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同学们,我们学过一次函数,二次函数,那你们知道角也有函数吗? 这节课我们就来学习下锐角三角函数。这是一个直角三角形,角 c 等于九十度。角 a 是一个锐角,这条边叫做角 a 的对边,这条边叫做角 a 的斜边,这条边叫做角 a 的邻边。 角 a 的对边与斜边的比,叫做角 a 的正弦,记作 c n a, 即 c n a 等于角 a 的对边比,角 a 的斜边, 角 a 的邻边与斜边的比叫做角 a 的余弦记作 crosena, 即 croseana, 等于角 a 的邻边比,角 a 的斜边。角 a 的对 边与邻边的比,叫做角 a 的正切记作 tangeta, 即 tangenta, 等于角 a 的对边比,角 a 的邻边、角 a 的正弦、余弦、正切都是角 a 的锐角三角函数。 如果角 a 的对边、林边和斜边的长度分别为 a、 b, c, 那么 sine a 等于 c, 分之 a。 cosine a 等于 c, 分之 b。 pandret a 等于 b, 分之 a。 这也有个直角三角形,这个三角形中,角 a 一的对边、零边和斜边的长度分别为 x、 y、 z。 塞引 a 一等于内分之 x。 口塞引 a 一等于内分之 y。 tendrit a 一等于 y, 分之 x。 如果角 a 和角 ae 的度数相等,那么这两个角的正弦与弦正切的值有什么关系呢?其实他们是相等的。 锐角三角函数的值是由角度大小决定的,与三角形的大小无关,所以这两个角的正弦与弦正切值分别对应相等。这里需要注意的是,正弦与弦正切是不能带单位的。比如, 角 a 的对边、鳞边和斜边的长度分别为三厘米、四厘米、五厘米,那么 sine a 等于五分之三厘米,口 sine a 等于五分之四厘米, candret a 等于四分之三厘米,这个说法对吗?大错特错!角 a 的 正弦余弦正切个子表示的是两条线段长度的比,是没有单位的,这里要去掉单位,即塞尼 a 等于五分之三,口塞尼 a 等于五分之四, hundred a 等于四分之三。 学习了锐角三角函数,赶紧来做道题吧!如图,在三角形 a、 b、 c 中,角 c 等于九十度, a, b 等于五, b, c 等于三。求 sina 口 sina tendrita 的值。 因为角 c 等于九十度,所以三角形 abc 是直角三角形。又因为 ab 等于五, bc 等于三,所以 ac 等于根号下五的平方,减三的平方等于四。三条边都出来了,要求赛尼 a 口塞引 a pendreta 的值还不是轻而易举吗? cinea 等于对边比斜边等于五分之三,口 cinea 等于零边比斜边等于五分之四, pandreta 等于对边比零边等于四分之三。搞定! 最后我们一起来总结一下。一、对于任意一个在直角三角形中的锐角,其三角函数都可以这么表示, san 阿尔法等于对边比斜边口 san 阿尔法等于零边比斜边 condent alpha 等于对边比邻边。二、在直角三角形中,锐角的正弦余弦正切的值是由角的大小决定的, 与三角形的大小无关。三、在直角三角形中,锐角的正弦余弦正切表示的是两条线段长度的比,是没有单位的。不想看完整版视频,请咨询客服购买!

三角函数刚学就懵,概念这块总结的抽象又绕,今天直接对准高考里三角函数概念的核心考点,从定义到关键细节,把这块地基打牢,后面学图像公式都能顺顺当当,快艾特你那还在迷糊的同桌,一起把概念吃透,不丢分。接下来继续带各位三角函数的部分, 那我们前面说完了,任意角啊,那在这里呢,我们知道了任意角和弧度制,那我现在既然角都可以 从负无穷到正无穷,可以随便加减一百八,随便加减三百六,到,而且能把一百八写成派,三百六写成二派,随意加减二派,加减二派之后呢,那这时候我们任意的角度,任意的弧度,哎,他用三角函数 怎么去表示,对吧?哎,那我们就来看啊,首先呢,我们还是啊,就是高一,我一直强调不要去背概念,没有意义啊,理解就行啊,所有东西都是在你以前的基础上由理解进发而得到的。那我们来看什么叫三角函数,咱先类比初中你学的,我们先讲初中三角函数的概念啊,锐角, 那这时候呢,你就会画一个角,这角画小一点,这是一锐角,你就画一锐角,三角形 啊,啊,直掉三角形,不好意思,直掉三角形其中一个顶点除以角,你会研究这个角 c 它,然后这角 c 它,你会发现,哎,如果对边是 a, 这边是 b, 这是 c, 那 你就说,哦,散 c, 它就等于 a 除以 c cosine c, 它呢 就等于 b 除以 c 它,那个 c, 它呢?就等于 a 除以 b, 对 吧?这事没错,而且这个事其实在高中会一直用,因为这个毕竟直观,而且是你从小根深蒂固的。那你看,为了好算,我可以怎么办?如果你让 c 等于一, 如果你令 c 得一,那这时候它是不是就会变成 b, 这还是 ab? 如果你令 c 等于一的话, 对吧?那你看,令 c 得一这件事有点像什么呀?有点像,我画一个圆,但我让半径等一。那各位看看,如果我把它变成一个任意角 来对比啊,这是咱们初中的,那咱到了高中之后呢?任意角,我们是不是就要画一个象限?这可能是你的象限,对吧?那我这时候呢,画个什么呢?还记得我们转圈吧,那就画一单位圆。 在相片里画一单位圆,那各位卡在单位圆中,我可不可以画一个角度?我如果想表示跟刚才一样的角 c, 它这个角 c, 它,我就画在这。 好,这就是我的角 c, 它跟刚才那个角是一样的。哎,哎,画的还正好,是吧?哎,这个画图 g 无的正好是一个角 c, 能看出这是一个角吧?哎,这是同一角。好, 好,现在你看啊,我在这个图里如果画三角函数,我这画的是个单位圆,这个点是一,就是 r 等于一的单位圆。好吧, 一是单位吗?什么叫单位圆?单位圆的意思呢?就是半径为一个单位长的圆,叫单位圆啊。单位长的意思好, r 得一吗?就是单位长。那这样画一个圆,你会发现在这里啊,我就可以把这三角形画出来, 哎,这就是我的三角形,然后你发现在这里呢,这条边 这个小,这个 a 就是 你的三,看出来了吧,如果你这个角叫做,我就管这角叫 x 吧。 啊,咱就不用 c 它了,毕竟咱得用变成函数嘛,函数自变量得是 x 啊,对吧?那我这就叫 x。 那 其实你发现,因为你边长 r 得一嘛,所以你这高度,它就是三,这就是三 x, 这个长度就是三 x, 那 底下这段长呢?它就是 cos。 哎,你看,在这个单位圆里,如果把一个点,这个点在单位圆上,它的对应的中边是 x, 中边做一条垂线,长度就是三, 然后横着这段就是扣三,是不是跟这段是 b, 扣三,这段是 a, 三是对应的,只要 c 得一,能理解吧。那我就把什么呢?我就把这个角放成我们刚才任意角的情况了,那在这种情况下,我是不是这条边就可以开始转了? 那什么叫这角?当你这条边转的时候,你会发现三和扣三就会有变化了。啊,三和扣三就会有变化了啊,三和扣三怎么变的?我们来看看啊。当你这转的时候,你看啊,我如果这个角转到这, 这时候谁是三和扣三啊?啊,注意啊,我画个颜色,我三都用黄笔画, 我黄色笔代表的是三,红色笔代表 q 三,我单画一个圆。好吧,现在我就要给它扩充到任意角度的三角函数了。当往这条边转的时候,如果你在这,那三是什么?我三用黄笔, 这条边就是三,反得一单位圆,那这条边就是 q 三,那我再转,当你这么转的时候,这条边就是三,这条边就是 q 三, 没问题吧?那我再转,转到数值九十度的时候,你看哪散哪扣散,哎,散就是这段,他还是散,你发现时候散得一,这时候散最大,这就是散,是不是这段啊?从这个点向挨着做垂线,我类比吗?那你发现扣散就变成一个点,扣散就是零了, 那我再转啊。哎,这点转到这,各位会发现,哪是散啊?这一段是散,而你扣散到这, 你看,你看,这是扣三,这是扣三。现在你扣三上,这我再接着转,我再划几个,别人就要编,编到这, 你的三呢?这段垂线,我把箭头往上划,因为它在上,然后你的扣三呢?是这段。 所以各位发现,在你的角度从零度转到一百八十度的过程里,当你转的时候,你的三角函数,这个点,你可以理解为向 a 轴的距离,这个就是散,他就一直在变化。哎,你横向的这个距离呢?他也在变化,那我让他转起来,你散和扣散就永远能找到一个对应的线, 对吧?那我如果再转,转到这,那你会发现这个时候这就是你的三,然后呢,你的红线还是往左的这个,这就是你的 cos, 同样,如果你转到这个位置呢?哎,这就是你的散,然后这是你的扣散。所以各位在你转的过程中,有没有发现叫做散和扣散啊?永远是一个是竖向的,一个是横向的,可以表示这就是任意角的三角函数。那我既然定义了这段是散,那你发现 我这两个点就得有所区别,这俩角毕竟不一样,对吧?这俩角一个在第二向前,一个在第三向前,那不一样,那我怎么区别?那就看,既然这个箭头如果往上划,就即为是三 x 大 于零为正。 如果你这个箭头往下划,我三 x, 那 就跟我坐标一样。我小学的时候不讲究负数学,一个长度距离都是正数,对吧?但你到了初中就学竖轴,竖轴要往右走是正的,那反过来反着走往左是不是就叫负的? 那到了高中一样,你看三角还是我们原来锐角三角二都是正,但现在呢?哎,你往上划, 因为三角函数正弦就是上下,那你肯定定义往上为正吧?外轴正方向往上为正,那往下是不是即为负?所以往下的三角函数正弦就是负的。咱再看 cos, cos 是 左右的, 对吧?那既然 q 三是左右的,那我肯定往右这段儿这些的 q 三,这些的 q 三叫做 q 三, x 大 于零为正,那你往左的,我肯定定你为负啊。哎,往左的 q 三 x 是 不是负的了?哎,这个就是三角函数 任意角的情况,就是增加了正负,就可以在这个点在圆上转圈的时候看它的坐标记。所以各位有没有发现,单位圆上一个点,看着单位圆上一个点,它的横坐标是谁?它的横坐标就是 q 三 x, 纵坐标就是三 x 啊。所以各位要知道,其实一个任意角的三角函数就是单位圆上角度为 x 的 点,那它的坐标就是 cos x。 逗号 cos, 所以 任意角的三角函数,你就明白,这个点的横坐标就是 cos x, 纵坐标就是 cos x。 而 r 又等于一勾股定里就永远有 cos x 加 cos 方 x, 永远得意这事永远成立。这角是啥都成立,零度九十度,正的负的一百八三百六,一千零八十度,这全成立。哎,这就是用勾股定力关系。初中的直角锐角三角形推你的这个这个这个正余弦其实是一样的。


三角函数图像越学越懵,上课听老师讲的明明白白,一道做题就卡壳,今天一个视频带你吃透必考知识点,轻松拿分!那么这道题呢,它是一个基础且经典的题。我们先来看一下选项, a, 他 说 omega 等于二, 那么题干中他提到了最小正周期为 pi, 那 么一般呢,我们将正最小正周期记为 t, 它是等于二 pi 的。 现在这个题干中呢,提到了它是等于 pi 的, 那么通过求解,我们可以是解出 omega, 它是等于二的,所以 a 选项是正确的。 我们再来看 b 选项, f x 的 图像与 y 轴交于点零,逗号二分之一, 那么它是什么意思呢?是不是说当 x 等于零时,那么它对应的函数值 f x 应该是等于二分之一啊? 那么 a 选项中我们已经求出来了,我们应该等于二,那么函数 f x 的 解析式我们也是知道的,它是等于二倍的 cosine 二 x 减去三分之 pi 的。 那么接下来我们验证这个式子是否成立。我们令 x 等于零, 那么 f 零,它就等于二倍的 cos 零减三分之派,它就是一个负三分之派。 cos, 它是关于 y 轴对称的,它是一个偶函数, 那么关于偶函数,我们就能想到 f 负 x 是 等于 f x 的, 所以 cosine f 三分之派,它就等于 cosine 三分之派,三分之派是等于一的,乘上个二,那么 f 零,它是就等于一的。所以很显然这个式子不成立, 那么函数与 y 轴的交点应该是零一点。再来看 c 选项函数的图像,它是关于直线 x 等三分之二派对称的。 那么一般来说呢,我们会让括号里面的去等于 cos x 的 对称轴, 我们第一问已经求出来了, omega 等于二,那就是二 x 减三分之派等于 cos 与 x 对 称轴,那它的对称轴其实我们是可以去结合这 cos 与 x 的 图像去记忆 的,是一个这样的图。 好,那么观察图,我们可以知道这是它的对称轴,这也是,这也是, 这是零,这是派,这是二派。所以呢,这个 cos 与 x 的 对称轴就应该是 k 派, 去解 x, 可以 发现 x 是 等于六分之派加二 k pad 等于一十 x 四是等于三分之二派的,所以 c 选项也是正确的。好,刚才是一般方法,我们现在来用特殊方法,因为它是一个选择题嘛。如果 f x 真的 关于这条直线对称,那它是不是这个函数值,它应该取到一个最大值,最小值啊? 现在把 x 等于三分之二代入到这个函数解析式里面,那么 f x 它就等于二倍的 cosine, 二乘三分之二派减三分之派。 好,我们去给它化解,就是二倍的 cosine, 这是三分之四派,减去一个三分之派,那么 cosine 派与负一, 它是等于负二的,能取到最小值, 所以呢,那也是正确的。我们再来看 d 选项, f x 在 这个区间上单调递增,那么同理,其实和求对称是一个道理的,我们只需要要,只,只需要将里面的这一部分 让它处于 q 三 x 单调区间上,去求解也出来的那个单调递增区间包不包含 我们选项中的区间,就可以去判断这个选项的正确了。现在我们来实践一下,让括号里面的它是这一部分,它是二 x 减三分之派,放在 q 三 x 的 单调递增区间上, 我们可以借助 q 三 x 的 图像再去记忆。 很明显,从图中去看,发现这一段 是单调递增的,这是负派,这是零,那么它应该大于等于负的派加二 k 派小于等于零,也就是二 k 派。 好,我们去解这个不等式,解出来发现 x 是 大于等于负的三分之派加 k 派的,小于等于六分之派加 k 派。 我们现在看看选项中的这个单调递增区间里, 我们发现我们可以让 k 去等于零,那么 x 它是大于等于负三分之派小于等于六分之派的。 很明显,此时呢,这个选项中的区间是在我们这个区间里的,所以 d 选项也是正确的。那么这道题我们就选 a、 c、 d。

下来我们来讲这个啊,题型一,利用三角函数的定义来求值啊,利用三角函数的定义来求值, 那么 啊,利用三角函数的定义求值的话,那我们这地方呢,首先把我们的定义要搞清楚啊,我们说到三角函数的话,我们对应的,哎,学的就是有三个,一个是我们的撒引啊,撒引 啊,写着阿法,三音阿法,一个是考三音阿法啊,一个是 弹琴的阿法啊,这三个完了之后呢,哎,这三个定义呢,我们在初中的时候我就已经学过我们的三音阿法啊,如果在直角三角形的话,哎,他对应的是对边比上一个 斜边啊,对边比斜边,那么我们考三音二法,它是我们的临边比上一个斜边, 我们的正切呢啊,正切呢,它是我们的对边比临边啊,对比临, 我们首先把这这三个呢,一定要知道啊,把这三个一定要知道,那么这三个知道之后呢?哎,我们来看我们高中说的三角函数, 那么高中我们首先定义角的时候呢,哎,我们有一个新的定义,咋说的呢?就是在直角坐标系中呢,系中呢,我们把我们的矢边呢与 x 轴的非负半轴重合 啊,非负半轴重合,我们的中间呢?哎,落的哪一象限啊,就形成了一个角啊,形成一个角,好,现在我们在定义中说的时候呢,就这样给大家来说一下这个关键点,我强调一下就可以了啊,你看假设一个角的时间在这一个 啊,一个角矢边是 x 轴的正半轴啊,中边呢,不管是这个角是多大,它肯定会落到某一个象限或者作坐标轴上, 只要是中边一确定,那么这个三角函数呢?我们就一定能确定好。假设一个角的中边落到这个地方, 那落到这个地方呢?我们如何来定义我们三角函数呢?我们就在这个中边上任取一个点啊,任取一个点,任取一个点之后呢,向我们的 x 轴做垂线,做垂线呢,我们这地方就确定出了什么的,哎,说几个直角三角形, 哎,这个屁点呢?假设是 x y 啊,这个点取了 x y, 那 么对应的三 x, 那么三 x 就是 我们的,哎,对边比斜边,对边对应的是纵坐标是 y 啊,这个零边对应的横坐标是 x, 那 么斜边呢?是根号下 x 平方加 y 的 平方 啊,加一个平方,加一个 y 的 平方。好,那么我们的三 e, 我 们把这个写出来。三 e x 就是 我们的 y 比上一个根号加 x 平方加 y 的 平方,把这个 x 平方加 y 放到我们以 r 表示来比上一个 r, 哎,考三 e, x 呢,就是我们的邻边比斜边是 x, 比上一个 r, 那 我们的正切呢?哎,摊进的 r 呢?它是对边 y 比上一个 x 啊,这就是我们三角函数的定义,是这样定义的。 好,这地方在这边呢,我,我特别的给大家就说一个点啊,特别的说一个点,你们把这个点呢?希望 啊,希望大家把这个点呢,要理解,就是一个角呢,啊, 啊,假如时间在这啊,时间在这,哎,比如说一个一个角是我们写一个这个啊,比如说是 两百,哎,三十度啊,两百三十度,那么两百三十度的矢边是不是在这旋转之后到这个位置是一百八,一百 八,再加上一个五十度呢,是不是两百三十度,哎,这个角呢?角,它是实际上是这个角啊,角是这个角,这是我们的二角, 但是我们在研究三角函数的时候呢,看角的中间,让我们取一个点,向这个 x 轴做垂线, 哎,做垂线,我们这地方是不是要写这个三音阿尔法啊?三音阿尔法,你千万不要理解成包括这个阿尔法在这个位置,那阿尔法这个角的对边啊,斜边边在哪呢啊?好多同学,这个这个点你如果想不明白的话,哎,他就 这地方就乱了啊,好啊,就到思路也乱了,哎,所以说我强调的一个就是,我们在不管这个角是多大的角,我们在研究的时候呢,始终是以这个 x 轴为一直角边的这个三角形呢为研究对象啊,始终以 x 轴为直角边的这个三角形的研究对象。 三音阿尔法,哪怕是这样的,是吧?两百三呀,哪怕这个阿尔法是转一圈到这个位置,我们在求它的三角函数的时候呢,始终以哎,就是这个三角形为基础来算,它们对应的值都是相同的,就中边相同的,所有三角函数值相等相同的, 哎,所以说呢,这个地方我们写的时候,哎,这是 x, 这是 y 啊,横坐标 x 的 话,你这个是 x, 这是 y, 哎,这是我们的根号加 a 方加地方啊。三音二法呢?还是写成 y 比上一个 啊,哎,靠,三音二法呢?等于这个 x 比上一个啊,哎,贪心的。二法呢?是对边,哎, y 比上一个 x 好,这是我这地方强调的第一个点啊,第一个点我写出来第一个点就是一啊, x 轴,哎, 哎,这个应该是这样说啊,这样说的话好像有点那个亲切,就是 一啊,靠 x 轴的直角三角形, 哎,三角形啊,哎,来确定啊,确定我们的三角函数。 好,这是第一个啊,我们要要强调的,那么第二个我需要强调的就是什么呢?啊?第二个我需要强调的就是我们在表达 y 比 r, x 比 r, y 比 x 这些的时候呢,这个 x 啊,这个 y 呢,一定是有正负的啊,有正负的就是它对应的是坐标啊,坐标,那么就像这个 y 比上一个啊,这个 y, 它就是一个负值, x 比啊,这个 x, 因为它在横坐标啊,横坐标是 y, x 的 负边边上 x 是 负值。 将左边的这个图呢,是不是 x 比 r, x 比 r, x 是 正值啊, y 比 r, 那 也是正值,哎,一定是 y x, y 有 正负,就是以坐标,横坐标,纵坐标呢去值来研究的。 好,把,这两几个点呢,你分啊,如果理解清楚的话,那么其他的就没啥问题了。 好,现在我们以例一啊为标准的啊,为例,以例一呢啊啊 为准呢,来给大家把这个概念再说一下,你以这点 p 负二一为角, c, 它中间的一个点则撒映 c, 它等于什么?好,那我们咋办呢?哎,就是把这个直角 哎坐标就画出来,这个点 p 的 横坐标是负二,负一,负二,它的纵坐标是一啊,好,纵坐标是负一,在这下面。 好,所以说呢,哎,这个角的中间呢,在这个位置好, p 点在这。 好,这个 p 点是中央的一个点,那么撒因 c 塔,那么我们求这个撒因 c 塔,刚才说了啊,撒因 c 塔以靠近,不管这个 c 塔有多大,我们是以靠近 x 轴的这个直角三角形为基数来算啊,以它就把它看成 c 塔 对边比成呀,斜边对边,是不是这个啊? p 点的横坐标是负啊,纵坐标是负一。哎,这一段呢就是我们的 y 啊, y 是 应该是负一,比上一个根号啊,等于 负的五分之根号啊,负的五分之根号。

大家好,初三呢锐角三角函数啊,已经学的差不多了,但是呢,学完之后,很多同学对三十、四十五六十这三个特殊角的一个锐角三角函数理解的相对较深一点, 但是对于十五度,七十五度这类的一些特殊角呢,理解的并不是非常深刻,那么今天呢,我们就带大家调解这种类型的一个三角函数的一个函数值。 那么首先我们先来关注三十六十,在这两个角中,我们在初中学过一个特殊的直角三角形,是我们的一个三十六十九十度角的一个特殊直角三角形,它的边长比,而我们知道它是一比上 根号三比上二,也就意味着我们的三以三十度等于对边比斜边等于二分之一,而三以六十度呢,等于对边比斜边等于二分之根号三。 好,接下来我们再来看怎么样,如果我们有一个哎同样的一个全等的一个直角三角形,我们将这两个三角形作为一个拼接组合,我们会得到什么呢?我们将这个三角形旋转九十度之后拼接, 拼接完之后我们会发现,由于两个三角形全等,则这个角度一定也是六十度,这个角度为三十度, 然后他的一个边长分别是一根号三二这么一个图形,然后我们关注到这两个角分别三十、六十,相加为九十,则这个角同样是九十度。那么接下来我们用一条线段连接我们的两个三角形的两端, 连接之后,我们会发现我们组成了一个新的直角三角形,那么这个直角三角形呢,由于边长分别是二和二,所以它是一个等腰直角三角形,也就意味着这个角度是四十五度,这个角度同样是四十五度, 所以这时候我们就会发现 sine 三十五度等于对边比上斜边,而斜边的长度呢,运用勾股定律,我们又可以算出它是二倍根号二,所以它的 sine 四十五度等于二,比上二倍根号二,等于二分之根号二。 好,接下来我们来看怎么样由这张图我们找出十五度和七十五度呢?这时候我们同样对这个图啊,做一条线段,向下做一条线段,这条线段呢,连接这个一端以及向下作垂, 另外再利用一条线段,我们连接这两个图形的端点。连接之后我们会发现,由于我们做的垂线,那么这个角是九十度,九十度减三十减四十五,自然而然这个角度是十五度, 由于这边是一百八十度,一百八十减六十减四十五,哎,这个角度正好就是我们的七十五度角,所以这时候我们发现 sin 十五度角就等于这条边比上二倍根号二,而这条边的边长,我们发现这一整个图形啊, 而这条边的边长啊,我发现整个图形是一个矩形,那么这条是根号三,所以意味着整整个下面这条也是根号三,所以这条短边啊,应该是根号三减一,而这条长边呢,这条竖着这条长边呢,是我们的根号三加一, 所以这时候我们就会发现,三十五度等于我们的对边根号三减一,除以我们的斜边二倍根号二。 对这个式子做一个化简,我们会发现上下同乘的根号二,得到四分之根号二倍的根号三减一等于四分之根号六减根号二,所以我会发现三十五度就是四分之根号六减根号二。 好,接下来关注三七十五度,三七十五度等于对边比斜边,所以会发现它等于根号三加一,除以二倍根号二,同样上下同时重一乘一个根号二,得到我们的根号六加根号二。 所以这时候我们会发现三七十五度等于四分之根号六加根号二。那么在这一张图中我们就发现它集合了十五度,三十度,四十五度,哎,六十度以及七十五度这五个特殊的角度, 那么根据这一幅图,我们能够推出我们这五个特殊角度的一个三角函数值。

hello, 各位同学好,我是教数学的创始人,那么今天给大家去分享的是初三的每日一练。来,咱们看下这道题。说直角三角形 a, b、 c 角 c 是 个九十度点 d 在 a、 c 上角 d, b, c 等于角 a 角 d b c d b c 等于角 a 啊 d, b, c 等于角 a ok, 若 a、 c 是 个八, a、 c 是 个八,若 a、 c 是 个八,也就是这一节长度是一个八。 好,考剩 a 是 一个五分之四。考剩 a, 也就是说考剩这个叉叉,考剩叉叉等于一个五分之四, 那你想一下,考递减叉叉是五分之四,那既然涉及三角函数,你是不是得找直角三角, 所以你可以放在这个直角三角中去看一下呀。那考递减叉叉是不是等于考递啥?考递不就是零比斜吗?所以说白了就是 a、 c 比 ab 是不是等于五分之四?由于 a、 c 本身就是一个八,所以进而 ab 不 就是十吗?好,那你又是个直角算下,那这不是六吗?顺其自然的事呀。 ok, 好, 嗯,然后呢?让我们求 b、 d 的 长,让你求这个的长,哎,这不就完了吗?你看,这个叉叉和这个叉叉是相等的呀, 你考算叉叉是五分之四,你如果放在这个直角当中的话,那考算叉叉就是零比斜呀。但是如果说你要放在这个直角当中的话,哎,你考算叉叉是不就是零比这个斜呀?所以说白了,这个 bc 比上 bd 是 不是也等于五分之四呀? 啊?六比 b、 d 等于五分之四,那 b、 d 是 多少呀?你算一下呀,四 b、 d 等于个五六三十,那 b、 d 就是 一个四,除过来就是个二分之十五,是吧? ok, 答案收工,你学会了吗?

今天咱们来看人教版第二十八章锐角三角函数,这一张应该比较简单,他主要介绍了三种三角函数。第一个叫做正弦,这个正弦咱们记作,这个弦 比斜边,就是有正弦,还有个余弦,这个余弦记作 cosine 角 与弦指的是另外一条直角边,也就是这个角的零边去比弦,也就是比斜边。第三个呢,正切,正切呢,就是两条直角边的比, 正对着的边去比,另外一条直角边对比,我们记作参紧的这个角。当然考试中必考的肯定是那特殊的三角弦,咱们首先你得了解特殊的三角,三十度的, 四十五度的,还有六十度的,那么这三种三角函数值你得可以说背诵的非常熟练,是吧?二分之一,二分之根号二,二分之根号三, 然后 cosm 三十度,就是二分之根号三,这还是二分之根号二,这是二分之一探进的三十度,三分之根号三,探进四十五度,还有探进的六十度,这九个值你肯定得这个 非常熟练。为什么要研究这个锐角三角函数?我们之前学过勾股定律,是直角三角形三条边的关系, 七年级就知道三角和内角的定义,直角三角形,两个锐角互余,这其实是它角的关系。 而有了三角函数以后,咱们就有了三角形的边角关系。所以说在第一部分学完了定义以后,第二部分专门研究的一个主题就是解直角三角形。什么叫解直角三角形?就是求出它所有的五个元素, 三边俩角,这就叫解直角三角形。现在给你一边及一角,你都可以求出所有,比如小 c 等于十,再来个角是三十度,你就可以求出来另外一角。 那如果现在这个角哪怕是三十七度,那么因为这个现在这个角 a, 它也得有固定的三角函数值。 所以说当我知道一条边是十,哪怕这个角三十七度,三十一度、十九度,任意的度数,我们都可以求他的剩余的角和所有边。这是 第二部分,叫做解直角三角形。当然第三部分还是你学完了这个知识,我们得应用它解决实际中的问题。那么这个应用里边,书上主要给了两类例题,一种是 这样做个垂,呈现出两个直角三角形,我们把这种叫做背靠背。还有一种是这样做个垂,也是处理两个直角三角形。你看这里 abc 和 abd 是 直角三角形,这里也是 abc 和 abd 是 直角三角形,那么这两个直角三角形,一个是背靠背形,一个是母子形。这个题就 明白一件事就可以了。像这种题,因为有两个直角三角形,如果考试考你,他一定会告诉你两个锐角的值,要不然他不叫三角函数,能成勾股定律了。 像这种题,只要你知道任意一个直角三角形,任意一边的长,你就可以直接求出所有。 比如这道题里,如果告诉你 b、 c 得五十,你再有俩角,你先求完 a、 b 以后,你所有的线段都可以用三角函数求出来。比如这里边人如果告诉你 a、 d 什么任意的,只要你是直角三角形的某一条边知道了, 你就不用列方程,直接就能求。那么第二种情况还可能是什么呢?在这幅图里,只有一条线段不是直角三角形的一条边,那就是 b b, 那 就是 c d。 你 看 c d 这条线段并不是某一个直角三角形一条边的长,一旦他告你 c d 的 长,比如说得二百, 让你求某条线段的长,这个时候一般我们都设公共的边,是 x, 那 么同理,这幅图当中也只有一条线段 不是直角上一条边,一旦告诉你 c d 得二十,你要想求别的,那我们一般还是设公共的边,长是 x, 这条线段用 x 表示,这条线段也用 x 表示,方程列出来了,这边同理,这就是这一张的这个主要内容非常简单。

朋友们好,今天我们和大家共同探讨锐角三角函数的几何综合。如图,在平面直角坐标系中,三角形 abc 是 圆 o 的 内角,三角形 a b 等于 a c 点 p 是 弧 a b 的 中点,连接 p a p b p c 或探明角 a b p 等于二分之一,求探明角 b p c 的 值。 好,这是道关于的锐角三角函数,它求值的问题,但它往往与圆 进行哪呢联系,也与相似三角形的进行联系,所以说这是要比较综合的求值数值的问题。我们接下来已知图形,我们可以看一下角 a b p, 角 a b p, 它是这个角啊, 在圆里面呢,有个重要的性质,等,弧所对应的弦以及对应的圆心角,圆周角,它是相等的, 随着根据这样性质呢,我们就可以进行呢角度的转换。好,我们正式开始解这道题。解, 因为 p 点是弧 a b 的 中点, 所以弧 b p 等于弧 p a 好, 我们与原相结合呢,我们就这有垂径定律,此时呢,我们可以连接 o p, 连接 o p 角 a b 与点 m, 因为碳体 角 a b p, 它等于二分之一。那么根据这个比值呢,我们就可以设 p m 等于一,就是 p m 等于一,那么呢, b m 就 等于了二。 好,根据垂径距离,我们可以看到,因为 o p 也是半径,此时呢,我们就可以把半径求出来了。虽然此题呢,等于呢没有值,让我们求半径的值,但是呢,根据这些已知条件呢,我们可以把半径求出来的。 垂径定律是证明了 b m p, 它是一个九十度的,那么 b m o 它也是等于九十度的。那么在三角形,在 r t 三角形 b m o 中,我们发现 o m 就 等于 r。 好, 我们设半径为 r, 设半径 为 r, 那 么呢, r 减一就构成了这个 o m, 所以 o m 的 平方呢,就加上我们这个 b m 的 平方, b m 就是 二,就加上二的平方,就等于我们的 r 的 平方,所以这样呢,根据这样这个勾股定律呢,我们就可以把 r 的 给先求出来, r 的 平方减二倍, r 加上一,加上四,等于 r 的 平方,所以 r 呢,就等于二分之五。好, 我们把 r 求出来之后呢,我们看一下所要求的角度的探顶, b p c b p c 它实际上是这个角,我们看一下 它跟我们的 bpm 相邻的,但是它相邻一个比较非常小的一个锐角,但它们两个不是一同一个角,所以说我们要观察,我们怎么样将这个角呢,转换到另外的直角三角形里面去, 圆里面呢,形成的是同弧所对圆周角相等,那我们去找这个角的还有其他的圆周角,我们通过延长之后发现,哦,它原来就是我们的弧 bc 所对的圆周角,因为 角 b p c 是 弧 b c 所对的圆周角。 好,那么我们 b 弧 b c 呢?还多,还对应的另外棱角是 b a c, 所以呢,角 b p c, 它是等于角 b a c 的。 当我们连接 o b、 o c 时,连接 o b o c, 那 么呢,就有角 b o c。 角 b o c 是 弧 bc 所对的圆角是圆周角的二倍,那么呢,就有角 b o c 就 等于二倍的角 b a c。 好,因为 a b, 它是等于 a c 的, 因为 a b 等于 a c, 所以 呀,三角形 b a n, 我 们这个手连接 o a 交 b c 于 n, 这个时候我们连接 o a 交 b c 于点 n, 所以 我们这个 b a n, 它就是一个直角三角形了,所以三角形 b a n 为直角三角形 好,又因为又因为 o b 也是等于 o c 的, 所以 这个角 b o n, 它是等于角 c o n 就 等于阿尔法,我们刚刚说是二倍的阿尔法把它平分了,就是它,是因为它是中线, a, n 是 中线,也是角,平行也是垂线。等下三角形好。那么呢,在 r t 三角形 b a n 中, 我们发现角 b a n, b a n 与这个 r t 三角形 a o m 它们存在的公共角与 r t 三角形 a o m 存在角 b a n 这个公共角 只要存在公共角,并且是直角三角形,说明呢,这个两个形状大小不一的直角三角形,它是相似的,所以三角形 a o m 相似于三角形 a b n。 好, 根据相似呢,我们就可以得到了比例关系了。所以 a o 比上 am, 就 等于呢,我们的 a b 比上我们的 a n, 刚才这个 a 和我们求出,它是半截,是二分之五的 啊, a m 是 等于二的,我们来看一下,二分之五比上 a m, a m 是 二, ab 呢,它就是二倍二,那么谁先定义可以知道呢?它就等于四了,就等于四比上 a n, 所以 我们的 a n, 我 们可以把它求出来了。 a n, 它就等于呢五分之十六。 好,同理呢,我们可以得到呢,我们将 o 看一下 a n 的 长度,减去半支 o n, 所以 就把 o n 可以 求出来了。好, o n 呢,就等于呢? a n 减去 o v, 所以呢,我们把这个 o n 的 求长的求出,等于呢十分之七。 好,我们已经求出来一边了,另外一个直角边呢, b n, 我 们可以说我们已知道 r 了, o b 是 r 了啊, o n 呢, 已经求出来了,所以我们就可以把这个 b e n 给求出来,通过勾股定力。也好,我们再一次啊,用到这个相似也行,是吧,都可以把 b e n 求出来, b e n 就等于呢五分之十二,所以探听 r 法,这个时候呢,探听 r 法就等于呢七分之二十四,这样呢,就求出来我们这个探听角 b p c 的 值。 好,通过这道题目呢,我们就知道了,我们要所要求的呢角度关系需要进行转换,我们就是根据 圆心角与圆周角的关系来进行角度的转换,还有同弧所对的圆周角相等,从一个角转换到另一个角,再从 圆心角与圆周角关系呢,将所求的角度呢再一次进行转换,转换呢,最终转换到那个直角三角形里面去,我们才能求出它对应的函数值。好,这道题呢,我们就和大家共同的分享到这里,谢谢大家。