平面通过z轴怎么设法向量

这个视频我来讲讲平面的法项量。先来认识一下法项量和平面阿尔法垂直的项链就是平面阿尔法的法项量。法项量并不唯一，只要是垂直平面阿尔法的项链，他们都是阿尔法的法项量。那给你一个平面，要怎么找到他的一个法项量呢？ 你只要找一个项链和平面内的两个项链，并且是两个不贡献的项链垂直，那这个项链就垂直平面，也就是反项链。 所以如果一个项链垂直平面内两个不贡献的项链，他就是平面的反项链。接着咱就来试着求一求， 如图，已知点 a 一零零点 b 零一零点 c 零零一。你能求出平面 abc 的一个法项链吗？要找法项链，他得垂直平面内的两个不贡献的项链，比如项链 b a 和项链 bc。 先求项链 b a， 根据末剪去出，就得一负一零。再求项链 b a， 同样末解出，就得零负一一。两个不贡献的项量有了。接着设法项量 n 为 x， y、 z， 由于法项量垂直这两个项量，所以法项量成项量 b a 得零，法项量成项量 bc 也得零。接着带入坐标，他俩相乘，用坐标来算，就是 x 减 y 等于零， 他俩相乘，用坐标来算，就是负 y 加 z 等于零。光有这两个等式，显然解不出 x、 y、 z， 所以可以令 x 等于一， x 为一，那 y 也等于一， y 等于一，那 z 也等于一，这样就得到了一组 x y z 的值，所以平面的一个反向量就等于一一一。 像这样要求平面的法项量，你可以先设个法项量，再根据他垂直平面那两个不共性的项量来列出等式，然后给 x 的任意取个值，找到一组解，就得到一个法项。 讲到这，我再来补充个快速球法。已知平面内两个不贡献项链的坐标，要求平面的法项量。 先算他的横坐标，就不看这两横坐标，然后把剩下的交叉相乘再相减，也就是负一和一相乘，减去负一和零相乘，算一算就得负一，所以横坐标为负一， 再算纵坐标，就不看这两纵坐标，同样交叉相乘再相减，他俩相乘减去他俩相乘也就是一。不过这个值得加个符号才是纵坐标。 最后算数坐标，就不看数坐标，然后他俩相乘减去他俩相乘，所以数坐标为负一。 像这样，要求哪个坐标就不看哪个坐标，然后把剩下的交叉相乘再相减，注意重坐标。这算完后得再加个符号。 这个方法要是你能记住就可以直接用，要是忘了，那就乖乖设出法项链，然后根据他垂直平面那两个不贡献的项链，列出两个等式来求吧。好了，这个视频我就讲到这，赶紧刷题去吧！

好的，我们来看这个第二部分，叫做如何求平面的发现量。那么这块呢，可能比较简单啊。我们在这块呢，主要是想跟大家说一个求平面发现量的技巧，就是非常简单好吧。 嗯。首先呢，我们先给大家就是来一个例题啊，就是这道题是这样说的，我们通过这道例题去看就行了。我们已知 a 点坐标呢，是比如说简单一点，呃，一一一好吧。然后 b 点坐标呢，我们假设是一二三。然后 c 点坐标呢，是三二一。 好，这样的三个点坐标。然后我们这道题问的是求平面 abc 的反向量，求平面 abc 的反向量。 好，我们这个题目情形呢？就是这个样子啊。好。那么我们第一种方法呢，就是咱们这块大家都之前用的方法叫做待定系数法。比如说我们的格式应该是这样写 射平面 abc 的发项量 为这个 n 项量等于 x 斗 y 斗 z。 好吧。然后你随便找两个项链，比如说 ab 项量， ab 项量等于零，斗一斗二。再找一个 ac 项量， ac 项量呢，是等于二斗一斗零好吧。好，这样的两个项链，你是不是用 n 项量去点成这两个项量，就可以得零了？ 所以我们 n 项量第二乘这个 ab 项量就等于直接算横张横加纵乘，纵加 z 乘 z 等于零。然后呢， n 上量点成这个 ac， 下面就等于横乘横加纵乘，纵加这乘 c， 这乘这是零不行了。所以呢，它就等于零是吧。 那看我们是有三个位置数的， sy 这三个位置数。然后呢，我们只有两个方程，所以我们所得到的结果一定是这个，呃，有无数组解的，而其实我们一个平面的法相，他确实是有无数条的，这是符合咱们的题目条件的啊。 但是呢，我们是不是只要平面一个反向就可以了？所以这个时候呢，我们就可以让这个 sy 在其中一个是一，其中一一个是一就可以了。那这道题你让谁是一啊？ 你看啊，是不是这两个式子都含有外啊，所以我们就让外是外是一，或者是外是二，这个是几都行。那你怎么好算？怎么来？我们让外是二是不是？这这大概少一点你就知道，应该都是个整数是吧。所以我们就另 y 等于二，所以算出来 x 呢，就等于负一，这呢就等于负一，所以这个 n 上量就等于嗯，负一斗二斗负一。好吧啊。这就是咱们利用这种设备支付的方法，求平面发展量的一个过程以及格式。那么 大家应该这块都比较熟悉哈，所以咱们就不仔细说了啊。咱们其实说的也挺仔细的哈，也就这样了，没有什么别的东西了啊。当然，嗯， 我们令这个数是不能得零的啊。你比如说你令 syz 形容一个得零，你说那名当然好算，刚好算，你不行啊，不能令他得零。而且到时候大家你会发现，你如果设了两个式子之后，你很有可能通过这两个式子，把其中一个位置数就直接算出来了。比如说你算出来这两个式子，算出来 s 等于零。 就比如说你这样的一的一个式子，捏出来的是三 s 加二万加 z 等于零，二 s 加二万加 z 等于零。按这个时候你先观察一下这个式子，这两个式子你是不是直接一式减二十，直接得到 s 等于零了，所以你在另谁得一的时候，你就不要另 s 等于一区了。听到没？一定要灵活一些， 大家考虑的要稍微全面点啊，你可以另外得意或者零，这得意都行。千万不要再领 s 得意了，因为 x 不可能是一，就是 x 外在这三个数，我们如果能有一个位置数是能算出来的，那么这个位置数一定是零，你不可能算出来，他是别的数。好吧，两个数字，如果你想要算出来一个位置数的话，这个位置是百分百是零的啊。 好，那么这个就过了啊。第二个呢，就是项链的叉乘法啊。嗯，什么是项链叉乘？这个是大家以后到打击有可能会涉及到一个东西，就是你看咱们平时写项链，两个项链是不是相乘？是 a 点乘 b。 一直都说点乘，我们在强调点乘，就是从来没有让大家写过 a 叉乘 b 这种形式，这就叫叉乘， 因为它是相量的另外一种运算。那什么是差乘呢？你比如说我们这个是相量 a， 这个是相量 b， 那么相量差乘，其实算的是这个相量 c， 这个 c 相量是 和 a 项量， b 项量都垂直了。也说 a 叉乘 b 等于 c 项量，那么这个 c 项量是和 a 项量，也和 b 项量是垂直的。所以我们只需要平面这两个项链叉乘一下，是不是可以求出来这个平面的发， 因为这个 c 项链就是 a 边 ad 这个平面内的发加量吗？是吧？所以我们是可以利用这种叉乘法直接算法加量的。那么大家不用理解原理啊，我这就简单给大家说一下什么叫叉乘而已。 好，那么我们这个怎么去求呢？其实我们有一个方法叫做写两遍，也可能很多老师都讲过了是吧？但咱们以防万一吗？怕大家不知道，所以叫做写两遍啊。这个方法叫写两遍 啊。怎么写两遍呢？你比如说咱们刚刚是利用的这个 ab 项量是谁啊？是不是零一二是吧，还是刚刚那道题啊？然后 ac 项量是谁啊？是二一零。好吧。然后怎么写两遍？你看，零一不带括号了。这就 用红笔写吧。零一二。这样写两遍。然后呢？呃，零一二。好，横着写两遍。然后再横着把这个二一零 ac 上来写两遍。二一零二一零。好吧，这样写两半。然后第二步是什么？去头尾，去头尾。比如说去掉这个，去掉这个，去头裂和尾裂。好吧，去头尾。然后是 那减左。那减撇也叫那减撇啊，那叫那减撇。好吧，那怎么写？不写了，大家自己理解意思就行了。不会写没那乐啊。什么叫那减左呢？就是这交叉相乘再相加。交叉相乘就别相加了啊。这是交叉相乘再相减。其实。嗯，快写一下吧。交叉相乘， 嗯，再相减，交叉相当再相减啊。好，那么这个时候得到的是一乘零减去一乘二，非得负二啊。交叉相当再相减，二乘二减去零乘零，那么就是四。 然后零乘一减去呃，一乘二，所以得负二。好，那么这个法项料就是这个玩意 啊。那么你看这反向。那你说老师这数我同事能处个几？那你一定要处一下，一人处一下，把数变得尽可能小更好算嘛。是吧，又小又长就好算。所以呢，我们这个 反向亮的，我们就直接写成这样。嗯，像量同时出个负二一斗，负二斗一就可以了啊。你看这个狮子和咱们用刚刚那个狮子算出来的方法是不是一模啊？结果是不是一模一样？这个呢，会很快，即使你这里面这几个里面有一个是未知数，有一个坐标是未知数，或者都是做 都是未知数也是 ok 的啊。大家只要掌握这个算法就可以了。好吧，你自己多举几道题，然后给他练了几个两三遍，慢慢就记下来了，因为他比较简单。好。那么过程怎么写呢？过程还是一样的。哎，设这个设这个好，你就都别定了好吧，或者你定一下也行。你这个你这，反正你算出来了，你定谁 另外得负二，或者另 s 得一，另另谁得意。直接写解得就可以了。也说咱们不是真正去算了，而是说我们用的是写两遍这种方法，把结果算出来，然后给他补一下过程，给这个给咱们那个 集中补一下过程。就是欺骗一下叛变人说。哎，我是正经算出来的。但实际上咱们是嗯，靠这种斜两边的方法去算出来的。好吧，再来总结一下，这个是斜两边切头尾，然后是交叉相乘再相减。怎么减呢？是那减撇啊，那减撇。好吧。好，那么咱们这部分就到此为止。我们接下来来学习这个如何接气设点啊。

这个视频我们来做一下教材习题六点三拓广探索的题目。我们看第十五题。那么他说这个图啊，这 o x、 o s、 x 和 o y 他们是相交，并且是乘六十度啊，这个角度是六十度。 然后呢，一一这个项量和一二这个项量呢，他们都是单位项量，与这个 ox 和 oy 啊，分别是呃相同同项的啊，并且是单位项量。那这个项量 op 呢，是 是他的线型组合啊，一一项链和一二项链的线型组合。那则我们把这个有序数对这个 x y 啊，这个坐标叫做项链 op， 在坐标系 xoy 中的坐 啊。我们设上是这样，假如说设 o p 是等于三倍的一一这个项量加上二倍的一二项量，我们要求这个 o p 这个项量大小。那 第一问我们这个求这个 o p 向量的的向量的膜膜的大小，膜的大小，我们可以把它转换成向量的膜的平方，可以转换成向量的平方。那我们第一问， 我们可以这样，就是 o p 膜的平，我求它的膜，我可以先求出它的平方，因为它的平方，它的平方，那么就可以转成向量的平方。向量向量的平方，我可以它是等于它的。然后我可以用多项式一样展开啊，向量的平方，它就等于 o o p 向量的平方。而 o p 呢，就是三一一向量加上二一二这个向量，它的平方。 哎，这个完全平方是展开就可以得出来九倍的一一这个项量的平方，加上一个二倍的他俩相乘，那就是二三的六二六十二十二倍的一一项量乘以一二项量， 然后再加上一个他的平方，那就是四倍的一二向量的平方，而向量的平方就等于膜的平方，就乘以一一 呃，向量的模的平方，再加上十二，这是数量级公式。我们按数量级公式展开，就是一一向量的模乘以一二向量的模。然后他俩夹角呢，是六十度啊，这里面有六十度， 那么也就等乘以 cosine 六十度，然后再加上四倍的 e 二项量模的平方。因为 e 一项量和 e 二项量是单位项量，所以它的模是一，所以说这是九，加上一个，这是一，这是一。 cosine 六十度是二分之一十二， 那乘以二分之一就是六，加上这个呢，是一，那就是四，所以说等于十九啊。 我们求出了 o p 这个向量模的平方等于十九，那 o p 这个向量的模呢？我就开个方就行了，根号是九啊，所以就可以倒出来根号是九。哎，这个第一问就解决了啊。 第二问，根据平面向量的基本定理啊，根据平面向量的基本定理，本体中对向量坐标的规定是否合理啊？这个是合理的 啊。我们基本定理啥呀？平面项链基本定理。基本定理是对于对于任何项链啊，对于任何项链， o p 啊，都存在 唯一的，唯一的实数对啊，唯一的实数对 x y 啊。那使得使得 o p o o p 呢？它是等于 x 一向， x 一一向量加上一个 y 一二向量的。那么所以说我们这个用 这个对这个项链坐标这样规定我这个用这个数数实数对啊，因为这个是唯一的啊，实数对和和实数对，我们作为他的坐标啊。 op 在这个坐标系中的坐标是合理的啊，那因此合理的啊。 因此就是在用这个时数对叫做向量 op。 在坐标系中的坐标是合理的，我直接写合理的啊。那么这个题这是十五题，我们看第十六题。用向量的方法来证明，对于任意的 a、 b， c、 d 属于 r 横有不等式，这样的不等式成立。 那这个用项链的方法，那我就构造一个项链呗。啊，构造两个项链啊。我们证明证明一下。我们 可以构造像量 u 啊， u 向量， u 向量是它的坐标呢，是 a b。 那我再构造一个 v 向量， v 向量它的坐标呢？是 c d 啊， c d。 那 我们根据数量级公式，这个 u 向量乘以 v 向量呢，就等于 u 向量的模乘以 v 向量的模，再乘以它两个夹角啊，夹角是 c 的角，假如说是 c 的角啊。 那么所以我们就可以得出来这个。这个坐标表示我们用坐标运算，数量级的坐标运算。就是横坐标相乘，加上一个纵坐标相乘。那么也就是 a c 加上一个 b d。 哎，我们就可以得出来哎，这个这个式子就 是 a c 加 b d， a c 加 b d。 那么就是它的两个坐标，两个相量坐标相乘。而这个呢，膜呢？膜就是根号下 a 方加 b 方啊。 u 向量的模， v 向量的模呢？就是根号下 c 方加 d 方啊。乘以 cos and c 的，乘以 cos and c 的 这个式子。根号和这个式子。这个这边是左边都有平，左边是平方，那我就两边平方呗。这个等式，我把它两边平方了，平方 平方以后就得出来，他的平方等于哎，他的平方是 a 方加 b 方， 乘一个 c 方加地方，然后再乘一个 cause in seat 的平方， set 的平方。 那么这个 cosy c 的，我们知道啊，他是 cosy 的平方，一定是小于等于一的啊，他最大值是一，那么所以说我们他是小于等于啊。我把它最大值取到最大值，那就是 a 方加 b 方，乘一个 c 方加 d 方 啊。那这个不等式就证明出来了。那么什么时候可以取等呢？我们当切紧当 仅当这个 u 向量和这个 v 向量同向或者是反向的时候，也就是说当同向的时候是零度。 cosin 零是一，反向的时候是 一百八啊。 cos 一百八是负一，那么正负一的平方是一取最大值。所以说仅当优项量和 v 向量同向或者反向时， 等号成立。哎，这就是这道题的用项量的方法的证明啊。我们是构造了两个项量，利用 数量级的公式啊。数量级的公式。左边呢，我们用坐标来把它啊运算了啊。右边呢，我们把它模把它都用具体的来代代进去啊。 cosinc 的呢，它的最大值是一。哎，我们就导出这样的不等式了。

同学们大家好，今天跟大家讲一讲项链的坐标运算。那在讲项链的坐标运算之前，先跟同学们来介绍一下项链是如何用坐标来表示的。我们都知道一个项链有两个点，一个是起点，一个是终点。 一个项链他的坐标，我们可以用项链的终点坐标减去起点坐标。我们具体来看一下，如果有一个点 a， 他的坐标为 x 一， y 一点 b， 他的坐标为 x 二，哇二，那么项链 a b， 他的坐标如何来表示呢？ 终点坐标是 b 点，起点坐标是 a 点，所以我们可以用 b 点的坐标减去 a 点的坐标，横坐标就是 x 二，减去 x 一，纵坐标 是 y 二减去 y 一。那如果反过来，我要表示限量 b a， 这时候就用终点 a 减去终点 b 的点 b 的坐标 终点 a， 他的坐标是 x 一 y 一，那所以限量 ba， 他的横坐标就是 x 一，减去 x 二，中坐标就是用 y 一减去 y 二。 所以同学们要注意，当已知两点坐标的时候，我们去求项链坐标，就应该用终点减去起点。我们具体来看一下例题， 已知点 a， 他的坐标为负二五点 b 坐标为三负四，则限量 ab 的坐标为限量 ab， 终点是 b， 点七 也是 a 点。所以这里我们用 b 的坐标减去 a 的坐标，我们可以得到三减去负二等于五。所以项链 ab 的横坐标是为五， 中坐标是由负四减去五，可以得到下列 ab， 他的中坐标为负九，所以最后下列 ab 的坐标为五负九。 我们再来看一下第二题，已知点 a 的坐标为负二五，下面 ab 的坐标为三负四，则点 b 的坐标是为多少？ 那这时候我们可以设点臂的坐标为 xy， 根据向量的坐标是终点减去起点， 我们可以知道项链 ab， 他的横坐标是由 b 点的横坐标 x 减去 a 点的横坐标负二，得到四等于三的，然后 a 项链 ab 的中坐标负四是由 b 点呢？中坐标 y 减去 a 点的中坐标五可以得到。最后我们把它整理一下，可以知道 x 是等于三，减去二是为一，然后 y 一， 那么最后我们就可以知道点边的坐标是为一。一好，这是今天跟同学们讲的第一个知识点，同学们要注意一下，就是已知两点坐标的时候，求向量坐标，要注意是终点减去。 我们再来看一下第二个知识点，项链的直角坐标运算。 如果项链 a， 他的坐标是为 x 一 y 一，项链 b， 他的坐标为 x 二 y 二， 那么如果项链 a 跟项链 b 相加，那么他最终的结果就是把他们两个项链的坐标加起来，横坐标加上横坐标，重坐标加上重坐标，两个项链相减也是这样子， 项链 a 减去项链 b， 那最终的坐标就是项链 a 的坐标减去项量 b 的坐标，同样也是横坐标进去红坐标，重坐标减去重坐标。如果有一个实数 langer 跟项链 a 相乘，那么这时候 最终的这一个坐标就是把这一个时数沉进去，就是最终结果的这一个坐标了。 这里要跟同学们强调一下的就是我们在书写下料的时候，一定要带上箭头，然后因为这一个是印刷提示加书的一个字体，所以他这里是没有加上箭头的，凡是我们书写出来一定要带上箭头， 那这三个公式也比较好记，如何去运用呢？我们同样看一下一道例题，你这些 项链 a， 他的坐标等于二一，项链 b 的坐标等于负三四，让我们去求三乘以项链 a， 减去四乘以项链 b， 那我们把它整理一下，好，我把它写到这里来。三乘以 项链 a 就是属于刚才的第一个式子，一个时数跟项链相乘，那么他的坐标就是把三乘进去，所以三项量 a 就是等于三乘以二是六，三乘以一就是三了，再减去四乘以项量 b， 同样把四乘到坐标里面， 四乘以负三就是负十二，四乘以四就是十六，那这时候就变成了坐标跟坐标，也就是项链跟项链相减，项链跟项链相减，其实就是横坐标减去横坐标 六减去十二，就变成了六加十二，三减去十六之后，把它整理一下，我们可以得到最终他的坐标是为十八负十三。我们再来看一下第二题， 二倍项链 a 加上项链 x 是等于项链 b 的，让我们去求项链 x， 那根据以往的一个知识，我们可以知道，项链 x， 他是等于项链，他是等于项链 b， 减去二倍的项链 a。 那这里的话，我们又重新回到了项链的这一个坐标运算。先把项链 b 放着，项链 b 的坐标是负三 四，然后二倍限量 a， 我们把这个二存进去，就变成了四二，然后再进行横坐标减去横坐标负三减去四就是负七， 四减去二就是二，所以最后下列 x， 他的坐标就是为夫妻二。接着我们来看 下第三个知识点，就是项链的平行条件和垂直条件，那么项链的平行条件跟垂直条件是一个重中之重，每年的高级高考当中是一个必考的考点，而且的话这一道题相对来说比较简单， 如果两个项链，项链 a， 他的坐标为 x 一， y 一项链 b 的量， b 的坐标为 x 二，哇二，假如项链 a 跟项链 b 平行，那我们就可以得到两个项链横坐标的笔直 跟中坐标的笔直是相等的，然后或者是 x 一乘 y 二，减去 x 二乘 y 一，其实这个式子就是有第一个式子交叉相乘可以得到，那我们在记的时候，其实记 第一个都可以了。这里要跟同学们强调一下，就是说我们在记这些条件的时候，上面这里必须是同一个下面的坐标，下面这里也必须是同一个下面的坐标， 你就说不存在 x 一比 x 二，然后这边另一边就是变成了 y 二比 y 一，这个是肯定是不会相等的 好，所以同学们在记得时候一定要注意他的特点。如果两个项链垂直的话，那我们就可以得到 x 一乘 x 二，加上 y 零的这个零是数字零， 那这个条件左边可以退出右边，右边也可以退出左边。我们通过立体来看一下如何具体去运用。已知点 a 坐标为 f 二，一点 b 的坐标为零， 以及项链 a 的坐标视为 ey。 若项链 ab 平行与项链 a 让我们去求 y 值，那根据条件我们可以知道我们要求出 y 值，首先就应该把项链 a 的坐标表示出来， 以至两点求项量坐标，那我们就用终点坐标减去起点坐标，终点是 b， 起点是 a， 那么横坐标就是用零减去负二， 重坐标呢？是四减去负一之后把它整理一下，最终项链 ab 的坐标就是二五， 然后再根据平行的条件，两个向量平行，那么他的横坐标的笔直和中坐标 的笔直是相等的。相量 ab， 横坐标为二，相量 a， 他的横坐标为一，然后相量 ab 的中坐标为五。下量 a， 他的中比坐标为 y， 最后交叉相乘可以得到 y 是等于二分之五的。 如果项链 a、 b 跟项链 a 垂直，那 y 又是怎么求呢？根据垂直的条件， x 一乘以 x， 二加上 y， 一乘以二等于零，那 x 一乘 x， 二横坐标乘横坐标，所以二乘以一 加上五乘以 y 是等于零的。最后把它整理一下，我们可以知道 y 是等于负五分之二。我们再来看一下第二季给出三个项链的坐标， 并且项链 a 减去项链 c， c 是垂直于项链 b 的，让我们去求 k 的值，那这时候我们肯定先要把项链 a 减去项链 c 的一个结果，求出来 两个项链相减啊，其实就是把他们的坐标进行相减，横坐标减去横坐标，中坐标减去中坐标， 项链 a 减去项链 c 就是三减去 k， 动作标示一减二就是负一， 然后项链 a 减，项链 c 是跟项链 b 垂直，那根据垂直的一个条件，这两个项链的横坐标 相乘，加上重坐标相乘是等于零的，那我们就可以把 k 取出来了，这里三减去 去 k， 三减去 k 乘以一，再加上负一乘以三，最后把它整理出 k 是等于 k 是等于零的。好，这节讲这三个知识点，我们下节课再见。

这个视频我们来讲一下平面几何中的向量方法，那我们用向量方法来解决平面几何的问题啊，我们分几步呢？我们可以按照这样下面三步来走啊，这步骤，第一步我们需要建立平面几何与向量的联系， 也就是用向量来表示那么几何元素，那像点线，夹角这些几何元素啊，我们用向量来表示他，那也就是第一步建立 平面几何与项链的联系，也就是我用项链来表示这些几几何元素。第二， 我们是通过向量运算啊，因为向量他有大小，有方向，他可以运算，可以加，可以减，可以数乘，可以数量级，可以运算啊，我通过向量的运算，我们来研究几何元素间的关系， 通过项链运算 研究 几何元素间的关系， 那像我们的距离啊，夹角这些问题啊，我们可以通过相量运算来研究它。那还有最后呢，就是我们可以把运算结果翻译成几 和关系，把运算结果 翻译 成几何关系啊，我们一般分这几个步骤啊，我们来看具体的题，你比如说这个证明等腰三角形，那么两的两个底角是相等的，那么画一个等腰三角形 a b c， 那么我们这个我可以可以写成已知是 a b 等于 a， c 是等腰的，求证的是两个底角相等，求证是角 b 等于角 c， 两个角相等，在我们相量的 运算中，角出现角的是数量计公式，那我就来通过相量的方法来证明这个这个结论啊，角 b 等于角 c， 那么证明 角 b 数量几公式啊，角 b 呢？就等于 b a 啊， b a 向量 b c 向量，它的数量级会出现角角 b， 那我就我看一下角 b 啊， b a 向量乘以 b、 c 向量， 它等于啥呢？它等于这个 b、 c 向量，我可以把它分解了。还有这个，我们这个角 c 呢？角 c， 它是可以写成啥呢？可以写成 a、 c 向量啊，可以写成 a、 c 向量乘 b、 c 向量啊， a、 c 向量往这个方向， b、 c 向量往这个方向也是 个角，那么就是 a、 c 向量乘 b、 c 向量。那那 b， a。 我们继续写 b a 这个 b、 c 向量，我可以用 三角形法则，三角形法则把它分解成 b a 加 a c 啊，三角形的加法法则， b， a 加 a， c 就等于 b、 c， 那我可以得出来是 b、 a 向量的平方加上一个 b a 向量乘以 a、 c 向量，而下面呢，这个是 a、 c 向量乘一个 b、 c 向量呢？可以写成 b a 向量乘以啊， b、 c 向量乘，加上 a、 c 向量 a、 c 向量，而把它乘开以后就得出来啊，这个是就是 a、 c 向量的平方加上一个 b a 向量啊，这个是 a、 c 向量乘以 ba 向量，也就是 ba 向量乘以 ac 向量，那就是乘以他。哎，这俩是相等的，这俩相等不相等的， 因为向量的平方就等于膜的平方啊，膜的平方，那么因为是 b、 a 向量 的平方，就等于 b、 a 向量模的平方啊，就等于 a、 b 的平方呗。 啊，这个边的平方，然后是 a、 c 向量平方，就等于 a、 c 向量模的平方，那就等于 a、 c 的平方呗。 a、 b 等于 a、 c 啊， a、 b 是等于 a、 c 的，那么所以说这俩项 这俩相等，所以 b、 a 向量乘以 bc 向量，就等于 ac 向量乘以 bc 向量啊，这两个数量级是一样的，数量级是一样，那我们角 b 呢？啊，我们根据这个公式啊，又因为 causing 角 b 啊， causing 角 b， 它是等于这个 b a 向量乘以 b， c 向量， b， a 向量乘以 b， c 向量，然后再除以我们数量级。公式啊，除以除以，这个是 呃， b a 向量的模，然后乘以 b， c 向量的模，而 cosin 角 c 呢，它就是等于那角 c 是可以写成 a c 向量乘以 b， c 向量，然后除一个 a c 向量的膜，再乘一个 b c 向量的膜，那分子是一样的，我们就已经得出来了。分母呢？ b a 和 a c， 它的膜的长度是一样的，等腰吗？这俩是一样的，那么所以说我们就可以得出来角，这俩值是一样的啊， cosin 角 b 就等于个 cosin 角 c， 而而那这两个 两角一两个余弦值一样，那对于这个这个角呢，一定是零到一百八，他俩是一样的，那零到一百八之间的数，他的余弦值一样，那么他俩的角也就是一样的，所以即角 b 等于角细。证明出来了，是第一个。第一题啊，我们要证明，等 三角形的两个底角相等，我们证明他呢，我们可以把它转换成数量级啊，数量级相等啊，我们两个角角可以用啊，数量级公式里面会出现角的余弦， 这是第一题，我们看第二题。嗯，这是正方形 a b， c， d 啊，它边长是 a， 那么 e 呢？是中点 a， b 的中点 f 呢？是三等分点， 并且是靠近 b 的，那么 a， f 和 d e 呢？相较于 m， 我要求角 e m f， 它的语线值，那么求一个角的语线值。嗯，在我们向量中的运算中是 数年级公式里面会出现鱼旋直啊，角的鱼旋直，那也就是我们只需要把这个 a f 的向量和第一这两个的向量， 他的数量级里面啊，我们通过求他们，然后来得出来，我们要求角的余弦值，那像这个我们是正方形啊，正方形我们容易间隙，我们尽量间隙，因为间隙运算比较简单啊，那我们就 通过你用正方形啊，我们好间隙，我们就以 a 点为圆点啊， a， b 为 x 轴， a， d 为外轴，我们见一个细，那这个 a 点呢？ 我们可以把 a， a， f 这个项量和 d， e 这个项量，我们用项量来表示啊，用坐标来表示这个项量， a， f 啊，这 a 点的坐标呢？是零，零，零啦 啊，我们间隙那 b 点，呃， d 点的坐标，因为是边长是 a， 那就是啊零，这是我们的，这是平面 坐标啊，零零，那 d 点坐标呢？就是零 a 啊，还有就是 f 点的坐标， f 点的坐标是它的这个横坐标是 a， 纵坐标呢？ 三等分点，三等分点，那么就是三分之 a， 还有我们的一点一点是终点，那么也就是他的横坐标是二二分之 a， 然后纵坐标是零，那我们可以把向量来表示来啊，间隙，我们要解这个题的时候啊，间隙， 那以 a， b 为 x 走，以 a， d 为啊间隙啊，坐标得出来以后，我们把这个 a， f 这个相量，我们把它表示出来， a， f 就是 f 点的坐标，减去 a 点的坐标，那就是 a 三 a y， 那 d， e 这个项量呢？就用一点的坐标减去 d 点的坐标，那就得出来是二分之 a 负 a， 那这两个我要想求这个余线值，这个角的余线值呢，我们就可以用直接用数量级公式可以把这个余线值求出来，那么就是 cosin 角 e， m， f 就等于 a f 这个向量呢？乘以 d， e 这个向量，然后再除以这两个向量的模， 那么我们可以带进来这个是它两个乘积，横坐标和横坐标相乘，加上一个纵坐标和纵坐标相乘啊，我们就可以得出来是是，嗯，我们要求的是 e m f 负啊，这就是 a f， d e， 哎，这个方向没有错，就这个角啊，这个角，那我们可以得出来是 它俩相相乘，是乘起来是二 a 的二分之 a 的方，减去一个三分之 a 的方啊，三分之 a 的方，然后下面呢根号下 a 方，加上一个三分之 a 的方，然后再乘一个根号下二分之 a 的方，再加上个负 a 的方，哎，我们把它计算一下， 这上面呢是六分之一 a 的方，下面呢，我们可以把它计算一下，最后得出来是十分之根号二啊，我们就得出来啊，这是，这就是我们用 项链的方法啊，我们用坐标项链，任何一个项链我们都可以用坐标来表示啊，容易间隙的话，我们尽量用坐标来表示， 便于计算啊。我们数量级公式里面会出现这个角的余旋值，那我们当然就会想到用这两个向量的数量级来去解。这是第二题，我们看第三题 这个图啊，在三角形 abc 中，那么 o 点的时候，终点啊， bc 的终点，这过 o 点呢？分别交说 ab 和 ac 不同两点 m 和 n， 那并且 ab 是等于 m a 啊， m 倍的 a m 的，然后 a c 的是等于 n 倍的 a n 的，我要求 m 加 n 的值，哎，那我们来解一下这个值啊， 解这个题，解这个题，因为这个 o 点啊，是个终点，那 a n， a o 这个线啊， a o 这个 a o 这个向量啊，我们是可以用啊，终点这个可以用 这个二分之一 a b 向量加上一个二分之一 a c 向量来表示的这个终点模型啊，那我们就可以啊，因为是 o 点，因为点 o 是 b c 的终点， 所以，那么 a o 我们是可以用等于二分之一 a b 加上一个二分之一 a c 啊，这个，这个我们不管是用三元法则，和平 a c 元法则都能导出来二分之一 a b b 加上二分之一 a c， 那 a b 我们知道是等于我们把转成 a m 啊，等于二分之一 a l m 倍的 a m， 也就是二分之 m 啊， a m， a m， 然后再加上一个二分之 n， a n 啊， a n， 那我们可以导导出来是它，那，那我们怎么导出来这个 m 加 n 呢？我们可以把 a m 怎么写呢？ am 可以写成 ao， 这是，这是 ao 来表示呢，那我们可以写成用三角形法则 am 可以写成 ao 加 om 啊， ao 加上 om， 三角形加法加法法则，然后 an 呢？我们可以写成 a o 加上 o n 啊，三行的加法法则，那我们就可以把它的去括号，然后重新合并同对象，那就是二分之一 m 加 n， 嗯，乘以 a a o 啊，这俩是可以合并的，然后再加上一个二分之 m o m， 再加上一个二分之 n o n， o n， 那因为 m o m 和 o n 这三点一线啊，因为 m o n 三点贡献，三点贡献，也就是 o m 和 o n 这两个是贡献的，那这两个贡献，这两个贡献，那，那这两个我们就是合并到一起，它还是它俩的运算结果，那么 还是这条线上的，那么这个 ao 啊，还有这 ao 等于他，那么我如果我把它移过来，把它移到这边来啊，把它移到这边来，那么这两个方向都不一样，所以这个必须得是零，那么这个呢？ 和这个也就是相等的，所以我们就可以得出来。这个二分之一 m 加 n 必须等于一啊，他等于零，他等于一啊，才能这两个才能相等啊，我们就可以得出来。那么所以说呢， m 加 n 呢，就等于二，就可以得出来。

同学们好，我是董老师，我们来讲平面几何中的项链方法。平面几何里面，其实如果利用项链的方法去解决的话，很多问题都比较简单， 以前我们需要做辅助线，那么用项链之后，你可以不用做辅助线，利用怠速的思维去做几何问题。 现在看例题一，如图已知平行四边形 abcd， 那你能发现对角线 ac 和 bd 的长度与两条零边 ab 和 ad 的长度之间的关系吗？ 这里面是给你一个任意的平行四边形，所以你想用项链来处理一般的几何问题，一般用两种方法，第一种是坐标法，另外一种就是传统的项链法。那这里面因为 a、 b、 c、 d 并不是一个特殊的平行四边形，所以我们还是利用传统的项链的方法，就是找一组基底。我们这里面令 a、 b 项链是等于 a 项链， a、 d 项链是等于 b 项链，那这里面我们就可以将 a、 c 项链表示为 a 项链和 b 项链，所以设 a、 b 项链是等于 a 项链， a、 d 项链是等于 b 项链。那么很明显 a、 c 项链 根据平行四边形法则，它是等于 a 项量加上 b 项量， b、 d 项链利用三角形法则是等于 b 项量减去 a 项量，这里面是问他们的长度之间的关系， 所以我们可以把 a、 c 的长度和 b、 d 的长度表示出来，我们来试一下 a、 c 的长度，或说 a、 c 的平方，咱们可以试一下是等于 a 的平方加上 b 的平方，加上两倍的 a 与 b 的数量。七、 b、 d 的平方是等于 a 的平方加上 b 的平方，减去两倍的 a 与 b 的数量计， 那么我们发现这个 a、 c 的磨长的平方与 b、 d 磨长的平方两个相加之后，就跟 a 与 b 的数量机是没有关系的， 因此我们可以将一式和二式直接相加，一式加上二式，所以我们可以得到 ac 的平方 加上 bd 的平方正好是等于两倍的 a 的平方加上 b 的平方。 因为 a 的平方和 b 的平方正好是 ab 无偿的平方和 ad 无偿的平方，因此我们正面就可以得到是等于两倍的 ab 的平方加上 ad 的平方。 那正面我们就发现对角线的平方盒是等于四条边的平方盒正面因为是两倍 ab 和 ad 的平方，正面 整体来说就是四条边的平方和。因此在平行四边形里面有一个很重要的结论就是对角线的平方和是等于四条 条边的平方和。你用这个结论对一些长度问题就比较好解决。再来看例题二，他说在三角形 abc 中设角 abc， 他的所对的边分别是小 a、 小 b、 小 c， a、 d 是 b、 c 边上的中线，那你证明 a、 d 的平方是等于四分之一， b 的平方加 c 的平方加二 b c a， 那这里面其实就涉及到一个中线长公式，本质跟刚刚的立体一是有点像的，我们来看一下，这里面也可以将 a、 b 下面， a、 c 下面来表示 a、 d 下面，因此我们可以得到 a、 d 下面。根据中线下面公式，我们可以得到它是等于 二分之一 a、 b 项链加上 a、 c 项链直接平方一下，我们就可以得到 a、 d 的平方是等于四分之一。括号 a、 b 的平方加上 a、 c 的平方加上两倍的 a， b 与 a， c 的数量几好，整理一下就是等于四分之一。其中 ab 的平方正面 ab 的长度其实就是 c 的平方， ac 的长度就是 b 的平方，因此加上两倍的 ab 与 ac 的数量，基就是两倍的 b 乘以 c 乘以他们夹角的余弦值，夹角就是角 a， 因此我们就可以得到中线长。公式也说，如果你给了 三角形的两条边及这两条边的夹角，那另外一个第三条边上的中线我们是可以求出来的。利用项链是特别简单的， 我们继续来看这个题。前面两个是用传统的项链方法，在这里面我们利用坐标法来试一下。如图，在正方形 abcd 中， p 为对角线， ac 上嫩一点，其中 pe 垂直于 ab 于点 e， p， f 垂直于 bc 与点 f， 那这里面连接 dp 和 ef， 让你证明 dp 垂直于 ef， 这里面是让你正垂直。因此，如果我们把它转化为项链问题，只需要证明 dp 项量垂直于 ef 下量即可，那正面我们可以建立直角坐标系。那为了方便，我们不妨射正方形的边长为二 a 边长为二 a 好一点， 因此我们只需要写出所有点的坐标即可，其中会涉及到 dpef 四点坐标，因此地点坐标我们很容易清楚是零啊。 a 那屁点坐标其实不太清楚的，但是我只知道点屁是在 ac 上，因此点屁的横坐标和重坐标通通都是相等的，那么我们不妨是点屁的坐标为 t 啊，重坐标其实也是为 t， 那 ef 他们俩的坐标怎么求呢？一点坐标其实跟屁点的横坐标是一样的，但是 重坐标是为零，所以一点坐标是 t 零， f 点坐标是跟 p 点的重坐标一样，所以点 f 的坐标是二 a t。 那你要证明 dp 垂直 ef， 我们现在把 dp 项链写出来， dp 项链就是用 p 点的坐标减去 d 点坐标，得到的是 t t 减二 a， 那 e f 坐标也是可以得到的，是等于二 a 减 t t 啊，那你要证明他们垂直，只需要数量计等于零就行了。那 dp 项量与 ef 项量的数量计我们就可以得到。是 t 乘以二 a 减 t， 加上 t 减二 a 乘以 t， 正好把它 拆开是等于零，所以我们就可以得到 dp 会垂直于 ef， 因为是向量垂直就可以得到线线垂直。那这里面用向量的坐标去处理这个问题就非常简单。

你是怎么计算一个平面的法项链呢？是在用列方程组复制法来做吗？太麻烦了，今天老师来带你学习一个新的方法，帮你快速求解法项链。 首先，我们将 a b 项链和 a、 c 项链写成这样的形式，想要求法项量，无非呢就是求 x、 y 和 z 的值盖住第一列，我们就可以求出 x 的值， x 就等于二乘二，减去四乘一等于零。 y 的值盖住第二列 y 就等于一乘二，减去三乘一。之后呢，给他加上一个负号，注意啊，我们求 y 的时候要变号， z 的值盖住第三列 z 就等于一乘四，减去三乘二等于负二。那么 最后啊，我们平面 abc 的法项量就是零一负二，这样的方法呢，计算起来又简单又不容易出错。关注老师带你学习更多的解题技巧！

同学们好，我是董老师。我们继续来讲空间立体，结合里面的一个专题，就是平面法向量的求法。平面的法向量 是在空间立体球里面非常重要的一个节点，之前是已经学习了如何间隙，如何求点坐标，那是一切的基础，做空间立地球的基础，那平面的法项量又是一个平面的一个身份特征， 在空间立体左右里面，主要会涉及到线面角以及面面角，都会需要用到平面的法项量。那平面法项量该如何求呢？首先，平面法项量定义 平面发现呢？它的一个定义是什么呢？我们这边写一下定义， 若一条直线垂直于平面，而法则直线 l 的方向向亮， 即为 r 法的法项量，那最平面的法项量 他不止一个，为什么呢？因为直线的方向下呢，也是不止一个的，所以我们在求法下面的时候，我们只要求出其中的一个就行了，其他的不需要考虑 啊。这些法项量之间有一个特殊的联系，就是所有的同一个平面的所有的法项量都是贡献的，因此我们只要求出其中一个， 那我们就达到我们所要的目标。那平面法项的求法有两种，求法 有两种，第一种，那一个平面，如果你已经找到一条直线垂直平面阿法，那么我们找出这条直线的方向向量，即为他的法向量。也说如果能直接 直接有一条直线，直接能找出一条直线，也要垂直于，而法则我们只需要则在 a 要上早两点 a b， 那么 a b 上量 即为他的法项量。也说如果这种情况是根据定义，我们直接得出他的法 项链是什么啊？这条直线垂直 r 法，那么在 f， 而这条直线垂直 r 法，那么在 l 上随便找任意两两个不同的点，那么这两个点所构成的项链即为 r 法的法项量， 是第一种方法，那这种方法我们当然能找出来，是非常开心的，我们能找出来，直接能看出来，求都不用求， 那大部分情况下是不能直接看出来的，不能直接看出来的，那我们需要怎么办呢？我们需要用我们的常规方法好，常规方法是我们必须要掌握的一个方法，那我们看一下正面，比如球平面 abc 的 法项链，我们怎么求呢？求平面 abc 的法项链，我们可以经过以下步骤来求。 第一步，第一步，先求出点坐标，先求出 a、 b、 c 的坐标。注意，一个平面里面，你至少要求出三个不同点的坐标， 必须要求至少三个，当然我们只要只要三个就行了，并且求出 a、 b 项链， x 一 y 一 z， 把 a b 项链求出来， a、 c 项链呢也求出来， 把 a、 c 下面也就出来。然后第二步，我们设法下面法下面为 m 项链，是等于 xyz， 并且列出方程，因为 m 项链他是垂直于平面啊法，也说平面啊法的任何一个啊直线都是跟法项量垂直的，因此我们可以根据数量七正面就可以得出，则有 m 与 ab 的数量机是等于 m 与 ac 的数量机是等于零的。那我们就可以列出方程，即 x x 一加上 y， y 一加上 z， z 一是等于零， x x r 加上 y， y 二加上 z， z 二是等于零。 好，那注意，我们列出这个方程组的时候，我们发现这个方程组，因为 ab 项链和 ac 项链这坐标是清楚的。那我们现在啊有三个位置 数，但是只有两个方程，所以它是一个不定方程，它的解是有无穷多个的，那我们只要找出其中一组解就可以了。所以第三步我们可以取，随便取一个 x 等于 a， 求出 y z 来就行了， 随便令 x 等 a， 比如有的时候你会令 x 等一，也可以令 x 等二，也可以令 x 等负一负二，当然一般不令他为零啊，一般来说是不为零的，当然有没有特殊情况有我们可以具体分析， 所以我们经过这三个步骤就可以把一个平面的法项量做出来，那我们接下来就是用这种方法去求出平面的法项量。我们来看以下三个题。

哎，兄弟们今天给大家介绍一下立体几何的面，经常求一个平面的发线量的时候，可以用什么方法？这里面一个很简单方法就是这个叉乘方法，其实他就是个右手定则，就说伸出我们的右手，右手的四指先跟这个叉乘前面这个加量平行，比如说这里面呢，先跟 a、 d 平行， 然后绕向后方呢？就绕向 a、 b， 然后大拇指所指的方向就是这个法线的方向，我们这个确定方向之后，然后求的大小， 求大小很简单，我们就把这个插成前面这个项链和后面的项链分别写在上面和写下面，写两边，然后掐头去尾， 然后剩下的就是差乘方法，分别把法限量的 x、 y、 z 分别这个相量大小给求出来就行了。差乘就是说这两个相乘减去这两个相乘，这两个相乘减去这两个相乘，这么意思下去了哈，我们如果想求下面的下面 更简单的像跟前面的同样的道理，想要下面我们大拇指要朝下，对吧？我们的四指要跟 ab 平行，绕向 ad， 我们大拇指朝下，对吧？所以说我们差成我们想求下面的时候，就是负 npr 的时候，他正好就是等于个 a、 b 插成一个 a、 d， 说白了就是这两个颠倒一下就行了，对吧？ 求出来一个平面的法限量方向，他有什么作用呢？这个作用非常大，因为我们在求立体结合的二面卷的时候，我们经常把二面卷转化为求两个平面的法限量加卷，对吧？ 这个时候如果我们一旦把法限量的方向给求错，我们求出来的会是二面积的补角，所以说这个一定要注意，下个视频将给大家讲。

大家好，今天我们来讲一下高等数学下册的第二讲啊，空间解析几何的内容，直线方程和平面方程。来看第一点内容啊，先解释一下空间中的曲面方程和曲线方程指的是什么？ 咱们先来看第一点，这个曲面方程，就右边这个图，这个是空间中的曲面啊，然后他这么说啊，如果曲面 s， 这个曲面呢，咱们就记为 s， 然后这个方程呢，就是 f xy， 怎么理解呢？这个方程含有三个量 xyz， 然后等于零，就代表他是一个方程的意思，满足以下的关系， 满足一下什么关系啊？量关系，首先取免，这个 s 上任何一个点呢，都是代入以后都满足这个方程。第二个，如果这个点不在这个曲面 s 上的话，那代入以后这肯定是个不等号的，也就是说不满足这个方程 f 等于零，那么如果满足同 满足以上两个要求的话，我们就说这个方程 f 等于零，叫做曲面 s 的方程，反过来这个曲面 s 就成为方程 f 等于零的曲面，就这样一个概念了。那继续来看第二个概念，第二个概念就是空间中曲线的概念啊，当然我们有时候重点要讲的是空间中的直线，那空间曲面怎么理解呢？ 可以看做是两个曲面的交线，你看其中一个曲面是 s 一，另外一个曲面呢，是 s 二，这是空间中的图形啊，这个 l 呢，就是这两个曲面相较以后出现的部分了，这个就是空间中的曲线 l， 那么你想啊，这个曲线 l 肯定是，它既是满足 s 一的，又是满足 s 二的， s 一和 s 二的方程分别是 f 等于零和这个 g 等于零，对吧？那么既然因为这个曲线 s 上任何一个点都必须同时在曲面 s 一也必须同 是在曲麦 s 二上，那也就是说曲线 l 上任何一个点都必须满足这样一个方程组，不就可以了吗？所以我们就这么说了， 曲线可以用这个方程组一来表示，所以这个时候我们就说，这个方程组一啊，就成为曲线 l 的方程或者方程组都行啊，然后曲线 l 呢，就成为这个方程组的图像，这个概念呢，还是很清楚的。 那现在我们就步入重点了啊，考的时候考什么呢？就对于这样一个空间结局集合，考的是平面方程。那什么是平面方程啊？我们先介绍平面方程的第一种形式， 平面的点法式方程，其实这个名字的话是非常形象，那什么叫做点法式方程呢？点其实指的就是已知啊，这一个点 m x y 零 z。 注意啊，这三个量都是 已知的量啊，已知一个定点呢，是平面内的这样一个定点。好了，这就是点，那法呢？法就指的是法项链的意思啊， 法项量或者是法线，这个法项量呢，他也是一致的。好了，点是一致的，然后法项量也是一致的。那现在我们确实是可以确定出这样一个平面方程，怎么确定呢？只用假设这个 m 是平面内的任何一个点，随便的一个点，你看，随便假设了一个点， 然后从 m 零到 m， 是可以引出这样一个项链的，这样没问题吧？这个 m 零， m 的话，咱其实可以写出来，这个很好写啊， x 减 x 零， y 减 y 零，然后 z 减去 z 零，这是没有什么问题的， 那写完之后的话，你一定要注意，你说什么叫法项量？法项量他跟平面里头任何一条直线，或者说任何一条平面里头的项链呢，都是 垂直的关系，那既然垂直的话，不就意味着因为 m 零， m 肯定垂直于法项量，所以他们的点成就是零，对吧？由他们这样一个点成数量计等于零，那很容易就得出这样一个狮子来。哎，项链把 a 乘他， 然后 b 乘他， c 乘 z 减 z 零，最终的话等于零不就得出来了吗？得完之后的话，我想说的是这样，括号一这样一个方程呢，他就成为平面的点法式方程。这个名字太形象了，只需要知道平 面内一个确定的点，然后还得出来平面的一条法线，那平面方程就出来了，这就是点法式方程。那现在我们就来练一道立体吧。什么立体呢？已知不贡献的三个点，这个很容易确定啊，不贡献的三个点，我们在高中的时候就知道，他肯定是可以确定这个平面的，但是呢，现在我们需要用空 解析几何的方法求出来这个平面的方程。怎么求呢？接下来我们画一个草图你就知道了啊，画完这个草图以后的话，你肯定发现了吧，这个法限量跟谁垂直啊？他肯定跟这个 m 一和 m 二都是垂直的，其实这个法限量我们可以这样求，我们可以求一下。还记得上集和讲过的项链机，也就是外机啊， 外机的话好说呀，其实我们可以取这样一个发箱量，他就是 m 一 m 二这样一个项链，然后再这是什么？这是叉乘啊， m 一 m 三这两个项链插成之后呢，也就是说他肯定是垂直于平面那两条相交直线的这个 n 项链，所以说这个 n 呢，就是法线，或者说就是法项量，那最终这个很好求，求完之后的话，我们就直接写了啊， m 一，他这样一个项链的话，你自己算一下 m 一 m 二啊，画圈部分他实际上用坐标表示出来之后就是副色 三四负六啊，然后呢，这个 m 一 m 三，你也是用减法算一下啊，这个坐标算出来之后的话，他应该是负二 三负一，然后再干嘛？再来个 ijk 不就行了吗？你说这个 ijk 是是什么意思啊？这个 ijk 就指的是 x 轴外轴和 z 轴上的单位方向向亮，那最终很快就可以求出来利用这样一个行列式的这样一个概念吗？十四 io， 然后再加上九 g， 再减去一倍的 k， 所以说其实这个法项呢，他就等于多少呢？他用坐标来表示，就是十四， 逗号九，然后再逗号负一。那写到这之后的话，剩下其实非常简单，你现在三个点都知道了，我们随便利用一个点，随便利用一个点的话，我们先假设一下 m 点吧， m 点呢是 xyz， 是平面内任何一个点。 那接下来的话我们再写一下这个 m 一 m 就行了啊，他的话应该是等于啊 x 减二，然后这个是 y 加上一，其实就是外减负一啊， z 减四，那接下来根据这个 m 一 m 是垂直于这个法项量，点成这个法项量等于零，最终的话我就用红笔写这个结果了啊， 算完之后的话就是画圈部分，他算完之后展开，展开之后的话就涨这个结果了，对吧？那最终整理一下吧，最终应该是十四 x 加九， y 减 z， 然后再减十五等于零，然后这个平面的方程就长这样一个样子就写完了。那我们继续来看第二点啊，平面的一般方程。什么叫平面的一般方程呢？ 刚才我们讲的是平面的点法式方程，这个点法式方程里头我们可以改写这种形式啊，你看 x 是依次的吧，然后呢，这个 y 呢？前头也是个依次答案， 然后这个 z 啊，也是个依次长寿乘这个 z 嘛，后边的话你要注意，点法是点法是 abc， 是已知的啊， x 零 y 零 z 零也是已知的，我们把这些呢放一块，后边都是减法， ax 零加上这个 b y 零，再加上 cz 零 等于多少？等于零吧，这样一个方程，我们只是改造了一种结果而已，这个是关于什么呀？他这个方程呢？我们写出来的这个方程就是关于 xyz 的三元一次方程，而且任何一个平面都可以用上面的一个点和他的法线来确定，所以说任何一个平面都可以用三元一次方程。 a x 加 b， y 加 c， z， 你看他最后写了个 d， 哎，你说这个括号这个位置呢？为什么可以画成 d 呢？原因很简单，你本来点法是方程里头 a， b， c 还有 x 零， y 零， z 零就是定值，所以我们就直接写成一个长数 d 就可以了。所以说什么叫一般方程啊？平面的一般方程就长这样一个样子，他就是平面的一般方程，你可以记上，那反过来的话，我们也可以这么来说。怎么说啊？反过来 假设这个点他怎么样？这个点 m， 他是平面上的任何一个点，然后这个 m 零是平面内已知的一个定点。刚才已经说过了， 我们带入这样一个方程里头，带入哪个方程里头啊？其实后边应该加个 d 啊，带入这样一个一般式里头，那最终会有怎样的一个结果呢？那最终就产生了这样一个结果，圈一和圈二这两个方程我们一相减，相减以后不也得出来了吗？所以你懂了吧？我想说的就是，你看 这个第一段告诉我们的就是点法是方程，可以转换成一般是方程。然后第二段的话，你带入两个点， 通过相点的方法，他这样一个一般方程也能化成点法式方程吧。其实我想说的就是什么，我想说的就是平面的一般方程和点法式方程，他就是等价的。接下来我们还是做一道题，巩固一下，求通过 s 轴和这个点四负三负一的平面方程。 我们可以先这样啊，假设这个平面方程长什么样子啊？假设这个平面方程呢？他就是 a x 加 b， y 加 cz， 然后再加 d， 等于零。平面方程都可以假设成这种结果。那假设成这个样子之后的话，一定要注意 什么叫通过 x 轴啊？就这个平面，这个 x 轴这条直线是在平面里头，如果你是在平面里头的话，我这个法项量就应该写成多少，就应该写成零 b c 的形式了，也就是说这个参数 a 这样一个 a 呢？它是等于零的。原因很简单， 因为此时此刻法项量在 x 轴这个方向上的投影，他就是零，这是没有什么问题的。那再继续看啊，写成这个样子之后的话，所以说这个方程就变成了臂外 加 c， z 加 d 等于零的形式，那变成这个结果行吗？还不太够。你想一个问题，同学们，请你告诉我， d 是否等于零？他肯定等于零。为什么呢？你想一想， x 轴上包含圆点吗？ x 轴上是包含这样一个圆点，零多少零多少零点。既然零点它是在这样一个 x 轴上，那 这样一个圆点不也在谁上面，不也在这个平面上吗？所以我们第二步还要带入谁啊？还要带入这样一个零点，零多少零多少零，带入哪啊？带入这样一个括号一这个方程里头呗。啊，带入括一这个方程里头，就变成了 d 等于 于零。所以说我们圈一这样一个结果就变成谁了，就变成圈二 b， y 加 cz 等于零了。我们只需要把 bc 这两个参数求出来，或者说把 bc 的笔直求出来就行。怎么求出来？这也太容易了，你别忘了人家说了， 还有谁还有这个四负三负一这个点呢？那带入呗，带入哪啊？带入这样一个圈二里头啊，带入圈二里头，带入圈二里头的话，最终就算出来这个 c 呢，是等于负三 b 的 c 等于负三 b 的话，那咱就写，相当于 b， y 减去三 b， z 等于零。那接下来消掉 b， 不就是 y 减三 z 等于零吗？好了，这道题呢，就做完了，所以说你最后写一下答案啊，这个平面方程就是 y 减三， z 等于零就结束了，我们继续往后看看啊，两个平面的加 角其实很容易，两个平面的夹角，按理来说他应该是在多少度到多少度之间的，他应该是零到九十度之间的零到二分之派之间。然后你看好了，其实这个角呢，我们可以认为，如果他是锐角或者九十度啊，我们可以认为他是平面的夹角，这是 c 的，对吧？然后这个 n 一 n 二，这是 原来他俩是互补或者相等的关系，为什么有可能相等？嗯，你想想啊，如果说这个恩一和恩二方向有一个改变了呢？懂我的意思吧，也就是说这个恩一变成了这样一个方向，那不就互补关系吗？大家可以自己凿一下。那既然如此的话， 他既然是互补或者说相等的关系，那他们的口算值，如果两个角是相等，那肯定是等于号了。但是如果这两个角怎么样互补的话，他们的鱼线值应该是互为相满数的，如果其中一个鱼线值是负 的二分之一，那另外一个就肯定是正的二分之一。我只是举了一个例子啊，那既然如此，就出来这样一个方程，其实这个方程的话，大家在高中阶段也已经知道了啊，那算法的话就摆到这了，应该没问题吧，那继续来看啊，所以我们可以得出来两个结论啊， 如果你 f 和贝特两个平面垂直的话，实际上他就等价于 n 一和 n 二这两个法项量垂直，法项量垂直不就是他们的点乘，也就是数量就等于零的意思啊，其实也就是 a 一 a 二加上 b 一， b 二加上 c 一， c 二展开以后，他这个成绩之后呢，等于零。 那如果说平面和这个杯，他两个平面如果平行的话，两个什么两个发型呢？也平行，他们这三个坐标肯定是成比例的，这个就不多说了，那现在还是要练一道题，求两 两个平面他之间的夹角，这也太好求了吧，我们来看一下啊，现在我们已经把两个平面他的发型量直接就写出来了啊，这个 abc 就是他的发型量， 那所以说接下来我们就求啊，扣三 c 的，注意 c， 他啊 c， 他就是两个平面的夹角，他是等于绝对值，我们直接带公式就行了，对吧？两个发型呢，他这样一个夹角的预先值，这个很好算啊，分子的话其实就是 n 一点乘 n 二绝对值吧， 然后分母的话其实就是多少呢？他就是 n 一的模，然后再成这个 n 二的模，那最后展开我们算一下啊，先算一下这个分子吧，分子很好算，一乘二负一乘一，再加个二乘一，算出来其实就是三啊。 第一个的话是一的平方，一的平方加上这个二的平方，其实就是根号六，另外一个的话是二的平方，然后一的平方，然后一的平方，两 根号六相乘，那不就是六分之三等于二分之一的意思吗？口算多少度等于二分之一，所以说这个夹角我们就算完了，这个夹角是等于六十度，三分之派的也就结了，懂了吧？最后你写一下答话， 所以说他这个夹角是三分之派。最后一点的话，我想补充一下这个点到平面的距离公式大家应该还记得，高中的时候我们是学过什么到什么的距离公式来着，高中时候我们学过点到直线的距离公式，如果说这个点的坐标，比如说是 x 零外零平面的任何一个点啊， 然后这条直线啊，平面的直线，他呢写的也是一般是 a x 加 b， y 加 c 等于零。那点到直线的距离，我们画一个草图吧，这就是那个 m 零，这就是那个直线，这个垂线段的长度呢，就是距离。这个距离实际上就是等于你把 零带入吗？ ax 零加上 b， y 零加上 c， 然后跟好下 a 方加 b 方就有了，这个是点到直线距离公式，实际上类比一下呢，你也可以得出来。点到平面的距离公式。先把这样一个平面外的点，其实也是平面内的点也可以，如果点屁就在平面上，就在平面内的话， 那此时分子不就等于零吗？如果点在平面内，点到平面距离就是零，其实也可以的啊，所以你加不加平面外的一点都无所谓。点到平面的距离公式就是 先把什么先把这样一个 x 零， y 零， z 零这样一个点带到平面的一般方程里头，必须是一般式的方程啊，然后他这个分母写的是什么？分母写的是根号下 a 方， b 方， c 方加起来就行了。记住这样一个公式证明的话，我之后再说吧。现在我们讲最后一部分知识， 空间中的直线方程。空间的直线可以认为是空间中的两个平面相较以后的重合部分，你看第一个平面，他所对应的是这样一个方程，第二个平面的方程呢？是第二个方程， 那么这两个方程你想一想，对于图形来说，两个平面相交以后重合的部分，他就是 l 上吧， l 上任何一个点，比如说这个 m 点按 xyz， 这个 m 点呢？我们是任意去的，都满足这两个方程，对吧？也就是满足这个方程组， 所以空间直线的一般方程其实是一个方程组，你知道就可以了。现在我们重点是来讲第二部分啊，直线的点向式方程，什么叫点向式方程呢？ 点向是两个要素，点的话就是已知这样一个点呢？他在哪啊？他就在确定的直线上了，这个点是完全已知的好向，什么叫向向？就是方向向亮的意思，方向向亮就是平行于直线 非零项链，其实就叫做直线的方向项链，懂这个意思吧？那现在继续往后看了啊，现在你已经知道一个点了，也知道他的方向项链长什么样子了。然后接下来这个直线呢，其实就是完全确定下来的，画一个草图其实更好理解，这就是 l， 那就是这个 m 零， 那么接下来 m 点呢？ m 点，这个 x y c 是咱们随意取的一个点，那这个 s 是什么呀？ s 是平行于 l 的这样一个方向向亮，那接下来因为平行，所以就要等比例吧，谁跟谁等比例啊？这个 m 零 m m 零， m 其实就长这个样子，咱写成这样坐标的形式就是 x 减 x 零 外减，谁外减外零， z 减 z 零，这样一个项链，跟谁成比例啊？跟 s 成比例，成比例的意思，不就是比值相等的意思吗？所以说现在画方框部分，这个结 果呢，就叫做直线的点向式方程。那么现在讲完了这样一个点向式方程以后呢，我还想补充一个直线的参数方程，这个参数方程呢，很好理解，你比如说让他们都等于 t， 这样一个笔直，笔直，如果都等于 t 的话，那 x 等于多少啊？那 x 就等于 mt 再加上 x 零，对吧？那 y 的话，同样的道理，它是等于 n， t 加上 y 零的， z 也是啊， z 就等于这个 p， t 再加上多少？加上 z 零。所以这个呢？画圈部分，这个方程组就是直线的参数方程，一定要注意，谁是参数？ t 也是那个参数 t 呢？是属于 r 的，大家记住这样一个结论就行了。 那现在学完方程之后的话，我们来解一道题啊，挺简单一个问题的。这道题啊，他是希望你把这个直线的一般方程转化为直线的点向式方程和参数 方程才可以，这个好转化吗？其实好转化单独拎出来圈一，这是个什么方程？这是个平面方程， 单独拎出来缺二，这也是个平面方程。两个平面相交部分呢，就是我们要求的那条直线 l 了，那具体来说怎么求呢？其实好说，现在我写一个项链啊，你告诉我是什么意思？这一多少一多少一啊，原来是第一个平面的发项量， 那另外一个呢？我写成这个二十多号负一，然后三，这是谁的法项量？这个是第二个平面的法项量。那么你一定要想象这样一个图来， 两个法相量实际上跟直线是垂直的关系，其实也就是跟直线的方向相量是垂直的，那既然跟他垂直的话，那好说，我们还是利用叉乘上这个讲完的叉乘来算吧。 n 一 n 二，讲完这个之后，你看利用这样一个公式吧， i j k 没问题吧？哎，这可以，然后再写一多少一多少一，然后二负一三。利用行列是这样一个概念，很容易算出来，这个是四爱 减一倍的 j， 减三倍的 k， 其实也就是直线的方向向亮，他就是四负一负三的意思。 那么算完这样一个方向限量之后的话，现在还需要什么点？像是点，像是你还需要求直线上的一个点吧。直线上那个点肯定是既得满足圈，又得满足圈，那你说这个点怎么确定呢？可以确定啊，咱们假设这个谁呢？假设这个 m 点 x 零 y 零 z 零，他是在上面的，在哪个上面？在直线 l 上面的，那么这个 x 零 y 零 z 零肯定得同时满足圈一和圈，这两个方程怎么满足呢？这样来啊，反正好多点，咱们求一个确定的点就行了。令 i x 零等于一， x 零如果等于一的话，那其实就很好算了。那此时这个 y 零加上 z 零就等于移过去啊，就变成了负二， 那么这个负外零再加上三倍的 z 零带入这个圈里头啊，你把这个四移过去，不是负一吗？再移过去，那不就变成了负六啊，对吧？那么接下来你解这个方程组就可以了，这个方程组非常容易解，我就直接解了啊，很容易解出来这个外零，他就是等于零的，这个 z 零等于负二， 所以说我们这样一个点有了吧。你看方向向亮有了呀，刚刚求出来这个点的话，也求出来了，这个 m 零，他这个点的坐标就是多少，就是这个一逗号零负二， 这个点也有了，方向下面也有了，我们就直接写结果了吧。所以说他的点像是方程，点 像是方程的话就长什么样子啊，就长这个样子了。 x 减一除上四等于多少？等于 外减零，除上负一等于多少呢？还等于这个啊， z 减去负二，其实就是 z 加上二除以负三点下数方程就写完了，那接下来还得写这个参数方程，参数方程你让后边等于 t 不就行了吗？那你让这个后边等于 t 的话，那最终这个参数方程我就直接写了啊，我简写了， 这个参数方程就长这个样子，这个 x 等于多少？一加四 t， 然后这个 y 的话就等于负 t， 然后这个 z 的话等于多少呢？就等于这个负二负三， t 好就写完了。一个是参数方程，一个是点相式方程来看啊，其实两条直线他还有这样一个夹角公式呢，两条直线的夹角，你要注意人家的取值范围 是在多少之间的，两条直线的夹角他一定是在零到多少度，如果平行的话，那就是零度，如果说垂直的话，就是二分之派两线四角模型吧，咱们肯定是取比较小的角，最多取到这个直角的范围，那么接下来 如果你已经知道了两条直线的方向，向亮都知道了，那么扣三号球吧。其实我们只需要记住这样一个公式就行了， 口算法就等于这样一个样子，后边加上绝对号就可以了，为什么呢？因为你方向向两方向是有两个方向，那么对于 s 一来说，对于 s 二来说，也是直线上有两个方向，他这个夹角有可能是钝角的，懂我的意思吧， 那最终的话就写成这样一个结果了。最后一部分我们来介绍一下直线与平面的夹角，高中也学过这个公式，直线的方向向上就这个结果，然后平面的发向量就是这个结果，然后方向向上发向上，知道了， 让你求什么呀？让你求你看这个 c， 它指的是平面于直线，你说平面于直线夹角，咱可以怎么标啊？就是图中这个 c 它呀，这是没有什么问题的，这个方向项链和这个法项量，它的夹角呢？我们即为 fa， 你说图中我标的这个结果，这个 f 和 c 的什么关系啊？互与的关系，所以应该是什么？ 直线和平面的夹角 c 的三 c 的是等于口散 fi 的，当然为什么要加这个绝对号？因为你这个 n 和 s 的方向可能有一个反过来。懂我的意思吧，那最终这个结果就有了。 现在还是做最后一道例题啊。这个例如求过这个点，而且跟平面垂直的直线方程，你自己呢？想象一下这个图，实际上这个平面的法项量也就是二负三一，这个是非常容易得出来的啊。平面的法项量其实就是这条直线的方 方向向亮，因为他俩是垂直的关系，那既然如此的话，点我有了吧。然后呢，这个方向向亮也有了吧？点和方向向亮，所以我就直接写这个方程了啊，这个方程就长这个样子。 长什么样子啊？长的是二分之 x 减一等于负三分之，这个外减负二其实就是外加二， 然后等于多少？等于一分之 z 减四，然后就写完了，这个就是直线的点相式方程，记住了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下期课再见。

最近呢，又有不少同学后台私信老谢，前段时间刚学完空间项链，天天要刷，偏偏法，项链看起来简单，其实算起来又慢又烦，而且一不小心就错了。这次月考空间项链这道题明明会做，可是又算错了，老谢有没有什么大招啊，帮帮我们。哎，老谢出马，怎么好意思说没有呢，今天他来了。那究竟怎么操作呢？比如这道题，把两个项链摆开，一三四 二五九，写两遍，一三四二五九，掐头去尾，然后交叉相乘做差二十七减二十， 交叉相乘坐叉八减九，交叉相乘坐叉五减六。答案，七负一负一罚下量七负一负一。怎么样，又学会一招了吧，点个关注呗！

这节课介绍一种方法，可以快速求平面的反向量，五秒钟就能出结果呦。比如平面上两个项链， o a 等于一三四欧 b 等于二五九，求反向量就是求和 ovob 都垂直的项链。看好我是怎么算的哈。把项链写成两行，注意对齐， 然后盖住第一列一和二，剩下的用三乘以九，减去四乘以五，交叉相乘再相减，结果等于七。这就是法相当的第一个坐标， 然后盖住第二列，剩下的依然交叉相乘再相减，一乘以九，减去二乘以四，再加负号，结果是负一。这就是把销量的外作标， 最后盖住第三列，还是交叉相乘，相减一乘以五，减去三乘以二，等于负一七负一负一就是一个发项链有一个专门的符号，就像这样， 把四个数写成方形，两边加竖线。他表示一种运算叫做二节行列式。 算法呢，就是左上乘，右下减去左下乘，右上一乘以四，减去三乘以二，等于负二。用上二阶行列式做法，相应就可以写成这样。 如果平面上两个不贡献项链是 x 一 y 一 z 一 x 二， y 二 z 二。一个法，项链就是这样，只是要注意中间的是 z 在前， x 在后。

好，大家好啊，我们来看一下，这次我们看一下这个平面的一般方程啊，在前面那个视频里面的这个点平面的点发式方程，他是这样写的，那么我们把这个 x 零 y 零这个零挪到一起，那这个就是一个常数了， 所写成这个样，这个样子啊，这个就是平面的一般方程，这个法项量就是 a、 b、 c， 那对于这个一般方程来说呢，我们先考虑一下这个 d 等于零的情况， d 等于零的情况，那是肯定是过坐标远点嘛，对吧？那第二种情况呢，就是 a 等于零， d 等于零，我们先看 a 等于零， d 等于零的这种情况，那么 a 等于零， d 等于零，那就只剩下 b， y 加 c， j 等于零，那我们知道这个就是 y、 o 这平面的一条直线，并且直这条直线呐，过远点，对吧？那那那这个，那这个，那这个怎么会成为一个平面的？ 我们还看第二种情况，低不等于零，低不等于零，那就是那就是也是也是 yoz 平面的一条直线，但是这条直线呢，没有过圆点，那我们看一下这两种情况怎么形成的平面呢？ 我们看假设这个是 y、 o、 z 平面的一条直线，它这个没有过过圆点，没有过圆点，那么这个怎么形成的平面？它其实就是因为我们这个直 这个方程里面只有 b， y 加 c， z 加 d 等于零嘛？那个 x 不存在， x 不存在，那就意味着什么呢？意味着这个 x 的这个值啊，它可以重复无穷 变到正无穷。所以这个平面呢，他就是就是顺着这个 x 轴的方向，这个平行 x 轴的方向一直这样延伸，也可以向纸面内延伸，就是像 x 轴的两头无限延伸过去，平行于 x 轴，这个是没有过远点的情况啊， 那如果这个是过远点的一条直线呢？那就把 x 轴包括在里面的这个平面，就是比如这条线，对吧？那就包括这个这个 x 轴在里面一直一直无限延伸， 他就是这样形成的平面， x 不在这里面，因为这是三三维空间，不等于 x 不要，反而是意味着 x 怎么样可以从负无穷到正无穷，那类似的可以讨论情，讨论其他情形。那 a 等于零， b 等于零呢？ a 等于零， b 等于零，那就是这是一个，那就是这是一个常数，对吧？这是一个常数， 这是一个长度，就相当于这样的一条直线，那这条直线啊，就顺着 x、 o、 y 平面，就以平行 x、 o、 y 平面的啊方式啊，延伸就是按照这个直线啊，一条一条直线这样构成平面， 就是这个这构成的这个平面呢，是平行 x、 o、 y 这个平面的。然后我们看个例子，假设这个平面呢， x 也 x、 y 这三个轴角位，这三个点 啊，就三个点，然后求这个平面方程，然后我们把这个方啊，一般方程写出来，把这三个点带进去，然后就可以把这个，把这个数字，把这个未知数啊求出来 啊。那你那因为是啊，这带进去只有三个方程吗？他有四个未知数，所，所以这个这个地，我们就这个三个，三个 啊，法项量啊，法项量坐标都以这个地来表示，那那就写成这个样子了，然后把它带进去以后啊，这个地呢，其实就消掉了，对吧？这个地消掉了，消掉了就剩下这个，这个，这个 啊，这个方程，这个这个方程呢？就是平面的节记式方程，这个 a 呢就是在 x 轴上的结局，这个 y 就是 y 轴结，这就是这轴结局。 这个洁具是平面的方程，这个那个图形很容易看到哈，这个就是在三个坐标轴他都有一个洁具。