双曲线通径长的推导过程

好，大家好，这里是四数学小课堂，上节课我们对双曲线的一个定义，得出了一个好双曲线的定义，必须满足的是我们的这一个批 f 一减 p f 二距离差的绝对值必须等于一个常数，这个常数我们设定为二 a， 而且强调这个二 a 必须范围是小于这一个 f e f 二， 也就是 f e f 二，我们设定为二 c， 那还必须大于零，所以我们在这里要对他定义这个范围指向的话，我们要梳理一下。首先，如果当二 a 刚好等于二 c 的话，那会出现什么？从图像 来看的话，他会出现以 f ef 二为端点的向左右两边的一段射线啊，两条射线。 接着如果 f 二 a 会小大于二 c 的话，他的轨迹就应该是不表示任何图形啊，因为本身这一段啊，二 c 的长度的话，设定下来的话，那么二 a 没办法 比二西二西还要大，所以他不表示任何图形，这在我们之前的这一个动态的图像里面得出了一这样的特征。接着我们的如果二 a 为零的话，那我们得出来的就相当于是 pf 一 的距离减掉 p f 二的距离应该等于零，也就意味着 p f 一等于 p f 二这两个，那我们在初中的时候 就得出了 p 点，如果到 f e f 二距离都想等的话，那就应该落在 p f e f 二的中垂线上，也就是垂直平分线上，所以我们就得出了以下的结论，大家看一下， 如果二 a 刚好等于二 c 的话，那么这时候此时的轨迹是以 f 一 f 二为端点的两条射线，如果二 a 大于二 c 的情况下，那此时轨迹是不存在的，也不，也就是表示的， 是不表示任何图形。那么接着如果二 a 刚好为零的话，此时的轨迹是以 f e f 二为端点的这一个线段的垂直平分线，那么整理好，接着我们就要来把双曲线的轨迹方程找出来。那么首先双 曲线轨迹方程的话，我们借助的是这一个图像，大家看一下现在我们的这一个 f 一 f 二的终点为圆点， 然后利用他本身图像的一个对称性，会以 f ef 二为终点， 且 f 一 f 二落在 s 轴上建立直角做表系。那么这样间隙的情况下，我们会得出了，由于 f 一 f 二的长度是二十一，所以对应 f 点的 f 一点的坐标是负西零， f 二点的坐标是西零。然后我们选择以 p 点落在这一个双曲线上，并且满足的定义就是 p f 一减 p f 二距离差的绝对值应该等于 于二 a， 好在这里由于他是 n 点，那我们就以 n 点这一个坐标，所以 m 点坐标会先设为 sy， 所以此时满足了 mf 一 的距离，减掉 mf 二的距离差的绝对值。本来应该加绝对值等于二 a， 那如果去掉绝对值的话，他就必须等于正 正负二 a， 那在这里 m f 一相当于是两点距离，所以我们用两点公式带出了 m f 一其实应该对应等于他， mf 二对应等于他，所以带出这一个四字的话，就得出了这样一个等式，那接着我们会对这个等式进行化解，这个过程会比较繁杂一点，所以我们这一个课，这一个视频就来对此过程化解的过程详细的过过一， 给大家整理一下。首先画卷的过程，我们在这里我们看到由于有两个根号的形式，所以我们会把其中一个根号线进行一下，也就是啊其中保留一个在左边， 好，我们保留这个在左边，把这一个负的根号 s 减 c 的平方，再加 y 的平方放到右边，那就一向之后就变成加根号 s 减 c 的平方，再加 y 的平方，然后两边再进行平方，平方的 平方得左边的话去掉了根号，然后整理出来就是 s 的平方再加二 c s 再加 c 的平方，再加 y 的平方， 而右边又是一个完整的完全平方形式，所以他必须是正负 a 的平方，也就是 a 的平方再加上二 a 乘以根号 s 减 c 的平方，再加上 y 的平方，然后再加上这一个整体的平方，那么他感慨出来是 s 的平方减 二 c， s 再加 c 的平方，再加 y 的平方。首先可以保证等号两边能够约掉的，先约掉这个 s 的平方跟这边 s 的平方抵消掉， c 的平方跟 c 的平方也能够抵消掉 a 的平方，呃， y 的平方跟 y 的平方也能够抵消掉，然后没得抵消的我们会发现负二 c s 移过去，这边合并起来就是 四 c s， 然后 a 的平方没有抵消掉，所以应该是减 a 的平方，然后我们会发现这边还有一个带有根号，所以我们会在这里把这边 根号的依然保留在这一边上，这等号的右边上，那么在这里我们又对这个等式又再一次的平方 再次平方得，那再次平方得的话，左边就剩下的是十六 c 的平方 s 的平方，然后呢减掉八 c s 乘以 a 的平方，再加上这边是 a 的四次方， 而等号右边的话，整理出来他应该是四 a 的平方乘以 c s 的平方，再减掉 二 sc 再加上 c 的平方，再加上 y 的平方。我们来看一下，梳理出来的话，十六 c 的平方， s 的平方，减掉八 c s a 的平方，再加上 a 的四次方， 这边就剩下四 a 的平方， s 的平方。 好，这边剩下四这一个，然后接着这边就应该是减掉八 s c 乘以 a 的 平方，然后还有再加上四 a 的平方 c 的平方，然后再加上四 a 的平方 y 的平方，那么梳理一遍，你会发现这个跟这个可以互相抵消掉，大家梳理一下，然后我们再来看整理出来的东西剩下谁。 好，大家注意，在这里的话，我刚刚在这里应该是正负二 a 啊，移下来的时候，在这里看到正负二 a 的时候移下来，我不 好没注意变成了正负 a， 所以在这里其实应该是四 a， 这边应该是四 a， 那么梳理的时候，我们在这里梳理的话，这边就应该是好减掉四 a， 好啊，移过来好，这边也是四 a， 所以在这里我这边的 画对应这边就应该减掉的是二乘以四乘以四，这边也是十啊，三十三十二， 好，二乘以四乘以四，三十二 ca 的平方，再加这边应该是十六 a 的四次方，这边的话化解的话也应该是十六啊，十六 a 的平方，所以我在这边抵消的时候就处理一下，这边应该是还是三十二 啊，这里有一个地方弄错了哈，上面是，呃，正负正负二哎，并移动下来的时候不小心弄成了正负哎，所以在这里出错的地方，我们全部把它改正过来。这边是十六好，减掉这边的话又是三十二， 所以也是可以抵消掉的。这边又变成了三十二，二十六，这边也对应是十六好，所以抵消之后就剩下的东西我们来梳理一遍，就剩下 都是有十六，所以是十六 c 的平方， s 的平方。这根后面这一块抵消了，我就不再继续往下写，再加上十六 a 的四次方不动他，再等于这边是十六 a 的平方， s 的平方， 然后再加上十六 a 的平方， c 的平方，再加上十六 a 的平方， y 的平方。所以在这里我先把十六都约掉。所以画到最简的时候，我们会发现 s 的平方在这里有两对，所以移过来就变为了 c 的平方，减 a 的平， 这里一下要注意，然后提取了一个 s 的平方，接着还有一个 y 的平方在这里好，移过来，就变成了减 a 的平方， y 的平方，然后呢，长竖线我全部都移到这边去，又约掉了十六，剩下 a 的平方， c 的平方减掉 a 的四次方，所以请大家注意，我们是约掉十六之后进行了平移之后得出了这个等式，那由于我们为了方便去整理，所以 c 的平方减掉 a 的平方跟椭圆一样，我们把它在这里另这部分 好，当然在这里你要注意， c 的平方比 a 的平方大，所以我们 c 的平方建 a 的平方，我另他是 b 的平方，即这里就可以得出第一个就是 b 的平方 s 的平方， 接着减掉 a 的平方， y 的平方好，而这个请大家注意哈，这一块在整理的时候可以提取一个 a 的平方，剩下一个 c 的平方，减掉 a 的平方，他也就是 b 的平方，所以整理出来他就应该是 a 的平方， b 的平方好，然后两边同时约掉。 接着我们是观察了一下，两边同时除以 a 的平方 b 的平方，所以你会发现接着本式的左边就剩下 s 的平方，除以 a 的平方，减掉 y 的平方除以 b 的平方等于一， 那么我们可以观察到这一个方程的标准形式，这种形式就非常哈简约。 然后呢，有一些共同的特征，但他表示的是这种类型，焦点落在 s 轴上的 双曲线，那么焦点落在 y 轴上的双曲线的话，请大家注意，这时候其实就只需要把对应的 s 跟 y 的位置调换了一下， 大家看一下，如果焦点落在 y 轴上的双曲线 f 一跟 f 二在这里，那么我们就相应把方程形式改为 y 的平方，除以 a 的平方，减掉 s 的平方，除以 b 的平方，等于一就可以。 好，那接着我们就针对这一个画剪的过程梳理一遍，然后给大家总结出来，由于这块画剪的过程在课本上是整剪裂的，省略了，但是大家注意，我在刚刚画剪的 时候，再把它移下来的时候，就好不小心变成了这一个政府 a， 我后来改动的时候打把它梳理好，整个过程就啊最终得出了这一个结论，那我们把它梳理好，可以按下暂停键梳理过程， 那我们在这里就把啊这一种 s 的平方除以 a 的平方减， y 的平方除以 b 的平方等于一，这种方程形式叫做焦点落在 s 轴上的双曲线标准方程，此时他的两个焦点坐标分别是负希零跟希零。刚刚在化解过程中我们也有梳理到， 接着我们来看一下焦点落在 y 轴上的双曲线，焦点落在歪轴上的双曲线，对应的就是把 sy 的位置调换一下， y 的平方除以 s 的平方减掉， s 的平方除以 b 的平方应该等于一， 这样对应的就是焦点落在外轴上的双曲线，此时焦点坐标相应也要对应过来，他应该分别是零负吸跟零吸。 好，大家梳理好，然后我们对针，针对双曲线的这些定义，我们会再进行题目的训练，大家可以啊，后续关注一下。

the third again twenty five 三天不见三天白皮皮变成彩排球赛毛发叠成卷卷起转圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈圈。

一张图秒懂双曲线！