九上数学北师大版相似比画图怎么画

嗨，同学，今天呢，和老师一起来学习九年级上册第四章图形的相似， 相似这一部分的内容呀，和我们前面所学习过的全等的内容同样的重要，极为的重要啊，极为的重要。在我们的中考当中啊，出现的频率太高了 啊，而很多同学呢，一遇到全能和相似呢，在几何部分呢，他他有困难，所以说今天我们一起来学习一下，希望这节课呢，对你的这一部分的学习有比较大的帮助。 好，首先呢，我们来看内容大纲，总共有四条，第一个呢是知晓线段的比的这个概念，会计算两条线段的比。第二个呢是知晓成比例线段的概念，整握成比例线段的判定方法。 第三，理解并掌握比例的基本性质和等比性质。第四，运用比例的性质呢，进行相关计算。这节课的内容呢，只涉及到一些基本的概念和基本的计算， 相对容易，相对容易，同学们注意听讲啊。好，首先我们从课本素材直接引入，在我们实际生活当中呢，经常会看到很多形状相同的图片，对不对？但是它大小不一样，大小不一样啊， 那么这些图片呢，就来源于我们课本上的这个原图，只在这里呢做了一个嫁接，这些图片的形状改变了吗？ 没有改变，一大一小对不对啊？大小改变了吗？大小是改变的对不对？那么我们有没有一种方式来描绘这些形状相同但 但是大小不一样的图片呢？他们之间有什么关系？怎么来描述？因为形状是相同的啊，那么怎么来描述他们之间大小关系呢？我们就引入了今天的这个比例的这个问题， 这个形状相同而大小不同的两个图形呢，较大的可以看成是由较小的放大得到的，较小的呢，可以看成是由较大的缩小得到的，对不对？那么放大缩小的这个过程当中啊， 我们其实图形的他所对应的这些线段也在放大和缩小，对吧？同学们，这个没有问题，很好理解啊。那么对于这些呃形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用它相对应的啊，在这里呢是相应线段 程度，就是相对应的线段的程度的比，来描述他们之间的大小的关系啊。我们来看一下这个，呃，这个图形和这个图形，你看相应线段，你看哪个是相应线段？其实在这里呢是对应线段的这个哈，你比如说这个和这个 他们是对应的，你不能拿这个去去比这个啊，当然你说老师他是正五边形，然后呢我说对应出来的是一样的，那么你起，那么你这个规律只符合于正多边形吗？ 他不是正多变形的话，就不满足这样的规律了吗？对不对啊？所以说呢，在这里一定要注意啊，相应相应线段的这个比啊，相应线段的这个比值 来描述他们之间的大小，因为我们不可能说图形怎么样，是吧？我们只能通过对应的线段测量它的长度，然后呢得到一个比值，我们不可能 呃去测一个这个行，这个图形的这个大小，对不对啊？究其一点来进行描述就可以了。 那么第一点呢，就是我们刚才的这个知识大纲里面的啊，两条线段的笔，如果选用同一程度单位量的两条线段 abcd 的程度分别是 m 和 n， 在这个需要注意一下，就是同一个程度单位， 就说你拿一个刻度尺去量，那么你量完 a、 b， 那么你拿同样的刻度尺去量 c、 d 啊，中间不要变，它有可能不一样，对不对？这样的你量出来的程度才是一样的啊，很好理解哈， 那么这两条线段的比就是他们长度的比，也就是说两条线段长度，两条线段的比是他们长度的比啊，你量出来的他们程度的这个比值啊，并不是说他们其 它的比值对不对啊？是它们之间长度的比值。长度，它这个是数字吗？数值的一个比值对不对？这样的话才和我们数学有关系，对不对啊？ 嗯，好，那么在这个概念里面呢，我们需要有很多的注意点，那注意点呃，在我们几何里面就是这个样子啊，我们学习第一章的时候我们也了解到啊，他这个小知识点呀，非常的多， 在这里呢，大家要注意听哈，注意听，区分清楚。那么第一点， a、 b 叫做线段笔的前向 a、 b， 你看这是不是两个，这是不是一个笔？ 那他是不是在前面？他是前象，这是不是在后面叫做后象啊？他写成这种样子的，上面的叫前象，后面的叫，下面的叫后象啊，这个要注意哈，别人家告诉你什么，呃，给你提了一个名字叫前象，你不知道前面的那一象 前向。第二条两条线段的笔实际上就是两个竖的笔，对不对？这个刚才说过了，因为你量出来的这个长度，它就是一个数数值吧。第三，求两条线段的笔是所使用的长度单位应该统一，对吧？你用米，你都都用米，你用厘米就都用厘米。 第四，在长度单位进行统一的时候，无论采用哪一种单位，笔直都是相同的，这什么意思呢？就说我把这些上下的这，我把两条线段的这个 单位呢，都长度都是用的米做的单位，那么你比值啊，你比如说等于二分之一啊，如果我都画成厘米，那么它的比值还是二分之一 啊，这个，呃，很容易理解，对吧？啊，因为他本身的这个程度没有发生变化，只是你的计量单位发生了一个变化，那么他们的比值不应不变。第五，虽然两条 线段的比要在单位统一的情况下进行，但是笔直却是一个不带单位的正数，肯定是正数没有问题啊，需要注意的就是他不带单位，不带单位。第六，笔直刻画的两条线段或者是两个图形的大小关系。 这个呢，咱们刚才说了啊，刚才说了我们不可能去测出来两个图形怎么样，对吧？但是他对应的某一条线段的程度啊，来代表他进行一个大小之间关系的一个比值就可以了，就可以。 好，这是这个概念需要注意的这些点哈，也比较容易理解啊，所以说我们在这里呢，简单的做一个练练一练。那么已知线段 a b 他是八厘米， a 撇 b 撇时两厘米，他们的单位长度是不是一样的？所以说我们在这里直接就可以进行比啊， a b 比成 a 撇 b 撇，那么就八比二，四比一嘛，对不对？那 那么它的比值是多少？四比一是不是一分之四？那么它的比值就是四嘛？它的这个值啊，那么 a、 b 就等于四倍的 a 撇、 b 撇，对吧？五边形 a、 b、 c、 d、 e 和 a 撇， b 撇， c 撇， d 撇 e 撇啊，形状相同啊， a、 b 等于五厘米， a 撇、 b 撇，你看 a、 b， a 撇、 b 撇，这是不是相对应的两条线段啊？然后呢，人家也没告诉你是正五边形，对吧？他们的两条线段长度已经测出来了，长度已经测出来，单位是相同的，那是不是就直接直接进行笔直就行了？ ab 比成 a 撇、 b 撇，那么他就等于 五比三的这样一个内容，对吧？这样的一个结果啊，那么他们的大小关系呢？就是五比三啊，对不对？这就表示他们之间啊，你比如说你是五五的这样一个大小啊，我是你下 相对应的这个三的这样一个大小，对不对啊？五分的大小，三分的大小，是不是很好理解哈？这个呢，呃，计算起来也比较简单啊，也比较简单。好，我们看第二部分的内容，就是课本的素材做一做哈，直接过来的。 那么设小方格的这个边长呀，它为，呃，唯一啊，唯一。那么四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 e、 f、 g、 h， 它的顶点呢？都在这个格点上。那么 a、 b、 a、 d、 e、 f 和 e、 h 啊，它们的长度分别是多少？ 这个呢，比较好计算哈，比较好计算。你比如说在这里呢，我们能够啊，轻松地就得到 a、 b， 它是等于八的，这个 e、 f 是吧？它是等于四的，那么 a、 d， 它是等于二倍的，根号十的。我在 在这里就不用勾股经理给大家计算了哈，这个表，这个格子这种长度呢，很很常见，很常见，大家应该都会啊，那么在这里呢，我们就可以得到了这些程度之后怎么办？他让我们分别计算一下， a b 比成 e f， a b 比成 e f 等于二， ad 比成呃， e h 是不是也等于二？ 它等于二，它等于二。那么 a b 比成 a d 呢？ a b 比成 a d， a b 和 a d 是不是它等于？呃，这个根号十分之四，那我在这里这样写一下哈，我们在计算的时候呢，分母要对分母进行有理化的处理，对吧？啊？ 然后呢，我们在这里呢，只是看一下它的这个结果啊，刚好是，那么 e f 比上呃， e h 是不是也是四分之更好使？这样的话呢，我们就能得到 a b 比上 e f 等于 a d 比成 e h 的这样一个结果，对不对啊？ a b 比成 a d 也等于 e f 比成 e h 啊？我们发现了这个，我发现了他们的结论是一样的，哦，不对，我们发现了他们的值是相等的，对不对啊？两组两组是相等的， 这就是我们这个做一做的这样一个需要发现的内容。那么在这里结束了之后啊，结束了之后，我们需要对它进行总结，对吧？那么你说四条线段，我们刚才说线段的比的时候，是不是两条线段前项和后项进行比较就行了，那么你把四条线段放在一起 啊，他们相互之呃，前两个的比值等于后两个的比值啊？对，后两个比值。那么这是不是一个新的知识内容呢？就是我们今天所要学习的比例线段啊，成比例线 段，就是这样的四条线段， a、 b、 c、 d。 如果 a 与 b 的比等于 c 与 b， c 与 d 的比，那 g 就要 a 比上 b 等于 c、 b、 d， 那么这四条线段 a、 b、 c、 d 就叫做成比例线段，构成一定比例的线段， 成比例线段，在这呢，一看到成比例线段是四条，是四条， a， b， c， d， 四条才能构成哈，简称比例线段。就乘一定比例的这个线段啊，乘一定比例线段是四条哈，在这里一定要注意，是四条，在这里还要注意呢，就是他的顺序， a， b， c， d。 如果你四条线段写成 a， b， c， d， 那么你的这个比值就只能写 a 比 b 等于 c 比 d 啊。如果你要是 b， c， d， a， 那么你就必须写成 b 比 c 等于 d 比 a， 这样一个结果啊，这样一个结果， 千万是要注意他们之间的顺序，顺序哈，各个字母的顺序是存在的，通过刚才我们的那个上面的那个是吧？呃，就是前一页的那个计算题， 我们能够知道， a， b 呃， e f a d e h a b a， d， e， f， e， h 他们之间是有关系的，那么他们之间，如果说，根据我们上面的这个定义啊，只要满足四条线段，满足这样的一个比值关系，那么他们就是叫做成比例线段啊， 每条线段的值都已经有了，那么我们能够发现这些都是成比例线段，你自己还去研究一下，看看还存不存在其他的成比例线段的情况。也是同样的四条线段哈，你会发现新的结果和结论啊，在这里呢，我只举一部分，只举一部分。 好，这个作业呢，留给同学们哈，留给同学们，在这里呢，也一样，新的概念，我们再强调一下，注意点，第一， a、 b、 c、 d， 它叫做组成比例的像， 很好理解吧啊，我们刚才说我前向和 b 向，呃，后向，对吧？那么 a 与 d， a 与 d 在外面的叫做外向， b 与 c 在里面的叫做内向。我们在小学的时候就学习过啊，这样的一个成，呃，这个，呃，四个的这样一个比例，对吧？他们的外向之际等于内向之基 啊，我们在这里回顾一下哈，一呢是他们叫什么名字，二呢是他们这样的一个呃，数值关系。第二个呢，是当比例的内向相等的时候，比例的内向相等的时候，你比如说都是 b 或者都是 c， 那都相等的时候，那么 b 或者 c， 他就叫做 ad 的比例中项。比例中项啊，这起的这样一个名字哈，一起。呃，这个，如果题里面给你给你提到比例中项了，你要知道啊，两个外向， 两个内向，他是一样的，他们的平方呢，等于两个外向的，这个呃，他的平方等于两个外向的乘积。第三条，四条线的成比例是一定要注意他们的排列顺序，一定要注意他们的排列顺序，你看这个 这个，他的顺序是不一样的，那么他们写出来的结果也不一样，值也不一样，比值也不一样。好，所以说一定要注意排列顺序。我们随后呢，会有这样的一个训练题， 好，我们看第一题， a， b， c， d 啊，判断 a， b， c， d 是否构成。呃，比例线段，这是不是利用我们学习的知识就行了。既然你这 已经排好顺序了哈， a， b， c， d， 那么就是 a， b， b 嘛，六分之四，三分之二，对不对？那么 c， b， d， 呃，这个二分之一对吧，他俩不相等，不相等就不能构成比例线段啊，你看这样的题是不是很简单？第二题呢，就是甲乙两地相距三十五千米，图上的距离为七厘米，这种图的比例是多少？这个问题啊， 呃，使我们小学的那种哈，比例尺的问题，比在这里这种图的比例尺的时候，使我们这种图上距离比上实际距离，对不对？实际距离啊，你在这里要把这个铅笔画成什么？画成厘米一定要注意单位的问题 啊，这个黑更简单。那么第三题看一下啊，一至三个数，二四、六，添上一个数，是他们能构成一个比例式，能构成一个比例式， 能够让比例是什么意思啊？能够让他们成为成比例线段啊，能够使他们成为比例线段， 明白吗？因为我们刚才所学习的知识就是这个理解哈，你比如说老师，我假设这个数是 x， 我可以放在这个位置，因为他们是有顺序的吗？是，是吧，四个放在一起，他可以放在这个位置，他可以放在这个位置，他可以放在这个位置，有四个位置，明白吗？你需要有讨论四种情况， 讨论四种情况，它有不同的笔直，能够解出来不同的 x。 好，我不带着大家解了哈，因为这个解的非常简单，非常简单，其中呢，有重复的，所以说呢，结果呢？是三个，三个。 好，那么我们再看一下第三部分的内容哈，就是课本的素材意义啊，比例的基本性质，比例的基本性质。如果啊， 四个数， a、 b， c、 d 乘比例乘比例啊，那么接 a、 b、 b 等于 c 比 d， 那么 a、 d 等于 b、 c 吗？那么 a、 d 等于 b、 c 嘛，也就是交叉相乘，呃，也。呃，等于吗？你说等于？我小学就是这么学的啊。十字相乘，然后他们是相等的关系，为什么呢？ 现在能解答吗？根据我们等式的基本性质，我是不是跟他这种情况，我可以在两边同乘一个，呃，这个数，这个，这个叫什么？呃，一样的数，是不是我都乘以 b、 d 就行了嘛？ 我都乘以 b、 d， 那你这里一约一个 b， 这里约一个啊 d， 那是不是就成成为这样一个样子了？那么反过来，如果我知道了 a、 d 等于 b、 c， 那么 a、 b 他们四个呃数乘比例吗？肯定也乘嘛。我在这里逐 除以 b、 d， 对不对？要是来表示现端的话，你不可能为零，对不对？我们在这里呢也要求 a、 b、 c、 d 不为零是吧？啊？不为零哈， 好，那么这就是我们的基本性质的这样一个内容啊。如果它是这样比例的关系，那么它可以写成乘积的，如果它是乘积的，我们要约定，先约定 a、 b、 c、 d 都不为零，那么它可以有这样的比例关系，因为这个叫什么来着？因为。呃，在分母上它不能为零， 是不是啊？啊？他不能为零， 要是存在零的话，那就这个东西就不成立了，对不对啊？不成立了。好，在这里呢还有一个和比的性质啊。和比的性质，这里呢需要给大家总结一下哈。 呃，增加一下。你比如说我知道了 a 比 b 等于 c 比 d， 那么我能推出来它吗？ 还是利用等式的基本性质？等式的基本性质，我是不是在两边，在他的两边各加上一，这等式不变吧，各加上一，那么 b 分之 b 啊，这 d 分之 d 是不是就构成这个了？那么这个也一样啊，我两边都减去一， 是不是构成一个这个啊？这叫和比的性质，和分比的性质啊。我们在一些题里面会遇到这样的内容啊，会遇到这样的内容， 呃，在这里呢，我就不给大家呃，就是做详细的一个推推导了，因为这个推导的大家，呃并不难啊并不难。在这里呢，还要给大家留一个小作业啊留一个小作业就是这个，你自己推导一下 这个成立吗？证明一下这个成立不成立 看你自己证明一下这个东西成立不成立啊，成立不成立。 我在这里呢要告诉一下大家哈。呃，前面的这个式子，你在推倒的过程当中用等式的基本性质是可以满足的。同时呢还有一种方法，呃，有的资料上呢叫涉 k 法 啊，不知道你们学校叫什么？叫什么方法哈，你比如说第一个哈和比的性值，我 b 分之 a 等于 d， 分之 c 等于 d 分之 c， 我让它等于 k 等于一个数值，这样的话我能得到 a 等于 b， k， c 等于 d， k k 是一个数值。 note 到这样子吧，然后呢，我把这个 带进去， a 等于 b k 了，我把这个带进去，然后呢，他们都等于 k， 那么是不是他们是相等的，是不是啊？啊？这射 k 法啊， 注意去注意去研究一下啊，注意去研究一下啊，如果研究不清楚的啊，你可以私信老师或者是评论。好，那么第一个已知线段 a， b， c 满足这样的关系， a 比 b 等于 b 比 c， 那你看在这里是不是一样了，同学们，是不是一样了， 对不对？这是什么？ b， c 中向吧啊？ b， c 中向了，是不是？根据这个跟我们前面所学习的关系，我们知道 a， c 等于 b 方， 对吧？啊？ a， c 等于比方，那么呃，已知 a 比 b 等于，呃，这个三比二，那么 b 分之 a 加 b 啊，还有这个 呃 a 减 b 分之 a， 这是不是就很好理解了啊，那我在这里呃，相乘我就知道了吗？我能够得到一个 a 等于二分之三， b 是不是就可以往前带了，对不对？这都是 b 带进去了啊， 我把 a 都换成 b， 是不是就 b 值页就可以出来了啊？所以说呢，在这里呢，咱们还是呃这个比较简单的哈，比较简单的， 嗯，多研究研究啊，多研究研究。在这里呢，还有一个，呃，不一样的内容啊，不一样的内容，所以说呢，在这里啊，关键是要注意你不同的形式之间它是有不同的这个变化的方式的，你比如说这个式子，它可以写成分开的， 它也可以因为分母相同写成一样的，是吧？加一个一或者减一个一，那么它的形状就会发生变化， ok， 同学们， ok 啊， 好，第四部分的内容哈，第四部分的内容 我们在这里呢，一起看一下。第四部分的内容就是等比的性质，在这里呢，也比较简单，已知 a， b， c， d， e， f， 它六个数，六个数啊，我们课本上也是这样写的哈，如果 a、 b， b 等于 c， b， d 等于 e， b， f， 也就说连等的这种情况我也告诉你啊， b 加上 d 加上 f， 不等于零啊，分母之和不等于零，那么 a 加 c 加一，我就说我把上面的这个连等的这种形分数形式的话，我把上面的分子都加起来，比上下面的分母之和 和，那么它就等于其中的一个式子， a， b， b 的值等于 c 比 e， d 的值等于 e， f 的值啊，这里只是写了一个 a， b， b， 那我写成 d， e， d 比 c， 呃， d 分之 c， f 分之 e， 可以吗？可以的，没问题， 它成立嘛。为什么设 k 法让它等于 k， 那么 a 就等于 b， k， c 就等于 d， k， e 就等于 f， k， 我把这里 e 把这里一带入，然后呢，这个 b 加 d 加 f 都舍了啊，就留下一个 k， 那么 k 它本身就等于这些里面，然后再挑一个数就行了， 能理解吗？啊？自己演自己这个啊，推导一下哈，自己推导一下啊，没有任何的问题啊，没有任何的问题。 呃，推导一下还是非常简单的啊，在这里呢，我们的这个结论呢，课本上的结论，他只是把这个上面的这个三项 延成了，延成到 n 项了， a， b， b， c， b， d 也是一直比，比到 n 分之 m， 这是无数个，无数个，我们要规定一下，分母不为，呃，这个分母之和不为零，那么他就会存在这样的一个结果，存在这样的一个结果啊， 这个推导呢，也是比较简单的哈，我在这里呢，就不再推导下面的这个结论了。好，我们看一看，练一练哈。说 a、 b、 c 都是不等于零的实数，他们都不是不等于零的实数，都不等于零，那么他他他他等于 k 去 k 的值， 怎么做都不等于零的数， 是吧？如果说根据我们刚才的定义，那么它是不是都在分母上了？我 a 加 b 加上 c， 如果不等 等于零，那么我是不是就可以，就可以就可以把这个东西推导下来了？把这个东西推导成什么？推导成我们刚才的那个等比性质了啊？我们刚才的那个，呃，等比性质啊。等比性质是什么？等比性质就是刚才的这个哈， 这个我们上面有写的等比性质，这个呢，就是这样的一个内容。那么我们这在这道题里面用等比性质的内容的话，我们就是把分分子都加起，分母都加起来， a 加 b 加 c， 分母都加起来成了二， a 加二， b 加二 c， 是不是？那么他等于几呢？等于二嘛？所以说 k 等于几，所以说 k 等于二， 对不对？但是虽然我们都是不等于零的数啊，这个是根据我们等比性质的这个限制条件所得到的一个结果，它都不等于零，那么它加起来是不是由 不可能等于零？可以吗？可以吧，一正一负啦，或者什么的。呃，这个东西是可以的，他们是可以等于零的，那么这样的话，我 a 加 b 就等于什么等于负 c 嘛， 对不对？ b 加 c 等于负 a 嘛？然后呢，它们的比值是不是就等于负一啦？是不？ k 等于负一？所以呢，在这里呢，要进行情分两种情况呢进行讨论哈。分两种情况进行讨论 啊，你看你在第二次我用这个式子的时候，是不是就没有永远等比的性质？把分子都加起来，把分母都加起来？因为一等于零了，你分母不成立， 所以你在这里就不能用了，你只能用他其中的某一个去求出来值， 好连连啊，我们来看这个啊， b 分之 a 等于三分之四，那么 b 分之 a 加 b， 对不对？我们刚才不是说过了啊，我 a 就等于三分之四的 b 嘛，对不对？我把它带进去嘛，把 a 替换掉，把 a 替换掉，是不是都留下 b 了？是不是就可以约，就可以约这种公因式了啊？很简单啊，那么这个， 这个就是我们刚才登笔性质的一个运用嘛，直接把分子加起来，分母加起来啊，那么这个呢？ 这个怎么办？同学们，这个可不，人家不让加，不让加那是减的， 那是点的，是不是就可以设 k 法啊？当然，当然，这个就不用设了，但是不是，这个五分之二就在这里了，我是不是可以表示出来 a 表示出来 c 表示出来 e， 对不对？对它进行一个替换， ok 吗？ ok 啊，哎，他老是往前跳。今天在这展下展示一下这样的一个结果啊，展示一下这样的结果。 好，我们就本节课呢，进行一个总结。成比例线段就是线段的比， 想承认的程度单位零的 abc 的长度是 mn， 那么他们的比值就是他们长度的比，写成这个样子成比例。现在呢，就是一定是四条，四条还有比例。是啊，四条四个数， 那么就写成这种 a、 b， b 等于 c 比 d 的这种形式啊。那么这四条线段 a 就叫做成比例线段，简称比例线段。再一个内容呢，就是我们看 刚才学习的比例的性质，一个基本性质，一个等比性质，基本性质呢？ a b b 零 c 比 d， 那么它十字相乘也是一样的。如果说我知道了 a d 等于 b c， 那么它们也可以化解成 a b b 零 c 比 d 的这样一个形式。 等比的性质就更好理解了，是吧？ shak 去讨论啊去推论啊推导，那么它这样的话，它就是分子之和啊。呃，这个比上分母之和，它还等于原来的其中的某一单个笔值。 ok 好，这节课呢，说难不难？说简单啊，也不是很简单的样子哈，同学们注意认真思考啊，好，同学们。

嗨，同学，大家好，这节课呢，和老师一起来学习九年级上册第四章第四节的内容， 而我们今天所学习的是第四节的第四课时，也是最后一个课时黄金分割的内容。 我们首先来看一下这节课的内容，大纲有两个，第一理解黄金分割的定义，牢记黄金比。第二个能对黄金分割知识进行一个简单的运用。其实我们数学知识它意就是这是吧，它本身是什么，这个知识点是什么？然后这个知识点怎么用，对不对？ 好，我们首先呢来观察一组图片啊，第一张图呢，是这个上海的对不对啊？同学们可能去过上海的也知道啊，东方明珠广播电视塔 是上海的一个标志性建筑。第二个图呢，中间的这个雕塑，他是维纳斯是吧？在古希腊神话当中呢，他是爱神和美神的一个 爱与美的这个化身啊，被人们称为爱神和美神。现在存于法国的巴黎卢浮宫。第三幅图呢，就比较容易了啊，它是一个简单的路人甲和路人乙。 我们现在呢，来观察这些图片，他能，呃，他的这个物体在设计上，嗯，有什么样的一个特点？你比如说在这个， 在这个广播电视塔上，你看他在设计的时候，他没有直直的设计成一条，是不是？那显得好像有点单调，没有什么美感，对不对？他在适当的位置，你看加了一个 大圆球，大圆球。然后呢，把这个塔呀，整体上分为上下两个部分，一段长一些，一段短一点，对不对？ 而在人体雕塑上呀，我们一般呢是以人的这个妒忌 为这个分界线把人呢也是分为上下的两个部分啊，分为上下的两个部分， 你看也是一段长一些，一段短一些，对不对？那么从我们的容貌上来看呢，脸部容貌上来看，我们呢是以鼻子为分界线，你看以这个突出物啊，突出物。以鼻子为分界线， 把我们的人脸呢分成上下两部分，你看它也是一段长一段短，对不对？ 这些图片呢，他在整体设计经过这样的一个设计之后，你比如说人脸啊，他就这样一个万物呃造人的这呃这个神明造人是吧？那还有人类演化的这样一个过程当中啊，呃，他总是形成了这样一个 特定的这个比例，对不对？呃，然后呢在特定的位置出现一些特定的分界线，使得使得这些物品呢看起来更加的协调美丽啊。那么 我们观察之后所得到的这个结论，通过这些物体的这些分割啊，或者是突出的这样一个划分，我们能够发现这些图片呢，或者是物体他更加的漂亮协调和富有美感，那么事物之间的这种和谐的关系 也可以表现为某种恰当的比例关系，你别长的和短的对不对？那么他们这种比例关系是否是都一致？如果一致的话，那么是不是他们都应该满足一定的比例，或者说固定的比例 相对固定的比例，这样的话呢，我们在设计一些呃物体的时候就更有参照性一些，对不对？好，那么这个呢就是我们这节课所研究的问题，黄金分割。 首先呢我们还是从课本的素材探究出发，一个五角形，这里所说的五角形呢是正五角形哈，给到了两个问题，第一个呢是图中找出相等的角相等的线段，第二个呢是从度零一下点 c 到点 ab 的距离，然后呢，这个比值是不是相等？我们先看问题二。先看问题二哈， 度量 c 到 ab 的这个距离，然后你用你的知识去呃，度量就行了啊，在我们课本上也有同样的图，你去度量一下，看看 acbab 和 bcbac 是否相相等，那 在这里呢，我们把 acb 啊所代表的这个线段呢给他单独的拿出来，然后呢，方便大家去测量。测量之后呢，根据一个比值，你会发现这两个比值呢是相等的，是相等的。 由此，呃，对这种问题就是说啦，我在一个线段上找见一个点，使得这种比例关系成立的时候呢，那么点 c 就叫做了 a b 的 黄金分割点啊，你看他是不是分成一个长一点的一一条线段和短一点的一条线段，是不是和我们刚才看的图片有类似的地方，对不对？有类似的地方好在 这里呢，我们会发现，经过测量之后呢，呃，我们会发现他这个比值是相等的，此时我们就成线段 ab 被点 c 黄金分割啊，黄金分割， 线段被点 c 黄金分割，大家要注意这个，而 acb 上 ab 和 bc 比上 ac， 他虽然相等，但是他们的比值呢，是统称为黄金比啊，统称为黄金黄金比，这个比值呢是一定的。 好在这里呢，然后呢，我们对的问题一进行一个补充啊，五角形，尤其是正五角形当中呢，我们会发现两个这个非常重要的这样一个结论吧。啊？结论， 呃，第一个呢是五角形，五个角所在的小三角形为等腰三角形，就这个在我们正五角形里面呀，呃，这个这条线段 啊，这个我所标记的这些哈，他都是相等的，都是相等的啊，彼此全等也是因为他相等，嗯，然后呢，且角 a 等于三十六度，每一个尖尖上的这个五个五角形吗？五个角上的这个角啊，突出的这个部分他都等于三十六度。 这个呢，同学们可以呃，我们来在这里简单的验证一下，你比如说这是一个，呃，这个，嗯，角，对不对？ 然后呢在这个三角形里面看，在这个三角形里面，我这个我这个角 是不是等于，你看我画一下哈这个大三角形的一个外角，那么它就等于角 b 加上下面的这个啊，你比如说我写个角 d， 角 b 加上角 d 等于这个角，而同理 这个角呢，他就等于角 a 加上角一，对不对？这样的话，你看是不是把五个角都同时的放到一个三角形里面来了，对吧？那么三角形的内角和呢？是一百八十度，然后呢，除以五就能得到这个三十六、七十二、七十二，他这样一个内容啊， 然后呢，根据他们就是全等的，我会发现中间的这个五边形啊，中间的这个五边形，那么他是一个正五边形啊，正五边形，正五边形的内角和怎么算？ 呃，不对，呃，这个，呃内角当中的一个角的角度是多少啊？同学们可以自己回想一下哈，回想一下，把这个计算计算。 呃，这个五角星呢，他有不同的画法啊，你比如说先前呃的时候呢，我们可以画一个圆，然后呢把圆无争，呃五等份，五等份之后呢，我们连接那些弦就可以构成一个 呃正五边形，正五边形的顶角呢，然后呢相互连接，我们就构成一个三角形，呃，这个，呃五角形。而在这里我们今天学习了黄金分割之后啊，我们黄金分割之后，我们会发现这个点 c， 你看这些交叉的点分别都是它所在的这条线段 啊的两个黄金分割点啊，两个黄金分割点，那么我们通过黄金分割点的办法也可以画出一个五角星来，明白了吗？好，这是我们先对课本上的这个五角星的内容呢进行一个研究啊，进行一个研究， 好，既然我们知道了他们的比值是相等的，而且呢，呃，都是黄金比的话，那么他们的比值应该就是一样的，那么我们来计算一下黄金比，你比如说现在给到了 一个线段 a b， 然后呢点 c 就是他的黄金分割点啊，在这个时候呢，牛老师，没有线段的长度如何来计算比呢？我们就可以假设吗？对不对？我们可以假设啊，我们假设，你看我们假设他的这个，呃，整体上啊，整体上，嗯的 整体线段的这个长度是吧？ a b， 整体线段的长度呢？ a b 在这里呢，我们假设它是一 啊，然后呢我们再去假设 a c 是 x， 那么 b c 是不是就是一减去 x 啦？ 那么这样的话是不是就有就有这个关系了？我们前面得到的这个啊，笔值呢是 ac 比成 ab， 那可以看到呢，他的这个笔值呢，在书写的时候也是需要注意的，有一点规律。需要注意 什么规律呢？你看我用 ac 比上 ab 是不是？呃，这个点 c 把线段分成了较长的一段和较短的一段，对不对？我先用较长的这一段呀，比上总体的长度，然后呢，再用较短的这个线段比上前面较长的这个线段， 然后呢，它们的比值是一样的，如果满足这个比例关系，那么就说点 c 是 a b 的黄金分割点对不对？ a c 比成 a b 呢，就是黄金比，在这个时候呢，你看，根据我们前面所学习的这个比例性质是吧， a c 的平方等于 b c 乘以 a c， b c 乘以 a c， 这些东西都有，是吧？啊？呃，现在呢，都已经表示出来，然后呢，我们解出来 x 就可以得到啊，就可以得到。呃，这个比 直关系了，就可以得到笔直关系了。好，在这里呢，我们看一下这个资料上给到我们的这样一个结果啊，给到我们这样的一个结果，在这里呢，我们可以呃，复制的话， x 一当然舍去 x 二， x 二的话等于二分之根号五减一，二分之根号五减一。 在这个时候呢，呃，同学们说了，哎，我们刚才是不是假设的 a c 是 x， a c 比成 a b， a b 是一，是不是 x 比成一是不是还等于 x 本身？所以说呢，黄金比 a c 比成 a b 呢，就等于二分之根毫五减一，约等于零点六一八， 约等于零点六一八，这就是我们这节课的这个主要的知识内容，就说说明一下什么是黄金分割点，再说一下黄金比啊，黄金比是怎么来的？然后呢，我们对这节课的内容呢进行 一个简单的小结，点 c， 把线段 a b 分成两条线段 a c 和 b c， 如果 a c 比上 a b 等于 b c 比 a c， 这个比例顺序一定要弄 准确。那么称线段 a b 被点 c， 黄金分割点 c 呢，叫做线段 a b 的黄金分割点 a c 与 a b 的比，称为黄金比，称为黄金比啊， 好，我们在这里呢，使用提示，就说我们要使用这个知识点的时候呢，需要注意的，你看在做笔直的时候，笔直的时候顺序上市 长的啊，我在这里呢，这个长的写的是这个啊， a b 呢是一个总体，这是为了便于大家去记忆哈。这个呢是短的，也就说我长的啊，就不能去和短的相挂钩，我长的呢是 比总的了，而短的呢，它要比一个稍微长一点的啊，它是这样的一个比例顺序关系。再一个呢是黄金比 a c 比上 a b 等于二分之根，毫五减一，约等于零点六一八，这是一个近似值，近似值，那么在这里呢，除了这个需要提示之外，其实还有一点，还有一点在这里呢没有写上， 你比如说一个线段，它在这里呢，划分一下，划分成一个 b c a c 的这样个程度，那么 c 是它的黄金分割点，那么请问它这个点是不是靠 b c 比较近一些？如果说我把 b c 这个呢长，然后呢截取到 a d 这边来啊，使得 a d 等于 b c b c， 那么点 d 是不是线段 a b 的这个黄金分割点呢？也是的，也是的啊，大家可以 呃类比前面黄金分割的这样一个算法啊，去研究一下这个。所以说一条线段上呢，会有两个黄金分割点， 这在我们刚才所说的那个，嗯，正五角星里面是不是也说到了啊，一条边上啊，他长长长长的这一条边上他会有两个黄金分割点啊，会有两个黄金分割点，这要需要注意一下啊。 好在课本素材上呢，我们还有一部分的内容就是说了他给我们写了这样一个，呃，想一想， 如果把图中用虚线部分的表示的矩形化成如图所示的矩形， a、 b、 c、 d 啊，就说把那个矩形移出来，移成 a、 b、 c、 d 移矩形 a， b， c， d 的宽， a， b， c、 d 的宽，因为它宽是 a、 d 和 b c 嘛。啊，我以 a d 啊为边呢，做一个内部的 正方形， a、 e、 f、 d， 哎，也就是这成了正方形了，它的边长是不是都等于 a d 啊？那么根据我们矩形的这个性质，那么这四条边是不是也和 b c 相等， 对不对啊？那么我们可以惊奇的发现他可以惊奇的发现什么呢？就是 b e 比上 e c， b e 啊， b e 比上 b c 啊， b e 比上 b c 等于 b c 呢？比上 a b 啊，短的比上一个长一点的等于长一点的呢？比上一个总呃，更长的那么点一是 a、 b 的黄金分割点吗？ 啊，然后呢，矩形 a， b、 c、 d 的宽与长的比是黄金比吗？为什么？对不对？他既然这样问了，那么他肯定是存在，是存在这样的一个啊关系的啊，存 这样一个结论的。在这里呢，我需要稍微补充一点知识点呢，就是前呃，我们左边的看到的这个图片啊，图片虽然看起来已经很破败了，但是啊，但是他叫吧台农神庙，吧台农神庙演绎成吧台农神庙啊， 呃，是共放的呢，是雅典娜女神，也是古希腊的一个神，是吧？呃，这个呢，呃是雅典未成主体的一个建筑啊，是为歌颂雅典战胜波斯的侵略者 而建成的一个啊，非常伟大的一个建筑啊，在世世界建筑史上都是非常有名的。 嗯，好，这是一个我们数学上所涉及的小学小的知识啊，然后呢，我希望同学们在发现这些知识的时候呢 啊，去查阅一些资料啊，把自己的知识呢丰富起来，丰富起来，学科之间呢都是呃有一些相通的部分，有些相通的部分好，那么他问我点意是 a b 的黄金分割点吗？那么怎么样呢？ 我已经说了，老师他这个都是在不同的这个边上，你看一个呢，在 a b 上研究，还有再加上 b c， 对不对？但是我们刚才也说过了， a e e f a d， a d 和 d f， 他们其实呢，呃都和 b c 是相等的， 是吧？我们要想办法把它转化到线段 a b 上，这样的话去研究的话是不是更方便一些，更方便一些，对不对？那么既然他已经发现了这个比例关系啊，那么我们把其中的这个 b c 啊， b c 直接替换成 a e， 我们看看是什么结果？ b 一比上 a e 啦，这下就是 然后呢，等于 a e 再比上 a b， 你看 a e 比上 a b 是不是长比全？然后呢，它等于你看这个短 比 a 短比长，是不是和我们刚才所总结小结归纳的那个呃，黄金比，黄金分割的这个呃比例关系是一样的了，是一样的，那么他满足这个关系，我们就说点 e 是线段 a b 的黄金分割点， 对不对啊？现在 a b 的黄根分个点，然后呢，又因为 a e 比成 a b， 你比如说是成立满足这个黄金比的，又因为 a e 呢， 他和 b c 是相等的，我把 b c 再换上来，是不是啊？ b c， 然后呢， a b 是不是一个宽一个长啊？那么他们的长的比，宽与长的比是黄金比吗？当然也是了，对不对？当然也是了， 好在这里呢，有接这样的一个结论，就说点 e 是黄金分割点矩形 a b c d 的宽与长的比呢是黄金比，另外宽与长的比是黄金比的矩形呢，也称为黄金矩形。这个在我们习题里面呢，还会提到啊，在这里呢，大家要熟悉一下这个说法啊，熟悉一下这个说法。 好，那我们课本素材里面的还有一个，也就是咱们的那个隋唐练习 这个呢，就是做一个啊，黄金分割点，给你一条线段，然后呢，如何去寻找他的黄金分割点的一个做图方法？在这里我们研究一下这个做法啊，一定要记住哈，记住这个做法， 这记对来我们做题呢，或者是日常生活当中呢，都是啊，很有帮助的。这样的时候呢，我们这个一呢是研究一下方法，二呢是研究一下他的理由， 理由如何？已知线段 a b， 按照如下方法做图，经过点 b 啊，首先经过点 b 呢，做 b d 是垂直于 a b 做垂直，然后呢连接 a d 啊啊，当然使得 b d 呢等于二分之一的 a b 等于二分之一的 a b， 呃，然后呢，这个连接 a d 就构成了一个呃，直角三角形，可以用勾股定理，你比如说我假设它是一，那么它肯 a b 就是二了，对不对？然后呢， a d 就是根号五， 是不是出现了根号五，出现了二，对不对？然后呢，你是用这个截取的办法，那么 d b 是和 d e 是相等的，这里是一，那么 a e 自然就成了根号五减一了。 然后呢，我们再以点 a 为圆心啊，以 a 异常为半径画弧，得到点 c， 那么点 c 是不是也就根号五减一？那么此时啊， 此时 b c b c 啊， b c 我们先不管，对吧？我们你看 a c 比上 a b， a c 比上 a b 啊， a c 比上 a b， 是不是就已经等于二分之根毫五减一了， 对不对？廖老师定义不是这样的啊，虽然这个比值是黄金比，那么我们要再看一看，呃，这个 bc 比上 a c， 它是什么样的一个结果，对吧？那么既然整体的 a b 呢，它等于这个 还有二，是吧？然后呢， a c 呢？等于根号五减一，那么啊， b c 是不是用二减去根号五减一，对不对啊？减去这样格式会得到一个三减根号五，然后呢， a c 呢？是根号五减一，这样的话，我们进行有理化的这样一个运算，你会发现到最后的 结果呢，它也是二分之根毫五减一，这样的话，我就得到这两个比值是相等的，那么点 c 就是它的黄金分割点，明白了吗？就是它的黄金分割点，这样它通过，我们通过计算啊计算，利用它的定义就能判断它就是黄金分割点。 此时呢，还有提示大家一下，课本九十七页的读一读里面呢，也了解一下黄金分割提出的这样一个历史，解答一下最后提出的黄金分割的一个新的方法啊，他提出了一个新的方法，那么他做这种新方法的这个道理，你能不能参照我们刚才的办法给他进行一个分析？ 好，接下来呢，我们看一看这个练习题啊，如图所示，乐器上的一根弦啊， a b 等于八十厘米，两个端点的 a b 固定在上，固定在这个乐器板面上， 支撑点 c， 靠近点 b， 支撑点 d 呢？靠近点 a， 呃，当然他们你看他也说明了，点 c 就是黄金分割点啊，点 d 呢，也是黄金分割点，那么他是谁的黄金分割点？点 c 和点 d 都是 ab 的黄金分割点。刚才我们也说过了，一条线段上的黄金分割点有两个，对不对？ 既然是黄金分割点的话，那么根据我们的定义，是不是就有 a c 比上 a b， 它就等于二分之根，毫五减一，那这样一个比例关系对不对？这样的话，我们是不是就能够解除 a c 了， 对不对？那么同样的道理，我们是不是也可以求出 b d， 对不对？你说老师不，人家要的是 d c， 你看 a c 和 b， d 比较容易求起来，它俩加起来之后是不是多了一个 d c， 那么我减去总长是不是就可以求出来 d c 的长度了， 对不对？这是我们初一的，初一的这个内容哈，初一的这个内容好，在这里呢，我就不得不给不给，大家一起算了哈，大家算一下，然后呢和材料正宗当中的结果呢？做一个对比，做一个对比。好， 我们看第二题，已知线段 ab 啊，点屁是他的黄金分割点，你看，在做题这个过程中，有很大一部分题目呢，他就直接把这个呃点屁，他和线段 ab 的这个关系呢，就已经告诉你了，告诉你了。然后呢， ap 是大于 bp 的，这就说明黄金分割的点点屁呢，离点 b 更近一些。 然后呢，我们以 a p 为边，做一个正方形，做一个正方形， a p 为边，做一个正方形，它的面积呢，即为 s e， 然后呢，以 p b p b a b a b 为边，你看，这其实呢，就相当于 a b， 是吧？ a b 的长，我也是说一个 a 撇 b 吧，哈，便于区分，它的面积呢，等于 s 二，然后呢，判断 s 一和 s 二的这个关系啊？嗯， 然后我们是不是在计算的过程当中啊？计算的过程当中，你看它的面积就是 a b 的，呃，就是 a p 的这个平方，对不对？我们假设 a b 还是一还是一，那么 a p 就等于什么了？是不是等于二分之根号五减一，对不对？ 因为 a b 比成 a p， 它就等于这个结果嘛，是吧？等于比成一，那么 a p 是不是？呃呃，不对？ a b 啊，那么 a b 本身等于一，那么我们是不是就可以得到 a p， 它等于这个二分之根号五减一，得到了二十二十五个 根号，呃，二分之根号五减一的时候呢，那么它的平方是不是就得到了一个 s 一啊？对不对？是会有这样的一个结果。然后呢，我们既然知道了这个 ap， 是不是也就可以表示出 bp 啊， 对不对？ bb 撇呢？就是一减去二分之根毫，五减一嘛，对不对？然后呢， a 撇 b 的长度是一，他又是知道的，对不对？然后呢，他们一长，我们就可以得到 s 二，然后呢，你去比较一下 s 一和 s 二，我在这里呢，不带着大家一起去计算结果了啊，计算结果了， 这样的话呢，大家会发现最终的结果呢， s 一和 s 二是相等的，是相等的。好，我们再看一下第三题，如图，在三角形 a、 b、 c 当中呢， a、 b 等于 a、 c 啊，角 b， a、 c 等于三十六度啊，三十六度，然后呢，它又是一个等腰三角形，那么这是不是就是七十二度的这样一个内 内容，七十二度的这样的内容，又因为 b、 d 呢是一个角平分线，这个角平分线，那是不是它又是三十六度，它也是三十六度，然后呢得到这，你看它是三十六度的话， a、 d 等于 b、 d， 那三十六度，七十二度，这是不是也是七十二度？这样的话， b、 d 又等于 b、 c， 我们可以得到 a、 d 等于 b、 d 等于 b、 c 这样的一个结果， 那么点地式求证的结果呢？是点地式 ac 的黄金分割点，点地式 ac 的黄金分割点，那么我们就可以知道，如果你要是黄金分割点的话，那么他应该满足这样的比例关系， ad 比成 ac， 应该等于 dc 比上 ad， 对不对？同学们要老师根据比例关系的话，我们也是通过相似三角形有这样的一个比例关系，那么我们来看看，来看看，因为你在一条直线上，你还判断不出来 来，呃，这个是哪两个三角形去相似对不对？ adad， 既然 ad 在这里， ad 又和其他的边距相等，那么我们换一下，我们换一下，我们把 ad 换成 bd， 然后我们去研究 b， d 啊， a， c， 那是吧啊，我们横着看一下， b， d， c， b， d， c 是这个三角形啊，然后呢，看这个 a c， b， d， a， c， b d 和 a b， c 是不是是 a， b， c 的这个三角形，哎，看着你看，反正也是两个等腰三角形，然后呢角度也有，都有七十二度，都有三十六度，那么他们肯定是相似的，相似的话，你是不是就可以得到这样的一个比例关系啊，得到这样的比例关系， 你是不是就可以得到判断他这黄金分割的内容了，是不是啊，所以说呢，思维 逻辑还是相对简单的，还是相对简单的啊，相对简单的，然后你看它是不是得到一个三角形， a， c， b 啊， a， c， b 和 b， c， d 啊，你去找一下，找一下，一定要是在书写的过程当中，研究的过程当中呢让，嗯，这个每个对应点呢，他是每个顶点呢，他是对应的，这个关系便于我们后面去书写啊，便于后面去书写。好， 同学们，上面呢就是我们对这节课的嗯，知识的讲解和一些简单的训练，本节课需要掌握的知识内容呢，就是一个是定理 啊，什么叫做黄金分割，什么是黄金分割点？什么是黄金笔？再一个数量就是一条线段有两个黄金分割点，这个大家要注意一下，再一个呢是黄金笔，我们在写值的时候呢，一定要注意啊，它是较长的一个线段，笔上全部的线， 线段等于较短的线段比上较长的线段，而这个结果呢是二分之根号五减一，约等于零点六一八。 好，同学们辛苦了，这节课呢，我们就上到这里，谢谢大家，再见。

嗨，同学，大家好，今天呢，和老师一起来学习九年级上册第四章第七节的内容，相似三角形的性质。这一节呢，我们分为两个课时，第一课时是相似三角形中的对应线段之笔。 首先呢，我们先对这节课的内容大纲做一个了解。第一，明确相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系。 这里说的相似比呢，就是相似三角形它本身的各对应边之间所这所构成的那个比例哈，相似比例。第二个呢，是能够熟练运用相似三角形的性质去解决一些实际问题。 好，首先呢，我们看看我们的回顾与思考哈，我们前面呢已经学习了相似多边形和相似三角形的内容，从中呢，我们知道了相似多边形它的性质呢，就是对应角相等对应边成比例，相似三角形顺着 它的这个相似多边形的呃思路来，我们得到了相似三角形对应角相等对应边成比例对不对？因为相似三角形它也是相似多边形的一种， 那么在三角形当中，除了它本身的角度和它的边之外啊，还有哪些几何元素可以研究？而它们之间又有什么样的关系呢？ 对不对？同学们，我们在三角形呀，你说老师他除了三个角，三个 b 边之外啊，我如果再构造的话，我可以去构造高，我可以去构造他的这个角平分线，我可以去构造中线，这些是不是都是一些新的线段的长度， 对不对啊？而这些外围的线段呢，我还可以去研究他的周长，可以研究他的面积等等，这都是跟我们相呃这个三角形有关的一些内容，所以说呢， 我们在三角形当中常见的其他元素还有高角，平分线，中线，周长面积等等啊，而我们这节课所研究的呢，就是 啊，常见的三角形的高，三角形的角平分线，三角形的中线啊，看看这是三条线段对吧？啊，在研究线段的话，肯定是研究他的这个比例问题， 对不对？在我们相似三角形里面来研究一些线段的比例问题。好， 相似三角形性质探究的第一步啊，我们先看相似，如果说给了你两个三角形相似啊，你知道它的相似比，那么其中某一条对应边上的高 啊，他作为一个线段啊，两个三角形里面两条不同的高高的这个长度啊，那他们之间的比值和这个三角两个相似三角形本身的比值 k 之间有没有什么样的关系呢？ 这就是我们所研究的第一部分的内容哈，在这里我们先把图给出来啊，先把图给出来，然后呢，你看，在这里呢，我们已经啊做出来了 b、 c 和 b 撇 c 撇边上的高， a， d 和 a 撇 d 撇啊，他们对应边上的高吗？对应边，你看，从这里我们就能够发现对应关系对不对？ b、 c， b 撇 c 撇，他们边上的对应的这个高 就是 a， a、 d 和 a 撇 d 撇，那么要研究 a、 d 和 a 撇 d 撇的 笔直问题，对不对？你看笔直问题，老师，那用相似就行了吗？对不对啊？我看看这两个三角形能不能相似， 对吧？啊，刘老师，因为 a、 b、 c 和 a 撇 b 撇 c 撇相呃，这个相似，所以说角 b 就等于角 b 撇，哎，有一个了，因为 a、 d 和 a 撇 d 撇都是高，所以说还有一个角都是直角，两个角两角相等的两个三角形是不是相， 所以说我们就可以得到啊，可以得到三角形 a、 b、 d 相似于 a 撇 b 撇 d 撇，是不是啊？那么是不是就会产生对应边之间的笔， a、 b 比上 a 撇 b 撇，他就等于 a、 d 比上 a 撇 d 撇， 对不对？那么 a、 b 比上 a 撇 b 撇，是不是三，原来大三角形相似 b 等于 k， 那么它也等于 k， 是不是啊？啊，这就说明相。呃，这个相似三角形对应边上的高的比，它就等于相似三角形的相似比， 是不是啊？啊，这个很简单哈，我们前面都学过这个相似三角形的这个判定啊，那么在这里呢，你就能很快的发现这个规律啊，那么同理呢，我可以得到其余两组对应边上的高的 比呢，也等于相似比啊，同样的方法，牛老师，在这里我研究 a、 d、 c 和 a 撇 d 撇 c 撇这两个三角形相似，可以吗？可以的呀，啊，你这样的话，你得到 a、 c 等于 a 撇 c 撇，然后呢，再加上 a、 d， a 撇 d 撇， 是不是啊，也可以得出同样的这个结论，明白了吗？同学们，好，这个呢，就是我们啊，首先看到的，研究一个对应边上的高， 当然前提它是相似三角形，对吧？对应边上的高的比，它也等，它就等于相似三角形的相似比 啊，所以说呢，我们在这里简单小结，得出今天的第一个结论，相似三角形，对应边上的高的比等于相似比啊，注意理解这句话啊，相似三角形，这是一个条件， 对应边上的啊，对面上的什么高高的，什么高的比等于相似比哈，这一句话里面有好多个前提条件，大家一定要看清记准啊，要不然你在使用的时候呢，容易混乱。 好，我们刚才说过了，除了高之外，是不是还有其他的线段？你比如对应角的角平分线，对应边上的这个中线， 对不对？那么我们把刚才前面的题中的这个高呀，改为角平分线或者是中线。那么啊，一组相似三角形中的对应角的角平分线的比和对应中线的比，相等不相等，他们的比都等于多少呢？ 是吧？刚才我们说研究的高的比呢，等于相似比，那么这两这两类的线， 这两类线段之间的比，它等于相似比吗？是不是？这是我们研究的第二部分的内容啊？第二部分的内容，那么在这里呢，给到了一个图，那图三角形 a、 b、 c 和三角形 a 撇 b 撇 c 撇是相似的啊，其中 a、 d 和 a 撇 d 撇分别是对应边上的中线，哪个对应边 b 撇 c 撇和 bc 嘛？是不是？那么 b、 e 和 b 撇一撇，分别是对应角的角平分线，哪个对应角角 b 撇和角 b 嘛？对不对？他们之间有是什么样的关系呢？啊？这就是我们探究的一个新的内容， 但是既然都是三角形内部的一些特殊线段啊，刚才我们研究了高高的这个比，他是不是等于相似比，那么我们在这里呢，首先进行猜想是吧？啊，咱们的上课的这个逻辑呢，就一 一直是这样，那我们首先猜想一个结果，然后就科学的验证他，那么我们在这里可以猜想，相似三角形对应角平分线的比，对应中线的比，他们都等于相似比，他们都等于相似比。好，我们来具体研究一下， 第一个呢，是对应角平分线啊，对应角平分线，来看看，一至三角形 a、 b、 c 相似于三角形 a 撇 b 撇 c 撇相似 b 为 k。 在这里呢，我又写了一步啊，写了一步呃，把它的这个对应边的笔呢写出来了啊， 同时呢，告诉你 b、 e 和 b 撇一撇，分别为对应角的角平分线啊，求证，角平分线的比值等于相似比 k， 明白了吗？你说老师好，这个呢，也简单啊，刚才由我们呃认识的 这个高的这个呃证明方法啊，我在这里也可以啊，老师，我研究三角形 a、 b、 e 和三角形 a 撇 b 撇 e 撇，他俩如果相似的话，我就至少能够得到 b、 e 比上 b 撇 e 撇，然后去研究，对吧？那么这两个三角形如何相似呢？ 因为它本身就是一个相似三角形，所以说呢，角 a、 b、 c 是不是就等于角 a 撇 b 撇 c 撇，又因为他们俩是角平分线，所以说这一半的这个角是不是也就相等， 再加上因为他俩相呃相似啊，大三角形相似，所以说角 a 就等于角 a 撇。哎，那么在三角形 a、 b、 e 和三角形 a 撇 b 撇 e 撇当中，是不是有两组角分别相等了？那么这两个三角形相似啊，在这里呢，他们俩相似之后呢，你就可以得到 abb 上 a 撇 b 撇，它就等于 b e 比上 b 撇一撇，是不是对应变成比例。然后呢，因为 a、 b 比上 a 撇 b 撇，它等于 k 嘛，那么后面的这个自然就等于 k 啦，是不是啊，那么同理， 其他角的角平分线呢，也是这样的结论啊，也是这样的结果， 明白了吗？这样的话，我们简单一总结，就是说相似三角形当中啊，对应角的角平分线的比，他就等于相似比， 对不对啊？对，这里呢，只写到了一个结果啊，只写到了一个结果，因为我们没有和高一样去求证啊，就是去问你啊，就是这个呃，三边的这个问题，对吧，那个有三边的意思啊，这个呢？没有这个呢，只让你证明 这个结论，明白了吗？啊，但是同理，你去证明其他的也是相等的啊，有兴趣的同学可以自己再研究一下啊。好，这下呢，呃，对应角的角平分下，我们研究完了，那么我们是不是在今天三类线段当中还有一类就是对应中线啊？ 已知三角形 a、 b、 c 相似于三角形 a 撇 b 撇 c 撇，那么相似比等于 k 啊，这里把比比例啊，对应边呢的笔也写了一下，那么 a、 d 和 a 撇 d 撇，这里哈，这里少写了一个，同学们这看一下哈，这里是 a、 d a 撇 d 撇哈， a 撇 d 撇分别为对应边的中线啊，分别为对应边的中线哪个边？ b、 c 和 b 撇 c 撇吧啊，那么求证， a、 d 比上 a 撇 d 撇，它也等于下 相似 b， 你说老师根据前面的两个呃线段的验证的这个方法呢，我也能够知道了，我在这里呢，首先证明，三角形 a、 b、 d 如果相似于 a 撇 b 撇 d 撇 啊，那么就有可能啊，那我我就呃知道了啊， ad 啊，比上 a、 d 撇，还有和其他的边之间的这个这样的一个关系，对不对？前面两个这证明的过程当中，我们用的都是角相等， 对不对啊？那么三角形相似就没有其他的性质和这判定定理可以使用了吗？当然有， 对不对？当然有啊，你在这里看对应边线的中线就造不成造不成角的问题了，他只能造成边的问题。什么问题？就是既然我 a、 d 是 b、 c 的中线，那么 是不是 b、 d 就等于 d c？ 同理， b 撇 d 撇也等于 d 撇 c 撇，是不是啊？ 然后呢？我能够得到这两个三角形相似之后呢？我能得到呃，这个 a、 b、 c 和 a 撇 b 撇 c 撇相似，能得到角 b 和角 b 撇相似，呃，相等对不对？只有一组角相等不能证明吧？ 但是你说老师那一个角不能证明的话，我可以把它看成一个假角，你看 a 撇 a、 b 比上 a 撇 b 撇， 是吧？这是一个，这是一个值，对不对啊？这是一个 k 值，是不是啊？那么我再去判断 b、 d 比上 b 撇 d 撇，他是怎样的一个结果， 是不是啊？你看，我们来看看哈，我们来写一下 a、 b 比上 a 撇 b 撇，它理论上呢，它应该等于 b、 c 比上 b 撇 c 撇，是吧？既然点 d 和 点地撇他都是呃，这个终点，那么你看，我在这个上面上下都加一个二分之一， 成立吗？成立吧，因为这都可以约掉吗？是不是？那么我加了这这个二分之一之后，是不是就和中线连接起来了，和终点连接起来了？我能够得到 b、 d 比上 b 撇 d 撇， 是不是？这样的话，我就得到了 a、 b 比上 a 撇 b 撇等于 b， d 比上 b 撇 d 撇， 再加上夹角相等，是不是这两个三角形就相似了？然后呢，然后就得到 a d 比上 a 撇 d 撇，它就应该等于 a b 比上 a 撇 b 撇，是吧，等于 k。 这边同学们啊，很简单啊，很简单，注意，在这里啊，我们对中线的终点的这个使用啊，使用，如何产生它是不是二分之一或者二倍的关系啊，去研究，去整理出来它啊，得到这样的一个结果， 在这里呢，也一样啊，在这里也一样，如果你去研究这个 a c 或者是 a b 边上的中线呢，也能得到同样的结论。此时呢，我们也可以总结出来啊，相似三角形当中，对应边上的中线的比也等于相似比， 也等于相似比。好，我们这样的话呢，这节课所研究的啊，相似三角形灯中啊，三条特殊线段的这个比例关系，我们在这里呢就研究完了啊，提出 呃，先思考，然后呢，提出猜想，证明猜想。最后呢，总结这个结论， 总而言之，定理为，是吧，这和课本上一样的哈，相似三角形，对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比，都等于相似比，都等于相似比。其实呀， 在这里，如果说的详细一点的话，就是我上面所说的，呃，这几条啊，相似三角形，对应边上的高的比， 对应角的角平分线的比，对应边上的中线的比，都等于相似比啊，一定要注意这一连串的这个对应关系 啊，课本上的这个定理呢，只是，呃，简而言之啊，简而言之，同学们一定要理解到位啊，相似这一部分内容即 为重要啊，极为重要！好，那么呢，接下来我们的知识点讲完了，那么我们看练一练啊。 如图， ad 是三角形 abc 的高，看，这里，是不是和高就联系起来了啊？这里和高就联系起来了哈， a d 呢等于 h， a d 呢等于 h， 这是一个条件啊。然后呢，等 r 在 ac 的边上， s 呢？在 ab 的边上啊？ sr 垂直于 ad 啊，垂足为易。 当 s r 等于 s， r 等于二分之一的 b c 的时候呢，求 d e 的长。如果等 s r 等于三分之一 b c 的时候呢啊， b c 呢？然后什么例？后面是什么？也是让你求 d e 的长啊，对不对啊？ 啊，千万要读懂啊！读懂，嗯，好，那么在这里看看。呃，毫无疑问，他肯定是用的三角形相似的内容，并且要结合上我们今天所学习的新内容啊。 呃，既然在这里我们能够看见 d e 的话，是这一段啊， d e 是 a d 整体上的一部分，上面呢，是 a e 这一部分，对吧？上面是 a e 这一部分。然后呢，又给了我们一个比例关系呢，是 s r 和 b c。 哎，你说老师，这好了啊，这好了， 如果说三角形 a， s， r 和 a、 b c 相似，那么我就可以去呃，借助这个已知条件做一些文章，对不对？那么这两个三角形相似吗？我们来看哈，既然你 a d 是 a， b， c 的高，这里是不是垂直？ 然后呢，他又告诉我， sr 垂直于 ad， 这里是不是垂直？同位角相等，两直线平行，所以说， sr 平行于 bc 平行之后，是不是同位角又相等？ 这些角相等？这两组角一相的，这两个三角形是不是就相似了？同学们，对不对？这两个三角形相似了，相似之后啊，相似之后我们就能够得到什么， a e 比上 a d 对吧？ a e 比上 a d 是吧？它就等于我们的 s r 比上这个 b c， 而 s r 比乘 b c 等于多少？二分之一嘛，有的同学不理解，你把这个比过来嘛，他不是就等于二分之一？老师这两天嗓嗓子不太舒服哈，同学们，理解一下啊，理解一下， 老师尽量的去控制，你说老师，这这个就没什么关系了啊，我得到一个二分之一 a e 和 a d 呢？它和 d e 有关系？它和 d e 有什么样的关系，对不对？它和 d e 有什么样的关系？ 谁的编程是知道的 a d 吧，那告诉我们是 h 了嘛？ a d 是知道的。所以说我们把上面的 a e 换一下啊， a e 呢，它等于 a d 减去 d e 除以 a d 等于二分之一，那么 a d 在这里呢？都是 h， 我们把它换了，那么只有一个未知数，那么根据这个 h 就相当于已知了哈，那么就能解出来第一啊，就能解出来第一等于二分之一 h， 明白了吗？同学们，那么同理啊，同理，你去研究一下 s r 等于三分之一 bc 的时候，那么第一的程度是多少？程度是多少啊？在这里呢，我就不帮着大家去写了啊，因为道理都是一样的，过程都是一样的啊，你有不清楚的地方可以评论，或者是可以私信我。好好，我们下一道 啊，看一些简单的小题哈，这些问题都很直接了，就三角形 a b c 相似于三角形 a e， b e c e， 那么 b d 和是它是它们的中线，以至 a c 比升 a e c e 啊， b e d e 等于四厘。 首先他们如果相似的话，那么他们的中线就等于他们的相似比，是吧？这就等于 b d 比上 b 一第一，而 b 一第一零四，那么上面如果二分之三的话，上面只能为六，是不是？在这里我们就可得第一个结果啊？第二个叫相似上，要对应边的比是二比三，那么对应角的角 平分下的比当然是二比三了，对不对？两个相似三角形对应中线的比为四分之一，那么对应高的是多少？对应中线的比是不是等于相似比 啊？而对应高的比是不是等于相似比，是不是也就是四分之一了啊？所以说这里的结论呢，很简单啊，很直接，很直接，对我们今天所学习的结论呢，做一个巩固好。第三题， 如图， a、 d 是三角形， a b、 c 的上的高啊，又出现高了哈，又出现高了，高，那么就垂直的情况，那么 p q 在 b c 边上， p q 是在 b c 边上啊，那么就说明 b p d q c 啊，五点贡献，五点贡献。 r 呢，是在 a c 上， s 呢，是在 a b 边上， b c 等于六十啊，在这里出现了数字哈， b c 等于六十。 a s a d 啊， a d 啊，这个高， 这个高是四十啊，这个高是四十。四边形 p q r s 是正方形也，中间的这个阴影部分是正方形。然后呢，我们来看第一位， a 是三角形， a 是不是三角形 as r 的高， 证明他是不是高，那你证明他垂直就完了吗？对不对？那还有那，那还，呃，这个，呃，知识，还有什么其他的考虑吗？没有了吗？只要证明他垂直就行了， 如何这边垂直呢？这是正方形吗？是不是 sr 就平行于 pd， 那么也就是 sr 就平行于 bc？ 既然这里是直角，那么这里当然也是直角了，所以说 ae 就垂直于 sr， 也就是 ae 是三角形 asr 的一条高，对不对啊？这我们第一问就很简单的解决了， 那么第二个他问， a s r 和三角形 a、 b、 c 相似吗？当然相似啦，刚才我们就说了， s r 平行于 b c， 那么就可以得到同位角去相等两角分别相等的两个三角形是不是就相似啊？再加上，再加上你或者你得到一个角， 是吧？得到一组角，然后呢，这个是不是公公公公角角 a， 那么他们是不是也可以相等，也可以相似，对不对？这也就很简单了。那，那我们看第三问，求正方形 p q r s 的一个边长 啊，又求长度呀，长度呀，相似三角形。说了这么多，是不是还没，呃，这个叫什么？呃，还没有， 不对啊，应该说三角形和相似三角形的知识说了这么多，对不对啊？但是还没有研究边对应边之间的比例关系啊，去求一些边长，是不是啊？那么在这里呢，我们肯定第三问就要运用 这些知识点了啊，既然我们能够得到 a s、 r， 是吧？啊，相似于三角形 a、 b、 c 啊，并且 a e 和 a d 分别是这两个三角形对应边上的这个高，那么我们就可以得到 一组相，呃，对应的这个对应边乘比例的这样一个关系， a e 比上 a d， 是不是就可以等于 s r 比上 b c， 是不是啊？相似比等于对应边上高的比对吧。 那么在这个时候啊，在这个时候，你看 a e 是一条，然后呢？ a d 是一条啊， a d 和 a e 呢？又是有一部分啊，是吧？有一部分相关的， d， e， s r 和 b c， s r 和 b c， b c 是直 到的，对吧？ s r， s r 又和这个相关的，这个第一相等是不是正方形？遇到正方形就要考虑它的四边相等， 对不对啊？考考虑它的四边相等啊，四边相等的话，那么我可以假设 s r 是 x， 可以吗？当然可以了， s r 如果是 x 的话，为了便于计算，那么 a d， a d 啊， a d， a d 总共是四十来， 对不对？在这里呢，他也知道啊，关键是又是 a e 了， a e 和 x 之间什么关系？你 d e 啊，是不是就和这个编程是相等的？和正方形的编程，所以他也是 x 还是 x 啊，那么 a e 就成了四十减去 x 了，好在这个比例关系里面呢，只有一个未知数 x 了，那么解出来它就行了，我们最后呢，可以解得 x 等于二十四。那么在这道题里面，你要注意啊，人家是带单位的，人家是带单位的啊，所以你写完了之后呢，和材料的结果呢，做一个对比啊，做一个对比， 好，同学们，我们在这里呢，对于今天的课程呢，进行一个总结，学习的呢，就是相似三角形的性质，在这里呢，我们把第一条也总结上了，就是相似三角形对应边，相等对应啊，不对，对应角啊，相等对应边，成比例 星之二呢，就是我们今天所说的相似三角形对应边上的高的比等于相似比，相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比，相似三角形对应边上的中线的比也等于相似比。 在这里呢，没有像课本上一样给你合成一句话，分开写就是为了让你充分的去理解啊，去理解 高是什么样的高平角平分线是什么样的角平分线，中线是什么样的中线，明白了吗？好，同学们辛苦了，这节看到我们就上到这里，更多精彩课程请关注冯老师的数学，谢谢大家再见！