求xy的最大值的四种方法

好，我是小罗老师，咱们看一下这个题，已知二 x 加三 y 等于六，求 x y 的最大值，看一下这个怎么做啊？呃，这个题呢，首先给大家讲一种常规的一个做法吧，常规的做法的话，就是通过咱们这个 二 x 等于六减三 y， 然后咱们这个 x 呢，也就是等于 二分之六减三 y 这样子去做啊，当然这个你可以换算一下，他就是等于三来减掉一个二分之 三 y， 那么你求 x y 的值的话，你就把这个 x 这个地方给他替换一下，也是 y 来乘三减二分之三 y， 然后这个呢，你去配一个 怎么来？去配方啊？配方就可以了。那接下去的话我就不往下想了啊。这个，嗯，没什么难度，你就直接去配方就可以了啊。然后我要讲的呢，是那个 什么呢？第二一个方法啊。第二一个方法呢？嗯，比较少见，就是之前的话是没有怎么见过的，但是近就是最近啊，那个网上出的挺多的这种这种方法啊，他这个方法是什么呢？就是你直接去另或者说设 二 x 等于多少呢？我们等于这个三加 a， 然后这个三 y 呢，他就是等于三减 a。 为什么这样子去射呢？首先你这样子去射的话，你右边是三加 a 和三， 那么这两个加起来还是等于六，没有改变原本的一个大小。其次呢，相乘的时候呢，右边会组成平方叉，而左边呢会出现一个呃， xy， 那我们 要求 xy 的最大值，这个 xy， 这个关键的这个式子的话，他一定要出现，就说你这个相乘的话就是等于六 xy， 然后呢，他就是等于右边就是等于三加 a， 再乘三减 a， 那么由此呢，咱们这个六 x y 呢？他也就是等于九减掉一个 a 平方，那所以呢，这个 x y 也就是等于 六分之九减 a 平方，因为这个地方他求的是这个最大值。最大值的话，你看一下这个 a 平方是一个大于等于零的数，九来减掉一个 大于等于零的数，然后再来除以六，要使他最大的话，怎么样？其实这个地方就是当这个 a 等于零的时候， 对不对？他等于零的时候的话，那么你的 xy 的一个最大值就应该是等于 六分之九，然后约分以后就应该是等于二分之三就可以了。好，那这个题咱们就讲到这里。

这类题网上给出的解题方法一般就两种，但懂数学有自己另外的理解，今天一起分享给大家，学会之后，你孩子瞬间仰望你 已知二 x 加三 y 等于六，求 xy 的最大值。第一种方法转为二次函数的最值问题。因为二 x 加三， y 等于六，所以 y 等于二减三分之二 x， 所以 x， y 等于 x 乘二减三分之二 x 经过整理配方可以得到最终这个式子。所以当 x 等于二分之三， y 等于一时， x y 取得最大至二分之三。 第二种方法均止代换设二 x 等于三加 m， 三 y 等于三减 m， 则二 x 乘三， y 等于六倍的 xy 等于三加 m 乘三减 m 等于九减，按平方小于等于九，故当按等于零，即 x 等于二分之三， y 等于一十， xy 取得最大至二分之三。第三种方法判别是法 设 x， y 等于 k， 则 y 等 k 除以 x 带入原式，得二 x 加 x 分之三 k 等于六，整理得二 x 平方减 b， o， x 加三 k 等于零。 由于上市中 x 有十数解，判别是大于等于零，即这个式子大于等于零解的退小于等于二分之三。

同学们好，我们来看这道初中数学的经典最值问题，若 x 加 y 等于三十二， 让我们求 x 乘以 y 的最大值是多少？这道题目我分享两种解法，一种是通常的做法，一种是学霸的解法。我们来分别看一下， 通常的做法是什么呢？对于这种题目，含有 x、 y 两个未知量，我们通常把它变成一个未知量，也就是两个未知量 变成一个位置量，怎么做呢？我们来看一下，既然 x 加 y 等于三十二，我可以得到 y 等于三十二减 x 对不对？那 x 乘以 y 就等于多少？等于 x 乘以三十二减 x， 是不是我们就把两个位置量变成了一个位置量，展开一下就变成了负的 x 方 加三十二 x 对不对？那这种问题怎么求呢？我们有通用的解法，配方法对不对？配方法 我来配一下，方就等于负的 x 方减三十二， x 加上 二分之三十二的平方，对不对？也就是十六的平方，十六的平方 加了一个十六的平方，再减一个十六的平方，对不对？这样就配完方了，就变成了负的 x 减去十六的平方加上十六的平方是多少呀？二百五十六对不对？ 这是不是一个典型的开口向下的抛物线啊，对不对？这种形式的抛物线什么时候取到最大值呢？很显然是当 x 等于十六的时候， x， y 取了最大值二百五十六对不对？也就是顶点那个位置对不对？ 此时 y 也等于十六，这是我们通常的做法。我们再来看一下学霸这道题怎么解呢？学霸的做法，既然 x 加 y 等于三十二，我可以令 x 等于十六加 t， y 等于十六减 t， 对不对？ 这样也可以满足 x 加 y 等于三十二，对不对？这样做的好处是什么呢？那 x 乘以 y 就等于 我代入一下就变成了十六加 t 乘以十六减 t， 这样我是不是就可以利用平方差公式了？就等于二百五十六减去 t 方，这个也是一个开口向下的抛物线，对不对？ 那它什么时候取到最大值呢？很显然是当 t 等于零的时候， x， y 取得最大 值二百五十六，那 t 等于零代入一下， x 和 y 等于多少呢？ x 就等于 y 等于十六，可以得出相同的结果，对不对？但是这种方法要比第一种方法简单很多，同学们，你学会了吗？

初中球最值的问题啊，让同学们很痛苦，他很考验同学们的这种逻辑推理的能力。看这个直角三角形中， 一个直角边的 x 长度为 x， 另一个直角边的长度为 y， 斜边的长度为十。求 x 加 y 的最大值， 直接就求它的最大值呢，比较麻烦，我们看一下能不能求这个 x 加 y， 它平方的最大值。 x 加 y 的平方会等于什么？它会等于 x 平方，加上一个 y 的平方，再加上一个二 x y， x 减 y 的平方呢，会等于 x 平方加 y 平方，再减去一个二 x y， 所以 x 加 y 的平方加上 x 减 y 的平方会等 于二。乘以 x 平方加 y 平方。我们根据勾股定理啊，就知道 x 平方加 y 平方等于多少。等于十的平方等于一百，也就是 x 加 y 的平方加上 x 减 y 的平方会等于两百， 它取得最大值，那么 x 加 y 呢，也取得最大值，这个时候呢，它就要取得最小值，它是个什么？完全平方，它最小值是什么？零，所以什么？当 x 减 y 的平方等于零十， 这个 x 加 y 的平方的 最大值为两百，也就是 x 加 y 的最大值为十，根号二啊，这是一种方法， 当然我们也可以呢啊，换一种方法，从面积的角度来考虑，我把这个直角三角形啊放到这个内接源当中， 这个是十啊，说明这个直径呢，就是十，半径呢就是五。我先我们也先不求 x 加 y 的最大值，我先求他平方的最大值，他会等于 x 平方加上一个 y 平方，再加上一个二 x y， x 平方加 y 平方等于一百， 那 x 乘 y 啊，其实就是这个面积嘛，对不对？ s 三角形会等于二分之一 x y， 那这个三角形什么时候会取得最大值呢？ 我们做这样一个这个半圆的啊，通过这个圆心啊，做一个垂直于这个直径的半径在这个位置，这个时候呢就是一个 r 嘛，也就是五 s 三角形它的最大值 为二分之一，乘以十，再乘以一个五，它等于几啊？等于二十五， 它最大的时候是二十五，那么 x y 的最大的是说多少呢？ x y 最大的时候呢？就是五十，那么 x 加 y 的平方的最大值 为它最大是五十，所以它加在一起，一百加 一百，两百， x 加 y 的最大值就是十根号二，这是方法二，你想到了吗？欢迎留言。

别动鱼了，快看看我这题。好的，我来看看这道题啊。若三 x 加七 y 等于六，求 x 乘 y 的最大值，是吧？一个最值问题啊，这个题其实不算太难啊， 我们的方法也很多，比如说，我们可以把这个外用 x 表示出来，然后代入到这，组成一个二次函数，然后求二次函数的最大值就行。但有没有更简单一点的办法呢？我们可以这么来操作啊，因为三 x 加七 y 等于六，我们再引入一个参数啊，我们设 这个三 x， 它是等于一个三加 t 啊，然后我们的七 y 呢？等于一个三减 t， 就是把这个六变成了一个平方差公式这样的形式啊，三加 t 加上三减 t， 是不是正好还等于六？ 那这样会节省我们的计算量。呃，然后我们把这两个乘起来，那就是三 x 乘上一个七 y， 他等于三加 t 乘三减 t 是不等于九减 t 的平方，对吧？ 得到了我们的二十一 x y 啊，它等于一个九减 t 的平方，那我们的 x y 是不是等于一个二十一分之九减 t 的平方？ 你们现在要求这个 x y 的最大值，呃，我们怎么才能让大呢？它的分母已经确定了，是二十一，是吧？已经定下来了，那是不是就是让它的分子尽可能大？ 九减 t 的方怎么才能尽可能的大呢？你是不是减的应该越少，剩下来的越多，对吧？而我们的 t 方最小最小等于几？是不等于零，对吧？所以当我们的 t 等于零时啊，当 t 等于零 的时候，我们这个 x y 可以得到它的最大值，应该是我们的二十一分之九，你再约个分，它是不是应该等于一个七分之三？这就是我们最终的结果了。好，这个方法同学们学会了吗？

同学们大家好，，我们来看一下这样一道数学题，若 x 平方加 y 平方等于二十四，就我们求 x 减 y 的最大值。。 那么这里面给的只有一个条件， x 平方加 y 平方等于二十四，叫我们求 x 减 y。。 那此时我们就要想到我们初中所学的什么，初中阶段所学的什么公式，完全平方公式。。 为什么讲要用到完全平方公式呢？？因为这里面 x 减 y 它和 x 平方在 y 平方之间它是有联系的，因为我们知道 x 减 y 跨的平方，它是。 等于 x 平方加 y 平方加二 x y， 当然一般情况下二 x y 这里面是因为是减，所以这个地方是减，一般情况下二 x y 我们放在中间，对吧？？？啊？所以。 这样我们就得到了，你看见没有？？他是等于多少？？二十四？？但是这里面又出现了负二 x y 怎么办？？负二 x y 怎么办？？ 那此时我们知道 x 减外跨的平方和 x。 加 y 化的平方，它之间是不是有联系？？它是不是也等于 x 平方加 y 平方，把这里面就加上。 二 x 化对不对？？而题目告诉我们他又是等于多少？？二十四，一个减二 x 化，一个是加二 x 化，对不对？？把这个作为一式，这个作为二式的话。 我们会得到，一是如果加上，二是你看他是不是就得到了？？ x 减 y 跨的平方加上 x 加 y 跨的平方，他是不就等于二倍的 x 平方加上 y 平方。 加 y 平方也就等于多少？？四十八？？因为最终我们要求的是 x 减 y 的最大值，那。 那么我们的 x 减 y 跨的平方是不是就等于四十八？？减去 x 加 y 跨的平方，对不对？？因为我们知道 x 加 y 跨的平方，他是大于等于零的数。。 那么负的 x 加 y 跨的平方，它就是小于等于零的数，那么四十八减去 x 加 y 跨的平方，它是永远小于等于多少？？四十八，对不对？？那说明。 他永远是小于等于多少？？四十八，也就是 x 减外跨的平方，他永远比四十八要小，对不对？？那么我们要求。 x 减 y 这道题，那是不是 x 减 y？？ 他是小于等于根号四十八，大于等于负的根号四十八，对不对？？ 那所以 x 减 y， 它的最大值是不是根号四十八？？也就是等于多少？？是不是四倍的根号三？？所以这样我们就求出了它的最大值。。

大家好，看这道题，若 x 立方加 y 立方等于十六，求 x 乘 y 的最大值，要求 x 乘 y 的最大值。为了充分的利用这个已知条件，我们可以考虑先求 x 乘 y 的立方的最大值， 求出它立方的最大值，我们自然就可以求出它的最大值了。那么首先我们就得构造关于 x 乘外的立方的式子。怎么构造呢？ x 的立方加 y 立方等于十六，我们立 x 的立方等于八，加上 t， y 立方等于八减 t， x 的立方加 y 立方， 它等于十六。然后我们把这两个等式左右两侧分别相乘，那就得到 x 的立方乘 y 立方等于六十四减去 t 平方。 而 x 的立方乘 y 立方就是 x 乘 y 的立方，它就等于六十四，减去 t 平方。 那么现在我们就构造了一个关于 x 乘外的立方的式子，而这个式子六十四减去 t 平方， t 平方本身它是大于等于零的， 那么当 t 等于零的时候，这个式子能取到最大值六十四。也就是说啊， x 乘外的立方，它的最大值就是六十四，那么 x 乘外它的最大值就是三次根号下六十四，也就是四。