数学行程图怎么画

今天给大家带来一道形成问题，做形成问题最关键的是画形成图，但是我发现有很多同学画形成图是没有规则的。今天赖老师分享自己使用了二十年的画形成图的方法。 首先第一个就是竖线表示地点，因为这道题目有三个地点，起点以及他的中点。 再将每一个人他的出发点标好。那在标出发点的时候一定要注意，不同的人在不同的水平线上。 因为这一道题目是相向而行，所以呢，小李是往右边，小明是往左边行驶。小李的速度是每分钟五十米，小明的速度是每分钟六十米，所以他们的相遇点 会更靠近小李的地方。题目说他们的相遇点距离终点是五十米处。那这道题目怎么样进行解答呢？很多同学会以为 快的那个人比慢的那个人多走了五十米，但实际上是错误的，我们一起来看一下。我们首先将小李走的路程，通过翻折把它翻到另一边， 此时我们就可以很容易看出，快的这个人，也就是小明会比小李多走两个五十，也就是一百米。 又因为小明一分钟比小李多走十米，那他既然多走了一百米，说明他们行走了 十分钟。相遇时间求出来了，所以求这两地的距离，直接用相遇时间成两人的速度和，就等于他们的相遇路程，也就是 五十加六十的和乘十等于一千一百米。同学们，你学会了吗？关注赖老师，每天一个数学小知识。

学会正确画出路线图，是解决行程问题的关键。同学们，今天开始我们要分享的是六年级数学必考应用题之行程问题。 先来看题， ab 两地相距一千八百米，甲、乙两人分别从 ab 两地出发相向而行，相遇后，甲又行驶了八分钟到达 bd， 也又行驶了十八分钟到达 ad， 则甲、乙两人的速度各是多少？大家先暂停思考一下。 解决行程问题的关键是要正确的画出路线图，从而梳理出路程、时间和速度三个要素之间的数量关系。 请看图， a、 b 两地相距一千八百米，一开始，甲、乙两人分别从两地出发相向行驶，在 c 点相遇。相遇之后呢，甲 继续行驶至 b、 d， 以继续行驶至 a、 d。 好，两人的行驶路线已经表达清楚了，我们把甲、乙两人的速度分别设为 v 一和 v 二。根据已知条件，相遇后，甲右行驶了八分钟到 b、 d， 所以 b、 c 的距离等于八为一。 同理，已右行驶了十八分钟到 a、 d， 所以 a、 c 的距离等于十八为二。我们再来看，一开始甲从 a 到 c 所用的时间等于路程 a、 c 除以速度为一， 而路程又可以用刚刚求出来的十八 v 二替换，所以得到等式 t 等于十八， v 二除以 v 一。同样道理，根据乙一开始从 b 到 c 的路程，也可以得到等式 t 等于八， v 一除以 v 二。好，这两段路程 行驶时间 t 是相等的，于是我们列出等式十八比二除以比一等于八比一除以比二，经过化减后得出比一比，比二等于三比二。 路程等于时间乘以速度，时间相等，则路程 a、 c 和 b、 c 之比也是三比二两个数的比，知道了，和也知道了，很容易算出 a c 等于一千零八十米， b、 c 等于七百二十米。 再带入后半段路程的时间 v 和 v i 就可以求出来了。得出结论，假的速度为九十米每分钟，乙的速度为六十米每分钟。你学会了吗？请继续关注英子老师，让我们快乐的做题，提升数学思维力！

一辆客车从假地开完乙地要四个小时，一辆货车呢，从乙地开完甲地要五个小时。现在啊，两车分别从甲乙两地相向而行，在离终点二十七千米的地方相遇了，问，甲乙两地距离多少千米呢？这妥妥的一道行程问题啊， 形成问题最重要的一个方法，画线段图，我们先这样画一段，这里是终点，这里是假地，这里是乙地，这里是客车，这里是货车， 对吧？然后呢，我们再看客车，他每个小时行四分之一，货车每个小时啊行五分之一。我们知道啊，他的速度和时间是成反比的，所以啊，他的速度就是五，他的速度就是四， 那么他的速度肯定要更快一些喽，所以啊，离终点二十七千米的地方啊，就是往椅这边这里，然后这里呢是二十七千米。好了，这个图呢，是画出来了，可是又该怎么写了呢？我们看 这一段是不是等于五分之一啊，这里是不是四分之一啊？ 为什么这么说呢？我，我们是他们相遇的时候呢，用了 x 个小时，那么客车走的不就是四分之一 x 吗？货车走的就是五分之一 x， 然后他们的路程比呢，还是四分之一比五分之一， 所以啊，不管怎么样，只要他的时间是一定的，那么他的笔就一定是一定的，那么我们再看看，这里是终点，这里是二十七千米，然后呢，一半就等于二十七千米， 再加上五分之一 x， 那么我们要是把这个二十七再复制一个过来，这也是二十七，这呢就是五分之一了，这总共是四分之一，这里是五分之一，那么这里的分率啊，就是要四分之一，减去五分之一等于二十分之一， 那么这个二十分之一啊，对应的就是这两个二十七，两个二十七呢，就是二乘二十七等于五十四千米， 那么这五十四千米啊，对应的就是二十分之一，那么五十四就除以二十分之一就等于五十四，乘以二十就等于一千零八十千米， 所以这道题的答案就是距离一千零八十千米了，你学会了吗？

好，来，接着我们看一下第十题，甲乙两车同时从 a、 b 两地相对而行，在距 b 地五十四点五千米处相遇了。啊，相遇，他们各自到达对方出发地后，立即返回原地， 图中又在距 ad 四十点八千米处相遇。求 ad 两 d 之间的距离是多少？好，我们来看这道题怎么做？首先第一步先画形成图。好，我们来看啊，这边是甲乙两车同时从 ad 两 d 相对而行。好，那这个是 ad， 这边对应的是 b、 d， 对吧？那 a、 b 两 d 之间的距离是多少？不知道，对吧？所以咱们画形称图，用这一段来表示 a、 b 两 d 之间的距离，明白吗？好，接下来讲 看。现在呢，有两辆车，一辆是甲，一辆是乙。好，甲车在这边，那乙车在这边，他俩是相对而行，对不对？好，第一次他是在距臂的五十四点五千米处相遇。好，咱们来看怎么画啊？ 好，假如说假车行到这里了，那乙车呢？是不是从 b、 d 开始往这边走？好，走到这里和假车怎么了？哎，相遇了，对不对？好，假如说这个就是他们第一次相遇的点，在这里相遇了，看到了吗？ 这是第一次相遇的地方。好，第一次相遇的地方，他是在距离 b d 五十四点五千米处相遇。好，说明这一段就是五十四点五千米，距离 b d 五 五十四点五千米，在这里相遇了，看到了吗？好，相遇以后呢？他们各自到达对方出发地后。好，也就是甲继续往 bd 走，乙继续往 id 走， 到达对方的出发地，然后怎么样？哎，原路返回这里也是原路返回，在某个地方，又一次相遇了，对不对？好，来，继续画 假车，继续往 bd 走， bd 就是乙 d 的出发地呀，到达 bd 以后怎么样？立即返回，好，又返回了，明白吗？又往回走了，好，接着。那乙车呢？同样他也是相遇以后继续往 id 走， 到达 a d 以后怎么样？立即返回？好，你看，在这里和假车又一次 相遇了，看到了吗？好，这里是第二次相遇的地方， 看懂了吗？好，第二次相遇的地方，他说的是距 a、 d 四十点八千米处相遇啊，所以这一段对应的是四十点八千米，第二次相遇的地方距离 a、 d 是四十点八千米， 看懂了吗？这个就是整个的行程过程啊。好，我们来看一下，分析一下我们这个行程图。好，大家来看一下啊。假车是从这里开始 走走走，走到 b、 d， 然后返回到这里和乙车相遇，对吧？好，那乙车呢？从这里走走走走走，走到 i d， 好，再返回，和甲车在这里相遇了，对吧？好，大家仔细看，在整个的过程中，甲乙两 车一共行驶了几个 ib？ 第一个问题啊，仔细看图，甲乙两车在整个过程中，也就是第二次相遇，在这个过程中，到这里的时候，他们俩一共行驶了几个 ib， 几个 a b？ 好，你看一个，两个，三个，对吧？蓝色的线表示的是甲车行驶的路程， 红色的线表示的是以车行驶的路程，他们俩合起来一共行驶了三个 a b 的，全程，看懂了吗？好，所以这里写出来，甲乙两车 一共行了三个 a b， 看懂了吗？ 好，大家再来想一想。那我们知道，在第一次相遇的时候啊，甲车走了这一段，乙车走了这一段，对吧？那他俩第一次相遇是不相当于走了一个 a b， 那一个 a b 移走了五十四点五千米，就是这一段，对吧？在一个 a b 中， 嗯， 已行了五十四点五千米， 这个能不能看懂？在一个 a b 中，已行了五十四点五千米。整个的行程过程，咱们知道甲乙的速度是保持不变的，对吧？ 能理解吧？好，在一个 a b 中移走了五十四点五千米，那一共是三个 a b， 一个 a b 五十四点五，一个 a b 五十四点五，那三个 a b 不就是 是三个五十四点五吗？所以乙车在整个的过程中一共行驶了五十四点五乘三，好，计算一下，等于一百六十三点五千米。 在三个 a b 中，乙车一共行驶了一百六十三点五千米。好，咱们来看一下乙车，它是从这里开始出发，在整个的过程中一共行驶了这么多路程， 对应的就是一百六十三点五千米。好，你看这一段加上这一段一共是一百六十三点五千米。好，那咱们把这一段给他去掉， 那剩下的不就是 a b 他们俩之间的距离了吗？那你看这一部分是多少？正好是四十点八千米，明白了吗？所以咱们 用一百六十三点五减去四十点八，那剩下的就是一个 a b 了。好，一个 a b 计算一下是多少？一百二十二点七千米。

好，接着我们来看一下第四题，一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地出发，相向而行， 客车每小时行八十千米，货车每小时行六十八千米，货车行了十八千米后， 客车才出发，结果两车正好在甲乙两地的终点相遇。甲乙两地相距多少千米？好嘞，什么意思？咱们来画个形成图啊。 这边是甲，这边的话是乙，这是甲乙两地，对吧？相距多少千米？不知道，就是让咱们去求的，对不对？好，现在呢？有一辆客车和一辆货车。好， 左边是客车，右边的话就是我们对应的货车，谁先出发的货车吧？他说货车行了十八千米啊，好，他先行了十八千米， 这个对应的是十八千米，然后货车走到这里以后，客车是不是才开始出发？结果两车在甲乙两地的终点。好，假如说这个是终点的位置，怎么样？相遇了，所以客车 走到终点，然后同时货车也走到了终点，他们俩相遇了，对不对？好，咱们来看这道题怎么去做啊？货车是从这里出， 出发到达终点所用的时间和客车从这里到达终点所用的时间是相等的，因为这一段十八千米是货车比客车先出发的， 他先走了十八千米，然后到这个位置以后，客车才开始出发，两车一起走到终点的位置相遇，明白吗？好，那这道题咱们要怎么设？能不能直接设甲乙两地的距离？不可以，咱们去设时间， 设什么时间？咱们就设货车从十八千米的位置到终点的位置所用的时间为 x， 也就是客车出发的时间 v x， 明白吗？好，所以来解释。 客车，咱们直接说客车 啊，客车行了 x 小时与货车相遇。 好，咱们看客车行了 x 小时与货车相遇，在这个位置，对不对？那客车所行驶的路程会求了吗？咱们用它的速度乘时间，时间设出来了呀，速度是八十千米，那咱们就用八十乘 x， 这一段就是客车行驶的路程。好，那咱们来看那相同的时间货车行驶的路程是多少？是不就是这一段呀？ 是不是？好，也就是六十八 x， 这一段是八十 x， 这一部分就是六十八 x， 对吧？它的速度知道了吗？咱们去乘这一段 时间，也就是对应的 x 呀，是不是？好，那就是六十八 x。 好，你看这是什么位置？这是终点的位置， 左右这两段的路程是相等的呀，对吧？好，左边是八十 x， 那右边是六十八 x 加上十八，看到了吗？好，所以咱们用六十八 x 加上十八左右相等， 明白了吗？也就是客车行驶的路程就等于相同时间内货车行驶的这段路程加上他的十八千米 左右相等，明白了吗？因为这是终点的位置啊。好，来，接着咱们解方程。怎么去解？首先等式，左右两边同时减去六十八 x。 好，那左边八 x 减六十八 x 等于十二 x， 对吧？右边一减不就没了吗？还剩十八。好，那就是十二 x 等于十八，左右两边同时除以十二，好， x 等于多少？计算一下，十八除以十二，正好是一点五， 对吧？好，来列式子啊，十八除以十二，对吧？咱们在八的上面上一， 然后这里还余六，好补零啊，添零以后点小数点六十除以十二，商五二五一十写零进一，一五，得五五加一十六吗？所以答案是一点五， 看到了吗？所以客车行了一点五小时后，在这里与货车相遇了，明白了吗？好，接着咱们要求的是甲乙两地相距多少千米？好，咱们看 左边这个八十 x 是不就是客车行驶的这段路程，也就是整个甲乙的路程的一半，因为这是终点对不对？所以八十 x 表示的是一半， 那另外一半呢？咱们乘二就可以了，所以咱们用八十乘一点五乘二，就可以求出我们甲乙两地的距离，明白了吗？好，计算一下，等于二百四十千米。好，最后写答案就可以了。

好，今天我们来看一道行程问题，是我们答疑群里一位家长发来的题目啊，我们来看，客户，两车同时从假地开往乙地，客车每小时比货车少行二十四千米。 好，货车行驶四小时，到达以地后立即返回，在距离以地六十千米处与客车相遇。那问，货车每小时行多少千米？ 好，这是我们的一道形成问题，对吧？那解决形成问题，首先咱们得先会画形成图。好，接着老师来教大家画形成图啊。 好，咱们来看，现在呢，是从甲地到乙地，对不对？那甲乙两地到底是多少？咱们不知道，咱们用这样的一段来表示，明白吗？距离不知道，咱们用线段来表示，用这样的一段来表示甲 地到乙地的路程。好，这里写上甲，这里写上乙。好，接下来呢，他说，客车和货车两车同时从甲地开往乙地，哎，也就是说客车和货车现在都在甲地，对吧？ 好，假如说这个是客车，那这里呢？对应的就是货车，他们都是从假地开往乙地，对吧？好，他说，客车每小时比货车少行二十四千米。 哎，那反过来呢？那就是货车比客车每小时要多行二十四千米，对不对？好，那很明显呀，货车的速度快，客车的速度慢呀，所以他先到达以地，对不对？你看，他说了，货车行驶四小时， 到达一地后立即返回，然后当他返回的时候，是不会和我们的客车相遇呀，对不对？在某个地方相遇了。好，我们来画图， 货车四个小时到达以地，对不对？好，然后开始返回，返回啊，好，假如说在这个位置和我们的客车相遇了，客车过来了，老师用红笔画啊， 好，来看，这个就是货车和客车的相遇点在这个位置，对吧？ 能理解吗？好，那相遇点，他说的很清楚，是在距离以地六十千米处与客车相遇了。好，那这一段对应的就是多少？ 六十千米啊，对吧？他是在距离以地，这个是以地六十千米的地方和客车相遇了，看到了吗？好，接下来我们来看一下怎么去做啊？ 他问我们货车每小时行多少千米？也就是让咱们去求货车的速度，要想求货车的速度，咱们得知道货车行驶的路程和他行驶这段路程所用的时间 是多少，然后咱们用路程除以时间，不就等于速读了吗？对不对？好，我们来一起来分析下这个图啊。 货车从假地开始开往乙地，好，到达乙地后立即返回，对不对？好，在距离乙地六十千米的地方和客车相遇了，因为客车慢对不对？他走到这个位置的时候， 那货车就已经返回，哎，也到这个位置了，两车相遇了，对不对？好，货车到达以地所用的时间是四小时，对吧？他是行驶了四个小时到达以地。 好，接下来大家来告诉老师，在整个的行驶过程中，货车比客车一共多行了多少千米？ 来思考这个问题。在整个行驶过程中，也就是在整个相遇的过程中啊，在相遇的这个过程中，大家来看货车比客车多行了多少千米？好，我们来看这一部分路程相等对不对？好，哪一部分是多行的？ 这一部分和这一部分对不对？你看这两段的路程相等呀，那你看 货车比客车不就多行了这两段吗？看懂了吗？货车这一段，然后再回来过来，那所以你看这两段一共是多少？这一段是六十，那这一段也是六十，所以一共多行了两个六十，也就是一百二十千米， 能理解吗？那这个一百二十千米，就是货车和客车同时从假地开始出发，一直到相遇，这段时间里，货车比客车一共多行了一百二十千米。 好，咱们来看，那货车一个小时比客车多行多少千米？是不是二十四千米？一个小时多行二十四千米，那几个小时多行一百二十千米，咱们就看一百二十里面有几个二十四， 对不对？好，咱们用一百二十去除，以二十四计算一下，是五小时，对不对？也就是说五个小时的时间，货车比客车一共多行了一百二十千米，对不对？好，咱们看，那也就是货车从出发 一直到相遇，一共是五个小时，这一段的时间是四个小时，那他走过来返回的这一段是不是用了一个小时呀？ 对吧？你看时间知道了，哎，路程也知道了，你看这一段的路程不就是六十千米吗？对不对？好，那咱们直接用 那这个是多出来的一个小时啊，五减四，一个小时，一个小时就是走了这一段，那咱们对应的路程就是六十千米。路程除以时间，不就等于速度吗？对不对？

好，今天我们来看这样一道咱们答疑群里家长发来的题目啊，说甲、乙、丙三人行走的速度分别为每分钟三十米、四十米和五十米，甲、乙从 ad， 丙从 bd 同时相向而行，丙遇到以后十分钟和甲相遇，则 ab 两地间的距离是多少米？好了，这是一道形成问题，对吧？ 首先你得把形成图画出来，明白吗？咱们首先第一步先画形成图，一边画图一边去梳理咱们题目中的数量关系啊，好，我们来画图 啊，老师来教大家画形成图啊！首先这个是 ad 啊，这边的话是 bd， 咱们先画两条平行的线，竖线。好，那么他们之间的距离是多少，我们是不知道的，对不对？我们用这样的一段来表示，明白吗？好，他说甲、乙从 ad 秉从 b、 d 同时相向而行，对吧？什么叫相向而行来？相向而行就是一左一右这个方向啊，行驶的方向是这个方向，这个叫相向而行，肯定会相遇，对不对？好，咱们来看左边这里是 a d， 右边这里是 b d， 那甲乙是从 a d 开始出发。好，咱们看甲，乙是从 a d 开始出发，也就是甲和乙都是在 a d。 好，我来标出来，甲说这个是甲，这个是乙，对吧？好，那丙呢？丙是从 b d 出发的。好，丙在这里。 接下来他怎么说的？他说丙遇到乙后十分钟和甲相遇，什么意思？丙为什么要先遇到乙啊？你仔细看他们三个人的速度，丙的速度是最快的， 接下来是乙，再接下来是甲，所以咱们根据速度可知，那么乙和丙肯定是先相遇的，对不对？好，来，我们画图啊，假设乙走到这，好，那我们的丙呢？哎，过来了， 他走到这和我们的乙怎么了？诶，相遇了，看一下，这个是我们的乙和丙的相遇点， 明白吗？能不能看得懂？丙和乙相向而行，哎，在这个地方相遇了，对不对？那大家告诉老师，甲在哪里啊？甲的速度慢呀，对不对？那甲肯定是在乙的后面， 哎，甲现在行驶到这个位置了，对不对？当丙和乙两个人相遇的时候，甲 还在这个位置，那接下来丙是不是要继续往前走？甲是不是也要继续往前走？那他们俩是不是又会在某个地方相遇，对不对？好，接下来我们再继续画好，甲，接着继续往前走， 好，那丙呢？也是继续往前走，所以十分钟以后他和甲怎么了？ a 在某个地方相遇了，看到了吗？ 那乙呢？是不是他也会继续往前走呀？他们是走了多少时间？十分钟，对不对？ 他说的很清楚，他说丙遇到以后，十分钟和甲相遇，对吧？好，那十分钟以后和甲在这个地方相遇了，看明白了吗？好的， 要搞清楚，这里面有一个非常关键的突破口，什么突破口？他们是同时相向而行的。好，当甲走到这个位置的时候，咱们的乙，对呢，是走到这个位置，那丙呢？是走到这个位置，十分钟以后，甲走到这里， 丙呢走到这里，那乙对应的是走到这里，明白吗？他们的时间都是一样的，能不能理解？好，接下来咱们看怎么去做？ 这一段的路程会求吗？丙和乙相遇以后，是不是又继续往前走了？十分钟，每分钟是多少？五十米？那十分钟，对呢？就是五十乘十，也就是五百米， 对不对？ 对吧？好，那同样这一段呢，这一 段的路程是多少？那顶往前走了十分钟，甲是不是也继续往前走十分钟，对不对？好，所以这一段的路程就是甲的速度乘十，甲的速度是多少？每分钟三十米，那咱们就用三十乘十，所以甲往前走了三百米，能理解吧？ 好，标上去啊，这个是三百米，明白吗？好，那你看这一段对应的是多少？ 这一段对应的是八百米，对不对？能理解吗？你看这一段是三百米，这一段是五百米，合起来就是三百，加上五百等于八百米， 对不对？好，接下来你来告诉老师，这个八百米是什么意思？这个八百米是什么意思？你看已从出发点开始 行驶到这里，对不对？好，那同样的时间，甲在哪里？这个是不？乙和丙相遇的地方，那甲呢？甲是不是只走到这里？ 所以你看此时乙和甲所用的时间相同，但是乙比甲多行了八百米，所以这个八百米指的是乙丙相遇时，乙比甲 多行的路程，明白吗？以比甲多行了八百米。好，咱们来看，以比甲一分钟多行多少米？ 一分钟多行十米，那几分钟多行八百米，咱们是不是用八百去除以十呀？对不对？也就是四十减三十得来的，一分 分钟多行十米，一分钟多行十米，那几分钟多行八百米呀，那就是八十分钟呀，对不对？好，所以咱们用八百去除以十，也就是八十分钟， 能理解吗？所以这里啊，乙从出发点到这里，他一共行驶了八十分钟，那同样甲从出发点到这里，他也是行驶了八十分钟。好，那你想想，乙从这里走到这里是八十分钟。 好，那丙在哪？丙是不过来了，和他相遇了也是八十分钟，所以你看乙和丙的相遇时间不就知道了吗？他们俩的相遇时间就是八十分钟。好，相遇时间知道了，速度之和乘相遇时间就是我们的总路程呀。所以咱们用乙的速度 四十，加上丙的速度五十，这是速度和乘相遇时间。八十就是我们 a、 b 两地的总路程。九十乘八十等于七千二百米。