图形与几何嗯3到53到6年级的板书

今天我们来讲的是第九单元总复习图形与几何部分。先来看题， 至少要几个同样的小正方体才能拼成一个大正方体。读到这的时候，很多同学想到的都是四个，四个小正方体可以拼成大正方体。 其实如果我们把这个图画出来，或者是动手摆一摆的话，四个它拼成的图形应该是这样的，它并不是一个正方体，它只是一个特殊的长方体。那接着我们再往上放一层，也就是第二种摆法， 一层四个，第二层也是四个，这样的话它才是一个大正方体。所以第一个填空，至少要 八个同样的小正方体才能拼成一个大正方体。接着来往后看，如果一个小正方体的棱长是五厘米，那么大正方体的表面积是多少平方厘米？ 一个小正方体，他的如果棱长是五，那拼成大正方体之后，大正方体的棱长是十，那正方体的表面积等于棱长乘棱长乘六， 写算式十乘十乘六，口算出来等于六百，带上单位平方厘米， 所以大正方体的表面积应该是六百平方厘米。关键是要记住，八个同样的小正方体才能拼成一个大正方体，并且是至少要八个。 今天我们来讲的是第九单元总复习图形与几何部分。先来看题， 至少要几个同样的小正方体才能拼成一个大正方体。读到这的时候，很多同学想到的都是四个，四个小正方体可以拼成大正方体。 其实如果我们把这个图画出来，或者是动手摆一摆的话，四个它拼成的图形应该是这样的，它并不是一个正方体，它只是一个特殊的长方体。那接着我们再往上放一层，也就是第二种摆法， 一层四个，第二层也是四个，这样的话它才是一个大正方体。所以第一个填空至少要 八个同样的小正方体才能拼成一个大正方体。接着来往后看，如果一个小正方体的棱长是五厘米，那么大正方体的表面积是多少平方厘米？ 一个小正方体，它的如果棱长是五，那拼成大正方体之后，大正方体的棱长是十，那正方体的表面积等于棱长乘棱长乘六， 写算式十乘十乘六，口算出来等于六百，再上单位平方厘米， 所以大正方体的表面积应该是六百平方厘米。关键是要记住，八个同样的小正方体才能拼成一个大正方体，并且是至少要八个。

今天我们来做一道北京六年级的必考题，如图，甲、乙、丙三位同学用相同的正方形卡纸来剪图形，甲剪的是一个最大的扇形， 乙剪的是一个最大的圆，丙剪的呢是四个最大的圆。问我们三人剩下的卡纸谁最多？ 好，我们来看到剩下的都是一些边角料，那剪掉的呢？是规则的图形，我们知道正方形大家用的都是一样的，那用正方形减去这个规则的图形，那就是剩下的了。好，本着这个思路，我们先来算一算剪掉的这个蓝色部分分别是多少？ 好在这里没有给我们数据，我就假设一下这个正方形，它的边长是 a。 好， 那接下来咱们就来算算这个扇形的面积，那这个扇形呢，是圆的四分之一，圆的半径呢，恰好就是这个正方形的边长。 好，我们来算一下甲的面积， s 甲等于什么呢？ a 派 r 方，那在这里的 r 是 a， 我 们带进去派 a 方，那这是整个圆的，它只占其中的四分之一，我们除以四，所以就算出来了，那甲的面积是四分之 a 方。 好，同样，我们来看看整个的这个正方形，它的边长是 a， 那大家来看边长和这个圆的半径啥关系？一半的关系对不对？它就是二分之 a。 好 了，我们来看一下，那它是一个整个的圆，我们就用 pi r 方就好了，只是这里的 r 呢？大家注意是二分之 a 的 平方。 好，我们乘出来，这里是四分之 a 方，四分之 a 方再乘以 pi， 所以 也是四 a 方，两个一样， 我们再来算一算饼，那 s 饼呢？怎么来算呢？也是我们来算一下这四个圆的面积，同样要算圆的面积，还是得先来看半径，整个这个边长是 a， 那 我们来看看这个边长，它是几个半径呀？ 一个、两个、三个、四个四个半径，所以呢，半径就是四分之 a。 好 了，我们来看那一个圆的面积呢？是 pi r 方四分之 a 的 平方，这是一个圆，那我们这里是四个圆，所以需要乘以四。好，我们来一起计算一下，在这里 四分之 a 的 平方是四四十六， a 方乘以 pi 再乘以四。好，我们来约分一下，这里有四，这里十六，约掉，那剩下的还是四分之 a 方 a， 我 们发现了甲乙丙这个蓝色部分的面积是一样的，那整个的面积一样，减去同样多的面积，剩下的是不是还是一样呢？所以我们在这就知道了，正确的选项就是 d， 一 样多 好。做完这道题目，我们不仅要知道正确的答案是 d， 还要知道一个规律，我们来一起看一看， 那就是在一个正方形当中，我们切掉 n 乘 n 个圆，哎，什么样子呢？就是这样啊，横着有 n 个，那竖着也有 n 个，只要是这样排列的， 那么它的面积都是一样大，为什么呢？我们来一起算一算。当正方形里啊，切掉 n 乘 n 个圆的时候，那这 n 方个圆，它的面积是多少呢？我们来一起算 s n 方， 哦，那在这咱们先来看看这个圆的半径，正方形的边长是 a， 哦，这个 a 大家可以看到它是 n 个圆， n 个圆，我们就把 a 除以 n， 这是直径，那直径再除以二就是半径了。好，那我们继续有了半径， i r 方就是一个圆的面积，那在这里切掉了多少圆呢？ a 一 行有 n 个，一共有 n 行，所以是 n 乘 n 个，也就是 n 方个圆。 咱们来一起算一算，这里的平方是四 n 方，乘以 a 方，再乘以 pi， 后面呢，再乘以 n 方， n 方和 n 方约掉了，最后剩下的就是四分之 pi 方。所以最终我们就得到了这样的一个结论， 当在一个正方形当中切掉 n 乘 n 个圆时，那它永远切掉的面积和剩下 它切掉的面积呢？一直都是保持不变的。那不管这个 n 它是等于一，在正方形当中切掉一个还是等于二，哎，它切掉四个圆还是等于三，切掉九个圆 还是等于四，切掉十六个圆，只要是这样相切的形式，在同样大的正方形当中切掉 n 乘 n 个圆， 不管 n 是 几，那这些圆的面积加起来的总和总是一样多，这是大家要知道的结论。那下次再遇到这样的题目，就不用再一个一个算了，直接出答案。

六下数学最难的图形与几何，就这十四大考点吃透，稳进班级前三。六下数学图形与几何十四大考点全会走一、图形旋转问题二，中面旋转问题 三、图形平移问题四、图形的运动组合五、圆柱侧面积的实际应用 六、不规则圆柱的表面积七、根据圆柱展开图求表面积完整版可打印。

同学们，今天让我们一起来复习有关图形的知识，先来说说我们学过的图形有哪些？张子涵，正方形，长方形，圆形，还有圆，还有平行 图形，都叫做平面图形。那如果把我们所学的图形分成两大类的话，会分成哪两类？刘宇阳，分别是平面图形和立体图形。图形，我们可以分成平面图形和立体图形。 那现在再来想一想我们学过的立体图形有哪些？反感句，长方体，正方体，球体，还有圆珠体，同意吗？同意，我们学过的立体图形有这些。那么我们学过的平面图形又有哪些？防身几啊， 有正方形，长方形，球形，还有圆形，还有梯形，还有四边形，对吗？对，有这些，这个叫什么？ 圆形球，是不是一个什么图形？立体图形好，还有正方形。你这是我们学过的平面图形，如果老师说把以上学过的平面图形给他分分类， 你能分成哪几类？并说说按什么去分？交单可以，范可，我想，呃， 分成两类，可以按有角的和没角的分，那哪些是平行四边形，长方形，梯形，正方形，三角形是有角的，圆形是没有角的，所以它单独是一类可以吗？可以，请作还有没有不同的分吧。 张艺轩，我想纠正一下。赵丹，我觉得说图形有角没角这个有点不好，我觉得应该说是把直边和曲边的分 也是分成这两类，对不对啊？你深爱的标准是直边的和取边的对不对？但是账单人家说的有角没角行不行？行，两种都行。好，请坐，还有没有不同的方法？ 孙静宇，我能分成三类，我是按小的个数分的，平行四边形、长方形、梯形和正 方形都有四个角，三角形只有三个角，圆形没有角，所以圆形单独分一类还行吧？行，我给他分开，这样行不行？行，请坐。那刚才我们看一下宋金宇分的这些图形分成一类，你仔细的观察一下这些图形他们还有什么共同点吗？如英文， 他们对上面的他们全都有什么四爱。像这种由四条线段围成的封闭图形，我们还可以把他们统称为 四边形，所以我们说平面图形也可以按分成这几类，对不对？对，那今天我们先来研究一下有关四边形的知识。刚才同学们说四边形有梯形、平行 四边形、长方形和正方形，那如果老师说现在我们还要继续分，请你把四这些四边形给它分分类，你又能分成哪几类？张亚宁，我可以分成两类，梯形一类，平行四边形、正方形和长方形分成一类， 你能说说你的理由吗？梯形只有一条平行线，而正方形、平行四边形和梯形都有两条平行线，哪有问题？师远，你觉得他是刚才说哪？他说的是长方形、正方形、梯形都有两条平行线，应该是长方 形、正方形和平行四条，那叫两条平行线吗？两组那叫什么？两组？这个行不行？奋斗行。梯形有 它分成这两大类行不行？这一类是有两组平行线，也就是两组对边怎么样？分别平行 横好起坐。什么是梯？什么是梯形？包容，有一组平行梯形的就是梯形，有一组平行线的就是梯形。只有不同意见程秋雨， 这一组平行线的四边形的梯形哪个正确？很正？汉语比包容的在包容的基础上多加了什么四边形？ 什么四边形很好，请坐。来包容。你再说一遍，什么是梯形？梯形，我一组平行线的四边形就是梯形，而且是什么 只有一组对边平行的四边形是梯形，明白了没？明白了，好，请坐。来。什么是平行四边形呢？假设有两组对边分别平行的正方形叫做平行四边形， 你再完整的再来说一遍，有两组对边分别平行线叫做平行线，请坐来。你听听其他同学的意见，咱们数学一定要注意说话的完整性和语言的严谨性。 再找位同学来说，王月平，有两组平行线的四边形，平行四边形对不对？还有两组对边分别平行的啊，什么平行四边形？刚才我们学了， 分了这些，现在同学们再来看一下，长方形和平行四边形又有怎样的关系？王雨桐，把长方形的对边相相，把长方形拉长以后就变成了平行四边形，把长方形拉长就是平行四边形，好，请坐。那么平行四边形， 好，请坐。还有没有不同的说法？看见平行四边形和长方形都有两组对边平行，他们还有什么不同的地方？ 王凯旭，平行四边形没有直角，长方形有直角，同意吗？同意，也就是说四个角都是直角的四， 但什么四边形就是长方形？对，也就是四个角都是直角的平行四边形，就是啊，长方形， 还有那么长方形和正方形又有什么关系？张子静，长方形和正方形都有四个直角， 他们有什么不同？长方形怎样就是正方形了？白松宇，把那个长方形的四条边都变成一样长的，同意不同意？用一句话完整的来说一遍就行， 四条边都相等是边形，什么是正方形？对，那么从这个图中你能发现什么？这些图形都有关系吗？ 这是咱们如果老师用一个集合圈表示四边形之间的包含关系的话，你能相应的把这些图形在集合圈中找见他的位置吗？今天给大家讲一下来李元哲来 有不同意见吗？同意不同意。从这个图中你能发现什么？刘宇阳，我发现了长方形是特殊的平行四边形，对，再找位同学，你还有什么发现？谁有补充吗？ 张一聪，我发现正方形还是特殊的平行四边形，对，还有高家阳，这我发现四边形包含了平行四边形，长方形，还有正方形，还有梯形，对，还有王凯旭，这梯形是独立，他跟平 平行四边形，它不属于平行四边形，对不对？好，请坐。还有没有老师问一下，这些图形咱们都知道代表什么？剩下的这些蓝色的这圈以外的这些应该表示的是什么 四边形的，什么样的四边形？这些剩下的外面蓝色的这些部分表示的是不规则的四边形，明白了吗？嗯，好，刚才我们复习了四边形的知识，对吗？那么本学期我们还学了 谁的知识？一天三道口，那么现在请同学们以小组为单位，互相之间回忆一下咱们学过的三角形， 关于三角形的知识有哪些，然后小组之间讨论一下，并把它怎么样记录下来，一会我们交流汇报， 听明白老师了吗？你能想到的有关三角形的知识都可以写下来，好了，一会咱们比一下哪个组写的最多行不行？行，三分钟的时间。好，开始还有一个三秒，还有几秒，快点。好了， 好啦，老师，咱们就看到大家共享电脑知识，在那想有关三角形的知识，一个人的力量远远不如一个集体的力量，现在咱们一起来看一下，也许有你们组没有找到的其他组找到的知识，一起交流一下来。 首先来看一下关于三角形的知识，你们找到哪些？来哪一组？先来说来，王佳妮，我们先是按角分的，先给三角形怎么样？按角分类对不对？咱们先来看一下三角形的分类，你是按什么分的？按角分。 好，我们一起来看一下，先给三角形按什么分？按角分，按角分会分成哪些？锐角三角形，钝角三角形、 角三角形和直角三角形。直角三角形，同意吗？同意，老师再想问一下啊，谁能给大家介绍一下这些三角形？那就王佳妮你来给大家介绍。直角三角形是有三个锐角， 钝角三角形是有一个钝角，两个锐角，直角三角形是有一个直角和两个锐角，同意不同意。也就是说一个三角形只要有一三角形中只要有一个，有一个是直角，这个三角形就是直角三角形，一个钝角这个三角形就是一个钝角 三角形。好，还有没有了？好，请坐来再找一下，让其他组给其他组点机会。田径数，我是二边分的，二边分有等边三角形和等腰三角形，二边分是等边三角形。 还有什么？还有不规则三角形，还有不规则三角形，我们把它叫做什么？等边三角形 啊？你能给大家介绍一下这三种三角形吗？两边三角形指的是这三个角的度数都一样，两边的长度也一样。等腰三角形的腰是一样长的，底角是一样大的，两边三角形是特殊的。等腰三角形。 他总总结了这么多知识对不对？好，请坐，这些知识你都知道吗？我们来看一下什么是等腰三角形，咱们再来清楚的知道一下。刘宇阳，等腰三角形就是有两条边相等，等边三角形就是三条边全部相等，同意吗？同意。那么等腰三角形除了两条边 相等还有什么？刘子涵，等幺三角形的两个底角度数都是一样的，对不对？对，等幺三角形的两条相等的那两条边叫做腰，那条边叫做底。 等边三角形。刚才有同学说了，等边三角形的三条边相等，除了三条边相等还有什么要错一点吗？王子玉，等边三角形的三个角的度数也相同，还有补充吗？ 刘文轩，那三个角的度数都是六十度，对不对？对，还有补充。张艺轩，等边三角形是特殊的啊，等腰三角形，对啊，这是我们复习的有关三角形的知识。除了这些，你还有没有？马明若， 三角形，任何一个三角形，不管是大三角形还是小三角形，他的内角和都是一百八十度，还有在一个三角形里任意两条边之差一定小于第三边。 哎，口气说了这么多吗？没有。好几个三角形的内角和一百八跟三角形的大小有关系没有？没有。还有什么三角形的角的关系，三角形的边又有怎样的关系？他说了一个什么王雨桐，三角形的任意两边之差小于第三， 咱们这学期就学两边之合，但是在练习册之中是不是有两边之差小于第三边？有，很好说明，这样的知识你们讲过来特别棒。还有没有？李思琪，还有三人行必有。所以我们在房屋建造的时候一般用什么样的图形做结构？没有？ 定会用平行四边形的。没有。为什么？因为，为什么？你说陈秀媛，因为三角形具有稳定性，那四边形具有稳定性？好，请坐。还有没有来看王凯旭，还有每个三角形里至少有两个锐角。这句话同意。想一下， 直角三角形中有几个锐角？两个三角形了，三个。你说每个三角形 至少有两个锐角，这句话对不对？对，还有没啦？没，请坐。来，哪个组来补充？防震脚，三角形不可能有两个直角或两个钝角，对吧？对，还有没？哪个组还来补充？刘一文，我想说的就是， 这是两个锐角三角形可以拼成一个，还是可以拼成一个一百八十度的三角形？两个必须是怎么样的锐角三角形？两个相同的锐角三角形拼成一个内角和是一百八十度的大三角形，有个意思是吧？ 嗯，就是我的意思是说这是两个同样大小的锐角三角形，它俩拼在一块可以拼成一个，还能拼成一个一百八十度的三角形， 内角和是一百八十度，同意不同意？还是有疑问，为什么一个三角形一百八十度？两个三角形不是内角和就成三百六十度了吗？张雅宁，因为把两个四角形并在一起， 中间还有两个角，所以说还是一百八十度，中间拼成一个什么角？平角拼成一个什么角？平角 是这个大三角形的内角吗？不是，所以说不管是大三角形还是小三角形，内角角永远是三角形，内角角就是一百二十度。还有谁补充关于三角形的知识，来点点数。锐角三角形，其中的锐角是小于九十度， 直角三角形中的直角是九十度，钝角三角形的钝角是大于九十度，小于一百八十度。那你这是角，锐角小于九十度，直角等于九十。好，还有加补充音补充，两个三，两个一样大小的三角形可以 拼成一个四边形，三个一样大小的三角形就可以拼成一个梯形。对下去，同学们可以拼一下叫一样大小的三角形来。还有向右冲，在直角三角形中 一个直角，另外的两个锐角的度数一定是九十度，明白没？明白了，哎，你说应该是那两个锐角之合应该等 于九十度。直角三角形中两个锐角之合等于九十度，这句话对不对？对，来，刘子涵， 有人跟他们类似的，就是钝角三角形中两个锐角是小于九十度的，明白不？明白？好，请坐。那。那老师就想问了，在锐角三角。

在著名的思想家、教育家孔子说的一句话，有谁试着理解这句话的意思呢？ 黄先，你来温故我之心，这句话的意思就是温习旧的知识，从而获得新的知识。你说的真好，那我们这节课就一起温故之心，走进奇妙的图形世界，一起来复习图形与企鹅的知识。首先我们来看这是本册的目录， 哪些章节的内容的知识是和图形几何有关呢？我喊你来第二张认识三角形和四边形 和第四张观察物体。说的真准确，那课前老师布置了整理的任务，相信你已经做了一份属于你自己的知识结构图，那我们现在小组合作交流，一起补充完善。 在这之前，我们先看一下有重叠的部分，就是包含关系，它俩有什么重叠的部分？等腰三角形具有的性质，等边三角形都具有。 嗯，等腰三角形有什么性质啊？两两条边相等，而等边三角形是三条边相等。嗯，等腰三角形是三个角都相等。看来这个知识你极具掌握的，非常 扎实，那我们在数学中就把图形之间有重叠部分的关系叫做包含关系。 好，请坐宝贝静语，我来帮你补充。判断一个三角形是什么三角形，只要看它最大的角就可以，因为直角三角形中最大的角是直角， 钝角三角形中最大角是钝角。锐角三角形中最大角是锐角。所以判断一个三角形是什么三角形，只要看它最大的角就可以。 它题的方法真好，在我们数学应用题中，如果遇到这样的题，通过这个方法，只需找到最大的角，就能迅速的判断出你这个三角形是什么。三角形很好， 还有陈浩，我来给你补充补充吧。我们在学习三角形三条边的关系时，还运用了动手操作的方法，得出三角形任意两边之合大于第三边。 但在我们实际做题中，我们不必把每两条边都相加，只需把最最短的两条边相加起来就可以了。我说完了，谢谢陈浩又提出一个好方法。 我们都知道三角形中任意两边之合是大于第三边的，如果在做题中，我们不需要把每两条边都相加， 只需找到最短的两条边相加，如果大于第三边，我们就能迅速判断出这三。这三根小棒就能拼成三角形。 互不相干的关系叫做并列关系，就是按照角分的话，直角三角形、内角三角形和内角三角形，它们是并列的关系，因为它们互不相干。 宋颖，我来帮你补充三角形还可以按有两条边相等，有三条边相等和三条边都不相等的标准来分，有两条边相等的是等腰三角形，有三条边相等的是等边三角形。我说完了，谢谢 我的汇报完毕。嗯，感谢宋雨菲的介绍，他介绍的生动具体，同学们的补充呢，也很有价值，可以说精彩极了。把掌声送给宋雨菲，还有最后观察物体拿手起来。 王娟，你来， 我要介绍的是观察问题中，看一看，我说你答你答的内容，再看一看中，我学会了通过不同角度。他说，在我们解决这些问题中，有一个好方法， 可以先从一个面入手，再按照要求怎样逐步的调整， 这就完事了吗？没做完之后我们一定要注意什么？检查对，检查很重要。搭完之后啊，我们要从三个方向检查对不对？ 只有做到认真呼吸，我们才能顺利完成。好了，那我们看一下黑板，在我们同学共同努力下，我们把图形与几何本册书两大章节的内容全部梳理在黑板上。我们看第二章节， 有位同学发现我们在认识图形性质和特征时，我们运用的方法最多的是什么？ 高传，你说我们运用方法最多的是分类，你说的真好，对，就是分类。在我们数学学习中，分类是非常重要的一种学习数学的方法。 那根据分类动手操作以及观察 bc， 我 们可以准确的认识各种图形的性质与特征 那嗯，同学的学习就到这为止了吗？没，远远不止。那在以后的学习中，我们还会学习到很多东西。谁试着大胆猜想一下，我们下学期五年级我们会学到什么知识呢？ 廖小英，你说说。老师，我猜测我们可以运用分类动手操作的方法。嗯，学习五边形，六边形等等。嗯，大胆猜想，不错，我们在以后的学习中啊，会逐步的学习到五边形、六边形。在五年级的学习中，我们还可以学习测量 量、测量来学习三角形的面积等等知识，也就是说，根据这些方法，我们可以学习更多的知识。可见，整理知识不仅可以温故，一切可以知新。 那刚才在三角形内角和中，我们有两个组，用了撕一撕折一折的方法来证明三角形的内角和等于一百八十度。其实在数学中呢，这只是最简单的一种方法，在我们以后初中学习中，我们还要学习 证明的方法，来证明出三角形的内角和等于一百八十度。那这些知识不知道大家掌握的怎样？拿出我们基础公安提卡，我们动手练一练吧， 做完就请坐好，看谁走的又快又准，注意坐姿。 嗯，我们来看看是不是这四种。对， 第二种，第三种，第四种，你是哪一种？你是哪一种？第四种。嗯，好，现在老师又给出一个要求，要求从右面看到的是这个图形，快去调整， 坐好坐好啦。黑板上刚才第一个要求的四个立体图形 都可以吗？无无可是，哪次没有满足这条件？第一个，第二个，第一个，第二个。哦，好了，接着 让他从上面看到是这个图形，能满足这个条件呢？这两个图形是谁？第四个？第三个，右边淘汰了，作对，举手， 好，手放下。你说说你刚才在拼摆的时候，你运用了什么方法，这么快速就摆出来了呢？老师给你一个奖励，大家请看， 你瞧他写的这是个什么字呢？ 什么字？善是一个善字，老师总共每关都有一个文字，把这四个文字啊要连在一起是一个四字词语，这才可以过了第一关。接着我们来挑战第二关好不好？好， 第二关有任于开始。 死的真快呀，眨眼功夫你们都做完了， 你们说我现在想知道第二关了，奖励的是吧？好了，我们先来看答案，角 b 等于七十七度，角 c 等于五十五度，角 a 等于一百一十五度。顺利闯关的请举手！ 全部闯关好，把奖励送给你们。哈喽，你说通过这节课，我知道了正角三角形、直角三角形、立角三角形是并列的关系。嗯，看来大家通过这节课收获真的是很多呢。那用孔子的一句话说， 学而时习之，不亦悦乎。我们这节课温习了旧的知识，又得到了新的知识。

同学们好，今天我们去看看人家把六年级数学下册数学书八十九页第八九题，第八题，下面这些图分别是从哪个方向看到的这个图，我们可以看到长方体的这一个面，也就是这一个面，可以看到 圆锥的这一个面，可以看到球的这一个面，而且球他是被遮住了一部分，所以应该是从左边看的，也就左面这个图，可以看到长方体的这一个面，也就是上面的这一个面。那这一个图应该是从上面看到的 这个图形，看到方体的这一个面，可以看到圆锥的这个面，可以看到球的这个一面，所以应该是从正面看的。第九题，把下面这个展开图，折成一个长方体字母在长方体的内侧。一、如果 a 面在底部，那么哪一面在上面？二、 如果 f 面在前面，从左面看是 b 面，那么哪一面在上面？三、如果要计算这个长方体的表面积和体积，至少要量出哪些边的长度？ 先解决第一个题， a 在 底面，底面和上面它是相对的面，找到 a 面与 a 面相对的是不是 f 面，所以 f 面在上面。二或 f 面在前面，从左面看是 b 面，那么哪一面在上面？老师这里画了一个图，要注意啊，这个母是在长方体的内侧，也就是说我们要这样子去 a， 题目的要求 f 面在前面，那它就是在前面的，从左面看，要是 b 面的话，是不是这样子，上面是哪一个面，是不是一面在上面的，所以 一面在上面再看。第三问，要量出哪些长度才能计算长方体的表面积和体积？根据长方体的表面积和体积公式，都需要知道长宽高，所以要量出这边的长宽高。从一个顶点出发引出的三条线段就是它的长宽高，所以可以量出 这一条边的长度，可以量出这一条边的长度，可以量出这一条边的长度，那也就是可以量出 b 面的长和宽，量出 c 面的宽。当然还有其他答案，同学们可以自己做一下，同学们，你学会了吗？

今天我们来做一道北京六年级的必考题，一起来看题。图中啊，阴影部分的面积大家可以看到了，就是这一个部分，那它占小圆面积的呢？是四分之一，我们注意了，是小的，四分之一 是大圆面积的呢，五分之一。现在还告诉我们了，小圆的直径是两厘米，然后问我们两个圆的面积分别是多少？ 好了，那在这里我们来看一下，我们知道小圆的直径是不是就可以直接算出小圆的面积来呢？好，我们打入公式啊，我们把它叫做 s 小， 就是表示小圆的面积了。 好，那圆的面积是 pi r 方。好，那在这里我们知道的是直径，那怎么办？哎，直径的一半就是半径了，所以是 pi r 分 之 d 的 平方。 好，带进去数据 i 乘以二除以二啊，它的平方也就是一一方还是 e， 所以呢，最终的结果是， i 好， 单位的话是平方厘米。 好，小圆的面积我们就求出来了。接下来大圆的面积怎么求呢？我们就要比例来求了，我们知道这一块的面积是小圆的面积呢，是 i， 那这一部分是四分之一是多少呢？我们知道了 s 因，哎，它是小圆的四分之一，也就是在小圆的基础上乘以四分之一，那也就是四分之一派。 好，继续，我们再来看，那它是大圆面积的五分之一量律对应了。 好，来，先看一下量，哎，这块阴影的数量是多少？四分之一派，再来看一下绿，哎，他占的是五分之一，所以除以五分之一。 好，那除以五分之一就是乘以它的倒数五，我们可以计算出来是四分之五派，单位依然是平方厘米。 好，我们来一起回顾一下这道题目的要点。首先我们知道圆的面积公式是派而方，也就是说知道这个圆的半径或直径或者周长，我们都可以计算出它的面积来。此时题目当中已经告诉我们了小圆的直径，那么我们代入公式计算就可以得到它的面积。 好，那么接下来呢，我们就以阴影为桥梁。嘿，在这你也看到这个阴影呢，他既在校园当中，又在大圆当中，所以他就把校园和大圆的面积联系起来了， 我们可以根据校园的面积计算出阴影的面积，再由阴影的面积量力对应出大圆的面积，你学会了吗？

好，今天我们去看看人这本六年级数学下册数学书，八十六页，做一做一，二三题。第一题，过一点可以画几条直线，过两点可以画几条直线，经过一点可以画无数条直线， 过两点可以画几条直线，这是两点。那经过这两个点，尤其仅有一条直线，所以可以画一条直线。 二有长度分别为三厘米、四厘米、五厘米、八厘米的小棒各一根，哪三根小棒可以围成一个三角形。要判断哪三根小棒可以围成三角形，是根据我们三角形三条边的关系来判断的。任意两边的和要大于第三条边，我们先选三条边，三、四、五，那三加四是 等于七。大于五的三加五等于八。大于四的四加五等于九，九是大于三的，所以三厘米、四厘米、五厘米可以围成。 接下来再选三厘米、四厘米、八厘米，三加四是等于七是小于八，那不可以围成。接着我们可以选三厘米、五厘米、八厘米、三加五是等于八，八是等于八。不可以，那我们就用完了。接下来选四、五、八， 四加五是等于九，九是大于八厘米，四加八等于十二，十二大于五，五加八等于十，三，十三是大于五，所以四厘米、 五厘米、八厘米可以围成。没有了三题，一个直角，三角形的两个锐角的和是多少度？为什么两个锐角的和是九十度？因为三角形的内角和是一百八十度，直角是九十度，所以另外两个锐角的和是等于一百八十度，减九十度等于九十度。同学们，你学会了吗？

虚面组成的，然后他如果剪开的话，得到的是一个，呃。一个三角形，同意吗？不同意。你来说 那个沿着锥的侧面展开是一个扇形，这样剪开展开是一个扇形，对不对？还有没 啊？你来补充。呃。与圆柱体不同的圆锥只有一条高，对不？嗯，非常好啊。对比圆柱，那么他俩的最大区别就是圆柱有无数条高，而圆锥就只有一条高，是顶点到平面圆心的距离，对不？但是他们的共同点是什么？ 你来说，嗯，他们的共同点是都有一个区面。对，非常好啊。来，我们看一下最后一个特征， 有一个底面是个圆形，有一个侧面是个曲面，展开是个扇形，有一个顶点只有一条杠，是不是大家非常棒啊？通过刚才这个小游戏，我们是不是对这个 这几个立体图形的特征已经了如指掌，是不是？好了？那么你们真真棒啊。接下来我们再考再考虑一个问题， 长方体和正方体有什么关系呢？你来说使六个面都变成正方形就是正方，嗯，那是不是这样子？ 如果他缩短的话，对不对？他就能当什么情况下他成正方体了。当六个面的面积相等，六个面的面积相等，当他的所有棱长都相等的时候，他就行了，形成了正方体，那也就说这个正方体是特殊的 长方体，嗯，也包括在长方体之中，对不？好了？我们再次讲圆柱和圆锥有什么联系？他们之间有什么关系？好，你来说。呃。与圆柱等底等高的圆锥是圆柱的三分之一，你指的是什么？是它的三分之一。 呃。圆锥是圆柱的三分之一，具体说是周长吗？ 你说，呃，圆锥，呃，等底等高的圆柱是圆锥体积的三倍，嗯，这是我们一会要研究的这个体积，他们的关系是不。那么大家想象一下刚才那个长方体变短变成了正方体，那么我们看一下怎样才能把这个圆柱变成圆锥呢？ 哪地方变化一下呢？你来说。呃，将圆柱体切割啊，可以切， 大家都学过可以削成一个圆锥，那是不是把它的上面这个面给它变小变大，还是变小变成一个扁？对了，非常好啊，是这样吗？当它上面那个面变成一个点的时候， 说到一个点他就成了圆锥了，是不是？嗯，那前提他俩现在肯定是等也等高，对不好？非常好啊，那么通过刚才的同学们的努力，我们把那个特征复习完了，接下来啊，想同桌之间对学回 忆一下他们表面积的公式是怎样推导出来的，行不行？嗯，好，开始。 好的。谁能先回答一下到底什么是立体图形的表面积？ 嗯，你来说立体图形的表面积就是立体图形的六个面的面积。六个面的面积，那是不是所有图形都有六个面啊？是不是？那咱们概括一下，是它所有的面积总和， 一个立体图形所有面的面积总和叫做它的表面。先当举例子说一说。假如说牙膏盒， 牙膏盒它的表面积指的是，嗯，你来说说行吗？牙膏盒指的是几个面，牙膏盒指的是六个面，六个面前后左右上下，对不对？嗯， 好了，我们看一下啊。先看这三幅图，长方体、正方体，这个由于视觉差，这个有点有点不太像，是不课架的问题。这个中间是正方体啊，然后圆柱， 我们看一下谁能站起来用字母来表示这些长方，呃，长方体，正方体，还有圆柱的表面用字母公式来表示， 嗯，等会。长方体表面积用字母表示是 a 乘 b 加 b 乘 h 加 a 乘 h 的 和乘二。 那一般字母和数字相乘的时候，数字写在前面。好，第二个，正方体的表面积用字母表示是六 a 的 平方。急了。圆柱的侧面积用字母表示是 s h， s h， c h， 嗯， c h 是 不是？那 c 是 指的是指周长体面，周长 h 是 高高，还有没底面周长还可以换成， 谁来谁来。那个补充一下，里面周长还可以，里面周长还可以换成二 pi r， 二 pi r h， 对 不对？里面周长还可以用二 pi r 来表示，那也可以换成 pi d 是 不？所以都乘高，那就是二 pi r h 或者是 pi d h 也行啊。圆柱的表面积 圆柱的表面积圆柱的表面积。这呢来，你来说。呃，圆柱的表面积是？呃，二 pi r h 加上二的平方乘 pi 乘二， pi 的 平方乘 pi pi， 那 就是 pi r 方呗，对不？ pi r 方乘二乘二，那数字如果放前面，应该是二 pi r 方，很好，大家一起说一遍行不？圆柱的表面积可以是 阿尔卑斯加阿尔派阿尔方，对不？加两个底边缘 很好，看来大家对这个表面积的公式掌握的还非常好。好了，接下来呢，我们刚才已经把这个表面积这个问题已经解决了，是不是？那接下来我们想一想，还剩最重要的，也就是我们求立体图形的体积。 先回忆一下什么是立体图形的体积？这个男孩，嗯，立体图形的体积就是图形占的空间的面积，嗯。再来说一声，你说，嗯，就是物体所占空间的大小叫做体积，嗯，很好， 物体所占空间的大小叫做它的体积，是不？刚才我们说了，除了体积，那容积呢？ 所体积是所占空间的大小，那容积是所容容纳空间的大小。但是这节课我们把这个容积先不作为重点，重点我们来看体积是不？回忆一下这几个图形的体积公式， 我不给你思考的时间，看谁能直接站起来就说出来啊。第一个，长方体，长方体。 那女生同意不同意？那汉字公式应该是长方形高对，长方形高 a b h。 好。 第二个，这个正方属实有点失真了啊，不过是屏幕显示的问题。正方体积，嗯，这边女生最后一个 冷藏的立方，声音再大点就更好了。啊，你回答对了，来，下一个，嗯，圆柱的体积，圆柱的体积，这个女孩。第二个女孩， s h， 同意不？同意。 s h， 也就是底面积乘高。最后一个圆锥一起说 三分之一的 h， 三分之一的 h 是 不好了，咱们思考一下啊，正方长方与圆柱的体积计算有什么相似的地方？ 有什么相似的地方？你来说，嗯，他们的体积都是用底面积乘高，都可以用底面积乘高，也就是 h 来表示，对不对来计算，那这是他们三个共同的计算公式，那圆锥可不可以？为什么呢？他的公式必须怎么的？ 必须得这么说，因为圆锥与它等底，圆锥的体积是它等比，等高体等你等高。圆柱的体积的三分之一啊，三分之一，所以我们在计算圆锥体积的时候，千万记住了，不要忘记成三分之一 是不是？好了，那大家回忆一下啊，咱们把公式都说出来了，那你想一想我们当初在研究这个长方体体积的时候是怎样研究的，记得吗？ 那你能说一说吗？嗯，是用小正方体摆成的长方，嗯，然后摆完之后我们数一共有多少个小块，嗯，长有多少块，宽有多少块，高有多少，然后从而 得到长方体的体积，那他们之间是连乘的关系对不？乘出来到底有多少块，他的体积就是多少，是这样算的。不是。那后来，后来你先别坐下，后来我们进一步利用他，我们又想研究正方体的体积时候也是这样研究的吗？呃， 是不是？大家回忆一下，帮他想一想是不长方体我们这么推出来了，其实正方也是，是不是 长有多少块，宽就有多少块，高就有多少块，因为它的每条棱长都是相等的，所以最后我们就推出来了三个 a， 连乘就是它的体积简写为 a 的 立方，是不非常棒，给他点掌声啊， 学习了这么久了啊，还记得我们这个他长方体和正方体的推导过程，那大家现在回忆一下，圆柱是我们这学期学习的重点，那他的公式我们是借助什么图形推导的？长方体？长长方体对不对？谁能 简单说一下怎么推倒的了？将圆柱体平均分成若干个小三角形小三角体，然后它是怎么切的呢？平均切是盐什么切的？盐盐糕，盐元糕 和直径竖着切开的，是不是这样？不是？嗯，然后呢？嗯，然后再将这些半圆平均分，平均分，也就是从 是从这写的吗？是不？圆心，然后平均分成若干等份，然后再将这些等份合在一起，就分成了一个 近似长方体，对，不是吧？很好啊，拼成了一个近似长方体，然后呢？大家想了啊， 长方体的体积我们会求长成宽成高，对不？那也就是说我们只要找到了长宽高是多少，我们就能把这圆柱的体积求出来了，当时是这么想的不是？好了，那现在你们找一找吧，这个长方体的底面和圆柱的底面相等，相等，那也就说 圆柱的底面就是长方体的底面，对不对？这个高就是圆柱的高，就相当于长方形的长方体的高，然后换劲大点声说 就是长方的宽，长方的宽，那现在我们看一下，知道了长宽高，我们就把这个长方体的体积就能求出来了。那谁能用字母公式来说一下，这个长 怎么求？长？相当于这个圆柱的底面周长的一半是一半，那周长是二 pi r， 一 半是 pi r， pi r 也是 pi r， 所以 谁能说一下长方体的体积是底面积层高，那么这个底面积怎么求？看着这个字母底面积怎么求？ 长是 pi r， 宽是 r， 那 成在一起就是 pi r， 哎， pi r 方，对不？ 然后呢？高呢？所以我们就推出来了 pi r 长方形体积是 pi r 方 h， 也就是 s h 是 不对？然后最后我们推出来，那其实圆柱的体积也可以用 非常好啊，这个在脑海的记忆当中，我相信大家当时推导的。

你们好，今天我们去看看人教版六年级数学下册数学书八十九页第六、七题第六题，一个平行四边形和一个三角形等底等高。已知平行四边形的面积是三十平方厘米，三角形的面积是多少等底等高。我们根据平行四边形的面积是等于底层高， 三角形的面积是等于底层高除以二。现在平行四边形和三角形等底等高了，这一个就相当于是平行四边形的面积。题目告诉我们，平行四边形的面积，现在要求三角形的面积，是不是就是用平行四边形的面积除以二，所以列算式是三十 除以二，等于十五平方厘米。答，三角形的面积是十五平方厘米。第七题，你能画一条直线，把下面每个图形分成面积相等的两部分吗？每个图形你能画出多少种画法？你能发现什么？第一个是平行四边形，我们可以接这一 个对角线，那就分成两部分相等的，也可以连接这边的对角线，分成的也是相等的两部分了。当然也可以这样子去分，分成的上下两部分是一样的，也可以这样子去分， 分成的面积也是一样的。当然还有很多种方法。这一个图形我们把它面积分成相等的两部分，可以这样子去分， 这样子区分。可以这样子区分。可以这样子区分。当然也可以这样子区分。可以这样子区分。等等。这一个图形我可以这样子区分。我可以这样子区分。可以这样子区分。可以这样子区分。 当然还有方法，这是一个圆，我们找到它的圆心大概在这个位置，只要是过圆心的直线，他都可以把它分成两部分，一样的可以这样子区分，可以这样子区分，当然还有很多种，所以我们就能够发现，画一条直线，把每个图形分成面积相等的两部分，有无数种画法， 我们会发现他们的每一种画法里面是不是都经过了同一个点的这里这里，而这个点就叫做图形的中心点，所以经过每个图形的中心点的任意一条直线，都能把这个图形分成面积相等的两部分，同学们，你学会了吗？

好，那我们今天一起来做的是图形里面的易错和挑战题。好，已知淘气在笑笑家南偏西三十五度方向上，那么笑笑在淘气家的什么五十五度方向上？ 好，这个题目的话呢，最好啊，你画一个图，不然的话呢，还是比较容易出错的。所以画一个图，先是以这个 淘气在笑笑家，那么以笑笑家为坐标中心，他的什么南偏西三十五度，南偏西三十五度，好在这个方向上，然后，好，这个假设，我现在这个点就是笑笑家，然后笑笑在淘气啊家的什么方向，那我就以笑笑家去做一个坐标系， 那你会看到这里是三十五度，那这是一个直角坐标系，对吧？所以这里是五十五度，所以应该是在什么方向上呀？这个是东，这个是北，所以是东偏北的五十五度方向上啊，所以说这个题目就是东偏 北五十五度方向，给他画一下，标记一下，这样子才不容易出错。好，然后我们看第二个，如图，已知每个小正方体的棱长是二分米，那么这个长方体盒子的表面积是多少？容积是多少？相当于是什么？求表面积跟体积，那求长方形的， 求长方体的这个表面积跟体积，需要知道什么长宽高，对吧？好，那我们知道它每一个是二，所以它竖着叠是三个，所以二三得六，那么它的高就是六，我们就知道了。然后再来看它横过来是一二三四啊，是叠了四个啊，而且是一个一个，并没有重叠的，所以说一二三四，那就二四得八，所以它的长就是八。 然后再看他的框，他的框呢，也是旁边看过来一二三四啊，这四个侧面也是有的，所以也是二四得八。好了，长框高都知道了，那么就非常的好算了啊，好，那这个的话呢，就是直接运用一下公式吧， 八乘八加上八乘六，加上八乘六，然后再乘个二，算一下就可以了啊，这里算出来是三百二十啊，然后容积的话呢，就是长乘宽乘高啊，所以说八乘八乘六把它算出来就可以了啊，这里是三百 八十四。好，那么下面的这个阴影部分与左图阴影部分面积相等的有几个 啊？这个左图是这个图啊，是这个图，那跟它面积相等的有几个，那我们就看一下呗。这里的话呢，首先啊，你要知道它得是拿大正方形和小正方形，不然后面就是没法弄了啊。好，我就设一下， 这个为 a， 这个为 b 啊，大正方形，小正方形，他们的边长分别是 a 和 b， 所以 这个左图中的面积是多少呢？就是 a 加 b， 然后啊，这是底啊，这是底是 a 加 b， 然后这个高呢，是 a 乘个 a， 再除以二。好，这就是它的这个啊，面积，好，那我们再看后面的 这个肯定是什么？肯定是一样的，因为这个是 a， 这个是 b， 高还是 a， 公式都一模一样，所以这个肯定是相同的，但是到后面的话呢啊，为什么就设 ab 就 派上用场了啊？ 好，这个是 a， 这个是 b， 那 么这个梯形，你看他上底是 b， 下底是 a， 那 我就是上底加下底乘个高，高是横过来这条 a 再除以二，你看这个时候是不是他也行了呀？ 好，那到这个第三个图就有点不太好弄了，对不啊？没关系，我们就一个个去看吧。那这个可以分成三个部分啊，这是第一小块，这是第二小块，这是第三小块，我分别去求一下吗？ 这里的话呢，是第一小块是 a 的 平方除以二啊，因为正方形嘛， a 乘 a， 再去除于二，然后第二小块的话呢，是 b 的 平方去除于二啊，因为占小正方形的一半，那么三这个呢， 再加上第三块，第三块的话呢，这一段是什么？ a 减 b 吧。好， a 减 b， 然后这一块呢，就是乘 b， 然后三角形嘛，底乘高除以二，对吧？整理整理啊，这个就是 a 处 a 方除以二，加上 b 方除以二，加上 a， b 啊，乘法分配的用一下， a， b 除以二，再加上 b 乘 b， 那 就是 b 方除以二啊。减减减减啊，这个减号好，所以说你看 b 方除以二， b 方除以二，是不是给它去掉了？那整理一下，就是 a 方除以二，加上 a， b 除以二。哎，这个跟前面好像也不一样呀，那你把前面这一个给括号去一下喽，这个不就是 a 方除以二吗？加上 a 和 b 相乘，再除以二吗？这不就又一样了吗？所以这个也是正确的啊，这个难度还是有一点的。那么这个题目的话呢，就，嗯啊，这里是 a， 那 所以这个就是啊，不不，这个是 a， 这个是 b 啊， 大三角形底是 a， 高也是 a， 所以 是 a 方除以二。小的呢，是 b 和 b， 所以 加上 b 方除以二，这个跟前面他们就对不上了，怎么都对不上，所以说前三个都可以，所以这题呢，选择 c 选项，难度还是有的啊。好，然后看挑战题， 那挑战题这里，哎，也是需要我们去思考的，下图中阴影部分二的面积比阴影部分一的面积多多少？ 这个题目你看直接算，一是什么东西，二是什么东西都不规则的呀，对吧？所以我们需要给他变一变，变不规则为规则。你看如果这个是三号， 一号加三号，是不是一个规则图形，并且是一个长方形，对吧？好，因为我们这是一个半圆啊，所以这个是二，这个是五，所以这一段就是三，一号加三号，它的面积就是三五十五。好，我算出来了，然后你再看， 二号加三号，嗯，还不行，二号还得加一个四号，对吧？当然，这个四号的话呢，我面积是直接可以给他算出来的啊，为了，呃，避免多写一些步骤，那我就把这个 四号的面积先算出来，这是四分之一的三点一四乘这个半径是二，所以是二的平方。哎，一约刚好这一块就是三点一四，那我们就会发现啊，二号加三号，再加三点一四，是 大，大的这个半圆，看出来了吗？好，是大的这个半圆，那大的这个半圆我也是可以算一下它的面积的啊，四分之一的，然后三点一四乘五的平方啊，这里就是计算量会比较大啊，算出来是十九点六二五。 好，然后十九点六二五减去个三点一四，那我就会发现，二号加三号，就是啊，他减一下啊，减一下就是十六点四八五。好，那你再 看啊，这两个比较一，这两个比较啊，一加三等于十五，二加三等于十六点四八五，那说明三我是不是可以同时去掉，哎，不要管它了，二减一就是什么十六点四八五，减去十五不就得了吗？所以说啊，这里是十六点四八五，减去十五等于一点四 八五啊，这个数据算的还是有点麻烦啊。但是这个方法的话呢，就是把不规则的图形整合整合，变成规则图形之间的比较啊，需要你去融入一下，会比较难啊。好，然后再看下一个，将横截面积为正方形的密封 长方体容器，用一个石块支起来，然后上图为横截面的示意图，容器内有一些水，已知正方形的边长是十，长方体 的长为十五，就相当于是啊，有这么一个正方形横截面的，然后这个长呢，是十五的啊， 这个是十十，这个是十五的这么一个图形啊，然后先给他侧起来了啊，侧起来变成这个样子，然后将横截面所在的面作为底面，然后就是现在后面呢是把它给竖起来了，竖起来， 竖起来就是这个是十和十，这个是十五，让十五作为高，那么水深是多少？那不管怎么样，水不管是横着还是竖着，还是请斜着，它的体积是不发生改变的。所以说我们得先算出水的一个总体积啊， 根据我们体积用 s h 这个原理去求，所以我们需要算出来这个阴影部分的这一块面积，然后再乘个什么呀？它的长长度啊，它的这个长度到底是多少？比如说我这样子倾斜的，对吧？这一块，然后它的长度到底是多少，那水的体积自然就是多少啊。 好，那这里的话呢，是四加八，然后乘个什么呢？最高是十啊，乘个十再除以 二题型面积吗？上底加下底乘高除以二。好，这个横截面的这个阴影部分，这里算出来呢，是六十平方分米。好，然后再继续去乘个它的长度，那就是六十乘十五啊，这就是水的体积了。好， 这节列个综合算式了啊，除以什么呀？除以现在的底面积，那现在新的这个底面积的话呢，竖竖起来了之后是十乘十啊，所以除以十乘十就可以了。那这里算出来的话呢，是九分米啊。 好，那这道题就搞定了啊。所以说需这道题的话呢，其实难度不怎么难，需要你去理解，很重要啊，考的基础一个点呢，还是 水的体积不发生改变，但是这个水的体积是怎么算出来的，你得知道。然后这水的体积呢？如何运用？还是用一个 v 等于 s h 啊？好，那么我们这里的话呢，你自己再整理一下，今天的题目就讲到这了。

同学们好，今天我们去看看人家把六年级数学下册数学书八十九页第八九题，第八题，下面这些图分别是从哪个方向看到的这个图，我们可以看到长方体的这一个面，也就是这一个面，可以看到 圆锥的这一个面，可以看到球的这一个面，而且球他是被遮住了一部分，所以应该是从左边看的，也就左面这个图，可以看到长方体的这一个面，也就是上面的这一个面。那这一个图应该是从上面看到的 这个图形，看到方体的这一个面，可以看到圆锥的这个面，可以看到球的这个一面，所以应该是从正面看的。第九题，把下面这个展开图，折成一个长方体字母在长方体的内侧。一、如果 a 面在底部，那么哪一面在上面？二、 如果 f 面在前面，从左面看是 b 面，那么哪一面在上面？三、如果要计算这个长方体的表面积和体积，至少要量出哪些边的长度？ 先解决第一个题， a 在 底面，底面和上面它是相对的面，找到 a 面与 a 面相对的是不是 f 面，所以 f 面在上面。二或 f 面在前面，从左面看是 b 面，那么哪一面在上面？老师这里画了一个图，要注意啊，这个母是在长方体的内侧，也就是说我们要这样子去 a， 题目的要求 f 面在前面，那它就是在前面的，从左面看，要是 b 面的话，是不是这样子，上面是哪一个面，是不是一面在上面的，所以 一面在上面再看。第三问，要量出哪些长度才能计算长方体的表面积和体积？根据长方体的表面积和体积公式，都需要知道长宽高，所以要量出这边的长宽高。从一个顶点出发引出的三条线段就是它的长宽高，所以可以量出 这一条边的长度，可以量出这一条边的长度，可以量出这一条边的长度，那也就是可以量出 b 面的长和宽，量出 c 面的宽。当然还有其他答案，同学们可以自己做一下，同学们，你学会了吗？