2025高考数学第15题正确答案

小尚同学专题视频讲解现在我们讲解二零二五年天津卷数学第十五题。若 ab 属于 r， 对 任意 x 属于二到二均有这个不等式成立，则二 a 加 b 的 最小值为多少门？设 t 就 等于二， a 加 b， 那么要求二 a 加 b 的 最小值，也就是求 t 的 最小值。我们设 f x 等于二， a 加 b 乘以 x 的 平方，加上 b， x 减 a 减一， 那么 f x 小 于等于零，横乘以是在 x 属于负二到二上， 我们将 t 等于二， a 加 b 带进去， f x 就 等于 t， x 的 平方加上 t 减二， a 乘以 x 减 a 减一。 我们现在要求 t 的 最小值，需要将这个式子中的 a 给消掉，也就是令负二 a x 减 a 等于零， 那么 x 就 等于负二分之一，所以 f 负二分之一，也就是四分之 t 减二，分之 t 减二， a 减 a 减一，也就等于 负四分之。 t 减一小于等于零，我们可以解得 t 大 于等于负四， 我们现在来判断这个等号是否成立。当 t 等于负四的时候，二 a 加 b 就 等于负四，则 b 就 等于负四减二 a， 那 么 f x 此时就等于负四 x 的 平方加上负四减二， a 乘以 x 减 a 减一，我们知道 f x 小 于等于零， 是横成列的。在这个 x 属于负二到二上，我们现在令 f x 等于负的 m， x 加 n 股值的平方，其中 m 大 于零， 那么将它继续展开，就等于负的 m 的 平方， x 的 平方减二， m n x 减 n 的 平方。 我们对比系数可以知道，负 m 的 平方就等于负四，负二， m n 就 等于负四减二， a 负 n 的 平方就等于负 a 减一，我们可以解得 m 就 等于二， n 就 等于一， a 就 等于零。 此时可以得到 b 就 等于负四。那么这时候 f x， 它就等于负的二， x 加一或这个平方满足 x 属于负二到二十， f x 小 于等于零，所以二 a 加 b 的 最小值为负四。

小尚同学真题视频讲解，现在我们讲解二零二五年上海卷数学第十五题， 他说呢，已知点 a 呢，坐标是零一点 b 的 坐标呢是一二， c 呢？在这个双曲线 x 平方减 y 的 平方等于一，并且呢是 x 大 于等于一， y 大 于等于零，也就是第一项线的部分，则这个三角形 a、 b、 c 的 面积。我们先大概的做出一下一个示意图，你看 点 a 的 坐标呢是零一，点 b 的 坐标呢是一二，大概在这个地方看，这是 a， 这是 b， 那 么直线我们再看这个地方是一，这个双曲线的 a 等于 b 也等于一，你看它的大概做出它的第一象限的图，大概就是这样，我们根据这个是不是可以求出这个，因为这个 a 等于 b 等于一，所以我们是不是就可以求出这个双曲线伽马它的一个渐近线方程呀？你看其中有一个就是这个， 因为 y 等于 x。 那 么我们来看看直线 ab 和这个直线和这个渐近线有什么关系呢？根据这个点 a 的 坐标零一点 b 的 坐标一二，我们是可是不是可以求出 k a、 b 啊？这个直线的斜率呢，也就是 二减一除一减零，也就等于它又经过点零一，所以说直线 ab 的 方程呢，也就是 y 等于 x 加一，这样的话呢，直线 ab 和这个渐近线呢，就是平行的，他说点 c 呢，在这个上面，在这个旮旯上运动， 那么你连起来，你看这个点 c 呢，和这个点和这个渐近线画的有点不太精确，这个地方 它和这个渐近线呢，是越来越近，越来越近，当这个 x 无穷大的时候呢，他们俩几乎就贴上了，也就是说呢，又因为呢，你看这个点 c 到 ab 的 距离呢，你看 逐渐变小，逐渐变小，最后变到距离点 c 到这个直线 ab 的 距离呢，它就接近于 这两条平行直线之间的距离。这样的话呢，你看，我们来看 s 三角形 abc 的 面积呢，它就等于二分之一，乘上 ab 的 长， 再乘上这个点 c 到直线 ab 的 距离。经过我们刚才分析呢，这个点 d， 这个 d 呢，它是逐渐减小的，并且呢，它没有最小，它取不到最小值。所以说明呢，这个三角形 abc 呢，它的面积呢，也没有最小值，并且呢，它在这个地方 一零的，这个地方，他离到这个之间 ab 的 距离 d 是 最大的，也就说 d 有 最大值，没有最小值。所以说呢，这个 s 三角形 abc 的 面积呢，也是有最小，有最大值，但没有最小值的。所以说呢，这道题的正确答案选 a。

今天我们要讲的是二零二五年全国二卷。好了，我们继续来看十五题解答题。呃，今天呢，是二六年的三月二十号，这会是晚上。呃，咱宝鸡明天要开始，宝鸡是二卷， 去年这个第一道解答题考解考三角函数，追溯到上一次考三角函数都已经快十年前了， 而且还不是咱们本省考的啊，当时我记得是至少是在一六年以前，至少是在一六年以前才单独考考这个类型的三角函数。 为啥呢？所以去年考出来以后，很多同学比较犯懵，尤其是基础比较差同学，五月份同学们在学校对大家进行这个集训或者考练，同学们容易忽略一些最原始东西，所以说我建议同学们在五月份的时候回归正题啊。 你今年你去年没准备？所以说今去年考的不太好，那相反，今年的好，就我光见到的模拟卷里面多少套二卷？地区考模拟卷里面出三角函数的 太多了，所以说大家一定要注意高考真题对同学们这个考察范围的一个指向性，明白吗？那我也希望这个十五题是个抛砖引玉的题， 为啥来着明年考不考，今年考不考三角？我不清楚，但相比较而言，我觉得竖列该来一来了吧， 因为竖列最原始的或者最基础的这种 s n 减 s n 减一出来要分段，是不是也会有问题啊？ 是不是？甚至于立体几何的点到面距离你会不会有问题啊？你看题，你会做，除了等体积法，向量法呢？你掌握的怎么样呀？ 人等等这些东西我需要同学们在，我希望孩子们，同学们在那个什么备考过程中，在最后的阶段一定抓住。呃，真题啊，一定抓住真题，或者叫回归教材。 回归教材是一方面吧，教材太多了好吧，因为咱们上课的时候也不确定你们用不用教材。那除此之外呢？就真题 这个，虽然他做考过了不会再考，但至少这个套路或者逻辑他经常是反复的，明白吗？好了，十五题，我们开始开始讲啊，不啰嗦了，来。首先他告诉 f 零等于二分之一，接下来我根据第一问解， f 零就等于多少考三以 f 要等于二分之一，所以说因为 f 属于多少 零到派，在零到派里面考三等于二分之一的，所以说 five 等于三分之派，没有任何难度。这几分送的啊。好，第二问好， g x 呢？那自然来， g x 等于多少考三以二 x 加三分之派。 接下来来一个 x 减六分之派，那就是加 cosine。 二 x， 那 这个题没有什么水平啊，那就是二分之一倍的 cosine， 二 x 再减二分之根三倍的三 x 再加一个它，那它改成二分之三就行了。根三倍的， 那这个时候就有问题了，你到底用 cosine 还是用 cosine？ 就 去年我了解，最后我事后了解到的，有同学拼的是辅助角，用的是余弦， 然后写出来单调区间是正弦的，背的默写默写错的，有的人写的是正弦，默写的时候又默写反了的。这里要特别注意啊，我们先拼成正弦来做吧。二分之根三，那么他就是三引多少啊？ 三分之派，对吧？三引三分之派减二 x， 千万别忘了，你如还有人想到负根三倍的三引二 x 减三分之派也行， 可以吧，提出来也行。记函数嘛，我答案给的是考三影，我更希望同学们用三影，因为三影更熟悉。那这个时候因为有这个符号存在，所以说它的值域不影响负根三到根三， 直接写就行了嘛。那它增区间呢？就应该被减去减的二 x 减三分之派，就应该属于二分之派加二开派到二分之三派加二开派， 最后解完再来 k 除以 z 啊，那么 x 就 属于来二分之一加三分之一，六分之五除个二十二分之五派加派派除二了啊，到十二分之，这是十一派加派派，这就是它的什么呀， 函数与 z 啊，这就是它的什么呀，增区间，对不对？那减区间呢？我不解了啊，解出来就是负十二分之派加二派加派派到十二分之五派加派派，不解释了啊。同样的派除以 z 这个题没有什么难度，但是同学们在写的时候，包括规范答题啊，包括讨论啊，一定要特别注意来着啊，重点是为了考察同学们知识点掌握的怎么样。因为啊，对了，说到这个，我也我也想起来一件事啊，突然想起来的， 为什么去年考三角函数？因为去年参加高考的这一波孩子学三角函数的时候上的是网课，疫情期间啊，虽然已经凌杂了很久了。所以说，同学们在例题，你呢？接下来二六年的同学，二六年高考同学，你初你初三那阵子上网课学的啥呀？ 那跟那些相似啊，全等他们的证明，是不是也可能出问题啊，对不对？例题集合里面所针对自己的问题好好备考啊。行，这题就到这里。

哎呀，这个数学啊，这是啊，主科嘛，这考的时候还是比较信心满满的。呃，发下来卷子一看，我就直接看这个十九题，完了怎么又不整新定义了。然后呢，坐前面的发现这个小题是真的很简单啊，很简单就没有什么特别难的。然后十一题，这个题比较抽象， 读的时候我就知道，完了肯定很多人不会做啊。这个出了考场之后也会也发现，确实这个题引起的争议是非常大的，到这个十五题，这个也卡了半天，因为最后算出来这个卡方七百多。哇塞，你平时哪做过这种数啊，所以这个你在考场上是一定会影响你的心态的。十八题，这个解析几何其实真的并不难啊，甚至他都没有连力啊， 但是啊，我就这题错了。这个第三问啊，应该算出这么一个式子来，我不知道为什么我算出来是这个，我算了两遍，可能都是把那个 m 和 n 在 草稿纸上写的太乱了，导致看反了，所以最终这个题我估计得扣了有个七八分。 最后的十九题呢，第三问我也没时间去做，因为说实在的啊，我在考场上面剩下差不多十五分钟的时候在看这个，就真的大脑完全不转个，就全在担心那个时间，所以就导致最后这十五分钟想这个题几乎没有任何的进展，因为感觉脑子已经死机了， 所以我做完之后我就真的感觉啊，考场上面做题完全完全不一样。这个也是我在考场之后发的一个感想啊，在考场上面有时候可能真的就做不出来，包括这个第一问其实都卡了我一小会，所以这是我这次考试最大的一个感受啊。 最后的第三问剩了有差不多十五分钟，但是感觉比第二问还没思路。我知道肯定是用前两问的结论来做，他这个一二问都抽象成这个样子了，作为十九题，他不可能是白给你铺垫的，所以往一起一组合应该 就是第三问的做法。但我确实没想明白该咋组合，而且一抬头一看时间就剩十五分钟，当时就感觉大脑直接死机了， 心里那种时间迫近的焦虑一下子就蔓延了。我特别真切的感受到最后那十分钟里，我几乎是完全无法冷静下来思考，脑子里面全是一个声音，完蛋了完蛋了完蛋了完蛋了完蛋了。所以最后我就扔了一个第一问的答案上去啊，然后就结束了。

我们全国的高中生，你知道我为啥不让你记套路吗？现在高考的特点就是防套路，什么叫防套路呢？他出的特别的灵活。我给你举一个非常极端的例子哈， 前两天给你们讲了全国二卷，也反复的强调这个观点。今天呢，我再用一个更加极端的例子，不是我自己出的题啊，是一个高考题。看看这个题目哈，去年北京卷刚考的题， 你可能说老师北京卷，我们不是北京卷啊，我给大家讲全国的高考一盘棋，这帮人互相 互相互相聊，互相扯皮，互相借鉴。全国高考一盘棋，这是高考的大特点，你们不是说 胜在不同的地方，可能有一些地域的不公平吗？其实现在全国的高考正在趋近于一盘棋，你有时候做一套题，你分不清这是北京卷还是二卷 还是一卷，特点区分不是那么明显了。来看看这个题目哈，这个题目，如果你真正把数学理解了，我跟你讲，你要让我做或我的学员做，可能用不了一分钟， 但如果你只是记套路，记模板，这个题你八成花十分钟你也解不出来。来看看这个题目哈，他说定义在尔上的函数哈，函数给出四个结论，说抽象的东西。 说第一个，他说存在尔上单调递增的函数 f x， 使得 f x 加上 f 二 x 等于负 x 横乘以 语言就物理了，是吧？第二个存在 r 上的单点递增的函数 f x， 使得 f x 减，它等于 x 横乘地 也不知道干啥。下面使得 f x 加上 f 负 x 等于 cos x 横乘地的函数存在且无穷多个四存在这个减，这个等于它横乘地函数存在且无穷多个， 你看看你有思路吗？如果你平时经过过多的思考，你这个题一眼就看出来，这不就考察我给你讲过的叫嫁接函数的单调性法则吗？你看他说存在 r 上递增，是不是增加增 还是个增啊？怎么可能是个减啊？一、不要下面增，下面递减。哦，一个减的这个，一个减的减去减去，一个减的，不一定是吧？不一定 不一定，但人家说存在，你不就可以试试了吗？哦，等一个 x， 那 我只要令 f x 等于个负 x， 那 这就是负 x， 这边的 f 二 x， 那 不就是负的二 x 吗？那负 x 减负 x 的 x 等于二就选出来了，你有一个解析的突破口是吧？ 再看三，就使得这一个恒成立的存在且无穷多个，这不就给你讲的嫁接函数的奇偶性法则吗？ 是吧？这个本身就是个偶函数啊，这个函数，哎，写个 g x， 不 管你这个 f x 是 谁，加在一起都是一个偶函数啊，为啥呀？因为 g 负 x 就 等于 f 负 x 加上 f x， 它俩一样啊， 不就是偶函数吗？左边是个偶函数，右边是 o， 这个有可能能行啊，对吧？你试试吧，你定个 f x 就 等于个，比如 cos x， 二分之一 cos 吧，加上一个，比如看 x 任意一个东西，你发现 f 负 x 是 不还是二分之一 cos 负 x 还是 cos x 啊？这边减去 f x 一 加，这不就没了吗？是不是所以三正确，那四肯定不对了， 因为左边这个函数是个减函数啊，你看 g x 等于个，哦，不对，是个 g 函数啊， f x 减去个 f 负 x， 你 看记负 x， 是 不是看到 x 的 负 x， 负 x， 然后减去个 f x， 它俩互为相反数，这左边一定是个减函数，右边是个偶函数，这边是个奇函数，这边是个偶函数。怎么可能？一个 奇函数等一个偶函数不可能存在，这二三就很容易选出来。我说这个题如果你真正想到你花十秒钟能解完，你能信了吗？如果你只是记套路模板，这样题你是平时做不到的。 我不是说你记一些套路，记一些结论，这个事情多么的罪大恶极，我是说现在高考它不适合这个东西。 如果你能听，通过平时这些经典的题去多去思考这个题所涉及的数学方法和思想，我们不就这么做了吗？如果你只是一味的去听别人给你讲套路，讲模板，讲题型， 新高考你一定不适应，希望这个题能够启发到你哈。我的底层逻辑训练营 就是干这个的，用高中的数学知识给你培养，真正的学会独立思考。你可以去找客服去咨询一下，我的底层逻辑训练营暑期班正在预售哈。

来看一道期望的数学真题啊。呃，已知随机变量可赛的分布如下图所示啊，一个是三五七对应的概率的话呢？呃， a b a， 然后则可赛的期望 e 可赛是多少啊？这里边的话呢？嗯，啥都没给，对吧？啥都没给你说。老师，我看到这种题我就懵啊。这种题的话呢，你首先注意一件事，就是我们这是不是概率， 概率总共加一块一定等于几？是不是 a 加 b 加 a 一定等于一啊？你说白了，你比如说吧，就说说个最简单的直硬币正反面对吧？正面概率是二分之一，反面概率也是二分之一，他们两个加一块是不是一定等于一？ 就所有的概率加一块一定是等于一的，所以化简一下，是不是二 a 加 b 它等于一样，这个是我们唯一知道的东西。然后你的 e 赛的话呢，等于什么？ 注意，这个数学期望你就记住什么，这个乘下边就上边乘下边，最后然后再干嘛相加就可以了。那所以是不是就是三 a 加上五 b， 再加个七 a 呀？那算到这是不是你应该看出一些东西来了？等于几？是不是十 a 加上个五 b？ 已知条件里边，我们只知道谁，是不是这二 a 加 b 等于一啊？二 a 加 b 等于一的话呢？把它化解一下，你看可以提出来谁这是十，这是五，对吧？所以是不是肯定能提出来一个五，提出来个五之后的话呢？它这剩了几十 a 提出五是不是剩二 a？ 五 b 提出五是不是等于个 b， 对 吧？二 a 加 b， 你 还知道等于一了，所以就等于谁？是不是五乘上个一啊？所以最后等于的五，所以最后就是哪个，所以就是 c 选项， 就碰上这种期望的。这个是二零二五年的河北省职教高考的数学专题啊，就去年考的。别慌啊，给你的条件是什么？全部都用上，最后你肯定算不错。

hello 同学们这道题我提前写一些步骤，这是图，方便你们理解的图。这是子线啊？不，这是部分过程。好看题目 如果什么什么子圆到什么子线上的距离和耶点有且仅有两个让你求 r 的 曲子范围，你看啊，我们一步一步来， 圆到直线的距离为一的点有且仅有两个半径不知道是吧？那我们先看那个，但是圆形是给了这种题， 圆形给了直线给了那我们先看圆形到它的距离呗，对吧。反正算的是 r 先带进去嘛，零 就你先算距离嘛你不管半径什么样你先算距离嘛先算距离然后再看你半径应该怎么走你先看圆形到直线有多远， 你能做到好像也只有这个了哈哈。你要带进去是零负二是零加二加二对吧？下面是根号， 呃，根号三的平方，这是三负一平方加一 没问题吧没问题吧。呵，你这个不要不要跟我说问题啊，有问题我真的要崩溃了。好的，来，你看咯，那它那个解析给了什么？ 这句话等价于 d 大 于 r 减一小于 r 加一。 呵， d 就是 那个圆形句吗？ 能看得懂吗？这个能看得懂吗？ 然后我们直接从图这里看，反正要么你们就套公式要么直接套这种题记下来直接套，要么我给你们讲一下 这是它。这个是什么意思？就是你看哦，圆心到直线距离首先是 o 好， 那么我这么画是什么意思呢？我是半径在慢慢的扩张你看哦，半径每一的时候它跟这个 相切是吧。说明什么？说明什么 这条直线是什么意思？就是这条直线上的所有点这条直线上的所有点 到直线到这个直线距离到这个，他给这个直线距离都是一，懂我意思吗？如果你只你跟他相切的话，跟他相切的话，说明什么？说明你原上只有一个点到直线距离为一，因为这上面的点， 这上面的点到这条直线距离都是一。如果你跟他只有一个交点的话，说明你只有一个点到他距离是一，所以说你的半径要大于一，大于就开始有两个了，看见没有？ 有两个了，这两个点到直线距离为一，所以我就直接按了大于 一。好，你看他一直一直扩，一直扩，那即使你到这里的时候也是有两个点，对吧？到直线的距离为一，好，一直扩，扩扩，扩扩到这边的时候， 因为这条线到这条直线的距离也是为一吗？我一直扩，扩到扩到这里的时候，好，这时候是什么意思呢？这里一个点，这上面，这里一个点，就外面这条线。看到没？就我们这条曲线这个半径扩大到这么多的时候，扩大到三的时候，这里一个点 上面还有一个点，知道这个直线的距离为一，然后呢？这里还有一个点，三个点了，对吧？因为你跟他相切了嘛？ 这上面的点，这这两条线到这个直线的距离都是一。 上面的点，这两条线上面的所有点到中间这条直线的距离都是一。你又跟他有相交了， 我跟他相切了，哪怕相切了已经三个点了，所以不行，你的半径不能那么大，我看一下啊，一二三要小于三才行， 懂吧？一、你要突破，这里突破就有两个焦点，就有两个点，一直突突突突突突突到三的时候，哎，三不允许取。如果取到三的话就有三个焦点。好的， 多看几遍吧。在这里暂停多看几遍。好吧，这个辨析题我还在想要不要出。 出吧，我直接拍照到评论那里。好吧，忘了写了。好的同学们，我早上再发。 还唱歌吗？看情况吧。哦，觉得老师讲的还不错的，点点赞点点关注 啊。反正用我这个的话，我只是方便你们理解而已。方便你们理解。你们可以套公式了。我说实话，套下面这个公式， 套下面这个公式。好吧。好，拜拜。

已知函数 f x 等于 cosine 二 x 加 f f 呢，是大于等于零小于 pi 的。 好， f 零等于二分之一，求 f 的 值。我们由 f 零等于二分之一，这个算啊，等于 cosine 分 等于二分之一。 好，这个给它写一下啊。好，因为还有这个 f 呢，是大于等于零小于 pi 的 啊，所以 sin 呢，它就等于 q 三六十度，哎，就是三分之 pi 啊。 好，第二问，设函数 g x 等于 f x 加 f x 减六分之 pi， 求 g x 的 值域和单调区间。好，由一知， 这个 f x 呢，等于 cos 二 x 加上三分之派， 所以 g x 等于 f x 加上 f x 减六分之派。 等于 cos 二 x 加上三分之 pi 加上 cos。 好， 这里呢， x 给它换成 x 换成 x 减六分之 pi 啊，就是 x 给它换成 x 减六分之 pi， 整体代入也就二 x 减去啊，减去三分之 pi 加再加三分之 pi。 哎，就是，还是只剩二 x 了。 好，这个给它展开， cos 二 x， cos 三分之派，嗯，就是二分之一 cos 二 x， 然后再减去。呃， cos 二 x， cos 三分之派， 二分之根号三三二 x 下 cos 二 x 合并一下二分之三 cos 二 x 减二分之根号三 sin 二 x 啊，好，这个呢，我们可以提个提个根号三出来， 这个剩一个二分之根号三 cos 二 x， 这个剩呢二分之一三二 x， 所以 这等于 cos 二 x 加上这个三六十度才是二分之号。三就是三分之 pi 啊， cosine 了，六十度啊，这写的是 cosine 啊，那就是三分之派三十度六分之派了啊，这是啊，利用两角和的余弦啊，这是 cosine 六分之派，就 cosine 三十度二分之一。 好，即 g x 等于根号三 cosine 二 x 加上六分之派。 好，它的值域呢？它值域就是负根号三到根号三，所以 g x 属于负根号三到根号三。好，接着看一下它的，呃，单调区间。 这个单调区间呢？我们结合这个单位元啊，来画一个单位元，就利用这个单位元啊，判断这个函数的单调性啊。嗯，呃，以及找它的这个单调区间 啊，这是一个工具啊。好，如果说我们判断 cosine 与弦函数的单调性的话，就是看横坐标，那这个区间就逆时针方向，这是由负 e 增加到一，这是 cosine x 这种类型的啊， 那递减区间呢？就由一减少到负一，这就是递减区间。好，我们先你比如我们在这里应用一下，先求一下它的单调递增区间， 就是递增区间。求一下啊， 递增区间就是这个整体二 x 加六分之派，这个整体大于等于小于等于。呃，从负一增加到一， 那就是二 k pi 周边先来到 x 轴正半轴，然后减去个 pi， 中间都落在 x 轴负半轴了。小于等于二 k pi 啊，给整理一下，就是 x 大 于等于 k， pi 减去十二分之七，十二分之七 pi 小 二给 k pi 减去十二分之 pi， pi 属于整数， 写成了区间的形式。可以写成区间的形式啊，就是 k 派减去十二分之七派，然后 k 派减去十二分之派， k 属于整数，这就是它递增区间啊。好，同样的递减区间， 递减区间就这个范围，上面这个范围就是二 x 加上六分之派， 呃，大于等于二开派啊。左端点小于等于二 k 派，交个派 推导一下， x 大 于等于 key 派减去十二分之派，小于等于 key 派 消上十二分之五派，它属于整数了。好，所以说它的递减区间呢？就是开派减十二分之派， k 派兼上十二分之五派。好， k 属于整数啊，这是递减区间。 对，把它作为一个整体，然后结合这个单位，元啊，就把它作为一个整体，然后结合这个 cos 函数的单调性， 这是递增区间。从负一增加到一，这是递减区间啊。 记得点赞关注哦！

来看一道圆和直线的问题啊，这里边的话呢，过圆它那一点 a 一 四，且被圆截的的弦长最短的直线方程是什么 啊？是不是读完题就有点蒙？你不知道求的是啥啊？这里边首先第一件事，我们要求谁肯定要找圆心，圆心等于什么？如果你记住的话呢，是不是负二分之 d， 还有负二分之一， 这里边 d 的 话呢，是不是负四？然后 e 的 话呢，是负负六，对吧？那所以你的元心是多少？ 负四除以除以负二啊，是不是二，对吧？然后负六，除以负二是不是三？所以你的元心坐标是二三啊，然后你说老师我非得在坐标轴里边画出来吗？没有必要啊，老师给你画个最简单的啊， 最简单的话呢，这个还是这个圆啊？这个是圆心二三啊。你都说了这个点是不在圆内呢，对吧？圆内的话呢，你是一四，这个点啊，是点 a 一 四，然后且被圆截得的弦长最短， 这条直线搁哪呢？最长在哪？最长是不是就这条直径啊？因为这个是我们用的最多的啊，对吧？那最长是这条直径，最短搁哪呢？最短是不是搁这呢？ 这条直线和这条直线是不是这样的关系？我们通常之间其实我们求的是什么？一般来讲的方程那个题里边是求的弦长的，所以在这里边的话呢，其实求的就是哪条直线，求的就是这条直线， 这条直线的话呢，在这里边，你看啊，他是我们的圆心，这个是我们过的点，这一点的话呢，是二三，然后这还是垂直，这的话呢，是一四。他们两条直线是不是垂直关系，对吧？ 那垂直关系的话呢，有什么？是不是 k 一 乘 k 二等于一个负一啊？那这条直线的斜率我们算 k 一 的话呢？ k 一 是不是就等于 y 二减 y 一 比上个 x 二减 x 一 啊？等于几？来算一下， 四减三，上 y 一 减 y 二是四减三，底下的话呢，是一减二，所以是不是算出来最后等于负一啊？那所以 k 二等于几？ k 一 乘 k 二等于负一，那所以 k 一 等于负一了， k 二是不是等于个一啊？ 那当你求出来 k 二等于一了，过的哪个点？是不是过的一四，然后 k 二还等于个一，所以这是什么方程？ 是不是点斜式？ y 减 y 零等于 k 倍的 x 减 x 零啊？来往里带一下，是不是 y 减四等于 k 还用写吗？ 这是不是一不用写了吧？所以是 x 再减个一啊，然后再挪一下的话呢？你把哪个挪过来？是不是把它挪过来？是不是 x 减 y 再加四减一，加四是不是加个三 等于零？所以最后答案选的是哪个？选的是个大选项。

hello 同学们现在是凌晨一点多我先把早上的给录了先录了再说然后这一到一到怎么说呢 这种这种题的话我觉得可能会有点麻烦我就想怎么跟你们讲如果我考试的话我是直接带那个带那个呃带子的，你看 我这怎么算好小比较 x y， z 大 小对吧。那我们是不是是不是应该先把它们表示出来呢 有没有道理。你的思维应该是先把它们表示出来以后再比较大小吧你看它们都藏在这等式里面它们是一个式子你应该让它变成 s 等于什么 y 等于什么 z 的 等于什么对不对？好 你看它是不是有个零等条件有零等条件那我们一般就可以射它们了。你就射它们一个为 t 嘛对吧 等于 t 嘛对吧他们不是相等吗等于多少不知道那另一条为 t 呗。然后我们就得到 x 是 等于呃二的 t 减二 y 等于三的 t 减三 z 等于三的呸五的 t 减五 懂我意思吧咳咳，这个自己算啊这个还要我教然后我想来想去还是觉得画图比较好吧。 来告诉你们他们三个不管怎么样他毕竟是指数函数。毕竟是指数函数。 什么意思呢。就是你看啊我先给你画一个二的，看你的指数，哎你增长的很快挺快的对吧然后我三呢哎三也很快 比你比你二还要快 没毛病吧。没毛吧，有问题吗我会大概给你们画一下。这我就夸张一点哦 看嘛然后这个是 看一下啊这是代表 x 曲线这代表 y 曲线代表 z 曲线有毛病吗？没有毛病的同学们我只是画的夸张一点而已， 它们毕竟是指数函数，毕竟是指数函数，你到后面这个 z 肯定会超车，可能超过你们。好，我们看现在有多少种情况哦， 你看这应该能看懂吧？过二， 哎，应该是过二一点，是吧？过二一点，看一下，是过二一点吗？哦，把它当零是吧？简单， 哼哼，不要在意这种细节好吗？把这当一 下面，不用怎么看，下面好像是曲靖于零吧，在这呢， 是零，然后这样子是吧？下面是曲靖于零，给我看一下， 这是一的时候二一点嘛？这是三一，这是五一，有问题吗？没有问题，我服了，正好又给你们补充一下，这个指数函数你家怎么可能会是负的呢？哎呀，怎么想的？ 你看在这前面的时候，是不是 x 带 y 带 z？ 就 在它 y 超过 x 之前，是不是 s y z， 对 吧？ 就比如说这一段， s y z， s 带 y 带 z， ok 吧？好，你看 这时候是不是有个角点， y 超过 z， y 超过 x 嘞？对吧对吧对吧？ y 超过 x 了， 画 y 了。同学们，画 y 了，好糟糕，这时候 y 超过 s 了是吧？ y 超过 x， 就 说明现在是 y x z 喽，有毛病吗？没毛病。 然后你看，哎，这时候怎么样？ z 也超过 z， 也开始超过，从这里开始， 你看这条，这个 z 超过 x 了，这时候是什么？这时候是 y， 呃， z x， 然后到后面，到后面的时候 z 把它们两个都给超了，那就是 z， 嗯， y x。 哦，同学们，这不就是 a 吗？ 这个 y x z， 这不是 c 吗？ y z x， 这不是 d 吗？选什么选 b？ 不知道你们能不能理解，我是这么画图的哦， 虽然我只是反出画错了一点点，呵呵，但是无伤大雅。我跟你们说，无伤大雅的，你只要搞清楚那个他那个焦点就好了。 好吧好吧，搞清楚那个焦点就好了。我主要我主要看的是那个。没事的， 反正他大概就长这样，图画的有点丑。同学们啊，我最讨厌画图了，你知道吗？你们把那个带特殊值也行，你们把那个 t 慢慢带，从二开始带带带，带到十去， 或者带到八也行。哎，反正挺麻烦的， 你可以带完之后找规律，反正我就用这个方法，考试的时候我就大概是看大概是带特殊值了。有，这是我给的一种思路吧，我没看任何人的啊，这是我自己想的。服了。主要是就讲的还不错的，点赞点关注。我靠， 八分钟了，还要不要录个这个？我就不讲辨析题了，我不讲辨析题了，拜拜同学们。 拜拜。周老师讲的还不错的。点点赞，点点关注，点点收藏，点点推荐。谢谢。好好休息哦，拜拜。

最后四十多天远神开一组压轴满分冲刺系列，目标很直接，就是把一百五十分里面最硬的最后一题拆开。像这种概率压轴，课堂上通常不会慢慢拆到每一步，你自己翻答案，又很容易在状态转移公式那里直接断掉。所以今天这道题，我从想法、建模、计算到最后书写全讲清楚。 这就是二零二五新高考二卷概率压轴第三问的完整拆法。先别急着算，先把提一翻译成一个比分差值模型，甲乙两个人练习乒乓球，每个求胜者得一分，负者得零分。甲每一球获胜的概率是小写 p， 乙获胜的概率是小写 q， 并且小写 p 甲小于 q 等于一。 题目还给了一个关键条件，小写 p 大 于二分之一，所以甲更强一点。打完楷个球以后，大写 p 下标楷表示甲至少多得两分的概率。 大写 q 下标楷表示以至少多得两分的概率。这句话真正的核心不是假赢几局，而是假乙之间的比分差值。我们记比分差值大写递下标楷等于甲的得分减乙的得分。 那么大写 p 下标楷，就是大写递下标楷大于等于二的概率。大写 q 下标楷就是大写递下标楷小于等于负二的概率。这换元一做整道题，就从概率文字题 变成比分差值的状态转移题。第一问先求大写 p 下标三和大写 p 下标四，这是给第三问铺路。打三球以后，甲至少领先两分，只能是甲三球全胜。因为赢两球数一球时，甲只领先一分，还没有达到两分， 所以大写 p 下标三等于小写 p 的 三次方。打四球以后，甲至少领先两分，就要求甲赢三球或者赢四球，赢三球的概率是小写 p 的 四次方。所以大写 p 下标四等于四。小写 p 的 三次方。小写 p 的 四次方 也可以写成小写 p 的 三次方程。四减三，小写 p 以那边完全对称。大写 q 下标三等于小写 q 的 三次方。大写 q 下标四等于四。小写 q 的 三次方。小写 p 加小写 q 的 四次方。第二问给的是大写 p 下标四减大写 p 下标三除以大写 q 下标四减大写 q 下标三等于四。 先算上面大写 p 下标四减大写 p 下标三等于三。小写 p 的 三次方。小写 q， 再算下面大写 q 下标四减大写 q 下标三等于三。小写 p 小 写 q 的 三次方。一除以后，只剩下小写 p 平方除以小写个平方等于四，所以小写 p 除以小写 q 等于二，再加上小写 p 加小写 q 等于一，得到小写 p 等于三分之二。真正的压轴在第三问， 他不是让你直接算出大写 p 下标开，而是让你比较一串差值。左边是大写 p 下标二乘 m 加一，减大写 q 下标二乘 m 加一。中间是大写 p 下标二乘 m 减大写 q 下标二乘 m。 右边是大写 p 下标二乘 m 加二，减大写 q 下标二乘 m 加二。要证明左边小于中间，中间再小于右边。你看里面同时出现二乘 m， 二乘 m 加一，二乘 m 加二。这就提示我们必须从打完二乘 m 球的状态往后推，不要从最终结果硬算，因为那样二项式会非常乱。正确入口是先看二乘 m 球后的比分差值可能在哪里？然后再问，多打一球或者多打两球会把概率推到哪里？ 这就是这题所谓的状态转移为道。如果你愿意，也可以把它理解成一个很清亮的马尔可夫列。现在把二乘二 m 求后的比分差值记成大写 d。 因为一共打了偶数个球，所以大写 d 只能是偶数。 甲已经领先至少两分，对应大写 d 大 于等于二。但由于大写 d 是 偶数，所以这一区域可以拆成两块，一块是大写 d 大 于等于四， 另一块是大写 d 正好等于二。同理，已领先至少两分，也能拆成大写 d 小 于等于负四和大写 d 正好等于负二。中间还有个非常重要的状态，大写 d 等于零。后面多打两球时，大写 d 等于零会突然参与进来， 所以我们提前把这五个区域摆出来。左边远离零的是以安全领先，右边远离零的是假安全领先。最危险的就是边界点，正二零负二压轴题真正考的 不是整片区域，而是这些边界怎么流动。先正左边，也就是证明多打一球后的结果反而落在偶数球结果下面。我们从大写 p 下标二乘 m 加一开始看，如果二乘 m 球后大写 d 大 于等于四，那么最后一球不管输赢，甲仍然至少领先两分。如果二乘 m 球后大写 d 正好等于二，那最后一球甲必须赢。 因为甲一旦竖掉分叉，就从二掉到零。所以大写 p 乘大写等于四的概率，加上小写 p 乘大写 d 等于二的概率。 而大写 p 下标二乘二 m 本身是大于等于四的概率，加上大写 d 等于二的概率。两式一减大写 p 下标二乘二 m 加一减大写 p 下标二乘二 m 等于负。小写 q 乘大写 d 等于二的概率。这符号很好理解，边界正二里 有一部分会因为最后一球输掉而掉出去。同理，大写 q 下标二乘 m 加一减大写 q 下标二乘 m 等于负小写 p 乘大写 d 等于负二的概率。 现在只剩下比较这两个损失量。大写 d 等于二，表示甲方赢了爱母加一球，乙方赢了爱母减一球，所以它的概率是组合数。大写 c 下标二乘爱母上标母加一乘小写 p 的 爱母加一次方乘小写 q 的 爱母减一次方大写 d 等于负二，表示甲方赢了爱母减一球， 乙方赢了艾姆加一球。概率是同一个组合数乘小写 p 的 艾姆减一次方乘小写 q 的 艾姆加一次方。把前面的小写 q 和小写 p 乘进去以后，两边只差一个小写 p 和小写 q 的 位置。因为小写 p 大 于小写 q， 所以 甲乙边被减掉的量更大。 是大写 p 下标二乘 m 加一减大写 p 下标二乘 m 小 于大写 q 下标二乘 m 加一减大写 q 下标二乘 m。 把小写 q 向移到左边，把小写 p 向移到右边，就得到大写 p 下标二乘 m 加一减大写 q 下标二乘 m 二乘 m 加一小于大写 p 下标二乘 m 减大写 q 下标二乘 m。 左边这半个不等式完成， 接着正右边。也就是多打两球以后，优势差会变大，还是从二乘 m 球后的分叉大写 d 出发。如果大写 d 大 于等于四甲已经足够安全，多打两球都输，也还能至少领先两分。如果大写 d 等于二甲，只要后面两球至少赢一球，就能守住领先两分， 至少赢一球的概率是一减小写 q 平方，也就是二小写 p 减小写 p 平方。如果大写 d 等于零甲必须后面两球全胜才能直接领先两分， 这概率是小写 p 平方。所以大写 p 下标二乘二 m 加二可以由三部分组成，第一，大写 d 大 于等于四的安全区。第二，大写 d 等于二十乘上一减小写 q 平方。第三，大写 d 等于零。十乘上小写 p 平方和大写 p 下标二乘 m 相减以后，安全区抵消， 留下的是负小写 q 平方乘大写 d 等于二的概率。加小写 p 平方乘大写 d 等于零的概率。以那边完全对称。大写 q 下标二乘 m 加二减大写 q 下标二乘 m 等于负。小写 p 平方乘大写 d 等于负二的概率。加写 q 平方乘大写 d 等于零的概率。 现在我们把这两个增量相减，看上去有四项，但中间两项会漂亮 d 消掉。原因是大写 d 等于二和大写 d 等于负二的组合数相同，并且它们只是在小写 p 和小写 q 的 密次上互换。 乘上前面的小写 q 平方和小写 p 平方以后，刚好都变成同一个量，所以真正留下来的是大写 d 等于零。这一层差值等于小写 p 平方减小写 q 平方再乘大写 d 等于零的概率。大写 d 等于零的概率当然是正的。 因为小写 p 大 于小写 q， 所以 小写 p 平方减小写 q 平方也大于零。因此大写 p 下标二乘 m 加二减大写 p 下标二乘 m 大 于大写 q 下标二乘 m 加二减大写 q 下标二乘 m。 在整理一项就得到大写 p 下标二乘 m 减大写 q 下标二乘 m 小 于大写 p 下标二乘 m 加二减大写 q 下标二乘 m 加二。右边这半个不等式也完成。如果你想把第三问写的更像标准答案， 可以再整理成三个符号。先令大写 a 下标 m， 表示打完二乘 m 求后大写 d 等于二的概率，它等于组合数大写 c 下标二乘 m 加一次方，乘小写 q 的 m 减一次方。再令大写 b 下标 m， 表示 打完二乘 m 求后大写 d 等于负二的概率，它等于组合数大写 c 下标二乘 m 上标 m 减一乘小写 p 的 m 减一次方，乘小写 q 的 m 加一次方。最后令大写 c 下标 m， 表示打完二乘 m 求后大写 d 等于零的概率，它等于组合数大写 c 下标二乘 m 上标 m 乘小写 p 的 m 次方，乘小写 q 的 m 次方。有了这三个符号，多打一球的式子就能写的很短。大写 p 下标二乘 m 加一减大写 p 下标二乘 m 等于负。小写 q 乘大写 a 下标 m。 大 写 q 下标二乘 m 加一减大写 q 下标二乘 m 等于负。小写 p 乘大写 b 下标 m。 又因为组合数大写 c 下标二乘 m 上标 m 加一，所以小写 q 乘大写 a 下标 m 大 于小写 p 乘大写 b 下标 m。 这就推出左边那一侧的严格小于再多打两球的士子也可以压成两形。大写 p 下标二乘 m 加二减大写 p 下标二乘 m 等于负。小写 q 平方乘大写 a 下标 m 加写 p 平方乘大写 c 下标 m， 大 写 q 下标二乘 m 加二减。大写 q 下标二乘 m 等于负。小写 p 平方乘大写 b 下标 m 加小写 q 平方乘大写 c 下标 m。 两式相减时，大写 a 下标 m 和大写 b 下标 m 对 应的两项正好抵消。剩下小写 p 平方减小写 q 平方再乘大写 c 下标 m， 这量大于零，所以在多打两球后的差值更大。你看 标准书写里，并不需要把所有概率都展开到底，只要把边界概率命名，后面的比较会干净很多。这也是压轴题里非常常见的写法，把复杂对象先命名，再比较增亮。最后说一下这题考场上怎么写，别把证明写成口水话。第一行先定义比分差值，大写低下标楷等于假得分减以得分。 第二行写清楚大写 p 下标楷等于大写低下标楷大于等于二的概率。第三行列出二乘二 m 时的三个边界概率， 分别是，大写 d 等于二，大写 d 等于负二，大写 d 等于零。第四行写多打一球的状态转移，说明边界正二必须在赢，边界负二必须在输。这一步用来证明左边不等式。第五行写在多打两球的状态转移， 说明正二至少赢一球，零点必须两球全胜。这一步用来证明右边不等式。你只要把这五行股价写稳。第三稳就不是玄学，它本质上只是在比较边界状态的流入和流出。很多同学卡住是因为一上来就想暴力展开大写批下标二乘 m 加二。但压轴题真正的入口往往是找到那能稳定转移的状态。 回头看这道题最重要的不是公式多复杂，而是你要敢把最后一问拆成状态，边界转移比较前两位，负责让你熟悉大写 p 下标楷和大写 q 下标楷。第三问才是真正考你能不能看懂概率过程， 以后再遇到这种连续不等式，不要怕涨，先找中间状态，再看一步和两步怎么改变它。关注高分远神，后面继续拆这种高考压轴题的真实入口。

本期视频主播讲解二零二五年高考数学压轴题。首先看第一小问，明显送分题，让我们求皮三皮四。皮三的意思是打三场比赛，假比以多两分的情况只有假三场比赛，假比以多两分的情况有，假三胜一负或者假四胜。 第二小问同理，可以推出 q 三 q 四，最后带入运算即可。综合来看，第一、二小问属实送分题 最后压轴的肯定是第三问。我相信大多数同学坐到这里会直接放弃，他给出了正整数 m 比较抽象，所以我们可以用简单的数去分析， 比如 m 等于五。一共十局比赛，符合甲比以多两场的有五种情况，六比四、七比三、八比二、九比一、十比零。若进行十一局比赛， 只是比十局多了一局，所以我们在这个基础上分析在七比三后四种情况， 发现第十一局比赛不管假胜负都满足，只有六比四这一种情况，假负是不满足的。最后得出结论， p 十一等于 p 一 零，减去不满足的那种情况。最后再类比，推到两米再运算就可以得出答案。

你连七百多的卡方都敢写，还有什么是不敢的？