锐角三角函数思维导图

同学们，我们学过一次函数，二次函数，那你们知道角也有函数吗？ 这节课我们就来学习下锐角三角函数。这是一个直角三角形，角 c 等于九十度。角 a 是一个锐角，这条边叫做角 a 的对边，这条边叫做角 a 的斜边，这条边叫做角 a 的邻边。 角 a 的对边与斜边的比，叫做角 a 的正弦，记作 c n a， 即 c n a 等于角 a 的对边比，角 a 的斜边， 角 a 的邻边与斜边的比叫做角 a 的余弦记作 crosena， 即 croseana， 等于角 a 的邻边比，角 a 的斜边。角 a 的对 边与邻边的比，叫做角 a 的正切记作 tangeta， 即 tangenta， 等于角 a 的对边比，角 a 的邻边、角 a 的正弦、余弦、正切都是角 a 的锐角三角函数。 如果角 a 的对边、林边和斜边的长度分别为 a、 b， c， 那么 sine a 等于 c， 分之 a。 cosine a 等于 c， 分之 b。 pandret a 等于 b， 分之 a。 这也有个直角三角形，这个三角形中，角 a 一的对边、零边和斜边的长度分别为 x、 y、 z。 塞引 a 一等于内分之 x。 口塞引 a 一等于内分之 y。 tendrit a 一等于 y， 分之 x。 如果角 a 和角 ae 的度数相等，那么这两个角的正弦与弦正切的值有什么关系呢？其实他们是相等的。 锐角三角函数的值是由角度大小决定的，与三角形的大小无关，所以这两个角的正弦与弦正切值分别对应相等。这里需要注意的是，正弦与弦正切是不能带单位的。比如， 角 a 的对边、鳞边和斜边的长度分别为三厘米、四厘米、五厘米，那么 sine a 等于五分之三厘米，口 sine a 等于五分之四厘米， candret a 等于四分之三厘米，这个说法对吗？大错特错！角 a 的 正弦余弦正切个子表示的是两条线段长度的比，是没有单位的，这里要去掉单位，即塞尼 a 等于五分之三，口塞尼 a 等于五分之四， hundred a 等于四分之三。 学习了锐角三角函数，赶紧来做道题吧！如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度， a， b 等于五， b， c 等于三。求 sina 口 sina tendrita 的值。 因为角 c 等于九十度，所以三角形 abc 是直角三角形。又因为 ab 等于五， bc 等于三，所以 ac 等于根号下五的平方，减三的平方等于四。三条边都出来了，要求赛尼 a 口塞引 a pendreta 的值还不是轻而易举吗？ cinea 等于对边比斜边等于五分之三，口 cinea 等于零边比斜边等于五分之四， pandreta 等于对边比零边等于四分之三。搞定！ 最后我们一起来总结一下。一、对于任意一个在直角三角形中的锐角，其三角函数都可以这么表示， san 阿尔法等于对边比斜边口 san 阿尔法等于零边比斜边 condent alpha 等于对边比邻边。二、在直角三角形中，锐角的正弦余弦正切的值是由角的大小决定的， 与三角形的大小无关。三、在直角三角形中，锐角的正弦余弦正切表示的是两条线段长度的比，是没有单位的。不想看完整版视频，请咨询客服购买！

三角函数刚学就懵，概念这块总结的抽象又绕，今天直接对准高考里三角函数概念的核心考点，从定义到关键细节，把这块地基打牢，后面学图像公式都能顺顺当当，快艾特你那还在迷糊的同桌，一起把概念吃透，不丢分。接下来继续带各位三角函数的部分， 那我们前面说完了，任意角啊，那在这里呢，我们知道了任意角和弧度制，那我现在既然角都可以 从负无穷到正无穷，可以随便加减一百八，随便加减三百六，到，而且能把一百八写成派，三百六写成二派，随意加减二派，加减二派之后呢，那这时候我们任意的角度，任意的弧度，哎，他用三角函数 怎么去表示，对吧？哎，那我们就来看啊，首先呢，我们还是啊，就是高一，我一直强调不要去背概念，没有意义啊，理解就行啊，所有东西都是在你以前的基础上由理解进发而得到的。那我们来看什么叫三角函数，咱先类比初中你学的，我们先讲初中三角函数的概念啊，锐角， 那这时候呢，你就会画一个角，这角画小一点，这是一锐角，你就画一锐角，三角形 啊，啊，直掉三角形，不好意思，直掉三角形其中一个顶点除以角，你会研究这个角 c 它，然后这角 c 它，你会发现，哎，如果对边是 a， 这边是 b， 这是 c， 那 你就说，哦，散 c， 它就等于 a 除以 c cosine c， 它呢 就等于 b 除以 c 它，那个 c， 它呢？就等于 a 除以 b， 对 吧？这事没错，而且这个事其实在高中会一直用，因为这个毕竟直观，而且是你从小根深蒂固的。那你看，为了好算，我可以怎么办？如果你让 c 等于一， 如果你令 c 得一，那这时候它是不是就会变成 b， 这还是 ab？ 如果你令 c 等于一的话， 对吧？那你看，令 c 得一这件事有点像什么呀？有点像，我画一个圆，但我让半径等一。那各位看看，如果我把它变成一个任意角 来对比啊，这是咱们初中的，那咱到了高中之后呢？任意角，我们是不是就要画一个象限？这可能是你的象限，对吧？那我这时候呢，画个什么呢？还记得我们转圈吧，那就画一单位圆。 在相片里画一单位圆，那各位卡在单位圆中，我可不可以画一个角度？我如果想表示跟刚才一样的角 c， 它这个角 c， 它，我就画在这。 好，这就是我的角 c， 它跟刚才那个角是一样的。哎，哎，画的还正好，是吧？哎，这个画图 g 无的正好是一个角 c， 能看出这是一个角吧？哎，这是同一角。好， 好，现在你看啊，我在这个图里如果画三角函数，我这画的是个单位圆，这个点是一，就是 r 等于一的单位圆。好吧， 一是单位吗？什么叫单位圆？单位圆的意思呢？就是半径为一个单位长的圆，叫单位圆啊。单位长的意思好， r 得一吗？就是单位长。那这样画一个圆，你会发现在这里啊，我就可以把这三角形画出来， 哎，这就是我的三角形，然后你发现在这里呢，这条边 这个小，这个 a 就是 你的三，看出来了吧，如果你这个角叫做，我就管这角叫 x 吧。 啊，咱就不用 c 它了，毕竟咱得用变成函数嘛，函数自变量得是 x 啊，对吧？那我这就叫 x。 那 其实你发现，因为你边长 r 得一嘛，所以你这高度，它就是三，这就是三 x， 这个长度就是三 x， 那 底下这段长呢？它就是 cos。 哎，你看，在这个单位圆里，如果把一个点，这个点在单位圆上，它的对应的中边是 x， 中边做一条垂线，长度就是三， 然后横着这段就是扣三，是不是跟这段是 b， 扣三，这段是 a， 三是对应的，只要 c 得一，能理解吧。那我就把什么呢？我就把这个角放成我们刚才任意角的情况了，那在这种情况下，我是不是这条边就可以开始转了？ 那什么叫这角？当你这条边转的时候，你会发现三和扣三就会有变化了。啊，三和扣三就会有变化了啊，三和扣三怎么变的？我们来看看啊。当你这转的时候，你看啊，我如果这个角转到这， 这时候谁是三和扣三啊？啊，注意啊，我画个颜色，我三都用黄笔画， 我黄色笔代表的是三，红色笔代表 q 三，我单画一个圆。好吧，现在我就要给它扩充到任意角度的三角函数了。当往这条边转的时候，如果你在这，那三是什么？我三用黄笔， 这条边就是三，反得一单位圆，那这条边就是 q 三，那我再转，当你这么转的时候，这条边就是三，这条边就是 q 三， 没问题吧？那我再转，转到数值九十度的时候，你看哪散哪扣散，哎，散就是这段，他还是散，你发现时候散得一，这时候散最大，这就是散，是不是这段啊？从这个点向挨着做垂线，我类比吗？那你发现扣散就变成一个点，扣散就是零了， 那我再转啊。哎，这点转到这，各位会发现，哪是散啊？这一段是散，而你扣散到这， 你看，你看，这是扣三，这是扣三。现在你扣三上，这我再接着转，我再划几个，别人就要编，编到这， 你的三呢？这段垂线，我把箭头往上划，因为它在上，然后你的扣三呢？是这段。 所以各位发现，在你的角度从零度转到一百八十度的过程里，当你转的时候，你的三角函数，这个点，你可以理解为向 a 轴的距离，这个就是散，他就一直在变化。哎，你横向的这个距离呢？他也在变化，那我让他转起来，你散和扣散就永远能找到一个对应的线， 对吧？那我如果再转，转到这，那你会发现这个时候这就是你的三，然后呢，你的红线还是往左的这个，这就是你的 cos， 同样，如果你转到这个位置呢？哎，这就是你的散，然后这是你的扣散。所以各位在你转的过程中，有没有发现叫做散和扣散啊？永远是一个是竖向的，一个是横向的，可以表示这就是任意角的三角函数。那我既然定义了这段是散，那你发现 我这两个点就得有所区别，这俩角毕竟不一样，对吧？这俩角一个在第二向前，一个在第三向前，那不一样，那我怎么区别？那就看，既然这个箭头如果往上划，就即为是三 x 大 于零为正。 如果你这个箭头往下划，我三 x， 那 就跟我坐标一样。我小学的时候不讲究负数学，一个长度距离都是正数，对吧？但你到了初中就学竖轴，竖轴要往右走是正的，那反过来反着走往左是不是就叫负的？ 那到了高中一样，你看三角还是我们原来锐角三角二都是正，但现在呢？哎，你往上划， 因为三角函数正弦就是上下，那你肯定定义往上为正吧？外轴正方向往上为正，那往下是不是即为负？所以往下的三角函数正弦就是负的。咱再看 cos， cos 是 左右的， 对吧？那既然 q 三是左右的，那我肯定往右这段儿这些的 q 三，这些的 q 三叫做 q 三， x 大 于零为正，那你往左的，我肯定定你为负啊。哎，往左的 q 三 x 是 不是负的了？哎，这个就是三角函数 任意角的情况，就是增加了正负，就可以在这个点在圆上转圈的时候看它的坐标记。所以各位有没有发现，单位圆上一个点，看着单位圆上一个点，它的横坐标是谁？它的横坐标就是 q 三 x， 纵坐标就是三 x 啊。所以各位要知道，其实一个任意角的三角函数就是单位圆上角度为 x 的 点，那它的坐标就是 cos x。 逗号 cos， 所以 任意角的三角函数，你就明白，这个点的横坐标就是 cos x， 纵坐标就是 cos x。 而 r 又等于一勾股定里就永远有 cos x 加 cos 方 x， 永远得意这事永远成立。这角是啥都成立，零度九十度，正的负的一百八三百六，一千零八十度，这全成立。哎，这就是用勾股定力关系。初中的直角锐角三角形推你的这个这个这个正余弦其实是一样的。

三角函数图像越学越懵，上课听老师讲的明明白白，一道做题就卡壳，今天一个视频带你吃透必考知识点，轻松拿分！那么这道题呢，它是一个基础且经典的题。我们先来看一下选项， a， 他 说 omega 等于二， 那么题干中他提到了最小正周期为 pi， 那 么一般呢，我们将正最小正周期记为 t， 它是等于二 pi 的。 现在这个题干中呢，提到了它是等于 pi 的， 那么通过求解，我们可以是解出 omega， 它是等于二的，所以 a 选项是正确的。 我们再来看 b 选项， f x 的 图像与 y 轴交于点零，逗号二分之一， 那么它是什么意思呢？是不是说当 x 等于零时，那么它对应的函数值 f x 应该是等于二分之一啊？ 那么 a 选项中我们已经求出来了，我们应该等于二，那么函数 f x 的 解析式我们也是知道的，它是等于二倍的 cosine 二 x 减去三分之 pi 的。 那么接下来我们验证这个式子是否成立。我们令 x 等于零， 那么 f 零，它就等于二倍的 cos 零减三分之派，它就是一个负三分之派。 cos， 它是关于 y 轴对称的，它是一个偶函数， 那么关于偶函数，我们就能想到 f 负 x 是 等于 f x 的， 所以 cosine f 三分之派，它就等于 cosine 三分之派，三分之派是等于一的，乘上个二，那么 f 零，它是就等于一的。所以很显然这个式子不成立， 那么函数与 y 轴的交点应该是零一点。再来看 c 选项函数的图像，它是关于直线 x 等三分之二派对称的。 那么一般来说呢，我们会让括号里面的去等于 cos x 的 对称轴， 我们第一问已经求出来了， omega 等于二，那就是二 x 减三分之派等于 cos 与 x 对 称轴，那它的对称轴其实我们是可以去结合这 cos 与 x 的 图像去记忆 的，是一个这样的图。 好，那么观察图，我们可以知道这是它的对称轴，这也是，这也是， 这是零，这是派，这是二派。所以呢，这个 cos 与 x 的 对称轴就应该是 k 派， 去解 x， 可以 发现 x 是 等于六分之派加二 k pad 等于一十 x 四是等于三分之二派的，所以 c 选项也是正确的。好，刚才是一般方法，我们现在来用特殊方法，因为它是一个选择题嘛。如果 f x 真的 关于这条直线对称，那它是不是这个函数值，它应该取到一个最大值，最小值啊？ 现在把 x 等于三分之二代入到这个函数解析式里面，那么 f x 它就等于二倍的 cosine， 二乘三分之二派减三分之派。 好，我们去给它化解，就是二倍的 cosine， 这是三分之四派，减去一个三分之派，那么 cosine 派与负一， 它是等于负二的，能取到最小值， 所以呢，那也是正确的。我们再来看 d 选项， f x 在 这个区间上单调递增，那么同理，其实和求对称是一个道理的，我们只需要要，只，只需要将里面的这一部分 让它处于 q 三 x 单调区间上，去求解也出来的那个单调递增区间包不包含 我们选项中的区间，就可以去判断这个选项的正确了。现在我们来实践一下，让括号里面的它是这一部分，它是二 x 减三分之派，放在 q 三 x 的 单调递增区间上， 我们可以借助 q 三 x 的 图像再去记忆。 很明显，从图中去看，发现这一段 是单调递增的，这是负派，这是零，那么它应该大于等于负的派加二 k 派小于等于零，也就是二 k 派。 好，我们去解这个不等式，解出来发现 x 是 大于等于负的三分之派加 k 派的，小于等于六分之派加 k 派。 我们现在看看选项中的这个单调递增区间里， 我们发现我们可以让 k 去等于零，那么 x 它是大于等于负三分之派小于等于六分之派的。 很明显，此时呢，这个选项中的区间是在我们这个区间里的，所以 d 选项也是正确的。那么这道题我们就选 a、 c、 d。

下来我们来讲这个啊，题型一，利用三角函数的定义来求值啊，利用三角函数的定义来求值， 那么 啊，利用三角函数的定义求值的话，那我们这地方呢，首先把我们的定义要搞清楚啊，我们说到三角函数的话，我们对应的，哎，学的就是有三个，一个是我们的撒引啊，撒引 啊，写着阿法，三音阿法，一个是考三音阿法啊，一个是 弹琴的阿法啊，这三个完了之后呢，哎，这三个定义呢，我们在初中的时候我就已经学过我们的三音阿法啊，如果在直角三角形的话，哎，他对应的是对边比上一个 斜边啊，对边比斜边，那么我们考三音二法，它是我们的临边比上一个斜边， 我们的正切呢啊，正切呢，它是我们的对边比临边啊，对比临， 我们首先把这这三个呢，一定要知道啊，把这三个一定要知道，那么这三个知道之后呢？哎，我们来看我们高中说的三角函数， 那么高中我们首先定义角的时候呢，哎，我们有一个新的定义，咋说的呢？就是在直角坐标系中呢，系中呢，我们把我们的矢边呢与 x 轴的非负半轴重合 啊，非负半轴重合，我们的中间呢？哎，落的哪一象限啊，就形成了一个角啊，形成一个角，好，现在我们在定义中说的时候呢，就这样给大家来说一下这个关键点，我强调一下就可以了啊，你看假设一个角的时间在这一个 啊，一个角矢边是 x 轴的正半轴啊，中边呢，不管是这个角是多大，它肯定会落到某一个象限或者作坐标轴上， 只要是中边一确定，那么这个三角函数呢？我们就一定能确定好。假设一个角的中边落到这个地方， 那落到这个地方呢？我们如何来定义我们三角函数呢？我们就在这个中边上任取一个点啊，任取一个点，任取一个点之后呢，向我们的 x 轴做垂线，做垂线呢，我们这地方就确定出了什么的，哎，说几个直角三角形， 哎，这个屁点呢？假设是 x y 啊，这个点取了 x y， 那 么对应的三 x， 那么三 x 就是 我们的，哎，对边比斜边，对边对应的是纵坐标是 y 啊，这个零边对应的横坐标是 x， 那 么斜边呢？是根号下 x 平方加 y 的 平方 啊，加一个平方，加一个 y 的 平方。好，那么我们的三 e， 我 们把这个写出来。三 e x 就是 我们的 y 比上一个根号加 x 平方加 y 的 平方，把这个 x 平方加 y 放到我们以 r 表示来比上一个 r， 哎，考三 e， x 呢，就是我们的邻边比斜边是 x， 比上一个 r， 那 我们的正切呢？哎，摊进的 r 呢？它是对边 y 比上一个 x 啊，这就是我们三角函数的定义，是这样定义的。 好，这地方在这边呢，我，我特别的给大家就说一个点啊，特别的说一个点，你们把这个点呢？希望 啊，希望大家把这个点呢，要理解，就是一个角呢，啊， 啊，假如时间在这啊，时间在这，哎，比如说一个一个角是我们写一个这个啊，比如说是 两百，哎，三十度啊，两百三十度，那么两百三十度的矢边是不是在这旋转之后到这个位置是一百八，一百 八，再加上一个五十度呢，是不是两百三十度，哎，这个角呢？角，它是实际上是这个角啊，角是这个角，这是我们的二角， 但是我们在研究三角函数的时候呢，看角的中间，让我们取一个点，向这个 x 轴做垂线， 哎，做垂线，我们这地方是不是要写这个三音阿尔法啊？三音阿尔法，你千万不要理解成包括这个阿尔法在这个位置，那阿尔法这个角的对边啊，斜边边在哪呢啊？好多同学，这个这个点你如果想不明白的话，哎，他就 这地方就乱了啊，好啊，就到思路也乱了，哎，所以说我强调的一个就是，我们在不管这个角是多大的角，我们在研究的时候呢，始终是以这个 x 轴为一直角边的这个三角形呢为研究对象啊，始终以 x 轴为直角边的这个三角形的研究对象。 三音阿尔法，哪怕是这样的，是吧？两百三呀，哪怕这个阿尔法是转一圈到这个位置，我们在求它的三角函数的时候呢，始终以哎，就是这个三角形为基础来算，它们对应的值都是相同的，就中边相同的，所有三角函数值相等相同的， 哎，所以说呢，这个地方我们写的时候，哎，这是 x， 这是 y 啊，横坐标 x 的 话，你这个是 x， 这是 y， 哎，这是我们的根号加 a 方加地方啊。三音二法呢？还是写成 y 比上一个 啊，哎，靠，三音二法呢？等于这个 x 比上一个啊，哎，贪心的。二法呢？是对边，哎， y 比上一个 x 好，这是我这地方强调的第一个点啊，第一个点我写出来第一个点就是一啊， x 轴，哎， 哎，这个应该是这样说啊，这样说的话好像有点那个亲切，就是 一啊，靠 x 轴的直角三角形， 哎，三角形啊，哎，来确定啊，确定我们的三角函数。 好，这是第一个啊，我们要要强调的，那么第二个我需要强调的就是什么呢？啊？第二个我需要强调的就是我们在表达 y 比 r， x 比 r， y 比 x 这些的时候呢，这个 x 啊，这个 y 呢，一定是有正负的啊，有正负的就是它对应的是坐标啊，坐标，那么就像这个 y 比上一个啊，这个 y， 它就是一个负值， x 比啊，这个 x， 因为它在横坐标啊，横坐标是 y， x 的 负边边上 x 是 负值。 将左边的这个图呢，是不是 x 比 r， x 比 r， x 是 正值啊， y 比 r， 那 也是正值，哎，一定是 y x， y 有 正负，就是以坐标，横坐标，纵坐标呢去值来研究的。 好，把，这两几个点呢，你分啊，如果理解清楚的话，那么其他的就没啥问题了。 好，现在我们以例一啊为标准的啊，为例，以例一呢啊啊 为准呢，来给大家把这个概念再说一下，你以这点 p 负二一为角， c， 它中间的一个点则撒映 c， 它等于什么？好，那我们咋办呢？哎，就是把这个直角 哎坐标就画出来，这个点 p 的 横坐标是负二，负一，负二，它的纵坐标是一啊，好，纵坐标是负一，在这下面。 好，所以说呢，哎，这个角的中间呢，在这个位置好， p 点在这。 好，这个 p 点是中央的一个点，那么撒因 c 塔，那么我们求这个撒因 c 塔，刚才说了啊，撒因 c 塔以靠近，不管这个 c 塔有多大，我们是以靠近 x 轴的这个直角三角形为基数来算啊，以它就把它看成 c 塔 对边比成呀，斜边对边，是不是这个啊？ p 点的横坐标是负啊，纵坐标是负一。哎，这一段呢就是我们的 y 啊， y 是 应该是负一，比上一个根号啊，等于 负的五分之根号啊，负的五分之根号。

大家好，初三呢锐角三角函数啊，已经学的差不多了，但是呢，学完之后，很多同学对三十、四十五六十这三个特殊角的一个锐角三角函数理解的相对较深一点， 但是对于十五度，七十五度这类的一些特殊角呢，理解的并不是非常深刻，那么今天呢，我们就带大家调解这种类型的一个三角函数的一个函数值。 那么首先我们先来关注三十六十，在这两个角中，我们在初中学过一个特殊的直角三角形，是我们的一个三十六十九十度角的一个特殊直角三角形，它的边长比，而我们知道它是一比上 根号三比上二，也就意味着我们的三以三十度等于对边比斜边等于二分之一，而三以六十度呢，等于对边比斜边等于二分之根号三。 好，接下来我们再来看怎么样，如果我们有一个哎同样的一个全等的一个直角三角形，我们将这两个三角形作为一个拼接组合，我们会得到什么呢？我们将这个三角形旋转九十度之后拼接， 拼接完之后我们会发现，由于两个三角形全等，则这个角度一定也是六十度，这个角度为三十度， 然后他的一个边长分别是一根号三二这么一个图形，然后我们关注到这两个角分别三十、六十，相加为九十，则这个角同样是九十度。那么接下来我们用一条线段连接我们的两个三角形的两端， 连接之后，我们会发现我们组成了一个新的直角三角形，那么这个直角三角形呢，由于边长分别是二和二，所以它是一个等腰直角三角形，也就意味着这个角度是四十五度，这个角度同样是四十五度， 所以这时候我们就会发现 sine 三十五度等于对边比上斜边，而斜边的长度呢，运用勾股定律，我们又可以算出它是二倍根号二，所以它的 sine 四十五度等于二，比上二倍根号二，等于二分之根号二。 好，接下来我们来看怎么样由这张图我们找出十五度和七十五度呢？这时候我们同样对这个图啊，做一条线段，向下做一条线段，这条线段呢，连接这个一端以及向下作垂， 另外再利用一条线段，我们连接这两个图形的端点。连接之后我们会发现，由于我们做的垂线，那么这个角是九十度，九十度减三十减四十五，自然而然这个角度是十五度， 由于这边是一百八十度，一百八十减六十减四十五，哎，这个角度正好就是我们的七十五度角，所以这时候我们发现 sin 十五度角就等于这条边比上二倍根号二，而这条边的边长，我们发现这一整个图形啊， 而这条边的边长啊，我发现整个图形是一个矩形，那么这条是根号三，所以意味着整整个下面这条也是根号三，所以这条短边啊，应该是根号三减一，而这条长边呢，这条竖着这条长边呢，是我们的根号三加一， 所以这时候我们就会发现，三十五度等于我们的对边根号三减一，除以我们的斜边二倍根号二。 对这个式子做一个化简，我们会发现上下同乘的根号二，得到四分之根号二倍的根号三减一等于四分之根号六减根号二，所以我会发现三十五度就是四分之根号六减根号二。 好，接下来关注三七十五度，三七十五度等于对边比斜边，所以会发现它等于根号三加一，除以二倍根号二，同样上下同时重一乘一个根号二，得到我们的根号六加根号二。 所以这时候我们会发现三七十五度等于四分之根号六加根号二。那么在这一张图中我们就发现它集合了十五度，三十度，四十五度，哎，六十度以及七十五度这五个特殊的角度， 那么根据这一幅图，我们能够推出我们这五个特殊角度的一个三角函数值。

hello， 各位同学好，我是教数学的创始人，那么今天给大家去分享的是初三的每日一练。来，咱们看下这道题。说直角三角形 a， b、 c 角 c 是 个九十度点 d 在 a、 c 上角 d， b， c 等于角 a 角 d b c d b c 等于角 a 啊 d， b， c 等于角 a ok， 若 a、 c 是 个八， a、 c 是 个八，若 a、 c 是 个八，也就是这一节长度是一个八。 好，考剩 a 是 一个五分之四。考剩 a， 也就是说考剩这个叉叉，考剩叉叉等于一个五分之四， 那你想一下，考递减叉叉是五分之四，那既然涉及三角函数，你是不是得找直角三角， 所以你可以放在这个直角三角中去看一下呀。那考递减叉叉是不是等于考递啥？考递不就是零比斜吗？所以说白了就是 a、 c 比 ab 是不是等于五分之四？由于 a、 c 本身就是一个八，所以进而 ab 不 就是十吗？好，那你又是个直角算下，那这不是六吗？顺其自然的事呀。 ok， 好， 嗯，然后呢？让我们求 b、 d 的 长，让你求这个的长，哎，这不就完了吗？你看，这个叉叉和这个叉叉是相等的呀， 你考算叉叉是五分之四，你如果放在这个直角当中的话，那考算叉叉就是零比斜呀。但是如果说你要放在这个直角当中的话，哎，你考算叉叉是不就是零比这个斜呀？所以说白了，这个 bc 比上 bd 是 不是也等于五分之四呀？ 啊？六比 b、 d 等于五分之四，那 b、 d 是 多少呀？你算一下呀，四 b、 d 等于个五六三十，那 b、 d 就是 一个四，除过来就是个二分之十五，是吧？ ok， 答案收工，你学会了吗？

今天咱们来看人教版第二十八章锐角三角函数，这一张应该比较简单，他主要介绍了三种三角函数。第一个叫做正弦，这个正弦咱们记作，这个弦 比斜边，就是有正弦，还有个余弦，这个余弦记作 cosine 角 与弦指的是另外一条直角边，也就是这个角的零边去比弦，也就是比斜边。第三个呢，正切，正切呢，就是两条直角边的比， 正对着的边去比，另外一条直角边对比，我们记作参紧的这个角。当然考试中必考的肯定是那特殊的三角弦，咱们首先你得了解特殊的三角，三十度的， 四十五度的，还有六十度的，那么这三种三角函数值你得可以说背诵的非常熟练，是吧？二分之一，二分之根号二，二分之根号三， 然后 cosm 三十度，就是二分之根号三，这还是二分之根号二，这是二分之一探进的三十度，三分之根号三，探进四十五度，还有探进的六十度，这九个值你肯定得这个 非常熟练。为什么要研究这个锐角三角函数？我们之前学过勾股定律，是直角三角形三条边的关系， 七年级就知道三角和内角的定义，直角三角形，两个锐角互余，这其实是它角的关系。 而有了三角函数以后，咱们就有了三角形的边角关系。所以说在第一部分学完了定义以后，第二部分专门研究的一个主题就是解直角三角形。什么叫解直角三角形？就是求出它所有的五个元素， 三边俩角，这就叫解直角三角形。现在给你一边及一角，你都可以求出所有，比如小 c 等于十，再来个角是三十度，你就可以求出来另外一角。 那如果现在这个角哪怕是三十七度，那么因为这个现在这个角 a， 它也得有固定的三角函数值。 所以说当我知道一条边是十，哪怕这个角三十七度，三十一度、十九度，任意的度数，我们都可以求他的剩余的角和所有边。这是 第二部分，叫做解直角三角形。当然第三部分还是你学完了这个知识，我们得应用它解决实际中的问题。那么这个应用里边，书上主要给了两类例题，一种是 这样做个垂，呈现出两个直角三角形，我们把这种叫做背靠背。还有一种是这样做个垂，也是处理两个直角三角形。你看这里 abc 和 abd 是 直角三角形，这里也是 abc 和 abd 是 直角三角形，那么这两个直角三角形，一个是背靠背形，一个是母子形。这个题就 明白一件事就可以了。像这种题，因为有两个直角三角形，如果考试考你，他一定会告诉你两个锐角的值，要不然他不叫三角函数，能成勾股定律了。 像这种题，只要你知道任意一个直角三角形，任意一边的长，你就可以直接求出所有。 比如这道题里，如果告诉你 b、 c 得五十，你再有俩角，你先求完 a、 b 以后，你所有的线段都可以用三角函数求出来。比如这里边人如果告诉你 a、 d 什么任意的，只要你是直角三角形的某一条边知道了， 你就不用列方程，直接就能求。那么第二种情况还可能是什么呢？在这幅图里，只有一条线段不是直角三角形的一条边，那就是 b b， 那 就是 c d。 你 看 c d 这条线段并不是某一个直角三角形一条边的长，一旦他告你 c d 的 长，比如说得二百， 让你求某条线段的长，这个时候一般我们都设公共的边，是 x， 那 么同理，这幅图当中也只有一条线段 不是直角上一条边，一旦告诉你 c d 得二十，你要想求别的，那我们一般还是设公共的边，长是 x， 这条线段用 x 表示，这条线段也用 x 表示，方程列出来了，这边同理，这就是这一张的这个主要内容非常简单。

朋友们好，今天我们和大家共同探讨锐角三角函数的几何综合。如图，在平面直角坐标系中，三角形 abc 是 圆 o 的 内角，三角形 a b 等于 a c 点 p 是 弧 a b 的 中点，连接 p a p b p c 或探明角 a b p 等于二分之一，求探明角 b p c 的 值。 好，这是道关于的锐角三角函数，它求值的问题，但它往往与圆 进行哪呢联系，也与相似三角形的进行联系，所以说这是要比较综合的求值数值的问题。我们接下来已知图形，我们可以看一下角 a b p， 角 a b p， 它是这个角啊， 在圆里面呢，有个重要的性质，等，弧所对应的弦以及对应的圆心角，圆周角，它是相等的， 随着根据这样性质呢，我们就可以进行呢角度的转换。好，我们正式开始解这道题。解， 因为 p 点是弧 a b 的 中点， 所以弧 b p 等于弧 p a 好， 我们与原相结合呢，我们就这有垂径定律，此时呢，我们可以连接 o p， 连接 o p 角 a b 与点 m， 因为碳体 角 a b p， 它等于二分之一。那么根据这个比值呢，我们就可以设 p m 等于一，就是 p m 等于一，那么呢， b m 就 等于了二。 好，根据垂径距离，我们可以看到，因为 o p 也是半径，此时呢，我们就可以把半径求出来了。虽然此题呢，等于呢没有值，让我们求半径的值，但是呢，根据这些已知条件呢，我们可以把半径求出来的。 垂径定律是证明了 b m p， 它是一个九十度的，那么 b m o 它也是等于九十度的。那么在三角形，在 r t 三角形 b m o 中，我们发现 o m 就 等于 r。 好， 我们设半径为 r， 设半径 为 r， 那 么呢， r 减一就构成了这个 o m， 所以 o m 的 平方呢，就加上我们这个 b m 的 平方， b m 就是 二，就加上二的平方，就等于我们的 r 的 平方，所以这样呢，根据这样这个勾股定律呢，我们就可以把 r 的 给先求出来， r 的 平方减二倍， r 加上一，加上四，等于 r 的 平方，所以 r 呢，就等于二分之五。好， 我们把 r 求出来之后呢，我们看一下所要求的角度的探顶， b p c b p c 它实际上是这个角，我们看一下 它跟我们的 bpm 相邻的，但是它相邻一个比较非常小的一个锐角，但它们两个不是一同一个角，所以说我们要观察，我们怎么样将这个角呢，转换到另外的直角三角形里面去， 圆里面呢，形成的是同弧所对圆周角相等，那我们去找这个角的还有其他的圆周角，我们通过延长之后发现，哦，它原来就是我们的弧 bc 所对的圆周角，因为 角 b p c 是 弧 b c 所对的圆周角。 好，那么我们 b 弧 b c 呢？还多，还对应的另外棱角是 b a c， 所以呢，角 b p c， 它是等于角 b a c 的。 当我们连接 o b、 o c 时，连接 o b o c， 那 么呢，就有角 b o c。 角 b o c 是 弧 bc 所对的圆角是圆周角的二倍，那么呢，就有角 b o c 就 等于二倍的角 b a c。 好，因为 a b， 它是等于 a c 的， 因为 a b 等于 a c， 所以 呀，三角形 b a n， 我 们这个手连接 o a 交 b c 于 n， 这个时候我们连接 o a 交 b c 于点 n， 所以 我们这个 b a n， 它就是一个直角三角形了，所以三角形 b a n 为直角三角形 好，又因为又因为 o b 也是等于 o c 的， 所以 这个角 b o n， 它是等于角 c o n 就 等于阿尔法，我们刚刚说是二倍的阿尔法把它平分了，就是它，是因为它是中线， a， n 是 中线，也是角，平行也是垂线。等下三角形好。那么呢，在 r t 三角形 b a n 中， 我们发现角 b a n， b a n 与这个 r t 三角形 a o m 它们存在的公共角与 r t 三角形 a o m 存在角 b a n 这个公共角 只要存在公共角，并且是直角三角形，说明呢，这个两个形状大小不一的直角三角形，它是相似的，所以三角形 a o m 相似于三角形 a b n。 好， 根据相似呢，我们就可以得到了比例关系了。所以 a o 比上 am， 就 等于呢，我们的 a b 比上我们的 a n， 刚才这个 a 和我们求出，它是半截，是二分之五的 啊， a m 是 等于二的，我们来看一下，二分之五比上 a m， a m 是 二， ab 呢，它就是二倍二，那么谁先定义可以知道呢？它就等于四了，就等于四比上 a n， 所以 我们的 a n， 我 们可以把它求出来了。 a n， 它就等于呢五分之十六。 好，同理呢，我们可以得到呢，我们将 o 看一下 a n 的 长度，减去半支 o n， 所以 就把 o n 可以 求出来了。好， o n 呢，就等于呢？ a n 减去 o v， 所以呢，我们把这个 o n 的 求长的求出，等于呢十分之七。 好，我们已经求出来一边了，另外一个直角边呢， b n， 我 们可以说我们已知道 r 了， o b 是 r 了啊， o n 呢， 已经求出来了，所以我们就可以把这个 b e n 给求出来，通过勾股定力。也好，我们再一次啊，用到这个相似也行，是吧，都可以把 b e n 求出来， b e n 就等于呢五分之十二，所以探听 r 法，这个时候呢，探听 r 法就等于呢七分之二十四，这样呢，就求出来我们这个探听角 b p c 的 值。 好，通过这道题目呢，我们就知道了，我们要所要求的呢角度关系需要进行转换，我们就是根据 圆心角与圆周角的关系来进行角度的转换，还有同弧所对的圆周角相等，从一个角转换到另一个角，再从 圆心角与圆周角关系呢，将所求的角度呢再一次进行转换，转换呢，最终转换到那个直角三角形里面去，我们才能求出它对应的函数值。好，这道题呢，我们就和大家共同的分享到这里，谢谢大家。