空心方阵总人数公式推导过程

明明用棋子摆成一个三层空心方阵，方阵和正方形有关，它最后形成的样子就是正方形的样子，外边那每条边长度相等，那放在这个里面，那就是每条边上的棋子的枚数是相等的。好，我们来理解一下。画图，一枚棋子，然后它的 外层给它裹起来，这是它的外层，外面一层，你看把它给裹起来，这叫一层。大家看，现在老师用红色框起来的，它是不是一个方阵？ 是，他是不是一个方阵？是。回应我呀？是不是？是，你看他，是呀，因为每条边上的每那个棋子的每数数量是相等的，他最后形成的是一个正方形，这是一个方阵。那想现在继续往外扩，再来一层。 好，现在又来了一层，我们来看把它框起来。蓝色框起来的是不是一个方阵？对，你看每条边都是几枚。你们这个听课状态，老师有点伤心啊。每条边都是五枚方阵，如果继续往外扩，再来一层， 每条边变成几层？几枚棋子了呀？七枚，每条边又变成了七枚棋子。好，老师又把它瞄起来，每条边是七枚棋子。好了，还可以继续往外。当然有同学读到，这，它是一个空心方阵， 这个中间可能没有吧，好，把中间的给它弄掉，当然我们也不知道是哪三层，对吧？好，空心的。接着我们读题，如果最外层每边有十五枚棋子，最外边那一层十五枚。 明明摆这个三层空心方阵，最里层一周共用了多少枚棋子？那要求最里层他一周，那我们就先求到最里层，他一条边有好多枚，对吧？那我们来看 最外层一条边是十五枚，我们来看最外层一条边十五枚，我们来找关系，找规律。这里的最外层是七枚，这里最外层，这里面是几枚？五枚，这里几枚？三枚，每一层之间每条边相差了几枚？ 两枚？几枚？两枚。好了，现在最外层是十五枚，那它的里面那一层呢？每条边好多枚，减二十三枚，对吧？再减二，再里面那一层，再里面那条边再减二，减了几个，二，两个，那么最里层每条边就应该是十一枚，这看懂了，举手。 这个减二减二怎么来的？你看每条边他都是相差的两枚。好了，每条边十一枚，那要求他一周就是十一枚。来直接乘四吗？等于四乘四枚，是吗？不是，是吗？不是。那我们来看这里，比如说我们就举外面这个七枚，这 当每条边是七枚的时候，我们用七乘四就是二十八枚。来，我们看一下是不是二十八枚，我们数一下，一二三，蹲着数，四五六，七八，九，十，十一，十二，十三，十四，十五，十六，十七，十八，十九，二十二，一二二，二三，二四， 算枚，二十四枚，那这个是二十八枚多算了几枚？四枚，多算了四枚，那正确答案是二十四减二十八，减四等于二十四枚，那这里多算了几枚？四枚多算的是哪四枚？角落，对，大家看这里， 这一个角落，我们是不是在这条边里？这四个角落，我们来看，我们来分析一下，比如说这一枚棋子在这条边里面算了一次，他算了几次。再来看这一枚棋子，他在这条边里面是算了一次， 又在这条边里面算了一次，算了几次？两次，也就是说这四个角落都被多算了一次，所以多算了四枚，那我们就用总共的四十四枚来减去多算的四枚，那就是等于总共的等于多少枚？四十四枚。好，这是一种算法，我们可以这样算， 我们还可以怎么办？大家看，原来殷老师讲过正方形方阵，我们知道大家看每条边，这这，这都是有的吗？这个中间也有哈，我们知道现在每条边是十一枚，要求一周是多少。原来讲过，我们可以这样看，比如说我们把这一个角落的看到这一条边来，然后 这一枚就看到这条边上去，这一枚看到这条边上去，这一枚看到这条边上去，这样就不重复了，有没有重复？没有。那这样不重复。大家看，这里就还有一种算法，我们还可以怎么办？那我们就用十一枚减去这一个一枚， 那么一枚加上一段就是十枚，大家看到了吗？相当于你这个十一枚是加上了两段的，那我们就减去一端，我们就用十一枚减去一等于十枚， 这里的十枚就是一枚加一段，一枚加一段，对吧？好，然后整个周长一周是好多，就有几分，四分，那就用十来乘四等于四十枚。 这里有两种算法没问题吧？没有。好，第一种算法就减去重复算的四枚，第二种算法我们就算出。哎，像这样把这一点拿出去，就看成了四倍，没问题，没有。好，两种算法，大家看懂了吗？ 两种算法哟，嗯，没问题了，没有。好，接下来下面这个小这一问就简单了，他问摆这个空三层的空心方阵共用了多少枚？那就是把每层的干嘛站起来。好，现在我们已经算出了 最里层是四十枚，对吧？对，来，我们来算中间那层，中间那层每条边就是十五减二等于十三枚，我们可以用十三乘四减四，对，好多枚，四十五乘四减四等于好多 五十六枚。好，现在最里层的算出来了，中间层算出来了，最外层算出来了，再把三部分干嘛加起来。好，加起来算出来是一百四十四枚。

在一个正方形的花坛的每边摆放六面小旗，每个角都摆放一面小旗，一共需要多少面小旗？我们的要求是画一画，算一算。那首先孩子们，这是一个什么图？ 方正图，因为他要求是在一个什么样的形状上方正？对，在一个正方形的形形状的花盘上，那就是一个方正图。但是是什么样的方正？是实心的方正还是空心的方正？空心。对，因为他说的是在正方形花盘的什么 每边边显示中间需不需要去插旗呢？不需要，只需要在四个什么边上来插旗，所以这个是一个空心方阵。对，空心方阵， 好，那么我们先把这个方正画出来啊。这就是一个正方形的花坛，在每一边上都要摆放六边小棋，每个角要摆放一面小棋。哎，我之前讲过，无论是三角形也好，正方形也好，长方形也好， 四个角落都要先确定好对不对？我们再来确定四个角以外的图形。所以他要求的是在四个角上画一面棋，我用圆圈来表示， 好，孩子们看懂吗？这里好，四个角上。确定好了之后我们再来看。如果每边需要摆放六面小旗的话，那中间还缺几面呢？ 四面，四面，四面。哎，已经有两面了，是不是还缺四面？对，现在你看加起来是就是六面小旗。对，那同样的，这里中间也是缺几面呢？四面。对，一二三四，一二三四，一二三四。 看懂了没有？只要四个角落一确定好中间该确定几个棋，我们是可以推算出来的，对不对？对，好，那么空心方阵的计算方法也是一样的，我们四个角落红色的棋，先不看他 对不对？我们先看哪里呢？先看除了四个角落以外的地方，也就是这里。这里 还能说几个几相加，几个四个四相加，那我们就是四乘四，等于十六免。那绿色的部分已经全算出来了，红色的四个小七要不要给他加上去？要要，所以我们十六还要加上是四，就是二十免。 那刚才有个同学说了啊，老师，我觉得其实他可以算五个四。我同意这个说法，可是为什么我还是希望你们分开来算？ 因为中间的小题，今天是四面，但有可能其他时候变成五面、六面、七面、八面，甚至一百面，对不对？所以我们都是先算中间，再算角落。

大家好，我是武汉的数学向老师，今天我们讲的是方正问题，对于方正的话，我们一般指的是正方形，正方形，还有方正， 方正在这里有三块内容，一个是方正的认识，介绍了方正的一些性质，后面就是实心和方，实心和空心，方正的一些解题。好，我们来看一下什么是方正， 就是在这里画了三个方针，这三个方针呢，在上面是点表示，我们实际的时候，那就是人了，那我们现在点数吧。嗯，这一个方针 要注意研究的是什么呢？我们一层一层的看这个方式，这是最外面的一层， 然后紧接着这是第二层，最后第三层在里面只有一个好，这一个方向我们还是一样，它有几层呢？这是一个，这是一层最外面的一层， 然后紧接着第二层，紧接着有一个第三层。 好，这一个就有几层呢？这个就是最外面的有一层，然后里面的还有一层， 在这里只有两层，那么前面这一个我们给他取的名字叫做实心，方正这一个都是实心的，那在这里 中间空了一部分，使我们给他取的名字叫空心方针。不管是实心方针还是空心方针，我们都是研究这几个首先相邻两层边的关系， 那么我们看这一个一二三四五，这一层最外面的一层的边是五， 然后第二层的边是三，最里面的就是一了，只有一个好，这一个最外面的一层是六，紧接着下一层的边是四，这一层的边是二。 好，这一个是七，这一个是五。那么你观察一下相邻两成之间，他的边长一目了然，相差几个呢？想查 为什么相差二来着？这是最外面的一层，这是和他相邻的一层，那就是把一头一尾的去掉，去掉减二之后就变成里面的这一个呀。所以相邻两层之间的边都是相差二， 那么相邻两层的总数呢？在最外面的这一层总数和里面的这一层总数相差多少？最外面的中间的这一个相差多少？然后这两个又相差多少？ 那么相差多少呢？我们可以通过计算得到发现他们相差的是八， 也可以这样去算，这一条边相差了，那四条边不就是相差八吗？所以相连两层，他们对应的左 和的环节的话，其实就是相差八的好，当然有一个除外。什么呢？实心方式里面这一个，这一个最里程是一的，边长是一的，这个除外，所以这一个不管除了这一个之外，其他的都是相差八的，可以用这个结论。 好，那么每层的和怎么去求呢？我们就以这一个为例，这他的边差是五，怎么去求？最外面这一层有多少个呢？能不能是五乘四呢？不， 因为如果你说五，每边是五个的话，那么就会有重复的，那此时怎么办呢？你可以每边去掉一个，这是四个圈，四个出来，这也是四个，这还是四个，对吧？这一个也是四个，所以他可以起 就是边数，边上的点减几呢？减一再乘以几呢？再乘以四， 他对应的边长是几。好，直接写个边长吧，边长减一，再乘以四就可以了，这个就是每乘的和 好。最后一个总和怎么求？实行方阵，他是一个五乘五的实行方阵，那他的总和其实就根据正方形呢？面积公式，五乘五，你数就是二十五个，这一个是实行方阵总和十六乘六， 但是这个空心方阵就不能切上切，因为里面还有空白的，那我可以怎么办呢？我可以减掉空白，那么减掉这个空白的空白的这个是多少？ 七五，下面就是减三，说减掉三乘三就可以，这就是我们的总和怎么算？也就说如果是实现方式，直接追外面的这一层边边长城边长， 如果是一个空心方针，那就是边长针边长，再减掉最里面的这一个主阳空白的这一个是一个多少的实心方针，减掉就可以了，也可以第一层和第二层每层总数算出来，再相加。 好，认识了方正之后，我们来看怎么去用。第一个是实现方阵，实现方正最外层一共有二十个人。好，这一个就是翻球了，最外层的人数你一共是二十个人，能不能求出最外层的这个边呢？ 根据我们前面的这个公式是边长减一再乘以四是等于二十的，所以我反过来，那就直接就二十除以四，再怎么呢？再加一就可以了，所以在这里每边六个人就出来了。 每边六个人一共有多少个人呢？实现方阵求总也觉得最外层是一个六乘六的，那么他的总和就是六乘六，等于三十六就可以了， 所以实心方正去求总和，直接用最外层的边长和边长就是面积公式去上。 好。第二个，如果要组成一个更大的一个方阵，需要增加多少人？更大一个比他稍微大一点的方阵是几声几声， 我现在是六乘六的，比他稍微大一点的，我就只需要七乘七的方针就可以了，那也就说这所有的人可以重新的站队， 那么直接总人数减，总人数七七四十九六六三十六，所以只需要增加十三个人，就可以变成一个更大一点的方针。 好，这个第二个和第三个的区别在哪里？他说这是一个死性。方正刚才已经说了边长是六，但是在这里他是在在外面要再加一层， 那在外面再加一层还不简单？那么在外面的这个边长就是八楼啊，根据相邻两层之间的边长的关系啊，相差啊，所以这外面的这一层的边长是八，那 最外面的这一生的准数就是八，减一乘以四，对，这一个花十八个。所以你要注意第二个和第三个的区别在哪里，组成一个更大的方针可以重新排列 啊，他在外面加一层，那就不能重新拍了，边长是六，再加一层呢，他的边上就是八了，所以这就是价格和第三个的一个区别啊，不管怎么样，其实就是用我们前面的这一个啊介绍的几个基本性质去用就可以了。 好，来空心方阵，孩子们自己去看一下。他说在这里有一个三层啊，这是最外面的一层，然后这是中间的一层，这是最里面的一层， 这是三层，总共这三层是一百二，那我们前面说过每层的总和相差八等，那也就是说这三层的总和其实就是个等差数列，那么等差数列那就是用一百二除以三，就可以求出中间的这一个人数， 所以中间总共是四十个人，那么最外面的就是多少的，是不就是四十八个人， 然后最里面的就是四十减八十，多少的三十二个人，我可以把每一层的总数求出来，其实我还可以求出每一层的边数， 对吧？好，球了之后再来看最外层那边有多少个。最外层四十啊，四十八个人， 所以我就用前面的公式，四十八除以四，再加一等于十三个人，所以第一问就解决了。好，第二问在外面再加一层，变成一个四层，应该增加几个人，在外面加一层， 那最外面的这一层比四十八个人怎么样？多几个？多八个不就行了？总人数相加八呀，是，我就直接用四十八加八就得到五十六个， 这就是根据边数之间的关系，每层总和之间的关系相差八， 好在里面再加一层还需要增加多少个，那不就是一样的吗？三十二和这一个里面的香菜包， 那就减八步就行了啊，所以在这里就是二十四个人，所以对于方针问题，我们一定要 一定要掌握的是相邻两层，在这里相邻两层边场的关系是相差二，相邻两层左数的关系是相差八的， 以及每层的总数，每层的总数应该怎么去算？这三个基本公司长基本上都没什么问题。好，今天我们就讲到这里，谢谢大家。

国庆节举行团体操表演，同学们排成一个空心方阵，最外层共有五十六人，最内层共有三十二人。参加团体操表演的同学一共有多少人？我们以这个简单的吐式为例， 空心方正相邻，两层人数相差八，最外层五十六人， 从外到内一次是四十八人，四十人，三十二人，最内层共有三十二人，那说明这个空心方阵是四层的， 把四成人数相加一百七十六人完成。

蘑菇们站成了一个八乘八的方阵，你能算出不同颜色的蘑菇各有几个吗？看，绿蘑菇在最里层共四个，红蘑菇在从里往外的第二层每边减去一个角后有三个，四边就有四乘三的十二个。 蓝蘑菇在从里往外的第三层，每边减去一个角后有五个，四边就有四乘五的二十个。 紫蘑菇在最外层每边减去一个角后有七个，四边就有四乘七得二十八个。发现没？十二比四多八，二十比十二多八，二十八比二十还多八。也就是说，相邻两层都差八，这是咋回事呢？ 随便拿出相邻两层，他们的上边相差俩，右边也相差俩，所以总共就相差八个。 像这样中心有个洞的方阵就叫空心方阵，这样的方阵中，相邻两层始终差八。知道了这点，就能轻松解决很多问题。比如这个三层空心方阵，最里层的绿蘑菇共有四十个，那蓝蘑菇有多少个呢？ 相邻两层差八，红蘑菇在绿蘑菇外面一层，那红蘑菇就比绿蘑菇多八个，四十加八得四十八个。 蓝蘑菇要比红蘑菇多八个，四十八加八得五十六个。如果在最外面加一层紫蘑菇，应该加几个呢？紫的要比蓝的多八个，五十六加八得六十四个， 所以要加六十四个紫的。如果这层紫的是加在里面一层呢？那他就比绿的少八个，所以紫的有四十，减八得三十二个。看来，只要知道一层里外的其他层，都可以通过加减八的方式依次得到。 可如果不告诉你任何一层的数量呢？比如这个三层空心方阵一共有几个呢？只知道总和咋办？ 从里到外分别是绿的、红的、蓝的。注意，相邻两层差八，那这三层就构成一个等差数列，等差数列中，中间数等于和，除以项数，所以用二百四除以三，就得到了中间数八十，即中间这层有八十个， 那蓝的就有八十加八八十八个。这就是如何求解空心方阵的问题。千万要记住，相邻两层始终差八。 如果只知道总和，就利用等差数列求中间数的方法，先算出中间层的数，再推出其他层就行。现在问题来了，一个三层的空心方阵共三百个蘑菇，中间那层有几个呢？

有一个三层的中空方阵，最外层有十人。问，全镇有多少人解？实心方阵总人数有十乘十，等于一百人。空心部分的方阵每边人数有十减二乘三等于四人。空 中心部分方阵人数有四乘四，等于十六人。空心方阵的总人数有一百减十六，等于八十四人。答，全镇有八十四人。

是一道小学数学奥数当中的空心方阵的问题，他说最外层每边有十五个妻子，然后是百三层，问最里面那一层有一共有多少个妻子？百这三层一共用了多少个？那我们先看规律， 我们先来摆每边有五个棋子这样的一个方阵，我们先摆上边这条边，给他摆五个棋子，再来摆下面这条边也是五个棋子。那么左面这条边大家要注意了，他要保证左面这条边上有五个棋子的情况下，我们看一下 左边是不是有两个红的，已经被上边和下边那条边给过了，所以我们左边只要添三个妻子就能满正左边这条边有五个妻子了，同理右边这条边也是，我添三个 棋子就可以了。那大家想一下，当每条边上都有五个棋子的时候，那这个图形当中，也就是这个正方形当中一共有多少个棋子呢？首先每条边上有五个，一共有四条边，那么我们要保证是十五乘四 成完了之后就结束了吗？没有。我们先看左上角那个红色的棋子，他在横排的时候，我们说五个当中呢？算了，他同理他在竖排的时候，五个棋子当中呢，又算了一次他，所以他是不是被重复计算了一次，多算了一次。 同理左边下边这个红色的，然后右边那两个红色的都是被重复计算的，那么重复计算的我就要给他进行一个减掉，也就是最终这 每条边上五个棋子一共需要多少个棋子呢？就是十五乘四乘完之后再减掉重复计算的四个棋子，那么 我再来往里面摆，再往里面摆的时候再摆一层，我们看每条边上就要减少两个棋子， 那么这条横边他就会出现有三个棋子。那么如果我往下摆，下面那条横边也会出现三个棋子，然后左面呢他会出现，哎，三个当中我只要添一个就可以了，右边也是添一个就可以了。所以我们总结一下规律， 那么每条边上的棋子数，当他有五的时候，我们说棋子总数量是多少？就是四乘五，再减掉重复计算的四个，就是十六个棋子。 然后我给他往里面摆的时候，每摆一层就会减少每条边上减少两个棋子。好， 那我们再往里面摆，当这条边上有三个棋子的时候，那么这一个正方形有有多少个棋子呢？是四条边，每条边上有三个，就是三乘四，再减掉重复计算的那四个，哎，就是八个棋子，这一层。 同理呢，如果再往下摆，还是每条边上要减少两个妻子，那我们来看这个题呢，他要求的是最外层有十五个妻子， 那我们再往里面摆一层的时候，他就是每条边上有十五减二，嗯，然后再往里面再摆一层， 有十五减二，再减二，哎，他一共是摆了三层， 那么这个三层的时候，也就是最里面那一层，每条边上我要有十五减二减二，有十一个棋子，那么这一层上一共有多少个棋子呢？就是十一乘四，再减四等于四十个棋子。 那这个题当中到这里还没有结束，他问摆这个空心的方阵一共用了多少个七字？一共三层吗？那我们看最外面一层， 就是每条边上有十五个，那是十五乘四，然后减掉重复计算的四个，再往里面摆一层的时候，我每条边上就是十三个棋子了，因为少两个嘛，那就是十三乘四，再减四，好像再往里面摆 一层的时候又少了两个棋子，所以每条边上就是十三减二，就是十一个棋子，那么十一乘四再减四，哎，把这个三层所用的棋子数全部进行一个相加，最终就是一百四十四个棋子。