一次函数的图像与性质湘教版

好，前面我们研究了正比例函数的图像与性质，现在咱们来研究一下依次函数的图像与性质。因为正比例函数是特殊的依次函数，所以我们先研究特殊的，再研究这个一般的， 比如说这个例题二里面，它就给了两个函数，其中一个函数 y 等于负三 x， 它对应的是 y 等于 k x 的， 那么秦如这样的函数，我们把它叫做正比例函数，所以它是正比例函数。而这个呢，它对应的是一般式的依次函数，就是 y 等于 k x 加 b， 看到没有，他们这个加一就对应加 b， 所以呢，它是一个依次函数， 并且你会发现它们的 k 值都等于负三。好了，我们现在就是要比较这个正比例函数和依次函数的图像有什么区别。 那么既然要画图像，那你就描点吧，描点你就要画表格。哎，这里给我们画好了，它这里 x 取了五个值，我们分别带入这两个函数里面，把它给算出来就可以了。好，先算第一个， 把负一带到负三 x 里面，变成负三乘负一，负三乘负一等于三，所以这里写三。第二个是负三乘负零点五乘负零点五的话呢，它就会等于一点五， 零乘负三等于零，零点五乘负三，它就等于负一点五。再看下面这个，下面这个是在这个基础之上加上一个一。好，那么我们刚才已经算了负三 x 了，现在只需要加一就可以了，那你就拿三加一， 它就变成了四一点五，加一等于负零点五， 然后负三加一会等于负二，那么这样的话呢，我们就可以得到 y 等于负三， x 会过五个点，哪五个呢？这五个点，我们把这五个点分别写出来，负一三，负零点五、一点五、 零零零点五、负一点五，以及一负三。 第二个函数会过这五个点会过这五个点，我们也直接把它写出来， y 等于负三， x 加上一，它会过，负一四，负零点五，二点五， 零一零负零点五，一负二，他会这过这五个点。呐，这五个点呢，其实你把它全部画全，全部写在这里，你就可以标上去了，我得复制一下， 这个负一点四 在上面，负一四在上面，然后负零点五，二点五在这里，零一在这 零点五，负零点五在这个位置，然后一负二在这个位置。呐，把这五个点都描上去，连起来就是它的函数图像。 再看这个， 负一三在这个位置，负零点五，一点五在这个位置，零零就是圆点在这个位置，零点五，负零，负一点五在这里， 然后一负三在这里。啊，稍微有点啰嗦啊，但是呢，秒点就是这个，就是这样的， 一定要细心。描完之后，那我们就要观察他的图像特征了，对不对？好，他这里探究呢，也帮我们引导了，他说比较上面两个函数图像的相同点和不同点，填写你观察的结果。 那么这两个函数的图像形，图像的形状都是什么？哎，连起来是不是都是一条直线呢？对不对？所以形状都是直线， 并且倾斜程度。什么叫倾斜程度？比如说我们的一个坡度，对吧？你看这个坡陡不陡？那你就看它的夹角，它和水平，地面的夹角越小，它这个坡是不是就越缓啊？ 越缓，那如果这个坡度和地面的夹角越大啊，这个角越大，那么说明这个坡是不是越陡啊，对不对？好，所以它的倾斜程度你可以比较什么呢？你就可以把它当做是这条直线 与 x 轴 x 正半轴的夹角。那你看这条直线和 x 轴正半轴的夹角，一个在这里，另外一条 它的夹角在这里，你会发现这两个夹角是不是一模一样大，所以它的倾斜程度就是一样的。所以我们这里写它这个倾斜程度，你可以看什么作为参考呢？可以看这个直线 与 x 轴正半轴的夹角， x 轴正半轴的夹角， 并准确地说应该是 x 轴上方的直线， x 轴上方的直线 与 x 轴正半轴的夹角，那 x 轴上方的这条直线和 x 轴的夹角看到了吗？那就这个意思，那么这个夹角相等，那我们就说它的倾斜程度是相同的。 这个呢，到了高中啊，咱们会进一步学习。函数 y 等于负三 x， 它这个图像会经过原点，函数 y 等于负三 x 加一，它的图像与 y 轴交于哪个点？你看一下， 与 y 轴的交点是这个是零一，对不对？好，所以它的交点就是零一， 那你发现没有，它这里是不是加了一，那就是零一啊？所以呢，它这个焦点对应的 y 等于 k， x 加 b 啊，当 x 等于零的时候， y 一定会等于 b， 所以 它会横过零 b 这个点啊，过零 b 这个点，也就是说与 y 轴的焦点就是零 b， 知道吧？啊？这是一般式里面的， 即它可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移了一个单位而得到的。你看这条线 整体是不是相当于把这条线向上平移了一个单位，你看它每个地方是不是都是向上平移一个单位？看到没有，它的纵坐标三变成四，一点五变成二点五，零变成一，负一点五变成负零点五， 负三变成负二，所有的重坐标全部加了一，那么这个点所有点是不是就向上平移一个单位？而直线是由无数个点组成的，所以它整体就相当于是向上平移了一个单位，一个单位长度得到的。 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？哎，这个就是比较了，那怎么比较呢？你会发现， 当这个横坐标相同的时候，他的重坐标是不是始终比他大一啊？对不对？我们就可以通过这个看出这条直线就是由这条蓝色的线整体向上平移一个单位得到的啊。 我在这里也写了一下，自变量取值相同的时候，那就这个 x 的 取值相同，也就是横坐标相同的点，这个 y 等于负三， x 加一的函数值总比 y 等于负三 x 的 大一，也就是它的重坐标始终比它大一啊。这里多写了一个总字，把它擦掉， 差一，所以我们就可以把它理解为 y 等于 x 的 图像， y 等于负三， x 的 图像。向上拼一个单位长度就可以得到 y 等于负三， x 加一的图像就可以了。咱们把这段话 写在刚才的那个地方就可以了，我这里剪切过去就放在这个位置， 就在这个位置就可以了。好，最后他说联系上面的结果，考虑依次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像是一个什么样的形状？什么形状？哎，一条直线对不对？什么形状呢？咱们就说一条直线， 它与直线 y 等于 k x 有 什么样的关系啊？上下平移嘛，对不对？好，这里下面就有总结，它是比较一次函数 y 等于 k， x 加 b 与正比例函数 y 等于 k x 的 解析式。我们可以得出 一次函数 y 等于 k x 加 b 的 图像是由直线 y 等于 k x 平移 b 个绝对值的单位长度可以得到的。如果 b 是 大于零的，那么就向上平移， 那就加嘛，对不对？如果 b 小 于零就向下平移，那就在 k x 后面呢，去减嘛，对不对？好，所以依次函数 y 等于 k x 加 b， k 不 等于零的图像也是一条直线，我们称它为直线 y 等于 k x 加 b。 这里同时你也要 补充一点，那你看我们前面画的图像，这个 k 值是不是都等于负？三 k 值相等的时候，也就意味着这两条直线怎么样是可以通过平移得到的。那么既然是可以通过平移得到的，那么这两条直线就平行，这个是一个隐藏的 条件，知道吧？所以以后题目里面出现了谁谁谁哪两个一次函数，它是平行的，你就可以直接说它们的 k 值是相等的，明白吗？好，我在这里写一下依次函数中 非相等的情况下 图像，也就是直线可以通过平移得到，直线可以相互平移，可以平移得到， 那么因为是平移得到的，所以这些线是平行的啊，因为平移，所以呢，可以得到 线与线，直线与直线之间 是平行的， 所以我们可以得到，比如说，例如 y 一 等于 k 一， y 一 等于 k 一， x 加 b， 然后 y 二等于，这个是 b 一 啊， y 二等于 k 二， x 加 b 二，当 k 一 等于 k 二时，那么直线 y 一 就会平行，直线 y 二，当然你也可以反过来当，这里接着后面写， 当 y 一 平行 y 二的时候，我们也可以得到 k 一 等于 k 二啊，这个是可以相互转换利用的好吧？ 好， b t 三。这里叫我们画出这两个函数的图像，这两个函数都是依次函数，对吧？第一个是 y 等于二， x 减一，第二个是 y 等于负零点五， x 加一。 好，那么由于一次函数的图像都是直线，而两点就可以确定一条直线，所以我们只需要描两个点就可以了。 这个例题里面给出来的 x 取值，一个是零，一个是一，我们分别把零和一带入到第一个函数和第二个函数里面去算就可以了啊，你把零带进去，二乘零减一， 对吧？就等于零减一，等于负一，第二个把一带进去，那么就是二乘一减一，二乘一减一，就是二减一，它会等于一啊，所以 y 等于二， x 减一， 就会经过这两个点，第一个点是零负一，第二个点就是一一啊，那么这个例题里面已经把这两个点描进去了啊，一个零负一在这里，一个一一在这里，把这两个点连起来， 就是 y 等于二， x 减一。再看第二个函数，把零带进去，负零点五， x 来加上一，那么它就会等于什么？它就会等于零加一，对吧？等于一，所以它就会过零一这个点， 然后呢，把一带到里面去，那就是负零点五，乘上一，再加一，那就负零点五，加一就会等于零点五，所以这个点它就是一零点五。好了， 我们就把这两个点挂在直角坐标系里面，零一在这一零点五，在这连起来，这条直线就是 y 等于负零点五 x 加一，对吧？当然它也有其他画法，我们可以通过正比例的平移去画 它，这里就是这样说的，它说先画直线， y 等于二 x， 好， 我们现在按照它的思路，我们再画一次， y 等于二 x， 那么同样呢，让它的横坐标分别等于零和一啊。 x 等于零的时候，那么 y 就 等于二乘零等于零，所以它会过的点就是零零，然后等于一的时候， x 等于一的时候， 那么 y 就 等于二乘一等于二，所以它就会过一二这个点。好了，那么现在呢，我们把零零标出来，零零在这里，对吧？然后一二一二，假如说这个是二 一二在这里我们连起来， 好，那么这条直线呢？就是 y 等于二 x， 那 然后呢，它在平移，怎么平移呢？向下平移一个单位，是不是就和这条直线重合了，对不对？好，所以它就这么来的。那么我们画这条直线的话，就先画 y 等于负零点五 x， y 等于负零点五 x， 我 们这里 x 等于零的时候， y 就 等于负零点五，乘上零等于零，所以也会过零零。然后第二个点就是 x 等于一的时候， y 就 等于负零点五，乘上一等于负零点五， 所以它会过一负零点五一负零点五在这里。 然后还有一个是零零在这里，我们把这两条直线连一下，把这两个点连一下，那么这条直线就是 y 等于 负零点五 x， 那 你看，把这条直线向上，整体向上平移一个单位，就会得到 y 等于负零点五， x 加上一，这条直线看到了吗？好，所以它也可以这么去画。好吧，好，这个是例题三， 再看探求，这里叫我们画出函数。 y 等于 x 加一， y 等于负， x 加一， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一的图像，观察这些直线， 总结他们从左向右上升或者是下降的规律，我们先把图像画出来吧。好吧，好，先画 y 等于 x 加一，那么我们画的话，首先要瞄点，那么先求出 x 等于零的时候，这个 y 会等于几？ y 就 等于零加一等于一，所以会过零一，这个点，对吧？好， x 等于一的时候呢， 那么 y 就 会等于一加一等于二，所以会过一二这个点。好，这是这两个点，然后再画这个 y 等于负， x 加一，那这个时候 x 等于零的时候， y 就 等于负零加一，所以也会过等于一， 也会过零一，那 x 等于一的时候，这个 y 就 会等于什么？ y 就 会等于负一加一等于零，所以它会过一零这个点。好， 我们再把它们两条直线画在直角坐标系当中， x y 一 二 负一负二，这里是零二一负二，负一。好，现在就瞄点了，一个是零一， 一个是一二，在这里能把它连起来，这条直线呢？ 这条直线就是 y 等于 x 加一，好，再来画这个零一和一，零在这里。那我画一下这条直线， 就是 y 等于负 x 加一，好了，画出来了。啊，那你观察一下，你看一个 k 等于一，一个 k 等于负一， 这种情况下 k 是 等于一的，而这种情况下 k 是 等于负一的，知道吧？ k 等于一是一个正数， 它就大于零，所以我们可以得到的是，这个是 k 是 大于零的，而这个呢是负数， k 是 小于零的，哎，你会发现 k 大 于零的时候斜向上，对吧？所以是从左向右，它是上升的， 而如果 k 小 于零的话，它就是下降了，从左到右，它这个直线是下降的方向，知道吧？好，这就是总结这个规律。好，我们再来看这个图像， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一一样的， 咱们先把它算出来， y 等于二， x 加一， x 等于零的时候，这个 y 就 等于二乘零加上一就会等于一， x 等于一的时候， y 就 等于二乘一，再加一，它就等于三啊，所以我们发现这里过零一和一三这个两个点。然后再看 y 等于负二， x 加上一，它，当 x 等于零的时候， y 就 等于负二乘零加上一，它就等于一，所以过的也是零一， x 等于一的时候呢， y 就 等于负二乘上一再加一，负二加一等于负一，所以它会过一负一这两个点，那一负一这个点和这个点，再把它画在直角坐标系当中。 x y 这里是零啊， 一二三一二三三二一 负三，负二，负一，负三，负二，负一。好了，那么现在呢，我们来瞄点，这个是零一零一在这里，然后一三一三在这里 连接一下这条直线，就是 y 等于二， x 加一，再看另外一个是，也是零一 x 一 负一，在这个位置，再连接 这条直线是 y 等于负二， x 加上一，发现没有， 上面这个 k 是 等于负二的，这 k 是 小于零的， 所以 k 大 于零，它是从左到右斜向上上升去画的，然后从然后 k 小 于零的话，从左到右，它是不是下降的方向去画的，对不对？好，所以呢，它们的规律我们就找到了， 书上下面就有总结啊，咱们就不直接总结了，直接看就可以了。他说观察前面的一次函数图像，可以发现这个规律，当 k 大 于零的时候，对吧？直线 y 等于 k， x 加 b， 它从左向右是上升的，所以我们画的时候呢， 就这个画法就得斜向上画 好。然后呢，当这个 k 小 于零的时候，这个直线 y 等于 k， x 就 从左向右下降，那么我们画的时候呢，就斜 向下画。 所以一般的一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 都是常数， k 不 等于零，就具有下的下面的这个性质。当 k 大 于零的时候， y 随 x 增大而增大，对应的是斜向上滑。到了高中呢，这个叫什么呢？这个叫单调递增 啊，然后 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小。到了高中，我们会说单调递减， 大家提前知道一下就可以了。好吧，啊，初中我们不会用这两句的，只不过如果你的老师是以前教过高中的，他可能会习惯性的去说单调递增或单调递减，你要知道什么意思？ 大家看练习第一个，直线 y 等于二， x 减三，与 x 轴的交点坐标是多少？首先你要知道在 x 轴上对不对， x 轴上的点，它们的重坐标是不是都等于零呢？对不对？好，重坐标 为零，也就是什么？即 y 等于零，所以我们要算它与 x 轴的交点坐标，我们就写，当 y 等于零的时候， 这个 y 等于二， x 减三，就会变成零等于二， x 减三，所以啊，就变成三等于二 x， 那 么二 x 就 等于三，除以二， x 就 等于二分之三，所以它会过二分之三零这个点， 这个点的坐标就是二分之三零，就是这么了。然后与 y 轴的交点，坐标呢？与 y 轴的交点，它的横坐标为零， 也就是什么呢？也就是 x 等于零，那我们就写，当 x 等于零的时候，这个 y 等于二， x 减三，就会变成 y 等于二乘零减三，就是 y 等于零减三， y 就 等于负三。所以我们可以得到的是什么呢？ 它这个点就是零负三，所以它在与它在 y 轴上的点就是零负三，也就是与 y 轴的交点就 ok 了啊。然后经过哪几个象限呢？那你看一下，你都已经求出来了。 与 x 轴的交点以及与 y 轴的交点，与 x 轴的交点，假如说这个是二，这个是一，那中间这个点就是二分之三零，对吧？然后与 y 轴的交点是零负三， 交换一下位置啊，不然不好画。这个点的坐标是二分之三零，然后你找到零负三，那么这里假如说这个就是负三，这个是负二，这个是负一，那这个点在这里就是零负三， 你把这两个点一连，对吧？好了，那么你就可以通过图像直接看出，怎么啊？他过哪几个象限？第一象限、第二象限，第三象限和第四象限，他是过一三四象限的，对不对？所以他会过第一、 第三以及第四象限。 然后从图像上咱们可以看得出来，它是从左到右斜向上画的，对不对？那这个叫什么法？这个叫什么？这个叫 y 随 x 增大而增大，你也可以直接判断它的 k 是 等于二的， k 大 于零，所以我们可以得到 y 随 x 增大而增大。 再看第二题，分别在同一个平面直角坐标系当中画出一和二当中各函数的图像，就是这个， 这里有三个，这里也有三个。把这三个函数图像挂在同一个直角坐标系当中，并且指出每个小题当中三个函数的图像有什么关系。好，那么由于这个比较多，我就直接去写点了。好吧，好，先看第一个， 第一个是 y 等于 x 减一，那么你让 x 等于零的时候，那么 y 就 等于负一，所以第一个是零负一，如果是等于一的话呢，那么他这个 y 就 会等于一减一等于零，所以是一零。 好，第二个是 y 等于 x， 那 这个比较简单，第一个是零零，对吧？第二个呢，就是一一 好，然后 y 等于 x 加一的话，那么等于零的时候就等于零一，等于一的时候，那就是一二，那你直接带进去算就可以了。然后我们再把它画在直角坐标系当中，放大来画， 因为这里最多是二啊，所以我的横中坐标就画的不超过二，就写到二这里就行了。这里是一，这里是二，这里是二，这里是一，这里是零，这里是负二，这里是负一， 这里是负二，这里是负一。然后把点描上去，零负一，一零零，负一一零，在这里画一下， 这条直线，就是 y 等于 x 减一。好，再看第二个是零零和一一零零在这里，一一在这里画一下 这条直线，就是 y 等于 x， 还有零一和一二零一在这，一二在这， 这里，应该是画高了一点，大概就长这样啊，这个点要粗一点。好，那么这条直线的话呢， 稍微有一点点倾斜啊，实际上这三条线呢，它都是平行的，这是 y 等于 x 加一。好，这三条直线我们就画好了，对吧？它们的图像有什么关系呢？这三条直线互相平行，对吧？好，所以我们就说它们的图像， 再看第二个，第二个，这里是 y 等于负二分之一， x 减一，我们这里也是把它的点先直接算出来，好吧，好， y 等于负二分之一， x 减一，那你如果让 x 等于零的话， y 就 等于负一， 如果让它等于一的话，那就是负二分之一乘上一再减一，那就等于负二分之三，所以这里是一负二分之三。 好，两个点够了，然后 y 等于负， x 减一，那么这里的话呢，如果等于零，他也是负一，如果等于一的话，如果等于一，那就是负一减一，那就等于 负二，然后 y 等于负二， x 减一等于零，那么是负一等于一的时候，那就是负二乘上一再减一，那就等于负三，所以是一负三。好，我们再把这三个函数也挂在同一个直角坐标系当中。 x， y， 好， 这里是一， 这里是零，然后下面呢，就是最多到负三负三，负二， 负一。好，因为他们都经过什么，都经过零负一这个点，那么就把零负一先标起来，然后一负二分之三，一负二分，这里是一负二分之三，大概在这个位置。 好，在，这里好，画一下 这条直线，就是 y 等于负二分之一， x 减一，然后再画第二个，这里是一负二 这个点连接一下， 这条直线就是 y 等于负， x 减一，然后最后还一个就是一负三，一负三，在这个位置， 这条直线就是 y 等于负二， x 减一。 我们把这个都写在一起吧，都放到这里面。好了，你看这三条直线，他是不是都经过什么？都经过零负一这个点，对不对？好，他们都经过零负一这个点，这第一问，第二问啊，分开打，他们的图像 都经过零负一这个点，并且呢，他们都经过二三四象限，对不对啊？都经过 第二、第三和第四象限， 然后呢，最后一个就是它们都是怎么样从左到右斜向下划的，所以我们都说，并且因为它们的 k 都是负数嘛，对不对？所以我们就说，并且 y 随 x 增大而减小， y 随 x 的 增大 而减小。好，那么这个题目咱们就回答完了， 再看第三题。已知一次函数 y 等于四， x 加七，当 x 大 于二的时候，利用函数的性质，将我们求出函数值 y 的 取值范围， 那么你要知道这个是一次函数，它有两种情况，一次函数里面 k 大 于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，而对应的 y 等于 k， x 加 b 当中这个 k 是 等于四的，所以它的 k 是 大于零的，对不对？ 所以我们就说 y 随 x 的 增大而增大。 好， y 随 x 增大而增大，所以这个 x 大 于二的时候，那么你把这个二带进去， y 就 会大于它，是二的时候，知道吗？好，这个 x 等于二的时候， 这个 y 就 会等于四乘二加七会等于十五啊，所以这个 x 大 于二的时候，这个 y 就 会大于十五。那你利用性质就这么去做的。那如果你做到这里感觉不太理解，那么我可以直接把这个图画给你看， 你通过图形去理解，可能会更好一点。那因为它这个点，那我们这里画两个点出来，第一个是 x 等于零的时候，这里我是另外一种做法了啊， x 等于零的时候，它的 y 是 等于七的，所以它会过零七这个点，然后 x 等于一的时候， 它的 y 会等于四加七等于十一。好，那这里我简单画一下，这里是零，好吧，这里呢是一。好，这里我就画十一吧。好，这里就是七。 ok， 大 概就画成这样，那么它就过这两个点， 过这两个点，那么他说当 x 等于二的时候，你把二带进去算，它确实是会等于十五的，对不对？ x 等于二的时候， 它的 y 就 会等于十五，所以你在画二的时候，它就会等于十五， 这个点就是二十五。你看它的 x 大 于二的时候，是不是向右往右边走，对不对？那这个图像是不是在这个方向，在这个线上的所有的点，它的 y 坐标是不是都比十五大？看到没有啊？那我这里用黑色的笔，那么大于二的时候，就在这个位置，就是这条直线。 好，那么这个 x 呢？要大于二，就在这部分，那么它的 y 呢？对应就在十五的上面，十五的上面，所以从图像上看， x 大 于二的时候， 它的 y 就 会大于十五。那你直接从图像上去看，再来一遍，哎，这是它的图像， x 大 于二的图像对不对？它对应的 x 轴 横坐标都是大于二的，那么再看这上面所有的点，你对应到在 y 轴上去，它所有点的重坐标是不是都比十五大？所以 x 大 于二的时候， y 大 于十五。当然你如果对性质足够了解，那么你这个图是不用画的，知道吧？

函数这个章节太重要了，因为依次函数光图像性质，这里我们就有十大类题型可以变形去考大家，所以要求我们的孩子对函数图像性质这里相当大的熟练度了。 那有关于函数这里面的十大题型，老师也给大家做了一个系统的总结，基础知识不过关的家长们打印出来分类去带孩子进行练习。下面借着这道题呢，我再带着大家复习一下我们函数图像性质这里的一个易错点， 这里说一次函数，它的函数值 y 随 x 的 增大而增大，哎，说明这里面什么？对了， k 值啊，也就是一减二 k， 它是大于零的。这是我们根据题目得到的第一个信息， 第二个信息说他不经过第二象限。好了，能不能告诉我，不经过第二象限的图怎么画呀？哎，他是不是，哎，可以这样去画呀！有同学觉得哦，画出来之后，看他的 b 值 b 是 小于零的，所以在这里 b 的 部分复 k 小 于零，完事了， 结果这道题就选错了。为啥呢？为什么这道题有这么多同学算错呢？因为他们都忽略了一个关键点，他不经过第二项线。还有一种情况，那就是这个函数图像经过原点的情况，这个时候 k 怎么样？ 哎，这个时候 b 怎么样？ b 等于零啊，所以对应这个复 k， 除了小于零，他还可以等于零，漏了情况，这不就选错了吗？ 所以，综上啊，我们在这可以求出第一个 k 是 小于二分之一的。第二个负 k 小 于等于零， k 是 大于等于零的，所以综上，我们的 k 是 大于等于零，小于二分之一的我们正确答案就选出来了。正确答案选择的是 c 选项。

这是一道中考题，在平面直角坐标系当中，依次函数 y 等于二， x 减三的图像是什么样子的？ 依次函数表达式为， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零。这里的 k 等于二大于零，图像一定经过一三象限， b 等于负三小于零，图像与 y 轴交于负半轴，一三象限负半轴的是 d 的。 而且原次的交点就是 y 等于零的时候，这个时候 x 是 等于二分之三，与 x 的 交点是二分之三零这个点。 而与 y 轴的交点，也就是当 x 等于零的时候，这个时候的 y 等于负三，也就是 y 轴的交点是零负三，所以这群选项是 d。

九霄仙界的流光天梯是神仙往返人间的必经通道， 仙界工匠发现天梯的升降高度与运行时间满足标准的一次函数关系。 可近日，仙界系统更新，先测数据丢失，只留下了两组关键的运行数据。正在修炼的哪吒发现天梯测算失灵， 无法精准操控天梯往返人间，立刻拿出鸿蒙先机，拨通了八年级同学的视频连线，想要求助聪慧的同学们破解难题。 哈喽，各位同学大家好，我是哪吒，现在仙界天梯没有了函数公式，没办法精准控制升降轨迹，太不方便了。 我只找到了两组真实的运行数据，目前只知道这个轨迹是一次函数，但是我不知道怎么根据仅有的两组数据算出这个一次函数的完整解析式。听说大家已经学会了一次函数的相关知识，请大家教教我如何算出这个一次函数解析式吧！

一次函数画图老出错，看完这条直接通关。先记定义 y 点 k 加 b， 重点记住 k 不 为零。接着找准 k 和 b， x 前面的系数为 k， 后面常数就是 b， 正负号千万别漏。最后注意，这个也是一次函数，不过它没有 b， 所以 它的 b 是 零。 画图就两步，超简单，第一步看 b， 找到坐标零逗 b。 第二步看 k， k 正往上走， k 负往下走， x 等于零时， y 等于一， p 过零勾一 k 等于二，图像上升，搞定。

好，这里是老左，今天我们一起来学习一下考点二的知识点，依次函数的图像与性质，这个知识点真的是太重要了，来，我们一起来看一下例二，这是二零二一年长沙中考的一道原题， 读题，下列函数图像中表示直线 y 等于二 x 加一的式。 那首先我们来看这个 k 吧啊，也就是 y 等于 k， x 加 b， 这个 k 是 不是对应的就是这个二， 它是不是大于零的呀？大于零，那是不是要单调递增？从左往右是不是单调递增？那我们是不是要排除 a 跟 c 啊？然后呢？啊，这个 b 是 不是也要大于零的？这一块也要大于零， 那说明是不是与 y 的 正反就有交点，而且是交于零豆一吧。所以说这题我们应该选 b 吧。内题训练一直线 l e 啊，是一个这样的一个式子，直线 l 二 是一个这样的式子，在同一平面直角坐标系中的图像，那我们首先一个一个的看这样的题目，我们要一个一个的看选项 l 一 是这条直线吧，首先看 a 选项 l 一 是这条直线。通过这条直线，我知道我的 k 是 要怎么样的，是不要大于零的呀，因为它是单调递增而负 b 啊，也就是这一块 是不是与 y 的 正半轴有交点，所以说负 b 是 不是也要大于零，我们得出来啊， k 是 不要大于零， b 是 不要小于零，那我们反带到这个 l 二里面去看看呢？那此时这个负二 k 是 不是就要小于零？此时的负二 k 要小于零， b 要小于零，所以说这一整块和这一整块都是要小于零的吧。 小于零，那它首先是单调递减，这个没问题。那 b 小 于零呢？那是不是应该是与 y 的 负半轴有交点吧？所以说，哎， l 二是不符合的， 那我们要排除掉吧， a 选项是不行的，那我们同样的方法来看一下 b 选项直接 l 一 啊。那根据图像，我们知道这个 k 是 比较大于零的呀，因为它是单调递增的呢。那 负 b 这一坨啊，是不是应该要大于零？因为我们要把负 b 是 不是看作一个整体啊？负 b 这一块是一个整体，它 与 y 的 负半正半轴是有交点的。所以说，我们总结出来的是，这个 k 要大于零，这个 b 要小于零吧。哎，那我们来把 k 要大于零， b 要小于零，反带到这个 l 二里面去看看。 那这个时候你要把负二 k 是 不是看作是一个整体？那此时的负二 k 是 不是要小于零？ 又因为 b 要小于零吧，所以说最终得到的是什么？首先是啊，这一整块负二 k 是 小于零，那我们要单调地减 b 要小二零，说明这条直线与 y 的 负半轴有交点呢。所以说 l 二是符合条件的呀，这题是不就选 b 就 行了呀？那后面的我的 c 和 d 就 没必要再去看了吧。所以说，做这样的题目，那我们只能一个选项一个选项的去尝试吧。那我们一起来趁热打铁来做下。第二问 一次，函数 y 等于 mx 加上 n 啊， y 等于 mx 加上 n， y 等于 mx。 在 这里吧，在同一平面，这叫坐标系里面，它可能的是，我没有同样的方法啊，我没有同样的方法。而且你注意啊，这一个 是一个什么样的直线？是一个过圆点的直线，因为他是正比例函数啊，对不对？过圆点直线吧，所以说啊，通过看 a 选项，那这个是不是就是啊，这个正比例函数， 那此时它是怎么样的？是啊，一二次相减吧，二次相减说明我们的 m n 也就这个比例系数， k 是 不是要小于零？我们来看看这个图像，这个图像，呃， m 是 不是要大于零？因为它是走上坡路单的递增吧， m 是 要大于零，而 他是不是又和这个 y 轴的正反都有交点，那是不是 n 也同样要大一点？所以说，咱们是不是跟上面这个 m n 小 于零是比较矛盾的呀，所以说，这种情况我们是不是就要排除？对，排除好，那我们同样的方法啊，一起来看一下 b 选项，他这个说对了没有？ 首先呢，我们知道这一课可能就是 y 等于 mx 加 n， 而这一个就是 y 等于 mx 吧。通过啊，我们图像观察，我们的 m n 是 不是一定是要大于零的，因为它是经过一三相线呢？那我们来看看这个， 首先呢啊，它是单调递增吧，那说明这个 m 是 不要大于零，又因为它是不是这条直线与 y 的 负半交点， 那说明是不是与 y 的 负半轴有交点，那说明我们的 n 是 不是要小于零？那也不行啊，也不符合我们题目的要求，我们同样的是不是也要排出？好，那我们同样的方法，我们一起来做一下 d c 选项，看这个是不对的啊，通过观察，这个是我们的正比的函数吧，也就是 y 等于 m n x， 那 我们的 m n 要怎么样？ m n 是 不是小于零？因为它是经过二次象限呢？又因为啊，它是不是 看这个 y 等于 m n？ 呃， sorry， 应该是 y 等于 m x 加上 n， 观察到这个 m 是 不是要大于零，又因为这条直线与 y 的 负半就有交点，所以说 n 是 不是要小于零，所以它是满足 上面的这个 m n 要小于零的情况啊。那这个是可以的吧，符合题，所以说我们这一题应该是选什么？选 c 选项吧。好，我们一起来看一下。第三问，若一次函数 y 等于负三， x 加 m 减二， 它这个图像不经过第一象限，我们要知道，不经过第一象限，我们要画一个大概的草图，不经过第一象限，那首先啊，这样一种情况是可以的吧。哎， 这样一种情况是可以的。同时，哎，我的这条直线是不是还可以经过圆点，但是你在上面就不行了吧。 那说明，首先你的这个 k 不 管怎么样，我是不是一定要小一点的？不管怎么样，他一定是单单的减的吧？哦，他这里已经是单单的减，我们不用担心。现在是不是就考虑到我这个整体的这个 b 啊，整体的这个 b 是 一个什么样的一个数值吧。哎， 好，哎，这样子挪动，那我的这个 m 减二，也就是我的这个 b 是 不是可以等于零，并且是不是小于零就行了呀？哦，所以说，他只要不经过第一项线，我们的这个 m 减二，他需要满足的点是不是就是小于 等于零吧。那这样推出来，我们的这个 m 是 不要小于等于二啊，所以说 m 的 取值范围是小于等于二吧。好，这一题我们就讲解完毕。好，我们一起来看第二个知识点，依次函数的性质。 先看例题三，若正比例函数 y 等于 k， x 的 图像经过点七斗负一十三，那这个时候我是不是可以把正比例函数它的这个解析式给我求出来啊？ 也就是将七斗负一十三带到里面去，那是不是就是负一十三等于 k 乘以七吧，那 k 要等于多少？是不是等于负七分之一十三？所以我的这个解集式是多少？ y 等于负七分之一十三 x 吧， 那说明我的这个 k 是 不是小于零？ k 小 于零，那是不是走单调递减，从左往右外随 x 的 增大而减小吧，所以说这题应该是减小。哎， 好，那我们来看第二个，若一次函数 y 等于负， y 等于二， x 减一。下列结论正确的是，首先 啊，看 a 选项，他说他与图像交于点，零都负一啊，没有问题啊，这个 a 是 对的吧，因为我定 x 等于零的时候，或者这个 y 是 不是等于负一？哎，这个是正确的。那 b 选项呢？ y x 的 增大应该是而增大吧，因为我们的这个 k 是 不是要 大于零，也就是这个二十不要大于零，他说当 x 大 于二分之一的时候，这个 y 是 要小于零，不对， x 大 于二分之一的时候，那是不是这个 y 是 不是也应该是要大于零的吧？他说他的这个图像经过一二三相切，我们做个图就可以知道吧。 首先啊，这个 k 是 不是要等于二？ k 等于二，那是不是单调递增？然后这一块是不是要等于负一？是负一的话，那是不是与 y 的 负半角有交点，所以是不是长这个样子的？那应该是经过哪几个象限？应该是经过一、三、四象限吧。啊，所以说我的这个 b、 c 的 都是错的吧。好，那我们一起来看看类似 y 等于 k， x 加 b 的 图像。如图， 下列结论正确的。是啊， k 大 于零是对的呀，因为它是单调递增的吧，从左往右，它是单调递增的， b 小 于零吧， b 怎么能大于零呢？因为 b 啊，是小于零的，它与 y 轴的负半轴有交点，这条直线与 y 的 负半轴有交点，所以说应该是 b 是 要小于零的。 y、 x 的 增大应该是增大吧，我们看图像就可以看出来，增大图形向上移动，两个单位与坐标轴为成的这个三角形面积减小，那可不一定嘞，那万一我向上平移两个单位之后，我移到了这里来嘞？是不是 啊？这个我们看不出来啊。的选项是因为看不出来，所以要排除吧。这题应该是选 a。 好， 我们来看第二问， 他说下列一字函数当中， y 随 x 的 增大而减小的是，那就选的呀，你看 a、 b、 c 的 选项，它是不是都是啊？ k 大 于零吧，只有的选项 k 是 小于零的吧，所以说 d 是 对的。 一次函数 y 等于 k， x 加 b， 如果 k 小 于零， b 大 于等于零，我要做一个图吧。来三，我做一个图试试看。首先是单调递减，因为 k 小 于零，单调递减。然后呢，这个 b 是 不是大于等于零啊？大于等于零，是不是一个这样的一个走向趋势，对不对 啊？那说明他一定不经过哪个象限，是不不经过这个第四象限，所以我们选得吧。好啊，我们来看第四题，他说已知一次函数 y 等于 k， x 加，呃， y 等于 k 加二， x 减一，当中呢， y 随 x 的 增大而增大，则这个 k 的 取值。 那我是不是要把哪一块看作是一个整体？我是不是要把 k 加二看作是一个整体啊？ k 加二看作是一个整体，并且啊，是不是要大于零？求出来 k 是 不要大于负二吧。所以说这题是不是选 c 啊？选 c 没问题。好，然后又学到了这个考点三，考点三是不是就是一次函数的图像平移？好，我们一起来看看。第四的第一问，还记得这个公式吗？公式是不是上加下减，左加右减？ 那我们一起来看看。将一次函数 y 等于三， x 加五，它的图像先向右平移两个单位，向右平移两个单位，那是不是 y 等于三左加右减，而且弄的是 x 吧，那是不是 x 要减去二 加五吧，然后再向下移动三个单位，上下移动是不动 y， 那 是不是 y 再等于三， x 减二加五，在后面再减去一个三吧，算出来是不是就是三， x 减六，加五，减三 减六，加五减三呢？是不是就是减四吧，所以说是 y 等于三， x 减四。我们来看第二问，直线呢？ l 一 是 y 等于 x 减一，与 x 轴交于 a 点，然后再将直线 l 一 绕着点 a 逆时针旋转十五度，逆时针旋转十五度啊，左老师问你，我们首先是不要把这个 l 一 的大概的图像给画出来，首先啊，应该是这个样子的吧，这个点是哪个点？ 与 x 轴的交点， x 轴交点，那这个是不是应该是一斗零啊？我们这个点 a 应该是一斗零，他说绕着点 a 逆时针旋转十五度，逆时针旋转十五度，那是不是这个样子的呀？此时我的这个角度应该是多少啊？ 本来是四十五度的角度，现在是不是就变成六十度了？六十度，那你记住，记住六十度这个倾斜角，他的这个斜率应该是根号三吧。也就是说啊，这个 倾斜之后得到的一个新的直线，他的这个斜率 k 应该是等于根号三啊，而且他又过了一个点，是不还是过一斗零这个点，那是不是就是 y 等于根号三， x 减一啊？ 后面再加个零吧，那这个时候算出来是不是根号三， x 减根号三。所以说这题应该是 y 等于 根号三， x 减根号三。这题我们就讲解完毕，来看类题训练的。第一问，直线 y 等于负二， x 向右移动两个单位，向右移动两个单位，那是不是就是 y 等于负二，左加右减减二吧， 那是不是就是负二 x 加四吧，那这得选什么？选的第二个，若直线 y 等于二， x 减一，向左平移三个单位，那是不是 y 要等于二 x 左加加三再减一？你可千万不要写成 y 等于二， x 加三减一了啊， 你要在后面加一个括号，这个才是正确的，这个是不行的。记住了啊，画蓝色横线的是不行的，所以说我们化简一下，对这个红色的式子进行化简一下，化简出来应该是多少？ y 等于二 x 加五吧。第三问，将正比的函数 y 等于负 k， x 向左移动 m 的 单位，这个时候是不是应该要这么去做？ y 等于负 k 左加，那 x 加 m 吧，化简一下，是不是应该是负 k x 减 k m 呀？啊，所以说啊，其实就是向下上加下减移动的几个单位，移动的 m x 个单位吧，对不对？它是不是就减去了 k m， 所以 说是向下移动了 k m 个单位？将直线 l 一 y 等于 k x 加三，向下移动两个单位之后，是不是得到了 l 二，那是不是就是啊， y 等于 k x 加三点二就变成了 k x 加一吧，得到了 l 二，然后再将 l 一 向左平移，得到 l 三。啊，向左平移，那是不是就是 y 等于 k 左加 x 加一 加三，那就等于 k x 加 k 啊，加三吧。他说啊，这个 l 二和 l 三是不是重合，而这个就是对应的是 l 二的这个直线解析式，这个对应的是不是 l 三的直线解析式， 他们要一模一样，那说明你的这个一和你的这个 k 加三是不要一样的。 k 加三要等于一，那 k 要等于多少？ k 是 不要等于负二吧？好，考点四，所有的知识点我们就讲解完毕了吧。

一次函数的一个基本的图像，它的性质，今天给大家讲一次函数的图像和性质，那么一次函数它的一般式呢？是 y 等于 k， x 加 b kb 为常数，且 k 不 能等于零。 那么我们一次函数呢？其实是由正比例函数怎么样平移得到的，对吧？我们的正比例函数是 y 等于 k x， 然后呢，我们的一次函数是在这个基础上加 b， 那 b 可能为正，可能为负， 那么就说如果 b 为正数，那就是由正比例数向上平移得到的。如果 b 为负数，那么就是由正比例函数 y 等于 k， x 向下平移得到的。那我们来看一下给大家分的四种情况，我们的大致图像以及它的性质。有些什么性质？我们给大家讲一下 啊。如果第一种情况是 k 大 于零， b 也大于零的情况，它就是这样子的，那就说我们过哪些象限呢？ 来，首先我们来看一下它过哪些象限。首先我们 k x 就是 y 等于 k， x 是 一个正比的函数，它 k 如果大于零，它 b 过一三， 对吧？那就是对于正比的来说，那现在加 b， b 也是大于零的，我们要向上平移，你想一下，就是过了一三，然后我们要向上平移，是不是就会过二，所以它的象限是应该是过一二三象限啊，大致图像是这样，然后呢，我们再去看一下它的增减性， 那增减性呢？我这里教给大家一个方法，就说不管现在学正比量数还是一函数，还是后面会学二函数和反比量数，那我就教给大家一个去通过图像就可以观察出它增减性的一个方法，那就说我们从左往右看， 如果我们的函数的图像再向上走就是上升，那他就是增大而减小就是我们通过图像很直观都能够看得出它的增减性。好吧， 那么我们应该是你看，从左往右看，它在上升，所以是 y、 x 增大，而怎么样增大？如果没有图像，我们是如何去判断增减性呢？ 我们的增减性依次函数中的增减性，它只和哪个值有关？只和我们 k 的 值有关，所以去看 k 的 值，如果 k 大 于零，那它就是增大而增大，如果 k 小 于零，它就是增大而减小。所以这就是我们通过解析式来判断它增减性，以及通过它图像来判断增减性这两种方法。 那么 k 大 零是不是也是增大而增大？刚才给大家讲了，然后观察图像，它也是从左往右看，是在上升，它也是增大而增大啊，所以呢，它是 y 随 x 的 增大而增大，当然它和坐标轴的焦点，这些坐标， x 轴的焦点，那它的纵坐标为零，对吧？带进去就可以把它的这个横坐标求出来， 它和 y 求的焦点是横坐标为零，带进去也可以把它的纵坐标求出来。这是我们在坐标系里面比较一个常规的一个知识点。好，那么接着看第二种情况，它是 k 大 于零， b 小 于零， k 大 于零，我们想象一下， y 等于 k， x 里面 k 大 于零的时候，它是会过一三，然后现在 b 小 于零，我们应该是把 y 等于 k， x 向下平移，向下平移以后，你看先过一三，然后向下平移，它就会过四，所以它过的象限应该是一三四。 它的增减性呢？是不是根据刚才讲的，看图像从左往右再上升，是增大而增大，然后看 k 值，它也是大于零，也是增大而增大啊，这里所以 y 随 x 的 增大而增大，所以呢，我们这里会发现它的增减性只和什么有关？只和 k 值有关啊， k 值有关，也就是我们 x 前面这个系数，它的大小有关。 好，我们来看一下。第三种是 k 小 零， b 大 于零这种情况，那 k 小 零呢？是 y x 在 那儿减小了，或者看图像从左往右看，它在下降，对不对？然后呢， k 小 零的时候，它 b 过二次，然后呢， b 大 于零就要向上平移， 向上平移二四，向上平移的过程中会过第一项线，所以它应该是过一二四项线，那么它的睁眼性，刚才给大家讲了，看 k 可以， 看图像都可以，对吧？那所以都是 y 随 x 的 增大而减小 好。第四种情况呢，是 k 小 于零， b 也小于零， k 小 于零过二四，然后我们 b 小 零是向下平移，那么二四向下平移的过程中就会把三象限过掉，所以他就应该过的是二三四， 那么过二三四象限，然后呢，是 y x 那 增大还是 y x x 增大减小？只看 k， 看图像也可以啊，记住啊，就说大家要在依次函数里面就看 k 的 值的大小， 以及如果解析式里面看不出 k 大 零还是小零，如果有图像，那就看图像是从左往右看，上升就是增大而增大，下降就是增大而减小， 就用这两种方法，那所以看哪个 k 小 零，对吧？或者说图像它是从左往右是在下降，所以 y 随 x 的 增大而减小啊，那这就是我们。

守候的时候。

同学们，今天我们来学习一次函数的图像性质。我们已经知道一次函数的一般形式是 y 等于 k 乘以 x 加 b， 其中 k 不 等于零。 在平面直角坐标系中，它的图像是一条直线。那么这条直线的倾斜方向和具体位置究竟是由参数 k 和 b 怎么决定的呢？接下来我们一步步去探索其中的奥秘。 首先，我们来研究斜率 k 的 作用。 k 的 正负直接决定了直线是上升还是下降。比如，当 k 大 于零时，随着自变量 x 的 增大， 函数之外也随之增大，不向从左下延伸到右上呈现上升趋势。相反，当 k 小 于零时，随着 x 的 增大， y 反而减小，不向从左上到右下呈现下大降趋势。 斜率 k 除了决定方向，它的绝对值还决定了直线的陡峭程度。我们保持截距为零，画出 k 等于零点五和 k 等于三的两条直线。可以看到， k 的 绝对值越大，意味着 x 每增加一个单位， y 的 变化量就越大， 直线自然就越陡峭。反之， k 的 绝对值越小，直线的变化就越平缓。接下来看参数 b 的 作用。 b 在 数学上被称为直线在纵轴上的拮据。为什么呢？因为当我们令自变量 x 等于零时， 无论 k 是 多少，计算得出 y 总是等于 b。 这就意味着一次函数的直线一定会与 y 轴相交于点零逗号 b， 所以 b 的 大小直接决定了直线与纵轴的交点位置。 理解了截距之后，我们固定斜率 k 等于一，看看改变 b 会发生什么。当 b 增加时，直线焦点上移，相当于整条直线沿着 y 轴方向整体向上平移。 同理，当 b 减小时，直线向下平移。可以看出斜率相同，保证了直线彼此平行，而 b 的 变化则控制着直线的上下平移。 刚才我们是固定 k， 改变 b， 那 如果固定截距 b 而改变斜率 k 呢？假设我们固定 b 等于二，也就是所有直线都必须经过 y 轴上的特定点。此时如果我们不断改变 k 的 值，直线就会表现出绕着这个固定的焦点旋转的效果。 这种方法能帮我们深刻理解这两个参数的独立作用。掌握了这些规律，我们就能不用描点快速画出任意一次函数的草图。 比如，函数 y 等于负二， x 加三。首先观察斜率 k 等于负二，小于零，说明直线是下降的。再看截距 b 等于三大于零，说明与 y 轴交于正半轴。综合这两点，我们可以迅速判断这条直线经过 d 一 二四象线。 最后，我们总结一下今天的内容。对于一次函数 y 等于 k， x 加 b， 图像是一条直线，斜率 k 决定了直线的倾斜方向和陡峭程度，截距 b 决定了直线与 y 轴交点的位置。 记住， k 相同， b 平行， b 改变则平移。掌握这些数形结合的规律，以后遇到任何一次函数问题都能轻松应对。

尊敬的各位评委老师，大家下午好，我是面试初中数学的一号考生，今天我试讲的题目是依次函数的图像与性质，接下来开始我的试讲。 上课，同学们好，请坐！同学们，我们之前啊学习了函数，那谁能带领大家回忆一下函数都有哪些表示方法呢？ 哦，来，这位同学，你来说有解析法、列表法和图像法。嗯，记得很不错，请坐。那么我们上节课学习了一个新的函数，叫做一次函数。长什么样的叫一次函数呀？ 哦，来，你来说。形容 y 等于 k， x 加 b 的 形式，其中 kb 为常数，且 k 不 为零。嗯，记得很棒，请坐。那么依次函数的图像该如何画呢？ 看到大家都露出了疑惑的表情，不要着急，相信通过今天的学习，你一定会发现其中的表情。不要着急，相信通过今天的图像与性质。 那说到这个函数的图像啊，我们首先要知道什么是函数的图像，我们一起来看一下大屏幕中给出的定义。 说函数的图像，就是把一个函数的自变量 x 的 值与函数 y 的 对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中表示出来，所有的点连成的线组成的图形，就叫做这个函数的图像。 那我们知道正比例函数是一个特殊，是一种特殊的一次函数，那我们就从这种简单的正比例函数开始。哎，研究一下一次函数的图像与性质。 先画一个 y 等于二 x 图像。哎，那该如何画呢？是不是要，哎，我们要看一下函数图像的定义，找出自变量 x 与函数之 y 的 对应值， 然后作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系中表示出来，所连成的图像就是它的图像了。哎，那我们 x 怎么取值呢？ 哦，来，这位同学，你来说哦，可以取负二负一零一二，有正有负，取的很全面，请坐，我们不妨试一试， x 如果为负二，负一零一二时， 那 y 值分别为负四、负二零二四，哎，以这个表格，我们快速地在你的练习本上画出函数 y 等于二 x 的 图像。 好，老师已经把这个五个点描出来，并把它们连成了线。这个线段是我们要找的 y 等于 x 的 图像吗？ 哦，有同学说，不是，因为如果 x 取三的时候， y 等于六，是在这条线的延长线上， x 等于负三十， y 等于负六，哎，在这下面的这个延长线上，所以 y 等于二 x， 它的图像应该是一条直线， 那也就说明了 y 等于二 x 对 于每一个 x， 哎，每一个 x 对 应的 y 都在这条直线上， 那反过来，这条直线上所有的值， x 和 y， 它们都是满足 y 等于二 x 这一个解析式的，也就是说，它的解析式和它的图像是一一对应的。 嗯，那我们刚才啊，画图是根据列表描点连线的方法画出来了 y 等于二 x 的 图像，那我们再来画一下 y 等于负 x 的 图像， 快速地在你的练习本上独立完成。依旧是列表描点和连线， 然后画完之后，前后四人为一个小组，讨论一下和 y 等于二 s 的 图像相比，你发现它们两个有什么共同点？有什么不同点呢？给大家五分钟时间。 好，看到大家都画的不错，我们找小组代表来回答一下你们小组的讨论结果。嗯，来第七小组代表你来说一下 哦，他发现他们两个两条直线都是过圆点的直线，也就是说正比例函数，它的图像都过圆点。 嗯，还有没有小组有别的发别的想法。嗯，第四组小组代表你来说一下哦，他说呀， k 如果是大于零的，那么 y 随 x 的 增大而增大。如果 k 是 小于零的， y 随 x 的 增大而减小。 嗯，思维很敏捷，那大家再在你的练习本上快速地画一个，画几个一正比例函数的图像看看，印证一下，你们刚才的发现是正确的吗？ 哦，是正确的。那老师在它总结到黑板上，形如 y 等于 k， x 的 正比例函数，其中 k 为常数， 且 k 不 为零。那么它的图像呢？有第一个，性质图像是过圆点。 第二个，当 k 是 大于零的数时， y 随 x 的 增大而增大。 k 小 于零时， y 随 x 的 增大而减小。 这个呀，就是我们发现的一正比例函数的图像与性质。那么趁着答题，我们看一下大屏幕中的小题， y 等于三 x， 它的图像一定经过哪个点？它的 y 随 x 的 变化是怎样的呢？ 来，独立思考一分钟，同桌之间交流一下。嗯，时间到来，这位小组代表你来说 哦，它的图像一定过圆点，零零， y 随 x 的 增大而增大。 嗯，看来同学们掌握的都不错。那么本节课呀，也要接近尾声了。我们本节课主要学习了一次函数中正比例函数的图像与性质。 课后，请同学们完成课后复习，学有余力的同学完成课后的思考探讨题。本节课我们就上到这，同学们下课。

最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？

今天的这一道一次函数的压轴题，堪称是一次函数图像与性质压轴王的压轴题，因为它的得分率不到百分之十。考察到一次函数图像和性质，那我们首先呢，就要解出里面的参数 k 和 m 以及 n 的 值，那只有我们知道 k 和 m， n 的 值呢？根据它的正负，我们能够判断出它过哪些象限。 那这道题呢，难就难在 k 的 值呢，让百分之九十五的同学啊，是解不出来的。其实解 k 的 值呢，它有两种方法，第一种方法呢，我们可以根据等比的性质， a 加 b 加 c 不 等于零时啊，这个是不是等于 k？ 那 我们把分子整理以后呀，就会发现分子和分母相同，我们能够求出 k 呢，是等于一的 好。第二种情况呢，当 a 加 b 加 c 等于零时，我们是不是能够得到 a 加 b 等于负 c 啊？ c 分 之， a 加 b 减 c， 哎，就等于 c 分 之 负 c 减 c， 哎，它等于 k， 那 这样呢， k 是 不是就等于负二呀？这是第一种方法，我们把 k 的 两种情况的两个值呢，分别也减出来了。 接下来呢，我们再来求 m 和 n 的 值，我们对这个式子进行变形，我们把所有的项呢放在等号的左边，你会发现它变成一个根号下， m 减五 加上 n 减三的平方等于零，那两个或者多个非负数的式子的和等于零，只能是每一部分都等于零，所以 m 就 等于五， n 呢就等于三，那这个时候呢，这个表达式就变成了， y 等于 k， x 加八， k s 加八和 y 轴交于正半轴，无论 k 大 于零还是 k 小 于零，它的图像呢，一定过第一象限和第二象限，那这是第一种方法，我们把 k 的 两个值呢分别求出来，是正一和负二。第二种方法呢，计算好的同学呢，也可以算一下， 可以把 a， b， c 分 别用含有 k 以及含有其他两个字母的式子呢表示出来，然后再把 k 解出来解关于 k 的 一元二次方程，我们同样呢可以求出 k 的 两个值，分别为正一和负二。喜欢的朋友关注点赞也可以在评论区交流讨论。

行，那我稍微的先讲一下吧。啊？呃，这个一次函数图像与性质。啥叫一次函数啊？一次函数它的解析式就是 y 等于 k， x 加 b 嘛。 呃，这儿你已经有一个知识点了，没讲没讲是吧？这里边这个 k 一定不能等于零啊。如果你有一个表达式，它形如 y 等于 k， x 加 b 括号，这个 k 如果不等于零，那它就是一个一次函数，这就是一次函数最最基本的一个形式。 这个里边它只有两个未知数，一个是 k， 一个 b， 这个 k 和 b 的 正负就会影响你这个函数长什么样子。 简单的说就是这个 k 和 b 会影响你图像。那首先你就要知道 k 大 于零怎么怎么样？ k 小 于 k 小 于零怎么样？这个 k 它影响的是函数的上升或者是下降，影响的是上升或者是下降， 什么意思啊？就是如果这个 k 是 大于零的，那你整个函数图像就是向上走的，就是这么这么一个图像，所有的一次函数，它的图像首先都是一条直线。 你先把这个记住啊，所有的一次函数图像都是一条直线，那这条直线你想嘛？一条直线要么就是向下走的，对吧？没有平着的啊。这个一次函数图像没有平着的， 那你要么向上，要么向下。如果这个 k 大 于零，它整个图像就是向上走的，那就是这种往上哎，往上的这种感觉。如果这个 k 是 小于零的话， 那它整个图像就是向下走的，就是往下走，这就是 k 对 你图像的一个影响。这好理解吧？ k 大 于零，整个图像向上走， k 小 于零，整个图像向下走，这是 k， 那 这个 b 是 什么意思？这个 b 其实好理解啊，对吧？你 y 等于 k， x 加 b， 那 如果 x 等于零，你会发现这个 y 它就等于 b。 如果令 x 等于零，那这个 y 就 等于 b， 也就是说，你这个一次函数 经过零逗号 b 这个点，对吧？当你横坐标是零的时候，它的纵坐标就是小 b， 所以 依次函数会经过零逗号 b。 那 你如果画一个平面直角坐标系， 你经过零逗号 b， 那 零逗号 b 就是 在外轴上边。如果这个 b 大 于零，那你就是经过外轴正半轴上某一个点，如果你这个 b 小 于零， 那你就经过图像这个外轴负半轴的一个点，能理解吗？ 因为你一定经过零逗号 b 嘛。如果 b 大 于零，我画一个图啊，如果 b 大 于零，它，哎，就经过外周正半轴的一个点，如果这个 b 是 小于零的，那它就经过外周负半轴一个点，这就是你 k 和 b 对 这个函数图像的一个影响。 一次函数的图像是非常非常好画的，因为你一次函数，它就是一条直线嘛，对吧？你这直线非常好画呀。两，咱们说两点就能确定一条直线，你只要知道这个直线是向上走还是向下走， 或者是说我知道它经过外轴正半轴还是负半轴，我这两个同时知道，我就能把它大概图像画出来啊。举个例子，比如说啊，咱们画几个图，你试一试，如果 k 大 于零， b 也大于零，那这个函数图像长什么呀？ 你可以自己试着画一画啊。 k 大 于零必大于零， k 大 于零必小于零， k 小 于零必大于零， k 小 于零必小于零。 如果你的 k 和 b 同时大于零， 如果你的 k 和 b 同时大于零，那就说明你这条线它既要向上走，又要跟外轴的正半轴有一个交点，对吧？那你画出来之后就这样的嘛。 既要向上走，又要和外轴的正半轴有一个交点，这就是那个交点零多号 b。 如果 k 大 于零， b 小 于零，那说明你这个图像向上走，但是焦点在外轴的负半轴，那画出来就这样啊，这也是零。逗号 b， 如果你 k 小 于零， b 大 于零，说明你图像向下走，然后与外轴正半轴有一个交点，这是零。逗号 b， 如果你 k 和 b 都小于零，那你这个图像既向下走，交点又在外轴的负半轴，那画出来就这样。 这是一次函数最基本的四个种情况，就是你 k 和 b 的 正负会影响你这个图像。 你学一次函数之前，你要把这四个图记得特别特别清楚才行。不是不是死记硬背啊，你理解着去记，就是， k 大 于零，我就向上走，小于零往下走， b 大 于零，我就在外周正半轴有交点， b 小 于零，我就在外周负半轴有交点。 你先把这个记住，咱们才能做题呢， 可以吧？好， k 和 b 的 正负对图像的影响啊，你，咱们一会做的所有的题都是建立在你对这四个图特别熟悉的基础之上，而且也不需要你用到什么别的知识点啊，这四个就够了， 来吧，开始开始试着做一做。那这第一个，第一个，这是基本概念啊，你每次学完一个新的东西，都会有这种基本概念，是吧？这，这非常简单，基础题中的基础题， 他说这里面 y 是 x 的 正比例函数，那正比例函数就是 y 等于 k， x 括号 k 不 能等于零， 那这里边你就选四 d 呗。你 a 选项，这是 y 等于 k， x 加 b， 它是一次函数。二 b 选项，它也是 y 等于 k， x 加 b 的 形式。一次函数 c 选项，这玩意，它是二次的，这是二次函数，咱们九年级才选啊。四 d 选项， y 等于 x， 这是正比例函数，没问题。 第二题，第二题，他说这是正比例函数，你是正比例函数，所以你的形式就应该符合 y 等于 k， x 的 形式。但是你现在这里边有一个 x 方这一项， 那你是正比例函数，你怎么能出现这一项呢？你怎么办？你只能把这一项消掉，那怎么消？那就是二 m 加一等于零呗。所以 m 就 等于负的二分之一。 搞定了。选四 d。 第三题，第三题，八年级的一次函数，这第三题更简单，你看第三题，他也是说这这里面是一次函数的事，他问一次函数，你就找 y 等于 k， x 加 b， 括号 k 不 等于零的形式就可以了。 这里边选谁呀？那就选二 b 呗，是吧？ y 等于负二， x 加一，这不就是 y 等于 k， x 加 b 的 形式吗？这个 c c 虽然长得非常像，或者说一模一样，它就是 y 等于 k， x 加 b， 但是它不行，因为它并没有说这个 k 不 能等于零，它少了一个条件啊， 必须要说 k 不 能等于零才行。私立选项，私立选项，这玩意，它是反比例函数，这是九年级才学的啊，有的版本可能呃，八下也学了。这不是，这是反比例。第四题，第四题，他说这是关于 x， 又是一次函数， 又是一次函数，那一次函数你这个一眼望过去，它只有一个 x， 那 这个 x 它必须得是一次项， 对吧？他的次数必须是一，所以二，他的指数位置二减 m 的 绝对值就只能等于一，所以 m 的 绝对值等于一， m 等于正负一。这种题你先别着急选，你看看他有没有其他的位置出现这个 m， 你 前面有这有一个 m 加一， 那你既然是一个一次函数，你这个 k 不 能等于零，所以 m 加一不能等于零， m 就 不能等于负一，他就只能等于一，所以选 a 啊，基础题啊。好，然后第五题，第六题，你你我我把这两个题同时放出来，你就看吧，这个题型二，它就叫一次函数的图像和性质，也是咱们今天主讲的一个内容啊。 这题都是长这样的，你，你看吧，这五六七或者是第八题是吧？包括后面的九十、十一、十二，都都差不多，你只要会画图，那这个题就好解决，你当然也得稍微会一点什么这种平移的基础知识啊。你比如说这个第五题吧， 他说 y 等于二， x 减八，问我下列结论正确的是？你先别管那么多呢，你，初学者，你，你只要看见一个一次函数解析是，你就画图，你把自己这个画图能力锻炼锻炼， 你熟悉了之后，在脑子里边自动就会浮现出来这个图， y 等于二， x 减八，它是不是 k 大 于零， b 小 于零，所以它整个函数图像怎么走啊？ k 大 于零，他整个图像向上走， b 小 于零，交点在外轴的负半轴，所以他画出来之后就大概就这样呗，这就是 y 等于二 x 减八。哎呀，你做这种题不用给他画的特别像啊，我还得量一量，拿尺子量一量，我给他画标准一点没有用。 他不是考你做图呢，你画个，你只要能画出来他在第几象限就可以了。然后你就看选项吧， a 选项说他经过一逗号负四， 那你就把 x 等于一带进去， x 等于一的时候带进去， y 是 等于二减八等于负六的，那也不是负四啊。所以 a 就 不对 二 b 选项他说与 y 轴的交点是零，逗号八，那你令 x 等于零，那 y 不是 等于负八吗？是吧。所以二 b 选项也不对， c 选项他说不经过第一项线， 这是第一项线吧，这不是已经经过了吗？所以 c 也不对。那这个时候选正确的就是四 d 呗。他说向左平移，呃，你现在如果不会左右平移的话，这个四 d 你 还真做不了啊。左右平移这个你 学了吗？肯，如果你一次函数图像和性质没学这个平移，肯定也是没来得及学。 你记住啊，这个平移是左加右减， 他跟你之前学的那玩意可不一样，你之前学的是点的平移，这个点向左走，哎，他横坐标就向减，向右走，横坐标就加，这是图像的加减。他的解析式是左加右减。 你把 y 等于二 x， 我 给你写一遍啊，你本来是 y 等于二 x 减八，对吧？他如果向 左平移四个单位长度，那就会变成 y 等于二倍的括号， x 加四再减八化减后就是等 y 等于二 x， 你 这个左右左加右减是对 x 进行加减，所以你如果原来是二 x， 那 这个二就先要提出来，给这个 x 加一个括号啊，在括号里面给这个 x 去加四，再化减 y 等于二 x 没问题，所以四 d 选项是正确的。 这就是考察一三数的图像和性质啊。当然，这种题是基础题中的基础题啊。你，你真正的考试，这种也就能就是炮灰题的位置， 出个前几道选择题，后面就考不了了。后面的大题，第一问第二问简单一些，第三问都是综合题。 嗯，然后你可以试着做一做这个第六题，你看这个第六题选什么呀？你做选择题不用四个都会，你会三个你就能把这个题做对。 你们看这第六题选什么啊？你可以跟着做一做，哪怕你学校里没完全学，你可能做几道自己就能悟出来。这个规律比较简单， 开到几点讲着看吧， 这准备的题也不多，我估计讲不到十点就讲完了。这第六题选什么呀？ y 等于三， x 减二，你先把它大概图像画一画吧。 还是那句话啊，你只要关注 k 和 b 就 行， k 和 b 的 正负你不用管他。呃，我，我跟 x 轴交于哪， b 轴交于哪，你画出来再说啊，你让他在哪他就在哪， k 大 于零，往上走的， b 是 负二小于零，焦点在负半轴，所以他图像就这么画 啊。这就是 y 等于三， x 减二，我说他是，他就是。那你就看呗。 a 选项，他说 y 随 x 的 增大而减小，那很明显不对嘛，你 k 大 于零，应该是随增大而增大，所以 a 不 对 二， b 选项，他说这个函数图像经过一二三，那很明显也不对呀，应该是一三四啊，二 b 也不对。 c 选项，他说这个点一定在函数图像上没问题，你把 x 等于负一往里一带，那 y 就是 负五，所以 c 选项没没问题 啊，四 d 选项，他说什么？这两个点是图像上的两个点，则 y 大 于 y。 二，咱们说了，你 y 随 x 的 增大而增大，你 x 越大，那 y 就 越大，你这负三和二谁大呀？二大，所以 y 二就大于 y 一， 那四 d 选项也不对。 简单吧，非常非常基础的题目啊，就是反复的考你一次函数的图像和性质，初学阶段别管你看到解析式你就画图就行啊，多重复重复来。第七题， 然后你顺便可以把错的改对 steele 对四 d。 啊， a 选项那一眼就不对，人家 k 小 于零嘛。所以咱们画画图像啊， k 小 于零， b 小 于零，所以画出来之后就这样呗，它就是 y 等于负二分之一， x 减三， 然后二 b 选项，他说经过这个点，你往里一带，那很明显也不对啊， c 选项，他说不经过第二，应该是不经过第一，所以 c 也不对，所以就选四 d。 还是那句话啊，你四个选项只要会仨，你就能选对你别管你会哪仨，你都能选对来。第八题， 他说关于 y 等于 k， x 加三括号 k 不 等于零的说法 啊，其中正确的是八年级的一次函数图像与性质， a 选圈一对不对，他说函数图像与外轴的交点，你求它与外轴交点的坐标，你就令 x 等于零就行了。 令 x 等于零， y 就 等于三，所以焦点坐标就是零。逗号三，圈一没问题，圈二他说，如当 k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大，这没问题啊，是吧？圈二也对，圈三，他说如果 k 小 于零，经过的是二三四，哎，你画画嘛，哎，咱们画草一点啊， k 小 于零， b 大 于零，那他就是这么这么走的呗。哎，整个图像向下走是吧？然后焦点在外轴的正半轴上，经过的明明是一二四，所以圈三不对，这个题就选 a， 可以吧？再重复一遍啊，你如果想学好一次函数，你在初识的阶段必须要搞定一次函数的图像与性质，慢慢熟悉， 只要给你解析式，你就能立马在脑子里面想出来他长大概长什么样就可以了啊。题型三题型三叫做根据一次函数解析式判断其经过的象限，说白了也是画图嘛。你比如说第九题啊， 他说这个点在第二象限内，第二象限内的点就是横坐标是负的，纵坐标是正的，对吧？ 那就说明 a 小 于零， b 大 于零，你现在是 y 等于 k， ax 加 b， a 是 小于零的，所以整个函数图像向下走，焦点又在外轴的正半轴，所以它就这么画， 怎么可能会是不经过第四呢？这不是不经过第三吗？ 你画出来再说啊， a 小 于零， b 大 于零， k 是 小于零的向下走， b 大 于零的，焦点在外轴正半轴就画出来了 啊。这题都一样，你再比如说第十题吧，他说 k 乘 b 小 于零， y 随 x 的 增大而增大， k 乘 b 小 于零，说明 k 和 b 是 一号的，这知道吧？这七年级学的啊，两个数相乘小于零，说明这两个数是一号的， y 随 x 的 增大而增大，那说明 k 是 大于零的，那所以 b 就是 小于零的。 k 大 于零， b 小 于零，它长什么样？这么长这样吧， 所以一定不经过第二项线搞定，简单不？ 那这个第十一题你要是不会的话，说明你，说明你七年级下册二元一次方程组没学好啊。这个方程组什么时候无解啊？会吗？有同学估计早就忘了，或者是当时就没学会。 这方方程组怎么会无解呢？是吧？一个二元一次方程组什么时候会无解呢？ 好，你要不知道我开奖了，如果你 这个二元一次方程组无解，说明什么？说明 y 的 系数之比等于 x 的 系数之比，不等于那个常数项的系数之比。 也就是说你这个目测啊，你看它的 y 和它的 y 系数都是一，如果你没有解，就说明这个 x 的 系数是一样的啊。 x 的 系数是一样的，那就是负四等于 k 加二，所以 k 就 等于负六， k 等于负六，那负二 k 加一这玩意它就是十三，那就是 y 等于十三， x 减二，它不经过第几项线，你整个函数图像向上走，对吧？然后 b 又小于零，所以它这么这么来的嘛，就不经过第二呗。 到现在为止，几乎每一个题都要你画出来图像，然后判断它不经过或者是经过哪几个项线 好。第十二题你要是二元一次方程组没学好，那没办法啊，这个又是跟二元一次方程组结合的，他说 p 是 坐标系内的一个点，横纵坐标是这个玩意二元一次方程的解， a 为任意实数，当 a 变化的时候，这个点 p 一定不在第几象限， 一定不再低级象限。这个姐，你是不是得先算一下再说？你别管他能不能求出来，具体的你带着 a 你 也得先算一下。呃，咱们试试啊。哎，好像他俩好像他俩一， 这俩这俩一，这俩一减，好像能能消掉，是吧？你看啊，它俩一加啊，它俩一加，你让圈一加圈二，圈一加圈二，那是不是就是三 x 减去三 y 右边是个负一， 那也就是说这个点，这个屁点，它满足三 x 减三 y 等于负一，那也就是说三 y 等于三 x 加一，那也就是说 y 等于 x 加上三分之一， 你说这玩意一定不在第几项线？你 y 等于 x 加三分之一， k 大 于零， b 大 于零，所以他肯定这么走呗，就不一定不经过第四项线。有九年级的课， 暑假八年级、九年级都有，不经过第四是吧？正上英语课呢。这个点它的坐标是 x， 逗号 y， 那它的坐标就满足 y 等于，又经过提个 e 分 析之后啊。满足 y 等于 x 加三分之一，那也就是说你这个点在这条直线上，那条直线是咱们如图所示经过一二三的，所以不在第四吗？ 你其实要是学会了这些题，你会觉得这些题做着非常非常的无聊啊，不过马上题型四里面有有难有这个易错题，你们注点意啊，如果你手里有这个电子版的话， 这个易错题易错到什么程度？就是一个班里面刚开始学的时候，如果有五十个人做这个题，错的就得有四十往上 啊。前提是这个老师从来没讲过啊，绝对有四十往上，而且每个人写的时候都觉得自己写的是对的。这个第十三题 我好像已经看到错误答案了。这个一人浅笑最长安说是大于号，小于号， 他不经过第二项线，哎，然后你觉得自己特别聪明啊，就这么一划，不经过第二吗？哎，就这么一划，所以 k 是 大于零的， b 是 小于零的，就这么写上了。好，你不觉得你这么做有什么问题吗？ k 大 于零， b 小 于零，我画出来是这样的，但是他只是说不经过第二象限呢，我给你画一个，我这条红色的过原点的，他经过第二象限吗？经过吗？我这条红色的 他过原点，如果他过原点的话，他也不经过第二象限，但是他是，他是那个正比例函数，他也是一次函数， 这个时候我画的红色的线是不是满足题干里面的要求？此时这个 b 是 不是等于零的？所以这种题你千万小心啊，这个 b 可不一定就是你想的那么简单，就是大于零，就是小于零，在这个题里面， b 是 小于等于零的， 你看刚才有多少人错了，是吧？哎， k 大 于零， b 小 于零，这个题做出来了， 这个题只要考就会有人错啊，你说三遍，你说五遍，还是会有人错的。 好。第十四题，第十四题，这，这种题简单，这个 k 没事，他说这个直线不经过第四象限，那不经过第四象限，他就就，他就是经过一二三呗，一二三，你就按你随便这么一划， 那我这个函数图像得是向上走的，对吧？向上走，向上走说明 k 减二要大于零，所以 k 就 大于二嘛。 我这么写对吗？ 哎，如果觉得我这么写对的，你扣个一啊，如果觉得不对的，你就扣个二，这个答案对的，你扣一， 你觉得你不是这个答案的，你扣个二， 这个答案对不对？ 我如果要是不问，你们是不是就觉得是对的啊？我一问就就觉得是不对的是吗？ 哎呀，我，我要是让你们做这个题，你们多数人都得写 k 大 于二啊。现在我一问，你们又说觉得不对了，为什么呀？ 为什么不对呀？你先入为主了。什么叫先入为主啊？你总觉得我在做一次函数的题是吧？这个 k k x 的 这个系数不能等于零，你读题，他说的是直线， 整个题就没有出现一次函数这几个字，看到没？没有出现，你凭什么你上来就 k 减二大于零， 那我 k 减二等于零不行吗？可以啊，我如果 k 减二等于零，那说明 k 等于二嘛？ k 等于二，它就变成了 y 等于一，这个图像长什么样呀？ y 等于一，就说明你这条直线上所有点的纵坐标都是一，那它就长这样啊。这就是 y 等于一， 这是跟 x 轴平行的，在一二象限也不经过第四象限，所以 k 等于二也可以。如果 k 不 等于二，那它就是一三数， k 就是 大于大于二的。所以最后综上，在这个题里面，答案应该是 k 大 于等于二才对， 你看你是不是又错了， 长点记性啊。连着两道易错题，再来一个第十五题，这个题还是不是易错题？ 首先看题啊，一参数有了，一参数经过第三项线，经过第三项线，让我求 k 的 取值范围。 这个题不是易错题了，是，是难题，又不会了，什么都注意到了，但是又不会了，我等你们的答案啊，我看你们说什么的应该都有。 前面明明都是不经过为什么他突然来了一个经过第三项线我又要怎么办。 一会我给你们讲一个好玩的啊。你先做吧我看你们能做做做对吗。 经过第三项线 k 的 取值范围是多少。 呃另外直播间如果有学生啊 明天是母亲节你明天表现好一点哎平常表现如果就不错的话明天说点好听的 准备个小礼物。 k 大 于二或什么 k 可以 等于任。怎么可能呢怎么可能呢怎么可能是任意的时数呢 这能对吗那 k 要是任意时候你怎么保证他经过第三项线 动脑筋想一想如果你觉得难的话你大不了你就把那四种情况你都试三种情况你都试一下呗。他要么过一二三要么过二三四 对吧要么过一三四。 k 大 于二那 k 大 于你你这么说本身就是有问题的什么叫 k 大 于二并不等于二你 k 大 于二它本来就不等二 能理解吗。你说了 k 大 于二了那都没有等于二你为什么后面还要再跟一个不等于二也不对也不对 k 小 于负二 也不对都不行了是吧。那这个题你们你们是要听 正常方法步骤多的呢你们还是要听带技巧的减步骤少的呢。 两种方法都能做啊。正常方法就是你分类讨论分类讨论的话情况就比较多算起来麻烦一点带技巧的就是换一种思维不需要分类讨论了。 都需要都需要 啊。那这个不用留这么多位置啊。啊那这边是正常的做法吧 这边是偏向技巧性一些的。那你想一个问题他经过第三象限有几种情况呀？有三种呗，要么就是经过一二三，要么就是经过一三四， 要么就是经过二三四， 对吧？那是不是就这三种可能呢？没别的了吧？ 你要么一二三，要么一二四，要么一三四，要么二三四，这四种他现在已经说了经过第三项线，所以就这三种情况，你一个一个算呗。第一种，如果他是一二三，那说明 k 减二。哎，一二三，你可以画个草图啊，一二三就长这样， 对吧？一二三长这样，那就是说明 k 减二大于零，并且这个 k 还得大于零，你这两个要求要同时满足，那大大取大，所以算出来之后就是 k 大 于二。哦，这是第一种情况，你再来第二种，一三四， 一三四，一三四，一三四，一三四，这么画是吧？不经过第二，那一三四的话，不就是 k 减二大于零， k 小 于零吗？ 这玩意是怎么可能呢？对吧？你 k 减二又大，你 k 又大于二又小于零，所以这是无解的， 这是无解的第三种。第三种，过二三四 二三四，那就是这么画呗。那这么画的话，说明 k 减二，它整个图像是向下的，那 k 减二就小于零， k 也小于零，小小取小，所以所以 k 就 小于二。 那现在你想啊，是不是是什么呀？是是，这个也可以，这个也可。哎。哦，这写错了，小小取小啊， k 小 于零，小小取小，那你 k 大 于二也行， k 小 于零也行，是不是这两个都可以啊？综上所述， k 大 于二或 k 小 于零 就搞定了吗？ 你先把这个笨的方法理解了啊。 你说经过第三项线，那我就分类讨论一下，要么是一二三，要么是一三四，要么是二三四，然后我分别给你去列啊，求解。解出来之后啊，第一个情况可以的， k 大 于二，第二个情况它是无解的，不存在。第三种情况， k 小 于零， 那你这个情况也可以，这个情况也可以，两种情况都可以。所以最后综上他或他这个题搞定， 这是你也不能说他笨啊，这就是正常一点的做法，只不过是需要分类的讨论的情况比较多而已。然后什么叫技巧性的方法呢？我就问你一个问题啊， 他说他经过第三项线，让咱们求取值范围，咱们是不是可以去算一下他不经过第三项线的范围呢？哎，不经过第三项线， 你不经过第三象限，你是不是就是经过一二四，那就你就是这么画的，对吧？你不经过第三象限，你这么画，那就是说明 k 减二要小于零，这个 k 要大于零，你这么一算就是零到二， 对不对？ 忽略了什么了啊？对对对，什么对不对啊？不对， 你 k 是 可以等于零的，又错了又错了，他说不经过第三项线，我过原点也是不经过第三项线，所以这个 k 是 大于等于零的，那算出来之后就是 k 大 于等于零小于二， 那也就是说你不经过第三项线，这个 k， 他 算出来的范围是这玩意，那你现在经过第三项线， 你经过的你这个一次函数，你要么就经过，要么就不经过，不经过的时候算出来是这个结果，那你经过的时候就是他的反面，就是他剩下的情况，那就是 k 小 于零 或 k 大 于二啊。当然你这个 k 不 能等于二啊，因为你本身这个这个题干里面就隐藏的一个就是 k 不 能等二，这个结果就出来了， 这个不需要你分类讨论，你看你能不能理解这个思路啊？ 好云好云，说明你没没有这个，没有这个思维。 再重复一遍，你是一个一次函数啊，一次函数要么就经过第三项线，要么就不经过第三项线， 你现在让我去算他经过第三项线的范围。第三项线，我一想啊，有三种情况，情况太多了，我不考虑我，我去考虑考虑那个不经过第三项线的，这不就只有一种情况吗？我把这种情况算出来，这个情况剩下的就是我题里面要的， 能理解吗？我虽然题干里面要的是经过第三项线，但是他情况太多了，我不想一个一个的去讨论，我反过来去求一下他不经过第三项线的情况，那剩下的就是他经过第三项线的吗？ 这也是你数学或者说概率题里面经常用的一个思路，就是正南则反， 你正着想不好，想你就想他倒着的过了啊。这个题我我觉得这两种方法，呃，你老老实实的，你能使这个正常的方法平稳着陆也行。然后第十六题，第十六题 经过一三四 a 的 取值范围 经过一三四。 你这么画呗，是吧？那这么画的话，就说明二减 a 大 于零，二 a 加一小于零，所以就是 这是 a 小 于二，这是 a 小 于负二分之一，小小取小嘛，所以就是 a 小 于负二分之一。哎，搞定了啊， 为啥这个题就不用考虑过原点呢？因为人家说好了过一三四的，过一三四的， 你只有做那种不经过第几象限的，你才需要考虑过原点呢。好吧，你说这个题为什么咱不考虑 a 等于二呢？你 a 等于二，他怎么可能过三个象限？你 a 等于二，他是一条啊，这样的直线，他只经过一二象限，对吧？所以就算出来就是 a 小 于负二分之一啊。 呃，这四道题吧，前三道题都是重点易错的。第十五题是 不太容易想到的，或者刚开始学啊，容易容易想不到，你自己可以可加一会，你再重新做一遍这个题型五就比较简单了。题型五是一次函数图像与坐标轴交点的问题。那这随便随便做吗？ 你求 y 轴交点，你就令 x 等于零，你求 x 轴交点，你就令 y 等于零，你把它往里一带，那剩下那个自然而然就出来了。你比如说这个 d 是 七题啊，他说与 x 轴交点，你脑子里面一想， x 轴，那就是 y 等于零，那 y 等于零， x 就 等于负三， 所以焦点坐标就是负三，多少零？怎么是三呢？什么玩意？就是三 与 x 轴交点，坐标 y 是 零 啊， y 是 零。 那你再看第十八题吧， 又与 x 又与 y 轴了，那你与 y 轴交点，你就令 x 等于零，那就是零多少二啊，就这么简单，零多少二。 好，然后第十九题，嗯，第十九题，发现没有图，没有图，你就自己画一画吧。啊，这个，这个直线它也是固定的，图像也是固定的，你自己画一画， 你八年级，下次马上升九年级的同学了，你自己画个图应该没什么问题吧。 y 等于负四分之三， x 加六 试一试啊。第十九题， 我也我也画画 啊，你这个题就得稍微画的准一点，不能太，不能太偏，因为你后边要还要折叠，你画太偏的话，你折不过去了。 这条直线它是一个确定的，那你可以算一算，它跟 x 轴交点是多少啊？跟 y 轴交点是多少啊？ 呃，算完之后啊，这个点它的坐标就是零点 b， 它的坐标就是零多少。六、 原点是 o 吗？他说 m 是 线段 o b 上的一个点， m 在 这个上面不知道在哪啊，您随便吧。你比如说我就在这， 他说把三角形 a b m 沿着 a m 折叠，使这个点 b 恰好落在 x 轴上的 b 撇的位置，问这个 m 的 坐标是多少？ 能想象一下子不？想像想象，你把这个玩意儿沿着 a m 一 折，它不就变成这样的了， 对吧？这不就是那个 b 它所谓的 b 撇的位置吗？这能想到吧？把上边这个三角形 abm 沿着 a m 一 折，夸，这个 b 落在 b 撇，正好在 x 轴上，就是这么一个图形。他现在问我这个 m 的 坐标是多少， 怎么整啊？这里边啊，是有勾股定律的，咱们先瞅一瞅这个 ab 是 几， 你要对三、四五六八十这种数特别特别的了解啊，看到六八就想十，看到三四就想五，这是六，这是八。勾股定律，这就是十，它是十，你翻过来之后，这也是十， 它们俩是一般长的啊，这也是十，那你 o a 是 个八，所以左边这个 o b 它就 o b 撇，它就是个二嘛。 我 m 坐标，我不就纵坐标不知道吗？我是它纵坐标是小 m 啊，那这就是 m， 上边是不是就是八减 m， 你 折过来之后，这也是八减 m， 所以 勾股定律整上了。在这个小的直角三角形当中啊， m 方加上二的平方等于八减 m， 括起来平方， 那算被 m 方加四等于八，八六十四减二，八十六加 m 方，所以十六 m 等于六十，那 m 就 等于个 算错了吗？哦，怎么是八减六减 m？ 我 说这个数咋没见过呢？六减 m， 那就是三十六减去十二 m 加上 m 方，所以十二 m 等于三十二，那 m 就 等于个三分之八，所以点 m 的 坐标就是零。头号三分之八 搞定了。是，是六减 m， 刚才我算出来那个数，觉得以前没见过，我就意识到自己应该是写错了。这种勾股定律不会算出来那种数的 对吧？折叠就是全等，全等就容易出勾股定律，勾股定律去解这种三角形，所以 m 的 坐标就有了。 这个题你说难吗？也不难啊，就是得自己先画个图，如果你前面那些折叠勾股定律学的好的话，这个非常非常简单，如果给给出来你图让你直接去做， 这就是最基本的一个折叠。好，这是第十九题啊，自己画图，然后咱们再翻回来看第二十题。 第二是题，这也是一类题，就是横过什么什么定点，这种题出现频率非常高啊，横过什么？什么定点？高中也考。 什么叫横过一个定点？就是不管你这个 m 取什么值，我这条直线永远都经过这个点，那也就是说 我这个点的坐标带到这个式子里边，永远成立他跟 m 是 没有关系的。这是人教版八下一次函数， 对吧？你跟 m 没有关系，咱们是不是七年级的时候做过这种题？ 你跟 m 没有关系，那我就把所有 m 的 给你整出来就可以了。来，咱们把它乘出来啊。那就是 y 等于 mx 加上四， x 加上二， m 加二， 你说 m 取什么值的时候都不影响，那就是说明与 m 无关，与 m 无关，我就找到所有的 m 这一个，这一个，你把它俩合起来，那就是 m 倍的括号， x 加二加上四， x 加二，对吧？你不是与 m 无关吗？ 那我怎么才能与 m 无关呢？我要把 m 给消掉，那怎么消呢？就是 x 加二必须得等于零，所以 x 等于负二，你把 x 等于负二往里面一带，那 y 就 等于个负六， 是吧？所以这个点它永远都经过负二多或负六这个点。 你之前学的某种题，就很有可能会在你未来的某一天又碰到一个熟悉的。如果你当时偷懒了，你早晚会遭报应的。 这个报应就是若干天后你做的某一道题，发现啊，就是那个回旋镖击中你自己了，当时我偷懒了，我清楚的记得老师讲过这个题，但是我当时没搞懂，现在又考到了，我又，我又在这个问题上丢了分。 这不就是你初一时候学的那种题吗？是吧？啊，这个整数的加减里边算着算着，他说，嗯，这个整数的值结果与 m 无关，然后问怎么怎么样，不就一样的吗？ 你 m 取任何值我都过这个点，那就说明我过的这个点跟你 m 没有关系，跟 m 没有关系我就把你 m 消掉。哎，我就把所有带 m 的 给算出来，再合并到一起，最后就可以了， ok 吧？这已经二十道题了，你这二十道题做到这，应该对一次函数的图像和性质掌握的差不多了。还有多少题？ 我的乖乖哦，还有，也不多也不多，来吧。题型六，利用一次函数比较函数值的大小。那这种题就简单了嘛， y 随如果 k 大 于零， y 随 x 的 增大是增大，如果 k 小 于零， y 随 x 的 增大是减小啊，就。就利用这两句话就都能做了，现在来吧。第二十一题，他说这两个点在这个图像上问 y 减小啊，就就利用这两句话就都能做了， 现在来吧。第二十一题，他说这两个点在这个图像上问 y 怎么办？我一瞅， k 是 等于负二的， 那你 x 越大， y 就 越小，所以这个五大，那 y 二就小小余号就这么写呗。啊，其实就是大于号呗，对吧？ y 也就大于 y 二嘛。你再看二十二题， 二十二题，虽然我不知道 k 是 谁，但是它是 a 方加二， a 方加二肯定是大于零的，那你大于零， y 就 越大，所以 x 一 大于 x 二，那 y 一 就大于 y 二， 是不是搞定你？再包括二十三题，一函数都给我了，这个 k 等于负二，那就说明他的图像是向下走的，你 x 越小， y 越大，他问我， y 最大是几啊？那你就找 x 最小的时候，最小是负二， 你把福尔往里边一带，那就是七，所以最大就是七，简单吧。好，然后这个二十四题啊，我考考你们吧，二十四题你们来做，你告诉我最后这个题的结果是多少 啊？这个题要是会了，那这一类题你就都会了啊，无所谓，别的题也就这样了，以函数的基本图像和性质，考不了什么难题的。 最近这天气比较赶早，你们多喝点水，别再生病了。 let's do it。 能行吗？再做不出来，做不出来我，我要睡着了， 不知道 k 是 几？他问我，他，他说这个 x 在 这个范围之内， y 的 最小值是负六， 六，嗯，六只有六。 行了，行了，不等了啊，再再再再等，不行了，再等一会都讲不完了。这种题他还是在考，你分类讨论。 分类讨论的这个思想在数学题里面无处不在啊。你不是不知道 k 是 几吗？你就讨论呗，对吧？你这个一次函数，它有可能是往上走的，也有可能是往下走的， 所以分两种情况，第一种， k 减一大于零。第二种， k 减一小于零， g k 大 于一， g k 小 于一，那如果你这个 k 减一大于零，说明你图像是向上走的，这个图像是向下走的，那你图像向上走什么时候有最小值啊？ 是不是 x 越小， y 越小？那也就是说 x 等于负三的时候， y 是 等于负六的，那你往里带，你就会发现负三倍的括号， k 减一加上二， k 减三等于负六， 那就是负三， k 加三加二， k 减三等于负六，所以 k 就 等于六， 你算出来之后千万别着急，你算出来这个 k 等于六，你跟前面这个 k 等于 k 大 于，一定要去对比一下，看他符不符合这个前提啊。这是你的前提， 前提是 k 大 于一，那我算出来 k 等于六，就是符合要求的。第二种情况，如果你这个图像是向下走的，你什么时候取最小值？是不是 x 越大越小？也就是 x 等于二的时候， y 等于负六，那你把它一带就是二倍的 k 减一加上二， k 减三等于负六啊，这一算就是 四， k 等于负一，所以 k 就 等于负的四分之一， 那你 k 等于负四分之一，跟这个前提还是要比较一下，前提是 k 小 于一，你算出来是 k 等于负四分之一，那也是符合要求的，它也可以。最后综上就是两个结果，一个是六，一个是负的四分之一。 这种题就是考一个分类讨论啊，他最后你分的是两种情况，但是最后真不一定算出来是两个结果，有的时候有一个结果要舍掉的， 过了啊。第二十四，这是二十四题了，来二十五题。 二十五题， y 随 x 的 增大而增大， y 随 x 的 增大而增大，那说明 m 加二大于零啊，所以 m 大 于负二。 简单，二十六、二十六，他说 y 一 小于 y 二 x 一 是小于 x 二的，现在你说 y 一 也小于 y 二啊，它们的这个大小是一样的嘛。所以说明这个一函数，它是向上走的， y 随 x 的 增大而增大，它向上走，向上走，那 a 减三就是大于零的， 所以 a 就 大于三。 二十七题又来了，二十七题，你们做吧，好吗？ 你们做二十七题， y 等于 a， x 减四， a 有 最大值，八 正负八，是吧？这个题还是跟刚才那个题一样的，你不知道 a 是 正是负，所以你可以分两种情况去讨论。 第一种，如果 a 是 大于零的，那它向上走，向上走， x 越大， y 越大，那就是五。 a 减四， a 等于八，非常好算啊，那 a 就 等于八，可以要第二种情况，如果 a 小 于零， a 小 于零， y 随 x 的 增大而减小，所以当 x 最小的时候， y 最大，那就是三。 a 减四， a 等于八， a 等于负八，哎，也可以要，所以 a 就是 正负八 是吧？下面这个第八题跟刚才还是一样的，你看你能不能算快一点，一分钟时间算一下二十八题， 加快你的运算速度，这种题你得把时间压缩到一分钟。 let's go， 我写完了啊，你可以自己对对答案，咱们就不讲了。一个是 k 等于一，或者是 k 等于负的三分之二，两种情况， k 大 于零走一个， k 小 于零走一个。 你只要保证你思路清楚，计算功底扎实，学什么都简单。 计算不行的，你先练练计算吧，然后这二十九题还有这么多， 然后题型八是一次函数的平移问题。呃，平移问题呢？你们可能还没学是吧？没学我给你们先讲讲知识点吧。好吧， 一次函数的平移问题，咱们以一个具体的为例，比如说啊，现在有一个 y 等于二 x 减一，它的平移，咱们向上两个向下三个向左两个向右 一个，分别去表示一下，它的这个函数表达式会怎么变啊？或者是咱们可以用 ab 来表示，用 ab 吧， 这样的啊，用 ab 向上， a 向下， a 向左， a 向右， a 帮助你理解。 如果是向上或者是向下，这俩这哥俩是一组的，上和下就是直接在这个表达式的后面加或者是减，你向上平移 a， 那 就是 y 等于二 x 减一，再加上 a 啊，就是上加 向下，那就是减，你向下平移 a， 那 就是 y 等于二， x 减一，再减 a， 所以 就是下减。 容易搞混的是下面这个左右，如果你向左平移 a 个单位长度，它会变成 这是左加。向左平移就是对 x 进行一个加，你向左平移 a， 我 就让 x 加 a， 那 举一反三啊，向右的话就是减呗， 这就是一次函数图像平移跟它这个表达式之间的一个关系，上加下减，左加右减上和下是在整个函数表达式最后进行加减，左加右减是对这个 x 进行加减，你看能不能区分 左和右是对这个 x 进行加减。而且你加减的时候，要把这个二先给它提出来啊，把它的系数先提出来，然后写个括号，在括号里面去给它加减 啊，你可以记住这个口诀，上加下减，左加右减，记得差不多之后咱们来做几道题，你试试。试试啊，你比如说这个二十九吧， 他把这个一次函数向上平移了四个单位，那上简单的上就是直接加呗，那就是 y 等于三， x 加 b 再加四，是吧？那他平移完之后表达是长。这样说，这个一次函数图像经过原点， 经过原点，那你就把 x 等于零带进去， x 等于零的时候， y 等于 b， 就 等于负四， 看能理解不啊？我先让他向上平移四个单位，表达式变成 y 等于三， x 加 b 加四，他说经过原点，那我把零零带进去，就是成立的，所以算出来 b 等于负四。 第二个第三式题其实也是一样的思路，你把他的图像向下平移两个单位长度，那向下就是减二，就是 y 等于三， x 加 b 再减二，他说平移之后经过点负一，逗号二，那你就往里带，那就是二等于负三加 b 减二，所以 b 就 等于个七。 好，然后第三十一题啊， 第三十一题，你看清楚人家问什么，他说把这个直线向沿外轴向上平移两个单位长度之后，新的直线与坐标轴为成三角形的，面积增加了多少？注意是增加了多少？ 你两个思路嘛，对吧？你要么就把这两个图画在同一个图里边，你要么就分开画，分别去求，然后再相减，你怎么做都行。你可以先画一画它最开始的，它没平一之前， y 等于负 x 加一，它图像就长这样 啊，这边交点是一，逗号零，这边的交点呢，是零逗号一，这是你没平移之前的，你沿着外轴向上平移了三两个单位长度之后，它的表达式就变成了 y 等于负 x 加三， 那平移完之后就变成了这样 啊，整个坐标变成了三逗号零，这个坐标变成了零逗号三。 他问你面积增加了多少，这不很明显吗？你里边这个面积，这是一乘一乘二分之一，这是二分之一，这个是三乘三乘二分之一，这是二分之九，所以面积就增加了四。 ok 了啊，面积增加了四， 好。然后第三十二题，第三十二题，他说把这个一次函数图像向上平移，得到了直线 ab， 这个直线 ab 是 经过二逗号十一的。问 ab 的 函数表达式是多少？ 我管你是多少，你原来是 y 等于二， x 加三是吧？你不知道怎么的，向上平移之后变成了 ab， 那 ab 肯定也是 y 等于二， x 加一个，呃，小 b 的 形式嘛， 对吧？你上和下只是对这个三进行加减。我设 ab 是 y 等于二， x 加 b， 那 你经过二十多号十一，我把它往里一带入，那就变成了十一等于四加 b， 所以 b 就 等于七，那 ab 的 表达式就是 y 等于二， x 加七， 你都不用设什么二 x 加三加多少。那没没必要啊，因为他也没问你，你只需要知道我向上平移，向下平移，我这个 k 是 不变的，我还是 y 等于二 x 就 可以了。 这个位置你给他的待定个系数嘛，对吧？待定个 b 就 可以了 啊。快了快了快了，还有两个啊。第第三十三题也比较简单，三十三和三十四是题型，求一次函数的表达式。 你三十三题，这个，这个白给的吧。 x 等于二， y 等于负三，你就往里带嘛。那就是说明负三等于二， k 减四，那 k 就 等于个二分之一，所以就是 y 等于二分之一， x 减四。 第一问啊，第二问，他说求这个一函数图像与 y 轴啊，与 x 轴交点坐标，与 x 轴交点坐标，那就另外等于零，另外等于零，咵一算，这个 x 就是 八，所以交点坐标就是八，逗号零。 搞定了啊，最后一道了，最后一道了，最后一道了。三十四题， 他说已知这条直线与这条两条直线相交于 a， 逗号一，而且与 x 轴交于点 b， 咋办咋办呢？哎，你这两条直线相交于这个点，那这个点既在这条直线上，也在这条直线上，那我怎么求这个小 a 呢？我得找一个没有未知数的。那谁没有未知数啊？这没有未知数是吧？ 所以把它带入到这个解析式里面，那就是一等于负二分之一 a， 所以呢， a 就 等于负二， 你算出来 a 等于负二之后，这不就简单了吗？ a 等于负二，那 a 点的坐标就是负二，逗号一， b 点的坐标是负三，逗号零，他让我求直线 bc 的 解析式，你们现在会求吗？我问问，我问一下啊， 如果你已经知道这条直线经过两个点，这两个点的坐标也都告诉你了，你会求它的解析式吗？ 它这个题干里面已经给我设好了啊，就是直线 y 等于 k， x 加 b 嘛，对吧？那你这条直线 y 等于 k， x 加 b， 我 现在又经过 a 点，又经过 b 点，我可以代入，代入进去你就能得到一等于负二， k 加 b， 零等于负三， k 加 b， 所以 k 等于多少， b 等于多少，就能算出来。也就是说，如果我知道一条直线经过哪两个点，任意的两个点啊，我把这两个点的坐标往里一带，就能得到一个关于 k 和 b 的 二元一次方程组， 我就能解这个方程组，那算出来之后就是 k 等于一， b 等于三，所以 bc 这条直线，它的表达式就是 y 等于 x 加三， 明白吗？因为两点确定一条直线，所以只要知道经过两个点的坐标，咱们代入就能求这条直线的解析式。 基，基本操作啊这是。然后第二问，让我求三角形 a， o， c 的 面积， 那 c 点的坐标是多少啊？ c 点的坐标，它是 bc 这条线跟 y 轴的交点，所以是 x 等于零一带，那 c 座坐标就是零。逗号三， 那你看第二问，三角形 a， o， c 的 面积是不是就是二分之一乘上 o， c 乘上二，那就得 o， c 是 三嘛？所以最后面积就是三嘛， 没问题吧？这个三角形的面积，我让 o c 当底，高就是这么高嘛？ 高就是 a 点横坐标的绝对值啊，就是二，所以二分之一乘 o， c 乘二， o c 是 三，最后结果就是三。第三。 这个也跟咱们录制的那个存在性问题的专题课里面面积问题是同一类题型啊，非常非常喜欢考这种，属于初级题目。就是如果这个 p 是 直线 b、 c 上的一个动点，如果三角形 p、 o、 b 的 面积等于二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积，让我求这个点 p 的 坐标， 这种题统一都是这么做啊。我们先观察一下，我们在第二问求了三角形 a、 o、 c 的 面积是个三，他这说二倍的三角形 a、 o、 c 的 面积，那就是六吗？ 对吧？这就是六啊，你就不用管这个东西了，也就是说，你要在直线 bc 上找到这么一个点屁，让三角形 bo、 b 的 面积是六，哎，这是那个直线 bc， 这是 bo， 这两个点 bo 的 面积是个六， 我是不是可以让 ob 当底啊？让这个屁点的纵坐标的绝对值去当高， 因为你屁还有可能在第三象限，所以这种题啊，它是让咱们求点屁的坐标，你得有对应的步骤才行。我们设屁点坐标，设它的横坐标是小 m， 因为它在 bc 上动，所以 它是不是就在这条直线上？ y 等于 x 加三上，它在这条直线上动，如果横坐标是小 m， 那 纵坐标就是 m 加三吗？ 这是人教八下的一次函数，那 p 点坐标就是 m， 逗号 m 加三，你就表示呗。三角形 p、 o、 b 的 面积就等于二分之一乘上 ob， 是 吧？乘上这个 m 加三的绝对值， 那其实就等于二分之一乘三乘 m 加三的绝对值。现在他说这个三角形 p、 o、 b 的 面积是六 啊，所以它等于六，那你会算不？那这个 m 加三的绝对值，它不就等于四吗？所以 m 加三等于正负四，所以 m 等于一或者是负七。 那所以 p 点的坐标就是一逗号四或负七。逗号负四 这个题就搞定了。 讲完了，一共三十四道题，还可以吗？