浙教版八上数学几何将军饮马

本视频耗时十年制作共计一百五十小时，带你一口气学完初中数学。咱们今天来解决一个大家都非常头疼的问题，将军一马。想理解将军一马，就要先理解清楚他当中的一句口诀叫差大同和小意， 这句话理解清楚了，就是做将军一马问题的本质。那么首先来看什么是差大同，他就牵扯到了将军一马问题的一个典故， 那么他指的就是有一个将军，他在点 a 这个地方，那么他现在要往哪走呢？他现在要往点 b 这个地方走，那么他在点 a， 要去点 b， 按理来说他要直接走对不对？但是他的马儿怎么样呢？渴了需要喝水，那么刚好旁边有一条河 l， 所以这个时候将军怎么样呢？就要牵着他的马儿先去喝水，然后再回 bd， 那么这个时候问题来了，他时间很赶对不对？那么他 怎么样能快速的带他的马儿喝完水，然后回到 b 呢？要使这个距离最短，那怎么样能做到距离最短？我们先在 l 上任意的随便的找到一个点 p， 将军，假设他从 a 点出发到点 p 这个地方为马儿喝水，喝完水之后接着往 b 点跑，那这一段的距离 ap 加上 bp 如何找到他的最小值？这就是最经典的将军一马问题。那这个时候怎么去找 ap 加 bp 的最小值呢？我们要做的就是利用对称，那么这个时候这个点屁在哪里动？马儿喝水的地方，只要在河边他就可以喝水， 相当于点 p， 就在这条直线 l 上动这条直线就是动点 p 所在的直线，把它简称为动直线，所以接下来老师说动直线指的就是动点所在的直线，那我们就要做点 a 关于动直线的对称点， 也就是做点 a 关于直线 l 的对称点怎么做？这个对称点我们要把它做垂直，然后延长一倍到了 a 撇这个地方，所以 a 点和 a 撇点就是关于动点所在的直线 l 对称的点，那这个时候这个直线 l 就相当于 aa 撇的什么线呢？垂直平 分线，那么垂直平分线上的点到线段两端你的距离相等，所以只要我把 a 撇 p 连起来，就会得到 a 撇 p 和 ap 什么关系呢？相等，那原本让我们找的是 ap 加上 bp 的最小值， 那现在 a 撇 p 和 a p 什么关系呢？相等了，就相当于让我们去找 a 撇 p 加 b p 的最小值了。那 a 撇 p 加 b p 什么时候取最小？我们说两点之间线段最短，所以只需要 a 撇 p 和 b 三点，干嘛呢？贡献的时候他就取最 小值，所以这个最小值就是直接连接 a 撇 b， 所以最小值就是 a 撇 b。 那么此时点 p 的正确位置就在哪呢？点 p 的正确位置就在哎，老师标的这个地方。这就是最典型的将军一马问题的缘起叫何小义，所以这个何小义指的是什么呢？ 的是两个定点 a 和 b， 要找它和 p 之间的距离之和最小。那么这两个定点 a b 得在动直线 l 的什么呢？ e 侧，不在 e 侧，我们要把它对称过去，所以来看这个题目当中，那么 a 和 b 在直线 l 的什么呢？ 同一侧了，我们就要把它对称过来，把 a 和 b 变成什么呢？ e 侧的，这就叫和小 e。 好，那理解什么是和小 e 了，我们再来看什么是叉。大同现在有一条直线 l， 上面有两个点 a 和 b， 我让同学们在直线 l 上找到一个点 p， 使得 p a 减去 p b 的绝对值，怎么样呢？要取最大，这就是差最大问题， 那么这个差什么时候才能最大呢？那假如说哈，还是我在 l 上先任意的找一个点 p， 那这个时候我连接 ap， 连接 bp， 再连接 ab， 我们会发现什么呢？ abp， 它是一个三角形， 那这个时候根据什么呢？三角形的三边关系，两边之差小于第三边，所以 p a 减 p b 的绝对值此时是会小于 a b 的，那不管怎么样，他的差永远会比 a b 之间的距离怎么样呢？要小。那什么时候能逼近 a b 呢？或者说能做到和 a b 相等呢？那就是使得三个点 a b p 构不成三角形的时候。那什么时候 a b p 三个点构不成三角形的时候呢？贡献的时。 所以我们要找的点 p 的正确位置应该怎么找？应该要直接连接 b a， 并且延长和动直线 l 交于点 p， 那么此时我们会发现 p b 减去 p a 刚好等于 a b 的长度， 所以这个时候我们说 p a 减 p b 的绝对值就小于等于 a b。 那什么时候取到等号 a b p 三点贡献刚好构不成三角形的时候取得等号，所以 p a 减 p b 的最大值就是 a b 的长度，所以这个时候就隐身出来了。差大同 含义，要找到两个线段差的最大值，那么这两个定点 a 和 b 得在动直线 l 的什么侧呢？同侧才可以，我们看这里 a 和 b 在直线 l 的同一侧，直接连接 a、 b 并延长交直线 l 一点 p 就可以了。所以什么是差大同和小异？那么差大同就是两个定点， 得在动点所在直线的同侧，那和小翼就是两个定点，得在动点所在直线的翼侧，这就是差大同和小翼的含义。那么知道这个含义之后，我们在做题的时候遵循一个什么步骤，能把将军一马的问题百分百解决掉呢？那么将军一马同学 咱们都知道，家长也知道，他的模型非常的多，又是两个动点啊，又是一个定点啊，又是三角形啊，又是四边形啊，又是平移啊，对不对？很多很多个模型，但是这个模型万变不离其宗，就是刚才的那个口诀，差大同和小易。那么针对将军一码问题，所有的模型哈都有一个共同的做题步骤，第一步， 区分动定，知道谁是动点，谁是定点，并且还要找到动直线，动点所在的直线就叫做动直线。所以第一步把动定区分好了，动直线找到了。然后第二步我们要做的就 什么呢？判断，判断什么？我们要求的是差大还是和小？要求差大他就要同，要求和小他就要异，所以就是我们的口诀，差大同和小异，想要求差最大，那么两个定点逮在动直线的同 侧，想要求和最小，那么两个定点逮在动直线的一侧。然后我们再去看题目当中给的图，他在不在正确的位置，那么在正确的位置我们就可以直接做了，那么大部分百分之九十九的情况是不在正确位置的，不在正确位置我们要怎么办呢？这就是第三步，做对称。那么这个对称怎么做？ 一定是做定点，动点本来就不确定了，所以你没有办法再去做他的对称，只能做谁的对称点，做定点。关于动直线的对称点，那么最后一步就是直接连线求直，那么看题目让我们求的是最直，还是要求的是点 坐标，那么根据题目不同的要求，然后我们去计算就可以了，所以这就是将军一码问题的做题步骤，那么这个步骤就可以解决百分之九十的将军一码问题。那么还有两类不能解决的就是垂线段最短的问题，以及 一图不归。那么知道做题步骤之后，我们接下来按照步骤来做一下具体的练习来看。第一题基础练习，他说如图，在平面直角坐标系当中， a 点和 b 点的坐标都告诉我们了。第一位，让我们在 x 轴上求一点 p， 指得 p， a 加 p， b 的值怎么样呢？最小好，这个时候要求谁求他？我们按照我们的做题步骤，第一步干嘛区分动定，找到动值， 那么在这里 a 点和 b 点是两个定点，那么 p 就是动点，那么动点 p 在哪里动？在 x 轴上动，所以 x 轴就是我们的动直线。然后第二步，我们去判断我们要求的 差大同还是何小易，我们要求的是不是何最小，那么何最小。根据何小易两个定点， a 和 b 得在动直线 x 轴的预测，那现在你会发现 a 和 b 在不在 x 轴的预测是不是很明显？不在， 所以就到了我们的第三步，要做对称对称，怎么做？要做动点，关于定直线的对称点，那这个时候两个定点 a 和 b， 你随便选一个关于 x 轴对称就可以了。那么比如说我们选 b 要做点 b 关于 x 轴的对称点，那这个点就是我们的 b 撇，那 b 撇的坐标，我们知道点坐标关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反，所以 b 撇的坐标就是负二到负一。那这个时候到了最后一步，连线求值，直接连接 a b 撇 a， b 撇所在的这个点 p， 此时 p a 加 p b 撇，就会使这个式指的值最小。那么怎么求 p 点坐标呢？我们就要把 a b 撇的直线解析式给他求出来，那这个直线解析式怎么求？同学们可以选择用待定系数法，或者也可以用林老师教大家的快速求 k 法，把这个解析式给他求出来。那么快速求 k 法怎么去算呢？那在这里直接得 k 就等于纵坐标差，那么三减负一，比上横坐标差二减负 二，那么结果就等于多少？一，所以 y 就等于 x 加上 b， 那这个 b 等于多少呢？随便带一个数，比如说把点 a 带过去，当 x 等于二的时候， y 等于三，那这个 b 就等于几了， b 就等于一，所以我们就可以快速得到这个直线解析式，就是 y 等于 x 加一，那么得到这个直线解析式之后，点 p 在哪里？ p 在这条直线与 x 轴的交点上，所以我们直接令 y 等于零，就可以得到 x 等于负一，所以就可以得到此时 p 点坐标就是负一，逗零， 我们就把它算出来了，这就是第一问，要求什么呢？哎，何小异类型的。那再来看第二问，说让我们在 x 轴上求一点 q， 使得他们的差的值最大。所以按照我们的做题步骤，还是第一步要区分动定，找到动直线，那么在这里 a 和 b 是两个定点， 就是动点，那么动点 q 在 x 轴上运动，所以 x 轴就是我们的动直线。然后第二步就是去判断，根据差大同和小翼要求差最大，那么两个定点 a 和 b 得在动直线 x 轴的同侧，那在不在同侧，我们会发现 a 和 b 就在 x 轴的同， 所以到这一步就不需要做对称了，直接怎么样呢？直接连接并延长点 q， 就在这个位置求出答案即可。那此时点 q 怎么去求呢？点 q 是直线 a b 与 x 轴的这个焦点坐标，所以我们只需要把直线 a b 给它求 出来，那么利用快速求 k 法，那么 a b 的 k 值就等于纵坐标差三减一，比上横坐标差四，所以 y 就等于 k 是多少？二分之一，二分之一 x 加 b， 那这个时候我们选一个点坐标怎么样呢？带进去， 比如说把 a 点坐标带进去，那么就可以得到二分之一乘二，再加 b 等于三，那么 b 就等于三减一等于多少？等于二，所以我们就可以得到了这个 a， b 是 y 等于二分之一， x 加二，然后点 q 是这条直线与 x 轴的交点坐标，我们就令这条直线当中的 y 等于零，就可以得到二分之一 x 加二等于零，也就是二分之一 x 等于负二，那 x 等于 负四，所以 q 点坐标就是负四。逗零。好，这就是将军一码问题的基础应用，所以完全是套用连老师在前面教大家的做题步骤，只要按照做题步骤来，这种问题百分百可以解决，并且算 算出正确答案。那么接下来我们进行一下难度的升级，如果碰到再难一点的题目怎么办？我们来看他说，如图这条直线， y 等于三分之二， x 加二与 x 轴和 y 轴分别交于 a、 b 两边，那么 c 和 d 分别是 a、 b 和 o b 的什么点呢？重点，那么根据这条直线的解析式，我们可以得到 b 点坐标是多少呢？零逗二，另 x 等于零，得 y 等于二，那么我另 y 等于零呢？就可以得三分之二， x 加上二等于 于零，也就是三分之二， x 等于负二，那么 x 就等于负二，乘上二分之三就得多少，就得负三，所以 a 点坐标就是负三逗零。所以根据直线解析式，我们可以求出 a、 b 的点坐 标，那么他现在说了 c 和 d 分别是 a、 b 和 o b 的终点，所以根据终点坐标公式，那么点 d 是 o b 的 终点， o 点坐标是零豆零，那么 d 点坐标就是零豆一，那么 c 点作为 a、 b 的终点，那么 a、 b 两个点横坐标加起来除以二，纵坐标加起来除以二，所以 c 点的坐标就是负的二分之三豆。 好，那么得到了这个 cd 的坐标之后，他又说了点 p 在哪里？点 p 是 o a 上的一个动点，那么要求他最小的时候 p 点坐标是多少？好，题目读完了，是不是很快就能确定他是将军一马的考题？那这个时候按照陈老师前面教大家的步骤，第一步干嘛呢？区分动定，找到动 直线，所以在这里 pc 和 pd 当中， c 点和 d 点就是两个定点， p 就是动点，那么动点 p 在哪里动？在 oa 上动，所以动直线就是 oa。 那么到第二步了，就去判断我们要求什么样啊？和最小，是不是和小易和小易说明两个定点 c 和 d 在动直线 ov 的什么呢？预测，那么你会发现现在 c 和 d 在不在 ov 的预测，他很显然在同测，对不对？不满足要求，所以这个时候就到了第三步，要做对称，怎么做对称？要做定点，关于动直线的对称点，那现在定点 c 和 d 都是，我们选择一个把 它关于动直线 o a 对称就可以了，那么选谁呢？我们选 d 给它对称过来，做点 d 关于 o a 的对称点，那 d 撇的坐标就是多少零的哦， 负一，所以这个时候我们就可以得到了 p d 和谁的长度， p d 和 p d 撇的长度就相等，所以相当于变成了让我们求 p c 加上多少 p d 撇的最小值。那这个时候只需要怎么样呢？做完对称直接连线，所以这个时候 p 点的正确位置就在这， 那么怎么把 p 点坐标给它求出来呢？我们就要求出直线 c d 撇的解析式，那 c d 撇的解析是怎么去求 还是快速求？ k 法，纵坐标差比上横坐标差，结果就等于负的三分之四，所以 y 就等于负的三分之四。 x， b 是多少？它跟 y 轴交于零度负一，所以 b 就直接是负一，那么 y 等于负的三分之四， x 减一。当我们想要求 p 点错标， p 就是这条直线与 x 轴的交点，所以直线解析是求出来以后，我们直接另位等于零，那么就可以得到负的三分之四。 x 减一等于零，也就是负的三分之四。 x 等 一，那么 x 就等于多少呢？负的四分之三，所以 p 点坐标就是负的四分之三。逗零，我们就把它给算出来了，这种就是再复杂一点的将军一码问题， 那么再来再做一个更加复杂的，看看老师的那个步骤是否可行。他说如图，在这个平面直角坐标系当中，告诉我们， a 点坐标是十二 斗三，必点坐标是二斗七。好，两个定点已经把坐标告诉我们了。那么现在 x、 y 轴上分别有 p、 q， 让我们求四边形的周长最短，问周长的最小值是多少？要求这个四边形的周长最短。那么这个四边形 p a b q， 它的周长本来等于谁？这个 四边形 p a b q， 它的周长就本来应该等于什么呢？ b q 加上 p q， 再加上 p a， 再加上 a a b， 这个就是这个四边形周长的最小值。这个时候我们来看周长，我们已经把它写出来了，那么在这个周长当中，根据 a、 b 两个点坐标已经知道了，所以谁的长度是固定的， a、 b 的长度是固定的，我们就先把 a、 b 的长度给它算出来，那么根据两点间的距离公式， a、 b 的长度就等于横坐标差的平方，横坐标差的平方就是多少，二， 二和十二差就是十十的平方，再加上纵坐标差的平方，那么七和三它的差是四四的平方，所以结果就等于根号下一百，加上十六，结果就是根号下一百一十六，所以在这里 a b 的长度是固定的，那就是根号一百一十六，根号一百一十六，化减一下是多少呢？就是 二倍根号二十九，那么再加上 b q， 再加上 p q， 那么再加上 p a， 所以这个四边形的最小值就是 b q 加 p q， 再加 p a， 那这个时候他们仨的最小值怎么去求？好开始套用陈老师前面教大家的步骤。那么第一步区分动定，找到动 直线，那么在这里我们说 q 点和 p 点两个都是什么点？都是动点，所以这个题有几个动点了？两个动点，然后 a 和 b 两个是什么呢？两个是定点，所以两个定点，两 两个动点就区分开来了。然后这个时候再来看两个动点，他就有两个动直线，那这个时候动点 p 在哪里动？在 x 轴上动，所以 x 轴是动点 p 所在的直线，那么动点 q 在 y 轴上动， 所以外轴是动点 q 所在的直线，所以两条动直线 x 轴和外轴，我们就已经给他确定下来了。那么紧接着我们怎么样呢？第二步就是判断我们要求的是差大还是和 小，我们要求的是不是和的最小值，那么和小就要求什么呢？要求 e， 所以两个定点 a 和 b 得在动直线 x 轴和 y 轴的什么呢？ e 侧，他现在在不在 e 侧？明显 a 和 b 两个点既在动直线 x 轴的同侧，也在动直线 y 轴的同侧， 所以这个时候不满足要求，我们要干嘛呢？到了第三步，做对称，做定点。关于动直线的对称点，那么他现在有两个动直线，所以我们要做 两个对称，所以这个时候我们来看先做谁呢？ a 点离 x 轴比较近，我们就做点 a， 关于动直线 x 轴的对称点，定点 a， 把它对称过来就是 a 撇，那么 a 撇的坐标就是十二豆负 三。这个时候我们连接 p a 撇，会发现 p a 和 p a 撇的长度什么关系相等，所以这个时候我们要求的最值变成了二倍，根号二十九，加上这个 a p 就给他变成了 a 撇 p， 这个时候关于动直线 x 轴的对称点做好了。那还有关于动直线 y 轴的对称点呢？我们就做什么呢？做定点 b， 关于动直线 y 轴的对称点 b 撇， 那么 b 撇的坐标就是负二逗七，那么此时连接 b 撇 q， 会发现 b q 和 b 撇 q 什么关系相等，所以这个时候 b q 就把它变成了 b 撇 q， 所以这个四边形的周长就变成了二倍， 根号二十九，加上 b 撇 q 加 q p， 再加 a 撇 p 的最小值来给他描一下， b 撇 q 在这儿， p q 在这儿， p a 撇在这儿，要求这三条橙色的线的最小值，那这个时候最小值是什么？我们要说要使得 b 撇 a 撇 p 和 q 四点共 线才能有最小值，是不是两点之间线段最短啊？所以这个最小值我们直接连接 b 撇 a 撇，所以这个最小值直接就是二倍，根号二十九，加上什么呢？ b 撇 一撇，好，这就是最小值。那么 b 撇的坐标是负二到七， a 撇的坐标是十二到负三，所以这个时候根据两点间的距离公式，那么 a 撇 b 撇的长度我们就能把它做出来了，横坐标差的平方，那就是 十二减负二，那就是十四的平方，再加上纵坐标差的平方，那就是十的平方，把它算出来就是根号二百九十六，那二 二百九十六就是二倍根号七十四，所以答案就是二倍根号二十九，加上二倍根号七十四，那么这么一个复杂的题目我们就把它解决掉了。所以总结一下，遇到将军一马类的问题，我们就按照这个步骤去做。第一步区分动定，找到动直线。第二步去 判断是要求差大同还是和小易是否符合要求，那么不符合就到了第三步做对称，要做定点，关于动点所在直线的对称点，然后最后一步就是连线求值，那么按照这个步骤可以解决百分之九十的将军密码问题。

今天我们讲牧民印码问题全讲系列一、中考新增考点，八年级数学上册牧民印码问题的三个拓展全解析一、一定两动一、回归课本 如图，牧民从 a、 d 出发，先到草地某一处木马，再到了河边的印码，最后回到 a 处。 牧民怎样走？所走的路径最短？从数学的角度看，我们把草地边啊，这为一条直线，把河边对着直线 a 点在这， 我们就过 a 点做草地边的对称点， a 撇过 a 点做河边的对称点。 a 两撇做两只对称 a， a 撇与河边与草地边的交点 c、 d。 它的原理的两点之间线段最短， a 撇 c 等于 ac， a， d 等于 a 两撇 d。 那 么三角形 a、 c、 d 对 的。这个模型的特征是定点 a 在 两条直线的内侧识别的标志就是一定两动两动的 求线段和的最小值。关键的思路是化折为值，折线或直线。核心的数学思想是转化与法规的思想，让无法直接解决的折线的路径的问题，通过轴对称转化为两点之间线段最短的基本公里。 第二个数学思想是模型的思想，识别出这类问题的共同的特征，一线两动求线段的和最小值，那么可以迅速调用莫名硬朗的模型来解决。三、牛刀小试例如图角 a、 o、 b 等于三十度， d 是 a、 o、 b 那 一点 o， d 等于六， e、 f 分 别是这两个洞点，这是一定两洞，那你求 d、 e、 f 周长的最小值，一定两洞， 我们就过定点做 o、 a 和 o、 b 的 对称点，第一撇，第两撇，那么第一撇，第两撇，这个就是最小值。对，这个等于这个，这个等于这个，所以第一撇是三角形 d、 f 的 最小值。我们看这个角等于这个角， 这个角等于这个角，这整个角等于三十度，那么整个这个大角就等于六十度。有对称的知道 o d 等于 o d， 一 撇也等于 o d 两撇，那么这个是个六十度。那么整个三角形第一撇 o、 d 两撇，这是一个等边三角形， 那么第一撇，第两撇就等于 o d， 一 撇等于 o d， 两撇等于 o d 就 等于六，所以呢，最小值为六管。第二，两定两动。 课本里说，牧民从 a、 d 出发到草地某一处木马，然后到河边印码，然后再回到 b 点，怎样走路径最短？我们一样的把草地边和河边画出来，这两点表示出来，我们过 a 点做草地边的对称点， a 一 撇， 过 b 点做河边的对称点 b 一 撇，然后连接 a 一 撇， b 一 撇。我们实际上是做两个定点的对称点，它的原理就是两点之间线段最短。模型的特征，两个定点 a、 b 对 直线的同侧识别标志是两个定点， 两个动点，求线段和的最小值。关键的思路是画折为值核心的数学思想通过左对称化为两点之间线段最短的基本功力。 模型的思想是两定两动，求线段和最小值。我们可以迅速调用目迷一马问题这个模型来解决。三、有大小四，如图，正方形 a、 b、 c、 d 边长为四 e、 f 分 别是 c、 d、 d， a 上的动点 点 g。 在 对角线 a、 c 上写 c、 g 占位的 a、 g。 这个题有两个动点 e、 f 有两个定点 b、 g， 让我们求 b e、 f、 g 他的最小值，那么 g 点和 b 点是两个定点， e 点和 f 点是两个动点，做 g 点。关于 a、 d 的 对称点， g 一 撇，做 b 点。关于 d、 c 的 对称点， b 一 撇，然后我们连接 b， g 一 撇，我们看做它的垂线，做它的垂线， 整个边长为四，那它为一，它为三，那 g 撇 n 就 等于一加一加三就等于五，这个也等于 n， c 加上 c， b 撇 也就等于三加四就等于七，那么 g 撇 b 撇就等于五的平方，加上七的平方 就等于根号七十四。周长里面还 g b 就 等于 一的平方，加上三的平方等于根号十。所以整个四边形的周长的最小值就是等于根号七十四，加上根号十。我们看三个洞点，回归课本目标，每天从生活区的 a 点出发，先到草地上的 b 处木马，然后再到河边印码，然后再回到 a 处。 问你如何确定 a、 b、 c 的 位置，使 a、 b、 c 的 位置到 c 处印码，最后回到 a 处。所走的路程 最短，我们把它转化为数学语言。就这个图，我们在生活区 m p 上取一点 a 做 a 点。关于草地边缘 m、 n 的 对称点， a 一 撇， 然后做河边 m、 p 的 对称点， a 两撇，然后连接 a 撇 a 两撇，分别与 m、 n 交于 c 两点。于是三角形 abc 的 周长就等于用它，等于它， 这个等于这个，所以它的周长就等于 a a 撇的长。要是这个三角形的 a、 b、 c 的 这个周长最小， 那就是要使 m a 撇 a 这个边 a a 撇最短。因为 m a 撇和这个 m a 两撇和 m a 这三条线段是相等的，所以三角形 m a 一 撇， a 两撇，这是一个等腰三角形顶角 a 一 撇， m a 等于两倍的这个角，因为这个等这个，这个等这两倍的这个角，所以是一个固定值。那么幺 m a 一 撇越短，那么 a 底 a a 一 撇就越短。 a m 最短的时候最短呢？当它是它的高的时候，垂直的时候， 它的线段 a， a 撇最短。原理，这两点之间线段最短，垂线段最短。我们取其中一个洞点的取 a 点做两次对称，然后当它垂直的时候， m 最短。 这个模型的特征有三个洞点，在三条直线上 abc， 这三个洞点在三条直线上，识别的标志是三个洞点要求线段和最小值。 我们先取其中一个动点做两次对称，画折为值。我们通过求对称，将画为两点之间线段最短和求线段最短的公理三留到小四。 如图，在边长为二的等边三角形 a、 b、 c 中， p、 m、 n 分 别是动点，三个动点求 p、 m 周长的最小值。那我们一样的，我们过 p 点做 a、 b 的 正点 e， a、 c 的 正点 f， 然后连接 ef， 当 a、 p 垂直于 bc 时， e、 f 的 值最小。也就是说三角形 p、 m、 n 的 周长最小。因为 a、 b、 c 是 等边三角形，所以 b、 l、 c 这个等于六十度 角， b， 这个等于六十度。有对称性可知道角 e、 a、 b 这个角等于这个角，这个角也等于这个角，所以整个 e、 a、 f 这个大角 就等于两倍的这个六十度。因为等于一百二十度，所以 e、 f 呢，就等于根号三倍的 a， e 也就等于根号三倍的 ap， 这个这等于二。这三十度，这等于一，那么 ap 就 等于根号三， 那么 a 一 也等于钢化三，所以这个就等于钢化三，乘以钢化三就等于三以三角形 p、 m、 n 周长的最小值是三四。总结提升募募印码问题的原理，一、两点之间线段最短。二、垂线段最短。 三、三角形三边之间的关系，三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。第四是轴对称， 第五是线段的垂直平分线，第六是平移。不明一毛问题的核心是求解特定条件下的最短路径。不明一毛问题的本质就是个最值问题，最小值的问题。 不明一毛问题的八宝八字诀对称转化化则为值。今天的视频就分享到这，记得关注、点赞、收藏，并把它转发分享给需要的同学朋友，让更多的人见有收获，下期再见！

八上数学最难的将军印马八大模型全部吃透，逆袭班级前三将军引马八大模型，两定一动两动一定模型，两动两定三动点模型， 架桥型，平移型线段差最小线段差最大最短路径模型总结，最短路径 求直线同侧两点到直线上一点距离和最小值的问题，造桥选址的问题， 义乌一魂警示完整版分享！

初二期末必考的押注题一定有轴对称将军印马题型，我们一起来看下这道题。已知等边三角形 a、 b、 c， b、 d 垂直于 a、 c， a、 d 是 三点五， a， q 和 b p 都等于二， p 和 q 为定点， 在线段 b、 d 上找一个点 e， 使得 p， e 加 q， e 的 值最小。读完题目，画出草图，发现它求的是折线段 最小的问题，所以这里也是非常经典的将军印马模型。这个视频韩老师带你用两个步骤学会所有解析方法，再配合我整理的将军印马十二大模型， 包含了作图方法以及解析思路，给孩子练习，轻松搞定压轴题。我们一起来看下这道题。想求这样的线段和最小，我们一定要用到轴对称思想，将线段的位置做出改变，使得它变到 同一直线方向上，从而我们用两点之间线段最短来解决问题。那我们解题的两个步骤也就出来了，第一步，做对称，第二步，用两点之间线段最短来解决问题。回到题目，三角形 abc 是 等边三角形 b、 d 垂直于 a、 c， 说明三角形 a、 b、 c。 关于 b、 d 对 称，那这里我可以给 q 做 b、 d 的 对称点，会发现我们的小 a 这条线段被转移到了下方来，那我也可以做 p 关于 b、 d 的 对称点， 对称下来，会发现小 b 的 线段转移到下方来了，那这个时候两种方法都可以，我选择做 q 的 对称点，因为做完以后，咱们的对称点依然落在了直线 a、 c 上， 比较好操作。那接下来做完对称点以后，我要求小 a 加小 b 的 最小值，其实就是连接两点，然后那真正的点 e 应该是在这个位置，那所以说我们 p e 加上 q e 的 最小值，就应该是等于 p e 加上 q e， e 的 最小值。两点之间线段最短，是它的最小的情况。那现在我要求的就是 p q e 有 多长？ 已知 a d 等于三点五，由于等边三角形，由于垂线，由于三线合一，所以 d c 也等于三点五。因为 a q 等于二，所以 q d 是 一点五，那对称下来，这也是一点五，那所以底下的 q e、 c 就是 等于二的。等边三角形的边长就可以知道是等于 其，那所以 a p 的 长度就为五，而右边 a q 一 的长度也为五，那底边应该也为五，因为里面的 a p、 q 一 也是一个等边三角形，那所以它的最小值既为五，你听懂了吗？