幂函数作业设计

好，下面呢，我们来看这道题，小 f 是 连续，并且这个极限等于一，然后要求这个极限， 那当然首先是判别类型选择方法，大家看这是一，这个取向零，所以里边取向一，这个呢？分母取向零，这一看就是一的无穷大次方，所以是三步曲， 但是他已经给你写成标准型了，所以我们直接写他的算，他的二法乘贝塔，那么他的二法乘贝塔实际上就是他要乘他，那么在这呢，我们先处理一下这个， 那这个呢？大家注意，你看这呢是 x 方减 t 方，因为你这个里边有 x， 直接做是不好做的，所以我们在这拿这个 t 凑为分， 因为这个时候啊， x 是 参数， t 是 变量，所以这样一写的话，这应该是负二 t， d t 前面有个负二分之一，但这个要注意了啊， 我这虽然错了，他这个上下线要不要换？不用啊，因为你变量没换掉。有同学说，哎，老师这写 d t 这些写的这个，这就要换上下线，这是错误的理解啊， 什么时候要换上下？你把变量换掉以后，这需要换上下，这只是个错位分，这不需要换。然后完了以后，为了方便，我们是把 x 方减 t 方记作 u， 大家注意，这个时候你把变量换了，现在基本变量是 u 了，所以这个上下线需要换。那怎么换呢？你看，你这不是就是 x 方减 t 方等于 u， 那 你注意，这个 t 等于零的时候， 那么 t 等于零的时候，你的 u 等于谁？ x 平方，你本来下限是 x 方，那么 t 等于 x 的 时候，你的 u 应该是零， 但是呢，这前面有个符号，拿来刚好上角线一掉，所以就写成二分之一零 x 方啊，所以这个要注意，就是你把变量换掉以后，上下线要换凑为分，这个变量没换掉，这不要换上角线，有的同学这个地方都搞不清楚 啊。好，为什么要写这个呢？因为我们要算阿尔法乘贝塔，那么这个阿尔法乘贝塔实际上就写成这样的极限，我只要算出这个极限等于 a， 原式极限就 e 的 意思了， 这个极限如何求呢？那么在这呢注意，这个烙印 e 加 x 就 等于 x， 而贪婪提取 x 等于谁？三分之 x 的 一方， 这个呢，哎，你注意， f 比它等于一，我们讲过一个等价代换，那么这个时候呢，这个边上也基本就等价于谁，等价于把这 x f u 换成谁啊？ u， 所以 你看，我们在这写啊， 三分之 x 的 一方乘上 x， 上面呢，二分之一写到前面去了，这个呢，是根据变上写积分的等价代换，所以它就等价于零 x 方。 u d u u 底 u 圆函数二分之 u 方带上限二分之 x 的 几次方，四次方，四次方一消，那么最后呢，就得到这个等于四分之三，这是阿尔法乘贝塔，那原式的极限就等于谁 e 的 四分之三次方， 所以注意，这是个 e 的 无穷大次方。然后呢，那这个呢？求极限里边就出现了变上限七分， 那么这个呢，我们刚才这个做法是一个常规的一个做法，就是在处理这个极限的时候，是变量代换，然后等价无正销代换。 实际上大家注意，就是做这个阿尔法乘贝塔的极限的时候，也可以用前面讲的一些方法啊，你看这个下面呢就是谁阿尔法乘贝塔，下面就是贪进 t x j x， 然后呢后面就是烙印的一加 x， 然后这上面是谁啊？上面就是零 x t 的 谁啊？ f x 方减 t 方，然后底的 t， 那这个下面好处理，这个就等价于三分之 x 立方，那么这个呢就等价于 x， 主要是处理分子，分子呢，我们刚才这是传统的变量代换，换出来没有用洛贝塔用的是等价代换，实际上大家注意到这个条件， 这个极限等于一，那我们是不是也可以想办法创造条件，用中值定律，所以给这个下面 是不是可以除一个谁啊？这个前面用过这个思想，在这个下面除一个 x 平方减 t 方，那么在这里边再乘一个 x 平方减 t 方， 那么这样的话，因为这两支笔的极限等于非零常数一，可以用积分中值定律把这个呢换到外面来，那么最后上面就成了 t 乘上 x 方减 t 方，积分求极限照样可以做，也可以做的非常简单。 好，这是关于这样一个一的无穷大次方。好，关于这个题呢，我们就讲到这个地方，这道题你做对了吗？

很多同学呢，不会画密函数的图像，也可以说是只认识书上的那五个密函数的图像，其他的多的就不会画了。但是呢，我们在考试的时候，冷不防就会让你画一个密函数，那今天谷老师呢，三分钟， 不对，两分钟带你学会画所有的密函数图像。那书上先给我们给的密函数是不是 y 等于 x 的 一次，二次，三次 和负一次，以及 x 的 二分之一次，那我们可以把它呢分别的画一下， x 的 一次，我们知道是不是我们小的时候学的一函数二次呢，是开口向上的二函数 三次呢？哎，我们画下来是不是长这样了？好， x 的 负一次反比例再一三向下， 好，最后一个 x 二分，这一次，哎，我们的图是这样画的，当时呢，我们总结了它的相关性质，同学们还记不记得？那总结了性质之后啊，往下就没了。那你说，老师，我考试的时候，我可不是碰到这几个，我碰到的都是一些匪夷所思的数字，很奇怪的。那么那种图怎么画呢？ 我给你写几个，你看看你碰到的是不是我写的啊？好，同学们，看到我写了这些是不是你碰到的平常让你头疼的密函数，那这些图该咋画呢？这个就是书上和考点分离啊，所以说不怪同学们，有的时候不会解题，不会做作业，上面的有些题呢，书上并没有说。 那么在这呢，我们就要学会总结，当我们碰到要画类似于像这样的密函数的图像的时候，那也就是我们的这个密啊，也就是 a， 他 会分两种情况，当大于零以及小于零，那大于零下呢？我们又会分为，哎，比一小 还是比一大？那么老师直接告诉你，结果不让你费脑。如果我们大于零，首先呢，能说明他在第一项线内一定是单调递增的。小于零，那他在第一项线内一定是单调递减的。 如果单调递增，他也会分为凸增和凹增。如果我们大于一呢，他就是在第一项线内凹增。 什么叫凹增？就这样增，如果在零到一，它在第一象限呢，就是凸增。 哎，怎么增？就是这样增，可以接受吧，一个是凹的，一个是凸的，好在其他象限。你说老师，这是第一象限的事，我明白了，其他象限有没有图呢？我们只需要把 x 等于负一代入到这个解析式，如果我们解出来它的 y 是 正一，那它就说明是一个偶函数。 如果解出来 y 是 负一，那它就是一个奇函数。如果你解不出来，它在其他图像，不好意思，它就只有在第一象限内有图，在其他象限，那就没图。那如果是偶函数，你就知道它是关于 y 轴对称的， 如果是奇函数，关于原点对称。好了，这都是我们的经验总结，那现在呢，老师就带你实操啊，我们把这里实操到这里以后呢，你就可以随便画了。首先我们看这里二分之三，二分之三，首先是不是大于零， 所以说它是在第一象限内增，二分之三明显比一大，所以它是 o 增，那么我就先画它在第一象限内的图 o 增，然后再看，把 x 等于负一，我带进去算一下它的 y 等于的是多少。在这里啊， x 等于负一， 我们代入得到负一的二分之三次，你说老师，这我又不会解了。同学们，你想我们曾经是不是学过 x 的 m 分 之 n， 他 就是 m。 根号加 x 的 n， 记不记得哎，指数幂的运算嘛。所以说在这里他其实可以写成二次根号加 x 的 三次，现在你把 x 等于负一给他带入进去， 那这个式子就得到了。是 y 等于二次。二次根我就不写了啊。是根号下负一的三次，负一的三次是负一。哎，你发现没有？负一有没有解？没有啊，根号负一不存在，所以它没有， 他无解，说明他在第一项线内，他只有在第一项线内有图。那这个图呢？我们就算画完了，简单吧。感觉还有点不够，我们再来画剩下的。你最好呢，可以跟我一起拿一个纸片，可以跟着我一起画一下来看。第二个三分之四是比一大的， 所以说它在第一象限内还是凹增，它在其他象限有没有图？我们把 x 等于负一带入进去。首先这个可以写成三次根号下 x 的 四次，把 x 等于负一带入，那就是三次根号下负一的四次。 哎，负一的四次他不就是一吗？三次根号下一，他就是一，他算出来，如果是一的话，在这里他就是偶函数。关于 y 轴对称，那你把这边对称过来，图就画完了，简单吧。同学们，我们再画一个三分之五，一样的三分之五是比一大的，在第一项线内是凹增的。 allen 把 x 等于负一呢带进去，它首先可以写成三次根号下 x 的 五次，把 x 等于负一带入，就是三次根号下负一的五次是负一。哎，那么三次根号负一，它结果就是负一，如果出来是负一， 我们出来就是接函数。关于原点对称，那关于原点对称，我们画下来，关于原点对称一下就好了，简单吧，那我们再看下一个啊，三分之二，三分之二是不是在零到一，在第一项线内是凸增，哎，出现了一个凸增，我们就这样画， 然后呢，它是三次根号下 x 的 二次，把 x 等于负一代入，负一的二次就是一，所以它就是三次根号下一还是一，当我们算出来是一的时候，它是个偶函数，偶函数。关于 y 轴对称，那这边对称过来，这样画好了， 继续看。右边，四分之三，零到一，所以它在第一项线内是凸增， 然后呢，把 x 等于负一代入，那这个值。首先它是四次根号下 x 的 三次，我们把 x 等于负一代入，就是四次根号下负一的三次还是负一。这个是不是无解？无解说明它只在第一项线内有图，其他项线内没图，所以这个图就画完了。再看下一个，五分之三 还是零到一，在第一项线内是凸增，这个可以写成的是五次根号下 x 的 三次，把 x 换成负一， 那五次根号下负一的三次是负一，结果是负一，结果是负一的时候，它是奇函数，奇函数呢？关于原点对称，那对称过来就可以了。 好了，再下一个负的如果是负数，他在第一项线内就递减。哎，那我们就画一个，在第一项线内递减了，好，递减了之后，把 x 等于负一代入。首先呢，它你可以写成的是二次根号下 x 的 负三次， 我们把负一代入，那就是二次根号下负一的负三次， 那就是二次根号下负一的负三次，就是负一的三次分之一。它是不是负一？负一不存在啊？不存在，所以它只在第一项线内有图，好了就结束了，再来下一个 负数。负数呢，所以它在第一项线内递减，把 x 等于负一代入。首先呢，它可以写成三次根号下 x 的 负四次，把负一代入，就是三次根号下负一的负四次。是不是正一？那三次根号正一是一，一是一个。 哎。哦哦的话，关于 y 轴对称，那这样对称过来对称。关于 y 轴，那你图呢？就画完了，来学会了吧，画迷函数的图像，希望这个视频呢对同学们有所帮助。关注谷老师数学不迷路，记得点赞关注呦！

这样吧，大家演出开始喽。大家好，我是数学徐老师，这节课我们继续探讨导数含餐类型单调性的讨论。那这节课我们研究密函数类型，那么来看这道题，函数 f x 等于 n， x 减 x n 次密，来讨论一下这个函数的单调性，我们对其进行求导， 导数等于 n， 减去 n 倍的 x 的 n 减一次幂，我们可以把 n 提出来，变成一减 x 的 n 减一次幂，那这时我们令导数等于零，那会发现呢，这个指数它是奇数，偶数会对它的根产生影响，所以我们要分两种情况来进行讨论。那当 n 为偶数的时候， 那这个 n 减一呢？它是奇数，那此时我们令导数等于零，你会解得 x 就 等于一，那导数的正负变化情况呢？它是递减的， 而且等于这个呢，是一，所以一的左侧呢，导数为正，右侧呢是为负，所以它在负无穷到一上，还是单调？递增一到无穷，递减 无穷到一，递增一到正无穷，它是递减的。那第二种情况，当 n 为奇数的时候， 那这时候呢？ n 减一，它是偶数，那我们令导数等于零，那这样你会得到 x 等于正负一，那此时导数正负的变化情况呢？它类似于二次函数开口向下的抛线， 等于的两个呢，是负一和一，那导数呢，是负正负，所以原函数就是减增减，所以此时这个函数 f x， 它在负无穷到负一和一到正无穷上单调必减，再负一到一上单调必增。

上课，同学们好，请坐前面。我们学习了函数的概念，利用函数的概念和观察一些函数的图像，我们研究了函数的一些性质。那本节课呢，我们将利用这些知识研究一类新的函数密函数。 请同学们看课本中的五个实力，从中可以抽象出哪些函数呢？嗯，第一个， p 等于 w， 那 我们也可以写成是 y 等于 x， 它是正比例函数的特殊形式。好，第二个，嗯， s 等于 a 的 平方，它是二次函数的特殊形式。 第三个呢，嗯， v 等于 a 的 立方，那也可以写成是 y 等于 x 的 立方。好，第四个呢，嗯， a 等于根号 s， 那 我们可以写成 y 等于根号 x， 其实根号 x 我 们也可以写成是 x 的 二分之一次密。好。最后一个呢，嗯， v 等于七分之一， i 写成 y 等于 x 分 之一，其实 x 分 之一也可以写成是 x 的 负一次密。 好，那请同学们观察这五个函数的解析式，它们具有怎样的共同特征呢？ 谁来说说。好一排位同学，嗯，观察了，非常到位。首先这些函数的解析式呢， i 都是具有 me 的 形式，并且呢，都是以 me 的 底数为自变量， 并且呢， i me 的 指数为常数 a， 其中常数分别是一二、三、二分之一，负一，并且呢，它们都是形如 y 等于 x 的， a 是 幂的形式，那我们把这种函数呢叫做幂函数。 下面给出幂函数的概念， 一般的函数 y 等于 x 的 a， 次幂叫做幂函数。其中呢，这里的 x 是 自变量， a 呢是常数。 其实这里的 a 不 光可以取整数，它还可以取其他实数。当取其他实数的时候，也有各自的含义，那后面我们会继续学习。 那对于逆函数呢，老师要强调一点， x 前面的系数一定要是一， 如果是 y 等于负 x 或 y 等于二 x 的 平方，它都不叫逆函数，因为 x 前的系数不是一。好，这对逆函数呢，我们只研究 a 为一二三二分之一负一这些函数的图像和性质。 结合以往研究函数的经验，同学们认为我们该如何研究这些函数呢？哎，我们是不是可以通过解析式求出它们的定义域 啊？也可以画出它们的图像。嗯，根据图像和解析式呢，哎，可以讨论值域， 还有单调性，激性等。 好，那下面我们求出这些函数的定义。 首先第一个它的定义，哎，是 r， 第二个也是 r。 第三个呢，哎，也是 r。 第四个呢，哎，这里的 x 要大于等于零，它的定义域是零到整无穷。第五个呢，嗯， x 不 等于零的定义域是，哎，负无穷到零，并上零到整无穷。 好，那根据解析式，我们是不是也可以判断出它们的极有性能？那对于这个函数而言呢？ i f x f 负 x 等于负的 f x， 那 它是奇的函数。 第二个呢， i f i 负 x 等于 f x， 它是偶函数。好，第三个呢， 哎，它也是，它是奇函数。好。第四个呢，哎，我发现它定义域不关于原点对称，因此它不具有奇偶性。好，那第四个呢？哦，它是 f 负 x 等于负的 f x， 因此它是奇函数。 那对于这五个函数而言呢？我们对于第一个，第二个、第五个非常熟悉。那请同学们先在草纸上，在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图像， 这是 y 等于 x 的 图像， 这是 y 等于 x 的 平方的图像， 这是 y 等于 x 的 负一次幂的图像。好，那我们观察这个图像。哎，我发现 y 等于 x 的 值域是二，也是 r， 它是在整个定义域上都是单调递增的，其实它是一个增函数，它对于 y 等于 x 的 平方呢？哎，它的值域是，哎，零到正无穷。单调性呢？哎，在负无穷到零上是递减的，在零到正无穷上是递增的。好，那对于第五个呢？ 哎，他的值域也是负无穷到零，并上零到正无穷，哎，他在负无穷到零，零到正无穷上是递减的。要注意单调区间一定要用哎逗号隔开。 哎，那对于这两个不熟悉的函数，我们该如何画出它们的图像？嗯，其实针对 y 等于 x 的 立方而言，它是一个奇函数，根据奇函数的性质，我们是不是只需要画出零到正无穷的图像，根据对称心就可以画出负无穷到零的图像呀？ 那我们根据初中的描点法来作图， 它经过点哎，一一 哎，补充另外一个，那这就是 y 等于 x 的 立方的图像，那我们来看一下 它的值域呢？ i 是 属于 r 的 单调性呢？ i 在 定义上，等，我们看一下绿灯。好，那下面我们画出 y 等于括号 x 的 图像， 还是采用秒点法来作图，它经过点一一哎， 那这就是 y 等于 x 的 二分之一次密的图像，我们可以看到它的值域是 i 为的正无穷，它的定义域上是减掉弧增的。 好，那这样呢，我们就研究了这些函数的图像和性质。好，那请同学们分析一下，他们具有什么共同特征呢？比如他们都经过哪一个点呀？ 哎，我发现他们是不是都经过点一一啊？好，那接下来请同学们从单调性的角度来观察一下，这些函数有怎样的特点呢？好，谁来说说？你来说说。 非常好，你发现了，在区间零到正无穷上，当这个 a 为二分之一一二三，也就是 a 大 于零的时候， 图像都是 i 递增的。而当 a 为负一的时候，也就是 a 小 于零的时候，都是递减的。非常好，请做好。那从基数性的角度呢？谁来分析一下？ 好，从这来。哦，你发现，当这个阿尔法为一三负一，也就是基数的时候，它是一个偶基函数，当阿尔法当 a 为二的时候，偶数的时候，哎，它是偶函数。非常好，请坐， 就是 a 为奇数，逆函数为奇函数， a 为偶数，逆函数为偶函数。 好，那这样呢，我们就研究了逆函数的图像性质的理论知识。那下面我们做一道练习题， 已知逆函数 f x 经过点二，根号二，请同学们求这个逆函数的解析式， 给大家一些时间。好，先来说说。哦。好，第三排那位同学， 嗯，你是通过幂函数的形式？ f x， 它应该是 x 的 a 次幂的形式。嗯，它经过点二，根号二，通过代值呢， f 二就等于二的 a， 次幂等于根号二，根号二可以写成二的二分之一次幂，因此一个方程，一个未知数， a 是 等于二分之一的。那因此 f x 的 解析式呢？等于 x 的 二分之一次幂，也就是根号 x， 那 其中呢，这里的 x 要大于等于零。 好，本节课呢，我们研究了一类新的函数，研究了它的定义、图像以及性质。通过对逆函数的研究呢，我们掌握了研究一类函数的基本内容和方法。好，课下呢，请同学们完成书后练习题，本节课就上到这下课。

今天我们来练习的题目，首先也是判别类型选择方法，什么类型？ x 趋向正无穷， e 正无穷。当我们知道是正无穷， 下面这是一加 x x 平方，次方，要没有这个平方，它趋向 e， 它在外面再来 x， 所以 这个肯定也是趋向无穷，无穷无穷。 那么这个无穷比无穷首先想到了洛比塔，好用吗？大家看这个求导很简单，这个是个秘制函数，求导就很麻烦， 那么还有什么方法？注意，碰到这种秘制函数求极限，这个常用也是非常有效的思想，把秘制函数怎么样？指数化改写成指数， 改成整数以后，这个时候呢，如果能够用 e x 减一等价于 x， 问题就变得简单了，所以求逆值函数极限，一个常有的思想就是逆数值化， 那么基于这个思想，那我们这个题就有想法了，那我们的想法就是解把分母这个逆值函数值数化，那么这样的话， x 趋向于正无穷， 那注意上面是 e x 底下一指数化，就 e 的 x 平方烙印的一加 x 分 之一，那这个时候对这个题能不能用这个解？你注意这个上面它不是趋向零的，它也没有减一，因为这个上面趋向无穷，所以不好用这个解呢？ 那怎么办？你看上面是 e 底下 e， 这不是同底数密相除吗？那我们知道就等于指数相减啊， 所以就可以写成这个式子，就是 x 趋向于正无穷的时候， e 的 上面就是 x 减 x 平方，烙印的谁啊？一加 x 分 之求这个极限的核心就是求这个指数的极限， 下面我们来看 x 趋向于正无穷这个极限又怎么求？ x 减 x 平方，烙印的一加 x 分 之一， 这个极限算数等于 a， 原式极限就 e 的 a 次方，这个极限如何求呢？也是要判别类型选的方法，他又是什么类型？ 你看前面这个显然是趋向于无穷，后面 x 就 叫无穷老引 e 加 x 分 之一，它等价于 x 分 之一，乘上平方无穷，这是无穷解无穷。 那么过去我们老师教我们说，无穷减无穷，一般是谁通风把它化成零比零，或者无穷比无穷也落笔，但是这个怎么通风？连父母都没有。所以有的书上做的时候，有很多书是这样做的， 什么令 x 等于 t 分 之一，做一个倒代化，再通风再做可以，但是也有的书上做的比较快，用谁用泰勒，但是我们同学不大容易想得到。 那么这个题还有没有别的好的方法？大家注意，由于 x 就 像无穷这个烙印，一加 x 分 之一，这个 x 分 之一取向零， 这个时候我们就想能不能用这个结论？我们刚在前面讲过一个结论，就是 x 取向零的时候， x 减烙印的一加 x， 它等价于谁？二分之一 x 平方。 你注意，我们这的 x 分 之一可是趋向零的，你要用这个结论，我想大家立马想到，如果能出现这个形式，就是一加 x 分 之一，前面正好是谁？ x 分 之一，如果能出现它，那 x 分 之一趋向零，我就可以用这个结论。 那么上面这个式子能不能让它出现这个形式，我想大家一下就看出来，只要往外提一个 x 的 平方，这个时候把平方一提出来， 这个时候大家看这是个乘积关系，我说这题已经做出来了，那你看这个 x 趋向于正无穷，前面平方不动，后面这个用这个解立马可以知道它等价于谁。二分之一倍的 x 方分之一立马就得到这个等于谁二分之一， 那么这个等于二分之一，那原式就等于谁 e 的 二分之一四方做完了。所以作为在这个解法里边，注意第一点就是这个秘制函数把它怎么样指数化，这步很重要，完了以后注意就看出两个同底数密相除，可以写成指数相减， 到这来以后处理这个极限，就联想到这个结论，在这个方往外 t x 平方用等价代换这样子。这个题目做的比较简单， 但是也有同学做这个题做的更简单，那怎么做？他说老师这题简单，为什么简单？刚才分析的时候有同学就已经注意到了，那我这个地方不是可以这样看吗？那你看你这不是 x 趋向于正无穷， 你上面不是就是一加 x 分 之一的 x 平方次方，那不就是他的 x 次方，再 x 次方， 这个没有问题，他为什么要写这个？看一看哪边趋向 e， 这不是 x， 那 这不就等于这个吗？这不就等于 x 趋向于正无穷，那这个上面 e x， 下面这个不是 e， 这有个 x， 这不是也是 e x 吗？那这个就等于谁就等于一，这多简单。那怎么跟你这个答案不一样呢？大家注意，这个就是我们经常说的经典错误标准的零分，这就是经典错误标准的零分，这个一定要注意， 那为什么错了？实际上主要就是这个等号，就这错了，前面这个改写没问题，就这这样子写这个等号，这就是个经典的错误，标准的点分。 那为什么不能这样写？那你注意你这个相当于极限，分两步走，这个 x 你 先别着急，我先算那边算完以后再算你外面，那你注意求极限能不能这样？你想先算哪里就先算哪里。 如果求极限能这样做，你想想求极限有难题吗？肯定没有难题，你达到一个极限不好算，那哪里你想切到哪里，哪里空了，你把哪里先一算，然后再去做，你就发现极限就没有难题。但是求极限没有这个原则，它是个整体。求极限 我们讲过可以先算，也只讲过一种情况，讲过什么情况？讲过这种情况就是 f x 乘 g x， 那 么这个如果 f x 有 极限，那它不等于零，这个可以先算出来，那就等于 a 倍等于谁这个 g x。 但是注意这个先算是两个要求，你一定要注意什么？两个要求，你看他必须跟整个式子是成的关系，所以先算的必须是整个式子的因子。 第二个要求，这个极限还要怎么样？不等于零，但是注意你先算这个，他不是整个式的因子，他的你都跑到这个底数里边去先算去了，这个可没有这个键，所以这样做是个经典的错误， 所以我们求这些，切记不能这样子乱做，那这就是犯了一种经典错误，你做对了吗？把你的标准答案发到评论区里。

欢迎来到本生教育担当事业小课堂，接着上期容我们今天要讲的是密函数，好，密函数，我们固定要记住 f x 等于 x 的 s 方。好，我们来看到例题一次，这样一个密函数 f 二等于四，问你 f 四等于多少？好，我们按照他的要求把这个 f 二写出来，那么 f 二就应该等于二的 s 方，他说应该等于四， 好，阿 sir， 捷德， a 等于二，好，阿 sir， 表达式我们就求出来了， f x 应该等于 x 二次方，阿 sir， f 四，我们要变一起变，那么应该是四的平方等于十六。答案选 b。 好，我们再来看到一点二还是逆函数过一个点问你 f 二十七，那同样道理， f x 等于 x x 方，他说过点八四，我们把八四带进去。 f 八应该会等于八的 x 方，他说要等于四。 好，我们换为同底数指数密，那么八的 s 方，我们可以写成二的三 s 方，四，我们可以写成二的平方。同底数密比较指数，那么三 a 就 应该等于二。觉得 a 应该等于三分之二，所以表达式 f x 应该会等于 x 的 三分之二 s 方， 所以 f 二十七应该等于二十七的三分之二四方，那么我们写成三的三四方的三分之二四方，三三约掉得到三的平方等于九， 那选 c。 好， 本次课堂到此结束，没有问题，可在粉丝群中提出，我们下期再见！

密函数这一块，很多同学总想一张一张去背图像，可真到了题目里，最稳的入口，其实不是记忆力，而是分类。先看指数是正还是负， 再看他是奇还是偶。这两步一做，图像的大半脾气其实已经定下来了。所以密函数看起来种类多，真正下手时反而要先把它们归队。 先看三张代表图， y 等于 x， 三次是正奇次幂函数，定义域是全体实数或圆点，还关于圆点对称。 y 等于 x， 平方是正偶次幂函数 也定义在全体实数上，但改成了关于 y 轴对称，而 y 等于 x 的 负一次，最先跳出来的不是对称， 而是 x 不 能取零，所以图像直接断成两枝。你会发现，很多性质其实在指数分类那一刻就已经注定了。 如果把密函数常考性质压缩一下，核心就这几条，正。其次，常见特征是定义域全体实数。关于原点对称，图像穿过一三象限，正偶次， 定义域还是全体实数，但关于 y 轴对称，而且左边降，右边升，负指数最关键的是先排除 x 等于零。至于关于原点还是 y 轴对称，要继续看指数的奇偶。 来看一个最常见的比较大小题，比如零点八的平方和零点八的三次方。很多同学一紧张就开始按计算器思维硬算，其实先抓底数更快。 因为零点八落在零和一之间，所以指数越大，密值反而越小，于是不用展开，直接得到零点八的三次方，小于零点八的平方。 再看一个特别容易翻车的题，比如 y 等于 x 的 负二次方。这时候第一步不是急着说它关于 y 轴对称，而是先查定义域，因为指数是负数， 分母里会出现 x， 所以 x 不 能等于零。然后再看指数偶数这一层，才能继续推出它关于 y 轴对称，而且两只图像都在 x 轴上方， 最后收一下逆函数，最核心的动作就是先看指数的正负，再看指数的奇偶。这两步做完定义域，对称性和图像大方向很多时候都会自己浮出来， 接着你再去做比较大小判断图像或者分析性质，速度会快很多。所以真正稳的同学不是背图像背的多，而是分类特别快。

这一题考察怎样用单调性的定义正式的证明一个密函数是增函数，光看图像猜出它是增的不够，要写出能让别人挑不出毛病的证明过程。 题目证明密函数 f x 等于根号 x 是 增函数，也就是要在它的定义域内，任取 x 一， 小于 x 二，都能推出 f x 亦小于 f x 二。 解题分三步走。第一步，先确定定义域，再在定义域内任取两个数 x 一 和 x 二，规定 x 一 小于 x 二。 第二步，把 f x 一 减 f x 二写出来，因为是根号差，需要用共轶式做有理化，化成更容易判断符号的分式。第三步，根据 x 一 和 x 二的位置关系，逐项判断分子和分母的符号，最后写出单调性结论。 第一步，任取两点 f x 等于根号 x 的 定义域是零到正无穷。注意 x 不 能为负，否则根号下没有意义。在这个定义域内，人取两个数 x 一 和 x 二，规定 x 一 小于 x 二。 这里人取两个字非常关键。意思是 x 一 和 x 二是任意一对，不能只举一组特殊数字。 比如取 x 一 等于一， x 二等于四，当然成立，但只验证这一对不能代表整个区间。正确的写法是用字母 x 一 和 x 二表示任意一对。把位置关系写清楚，零小于等于 x 一 小于 x 二。 我们要证的目标是从 x 一 小于 x 二，推出 f x 一 小于 f x 二。 第二步，做差有理化，把 f x 一 减 f x 二写出来，等于根号 x 一， 减根号 x 二。 直接看根号差的正负不容易，所以做有理化操作。在分子、分母同时乘上根号 x 一， 加根号 x 二，这个就叫共恶势 分子上根号 x 一 减根号 x 二，乘根号 x 一 加根号 x 二。套上平方差公式， a 减 b 乘 a 加 b 等于 a 平方减 b， 平方，分子就化成 x 一 减 x 二。分母是根号 x 一 加根号 x 两本身， 所以 f x 一 减 f x 二等于 x 一 减 x 二，整体除以根号 x 一 加根号 x 二。这一步把根号差变成了一个普通分数，分子和分母的符号都可以单独判断，整体符号就能看清楚。 第三步，判断符号先看分子，因为已经设 x 一 小于 x 二，所以 x 一 减 x 二小于零，分子是负数。 再看分母，因为 x 一、 x 二都属于定义域，零到正无穷。根号 x 一 和根号 x 二都不小于零， 并且 x 一 小于 x 二，至少根号 x 二严格大于零，所以根号 x 一 加根号 x 二大于零，分母是正数。 两个符号合并，负数除以正数等于负数，所以 f x 一 减 f x 二小于零，也就是 f x 一 小于 f x 二。 按照单调递增的定义，人取 x 一 小于 x 二都有 f x 亦小于 f x 二，所以 f x 等于根号 x。 在 定义域零到正无穷上是增函数。正 b。 本题结论，密函数 f x 等于根号 x， 在 定义域零到正无穷上是增函数。方法要记牢。用定义证明单调性的标准。三步式，人取作差判号 遇到含根号的差，最常用的处理就是乘共二式有理化，把根号差变成普通分式，分子分母分别判号，整体符号一目了然。

我们今天来教大家画一下密函数的图像，非常简单啊，所有人都能够学的会，那么我们得明确这个密函数它是不是经过一个定点， 一一对吧，任何数的一次密啊，对，一的任何次密都等于一。那么其实这些图我们初中就已经学会了，只是你们没有找到它的规律，初中我们是不是已经学过了这三个图对不对？这个 反比例，这个呢？一常数，这个呢？二常数。所以我们先把这三幅图画出来，这是 y 等于 x， 是 不是四十五度直接拉过来，这是 y 等于 x 的 一，我编上一啊，这个呢？二常数 是不是这样？这是 x 的 一，这是 x 的 平方反比例。 你如果看过我们上次跟你们讲的那个指跟指数跟对数的图像，你就知道他过这个定点啊，他都会遵从。一高一低什么意思呢？你看 在这个左边对不对？你比我高，在右边你就会比我低，你看这个啊，全都是一样的，你在这边比我这两个都高，那么你过了这个定点之后，你就会比我们两个都低啊。那我们来看，这个是 x 的 负一，你发现没有？哎，这样往上滚，它的数字越来越大，对不对？所以 x 的 负二应该怎么办？ x 的 负二，想都不用想， x 的 负二肯定是在负一的下方吧，说明这是 s 的 负二，这边比他低，这边就会比他高，所以这是这个啊，是 x 的 负二， s 的 零啊， s 的 零是不是等于一对不对？一是不是五二零一是直接是这样过来的， 就是 x 的 零啊，你就可以知道了。二分之一呢，不用想了吧，二分之一肯定是在一跟零之间，所以二分之一啊， 二分之一就是根号 x 啊，你看这边高，这边就。为什么呢？这边高这边就会低啊，就是都是这样画的啊， 三呢？三，三， 三的话，这个线啊，就是刚才画这个二的有有点高了，这个二的我把它画的不是那么高一点，这是 x 的 平方，那么 x 的 三是不是应该是这样？所以你看这一条段，它在这边高，它下来肯定是要比别人低啊， 差不多是这样，对不对？那么我们先把第一项线的图画好之后呢，我们再根据它的奇偶性把它画出来，比如说 x 的 负二是不是一个偶函数，所以 x 的 负二啊，你看 x 的 负二是不是偶函数？所以这条线对不对？ x 的 负二这边打过来是吧？ 对不对？这是不是 x 负二的另另一部分是不是？那么 x 的 负一，负一是不是一个加数？所以 x 的 负一就是，我们初中就已经学过了，这 x 的 负一在这里，这里是关于这个对称， 这是 s 的 负一是吧？ s 的 零画完了啊， s 的 一次密，一次密也是个奇函数，拿下来 s 的 二分之一是不是根号 x 啊？根号 x 呢？它是非奇非偶，因为它的定义域，定义域是不能取负数的啊，所以 s 的 二分之一它持有这部分 s 的 一， s 的 二， s 的 二是不是也是个耳环数啊？所以 s 的 二， s 的 二这样拉过来， 拉到哪去？ s 的 二是这样拉过来啊， 对不对？差不多啊，差不多要过这个点的啊。 x 的 三， x 的 三是不是一个基函数？ x 的 三画下来这样画对不对？欸？

一分钟还做不完这道题，还考个嘚儿啊！专升本考试就是在淘汰实在人这道题你只需要掌握这个等加的公式，就可以轻松的解决这个式子中的分母三分之二加 cosine x 是 不是趋近于一？那他是不是就是我们的方框？ 而指数上的 x 是 不是趋近于零？是不是就是我们的三角？那么我们就可以代公式得到第一步这个结论。约分完之后，我们会发现分子中这个漏印的真数这一部分是不是趋近于一呢？接下来我们可以把这 根数上配凑出一和负一，那么为什么呢？因为我们要使这一部分是不是要趋近于零，最终就可以等价为下面这种形式化简完之后，答案是不是就呼之欲出了？

宝子们，这道极限题今天直接拿捏！第一步，先把密值函数转化成指数形式。第二步，用泰勒展开化简指数部分，将其带入上变换后的指数部分得再带回去做指数式变形。 指数函数等价无穷小展开，将展开式带入分子，再将分子的等价形式带入原极限，这样就轻松拿捏了。