高考数学椭圆大题解题技巧

各位同学大家好，我是研发国老师，今天呢，我们给大家分享一道我刚刚做到的这一个 椭圆的压轴题啊，一共是三问，他说离心率呢为一，等于二分之根号二。椭圆的离心率呢，这个等于二分之根号二呢，说明 a 分之 c 等于二分之根号二，说明 b 等于 c 啊，那这个呢，我们提一下，那第一问，换一种颜色比哈。 第一问，我们知道 e 等于 a 分之 c 等于二分之根号二，我们就知道 a 方等于二， c 方等于 b 方加 c 方，所以能够推出 b 等于 c 啊，这是第一个。 第二个呢，我们知道 a 减 c 呢，等于根号二减一，那由这两个呢，我们直接能够解出来呢？ a 就等于根号二， b 呢就等于一，所以 c 的方程呢，就很容易写出来，就是二分之 x 方加上 y 方等于一。好，这个题目的第一问呢，非常常规啊。第一问，非常常规。接下来我们来做一下这个题目的第二问，他说 y 等于 k e x 与椭圆 c 在第一象限内的交点呢，为 a， 那我们设 a 点的坐标呢？为 x e， 大家注意哈，就可以不用 y e 了，因为它是呃，这个正比例函数，那就 k e x e 好，同样的 b 点的坐标呢，就是 x 二， k 二 x 二可对告诉我们， o a 方加 o b 方等于三，让我们证明 k 一 k 二呢，乘积为定值，我们知道一个是正， 一个是负，所以 k 二 k 一乘 k 二呢，一定是什么？一定是负的啊，这个呢，我们提前先定一下，那一定是负呢？我们接下来这两个点在椭圆上，那我们就把它往椭圆里面带，那 a 你看啊， a 带入椭圆 啊， a 带入椭圆呢？我们知道，就是二分之 x 一方加上 k 一方， x 一方等于几？等于一。所以呢，我们这个能够解出来， x 一方呢， 就等于这个二乘过去，除以一个二 k 一方加一，对不对？那对应的外 一方呢？啊，对应的 y 一方呢，就是纵坐标，比如是二 k 一方除以一个二 k 一方加一，同理啊，同理。 那 x 二的平方呢？等于二，除以一个二 k 二方加一，那对应的 y 二的平方呢？就是二 k 二方除以一个二 k 二方加一。所以呢，我们接下来由 o a 的平方加上 o b 的平方，大家注意哈， o a 方加上 o b 方，它就等于 x 一方加 y 一方加上 x 二方加 y 二方可对好，就等于几呢？ 等于三。我们代入去试一下，这个 x 一方加 y 一方可就是二 k 一方加二，除以一个二 k 一方加一，加上二 k 二方加二，加一分之 二 k 二方加二就等于多少呢？提一个二到前面来，对吧？加上 二 k 一方加一分之一加上二 k 二方加一分之一就等于多少呢？上面呢就是二，加上 后面就上面就是二 k 一方加上二 k 二方加上这个一，加上四倍的 k 一方， k 二方底下除以一个多少呢？除以一个，他两个相乘就是四 啊，这两个相加上面没有这个相乘哈，这一步没有哈，上面相加可就是加二啊，要注意哈，上面相加呢，是加二啊，二 k 一方加二 k 二方加二，下面呢可就是四 k 一方 k 二方加上 二 k 一方加上二 k 二方加一，整个式子呢，等于三，所以呢，很容易看出来，四倍的 k 一方， k 二方等于一，所以 k 一 k 二又是负的，所以就等于负的二分之一。好，这是第二题， 算起来呢，也是很常规的直接带入，没有特别复杂的地方啊，直接带入，没有特别复杂的地方，这个呢是第二问， 接下来呢，我们来看一下第三问。第三问呢，需要进行传统的计算，他说在二的情况下，若点 p 满足， o p 等于二倍的 o a 向量， b p 与椭圆相交于点 q， 设 b m 呢，等于 m 被 b p 等于 m 倍的 b q， 让我们求 m 的值。大家注意哈，我们画一个 x 轴，画一个 y 轴，我们把这个椭圆的形式呢，简单给大家画一下，了解一下。这个形式 好，对应的呢，这个是 y， 这个呢是 x， 这个是坐标原点啊，坐标原点。然后呢？然后呢？我们知道 o p 等于二倍的 o a， 我们可以 可以画一下这个图啊，来，这个呢是 p 点，我们对应的坐标呢？呃，对应的是 a 点，对应的坐标呢是 x 一 y 一，这个呢，对应的是什么呢？ p 点， 我们对应的数标，它是二倍的，它有二 x 一二 y 一。好，这个呢是 y 等于 k e x 好，接下来呢，还有一个，这个 o b， 好。接下来呢，还有一个，这是 y 呢，等于 k r x。 哈，这个是 o b b 点的坐标呢，是 x r y 二，那这边呢，还有一个 q 点 q 点的坐标呢，我们记为 x 零 y 零，对吧？记作 x 零 y 零。 好，图像呢，基本上是这样子的。接下来呢，我们根据题目的要求写一下哈，他说 b p 向量，我们把 b p 向量先写一下， b p 向量呢，就等于二 x 一减这个 x 二 二， y 一减 y 二。好，接下来 b q 向量，它就等于这个 x 零减 x 二， y 零减 y 二。那由题目 b p 等于 m 倍的 b q， 我们知道 r x 一减 x 二呢？ r x 一减这个 x 二呢，它就等于这个 m 倍的 x 零减 m 倍的 x 二。可对好二倍的 y 一减 y 二呢，就等于 m 倍的 y 零减 m 倍的 y 二。它是有很强严格的对应关系的。那我们这个上面就解出来， x 零等于什么呢？ x 零呢，就等于二， x 一减 x 二加上 m， x 二除以一个 m。 可对这个呢，得出的 y 零呢，也是一样的，就二 y 一减 y 二加上一个 m 倍的 这个 y 二除以一个 m。 接下来我们要知道， b q a 都在这个椭椭圆上，所以呢，它符合的关系有呢？我们提一下哈， 有二分之 x 一方加上加上 y 一方等于一， 二分之 x 二方加上 y 二方等于一。还有一个第二问中得出的结论， k 一 k 二呢，等于 y 一除以 x 一乘以 y 二除以 x 二，等于负的二分之一。所以我们能够知道， x 一 x 二加上二倍的 y 一 y 二呢，是等于零的， 或者说是二分之 x 一 x 二加 y 一 y 二等于零的。那这三个呢，属于已知条件啊， 大家待会在做题的过程中呢，哎，可以把他们三个直接 先拿进去用的。好，那接下来呢，我们把 x 零 y 零呢带入椭圆方程啊，大家注意好，将这个 q 点 x 零 y 零带入 哦。二分之 x 方加 y 方等于一。好，代入的时候要注意哈，要注意就有 r m 方分之 r， m 方分之 r x 一减 x 二加 m x 二的括外的平方，对不对？加上一个 m 方，分之， 对应的，对应的这个 r y 一减 y 二 加上 m 倍的 y 二的平方，等于一，可对？好，把 m 方乘过去呢，就得出一个式子，叫做二分之， 这个还画这样的横线，看起来舒服一点哈。二分之二 x 一减 x 二的平方，呃，二 x 一加减 x 二加 m x 二的平方， 这个加上二 y 一减 y 二加上 m 倍的 y 二的 平方，等于 m 方，可对？好，接下来呢，我们在展开的时候，大家注意，一定要严格按照这个式子呢，我们给它进行操作。那大家看展开怎么展开呢？即 啊，大家注意哈。好，底下呢是二呢？不动。上面呢，先把 r x 一减 x 二的平方展开，就有四 x 一的平方，减去四倍的 x 一 x 二 加上 x 二的平方，可对，这是第一项展开，我们打个小括号，接下来加上 加上后面最后一项，这个 h m 方 x 二的什么平方？再加上中间两个相乘，中间两个相乘呢，是二倍的，他们两个相乘可就得出是四 m x 一 x 二 四 m x 一 x 二，可对。然后呢，减去一个，减去一个， 呃，二 m x r 的平方，好，那这个呢，是对应的 第一个展开啊，当然这个展开呢，我们写在这边呢，可能写不下，我们往左边写哈，那这个式子展开之后呢，他等于什么呢？把那个线给他画长一点啊， 好，这个式子呢，再加上对应的 y 呢，我们就直接写就行了。跟上面一样的，四倍的 y 一的平方减四倍的 y 一 y 二， 呃，加上 y 二的平方，加上 m 方 y 二的平方加上这个四 m y 一 y 二，再减去一个 r m y 二的平方等于几呢？等于 m 方。可对。好，接下来左边呢，可以一步一步去定。第一个呢，提个四出来，有二分之 x 一方，加上 y 一方，这第一个， 第二个减去一个四倍的 x 一 x 二除以二，加上 y 一 y 二。好， 第三个加上一个二分之 x 二的平方，加上啊 y 二的平方，这第三个，第四个加上一个 m 方分之倍的二分之 x 二方， 嗯，加上 y 二的平方，再加上四 m 倍的这个 x 一 x 二除以二就二分之 x 一 x 二，加上 y 一 y 二，最后减去一个 r m 倍的二分之 x 二的平方， 这个加上 y 二的平方，等于 m 方。可写到这一步了。好，接下来由上面的三个等式我们知道，我们知道，大家注意哈，这里面呢，这是一，这呢是零，这个呢是一， 这个呢是一，这个呢是零，这个里面呢是一，可对。好，对应的呢，我们写一下，就是四加一加 m 方减 r m 等于 m 方，所以推出来呢，这一个推出来呢，五等于 r m m 呢？等于二分之五。好，那这道题呢，自然就做出来了，整个题目的难度呢， 还是有一点的啊，层层递进，前两问比较容易得分，最后一份问难度相对来说较大。那么这道题呢，给大家做一下分享，感谢大家的点赞和关注，谢谢大家。

咱们今天今天来讲团的计算技巧。呃，这个呢，适用于基础稍微好一点的学生，因为他是用来解决椭圆的第二问问题。有的同学呢，可能团的第二问不做了，对吧？那你听了他就没有什么， 然后这节课呢，非常建议大家听，如果你真的能认真的听完，呃，能够解决那团第二文的问题，他的方法就是硬点定理。那这个硬点定理呢，专门用来解决计算问题， 因为有的同学你知道怎么算，但是你算不出来，或者你好不容易算出来了，你算错了， 或者计算比较花费时间长呗。哎，那应得定理就用来干这点事的啊。一个开挂技巧，你学会他之后，让你的计算难度跟计算时间 都会有很大的提高，但是你一定要坚持的听下去，因为他的理论基础稍微长一点，如果你真能听下去的话，你肯定会感谢我的。那就不信，那就试试。咱们学过的团有两种，一种是焦点的 h 轴，一种是焦点的 y 轴。我举个例子， 包括咱们学过的双曲线，也有两种，教练的 x， 教练的 y。 好，那咱们把这四种类型 的曲线都给他写成统一的形式。 那写上这个统一的形式之后，咱们这个 a 方跟 b 方啊，不代表原来的含义的，就不代表团，也不代表双曲线本来的含义，他只是一个符号而已。 a 方 b 方， 这是一个符号。那我举个例子啊，比如说咱们第一个是在里边， 那他的 a 方等于四，他的 b 方等于三呗，那比如说最后一个里边， 哎，最后一个理啊，特别你要看清楚这里边，我就认为 a 方等于三， b 方等于负四，哎， b 方等于负四能理由， a 方 b 方指这个符号而已，不代表原来的含义，因为这是一个计算技巧。 咱们第二问考的常规方法都是把腿或者双曲线跟直线连立呗，然后利用伟大定理来做。那咱们看怎么连立， 这样一连立之后呢？一般得到的是一个 关于 i 的时候，关于 y 的一个二三二十方程，对吧？我把它写出来就是什么 f 是方， 嗯，一般都这种感觉的吗？这个方程呢，咱们先不管，咱们先写伟大定理，先写 x， 一加 x， 嗯，等于这个啊，看起来挺复杂。然后我教大家怎么来背。 先说分母，首先咱们所有的公式里边分母都一样， 第一分母都一样。 第二条啊，那这个分母是怎么来的？你看 x 方底下对应的是小 a 方，然后呢？ x 前面对应的是 a， 把它俩的系数相乘， 同理，那个 b 方 b 方是把 y 方底下的那个 b 方跟 y 前面的 b 相长。这第一条，然后第二个就是大 a、 大 b、 大 c 单独出现，要平方。 说什么叫单独出现？比如说 a 方 a 方这块，你看那块数，大 a 大 b、 大 c， 只有大 a 出现了，那他就要平方，然后包括这个这块 b 方 b 方这块说只有大 b 自己出现了，那他就要平方。你看分子， 分子这块是不是大 a 大比大 c， 大 a 跟大 c 同时出现了，那就不是单独出现了，他就不平凡。分子，你要求 x 一加 x， 正常的做法是应该是建立 关于 x 的一个方程呗。关于 x 的方程，那关于 x 方程，你得连力的时候瞬间是把歪歪掉啊。 那咱们也建立这个思想，就是求 x 画 y， 区外一个是华为要把撑掉啊， 那就是你要说 x， 你把这个 y 化掉， 哎，把它给那个拿去，把这对吧，把它给划掉，划掉之后把剩下的乘以八，那剩下啥呢？ x 方底下剩个 a 方， x 前面剩个 a， 还有个 c， 所以就是富二给的 a c， a 方求 x， 华为剩下 乘符号啊，那这是他的一个记的一个口诀。 类比啊，类比 y 一加 y 二， y 一加 y 二。 咱们说所有的分母都一样，那说明分母还是 还是这个呗。然后分子啊，你刚才 x 一加 x， 是求 x 画 y， 那这回是求 y 画 x 呗。剩下惩罚就是负二倍的 把 x 划掉，那剩下的就是 b c b 方呗。你看这么一对比的记忆不就能好记一点吗？ 好再来啊。那伟大定理里边还有 x 一乘以 x 二， fc 乘以 h 二，等于所有分母都一样，所以他的分母也是 a 方 a 方加 b 方 b 方上面啊，我先写出来 是这个东西，他的口折是先说前面的 a 方啊， 刚才说连立 x 应该把 y 画掉，对吧？求 x 画歪，那这个也是一样，你把 y 画掉了，你留的不是 x 吗？所以那个 x 方底下那个东西是不是 a 方啊？那这 a 方是 留谁写谁，把谁留下了就把谁再写上， 留谁写谁，然后 c 方减 b 方 b 方，你把 x 丢下了，说把歪划掉了，还叫做划谁减谁，把谁划掉了，叫他减去，谁 留谁写谁画谁减谁。来类比啊，类比这个 y 一乘玩意。 首先分母都是一样的， 哎，翻本都一样，然后留谁写谁，你要求歪的话，不是把 x 划掉了吗？那留的是 y， 所以 b 方， 然后化谁减谁西方减去 a 方 a 方 看这动没动， 这就是维达定理的 x c x y y 二。好东门就截个屏啊。 那咱继续讲最后一把。那咱说你应该先有二次函数，然后再有的回答题，我们假装的把二次函数写出来。 这么想，咱这个 x 一加 x 正常的伟大定理里边说这负的 a 分之 b 啊，那好，我就把这个分母当成所谓的 a， 把上边当成所谓的负 b 呗，不就行了吗？ 让 x 方前所填的数就是 a 方 a 方加上 b 方 b 方，懂了吧？哎，同理，那个 x 前面填的就是 二倍的 a c a 方这个呗，加上他啊， 然后 x 一乘以 x 二是正常的 a 分之 c 啊，那就把上面就直接写 a 方 c 方减 b 方 b 方， 你看这个方程不就写出来了吗？对不对？所以咱们其实背公式的时候，是先背的 x 一加 x 二和 x 一乘以 x， 然后假装回去写单的方程。 那这样的话，在皮卷老师眼里，他根本就不知道你是怎么做出来的，因为他是一个计算过程，并不是一个写步骤的过程啊。继续啊， 那有了二次函数之后就熊嘚他呀，对不对？那咱们嘚他啊，等于 这个咱们来记呢，他是分母减西方，因为你看 a 方 a 方加 b 方 b 方，这不是分母吗？那就是分母减 c 方。 嘚的作用基本就一个是用来那个求范围的呗，因为嘚的不得有两个焦点吗？嘚的大量求范围 或者得的等于零，求接线得的小于零，没有没有交点，对吧？所以得的是用来判断正负的，咱们再来闲谈公司啊， 哎，就是你得正常先写成这样，然后再把它改一下， 那对吧？就写的标准形式，你要最开始不这么写，肯定是要扣你分的， 然后你别这么算，哎，你这把 x 一加一个二， x 一乘以 x 代理去了，那就变得非常麻烦了，对吧？咱们给个公司， 那这公式，咱们的记忆口诀啊，建成分母，分母都一样的吧，然后上面啊，小 a 方小 b 方叫做小方肌， 小方肌，然后大 a 方加大 b 方相加吗？大方和 后边呢，是 儿子对吧？叫分母解析方， 然后开根号再乘以二，开根再乘二 啊，你多多念叨几遍，这个就会了，在闲谈公式 啊。再来还有 x 一 y 二加上 x 二 y 一等于。首先呢，分母都一样， a 方 a 方加 b 方 b 方。上面啊，刚才求什么 x 一加一个二，万一加 y 二， 都叫做求 x 花 y， 求爱花 x， 那这里边 xy 都有吗？都有的话就谁也别花，都留着， 这是二倍的 a 方 b 方 ab， 哎，都留着呗。那以上的这些内容呢，就是咱们硬的定力里边需要掌握，需要背的， 他的好处在于低，他们分母都一样，分母都一样，在连理化减的时候分母就没了，就进一步能那个 减少化减的那个复杂程度吗？再有基本上只要考直线跟团来例，他考的那个大框都是一样的，那咱们相当于把大框给掌握了，那剩下的只剩最后一问的处理了，对吧？所以你要能，你要是能把硬点定理掌握明白， 怎么也能得到十分，就最后处理那两分，咱就可能不会做就不会做了，但最基本你能做到。

同学你好，我们来看这道题，已知椭圆套啊，这个形式，它的左右焦点分别为 f 一、 f 二，椭圆套的离心率是二分之根号二啊，椭圆套上满足一点 p 等于 p， f 二垂直于 x 轴，并且呢满足 p f 二等于一。第一问，让我们求这个椭圆的标准方程， 那么其实呢，求椭圆方程就是求这里面的两个未知参数。其实椭圆方程有三个位置参数，分别是 a、 b、 c 啊，一般来说求三个未知数，我们应该有三个方程，但是椭圆里面天然存在一个方程， 我们来看一下知识点。第一个椭圆里面天然存在的方程，那么是 a 方啊， 等于 b 方加 c 方，这是天然存在的一个方程。那么另外呢，两个方程，两个就应该由这两个信息分别由得到，一个是离心率信息，一个是这个 p f 二这个信息，那么离心率我们知道 e 应该等于 a 分之 c 啊，所以这是一个方程，那么这个 p f 二，这是什么方程呢？这是椭圆的啊，交通径 交铜镜。 什么是椭圆的交通键？比如说我们在这里画一个 头， 这样一个椭圆，它有一个两个焦点，分别是 f 一、 f 二，这是 f 一，这是 f 二。 那么所谓的交通镜就是我们做这个垂线，过这个交点做垂线，那么会与椭圆相交于两点形成的这个弦，这个弦长就叫做交通镜。 那么这个交通证的值是多少呢？就是 a 分之二 b 方，所以他交于一点 p， 这个点 p 在这 p 到 f 二的距离就应该是交通镜的一半长度啊，这不是一半的交通镜吗？所以一半的交通镜就是 p a 分之 b 方， 那么说明 a 分之 b 方等于一。这道题当中，那么结合这三个方程，我们就可以求得这三个位置数，我们来具体的求解一下 啊。那么 ute 黑分之 c 应该是等于二分之根号二， 那么因为 c 它等于 a 方， c 方等于 a 方减 b 方，所以我们这里就应该有 a 方分之 c 方，就应该等于 a 方分之 a 方减 b 方。那么把这个 这式子两边都是平方，那么右边变成了四分之二，也就是二分之一， 那么又因为这个方程就用完了啊，这个离心率这方程就用完了。并且我们还结合了这个 a 方，等 b 方加 c 方，这个方程还剩最后这一个方程 p f 二，刚才说了 p f 二就是 a 分之 b 方， 他等于一，我们这这样这样一个方程，这样一个方程，两个方程两个位置数连力 一二，那么可以得到 a 方和 b 方的值解这个方程，这应该是基本功，我们可以得到 a 方应该等于 四， b 方等于二，这样呢，图上的方程就应该是 x 方比上四，加上 y 方比上二等于一，这是低问。 第二问，已知椭圆 a 啊，一直点 a 为椭圆套的左顶点， a 点在这里， bc 为椭圆上， 椭圆套上异于点 a 的动点 b， c 在上面动，但是呢，和这个 a 点是不重合的，并且设直线 a、 b a c 的斜率分别是 k a b k a c， 那么两者的乘积是等于一。让我们求证的是 b c 过定点， b c 的直线过定点， 这说的是什么意思呢？我们把这个信息先擦掉。 这样一个椭圆椭圆上有两个动点，一个是 b， 一个是 c， 那么我们连接 a c， 还有 a b 这样的两条直线，它的斜率之积等于一，这是这个条件，那么让我们证明的是 b c 这条直线， b c 在这里 啊，让证明蓝色的这条线他过定点。那么这道题的思路是什么呢？我们可以首先来分析什么是直线过定点， 一条直线他过定点，那么意味着这条直线他肯定是一条动的直线啊，是一条变化的直线。但是呢，过一个定点，他既然是变化的直线，我们知道直线 的表达是第四个知识点， 第四个知识点， 直线的表达式是 y 方啊， y 等于 k， x 加 b， 那么如果是一条定直线啊，是固定的直线，就是 k 和 b 都是 啊，固定的值。那么如果是变化的直线呢？就 k 和 b 都是变化的量，那变化的量怎么让能让这条直线过定点呢？就是让这个变化的量它的系数为零就可以了。 那么在这个变化的直线当中，两个参数没法让他同时系数为零，那么首先这两个参数之间 应该满足一个倍数关系。比如说啊，举个例子，这里面 k， x 等于啊， y 等于 k， x 加上三 k， 这个 b 和这个 k 满足三倍的关系，这样呢，我们就可以做到让这个 k 的系数为零了， 提一个 k 出来，那么就是 x 加三，这样当 x 等于负三的时候，这里就是零， k 的系数是零，那么 y 也就是零了，所以这个直线就横过负三零这样一个定点，这就是我们的主要思路 啊。所以说，一会我们设出来啊， b c 的这条直线之后，设成 y 等于 k s 加 b 的形式，我们的目标就是证明 k 和 b 之间有倍数关系啊，只要能证明出来这个 是，那么就能证明出来 bc 是过定点的啊，这是我们的目标。说完了，那么怎么这得到这个目标呢？就是根据根据题目当中给的这个条件，一个是啊， 这两个斜率之机为一的这个条件，那么当然这个过程当中我们需要连力方程，把这个 bc 直线和腿儿放成连力，得到维达定理，得到维达定理之后啊，翻译这个 bc 斜率还有 a c 斜率之机是一带入伟大定理，那么看能不能得到这个我们的目标 k 和 b 的倍数关系，这就是我们的主要的思路。那我们来具体的具体的描述一下这个过程 啊，那么这里同学们可能还有一个疑问啊，就是为什么我们要设直线 b c 呢？ 为什么不能设直线 a b 还有直线 a c 呢啊，其实这样设直线啊，也能达到我们最终的目标， 但是呢啊，你设两次直线，首先呢就需要啊做两次连理方程，然后呢得到两个伟大定理，根据这两个伟大定理，然后呢，因为 a 点坐标是知道的，我们再分别解除 b 点和 c 点的坐标， 解除 b 点和 c 点坐标之后，再根据直线的两点式，我们同样可以得到 b c 这条直线的方程啊，这样呢显得过于麻烦，所以呢，我们一步到位，直接就设这个 b c 的这个啊方程，这样可能会更加简洁一些 啊。其实椭圆这道题啊，确实是考察计算量，但是他考察计算量也是在一个比较合理的范围之内， 如果同学们的做法啊，在做之前就觉得过于麻烦，那么可能需要再换一下思路，那么好，我们可以设直线的 b c 的方程 啊，那当么我们想设立个直线的时候，同学们会首先意识到一个问题，尤其是在这个圆直曲线的问题当中，你设立个直线直直线斜率是否存在呢？你如果不存在，那么需要分为两种情况来讨论。那么这道题啊，不存在的情况也是垂直于 x 轴的情况，那么也就是说这个 b c 这两个点连线能不能垂直于 x 轴呢？我们会发现，嗯， b c 满足 a b 还有 a c 的斜率之机是一，一是个正数，那么要求前面两个斜率要么同 同时为正，那么相乘为正数，或者同时为负，也可以相相成为正数，但是呢，就是不能一正一负，所以我们这道题的图，这个这样的向下的斜率为负，向上的斜率为正，这个图是有问题的，所以我们这个图一开始就画错了， 那么这个图应该是这两个点， bc 两点，要么同时在这个横轴的上方，要么同时在横轴的下方，这样呢，保证 ac 还有 ab 的斜率，这两条直线的斜率之间，要么同时为正，要么同时为负 啊，所以这个图我们应该修改一下。这个图应该修改成这样啊，这样呢，就能保证啊，你看 a b 还有 a c， b c 点都在横轴上方，那么斜率都应该是正的，或 或者 b c 都在下方也可以，那么我们取一种情况就可以了，那么这说明白了，所以呢，我们就有啊，由体可制， b c 斜率一定存在， 否则无法 满足 k a b 与 k a c 啊，同号啊，就是同时为正或者同时为负，那既然一定存在，我们可以设为 k， 设为 k， 那么 b c 这条直线，我们就可以表示为 y 等于 k x 加上一个 b， 那么接下来就是我们的常规步骤，由椭圆方程连力得到为答定理，表示出这个题目当中要翻译的条件写率直接为等于一，那么的目标呢？是把这个条件翻译之后，然后化解这个得到的条件，看能不能得到 这个 k 和 b 之间的关系式啊，得到一个倍数关系，那么一旦得到倍数关系，我们就能找到那个定点 啊，这是我们的主要的思路，那连力吧 啊，椭圆方程 x 方比上四加上 y 方比上二等于一， y 等于 k， x 加上一个 b， 年例消 y， 那么得到年例之后，这二次方程应该是 二 k 方加一倍的 x 方加上啊四 四 k b， x 加上二， b 方减四等于零， 那么 连列之后这个形式，那么这个直线因为我们是随意设的，它可不一定与椭圆有两个交点，所以呢，这里需要对这个判变式 啊 dat 进行一个判定，那么得到的是应该是八倍的四 k 方减掉 b 方加上二大于零啊，满足这个式子就可以了。 维达定理要设维达定理之前，我们应该首先有 b 和 c 点， b 点 c 点坐标啊，先把它坐标设来， b 点坐标 x 一 y 一 c 点坐标 x 为二，这样 x 一加上 x 二，就应该等于负的 a 分之 b 二 k 方加一分之四 k b x 一乘以 x 二，应该是 a 分之 c 二 k 方加一分之 二， b 方减四。 那么现在终于做到伟大定理这一步了，接下来呢，就需要翻译题目当中这个条件了。 a b 还有 a c 之几等于一， k a b 乘以 k， a c 等于一，那么可以得到啊，这里 a 点坐标，我们应该也给它表示出来， a 点是它的左焦点啊，左顶点，这里 半长轴， a 应该是等于二，所以 a 等的坐标是负二零，这样 a b c 三两都有了，那么 a b 这条直线的斜率 就是对应纵坐标相减，再比上对应横坐标相减，对应纵坐标 b 的纵坐标 y 一， a 的纵坐标零，那么 y 一减零就是 y 一，比上 x 一减掉负二就是 x 一加上二， 那么同理 a c 应该是这个形式， x 二加，因为这都是同构的嘛，我们写出一个就可以得到另外一个， 它等于一，那么我们可以稍等一点，先不写等于一，那么 y 一 y 二，这可不是伟大定理的形式，我们应该把想办法把它表示成伟大定理的形式。怎么想办法呢？这不是在 这里嘛，我们可以把 y 一换成 k， x 一加 b， y 二呢，换成 k， x 二加 b， 这样都换，把 y 换成 x， 才能引入上面。这里有 x 的围压定理的形式， 分模儿乘在一起是 x 一加上二，比上 x 二加上二， 这个式子等于一。那么接下来就需要啊，我们化减了 整理，对吧？你这个等于一，把这个他移过来，就是左边等于右边，那么分别打开括号整理，会得到 k 方减一倍的 x 一， x 二 加上 k， b 减二倍的 x 一加上 x 二。啊，这手写板有些卡顿， 再加上 b 方减四等于零。啊，那么这样呢，我们是把它一项打开括号，然后呢合并同类项 啊，整理到等式的一边，让等式另外一边等于零这么一个过程，这个过程，这个化解的过程应该属于基本功，我这里直接得到最后的这个式子，得到这个式子之后，那么接下来就是带入维达定理的步骤了， 那么我们代入一下会得到， 这里应该是 k k 方减一倍的 二 be 方减四， 加上 k b 减二 乘以负四 k b 加上 b 方减掉四 乘以 二 k 方加一的零。 啊，得到这样一个形式，我们代入之后，这里当然是经过了啊，同分，把分式要化为整式，那么接下来就是打开括号整理了，这个过程也是啊，属于基本功，那么等打开括号整理之后，应该得到 十二 k 方减掉八 k b 加上 b 方等于零， 那这我可以看成是一个关于 k 的一元二次方程，对吧？把这个 b 看成一个长数，那么解这个方程我们可以通过十字相乘得到啊，二 k 减 b 或者是六 k 减 b 等于零，把它拆成两根式啊，舌头加成拆成两根，我们往回带一下，这二二六十二 k 方负 b 负 b b 方， 那么这是六 k b 负六 k b 负二 k b 加一起负八 k b 正确。那么终于这个式子如果等于零，我们可以得到啊，二 k 等于 b 或者是六 k 等于 b， 终于我们得到了我们的目标结论，那么就是这个 k 和 b 之间是存在倍数关系的， 那么这两个得到两根是否都正确呢？我们都要呢？我们首先来看一下吧，这样两个直线应该是 k 等 y 等于 k， x 加上一个是 k， s 加上二 k， 对吧？或者是啊， y 等于 k， x 加上六 k， 那看一下这两个分别过的定点是什么吧。 对于左左边第一个过的定点，就是我们刚才说了，把 k 提出来啊，让它这个系数为零，那么应该这个应该是 x 加二，所以过的定点就是负二零， 负二零 定点为 一个定点是负二零，那么这个定点是啊，应该是负六零同构的， 那么是否两个都要呢？那里这里需要注意一句话啊，哪句话呢？叫做异于点 a， 那点 a 是多少点？ a 就是负二零，所以我当我们发现负二零的时候，那么 a 点就是负二零，他过 a 点吗？这条直线已经说了，不过 a 点 啊，一定要易于 a 点，所以呢，这个应该舍掉这个根，那么负六零啊，就是我们所求的定点，那么整个问题呢，就得正了 啊，不仅我们说明了他过定点，还找到了这个定点，那么根据这个定点，我们这个图好像还是不是很正确，所以这个图应该是过的负六零，应该是这样画啊才可以，不过无关紧要，我们已经 啊得到了最终的答案，说明我们的啊，画图一开始这个不精确，也 只要能表达出题目当中要表示的含义可就可以啊，不可能做到完全精确，这是需要说明的点。那么总结一下这道题，第一问，中规中句，连立两个方程，得到两个位数，那么可以得到这个标准方程。第二问当中呢，翻译条件啊，得到最终的目标，同学们 首先要知道如何证明直线过定点，这是一个小的知识点，那在这里就是证明这个直线当中的两个参数 k 和 b 首先有倍数关系，这样呢，我们提出一个参数，让这个参数的系数为零，就可以得到它的定点，这是我们的目标。那有些同学可能说啊，不是不知道这个目标， 那么做题的时候也至少应该做到啊，连例出来伟大定理，那么带入伟大定理翻译题目当中的条件，那么会啊，可能会卡在 啊，卡在这一步，或者或者卡划减之后，卡在这一步都有可能，那么只要连令方程翻译完条件之后，应该会得到。第二问，假如说是八分的话，那么能够能够得到四分啊，最后这个结果是占四分。 总的来说，这道题是一个比较中规中矩的啊，原理曲线的问题，希望同学们完整做下来，能够有所收获。那么好，这道题就讲到这里，再见。

这个椭圆给出了标准方程，由这个方程我们可以看到 s 平方下面的是 a 方， 在椭圆当中焦点跟着大的走，我们就可以清楚的知道，此时这个椭圆他的焦点是在 x 轴上，那因此焦点坐标就是富西林和西林 其中一个顶点的坐标为二零二零，这个点很明显就是 x 轴上的点，那焦点在 x 轴上长，轴长也应该是在 x 轴上。 所以由这个我们就可以分析出， a 是等于二的离心率等于二分之根号三。离心率 是为一，等于 a 分之， c 等于二分之根号三。由这个我们就可以得到 c 除以二是等于二分之根号三。通过计算就可以清楚的计算出跟 c 是等于根号三的。 然后我们要求椭圆系的标准方程，就应该把逼平方给求出来。 abc 三者是有关系的，他们关系是 a 方是等于 b 方加上 c 方，现在我们需要求的是 b 方，他是等于 a 方减去 c 方， a 是等于二，二的平方减去根号三的平方，那就是四减上，四 减三是等于一。所以我们就可以求出椭圆系的标准方程为 s 平方除以四再加上 b 平啊外，平方除以 b 平方，那就是 加上 y 平方等于一，那这个标准方程我们就可以求出来了。 第二小题已知直线 l 跟这个椭圆心相交于 ab 两点，求线段 ab 的长度。 那么这一道题很明显就是考察的是椭圆跟直线的一个交流问题。那通常情况下，我们都是用常规的方法把这两个方程给连立起来，就是把直线方向歪的有 x 加一连立起来，然后呢， 四分之 s 平方加上 y 平方。好，那这个方程组怎么解呢？我们可以把一式带进二式当中，那就会有四分之一 s 方 再加上 x 加一和的平方是等于一的，让我们看一下怎么样去解这个方程。可以把它进行展开，那就是 s 方加上二， x 再加上一等于一，那么左边有个一，右边有 个一，那我们就可以把它抵消掉，那这里就变成了四分之五。 x 的平方再加上二， x 平方是等于零，那么这一个 x 就很容易求了。我们可以这样子，先去分母，去分母的话，那我们就两边同时 乘以四，那就变成了五， s 平方加上八， x 是等于零。接着我们可以用提取供应式的方法， x 四的成语把 x 提取出来， x 乘以五， x 再加上 八是等于零的。因此我们就可以知道， x 一是等于零， x 二是等于负五分之 八。那在这里的话， x 一对应的就是 y 一， y 一就是等于零，加上一就是为一， y 二的话呢，就是负五分之八再加上一，那求出来是等于负五分之三的。 好，那 a 和 b 这两点的坐标我们就可以确定下来了，其中一个点是 零一，另一个点呢就是负五分之八和负五分之三求 ab 的长度，那我们就可以根据两点之间的距离公式，可以把它求出来。 零减去负五分之八，那就是加上五分之八的平方，再加上这个一，减去五分之三，那就是加上五分之三的平方， 这里变成了二十五分之六十四，再加上二十五分之一，加上五分之三，那就是等于五分之八，所以也是 五分二十，五分之六十四，那最后求出来是二十五分之二，乘于六十四，那是等于五 分之八，又根号二。那 ab 两点之间的距离， ab 的线段这个长度就知道是等于五分之八，又根号二。

大家好，今天我来讲一下椭圆的二级结论，椭圆的很多二级结论呢，非常好用，在解题的时候啊，可以极大的提高你的做题速度，做题效率。 那么今天我要讲的椭圆二级结论呢，不仅要讲怎么去证明这个二级结论，还会告诉你怎么去使用这些二级结论。那好，先来看第一个常用的二级结论，就是椭圆的第二定义，这个椭圆第二定义呢，是这样说的，在平面内 到定点距离，两个距离啊，和到定直线的距离，这两个距离之比，如果为长处的话，那么这样一个动点，他的轨迹就是椭圆了，什么意思呢？看右下角这个图， 他的意思就是说点 p 是一个动点，然后这条直线 l 呢是一个定直线，然后这个 f 点呢，也是一个定点。如果说在平面内 pf 的距离比上什么过点 p 要做一个距离啊，到直线的距离当然是做垂线了，这个垂足就是 ph 垂坠，然后就是 h 点，这个垂足比上 ph， 这两个距离之比是这个长数，这个长数呢，在什么之间啊？他是在 零到一之间的一个长数，只要他这个长数在零到一之间，那么此时动点屁的轨迹就一定是一个椭圆了， 那么此时定点称为什么？其实定义里头这样一个定点 f 点就肯定是椭圆的其中一个焦点了，那么这条定制线呢，称为椭圆的其中一条准线， 也就是说椭圆肯定有两个焦点。大家都知道，其实椭圆也有两条准线的啊，那么左焦点到左焦点的距离比上到 左转线的距离，这个笔直啊，其实就是离心率，原来这个长数就是离心率，那么现在你需要注意的是什么呢？一定要记住这样一个长数， 准线到椭圆这个地方呢，应该写成中心，他其实就是对称中心的意思，如果椭圆是标准位置，这个中心是什么？其实就是坐标远点了。那么现在的话，我是想证明一下这样一个结论呢，大家需要注意一点，准线有几条， 转向有两条啊，右边这一条呢，他实际上就是 x 等于几啊？等于四分之 a 方，那左准线的话，就是 x 等于负的这个四分之 a 方了，记住这样一个数字就行啊， 那么你一定要记住的是，这两个距离是一定是到什么？到左焦点就比是到的是左准线，如果是到右焦点的话，你看 p 一，他两个 壁纸都不一样，千万不要到左交点的距离比上到右准，现在距离那个就不对了啊，必须就是左对左，右对右，记住这样一个道理就行。那么现在我们就证明一下这个结论，看点屁，究竟他是不是这样一个椭圆，看好了，一定看好了啊， 那此时 f 点这个的定点的话，我们就记为 c 多号零 c 是一个长数啊，那这个，嗯，直线也就是准线的话，我们记为什么呢？记为 x 等于负的四分之 a 方，那此时因为你求的就是点 p 的轨迹，所以我们假设的时候肯定是假设这个 p 点是 x 逗号 y 吧， 那没有问题的，所以此时 pf 根据定义第二定义比上 ph， 两个距离之比是一行。那么继续往后写啊，其实这个一呢，就是一个长寿 a 分之四啊，这不用多说， 我们就直接写上一分之 c 吧。那么好了，根据两点之间距离公式，这个分子其实就是谁啊？分子呢，它其实就是 x 减去负 c， 那就是加上 c， 然后外减零的平方，其实就是外的平方， 然后呢， ph 好说，把横坐标减去横坐标， x 减去负的，那就是加上 c 分之 a 方，行了， 等于二分之四，那么显然这个时候的话，我们是希望平方一下的，那么这样一个式子，平方之后的话，一定要跟上我的节奏啊，右边平方，那左边也得平方吧，然后下边也得平方， 这是没有任何问题的。那么平方之后的话，我们这个分母直接打开吧，平方以后，根据完全平方和的这样一个公式展开以后的话，实际上就是 x 方加上 c 分之二 a 方 x 再加上 c 方分之 a 的四次方，那么显然是需要整理一下的，整理完了之后的话，就是 a 方乘 x 加 c 的平方，再加 a 方外方等于 c 方 x 方加上二 a 方 cx 加上 a 的四次方。其实我想说的是什么呢？你想啊，这个展开以后，他这个括号里头有个二 cx 乘外头这个 a 方的话，其实就有一个二 a 方 cx， 也就是左边有个二 a 方 cx， 右边有个二 a 方 cx， 这两个二 fcx 是左右抵消掉的。 那其实最终经过整理之后的话，很容易你自己来变性了啊，很容易变成这样一个结果， a 方减去 c 方 x 方再加上 a 方外方，它其实就等于 a 方， a 方减 c 方，我们不妨直接让，因为这个 a 和 c 实际上都是长数，首先 f 点是定点，所以 c 是长数了吧？那其次 l 是什么？ l 它是一个定制线，所以呢，这个 c 分之 a 方，其实 a 也是个 嗯，定制，既然 a 和 c 都是一个定制的话，不妨我们就让这个 a 方减 c 方定制，减定制其实还是另外一个定制，引入一个 b 方就行了， 是这个道理吧。然后左右两边同时除黑方 b 方这个整体，然后就变成什么了？就变成 a 方分之 x 方加上 b 方分之外方等于一，你开心不？ 所以现在应该记住椭圆的第二定义了吧？椭圆第二定义里头呢，一个是准线，另外还要记住，准线到椭圆中心的距离，其实就是到远点的距离啊，标准位置的时候是等于这个四分之 a 方的这个长数一定要牢记。那么现在我们来做一道题， 这个题目怎么说？没有图形啊，已知椭圆内有一个点，就这个点可能是在内部，你就不用验证了。然后 f 点呢？是右交点，这个非常好求吧。那 f 点是右交点的话，其实就是一的号零，自己来求一下。 m 点是椭圆上的动点，那么 m 点是椭圆上的动点的话，其实我们可以看吗？看好了啊，我们现在画图来看一下了。 m 点是动点， 然后点 p 和点 f 呢？都是定点，两个定点，一个动点，但是这个地方带了一个根号五的系数， 这个根号五怎么处理啊？如果能够转化为另外一个系数为一倍的另外一个距离的话，比如说 mh， 这个就非常好解了，但是他系数如果为根号五就不太好解，怎么办呢？现在你需要想到这个椭圆的第二定义了， 椭圆第二定义的话，他右准线实际上就是 x 等于四分之 a 方吧。这道题是一分之五，那其实就是五，没问题，这就是准线。那么根据椭圆的第二定义，我们过这个 m 点 做一个垂直吧，也就是 mh， 什么意思呢？根据椭圆的第二定义，这个 mfb 上 mh 等于什么？其实就等于离心率吧。这道题离心率的话，实际上就是多少 啊？他是等于 a 分之四， a 就是那个根号五， c 就是一，原来他就是等于根号五分之一俩， 也就是说我经过成立之后的话，这个 mh 实际上就是根号五倍的 mf， 现在是不是很开心啊？其实原题中的这个 mp 再加上根号五倍的 mf， 他就可以直接转换成 mp 在 加上 mh 了。现在很简单了吧，你说 mp 加上 mh 什么时候最短啊？看嘛，这两条红色的线段，只有当谁啊？当 mph 这三个点贡献的时候，肯定是最短的，你可以画一个贡献。什么情况吗？ 来，我画的这种情况，此时点， pm 点还有 h 点是贡献的，那这种情况就非常好求了，我们只需要干嘛？只需要用点 h 的横坐标，五 再减去谁啊？五再减去点屁的横坐标，他是一吧，所以最后结果是四就行了，五减去 他这个行作表示一，所以横线上直接写四就行。这个实际上考察的就是谁啊？就是椭圆的第二定义。你说这个结论，这样一个二级结论好用不？好用？非常好用的啊。 我们继续来看第二个二级结论，交办警工室。这个交办警工室的话，形式上非常好记，已知椭圆，这个是焦点在 x 轴上的标准位置的椭圆方程，对吧？一看就能看出来， 并且他说呢，这个点屁他是谁？他是椭圆上的任意一个点 x 零块零。那么事实上我想说的是点屁跟左交点的距离，比如说 这个二一啊，这个就称为交半径，这个交半径二一实际上只跟点屁的横坐标有关，跟纵坐标是没有关系的。为什么呢？因为对称为止吗？你哪怕移到下边这个屁撇位置是不是一样的呀？所以说他只跟横坐标 x 零有关。那么怎么来记呢？ pfe 等于 a 加上离心率，再乘点 p 的横幅坐标，然后 pf 二就是右交点的这样一个引出来的交板 环境，这是 r 啊，它是等于 a 再减去 e 乘 x 顶的。那简单来记，什么时候是加号，什么时候是减号呢？其实这样来记啊，正好是反过来的，左边是加，如果是左边引入的这样一个 交半径而已的话，那就是加号，这个位置是加号，如果是右边 f 二又交点引出的这样一个交半径，那反而是减号了，这个千万不要混了啊。那么关键怎么挣呢？挣一个，另外一个你肯定就会挣了，我们现在呢，来证明一下啊。嗯，具体来说怎么挣呢？看好了啊。 首先 p f 一加上 p f 二，它是等于二 a 的，任何一位同学都知道吧，这个是椭圆的第一定义，椭圆就是这么定义的。那接下来的话，根据两点之间距离攻势的话，那肯定就得出来 x 减去负责，那就是加上 啊，然后写就行了，展开就可以了，对吧？ x 减去四的平方，外方等于二 a， 我们去掉根号的过程中呢，直接平方是不行的啊，很麻烦，我们需要干嘛呢？哎呀，其实我们是需要把其中一个根号移到等号右边去的， 比如说我们把第二个根号啊，移到等号右边去，那就变成了这个样子了。变成这个样子之后的话，在左右两边分别平方，左边的话很简单，直接去掉根号就行，右边的话根据完全平方差公式吧，根据完全平方公式的话，就变成了四 a 方。 然后还有这个整体的平方，首先就是 x 减 c 平方，然后他还有一个交叉相板，那就是减去四 a 倍的这样一个根号下 x 减 c， 再加上外方，那么写成这个样子之后的话，先别着急啊， 这个是谁到谁的距离，这一部分很特殊吧，其实我画圈的这一部分，他是点 p 到谁的距离啊，此时我们点 p， 假设的是 x y 啊， x 就是点 p 的红坐标。那好，我们直接写成 p f 二就行了吧，其实画圈这部分直接写成 p f 二就行。 好，这就是。嗯，右边这样一个右交两引出来的交半径，那么写完这个 pf 二之后的话，现在你要来看了，其实这两部分长相是雷同的，我们移一下，像四 apf 二一到左边来， 然后呢，你看这两部分吧，然后做一下一项一到一半来回编号吧，然后会剩下一个多少负四 cx， 那么四倍的话，左右两边肯定都可以消掉，这个四倍没有任何问题。那么变成他之后的话，在 在左右两边乘一个 a 分之一吧，或者说除 a 就变成了 p f 二等于什么东西啊？等于 a 减去 a 分之四 x， 注意，这个 x 实际上就是这样一个公式，里头的 x 零其实就是点 p 的横坐标。 现在应该清楚了吧，只要 pf 二会证，那 pf 一你自己肯定也会证。那么接下来一定要记住左加右键这样一个口诀，左边左交点引出的交满警，反而是加号， 又交点引出的小环境反而是减号。至于焦点在哪，焦点在外头上，标准位置退货源，他的结论呢？你自己来讨论一下就可以了。来看了啊，我们来做一道高考原题， 这个题目怎么说？这个题目其实非常简单啊，看左右焦点，那我就写呗，左焦点右焦点，其实你都不用求，咱们只用求一下，长出 aa 方等于四， a 就等于 二八，然后 b 方等于一， b 就等于一，然后 c 方等于 a 方减 b 方。实际上 c 的话本身是等于多少的， c 是等于根号三的，都没有任何问题。所以此时的话，左加右减啊，那就是 a 加上离心率，再乘点屁的横坐标吧，这就是点屁的横坐标。那么我们把数字带入，实际上这个 a 不就是二了，再加上一个二分之根号三倍的 xp 没有任何问题。那么 pf 二的话，同样的道理啊， a 减去离心率倍的， 然后他中间就变成了什么，变成了减号了。所以此时的话，圈一和圈，我们做一下乘法就行。也就是说， pf 一乘 pf 二变成了什么东西啊？变成了四，根据平方差公是吧？然后就变成了什么？变成了四 四分之三倍的 xp 的平方，你要注意，这是正的，那四分之三倍的平方，他也是正的，但是四减去一个正数，不就相当于加上一个复数，所以他肯定是小于等于四的，因为你减四，再减去一个正数，对吧？小于等于四，那么最大值不就是四吗？什么时候呀？ 当这个 xp 怎么样，他的横坐标实际上是等于零的时候， xp 的平方不就是零吗？此时我们就能够取那个等于号等于四了，所以最大值就是四，可以取得到。 那继续来看第三个结论，这节课我们讲三个结论啊，主要还要讲证明第三个结论的话是椭圆焦点三角形的面积公式，这个结论也非常常用，那么很多老师的话直接让你记结论，并没有告诉你证明方法，我都讲一下，他是这么说的，首先 f e f 二点是左右两 交点，点屁呢，是腿上任意一个点，从点屁向两个交点的方向引出了一个张角，这个张角的角度呢？度数呢？我们即为 c 等。 那么此时啊，这个焦点三角形实际上就指的是三角形 p f 二，他的面积其实只跟 c， 他只跟这个角度有关，他跟别的任何因素都没有关系， 他其实就等于长竖臂。方臂是什么臂？是将就外方下边这样一个码臂，就是半短轴，然后再乘摊着呢，二分之 c 的哦，只要 c 的是一个定制，那面积求出来肯定是个定制。 那么这个结论关键在于他怎么挣呢？实际上只需要结合鱼先定理，还有三角航能变换，我们推倒一下就可以了。来这样来证明啊，首先我们把这个 pf 一左边这样一个交半径即为二一 一啊，然后 pf 二右边这个搅拌镜 pf 这条线的那长度呢？我们记为二二。那么显然，根据余弦定理，这个我相信每一位同学都是清楚的吧，没有忘记余弦定理吧，余弦定理的话，在三角形 p f e f 二中， f 一 f 二的平方， 实际上是等于 r 一方加 r 方，再减去二倍的 r 一乘 r， 再乘口三 c 的就是它。那么你要注意的是什么呀？左边是谁？左边实际上就是二 c 阔著的平方，其实就是四四方，没什么好说的。 右边的话， r 一方加 r 方不是一个常数，但是 r 一加 r， 根据椭圆的定义，实际上就是 r a 呀，这就是椭圆的定义，对吧？那么再减去什么？减去 r 倍的 r， 为什么？因为 那这样才能凑齐嘛，再减去原来就有的二倍的二一二，再乘口三 c。 写成这样的之后的话，大家要注意，二一二二其实就是二 a 二二一的平方，那其实不就是四 a 方吗？ 那么经过整理之后的话，其实就是四 c 方等于四 a 方，嗯，减去二倍的 r 一 r 二，然后提出来以后，括号里头就是一加上 q 三 c 层经过整理啊，很容易得到这样一个结果， r 一乘 r， 他其实就等于二倍的 b 方。在除一加口三 c， 因为 a 方减 c 方，其实就是那个 b 方，很容易啊， 那么到了高中阶段呢，我们学过一个三角形的面积公式，它的公式是什么？是二分之一边长乘边长，再乘夹角的正弦值了。所以经过处理之后的话，你把 r e、 r 这个整体带入什么？带入到这样一个结果里头，那么结合一下，带入以后就变成了比方二分之一，再成二，削掉这个二了吧，变成一了，然后呢把这个三放到分子的位置， 然后呢把这个扣一加口三呢，放到分模的位置。经过整理之后，你别忘了还有个什么呀，在三角横等变换里头有一个万能公式的，其实三 再比上一家口算，其实这个画圈的整体，这个分式就是等于贪真的二分之 c 的，我们不就讲了吗？就是这个整体啊。 那么当你剪完这个数字之后的话，接下来就非常简单了，咱们练一道题，这道题目说的是什么？说的是焦点三角形吗？很简单，他说这个角度呢，变成了六十度了，我们直接套公式， b 方乘摊准 他二分之 c 的，其实贪着他二分之 c， 他就是谁，贪着他二分之 c， 他，他就是等于二分之六十度吗？这道题对吧？面积等于三倍，根号三已经告诉你了， 那么接下来摊子的三十度你说是多少？摊子的三十度其实就是三分之刚好三。我们整理一下， b 方实际上是谁呢？就是等于九，那 b 不就是三吗？这道题很简单就算完了，所以你说椭圆的二级结论究竟好用不好用呢？分享课堂知识，感受数学之美。我是杨芳老师，下期课再见！

大家好，欢迎收看数学王子特训，我是魏老师，我们讲一个解析几何椭圆的高考这题啊，原题是以选择题出现的啊， 看题目已知，椭圆一 a 方非之 x 方加 b 方非之外方等于一， a 大于 b 大于零， 右交点是 f 三零右交点。知道了啊，过点 f 的直线交椭圆一与 ab 两点，若 ab 的终点坐标为一，逗号负一，则椭圆一的方程是怎样的？那么看到这个题啊，你就应该能联想到点叉法， 点叉法啊，是我们在做解析几何中经常用到的一种方法，那么但是点叉法注意啊，我们需要用到一个三个要要素啊，第一个就是方程，就是椭圆的方程，或者是双曲线的方程， 然后第二就是终点，就是一个弦的终点啊， ab 终点，然后第三个呢，就是 ab 斜率， ab 斜率啊，知道这个东西，那么把它的结律式写一下啊，它对应就是 a 方飞之 s 零，对于椭圆来说啊，加上一个 b 方飞之 y 零 k ab， 他等于零，他等于零啊，这就是椭圆的点插法。结论是，你这个家伙怎么来的呢，我们就可以试啊，就是大家稍微推一下这个题啊，我们先画一个椭圆啊，画个椭圆， 嘿，你们随便画一个写吧，随便画啊，这是 ab 那点叉法的话，就是给了两个点啊， x 一万一，然后 b 的时候画是 x 二 二，那么看一下啊，你看这两个点是不是都是在椭圆上的，所以都是椭，都是符合椭圆方程的啊，就是 a 方飞之 x 一的平方，加上一个 b 方飞之外一方等于一， 然后把 x 二方也带进来啊，加上 b 方非之外二方的一，那么这两个式子做叉，点叉，点叉就是做叉吗？你看一减二刀就变成了 a 方非之 x 一方，减去 x 二方， 对吧？然后加上一个 b 方非之外一方，减去外二方 等于零。那么看上面妃子是不是都是平发章公式啊？那么就可以用平发章来公式来把它展开了啊，就变成了 x 一加上 x 二， 然后你这边就是 x 一减去 s 二，再加上一个 b 方飞之 y 一加 y 二乘以个 y 一减去 y 二， 等于零，对吧？那么知道我们刚才说了，你有三个元素啊，三个要素 ab 终点，我们还要把 ab 终点射出来，我们射 m 吧，射为 x 零 y 零，对吧？所以注意我们写这了啊， 那么上面就变成了，你看 x 一加 x 就是二倍的 x 零，然后这边呢？ 你这边的话，外一加外二就是二倍的外零，对吧？然后我们再看还剩一个 x 一减 x 以及外一减外二，那么这个家伙和斜率是有关系啊，你看外一减去外二比上 x 一减 x， 就是这个式子啊，上市左右两边同时除以 x 一减四二，那么这边你看是不是就会变成了一个斜率啊？是不是？然后二和二消掉啊？所以就变成了 a 方非之 x 零，加上一个 b 方非之 y 零， k ab 等于零，对吧？对，记住这个式子啊，我觉得这个式子是容易记得啊，你也可以用其他的式子来递，有有些事可以直接把 k a b 表示出来，也是一样的啊，你把它整理一下，没所谓的， 但是我觉得这个柿子还是比较容易正义，比较容易记一点的啊，那么这个时候我们就会发现，往里面套就行了，我们把 ab 表示出来，那么对于这道题来说，我们可以画一下他的图形啊，把他的图形再画 一下， 经过一个椭圆，哎，他的右脚点是三零啊，右脚点是三零，然后 ab 的终点是一负一，一负一是向下啊，稍微画一下吧， 这个样子吧，这是 a， 这是 b， 对吧？你这边终点是在这，那所以你看 k ab， 我们是不是就知道了， 对吧？所以我们利用两点球， ab 啊，先把 ab 球出来，那么 kab 的话，对应就是零减负一，是不是零减负一，那么就是写详细点吧，然后这边就是三减一， 那对应的不就是二飞之一吗？是不是 ktv 是二飞之一啊？然后 x 零和 y 零是一和负一，带进来先，哪写不下了呢，就在上面了啊， 那么就变成了 a 方分之一减去一个 b 方分之二分之一，那就是他的于零，所以你的 a 方就等于二， b 方啊， 那 a 方等于二， b 方的话，说明你的 b 方和 c 方是相等的，是不是因为 a 方他就等于 b 方加 c 方嘛，那么 c 等于九，那说明说明你这个 b 方也是九，那么 a 方 b 方等于 c 方，那么它就等于九，那么 a 方等于二， b 方就是十八，那么这个腿的方程就出现了啊， 是十八分之 x 方加上一个九分之外方的一，那答案就出来了啊，这是我们讲的比较详细点啊，但是如果你直直接知道这个公式的话，你直接一分 就可以搞定了，是不是把 kb 球终点都不要往里面带， a 方， b 方就出来了，对吧？就出来了啊。 ok， 这个题我们就讲到这里，谢谢大家收看，我们下期再见。

各位同学大家好，我是研发国老师，今天呢，我们给大家分享一下之前考过的皖南八校第二次联考的圆锥曲线压轴题啊，因为这段时间呢，集中在研究这一部分的内容，给大家做一下分享啊。他说 哦，这个椭圆呢，经过点，根号三二分之一，其右焦点为 f， 根号三零。那我们做这个题目的时候呢，大家注意，那做这个题目，大家注意，第一问非常好，求 c 等于根号三，然后把这个点往里面一带，我们知道椭圆 c 的标准方程呢，是四分之 x 方 加上外方呢，等于一。好，这个比较常规啊，他说椭圆 c 的右顶点为 a。 好，那我们这个时候呢，我们知道 a 点的坐标呢，就是二零啊， p q 呢，在椭圆 c 上，且满足 a p 与 a q 的 斜率之积为二十分之一，对不对？好，那这个时候呢，我们 p q 这个直线呢，我们可以设一下，大家写个解。第二问啊， 解第二问，那我们设 p q 这个直线呢？为什么呢？为 y 等于 k x 加 m 啊，大家在设的时候，不要设 a、 b， c 这些量了啊，因为因为已经它在椭圆中呢， a， b， c 呢，有特质哈，然后呢， p 点的坐标呢，为 x 一 y 一 q 点的坐标呢，为 x 二 y 二。好，我们先去思考一下，他说 a p 与 a q 的斜率之机好， k a p k a t 呢，就等于 y 除以 y 一除以 x 一减二。 k a， q 呢，就等于 y r 二除以 x 二减二，所以 k 则则 k a p 呢，乘以一个 k， a q 等于什么呢？ y 一 y 二。分子呢，我们可以写一下哈，分子呢，就等于 x 一 x 二，减去二倍的 x 一加 x 二加四可对？好，写成这个式，这个式等于多少呢？等于二十分之一 啊，所以呢，大家要清楚，我们接下来只需要利用伟大地理呢，把这里面的东西呢，给他带入去算就可以了。好，那这一步呢，大家可以尝试着这个连力方程组啊，那么大家看，连力连力 四分之 x 方加上 y 方等于一好，然后 y 等于 k x 加 m， 这个连立起来呢？是这样，难度呢，不是很大啊，大家对外星平方再扩大四倍，实际上就是四 k 方 加一倍的 x 方可。对，加上八 k m x 加上四 m 方减四等于零， 没问题吧？好，那这个时候呢， x 一加 x 二呢，就等于八 km， 负的八 km 除以一个四 k 方加一， 这个 x 一乘 x 二呢，就等于四 m 方减四，除以一个四 k 方加一 可对。好，那我们接下来算一下， y 一 y 二， y 一 y 二呢，就等于 k x 一加 m 乘以一个 k x 二加 m 啊，大家呢，需要常规的去算一下，那我们就不带大家算了，我们直接一步到位哈，就等于多少呢？等于 m 方减四 k 方除以一个多少，一加四 k 方 可。对，那接下来呢，我们知道标黄的这三个式子呢，我们给它带入到红色圈圈圈住的这个内容中，带入完之后呢，大家能得出啊，带入整理的 这里得什么呢？得这个六 k 方加 k， m 减 m 方呢，等于零，也就是二 k 加 m 乘以一个三 k 减 m 等于零，那这个时候呢？这个时候呢，解得 m 等于负二 k， 这个条件要舍掉，因为 m 等于负二 k 的时候呢，这一个 p q 直线过 a 点，对吧？或 m 等于什么呢？等于三 k， 那也就是说我们解出来的这个关系呢，是 m 等于三 k， 那 m 等于三 k 呢？大家就知道了， m 等于三 k， 大家就知道了，则则 p q 直线方程呢？是 y 等于多少？ 等于 k 倍的 x 加三，所以呢，它过定点呢？过定点， 我们记为这个 g 负三零啊，过定点负三零的话呢，大家画一个简图，我们给大家简单的来看一下哈。嗯， 好，画一个椭圆， 画一个在底下画一个椭圆吧。啊，大家看， 因为篇幅的关系，我们的椭圆呢，我们就画小一点啊，大家看，这个是 y， 这个是 x， 这个呢是 a， a 是二哈，这个点呢是 g 负三啊，那这个时候呢，我们画一条线，大家注意哈，是这样子的，好 一个是这一条，还有一个呢，我们用手画了啊，是不是这样子的可，对啊，这个一个是 p， 一个是 q， 没问题吧，那我们算 a p q 面积，就这个面积， 快点，那这个面积呢，大家要注意了，那接下来，则这个 s 三角形 a p q， 那就等于 s 三角形 a g q 减去 s 三角形 a g p 就等于什么呢？就等于 a 二分之一乘以 a g 就是五，二分之五乘以一个 y 一减 y 二，就等于什么呢？二分之五倍的， 这个里面呢，就是外一加外二括外的平方减四倍的外一外二，哎，等于这个式子，那这个式子呢？大家接下来呢，还是根据之前的有尾答地理呢， 由伟大电影得出的 x 一，得出的 y 一 y 二可对啊，那这个时候 m 方就等于九 k 方，所以它就等于多少了？五 k 方除以一个一加四 k 方只和 k 相关了啊，只和 k 相关了，那接下来呢，接下来呢，大家要注意 no y 一加 y 二呢，是不是也要算一下啊？ y 一加 y 二，我就不带大家算了哈，等于多少呢？等于六 k 除以一个一加四 k 方。好，那这个大家往里面一带呢，整合成就之后就多少呢？就是十乘以一个 这个 k 方减五 k 倍的四次方。 五 k 四次方啊，开个根号除以一个多少除以一个一加 四 k 方啊，那这个时候呢，我们大家在解的时候需要注意了，令，把分母直接给他拿掉，令 t 呢等于一加四 k 方啊，知道大于等于一的哈，那这个式子呢，就写成 st 呢，就等于十 乘以一个 t 分之多少呢？这个就是 t 减一除以四， t 减一除以四减去一个五倍的 t 减一除以四括外的平方。 这个一整合的呢，里面写出来的呢，就是，就应该是一个二次的形式啊，题目难度呢也不是很大，大家接下来把分母的 t 呢转化成根号 t 方给它塞进去，利用二次的形式去解，这个题目呢，就能做出来了。 呃，印象中没错的话呢，这道题的答案呢，应该是三分之五啊，大家可以代入的去试一下。好，那这道题呢，就给大家分享到这里，其实仔细的去想一想，题目的难度不是很大，通过斜率之七为二十分之一呢，能够得出这个 pq， 这个直线呢，过定点，然后 接下来根据面积的转化关系去做就可以了。好，那这道题其实还可以用平移习四法呢，来做，这个 a p a q 的斜率值积为二十分之一，用写拼音写字法呢，能够比较容易地得出它过定点负三零，但是接下来第二步呢，反而还会复杂一点，所以不推荐这种方法。好吧，好，这题就给大家分享到这里，感谢大家的点赞和关注，谢谢大家。

高考必考题型，赶紧看完， 你们看关键词，椭圆，直线，中点，看到这三关键词，好了，结束了，实力结束了，直接选 a。 为什么来看啊？ x 中比 y 中 等于负的 k 乘以 a 方比 b 方， a 中 y 中什么东西？是这个直线中点这个弦的中点坐标啊？中中啊， k 是这个直线斜律， a 方 b 方不用说了吧，对吧？ 其实这就是点插法的最后结果，记录很有用，对吧？这个多少？一负一？ k 是已知的啊，就是两个点吗？点斜式啊。呃，零减去一个负一，除以个三减一等于二分之一，对吧？ 复划余量，所以 a 方比 b 方式等于二，那只有 a 了，十八比九等于二了，对吧？当你要填空题也可以算的，因为这个 c， c 方等于九吗？对， c 方是等于 a 方减， b 方是一个十八一个九，对吧，也是一回事，对吧？直接往上就等于是把这个一负一还有这个 k 方的一代。此题结束了，就三秒，说了半天，其实就三秒，因为这是已知了，已知了，已知了，直接得到 a 方， b 方等于二，对吧， 非常爽哇，你看这个太麻烦了，我的天呐，你看看到没有，太麻烦了， 你要现推，你都完蛋了，你要现推那种悲剧啊。对啊，不需要现推吧，你要现推现算。一道题领先别人多少，你想想对吧，这一道题领先别人多少？还有啊，你看陕西省西安中学，我最需要一流啊， 是吧，来看这个，看到吧，有没有，有没有，是不是一样迷校，哎，都是迷校，不是直接来，你看腿 直线中点关键词有了吧。好，来了啊， s 中比 y 中等于负的 k， a 方比 b 方。刚才 题啊，刚才录完一中那道题啊，是已知他俩，他和算他，对不对？已知他，他算他，现在反过来你看，已知他和他来算他来算斜率，对不对？一样，秒三秒结束。对 x 中外中来。不用说，一比一， a 方 b 方， a 方比方，这个离心率就知道离心率。我知道椭圆的离心率啊，这个 b 方比 a 方啊，是等于一减一方，对不对？对吧？因为这个是 c 比 a 吗？对吧？因为椭圆那个 c 方等于 a 方减 b 方吗？这个离心率一带啊， 等于就是等于四分之一了啊，这是平方四分之三，这，这就四分之一吧啊，这就是四了啊，因为这是 a 方比 b 方。看好了，这是 b 方比 a 方啊，这倒过来就是四。那 k 等于几？负了十分之一负，负得正，这边是一啊，这是四的话呢？ k 就等于负了四分之一， 对吧？所以是这个题是已知他和他算他，刚才那个题是已知他，他来算他，对吧？我就问你牛不牛？牛不牛？来， 西安中学啊，都是名校啊，这都是名校最后的压轴，牛不牛？就问你牛不牛？对，西安中学 不用那么复杂，太复杂了。第几滴？第十滴啊，不用那么复杂。对， 所以一道题领先别人多少你自己想想啊。啊，如果是双曲线的话，就把它复画去掉。椭圆带复号啊，修理线里没有复号。一样啊，一样米啊，修理线有没有也有啊？

你有没有过这种经历？当你还在读题时，旁边的学霸早已写出答案，开始思考一会吃什么。一脸懵逼的你百思不得其解。虽然成为学霸的道路很艰辛，不过学会今天视频中这条性质，绝对能让所有人都膜拜你！学霸看到了都想举报你，他就是椭圆的极点与极限。 已知，椭圆方程 a 方分之 x 方加上 b 方分之 y 方等于一。设 p 点 x 零， y 零为几点？将 p 点坐标带入到椭圆方程的一组 x 与 y 中，就会得到一条神奇的直线方程， a 方分之 x 乘 x， 零，加上 b 方分之 y 乘 y， 零等于一。它就是几点所对应的极限。它神奇的地方到底在哪里？ 我们看下面这条线落点 p 不在椭圆上。假设此时在椭圆内部，从 p 点引出两条直线，交椭圆于 a、 b、 c、 d 四个点，延长 a、 c、 b、 d 交于点 m 延长 c、 b、 a、 d 交于点 n， 那么 m、 n 两点一定落在刚刚所说的那条神奇的直线上。 此时 p 点为几点？直线 l 为极线。记住概念，我们直接看二零二零年全国卷。第一问，很容易得到椭圆方程为九分之 x 方加 y 方等于一。重点看第二问。我们可以将题目改写为，从图中红点处做两条直线，分别与椭圆交于 a、 b、 c、 d 四个点， 延长 a、 c、 d、 b， 那么它们的焦点 p 一定落在一条定直线上，这条定直线就称之为极限，而一开始的红点就是我们对应的极点。 知道极限方程求几点，那不是很简单，先根据椭圆求出对应的极限，九分之 x 乘 x， 零，加上 y 乘 y， 零等于一。 由于 x 等于六是不含 y 的，所以 y 零一定等于零。我们将式的化解得到 x 等于 x 零分之九，所以 x 零分之九等于六， x 零的值等于二分之三。那么对了几点，也就是直线所过，定点就为二分之三，造号 零。当然如果高考你敢这么写，他就敢不给你分，我们还是要象征性的写一下过程，就好像看完视频的你象征性的给我点一个赞一样。所谓象征性的过程，你知我知，至于别人知道不知道就不关我们的事了。我们先设出直线 ap 的方程，令 x 等于六就可以得到 p 点坐标，再将直线 ap 与椭圆连立，就可以得到 c 点的坐标。 同样的方法，连地直线 bp 与椭圆，得到地点坐标。根据极限与极点的概念，我们知道该定点一定为 cd 与 x 轴的焦点，所以你可以霸气的写上一句话，由提议该定点。显然在 x 轴上，我们设定点为 x 零，逗号零。 根据三点贡献可以得到下面这样的一个方程。最后你将 cd 坐标带入到方程中，就可以放飞自我的写上三个字，整理得 x 零等于二分之三。

清华学霸小课堂，今天我们请到的是 大家好，今天给大家啊接讲一道数学一道题吧，因为他用的东西比较综合，嗯，什么题呢？就是比如说一个椭圆 啊，然后椭圆下来一条线，现在设这个椭圆是这个 x 方比 a 方加 y 方比 b 方 等于一，然后这条线是 y 等于 ks 加 m。 很多朋友可能会以为说，我可能要求这个椭圆上点到线的最小值啊，这个就比较好求了，因为你可以用一下这个求团的斜率，然后就可以求到这个最小值。但今天不是今天，怎么说呢？ 今天我要求团上一个点啊，纵向到这个线的距离加横向到线的距离啊，这个 s， 这个是 y。 呃，然后首先有一点难题，第一点就是 fy 怎么表示？ 表示问题我们现在看就是，如果说你不设这个团上点，能不能把 s 表出来，因为这个问题你很容易想到这个团上点到到直线距离就是这条垂线的这么一个长度，如果说你想到他，然后你想去用斜率组，如果说你不把 s 表示出来， 这个题也没法像刚才一样就是那么轻松。所以说你首先就要把该表示出来，要把图案上的点一个坐标搞出来 啊。现在这个团上面坐标一个比较比较稀少的一个标准码，就是说他三百三百换元。 s 等于 ab 的头三角形啊，这个 s 是那个是那个坐标啊， s 坐，然后外坐等于这个必备的 s 线又等于什么？ s 就等于说线上横图标，剪腿上横图标的，因为你对每个椭圆画这样的横线，你发现同样的弯的话，这个线的横图标面是大于而且 s 这个长度，所以说这个你就是这个线横图标剪腿上横图标就是 b 三眼皮的 减 m， b k， 然后减去减去图案上的目标 a 口在底层，然后 y 也是一样的，就等于这个 b c 底层减去 k， a 口在底层减 m， 呃，然后我们说一下，这个 s 加 y 就等于呃把它俩在一块，然后现在又遇到一个小小的问题，就是说呃，一个 x 一倍的三 系统加上 x 二位的口算系统啊，他的最大是七小时问题，这个相信如果说大家呃接触到一个二轮复习之后，这个比较简单，就是刚好下 x 一方加 x 二方啊，然后 正负，呃，因为说你这个口算三，你都能取吗？所以说这个就是负的。等会在 x 一方加 x 二方，然后这个 x 一 x 二，你就是 x 一，就是把算一前面的系数整合到一起，然后 x 二，就是把把口算前面的系数整合到一起，然后就求出来了，然后你再把这个 一个 m 给它加上，就是减去 k 分的 m 减去 m， 然后这个就是这个 x 加 y 的最后值啊， ok 了。

好，同学们，今天我们来讲一下这二四十四分的一个大题啊，这个选的呢，是一个几何的一个问题。 嗯，首先拿到题目以后，我们先来观察一下题意，哎，他这里说题目给了我们一个椭圆，然后呢，给我们焦点坐标，对，给到的是焦点，那我们的焦点坐标的话呢？是一个是西林，一个是富西林， 对吧？然后给离心力，给离心力，你要知道他是 a 分之 c。 好，题目，大概知道他给了这些条件了。好，第一问求的是标准是方程，那就要根据题目有的条件啊。第一问写 有题目，我们知道，哎，因为椭圆方程的焦点。嗯，把我们已知的这个条件给他写一下， 哎，他的焦点坐标。哈， 是一个是二倍根号三零，一个是负二倍根号三零。 好，此时通过他，哎，我直接可以得出 c 是等于二倍杠二三的，哎，又，因为我知道一是等于 a 分之 c 的，也就是我们说的二分之杠二三，对不对？那通过我们知道 c 是不是二倍杠二三，那 a 的话呢，是不是就可以解错了？ a 也就是等于四， 对吧。那好了，知道 a， 知道 c， 那就可以通过什么参数关系，哎，椭圆的一个参数关系，参数关系是什么？好，我知道，所以 b 方是等于 a 方减 c 方的，那就是说好呢，十六减去十 啊，也就是四，对不对？那知道这个，哎， a、 b、 c， 我是不是已经求出来了？知道 a、 b、 c 以后，我就可以算出啊椭圆方程了。哎，知道 a、 b、 c 就可以写成是 x 方比上十六， 加上歪方比上四是等于一的。哎，只是第一问，我就把它搞定了。好， 第一问搞定以后，我们再来看下第二问啊。第一问一般来说都是比较基础的一个内容啊，但是第二问呢，他会稍微比较复杂一点点。 首先你看他走进这里说了他教的是什么？ ab 两个点，然后让你求的什么悬长 ab， 同学们可能一下子会想到，哎，这里可以用悬长公式，但是悬长公式用了以后呢，对于第二本来讲有没有意义？第二本说的他是什么？哎， 通过 p 点啊，平分 ab 的直线方程，那也就是说你要求这条直线方程，你必须要知道什么？ ab 这个坐标对不对？那你既然要知道 ab 这个坐标，你就要把 ab 干嘛带进去求解出来，那这道题怎么办呢？哎，首先有题意， 好，我们根据还是这样有提意，他给了我们什么东西？给了我们直线方程啊，有提意，知道直线方程 l 是等于 x 加二， y 减四等于零的，对吧？那这条直线方程呢？哎，它是一条，一般是，那我们要把它转换成我们的标准式方程，那转一下，哎，化为 y 等于负二分之一， x 加 二，换成这个有什么用呢？哎，你看到这里的式子以后，你就可以得到斜率 k， 所以直线 l 的斜率 就是多少 x 前面的我们说就是斜率嘛，对不对？那就是 k 等于负二分之一，你知道斜率有什么用呢？我们刚刚讲了，我们是不是要求 a b 这两个点，那就连立两条方程。连立谁？题目说它是跟 椭圆方程啊，它是跟椭圆相交，所以连力直线跟椭圆方程，那就是说啊，连力 y 等于负二分之一， x 加二， 跟 x 平方比上十六，加上四分之 y 方等于一，好，连立以后我们可以干嘛？嗯？把 y 带进第二条食指底线 削 y， 对不对？我把 y 削了，削 y 以后呢，会得到某条式子把。我们说了把 y 带进去，对吧？带进去以后他就会变成 x 平方加上四负二分之一 x 加二的平方等于十六嘛？ 好，这是完全平方公式，通过完全平方公式进行一个展开，也就是 x 平方加上四，四分之一 x 平方减去二， x 加四等于十六啊，去括号一项，哎，接着画减，把它画到最减， 对吧？你画的最简了吗？还没有，还要继续合并同类项吗？那画的最简以后就是 x 平方减去四， x 等于零，那此时我是不可以解出来。解得谁啊？啊？解得 x 是不是两个，一个是零，哎？或者什么？一个 x 是等于四的吗？对不对？那 x 是零的时候是不是可以知道 y 呀？ y 算出来就是 y， 算出来就是二，第二个 y 算出来就是零，对不对？那你知道 x 跟知道 y 的时候，所以此时我就知道了，哎，所以我就可以写出来，哎， a b 两点坐标就可以知道了， 分别为零二，还有一个什么四零。对了，哎，知道 a 跟 b 两个坐标我就可以，直接干嘛？求全长。是不是 a 跟 b 之间的具体公式啊？那就是 全长 a b， 我就可以直接带两点间的距离公式，也就是二的平方加四的平方，那就是二倍杠号 五，对吧？好，此时再看，看看我们是不是已经把悬长取出来了，然后我们再看悬长，知道以后第二问条件是什么？哎，他要过 p 点，并且平分 a b， 那要平分 a b， 那是不是说明他过 a b 的？超过一则通知，超过一则通知。现在啊，离高考越来越近，如果你想知道高考考什么重难点是什么的话，一定不要错过这两个冲刺集训。 我把所有的精华冲刺必杀技砂浆全部放在里面了，并且送你九套仿真密卷，三套押题金卷。偷偷的告诉你，我单科最高的押题记录是押对十三题。在二零一九年 有了这个课程，你还怕不会冲刺吗？抓紧时间上车，让你走上人生的巅峰。好，我们继续讲。好，我们求出了 ab 这个悬长以后，哎，是不是要知道他的一个终点坐标？好，我刚刚已经求出了 a 跟 b 的坐标，那求 ab 的终点坐标。哎，走 a b 终点就是什么？直接套终点坐标公式，零加四除以二 啊，零加二除以二，那就是什么？也就是二一，对吧？好，知道重点坐标。哎，题目又说了，因为直线 是经过 p 点删删的，所以呢， 我可以求出他的斜立 k 二是等于 y， 二减 y， 一比上 s， 二减 s 一，也就是二减去一减去三，比上二减去一，也就等于二 a， 所以它的 k 呢，就是 x， y 二减 y 一 s， 二减 s， 一等于一减去三，二减去三，也就是二。好，此时我知道 k， 然后就可以带什么点斜式方程，哎，急！ 直线方程就可以直接带点斜式，也就是 y 减三等于二， x 减三，画到最简，画到最简就是 y 等于减去二， x 加三等于零，这就是我最终结果了。

这个讲椭圆大题题型总结的第五十五讲椭圆大题面积最值问题。什么典型例题所已知点 a 的坐标呢？是一多少零点 p 呢？是原 c s 加一的平方加 y 的平方等于八上的任意一点啊，那线段 p a 呢？它垂直平分线与直线 c p 呢？交于点 e 啊，求这一个点 e 的轨迹方程 啊。首先呢，我们要知道这个圆呢，它的圆心呢？是 c 点啊， c 点坐标呢？是负一的和零好，然后接下来 a 点呢？刚好是一的和零啊，然后接下来你画这一个圆，好，然后接下来他说这个，呃 ap 的垂直平分线啊，与这个 cp 交于这个点一啊，所以我随便画一下啊，我就是 呃做这个 a p 的垂呃，垂直平分线做 a p 的垂直平分线啊，我我，我们知道这个垂直平分线上的点到什么到两个端点的距离是相等的，对不对啊？所以，所以我就知道这个 e 啊，垂直平分线与这个 c b 交易点 e， 所以我就知道这个 e e 到 p 的距离和 e 到 a 的距离是相等的，对吧？所以我就再连接一下什么呢？再连接一下这里面的 e a 就可以了。连下 e a， 那么连接 e a 的话，所以我就知道这里面这个 e a 和 e p 相等， 那么你看这里面这个 e a 加 e c 是不是一个定制啊？ e a 加 e c 是不是就刚好就是什么等于这个 e p 加 e c， 看懂了吧？啊，因为 e a 和 e p 相等吧？ 啊，所以我就知道 e a 加 e c 刚好就是这个圆的半径 c p 就行了，对吧？啊，所以我就知道 e a 加上 e c 刚好就等于什么这个圆的半径 c p 就可以了，对吧？那么 c p 的长度等于几呢？就圆的半径是二倍杠二，对吧？所以是二倍杠二， 好，它是二倍根号的话，然后下来，你看，它刚好是比这个 c a 的长度要大的，对吧？比 c a 大，那 c a 呢？是二好，所以它 比 c 大，它比 c 大的话，所以，所以呢，根据这个椭圆的定义，所以我就知道这个一点轨迹一定是一个椭圆，对不对啊？所以我就知道一点轨迹是椭圆，这个椭圆的方程呢，就可以设成 s 方比上 a 方，加上 y 方比上 b 方等于好。然后现在这里面这个 a 等于几呢？因为二 a 等于二倍杠二，所以 a 呢等于根号二， a 点刚好，然后这个 c 点和 a 点呢，是不是刚好就是它的两个焦点啊？啊，所以我就知道这个小 c 呢等于一，小 c 等于一的话呢， b 呢也能算出来了，是吧？ b 也等于一，对吧？所以这个图形的方程呢，就直接是 s 方比上二，再加上外方等 e 就可以了，懂了吧？好，这个是第一小文啊，我们重点看这个第二小文，它过点 a 的直线啊，与这个轨迹 e 呢，交于不同的两点 m n， 则这个三角形，呃， c m n 面积是否存在这个最大值？若存在呢？求出这个最大值及之前有的方程，若不存在， 说明理由。他遇到这种情况的话，是一样的啊，就是把这个椭圆的行为画出来啊，先画坐标系，画一次轴，然后再画一个外轴就可以了，让他画一下这个椭圆啊，椭圆呢，大致是这样的一个形状，好，然后调整一下位置 啊，这是一个椭圆。好，然后下面他说呢，是过这个点 a， a 点呢？在这 a 点是这个右脚点，是不是 a 点是一零，他要过点 a 呢？呃，做一条直线，然后我就做一条直线啊，过点 a 就是，呃做一条直线， 这条直线呢？然后他说与这个椭圆的交于这个不同的两点 m n 啊，比如这是 m， 这是 n。 好，然后他问这个三角形 c m n， c 与 c 点呢？是他的一个什么左焦点，对不对啊？就是左焦点啊，标标出来啊，此一点大概在这位的 这个位置。好，然后接下来我连接一下，连接一下这个 c、 n， 再连接一下 c m， 他求这个三角形，这个 c m、 n 这个面积啊，是否存在这个最大值？那遇到这种情况怎么办呢？首先呢，我设这个 m 的坐标是这个 x 一，逗号 y 一，好， n 点的坐标呢？设成这个 x 二，逗号 y 二就可以了。然后 c 点坐标我们知道是负一的号零，是不是？所以我就知道这么个 ca 的长度呢？是一个定制， 那 c 的长度是一个定制的话，所以这个三角形的面积怎么去表示啊？你看这个三角形，先找到它的核心思想，我们把它核心思想给列出来啊，核心思想 和音四项的话，就是把这个三角形的面积给表示出来。你看这个三角形，三角形，这个 c、 m、 n 的面积是不是我可以拆成两部分啊？就是上面的三角形的面积，就是上面的三角形， 这个 c a m 的面积，再加上下面的三角形，是吗？ c a n 的面积就可以了。我这么写有什么好处呢？我这么写的话，因为我底都是知道的，对不对？底是几啊？底是这个二对不对？所以呢，就直接是这个二分之一乘以底 c c 是二，是吧，然后呢，再乘以高高呢？就是万一的绝对值，对吧？啊？就是万一的绝对值。好，然后呢，后面是一样的，呃，底下相应面积呢？就是一样的，就是二分之一，什么乘以 c c 的是二，然后再乘以什么万二的绝对值就 ok， 对不对？ 好，然后接下来是不是就相当于 y 的绝对值加上 y 一的绝对值加 y 二的绝对值，那么 y 一 y 二一正一负，它其实就是什么？就是 y 一减 y 二的绝对值，这能理解吧，对吧？就是 y 一减 y 二的绝对值啊，因为 y 一的绝对值和 y 二的绝对值呢？一正一负嘛，对吧？啊，所以，所以我就知道 肯定就是啊，万一减万的绝对值，就这意思啊。好，他是万一减万的绝对值的话，然后再来是不是只要算一下万一减万的绝对值，他的一个最大值就行了。那这东西怎么一算呢？要把它写成伟大定理的形式啊。看了，就是根号下什么？ 根号下这个 y 一，然后加上 y 二的平方，然后呢，再减去什么？再减去四倍的 y 一 y 就可以了，这呢就是核心四项，核心四项告诉我呢，我只要算出这个 y 一加 y 和 y 乘 y 就可以了，所以呢，是不是就直接是什么这个直线和这个椭圆连力就可以了， 对不对？那么这直线和短线连地的话呢，这个直线方程呢？我把它设出来啊，看看啊，设置直线方程就是设这个 n m 啊， n m 的直线方程，这东西怎么设？因为因为我要留 y， 对不对？我，我最后呢，我要求的是， 呃，关于 y 的伟大定理，所以要消 x， 消 x 的话，所以我就这个直线呢，我就这样设，就设成 x 等于，因为刚好过一零点就是 m 啊，这个 m one， 然后呢再加一对吧，这过过一零点，我就这么去设，对吧？我这么设的话，消 s 呢，就比较好消啊，然后接下来你看这个东西呢，与这个椭圆的方阵连力， 与这个二分之 s 方加 y 方的一连力啊，两边同时乘以二啊，化解一下，就是 x 方加上啊 y 方，然后减二等于零啊，这两个连力连力的话，把 x 给消掉，那么把 x 消掉之后呢？得到什么形式呢？看了啊，他就直接是 m one 加一的平方，然后呢再加上什么啊？ y 的平方减二等于零，对不对？好，直接把它展开来就可以了啊，那么展开来之后，他是是不是直接是 m 方加二括 后弧 y 的平方对不对？再加上 r m one， 好，然后呢再加上一，再减二呢？就直接是什么减一等于零就可以了，能理解了吧？好，然后现在所以我就知道这里面这个万一加万二和万一乘万二的它的一个值了啊，那么这边万一加上万二 等于负的 a 分之 b， 对吧？就是等于负的 r m 比上 m 方加二，那么 y 一乘 y 二呢？ y 一乘以 y 二等于 a 分之 c， 是吧？ a 分之 c 的话，就是负一比上 m 方 加就可以了，懂了吧？好，然后进来我把这个东西呢，往往往这个核心四项里面带啊，所以我就知道这个三角形面积了啊，所以这个三角形 c、 m、 n 的面积就等于根号下，根号下 y 一加八的平方就直接是四 m 魔方，比上什么底下的 m 方加二的平方就可以了，然后呢再减去四倍的外一万，减四倍的话就是加上，相当于是加上四比上 m 方加就可以了，对不对？好，然后现在通下分就可以了啊？那，那通下分， 那同样分之后呢？得到什么形式呢？看了啊，化解一下，就直接是根号下，那底下呢就直接是 m 方加二的平方，对不对？上面是什么呢？上上面是四 m 方，然后呢再再加上什么四 m 方，然后呢再加上八就可以了，对不对？好，然后把它开出来啊，来，开出来之后 上面是八 m 方开出来就是二倍根号二倍的，对不对？里面呢就是根号下 m 方加一就行了，然后底下呢就直接是 m 方加，那么这 怎么一算它的一个最大值呢？其实很简单，就是就是把它把这个 m 方加二呢给拆一下，我把这个分母 m 方加二拆成这样， m 方加一的整体 再加个一，我这么一拆，这么拆有什么好处呢？就是把这个根号给除下去就可以了，对不对？把这个根号给除下去，那除下去之后，你看是不是就算开了？ 看了啊？我把它除下去，那除下去之后它要直接是什么呢？直接就是上面是只剩一个二倍根号二了，对不对？然后底下呢剩什么 m 方加一除以根号 m 方加一呢？是不是就直接是根号下 m 方加一， 对吧，然后呢再加上什么？再加上一比上根号下 m 方加一就行了，对不对？好，然后接下来是直接用基本方式啊，因为我们知道分母式用基本方式是大于等于二倍的两个相乘，对不对？然后呢？呃，在分母上 就是取个倒数就小于等于了，对吧？啊？所以整体呢，它是什么？小于等于，上面是二倍刚二，底下是二倍刚好，下两相乘，是吧？二倍刚好一啊，对吧？这约约完了，最后结果呢？就是刚好二就可以了， 懂了吧？所以我就知道他的一个最大值是刚好啊。那么这里面什么时候取等号呢？我在最上面写啊，什么时候取等号？你看啊，就是当且紧当 当前紧到什么时候去等号。两个相等的时候去等号，对不对？就是根号下 m 方加一等于一，比上根号下 m 方加一，就是 m 方加一等于一的时候，即 m 等于几啊？即 m 方等于零，对不对？就是 m 等于零时去等号 啊，所以它是可以取到等号的，对吧？啊？ m 等于零的时候取等号的话，所以，所以我就知道此时的直线方程是什么？此时此时的直线方程就是 x 等于几？ 就是，呃，哎，因为原来的是 x 等于，你设出来的是 x 等于这个 m， y 什么？呃？加一嘛， m 等于零，那么 s 就等于几？ s 等于一，对吧？这个直线方程就是 s 等于一，没有问题吧？这个最大值也知道了，对吧？最大值是这个根号二 啊，此时直线方程是 x 等于一就可以了。好，最后做总结啊，遇到这种情况，我们要知道怎么去处理它，就是看到这个呃球面积的最直的时候，找到它的核心思想，把它拆分一下，就是上面面积加上下面面积就可以了，对吧？ 好，然后接下来呢，就是知道这个直线怎么一射，为什么这么一射？因为要求的是 y e 加 y 啊， y 乘 y， 所以设成 s 等 m， y 加一这样设，这样设有个好处，就是什么呢？ x 直接消掉了，留 y。 第二个好处呢就是什么？不用讨论协力不存在的情况，因为 s 等 m， y 加一，它，它本身就 就包含了斜率不存在的情况了，对不对？好，但是呢，他不包含水平的线，但是水平线的话就这个面积都是零了，你看对吧？水平线 对吧？所以呢，就他求的最大值呢？肯定不可能是水平线，对吧？啊？所以肯定是这个，呃，要么是数值的，要么斜率，呃，那个斜率存在的，对吧？啊？这就这个转折相掌帮助。好，谢谢大家。