八年级上册几何模型2025年最新版

跟着高师走，数学幺幺九。哈喽，同学们大家好，我是数学高老师，今天我们来讲解初中数学几何模型中的另一个最具模型，那就是瓜豆模型。什么是瓜豆模型呢？ 它出自一个成语，叫做种瓜得瓜，种豆得豆，也就是说在这类模型中啊，它有两个动点，一个动点叫做主动点，这就是我们说的瓜，另一个动点叫做从动点，这就是我们说的豆。 而这个从动点的轨迹呢，会和主动点的轨迹呢，是完全一致的，如果主动点的轨迹是一条直线，那么从动点的轨迹也是一条直线。如果主动点的轨迹是一个圆呢，那么从动点的轨迹也会是个圆。那么如果主动点是个其他的几何轨迹，那么从动点呢，也同样是相同的几何轨迹，这就是我们所说的刮豆原理。 那么经过我这么简单一说呀，相信很多同学们还是处在云里雾里，所以要想识得庐山真面目，我们就要跳出此山中。那么下面呢，通过一个动画来给大家简单的展示一下什么叫做刮豆恶心 好这道题呢，是辽宁省的一道中考题，我们来看一下他这么说的，他说点 a 啊，在双曲线 y 等于负 x 分 之六的第二项线上的一个动点啊，这个 a 点可以动连接 a o 啊，并且交于另一只一点 b， 那 么这个 b 点跟 o 跟 a 点呢，必然是关于 o 点是对称的，那么以 a b 为底啊，做等腰三角形 a b c， 且 a c b 是 等一百二十度的， 那么点 c 在 第一项线随着点 a 这个运动啊，这个点 c 的 位置也在不断的改变，并且告诉你这个点 c 啊，它也在一个 k 值是多少， 那么这就是个典型的刮动模型了，我们先让这个点运动运动，大家来看一下这个轨迹啊，我们发现 a 点的运动过程中呢， b 点跟 a 点是对称的，所以它也会运动， c 点呢，当然要保持这个角不变，它也会跟着运动，那大家发现没有，这个点 c 的 轨迹是不是也像个双曲线啊？那么这个就是我们说的刮逗了模型了， 其中这个 a 点呢，称之为刮，也叫做主动点，而这个 c 点呢，是跟着 a 点的运动而运动，所以它称之为从动点，也就是我们说的逗。 那么主动点的运动轨迹呢，是一个双曲线，自然这个点 c 的 运动轨迹也就是个双曲线了，那么为什么这个曲线就是个双曲线，或者这个双曲线的 k， 我 们该怎么去求呢？哎，这时候我们先要了解一下瓜豆模型的一个基本的一个模型的定位是什么？ 不只有两个动点， a 和 c， 还要有个定点，那么在这个时候里边这个定点呢，就是 o 点，因为 o 点始终是没有动的，我们连接 co 啊，做出来一个辅助线连接 co， 那么我们我们知道，因为 a、 c、 b 是 个等腰三角形，所以根据三线合一，因为 o 是 a、 b 的 中点，对吧？根据三线合一， c o 呢，必然是垂直于 a、 b 的， 所以这个角是直角，那大家发现没有，呃，这块呢，还有个角边线啊，这个角呢，应该六十度啊，三线合一嘛，而这个角是三二， 所以这个 c o 和 a o 的 比值啊，也是个固定的比值，应该是一比二、三比二，所以这里边那个 o、 a 比 oc 啊，应该是根号三比一，它是固定的比值。那么这就是我们所说的刮豆模型啊。比如说刮豆模型里边必须还有两个动点， a 点和 c 点，当然还得有个定点是 o 点，同时这个角 aoc 还得是个定值，这个角度是个固定的啊，那么在这道题里边是个九十度角， aoc 等于九十度， 并且它还要满足这两个动点到定点的这个距离的比值得是定值啊，那这道题里边是根号三比一的啊，固定，所以这就是我们说的刮豆模型。 那么接下来这个 c 点，这个 k 值该怎么去求呢？那么很简单，大家发现这是个直角三角形，我们直接利用一线三等角模型，所以我们分别往 a 过 a 点做 a、 d 垂直做 c、 e 垂直。那么根据这个一线三等角模型，我们知道这个三角形 a、 d、 o 和这个 c、 e、 o 自然是相似的，而且它的相似比是根二、三比一， 那么相似比，我们知道这个，因为我们知道根据绝对值这个 k 的 一个几何意义。我们其实求 k 值，就是求这个三角形的一个面积，那么这两三角形因为相似，它的这个面积比呢，应该是相似比的平方，也就是三比一，所以这两个 这个图形里边这个 k 值的绝对值之比也是三比一。那为什么是绝对值呢？因为 a 的 这个 k 值是负数，而 c 的 这个 k 值呢？它是个正数，它的绝对值之比是三比一， 而这个 a 点，它这个 k 值呢？它这个是负六，所以它的这个 k 二啊，那么这个 c 点的 k 值呢？应该是等于二的，那么它的这个六比二就是三比一嘛，所以我们求出来这个 c 点这个 k 值呢，它应该是二，那么这道题呢，也就解决了， 所以大家体现了没有，这就是我们所说的这个最简单的一个刮豆模型的原理。那么当 a 点运动轨迹是一条直线，当 a 点运动轨迹自然也就是个圆，这就是我们说的刮豆模型。

初二期末必考的手拉手九大结论，今天明天老师一次性带大家彻底掌握考试，遇到必定多拿二十分。 前提条件， abc 是 一个等边三角形， a、 d、 e 也是一个等边三角形，并且 b、 a、 e 在 一条线上，那左手拉左手 b 拉 d， 右手拉右手 c 拉 e 来第一个结论，三角形 a、 b、 d 全部全等于三角形， a、 c、 e 呀， 好，这里是 a、 b、 d， 这里是 a、 c、 e， 这是我们熟稞熟的经典结论了，只要拉上了手，就有全等。为什么标下条件啊？ ab 等于 a、 c， a、 d 等于 a、 e。 这个大角是我们的六十度加上六十度一百二，这个大角也是六十度加六十度一百二，所以第一个必定全等，全等的依据是 s、 a、 s。 再来看，大家会发现这个大三角形被 a、 c 这条边是不拆成了一个 f 出来，就会产生 a、 b、 f 和 a、 f、 d 这两个三角形一大一小。然后我们看这个 a、 c、 e 啊，这 a、 c、 e， 它也被拆成了上面这一个大的，被这个 g， 这个点底下这个小的。 那你看这个大的跟这个小的有什么区别？全能吗？来看这个 a、 b、 f 跟 a、 c、 g。 全能吗？ a、 b 等于 a、 c， 你 这有六十度，我这都是六十度，还缺一个条件。别忘了啊老师，这个顺序其实就是大家的证明顺序，包括大家在做题的时候，他也是一二三四给大家选项了之后你一定是从前往后，因为上一个很可能给你，下一个是提供条件的，是台阶。 咱们上一问正出了 a、 b、 d 全等于 a、 c、 e， 现在你有俩条件，缺一个，那你看看上一问能不能给你提供一点条件，我们会发现哦，这个小角 跟这个小角是上一问全等中的对应角，就能用上了。第二个全等就用上了，在一个三角形中去看判定依据啊，两个角一个边，边是夹边，所以它是 a s a 全等，这大的 和这大的全等了，那剩下的这个小的呢？也就是我们第三个 a、 f、 d 和这个 a、 g、 e， 它俩呢？也自然全等了。你想证明的话，那可以是用一样的 说，那我这圈也等于这个圈哦，你这个边也等于这个边，你这俩还都是六十度，也可以用 a s a 去中。 接下来我们看第四个结论， b、 o、 c 是 六十度，这个小角是六十度。 手拉手必备的，就无论这题是什么样的三角形，只要是两个等腰三角，不一定是等边啊，只要是两个等腰三角形共顶点，并且拉上手了。大家记住，必须有两个经典的结论，第一个是拉手之后形成的三角形全等，第二个就是 拉手线啊，拉手线是谁呀？我 b 拉上 d 了，如果我管 b 跟 d 交左手的话，那这个右拉右 c 打上 e 了。 拉手线的夹角必定等于什么？必定等于你这个等线段的夹角。一开始你不是等腰三角形吗？你这不有一个顶角吗？等线段的夹角为啥呢？其实它更本质的呢是旋转等，我们到这个初三的时候会学，那现在呢，咱们怎么去挣这两个角相等？ 就是这学期我们学的经典的倒角模型，当你不知道怎么倒角的时候，你就去瞄角的两边， 大家看啊，那你说我描 o 的 两边，我去描这 a 的 两边，你看围成什么图形？是围成一个八字，八字的结论是这个加这个，等于这个加这个， 那它俩还什么关系啊？相等啊，所以呢，那这俩自然也相等。你说这个结论咱是怎么导出来的？咱是用了全等加八字， 如果你发现这道题说万一没有八字呢？有没有可能？也有可能，如果用的不是八字，那一定是四边形内角盒，你碰到过吗？来第五个三角形， a、 f、 g， 我 如果把这个 f g 这块给连上了，说它是等边三角形，大家看怎么整？上面这几个结论，我要用到哪一个？ 要用到这两个边相等，这两个边是第几个结论的？是不是第二个结论的？这两个三角形 a、 b、 f 和 a、 c、 g 是 不全等于角是多少度？假角是六十度， 于是有一个角是六十度的。等腰三角形是等边三角形，所以我们也用到了一个全等，加上我们等边三角形的判定，用的是两边一角。好，第六个， f g 平行于 b 一， f g 平行于 b 一， 那是不是得看同位角内角啊？你先看到哪一个？哎，内错轻松解决。根据第五个，你看一环扣一环，根据第五个，你是整边三角形，所以你这必然是六十度，那我这也是六十度。内错角相等，两只线平行。好，我们这里用的是内错。 第七个。从第七个开始上难度了啊，同志们可能会考到选择填空的压轴题，也可能会考到大题的压轴题。说如果你连上 o a， 你这必然是角平分线， o a 平分这 f、 o g， 那 我怎么正呢？这两个角相等呢？大家会想到什么？其中的一条路就是角平分线的判定。 角平分线的判定说的是什么？你要想正，这个是角平分线，你就过这上面的点，这里上面有，除了这 o 还有谁？也只有这个 a 了，咋着？向两边做垂，过 a 向这边做垂，假设这是 m， 过 a， 向这边做垂，好，这是 n， 我 要证出来。 am 等于 an 的 话， 根据角平分线的判定，你在角的内部，你到角两边的距离还相等了，那你就在角平分线上，那我怎么证明 am 等于 an 呢？这里的方法非常多，我们可以用法一 全等。什么意思啊？你看一下 a m 跟 an 四角形有没有全等的，这时候你会看到了 abm 和 acn， 你 去证吧，轻松就能证出来。这老师不说了。 第二个方法是迷你老师想重点给大家拓展的，因为它非常快，而且这个方法呢，在整个初二初三经常会被用到，就叫面积法。 a m 咱是向谁做垂的？咱是向整个 b、 d 这个边做垂的，它就相当于咱们第一个三角形，这 a b d 这三角形 b、 d 边上的高， 那你 an 呢？你是向 c e 做垂的，就是跟它全等的这个三角形 c e 边上的高。那你 b、 d 跟 c e 是 不是对应边？是对应边吧，你面积相不相等？你全等了，面积相不相等还相等，那你对应边上的高呢？是不自然就相等了，所以咱用面积法就能做出来了。两种方法分享给你啊。 好，接下来第八个，第八个跟第九个咱挣一个就行了。一个意思，第八个说的是，来，再往这擦一下， o b 等于 o a 加 o c。 来看一下这三条边， o b、 o a、 o c， 这是米老师之前讲过的什么鸡爪子鸡爪图，而且它的关系还是求和，所以你可以往哪里去想？这思维也非常多，你可以往截长补短上去想。 好，这是第一个思路，第二个思路还可以往哪去想？还可以往构造旋转全等去想。什么叫旋转全等？ 当有等腰三角形存在的时候，你就可以转，对吧？你就绕着一个点转，那第三个就是说我就从等边三角形的性质，你这题不是有等边三角形吗？我就够等边三角形，非常多的思路啊。 然后很多同学的难点就在于说我不会走第一步，那现在米老师就告诉你如何走第一步，第一步就是你要选三角形， 无论你用什么方法，你得选出目标三角形来，因为啥？因为你无论构造谁跟谁全等，你是不是都要转移边？转移角， 那你转移谁呀？你不要转移你这些目标边、目标角吗？对不对？好，所以你就要关注他们仨所在的三角形， 而且条件比较多的。为什么？因为你要构造全等，是不需要等线段，需要等角啊，你要当然关注条件多的，大家的选择其实非常多，当选择非常多的时候，我一般会选择小的那个，因为小的那个接上节就可以了，如果你选大的，可能还得补。来吧，大家看看它们都围成哪些三角形？ 你比如说这个 o a 是 我们的目标边， o c 是 我们的目标边， a c 是 不是一组等线段？是非常好的一个构造跟它全等的一个三角形啊？这三角形 a、 o c 可选 好，那看还有谁可选？你看这个 o b， 这个 o a 也是我们的目标边，那 b a 呢？是不是等线段？哎？它跟它的地位有什么区别吗？没什么区别，三角形 o a、 b 可选，别的还有吧？别的就没啥，就这俩。那这俩选哪个？我选小的，是不是它小一些，其实它都可以做出来，我选小的，这个好。然后第二步，假如说我们是从截长补短的，这是我的等线段， 所以你要构造跟我全等的话，你，你得有这条边，你得有跟我相等的这条边，那就是 bc 和 ab。 这么多方法，咱们选哪个呢？那这样吧，因为如果说我选这个截长补短的话，大家可能说我在谁上截呀？或者说我在谁上补啊？方向特别多，那咱们这个题结合它是等边、三角形以及未来旋转全等，会是我们的压轴难点，咱们就讲旋转。 接下来咱们看这个三角形，我要转它，我绕着谁转，绕谁呢？ 绕着等线段的端点转就行了。你比如说 c， 这是不是有一组等线段， c a 等于谁？ c a 等于 c b， 我 就可以绕它转，当然你绕着 a 转行不行？哎，也行，你说这辅线到底咋做呀？老师，你先把图转过去，你自然就知道辅线怎么做了。来，大家先转，说我 c a 转到这转了多少度？ 是不转六十多，于是你这个 co 就 得怎么样？是不是绕着它转也转多少度也转六十多？ 你发现，那我转六十度，我这个 o 点假设是点 p， 转到六十度之后，这个 p 点是不是正好落在 b o 上的呀？你是不会纠结这个问题， 那它是不是一定落在为什么？因为你这样的话就会把 o a 带到这儿，这不正好截长不短的那个方向，所以它一定落在这儿。接下来你就看一下你这辅线如何描述能让你有这个权能。 这个描述方法也非常多，比如说我们这个第四问，说正了这个角是六十度了，那我就直接结这个三角形，是不一定是等边三角形啊？因为这两个粉色的相等，这还是六十度，是不一定等边三角形，那我就直接结，结谁？你没法说结 o p 结 cp 对 不对？你在这说结 o p， 所以 我就结 o p 等于 o c， o p 等于 o c， 于是你看你这个 o c 是 不是产生了一个，现在是不是就已经产生一个截长的效果了，它就已经挪到这来了？我产生了一个等边三角形 o c p， 我 还产生了一个截长的效果，我只要证什么？我是不是只要证这个 b p 是 不是等于这个 o a 就 好了？ b p 等于 o a 吗？ 那我怎么正？ b p 等于 o a？ 正线段相等全等，我就看这样做。这个等边三角形之后，产生了一个截长的效果之后，这俩三角形能不能全等？一旦全等了，那就好了， 来屡条件吧。第一个条件， c b 等于 c a。 第二个，等边三角形，是不是 c p 等于 co 两组边了，就差啥了？ 你不可能第三组边，第三组边是你要正的相等是不一定差角，我一定是要关注一下你这个小不点假角等不等于我这个小不点假角等不等？当然等，因为你得出它是等边三角形之后， 那这个角自然就是多少度。六十度，两个六十度减去中间公共部分是不剩下的，就相等了。两个点点就相等于是 s a s， 我 就正出了这两个三角形全等， 最后三角形 c， b， p 全等于三角形 c， a， o 全等的依据是 s a， s。 好 了，这你也证出来了， b p 等于 o a 了，那 o a 在这转移到这， o， c， 咱转移到这，是不是一加第八个出来了，那第八个出来了，第九就出来了，第九就是反方向， o e 等于 o a 加 o d 就是 完全把那个大的啊变成反回来这个了。好，九个结论你学会了吗？跟着问题走，数学不用愁。

同学们，今天我们一起来看一道八年级上册的手拉手模型的题目。看题，在直线 a、 b、 c 的 同一侧做两个等边三角形，也就是三角形 a、 b、 d 与三角形 b、 c、 e。 我 们做完这两个等边三角形后，又把 a、 e 与 d、 c 连接起来了。 第一问，我们要证明 a、 e 与 d、 c 是 相等的，这个时候我们应该如何证明？一般是通过三角形的全等得出对应边相等，这个时候我们发现它所在的三角形 a、 b、 e 与 d、 b、 c 应该是全等的。我们应该用到哪些条件呢？因为它是个手拉手模型，中间的 b 点就是它们的公共点。 从公共点出发，我们发现 b、 d 与 b、 a 是 相等的， b、 e 与 b、 c 也是相等的，有一组边了。然后我们再找对应角，因为等边三角形的三个角都是六十度，所以角一等于角二等于六十度。 这个时候我们发现中间还有一个公共角，所以我们角一加角三与角二加角三的和是相等的，那么我们就可以通过边角边、边角边来正全等就出来了。我们应该如何书写呢？第一步，先写证明。 因为我们要用到等边三角形的对应边相等，所以第一问，我们要先写上三角形 a、 b、 d。 三角形 b、 c、 e， 它们为等边三角形， 所以我们就得出来了， a、 b 是 等于 db 的， 同理 e、 b 也是等于 c、 b。 还有一个角一等于角二等于六十度，这个时候因为角一加上角三等于角二加上角三，所以我们就可以得到角 a、 b、 e 是 等于角 d、 b、 c 的， 这个时候就可以证全等了。在三角形 a、 b、 e 和三角形 d、 b、 c 中，首先我们先写边，就是 ab 等于 db， 然后我们再写角角 abe 等于角 db、 c， 接着我们再写最后一组边，就是 e、 b 等于 c、 b， 那 么所以三角形 a、 b、 e 就 全等于三角形 d、 b、 c。 我 们的判定依据一定要写上是 s、 a、 s， 判定完以后，它所以对应边相等就正出来了。 a、 e 是 等于 dc 的， 这是第一问，第二问，我们要求线段 a、 e 与 dc 所夹的角 a、 f、 d。 这个时候我们一般会通过八字模型来找看老师给你画的这个线段，我们把它描起来以后，看这个八字模型， 首先我们这标上一个四和五，四和五，通过第一问的全等我们就可以推了出来了，这个时候发现六和七又是一组什么呀？对顶角，因为三角形的内角和是一百八十度，八字形现出来以后，我们就可以得到所求的角与角一是相等的，也就是六十度。写的时候我们应该如何写？先写解， 然后第一问，我们是正完全等了，我们应该写由全等可知，我们角四是等于角五的，然后又因为什么角六等于角七，它们俩是因为是一组对顶角，所以它们是相等的。 然后同样在三角形里面，我们发现角 d、 f、 a， 它是等于一百八十度，减角四，再减角六， 然后角一呢，它也是等于一百八十度，减角五，再减角七的，所以说我们就可以用等量代换得出来了，角 d、 f、 a 是 等于角一的，所以就是等于六十度，也就是所以角 a、 f、 d 的 度数 为六十度。这就是我们今天讲的手拉手模型，同学们喜欢的话给老师点个关注吧！

八上数学全等三角形手拉手模型等边三角形共顶点问题？ 哈喽同学们，今天我们来进行一下八上数学里面的一个全等三角形的模型之一，叫做手拉手模型，那么这种模型的话呢，有好多种形式，我们今天来讲一种形式，就是等边三角形的共顶点问题。 好，如图一， a、 b、 c 和 a、 d、 e 均为等边三角形，然后将 a、 d、 e 呢绕着点 a 顺时针方向旋转， 旋转成如图二的形式来证明 a、 d、 b 和 a、 e、 c 这两个三角形呢，是全等的。那么第一小问证明题主要就是一个过程的问题。好，我们写的时候呢，要注意，第一个，前面已经说了等边三角形了对不对？所以我们要写一句话，因为 a、 b、 c 与 a、 d、 e 为等边三角形，所以 a、 d 等于 a， e， a、 b 等于 a、 c， 所以 角 d， a、 e 等于角 b， a、 c 等于六十度，而这两个角中间是不是有一个夹角呀？所以我们把夹角减去啊，夹角减去了之后呢，就得到一个 d， a、 b 等于 eac 啊， 都等于六十度，减去角 b、 a、 e。 所以 第一小问，我们就可以通过 s、 a、 s 来证明这两个三角形全等。好，下面我们看一下第二题。 第二题，他说在一的条件下，如果 d、 e、 c 在 同一条直线上，求一下 e、 d、 b 这个角度等于多少？好，我们看一下这第二题的话呢，我们一定要注意考虑问题要全面一点，它有两种形态， 第一种形态啊，也就是在二的基础上演化出来的比较明显的一种形态，就是如图三所示。那么第二种形态的话呢，它可以怎么一直旋转过去，旋转到如图四所示，那这个时候 e、 d、 b 呢，就变成了这一个角了。好，我们首先看一下第三个啊，就是图三所示的这种情况， 那么我们一定要注意啊，就是我们在做题的时候，要把第一小问的结论作为我们第二小问的条件来利用。 第一小问已经说明了这两个三角形是全等三角形了，对不对？所以呢， a、 d、 b 这个角就等于 a、 e、 c 这个角，那么 a、 e、 c 的 话呢，因为与 a、 e、 d 啊，它是一个互补的一个关系，所以 a、 e、 c 就 等于一百二十度，就得到一个 a、 d、 b 也等于一百二十度。那么又因为 d、 a、 a、 d、 e 等于六十度，所以两个相减一下，就得到 e、 d、 b 就 等于六十度，所以第一个如图三所示， e、 d、 b 第一个等于六十度。那么如图二所如图四所示的话呢， 我们继续看，在这个旋转的过程中，我们还是连接 b、 d， 对 吧？那么全等呢？是不变的全等三角形，还是 a、 d、 b 与 a、 e、 c 全等了之后，我们看一下 第一个就是这个角啊，也就是说 a、 d、 b 这个角就等于角， e 等于六十度。 第二个呢， a、 d、 e 这个角本身也等于六十度，因为它是等边三角形，所以如图所示的这种图像，就可以得到一个 e、 d、 b 等于一百二十度啊。这道题目里面第二个第二种情况是比较难想到的。好，下面我们看一下第三题， 在一的条件下，还是啊连接 c、 d， 他 说 bc 等于六， bc 等于六， ad 呢，等于四。那么在这个三角形 a、 d、 e 啊，绕着点 a 旋转的过程中，请问 dbc 这个三角形的面积范围是多少？那么首先我们看一下这一个三角形有个特点，什么特点呢？我们看啊， 这个三角形就是只有 bc 边是固定的，那么 b、 d 和 c d 在 旋转的过程中，它的值都是不固定的， 对不对？所以我们就可以把 bc 当成底来对待，那么高的话呢，就是点 d 到 bc 的 一条高，我们假定是 dm 好 了，所以这条高我们只要把高的范围弄出来，那么这道题目就解决了，对不对？ 那么在这个旋转的过程中，我们可以发现点 d 是 绕着点 a 进行旋转的，也就是说以 a 为圆心的一个圆上在运动的啊， a 为圆心，半径为四的一个圆上在运动，那么这个圆上点 d 的 话，在这个圆上运动的过程中，我们可以发现最高点， 把这些其他条件划掉啊。那么首先第一个过点 a 做一条这样的垂线好，做垂线之后，点 d 离 bc 最近的一个点就是在这个地， 那么同样的离 bc 最远的一个地方呢，就是在这个位置好，所以我们就可以知道 dm 啊，也就是说高 dm 的 高，首先范围就可以出来了。我们首先求一下 am， am 的 长度等于三根号三，这个是比较好求的啊，等边三角形的高等于多少啊？因为边为六，边长为六，所以高呢为三根号三，而 a d 的 话呢，等于四， 明显 am 是 大于四的，对不对？所以我们就知道 dm 的 范围，那么 dm 的 范围就大于等于三根号三减四，小于等于三根号三加四， 我们可以通过图像可以得到 dm 的 一个范围，那么高范围有了之后，底边长呢是固定的，所以 s 的 范围也就出来了， 无非就是乘以底除以二，相当于乘了一个三，也就得到一个九根号三减十二小于等于 s， 小 于等于九根号三加十二。这就是我们的手拉手模型里面的第一种类型等边三角形的共点问题。

终点中线是初中几何中非常重要的知识点，学完全等三角形考察他们的题型也是非常多的。今天再带大家学习一个几何模型，倍长中线模型。什么是倍长中线呢？ 给了一个三角形 d 是 bc 边上的中点，连接顶点就是中线。我们延长这条中线 a、 d， 使它的长度呢增加一倍到一点，我们再连接 b、 e 或者是 c、 e， 这就是基本的倍长中线的辅助线做法。这样呢，我们就形成了一个八字全等结构，因为 d 是 中点，那 b、 d 就 等于 c， d， a， d 呢，又等于 d， e 加上一组夹角，对顶角相等 s a s， 那 这两个三角形就是全等的。全等之后呢，我们还能得出几个结论，对应边 a、 c 就 等于 b、 e。 另外呢，对应角的这个角和这个角是相等，它们又是一组内错角，那是不是 a、 c 就 平行于 b、 e， 所以说 a、 c 和 b、 e 是 平行且相等的。这里面我们也可以不连接 b、 e， 连接 c、 e。 结论也是一样的，解题时要根据题干条件决定连接哪边。这个呢，是最基本的被长中线的结构， 我们把它叫做基本型，很容易识别，考试时有可能不直接这样考，那就有了第二种变形，如图呢，给了一个图形，依然告诉我们 d 是 bc 的 终点， 但这次他没有给出中线 a、 d， 而是在 a、 b 边上任意一点 e 给了我们这样一条线段 d， e， 我 们给他取个名字叫内中线吧。此时我们依然可以沿用倍长中线的思路，延长 e、 d， 使得 e、 d 等于 df。 同时呢，我们连接 f、 c， 同样能够构造八字全等结构，那这两个三角形呢，也是全等的， b、 e 和 f、 c 也是平行且相等的，这种呢，我们把它叫做倍长中线的中点型，或者是类中线型。 还有一种呢，就是给了两条平行线中间加一条线段，知道他的中点连接到一条平行线，那么我们可以延长这条线段与另外一条平行线相交，也是可以得出这两个三角形全等的结论。这个我们就把它叫做中点加平行线形。不过这里的辅助线 不是倍长，而是延长相交。做题时我们要严谨一些，我们来做道题，如图 d 呢，是 bc 的 中点线段， b e 交 a c 域点 e 交 ad 也点 f， 又告诉我们 a e 等于 ef， 让求 a、 c 等于 b f， 证明两条线段相等呢。首先我们要考虑三角形全等，但是这两条线段好像也没办法在两个全等的三角形中。 题目中又给了两条线段相等和一个中点，大家看一下，我假如遮住上面这一部分，这个图形熟不熟悉， 是不是就是我们刚才讲的内中线的倍长类型？刚好这个 b、 f 就是 两个全等三角形的一条边。我们尝试一下延长 f d 到 g， 使得 f d 等于 d g 连接 c g， 马上我们就能得出三角形 b、 d、 f 是 全等于三角形 c d g 的， 那么 b、 f 就 等于 c g， c g 和 a c 刚好就在一个三角形中，证明它们俩相等就行了。因为全等对应角，角一和角二是相等的。 同时 a、 e 等于 e f， 那 么角三呢，就等于角四，角一和角三呢，又是对顶角，那么这四个角都是相等的，等角对等边，那么 a c 就 等于 c g 也就等于 b f 了，得正下课。

手拉手模型是我们这次八上期末考试的必考模型哎，他的考频非常之高，今天老师一个视频带你一起复习手拉手模型的四大经典结论，一起来看。首先啊，在做题之前，我们要识别清楚到底什么是手拉手 哎，它主要有三类，第一个是等腰三角形手拉手，第二个是等边三角形手拉手，然后就是我们的正方形手拉手， 其中最常考的就是等腰三角形手拉手，今天老师就以这个为例，比如说现在给了我们两个等腰三角形 a、 b、 c 和 a d、 e， 你 看它俩有什么样的特点呢？首先它们有公共的顶点，并且它俩顶角，也就是角 b、 a、 c 和角 d、 a、 e 是 相等的， 你看共顶点有相等的边，并且顶角相等，这就是非常典型的手拉手模型的特征。 好，我们来看，左手是 a、 b 和 a、 d， 所以 说连接 b、 d， 右手是 a、 e 和 a c， 所以 说连接 c、 e。 那 么辅助线做完之后，第一条最核心的结论就是 b 出全等，我们看这两个组成的全等三角形，也就是黄色和蓝色的三角形，一定就是全等的。为啥？ 你看 a、 b 和 a、 c 是 两个等腰相等， a、 d 和 a e 也是两个等腰相等。同时我们看，如果中间这个小角是 alpha 的 话， 此时角 b、 a、 d 还有角 c、 a、 e， 它俩是不是都是等于这个相等的顶角减去 alpha 呀？哎，所以说这俩角一定就是相等的，那么边角、边它俩就是全等的。这是我们手拉手模型最最核心，也是最为重要的一个全等三角形的结论。 好，那它俩全等，我是不是就可以得到 b、 d 和 c、 e 是 相等的呀？哎，对应边相等，这就是第二条核心结论。 好，我们继续来看。那么第三条结论呢？就是角 d、 h、 c， 它应该和顶角 b、 a、 c 是 相等的， 也就是这两个拉起来的手，哎，把它延长，它俩组成的这个角应该等于顶角。为什么？我们来观察，现在在三角形 a、 g、 b 和三角形 h、 g、 c 中，我们刚才知道它俩是全等的， 对吧？所以说角一和角二这俩角是相等的，这里还是一组对顶角。那你看这两个三角形中 剩下的这一组角，是不是应该就是相等的角了？哎，也就是等腰三角形的顶角还有两个手，他俩组成的这个角就是相等的。这是第三条结论。接下来我们再来看第四个结论， 也就是 h、 a 平分角 d、 h、 e 什么意思呢？也就是这两个手，哎，通过延长，它俩出现了一个焦点 h， 把这个焦点 h 和顶点相连接，此时组成的这个 a、 h， 它一定平分这个角。怎么去正？可以使用面积法。 哎，其实这一切的源头还是来源于它俩是全等，那它俩全等是不是面积相等啊？所以说，如果我此时以 b、 d 和 c、 e 为底边的话，所以说它们这个底边上做出来的高一定就是相等的。 好，那你看 b、 d 为底边，现在我过 a 点做 a、 g 垂直于这条边，现在我再过 a 点做 af， 垂直于 c、 e 这条边。 那出现的这两个高是不是 a、 f 和 a g 应该就是相等的？那同时这还是两个直角，所以说再加上 a、 h， 这是一条公共边。那么在直角三角形 a、 g、 h 和直角三角形 a、 f、 h 中是不是 h、 l 它俩全等啊？ 它俩全等是不是就可以得到对应角相等？也就是，哎，这俩角是相等的，那么 a、 h 自然就是角平分线。以上就是我们手拉手模型的四大核心结论，一定在考前复习完！

哈喽，大家好，我是爱与堂数学赵老师，今天跟大家分享的呢，是我们人教八上几何的一些常见模型。首先我们可以看第一个模型啊，叫飞镖模型，那它由来也很好理解啊，就是，呃，它的长相像一个飞镖一样。首先我们看一下它的结论，就是角 b、 d、 c， 也就说这个角 它等于 a， 角 a 加角 b 加角 c。 那 么说直白一点，就是我们飞镖里边这个比较大的这个凹角等于三个小小的核。那接下来我们来证明一下这个结论，它是为什么有这样的一个结论啊？ 好，那首先我们来看一下，根据三角形的外角有一个这样的性质，我们可以稍微做一下辅助线，我们把这 哎画虚线，延长 b d， 这这个 e。 那 么根据我们三角形外角的这个性质呢，我们就有了这个角 a 加上角 b， 它等于哪个角啊？哎，它等于这个角， 我们可以写成角 e 啊，就是角 a 加角 b 等于一个角 e。 那 么再根据三角形的一个外角性质呢？角 e 和角 c 加起来，它对应的外角又是哪个呢？哎，那显然它就是一个这个角啊，所以呢，我们这个角 e 加上角 c， 它就等于角 b dc， 那 么把上下两个结合起来，我们就有了，呃，这个角 a 加上角 b， 再加上角 c， 就 等于我们的角 b、 d、 c。 哎，因此我们的飞镖模型的结论就出来了，哎，以后我们在应用的时候，如果是选择填空题，可以直接用，但如果大体，可以进行一下简单的证明。好，这是我们第一个模型。

新阳老师带你一条视频，详细解读八上全等三角形五大辅助线思路。 全等三角形是初二上学期当中一个最难的章节，也是我们初中几何的一个正式开端，更是初中数学两级分化的一个开始。 很多同学对于全等三角形来说，他不会去做辅助线，不会去构造全等三角形，那今天轩老师教大家全等辅助线的五大绝杀思路，我们来看哪五个思路？第一个思路就是利用公边去构造全等三角形。第二个，我们可以通过倍长线段，也就是倍长中线或者类中线去构造全等三角形。 第三个，通过截长补短的方法构造全等三角形。那第四个方法遇到我们的角平分线加上垂线 垂直的条件，这个时候我们可以通过什么延长去构造对称型全能？那第四个，如果出现了角平分线，并且角平分线上的一个点 做了另一边的垂线，那这个时候我们可以做另一边的垂线去构造对称型全能。那具体是怎么去应用的呢？我们通过几个题来给大家具体展示一下。 那首先第一个我们利用公共边去构造全等三角形，那这道题目当中出现了什么？出现了 a、 b 等于 a， c， b， d 等于 c、 d， 所以 这时候我们来标注一下， a、 b、 a、 c 是 相等的，然后 b、 d 和 c、 d 是 相等，所以这个时候你会发现，我只要再创造出一个公共边，也就是我只要连接上 a、 d 之后就会出现什么？就会出现两个三角形当中三组 边对应的边完全是相等的，那根据我们 s s s 我 们就可以得到这两个三角形是全等三角形，那两个三角形全等了之后，就可以得到角 b 是 等于角 c 的 了，对吧？那角 b 等于角 c 了， 那并且告诉你了角 a 等于多少，角 d 等于多少，所以这个时候通过四边形内角和直接就可以求出角 b 的 度数。完事了啊，这是第一个，我们如何去利用公边构造全等三角形？ 那第二个类型，倍长中线构造全能，也就是我们刚刚说的叫倍长线段去构造全能三角形。那这种类型题的一个明显性的标志就是在题目当中出现了与中点相关的线段，那比如说这道题目， 这道题目它说已知 c、 d 等于 ab， 然后告诉我们 b， a、 d 等于 b、 d， a 这俩角是相等的。好了，关键性的条件叫做 a、 e 是 三角形 abd 的 中线， 所以出现了中线啊，与中点相关性的线段，这个时候我们就可以通过去倍长中线或者类中线构造全等三角形。 那这道题我们如何去构造辅助线呢？那因为 a、 e 是 a、 b、 d 的 中线，所以 a、 e 是 一条中线，那这个时候我们可以什么延长？ a、 e 叫做加倍延长，它我们叫做倍长中线嘛，所以什么叫倍长中线？就是加倍延长，那所以这个时候 a、 e 和 e、 f 它俩变成相等的。好，我再连接上 f、 d 之后，这个时候你就会发现这两个三角形就是全等三角形，对吧？然后我们再根据题目当中的已知条件，可以推出来这两个大的三角形也是全等三角形，那进而就可以完成这道 题目的一个证明，所以这是这类辅助线的一个构造方法，我们叫做什么？倍长中线或者倍长类中线？如果题目当中出现与中线与中点 相关的线段，你就可以考虑可以把它加倍延长，然后构造出全等三角形，进而完成题目的求结。好，我们再来看一下第三类， 那第三类叫做截长补短法，去构造全等三角形。那这类题目一个关键性的识别条件是什么呢？就是在题目当中出现了角平分线，并且出现了 线段和差关系的这样的一个关键性的条件，我们就可以考虑是不是可以利用截长补短的方法去构造全等三角形。 那这道题目我们怎么去截长补短？因为 b、 d 是 角平分线， c、 e 是 角平分线，对吧？所以这个时候我们可以去截取什么？在 b、 c 上截取一段线段 b f， 使 b e 和 b f 是 相等的，然后并且又有角平分线，所以马上可以证明出这两个三角形是全等三角形， 然后再根据它题目当中的已知条件，角 a 等于六十度，我们马上可以推出这个角和这个角啊，这两个角也是六十度， 然后这又是角平分线，这俩角又是相等的，所以马上又可以得到这两个三角形啊，这两个三角形是全等三角形，那进而完成我们最终这个结论的一个证明。好，这是截长补短的方法，构造全等三角形， 那关键性的信息是什么？叫做题目当中出现了角平分线，并且出现了线段和差的这种关系， 不论是这个和差的关系是让你求证的，还是题目当中已知性的条件？只要出现了这两个条件，你就可以考虑是否可以利用截长不短构造全等三角形，那这是我们第三个通过截长不短构造全等， 然后我们再来看第四个，第四个这种类型的题目是在题目当中出现了角平分线，并且有什么有角平分线的垂线的时候，那这个时候我们就可以去选择什么去延长这个垂线 c、 e。 好 了，延长垂线 c、 e 之后，那我们与边 b、 a 的 延长线相交于一点，这个时候你就会发现你构造出了一个对称性的全等， 那这个角是直角，对吧？然后这又是角平分线，所以这俩角是不是相等的？然后并且有个公共边 b、 e， 所以 整个两个大的三角形，那我写到这啊，那也就是我们的三角形 b、 e、 c 是 全等于我们三角形 b、 e、 f 的， 所以这俩三角形是全等的，这是我构造出来的对称性全等。然后再根据题目的条件，你还会发现你还可以证明哪两个三角形，证明这两个三角形 a、 c、 f 和三角形 b、 a、 d 也是全等三角形，这俩三角形也是全等的，那进而我们马上就可以证明出这两个线段之间的 倍数关系了。那这是我们通过什么遇到角平分线，并且对于角平分线什么上面它有一条垂直于它的线段，那我们就可以延长构造对称型全能，那一定要刮，一定要抓住我们题目当中的关键性的条件和信息。 好，我们再来看一下第五类，叫做垂法构造全等三角形，那这类题目有一个什么明显的特征呢？就是它在题目当中一定会给你关键性的条件叫做有角平分线， a、 c 是 我们 d、 a、 e 的 角平分线。 好了，然后这个时候还有什么关键性的条件？就是在角平分线上有一点它什么？它有到 角上的一边的这种垂线段，那这个时候我们就可以选择利用角平分线的性质去做出另一边的垂线，构造对称型全等，所以这时候我做出另一边的垂线， 那这个时候根据我们角平分线的性质，角平分线一点到角两边的距离是相等的，所以 c、 f 和 c、 e 就是 什么 就是相等的，并且还有什么公共的边 a、 c、 e， 然后这还有角，对吧？这俩角相等，然后这还有直角，所以你一定可以证明出这两个大的三角形就是全等 三角形，对吧？所以这是我们构造出来一个对称型的全等，然后进而再根据题目当中的条件去证明另外两个三角形全等，或者再证明其他的 三角形全等，我们就可以完成我们最终结论的一个证明。那这是我们根据什么根据做垂线的方法去构造全等三角形，那再来强调一遍它的关键性信息是什么叫做出现了角平分线，并且角平分线上一点有到另一边的这个 垂线啊？那这个时候怎么去做？我们做出角另一边的垂线，就可以构造出对称型全等，进而通过他相应的条件和结论，以及题目当中的另外的条件，我们可以去推出他相应的结论 啊，这叫我们利用做垂线的方法构造全等三角形，所以对于我们全等三角形而言的话，那掌握了我给你讲的这五类方法，很多题目都可以完成，求解。

数学课堂激情飞扬，跟着宋老师一起进入思维的殿堂。各位同学大家好，我是火光课堂初中数学的宋老师，我们这周呢给大家分享一下巴蜀初二半期最后一个题的最后一个小问。 好，这个小问呢，同学们在考试的时候可能看这个题目的描述啊，就不想看了。好，那我们今天呢就给大家详细的去分析一下这个题目。好，第三个，它说如图三啊，点 d 呢？在射线 ca 上啊，这句话很重要啊，它是在射线 ca 上， 那也就说 d 呢，它有两种状态，它可以在线段 c a 上，也可以在 c a 的 延长线上。 ok， 它有两种啊，位置情况， 然后点 l i 是 线段 b c 上的两个定点啊，不与 b c 重合，然后去连接啊。呃， a l a i l 加上角 al i， 再加上二分之一的角 b a c 是 等于一百八十度的。好，那我们根据三角形的内角和，我们可以知道啊，这个角 a i l 加上角 a l i， 再加上角 i a l， 它是等于一百八的。那也就是说我们就可以知道自己的呃，角 i a l 呢，它就等于我们这里的二分之一的角 b a c。 而题目告诉我们啊，这个三角形 a b c 呢，它是一个等边三角形，所以说 b a c 呢，它就是六十度。那所以我们就可以知道 i a l 这个角呢，它是三十度啊，它是等于三十度的。 好，接着往下看，他说啊， m r s 分 别是线段呃 l i， a i 和 a l 上的一点，然后去连接 m r r s m s。 当 m r s 这个三角形的周长最小的时候。好，来第一个问题，我们先解决 这个三角形啊， m r s， 它的周长什么是最小？好，来，我们看，我们要去算这个周长的最小值啊，我写在哪？呃， 好，我写这吧。好，来算周长的最小值。三角形啊， m r s 啊，它就等于我们的 m r 再加上 r s， 再加上我们的 ms， 好， 来，要求三条线段和的最小值，哎，那这里我们就，呃，会想到我们可以去利用将军一马模型去做，对不对？好，但是这里问题来了，哎，我们将军一马问题呢，它至少会有 一个定点啊，但是这里呢， m r s 它三个点都是动的，哎，有人说老师它都是动的，我就处理不了。好，那你看，那既然我们哎要用将军密码模型去解决，然后这里呢，又要这三个点其中有一个点是定点，那你就去 确定一个呗，你就假设一个点固定不动呗。好，那么这里假设哪个点不动呢？哎，对，我们就假设这个 m 点不动啊，假设 m 点不动，因为为什么呢？因为 m 它的位置比较特殊嘛，对吧？它在 b c 这条线段上啊。 ok， 好， 那我就假设这个 m 不 动， 好，那你看，就变成什么，哎， m 不 动，我就要去求 ms 啊， rs 要求 mr 这三条线段合得最小值来， rs 是 动的， m 不 动。哎，那这里，哎，我们就 用我们将军印码模型最基础的呃，解决问题的逻辑，对吧？就是去做定点关于动点所在直线的对称点，哎，打 我们要求和的啊线段啊，给它连成一条折线，就是把要求和的两条线段，比如说，哎，求 rs， 求 ms 和的 最小值，哎，要把求这两条线段和最小值，我就把这两条线段放到动点所在直线的 e 测去，哎，这样子我才能，哎给它形成折线，然后我才能够给它连成，呃，线段，根据两点之间线段最短，去求我们的最值，对不对？好，那这里来，我就去做 m 点，关于这个 a l 的 对称点， 我把它记作 m 一， 然后呢？再去做 m 点，关于这个 ai 的 对称点，我把它记作 m 二， 好，然后呢，我再把这里的 m 二 r 和这里的 s m 一 给它连起来， 好，那这里我们就可以知道来，呃，这个 ms 是 等于 m 一 s 的 mr 是 等于 m 二 r 的。 好，那这里 这是 r s。 好 了，你看，这里，我们要求这三条线段回到，回到最小就变成了 mr， 它是等于 m 二 r 的， 然后 r s 不 变，然后 m s， 它是等于 m e s 的。 好了，你看，我要求一撇加两撇加三撇，哎，这三条线的合角值就变成了，哎，求这个一撇加两撇加三撇，哎，求这三条折线合的最小值。什么时候最小呢？ 哎，那就是把我们的 m 一 m 二连起来，它就最小了， 啊， 它就小于等于 a， 哦，不对，不是小于等于啊，它这里我用最值嘛， 啊，它的最小值啊，就是它的最小值。 好，就是这三条线段和的最小值，哎，就是我们这里的 m 一 m 二。好，那么这个问题来了， m 一 m 二什么时候最小呢？哎，因为这里你看 m 点它，其实， 哎，它是不是也是动的？只是我们假定它不动，对不对？好，那这里 m 一 m 二什么最小呢？好，来这里，我们再去把 这里的 a m 二连起来，把这里的 a m 一 连起来，然后再把这里的 a m 连起来。好，把这三条线段连起来之后，我们可以知道，哎，这个 a m 二， 它是等于 a m， 哎，它是等于我们这个 a m 一 的。你说这三条线段呢？都是相等的。好，这里注意哦，然后，啊， 啊，然后我们来看这里，相等的话，你看这个角，哎，这两个粉色的角，啊，这两个粉色的弧角是相等的，然后呢，还有这两个， 还有这两个粉色的圈角也是相等的，也就是说呢，哎，根据我们对称的性质，这个角 m 二 a i 和 m a i 它是相等的，然后这个角 m a l 和这个 m e a l 这两个角相等的。好，然后你看这里啊，一个粉色的弧角加上圈角，它是等于我们的 i a l 是 等于三十度的。好，那这里我们就可以知道，这个角 m e a m 二，它就是等于 i a l 的 两倍，它是等于六十度的。 好，那它等于六十度，那这里 a m 二又等于 a m 一， 那所以说 a m m 二，它就是一个等边三角形，哎，有一个角是六十度的等腰，它就等边嘛。好，那这里我们就可以知道， m 一 m 二，它其实呢就是等于谁的呢？就是等于我们的 am 一 等于 am 二，而 am 一 am 二是等于 am 的。 好，那你看这里，我们要去求啊，这 m 一 m 二和的作用值， 那我们其实就是去求 am 和的最小值。来，这个时候，哎，那这个就转化成我们，哎比较熟悉的一个最值问题了，哎，就是定点到动点距离，什么是最小？哎，那肯定就是过这个定点 a 去做这个动点 轨迹的垂线不就好了吗？所以说来，那 a m 尺寸最小，那就是去过 a 点去做这个 b c 这个垂线，那这个呢，就是我 a m 最小的位置，那就是 m 一 m 二最小的位置，那也就是我这个三角形周长最小的位置。那所以说这个时候我们可以知道，此时啊， a m， 它应该是垂直于 b c 的。 好，那这里我们就找到了 m 点的位置。 ok， 这是第一个锥子模型，将军一马问题去解决好，这个解决之后，我们接着往下看。 好，然后做 m 点关于 a c 的 对称点 n。 好，那这儿啊，在这儿他给你做了啊，然后连接 a n 啊，点 p q 呢？分别在射线 a n 和 b d 上一点好，然后连接 c p， a q， 然后既 a， b d 呢？等 r 法，哎，若 a p 又是等于 b q 的， 哎，则当 a q 加 c p 最小的时候，用 r 法去表示 p a q 的 角度。好，来，这里，哎，呃， p o q 都是动点，然后还有一组位首尾相连的等线段，哎，这就是我们的逆等线模型， 对吧？好，这是第二个对折模型。好，那这里呢，这个一等式模型怎么去做啊？这个图呢？啊，太复杂了，我们把它分离出来啊，这里我只需要这个图的作用，我只需要去找到 m 的 位置就可以了。好吧，来， m 在 哪？就是在这垂的时候。 好，这 m， 然后呢，我再去做 m 点关于 a c 的 对称点啊， 啊，大概在这个位置。假设呢，这个是我的 n 点啊，这是 n 点好，然后把它连起来。 好，他要说的是射线 a n 嘛，那我就画长一点。好啊，他说啊，连接 a n 点， p q 呢？分别是射线 a n 和 b d 上的一点啊。呃，那假设在这儿，这是 p 点的位置 啊， q 呢？是 b d 上一点好，然后 a q 等于啊， a p 等于 b q， 那 这就是 q 好， 那这里呢？它是等于它的好，然后我们去连接 c p， 连接 a q， 好，然后这里呢？ a b d 啊，它是等于 r 法的好，然后他要问，我们去叫我们去问啊，这个 a q 啊，加上这个 c p 值最小的时候，好来 a p 和 c q 啊，什么时候值最小？ 那这里呢？哎，我们说了逆的一些模型呢，我们还是要把它转化成我们的，哎，将军一马模型去做，那我们说将军一马模型去求两条线段合的最小值呢？哎，那他们一定会有一个公共的端点，并且呢这个公共的端点呢？哎，还得是那个动点。 好，那这里你看，这里 p 和 q 是 动的，那所以说，哎，我就得让 p 和 q 重合，那这里怎么重合呢？哎，那我就去呃构造啊，一个三角形 呃和。哎，题目中包含 a q 和 c p， 以及包含这一组等线段的其中一个三角形全等就可以了，哎，这就是我们一等线的呃 啊，解析模式啊，或者说解析套路都可以。好，那这里呢？你看，哎，我要去求和的，或者说我要去转移的线段呢，要么是 a q， 要么是 c p 啊，就看你转移谁好，那这里呢，我们就我就统一去转移 a q， 对 不对？好，我去转移 a q 啊，然后呢， 你看，呃与 q 点相连的等线段呢？是谁？是 b q， 那 你看 b q 和 a q， 你 就只能放在 a b q 中去，那所以说我就需要去在哎这个 a p 这里去构造一个三角形，和这里的 a b q 全等，从而把这个线段 a q 呢给它转移到呃这个 c p 的 位置去，就是让 q 点和 p 点这两个动点呢？去重合。 好，那这里你看，那这里我们就去构造全等三角形。好，那首先啊， b q 和 a p 有 一组边相等了。好，那然后呢，我是在 a p 的 上方还是下方去构造一个三角形和 a b q 全等呢？ 哎，那这里我们说了嘛，我们要去用将军印码问题去解决，那将军印码问题最基础的解决方案就是，哎，把两条求和的线段放到动点所在直线的 e 侧去。好了。你看，屁是动点，动点所在直线呢？是 a n， 那 就要放到 e 侧，你看 c n 已经在 a n 的 下方了，那我就把这个 a q 给它放到上面去。 所以说我就是以 a p 为边，在啊这个 a p 的 上边去勾搭一个三角形和 a b q， 它是全等的。好，那有边了，那接下来我就勾搭一个角相等，那你看以 b q 为边的角，哎， 有两个 a q b 和这里的 a b d， 你 看一下哪个角是固定的？哎，很明显的， a b d 是 固定的吗？它告诉你等于 r 法。哎，那所以说，哎，我就去做这个角。 好，我就去做一个这个角啊， p a 假设 a b c 是 对 d 嘛？ 啊？有 d 了，那就 e。 好， 我就去做这个角啊， e a p 是 等于 a， b q 是 等于啊，阿尔法的啊，这个是阿尔法。 好，那你看，我要去构造旋转三角形，已经有两种条件了，来， b q 呢？ b q 等于 a q 一 组边，然后阿尔法角一组角，那所以说我就只需要再去构造一组条件，哎，怎么呢？就去看，哎， 呃，这个以阿尔法角这个阿尔法角的两边，对吧？呃，这个 b q 已经相等了，我再使这个阿尔法角另一边相等不就好了吗？哎，那就是这个阿尔法另一边 a d 和这个阿尔法角另一边 a e 大 小相等就可以了，所以这里我就去使得并截取啊，这个 a e 呢，是等于我们这里的 a b 的。 好，然后呢，怎么办？再把这里的 p e 连起来啊，连起来之后呢，那我马上就可以知道。哎，有两个三角形是全等的。 好，那我们马上就可以知道啊，三角形这里的 a p e， 它就是全等于我们的三角形 b q a 用边角边去乘全等。好，根据这组全等之后，我们就可以知道，来这里 p e 呢，就等于我们这里的 a q。 好， 所以说我就把这里的 a q 呢就转移到 p e 这去了。那我们再看一下 p 和 q 它是否重合了，来看一下 p e 的 对应点是 q 点没有问题。好，那所以说这个题目要让我们去求的啊， a q 加上 c p 和的最小值，那其实就是去求 我们这里的 p e 再加上 c p 和的最小值。 好，然后你来看来要求我们这里的 p e 加上 c p 这两条折线和的最小值。而那就是只需要干嘛？哎，根据我们两点之间线的最短，把它拉直就可以了，所以说我就只需要去把这里的哎 c e 给连起来就可以了 啊，那其实就是我们这里的 c e 的 长度。好，那这时候啊，它不是让我们去求这个直径小多少？它让我们去啊，用 r 法表示 p a q 的 这个度数来， p a q 是 这个角。好，来，这个角怎么去表示呢？ 好，刚才我们说了啊， m 点在什么位置呢？ m 点就是在这里啊，刚好垂直于 bc 的 时候。好，这个 abc 呢，它是一个 等边三角形啊，根据等边三角形啊，三线合一的性质嘛，那我们可以知道 a m， 它是顶边上的高线，还是顶角的角平分线，所以说这两个角呢，哎，它都是三十度。好，然后呢？呃， 这个 a n 怎么来的呢？是做了 m 点，关于这个 a c 的 对称点，得到了 n 点，那说这个角呢，也是三十度。好，那我们这里就可以知道 b a n 呢，这个角啊，或者说 b a p， 这个角呢，它就是九十度。 好，那这里，呃，要算这个 p a q， 哎，那就是九十度，再加上这个角叉角就是这个 b a q 就 可以了。好，那然后你看一下这里的 b a q 是 等于谁的？ 好，那这里我们就可以知道。来，根据我们这里刚才的这个全等啊，这里的角啊， b a q 啊， b a q， 它就是等于我们的 a e p 的。 好，那所以我就只需要去把这个 a e p 算上就可以了。 a e p 怎么算呢？好，那你看，这连起来之后啊，其实这个点呢，就是我的这个 p 点。 好，这里注意哈， p 和 n 啊，它们不一定是重合的啊，只是这里图画的比较像，它们像重合的啊，那这里其实就是我 p 点，那其实呢，这个角，欸，这个角就是我的这个角啊。 a p。 好， 那这个角怎么去表示呢？来，这里， a e 是 等于 a b 的 a b 呢，是等于我们的 a c 的， 所以说 a c e 呢，它是一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶角呢，是在这儿。哎，它是三十度啊，换个颜色，这个颜色 看不太清楚啊，那这个它的顶角呢，是三十度，再加上 r 法好，那所以说它的每一个底角呢？这个角，哎，就是我们的七十五度，再减去二分之一的 r， 法好，那所以说这里我们就可以知道 这里的角， 这里的角 p a q 啊，它就等于我们的这里的角 p a 啊， b a p， 再加上这里的角 b a q， 那 其实也就是等于 b a p 呢，是九十度，再加上 b a q 呢，它等于 a p e 是 等于七十五度，再减去二分之一。而法 好，那就九十度，再加上七十五度，减二分之二法就等于多少呢？哎，一百六十五度，再减去二分之二，法 好，那这里呢？有同学可能啊，做的出来一个答案，哎，他就沾沾自喜了，但是下来考试下来一会发现，哎，老师，这个题为什么会有两个答案呢？好，这就是我在一开始读题的时候就跟你说了这个问题 来，他说了点 d 是 在射线 ca 上，那他既，那他就有两种情况，一种情况就是在 ca 的 延长线上，还有一种情况就是在线段 ca 上，所以说这道题目应该有两种情况来，这是第一种情况， d 在 ca 延长线上， 好，第二种情况， d， d 在 线段啊， c a 上， 好，那时候来，我们重新画一个图，我感觉我把可以把这个图我给它放那边去一点，放个颜色啊，这个白的里边黑的吧。好，把它换过来， 这也换过来， 好，那这里还是一样的，我就还是去做 m 啊，这是垂的。好，然后我还是做这个对伸点啊，我就直接随口画啊，好，这个 n 应该是在这个位置的。 好，然后这个时候呢来 d 呢，就在 c 上， 好，那这是 d， 然后这个呢是 f 好，然后 p 呢？在这儿还是取个 p q 呢？在这儿 好，然后我把它连起来，把 a q 和这个 c p 连起来。好，这里还是啊 q 的 啊， b q 啊，等于 ap 好，还是要去求这两条蓝色线段和的，这样子还是一样的啊，我这里还是去转移 a q 嘛，还是以 a p 为边啊，在它的上方呃，去构造，呃，一个三角形和 a b q 全等，那还是一样的， 那这里构造一个角， 往下放一下， 好，假设这个是 f， 那 去构造一个角啊， p a f 呢，它等于我们这里的 a b q 啊，是等于 r 的 好，然后呢再去在 a f 上面截一段啊，这个 a f 呢，它是等于 ab 的 好，然后呢我再去把 p f 连起来啊啊，这个构造的方式呢，就跟我们这种情况是一样的。好，那这里啊要去求我们这里的 呃， a q 加 c p 和最小值，那其实还是一样的，这里呢就是三角形。谁啊？三角形 a b q 嘛，三角形 a b q 啊，它就全等于三角形 a b， 那 就是 f a p 啊，边角边正的全短。那这里我们就把这里的 a q 呢给它转移到这里的 f p 这里去了啊，那所以还是一样的 a q 再加上 c p 和的最小值啊，就变成了我们的 f p 加上 c p 和的最小 啊，还是把这里的 c f 连起来就最小啊，那时候这个把它连起来 啊，还是一样的啊，这连起来之后，这里的 p 和 n 啊，不一定同和啊。啊，那这个呢就是我的这个 p 点的位置啊，点的位置 啊，还是一样的，他要求什么？他要去求这个角啊， p a q。 好 了，这个时候你会发现啊， p a q， 他 在这个角 b a p 的 里边了，这个角 p a p 呢？还是多少度呢？还是九十度没有变？那说这个时候你发现啊，这个角 p a q， 它就应该是等于我们这里的角。呃， b a p 啊，再减去我们这里的角， 这里的角 b a q。 好， 那这个角 b a p 呢？还是九十度，那 b a q 呢？还是一样的来，这里的角 b a q， 它是等于什么的呢？角 a f p， 那 也就是还是一个角，那你看这个 a c f， 它还是一个顶角，为多少度呢啊？这儿是三十啊，还是顶角为 三十度加 r 法的一个等腰三角形，那这个顶角啊，这个这个底角 a f p 呢？还是七十五度，减去二分之一 r 法好，那这里呢，就变成了我们的九十度减去七十五度，减去二分之 r 法，那就等于十五度在 加上我们的二分之 r。 好， 那所以说这就是这个题目啊，它有我们的两个答案好，为什么会有两个答案呢？就是各位同学在读题的时候啊，一定要仔细啊，一定要仔细，就是在色写 c a 上，好吧， 好，这就是我们这个啊，八数初二半期啊，最后一个题目的最后一个小问啊，其实就考察了，呃，两类对子模型啊，一个是将军印马模型，然后呢？一个是我们的逆等线模型，好吧，然后呢，还考察了一个，对吧？大家这个审题的仔细程度， 好吧，这就是这个题目，给大家简单分析到这，好，我们下期再见！点赞加关注，金刚校考不迷路！

同学们，大家好，我是数学刘老师，今天我们讲解八上几何模型的第一个模型，一线三垂直全等模型。 好，那我们先看一下这个题。那么在一条直线 l 上有三个直角 c、 a、 o、 c、 o、 d 和 d d o， 那所形成的这两个三角形 a、 o、 c 和 b、 o、 d 它有什么关系呢？好，我们先分析一下，那我们先把这个角看到是角一，这个角看到是角二啊，这个角看到是角三， 那大家看一看，角一和角二是不相加，等于九十度，也就说角一和角二互余，那并且角二和角三相加，也等于九十度，也就是说角二和角三互余， 那么也就是说角一和角三都于角二互余，那么也就是说角一等于角三，那么 角二它就等于角 c， 也就是说这个三角形 a、 o、 c 和三角形 b、 o、 d 这两个三角形三组角分别相等， 那根据我们全等的判定，也就是说有两组角相等，那我们只要证明任意一组边相等，那么这两个三角形它就全等。 那么也就是说，如果我 a、 c 等于 b o， 或者是 a o 等于 b、 d， 或者是 c o 等于 o、 d， 只要有这三组边，其中一组边相等，那么这两个三角形它就全等。 这也就是今天我们一线三垂直的什么全等模型。那我们回顾一下，也就是说在一条线上啊，如果有三个直角， 并且有其中一组边相等，任意一组边相等，那么这两个三角形它就全等， 那并且有 a、 c 加 b、 d 等于 a、 b 这个结论。 那接下来我们根据这个一线三垂直全等模型，我们来做一道题。 好，大家看一下这道题， 如图， o a 这一段等于四，做过 o 点的射线 o m， 它是垂直于 o a 的， 那么动点 b， 从 o 点出发，每秒一个单位长度匀速运动，分别以 o、 b、 a、 b 为直角，边，以 b 为顶，直角顶点做两个等腰直角三角形 a、 b、 e 和 b o f， 那么连接 e、 f 与 o m 相交于 p 点，设点 p 运动的 t 秒。在点 b 运动过程中， p、 b 的 长度是否发生变化？若发生变化，用含 t 的 代数式表达，若不变，求出 p b 的 长， 那大家看一看这个题目，那么这个题乍一看是不是比较难，无从下手，那么大家再仔细的看一看， 那我们看一看这个地方，刚才说了是一个垂直，那么这个地方 也是一个垂直，那么大家看一看，在直线 o m 上，现在是不是已经有了两个直角，那如果我们再做一个直角，根据我们一线三垂直的结论，它就有 两个三角形相全等啊，已经初具什么规模了。好，那我们从 e 点做 e n 垂直于 o m， 那 么于 n 点，那么现在是不是在 o m 上有三个直角角？ a， 这个这个、这个三个角相等， 那我再看一看，还有其他条件吗？那么还有 a、 b、 e， 它是一个什么？等腰直角三角形，那么就有 a、 b 等于 e、 b， 那我们一线三分值已经形成了啊，一线三分值已经形成了，那么就有什么 a、 o、 b 和三角形 e、 n、 b 这两个三角形全等，那全等的话，那么 o b 等于什么？说 o b 等于 t， 那么 m e， 它也等于 t， 并且三角形 o、 b、 f， 它是一个什么？也是一个三角形，所以 b f 也等于 t， 那 大家看一看，是不是 b m， 它就等于 o， a 等于四，这一块等于四， 那大家看一看，让我们求 p b， 那 p b 是 不是在三角形 b b p f 中？那如果啊，它是一个定值的话，那三角形 b、 f， p 和三角形 n p e， 如果这两三角形全等的话， 那是不是就有 b p 等于 f t， 那 我们看一看，刚才说了 m e 等于 t， df 等于 t， 这个角是对顶角，这个角是直角，这个角是直角。哎，这两个三角形 全等，那么就有什么 b p 等于二分之一 b n， 那 b n 刚才说了 b n 等于多少？ b n 等于 o a， 它等于四，那么 p b， 它就等于二分之一， o a 等于减等于二。那么大家看一看这个题，那我们的解题思路在哪里？ 第一个也是我们需要做辅助线，那辅助线怎么做的？也就是说如果我们在一条线上看见有两个垂直，那我们怎么想？因为我们要去做第三个垂直， 如果有三个垂直了，我们去找什么？找一种边相等，那么它所形成的两个三角形它就全等， 那么我们再根据全等的条件得出它的角相等、边相等来，最终怎么了解出我们的答案来？ 好，今天的讲解就到这里，谢谢大家。