自然数之和为负十二分之一错在哪

最近有一个数学问题在网络上很火啊，就是自然数加和一加、二加、三加加去所有的这些自然数相加等于多少？然后有人就说这里面等于负十二分之一，为什么得负十二分之一？怎么来的呢？ 啊？实际上这个并不是什么发现新大陆啊，并且这个东西是错的。这件事啊，是实际上是很古老的一个问题，数学分析里很古老的一个问题啊，伟大的数学家欧拉先生，他就研究过这个问题啊，而且他是第一个意识到这个问题的人啊。那么我这个不展开说，我们就现在就捡颜值，就看这玩意怎么算。好吧， 那我先观察一下他有什么特征呢？你得找找特征啊，他其实等于这个东西，就是是不是基数加一起，然后偶数加一起。为什么要把基数和偶数分开？因为我发现偶数可以提提东西出来，能提什么？是不是可以提个二出来，对吧？那这是啥？这是不是就是 s？ 好了，那到这 s 等于什么还出不来？因为你这里面他你是未知的，那怎么算他呢？把他也能算出来，这 s 就出来了， 那现在相当于什么？相当于就是说这里面好像两个位置数一样，他是一个， s 是一个，就好像我现在知道了 a 加 b 等于多少，我知道，然后我要算 a 和 b， 他算不出来，我要再知道一个 a 减 b 的等于一个东西，那两个式子相加再相或者相减 a， b 就直不全出来了。于是我就基于这个想法，我能不能构造出 a 减 b 呢？比如说有个东西叫 s， 一个波浪，他等于什么呢？他那一加三 加五减掉，二加四加六，或者说我把它穿插着写开，就是一减二加三减四加五减下去。有没有这么一个狮子存在呢？那这个狮子观察又 有什么特征？一正一负，一正一负。所以我给写成什么呀？一减加上二的二乘以负一的一次方，这个负一的零次方 加上一个三乘以负一的平方，再加上一个四乘以一个负一的三次方，一直加下去吧。 是不是可以写上这么一个东西？那于是这个东西我可以给他幻化一下。这不就是说好像一个函数一样，只不过是现在这函数的自编量取负一了吗？那就 函数长什么样。我设他为 fx， 他应该是 x 的零次方加二乘以 x， 一次方加上三乘以 x 的平方，一直接下去，对吧？只不过我现在这个 s 波浪等于 f 一，是这个意思吧？那我现在就要把 f 给求出来。 哎，我怎么穷的。看到这个式子我们应该很高兴啊，因为这高中的同学都熟悉这是啥？等差成等比对不对？什么方法？是不是错位相连 大球盒。但是那个太复杂，我们不讲那个，我们讲一个多少简洁一点的。这个算 fx 方式怎么算呢？我们先算一个跟他相关的，但是比他容易算的东西算什么？算一个等比级数和 这个东西能有多少？这个东西能一除以一减 x 有老有的孩子对这个东西有痣一样，说他不得他啊。是确实有的时候确实不得他，因为他可能是不收敛的，所以他想得他对 x 是有要求的。 x 什么要求啊？这次绝对值要小于一大于零，对吧？这是他的 能等于他的这个范围，在这个细节，我们现在不管他。于是呢？这俩柿子不是相等吗？我对两边求倒两个永远等的柿子，对两边求倒是不是，还是等好。那么这边求倒变成啥了？变成一加上二乘以 x， 依次方加上三乘以 x， 平方又加在一加，这面求到变成啥了？一减 x 的平方分之一，那于是乎这是啥？这跟他是不是长一样一样的？所以这是不是就是 fx？ 所以 fx 我们也算出来了。那行了，那 f 一往里一带是啥？是不是四分之一好了？余数吗？得出什么了？ 这东西等于四分之一，那就是说，我这样写吧，这叫 s 七，可以吧？好，我再把刚才这些结论重新写一下啊，就是 s 七减掉二 s 等于四分之一， s g 加上二 s 等于 s， 我们下式减上式就得到了 s 等于负的十二分之一，于是就是自然数值和是负的十二分之一，那这对吗？这显然是不对的。那出错出在哪里了？你觉得出错出在哪里了？你可以在评论区里面说一下， 实际上出错就出在这里了。就是刚才已经说过了，他等于他是有条件的，是有这个条件的， 那他等于他也是有条件的，负一不在他等于他的范围内，能听懂吗？所以说，实际上你把负一带进来，那这面这面取负一的时候，和这面的东西他已经不是一个东西，两面已经不得了。 那这个究其原因是什么？根本原因在哪里？究其原因是在你求和的顺序上。呃，我这样写呢，这样算过来呢？虽然说在方法上那是简单了，我们没有用那个错位相减法，实际上你用错位相减法做一下，你就能更加真切的体会到，因为错位相减法是 错位，就是他写一个表达式，然后又成一个工笔，然后再写一下，然上下两个加和。实际上 他已经改变了这个整个序列的运算顺序了。如果一个数列他不是绝对收敛的，那么你改变他的运算顺序，他可能得到不同的结果。 那么这件事实际上是数学分析中的一个非常基本的原理，就重排定理，最早意识到这个问题的人是伟大的数学家欧拉。好，今天就说这些，你听懂了吗？点赞吧！

全体质元素之和等于负十二分之一，数学家竟被困扰一百五十年！大家都知道一加二加三加是加五加六，五亿之家等于负十二分之一，这个结论最早由大数学家奥拉发现并记录在他的手稿当中， 后来又得到了很多数学家的证明。最近抖音上很多老师也把他们称为你不知道的数学老师， 比如一减一加一减一一直加，减等于二分之一，一加二加三加四加五加六一直加等于 负十二分之一等等。但作为家长，明知道这样的答案是错的，应该怎么办呢？看来只能丰衣足食靠自己。今天我就来证明，一加二加三加四加五加六一直加不等于 负的十二分之一。因为欧拉证明过程中过瘾并作为重要依据的公式是，一加二加三加是加，五加六一之加等于 一加二加三加四加五加六，五一直加。因此我们只需要证明错位情况下，一加二加三加四加五加六一直加，不等于一加二加三加四加五加六一直加。即举例， 瑞利亚，一加二加三加四加五加六一直加。在计算中错位，我们选择第一个四十中用前三项一加二加三先加， 第二个是这种用前四项一加二加三加四现加。当年大家还可以用其他的方法错位仪式中，一加二加三加是加，五加六一直加等，一加二 加三加三加一加三加二加三加三一直加等于六加。大括号小郭号一加二加三一直加，加三乘以大括号无穷大二四中一加二加三加四加五加六 一直加等一加二加三加四加四加一加四加二加四加三一直加等于十加小关号一加二加三一直加加四乘以无穷大，因为 无穷大等于大括号无穷大减一写一十等于二十，所以此例中大括号小括号一加二加三一直加，减去小括号一加二加三一直加等于大括号无穷大。因此可以证明错位情况下，一加二 加三加四加五加六一直加不等于一加二加三加四加五加六一直加。所以一加二加三加四加五加六一直加不等于负的十二分之一。不知道证明明白了没？评论区见。

大家好，今天我们来看一道证明题啊，证明一加二加三加四啊，一直加啊，加到这个无穷啊大等于负的十二分之一，也就是说这个呢，正好是所有自然数的啊，一个求和，所有自然数的和呢，是等于负的十二分之一， 我们一看这个结论啊，显然是错误的啊，对吧？按照正常的思维啊，那所有正数相加呢，结果还是一个正数啊，对吧？怎么可能等于负数？那今天呢，我们就来证明一下啊，这个结论是怎么正出来的？首先呢，我们可以啊设啊 s， 假如 s 啊 s 呢，就等于一二三四啊，我多写几个五六七 一八，好，然后后面省略号啊，一二三四五六七八啊，就是所有的自然数的和为 s。 那么接下来呢，我再构造一个 s 一，嗯， s 一呢，我让他等于一减二，加上三减四，加五，减六，加七减八。好，后面还是省略号， 接下来呢，我用 s 减去 s 一，我们来看一下 s 减 s 一等于什么？ 一减一就是零了，二减负二，那就是四，三减三是零，四减负四呢，又等于八，好，那后面就是加十二，再加上 十六，然后省略号，对吧？那这时候我们来看一下这个四加八加十，二加十六，是不是他可以提一下，把四提出来，提出来以后，括号里就是一加二加三加四，然后点点点。 那我们再看一下这个一加二加三加四是谁呢？你再翻回头去看，一加二加三加四，省略号，他就等于 s， 所以呢，我们看这里是不是就等于四倍的 s， s 减 s 一等于四倍的 s， 说明 s 一，我们来一下下啊， s 一移过来，那就是等于负的三倍的 s 就是 s 减四， s 就是负三倍的 s， 也就说 s 一和 s 之间呢存在一个负三倍的关系啊。那现在要想求 求出这个 s， 我们只需要把 s 一求出来就可以，对吧？求出 s 一就可以，接下来呢，我们就求一下 s 一 好。 s 一还是刚才写的，他等于一减二加三减四，加五减六，再加七减八点点点。呃，再往下呢，我要这样写一下啊， 我还是写 s 一，但是这回呢，我把零给他填进来啊，有一个零，呃，零加一减二，他俩还是相等的啊，就多加一个零啊，因为零 加上和不加都结果是一，不会影响结果啊，对吧？零加一减二啊，加上三减四加五 减六，加七点点点。接下来呢，我把这两个 s 一 给他加起来，加起来以后我们看一下等于什么？二倍的 s 一等于一加零，那就是一，然后负二加一，那就负一，三加负二，一就是一减一加一 减一，对吧？然后再加一，再减一加一，减一点点点。 这时候我进行这样一个操作啊，我把这个前面这个一啊单独写出来，然后后面呢给他添一括号， 括号，我们看一下是不是括号里就是一什么样，减一加一减一，再加一减一，对吧？哎，是这样的， 然后呢，这里是省略号，那我们看一下，这个括号里的和上面的这个是完全一样的，咱不妨射啊，刚才上面这个一减一加一减一啊，加一减一，省略号，它呢？设它为 s 二的话， 那咱们来看一下这里是什么等于什么，是不是就等于一减去这个括号里他也是 s 二，所以我也可以写成一 加 s 二，什么意思呢？也就是说 s 二就等于一加 s 二，那这样的话，我们是不是可以推理出 二倍的 s 二等于一，于是呢，又得出 s 二呢？其实是等于二分之一的，那 s 二要是二分之一，我们再看一下， s 二又等于二倍的 s 一，所以又可以得出 s 一呢，等于 二分之一 s 二，对吧？然后呢，从而推出 s 一呢，是等于 四分之一的 s 一等于四分，这时候呢，我们把这个 s 一等于四分之一，哎，待会到这里是不是就可以求出 s 等于多少？咱们来看一下， s 呢，就等于四分之一，去除以负三，那就等于负的十二分之一。 最后呢，我们看一下，这个结论就得证了啊，证明所有自然数的和为负的十二分之一，最后我们也证出来了， 这个呢，我们看一下，非常的反常识啊，对吧？我们一开始就说了，所有自然数都是正数，那正数加起来还是正数，为什么所有正数加起来反倒成了负数了呢？ 这个问题到底出现在哪里？大家看出来了吗？好，看出来的啊，也欢迎在评论区留言讨论。

用数学证明上帝的存在，一加二加三加四加五加六等于负数啊，数学的思维，预防老年痴呆。好，我们废话不多说，直接看当年欧拉是怎么证明的。大神，欧拉呢？当年是这样证明的，朕 他让这样的一个函数，这个函数呢，等于 x 除以一减 x 的平方， 我们对这个函数进行密集数的展开，它就等于 x 加 i， x 的平方加三， x 的三次方加四， x 的四次方加点点点。然后呢，这个时候我们让 x 等于负一， 一，是不是他的左边就等于负的四分之一，他的右边就等于负一加二减三加四减五加六 减七加点点点。然后呢，我们对这个式子来做一下整理，我们把它把负数放在一起，把正数放在一起，就会得到这样的结果，就等于 二加四加六加八加点点点，然后呢，然后把负数放在一起，就等于负的一加三加五 加七加点点点。到了这里呢，我发现了一个神奇的问题，你看这个前一个括号里面的数是不是全部都是偶数？ 后面这个括号里面的数是不是全都是基数？ 我们先不管怎么证明这个负十二分之一，我们先看一下这个式子是不是很奇怪，那这个式子不就是所有的偶数和 减掉激素和 等于负的四分之一吗？这个是什么乱七八糟的，有没有哪位大神能告诉我这个是问题 出在哪里？是欧拉算错了呢？还是我的计算哪里有问题？还是我的理解不到位呢？

一加二加三加四加五，这样一直加到无穷大等于多少？哈，起了个大怪，这个答案居然是负的十二分之一，我的天呐，无限个真数相加，哎，居然得到一个负数，真的想问一下，是哪路大神说的，他等于负的十二分之一，他是 是怎样把它给加出来的？嘿，真问到了，接下来请看他的表演。要算出 m， 就得先算出他的两个小弟 s 和 m 等于多少，计算简单，倒图。小学毕业跟我来问一下，一减一，又加一，又减又加一，这样无限的循环下去等于多少？很简单，我们令他等于 s， 接下来发现用一减去 s 得到这个样子，他其实还是 s， 只不过前面多加了一个零，所以 s 应该等于二分之一，没毛病吧。又来问一下， m 等于一减二加三减四加五，这样一直加下去等于多少？很简单哈，两个 m 等于这么多，那错位一下，加下括号，哎 嘿，这里抽出一个 s 出来看到没？因为两个 m 等于 s 等于二分之一，所以 m 就等于四分之一。好，现在可以来算， n 等于一加二加三加四加五，这样一直加下去了，太简单了，还是这样加括号。这配对，你会发现， n 减 m 等于四个 n， 因为 m 等于四分之一，那 n 就很明显等于负的十二分之一啊， 出来了，这个真的等于付的十二分之一。第一次完成这个操作的人正是大神欧拉。欧拉知道他这个答案是荒谬的，但是东乐外第 一次知道他错在哪里的人叫做，尼玛，他说有现象相甲是可以这样括号乱的，前甲和后甲没什么区别，但是对五线项哎，不可以乱整哦。想甲的顺序如果改变的话可 可能会得到完全不同的结果。这种思想规范的说法叫做弥漫重派定理。例子在这里需要暂停看一下。虽然弥漫只出了错误，但是额拉没办法改了， 因为他已经去世好几十年了。不慌不慌，自己看的场子还得自己来造。幸好我尼玛有这份才能。他真的找到了正确的计算方法，并且发现答案真的等于负了十二分之一，其中需要用到解析言托这个东西几句话讲不清，但是 搞懂了其中的思维过程是真的想明天讲。今天你们可以看下这本书，欧拉尼曼都在里面。还有这副扑克，我一起打包放在了左下角的小黄车里面。

哈喽，大家好，欢迎来到奇妙查尔斯。先看两段视频， 一加二、加三，加四加五，这样一直加到无穷大等于多少啊？起了个大怪，这个答案居然是负的十二分之一，我的天呐，无限个专属相加，哎，居然 来我问问你啊，所有算数的总和是多少？老师转过来，中国跳着舞台，数学家拉马女金的求和法，得到的真正结果是负的十二分之一，你信不信？负十二分之一，负十二分之一，你敢信吗？ 这些打着清华教授还有天才拉玛努金的旗号的人想干什么呢？我们都知道那个答案是无穷的，那他们宣扬的 二分之一到底是怎么一回事呢？看一看拉马路金是怎么算出来的？ 我们要求出这样一个自然狩猎，一加二、加三、加四、加五加六，一直加下去，那么我们先设定它为 s 一， 为了退出他的结果，我们再设定一个 s 二，那等于一减一，一减二加三，减四，加五，减六加七，也就是偶数上都是负号，然后技术上都是正号， 再写一次 s 二，那么这个二这次写的时候呢，要往他把他往后错一位写，也就把前面第一位给空出来。但同样的还是一减二加三，减四，加五减六，那么在这样写出来以后呢，我们对他进行错位相加，就会得到这样一个结果，那么两倍的 s 二 还剩一，那么负二正一还剩负一，正三负二还剩正一，负四，正三还剩负一，就变成了一减一加一减一加一减一加一减一，也这样无穷的一个数列。为了得到这个结果呢，我们还要再写一次两倍的 s 二， 同样也是错位来写，我们再对他进行错位相加，就变成了这样一个数值，我们看到了只剩下了一个一，那么剩下的这些项呢，上下都被 抵消掉了，变成了零，所以四倍的 s 二就等于一，那么我们就得到了 s 二等于四分之一这样一个结果。把这一个结果再回到我们要求要求和的这个自然数列之和， 也就是一加二加三加四加五加六的合。那么这个时候呢，我们再写一次 s 二，这是我们刚才说的那个一减二加三减四，那么把他们两者进行相减，就会得到这样一个结果， 那么这两个相减一减一变成了零二减负二变成了正四，三减三变成零四减负四变成了正八，五减五没有了，那么六变成正六， 负六变成了正的十二，也就是变成了四加八加十，二加一直加下去这样一个结果，那么这个结果呢，其实就等于四倍的 一加二加三加四加五加六加七，那么看一看，这个一加二加三加四的这个结果呢，就等于上面这个 s 一，所以 s 一减 s 二就 等于四倍的 s 一，于是我们把 s 二这样等于四分之一这样一个结果给带进来，就会变成了 s 二等于负三倍的 s 一，也就是等于四分之一，那么就得到了结果， s 一等于负十二分之一。 这原本是一个数学的历史旧案，是从欧拉开始，数学家们当年玩的一个叛逆游戏， 经过平台上某一个知识类主播很有想象力的介绍，又加上有些人把他从前沿物理联系上以后呢，某些营销号就像突然找到了直昏大门的钥匙，开始亢奋的向人间宣布他们伟大的发现， 那我们下面就用这把钥匙来证明一下，一等于二等于三。首先我们来给大家站 证明，一加一加一加一加一加一等于这个结果是多少，我们把它设定为 s 一， 然后为了得到他的结果，我们要引进一个 s 二，这个 s 二就是刚才我们说的那个一加二加三加四加五加六，一直加下去这个自然数的无情极数之和，把它设定为 s 二， 现在我们把它两者进行相加，会得到一个 s 一加 s 二等于一个 s 三，那么这个 s 三是多少呢？ 一加一等于二，一加二等于三，一加三等于四，一加四等于五，又会变成二加三加四加五加六加七这样一个 无情极数，那么 s 三，我们把这个 s 二再回他写在底下，就会发现一个问题，是一个什么问题呢？这个 s 二也就是这个 s 二他 他的后半部分，这一部分实际上就是我们新得到的这个 s 三，于是我们就得到了一个等式，这个等式是 s 二等于一加 s 三，也就是 s 三加一， s 二等于一加 s 三。那么同时呢，我们把上边这个稍作变换，把它挪到底下来， s 二还等于 s 三减 s 一，那么我们会发现 这是完全相同的，可以完全抵消掉，就变成了一个负的 s 一等于一，也就是 s 一等于负一，那么我们知道 s 一就是一加一加一加一加一直加下去，也就是他等于负一，是不是一个结论很奇怪啊？ 那么有了这个基础，我们就可以来证明哪个更奇怪的一等于二，二等于三的结论了。买 s 一等 等于一加一加一加一，我们刚才已经证明了，他等于负一，那么我们再次把他相加，变成一个两倍的 s 一，那么这个两倍的 s 一呢？就会变成二加二加二加二，一直加下去。 现在我们再把自然竖列的那个一加二加三加四加五加六的这个自然数的竖列的，把它得挪回来，它会变成一个 两倍的 s 一加 s 二这个结果，我们把它标到 s 四，它会等于多少呢？变成三变成四，变成五，变成六一十三加四加五加六加七加八这样一个结果，那么 出现这样一结果，我们再把 s 二写在底下，就会发现三加四加五加六加七，八加八的这个结果也在 s 里边，也就是这一块，实际上就是 s 四，于是我们就得到了一个 s 二等于 s 四加三，一加二等于三， 那么这个是 s 四，所以 s 二就等于 s 四加三，同样我们把这个带给他列到底下，就会发现 s 二还疼，同时还等于 s 四减两倍的 s 一，也就是 我们把这个两倍的 s 一， s 一等于负一代进来，就会变成 s 四加二，于是你看 s 二等于 s 四加三， s 二还等于 s 四加二，就会得到一个结果，二等于三， 两边顿减去一，就得到了一等于二，是不是很有意思？那这个结果会成立吗？ 我们都知道，如果一等于二等于三这个结果成立的话，那么我们的数学整个大厦就要崩溃了， 那这个证明过程有什么问题吗？看起来是没有的，但如果你不想整个数学大傻崩溃，不想承认二就等于三，那么其中必然是哪出了问题。 如果问题没有出在二或者三上，那要么就是你设定的那个 s 一啊， s 二啊出了问题，要么甚至就是其中的等号出了问题。 这里的问题其实出在无穷大上，无穷大是有多大呢？无穷大和无穷大哪一个更大？无穷大加一和无穷大，哪一个更大？无穷大的两倍呢？既然都叫无穷大，那么他们大小有区别吗？这些问题我们没法回答， 实际上数学家也一样没法回答。对无穷几束的求和方式，其实至今在整个数学界也没有完善的方法，求和的方法有很多，拉满努力的方法只是其中之一。 比如借用刚才我们得出一等于二等于三的一个方法，我们还可以算出全体自然数之和，也就是一加二加三加四，一加下去，他可以等于负一。 利用前面的结果，我们可以把这搞得更加荒诞一些。例如我们把这一个狩猎写的更稀一些， 那么一加二加三加四加五，就可以写成一加一加二，一加一加一加一，其中的二可以分解成两个一进行相加三分解成三个一，二四分解成四个一， 所以我们把括号都可以给去掉，就变成了一加一加一加一加一，一直加下去，那么这个数等于多少呢？等于 s 一，我们前面已经算过了， s 一等于一加一加一加一加一等于负一，这个数就等于负一， 那么努力的算法中，他们得出了一个负十二分之一，而我们也可以用这种方法得出一个负一的结果。 那我如果说就此我就用数学证明了神的存在，那你说他是证明了神的存在，还是证明了神棍存在呢？

数学科普与真正的数学知识差距到底有多大？上一期视频呢，我谈到了数学反直觉这件事情，那下面就有很多评论说哈，所有的自然数加起来等于负二分之一，这件事情就十分的反直觉。其实在数学中并没有这个结论， 所有的自然数加在一起是一个发散的无穷极数，跟负十二分之一没有任何关系。那之所以很多人有这个印象，主要就是受到了一些不太严谨的科普号的误导。 所以今天我就来谈一下数学科普和真正的专业数学知识之间差距到底有多大。那一句话概括差距是非常巨大的。 数学科普是面向大众的，而专业的数学知识则是高度抽象与高度复杂的。那为了使大众了解抽象的数学理论，所以科普作者们不得不对数学理论做一些手脚，使得这些理论听上去似乎很好理解， 但其实跟原理论相比，差了十万八千里。那我来总结三点。第一，科普作者会对抽象的出现理论做某种比喻。比如我们常提到的拓扑学，就是在玩橡皮泥，把方形捏出言行等等。这其实就是一个通俗的比喻。 真正的拓扑学比这要复杂的多。所谓的拓扑空间，指的是一类满足特定性质的子极族，而捏橡皮泥这个操作，其实指的就是双向连续的同配映射。再比如著名的莫比乌斯纸袋，把一张纸条边缘翻转一下，再粘在一起。我们大家都能理解，甚至还能手工做出来。 但莫必无私指代。真正的数学定义是某个特定的拓扑空间，在一定的等价关系下，诱导出的商空间可远远不是沾纸条这么简单。第二，科普作者会使用一些简化了的、通俗的甚至是很不严谨的语言来 来叙述本来应该很严谨的数学知识。这就是非常容易让人产生误解。比如康托尔的集合论中有一个非常重要的结论自然数集与偶数集是等式的。 但是要想解释清楚什么叫是，又是一件非常吃力不讨好的事情。所以有的数学科普直接将其简化为叫做元素的个数，就说哈，自然数跟偶数的个数是一样多的。于是就有人认为数学是在胡说八道。但其实啊，数学中从来没有这样说过，用的词一直都是等式 continentity。 第三条的性质最为严重，就是某些科普作者会故意漏掉一些关键但有十分拗口的专业词汇。比如所有自然数之和等于负十二分之一就是一个最典型的例子。事实上，这个结论来自于黎曼塞塔。函数是对仇和函数在全副平面上做 解析研拓得到的函数在负一处的取值为负十二分之一。其中最关键的一步叫做解析研拓。但是很多科普号出于主观或者客观上的原因，对这四个字是闭口不谈， 所以很多读者也就因此被带跑偏了，从此就对数学造成了完全错误的印象。那我举上面三个例子呢，就是想说明数学科普绝对不是专业的数学知识。很多情况下，我们由数学科普所获得的对数学知识的理解，其实与真正的数学知识是差了十万八千里的， 那我自己也是一名科普作者，我自己在创作的时候呢，会极力避免上面所说的三种情况。但即便如此，我也时常会感到有些矛盾是不可调和的。

今天和大家分享一个十分特别的式子啊，一加二加三、加四加五，一直加到无穷大啊，它等于负十二分之一。好多人听完这个式子，就会发现我的两个非常致命的错误啊，一个是所有自然数啊，包括了零啊，这是新出的一个规定啊。 另外一个就是所有这样数都大于五等于零，他怎么可能等于负数呢？所以说啊，这是非常荒谬的。但是许多数学家偏偏就证明出来了啊。我们看啊，最开始数学家怎么证明的？我们要求和， 那么四 a 能多少呢？它等于四加八加一十二加一十，六加二十。我们用这个 根减去四 n 啊，我们会发现啊，用这个减这个，这个减这个，这个减这个，这个减这个啊，我们不一对应的相乘啊，我们错位的相减，他是一减二 加三减四加五减六加七减八，加九减十啊，这么一直减下去啊，它等于负三恩。如果我们求出这个式子来啊， 我们就能够把 n 求出来。那这个是该怎么求呢？我们再来看啊，再把它写一下啊， 我们把这两个负三项加一下，这个加这个，这个加这个，这个加这个，一直这样加下去啊，他等于一减一加一减一加一减一啊，这样不断的加减下去，他等于负六文啊。是不是越计算越离谱啊， 他竟然等于负六恩。而这个式子等于多少呢？我们看这个式子等于负六恩，那么一减去一减一加 加一减一加一减一加一，他也是负六恩啊。而里面这个式子啊，和外面的式子是一样的。也就是说一减去负六恩等于负六恩啊，得出来一等于负一十二。恩。 最后我们推出来了 n 等于一，除以负一十二，也就是等于负一十二分之一啊。是否成功得正的呢？我相信许多同学都能够从这证明中啊，找到错漏的地方啊，不管是第一个证明，还是第二个证明，还是第三个证明啊，都是错误的。 那为什么这个错误的结论大家经常讨论，而且还说他是对的呢？那是因为我们用常规的方法证明，只能帮助我们理解啊，他为什么能负于十二分之一，而 不能让我们从数学上严格的去知道他等于负三分之一。那谁让我们从数学上严格的知道了他呢？ 不是最开始提出这个数字的，那马鲁军也不是啊，数学大神的欧拉，而是凌慢啊。他搞了一个函数啊，叫凌慢函数，写成这样啊，他有两个形式啊，这个符号还不太好写啊。先这样， 他是弥漫函数的一种写法。这个函数等于 一除以钢马函数啊。这钢马函数在球二分之一的阶层里面，我用到过，大家可以去看一下啊。而且这个钢马函数再乘以一个从零到正无穷的一个积分， x 的 s 减一次，方 乘以 x 方减一啊， dx 他是等于这样一个直的啊，整个函数叫里面函数啊，你可以说上面一个叫里面函数啊。他把 s 等于负一带进去啊，发现啊，上面 就是一加二加三加四啊，一加到五强大。下面这个啊，刚好就是负十二分之一。求出来。 你说最开始的这个解，在解析严拓之后啊，他是正确的。好多人可能对解析严拓啊不太理解啊，通俗来讲啊，他就是类似于把一个阶层吧 变成一种函数的形式啊，使这个函数不仅能够表达他，而且能够表达更广泛的阶层的含义。比如说二分之一的阶层啊，把本来不连续的一个 表达式啊，转换成一种连续的函数啊，这是一个非常粗浅的一个介绍啊。好，既然林曼想尽办法把它证明出来了，证明这个数字肯定有用啊。他怎么用呢？用在一些物理实验上，如果我们把周围的厂 比喻成无数的数的话，有零点五、零点七五，还有循环小数零点一这样的循环小数，还有这样更换二、更换三这样的。 我跟你说啊，存在于我们周围里面。为什么那么讲呢？因为我们周围里面到处存在着场，存在着波啊，他的频率我们不知道。所以说我们可以把周围的空间想象成各种场、各种波的一个叠加。 那如何理解一加二、加三、加四、加五、加六呢？我们周围环境里面存在的无数的混乱的数啊，而这个有 有序的数是怎么产生的呢？我们可以从弦去理解啊。我们知道弦长和频率是成反比的关系。如果有一根弦长一啊，他频率是一的话，我们把它变成二分之一长度啊，他的频率就是二了，把它变成三分之一的长度，他的频率就是三了啊， 把它变成四分之一长度，是平均是四了。如果我们只是有一个金属板啊，他的间隔距离恰好是这个一，那么只有一种波动能在它里面存活啊，就是这种倍数的。为什么？ 如果我们理解波的话，知道波峰波股的一个叠加啊，只有这个乘倍数的，这个波才能在里面来回的动啊。其实波因为不是他的整数倍啊，就相互抵消了，只有这种频率的才能活的好好的。也有好多人把这个波啊理解成弹簧，只有 这种长度的弹簧才能在里面存活。那外面的世界呢？所以外面是一个无需的混乱的，到处都是的这种东西啊，到处都是这种弦。我们把外界的一种能量，或者说一种是啊， 看成零的话，那么里面这个有限的，这个一加二加三加四加五，这样加下去的这种能量就是一个负数了。因为相对外面这种混乱的无穷大的状态，里面这个无穷大反而会变得小一点啊， 所以他相对于外面那个无穷大，他是一个负数。所以说如果这个结论正确了啊，那么这个实验结应该也是正确的。然后呢，就有人真的 拿这个金属板在真空里面做实验推出来啊，这两块金属板之间的确存在着压力啊，让这个两个金属板去靠近， 可以说存在这样的力啊，推他的力，挤压他的力。从这个方面来讲啊，他就证明了这个说战术的和等于负十二分之一是对的。最后我想说一下啊，这个式子本身是错的啊，但是在这些延拓之后，我们可以证明他，而且他在物理学里面，特别是衔理论量的力学里面啊， 有这样的应用。所以好多人说他是对的。就以纯数学而言啊，这个狮子是错误的，只有把这个无穷大和外面的一个更加大的无穷大比较之后啊，才会得到这样一个狮子啊。如果觉得我的分享对你有用，别忘了点赞分享加关注。 ok， 今天的分享就到这里。

各位同学大家好，今天给大家讲一个非常扯淡的结论，就是一加二加三加四，一直加，加到无穷大，就是所有的自然数之和呢，他竟然是等于负的十二分之一的。 就在数学上看起来非常扯淡的结论。就打个举个例子，比方说你给你老板打工，你第一天的工资是一块，第二天的工资是两块，第三天是三块，然后以此类推，你打工打到天荒地老，最后一算工钱，你反过来还欠你们老板十二分之一元。 这怎么解释呢？非常扯淡是不是？但是就是这样一个结论，在物理上他居然是有意义的。下面我就用物理上的量子力学的方法给 大家来解释一下，毕竟遇事不觉。量子力学量子力学呢，可以解决很多问题的。我假设这个一加二加三加四加五，一直加下去，这个数呢，它等于 s。 接下来呢，我再构造几 几个数， s 一呢，等于一减一加一减一加一减一加一，一直循环下去。 s 二呢，等于一减二加三减四加五减六加七减八，然后一直循环下去。接下来呢，我把 s 二乘以二，我不直接乘，我再写一个 s 二，把上面跟上面那个 s 二相比呢， 错开一位，用错位相加的办法，然后把这两列呢给加起来，就是第三行跟第四行加起来，等号左边呢，他就是两倍的 s 二，等号的右边呢，我们来看一下第一个数。一呢，没有数跟他加，那就一加零挪下来，而负二加上一是负一，然后三 加上负二就是一，然后负四加三是负一。我们加下来之后发现啊，这个结果就是一减一加一减一加一减一。这个结果等于谁啊？就是刚才这个 s 一， 所以我们就会得到两倍的 s 二，他是等于 s 一的。接着往下写， 两倍的 s 二等于 s 一。那么反过来 s 二呢？他就等于二分之一的 s 一。接着呢，我再拿这个 s 减去 s 二，我们看看能减出来什么。 s 减去 s 二，那么一减一减没有了，二减去负二，得到的是四，然后三跟三的减没有了， 四减去负四，得到八。然后我们就会发现啊，所有的基数上全都减没有了。然后剩下的就是四加八加上十二啊，再下一项就是加上十六。然后呢，我把这里面的这些四啊给提取出来，我发现这剩下的数全是 四的倍数。这里同学们可以自己手动验算一下啊。偶数下二减一，负二，然后四减 减去负四，六减去负六。下一项就是八减去负八。我把这个四提取出来，剩下的就是一加二 加三，一直加四，一直加。加下去，我发现这个数呢，他就等于四倍的 s。 因为后面括号里就是 s 啊，所以 s 减去 s 二，他就等于四倍的 s。 然后呢，我把这个式子呢，再稍微一个项，得到 s 减去四， s 等于 s 二，那么 负三倍的 s 就等于 s 二。两边呢，同时除以负三，我就得到 s 的等于负的三分之一的 s 二， 那么得到 s 等于负三分之一的 s 二。之后我再把这个 s 二等于二分之一的 s 一带进来，这样我就得到 s 等于负的六分之一的 s 一。我算出 s 等于负的 六分之一的 s 一之后，那么接下来我就把重点放在了怎么样去求 s 一的结果。因为我的目的呢，是要求 s， 我求出 s 一呢，乘以负六分之一就可以了。那这个 s 一怎么求的？下面该量子力学出场。我们先来观察一下这个 s 一。 s 一呢？有同学看到了，说他就是零啊，为什么呢？因为一减一他是零，一减一是零，一减一是零，所以说他最后结果就是零。有的人说不对， 他等于一，为什么呢？因为我们不看第一个数啊，第一个数是一，然后从第二个开始看负一， 一加一是零，然后后面两个呢，负一加一是零，负一加一是零，也就是后面两两结合都是零，就剩第一个数，所以说他是一。那么 s 一，他到底是零还是一呢？下面我就要用量子力学来解释一下子。在量子力学当中， 面对一个处在叠加态的拨函数。什么叫叠加态呢？就是 s 一，他就是叠加态，他既可以是零，就可以是一，那就是叠加态啊，对不对？去测量一个物理量，最终得出的结果应该是一个期望平均值。也就是说把所有拨函数对应的值加起来，做一个平均。 这句话翻译成人话的意思就是 s 一呢，他既等于零，又等于一呢，他最终的结果就是二分之一的零，加一就是二分之一。其实在数学上我也可以挣出来， s 一等于二分之一，怎么样去挣呢？我拿一减去 s 一，我看等于什么呀？ 一减去 s 一，就是一减一加，一减一加一，然后一直循环下去。我把括号去掉，就是一减一加。因为去的话，里面每一项都得变号，第一个一就变成负一，然后再减一呢，变成加一。后面呢，减一加一，减一加一，一直循环 下去。我就发现啊，一减去 s 一，后面这等于这个结果，他就是 s 一啊，也就是一减去 s 一，他还等于 s 一。一个下就得是一等于两倍的 s 一除以二， s 一等于二分之一。 我无论无论有哪种办法算出来 s 一等于二分之一，我带进来之后，我都可以得到 s 呢，是等于负的十二分之一的。最后呢，我再来说一下啊， 这种做法其实是有问题的。数学上要想正出 s 等于负十二分之一，是要用到解析言拓的思想。这种加加减减的做法是非常有问题的。 不过这个量等于负十二分之一，就是所有自然数之和等于负十二分之一。在物理上，他确实是非常有意义的。在物理上呢，他通常呢用来替代无穷大这个数字。今天的课程就先讲到这里， 明天呢给大家讲零点九九九，无限循环，他为什么会等于一？点赞加关注，学习不迷路！各位同学有什么想听的知识点或者题目的，欢迎在视频下方留言。

帅哥老师真的怎么了哟老师。一的平方加三的平方加五的平方一直加到九十九的平方，等于多少？这么长啊，对，不会做吗？ 完全不会啊，这也太难了。这其实也就是讲过的平方和的哪家公式吗？但是呢，平方和公式有一个特点啊，他必须得是连续的自然数的平方。对，同时得从一开始 这个他就稍微变形了一下，对不对？对，咱们把它转换成原来的常规形式不就可以算了吗？对不对？怎么转换呢？他现在不连续，我把它变成连续的，是不是就是一的平方加二的平方，加三的平方 加四的平方一直给他加到一百的平方，这就是从一开始的连续自然数的平方和了，对不对？对，但是我们求的只是基数，你要怎么办？呃，应该怎么办？减去偶数。没错，把偶数的平方都减掉了就可以了。对，这边偶数平。 平方有哪些啊？二的平方，四的平方，一直到是吧，一百的平方呗，对不对？对，接下来我们开始使用公式解决这个问题，非常简单。看好了。好， 第一个呢，就等于六分之一百乘一百零一，再乘二百零一搞定，减去下一个。对，下一个，特别注意，要稍微变形一下。有的同学说，你这变了没用啊，他还是不连续啊，对不对？对，他可以变成连续的，怎么变呢？ 看好了，提取一个公因数，提取几呢？提取的注意是四而不是二，很多人在这里容易犯错，提取四之后呢，里面就会变成什么？一的平方加二的平方加点点，一直加到五十的平方，哎， 注意这是不是连续了，而且从一开始对不对？所以呢，哎，他同样可以用公式啊，那就是四乘以六分之五十 乘以五十一乘以一百零一，算出来不就答案了吗？明白了啊，不太明白，这不懂。对，这个后面是怎么过来的啊，这公式忘了是吧？对，哎，我都讲过了，这样吧，我再给你证明一遍，自己听好了啊，我只讲一遍啊。 啊，是这样的，这个呢用到的是平方和累加公式。平方和的公式是什么样子呢？就是这个样子，一个平方加二个平方加三个平方 加点点点，一直加到 n 的平方，就是像这样的算式应该怎么计算和结果，我们现在来推导一下。看好了，用到的方法非常特别，叫踢三角，而且要用到树形结合的思想。首先把这些数字啊全部都放到一个三角形当中去，比如咱们现在画个三角形 哎，里面有一个一，两个二，三个三，一直到 n 个 n， 哎，这底下全是 n， 那上面就是 n 减一喽，你看好了啊，一个一不就代表一的平方吗？两个二三加等于四，是不是就是二的平方？对，三个三等于九，不是三的平方吗？对不对？一直到 n 个 n， 那就是 n 的平方呗，对不对？所以我们要求的这个算式啊，其实就是这个三角形里面所有数的和是不是对，但你说这个东西 怎么求啊，也没法求，怎么办呢？接下来有个方法很特别，你先给这个三角形啊踹一脚，这样踹，踹一脚他是不是转一下？对，转一下，哎，但是呢还是三角形啊好， 但是呢里面的数字位置会发生变化，比如说一跑哪去了？呃，右下角，哎，没错，一呢，就会跑到这里来啊，那这里就是二啊，依次类推，那最后这一排呢，全都是 n 嘛，对吧？对， 好，那这个呢，也是 n， 这里是 n 减一，好，这一排都是 n 减一，继续踹一脚还不够，对吧？再踹一脚啊，他还是三角形，对吧？哎，有点歪， 再踹一脚还是三角形，此时一又跑到哪里去了？左下角，哎，没错，一就在这，那就二在这，那，三在这啊，三不用写了啊，一直到最后呢，这个就是 n， n， 全是 n。 好，这个呢，就是 n 减一， 全是 n 减一。好，接下来我就用这三个三角形就可以解决。这个公式到底应该等于什么？听好了啊，首先我们看一下相同位置的数，把它加起来会得到一个什么样的结果？比如说，什么叫相同位置啊？就是，比如说最上面的位置，这是一，这是 n， 这是 n， 对不对？对，把它加起来等于啥？二， n 加一，没错，二加一，很简单，对不对？对，比如说我们第二行的前面，这是二，这个是 n， 这个是 n 减一，把它加起来等于什么？ 呃，二， n 加一，没错，还是二， n 加一，对不对？是不是跟刚刚一样的？对，呃，很惊喜啊，那我们再换个位置看一下，比如说，哎，这个右下角，这个是 n， 这个是一，这个是 n， 加起来等于什么？二， n 加一，还是二加一，对不对？对，所以啊，其实这里面只要是相同位置的三个数加起来，是不是都得有二加一啊？对，好，这是一个非常重要的结论。 好，相同位置只要三个数相加呢，他必定等于二加一。 好了，那么接下来我要求这三个三角形里面所有数的和，是不是看一下有多少个位置就可以了？对，有多少个位置呢？好，这个同样很简单。看好了啊，比如第一个三角形上面是一 两个，三个，一直到最后是不是 n 个？对，那这里一共多少个位置？是不是一加二加三，一直加到 n 就可以了？对，哎，等他数列求和吗？这不简单，首先将方向乘以相数，再除以二，是不是？对啊，那就等于啊， n 乘以 n 加一，再除以二，这就是他位置的个数。接下来我们求出这些总和来看， 每个位置相加的有二加一，然后呢，有这么多个位置，这两个一乘是不是等于这里所有数的总和？对，那乘起来呗。乘啊，那就是二加一， 乘以二分之， n 乘以 n 加一，这就是三个三角形的所有数和，对不对？对，但是我要求的是不是其中一个三角形？对，那你要怎么办？除以三，没错嘛，除以三就可以了，对不对？那么相当于乘以三分之一吗？对吧？对，好，咱们再化解一下啊。来，分母是二和三相乘等于六， 上面分子呢？就组合一下，就 n 乘以 n 加一，再乘以二， n 加一，这个就是我们今天学习的终极的公式，听懂了没有？所以以后遇到这种问题是不直接的公式就搞定了。对啊，就讲完了，记得往菜板啊，下课。