初中几何b站老师推荐

所以，勤奋、重复、大量的练习，是给每一个普通人成才的机会。

好，同学们好，这节课呢，我们来看一道初二平面几何的经典难题，那么这道题目呢，你看起来简单，但是呢，他却可以难住大部分的同学，甚至呢，一些学霸， 原因就是这是一类典型的几何问题，那么如果你知道这一类题目，他如何去构造辅助线，他其实呢，思路上还是比较简单，但是如果你没有做过，也就是没有这类经验， 这个题他就会变得非常的难，最起码对于普通的学生来说，应该是毫无思路。下面呢，我们就一起来看一下这道题，已知 a， c 等于 b， d 啊，这两条线段呢，相等，求角 b 的度数，当然呢，这里面呢，还给我们这个角 c 是四十度，然后 cad 这是六十度，给了两个角度，让我们求 这个角壁的度数，这些条件呢，给的看起来没有什么关系，而且这两条线段这种位置关系 很不明确，是不是？所以呢，这就导致此题变得比较难，不过呢，没有关系，我们能做到哪是哪，什么叫能做到哪是哪？比如说这是六十度，这是四十度，那最起码你知道这是一个八十度，是吧？ 然后呢，这个是一个一百度好，其他的呢，目前就不好知道了，那接下来怎么突破呢？你想只能从这个 ac 等于 bd 处罚了，像这种位置的两条线段，那肯定没啥用处， 我们必须把它弄到一起去，或者让他产生一定的位置关系，那我们怎么让这个线段去改变一下他的位置呢？那么出 中几何三大变换，主要有平移，旋转轴对称，这是常规的思路，具体这个题你怎么操作还是不好弄，是吧？那么然后怎么办呢？然后其实这类题我们还有一种构造，就是构造等边 三角形，等边三角形，他三条边相等，本质上也是可以改变这个线段的位置的，是吧？那怎么构造呢？有 很多种方法，第一呢，就是最简单的，这有个六十度，你以这个六十度 ac 为边，然后呢去向外构造一个等边三角形。好，这是最常规和简单的思路。 我们这里面呢，我们不用 ac 做边，我们用 bd 去做，其实也是一个道理，我们用 bd 为边构造一个等边三角形。 bdm， 好，注意，我们勾到了这是等边三角形，然后这个角呢，很标一个这是六十度，这样的话呢， bd 呢，他就等于 md 等于 mb， 那就跑这个地方来了，是吧？而且呢，这些角度呢，我们最起码呢知道他是六十度， 那有的同学讲知道这有什么用？我们来看一下，我们知道的信息其实就多了，如果这六十度，这是八十度，那这个角是多少度呢？那这个角他也是四十度， 什么叫也是四十度？就是这个四十度，你看他等于这个，然后呢，这个 md 又等于 a c 产生了一点联系，那能想到什么呢？能想到去够到全等三角形啊，是吧？已经满足了一组编，一组角对应相等了，我们只要再来一组角，或者呢再来一组编 是吧？就行了。那么我们可以先把 am 连一下，先让这个三角形出来，那么就是这个 mda 和这个 ac 显然不是 acd， 应该是 cd 上，我们再去接一个线段，它等于 ad， ad 肯定是小于 cd 的这个边是吧？大脚对大边，那比如说我们去截取一段等于它， 我们截取一个这个是 n， 好 nc， 我们截的是他等于 a d， 那这样的话，这两个三角形他就全等了。边角边是吧？全等之后我们可以得到什么？我们可以得到 a n 等于 am， 那 a n 等于 am 又能怎么办呢？或者这其他的角度上我们能得到什么呢？好像呢， 这样呢？正了这个圈等呢？也无法突破，但是我们最起码从这个图上可以感觉出来，这个 an 好像他是等于 ad 等于 am， 就这些线段都相等，那我们这个辅助线这个思路应该没有问题， 没有问题就这样做，但是呢他缺条件，再往下，那这个时候怎么办？这个时候我们可以反其道而行之，我们缺啥我们就给他啥，什么意思呢？就是我们需要 a n 等于 a d 等于 a m， 那我们就先做一个 a n 等于 a d， 我们就先做一个这个等于 a n 等于 a d， 就是我们这辅助线。换一种做法，我们仍然做出来是这个 a n， 但是我们现在使这个 a n 等于 a d， 这样的话呢，那这个角呢？它也是八十度，我们来看这些角度上我们就可以突破了，那这个是 多少呢？那这个就是二十度，然后这一半是多少呢？这一半就四十。哎，这边也是一个等幺，所以 an 等于 nc， 然后呢，这两个三角形 mda 和 acn， 他还是圈的呢，我们简单写一下， mda， 他仍然圈等于三角形 acn， 所以一旦他俩全能，那么就可以得到 a n， 他等于一个 a m， a n 等于 a m， 然后呢沁儿等于 a d， 我们目的是得到 a m 等于 a d， 为什么要得到这个呢？得到这个之后，我们来看 bm 等于 bd， am 等于 ad， 那显然 ab 应该是 md 的垂直平分线。 那然后我们就可以得到什么呢？然后我们就可以得到这个角， b 等于这个角，这俩是相等的，一共是六十度，所以角 b 就等于六十除压三十度。 或者呢直接 bma 和 bda 全等也行。三角形 bma 全等于三角形 bda， 这也可以 直接得到角币是三十。所以这类题目主要就是构造等边三角形去转化线段，以及呢去得到一些更丰富的角度信息。那同学们可以尝试一些其他的方法，这节课我们就讲到这里。

阿波罗尼斯圆，一个学霸经常挂在口中的圆，一个所有初中生都畏惧的圆 到底是个什么？原，今天小杨老师带大家拿下初中几何经典最知模型阿是原问题。所有的做题步骤，每一步非常详细的笔记已经总结在视频最后了，注意点赞收藏！看到最后哦， 看一下什么？是啊，是元，已知 a b 两点点 p 呢？满足 p， a， b 上 p b 等于 k。 注意哦， a b 是定点， p 呢，是一个动点。这个时候 有一位数学家发现了屁的运动轨迹是一个圆，他是谁呢？他就是阿波罗尼斯，发现屁正好在一个圆上动， 所以这个轨迹所形成的圆就叫做阿是圆，也就是阿波罗尼斯圆。有同学说，老师说点人话，你不用跟我说是什么是阿是圆，只要教我怎么做就好了。 ok， 那我们就来看一下阿是圆的几何模型建立。 如图一所示，圆 o 的半径呢？是 r， a b 都在圆， o y p 是圆上的一个洞点，已知了 r 等于 k 乘以 o b， 先把 r 给连起来， 当 p a 加上 k 乘以 p b 的值，最小时 p 点的位置如何确定？看到这里的同学会觉得和之前的胡不归问题很像，如果胡不归还不会的话，自己往前翻啊。那今天老师给大家说的阿是元区分之前胡不归的一个特征就是他的动点 在圆上动。虽然说他们最终的求解形式是一样的，既然他们两个很像，那他们俩的做题方法其实也有点类似，都是需要把 pa 和 k 乘以 pb 转化到一条线上来。你看我就直接往下稍微延长一下， 这是 c。 如果说现在我能构造出一个点 c， 使得 p c 就等于 k 倍的 p b， 那就好了，是不是？那你看题目当中有没有 k b 的关系呢？有呀，就是 p o 等于 k 倍的一个 b o。 大家来看啊， p o 等于 k 倍的 b o。 嗯，如果我让 o c 等于 k 倍的 p o， 那不就好了吗？这是一个什么子母型相似呀，是不是？所以啊，是原问题的核心点就是要找到 子母型相似，那在 b o 上取点 c， 使得 o c 等于 k 倍的一个 p o， 大家来看， o c 等于 k 倍的 p o， p o 等于 k 倍的一个 b o， 再加上它们中间的一个公共角，所以这两三角形呢，是相似的。写好啊， p o 比上 bo 是不是等于 pc， 比上 po， 他们都等于 k， 再加上角 o 等于角 o。 这两个条件就足以让我们证明，三角形 p o c 相似于三角形 b o p 相似了之后，那 p c 不 就等于 k 倍的一个 p b 了吗？好就好了呗，你要求的是 p a 加上 k 倍的 pb 的最要值，不就转化成了 pa 加上 pc 的最要值吗？ c 又是定点，因为 r 是固定的，就 rpo 是固定的，所以 oc 是固定的，那 c 肯定就是定点了，那就直接要求的是 ac 的长度一连 这个就是阿，是圆的一个模型的构建啊。总结一下他的总结一下这种题目的一个做题方法。第一个识别特征是动点在原上动，形式是 p a 加上 k 乘以 p b。 第二个，我们在做题的时候需要找到一个母三角 pbo， 怎么找？就直接把半径连起来，找到一个母三角形，然后再找另外一个子三角形和他相似，构建一个子母型相似就可以了。有同学老师我感觉还不太熟练，那我们再通过一道题目练习一下 例题。先来一起读题。 rt， 三角形 abc 当中角 c 呢是九十度， ac 等于四， bc 等于三边读边标半径是二，你可以把半径连起来， 连起来之后， p 是圆， c 上的一个动点，求二分之一的 p a 加 p b， 你看什么问题阿是圆呀，最终的形式是 k 乘以 p a 加 p b， 然后动点又在圆上动，所以他就用阿是圆的方法去解决。找到母三角形和子三角形。 母三角形的话就是本来就含有二分之一比例关系的那个三角形。你看我把 p c 一连就有了呀，因为 p c 是二，那 p c 不就等于二分之一的一个 a c 吗？那现在需要去找一个紫三角形，就我构建一条边，使得它等于 二分之一的一个 a， 使得它等于我构建一条边，使得它等于二分之一的 ap。 怎么去构建一样的？在 ac 上选取一点 m， 使得 c m 等于二分之一的 p c， 这样子我是不是就找到 到一个字母形相似，你看 p c 比上 a c 等于 c， m 比上 p c， 它们都等于二分之一，再加上角 p c m 等于角 a c p， 就这两个条件得到三角形 p c m 相似于三角形 a c p。 既然相似的话，所以 pm 等于二分之一的一个 ap， 你要求的是二分之一 pa 加上 pb 的最小值，现在就转化成了求 p b 加上 p m 的最小值。什么时候最小三点共线啊？直接把 b m 一连，现在就要求 b m 的值就行， b m 值好求 求啊。 cm 是等于二分之一的 pc， 所以 cm 这边是等于一，然后 bc 长度又有了，是三。直接勾股定理一下，根号十，你看，轻松解决。 最后祥老师呢？担心有些同学哈还是不会，就把技巧总结放到了最后。怎么找母三角形，怎么找子三角形？截图下来认真学习哦！

几何题没思路怎么办？一个视频帮你解决，这个视频十分钟，没时间看的可以先收藏一下，花都可就找不到了。几何证明题中的难题不会做，基本上都是思路问题，大家必须要学会调整思路。咱们学过的做几何证明题的思路是什么？由题目给的条件出发， 一步一步的得到结论，现在发现这个事故并不好使，那么怎么调整它？几何证明题有一个很明显的特点，就是说他会先把题目的结论告诉给咱们， 那么咱们能不能倒着来，从结论出发看一看，我们想要得到这个结论需要什么样的条件呢？倒着推，碰到困难。 然后呢，我们再使用传统的思路，从条件出发，往前推来解决这个困难。解决了这个困难，这道题我们就证明出来了。举个例子来说，这道题咱们先用传统思路去证明一下，试一试。咱们先看题， a、 b 等于 b， c 角 b 等于九十度。有这两个条件，我们可以得到什么呀？这个三角形 abc， 他是一个等腰直角三角形，然后我们两个底角都是四十五度。 接下来第三个条件， a、 d 是角， b、 a、 c 的角平分线，所以说我们就可以到，上面是一个二十二点五，下面也是一个二十二点五度。然后呢，我们又知道了 c、 e、 tg、 a、 d。 到这呢，一 部分同学又卡住了，因为什么呀？因为 c、 e 垂直于 a、 d 和这个二十二点五度，他们俩加起来没有办法来证明 a、 d 是等于两倍的 c、 e 的。 当然了，一些思路比较灵活的同学会想，哎，这里不是有直角三角形吗？啊，然后呢，我们看到这个 ad， 他正好是三角形 abd 的斜边， 斜边上的中线等于斜边的一半，所以说我们可以怎么样去 ab 的终点？ mam 等于 dm 是等于二分之一的 ad 的， 如果他们俩是等于 ce， 是不是就可以解决这个问题？然后我们发现，哎，坐在这又卡住了，没有什么特别好的办法来证明 am 等于 ce， 或者是 dm 等于 c e， 那么我们刚刚说我们是怎么想到这一点呢？我们是通过斜边上的中线，那么我们可以连接 bm， bm 是等于 am 等于 dm 的，也是等于二分之一 ad， 所以说我们只要证明 bm 等于 am 等于 dm 等于 ce 就可以了。那么好不好挣啊？你们发现还是不太好挣。 然后有的同学又开始猜了，有的同学又开始说，啊，这道题我做到这我不会了。然后呢，我是不是应该再画几条辅助先啊？ 因为不会的题出个话辅助线没有别的方法。然后呢，他就开始画线，这边做一个垂直，然后发现不对，哎呦，这边我还可以这样做一个垂直，这是一个垂直是不是也可以？然后就会想着说，哎，这边好像有一个全等三角形吧， 过这个 m 点做一个垂直啊。我如果能够证明三角形 amn 元等于三角形 c e， d， 是不是就可以证明 a m 等于 c e， 然后我发现这道题做不出来， 然后又卡住了。这就是我们传统思路，由题目给的条件一步一步推到结论所面临的困境就 是我们会有条件得到很多的推问，比如说二十二点五，四十五度，四十五度，比如说像是他们都是等于二分之一的 ad 的，但是因为推问的数量太多，导致我们不知道应该用哪一个推问或者是哪几个推问来证明，所以各位同学跟着我一起换一个思路啊，试一试我的思路，看一看。 读完了题之后，我们先看结尾，我们要证明 ad 是等于两倍的 ce 的。这个时候我们就要回想一下，我们在学校学了这么多 几何知识，我们有没有学到一条线段等于另外一条线段两倍的知识点，或者说是我把这个狮子变一下形， 我们有没有学过？另外一种就是一条线段是等于另外一条线段二分之一的。 如果各位同学没有提前做好总结的话，这时候你就会发现，你需要把脑子里面所有的知识点全部过一遍啊，但是如果你已经提前做过总结了，那么你就会发现，呃，一共只有三个或者是四个知识点，那么第一个就是等幺三角形里面的三线和一 里面会有一个中线。第二个在直角三角形中，三十度角所对的直直角边等于斜边的一半， 第三个斜边上的中线等于斜边的一半， 第四个中微信， 嗯，这个中路线呢，是我们九年级才会学的啊，但是呢，这道题是八年级的一道题目，所以说这一共是有三个知识点啊，如果你在九年级的时候做这道题的话，那就应该是四个知识点。好，这个时候呢，我们就碰到困难了，因为你要从三个知识点里面挑出一个来。 好，这时候我们就碰到困难了，因为你要从三个知识点里面挑出一个来，这时候你就要去看看什么，看看题目给的条件，一个、两个，三个、四个，我们发现这四个 条件里面没有什么三十度，所以说这个去掉，然后这道题里面还有一个条件，第三个条件啊，说他是一个角平分线，角平分线想到什么？是不是我们三线合一里面就有什么角平分线高，还有中线？ 嗯，所以说我们就优先考虑他角平分线，这两个角相等，然后这是个垂直九十度，是不是角平分线和高我们都找到了， 然后这个三线合一是我们在什么时候学的？我们在等腰三角形当中学到的，因此呢，我们就想到说我需要把它做出一个等腰三角形来，找到一个等腰三角形， 然后我们的 ae 又既是我们的高，又是我们的角平分线，同时还是中线，所以说我们发现图形不全，因此呢，我们想到什么？我们要去做 辅助线，这就是我们画出来的辅助线啊。那么我们先要证明什么呢？三角形 amc 为等腰 啊，咱们先假设他是成立的， amc 就是一个等于幺三幺型。然后呢，我们再看说我们能不能证明 ad 是等于两倍的 ce 啊？那 ce 是等于什么呢？ c、 e 是等于二分之一的 cm 的，所以说我们想要证明 a、 d 等于两倍的 c、 e， 那就相当于证明什么呢？ ad 等于 cm， 那么 ad 等不等于 cm， 你会发现 ad 和 cm 这两条线是无法组成任何的图形的，所以说我们就想到了， 我们要证明全等三角形 a、 d、 b 全等于三角形 c、 m、 b， 这时候我们再看看好不好正啊，实际上是能正出来的，对吧？ a b 等于 b c， 然后呢？角，这俩角是相等的， 然后都有一个九十度的角啊，这个是九十度，这个是九十度。好，我们是可以证明的，然后我们发现就缺这一个了，我们可以证明三角形 m a e 全等于三角形 c a e， 大家看看能不能证明出来啊？角平分线，所以说 九一九二是相等的，然后呢，这个是垂直，这也是垂直，然后他们有一个公公的 bnae， 这不就可以证明出来了。 好，讲到这呢，大家可以发现，如果说采用我的思路去进行证明的话，我们证明的流程是非常的顺畅的。因此呢，大家不要再采用什么传统的我们的证明思路啊。那由条件出发，我想要一步一步推出结论，这样的做法太难， 到晚我们先看结论，我想要得到这个结论，我需要什么样的条件，然后一步一步倒着推，当我们碰到困难的时候，然后再看看题目给的条件，然后正着来， 当我们把困难解决掉的时候，这道题我们就证明出来了。当然啊，这里面有一个比较关键的点，就是各位同学要提前去做总结。那么听到这，可能各位同学有点懵，又说到做总结了，又说到做总结了，是 学校的老师，包括这个校外辅导课的不二的老师都会告诉你说，数学的总结是非常非常重要的，你一定要学会总结，好好做总结。但是总结怎么做呢？大家来我的主页看我的置顶视频，我教你怎么去做总结。

初中几何里的说难最值问题，那太难了，但是最值问题一般他有一定的套路，比如说你要求几个线段和最小，往往都会涉及到首尾相连，两点之间线段最短， 那如果你要求的是两条线段和最小，一般情况下都是将军一马的问题。我们来看看这个小问题哈，他说在你的正方形里边长得的是四 b 到 e 等于 c 到 f， 如图所示。 那么求当你的 b f 和 d e 的和最小的时候， c e 等于多少？那么你读到这的时候，你就发现了两条线段和求最小值，那一定是将军印码。那所有的将军印码的问题，在求 九的时候肯定得有对称，那在对称之前，你先看这道题里边告诉你了， b、 e 这个边和你的 c、 f 这个边，他俩之间是相等的，这是不是有点像你之前学的正方形的弦图， 有边等一定会有全等。所以如果按照原来学的弦图的特点的话，你把 a、 e 连起来，那么你在这里面就会发现你的 a、 b、 e 这个三角形和你的 b、 c、 f 这个三角形是全等的。 那不单全等，你还会发现你的 a 到 e 就等于 b 到 f， 那你看 a e 在这儿， b f 这不搁这儿这儿吗？所以这个问题读到这儿的话呀， 它就发生了一个转变，怎么转变大家一定要看好了，也就相当于你把 b、 f 这个边变成了一个 a e， 那现在这个问题就变成了，我要在你的 b、 c 上找着一个点 e， 使得他到 a 的距离和到 d 的距离和最小，是不是将军马？ 所以你读到这的时候，你只需要把你的 a 对称过来，这就完事了。大家看好了， a 对过来，把 aea 撇和 d 连起来，你想要的最小值一撇就在这。 那你当你对过来之后，你看正方形的边长得四，这也得四，这还得四，这不就相当于一个中位线吗？所以你在这里边，你就会发现， b 到 e 的距离得 得的是一个二，这是一种方式，还可以怎么着？还可以利用这俩三角形全等也行，每一半都得二， 所以我就可以得到，当你的 b、 f 加 d， e 最小的时候，你的 c、 e 就得二，这道题就 ok 了。所以遇到几何压轴题不要慌，一定要把思路给他理顺了，自然而然问题就可以解决了。

据说这道题目是考了二十年依然经久不衰，他到底有什么样的巧妙的思路能够让大家一直想要去解决他呢？我们来看这个题目，这道题目是这样的，说有一个大的等腰三角形 a、 b、 c， 那么在这里边啦，它原题中有的是 a 到 e 的距离，等于得到 e 等于 b 到 d， 还等于 b 到 c， 那么最后问角 a 等于多少度，条件给的非常简单。那么这个题目之所以二十年依然经久不衰，是因为它能够激发大家很多的灵感。比如说我们看这个题目， 首先你在读题的过程里边发现有四条边相等，那么如果你在实际做题的时候，遇到有四条边相等，你第一个想的是什么？一定是菱形，因为菱形的四个边相等嘛，这是能够激发 你去做拓展想象的第一个。那么第二个这里面还隐含了什么条件？你会发现如果你这个边和这个边相等的话，那整个又是一个等腰，这里边还有一个 a， 和你的 ce 也是一样的。那么我在第一步读题的过程里面，我首先能得到这一波，还能想到这是一个等腰，每个角都得的是一个阿尔法，那么我们就奔着这三个条件去琢磨，如果你想把它想到菱形的话，那我首先得构造一个怎么构造 这两个边相等，如果我在这做一个平行四边形，满足零边相等呢？就是一个菱形，是不是就接着可以用到剩下两个条件呢？我们来试试。首先我们做一个菱形，这个边得 x， 这个边得 x， 这个四个边都得 x， 那么同时题 题目中还有 d， e， a， e 也得 x 标上，并且还有一个我们刚才说的是 a 到 d 的距离等于的是个 c 到 e， 这俩角相等是个阿尔法。有边等，有角等， 一般不出意外都要想到全等，那怎么全等呢？你看，首先我们利用是一个菱形， 你的 a、 b 和你的 c、 f 之间的关系是一个平行的，平行了之后，内错角相等，所以这个角也是阿尔法。 那你做到这，你发现了 a 到 d 的距离等于 c 到 e， 那么又知道红色的边代表 x， 和 cf 是一样的，我们在这里面就可以得到这个边，也跟红色边相等。那你 你在这 s， a、 s 这个三角形，如果把它连起来的话，这两个三角形全等，绿色等于绿色，红色等于红色，加了角都是阿尔法， 很容易就出来了。所以啊，我们把这一步思路给他总结下来，相当于这两个三角形全等，那全等了之后，对应边相等，你看 这个 a， e 和 d e 一样都是 x， 全等就等于 e、 f， 那么你再看这个角是阿尔法，全等，这也是阿尔法。我们再来琢磨一个你的阿尔法，阿尔法按照 y 角，这个角就应该得两个阿尔法， 单如此得到 e 的距离是 x， 底下的菱形的边也是 x， 那么在这里边我们会 发现得 e、 f 这个三角形是一个等边三角形，因为三个边都相等，所以是个等边，那等边三角形的每个角等于六十度，也就是三个阿尔法就得六十度，那么阿尔法在这里边就得二十， 而你的阿法是谁，正好是一个叫 a， 这个题目就 ok 了。所以这个题目为什么能考二十年依然被大家津津乐道，就是因为这道题的每一个条件都可以无限的激发大家在数学上的想象。所以啊，大家琢磨琢磨，看这个题目还有没有别的方法也可以解决。

我们来看假如啊，将军在 a 处， l 呢是一条河，他现在需要去骑着马儿通过 l 到 b 处去支援战场。 问怎么走路程最短？中考必考最值问题从将军一马到胡不归，我们一起来挑战中考题。是这么走还是这么走呢？很明显都不是，我们应该是从 a 到 b 直奔而去，所以说应该连接 ab。 用到的原理呢是两点之间线段最短。 好，接下来我们难度升级。假如啊，现在将军在这里， l 呢？还是那条河，不过马儿渴了，他需要啊先牵着马儿到 l 处去印马，再到 b 处去支援战场。 问怎么走路程最短？那这个问题我们可以转化成上一个问题，我们过 l 啊，做点 a 的对称点 a 撇，那么根据对称性，我们就可以得到这两条线段的长度是相等的。所以说我们就可以把 这个的最短距离转化成从 a 撇过 l 再到 b 的一个最短距离。所以就回到了上一个问题，我们只需要连接 a 撇 b， 找到与 l 交点 p， 那么这个点 p 就是我们的最佳印码位置。所以说此时它的一个最短路程应该是连接 ap 和 pb， 它就是我们的最短路程。那原理你学会了。下个视频，我们一起来挑战中考题。

初中数学几何题不要怕，考来考去就是这几十种模型，弄懂了其实一点也不难。这本初中几何六十九模型公式都帮你总结好了，像常考的八字模型、飞镖模型、一线三垂直模型，每一个模型的公式怎么画，辅助线 怎么证明，都帮你罗列的清清楚楚。基础知识弄懂了，接下来就是点力的剖析，最后还有中考的真题检测巩固，熟练运用，不懂的扫码就有专业老师视频讲解，平时还能作为查找知识点的工具书，家里有初中生的赶紧背一本练起来吧！

在座的各位，在这里给各位推荐十位知识领域大佬，毕业你们办成想不到请看十送好老师官方， 那么因为 a n 是无上届的，根据我们没有上届的定义，就是你就是随便的给出一个届，我都能突破你，对不对？所以呢，就任给 m 都存在 a n 零，使得 a n 零能大约吗？ 啊，你只要认给一个数，我都可以突破你啊，比你大对不对？九同大， 那还是 btt。 这些几本函数的求道公式表，大多数同学应该都已经记得了，无非受这样的几种，首先长数是最特别的一个长数，单独求到结果就是零。 再接下来就开始到蜜函数 x 的 n 次方的类型，只要是蜜函数的求导，他的公式气势很好记，就是把他头上的 n 往前一扔，扔完了之后头上的个数少一个，变成 n 减一次方就好。 所以如果说我们遇到 x 立方的求导结果，那就是把三往前扔，上面少一个变成三倍的 x 平方。 如果是要求我们计算 x 分之一的导数，那就相当于是 x 的负一次方的求导结果，那我们就照样是把负一往前扔，上面少一个变成负的 x 的负二次方，其实也就是负的 x 平方分之一 八高属熟的百宝箱行列式。刚才我们的分析给大家讲结构的时候，大家就已经知道了行列式是干什么工作的啦， 说如果当我们的数据呈现出是方的情况下，有一堆数据，这个数据又呈现出是方的情况下，则可以对他施加的一种运算。那我们来看一下第一个看他是不是方的， 你会发现来认识一下，我们是按行和列哈，所以这是这个元素，这个元素呢，告诉你说，我排在的是第一行，这是行和列哈，排在是第一行，第一列。 那比如说以这个元素为例，他指的是什么呀？指的是这样一个值，比方这样写出来哈，比方这个字是一，一，我都写成是一，我不让，我不让你去算哈。七、数学微课榜 我们给出啊，刚才我们说的那三个特点，我们看第一个方程的等号两边都是整式，第二个都含有一个未知数 x， 第三个且 x 的最高次数是二次，我们发现这两个的这个方程，他的位置数 x 的最高次啊，是二次的，这有一个 x 方，这有一个 x 方，对吧？所以我们看啊，首先方程的等号两边都是整事，其次呢，都含有一个位置数 x， 而且 x 的最高次数是二六，针缝五九天。 在做化学实验的时候啊，我们都对这个纯度有一定的要求，而纯度是一个宏观上的概念，我们不能说数出五十个铁原子，然后说这五十个铁原子是纯净物。举个例子的话，如果说二十滴水是一毫 毫升，那么一滴水所含的水分子大约是这个数量的，那么假如这么多水分子中混入了一个杂质分子的话，那么理论上来讲，这滴水就已经不是纯净物了。所以有句话说，这个世界上没有绝对纯净的物质，指的就是这么一种情况。 那么在这样一个客观的条件下，什么样的东西才能在化学实验中被称为纯净物呢？五、 three boo one brown， you've seen the title so you know this is leading to a certain fractal actually， it's an infinite family of fractals and yeah it'll be one of those mind bogglingly intricate shapes that has infinite detail， no matter how far you zoom in， but this is not really a video about generating some pretty picture for us to gocket part of it， but the real story here has a much more pragmatic starting point than the story behind a lot of other fractals and more than that the final images that we get to will become a lot more meaningful if we make an effort to understand why given what they represent they kind of have to look as complicated as they do， and what this complexity reflects about an algorithm that is used all over the place in engineering。 四、易鼠儿 很多人特别怕平面几何，今天我们就将初中阶段涉及三角形辅助线的重要方法全部梳理一遍。相信大家在考场上在遇见需要辅助线的时候，能够想到有哪些可能做的线。 首先我明确一点，不管是怎么做辅助线，他的核心要点总是把题目中惨 缺的图形补全为我们熟悉的图形。所以说，不管讲哪一种方法，都是围绕着这么一点而进行。三、李永乐老师官方 这个结论就是欧拉得出的一个一笔画图形的结论。欧拉在 一九在一七三六年的时候啊，提出了这样的一个结论，他说什么样的图形可以一笔画呢？可一笔画的图形，他必须满足一个条件， 那就是基点的个数啊，他的基点的个数，基点的个数必须是零个，是零个，或者是两个。哎，只有这种情况的图形，他才能够一笔画出来。二、 放羊的教书匠 大家好啊，今天咱们来讲一下立体几何中的外接球和内切球的问题。实际上这节课除了外接球和内切球之外，还有一个什么球呢？还有一个棱切球。什么叫棱切球，你听下去就知道了啊。 咱们先来看一下第一个问题吧，外接球问题，那么外接球问题的话，主要是长方体或者正方体这样一个外接球问题，也会有一些这个四面体的外接球问题。一、上善若水之文宣 我先来给大家看一段我的视频，我将逼移至原点，把笔往正方向移动，可发现当碑大于零时，绝对值与元素相等。在看哎，可发现 a a 小于零， 零时，绝对值与元数互为相反数，而要使 a 的绝对值与 b 的绝对值重合，且不等于 b， 只需与 b 互为相反数。 如图所示， a 等于负 b， a 的绝对值等于 b 的绝对值。大家觉得谁最好呢？欢迎在评论区下方留言。

很多同学啊，学习过陶渊明的归去来兮词啊，第一句话说归去来兮，田园将五湖不归啊，他说他自己赶紧回去。哦，是吧，田里家里的钱都要慌了，你怎么还不回去啊，还在外面浪啊啊 啊。这里的他这个胡不归是为什么还不回去的意思？那数学上啊，也有一个胡不归模型，这个胡不归呢，也是为什么还不回来，回去的意思 啊。当然他跟陶渊明没有关系啊，他有一个典故的，那我们节约时间啊，一边讲典故，一边把它抽象成数学模型啊。这个典故是这样的啊， 啊，明朝的时候啊，有一个年轻人在外面学徒啊，这个 a 点就是他啊，打工的地方啊，做学徒的地方。然后 b 点是他的家 啊，这里呢，有一条关道，这个 l 啊，直线 l 是一个关道啊， 呃， a 点呢，在这个官道旁边啊，就认为在官道上。然后有一天啊， 呃，他收到这个信息，收到信说家里老父亲病重了，病危了啊，要赶紧赶回去见老父亲一面啊。那么他是怎么回去的呢啊？他为了赶时间，他认为两点之间线段最短， 他直接沿着 ab 回去了，结果呢，回去以后没赶得上啊，然后他老父亲在弥留之际喊着胡不归，胡不归就是我二，我儿子怎么还不回来呀？ 啊？他，他为什么没赶上呢？这里关道啊，如果他关到，他的速度和这个关到旁边是沙地啊，关到上面啊，是沙地， 他的速度比较慢啊，才正好，这个关道上的速度是这个沙地的两倍啊。 所以呢，他只考虑了这个线段，这个路程的因素就是两点之间线段最短，他直接回去了啊，他没有考虑到速度的因素， 那么后来数学家就研究了啊，可不可以先走一段弯道啊，然后再这个沿着这个沙地回去呢？这样是不是时间更短了？所以我们把它抽象成这样一个数学问题啊， a 为直线 l 上一点， b 呢是直线外的一点啊，现在要在这个 l 上找一个 p 点啊，使得什么呢？ 要在这个直线上找一个 p 点啊，使得二分之一个 p a 加 pb 最小。为什么是二分之一个 p a 加 pb 啊？ 啊？我们看一下，我们假设这个速度啊，因为关道的速度是这个沙地的两倍吗？在关道的上的速度是两个微啊， 在沙地的速度就是微啊，那么这个时间替啊，分两段来算啊，时间替他是不是等于沙地上的速度？沙地上的路程是 pa 除以沙地上的速度是两个微 啊，再加上啊，这个是关道上的啊，时间再加上走沙地的，走沙地的路程是 pb， 走沙地的速度呢？是微两倍吗？ 啊，这个就是他的总时间。那么我们把这个微啊，微分之一提出来，就可以写成微分之一乘以括号啊，二分 c， p a 写上二分之一个 p a 加上 pb， 这就是他的时间。那么这个 v 啊，呃，跟我们选取的 p 点是没有关系的啊，他的速度是一个定制啊，所以呢，不用考虑。所以呢，要使时间最短，就是使的二分之一个 p a 加 pb 最小啊，所以要使二分之一个 p a 加 pb 最小啊， 那这种题怎么做呢啊？你要构造一个二分之一个 pa， 怎么去构造呢？看到二分之一，我们想到啊，三十度的直降三角形啊，或者三十度的正前直啊，三十三十度等于二分之一，所以呢，我们过这个 a 点啊， a 点是个定点，做一个三十度的角，向这边做一个三十度啊。这里有同学可能有疑问了，为什么我过不过屁点做呢？因为屁点是一个洞点啊，而且呢， 你做出来也要构造出来，他不能跟屁屁合并起来拼起来啊，所以过的是定点。那又有同学说，为什么你是向下做，为什么不向上做呢？等会我们来解释啊，好，先向下做一个三十度的角，然后呢？啊，屁点过屁点啊，向这个 做一个 ps 和这个 am 垂直啊，这样的话，我们就把二分之一个 pa 转化成了 ps 啊 啊，所以只要使得 ps 加上 pb 最小，哎，这不是前面我们将军硬马模型吗？当 bps 三点贡献啊，这个时候 他的最小时就是 bs， 然后呢，啊，当 bs 垂直于 am 的时候啊，这个最小时就是他的最小时。好，让我们回过头来想一想啊，为什么 向上做？如果我向上做一个三十度的角， 好，然后呢？啊，屁点啊，过一个屁点向这边做一个垂直 啊，也说就是 ps 吧。好，我把这个二分之一个 ps 转化成了 ps， 对吧，那下面我们要使得 bp 加 ps 最小。哎，这也是前面的将军翼吗？是不是你要做一个对称的 啊，他在同一侧要对称下来才能拧直的啊，所以最终还是要向下做一个三十度的角才行啊。 好，所以我们来啊，由特殊到一班来总结一下啊，首先我们要知道这个模型啊，这种 kpa 加 pb 的形式啊，要使他最小啊， 我们把它叫做甲醛线段和最小，但不是所有的甲醛线段和都是胡不归啊，我们一定要知道胡不归的模型是什么样的，首先要有一条确定的直线 l， 然后两个定点，一个点啊，这个 a 点是在 l 上，另一个点呢，要在直线外。这个 b 点 要要求的呢，是 kpa 加上 pp 的最好值。那这个 k 啊，啊，就是一般情况了啊，他可能，呃是各种数啊，都有可能，对吧？二分之一，三分之一，对吧，各种什么带根号的二分之根号都有可能，他是大大雨林，一般啊，是大雨林小雨衣的。 这种模型啊，步骤是怎么样呢？说简单一点，就是两步，第一步是做脚啊，做脚的时候以直线上的这个 a 点为顶点，向哪边做呢？向右侧啊， 什么叫易测？我必点在腰上方，那我就向下做啊，做一个射线 am 要使得这个角啊，做出来的这个角的正弦直啊，等于 k 等于前面的 k。 刚刚 k 等于二分之一的时候，我们做的是三十度，因为三三十度等于二分之一吗？啊，同样的 啊，像一些特殊的角，比如说如果 k 等于二分之根号二，那就是做四十五度的角啊，如果是二分之根号三，就是做六十度。如果他不是特殊的角，这个 k 啊，他不是我们熟悉的特殊值，比如说 k 等于三分之一，对吧？ 那我们仍然做这样一个角，使得这个角的正弦值啊，这个角 a 的正弦值三， a 等于三分之一啊， 这样就把这个 ps 啊，三分之一个 p a 就是 ps 啊，转化一下好做出这个角 啊，也就做出射线 am 以后啊，第二步就是做垂线段，是过另一个 b 点，向这个 am 做一个垂线段 b h， 那么他和 l 的焦点 p 点啊，就是我们要找的这个呃，点啊，哎，也就他也先走 ap， 然后呢再走 pb， 那很显然这个 总路程啊，总的时间啊，就是 bs 啊，这个最小时就是 bs， 很明显他要比 ab 要小啊， 就两步。但是要注意啊，出题的时候有出题人比较坏啊，他搞一个 k 大于一的时候，怎么玩呢？比如说他要求啊， p a 对吧，加上两倍的 pb， 他给 b 的这个全啊系数啊，他是二啊，这个时候我们不可 能做一个角啊，三，不可能做一个角的正弦直等于二的啊，因为这个正弦直啊，初中范围都是零到一的啊， 所以我们这种我们要怎么办呢？要把二提出来，把这个系数二啊，提出来二倍的括号，那就是二分之一个 pa 加上 pb 啊，所以我们要构造的还是二分之一个什么 pa 啊啊，做一个三就三十度了啊， 但是求出来，如果要求最小值，最终结果别忘了乘以前面的系数二啊。 好，如果出现两个系数啊，这个系数不为一啊，要提取较大的系数，什么意思呢啊？比如说如果出现要求什么两倍的 p a 加上三倍的 pb， 他的最小时 啊，那我们是提哪一个呢？是，我们是提脚大的系数，提一个三三提出来以后呢，括号里面就三分之二个 p a 加上 pb。 为什么要提脚大的？因为你提了脚大的以后啊，那另一个的系数啊，他就小于一啊，正弦值他是小于一的啊啊，我们做的锐角正弦值是小于一的，所以要提脚大的系数。

好，我们来看一下这道几何题，大部分同学都会做，但是会花很长的时间，要知道中考的时候，如果你花很长时间去做一道填空题，后面的时间是非常非常紧张的。刚刚我们说大部分同学会怎么做，你可能会想啊，看到四十五度，我去构造等腰直角， 所以过 b 点再做一个垂直，假如说垂足是一点，那么于是 a、 b、 e 就是一个等腰直角三角形。接下来你可以设未知数列勾股式去计算， 可以做出来，但是运算量很大，很花时间。老师这边有一个非常非常有技巧性的方法来看一下。那么刚刚我们在读题的时候说等腰垂直，看到了什么？三线合一的这个知识点，那么注意，三线合一它不光是底边中线，还是 是顶角的角平分线，所以 b、 a、 c 的四十五度，它的一半角应该是二十二点五度。由于底下 a、 d 和 b、 c 垂直的关系，所以角 b 的这个角应该是六十七点五度。那这个时候你会观察一下这两个数据， 二十二点五和六十七点五是不是也是相差四十五度的？那他们的差值如果是四十五度，那么我可以在六十七点五度里面抠出一个四十五度角，那么怎么做？比如说我在 d、 a 上截取一段等于 b、 d， 假设我们这个点为 e 点，那么于是这个角，那我们可以做一个 b、 d 等于 d、 e， 那么于是这边就会带来一个等腰直角三角形 b、 d、 e， 那么得到之后，这个 d、 e 等于多少？ 是不是也等于三啊？四十五度的话，刚刚说这个角 a、 b、 e 就是二十二点五度。好，那么底角相等的时候，这个三角形就是等腰，所以 b e 就等于 a e， 而 b e 在等腰直角三角形当中可以得到 b e 是等于三倍根号二的， 所以它也等于 a e， 那这样的话，完整的 a d， 它应该就是等于 a e 加上 d e a e， 这里是等于三倍根号二， d e 是等于三，所以我们最终的答案是三倍根号二加三。那这种方法你想到了吗？