2026顺义二模数学新定义

截止到今天，大部分地区的二模已经考完了，综合来看，西城区是最接近中考难度的，海淀区、粤南、朝阳区过于简单，我重点给大家解读一下海淀、西城、朝阳三个区的数学试卷。这三个区前一到二十五题都比较常规，除了西城区的填空压轴题，大部分的题的难度都和中考持平或略低于中考难度， 尤其是原宗这道题上都是低于中考难度的。因此前一到二十五题没有太多我们需要关注的重点，就会落到后三道题上。先来看二十六题，海淀的第二十六题带中还是很难的，它的考点是我们平时反复在讲的，考点就是画图、分类、讨论、对称性等等。 但是这道题它的分类情况特别多，而且里面涉及到了比较多的计算以及大量的易错点，尤其是等号的取舍， 所以这个题在考场上有限的时间范围内难度是比较大的。再加上海淀区今年整张卷子比较难，时间又非常紧张，所以这个题的难度进一步被加大了。 那么大家可以在自己训练的时候重点看一看，你能在多长时间范围内比较完整的把它给写完，这个很重要。好，再来说一下系统的带动是比较常规的，最接近二零二五年北京中考的原题，那大家可以对于这个水平比较中等的同学来说，拿这个题作为标杆，去对照 整个带动的掌握情况是比较合理的。再来说一下朝阳这个二模，这道带动啊难度很大，但是他和海淀区啊走了另外一个不同的方向，就是他并不是我们平时讲的比较多的那些常规考点加大了难度，而是出了一个比较偏的方向，偏向于理解， 偏向于新定义的理解。这个题不作为大家重点关注的题，因为我觉得确实出的有点太偏了。再来看二十七题，这个题的三区难度依然是海淀大于西城，大于朝阳。西城和中考的难度最接近。海淀的这道几宗题啊，一方面是它本身出的比较难， 还有一个方面，他重点考察了终点。而很多初三的同学现阶段练的特别多的都是旋转。因为二五年北京中考核心是旋转，所以很多同学对终点问题又有点忽略。我们在呃最后最后的冲刺课中，会重点提到终点问题，为什么？ 不仅是因为海淀二模考了，更重要的是从二二年开始，二三二四这三年几宗终点都是中考中绝对的重点， 所以它不能因为二五年啊，没有放在终点上就忽略它的重要性。当然，这道题其实是有多种做法的，每一种做法都会围绕终点作为核心。西城的这道几宗题呢，它确实就是以二五年中考作为重点参考的一种题型了。它核心考察的 这个旋转呢，我们一直在强调的就是七字口诀、旋转、线段、带圈等。除此之外呢，它还有一个难点，也是大部分几宗题容易设置的一个卡点，就是倒角问题。对于倒角不熟练的同学，重点要研究下这道题。 朝阳二模的几栋没啥可说的啊，就两个字，简单。二十八题，难度依然是海淀大于西城，大于朝阳。为什么这么说？因为对于大部分同学来说啊，新定义主要就是看前两问，第一问一般呢就是送分题，只要时间充裕，大部分同学都能做出来。核心是看第二小问，海淀二模的这道 题的第二小问难度跳跃就非常大，所以很难得到第二小问的这个分值，一下就把整体难度抬上去了。而西城二模的呢，他的梯度设置的就比较合理，所以也是最接近中考的。对于二模以前两问为目标分数的同学来说， 重点可以做下西城这道题，如果你是想奔着满分去的，或者九十五加的同学，你可以重点去挑战一下海淀区这道题。朝阳的这道二模题啊，我真是觉得有点这个，为啥这么说啊？因为这个过于简单了，而且不仅是第一小问过于简单， 第二小问呢，也过于简单，并且到了第二小问，他都和新定义的后半段没有关联。这种出题确实有点匪夷所思了，不知道为什么会出成这样的状态。所以也引出一句话啊，就是 在中考的最后阶段，大家肯定会大量的去刷二模题，但并不是每道二模题都适合你去重点对待，一定要选对合适的题。除了二模题以外呢，还有就是往年的中考题也很重要， 所以我们最后的冲刺啊，一定是既围绕合适的二模和一模题，又围绕往年经典的中考题，甚至是往年一些特别特别重要的一模二模题，选对题真的非常非常重要。

北京高三的同学还有家长朋友请看过来，咱们的二模考试已经全面结束，二模考试是高考前最后一次全真彩排，今天通过这个视频给大家讲一下二模考试透露出来的几点信号。 首先，我们要共事一个问题，二模考试的目的是什么？它是一次考验我们答题心态以及做题策略的一次考试。在结构不变的情况下，咱们高考做题的这个节奏，答题策略可以完全照搬咱们的二模考试。 其次，今年的东西海潮，各区二模真题也给今年的高考打了几张名牌。第一，基础为主，各区试卷基础加中档题占到了试卷的百分之八十到八十五的这么一个比例，难题只有百分之十到百分之十五。第二，反套路，重本质，不考偏怪的内容。第三， 模块融合度变多，情景变化题也有所增加，读题非常关键。第四 步骤，分就是咱们的生命线，重要的事情说三遍，规范过程。北京阅卷卡过程非常的严格，同学们，二摸不是终点， 是高考前最后一次查漏补缺的机会。最后小二十天的时间，希望大家稳住心态，少焦虑，踏踏实实算好咱们的每一道题，高考必胜！

分享一个我的教学方法，就是通过多题一解归类，总结出的确定性方法。这个方法最大优点就是快速，能秒杀，同样它的缺点就是纯粹为考试而生。 好，我们就用北京按摩这几道题，比如海淀按摩、朝阳石、景山啊，防晒等。这些题你看似是好几道题，它其实就是一道题， 哎，我们就先看海淀二模这道题。这道题通过读题，我们会发现，题目里边有三角形 r、 t， 三角形 a、 b、 c， 同样还有 r、 t。 三角形 b、 d、 f。 ok， 那 这 r、 t。 三角形在真正考试的时候，它的确定性方法就是 对称，所以你看，把 r、 t。 三角形 a、 b、 c 沿着 a、 c 对 称过来，沿着 a、 b 对 称过来啊，对称到点 p， 同样把 r、 t。 三角形 b、 d、 f 沿着 b、 f 对 称过来，到 q 对 称过来，就有了等腰了。有等腰是不是就应该考虑手拉手了？所以接下来我们就只需要连线 p、 d， 连线 c、 q， 根据手拉手的特点，小大小大啊，纯粹的确定性小，大小大就有三角形 b， p、 d 全等于三角形 bc、 q， 这个很好正啊， s a， s 正完了之后，这个九十度 f 出九十度就出来了，所以这个题就没有了 确定性路径，多听一解的方法。所以接下来，哎，你看朝阳二模这道题与它有什么区别？没有区别，这个题里边都不用读题，就有 r、 t。 三角形 a、 c、 b， 所以 我们优先考虑它的确定性路径。对称 对上到点 p， 纯粹为考试而生，所以手拉手有等腰，有手拉手 看，所以三角形 a、 e、 p 全等于三角形 a、 d、 b 啊，哎，所以这俩角就相当 x x， 同样这个地方是不是做完图之后就有八字啊？所以这个 这俩角就相等，哎，这个地方是不是 x 加 y？ 是 不是？这就是 r alpha？ 然后题目这个角是一百八减 r alpha， 所以 答案就出来了，两个角的数量关系相加一百八直接秒。 所以我说这个方法最大的优点就是快速能秒杀，然后同样它就是为了考试而生啊，我的这个确定性方法就是像这样通过多道题总结出来的统一方法， ok， 这样讲有点不尊重出题人，太快了是吧？太快了， ok， 来，比如说石景山二摩这道题，这道题确实有直角三角形读题，但是你会发现这个地方还有三十度，当然还有下边还有六十度， 有三十度的直角三角形 abc， 那 这种对称必定是 沿着 a c 对 称，这样是不是就出等边了？ ok， 这样就出等边三角形 a b p 了，哎，点 d 处是不是六十度啊？所以肯定考虑手拉手啊，没有比等边再好的手拉，再再简单的手拉，手拉，所以连接一下 a p， a e， 连接 ae， 哎，连接一下 e p， 所以 手拉手是不是就出来了？三角形 a b d 全等于三角形 a p e， 然后，哎，你做完图之后，你有没有发现 c f 和 e p 是 中位线，是不是辅助线做出来它就是中位线了？所以 二倍的 c f 就 等于 e p， 是 不是也就等于 b d 啊？所以你看 b d 和 c f 的 数量关系，读完了对称 r t 三角形， 好吧，哎，你看感觉到了吧，是不是多提意见，直接秒这种题？那你再看房山这道题啊，所以你看到这个题里边有 r t 三角形 a、 b、 c 的 时候，有 r t 三角形 a、 h、 d 的 时候， 所以，乖，不要说我要这样思考，我要那样思维啊。如果是纯粹考试的话，哎，你先对称一下吧，是不是对称一下？哎，我 a h， d 关于 a h 这样对称， ok， 同样 abc， 关于 ac， 这样对称来 好，对称完了，这个点是 p， 这个点是 q， 对 称完了，是不是就有等腰，从而就有手拉手了？所以我再连接一下 b p， 所以 就有三角形 a， b p 全等于三角形 a c a q a q c a q d 啊，手拉手是吧？手拉手，然后他问，这两个边的数量关系啊， c c g 和 h g 的 数量关系，哎，你看完了之后是不是就有中位线？ 就是 g h 平行且等于二分之一， b p 这个东西肯定用得着中位线， 然后他问这两个边的数量关系是不是就倒边了来？假设这是 x， 导出 c g 也是 x 来就行了，哎，所以这是二 x， 所以 这是不是二 x？ 我 们 cd 是 y， 所以 bc 二 x 加 y， ok， 由于这个 gh 是 中位线， gh 是 中位线，所以你瞧，你瞧这个， 这个长度是不是 x 加 y？ 为什么？因为整个 b d 是 二 x 加二 y， 它的中间不就是 x 加 y， 然后 cd 是 x， 所以 c j 是 不是 x， 所以 c j 就 等于 h j 就 拥有了 啊，就四道题啊，简单来说，就四道题，通过这四道题，你会发现，哎，如果 你像我一样关注的是考试，关注的是考试，不妨尝试一下我说的这种多题一解的确定性方法。确实快，太快了，直接秒这种题，有没有这种感觉？

新鲜出炉的海淀新概念，看上去很乱是吧？别提天焦虑，面包会有的， c 的 和 k 会有的，这道题还是挺有意思的。然后呢，首先这个定义，同学们给了你 c 的， 给了你这些东西看上去很乱，是吧？首先第一个，按照老谢的哲学，别提天焦虑， c 的 和 k 会有的，面包会有的啊。 然后呢，另外，各位一旦看到一个点，一定要和圆，一定要看圆内圆外，圆上。人家说了圆外，这是个前提，也是个细节确认，因为它会涉及到有些啊，要是虚线的圆。 另外一个呢，看到这种定义很害怕的话，我告诉你，你要用我的决定性思维，你会发现，如果一个 a、 p、 b 这样的三角形，比如说啊， 它给了你 c， 它还给了你这两个边的比例，它不就给了你这个三角形的形状吗？所以这道题它其实已经给了你一个三角形 a、 p、 b 的 形状了 啊。然后呢，并且如果这道题是一个动态的题，很有可能会用我们讲的很多遍的以动致敬，加个体到整体啊，俗话说的瓜豆原理啊，比瓜豆原理更拓展的一般化的一个东西啊，以动致敬，加个体到整体啊。第二个呢， 就是还是跟昨天我录的西城的一样，以圆为背景的心力，只要研究一种情况，因为从圆心看，哪个角度都是正方向。好，第一个的话呢，我们先从负四零切入，我们会发现非常巧，米奇老师这个设计的 就是当他在负四零的时候，你呢，先往这个圆做两条切线，会发现，因为这个长度是四， 这个长度是二，所以这个角正好是三十度，这个角正好是三十度，因为你能看出来六十度杠一，按照这个定义，其实就是他说的是 p a b 是 个等边三角形， 你会发现，当点 p 在 这里的时候，哎，点 a 在 这里，点 b 在 这里，你会发现它正好是一个 p， a b 是 个等边三角形，并且你会发现，如果 p 离的远一点， 这个六十度的角就和圆就没交点了，所以点 p 离圆心的距离不能超过四， 但是如果近一点，肯定有啊，甚至还不止一个， ok， 所以呢，这样的话，第一问就很轻松了啊，零多号五肯定不行了，因为太远了啊，二多号二呢？因为比四近是吧？二多号二到圆形的距离是二倍的，根号二还是小于四的，所以这个 p 一 和 p 三应该是，你们看我有没有算错啊？这第一问 到第二个，各位，我们就要用个题到整体了，是吧？根据定义，根据六十度杠二，就说 a p b 等于六十度，并且 p a 等于 p b 的 两倍。我们不难发现，这面题老师其实给了一个非常简单的三六九 好，那有的同学说，老师我研究这个，研究这个算那个 o， p 的 长度，不好算哎，你要直接算，可能不太好算。这个时候我们可以用以动致静，啥意思啊？就是我们可以看一看啊，咱们这个 ab， 按照我们双题的讲吸引力的方法，这叫埃涅万达法， 我们随便画一个 ab， 点 b 在 圆上，点 a 在 圆上啊，然后呢，咱们可以把点 p 看成什么呀？看成 a 以 b 为圆中心，哎，顺时针，当然你也可以逆时针啊，你算完以后会发现是一样的啊，顺逆时针， 然后呢卷九十度，并且因为三六九，所以这个长度是这个长度的根号三倍，所以这就变成原来的三分之根号三了。 所以你会发现一个点屁，就是一个点 a， 绕一个啊，绕点 b， 哎，逆时针或者顺时针旋转六十度，并且缩小为原来的三分之根号三倍得到的。那么所有点屁呢？就是所有点 a， 所有点 a， 因为点 a 的 身份就是在圆上，所以它能代表圆， 也就是整个圆 o 绕点 b， 哎，顺时针旋转九十度，并且缩小为圆的三分之根号三被得到了。好了，我们接下来要让圆 o 绕着点 b， 顺时针旋转九十度，或者逆时针旋转九十度 啊，并且半径变成原来的三分之根号三，所以各位，这时候我们会发现，基于我的决定性思维，旋转圆就是旋转圆心啊，因为咱们这时候，首先各位啊，首先 我们把这个圆心 o 绕着点 b 旋转九十度，并且这个边变成原来的三分之根号三倍，咱们就找到了圆心 啊，找到了圆心以后，各位，你会发现这个时候啊，然后呢圆心在这里半径呢就变成原来的三分之根号三倍了，也就是二除以根号三，这个半径是二除以根号三， ok， 这个时候我们会发现点屁的轨迹是啥呀各位，这时候点屁的轨迹是在圆外这个圆弧，这个 u 弧差不多啊，各位， 那么咱们这是研究的是任意一种情况，咱们圆心以圆为背景的圆，我们只需要研究点屁到圆心的距离，你会发现根据双截棍模型，最长的时候就是这种情况下， 然后这个长度，这个长度因为三六九，因为它是转了九十度，这个边是这个边的根号三倍啊，那么这个边就是它的二倍啊，是这个 o、 e、 b 的 二倍，所以根号三分之四，加上这个绿圆的半径，所以 o p 的 最大值 就等于根号三分之四，加上根号三分之二，等于根号三六，就是二倍的根号三。 ok， 这个时候我们就会发现，点 p 到 o 最远是二倍的根号三，最近是无限贴近于那个圆 啊，那么这个时候我们就会得到圆环了，这个青色的圆环半径就是二倍的根号三，里边这个就是圆 o 啊，我算了一个答案，你们看对不对啊？因为我着急尽快给你们录视频，这是第二个答案啊，我们接下来再看第三位， 有了第二问答理，我们第三问，至少我们还可以先研究三角形的形状了，别被这个根号七吓着，别被这个七的绝对值吓着，没啥啊各位，我们先随便画出来这样一个 a， p b 等于一百二十度， 并且 pa 等于二倍的 pb， 我 们用初二的知识不难算出来，这个时候你会发现人家给的这个根号七，太巧了，这个时候如果 pa 等于二 m， pb 等于 m， 那 么 ab 就 等于根号七倍的 m， 那 么我们要以动致敬的话，我们要让点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 并且你看啊，原来 a 到 b 的 距离是根号七，现在变成一了，所以就变成原来的根号七分之一， 所以跟第二个是一样的啊，还是典型的从个体到整体好，在这种情况下，各位，我们就知道，哎，怎么通过点 a 得到点 p 了，跟第二个一样，各位 啊，我们随便画一个 ab， 然后各位你们体会体会，我们还是啊，点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 刚才那个 alpha 的 正切值咱们是知道的，就是这个 alpha， 它的正切值是根号三，比上二啊，然后呢，我们让 这个 a 绕着 b 旋转 alpha， 就 会得到点 p， 那 么所有的点 a 就是 整个这个圆 t 啊，整个圆 t 绕着点 b 旋转 alpha 啊，并且变成原来的根号七分之一倍就得到。屁撇。各位，这种情况下啊，你自己可以算一算，也就是说 我们得到这样一个圆以后，我们照样算点 p 到圆心 t 的 距离的最大值，就是那个圆环的外外径啊，我们算一算，根据那个图，这是 t， 这是根号七 t， 这是二 t， 还记得吗？来再看看这个图啊，二 t， 那 么并且这个半径是 t 的 绝对值啊，我都只是说 t， 其实就是 t 的 绝对值，那么这个也是 t 的 绝对值，所以你会发现，最远的这个 p 到 pr 圆心的距离，最大是三倍的根号 t 啊，三倍的 t 的 绝对值不是根号 t 啊，然后呢，最小的话还是啊，但是还不能取等，就是这个半径，所以到这个时候各位，我们就得出来， 就是说我们的这个点 p 的 轨迹还是一个圆环啊，内径就是原来的圆 t 啊，根号七 t 的 绝对值，外径就是三倍的 t 的 绝对值，这个可以去等。 ok， 到这的话呢，各位，我们就把 p 的 轨迹找到了，很多同学看到至少存在两个的时候，可能被两个给吓着了，是吧？这个昨天西城的，今天也是两个， 我告诉你，如果你看不懂，今天老谢关于这道题跟你说了两次，不要提前焦虑，你到了高考要做题的话，也要用我这种哲学，别自己吓唬自己啊，车到山前必有路，把能做的都做了，做着做着就咋回事了啊，就知道咋回事了。 好了，那么接下来各位同学你可以暂停一下啊，然后呢，看一看，给你分析到这以后，你知道了点 p 的 轨迹，然后点 t 还在 y 等于 x 上动啊，你让他全面细致去动，看能不能想到临界情况以及临界情况对应的数值。 好，那我们接下来呢，就让这个点 t， 让它一开始在这个 y 等于 x 的 最右，最右上方啊，对，从右上方啊，不是左上方，右上方向，左下，全面细致有序动啊。然后呢，一开始，因为你会发现这个点 t 在足够靠右上的时候，他这个圆非常大，因为这个这个半径是你的这个这个这个横坐标的根号七倍吗？对吧？就非常大，所以呢，就没有，所以各位同学你就会想到他的第一个临界情况，就是这个点 t 往下走，往左下走，然后呢，正好那个圆环 啊，正好那个圆环，这个圆环的内径是吧，就是还是根号七 t， 外径是三 t， 还记得吧，这是第一个临界情况，然后他再往下，再往下，各位，这是第二个临界情况 啊，临界情况呢，我刚才让邵老师给大家算了一下啊，各位，这个数算的啊，让人真的有点发虚啊，因为这数算的太那什么了啊。然后各位，算完以后，这两种临界情况对应的是啊，一个是 这个二分之一到五分之三倍的根号，十减一，因为他需要俩点，所以虽然零件情况二这是已经是可以取一个了，但是人家需要俩 啊，那你呢？还得这种情况不行，也就说得刚刚从好几个啊，缩小为一个的时候啊，那么其实是无数个了啊，因为一个圆环和一个线段，要么没焦点是吧，要么像现在这种情况，一个焦点，要么再来的话就无数个焦点 啊。 ok， 这是第一个临界情况，第二个临界情况，他继续往下走，哎，这个圆环就这个半径啊，本来呢，往这边走了以后，他因为他这个 t 越来越小，他这个圆越来越小，所以和这就没有了，没有呢，慢慢慢慢过了这个负的这个圆点以后， 因为这个 t 的 绝对值在变大，所以这个圆的半径也在变大，所以呢，又开始接触上了啊，然后呢，这是一个临界情况，然后再大，大到一定程度，这个圆还会很大，因为虽然这个点往这边走，但是它的半径是它根号七倍啊，是它绝对值的根号七倍，所以各位同学请看啊，这是 邵老师给大家啊算的啊。来，各位，这就是 最后这个答案啊，两个临界情况，因为这种怎么算呢？各位，其实这个算倒不难，因为就是两点之间距离吗？因为你只要在圆周上到圆心的距离就是半径吗？是吧，这个整个这四个临界情况的算法都是这样的，然后呢，大家看一看啊，这是我们算的 哎，后边啊，临界三，临界四对应的数，然后呢，这是我们刚才临界一，临界二对应的数，如果答案有问题的话，咱们再探讨啊，发现这道题的思路呢？就是我们这个视频是给大家提供这个思路啊，有新的思路咱们再进行探讨，这是我看到题以后第一时间给大家录出来的。

好了，接下来我们来看看银外二零二六年初三二模的数学试卷。第一题，若角 a 等于二十三度，则角 a 的 余角大小是多少？这个比较简单，考察的是余角的定义，九十度减去二十三度，它应该等于六十七度，正确答案就是 b。 第二题， 根据国家卫健委的统计，我国接种的新冠疫苗已经超过了这么多，几次啊？这是考察的是科学计数法，这个呢，也比较简单，科学计数法的第一个数应该要大于等于一小于十，所以他应该是 七点零四。然后呢，我们往右数看，小数点移了几位？一二三四五六七八，小数点移了八位，所以他应该是七点零四乘以十的八次方。这里呢，应该是 d 选项。 第三题，考察的是几何体的三式图，如图所示，图中有七个完全相同的小正方体组成的几何体。问他的左式图是哪个？我们通过立体图可以推断啊，如果从左边看的话，底下的这一层呢，是三个小正方体，左边的这一列呢，应该也落了三个，所以应该是 c 选项。 第四题，若这个式子在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是什么？那这道题呢，考察了分式、二次根式，还有零指数密。分式有意义的条件呢，是分母呢，不能为零，也就是根号下的 x 加一不能等于零。 然后呢，二次根式有意义的条件呢，是被开方数要大于等于零，也就是 x 加上一要大于等于零。零次密有意义的条件呢，是底数不能为零，也就是 x 不 能等于零。 所以呢， x 需要同时满足这三个条件。第一个式子解出来呢， x 不 等于负一。第二个式子解出来呢， x 大 于等于负一。第三个条件呢，就是 x 不 等于零了， 取它们的公共部分，也就是 x 要大于负一，并且 x 不 等于零，所以正确答案是 c 选项。第五题，下列运算正确的。是啊，那这道题考察的是整式的运算以及根式的运算。第一个选项呢，应该是 a 的 五次方的二次方，它应该等于 a 的 十次方啊，密的乘方是底数不变，指数相乘。第二个呢，是 x 的 五次方，乘以 x 的 四次方等于 x 的 九次方，那这个应该是没有问题的，同底数密相乘，底数不变，指数相加， b 是 对的。 c 根号九等于正数三，这个明显是错的，根号九表示九的算数平方根，它应该等于三， 前面是不带正负号的，所以呢，这个正负号也不应该有啊。 d 选项，负二十七的立方根减去根号三，等于二倍的根号三。那这道题考了开立方负二十七的立方根，他应该是负三，负三减去根号三，那这个数呢，是不能合并的啊，他还是负三减去根号三。 所以呢，正确答案只有 b。 第六题，一个多边形的内角和外角和。 我们知道多边形的外角和是三百六十度，那么他的内角和就应该等于三百六十度，再乘以四，他应该等于一千四百四十度。 然后呢，把一千四百四十度带到多边形的内角和公式里面就可以了。多边形的内角和公式是一百八十度，再乘以个 n 减二，算出来 n 应该等于十，他是一个十边形， 正确答案就是 c。 第七题，将抛物线 y 等于二倍的 x 减三括号，方加二，向左平移三个单位长度，再向下平移两个单位长度，得到的抛物线解析式是哪个？这道题考察了二次函数的顶点式以及二次函数的平移。平移法则呢，是上加下减，左加右减， 向左平移三个单位长度，左右呢，动的是横坐标，也就是 x， 也就是 x 变成 x 加三。然后呢，再向下平移两个单位长度，上下呢，变的是纵坐标，也就是 y。 所以呢，在整个数字的后边呢，再减去二就可以了，把它化简出来，结果应该是 c 选项。 第八题，如图，在三乘三的网格中，每个小正方形的边长均为一点， abc 都在格点上，若 b、 d 是 三角形 abc 的 高，则 b、 d 的 长是多少？ 那这道题让你算三角形的高，我们就要把三角形 abc 的 面积算出来。通过观察图形，我们发现这个三角形呢，它并没有特殊角，所以呢，我们考虑把边上的这三个三角形面积给它挖掉。 我们把左上的这个三角形呢，记为一号，左下的记为二号，右上的记为三号。 s 一 呢，应该等于一， s 二呢，就等于二分之三， s 三呢，应该等于三。 所以呢，三角形 abc 的 面积，它就等于九，减去一，减去二分之三，再减去三，算出来呢，应该等于二分之七。 然后呢，底边 a、 c 的 长度，我们可以用勾股定律算出来， a c， 它应该等于根号下二的平方加上三的平方，也就是根号十三。 然后呢，算 b、 d， 我 们把它带到三角形的面积公式里面就可以了。 s 三角形 abc， 它应该等于二分之一乘以 a， c， 再乘以 b， d， 那 么 b d 就 等于二分之七乘以二，再除以根号十三。化简出来，它应该等于十三分之七倍的根号十三。所以正确答案就是 d 选项。

海淀的这初三二模，这次英文呐，这 cd 两篇文章啊，特别硬核，非常学术。先说 c 篇啊， c 篇呢，前半段是生物，后半段是心理学，两个结合在一起，硬是极了，贴着这学科走啊。 他说这小朋友啊，青少年为什么容易急啊，玩玩游戏啊，弄弄视频啊，就开始犯急着急？ 他说呢，先从生物上讲了，说这脑子里头有个东西啊， mikdala 啊， mikdala 什么玩意呢？叫扁桃体啊，不是扁桃体啊，您这上火扁桃体，不是扁桃体，桃子那也叫杏仁核，控制人的这个情绪啊， emotion， 控制这个， 尤其是负面情绪啊，这个生物学上研究了，说，当听到这个悲声音乐的时候啊，就这个啊，扁桃体他就活动啊，异常的活跃啊， 所以大家发现这事跟情绪是有关的。所以发现青少年呢，有一些容易急的。孩子呢，遇到些事，别玩游戏，玩一玩过不去啊，着急打不好。这时候呢，他发现那个扁桃体异常活跃， 那后半段呢，要贴着这心理学走，说这东西吃药行吗？没用啊，这吃药根本无济于事，怎么办呢？只能做三招。第一是呢，深呼吸啊，当你遇到急事，深呼吸啊，深呼吸， 为什么呢？因为当人急的时候呢，情绪激动啊，他这个大脑告诉我们，就 fight or flight 啊，你是战斗还是逃跑？所以这时候呢，他心跳加速啊，供血充足，随时做这个应急反应。所以你深呼吸之后啊，心跳呢，就降低了，血供的不是那么猛，他就话情绪就平稳了。 第二，什么呢？远离那些闹人的，烦人的那些人和事啊，比如远离这个学习啊，远离让你讨厌的人啊。第三，什么呢？跟自己呢？自洽 啊，就是告诉自己，这都不算事啊，这不重要，转移注意力，这是典型的心理学当中的一个分支，叫健康心理学啊，当时健康心理学说的就是这三条，所以你看他是海淀这个 c 片呐， 就还是很硬的啊，这硬，硬在哪呢？菜硬啊，融合菜硬啊，硬在哪呢？前半段就是硬核的生物学，后半段硬核的心理学，贴着学科知识走。再说这第一篇啊，他是妥妥的这么一个社会学。 这社会学呢，他讲什么呢？讲的就是理性和理性之间的这么一关系啊，这人到底是理性好还是理性好点 啊？你比如说这个理性就是 rational 啊，比如说这个卖车的一个销售，那文中提到卖自行车啊，那巴不得这车卖最高价，为什么人得挣钱啊，所以他的这个行为就是 rational 啊，这是非常理性的。 但什么叫 reasonable 呢？什么叫合理性呢啊？就比如说你有一个自行车啊，你呢，想卖给这个邻居一看，邻居小孩呢，特喜欢啊，捞象棋，然后你说那行啊，咱别别两万了啊，我两千卖给你吧，哎，这孩子很高兴， 他说两条，第一呢，是不是说你知道这自行车邻居家孩子用了肯定会去骑的啊。第二呢，邻居家小孩高兴，你也高兴啊，所以你也得到满足了。哎，这是 reasonable， 就是 理性，所以这是妥妥的这个社会学的知识啊，就是理性和理性之间的这种关系。 所以你看这海淀这提出的啊，现在这 cd 两篇真的是有学问啊，这都是硬核的学科知识啊，然后变成了这种英文文章啊。其实呢，你说这个 c 篇呢，它源自于二零一八年的一个报告 啊，就是一个专家团队做的报告，就研究青少年为什么总是爱爱急爱着急啊？他叛逆，他是叛逆，但叛逆同时他爱起急，他到底在哪呢？对吧？有的人就特别爱着急，哎，他是根据那个报告编的这么一篇文章。 你像这个第一篇的话呢，他是斯坦福大学官方网站的一篇文章，讲的就是理性和理性的一种关系。 所以这些外国的这种外刊啊，包括相关的一些啊，科技类啊，心理学类的相关的东西，生物学的东西还是值得一读。你说作为孩子应该怎么办呢啊？我觉得两条很重要，第一啊，就是得刷题，多做题， 你多做题才知道这些东西，对吧？你有手感呢。第二什么呢？得多阅读啊，阅读这生物学啊，心理学啊，社会学啊，这样的话呢，你才会呢，有很好的这种感觉。 你不能说这两条我只取一个，我，我只刷题，那你天花板就很低啊，但你也不能说我只搞这些能力型的阅读，对吧？不做题，那你到考场也得抓瞎，这两者结合在一起，我认为是最合理的啊，也是最合理的。 那至于东城还有呢，这个我们说的朝阳他们到底考成什么样的文章，这个咱们后期慢慢分享。加油吧，孩子们，努力做题，努力阅读。

哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。

刚刚做完海天按摩的试卷，现在呢和大家去分析一下海天按摩的总体情况，也会通过丢分点以及题目的变化和孩子之后该如何备考三个角度呢？和大家一起分享一下在按摩之后咱们该干些什么。 首先按摩的这套卷子呢，它出的是非常的好的，学生做起来一定是有很大的难度的。 在考试之前，咱们就已经和很多学生说了，海淀的一模会模仿去年的中考，海淀的二模会有很多创新。 果不其然，在这一次考试当中，有很多题确实出乎了我们的意料，当然也有不少题也是在咱们 意料之内的。这里呢，大家也可以去看咱们前面发布的一些视频，大家就会有更多的收获，可能也能有更多的感受好这套卷子呢，前面的基础题啊，一到七对于大家来说应该都没有任何的问题，主要是第八题， 嗯，可能很多学生呢依旧在准备反比例函数呃的分析问题啊，但是呢，这次考的是一个一次函数， 总体上来说呢，它的难度还是比较大的。第一个选项大家做起来会非常好判断，第二个，第三个的难点是在于，现在北京很多的孩子不太善于在这个平面直角坐标系的函数 以及几何结合去表示相关的量，导致大家在做题的时候呢，不太好判断第二个选项和第三个选项，那这样的话，这道题就不太好拿分，当然他作为选择题依旧是 能蒙对的，这个呢，咱们还是要稍微注意的，对吧？很多学生呢，是有这样的一种感觉，他可以通过这个感觉能去蒙对这样的一道题， 我觉得这个没有任何的问题，所以第八题呢，你丢两分，或者说你不丢分，都在情理之中。从第九题一直到第十六题啊，没有什么问题。十 六题的第二问呢，大家在考试的时候依旧可以放弃，不是说这道题有多难，而是说这道题咱们在做题的过程当中比较耗费时间，这一分他不值得， 就是正常往后翻的话，十七、十八、十九，二十题非常基础啊，这道题没有任何的设计，二十一题非常基础。这道题咱们在之前呢就已经和大家分享了。呃，在 考试之前，我和我在平台上发布了一些视频，我说就是今年应用题，小函数啊，以及咱们的 填写有一些小题，包括后面的一些大题，可能会发生变化。果不其然，在这一次海淀的二模当中，我们会发现应用题呢，再次回归到了文字类应用题的二元一次方程，对吧？不过这道题比较简单。 小函数这道题呢，虽然说有变化啊，但是大家已经经受了咱们，嗯，这个二十六题构造新函数的锤炼。所以这道题对于大家来说呢，没有任何的问题， 哪比我们之前考那种大小呀，旋转的逻辑啊，要简单一点，所以说这些题目呢，没有任何的问题。好。二十三题，这道题啊，我觉得对于中懂或中懂偏下的学生来说是不太友好的，他的阅读量越来越大，那么这个二十三题， 海淀在一模以及二模考试的内容是一模一样的，都考到了中位数以及平均数这两个东西，这个呢，大家稍微的注意一下啊，海淀的一二模考的都是这个东西， 一模考了，二模也考了，那么在这道题呢，第三小问考的就是中位数排名的问题， 这个也是咱们在上课的时候重点强调的一个东西。那第四题呢，考的就是一个平均数的计算问题，难度不大，就看大家有没有细心，有没有耐心去把这道题理解起来，然后并去解答 好二十四题的原综呀。这道题我觉得出的比较简单，因为它应该是九年级上册。 呃，我们考圆的一个难度啊，就是把这个阿尔法替换成三十度，大家去看一下，翻一翻你九年级上册，一个是四十五度，一个是三十度，这样的一个斜三角形，让你去求这个 b d 的 长那，只不过我们学过了三角函数，可以使用更多的角度了， 把这其中的一个三十度替换中的阿尔法就是这样的一个难度。所以这道原宗呀，你说如果你没做出来，那大家一定要小心。在接下来，不论是你学校的三模，还是我们所说的中考模拟，甚至中考，你的原宗会比较危险，因为这一道题说句实话是非常基础的， 如果说这道题没做出来，那我们的原是有很大问题的。二十五题，海淀的二十五题依旧是王者。这道题海淀的创新度是非常高的，每一道题他的思路完全不一样，而且他的设计都很新颖，然后设陷阱设计的也非常巧妙。 嗯，这里面有一个东西，叫做共计三十万的前期支出，就这么一句话，就有很多孩子们在做题的时候容易忽略掉这个问题，所以这道题的这一位 大家就容易出错啊。这道题的第一问，这一问很多学生看图容易写一个五，对吧？这个五为什么就是忘记了前面的这个三十万，对吧？这个很 很好理解。好，接下来就是我们所说的啊，这个第三问呀，这个时候很多人都读不下去了啊，觉得这个好像很难，其实本质上来说就是一个非常基础的一个啊，我们所说的蝇手笔这样的一个问题，非常简单，但大家可能读不下去。 嗯，这个我觉得就是海淀出题的一个魅力啊，就是他能让一些比较简单的题目让大家呃， 做不下去这样的一个状态。我说句实话，只能说明这个题出的很好，对吧？好，二十六题，我觉得非常的牛啊，二十六题非常的牛。在考试之前，我们去参加了海淀的二模调研， 调研的时候老师就说了，就是会不会换题不好讲，所以海淀在这一次按摩当中，他没有继续考察新函数，我觉得这个呢是非常合理的， 我们对于中考的一个合理的猜测，中考一定会考新函数吗？不是，很多学生呢，或者说很多家长呢，都会说，我们这个二次函数到底该怎么备考？各位，二次函数的备考，你只要准备好两个内容就好了。第一个就是原来的图像的性质，你要去分析的是图 图像的性质，函数的性质，不论是原函数还是新函数，你要分析的是性质。第二个你要学会，你要让孩子去干嘛呢？去分析参与数之间的关系，这个呢就是我们数学中的分类思想。 在阿尔摩之前，我们最后一次课啊，在周六的时候，周日的时候，我们和学生重点强调过二次函数，你的脑子里要有某一段区域，或者说某一个区间它的图像的样子， 你要去感受这个区间图像的变化的特点以及它的性质。你要会分析他们这里边两个端点，以及在这里边会出现量以及参数，以及数字之间的关系，这个才是重点。 不论是我们所说的一八年、一九年，还是二二年、二三年、二四年，乃至二五年，以及今年出现的函数，考察的都是这些。北京的二次函数考的是那种简单上档次，然后呢就注重性质这些东西 啊，他注重的是学生的一个思维，不会像外地一样注重一些计算，所以这一点大家一定要注意。二参数，你如何去分类这四种情况？为什么这么分？他是最重要的。好，这是戴宗。呃，己宗呢？我说句实话呢，有点 不太好。为什么不太好呢？因为二零二五年的海淀二模也是海淀二模，考的思路和今年的思路完全一样， 对吧？我们在备战海淀，今年海淀二模的时候，你应该靠几个方向呢？第一个你一定要去刷去年海淀二模的卷子，第二个是去年中考的卷子，对吧？这两套卷子一定要刷，如果说你真的刷理解了，弄清楚了，那这道题你真的是可以秒掉的 啊。还好我就是在上课的时候，我们也强调过，那新定义呢？咱们在这里边呢就不做过多的分析了，对于孩子来说呢，大部分学生应该也没有太多的时间去呃，解答他了，对吧？ 这是我们所说的啊，丢分点。那么对于这次海淀二模，孩子大概考八多少分，我觉得就是比较不错的成绩了，八十三级以上， 如果孩子能考八十五分啊，我觉得就是挺优秀的了，八十五分对吧？我们的平时成绩也是 a 吗？如果说孩子能上九十的话，那绝对是牛的， 所以大家一定要合理的看待这一次分数，因为这套卷子呢，他确实很难啊，这是第一个， 第二个，这里面的一些变化，在这里面做题，对于大家而言，我们能感受到最明显的几个变化。第一个就是选择题的第八题，从 反比例函数考察了我们所说的依次函数和图像的一个结合问题，对吧？不论是反比例还是依次函数，大家注意了，你表，你去设这个 坐标，然后表示其中的这个量，它是我们这道题的核心与关键，只能说一个东西，一定要注意啊，这个存在性问题啊，他现在成了我们选择题第八题的一个小的方向和主流了。 第二个呢，我们的变化比较大的就是这个应用题和一模以及中考出现了一些小的变化，但这个呢，是情理之中的。第三个呢，就是小函数这个问题，可能很多学生做的时候哎，会能感受到他这个变化还是比较明显的，对吧？ 第四个，也就是我们这一套卷子里边变化最大的一个题，也就是第二十六题，我只能说这道题出的确实很好，对吧？给大家呢， 进一步的带来了一个中考的危机感，就是二十六题到底考什么，现在没有人会知道，那我们接下来该如何备考呢？各位同学，我们要理解一件事情啊，就是你要弄清楚，拉开分数的差距的核心一定是终极题， 就是你想和别的学生拉开差距，或者说不和，不被其他的优秀的学生拉开差距。你要做好的是中档题和基础题， 这套卷子对于绝大多数而言，换句话来说，百分之九十九十五的学生而言，对吧？我觉得这个，嗯，从二十五题集齐， 呃，之前你的丢分如果能控制在三分啊，再或者五分左右，那这套卷子你做的就是很好的了 啊，三分到五分，所以决定你成败的是二十五题以前啊，正常情况下呢，你就丢三分啊，或者说其实应该只丢一分的， 其实应该就只丢一分了，你如果能做到只丢一分，那就很牛了，丢到三到五分，那你就很好了，对吧？那你会发现，从二十六题这道题，绝大多数其实第二份呢，都是不太能做的了， 对吧？二十七题很多学生也是反馈不太能做的，二十八题也是大家不太能做的，所以你不你不能被拉分的点就是前面的小题，后面的大题，它决定的 东西没有想象中的那么多，所以在后续的考试过程或后续的备考过程当中，大家呢，一定要注意了啊，多刷基础。还像我们之前给在视频当中给大家分享的一样，每周两套基础卷 啊，就是一到二十五刷，反复的刷，反复的刷，你想突破九十，那你这个三大综合元旦级，你就要做对两道题 对吧？自己要有目标有方向的去学习，不要什么都抓，又学带宗又学几宗，对吧？觉得自己好像都能解决，结果一到考试发现带宗没有解决，几宗也没有解决，出现了一个非常严重的问题。 好吧，这个呢，也就是二零二六年海豚按摩的一个分析，希望呢能帮助到大家。最后呢，再和大家说一下啊， 一定要稳住心态，这次考试呢，他考不好其实对于我们来说也是有好处的，因为大家能感受到我们的卷子的一些变化，对于我们中考的心态而言有更加有利的影响。 最后呢，也希望大家能在最后的这段时间好好备考中考，考出更好的成绩。

读完初三二模数学卷，同学们是不是又难哭了？三年数学白干！今天严老师从哼到拉，对每个题进行排序，看看你现在到哪个水平了？好，我们现在挨个来看。首先，我已经把选择题填空题部分给搞上去了， 我们拉的部分就不说完了，我们从先往后捋一捋稍微有一点困难的部分，你看你有没有在这个选择题部分给他跳进去啊，有没有跳进陷阱里头去？ ok， 我 们先看第四题。 第四题，这个题考了一个三角形的三边关系，有同学说这题我没想到在这第四题出现一个比较麻烦的位置，我给到他一个人上人的位置。 接下来我们看第五题。第五题涉及到一个分式运算，我们有同学一遇到这种分式运算，我的妈呀，不会算，感觉太困难了，不知道如何下手。所以第五题有同学可能在这里犯错误，搞不出来。好，我们再往下去看第八题。 第八题是一个勾股定律的计算，或者有同学知道角平分线性质的话，很很快出单，如果不知道你勾股定律，也能列方程把它搞出来。 但是在这个几何题，有同学一看到就搞不出来，所以在这里我给到他一个人上人位置。朋友们，虽然说选择题他感觉没那么快，但他人上人位置。来，我们接下来看第十一题。 十一题是一个量角器问题，考法比较新颖，但是本质上你如果能看懂题的话，这题是超级简单的。朋友们，只要你能把坐标搞出来。 ok， 这题能做出来。所以十一题 虽然不是拉完了，但是仅仅能达到一个 n p c 的 水平，你应该能把这个搞出来。大部分同学来，我们看十二题，十二题这个题我觉得 你想把它做出来或者证明出来是比较困难的，但是你如果说想蒙答案，蒙出来是非常容易的，我觉得大部分同学都是 能蒙对的，但是在这有同学可能不敢蒙，所以我给他一个顶级的位置，你能做出来或者蒙出来都堪称顶级。好，我们接下来看填空题，填空题前两个说真的，十三十四拉完了，只要说你能做出来， ok， 他 就能， 应该不会错吧。来看十五题，十五题是一个角度问题，我是用方程组的思想去解决的， 当然这个题他不属于特别难，只要说你耐心思考，那段时间你会商圆，你能找见里面关系，十五题就能搞出来。所以十五题给到他一个人上人位置，这样能做出来，你是堪称人上人。 好，我们再看十六题，十六题在这按理说是一个非常吭的级别，但是他到不了。为什么？因为十六题这个 图形给的太明显了，他就是一个一线三等角模型，或者同样像 k 自己模型，一线三垂直模型，如果你能理解他，找两个端点去求数，只要说你计算不错，肯定能搞出来，所以这题撑死给到一个顶级水平，也就是说目前省的填空没有出现特别难的吭的位置， 大部分你是靠算或者靠你蒙，是能把它蒙对的，所以在这个人感觉难度不会特别大。也就是说到现在为止，如果你做完选择填空，个人保守啊哈，我做选填充花了十五分钟时间，如果说你正常做完选填充，你如果感觉到四十分钟了，朋友们，你就前面做的太慢了。 因为选填充不难，所以后面大体一定是有难度的。朋友们啊，前后难度其实是 合起来可以打到一个比较难的地方，是不是？好，我们接下来看大题，大题前几个你会做的非常非常顺手，当你做前面非常顺手的时候， ok， 那 你会发现后面题一定是特别难的，你就揪点心吧。所以遇到简单题要做的是 稍微的快那么一点点，是不是让我们往后接着去填啊？十七题整个计算，我给到一个拉完了的位置，因为它太简单了。如果说你十七题错了，朋友们，不好意思，你的计算要好好的去看一看才行。同理，十八题，我们翻到十八题， 整体整个题目给到一个拉完的位置，因为他也就是个单纯的计算，如果你这样的计算，你同学说我最后科学计算不对，那你为什么算不对？加减乘除以上难的只要看题是不可以了， 所以十八题也是给到一个拉完的位置，甚至朋友们，十九题也整体给到一个拉完了的位置，因为他本身到不了难的地方。有同学说我十九题做的时候低了，那那那那，那个概率还能为零嘞， 那为什么不可以？你耐心读题，他不可能发生的话，是不是概率就为零？你同学可能在这可能会陷进去，但是这不属于难题部分，明白了吗？朋友们，包括第二本，只要说你认真的画树状图或者列表，你是错不了的， ok， 所以 前三个大题简直是送分题。 好，我们接下来看第二十题，从二十题开始，说真的，我觉得同学就开始逐渐的进入一个崩溃的位置， 什么玩意啊，你就给我个正常数不行吗？虽然这个背景大家都知道，公园里面都有，就那个，就，就那个，就那健身器材是不是？但是把它放到生活实际中 掺和了一些数，甚至说掺和了一些角度，什么四十二度，什么五十三度，有同学就感觉这数算起来太难算了，所以这题不是难，难在意什么？难在意他算不出来这个数。有同学计算一到这就卡住了， 理解这意思吧。所以我们现在看二十题，如果说二十题第一问你能搞出来，朋友们 给他一个 n p c， 他 思路超级简单，我觉得在大家练了很长的三角函数题目之后，这个题不属于难题，但是你在这可能会卡进去，明白意思吗？ 但是第二问就涉及到一点点思路，涉及到思路的话，可能就会有一点点困难，所以如果说你第二问这个角度搞出来了， ok， 给到你一个人上人的位置， 二十题第二问。所以二十题开始还是有一点点难度的。好，从二十一题开始就开始逐渐的变难，但是大家慢慢去想，我接下来给位置的时候，会发现， 每个题的第一问他都有简单地方，所以每个大题第一问你都是能保守做出来的，朋友们理解这意思吧。好，现在咱们看二十一题第一问就是求两个超级简单解决事，我把二十题的二十一题的第一问给到一个拉完的位置，你做不出来这个题，咱 三年数学白干是不是？三年数学白学好？第二问开始就逐渐变得，因为涉及到思路，涉及到计算机，同学就感觉说，啊，这是什么呀？我怎么 不会呀？好，我先说二十一题的括号二，是仿照前几年一个中考题来做的，这个题至少有六七年的历史了，所以大家现在一定要把六七年前的知识点拿出来，再翻来覆去的去练一练，很多时候 考题会循环去考，考多年以前呢，是非常非常有可能的，明白意思吗？所以第二问的二十一题括号二的圈一 给到一个人上人的位置，因为它本身确实有那么一点点的难度 啊，是到计算上比较难，但是思路上还是比较紧的，你只要能把坐标写出来就可以了。然后我们接着来看圈二圈二，说真的，二十一题 第二问的圈，按理说有同学在这可能想了好久，什么动点位置在这个范围之内，讲道理，这个题不难，他你可以先把那个对称完，那个点求出来，然后放到那个范围里头就行了，这样你做起来就会方便很多。 但是有同学说，什么玩意对称呢？我不了解。那你可以适当的话去接触一下这些类型题，你就会变得非常的简单，感觉对他来说，所以这题称不上哈，称死是个顶级，明白了吗？ 好，接下来的话我们来看二十二题。个人感觉二十二题这个提出的相当的没水平， 整个题分了好几问，他说了一问两问，但我把后面这是加上三问四问，整体感觉这个题难度不大啊，你就是你耐心去读题，你对四边形有一点点基础，你能把数算出来，你会倒三十度，六十度关系这题二十二题九分，你是可以拿满分的，所以这个题 难度不大，朋友们理解这意思吧，你正常去看，耐心去做题就行了。来，我给他二十二题的第一问，朋友们，你如果说不会正，这个你就拉完了，然后第二问你也就拉完了。 所以底下我把这当成三问和四问。第三问，尺规作图以及求一个数。首先，尺规作图你得会那五种，朋友们记得吧， 五种尺规作图至少要会四种，哪四种？咱在这不说啊，但是你心里应该明白，以及求 x 需要涉及到特殊角度，你得把它搞出来，你搞不出来，你这个挺就白费了。理解这意思吧。所以我们来看 这里的话，这个第三个我给他一个 n p c 的 位置，他称不上难题，朋友们理解吧，但是你值得去做 啊。来第四本这个拓展，我给到一个拉完的位置，同学说，那前面你 npc 怎么最后这个二十二题的这个第四个给到拉完位置呢？因为它确实不难，就考到一个矩形的一个对角线相等性质，你如果能看完题， ok， 你 前面不会，后面也能做出来。 所以有的时候难题不一定在后边啊，有可能在中间，如果前后关系没那么大的话，你可以舍去中间去求后边，是不是？ 好，我们接下来看二十三题，从二十三题开始，有同学就开始逐渐接近崩溃，我猜想有很多同学可能写到二十三题的时候还剩余很长很长时间， 尤其对一些成绩比较不错的孩子，从二十三题就开始去抠，就开始去想，就开始不明白怎么回事。说真的，二十三题，二十四题这俩题还是出的相当的难，但是 拿分还是能拿的，你有时间你是能把它抠出来的，所以我们来耐心的话去看一下这俩题能到哪个水平来。二十三题第一问，不用想啊，给到你个 npc 的 位置， 求个解析式，简单包括说你求完第一，哎，第一问的圈一，不好意思，第一问圈一，你求解析事还是非常容易的，但这题分值给的不高。然后我们去看二十三题的圈二， 二十三题圈二的话就是简简单单的话解一个方程，但这方程的话不好解，尤其最后带根号，他说什么玩意啊，怎么就怎么就带根号了。所以把二十三题的 第一问的这个圈给到一个人上人的位置，你能把这求出来，说真的已经超级厉害了，尤其你在有些同学时间不够到这的时候感觉，哇塞，我在时间紧张情况下能把这个数算出来，太厉害了，理解这意思吧。所以我们接下来看二十三题的第二问，就是括号。朋友们， 当你判断 a 等于 km 是 否永远成立的时候，什么玩意啊，本来两个字母就够用的，结果这里面出现了三个字母，这里面是一道一个销源，是一道联系的事，所以还是一道因式分解的事。朋友们，你慢慢去练，是能把它练出来，但是这题可能也在 从这开始就看不懂了，所以你能把这个括号整出来，你就非常的顶级，但是到不了行啊，因为这个思路你有大部分同学都是能搞出来的，我觉得，所以他撑死给到一个顶级，但是到不了行。但是第三问，朋友们， 你在括号的基础上去做题啊，你想求 a n 长度，或者说你想求最后这个范围，说真的，这四分不好拿，你能把这四分拿出来，第一你前面做完了，第二你前面思路完全理解了，而且你能处理这么多字母，你跟我一样厉害，你是能把二十三题的最后两问就 括号三的最后两小问做出来的，所以在这你能把它搞出来，朋友们，你简直是憨爆了。所以二十三题的括号三，不论圈一还是圈二，你能搞出来，全都憨爆了，尤其到这个位置，太厉害了。 那二十三题整体难度还是不小的。我们最后来看二十四题，二十四题这个几何题，这个动元问题是 现在考试中，你说有一个洞点，还好这里出现两个洞点，这两个洞点还在其中，有一还在来回动， 而且这个圆还在变大，还在跟这个四边形去找一些关系，这里面整个图像你要把它想明白才行，所以这个题整体思路还是挺难的，但是 前两位也是能送你点分的。如果说你第一问没有把角度求出来，没有把 t 等于五的时候，这个 m 搞出来，你就拉完了。朋友们，所以二十四题的前面的括号一这三分也是送你的，但是括号二开始， 比如说求 m 的 最大值，有同学就说，哇塞，我怎么不知道这个第，我把第二个都拆开了哈， 我拆开求 m n 把这圈圈一，这个还是非常好搞的， m n 最大值，大家能想出来它怎么运动，有同样是能把它搞出来的，所以这个乘除给到 n p c， 但是前提你要能看题，把题看进去，能看懂是不是才可以？ 好，那第二问，这个球落在里面的面积，我天呐，这就比较难算了，不光是思路难算，而且里面涉及到一些计算带根号的，我印象中好像有根号三十七，你算起来就比较麻烦，所以这就堪称顶级了。朋友们，就是我给到二十四题 的括号，二个圈，给一个顶级的位置，你能把面积搞出来就相当厉害了。来看第三问， 第三个说半圆与它相切，首先你考虑两种情况，因为整个运动过程中分两波， m 往那边的时候和 m 回来的时候两波，这两波中都有可能是相切的，所以能想到两种情况，以及把两种情况图自己画出来，再把两种情况的里面这个结果给算出来，你能把它这搞出来， ok， 你 就憨爆了。所以 朋友们，这个位置必须要给他耗，二十四题的第三问，第三问都耗了，第四问别说在里头了啊，你想把第四问在里边的闲肠不便做出来，你必须对整个过程是有所了解，而且你必须对前面的数算的是非常清楚的，你才能搞出来。 所以二十四题的第四问，咱给到一个好爆了的位置，那么到现在为止的话，我们已经对每个题的位置已经有了排序，朋友们， 请给我一点点时间，我把分值写上去，我们接下来揭晓一下大家到底能到哪个水平。 好，朋友们，我已经算完分数了，我们整体来看的话，能达到夯的分制有十分，有时候你能考到一百一十分的话，简直夯爆了，你太厉害了。这次二模考试，所以你看你有没有到这个位置， 这个分数应该比一模的时候稍微高一点点，因为超级大难题没有那么多理解这意思吧，但是你想考到这个分数还是非常不容易的，所以这次考高分的同学依然不会特别多啊，想这个事哈，来，我们接下来看，达到顶级的话， 顶级题目有十三分，能达到九十七分， ok， 你 的基础是非常没问题的，你只不过说解决这些超级大难题以及有非常有 值得思考的题是有点困难。所以如果说朋友们你考到九十七分，放心吧，你的基础超级厉害，以及你的做题速度应该没什么问题，你接下来就是需要更多的话去练一些难题，练一些大题，同时复习一些压轴题是不可以了， 但是不要忽略了什么一些对基础题的一些正确率理解这意思吧。所以九十七分的同学已经非常厉害了， 那我们接下来看，你能考到八十分以上，说明咱也达到人上人水平，基础也是没问题，但是接下来可能要注意什么，第一要速度，第二是不是准确度，应该把这些能扣出来的，适当的话去扣一扣，你发现每多扣一个题，其实多三分，每多扣一题多三分，我们 整个罗列下来，是不是几乎每个题都是三分，两分，两分、四分，平均下来是每个题都是三分，所以你到这个水平应该多多努力去把这些能扣出来，尽量多扣出来，顺势的话 提高一下速度是不会更好。好，接下来我们看，如果说你能考到六十一分， ok， 朋友们，那只能说咱有很大的欠缺，有些 该拿出来的题就没有做出来，你要加倍努力才可以。明白这意思吗？好，那六十一分底下的同学，不好意思，咱这次考试拉完了， 希望你能在接下来的不到一个月时间之内，耐心的话去整理一些基础题，去复习这些题，避开这些陷阱， ok， 你 的成绩会逐渐的往上去提升。 以上的话就是对整个二模数学里面的一个总结，整体来看，这张试卷难度还是有的，但是基础题占比比较大，难题占比是比较小，这个难题就属于哪种啊？属于是你想把它全部搞出来是非常困难的， 他确实有难度，但是你想考一个不错的分数也是可以的。这我觉得就是中考的一个方向，注意，我说是方向而不是难度。中考方向就是说有些超级大难题，大家可能说确实不好把它搞出来， 但是对一些中等同学，或者说中等往上同学，我能保证我一些题目的一些正确率，我能达到一个一百分左右的水平是没问题的，明白意思吗？在这个基础上，你多扣一点分数上去，你就更厉害一点，你就更好一点点，明白意思吗？好，现在的话，我们距离中考还有 不到一个月时间，考试永远不代表最后中考成绩。我们每次考试不是说为了证明自己有多厉害，或者自己有多菜，我们是为了找见自己目前的不足调整加了一个复习方向，明白意思吗？ 朋友们，中考加油，你一定可以成功的，我们下期再见，点关注呗。

咱设计二模呢已经结束了，然后呢我手里边拿的是咱社旗的二模的数学试卷，然后呢这两天我也做了一下，今天呢带大家看一下这张试卷它整体的一个难度，还有说就是一些需要重点关注的一个题，大家可以等试卷发下来以后呢，再认真看一看，提醒大家一点是啥呢？第一个就是说 二模呢，更核心的目的还是帮大家去做一个查漏补缺，我们要从试卷上能找到自己的问题，争取呢在中考前还有二十多天能解决一个是一个，你多解决一个，考场上你都少拾来一点问题。这个第一点，第二点呢， 也有家长咨询这个最近一段你像这个孩子他做哪些题比较好？我可以给大家存几个维度啊，简单说一下，第一个呢，你像这个以前的这些真题可以简单做一做。 第二呢就是你像咱河南省，因为统一命题可以河南省各地的这个模拟卷上一些比较典型的题呢，大家可以做一做。再有就是你像一些大品牌的，像这个天兴的，对吧？天兴的卷子还有一些这个出的考前的这个 预测卷，也可以有选择性的简单做一点。然后呢我们接下来具体来看一张这张卷子，这张卷子呢，你像这个整体的难度来说，难度说实话不是特别大，可能二模呢也更多的想给学生们就是增强一点这个信心。所以说整体的难度除了这个 第二十三题之外，二十三题的第三个可能略微有一点难度，他需要这个分类讨论，还有这个第十五题分类讨论，但是这两种题他的分类讨论这个点其实 都不是特别难考虑到。然后呢，你像我们看一下前边这些题啊，选择题的前十个题来说啊，着重需要关注的可能就是第七题，这个里边他涉及到的中卫线跟这个菱形的面积一个计算，这一块大家需要注意一下。然后呢 第九题，第九题的话，他涉及到一个就是等腰三角形的三线合一，还有一个就是坐标的一个平移，这块大家需要关注一下。第十题主要考察的是一个三角形的相似，其实就是一个三垂直的一个结构，然后构成了相似之后呢，我们通过这个相似找到 变量，还有那个 ab 的 长度给这个函数之间的关系，然后代入就可以解出来了，这是一种方式，也可以利用这个求解析式的方式去找，也是可以的啊。 然后第二大题，填空题里边，像这个第十一、第十二都是比较简单的啊。第十三题是一个不等式，这个题也不是特别难，也比较简单。第十四题要考察的是这个 圆周角也比较简单。第十五题呢，这个题其实这个分类讨论的两个方面是比较容易找到的，你像它基本上涉及到这个 o p 跟这个 a c 平行，要么就是在 o 上边它可以平行，要么在下边可以平行， 然后在上边的时候，这个根号三这个值是比较容易解出来，但是我们要注意就是说这个 p 点，它这个位置刚好都在 b c 上，这个你要判断出来 起点在 o 点上方的时候呢，像这个位置我们要能找到它这个角的关系，然后的话去做一个截直角三角形的一个过程，基本上这个直角求出来整体的难度不是特别大，并且它这个分类讨论的两个角度很容易考虑到。 然后看一下解答题，解答题这第十六题，这个计算主要还是稍微细心一点，基本上没啥问题。第十七题呢，它里边涉及到一个平均数， 然后这个地方可能需要注意，就是那个方差，我们要理解方差的含义，他从某种维度上来讲，他是说这个值的一个利散程度就是他的稳定，你也可以理解为他的稳定性，就是他利散程度越小越集中，他的方差会越小。这个方差的这个含义我们要理解透彻， 这个是不需要直接去算了啊，你要算这个题都麻烦了，然后根据图像都直接能判断出来的这个是，然后呢第二万里边基本上根据他的这个平均数，还有这个就是方差的值，就能直接判断出来他的哪个波动小啊， 以那个平均值比较大，然后再往后边是这个第十八题，第十八题呢，咋说呢？这个题中规中矩，主要的就是说我们要找到几个坐标求值的一个顺序，其实前边的一万、二万、三万已经给你做出来一个简单的引导了，我们就是先算 b， 跟你 b 算出来 c 和 d 的 坐标， 然后算出来 c 的 坐标了之后呢，可以求出来这个反比例函数的解析式，求出来反比例函数的解析式了之后，这个时候我们可以啥把 a 点带进去，求出来 a 点坐标， a 点坐标出来以后，你就可以求这个直线 ab 的 这个函数解析式了， 整体的过程一问给二问还是比较简单，第三问求这种这个异形图形的这个面积就是阴影部分的面积。这种题大家主要还是啥呢？就是你咋去把它转化成规则的图形， 这一题可以转换成梯形跟那个扇形的面积，对吧？扇形面积这个差，也可以转换成三角形的面积，加上这个正方形面积，再减去一个扇形的面积， 基本上就是说你咋去转化，只要能把它转化成一个规则图形的面积给他求出来。这个题整体来说十八题还是比较简单的，但是这个题大家可以着重去看一看啊。 然后第十九题的话，嗯，需要提醒大家，就是一个吃亏做徒，吃亏做徒的话，这两年其实我觉得考察的概率挺高的，着重就是你像这个常规的吃亏做徒，比如说做角平分线，做这个中垂线，还有这个做等角， 对不对？这些常规的做的做图的方法大家一定要掌握住，吃亏做图的把掌握住，并且要知道他是咋做出来的。有一些你像根据三线选等对不对？有一些的话可以借助于这个，你像这个菱形他的性基本上都能判断出来。这些常规的做图大家一定要掌握，要熟练的掌握， 因为考场上他有时候他不会给你出这简单，但是他再复杂的这种词汇作图，都是通过转化给他分解成这种简单的词汇作图，一些常规的基本图形，然后最终实现这个题目的一个解答， 然后第二问比较简单，这个不再说了。然后第一二十题的话是一个比较常规的一个方程，这个题用的是这个方程组，解是最方便的用方程组。然后第二问的话，主要就是说你用这个一次函数嘛，一次函数，然后在区间内的一个最值的一个问题转化过去之后也比较简单。 然后第二十一题的话，这种题基本上是每年必考的啊，主要其实用到的就是一个截直角三角形，然后就是里边因为涉及到这个值，他比较 有时候他不是常规的数，就不是整数，涉及到小数的时候，你算时候稍微认真一点，然后看好他的让保留的这个位数是多少位，小数点后保留到几位，这个大家一定要注意，要不然的话，如果你真是算对了， 导致这个小数点没有保留对的话，你可能最终会因为这个丢分。然后二十二题呢？这个题也是比较经典的一个题目，第一问非常简单，直接代入之后直接就求出来这个值了， 主要是第二问他是相当于是第三问，其实给大家做了一个简单的引导。第二问的话，他里边涉及到这个，我们可以先求出来 m 的 值，求出来 m 值了之后啊，然后根据他这个 a 点 b 点的这个横坐标，然后求出来纵坐标都可以。然后第三问呢，这个题其实是 一种很典型的一种题目，就是求最值的时候，我们一般都要考虑到就是他这个两侧点的一个高低，以及他这个最最小值是不是这个函数的点点。这个事你像这个题的话都比较简单，首先 第三位他能确定的就是说他这个最小值一定在区间内的，我们需要确定的就是 a 和 b 这个点哪个高哪个低，说白了就是 你这个时候就是要分区间去讨论， m 大 于零小于一的这个中间你要给他劈成两半，因为他中间刚好是把这个对称轴，就是 劈成两半之后，你要看他的对称轴跟这个啥嘞，跟这个直的区间的一个关系，这样子的话你去判断这两个点哪个高哪个低，然后分区间去讨论，分两个区间讨论基本上都可以了。这个题来说，大家一定要就是 找到他分类讨论的依据，这个才是重点，搞出来这个讨论这个临界点了之后呢，然后去分类讨论，然后去解这个值，找到他这个区间内能取到的值，基本上都解决解决了。 然后呢第二十三题，我跟你说这个第二十三题不是很难的，原因是啥呢？就是第二十三题他的第一问，第二问已经给大家了一些这个解决的思路。其实我们通过第一问第二问里边能找到有两个这个边长，通过这个折叠了之后，找到两个边长就是他是相等的。 然后在第三文里边这也是一个非常重要的一个结论，可以直接拿来用的，我们可以通过就是证明了之后把这个结论直接拿来用都可以。然后呢 把第三文里边他的最核心的一个关键点就是第一个我们有角有边，你要去构造直角三角形，通过截直角三角形找到相关边的一个关系，然后呢再通过相似，然后去找到这个边长都可以，也就是说 大概就两个核心的步骤，一个是解这小三形，第二个就是通过三形相似，像这个题的他整体的难度来说其实不是很大，并且呢他这个分类讨论点比较好找，为啥呢？因为他这个一点是在 a d 上，基本上就是要么是在 左侧，要么是在右侧，对吧？你根据两个情况，简单的话图你就能看出来他的焦点是不一样的，焦点不一样的时候，这个时候我们就要去分类讨论，分类讨论了之后求出来两个结果都可以。所以说整体来说，这个二模的试卷来讲， 整体难度不是特别大，我们着重需要关注的题。刚才给大家大概说了一下，就是你像这个第七题， 第九题，第十题，还有这个第十五题，第十八十九第一问，然后第二十一题，还有这个二十二给二十三题，大家下来了之后一定要着重再去看一看， 然后呢通过就是一次模拟考试，去发现自己的问题，然后通过题目去关联到你的知识，还有相关的一个章节，做好这个精准的查漏补缺，最后这一段时间一个要稳耐住。第二个呢要注意自己的学习方法，因为题你做不完的，所以说我们要做一道题，你就要有一道题的收获， 通过这个题目去找到自己相关知识的一些问题，然后针对性的去解决。最后呢一路大家在中考当中取得优异的成绩。

二零二六太原市二模的数学试卷分析，那么一摸强调的是知识漏洞以及审题细节。二摸强调什么？强调过程步骤以及知识迁移，那么这一次的二模在咱们全太原市的统一判卷中，特别强调了过程步骤的书写以及标准格式的要求 啊，其中好几道题都扣的非常的细，所以很多同学可能要在过程这要扣一部分分。虽然这份试卷出了一些波折啊，但是瑕不掩瑜，仍然是非常具有代表性和非常具有参考价值一份重要试卷。 本试卷难度明显是高于一摸的，在判卷严的情况下，总体成绩可能会比一摸会更低。十题十四题易错， 那么十五题难度适中，整体计算量比较大，二十二题尤为突出。二十二题那个计算呀，真是费了劲了。十八题的第三问仍然可能暴露你的知识漏洞，那么十七题、二十题、二十一题、二十三题在证明过程上要求严格，细节分可能会扣的比较多。 二十一题的第三问难度适中啊，材料学、阅读理解二十二题第三问得分率估计得再创新低，对吧？我觉得二十二题第三问全太原市 啊，能有那么个位数的几个同学能做出来就不错了。二十三题的第三问其实思维难度还是比较高的，也是不太容易能拿上这个分，所以总体来看，由于二十二题的第三问这个情况比较特殊，所以能够考在一百一十七分以上的同学绝对是凤毛麟角啊。 二十三题的第三问三分，十五题三分，个题过程细节两到三分，一百零八分以上就已经算是很不错了， 尖子生仍然要求一百一十四分以上，那么普通同学要求应该在一百零二分以上，如果你低于九十六分的话，那仍然是有大量明显的知识漏洞啊。呃，有些东西要强调一下。首先第五题强调他的考法 啊，那么第九题强调跨学科的一个情境，第十题也是他的考法，关注十三题，关注跨学科情境，十四题关注知识点的综合。 十八题的第三问也是关注他的考法，二十一题关注考法，二十二题，二十三题关注一下他的考考题方向 啊。好，来，我们挨个看一下每一个题目。其实前这位的选择题仍然是以送分题为主啊。那第一题有理数的绝对值，还是强调读题审题细节？第二题是轴对称图形还是一个审题细节，认真看图就可以了。 第三题，整式密度计算，基本概念和基本公式啊。第四题，三十图。这种题型已经考了一万遍了， 如果还错的话，那真是不长记性了啊，那这个题绝对不许错了啊！如果咱们是第一次模拟考试的话，你错这个题还是情有可原的，但是考了这么多次了，这种题还错，就有点不不可以原谅了。第五题，科学基础法就我刚才所说的， 从我们的学前调研之后，你会发现，第五题科学基础法，以前单考科学基础法，现在呢，在科学基础法的基础上增加了一个计算的内容，所以要关注一下这个计算，很多朋友在这容易计算出错啊。第六题，普通的平行线， 那么平行线及内角和的基本计算，这就不说了，第七题，一个概率，如果第七题错，还是概率的基本概念上有问题好。第八题是圆内角和圆的切线啊，切线长模型基础的角度计算。这个题也是非常简单， 不可以错来。第九题，函数图像。首先这道题融入了跨学科的情境，涉及到了化学知识啊。其次就是审图，图像的理解， 那么这道题容易出错在哪里呢？容易出错在 d 选项上，你仔细看那个图，那个交叉点，其实对应的自变量并不是在三十，而是在三十以前，所以这个题出错的话， 还是你的审题细节上要关注啊。来，第十题特别强调重点，关注好题。那么我们会发现，从学情调研的第十题到我们这个二模的第十题啊，这两道题他都有个共同的特点，他在考什么？考你直角坐标系里面点的，表示 我们中考的第十题很可能也是有类似的方向，他考的是你的代数推理啊。呃，注意平移的概念，注意点的坐标概念细节，注意提 e 啊，提 e 里面的细节，要求点 e 在 内部， 他只说的在内部，那么一定是涉及到了不等式 a、 b 两个选项排掉，那么在 c、 d 两个选项里面去选的时候呢？我们一下就应该看到，点 a 的 坐标是负三，要想在三角形内部，则平行距离不能超过三， 说明这个点 f 和点 g， 它的横坐标不可能超过三，也就是 a 和 c 值要小于三，那么 f 和 g 它两个点关于 x 轴对称，所以它俩的纵坐标应该互为相反数。所以这个题一下就能选出 s、 d 选项啊， 那么这道题如果有错的同学注意，复习的时候呢，一定要关注一下复习坐标的基本概念，对称点的坐标特征， 特殊关系点的坐标特征，比如说同一条数值线上的，同一条水平线上的，他们的点有什么坐标特征啊？那么坐标变换的基本逻辑啊，这个关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于圆点对称，它是怎么变换， 还有平移呀，旋转呀，它这个坐标有什么区别啊？还有就是可能会涉及到一些，比如说微四啊，对吧？哎，其他的一些几何变换，那个点的坐标关系啊，还有可能关联方程和不等式去出坐标的问题。 所以这个地方你要错的话，说明你可能一系列的知识点都有漏洞，去把这一系列知识点找出来看一下啊。好，十一题根式化简，这就不用多说了，来十二题还是统计，这个统计出题的考法非常的新，就是用二维直角坐标体现方差和平均数， 那么不光考虑方差和平均数的理解，更考了坐标系里看数据的知识迁移能力 啊。平均数是越大越好，方差是越小越好，这就意味着点的横坐标越大越好，点的纵坐标越小越好，点的位置是越靠右，越靠下越好。 我们来十三题啊，反比例函数，那这道题呢，融入了跨学科情境，所以这道题的难点其实就是理解题，找到对应的自变量和应变量是关键，能应用物理概念反求反比例关系式为基础要求。 所以这道题的关键是列出来函数关系式，你现在看出来 f 和速度满足反比函数关系，那 f 等于 m 比上 v， 那 这个时候你就知道了，当啊 v 等于三的时候， f 等于二十，求出来它的 m 值，然后再翻回去带 啊另一个 f 等于四十时候的位置。那么关于反比函数性质，它在第一象限自变量越大，应变量则越小。好来第十四题，很多同学说第十四题有错，那第十四题它其实是一个综合性比较强的题，既考了弧长的计算，又考了多边形的基本概念， 那么五边形的内角度数要熟悉，那不光是五边形，相关联的六边形、八边形啊，这些特殊的多边形，它的内角是多少度， 你一定要去熟悉，还有胡常公式和原理要熟，不光要会公式，要知道这个公式怎么来的，它的原理是啥，我为什么这么求？为什么底下是一百八，不是三百六？来第三，理解题易分清楚所求的长度到底是谁。 那这道题很多同学错，也是因为没有分清楚他到底要是求哪个长度，或者说哪些长度 啊，两个弧长以及四个线段长加起来是他的总周长好，最后就是注意计算啊，这个计算容易出错。十五题相似三角形，注意一下，这个是常规题型，难度适中啊，基本的思路要有，之前咱们已经讲过的视频了，就不多说了。 两大思路解，只要三角形和三角形啊。这个角这个题里面呢，能用到了一二三四五模型，但是是要灵活运用一二三四五模型，所以需要用到特殊角的关系啊，要学会灵活的变化，不光要会这个基础的一二三四五模型，还有他的鱼角呀，他的补角呀，他都怎么用啊？要会灵活的用 十六题两个计算啊，第一个题是有理说计算，第二题，分式化简。再次强调，分式化简也是我们特别容易考到，而且在中考中计算量相对的比较大，又容易丢分的一项内容，所以分式化简一定要熟练。 那么十七题又是一个基础几何证明，那么在这由于这一次我们的模考一定会判卷比较严格，所以基础几何证明这一定是扣分扣的比较细。 那每一个步骤过程你都要知道这一个步骤我用了哪条定律，他的依据是啥啊？考察基本定律概念的熟悉，考察过程证明的严谨逻辑 啊，一定一定要知道，我每一步写下来，这一步后面加括号写理由依据的时候，我这一步要写啥， 你如果说不清楚，那就是你的知识点有问题，来十八题统计啊，那第一问，基本统计量的求值种数和中位数 啊。第二问，通过样本估计总体常考的基本题型，注意下计算。第三问，我们可以参考一下循行调研，他还是要去强调对统计量的一个分析 啊，平均数和中位数到底有什么关系？那么这道题里面说啊，一半以上的学生进行了表彰，所以他应该参考的是中位数，中位数不代表平均数啊，那我们从题里面能看出来，其实这个 呃，平均数是要比中位数要低的，所以你要看的是他的中位数。十九题，二元一次方程组合不等式的一个应用题，这个题就没有什么太多，说的非常简单，非常常规啊，注意下最后答案的取整是一个常规题型，不去做 来二十题来，这道题要强调详细，要去说一下。首先这道题又是一个跟我们前几年的考法稍有不同，就是平面上去让你去求长度的问题，那么在平面上求长度问题注意一下参考学习调研啊。那关注辅助线的表述方法， 关注你做完辅助线之后，一定要去说有体意可得，谁谁谁是矩形，然后再去说巴拉巴拉啥 啊，那么或者说你如果做的不是这个矩形的辅助线，你做的过点地向上的垂线的话，那你要说清楚谁和谁之间具有平行的关系啊，还是有垂直的关系啊，这个一定一定要表述完整，表述清楚。 其实整个这道题，从几何图形的角度来说，考法还是比较常规的啊，几何模行为背靠背的变形图，计算量呢，也算适中。那我们看一下这个题的评分标准，最上面大家看到啊，有题亦可知，四边形 a g h、 c 是 矩形，这必须要有。 其次，再往下我们要去用三角函数去推的时候，一定要去说在直角三角形谁谁谁中哪个角是九十度，然后摊进他谁谁谁，先说式子等于谁比谁 再出啊，比如说这个 d j 又等于谁比上摊进了谁，谁比上塞应谁，谁比上扩散应谁等等， 再然后带入数据，最后一定要分清楚你是约等于还是等于啊，一定要分清楚你是约等于还是等于，因为贪定他六十八点二度，本身他带的就是一个约等于的数字，所以在这一定是用约等号，那么底下 再去表示 d h 的 时候，也是整个过程中一定要强调直角，说清楚哪个直角三角形，说清楚整个的格式细节要完整。 最后求完了以后一定要看一下你在答的时候，人家题中是距离约为多少，你那个约写没写，没有写约还是要扣分的 啊。那再一次还要强调这个单位的问题，整个过程中我们最后一步写上单位就可以了啊，过程中可以不用加单位，或者说你要加就是全加啊，要么就是全不用加啊， ok， 但是你再去写那个由题可知的部分，那个地方是要加一下单位的， 那这道题的话，我们这次会判卷会非常严格，所以很多同学在这有书写不规范的是要在这扣分的那，但是恰恰是我们现在应该去把这个东西重视起来，这样才能避免你在中考的时候丢这个分啊。好，二十一题，材料型阅读理解题，我觉得这个题也是 出的非常好，尤其是最后一下由圆变方的那一下啊，是非常精彩的一个变化，这道题对于阅读能力和理解能力都有很高的要求。那么第三问，由圆变方，强调知识的真正理解和知识的迁移，绝对是个好题。 那么第一问强调知识的原理理解，注意证明的时候每个步骤的依据一定要知道依据，知道依据即为理解原理，只能说出来过程不清楚每一个步骤的依据，那就是原理概念不清。 第二问，应用方法，方法当然不为一啊，那么但是要注意下点的位置，你既可以去做点 a 的 对称点，其实也可以去做点 b 的 对称点啊。那么这个垂直平分线呢？会跟原有两处交点，你从每一处交点都可以去做这条直径。好， 那最终一定要看一下，你去标点 p 和点 q 要相等的，你别标完了以后发现 a p 和 b q 不 相等了，那就 肯定是要扣分的。第三问，由圆变方啊，本质为圆和方，同是双对称图形。什么意思？既是轴对称又是中心对称啊？迁移后我们看看六边形和八边形是不是也能同理可得， 对吧。但是正三边形和正五边形是不是不行啊？因为他们只能是，呃，这个轴对称，不能是中心对称啊。那么整个过程中，一，注意找几何中心，也就是对角线交点出它的几何中心。 二、找对称点的位置啊，连接 p o， 再延长去截取对称点位置啊。三、做垂直平分线，四标清楚啊， m 和两个点， 那么最后注意下 m 的 位置，不要标反了啊，难度适中啊。那么这道题对于课标的能力要求体现是非常好的。一道题来，二十二题啊，二十二题，我们之前讲了完整的这个视频了，大家可以看一下。这个视频 好呃，仍然是一道非几何型函数建模问题。我觉得从最近的几次考试来看， 我仍然是觉得今年考非几何型的概率会相对大一些。我只是猜测啊，今年考那个非几何的概率要大一点。好，那么一二问，题型相对来说，注意一下第二问，分析最大值要三个要素，要说全，第一，负的五分之三小于零。第二， z 是 x 的 二次函数。 第三，呃，自变量的曲折范围，这几个一定要说全，因为少了一个都不行。好，第三问，虽然是有一些波折，但是不影响这个题最终能够成为一个非常经典的变形题目。 那通过这个题将同类的自变量取整问题就是可以一次性给他看透啊，最终结果一定要注意理解为什么对称轴要与一百九十七点五作比较啊，进而理解这个因变量随着自变量增大而增大到底是一个什么概念。 好了，有问题同学可以去翻回头去看一下二十二题的视频讲解来，二十三题结合综合问题，那这道题你看，既不是旋转，又不是折叠，再一次强调了动点产生的图形构造问题。那么在模拟考试，他考的是我们动点产生的直角三角形构造，那同学们 有没有可能在我们中考的时候考动点产生的等腰三角形构造？进而等腰三角形构造是不是可能把等腰三角形变成菱形，变成矩形？第一问，强调定律的清晰，逻辑的完整。第二问，重点在于终点怎么应用， 你要去找比例关系，一定是要去找相似的。那终点三件事一定要记牢，中卫线、斜边中线、八字全等，你看到终点永远去想这三个东西，那这道题里面既用到了八字全等，因为平行线间夹中点必出八字全等。第二， 有 o e 延长 b 出中位线，所以你看有这两个基本思路，你这道题就不会错，也不会浪费太多时间。那么第三问，要学会分析直角构造有几种情况，每种情况是否能够成立，不成立又是为什么 啊？不要执着于一定要把这个图画出来，你才能求解。很多同学在这第三问做不出来的原因就是想不出来这个图怎么画 啊？其实我也想不出来，你要让我直接就画那个图，我也困难，但是你要去想就是我满足他是直角的情况下会怎样，对吧？点 c 位直角顶点时候，这个图会怎样？点 j 位直角顶点时候，这个图又会怎样？他能产生哪些后续的结论 啊，这才是解决问题的关键。而且你在做题的时候，同学们不要去关注整个图形的变化，因为这个的题典型的就是图非常复杂，线段非常多，你一旦去关注整个图形的变化的话，你就很费劲， 你要去学会只看一条边，一个点，一个角会产生怎么样的变化，题目越复杂，越要学会用减法去看本质，要把一些无关条件都去掉啊。最后一问，切记想复杂。最近的一些模拟考试啊，我们体现出来一个特点， 今年在各种考中反复出现，抛开现象看本质，其实求值并不困难，困难的在于分析清楚他的情况 啊。好了，那么最后我觉得这份卷子还是有很多我们可以去重点参考和借鉴的地方。关于重点题型，大家看一下后面的这个表格。

老师，接下来我们继续讲无刻度尺作图当中的二零二六年的平房二模二十二题。我们说呀，无刻度尺作图啊，就是三种，那个四种垂直线段成比例，九分线对称。那我们来看一下这个题。首先在这个里面， 那个三角形 a、 b、 c 的 面积是四倍的三角形 a、 b、 d 的 面啊， d 在 a c 上，所以说把这个 d 在 a c 上就变成了 a d 比上 c、 d 是 一比三，那么分线段乘比例，那在这里面做平行八字啊，做平行八字 一比三分啊， 那么很明显在这里面这个交点就是我们要找的这个地点， 这个还是比较容易的啊，这是第一个，第二个说在这里面做 a、 b、 e 等于一啊，也就说做四十五度， 那四十五度那么很明显就应该联想到做等腰直角三角形，等腰直角三角形自然就出我们说的这个四十五度，所以因此在这里面我们就是做 a、 b 的 垂线，我们说力导全等， 那么这个点我们称之为 i 吧，连接 b i， 我 们就得到了这个四十五度。那这个焦点就是我们要找的 e 这个题啊，画图不难，求解难， 这求解啊，也不是难，这个求解有很多种方法啊，求 a e 的 啊。那么大家仔细看，在这里面这个 e 点是在 a c 上啊， a c 上， 那么一个是可以通过解三角形啊，三角形谁呀？ a e i 啊，三角形 a e i， 在 这里 a i 是 直接读出来的，然后有一个四十五度，那么这里面这个角我们设设一个角，设这个角是阿尔法， 那么这个角就是 be， 那 么如果我有 python be 一个是利用公式法啊， python r 法等于四分之一， 那么 python be 等于五分之三，所以 be 角算已知。通过解三角形，这第一种方法啊，解三角形可以，那么咱先说一下这个 be 角啊，先说这个 be 角，这个 be 角还可以通过另一种方法求得相似，求得 延长 a c 八字形， 那么很明显，在这里面我们说这个 g 吧， 那么同样延长出去，这个是 k， 因为四十五度啊，这都固定的， 那么在这里面八字相相似，所以说在这里面这个角贝特，也就是 e a i 和 e b g 都是，那 e b g 可以 直接读出来，这个贝特的值是三比五啊，弹性的贝特等于三比五， 那么所以在这里面我们第一个方法就是利用这个两个角，已知一个边，已知三角形 a e i 可解啊。方法一，解三角形。 方法二，我们这个时候发现这个线段的比啊，线段的比谁呀？ k e， 也就是我们说的八字相似， k e 比上 e g 等于谁啊？等于 k b 比上 i g 等于五比三， 那么 k g 的 长我是已知的啊， k g 的 长是五倍根号二，所以这个 e k 和 e g 我 们就知道了，那么 e k 减去 a k 完事啊，就可以求出 a e。 第二种方法，利用平行八字， 第三种画法，我们说在这里面三角形，第二种平八， 第三种画法，在这里面 a b e 四十五度，那么等于直角三角形 k b g 只要知道三行，那么角含半角， a k 已知，很容易求出 a e 和 e g 的 长， a e 和 e g 角含半角，旋转就行啊，旋转就行，也说 a k 的 平方加上 e g 的 平方等于 a e 的 平方啊， 直接求出来就行啊。所以三种方法，三种方法用。