函数解析延拓和奇点

哈喽，大家好，欢迎来到奇妙查尔斯。先看两段视频， 一加二、加三，加四加五，这样一直加到无穷大等于多少啊？起了个大怪，这个答案居然是负的十二分之一，我的天呐，无限个专属相加，哎，居然 来我问问你啊，所有算数的总和是多少？老师转过来，中国跳着舞台，数学家拉马女金的求和法，得到的真正结果是负的十二分之一，你信不信？负十二分之一，负十二分之一，你敢信吗？ 这些打着清华教授还有天才拉玛努金的旗号的人想干什么呢？我们都知道那个答案是无穷的，那他们宣扬的 二分之一到底是怎么一回事呢？看一看拉马路金是怎么算出来的？ 我们要求出这样一个自然狩猎，一加二、加三、加四、加五加六，一直加下去，那么我们先设定它为 s 一， 为了退出他的结果，我们再设定一个 s 二，那等于一减一，一减二加三，减四，加五，减六加七，也就是偶数上都是负号，然后技术上都是正号， 再写一次 s 二，那么这个二这次写的时候呢，要往他把他往后错一位写，也就把前面第一位给空出来。但同样的还是一减二加三，减四，加五减六，那么在这样写出来以后呢，我们对他进行错位相加，就会得到这样一个结果，那么两倍的 s 二 还剩一，那么负二正一还剩负一，正三负二还剩正一，负四，正三还剩负一，就变成了一减一加一减一加一减一加一减一，也这样无穷的一个数列。为了得到这个结果呢，我们还要再写一次两倍的 s 二， 同样也是错位来写，我们再对他进行错位相加，就变成了这样一个数值，我们看到了只剩下了一个一，那么剩下的这些项呢，上下都被 抵消掉了，变成了零，所以四倍的 s 二就等于一，那么我们就得到了 s 二等于四分之一这样一个结果。把这一个结果再回到我们要求要求和的这个自然数列之和， 也就是一加二加三加四加五加六的合。那么这个时候呢，我们再写一次 s 二，这是我们刚才说的那个一减二加三减四，那么把他们两者进行相减，就会得到这样一个结果， 那么这两个相减一减一变成了零二减负二变成了正四，三减三变成零四减负四变成了正八，五减五没有了，那么六变成正六， 负六变成了正的十二，也就是变成了四加八加十，二加一直加下去这样一个结果，那么这个结果呢，其实就等于四倍的 一加二加三加四加五加六加七，那么看一看，这个一加二加三加四的这个结果呢，就等于上面这个 s 一，所以 s 一减 s 二就 等于四倍的 s 一，于是我们把 s 二这样等于四分之一这样一个结果给带进来，就会变成了 s 二等于负三倍的 s 一，也就是等于四分之一，那么就得到了结果， s 一等于负十二分之一。 这原本是一个数学的历史旧案，是从欧拉开始，数学家们当年玩的一个叛逆游戏， 经过平台上某一个知识类主播很有想象力的介绍，又加上有些人把他从前沿物理联系上以后呢，某些营销号就像突然找到了直昏大门的钥匙，开始亢奋的向人间宣布他们伟大的发现， 那我们下面就用这把钥匙来证明一下，一等于二等于三。首先我们来给大家站 证明，一加一加一加一加一加一等于这个结果是多少，我们把它设定为 s 一， 然后为了得到他的结果，我们要引进一个 s 二，这个 s 二就是刚才我们说的那个一加二加三加四加五加六，一直加下去这个自然数的无情极数之和，把它设定为 s 二， 现在我们把它两者进行相加，会得到一个 s 一加 s 二等于一个 s 三，那么这个 s 三是多少呢？ 一加一等于二，一加二等于三，一加三等于四，一加四等于五，又会变成二加三加四加五加六加七这样一个 无情极数，那么 s 三，我们把这个 s 二再回他写在底下，就会发现一个问题，是一个什么问题呢？这个 s 二也就是这个 s 二他 他的后半部分，这一部分实际上就是我们新得到的这个 s 三，于是我们就得到了一个等式，这个等式是 s 二等于一加 s 三，也就是 s 三加一， s 二等于一加 s 三。那么同时呢，我们把上边这个稍作变换，把它挪到底下来， s 二还等于 s 三减 s 一，那么我们会发现 这是完全相同的，可以完全抵消掉，就变成了一个负的 s 一等于一，也就是 s 一等于负一，那么我们知道 s 一就是一加一加一加一加一直加下去，也就是他等于负一，是不是一个结论很奇怪啊？ 那么有了这个基础，我们就可以来证明哪个更奇怪的一等于二，二等于三的结论了。买 s 一等 等于一加一加一加一，我们刚才已经证明了，他等于负一，那么我们再次把他相加，变成一个两倍的 s 一，那么这个两倍的 s 一呢？就会变成二加二加二加二，一直加下去。 现在我们再把自然竖列的那个一加二加三加四加五加六的这个自然数的竖列的，把它得挪回来，它会变成一个 两倍的 s 一加 s 二这个结果，我们把它标到 s 四，它会等于多少呢？变成三变成四，变成五，变成六一十三加四加五加六加七加八这样一个结果，那么 出现这样一结果，我们再把 s 二写在底下，就会发现三加四加五加六加七，八加八的这个结果也在 s 里边，也就是这一块，实际上就是 s 四，于是我们就得到了一个 s 二等于 s 四加三，一加二等于三， 那么这个是 s 四，所以 s 二就等于 s 四加三，同样我们把这个带给他列到底下，就会发现 s 二还疼，同时还等于 s 四减两倍的 s 一，也就是 我们把这个两倍的 s 一， s 一等于负一代进来，就会变成 s 四加二，于是你看 s 二等于 s 四加三， s 二还等于 s 四加二，就会得到一个结果，二等于三， 两边顿减去一，就得到了一等于二，是不是很有意思？那这个结果会成立吗？ 我们都知道，如果一等于二等于三这个结果成立的话，那么我们的数学整个大厦就要崩溃了， 那这个证明过程有什么问题吗？看起来是没有的，但如果你不想整个数学大傻崩溃，不想承认二就等于三，那么其中必然是哪出了问题。 如果问题没有出在二或者三上，那要么就是你设定的那个 s 一啊， s 二啊出了问题，要么甚至就是其中的等号出了问题。 这里的问题其实出在无穷大上，无穷大是有多大呢？无穷大和无穷大哪一个更大？无穷大加一和无穷大，哪一个更大？无穷大的两倍呢？既然都叫无穷大，那么他们大小有区别吗？这些问题我们没法回答， 实际上数学家也一样没法回答。对无穷几束的求和方式，其实至今在整个数学界也没有完善的方法，求和的方法有很多，拉满努力的方法只是其中之一。 比如借用刚才我们得出一等于二等于三的一个方法，我们还可以算出全体自然数之和，也就是一加二加三加四，一加下去，他可以等于负一。 利用前面的结果，我们可以把这搞得更加荒诞一些。例如我们把这一个狩猎写的更稀一些， 那么一加二加三加四加五，就可以写成一加一加二，一加一加一加一，其中的二可以分解成两个一进行相加三分解成三个一，二四分解成四个一， 所以我们把括号都可以给去掉，就变成了一加一加一加一加一，一直加下去，那么这个数等于多少呢？等于 s 一，我们前面已经算过了， s 一等于一加一加一加一加一等于负一，这个数就等于负一， 那么努力的算法中，他们得出了一个负十二分之一，而我们也可以用这种方法得出一个负一的结果。 那我如果说就此我就用数学证明了神的存在，那你说他是证明了神的存在，还是证明了神棍存在呢？

本次学习复列基数的第三部分内容主要包括周期为二 l 的函数的复列基数，然后给出一些典型的应用算例。 第四小节，周期为二 l 的函数的复列基数。在实际问题中，我们常常会遇到周期不是二派的周期函数， 下面我们通过变量替换的方法来讨论如何将周期为二 l 的函数展开成复列技术来看定礼物的二三。若函数 fx 是周期为二 l 的函数，他在区间负 l 到 l 内满足定理五点二二的条件，则他的复列基数便可以表示为如下的形式， 这里二分之 fx 加零，加上 fx 减零，表示的是他如果再连续点的话，那么他就等于函数的本身，如果出现在间断点的时候，他就等于该点处左右极限的算数平均值。 在表达式中，系数 an 和 bn 有如下的表达式。 通过观察不难发现，在 定理五点二三中，周期为二 l 的函数，他的复列基数系数 a n 和 b n 与周期为二派的函数、复列基数的系数 a n 和 b n 相比，本质上就差在蔻赛和赛因这里面的形式。 因此我们可以尝试通过变量替换将其变为标准的形式，也就是变为以二派为周期的形式，然后再进行还原，进而可以证明这样一个定理。一起来浏览一下证明过程。 通过刚才的分析，我们做变换 j 等于 l 分支派 x， 这样一来，区间负 l 到 l 便变换为了复派到派 这样一个区间，并且函数 fx 变换为了一个新的形式。我们另踏为 z 为自变量的函数 gz， 容易看到此时 gz 就是一个周期为二派的函数。进而由定理五点二二可以知道，函数 gz 的复列基数变为如下的形式， 这是标准形式，其中 a n 和 b n 有如下的表达是， 注意，此时自变量是 z。 注意，因为我们进行了变换，所以还要进行还原。由于 z 等于 与派 x 比上 l， 并且 f x 等于 g z， 于是我们将其还原，还原为如下的形式，其中 a n 和 b n 也同样进行了变换， 这样便完成了定理的证明。 进一步的，若函数 fx 在对称区间上具有既有性的话，那么他们的复利页基数就可以简化为相应的 正选级数或与选级数。来看一下，若 fx 是基函数，则他的复列基数变为了如下的正选级数，其中 bn 有这样一个表达式。 第二，若 fx 为偶函数，则他的复列基数变为了如下形式的余选级数，其中 a n 有如下的表达是， 这里需要注意的是，当 x 为函数的间断点时， 则上是两端的左端均为间断点的算数平均值。 下面来看应用算力力五点四七，设 fx 为周期为四的函数，他在负二到二上的表达是为这样一个分段函数，其中 k 是不为零的。常数是将函数 fx 展开成复列基数。 具体计算过程如下，容易看到函数 fx 满足定理五点二三的条件，下面我们来算他的复列系数。首先来看 a 零，根据公式进行分段计算， 最后的结果是 k， 再来看 a n， 注意这里面的系数一定要带准，所以 可以有这样的一个形式，显然他是等于零的。再来看 b n， 通过代入我们可以知道是这样一个形式， 通过积分得到这样一个情况，再分积偶像，当 n 为基数的时候，是 n 派分之二 k， n 为偶数时，他是零。 算完了这些系数，我们不难求得他的复列基数有如下的形式， 下面我们仍然考察当他的展开式取前几项时来近似 函数 fx 的图像形式。当上市分别取前两项、前三项、前四项时，近似曲线如图所示。我们来看一下 这是函数的图像，然后是取前两项，取前三项和取前四项，可以看到他们的近似程度会越来越好。 第五点四八，将函数 fx， 这是一个分段函数，展开成复列基数。 对于本题，我们需要先将函数进行周期研拓，研特成为周期为六 六的函数大 fx， 并且大 fx 在区间负三到三上，等于小 fx。 然后我们将大 fx 展开成复列基数，最后在区间负三到三上，它是等于小 fx 的。 下面我们来看大 fx 的复列系数。首先来看 a 零，因为它是分段函数，所以要分段来算，有这样的一个形式， 最后结果是负二分之一。再来看 a n， 将 fx 带入之后，仍然是需要分段来算， 最后的结果是这样一个跟基友相关的一个系数。 再来看 bn， 将函数代入之后，仍然是一个分段的形式，最后的结果是这样一个情况。具体的计算过程请同学们一定要具体演练。 在计算完 a 零、 a n、 b n 之后，其实我们还要考察他的间断点，由于大 fx 在 x 等于三 k 的时候是不连续的，所以对应的复列基数去除了零点，那么他都收敛于 fx， 因此我们会有如下的表达是， 这就是小 fx， 他在负三到三区间上的负离页技术。 需要注意的是，在 x 等于零处， fx 的复列基数并不收敛到 fx， 而是收敛的二分之一。 下面进行一下小结。本节中，我们首先学习了周期为二派的函数的复列基数和迪丽克雷收链定理， 这是 fx 的复列基数。其中 an 和 bn 有如下的公式， 并且迪丽克雷收敛定理中有这样一个结论，若 x 为函数的连续， 则复列基数收练到函数的本身。若 x 零为函数的间断点，则基数收练到该间断点的左右极限的算数平均值。 第二种情形，对于周期为二派的基偶函数的复列级数。对于基函数，它可以展开成正选级数。对于偶函数，它可以展开成余选级数。 第三，对于在零到派上的函数，他的复列基数展开， 我们可以先进行击沿拓，在周期沿拓，进而可以展开成正选级数。如果是先偶 沿拓，在周期沿拓的话，可以将其展开为余选级数。 最后，我们给出了周期为二 l 的函数的复列技术， 有如下的公式， 其中系数 an 和 bn 有如下的公式。 下面的思考与练习请同学们自行完成， 本次学习结束。