韦达定理与函数结合

hello 同学们，大家好，今天呢，我们来分享一道刚刚结束的南京二模第十四题。 已知函数 f x 有 两个极值点 x 一 x 二，并且满足这个等式成立，求 m 的 值。函数有两个极值点，等价条件就是导数等于零，有两个不相等的根，我们对其求导 这个一元二次方程有两个不相等的根，那等价条件就是判别式得它大于零， b 方减掉四 a， c 大 于零，我们可以推出 m 小 于九。那么 x 一 x 二满足什么条件呢？我们可以用韦达定律将其关系表示出来，也就是有 x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， x 一 乘 x 二等于 a 分 之 c。 那 我们接着来看题干，题目当中说这个等式成立， 那也就说它会等价于两种情况，要么绝对值里边两个数直接相等，要么这两个数互为相反数。那么我们依次看两种情况。那么我们先来看第一种情形， 两个直接相等，就是由 f x 一 减到 x 一 等于 f x 二减到 x 二。 那我们整理一下，将 x 一 x 二代入到圆函数中，就会有 x 一 的立方 加上三倍根号三倍的 x 一 的平方加 m， x 一 减 x 一 等于 x 二的立方加三倍根号三倍的 x 二的平方加 m， x 二减 x 二。那么接下来我们合并同类项，对其整理一下， 就会有 x 一 的立方减到 x 二的立方加上三倍根号三倍的 x 一 的平方减到 x 二的平方，加上 m 减一倍的 x 一 减到 x 二等于零， 那么 x 一 的立方减 x 二立方。我们再来使用立方差公式，就会有 x 一 减 x 二乘以 x 一 的平方加上 x， x 二加上 x 二的平方加上三倍根号三倍的 x 一 减 x 二。 乘以 x 一 加 x 二，加上 m 减一倍的 x 一 减 x 二等于零，那因为 x 一 减 x 二呢，一定不是零。因此呢，我们可以消掉 x 一 减 x 二。 然后其余的项我们均可以用伟大定律表示出来。比如 x 一 的平方加 x 二的平方， 它就会等于 x 一 加 x 二的完全平方，减掉二倍的 x， x 二也就等于十二减掉三分之二 m。 我 们将这些值代入，就会得到十二减三分之二， m 加三分之 m 加上三倍根号三。乘以负的二倍根号三加上 m 减一等于零。这样我们就可以推出 m 等于二分之二十一， 但是呢，刚刚我们已经推得了 m 一定得小于九，因此呢， m 等于二分之二十一舍掉。那接下来呢，我们再来看第二种情形， 绝对值里边两个数互为相反数，也就是有 f x 一 加上 f， x 二 减 x 一 减 x 二等于零。那么也是将 s e s 二代入到元函数中，就会有 s 一 的立方加上三倍根号三倍的 s 一 的平方 加上 m， x 一 加上 x 二的立方加上三倍根号三倍的 x 二平方加上 m， x 二减 x 一 减 x 二等于零。 那么接下来我们再将其合并，就会有 x 一 的立方加 x 二的立方加上三倍根号三倍的 x 一 的平方加 x 二的平方加上 m 减一倍的 x 一 加上 x 二等于零。 那么前面呢，我们再来使用立方和公式，就会有 x 一 加 x 二乘以 x 一 的平方减掉 x 一， x 二加上 x 二的平方 加上三倍根号三倍的 x 一 的平方加 x 二的平方，加上 m 减一倍的 x 一 加 x 二等于零。 那么接下来呢，我们就可以将伟大定律代入，就会得到负二倍根号三乘以十二，减掉三分之二， m 减三分之 m 加上三倍根号三倍的 m 减掉二倍根号三倍的 m 减一等于零。那么接下来我们来化简整理， 就是负的二十四倍根号三加上二倍根号三， m 加上三十六倍根号三减掉二倍根号三， m 减二倍根号三， m 加上二倍根号三等于零。我们就可以推出 m 等于七，那么前提是 m 小 于九，因此呢，七符合题，这个题正确答案就是七，小伙伴们听懂了吗？点赞加关注，明天我们继续更新！

三次伟达定律堪称三次函数的破题利器，课本只讲基础的公式，老师课上呢，也没有去深挖规律，可是学霸早就把它练成了三次函数压轴题的抢分武器。就像这道题， 很多同学呢，压根不知道怎么样用三次伟达定律去关联条件，不要慌，老师今天呢，就用核心的变形技巧，带你彻底学透三次伟达定律，考场遇到直接秒杀！好，我们来看题， 已知函数 f x 就是 一个三次函数啊，而且 f 负一， f 负二， f 负三，这三的函数值相等都大于零，相等于三，问我们什么呢？哎，问我们这个 c 常数项它的取值范围。好，同学们想想怎么做？ 首先呢，我不难想到常规方法啊，就是把负一，负二，负三带进去，然后得到关于 abc 的 方程组，接下来就是消元，然后 解除 c 的 范围啊，但是可以想象，计算量非常大，一不小心呢，是不是就会出错？那接下来同学们注意了， 凡是涉及到三次函数的这种和根零点相关的问题，那三次表达定律就是我们解体的一个非常好用的工具啊。来说一下什么叫三次表达定律，我们考虑一个一元三次方程啊， 好，它的一般形式长这个样子， ok， 那 假设它有三个根， x 一， x 二， x 三， 来，我们类比二次的伟大定律，对于三次方程也会有类似的结论啊，比如说这三个根之合好是啥呢？就是负的 a 分 之 b， 然后接下来我们看这个式子啊， 关于三个根呢，哎，轮换对称啊，就 x x 二加 x x 三，再加上 x x 一， 两两相乘再相加。好，这个就应该等于什么呢？ a 分 之 c， 那 最后我们再考虑三个根的乘积，这三的乘积好就应该是负的 a 分 之 d， 这就是三次函数的伟大定律，它也可以直接建立三个根与系数之间的关系。好，一定有同学想知道为什么？其实道理很简单， 所有的不管是二次、三次，还是一般的 n 次的伟大定律，我们的正法啊，都是一样的。来，我们看一下，我把这个三次方程啊 给写成这个形式，我们知道二次方程可以写成双根式，对吧？把二次项式提出来，它一定可以分解成 x 减 x 一， 乘 x 减 x 二，那三次的一样的道理啊，它一定可以分解成这个样子， 对不对啊？也就是说左右两边是横相等的。好了，那接下来咱们把这一边给展开，去看一下，他的二次项的系数，是不是就应该是等于 b？ ok， 一 次项系数就是 c， 常数项就 d。 好， 对照一下两边各项的系数，就可以把伟大定律给推出来。 好了，那我们来看一下这道题。现在我们还不能直接用伟大定律啊，因为我们发现这个并不是 f x 等于零的根，那怎么办？是不是首先要把它和方程的根去建立联系，所以我们做这样的一步变形啊？ 来，我把这些函数值呢，因为它都相等啊，所以把它给记为 t 好 了，记为 t 啊，那我就构造新的这个函数， g x 啊，也就 f x 减 t 好了，那现在呢？这仨是不是就变成了 g x 的 根了？当然这个 g x 呢，它就会长这个样子， x 三次方加 a x 方加 b， x 加上 c， 然后再减 t， 好 的啊，它的三个根 x 一 就是负一， x 二就是负二 x 三就是负三 好了。其实利用伟大定义，咱们立刻就可以把 a 和 b 是 不给求出来，对吧？啊，如果要去求 a b 的 话，我们看三个根之合就应该是负六好，是不就等于负的，哎，就是负 a 嘛，对吧？利用伟大定义就是负 a 啊，所以 a 等于六， 然后三个根两两相同时再相加啊，那就应该是二加三加六好，等于什么呢？哎，等于正的 b 好， 所以得到 b 呢，就应该等于十一好。最后我们来看一下这个 c 的 范围啊， 三个根的乘积啊，就应该是负六好了，它要等于什么呢？等于一分之 c 减 t 啊，所以它就要等于 c 减 t 好， 那我们是不是可以把 c 给表示出来了？ c 啊，就应该等于这个 t 减六啊， 啊，这个地方应该是 t 减 c 啊，注意符号一定要特别的小心啊，应该是负的 c 减 t， 对 吧？所以 t 减 c 好， 那我们来看一下啊， c 呢，就应该是等于 t 加六， t 的 范围，咱们知道的呀，对吧？大于零，小于等于三啊，所以再加六，它的范围呢，就是大于六，小于等于九好，所以利用三次解答定律啊，来解决这种类型的问题，非常的简易，同学你学会了吗？

你看一个题，就是伟大定律与函数的应用。 我们知道伟大定律就是 x 一 加 x 二等于负的 f 分 之 b， x 一 乘 x 二就等于 f 分 之 c， 什么时候能用到它定义？对，你看到有 x 一 加 x 二， x 一 乘 x 二的时候，我们能想到它定义，但同时你看到有 x 一 的平方加 x 二的平方的时候，或 x 一 减 x 二绝对值的时候， 都要想到伟大定律。 x 一 平方加 x 二平方，它不就等于 x 一 加 x 二的括号平方减去 x 一 乘 x 二二倍的 x 一 乘 x 二，它呢，它是等于根号下 x 一 加 x 二的括号平方减去四倍的 x 一 乘 x 二。也就是说 常规情况下跟二次函数结合的喜欢用这个，因为他他会说焦点的横坐标之差，那焦点的横坐标标之差，那也是 x 一 减 x 二，或者人家直接给你代说是 x 一 减 x 二，都一样啊。我们来看一下这个题， 他说已知抛物线过零三，那过零三，那就把零三带进去，就会得出负四分之一， b 方加 b 加三等于等于三，那你就会得出 b 方 减四， b 是 不等于零，所以你得出来 b 一 是等于零， b 二是等于四的。由于人家只强调 b 为常数，所以 b 是 等于零或 b 等于四，两个都要第二个。他让你求证 抛线的顶点在 x 上方，你既然顶点在 x 上方，你就配成顶点式，或者你直接他只说在 x 轴上方，也就相当于他对他的横坐标没有要求。你要么把整个函数配成顶点式，就是负 x 减去二分之 b 减二的平方加上个四分之 b 方 加四加四，这是你配出来的顶点式，那么你会发现它的顶点坐标 就是二分之 b 减二，逗号四，那么因为 b 是 四是大于零的，所以它就在这个上方，或者说呢，你嫌配顶点是麻烦的，你直接用顶点的重坐标，那就相当于我们看顶点的重坐标公式， 顶点的重坐标公式有一个四， a 分 之四， a， c 减 b 平方也把它化简，肯定答案肯定也是呀，你发现中轴标大于零，说明他就在 a 轴上方，随随便你怎么用哪一种方法都行啊。到第二题，他说当 零大于二的时候，这个函数的最小值，那也就相当于，这是属于什么呢？属于，属于自变量范围是确定的，对称轴是未知的，就是动轴的 对称轴在动，那么的坠子问题，那也就相当于当对称轴带动或者质量范围已知对称轴在动，或者对称轴已知质量范围在动的情况下，我们都是要分类讨论的， 那你可以在分类讨论的过程中，你可以自己选择，你可以选择分三类，你也可以选择直接看一下啊，这个是开口向下的， 如果你选择分三类，你就怎么分呢？分到底这一个，这个对称轴是 x 等于二，分之 b 减二，如果我们选择分三类的话，就常规做法的话，就是分这个字边的范围到到底是在对称轴的左边， 还是在对称轴的右边， 还是分布在对称轴的两侧， 就这个零，这个二 是这样的啊，你要选择这样分的话，如果是第一种情况呢，你其实就让 b 减二除以二大于二 这前提，这个呢是这对称轴是 x 等于二分之 b 减二，那就是 b 减二除以二小于零，这个呢就是 二分之 b 减二大于零，大于等于零，小于等于二。三类嘛，那你发现这一类是当 x 等于零的时候取最小值，这一类呢？当 x 等于二的时候取最小值，把当 x 等于零的时候取最小值。最小值人家给你的是四分之九， 负的四分之九带进去，这个是当 x 等于二的时候取最小值 等于负的四分之九。那到这个就比较麻烦一点，因为你也不知道到底应该是在领取最小值还是在二取最小值。你通常把这两个算出来以后，你就知道这里还有没有答案，因为 这里不是在领取最小值，就在二取最小值嘛，我们这里是有符合前提的。像这种 b 是 大于六的，这个呢是 b 是 小于四的，那这个呢？是 b 是 大于 等于四，小于等于六的，这个当 x 等于零的时候取最小值，你会解出来，负四分之一， b 方加 b 加三，是等于负的四分之九，然后这个就是左右同城那个负四，这是 减十二等于九，所以负 b 方减四， b 减去二十一等于九，然后此时我们能得到的是 三七二十一，那就 b 减七乘上个 b 加三等于零，所以 b 一 是等于七的， b 二是等于负三的，很显然这个是十，那这个呢，是当一个等于二的时候把二带进去呢？就是负四 负四加上个二，乘上个 b 减二减去四分之一， b 方加 b 方加三等于负的四分之九，你这个解出来呢，是 b 等于一或十一的， 那你会发现这个十一是舍掉的，所以你会发现，如果再分这种情况也是一样的，因为你在对数处取的是最大值，所以最小值肯定还是在零和二取， 那在零和二几所取的值，一个是七负三，一个是一十一，而在这个这四个值，这里的范围里面都没有，所以说这种情况是不符， 那么最终我们的 b 只有七或 b 等于一两个。答案，这是常规的分三种情况讨论的。那还有一种方法是什么呢？就是典型的按照距离的形式， 怎么分呢？因为我们的对称轴， 我们的对称轴是 x 等于二分之 b 减二，对不对？我们只需要看一下，因为你这里是零到二，我们只需要看一下零到二， 就是谁离对称轴近一点嘛？到底是零离对称轴近一点，还是二离对称轴近一点？ 那你想想，也就是说这里是零，这里是二，它俩到对称轴的距离是不是属于一样的？那第一种情况，因为对称轴正好它俩之和除以二，那如果这里是 倾斜了一点点，就这里是零，这里是二的话， 这里是二的话，那你会发现零加二就是零和二之间的中点，是不是往这边偏一些？所以第一种情况就是二分之 b 减二是不是小于等于零加二除以二， 没问题吧？如果这种情况呢？是不是说明，嗯，二离顿轴远一点？所以此时你会发现 这种情况，也就是 b 减二小于等于二，那就 b 小 于等于四，你会发现，应该是当 x 等于二的时候， y 也有最小值等于负的四分之九，把它带进去。第二种情况就是 b 减二除以二大于零加二除以二， 那么得出来 b 肯定是大于四。然后其实就应该是当 x 等于零的时候， y 有 最小值是等于负的四分之九，解出来是 b。 嗯，这刚刚解出来这个 x 等于二的时候，好像 b 等于一或十一吧。 这个是 b 等于三负三七或负三。负三是什么？ 因为你要的必打理吗？这个是十一式，这一种是按照对称性来做的啊。第三种，第三题，两个方法你都可以。 第三题，如果说抛物线上有两个点，这两个点你看这两个点的重作标是一样的，那既然这这两个点重作标一样，这两个点是不是可以看作为这个抛物线与 t？ 这个抛物线不是 y 等于负 x 平方加上个 b 减二， x 减去四分之一， b 方加上个 b 加三， 就是可以看成 x 一 和 x 二是不是可以看成 y 等于这个函数与 y 等于 t 这个函数交点的横坐标，那实际也就相当于可以说明就是 x 一 x 二是 负 x 的 平方加上个 b 减二， x 减去四分之一， b 方加 b 加三等于 t 的 两根， 是吧？那既然涉及到它两根，那我们不就可以想到伟大定律了吗？那正好这里给了一个。但是你要记住啊，在使用伟大定律之前 要有个要求。就是什么要求呢？就是你要保证 y 等于 t 与与这个函数是有两个根的。我们刚刚在第一问已经求出这函数的顶点坐标是 顶点坐标，重坐标是四，所以你 y 等于 t， 要像它与有它于两个根的话，那么 y 等于 t 必须要小于四。所以首先我们知道了 t 肯定是要小于四的。 好了，那 t 小 题是题目给了 x 二减 x 一， 那我们都知道 x 二减 x 一， 应该是等于根号下 x 一 加 x 二的括号平方减去四倍的 x 一 乘 x 二，那我们是不是就可以想到伟大定律了？这是我们的想法，那我们既然能想到伟大定律，所以我们要先把 x 一 加 x 二写出来， x 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， 那 就是等于 b 减二。 x 一 乘 x 二是等于 a 分 之 c， 那 就是 c 是 这个，然后再减个 t 啊，那就是四分之一， b 方减 b 减三加 t。 好了，那么因为，所以，所以 x 一 x 二减 x 一， 就等于根号下 x 一 加 x 二的括号平方减去四倍的 x 一 乘 x 二， 然后这个就是 b 减二，括号平方减去四倍的四分之一， b 方减 b 减三加 t， 然后就等于 b 方减四， b 加四减 b 方加四， b 加十二 减四， t， 这没了，这也没了，所以最终这个式就会变成十六减四 t。 好 了，我们求出了呢？然后因为人家说了， x 二减 x 一 是大于大于等于二， 小 a 等于六，所以根号下十六减四， t 是 大于等于二，小于等于六，那么十六减四 t 左右，同时平方大于等于四，小于等于三十六，然后解出来，这个 t 是 大于等于负十六。二十负五 小于等于三，那我们刚刚说的 t 必然要小于四，但小于三的时候， t 已经小于四了，所以，所以最终的 t 的 范围就大于等于负五，小于等于三啊。 但是，虽然这个没有影响到最终的答案，但你这个要说一下啊，因为你只要用伟大定律之前，你就要保证它有两个，就这两个函数有两根， 有两根，从实际上我们直接想得到的是得差大于等于零，而且人家这题还没有说两根明显不相等，所以要想有两根得差应该是大于零。但这题如果用得差，整个计算量稍微大一点，因为我们都已经知道这个函数 的最高点了，所以我们直接要想有两个交点的话，直接在最高点的下方就可以了。这个就关于伟大定律跟二次函数结合到一起的。

低端的学习呢，靠技能，那高端的学习啊，就靠思想，对于初二的数学，我们遇到的二三数当中啊，这种函数的思想在这呢体现的是淋漓尽致的，尤其是结合着这个所谓的数形结合图像的这个方法来解决。 我们现在看到的呢，就是二次函数和尾答定比的一个综合运用，难度有点高，希望你呢耐心的听一听。已知二次函数 y 等于 a 倍的 x 方，加上二 a x， 再加上三 a 减二 a 不 等零，那么它过点 m 是 x， 一 到负一就是 x 一。 还有一个点 n 是 x 二到负一，那么若这两点代表的线段长 m n， 它的长度要是不小于二，则 a 的 取值范围是什么？ 那么我们再想一想，二次函数经过的这两个点有没有一个特点，你们发没发现他的正坐标是一样的，也就说这两个点呢，是关于对称轴抛线的，对称轴对称的， 所以说对于这两点之间的线段长要是怎么样，不小于二，也就是大于等于二吗？我们要由这个线段，或者说由这个特殊的位置的线段来思考接下来的这个解体方法了。现在呢，先把这个竖形结合的思想啊引入一下。 这是一个抛下的草图，我也不知道它的开口到底是朝上还是朝下，但是无关紧要，因为我们清楚的就是它的纵坐标，那一定是 和 x 等于负一的这条直线相交的，所以才能得到两个点纵坐标都是负一。那么不妨呢，我就令这个 m 在 左边， n 在 右边好了。那么这两点间的距离涉及到的是什么呢？是 x 一 和 x 二之间的一个绝对值的关系，对吧？所以说从这个思路上来讲，这个绝对值不小于二，也就是他们要大于等于二。那么现在我们想一想啊，这个两个根是谁的呢？ 不是抛线与 x 的 交点，而是抛线和这个 x 等于负一的交点，所以说我们要解出来关于这两根的那个方程，要把那个负一的交点。所以说，由此我从思路上来说啊，也就是对于这个 函数啊，他的两个焦点的横坐标要怎样呢？要通过利用 a 倍的 x 方加二 a x 再加上三 a 减二等于负一来解决。那么我先把这个 抛物线和这个 x 等于负一啊，也就是当纵轴标是负一的时候，两个根嘛，一个是 x 一， 还有一个是 x 二，那么把它先变成一个一般式，也就是 a 倍的 x 方加二 a x 再加上三 a 减一等于零。 思考一下，两根的绝对值大于等于二，我们想用到两根的关系，那么对于伟大定律在这就能加持一下了，因为两根之和还有两根之积的关系，我们可以通过这个伟大定律把这个式子的关系找到。所以说，接下来，那么利用两根之和 x 一 加上 x 二等于谁呢？等于负的 a 和 b， 也就是负二，好，那么两根之间呢，是等于这个 a 分 之 c， 也就是 a 分 之 三， a 减一，好，那么由于空间有限啊，老师接下来就把这个式子写在左侧了啊，好往走来，那么所以啊， 由他开始吧。所以呢，回忆一下这个完全方式了啊，这个两根的距离啊，两根这差的绝对值呢，是大于点二的，那么从平方来讲， 它就是大于等于四，那么对于这个完全平方差而言，我可以通过伟大定律的这个两根之和和两根之间的关系给他换算。也就是说什么呢？按照两根之和的平方， x 一 加 x 二的平方而言， 他再减去四倍的 x， x 二是等于这个 x 一 减 x 二平方的，这是我们说完全方式的一个恒等变形，所以说也就是他呢大于等于四，那接下来我只需要把这个东西带进去就可以了， 不对，把它换点一下吧，因为两根之和呢，是负二平方，就四四次抵消了，也就是负四倍的 x 一 乘以 x 二呢，是大于等于零的，那么最后得到的就是 x 一 乘以 x 二，怎么样呢？是小于等于零，所以也就是这个 a 分 之三， a 减一是小于等于零的，那当我们计算到这里啊，还没完， 就像老师刚才说的这个开口，我也不知道他到底朝上还是朝下，所以在这啊，还真的有必要分类讨论一下，你看分类讨论的思想也遇到了，对不对？你比如说啊，按照我的这个写法，第一种情况啊，如果呢， a 要是大于零的话，因为是一号得负吗？零的话分子可以为零，如果分母要是大于零，那么分子呢？这个，呃，这样写一下吧，这个三减一 一定要小于或者等于零，对不对？那么由此我能够把这个不等式关系找到，也就是 a 大 于零小于等于三分之一。那么我们再看一下第二种情况啊，第二种情况，那我在写在哪里呢？写在这里了啊。第二种情况，呃，如果 分母的这个 a 开口朝上吧， a 是 小于零，开口朝下吧。啊，刚才 a 大 于零呢，这里就小于零了。那么分子呢，这个三一减一加大于等于零，那么由这里我们会发现啊，你看这个 a 小 于零，这个 a 呢，是大于等于三分之一，无解的 无解，所以说我们就从这个伟大定底的关系当中就能够得到得到这个 a， 怎样呢？ a 是 大于零，小于等于三分之一。 如果这道题你要是这样解下来，那么老师恭喜你啊，你的运气非常好，因为他的答案确实是这样的。但是你有没有发现，我们忽略了一个思考点在哪里呢？ 对于伟大定律，它的前提是两根的存在，对不对？所以说，对于一个函数的二三二四也好， u s 方程也好，你一定要保证这个得儿它要大于等于零， 至少在这个根的关系当中，这两根呢，他不是两个相等的收根，那么从这个方程的一般式来讲，他的的呢，一定要大于零，这是前提。 那么万一这个的大于零之后，比如说这个不等式的关系啊，不仅仅是包含着他，比如说要比他再小一点的话，这个范围啊，那么我们只写这个答案，那肯定是错的，但是运气好的地方就是我们经过计算，你看我写一下啊，因为这个的特 要大于零，所以呢，这个得在这里是四倍的。呃，四，这个叫什么呢？ b 方减 c c， b 方呢，也就是四倍的 a 方减去四 a c 就是 四倍的括号，这个啊，四 a c， 那 就四 a 倍的三减一好，然后呢，怎么样呢？ b 方要大于零啊，那么在这里呢，老师就不跟着你啊进行这个低端的计算了，我们把这个计算啊，如果算出来之后啊，这个 a 呢，是小于二分之一大于零的， 那么故事到这也就结束了，因为你的儿他有一个大的前提，而我求出来的这个具体问题的这个不等式呢，是在他的范围之内，所以啊，所以在他的前提条件下，我们这个答案是可以的，也就是 a 大 于零，小于三分之一。 那么就此关于二次函数和伟大定律的这种关系，以及事业道的这个竖形结合的思想啊。呃，函数的思想啊，以及分类讨论的思想，包括具体的伟大定律的公式应用，就是这样的，加油吧。

hello， everybody， 我是 神奇小猪。欢迎大家来到最后时刻的最后一课，导数答题。接下来我们来看下一个，也是最后一个问题。多变量 有关多个变量，嗯，你变量都多了，那我肯定消元呗。消元方法有很多，有的题目需要你用尾来定义，有的题目需要你构造函数，有的时候你需要奇思化。今天咱们讲几道题，把这所有思路给大家串一遍。 第一个，什么时候使用伟大定律嘞？当你发现你求完导之后，他是一个二次型的时候，像个二次函数一样，那我肯定伟大定律嘞。 第一问简单，他说他在这是单调递增函数，直接翻译啊，他的导函数要大于等于零，在一到中位数范围内横乘立，变成乘立问题了。那这题，这就是函数，长得这么简单直接分离参数也好，求导判断性也好，都能做端点效应，都不用哈。答案贴在这，没啥好讲的啊。 重点我来看第二文说 f x 呢，有两个极致点啊你，你都出现极致点了，那极致点是导数的编号，零点导数。我还没求嘞，赶紧求一下。二 x 加上 x 加一分之 a， 一 分到手，然后怎么办呢？ 整式分式都有分式了，我肯定通分分母 x 加一必然为正。我只观察分子啊，分子是二 x 方，加上二 x 再加 a， 它是一个二次函数。那人家题目指明了你有两个极值点，那我就意味着这俩极值点正好是二次函数的两个不同的根喽。二次函数多好画呀，开口向上的这俩根，一个 x 一个 x， 二，人家指明好了， x 一 是小的， x 二是大的，那又如何呢？ 这是根系数，你还都知道？最后让你证明一个有关 x x 二的一个不等式。你想证明不等式，你难道真的是把 x x 二求出来？哎，用求根公式带着大根号二一分之负 b 加减根号加平方减 c c 带进去啊，解个大根号的一个不等式吗？ 那不人没了吗？所以我也只能是设而不求。我把 x x 二找到它跟参数 a 之间的关系是不是 x c 加 x 二伟大定律用起来出现二次函数了吗？不是，它俩相加，是负，它分之，它也就是负一， 它相乘，是它分之，它是二分之 a。 然后接下来我再来看它是个什么东西。 首先来看分子啊， f x 二，把它带成 x 二呗。下面是 x 一， 我发现这个式子啊，你最后要证明一个不等式，这式子有 x， c 是 变量， 有 x 二是变量， a 其实也是一个不知道的值，它也是一个变量，三个变量，三元问题，你肯定要消元，对不对？你最后是要保留两个，甚至是保留剩一个，咱才能做给大家五秒钟思考时间，大家告诉我，你是最后剩 x 一 还是剩 x 二还是保留 a 呢？ 哎，是不是肯定是谁好削我削谁啊？ x 一 就出现一次，它最好削了你。 x 二出现这儿有啊，里面这儿有平方， x 二削不掉，对不对？所以你只能委屈自己保留 x 二，你先把 x 一 削掉，谁是 x 一？ 呵，负一减 x 二就是 x 一， 对不对？分母现在变成 x 二了，那分子 a x 二平方加上，哎，这 a 我 怎么办呢？ a， 我 不想要 a 呀，笨宝贝， a 等于二倍， x 乘 x 二。哈哈，不是不对啊，那你不是又引入 x 一 了吗？你还得把这上面式子带进去。那我直接 a 是 什么呢？ x 二能让它等于零对不对？ x 是 根嘛？那意味着 a 就 等于负的二倍的 x 方再减二 x。 这式子无论你把 x 带成 x 一 还是 x 二，都是成立的。所以我就把这里面 a 换成这个式子。 负二倍 x 二 x 二加一。这么多倍的 line， x 二加一，现在爽了。化简吧，分子复杂分不简单。我它除以它这 x 二加一，这其实也是 x 二加一，对吧。这俩一约调剩个符号二 x line x 加一，加上它也除以它。我符号提出来长这样了。 现在想要证明啊，这个式子在这俩之间啊，就意味着我要估计这个式子的最小值和最大值。那我得先知道这个函数它的图像长啥样， 单调性怎么样？自变了 x， 而是在什么范围内动定域怎么样我都不知道。所以接下来我是不是得把它整体设成一个函数，然后去研究这个函数啊？这玩意想研究那得求导，而且我怎么觉得大概率求一阶导还不够呢？二倍左导成右，这样左成右导， 后面分母平方上倒乘下减，上乘下倒。呃，这俩一会肯定是要合并同类项的是吧。画好减的是二倍 line x 加一加上，把这俩变成一样的分母，看分子是谁啊。相当于是二 x 再乘一个 x 加一，减去后面这个部分，也就减 x 方，再减二 x。 呦，你前面有正二 x， 后面负 x， 那 不就约掉了吗？那剩的就是二 x 方，减 x 方就是一个 x 方。做到这，然后呢？ 这答案数的正负我可不可以判断呢？这个 x 我 只知道它是大于负一的哈这一项确实是正的但是它的正负其实不定啊所以我为了确定它的正负哎我要看这这这图像大约长什么样那 sorry 我 得再次求导我直到能求到能判断正负为止啊。 前面求导 x 加一分之二，后面下边平方已经平方了，这边四次幂上导乘下减去上面乘以下边的导数 别害怕，算是立方二 x x 方二 x 立方后面也有二 x 立方都约掉了而且 x 加 x x 其实其实也能约掉吧。最后化简完两式一通分非常非常之简洁直接口算其实都行。前面二 x 方跟后面二 x 方约掉了就剩个二 x 呗。那么这个分母也变成立方 很漂亮的一个小式子我发现分子它变成了一个二次函数了。二次函数咱是不是就可以看正负了但是判断正负之前我得先看自变量 x x x 是 这个 x 二对不对。 x 二取出范围我其实一直都没求啊自变量范围我得求啊一会咱还得估计值呢。 二次函数图像这个对称轴应该是哦负二分之一就这 x 二肯定是比负二分之一要大。 那有没有比谁小啊这边怎么求稍微有那么一点点不好想啊。首先这俩根是这二次函数的零点这没有问题。那 x x 二能随便动吗。定义域是多少定义域是不是 x 要大于负一的呀。真数不能是一个负数 因此我在翻译题目的时候你这函数有两个基点我不仅要要求这二次函数的值要大于零而且你这俩根都得在定义域大于负一的范围内才行， 所以我能得到 x 一， 一定是不能比负一小。那对称过来。负一的对称点二次函数不对称的嘛？有关负二分之一对称的，那就是零喽。 这稍微有点难想，对吧？关键是分析二次函数图像，你让它有在定义范围内的两个极值点，所以 x 二的范围是在负二分之一到零之间，这也是我这函数的范围。 那在此基础上，这个二次函数那就好分析了，它是一个开口向上的，只有负二倍，它分之，它负二分之三，这得的 b 方减 c c。 呃，显然是大于零的， 所以这个二次函数必然是有两根。那我去解自变量，负二分之一到零在哪啊？零肯定是在这负二分之一的函数值，我其实可以算一下，我看看它是正的还是负的，这对我非常关键。因为你要判断它是正的还是负的，这对我非常关键。因为你要判断它有没有正的还是负的，这对我非常关键。因为你要判断它有没有正的还是负的，这对我非常关键。减三加二 哟，小于零。哎哦，好想生气。你负二分之一到零，还有一个零点，所以这个二阶导函数，它是属于一个先负再正。那我一阶导函数就要先减再增喽。 契而不舍啊，继续画图像，咱从负二分之一开始减，然后再增，但是你这么减，这么增还是这么减，这么增还是这样，我完全都不知道对不对。所以这两个端点具体在哪，我也得看一看。所以零不必说，零零零处函数值正好是零点， 我想看看负二分之一数是正还是负的，我带一下，带到这里面来。负二分之一加一，二分之一，上面四分之一，下边也是四分之一，那是一喽。所以这就是一减二倍。 line 二 line 二零点六九乘以二的话，肯定比一大一减去，它小于零。 太好了，它是从这样的一个点开始，先减再增，而不是在上面，因为在上面又出现新的零点了，我又完蛋了。在下边。好啊，在下边。这图像大约长这样，那意味着我的一次导数横小于等于零，那原函数 g x 就 一直单调递减， 嘿嘿。哎，判断半天啊，它是一个单调函数，那我太爽了，你都单调了，最大值最小值肯定就在定义域的两个端点处取得喽。那图像不大约不得这样画吗？所以零处函数值把零带进来，零减零等于零，正好对应着左端点 啊。因为这取不到的，所以这里面也是开取键。那我觉得大概率。那你说这个是谁啊？这个应该正好是负二分之一处的函数值呗。负二分之一往里一带负的浪。二分之一， 四分之一。呃，除以二分之一就减二分之一，所以它等于 line 二减二分之。谁是二分之一呢？二分之一其实就是 line e 的 二分之一。次密嘛，也就是 line 根号 e 嘛。呃，也就是 line 根号一分之二嘛。 非常漂亮的一道小题。变量太多了，你仔细分析的话，第一开始有一二三三个变量，你一定要想好你保留谁作为变量，把别的无关的 a 呀， x 一 呀，最后全都用 x 二来表示。看图说话，求出来自变量 x 二取出范围，最后分析整个这个函数的单调性，画图像即可。 那第一种校园方法给大家讲完了，那接下来我们来看一类热门问题，就是我们常讲的几何方程，一个叫构造校园，一个叫奇思式校园。 前两问有点侮辱智商了啊，这，这太简单直接咱们就来干。第三问，他说呀，这函数有两个零点，让我证明 x 加 x 二，满足这式子，哼，你这函数，呃，这长啥样我还不知道呢，是吧？我先求个导来看一下，这是 x 方分之一 减 x 分 之一一通分的话， x 方分之一减 x 分 母横正。我只看分子正负，它是一个一次函数零点一，所以它先正再负。那我原函数 f x 肯定先增再减了，那从哪开始增呢？最后又减到哪去？ 呃，我，我得看看极限情况，大概率啊，你想，那我想先减后增，他有两个零点的话，那我肯定图像这么画是吧，要不然就不对了。那当然，你也可以验证一下，当 x 无限趋近于零和 x 无限趋近于正无穷的时候，整个这个式子是趋近于多少的？ 那简单教大家判断一下哈。我把这式子三项我抄一遍。首先，当 x 无限趋近于零的时候，注意是零正，您只能取零的正值啊。先来看负 x 分 之一负 x 分 之一长这样的 x 趋于零点零零几，它是一个负无穷大。那负浪 x 嘞？浪 x 这么画负浪 x 反着画，这当 x 趋于零点几的时候，它是正无穷。那这一正一负又开始较劲了，我听谁的年年讲啊？函数的高中低阶这个概念， 指数函数增长最快，我们称之为叫高阶函数幂函数 x 的 一次幂也好，二次一幂也好啊，即便是三次幂，它增长也没有指数函数最后那么快，称之为叫终结函数增长最慢的 line x， 对 数函数高中低三阶函数放在一起较劲，听谁的，谁增长快听谁的。 这是 m 函数，这是对数。 m 函数相对于对数来说，增长更快更厉害。所以听我的，不听你的，听懂了吧？所以最后你虽然是正的，但是我负无穷大更更小，它趋近于负无穷。那类似当 x 趋近于正无穷的时候，大家也可以判断吗？ 再来试一下啊， a 反正是一个常数，我不看它正无穷大。我发现第一项，哦，简单，这一项变成零了，前两项都是常数，我最后只听负无穷，那我就趋近于 负数函数。图像画完两根，一个是 x c， 一个是 x 二，证明不等式两个部分。那我先正左边呗，我想正它第一个方法构造函数，这不两个变量的问题吗？我先把其中一个变量移到一边去，我只要证 x 二大于二减 x c， 那怎么正呢？双变量有啥关系？它都是同一个函数的零点意味着 f， x 带进去和 x 二带进去应该是相等的，它都等于零，我出现等式了，那我就用这个等式来想想。但这个等式两边都是套着 f 的， 我能不能想办法把这个不等式两边也套个 f 啊？想到单调性， 咱 x 二是大于一的，二减去零点几，那还是一点几，一点几也是大于一的。 所以当我把两个变量分到不等号两边去的时候，我发现它俩同时作为整体，都处在大于一的这个范围内，那大于一正好是我 f x 的 一个单调递减区间，所以证明它就等价于我两边套一个 f， 证明 f x 二变成小于。因为是单调递减区间， f 二减 x 一。 我两边套完 f， 就 能用上这个等式了吗？ f x 二就是 f x 一， 我记着 f x 一 小于 f 二减 x 一， 我发现这式子里面就没有 x 二了，变成单变量 x 一 了。那我就一项求导来做呗，最简单的极值点偏移问题了，我设为 h x， 它是 f x 减 f 二减 x。 那， 那这是谁呀？我当然可以把这个 f x 带进来，是吧？可以啊，我试着这么带一下，第一项减去，把 x 换成二减 x， 二减 x 分 之一 line， 二减 x a a 约掉了，没有了，就剩一二三四四项。那这个很显然特别特别复杂。那我一会肯定是要继续求导，对不对？我得看它单调性，看它图像，看它是否是正的还是负的，这是我第一个思路。我做到这之后，直接把 f 带进来啊，然后在这求导那，其实我不带也 能做，因为我刚才已经把 f x 求导求一遍了，对不对？那我在此基础上，我直接用抽象函数来求导，就直接看啊，它的导函数是 f x 一 撇呗。这不会不会吧，那这个也求导，我把这整体也加一个一撇，但是它求导是谁呢？这叫复合函数求导。 你把导数里面 x 换成二减 x， 同时最后整体再乘一个内层函数二减 x， 导数乘一个负一才行，就意味着这个整体其实把它带进去的话，负负得正了。我要加 f 二减 x 一 撇，其实就是一部复合函数求导，所以接下来我都求完导了。我，我带进去啊，它 x 方分之一减 x， 二减 x 分 之一减去二减 x， 那 就是 x 减一。嗯，我发现这两项哦，都有一减 x 提出来，那剩余这分母，哎，我通分一下，它是它的平方减后面的平方。 那这不是平方差公式吗？他加他，他减他，最后这一点点小小于同分 x 乘以二减 x 倍的二减 x， 再减 x， 二减二 x 非常完美，放进来求完。倒了，我该判断正负了。我这个 x 是 x 一 啊， x 指数范围是零到一之间零加几的数这一项， 这两项正的啊，正的啊，全都是正的，哼，美美大于零，那意味着我这 h x 就是 单调递增。你一递增，我是在零到一处一个递增函数，那最大值就在一处取得 h x 小 于 h 一， 那谁是 h 一 呢？ 不用代入到函数值里面啊，你直接算 h 一 是谁啊？把 x 乘一，那就是 f 一 减去 f 二减一， f 一 减 f 一 就正好是零，所以 h x 小 于零，它小于零横成力。那我一步一步往上推，不就挣出来了吗？这是第一个方法， 构造函数，利用上题目已有的这个等式条件。等式条件里面两面都有 f， 那 我两面就套一个 f， 利用单调性来去消元。 那除此之外，我们极值点偏移还经常用第二个方法叫其次小元。换句话说，笔直代换很神奇的一个方法啊。我不管，你问我什么啊？你正不正。这个我不管，我设 x c 比 x 二，我设它等于 t， 我 知道什么呢？我知道 x x 二是这个。呃，函数的两个零点，那我把它俩带进来，我能得到 line x c 加 x c 分 之一 等于 a。 line x 二加 x 二分之也等于 a。 那 这俩式子跟我刚才这比值换元有啥关系呢？这不出现对数了吗？对数，我上下做个减法，它减它 line 减 line， 那 么就是 line x 一 比 x 二吗？加上这个减这个左边 a a 没有了，然后太美妙了， x 一 比 x 二，让我换成 t 了，所以它就是 line， t 在后面。呃，有 x 有 x 二。呃，那我 x c 是 不能写成 t 倍的 x 二啊。我通过比值代换，强行联系出 x c x 的 一个等式，我就能把 x c 换成 t， x 二来做了，后面又减 x 二分之一， 这两项我合并同类项。呃，地方有点不够了啊。往上移，它俩通分完移过去，那是一减 t 分 之一倍的 x 二分之一是等于 line t 的 话，那末 x 二就是 它移过来。浪以 t 移过去，浪以 t 分 之一减 t 分 之一。我把 x 二居然能换成用 t 来表示，那你说 x 一 是多少 t 啊？ t 比 x 二，把它乘个 t 呗，不用再减一遍了啊。 x 一 就等于 t 减一，比浪以 t， 所以 我通过比值代换，暴力地把两个变量都用同一个变量来表示。那他问我，哎，什么什么这个那个的，它俩相加大于二不？好嘞，那我找到证，这俩相加浪以 t 统分一下，一减 t 分 之一，加上 t 减一，这大于二即可。 这玩意等价于，呃，咱这么个 t 啊。 x 一 比 x 二， x 一 是小的， x 二是大的，所以 t 目前是在零到一之间，那浪一 t 是 一个负值，所以如果我把它乘过去，要编号的啊，要证明浪一 t 大 于二分之一倍的 一，一约掉 t 减 t 分 之一，哦吼， surprise！ 飘带函数自变了，在零到一的时候，它每每成立啊，一项求导结束了。这是这道题的左侧，给大家介绍的两种方法都非常常用，一个是构造函数，一个是笔直代换，但是这个右侧稍显复杂，这就有点难度了。 那先提醒大家一下啊，这个右侧不等式的证明难度比较高，如果你的目标分数不是在一百二十分以上，可以不停， 大家可以想象，你这边是二的时候，你去构造函数啊，把它移过去，这函数做起来比较简单，但是你这边是带着 a 的， 这么复杂的一个式子，你移过去，两边再套一个 f， 那 玩意咋做呀？那肯定不好做。 所以对于这种极致点偏移的问题，我们一道题可能有非常非常多的方法，但是有的方法简单，有的方法难，所以这就是为什么我们多个方法都给大家讲的一个原因。 构造函数对于右侧这部分式显然不好做，那我们来尝试一下，那如果我笔直代换来做，那从这到这都是不变的，对吧？ x 二 x 一 都用 t 来表示，这是没有问题的，我可以接着用。呃，别的我不用了，哎，我从这 开始做， x 一 加 x 二，它俩加起来，忘掉 t 分 之 t 减 t 分 之一，它是否小于三的啊？ e 的 a 减 e 是 什么鬼东西啊？哪有 a？ 是 不是只有这有 a？ 所以 上下两式我用其中一个啊，我两边取一个 e 的 a， 四 b， 左边取一个 e， 右边我也取一个 e， 那 不就有 e 的 a 次幂了吗？所以左边是 e 的 这玩意，右边是 e 的 a 次幂，那只是我相加了，那相当于我这个整体相乘，它乘以 这个东西 e 的 量， x e 就是 x e。 哎，这这这玩意有个 a， 这 a 我 怎么办呢？它它它，这 e， 这上面我这个地方是 a， 它没有 e， 是 吧？所以这是比较损的一点。做题第一步 不得像这样啊，把这个 a 单独拎出来呀。所以把一移过去，或要证明这个把三移过来之后，上下乘以 t 啊，好看一点，就变成了三分之一倍的 t 绕以 t 分 之 t 方减一，再加一它小于 e 的 a 减一次幂。然后我为了使得这个 a 真的 单独拎出来，两边同时 取一个 line。 注意，这，我这是对这个 a 真的 单独拎出来，两边同时取一个 line， 三分之一 小于 line e 的 a 减一私密 line e， 谁就是 a 减一本身，那谁又是 a？ a 是 这玩意上下用哪个动作做哈？ line， x c 加 x c 分 之一再减 e， 那 谁是 x e 嘞？ x c 是 这个我再带进去 line t 减一比 line t 加上 t 减一分之 line t。 现在虽然整个这个最后的这个式子挺难看的，但是我最后要证明，这个不等式还有 x 一 吗？有 x 二吗？有 a 吗？是不是只有 t 了？一项 求导可以做，但是我不做了。为什么？因为计算量肯定太大了。你这啥玩意啊？这 line 套 line 你 咋求导啊，对不对？ 但是曾经有标准难，真就这么求啊。这是能求的，但考试的话，我们肯定没有这个时间，所以这考试如果你只剩五分钟了，你想证明右边这不等式？哎，你可以按照这个式子啊，写一写，化简化，简得点不周分，咱每每混四五分的，不周分。哎，那也挺好，是吧？ 就像我们刚才说的这种极致点偏移的问题，每一道题可能都有好几种方法，比值还原，对于左边来说，哎，挺好的，但是对于右边来说，不一定。 我们除了构造函数比值还原之外，还有最后一种证明方法叫放缩。怎么放呢？大家看，咱 x x 二是它的一个零点，我把 x x 二还是像刚才一样带进来啊。 line x 加 x 一 分之一，它等于 a 哦， line x 也一样。然后刚才咱通过图像是不也看出来了， x x 二，一个大于一，一个小于一。那最后让我证明什么呢？让我证明这个带着 e 的 a 减一次幂的式子， 哎，我就想问啊，我就我就问 e 的 a 减一次幂，它怎么来的？你这是 a， 怎么能换成 e 的 a 减一次幂呢？我想出来 a 减一，那我，那我两边减一呗。应凑出来 a 减一了，但是还没有 e， 怎么能出来 e 呢？它是 line e 的 a 减 e 次幂，用一点同勾的知识，任何一个数，我既可以写成 e 的 line x 幂，也可以写成 line e 的 x 幂。我现在需要的就是 e 多少次幂，那我就画成这个式子，长这样没问题吧，嘻嘻。我凑出来这东西了，哎，我没了啊，我在这开始看怎么化简，这边有 line， 这边也有 line， 我 把它减过去，那就等价于 line x 比上 e 的 a 减 e 次幂 等于一减 x 一 分之一，那同理， x 二我不用再算一遍了，也一样的，也变成这个丑陋的小石子，然后做到这啊，别急，我 x e 要除以它，呃， x 二也要除以它。那 e 的 a 减一次幂在图形上，那图形是谁呀？我的任务是找到 e 的 a 减一次幂在图形上，在哪儿？ 先找它，我先来看看 a 的 几何值范围啊，我对 a 有 什么要求啊？我整个函数，我想有两个零点，那很显然， e 处函数值是不是得大于零？哼，我把 e 带进来啊， f 一 a 减一减零， e 得大于零，所以我先得到了 a 的 一个大致的一个范围， a 得大于 e， 那 在 a 大 于 e 的 情况下，我来找 e 的 a 减 e。 次幂，呃，是在 x 的 左边，中间还是右边？它是这三种情况当中哪一个？大家告诉我有什么方法来判断？ 第一个方法啊，一些小细节哈，我不是要看它在哪吗？我就看 e 的 a 减一这个整体。把这个函数值带进去，看它是正的还是负的不就行了吗？啊，第一个方法确实比较难想哈， f e 的 a 减一私密带进来看一看，长这样的， 那 e 它就是 a 减 e， a， a 没有了啊，负负又得正了。它这样的也就是一减去 e 的 一减 a， a 大 于一，哪一点？这是小于零的 e 的 x 密哪一点？数小于零的话，整个的函数值肯定是零点几的数，一减去零点几的数，它一定 大于零。所以，这三个点哪一个函数值大于零呢？是不只有中间这的时候，原来 e 的 a 减一次密，其实在 x 一 和 x 二 之间。这是我第一个找到 e 的 a 减 a 四微位置的方法，稍微有点难想啊。那接下来我给大家介绍第二个方法，也非常非常重要。有的时候你识别出来，这是一个极值点偏移的问题，但是其中有一个部分，哎呦， 挺奇怪的，不知道他在干什么，哪来的呢？我问大家，二怎么来的？咱证明什么？ x e x 大 于二，二是不是正好是我 x e x 这个极值点的两倍啊？就这个数啊，其实跟这个极值点是有关系的。那我问大家， e 的 a 减一 sin， 它是极值点吗？你在这个图形里面去看，或者说 你去分析这个函数的话，确实啊，这这这个 e 的 a 减一次幂，没有它的容身之处，但是我把这个函数变变形，哎，你说 x x 二是它的零点没问题，就这函数等于零呗，它 加 x 分 之一，哦，等于 a 减 a 等于零啊，你这个函数的零点是 x x 二，那我如果把它等价变形，因为这有分数，我不喜欢。两边我同时乘个 x， 是 不是小于 x， 乘以 x 加上一减 a x， 这函数零点跟上面函数零点那是同一个，因为它就是同一个式子， x 是 不能为零的呀，所以它的两个也是 x 一 和 x 二。那如果我研究这个新函数的话， h x， 大家可以看一下，我一撇，我看它图像哈，左导成 u， 加上左乘右边导数再减 a。 哎呦，这导函数是 let x 这个对数函数上下平移得到的， 它的函数图像就是相当于把 line x 一 平移，那平移完，那我肯定跟 x 不 论怎么平移都有交点呗。我问大家，这个根是谁啊？它如果等于零的话，那么 line x 就是 a 减一， x 就是 e 的 a 减 e 是 密。 虽然我知道讲的有点墨迹，但是这个地方我想讲为什么？想给大家提醒的是极致点偏移的问题，不一定是人家给你什么函数，你一定就去研究那个函数？你可以把这个函数变变形之后再修到再去研究，很有可能就出现一些题目当中不明所以的东西。 那我变性完再看。哦，你这个导函数先负再正，那么原函数是我先减再增， e 的 a 减一次幂是它的一个极致点， x 一 在左边， x 二在右边是。我依然判断出了 x， e 的 a 减一次幂和 x 二相对位置的关系是一样的。 那我费这么老半天劲在干什么？ x 一 比它小，那它除以它，它小于一， x 二除以它就大于一。 铺垫这么多，我一直想求 e 的 a 减一次密。呃，大小是多少？我其实就是想知道这除完是大于一的还是小于一的，它取值范围是什么？ 到这准备工作结束。 line 这里面真数，哎，有大于一的时候，有小于一的时候，我最后要由两个等式变成一个不等式， 我想放缩，我问大家，你想哪个不等式放缩里面既有自变量大于一的时候，又有小于的时候。数飘带函数啊，一会啊小于一，一会大于一，还有不等式。哎，那我的问题又来了，你是用这个不等式放缩还是用这个不等式放缩呢？左边右边，你挑哪个？ 你昏头了，刚才证明左侧不等式的时候，你怎么用哪个不等式？是不是用的这个飘带放缩不等式？你已经用过一次了，用的这个。那你说我证明这一侧的时候该用哪个了？是不该用另外一个来证了？ 我把它看成一个整体，哦，这整体小于一，在零到一的范围内，所以 line 这个整体就小于等于这个式子，所以 line 这整体小于等于，我大胆放松一下，二倍的它减一，除以它加一。 哦，反分式是我上下都乘以 e 的 a 减一次密好了，我看着弄得很漂亮。二的 x 减 e 的 a 减一次密，先把 x 加上 e 的 a 减一次密，然后废话我也不多说了，把它乘过去通个分，那大家就会得到一个有关 x， 还有 e 的 a 减一次密的一个式子，对不对？这式子长这样，这小学化简问题我就不给大家说了啊。 那我的问题是，下面这式子你怎么办？他又大于一了。大于一，那跟上面有什么区别呢？大于就意味着我要看下面的时候，这不等号方向，你发现改变了啊，他要浪 x 小 于等于谁变成浪 x 大 于等于谁了。整个过程用的不等式都是一样的。哎，我就把这个变成大于等于 这个部分。那我最后得到的结果，其实也只需要把这个大于号变成小于号，把 x 一 换成 x 二即可呀。上下两个不等式 怎么操作？能操作出来 x 一 加 x 二呢？呃，目前不倒方向确实不一样啊。那我想变成一样的好操作一点。我可以。呃，在下边这个两边都成个符号啊， 负的减去减去编号。那现在我上下两式相加，我大的加大的肯定大于。呃，小的加小的对不对？大加大，第一项是一个平方差公式， x 加 x 二乘以 x c 减 x 二，我直接化简了。第二项，他俩相加，那我把中间这一项提出来， 这么多倍的 x 加 x 二，常数一正一负没有了。大于零，马上大功告成。这有 x x 二，这也有 x x 二，那题目说 x c 是 比 x 二小的，所以如果我一约的话，不等号方向咱是要变的， 那我就能知道 x 一 加 x 二现在应该是小于三的， e a 减一再减一，证明完毕。这是这道题的出题背景，这题他咋出的？同学们，他先有这个函数，但这函数呢？他想给你变变化样，他先把它化简一下，化成一个新函数，那函数都变了，那即使点就有可能发生改变， 它出现了一个 e 的 a 减一四米，那 x 一 x 二，呃，在它的左右两侧，那怎么办呢？他想到两个放缩，非常常见的两个放缩。很多我们高考题目都是由飘带函数放缩而成的，这是出题背景， 给大家作为拓展。那说实话，考试如果真考这个，过于刁钻了哈，他不可能第三问直接无中生有的让你来一个这个不等式放缩，一定他会在呃前两问给你个横乘利问题，或者让你证明一个不等式，让你出现，先出现这个飘带放缩，出现这个左边，或者出现这个右边这不等式，出现这个不等式之后，第三问让你用不等式 证明不等式，用方索来做，太完美了。咱这一个视频把在近几年当中，导数当中常考的一些类型题给大家屡了一遍，那显然如果基础不好的同学，光看这一个视频肯定是不够的，一定把基础打牢，把对应的视频去看好了，再去考试。 那最后祝大家高考顺利。当然这不是最后一个视频，咱考前还有一个考前安心课，那先预祝大家考场超常发挥，拜拜！

大家好，今天呢，我们专门来讲一讲高考数学圆锥曲线大题中非常爱考的非对称为答式，那么对称为答式，它就指的是一个式子里头，它 x 一 加 x 二， x 一 乘 x 二，都是以这种形式存在的，或者你保留 y 的 话，它都是以这种 嗯， y 的 形式存在， y 一 加 y 二，要么就是 y 一 乘 y 二，都是这样存在，这样的话就可以连累之后结合维达定律，然后代入之后呢化简，总的来说总是可以化出来的，这个是对称维达式非对称的结构， 万一他给你来一个三倍的 x 一 加上四倍的 x 二呢？这就不是对称的了，对不对？那对于这种类型怎么处理？我们来看一道非常经典的例题，二十三年这个高考原题。那么第一问非常简单，咱们就不讲了啊，四分之 x 方减去十六分之外方等于一。 我们来讲第二问，他说双曲线左右顶点，那你就写出来呗，左顶点 负二倒数零，这是 a 一， a 二的话就是正二倒数零，这个都写出来。 那么他说，他说这条直线是过负四，倒数零过的是哪个点，过的是 x 轴上的一个点，所以这条直线，那咱们怎么假设？咱们假设直线 m n， 咱写成 m y， 再减去四，这个负四就是横截距啊。 那于是呢，假设 m 点的坐标，那就 x 一 y 一， 然后 n 点的坐标，那就 x 二 y 二，这都是常规操作了，我相信都不用多说什么， 它的意思是 m a 一 这条直线，还有 n a 二这条直线，它相对于点 p， 那 么他说最后证明一下，点 p 在 某条直线上，你把这个直线求出来，怎么证呢？我告诉你啊，点 p 肯定是在 x 等于， 比如说 x 等于负一啊，负二等等类似的这条线上，为什么？为什么？这条直线一定是跟 x 轴垂直的？我告诉你，很简单，你 m n， 你 捣个个儿嘛，这个换成 n， 那 下边换成 m， 那 于是这条线不就变成了，哎，这就是 m a 一 了，咱们写一下，写一下啊， 对，这就是 m a 一， 然后 na 二呢？这就是 na 二。对，你下边有个 p， 下上面有个 p 一 呗。 p 和 p 一， 那显然是关于 x 轴对称的嘛。所以咱们接下来要证明的东西啊，非常简单，就是想证明点 p 在 的那条定直线究竟是 x 等于几，理解了吧。那好， 现在我们这样来，常规操作，肯定是要连立一下 x 等于 m y 减去四，连立一下 m n， 这条直线还有谁呢？还有双曲线，这个双曲线的话，我写成这种四 x 方 减去外方等于十六，对吧？然后呢，咱们就消掉 x 倍，然后就变成了四 m 方减一，外方减三十二 y， 然后再加上四十八等于零。那么这个题的话，你要注意一个细节，因为它是交于哪一支的？ 交于左支的是吧？交于左支的话，你放心吧，连立之后，这个四 m 方减一肯定不等于零的啊，肯定可以解出来两个 y。 好， 这是一条，那另外一条你还得保证什么？保证这个判别式 怎么样？判别式最后算出来，他得大于零才行吧。那咱写一下这个判别式，他的话是 负三十二 m 平方减去四乘四十八，然后再来个四十八 m 方减一，这都常规操作了，那么最终一化减是二百五十六 m 方，加上一百九十二，他肯定大于零啊，所以没什么问题。于是乌鸦定律就来了， y 一 加 y， 原始公式是负的 a 分 之 b， 那 这道题的话，其实就是 三十二 m 再比上四 m 方减一，那 y 一 乘 y， 原始公式 a 分 之 c， 那 这道题不就是四十八再比上四 m 方再减一吗？是这样的，那么于是接下来我就有两个方法想讲一讲了。 那么第一种方法是什么呢？来我们看看啊，我换个颜色，咱们第一种方法，第一种方法的话就是用伟大定律呗，就是用伟大定律。但是现在你想一个问题啊，想什么问题呢？ 就是咱们因为 m 点，咱已经假设出来了， x 一 y 一， 然后 a 一 a 一 也有啊，负二多少零两个点都知道，那这个直线还是很容易写的，那咱们直接写上 y 等于 x 一加上二，然后 y 一， 这是斜率啊，点斜式，那么还有，嗯，这个是 m m a 一 啊， m a 一， 然后还有个 n a 二吧， n a 二的话，那就是 y 等于斜率是什么？ y 二减去零，那不就是 y 二啊，然后 x 二减去二，对，然后 x 再减去二点斜式嘛。那么写完了这个 m a 一 和 n a 二之后， 因为你知道它最后这条直线，咱们刚才也分析过了，肯定是在 x 等于某个数字，比如说 x 等于负一这条直线上的， 但是你要怎么去说，他跟 y 就 没关系吧。所以接下来我们这两个等式，就这两条直线，咱们直接作比就行了，左边跟左边作比，右边跟右边 y 比上 y 不 用写了，那就是等于一右边再比上右边，所以我们很快可以得出来两个式子作比， x 加二， 比上 x 减 x 减二，他能够得，得出来是什么呢？得出来是等于 y 二乘 x 一 加二，然后 y 一 x 一 减二，这肯定不是对称的结构， 那么我们再继续往后去做，那它会变成什么结构呢？会变成这样一个结构，那就是你要注意啊，咱们 x 一 代入以后， x 一 是等于 m y 再减去四的，这是直线的解析式，对吧？ m n， 那 x 二的话，你也带一下，它是等于 m y 二再减去四的，所以咱们都换成 y 的 形式，那么这一带那就是 y 二， m y 一 减四再加二，那就是减二。同样的， 这个是 m y 几呢？我看一下啊，下边这个应该是 x 二啊，这个地方对，这个是 x 二，那这个地方是 y 二，再减去六，对的。好，那减四再减二，当然是减六了，那再往后边写，咱们于是呢，就写出来这个结构了， 有 m y 一 y 二，这个你不用管他，人家是对称的，可以直接用伟大定律。但是后边它有个什么结构呢？它只有一个负二 y 二，我不想写这个负二， y 二， 我要写成什么？我要把这个负二外二，我接下来要改成负二倍的外一加外二，因为我想利用伟大定律嘛，然后呢，再加上二倍的外一，因为你平白无故减了二倍的它，对，所以我要这么处理了，你要知道是怎么来的啊？外一加外二，然后再加上二倍的外一。行， 那继续这个分母怎么处理呢？这分母就正常来说呗， m 倍的外一，然后再减六倍的外一。 嗯，最后这两部分你先不要管他啊，他是不对称的，但是不管是 y 一 乘 y 二还是 y 一 加 y 二，我们都可以带吧，那带伟大定律的结构啊，带以上的式子，那么就变成了， 这是四十八，再比上四 m 方减一，这个也是四十八，再比上四 m 方减一，那么外一加外二呢？外一加外二的话，我看一下，那就是三十二 m， 然后再比上四 m 方减一。那分母分母没有啊？分母没有，那就直接写了个负六外一吧，然后分子的话，最后别忘了还有个二倍的外一。 目前来说是这样，这个分母就不用管他了，咱主要是看这个分子，看分子能整出什么幺蛾子来。你把这两部分肯定是要结合到一块，这个很容易算吗？一个是四十八 m 对 吧？一个是负的六十四，负的六十四加上四十八，你说多少？所以会得出一个负的十六倍的 m 来。 好，那么继续来，看了谁呀？哎，继续，还有它呢，这是多少？四十八 m 再比上四 m 方，然后呢？再减去一，然后再减六倍的 y 一， 嗨， 负十六比上四十八等于多少？负的三分之一，正二比上负六得多少？负的三分之一。嗨，这还不知道吗？所以最后结果咱们得出来，等于一个负三分之一啊，你要注意最左边是谁， 是谁等于负三分之一。是这个东西等于负三分之一，它等于负三分之一的话，于是我们就可以得出来，所以 x 等于几？ x 等于 等于负一啊。对呀， x 加二比上 x 减一等于负三分之一，你还算不出来 x 等于负一吗？ x 是 谁？请你告诉我， x 不 就是点 p 横坐标所满足的这样一个结果吗？你说对不对？好啦，为什么？ 因为你这两个式子本质上是通过这个圈一和圈二这两条直线连立出来的，那么最后求出来的 x 当然就指的是点 p 它的焦点横坐标所满足的这样一个要求了，所以最后咱们就可以说什么了。所以最后咱们就可以说点 p 在一条定值线上，在哪条定值线上呢？在直线 x 等于负一上运动。好，这是第一种方法，那么第二种方法我也讲一讲方法二，这个方法二我们另起一页吧。方法二是这样的哈， 怎么处理呢？就是刚才我们在处理的时候，你得先看看这个回答式。 看了啊，这个圈一和圈二之间是存在一个关系的。什么关系？一个三十二，一个四十八，只不过一个是三十二 m， 另外一个是四十八乘一。那显然我们可以满足什么要求？ m 倍的 y 一 y 二四十八，三十二的比值你说是多少？这不就二比四，这不就二分之三吗？ 二分之三 y 一 加 y 二。所以我现在考虑的是由两个微拉式得出来的和积互化的这样一个结构，就是积可以化成和，所以方法二用的就是 和积互化，或者或，或者说啊，和积代换。那行，也就是刚刚我们得出来的 m 倍的 y 一 y 二等于二分之三 y 一 加 y 二。行吧，没问题啊， 那么还是老规矩， m a 一 咱已经写出来了，现在再写一遍， x 一 加二，这个是 x 加上二，没问题啊，跟刚才其实是一模一样的啊。那么继续来看另外的 n a 二， y 等于 x 二减二分之它，然后还有一个是 x 减去二， 那么于是呢，咱们还是 x 它，然后 x 就 前头因为都长得一样，所以我真的觉得没什么太多可以说的，前头一模一样，都是 y 二 x 一 加二，然后 y 一 x 二，这是减二。 那么继续吧，整理一下， x 一 等于谁？等于 m 倍的 y 一 减去四啊，那就是 m 倍的 y 一 减四再加二，那就是减二，它也一样， m 倍的 y 二减四再减二，那就是减六。 那于是呢，我们就得出来这样一个结构，这个是 m 倍的 y 一 y 二好，然后呢，再减去二倍的 y 二 啊，二倍的 y 二，对，这个是没问题的啊，然后它是多少呢？ m 倍的 y 一 y 二，再减去六倍的 y 一， 能得出什么信息来吗？ 能呀，这是不是直接可以转化？能啊，左边是 y 一 y 二，这是二次吧， 你这么处理的好处，右边是一次吧， y 一 是一次的， y 二也是一次的，所以二次变一次，把成绩转化成两者之合的形式，那于是就变成了二分之三 y 一 加 y 二， 这呢也是二分之三 y 一 加 y 二，那继续往后斜，看看最终会变成什么？那后边就不用多说了，会有一个二分之三 y 一 减去二分之一 y 二，然后分母是多少呢？分母会变成负的二分之九 y 一， 好，然后再加上二分之三， 这个是 y 二，我觉得你应该看出什么来了吧，实在看不出来的话，我把分母里头这个负三拿出来你就知道了， 这不就是二分之三 y 一， 这不就是负的二分之一 y 二，分子呢？分子完全就是二分之三 y 一， 再减去二分之一 y 二，所以它得出来的结果还是负的三分之一，谁等于负的三分之一？行了，最后也可以解出来， x 等于负一，所以说点屁，这个动点在 x 等于负一这条直线上运动结束了。 好了，接下来我们讲第二道题啊，是高三模拟的一道题。这道题的话是这么说的啊，第一问也是直接就告诉你了，三分之 x 方减去外方等于一，其实有右值这个图就够了哈。然后咱们看了，他说过三逗号零这个点， 他这个直线 l 呢，跟双曲线交于 p q 两个点，然后过点 p 做 x 等于一的垂线垂足，就是点 a 了。 然后呢，直线 a q 过定点，他连接之后，他想让你证明那肯定过的定点，你说定点在哪？我告诉你啊，这个定点必然是 x 轴上的一个定点。你也许要好奇了，老师，凭什么嗨你对称的画一画，你来一个 p e， 下边来一个 q 二啊，来一个 q 一， 是不是？然后你是不是这样做，让这个 p 一 和 q 一 过三到零，是这样吧。那么这样对称之后的话，再继续做呀，这条线就是 x 等于一这条线啊，然后再来一个 a 一。 嗨，这傻子都知道了， 你这样的话，这两条线 a q 还有 a 一 q 一 必然是交于 x 轴，因为它就是关于 x 轴对称的嘛，根据双曲线的对称性得出来的，所以说这个定点必然是在 x 轴上，因为我画的图非常精准啊，我也可以明确告诉你，它就这样一个 a q， 它是过谁的 a q 这条直线，它就是过二十多号零。那么接下来怎么去证明这个定点呢？好正啊，来了啊。 我们假设 p q 这条直线就是 x 等于 m y 再加上三不就行了？因为它的横截就是三，那么跟谁连力？那肯定是 跟我们这个三分之 x 方再减去外方，等于一，跟双曲线连力啊。连力之后的话，会出现 m 方减去三，这个是外方，然后再加上六 m y 再加六 等于零，那么 p 点你就假设为 x 一 y 一 q 点就假设为 x 二 y 二，那 a 点横坐标不一样，但是纵坐标跟这个点 p 是 一样的，那就都有了。 那于是呢，你要注意， m 方减三肯定不等于零，因为是两个不同的焦点，并且判别是肯定是大于零的，你可以自己算一下。那看好了，此时 y 一 加 y 二等于什么？ 然后 y 一 乘 y 等于什么？六比上 m 方减三嘛。那有了这些之后， 接下来 a q 的 方程， a 点有了， q 点有了，点斜式呗， y 减 y 一 等于斜率倍的 x 减去一呗点是它斜率呢？ a q 的 两点之间斜率公式还不会啊， y 一 减 y 二， 是吧？一再减去 x 二这个地方呢？有一个地方非常碍眼，就是这个 x 二，为什么？因为你这个 x， 人家维达定律都是关于 y 的， 这个方程都是关于 y 的 方程，你怎么出现了个 x？ 所以 你接下来需要把这个 x 写成什么？写成 m y 二再加上三， 这个还是很容易写的，我就直接来写了吧。于是呢，我们 a q 就 变成了 y 减 y 一 等于多少？等于 y 一 减 y 二，再比上负二负 m y 二，然后 x 减一。好，这个就是 a q 这条直线， 那么它接下来的问题就是想问你， a q 过定点，咱们刚才也分析过，它过定点，必然是过什么过 x 轴上的那样一个定点的，根据对称性嘛，对不对？那么怎么做呢？就是你最后解出来，你让 y 等于零， 在这个数字里头，你另外等于零，那 x 的 话就很好化解。这个就不用我多说了吧，它画出来以后是 y 一 减 y 二分之 二倍的 y 一 加上 m y 一 y 二，然后再加上一，总的来说，整理之后，最终的结果就是 y 一 减 y 二。这个分母也没什么好说的啊，咱们看分子，分子是三倍的 y 一 减去 y 二加上 m y 一 y 二。其实你这应该有想法了，这是一次的，这也是一次的，就这个 m 倍的 y 一 y 二，这个属于二次的式子，对吧？那它属于二次的式子，那我们就化简呗，你仔细看了啊， 显然谁你根据圈一圈二，你可以得出来的呀，得出来什么结构？ m 倍的 y 一 y 二，人家是等于谁的？等于负一倍的 y 一 y y 一 加 y 二点， 所以说我知道了，所以说我只需要带入哪，带入圈三里头， 那于是呢，这个 x 就 变成了谁来，其他部分都不用着急变啊， 三倍的 y 一 减去 y 二，你只需要把这个 m 倍的 y 一 y 二，哎，来写成负一倍的 y 一 加上 y 二，那最终咱们可以画成什么结构？你看好了，这个里头会有个二倍的 y 一， 还会有一个什么负二倍的 y 二， y 一 减 y， 这不就等于二吗？所以我清楚了，什么意思啊？所以说 a q 这条直线过定点， 这个定点横坐标是多少二呀？二多少零啊？你说是不是？当 y 等于零的时候， x 肯定等于二，所以这个定点就是二多少零。你说你正完了没有？正完了，原来是这么处理的，跟刚才方法是不是很类似？ 那么做完这个题之后，大家可能还不满意，因为刚才两道题都是双曲线的，有没有关于椭圆的？椭圆的，我也讲一讲，就这道题， 这个是浙江 z 二十的一道题，去年的啊，啊，也是挺难的，他有三问，第一问我就直接讲了，没什么说的，三分之就四分之 x 方加上三分之 y 方等于一， 我们从第二问来说，嗯，这个第二问怎么说的呢？从这啊，对，应该是这，他怎么说的？他说的是，嗯， m 处的切线。 对，他这个 m 点是在第一相间的啊，这个切线也给你写出来了，然后过 m 点处，他这个椭圆的切线跟 x 轴交于点 p， 这个我就快速的说啦，因为他这个第二问的第一小小问，其实也没什么太多可以讲的，我就快速的来说。 那么首先呢，你知道点 p 坐标，那就 x 一 分之四逗号零呗，就是说这个式子里头，你让 y 等于零，就把 点 p 表示出来了。行，这个是点 p， 那 么 f p 呢？ f 点坐标一看就是一逗号零嘛，所以 f p 的 长度呢，就是 x 一 分之四减去一，好， f p 有 了啊，那接下来就是你得把这个 fm 你 也得表示出来。 怎么表示这个 fm 呢？有一个看起来笨的方法， fm 你 用两点之间去列公式呗，这不就是 x 一 减去一， 这个 f 点的坐标是以多少零啊？然后 y 减去零整体的平方，那么于是呢，我们继续往后斜， 就变成了这个是多少 x 一 方？减二， x 一 加一，这个 y 一 方的话，我的建议是，你根据谁？你根据这样一个椭圆，你把它带入，你把 y 一 方单独拎出来，这不就变成了三减去四分之三 x 一 的平方吗？对吧？ 对啊，因为你这个 m 点，它是在这个里头的，所以你把 y 一 方单独拎出来，写成这个三减去四分之三，写成这个结构， 那写成它有什么好处呢？马上就有了。那最后经过整理，经过配方，它会有一个二分之一 x 一 减去二的整体的平方，根号开平方，那不就绝对值的意思啊， 太棒了，原来就是它，也就是说两条，它这个 f m 和这个 f p 都已经表示出来了，所以说这个 f p 的 角，它这样一个模吧，它这样一个长度吧，减去四倍的 f m 吧，它最终会画成什么结构呢？ x 一 分之四，再加上二倍的 x 一， 对啊， 然后呢？还有一个负九，这显然是均值不等式嘛。大于等于多少？大于等于二倍根号下，他俩相乘正好是二倍根号下，八减去九，那其实就是四倍根号二减九。这道题圈一的答案就是四倍根号二减九， 行了吧？你要写取等条件的话，显然是他俩相等的时候，你写上当前仅当 x 一 等于根号二的时候能取得到的啊。当前仅当 x 一 等于根号二的时候， 我们能够取到等于号，他此时的最小值就是四倍根号二减九了。我们把精力放到最后一问第三问上面， 这个第三问怎么说？他说 a 一 a 二分别是左右这两个顶点，那所以这个 a 一 a 二的话，我写一下吧， a 一 就是负二都好零啊。然后 a 二的话我看一下啊， 对， a 二的话，那就正二都好零呗。不垂直 x 轴的直线 m f 交椭圆于另外一点点 n 直线 n a 一 和 m a 二交于点 q， 然后呢，他问此时点 q 是 否在这条直线上，虽然哈，虽然它规定 m 点是在什么上面的，虽然它规定 m 点它是在这样一个第一项线的，但是我就偏偏我想做题，是你可以这么思考了，对吧？我把 m 和 n 做一下对称， 做完对称之后的话， m 一 和 n 一 分别是关于 m n 关于 x 轴对称的。那对称完了之后的话，呃，接下来呢？接下来你看好了啊，它有一个谁？ n a 一， 我看一下。 n a 一， 这不就在这吗？还有个 m a 二，这不就在这。那此时的 q 一 和 q 肯定也是关于 x 的 对称的。其实你猜你也可以直接猜。哎，你直接就猜 q 点，它就是在某条直线上，这条直线就是 x 等于几， 这不就行了，你还是要证明，就是说你思路是清晰的，是吧？那于是接下来就看你怎么操作了。好了，咱们假设 m 点的坐标是多少？ m 点坐标 x 一 y 一 呗， n 点坐标，那就 x 二 y 二，那 m n 这条直线呢？都好说，那么 m n 这条直线的话，我们就可以写成 x 等于 m y 再加上一，为啥呀？因为 f 点坐标是一的号零啊。于是呢，它和四分之 x 方， 三分之外方等于一，跟同样连立一下，消去谁啊？咱肯定是消去 x， 那 么就变成了三 m 方加四， 这个是外方加上六 m y 再加九等于零，于是呢？ y 一 加 y， 这个时候你你相成性的写一下，判定是大于零就行了。为什么？直线过内部一个点嘛， 它当然是有两个交点的，是不是？那它的话就是负六 m 再比上三 m 方加四，回家定义 y 一 乘 y 二，那就是九，再比上三 m 方加四，是吧？那还是还是这样吧，那于是 m 倍的 y 一 y 二， 这不还是等于二分之三 y 一 加外号吗？你说跟刚才我讲的一个高考题一样吗？剩下他应该就一样了。好了，剩下我们来说，直线 a 一 n， 这个直线 a 一 n 的 话，因为有 a 一 n 也假设出来了，所以我们就直接写 y 等于 这是它，然后还有那条直线，还有 m a 二啊， m a 二这条线的话，那就是 y 等于 y 减零，等于斜率倍的 这个是 x 减去二。对，那么此时你要求的是什么？ 此时你要求的是这个横坐标，是吧？你当然可以作比了，没有问题的，可以作比的啊， 你也可以，怎么样？你就连立这两个，你把 y 消掉，是不是你硬算？哎，它等于它最终是不是可以把 x 表示出来？可以的，此时 x 咱们就表示出来了。其实连立出来不就是焦点点 q 的 红坐标吗？它得出来之后会得这样一个式子， 二倍的 y 二 x 一 x 二加二， 那继续。还有就是 y 一 x 二加二，然后再减去 y 二 x 一 减二，这个时候显然很多地方不合适。为什么？知道为什么吗？因为你肯定是要把这个东西 把 x 都换成什么，都换成 y， 把它带进去的，你把 x 一 等于 m y 一 加一带入，把 x 二等于 m y 二加一再带入，是这样来带的，这样来带入之后，最终咱们就变成什么结构了？就变成了这样一个结构了， 四 m y 一 乘 y 二，再加六倍的 y 一， 然后这个地方也是三倍的 y 一 加上 y 二，你觉得呢？ 接下来怎么处理？嗨，这不就是四倍的它等于等于多少？画圈部分，咱们直接直接和直接这样一个合计代换，你把它带成这样一个六倍的 y 一 加 y 二的结构，这不就行了吗？ 是这样吧，那么咱们看一下最后的结果啊，最终咱们可以画成这个结构， 他是等于多少的？三倍的 y 一 加 y 二。没问题，分子的话，那就是十二倍的 y 一， 然后再加上四倍的 y 二，这显然是等于四的呀。 原来点 q 的 横坐标横等于四啊，但是呢，还不够。你现在说的是什么？人家问的是他的焦点，他说的是什么？他说的是点 q 的。 什么是点 q？ 在 焦点什么？不是的啊，人家是这么说的，人家最终问的是这样一个 p q， 还有 m n， 它的交点点 r 是 否在直线上？你现在是得出来点 q， 它是在某条直线上，还不够？行吧，那接下来我就要写点 q 的 坐标了哈。 点 q 横坐标，它等于四，没什么说的，纵坐标的话，你随便带哪个啦，带 m a 二也行，带 a e n 也行，都可以。那么带入以后，咱们可以得出来，这个是等于，比如带入第一个，它等于二倍的 y 一， x 一 减二。那点 p 的 话，刚才已经求出来了啊， x 一 分之四不好零嘛。好， p q 一 会是可以写出来的，那 p q 我 就直接写了，反正两个点都有了嘛。嗯， y 减零等于斜率倍的，这个我就直接处理了。它等于 它，然后呢？两点之间写六公是吗？好，目前为止是这样的。然后还有一个是 x 减去 x 一 分之四， 嗯， p q 写出来，你还得把谁写出来啊？还得把 m n 写出， m n 已经写过了，一开始咱们就知道它就是 i x 等于 m y 加一， 就这两条直线，咱们连立，那么连立的话，咱们这个 y 怎么处理呢？其实它可以写另外一种结构嘛， m y 等于 x 减一，那 y 就 等于 m 分 之一 x， 然后再怎么样再减去 m 分 之一了呗。可以这么来处理的啊。所以那左右两边再乘个 m， 那左边的话就变成了，反正你自己来处理啊。 x 减一，当然它这还有个 m 分 之一，等于右边这一长串，这我就不写了。那左两边乘 m， x 减一，就等于右边这一长串 m x 一 外一，二倍的 x 一 减二， x 一 减一，这个地方还有个 x 减去 x 一 分之四，你把负一移到右边去，变成正一，这样就行。 那么接下来就是把含有 x 的 部分放一块，含有 x 的 部分放一块，那就是有一个 x 一， 再比上二倍的 x 一 减二，再减一，再乘 x， 它等于 x 一 减二，它，然后呢，再减去一， 那么最终画出来是多少呢？等于 x 一 减二分之，这个是四，再减去 x 一， 对吧？那你看最左边啊，最左边的话，那就是二倍的 x 一 减去二， 然后 x 一 减去二， x 一， 再加上二，得四，加上四啊。那么于是呢， 咱们就变成了谁，就这个方括号里头就变成了负的，它再加上四，或者你写成四减去 x 一， 这不一样的吗？你说这俩东西差个什么？差个二倍，所以咱们可以得出来，这个 x 不 就等于二。 那天呐，知道了，原来这个点 r 就 在 x 等于二这条直线上啊，懂了吧？所以说点 r 就 在 x 等于二这条直线上。那么应该学会了非对称回答是怎么处理了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是范老师，下节课再见！

中考数学如果想考一百三一百四以上的孩子，伟达定理一个二级结论的应用一定要懂得，那各位家长可以点赞收藏，转发给孩子看。你如果发现说很多学校那些头部的孩子，上课的时候，老师并没有讲到这一个， 来，我这个细细的给大家说一下。我们直线跟这一个抛物线有两个交点， d 跟 e。 好， 那我们首先是怎么连立方程？ 我先说一下二级结论， d e 的 长度会等于什么？根号 e 减去 k 平方， x d 减 x e 的 平方。好，这是二级结论，这二级结论要记，而且也要懂得推导。 好，那看一下这个怎么推导。首先呢，我们再一个把这两个连立起来，得到 x d 跟 x e 的 坐标，那我们先消元消掉 y， 得到 a 倍的 x 平方，加上 b 减 k， x 加 c 减 m 等于零。好，所以伟大定律， x d 加 x e 会等于 a 分 之 k 减 b， x d 乘 x e 呢？也会有 a 分 之 c 减 m， 于是我们得到 x d 减 x e 的平方，会等于 x d 加 x e 平方，乘以四倍 x d x e 好， 得到这个，这个是这条虚线哦， x d 减 x， 这个是 y d 减 y e 接着呢， y d 减 y e 先来平方，先放着，我们代入这个直线方程， k x d 减 m， 这是 y d， y e 呢？是 k x e 减 m 加 m 哦，加 m， 那 我把这个 m 给它消掉，剩下 k x d 减去 k x e， 所以 x 提取出来，剩下 x d 减 x e， 那 我再把它平方，所以 y d 减 y e 这一个的平方会等于 k 平方， x d 减 x e 的 平方。也是我们得到最后的第一长度是等于 x d 减 x e 的 平方， 加上 y d 减 y e 平方开根号再来等于直接带进来哦。 x d 减 x e 的 平方照抄后面这一个是 k 平方 x d 减 x e 的 平方 来把 x d 减 x e 的 平方提取出来，剩下一加后面是 k 平方， 然后把 x d 减 x e 的 平方给它提取出来。好，这一个是推导过程，这推导过程各位可以让孩子去推导一下，因为对中考绝对绝对有帮助，好好加油。

笔直画圆加伟大定力，搞定满分！从今天开始的一组视频的题型来到了多变量题型。既然是多变量题型啊，那就一定没有完全固定的模板切换。 当下的高考出题难度倍增之下，多变量题型已经不可能独立出题了，他会嵌入到综合题型的某一个环节的计算里。 所以啊，我要求我所有的学生把多变量题型当成是一款基础题型去掌握。那么说到三变量以上的题型啊，同学们呢，最直观的感觉就是挺吓人的。 那就说明你身边的兄弟和闺蜜里啊，肯定没有学霸，因为学霸一定会告诉你， 变量越多越简单，参数越多越简单，就相当于文字铺垫越多越简单。数学题里边文言文越多越简单，一样都是一个道理啊，都是花拳绣腿，都是纸老虎。就像这道题啊，乍一看，四个变量， x 一 x 二 a 栏目的， 嗯，学霸连题都不用读啊！你信不信只需要三秒就知道大体解法啊，第一秒看见 log x 用比值还原，第二秒无脑求个导导，函数是个类二次函数。第三秒啊，比值还原加伟大定律，搞定，满分！ 所以啊，这就是一眼识别题型和解法的能力啊！刚才那段啊，你回放一下啊，仔细看看是不是那么回事啊， 你带入之后会得到这么老长一个式子啊，如何变形，是不是最闹心的？一半以上的同学啊，都是倒在这步如何变形上。那么你既然已经知道了一定要用到伟大定律， 那变形的方向就是一定要向两根之合以及两根之极的方向去转化了呗。 然后你把这个极值点处一节刀等于零，这个二次方程的两根之和和两根之极你都调出来代换一下，是不是所有的 x 一 x 二就都没了？都换成小 a 了呗。 再把栏目的分离出来，求最值，就是简简单单走程序了呗。至于结果等于多少，那不是本视频的重点啊。我的目的是教大家一眼识别题型和解法。 大家再看这道第十八题难度的三变量问题啊，能不能尽快识别题型 三变量 ex， 那 就是差值换元呗。第一问是个类二次函数吧，那就是伟大定律结合差值换元呗。运算过程中啊，遇到了三次函数因式分解，那就整数拆根大除法呗。 最后的关键步骤了啊，还用到了伟大定律的反向带入，你能不能在这个高压的考场氛围里，能识别出伟大定律的反向带入？这考的是你日常的刷题量啊。 再回到这道题啊，他计算量虽然不小，但是只要学生专注力能集中，打满分是不在话下的。 很多同学总说呀，导出难题，导出难题。我要告诉你啊，只要你把题型学全了，导出难题并不难，那么今天的题型就是比值换元，结合伟大定律，完美解决三变量。

同学们大家好，今天学员想要给你们分享的章节是二次函数与一元二次方程的关系，这章节通常在考试里占三到五分，有可能会出现在选择题、解答题或者说填空题里面，都有可能出现属，属于是一个比较全面的一个题型，所以同学们一定要去重视 好。首先就是我们同学们耳熟能详的一个第二塔，第二塔等于 b 的 平方减四 a c， 其中这个 b 的 平方减四 a c 是 和式子，你可以直接把它记住就可以了，它是大于零，大于零的时候呢，方程就有两个不相等的实数根，同时呢，它这个图像有两个交点 好，然后这个德塔等于零的时候呢，是有两个相等的实数根的，然后只有一个交点，这个一定要记住了对应好。然后当德塔小于零的时候呢，图像是没有，就是没有实数根，也没有交点的， 也就是这个方程是没有解的好。还有一个非常非常重点的一个定律，我们一定要牢记住，因为考试的时候经常有同学会忘记或者说用错颠倒了。 好，首先这个尾答定律的话就是，若方程两根为 x 一 x 二好，如果它们两个相加就是负二， a 分 之 b， 负 a 分 之 b， 我 们不要跟那个对称轴就是搞捆了哦，同学就是会把这两个搞捆了，这个 x 等于负二， a 分 之 b， 我 们不要把这两个搞捆了。 x 一 加 x 二，这个尾答定律， 两个根加在一起是负 a 分 之 b， 但是对称轴是负二， a 分 之 b， 我 们一定要把它搞清楚，然后他们两个相乘的话，就是 a 分 之 c， 好， 我们一定要记住，如果同学们有需要可以截个图，我们后续也可以讲到相关的题目。 好，我们来看一下第一道题目，判断抛物线 y 等于 x， 平方减二， x 减三，与 s 总有多少个交点？好，我们这种求交点的题目我们怎么样？首先是不要求求这个的塔。好，我们首先先把这个 a、 b、 c 找出来，我们这个应该同学们一一眼就能看出来了。好， b 的 平方减四， a、 c， 我 们一个的一个带进去， 分到的是四加十二等于十六，所以这个逗号塔是大于零的，大于零的时候我们怎么样？有两个焦点，是不是？你看我们要对应上这个东西有两个焦点，所以我们第一道题目有两个焦点，同学们答的时候可以答完整一点。 好，我们来看下一道题目，已知抛物线 y 等于 x， 平方减二， x 加 m 与 x 轴只有一个交点，求 m 的 值。好，我们这里怎么样？他已经告诉我们有一个交点了，那什么情况下有一个交点？同学们看上面这里的塔等于零的时候，是不是有一个交点？好，这个时候我们就还是先把这个 a， b， a， b， c 找出来， a 等于一，是不是？ b 等于负二， c 等于 m， 好， 这个时候的塔等于 b 的 平方减四， ac 好， b 的 平方就是四，减去这里是四 m， 好，这个时候我们说只有一个焦点证明这个的塔怎么样？等于零，是不是的塔等于零，那我们四减四减等于零，那 m 等于多少？ m 等于一，是不是？那我们 m 的 值是不是已经求出来了？你看这前面叫你求焦点，我们算的塔，要给出焦点，我们就可以反推他，是的，塔等于零嘛，这个时候我们要举一反三的去做 好，我们来看下一道题目，已知抛物线 y 等于 x 平方减四， x 加二于 x 轴交于两点。好，这已经给出一个关键来，交于两点，好，设对应方程，两个为 x 一 x 二。好，我们伟大定律的就用上了哦。这个时候我们怎么样？先把 a、 b、 c 交出来， 好，这个 a、 b、 c 已经找出来，那 x 一 加 x 二等于多少？学姐，前面说到了负 a 分 之 b， 是 不是那 x 一 x 二就是 a 分 之 c？ 好， 我们再把这些通通带进去。 好，这个就是口算就可以得到，这个是四，好，这个是二，同学们可以自己后过去算一下这个，这个相对来说比较简单，但考试一般不会这么直接去问，我们一定要学会灵活去运用， 尤其是注意到上面说的是交遇什么点，或者说有多少个焦点，我们一定要把它认真看清楚哦，而且这个式子不要跟这个对称轴，这个这个式子给搞混了。好，我们今天的课程就到这里，希望同学们有帮助哦。

欢迎来到懂动说数学，今天我们来讲一讲三次函数，那么三次函数我们主要围绕着以下四个方面来进行分析，一是它的对称中心，二是切线条数，三是三次方程的伟大定律的形式。 四十三次函数当中所包含的一种五点四段论，那接下来我们一个个的来突破。首先来看一下对称中心， 那么任何一个三次函数，它一定是中心对称图形，那我们对应的它的对称中心的求法如下， 假设 f x 是 ax 立方加 b， x 方加 c， x 加 d， 那 就先对它进行求一次导，那就是三 ax 平方加上二 b x 加 c， 再对它进行二次导，那就是 六 a x 再加二 b， 令二次导等于零，你就得到对称中心的横坐标等于负的三 a 分 之 b， 当然也可以是一次导这个二次函数的对称轴， 这两种都行，所以最后我们得到它的中心对称的坐标，就是负的三 a 分 之 b， 再动 f， 负的三 a 分 之 b 重坐标，就把横坐标带回到原来 f x 解析式就可以了。 好，接下来我们来看第一道题，那么对于这道题，他说已知这么一个三次函数 x a 都属于 r 了，然后他让我们去处理 这一个是否存在 m n， 使得这是一个奇函数，并求 f x 图像的对称中心的坐标。 当然这道题如果我们不知道这边的结论的话，那么就只能把 x 加 m 和减 n 这个函数把它给表示出来，然后利用定义 就是，假如这个是大 f x， 那 就大 f x 加大 f 负 x 等于零。但是我们这里已经知道我们三常数是有对称中心的，所以我可以利用这个结论，让我们先给他求个导， 这是 x 的 平方，再加上 a， x 好， 这里这个 x 刚好剩下是它的系数四分之 a 方减个一。好，那这对它进行二阶导，那就是二 x 加个 a 啊，等于它等于零， 所以得到对称中心的横坐标，就是负的二分之 a。 那 既然对称中心的横坐标是负二分之 a， 那 就意味着我这里的 m 我 就不需要自己再去通过一般情况下去处理了，因为他问我们是否存在嘛， 那既然存在的话，我对称中心横坐标已经有了，那同时纵坐标也有，我只要把这个三次函数对称中心的坐标平移到 坐标原点，那不就是奇函数了吗？所以我们再来算一下 f 负的二分之 a 等于多少呢？带进去， 这个就是三分之一乘以负二分之 a 立方，那就是负的八分之 a 的 立方，好，带入这里二分之 a 乘以它的平方，那就四分之 a 的 平方， 好，再带入负二分之 a 的 立方，再加上二分之 a， 好。 整理一下， 这里是负的二十四分之 a 的 立方，加上八分之 a 的 立方，跟这刚好约掉了，你就加二分之 a， 好 通过分，那就是二十四分之，这里负 a 的 立方加一十二个 a， 那也就意味着我对称中心的横纵坐标都出来了。所以第一问啊，如果是考试当中，不能按照我这个先有这个起啊，我们自己知道在考卷上算出来了对称中心的横纵坐标 啊。接下来呢，如果是大题，我们应该怎么去写呢？我们得要先把 m n， 我 们假设，哎，确实存在， 存在 m 等于多少， n 等于多少呢？我们需要把它这个对称中心平移回来，那我们等平移，我们来看一下啊，假设我们对称中心的横纵坐标 a 在 这里， b 在 这里啊，假如三次函数图像 是这样一个中心对称的，那我就需要把它移到坐标原点，那移到坐标原点，你看，我们这里 a b 都是正的，那相当于就是把原来的 f x 它要往左移，那往左你看，因为 a 是 正的，往左移，你是左加 好。然后呢？ b 是 正的，那就往下移，你就减一个 b， 好， 这样子得到的这个函数，它就是一个奇函数了。所以我们就清楚，你看这里的 m 对 应的就是对称中心的横坐标，这个 n 对 应的就是对称中心的重坐标，所以乘以 m 等于对称中心的横坐标，负的二分之 a， n 等于二十四分之负 a 立方加一十二，好，使得 y 等于 f， x 加 m 减 n 是 奇函数，这是我们找到的 m n， 接下来我们还得要对它进行证明，那证明的话，现在就简单多了，因为我们 m n 的 值我们已经知道了 啊，到这里漏超了一个 a 啊。接下来我们就直接来证明就可以了，就是 f x 减二分之 a， 再减掉这一个，那就加上二十四分之 a 的 立方，减十二 a， 好， 把这个往里带进去，那就是三分之一倍的 x 减二分之 a 的 立方，加上二分之 a 倍的 x， 减二分之 a 的 平方，再加上四分之一的 a 的 平方，减一， 再乘以 x， 就是 x 减二分之 a， 还要再加上这个东西啊，加上这个东西刚好在这个位置写这里吧啊，加上二十四分之 a 的 立方，减十二 a， 加了就要整理了，这里是三次函数啊，或者三次的完全式子，你就展开 x 立方， 减掉三倍的 x 的 平方，乘以二分之 a， 加上三倍的 x 乘以四分之 a 的 平方，再减掉八分之 a 的 立方，好，再加上这里展开二分之一 a 倍的 x 平方， 这里减两倍的，你就减掉二分之一 a 一 平方 x， 再加上这四分之 a 乘的这是八分之 a 的 立方，再看下这里有没有错啊， x 平方乘以它，再减两倍的就是负 a x 乘以它啊，没问题，四分之 a 平方，啊，没问题。好，这里还要重开。好，那就把这里要给它删掉去。 好，这个成开，你就加上四分之一 a 平方 x 减 x 减掉八分之 a 的 立方，加二分之 a， 好， 这里再加上二十四分之 a 的 立方，减掉二分之 a， 好， 可以开始约分了 啊，这个立方这里约掉了，先能约的，先肉眼可见的把它约掉去。起，然后再看一下 a 的 平方，这里还没有拆出来， 把这里再拆一部分出来，起啊，三分之一 x 的 立方，这三个就是减掉二分之 a x 平方，加上四分之 a 平方 x 减掉二十四分之 a 的 立方，又可以约了。 这个负的这个正的。再看一下这个 x 平方的式子， x 平方的式子 a x 平方 a x a 刚好这个也约掉了，然后其他的约不约掉都无所谓了，因为就剩下三次和一次的， 那就剩一下三分之一 x 立方。好，一次的这一个跟这一个，还有这一个，这个跟这个是二分之一的平方，跟这个也约掉了，那就剩下减 x， 这个式子太清爽了，这个明显就是 g 函数，你看第一问就中完了， 所以这个第一问呢，就是抓住我们知道三次函数它对称中心的结论，我们算起来就会简单一点，否则的话，你用这个 x 加 m 减 n 去算，这个计算量还是有点大的 啊。这是第一问的处理，那么再看对应的这个题的第二问。第二问呢，其实就是附带了一个函数的问题， 他说他的极大指点也是他的一个零点。好，那我们先来分析一下，他什么时候有极大指点，那就对这个函数进行求导。 导数是 x 平方加上 a， x 再加上四分之 a 方减一。好，注意，这个式子刚好可以十字相乘，就是 x 加上二分之 a 减一，乘以 x 加上二分之 a 加一， 这里刚好有一个平方差啊，那么这就得到导数有两个零点，因为它有极大指点啊，所以像这里两个零点肯定不能相同，如果相同，导数就恒大于等于零了，那意味着它这两个零点不一样，一个零点是负的，二分之 a 加一， 还一个零点是负的，二分之一减一。好，这个明显大于它了。所以我们导函数的一个大致图像，我们就可以这样子来画，这是一个导函数的，这里是负的二分之一加一，这里是负的二分之一减一。你要有极大值， 对应的那是这里那导数，这里导数先正，然后再导数再负，那说明这个是，那也就可以得到也是它的零点负二分之一减一，它的函数值为零， 那么按理说应该是把这个字面带进去，但是注意这里直接它可以提个 x 出来，所以 可以直接把 x 提出来呢，就是负的二分之 a 减一，那里面呢？就是三分之一 x 方加上二分之一 a， x 加上四分之 a 方减一等于零。这个算的时候就注意了，其实可以先把这个这个等于零，先算一下，起 a 等于负二， 然后再算这个等于零。带进来三分之一倍的四分之 a 方加 a 加一，好，再加二分之 a 乘以负二分之 a 减一，再加四分之 a 方减一等于零。 好，十二分之 a 方加上三分之 a 加三分之一减四分之 a 加四分之 a 方减一等于零。这个约掉了 这个十二分之 a 方减掉六分之 a， 再减三分之二等于零，乘一个十二， a 方减二， a 减八等于零，刚好又可以使相乘， 这里是负的一个负二，一个四啊，所以 a 还可以等于四。那这两种情况，有了这两个 a 的 值，那就好办了，直接把 f x 带进来。第一种，如果 a 等于负二的时候，我们看一下 f x 是 多少呢？带进来三分之一 x 的 立方， 再减掉，这里是 x 的 平方，这个是一。哎，刚好没有就是零，所以提个 x 平方出来，三分之一 x 减一，所以一个是零，一个是三。好，那零点之合就是三。 第二种情况，就是 a 等于四的时候， f x 等于三分之一 x 的 立方，把四带进来，加二 x 平方 一十六，这里乘四分之一四减一，就是三。所以这里把三 x 啊，提个 x 出来，要不提个三分之一 x 出来吧，那这就是 x 平方，加上六 x， 再加上一个九啊，这里刚好又是一个完全平方。 呃，零点一个是零，一个是负三，所以零点之合，一个是三，一个是负三。所以第二个呢，其实就是一个纯粹的一个函数问题啊。接下来我们再来看第二个方面的点，就是三次函数切线条数问题。 那这里我们就按照如果这个三次函数 它是 a 大 于零的为例， a x 立方加 b， x 平方加 c x 加 d 啊， a 大 于零为例。 那么对应的这三次函数图像应该只有两种情况，因为它求导之后是一个开口向上的二次函数，那么对应的第一种，如果它导数是这样子的图像，那意味着得它小位等于零，它这个三次函数呢，原本就单调递增， 那中间也一定会有一个对称中心。好，这一个第二种就是他的导数 x 轴有两个焦点，那他对应的就是先增后减 再增。好，那不管这两个当中的哪一种情形，我们做好两步就知道他切线的条数。第一步把对称中心的 坐标以及它的对应的切线把它给表示出来。比如你看这里对称中心在这里，它的切线就是长成这样子。好，这个对称中心在这里，它的切线那就长成这个样子。 好，接下来第二步，我们就是根据这个分成的区域，什么区域呢？就是这个切线和这个曲线它分成的区域，以及还有取线上的点， 我们进行分类来看他的切线条数就可以了。你看啊，如果是在这个切线和三次函数之间，在这里好，也就是这个位置，那这个时候我们实际上做的可以做三条切线，你看这样一条、 两条，还有这边一条。同样的，这里这里一条，这里一条， 这里一条，那这就有三条，那对面的这里也是如此。三条，三条，三条。好，那在另外的上下两部分这里，你发现只能做一条，说这里一条， 这里同样也是一条，一条一条，还有一个特殊位置对称中心，这里也是只能做一条的。 好，那如果点在曲线上，比如说在这个三字函数上，或者在这个对正中心的切线上，也只能做一条，你看这就做一啊，做两条可以做两条，说错了，这里一条，还有它本身一条，如果在这里，你看这里 一条，还有这里一条，所以在曲线上的点，除了对称中心都是可以做两条的。那么总结起来就是只要是平面当中一个点，他一定可以做到一条以及一条以上的 切线的条数。那接下来我们看一下这道题，我们是否可以把这个结论给用上来。首先来分析一下，这是一个三次函数，他说满足过点 p 可做三条直线与他图像相切的充分条件。 注意啊，是充分条件，那充分条件意味着，呃，条件在选项了，那是有选项可以推出，他可以做三条切线就可以了。好，那么这个问题如果是按照我们在讲 切线问题的时候，我们具体会直接设切点坐标，然后在切点处求导，得到在这一点处的导数值对应就是切线的斜率，然后利用这个切点和我们这个 p 点两点呢？确定 同样的切线的斜率，利用这个相等解出 x 零，有三个解，如果解不了，你就分摊，它对应的图像有三个不同的交点， 这是我们之前的处理方式，但是在这里你发现这个计算量，而且也是还不好处理，所以呢，我们用我们这切线条数的结论来处理。 首先第一步，先把它的对称中心和切线方程先搞定好， f x 一 撇，等于，这就是三 x 平方加上三好，那再求导， 那就是六 x， 令它等于零，得到对称中心的横坐标是零，好，把它带进去，零到 a， 大家注意，这里 a 的 正负没有定了，所以你按 a 选项，他就给我们定了。如果 a 等于一好，那 a 等于一的话，说明这个三次函数图像的对称中心是在零到一这个位置 以及倒数，你看，横大于零，说明这三个函数呢，一直递增的，它就可以大致的。哎，是这样子 啊，同时我们的切线也出来了，因为在零这个地方， f 一 撇零，它就等于 三，斜率为三好，那就相当于是这样子一条界线，这也就是 y 等于三 x 加一，由于它可以要做三条，所以我们这个 p 点 a 到 b， 当然 a 此时是一了好，那就一到 b 应该在这个位置，这里是一到 b 好，那我一逗， b 应该要比这个切线这个点对应的重作标，你看，一带进来，这里是四，比四要大，但比这个三次函数对应的重作标要小。一带进去，一加三加 a， a 是 一，所以这是五，所以这里得到 b 应该大于四，小于五，当然我们这里说 b 大 于四到四点五，哎，那肯定没问题，刚好符合我们这里三条切线的区域，所以 a 选项正确。好，那看 b 选项， b 选项呢？只说了 b 等于零，那说明这个 p 点呢？有可能是在呃正半轴，有可能负半轴，但是你看啊，如果是这个图， 这个就不对了，因为 a 是 一一六零在这个位置这里做，只能做呃一条切线的区域，所以 b 它就不正确了。好，我们再看 c 选项， c 选这个时候 a 的 值没有告诉我们，那也就意味着我们需要一般情形下来证明。先看一下啊。首先，零到 a 是 它的对称中心 好，那么斜率依然是三，那意味着这里的切线，它对应的直线方程也出来了， y 等于三， x 加 a。 好， 现在要求我的点 p， 如果要是 做出三条的话，应该是在这里这些之间。但是我们现在点 p 呢，是在 y 等于五 x 上，所以说横坐标为 a， 重坐标为五 a， 那 你看 这个时候对应的这个切线上面的重坐标是四个 a。 好， 五， a 大 于四， a 肯定没问题，因为 a 已经大于一了啊。 a 这里只要是正数为大于 c， 看下三次函数上的是比它小的，带进去 a 的 立方加三， a 加 a， 也是 a 的 立方，加四个 a。 好， 这里整理一下， a 的 立方大于 a， 确实 a 大 于一，这也正确，所以 c 选项没问题。好，同样的道理，我们看 d 选项，它说是在这个上面，那依然还是用这个图， 只不过这个时候 p 点坐标现在是 a 到四 a 方，那要求四 a 方一定要大于四， a 小 于 a 的 立方加四， a 左边没问题了，因为 a 大 于二，那右边 a 是 正的，约掉一个 a， 那 就是四， a 小 于 a 方加四，好，移过来， a 方减四， a 加四， 这个大于零，确实，这刚好是个完全平方，而且 a 还大于二了，所以肯定不会为零。那 dog 选项也是正确的， p 点呢，也能在切线和三次函数之间， 所以你看就选 a c dog， 那 这道题我们用这个切线结论来做，就会准确率，而且计算上面呢，也非常的快速，所以把三次函数切线的条数也给它理清楚。 这样我们再看第三个方面，三次方程的零点和它的尾，它的定义。首先我们依然要把它的三次方程尾它定义的结论如何出来的，我们要理清楚。先假设这个 f x 是 这么一个三次函数， 同时如果它有三个零点的时候，我们可以仿照我们初中学的二次函数的两点式，那我们这里就把它写成三点式 a， 接下来把它展开，那这个展开呢？我们注意对比了 a x 立方啊， a 还是提到前面来，再看二次项， 二次项呢？比如说这两个相乘 x 平方，这就乘负 x 三，同样的这两个相乘，它就留负 x 一， 所以这里应该得到是负 x 一 减 x 二减 x 三倍的 x 平方。 好，然后再看一次项的，如果留 x， 你 看 x 二 x 三是正的，留这个 x 也是 x 一 x 三是正的啊，那这就清楚了，应该是两两相乘，而且都是正的， 这个就是一次项。好，最后常数项，这个乘这个乘这个，那是负的 x 一 x 二 x 三。 好，接下来这两个式子，这个跟这个对比，把 a 乘进来，就得到 a 倍的负 x 一 减 x 二减 x 三，等于 b， 还有 a 倍的 x 一 x 二， 再加上 x 一 x 三，再加 x x 三，等于 c， 还有 a 倍的负 x 一 x 二， x 三 等于 d。 好， 最后整理变形，那就得到了我们三次方程的伟大定律， x 一 加 x 二加 x 三，三根之合等于负 a 分 之 b 啊，两两只鸡。 x 一 x 三加 x 二， x 三等于 a 分 之 c， 这两个还是很像我们伟大定律的好。第三个 x 一 x 二 x 三等于， 这里是负的 a 分 之 b， 好， 有了这个三次方程。这样你看我们这个例题一，我们处理起来就非常的方便了， 可以直接来分析，你看它三个零点，那不妨假设 x 一 x 二 x 三刚好乘等差，那就得到两倍的 x 二等于 x 一 加 x 三， 好，同时由三次方程的尾它定力，我们可以得到，你看 x 一 加 x 二加 x 三，等于，因为 a 是 一了哈，所以这就等于 m， 然后 x 一 x 二， 再加上 x 一 x 三，加上 x 二 x 三等于 a 分 之 c， c 是 零，好，还有 x 一 x 二 x 三，那就等于负的 a 分 之 d 也负二，你看这里三次方程尾它定义，再结合这个式子，我们就看能不能求 m 好。 首先可以把这个式子代入这里，就得到三倍的 x 二，那么既然目标就是求 x 二就可以了。 好，中间这个式子怎么处理？那这里我们注意可以搭配这两个，你看可以提个 x 二出来，那就是等于 x 二倍的 x 一 加 x 三，又是它，那就乘两倍的 x 二，再加上 x 一 x 三， 你看就得到 x 一 乘以 x 三是负二 x 二的平方，那带进来你负二 x 二的立方，所以得到 x 二等于一，好，带入这里，那 m 就 等于三啊，大功告成。 当然这个题你也可以，一方面这个式子上你可以把第一个式子平方再来处理，因为这个平方刚好有这个两倍两倍乘积啊。另外一个你也可以考虑 直接分析它的一个函数图像，看它零点的一个位置，当然这里我们清楚，因为你三个零点刚好乘等差，其实有一个零点 刚好是我们的对称中心，因为两边要对称，但这个我们这个图没画好啊，画好看一点，那就是 这样子，你看，所以其中一个零点一定是三指数对乘中心，这个也可以做，那你可以自己去试一试啊，这是例题一， 那么再对应的看一下我们辨识的两个问题，你看啊，这个题它相对来说就综合了下，你看 第一个，它告诉了不等式 f x 小 于二的解集是这个，那么我们可以把它理解成 f x 减二小于零，对应的解集是它。那你想一个三次函数，你看它 a 是 一 啊，就是三次函数为一啊，那它对应的图像呢？应该是先增后减再增， 哎，这是一种，还有可能一直单调递增，如果单调递增，你这个小于零，那应该这里应该是一不会有，不等于二啊，不等于负二不会有这一个，所以不可能是他，那就只能是先增后减 再增。好，当然图像我们就定清楚了，一定是这种，为什么你看他不能取到负二，那负二刚好这里是他的一个零点，同时你看一在这里 啊，小于一，你看现在整个这个函数小于零应该是在里，那也就意味着我这个 f x 减二，它整个的这个三次函数啊，就是 f x 减二。三次函数应该是有两个相等的根，负二，还有一个根是一，所以它相当于有三个根，负二，负二还有 一。好，那我们就来了，三根之合等于负的 a 分 之 b， 那 就这里的负 a 好， 还有三根之积，三根之积是两两之积哈，负二乘负二，四负二乘一，还有一个负二乘一应该等于 a 分 之 c， 那 也就是这里的 b， 所以 这里我们把 a 和 b 都求出来了，你看 a 等于几呢？等于三， b 等于零，所以得到我们 f x， 那 么对应的就是 x 的 立方加上三 x 平方，再减一个二。 好，有了这一个，你看我们接下来 a、 b、 c、 d 都可以大功告成了哈。当然， a 选项这里肯定就错了，因为这个 f x 减二的图像是这样子，那我就是把它往上移一下，往上移一下，你看极大指点啊，这个，这个是极大指点，极大指点 依然是负二，这个没有变化的了啊，加就是 b， 你 看对称中心是否对到了呢？对称中心我们就对它进行求导， f x 一 撇，那就是三 x 的 平方，加上六 x。 好， 那再求到，那就是六 x 加六等于零，横坐标负一没问题，负一带进来，负一加三减二零，所以 b 选项正确。 好，有了这一个 b 选项正确，那也就意味着我们这个 f x 的 一个大致图像其实也可以出的来了。你看啊，负一斗零是它的对称中心，负一斗零在这里，然后呢，我们负二 这一个式子也是它的一个。看，这里可以啊，你看它导数，一个是负二，还有一个是零，两个奇值点，所以它应该大致图像应该是这样，先增， 然后再减，经过对称中心，在这里好零的时候再拐上去。好，当然这里负二的值是多少？其实利用这个也知道，你 f x 减二，相当把 f x 往下移了两个单位，在这里说明把这个 f x 就 要往上移两个单位，这重做表就是负二 好，负一斗零，中心对称，所以零斗这里另外一个极小值就是二好，那要过负一斗，零可做一条确实过对称中心啊， c 没问题，所以 c 选项也是正确的。当 c 选项知道 b 选项是对的， c 也是对了。利用我们刚刚的这个 切线条数的结论，就知道过对称中心只能做一条切线好，再看 dog 选项，它说这个在负二到负二分之一时候，它是不是大于负二，你看下。哦，谁写错了，零的负二啊，是大于零的负二负二，那就这一个 啊，我们看一下，在这里的话，还得要算一下这个点的纵坐标，当然这里用到我们后面的五点四万论就简单好读。你看这里，放到这里 一段负一到零一段，你看间距是一样的，所以从这里到这里也是一样的，就是负三。当然你也可以利用它等于负二把 x 求出来，这里也不复杂啊，那这个是不是大于负二呢？那我们就看二 x 加一的取值范围。二 x 加一大于多少呢？这里是负二带进来， 负四加一，负三，负二分之一乘以二加一，刚好是零。欸，那就刚好这一段确实大于负二，二个选项也是正确的啊，所以 b、 c、 d 都是对的。 这个题呢，主要是通过它的剪辑确定它的图像。然后呢，我们再来利用三次方程表达定力， a、 b 就 快速地求， 如果你不快速的，这种求也可以，就什么呢？就是 f x 减二，它有一个零点是负二对零，还有个零点是一对零，把这两个点代入 f x 减二， 得到 a、 b 的 二元，一次方程组也能求出 a 和 b 的 值差，也行。好，这是这道变式。那么再看这道变式，这道变式呢，就是一个 c 选项，还有一个 dog 选项， 那这就是我们三字方程的表达定理的结构啊。 c 选项跟我们刚刚这一个 b， d、 e 这个是一样的，处理方式完全一模一样，这里我就不去处理了，那 c 选项这里是错了的啊。 然后再看 a 和 b， 你 看 b 选项，也是我们所说的这个切线条数问题有三条，那就意味着它要对应的是在这个区域 啊，跟我们这里处理方式也是一样的，先把对称中心和切线方程表示出来，那你对应点的那个重坐标，就要在对应的切线的 这个横坐标相同的点上方，同时在三次函数横坐标相同点的下方就可以了。好，所以这里这个 b 选项我也不去处理了， b 选项是对的。好， a 选项。这就回到我们函数的本质上来， 大于零小于四，是不是必有两个极值点呢？那就看一下这个求导之后，二次函数的得塔是否恒大于零。 好，四 x 加 a， 看到了得塔十六减四， a， 这里大于零，其实得到 a， 只要小于四，那你零到四肯定得塔会大于零，所以 a 也是正。 接下来我们就是证明一下 dog 选项啊， dog 选项，首先它有三个零点，我们依然还是用这种代替系数。 好，接下来就是要对它求导，那这里求导，不管是多少个函数求导，这种连成求导，那就是轮流来求导。你看第一个求导是一，后面两个不导， 然后接下来第二个求导是一啊，第一个和第三个不导，然后再接下来第三个导是一，那就是前两个不导。 好，所以接下来你看在每个地方的导数值直接分之一啊，导数值代减 x 一， 代减，这个没有了，这个也没有了，你就这里 a 倍的 x 一 减 x 二，乘以 x 一 减 x 三。 好，那再把 x 二这个地方的导数值算出来， x 二呢？这个位没有了，这个 啊，这里 x 二，这是 x 二啊，这个没有了，所以就剩下中间的，比如 a 被 x 二减 x 一， 要不也换成 x 一 减 x 二吧， 这里 x 二，再减 x 三。我们都用小的下标和减到上面啊，上面是负一，还有 f 一 撇 x 三 好， x 三这个没有了，这里面就这一个，那个是 a 倍的 x 三减 x 一 和 x 三减 x 二，那刚好颠倒一下， x 一 减 x 三， x 二减 x 三啊，负负得正，这分之一。好，接下来三个要完全 加起来，那我们就做到分子分母同时通分就可以了哈，通分成一样的，那就这里乘以 x 二减 x 三， 这里少了一个 x 一 减 x 三，所以这里乘一个 x 一 减 x 三。这里少了 x 一 减 x 二，所以乘以 x 一 减 x 二， 看一下 x 一， 这是负的。哎，这正的约掉了，负 x 三，负负正的这个跟这个 x 三约掉了， x 二跟这个约掉了，刚好相加，等于零。好，所以倒个选项就是正确的。 那么这里我们主要围绕的就是三次方程以及三次函数对应的零点，它的核心呢，一定要注意，就是这种待定系数去处理它的式子了。 那最后我们再看一下我们极值与最值当中的第一个五点四段论，何为五点四段论呢？就是如果一个三次函数，它如果是有这种两个极值点的， 无论这种先增后减再增，还是先减再增再减，这种只要我们有这一个两个极值点的，他五个点啊，哪五个点呢？极大值点，对称中心这个点， 极小值点，以及跟极大值相等的这个点和极小值相等的这个点，五个点分成了四段。 好，这个我们就叫做五点四段，简称为四段论，一、二、三、四。 那这个四段论在哪里处理起来会特别的有作用呢？好比如说我们这个例题一，这个例题一呢，我们直接奔着我们这个目标去，就是倒格选项。你看， 首先他说这个函数是这一个，他说如果存在极小值点了，这三 a x 的 平方，再减掉六 x， 提一个三 x 出来，那就是 a x 减。二好，这里奥数系数有参数，所以要对 a 进行分类讨论啊，这导数第一种情况， a 等于零， 如果 a 等于零的话，那就是导数负六 x。 导数如果是负六 x 的 话，是这样的一个图， 那说明原函数是先增后减啊，那就在零这里取了极大值啊，这时候就没有极小值了啊，也没有极小值点零的时候代入这个是一 好。第二个，如果 a 大 于零的话，那意味着它导函数的图像应该是这样子的零，还有一个是 a 分 之二，那就是这种， 所以它原图应该是先增后减再增，这里是零，这里是 a 分 之二。零依然是极大值点，对应的极大值是一。 第三种情况， a 如果小于零，那意味着注意他开口向下了啊，二项系数为负，开口向下，但是这里是 a 分 之二，这里是零这种，那么原函数就是先 减后增再减，这里是负的。 a 分 之二，这里是零。零还是极大值点，那一依然是极大值。所以这样子在分析多个选项的时候， a 也出来了， 其实 a 出来了，这个时候你看啊， c 就 错了，因为 a 大 于二，是这一个，你看零。逗一，你对应的大致图像， 它不就这样子，它与 x 轴、负半轴一定有一个交点，也就是说原函数一定有一个零点，这个 c 肯定错了啊，零点有一个负的，所以它要说的话，尤其仅有一个负的零点，差不多。 好，接下来我们再回到到个选项，我们的五点四段论，它极小值点是 x 一。 好，如果比如说这个图，那这个就是 x 一 好，那要找到跟极小值相等的点的横坐标在这里，那好，先看对正中心， 对称中心还没算，那就在求导二阶导，那就六 a， x 减掉六，好，那这里等于零，那就是 a 分 之一好，我们对应的对称中心的横坐标是 a 分 之一。二，接到看六 a x 减掉一个六，是 a 分 之一啊，没问题， a 分 之一，那这个时候你看它到它， 哦，我这里自己写错了啊，这是 a 分 之二，这 a 分 之一，那这里是零，你看之间 a 分 之一的负 a 分 之一的距离负 a 分 之一，所以这个这里也是负的， 把这个图画完整啊。这里到这里也是负的 a 分 之一，所以这里就是负的 a 分 之一。你看这个是 x 一， 这个是 x 二， x 一 加两边 x 二等于零。 同样道理，这个也是一样的，这里是对正中心，这是 a 分 之一。找到这里好， a 分 之二， a 分 之一，这里是负的 a 分 之一，这个是 x 一， 这个是 x 二，所以倒角选项正确。 好，当然这里最后还可以再分析下 b 选项是否是对的 b 选项呢？它说 a 是 大于负一小于零，那对应的应该是，答案就是这个图， 那这个图我们就得要确定什么呢？它这个 a 减一是一定比 a 小 的，所以要函数值越大，那就希望这个 a 减一和 a 都在这个单调递增的部分里面， 因为 a 已经小于零了，那我们就看 a 减一是否比 a 分 之二要大。如果在这个范围内， 这个 a 减一直大于 a 分 之二，那从 a 减一到 a 导数都为正圆，按住大家递增 b 乘以就是正的。好，这是否正确呢？两边同时乘个 a， 解一下这个不等式，注意看编号啊，因为又是负的，刚好移过来，可以十字相乘 得到 a 大 于负一小于二啊。 a 大 于负一小于二，包含这个范围，所以 b 选项没有问题。但这里主要测中哪一种？我们第二个选项五点四段论，把这个对比清楚， 这是我们极值于最值的第一个方面。那么第二个同样的极值和最值呢？我们要回到最原始的函数上来，要清楚，如果有极值，我们三次函数，它对应求导之后的二次函数得到一定是大于零的，而且一定有极大值和极小值。 所以这里呢，我们一个个来分析下这两道题。你看啊，首先这个题 a 选项 d 等于零的时候， f x 是 x 立方加 x 平方加 c x， 你 看有偶数次方，那肯定不是奇函数， a 就 错了。 好， b 选项，它要有极值，要有极值，那就是求到之后，这个二次函数的得它一定要大于零，得它 b 平方减 c， c 大 于零，得到 c 小 于三分之一。好， b 选项正确。 你看 c 选项，它如果有两个极值点，那有两个极值点呢，就说明 x 一 x 二是这个方程的两个根，那么就有 x 一 加 x 二等于负的三分之二，同时 x 一 乘以 x 二等于三分之 c。 好，接下来，那我们要证明这个东西是不是大于八十一分之二，那我们就得要把这个 x c 的 四次方加上四次方，我们要能够化简到这个式子上来就可以了。好，这里就得要一步步的化简了，这里还是有点啰嗦， 平方再减掉两倍的 x 一 方， x 二方。好，这里面呢，我们又可以对它再配方， x 一 加 x 二的平方减掉两倍的 x 一 x 二 啊，这一个再减掉两倍 x 一 方 x 二方，我们可以把它带进来了。 x 一 加 x 二是负三分之二，这里带进来就是 平方九分之四啊。 x 乘到三分之 c， 那 就减掉三分之二个 c。 好， 这个平方这里带进来减掉 九分之二 c 的 平方。好，整理一下，这里九分之四减掉就是九分之二 c 的 平方两倍的层积两倍，那是二十七分之一。十六个 c 再加上八十一分之一十六。 好，那这里我们就知道，在对称轴处取到一个最小值，那就看对称轴我们 c 等于多少啊？ c 等于负的二， a 分 之 b， 那 就是九分之四分之二十七分之一十六，那就是二十七分之十六乘以四分之九，约一下，三约一下，这里是四。好，对称轴是三分之四， 但是呢，我们发现我们的 c 是 只小于三分之一，所以也就意味着在三分之一这里是取到最小的。好，把三分之一带进来，就算一个三分之一，这就是九分之二乘以九分之一减掉， 这里是二十七分之十六乘以三分之一，再加上八十一分之一十六，估计应该按理说应该是对的， 这里是八十一分之二加十六，八分之十八，减掉八十一分之十六，哎，刚好八十一分之二，所以 c 没有问题啊，这个是正确的，这个就搞定了。好，当然， dog 选项它是有几条切线，这个又回到我们之前的切线条数上去了， 而且没有任何的参数，这个就没有那么复杂，这个完全可以搞得定了，这个 dog 选项也是正确的。好，最后呢，我们再看一下这道剩下的变式题， 看啊，首先它说这是一个三次函数， 那这个三次函数它让我们去分析，你看 a， b， c， d， a 不 等于一的时候，只有极大值和无极小值，这个 a 选项不用判断肯定也是错的，因为你不可能一个三次函数只有极大值，没有极小值的，是吧？ 呃，同时我们也可以自己来分析一下，求到三 x 平方加上 a x， 那 就等于你看，如果 a 不 等于一，就从这里提一个 x 出来，那就三 x 加 a， 那你 a 不 等于一，我还可以。 a 有 好多数，你看有两个零点，那不就有极大值，有极小值了吗？再看 b 选项，他说在零处取得极大值，好，在零处取得极大值。你看啊，第一种，如果 a 等于零的话， 那这个导数是一个二三数，两个零点是一样的，所以它没有极值，所以不能等于零。第二个，如果 a 小 于零，那这个时候它的零点负三分之， a 是 正的，那反而在这个位置 啊，导数的图像是这里零，这里确实取到了极大值啊，小于零可以。那第三个，如果 a 大 于零，那这里对应的就是 还是开口向上，只不过负三分之一在这里好，这个时候极大值呢？是负三分之一取到了，所以 b 选项这个是正确的，只有这一个做到了，好。当然这个在零柱取得极大值，也可以翻到我们前面的 单调与极值问题当中。像在零处取得极大值的话，那就意味着在零这个地方，他打函数图像对应的切线的斜率一定是负的，所以就意味着二阶导也一定是小于零的，我们就可以直接对它进行二阶导， 等于六 x 加 a， 再把零带进来，所以二阶导的这个值就是 a， 它要小于零啊， b 选项直接就搞定了。 这样我们再看 c 选项， c 选项，他说 a 等于三，好，那 a 等于三，就是这个图像了，这里是负一，所以他应该是先增 再减再增好，这里是负一，这里是零。好，利用我们的三段论啊，不叫三的四段论啊，这里对应的就是负的二分之一，好，这里对应的就是 二分之一啊，没问题，那这里 就是负的二分之三。好，由于它题目说了 m 到 m 加二，这个注意是开区间啊，开区间要取得最大值， 那说明我 m 和 m 加二，它应该要使得在负一这里取得最大值，那左边一直递减，所以 m 小 于负一，这是必然的。并且 m 加二呢，我们肯定也要大于负一，但同时要注意， 你 m 加二不能一直 a 到这里，在之上，如果在之上，那这个时候 m 加二在这个位置，那这两头 它都不能取到，所以就没有最大值，所以要求 m 加二还要小于二分之一。连取等，看一下，可以取，等啊，等于没问题，因为取等，这里空心，这里没取到，但这里取到了，所以这里得到呢？ m 应该要 这里是大于负三，这里小于等于负二分之三，这是 c 选项， 所以 c 选项这里就错了。再看 dog 选项，它是不存在实数 a， 当然这里根据排除法也知道 dog 选项是对的了啊。在区间负一到一的，既有最大值，又有最小值，能不能做得到呢？你看，因为我们不管哪一个 图像哈，注意这里，因为零一定是它的一个极致点了。好，那这个时候我们来看一下哈， 零是它的极值点，像我们以第三个为例来判断一下零啊。第三个 a 大 于零的时候，它是先增后减再增， 那么对应的这个零是它的一个极小值点，这里是负三分之 a， 极大值点对称中心，这里是负的六分之 a， 好， 那这里对应的是负的二分之 a， 好，这里对应的是二分之二十六分之 a， 现在他说负一到一开之间要有最大值，有最小值那就负一到一，要把极大值和极小值都要包裹进去，一是正的，应该在这个位置， 那我们负一呢，就应该要在这个之间了，所以要求就是负的二分之 a 要小于可以等于负一，然后负一呢，应该小于负的三分之 a， 这就不能等，同时六分之 a 还要大于等于一。看一下，这里减一下啊，这里减一下，这里减到 a 要小于三，然后这里 a 大 于等于二，并且你看这里 a 要大于等于六，这明显不成立，没有这样的 a， 所以 倒数选项也是对的啊，所以，所以最后是波和的是对的了， 当然 a 小 于零，你也可以按照这个方向一样的检验出 a 是 无解的。那么以上就是我们三次函数这四大方面的问题。第一方面，对胜中心，注意我们对胜中心对应的 结论，二阶导的零点是对称中心的横坐标，切线条数，注意它的图像，这种对应分布的区域的规律，三次方程的伟大定律，以及我们五点四段论。 那么以上就是我们今天要讲的内容，欢迎持续关注，懂懂说数学，让我们一起学好所。

来看大家这道题目，已知函数 f x 等于 a x 三次方加 b x 平方减去三 x， 且 f x 在 x 等于一和 x 等于三处取得极值。第一问求 f x 解析式， 但第一问很简单，对 f x 进行求导呗，阶导等于三 a x 平方加上二 b x 减去三， f x 在 x 等于一和 x 等于三是取得极致。那 f 撇一是不是等于零？ f 撇三也等于零，那把一和三代入一话，就是三 a 加上二 b 减去三等于零， 然后三代入话就是二十七 a 加上六 b 减去三等于零， 这就接着就这个。第二个是紫金化简三，第一不变加上二 b， 三等于零。第二个同时除以三就是九 a 加上二 b 减一等于零。 定这个一二一等于二，他都等于零吗？三 a 加上二 b 减三等于九 a 加上二 b 减一，二 b 划掉 六 a 是 不是等于负二？那 a 就 等于 a 就 等于负三分之一， 负三分之一代入，那就是负一加上二 b 减三等于零， b 等于二， f x 就 求出来了， f x 等于负三分之一 x 的 三次方加上二 x 的 平方减去三 x。 来看第二位， 第二问， g x 等于 f x 加 t， 若 g x 等于 f x 加 t， 又写仅有一个零点，那就直接代入嘛。那 f x 加 t 等于零呗，就是负 三分之 x 三次方加上二 x 平方减去三 x 加上 t 等于零， t 是 不等于个三分之一 x 的 三次方减去二 x 平方加上个三 x。 然后我令 h x 等于一个三分之一 x 三次方减去二 x 平方加上三 x， 它有且只有一个零点。那我们先把 h x 这个图案画出来，那对它求一阶导。 h 一 阶导等于 x 的 平方减去个四， x 加上三， 那化减就等于 x 减一，乘以 x 减三，那这个 h 一 阶导的图像是不是就是这个？ 这是一，这是三。当 x 小 于一或 x 大 于三的时候， h p x 是 大一点的时候， h p x 是 小于零的， 那 h x 同样是什么？小一时候是大一点，大一点那就是单调递增，那这就是一。那一到三十是小一点，那就单调递减，那是大于三十，又大一点，那又单调递增，所以这是一，那这就是三。 h 一 等于的话， h 一 是不等于一个三分之一减去二加上三等于一个三分之四。 h 三是不是等于个三分之一乘以个二。七减去二乘以九，加上个 三乘以三等于个九减十八加上九等于零，这个点等于零。不对， h 一 等于三分之四，这个点是三分之四，这个点是零，那我令 h x 等于 t， 他那只有一个零点，那证明他的相交的话，只有一个零点，对吧？ t 的 话， t 如果在这的话，这三分之四。 t 如果在这的话，会形成两个交点，一个是这个，一个是这个，那往下也是两个交点，对吧？ 往下是三个交点。一、二、三，那到这又是两个交点。一、二，那再往下的话，就是一个交点了。所以说 t t 肯要么就是在比这个三分之四大，要么比这个零小， 所以最终 t 是 小于零或 t 大 于三分之四。

昨天粉丝催更，我们讲了维达定律的变形形式，想看他在几集合题里怎么杀风。今天我们来讲一下安徽中考风格的二次函数几何综合题， 怎么让伟大定律变成你破题的金钥匙？首先我们看一下题目，说这个是二次函数，交于 ab 两点，这时候你会发现是不是关于 y 轴对称，那么的话， x a 与 x b 是 不是互为相反数的？所以 x a 加上 x b 是 不是等于零的？ 继续读题，他说 p 在 抛物线上，在 x 轴下方 pa 与 pb， 然后交于 e f 两点， p 移动时，让你求证 o e 与 o f 是 否为定值。 前面我们已经说过，怎么去求定值呢？是不是把 o e 和 o f 转化成相同的量，然后 o c， 我 们知道它是不是字母 c， 我 们只需要把 o e 和 o f 给表示出来就行了吧？ o e 和 o f， 你 会发现是不是 pa 和 pb 这两条直线分别与 y 轴的交点？好，这时候我们就可以设 直线 ap 是 不是就等于 y 等于 k x 加上 b？ 这时候你会发现，我如果连立于 y 等于 ax 平方加上 c， 是 不是得到了一个新的一个等量关系式，就是 ax 平方减 k， x 加上的 c 减 b 是 等于零的？ 好，这时候我们知道 x a 乘以 x p 是 等于多少呀？等于 a 分 之 c 减 b。 对， 那我们是不是还可以把 b p 设出来？我们的直线 b p 是 不是就等于 y 等于 mx 加上 n， 是 不是同样的道理？我们连利用二次函数 x 平方加上 c， 这样是不是同样又得到了一个新的一个式子，是 ax 平方减 mx 加上 c 减去 n 等于零的， 所以是 x b 乘以 c 减 n 等于零的，所以等于 a 分 之 c 减 n。 我们求求出来， x a 乘 x p， x b 乘 x b， 有 什么误导呢？这时候你会发现，我们知道 x a 跟 x b 干嘛？是不是互为相反？说的 x b 是 不是等于负的 x a， 所以 我们把它转化一下， 它转化成负的 x， a 乘以 x p 是 不是就等于一个 n 减 c 比成 a 了？你发现它俩相加是不是就相等了？所以它是不是等于一个 a 分 之 c 减 b 是 不是得到一个新的等量关系？ n 减 c 就 等于个 c 减去 b， 所以 n 加 b 就 等于二 c 的。 这时候的 n 和 b 是 不是 e 点和 f 点的坐标？所以是不是 o e 就 加上 o f 等于一个 o， c 比上 o c 是 不是等于一个二， c 比上个 c 等于二？好，这题我们讲完了，我们看一下转化为定值的问题，我们本来是不是要求 e b 点坐标跟 f 点坐标，我们通是不是通过伟大定律的 g 以和的形式，然后把 e 点坐标和 f 点坐标给绕开了呀？好，我们继续来看下一题。他说直线 y 等于 b， x 加上 t 与这个直线交于 m 跟 n 两点，是不是让你去求求什么？又是求定值？ 我们不妨前面已经说过了，我们不妨用前面的思路来看一下。我们看先连立这个方程， y 等于 b， x 加上 t 与 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加上 c， 又发现它通过相等的话，是不是变成了 a x 平方加上 c 减 t 等于零了？ 你看一下，所以 x m 加 x n 是 不是又等于零了？这是凑巧吗？你以为是，为什么？因为我们知道和的一个等量关系，让我们去找谁去找 g， 对， 非常好。 所以我们看一下，我们设 a， n 等于 y 等于个 k， x 加上 n， a m 就是 y 等于 k 一 x 加上一个 m， 所以 我们通过去连立于二次函数解析式， y 等于 k， x 加上 n， 然后 y 等于 a， x 平方加上 b， x 加上 c， 是 不是就等于化简一下 a x 平方加上个 b 减 k 倍的 x， 然后加上 c 减 n 是 等于零的？这个我们是不是也同样的道理， y 等于 a， x 平方加上 b， x 加上 c， 通过化简就得到了 a， x 平方加上个 b 减 k 一 倍的 x 加上个 c 减 m 等于零。所以 x a 乘以 x， n 不 就等于 a 分 之 c 减 n， 这个 x a 乘以 x m 是 不是等于 a 分 之 c 减去 m 的？ 前面告诉你 x m 加上 x n 是 不是互为相反射的？所以是不是得到了 a 分 之 a 减 n 加上 a 分 之 c 减 m 是 等于零的？ 是不是得到 m 加上 n 等于二 c， 所以 就是 d e 比上 cd 是 等于二的， 就证明出来。好来，我们去总结一下，求第一步是干嘛去连利对不对？连利二次函数与一次函数构造 x a 乘以 x b 的 形式。第二步是不是还有一个 x， a 乘以 x c 的 形式？找二者之间的一个关系，去求什么定值对不对？ 那是不是还有个前提？这个前提是什么？前提是 x， a 加上 x， b 是 不是一个等于零 之类的一个等式这样的代入，然后代入替法，绕过坐标就能求出定值。好，同学们，今天这两道题听明白没有？我们来看一下，给大家留了一题作业，后面我会把答案放在评论区里面，不懂的可以私信我。

同学你好，这个视频我们一起来看一下二次函数和伟大定律之间的关系的问题。我们知道二函数呢，是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 标准形式，而伟大定律的使用环境呢，是一元二次方程， 那他们之间是怎么建立起联系的呢？你要知道，当题目中考察到直线和抛物线的焦点坐标关系的问题时候呢，我们就可以考虑用北大定律了。首先要想了解直线和抛物线焦点坐标，我们得连力抛物线和直线的方程 连累了以后，就会得到一个一元二次方程。而这个时候，如果考察到的刚好是两个根之间的联系，我们可以设置两个焦点坐标，分别为 x， c 的 y 一， x 二的 y 二。然后令伟大定律建立它们的联系，去把这种联系表征出来，求解出来就可以了。当然，我们来回顾一下伟大定律啊， x 加 x 二等于负的 a 分 之 b， x 乘以 x 等于 a 分 之 c。 那 我们假设 这个二函数的解析式呢，是 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 假设这个直线形式是 y 等于 k， x 加 m。 那么好，现在呢，我们首先连立这两个方程，得到 a， x 方加 b， x 加 c 等于 k， x 加 m， 写成一般形式是 a， x 方加 b 减 k， 倍的 x 加 c 减 m 等于零。这是一个标准的一元二次方程，我们设一点坐标为 x 一 的外一， f 点坐标是 x 二都 y 二。好，现在的问题来了，我们有以下这么几个问题，大家做一个思考。第一个问题，请问 x 一 加 x 二等于多少？根据伟大定律，我们知道等于负的 a 分 之 b 减 k， 第二个 x 乘以 x 二，等于 a 分 之 c 减 m， 这很简单，那我们添加一个问题啊，假设 d 点的横坐标是二都零 啊，请问过 e 点做垂线交于点 m， 过 f 点做垂线交于点 n， dm 乘以 d n 的 值怎么表达？嗯，那么继续来思考啊。 m 点的横坐标是 x 一， n 点的横坐标是 x 二，所以 dm 可以 表达为 x 一 减二， d n 可以 表达为二减 x 二。 哎，这样我们就可以把 dm 乘以 d n 表达出来了。 dm 乘以 d n 等于 x 一 减二，乘以二减 x 一。 二减 x 二，也就等于 二倍的 x 一 减四，减 x 一 乘以 x 二加两倍的 x 二。 好，给它做一下化简，得到二倍的 x 一 加 x 二减 x 一 乘以 x 二减四。我们发现这里面仍然可以用伟大定律进行表达，或者说可以转化为参数之间的关系性的问题， 这样我们就实现了。呃，将一道题目中的线段关系的表达呢？转化为伟大定律，然后再进一步转到转化为参数之间的关系型的问题。 而这个呢，就是二次函数与伟大定律之间的联系啊。当然，他还有更复杂的联系，我放在了另外一个视频，专门去讲两点之间距离的一个表达。好，这个视频聊到这里，再见。

初三的家长们大家好，最近很多家长都在问，网传安徽中考省级调研会的相关消息，那么文件真假呢？咱们先不纠结，但是既然是大范围流传了，里面涉及的数学变化值得每一位家长重视起来。 其中很关键的一个点就是呢，伟大定力正式纳入安徽中考核心考点，二次函数综合依旧是重中之重，同时也会进一步强化代数推理和函数综合的应用。往年安徽中考的话，伟大定力不在考纲范围内， 很多学校不会重点讲，孩子们呢，也基本上不怎么接触，这块应该是在八年级的时候学的，而且很可能出现在压轴题里边。 那今年各地一模、二模已经有明显的体现了，尤其是刚考完的包河区二模，第二十二题就专门考察了韦达定理结合二参数， 那题目本身难度呢？不算高，可是孩子如果不熟悉这个知识点，那分数还是很难拿稳的。不管孩子目前数学稳在一百二十分，还是说 目标冲刺一百三十五分以上，那这一部分内容一定要重视起来。说实话，韦达定理不算难题，但是新增考点带来的知识盲区，不提前准备就是白白丢分。 我正在录制的二次函数压轴专题课包里面第二个重点题型就是伟大定律与函数的焦点的综合应用。我把核心考点解析思路以及对应的例题都整理好了， 专门针对安徽本地专题模考题来设计，帮孩子把这块内容吃透练熟。如果说你家孩子对伟大定律内容掌握不扎实，函数压轴题经常丢分的话，想要针对性巩固提升，也可以在评论区回复 函数压轴题零二也可以直接私信我，咱们一起来聊一下孩子的学习情况。课程都是主体打磨，用心录制，制作不易。小长分享，感谢理解！

挑战，一口气复习一遍高中数学必修一所有公式！为什么学霸解析题速度这么快？根源就在于他对公式掌握的非常扎实。看完本条视频，不仅能让你读完题立马就想到解析的思路，还能让你在期末考试狂题二三十分，在学考里保 b 冲 a， 在 高考中思路更加清晰。 如果你也想让宋老师帮你快速提分的话，大家可以通过主页群找到宋老师，把你的成绩答题卡发给我，老师来帮你分析问题，并给到你相对顶尖的逆袭方案。话不多说，我们直接开始， 那么必修一啊，只要上过高中的同学都知道，它其实是我们在高中的一种基础中的基础，它有哪些公式呢？其实我认为在上必修一之前，你需要会的应该是一些初升高衔接的一些公式，比如说这里我们的二次方程，因为二次方程的解方程以及我们的不等式其实是非常非常关键的， 它的内容主要就是有求根公式，有根的判别式，还有我们的这判别式与根的个数的关系，以及伟大定律，这个伟大定律真的是非常重要。当然如果想要再推广，其实还有像减法的伟大定律，还有我们的 除法的伟大定律，当然应该还有像我们的一些经典的变式，比如说像 x 一 分之一加上 x 二分之一， 这个东西其实也可以通分，之后就会变成两根之积分之，是不是两根之合完全是可以通过这样的一个方式去用韦达定律去解决的。那么除了这些以外，像 x 一 减 x 二的绝对值，还有 x 一 分之 x 二加 x 二分之 x 一， 是不是也可以通过这样的一些韦达定律的 这样的一个内容去进行一些处理？一元二次的不等式的解法主要就是取两边和取中间，当然它的前提应该是 a， b 需要大于零。 好，那接下来就是我们进入到 b 修一的第一章，叫做集合与常用的均用语。对于集合而言，交集、并集、补集呢，是最基础的，要会算，那么算的过程中， a 交 b， a 交 b 和 b 交 b 是 一样的， a 并 b 和 b 并 b 也是一样，这叫交换率、结合率、分配率也都很简单。德国克定律稍微的复杂一点点叫做 病急的补急就等于补急的焦急，而焦急的补急等于什么？什么补急的病急？那同时还需要去注意我下面红字写的娇小病大的基础规律，谨防世界中出现像什么 car 的 a 这种。在我们的教材上其实出现过一些习题的这样的一些钢边内容，如果不知道这是什么意思，到群里面来 和我进行一定的沟通，要把这些稍微边缘化的东西也要能够给它复习起来，这样我们的掌握才是极其全面的。第二块就是常用逻辑用语，什么叫充分条件，什么叫必要条件，什么叫充分不必要，必要不充分，以及什么叫既不充分也不必要。 其实为什么它会放在集合的最后一块，因为它其实可以用这样的集合来进行一定的表示，如果 p 能推 q， q 推不了屁，其实就是屁，是小范围，而它 q 就是 大范围。 于是我们用维恩图这种集合的经典表示方式即可理解什么叫做充分不必要条件，必要不充分的条件，还有充要条件，以及所谓的既不充分也不必要。那么对于 所谓的全称量词和存在量词而言，我们现在应该要学会的就是这个命题的否定一定是改量词，再否结论，从任意改成存在，然后本来是 p x 应改成任意，那么这里就会变成一个什么，就是非 p x。 所以只需要这两步操作即可以把命题否定。而命题如果本来是假命题，否定完一定是真命题，如果本来真命题，否定完就变成假命题。这也是一个判断命题是否 正确，是否错误的这样的一种方式，或者也是翻译题目条件的一种经典案例。那继续不等式的基本性质，在不等关系中，我们要知道 a 大 于 b， 就是 b 小 于 a 等等基础的这样的一些传递性还有可加性。那么乘法法在这里我想提醒各位，你不用管它是不等式还是等式，当你写出来这个式子的时候，你想左右两边同时以乘法或者除法 去消掉或者增加一个东西的时候，一定要在心里面说，默默去讨论它与零的关系，不要在这种阴沟里面去翻船。糖水部分是也需要稍微去了解一下，其实它的意义在这里。核心公式就是，如果 a 大 于 b 大 c， 一定要注意下面是糖水，上面是糖的质量， 同时加了 c 克的糖，所以一定是 a 大 于 b。 a 在 分母，如果题目里面调换了分子，分母的大小关系颠倒过来的，要踩到坑里去，那么继续 基本不等式，这个如果各位对于这块内容需要更多的拓展，可以点开我的上一条视频，叫不等式的合集，那么基本不等式我们其实需要掌握的应该是整个这一条链条， 这个就是我讲的条和平均值对不对？ a 分 之一加 b 分 之一分之二，这所有的公式均遵循一正二定三相等，必须得在 a 等于 b 的 时候才能取到这个等号。如果说我们判断完发现取不到等号的话，那一定要结合函数的思想去求值域。 那分数指数密，这是我们在学习所谓的基本初的函数之前，所需要掌握的一个初级的这样的一个知识。 分数指数密其实就是把我们所谓的整数级或者说整数级的这样的一个 a 的 n 次方推广到了有理数级，这样的一个 a 的 n 次方就是 a 的 n 次方。这个所谓的 n 我 们不仅仅只能放 a 的 三次方、四次方、五次方，还能放 a 的 三点三次方、四点六次方，是不是都可以？ 所以什么叫正分数指数密？负分数指数密分别意味着什么？负意味着取倒数，正分数指数密意味着 n 分 之 m 就 意味着 m 次方，而 n 分 之一相当于给他开一个 n 分 n 次方根，开一个 n 次方根。 而特殊情形，如果是 a 开一个 n 次方根，就应该是 a 的 n 分 之一次方，这些都需要完全的去熟悉它。那么接下来指数密的计算法则就是同底 数密如果相乘的话，就是 a 的 m 四方，乘以 a 的 n 四方，就是 a 的 m 加 n 四方，以此类推。还有诸如此类的一整个这些其实在所谓的初中的时候就应该已经学过了，但是到了高中还是有同学会比较容易遗忘，可以看着这个视频再去强化一下对于指数运算的这样的一系列的认知。那么 在高中真正新学的其实是对数运算这玩意儿，到了高二的时候我们会去学习，像比如说解析几何，或者是我们所谓的数列中这个 log 我 觉得是经常出现的， 因为我们的同底对数相乘，就会变成同底对数相加，同底对数相加，就把真数相乘就行，所以说经常会有这种乘法与加法之间的转换，可以用对数来实现。 那么如果同底对数相减，就把我们的真数是不是消除就可以了。过肩摔功时， n 可以 摔到前面来作为我们的系数，所以此时我们的恒等式，我们的只对互花，这些都是我们高一上可能觉得稍微有点痛苦，但是现在 各位如果是已经高一下或者高二或者高三的同学，也一定是可以理解这个的用意了。那么换底公式是对数里面非常重要的公式。 log a b， 如果你不满意这个底数 a， 或者说题目里面给的所有的信息都是，比如说 都是我们的 l g 以十为底的对数，那你一定要换底，全部都换成以十为底，或者以我们的目标底数为底的这样的对数推论，就是如果我把这里的真底就真数底数为底的这样的对数推论，就是如果我把这里的真数底数换一下，就会回到数。过肩摔公式的最终形态就是 n， 如果底数肩膀上的 n 可以 摔到前面来做分母，真数肩膀上面的 m 可以 摔到前面来做分子。接下来学完了所谓的指数运算，还有对数运算过以后，我们就开始学习了基本初等函数里面的幂函数，还有对数函数以及指数函数 幂函数。各位在教材上不管什么时候学习的都是这样的五根函数，这里的 x 的 r 法次方就是 r 法的取值，取一二三二分之一，还有负一。此时如果说我们现在过一一的话， 其实它的共性，所有的密函数都会经过一套一对不对。而关于单调性的话，其实不太好去一概而论，因为像比如说 x 的 平方，就告诉我们它可以怎么样， 它是不是完全可以是先减再增，对不对？是先减再增。但是如果我们把目光锁定在我们的 x 大 于零的时候，其实这个单调性完全由而法的正负来决定，只要而法是正的，哪怕是二分之一这种小小的正数，它也是一直在增的 好吧，缓慢但是笃定。但只要 r 法小于零，比如这里的 x 的 负一次方，它的第一项就一定是单调递减。那么左边我们再看奇偶性就好了，因为只要我们的定义域是对称的时候， r 法的基数 f x 就是 奇函数， r 为偶数， f x 就 偶函数，当然前提是定义域必须要对称， 定义域如果不对称是不存在什么奇偶性的，这些细节都需要缓缓的去注意到。那么指数函数就是形容左边这样的，画了很多条，什么二的 x 方，三的 x 方，四的 x 方，二分之一的 x 方， 所以它的前提条件就是 a 要大于零，并且 a 不 等于一。那么所有的指数函数的定义域是可以统一来讲的，就是 r， 而指数均为零到正无穷，全飘在零到正无穷或平到飘到 x 的 上方，那所有这玩意都会经过零，一定如此。 而关于单调性，其实它会经过什么，经过 a 的 大小来决定，如果 a 大 于一，就底数大于一，那么这个指数函数就应该是单调递减。那么关于基友型的无话可说，因为它没有基友型，非基非有。但是 两个指数函数之间，比如我们的二的 x 次方和我们左边的二分之一的 x 次方，其实会关于我们的 y 轴是不对称，所以如果底数互为倒数， a 的 x 次方和 a 分 之一的 x 次方就会关于 y 轴对称，这也是一个规律。而对于对数函数的话，图也放在这里也画了很多，这个其实就是所谓的 log x， 这个其实就是 log 是 不是十分之一为底的 x 的 对数，也就是负的，是不是 log x。 所以 其实它的所有的规律和刚刚的指数函数很相似，但是全部反过来，它的定域反而应该是 x 必须要大于零，这零到正无穷，而值域却是二，和刚刚的 指数函数刚好反过来的，而它应该是过一逗号零。关于单调性， a 大 于一的时候，我这个对数函数也是单调递增的， a 大 于零小一单调就会递减。而关于我们所谓的对称性，其实也是没有什么基友性可说的，只能说对称性就是我们刚刚讲的，比如说以十为底的 x 的 对数和以十分之一为为底 x 的 对数，它就会关于 x， 轴是对称的，而我们的 y 等于 log a x 和 a 的 x 次方，你要注意一下，这是 log 二 x， 那 么它和二的 x 次方就会关于我们的 y 等于 x 应该是轴对称的， 这是一个反函数的概念，如果说对于这个感兴趣，也可以稍微找我来了解一下关于反函数的内容。除了我们的基本上的函数这些图像以外，我们在高一上学期必修一中 应该还学习了我们函数的单调性，那么函数的基有性还有函数的周期性，而对于函数的单调性而言，它的定义应该如图所示。 还有一个等价定义，就是我们现在做差来做比较函数值做差在除以 x c 减 x 二大于零，其实等价于它在这个定义域上，或者在这个区间内应该是单调递增的。反之，如果小于零的话，单调递减，如果这里不是零，而是一二三四五六七这样的数字啊，那其实我们应该去做的是构造新函数 这类题型，我们也可以有配套的练习给大家稍微去进行一个处理，或者说接下来再出一个视频给大家简单讲解一下。如果需要在评论区留言或者弹幕留言都可以。我们的组合复合函数单调性其实就应该是这样的一些基本的口诀，如果说增加增就是增减加减就是减增减减相当于是增加增， 那么增加减就还是增减减增还是减。如果两个函数都是正，但这个我们可以稍微忽略一下，一般情况下不会有，但如果真的有，那么横正的时候，增乘增就变成增函数，横负就是增乘增为减函数。那么高二高三同学一定要注意，有些时候这玩意会比求导 要快的。所以其实往往我们的大脑思路可以先考虑高一的东西，看看行不行，不行再去考虑高二高三的求导，来探索我们的单调性。而负函数单调性叫同增异减，内外层函数只要相同，同为减，同为增，我们复合之后都为增函数。反之，只要相异就是减函数。 那再来看奇偶性，奇偶性同样也有定义，如果说 f 负 x 等于负的 f x 就 应该是奇函数，奇函数关于原点中心对称， 如果说我们的 f x 等于 f x， 则 f x 为偶函数，偶函数又关于 y 轴对称，那么此时这个定义域 i 一定要关于圆轴对称，才能写下面的什么奇偶性。如果你的定义域是什么？负五到五 左闭右开，那直接完蛋，就没有基，有性谈都不要谈。那接下来这个结论也需要稍微去记一下，在很多时候可以秒杀一些参数的取值，只要 g 函数定义为 r， 或者说它定义里面有零，那么 f 零一定等于零，那组合和复合函数的基有。其实有这样的一些口诀， 就是 g 加减， g 等于 g 加减， g 等于 g 乘积或者除以积，其实也是偶函数， g 乘除偶也是偶函数， g 乘除偶的话，就应该是 函数。而如果说 g 加 c， 其实 g 加 c 应该是个 g 加偶的模型，所以加完过以后应该是个非 g 非偶，但是它依然有对称性，因为 g 加 c 加一个常数，无非就是向上平移了 c 个单位嘛，所以对称中心应该是零逗号 c。 那 么复合函数的奇偶性应该就是 内偶则偶，内奇同外，这些孔诀其实应该都是互通的，那这些都得熟知。很多时候一些题目你找不到切入点，往往就这种比较基础的东西，你忘得比较厉害。 所以说我们非常需要这样的东西，或者非常需要这样的整理，也希望各位可以给老师点点赞，点点收藏。那接下来对称性是我们的基友性的一个推广，也就是我们的若 f a 加 x 等于 f a 减 x， 则 f x 的 图像关于直线 x 等于 a 对 称，这是一个双 f 的 等式括号里面相加为定值， 和 f x 等于 f 负 x 这样的偶函数长得很像，所以其实它推到的也是一个对称性。 刚刚是关于 y 轴对称，这里是关于 x 等于 a 对 称，非常有趣。而中心对称的话，就是两个函数值加起来等于一个定值，那么就会关于 a 的 话， b 两玩意横坐标，也就是 a 加 x 和 a 减 x 加起来是二， a 除以二就是 a， 加起来的函数值等于二， b 除以二就是 b， 所以 是这个样子。 那这玩意的应用是这样的，题目里面如果给我左侧这样的等式，要立马反映出这其实在告诉我们什么，告诉我们函数的对称性，那周期性的定义其实应该是存在一个 t 不 等于零，使得它能够在我们的定义域内都有我们的 f x 加 t 等于 f x， 则 t 为 f x 的 一个周期。那么常用的周期结论，最简单的应该是 f x 等于 f x 加 t， 周期就是 t。 那如果是 f x 加 a 等于 f x 减 a， 双 f 的 等式括号里面相减为定值，这个定值二 a 没毛病。但如果外面有符号或者取了到 e， 或者是这样加 a 又给 f x 取了到，都一样的，就既有符号又取了到，那么此时其实它们的周期都会变成什么， 都会变成二 a。 而下面三个我在旁边写了叫双对称 b 周期，那就是如果它这个函数图像告诉我，既有 一个对称轴，还有另一个对称轴，或者有两个对称中心 e， 或者是一有一个对称轴，二有一个对称中心，这都叫双对称。那么它们的这个函数本身就必然会有周期性，其周期应该分别对标是右侧的二倍的它们之间的跨度，二倍它们之间的跨度，或者四倍 它们之间的跨度，这些也应该熟练地去掌握那任意角与弧度，这就是我们在 b、 c、 u 里面。第五章对于三角函数的学习的过程里面必须要会的内容。 首先我们要了解是任意角这样的一个思维，就是在初中的时候，角是一个静态的图形，而到了高中，角是由矢边旋转到了中边共同组成，是不是这样的一个图形？ 接下来我们还学习了所谓的角度与弧度的互化，总而言之就是一百八十度，应该就是派弧度，而我们的弧长公式就应该是用，而我们的圆 心角就是圆心角去乘上我们的耳，而这个耳法一定是弧度之交的圆心角。这是为什么我们的圆的周长是二派耳，因为圆的圆心角是二派，半径为耳，所以就是二派耳，那半圆就是派耳。 那么任意角的三角函数的定义，其实就是在我们的所谓的坐标系中画了一个单位圆，但现在我把它推到最一般的形式，我画的不是单位圆，而是一个半径为耳的圆。一样的 半径为耳的圆呢，无非就是拿着我们与这个圆的焦点的纵坐标除以半径，那如果单位圆，那不就刚好就是焦点为 y， 半径为一吗？所以焦点的纵坐标即为我们的什么， 就是我们的正弦值，而焦点的横坐标就应该是我们的余弦值。那么横纵坐标中的比值，所谓的 y 比 x， 也就是 sine 法比上 cosine， 而法是不是就应该是我们的正切值？那么什么叫全是天灾？这是用来判断我们的三角函数值的正负的一个小的口诀。在第一项线全 都是正的，所以在第二项线只有 sine 为正，那么在第三项线只有 tangent 是 正的，在第四项线就应该只有 cosine 应该 是正的。那所以说这里的全是天才就可以帮助我们去快速的判断。当我求出来了这个角的位置过以后，那么它应有的正弦值，余弦值到底应该是正的还是负的，对不对？所以这样就可以帮助我们去做一个取舍。那接下来同角三角函数应该是平方关系，还有商数关系，就是平方关系，就是三方交叉，只要是同角， 它所有的角的正弦值和余弦值加起来都会等于一，这是雷打不动的。上述关系就是我们的正切值就会等于 sine alpha， 除以 cosine alpha， 这也是一定的，当然除了我们所谓的 alpha 为二分之派加 k 派，那一定不行，因为此时 cosine alpha 变成零，变 变成零，就不能再去做我们的这个分母了，对不对？那接下来是诱导公式以及我们所有的恒等变化，如果还不回去看我的恒等变化的公式，你再不记，也应该能用我们的和差角公式去给它进行一定的处理， 这个和差角公式一定要非常非常的熟练，这是我们所有公式的一个基础。那么二倍角公式里面，我认为更重要的是这里的升密以及降密， 因为这里的生密降密其实用的会更多一些，像二倍的 call 方减一就等于 cosine 二，而法虽然密降了，但是倍数就是而法，这个角的倍数从一倍的而法变成了二倍的而法， 所以这种生密降密应该是非常非常好用的，所以在这个位置必须要把这种生密降密的作用给它熟练掌握，这也是对于恒等变换体现出一些难度的一些要素之一。那么除此之外就是负角公式提根号下 a 方加 b 方是我们唯一宗旨， 提完之后用和差角去理解就可以知道，所谓的 twenty five 就 应该等于 a 分 之 b。 那 么除此之外，在我的主页中的恒等变换的这样的视频中，我们的和差化机计划和差，还有正弦平方差公式应该都有给大家进行了一个比较详细的讲解，也可以点开去看一看。那么除此之外，就是我们经过这么多的 所谓的恒等变换之后得到的三角函数，所有的三角函数的题目，图像的题目，各位需要去在脑海里面记忆的一定是我们的 sine x 和 cosine x， 那 么 cosine x 和 sine x 画在一块，就如第三幅图这样所示，再去记录一下我们这里的 tangent x 这个妖娆的曲线，它的定义有什么不一样，它的周期有什么不一样，一定要注意。而关于三角函数 a sine， omega x 加 five 的 这样的一类题目的 最最重要的方法，这个整体法各位一定要会好吗？如果不会的同学进群去沟通，以及我之前在恒等变换前的一个公式， 就聊过整体法的问题，大家一定要把它给熟练掌握，那么到此为止，我认为我们对于高一上学期必修一的学习的这样的一个公式的总结就已经非常全面了，能把这些稍微在脑海里面去 梳理一遍，回忆一下自己高一上的青葱岁月，那么你的遗忘曲线已经开始往下掉，那么每天都想一想，每天都复习复习，你这玩意就不会掉下去，你就会永远记在一个比较高峰的位置，那么你的复习的难度也会变小， 你的遗忘的程度也会变小，那么我这个视频的作用其实就已经非常大，希望大家喜欢宋老师的视频，每条视频告诉大家一些在高中数学你需要去注意的问题，那么今天我就讲到这里，拜拜各位。

二零二六年安徽中考建研会数学方面核心变动分享本次二零二六安徽中考建研会指，在明确今年中考的核心变动与命题方向，会议明确指出，今年中考处于平稳过渡期，整体政策无重大颠覆性调整，家长无需过度恐慌。 那么数学学科重点调整哪些呢？首先，难度变化一、几何证明整体难度下降。 二、代数推理与函数应用分值比重上升，需重点强化。三、新增必考点伟大定律今年明确纳入必考范围，大家可以参考瑶海二模二十三题的考法，出的非常好。 四、新定义，阅读理解题侧重考察现场学习、现场应用的能力，死记硬背无效。全程统一命题，回归课标与教材。命题原则，彻底告别偏题、怪题、抄纲题，所有题目严格对标新课标，考察教材核心内容、进考范围， 校外难题、竞赛题、高中衔接题一律不考。备考建议，最后阶段切勿盲目刷无用难题，回归课本和核心考点才是限阶段上升的关键。背诵规则全面收紧，按得分点给分。最新强调的扣分项、答题不规范、 解析步骤不完整都将是你扣分的原因。三、最后三十天备考战略建议基于上述命题变动，会议为芜湖市所有中考生提供了最后冲刺阶段的行动指南。核心指导思想，今年中考不考难度，而是考以下三点 基础，对教材核心知识的掌握程度。规范答题步骤与格式的标准化。审题对情境化材料的精准解读能力。具体执行策略一、抓课本基础最后二十天应集中精力复习新课标重点与核心知识， 重视合肥地区最新模考卷中的好题目，反复领悟，回顾拆解练，规范答题。针对数学进行规范训练，确保步骤完整、逻辑清晰，避免费知识点十分。最后祝大家二零二六年中考最后二十天备考顺利，中考超常发挥！

昨天九年级的一位同学问我的一道题，我们一起来看看啊，他说，抛一下，这个抛一下与 x 总共有两个焦点，这两个焦点坐标 x 一 x 二啊，又知道了， x 一 减 x 二，绝对值等于三，求 m 的 值啊。很简单，你看 这个焦点，这两个焦点的横坐标就是这个抛物线，它为零的时候方成了两个根。因此呢，我们要用到根与系数关系，也就是微达定律， 可以得到 x 一 加 x 等于什么？负 a 和 b 是 不是 m 减一啊？ 然后呢？ x 乘 x 三，它就等于 a 分 之 c， 也就是负的二 m。 然后我们可以把这个进行平方，两边同时平方，那就是 x 一 减 x 二的平方， 它就等于三个平方啊，等于三个平方。我们知道这个 x 一 减 x 二的平方呢？它比这个 x 一 加 x 的 平方是少四个 x 一 x 二，所以我们可以把它换成什么呀？ x 一 加 x 二的平方 减去四倍的 x 一 x 三就等于九，然后把这两个代入这个方程里面就可以了。那就是 m 减一的平方减去四倍的啊。负二 m 等于九，减这个方程不就行了吗？ m 平方减二， m 加一，再加上八 m 再减去九等于零，所以就得到 m 平方减啊，加六 m 减去八等于零，那这样我们就可以是不是就可以求出 m 了？求根公式二， a 分 之负 b 加减，根号多少？四 ac 四 ac 呃 b 平方三十六，三十六四 a c 四八三十二，是不是六十八呀？六十八就是二倍的根号十七，所以就等于谁 等于负三加减根号十七出来了。那这位同学之所以没有做出来呢，原因就在于一是 这个伟大命题啊，他没有记住啊，因为没有记住。另外一点呢，就是这个，呃，两数和的平方与两数差的平方，他们之间的关系掌握的不太牢固啊，你会了吗？