可得角一等于角 b、 加角二，角三等于角 c 等于角一。加角三也就等于角 b、 加角 d、 加角 a。 有 些时候会出现角 c 的 补角， 称之为角五。由于角 c 加角五等于一百八十度，可以得到角 c、 加角 b、 加角 d、 加角 a 等于一百八十度， 好。第二个模型，八字模型，顾名思义，像一个头被打扁的数字八。同理，由于三角形外角等于另外两内角和， 可知角一等于角 a、 加角 b 也等于角 c、 加角 d。 我 们在出现八字的时候，可以比较敏感的去想到上面的两个角和之和与下面两个角之和相同，那当增加一个特殊条件，如果角 a 和角 c 相等的话， 我们可以推出来角 b 和角 d 也相等。那如果再有一个特殊条件呢？ ab 和 c、 d 平行，那平行，也就是内错角分别相等， 角 a 等于角 d， 角 b 等于角 c。 又由于对顶角相等，所以可以推出上下两个三角形的三个角是对应相同的，也就是三角形 a、 b。 设它的焦点为 o， o， 相似于三角形 d， c、 o 好， 我们下面来看手拉手模型。手拉手模型一般都是共顶角的两个三角形，如图所示，前提条件是 d e 平行于 bc。 由于平行，可知角一和角二相等，角三和角四相等。上下两个三角形是相似的，可以得到 a、 d 比上一个 ab 等于 a， e 比上 a、 c。 那 我们现在将三角形 a、 d、 e 沿着逆时针方向进行一个旋转，旋转之后，我们现在来考虑一下为什么它叫手拉手模型。我们将上面三角形的两个底角分为左和右，下面三角形同底， 左手拉左手，也即即左和左相连，右手拉右手，得到了三角形 a、 d、 b 和三角形 a、 e、 c。 在 这两个三角形中，呃，由于角 b、 a、 c 是 肯定等于角 d、 a、 e 的， 因为它是旋转过去的，然后中间的角是相同的，我们刨出中间的角，也就可以得到这两个小角是相同的，即角 b、 a、 d 等于角 c， a、 f 等于角 c、 e。 又由于我们刚才得到的 a、 d 比上 ab 等于 a、 e 比 a、 c， 也就是三角形 abd 相似于三角形 a、 c、 e。 因为其两角相等，这两个角分别的夹边也是等比例的。 那么我们得到了第一个结论，三角形 abd 相似于三角形 a、 c、 e。 那既然相似，也就对应边乘比例，即 d b 比上 e、 c 等于 a， d 比 a、 e 等于 a， b 比 a、 c。 这是我们的第二个推论。第三个推论，既然相似，对应角也是相等的，我们重点要关注的是 角一和角二，这里我们用角一等于角二来表示。好，我们现在将左手拉左手的线 b、 d 进行延长， 右手拉右手的线 c、 e 进行延长，延长交于点 o。 我 们观察，此时我们可以得到一个八字形， 在这个八字形里，我们由刚才的推论可知，八字形的角一加角二是等于角 b、 a、 c 加角 o 的， 那么已经推出角一等于角二，可以推出另外两个角相同，即角 o 等于角 b、 a、 c 即角 o 等于顶角。 好，我们看图二二号图呢，它和之前的区别是，它的顶角 b、 a、 c 是 一个直角，其余条件也是相同的， d、 e 平行于 b、 c， 也是将上面三角形进行一个旋转。另外有个区别是，旋转之后 d 点是跑在了 a、 c 的 上面，那么我们依然左手拉左手 b、 d 已经相连了，右手拉右手 c、 e 进行相连。 同理，我们可以得到第一个结论，三角形 a、 b、 d 相似于三角形 a、 c、 e， 我 们可以得到第二个结论，对应边乘比例， b、 d 比 c， e 等于 ab 比 a、 c 等于 a， d 比 a、 e， 我们来看第三个条件，还是角 b 等于角，我命名为角一，那么我们看一下能不能推，推出来类似于第一个推的一个结论，我们将左手拉左手的 b、 e 进行延长， 再将右手拉右手的 e、 c 进行延长。二者相交之后，还仍然产生了两个角，我们看一下，那么二者相交之后呢？产生了四个角，我们只需要知道其中的某两个角就可以知道全部角，对吧？那我们现在想求夹角，我们想一下能否 找到一个图形，找到一个八字形，既把他们两个夹角放进去，又把顶角 b、 a、 c 放进去呢？观察可知， 并没有一样一个这样的一个图形，我们将此点命名为点 p。 我 们对于这种地点落在 b、 c 上的情况，可以采用另一种分析方法，外角的分析方法，三角形 b、 a、 c 的 外角是角 a、 c、 p， 其等于角一加上角二，也等于两内角和角 b 加上角 b、 a、 c， 那么由于角 b 和角一相同，我们也可以推出角二，是等于角 b、 a、 c 的， 也即左手拉左手和右手拉右手构成的假角是等于顶角的。 当然在这个题目里呢，是比较特殊的，其次是顶角是等于九十度，那这个时候呢，题目可能会给出 d、 e 的 终点 m， 那么我们要有一个敏感性， bc 与 ec 加减。等于九十度之后呢，我们又得到了一个直角三角形斜边上的中点，我们可以将斜边上的中线连起来，此时 mc 是 等于二分之一的。在遇到类似的题目之后之后，我们可以这么考虑，我们现在来看一下，如果是共顶点的等腰三角形， 还是同样的情况，左手拉左手，右手拉右手。那首先我们可以得到三角形 a、 b、 d 相似于三角形 a、 c、 e， 那 由于等腰，它对应边是相同的，就不是成比例了，那也就可以进一步得到三角形 a、 b、 d 是 全等于三角形 a、 c、 e 的。 二、 在刚才一般的三角形中，我们可以得到对应的边乘比例，那此时它两个三角形全等了，对应的边直接相等， b、 d 等于 c、 e 三、对应的角相等，角一等于角二。 同理，我们延长 b、 d， 延长 c、 e 交于点 o， 我 将此角命名为角三。 我们可以看一下，此时角三与顶角，他们也是共同处在一个八字形里，那这个八字形由于角一等于角二，也就推出来角三是等于顶角。 好，我们看图二，图二。同理，地点落在了 bc 上，还是左手拉左手，右手拉右手。我们可以得到第一个推论，三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e。 第二个推论， b、 d 等于 c、 e。 第三个推论，还是角 b 等于角 a、 c、 e。 命名为角，我们还是角 b 为角一，角 a、 c、 e 为角二，角 b 等于角二，那么我们依然去左手拉左手，右手拉右手，他们之间构成的角命名为角三，我们看一下，还是这样地点落在 bc 上的时候呢，角三是没有办法和顶角放在一个八字形里的，我们还是采用外角的分析方法， 我们将这个点命名为角屁。角 a、 c、 p 是 等于角二加角三的，也等于角一加顶角 b、 a、 c。 由于角二等于角一，所以可以推出来角三是等于角 b、 a、 c 的， 即顶角。 好，我们看图三，图三呢，也是对等腰三角形进行了一个旋转，但是呢，现在等腰三角形转到了圆大三角形之外，我们来分析一下，那么我们还是把左右标好， 左手拉左手，右手拉右手，得到了第一个结论，三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e。 这样可能不是很好看，我们可以把它描一下。 大三角形的左边和小三角形的左边，以及左手拉左手连起来，大三角形的右边，小三角形的右边和右手拉右手连起来。我们可以观察，在这两个三角形中呢，首先 ab 是 等于 ac 的， 左边等于左边， ad 又等于 a、 e， 右边等于右边。我们再观察一下他们的夹角， 他们的夹角由于是由于原来的等腰三角形，角一是等于角二的，那么他们中间加了一个公共角之后，显然也是相等的，所以角 a、 b、 d 是 等于角 c、 a、 e 的， 所以满足两条边以及其夹角相等，可以推出这两个三角形全等， 那么也就推出了第二个结论，对应边 b、 d 是 等于 c、 e 的。 也就推出了第三个结论，角三等于角四。我们仍然把左手拉左手和右手拉右手之间构成的角进行标出来，这个角命名为角五。可以观察到这一个八字形中， 由于角三等于角四，可以推出角一等于角五。也及左右手拉手之后构成的这个角是等于顶角的， 我们将它的焦点命名为点 o。 在 有些教辅书上，它会有一个结论连接 a、 o。 结论四， a、 o 平分角 e、 o， b。 我 们来看一下能不能证明有点乱。我们先重画一个图，这里用到了一个方法，等面积法。 好，首先我们来复习一下角平分线定律，角平分线上的点到角两端的距离相等。角平分线的逆定律到角两端距离相等的点再角到角平分线上。所以我们想证明 a、 o 是 角 e、 o， b 的 角平分线可以证明 a 点到 e、 o 以与 b、 o 之间的距离相等。那我们可以做两条垂线， am 和 an。 这里我们可以利用等面积法，在三角形 a、 b， d 里， s 三角形 a， b， d 等于二分之一，乘以 b， d 乘以高 am。 在 三角形 a、 c， e 里， s， 三角形 a， c， e 等于二分之一，乘以 d， e， c 再乘以高 an。 由于 b、 d 是 等于 ec 的， 因为两个三角形对应全等，可以推出来 a， m 等于 an。 那由于 a 点到 o， e， o 和 o， b 的 距离相同，所以可以推出 a 点在 e、 o， b 的 角平分线上，也即推出来 a、 o 平分角 e、 o， b。 以上是今天所要讲解的模型。

初中几何考来考去，无非就这六十个模型把他们都吃透，数学也就稳了。他把初一八个模型、初二三十三个模型、初三十九个模型都整理在这本初中几何模型图秒解里了。让孩子从现在开始，每天掌握一个几何模型，等到考试小题套结论，大题套模型， 别提多轻松了。比如风筝模型、手拉手全等模型、将军印马模型、胡不归模型、点线圆最直模型等每一个模型的已知条件、辅助线、画法、 结论是什么、怎么证明的，都给孩子梳理的明明白白。搭配对应的典型真题，从找模型到套用模型，让孩子可以快速吃透每个考点。有了这本书，以后做几何题就像查字典一样简单，关键扫码，还有免费的视频讲解， 不怕孩子学不会。学完再用这本配套的练习册刷对应的真题，巩固提升，这样无论考试题型怎么变，都能从容应对，快速解析，初一、初二、初三都能用！家有初中生，快给孩子准备起来！

都说初二两级分化，那升入初二最容易拉分的是什么？就是这个几何，它涉及到模型辅助线太多了，变形多，而且题目综合， 今天依依老师就带大家用一个视频搞清楚，全等三角形必会这十大模型辅助线，七生八的孩子，咱们把这十大模型辅助线都搞清楚，以后的难题不成问题好不好？ 那有关于我们初中阶段模型辅助线，一一老师都给大家梳理出来了，如果咱们孩子还没有几何模型思维哎，考试成绩还忽高忽低，一定要打印出来啊，把每一类题型都吃透，固定题型方法去解析，咱们就可以 游刃有余了啊。下面咱们来看啊，全等三角形这十大模型有什么呢？第一个就是手拉手模型，说一下手拉手模型的关键要素是什么？两个顶角相等的等腰三角形， 他们头顶着头才能手拉手共顶点等线段。有了大手牵小手，大手牵小手，两三角形是全等的， 全等之后还会有牵手线的结论。牵手线的夹角等于什么？放在八字模型当中，它就等于这两个等腰三角形底角的度数啊。因为有两三角形，全等得对应角相等，而这个角和这个角哎当然也是相等的了，所以这是六十，这也得是六十。 第二个我们来看一下，我们说的是全等当中的倍长中线和倍长内中线的模型，口诀在这呢，大家记下来，叫做倍长中线出全等，哎，全等出 八字，八字整边角，边角推平行，我们当倍长中线以后，可以构造出全等三角形，全等三角形的对应边角关系相等， 我们可以为后续的证明提供更多的边角关系，甚至进行边角关系的转移，它的用处就在这。 而背长中线这里有一个拓展，叫做背长内中线。啥是内中线？和终点有关的线段，所以我给你一个和终点有关的线段，它不是中线，我们也可以干嘛来进行背长，看见了吗？ 第三个，截长补短很容易理解，当我们题目当中看到 a 加 b 等于 c 形式的式子的时候，两条短的证明他和长的这个线段长度相等。 我们要么截长，在长的这条线段上截一轱辘，让他和其中的短的相等啊。要么补短，在短的这条线段上补一轱辘，让他证明和另外一个长的相等。这就是截长补短。题目做题的关键词，你得认识 第四个，绊脚模型。什么意思？九十度当中含四十五度，这叫一半绊脚。一百二十度当中含六十度，一半也是绊脚。绊脚模型解析的方法就叫做拼好脚。不清楚的同学去看我之前的视频，什么意思？ 就是指四十五度周边这两个小角，因为是一半嘛，小叉加小圈也一定等于四十五度。偏好角是我想办法把小圈挪到这小叉，小圈重新汇合到一起，就可以形成一个新的四十五度角， 这是四十五度，这也是四十五度。那我们就可以利用二次全等继续来证明这两个三角形的关系了，我们就可以继续来去推边角结论了。 来继续，我们来看这个模型，一线三垂直模型。三垂直模型构成的关键要素是什么？哎，叫做等腰直角三角形，我们把等腰直挂在一条线上，这条线必须是一个过顶点线， 然后把这个等腰直可以绕着这条线任意旋转，在旋转的任意过程当中，我过另外两个端点向这条线做垂线，都始终有三角形全等，所以这个模型和这个模型都叫做动态全等模型。你不能只会一种状态啊，否则变形体你识别不了。 第六个啊，平行线，证明全等三角形由平线出。啥呀？哎，相等的角啊，边角关系可以使用。第七个等腰三角形，对应三线合一的性质，中线、高线角平分线，三线合一可以为我们推导更多的边角关系。 第八个，垂直平分线，垂直平分线，这里我们知道垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以有垂直平分线必然有轴对称，必然可以衍生出更多的边角关系。为我们使用 第九个对角互补模型。啥是互补啊？一百八十度嘛，对不对？所以阿尔法再加上贝塔等于一百八十度，我们想要构造另外一个相等的角，直接做延长就行了，在这阿尔法旁边做延长就构造出了贝塔角，有了贝塔角和原来的三角形就可以怎么样？ 对了，继续构造什么全等三角形？接下来第十个就是我们所说的角平分线四大名辅了，叫做垂，一边做双垂， 垂，中间做延长，无垂直做截取角分平等腰成。不会的，去看我之前的视频，那有关于全等这十大模型辅助线，你现在学透了吗？

初二是数学的一道分水岭，几何题经常丢分严重。其实初中几何就六十八个模型，初一十九个模型，初二二十二个模型，初三二十七个模型，把它搞定，初中三年的数学成绩不用愁，这本学而思。初中几何模型包含了初中三年数学常考的所有 几何模型，每一个模型的条件和结论是什么，怎么证明的，怎么画辅助线，全部梳理的清清楚楚。有了这本书之后，做几何题就可以像查字典一样简单，遇到不懂的，先在书中找到几何题所属的模型， 然后套用该模型对应的解析模板，题就解出来了。还有免费的清北名师视频讲解，不怕学不会，每天练一练，逐步提升解析能力。数学就是咱孩子的优势科目，家里有初中生的赶紧准备一套吧！

家里有江苏七下的娃，不要错过这一道倒角的压轴题，这道题呢，来自于我们江苏往年期末考试选择题的最后一题，如果平时呢，选择填空压轴呢？拿不到分呢？那建议保存，晚上给娃呢做一做。 那这道题呢，没有方法，百分之九十的娃呢，是拿不到分的，如果掌握我的两招，我们中的娃呢，是拿不到分的。如果掌握我的两招，我们中的娃呢，是拿不到分的。如果掌握我的两招，我们一招秒杀。 如果娃平时压轴题丢分多，娃又肯学，想要期末冲刺一把，可以把我这一份包含三十二个考点加一百二十道的母题的冲刺训练拿去练习，熟悉题型活用方法。 那么这道题到底如何用两招来破解呢？我们一起来把核心条件问题看一下。 如图，三角形 abc 的 角平分线， c、 d、 b 呢？相交于 f。 那 么读到这个条件，你想到了什么技巧模型呢？ 可以在评论区打出来，你应该想到我们三角形中的内内分角模型， 并且你还要想到我们怎么样啊，等角可以设同圆，设了圆之后呢，才可以方便表示我们其他的角。 那么根据我们内内分这个模型的这个结论啊，我们应该清楚啊，这个角 c f boy 就 等于九十度加上 二分之一的角 a。 啊，为什么呢？啊，为什么呢？啊，非常简单啊，我们也可以怎么样展开来推导一下嘛，我们这个 c f boy， 那 就是一百八减去 x 加 y， 就 相当于减去二分之一的括号 r x， 怎么样加上 r y， 而二 x 加 y 呢，就是一百八减去一个角 a， 相当于一百八减什么减角 a， 于是把它展开之后，就是我们九十度加二分之一的角 a 啊，就是这么的简单。 那么角 a 是 九十度啊，所以这个角怎么样啊？直接就算出来了呀，就是一百三十五度，所以呢，我们这个 x 加 y 怎么样哦？是一个定值四十五度。 接下来我们继续看题哦， e g 的 话呢，平行于这个 b c， 且 c g 呢，垂直于这个 e g 啊，清楚了，所以这个角怎么样啊？就是一个 r x， 这个角呢，就是一个 r y。 接下来我们来看结论哦。 第一个结论，他说角 c e g 等于两倍的角 d c b 啊，我们看一下 这个 c e g 的 话呢，就是一个 r x， 我 们写一下啊， c e g 啊，就是一个，怎么样 r x 啊，我们 d c b 呢，是一个 x， 所以 显然第一个结论怎么样肯定是正确的 啊。第二个结论，我们看一下是什么 a d c， 那 a d c 对 不对？我们看下外表表示吗？ a d c 啊，多少哦？ r y 加 x 对 不对 哦？这里看这个角几 c d 啊，几 c d 啊，多少呢？也是什么 r y 加 x， 显然它们都是相等的，并且就是 y 加四十五度嘛，对不对咱们也是清楚的呀，所以 r 怎么样也是对的呀。 啊，再来看我们这个三对不对啊？三好三是什么叫 c e boy 啊？我们来表示一下啊， c e boy 啊，是这个角 啊，那这个怎么表示呢？随便啊，我们可以用内角和还是用这个外角啊？都可以啊，用外角的话呢，就是九十度加上一个 y， 用内角合力化呢，就是一百八十度减去二 x 减去一个 y， 我 们用它表示出来啊，这个角 d， c、 g， 咱们看一下 d， c、 g 的 话怎么样？哦，是什么？是 x 怎么样？加二 y， 那 么如果两倍的这个角啊， d， c、 g， 那 就是多少呢？二 x 加二 y， 再加二 y 啊，多少度那就是多少度啊。 x 加 y， 他 是一个四十五的 r， x 加 y， 那 就是九十加上一个怎么样啊？ r y， 可是我们这个 c、 b 的 话怎么样？是九十加 y， 而我们两倍的这个 d， c、 g 的 话怎么样？是什么？是九十加二 y， 所以 这个三怎么样就不对了。 好，四，这角 c f、 e 哦，这个角对不对？这个角对吧？啊，比如是 r 法角哎，正好就是 x 加 y， 显然就是四十五度，所以这四怎么样？哦，也是正确的呀，那这道题我们不就讲完了吗？ 啊，最后我们总结一下啊，这道题的话实际上就是两招啊，第一招，看到我们三角形有两条角平分线，你就要想到有没有内内分角模型，有没有外外分角模型，有没有一类一外角模型。 其二，我们看到等角，就要想到等角是同圆，尽可能去表示我们其他的角度，这样我们就能够轻松的去搞定我们的问题了。 好，这道题我们就说到这里啦，你和孩子听懂了吗？如果娃平时压轴题丢分多，娃又肯学， 想要期末呢，冲刺一把，可以把我这一份包含三十二个考点加一百二十道母题的冲刺训练拿去练习，熟悉题型，活用方法。最后，祝娃天天好运！苏柯提优找大侠！

本视频耗时一年，制作共计一百五十分钟，带你一口气学完初中数学所有几何模型。详细的几何模型目录已发到评论区，本次更新十二个几何模型，时长二十八分钟，先点赞收藏再慢慢看吧！孩子们！ 再咱们来看模型十九海盗埋榜模型也叫逆旋转啊，看下这种模型特点，第一个，它形容的是两个等腰直角三角形，再来看三角 c b， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转好。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连先来，之后取它中点 f， 一 旦取连 f 中点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相等。之后呢， f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也是四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q， 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个也三角形，是不也是等腰直角三型，也是它垂直的好，你看一下这个红的和这个紫是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是加左手啊？ e 是 不也是左手？ p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好？那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，先练完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了 pe 等于 d q 也有两个拉手线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢？ f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下 f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二，破罗摸几的模型，也叫破石模型哎，这它是由三个模型 衍生的，咱们来看第一个模型，垂直变中点，什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b， c 和 d b， e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转，旋转的话它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个角是直角，那么把 m b 进延长，延长完之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b a b d 边相等，第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。诶，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把看这第二个图啊，我只需要把啊 b n 进行延长，延长完之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后大家看，非常关键的一个，那我全等完之后，看一下，我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再将它的垂直，那所以所形成的这两个三角形，小的三角形 d q n 和 a p n 是 不是全等？全等完之后，那你 na 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 再看下这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个， c e 等于二维的 b n， c e， 你 看一下。哎，我把这个擦掉。 好，他来重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 m e 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ m e 呢？ m e 一 线三垂直， m e 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b q 嘛。 啊， b p 就 能以 b n 减去 np， b q 等于呢？ b n 加上 q n， 这两个相加一定等于二倍， b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直，还是 a b、 c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转完之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p、 b 进行延长，到这儿肯定垂直。 好，那就看一下这个位怎么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱们把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正，这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造，全等就是构造拼四边形，拼四边形的话，这个角 b、 e、 m 加上这个角 c、 b、 e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a、 b、 d、 a、 b、 d 加上 a、 b、 d 加上这个 c、 b 是 不也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等，哎，这两个直角应该相等。好，就要再看这两个直角相等，那我，哎，我换一个颜色， 那我看一下，我这个 b、 e 是 不和 b、 d 相等，那进来看，这个 m、 e、 m、 e 是 不和 b、 c 相等？刚刚全等，是吧？那 b、 c 呢？又和 b、 a 相等，那所以这个 b、 a 是 不和 m、 e 相等，那我在这儿一封，这儿一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？好，我就种完了。全等完之后，好，全等完之后，接下来看非常关键的，全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一， a， 这角二吧，用钢边角二，这是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了，对吧？而这第一个结论就是垂直 好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好正了，刚刚我说了，我这个三角形刚刚不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这个也是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，也就是说我这个 ap 等于二，而 a、 d 等于二倍的 bp， a、 d， 咱们刚输了，全等。 a、 d 这个三角形和这个三角形刚不正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a、 d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不就是 b p 的 二倍？所以说，我就证完了。哎，就是二倍啊。好，那接二，再看 最终的破锣磨几个模型，眼下定力，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现，如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形。 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直，那么如果说我其中这儿是垂直的， 这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的坡直定点。好，咱们来正一下。为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？嗲，这是角一在这呢，角一是不在这呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角一，这个角一是不是在这呢？为什么呀？因为同弧 c、 d 所对的这个角一和同弧 c、 d 所对这个角一是不相等啊。 所以，其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等。相等完之后， f m 是 不等于 f a？ f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点。好，看一下，我这个角在哪呢？ 我这个角，哎，是不在这呢？为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不相等。再来看，我这个红角是不在这呢，因为他们同时加上这个角都是九十度吗？ 对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加一角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢。好，那这两个红角是不相等，相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d c f 是 终点，所以我就中完了，好，大家学会了没有？他现在再看第三个 模型，二十一啊，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你的三角形 a， 制药三角 a b c， 角 c 九十度， a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 p c 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过屁点做这边一个垂直，哎，因为角偏定里 f d 是 不是挺等于 i， 这个 p d 是 不是挺等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊。好，那见了带一句看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边儿啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不也是 x， 那 它是不就是八减 x 啊？所以你所形成的这个扇形是不叫勾股定律啊？ 勾股定律，然后解除 x 是 不解，出来 x 之后，我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速地解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 tb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊。哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对吧？直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三，对吧？ 咱们继续看模型。二十二，矩形翻折模型。好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二，角三，然后第二个结论，可第三个角咱们看。 当你折叠时候，咱们记住，折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，那这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d e 等于 df， 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应边相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，因发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等，所以说 e a 是 不等于 e c 啊， e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e a， c 等于角， e、 c 也就成立的，也就角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等这一个直角，所以说这个三角形 f、 b、 c 和 a、 f、 e 是 不就全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a、 c 上，然后就已解决，把 a、 d、 f 折到了 a、 e、 f， 这若你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c， e 等于 a， c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之 后， a、 d 是 跑到 a e 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a、 d 是 跑到 a、 e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不就等于 a c 减去的？ a， e 也等于 a， c 减去 a d 啊，所以这个结论成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c、 f 等是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了。这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠中像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个 d 点对应点折到了 g， 这个 g 刚好是一百 f 是 它中间那个折。这个时候你要看一下 a g 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边，相等对应边，是不就是 a， d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a、 g， 你 这个时候你发现 a， g 是 不就等于 a、 d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看，哎，这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所对的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折的对应角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽贤图模型赵爽贤图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型。好，进来看一下，说在正方形 a、 b、 c、 d 哎，内部，然后在 a、 b、 b、 c、 d、 d、 a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e、 h、 g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两条直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样，它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 ef 是 不是就等于 f e 也等于 h g， 所以 这个就是个正方形了，所以我就正完了，是吧？这也是详细的一个证明过程。 我再来看二四风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种，哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖边好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就是这个地方是三尺。那你还发现哎，这种咱们用勾股定律结建方程。还比如说咱们说折断后的那个 高度是 a x， 也就这一段是 x 比总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎， u 数的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定律，因为它有个直角，对吧？每只 x 方加三方 a 就 等于十减 x 方，然后吹截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹数轴形是勾股定律的一个应用。再看出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型， 什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？就这一段 a b 出水三尺，因为它漏在水面上，三尺嘛， 然后接下来风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢？它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 反向后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。诶，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x， 值 内发现 p b 是 不等于 pc， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a 它是不是加上 a c 方就等于 pc 方，是吧？ pa 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢？这个 p c 呢？就 x 加三呢？所以直接解的 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看魔像，二十六、三七八和五七八魔像这个非常非常重要，犹如咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛，一个赛型三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到，其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形。为什么呢？咱们可以尝试一下 给，比如说有这么一个三角形等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a d 勾股定律， a d 就是 四根，四倍根三四 b 根三。好，你再看 e、 d， 这个 b、 d 是 不是四？ b d 是 四的话，这儿是三，那这儿是不就是个一，这儿就是个一，所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形这儿是四， b 跟三，这儿是一，所以勾股定律是不直接可以求出 a e 啊， a e， 你 求完之后发现 a e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满，它足够的敏感，它们一旦一拼，就是一个等边三角形 好备好，咱们继续进来看。蚂蚁爬行莫行，哎，这里是勾股定律那块经常会遇到说蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬，爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，这样把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面，翻成平面之后，哎，这边就是个 b， 这边就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方，就这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和让 b 和 c 沿成一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样了。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀？比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就是 a 一个长方 a b、 c 是 不？他的三个棱长，三个棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m、 n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看，有了之后呢？他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀？是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆筒的高，所以说圆的周长，圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面， a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去？行了，他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就是你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜。这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路上什么最短？哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边儿再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段儿这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的要什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇， 然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就 最短。什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b， 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续加 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a 地方， a 地方， a 加上 bc 方，好。第二个结论就是它这个面积 a、 b， c 的 面积就是就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方 a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论。第二个结论，它的面积， 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不二分之一的 b、 d 乘以 a 啊，下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊，我把二分之一 b、 e 提出来， a 加 c， 那 是不就二分之一的 a、 c 乘 b、 d 啊？所以我就求完了。 好的，看模型。二十九，叫中点四边形的模型。什么叫中点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m、 n、 p、 q 是 这个任意四边形的一个中点，它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b、 d 的 一半， 然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等， m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形了，对吧？好，第二个，像这种的， 这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行且等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 和这个 n p 是 不是就平行且相等？那所以它是不是还是个平四边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n m n 是 不是平行等于 a c 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 a c 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不就跟 p q 平行其相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么要一必要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个菱形。 哎，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等是不意味着它和它相等啊？本来一个拼四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看，如果对角线垂直且相等的四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个平行四边形，对吧？因为对角线垂直，第二垂直的话，它就垂直了。用对角相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了，所以说它既是矩形又是菱形，那么它就是个正方形了。 好的，来看三十十字架模型，这的正方形那儿会正常出现。说在正方形内部， a 有 这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么尾弦呢？就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f， 只要垂直稳，那么稳，那么 a e 和 b f 它相等。为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b e， 它是全等的。哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？里丫直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 是啊，再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以它要全等了，主要加角 b 全等了，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线， a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 都成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的嘛。全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？好，他说这种，哎，例如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要证这个 三角形和这边这个三角形全等就行，对吧？还是全等？全等就仍然相等了。那还有一种是蛮非常极端的，就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是，你只需要正它和它这两个三角形全等，全等完之后，哎，它就又成立了。所以记住， 正是正方形内部如果说有垂直，那叫 b 相等来，如果相等也 b 垂直，所以这两个是互逆的。

好，今天给同学们讲一些这样基础模型啊，在最近的学当中，应该同学们可能都会觉得像初一的同学都会觉得这个证明题的话，相对来说是这个学当中最难的一种题型啊，就是说然后今天给同学们去讲一下一些基础题型，对同学们的 那个填空题和大体的一个解析啊，很有帮助，同学们可以去就是深入的去研究一下啊知识特我们来看啊这几几种，先给同学们大概整理六种基础模型啊，就是不是非常齐全啊， 大家看一种 a 字形， a 字形他就大家可以如果做填空题就直接运用这个结论，然后或者做大体当中直接运用这个思想啊，就是角一加角一加角就等于角 b 加角 c， 角三加角四等于一百八十度加一百八十度加角 a， 然后同学们可以去那个有兴趣同学可以去 去证明一下。这个就是去证明一下啊，我大概就是可以做一些题型，然后有兴趣同学可以去证明一下啊，就是像角一加角二，很简单啊这种，这种很简单，利用三角三角形的内角和啊，就是就能得到角一加角二等于角 b 加角 c， 然后角三加角等于 e w 加角 a， 这个第二个比较简单啊， 然后八字形的话就是一个看到这种那种基础型图形，就是八字形 a， b， c， d， 然后角 a 加角 b， 等于角 c 加角 d， 也是利用三角形内角和啊，我就大概 去做一下，然后有同学有兴趣同学可以去弄一去证明一下啊，也是根据内角和定力啊，然后叶尾形的话，就是看到这种就是叶尾形，就是 abcd， 然后角 a， 加角 b， 加角 c 等于角 d， 然后这种的话可以大家可以去 连接 a， 连接 a、 d 并延长，然后利用外角和定力啊，利用外角和定力，然后反正外角和定力啊，然后有听有进，同学都可以去整理一下。 然后第四种是分针形，分，你看到这种就是这种就是分针形 a、 b、 c、 d 啊，就是这种分针形，然后角一加角二等于角 a 加角 d， 然后这种的话也是可以啊，同学们提醒一下同学可以也是可以连接 a、 d 啊，然后利用外角和定力啊， 大家可以有兴趣可以去证明一下啊。然后第五种是鱼角模型，鱼角模型就是看到这种 a、 p 堆，这种一般有什么特质？鱼角模型有什么特质呢？基本都是垂直，都是垂直啊，都是垂直，然后包括第二种就是这种图形，都看到这两个垂直都是垂直的，就是基本都是鱼角模型了啊，鱼角模型是利用了什么同角 或等角或等角的角，鱼角啊， 同角或等角与角去找，就是这个定力啊，然后去证明。然后第六种就是补角模型，补角模型看这种就是什么都没，就是看到一百八十度的，他说已知角 a， 加角 c 等于一百八十度，已知角 a 加角 c 等于一百八十度。去去结论角 e 等于角 b， 这个是不是他是，你看这个是不是 同角也，这个也就叫同角或等角的补角啊，同角或等角的补角 去做去证明一下。然后这六种基础图形呢，同学们可以一定要牢记于心啊，就不管是对做填空题和 那个大题目的话都有很大的帮助啊，同学们就是也不要去那个死记硬背，去去那种印印记啊，就是大家可以去证明证明推理推理，然后对自己的记忆的话都很有帮助。就是啊。

交线与平行线是期下数学的重难点，也是开学后第一次月考的必考内容。几何要想不出错，一定要学会用模型解析。有经验的妈妈已经给孩子准备了这本初中几何模型，包含了初中三年数学常考的所有几何模型，每一个模型的条件和结论是什么，怎么证明的，怎么画辅助线，都梳理的很清。 有了这本书之后，做几何题就可以像查字典一样简单。遇到不懂的，先在书中找到几何题所属的模型，然后套用该模型对应的答题模板，题就解出来了。还有免费的视频讲解，把基础模型和辨识模型都吃透了，无论题型怎么变，都能轻松应对开学后的月考。期中考数学就不用愁了，快准备起来吧！

你很难考过从七年级开始就每天吃透一个几何模型的孩子，因为初中数学近四成分值都在几何题型上，如果能把这六十个几何模型吃透，期中期末想不考高分都难。用的就是这本初中几何模型图描解包含了初中三年数学常考的所有几何模型，像猪蹄模型、铅笔头模型、八字模型、 手拉手全等模型、将军引马模型、胡不归模型等等。每一个模型的条件和结论是什么，怎么证明的，怎么画辅助线，都梳理的清清楚楚。搭配真题讲解，一步步带你识别模型，运用模型、吃透模型。 这样孩子解析时遇到不会的题，只要能判断出是什么模型，然后就像查字典一样去找到对应的模型，就能直接套用。而且扫码还有视频讲解，孩子自己在家就能学。 配套的还有一本专项练习，及时巩固，精选各地考试真题，家里有初中孩子的，想要稳步提升数学成绩，冲刺高分，现在就可以练起来了。

初中几何考来考去，无非就这六十个模型把它们都吃透，初中数学也就稳了。他把初一八个模型、初二三十三个模型、初三十九个模型都整理在这本初中几何模型图秒解里了。让孩子从现在开始 每天掌握一个几何模型，等到考试小题套结论，大题套模型，别提多轻松了。比如风筝模型、雨伞模型、将军印马模型、手拉手全等模型、 胡不归模型、勾股数模型等。每一个模型的已知条件、辅助线、画法、结论是什么，怎么证明的，都给孩子梳理的一清二楚。搭配对应的典型真题，从找模型到套用模型，让孩子可以快速吃透每个考点和解析思路。有了这本书，以后做几何题 就像查字典一样简单，关键每个模型都有视频讲解，不怕孩子学不会，学完再用配套的练习篇刷对应的真题，巩固提升，这样无论考试题型怎么变，都能从容应对，快速解析，初一、初二、初三都能用。家有初中生的赶快给孩子准备起来！

江苏七年级的娃和家长看一下，很多娃已经在学习最后一章的内容，那最后一章的重难点就是几何相关的几大定律，三角形的内角和定律、三角形的外角性质定律、多边形的内角和定律、多边形的外角和定律以及平行线的性质定律。期末考试压轴题一般会重点考察这几个定律和三角形的倒角模型。 我们通过这一道去年连云港期末考试的填空压轴题，一起来看一下三角形的两大定律和角平分线加角模型的综合运用。如图，将三角形 abc 纸片沿 d 折叠，使点 a 落在点 a 撇处，且 a 撇 b 平分角 abc a 撇 c 平分角 a c b。 若角一等于四十二，角二等于四十六度，则角 b、 a 撇 c 的 度数为多少？我们分析一下条件，因为折叠的第一个性质是对应边相等，对应角相等，所以我们可以得到 a d 等于 a 撇 d， a e 等于 a 撇 e， 而且角 a 等于角 d a 撇 e。 那 第二个性质就是对应点的连线段被对称轴垂直平分，所以如果我们连接 a、 a 撇，我们就可以得到 d、 e 是 垂直且平分 a 一 撇的。分析完这个条件一，我们再分析第二个关键条件，因为 a 撇 b 是 平分角 abc 的， 所以我们可以得到这两个角是相等的。 那又因为第三个关键条件， a 撇 c 是 平分角 a、 c、 b 的， 所以我们可以得到这两个角也是相等。那第四个关键条件就是角一等于四十二度，角二等于四十六度。咱标注一下再看问题。要求的是角 b a 撇 c 的 度数。 角 b a 撇 c。 在 三角形 b、 a 撇 c 当中，所以如果我们设这个底角为 x， 设这个底角为 y， 那 这个角就是 x， 这个角就是 y， 那 我们如果能够求出 x 加 y 的 值，再用一百八十度减去 x 加 y， 就 可以得到角 b、 a 撇 c， 然后要求 x 加 y 的 值。我们可以放在三角形 abc 当中， 由三角形 abc 的 内角和可以得到两倍的 x 加上两倍的 y， 加上角 b、 a、 c 等于一百八十度，所以我们就可以得到 x 加 y 等于一百八十度，减去角 b、 a、 c 的 度数，再除以二。 继续倒着推理，只要求角 b、 a、 c 的 度数就可以了。那这个时候我们可以设角 b、 a、 a 撇为角三，然后角 c、 a、 c 撇为角四， 那有绝对性的性质，就可以得到角 d、 a 撇 a 也是角三，然后角 e、 a 撇 a 就是 角四，那也就是角 b、 a、 c 就是 角三加角四。那这个时候我们放在三角形 d、 a、 a 撇当中，发现角一是这个三角形 d、 a、 a 撇的外角， 所以我们可以得到角一就等于两倍的角三等于四十二度，所以求出角三是二十一度。同样的道理，角二等于两倍的角四等于四十六度，所以可以求出角四就是二十三度， 那所以我们就可以得到角 b、 a、 c 就 等于角三加角四就是四十四度。然后我们把角 b、 a、 c 等于四十四度，带入这个式子，就可以求出 x 加 y 就是 一百八十度， 减四十四度，再除以二，就等于六十八度。那我们最终再把 x 加 y， 再带入第一个式子，就可以求出角 b、 a 撇 c 就 等于一百八十度，减去六十八度，等于一百一十二度， 所以答案就是一百一十二度。最后总结一下，如果让我们求一个三角形任意两内角角平分线的加角度数，它就等于九十度，加上第三个内角度数的一半。 也就是在这个图当中，要求角 b p c， 则角 b p c 的 度数等于九十度，加上二分之一乘以角 a 的 度数。这个结论如果是选择题或者填空题，我们是可以直接使用的。 那针对期末考试，杨老师也开设了专项的期末考试压轴题冲刺课，有需要了解的家长可以关注一下。好，咱们下期见。

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