几何图霸立体几何教程

今天分享一个硬卡纸，做个圆锥体，在卡纸上画垂直线，用两角器画两个相同的角度，这里画的是一百二十度的角， 画一段圆弧，圆弧长度等于圆周长，可以算出小圆的半径。扇形半径画十二厘米，小圆半径则为四厘米。剪下来，按这样打七个孔，一根没有弹性的细绳， 细绳分别穿过七个孔洞，绳子的粗细尽量比孔洞要小一些，以便拉起来不卡顿。中间的孔洞，按这样多穿几下 绳子，再穿回第一个孔洞，最后打结扇形，按压出弧度，底部粘上双面胶，粘在硬卡纸上，圆锥体就做好了。那么小学几年级能学到相关知识点呢？

今天给大家说一下立体几何该怎么学？立体几何呢，是我们高中相对来说比较抽象的一个模块，他对我们的空间想象能力要求比较高，很多人学的特别差。今天呢给大家提三个建议。第一个，想要学好立体几何，一定要先学会画图， 因为我们立体几何是一个立体的图，放在一个平面上，很多人是不知道该怎么画的，所以我们要先想清楚那些助追台球怎么画看起来才会更立体。 我们书上有邪恶色画法，按照他的要求去看，要多看图，多画图，否则你学了这个方法，你考试图画不出来，这题也是白费 这第一点。第二个呢，就是立体几何里面的所有的概念，所有的定力和性质， 你不需要背，但你一定要理解，你背下来也没用。你比如说平行有什么特点？线线平行，线面平行，面面平行有什么特点？该怎么去证明？垂直也是一样的道理，你要把它彻彻底底的想清楚，而且能在生活中通过一些例子来去验证， 这样的话，当你涉及到和这些平行垂直相关的问题的时候，你才能快速的反应过来。 第三个，想要学好立体几何啊，你得多整点二级结论啊，也就所谓的一些模型，你比如说 外接球里面有好多的模型，这些模型如果你没总结出来，你指望考试线推倒门也没有。 你再比如说线线角啊，线面角啊，面面角啊，一般都是怎么操作啊？柱和锥的体积有什么关系？都有几种常见的求法，这个你要全把它总结好，你把我说这三点给我做好了，你的力气几何？在考试就是满分。

很多同学想要的立体几何十九题，他来了就说到高考要提升立体几何的难度了，所以最近的模考题很多都把立体几何放到了压轴题，但是不要慌张，绝大部分这类问题还是在空姐思维的设程之内。本期视频就来分享一道这样的题目。 好，咱们来看一下这道题啊，总共呢三小问。先看一下条件啊，给的是一个四面体，知道 p a 边是二 a， a b a c b c 边是二 b， 点定是 ab 的 中点。那到图上看一下， ab a c、 bc 全都是二 b 啊，说白了，底面呢，是一个等边三角形，点定是 ab 的 中点。还知道呢， p a 的 长度是 ab。 好，首先第一问呢，告诉你了， p b 也是二 a 这条线段。好，那就非常有意思了。底面呢，已经是一个等边三角形了，现在 p a、 b 是 一个等腰三角形。 各位同学看到一个等腰，一个等边底边重合，马上得想到这里有一个经典结论是什么呢？ 那就是如果你把 p d 和 c、 d 连起来的话，那么 a、 b 这条边就会垂直平面 p d c 想到了吗？好，这个事情呢，非常容易证明啊， 就是 p a、 b 呢，是一个等腰点定是底边中点，所以呢， a b 和 p d 是 垂直的。 那么同样的道理， ab 和 cd 当然也是垂直的，所以呢， ab 垂直平面， pdc 上两条相交直线， ab 就 垂直这个平面。 ok， 那 咱们继续往下看，条件说呢，点 i 是 点 p 在 平面 abc 内的投影，换句话说就是做 pi 垂直底面 abc。 那么刚刚说过了，这个 p d、 c 和 ab 是 垂直的，所以 p d、 c 和底面 abc 也是垂直的，因此从点 p 向底面做垂线，垂足一定会落在交线 c d 上，对吗？ 啊，然后呢，给出了这么一个看上去比较复杂的向量表达式，第一位求 x 的 值就是这个地方的 x， 那么既然放在第一问呢，这问难度肯定不会太大，大概率呢，就是对这个式子做一些简单的化解就可以了。来，咱们看一下 pi 向量减二分之一 pc 向量 pi 向量 pc 向量 左边呢，看上去不知道怎么化解，但是右边的 pa 加 pb， pa 向量加 pb 向量，各位同学， ab 的 终点是点 d， 那 么此时 pa 加 pb 刚好就是二倍 pd 向量，这是向量当中经典的结论对吧？好，所以呢，这个式子呢，可以这么写啊， pi 向量它就等于二分之一 pc 向量加上二 x 乘上 pd 向量。好了，写出这个式子，怎么求 x？ 我是 马上就看出来了，这道题你发现了吗？ 来这道呢，这里点 i， 点 c， 点 d， 三点是共线的，都在直线 c d 上，对吧？ ok， 那 这个呢，也是平面向量当中一个经典的结论，当出现三点共线的时候，从点 b 出发，做这么三个向量，把其中一个向量用另外两个向量表示出来，那么系数和一定等于一，换句话说就是二分之一， 加上这里的二 x 一定等于一，所以 x 四分之一。第一问搞定， 那咱们继续往下走啊，虽然呢，第一本已经求出来了，但是呢，这个条件还没用完，这道呢，这个 p c p d 前面是有具体的系数的，这个系数背后也有某种含义来把四分之一呢带进去， pi 向量就是二分之一 pc 向量加二分之一 pd 向量，各位同学看一下，这个向量是二分之一 pc 加二分之一 pd， 这不就能说明点 i 是 c， d 的 中点吗？对不对？这才是这个条件真正想告诉你的事情。 好的，那这个 pi 呢？和底面垂直 pi 就 垂直 c d 点， i 又是 c d 的 中点。好，说白了， pi 呢，应该是 c d 的 垂直平分线，所以 pc 和 pd 是 相等的，这个地方又一个等腰三角形。 行，把这个分析出来，咱们来看第二个的条件，说角 p c， d 小 于三分之派，这个角小于六十度，求 a 比 b 的 曲值范围，那各位同学不妨想一想，有什么想法吗？ 那既然是求曲值范围，咱们呢，还是先做一波分析 啊，还是呢，分析一下变量和限制条件？既然是一个契合题，那咱们就借助图形的确定性来做分析，看一下整个图形是如何被确定的啊。首先呢，这道题已经给出了两个变量，一个是 a， 一个是 b， 对 吧？ 那首先第一件事情，咱们呢先确认一下两个变量是否足够了。换句话说，如果 a 和 b 确定了，那么能使得整个图形完全确定下来，是否还要引入其他变量？ 哎，然后呢，你会发现还真是确定的，为啥呢？如果这两个变量确定了， 那么你看三角形 a， b， c 边长为二 b 的 等边三角形里面就确定了。然后呢，三角形 p a、 b 三边呢，分别是二 a， 二 a， 二 b， 三角形 p a， b 也就确定了，对吧？ 啊，但是呢，只有 p a， b 和 abc 确定，还不足以使的整个四面体是确定的，因为呢，这个 p a、 b 可以 绕着 ab 边做旋转，说白了，角 p d、 c 的 大小还有可能发生变化， 对不对？但是呢，咱们刚才推出来了， p c 和 pd 是 相等的，那么现在 p a、 b 确定， pd 是 确定的， pc 也是确定的。 好的，各位同学， p c、 p d 确定，然后这个 c、 d 边自然是确定的，所以三角形 p d、 c 确定了，那么这个角 p d、 c 的 大小也就确定了。因此，只要 ab 确定了，整个四面体就不会发生变化了。 所以这道题有 ab 两个变量就足够了，不需要引入新的变量来这波分析理解了吗？ 好的，那接下来呢，想求 a 比 b 的 取值范围，题目呢，给出了一个角度的大小关系，这个呢，肯定就要看成是 a 和 b 之间的一个限制条件，所以把小于三分之派转化成关于 a 和 b 的 不等式就可以了。 但同时呢，在这个转化过程当中，大家呢，会发现还有其他的隐藏条件，等会儿咱们就会看到。 ok， 所以 接下来呢，把目光聚焦到角 p c、 d 上它所在的三角形来，三角形 p c、 d， 咱们呢，给它画出来。 好这道这个三角形呢，是一个等腰三角形，所以呢，想求角 p c、 d 的 大小，我觉得放到直角三角形 p c、 i 当中计算比较方便，对吧？为此呢，先把这个腰长和底边给它求出来， 底边 d、 c 是 等边三角形 abc 的 高，边长二 b， 高呢，应该是根号三 b， 所以呢，这两段分别应该是二分之根三 b， 然后呢，这个腰长来看一下啊， p d， p d 呢，在这个等腰三角形 p a、 b 当中， 这里是二 a， 这里是二 a。 底边二 b， 这里是 b， 这里是 b， 所以呢，这个高也就是 p d 应该是根号下四 a 方减 b 方，也就是 p c 的 长度。 好了，各位同学，那么写到这里，大家有没有发现有一个隐藏的关系啊，就是这个四 a 方起码得大于 b 方，对不对？ ok， 所以呢， a 和 b 之间的第一个限制叫做四， a 方大于 b 方，所以呢，这个 b 方分之 a 方，应该是大于四分之一的，对吧？所以呢， b 分 之 a 大 于二分之一，这是第一个关系。 好，那么接下来第二个关系呢，咱们就用一下这个角小于三分之派，这道呢，这个邻边和斜边都是已知的，所以呢，咱们可以算一下，这个角的余弦 应该是一个二分之根三 b 比上斜边二倍，根号下四 a 方减 b 方分之根三 b。 好， 然后接下来这个余弦 啊，角呢，是小于三分之派的，这个角越小，余弦应该越大，对吧？所以呢，这个余弦应该是大于二分之一的，同时还有一个隐藏关系，余弦还得保证是小于一的。 哎，这里呢，可能有同学不太理解，为什么要写小于一，那余弦天然就是小于一的呀。呃，其实呢，是这样的，这个式子呢，其实是在保证三角形两边之隔大于第三边，也就是 p d 加 pc 大 于 d c 就是这个地方的余弦小一和三角形的三边关系是等价的，他们俩都是在保证这个三角形确实是存在的，你得先让这个三角形存在，然后再去算这个角的余弦，这件事情才有意义。 而这样的三角形三边关系是一个特别容易被忽视的隐藏条件，能理解吗？好的，然后呢，咱们解一下这个不等式啊， 首先呢，左边啊，左边呢，就是根号线，四 a 方减 b 方小于根三 b 四 a 方减 b 方小于三 b 方，四 a 方小于四 b 方 啊，所以呢，这个 b 方分之 a 方是小于一的， b 分 之 a 小 于一。然后呢，这边那就是根三 b 小于二倍根号下四 a 方减 b 方，平方以下三 b 方小于十六 b 方。对不起，十六 a 方 减四 b 方。所以呢，七 b 方小于十六 a 方， b 方分之 a 方大于十六分之七 b 分 之 a 大 于四分之根七。好，所以最后呢，求出 b 分 之 a 的 这么三个范围，最后呢，取消其，那这个就很明显了，应该是四分之根七的一。 ok， 那 这问呢，就做完了啊，其实呢，分析思路真心不是很难，只要你能看到 a b 确定，整个图形完全确定，那马上就能想到把这个三分之派转化成关于 a 和 b 的 不等式。 只是呢，在转化的过程当中，有一些隐藏的条件，特别是三角形三边关系，你要先保证这个三角形确实是存在的，特别容易被忽视，请大家务必记住这一点。 ok， 那咱们再来看最后一问啊，先重新梳理一下条件啊，因为和前两问的条件稍稍有些不一样啊， p a 呢？还是二 a 底面呢？还是一个边长二 b 的 等边三角形点， d 呢？还是 ab 的 中点？但这一问呢，就不知道 p b 的 长度了，能理解吧。 然后呢，给出了一个新的条件，叫做 pa 垂直 ab 这个地方是垂直的，以及 pc 和 ab 所成角，三分之派这两条异面直线所成角。 然后说呢，这个四面体的外接球的半径是 r， 让你证明当 ab 分 至 r 方取最小值的时候， a 大 于 b。 好研究这个四面体的外接球。那咱们呢，首先还是先做一波分析，跟第二问一样，这道题呢，还是给出了 a 和 b 两个变量，那咱们还是看一下，如果这两个变量确定了，能否使得整个图形完全确定下来 啊？这问呢，也是可以的，为啥呢？因为底面呢，是一个边长二 b 的 等边三角形，所以底面是完全确定的，咱们只要看一下点 p 是 否确定就可以了。然后你会发现，点 p 呢，有三个限制条件，一个是 pa 的 长度， 一个是 pa 垂直 ab， 还有一个 pc 和 ab 所成角三分之派。那咱们都知道，空间内的一个点，它只有三个坐标，所以三个限制条件限制了三个坐标点， p 的 位置一定是确定的，那理解吧。 好，所以这样以来呢，这个外接球半径一定可以表示成关于 ab 的 函数 啊。然后呢，这个 a b 分 之二方，应该不难想到它呢，其实应该是一个关于 a b 的 其次分式，就是这个式子也能用 a 和 b 给它表示出来，而最终要证明的 a 大 于 b， 其实呢，就等价于 b 分 之 a 大 于一。哎，你看，要证明的也是 a 和 b 的 其次分式，所以这道题呢，表面上看有 a 和 b 的 其次分式，所以最终一定可以化成一个单变量的函数。 好了，所以呢，这道题接下来最大的难点就是如何根据点 p 的 三个限制条件，确定出点 p 的 位置，进而求出外接球半径。 那么这里呢，会有两条路线啊，就是可以去考虑的两条路线。第一条呢，就是从几何的角度，你把这些限制条件转化成更容易使用的几何上的关系。 但是呢，对于这道题来讲，这条路真心不太好走，而且即便好走的话，这个呢，可能也需要花比较多的时间把思路想清楚，所以呢，在考场上，我个人更推荐的方法就是直接见信就可以了。 你们想一下，见信之后的话， abc 三点坐标都是非常容易确定的，然后点屁的，这三个现实条件 长度，垂直角度也不是很难表示出来，当然肯定会有一定的计算量，但是相比起比较难想的几何法，这种方法的性价比还是会更高一些。 ok， 行，那来给大家算一下。 来这里呢，咱们选择以点 a 为圆点，然后呢， ab 为 x 轴，那么这样一来呢，外轴就应该是在平面 abc 上和 ab 垂直的直线 啊，这种呢就是和平面 abc 垂直的直线。那么这样一来，因为呢 pa 和 ab 是 垂直的，所以 pa 一定会在 y o z 这个平面上能理解吧，所以呢，点 p 的 坐标可以设成是零 m n 好了，所以这样以来呢，垂直这个限制就用完了，接下来根据另外两个限制求出 m 和 n 就 可以了。为此呢，咱们先写出 abc 三点坐标，点 a 呢是圆点， 点 b 呢，在 x 轴上， ab 等于二 b， 二 b 零零好点。 c 作为一个边长二 b 的 等边三角形，点 c 的 坐标应该也是比较好写的， b 跟三 b 零，各位同学看一下有没有问题？ ok， 那 接下来呢，就是把剩下的两个限制条件转化成关于 m n 的 方程，那第一个条件， pa 等于二 a 点， a 呢是圆点，说白了就是 m 方加 n 方，它等于四 a 方。那么第二个条件， pc 和 ab 所成角，咱们呢，先把这两个向量的坐标给它写出来啊， pc 向量点 c 坐标，在这里应该是 b 根三 b 减 m 负 n， 然后呢， ab 向量点 a 是 圆点，这个就是二 b 零零啊，这里呢，咱们其实取幺零零就可以了，方向是一样的，对吧？好，所以呢，根据这个三分之派 来这两个向量点乘，其实呢，就是 b 乘一，再除以这两个向量的模 啊， p c 向量的模，根号下 b 方加上根三 b， 且 m 的 平方再加上 n 平方，这个向量模长为一。好，这个东西呢，就是三分之派的与弦二分之一。整理一下，这个根号等于二 b 两边平方一下 四 b 方，就是 b 方加上根三 b 减 m 的 平方，三 b 方减二根三 b， m 加 m 方，再加 n 方，那么 m 方加 n 方呢，是四 a 方， 然后这边四 b 方和这边四 b 方给它约掉，所以二根三 b m 应该是四 a 方。 那这样以来呢， m 就 求出来了啊，应该是一个根三 b 分 吃二 a 方，有没有问题？ 那然后呢，根据这个式子求出 n 来， n 方呢，就是四 a 方减 m 方， 三 b 方分之四 a 的 四次方啊，可以呢，提出一个四 a 方，剩一个一减去三 b 方分之 a 方，也就是三 b 方分之三 b 方减 a 方。好了，开发这个呢， n 取正的就可以了， 根三 b 分 之二， a 乘上根号下三 b 方减 a 方。来，各位同学看一下有没有问题？ ok， 那 算到这里呢，点 p 坐标已经有了，同时呢，能得到一个隐藏关系，就是三比方减 a 方起码得是个正数，对吧？ 好，所以这样以来呢，这个 b 分 之 a 得是小于根号三的。 ok， 那 接下来就只剩一个任务了，就是把这个外接球半径用 a 和 b 给它表示出来。为此呢，得先确认一下外接球球心，先求出外接球球心的坐标 来。咱们假设呢，这个球心是 o。 好， 这里注意啊，这里说的是四面体 p 杠 a、 c、 d， 不是 p 杠 a、 b、 c 的 外接球。发现了吧，那咱们看一下点 p 在 这 a、 c、 d 好，这个 a、 c、 d 呢，是一个直角三角形，那咱们都清楚，想找外接球球心，可以先找三角形 a、 c、 d 的 外接圆圆心，对吧？那么直角三角形的外接圆圆心，其实呢，就是斜边 a、 c 的 中点，咱们呢，记作 o 撇。 好，那这个 o 撇的坐标就是 a、 c 两点坐标相加，除以二二分之 b， 二分之根三 b 零。 而这个外接球球心和外接圆圆心，它俩的连线应该和底面是垂直的，所以呢，球心 o 的 前两个坐标也是二分之 b， 二分之根三 b。 因此呢，咱们可以设这个点 o 的 坐标二分之 b， 二分之根三 b t。 然后呢，只要求出这里的 t 就 可以了。那根据什么求呢？哎，就是球心 o 到 p、 a、 c、 d 四点距离全都相等啊。现在呢，这个 o 到 a、 c、 d 三点距离已经相等了，所以接下来保证 o、 a 和 o、 p 相等就可以了 啊。它俩呢，其实就是外接球半径 r。 好， 平方一下。 咱们呢，先根据 o a 方等于 o p 方列方程，把 t 给它求出来。点 a 呢，是圆点， o， a 方 就是四分之一 b 方加四分之三 b 方加 t 方，然后呢， o p 的 平方，这是点 o 坐标，这样点 p 坐标。先不要着急，带入这坨式子，先用零 m n 去做计算，会比较方便。 ok， 好，就是二分之 b 减零，四分之一 b 方加上二分之根三 b 减 m 的 平方，加上 t 减 n 的 平方，这个呢，就是二方。 ok， 那 先解后面的方程，求出 t 来，这里呢，就是 b 方加 t 方，右边儿打开括号，四分之一 b 方加四分之三 b 方减根三 b， m 加 m 方加 t 方减二 n， t 加 n 方。好，整理一下， 四分之一 b 方加四分之三 b 方和 b 方约掉， t 方和 t 方约掉，这里的 m 方加 n 方。之前说过，就是四 a 的 平方 啊，所以呢，其实就是四 a 方减根三 b， m 减二 n， t 等于零。那么各位同学，这个地方的 b m m 呢，就是点 b 的 第二个坐标，所以呢， m 就是 根三 b 分 之二 a 方， 那么 b m 啊，根三也乘过来吧，根三 b m 就是 二 a 方，所以四 a 方减二 a 方，二 a 方就等于二 n t 好 了，所以 t 呢，就是 n 分 之 a 的 平方。来，各位同学看一下有没有问题。 行了，那这个 t 呢，已经有了，来代入这个式子，求出二方。那剩下的就是一些比较无聊的计算环节了啊。 b 方加 t 方， t 方呢，就是 n 方分之 a 的 四次方， n 呢？在这里 好， a 的 四次方除以这一坨的平方， a 的 四次方乘上一个三 b 方，底下是四 a 方乘三 b 方，且 a 方约掉一个 a 方。所以呢， b 方加上 四倍的三 b 方，且 a 方分之三 a 方， b 方 四倍的三 b 方减 a 方，分叉啊，使二 b 的 四次方减四 a 方 b 方加三 a 方 b 方减去 a 方 b 方。 ok， 那 最后一步呢，咱们来取一下 a b 分 叉而平方。 好，这一串式子除以 a， b 分 母约到一个 b 上面呢，是十二 b 的 三次方减 a 方， b 底下就是这坨乘 a 十二倍， a b 方减去四 a 的 三次方。那么最后呢，求这个式子最小并且研究的是 b 分 之 a， 这道呢，分子分母上全都是三次的， 所以呢，处理其次分式的标准方法，分子分母同时除以 b 的 三次方，同时呢，咱们设这个 x 等于 b 分 之 a 啊，这里呢就是十二啊，这里呢，应该是 x 平方，这个地方是一个十二 x 减四 x 的 三次方， 同时呢，这个 x 呢，得是小于根三的，对吧？大于零，小于根三，那你把这个东西当成是关于 x 的 函数，最后呢，求导算出什么时候取最小值就可以了，这步就不给大家算了，纯粹的硬计算功底。 ok， 然后最后算出来的那个 x 的 值呢，长得也比较奇怪，是一个带着根号的数，但是这个 x 确实是大于一的，那么这道题就正满了。 好了，所以呢，大家会发现，其实呢，像这样一道例题几何题，它的难度呢，基本上都是堆在了后续的计算上， 思路上的分析还是基于对于图形的确定性，找到变量和限制条件，然后剩下的就是间隙计算，就是这么回事。 ok， 那 这道题就分享到这里。

数学知识变成好玩的小机关，才知道原来孩子开窍就在一瞬间！圆锥体展开，是一个扇形和一个圆形三棱柱，有两个三角形和三个围绕着的长方形。就这么玩一玩立体几何，全明白了！就是这本超有趣的 立体几何机关书，把小学要学的几何知识点都做成了有趣的小游戏。小朋友拉一拉，更直观的去理解平面与立体。

大家好，我是葛军，本期邀请的是佳树老师为大家带来高中立体结合中的内切球的专题讲解， 相信会给你的复习增添助力。咱们开始吧，上抖音精选看葛老师和数学天团。哈喽，我佳树！今天这些内容难度会有一点大， 这期内容我们从大家最最喜欢的立体几何板块挑选出了您一定会感兴趣，并且本身也倍有价值的内切球专题。无论是切体里边的公式法、洁面法，还是球球相切问题，这里通通呈现，并且最后用一道高考压轴题检验成果，咱们开始吧！ 看第一个专题，选项复杂，不必理会，因为体积本就难看，几何体中放入内切球，那么球心到任意表面距离一定都是半径 r， 稍作切割，黄色部分可以直接分离再做切割，下方四棱锥也可以拿出。同样道理，左边分割，后面也拿开。 哎，我一看，这不五个棱锥吗，顶点都是内切球的距离，全部都是半径 r。 底面面积标记一下，随便拿一个，这块棱锥的体积，它就等于三分之一倍的黄色底板面积乘上红色的半径高，而且并非个例，每一块都是这样的， 五个棱锥体积一拼就是圆出完整的四棱锥。数据复杂没有关系，五个相加，左边完整的棱锥体积，右边完整的表面积。这样一个万能公式就是这么来的， 只要体表不弯曲，公式哪哪都能用。当然，这种体表不弯曲的几何体，我们统一称为切体。这题选择第二项 b， 大家可以自行检验正确与否。 接着看到第二题，又是一个三棱锥，两个切点 m n 求长度？折拐了，涉及到球面上的具体点位了，光球半径根本不够， 啷个办嘞？咱们要把两点所在的洁面缘给标注出来，有缘就有心有求，同样道理，并且呀，棱锥、底面等边三角， 三条侧棱还完全相同，这是一个正三棱锥，那么它的高线就穿过 o 撇，穿过 o。 现在掌握以上信息要求 m n 就 一定得知道洁面圆的红色半径吧。 但是呀，我们仔细一看，这个内切球上的洁面圆半径不知道角度，不晓得 m n 的 球解就有了阻碍， 怎么办呀？当我们需要去分析具体的数据时，就一定要落实到平面当中了。那么取哪个平面？好嘞，思考一下， 我取这样一个截平面， a p q 完美经过内切球的球心，现在彻底降为二 d 模式。 哎，好奇怪啊，不是内切球吗？怎么 a p 没有相切嘞？换回人类视角 哦， a p 是 一条棱，内切球切的是面，那 p q 又为啥可以嘞？因为啊，它是切面内包含切点的截线。 现在晓得了，再切回蚂蚁视角，这个红色的 o 撇 n 的 长度求解就简单一些了，红色比黄色等于红色比黄色，这个原理不知道你晓不晓得， 两条黄色线段都特别的好，求再结合圆的切线特点， t q n q 蓝色线段长度还是一模一样的， 所以红色的 p n 一 减，也能够得到我们需要的 o 撇 n， 也就算出来了。 而且呀，在几何关系上，红色的 o 撇 n 和黄色的 t q 还是平行关系，这里有大用处。再切回三 d 视角，我发现呀，这个 o 撇 m 的 分析方法一模一样， 它的长度和 o 撇 n 完全相同，都是同一洁面圆的半径，而且 o p m 还平行于底面的 k t， 和刚才同样的道理。 那么这一下我晓得了。两条圆中的红线分别平行于两条底板的绿线， 所以绿线夹角是多少，红线夹角就是多少。咱们透视一下，光看底板平面等边三角形， abc 高线相交，顶角六十，黄色 c 塔一百二十，再摆回来还原视角大小相同，他也是一百二十度。 m n 连接一下，这是一个典型的一百二十度等腰三角形，已知腰长，底边就是腰的根号三倍，最后可以计算得到 m n 的 具体长度。 是不是感觉难度好像不太够用，不够满意啊？没得关系，我们多加几个球，现在有一个碗，里边放三小球，彼此相切，和碗相切，和碗的顶板还相切， 那么这种球和球相切的问题应该怎么下手呢？各位可以思考一下。这里啊，咱们放心的记住，球球相切，天要塌下来，也先把球心标好， 来都来了，那肯定得连接一下吧，这个连线的终点，它就是切点，那光 a 和 b 连接不行呢？另外标注好两个切点， m 和 q， 又因为三个小球完全相同，所以球心相连，最终呈现为一个边长为两倍半径的等边三角形， 而三个球心的几何中心到任意一点的距离自然也是边长。除掉根号三， 再回到碗中。三个球心的几何中心肯定在整个半边碗的球心的正下方吧。 o n 垂直 a n。 这个时候就又到了经典环节，咱们切换一下观察的视角，把半球形的碗完全放平， 这下好办了， a n 两点到顶板距离都是 r， 最关键一步延长 o， a 刚好触碰到内切点 t， a t 也是 r， 那 a o 呢？勾股定律，根号三分之，根号七倍的 r， 剔除容易部分，碗的半径是大 r， 那 么最后一步也就搞定了。算出答案， 小 r 等于四分之，根号二十一减三倍的大 r， 好 像不是特别美观，但是方法足够适用。哎，这时候有的同学他就要问了，三个球感觉也不够用， 没关系，我们再加一个。但是单纯以方法与思维的角度来讲，您认为多一个或者少一个球有没有质的区别呢？可以思考一下， 不管有没有还是一样的。凡是有多个小球，多个内切球，一定一定要标注好球心的位置，球心相连，终点就是切点，彼此全部连接。 标注红色切点之后，我发现呀，这是一个边长为二 r 的 正方形几何中心，与端点相距根号二倍的 r。 再放回原图中，四个小球的球心的几何中心 k 就 在大的半球腕的球心 o 的 正下方。 我们还是只保留一个小球，因为其他完全对称切换洁面视角，把碗彻底放平， a k 到顶板距离都是小 r。 圆形连线贯穿内切点，根据勾股定律标注好斜线长度，作为唯一的保留部分， 大 r 也就等于一加根号三倍的小 r。 算出最后的答案，那么到这里，相信你已经是一个巨大的好状态。咱们最后来看一道高考真题中的填空押轴，二五年的全国二卷，二六年的，不用着急，不到两个月就可以看到了。 题目说呀，在一个厚度不计的封闭圆柱内，放两个完全相同的小球。问，小球半径的最大值， 那怎么才算最大呢？思考一下，您看这样行不？上切中，切下也切完全居中，数值方向被塞满了， 但是嘞，周围空唠唠的好像浪费体积了。咱们不妨把两个小球左右方向稍微错开一下耶，好像又可以扩大了。那什么情况下能够让空间得到最大化的利用呀？ 是不是两个铁球错开来，在斜线方向上把圆柱完全塞满呢？不仅上下底面相切，球与球之间相切，侧面也是相切的。 当然，有球就得有球心，球心相连过切点。接着又到了最经典环节，观察横截面切换为非人类视角， 圆心与切点相连，标出所有半径，竖九横八。到了这一步，能够算出半径了吗？ 咱们聚焦一下，画出九宫格。竖着的九有哪些组分呢？两边都是 r 中间九减二， r 横着的八，两边 r 中间一减。 下一步咋搞嘞？相信你已经想到了，中间天然构成一个黄色的直角三角形。使用勾股定律，直角边平方和等于斜边平方。整理一下因式分解，算出两个答案。 显然，选择更小的 r 等于二分之五，被大值为二分之五 哦，记得补上厘米。我是佳树，我们在抖音精选为大家应援，期待与你再会！

我用几何图形给你们一个个去区分一下我们的整个人体哈，整，呃，讲解一下。首先我们脑袋是什么呢？它是一个球体哈，它就是一个球体加上什么一个扁的这种方块。在侧边的话哈，它是这样的，它是一个扁方块，是这样，从从脑袋开始哈，它是这样，那到了脖子是什么东西呢？呃，咱们脑袋是这样的哈， 是这样的一个这个东西，那我们的脖子呢？脖子咱们就把它当成一个圆柱体，这里是干货，给大家记一下哈，脖子就是圆柱体， 再往下走，胸锁乳突肌这里哈，我们是什么？这里是一根两根这种像柱子一样东西，这个就不理他了。胸肌的话呢？胸肌我们把它看成什么？看成一个这种立体的方块，包括爷爷的爱人在这哈，这种立体的方块怎么这么去记，哎，这边的就就跑到这了，再往下到我们的 腹肌这里，我们都可以慢慢去跟大家捋一下哈，所有的体块，我们都是几何图形，为什么这么说呢？咱们理解了人体的几何图形，就能就能很快的去理解我们这些 这块面哈，你看一下我们不是，而不是乱画的哈，所有的都是他有，他有体积的，把这些体积面去给他画出来，很就是能看得出他是什么东西了，包括咱们的腰，哈腰，他也是一个这种哈腰哎，看到没？把它几何画，把我们的人体几何画这么能理解不？把用粗一点的线给大家画出来哈，把人体去几何画，看到没？ 把人体几何画之前，我们只有把几何人体画，对不对？没有见过几何人体画，反过来，你看所有的这种东西， 这么去理解啊，哎，你看到没？反过来所有的这种体块哈，这里只只看到半个球，看到没遮挡住了，所以说我们画的这个手臂也只有半个哈，他的透视， 这么来把他所有的这种体块，把他几何画，你会发现，哎，好像人体也不是很难理解嘛。这么来哈，这里咱们就是一个这种 看一下，我们其实也是把他们去通过这种各种的几何图形啊，去给他衔接起来，这样而已，我们的人体其实没有那么难衔接之后，包括啊，包括这种小东西，包括我们的手指啊，他都是什么呢？都是一些几何图形，看到没？他就是一个一个衔接的这种 这种方体，看到没？手指哈，手指是什么？手指？他是这样的，就像一个一个的关节体去把它连连在一起，不同的指节哈去连在一起，也就是一个个的小的，小的圆柱体。手手掌呢？咱们就是一个有点厚度的，有点厚度的一个这种，这里一定要有个三角形 这样子的哈，把人体去几何画，你这么看能不能看懂到？这里的话哈，很多宝宝这里其实有块斜方肌，这里用一个三角三角去给他替代， 这么去画。很多宝宝为什么画脖子的时候，哎，我直接这么往下画，因为我们没有把这个三角区域啊，这个斜方肌给它画出来，你看我现在把所有的体块哈，这个胸肌，怎么把它 把它画出来之后，哎，好像一下就能理解了，是不是他有什么骨骼啊这些，呃，这些肌肉块面分别是怎么嵌上去的？一下就能理解了。对，一整个他其实就是什么， 这是一个所有都是几何图形拼接而来，包括这种腹肌哈，待会上色的时候我们也去填充这个位置，让他有立体感，他们就是这么来的。所以为什么说老师上暗部为什么要把这里压暗呢？因为我们就是要把这个地方去给他加上阴影，他才会立体起来，就是这个道理哈。

就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。

你看，圆锥展开是一个扇形和一个圆形，正方体是由六个一样大的正方形组成的，孩子没办法凭空想象的立体图形的展开图，这样玩一玩一下就开窍了， 强大的数学思维都是玩出来的，这本立体几何机关书让孩子越学越开窍！展开圆柱体的侧面居然是长方形，正方体由六个正方形组成，抽象的问题转换成具体的小机关，孩子动手操作一下，更直观的去理解平面与立体， 知识掌握的更牢。你看，圆锥展开是一个扇形和一个圆形，正方体是由六个一样大的正方形组成的，孩子没办法凭空想象的立体图形的展开图，这样玩一玩一下就开窍了！强大的数学思维都是玩出来的，这本立体几何机关书让孩子越学越开窍！ 展开圆柱体的侧面居然是长方形，正方体由六个正方形组成，抽象的问题转换成具体的小机关，孩子动。

不要低估孩子的想象力，学不好立体几何不是他笨，只是他没有亲眼见过从平面到立体的变化过程。圆锥体展开是一个扇形和一个圆形，圆柱体是由两个圆形和一个长方形组成的。 这么玩一玩，瞬间就开窍了！这本立体几何机关书，把小学要学的知识做成了能弄能玩的小机关。当知识不再抽象难懂，变得简单又直观，孩子不用再去死记硬背，数学启蒙就是这么轻松！ 不要低估孩子的想象力，学不好立体几何不是他笨，只是他没有亲眼见过从平面到立体的变化过程。圆锥体展开是一个扇形和一个圆形，圆柱体是由两个圆形和一个长方形组成的。 这么玩一玩，瞬间就开窍了！这本立体几何机关书，把小学要学的知识做成了能弄能玩的小机关。当知识不再抽象难懂，变得简单又直观，孩子不用再去死记硬背，数学启蒙就是这么轻松！不要低估孩子的想象力， 哦哦！

好的，那么我们今天就开始讲解立体几何初步里面的内容。第一节我们一块去看一下助追台球的表面积与体积，还有后面我们的立体图形的直观图这两部分内容。对这两部分内容相对来讲会比较简单，牵扯到一些对应的公式，包括他的一些法则，希望大家可以搞清楚。首先我们去看助追台球的表面积体积公式， 在这呢我们以圆柱、圆锥、圆台啊用球来去研究。首先呢，第一个我们要去看它的这个 s 表，那表面积的话，就等于二倍的 s 底底面积，再给它加上一个 s 侧就可以了，所以呢，二倍 s 底，我们知道是二倍的 pi 二平方，那就是二 pi 二平方加上 s 侧，那侧面展开呢是一个 矩形，并且这个矩形的长就是底面的周长。二 pi r， 那 就是二 pi r 乘以 l， 它的 v 体积公式就是等于一个 s， d 乘以 h， s d 乘以 h 就 可以了。第二个就是我们的圆锥，圆锥的 s 表，圆锥的表面积就等于一个 s d， s d 再加上一个 s 侧，它侧面展开是个扇形，所以它的底面积就等于 pi r 的 平方。然后呢，再加上 s 侧 s 测的话，它是单行，那此时我们得知道单行的面积公式了，那就是二分之一乘以一个二 pi r， 再乘一个 l， 那 就等于一个 pi r l， 所以 在这呢，老师单独去写一下这个 s 单， s 单呢就等于二分之一 l 乘以 r， 反等于一个二分之一 l， 其中 l 为弧长，那 l 就 等于一个 r 法乘以一个 r， 这个 r 法是圆心角，所以此时我还可以推出来这个 s 扇是不是等于二分之一乘以一个 r 法乘以一个 r 方，我们画一个小扇， 这个扇长这样子，但是我们知道这是 r 法，这个是 r， 如果等于扇形，大家得搞清楚，所以呢，我们的 s 表，那就等于 pi 方加上 pi l， 然后呢它的 v 微锥圆锥的话，我们也可以把它当做棱锥的公式，跟它也是一样，它就等于一个三分之一 s 乘以 h 就 可以了。那第三个就是我们的棱台，那么棱台的表面紧呢？那我们说它侧面展开是一个上滑，也就是说它的 s 表 表面积就等于一个 s 底二倍的，十二倍的是 s 上加上一个 s 下，然后再加 s 侧 按上呢，就等于 pi r 一 方加 s 下等于 pi r， 二方再加 s 侧， s 侧，那就等于一个 pi 乘以一个 r， 一 加 r， 二乘以个 l， 跟我们的可以把它呢当做一个梯形，比如上底加下底乘以高除以个二，所以就等于一个 pi r 一 加 r 乘以 l 就 可以了。 那它的体积 v v 台，我们也知道它等于三分之一，它的面积呢？标得出，那就是 s 上加 s 下，再加上根号下 根号下的形式， s 上乘以 s 下乘以个高 h 就 可以了，非常高。最后一个就是我们的球体，球体的表面积和体积，比如说我们的 s 表就等于四 pi r 立方，我们的 v 体积公式就等于三分之四为 pi r 立方就可以了。 这样我们会得到柱锥台球，它的表面体积公式。我们棱柱棱锥棱台的话，跟它的这个计算一样的，只不过它的 s 表每一个侧面展开，它是不同的形状，这个需要去区分就可以了，其他的就用这个公式就可以计算。 ok， 接下来我们看一块一块去看一下这几个题目。首先第一个它让我们算的是表面积，那我们要去看一下这个圆锥的底面直径和高均是一个四，我们知道它这个底面直径高都是四过 p o 的 中点 o e 做平行于体面的结面， 而该结面为底面。挖取一个圆柱，让我们求所剩下的几何体的表面积，所以剩下几何体的表面积就相当于是我们的圆锥的一个侧面积，再加上一个，剩下这个表面积就相当于是我们 圆锥的一个表面起，再加上一个圆柱的侧面起。所以呢，我们要去算圆锥的表面加圆柱的侧面起，我们得知道它的高等于多少，那么此时我们从图中不难得出，因为它的高 p o 等于一个四， o 是 它的中点，所以呢，我们知道 o o 一 就等于一个二，底面呢，他说了我们这个 长度是一个四，所以这块是一个二，那所以这块半径就是一个一了，所以圆锥的母线我们就等于一个二倍的根五，所以剩下的表面积我们就可以去算了，那就是我们圆锥的面积，圆锥的底面积 s 底 就等于 pi r 的 平方就等于四 pi 再加上一个圆柱的侧面积，比如说 s 柱侧，那我们就可以得到它是二 pi r 乘以个二就是二 pi r 乘以个二等于个四 pi 再加上一个我们的圆柱圆锥的侧面，它是一个扇，那也就是说我们展开就等于一个 s 扇， s 侧就等于个二分之一，它的这个 l l 是 底面的半径是二，所以呢，二拍二是四拍，分一个二倍的根五，那我们展开的话，就变成了一个四倍的根五拍， 所以此时剩下的面积就相当于把他们三个加起来，那就是等于一个八拍加上一个四倍的根五拍，所以呢，提出来是八加四倍根五， 选择的是二 b 选项就可以了。这种题目要求大家把题目中给的我们这个几何体要看完整，并且呢，选择到对应的公式进行计算，不要多算或者少算就可以了。第二个四棱台的上底面和 上底面边长是二的正方形，下底面边长是四的正方形，并且呢，四幺侧棱长均是二比二，让我们算四棱台的体积公式就等于多少， 那就是说我得去研究它的体积，要知道它的体积公式，上下的表上下底面的这个面积比较好算，那关键就是它的高，比如说我们把这个软四棱台给它稍微画一下， ok， 比如说我们现在画出来这个正四棱台长这样子，它的底面呢，标成 a、 b、 c、 d， 此时呢，它的这个顶面对应的起来给它一标 a、 b、 c、 e、 d、 e， 它的侧楞长都是一个二倍根二，那就是说我们只要算它高就行。比如说我们假设这个 a a 一 是二倍根二，然后呢，我们连接这个 a c， 连接 a、 c， 过点 a、 e 做 a、 c、 e 的 垂线， a c 的 垂线，比如说垂交叉于一点， 所以呢，我们知道了这个 a、 e 要算这个高，我们不妨把这个式给它画出来，那就是说它的上下的边长分别是一个二和四，这是一个二，这是一个二倍根二。我们比如说把这个里面这个 结面给它画到平面中来，它长这个样子，这个是 a、 e、 c、 e， 这是 a、 c、 e， 然后呢我们做个垂线前，那这边呢就是一个 e， 所以呢我们知道了这个 a、 e、 c、 e 是 二倍根二， vc 是 四倍根二，那所以呢中间占二倍根二，两侧分别就是根二，这块呢也是一个根二，并且知道了它是二倍的根二，所以我们知道我们的 a、 e、 e 就 等于一个根六， 所以它的高 h 就 等于根六。所以此时我们只需要去用它的微台是不就可以了？就等于三分之一 s 上加上 s 下，再加上 s， 根号下， s 上乘以 s 下，再乘以它高 h 就 可以了，就等于三分之一 s 上， s 上呢？边长是二，那就是四，加 s 下，边长是四，那就是十六，再加根号加 s 上乘 s 下，那就是四，乘以十六，再它乘以 h， h 呢？高是根六不就可以了？那我们算出来这个东西就等于一个 三分之二十八倍的根六，所以选出来的是我们的 c 选项，所以利用立体几何，如果我们不确定这个关系，我们需要去把立体图形给它转换成平面图形就可以运算了。 ok， 最后一个我们讲这个等体积法，去求它的这个体积，或者求高，或者求点到线的距离都是可以的。这个等体积法的意思就是我们需要通过变换底面去找到一个高好球的这样一个式子就可以了。比如说换底，一般来讲都是 换底面的原因，就是因为我们把它转换成一个高好球的一个三横锥就可以了，或者说转换成高好球的这个结合体就可以了。 那这个题目一般还让我们去求解他点到面的距离，我们也可以用这个方法去求，所以掌握这个方法还是比较关键的。那通过这个题目我们一块去看一下。那第三个题，已知正方体 a， b， c， d， 它的棱长是二 m， n， 分 别是 b， e， b 和它的中点啊，这中点中点，而三菱锥 a， e， d， e， m， n 的 体积是什么？ a， e， d， e， m， n 的 体积，那就是说 a， e， d， e， m， n 的 体积的话，我们需要去把它转换成到一个高好球的时候， 此时的话，你发现听众给大家 a e 为顶点，并且呢这个 d， e， m， n 为底面，这个底面跟高都不太好球。那么此时的话呢，我们让这个体积转换成谁发现这个 v a e 杠 d， e， m， n， 我 们变换顶点，让它等于谁是顶点？那比如说我们一个人去翻呗，比如说假设我们让 d e 为顶点， d e 为顶点的话，它底面变成了 a， e， m， n， 那 发现非常简单，为啥？因为这个 a， e， m， n， 它就在前面的这个面上，所以 d e 到前面这个面上的高比较好求，就是 d e， a e， 对不对？所以呢，我们此时就等于 a d 一 杠 a， e， m， n， 因为它的高好求，所以这个高就等于三分之一 s 三角形 a， e， m， n 乘以一个高，这个高就是 a， e， d， e 的 长度了，因为 a， d， e， 它垂直于前面这个面，所以它就是这个 h。 这样的话呢，你发现我们通过等体积法是不是就可以算成一体结，那就等于三分之一乘以 s。 三角形 a m， a m 的 面积比较简单，因为它是一，它是二，所以它是根三就是根三，根三这边是一一一比一比根二， 所以呢，我们知道了它的面积，就简单，或者这个面积我们可以拿这个正方形的面积减去三个三角形的面积，这样的话也很简单，就等于一个拿后大的减小的，那就是四减去，这两个面积都是一减去二，再减去这个面积是二分之一， 再乘以它的高二，我们就可以算出来它的体积了。所以我们讲完之后变成了三分之一，乘以个二分之三，再乘以个二就等于个一，所以它的体积就是一，这个就是等体积法，在我们求一些 体积或者说点到面的距离的时候比较常用。最后一个我们去看的是立体图形的直观图了，立体图形的直观图我们只需要掌握两点，第一个我们平行于 x 轴的长度不变，第二个我们垂直于 x 轴，或者说平行于 y 轴的长度变为原来的二分之一，这两点需要去掌握。 完了之后还得知道它的面积比，它的面积比，我们会得到的是我们的 s 圆图形 比上我们的 s 直观图就等于一个二倍的根二比一，我们的 s 直观图比上这个 s 圆就等于一个根二比四啊。应用这些进行求解就可以了。此时比如说我们看我们的第一个题， 告诉我们在 a 撇 o 撇 b 表示的 a o b 的 直观图中， b 撇在 s 轴上，并且呢， a 撇 o 撇与 s 轴垂直， a 撇、 o 撇等于一则三角形 a o b 的 边， o b 上的高等于多少？那这个明显让我们用的是面积之比了，所以我们假设我们先去设这个 三角形圆图形，三角形 o b 上的高为 h， 那 我们知道了 s 圆等于二倍根二倍的 s 轴端图。 所以呢，我们可以得到的是 s 圆图形，那就是二分之一乘以 o b 乘以个 h， 就 等于二倍根二面积，直角图的面积就是二分之一。 o 撇 b 撇乘以一个高一，它的高就是一个一。那么知道了，在奇数中呢，我们的 o 撇 b 撇是不是就等于一个 o b， 因为它都平行于 s 轴，所以呢，我们把它约掉，就直接可以算出来，我们的 h 就 等于二倍根二，所以选择的是二 b 选项，这个就相当于用面积之比进行计算。二个呢，也是一样，它是水平放置的这个直观图。然后嘞，第一撇是它 b 撇 b 撇、 b 撇 c 撇边的终点， 且 a 撇、 d 撇平行于 y 中，则 a 撇、 b 撇、 a 撇、 d 撇 a 撇、 c 撇对应的圆算形中的线段 a、 b、 a、 d 和 a c， 对 于这三个线段中，他说正确的判断是多少，那么此时我们可以给他还原一下，我们画出它的圆图形就可以了。画出圆图形，我们知道了， 它 a 撇 b 撇呢，平行于 y 轴，所以呢， a 撇 b 撇变为原来的二倍。在直观图中，假设呢，这块呢，就是它的 a 撇， a 撇 d 撇变为原来的二倍，假设这块就是它的 a 撇，这块呢，就是它的 b 撇和 c 撇。 那我们发现了，在 a 撇 b 撇 c 撇，因为它是平行来的时候，它的长度呢，保持不变，所以在原图形呢，它还是一个 bc ad 呢，它变长了，变为原来的二倍，但是呢，它还是它的终点， 所以呢，我们知道了你的 a b 就 等于 a c， 并且呢大于 a d 了，对不对？画出来它长这样，那就是 a b 等于 a c， 并且大于 a d， 所以呢，判断正确的就是我们的 a 选项，最短的是 a d， 所以 这种呢，也就是说我们需要去把它的 原图形画出来，然后根据原图形的这个特点去判断，听不到正确。 ok， 那 这个就是我们直观图的一个做法，让大家下去应用这两个条件进行判断就可以了。 ok， 那 我们这个视频就到这里，下个视频继续，再见。

高中数学的立体几何板块呢，能够快速把不同层次的孩子拉开差距，因为除了知识点以外，他对孩子的这个空间想象能力，逻辑推理能力呢，是一个非常大的考验。那有些孩子学立体几何呢，轻轻松松，有些孩子呢，看到题目甚至都无从下手，干着急。 现在好了，高途给大家新出了这个题型全解的立体几何篇，专讲高中立体几何。首先呢，这里面提供了大量的三 d 动画和短视频，可以大大提升孩子的空间想象能力。那有了空间想象能力，再去学立体几何呢，就事半功倍了。 那这本书呢，用了七个章节，总结了高中立体几何全部的内容，每一个板块呢，都有知识点的讲解，几道典型例题的思路探寻，解析的过程，还有规律总结以及辨识题。 遇到不懂的地方呢，可以扫码免费看清。北名师的视频讲解。那这本书啊，无论是高一高二打基础，还是高三冲刺，都能助力孩子数学成绩大幅提升，那立体几何不拖数学的后腿，高考数学呢，才有高分的可能。书给大家放在视频左下角，抓紧时间带回去。

是一款让孩子开窍的几何模型。三棱锥居然是四个三角形组成的，正方体展开像变魔术一样。圆柱体是由一个长方形和两个圆形组成的，这样一展开，全看明白了，都能从立体转化为平面展开图， 他对于学习表面积非常有帮助。这款透视几何体演示模型，你就放心给孩子拥握，把抽象的数学概念变成生动模型，透明设计更有利于理解立体的内部结构。小学一到六年级学习立体几何一定要用上了。孩子几何学不好，不是他笨， 是没人告诉他在三年级前吃透这些几何模型是关键。是的，到了五六年级，几何的学习成了一大难题， 很多孩子都会被难住。而德国的著名数学家安德里亚斯说过，几何空间感不是与生俱来的，需要后天通过正确的工具和方法来培养。有了这套透明立体几何模型， 它能将复杂的立体几何轻松地转化为平面图形，能让那些抽象且难懂的几何公式都变得更加直观易懂。你看，用圆锥体装沙子来填满圆柱，要分三次才能把它装满，这样就能直观看出圆锥的体积是圆柱的三分之一。这些看似枯燥的几何公式，都是小学数学常考的题型， 孩子动手操作一下，可以更容易理解和记忆。他还是通体透明的设计，可以让孩子从各个角度观察，更加全面理解几何形状。全套一共有九种常见的几何模型，可以从一年级一直用到小学毕业了。

三分钟挑战十个立地几何平行题！立地几何大题啊，证明平行，就这三种情况，要么找中微线，要么勾勒平四边形。当然情况三的话，就是利用面面平行来证明线面平行， 直接上，结果证明线和面平行。你就记住，在这个面 pcd 里找一条 ef 的 平行线，那找一条 ef 的 平行线的话，你就记住过 pcd 里的一个特殊点做 ef 的 平行线。那你看，和 ef 平行的肯定是过 c 做呀，那过 c 做了之后， 同学们记住，看见这个平行线和 e、 f 是 不是长度差不了太多啊，那连起来之后，连起来之后，它一定是一个平四边形，只要证明平四边形， ok 了。第二题啊，证明这个线和这个面平行。同学们看啊，这个线和这个面平行， 在这个面里过特殊点做 bc 的 平行线，那肯定是过 m 做平行线啊，那这个线做完平行线之后，这个长度和这个 bc 啊，一长一短，一长一短，一定会形成一个什么呢？同学们，记住啊，一定会形成一个三角形， 所以在这个三角形里啊，利用证明中位线，这个两线平行，最后加上这个线在面内，这个线不在面内，所以这个线和这面平行。 第三个题啊，就是证明这个线和这个面平行。同学们看啊，这个线和路面平行，在这个面里找一条 bc 的 平行线，那肯定是过 e 做平行，而且做了这个平行线和 bc 长度一长一短，一长一短就是三角形。同学们记住哈，连起来三角形中位线。答案出来了， 第四题的话，证明线平行面，你就在这个面里做一条 e 四的平行线，那肯定是过 b 做啊，那做了这个平行线之后啊，这样的话，连起来一看就是一个平四边形。当然，出了第五题啊，你又在 p a 平行这个面，你又在这个面里做 p a 的 平行线就行，那肯定是过 e 做啊，那这样的话，做完之后形成了这么一个三角形，哎，出了 第六题啊，这枚线平面就在这个 p a b 里做四 e 的 平线，肯定是过 b 做平线啊，那做了这个平线之后，哎，看，做平线和四 e 啊，长度差不多，连起来平四边形。答案出来了， 但赵老师把所有立体几何，所有内容的啊，构建了一个视频课评论，立体几何，可以拿回去下载打印起来，考试前看上三遍。第一位啊，再也不会丢分。