圆的切线长计算公式

那稍微来点新颖的，现在人家不讨论这圆位置关系是什么，人家问两个圆之间的公切线。哦，俩圆的公切线问题。啥叫公切线？就是你要找到一条直线，既跟第一个圆相切，又跟第二个圆相切， 哎，这不就有一条直线吗？但是呢，你看啊，对这第一种外离的情况，我的公切线只有这么一条。那我再问大家，就这两条吗？大家来想想有没有其他情况？ 怎么能跟两圆都相切？我可不可以在中间这样切完又这样切呀？好玩好玩，这也行是吧？啊？或者呢，我从下往上呢？现在我这样切完再这样切，哎，我也可以。所以如果两个圆距离比较远，是外离的情况下，那这个公切线呢，应该有一二三四一共四条。 这四条公切线。那显然啊，由我们的对称性可知，那肯定是。呃，关于两个圆之间的圆心相连的。这条线是不上下对称的呀，俩圆圆心一连完就是对称轴，对不对？这初中数学不用我讲啊，你上面有一条，下边对称的也有一条， 左边有一条对称过来，右边也有一条，一共四条。 ok， 那 我们来。 ok， 那 我讲完这个，那其他四种情况都有几种公切线呢？比如说这个外切的情况啊，我在它上下肯定能找到两条，一条两条，还有没有别的？ 咱过中间这个切点，是不是还能找到这样的一条，使得俩圆都跟它相切？哦，所以外切的时候应该有一二三，有三条，那相交的时候呢？你相交的话，你中间正中间，这这这不是切线，对吧？你只能找到上面一条，还有下面一条。 第四个，那如果是内切呢？在内切的时候，咱在里面是找不到公切线的。呃，咱好像只有在这个切点能找到一条公切线，对不对？ 最后内涵啊，你一个在里面，你一个在外边，你有可能找到公切线吗？绝无可能。所以大家发现没，不同的圆和圆的位置关系，他对应的公切线条数完全不一样，外里有四条，外切有三条，相交有两条，内切有一条。内涵，没有公切线， 最笨的题怎么考？他先给你，或者你判断完圆和圆的位置关系之后，他问你，哎呀，那这个公切线有几条啊？你直接一下看图或者你背下来就行了。公切线条数跟他的位置关系是完完全全可以一对应的， 那损一点，人家反过来考，比如突击检查，大家刚才有没有认真听？我现在已知有两个圆， c 一 和 c 二有三条公切线。这句话怎么翻译？什么意思？三条公切线，三条公切线，哎，对应，如果你仅有三条公切线的话，只有一种情况，那就是俩圆得外切，懂了吧？ 来做两道题，零四年高考题，他心挺善的啊，他给我两个圆，问我公切线有多少条，就相当于在问我这俩圆的位置关系是怎么样的，对不对？ 那刚才那套路再做一遍，第一个圆写成标准形式，第二个圆也写成标准形式。我直接写了啊，第一个圆是长这样的，大家可以在下面先偷偷自己做一下啊，然后跟我对一下答案，圆心应该是负一，负一半径应该是二，做对没来。第二个圆化简完应该是 x 减二的平方加上 y 减一的平方等于四，圆心二一，半径是二， 来判断俩圆位置关系。脑中想图，我先算二一加二，二，这时候俩圆是外切的， 二一加二应该是四，对吧？然后我再算二一减二二的绝对值，这差是多少呢？哎，差是零，意味着内切的时候我就画一个示意图，啊，圆心距呢？是零，那我来算一算真正的这个 d， 这圆心距两点间距离公式是多少？ 它等于根号下二减负一的平方，那是三的平方，再加上一减负一的平方，那是二的平方。九加四应该是根号十三，对不对？ 咱知道四是根号十六，所以显然根号十三应该正好夹在两种情况之间，所以由内切到外切的话，那中间情况就应该是相交喽。那相交的公接线一条两条，没有第三条答案选 b， 看懂了吧？ 这种判断两个圆公切线有几条的这种类型题，我相信大家已经会了，但是我现在再损一点，我给他加两个圆之后，我让大家把它的公切线真正的那个方程求出来。哎，我不让你判断条数了，你直接给我求，咱咋做呀？大家记住叫竖形结合， 大家可千万别小看只有这一行的这一小道题目，他竟然让你求直线的方程，所以这题必然会考察直线的知识。而 而且人家前面还有俩圆，他还会考察咱这节课刚讲的圆和圆的位置关系。你得先知道俩圆啥位置，你才能去找公切线对不对？而且他既然问公切线，公切线也本质上也是一条切线。这道题目里面还会用到我们上节课讲的直线和圆的位置关系，你相切怎么定义来着？ 还记得吗？是不这个圆心到直线的距离得等于半径啊？所以这一道题不简单，他考察直线，他考察圆，他还考察圆和圆的位置关系，最后还考察直线和圆的位置关系，真的很恶心。那今天咱们重点把它解决一下。 首先我得知道，哎，你这俩圆啥位置关系啊？对不对？咱可以像我们这节课前半部分内容一样，你去用代数的去做，但实际上大家也可以画图来看， 这是一个平面直角坐标系啊，那一二三四五，一二三四五，第一个圆单位圆，半径是一的，太好画了，我画在这 第二个圆的圆心是三四，呃，三四在这里喽，半径根号十六也是四，我坐标已经是四的情况下，其实我这个圆画的时候，我大约就得跟 x 轴相切了，对不对？我大约啊，大约要这样画。那我来判断一下两个圆的位置关系，哎，这个地方是有几个焦点，是有一个还是两个？我得看一下这个圆心距怎么样哈？ 两点间距离公式，你这是三，这是四，斜边，显然就是五，对不对？哈？那你这圆心距五正好等于半径 r 一 和半径 r 二的和吧？ r 一 是一，二二是四，一加四正好等于五，对不对？所以简单了。原来这俩圆是外切的，这样的情况画出来 啊，这圆太大了啊。好，我往下划一划，这图我是画完了，而且我发现这俩圆是外切的。那我发现呢，这个公切线的条数外切几条？应该是三条吧，一条两条，中间公共切点，我还能再做出来一条。 这题是全让我求出来吗？他说，呃，都相切的，一条直线的放着就是这三条当中，你任选一个会做就行。那大家想，你这作为高考题，你在高考考场上，你选哪条最简单？ 我作案图发现，哎呦，其中有一条线怎么做出来是竖直的呀？好，先跟外周平行，它具体平行不？我来看看啊。首先，它跟第一个圆相切，圆心是圆点，圆点到它的距离得是一。 ok， 那 我们来看看第二个圆，第二个圆横坐标是三，然后到这条直线的距离呢？等于半径得是四。 哦，那整个长度四减去，他的横坐标是三的话，正好也等于一，所以相当于两个圆最左侧这俩点的坐标其实都是负一，对不对？所以相当于两个圆最左侧的这个点和这个圆最左侧的这个点， 他俩的横坐标都是负一。那我这两点一连相切了，这条直线是最好写的， x 等于负一， 忒简单，没什么好讲的。但今天我提高要求，你光会求这条直线，不行，我要求大家把另外两条公切线也得会求。 我把这图再复制，一份好戏马上开始。我先问大家，这条直线怎么求？这条直线的名字叫公切线。公切线肯定是切线，它跟俩圆都相切，那相切意味着两个圆的圆心到它的距离，哎，应该都等于半径，对不对？所以我们第一个方法，我先把这条直线啊设出来，比如说它是 y 等于 k， x 加上 m 吧。 这条直线里面有俩参数， k 和 m。 我 通过两次点到直线距离，把 k 和 m 解出来。 我先把它变成一般式啊，一般式它是 y 减 k， x 再减 m 等于零，那么第一个圆点到这条直线的距离刚好下 k 方加一分之圆点零零带进来， x， y 都带成零的情况下，那最后加个圆，绝对值就剩一个 m， 这点到直线距离等于这个小圆的半径啊，等于一， 第一个方程有了，哎，第二个方程我再列个点到直线距离分母还是啊 k 方加一啊，只不过这个圆心现在变成了三四了。把 x 带成三， y 带成四，那就是四减三。 k 加 m， 整体绝对值等于第二个圆半径半径是四对吧？ k m 俩未知数，俩方程理论上能不能解得出来啊？能，但好解不？显然你这里面既有绝对值啊，你还有根号，根号里面还有它带着平方的，你想硬解？说实话真不好解，我相信在场的同学百分之九十九你都解不出来。那如果有的宝贝能解出来的，你把过程发在评论区，大家去给他点赞去。 这方程怎么解？我今天不讲，讲了很多同学也不会。所以这种解方程的，单纯用代数的方法去解决问题的。这种思路今天我不讲，你没动脑子，你就光，直接光，当列俩点到直线距离，你是不思考了，但是计算量忒大， 我今天讲第二个方法，咱在代数的基础上再加一点几何。啥意思？整个这问题现在不就俩圆吗？一个小的俩圆心呢？我还都知道，我就光看两个圆，我把这俩圆心如果连起来的话， 像穿糖葫芦一样，我这么一穿，那大家说是不是我做出来这条绿线正好是俩圆的对称轴啊？这俩圆，关于这条绿线对称没问题吧？ 那既然整个图形是关于这个绿线对称的，那我做出来的公切线，这条线和这条线关于这个对称轴对称，不肯定是不也对称，这三条线相交的应该是同一点呀， 而且我另外的第三条这公切线也得跟我对称轴对称，对称轴是这条直线的垂直平分线，他必定也是垂直的，这对称看不明白。同学，我把这个图倒过来给大家画啊，大家把俩圆画斜了，你看不出来？那我现在把俩圆画正我水平的画两个，一个圆，两个圆，我把圆心这么一连， 然后我开始做公切线了。啊，上面我是不能做一条公切线，能吧，那对称的下边我可不可以做？嘿嘿，我还可以做，你可不？这两条线关于这个对称轴对称，这三条线共同交于同样的一个点吗？ 怎么平着的？你会看？我这斜着了你就不会看了，一定交于的是同一点。那我问大家这点是谁啊？这点首先他肯定得在对称轴上，对称轴的方程不要太好求，经过两点零零跟三四方程，应该是 y 等于，呃，三分之四 x 对 不对？ 而且这点还在俩黑线上。其中一个黑线我刚才刚刚已经挥求了，这条黑线呢，是 x 等于负一，所以我就令这直线方程的 x 取负一就是这个焦点坐标吧， 所以 x 取负一， y 就是 负三分之四，那么这三条直线的公共焦点坐标我就找到了。那我现在已经知道这黑线经过这个定点的情况下，我在射直线的时候还射 y 等于 k， x 加 m 吗？ 你这么设不是有俩参数， k 和 m， 解两方程不是不好解吗？咱都知道定点的情况下，我是不是可以列点斜式啊？现在我把这个 l 二我设成 y 减 y 一 等于 k 倍的 x 减去 x 啊， x 减负一就是 x 加一喽。 化简一下啊，负负得正。这个直线呢，一般是我能写成 y 减 k， x 加上三分之四再减 k， 舒服了。 我直线方程都有了的情况下，怎么求这里面单一参数 k 呢？我列一次任何一个点到直线距离是不就可以了呀？你列小圆的，列大圆的都行。那我觉得简单的，我列小圆是吧？小圆简单，那小圆原先是零零吗？ 开列零零点到直线距离根号下 x y 前面系数一方加 k 方还是 k 方加一分之，这分子是把零零 x y 都带成零了，前面变成大鸭蛋了，后面就剩一个三分之四，再减 k 去绝对值，让它等于半径一就可以了。 这方程你再说不会解，那是不是就过分了啊？咱把它乘过来，然后两边平方，左边平方三分之四，减 k 的 平方等于这平方根号没有了。 k 方加一，这开出来之后，这个 k 方 k 方也能约掉。你最后解的不是一个一元二次方程，解的是一元一次方程，我侄女都会。 最后解完 k 应该等于二十四分之七，然后把 k 带进来直线 l 二的方程就有了。解完式七 x 减二十四， y 减二十五等于零， 这个计数量可以说几乎没有。因为你用上了一点几何知识，对不对？啥几何知识啊？这两条线线应该关于这个对称轴是对称的，他们三条线经过的是同一个定点， 这定点我还能求？那我列直线的时候，我就不列 y 等于 k x m 了。你这样列有俩变量我不喜欢，我列成点斜式，只有一个变量，我解一个变量的方程太好解了，这是我求这条 l 二的过程，我问大家，这个 l 三你求的时候怎么求？ 这方法说实话那就太多了，我们也是采用代数加几何的混合方法。你别光用代数法去做啊，用上一点几何，只不过呢，现在这个几何条件怎么用？他？现在这条直线不经过刚才我的我们这个定点，但是我知道你这条黄线跟对称轴对称， 对称轴的斜率我都知道了，是三分之四，那你这黄线的斜率跟它相乘应该是负，因为必然垂直嘛。黄线斜率我其实能直接求，应该是负四分之三，互为负倒数呗。那斜率我都有了，我想求直线方程，那我就射了啊。这 l 三等于 y 等于 k， k 谁知道的。 x 再加上 m， 咱把这参数求出来就行。咱就列一个任何一个点到直线距离等于半径就行吧。 所以可以仿照刚才的方法点到直线距离。我这么做是不用动脑子的。这个 d 分 母是根号下，哎，注意哦，我写点到直线距离，我得把直线写成一般形式是吧？我两边乘个四好了。四 y 加三 x 减四 m 等于零， 分母刚好下它方加它方啊，三方加四方，那就其实就是五分之零零带进来四 m 绝对值等于五的情况下。那 m 我 第一开始解完好像是有两个值等于正负四分之五，但是你得看一看你要哪一个？ 因为我在图上画，我发现你只有这一条直线是符合提一的，那为啥最后求出来有俩值呢？因为你光确定了斜率，而且到原点距离是一的话，咱除了我们要求的目标直线是符合这个条件的。其实下边你看这是不是也有一条直线斜率也能满足是负四分之三，然后到原点距离也是等于一的呀？ 这条直线是不对的，你是要排除掉的啊。那显然你上面这条直线跟 y 轴的交点截距应该是负的， m 不 代表的不就是跟 y 轴的结局吗？所以 m 应该取正，不能取负，最后逼得 m 只能取正四分之五，这一整道题咱就做完了，四分之五带进去第三条直线方程三 x 加四， y 减五等于零， 说实话费劲不？太费劲了，因为这种他真的让你把公接线求出来的题目，你光会代数没用，你列完那方程你不会解，咱得多少结合点几何知识，我们在几何方面下下功夫，动动脑子，咱们的计算量就特别小。 那其实反复的就利用上对称呗。两条边上的公接线，关于对称轴对称，他们三个交于一个点，这点我是能求的。我列直线方程，我列点斜式， 这条直线是关于对称轴对称的，它垂直的，我能直接算出来斜率的情况下，那我直接列出这种 y 等于 k， x 加 m， 再加上点到直线距离，就能把 m 求出来了。 以上就是今天咱们想给大家分享的有个圆和圆的知识，我目前已经把直线还有圆所有的基础部分的内容全都给大家讲完了，市面上百分之七八十的题目大家是可以做的，但是直线和圆能不能出难题，完全可以。或者人家也可以出一些特殊题型，比如什么俩圆的公共弦方程啦， 或者人家把直线和圆出创一个大综合多选择题，既考察代数又考察几何，考察数形结合的题目也非常非常多。那有关这些知识，我们下一个视频再给大家讲，晚节撒花。

高质高考，从零开始学考点。今天来讲直线圆相切时求切线方程。我们分两种情况，第一类是过圆上一点求切线，对应的公式在黑板所示，需要的同学可以双击屏幕暂停，记下笔记。 黑板上方是标准方程下求切线方程，黑板下方是圆心在坐标圆点时简化后的切线方程。第二类情况是过圆外一点求切线，此时我们要注意考虑斜率不存在时的情况。 斜率存在的情况，我们是设点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径解方程来求 k， 斜率不存在时，牵线方程是 x 等于 x， 零。以二零二四年高考真题为例，题目中给到一个点的坐标，让我们求圆相切的直线方程， 把点的坐标带入圆的标准方程等号左右两边成立，说明点在圆上，因为圆心坐标是零零，我们设对应的切线方程， x 乘以 x， 零加 y 乘 y 等于二方 x 零和 y 零是点的横动坐标，二逗号一代入可以得二乘以 x 加一乘以 y 等于五，整理得二， x 加 y 减五等于零扣。练习同样的题型，答案，打在评论区，关注收藏不掉队！

同学们好，今天继续给大家分享中考题里边圆的综合性的题目。同学们啊， 第一位依然是正切线，第二位是借助三角函数来求线段的长度。观察已知条件， a、 b 和 c、 d 为圆 o 的 两条直径， g 在 b、 d 的 延长线上， a、 b 和 c、 d 为圆 o 的 两条直径， d 是 圆 o 上的一点连接，这里延长，这里是点 g。 而且 ab 和 aj 是 相等的角 e、 a、 d 角一加角 e、 d、 b 加这个角二等于四十五度。第一问，就让我们来证一下 aj 为圆 o 的 切线， 那就正这个地方是啊，直角了。这个题的突破口在什么地方呢？就在这个角 e、 a、 d 加角 e、 d、 b 等于四十五度，也就是角一加角二等于四十五度。怎么用 出直径？当然，直径所对的圆周角是啊，直角了，那么 a、 b 是 直径，所以这里的角 a、 b、 b 等于九十度。 那当然这边也是啊，九十度来，根据这个直径，咱们能得这个地方是直径，嗯，是直角。那么角一加角二，这个四十五度怎么用？朋友们，这个四十五度，这个四十五度，就是突破这个问题这个难题的一个关键点。 角二和角一离着十万八千里的两个角相加是四十五度。那么接下来看一下，角一和角二都是圆周角，都是这个圆 o 的 圆周角， 肯定得把它们俩转化到一块去，转移到一块去。显然，这个角一是我们要证明垂直的这个地方的角，你不能转化它，但你想办法把角二给它挪到这边来。观察角二。同学们对的是哪一段弧？ 角二对的是弧 b、 e。 发现了吗？角二对的是弧 b、 e， 那 同学们再来观察，弧 b、 e 还对着哪个圆周角，哎，顺着这个弧的两个端点寻找就可以。哎，角二对的是这个弧，那角二对的这个弧还对着这个角三， 所以这里角一加角三就等于啊四十五度了。那么角一加角三是四十五度了。同学们，直径对的圆周角，又是啊直角，这个角是直角，所以这里这个角 b 也是啊四十五度了。 那么三角形 a、 d、 b， 这就是一个等腰直角啊三角形。三角形 a、 d、 b， 这是一个等腰直角三角形，这是四十五度了，而且 a、 b 还和 a、 j 啊相等， a、 b 等于 a、 j， 所以 这个角这也是四十五度了， 这是四十五，这是四十五，所以这个角就等于啊九十度了。可以这样来证，这个九十度。这个三角形 a、 j、 e、 b， 它的两个底角是四十五度了，所以它这个顶角也就是啊九十度了，那么这就是切线了。 你也可以用等腰三角形的三线合一。同学们啊，这个角是四十五度了，这里 a、 j 和 a、 b 又啊相等， 这里又是啊垂直，哎，这个垂直是根据直径推出来的，这就是等腰三角形。底边上的高线，也是顶角的角平分线， 这个角是四十五度，那这个角也是啊四十五度，所以角 g、 a、 b 等于九十度都可以。正切线还相对来说比较简单。这个题难在第二位上。同学们啊， 如果 b、 g 等于四倍的根号五， b、 g 等于四倍的根号五，那就是这个大大的等腰直角三角形的斜边是四倍的根号五， 那 g、 d 是 二倍的根号五了， b、 d 也是二倍的根号五，那 a、 d 也是二倍的根号五， 这就是直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半。直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，那 a、 d 是 二倍根号五了。还知道三角 d、 a、 e 等于一比三， 三角 d、 a、 e， 也就是角一的角一的正弦值是一比三，显然这个角一对面的那个边 d、 e， 哎，这个题里面重要的这个数学思想就是转化。同学们啊，角一它不在直角三角形中，但是知道的是它的正弦，那肯定就要把这个圆周角给它转移掉，而且我们要求的就是角一对面那个边 d、 e， 所以 说咱们得想办法把 d、 e 和角一给它转化到直角三角形中去。同学们， 那 dc 这个直径我们还没用啊，是不？ dc 这个直径我们还没有用。既然 dc 是 直径，那直径所对的圆周角，是啊，直角连这里。同学们啊，连接 c、 e 连歪了，哎，连接 c、 e， 连接 c、 e， 那 么这个时候角 c、 e、 d， 这就成了一个直角了，角 c、 e、 d 就 成了一个直角，而且，而且这个时候， 这个时候把这个角 e 也转换到了这个直角啊，三角形 d、 e、 c 里边了，哎， d、 e 对 的是角 c， 还对着这个角 e， 所以 这个角 c 的 正弦值也是啊，一比三也是一比三， 那么这是二倍根号五。同学们，这也是二倍根号五，咱们刚才说过了，哎，这是二倍根号五，这也是二倍根号五，所以它的直径 a、 b， 这不就出来了吗？ 直径 a、 b 就 等于二倍根号五，再乘上一个根号二，也就是二倍的根号十， 哎，直径是二倍的根号十，你可以勾股定力去求，同学们也可以用三角函数去求二倍根号五，二倍根号五，斜边就是二倍的根号十。等腰直角三角形，斜边是直角边的根二倍， 那么这个直径知道了，那这个直径 c、 d 不 就也知道了吗？ c、 d 也是二倍的根号十啊，那 c、 c 等于三角一，等于一比三， 所以这个 c、 c 就 等于 d、 e 啊，比上一个斜边 c、 d 二倍的根号十，等于一比三，所以 d、 e 就 出来了三分之二倍的根号十，哎，就 ok 了。 这个题的特点就是正在这个转化，为什么难的呢？难就难的这里边线比较多，但是你只要把握住啊这个思路，它就不难。我们要找的是角 e 和弧 d、 e 所在的那个直角三角形，把角 e 转化到角 c 这个地方来，要连接 c、 e， 也就是连接 c、 e 这一条线，既把角 e 转化到了直角三角形里边来，而且把 d、 e 这个弦也转化到了直角三角形中。借用正弦值是一比三，直径要提前根据这个等腰直角三角形 a、 d、 b 先给它算出来 二倍根号五，二倍根号五，它们的平方和相加，再开方就是 a、 b， 也可以用三角函数，哎，直径有了，那么正弦值有了，所以 d、 e 就 要求出来了。这个题难就难在一开始这个已知条件要转化，朋友们， 哎，这里的这个正弦值也要转化，但是前提这里有一系列的等腰直角三角形，可以降低咱们这个做题的难度，希望这个题目能够啊，帮到大家。

什么叫切长距离？就我们从圆外一点向圆上引几条切线。呃，两条？对，非常棒。引两条切线，那这个点呢？他到哪里的距离？他到这个切点的距离，我们把它叫切线长。切线长，第一个结路呢就是切线长相等，从圆外引出来的两条切线，他们的切线长是相等的。相等呢？对，这是第一个，这两三角形是全等，你看他俩都直角，三角形，是不是斜边，直角边？ 嗯，那就全等了。所以我们可以证出来 a b 等于 a c， 是 吧？是的。嗯，那根据第二个我们来看一下，根据全等，我们是不是还可以知道角一等于角二，角三等于角相等是不是？是的，哎，也就是 o a 平分谁了？ o a 平分， o， o a 平分。这个 c a 和 b a 对， o a 平分角 b a c 和 和角 b， o c 是 吧？嗯，对，也就是它是这两个角的角平分线。嗯， 这是切线长定律里面的两个结论啊。这两个直角，那在四边形的内角和是多少度啊？一三百六，三百六，这样加起来就一百八了。所以剩余两个角呢？是不是加起来也是一百八？嗯，对，所以四边形， a， b， o， c 这个四边形呢？它的对角。哎，还互补。学习不用焦虑，一步一步来就好。我是教孩子轻松学数学的小草老师，我们下期再见。

切线长这些东西其实都是你在初中学过的内容概念，没有很大的改变啊。先来看一下什么叫切线长，先来回忆一下这个概念，在员外有一个点屁引出来几条切线可以引出来，是不是两条切线， 这两条切线就会产生两个切点，那么这个 pa 的 长度， pb 的 长度就叫切线长，而且长度是一， 是的，一样的长，都是一样的，对吧？好了，那么我们来看一下这个题里面他就是让你去切线长，是不是对的？我们要想求长的，是不是要构造直角？哎，刚才我们在求弦长的时候，构造的是什么样的直角下角大家还记得吗？在圆内呗，在圆内往那个 弦长上做什么呢？做一条垂线再连接半径是用这个公式来着。对，但是这里面要怎么呢？还是一样的 圆心，既然它是切点，你说圆心到它的距离就是半径，就是半径一连，是不是这样算行？是的是，是不是也可以用勾股定力去求 p h， 可以 吧？好，这就叫求什么？求切减成能区分了吧。 那接下来我们看题目当中给的条件，他说有一个圆就是他啊，那么这个圆呢？在圆外有一个点屁就是他，行吗？那么这个时候他做了一条切线，切点就标为谁啊？点 a 是 不是就是我画的这个？他现在让你求谁？那我求这个，这个 线长，对，就让 p a 的 长度，是吧？那半径是几知道吗？半径是一，半径是一，圆心是几啊？圆心是零零零，它是几？它是三三三三，简单吗？简单，怎么求？ p a？ p a 就 等于根号下谁这个 p o p o 的 平方减去 a o， a o 的 平方， p o 就是 两点间的距离。公式能求是不是三减零的平方加上三减零的平方，就是根号下多少十八吧， 所以这里变成了多少三倍根。二不用开根，用平方了。十八减去一，所以等于根号多少十七，所以它半径是不是就根号十七？是的，可以了吧？好，这个叫求什么？切线长，求切线长。

去掉 x 和 y 上面的平方，然后叫超将点坐标分别写在 x 和 y 前面。去掉 x 和 y 上面的平方，然后叫超， 将点坐标分别写在 x 和 y 前面，化简整理。 去掉 x 和 y 上面的平方，然后照抄将点坐标分别写在 x 和 y 前面，化简整理。

好，今天我们来讲解切线长按定律，切线长按定律在我看来很容易被低估或者说被忽略的一个定律。我们往往只知道 pa 等于 pb， 以这个图为例，我们往往知道的是 pa 等于 pb， 其实除了 pa 等于 pb 以外，其实它还有什么？它还有角平分线、垂直和摄影的知识点在里面。好，我们一起来看一下。 好，那角平分线在哪里？这个是不是有 a p o 和 b p o 相等？其实这个角一是跟这个角二是相等的， ok， 这个角一等，为什么？因为我如果连接 o a 和连接 o b 之后，是不是这两个三角形是不全等？这两个是不全等？全等之后是不是因为 h l h l 全等之后是不是角一会等于角，二是角平分线？ ok， 是 角平分线好，还有垂径，哪来垂径？你看，如果我连接 ab， 我连接 a b 之后， a b 与 o p 相交于，比如说 h 这个地方是不是就有垂径？这是不是就垂直？ ok 啊？是不是因为你？我们前面我们上一个 证明角平分线的时候，是不是已经证明出 a o p 也等于 b o p 是 不是？其实这个角三是不是也等于这个角四？角三等于角四， ok， 它又是等腰三角形对不对？三线合一，你有等腰三角形，三线合一的性质，是不是？知道了 a b 其实垂直于 o p， ok， 是 不是？垂直？ 即一旦开始你的值，你的半径开始垂直于你的弦，是不是有垂进，对不对？好，垂进完了之后，好来看， 以这个为例， o a p 是 不是直角对不对？ o a p 是 不是直角？而 a h 是 不是垂直于 o p 这个地方是不是又出现？这个地方是不是有摄影？是不是？这地方是不是摄影好？这地方是不是涉及到比如像垂进这里，比如说我连接，比如圆 o， 比如说是 q 点好，我连接 a q 好， 这里是不是有垂进的？什么 知二求三，是不是好？摄影？摄影，摄影定理 o a o h o p hpap 是 不是又有什么？又有知二求四，是不是？ 你看一个摄影定理，一个切，不是一个切线场定理，它有这么多内容。 ok， 好， 我们来看一道切线场定理的例题后，下面几道例题是相对比较简单的，后面我们会专门在切线场定理的那个大体里面会去应用这些知识点。 好，他说我们逆一如图， p a 等于 p a， p b， d e 分 别分别与圆 o 相切于 abc， 是 不是？若 o p 等于十 o p 的 长度，这一整段的长度是不等于十，对不对？等于十？好，他又说 p d e， p d e 的 周长是十六， p d e 就是 现在的圈，这一段圈圈是不是等于十六，对不对？好，求圆 o 的 半径对不对？圈圆 o 的 半径好，我们来看，第一， p o 的 长度是十， p， d e 的 周长是 p d e 的 周长是十六，十六。好，那这个题目我还没求半径好，那这我们重求，是不是 你切线看到切线长，因为 pa， pa， pb 那 个 c 点是不是都是切点？是不是看到这样的 大于等于两个切点的时候，是不是要想到切线长？定你，你首先想到的是什么？想到的是这个点到切点的距离相等，是不是？这是第一个点，第二个点想到角平分线定角平分线，第三个想到垂进，垂进，第四个想到什么？射点定 是不是好？我们首先既然求长度，那我们看一下。好，那你这里是不是我们又知道了？是不是根据 a， c 是 切点的情况下，那是不是就有 就有 d， a 是 不是等于 d c？ 这是第一个计算器里好，又有什么？又有 pa 是 不是等于 pb？ 是 吧？是不是还有什么？还有 ec 是 不是等于 e， b 是 不是这样子是不是好？由于 p d， e p d， e 的 周长 p d， e 的 周长等于十六 p d， e 的 周长等于十六，好， 我们来看 p， d， e 等于谁？ p d， e 的 周长 c， p d， e 的 周长是不是等于 p d 加上 p d 加上 d， e 加上 p e 是 吧？是不是这样子好？ ok？ p d 又等于 p d 好， 我们再看 p d。 先不管好 d， e， d， e， 它是不是可以拆成两段？ d， e 是 不是可以拆成 d， c 加上 e， c 加上 p e 是 不是这样子好？ ok， 看 p d 加 p d 加 d c， p d 加 d c， d c 等于 d a。 好， 我把 d 改一下，改把 d， c 改成 d a 什么？再把 ec， ec 改成什么？ ec 是 不是改成 e b， e， b 加上 pe， 它是不是等于 pa？ 加 pp 是 不是等于十六？所以怎么样？所以 pa 等于 pp 等于八，是不是 好？ pa， pp 等于八， op 又等于十，所以说 o， a 的 长度等于几？所以 o， a 的 长度是不是等于六？对六八十是不是？ ok？

hello， 大家好，我们今天讲一题这个圆的大题，好，圆的话，它知识点一般就几个啊？我们先，呃，做题之前先复习一下， 第一个最常见的就是什么圆周角，同一段那个弧对应的那个圆周角怎么样？等于圆形角的一半好，复习一下，第一点，圆周角 等于多少？圆心角一半，好，这个是考的最多的第二个知识点呢？叫什么？嗯， 圆的内接四边形怎么样？圆的内接四边形，好，它的对角是互补的，这是第二个知识点。然后第三个什么垂进定底啊啊，就不仔细讲了，第三个垂进定底好，第四个呢？还有什么？ 嗯， ok， 直径，圆的直径，它对应的什么？那个圆周角是什么？直角好，一般就只靠这几个啊，好，我们现在开始做题， 第三题，如图， ab 是 什么？圆的直径，好，条件反射一下，看到圆的直径两个字，想到什么？ ok， 我 们看下它的直径，圆的直径对应的那个什么圆周角等于什么直角，所以这个角是什么直角？做个直角符号， 继续读题， a， c 是 圆 o 的 什么？弦？延长 bc 至，延长 bc 至点 d， 好， ab 是 等于 ad， ab 等于 ad， ab 等于 ad， 得到什么结论？等腰三角形对不对？这两个角是相等的，做个符号，做个记号， 然后过点 c 做 c， e 垂直于 ad， 好， 继续做标记， c e 垂直于 ad， 好， 这也是个直角。 把该标的条件全部标上去，然后开始解题，这是准备工作一定要做的。一问求证， c， e 是 圆 o 的 什么？ c， e 是 圆 o 的 切线？好，我们自己来先捋一下，做题之前先捋一下， 证明一个线是那个什么是那个圆的切线？什么思路呢？那是不是要怎么样证明这这条线要怎么样？它跟圆的圆形的连线怎么样？是不是直角就可以了呀？好，这是什么 c e 跟什么？ 哎， c e 跟 o c 它们的夹角怎么样？是不是直角就可以了？证明这个 c e 是 这个圆的切线了？好，那我们这个题目的条件，这个目标是不是变，变成了什么？证明这个角 角哪个角啊？证明这个角 o c e， 证明它是不是直角就可以了？等于九十度，这两个是不是等价的呀？ 好， ok， 现在证明角，这个角 oce 是 直角啊。思考一下，我们观察一下这个图面刚才那给的条件，这个角是直角，我们要证明现在证明这个这个角也是直角，那是不是只需要怎么样？哎，要证明他是直角，那是不是只需要证明什么 这个 oc 跟什么 ad 是 平行的呀？你要证明他的话，那他们俩他是直线，那这个也是直线，这两个是不是必定的平行呢？这是什么？证明题里面很经典的方法叫什么？倒推法？倒推法， 证明题里面非常经典的，我自创了啊。好， oc 平行于 ad， ac 平行于 ad， 我 们要现在证明他。好，继续分析条件， a c 是 平行于 a， o c 平行于 a d。 那 怎么证明呢？还有什么条件没用到啊？是不是这两个角是直角，是不是没有用到啊？不对，这两个角是相等的，是不是没有用到这两个角是相等的。好，那我们现在证明他们两个平行，那这个角跟这个角是不是同位角啊？同位角相等的话，哎， 你看是不是可以证明怎么样？这两个角怎么证明他们两个相等呢？好，那我们现在只知道这个角 a、 b、 d， 角 a、 b、 d 等于什么角 d， 知道这个条件。好，那这个什么 o、 b 等于 o、 c 都是这个圆的半径，所以这个角，这两个角是不是相等的呀？这个角 o、 b、 c 等于什么角？ o、 c、 b 的 这两个角是相等的，对吧？那同样道理，这个角角 o、 b、 c 又等于什么角 d 的， 所以怎么样啊？角， 这三个角是不都相等，所以角 o、 c、 b 怎么样也是等于角 d 的 好，不就得到什么这个 o、 c 是 平行于什么 a、 d 的 吗？好， o、 c 平行于 a、 d， 所以 的话怎么样啊？这个角 o、 c、 e 等于这个角 c、 e、 d 等于直角，好，所以它等于九十度，这两个，这就是它的缺陷了，对吧？好，第一问就解决了，过程就就是这样子。第二问。

过圆上一点的切线方程怎么求？

圆中有六大基本定律啊，其中一个叫切线长定律，这也是考试的一个必考内容，属于易错题。来我们看这道题啊， p、 a、 p、 b 分 别与圆 o 相切于 ab， 哎，这 a 点 b 点就是切点过圆外一点引圆的两条切线，这切线长是相等的，切线长是相等的，并且 既然是切线，一定有垂直好角， p 等于三十二度啊，这个角是三十二度， acb 的 多少？ acb 这角多少啊，这是三十二度。想求这个，这是一个圆周角，是不等于这圆心角的一半，直接做完了同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，这是啊，圆周角定律，这你要记住。那这个角怎么求呢？在四边形里边求四边形三百六内角和三百六， 这两个现在一百八，所以这个角 a、 o、 b 一 百八十度减去一个三十二度，一百八十度减三十二度，这个等于一百四十八度，一百四十八。好了，他要是一百四十八度，那这是不是除以二啊？ 角 a、 c、 b 就 相当于等于它的一半七十四度。所以拿下正确答案，选第二个。所以大家一定要关注几个点啊，就首先有切线必连，半径有垂直，然后再同弧所对圆心角是圆周角二倍。好了，赶紧点赞收藏！

大家好，今天我们继续讲求过圆上一点的切线方程的第三种情况，圆的方程为一般式的情况， 那么正常我们求这个过圆上一点的切线方程的时候，需要这复杂的三个步骤，那么今天我们都不需要，只需要一步代入就可以切出，求出结果。那么这里的 x 零 y 零 求这个切线方程，那么这里我们把 x 平方写成了 x， 零乘以 x， y 平方写成了 y， 零乘以 y， 那 么乘加上 d 乘以，把 x 写成二分之 x 加 x， 零， 把 y 写成什么？二分之 y 加 y 零 f 变了没？没变好，我们看这一道题，我们刚说把 x 平方写成什么？ x 零乘以 x x， 这里 x 零是谁啊？五， y 零是谁啊？一， 所以我们把 x 零， x 平方写成五， x 加上 y 平方写成 y， 零乘以 y 就是 一，乘以 y 就是 y 减去四，而 而 x 写成什么了？二分之 x 加上 x， 零是几啊？五，那么加上一 六六乘以 y 写成二分之 y 加 y， 零去二分之 y 加 y， 零是谁呢？哎，这是 y 零啊， y 零是一 f 没变，就是减去十二等于零。好，我们进行整理，就是五， x 加上 y， 二，预约就是减二， x 减十二乘五嘛，这是不是预约分就是加三， y 加三减十二等于零。好，进行整理。三 x 吧，一，整理加四， y 吧， 负十加三，负七，负七减十二，负十九等于零。答案是不是 a。 好， 我们看一下第二道，第二道我们说把 a 平方写成什么？这里的 x 零是四， y 零是负二， x 平方写成二，写成 x， 零乘以 x， 所以 是什么？四？ 四 x 加上 y， 零写成 y 乘以 y， y 平方写成 y 乘以 y， 零就是负二 y 减去二倍的 x， 写成什么？二分之 x 加 x， 零就是加上四，减去四倍的 y。 写成二分之 y 加上 y， 零就是减去二，减二十不变等于零。 那么我们进行整理，就是四 x 减二 y， 这个是不是约分了？减去 x 减去四，约分乘以二减二， y 加四，负负得正减二十等于零。好进行整理多少三 x 再整理 减四 y 两个约分等减二十等于零，所以答案是 c 好。 那么计算的过程中你会发现我们把 x 零写成什么？ x 平方写成了 x， 零乘以 x， y 平方写成什么？ y， 零乘以 y， 而把 y 写成二分之 y， 零加 y， x 写成了二分之 x， 零加上 x。 好。 那么今天呢，我们就把求过圆上一点的求切线方程的三种情况都讲完了。

陕之大附中的六模圆的综合这道题考察了平时其实不太用的一个定力，就是咱们的切线长定力，一起来看看，我是在西安高新讲解数学知识点的张老师，每天三分钟，数学更轻松。 先说一下什么是切线长定力。从圆外一点引两条切线，那么从这个点到两条切线的切点 的距离就是相等的，这就是切线长定力。我们先看一下题说，如图， b、 a 与圆 o 相切于点 a， bc 与圆 o 相切于点 c 都是从 b 引过去的两条切线，那么 b、 a 就 会等于 bc。 既然是切点，所以我们一般情况下是要连接切点和半径的，就会得到九十度，这就是我们的切线长定力。好，继续 做 ad 平行于 bc， 然后第一问求证， acd 等于角 b， 我 们从切线长定里其实可以知道， abc 这个三角形就是一个等腰三角形，然后我们去想角 b 要等于角 acd， acd 在 哪里？ acd 在 三角形 acd 里面，所以我们证明这个三角形如果也是一个等腰三角形， 和 a、 b、 c 这个等腰三角形的两个底角是相等的，那么我们的顶角也会是相等的。 所以如何去做？我们把 c、 o 延长交 a、 d 于点 e， 现在的 c、 e、 d 就是 一个九十度，因为 a、 d 平行于 bc， 而我们刚才已经得到切线，这个地方是九十度，所以 c、 e 就是 垂直于 a、 d 的。 那么根据 前两天说过的垂径定底，垂直于弦的直径肯定是平分这条弦的，所以 a、 e 肯定等于 d e， a、 c 也会等于 dc， 那么这时我们就正出来了，三角形 a、 c、 d 其实与三角形 abc 都是一个等腰三角形，而且由于平行，我们的角 b a、 c 是 等于角 c a、 d， 这也就是两个等腰三角形底角相等，所以他们的顶角也就相等了， 所以最终角 a、 c、 d 就 等于角 b。 好 第一问就用到了我们的切线长定力，一定要明白，从圆外引两条切线后，从这一点到两个切点的距离是相等的。好，第二问说圆的半径是等于三， ab 等于六，求 ab 的 长， 如何去做呢？我们会发现，因为有很多的直角，所以我们可以连接 b o 半径， a o 是 等于三的， ab 是 等于六的，所以 a o 比上 ab 就 等于三比六， 也就是二分之一。连接 b、 o 之后，我们知道这两个角角一和角二肯定也是相等的，所以 a、 o 比 ab 等于二分之一， a e 比 ec 也等于二分之一。因为 顶角相等，那么他们平分的一个角，这个角三也就等于角一和角二，所以 a e 比 e、 c 也是二分之一。那我们设一下， a e 为 x， 则 e、 c 就是 二 x。 而我们会发现，根据垂径定律， 在 r t 三角形 a、 e、 o 中， a e 的 平方加上 e、 o 的 平方是等于 a o 的 平方的，而 a e 是 x， 所以 是 x 方加 e o 是 我们的 e c 减半径，所以是二 x 减三的方就等于 a o， a o 是 半径，所以是三的方，那么 x 就 能算出来 x 一 等于五分之十二， x 二等于零零肯定是舍去的，所以最终我们要求的 a、 d 的 长度其实就是两个 a e， 所以 最终答案就是五分之二十四。这道题其实本身难度不大，但是对于很多不熟悉，期限长定的同学来说，还是要想一阵子的， 所以我们对于语言的综合里面，包括纯精定力，包括切现场定力，都是要得心应手的。好，今天的讲解就先到此结束，希望各位能够继续多多点赞，多多支持，把这些有用的知识分享给身边的每一个人。

今天继续跟着李老师来搞定圆的中档大题，在中考当中，圆的中档大题，它这里面其实 知识的连接性还有它的综合能力还是非常强的。在这个题目当中呢，它有一个必考的题型，就是求切线的问题。 其实今天李老师把这个求切线的给你总结一下，其实也就这么几种方式能求切线，你把它记住了之后呢，到考场上你直接去按这几个步骤去分析，就能大大增加你解决问题的概率。 第二一个呢，其实叫你求线段的长度，这个题目在这个题目当中啊，他的图形暗示语言其实已经给你了更大的概率是要用相似的， 所以整个这个题目来讲呢，他涉及到了圆，而且最经典的切线的问题，还要加上一个相似，就能把这个问题解决掉。如果你有耐心，有兴趣的话，请把这个视频跟着李老师学完，看完他。那么对于这种类型题，我想正切线我们一起来看一下啊，正切线 我们一共就要这样两种方法，第一个方法呢就是做半径正垂直。 第二个方法是什么呢？是做垂直来正半径， 其实这样子的话，我们就可以把切线正出来，因为切线的两个要素就是半径和垂直。解决这种类型题的时候，我们来看一下啊，他已经给了你 这个圆 o 和线段 bc 交于点 d 了，那就说明这个地点其实是在圆上的，那这个时候其实你就可以连接圆心和这个地点，就可以能证明出它其实就是这个半径， 对吧？如果说你是半径的话，你只需要在正什么呢？只需要它正这里是垂直就可以了，所以切线它这个垂直的证明其实也是有方法的。 这个切线的这个垂直的证明呢，我们大概有这样几个方向，第一个方向就是通过倒角，也就通过互余来正。第二个呢，我们可以通过平行来正。第三个呢，我们还可以通过全等或者是相似，其实是一样的啊，他们来正，但是我们用的什么呢？平行和互余是最多的， 所以这个题目当中你可以用平行去正啊，很简单，那你比方说他说 d 是 bc 的 中点，然后 d e 还垂直，对吧？ d 是 bc 的 中点，然后呢，这块有一个直径所对的圆周角是直角，那很显然，那他就是一个等腰三角形啊，他这里 ab 和 ac 是 相等的，而且有个三线合一啊， 那这个时候其实我们就可以知道这里是一个直角，那更重要的一个关键的问题是什么呢？你知道他是这个两个角就相等的，然后这里又是半径，所以这两个角也是相等的， 那所以那你就可以知道这两个角是相等的呗，对吧？角 c 和角 d 这块相等的，那这个时候这两条直线就平行了呀，平行的话，你这里是垂直，那这里肯定是垂直啊，所以我们通过平行就很简单能够证明出来。当然你说老师我倒角，我用互余可不可以？ 太好了，那互余也是可以的啊，你比方说这两个角加在一起，他是九十度，而这两个角又是相等的，也是等腰三角形的。三线合一，这两个角是相等，他又是半径，所以这两个角也相等，他加他等于这个 九十度，那么所以这两个角加在一起也是九十度都可以啊。你这个垂直的这个证明其实就这么几种方法，他其实是通用方法来着，你只要用这几种方法都可以把它做出来。 第二个问题呢，它让你求这个线段的长度问题，那它这里面有个特点啊，你线段的长度问题，你想求 a、 d， 你 会发现 a、 d 的 位置很特殊，所以这就是老师跟你说，你要读懂它的暗示语言，就是这样子的，你看这个 a、 d， 它和这个 a、 e 和这个 ab， 你 发现了没有，它们三个的位置其实是很特殊的。 a、 d 呢？它既在既既能跟 a、 e 组成一个三角形， a、 d 呢？又和 ab 又可以组成一个三角形，而这个 a、 d 是 什么？是它的公共边，那公共边你能想到什么呢？很显然这是比例中项啊， 对吧？这个知识点你要熟悉啊，它是比例中项，那么比例中项我只要能够知道 a、 d 的 平方，它其实就等于 a、 e 乘以 ab， 那 你就正它相似不就行了吗？你正三角形 a、 d、 e 相似于这个三角形 a、 d、 b， 那么这个时候相似啊，就可以能够得到这个线段的比例中项，那得到这个比例中项，你就可以把 a、 d 算出来了，那他这个证明也很好证明。刚才我们不已经说了吗？这个角和这个角其实是相等的，在外跨一个直角 ok 了，相似就正出来了，那解决这种类型题，我们就可以把它 拿下来了。总结一下，我们对于这种类型题呢，李老师特别给你讲了，怎么样去正切线啊？尤其是在切线当中，你怎么去正这个垂直的问题？ 然后呢？就是你想求这个线段的长度，你是不是可以用比例中项来解决这个线段长度的问题？相似跟圆的结合，这相对来讲是比较简单的，但是它有综合性，所以这种类型题在我们中考当中还是中档大题为主，希望你能够把这种类型题 拿下来，得到这样的一个分数。记得给李老师点赞，关注加收藏，记得关注在。

hello， hello， 大家好啊，今天呢，我们来讲圆中的线段长问题， 那么这类问题呢，通常出在圆大题中的第二小问，通过给我们一些前提条件啊，然后呢，让我们去求圆中或者图形中的某一个线段长。 那么在上一节课中呢，我们主要来讲圆中的第一小问啊，圆的切线问题该怎么样去做？那么今天呢，我们来讲圆的第二问，通常考什么，怎么做啊？ 我建议大家呢，配合我们上一节课啊的知识点一起使用啊，效果更佳。好，那圆的第二问通常考什么呢？ 通常考两大类型啊，第一类呢是考不规则图形的面积，那么这类问题呢，我们通常是通过一个组合图形的大面积减去一个小面积啊，最终会求我们求出我们一个目标图形的面积。 那么在这个过程中呢，我们需要牢记两个公式，第一个公式呢是我们的弧长公式，第二个公式呢是我们的扇形面积公式 啊。第二类大考法呢，就是考我们一些线段长或者一些比例，那么这类问题呢，就是我们今天要讲的核心， 那圆中的线段成问题怎么解决呢？我们会有一个主要的思路，首要你必须要跟我们圆的第一问啊 密切结合起来，一般的圆的第一问可能给你一些最终条件，比如说出现了平行，出现了怎样三角形，我们第二个呢都是要用到的。第二个呢，我们要常常 把圆和勾股定律以及相似三角形结合在起来啊，我们一般考圆的大题第二问呢，不单单是考圆的知识点，还会跟我们的这个勾股定律以及相似三角形结合起来，那有同学就问，为什么呢？ 因为大家想一想啊，呃，勾股定律以及相三角形，还有我们的全等三角形，都是在我们初中作为一个 工具使用的，但大家翻一下中考的历年试卷，可以发现，一般我们的全的三角形，它设为单独出一个大体的哎，它可以当主角， 但是我们的这个勾股定律，还有我们的象三角形，他们一般不单单的不单出一道大题吧，对不对？哎，那他只能当一个配角，那既然是配角的话，他很可能就怎么样？对，他可能去串片场，对啊，串片场。 所以呢，他通常会跟我们的其他知识点，比如说元，比如说我们的二次函数记在一起啊，也就是说他今天啊，他们两个知识点呢，会经常的徘徊，然后说，今天是什么话啊，对吧？ 好，第三个呢，我们要注意题目中有没有什么隐藏的讯息，比如说题目中如果给了直径，你发现第一问没有用到，第二问呢，绝对就要说，因为直径所对圆周角为九十度， 如果题目里面给了角平分线，你发现第一问没有用到，那么待会呢，肯定就要用到啊，角平分线得到两个相等的角，然后同弧所对圆周角相等 啊，这都是隐藏的讯息。所以我们做第四路是什么？第一个，我们要结合第一问，第二个，我们要时刻去想，这道题能不能跟相似三角形挂钩，能不能跟勾股定律挂钩，如果题目里面垂直出现的多，哎，那勾股定律， 那如果一道题目里面相等的角出现的多，那么就是相似三角形啊。最后 我们要注意题目的一些隐藏讯息有没有出现，直径有没有出现。讲平线，我第一问有没有用到，第一问如果没用到的话，我第二问就百分百要用到。好吧，那么希望大家呢，用这三个思路啊，去解决语言中的性冷场问题，千万不要被他杀杀杀了啊！ 好，那么现在呢，我们来讲一个啊，真题，如图， ab 是 圆 o 的 弦，过点 b 做直线， e、 f 以 o 为顶点做 角 a o c 等于九十度。然后呢，告诉我们 c 位等于 c dog， 那 既然 c b 等于 c dog， 那 么我们的这个三角形 c、 b、 d 啊，它就是一个等腰三角形。 既然是等腰三角形的话，我们就可以得到角 c、 d、 b 等于我们的角 d、 b c 啊，又因为对顶角，所以它还等于我们的角 a、 d、 o。 好，那第一问呢，让我们去证 e、 f 跟圆 o 的 位置关系，我们瞟一眼就知道啊，它绝对是相切的。那么对于这类相切的问题，我们上期说过了，有切点，我们怎么样对，我们要连切点啊，所以我们把我们的 o、 b 啊连起来 好，连完 o b 以后呢，我们自然而然又得到了一个等腰三角形啊，因为 a o 等于 b o， 所以 我们的这个三角形 a o、 b， 它也是一个等腰三角形。 那么在这个等腰三角形里面，我们可以得到我们的角 o、 b a 的 啊啊，因为我们的角 a、 d、 o 加上我们的角 o a、 b， 它是等于九十度的，而我们的这个角 a、 d、 o， 它是不是等于我们的角 d b、 c， 而我们的这个角 o a、 b 又是等于我们的角 o b a， 那 它俩相加是不是也是等于九十度？那么第一问呢，就正 b 了啊，我们的 e、 f 跟 o b 就 垂直了。好，接下来我们来看我们的重点啊。第二问， 第二问，它告诉我们这个圆的半径呢，是三，那么我们给它半径给标一下，都是三， 然后他告诉我们一个正切啊，角 o a、 d 的 正切是等于三分之一。 那如果题目里面出现了三角函数，大家一定注意，我们一般呢必须要把它放在一个直角三角形里面。有同学说，如果题目里面没有直角三角形呢，那么我们就需要去人为创造一个直角三角形， 并且在这个过程中，我们是不能怎么样对，不能破坏特殊角的啊。好，那这道题目里面呢，本来就给了我们直角，所以 因为正切是对边比零边，那么我们根据这个条件就可以知道，在我们的 r、 t 三角形 a d o 中， 我们的 d o 比上我们的 a o， 也就是这个半径啊，它是等于一比三的，所以我们可以得到我们的 d o， 它就是等于一。 那题目里面让我们去求 bc， 而 bc 呢，跟我们的 cd 是 相等的，出现相等线段又是所求线段，我们就可以设它为 x。 那么设完以后，我们结合第一问，第一问的条件要用到我们的这个角 o b、 c， 它是等于九十度的，所以我们可以把它放在一个直角三角形中， 我们可以得到 o c 的 平方，就等于 o b 的 平方加上 b、 c 的 平方之隔。 那么我们的这个 o c 呢，它是等于我们的 cd 加上 o d 的 cd 现在就是等于 x， o d 是 等于一，所以就是 x 加一的平方 o b 啊，就是 x 的 平方 bc， bc 啊。啊，哦，对，说错了啊， bc 才是 x 平方啊， o b 就是 我们的半径啊，等于三的平方啊，然后大家解一下这个 x 就 可以了。 好，接下来我们来看第二问。第二问呢，是我们安徽的一道中考题， 如图，在四边形 a、 b、 c d 啊，它的顶点都在半圆上， 这边产生了很多内接四边形啊， ab 是 圆 o 的 一个半径啊，那待会，待会肯定要用到这个啊，直径啊，待会肯定要用到这个条件啊，百分百会出现一个直径所对的圆柱角是九十度啊，连接 o c， 角 d a b 加上两倍的角 abc， 它是等于一百八十度。 第一问，让我们去正 o c 平行 a d， 那 想正平行的话，要么同位角啊，要么内错角，对吧？那这里面呢，我们这个两倍的角 abc 一 出，我们看啊， 因为 o b 跟 o c， 它们都是半径都是相等的啊，所以我们的这个角 o c b 就 等于我们的角 o b c， 那想要有两倍的角 a b c， 那 么我们只要有一个角，等于这两个圈角之隔就可以了吧。那利用外角的知识点，很明显，我们的这个角 a o c， 它就是等于角 o c b 加上角 abc， 那 就是等于两倍的角 abc 的。 所以这个题目呢，其实想告诉我们，角 d a b 加上这个角 a o c 等于一百八，那么这两个角是什么关系啊？ 对，同旁内角，对吧？所以我们直接就说，因为同旁内角互补，所以 o c 平行 a d。 好 吧，好，那待会呢，这个条件我们第二问大概率也会用到，所以我们把它圈出来。好，我们接下来看第二问。 若 a、 d 等于二， bc 等于二，根号三， 让我们去求 a、 d， 也就是去求这个直径啊，那求直径的话，我们可以设半径是小 r， 那 么我们可以发现啊，这个 a 到 a、 d， 还有我们的 bc， 这两条边虽然给了，但是它们相距甚远啊，几乎没有联系， 那我们该怎么样解决题目呢？哎，我们说了，这边 a、 b 是 半圆 o 的 直径，这个题目这个条件九九还没用到对不对？那我们理应去连接两个线段，然后 产生一个直角，对不对？产生个直角，那么这里面呢？我们连接谁啊？通过尝试我们可以知道，我们应该是连接 b、 d 啊，而且一旦连接 b、 d 以后，我们就会发现啊， 发现什么？首先我们的这个角 a、 d、 b， 它肯定是一个直角， 因为它是直径所对的圆周角。其次，因为我们的 o、 c 是 平行这个 a、 d 的， 那就意味着产生了一个平行， 那么我们的同位角就会相等啊，所以我们把这边这个点就很重要，我们标个它一个一， 我们可以得到我们的角 o、 e、 b 也是等于九十度。看到这里你就发现出现了什么对垂筋定律啊，垂直于弦的直径平分这条弦及其所对的弧 啊。那么看到这边出现了一个全运定律，我们大概就知道，待会我们又可以用勾股了啊。题目里面如果直角出现的多，我们就用勾股，如果相等的角出现的多啊，我们就用相似啊。那么这里面呢， 我们可以快速的得到三角形 o、 e、 b 跟三角形 a、 d、 b 啊是相似的，或者你用中位线也可以，那么我们可以得到 o e 呢，它就是等于一 啊，那么我们的 c、 e 呢，它就是等于小二减一， 那么我们怎么去建立一个勾股方程呢？在这里面呢，我们没有办法直接的去表示这个 b、 e， 所以 我们可以用对用两个勾股方程作连力，因为我们首先这个 b、 e， 它既存在于我们的三角形 c、 e、 b 中，它也存在于我们的三角形 o、 b、 e 中， 所以我们可以得到 b 一 的平方，等于 b、 c 的 平方减去 c 一 的平方，那么也就是说它等于二根号三的平方，减去二减一的平方。 与此同时，在三角形 o、 b 一 中，我们的 b 一 方，它是等于 b o 的 平方，减去 o 一 的平方，那它也就是等于二的平方减去 一的平方啊，然后我们只要让他们俩相等啊，最终把这个二给解出来就行了。 好，今天的知识点就讲到这里，希望大家呢能多结合我们讲的这个三要素来解决圆的第二问，不要畏惧啊，能用的这些工具就这些好，欢迎大家的收看。

上一期讲的圆综合的三大核心考点，今天咱们深入两个让很多孩子头疼又高频出现的模型，切割性定力和双切线模型。这两个模型每年中考圆综合题中必出现一个，学会它，你就能比别人多拿五分！ 先说切割线定律，听起来高大上，其实就一句话，从圆弯一点引一条切线和一条割线，切线的平方等于割线全长，从以外断公式，长，这样 怎么用？看到圆弯一点引了切线和割线，马上想到这个等量关系列方程，求线段长度，又快又准。 场景模型题目，给你切线长和割线的一段，让你求另一段，或者给你割线两段，让你求切线长。再说双切线模型， 从圆外一点引两条切线。结论更简单，切线长相等，圆心和该点的连线平分，两条切线的夹角公式，长。这样这个模型有三个常用结论，切线长相等， 连接圆心和切点半径垂直于切线，连接圆心和圆外点，得到两个全等的直角三角形。 常见场景，求线段长，正角相等求角度。看到两条切线，直接想这三点，基本结论就出来了。 切割线原理解决的是切线与割线的关系，双切线模型解决的是两条切线的关系。把这两个模型吃透，圆综合体的线段长度和角度问题，你就能很快找到突破口。 我是宇恒数学，关注我，下期带你拆解圆中的圆明地理同学们，圆综合的题，咱们再拿下一个！

若角 e、 a、 d 等于七十六度，然后求证 c、 b 是 圆 o 的 切线连接 b、 d。 因为角 e、 a、 d。 角 e、 a、 d 等于七十六度，角 a、 d、 e、 a、 d、 e 等于四十度， 所以角 aed 的 话，三点乘六和一百八，一百八，减掉角 e、 a、 d， 然后减掉角 a、 d、 e 一 百八七七十七，七十六加四十万，就是一百八减七六减四的老铁六十四度。然后角 aed， 角 aed， 角 abd 等于角 aed 等于六十四度，因为它们都是一个弧圆周角，一个弧圆周角， 所以相等。然后这个 a、 b 是 圆 o 的 直径， a、 b 是 圆 o 的 直径， a、 b 是 圆 o 的 直径，所以角 a、 d、 b 的 九十度直径所对的角是九十度。角 a、 d、 b 的 九十度， 然后角 b、 a、 c 的 话，角 b、 a、 c 等于九十度，减角 a、 b、 d。 九十度，减角 a、 b、 a、 b、 d 到六十四，九十减六十四，等于二十六，所以角 b、 a、 c 的 话等于二十六度。 然后这个因为角 c 得六十四，因为角 c 得六十四度，所以角 a、 b、 c 的 话，角 b、 c 得一百八十度，减角 c 等于角 b、 a、 c。 这个三角形，角一百八，一百八十度的话 啊，角 c 六十四，然后角 b、 a、 c。 二十六，六十四加二十六十六十六，八八加一九九十一，八点九十对九十度。角 a、 b、 c 对 九十度。因为 c、 d 垂直于 bc， 所以 bc 是 圆 o 的 切线。