二六年万唯数学白卷21题怎么写

今天我们来一起学习， 大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天我们再来分享一个啊，河南省刚出来的这个，呃，万威的一个黑白卷啊，这个万威黑白卷这个名气确实比较大啊，大家都比较期待， 然后呢？一直说什么什么时候河南的什么时候出来，可能河南地区的话确实出现的确实比较晚， 因为他这个黑白卷确实是在考前一个月左右才会出来的出来的啊，确实，包括那个定心卷，大约就是考前一个多星期才会出现啊，所以大家不要着急啊，他出来的时间取决于大家的一个中考时间啊。 好，今天晚上我来分享一下这个啊，黑啊，这个黑白卷里面的这个两套卷子的第十五题啊，其实其他题的话，在往期分享中都有非常类似的题啊，就不再做这个其他题的一个分享了，就分享这个第十五题啊。好，我们先看这个白卷啊， 白卷的第十五题，其实这个今年的黑白卷的质量其实很一般啊。嗯，像这种题的话，对于在我看来比对于比较优秀的孩子来说的话，可能口算就能够得到答案啊。 好，我们先看这个白卷的第十五题啊，我把这个题归在什么呢？归在这个我整理这个分折回边里面的，这个点在线上啊，这么一个 点在线上啊，我们直接找到这个点在线上，我在这边分享啊，点在边或者线上这个分类里面啊，当然有需要这个试卷的朋友，或者是有需要我整理这个分折回边的朋友可以私信我把这个分折回边，包括这个黑白卷分享给大家啊。好，我们一块来看这个题啊！ 入图，在三角形 abc 中， ab 等于 ac 啊， ab 等于 ac， 这是一个等腰三角形啊，好，等腰三角形直接跳到这个地方来读题啊， ab 等于根号十， bc 等于二， ab 等根号十， bc 等二等腰三角形。那么很很，那么呃，大部分的时候我们都需要做到这个，做出来这个三线合一啊，那这个时候我们其实就知道它是一个一比三比根号十啊。好，继续读题啊，他说将这个三角形啊， d 位的 a c 的 终点好点， d 是 a c 的 终点，当然他也是什么呢？他也是这个 啊，这个 e g 的 终点，也就是说现在就出现了，其实构成了一个平行四边形啊，有这个线段等于下面这个线段，包括说也等于这个线段也等于这个线段啊，他们都是四个相等的线段，如果把这四个边连一下，那么恰好就可以构成一个平行四边形啊。好， 然后呢，他说当点记，条件是当点记啊，落在三角形 abc 任意一边啊，我们想一下，那么这个时候我们可以先找到满足群众要求的一个这个点击的位置啊，那么其实在这个图形的旋转中，旋转过程中，其实就是 什么呢？就是一个引圆的一道题啊，引圆就是点记啊，它的运动轨迹的话，就是以点 d 为半径的一个圆啊，一个圆，我不再画这个圆啊， 那么这个时候我们很轻松能够找到他，要么是啊，落在了什么呢？落在了 bc 边上啊，那这个时候其实就构成了一个什么呢？小的一个等腰三角形，对不对？小的等腰啊，小等腰对吧？大等腰还有小等腰，那这样的话他其实就等于他的一半啊。 第六种情况落在哪呢？落在了 ab 边上，我们先找到落在 ab 边上，我们这个时候可以径直的画出来，满足求的约束性啊， 落在了，当落在了 ab 边上的时候，那这个时候其实就构成了一个什么呢？构成了一个斜边中线，等于斜边的一半，这个时候其实就构成了一个什么呢？构成了一个直角三角形啊，对不对？构成一个直角三角形，记，落在这个点，记一，落在这个点， 那么如果说我们再去旋转过程中的话，你会发现要么就是落在了 a 点，要么就落在 c 点，但是其中说了啊，三角形 a、 b， c 的 顶点除外，所以说这个时候我们这个题就有两种情况，记一和记二的情况啊， 我们就这两种情况来对它进行这个计算，其中让我们算 c e 的 差啊， c e， 好， 那我们先画出满足求幺的图形，再去找到 e 的 位置，对吧？好，第一种我们刚已经说了啊，所以说那么这个 g 就 到达了这个点啊，这个时候它就构成了一个小等腰啊，也就是说 好记在这个位置，那这个时候我们可以啊找到这个 e 的 位置啊， e， 那 就是其实就相当于是把 ab 边向右平移了，哎，一个单位长度对不对啊？一个单位长度，那这个时候 e 就 在这个位置啊， 那么此时的话，其实我们能发现仍然可以构成一个斜边中线。斜边，我们知道当一个三角形，当一个三角形一边中线等于一边一半的时候啊， 比如说我现在并不知道它是个直角三角形啊，它是一个一般三角形，如果说我现在我知道了这个边啊，等于这一边的一半，那这个时候我们可以很轻松证明出来，它其实就是个直角三角形，为什么呢？因为这个角等于这个角，这个角等于这个角，四个角相差一百八，所以中间就是一个直角，对吧？ 所以这个时候，那么哪个三角形的直角呢？其实就是这个线段等于这个线段也等于这个线段啊，因为它是中点啊，所以它就构成了一个直角三角形，对不对？所以说我们把 c e 连一下啊，其中要求 c e， 我 们当然肯定要把 c e 连一下啊， 大家能知道 c 是 多长吗？其实我在读题的时候，我已经得到答案了，对不对？是不是就是一个三呢？因为它它就等于原来这个 a g 的 长啊，对吧？ a g 的 长啊，一比三比刚好十啊，好，所以第一个答案就是三啊，所以口算就可以得到答案。第二个答案在哪呢？我们刚已经划出了满足缺口型啊， 这时候我们为了规范做图的话，大家可以以第二个圆心啊，然后画出这个圆啊，画这个圆，那么这个圆的话，与 ab 边交汇点的话，其实就找到了这个对应的一个直角，对不对？对应直角啊，因为这个时候它仍然构成一个直角三角形啊， 好，那么这个就是 g 的 位置啊，当然它 g 啊，这是 g 的 位置，这这边是一个垂直啊，它仍然是一个直角三角形啊，因为这个边啊， 这个 d g， 对 吧？ d g 就 等于啊， d g 等于什么呢？二分之一的 a c 啊，二分之 a c 仍然出现了斜边中线啊，呃，一边中线等一边一半，那么仍然是有这样三角形，那这个时候的 c e 在 哪呢？ c e 这个时候我们能发现它其实就构成了一个什么呢？构成了一个矩形啊， 它不只是一个平行四边形，它就构成一个矩形，所以说 c e 就 在这个位置啊。 c e 的 长，我们可以，可以求什么呢？借助于求 a g 的 长就可以求出来，因为矩形的对边是相等的啊。好，我们如何求 a g 的 长呢？我们来观察一下， 要想求 a g， 我 们可以借助于勾股定律，因为 a c 的 长是一个根号十啊， a c 长，根号十，如果你能知道 c g 长是不是就可以了呢？那么 c g 怎么求呢？当然有很多种做法啊，很多做法对不对？很多做法，当然我可以选择很多做法，因为这个角是一个固定的值，我可以利用三角函数来进行求解，对吧？因为这个边是一个二啊， 那么这个时候我们求 c g， c g 就 应该等于啊二，直接来乘以多少呢？因为它满足了一比三比根号十啊，所以说我用直接乘以根号十分之 三，是不就可以求出 c g 了，对不对？这是 c g， 那 么 c g 求出来之后，我们再求 a g， 所以 a g 就 应该等于啊，根号下，我用购物定的来做，好吧，购物定的就等于十啊，再减去一个，再减去一个十分之三十六，对不对？就是上面这个 c g 的 平方啊， 自己希望，所以说答案就是一个十分之多少呢？六十四啊，开根号，所以最后答案就是一个十分之。嗯， 根啊，十分之多少呢？十分之八倍的根号十啊，约下分，那就是五分之四倍的根号十啊。当然我们在求 c g 的 时候有很多种做法，我们也可以利用等级法，因为 c g 来乘以 ab 就 应该等于啊 啊，谁呢？就是我们刚做出来这个二来乘一个三，对不对？一样的做法啊。好，这是这个白卷的第十五期啊，接下来我们来看一下这个黑卷的第十五期啊，所以这个题目答案一个是三，一个是五分之四倍杠十啊，其实比较简单啊。 好，这个黑卷黑卷的这个第十五题啊，其他题的话，其实都是中规中矩的题啊，你看这个题的话，他其实并没有仿照我们河南省中考政题的一种说法啊，第二十二题他并没有说是一道二次函数与几何的一道 一道这个综合题啊，他还是一个实际类的一道这个应用题啊。其实呢，所以说今年的这个题的话，试卷这个质量很一般啊， 当然他的名气确实比较大啊。好，接下来我们看这个黑卷的记事簿记，黑卷的记事簿题当然比白卷的记事簿题啊啊，更加有意思一点啊，可能他的文字的描述啊，可能更加有技巧一些啊。好，我们看下这个题啊，这个题的话啊， 求的是最值问题啊，最值问题也是我们十五期经常会考的一种期啊，这个期我把它归在什么呢？归在这个呃，引源的定点定长引源的引，引源这个范围啊，来，我们直接找到啊，哎哎，我应该是，是不是放错位置了，我们看一下啊， 好，好像放错位置了啊，放错位置，我应该是把它放在了什么点圆的地方，对吧？行，我先找到这个题吧，所以我再稍微纠正一下啊，在这个地方，好吧，它其实是一道定点定程的一个引元啊，我们一会看这个题啊， 如图，在正方形 a、 b， c， d 背景是一个正方形啊， ab 是 一个四啊，就是正方形的边上是一个四啊， e 为直线啊，读清题边 bc 所在直线的一个点啊，不要局限自己的四，因为 e 可以 在这个位置， e 也可以在这边这个位置啊， 好，连接 a， e 连接 a e， 然后呢，它做出来一个点， b 啊，关于啊， b 撇就是关于 a e 对 称，比如说 b 和 b 撇是关于 a e 对 称的啊，对称的，它其实说这么多的话，我们反思一下，其实就能发现，其实它就是一个反折，对不对？相当于是把 首先确定出来点 e 的 位置之后，然后我将这边这个三角形翻折，变成了这边这个三角形，对吧？然后再具体一点的话，其实就是一个点 b 撇的运动轨迹，就是一个以 a 为圆心啊，四为半径的一个圆啊，当然这个圆的话，这个这个圆的话，当然要抛出去一个点，哪个点呢？我们把这个圆粗略画一下，好吧， 这个点要抛出去最上面这个点，因为因为这个角就是 e a b 啊，叫 e， a b 叫 e， a b 始终不能等于九十度啊，不能等九十度的话，那意味着他就不可能达到这个最上面这个位置，对不对？所以这个点要把它抛出在外，当然这个点存在不存在，其实并不影响我们做这个切啊，并不影响 啊，其中要问的这个最值问题啊。好，我们从这里把这个圆画出来啊， 但他会过这个点记啊，这就是点 b 撇的运动轨迹啊。有的同学可能还是思路打不开啊， 不太善于，不太不太善，不太什么呢？不太敢于这个发挥自己的想象力啊。因为点意在这边的时候，那其实就是这一这边一部分圆啊，所以点意在这边的时候，那其实翻的上去，就在这个圆上进行运动，当然这个点要把它排除在外，对不对？因为他不可能达到那个点。好， 这个题，然后又出现了一个终点，终点我们就想到什么呢？我们看一下啊，取 b、 p、 l、 d 的 一个终点，比如说一个点是在原上运动的，另另外一个点当然也在原上啊，是这个点 d， 他 说取这个 b、 p、 l、 d 的 一个终点，如图所示啊。取到终点 p， 遇见终点问题，我们很多时候就会想到什么呢？是不是中微线，对吧？中微线的构造其实也非常简单啊，当然 我们要求的什么呢？要求的是 pc 啊，那我们就以 pc 当成一个中微线去构造就可以了。 pc p 这边是个中点，那 c 呢？很明显，我是不是要向下做出来一个中点，对不对？就是以 c 为中点，做出来一个边啊，做出来一个线啊，所以说，比如这个点是一个 m 的 话，好吧， 好，那这个时候我们能发现， pc 的 长是不是就始终等于二分之一的 bm， 可以 吧，二分之一的 bm 啊，所以说我们要求 pc 啊，那就等于二分之一的 bm 啊， bpm 就 可以了，我们求 bpm 的 最值就可以了。 m 是 一个定点， 而 bpm 呢， bpm 的 话，是不是在一个圆上运动，这个时候那就是一箭穿心啊，一箭穿心直接过这个 m 连接 m a 啊，然后交原上于两点， 那么这个点就是最大的啊，最大的一个点，那么这边这个点就是一个最小的点，对不对？好，那么 最重要问题的话，我们就需要先求出 m a， 然后 m a 分 别加上一个半径，再减去一个半径，分别就求出了最大和最小的，对吧？好，那么 m a 怎么求呢？ m a 怎么求呢？这个边是四，这个边也是四，这个边也是四，所以说四八就一比二，比多少呢？是不是根号五，那么四比八比四倍根五， 好，四倍根五，然后呢最小值，那就是再减个四啊，最大值是不是加个四就可以了，对吧？所以最大值最小值就可以求出来了。这个题的话，其实呢，涉及到知识就是一个 啊，点圆啊，就是一个什么呢？定点定长引圆啊，就是圆的一个本质的定义啊，第二的话就是一个中位线啊，第三个问题的话，就是一个点圆，当然这几个问题的话，经常是放在一道题中去考察的啊，好， 有需要这个万威黑白卷的这个朋友可以私信我，我把这个视频分享给大家啊，这个试卷啊的这两道压轴题的话，我们就分享这么多啊，如果说据我的分享对你有所帮助的话，记得点点关注，点点爱心啊，好，当然啊，当然当然。这个题我最后是不是还没有乘二分之一啊？需要乘二分之一，对不对？ 好，所以说最后答案就是多少呢？二倍跟五，然后呢？加减二，减二，还有二倍跟五减加二啊，我们不要漏啊，对吧？不要漏啊。好，这个试卷我们就分享这么多啊，如果说对我的分享对你有所帮助的话，记得点点关注，点点爱心，下载观看我们下个视频不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。

黑白卷的白卷哪些题值得做啊啊？如果有时间就都做。如果没有时间的话选择题只用看第九题啊，填空看第十四第十五，然后解答题需要看的比较多些啊。十八 啊，这个，呃三角形全等的证明。然后十九是一个相对来说比较新的反比例函数，尤其是第二问第三问。然后二十题是一个 呃不太常规的应用题的考法，就不再是分式方程类型要试一试啊。因为有很多同学就只会做二元式方程组 还有分式方程和不等式的应用题，这种可能不会做啊，但万一考到呢。然后二十一题测高要做，二十二题用这个应用型，而函数也要做。这两道题要做是因为阅读量很大啊，要适应这种大阅读量的题啊， 要去耐心的去读题，去梳理核心的这个条件。好吧。然后二三题这个的话，呃如果有能力的话也要做一做啊。

二六年万威黑白卷。白卷夯爆了啊。哎，不对不对，其实不是很夯啊。这个试卷我自己做了一下，我觉得挺一般的啊，就是为什么说很一般呢？就这个试卷，呦呦哎。

继续来学万维白卷填空压轴。如题，以正方形 e f g h 边 e f 为边，做正六边形 a b c d e f 点 p 是 e f 的 中点， 连接 c p 并延长交 g h 于点 q。 若 ab 等于二，则 j q 的 长让你求这一小段的长。因为 ab 等于二， 所以 ef 等于 ab 也等于二。又因为是正六边形，所以角 c d e， 它是等于一百二十度的好。我们初中阶段求线段的长，一般是用在三角形里边，所以我们可以把 f g 延长，然后 c q 延长， 所以我们延长 f g 与 c q 交于一点，我们可以把它设为点 m， 然后并且连接 c e。 这个时候我们可以看到一个八字模型，所以这个 c e p 和 m f p 它是相似的。 至于怎么正啊，因为 p 是 中点，所以 p f 等于 p e。 因为因为对顶角相等，然后再加上直角，所以这两个三角形是相似的，所以这个 f m 就 等于 c e 好， 因为这个 ab 等于二，所以 c d 也等于二，这也等于二，所以我们可根据过点 d 往这个 c e 做垂线， 交于点 t 吧。所以根据勾股定律，我们可以求出 c e， 它是等于二倍根号三，所以 f m 也等于二倍根号三。然后呢，我们继续来看 这个三角形，和这个大的三角形，可以观察到它是相似的，这是典型的 a 字模型，所以 j m 三角形 j m q 相似于三角形 f m p， 所以 我们根据相似比就可以求出 j q j m 比上 f m 等于 j q 比上 p f j m 呢，它是等于 f m 减去 f j 的， 又比上 f m j q 比上 p f p f。 因为点 p 是 中点，所以 p f 等于一，我们可以把数值代入， 所以求出 j q， 它是等于一减三分之根号三， 这个作为一个填空压轴来说，他不算很难，来看一下整体思路，学会了吗？

江西中考的同学们注意了，今天带大家逐题精讲二零二六年万为黑白卷的江西黑卷， 含金量也是非常高，全是中考高频的必考题型，贴合咱们江西的本地考题。跟着我把每道题的考点解法、易错点一次性吃透， 考前精准的查漏补缺，拿下中考，稳稳上分！好，咱们话不多说，直接开始负四的倒数，倒数负四分之一吧。第一题选到 c， 第二题分母相同，直接相加二分之一的三加三 a， 三加三 a 可以 提出一个三来，就是三的 a 加一除以 a 加一约掉剩下一个三，所以选掉 e a。 第三题俯视图为俯视图，是从上往下看，是不是这四条边都可以看到啊？包括下面的四条边都可以看到吧，是吧， 那这条边能不能看到呢？当然可以，因为上面更小，下面更大，所以选到了 c。 答案 表中的数据长得又快又稳。什么叫又快又稳？稳，它是涉及到我们的方差，方差越小越稳定，那肯定是零点四最小吧， 长得更快说明是什么？平均数？平均数越大，它就长得越快，所以上面挑最大，下面挑最小，就选到了三 c。 一个三角板，若角一等于二十度， 那么角二的度数是。角一等于二十度，那么这个角就是一百八十度。减二十度，再减四十五度就是一百八十度。减六十五度等于一百一十五度。又因为这两条线平行，所以同位角相等，角二也等于一百一十五度，那么选到 b， 答案 好，选择压轴。 随着温度的升高，该电池的充电效率逐渐下降。错，它是先增后降的，当温度为零时，充电效率为百分之九十八。 好，未知未知，因为这要算，先不管它，该电池在夏季 x 大 于等于三十度，大于等于三十度，充电效率小于二十七度， 优于优于吗？并不优于吧，充电效率反而更低吧。你算错了， 该电池在温度二十七度的时候充电效率最高。那当然，顶点谁选到 d？ 答案，像这种 b 这个选项哈。要算的东西我们先不要去管它放在最后来 单向是负拍 x 平方的系数负拍吧。 分解因式，首先我能看到有二是二，我们可以先提出一个二来是二倍的 x 平方减二 x， y 加 y 平方是什么？那就等于二倍的 x 减 y 的 平方，完全平方差公式吧。 好，往下走。 假以两个施工队， 甲施工改造五千平方米与乙施工改造三千平方米所用的时间相同， 甲平均每天比乙平均每天多改造二十平方米。好，现在说什么甲每天改造 x， 好， 写到甲旁边，每天比乙多二十，那乙就是 x 减二十，因为它们时间相同，所以我们要构造一个时间的等式， 那时间的等式，那我就用甲的总量去除以甲的速度或者说效率会等于乙的施工总量除以乙的一个效率。 好，往下走，燕子小燕子 tanger 角 a d 角 a d 我 们直接找是这个角吧，那这个角我们就要找到一个直角三角形来体现这个正切值，是吧？正切等于什么？对边比邻边， 那放在这个图二中，它的对边就是一这个三角块的直角边，我们就来用 l 一 表示，可以吧， 那零边零边它是用了二的一条直角边和五的一条边，那就叫做 l 二加 l 五，可以吧？好，我们怎么去找它们的关系呢？我们要回到图一去找关系。那图一中 一的边长和二的直角边长是不是一样的？所以这个二可以替换成一，那五的边长呢？ 我们从图二中又可以发现，五的边长和六的直角边是一样的，所以你这里五的边长和六的边长应该各占了二直角边长的二分之一，所以叫做 二分之一的 l 一， 对吧？好， l 一 全部不要了，灭掉了，那就是一分，除以一加二分之一就是一，除以二分之三就是三分之二。 这种题目就是来回去看来回去看这边看完看这边，这边看完看这边，反复去看。好，十二题。在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于三， a、 d 等于六。 好，是对称点， a 撇是 a 关于 b 的 对称点 连接 a 一 撇 b， a 一 撇一，距离为一时， a 的 长为多少？嗯，这个东西我们先来画图， a、 b 为三，大概这么长， a、 d 为六，两个三，一个三，两个三， 这是选择题，这是填空题的最后一题。那肯定涉及多情况讨论，是吧？那情况在哪里？讨论的方向在哪里？关键点就在这里。点 a 到矩形长边的距离为一， 那长边的距离为一。首先我们就有三个方向，第一个方向是它与上长边的距离为一，第二个方向它与下长边的距离为一， 那与下层面的距离为一。还有第三个方向就是它在下面的时候，对吧？好，现在我们来逐一分析， a、 b 等于三等于三， a、 d 等于六，是吧？我这两条绿线就是刚好把它们切割了哈，每一份切割成一。现在第一种情况，它离上长边，离上长边为一的时候，说明， 说明我们现在点 a 的 对称点，点 a 一 撇，它是在 l 一 上的，对吧？ l 一 上我们大概画一下，就是在这里吧， 然后画一个 b 一 过来，那我连接这里，这就是 a 一 撇，那这个时候我们要去求 a 一 的长，怎么去求？ 首先我们可以知道，既然 a 点的对称点是 a 一 撇，那么我们这时候连接 b 跟 a 一 撇，这两个图形是不是应该要全等，对吧？ 应该要全等了，填空题直接不用想那么多，反正就是全等。好吧，全等的话，我这时候这一条就变成三了， 变成三，包括点 a 一 撇到长边的距离为一，那这条是一，那下面剩下的这一条呢？是二吧， 它为一，它为二。那么现在有一个问题，我分别把这两个点标做 h 和 g， 那现在 a、 e、 h 和 a、 b、 g 这两个三角形是否相似呢？ 首先它们都有一个角，叫做什么？叫做直角。另外这两个三角形全等，那这个直角是不是翻过来了，传过来了？ 这两个角相加等于九十度，这两个角相加等于九十度，那么这个角和这个角是相等的，所以这两个角相似，那这个时候我们用相似的方法来做，是最快的 相似，就有一比二，会等它的边比这条边是它是这条边吗？不是，我们要看好了，这个角对应的是这个角， 这个角对应的是这个角，所以什么呢？所以 小三角形的斜边比上大三角形的斜边，会等于小三角形的 这条直角边，就是一比大三角形的这条 b g， 对 吧？ b g 是 多少？我们勾股定律来算一下，三三得九，二二得四，那 b g 就是 根号五， 应该是这样的，是吧？这有点像我们之前学的什么一线三垂直，一线三垂直，他说一个经典的问题，就是你一定不要搞错了， 一线三垂直是用，是用来做全等的，那全等的时候，我们左边躺着的边要对应右边站着的边，左边站着的边对应右边躺着的边，大家一定要注意， 那这时候我们就把它算出来， a 一 就会等于交叉相乘删除以根号五吧，就是五倍的五，三根号五，五分之三，根号五五分之三，根号五 a 一 撇一，哈，那么 a 一 撇一其实就是 a 一 了，对吧？这就是第一个答案。好，往下走第二个答案，第二个答案， a 点是在哪里？ a 点是在 l 二上， a 点在 l 二上的时候呢？ 它大概是这样的，是吧？那这样投影点大概在这里， 那同样我们依然连接 h， a 一 撇，还有 b， a 一 撇， 还是一样的吧。这两个三角形全等，那这个角是直角，这个角是直角，那这两个三角形仍然相似，对吧？依然标 h， 可以 吗？ a 一， 现在的一在这里， a 一 撇 e h 和 a 一 撇 b g 仍然相似，仍然相似的话，那我这条边还是三咯，但是下面变成了一， 这条边是三，下面变成了一，那我们要的 b g 就 成了多少啊？就成了根号吧， 对吧？上面成了二，那我们现在求 a 一 撇一，依然是小三角形的斜边比，大三角形的 斜边会等于上面躺着的边比上下面站着的边根号八，对吧？ a 一 撇一就等于六，除以根号八就等于 六倍，它本是二倍根号二，那就是根号二分之三，那就是根号二分之三，那就是二分之三倍根号二吧， 二分之三倍根号二。这是第二个答案，那第三种情况呢？是吧？它可以在下面，那这里有同学就会问，为什么它不可以出现在上面呢？你既然可以在下面，为什么不可以在上面？为什么不可以在上面？ 比如说在这一条直线上，它也是距离长边距离为一啊。大家想，你如果要以 b 一 为，为什么为这个对称轴，你做对称点，你可能飞到上面去吗？ 肯定是不可能飞到上面，他只能说往下走啊，往 a 的 右下走啊，不可能往 a 的 上面走，对吧？所以这种情况不存在，所以他要往下走， 那往下走怎么走呢？大概是走到这个位置，走到这个位置， 走到这个位置的话，那这时候我们的投影点大概在这里了， 投影点大概在这里，那这时候我们仍然连接，仍然连接， 把它画标准一点，好吧，连接完之后，直角还是跟过来吧。直角跟过来，我们依然要干嘛？依然要去找相似三角形，找相似三角形， 这时候的相似三角形怎么去走？这个加这个等于九十度，这个加这个等于九十度，那还是一样的吧。好，那这时候的这条边， 这条蓝色的边，上面这一条斜边大三角形的斜边是三， 这一条边是跨了一个三，再往下走的一四， 那这一条边是一，我们现在可以来求这条边，对吧？好，给了我们 这边左边三角形的斜边和短直角边，我们能不能求出长直角边一个勾股定为根号三的平方，减一的平方是不是根号八？ 为什么要算，算出长直角边呢？因为我们右边这个三角形只只得到长直角边，短直角边不好求啊，对吧？所以这时候这个点叫什么？这个点叫 e 点，这个点叫 a 一 撇， 这个时候 a 一 撇一去，比上左边三角形的斜边，左边三角形的斜边，我们说了跟 a b 永远是一样，就是三会等于 右边三角形的长直角边比上左边三角形的长直角边比上根号八，根号八就是二倍根号二，八等于根号二分之二就是根号二， 那么 a 一 撇一就是三倍，根号二百。好，所以最后有三个答案， 五分之三倍根号五，二分之三倍根号二，三倍根号二。好吧，至于为什么不能往上面走，刚给大家解释了，它投影不可能投在上面，它只能往右下走。 好，接着往下走。计算任何数的零次方都为一负一加三负四的绝对值，加四等于七减一 等于六吧。 已知实数满足 a 加 b 等于二，求 a 平方减 b 平方加四 b 的 值。 那你这里既然有个 a 加 b， 我 这里一眼看到了平方差。公式， a 加 b 乘以 a 减 b 加四， b 直接把二倒进带进去先 两倍的 a 减 b 加四， b 会等于两倍的 a 减两倍的 b 加四个 b 会等于两个 a 加两个 b 等于两倍的 a 加 b 等于二乘二等于四。好，往下走 解不等式。二 x 大 于负一加三等于二，那么 x 大 于一， x 减二乘以三小于 x 加二，那么三 x 减六小于 x 加二，那么二 x 小 于八， x 小 于四，最后取一个交集， x 大 于一，小于四， 往下走，巴拉巴拉 开展啊。随机，他都说了随机，那不就是随机吗？啊？都说随机，那不随机。树状图或者列状图 均为算经啊。看一下，算经，一个算经，两个算经，一个中，统统中 啊，说明三个里面有两个算计呢，一个桶中。那我们先来分一下，先写七年级的，再写八年级的。七年级他可能选选择周什么什么，对吧？也可能选择孙什么什么，也可能选择算什么什么。 那八年级呢？也有三种啊，周孙算是吧？周孙算，他也选周孙算 哪两个是算经？周和孙是算经， 他要七八年级都为算精。那首先你七年级先满足算精先吧。那周孙、周孙加周孙 总共有几种？周孙加周孙总共有四种吧。好，满足条件的有四种。一共有多少种？一共是有到了九种，所以它是九分之四。 无刻度直尺啊，无刻度直尺，我后面会花一节课的时间来给大家专门讲解这个内容。无刻度直尺，因为这个题目是必考的。 把无刻度直尺分为两种，一种是没有网格线的，一种是像这种有网格线的。你像这种做 a、 c 的 高高，那就是做垂线嘛，做垂直嘛？ 做垂直有个原理，比如说你做 a、 c 的 垂线，你做 a、 c 的 垂线，你要做它的垂线，你就要想 a、 c， 它横跨了三，横跨了三，竖跨了四，你要做它的垂线，你就反着来， 它是横三横跨三，竖跨四，横跨三好吗？ 但是它是高 b、 d 已经给了我们一个点，那么我们所有的出发点都从 b 开始啊。 b 横跨四， 横跨四，跨到这里吧，竖跨三，跨到这里吧。好，把这个矩形给它补齐，补齐之后连接这个对角线，这个对角线就是垂直了，就是垂直了。这个点是 d 吧， 那就是垂直啊，垂直。哦，这个点不是 d， 交点才是 d， o 交点才是 d。 第二问，做角 c、 a、 b 的 角平分线，你要做角平分线是吧？做角平分线，我能想到什么？ 我能想到菱形，因为菱形的对角线会平分角，但是我看这个图，我要画一个菱形， 并画不下，画不下，所以我可不可以补一半的菱形，是吧？补一半的菱形， 看这条边等于三，这条等于四，那这条是不是五，那这边是五，那我把 a、 b 延长，把 a、 b 延长，延长到五，它已经有三了，我再延长二就到五了。 到五的情况下，那我现在是不是相当于画了一半的菱形？因为菱形的特性嘛。画了一半的菱形，我是不是可以先连接对角线？ 连接对角线，我们可以一眼看出来，这个点叫做 c、 h 的 中点，是吧？都是横一竖二。 那好，那我现在又可以替换成垂直平分线来考虑了。垂直平分线 a、 c 等于 a、 h 啊，等腰三角形，等腰三角形的平分线就是垂直线，那我直接一连是角平分线吧。好吧，往下走， 反比例函数经过 e、 a 和 b， c 的 中点， d 点 d 的 坐标为什么用含 a 的 代数式来表示？哦，那 c 点是 e、 a， 说明 c 点的重坐标是 a， 那 么 b 点的重坐标是零， d 为 b， c 的 中点，所以我们可以知道 d 点的重坐标为二分之 a， 这个没问题吧？ 好，它的重坐标为二分之 a， 那 它横坐标为多少呢？我可不可以先用它带进去，把 k 表示出来？ a 等于一分之 k， 那 么 k 就 等于 a 八，它的解析式就是， y 等于 a 除以 x， 那 我再把二分之 a 反套进去， 二分之 a 等于 a 除以 x， 那 这时候 x 就是 二，所以它的横坐标就是二，重坐标就是二分之 a， 好 吧， 那就是二，二分之 a， 若 o， c 等于三，它要等于三， 那等于三，那我的 a 不 就直接出来了吗？是吧？勾股定律，根号一的平方加 a 的 平方会等于根号三的平方， 那么 a 平方是不是八？ a 就是 根号八了，那 a 是 根号八，我把它补上去，好吗？ 那我求 k 的 值，那我就是把一二倍根号二这个点带进去，好吧？二倍根号二等于一除以 k， 那 k 不 就是二倍根号二吗？那 k 是 二倍根号二，那我这个反比的函数就是 y 等于二倍根号二除以 x 了。你又要求 b 的 坐标，求 b 的 坐标， b 的 坐标，它横坐标其实已经知道了， 包括我们的 a 也知道了。 a 等于根号八，那我还要还要去套吗？ a 等于根号八，等于二倍根号二，那 d 的 坐标不就是二二倍根号二除以二，二二根号二吗？是吧？ 哦，我这求的是 d 的 坐标，我要求 b 的 坐标，不好意思，求 b 的 坐标，那我们就要来做一个依次函数喽， 二根号二，一，二倍根号二啊。要做一个一次函数，一次函数的话， y 等于 k， x 加 b 来一个方程组。 二倍根号二等于啊，前面出现了 k， 我 们这时候就来个 k 一 好吗？ y 等于 k 一 加 b， 根号二等于二。 k 一 加 b， 那 我一二方程组都会解吧？用二去减一可以吗？二减一 是不是负根号二等于 k 一 啊？好， k 一 算出来了，我随便套一个套到这里去， 那 k 一 就是二倍根号二等于负根号二加 b， 那 b 就 等于三倍根号二。好，它解析式就出来了，就出来了，就是 y 等于 k 是 多少？负根号二 x 加三倍根号二，对吧？它这时候要干嘛？要到 b 点， b 点的重坐标是零，那它直接等于零，那说明 x 是 不等于三呢？好，所以 b 点坐标就是三零，好，往下走。 某天早晨啊，像这种东西完全可以不用去读，不要浪费时间，直接看问题，先看问题再去找。 某天早晨，它恰好摄入了七百千焦的能量和一十一点九克蛋白质，我们可以一眼扫一下这个图， 能量只有一个来源，蛋白质也只有一个来源，说明我们只用看前两个就行了。只用看这两个就行了，是吧？那也是一个典型的方程组 啊。求早餐牛奶及坚果的数量。那我们牛奶 x 坚果 y， 牛奶 x 坚果 y 两个方程组啊。二百八十， x 加二百一十， y 会等于七百，直接给它化解好吗？ 直接不要，直接除以一个十加二十一， y 等于七十，那第二个是什么？ 三点五 x 加四点二， y 等于一十一点九，大家看着也不舒服，我直接给它扩大四倍三十五 x 加四十二， y 等于一百一十九。我们可以很自然地发现 这里存在一个倍数关系，二十一和四十二，所以我们要把第一，要把一四乘以二，一四乘以二就是五十六， x 加四十二， y 等于一百四十，好，然后用三去减掉啊。五十六减三十五等于二十一， x 等于 二十一，那么 x 就 等于一， x 等于一， x 等于一的话，随便套哪个就套套这个。好吧，二百八加多少啊？等于七百加四百二吧，那说明 y 等于二好， y 等于二，所以这里 摄入牛奶，一盒坚果呢？一、什么？一袋？ 初中生，每日脂肪摄入量啊，那他从其他食物中又摄入了四十克脂肪，但这天是否超标呢？又摄入四十克， 那我们来找脂肪，脂肪是第三行，我们只用看第三行，因为他喝了一盒牛奶就是三点五克脂肪，两袋坚果就是加二乘以，我们看一下能等于多少啊？三点五加上八 六二，二十六点八会等于八，加五等于十三，三十点三会等于三十点三， 三十点三，又从其他东西里面吃了四十个，那就是七十点三，七十点三，是不是大于五十五，小于七十三呢？那没，没少，也没多啊，没超标，非常好，非常好。 好往下看，等腰直角三角形 a、 b、 c 啊，动点要干嘛？ 角 b、 a、 c 等于九十度，等于九十度。等腰直角三角形呢？九十度，四十五度， 四十五度。第一个问，什么叫 a、 d、 c、 a、 d、 c 啊？我们直接一看， a、 b、 c、 d， 它是什么？内接四边形，内接四边形， 内接四边形。干嘛？它的对角会互补啊，对角互补啊，什么叫对角？你对面的角啊，就是 a、 d、 c 啊，你是四十五度，那么它不就是一百三十五度啊，这叫对角互补。好吧。啊，这里有度数，不用度数了， 这叫做对角互补。好，正切线连半径，正切线连半径，是吧？都缩烂了。正切线连半径，这是谁呀？嗯，图二， 正切线连半径给了什么条件？ a、 d 等于 dc， a、 d 等于 dc， 然后呢？ d、 e 垂直啊，又给了一个垂直，就要我们求正切线，那我们是不是要求这个角是直角？ 方法有很多，对吧？你可以证明这两条线平行， 那要证明这两条线平行的话，我就要证明这两个角相等，同位角相等。好，我们来看到底怎么去做？ 因为它是等腰直角三角形是吧？所以它有垂直平分线。那我连接 l， 那 我连接 l， 这里是不是垂直的啊？包括这个角四十五度，四十五度，那这个角， 这个角也是四十五度吧，这个角也是四十五度。另外它告诉我们什么 a、 d 等于 d， c 啊， a、 d 等于 d， c， 那 o， a 等不等于 o、 c 啊？ 都是半径呢？肯定等于啊。那 o、 d 等不等于 o、 d 啊？那不废话，公共边的。那说明什么？ 三角形 a、 o、 d 会全等于三角形 c、 o、 d， 它就是这么硬，边边边啊。三 s， 那说明这两个角相的这两个角分九十度，是不是各分四十五度？那四十五度，四十五度，四十五度四十五度，那是不是同位角相的两只线平行，所以 a、 b 它要平行， d、 o 它要平行。 d、 o， 那 我同旁内角是不是互补啊？那互补，互补它就成直角了，互补它就有直角了，所以它就是切线了。好吧，就这样做 好，若半径为二，半径为二，他想干嘛？求图中阴影部分的面积 求阴影部分的面积，那我们肯定要连这里，是吧？先求一个四分之一圆的面积，然后减掉这两个三角形的面积。 那四分之一圆的面积，那我先算圆的面积喽。 pi r 的 平方等于四倍，但是我要的是四分之一，那我要的就是 pi， 是 吧？要四分之一啊，这不四分之一的圆吗？ 那 pi， 然后呢？ 然后我们要干嘛？这个三角形面积反而好求一点，因为它等于二，等于二，二得四四除二等于二，减个二先再减谁呢？减这个三角形面积，这个三角形面积。我们刚说了， 刚说了这两个三角形全等，这两个三角形全等，那， 那这两个三角形全不全等？那肯定全等边，公共边角是吧？都四十五度。那么咱们就是说 我要求的 a c 这条边是不等于二倍，根号二等腰直角三角形的斜边等于一直角边的根号二倍。记住， 那根号二，那我这里平分了，那每一半，哦，不用算，根本就不用算，我们要算的是这样， 我们要算啊，这个焦点我们叫做 h 点，好吧，方便大家辨认。我们现在要算的，我们要的 是吧？要算的是 s 三角形 a d c s 三角形 a， d c， 它我们需要底和高，底和高，其实底我们已经知道了，底是 a c， 我 们要的是高 h d 要求 h d， 我 们就要求什么，我们就要求 o h， 因为 o d 减 o h 会等于 h d， 知道吧？ o d 之间就是半径，那 o h 怎么求呢？ o h 我 直接用个等面积法好吗？等面积法， 二分之一乘二乘二会等于？我先用这个当底 o c 当底 o a 当高，我再用 ac 当底， o h 当高， ac 知道吗？二倍的根号二， o h 知道吗？不知道啊，就是我要求的，那么 o h 就 等于啊，这里还有个二分之一，别漏它， 二分之一不要了，二不要了，那 o h 是 不是根号二？根号二乘根号二等于二， o h 等于根号二，那么 r 等于二，所以 h d 是 不是二减根号二？ h d 等于二减根号二， 那它的面积好求了吧？二分之一呀，乘以 a， c 是 多长？ a、 c 是 二倍根号二，乘以二倍根号二， 再乘以谁呀？ h d 是 二减根号二，这里二不要了，那就是二倍的根号二减二。好，放上来就是减二倍，根号二减二，那最后就是最后，就是 最后，就是拍减二减二倍根号二加二，减二，加二没了，就是拍减二倍根号二。好吧，还是比较好处理的， 我们接着往下走， 好，要求 cbn， 要求 cbn 的 度数，我们就要求 铁的这个角的度数是六十五度，所以我们知道他的零补角是一百一十五度，包括这个 这个多边形是一、二、三、四、五边形、五边形，他的内角和就是三乘一百八，等于五百四十度。现在他已经有了三个九十度，就是二百七十度，那就减二百七十度，再减掉一百一十五度，会等于 等于二百七减一百一十五等于一百五十五度，一百五十五度是这个角，所以它的零角就是二十五度。好，没问题。那第二问，为什么？若 bc 等于一点五， b、 c 等于一点五，要求正方形的边长，要求正方形的边长。我们给到了 a、 b 给到了 b、 c， 还给到了一些六十五度，所以我们要把六十五度用起来，六十五度在这里，那我给它延长，是不是有个对顶角延伸过来呀？ 延伸过来。其实我们这时候这个点叫做 h 点，我们这时候把 h b 求出来就行了，因为把 h b 求出来就行，因为 h b 加 b， c 就是 什么？就是它的边。那 h b 怎么求呢？ h b 不 就等于 ab 乘以 三亿六十五度吗？就是二点九乘以九十一啊，一五， 二点二七五吧，二点二七五，加上 b c 一 点五，那就是三点七七五了。那最后保留一位小数，就是三点八，边长为三点八。三点八，什么三点八米呀？三点八米呀， 好吗？三点八米了，它现在要求最大高度，最大高度的话就是低点的到 m n 的 距离。因为所有的都是六十五度，所以我们尽量往六十五度， 尽量往六十五度这边去靠。好吧，我会选择这样去做，先算这一段长，因为这个可以通过这个正弦算出来， 然后再把这边补齐，做个直角过来，因为这一条可以通过它的余选择出来，这一条可以通过它的正选择出来。所以我们现在是不是关键点要算什么？关键点？要算出 e a 来，要算出 e a 来。 其实你要算 e a， 你 就要算 a h， 因为边长减掉 a h 就 等于 e n， 那 a h 怎么算？ a h 其实就是 a b 的 边就是 b 乘以 cosine 六十五度了，对吧？ ab 乘以 cosine 六十五度，是不是 a h， 那 ab 是 多少呢？ ab 是 二点五， cosine 六十五度是零点四二， 那零点四二乘以二点五， 零点四二乘以， 那就是一点零五吧，一点零五多少减一点零五，记住哈，这里我们不能用三点八去算它，要不然偏差会越来越大，我们要直接用第一步的精确数值去算 三点七七五，减掉它。是不是二点七二五啊？这是谁的长？这是 e a 的 长，二点七二五，是 e a 的 长。 既然二点七二五， e a 求出来了，那 e m 是 不是二点七二五，再乘以它的正弦零点九一啊？对吧？这时候就是一五得五， 那就是二点四七九七五，这是 em 的 长， em 的 长等于这么多，我们还要知道 eg 的 长， eg 的 长，那就好求了，直接用边长乘以一个零点四二就行了。边长是这么多，乘以一个零点四二， 那就是 八，那就是一点五八零吧，是什么？ g e 的 长，那总体的高度是不是两个相加？两个相加的话是五七， 整个相加的话是二四七九七五，加 八 一十五，一十六，一十四，四点零六五二五，四点零六五二五， 四点零六五二五，那么就是精确到零点一，那就四点一，好吧，四点一，这就是高度。四点一好，往下走， 直接看问题好吗？直接看问题， a 的 值为多少？ a 的 值啊。行动前，行动后，那人数，肯定总数是不会变的，我们看总数，三十四，十一， 五十，总共有五十个人，五十个人，那人数肯定不会变喽。二十三十六，四十五，那么它就是五了，剩下五个人， 那护眼前中位数在哪？中位数在哪呢？我直接切这一半，这一半到了二十四，二十四，再走一个，走到二十五，所以选 c。 那 行动后呢？行动后，我直接切这里一半，这边是来到了二十七，所以他一定在 d 组，对吧？中位数在哪？那肯定是二十五，这里头二十五，你看二十五在哪边你就选哪边嘛。 啊，谈谈哇，画直线图画直线图。行动前， 行动前的人数是 a 的 话，它是八人， a 是 八人， b 是 十六人， c 是 十二人， d 是 九人，九人在这里， 九人在八到十之间，到五人就在四到六中间。好，这是这是他的直线， 然后呢？是谁的？是行动后的，行动后的就是三 六一十四，一十六，还有一十一是十到十二之间，看这里吧，好，看好了，他自己用虚线连的。虚线连的好吗？大家一定要用尺子量哈，不要跟他像我一样，我是没有尺子。 八百名学生不少于一点五不少于一点五，那就是大一等于一点五。那一点五是谁啊？一点五是一点五，大一等于五的五是一跟一，一跟一他是谁啊？他是日经货啊。行动后的结果行动后，哎， 行动后啊行动后，那就看这个图啊，这个图，行动后，那就是第一，第一占了二十七，二十七就是五十分之二十七，那总数是多少？八百乘以五十分之二十七就等于 二十七，去乘以一个一十六，二十七乘以一十六等于多少？来算一下吧。六七，四十二，二六一十二，一十六，一十一，二 四百三十二。那最后要四百三十二个人是吧？四百三十二个人就行了。好，往下走， 往下走。 弹力球，一个弹力球，弹弹弹。 如图，出手点 p 与水平面的垂直高度说明它是什么一点七呢？什么一点七？ 那于出手点点 a， 以出手点的水平距离为零点五，水平距离为零点五，说明点 p 就是 负零点五， 那说明 a 就是 零。什么东西比出手点垂直高度高？零点八就是一点七加零点八，它就是二点五，这是 a 的 坐标。 那么再与出手点啊，它的顶点与出手点 差一点五，那就是负零点五，它就是一。什么东西？那距地面三，那就是一三。 然后说 l 一 的函数解析式是 y 一， 这是顶点式哈，顶点式，顶点式就是 h k， 这个就叫做顶点好吗？那对应一跟三，那 h 就是 一， k 就是 三了 啊。所以我们可以补齐一下，那 y 一 就等于 a 倍的 x 减一平方加三，随便带一个点吧。带零二点五好吗？ 但零二点五肯定好啊，那零的时候就是 a 加三等于二点五，那 a 不 就是负二分之一吗？ 那 l e 的 解析式 y e 等于负二分之一的 x 减一的平方加上三，好吧，这是第二位 狡猾。在弹力球的方向点 c 放着一个垂直于地面的平台，弹力球落在平台上的点 b 后，向出手方向以。呃，它弹到这里反弹了，往下弹 好。 b 点距离地面高度为一，那说明它的动作表是一喽。什么一呢？什么一？我直接套回去可以吗？那说明 这一部分要等于一，减三要等于负二，这一部分等于负二，那说明 x 减一的平方要等于 都乘一个二，好吧，乘一个负二，那就等于四，那么 x 减一等于。 这你一眼看上去， x 就是 正的吧？那 x 就 等于 x 减一等于二就行了。不是等于负二，那 x 就 等于三好吗？ x 等于三，那么它就是三一好。这个点算出来了， 开口大小和方向相同，那么就是 a 一 样，说白了，所以我们点 l 二的解析式啊，还说了，在距离出手点， 距离出手点的二点五米处，达到最高出手点水平二点五，那就是负零点五加二点五，那这个点的坐标我们知道了，是二什么东西吧？二什么东西？ 那既然 a 知道了 l 二的解析式，我们可以写出一部分来， a 还是一样负二分之一， x 减什么顶点坐标知道了二，但是不知道 k 是 吧？那我们带进一个三一去吧，把三一带进去。好吧好吧，带进去，三减一， 三减二等于一，一的平方就是一嘛，负二分之一加 k 要等于一，那么 k 二就等于 什么二分之三了，所以它的解析式可以写出来了，然后可以完整的写出来了，等于负二分之一， x 减二的平方加上二分之三，对吧？最大高度，而顶点是最大高度，不就是二分之三吗？ 对吧？那现在说半径为零点二的圆形篮子，高度忽略不计，那就是左手零点二，右手零点二吗？就是这么大字，这，这个篮子摆在这里，你反弹过去能不能进篮子？所以我们的关键点就在哪，关键点就是 这个抛物线与 x 轴的交点会在哪里，对吧？因为它已经我们已经知道了这个解析式，所以我们直接令它等于零，是不是可以求出它与 x 的 交点？它等于零的话，那负二分之一 x 减二的平方等于负二分之三， 那所以呢？都乘以一个负二好吗？ x 减二的平方就等于三， x 减二等于正负根号三，那么 x 等于 二加根号三，或者 x 等于二减根号三。这一眼看过去，我们要考虑的肯定是左边这个点了，左边这个点应该就是这个吧？这个不用考虑这个，这个是在这边的这个点， 这个才是这边的这个点。好，我们就现在来比较。二减根号三到底有多大？到底有多大？我们知道根号三，它是小于一点八的， 对吧？小于一点八，那么二减小于一点八的数是不是大于零点二？是不是大于零点二？ 它总共才有零点二，你这个只要大于零点二，是不是在框子的外面？大于零点二要在框子的外面。所以它会不会落，落入篮子内呀？不会落入篮子内呀？不会的，不会的，不会落入篮子内好吗？ 好，最后一题。 最后一题。 一是移动点啊，角 e、 a、 d 等于角 b、 a、 c， 那 说白了，我们就这两个角相等，因为中间是公共角， a、 d 比 a， 一 会等于 a、 c 比 a、 b， 当角等于六十度， m 等于一是 m 等于一，说明整边三角形呢？六十度嘛，等于六十度，六十度 说明这两条也相等。那 a、 c、 d 不 就是 a、 b 一 吗？不就是六十度？ 就这如图二，当阿尔法等于九十度时，阿尔法是什么东西？这个角等于九十度的时候， m 等于 m 又等于一，那它还是等于三角形四十五度吧。啊，四十五度吧， 求谁的度数呢？求 a、 c、 d 的 度数，那这两个不还是全等三角形吗？啊，全等三角形啊，角边边对吧？角边边的，所以这儿还是四十五度。 这么简单。求证四边形， g、 e、 c、 d 是 矩形，那我求证你是矩形，矩形我就要有直角了，我要找直角，我来找直角吧，因为这个角 和这个角是相等的，因为这两个三角形。哪两个三角形？我写一下，好吧， a、 b、 e 啊，会全等于三角形 a、 c、 d 啊，所以这两个角都是四十五度，包括这个角等腰直角。三角形四十五度，所以这个角垂直了， 这个角垂直的话，有什么用呢？这个角垂直，我们继续找，我们说这条边 是不是会等于这条边全等的，包括什么这条边呢？三角形 b、 g、 e， 它是一个等腰直角。三角形， 两个直角出来了，这两个不平行吗？ 平行且相等，那说明它是平行四边形。 平行四边形，那么加一个直角就行了，加一个直角就行了， 对吧？那没必要去找第三个直角。平行四边形，加一个直角，那它就可以蔓延，蔓延，蔓延，四个角都是直角，所以它就成矩形了。好吧，我们直接看第三问， 在图三中，落角 a、 b、 c 等于四十五度，好，一个四十五度，然后一个垂直，那这也是四十五度，那根据题意，这也是四十五度，是吧？相差了这么多， 求证。 h、 d 乘 a、 b 等于根号二 h 乘 a、 b。 这种东西一看就是相似，对吧？一看就是正相似的了。乘积等于乘积， 我们把它打回原形就是什么？打回原形就是 h、 d 等于除以什么等于 什么？除以 ab 了。那具体根号二 a、 h 放这里还是放这里？我们不知道，我们先这么摆，先这么摆着看，让我们有个方向是吧？我们的方向是用相似三角形去做。 那刚说了一下，解出了这么多个角，那我们题目还接着用了 a、 d 比 a、 e 等于 a、 c 比 ab， 它们这个成比例关系。这些东西成比例关系，那说明什么？ 说明它们相似啊，说明它们相似吗？ 三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 c、 d 是 相似的， 会两两两组边成成比例关系。相等，那说明这个角也是直角， 这个角也是四十五度，哎，对吧？也是四十五度。 那这两个相似的话，还有其他的东西相似吗？当然有啊， 这两个角各加一个公共角，是不是三角形 abc 也和三角形 a、 e、 d 相似，这两个三角形也相似。 好，那，那说到这里还有没有其他相似的东西？或者说我们能从前面两个相似得到什么结论吗？第一个相似，我们能得到角相等。第二个 a、 b、 c 和 a、 e、 d 相似，我们可以知道 这个角等于四十五度。好，我现在把所有的四十五度角涂成绿色，四十五度，四十五度，四十五度，四十五度，四十五度， 四十五度， 对吧？那是不是我们最后可以发现，其实角 d、 a、 c 这个角是和角 b 相等， 这个角是和它相等，所以最后我们可以得出另一个相似三角形 a、 d、 h。 为什么要找这个三角形？因为这个这个等式里面涉及到了 a、 d、 h 这个三角形里面关键的两条边呢？一个 h、 d， 一个 h， 所以 我们我们要往这边去靠， 所以我们可以发现 a、 d、 h 它其实是和三角形 b、 c、 a 也相似的， 是吧？和 b、 c、 a 也相似。 a、 d、 h 和 b、 c、 a 为什么相似呢？有角啊，有边呐。角是什么角？ d、 a、 h 和 abc 一个角，是吧？是不是相似？ 所以它们两个三角形相似。之后， a、 d、 h 和 b、 c、 a 这两个三角形相似。首先有什么我再讲一遍，我讲清楚一点，大家肯定比较模糊，听到这里 再讲一遍啊，你要相似，其实你找到两直角相似就行。首先这个角和这个角都是四十五度吧，没问题吧？ 另外我们刚证明这里是垂直，这个角也是四十五度，这个角四十五度，没问题吧？这个角四十五度，那这个角也是四十五度吧， 这个角也是四十五度，所以你这时候会发现四十五度加这个角 会等于四十五度加这个角，为什么？因为它们剩下一个对顶角，所以这两个角我们不知道等于多少度，但是我们知道它们相等，我们知道它们会相等这两个角， 这两个角会相等。那四十五度加这个红色的圈圈角是不等于一百八十度减它，那同样的四十五加圈圈角是不是也等于 一百八十度减它，所以这两个角也相等。 所以最后就说 a、 d、 h 等于 b、 b、 c、 l， 因为它们一个角相等，两个角相等，三个角相等， 对吧？所以它们相似啊。相似我们就可以找到最终的 b。 什么？ a、 b？ 大三角形的 a、 b 比上大三角形的 a、 c 会等于小三角形的 h， a 比上小三角形的 h、 d， 对 吧？除了 a、 c 没用，所有东西都有用。 那我们再看一下 a、 c 和 d、 c 到底是什么关系？ 这个角是直角啊，这个角是四十五度啊。三角形 a、 d、 c， 它就是一个等腰直角三角形， 是吧？等腰直角三角形，它的什么？它的什么？它的斜边等于直角边的根号二倍。那好，那 a b 就 除以一个根号二倍的 dc 是 不是等于 h a 除以 h d 啊？好，现在所有的东西都出来了， ab 有 了， h d 有 了， h a 有 了，根号二有了， dc 有 了，那答案不就出来了吗？我们再把它交叉相乘， ab 乘以 h d 不 数是等于根号二的 dc 乘以 h a 吗？ 好吧，好，结束。

好的各位同学，大家中午好。今天中午呢，金老师给大家介绍一道，就是刚出的二零二六年陕西中考数学冠为白卷的一道圆的综合证明题。 好吧，咱们先看题啊，说是如图，已知三角形 abc 内接于圆 o， 而且呢， ab 等于 ac， 这是一个等腰三角形内接到这个圆 o 里面了，然后也就说点 a， 点 b、 点 c， 三个点在圆上，对吧？然后呢，连接 c、 o， 呃，并延长交圆 o 于点 e， 然后呢，再把 a、 e 连接或点 b 做 b， d 垂直， a、 c 于 d， d 是 一个垂足，对不对？那我们看一下， 这里是不是一个直角啊，对吧？然后呢，这个呃 b、 d， 它又这个交 c， e 于点 f， 对， 交于点 f 在 这。那我们先看第一，问，它证的是谁呢？让我们求角， a， c、 e 等于角 d， b、 c。 我 们把 a、 c、 e 先找到， a， c、 e 在 这呢， a， c、 e 在 这，然后 d， b、 c 在 哪？ d， b、 c 在 这。哦，求这个呢？那怎么求呢？怎么证明呢？ 你看啊，我们都知道在圆里面直径这条直径，这条弦所对的圆周角是九十度，也就是说，你看这个 c、 e 肯定是直径了，因为它过圆心 o 了吗？对吧？也就这里是一个直角，然后呢， d， b、 c、 d， b、 c 的 话，呃，这个角它也是在一个直角三角形里面，在这，这个 对吧？它俩都在一个直角三角形里面的，那我们看一下这个，呃， a、 c、 e 角 a、 c、 e， 它是谁呀？它是不是角 e 的 余角呀？它是不是这个角的余角？咱们假设这个 a、 e、 c， 如果设它是一个 x 的 话，那 a、 c、 e 是 不是九十度减 x 呀？对不对？ 对吧？好，那我们再看一下 a、 e、 c 这个圆周角和哪个圆周角相等呢？是不是和 a、 b、 c 这个圆周角相等？也就说 a、 b、 c 这个圆周角它也是 x， 但是 a、 b、 c 这个三角形是个等腰，是不是一个等腰？然后 a、 b、 c 如果是，它的底角是 x， 它的左底角是 x， 右底角是不是这个 a、 c、 b 这里也是一个 x 呀， 对不对？然后你看在直角三角形 bdc 中，这个 bcd 是 x， 那 dbc 是 不是就是 x 的 与角呀？这角 dbc 它也是一个九十度减 x， 那 我们俩都是九十度减 x， 那 我俩肯定是一个相等的呀，对不对？肯定是一个相等的呀， 这第一问就出来了，对不对？用的是什么呢？用的就是等角的与角相等呀， 对吧？因为 bbc 是 角 a、 c、 b 的 余角，然后呢，角 a、 c、 e 又是谁？又是 abc 的 余角？那 abc 和 abc 相等，因为等于腰嘛，左底角等于右底角嘛，对不对？好，这道题咱们 第一问就出来了，对不对？好，把它整个它的，咱们看第二问，他说单点角 bac 是 一个二分之二十一，哎，那我们我们看一下这 bac 在 哪？ bac 在 这哦， bac 在 这呢？ 那 oc 是 一个十，意味着半径是不是就是一个 r， 就 等于一个十，对不对？半径就是个十，求 o、 f 的 长呢？ o、 f 就是 点 o 和点 f 两点连成一个线段的一个值。那这个题怎么看呢？你看 b、 a、 c， 咱们找一下 b、 a、 c 和哪个角相等呀？ b、 a、 c 和哪个角相等？ b、 a、 c 实际上是一个圆周角，它是哪个弧所对的圆周角呢？是 b、 c 这条裂弧所对的圆周角。那你看 b、 c 这条裂弧所对的另一个圆周角在哪呢？是不是在 b、 a、 c？ 在 b、 e、 c 这块，我们把 b、 e、 c 这个 b、 e 连成， 对吧？把 b、 e 连成，那你看 b、 a、 c 和 b、 e、 c 是 不是都是一个同弧所对圆周角也就意味着它们两个的度数相等，那是不就是平行角？ b、 e、 c 就是 一个二分之根二十一啊，对吧？然后你看这个三角形 b、 e、 c 是 一个什么三角形？因为 c、 e 是 一个直径，直径所对的圆周角是多少度？九十度， e、 b、 c 是 九十度，那也就意味着这个 b、 e、 c 它是属于是对比零，是不是一个 b、 c 比上一个 b、 e 啊？对不对？也就 b、 c 比 b、 e 就是 一个根二十一比二，那这样的话，我们设一个这个 b、 e、 b、 e 如果是个二 x， 那 你这个 bc 是 不是就等于一个根号线二十一 x 啊？对吧？是不是？好， 那我们看一下这个，那你看整个我们能不能把这个 x 算出来？那你看这是个直角三角形，满足勾股定律啊，对不对？勾股定律的话，那是不是就是 b、 e 方？你看你在这个直角三角形 bc 里面，两个直角边的平方的和， 就等于一个斜边的平方， c、 e、 c、 e 是 直径呀，半径 o， c 是 十，直径就是二十，也就意味着 二 x 的 平方加上一个根二十一 x 的 平方就是一个二十的平方，对不对？ 那我们把这个 x 给它解一下，那你说是四 x 的 平方加上一个二十一 x 的 平方，就等于一个四百，对不对？二十平方是四百，等于说二十五 x 的 平方是一个四百， x 平方是几？四百除以二十五是一个十六，对不对？那 x 就 等于一个正负四，但是 x 是 一个边长呀，边长不可能是负数，所以说负四舍，那 x 就 等于一个四，对不对？这就是勾股定力妙用。呃，各位七下的学生，你们马上就要学八上了，八上第一单元就是勾股定力。勾股定力它本身比较简单，就是直角三角形当中， 嗯，直角边的平方加起来就等于斜边的平方，就这么一一个公式。但是他的用途非常广泛，在这里会用你，等你上了高中，你在立体几何里面你也会用到的。 而且呢，他不单单在直角三角算边长，他有时候在让你算线段的最直的时候，比如说垂线段最短，垂线段最短，让你算垂线段的距离的时候，也肯定要用到勾股令里的。所以说勾股令大家一定不要掉以轻，他的题型是非常多的，对吧？勾股令里考察范围非常广， 特别是在呃，压轴题里面，你看中考的压轴题里面，勾股定律算边长，那就是很频繁的要用，有的题你要勾股定律要用好几次，而且勾股定律和这个方程的这个思维联系在一起，它是一个解析的利器，对吧？好，各位同学，咱们继续。 你看，我们把 x 算出来以后，那是不是意味着这个 b e b e 就是 一个四倍的根二十一，对不对？ 我们把 b e 和 b c 算出来了。好，那然后我们把这块我看先不删。求 o f 的 长呢？ o f 我 们看 o f 是 谁啊？ o f 不 就等于一个 o e 减去一个 e f 嘛？ o e 是 几？ o e 和 o o c 相等都是五呀， o 是 十，半径是十，对不对？对不对？然后我们只要把 e、 f 算出来就行，对不对？ e f， 你 看 e、 f 怎么算？ e f 它怎么算呀？啊？ e、 f 它并不是一个，它也没有在直角三角形里面 啊，我想一下这里面有没有相似，对吧？你看这个三角形 e、 b、 f 当中 b、 e、 f 是 不是等于 b、 a、 c 一个角了？然后呢？你看 b f e b f e 是 不是和 d、 f、 c 相等呀？ 对吧？也就是说我们看咱们刚刚第一问的时候是不是已经证出来了？这个，呃，你看 d、 f、 c， 咱们第一问的时候设的是这个 d、 c、 f 是 一个 x， 那 d、 f、 c 是 不是九十减 x 啊？ 那你 dfc 也是九十减 x， 它是不是和这个，呃， ace 和 dbc 都相等啊？因为咱们算的时候 ace 和 dbc 也是一个。这个，呃，我看当时设谁是 x？ 嗯， 对，我们当时并不设的是这个，不是设的是 ace， 是 当时咱们设 a、 a、 e， 咱们设的是 ace， 是 aec 的， 这个就设的是 ace， 是， 是 x。 算了，我们刚刚能擦掉，咱们现在重新重新来推一下， 还是我们把这个 b、 e 给它连起来。你看第一问已经证明出来， d a、 c e 等于 d b、 c， 对 不对？那 a、 c、 e 是， 咱们就设是一个 x， 对 吧？然后呢？ d、 b、 c 肯定也是 x， 那 这样一来的话，你看这个 d、 d、 f、 c 角 d、 f、 c 是 不是就是一个九十度减 x， 那 d、 f、 c 的 这个，呃，对，顶角就是角 e、 f、 b， 它也是九十度减 x， 对 不对？然后的话 e、 f、 b 是 九十减九十度减 x， 你 看这个，嗯， a、 c、 b 这个角它是不是九十减 x？ 因为 a、 c、 e 是 x， d b、 c 也是 x， 但是 d、 b、 c 刚好是 d、 c、 b 的 余角，因为它在一个直角三角形里面嘛，这是个直角嘛，那也就说 d、 c、 b 也是一个九十减 x， 是 不是意味着 e、 f、 b 就是 角， e、 f、 b 就 等于角 a、 c、 b 啊？然后同时呢，角 b、 e、 f 又等于角 b、 a、 c， 也就说这两个三角形里面就是 b， 就是 e、 b、 f 和 abc 里面， 它有两个角相等啊，这是什么相三角形嘛，对不对？它们两个 e、 f、 b 等于一个 a、 c、 b， e、 f 就 等于一个 b， a、 c， 那 是不是意味着三角形，这个 e、 b、 f 就 相似于三角形，谁呢？ a、 c、 b 啊，那是不就是意味着这个 e、 b 比上一个 a、 c 就 等于一个 e、 f 比上一个 ab， 对 吧？然后我们把这个 a、 c 和 e、 f 交换一下，就是 eb 比上一个 ef 就 等于 ac 比上一个 ab， 但是 ac 和 ab 是 什么样的过数量关系相等呀？题上不是告诉我吗？ ab 等于 ac 等幺吗？那是不意味着 eb 也等于 ef 呀？ 就是 eb、 f 也是个小等腰，就是 eb 等于 ef， ef 也是一个八，对不对？ ef 是 八，我们把八写到这来，那 o、 f 不 就是一个十减八等于二吗？ 对不对？也就是说 o、 f 的 长是二，是用半径十把 e、 f 减掉。 e、 f 和 e、 b 相等，那是小，就是 e、 f 是 个小等腰， a、 b、 c 是 个大等腰，两个 等腰。三角形的顶角和底角都相等，那是相三角形，对不对？ ok， 那 这道题八分的题，第一问四分，第二问也是四分。各位同学啊，你现在已经距离中考只剩下四十来天了， 二十四题的第一问，一定要把这个四分要拿下，第一问一般不难，难的在第二问，第二问就是圆的这个证明里面做出证明，他要么考三角函数，要么考勾股定律，要么考全等三角形，要么考三角形，就考这几个范围嘛， 对不对？如果说你是你第二问，你实在写不出来，你都哪怕把这里面你能写出来条件罗列出来，那说不定还能得一两分呢。八分的题，你前面四分一得，然后呢？后面第二问得两分六分啊， 性价比是不是很高呀？现在就是抢分阶段先，大家就一定不要，不要，就是有执念，我一定要把压轴题我要做个十二分，压轴题我要做十分， 没啥必要，你把前面该得的分都拿到上一百一，很轻松对不对？你不要把精力全放在最后一道压轴题上，压轴题你得满分十二分，你前面简单题你全，不断的丢，不断的丢，得不偿失啊，对不对？好的各位同学，今天的分享呢就到这。好吧，各位同学，大家一定要加油。好，再见。

二六年万维黑白卷，白卷啊，夯爆了。不对啊，这个试卷其实不是很行，就我觉得自己做觉得挺一般的。 这个跟往年的这种感觉很不一样，就是去年这个试卷我印象特别深刻，就是因为命题很新嘛，就是好多题让我眼前一亮，也有难度，然后也也很新，我当时评价很高很高。呃，但是今年做这个试卷的话，就是我没有感觉到有几道题是真的非常新的原创题啊。嗯， 而且这里面题有些地方我觉得挺不合理的，比如说这十八题命名命题的是一个，只为作图，那倒还好，然后后面是一个证明，基于全等的证明，呃。然后这个 这道题里面二十二十二，第二十题考的也是另一种应用题，偏向于跟函数结合，而不是我们常见的分式加不等式的这种。呃，应用题，呃。然后二十一题侧高放在了二十一题的位置，但是整个试卷里面是没有圆的大题的。 呃。然后二十二题是用一个，呃，应用型二次函数。来来来来，作为第二道亚洲题，来来来，出，就整个来说，我觉得，呃，这种立标新立异并不是他题目有多新，而是反而是不考那种常规的主流知识点了。 其实这个的话，呃，我我我的评价是还一般般吧，也好像也就那样。我说还行，都觉得有点违心啊，说杭宝的真的是脸都红了。好，行，大家如果有需要可以试着做一做啊。好吧。

你们好，今天我们来学万为中考百卷压轴选择十一题，看题。如图八一次函数 y 等于 a， x 与反比例函数 y 等于 s 分 之 k， 它的范围告诉你了，交于点 a 过点 a 做 s 轴的平行线 l， 将直线 y 等于 a、 x 向上平移 b 个单位长度后，分别与 s 轴、 直线 l 和反比例函数交于 b、 c、 d 三点。当 c、 d 大 于等于 b、 d 的 时候，求 b 的 垂直范围，这个时候我们选择压轴十一题的话，它是有技巧的，我们可以把 d 先当做 中点来看，所以 c、 d 是 等于 b、 d 的， 那我们根据这个条件分别把 b、 d、 c 三点表示出来，因为 c 点它不仅是在外等于 a、 x 加 b 上，它也在 y 等于 s 分 之 k 上，所以我们求 b 的 取值范围小， b 的 取值范围转化成求 a 和 k， 求 a 和 k 呢？我们求出来就可以求出 b、 c、 d 的 坐标，进而求出 b 的 取值范围。所以这个是这个题的思路。 好，我们一起来看 a 点， a 在 y 等于 a、 x 上，也在 y 等于 s 分 之 k 上，所以代入 y 就 等于二 x， y 等于 s 分 之八。好，我们知道它的直线解析是，又因为它是向上平移，所以 平移之后呢，分别与 s 轴直线 l 和 c， 呃，和这个， 那么平移之后呢，分别与 s 轴直线 l 和反比例交于 b、 c、 d 三点，所以我们进而可以求出 b、 c、 d、 b 点坐标。好，求，直接得出 b 点坐标是 二分之负， b 都零。根据图像我们可以看出来， y、 d 等于 y， a 它是等于四的，所以我们把 y、 d 等于四，代入 y 等于二 x 加 b， 所以 我们可以得到 d 点坐标 二分之四减 b 都四，我们把坐标可以写上。 好，我们现在就剩点 c， 点 c 的 坐标怎么来求呢？我们可以把 d， 因为 d 是 bc 的 中点， 所以 y， c 就 等于八，因为点 c， 它不仅是在反比例函数上，它也在这个 y 等于二， x 加 b 上，所以我们可以代入 y 等于二， x 加 b， 得到 x c， 它是等于四减二分之 b， 所以 c 点的坐标 我们知道了。又因为点 c， 它在 y 等于 s 分 之八上，所以我们代入 所以这此时，所以此时 b， 我 们求出来的是六，又因为 c， d 它是大于等于 b d 的， 所以我们 b 点取出范围也大于等于六， 大于等于六。所以这个题选 b 选项明白了吗？好，我们来看一下啊，这是整个题的它的一个思路，学会了吗？

木易木易，数学容易，各位同大家好，我是梅老师，今天给大家带来二零二六万维黑卷函数压轴体，而其体如图。一、抛物线 分别与 x 轴交于 a、 b 两点， b 之道与 y 轴交于 c 零四、 d 是 抛物线对称轴上的一个动点，以 d 为直角顶点做了一个 r， t 直角等腰。第一问，求表达式，我们这里直接写答案， 呃，这里的表达式是， y 等于负二分之一， x 方再加上 x 再加四。 那所以呢，我们顺手把 a 点的坐标求一下 a 点的坐标，当 y 等于零带进去， a 点的坐标应该求出来是负二，逗号零。这里要用第二问说点 e 在 d 点的下方的时候， 第一个情况， a， e 如果平行于 y 轴，那这个情况我们把图画一下啊， a， e 如果平行于 y 轴，那就说明啥？ a、 e 两点的横坐标一样。刚刚我们求过了， a 点是负二到零，那么 e 点就是负二 纵坐标，怎么算？这里我们看到啊，它平行之后，其实就说明啊，这里的 a 啊，这个当做 h 吧， a， h， d 和下面的 e、 m， d 它是一组全等的等值，对吧？所以 d 点这会的坐标我们可以去先求一下 d 点的横坐标是 e， 为什么？因为我们算下对称轴，对称轴是 y 等于啊，对称轴应该是 x 等于 负二， a 分 之 b 算出来就是一呗，所以 d 点它在对称轴上，横坐标就是一，纵坐标多少呢？我们刚说了 a、 h、 d 是 等值呀，那么 h 这里应该是一零吧，它是对称轴与 x 轴交点。 所以这里呢？第一问，我还是划清楚一点啊，这里的 a、 h 和 h、 d 相等都是几呢？都是三吧，是吧？右减左一点，负二是三，那所以 d 点的纵轴不就是负三？那同样的道理，下面这个 e， m 和 dm 其实也都是三呀。这里是，呃，这里是， 呃，三啊，那么这里 e m 也是三，所以得到 e 点的坐标应该是横坐标负二，纵坐标应该是负六，对吧？好，我们现在要算面积，我们在这里第二文也简单写一下吧。啊， s 三角形 a d e 啊，第二文的 e 就 等于二分之一 底乘以高呢，就是 a e 再乘以，呃，这应该是 a 到 d 的 横坐标的差的绝对值，对吧？ 那就是 y x d 啊， x d 减 x a 的 绝对值，这时候算出来就是底是多少？ a e 的 长度是上减下应该是六，二分之一乘以六，再乘以横坐标的差呢？就是三呗。最终答案算出来是九，这是第二个。第一个， 第二个说，若 d 的 纵坐标为负五，在第二个图里面，横坐标是一是确定的，然后纵坐标又是负五， 然后 a 点呢，是负负二，逗号零。现在说让你在图二中画出这个三角形， 这里要注意一下，因为他已经说了 d 是 直角顶点，而且还限制溢在 d 的 下方，所以这个时候他的图呢，就一种情况，那就是在 d 为直角顶点画这么一个等值，大概长这个样子啊，把这个三角形画出来， 画出来之后另外两个点都知道，那么这个 e 点的坐标，我们就可以用一线三垂直的方法来去解决啊。我们把 a o， 呃，这个应该是 a h 啊，这个点当做 h 吧， h 啊，然后下面这个点叫做 m a h， 它对应的其实就是这里的啊，这里的 dm， 对 吧？ dm， 然后另外一边这个 h、 d， 它应该对应的是这个 e、 m， 我 们就造出了这样一个三垂直，有三垂直，我们就同步一下信息， 那么 a、 h 的 距离是多少？是一减负二是三吧，和第一问一样，它是五，所以 dm 也是三， em 也是五。 那综上我们就可以看出，横坐标这里千万容易错，不要写成五了。因为啊，这条线是对称，只有 x 等于一，所以说一减几等于五呢？一减负四等于五，所以横坐标是负四，纵坐标呢，五加三等于八，又是负的，所以纵坐标是负八。 所以这里呢，我们求出一点坐标，就是负四，都好负八了。现在说判断 e 是 否在抛物线，我们就把负四带进去，看 y 是 不是负八就行， y 就 等于负二分之一乘以负四的平方，再减四，再加四，后面没有了四，四十六乘以负二，确实是负八，是吧？所以是在这个抛物线上的。第二问，我们就没有写这个过程啊，我们今天重点讲解第三问。 第三个说，如果 e 还在 d 的 下方， f 是 一个动点，然后满足这样两个角相等，让你算 ef 的 最小值，算动线段的最小值。我们必须要搞清楚谁定谁动。我们先看看 e 和 f 分 别是怎么玩的。 e 点其实非常好确定啊，因为 e 点它是怎么来的，它是根据这个等值来的。我们画一下啊，它是根据这个 e、 d， a 这个等值来的，它始终是个等值，所以它是随着 d 的 运动而运动的。那这种问题呢，我们就简单称之为是瓜豆主从联动的问题了啊。但这个问题呢，我不想按照答案这么去讲，帮大家去确定一点是在一个什么情况去动的， 怎么确定呢？我们就看啊，当 d 在 e 的 上方的时候，我们只需要找两个特殊点就可以确定它的这个轨迹了。比如说我们把这个 d 点当成是我们刚才所谓的这个 h 点啊，那就是红色的 d 吧。我们这样写一下 这道题，我们把图稍微放大一下，这里是四十五度， d 在 这的时候，那么 e 就 在这，对吧？这是啊，符合要求的 d 在 e 的 上方，又是这样一个等值，然后呢，我们再去画一个就 ok 了，我们再去找一个，比如说找个什么点呢？随便找一个，但是我这里还想找一个特殊点，因为， 呃，最后你还是要划算出这个 e 点轨迹轨迹的这个直线呢，所以我们不妨让这个地点就跑到 e 的 这个位置看这个蓝色的 d 啊，叫做蓝色的 d， 那 蓝色的 d 长成这样的话，那是不是就说明他们的这个呃，直角边 a d 就 跑到这了， 那么 g， 呃， e 就 大概在大概是这么一个位置吧，这里是一个蓝色的三垂直，就其实就是图一的情况啊，这个这个时候蓝色的 e a， e 是 和这个外轴平行的，找了这么两个点其实就足够了， 为什么？因为我们知道这两个等值它永远都相似，这个不管是红色的 a d， e 还是蓝色 a， d， e 永远都相似， 所以发现 d 是 外轴上的一个动点的时候， d 在 外轴上动，我们把外轴描述成黑色，这是 d 点的轨迹，那么 e 点的轨迹都就会在哪里，就会在他且这两次的 e， 红色的 e 和蓝色的 e 之间的这个连线上，他就在这样一条线上去动 啊，主动点在直线呢，这个从动点也是直线，为什么？因为这两个三角形始终相似。我这里标一下啊，这两个三角形始终相似，所以我们还知道了这个直线，这里应该是个四十五度，所以他的这个倾斜角也是四十五度，斜率是一， 我们其实这个直线是很好算出来的，我们这里就顺便算一下吧，这顺便算一下，呃，这道题呢，我们就把图放在次放小一下，把这个内容要去算一下它的轨迹到底是怎么样一个直线啊？我们可以在这里写过程的话，你就主要写这么几点，我大概写一下， 你需要啊，先证明三角形啊，这个 a、 d、 e 和和三角形 相似于三角形，我就用这个蓝色的 a、 d、 e 来代表了，大家可以换字母啊，这里为让大家写看得更清楚，这两个相似，那所以我们就可以写一句话，那就是当呃 d 在 这个 x 等于一上运动时， 然后那个 e 点它的运动轨迹， e 点就在呃一个这样的直线上运动， e 在 蓝色直线，我们就当成是当成什么，当成直线 l 吧， e 在 l 上运动， 对吧？然后我们刚才为什么找这两个特殊点？因为这两个特殊点我们可以算出来，要算这个直线，我们就必要知道这个直线的斜率是多少。要知道直线的斜率啊，你可能需要两个点，我们现在呢，其实能看出来它的斜率四十五度，它其实就是一个 y 等于 x 剪辑了这么一个方程，但是我们现在要假装不知道，要写一下 这个点的坐标，紫色这个点的 d 还是 e， 无所谓啊，当做 h 吧。这个点的这个 h 点呢？它是多少？横着三，下面三，所以它是负一负三呀。 然后呢，这个点另外一个，这个 m 啊，这个点，这个点，其实就是哪个点？就是第一个点里面的 e 吧，是吧？这是多少？负二负六吧。所以我们可以这里写出 l 的 解析式， l 的 解析式，我们这两个点代入，你可以算一下，我们已经算出来了，就是 y 等于 x 减四。 好，这是我们 e 点的一个轨迹，它就在这样一个蓝色的线上运动，现在我们来再看 f， 我 们接着把它放大。 f， 它是定点动点呢，我们并不知道，但是我们这里只知道一个条件，就是，哎，这个 f o b 啊， f o b 就是 这个角啊， 啊，这个角画了绿色点，这个角和 f c o 是 相等的，那这个 f c o 没什么特点，但是 f o b 有 特点啊，它自己旁边还有一个和它互余的绿色的叉呢。 发现如果这个绿色的点和绿色叉是互余，那么发现这个角 f c o 就是 一个直角了， f c 是 直角，然后这个 co 的 长度又是几？ c 点是四，所以长度又是四，这叫什么？定， 定角定边，引元是吧？定角定边其实和去年考的那个定角定边是一模一样的。这道题呢，它其实模仿的非常好啊，我们就知道 f 是 在什么样的地方运动呢？ f 是 在啊，以 c o 的 中点，我们就把它标成绿色吧。 呃，这个黑点黑色啊，这个点叫做，呃，叫什么？叫做 n 点吧，这个 n 点是多少？应该是零逗号二吧，是吧？它是以这个点为圆心，以 o c 为直径啊，这样一个圆上运动，这是 f 的 轨迹啊， 啊，我们先帮大家去把这个圆画出来，然后把它给拿过来啊， ok， 现在我们就把 f 和啊，把这个 f 和我们的 呃，这个 e 点的这两个点的轨迹都找到了啊，当然这发现啊，这个点，哎，这个画不好哎，它是大概这样一个圆啊，这个圆有点大，我们把它删掉重新画一个啊，它是在这样一个圆上去运动的， 这两个轨迹都找到之后，其实这道题呢就非常简单了，我们先把原字给他画出来。 ok， 现在发现有引元出现，引元的轨迹怎么确定？你首先要一箭穿，一箭穿心吧，一箭穿心把圆心和我们的动点连起来， 然后知道半径是几，半径就是，呃，半径应该是二吧，是吧？所以现在要求 f e 的 最值只需要一箭穿心，那么 e 点在哪里的时候 f e 能最小呢？ 那很简单了， e 点刚好是过圆心做垂线的时候，是不是我们这里用黄色来表示一下啊？黄色来表示一下，呃， ok， 稍等，我们把这画一下， 过了圆心做一点轨迹的垂线段。哎，那这个时候我们的所谓的一点其实就是这个位置， 那这个时候呢？ f 又恰好在三点共线的位置，它是最小的，但是我们写的时候我不建议这么写， 你是可以去这么写的啊，我们要求的是这条蓝色的最值，但是我们知道这条红色是二，这条黄色如果算出来呢，用两边三边关系就能把它的最值求出来啊，我们在这里尝试去求一下吧，直接在这里求吧， 因为这里是等值，所以我们画出来这个黄色呀，啊，他这个黄色的直角三角形啊，他依然是个等值， 那这个等值我们就要算一下这个直角边是多少。要算直角边，我们还得需要先要知道这一条蓝色的轨迹啊，也就是我们的一点的 这个轨迹，它与 y 轴的交点在哪里？是刚才方程已经写了，所以 y 轴交点是零逗号负四，是吧？这个点是什么已经无所谓了啊，所以我们现在其实已经知道了整个的这个圆心 n 到下面的这个点，这一段距离是多少，上面是这个圆形是零二零二减去零负四，那么这个距离是六，所以在这个黄色的等值里面， 他的直角边就是多少，就是三倍根号二吧，是吧？最终那这个蓝色最值是多少？其实就是两边之差小于第三边，第三边的长度是三倍根号二减二。 ok， 我 们在左边的把大家的这个过程要稍微的再给大家补一下啊。 道题呢，其实我认为啊，讲到这里，我觉得他出的还是蛮好的，比较模仿去年的中考真题，但是呢，他在模仿当中又有一些创新。我们这里接着与我们思路啊，刚才我们是先把一点的轨迹找到了， 现在呢，我们需要找这个圆的轨迹，就是 f 点的轨迹啊，那么 e 正 e 正 f 在 以 n 零二为圆心， 以半径为二的圆上运动啊，所以我们画出来了，那所以呢，我们就知道最终就是应该在这样一个三角形，也就是呃，这个 n e f 当中啊，在三角形 n e f 中，当然中间，其实这个过程呢，你可以省略的去写一下啊，写一下，在这个三角形里面，那么我们的 ef 两边之差是小于三边的，它一定会大于等于另外两边之差，也就是这个 n e 减去 n f， 是 吧？ n e 又怎么算出来的？又因为三角形 这个 n e 下面这个叫做，呃， g 吧， n e g 中，那么 n g 就 等于，应该是等于六吧，是吧？是二减负四等于六，所以说 m e 是 等于三倍的根号二的，这是等值的一个，除以根号二就行。 所以最终呢， e f 的 最小值，那么就等于 m e 减去 m f n f， 这应该是 m e 减去 n f， 哎，不对，应该是什么？应该是 n e 啊，这写错了，应该是 n e 啊，这不要写错了，大家看错了， n e 减去 n f n e 减去 n f， 最终的答案就是三倍根号二，再减去半径二。 ok， 关注我，考试再提十分。

好的各位同学，大家下午好。今天下午呢，星光老师给大家介绍一下二零二六陕西万维中考黑白卷的压轴题。是黑卷的压轴题， 考察的是一个引元模型以及相三角形的综合。咱们看其奥说是，哎，如图一， a、 b 是 圆的直径是圆， o 的 直径， a、 b 等于九，就直径是个九，那半径呢？四点五嘛，对吧？点 c 是 圆上的一点过，点 c、 d 垂直， a、 b 与点 d 垂足是 d， 对 吧？ c、 d 的 最大值是多少呢？ 那你 c、 d 的 最大值是不是你点 d 一 直在直径上运动吗？你当点 c 到 a、 b 的 距离最大的时候，你 c、 d 就 最大，那什么时候最大呢？是不是到上半圆的顶点的时候就点 c， 在 这的时候， 对吧？点 d 和点 o 重合，点 c 在 这，那这个时候 c、 d 的 最大值不就是 o、 c 这个半径吗？四点五吗？ 对不对？很简单。好，第二个，我们说是在直角三角形 a、 b、 c 和 a、 d、 e 中， a、 c、 b 和 a、 d、 e 是 九十度，哎，这和这是九十度， 然后呢， c、 a、 b 和 d、 a、 e 都是三十度，那这就隐身出了一个基本的性质啊，就是在直角三角形当中，三十度角所对的直角边是斜边的一半，也就说 c、 b 是 a、 b 的 一半，然后呢， d、 e 是 a、 e 的 一半，对不对？然后说是 c、 d 等于一个 c， d 等于六，求 b、 e 的 长呢？ 那怎么看呢？首先你看 a、 c、 b 等于 a， d、 e 是 九十度，然后呢， c、 a、 b 和 d a、 e 是 三十度，那这两个直角三角形是不是相似呀？我们先写出来就是三角形，这个 a、 e、 d、 a、 d、 e 吧， a、 d、 e 相似于三角形 a、 c、 b， 为啥呢？由两组角相等的三角形，是相三角形呀。然后我们把它的这个边长比写出来，就是 a、 d 比上一个 a、 c 是 不是就等于一个这个？嗯，再看一下 a、 e 比上一个 a、 b， 继续呢？就是一个 d、 e 比上一个 c、 b， 对 不对？我们把三三组对应边的笔写出来， 而且呢， a、 d 比上一个 a、 c 好， 那我们再看啊，因为 d、 a、 e 等于 c， a、 b 等于三十度，那这两侧这两个角就是 c、 a、 d 和这个 b、 a、 e， 它俩一定相等，为啥呢？因为它 他们就是这个。我看这是角一，这是角二，这是角三，你看角一加角三是三十度，角二加角三也是三十度，把角三全扣掉，那角一就等于角二，那你角一等于角二，对不对？然后呢，这个 a、 e， 我 们把这个笔，把这里面这个 a、 e 和 a、 d 这个笔，它交换一下，交换成啥呢？就是一个嗯， 比例的内向可以交换啊，就是把 a、 e 和 a、 c 交换一下，就变成了谁啊？ a、 d 比 a、 e 就 等于 a、 c 比 a d， 对 不对？ a、 d 比 a e 等于一个 a、 c 比 ab， 对 不对？然后呢？角一还等于角二，这样一来的话，是不是这两个钝角三角形，三角形，这个 a、 e、 b 就 相似于三角形 a、 d、 c 了，对不对？这两个钝角三角形相似，那这个时候它们相似以后，那 a、 d 比 a、 e、 ad 就是 ad， 比 ae 等于一个 ac 比 ab 继续等于谁呢？等于一个 dc 比上一个 e、 b 啊，对不对？那 e、 b 是 不就出来了？ dc 是 个六， e、 b 是 不知道。然后我们再看一下 ad 比 a、 e 的 一个相似比是多少呢？因为这个，你看这是个三十度的。这个 什么呀？直角三角形 ad 比 a、 e 不 就是 cosine 三十度吗？ cosine 三十度是多少呢？ 函数的三十度是二分之根三，对不对？就是 a、 d 比上一个 a、 e， 它实际上它等于一个二分之根三，也就说这相似比就是二分之根三。那好，我们现在就是二分之根三，就等于一个 dc 是 个六，比上一个 b、 e， 那 b、 e 不 就是一个 交叉相乘二六十，二十二除以根，三十二除以根三。我们分别由理化，三分之十二倍的根三，就是一个四倍的根三，对不对？也就说 b、 e 是 一个四倍的根三，对不对？我们用了两次相似，对吧？好的， 那我们紧接着再看第三问，压轴小问了，对吧？说某植物园这个原计划设计一个四边形 a、 b、 c、 d， 哎，就是这个比较左边的这个四边形，咱看图三左边这个四边形 a、 b、 c、 d， 其中 a、 b、 c 呢？是个二十， a， b、 c 是 个一百二哦， a、 b、 c 如果是一百二的话，那这个 c、 b 肯定是个六十度，对不对？补角嘛。 然后呢，根据实际需求，先将四边形 b、 c、 d 扩建成 a、 e、 c、 d。 扩建了，就属于把 b、 c、 e 这一部分给加进来了，对不对？然后呢点 e 在 a、 b 的 延长线上连接 a、 c。 然后呢， b、 d、 d、 e 满足 b、 e 等于二倍的 a、 b。 那 你看，刚开始 a、 b 是 二十， b、 e 是 二倍的， ab 就是 四十，那整个 a、 e 是 不是六十，对吧？好，然后呢， a、 c、 d 等于 d， c、 e， a、 c、 d 在 哪？哦，这个角等于这个角哎，这两个角相等，然后呢？ a、 e、 c、 a、 c 在 哪呢？ a， e、 c 在 这，这个角等于一个 d， b， c， 对 吧？ 等于一个 d， b， c 在 这，哎，那我们看下，这马上就有这个相三角形了，就是个 d、 c、 b。 这个，这个三角形和，呃，不是不是 d， c、 d， 呃， 还得再正一下，你看，发现这个提问的是啥呢？说，让我们求 a、 d、 e 的 面积最大，你看 a、 d、 e， 哎，是不是正一个？看左下方这个钝角 a， d、 e 的 面积最大，你看 a、 e， 它的底边 a、 e 是 六十，你要让它最大高， a， e、 e 上的高最大，那就行了，对不对？ 让我们求出 a、 e、 d 的 最大值呢？如果不行的话，说明理由一般都可以，对吧？那你看好，这里面 咱们先看给了两个角， a， c， d 等于 b， c， e， a， c， d 如果等于一个 b， c、 e， 但是我们给 a、 c、 d 把这个中间这个 a、 c、 b 加上，就是 a， c， d 加 a， c、 b 是 不是等于一个 b， c， e 加 a， c、 b， 那 这样一来的话，是不是等于谁呢？就是整个，哎， 整个谁呢？整个 d， c、 b。 这黑角和两个黑角相等，对不对？然后呢，他又说， a， e、 c， a， e， c 等于 d， b， c， a， c 在 这等于 d， b、 c， 那 这个时候三角形相相三角形出来了，是谁呢？我给大家写一下啊，先把这个去掉。 首先，那这个三角形，这个 d、 b、 c 相似于三角形，这个 a、 e、 c。 为啥？你看 d， c， b 等于 a， c、 e 一个角 d， b， c 等于 a， e、 c。 第二个角有两组角相等三角形是相三角形，我们再把它的这个边对应边的比例写出来，这个 d、 b 比上一个 a， e 就 等于一个 d， c 比上一个 a， c 等于一个 dc， 比上一个 ec， 对 吧？除此之外呢，这里面还有两个角相等的，就是这个角角一和这个角角二是不是相等的 对应角，对吧？我给大家标用黑笔标吧， 就是这个角一和这个角二是相等的，对不对？ 那好，那紧接着这里面会出现一个八字模型，就是 d c a、 b， 这是一个八字模型，我们根据八字模型，你看这里面有一个这个， 有一个这么个角，就是这个角 dca 和这个 abd， 你 看 dca 加角二就等于 abd 加角一。那角一和角二相等了呀，对不对？角一等于角二了，那是不是直接就可以得出来这个 dca 角， dca 就 等于角这个 abd， 对 吧？我们先把这个写出来，这是八字模型，然后紧接着我们再能干啥呢？看还有没有相似啊？ 呃，你看刚刚开始的时候，还有一个 a， c， d 等于 b c e， 那 a c d 这个角等于一个 b， c， c e 这个角，这两个角相等，然后我们再看一下，呃，看还有哪个三角形能相似了？我们看看下边，你看这个 d， b 比 a， e 等于 dc 比 ac， 等于 bc 比 e c。 我 们看这边能不能把一个比例内向交换一下，然后用用另一个相，三角形的证明方法就是，呃，两组，两组对应边乘比例，这两组对应边呢？夹角相等来正，对不对？你看夹角相等是个。呃，首先这个 dca 和 bce 是相等的，那我们只要证明 c d 比 c， b 就 等于一个 c， a 比 c， e 就 行了。那你看 c a， 那 在哪呢？我们把后两个一交换得到啥？就是 dc 比 dc 就 等于一个 ac 比 ec， 对 不对？ dc 比 bc 就 等于一个 ac 比 ec， 然后呢？ dc 和 ac 的 夹角还相等，那这样一来的话，是不是就三角形？这个 dc 它相似于三角形 b、 c、 e 了，对不对？这个用的是就不是两组角相等了，是两组对应边乘比例啊，就两组对应边的比值相等，然后呢？它们两组的夹角也相等，对不对？那 d c a 和 b c、 e 如果说它两相等了以后，那就全相似了，以后能得到什么性质呢？ 能得到什么性质？那 c、 b、 e c b e 这个角一定等于 c 什么呀？ c、 b、 e 这个角一定等于 cda， 对 不对？你 c、 b、 e 不是 六十度吗？那 cda 也是六十度呀， 对不对？也就是说 cda 这个角我们证明出来是六十度了，对吧？角 cda， 它等于角 cde 等于一个六十度，这个六十度证出来了，那该怎么办呢？接下来该怎么办？ 我们是是要去找到点 d 到这个 a、 e 的 最大值呢？点 d 到 a、 e 的 最大值不就是那个 a、 d、 e 的 高斜边，不是斜边就是底边上的高吗？那我们怎么办呢？我们有六十度啊，其实一般来讲就是我们得再勾到一个三角形，然后利用这个 啊等角等高模隐元模型，对吧？这样我们把这个 ab 就是 b a 向左延长，延长，延长多少？延长一个四十出来，因为 ab 是 一个二十， b a 是 个四十，我们延长一个四十出来， 对吧？延长到哪呢？延长 b a 到一个 f 连接 a， f 连接 a f， 那 你看 a、 f 是 不是就是一个四十？整个 f b 是 不是就是一个六十，对吧？然后我们再看一下， 呃，那，那也就是说 b f 和 a e 是 相等的，我们现在看之前哈，之前在这个里面我们算这个边长底，这里面有没有和 a e 相关呢？就在这 d b 比 a e 对 不对？那我们现在看一下这个还是换一下，把 d、 b、 c 和 a e 一 换，就是 b b 比上一个 dc， 就 等于一个 a e 比上一个 a c， 对 不对？ b b 在 哪呢？ b b 比上一个这个？呃， dc， 哎，再等于一个 a e 比上一个 ac a e， 我 们换成一个谁啊？把 a e 换成 b f， 因为 a e 和 b f 都是六十嘛。我们把 a e 换成 b f， 看一下这个能不能 db 比上一个，这个 db 比 dc 等于一个 bf 等于一个 bf 比上一个 a c， 那 你看这是哪两个三角形相似啊？这是哪两个三角形相似呢？ d b 在 哪呢？ d b 在 这条红线这一块，然后比上一个 d c， 对 吧？ d b 比 d c 等于一个 b f 比上一个 a c， 也就意味着看 d b 和 d c 是 一个对应边，然后呢， b f 和这个 a c 是 对应，而且我们刚刚证明了这个 d c a 对 吧？ d c a 和 abd 这两个角相等， 那是不是刚好就满足了这个两组对边成比例？这两组对边夹角相等，因为 dc 和 ac 的 夹角，呃，以及 db 和 bf 的 夹角是相等的，那这样一来话，是不是直接相三角形出来了，对不对？就是这都没地方了，我我我，腾点地方吧，我看腾哪了，就腾下一个。 好，那也就是说这个三角形，这个谁呢？ dca， 它相似于三角形，谁呢？ ddf， 你看 dc 和 db 比值等于一个，这个 ca 比 bf 的 比值，而且呢，这个 dc a 和 dbf 这个角相等，这咱们刚刚用八字模型正出来，因为角一等于角二嘛，然后呢？八字模型肯定相等嘛，然后这样一来的话，是不是 这个你看 cda， cda 那 角 cda 就 等于一个 bdf， 对 不对？ c、 d、 a 是 多少度呀？ c、 d、 a 我 们刚刚已经证明出来， c、 d、 a 和这个 c、 b、 e 相等，是六十度，那意味着 d、 b、 d、 f 是 不是六十度啊？也就是说 这是六十度，那在三角形 d、 b、 f 当中有一个角是六十定定弦定角，那肯定是 b 为圆呀，那点 d 肯定是在这个圆上运动呢，对不对？那我们大概画一个圆， 怎么画呢？ 大概就是这样子，这画的不太好， 就画这个 a、 b、 d 的 外接圆， 大概就这样吧，画一个外接圆，那你什么时候这个点 d 到这个它这个 b、 f 的 距离最高呢？ 是不是在顶点的时候，当你到顶点的时候，这个 a、 这个 d、 b、 f 是 变成一个等腰三角形了，而且它顶角是六十度，是变成一个等边了，那等边三角形的边长是六十，它的高是多少呢？高是多少？ 边长是六十，高肯定就是一个边长的二分之根三倍，对不对？用三角函数可以解，用勾股定也可以解，那你这个我们做一个，做一个高下来，做一个 d、 h 下来， 你 d、 h 这就是一个定角定，呃，是一个定角定高，就是你这个 d、 h 最大值，肯定就是当这个呃点地 点地过这个圆心的时候，点地过圆心，你垂下来，这其实是一个等腰三角，等等腰三角形，而且它是六十度，是一个等边，对吧？这块正的话，之前新郎老师正过，其实是一个定角定高模型的时候，正过他最最大值就是一个。呃，你算出来是不等式小于是一个带小带等于号的不等式，当他三点共线的时候 就圆心，大概在这，当这个 d、 o、 h 它们三点共线的时候，这个 d h 是 最大值，那 d h 最大值多少？你看 d f 是 个六十，对吧？然后 f h 是 一个三十，那六十三十你勾股定，你算，或者用这个，嗯， 烤散三十度也可以啊。烤散三十度就是 d h 比六十等于一个二分之根三，对不对？对吧？然后我们这个六十倍的根三再除以一个二，三十倍的根三，对不对？三十倍的根三， d h 呢？那 d h， d h 最大值就是它是一个最大值，是一个三十倍的根三。那 a， d e 的 面积呢？ a d e 的 面积 它就是 a e 六十， a e 是 六十，乘以三十倍的根三，再乘以二分之一是多少呢？九百倍的根三，对吧？这就是它的一个最大值。各位同学，还有四吗？啊？ 整个就是啊，就是我们最终是要在左边做出一个引圆出来，然后呢？定角定弦，定角定弦的话你最，你这个高的，你这个最。呃，他如果说要求这个 d h 的 最最大值的时候，你点 d 是 一 d h， 就 在这个上上部分这个圆弧的这个顶点的时候，对吧？好，那各位同学，这道题呢？咱们今天就到这，好不好？各位同学再见。

木易木易，数学容易！各位同学大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六外围白卷函数压轴题 二十七题，如图一、抛物线，这给了一个交点式，所以你可以把 a 点和 b 点坐标写了， a 点负一都零， b 点是四都零，又告诉你与外周的交点是零负三。 所以我们现在要求解析式的话，就要把这个零负三带进去啊，带进去求出来， a 等于四分之三，所以它的解析式是 y 等于四分之三倍的 x 加一乘以 x 减四。那考试我建议你把一般式也写上四分之三 x 方， 然后呢，减去四分之九 x 再减三。这就是第一问的答案。表达式有了， 现在看还有什么条件。 d、 e 分 别从 b、 c 出发，沿着 b、 a 和 c、 b 方向运动，一定是同样的速度，然后呢， e 到 b 就 会停止，什么意思啊？ c， e 和 d、 b 永远都相等的意思呗？ 同样的速度，同样的时间，它们路程相等。接下来这一问问，你说 b、 d、 e 的 面积最大，我们看 b、 d、 e 长这样一个三角形啊，那很显然它有一条横线 d b， 所以 我们这里的底就当成是 d b 吧。 然后呢，它的高是第三点的纵坐标绝对值，所以这个位置这里就是它的高啊，我们把它当做 d h 吧， d h ok， 现在我们看这个面积怎么去表示了，因为 db 已经是 a 了， c， e 和 db 又相等，所以我们直接把这个 c、 e 也当成 a。 然后很显然，这里我们把第二问的答案又开始写一下了。第二问，我们先需要设 db 等于 c、 e 啊，那么都等于 a， 然后其实你 d 点的坐标已经能写出来了啊，那其实 d 点的坐标写不写呢？其实也无所谓啊，我们开始写一下吧，这点就是 b 往左移了两个，移了 a 个单位长度，他就是四减 a， 逗号零。然后呢， d b 的 长度是 a， 这 d 已经有了。其实 现在要把高写出来，就是要把 e 点的纵坐标写出来，所以我们需要求 e 的 坐标，那发现 e 在 bc 这个直线上，所以我们还需要写一下 lbc 的 解析式，这里呢，把两个点带进去求出来，解析式是 y 等于， 呃，这个四分之三， x 再减三，是吧？所以这里可以设 e 点坐标，横坐标 e， 纵坐标四分之三， e 再减三。然后我们要注意， 这个时候呢，我们要用这个 c， e 等于 a 这个条件，把里面的 e 给它替换掉，因为两个字母你肯定很难受，所以呢，我们需要的是把 c e 的 长度表示出来， c， e 就 等于坐标公式距离。呃，那就是横横叉减去纵动叉的平方 横坐标， e 的 横坐标是 e， 所以 减去 c 的 横坐标零一方，再加上 e 的 纵坐标是这一串四分之三， e 减三，然后再减去 c 的 纵坐标，是负三的时候加三，括号的平方加三减三没有了， 那这里我们进一步等一下，前面是一方，后面是四分之三一方，也就是十六分之九，十六分之九呢，就是一方加上十六分之九一方，所以根号下面是十六分之二十五一方，开出来其实就是四分之五 e， 那 这个 c e 呢，又等于多少呢？其实又等于 a， 是 吧？所以也就是 a 等于四分之五 e， 那 现在也就知道 e 就 等于五分之四 a 了， 所以这个时候一点的坐标横坐标就是五分之四 a 纵坐标四分之三，再乘五分之四， a 变成了五分之三 a 再减三一点的坐标也有了， 那所以这个 s 三角形 d， b， e 就 等于二分之一。底是 d， b， 再乘以高，高就是 y， e 的 绝对值，是吧？啊？ e 点纵坐标的绝对值，那我们再写一下，就是二分之一乘以 a， 再乘以 y， e 的 绝对值，就是因为一点在第四象限，所以它应该是个相反数吧，乘以括号三减五分之三 a 吧，好发现它就变成一个啊函数了啊，我们来乘进去啊，乘进去之后，二次项是十分之三 a 方 一次项是二，是负的负的十分之三 a 方，一次项是正的二分之三 a， 下一步我们就可以写啊，它是应该是在对称轴数的时候啊，我们在下面写吧，当 a 等于负的二， a 分 之 b 啊，也就等于 呃，负负呢，把 a 约掉了，所以就是五分之三，再分之二分之三，二分之三乘以三分之五，那就是二分之五十。那么整个的 s 三角形有最大，最大是多少？我们要算一下。 呃，这里二分之五就是负，十分之三乘以二分之五的平方是四分之二十五，再加二分之三乘以二分之五，这里我们需要啊，这好像有点难算呀。 呃，那我这算一下，这里十和二十五约个五，剩个二，这里剩个五，所以前面是负的八分之十五，后面是四分之十五，也就是八分之三十，所以这两个一加是八分之十五。 ok， 那 我们需要前面补一下，就是， 呃， a 就是 负的十分之三倍的 a 减二分之五，最后再加上八分之十五。第二问结束，第三问的 e 说 p 是 平面内一点，没有任何限制，四边形 a， c， b， p 是 平行四边形， 我们来看一下啊，这个我们就在左边这个图一上去看，呃，那现在说的是另外三点在哪里啊？其实就在这个 abc 这里啊啊， a c b p 这里。要是平行四边形，我们就需要进行一下分类讨论了，因为 p 没有任何的限制，所以呢，我们现在把这个分类讨论写一下，不用去画图，直接分类讨论。 我们首先要设第三文，我们先要设这个 p 点的横坐标为 m， 纵坐标为 n 吧，然后把 abc 的 坐标肯定要写一下。那分类讨论第一类，那么当 ab 是 对角线的时候， ab 对 角线的时候，这个时候呢，我们就能列一个方程，那就是 ab 的 中点和 c p 的 中点是同一个，我们这里用紫色来表示它，其实最后画出来大概在这种位置，这是又是 p 了是吧？ 哎，它这两个的中点是同一个平行四边形，就是这个紫色的平四。这种情况呢，其实还是 呃，用中点是一个办法，但第二个呢，因为三个点都知道呀，所以我们可以用，也可以用平移的方式去把它给解决了。那这里呢，我就呃用平移的方式吧，这种情况我们可以这样看啊，这个紫色我们就紫色来写， 因为我们要求屁，所以屁点坐标已经基本上就放那了，那我们看它是怎么来的呢？我们看由 a 点变成 c 点是怎么来的？是向右移了一个单位长度，向下移了一个 三个单位长度，是吧？然后呢，我们可以过屁做下面一个垂线，这两个三角形应该是全等，所以屁点就是 b 点向左一个单位长度，向上的三个单位长度。 所以这个时候啊，第一种紫色的屁的坐标啊，我们这里其实前有射的也多余了，射是我为了让大家用这个中点法去写，现在我们看，用这个全等或者是平移的方法去写的话，屁点向左移一个单位，屁的横坐标肯定是三，那纵坐标呢？向上移三个单位就行啊，所以纵坐标还是三。 ok 了， 接下来我们看一下第二个情况。第二个情况有可能这里的啊， ac 是 对角线，是吧？ ac 是 对角线，那这时候我们用绿色来写，如果 ac 是 对角线，那么 p 点应该在什么位置？应该在这样一个位置吧，是吧？在这样一个位置，这就是绿色的 p。 第二个情况， 这个 p 点坐标又怎么写？我们依然是用这样一个，也可以说是全等，也可以说是平移的方法去写啊。因为 ab 是 一条横线，所以这里其实你压根就不需要用这个呃，终点公式去写啊， 我们可以看是不是 ab 是 一个平平行与 x 轴重合的这样一个线，所以 c p 应该也是。那 ab 之间的距离是多少呢？四和负一，它应该是五，所以这个时候 p 点坐标就是 c 点向左走了五个单位长度呀， 所以它是绿色的。 p 是 负五，逗号负三吧。啊， ok， 负五，逗号负三。那么还有没有可能？其实还有啊，还有一种可能就是 ap 对 角线， ap 对 角线，我们就用蓝色来写 ap， 如果是对角线的话，它大概这个图呢，是长成这个样子，这里就是 p。 这种情况下，我们依然用平移的角度来讲，哎，我们把 b 做一个垂线，是不是这里这两个三角形是 是一个全等呀？而且你依然可以用刚刚绿色的这个角度来讲，就是 ab 之间相当于 a 到 b 移了五个单位长度， c 到 p 呢，其实也是五个单位长度，所以第三个类型啊，第三个类型，那就是当 ap 对 角线的时候， 这个时候我们蓝色的 p 的 坐标就是横坐标五，纵坐标负三，我们就把这三个给全部写出来了。 最后一问，那求 a， e 加 c 的 最小值，其实都不用我说，这是一个经典逆等线了是吧？这里的 b， d 和 c， e 相等，然后又让你求的是 a， e 和 c， d 的 最小值。 这种东西呢，我们就需要把它其中一条和另外一条动点重合就行。我们这里选择啊，把下面的 e 呢移到 d 的 这个位置，那同样 c 就 会移到 b 的 这个位置， 怎么移动？哎，这里呢，其实这道题呢，还是相对好做一些的，我们只需要保证啊，那这个 c， e， a 这个角度是和我们移动过去的角度相等就行了。因为现在 d， b 已经在 d， c 已经在 b、 d 的 下方，所以你只能移到上方去。然后这里红蓝加角也这个黄色的角，它大概是个多少度啊？ 七八十度的角吧，那我们也整一个大概七八十度的角就 ok 了，大概就是一个这样的一个感觉吧。呃，我们这里划一下，用黄色的带去划一下，大概就是这样一个感觉吧，是吧。啊，所以我们现在就是把这条 a e 移到了这个啊， d h 的 这种位置吧，当做 d h 的 位置， 然后再看看他第三边，原来的第三边应该是这个 ac 吧，我们把 ac 也要给他移过去，基本上就移到了这种位置。 ok， 那 我们现在看看他有哪些条件可以用。 现在呢？很显然，这两个三角形全等肯定是没问题，然后最终你要求最值最小值呢？其实就是要把这个 h 和 c 连起来，是吧？好，我们先把这个文字性说明写一下啊。第三问的二， 那现在我们异正三角形 bhd 全等于三角形 bhd 的 话，就是 c， 呃， a e 是 吧？所以你要求的 c d 加上 a e 就 等于 c d 加上 d h， 然后两边之合大于第三边，它会大于等于 c h， 所以 把 c h 算出来，就有了这样一个最小值了。 c h 怎么算？肯定要利用前面的条件了。这组全等我们利用的是啥呢？利用的是这个一个角和一个边相等，所以我们依然要利用这个角和边去把 h 的 坐标找到。 这道题之所以它出的好，是因为有一个隐含条件，很多同学都会去忽略了。我们发现 o b 其实和 bc 它都是几， 是不是都是五呀？因为 b 和 a 之间四减负一呢，肯定是五，那 b 和 c 之间呢？三和四呢？不就是五吗？所以说明等腰对等角，那也就是 b a c 等于角 b c a 刚才我们造了全等之后，是不是这个 a c e 这个角对应的应该刚好是绿红加角，也就是这个角呀？所以啊，这道题隐含条件其实什么？其实是这里的两条绿线，它有内错角，相互平行。呀， 那这里有平行，其实你的啊， a 和 c 的 坐标，还有 b 的 坐标都知道，我们依然可以把它当成一个平行四边形，直接把 h 的 坐标找到了， 所以我们现在要找 h 坐标就是，哎，那 d 就是 什么？就是刚才左边这个屁点的紫色度坐标，对不对啊？那这个坐标呢，我们就直接写出来啊。那 h 的 坐标就是呃，横坐标三，纵坐标也是三， 那所以 c h 呢？就等于根号下面 c h 横坐标的差，那么三减三是三的平方，三减零是三，然后再加上这里三减负，三是呃六的平方就等于 呃，整个算出来应该最后答案是多少？应该是一比二比根号五，所以是三倍的根号五，所以说这里的 a、 e 加上 c、 d 的 最小值就等于三倍的根号五。 ok， 关注我，考试再提十分。

木易木易数学荣誉课同大家好，我是米老师，今天给大家带来二零二六万维白卷几何压轴题二十六题第一问，如图一，在等腰值 a、 b， c 中 c a b 九十，所以我们把这个等腰值要画一下， c， a， b 是 个等腰值， 然后接下来 d 是 一个动点，以 a、 d 为边做了一个正方形，我们找一下这个正方形 a、 d 在 这，它就是这样一个正方形，有正方形，它也会有直角。 ok， 接下来看，他问，让你证什么？他让你证明 d， b 等于 f， c， f， c 在 这， d， b 在 这，其实这已经证明完了，对吧？因为这呢，其实可以当做是一个经典手拉手来去解决啊。 啊，那这里呢，蓝蓝相等，红红相等，再加上公共边公共角剪掉之后，两个圈相等，很容易证明这两个三角形全等，所以我们这里写一下吧。啊，证明三角形 c， a、 f 全等于三角形 b、 d。 啊，这个时候呢，就能证明啊，这是 s， a， s 证的全等，所以就能证明这个 d、 b 等于 f c。 第二个说，如图二，在一的条件上，什么叫一的条件？一的条件就是刚刚的等值你还得花， 刚刚的正方形你也得花。 ok， 并且刚刚我们证明的全等，所以 c、 f 和 d、 b 相等依然是成立的。 现在说 af 是 根二倍的 fc， 那 这种比例怎么办？我们就要设了啊，设 fc 为 a， 那 d、 b 也是 a， 那 么 af 就是 根号二倍的 a， 哎，然后他让你写的什么？写的是 af， bc 的 数量关系， 那 bc 在 哪？我们要找一下这个 bc 啊， bc， 我 们用绿色来表示， bc 在 这个位置，然后，哎，你发现啊，它 bc 和 af 本身不在一个三角形里面， 但是因为 a、 f、 e、 d 是 个正方形，所以 af 和 f d 是 有关系的啊，也就是和这条黄色的边是有关系的，它有个根号二倍的关系，所以我们可以把 f d 写成根号二倍的 fa， fa 又是根二 a， 所以 它这里就是二 a， 对 吧？ 那这里你要找 b、 c 和 f d 的 关系呢？看上去这里有直角三角形，对吧？这其实就是旋转手拉手中的第三个结论了，我们看怎么证的这个结论。那当 这两个三角形全等的时候，我们第一问，证的这个 c、 a、 f 和这里的 b、 a、 d， 那 这里就会有对应角向呢，也就是这个角 b， 这个黑色的圈就会等于这个角 f、 c、 a， 那这两个角相等之后，我们就可以用这样一个八字倒角的方式，我们画一下啊， f、 c、 a、 b 啊，这上一个啊，八字倒角的这样一个感觉啊，因为对零角相等， 然后再加上两个圈相等，那这里的角 c、 a、 b 是 一个九十度，那这个 c、 f、 b 就 也是一个九十度，这里你需要证明一下这个角度是九十度，是吧？证明完，那我们现在就找，哎，我们现在又在这个新的啊，三角形，也就是这个二三角形 c、 f、 b 里面去找一下 bc 和 f、 g 的 关系就行了。好，那这里呢，我们发现如果这个角 c、 f、 b 是 直角的话，那这里就是 a， 二 a 和 a 呢？就是三 a a 三 a， 那 所以 f b 就是 多少 a 呢？应该是，呃，应该是根号十 a 吧，这样一个 这样一个感觉啊，所以最终我们现在要得到的是 af 和 bc 的 关系，那啥关系呢啊？第二问啊， af 比上个 bc 就 会等于 af 多少是根号二 a 啊， bc 是 多少是根号十 a， 所以把这里约掉一个根号二，变成根号五，所以呢，这里的呃 b、 c 就 会等于根号五倍的 a、 f， 这就是我们的一个关系。 我们看第三问啊，第三问说如图三，再等值，我们看一下这个等值，那还是这个等值 a、 b、 c， 我 们把它划一下， 然后又来一个等值， a、 d， f， a、 d， f， ok， 我 们画好了，这里其实就有一个红色的等值和一个蓝色的等值，在这里我们知道它仍然是存在着类似于手拉手全等的东西啊。那接着就可以知道 f、 c 和 d、 b 还是相等的。目前 接着他又说 c， a， b 等于 f a， d， c， a， b 等于 f， a， d 等于九十，那其实还是在说这两个等值的事啊。 然后连接之后呢，当 af 等于三个 fc 的 时候，我们依然需要设设 fc 为 a， 那 b， d 就是 a， 然后呢，这里的 af 就是 三 a， 所以 我们可以算出 ac 是 呃，这是， 这是应该还是一个直角，这里我们就呃直接把这个结论写出来，一比三比根号十，所以 af 应该是根号十 a 啊，为什么？因为这里说了 af 和 fc 还垂直呢，这里还垂直呢？ 然后这里是根号十，那么 a、 d 就是 根号哦， a， d， a、 d 应该是三 a 啊，这是啥意思？ a、 d 是 三 a， 那 所以 f、 d 就是 多少？应该是呃，三倍的根号二 a， 然后 ab 也是根号十 a， c， b 也是根号十，再乘以根号二，应该是根号二十二 b 的 根号五 a， 我 们把目前的就都标出来了，但他问的是什么？他问的是 a c 和 b f 的 关系，那最终我们还是要求一个这样一个新的线段，也就是这个 b f， 这个怎么求呢？其实到这你应该看看前两问里都干了啥，前两问里面都有一个正方形，有一个正方形，对吧？ 所以第三问，它变成等值了，又告诉你这个 c f a 还是垂直，你怎么办？你先把正方形给补出来呀。 正方形就是把 f c 延长，然后呃，再把这里的这个 b d 延长， b d 延长取过去，这里就会是直角，那这个点呢？我们叫做什么？呃，就叫做 e 吧。出题人一般都很善意的，这边缺个 e 就 补上。 然后呢，刚才因为这个 fca 和这里的 dba 全等，所以这里的角的也是九十度，总之这是个什么形？这就是一个正方形，先是矩形，再变成正方形，它等值了一半。 那接下来我们就要看这个东西是不是又出现一个，哎，我们这样一个直角三角形啊，那就是 e b f 呀， g b f 这里呢？我们再看看有哪些没有标，对吧？刚才已经标过了，这里的 e f a d 正方形的边是三 a， 所以 这边是三 a， 那 么整个 f e 也是三 a， 所以 c e 是 二 a 吧，这都无所谓的。那我们就能把哎，现在要的这个 f b 的 长度求一下，那就是，呃，一边是三 a， 另外一边是几 a？ 三 a 加四 a 是 五 a， 对 吧？这个我们就三四五个固定里算出来， b f 是 五 a， 那 最终 a c 和 b f 的 关系， ac 是 呃，根号十 a， 然后 b f 又是五 a， 我 们就找到了，对吧？第三问， a c 比上个 b f a c， 这里是根号十 a b f， 这里是五 a， 所以 这里把 a 约掉，再把这个呃交叉相乘一下啊，五倍的 a c 等于根号十倍的 b f 啊，那这个 这我们就可以去不用化解了，直接把这个写上，其实答案也是对的啊，当然你也可以写成是 a c 等于五分之根号十倍的 b f。 结束关注我考试再提十分。

今天我们来看一下二零二六年万维中考黑白卷啊，贵州卷的这个黑卷的填空押注题啊，也就是这个十六一题。好，咱们来看一下题目， 如图，在三角形 abc 中啊，在这个 abc 里面 ab 等于 ac 啊， ab 和 ac 相等， 那么看到这个三角形有什么？两个边相等，我们马上就要想到它是一个等腰三角形，对不对啊？咱们就要想到与等腰三角形有关的这个性质啊，这个就是这个做题和做辅助线的一些方法啊， 继续看，过点 b 作 b、 d 垂直于 bc 啊，这个 b、 d 和 bc 它的关系是一个垂直，然后连接 ad， 连接 ad c、 d， 然后 ad 交 bc 于点一啊，交于点一 且 d、 a 恰好是啊，这个 d、 a 恰好是角 b、 d、 c 角 b、 d、 c 的 一个平分线啊，平分线啊，这个 a、 d 是 角 b、 d、 c 的 一个角，平分线 说明这个角和这个角怎么样，它就是一个相等的。然后若 b、 d 等于五，我们标一下啊，这个 b、 d 的 长度是五，然后 bc 一 十二啊，因为这个 bc 啊，这边它涉及到几个线段啊，我们写在这个旁边，来吧。啊， 它是一十二啊，这个 bc 的 长度啊，是一十二，问啥呢？问这个 a、 e， 问这一段的一个长度是多少？ 刚才咱们讲了，因为 ab 等于 ac， 所以 三角形 abc 是 一个等腰三角形。那么谈到等腰三角形，三角形的什么东西呢？想到这个等腰三角形的三线合一，对不对？ 所以咱们就有一个做辅助线的思路，是什么呢？过点 a， 做这个 b、 c 的 一个垂线啊，这个地方啊，它是一个垂直，对不对啊？交于点 f 啊，咱们写一个 f， 好， 我们看一下啊，你看啊，这个 a f， 它是这个三角形 abc 的 一个三线合一的一条线，说明这个点 f 就是 bc 的 一个啥点，一个中点，对不对啊？是个中点，好， 已知 bc 是 一十二，所以这个 b f 这个长度就是几啊？就是十二除以二等于多少？等于六啊？咱们标记一下啊，这一段长度啊，它就是等于六的，对不对啊？这个总的长度是六啊。 b f， 我 们写在这旁边吧，一会，不然容易误解啊。 b f 它就是等于六的，好，继续看，我们要求啥呢？要求这个 a e 的 长度，对不对？我们现在这个 a e 已经在这个三角形 a e f 这个直角三角形里面，对不对？那么我要去求这个 a e 的 长度，我们首先的一个思路是什么呢？是运用勾股定律，对不对？那么你要运用勾股定律的话，我们就要去分别知道这个 a f 或者 e f 的 一个 长度，对不对？好，那么怎么样去算这个 a f 和 e f 的 长度呢？我们看这边啊，这个题目告诉这个 b d 垂直于 bc， 这个垂直对不对？咱们怎么样？没有去用， 然后这里它是一个什么点？中点，那么我们就想到一个三角形的一个中位线，为什么我们延长，你看到啊，我延长 a f 交这个 dc 与点，这里随便标一个点吧。呃， g 吧，交于点 g 对 不对？好，那么是不是说这个点 g 它也是一这个 c d 的 一个 中点，为什么呢？因为这个你看啊，这里是一个垂直的，对不对啊？所以说这条线和这条线它是一个平行的，然后这个 f 又是中点，所以说这个点 g 怎么样？它也是一个中点。 好，我们看啊，在这个三角形 b、 c、 d 里边儿，这个 b、 c 是 一十二， b、 d 是 五，那么刚好，怎么样？勾股数五十二，这边就是一个十三，对不对啊？ c、 d 的 长度啊，它是等于一十三的啊？ c、 d 是 一十三， 那么因为这个点 g 是 一个中点，就说 d、 g， 它就是二分之多少二分之一十三，这个很好理解，对不对？好，我们来看啊，题目里面还有一个信息，咱们没有用到，哪个信息呢？ 就是这个 d、 a， 它是这个角 b、 d、 c 的 一个角平分线，咱们就可以得到这个角 b、 d、 a 和 a、 d、 c 怎么样？它是相等的啊，这两个角是相等的。好，然后怎么样呢？ 然后咱们有这个 b、 d 和 a、 g， 它是一个平行的，一个 一组平行的线，对不对啊？那么两直线平行，咱们就得到这个内侧角是相等的，所以这个角看一下啊，这个角和这个角怎么样？ 它就是相等的，又因为这个角和这个角相等，咱们就能够得到这个角 a、 d、 g 和 d， a、 g 怎么样？ 它就是相等的，就是这两个角得到相等。那么在三角形 a、 d、 g 里面有两个角相等，说明这是一个等腰三角形，对不对啊？所以咱们就有这个 a 怎么样？它就是等于这个 d、 g 的 啊，等于二分之一十三的。 对啊，这个是很好理解的，对不对？好，然后刚刚咱们讲了，这个点 g， 它是中点，点 f 是 中点，所以说这个 e、 f 是 个三角形 b、 d、 c 的 一个中位线，就说这个 e、 f、 g， 那 么就是这个 b、 d 的 什么它的一半啊？三角形的这个中位线平行且等于第三边的一半，对不对？所以说这个 f g 的 长度，咱们写下啊，这个 f g 的 长度，它就是等于二分之几啊，等于二分之五。现在咱们看啊， a g 一 共是二分之一十三，然后 f g 是 二分之五，那么上面这段 a f 是 不是就是这个 a g 的 二分之一十三？减去二分之五等于多少？等于二分之八，对不对啊？就说 af 等于二分之八，这个也非常好理解，对不对？好，然后 af 知道之后， 咱们要求 a 一 的话，还差哪个？还差这个 ef， 那 么 ef 怎么求呢？我们观察一下，这里它是一个什么？它是一个八字形，咱们想到什么？ 想到一个全等三角形，或者这个相似三角形，对不对啊？那么这个地方它只能证明这个相似，为啥？这个角和这个角它是 相等的？内角相等，然后这里是一个直角，这里也是一个直角，根据角角三角形相似，咱们就有这个三角形， a f e a f e， 它是相似于三角形，这个 d， 呃， b e 啊？ d b e 好， 得到这个三角形相似之后，咱们就得到一个对应边成比例，对不对啊？就是得到一个相似比一对不对？好，咱们要求这个 e f， 咱们来看一下啊，我们把这个 e f 设置一下， 把 e f 设成多少？设成 x 啊？我简单写一下啊，我设这个 e f， 它是 x 啊，看哈这一段是 x， 然后 b f 总共是多少？是六，那么这个 b e 是 不是也可以表示出来？好，那么咱们就可以得到这个 b e， 它就是等于多少呢？等于六，减去 x， 好， 对应边乘比比例来直接比啊？ 好，这个 e f， 它是这个上边这个三角形的一个直角边，它应该比上这个下面这个直角三角形的一个短的一个直角边，也就是 b， 对 不对啊？比上这个 b e 好， 等于上面咱们已知哪个？已知 a f 长的这个折耳边啊？等于这个 a f， 比上下面这个长的一个折耳边。是哪个？是 b d 啊？比上这个 b d 好， 咱们把这个呃 这些数据啊带进去啊。 e f 是 x， 然后 b e 是 六，减去 x， 好， 等于 af 是 多少？ af 咱们这里算出来是二分之八，也就是四，对不对啊？是等于这个四，然后再比上这个， 嗯， bd 是 多少呢？ bd 是 五，比上五，然后咱们来十字异相乘，很简单，咱们就可以解的。这个 x 等于多少呢？我们来写解一下啊， 十四相乘，这里是五 x， 我 写到这边来啊，这个五 x 等于，然后这里是四六二十四，减去这个 四 x， 好， 一项得到五 x 九 x 啊，九 x 等于二十四，那么 x 等于九分之二十四，分三三得九，呃， 三八二十四，对不对啊？就是多少？就是三分之八，对不对啊？好，那么得到这个 x 的 这个长度之后，也就是这个 e f 的 长度之后，咱们又知道 a f， 那 么 a e 怎么样？咱们就可以用这个勾股定力继续一个计算，对不对？好， 那么这个 a e 我 们来写下啊，这个 a e 它就应该等于根号，下什么呢？我直接写啊，等于这个 e f 的 平方。 e f 等于这个 x 啊，等于多少？等于三分之八，就是 平方，就是九三的九八八六十四，对不对啊？然后加上这个 a f 等于多少？ a f 等于四的平方就是多少，就是一十六，对不对？好，那么这个等于 多少呢？这个开出来啊，它就是得了这个，呃，三分之这个四倍根号一十三，所以说 a e 的 长度啊， 就是三分之四倍根号一十三。那么这道题啊，这个做题的，呃，方法也有很多种啊，我只讲这个其中的一种。好，大家听懂了吗？啊？这个就是这个 贵州这个万维中考黑白卷里面这个黑卷的这个填空压轴题啊，如果有需要这个贵州中考万维黑白卷的同学可以在这个评论区留言啊，我给大家这个分享一下。好。

二零二六年万维黑白卷之白卷第二十二题实体讲解，咱们看一下这个黑白卷的白卷第二十二题，嗯，这个综合与实践的一个问题， 从这问题背景这开始进行看，就是为了增强消防员专业技能和实战经验，消防员会对会近期进行不定期的一个实战演习。如图，某消防支队对小区楼层失火抢救的一个进行演习， 经无人机在离地面某处测探测后，在距离地面十米的大楼 a 处距离地面十米的一个，那这个 a 到地面这个距离这块是十米啊，到地面的距离是十米。 此时消防员需要在无人机正下方离地面两米， 无人机与地面两米，并且水平距离是二十米的点 b 处进行喷火。那也就是说这个图上 b 这个位置到地面这个距离，这是一个二米，这段是一个二米。嗯， 第三个数学建模，这是已知水柱呈抛线的形状，并且距离喷水点水平距离十五米，水平距离十五米处达到最高， 达到了最高点，此时离地面的一个距离是一个十一米。嗯，那就是说咱这个抛物线这个形状，这条线这个最高点是离地面是十一米，离这个，嗯，喷水喷水的一个位置，水平距离是个十五米。 以地面为 x 轴，无人机和消防员所在的直线为 y 轴建立坐标系。第一个求抛物线的一个表达式， 求抛物线的表达式，那你看他首先有这个距离是十五米，高是一个十一，这个顶点有了，最高点有了啊，那有最高点，咱可以设设出他这个顶点式就行啊。再个过点 b 点 b 的 坐标是零。逗二 啊，那这带入来进球就行了。那第一个，咱就设设 y 等于 a 倍的 x 减 h， 括号方加上一个 k， 这是顶点式。顶点式又提议的 顶点，顶点的一个坐标是横坐标是十五，纵坐标是一个十一，这是顶点坐标， 嗯，所以 y 就 等于 a 倍的 x 减十五，它这个平方再加上一个十一，嗯，再将这个点 b b 点的坐标零到二代入的 啊， x 零的时候，那就是十五的，一个零减十五就是负十五，负十五平方是二百二十五，就是二百二十五。 a 加上一个十一，等一个 y 是 一个二啊，这样求出来， a， a 等于一个负的二十五分之一，负的二十五分之一啊，这样代入里边， 所以它这个表达式为， y 等于负的二十五分之一倍的 x 减十五，它的平方加上一个十一啊，这是它这个抛物线的表达式。第二个 问，此时水柱能否喷到点 a 处，能不能喷到点 a 处？那也就是说你看他说的水平距离是二十米的时候，那在这抛物线上，当 x 等于二十时， y 等于几就行了，看 y 不是 是不是个十。嗯，第二个， 当 x 等于个是二十时，呃， y 等于个是， 咱代入就是负二十五分之一倍的二十减十五，他这个平方再加上一个十一，也就等于。你看二十减十五是五五五，二十五，二十五，那这是负二十五。 负二十五分之一乘个二十五是负一，负一加十一，那就等于个是负等于个十啊，等于个是十，刚好等于个十，那也就是说你看点 a 的 位置是一个十米，所以他就是能够喷到啊，等于个十，嗯， 所以这个此时水柱能，水柱能喷到， 能喷到点 a 处，嗯，第三个， 因为火势较猛，为了保证安全，消防员需要后退五米。为了保，为了确保水柱能够喷到点 a 处，消防员所在的升降梯需要升高多少米？需要升高多少米？那因为这个抛物线 啊，你看咱这样个抛物线，这个抛物线在这儿， 这样个抛物线，这条抛物线它向右平移五个，你看向后退五米，也就是说向左啊，向左向左移动五个单位，你看向左平移，向左平移的话， 向左平移五米之后，那么他这个线这边他是不是就下来了？是不是？那这边他就下来了啊？他这个位置他就低了，向左平移五米之后， 嗯，那所以那他要想再经过点 a 的 话， 他如果向左平移五米之后，那这边过这个点 a 是 到这了， 过着点 a， 他 要想再经过点 a， 那 也就是说只能是这个整体向上平移了，平移之后才能降，才能经过点 a。 那 也就是说咱这个抛物线向左平移五个单位长度，向左平移五个单位长度，再向上平移几个单位长度就行了。嗯，那咱直接设向上平移 m 个单位，嗯，接 设这个升降梯 需向上升高 m 米啊，假设向上升高 m 米，那么由题的 向上升高 m 米，嗯，再向左升高，说了是后退五米，就是向左升高五米，嗯，得， 得。咱这个抛线那个解析式，那 y 是 不是就等于负二十五分之一倍的 x 减十五，咱说了左加右减自变量，左加右减自变量，向左是加五，所以这地方加五。自变量加一个五就行了。它这个平方 上加下减长数项，也就是加上一个十一最后的长数，最后加上一个十一，加上一个 m 就 行了。嗯，向左右平移，就是 x 里边进行加减，嗯，左加右减，向上下平移，那就是说函数的最后常数进行加减。嗯，那这， 那这整理一下，也就等于个是负的二十五分之一倍的 x 减十的一个平方加上一个十一加上一个 m。 啊，那到这了，再把点 a， 并代入点 a 的 个坐标，将 a 点，因为 a 点它距离这个，呃，原来的位置是一个二十米，是不是？嗯， a 是 一个二十。逗号，一个是十， 代入得 a 是 一个二十，就是负二十五分之一倍的二十减去个十平方再加上一个十一加 m 就 等于个是十。 所以这样求出来， m 就 等于，那这是负二十五分之一乘一个十的一个平方是一百，再加上十一，再加上一个 m 等于个十，这两个约分是四十一减四是七， 嗯，七往左移过去，那就是十减七是一个三，所以 m 等于个三，那也就是说向上平移三个单位。嗯，最后 答需要向上升高三米就行了。嗯，这是第二十二题。

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