初一下几何10种方法能解出来的

初中数学想要次次都能考到一百一十分以上，一定要学会几何模型解析，如果每道题都要临场想思路破解，那么孩子可能连题目都做不完，推荐给孩子准备这套妙招巧解。中考数学包含初一到初三常考的四十八个解析大招模型 和一百六十个必备结论，大体有思路，小题套模型。你看将军印马模型、飞镖模型、摄影定理模型、四点共圆模型、奔驰模型、 费麻点模型，每个模型都有详细的讲解，有推导过程口诀、速记结论，还有结论妙用核心母题讲解，弄懂后，后面还有针对性真题试练，让孩子学会一道题，会解一类题， 而且每道真题都配有视频讲解。把这些初中必备的结论和这四十八个解析大招掌握好了，初中数学想要拿高分就简单多了，快给孩子练起来吧！

将军驿马一定是我们初一下册考频最高但得分极低的一类几何动点压轴题，尤其将军驿马当中的两动一定模型，可以说百分之九十五的孩子都拿不到分。 那同学们，今天徐老师带你用一个视频彻底通漏这类模型的解析方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样做的，首先告诉我们角， c 这个角呢，它等于九十度好， d 点和 e 点呢，分别是这两个边 bc 和 ab 的 动点。然后呢，告诉我们边 ac 边等于六， bc 边呢等于八好斜边 ab 呢又等于十。 最后呢，题目求的是 a e 再加 d e 这两个边之合的最小值应该等于多少？ 徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程。同时再结合往年考试经典真题，优中选优奖链结合整理成了将军一马专题电子白，需要的家长我发给你一份。 好来，同学们，哎呦，一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察了我们将军一马所有模型当中的两栋一定模型。 来，我们先来简单回顾一下这个模型的构造方法和技巧。好吧，来，我们看第二个图啊，哎，他是这样说的， a 点呢？首先他是一个定点， b 点和 c 点呢，分别是我们两条定直线上的两个动点。好，题目求的是 b 点和 c 点，这两个动点在什么地方？这两个边 ab 啊，我们加上 bc， 这两个边之和呢，正好有我们的最小值。来，首先我们先去观察一下哈，我们的 ab 和 bc 这两条线段有什么样的位置特点？那么这个是定直线，很明显这两条线段都在定直线的下方，哎，我们就说这两条线段应该是 同侧线段之和最小。我们说只要在初中阶段遇到求同侧线段之和最小，那么我们一定是 通过做轴对称把折线段，哎，我们的同侧折线段转化为异侧的，对吧？那方法很简单，过定点向定直线做对称点来，定点是 a 点，定直线是这条直线，所以呢，哎，我们应该什么过 a 点向这条定直线 做对称啊？做对称，那么你看这个 p 点和 a 点，就是关于这条定直线是对称的，对吧？来做了对称以后，我们就把 a b 这个边， 哎，等量的转换到了我们的 p b 边，就变成了它，加它，你看没有一个上方的边，一个下方的边，哎， e 侧的折线段适合求最小值 来那最后一步，什么时候他有最小呢？很简单，当 p b、 c 三点共线，我们应该有最小时来最后一步呢，也是很多同学容易出错的地方，哎，他说两点之间线段最短嘛，我直接连接 pc， 大家思考下对不对呢？ 一定是不对的啊，为什么呢？因为 c 点，大家思考下，它是一个动点，我有可能在这，有可能在这， 对吧？那我到底连谁呢？因为 c 点有无数种情况，那么你最后连接之后呢？就有无数个线段，到底谁最短呢？啊？不清楚，对吧？所以呢，一定不是连接，那怎么办呢？那么来最后问题呢，就转化为了一个点到一条直线最小，因为 c 点轨迹是直线吗？ 那么一个点和一个直线什么时候最短呢？哎，所以呢，最后一步呢，我直接过这个定点 p， 像这个定直线做垂线，垂足点就是我们的 c 点，这个焦点就是我们的 b 一 点，你看没有，那我们的最短路径呢？就出来了，从 a 点到 b 一 点，好，再从 b 一 点到我们的 c 一 点啊，这个我们的 实线就是我们的最短路径，对吧？好，有了这个模型做铺垫之后呢，来这个题呢，就非常简单了啊，我们来看一下哈， 他说这里面，首先 d 点和 e 点分别是两个动点， a 点是一个定点，最后题目求的是这两条线段之和的最小值应该为多少来，首先一样的哈，我们先去观察一下，这个是定直线，那么这两条线段都在定直线的下方 同侧线段嘛，所以接下来我需要把这两个同侧线段呢，转化为 e 侧，一个上方，一个下方，那到底是转移 d e 还是转移 a e 呢？ 大家思考一下，到底转移谁呢？很明显转 a e 嘛。哎，因为我们是过定点向定直线做对称点，我肯定是转移的是定点所在的线段就是 a e， 对 吧？好来，所以呢，过 a 点向 b c 做垂线，题目告诉我们这个角是九十度，所以呢，我直接 延长 a c 就 可以了啊，延长 a c 来到我们的 p 点，那么 a 和 p 是 关于 b c 对 称的，那么这个时候呢，改我们的这个边 a e， 就 把它等量的转换到了 p e 来， a e， 再加上我们的 p e 就是 e 侧线段了。那最后一步，当三点共线，它正好有最小值来， p 点是一个定点， 那么最后这个点的 d 点，注意它是一个动点，在我们的 a b 上动，哎，又变成了一个点到一条直线的最小值，对吧？所以应该是过 p 点向这个直线左垂线 啊，垂足点来就是我们的第一点，这个焦点就是我们的一点，所以最短路径呢？最后就变成了求 p， 第一应该等于多少？来，这个垂线该怎么求呢？来回到我们的已知条件，题目，告诉 a c 边这个为六， bc 边等于八， ab 边呢？等于十，那么如何求这个垂线段呢？目前我们还没有学勾股定力，对吧？那我们初一阶段要求垂线段的方法呢？一定是利用我们的等面积法，那么来我们去构造一个三角形， 大家思考一下啊。首先这个边我们知道吧，为十，那这个边呢，我们要求的垂线段正好是 ab 的 高，那么它对应的三角形的面积应该是哪个三角形呢？你看这个是底，这个是高，连接谁？大家思考一下， 很明显来应该连着连接我们的 p b， 对 吧？所以呢，这个为底，这个为高，它正好对应的面积就是 p b a 这个三角形，哎，我们只要把它面积算出来了， 底也知道高数就出来了。来，下面我们来算 s 三角形 pba 怎么算呢？你看，还告诉我们这个为六，这个为八，那么 a 和 p 是 对称的，所以这个边 也是为六，我们的 pc 和 ac 是 相同的，对吧？来，所以我们的 ap 就 等于十二。再来，这个是底，这个是垂直的，所以这个时候呢，我们的 bc 边就是同样是我们 pba 这个三角形的高，哎，底知道 高，也知道面积是不是又出来了？来利用等面积法，我们的底乘以高，所以我们的 pa 乘以 bc， 就 等于底乘以高，所以等于 ab， 再乘以我们的 p d 一。 好往里面代值嘛。这个边等于十二， bc 呢？等于八， ab 边等于十，再乘以 p d 一。 那么 p d 一 最后等于十分之 十二，再乘以八啊，我们可以化简一下。呃，约个二嘛。这是五，这个是六，所以 p d 一 最后等于五分之四十八。最最终答案应该等于五分之 四十八。这道将军一马的两动一定模型你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路。

同学们，来我们看一下这个啊，这个初一下的啊，常考的一个折叠的题，那么这种折叠的题啊，我们需要注意哪些事项啊？ 首先朋友们，折叠啊，一旦跟你提到折叠，在题中啊，说明告诉你什么，其实告诉你的是什么全等型啊，当然，你看你折叠的是什么，如果它窝的是一个什么，你看啊，同学们，看这个 啊，我们在长方形的纸上去做一个折叠的话，那么沿它的折线相当于什么？哎，形成的这两个图形，大家看啊，哎，也就是折之前和折之后的啊，它是一个什么？全部全等的一个形 啊，那么全等的形什么意思啊？就是我们对应的边啊，也就是相等，对吧？ a e 等于 a 撇 e 啊，那么对应的这个 a b 呢，就等于什么 a 撇 b， 那 么还有什么对应的角也相等，也就说，比如说我们这个啊，角 b 就 等什么角 b 撇 啊，那么其实折叠就是告诉了我们这个事情，哎，所以我们就利用什么他的这个特性啊，我们做这个题就好了。很多同学啊，这个之所以害怕折叠的题啊，就是不知道折叠到底给我们什么哪些信息啊？好，我们看这道题啊，沿长方形 a、 b， c， d， 对 吧？ e、 f 折叠，那么点 a 呢，落在了这个 a 撇处， 然后告诉你什么角 a 撇 g c， a 撇 g c， 是 不告诉你这个角啊，这个角得五十度，对不对啊？然后求谁啊？求 e， f， b 撇，是不是求这个角啊，对吧？好，我们一画， 那同学们，大家一看，这道题就是什么，是不是就是倒角的题啊，所以说长方形给我们的什么哪些条件啊？是不是就这个条件？所以我们上来就把什么这些一标啊，对不对？两个全等型对应的什么角是不是就相等 啊？所以我把该标的就标了啊，那这里面同学们看看我们这个平行线的什么两大基本图形吧。啊，其中的一个什么角的图形是不是这个啊？之前王老师给大家讲过啊，这里面有什么特色？这两个角的这个图形 abc 啊，这样，这个是 ab、 c 这两个图形，是吧？那么对于左边这个图形有什么条件啊？是不是角 a 加角 b 等于角 c 啊？是不是这个角加这个角等谁啊？啊？等于这个角是不是啊？那右面的有什么条件啊？角 a 加角 b 啊，加角 c 等于多少？哎，等于三百六十度啊，我们在这个平行里面倒角的两大基本图形啊，同学们一定要记住，对吧？哎，那有了这个之后啊，我们这道题就迎刃而解，来我看一下吧。那么这里面是不是就有一个我们的左边的这个一号基本图形了？是不是？我们的这个 e d e a 撇 g c 是 不是？所以这是不是九十度啊？这是不是九十？那这是五十，这是不是瞬间就来四十度啊，对不对啊？那我看这是四十度，大家看这俩角是不是相等？全等形给出来的相等吧。啊，那这时候怎么样？他们仨加起来得一百八， 这一个角是多少度啊？一百八减去四十是多少？一百四，一百四除以二，这是不是七十度？哎，七十度再通过什么平行 这个同旁内角互补吧，这多少度啊？一百一十度是吧？所以角 e、 f、 b 得多少？一百一十度，对吧？哎，所以这种题其实什么是非常简单的，而且是什么？哎，非常的有这个思路可循的， 所以说我们现在啊，这个同学们就会知道折叠是如何处理了吧？哎，我们要把握住它的底层逻辑啊，我们解这种题就是非常容易了，非常容易。

打好基础，你也可以变得优秀。今天我们来讲解一道七下的经典综合题，基本上年年都考，很多同学说每年遇到都找不到思路，今天我们通过两步轻松解决它，直接看到最后一问， 先读一下题目这个，首先 a 和 a， b 和 c、 d 平行，角一等于角二，角三和角四相等，要求证什么样呢？ a、 d 和 b 平行，就上下两条边两条线平行。 那通常来讲呢，一般的综合题他给到了两组相等关系，最起码有一组是可以直接得到平行啊，或者得到其他的结论。在这个地方，角一和角二相等，角三角相等，并不能直接得到什么关系啊，所以他难就难在这个地方， 那接下来怎么办呢？对这种题呢，不用慌，我们首先第一步先把相等的角啊设为 x， 角三和角四相等，我们可以设为 y， 然后我们看，哎，这里有个 a、 b 和 c、 d 平行，哎，这两条两条线平行的话，我们找找啊，有没有 z 字形啊啊的关系，有没有 f 型的关系啊？ 那首先你看角一和这一个角呢？它是内错角啊，你看 z 字形的，那所以这个是 x， 但就算得到了这个 x， 也并不能得到什么结论啊，所以还要继续看， 那这个歪的话，呃，平行我们可以得到这里有一个大的歪啊，这样子来看的话，也不能得到什么实际的关联啊。 那所以你看很多同学来到这里的话，就不知道怎么做了啊。那接下来第二步该干什么样呢？我们可以通过啊，平角，三角形的内角和去的关系啊，通过这些椅子的角， 再去把一些位置要能表示的，可以先表示出来，然后再来找关系啊。你比如说我们这里的 x， y 啊，在一个平角里面，所以这个立马可以表示出来，就是一百八十度减去 x， 再减去 y， 我 们能找到这个，那么这里呢，还有什么呀？这里是 x， 对 吧？这里是 y， 这里呢，我们可以找到啊，这里是一个什么样的？是一个对顶角，它也是 y， 哎，他是 y， 之后呢，他是 x， 你 会发现这是一个三角形，那三角形的话，内角和一百八，所以这个角呢，也很容易得到啊，一百八十度减去 x， 减去 y， 哎，你看，我们甚至还能得到这一个角啊，一百八十度减去 y， 等等等等啊，甚至也能得到这个角啊，这个角呢，你看啊， 你看一百八十度减去它，再减去它。嗯，但是呢，你会发现，我们当表示出这个角和这个角的时候，你会发现这两角已经是一样了，已经相等了，这里已经形成了一个 z 字形 啊， z 字形就是我们的内错角嘛，相等之后，两直线就已经平行了，直接可以得到结论。那有的时候，你可能啊，你的表示到这里还是得不到结论，我想不到这里啊，没关系，你看我可以多表示一下吗？你看这个角等于一百八十度 减去 y 啊，再减去这一串啊，一百八十度，再减 x， 再减 y， 那 你减完之后，你会发现啊，这里一百八和一百八消掉了啊，负 y 加 y 没有了，只剩下一个正的 x， 你 会发现这里是 x， 这里 x 也是 x， 也是一个内错角啊， 所以你会发现啊，当我们遇到这种问题的时候，你不用怕啊，先把相等的角设成未知数，再来通过倒角不断去找关系，总能找到关系啊。所以实际上这种题的解法有很多啊，但最简单的话，我觉得是这样啊，相对比较简单。 那么在写的时候怎么办呢？就很简单啦，我们就不写 x 啦，就可以说因为平行，所以角一等于角 a、 c、 d。 然后呢，所以这个角呢？一百八减去这两个角啊，这个是角四啊，这个角呢，和它相等，这个角就等于一百八减角二，再减去这个角，因为啊，这两个角相等，所以就平行了。写的时候直接这么写就可以了啊。

七年级下学期一定要每天晚上掌握一个几何模型的几题练习，到期中考试很可能冲进班级前三，因为七年级的数学成绩百分之四十是由几何题决定的。你就吃透这本几何模型图，秒解考试想拿低分都难。 梳理把初一的八个模型、初二的三十三个模型、初三的十九个模型都整理好了，像常考的将军一马模型、手拉手模型、八字模型等，每个模型的条件、结论是什么，证明的方法都拆解的非常详细。 再结合典型真题，从找模型到用模型，让孩子掌握解析思路，吃透答题技巧。基础差也没有关系，扫码就能看名师讲解，从理论到方法层层递进。配套还有一本专项练习，学一个模型就做一页真题训练，学炼结合，彻底掌握几何模型解析的技巧。家有初中生的抓紧准备一套吧！

将军驿马一定是我们初一下册考生最高但得分极低的一类几何动点压轴题，他的难点之处就在于模型种类多，很多同学看到这例题完全无从下手来。同学们，今天徐老师带你用一个视频，彻底通透我们初中阶段常考的将军驿马六大模型， 学完这个视频，将军一马所有辨识题轻松拿下。徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典专题， 优中选优，讲练结合整理成了将军一马专题电子版，需要的家长我发领一份，好来，同学们，我们先来看将军一马里面最简单的一个模型，叫做两定一动模型， 这个模型呢，是这样去描述的哈， a 点和 b 点呢，是两个定点， p 点是定直线 l 上的一个 动点，对吧？所以是两定一动。好题目，求什么呢？问的这个 p 点动点在什么地方？我的 a p 加 b p 这两个动线段之和呢？正好有最小值。来，我们先来观察一下哈，这两条线段有什么样的位置关系。 那么首先这个是定直线 l， 那 我们的 a p 和 b p 呢，正好在定直线的上方，对吧？在同一个方向。所以呢，我们说这两条线段呢，叫同侧 线段之和，求最小来什么？只要初中阶段我们遇到求同侧线段之和最小，方法呢？特别简单哈，通过做轴对称，把我们的同侧线段呢转化为我们的 预测线段。那么怎么做呢？哎，过定点向定直线做对称点来定点呢，一个是 a 点，一个是我们的 b 点，那我们都可以哈，随便选一个，那么我们就先选择 b 点做吧，那选 a 这个定点，向定直线 l 做对称点来，这个点呢，就是我们的 s 点，你看 a 和 s 是 关于直线 l 是 对称的，对吧？那么这个时候呢，我的 ap 边就可以什么把它等量的转移到了我的 c s， 那 么这两个边是相等的，没问题吧，因为 a 和 s 对 称的好。你看，这个时候呢，我们就把同侧两个线段转化为了一个上方一个下方 a， 不 就是什么首尾相连的异侧 折线段值和最小吗？那么对啊，我们要求折线段值和最小。方法呢，也只有一个，把折线转化为直线，当 s 点， p 点以及我们的 b 点，三点共线呢，正好有我们的最小值，对吧？来，所以最后一步，两点之间线段 最短，我连接 b s， 那 么这个交点就是我们的 p e 点，那么 p e 点呢，就是我们的最小值点，所以呢，我们最短路径就出来了哈，哎，从 a 点先到我们的 p e 点，好，再从我们的，哎，再从我们的这个 p e 点呢，哎，回到我们的 b 点来，这个 黄色的，哎，实线就是我们的最短路径啊，就是我们的第一个最简单的两定一动，好吧，好，我们再看我们的第二个哈，来，第二个呢，他是一定两动啊，由一个动点呢变成了两个动点，我们先去看图哈， 席木告诉 m 点和 n 点呢，分别是这两条直线上的两个动点，那么 a 点呢，是一个定点，对吧？两动一定好，这个时候呢，他求什么呢？求 amn 和 n 这三个边所围成的三角形周长 最小，那就是这三个边之和最小。我们的 m 点和 n 点应该在什么地方呢？来，一样的哈，先去观察下线段有什么特点，我们的 a， m 和 n 都在这个定直线的下方， 是不同侧。好，同样 m， n 和 a n 呢，也在这个定直线的上方，也是同侧。我们说只要遇到求同侧线段之和最小，来，立马是过定点向定直线做对称点。来这里，定点是 a 点 定直线，一个是上方的 l 一， 一个是下方的 l 二，对吧？那我到底应该关于谁做对称点呢？哎，我们的口诀就是定点连接谁，我们就应该关于谁做对称点。看，首先我的 a 点连接 m 点， 对吧？那么 m 点在 l 一 上，所以呢，如果我要转移 am， 我 就应该过定点 a 向定直线 l 一 做对称点，没问题吧？好，来，下面呢，我先去转移 am， 那 我就应该过 a 点向 l 一 做对称。好，这个点是我们的 系列，那么这个时候呢，我的 am 就 转化为了我们的 m p， 看到没有，把 am 转化为 m p。 好， 记住哈， 定点连接谁，就关于谁做对称点。好，第二个，再去转移 a n， n 点在我们的 l 二上，所以呢，我这个时候应该过 a 点向 l 二， 再做一次对称点，这是我们的 q 点，那么同样，那我的 a n 呢？就转化为了 n q， 对 吧？看好，把中间这三条线段转移成了这样的，首尾顺次连接的折线段是和。注意下， 那什么是最小呢？那要把折线转化为直线，那就是 p、 m、 n 和 q 四点共线，应该有我们的 最小值，对吧？那所以最后一步，连接我们的 p q 两点之间线段最短，好交点，这就是我们的 m 一 点，这个点呢，就是我们的 n 一 点到我们的最短路径就出来了哈，从 a 点先到 n 一 点，再从 n 一 点 啊，从 a 点到 m 一 点，再从 m 一 点到 n 一 点，对吧？好，再从 n 一 点呢，回到 a 点，看，这个时候呢，这个三角形它的周长就应该是最小的。 ok， 好， 这是我们的第二个模型。再来看第三个模型 来，第三个模型呢，跟第二个模型呢有一点像哈，它是一定两动，但是什么是做垂线？我们先看一下哈，它是这样说的， a 点呢？ 来，他是一个定点， m 点是直线上的动点， n 点呢，也是直线上的动点，对吧？都是两个动点，一个定点。但是第二个模型是什么？还要从 n 点到 a 点组成这个三角形周长最小。但第三个模型呢，他没有从 n 到 a 啊，只求 am 在 到 n 点， a m 再加上 mn， 这两个边之合最小。求 m 点和 n 点这两个动点在什么地方？来一样的，先观察啊，这两条线段都在这个定直线的下方， 我们说是什么同侧线段，只要遇到同侧线段来，立马做轴对称，把它转化为异侧。那这里有两个线段哈，一个是 a m， 一个是 mn 啊，我们到底应该转移谁呢？大家思考一下 哎，来，首先呢，我们说是什么过定点向定直线做对称点，所以呢，我们优先去什么选择定点所在直线定点是 a 点， a 点在 am 上，所以呢，我先去什么转移 am， 那 么过定点向定直线，这个是定直线，看到没有？好，所以呢，我应该过 a 点，哎，向这个定直线 做对称啊， a m 呢，给它进行一个转移。好，这是我们的 p 点，转移之后再来下面第二步，哎，我们就可以转一边了，哎，连接 m p， 哎，你看， a m 等于 m p。 好， 现在呢，就变成了我们的异侧的首尾相连的两条折线段之和，最小，对吧？一样的，要让 p 点来， m 点， n 点三点共线， 我们应该有最小值，什么时候能够共线呢？大家思考一下哈。我说，那么说两点之间线段最短吗？我直接来连接 p n， 对 不对呢？大家思考一下来，这个模型最难的地方哈，就是最后一步，到底是不是连接呢？肯定不是哈，为什么呢？因为它是个动点，对吗？ n 点是不确定的，它可以在这， 他也可以在这，如果是两点之间线段最短，那我可以连他呀，也可以连他呀，对吧？我就有无数个点可以连接，那到底谁最短呢？ 你确定不了？所以呢，最后一步哈，这个模型肯定不是连接，应该什么，应该是做垂线，怎么去做呢？大家看一下哈。首先你看，哎，最后这个模型就转换成了一个定点到一条定直线上动吗？ 一个点到一个直线最短，很简单，垂线段最短，对吧？好，来，所以呢，最后一步应该是过定点 p 向这个定直线做 垂线啊，把这个叉留好啊，对称以后，我们就直接可以什么做垂线了，连接过 p 点向它做垂线， 垂足点就是我们的 n 点。好，这个焦点呢，就是我们的 m 一 点，看到没有，那我们最大路径也就出来了哈，从 a 点来，从 a 点到我们的 m 一 点啊，再从 m 一 点到我们的 n 一 点，哎，这两条实线就是我们的最短路径，听懂了吗？啊，这个模型，哈，最后一步一定要搞懂。好，好，下面我们来看下一个模型，哎，下个模型呢，是我们的两定两动啊。第四个模型，哎，它是这样说的，首先 a 点是定点， b 点也是定点。好，我们的 m 点呢和 n 点呢，分别是这两个直线上的两个洞点，对吧？两定两洞好，求的就是什么这个四边形， 它的周长最小应该为多少？那么换句话就说，这四条边里面有谁是定值？什么叫定值呢？就这个线段不会有任何变化的， 很明显应该是 ab 这条线段，因为 ab 这两个点呢是定点，所以呢，这条线段肯定不会变化，所以呢，我要求四条线段之和最小，我只要让这三条线段之和有最小就可以了，对吧，这个呢，我就不用管了，好，怎么求呢？一样的，你看，我要把这三条线段 通过轴对称啊进行转移，转移成这样的，叫做首尾顺次连接的折线段啊，这是异侧的，这个是同侧的，来看哈，我们来怎么转移，哎，一样的，过定点向定直线做对称点，这是我们的核心思想。 那么这里面有两个定点，两条定直线，到底谁关于谁做呢？还记得我们口诀吗？定点连接谁，就关于谁做对称点来定点 a 连接 m 点， m 点正好在这条直线上， 所以呢，哎，我要转移 am， 我 就应该过 a 点来向这条直线做对称，好吧，好，这是我们的 p 点，那么你看我的 am， 哎，就转移成了 m， p 是 不是出来了，好，再去转移 b n， 那 么 n 点在这条直线上，那么所以呢，我应该过 b 点向这条直线作对称。 好，这个是我们的 s 点，看到没有 n b 就 转移成了 n s。 好， 你看这个不用管吧。好，我要求 这三条线段之和转移之后呢，变成了这样，首尾顺次连接的折线段之和最小。好，当什么 p m， n s 四点共线，正好有最小值，那么最后一步就出来哈，两点之间线段 最短，直接连接 ps 啊，来，直接连接 ps， 连接之后呢，来，这个点就是我们的 m 一 点，这个点呢就是我们的 n 一 点， 那最短路径就出来了，我们去连一下哈。哎，把几个点连起来，第一个，先从 a 点到 m 一 点啊，再从 m 一 点到我们的 n 一 点。 好，再从 n 一 点呢，到我们的 b 点啊，再从 b 点回到 a 点。哎，这个四边形，它的周长就应该是最小的。 好吧，这是我们的两并两动，其实很简单哈。好，再来下一个模型，下个模型呢，叫做将军架桥模型，大家看一下，它是这样去说的，首先 ab 两个点呢，是两个定点来，它是定点，它呢也是定点。好， m 点和 n 点呢，分别是两条直线上的 动点，这个也是动点，但是呢，这两个动点，什么叫做联动点，什么叫做联动点呢？就说这两个点，虽然动，它是一起动的啊，一起动，它们俩什么一定是垂直于 这两条直线的，它们俩是平行的嘛，所以一起动，一起往右，一起往左，它们始终是垂直的，对吧？来，所以呢，哎，这里面问哈，这两个联动点， m 点和 n 点在什么地方？ 这三条线段之河正好有最小值，来，让他先去观察一下这三条线段里面有没有定长线段， 一定是有的，正好是这个什么，这个联动点的距离正好等于这两个平行线的距离，对吧？好，所以呢，这个既然是个定值，那我就不用看了，我只用去求这两条线段，因为它是动的嘛，求这两条线段之河最小，再加上这个定值，三条之河也是最小的。 好，那么我们再来看哈，这个时候我们的 am 和我们的 n b 这两条线段，你会发现哈，他们俩要求最小，那么这两条线段它是分开的，哎，我们之前求的这种将军一马的这个 最基本的模型，看到没有？这两条线段是什么共顶点的啊？共顶点的，哎，他们俩是什么 连在一起的？但是呢，这两条线段他是分开的，对吧？那怎么办呢？那我首先第一步要把这两个分开的线段通过转移，让他共顶点连接在一起，对吧？怎么去连接呢？大家看一下哈。首先这两个动点， m 点和 n 点，他们的距离是一个定值， 对吧？有定值要让它共顶点，想要什么呢？平移，来，我把 n 点往上平移 m n 个单位，这个时候 n 点和 m 点不就可以重合吗？对吧？同样，我不能指 n 点移吧，我 b 点呢，也要 往上平移 m n 个单位，哎，一起移啊。好，你看这个时候呢，这个点就是我们的 s 点， n 点和 m 点重合，往上平移 m 跟大位， b 点往上平移 m 跟大位到 s 点，所以这两个线段平行且相等，对吧？好，来，那我再连接 ms， 来连接 ms， 哎，你就会发现什么这两条线段 也是平行且相等，因为呢，它是一个平行四边形，对吧？所以呢，我就把这个线段整体平移到了 m s， 求它们两个最小就变成。求 am 再加 ms， 这两个共顶点的 线段是和最小就达到我们的目的了，对吧？好，什么是最小呢？当 ams 三点共线，那最后一步，两点之间线段最短，连接 a s， 好， 这个点就是我们的 m e 点，对吧？三点共线，那 m 点出来了， n 点呢？也出来了，再过 m 点向下做垂线，这个焦点就是我们的 n e 点。那我们来画下最短路型哈，先从 a 点到 m 点，好，再从 m 点到 n 点，再从 n 点呢到我们的 b 点来，这个 实线的路径就是我们的最短值，听懂了吗？好，这个模型呢，我们总结一下哈，当我们什么遇到这种什么不共端点的线段之和要求最小，而且这两个动点之间呢，又是定长的时候来，我们选择平移，让它共端点， 听懂了吗？好，来最后一个模型哈，叫做将军六马模型。来， a 点和 b 点是两个定点， 这两个是定点好， m 点和 n 点呢？是两个动点，一样的哈，这两个动点是什么？叫做连动点，它们俩一起在这个线段上运动，所以呢，我要保证什么？保证 m n， 它应该是一个 定值啊，定长，对吧？求什么呢？求的是 am， 再加 m n， 再加 b n， 这三条线段之和的最小值应该得多少？来一样的，首先 我们看哈，这个是一个定长线段，不会有任何变化，所以呢，我只要让 a m 和 b n 这两段之合最小就可以了，对吧？啊，又回到刚才一个问题了，那大家看一下 a m 和 b n 它们俩有没有共端点？ 没有哎，因为它们俩是分开的，是不是分开的，但是呢，这两个动点之间的长度呢？又是定长， 怎么办呢呀？平移，对吧？来，我们前面这个模型是上下平移。好，这个呢，就应该是左右平移，让它共断点好来，所以呢，我可以把 a m 往右移，我也可以把 b n 呢往左移啊，只要让这两个点共端点就可以了。好吧，随便你选择。好，那我就选择把 a m 往右移，那么所以 m 点往右移动 m n 的 单位，使 m 点和 n 点重合，那同样我的 a 点来，也要往右拼一 m n 的 单位来，这是我们的 s 点，对吧？好，在连接我们的 s n， 大家看一下，又出来了吗？啊，你看这个边整体移到这来了，哎，就变成了求他加他的最小值， 就变成我们将军印码的第一个模型了，对吧？好，那过定点向定直线做对称点。哎，因为这两条线段是什么？同侧要转化为异侧，所以呢，我可以选择 s 点做，也可以选择过 b 点做，都可以哈。哎，我选择过 s 做 啊，过 s 座啊，过 s 座之后呢？哎，这是我们的 p 列 p 和 s 关于定直线对称，那么这个时候呢，来就把我们的 n s 转换到了我们的 n p， 哎，就变成它 加它最小了，对吧？又是两条首尾相连的折线段之合最小，那么当 p n b 三点共线应该有最小值，所以最后一步，两点之间线段最短，来连接这个连接我们的 b p， 这个交点就是我们的 n e 点， 那么 n 一 点出来了， m 点又出来了呀， n 点再往左平移 m n 的 单位来，这个点就是我们的 m 一 点，对吧？好，来，那么我们的这段路径最后来画一下，从 a 点到 m 一， 好，再从 m 一 到我们的 n 一， 再从 n 一 回到 b 点，这个实线的 路径就是我们的最小值。来，这是我们将军一马常考的六个模型的作图方法，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路。

说一下四大难点之一，列方程解应用题，百分之九十的孩子看见直接傻眼，其实列方程解应用题就两个核心，射准未知数，找到等量关系，来，跟着贾老师一起看一下。我们看一道题啊，长方形 a、 b、 c、 d 当中呢，我们放置了九个形状大小都完全相同的小长方形， 并且呢，我还知道了 ab 与 ab 的 差是二，小长方形的周长是十四，求阴影部分的面积，咱班的绝大部分同学都是能知道，阴影部分的面积肯定就是大减九个小三，对吧？这个没问题，但是设未知数不知道设谁。我们先来看第一个关键的部分， 这里面的最小单元是不是就是个小长方形，并且呢，我还知道了小长方形的周长是十四，有一个等量关系了，所以我们设未知数就可以明确的去设 长方形的长和宽啊，小长方形的长和宽，比如说小长方形的长，我用 x 表示宽呢，在这里呢，哎，我用 y 来表示啊。好，那现在我找开始找等量关系。第一个等量关系很简单啊，小长方形的周长是十四，那第一个等量关系就是 x， x 加 y 就 等于按十四除以二嘛，对吧，等于七。好了，第一个等量关系我找到了，接下来很明显，第二个等量关系叫做 a、 d 与 ab 叉二，所以接下来我就要尝试用 x 和 y 去表示， ab 表示 ab， 对 吧？那我们来看 ab 是 什么？ a b 在 这里，它是一个长方形的长，加上四个小长方形的宽，所以是 x 加四 y 嘛，好了，那就是 x 加四 y， 好， 这是我的 a b。 好， 那我再来看 a b， a b 不 明显啊， a b 不 明显，这个是三个 y， 但这个呢，我不知道。那你别在这里死壳，没有意义，你死壳你也表示不出来。那怎么办呢？你往里走啊，你往里走。好，里面你看见了没有？好，这个其实就是一个长方形的宽，所以这里很清楚，我就知道了，是 x 加 二 y， 对 不对？好，那我就减去 x 加二 y 好 了，那这就是我的 ab 减 ab 差是二。 ok， 好 了，未知数有了，等量关系有了，那接下来就剩下解方程了吧。好，那我们快速解一下。那我在这里求出来了，那 y 是 一吗？ 好， y 是 一呢， x 就 等于六吗？对不对？好，我的解很快就出来了。好，那我阴影负的面积就是大减小吗？大，长方形的长，我们就是 x 加二 y 好，减去谁呢？减去我九个小长方形，减去九乘以九 x y 嘛。好，那我们快速算一下。好， x 加四 y， 那 就是八，好，减去九啊，九 x y， 那 就六九五十四。好，那就是八十减五十四等于二十六。 好，快速我们就得出来了，阴影部分的面积就是二十六。二元一次方程组的等量关系其实是比一元一次方程的等量关系要好找的多，因为一元一次方程组呢，我们可以设两个未知数， 这也是为什么我们常说一元一次方程难列好解，二元一次方程好列难解。好了，下一期我们继续讲一讲列方程解应用题。关注北大雅姐数学起飞。

注意下，四大难点之一，列方程解应用题更是我们期末考试的必考题型，其中呢，跟几何有关的部分，百分之九十的孩子看见直接傻眼，其实这类题目你知道技巧就会很简单，只需要两步就可以快速解决。跟着贾老师一起来看一下。如图，在大长方形 abcd 当中，我去放入十个相同的小长方形，求阴影部分的面积。 这道题核心其实就是我用大长方形的面积减去十个小长方形的面积，就可以得到阴影部分的面积了，所以求小长方形是核心关键。好，那在这里呢，我们就可以去完成第一步，找准未知数。 好，设，我们的小长方形的长是 x， 它的宽呢？是 y。 好 了，那我们先来接下来找等量关系，现在给出来的已知 bc 的 长度，还有这一段的长度，其实就是我的两个等量关系了。我先来看第一个。好， bc 是 我长方形的长等于十七厘米。好，那我来看怎么才能用 x y 来表示呢？好， 没有什么啊，没有什么感觉，找不到，对吧？没关系，往里推。哎，你看到没有？好，这里就可以看到了，四个小长方形的宽，加上一个小长方形的长，等于十七厘米，所以在这里我就可以快速的写出来了，叫做 x 加上四半等于十七。好，第一个等量关系找到，我们来看第二个，好， 长的长，宽的宽吧，那这个宽呢？它只是其中的一小部分，那这一小部分是十一厘米怎么办？你把它扩一下，不就是宽了吗？十一厘米加二 y 二就是我的宽了。好，那这里再往里推，去找它的等量关系，这里还有一个，对吧？长加三个，宽也是，所以我们就可以找到等量关系，叫做十一加上我的二， y 等于什么呢？等于我的 x 加三 y 好 了，我们就可以快速的得出解， x 等于九啊， y 等于二。 好，那我阴影部分的面积就是大减小好大就是我的十七乘以十一加二外，也就是十五减去我十个小，十乘以二九一十八。好，那最终阴影部分的面积是多少呢？来评论区告诉霞老师吧，关注北大牙姐数学起飞！

将军一马求坠子可以说是初一下半期考试当中考平最高但得分极低的以内压轴问题，尤其这种三动点问题，可以说是将军一马问题当中的天花板都存在。来，同学们，今天徐老师带你用一个视频 彻底通透三动点问题的所有方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。题目是这样说的，首先告诉三角形 abc 当中啊，角 b 这个角呢，等于三十度，然后呢告诉我们 ac 边等于二，三角形 abc 的 面积呢，正好又等于五好。接下来 m 点、 n 点和 p 点分别是三个边上的动点。好题目最后求的是三个动点所围成的三角形 m、 n、 p， 它的周长最小值应该等于多少？徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典专题， 优中选优，讲练结合整理成了将军一马专题电子白，需要的家长我发给你一份。好，来，同学们一起来分析下这道题啊。 这道题呢，主要考察了我们将军一马所有模型当中最难的一个问题，叫做三动点问题，来，我们一起来分析一下哈。首先的题目告诉我们 m 点、 n 点和 p 点这三个点呢，分别是三条边上的三个动点，那题目最后求的是什么呢？求的是这三个动点所围成的三角形的周长最小值 该为多少，对吧？对于这种三动点问题，我们如何去突破呢？其实方法很简单啊，第一步，首先我们先去假设其中一个动点为我们的定点，那到底假设谁呢？来，方法和技巧就是假设特殊角 所对的动点为我们的定点，来，我们先去找一下啊，比如说来角 b 对 应的点是我们的 n 点，角 c 所对应的点呢，是我们的 m 点来，回到题目当中的已知条件，题目告诉我们角 b 这个角等于 三十度来，所以特殊角所对的点为我们的定点，那么角 b 是 特殊角三十度，那么这里的什么？他对应的点是我们的 p 点，所以很简单来，第一步，我们先去假设 p 点这个动点呢，为我们的定点好来，这个时候呢，他是我们的 定点好， m 点是动点， n 点呢也是动点来，接下来就把它转变成了我们非常常规的相均一码的两动一定模型，对吧？对于这个模型的核心思想呢，我们就是通过做轴对称， 把三角形的三条边呢？哎，通过做轴对称呢，转移成这样的首尾相连的 折线段是和求最小，对吧？好，根据两点之间线段最短呢，去找到我们的最小值。 方法很简单来，所以呢，我们应该是过定点向定直线做对称点来定点，这个时候呢，是我们的 p 点 定直线呢，一个是 ab， 一个是我们的 bc， 所以呢，接下来我应该过定点 p 分 别向 ab 和 bc 做两次对称点，对吧？来，先我们做对称，第一个，先过 p 向我们的 bc 边 来做一次对称点，这个是我们的 s， 好， 第二次呢，再过 p 点向定直线，我们的 ab 边来也做一次 对称点，那么这个点呢，就是我们的 q 点，对吧？好，做了对称以后呢，第二步，我们就可以转一边了，你看 p 和 q 是 关于 ab 对 称的，所以呢，我们的 pm 就 把它等量的 转移到了 m q， 对 吧？好，同样 p 和 s 呢，关于 b c 是 对称的，所以呢，我们的 n p 就 把它等量的转移到了 n s， 你 看没有？好，这个边等于这个边，这个边等于这个边，本来是要求中间这三条线段之合的最小值，接下来就把它转移成了这样的 首尾顺次连接的折线段之和最小，看，我们的目的就达到了，对吧？好，最后一步，两点之间线段最短，那么所以最后一步我直接连接 q s 是 不是可以了？好，这个就是我们的 m 点，这个呢就是我们的 n 点，那么这个时候呢，我们 q m n s 四点是共线的，那么最小值呢？就变成求一个，求 q s 应该等于多少，对吧？那什么 q s 该怎么求呢？我们说只要求边长，我们初中阶段一定是把这个边放到我们的特殊三角形当中， 利用特殊角度去求解，对吧？来，回到我们的已知条件哈，题目告诉我们，角 b 等于三十度，对吧？好，来，这个时候呢，这个角是三十度。来，我要把这个边放到特殊三角形当中，那只有一个方法，我把 q 点和 s 点分别连接我们的 b 点，对吧？来，我们来算一下哈，来， q 点连接 b 点，好，我们的 s 点呢？再连接 b 点，你看没有，那么这个时候， 哎，我们的 q s 就 把它放到我们的 q b s 这个大的三角形当中。男生们大家可以猜测一下，这个三角形应该是一个什么特殊的三角形呢？那其实非常直观哈，他应该是一个等边三角形， 对吧？我们可以去证明一下来，如何去证明呢？很简单，男生们，哎，很简单哈，我们去连接这个，连接我们的 b p， 连接 b p， 你 看，这个角是我们的三十度，对吧？我把这个角呢分成两个角，一个是阿尔法，一个是贝塔来看，我们知道这里的阿尔法加贝塔很明显是等于三十度的，对吧？好，因为 p 和 q 是 对称的，所以这个角跟这个角 应该是对称相等的，也是阿尔法好， p 和 s 也是对称的，所以这个角呢，也是为我们的 贝塔，你看，没有出来了。好，所以这个大角就出来了，这个大角来，我们的 q b s 就 应该等于二倍，阿尔法加二倍，贝塔就应该是这个的两倍啊，应该等于等于六十度，对吧？好，六十度出来了，要证明是等边，接下来 我们还需要去证明它是一个等腰，加六十度才是等边，对吧？来，这里面有没有等腰呢？当然有，看，同样通过轴对称去转一边， p 和 q 是 对称的，那么所以我们的 b q 等于我们的 b p， 对 吧？好，再来，因为 p 和 s 是 对称的，那所以呢，我们的 b p 呢，也是等于我们的 b s 的， 所以呢，这两个边 都等于 b p， 所以 就得到 b q， 就 等于我们的 b s。 同学们出来了。好，它是一个等腰三角形，这两个边相等，再加中间这个角呢，是六十度， 所以得到三角形 q b s 来，它应该为一个正三角形，不就出来了吗？好，那最后求哪个？求的是 q s， q s 正好又是正三角形的一条边，对吧？所以呢，哎，我就可以什么呀？求 q s 的 最小值， 把它转移成求 b q 的 最小值，对吧？因为这两个边相等好， b q 呢，又等于 b p， 哎，所以呢，又转移成求 b p 的 最小值，所以接下来 最后答案就是求 b p 这两个点之间的最小值。那如何求呢？来，我们再来观察一下，这个时候 b 点呢，它是一个 定点，好， p 点呢，它是个动点，对吧？它本质上是个动点，在 a c 上动，哎，它是一个动点，它是一个定点，一个定点到一个动点，我们要求什么？它的最小值该怎么求呢？哎，这个动点轨迹又正好是一个 线段，那就很简单了，看就变成了什么，一个定点到一条直线的最小值，应该是垂线段，应该是最短的，没问题吧？好，所以接下来我应该过 b 点这个定点来向我们的定直线 a c 做一个 垂线，对吧？这个就是我们 p 一 点来，所以得到我们的 b p 的 最小值， 哎，就等于我们的 b p 一 来， b p 一 该怎么算呢？我们再看已知条件，题目告诉我们， a c 这个边来，这个边等于二。好， a b c 的 面积呢，又等于五，哎，我要求 b p 正好是以 a c 为底， 这个三角形啊，高，哎，面积知道，底知道，我们可以根据我们的面积法，哎，把我们什么高速算出来，很简单啊，来，所以 b p 一 就等于面积是五，五乘以二，再去除以底，所以 b p 的 高呢，就应该等于五来，所以呢， b p 的 最小值就正好等于 b p 应该等于五。所以这道题最终答案，三角形 p m n 周长的最小值就应该等于 五。这道将军一马的三动点问题，你听懂了吗？来关注薛老师，数学满分不迷路！

这是一道期末考试的压轴正题，百分之九十的同学都很难找到突破口，今天微微老师教你将军引马的必胜技巧，让你轻松完成模型速解。我们先来看题角， l、 b 等于四十五度，这个角为四十五度， m n 为动点，其中 m 点在 o a 上运动， n 点在 o b 上运动，同时 m、 n 又等于九，也就是这一条线段，虽然它是运动的，但是它们之间的长度始终不变，那也就是 m、 n 这两个点，它其实呢是联动点。 同时这个三角形 o、 m、 n 的 面积等于十八，也就是这一个三角形的面积为 十八。 p 点是直线 m n 上的动点，也就是这个动点 p， 它在这条动直线 m、 n 上运动， d、 f 分 别为 p 点的对称点， p 点和 d 点关于 o a 对 称，同时 p 点和 f 点又关于 o b 对 称。问，这个三角形 o、 d、 f 的 面积的最小值， 我们要求这个三角形 o、 d、 f 面积的最小值。那我们首先就要认识清楚这个三角形 o、 d、 f， 它究竟是怎样的一个三角形。微微老师结合往年增题，近年中考增题，整理出了初一下将军引马必考题型， 配套十二种模型立体解析以及专项练习评论区。回复九九九，我发您一份。这里的 o 点呢，它是一个定点， d 点和 f 点都是 p 点的对称点，也就是它们都关于 p 点对称。那么这道题的突破口就是轴对称，所以我们首先要去连接 o、 p， 然后呢，通过轴对称去进行导边。导角，我们先来进行导边，因为 p 点和 d 点关于 o a 对 称，那么 o、 p 这条线段呢，也就和 o d 这条线段是相等的，那么就有 o d 大 于 o p， 同时 p 点和 f 点又关于 o b 对 称，所以 o p 这条线段它又是等于 o f 的， 所以 o p 等于 o f， 那 么这三条线段都相等， 因此就有 o d 等于 o f。 那 么经过导边，得出了这个三角形 d o f， 其实它是一个等腰三角形。接下来我们来进行导角， 而题目当中有关角度的条件只有这一个角 l b 等于四十五度，也就是这一个角呢，等于四十五度。 这一个角被 o p 这条线段分成了两部分，我们把这两部分分别记为阿尔法和贝塔，因此就有阿尔法加贝塔等于四十五度。 因为我们的 p 点和 d 点是关于 o a 对 称的，所以这两个打勾的小角应该相等，因此这一个勾角呢，也应该是贝塔。同样的道理， p 点和 f 点关于 o b 对 称，所以这一个小角也应该是 r 法。 那么在这个大角 d o f 当中，出现了两个阿尔法和两个贝塔，所以这个大角 d o f 就 应该是阿尔法加贝塔的和的二倍，也就是等于九十度， 这样通过倒角出现了九十度的角。这个三角形 d o f 其实是一个直角三角形。那么到现在为止呢，这个三角形 d o f 就是 一个非常特殊的三角形了，它是一个弹腰直角三角形，也就是这两条边 o d 和 o f 的 关系是既相等又垂直的，所以我们要求的这个三角形的面积， 三角形 d o f 就 应该等于它的这两条直角边乘积的一半，也就是二分之一 o d 乘以 o f， 而 o d 和 o f 它们都和这个 o p 这条边相等，所以这个面积呢，也就等于二分之一倍 o p 的 平方。 而题目当中要求的是这个面积的最小值，要去求这个三角形面积的最小值，其实也就是要去求 o p 这条线段的最小值。接下来我们就来观察一下 o p 这条线段。 我们先连接 o p 这里的 o 点呢，是一个定点，而 p 点呢，它是一个动点， 它在直线 m n 上运动，也就是 p 点呢，在这一条直线上运动。因此 o p 这条线段呢，它是变化的，它的长度是不确定的。 那什么时候最小呢？这道题的问题就变成了去求 o 点到这条直线 m n 的 距离的最小值，那点到直线的距离最小，垂线段是最小的， 所以我们应该过 o 点向 mn 这条直线去做垂线段。因此辅助线出来了，我们首先应该去延长 n m， 然后呢，再过 o 点去做 mn 的 垂线段 来这一个垂足就应该是动点 p 点真正的位置，我们把它记为 o p 一 撇，也就是 o p 一 撇，就是这个 o p 线段长度的最小值。接下来的问题就变成了如何去求这个线段 o p 一 撇的长度。 因为 o p 一 撇是垂直于线段 m n 的， 所以我们可以把 m n 看成是底边儿， o p 一 撇呢，看成是 m n 这条边上的高 有了底，边儿有了高，自然而然会让我们想到这个三角形 o m n 的 面积。而题目上告诉我们，这条底边的长度是九，三角形 o m n 的 面积是十八，所以有了等量关系，二分之一倍底乘以高 就应该等于面积十八，因此我们可以算出 o p 一 撇的长度应该等于四， 也就是 o p 这条线段的最小值为四。这道题还没有结束，它要求的是这个三角形 o d f 面积的最小值， 因此这个面积的最小值就应该是二分之一。被 o p 一 撇的平方也就等于二分之一乘以四的平方等于八。 那么这道题的最后结果就应该是八。同学们，你们听懂了吗？关注魏魏老师，学习如此简单！

这是一道关于将军一马的天花板级别难度填空压轴题，我敢说百分之九十五的孩子都拿不到分，他的难点之处呢，有两个，第一个，很多同学压根就不会构造辅助线， 第二个难点之处呢，很多同学不会通过倒角求我们的角度关系来，同学们，今天我们一起来分析下这道期末填空压轴整体。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，首先 a b 和 a c 呢，这两个边相等对吧？它的夹角呢，等于四十度，然后呢， e 点和 f 点分别是两个动点。好题目，最后求的是 b e 加上 e f 再加 c f， 当这三个边之合有最小值的时候哎，最后呢，它求的是我们角度关系角， a b e 这个角应该 等于多少？徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典真题， 优中选优奖链结合整理成了将军一马专题电子白，需要的家长我发给你一份。好来，同学们，哎，我们一起来分析一下这道题，好，那么这道题呢，他最后求的是 e 再加 e， f 再加 c， f 啊，这三个边之和有最小值的时候啊，让我们求角度 a b， e 应该 等于多少？那么这道题呢，是一道非常典型的将军一马问题对吧？对于将军一马的核心思想呢，我们就是要通过做轴对称， 把这三条边呢转移成首尾顺次连接的折线段之和最小。然后呢，根据两点之间线段最短呢，找到我们的 最小的是没问题吧？好，那么同学们如何去做我们的轴对称呢？方法很简单，过定点向定直线做对称点。来，我们分析一下啊，题目当中 b 点 和 c 点来，分别是这两个定点，对吧？好， e 点和 f 点呢，分别是两个动点，然后呢，这两个动点又正好在这两条定直线上运动，所以呢，题目当中总共有两个定点，两条定直线。那么新的问题来了， 到底应该过哪条定直线？哎，做对称点呢？这是我们的核心思想，对吧？来，我们之前给大家总结过的，哎，定点连接谁，我们就关于谁做 对称点，哎，定点看，比如说 b 点连接的是 e 点，那么 e 点正好在 a c 这条直线上，所以呢，我们应该过 b 点向 a c 做对称，来，我们来试一下哈。好，第一个 过 b 点向我们的 a c 做对称，好，你看这是，比如说这是我们的 来，这个点是我们的 p 点，对吧？哎， b 和 p 关于我们的 a c 是 对称的，那么这个时候你看，我们就可以把 b e 这个边进行一个等量转换，哎，我去，连接 e p 就 相当于把 b e 转移到了 e p， 没问题吧？好，再来第二个哈，那么你看 c 点这个定点，它连接的是 f 点这个动点， f 点又正好在 a b 上啊，定点连接谁就关于谁做对称点来，所以呢，我应该过 c 点向我们的 a b 做对称啊，向 ab 做第二次对称，看到没有？好，这个点呢，就是我们的 m 点，那么 c 和 m 关于 ab 是 对称的，大家看一下，现在题目当中哪个边可以等量转换，很明显就是 cf， 对 吧？哎，我连接 fm， 哎，我们就可以什么把这个 cf 转移到 mf， 好， 什么？再来看，那么本来是要求中间这三条 线段是和最小，转移之后呢，就变成求 m f 加 e f 再加 e p， 哎，这三条首尾相连的折线段是和最小，哎，我们的目的就达到了，好的最后一步呢，两点之间线段最短，来，我直接连接， 哎，连接我们的 m p 就 可以了，看见没有？好，当，这四点共线有最小，那么这个点呢，就是我们的 f 一 点。好，这个点呢，就是我们的 e 点，没问题吧？好，那么 e 点这个动点的位置呢？我们就来找到了啊，在这个位置，好，那最后呢，题目求什么？求我们的 a b e a b e， 我 们来连接一下啊， a b e 就 应该是这个角度 来连接 b e， a b e 就 应该是五这个角度，对吧？那这个角度应该如何去求呢？接下来再回到题目当中的已知条件，哎，题目当中关于角度的条件就只有一个角， a， 哎，这个角等于四十度， 那如何利用这个角度去求这个角度呢？大家思考一下，刚才我们做了两次轴对称，所以呢，我们一定想到通过轴对称去转移角，对吧？你看第一个 b 和 p 关于 a c 对 称，那所以接下来我连接 a p， 对 吧？连接之后来你会发现什么呢？这里面，哎，我们的这个角跟这个角一定是相等的，因为 b 和 p 关于 a c 对 称，那么对应角也是相等的，所以这个角四十度，没问题吧。好，第二次对称 c 和 m， 关于 ab 对 称，来，我再去连接我们的 a m， 连接 a m 之后，那同样这个角跟这个角也是相等的，也是为四十度，对吧？所以你看，就得到角 m a p 就 应该等于三个四十度，得到等于一百 二十度。好，我们再看哈，题目当中还有一个边没有用到，我们的 ab 等于 ac， 大家看一下哈，这个时候我们 a、 m、 p 构成了一个三角形，它的顶角为一百二十度，那么这两个边是什么关系呢？ 它也是相等的，为什么呢？很简单，你看我把 a、 b 设为 a 嘛，那 a、 c 呢？也是为 a。 题目告诉你，它们俩相等，对吧？好，因为 b 和 p 对 称，那么所以 a， b 和 a p 也是相等的，对应边相等于 a。 好， 再来， c 和 m 是对称的，所以 ac 和 am 呢，也是相等的，也为 a 看，所以最后 am 和 ap 应该是相等的。那么 amp。 这个大三角形就应该是一个顶角为一百二十度的等腰三角形是不是出来了？好，接下来， 那这个角出来了，它就应该多少度？三十度，对了吗？来写，因为我们的 am 等于 ap， 所以 角 ap e 一 就应该等于三十度。那么回到我们最后要求的求的是这个角，对吧？其实已经出来了，这两个角 正好是相等的，为什么呢？哎，你看，因为这两个点是对称的，所以这两个三角形。那么看一下啊，我描出来的这两个三角形，它应该什么关系？对称 重合的，那么它既然能够重合，对应角呢，也应该是相等的，它是三十，所以这个角呢，也应该等于三十度。所以最终答案，我们的 a、 b、 e 就 应该等于 三十度。知道双均一码的综合考察题，你听懂了吗？来关注学老师数学满分不迷路！

初中几何考来考去，无非就这六十个模型把他们都吃透，数学也就稳了。他把初一八个模型、初二三十三个模型、初三十九个模型 都整理在这本初中几何模型图描解里了，让孩子从现在开始，每天掌握一个几何模型，等到考试小题套结论，大题套模型，别提多轻松了。 比如风筝模型、手拉手全等模型、将军印马模型、胡不归模型、点线圆最直模型等每一个模型的已知条件、辅助线、画法、结论是什么、怎么证明的，都给孩子梳理的明明白白。搭配对应的典型真题， 从找模型到套用模型，让孩子可以快速吃透每个考点。有了这本书，以后做几何题就像查字典一样简单，关键扫码，还有免费的视频讲解，不怕孩子学不会。学完再用这本配套的练习册 刷对应的真题，巩固提升，这样无论考试题型怎么变，都能从容应对，快速解析，初一、初二、初三都能用！家有初中生，快给孩子准备起来！

如图，有三张边长为 a、 b、 c 的 正方形纸片， a、 b、 c。 将三张纸片按照图圈一和图圈二两种不同的方式放置于同一个长方形当中啊， 也就是这两个长方形的长和宽是一样的，即图中的阴影的这个周长为 l l 一， 面积为 s 一， 图二当中阴影的周长为 l 二，面积为 s 二。 如果他们两个周长和面积存在这样的一个等量关系啊，那么 b 和 c 满足什么样的关系？所以这个题目很清晰了，我们就是要用含有小 a、 小 b 和小 c 的 式子观察一下另一部分，这一段刚好就是 c 这么长，而这一段是多长呢？ 哎，因为左边和右边是矩形的，这个对应边吗？应该是相等的，左边是一个 a 和一个 c， 也就是 a 加 c， 那 右边总共长度也应该是 a 加 c， 而上面这一小节是一个 b， 所以 剩下这一小节就是 a 加 c 减 b， 对 吧？ 我们再看一下剩下的，剩下的话，这一节这一节怎么求呢？ 同样的，左边这一段是 c， 那 上面跟下面也是一样长的，所以这个矩形的上方部分刚好是一个 a 和一个 b， 也就说总共长度是 a 加 b， 所以 剩下这一节是 a 加 b 减 c 就 好了。那现在这个 l、 e 可不可以表示出来了呢？ 这一节可以表示，左右都可以表示，那这一些折线段呢？因为所有的折线段加起来才是它的周长嘛。观察一下， 这个平台和这个横着的平台，两个加在一起是不刚好就是一整节，也就是 a 加 b 减 c。 同理，这一节竖着的和这一节竖着的拼在一起是不刚好可以拼成一个 a 加 c 减 b， 或者说你可以认为我们把这个补成一个大的矩形，那么这一节长度和这两节长度是一样长的，所以说其实这个看似不太规则的图形，它的周长和这个矩形的周长是一样长的， 所以我们可以表示出此时的 l 一 l 一 就应该等于两倍的 a 加 b 减 c， 去加上两倍的 a 加 c 减 b， 对 吧？就是两个横着的这一节和两个竖的这一节，再看一眼这两个加起来加上它， 对吧？是横着的部分，竖的部分是这两个加起来加上它竖折部分刚好是两倍的 a 加 b 减 b， 所以我们把化简啊，二 a 加二 a， 四 a 二 b 减二 b 没了，二 c 和二 c 也抵消了，所以只剩下一个四 a。 我 们再看一下 s e， s e 就是 这个图形的面积，这个图形的面积可以怎么算呢？啊？这个问题可以很轻松。整体减空白，对吧？整体是这个矩形的面积，减去 a 减去 b 减去 c， 是 不就可以了？整体是 a 加 b 去乘上一个 a 加 c 减去 a 的 平方，减去 b 的 平方，减去 c 的 平方，就等于阴影的部分，我们把这个 a 加 b 乘上 a 加 c， 给它打开就可以得到，最终应该是 a c 加上 ab 加上 bc 去减去 b 方减去 c 方。好，这个就是我们的 l e 和 s e， 我 们把它写在下方，这就是我们的第一个就做完了， 分别是这两个数据啊。我们再看一下第二个，第二个图形当中注意这两个矩形是一样的，所以说这一节长度依然是 a 加 c， 对 吧？这一节长度依然是 a 加 b， 那 现在我知道这一节是 a 了，这一节是 b， 对 吧？这个确实也是 b 啊，没什么问题。同样道理，我知道下方是 b 了，那所以这一节长度应该是 a 加 c 减 b 啊，跟刚才好像是一样的感觉啊。我们再看一下这个矩形，它的周长和面积我觉都可以表示，我们再看一下左边这个不太规则的图形，左边这个不太规则的图形，我们还是先看这一节， 那这一节应该是这两节竖着加起来是一样长的，所以这一小节是多长呢？总共是 a 加 c， 减去一个 a 是 不还剩下一个 c， 所以 说其实上面是 a， 下面就依然是 c 这么长，所以这两小数他们的和依然是 c 这么长。我们再看横着的这一节， 横着这一节的话，同样的总共是 a 加 b， 那 么减去 b 之后就还是 a， 或者说横着这一节，你就看其实他也就是 a 的 边长了，对不对？所以还是一个 a， 也就是说这一节横着的跟这节横着加起来刚好是一个 a 啊。因此呢，我们这个问题就可以快速的去写出来了。 那么在第二个问题当中，它的这个周长和面积，我们来写一下 l 二 l 二是左边这个周长两个 a 加上两个 c， 加上右边这个两个 b， 去加上两倍的 a 加 c 减 b 好 化，减下来就是四 a 加上四 c， 我 们再看一下 s 二面积这个部分的话，我们其实也比较的好写，右上角这个刚好是一个矩形，已经可以表示了，左边这个，左边这个，就不然就割补一下嘛，对不对？我们去给他割一下好了， 我们从这个竖线给他割开，那么可以看到此时这个是小 c 这么长，所以说左边就还剩 a 减 c 这么长，对不对？那左边这个矩形就是 c 倍的 a 减 c， 那 这一节呢？ 这一节他的长是 c， 宽应该是多长？宽就是总共的是 b， 上面是 c， 所以 这一小节就是 b 减 c， 对吧？啊？都是用长的减去短的，所以说右边这个矩形的边长我们也有了，我们就可以都表示出来。那我们写一下 s 二就应该等于 c 倍的 a 减 c 啊，去加上 c 倍的 b 减 c， 再去加上右上角这个矩形 b 倍的 a 加 c 减 b， 好， 把它化简。 这边大家可以自己去画一下啊，我这边就直接写结果，得到的是 a c 加上 ab 加上二 b， c 减去 b 的 平方减去二 c 方。得到这个结果之后，我们把它抬到下面来啊，方便我去下一步写过程。 那你可以看到现在我们 l 一、 l 二、 s 二就都有了，我们分别去求出 l 减 l 一， s 二减 s 一， 是不就可以了？我们来求一下， 先求这个 l 二减 l 一 两式相减下式减上式，那很明显就是它减一个 c 嘛，得到了就是等于四 c。 我 们再看一下 s 二减去 s 一， 还是一样的，这一长串减，这一长串， ac 和 ac 减没了， ab 和 ab 减没了二， bc 和 bc 还剩一个 bc 方，也减没了，这个还剩一个 c 方，所以就还等于 bc 减去 c 方。 现在我们把这个式子代入进去啊，代入到原式当中来，你可以看到那就是二分之四 c 的 平方应该等于三倍的 bc 减 c 方。好，这个东西， 那现在二分之四 c 当然可以划分化减了，对不对？化减下来之后就是二 c， 二 c 的 平方就是四 c 方，那等于三 b c 减去三 c 方好一个项，七 c 方等于三 b c， 七 c 方等于三 b c， 我 们分别去约一个 c， 是 不是可以得到结果？ 约一个 c， 得到了七 c 等于三 b， 七 c 等于三 b。 选择 c 选项，那我们这个问题就完美的解决了。 那要过程好看的话，我就把它抬到下面了，看着好看一点，对吧？啊？得到这个结果。

大家好，今天给大家讲的是数学几何模型当中的截长补短，这是一个方法，也是一个模型，它是七项全等三角形当中的重难点，接下来就让我们走进截长补短法吧， 今天我们给大家讲的这个是解长法补短，我们下一期视频再讲，接下来就让你们看题吧。首先解长法有两个判定大招，第一个是角平分线 就是三角形一个内角的平分线， 角平分线就是三角形的一个内角的平分线。然后第二个方法是看给题目给没给线段关系， 线段关系就是比如说线段 间有和差 倍分关系， 在考场上面的时候只用找这两个就可以判断这是截长不断模型了。 现在让我们来分析分析题目已知条件。在三角形 abc 当中， a 大 平分角 b a c， 也就是这两个角是相等的，然后 a c 等于 ab 加 bc， 看这个是不是满足角平分线，然后这个是不是线段关系，那我们就可以用截长补短的方法， 首先因为这个是截长法来算，那么我们就要在这个里面找一个长的边是不是 a c， 所以 说我们 手已经知道了 a c 等于 ab 加 b 大， a c 是 长的边， ab 和 b 大 是短的边，为了方便我们是截取在 a c 上面截取 ab 的， 也就是 在这里画一个点，然后标上 e， 然后再连接大 e， 然后我们就构造出来了这个 a e 等于 a b， 现在就让我们来写一下格式吧。 首先是在 a c 上截取 a e 等于 a b， 然后连接大 e， 再写下格式，因为 a 大 平分角 b a c， 所以我们就知道这两个角相等，所以角 b a 大 等于角 e a 大， 然后再根据 a b 等于 a e， a 大 等于 a 大， 就是这两个三角形，它们首先是这两个角相等，然后这两个边相等，然后这里还有一个公共线，那我们就知道这两个三角形全等了，一正 三角形 a b 大 全等于三角形 a e 大， 因为这是边角边，所以说我们这里要写上 s a s。 好 了，今天的截长法就讲到这里，希望大家收收听下一期视频补短法。

将军驿马一定是我们初一下册考频最高但得分极低的一类几何动点压轴题，尤其将军驿马当中的求最大值问题模型， 可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透这类模型的解决方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，首先告诉我们， ab 等于 ac 等于五啊，这两边等于五。然后呢， b a c 这个大小等于一百一十度，好小角， b a d 呢，它等于二十五度，那么 p 点呢？正好又为 a d 上的一个 动点。好题目最后求的是这两边 p b 减去 p c 这两个边相减的绝对值的最大值应该等于多少？ 徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典真题，优中选优奖练结合整理成了将军一马专题电子白，需要的家长我发给你一份。 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察了我们将军一马所有模型当中最特殊的一类模型， 叫做最大值问题模型。来，我们先来简单回顾下这个模型的构造方法和技巧。好吧，大家看第二个图哈，它是这样去说的， a 点和 b 点呢，是两个定点， p 点在定直线 l 上动，那么这个模型问的是什么？ 当 p 点这个动点在什么地方？我们的 a p 减 b p 两个边之差的绝对值呢？正好有最大值。那这个模型呢，其实非常简单哈，我们来构造一下， 首先你去连接 b 点和 a 点这两个定点，并且给他延长，延长之后呢，和这个定直线交于我们的 p e 点，那么这个时候 p e 点就是我们的最大值，那为什么呢？我们来证明一下哈，我们知道 p 点是直线 l 上的动点，我们先去假设，如果 p 点不在 p e 点，它会怎么样呢？那我们随便选个点，就说 p 点在这个地方来，它会怎么样呢？大家看一下哈，这个时候你看 最开始 b a、 p 三点共线，如果 p 点选在这个位置，我们的 b、 a、 p 三个点不共线，正好构成一个三角形来，有了三角形两边之差， 想要什么？三角形的三边关系，两边之合大于第三边，两边之差小于第三边，对吧？你看，当如果我们的 a、 b p 三点不共线，这两个边之差，我们的 a p 减去 b p， 它的绝对值呢？哎，应该什么是小于我们的第三边 ab 的， 那能不能够等于 ab 呢？大家思考一下，可以正好当这三个点共线，你看大边减去。小编，如果三点共线正好呢，就等于我们的 ab， 等于这两个定点的距离，对吧？所以呢，这两个边相减的绝对值呢，应该是小于或 等于 ab 的， 那么它的最大值呢，就应该正好等于 ab， 哎，就等于这两个定点的距离，大家听懂了吗？好，有了这个模型做铺垫之后来看这道题，那就非常简单了，好，我们说，哎，看题目说 p 点正好在 a d 上动啊， p 点是动点 好，求 b p 减去 p c 这两个边之差的绝对值，它的最大值 应该为多少？那么我们先去观察一下这个奇和这个模型之间有什么关联度，好吧，那么这个模型呢，看我们的 p a 减 p b， 这两个边都在定直线 l 的 上方，所以呢，我说这两个边应该是同侧线段，对吧？但是这个题呢，你看，这个是定直线 c， b 在 左边， c， c 在 右边，哎，你会发现哈，哎，他们俩什么应该是异侧的，哎，这个是同侧，这个是异侧，那怎么办呢？我应该把异侧转化为我们的同侧，怎么转化呢？ 做轴对称，对吧？过定点向定直线做对称点。来，这里的定点是两个，一个是 b 点，一个是我们的 c 点，那我们到底应该选择谁呢？啊？这道题都可以两个方法，好吧，你选 b 也可以，你选 c 也可以，那我就选 b 吧。好，选 b 来，我过 b 点向它做 对称点来，过 b 点向它做对称点。 好，这个点是我们的 s 点，看 b 和 s 关于 a d 是 什么对称的，那么这个时候呢，我就会把 p b 给它对应到的 ps， 所以 接下来连接 ps， 哎，就变成这两个边之差的 最大值，哎，而且这两个边呢，都在定直线 a d 的 右侧，同侧嘛，对吧？所以接下来就非常简单了，根据这个模型，接下来我们连接这两个 定点，对吧？和这个定直线相交，那么这里面是连接 cs 和 ad 相交，没问题吧？好，我把这个叉了哈，我们下面要写过程了，哎，我连接 cs 和定直线相交，哎，再把定直线延延长， 哎，我们的焦点，哎，这个焦点就是我们的最大值点 p 点，你看到没有？好，那么这个时候呢？呃，我们的 p b 就 等于我们的 ps， 对 吧？你看，那就是哪个就是我们的大边，哎，减去我们的小编， 剩下呢，就等于我们这两个定点的距离是不就出来了吗？好，你看，所以呢，我们就得到，哎，我们的最大值就等于 c s， 那 怎么去求这个 c s 呢？ 大家思考一下啊，怎么去求这个 c s， 那 么我们要求边，一定是要把这个边放到我们的特殊三角形当中，利用我们的特殊角去解三角形。 那么现在 c s 在 p s c 当中，很明显这个三角形不是我们的特殊三角形，对吧？它没有三十度，六十度，也没有十五度，那怎么办呢？来，回到我们的已知条件，题目告诉我们，这个边为五，这个边也是为五。来，角度出来了啊，那么 b a d 这个角是等于 二十五度，这个角 b a c 呢？等于一百一，那这个角就是一百一，减去二十五度，对吧？等于是八十五度，你看，没有，那么我要把这个边包含在一个特殊三角形当中。哎，我的 b 和 s 又是关于 a p 是 对称的， 而且你还会发现这两个角相减正好有一个特殊角，是不是六十度，那怎么办呢？我需要在八十五度里面去截取一个二十五度，所以呢，来，接下来哈，我连接 s， 连接 s， 你 看它们俩对称的，它是二十五，它也是二十五，八十五减二十五，哎，这个角正好为 六十度，是不是算了来，所以角我们的 s a c 就 应该等于六十度。好，接下来看，这个时候我的 c s 正好包含在了 a s c 当中，大家可以猜测一下，这个三角形应该是个什么特殊三角形， 非常明显了吗？正三角形我们证明一下。首先已经有个六十度了，还需要证明一个等腰三角形来，那么证明这个边和这个边相等非常好。正啊，你看这个边为五，这个边为五，因为它们俩是对称的，所以我的 ab 就 等于 a， s 也是为几也是为五，这个边也是为五，所以呢，等腰加六十度应该就是我们的等边三角形，所以来三角形 a s， c 应该。为什么正 三角形数出来了，那么 c s 正好是正三角形的一条边，所以来我们的 c s 就 应该等于五，所以最终答案应该等于五。这道将军一马的最大正分题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

将军驿马一定是我们初一下期末考试当中的绝对拉分神器，尤其将军驿马当中的两定两动模型，可以说百分之九十五以上的孩子都拿到分，他的难点之处呢，有两个，第一个很多同学不会构造辅图线， 第二个难点呢，很多同学不会倒角，求角度关系来，同学们，今天薛老师带你用一道题彻底通透将军驿马当中的两定两动的所有构造方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，首先告诉 abc， 这个三角形呢，它是一个等腰直角三角形，那这个角呢，是九十度，这个角呢是四十五度对吧？然后 ab 和 ac 呢，两个边也是相等的。好，接下来告诉 d 和 e 分 别为两个定点哎，它是定点， 它呢也是定点好， m 点和 n 点呢，分别是 a， c 和 bc 上的两个双动点。好，题目最后求的是 这四个点所围成的这个四边形，当它周长有最小的时候。那么最后呢，题目求的是角度关系哈，就是 d n m 这个角， 再加上角 e m n 这个角啊，这两个角度之合应该等于多少？徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典题型， 优中选优，奖链结合整理成了将军驿马专题电子版，需要的家长我发给你一份。好来，同学们哎，我们一起来分 析一下这道题哈，那么这道题呢，主要考察了我们将军驿马模型当中的两定两动模型。来，朋友们，我们先来简单回顾一下哈，这个模型的构造方法和技巧，好吧，打开第二图哈，那么这个模型呢，是这样做的，首先 a 点和 b 点呢，是两个定点， m 点和 n 点呢，分别是直线 l 一 和 l 二上的两个动点，那么这个模型呢，最后求的是 这两个动点分别在什么地方啊？我们的 ab 加 am， 再加 m， n 再加 nb， 来这四条边之合呢，正好有最小值。那么来，首先呢，我们先去观察一下哈，这四条边里面谁的长度不会有任何变化哎，我们称之为叫做定长线段， 那很明显，这里面就应该是我们的 a b， 对 吧，因为 a 点和 b 点是我们的定点，所以这个长度呢，它是一个定长，那就很很简单了哈，所以接下来我们只用去求这三条动边之河的最小 a b， 我 们就不用看了， 只用把这三个动边之合的最小值求出来，再去加上我们的定长线段 a b， 那 么这个时候呢，我们四条边之合就一定有我们的最小值，对吧？同学们，好，那么如何去求这三个边之合最小呢？ 方法很简单，通过做轴对称，把这三条边呢转移成这样的，我们叫做首尾顺次连接的折线段之合， 对吧？然后根据两点之间线段最短，找到我们的最小值，来，我们一起来转一下哈，那么 方法就是过定点向定直线做对称点来，定点是 a 点， b 点有两个定点，定直线呢，也有两个 l 一 和 l 二，那么问题的关键就是有两个定点，有两条定直线，那我到底应该是谁关于谁做对称点呢 啊，方法其实很简单啊，口诀就是定点连接谁，我们就关于谁做对称点，来，我们看一下啊，比如说定点 a， 它连接的是 m， m 点呢，在 l 一 上，所以 a 点这个定点应该关于直线 l 一 做好 b 点，这个定点呢，连接的是 n 点， n 点正好在我们的 l 二上，所以呢， b 点应该关于 l 二做对称点，听懂了吗？好，来我们来试一下啊。 那么这个时候呢，我先过 a， 关于 l 一 做对称，这个就是我们的细点。好，再过 b 向我们的 l 二 也做对称。好，这个点呢，是我们的 q 点，对吧？好，做了对称以后呢，我们的边就可以转移了，对吧？我们的 am 转移成了我们的 m p， 这两个相等，好，再来，然后呢，我们的 n、 b 就 转移成了我们的 n、 q， 哎，他和他相等，你看，本来是要求中间这三条线段之和最小，转移之后呢，就变成求他加他 加他，哎，这三条首尾顺次连接的折线段之和最小。那最后一步当 p 点， m 点， n 点， q 点，四点共线，哎，应该正好有我们的最小值，所以最后一步两点之间线段最短，我直接，哎连接我们的 c q， 那 么这个点呢，就是我们的 m 点，这个点呢，就是我们的 n 一 点，对吧？那我们这段路径也就出来了哈。 从 a 点来，先到我们的 m 一 点，好，再从 m 一 点呢到我们的 n 一 点，再从 n 一 点回到我们的 b 点，对吧？好，再从 b 点到 a 点，那么这个四边形的周长就一定是最小的。好，有了这个模型作铺垫之后来这个题就非常简单了。 那么题目说的什么？来我们看一下题目，告诉我们 d 点和 e 点分别是两个定点好， m 点在 a、 c 上动， n 点在 b、 c 上动，他说这个四边形的周长 最小的时候啊，对吧？他求的是角度，我们的 d， n， m 这个角加上我们的角 e， m， n 这两个角之和应该等多少，对吧？来，首先这两个点是动的呀， 我要求这两个角度之合，我先把这两个动点先给它固定下来，对吧？先把最小值点给它确定下来，所以呢，我们用将军一马呢，先把最小值给它找到，哎，过定点向定直线作对成点带， 它是定点，它也是定点好，定直线呢，一个是 a c， 一个是 bc， 对 吧？两个定点，两条定直线，到底应该是谁？关于谁做呢？ 定点连接谁就关于谁做。看 d 连接 n， n 在 bc 上，所以呢？ d 关于 bc 作对称，好， e 点连接 m， m 在 我们的 a、 c 上，所以呢， e 点关于 a， c 作对称，对吧？好，来，我们先把对称点给他，找到第一个 d 关于 bc 作 对称，好，这个是我们的 p 点，那么 e 在 关于 a、 c 做对称，看到没有哎，因为这里面它正好是九十度啊，这个角是九十度，西木告诉我们哈，等腰值嘛。那所以呢，我直接延长 e a 就 可以了，我们来延长 e a 啊，到我们的这个是我们的 q 点啊， q 点，哎，使这两个边相同，对吧？它就是对称点啊。好，那接下来呢？哎，连接这两个点，对吧？两点之间线段 注意的完啊。然后焦点来，这个焦点就是我们的 n 一 点，这个焦点呢，就是我们的 m 一 点，看到没有？ p n， m， q 四点共线，哎，我们去把最小值给它找到了，好，找到以后呢，我们再去找我们的角度，这个时候我们的 d n m 应该就是我们的 这个角， d n m 角一啊，这个角好， e m n e m n 这个角来连起来，它应该就是我们的 小二，哎，最后题目呢，求是角一加角二，这两个角之合应该等于多少？那么来接下来回到题目当中已知条件，去找我们角度的条件，画干题目当中角度的条件就只有一个 abc 是 一个等腰值，那么这个角呢？ 四十五度看到没有，只有这个条件哈，所以呢，我要求这两个角是和一定跟这个四十五度呢是有关系的，那么如何来求呢？对吧？首先来观察角一和角二，他是如何产生的角一是因为 d 和 p 关于 bc 对 称 产生了角一，对吧，那么对称以后，你看这里面正好有一组对称相等的角，这个角跟这个角 是不是相等的？我把这两个角呢都设为 x， 可以 吧？啊，你看，就说 x 加 x 加角一正好等于一百八，所以呢，角一我可以用这两个相等的角给他表示出来，同样，那角二呢，也是因为意义。关于 a c 对 称以后，对吧产生的角二，那同样，哎，对称以后呢，我们也有一组对称相等的角，就是这两个角， 这个为 y， 这个呢也是为 y， 对 吧？哎，然后呢，你看，角二同样可以用一百八减去这两个角，得到我们角二，所以接下来我把角一和角二呢先给它表示出来啊，角一就等于一百八， 减去二倍的 x， 好。 角二呢，等于一百八，减去二倍的 y， 好。 题目最后求的是角一加上角二，你看没有？把它们俩相加三百六， 再减去二倍的 x 再加 y， 对 吧？系数都为二啊，提出来，那么接下来你看，一定会用到我们的舍而不求思想，那什么叫舍而不求思想呢？虽然我们这个 x 和 y 给它表示出来了，但是 x 和 y 我 们不用去求， 我们只用把什么这两个相加的整体求出来就可以了啊。这个设而不求思想，那这两个整体之合应该等于多少呢？大家思考一下，接下来难点就是什么转移角了哈，怎么把这两个角去进行个转移啊，能够把它们的之合求出来，大家看一下，这个角为 x 对顶角，这个角呢，也是为 x， 对 吧？同样的这个角为 y 对 顶角呢，这个角也是为 y， 你 看没有？把这两个角转移之后呢，他们正好给它拼凑到了同一个 三角形当中，三角形内角和等于一百八，那这个角呢，我们就知道等于四十五度，你看没有，所以这两个角是合就出来了。 x 加 y 就等于一百八，减去四十五，等于一百三十五度啊，一百三十五度好看，所以这两个角质合出来了，最后往里面带三百六等于二，乘以一百三十五度，就等于三百六， 减去二百七十度，最后答案应该等于九十度，对吧？哎，这道将军一马的两定两动模型的拓展题你听懂了吗？来关注徐老师数学满分，不迷路！

将一副三角板按如图一所示放置在直线 m、 n 上，角 abc 和角 e、 c、 d 等于九十度，告诉我们角 a 的 度数是六十度，角 e 的 度数是四十五度。若三角板 abc 固定不动， 三角板 d、 c、 e 绕着 c 点，以每秒三度顺时针旋转一周。好，那旋转的时间是 t 秒。 第一小问，当三角形 a、 c、 e 面积最大时，让我们求 t 的 值。那对于 a、 c、 e 这个三角形， 随着 c e 在 旋转的过程中， a、 c、 e， 它的面积也会发生变化。但是在这里 a 点和 c 点是定点，所以 a、 c 这条边是一个定值，它不变，那我们就把它作为我们的底。 那 ac 如果是底的话，我们的高是不是应该是 e 向下做垂直，也就是 e h 的 长度，那在最开始的时候，我们的 e、 h 它肯定是小于 e c 的。 好，那在整个旋转的过程中，当我们的 e、 c 它垂直于我们 a、 c 的 时候，那你看我们的高 e h 是 不是就跟 e c 重合了？那此时 e h 它就等于 e c 了，那我们的面积是不是就也大了？ 所以说在这里我们面积最大，也就是高最大的时候，应该是我们的 e、 c 垂直于我们 a、 c 的 时候。 啊，那 e、 c 垂直于 a c， 那 我们来看这个角是六十度，那我们的角 a、 c、 b 就是 三十度，所以这个角也是一个六十度，从而我们可以求出它旋转的这个角度是三十度，那求时间就是三十除以三等于 十，所以时间是十秒。好，接下来再来看第二问，如图二， af 是 角 b、 a、 c 的 角平分线啊，那也就意味着这个是三十度， 这个也是三十度。当 t 为多少的时候，我们的 d e 平行于 af。 好， 那我们来看，当在整个旋转的过程中，我们的 d e 平行于 af， 是 这种情况下是 ok 的。 这第一次平行的时候，那继续旋转，当我们旋转到跟 第一次平行的这个图形对称的时候，啊，那此时他是 e， 他 是 d， 那 是不是他又平行了？所以他有两次平行？那我们先看第一次平行啊，第一次平行的时候，那我们的 a f 和 d e 平行，那你看在这里是不是出现了一个猪蹄模型， 对吧？那我们知道这个角的度数是四十五度，那他是三十度，所以中间这个角是不是就是七十五度呀？ 啊，那中间这个角是七十五度，那这个角也是三十度，所以我们就知道 dc 这条边他绕着 c 进行旋转，是不是旋转了一百零五度，那此时我们要求他的时间的话，我们是不是就可以用一百零五除以三，就可以求出来是三十五？ 好，那我们说第二次，第二次平行的时候，应该是跟第一次平行的这个图是对称的时候， 这个是 d， 这个是一，那此时比第一次平行的时候是不是多旋转了一百八十度？好，所以呢，那此时我们的时间就是一百八，加上一百零五。 注意三啊，可以求出来就等于九十五。所以说在这里面第二题有两个答案，三十五或者是九十五的时候。 好，接下来再来看第三问，若三角板 dce 旋转的同时，我们三角形 abc 也绕着 c 点以每秒一度顺时针旋转， t 大 于等于等于六十，也就是说我们 dce 旋转一周之后就停止了 c p 平分，我们的 b c d c q 平分 a c e 在 旋转的过程中，角 p c q 的 度数是否为定值？如果是的话，让我们来求出这个值。好，我们先来画画图啊， 我们两个三角形都绕着 c 点进行一个旋转，但是呢， abc 它的速度要更慢一些。 好，比如说这是我们的 abc 这个三角形，那我们的 dce 要比它旋转的快一些。 好，接下来我们来看，因为我们 abc 它的旋转速度是一度每秒，所以呢，我们的 c b 从 c m 旋转到这是不是时间？是 t 的 话，那旋转角度就应该是 t。 好，那我们的 cd 从 cm 旋转到这是不是应该是三 t 啊？那此时呢，我们告诉你， cp 是 bc 的 角平分线。好，我们把 cp 画出来， 那你会发现角 b c d 在 这是不是等于三 t 减 t 等于二 t， 那 c p 是 角平三线，所以角 b c p， 它就等于一个角 d c p， 它就等于 t。 好， 然后接下来我们再来看我们的角 a c e 这个角 a c e 这个角在这里面是不是等于这个九十度加上 a c d， 而 a c d 可以 怎么求呢？是不是可以用这个三 t 减去这个 t， 再减去这个角，这个角是三十度？ 好，所以说我们在这里面呢， a c e， 它就等于九十度，加上我们的三 t， 减去我们的 t， 再减去三十度，好，那求出来等于六十度加二 t， 那 他告诉我们 c q 是 a c e 的 角平分线，我们给他画出来。 好，那此时我们就可以得到角 a c q 等于角 e c q 等于一个三十度加 t， 接下来他要求的是 p c q 这个角，那 p c q 这个角可以怎么表示呢？是这个角它就等于这个大的这个角是不是减去我们的 p c m， 再减去 q c e， 那 q c e， 我 们知道它是三十度加 t， 那 这个角我们知道它等于 t， 它也可以用 t 来表示，所以它整个就是二 t， 那我们都知道了。然后再看大角，大角是不是就是九十度加上我们的三 t， 所以 在这里面呢？我们的角 p c q， 它就可以用我们的角 m c e 减去一个角 m c p， 再减去一个角 e c q 好， m c e， 它就等于九十度加上三 t m c p， 在 这里就是二 t， 然后再减去 e c q， 是 三十度加 t， 这样的话我们的 t 就 约掉了，最后等于六十度，那还是一个定值，没有问。

出一下四大难点之一，韩餐不等式，其中最复杂最难的就是韩餐的绝对值不等式，用常规的零点分段法，百分之九十的孩子计算一定会出错。今天呢，我们用几何意义快速解决，跟着霞老师一起来看一下吧！已知， x 减四的绝对值加上 x 减三的绝对值小于 a， 无解，则 a 的 取值范围是多少？好，那我要想让这个式子无解，那是不是我左边这个式子我加起来的最小值我也要比你这个 a 大 呀？那此时就无解，对不对？好，那我们来看左边这个式子的几何意义是什么？ x 减四，其实就意味着我 x 到四的位置在竖轴上。 好，这是我的四。好，这是我的三。第一个式子代表的是五， x 到四的位置好， x 减三呢，意味着就是五 x 到三的位置。好，那对 x 呢？在这里其实是有三个位置的，分别是在三的左边，三四的中间，四的右边，我们一一来分析一下。好，那我当我的 x 在 三的左边的时候， 我 x 到两点之间的距离和是这一段。好，到这一段，这两段相加，对吧？好，那我再来看， x 在 三四中间，如果这是我的 x， 那 我到三四之间的距离是这一段，加上这一段是一个定值，一， 对不对？好，那我再来看， x 在 右边。二。好，这是我的 x， x 在 右边的时候，我到三四的距离是这一段和这一段。好，那我们再来综合三种情况，我会发现 左边数字的最小值是中间这个情况，对吧？ x 到三四之间的距离和是一个定值一，所以我的 a 要小于一。 好，来，我们来看啊， a 小 于一，因为我任何 x 任意一个位置，我的到两点之间的距离都是大于的。好，那我们再来看能不能等于一啊？当我的 a 等于一的时候，我的最小值小于一，同意吗？ 还是无解，对吧？所以一也是满足条件的，所以在这里是 a 小 于等于一含餐的绝对值不等式用几何意义，我们可以十秒钟快速解决，你学会了没有？如果今天这道题我改成有解， a 的 取值又该如何变化呢？好了，关注北大雅姐数学起微。

全等三角形的综合考察一定是我们初一下册最难压轴板块，没有之一。很多同学之所以不会构造辅助线，是因为你知道的模型太少。 来，同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透初一下册考平最高的辅助线一线三等角的构造方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。哎，题目是这样说的，首先告诉 abc 呢，它是一个直角三角形，哎，这个角等于 九十度，好，接下来还告诉 c、 a、 d， 哎，这个角呢，等于四十五度，对吧？好， c， a， b 呢，这个大角等于六十七点五度，好，接下来告诉我们一组边 a、 b 等于十四。题目最后求的是 c、 d 这个边应该 等于多少？徐老师已经把全等三角形中所有辅助线的构造特点进行规划总结，再结合考试经典例题，优中选优，整理成了全等经典一百题，刷完，直接提升几何思维，需要的家长我发你一份。 好，来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察我们全等辅助线当中一个非常重要的模型，叫做一线 三等角模型。来，同学们，我们先来简单回顾一下哈，一线三等角的构造方法和技巧，好吧，来，大家看第二个图哈。哎，他是这样去构成的，首先在直线 b、 d 上呢，我们有三个相等的九十度角 b， 角 c 和角 d 都等于九十度，对吧？好，接下来题目呢，还告诉一组边相等，就是 a、 c 等于我们的 c、 e， 那 么这个时候呢，很明显，我们就一组全等产生，就是 a、 b， c 和 c、 d， e， 它们俩是全等的，对吧？来，我们去快速证明一下，我把这个角呢设为阿尔法， 这个角呢设为我们的贝塔，你看，没有阿尔法加贝塔，就应该正好等于九十度来，因为中间这个角呢， 也是九十，所以这个角呢，也是为 r、 f， 它们俩相加九十嘛，对吧？所以这个角呢，也是为贝塔奥特曼看，所以这两个三角形的三个角分别对应相等，而且呢，还有一组边相等，所以它们俩一定是 全等的，好吧，那么三角形 a、 b、 c， 哎，全等于三角形 c、 d、 e， 对 吧？好，这就是我们的一线三等角模型。那么通过一线三等角模型来也给我们一个很重要的启示，那什么启示呢？看，我们如果去连接 a、 e， 那 么三角形 a、 c、 e 就是 一个等腰值，对吧？那么如果题目当中出现了等腰值，那我如何去通过一线三等角去构造全等呢？ 很简单哈，来，我过这个直角顶点 c， 往三角形的外侧去引一条直线，看到没有？ b、 d 这条直线。好，接下来再过这两个四十五度的顶点， a 点和 e 点，分别向这个直线做两条垂线，你看，所以这个时候呢，这两个三角形就一定是 全等的，对吧？好，有了这个模型做铺垫之后呢，来看这道题，我们就非常简单了。好，来，我们看一下，他说在直角三角形 abc 当中来，这个角是九十度，好，然后呢？哎， a、 c、 a、 d 等于四十五度，这个角等于四十五度， 对吧？好，我们的 c、 a、 b 呢，等于六十七点五度，那这个角呢，也是为二十二点五度，哎，他们俩相减嘛，二十二点五度，对吧？好， a、 d 边等于十四，题目求 c、 d 这个边应该等于多少？那么首先很明显，这道题的突破口呢，就是这个四十五度，对吧？看到四十五度， 我们应该立马想到等腰直角三角形，对吧？来，如何够到等腰值呢？大家思考一下。哎，我可以什么呀？过这个地点 做一条直线，与 a、 d 是 垂直的，来看一下哈。好，你看这个是垂直的，对吧？这个是我们的细点啊， d 七和 a d 垂直，那这个什么呢？ a 七 d 就是 一个等腰值，来什么？看到等腰值，我们总结了， 立马想到一线三等角，哎，怎么构造呢？过这个直角顶点，引一条直线，有了呀，是不就 b、 c 好， 再做三个相等的九十度，这个时候呢， 这有个九十，这呢，也有一个现成的九十。好，所以接下来我再做一个九十度，就可以构造全等。那过四十五度顶点，一个是 a 点，一个是 t 点， a 点已经做了，对吧？所以接下来我再去过这个 t 点，向我们的 bc 边做一条垂线 s 点， 那你看，这个时候一条直线有三个相等的九十度，又有一组边相等，所以三角形 t， s， d， 哎，就应该是全等于三角形，这个是 dba。 好， 那么全等以后，我们的对边和对应角相等，这个 ab 等于十四，那么所以 s， t， s， d 也是为十四，对吧？所以 s， d， 哎，就等于 ab 啊，等于，这里是十四。好，接下来求什么呢？题目求的是 c、 d， 我 只要再把 c、 s 求出来就可以了， 对吧？ cs 怎么求呢？大家看一下我们题目当中还有什么条件没有去利用，哎，很明显，二十二点五度，对吧？那么因为权的这个角跟这个角对应相等，它也是为 二十二点五度好，接下来又因为这个角是六十七点五，这个角是九十度，所以呢，这个角 c 也出来了二十二点五度，对吧？哎，你发现什么？三角形 t、 c、 d 应该是一个等腰三角形好，所以三角形 t、 c、 d 为等腰三角形。那么最后一步就出来了，你看，等腰三角形过起点向 c、 d 做垂线。 想到什么三线合一，所以 s 点就应该是我们的 cd 的 中点，所以来 cd 就 等于二倍的 cd， 对 吧？等于二乘以十四，等于二十八。所以这道题最后答案 cd 呢，应该等于 二十八。这道全等三角形当中的一线三等角模型，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！

家里有江苏七下的娃，不要错过这一道倒角的压轴题，这道题呢，来自于我们江苏往年期末考试选择题的最后一题，如果平时呢，选择填空压轴呢？拿不到分呢？那建议保存，晚上给娃呢做一做。 那这道题呢，没有方法，百分之九十的娃呢，是拿不到分的，如果掌握我的两招，我们中的娃呢，是拿不到分的。如果掌握我的两招，我们中的娃呢，是拿不到分的。如果掌握我的两招，我们一招秒杀。 如果娃平时压轴题丢分多，娃又肯学，想要期末冲刺一把，可以把我这一份包含三十二个考点加一百二十道的母题的冲刺训练拿去练习，熟悉题型活用方法。 那么这道题到底如何用两招来破解呢？我们一起来把核心条件问题看一下。 如图，三角形 abc 的 角平分线， c、 d、 b 呢？相交于 f。 那 么读到这个条件，你想到了什么技巧模型呢？ 可以在评论区打出来，你应该想到我们三角形中的内内分角模型， 并且你还要想到我们怎么样啊，等角可以设同圆，设了圆之后呢，才可以方便表示我们其他的角。 那么根据我们内内分这个模型的这个结论啊，我们应该清楚啊，这个角 c f boy 就 等于九十度加上 二分之一的角 a。 啊，为什么呢？啊，为什么呢？啊，非常简单啊，我们也可以怎么样展开来推导一下嘛，我们这个 c f boy， 那 就是一百八减去 x 加 y， 就 相当于减去二分之一的括号 r x， 怎么样加上 r y， 而二 x 加 y 呢，就是一百八减去一个角 a， 相当于一百八减什么减角 a， 于是把它展开之后，就是我们九十度加二分之一的角 a 啊，就是这么的简单。 那么角 a 是 九十度啊，所以这个角怎么样啊？直接就算出来了呀，就是一百三十五度，所以呢，我们这个 x 加 y 怎么样哦？是一个定值四十五度。 接下来我们继续看题哦， e g 的 话呢，平行于这个 b c， 且 c g 呢，垂直于这个 e g 啊，清楚了，所以这个角怎么样啊？就是一个 r x， 这个角呢，就是一个 r y。 接下来我们来看结论哦。 第一个结论，他说角 c e g 等于两倍的角 d c b 啊，我们看一下 这个 c e g 的 话呢，就是一个 r x， 我 们写一下啊， c e g 啊，就是一个，怎么样 r x 啊，我们 d c b 呢，是一个 x， 所以 显然第一个结论怎么样肯定是正确的 啊。第二个结论，我们看一下是什么 a d c， 那 a d c 对 不对？我们看下外表表示吗？ a d c 啊，多少哦？ r y 加 x 对 不对 哦？这里看这个角几 c d 啊，几 c d 啊，多少呢？也是什么 r y 加 x， 显然它们都是相等的，并且就是 y 加四十五度嘛，对不对咱们也是清楚的呀，所以 r 怎么样也是对的呀。 啊，再来看我们这个三对不对啊？三好三是什么叫 c e boy 啊？我们来表示一下啊， c e boy 啊，是这个角 啊，那这个怎么表示呢？随便啊，我们可以用内角和还是用这个外角啊？都可以啊，用外角的话呢，就是九十度加上一个 y， 用内角合力化呢，就是一百八十度减去二 x 减去一个 y， 我 们用它表示出来啊，这个角 d， c、 g， 咱们看一下 d， c、 g 的 话怎么样？哦，是什么？是 x 怎么样？加二 y， 那 么如果两倍的这个角啊， d， c、 g， 那 就是多少呢？二 x 加二 y， 再加二 y 啊，多少度那就是多少度啊。 x 加 y， 他 是一个四十五的 r， x 加 y， 那 就是九十加上一个怎么样啊？ r y， 可是我们这个 c、 b 的 话怎么样？是九十加 y， 而我们两倍的这个 d， c、 g 的 话怎么样？是什么？是九十加二 y， 所以 这个三怎么样就不对了。 好，四，这角 c f、 e 哦，这个角对不对？这个角对吧？啊，比如是 r 法角哎，正好就是 x 加 y， 显然就是四十五度，所以这四怎么样？哦，也是正确的呀，那这道题我们不就讲完了吗？ 啊，最后我们总结一下啊，这道题的话实际上就是两招啊，第一招，看到我们三角形有两条角平分线，你就要想到有没有内内分角模型，有没有外外分角模型，有没有一类一外角模型。 其二，我们看到等角，就要想到等角是同圆，尽可能去表示我们其他的角度，这样我们就能够轻松的去搞定我们的问题了。 好，这道题我们就说到这里啦，你和孩子听懂了吗？如果娃平时压轴题丢分多，娃又肯学， 想要期末呢，冲刺一把，可以把我这一份包含三十二个考点加一百二十道母题的冲刺训练拿去练习，熟悉题型，活用方法。最后，祝娃天天好运！苏柯提优找大侠！