湘教版八年级上册数学几何洋葱课堂

hi， 大家好，我是建宇老师，欢迎来到全等构造这个专题。 众所周知，全等那可是个香饽饽，只要能得到全等，就会有对应的边等和角等，然后在我们的努力推导之下呢，就会涌现出更多的边角信息，进而解决问题。 但是吧，很多题目呢，都需要我们自己去挖出来这个全等，哎，这就有点费劲了，挖都不知道怎么挖怎么办？哎，别担心，今天这个专题呢，就告诉大家如何正确快速的挖到我们所需要的宝藏啊！不是挖出全等，常见的全等构造呀，有四大核心思路， 背长、中线构造等边截长补短，还有角平分线的几个全等模型。那这些内容呢，在接下来的课程里都会挨个介绍，咦，是不是很期待呀？那赶紧扶起我们的大脑开始学习吧！ 说到全等三角形这一章，李狗蛋虽然已经对每个知识点都烂熟于心了，但一做题就傻眼，甚至连一对全等三角形都找不到。 原来有些题我们必须添加正确的辅助线时才能做出来，考试得全分。所以呢，接下来两节课中，我们就来捋一捋全等三角形考题中四种常见的辅助线做法和答题思路。这节课我们先看前面两种， 一共三道题，这是第一题， 这是第二题， 这是第三题。 第一种辅助线做法是倍长中线，就是把三角形中线延长一倍。来看一道经典题，你先自己读一遍吧。 题目中 a d 等于 a b 这个条件说明什么呢？ a 是 b， b 中点出现了中点，就要马上联想到倍长中线，把 c a 延长一倍。 我们不仅要会做辅助线，还要会在证明过程中描述出做法，延长 c a 至 f， 使 a f 等于 ca， 然后连 d f 这么做呢？有一个奇效，就是构造了这样一对全等三角形。正全等的条件非常好，凑一对边相等的对顶角和另一对相等的边。 我们继续分析，由全等我们得到对应角，角 c 等于角 f， bc 等于 d f， 由于 d e 等于 bc， 所以 d e 等于 d f， 这样根据等边对等角，就得到了这两个角相等等量代换得到角 d， e， a 等于角 c。 这题告诉我们，背长中线就是一味药，专治有中点没全等。而药效呢，就是构造全等，然后转移边和角，为后面的证明做铺垫。 所以以后再想用中点构造全等的时候，别忘了背长中线。那最后我们来看一下这道题的解析过程。 接下来我们看第二类辅助弦做法是构造等边三角形。什么情况下要构造等边呢？我们来看道题老规矩，你先自己读读题吧。 这道题已知条件挺多的，有个等边三角形，这就能带来三条边，都是二三个角，都是六十度这一系列条件。还有 pe 垂直于 a， c， a， p 等于 c q。 口袋想用这些丰富的条件挣全，等他找到三角形 a p， d 和三角形 q c， d， 发现呢，角度不对也没有，更无语的是， d 又不是什么特殊的点。题目最后还让我们求 d e 的 长度，简直无从下手， 狗蛋儿 calm down！ 解题的关键呢，还是要找全等，没关系，只要你知道怎么做辅助线，就能找到全等。方法就是在已给的等边三角形中做个小等边三角形，比如做 p f 平行 bc 交 ac 于 f， 这样这两个角就是六十度。这个小三角形就是等边了。得到小等边有啥好处呢？ 太多了。首先啊，三线合一， p e 是 高，所以也是中线，因此 a e 等于 e f。 再说边三边相等，这样 p f 等于 ap， 就 等于 c q 了。最后说角有了三个六十度和一百二十度的邻补角。 说到这，想必你看出了进一步的好处，就是这两个三角形角角边全等 于是 d f 等于 d c。 原来 d e 由 a f 的 一半 e f 和 f c 的 一半 d f 构成，所以 d e 等于整个 a c 的 一半。那大致思路就是这样，你可以暂停再消化一下。 所以说，考试的时候，如果你碰到了已知中有等边三角形的几何题，可以再做一个等边三角形，从而引出边角等条件，构造出全等三角形。 这道题的解析过程你自己再看一下吧。 好，那接下来咱们趁热打铁再练一道。这回呢，请你读完题后，先自己想想怎么做辅助线。 看到等边三角形，图中又没全等，那么就要想到做个小等边三角形， 过点 p 做 p f 平行 b c。 这就很容易证出三角形 a f p 是 等边三角形。然后正三角形 d f p 和三角形 e b p 全等， 来凑下条件吧。最容易发现的条件当属角 d f p 角 b 这段对应角了，它们都是等边角形的，内角都是六十度，所以相等。 还有一对边也不难挣，就是 p f 和 p b p f 所在等边角形的边 a p。 而 a p 和 p b 是 由 a c 的 中点 p 分 割出来的，所以 a p b 等于 p b， 那 么等量代换得到 p f 等于 p b， 测出了一边一角。第三个条件是啥？来看已知条件中还有哪个没用到？ 这个等式咱还没用过呢，看下图，角 a p d 加角 b p e 等于六十度。哎角 a p d 加角 d p f 是 等边的造型，内角等于六十度，所以角 d、 p f 等于角 b、 p e。 把这段等角分别标为角一、角二吧，这样我们就凑出了角边角正出两个三角形，全等 有了全等就打开了结论大礼包啊！对应边 b e 等于 d f， 所以 求证的 a d 加 b， e 等于 a， d 加 d， f 等于 af， 而 af 和 ap 又都是等边四角形的，边 af 等于 ap 得证。 来看一下详细的证明过程。 好了，我们总结一下。这节课呢，我们复习了两种辅助线做法，第一是见到终点，要想到可以背长中线。 第二见到等边三角形，要想到可以再做个等边三角形。别忘了做这两种辅助线都是为了构造全等三角形。好，那这节课咱就讲到这了，拜拜！ hello， 大家好，这节课我们继续来讲构造全等三角形的辅助线做法之三和四，一起看看要刷哪些百里挑一的经典题吧！一共三道题， 我们先借着第一题来讲一讲辅助线做法之三，截长补短，截长补短，在考试中的出境率高高的不能再高了，得打起多少分的精神来选你自己心里有数了吧。请你先自己读一遍题， 我们先要把题干中的关键信息稳准狠的给揪出来，标记在图中。这些信息有已知条件， ab 等于 ac eg 垂直 bc b d 等于 c e。 还有让我们求证的 f g 这条长线段等于 b f 和 c g 这两条短线段之合， 怎么证明呢？是不是觉得无从下手啊？想证全等也找不出长得像的两个三角形，这时候一定要想着做辅助线。而做辅助线的思路可以从求证的这个等式来。 等式中的长线段等于两个短线段之合，由此我们产生两种做辅助线的思路，一种是在长线段上截出一条短线段的长度正剩下的部分与另一条短线段相等，这叫截长。 截取的动作可以是过 e 做 a 的 平行线交 b c 于 h， 不 难证出 e c h 是 个小的等腰四角形，所以高 e g 也是底边中线。那么 g h 等于 g c， 这相当于在 f g 这条长线段上截出了短线段 g c 的 长度，然后正剩下的 f h 等于另一条短线段 b f。 很 明显，正这两个三角形全等不就可以了吗？ 另一种思路就是补短，顾名思义，就是把两条短线段拼在一起，然后证明两段之合与长线段相等。 做法呢，可以是直接在 f b 的 延长线上延长出 b m 等于 g c 连 m d， 然后根据边角边先证明这两个小三角形全等得到 m d 等于 e g 以及角 m 等于九十度， 再把这两个结论当做条件来证明三角形 m b f 和三角形 g e f 全等就得到了想要的 m f 等于 f g 了。 其实 md 的 做法除了连接 m 和 d， 还可以使做垂直做 dm， 垂直 f b 延长线于 m， 这样先给出指导条件，再通过正一次全等得到 mb 等于 g c 也行， 通过得二次全等才能证出 m、 f 等于 f、 g。 总的来说，截长补短两种思路都能构造出全等，条条大路通罗马，你选哪条都可以。 那我们再趁热打铁，练习一道截长补短题吧。 注意了，跟上道题不一样了，这道题里可有坑？好，老规矩，你先自己读一遍题，然后思考一下用截长该怎么做。这道题用补短又该怎么做呢？ 如果用截长在 bc 上截 b、 f 等于 ab， 那 么证明目标就变成了正 bc 等于 bc 就 行了。 要证明这两条线段相等，需要整三角形 d、 e、 c 全等于三角形 f、 e、 c。 凑下条件角平分线分出来的两个小角相等， c、 e 是 公共边，还得凑出一对相等的角。看看角 d 和角 e、 f、 c 吧。 我们知道角 d 和角 a 这对同旁内角是互补的，因为 ab 平行于 cd， 角 e、 f、 c 也有个补角，就是角 e、 f、 b。 要是角 e、 f、 b 等于角 a， 那 就等角的补角相等，可以证出角 d 等于角 e、 f、 c 了。怎么证角 e、 f、 b 等于角 a 呢？ 正他俩所在的三角形全等呗，边角边，这就是做截长辅助线之后的证明思路。 再看，补短可以延长短线段 c、 d 让 c、 d 延长线和 b、 e 延长线交于一点 g。 哎，为什么不在 c、 d 延长线上截取一个 a、 b 出来呢？ 别着急，这问题我们待会再说。先继续刚才的补短思路，继续证明。我们的证明目标其实有两个，第一个是 bc 等于 cd 加 d g， 第二个是 d、 g 等于 ab。 我 们一个个来看，正第一个目标呢？需要证明三角形 bce 全等于三角形 gce， 一对角，一对公共边，这都不难看出来。第三个条件由 ab 平行 cd 而来，角记和角 ab 记这段内错角相等， 角 ab 记又等于角 abc， 所以 角记等于角 abc。 这样两个三角形角角边全等，第一个证明目标完成， 再看第二个证明目标 d g 等于 ab， 明显是要让我们证这两个小三角形全等啊。平行能带来两对内错角相等，再找一对边 b e 和 g e， 它们也是上一个全等的对应边，所以相等， 这样两个小三角形也全等了。证出 d g 等于 ab 等于 ab 加 cd。 现在我们回来看刚才做辅助线时扣去的问题，为什么不在 cd 延长线上截取一个 ab 出来呢？ 原因是虽然这样做辅助线一上来就完成了目标二 ab 等于 d g， 但它却让我们挣不出目标一。具体来讲就是截取 d g 等于 ab 之后，就不能说点 g 在 b e 的 延长线上了， 也就是我们失去了 g、 b、 e 三点共线这个条件。接下来的影响就是我们没法把角 g 和角 a、 b e 当做内错角，然后没法使用角 g 等于角 abc 这个关键的条件， 也就没法证这两个大三角形全等，最终导致无法证明目标一 bc 等于 cd 加 d g。 所以 这题的补短不能直接在短边上延长出另一条短边，只能用延长得到自然相交的焦点。 这题给我们一个启示，补短不一定直接补出另一条短边，也可以通过延长取焦点，关键是能凑出后续证明的条件。 啃完截长补短这块硬骨头之后，咱只剩最后一种辅助线做法要讲了，就是好消化易吸收的角平分线分折，一道题足以我们速战速决。 如果对着图分析求证的式子，会发现 a、 b 中包含一个 a、 e， 所以 把式子两边减去一个 a， e 就 变成了 a， e 等于 e， b 加 ad， 又是截长补短。而此题特殊之处在于可以利用角平分线进行翻折，把三角形 a、 d、 c 沿 a、 c 翻折下来，点 d 落在 ab 上，这样就把 a、 e 截长了， 再正 d 撇 e 等于 b， e 即可。如果补短，可以做 c， f 垂直， a， d 于 f。 利用角平分线的性质，也就是点 c 到角两边距离相等，可以得到 c， f 等于 c、 e， 然后凑条件证这两三角形全等也可以一步一步得到最终结论。 所以考试的时候看到有角平分线的题目时，要想到可以翻折，还要好好的把它的性质用起来哦。来看一下解题过程， 这节课的知识点就两条，你自己再看一下吧。 那关于怎么构造全能的辅助线，我们就复习到这啦，拜拜！ hi， 大家好，我是建宇老师。今天的专题预报来了一位重量级的大咖，经常蹲守在选天的最后一题，江湖人称多结论判断题，这类题的吨位啊，主要来自于它杂揉了多个知识点，所以战胜它就需要多个武器和工具了。 推荐的攻略就是一个结论一个结论的去攻破，一边分析一边看结论。接下来咱们会讲两块全等的多结论判断和轴对称的多结论判断应对。这两位大咖呀，我们都分别有方法和技巧，那好，事不宜迟，赶紧跟鲸鱼一起学习吧！ 哈喽，大家好，看完上个专题的你是不是对怎样添加辅助线加上了印象？其实呢，只有掌握了添加辅助线的方法，还有全等的性质，判定那些基本知识，才能做好这节课要出现的多。结论判断题， 这节课你可能很眼熟，他往往先给出已知条件，再给出几个结论，让你判断哪几个结论正确。 要说这种题的特点呢，大概有三个，第一，个别结论不好判断。结论中的大部分通常都比较容易判断，但个别结论会难度 up， 不好判断。 第二，正确率低。很多同学都会凭感觉判断，所以往往都会做错，不要凭感觉，要进行逻辑推理。第三，效率低。判断每个结论时都相当于做了一道小题，所以做起来比较耗费时间。 那你会怎么解这类题呢？每个人解的奇幻不太一样，但我在这给你的建议是，不要只看一遍条件就开始看结论，而是看条件的时候，要自己分析一下每个条件可能的用法是什么，能推出什么新的结论。一边分析条件，一边看结论。 那接下来我们用两道题来操练一下，这是第一题， 这是第二题。 先看第一题，你先来读一下已知条件，自己来试着推出一些结论吧。 已知三角形 a、 b、 c 三条边各不相等，说明三角形 a、 b、 c 不是 一个等腰三角形。然后给了两个垂直 pm， 垂直 ab， p、 n， 垂直 ac， 垂足是 m 和 n。 看图我们知道， ab 和 ac 是 角 b、 a、 c 的 两条边，所以 p m、 p、 n 的 长度表示的就是点 p 到角 b、 a、 c 的 两条边的距离。 下一个条件 pm 等于 p n， 这说明点 p 到角 b、 a、 c 的 两边的距离是相等的。讲到这，你要是还不知道用什么定律，那可就真是白学了，角平分线判定定律呀！ 到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，也就是说，点 p 所在的线段 a p 是 角 b a、 c 的 角平分线，所以 a p 把角 b、 a、 c 平分成了两个相等的小角，角一等于角二。 最后两个条件， q 在 a c 上， q p 等于 q a。 我 们在图中标出来三角形 a q p 中由于等边对等角，所以两个底角相等，角二等于角三， 又因为刚才正出了角一等于角二，等量代换，角一也等于角三。还可以继续推理，角一和角三是一对相等的内错角，所以 ab 平行于 p q。 运用平行线性质，我们还可以得出更多的结论。但是呢，我们已经推理的很深了，先推到这来看看题中让我们判断出哪些结论吧。 第一个， ap 是 角 b a、 c 的 角平分线，哎，这个我们已经自己推理出来了。 第二， am 等于 an， 看图 aman 是 左右两个直角三角形的边， 那我们证明这两个直角三角形全等不就行了？找下条件，斜边是公共边，直角边 p m 等于 p n h l 全等。 第三， q p 平行 am， 哎，这个我们也已经推理出来了。 最后，我们来看第四个结论， b p 等于 c p。 很多同学会想，可能正全等应该很快能判断出来。可是啊，图中 b p 和 c p 所在三角形中，无论是这段小的三角形还是这段大的三角形，它们都不全等。 然后呢，索性肉眼观察， b p 和 c p 看着相相等，哎，于是就直接判定第四个结论正确。 这样思考的同学，很遗憾你掉入了凭感觉做判断的坑。这节课一开始我说啥来着，不能凭感觉，要进行逻辑推理才行。 那么这种用普通方法不行，又无法马上确定对错的结论，我们遇到的时候该怎么推理呢？ 注意，你最需要的得分攻略来了，就是假设法先假设成立，然后看得到的结论与题目条件是否矛盾。 就拿证明 b p 等于 c p 来说，先假设它成立，那么有了这两条线段相等的条件，我们就能证出这两个小直角三角形 h、 l 全等， 所以角 b 等于角 c， 于是得到 ab 等于 ac 三角形， abc 是 等腰三角形。再看题目，已知条件说的是三角形 abc， 三边各不相等，根据假设得出的结论和已知矛盾了，这说明啥？ 说明假设错了呗。因此呢， b p 等于 c p 这个结论是错的。 怎么样，假设法是不是很好用啊？把假设法用好了，很多令人棘手的个别问题都能判断出来了，所以这第一题的答案就是结论一二三正确。 有了第一题打底，相信第二题你会做的快很多，你先来做做看吧。 已知条件有角 a 是 六十度三角形 a、 b、 c 里的两条角平分线 b、 e 和 c d。 看到角平分线，你能想到什么？ 分出的小角相等，所以我们把这两对相等的角分别标上两个 x， 两个 y。 那 说到角度，我们知道角 a 是 六十度，角 a 加二， x 加二， y 等于一百八十度，那么我们很轻松的就得到了 x 加 y 等于六十度。 那么第一个结论，角 b、 p、 c 等于一百二十度，是不是就正出来了呀？简单吧， 再回到两条角平分线这个条件，我们还能推理出什么 三角形，三条角平分线交于一点呀，这个可是常识级别的，性质必须掌握。所以 b p 和 b、 c 的 交点， p 跟 a 连成的线段 a、 p 一定是角 b、 a、 c 的 角平分线，两个三十度小角得出来了。 那么你看结论二是不是也证出来了呀？如果你真是忘了三条角平分线交于一点，那就要证明结论二， 需要根据角平分线的性质和判定进行简单证明。做三条垂线段，根据 b p 使角平分线可知这两条垂线段相等。 根据 c、 p 是 角平分线，可知这两条垂线段相等，所以这两条垂线段相等，因此 ap 也是角平分线。 角平分线真是一条宝藏线，只要我们挖掘它的性质，总能挖到有用的东西。其实呢，我们还能继续挖， 可以根据角平分线做翻折构造全等。比如把三角形 b、 d、 p 沿着 b p 翻折下来，得到跟它全等的三角形 b、 f、 p 这个全等，也许我们证明剩下的结论时会用的。 那我们来看结论三， a、 p 等于 pc， 这个结论让人一下想不出来该怎么证。别慌，我们有假设法， 假设他俩相等，那么这两个小角相等，所以角的二倍，也就是这两个大角相等， 所以俩角都是六十度。于是得到结论，三角形 abc 是 等边三角形，对照看看已知条件怎么说的。任意画一个角为六十度的三角形 abc， 也就是只有一个角为六十度，所以他不一定是等边四角形， 而 ap 等于 bc， 只有在等边三角形中才成立，在任意画的一个非等边三角形中就不成立，因此三是错的。 注意，像这种有时成立，有时不成立的情况也算错，因为只有无论什么时候都成立才算对。 来看结论四， b、 d 加 c、 e 等于 b、 c， 也就是问 b、 d 和 c、 e 这两条短线段能不能合在一起拼出 b、 c 呢？证明思路就是截长， 在 bc 上截取出 b、 d 的 长度。这一步我们刚才在做翻折的时候就完成了，三角形 b、 d、 p 全等于三角形 b、 f、 p， 所以 b、 f 等于 b、 d 啊，这次翻折我们还真用上了。 然后通过证明另一段三角形全等来得出 e、 c 等于 f、 c 就 行了。要注意，正右边这两个三角形全等时有个难点，就是需要凑一对角的条件 相对。比较简单的是找角 c、 p、 f 和角 c、 p、 e 相等。思路是根据角 b、 p、 c 是 一百二十度得到邻补角都是六十度，又因为这两个角相等，所以它也是六十度， 因此角 c、 p、 f 也是六十度，和角 c、 p、 e 相等。最终认出结论四，正确。 结论五是左右这两个三角形的面积之合，等于下边这个三角形的面积。怎么正呢？不是找底找高再去算。 你忘了刚才咱们正出两对三角形全等啊！把上面两个三角形都翻折下来，自然就拼出了三角形 pbc， 那 么上面两个三角形的面积一定等于三角形 pbc 的 面积。结论五，正确。 好了，整个看一下这道题，结论一、二、四、五是正确的。选 a。 总结一下关于全等的多杰伦判断题得分关键是掌握每个条件的可能的用法，比如见到角平分线就要挖出它的这些常用的性质来。 解题攻略呢，主要有两个，第一，先从条件中自己试着推出一些结论，然后判断题目所给的结论往往会轻松很多。 第二，面对不能马上判断出来的结论，我们可以用假设法，假设这个结论正确，再推理，看看有没有跟题目条件矛盾的地方。那这节课就讲到这了，拜拜！ 嗨，大家好，我是建云老师，这个阶段的几何呀，偏逻辑推理的主要有两大块， 全等和特殊的三角形。哎，他俩一联手就有了一个大咖级的全等模型，手拉手模型。 那今天这节课呢，咱们就再熟悉一下他的模型特征和结论，同时拓展一下他的应用，尤其是条件不够，需要构造全等的时候。两个点需要特别关注， 一、如何构造手拉手模型。二、构造之后都有哪些结论可以用？嗯，实话说，今天的内容啊，难度的确略高，但是咱们总结的方法也是够硬的，百分之九十九都能扛。那话不多说，期待多多赶紧跟鲸鱼一起奔赴磨炼场吧！ 嗨，大家好，说起等边三角形，大家应该都非常熟悉了，这其中呢，有一个超级经典的全等模型，那就是共顶点双等、边转一转全等线。 模型中两组等线段分别夹定角六十度，那判定它俩全等的方法就是 s a s， 这样其中一个绕着公共的顶点旋转六十度就可以得到另一个。 今天呀，咱们就在这个模型的基础上进行拓展，来看看还有哪些隐藏的秘密。一共四个小题，前两个是对线段关系的讨论，后两个是对角度的讨论。 来看第一题，你先自己读读题，看图。三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 e 都是等边三角形，它们有个公共的顶点 a， 哎呦，出现什么啦？ 双等边共顶点，这不就是刚刚说的模型吗？模型在 s、 a、 s 的 全等就在那，你能找到这对全等吗？ 图中 a、 d 等于 a、 e， a、 b 等于 a、 c。 设这里的角分别为角一、角二、角三。 由这两个等边可知，角 b、 a、 c、 角 d、 a、 e 都是六十度，也就是角一加角二等于六十度，角二加角三等于六十度，那么角一就等于角三。 这下两边及夹角都有了 s、 a、 s。 三角形 a、 b、 e 就 全等于三角形 a、 c、 d。 得到全等之后，再来看目标线段 b、 d、 b、 e、 b、 c。 图中的 b、 c 等于 b、 d 加 d c， 而 d、 c 呢？根据刚刚的全等，正好等于 b、 e。 等量代换一下，就可以得到最后的关系， b、 c 等于 b、 d 加 b、 e。 怎么样？不难吧，两步就能搞定，一步全等，一步等量代换，嘿嘿，如果稍微来点变形，把等边三角形换成等腰直角三角形，你还能轻松过关吗？自己先试着做一做这个题 来看，虽然图中变成了两个共顶点的等腰直角三角形，但结论依然是不变的。 bc 等于 b、 d 加 b、 e。 怎么来的呢？依然是先得到手拉手的，这就是全等三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 c、 d。 然后再等量代换，得出结论，全等的证明还是 s、 a、 s 两组对应边 a、 d 等于 a、 e， a、 b 等于 a、 c， 再加上这里经典一、二三的倒角，同角的与角相等，得到角一等于角三。 有了全等，依然是把 d、 c 换成 b、 e， 那 原来的 b、 c 等于 b， d 加 d， c 就 变成了 b、 c 等于 b， d 加 b e。 嗯，变形之后还是不太难，我决定继续变形，这回换成了两个共顶点的普通等腰三角形，你觉得全等还存在吗？ 不用怀疑，全等依然存在。看这个图，三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 c、 d 都能找到，而且两组对应边相等，夹角也依然相等， s、 a、 s 一定会有三角形 a、 b、 e 全等于三角形 a、 c、 d。 这里提示一点，如果是动态旋转的情况，旋转过程中，如果图长成了这样的 a 字形或八字形， 也就是 a、 c、 d 三点共线， a、 b、 e 三点也共线，此时呢，三角形 a、 b、 e 和 a、 c、 d 就 不存在了，对应的旋转全等也就没有了。 动态的我们先不细说，继续看双等腰共顶点的这个图。虽说这全等没跑了，但这只是 d 在 线段 b、 c 的 情况。如果点 d 在 直线 b、 c 上呢？全等不变，对应的结论会变吗？ 看这俩图来分析一下。一个是点 d 在 bc 的 延长线上，一个是点 d 在 c、 b 的 延长线上。图虽然复杂了点，但找到全等还是不难的。 有了全等，再加上等量代换，就能推出最后的结论。一个是 b、 d 等于 bc 加 b e， 一个是 b e 等于 bc 加 b d。 你 看看图是这样吧， 因为点地的位置不同，线段大小就会有变化，所以这里的结论就会不一样。但是不管怎样，权等都是推导线段关系的一个重要桥梁。 好了，结束了对线段关系的讨论，接下来我们再讨论一下角度。看图，三角形 a、 b、 c 和三角形 m、 d、 e 都是等边三角形。连接 b、 e 后，让我们来猜想角 e、 b、 d 的 度数。 这里边角 a、 b、 c 已经知道是六十度了，那你来猜猜剩下的这个角 e、 b、 m 是 多少度呢？ 根据已有的都是等边三角形，大家盲猜也该选 a 六十度。不出所料，角 e、 b、 m 就是 六十度。那这个六十度是怎么来的呢？ 全等？不对啊，这俩等边三角形不是共顶点的呀，哪里有全等啊？待我们分析分析，再来它个一箭双雕。 我们可以把这个题当做是一种变形。本来呢，是两个共顶点的等边三角形，现在嘞，有一个滑下来了一节， 如果我们想利用全等去倒角，那就需要构造一个双等边共顶点的模型。怎么构造呢？ 跟着这个滑下来的三角形，我们可以把 m 看成是公共的顶点。已经有了一个等边三角形 m、 e、 d， 另一个等边三角形，应该以谁为边去构造呀？你来想一想， 这里还有一个边 m、 b， 我 们就以它为边来构造一个等边三角形 mb 在 ab 这个边上，而三角形 abc 呢，是个等边，所以可以考虑做个什么线呢？ 可以过 m 做 ac 的 平行线，与 bc 交于点 n 形成的三角形 b， m， n 就是 一个等边三角形。 ok， 图做出来了，到这就非常熟悉了吧，双等边共顶点，边角边全等线。 根据 s、 a、 s 可以 得到三角形 m、 b、 e 全等于三角形 m、 n， d 角 e、 b， m 就 等于角 d n m 也就是六十度，最终角 e、 b、 d 就是 一百二十度。 这道题啊，虽然乍一看很陌生，但是想到全等，再想到模型，就可以轻松应对了。 想到全等，是因为图中出现了很多等角和等边，想到模型是因为需要构造全等。而且呀，如果遇到感觉很熟悉的题目，一定要大胆猜想，小心验证。 想要顺利通过这一条条的南河，除了好好分析已知，还要在平时多积累一些常用模型，待到需要的时候，这些模型就会变成解析催化剂。 好了，趁着打铁，你来看看下面这个变式题， 双等边变成了双等腰直角 e、 b、 d 会由一百二十度变成多少度呢？ 欧了，秒出九十度形，变神不变，依然是需要构造全等 怎么构造呀？照葫芦画瓢嘛！刚刚构造等边是做的平行线，这里方法一样，依然是过 m 做 a、 c 的 平行线，与 bc 交于点 n 得到的三角形 m、 b， n 就是 个等腰直角三角形。 再看这里的构图，很熟悉了吧，不再多说一步 s、 a、 s 的 全等，一步倒角，具体过程可以自己再看一看。 当然，如果拓展到普通的等腰三角形，方法还是一样，做平行线去构造一个共顶点的双等腰模型。 设等腰三角形的一个底角是 r 法，那由这段 s、 a、 s 的 全等可以得到角 e、 b、 m 也是 r 法，角 e、 b、 d 就是 二倍 r 法。 以上呢，都是 m 在 线段 ab 上的情况，角 e、 b、 d 等于二倍 r 法。那如果 m 在 b、 a 的 延长线上，或者是在 ab 的 延长线上，角 e、 b、 d 又是怎样的呢？ 以普通的等腰三角形为例，这两道思考题就留给你课下去做啦，结论会在末尾告诉你。好， 总结一下今天的内容。虽说讲了四个题，还加了一些拓展，但是核心的东西就是一句话，共端点等线段，边角边全等线。 如果图中能够找到全等，那就证明之后拿来用。如果没有全等，就做平行线，构造一个共顶点双等腰的模型，正出全等，然后导边或导教。最后呢，回顾一下今天的图们， 刚刚说的思考题的结论也给到你了，下去自己再琢磨琢磨。另外，这些图一定记得截图保存呦，拜拜！ 哒哒哒呼啦嘻呀哒哒哒哒哒呼啦呼啦哒哒哒呼啦嘻呀哒哒哒哒呼啦呼啦。 文明的发展和科技的进步往往离不开工具，就像望远镜的出现改变了天文学一样，有些工具也对数学的进步立下了汗马功劳。在两千多年前发明了古典几何学的希腊人就对两种数学工具深深的着迷，他们一种是尺，另一种是圆规。 为什么是他们呢？是因为这两样东西就是尺规作图所需要的全部工具了。几何大牛欧几里德对尺规作图进行了严格的总结，用的尺指必须是不带刻度，而且理论上必须是无限长的。而圆规的作用在于可以任意一点为圆心，以任意半径画圆。 只不过这个半径也必须是之前做图过程中出现的长度。换句话说就是直尺用来画直线，圆规用来定长度。尺规做图就这样被习大人认为是对人类智慧的挑战和最最有趣的思维游戏，整天研究它。在这种背景下，习大人还研究出了三个困扰了后人两千多年的问题， 一个是怎么用尺规作图，把一个角三等分。还有一个是如何画出一个立方体，让它的体积是给定立方体的两倍，也就是被立方。还有最后一个问题是如何画一个正方形，让它的面积和一个圆相等，也叫画圆为方。这三个问题后来被称为尺规作图三大难题，让后世无数数学家和数学爱好者为他们着迷。 直到两千多年后的十九世纪，这三大尺规作图问题才先后被证明，尺规作图不能，也就是说，用尺规作图的方法不能解决这三个问题。哎，即使被习大人坑了两千多年，也没有阻挡众多对自己智商超级自信的人们对尺规作图的迷恋。比如数学天才高斯就在大学时候拿到了一道作业题， 用尺规作图做正十七边形。高斯回家后抓耳挠腮，怎么做也做不出这一题。但是有些时候，聪明人总会有奇怪的坚持，困难反而激起了高斯的斗志，赌上我数学天才的尊严，一定要把这道题做出来。 第二天，高斯就带着解析方法和通宵的黑眼圈去找了教授，没想到教授大吃一惊，因为这道题本来是他自己打算研究的，一不小心当作业留给了高斯，还是不是故意的我们也不知道，但让他没想到的是，大二学生高斯居然一个通宵就做出了牛顿都没做出来的难题。 后来正时期编形的耻归作图就变成了高斯最具传奇性的成果之一，被刻在了他的墓碑上。在高斯之后，又一些数学家做出了更多变形的耻归作图。 十九世纪的时候，黎克洛做出了正两百五十七边形，光是证明过程的论文就长达八十页。不过这还不是最夸张的，有个叫做赫尔美斯的人，花了整整十年功夫，做出了正六万五千五百三十七边形证明过程的稿，装满了整整一手提箱， 至于用烂了多少纸尺和圆规就没人知道了，这才是真爱啊。不过别看他们花了这么多时间，这些成就都没有当年高斯的正十七边形给人印象深刻，因为高斯的正十七边形为这类证明砒定了基础。 怎么样，不敢小看这尺尺和圆规了吧，往往越是简单的工具，背后蕴涵的潜能就越大。中学时期，我们也需要掌握尺规做图，不过不用做正十七边形，你只需要了解尺规做图的五种基本做法，第一个是做一个角等于一只角，第二个是平分一只角。 第三个是做已知线段的垂直平分线。第四个是做一条线段等于已知线段。最后一个就是过一点做直线的垂线，这些就是尺规作图中的五种基本作图。接下来我们就来学习其中一种和全等三角形最密切的平分已知角，也就是做已知角的角平分线。 做已知角的平分线通常有两种办法，第一种叫无脑对折法，就是在纸上直接把角的两边这么对齐一折，于是两个小角的重合了，那么这条折痕所在的射线就是角的角平分线，如果你觉得这个无脑对折法很适合自己的话，哎，考试的时候后果自负，与我无关。第二种就是正统的耻归作图，耻归作图，做角平分线分三步， 第一步，我们需要分别在脚的这两边上找一个点，并且呢，保证这两个点到 o 点的距离相等。在尺规做图中，直尺只负责画直线，而所有跟长度距离有关的操作都是要通过圆规的，于是我们就用圆规取一个任意的长度，然后呢，用 o 点作为圆心画一条弧， 保证这条弧和 o a， o b 的 相交。那相交的这两个点 m 点和 n 点，因为是同一个半径的圆，所以呢，他们到圆心 o 的 距离相等，也就是 o m 等于 o n。 第一步很容易，第二步就关键了，我们先把圆规打开到大于 m n 之间距离一半的样子，比如这么多，然后呢，分别用刚刚找到的 m 和 n 两个点，把它们分别作为圆心画弧，并且把弧画在角 a o b 的 内部，这样两个弧就能有一个交点。哎，我们叫它 c 点 好了，看着这个 c 点，你觉得它有什么特殊性呢？呃，这个 c 点可不可爱呢？是你的个人观点，我知道的是。第三步，只要画射线 o c 就 能得到角 a o b 的 角平分线了，也就是 c 点在这个角的角平分线上。不过为什么用这种方法可以做出角平分线呢？ 其实是可以通过全等三角形来判定一下的。我们先连接 mc 和 n c， 然后呢，就能得到三角形 o， m c 和三角形 o n c， 这个时候只要证明这两个三角形全等，就能证明角 m o c 等于角 n o c， 也就是 o c 为角平分线。那在这两个三角形之中呢， o m 等于 o n， 因为这是刚刚圆规做出来的，同时 o c 呢，它是一个公共边，那再加上 m c 这条边等于 n c 这条边也是用圆规做的长度。所以呢，就可以用边边边定力判定这两个三角形全等，那也就间接证明了 o c 是 这个角的角平分线。这就是尺规作图做已知角平分线的方法。 实际上呢，角平分线不仅可以做出两个度数相同的角，它还有一些非常有趣的性质，比如我现在在 o c 上任取一点，任意取一点点 p， 然后呢，过点 p 做 o a o b 的 垂线。注意是垂线，分别记垂足为 d 和 e， 然后连接 p d， p e 这两根线段，请你猜一下，它们有什么关系呢？ 哎，估计大家都能猜到 p d， p e 这两根线段是相等的。不过呢，这其中的原因我们要在下个视频里继续研究了。 还记得上个视频中那段做图的黄金搭档吗？直角和圆规，对，就是他们俩。这个视频啊，他们要继续被派上用场，用来复制组成平面图形的两个基本元素，它们是线段和角。 先来完成第一个任务，复制线段。所谓复制线段，就是已知一条线段，然后用尺规做出一条跟它一样长的线段。 有同学说，很容易啊，用尺子量出多长，再画一条不就完了吗？哎，等会等会，尺规作图用的直尺是没有刻度的，你忘了，它只能用于做直线，而确定长度要靠圆规， 用圆规的两角站在已知线段两个端点上就复制好了长度，然后在旁边随便画一条直线， 以上面任意一点为圆心，以复制好的线段长度为半径，画一条短短的弧弧，跟直线要有交点，可想而知，这个交点到圆心的这一段距离跟已知线段相等。那这段就是我们想要的新线段了，是不是很简单？ 总结下，做一条线段等于已知线段的基本步骤就是这些，你可以再看一下。 那通过复制线段，我们再次认识到圆规的功能就是截取第一个任务是不是小菜一碟啊？那面对接下来第二个任务，我们不要掉以轻心，复制已知角。哎，这就没有那么简单了，需要一起动动脑子， 对准一个已知角 a、 o b， 我 们要在旁边这条直线上用尺规做出跟它一样大的角。 怎么作图呢？首先，新角的一边肯定在这条直线上，任取一点 o 撇，就得到了角的一边 o 撇， a 撇，那另外一边 o 撇 b 撇在哪呢？ 接下来的操作请你先跟住，最后一定会让你明白这么做的原因。我们先用圆规做弧，找焦点，以 o 为圆心，任意长度为半径做弧弧要画多长呢？要画的跟角的两边都相交就可以了，因为画弧就是为了取这两个焦点嘛，两个焦点取名 c 和 d。 现在一起来复制 o、 c、 o、 d 这两条线段吧。哎，这弧画的太短了，明显撑不起这个角，但也不用画的太长，因为角的方向肯定是往这边的， 这条弧与直线的交点就是 c 撇点。哎，那 d 撇点在这条弧上哪个位置呢？先看点 d， 它是射线 o、 d 和这条弧的焦点，所以 d 撇点也一定是射线 o 撇、 d 撇和弧线的焦点。 而如果要画出这条射线，仍然需要以 o 撇点为圆心， o 撇 d 撇为半径，相当于把这条弧又描了一面，还是没焦点，就算我们调整了半径画弧看，也不会出现什么焦点。 所以咱赶紧换思路，有没有别的经过地点线呢？如果把 c、 d 连上，我们就能通过这条线段来找点 d 的 位置了。嗯，是个不错的思路，赶紧做出 c 撇、 d 撇来。复制线段这种活啊，都得用圆规。这回以 c 撇为圆心， c、 d 为半径画弧。 哎，看，两条弧交叉了，终于被我们打到了一个焦点，毋庸置疑，他就是 d 撇点。 看来呀，要想确定一个点的位置，不仅可以通过两条直线相交，一条弧线和一条直线相交，还可以通过我们刚刚用过的两段弧相交来完成，这个攻略可得牢记啊！ 好了，现在我们找到了 d 撇点，把它跟 o 撇相连，这个新角就做出来了，经历了一番做一角等于一只角的过程。最后，我们来总结下做图步骤，你再看看消化一下喽。 讲到这，你也许早已发现，复制一个角远比复制一条线段麻烦好多，这是为什么呢？你看，刚才复制角的过程，是先复制了 o、 c， 又复制了 cd， 所以 复制一个角就是复制两条线段的过程，所以步骤会更多一些。 而复制这一个角，其实还顺带产生了一个神奇的效果，就是你看整个三角形 o、 c、 d 的 三条边都被复制过来了，对吧？所以，根据全等三角形判定定律， s s s 这两个三角形全等好了，那这个视频就到这里了，拜拜。 哈喽，大家好，如果有一把直尺，一个圆规，你还记得我们可以做出什么图形吗？最基本的两项技能是复制一条线段和复制一个角这个视频我们会在此基础上用尺规去复制更复杂一点的图形。三角形。 虽然三角形有三条边，三个角呢，但我们并不需要凑齐这六样才能作图。有时只知道其中三样就能做出三角形，知道哪三样呢？有几种组合都能让我们做出三角形，咱挨个来看。 先来看一种条件组合，已知两条线段 a 和 c 和一个角。阿尔法求作一个三角形 a、 b， c， 使它的两条边分别跟这两条线段一样长。两条边 b、 c 和 ab 中间都有一个相同字母 b， 那么这就说明以 b 为顶点的角 abc 肯定是这两边的夹角，让夹角等于角阿尔法这种组合是三角形的两边和中间的夹角。那我们只要复制两条线段和一个角嘛，都是学过的技能了，边用边复习吧。 先做出一条边，做一条线段 bc 等于 a， 用圆规截取，在射线上画弧，得到三角形的一边 bc。 这是第一步。那么问题来了，第二步是做边 ab 呢？还是做角 abc 呢？你想想看， 如果这时候做边 ab 的 话，就是以线段 c 为半径，以 b 为圆心画弧呗，但你会发现没有交点，所以无法确定 a 点的位置。可如果我们先做角，情况就完全不同了， 来操作一下，请你跟着一起回忆以前学过的复制脚的步骤，先在已知脚上画弧，做出两个焦点，这边也画弧，做出焦点，然后以两焦点之间距离为半径，以这个焦点为圆心画弧。 角南弧的焦点就是跟点 b 相连，就得到了角的另一边 b d。 角 d b、 c 等于角阿尔法。想起做一角等于已知角的过程了吧。做出了角之后，我们最后一步做边 a、 b 就 非常容易了，复制线段呗， 看，轻松找到点 a， 最后连接 a、 c， 就 成功做出了三角形 a、 b、 c。 总结下作图方法就是这些，你可以自己再看一下。接下来呢，我们换另外一种条件组合，看怎样做出三角形。 已知角阿尔法、角贝塔和一条线段 c， 求作三角形 a、 b、 c。 其中角 a、 角 b 的 大小等于这两个角的大小。边 a、 b 看字母就知道是这两个角的夹边，要让它的长度等于线段 c 的 长度。 已知两角和夹边的这种情况，我们先做出谁呢？可以先做出一个角，然后按 c 的 长度截取边，再做出另外一个角。也可以先做出一条边，然后以它的两端点为两个角的顶点，做出两个角。 两种思路都可以，只要别先做出两个角，因为你想想这样的话，共用的这条边的长度就不好调整了。现在我们选一种思路来作图。选第一种吧，先把角二法复制过来， 然后在角 a 一 边上截取线段 c， 做出一边 ab， 最后复制角贝特， 标出焦点 c， 就 做出了三角形 a、 b、 c。 每一步的做法你再看一下喽，刚才两种做法都是带角的，最后来看不带角的 已知三条线段，然后做出以它们为三边的三角形。复制线段比复制角要简单多了耶！请你自己按要求用指令把三角形 a、 b、 c 做出来吧。再试着写一下做法， 先想象一下，如果已经有一条边了，比如把线段 a 截取过来，那么我们可以把线段 b 和 c 想象成两根木棍，各自以边的两端为轴旋转下来，最终搭在一起后，就形成了小的三角形。 体现在尺规作图的方法上，就是画两条弧，找焦点，做出三角形不难吧？好了，看下具体做法吧。 以上就是三种可以做出三角形的条件组合，把它们单拎出来总结一下，第一，已知两边，即所夹的角。第二，已知两角，即所夹的边。第三，已知三边。 哎，你有没有发现这些不正对应着判定三角形全等的条件吗？分别是 s a， s a， s a 和 s s。 正是因为背后有这些判定权重的方法撑腰，刚才每一种边角条件组合只能确定出唯一一个三角形，做不出第二个。不信的话，你可以跟旁边的小伙伴比一比，看看你们每次画的三角形是不是能够完全重合。好了，那这个视频就到这里了。

还记得在鸡兔同笼的问题里，我们是怎么列出一个二元一次方程组的吗？手机 x 之处外之六个头就有 x 加 y 等于六，十八条腿就有二 x 加四 y 等于十八。 可在学一元一次方程的时候，这样的应用题我们明明也会解啊！射击 x 一共有六只小动物，酷就是六减 x， 一共有十八条腿就有二 x， 加上四倍的括号，六减 x 等于十八。 看这样哼唧哼唧的，咱就可以开始解方程了。那为啥我们还要列二元一次方程组啊？吃饱了撑的，说起来，一元一次方程虽然解起来容易，但列起来难啊。你又不是没见过一道应用题，那方程列出来是这样的， 可人家二元一次方程组就不同了，有几个设几个，一句话，一个方程，一个萝卜一个坑，列起来多方便。 那问题来了，这二元一次方程组列是列出来了，该怎么解呀？难道我们真的要每次都列表吗？如果列表列了，绕地球三圈都找不到，该怎么办？不， 二元一次方程组我们还不会解，可一元一次方程，那咱解的可是六六的。咱观察观察，方程组中的二 x 加四 y 等于十八，和列出来的一元一次方程，他们有什么区别呢？ 就一个区别， y 变成了六减 x。 那你猜猜这又是怎么来的呢？感受一下，就是利用了 x 加 y 等于六，把 y 用 x 来表示，写成了 y 等于六减 x， 再根据等量代换代入第二个方程。一个二元一次方程组就通过削取一个未知数，转化为了一个一元一次方程。哎，这咱就能解了？ 这么惊天提气鬼神，不知不觉一个未知数就人间蒸发的过程，该取个啥名字好呢？撕毁？遗弃？ no！ no！ no！ 数学家们可都是很矜持很闷骚的物种。还记得未知数在古代叫做圆吗？那消去一个未知数的过程就叫做消缘。 别看他有点露，太频繁的外表下可藏着一颗不平凡的内心。萧媛，那可是求解二元一次方程组的通法。看到一个方程组，脑回路里第一个要有的想法 必须得是校园。在这个视频里，我们要学习的就是校园的第一种方法，代入校园法。唠叨那么多，接下来我们再来看看代入校园法是如何解决二元一次方程组的吧。 先说一句，防身足里防人很多，咱为了防止喊错，都给他们起个名字叫做一是二是。 第一步，和上面一样，先把一个未知数用含另一个未知数的式子来表示，做好校园前的一切准备，标上三式。 其实这里写 x 等于六，减 y 也行，那带入的就是 x 了，你可以自己试试。 第二步，消原，将三式带入另一个方程，也就是二式。别忘了天空号这 里通常会有一个小 bug。 三是是从一是得来的羊毛出在羊身上，咱总不能再钻回去吧？所以带回一是显然不解决任何问题，只能得到六等于六的这种横等式，你可以自己试试， 只有带入二式，才能真正消援得到关于 x 的一元依次方程。 第三步，有了个一元一次方程，咱还不赶紧解在草稿纸上，自己偷偷算算，求解得到 x 的值。 第四步，确定了 x 值之后，可别忘了还有 y， 类似求二元一次方程的解，同样是代入的想法，得到 y 的值。 其实这里带入一二三式都可以，但显然带入三式最方便。第五 不，最后一定要写出这个方程组的解，谁不写大括号，那就是在作死。这里再唠叨一句，解方程组和解方程一样，为了保证自己得分，解完了就顺手往原方程组里一带。哎，这数对了，咱就放心了。 这前前后后步骤有点多，这里给个暂停，你自己好好瞧瞧。 这就是代入消元法，目的呢，就是把二元变为一元，通过先挑一个方程把它变形，用一个字母表示另一个，也就是 x 等于一个喊 y 的式子，或者 y 等于一个喊 x 的式子， 把这个式子作为校园的钥匙带回到另一个方程里，这样这个方程就变回一元一次方程 了，那剩下的就都是老技巧了。所以用代入消元法求解二元一次方程组，写在纸面上的就这五步，变形代入、求解回代。结论， 知道了基础解法，那代入消炎法中还有一些需要强化和注意的地方，那就下半场再见了。

本章学到现在很多机智的同学会吐槽说，三角形，这里没什么有意思的题呀，不是算算内角，就是算算外角，智商没有发挥空间。于是爱你们的朱国福老师带来了一些关于内角外角的新玩法，虽然不难，但很有意思。看题吧， 这题依然是知道内角求外角，只是这次知道的不是具体的角度，而是一组比例关系。一比三比六求的也是比例关系。哎，你自己先思考一下。 这道题很有趣啊，属于知道技巧就是送分题，不知道就是送命题的那种。解析的关键就藏在视频的标题里。代数应用。 说到代数应用，你脑袋能浮现两个字，方程。说到方程，你脑袋要能再浮现这四个字，等量关系。三角形哪里有等量关系呢？显然是内角和等于八十度，外角和等于三百六十度 是不有人说，咦，那这道题的内角和不是一加三加六等于一百三十六吗？这么想，同学，去去去，离我远一点啊，捉破烂还想多活几天呢！ 说到比例关系，它的正确打开方式是，看到比就设 x， 把三个内角分别设为 x、 三 x 和六 x， 这不就满足一比三比六吗？然后列方程， x 加三 x 加六 x 等于一百八十度，也就是内角和等于一百二十度。 这式子是解题关键，把几何中的角度关系转化成了代数中的方程，于是伴着优美的音乐和愉悦的心情，解得 x 等于十八， 然后三 x 那 个角就是五十四度，六 x 就是 一百零八度，所以三个内角分别为十八度、五十四度和一百零八度。哎，这下我们就能把这个三角形画出来了，哎，原来他是个钝角三角形。 不过这道题还没完，最终要求的是相应三个外角度数比，因为内角与它相邻，外角互补，所以用一百八十度分别减一下这三个内角，得到他们仨对应外角的度数，分别是一百六十二度、一百二十六度和七十二度。顺求标搞混， 把这组数变成比例关系，除以下最大公约数，也就是都除以十八，得到最终答案。九比七比四。注意一下书写顺序，角小的内角对应的外角肯定角大，所以呢，一比三比六对应着九比七比四， 怎么样，做的很清爽吧，感觉好的话再给你介绍另一种方法，比这个更快，一上来还占着比例关系，设三个角，分别为 x、 三 x 和六 x。 但这次我们不用内角核定里了。关于内角，外角还有一个很方便的工具，就是外角等于不相邻的两个内角核。这次我们用它，如果六 x 这个内角在这里，那他的外角就是不相邻的这两个内角的核， 也就是 x 加三 x， 所以呢，这个外角就是，哎，这两个内角的核， x 加六 x 等于七 x， 最后这个外角等于三 x 加六 x， 也就是九 x， 这样九比七比四的外角比例关系也有了。而且整个过程中我们都没有计算具体任何一个内角或外角的度数。 怎么样，这个代数几何合体的方法更厉害吧。好，就这种代数方法，自己练一道题吧。已知三角形的三个外角的比是二比三比四，则它最大内角的度数是这题列方程的方法完全是可以心算的，童叟无欺。 答案是 b 间比例就是 x， 所以 三个外角分别是二 x、 三 x、 四 x。 注意，这次是外角。那根据等量关系列出来方程就是 二 x 加三 x 加四 x 等于外角和三百六十度，九 x 等于三百六， x 等于四十。 有了 x 后，就能算出具体每个外角的度数了。但是先等一下，我说过这题是可以心算的，题目问的是最大内角的度数， 最大的内角肯定对应着最小的外角，最小的外角呢，是二 x。 哎，就算他就行了，二 x 等于八十，所以他所对应的内角就是一百八减八十等于一百度。哒哒写完了， 总结一下这类有关内角外角的代数计算，核心呢，还是利用我们之前学过的各条性质，但要灵活使用方程这样的方法来表达其中的等量关系，拜拜！ 三角形内外角相关的概念算是学完了。我们知道三角形内角和一百八十度外角和三百六十度内外角互补，以及外角等于不相邻的两个内角和 这几个关键的性质。它们本身都很简单，但是在解题的时候却能组合出很多有趣的解题方法。于是果冻老师特意留下了一道经典题和两个解题锦囊，让我们看看他给大家的礼物吧。 如图， e、 b、 c、 d 在 一条直线上，若上面的角 a 等于七十度，求角 a、 b， e 加角 a、 c、 d。 嘿嘿，这图看着还挺带感的啊，是不是特像马路边上的锥桶啊？那题干中要求的是角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d， 也就是 bc 边向两边延长出去产生的两个角啊。题审完了，可能还有人没思路是吧？好，我们打开果冻老师读的第一枚锦囊， 只见上面写着，安能辨我是雄词。判断内外角， 也就是说，看到一个角，要先判断它是哪一个三角形的内角或外角。这是从现在开始要一路用下去的解题意识，这样呢，才能用内外角的性质解决问题。比如我们看角 a， 那 角 a 很 明显，它只能是三角形 a、 b、 c 的 一个内角， 一旦看到内角，就要以闪电般的速度，真的是要以闪电般的速度。想到三角形内角和为一百八十度，也就有了角 a 加上。呃， 剩下两个角，我们把它标上角一和角二呗，懒得读字母了，也就有角 a 加上角一，加上角二等于一百八十度， so what 呢？现在已知角 a 等于七十度了，也就是说，只要再知道一个角一，我就能求角二了。 哎，很遗憾，我们不知道他俩任何一个度数，但是没有关系。安慰一下自己，我们至少能知道角一和角二的和。因为角 a 等于七十度是知道的，所以角一和角二的和就是一百八十度，减角 a 等于一百一十度。 回到题干中，要求角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d， 那 这俩角是干嘛的呀？ 这时我们再看看第二枚锦囊有什么惊喜吧。只见上面写着，放开视野，洞察大局，寻找目标角和已知角的等量关系。 那目标角就是要求的角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d， 它和我们的已知角角 a 或者角一角二有什么关系呢？ 观察图形会发现，角 a、 b、 e 是 角一的邻补角，角 a、 c、 d 是 角二的邻补角。哎，这样就有关系了。所以呢，可以列出两个等式，角 a、 b、 e 等于一百八十度减角一，角 a、 c、 d 等于一百八十度减角二。 我们要求的是角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d， 所以 可以把这两个式子加起来。这样等式，左边是角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d， 它们等于一百八十度减角一，加上一百八十度减角二。哎， 这样列出来的式子后面必须整理一下，太乱糟糟了。可以得到三百六十度减去角一，再减去角二。哎，这样看着已经很顺眼了， 但是呢，还不够注意，我们前面算出来的是角一加角二等于一百一十度。那为了这个条件能用上，我们要把刚才这个式子继续变形，添个括号， 变成三百六十度，减去角一与角二的和，角一角二的和，这样就能把条件用上了。最后得到角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d 等于二百五十度。哎，好了，题目又跪在我们脚下了。 总结一下刚才用到的思路，以后每当我们在题中看到一个关键角时，首先要分析它是哪个三角形的内角或外角，再利用内角、外角的性质得到结论。 其次呢，还要去寻找已知角和未知角的关系。这个思路几乎以后每道题都要用到，一定要记牢。 第一种方法讲完了，嗯，考虑到这个视频太短，粉丝们意犹未尽，那周普老师再补充另外一个做法， 刚才我们是从内角合入手的，这次呢，换个玩法，重点用外角相关的性质，比如外角等于不相邻的两个内角合， 先看角 a、 b、 e， 它不相邻的两个内角是角 a 和角二，所以可以有角 a、 b、 e 等于角 a 加角二。同样的方式还可以得到角 a、 c、 d 作为外角，等于角 a 加角一。 这样的式子左边都是目标角，要求角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d 呢，就把式子向刚才一加，得到角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d 等于角一。加角二，再加两个角 a， 那角一，角二和一个角 a 正好组成三角形的内角和为一百八十度，那么也就是一百八十度，再加一个角 a， 即一百八加七十等于两百五十度。 各位客官，刚才这两种方法满意了吗？好，既然大家好奇心这么强，那就偷偷告诉你，还有个超级妖幻迷离的解题大招，保证你死也想不到。 刚才我们用了内角和，哎，但是呢，这题呢，他还可以用外角和，因为要求的角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d 已经是两个外角了。那说到外角和，可以利用三角形的三个外角和为三百六十度，哎，差点忘了这条吧， 这题里的第三个外角在哪呢？哎，第三个外角在这里，我们虽然不知道他多大，但是注意了，他就是角 a 的 邻补角啊，所以我们延长 b、 a 这个外角，把它标记为角三，哎，就出现了， 他的度数就是一百八十度，减角 a 等于一百一十度，因此三个外角和为三百六十度。那把第三个外角放到十字右边整理一下，就能写成角 a、 b、 e 加角 a、 c、 d 就是 三百六，减去角三等于二百五十度。 看一下过程，这三种方法呢，一个比一个颠覆你世界观，对吧？但是啊，他们本质其实还是一种核心思路，先判断内外角，然后再利用内外角的性质， 寻找目标角和已知角的关系，解决问题。只是这个过程中，我们选择了不同道路罢了，拜拜！ 最近呢，三角君的好朋友平行线同学来找三角君一起玩耍，他们交谈甚欢，一会唱歌，一会跳舞，合二为一，好好一个友谊，地久天长，鼓动老师见此情景，于是附题一首。 这里有一个三角形 a、 b、 c、 b、 d 是 角 a、 b、 c 的 平分线 d、 e 平行 c、 b 上面的角 a 等于四十五度，角 b、 d、 c 等于六十度。 求三角形 b、 d、 e 这个瘪瘪的三角形各个内角的度数。来，你先思考一下， 先解读已知条件中的信息， b、 d 是 角 a、 b、 c 的 角平分线，这样就有了两个相等的角，为了看起来方便，就标记为角一和角二，所以角一等于角二， d、 e 平行 c、 b。 有 平行线，自然要用平行的性质。在这里呢，有内错角相等，我们再把角二的内错角角 e、 d、 b 标记为角三，所以角二等于角三。哎，这样一来，角一、角二、角三这三个角就都相等了。 继续看已知条件，还有两个角的度数，把它标在图上。有了这些信息后，我们再看目标三角形 b、 d、 e 各个内角的度数。 这里呢，就是要求角一、角三和角 b、 e、 d 的 度数了。这里要求三个内角度数，岂不是很复杂吗？ 哎，非也，因为已经知道角一等于角三了，再借助三角形内角和等一百八十度，剩下只需知道这三个角中的任意一个，其他两个角就能算出来了。 那其中某一个角度数该怎么求呢？哎，再回来看已知条件，已知角 a 等于四十五度，角 b、 d、 c 等于六十度。哎，他俩怎么用呢 啊，思考到这貌似卡住了啊，被水淹没，不知所措，哎，这里还留着上个视频，果冻老师给我们的锦囊呢，赶快打开看一下。看到一个角，我们首先要判断内外角，再根据内外角的性质去寻找目标角和已知角的等量关系。 洋葱锦囊必然是宇宙真理，我们一起来试试吧！先看角 a， 很 明显它是三角形 a、 b、 d 的 一个内角，然后再看另外一个知道度数的角 b、 d、 c， 它呢是三角形 b、 d、 c 的 一个内角。哎，但是貌似没有什么用啊，不过注意了，角 b、 d、 c 是 有双重身份的，它同时也是三角形 a、 b、 d 的 一个外角啊。 既然有外角，就可以借助外角的性质，外角等于不相邻的两个内角和，所以角 b、 d、 c 就 等于角 a 加上角一。哎，得到这个关系一下就通了，因为式子里两个都是已知度数的角， 角 b、 d、 c 等于六十度，角 a 等于四十五度，那角一就是六十减四十五等于十五度。 知道了角一剩下两个内角就很好计算了，角三和角一一样都是十五度，内角和一百八再一减，那最后一个内角，角 b、 e、 d 就 等于一百五十度。好，我们来看一下答题过程， 这道题体现了，当看到一个已知角条件时呢，要充分挖掘他内角或者外角的身份，再去寻找他和目标角的关系，才能解决问题。 说这么多，我们来练一道题，如图。哎，这里还是一个三角形 a、 b、 c， 不 过呢，平行线跑外边来了， a、 e 平行 b、 d。 角一等于三倍的角二，这里 还知道角二等于二十八度，要求呢，是右上的这个角 c 来，你自己先想想。 这题和上题很类似，先看角二等于二十八度，角一又等于三倍角二，那角一就是八十四度了。 a、 e 平行 b、 d。 利用平行线的性质，这里呢，利用同位角或者内错角都可以。哎，咱们就用同位角吧。 那么角 d、 f、 c 就 等于角一，也是八十四度。现在要求角 c 还是同样的思路，已知角二是三角形 c、 f、 b 的 一个内角。那再看角 d、 f、 c 呢？ 它是三角形 c、 f、 b 的 外角，又可以利用外角性质了。角 d、 f、 c 就 等于角 c 加角二，已知角 d、 f、 c 等于八十四度，角二等于二十八度，于是呢，角 c 就 等于五十六度了。 反思一下，这题的解题，关键还是要先判断内外角，才能反应过来，利用外角性质快速求解。实际上呢，我们一开始连角一等于多少度都不用算，最后也可以得到角 c 等于二倍的角二，那自然就是五十六度。 总结一下这个视频啊，就是把三角形和平线做这个小综合，再巩固运用上个视频里果冻老师留下的两个锦囊，看到已知角的条件，先判断内外角，然后再考虑运用内外角的性质，寻找目标角和已知角的关系，就到这里拜拜 哟，大家好呀，我是周朴。五分钟前，果冻老师在给大家准备道题，结果做着做着被妖精抓跑了，过程中发生了激烈斗争啊，这个果冻老师撕下了妖怪的两块皮，在上面写下了感人的赠言啊， 好像很酷炫的样子呢，那我们就毫无压力的开始吧！图是这样的，由几个三角形构成， 已知条件呢，只有一个，小 d， a， c 等于角 b。 这是道证明题，要求证小 a， d、 c 等于角 b， a、 c， 就是 知道这俩相等，去证明这俩也相等。老规矩，展厅一下，你自己先试试。 呃，正常人呢，看到这道题会有两个崩溃点，首先，他告你俩角相等，却没给你具体的度数，他让你正另外两个角相等。哎，但是他们看起来好错位啊 啊，有些绝望的同学呢，两脚气都拿出来了，嗯，事不宜迟，让我们看看果冻老师被抓走前留下的线索吧。打开第一个，发现里边用颤抖的字体写着，同一个角度，同一个梦想，同一个字母表示，用相同字母标记相等的角，呃， 好，还挺啰嗦的好吧，用相同字母标注相等的角，相等的角就是已知条件里的角 d、 a、 c 和角 b。 哦，明白了，既然他们角度一样，就都用 r 法来表示吧，是 r 法，不是 a 哦，据说这样表示后，在角度计算中会带来很多方便，一会你就懂了。 已知角是标记出来了，可是怎么证明这两个角相等呢？又绝望了对吧？别慌，哎，被抓走炖汤的果冻老师还留下另一条线索，一定也是解析技巧。 打开他，哎，里边用更颤抖的字体写着，放开视野，洞察大局，寻找目标角和已知角之间的等量关系。啊，这又啥意思啊？我们看要正的两个目标角分别在这里和这里，那又怎么样呢？ 放开视野，洞察全曲啊，少年。好吧，按照果冻老师说的，我们看远一点，再看角 a、 d、 c， 他 在这里，角 b、 a、 c， 他 在这里。哎，好像哪里不一样了呢？ 这是要正相等的两个角。然后我们再看已知条件的两个相等的角，而法他们在这里和这里。哎， get 到了吧，这四个角不是单独存在的呦，而是两个三角形，各自的两个内角。 放开视野洞察大局的意思就是不要只看角，要看角在哪里，这个非常重要。我再说一百遍，不要只看角，要看角在哪里？在什么图形里，角所在的位置比它本身更重要。 既然角 adc 是 三角形 adc 的 内角，那根据三角形内角和是一百八十度，则角 adc 加角 r， 加角 c 等于一百八十度。 再看角 b、 a、 c， 它是大三角形 a、 b、 c 的 内角。注意到，角 b 这个内角呢，也是阿尔法，因此又可以得到角 b、 a、 c。 加角阿尔法加角 c 等于一百八十度。 那这两个式子有什么作用呢？放开视野，洞察全局，寻找目标角与已知角的等量关系。目标角和已知角等量关系就是这两个式子作用里边的目标角是角 a、 d、 c 和角 b a、 c。 已知角呢，分别是角 d、 a、 c 和角 b 啊，因为它们相等，就都用 r 法来代替了。那有这个等量关系呢？我们稍稍做个变形，角 a、 d、 c 就是 一百八十度减去角 c， 再减去角 r 法。同样的，角 b、 a、 c 也是一百八十度减去角 c， 再减角 r 法。 哎，注意，没有两个式子里等号右边一模一样的，所以呢，等号左边的角肯定也相等，这就证明了角 a、 d、 c 等于角 b、 a、 c。 那 刚才我们标出的这两个角阿尔法的作用也就体现了，他能帮助我们在两个式子里更加直接的观察到等量关系。不信把角阿尔法要换回原来的角，嗯，可能就看不出来这么重要结论了。好，暂停一下，我们再回顾一下解析过程。 猪肉普脑思，除了刚才那个方法，这道题还有别的方法吗？我去，你们关心的竟然不是果冻老师的生死啊，小没良心的。当然可以了，这题还有其他办法哎，还是会看到角 a、 d、 c 角 a、 d、 c 除了是三角形 d、 c 的 内角，它还能是什么角呢？注意，它还可以是三角形 a、 b、 d 的 外角。那么根据外角与内角的关系，角 a、 d、 c 就是 这个角 b 与角 b、 a、 d 的 和。 注意到这个角 b、 a、 d 虽然不是已知条件，但由于我们需要用到它，那么为了书写方便，还是根据刚才的方法把它设成是角贝塔。那这样呢，就有角 a、 d、 c 等于角阿尔法加角贝塔，就是这两个。 那再看角 b、 a、 c， 那 这个角呢？被线段 a、 d 分 成两个角，他们分别就是角阿尔法和角贝塔了， 所以呢，角 b、 a、 c 也等于尔法加贝塔，哎，恰好和角 a、 d、 c 大 小相等，也就说明角 a、 d、 c 等于角 b、 a、 c 了。那你看一下这个解题过程， 好让我们总结一下藏在怪物表皮里的两条妙计。一、标注已知角。如果已知条件中出现了相等的角，我们就应该用相同的字母把它们表示出来，方便观察计算。 二、寻找目标角和已知角的等量关系结论，要证明什么角？我们就观察图形，找到目标角和已知角之间的关系，用等式把关系列出来。这里要注意观察角所在的三角形， 这就是角度证明题的一般方法。趁热打铁，用刚刚学的技能做一下这道期中考试题，顺便缅怀一下被抓走的果冻老师。 题目图形复杂，已知条件多，不过没关系，用刚才两个核心技巧都能做出来。首先在图中标注已知条件，已知有两个直角条件，那就把两个直角符号标记在图中的相应位置。接下来 c、 f 平分角 b c、 a， 那 就说明角 b、 c、 f 等于角 a、 c、 f。 然后用相同的字母标记它们，这两个角就都是 r 法了。 之后再看目标角，要证明的是这个角 a、 e、 f 等于角 a、 f、 e， 它们是目标角。根据刚才的第二个技巧找目标角和已知角的关系，我们要根据它们的图形中的位置跟已知角找关系。这里的阿尔法是个已知角， 它和角 a、 f、 e 注意，都是三角形 a、 f、 c 的 内角，角 f、 a、 c 是 直角，那么角 a、 f、 e 与这个角 r 法，它们就是互余的了。所以呢，可以得到角 a、 f、 e 等于九十度减角 r 法。 再看另外一个目标角角 aef， 猛的一看，发现他和右边的一只角没什么关系啊，不在一个三角形里。但是注意，角 aef 有 相等的对顶角角 ced， 而角 ced 呢，和下边的角 r 法都是直角三角形 ced 的 内角， 所以角 c、 e、 d 和这个角 r、 f 互余，可以得到角 c、 e、 d 等于九十度减角 r、 f。 又因为角 c、 e、 d 是 角 e、 f 的 对顶角对顶角相等嘛，所以 a、 e、 f 也就等于九十度减角 r、 f。 那 这样子呢，恰好就等于了角 a、 f、 e。 于是在这两个妙计的帮助下呢，我们又完成了证明，下面看一下过程。好了，这个视频就到这里，记住学过的两个方法，不要让果冻老师白白牺牲哦！ 从前有位英俊的王子想追求位美丽的公主，于是公主说，如果你能为我叠一只纸鹤，并且回答我一个问题，我就答应你。于是王子跋山涉水，翻山越岭，打败恶龙，好不容易叠好了纸鹤放在公主面前， 没想到公主说，你知道这个纸鹤里叠出了多少个等腰三角形吗？王子猝 嗨，大家好，我周普，我们曾经说过，几何来源于生活，小时候大家都叠过纸飞机什么的吧。那好，我们就来看看折纸折出来的几何问题。 我们把三角形 a、 b、 c 这张纸片沿着 d、 e 折叠，当点 a 落在四边形 b、 c、 d、 e 内部的 a 撇时，就产生这个经典的折叠问题。 我们要研究的就是角 a 与角一、角二之间的数量关系。哎，读完了题目，有同学直接要吐槽了，这题没条件啊！嗯，片头的王子就是这样奔死的。 这题有，而且只有一个条件，那就是折叠。折叠意味着什么呢？哎，请把注意力放在被折进去的这部分， 用你聪明的大脑思考一个问题，折叠前的这个三角形 a、 d、 e 和折叠后产生的 a 撇 d、 e， 你 觉得他俩有什么不可告人的秘密吗？ 把它折回去，就能发现这两个三角形一模一样，形状大小完全相同，指示位置变了，到下一张你们会知道这叫做全等图形。 所以，如果原来角 a 是 三十度，那角 a 撇也是三十度。如果原来角 a 是 四十度，那角 a 撇呢？也是四十度呗。 这种折叠的例子其实我每天都经常见，比如书看到某一页，想记一下，可以随手把书角折起来做个标记，这也是折叠。 在折出角的过程中，折起来的这部分显然没有变形或者损坏，也就是说，折叠只是更改了这部分纸的位置而已。两个三角形一模一样， 所以在这里，角一角四相等，角二角五相等，角三角六也分别相等，对应的边也相等，这就是折叠的意思。 明白了折叠的特点后，我们回到刚才的题目中，结合题目图形条件说，三角形 a d、 e 折到三角形 a 撇 d、 e， 也就是说这两三角形相同。因此我们可以得到很多组相等的角。现在用相同符号来标记一下相等的角， 这两个角相等，于是标记为 r， 下边这两个角也相等，标记为贝塔。当然了，还有角 a 等于角 a 点 标记完等角后，折叠这个条件已经被用好了，接下来就该找角的数量关系了。 题目让我们找角 a 与角一、角二的关系，但是图中这三个角，哎，离得这么远，看不出有啥关系啊。 这时呢，就要借助其他角或图形作为过渡和桥梁，寻找已知角 a、 角一、角二之间的关系。先来看目标，角一、 角一和已知条件之间可以找到什么过渡或桥梁呢？从图中可以看出，角一和旁边两个 r 角拼成了一个平角，利用这个关系可以列等式，角一加二倍的 r 角等于一百八十度。 同理，下边的角二也可以列一个类似等式，角二加二倍，角贝塔等于一百八十度。 接下来再看角 a 了，角 a 与已知条件有什么关系呢？可以看到，角 a、 角阿尔法、角贝塔构成了一个三角形 a、 d、 e 的 三个内角。因此，根据三角形内角和定例，角 a 加阿尔法，角加贝塔，角等于一百八十度。 于是乎，我们得到了分别包含角一、角二和角 a 的 等式。接下来就要通过这些等式找三个角之间的等量关系。 那这时呢，就需要把三个式子揉成一个等式，并且更重要的是要消掉式子里的阿尔法、贝塔，只留下目标角角一、角二和角 a， 也就是说要削圆。 那怎么消阿尔法和贝塔呢？观察这三个等式，等式一里只含阿尔法，等式二里只含贝塔，等式三里同时包含阿尔法贝塔，那这种情况就要逐个击破。 利用等式一与等式三，先消掉阿尔法两倍的三式，减去一式，得到二倍角 a 加二贝塔，减去角一等于一百八十度。 接下来只要再消掉悲态就可以了。用新得到的这个式子再减去二式，就可以得到二倍角 a， 减去角一，减去角二等于零。 这个式子就是角 a、 角一、角二的数量关系。当然了，为了美观，我们可以通过一项把式子写成二倍，角 a 等于角一加角二，这样就得到了三个角的数量关系。题也就解完了， 总结一下我们的解析步骤，首先看到折叠这个条件，就可以找到相等的图形，有了相等的图形就有相等的角，利用相等的符号把等角标记在图中。 接下来的步骤是列等式，通过平角、三角形的内角和分别列出包含三个目标角的等式。最后是消元，利用等式的加减，消去不需要的角，把几个等式合成一个等式，这就找到了目标角的数量关系。 这种折叠问题呢，还有一些变体，比如如果在折叠之后点 a 撇落在三角形的外部，此时角一角二角 a， 又有什么样的数量关系呢？ 这道题我们会在后边的专项练习中带大家一起完成，但原理还是一样的，从折叠产生的相等图形角度开始，之后借助图形和特地的角度，列等式和消圆，自己去练习吧，拜拜 嘿，松粉们，欢迎来到洋葱解析周普老二最近发现数学题有规律，那就是平时越看起来人畜无害的简单概念组合起来时往往能搞出特别讨厌的题。 举个例子，三角形 a b c 然后呢，角 a b c 角 a c b 各有条角平分线，相交于 p 点，也就是 p b 平分角 a b c c p 平分角 a c b。 好 了，以上是这题的全部已知条件， 看到这时还是内心轻松愉快的，对吧，简单图，简单条件呀！于是毫无防备的时候，问题出现了，证明角 p 等于九十度，加二分之一的角 a。 哐当哎，就跪下了，内心迷茫， 迷茫是因为已知条件里没有任何一个角度，但证明里呢，却一本正经的有九十度，还有二分之一，看完全不考虑大家感受啊，哎，正当我蒙圈的时候，脑袋出现了果冻老师的尊尊教诲， 少年啊，从你知道的开始，已知只有两条小平分线，所以这俩角相等，这俩角也相等，但他们和要求的角 p、 角 a 看起来没有直接关系。 题分析到这里，就要出现第一个关键转折点了。在前面的解析视频里，果冻老师给大家分享过两个解析秘籍，其中第一个就是用相同字母标记相等的角。 这条锦囊我们已经很熟悉了，在这道题里呢，角 abp 和角 pbc 相等，所以呢，就把它们标成 r 法角 acp 和角 pcb 也相等，就都标成贝塔。 接下来就是第二个关键步骤，寻找目标角和已知角间的等量关系。 目标角是角 p、 角 a， 而已知角呢，自然就是这些阿尔法贝塔了。怎么找他们的关系呢？肯定不是用两角器找对吧，而是要记住基础图形，也就是图中的三角形。 注意看图，图中呢，有大三角形 a、 b、 c， 还有小三角形 p、 b、 c， 这是两个可以直接让角产生关系的基础图形。 于是我们先看小三角形 p、 b、 c 吧，这其中的角度关系中，有角 p 加尔法加贝塔等于一百八十度。内角合嘛，而在大三角形 a、 b、 c 中呢，同样的角度关系有角 a 加角 a b c、 加角 a c、 b 等于一百八十度。 而角 abc 和角 a、 c、 b 是 可以用阿尔法贝塔来表示的，所以呢，式子还可以写成角 a 加上阿尔法加阿尔贝塔等于一百八十度。 于是现在我们有了两个式子，接下来就要去找角 p 和角 a 之间的关系呢？ 哎，发现他俩各自在不同的式子里。要找他们的关系呢，就要把两个式子揉成只含角屁、角 a 和其他常数的一个式子，也就是要把尔法维塔给消去。 哎，接下来是怎么削阿尔法贝塔呢？先观察这两个式子，式子，一中有阿尔法加贝塔，式子，二中呢有二阿法加阿尔贝塔。嘿，那很简单了，我们只需要将一式乘以二再减去二式就可以了。得到二倍角 p， 减角 a 等于一百八十度。 这个过程实际就是把阿尔法加贝塔当做一个整体，一式是一份阿尔法加贝塔，二式是两份，一式乘以二再减去二式，就可以把阿尔法加贝塔消掉了。 好了，最后得到二倍的角 p， 减去角 a 等一百八十度。那看这个式子，已经觉得胜利女神向你招手了，对吧？等式两边同时除以二在一个项，得到最终答案，角 p 等于九十度，加二分之一角 a 整完了，哎，很爽快吧！ 总结一下内角和定力和角平分线这两个平日里人畜无害的小史莱姆，哎，竟然合体后进化出还有点难度的证明题。 但是呢，我们攻克他的方式才是全篇的精髓。这题所使用的方法是三角形整章之中贯穿的。先通过已知条件标注已知角，然后在基本图形中寻找目标角和已知角的等量关系。 如果等量关系比较复杂呢？最后还需要削圆才能得到最终答案。拜拜！ 上个视频里，我们见识了三角形与它两条内角平分线能够诞生出什么样的难题。做完后觉得，欸，角平分线是不是已经玩不出什么花样了？于是我们可爱的果冻老师又写了一道题，欸，瞬间又吓到宝宝了！ 看题吧，图里有个三角形 a、 b、 c。 欸，有条角平分线， 他右侧的外角 a、 c、 e 也有条角平分线 p 点呢，就是两条角平分线的交点。要证明这个尖尖的角 p 等于二分之一的角 a。 来，你自己先想想吧！ 这题要证明的结论，角 p 等于二分之一角 a 简洁明了，但已知条件和上个视频里的题一样，一个度数也没有，杀人不眨眼呀！事到如今，我们只能相信洋葱的解析思路是宇宙真理可以克服一切题型。那就按照上个视频的思路开始吧。 首先，题里有等角，但又不知具体度数，所以要用相同字母标记相等的角。角 a、 b、 p 和角 p b、 c 相等，都标记为 r 法。角 a、 c、 p 和角 p c、 e， 他 俩呢，都标记为贝塔。 然后用第二种核心思路寻找目标角和已知角间的等量关系。目标角就是要求的角 p 和角 a， 已知角呢？还是这些 r 法、贝塔他们之间的关系呢？ 注意了，找角之间的关系要在基本图形中找。这题的基本图形不用说，就是三角形，但是三角形可是有内角路线和外角路线两个方向可以走。 注意到，题干中的角 a、 c、 e 是 三角形 abc 的 外角，有外角就可以考虑用外角形来解决问题。 外角呢，等于不相连的两个内角和。那在三角形 a、 b、 c 中就有角 a、 c、 e 等于角 a 加角 abc， 角 a、 c、 e 等于二贝贝塔，角 abc 等于二阿法替换一下就可以写成二贝塔等于角 a 加二阿法，目标角是这个角 a， 所以呢，再整理一下，写成角 a 等于二贝塔减二阿法，这样就很清楚了， 非常好。这个式子就是目标角角 a 和已知角阿尔法贝塔间的关系，我们把它先放在一边， 看完了角 a， 继续看角 p 和阿尔法贝塔有什么关系呢？同样是去找角所在的基本图形 a， 惊喜的发现，三角形 pbc 为基本图形，可以同时包含角 p 和阿尔法贝塔。 其中角 p 和角阿尔法肯定是内角，那因为外角等于不相邻两个内角和，所以这个外角角 pce， 它就等于两个内角角 p 和角 pbc 的 和，所以角 pce 等于角 p 加角 pbc， 换成字母就是贝塔等于角屁加 r 法。再整理一下，得到角屁等于贝塔减 r 法。嘿，现在手头有了角 a 和角屁的两个式子，观察一下，能看出角 a 和角屁的关系吗？ 一眼就能看出来角屁乘以二就是角 a 了，这下连硝元都不用了，从这两个式子直接就能得到角屁等于二分之一角 a。 这题就这么整完了。 所以，虽然图形变化了，证明结论也不同，但在这一章中，面对几何题的思路大体是一致的。先标记条件，把题目中的已知角标记好， 再通过内外角的各种性质寻找目标角和已知角间等量关系，过程中要借助这些角所在的三角形。 说到这，同学可能会想，哎，这种外角方法虽然呢很酷炫，但外角关系不太容易看出来，怎么办？没事，洋葱数学包治百病，外角看不出内角也可以用 这道题，可以在三角形 abc 中，通过内角关系得到角 a 加角 abc 加角 abc 等于一百八， 而角 a、 c、 b 等于一百八减二倍，它这个式子列出来，就是角 a 加二阿法加一百八减二倍，它等于一百八。化简一下，得到角 a 等于二倍，它减二阿法。 而在三角形 p、 b、 c 中呢，通过内角关系可以得到角 p 加角 p c、 b 加角 p c、 b 等于一百八， 而角 pcb 等于一百八减贝塔。所以把角 pcb 替换一下。式子列出来就是，角 p 加 r 法加一百八减贝塔等于一百八。化简得到角 p 等于贝塔减 r 法。得到这两个式子后，哎，后边的故事就一样了。 通过这道题，我们可以总结出一个简单的等量关系，任何一个三角形，先这样画一条内角平分线，再这样画一条外角平分线，所得到的角 p 等于角 a 的 一半。 以后如果是选择填空，就可以直接运用这个结论了。哎，来道题，你自己试一下吧。 答案选 c。 角 a 一 等于角 a 的 一半，就是三十二度，而角 a 二呢，等于角 a 一 的一半，就是十六度，以此类推，角 a 三就是八度， 我们还能猜想角 a 四等于四度，再这样下去呢，角 a、 n 就 等于二的 n 次方分之一乘以角 a。 嘿，是不是很神奇啊！好了，这个视频到这里该结束了，拜拜！ 本章学到这儿，我们已经见识了三角形的两条角平分线的两种题型，分别是两条内角平分线以及一条内角一条外角平分线。 那按照剧情的一贯发展路线，或者说出节老师的想象力范围这个视频还是要继续把玩角分线要轮到两条外角平分线的情况了，直接看题吧。 如图，核心图形依旧是三角形 a、 b、 c。 这次的重点是两个外角，角 c b、 f 和角 b c、 e， 它们各自呢？有角平分线 d p 和 c p， p 是 角分线交点。要证明下面这个角 p 等于九十度减二分之一的角 a。 按照前面的方法，你先整理下思路试试。我们还是先对着图来读题。既然有了两条角平分线，也就有了两组相等的角。 根据用相同字母标记相等的角，这个方法我们就顺手标上 r 法以及这两个角相等。我们顺手标上 beta 要求的还是角 p 和角 a 的 关系， 那已知角为阿尔法贝塔，目标角为角屁角 a。 下一步自然就是找角屁角 a 与阿尔法贝塔的关系了，而找角之间的关系就要依靠基本图形。 先看三角形 p、 b、 c。 这里面呢，有角屁加阿尔法加贝塔等于一百八十度，这是角屁与与直角的关系。那再看角 a 呢？谁呀？角 a 和阿尔法贝塔隔了十万八千里，这怎么可能有关系呢啊，除非有远方亲戚。 哎，别着急，我们先把知道的关于角 a 的 关系写出来。那在这个三角形 abc 中呢？有角 a 加角 abc 加角 a c， b 等于一百八十度。继续看式子里的角 abc， 角 a c、 b 和阿尔法贝塔有关系吗？ a 是 内角和相邻外角的关系，这样的话，又能得到一个式子，角 abc 等于一百八十度减去二阿法，角 acb 等于一百八十度减二贝塔。 把角 abc 和角 acb 再带回刚才的式子里，就可以得到角 a 加一百八减去二阿法加一百八减二贝塔等于一百八。 哎，有的小伙伴可能一看这么长的柿子，就两眼一抹黑轰过去了。这不是说好的做几何题吗？写这么长，你在列方程解应用题啊，还能一块玩耍吗？嗨，宝宝，别冲动，冲动是魔鬼，柿子不在长短，在于里边的关系是不是正确，努力往下写，就一定能柳暗花明的。 化简下这个式子，先两边各消掉一个一百八，得到角 a 减二，阿法减二贝塔加一百八等于零，再移向把已知角和目标角分别放在式子两边，然后就有二阿法加二贝塔等于一百八加角 a。 现在呢，把角屁与角阿法贝塔的关系，角 a 与阿法贝塔的关系，这两个式子放一块，哎，这下看着就舒服了。 接下来要把角屁和角 a 放在一个式子里，找到他俩的关系，很显然呢，就要消去阿尔法贝塔，要消圆怎么消呢？我们把一式改写一下， 写成阿尔法加贝塔等于一百八减角屁，哎，一目了然了吧。实际上，把阿尔法加贝塔看成一个整体，直接把一式乘以二，再减去二式，就可以得到二倍的角屁等于一百八减角 a。 化简一下，就可以得到角 p 等于九十度减去二分之一角 a 了。这题就这么做完了。 由此可见啊，解这类题的思路大体是相同的，先标注已知条件，再去找目标角和已知角尖的等量关系， 这其中总量关系可以通过各种方法的列式子，比如说寻找角 a 与阿尔法贝塔间的关系，除了像刚才通过内角和这题，也可以通过外角等于不相邻的两个内角进行列式。在三角形 a、 b、 c 中，有角 f、 b、 c 等于角 a 加角 a、 c、 b 就 有阿尔法等于角 a 加一百八减二贝塔。化简之后呢，也可以得到阿尔法加二贝塔等于角 a 加一百八。 哎，不仅如此，这题还能通过外角和等于三百六来列式把 b、 a 延长。 然后呢，就可以得到角 g、 a、 c 加角 f b、 c 加角 e、 c、 b。 外角和等于三百六 就有呢，一百八减角 a 加阿尔法加阿尔卑塔等于三百六。化简之后依然有阿尔法加阿尔卑塔等于角 a 加一百八。嘿，是不是非常酷炫呀！ 所以，只要前进的大方向正确了，无论我们选择哪条路，内角路线还是外角路线，都条条大路通罗马，最终都能把题做出来。这个视频到这里该结束了，拜拜 哟！大家好，前面视频里我们一路碾压了各种三角形与角平分线的题型，眼看就要没题做了，于是不服输的角平分线同学就找到了看家的 boss 题，能做对它呢，就可以走向人生巅峰了，看题吧。 呃，这图让人看起来有点小崩溃啊，长得跟个粽子似的，但又没粽子那么可爱，也不知道是咸的还是甜的啊。图虽然狰狞，但是这类几何题只要仔细图条件，两三步就能搞定。 条件里的不同之处是出现了三等分线，也就是说呢，左边这三个小角都相等，右边这三个小角也相等。哎，以前没碰到过吧，管他几等分线呢，有等角就先用相同字母给标记上 左边三个小阿尔法拍拍坐右边三个小贝塔吃果果。来看要求的。第一问，角之一与角 a 的 数量关系。角之一在这，角 a 在 这。哎，这俩有啥关系呢？ 看不出来对吧？哎，那就对了，找角的关系要把他们放在合适的目标图形里。这里朱沃普脑斯教你个小技巧，我们可以在草稿纸上偷偷把 b、 g、 二 g 二 c 这两条没用的线给擦掉，这招叫做排除干扰线， 这下就干净了。于是呢，在小的三角形 b、 g、 e、 c 中呢，有角 g、 e 加阿尔法贝塔等于一百八。而大的三角形 a、 b、 c 中有角 a 加角 abc 加角 abc 等于一百八。 那把他们用阿尔法贝塔代替，也就是角 a 加三，阿尔法加三贝塔等于一百八。有了这两个式子，要寻找角之一和角 a 的 关系，只需要消去阿尔法贝塔。 有了之前的消安经验，这也不是问题，咱们把一式乘以三，再减去二式，把阿尔法贝塔当做一个整体，直接消掉，得到了三倍角之一减角 a 等于三百六。整理一下就可以写成角之一等于一百二十度，加上三分之一的角 a。 哎，第一问就这么欢快的做完了。你看，虽然图长得很复杂，但其实思想方法都是我们很熟悉的，只要一步一步写下来，再狰狞的几何题也都是指老虎。那我们继续来看第二问，求角 g 二和角 a 的 数量关系。 哎，方法类似的，还是要找目标角 g 二、角 a 和已知的阿尔法贝塔间的关系。角 a 和阿尔法贝塔的关系是相同的，就是在大三角形里面有角 a 加三，阿尔法加三贝塔等于一百八， 那 g 二呢？他和阿尔法贝塔什么关系呢？哎，聪明的小伙伴已经看出来了，这次看三角形 b g 二 c， 这里面有角 g 二加角 g 二 bc 加角 g 二 cb 等于一百八。 把后两个角替换为阿尔法贝塔，也就是角 g 二加阿尔法加阿尔贝塔等于一百八。 好了，又有这两个式子了，得到了角 g 二和角 a 的 这个潜在关系，那么要消去阿尔法贝塔。 哎，这次一个式子是阿尔法二贝塔，另外一个是三阿尔法三贝塔。没法直接减怎么办呢？还是把阿尔法加贝塔看作一个整体，简单变个形，整理成这样一个式子和这样一个式子， 这样呢，就像解一个二元次方程组，一个里边是二外，一个里边是三外，要消圆一样，把一式乘以三，再减去二式。 哎，六倍的这个阿尔法加倍它就消掉了，得到三倍的角 g 二，减去二倍角 a 等于一百八。化简一下，得到角 g 二等于六十度，加上三分之二的角 a。 好 了，这道题就这样完整做完了。 讲到这三角形，这部分的妖孽题基本就见的差不多了，题虽千百遍，但是你只需要记住一点即可，那就是洋葱的解析思路是万能的， 只要抓住了解析的核心思路，就能兵来将挡，水来土掩。这一章贯穿始终的思路包括，首先要根据已知条件标注已知角， 读题时呢，要把条件都标到图上去，然后寻找目标角和已知角间的等量关系，找角之间的关系要借助三角形，有的呢是内角间的，有的是外角间的关系，最后可能还需要运用一些消元的代数技巧得到结论。 好了，这组视频就到这里去开启多边形世界的大门吧，拜拜。

话说狗蛋最近突然迷上了搭积木，就是用小正方形搭出各种炫酷的立体图形。果冻老师知道后，给了狗蛋两张图纸，让狗蛋依据图纸搭出满足仕途要求的图形， 那这就是果冻老师给的图纸。咦，说好的三式图呢？这明明就只有主式图和俯式图啊！有的小伙伴慌不择路，饥不择食，已经准备找积木来搭了。 别着急，这里只给出了二式图，那原先的立体图形就会有多种可能。所以题目问，原来的几何体最多有几个小正方形，最少又有几个小正方形？你自己先试试。 答案选 a。 我 们先来看看最多能有几个小正方题。有的小伙伴拿他题一会看看主视图，一会看看俯视图，没过几秒就放弃治疗了。 注意，这类从式图反推几何体的题目核心的解决思路就是从一个式图出发，逐层分析。比如这里我们可以选择先看俯视图，因为确定了俯视图，就确定了最底层小正方的摆放方式，因为有中立存在，小正方怎么可能悬空吧。 ok， 选定了，先看俯视图，接下来叫逐层分析。一般我们会先从最底层开始， 辅助图里有七个正方形，那最底层就一定是这七个正方体了。继续看中间层，由于我们想求最多能放多少个正方体，那我们就先把这七个位置全都堆上，再看看主视图是否矛盾。 主视图里的第二层三格都有正方体，并不矛盾，所以第二层放七块完全没问题。 最后再来看最上面这层，我们先堆他七个正方体，然后再来看跟主视图是否矛盾。 主食图里中间这格是空的，所以我们对七个显然是不行的，要把中间这类的三块给扔掉，就只有四块了，那因此最多就是七加七加四等于十八块。 最多情况分析完了，那最少的情况呢？求最少只需要在每一层上保留最少的正方体。 还是来主层分析，先看最底层，因为俯视图确定了，那最底层的这七块也就确定了，这是地基嘛。我们继续来看中间层，对照下主视图，主视图里第二层至少有三个正方体，那我们一切从减就对，三个上就好了，每列各一个。 最后再来看最顶层，主视图显示至少有两个正方体，那我们就一左一右堆两个上去检查一下。现在这个几何体的主视图和俯视图都是满足要求的，所以最少就有七加三加二等于十二块。 题目做完了。可见无论最多最少，这类从式图反推几何体的问题，核心的解决思路就是从一个式图出发，逐层分析。 这里可能有机智的小伙伴要问了，从一个式图出发，那如果题目里没给俯视图怎么办呢？哎，别急，来看下面这道题，这里给出了主式图和左式图，问最多最少，你自己先试试， 答案选 b。 同样，我们先来分析最多能放几个正方体。解题思路还是从一个数图出发，逐层分析。既然没有俯视图，那我们就随便选一个。比如先来看主视图， 从主视图出发，先来看看最底层，最底层的三列都有方块，配合左视图，左视图告诉我们底层最多放两排，那么底层就最多堆六个方块。 底层分析完来看中间这层，从主视图来看，只有中间这列有方块，那左视图告诉我们，中间这层可以放两排，那么全堆上去就是两块。 再来看最顶上这层，主视图里有一列，左视图里有一排，所以只能放一块方块，那加起来最多就是六加二，加一等于九块。 那么最少要放多少个正方体呢？这里注意了，当题目中没给俯视图，又要求最少有几个正方体时，解析思路稍微有变化， 我们还是从一个速度出发，看看能不能通过平移变换凑出另一幅式图。什么意思呢？比如这里我们先看主视图，可以发现至少需要五个方块才能对出主视图的效果，比如这样摆， 但很明显，这不符合左式图。那能否试试把一些方块前后平移来满足左式图呢？ 左式图里左边这一列高度为三，所以我们可以把主式图里中间这列三个正方形往后平移一格，哎，这就行了。再来看左式图的右列，高度为二， 主视图里最左最右这两个矮个子肯定达不到这高度，又不能继续往上堆正方体，就会破坏主视图的形状。那怎么办？那就只能在中间这列的前排再添加两个小正方形，就像这样， 听完这两块之后，主视图不受影响，再看看左视图，哎，也满足了。这就一共有七个正方形，我们发现再也扔不掉任意一个正方形了，因此最少就要放七个正方形。 题目做完了，总结一下吧，解决这类视图问题，主要就是从一个视图出发，然后逐层分析特殊的，如果题目中给出了主视图和左视图，要求最少放几个正方形， 我们就可以从一个速度出发，尝试通过先平移再添加的方式满足第二个。试图怎么样？有了这种方法，就再也不担心脑补能力不足了吧，拜拜！ 话说最近学校小卖部的剪刀和胶水都脱销了，因为同学们一看到立体图形展开图的问题，就开始用剪刀剪啊，用胶水粘啊什么的。但是考试的时候总不能剪卷子吧，这可咋办？ 今天姐来就教你一种神奇的标点法，让你彻底告别剪纸！ 来看题，这是一个正方体的展开图， a、 b、 c 都是所在棱的中点， d 是 正方体的顶点。问，原先的立体图形长啥样？你自己先试试， 答案选 a。 有 的小伙伴尝试把展开图拼起来，应该是，可脑子里一团浆糊，这时候就该标点法登场了。 所谓标点法，就是要把正方题的顶点用字母给标出来来，先画个正方题，把八个顶点都标上字母，看看选项中的两个正方题，那么地点一定就是这个点了，其他几个点就顺次标出来吧。 标完之后该咋办呢？哎，咱看看展开图呗。展开图上地点在这，所以应该就是这个面放平展开到了这里，这点想象力我还是有的。那么这个正方形的四个顶点就可以标出来了，分别是 d、 h、 i、 e。 标这个正方形有啥用呢？来看看它的菱距吧。旁边这个正方形与 e i h d 有 共用的边 e i， 而在立体图形中， e i。 边所在的面是 e i h d 和 e i j f， 那 么这个面就一定是 e、 i、 j， f 了，因为 f 与 e 相连， j 与 i 相连，就又标出来了两个点。 来看下方这个正方形与 e、 f， i、 j 共用 e、 f 边，那在立体图形中找到只能是 e、 f， g、 d 这个面，根据点的相邻关系，我们就能标出下面的这两个点 d、 g。 说到这是不是有点感觉了呢？在已经标完的正方形的基础上，根据相邻关系，我们就能把展开图中所有的点都标上字母了。 那现在展开图像所有的点都标完了，我们看到 c 就是 e、 i 的 中点，把它画在立体图形中，点 a 和点 b 分 别是 j、 k、 i、 j 的 中点，同样画在正方体中，点的位置就确定了，连住线段来，答案就摆在我们面前了。 哎，有没有觉得很神奇？本来脑海中一团乱麻，脑补不全的展开图，用区区几个字母标注，脉络就清晰起来了。 实际上标点法的作用是把本来看上去很对称的正方题，通过标字母的方式，把每个顶点人为的区分开，从而确定每个顶点在展开图上的对应位置。所以标点法也就分为先标正方题，再标展开图。这两步 方法我们都知道了，那么试试看下一题吧。我们来看看图，正方体砍去了一个角，形成了图中的几何体，我们要找的就是它的展开图，你自己试试。 答案选 b。 砍掉一个角的正方体长得比较奇葩，不如我们先把它补成个完整的正方体吧。那就是这样。 果然这问题之后就可以标点了，我们顺次给八个顶点标上字母，接下来就该在展开图中标点了。展开图里 a、 b、 c、 d 这个面是确定的，我们需要通过相邻关系来标记其他的面。 立体图形中， a、 b、 c、 d 与零面 c、 d、 h、 g 共用 c、 d 边，那再展开图中 h、 g 这两个点就可以标出来。那接着用相同方法展开图里所有的点都可以标记出来， 然后该干嘛呢？别忘了，圆体里的正方体是缺个角的，也就是说 p、 q、 r 这三个点构成了缺口的顶点。 在正方体中找到这三个点的位置， p 在 he 的 中点， q 在 a、 e 中点， r 在 e、 f 中点，那么把它们都画在展开图中的相应位置就可以了。看，画完之后，答案一目了然。 好了，乘热打铁来看最后一题，这里有个正方体。转开图，正方体从这个位置依次往前翻滚。问，翻到第五格的时候，朝上一面的字是什么？你自己先试试。 嗯，我知道有积聚的小伙伴已经开始滚橡皮了。滚橡皮当然是个好方法，考试的时候有人丢三落四的忘记带橡皮了，怎么办啊？别忘了还有个高大上的数学方法，标点法。 那么按部就班，先给这个正方体的顶点标上字母吧。原图里有个顶点被遮挡住了，那还是自己来画个透视图 看图，八个顶点就这样标完了，那让我们滚起来。标号为一的面显然就是 efab 了，标上 ab 两点， 紧接着标号为二的面与 efab 相邻，那就是 abcd 这个面， cd 两个点标注上去，那接下来再看三，它包含 bc， 并且与 abcd 相邻，那就是 bcgf 面，那么上方两个点就是 fg。 四与三相邻公共边是 c、 g， 那 就是 c、 g、 h、 d。 标下字母最后五这个面包含 h， d， 与四相邻就是 h、 d、 a、 e。 标完字母，也就是说等滚到五的时候，朝下的面就是 h、 d、 a、 e 面， h、 d， a、 e 是 i。 从平面展开图上看，它的对面当然是葱，但如果真的有人连这都想不出来，也没有关系，标点法依然好用。 真方体里能看见的三个字是，我爱羊、我和爱的公共边是 a、 d， i 和羊的公共边是 a、 e。 那 么在展开图中， a、 d、 e 这三个字母的位置就确定了。 这三个点确定之后， a、 d、 h、 e 这个面就可以标出来了，那根据相邻关系，就可以把所有的点都标注出来。 图都有了，我们要找 h、 d、 a、 e 的 对面，也就是 g、 c、 b、 f， 那 最后正面朝上的就是葱。三道题做完了，相信你对标点法已经很熟悉了，先标正方题，再标展开图，怎么样？再也不用折腾自己可怜的脑补能力了吧，拜拜！ 在基础视频里，果冻老师告诉我们，线段这种小动物，总是一言不合就发功，说对折，哎，他就对折了， 于是就产生了终点，并且还有两条线段排队对折，摞在一起对折的各种奇葩情况。于是我们就有了虽然很好用，但是经常记不清怎么回事的终点模型。今天这个视频，我们就要巩固终点模型，并且用它来解决这两个问题。 先看第一题，第一问如图，点 c， 在 线段 a、 b 上，线段 a、 c 等于六。养成好习惯，我们把条件都标在图上，待会想用就能用了。 b、 c 等于十，那就是这段是十点， d、 e 分 别是 a、 c、 b、 c 的 终点，也就是说这两段相等，这两段相等，求线段 d、 e 的 长。这题没难度，就是终点模型最简单的那种排队对折的情况，我们全当复习了。 d、 e 就 等于 d、 c 加上 e、 c， 而因为 d、 c 就 等于二分之一 a c、 e、 c 就 等于二分之一 bc， 变形式子就有了 d、 e 等于二分之一，括号 a、 c 加 bc， 也就是二分之一 ab， 这就是中点模型的结论。你的二分之一加上我的二分之一，就是咱俩合的二分之一。直接把数套进去， d、 e 就 等于八。 再看第二问，若线段 a、 b 等于 a， 其他条件不变，则线段 d、 e 的 长度为 终点。模型告诉我们，无论 ab 具体长多少， d、 e 等于二分之一， ab 都是成立的，所以 ab 是 a， 那 d、 e 就是 二分之一 a 喽。 好，来看最后一问。对于第一问，如果系数为点 c 在 直线 ab 上，线段 ac 等于六， bc 等于十点， d、 e 分 别使 ac 和 bc 的 中点。求线段 d、 e 的 长。结论会有变化吗？有的话直接写出来。 那第一问说的是点 c 在 线段 a、 b 上，这里说的是点 c 在 直线 a、 b 上，剩下的部分都一样，所以他问的就是点 c 在 直线 a、 b 上的时候，线段 d 的 长会不会变？ 直线和线段有什么区别？线段有固定长度，而直线没有长度吧。 所以点 c 在 线段 ab 上，一定在 ab 之间，在直线 ab 上，就是说他可以在 ab 中间，也可以在这边或者这边。 那么回头看一下题干， ac 等于六， bc 等于十，要是点 c 在 这边的话， ac 不 可能比 bc 还要短吧，所以这种情况排除。于是我们就有了两种情况，点 c 在 ab 中间，或者在 ab 的 延长线上。 第一种情况和第一问一样， d、 e 等于二分之一， a， b 等于八。第二种情况我们已经知道了点 abc 的 位置关系，还知道 a， c 等于六， b， c 等于十。现在我们来标点 d 和点 e， 一个是 a、 c 的 终点在这，一个是 bc 的 终点在这。 图画完了，我们发现这个图就是终点模型的第二种情况啦，摞在一起对折对不对？那你能自己算一下 d， e 等于多少吗？ 答案，选 c， d， e 等于 c， e 减去 c， d， c， e 是 二分之一 b， c， c， d 是 二分之一 a， c 再变个形就有了 d， e 等于二分之一，括号 b， c 减 a， c 等于二，其实还是二分之一 a、 b， 这就是你的二分之一，减去我的二分之一，等于咱俩差的二分之一。 三问都做完了，我们来看这个题，考的其实就是终点模型的两种情况，只要我们牢记终点模型最重要的结论，分分钟就能搞定。要是怕记错，自己临时根据线段关系推一下也不费劲。 来看第二题，如图， b 是 线段 a、 d 上的一个动点。嗯，出现动点就很有意思了。 不知道你们有没有听过传说有个组合叫数学五虎将，他们是早早出门却故意放慢脚步只等哥哥赶上的傲娇小明， 一边放水一边注水的疯狂泳池管理员匀速行驶，从不晚点的劳模司机永远不会算数，却总是渴望高利润的脑残老板。还有最后一个就是从来都豪放不羁的动点屁。 幸运的是你们刚学几何，还是个宝宝，所以这里只是乖巧的动点 b， 它有固定的运动轨迹，就是沿 a 到 d， 以两厘米每秒的速度运动。 c 是 线段， b、 d 的 终点，也就是这两段相等， a、 d 等于十厘米。我们标上设 b 运动的时间为 t 秒。 第一问问， t 等于二十， ab 等于多少厘米？ c、 d 长多少？我们想象一下， b 沿着 a 到 d 运动，所以 ab 的 长度就是 b 走过的路程，路程等于速度乘以时间，所以两秒之后， b 就 走了二乘二点四厘米， ab 就是 四厘米。 而 c、 d 呢，在 b 动的时候， c 也跟着动，但是无论怎么动，它都是 b、 d 的 中点， c、 d 总等于二分之一， b、 d 两秒之后， b、 d 就 等于 a、 d 减去， ab 等于六， c、 d 就是 三厘米。 再看第二问，在运动过程中，若 ab 中点为 e， 则 e、 c 的 长是否有变化？若不变，求出 e、 c 长。若变化，说明理由， 我们把 e 先标上，它是 ab 的 中点。这时候我们就能看出来，这实际上就相当于增加了一个中点，凑成了两条线段，排队对折的中点模型吧。 点 b 运动的时候， e 和 c 也在动，但不论怎么动， e、 b 都等于二分之一， b、 c 都等于二分之一 b、 d， 所以 c、 e 就 总等于二分之 a， b 加上二分之一 b、 d 也就是二分之 a， d 也就是五。 因此，在终点模型中，只要两条线段的总长度不变，他俩分别多长都不影响。好了，两题做完了，你对终点模型的理解有没有更深刻呢？这个视频就到这里，拜拜。 最近洋葱实验中学的食堂来了个神秘的厨师，他烤的长条面包特别好吃， 但他有个怪癖，学生吃面包之前都要回答他出的数学题，做不出来还不让吃。有一天，他把烤的长条面包按照二比三比四比五的比例分成了四大块。 linda 想分这块，甜豆花分这块。吃货狗蛋想要这两块 面包总长五十六厘米，他就问狗蛋，你总共要吃多长的面包呢？ 抛开面包的色泽、香味不谈，要计算面包的长度，不妨看作一道计算线段长度的数学题 来看题。这里面包就是线段 a、 b 点 c、 d、 e 依次把 a、 b 分 成了二比三比四比五这么四个部分。 a、 b 长五十六，要求 a、 c、 b、 d 的 长度。那你自己先试试。 答案选 a。 有 的小伙伴看到二比三比四比五就直接昏过去了呀，更绝望的同学已经拿出尺子准备量了 a， 别着急， 看到比例你会想到什么？在之前应用题的视频里我们就见过了，看到比例就可以设 x， 在 这里我们就可以把 a、 c 设为二 x， cd 就是 三 x d， e 是 四 x e， b 是 五 x， 这个 x 就 可以理解为小数的分数。那设 x 有 什么好处呢？哎，设了 x 就 可以列方程， ab 等于五十六，也就是说这四条线段加起来等于五十六。我们有二 x 加三， x 加四 x 加五 x 等于五十六，可以解得 x 等于四，也就是说一份就是四。 但别忘了，现在要求的是 a、 c 和 b、 d 的 长度。 a、 c 是 二 x x 四， a、 c 就 等于八，那 b、 d 呢？哎， b、 d 等于 b， e 加 e、 d 一 共是九 x， 所以 b、 d 等于三十六。那这道题这么快做完了，我们来看下解的过程。 这题的关键就在于，看到笔就要设 x， 一 旦设出来 x， 每段线段就被很清晰的表示出来了，问题也就迎刃而解。有了这题的经验，我们就来看到更复杂的题目， 还是点 c、 d、 e 把 a、 b 分 成了二比三、比四、比五四个部分，不过这回还把每部分线段的终点给标出来了， 这点多的捷达都密集恐惧症了。不过没关系，还是坚持一个原则，见到比就选 x， 那 已知 m n 等于二十一，要求 p q 的 长，你自己先试试。 答案，选 a， 由题 e 设 a， c， c， d， d e、 e、 b 分 别为二 x、 三 x、 四 x 五 x， 再看已知 m n 等于二十一，那 m n 又怎么表示呢？难道需要把这中间所有的小线段都表示出来吗？ 哎，并不需要注意看，这其中 c、 d、 d、 e 我 们是已知的，分别是三 x 和四 x， 那 m n 就 等于 mc 加 cd 加 d， e 加 e n 等于七 x， 再加上 mc 加 e n， 那 mc 和 e n 又是多少呢？哎，这里 m 是 a c 的 中点， a c 是 二 x， 那 mc 就 等于 x， 而 n 呢，是 e b 的 中点。 e b 是 五 x， 那 e n 就 等于二分之五 x 七 x 加上 x， 再加上二分之五 x， 那 m n 等于二十一，所以 x 等于二。 知道 x， 我 们要求 p q 的 长度，那只要把 p q 用 x 给表示出来就可以了。 p q 等于 p d 加 d q， 而 p d 是 c， d 的 一半等于二分之三 x d q 是 d e 的 一半等于二 x 二分之三 x 加上二 x， 那 p q 就 等于二分之七 x x 等于二，所以 p q 就 等于七。这道题中做完了，我们来看一下解的过程， 看大家做题这么辛苦，为了鼓励大家，厨师又给我们做了新鲜出炉的龙须面，当然，面可不是白吃的，要做完这最后一题，快来看题吧！ 一根面条被对折成线段， a、 b， 再从点 p 处剪断。知道 a、 p、 b、 p 的 比，还知道剪断后各段面条中最长的一段为六十厘米，求面条原来多长。 有的小伙伴看到二比三就已经忍不住写出二 x 和三 x 了，这倒没错，但是你觉得这面条是从 a 点对折的，还是从 b 点对折的呢？ 答案选 c。 机智的小伙伴肯定反应过来了，这所谓对折可能有两种情况，可以从 a 点对折过来再剪断， 还可以从 b 点对折过来再剪断。那我们当然要分两种情况来考虑了。一提，先设 a p 是 二 x， b p 是 三 x， 如果点 a 是 对折点，那剪断后面条就分为了三个部分，分别是二 a、 p、 p、 b 和 p b。 长分别是四 x、 三 x 和三 x， 那 最长的就是二 a、 p 这段了。 四 x 等于六十厘米，那 x 就 等于十五厘米。别忘了，我们要求面条的圆长也就是二 a、 b、 a、 b 一 共是五 x， 二 a、 b 就是 十 x 等于一百五十厘米。 那如果点 b 是 对折点呢？剪断后面条同样分为了三个部分，分别是二 p、 b、 pa 和 pa， 长分别是六 x、 二 x 和二 x， 那 最长的就是二 p、 b 这段。六 x 等于六十 x 就 等于十厘米。那面条圆长，二 a、 b 等于十 x 就是 一百厘米，所以最终面条的圆长是一百五十厘米或者一百厘米。我们来看一下起的过程。 这道题的思路和之前还是相同的，见到比就要秀 x， 不 过由于题目情境的不同，我们要注意分两种情况来讨论分析，那这个视频就到这里，拜拜。 hey， 大家好，这个视频要介绍一种史诗级的数学思想分类讨论。看到这就会有小伙伴问，分类讨论是什么？为什么要分类讨论呢？为了回答这些问题，来看一个例子， 李狗蛋的爷爷从乡下乘火车来城里看狗蛋，狗蛋的父母将接爷爷这一光荣的任务交给狗蛋，那么狗蛋应该乘什么交通工具去接爷爷呢？ 这个问题的答案取决于当天的天气情况，如果天气晴朗，李狗蛋就骑着二手破自行车去，如果下雨，狗蛋就乘着豪华大卡车去，如果恰好赶上千年难遇的天气陨石雨，那狗蛋就只能开着装甲车过去了。 在这个问题中就用到了分类讨论，根据不同的天气讨论当天所乘的交通工具。所以什么时候需要分类讨论呢？ 当题目中某些条件不确定，并且这些条件取不同的情况会导致问题的解不一样时，就需要根据不同的情况分别讨论问题的解。这就是分类讨论。 就好像你去超市买东西时，会发现所有的商品都是按照类别摆放的，否则的话不就乱成一锅粥了吗？ 好，接下来让我们看看分类讨论在解析时有何妙用吧。先来看第一题，哇，是道判断题，判断若 a、 c 等于 bc， 则说明 c 是 ab 的 终点。你们认为答案是什么呢？ 答案是否可能会有同学很不服气，那 a、 c 和 b， c 都相等了点， c 不 在 ab 的 终点处还能飞吗？ 哎，那你还真说对了，看点 c 可以 飞到这，可以飞到这反应来个特技，还可以飞到这，他们都符合题目的条件，这下服气了吧？ 点 c 可以 在线段 ab 上，此时他就是 ab 的 终点，也可以不在线段 ab 上，此时他就不再是 ab 的 终点。看明白了吗？自己也试着找找看，点 c 还可以在哪呢？ 接下来让我们重新审视下这道看似简单到爆的题目。题目的条件是 ac 等于 bc， 他看上去很明确，但他只明确了长度关系，而并没有明确点 c 的 位置。因此我们需要对这个不明确的条件分类讨论，从而得出答案。 好，下面升级一下题目的难度。若点 abc 在 一条直线上，且 ab 等于八厘米， bc 等于四厘米，求线段 ac 的 长。 又有信息的同学要发表意见了。如此简单的题目也需要分类讨论吗？不就是先画个八厘米的 a b， 再画个四厘米的 b c， 那 a c 自然就是八加四等于十二厘米喽。 这位同学，容我先吐槽一下，你不用尺子画出这种弯曲的线真的合适吗？口袋同学画图从不用尺子，于是他就变成了驼背， 所以首先用尺子画一条比直的八厘米的 ab， 接下来再画 bc。 刚才这位同学不加思索的将点 c 画在了点 b 的 右侧。还记得上个题的教训吗？长度明确不代表位置明确，点 c 还可以在哪呢？ 俗语云，男左女右，就如同人的性别分男女，点的位置也分左右，所以点 c 还可以在点 b 的 左侧， 那还有没有可能在别的位置呢？ abc 在 同一直线上，所以没有其他可能了。因此这道题要分成两种情况，需要画两个图。 还有一点需要注意的是，书写的时候可不能写点 c 在 点 b 右侧或点 c 在 点 b 左侧这种不规范的语言，而要写成标准的数学语言。点 c 在 线段 a b 上，点 c 在 线段 a b 的 延长线上。下面一起来把这道题做完吧。 当点 c 在 线段 ab 上时， ac 等于 ab 减 bc 等于八减四等于四厘米。当点 c 在 线段 ab 的 延长线上时， ac 等于 ab 加 bc 等于八，加四等于十二厘米，所以 ac 等于十二厘米或四厘米。 注意，最后这一部分类讨论做完后，一定要结合所有的情况给出最终的答案哟！ 可能还是会有同学不理解，为什么一定要分类讨论这么麻烦呢？其实这就像你玩各种牌类游戏，打扑克也好，打三国杀也好，数学学的好的同学，打牌一般打的也好， 因为他们会使用分类讨论的方法，将所有可能的出牌方式都讨论一遍，再确定最好的出牌方式。做数学题也是一样，只有把所有的可能性都讨论过了，才能保证自己立于不败之地。 那接下来再看看在分类讨论的题目中会有什么样的陷阱吧！已知线段 ab 等于九点 d 是 线段 ab 的 中点，点 c 在 直线 ab 上写 bc 比 ac 等于一比二，求线段 cd 的 长 和之前一样。先画个图，首先是线段 ab， 接着是 ab 的 中点 d。 然后要注意了， 点 c 在 直线 ab 上，之前说的是线段 ab 等于九，这里说的是直线 ab。 线段和直线哪里不一样呢？ 就是点 c 的 位置会有不同的情况，它不仅可以在线段 ab 上，还可以在线段 ab 的 延长线上。 所以这种从线段到直线的转化，就是题目设置的陷解。其实也是出题人的提示，该分类讨论了，否则你就掉坑里了。接下来快速把这道题解完吧！ 最后来总结一下，第一，什么时候要分类讨论？当题目中的某些条件不明确，会带来不同的解释，就先要分类讨论。 那分类讨论有哪些注意事项呢？分类要全面，要考虑到所有可能的情况，那在解析时还要注意，分类时需交代清楚如何分类。分类讨论完后要给出总的结论。 最后再告诉大家一个小秘密，如果一个几何题没有配图的话，那多半就是要分类讨论的哟！ 如此说来，李狗蛋的分类讨论学的并不到家呀，他只讨论了晴天、下雨、下雨时雨三种情况。好，那我就来刮沙尘暴吧！ 生活中我们经常要遇到一件事，那就是数个数，上体育课要数个数，战士出列要数个数，就连菜市场买鸡鸭也得数个数。那今天我们就来给几何王国的三位大佬，线段、射线和角数个数 什么？你觉得数个数没啥技术含量，那就大错特错了。来看题 看，线段上一共有四个点，那这里一共有几条线段呢？你自己先数数，答 案选 a。 有 的小伙伴可能就随着自己心情乱数，什么有 a、 c、 c、 b、 c、 d。 哎，我刚刚数到哪来着？这数到一半就容易忘。 所以数线段一定要按照一定的顺序，否则就容易数漏。那这里姐大教你一个诀窍，从最左边的短点开始，依次往右数。什么意思？比如这里，我们先从最左边的短点 a 开始，往右有 ac、 ab、 ad 三条线段， 然后再数端点 c、 a、 c 刚已经数过了，不算，那要往右，一共有 c、 b、 c、 d 两条线段，最后数端点 b 有 b、 d 一 条线段，所以这三加二加一，一共有六条线段。你看这样数是不是清晰多了？ 那我们再来试一次，当线段上一共有五个点时，线段一共有几条呢？从最左边的端点开始，依次往右数，先数点 a， 有 a、 c、 a、 d、 a、 e、 a、 b 四条线段，再数点 c， 一 共有三条线段， 点 d 呢？有两条点 e 只有一条，所以一共有四加三加二加一十条线段。 哎，是不觉得这个方法非常有效，这是为什么呢？这是因为线段无论长短都有两个端点，所以与其说是在数线段，不如说是在数端点，那从最左边的端点开始，依次往右数，就不会出错了。 明白了数线段的原理，我们现在推广一下，当线段上有 n 个点时，线段一共有几条呢？ 还是同样的道理，从最左边的端点依次往右数，从端点 a 开始，往右数，除了端点 a 之外，还有 n 减一个点，那一共就有 n 减一条线段。 那再继续从端点 a 一 开始，一共就有 n 减二条线段。从端点 a 二开始，就有 n 减三条线段，一直到端点 a， n 减二，只有这一条线段，所以总共加起来就是 n 减一，加 n 减二，加 n 减三，一直加到一。这么多条线段， 那这么多个含 n 的 式子加起来等于几呢？哎，这里有个口诀叫做首项加末项乘以项数，再除以二，那最后答案就等于二分之 n 乘以 n 减一。所以当线段上有 n 个点时，一共有二分之 n 乘 n 减一。这么多条线段， 现在我们知道在一条直线上该怎么数线段了，那要是遇上形状奇葩、骨骼清奇的一坨线，该怎么办呢？比如看下面这道题， 这幅图看着有点诡异啊，它要我们数线段和射线，那你自己先试试。 单选 a， 我 们先来数线段。要在这种复杂图形中数线段，首先要抓住它有几根长线，什么意思？比如看图中有直线 a、 c、 e， 射线 b、 f， 线段 a、 d 和线段 b、 d 一 共四条长线， 那所有的线段都肯定在这四条长线上了。我们就先来数直线 a、 c 上的线段。方法刚刚已经学过了，从一端的点开始往另一端数， 这里就有 a、 e、 a、 c 和 e、 c 三条线段。那同理，射线 p、 f 上也有三条线段， a、 d 上也是三条线段， b、 d 上也是三条，所以一共有十二条线段。 数完了线段，我们再来数数射线。很明显在线段上是不存在射线的，所以这里射线只存在于直线 ac 和射线 b、 f 这两条长线中。 我们先来看直线 ac， 注意了，数射线只需要数端点就可以了。从点 a、 e、 c 出发，都分别有两条射线，一共是六条。 那再来看射线 b、 f 上的从点 b、 e、 f 出发，都分别只有一条射线，一共是三条，所以最终一共有九条射线。 那在复杂图形中，数线段或者射线，就先要找准有几条长线，那分别数完之后，最后再加总就可以了。搞定了线段和射线角，宝宝早就按捺不住了，那数角是否也有规律呢？来看题。 这题让我们数角道理和数线段是相同的。在数线段的时候，我们是从一侧的短点开始往另一侧数，那在数角的时候呢，我们就是从一侧的射线开始往另一侧的射线数。 从射线 o a 出发，就有角 a o c， 角 a o d， 角 a o b 三个角。再从射线 o c 出发，有角 c o d， 角 c o b 两个角，那最后还有角 d o b， 所以 一共是六个角。 我们继续推广一下，如果一个角内有 n 条射线，此时一共有几个角呢？我们来看，从射线 o a 出发之后，还有从 o a 一 到 o a n， 还有 o b， 一 共 n 加一条射线，那就有 n 加一个角。 那同理，从射线 o a 一 出发，就有 n 个角，一直到从射线 o a n 出发，只有一个角，所以总角数就是 n 加一加 n 加 n 减一，一直加到一。 他的计算方式还是首项加末项乘以项数除以二，也就等于二分之 n 加二乘 n 加一。 这里要注意了，题干中的说法是一个角内有 n 条射线。有的题目中呢，会换一个说法，叫做从一个点出发有 n 条射线，那他一共有几个角呢？你可以自己算一算，答案就变成了二分之 n 乘以 n 减一。 总结一下数线段、射线和角的时候，都可以从定义出发，找到减变算法，比如从端点出发，数线段和射线。而线与角的技术有两个有趣的结论， 同一个直线上有 n 个点，则共能形成二分之 n 乘 n 减一条线段，而从同一点出发，共有 n 条射线，一共能形成二分之 n 乘 n 减一个角，那这个视频就到这里，拜拜。